第一章基本初等函数Ⅱ
测评B
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2010大纲全国Ⅰ高考)记cos(－80°)＝k，那么tan
100°等于( )
A．
B．－
C．
D．－
2．(2013江西临川5月模拟)已知α是第二象限的角，其终边上一点P(x，)，且cos
α＝，则sin＝( )
A．－
B．－
C．
D．
3．(大纲全国Ⅱ高考)已知△ABC中，cot
A＝－，则cos
A＝( )
A．
B．
C．－
D．－
4．(2013山东高考)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A．
B．
C．0
D．－
5．(2009四川高考)已知函数f(x)＝sin
(x∈R)，下面结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
6．(2011陕西高考)函数f(x)＝－cos
x在[0，＋∞)内( )
A．没有零点
B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点
D．有无穷多个零点
7．(2009重庆高考)下列关系式中正确的是( )
A．sin
11°10°168°
B．sin
168°11°10°
C．sin
11°168°10°
D．sin
168°10°11°
8．(2009辽宁高考)已知tan
θ＝2，则sin2θ＋sin
θcos
θ－2cos2θ等于( )
A．－
B．
C．－
D．
9．(2013山东高考)函数y＝xcos
x＋sin
x的图象大致为( )
10．(2010安徽高考)动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1]
B．[1,7]
C．[7,12]
D．[0,1]和[7,12]
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．(2013大纲全国高考)已知α是第三象限角，sin
α＝－，则cot
α＝__________．
12．(2010江苏高考)定义在区间上的函数y＝6cos
x的图象与y＝5tan
x的图象的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为__________．
13．(2011辽宁高考)已知函数f(x)＝Atan
(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝________．
14．(2010福建高考)已知函数f(x)＝3sin
(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是__________．
15．(2009上海高考)当
0≤x≤1时，不等式sin≥kx成立，则实数k的取值范围是__________．
三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题6分)(2013宁夏石嘴山二模)已知－x＋cos
x＝．
(1)求sin
x－cos
x的值；
(2)求的值．
17．(本小题6分)(2012陕西高考)函数f(x)＝Asin＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，且f＝2，求α的值．
18．(本小题6分)(2013上海高考)已知函数f(x)＝2sin(ωx)，其中常数ω>0．
(1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象．区间[a，b](a，b∈R，且a19．(本小题7分)(2010山东高考改编)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)，其图象过点．
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在上的最大值和最小值．
参考答案
一、选择题
1．解析：因为cos(－80°)＝cos
80°＝k，
所以sin
80°＝＝．
所以tan
100°＝－tan
80°＝－＝－．
答案：B
2．解析：根据题意得cos
α＝＝，
解得x＝，x＝－
(或x＝0)．
又α是第二象限角，所以x＝－，即cos
α＝－，sin＝cos
α＝－．
答案：B
3．解析：因为cot
A＝－<0，所以A为钝角．
又因为cot
A＝＝－，
所以sin
A＝－cos
A．
代入sin2A＋cos2A＝1，求得
cos
A＝－．
故选D．
答案：D
4．解析：函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后变为函数y＝sin＝sin的图象，又y＝sin为偶函数，故＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z．
若k＝0，则φ＝．故选B．
答案：B
5．解析：f(x)＝sin＝－cos
x(x∈R)，函数f(x)是偶函数．所以选D．
答案：D
6．解析：令f(x)＝0，得＝cos
x，
因为x≥0，
所以在同一坐标系内画出两个函数y＝与y＝cos
x的图象如图所示，由图象知，两个函数只有一个交点，从而方程＝cos
x只有一个解．所以函数f(x)只有一个零点．
答案：B
7．解析：因为sin
168°＝sin(180°－168°)＝sin
12°，
y＝sin
x在上是单调递增函数，
所以sin
11°168°．
又当0xx，
则sin
168°12°，
又y＝cos
x在上是单调递减函数，
所以cos
12°10°．
所以sin
11°168°10°．
答案：C
8．解析：sin2θ＋sin
θcos
θ－2cos2θ＝
＝＝．
答案：D
9．解析：因f(－x)＝－x·cos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos
x＋sin
x)＝－f(x)，故该函数为奇函数，排除B，又x∈，y>0，排除C，而x＝π时，y＝－π，排除A，故选D．
答案：D
10．解析：由已知可得该函数的周期为T＝12，ω＝＝，
又当t＝0时，A，
所以y＝sin，t∈[0,12]，可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
答案：D
二、填空题
11．解析：由题意知cos
α＝－
＝－＝－．
故cot
α＝＝．
答案：
12．解析：如图，由题意得：
6cos
x=5tan
x，
即6cos
x=,6cos2x=5sin
x，
6(1-sin2x)=5sin
x，6sin2x＋5sin
x－6＝0，
得sin
x＝，或sin
x＝－
(舍去)．
结合图象得：sin
x＝P1P2＝．
答案：
13．解析：由图知，＝－＝，所以T＝，
所以ω＝2，
所以f(x)＝Atan
(2x＋φ)，将代入得，
Atan＝0，即tan＝0，
又|φ|<，
所以φ＝，所以f(x)＝Atan．
又f(0)＝1，所以Atan＝1，所以A＝1．
所以f＝1·tan＝tan＝．
答案：
14．解析：因为f(x)和g(x)的对称轴完全相同，
所以二者的周期相同，
即ω＝2，f(x)＝3sin．
因为x∈，
所以2x－∈，sin∈，
所以f(x)∈．
答案：
15．解析：因为0≤x≤1时，不等式sin≥kx成立，
设y＝sin，y＝kx，作出两函数的图象，
所以由图象可知，当k≤1时，sin≥kx．
答案：k≤1
三、解答题
16．解：(1)
由①得sin
x＝－cos
x，将其代入②，整理得
25cos2x－5cos
x－12＝0．
因为－所以sin
x－cos
x＝－．
(2)由(1)可得tan
x＝－．
又因为＝
＝＝，
所以＝．
17．解：(1)因为函数f(x)的最大值为3，
所以A＋1＝3，即A＝2．
因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以最小正周期为T＝π．所以ω＝2．
故函数f(x)的解析式为y＝2sin＋1．
(2)因为f＝2sin＋1＝2，
即sin＝，
又因为0＜α＜，所以－＜α－＜．
所以α－＝．故α＝．
18．解：(1)因为函数y＝f(x)在上单调递增，且ω>0，
所以≥，且－≤－，
所以0<ω≤．
(2)f(x)＝2sin
2x，
将y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y＝2sin
2＋1的图象，
所以g(x)＝2sin
2＋1．
令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋
(k∈Z)，
所以两个相邻零点之间的距离为或．
若b－a最小，则a和b都是零点，
此时在区间[a，π＋a]，[a,2π＋a]，…，[a，mπ＋a](m∈N＋)上分别恰有3,5，…，2m＋1个零点，所以在区间[a,14π＋a]上恰有29个零点，
从而在区间(14π＋a，b]上至少有一个零点，
所以b－a－14π≥．
因此，b－a的最小值为14π＋＝．
19．解：(1)因为已知函数图象过点，
所以有＝sin，
所以φ＋＝＋2kπ，k∈Z．
又0<φ<π，解得φ＝．
(2)由(1)知φ＝，所以f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin，因为x∈，
所以4x＋∈，
所以当4x＋＝时，
g(x)取最大值；
当4x＋＝时，g(x)取最小值－．第二章平面向量
测评A
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．与a＝(12,5)平行的单位向量为( )
A．
B．
C．或
D．
2．若向量a＝(0,1)，b＝(1,0)，则向量a＋b与2b－2a的夹角等于( )
A．
B．
C．
D．
3．如图所示，已知＝2，＝a，＝b，＝c，则下列等式中成立的是( )
A．c＝b－a
B．c＝2b－a
C．c＝2a－b
D．c＝a－b
4．设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|b|＝( )
A．2
B．2
C．4
D．4
5．如图，已知||＝3，||＝1，·＝0，∠AOP＝，若＝t＋，则实数t等于( )
A．
B．
C．
D．3
6．已知|p|＝，|q|＝3，p，q的夹角为，则以a＝5p＋2q，b＝p－3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为( )
Ａ．15
B．
C．14
D．16
7．如图，＝a，＝b，且BC⊥OA于C，设＝λa，则λ等于( )
Ａ．
B． C．
D．
8．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则·＝( )
Ａ．
B．
C．
D．
9．在△ABC中，P是BC的中点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＋a＋b ＝0，则△ABC的形状为( )
Ａ．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形但不是等边三角形
10．已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则O一定为△ABC的( )
Ａ．垂心
B．重心
C．外心
D．内心
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2＋＋＝0，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为__________．
12．在△ABC中，＝(1,2)，＝(－x,2x)(x>0)，若△ABC的周长为6，则x的值为__________．
13．已知平面向量a，b，c不共线，且两两之间的夹角都相等，若|a|＝2，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝__________．
14．如图，在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则·(＋)的最小值是__________．
15．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°．
其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题6分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
17．(本小题6分)如图所示，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
18．(本小题6分)已知P为△ABC内一点，且3＋4＋5＝0．延长AP交BC于点D，若＝a，＝b，用a，b表示向量，．
19．(本小题7分)如图，已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设Z是直线OP上的一动点．
(1)求使·取最小值时的；
(2)对(1)中求出的点Z，求cos∠AZB的值．
参考答案
一、选择题
1．答案：C
2．答案：C
3．答案：A
4．答案：A
5．答案：B
6．解析：a＋b＝6p－q，对角线长为|a＋b|＝＝ ＝＝15．
答案：A
7．答案：A
8．答案：A
9．答案：C
10．解析：2＋2＝2＋2 2－2＝2－2 (－)·(＋)＝(－)·(＋) ·(＋)＝·(－) ·(＋－＋)＝0 2·＝0 ⊥．同理⊥，所以O为△ABC的垂心．
答案：A
二、填空题(
11．答案：
12．解析：因为＝－＝(－x－1,2x－2)，
所以＋x＋＝6，所以x＝．
答案：
13．解析：|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝4＋4＋1－2×2×2×－2×2×1× －2×2×1×＝1．
答案：1
14．解析：如题图，设＝a，则|a|＝2．
因为O为中线AM上的动点，
所以＝t＝ta(0≤t≤1)，
故＝－＝(1－t)a．
因为M是BC的中点，
所以＋＝2＝－2ta．
所以·(＋)＝(1－t)a·(－2ta)
＝－2t(1－t)|a|2＝8t2－8t＝82－2．
所以当t＝∈[0,1]时，最小值为－2．
答案：－2
15．答案：②
三、解答题
16．解：(1)
＝(3,5)，＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|＋|与|－|的大小．
由＋＝(2,6)，得|＋|＝2，
由－＝(4,4)，得|－|＝4．
(2)
＝(－2，－1)，
因为(－t)·＝·－t2，
易求·＝－11，2＝5，
所以由(－t)·＝0得t＝－．
17．解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b．
而||＝|a－b|＝
＝＝，
所以||2＝5－2a·b＝4，所以2a·b＝1．
所以||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝5＋2a·b＝6．
所以||＝，即AC＝．
18．解：因为＝－＝－a，＝－＝－b，
又3＋4＋5＝0，
所以3＋4(－a)＋5(－b)＝0，
化简，得＝a＋b．
设＝t
(t∈R)，则＝ta＋tb．①
又设＝k
(k∈R)，
由＝－＝b－a，＝－＝－a，
得－a＝k(b－a)．
所以＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb．②
又因为a，b不共线，由平面向量的基本定理及①②有：两式相加解得t＝．
代入①，有＝a＋b．
19．解：(1)因为Z是直线OP上的一点，所以∥．
设实数t，使＝t，所以＝t(2,1)＝(2t，t)，
则＝－＝(1,7)－(2t，t)＝(1－2t,7－t)，
＝－＝(5,1)－(2t，t)＝(5－2t,1－t)．
所以·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8．
当t＝2时，·有最小值－8，
此时＝(2t，t)＝(4,2)．
(2)当t＝2时，＝(1－2t,7－t)＝(－3,5)，||＝，＝(5－2t,1－t)＝(1，－1)，||＝．
故cos∠AZB＝＝＝－＝－．第三章三角恒等变换
测评A
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式中，值为的是( )
A．2sin
15°cos
15°
B．cos215°－sin215°
C．2sin215°－1
D．cos
15°－sin
15°
2．下列关系中不正确的是( )
A．sin
α＋sin
β＝2sincos
B．sin
α－sin
β＝2coscos
C．cos
α＋cos
β＝2coscos
D．cos
α－cos
β＝2sinsin
3．已知3cos(2α＋β)＋5cos
β＝0，则tan(α＋β)tan
α的值为( )
A．±4
B．4
C．－4
D．1
4．已知(sin
x－2cos
x)(3＋2sin
x＋2cos
x)＝0，则的值为( )
A．
B．
C．
D．
5．已知cos＋sin
α＝，则sin的值是( )
A．－
B．
C．－
D．
6．在△ABC中，若lg
sin
A－lg
cos
B－lg
sin
C＝lg
2，则△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
7．函数y＝2cos
x(sin
x＋cos
x)的最大值和最小正周期分别是( )
A．2，π
B．＋1，π
C．2,2π
D．＋1,2π
8．已知＝3＋，则sin
2α等于( )
A．
B．
C．
D．
9．已知tan＝－，且<α<π，则＝( )
A．
B．－
C．－
D．－
10．已知α∈，α＋的终边上的一点的坐标为(－4,3)，则sin
α等于( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．已知A，B为锐角，且满足tan
Atan
B＝tan
A＋tan
B＋1，则cos(A＋B)＝__________．
12．计算：＝__________．
13．已知sinsin＝，α∈，则sin
4α的值是__________．
14．若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝__________．
15．若<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，则sin
α＋cos
α的值为__________．
三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题6分)已知α∈，tan
α＝，求tan
2α和sin的值．
17．(本小题6分)已知α为第二象限角，且sin
α＝，求的值．
18．(本小题6分)已知cos＝－，sin＝，且α∈，β∈．
求：(1)cos； (2)tan(α＋β)．
19．(本小题7分)已知向量a＝(3sin
α，cos
α)，b＝(2sin
α，5sin
α－4cos
α)，α∈，且a⊥b．
(1)求tan
α的值；
(2)求cos的值．
参考答案
一、选择题
1．解析：cos215°－sin215°＝cos
30°＝．
答案：B
2．答案：B
3．答案：C
4．答案：C
5．解析：cos＋sin
α＝cos
α＋sin
α＝cos，
cos＝，
sin＝cos＝．
答案：B
6．答案：A
7．解析：因为y＝2cos
xsin
x＋2cos2x＝sin
2x＋cos
2x＋1＝sin＋1，所以当2x＋＝2kπ＋
(k∈Z)，
即x＝kπ＋
(k∈Z)时取得最大值＋1，最小正周期T＝＝π．
答案：B
8．答案：B
9．解析：＝＝cos
α．
由tan＝－，
得＝－，tan
α＝－3，
因为<α<π，
所以cos
α＝－，cos
α＝－．
答案：C
10．解析：由α∈及三角函数的定义可知sin＝，cos＝－，
所以可得sin
α＝sin
＝sincos－cossin
＝．
答案：A
二、填空题
11．答案：－
12．解析：原式＝＝＝－4．
答案：－4
13．答案：－
14．解析：由条件知＝＝3，
所以tan
α＝2．
因为tan(α－β)＝2，
所以tan(β－α)＝－2．
所以tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝＝＝．
答案：
15．解析：因为sin
2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]，0<α－β<，π<α＋β<，
所以sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，
sin
2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝－．
因为<α<，
所以sin
α＋cos
α>0，(sin
α＋cos
α)2＝1＋sin
2α＝．
所以sin
α＋cos
α＝．
答案：
三、解答题
16．解：tan
2α＝＝＝．
因为α∈，2α∈(0，π)，且tan
2α＝>0，
所以2α∈．
所以sin
2α＝，cos
2α＝．
所以sin
＝sin
2αcos＋cos
2αsin
＝×＋×＝．
17．解：＝
＝．
当α为第二象限角，且sin
α＝时，sin
α＋cos
α≠0，
所以cos
α＝－，
所以＝＝－．
18．解：(1)因为<α<π，0<β<，
所以<α－<π，－<－β<．
所以sin＝＝，
cos＝＝．
所以cos＝cos
＝cos·cos＋sin·sin
＝×＋×＝－．
(2)因为<<，
所以sin＝＝．
所以tan＝＝－．
所以tan(α＋β)＝＝．
19．解：(1)因为a⊥b，所以a·b＝0．
而a＝(3sin
α，cos
α)，b＝(2sin
α，5sin
α－4cos
α)，
所以a·b＝6sin2α＋5sin
αcos
α－4cos2α＝0．
由于cos
α≠0，所以6tan2α＋5tan
α－4＝0．
解得tan
α＝－或tan
α＝．
因为α∈，所以tan
α<0．
所以tan
α＝－．
(2)因为α∈，所以∈，
所以tan<0．
由tan
α＝＝－，
得tan＝－，tan＝2(舍去)．
所以sin＝，cos＝－．
所以cos＝coscos－sinsin
＝－×－×＝－．第二章平面向量
测评B
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013辽宁高考)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )
A．
B． C．
D．
2．(2013福建高考)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
Ａ．
B．2
C．5
D．10
3．(2013安徽高考)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )
Ａ．
B．2 C．4
D．4
4．(2013陕西高考)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( )．
A．－
B． C．－或
D．0
5．(2013大纲全国高考)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )
Ａ．－4
B．－3
C．－2
D．－1
6．(2013湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的射影为( )
Ａ．
B． C．－
D．－
7．(2013课标全国Ⅱ高考改编)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝( )
Ａ．1
B．2
C．－1
D．－2
8．(2013课标全国Ⅰ高考改编)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b．若b·c＝0，则t＝( )
Ａ．1
B．－2
C．－1
D．2
9．(2012广东高考)若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝( )
Ａ．(－2，－4)
B．(2,4) C．(6,10)
D．(－6，－10)
10．(2012重庆高考)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
Ａ．
B．
C．2
D．10
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．(2013江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2
(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．
12．(2013四川高考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ．则λ＝__________．
13．(2013江西高考)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．
14．(2013天津高考)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为__________．
15．(2013北京高考)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝__________．
三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题6分)(2013山东高考改编)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2，若＝λ＋，且⊥，求实数λ的值．
17．(本小题6分)(2013浙江高考改编)设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，求证AC＝BC．
18．(本小题6分)(2012江苏高考改编)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，求·的值．
19．(本小题7分)(2012上海高考改编)在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB，AD的长分别为2,1．若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，求·的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．解析：与同方向的单位向量为＝＝，故选A．
答案：A
2．解析：因为·＝1×(－4)＋2×2＝0，所以⊥．又||＝＝，||＝＝＝2，S四边形ABCD＝||||＝5．
答案：C
3．解析：以，为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A，B两点关于x轴对称，由已知||＝||＝·＝2，可得出∠AOB＝60°，点A(，1)，点B(，－1)，点D(2，0)．
现设P(x，y)，则由O＝λ＋μ得(x，y)＝λ(，1)＋μ(，－1)，即
由于|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R，
可得画出动点P(x，y)满足的区域为如图阴影部分，故所求区域的面积为2×2＝4．
答案：D
4．解析：由a∥b知1×2－m2＝0，即m＝或－．
答案：C
5．解析：由(m＋n)⊥(m－n) |m|2－|n|2＝0 (λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0 λ＝－3．故选B．
答案：B
6．解析：由题意可知＝(2,1)，＝(5,5)，故在方向上的投影为＝
＝．
答案：A
7．解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为(0,2)，点E的坐标为(1,2)，则＝(1,2)，＝(－2,2)，所以·＝2．
答案：B
8．解析：因为c＝ta＋(1－t)b，
所以b·c＝ta·b＋(1－t)|b|2．
又因为|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b·c＝0，
所以0＝t|a||b|cos
60°＋(1－t)，
0＝t＋1－t．所以t＝2．
答案：D
9．解析：因为＝(2,3)，＝(4,7)，
所以＝＋＝－
＝(2,3)－(4,7)＝(2－4,3－7)
＝(－2，－4)．
答案：A
10．解析：由a⊥c，得a·c＝2x－4＝0，解得x＝2．
由b∥c得＝，解得y＝－2，
所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝，故选B．
答案：B
二、填空题
11．解析：由题意作图如图．
因为在△ABC中，=+=+=+
(-)=-+=λ1+λ2，
所以λ1=-，λ2=．故λ1+λ2=．
答案：
12．解析：由平行四边形法则知＋＝＝2，
所以λ＝2．
答案：2
13．解析：因为a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e21＋6e1·e2＝2＋6×12×cos＝5，所以a在b上的射影为＝．
答案：
14．解析：如图所示，在平行四边形ABCD中，=+，=+=－+．
所以·=(+)·（－+）=－||2+||2＋·＝－||2＋||＋1＝1，解方程得||＝
(舍去||＝0)，所以线段AB的长为．
答案：
15．解析：可设a＝－i＋j，i，j为单位向量且i⊥j，
则b＝6i＋2j，c＝－i－3j．
由c＝λa＋μb＝(6μ－λ)i＋(λ＋2μ)j，
所以解得所以＝4．
答案：4
三、解答题
16．解：因为＝λ＋，⊥，又＝－，
所以(－)·(＋λ)＝0．
所以2＋λ·－·－λ2＝0，
即4＋(λ－1)×3×2×－9λ＝0，
即7－12λ＝0，所以λ＝．
17．解：设＝t
(0≤t≤1)，
所以＝＋＝t＋，
所以·＝(t)·(t＋)
＝t22＋t·．
由题意·≥·，
即t22＋t·≥·
＝22＋·，
即当t＝时·取得最小值．
由二次函数的性质可知：－＝，
即：－·＝2，
所以·＝0．
取AB中点M，则＋＝＋＝，
所以·＝0，即AB⊥MC．
所以AC＝BC．
18．解：由·＝得，·(＋)＝，
即·＋·＝，
又因为⊥，所以·＝0，
所以·＝，
故·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝0＋·(－)＋||2＋0＝·－·＋2＝－||2＋2＝－2＋2＝．
19．解：如图，设＝＝λ，
则λ∈[0,1]，·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·(＋(λ－1))＝·＋(λ－1)
·＋λ·＋λ(λ－1)
·＝1×2×＋(λ－1)×(－4)＋λ×1＋λ(λ－1)×(－1)＝1＋4－4λ＋λ－λ2＋λ＝－(λ＋1)2＋6．
因为λ∈[0,1]，所以·∈[2,5]．第一章基本初等函数Ⅱ
测评A
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为( )
A．π
B．
C．
D．
2．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
A．
B．
C．
D．
3．若sin(π＋A)＝－，则cos＝( )
A．－
B．
C．－
D．
4．若＝，则sin
α＋cos
α的值是( )
A．
B．
C．1
D．
5．若将y＝tan
2x的图象向左平移个单位，则所得图象的解析式是( )
A．y＝tan
B．y＝tan
C．y＝－
D．y＝－tan
2x
6．下列函数中是奇函数的为( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝2cos
x
D．y＝lg(sin
x＋)
7．给出下列等式：①arcsin＝1；②arcsin＝－；③arcsin＝；④sin＝，其中正确等式的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
8．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的解析式为( )
A．y＝sin(2x－2)
B．y＝2cos
3x－1
C．y＝sin－1
D．y＝1＋sin
9．函数y＝logcos的单调递增区间是( )
A．
(k∈Z)
B．
(k∈Z)
C．
(k∈Z)
D．
(k∈Z)
10．若偶函数f(x)在[－1,0]上为减函数，α，β为任意一个锐角三角形的两个内角，则有( )
A．f(sin
α)>f(cos
β)
B．f(sin
α)>f(sin
β)
C．f(cos
α)>f(cos
β)
D．f(cos
α)>f(sin
β)
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________．
12．若f(x)＝2sin
ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为，则ω＝________．
13．M，N是曲线y＝πsin
x与曲线y＝πcos
x的两个不同的交点，则|MN|的最小值为________．
14．函数y＝2sin2x－2cos
x＋5的最大值为________．
15．已知f(x)＝sin，g(x)＝sin
2x，有如下说法：
①f(x)的最小正周期是2π；
②f(x)的图象可由g(x)的图象向左平移个单位长度得到；
③直线x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴．
其中正确说法的序号是________．(把你认为正确结论的序号都填上)
三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题6分)已知tan
α＝－，
(1)求2＋sin
αcos
α－cos2α的值；
(2)求的值．
17．(本小题6分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的周期为π，且图象上一个最低点为M．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的最值．
18．(本小题6分)如果关于x的方程sin2x－(2＋a)sin
x＋2a＝0在x∈上有两个实数根，求实数a的取值范围．
19．(本小题7分)已知y＝f(x)＝2sin．
(1)用五点法画出函数f(x)的大致图象，并写出f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间内的值域；
(3)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin
x的图象经过怎样的变换得到？
参考答案
一、选择题
1．答案：A
2．解析：由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝．
答案：A
3．答案：A
4．答案：A
5．答案：C
6．解析：当x∈R时，均有sin
x＋>0，
且lg[sin(－x)＋]＝lg(－sin
x)＝lg(sin
x＋)－1
＝－lg(sin
x＋)，所以该函数为奇函数．
答案：D
7．答案：C
8．答案：D
9．解析：原函数变形为y＝log
(－sin
2x)，定义域为
(k∈Z)．要求y＝log
(－sin
2x)的单调增区间，只要求y＝sin
2x的单调增区间即可，所以－＋2kπ≤2x<2kπ，解得－＋kπ≤x答案：B
10．答案：A
二、填空题
11．解析：T＝＝＝1(s)．
答案：1
s
12．解析：因为ω∈(0,1)，x∈，
所以ωx∈?，
所以f(x)max＝2sin＝，
所以sin＝，又因为ω∈(0,1)，
所以＝，所以ω＝．
答案：
13．解析：两函数的图象如图所示，则图中|MN|最小，
设M(，)，N(，)，
则=，=，=，
==+=，
所以|MN|==．
答案：π
14．解析：y＝2sin2x－2cos
x＋5＝2(1－cos2x)－2cos
x＋5＝－2＋，当cos
x＝－时，ymax＝．
答案：
15．解析：f(x)的最小正周期T＝＝π，所以①不正确；
f(x)＝sin，则f(x)的图象可由g(x)＝sin
2x的图象向右平移个单位长度得到，所以②不正确；当x＝－时，f(x)＝sin＝－1，即函数f(x)取得最小值－1，于是x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴，所以③正确．
答案：③
三、解答题
16．解：(1)2＋sin
αcos
α－cos2α
＝
＝＝
＝＝．
(2)原式＝
＝
＝＝－＝－tan
α＝．
17．解：(1)由最低点为M，得A＝2．
由T＝π，得ω＝＝＝2．
由点M在图象上，得2sin＝－2，即sin＝－1，
所以＋φ＝2kπ－，k∈Z，
所以φ＝2kπ－，k∈Z．
又φ∈，所以φ＝．
所以f(x)＝2sin．
(2)因为x∈，所以2x＋∈．
所以当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最小值1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值．
18．解：由sin2x－(2＋a)sin
x＋2a＝0，
则(sin
x－2)(sin
x－a)＝0．
因为sin
x－2≠0，所以sin
x＝a．
即求当x∈时，方程sin
x＝a有两个实数根时a的范围．
由y＝sin
x，x∈与y＝a的图象(图略)知≤a<1，故实数a的取值范围是．
19．解：(1)列表画图如下：
x
－
2x＋
0
π
2π
f(x)
0
2
0
－2
0
f(x)的最小正周期T＝π．
(2)当－≤x≤时，2x＋∈，
所以－1≤2sin≤2．
所以函数f(x)在区间内的值域为[－1,2]．
(3)把y＝sin
x的图象上所有的点的横坐标向左平移个单位长度，得到y＝sin 的图象，再把所得图象的横坐标缩短为原来的
(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，然后把所得图象的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到f(x)＝2sin的图象．第三章三角恒等变换
测评B
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013江西高考)若sin
＝，则cos
α＝( )
A．－
B．－
C．
D．
2．(2013课标全国Ⅱ高考)已知sin
2α＝，则cos2＝( )
A．
B．
C．
D．
3．(2013浙江高考)已知α∈R，sin
α＋2cos
α＝，则tan
2α＝( )
A．
B．
C．－
D．－
4．(2012四川高考)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC，ED，则sin∠CED＝( )
A．
B． C．
D．
5．(2012重庆高考)
＝( )
A．－
B．－
C．
D．
6．(2012重庆高考)设tan
α，tan
β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
7．(2012陕西高考)设向量a＝(1，cos
θ)与b＝(－1,2cos
θ)垂直，则cos
2θ等于( )
A．
B．
C．0
D．－1
8．(2012江西高考)若tan
θ＋＝4，则sin
2θ＝( )
A．
B．
C．
D．
9．(2012大纲全国高考)已知α为第二象限角，sin
α＝，则sin
2α＝( )
A．－
B．－
C．
D．
10．(2012山东高考)若θ∈，sin
2θ＝，则sin
θ＝( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．(2013上海高考)若cos
xcos
y＋sin
xsin
y＝，则cos(2x－2y)＝________．
12．(2013江西高考)函数y＝sin
2x＋2sin2x的最小正周期T为________．
13．(2013山东烟台适应性练习)已知cos4α－sin4α＝，α∈，则cos＝__________．
14．(2013四川高考)设sin
2α＝－sin
α，α∈，则tan
2α的值是__________．
15．(2012江苏高考)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为__________．
三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题6分)(2013广东高考)已知函数f(x)＝cos，x∈R．
(1)求f的值；
(2)若cos
θ＝，θ∈，求f．
17．(本小题6分)(2013湖南高考)已知函数f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2．
(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；
(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．
18．(本小题6分)(2013北京高考)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)·sin
2x＋cos
4x．
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．
19．(本小题7分)(2012四川高考)已知函数f(x)＝cos2－sincos－．
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin
2α的值．
参考答案
一、选择题
1．解析：cos
α＝1－2sin2＝1－2×＝．故选C．
答案：C
2．解析：由半角公式可得，cos2
＝＝＝＝．
答案：A
3．解析：由sin
α＋2cos
α＝得，sin
α＝－2cos
α．①
把①式代入sin2α＋cos2α＝1中可解出cos
α＝或，当cos
α＝时，sin
α＝；
当cos
α＝时，sin
α＝－．
所以tan
α＝3或tan
α＝－，所以tan
2α＝－．
答案：C
4．解析：因为四边形ABCD是正方形，且AE＝AD＝1，
所以∠AED＝．
在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝1，
所以sin∠BEC＝，cos∠BEC＝．
sin∠CED＝sin＝cos∠BEC－sin∠BEC＝＝．
答案：B
5．解析：因为sin
47°＝sin(30°＋17°)＝sin
30°cos
17°＋sin
17°cos
30°，
所以原式＝
＝sin
30°＝，故选C．
答案：C
6．解析：因为tan
α，tan
β是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以tan
α＋tan
β＝3，tan
α·tan
β＝2，而tan(α＋β)＝＝＝－3，故选A．
答案：A
7．解析：由a⊥b可得，－1＋2cos2θ＝cos
2θ＝0．
答案：C
8．解析：因为tan
θ＋＝4，所以＋＝4．
所以＝4，即＝4．
所以sin
2θ＝．
答案：D
9．解析：因为sin
α＝，且α为第二象限角，
所以cos
α＝－＝－．
所以sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝－．故选A．
答案：A
10．解析：由θ∈，得2θ∈．
又sin
2θ＝，故cos
2θ＝－．
故sin
θ＝＝．
答案：D
二、填空题
11．解析：cos
xcos
y＋sin
xsin
y＝cos(x－y)＝ cos
2(x－y)＝2cos2(x－y)－1＝－．
答案：－
12．解析：因为y＝sin
2x＋
(1－cos
2x)
＝2sin＋，
所以T＝＝π．
答案：π
13．解析：由cos4α－sin4α＝，得cos
2α＝，
又α∈，所以sin
2α＝．
所以cos＝cos
2α－sin
2α
＝×－×＝．
答案：
14．解析：因为sin
2α＝－sin
α，
所以2sin
αcos
α＝－sin
α．
所以cos
α＝－．
又因为α∈，
所以sin
α＝＝．
所以sin
2α＝－，cos
2α＝2cos2α－1＝－．
所以tan
2α＝＝．
答案：
15．解析：因为α为锐角，cos＝，
所以sin＝，
所以sin＝2sincos＝2××＝，
且0<α＋<，故0<α<，
所以2＝2α＋∈，
所以cos＝，
所以sin＝sin
＝sincos－cossin
＝sincos－cossin
＝×－×＝．
答案：
三、解答题
16．解：(1)f＝cos
＝cos＝cos
＝1．
(2)f＝cos
＝cos＝cos
2θ－sin
2θ．
因为cos
θ＝，θ∈，
所以sin
θ＝－．
所以sin
2θ＝2sin
θcos
θ＝－，
cos
2θ＝cos2θ－sin2θ＝－．
所以f＝cos
2θ－sin
2θ
＝－－＝．
17．解：f(x)＝sin＋cos
＝sin
x－cos
x＋cos
x＋sin
x＝sin
x，
g(x)＝2sin2＝1－cos
x．
(1)由f(α)＝得sin
α＝．
又α是第一象限角，所以cos
α>0．
从而g(α)＝1－cos
α＝1－
＝1－＝．
(2)f(x)≥g(x)等价于sin
x≥1－cos
x，
即sin
x＋cos
x≥1．
于是sin≥．
从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z．
故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为
．
18．解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin
2x＋cos
4x
＝cos
2xsin
2x＋cos
4x＝(sin
4x＋cos
4x)
＝sin，
所以f(x)的最小正周期为，最大值为．
(2)因为f(α)＝，所以sin＝1．
因为α∈，所以4α＋∈．
所以4α＋＝．故α＝．
19．解：(1)由已知，f(x)＝cos2－sincos－
＝(1＋cos
x)－sin
x－
＝cos．
所以f(x)的最小正周期为2π，值域为．
(2)由(1)知，f(α)＝cos＝，
所以cos＝．
所以sin
2α＝－cos＝－cos
＝1－2cos2＝1－＝．
