课时作业25 二倍角的三角函数(二)
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知2sinα＝1＋cosα，则tan＝( )
A. B.或不存在
C．2
D．2或不存在
解析：由2sinα＝1＋cosα，
即4sincos＝2cos2，
当cos＝0时，则tan不存在，
当cos≠0时，则tan＝.
答案：B
2．若sin2α＝，且α∈，则cosα－sinα的值为( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：因为α∈，
所以cosα
所以cosα－sinα＝－.
答案：C
3．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝( )
A．1
B．－1
C．0
D．±1
解析：因为sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)·sinβ＝sin(α＋β－β)＝sinα＝0，
所以sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝2sinαcos2β＝0.
答案：C
4．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为θ∈，所以2θ∈，
所以cos2θ≤0，
所以cos2θ＝－
＝－＝－.
又cos2θ＝1－2sin2θ，
所以sin2θ＝＝＝，
所以sinθ＝.
答案：D
5．化简2＋2sin2得( )
A．2＋sinα
B．2＋sin
C．2
D．2＋sin
解析：原式＝1＋2sincos＋1－cos＝2＋sinα－cos＝2＋sinα－sinα＝2.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知sin－cos＝，则cos2θ＝________.
解析：因为sin－cos＝，
所以1－sinθ＝，
即sinθ＝，
所以cos2θ＝1－2sin2θ＝1－＝.
答案：
7．若＝，则tan2α等于________．
解析：由＝，
得2(sinα＋cosα)＝sinα－cosα，
即tanα＝－3.
又tan2α＝＝＝＝.
答案：
8．函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为________．
解析：y＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，所以该函数的最小正周期为π.
答案：π
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．化简：(1)；
(2)已知π<α<，化简：
＋.
解析：(1)原式＝
＝＝.
(2)原式＝＋，
∵π<α<，∴<<.
∴cos<0，sin>0.
∴原式＝＋
＝－＋
＝－cos.
10．求证：－2cos(α＋β)＝.
证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ，
两边同除以sinα得－2cos(α＋β)＝.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知sinα＋cosα＝，则2cos2－1＝( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：∵sinα＋cosα＝，平方可得1＋sin2α＝，可得sin2α＝－.
2cos2－1＝cos＝sin2α＝－.
答案：C
12．已知sin2θ＝，0<2θ<，则＝________.
解析：
＝
＝＝＝.
因为sin2θ＝，0<2θ<，
所以cos2θ＝，所以tanθ＝＝＝，
所以＝＝，
即＝.
答案：
13．已知向量a＝(2sinx，cosx)，b＝(cosx,2cosx)，定义函数f(x)＝a·b－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单凋递减区间．
解析：f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1
＝sin2x＋cos2x
＝2sin.
(1)T＝＝π.
(2)令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，
则＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
即函数f(x)的单调递减区间为
(k∈Z)．
14．如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20
m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
解析：连接OB，设∠AOB＝θ，则AB＝OBsinθ＝20sinθ，OA＝OBcosθ＝20cosθ，且θ∈.
∵A，D关于原点对称，
∴AD＝2OA＝40cosθ.
设矩形ABCD的面积为S，
则S＝AD·AB＝40cosθ·20sinθ
＝400sin2θ.∵θ∈，
∴当sin2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400
(m2)．
此时AO＝DO＝10
(m)．
故当A、D距离圆心O为10
m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400
m2.课时作业17 从力做的功到向量的数量积
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝( )
A．12
B．3
C．6
D．3
解析：a·b＝|a||b|cos135°＝－12，又|a|＝4，解得|b|＝6.
答案：C
2．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为|a|＝2，a·(b－a)＝－1，
所以a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－22＝－1，
所以a·b＝3.又因为|b|＝3，设a与b的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝.
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案：C
3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模是( )
A．2
B．4
C．6
D．12
解析：(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a|·|b|cos60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72.
∴|a|2－2|a|－24＝0.
解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去)．
答案：C
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·＝( )
A．－16
B．－8
C．8
D．16
解析：设∠CAB＝θ，∴||＝，
·＝||·||·cosθ＝·4cosθ＝16.
答案：D
5．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝
，||＝1，则·＝( )
A．2
B.
C.
D.
解析：设||＝x，
则||＝x，
·＝(＋)·＝·
＝||·||cos∠ADB＝x·1·＝.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60°方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝________.
解析：设a与b的夹角为θ，则θ＝120°，∴(－3a)·(a＋b)＝－3|a|2－3a·b＝－3－3×1×1×cos120°＝－3＋3×＝－.
答案：－
7．已知|a|＝5，|b|＝8，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的射影的数量等于________．
解析：|b|cos〈a，b〉＝8cos60°＝4，所以b在a方向上的射影的数量等于4.
答案：4
8．若四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝60°，则|＋|＝________.
解析：∵四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝60°，∴∠DCB＝60°，∴|＋|2＝||2＋||2＋2·＝12＋12＋2×1×1cos∠DCB＝3，∴|＋|＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算：
(1)(2a＋b)·(2a－b)；
(2)|4a－2b|.
解析：(1)(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)2－b2
＝4|a|2－|b|2＝4×42－82＝0.
(2)∵|4a－2b|2＝(4a－2b)2
＝16a2－16a·b＋4b2
＝16×42－16×4×8×cos60°＋4×82
＝256.
∴|4a－2b|＝16.
10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解析：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影为|a|cosθ＝－1，
∴cosθ＝－，∴θ＝.
(2)易知a·b＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
∴λ＝.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．(2015·高考四川卷)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝( )
A．20
B．15
C．9
D．6
解析：如图所示，由题设知：
＝＋＝＋，
＝－，
所以·＝·＝||2－||2＋·－·
＝×36－×16＝9.
答案：C
12．已知圆O是△ABC的外接圆，M是BC的中点，AB＝4，AC＝2，则·＝________.
解析：∵M是BC的中点，∴＝(＋)，又O是△ABC的外接圆圆心，∴·＝||||cos∠BAO＝||2＝8，同理可得·＝||2＝2，∴·＝(＋)·＝·＋·＝4＋1＝5.
答案：5
13．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：
(1)a与b的夹角；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．
解析：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝，
∴|a|2－|b|2＝.
∵|a|＝1，∴|b|＝＝.
设a与b的夹角为θ，则
cosθ＝＝＝，
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.
即a，b的夹角为45°.
(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝，
∴|a－b|＝.
∵(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝，
∴|a＋b|＝.
设a－b与a＋b的夹角为α，则
cosα＝＝＝.
即所求余弦值为.
14．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2.
(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．
解析：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以·＝0，
由＝2，得＝，＝＝－.
所以·＝(＋)·(＋)
＝·
＝2－·－2＝36－×81＝18.
(2)由题意，＝＋＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝－，
所以·＝·
＝2－·－2
＝36－·－18＝18－·.
又·＝6，
所以18－·＝6，
所以·＝36，
又·＝||·||cosθ＝9×6×cosθ＝54cosθ，
所以54cosθ＝36，即cosθ＝.
所以与夹角的余弦值为.课时作业21 两角差的余弦函数
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．cos65°cos35°＋sin65°sin35°等于( )
A．cos100° B．sin100°
C.
D.
解析：cos65°cos35°＋sin65°sin35°＝cos(65°－35°)＝cos30°＝.故选C.
答案：C
2．cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是( )
A．0
B.
C.
D．－
解析：原式＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°
＝cos(75°－15°)
＝cos60°＝.故选B.
答案：B
3．(2016·南关区校级三模)设α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α－β)＝，则cosβ等于( )
A.
B．－
C.或－
D.或
解析：因为α，β都是锐角，且cosα＝，
sin(α－β)＝，
所以sinα＝＝；
同理可得cos(α－β)＝，
所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝，故选A.
答案：A
4．cos165°的值是( )
A.
B.
C.
D.
解析：cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°
＝－cos(45°－30°)
＝－cos45°cos30°－sin45°sin30°
＝－×－×＝，
故选D.
答案：D
5．若α∈[0，π]，sinsin＋coscos＝0，则α的值是( )
A.
B.
C.
D.
解析：由已知得coscos＋sinsin＝0，即cos＝0，cosα＝0，又α∈[0，π]，所以α＝，选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．cos2
072°cos212°＋sin2
072°sin212°＝________.
解析：cos2
072°cos212°＋sin2
072°sin212°＝cos(2
072°－212°)＝cos1
860°＝cos60°＝
答案：
7.cos75°＋sin75°＝________.
解析：cos75°＋sin75°
＝cos30°cos75°＋sin30°sin75°
＝cos(30°－75°)
＝cos(－45°)＝.
答案：
8．已知sinα＝，α∈，则cos的值为________．
解析：∵sinα＝，α∈，
∴cosα＝－＝－＝－，
∴cos＝coscosα＋sinsinα＝×＋×＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．计算下列各式的值：
(1)cos56°cos26°＋sin56°sin26°；
(2)coscosθ＋sinsinθ.
解析：(1)cos56°cos26°＋sin56°sin26°
＝cos(56°－26°)＝cos30°＝.
(2)coscosθ＋sinsinθ
＝cos＝cos＝.
10．已知cos＋sinα＝，求cos的值．
解析：因为cos＋sinα＝cosα＋sinα＝，所以cosα＋sinα＝，所以cos＝cosα＋sinα＝.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0和cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值是( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：由已知得，－sinγ＝sinα＋sinβ，①
－cosγ＝cosα＋cosβ，②
①2＋②2得，1＝1＋1＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ，化简得cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，即cos(α－β)＝－，故选C.
答案：C
12．(2016·张家港市校级模拟)已知0解析：由题意可得
tanxtany＝＝2，
解得cosxcosy＝，
故cos(x－y)＝cosxcosy＋sinxsiny＝＋＝，
又0所以x－y＝.
答案：
13．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
解析：由cosα＝，0<α<，
得sinα＝＝＝，
由0<β<α<，得0<α－β<.
又因为cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝＝＝.
由β＝α－(α－β)得
cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝，所以β＝.
14．若x∈，且sinx＝，求2cos＋2cosx的值．
解析：∵x∈，sinx＝，∴cosx＝－.
∴2cos＋2cosx
＝2＋2cosx
＝2＋2cosx
＝sinx＋cosx
＝－＝.课时作业18 平面向量数量积的坐标表示
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( )
A．－8
B．－6
C．6
D．8
解析：由题可得a＋b＝(4，m－2)，又(a＋b)⊥b，∴4×3－2×(m－2)＝0，∴m＝8.故选D.
答案：D
2．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m的值为( )
A．2
B．－
C．0
D.
解析：由题意得|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m＝2cos，解得m＝，选D.
答案：D
3．若a＝(2,1)，b＝(3,4)，则向量a在向量b方向上的射影的数量为( )
A．2
B．2
C.
D．10
解析：设a，b的夹角为θ，则|a|cosθ＝|a|·＝＝＝2.
答案：B
4．已知O为坐标原点，向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3,0)
B．(2,0)
C．(3,0)
D．(4,0)
解析：设点P的坐标为(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
∴当x＝3时，·有最小值1，
∴点P的坐标为(3,0)．
答案：C
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：设c＝(x，y)，则c＋a＝(1＋x,2＋y)，a＋b＝(3，－1)，由已知可得
解得即c＝.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，则m＝________.
解析：a＋b＝(m＋1，－3)＋(1，m－1)＝(m＋2，m－4)，
a－b＝(m＋1，－3)－(1，m－1)＝(m，－2－m)，
因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0，所以m2＋2m－m2＋2m＋8＝0，解得m＝－2.
答案：－2
7．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
解析：c＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，
设c，a的夹角为α，c，b的夹角为θ，
又因为cosα＝，cosθ＝，
由题意知＝，即＝.
解得m＝2.
答案：2
8.
如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设F(x,2)，
所以＝(，1)，＝(x,2)，＝(，0)，
所以·＝x＝，
所以x＝1，所以F(1,2)，
所以＝(1,2)－(，0)＝(1－，2)，
所以·＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解析：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2.
10．已知向量a＝(1，)，b＝(－2,0)．
(1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角；
(2)当t∈[－1,1]时，求|a－tb|的取值范围．
解析：(1)因为向量a＝(1，)，b＝(－2,0)，所以a－b＝(1，)－(－2,0)＝(3，)，
所以cos〈a－b，a〉＝＝＝.
因为〈a－b，a〉∈[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为.
(2)|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝42＋3.易知当t∈[－1,1]时，|a－tb|2∈[3,12]，所以|a－tb|的取值范围是[，2]．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．设点A(4,2)，B(a,8)，C(2，a)，O为坐标原点．若四边形OABC是平行四边形，则向量与之间的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵四边形OABC是平行四边形，∴＝即(4－0,2－0)＝(a－2,8－a)，∴a＝6.又∵＝(4,2)，＝(2,6)，
∴cos〈，〉＝＝＝，
又〈，〉∈[0，π]，∴与的夹角为.
答案：B
12．已知a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，则实数t＝________.
解析：因为a＝(4，－3)，b＝(2,1)，
所以a＋tb＝(2t＋4，t－3)，
所以(a＋tb)·b＝5t＋5.
又|a＋tb|＝
＝，
|b|＝，(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos45°，
所以5t＋5＝××，
整理得t2＋2t－3＝0，
解得t＝1或t＝－3，
经检验知t＝－3不成立，故t＝1.
答案：1
13．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解析：(1)由a＝(1,2)，得|a|＝＝，
又|c|＝2，所以|c|＝2|a|.
又因为c∥a，所以c＝±2a，
所以c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)因为a＋2b与2a－b垂直，
所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，将|a|＝，|b|＝代入，得a·b＝－.
所以cosθ＝＝－1，
又由θ∈[0，π]，得θ＝π，
即a与b的夹角为π.
14．已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．
解析：(1)∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
则·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.
设C点的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，从而有即∴C点的坐标为(0,5).＝(－2,4)，||＝＝2，
∴矩形ABCD的对角线的长度为2.课时作业9 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
解析：由最小正周期为，排除A、B；由初相为，排除C.
答案：D
2．要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin2x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：因为y＝sin＝sin2，所以将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，就可得到函数y＝sin2＝sin的图象．
答案：C
3．将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)的图象关于点对称
解析：函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度后，得到函数f(x)＝sin＝cosx的图象，f(x)＝cosx为偶函数，周期为2π；又因为f＝cos＝0，所以f(x)＝cosx的图象不关于直线x＝对称；又由f＝cos＝0，知f(x)＝cosx的图象关于点对称．故选D.
答案：D
4．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )
A. B.
C.
D.
解析：由题意得周期T＝2＝2π，
∴2π＝，即ω＝1，
∴f(x)＝sin(x＋φ)，
∴f＝sin＝±1.
∵0<φ<π，∴<φ＋<，
∴φ＋＝，∴φ＝.
答案：A
5．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上单调递增”的一个函数是( )
A．y＝sin
B．y＝cos
C．y＝sin
D．y＝cos
解析：由(1)知T＝π＝，ω＝2，排除A.由(2)(3)知x＝时，f(x)取最大值，验证知只有C符合要求．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数y＝sinx的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为________．
解析：将函数y＝sinx的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，所得函数解析式为y＝3sinx再把所得图象向右平移3个单位长度，所得函数解析式为y＝3sin(x－3)＝3sin.
答案：y＝3sin
7．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝________.
解析：依题意知＝－＝，所以T＝π，又T＝＝π，得ω＝2.
答案：2
8．如图所示的曲线是y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．
解析：由函数图象可知A＝2，T＝＝π，即＝π，故ω＝2.
又是五点法作图的第五个点，即
2×＋φ＝2π，则φ＝.故所求函数的解析式为y＝2sin.
答案：y＝2sin
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图像．
解析：(1)ω＝＝＝2.
(2)由(1)可知f(x)＝sin.列表：
2x－
0
π
2π
x
sin
0
1
0
－1
0
作图(如图所示)．
10．将函数y＝sin的图象先沿x轴向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，求与最终的图象对应的函数的解析式．
解析：将原函数的图象沿x轴向右平移个单位长度后，与其对应的函数的解析式为
y＝sin＝sin，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，则与其对应的函数的解析式为y＝sin.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与g(x)＝sin能构成“和谐”函数的是( )
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin＋2
解析：将函数g(x)图象上的所有的点向上平移2个单位长度，即得到函数f(x)＝sin(x＋)＋2的图象，故选D.
答案：D
12．关于函数f(x)＝2sin，以下说法：①其最小正周期为；②图象关于点对称；③直线x＝－是其一条对称轴．其中正确的序号是________．
解析：T＝＝，故①正确；
x＝时，
f(x)＝2sin
＝2sin＝0，
所以图象关于点对称，故②正确．
x＝－时，
f(x)＝2sin＝2sin＝2，
所以直线x＝－是其一条对称轴，故③正确．
答案：①②③
13．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．
解析：(1)由函数图象得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1.
将点代入得sin＝1，而－<φ<，
所以φ＝，因此函数的解析式为
f(x)＝sin.
(2)由于－π≤x≤－，－≤x＋≤，所以－1≤sin≤，
所以f(x)的取值范围是.
14．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝时，f(x)取得最大值3；当x＝π时，f(x)取得最小值－3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)若x∈时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m有两个零点，求实数m的取值范围．
解析：(1)由题意，易知A＝3，T＝2＝π，∴ω＝＝2.由2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z.
又∵－π<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝3sin.
(2)由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递减区间为
，k∈Z.
(3)由题意知，方程sin＝在区间上有两个实根．∵x∈，
∴2x＋∈，∴∈，
∴m∈[1＋3，7)．课时作业10 三角函数模型的简单应用
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是( )
A. B．50
C.
D．100
解析：T＝＝.
答案：A
2．已知A1，A2，…An为凸多边形的内角，且lgsinA1＋lgsinA2＋…＋lgsinAn＝0，则这个多边形是( )
A．正六边形
B．梯形
C．矩形
D．含锐角菱形
解析：由题意，得sinA1·sinA2·…·sinAn＝1，
∴sinA1＝sinA2＝…＝sinAn＝1，
∴A1＝A2＝…＝An＝90°.
根据多边形的内角和得n×90°＝(n－2)×180°，
解得n＝4.
答案：C
3.
如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3
B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5
D．ω＝，A＝5
解析：周期T＝15秒，ω＝＝.
答案：A
4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N
)
B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N
)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N
)
D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N
)
解析：令x＝3可排除D，令x＝7可排除B，由A＝＝2可排除C；或由题意，
可得A＝＝2，b＝7，周期T＝＝2×(7－3)＝8，∴ω＝.
∴f(x)＝2sin＋7.
∵当x＝3时，y＝9，
∴2sin＋7＝9，
即sin＝1.
∵|φ|<，∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N
)．
答案：A
5．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1]
B．[1,7]
C．[7,12]
D．[0,1]，[7,12]
解析：∵T＝12，∴＝，
从而可设y关于t的函数为y＝sin.
又t＝0时，y＝，即sinφ＝，不妨取φ＝，
∴y＝sin.
∴当2kπ－≤t＋≤2kπ＋(k∈Z)，即12k－5≤t≤12k＋1(k∈Z)时，该函数单调递增，
∵0≤t≤12，∴函数的单调递增区间为[0,1]，[7,12]．
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)的血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
解析：T＝＝(分)，
f＝＝80(次/分)．
答案：80
7．某城市一年中12个月的月平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的月平均气温为________℃.
解析：根据题意得28＝a＋A,18＝a＋Acos＝a－A，解得a＝23，A＝5，所以函数y＝23＋5cos，令x＝10，得y＝23＋5cos＝23＋5cos＝20.5.
答案：20.5
8．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是________．
解析：由y＝－sin的图象知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－＝，即t≥·＝·＝7.
答案：7
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80
mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P(t)＝115＋25sin(160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数P(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数P(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．
解析：(1)由于ω＝160π代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，
所以函数P(t)的周期为min.
(2)函数P(t)的频率f＝＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.
(3)列表：
t/min
0
P(t)/mmHg
115
140
115
90
115
描点、连线并左右扩展得到函数P(t)的简图如图所示．
(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80
mmHg相比较，此人血压偏高．
10．已知电流I(A)与时间t(s)的关系为I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)．
(1)如图所示的是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式；
(2)如果t在任意一段s的时间内，电流I都能取到最大值和最小值，那么ω的最小值是多少？
解析：(1)由图可知A＝300，周期T＝2＝，∴ω＝＝150π.
又当t＝时，I＝0，即sin＝0，
而|φ|<，∴φ＝.
故所求的函数解析式为I＝300sin(150πt＋)．
(2)依题意，周期T≤，即≤，
∴ω≥300π，
故ω的最小值为300π.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．初速度为v0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t是飞行的时间)为( )
A．y＝v0t
B．y＝v0tsinθ
C．y＝v0tsinθ－gt2
D．y＝v0tcosθ
解析：由速度的分解可知炮弹上升的初速度为v0sinθ.故炮弹上升的高度y＝v0tsinθ－gt2，故选C.
答案：C
12．一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．
解析：过O作水平面的垂线，垂足为Q，如图所示
由已知可得OQ＝3，OP＝6，
则cos∠POQ＝，即∠POQ＝60°，
则水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°，即个周期，
又由水轮每分钟转动4圈，可知周期是15秒，
故水轮上点P从水中浮现时开始到第一次达到最高点的用时为5秒．
答案：5
13．如图，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
解析：(1)设动物种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
则解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×(6－0)＝12，
所以ω＝＝，
所以y＝100sin＋800(t≥0)．
又当t＝6时，y＝900，
所以900＝100sin＋800，
所以sin(π＋φ)＝1，所以sinφ＝－1，
所以取φ＝－，
所以y＝100sin＋800.
(2)当t＝2时，y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
14．某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据.
t/小时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Asinωt＋b的图象．
(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式．
(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)
解析：(1)由已知数据，描出曲线如图：
易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，
∴ω＝＝，∴y＝3sint＋10.
(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米，
由y≥11.5，得3sint＋10≥11.5，
∴sint≥.①
∵0≤t≤24，
∴0≤t≤4π.②
由①②得≤t≤或≤t≤.
化简得1≤t≤5或13≤t≤17.
∴该船最早能在凌晨1点进港，5点出港或在13点进港，17点出港．每次至多可以在港内停留4小时．课时作业3 任意角的正弦函数、余弦函数的定义
单位圆与周期性
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．cos的值为( )
A．－ B.
C.
D．－
解析：－π的终边与π的终边重合，
故cos＝cos＝－.
答案：D
2．(2014·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：记P(－4,3)，则x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝＝5，故cosα＝＝＝－，故选D.
答案：D
3．若sinα>0，cosα<0，则α的终边所在象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：∵sinα>0，∴α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴上．∵cosα<0，∴α的终边在第二或第三象限或x轴的非正半轴上，综上可知，α的终边在第二象限．
答案：B
4．若点P的坐标为(cos2
016°，sin2
016°)，则点P在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：因为2
016°＝5×360°＋216°，所以角2
016°的终边在第三象限，所以cos2
016°<0，sin2
016°<0，所以点P在第三象限．
答案：C
5．有下列命题：①存在函数f(x)定义域中的某个自变量x0，使f(x0＋T)＝f(x0)，则f(x)为周期函数；②存在实数T，使得对f(x)定义域内的任意一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，则f(x)为周期函数；③周期函数的周期是唯一的．其中，正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①由周期函数的定义，可知f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意一个x都成立，且T≠0，故不正确；
②由周期函数的定义可知T≠0，故不正确；
③若T为周期，则f(x＋2T)＝f[(x＋T)＋T]＝f(x＋T)＝f(x)，所以2T也是周期，故不正确．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知角α为第二象限角，则化简的结果为________．
解析：因为角α为第二象限角，故sinα>0，cosα<0，因此＝|sinα－cosα|＝sinα－cosα.
答案：sinα－cosα
7．若α是第三象限角，则sin(cosα)·cos(sinα)________0.
解析：因为α是第三象限角，所以－1所以sin(cosα)<0，cos(sinα)>0，
所以sin(cosα)·cos(sinα)<0.
答案：<
8．已知角α的终边过点(－3cosθ，4cosθ)，其中θ∈，则cosα＝________.
解析：因为θ∈，所以cosθ<0，
所以点(－3cosθ，4cosθ)到原点的距离r＝5|cosθ|＝－5cosθ，所以cosα＝＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，求角α的正弦、余弦和正切值．
解析：因为角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，
所以r＝|a|，x＝a，y＝2a.
当a>0时，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝2；
当a<0时sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝2.
10．判断下列各式的符号：
(1)sin340°·cos265°；
(2)sin3·cos4·cos.
解析：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角．
所以sin340°<0，cos265°<0，所以sin340°·cos265°>0
(2)因为<3<π<4<π
所以sin3>0，cos4<0
因为－π＝－6π＋，
所以cos>0
所以sin3·cos4·cos<0
|能力提升|(20分钟，40分)
11．若sinαtanα<0，且<0，则角α是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析：由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，从而α是第二或第三象限角．
由<0可知cosα，tanα异号，从而α是第三或第四象限角．
综上可知，α是第三象限角．
答案：C
12．若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
解析：∵y＝3x，sinα<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上，
且m<0，n<0，n＝3m.
∴|OP|＝＝|m|＝－m＝.
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
13．计算：
(1)sin390°＋cos(－660°)＋3tan405°－cos540°；
(2)sin＋tanπ－2cos0＋tan－sin.
解析：(1)原式＝sin(360°＋30°)＋cos(－2×360°＋60°)＋3tan(360°＋45°)－cos(360°＋180°)＝sin30°＋cos60°＋3tan45°－cos180°＝＋＋3×1－(－1)＝5.
(2)原式＝sin＋tanπ－2cos0＋
tan－sin＝sin＋tanπ－2cos0＋tan－sin＝1＋0－2＋1－＝－.
14．已知角θ的终边不在坐标轴上，且|sinθcosθ|＋sinθcosθ＝0，试判断＋tanθ的符号．
解析：由|sinθcosθ|＋sinθcosθ＝0，得|sinθcosθ|＝－sinθcosθ.
因为角θ的终边不在坐标轴上，所以sinθcosθ<0.
所以tanθ<0，且<0，
所以＋tanθ<0.课时作业11 位移、速度和力 向量的概念
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列命题中，正确命题的个数是( )
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a共线的单位向量是.
A．3 B．2
C．1
D．0
解析：根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是或－，故④也是错误的．
答案：D
2．若a为任一非零向量，b的模为1，给出下列各式：
①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1.
其中正确的是( )
A．①④
B．③
C．①②③
D．②③
解析：①中，|a|的大小不能确定，故①错误；②中，两个非零向量的方向不确定，故②错误；④中，向量的模是一个非负实数，故④错误；③正确．选B.
答案：B
3．下列说法正确的是( )
A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行
B．终点相同的两个向量不共线
C．若|a|>|b|，则a>b
D．单位向量的长度为1
解析：A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．
答案：D
4．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
解析：由＝，知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形．又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形．
答案：C
5．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是( )
A.＝
B.∥
C．||＝||
D.＝
解析：由题图可知，||＝||，但、不共线，故≠，故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________.
解析：因为正方形的对角线长为2，所以||＝.
答案：
7．给出下列三个条件：①|a|＝|b|；②a与b方向相反；③|a|＝0或|b|＝0，其中能使a∥b成立的条件是________．
解析：由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即①不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即②能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是②③.
答案：②③
8．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
解析：∵A，B，C不共线，
∴与不共线．
又m与，都共线，
∴m＝0.
答案：0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a.
(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．
解析：(1)根据相等向量的定义，
所作向量b应与a同向，且长度相等，如图所示．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如图所示．
10．如图所示，在四边形ABCD中，＝，N、M分别是AD、BC上的点，且＝.求证：＝.
证明：∵＝，∴||＝||且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴||＝||且DA∥CB.
又∵与的方向相同，∴＝，∴||＝||.
同理可得，四边形CNAM是平行四边形，∴＝.
∴||＝||，∴||＝||，
又与的方向相同，∴＝.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是( )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰为模的倍
D.与不共线
解析：两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D中，所在直线平行，向量方向相同，故共线．
答案：D
12．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，则集合T有________个元素．
解析：以矩形ABCD的四个顶点及它的对角线交点O五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有20个．但这20个向量中有8对向量是相等的，其余12个向量各不相等，即为()、()，()，()，()，()，()，()，，，，，由元素的互异性知T中有12个元素．
答案：12
13．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量，，.
(2)求向量的模．
解析：(1)作出向量，，，如图所示：
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，
BC＝10
米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5
(米)．所以||＝5
米．
14．如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；(2)求||的最大值与最小值．
解析：(1)画出所有的向量，如图所示．
(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1和C2时，||取得最小值＝；
②当点C位于点C5和C6时，
||取得最大值＝.
∴||的最大值为，最小值为.课时作业7 正切函数的定义
正切函数的图像与性质
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数f(x)＝tan的最小正周期为( )
A. B.
C．π
D．2π
解析：函数f(x)＝tan(ωx＋φ)的周期是T＝，直接利用公式，可得T＝＝.
答案：A
2．函数y＝(－A．(－1,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1，＋∞)
解析：∵－答案：B
3．下列各式中正确的是( )
A．tan735°>tan800°
B．tan1C．tanD．tan解析：tan＝tan＝tan答案：D
4．函数y＝的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：要使函数有意义，只需logtanx≥0，即0答案：C
5．下列关于函数y＝tan的说法正确的是( )
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
解析：令kπ－答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数y＝tan(2x－)的定义域是________．
解析：因为2x－≠＋kπ(k∈Z) x≠＋(k∈Z)，所以定义域为.
答案：
7．不等式tan≥－1的解集是________．
解析：由正切函数图像知－＋kπ≤2x－<＋kπ，k∈Z，
所以≤x<π＋，k∈Z.
答案：，k∈Z
8．(2016·苏州五市四区联考)函数y＝tanx的值域是________．
解析：因为x∈，
所以tanx∈[－1，]．
答案：[－1，]
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求函数y＝tan的定义域、周期及单调区间．
解析：由x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋2kπ，k∈Z，
所以函数y＝tan的定义域为.T＝＝2π，
所以函数y＝tan的周期为2π.
由－＋kπ得－＋2kπ所以函数y＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．
10．求函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈的值域．
解析：∵－≤x≤，
∴－1≤tanx≤1.
令tanx＝t，则t∈[－1,1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．如果函数y＝tan(x＋φ)的图象经过点，那么φ可能是( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：∵y＝tan(x＋φ)的图象经过点，
∴tan＝0，即＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－，k∈Z，当k＝0时，φ＝－，故选A.
答案：A
12．已知函数y＝tanωx在内是单调减函数，则ω的取值范围是________．
解析：函数y＝tanωx在内是单调减函数，则有ω<0，且周期T≥－＝π，即≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω<0.
答案：[－1,0)
13．作出函数y＝tanx＋|tanx|的图像，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．
解析：y＝tanx＋|tanx|＝
其图象如图所示，
由图像可知，其定义域是(k∈Z)；值域是[0，＋∞)；单调递增区间是(k∈Z)；最小正周期T＝π.
14．已知函数f(x)＝3tan.
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)讨论f(x)的周期性，奇偶性和单调性．
解析：(1)由x－≠＋kπ，k∈Z，
得x≠2kπ＋π，k∈Z，
∴f(x)的定义域为，值域为R.
(2)f(x)为周期函数，由于f(x)
＝3tan＝3tan
＝3tan＝f(x＋2π)，所以最小正周期T＝2π.易知f(x)为非奇非偶函数．
由－＋kπ∴函数的单调递增区间为，k∈Z.课时作业22 两角和与差的正弦、余弦
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．sin105°的值为( )
A. B.
C.
D.
解析：sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝×＋×＝.
答案：D
2．化简cosx＋sinx等于( )
A．2cos
B．2cos
C．2cos
D．2cos
解析：cosx＋sinx＝2＝2
＝2cos.
答案：B
3．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sinBcosC，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解析：因为sin(B＋C)＝2sinBcosC，
所以sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，
即sinBcosC－cosBsinC＝0，所以sin(B－C)＝0，
所以B＝C.所以△ABC是等腰三角形．
答案：D
4．函数f(x)＝sinx－cos的值域为( )
A．[－2,2]
B．[－，]
C．[－1,1]
D.
解析：因为f(x)＝sinx－cos
＝sinx－cosxcos＋sinxsin
＝sinx－cosx＋sinx
＝
＝sin(x∈R)，
所以f(x)的值域为[－，]．
答案：B
5．已知cos＋sinα＝，则sin的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：因为cos＋sinα＝，
所以cosαcos＋sinαsin＋sinα＝，
所以cosα＋sinα＝，
即cosα＋sinα＝.
所以sin＝.
所以sin＝－sin(α＋)＝－.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．sin165°的值是________．
解析：sin165°＝sin(120°＋45°)＝sin120°cos45°＋cos120°sin45°＝·－·＝.
答案：
7．已知cos＝sin，则tanα＝________.
解析：cos＝cosαcos－sinαsin＝cosα－sinα，sin＝sinαcos－cosαsin＝sinα－cosα，
所以sinα＝cosα，
故tanα＝1.
答案：1
8．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，则sin＝________.
解析：sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα
＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα
＝sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝，
即sinβ＝－，
又β是第三象限角，
所以cosβ＝－，
所以sin＝sinβcos＋cosβsin＝×＋×＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．化简下列各式：
(1)sin＋2sin－cos；
(2)－2cos(α＋β)．
解析：(1)原式＝sinx·cos＋cosxsin＋2sinxcos－2cosx·sin－cos·cosx－sinsinx
＝sinx＋cosx＋sinx－cosx＋·cosx－sinx
＝sinx＋cosx＝0.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
10．已知α，β均为锐角，且sinα＝，cosβ＝，求α－β的值．
解析：因为α，β均为锐角，且sinα＝，cosβ＝，
所以cosα＝，sinβ＝.
所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
＝×－×＝－.
又因为α，β均为锐角，
所以－<α－β<.故α－β＝－.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,3cosA＋4sinB＝1，则C的大小为( )
A.
B.
C.或
D.或
解析：由已知可得(3sinA＋4cosB)2＋(3cosA＋4sinB)2＝62＋12，
即9＋16＋24sin(A＋B)＝37.
所以sin(A＋B)＝.所以在△ABC中sinC＝，所以C＝或C＝.又1－3cosA＝4sinB>0，所以cosA<.
又<，所以A>，所以C<，
所以C＝不符合题意，所以C＝.
答案：A
12．已知cos＋sinα＝，则sin的值是________．
解析：本题考查三角函数的诱导公式、和角公式以及计算能力．
∵cos＋sinα＝cosαcos＋sinαsin＋sinα
＝cosα＋sinα，∴cosα＋sinα＝，
∴cosα＋sinα＝，即sin＝.
又sin＝sin＝
－sin＝－.
答案：－
13．已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sinβ＝－，求sinα.
解析：因为α∈，
β∈，
所以α－β∈(0，π)．
因为cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝.
因为β∈，sinβ＝－，
所以cosβ＝.
所以sinα＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ
＝×＋×＝.
14．已知sin＝－，sin＝，其中<α<，<β<，求角α＋β的值．
解析：因为<α<，
所以－<－α<0.
因为<β<，
所以<＋β<.
由已知可得cos＝，
cos＝－，
则cos(α＋β)＝cos
＝coscos＋
sinsin
＝×＋×＝－.
因为<α＋β<π，
所以α＋β＝.课时作业5 正弦函数的图像
正弦函数的性质
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．点M在函数y＝sinx的图象上，则m等于( )
A．0 B．1
C．－1
D．2
解析：点M在y＝sinx的图象上，代入得－m＝sin＝1，∴m＝－1.
答案：C
2．函数y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致图象是( )
解析：列表
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
1－sinx
1
0
1
2
1
描点与选项比较，得选项B.
答案：B
3．用“五点法”作y＝2sin2x的图像时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π
B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
解析：由2x＝0，，π，，2π知五个点的横坐标是0，，，，π.
答案：B
4．函数y＝sin2x的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇函数又偶函数
D．非奇非偶
解析：f(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)．
∴为奇函数
答案：A
5．函数y＝4sinx＋3在[－π，π]上的递增区间为( )
A.
B.
C.
D.
解析：结合函数y＝4sinx＋3，x∈[－π，π]的图像可知，函数y＝4sinx＋3在[－π，π]上的单调递增区间为.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列说法正确的是________(只填序号)．
①y＝|sinx|的定义域为R；
②y＝3sinx＋1的最小值为1；
③y＝－sinx为奇函数；
④y＝sinx－1的单调递增区间为(k∈R)．
解析：当sinx＝－1时，y＝3sinx＋1的值为－2，②错误；y＝sinx－1的单调递增区间为(k∈R)，④错误．应填①③.
答案：①③
7．比较大小：sin________sin.
解析：∵sin＝sin，sin＝sin，
又0<<<，y＝sinx在上是增加的，
∴sin答案：<
8．函数y＝4sin(2x＋π)的图像关于________对称．
解析：由于y＝4sin(2x＋π)＝－4sin2x，所以函数为奇函数，因此它的图像关于原点对称．
答案：原点
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．利用“五点法”作出y＝sin的图象．
解析：列表如下：
x
π
2π
π
sin
0
1
0
－1
0
描点并用光滑的曲线连接起来．
10．根据正弦曲线求满足sinx≥－在[0,2π]上的x的取值范围．
解析：在同一坐标系内作出函数y＝sinx与y＝－的图象，如图所示．
观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sinx≥－的x∈∪，所以满足sinx≥－在[0,2π]上的x的范围是
.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知函数y＝sin是奇函数，则φ的值可以是( )
A．0
B．－
C.
D．π
解析：y＝sin为奇函数，则只需＋φ＝kπ，k∈Z，
从而φ＝kπ－，k∈Z.显然当k＝0时，φ＝－满足题意．
答案：B
12．已知定义在R上的偶函数f(x)是最小正周期为π的周期函数，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f的值是________．
解析：由已知，得f＝f＝f＝f＝sin＝.
答案：
13．求函数y＝1＋sin，x∈[－4π，4π]的单调减区间．
解析：y＝1＋sin＝－sin＋1.
由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)．
解得4kπ－≤x≤4kπ＋π(k∈Z)．
又∵x∈[－4π，4π]，
∴函数y＝1＋sin的单调减区间为，，.
14．求函数y＝3－2sinx的最值及取到最值时的自变量x的集合．
解析：∵－1≤sinx≤1，∴当sinx＝－1，x＝2kπ－，k∈Z，
即x＝4kπ－π，k∈Z，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；
当sinx＝1，x＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．课时作业24 二倍角的三角函数(一)
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2016·海淀区模拟)已知sin＝，则sin2x的值为( )
A. B.
C.
D.
解析：由已知得(cosx－sinx)＝，
两边平方得(1－sin2x)＝，
解得sin2x＝.故选D.
答案：D
2．函数y＝1－2cos2x的最小正周期是( )
A.
B.
C．π
D．2π
解析：y＝1－2cos2x＝－cos2x，其最小正周期是T＝＝π.故选C.
答案：C
3．(2016·赣州期中)若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：由cos2α＝1－2sin2α，得到sin2α＋cos2α＝1－sin2α＝，则sin2α＝，又α∈，所以sinα＝，则α＝，所以tanα＝tan＝.故选D.
答案：D
4．已知tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝.故选B.
答案：B
5．(2016·定西高三月考)已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝，则cos2α的值为( )
A．±
B.
C．－
D．－
解析：因为sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，
所以1＋2sinαcosα＝，
所以sin2α＝－，且sinα>0，cosα<0，
所以cosα－sinα＝－＝－，
所以cos2α＝(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝－.故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°)＝________.
解析：(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°)＝cos275°－sin275°＝cos150°＝－sin60°＝－.
答案：－
7．已知sin＋cos＝，那么sinθ＝________，cos2θ＝________.
解析：∵sin＋cos＝，
∴2＝，
即1＋2sincos＝，∴sinθ＝，
∴cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×2＝.
答案：
8．已知tanx＝2，则tan2＝________.
解析：∵tanx＝2，
∴tan2x＝＝－.
tan2＝tan
＝
＝＝－＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．化简：(1)－；
(2).
解析：(1)原式＝
＝＝tan2θ
(2)原式＝
＝
＝＝
＝1
10．已知α为第二象限角，且sinα＝，求的值．
解析：原式＝＝.
∵α为第二象限角，且sinα＝，
∴sinα＋cosα≠0，cosα＝－，
∴原式＝＝－.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知sin2α＝，则cos2＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵sin2α＝，∴cos2＝＝＝＝.
答案：A
12．若0<θ<，则化简－的结果是________．
解析：原式＝－
＝－
＝－.
因为θ∈，所以∈.
所以cos>sin>0，
所以原式＝sin＋cos－cos＋sin＝2sin.
答案：2sin
13．已知cos＝，≤α<，
求cos的值．
解析：∵≤α<，∴≤α＋<.
∵cos>0，∴<α＋<.
∴sin＝－
＝－＝－.
∴cos2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，
sin2α＝－cos＝1－2cos2
＝1－2×2＝.
∴cos＝cos2α－sin2α
＝×＝－.
14．已知α，β均为锐角，且tanα＝7，cosβ＝，求α＋2β的值．
解析：∵β为锐角且cosβ＝，
∴sinβ＝，
∴tanβ＝＝，
∴tan2β＝＝＝>0，
∵0<2β<π，
∴0<2β<，
∵tanα＝7，
∴tan(α＋2β)＝
＝＝－1，
∵α∈，
∴α＋2β∈(0，π)，∴α＋2β＝π.课时作业8 正切函数的诱导公式
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．tan(－600°)的值为( )
A．－ B.
C．－
D.
解析：tan(－600°)＝－tan600°＝－tan(180°×3＋60°)＝－tan60°＝－.
答案：C
2．求值：sin690°＋tan765°＝( )
A．－
B．1
C.
D.
解析：原式＝sin(360°＋330°)＋tan(720°＋45°)
＝sin330°＋tan45°＝sin(360°－30°)＋1
＝－sin30°＋1＝.
答案：C
3．已知角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0)，则tan(180°－α)的值是( )
A．－
B．－
C．±
D．±
解析：∵角α终边上有一点P(5n,4n)，∴tanα＝.
∴tan(180°－α)＝－tanα＝－.
答案：A
4．化简等于( )
A．cosα
B．－sinα
C．－cosα
D．sinα
解析：原式＝
＝
＝－sinα.
故选B.
答案：B
5．(2016·西南一中高一测试)已知tan(243°－α)＝，那么tan(－927°－α)的值为( )
A.
B．－
C．－3
D．±3
解析：tan(243°－α)＝tan(180°＋63°－α)
＝tan(63°－α)
＝，
而(27°＋α)＋(63°－α)＝90°，
所以tan(27°＋α)＝3，
所以tan(－927°－α)＝－tan(927°＋α)
＝－tan(5×180°＋27°＋α)
＝－tan(27°＋α)
＝－3.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．sin(π＋α)＝，α∈，则tanα等于________．
解析：∵sin(π＋α)＝－sinα＝，∴sinα＝－.
又α∈，∴α＝－，∴tanα＝－.
答案：－
7．若tan＝5，则tan的值是________．
解析：∵tan＝－tan＝5，
故tan＝tan＝－5.
答案：－5
8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数且在区间[0，＋∞)上是增加的，令a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是________．(按从小到大顺序填写)
解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x)．
所以b＝f
＝f
＝f
＝f，
c＝f
＝f
＝f
＝f.
又因为f(x)在[0，＋∞)上是增加的，
且tanπ>sinπ>cosπ，
所以f>f>f，
即c>a>b.
答案：b三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列各式的值：
(1)cos＋tan；
(2)sin810°＋tan765°＋tan1
125°＋cos360°.
解析：(1)cos＋tan＝cos＋tan
＝cos＋tan＝＋1＝.
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(0°＋360°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0°＝4.
10．利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小．
(1)tan与tan；
(2)tan2与tan9.
解析：(1)∵tan＝tan
＝tan，
tan＝tan＝tan，
又函数y＝tanx在上是增函数，
而－<－<<，∴tan即tan(2)∵tan9＝tan(9－2π)，而<2<9－2π<π，
函数y＝tanx在上是增函数，
∴tan2|能力提升|(20分钟，40分)
11．设tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
A.
B.
C．－1
D．1
解析：因为tan(5π＋α)＝m，
所以tanα＝m.
所以
＝
＝
＝
＝
＝.
故选A.
答案：A
12．已知x，y都是实数且(x－2)2＋(y＋1)2＝0，则xcos＋ytan的值为________．
解析：由(x－2)2＋(y＋1)2＝0，得x＝2且y＝－1.
所以xcos＋ytan
＝xcos＋ytan
＝xcos＋ytan
＝x＋y
＝×2－1
＝0.
答案：0
13．(2016·六安二中高一月考)化简：
.
解析：原式＝
＝
＝＝－1.
14．已知角α的终边经过点P(－3,4)．
(1)求的值；
(2)求sin·的值．
解析：由角α的终边过点P(－3,4)知，
sinα＝＝，
cosα＝＝－，
tanα＝＝－.
(1)
＝
＝
＝－.
(2)sin·
＝cosα(sinα＋2cosα)
＝×＋2×2＝.课时作业1 周期现象 角的概念的推广
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．观察“ABCDABCDAB…”，寻找规律，则第20个字母是( )
A．A B．B
C．C
D．D
解析：周期是4,20＝5×4，所以第20个字母是D.
答案：D
2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )
A．120°
B．－120°
C．240°
D．－240°
解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D.
答案：D
3．若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，给出下列四个命题：
①0°角是第一象限角；②相等的角的终边一定相同；③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．
其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：0°角是轴线角而不是象限角，①不正确；②显然正确；终边相同的角有无限多个，并且相差360°的整数倍，所以③正确；－30°角是第四象限角，故④正确．
答案：C
4．若α为锐角，则下列各角中一定为第四象限角的是( )
A．90°－α
B．90°＋α
C．360°－α
D．180°＋α
解析：∵0°<α<90°，∴270°<360°－α<360°，故选C.
答案：C
5．若角α与角β的终边关于y轴对称，则必有( )
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
C．α＋β＝k·360°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)180°(k∈Z)
解析：α与β的终边关于y轴对称，则α与180°－β终边相同，故α＝180°－β＋360°·k，即α＋β＝(2k＋1)·180°，k∈Z.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若角α的终边与75°角的终边关于直线y＝0对称，且0°<α<360°，则角α的值为________．
解析：
如图，设75°角的终边为射线OA，射线OA关于直线y＝0对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．又0°<α<360°，令k＝1，得α＝285°.
答案：285°
7．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，则角α＝________.
解析：由条件知，2α＝α＋k·360°，
所以α＝k·360°(k∈Z)，
因为α∈[0°，360°)，所以α＝0°.
答案：0
8．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________．
解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
答案：{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．判断下列现象是否为周期现象．
(1)钟表的秒针的运动；
(2)地球的自转；
(3)物理学中的单摆运动；
(4)连续地抛掷一枚硬币，面值朝上记为0，面值朝下记为1,0和1的出现．
解析：(1)钟表的秒针每一分钟转一圈，并且每一分钟总是重复前一分钟的动作，因此它是周期现象．
(2)地球的自转为每24小时转一圈，并且每24小时总是重复前一个24小时的动作，因此地球的自转是周期现象．
(3)物理学中单摆的运动，完成一个来回之后，以后的运动都是有规律地重复这一动作，因此它是周期现象．
(4)在抛掷硬币的过程中，0和1的出现虽然可能重复，但没有规律(数学中称之为随机现象)，因此它不是周期现象．
10．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
解析：(1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由(1)得终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，
则终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．
(3)终边落在直线ON上的角的集合为
C＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，
则终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S＝{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．若角α与65°角的终边相同，角β与－115°角的终边相同，那么α与β之间的关系是( )
A．α＋β＝－50°
B．α－β＝180°
C．α＋β＝k·360°＋180°(k∈Z)
D．α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)
解析：由题意可知，α＝k1·360°＋65°(k1∈Z)，β＝k2·360°－115°(k2∈Z)，所以α－β＝(k1－k2)·360°＋180°，记k＝k1－k2∈Z，故α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)．
答案：D
12．如图所示，终边落在直线y＝x上的角的集合为________．
解析：终边落在射线y＝x(x>0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是终边落在直线y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．
答案：{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}
13．已知α＝－1
910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
解析：(1)因为－1
910°÷360°＝－6余250°，
所以－1
910°＝－6×360°＋250°.
(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，
因为－720°≤θ<0°，
所以－720°≤250°＋k·360°<0°，
即－≤k<－，
因为k∈Z，所以k＝－1或－2.
即250°＋(－1)·360°＝－110°，250°＋(－2)·360°＝－470°.
14．已知α是第四象限角，则2α，各是第几象限角？
解析：由题意知k·360°＋270°<α因此2k·360°＋540°<2α<2k·360°＋720°(k∈Z)，
即(2k＋1)360°＋180°<2α<(2k＋1)360°＋360°(k∈Z)，
故2α是第三象限角或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．
又k·180°＋135°<当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，则n·360°＋135°<当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，则n·360°＋315°<因此是第二象限角或第四象限角．课时作业12 向量的加法
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于( )
A. B.
C.
D.
解析：因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋＝＋＝.故选A.
答案：A
2．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度等于( )
A．2
B．4
C．12
D．6
解析：因为＋＝，所以＋＋的长度为的模的2倍，故选B.
答案：B
3．如图在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A.＋＝0
B.＋＝
C.＋＝
D.＋＝0
解析：由||＝||，且与的方向相反，知与是一对相反向量，因此有＋＝0，故选项A正确；
由向量加法的平行四边形法则知＋＝，故选项B正确；
由－＝，得＝＋，故选项C错误；
与是一对相反向量，故＋＝0，故选项D正确．
答案：C
4．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：＋＋＝＋＋＝.
答案：B
5．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A．1
B．2
C．3
D．2
解析：由正六边形知＝，
所以＋＋＝＋＋＝，
所以|＋＋|＝||＝2.故选B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．化简(＋)＋(＋)＋＝________.
解析：原式＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝.
答案：
7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________.
解析：在菱形ABCD中，连接BD，
∵∠DAB＝60°，∴△BAD为等边三角形，
又∵||＝1，∴||＝1，
|＋|＝||＝1.
答案：1
8．小船以10
km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10
km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h.
解析：如图，设船在静水中的速度为|v1|＝10
km/h，河水的流速为|v2|＝10
km/h，小船实际航行速度为v0，则由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，得(10)2＋102＝|v0|2，所以|v0|＝20
km/h，即小船实际航行速度的大小为20
km/h.
答案：20
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1)＋；
(2)＋.
解析：(1)由图可知，四边形OABC为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.
(2)由图可知，＝＝＝，所以＋＝＋＝.
10．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.
解析：如图，∵||＝||＝3，
∴四边形OACB为菱形．
连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D.
∵∠AOB＝60°，∴AB＝||＝3.
∴在Rt△BDC中，CD＝.
∴||＝|a＋b|＝×2＝3.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a＝＋，则a与长度相等，方向相同，所以a＝.
答案：C
12．如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则在下列结论中正确的是________．
①|＋|＝||；
②|＋|＝||；
③||2＋||2＝||2.
解析：①正确．以AB，AC为邻边作 ABDC，又∠A＝90°，
所以 ABDC为矩形，所以AD＝BC，
所以|＋|＝||＝||.
②正确．|＋|＝||＝||.
③正确．由勾股定理知||2＋||2＝||2.
答案：①②③
13．如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．
解析：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝，因为e为单位向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，
||即|a＋e|最大，最大值是3.
14．如图，在重300
N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．
解析：如图，作 OACB，
使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.
设向量，分别表示两根绳子的拉力，则表示物体所受的重力，且||＝300
N.
所以||＝||cos30°＝150(N)，
||＝||cos60°＝150
(N)．
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150
N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150
N.课时作业19 向量应用举例
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知平面内四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为( )
A．菱形 B．梯形
C．矩形
D．平行四边形
解析：由题意知a－b＝d－c，
∴＝，
∴四边形ABCD为平行四边形．故选D.
答案：D
2．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1与F2的夹角为60°，且F1，F2的大小分别为2
N和4
N，则F3的大小为( )
A．6
N
B．2
N
C．2
N
D．2
N
解析：由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3|2＝|－F1－F2|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1|·|F2|·cos60°＝22＋42＋2×2×4×＝28，所以|F3|＝2
N.
答案：D
3．河水的流速为2
m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10
m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10
m/s
B．2
m/s
C．4
m/s
D．12
m/s
解析：由题意知|v水|＝2
m/s，|v船|＝10
m/s，作出示意图如右图．
∴小船在静水中的速度大小|v|＝＝＝2
(m/s)．
答案：B
4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：因为＝－＝－，
所以2＝2＝2－·＋2，
即2＝1，所以||＝2，即AC＝2.
答案：B
5．在△ABC中，有下列四个命题：
①－＝；
②＋＋＝0；
③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；
④若·>0，则△ABC为锐角三角形．
其中正确的命题有( )
A．①②
B．①④
C．②③
D．②③④
解析：因为－＝＝－≠，所以①错误.＋＋＝＋＝－＝0，所以②正确．由(＋)·(－)＝2－2＝0，得||＝||，所以△ABC为等腰三角形，③正确.·>0 cosA>0，所以A为锐角，但不能确定B，C的大小，所以不能判定△ABC是否为锐角三角形，所以④错误．故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.
如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F做的功为________焦耳．
解析：设小车位移为s，则|s|＝10米，
WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×＝50(焦耳)．
答案：50
7．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P0的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为________．
解析：由题意知，＝5v＝(20，－15)，
设点P的坐标为(x，y)，则
解得点P的坐标为(10，－5)．
答案：(10，－5)
8．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40
m/s，则鹰的飞行速率为________．
解析：设鹰的飞行速度为v1，鹰在地面上的影子的速度为v2，则|v2|＝40
m/s，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故|v1|＝＝
(m/s)．
答案：
(m/s)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．
证明：设＝a，＝b，
则＝－＝－a＝b－a，
＝－＝b－＝b－a，
所以＝，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．
10．如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800
km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
解：设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km，从B地按南偏东55°的方向飞行800
km，
则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和指的是＋＝，
依题意有||＋||＝800＋800＝1
600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝
＝＝800
(km)，
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°，从而飞机飞行的路程是1
600
km，两次飞行的位移和的大小为800
km，方向为北偏东80°.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．在 ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为( )
A．1
B.
C.
D.
解析：设AB的长为a(a>0)，
因为＝＋，＝＋＝－，
所以·＝(＋)·＝·－2＋2＝－a2＋a＋1.
由已知，得－a2＋a＋1＝1.
又因为a>0，所以a＝，即AB的长为.
答案：B
12．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，则△APB的面积与△APC的面积之比为________．
解析：5＝＋2，
2－2＝－－2，
－2(＋)＝，如图所示，以PA，PB为邻边作 PAEB，
则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则＝2＝4，
所以＝＝＝
答案：1?2
13.
如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
证明：
以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系．令||＝1，则||＝1，||＝2.
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形，
∴可求得各点坐标分别为：
E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴∥，即DE∥BC.
(2)连接MD，MB，∵M为EC的中点，
∴M，∴＝(－1,1)－＝，
＝(1,0)－＝.
∵＝－，∴∥.
又MD与MB有公共点M，
∴D，M，B三点共线．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.
求：(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
解析：(1)设＝a，＝b，
则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
所以||2＝2＝2＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos120°＋×9＝3.
故AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，
则θ为向量与的夹角．
因为cosθ＝＝＝＝＝0，
所以θ＝90°，
即∠DAC＝90°.课时作业16 平面向量的坐标
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则2＋的坐标是( )
A．(1，－2)
B．(7,6)
C．(5,0)
D．(11,8)
解析：因为＝(4,2)，＝(3,4)，
所以2＋＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．
答案：D
2．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝( )
A．(1，－2)
B．(1,2)
C．(5,6)
D．(2,0)
解析：b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
答案：A
3．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝( )
A．(－2，－2)
B．(2,2)
C．(1,1)
D．(－1，－1)
解析：＝(－)＝(－2，－2)＝(－1，－1)．故选D.
答案：D
4．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A.
B.
C．(3,2)
D．(1,3)
解析：设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故解得
即点D，故选A.
答案：A
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值是( )
A．－
B．－
C．－
D．－
解析：v＝2(1,2)－(0,1)＝(2,3)，u＝(1,2)＋k(0,1)＝(1,2＋k)．因为u∥v，所以2(2＋k)－1×3＝0，解得k＝－.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为________．
解析：设O为坐标原点，因为＝(－1，－5)，＝3a＝(6,9)，故＝＋＝(5,4)，故点B的坐标为(5,4)．
答案：(5,4)
7．已知A(－1,2)，B(2,8)．若＝，＝－，则的坐标为________．
解析：＝＝(3,6)＝(1,2)，
＝－＝－(3,6)＝(－2，－4)，
＝＋＝(－1，－2)，
∴＝(1,2)．
答案：(1,2)
8．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．
解析：因为向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，所以2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－c.
(1)求p的坐标
；
(2)若以a，b为基底，求p的表达式．
解析：(1)p＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．
(2)设p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，
所以
所以所以p＝－a－15b.
10．如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0,0)，B(3,1)，C(4,3)，D(1,2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线．
解析：由已知可得M(2.5,2.5)，N(1.5,0.5)，
所以＝(2.5,2.5)，＝(－2.5，－2.5)，
又2.5×(－2.5)－2.5×(－2.5)＝0，所以，共线．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m?n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a?b，那么向量b等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a?b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝.
答案：A
12．已知点A(－1,6)，B(3,0)，在直线AB上有一点P，且||＝||，则点P的坐标为________．
解析：设P点坐标为(x，y)，
当＝时，则(x＋1，y－6)＝(4，－6)，得
解得
所以P点坐标为.
当＝－时，同理可得，P点的坐标为，所以点P的坐标为或.
答案：或
13．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
解析：(1)设B(x1，y1)，
因为＝(4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以
所以
所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1.
所以M.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以所以
14．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解析：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
因为ka－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，得k＝－.
(2)因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，λ∈R，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以解得m＝.课时作业14 数乘向量
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列计算正确的个数是( )
(1)0a＝0；
(2)a＋0＝a；
(3)(2a＋b)－(a－b)＝a.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：(1)错，0a＝0，(2)对，(3)错，根据向量的运算可得(2a＋b)－(a－b)＝a＋2b.
答案：B
2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )
A．－1或3
B.
C．－1或4
D．3或4
解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
答案：A
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则( )
A.＝2
B.＝
C.＝3
D．2＝
解析：因为D是BC的中点，所以＋＝2，所以2＋2＝0，所以＝－，所以＝.
答案：B
4．设a，b不共线，＝a＋kb，＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有( )
A．k＝m
B．km－1＝0
C．km＋1＝0
D．k＋m＝0
解析：若A，B，C三点共线，则与共线，
∴存在唯一实数λ，使＝λ，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，∴
∴km＝1，即km－1＝0.
答案：B
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b
B.a＋b
C．a＋b
D．a＋b
解析：由已知条件可知BE＝3DE，所以DF＝AB，所以＝＋＝＋＝a＋b.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.
解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0所以x＝4b－3a.
答案：4b－3a
7．已知＝＋.设＝λ，那么实数λ的值是________．
解析：∵＝λ，∴－＝λ(－)，即＝λ＋(1－λ)，又∵＝＋，∴λ＝.
答案：
8．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.
解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
所以ka＋2b＝λ(8a＋kb) k＝8λ，2＝λk k＝－4(因为方向相反，所以λ<0 k<0)．
答案：－4
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．计算
(1)(a＋2b)＋(3a－2b)－(a－b)；
(2)－.
解析：(1)原式＝a＋b
＝a＋b.
(2)原式＝－
＝a＋b－a－b＝0.
10．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠1，λ≠0)．
(1)求证：A，B，M三点共线．
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
解析：(1)因为＝λ＋(1－λ)，所以＝λ＋－λ，
－＝λ－λ，即＝λ，又λ∈R，λ≠1，λ≠0且，有公共点A，所以A，B，M三点共线．
(2)由(1)知＝λ，若点B在线段AM上，
则，同向且||>||(如图所示)，所以λ>1.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知a，b是两个不共线的向量，＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若A，B，C三点共线，则( )
A．λ1＝λ2＝－1
B．λ1＝λ2＝1
C．λ1λ2＋1＝0
D．λ1λ2－1＝0
解析：若A，B，C三点共线，则，共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，即(1－λλ1)a＋(λ2－λ)b＝0，由于a，b不共线，所以1＝λλ1且λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.
答案：D
12．如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝________.
解析：直接利用向量共线定理，得＝3，则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，＝－＋，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.
答案：－2
13．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)用e、f表示；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
解析：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，所以与方向相同，且的长度为的长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
14．如图所示，在△ABC中，点D是边BC的中点，A，D，E三点共线，求证：存在一个实数λ，使得＝λ(＋)．
证明：由向量加法的平行四边形法则可知＝(＋)．
因为A，D，E三点共线，
所以可设＝μ，
则＝(＋)．
令λ＝，可得＝λ(＋)．
所以，存在一个实数λ，使得＝λ(＋)．课时作业6 余弦函数的图像
余弦函数的性质
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．对于余弦函数y＝cosx的图象，有以下三项描述：
(1)向左向右无限延伸；
(2)与x轴有无数多个交点；
(3)与y＝sinx的图象形状一样，只是位置不同．
其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个
D．3个
解析：如图所示为y＝cosx的图象．
可知三项描述均正确．
答案：D
2．函数y＝sin是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析：y＝sin
＝sin
＝－sin＝－cos2
010x，
所以为偶函数．
答案：B
3．函数y＝cosx－2在x∈[－π，π]上的图像是( )
解析：把y＝cosx，x∈[－π，π]的图像向下平移2个单位长度即可．
答案：A
4．若f(x)＝cosx在[－b，－a]上是增加的，则f(x)在[a，b]上是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．减少的
D．增加的
解析：f(x)＝cosx是偶函数，偶函数在对称的区间上单调性相反．
答案：C
5．函数y＝|cosx|的一个单调递减区间是( )
A.
B.
C.
D.
解析：作出函数y＝|cosx|的图像(图略)，由图像可知A，B都不是单调区间，D为单调递增区间，C为单调递减区间，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．f(x)＝sinxcosx是________(填“奇”或“偶”)函数．
解析：x∈R时，f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx＝－f(x)，即f(x)是奇函数．
答案：奇
7．函数y＝cos的最小正周期是________．
解析：∵y＝cos，∴T＝＝2π×＝4.
答案：4
8．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝则f＝________.
解析：f＝f＝f＝
sin＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．根据y＝cosx的图象解不等式：－≤cosx≤，x∈[0,2π]．
解：函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为
.
10．画出函数y＝3＋2cosx的简图．
(1)求使此函数取得最大值、最小值的自变量x的集合并分别写出最大值、最小值．
(2)讨论此函数的单调性．
解析：按五个关键点列表如下．
x
0
π
2π
cosx
1
0
－1
0
1
y＝3＋2cosx
5
3
1
3
5
描点画出图像(如图)．
(1)当cosx＝1，即x∈{x|x＝2kπ，k∈Z}时，
ymax＝3＋2＝5，
当cos
x＝－1，即x∈{x|x＝(2k＋1)π，k∈Z}时，
ymin＝3－2＝1.
(2)令t＝cosx，则y＝3＋2t，
因为函数y＝3＋2t当t∈R时是增加的，
所以当x∈[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)时，函数y＝cosx是增加的，y＝3＋2cosx也是增加的，当x∈[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)时，函数y＝cosx是减少的，y＝3＋2cosx也是减少的．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )
A．4
B．8
C．2π
D．4π
解析：依题意，由余弦函数图像关于点和点成中心对称，可得y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成的封闭图形的面积为2π×2＝4π.
答案：D
12．(2016·江苏太仓月考)若函数f(x)的定义域为[0,1]，则f(cosx)的定义域为________．
解析：由题意，知0≤cosx≤1，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
答案：(k∈Z)
13．比较下列各组数的大小：
(1)cos与cos；
(2)sin194°与cos160°.
解析：(1)cos＝cos，
cos＝cos＝cos，
∵0<<<π，
函数y＝cosx在(0，π)上是减函数，
∴cos>cos，
即cos>cos.
(2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，
cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.
∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°从而－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.
14．已知函数y＝－cos2x＋acosx－a－的最大值为1，求a的值．
解析：y＝－cos2x＋acosx－a－
＝－2＋－－.
∵－1≤cosx≤1，于是
①当<－1，即a<－2时，当cosx＝－1时，
ymax＝－a－.
由－a－＝1，得a＝－>－2(舍去)；
②当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，
当cosx＝时，ymax＝－－.
由－－＝1，得a＝1－或a＝1＋(舍去)；
③当>1，即a>2时，当cosx＝1时，ymax＝－.
由－＝1，得a＝5.
综上可知，a＝1－或a＝5.课时作业23 两角和与差的正切函数
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．tan285°的值等于( )
A．2＋ B．2－
C．－2－
D．－2＋
解析：tan285°＝tan(360°－75°)
＝－tan75°＝－tan(45°＋30°)
＝－
＝－＝－2－.
答案：C
2.等于( )
A.
B.
C．tan6°
D.
解析：∵＝tan(27°＋33°)＝tan60°，
∴原式＝＝.
答案：A
3．已知tanα＝，tan(α－β)＝－，那么tan(β－2α)的值为( )
A．－
B．－
C．－
D.
解析：tan(β－2α)＝－tan(2α－β)
＝－tan[α＋(α－β)]＝－
＝－＝－.
答案：B
4．若＝，则tan＝( )
A．－2
B．2
C．－
D.
解析：因为＝，
所以＝，
因为＝
＝－tan＝，
所以tan＝－.
答案：C
5．在△ABC中，若A为钝角，则tanBtanC的值为( )
A．大于0且小于1
B．等于1
C．大于1
D．不能确定
解析：因为A为钝角，所以B＋C为锐角，所以B、C均为锐角，所以tanB>0，tanC>0，tan(B＋C)>0，即>0，故0答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．(2015·高考江苏卷)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为________．
解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝3.
答案：3
7．已知tan(α＋β)＝3，tan＝2，那么tanβ＝________.
解析：tan＝＝2，
则tanα＝，
又tan(α＋β)＝＝3，
所以tanβ＝.
答案：
8．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ＝________.
解析：因为tan(α＋β)＝，
所以1－tanαtanβ＝＝＝，
所以tanα·tanβ＝1－＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知直线l1：x－2y＋1＝0，倾斜角为α，直线l2：x＋3y－1＝0，倾斜角为β，求β－α.
解析：由题意可知，tanα＝，tanβ＝－，
所以0<α<，<β<π.
所以0<β－α<π，
所以tan(β－α)＝＝＝－1，
所以β－α＝.
10．已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求tanβ的值．
解析：(1)因为tan(π＋α)＝－，
所以tanα＝－，
因为tan(α＋β)＝
＝，
所以tan(α＋β)＝＝.
(2)因为tanβ＝tan[(α＋β)－α]
＝，
所以tanβ＝＝.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)的值为( )
A．16
B．8
C．4
D．2
解析：由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，利用两角和的正切公式及其变形可得(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝2，(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2，
故(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)＝4.
答案：C
12.＝________.
解析：因为tan18°＋tan42°＋tan120°
＝tan60°(1－tan18°tan42°)＋tan120°
＝－tan60°tan18°tan42°，
所以原式＝－1.
答案：－1
13．已知tan＝2，tanβ＝，
求的值．
解析：由tan＝＝2，
解得tanα＝.
所以
＝
＝＝
＝tan(β－α)＝
＝＝.
14.
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边的两个锐角为α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点，已知A，B两点的横坐标分别是和.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解析：(1)由单位圆中三角函数的定义，可得cosα＝，cosβ＝.
由于α，β为锐角，所以sinα＝＝，sinβ＝＝.从而tanα＝7，tanβ＝，所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)因为tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝－1，又0<α<，0<β<，所以0<α＋2β<，
从而α＋2β＝.课时作业4 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
单位圆的对称性与诱导公式
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．tan＝( )
A．－ B.
C．－
D.
解析：tan＝tan(π＋)＝tan＝.
答案：B
2．下列式子中正确的是( )
A．sin(π－α)＝－sinα
B．cos(π＋α)＝cosα
C．cosα＝sinα
D．sin(2π＋α)＝sinα
解析：对于选项A，令α＝，得sin(π－α)＝sin＝1≠－sin，所以A错误；对于选项B，令α＝0，得cos(π＋α)＝cosπ＝－1≠cos0，所以B错误；对于选项C，令α＝0，得cosα＝cos0＝1≠sin0，所以C错误．
答案：D
3．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )
A.
B．±
C.
D．－
解析：由cos(π＋α)＝－，得cosα＝，故sin(2π＋α)＝sinα＝－＝－(α为第四象限角)．
答案：D
4．下列式子与sin相等的是( )
A．sin
B．cos
C．cos
D．sin
解析：因为sin＝－sin＝－cosθ，
对于A，sin＝cosθ；
对于B，cos＝－sinθ；
对于C，cos＝cos
＝－cos＝－sinθ；
对于D，sin＝sin
＝－sin＝－cosθ.
答案：D
5．(2017·广州二测)已知cos＝，
则sin的值是( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：sin＝sin
＝cos＝.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．求值：(1)cos＝________；(2)tan(－225°)＝________.
解析：(1)cos＝cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(2)tan(－225°)＝tan(360°－225°)＝tan135°＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1.
答案：(1)－ (2)－1
7．若sin(－α)＝，α∈，则cos(π＋α)＝________.
解析：∵sin(－α)＝，∴sinα＝－.∵α∈，∴cosα＝＝，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－.
答案：－
8．已知cosα＝，则sin·costan(π－α)＝________.
解析：sincostan(π－α)
＝－cosαsinα(－tanα)＝sin2α＝1－cos2α
＝1－2＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列各三角函数值：
(1)sin；(2)cos；(3)tan(－855°)．
解析：(1)sin＝sin＝sinπ
＝sin＝－sin＝－.
(2)cos＝cos＝cosπ＝cos
＝－cos＝－.
(3)tan(－855°)＝tan(－3×360°＋225°)＝tan225°＝tan(180°＋45°)＝tan45°＝1.
10．化简：
(1)·sincos；
(2)sin(－α－5π)cos－sincos(α－2π)．
解析：
(1)原式＝·sin(－sinα)
＝·(－sinα)
＝·(－cosα)(－sinα)
＝－cos2α.
(2)原式＝sin(－α－π)cos＋cosαcos[－(2π－α)]
＝sin[－(α＋π)]cos＋cosαcos(2π－α)
＝－sin(α＋π)sinα＋cosαcosα
＝sin2α＋cos2α
＝1.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，x∈R，且f(2017)＝3，则f(2018)的值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：∵f(2017)＝asin(2017π＋α)＋bcos(2017π＋β)＋4＝3，
∴asin(2017π＋α)＋bcos(2017π＋β)＝－1，
∴f(2018)＝asin(2017π＋α＋π)－bcos(2017π＋β＋π)＋4＝－asin(2017π＋α)－bcos(2017π＋β)＋4＝1＋4＝5.
答案：C
12．已知f(α)＝，
则f的值为________．
解析：∵f(α)＝＝cosα，
∴f＝cos＝cosπ
＝cos＝cos＝.
答案：
13．已知
f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值．
解析：(1)f(α)＝＝－cosα
(2)因为α是第三象限角，且cos＝，
所以sinα＝－，cosα＝－，所以f(α)＝－cosα＝.
14．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解析：假设存在角α，β满足条件，
则①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴cos2α＝，∴cosα＝±.
∵α∈，∴cosα＝.由cosα＝，cosα＝cosβ，
得cosβ＝.∵β∈(0，π)，∴β＝，
∴sinβ＝，结合①可知sinα＝，
则α＝.故存在α＝，β＝满足条件．课时作业20 同角三角函数的基本关系
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知α是第二象限角，且cosα＝－，则tanα的值是( )
A. B．－
C.
D．－
解析：∵α为第二象限角，∴sinα＝＝＝，∴tanα＝＝＝－.
答案：D
2．下列结论中成立的是( )
A．sinα＝且cosα＝
B．tanα＝2且＝
C．tanα＝1且cosα＝±
D．sinα＝1且tanα·cosα＝1
解析：A中，sin2α＋cos2α＝≠1，故不成立；B中，＝，即tanα＝3，与tanα＝2矛盾，故不成立；D中，sinα＝1时，角α的终边落在y轴的非负半轴上，此时tanα无意义，故不成立．
答案：C
3．已知tanα＝2，则＝( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
解析：＝，把tanα＝2代入，
得原式＝3.
答案：D
4.cos2x＝( )
A．tanx
B．sinx
C．cosx
D.
解析：cos2x＝·cos2x＝cos2x＝.
答案：D
5．已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝( )
A．－1
B．－
C.
D．1
解析：由sinα－cosα＝ ①，两边平方得1－2sinαcosα＝2，即2sinαcosα＝－1，故(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝0，即sinα＋cosα＝0 ②，联立①②得sinα＝，cosα＝－，故tanα＝＝－1，故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝________.
解析：由已知得θ是第三象限角，
所以cosθ＝－＝－
＝－.
答案：－
7．已知sinαcosα＝，则sinα－cosα＝________.
解析：因为(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝0，所以sinα－cosα＝0.
答案：0
8．已知＝2，则sinαcosα的值为________．
解析：由＝2，得＝2，∴tanα＝3，∴sinαcosα＝＝＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知tanα＝3，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)sin2α＋cos2α.
解析：(1)∵tanα＝3，∴cosα≠0.
原式的分子、分母同除以cosα，得
原式＝＝＝.
(2)原式的分子、分母同除以cos2α，得
原式＝＝＝－.
(3)原式＝＝＝＝.
10．证明：·＝1.
证明：·
＝·
＝·
＝＝＝1.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．设A是△ABC的一个内角，且sinA＋cosA＝，则这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
解析：将sinA＋cosA＝两边平方得sin2A＋2sinAcosA＋cos2A＝，又sin2A＋cos2A＝1，故sinAcosA＝－.因为00，则cosA<0，即A是钝角．
答案：B
12．化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是________．
解析：原式＝sin2β＋cos2β(cos2β＋sin2β)
＝sin2β＋cos2β＝1.
答案：1
13．化简：－(α为第二象限角)．
解析：∵α是第二象限角，
∴cosα<0.
则原式＝－
＝·－
＝＋＝
＝＝tanα.
14．已知－(1)sinx－cosx；
(2).
解析：(1)∵sinx＋cosx＝，
∴(sinx＋cosx)2＝2，即1＋2sinxcosx＝，
∴2sinxcosx＝－.
∵(sinx－cosx)2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝1－2sinxcosx＝1＋＝，
又－0，
∴sinx－cosx<0，
∴sinx－cosx＝－.
(2)由已知条件及(1)，可知，
解得，
∴＝＝.课时作业15 平面向量基本定理
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设e1、e2是不共线的向量，则下面四组向量中，能作为基底的组数有( )
①e1和e1＋e2；②e1－2e2和e2－2e1；③e1－2e2和4e2－2e1；④e1＋e2和e1－e2.
A．1组 B．2组
C．3组
D．4组
解析：看每一组的两个向量是否共线，若共线则不能作为基底，若不共线则可作为基底．
∵4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，∴第③组中的两个向量共线，其他组中的向量不共线，故选C.
答案：C
2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是( )
A．不共线 B．共线
C．相等
D．不确定
解析：∵a＋b＝3e1－e2，
∴c＝2(a＋b)．∴a＋b与c共线．
答案：B
3．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝( )
A.(e1＋e2)
B.(e1－e2)
C.(2e2－e1)
D.(e2－e1)
解析：因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)，故选A.
答案：A
4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋＝0，若实数λ满足＋＝λ，则λ的值为( )
A．3
B.
C．2
D．8
解析：＋＝(＋)＋(＋)＝2＋(＋)＝2－＝3.所以λ＝3.
答案：A
5．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵＝4＝r＋s，
∴＝＝(－)＝r＋s，
∴r＝，s＝－.
∴3r＋s＝－＝.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．
解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，
因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
所以解得所以x－y＝3.
答案：3
7．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝________.
解析：＝－，＝－，∵2＋＝0，∴2(－)＋(－)＝0，∴＝2－＝2a－b.
答案：2a－b
8．如图，在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于H，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
解析：因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1，又M为AH的中点，BC＝3，所以＝＝(＋)＝(＋)＝＋，所以λ＋μ＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
解析：因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb，
则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)
＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.
又因为e1，e2不共线，
所以解得所以c＝a－2b.
10．如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将、、表示出来．
解析：＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－
＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．设O，A，B，M为平面上四点，＝λ＋(1－λ)，λ∈(0,1)，则( )
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，B，M四点共线
解析：因为＝λ＋(1－λ)，λ∈(0,1)，
所以－＝λ(－)，所以＝λ，
故点M在线段AB上．
答案：A
12．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________.
解析：因为＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝λ＝－＋λ，所以则＝.
答案：
13．如图，已知点D为△ABC中AC边上一点，且＝，设＝a，＝b.
(1)在图中画出向量分别在a，b方向上的分向量．
(2)试用a，b表示向量.
解析：(1)如图，过点D作DE∥BC，交AB于点E，作DF∥AB，交BC于点F，向量在a方向上的分向量是；在b方向上的分向量是.
(2)因为＝，所以＝，
所以＝，
所以＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝a＋(－a＋b)＝a＋b.
14．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底表示向量c＝3e1－e2；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解析：(1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得
∴λ不存在．
故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴解得∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2，
∴解得课时作业2 弧度制
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．1
920°的角化为弧度数为( )
A. B.
C.π
D.π
解析：∵1°＝rad，
∴1
920°＝1
920×rad＝π
rad.
答案：D
2．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R，由题意，得，解得θ＝3，故选C.
答案：C
3．角α的终边落在区间内，则角α所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：－3π的终边在x轴的非正半轴上，－π的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．
答案：C
4．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
解析：A，B中弧度与角度混用，不正确．
π＝2π＋，所以π与终边相同．
－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.
答案：C
5．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )
A.
B.
C.
D．2
解析：
如右图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α＝＝.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列四个角：1,60°，，－由大到小的排列为________．
解析：只需把60°化成弧度数，因为60°＝60×＝，所以四个角为1，，，－.所以60°＝>1>－.
答案：60°＝>1>－
7．若三角形三内角之比为3?4?5，则三内角的弧度数分别是________．
解析：设三角形三内角弧度数分别为3k,4k,5k，则由3k＋4k＋5k＝π，得k＝，所以3k＝，4k＝，5k＝.
答案：，，
8．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．
解析：135°＝＝，所以扇形的半径为＝4，
面积为×3π×4＝6π.
答案：4 6π
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
解析：(1)20°＝π＝.
(2)－15°＝－π＝－.
(3)＝(×)°＝(×180)°＝105°.
(4)－＝(－×)°＝(－×180)°＝－396°.
10．如图，扇形AOB所在圆的半径为10，AB＝10.求：
(1)圆心角α的大小；
(2)扇形AOB的周长．
解析：(1)由半径r＝10，AB＝10，知△AOB为等边三角形，
所以α＝∠AOB＝60°＝.
(2)由(1)知弧长l＝αr＝×10＝，
所以扇形AOB的周长为2r＋l＝20＋.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．集合中的角所表示的范围(如图中阴影部分所示)是( )
解析：当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z，故选C.
答案：C
12．如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．
解析：由于S＝lR，若l′＝l，R′＝R，
则S′＝l′R′＝×l×R＝S.
答案：
13．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；
(2)求γ角，使γ与α的终边相同，且γ∈.
解析：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，又280°＝，∴α＝＋(－3)×2π，∴α与的终边相同，∴角α的终边在第四象限．
(2)∵与α角终边相同的角可以表示为2kπ＋α，k∈Z，又α与的终边相同，
∴γ∈.
又∵γ∈，∴－<2kπ＋<，易知当且仅当k＝－1时，不等式成立，∴γ＝－2π＋＝－.
14．已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R.
(1)若α＝60°，R＝10
cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长为20
cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解析：(1)设弧长为l，弓形面积为S，则α＝60°＝，
R＝10
cm，l＝×10＝(cm)，
S＝S扇－S△＝××10－×102＝cm2.
(2)设扇形的弧长为l，
则l＋2R＝20，即l＝20－2R(0∴扇形的面积S＝lR＝(20－2R)R＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25.
∴当R＝5
cm时，S有最大值25
cm2，
此时l＝10
cm，α＝＝2
rad.
因此，当α＝2
rad时，这个扇形的面积最大．课时作业13 向量的减法
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．b－a
C．a＋b
D．－a－b
解析：＝＋＝＋(－)＝b－a.
答案：B
2．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.＝＋
B.＝－
C.＝－＋
D.＝－－
解析：＝＋＝－＝－＝－－.故选B.
答案：B
3．下列式子不正确的是( )
A．a－0＝a
B．a－b＝－(b－a)
C.＋≠0
D.＝＋＋
解析：根据向量减法的三角形法则，A正确；B正确；因为与是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C不正确；根据向量加法的多边形法则，D正确．
答案：C
4．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
解析：＝＋＋＝a－b＋c.
答案：A
5．给出下列各式：
①＋＋；
②－＋－；
③－－；
④－＋＋.
对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：①＋＋＝＋＝0；
②－＋－＝＋－(＋)＝－＝0；
③－－＝＋＋＝＋＝0；
④－＋＋＝＋＋－＝＋＝0.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．化简(＋)＋(－)＝________.
解析：(＋)＋(－)＝(＋)＋(＋)＝0＋＝.
答案：
7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b共线，所以|a－b|＝2.
答案：0 2
8．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________.
解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，＝＋，＝－，∵|＋|＝|－|平行四边形ABCD为矩形，∴||＝||，又||＝4，M是线段BC的中点，
∴||＝||＝||＝2.
答案：2
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：
(1)－；
(2)＋；
(3)－.
解析：(1)因为＝b，＝d，
所以－＝＝－＝d－b.
(2)因为＝a，＝b，＝c，＝f，
所以＋＝(－)＋(－)＝b＋f－a－c.
(3)－＝＋＝＝－＝c－e.
10．已知＝，又＝λ，求实数λ.
解析：因为＝λ，
所以＝λ(－)，
可得λ＝(－1－λ).
又因为＝，
所以λ＝λ，可得－1－λ＝λ，解得λ＝－.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．平面内有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若|m|＝|n|，则有( )
A．A，B，C三点必在同一直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析：如图，作＝，则ABCD为平行四边形，从而m＝＋＝，n＝－＝－＝.
因为|m|＝|n|，
所以||＝||.
所以四边形ABCD是矩形，
所以△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.
答案：C
12．给出下列命题：
①若＋＝，则－＝；
②若＋＝，则＋＝；
③若＋＝，则－＝；
④若＋＝，则＋＝.
其中正确命题的序号为________．
解析：①因为＋＝，
所以＝－，正确；
②－＝，所以＋＝，正确；
③因为＝－，所以－＝，正确；
④－＝－－，所以＝＋，正确．
答案：①②③④
13．已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值．
解析：∵a与b是共线向量，∴a＝λb，
∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，
∴∴
∴k＝－2.
14．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b所在直线的夹角．
解析：设＝a，＝b，
则a－b＝，
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴||＝||＝||，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOA＝60°.
∵＝a＋b，且在菱形OACB中，
对角线OC平分∠BOA.
∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.