《多边形的内角和》
《多边形的内角和》选自人教版八年级上册的第十一章第三节，《多边形内角和》是本章的一个重点，是三角形有关知识的拓展，是以后学习平面镶嵌的基础，多边形内角和公式的运用还充分体现了图形与客观世界的联系。在内容上，起着承上启下的作用，是在学生学习了一元一次方程、三角形内角和知识和多种平面几何图形的基础上进行的，目的是使学生进一步了解多边形的性质,感受图形世界的现实性和丰富多彩,同时在教学中渗透类比,转化等思想方法培养学生用联系的变换的观点思考问题。
【知识与能力目标】
掌握多边形的内角和与外角和的计算方法，并能用其解决一些简单的问题；通过多边形内角和计算公式的推导，体验转化和类比的数学思想方法。
【过程与方法目标】
1、让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法。
2、通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。
3、通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。
【情感态度价值观目标】
通过动手实践、相互间的交流，进一步激发学习热情和求知欲望。同时，体验猜想得到证实的成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满探索和创造。
【教学重点】
探索多边形的内角和及外角和公式。
【教学难点】
多边形内角和公式的推导。
多媒体课件、三角板、量角器。
一、复习引入
我们已经证明了三角形的内角和为180°，在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边形内角的和为360°，现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？
二、多边形的内角和
如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？
可以引一条对角线；它将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和等于△ABC的内角和加△ACD的内角和=2×180°=360°。
类似地，我们能知道五边形、六边形……n边形的内角和是多少度吗？
观察下面的图形，填空：
从五边形一个顶点出发可以引______条对角线，它们将五边形分成______个三角形，五边形的内角和等于_____________；
从六边形一个顶点出发可以引______条对角线，它们将六边形分成______个三角形，六边形的内角和等于_____________；
从n边形一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将n边形分成_______个三角形，n边形的内角和等于____________。
于是我们得到多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）×180°。
三、例题
例1.如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
已知四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，求∠B与∠D的关系。
分析：∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系？
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）×180°=360°，
又∠A＋∠C=180°，
∴∠B＋∠D=360°-（∠A＋∠C）=180°。
这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补。
例2.如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少？
解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°。因此六边形的6个外角加上与他们相邻的内角，所得总和等于6×180°。
这个总和就是六边形的外角和加上内角和。所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于360°。
如果把六边形换成其他多边形可以得到同样的结果：多边形的外角和等于360°。
对此，我们也可以这样来理解。如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°。
四、随堂练习
1、在四边形的四个内角中，最多有__3___个钝角，最多能有__3____个锐角。
2、一个多边形的每个内角都是150°，它是___12___边形。
3、已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，这个多边形是___8____边形。
4、已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点所画的对角线的条数的2倍，则此多边形是___6___边形。
5、一个多边形的边数增加1，则内角和增加的度数是(
C
)
A。60°
B。90°
C。180°
D。360°
6、如图:某居民小区搞绿化，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为1米的花坛。小区绿化组长想先求花坛的面积，再根据面积买花苗。你能帮绿化组长求出花坛的面积吗？(结果保留π)
五、课堂小结
引导学生总结本节课内容。
略。
教材分析
教学目标
教学重难点
课前准备
教学过程
D
A
B
C
C
教学反思(共16张PPT)
第十一章●第三节
多边形的内角和
温故知新
1、在平面内，_________________________________________叫做多边形。
2、在多边形中连接___________________________的线段叫做多边形的对角线。
由一些线段首尾顺次相接组成的图形
多边形不相邻的两个顶点
3、三角形的内角和是________度。
4、正方形的内角和是__________度，长方形的内角和是__________度。
180
360
360
问题引入
一般的四边形的内角和是多少度呢？
思路：把求四边形内角和的问题转化为三角形问题来解决。
A
B
C
D
任意一个四边形的内角和都等于360°
知识点详解
四边形、五边形、六边形、七边形从一个顶点出发分别可以引多少条对角线？分别把多边形分成多少个三角形？你能从中探索出规律吗？
试求五边形、六边形、七边形的内角和。
五边形的内角和为540°
六边形的内角和为7200
七边形的内角和为9000
完成下表
多边形边数
3
4
5
6
7
n
从一个顶点引对角线的条数
0
1
2
3
4
边数分成的三角形个数
1
2
3
4
5
多边形的内角和
180°
360°
540°
720°
900°
n-3
n-2
知识点详解
（n-2）x180°
从n边形的一个顶点可以引n-3条对角线，把多边形
分成n-2个三角形。N边形的内角和等于（n-2）x180°
除了上述我们利用对角线，将一个多边形分割成几个三角形外，还有其它的分割方法吗？
在五边形内任取一点O，连接OA、OB、OC、OD、OE。
内角和=
5x180°
–360°=
3x180°
o
A
B
C
D
E
1
5
4
3
2
知识点详解
除了上述我们利用对角线，将一个多边形分割成几个三角形外，还有其它的分割方法吗？
在CD上取一点O，连接OB、OA、OE
内角和=
4x180°–180°=3x180°
o
A
B
C
D
E
1
2
3
4
知识点详解
如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少？
六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°。因此六边形的6个外角加上与他们相邻的内角，所得总和等于6×180°。
这个总和就是六边形的外角和加上内角和。所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于360°。
如果把六边形换成其他多边形可以得到同样的结果：多边形的外角和等于360°。
知识点详解
例题详解
例1
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
A
C
D
B
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）×180°=360°，
又∠A＋∠C=180°，
∴∠B＋∠D=360°-（∠A＋∠C）=180°。
这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补。
例2、四边形ABCD的内角∠A∶∠B∶∠C∶∠D
=
1∶2∶3∶4，求各个角的大小。
A
C
D
B
解：设∠A=x°
则∠B=2x°，∠C=3x°，∠D=4x°
因为∠A+
∠B+∠C+∠D=360°
所以x+2x+3x+4x=360
10x=360
x=36
∠A=36°，
∠B=72°，
∠C=108°，∠D=144°
例题详解
例3
、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形。这个多边形是几边形？它的内角和是多少？
解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：
n-2=5
n=7
内角和=(n-2)x180°=(5-2)x180°=900°
这个多边形是七边形，它的内角和是900°
例题详解
例4、一个多边形的内角和等于外角和的
，求这个多边形的边数。
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得：
n=11
这个多边形的边数为11。
例题详解
练习题
1、在四边形的四个内角中，最多有_____个钝角，最多能有______个锐角。
2、一个多边形的每个内角都是150°，它是______边形。
3、已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，这个多边形是_______边形。
4、已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点所画的对角线的条数的2倍，则此多边形是______边形。
5、一个多边形的边数增加1，则内角和增加的度数是(
)
A。60°
B。90°
C。180°
D。360°
3
3
12
8
6
C
6、如图:某居民小区搞绿化，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为1米的花坛。小区绿化组长想先求花坛的面积，再根据面积买花苗。你能帮绿化组长求出花坛的面积吗？(结果保留π)
练习题
结论总结
1、n(n≥3)边形的的内角和为(n-2)x180°。
2、任意多边形的外角和等于360°
4、多边形的边数与内角和及外角和的关系：
内角和与边数成正比，边数增加，内角和增加，边数减少，内角和减少，每增加一条边，内角和增加180°(反过来也成立)，边数的内角和是180°的整数倍。多边形的外角和恒等于360°，与边数多少无关。
结论总结
