2.3
变量间的相关关系
相关关系
[提出问题]
(1)吸烟可导致肺癌．
(2)下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表．
气温/℃
25
18
12
10
4
0
杯数
18
30
37
35
50
54
(3)y＝x2＋5(x∈R)．
问题1：吸烟一定可以导致肺癌吗？吸烟与患肺癌有关吗？
提示：吸烟不一定患肺癌，但它们有一定的关系．
问题2：小卖部中卖出的热茶杯数与当天气温有关吗？两者之间是如何变化的？
提示：两者间有关系．随着气温的降低卖出的热茶杯数增加．
问题3：y＝x2＋5(x∈R)中，x，y间是什么关系？
提示：y与x间是函数关系，是一种确定关系．
[导入新知]
相关关系
如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系．
[化解疑难]
两个变量间的关系分类
两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，如某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系；再一类是不相关，即两变量没有任何关系．
散点图的含义及应用
[提出问题]
下表是某地搜集到的新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋的面积x(单位：m2)的数据：
x
115
110
80
135
105
y
44.8
41.6
38.4
49.2
42
问题1：以x为横坐标，y为纵坐标在平面直角坐标系中作出表示以上数据的点．
提示：如图所示：
问题2：房屋的销售价格与房屋的面积有关系吗？
提示：有关系．
问题3：怎样描述房屋的销售价格与房屋的面积之间的变化关系？
提示：大体上来看，面积越大，售价越高．但不是正比例函数关系．
[导入新知]
1．散点图
将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图，利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关．
2．正相关和负相关
(1)正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域．
(2)负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．
[化解疑难]
对正相关和负相关的理解
(1)正相关
随自变量的变大(或变小)，因变量也随之变大(或变小)，这种带有随机性的相关关系，我们称为正相关．例如，人年龄由小变大时，体内脂肪含量也由少变多．
(2)负相关
随自变量的变大(或变小)，因变量却随之变小(或变大)，这种带有随机性的相关关系，我们称为负相关．例如，汽车越重，每消耗1
L汽油所行驶的平均路程就越短．
回归直线方程
[提出问题]
问题：在“知识点二”的问题中，能否估计出房屋面积为120
m2时的销售价格？如何估计？
提示：能．根据散点图作出一条直线，求出直线方程，即可预测．
[导入新知]
回归直线方程
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线；
(2)回归方程：回归直线的方程，简称回归方程．
(3)回归方程的推导过程：
①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)；
②设所求回归方程为，其中，是待定参数；
③由最小二乘法得
其中：是回归方程的斜率，是截距．
[化解疑难]
回归直线方程与直线方程的区别
线性回归直线方程中y的上方加记号“
”是与实际值y相区别，因为线性回归方程中“”的值是通过统计大量数据所得到的一个预测值，它具有随机性，因而对于每一个具体的实际值而言，的值只是比较接近，但存在一定的误差，即y＝＋e(其中e为随机变量)，预测值与实际值y的接近程度由随机变量e的标准差决定．
相关关系的判断
[例1] (1)下列关系中，属于相关关系的是________．(填序号)
①正方形的边长与面积之间的关系；
②农作物的产量与施肥量之间的关系；
③人的身高与年龄之间的关系；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
(2)某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示．
年龄x/岁
1
2
3
4
5
6
身高y/cm
78
87
98
108
115
120
①画出散点图；
②判断y与x是否具有线性相关关系．
[解] (1)在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在③中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．
(2)①散点图如图所示．
②由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系．
[答案] (1)②④
[类题通法]
两个变量是否相关的两种判断方法
(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．
(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．
[活学活用]
如图所示的两个变量不具有相关关系的是______(填序号)．
解析：①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．
答案：①④
求回归方程
[例2] 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称
A
B
C
D
E
销售额x/千万元
3
5
6
7
9
利润额y/百万元
2
3
3
4
5
(1)画出销售额和利润额的散点图；
(2)若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的回归直线方程．
[解] (1)散点图如下：
(2)数据如下表：
i
xi
yi
x
xiyi
1
3
2
9
6
2
5
3
25
15
3
6
3
36
18
4
7
4
49
28
5
9
5
81
45
合计
30
17
200
112
可以求得＝0.5，＝0.4，
线性回归方程为＝0.5x＋0.4.
[类题通法]
求线性回归方程的步骤
(1)计算平均数，；
(2)计算xi与yi的积，求iyi；
(3)计算；
(4)将结果代入公式＝，求；
(5)用＝－，求；
(6)写出回归方程．
[活学活用]
1．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x/
cm
174
176
176
176
178
儿子身高y/
cm
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为( )
A.＝x－1
B.＝x＋1
C.＝88＋x
D.＝176
解析：选C 由题意得
＝＝176(cm)，
＝＝176(cm)，
由于(，)一定满足线性回归方程，经验证知选C.
2．已知变量x，y有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于x，y的回归直线方程．
解：(1)散点图如图所示：
(2)＝＝，
＝＝，
iyi＝1＋6＋12＋20＝39.
＝1＋4＋9＋16＝30，
＝＝，
＝－×＝0，
所以＝x为所求回归直线方程．
利用线性回归方程对总体进行估计
[例3] 一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机器零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表是抽样试验结果：
转速x/转/秒(x∈N
)
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数y/件
11
9
8
5
(1)如果y与x具有线性相关关系，求回归方程；
(2)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件数最多为10个，那么机器的转速应该控制在什么范围内？
[解] (1)由题意，可得＝12.5，＝8.25，
iyi＝438，＝660，
则＝≈0.728
6，
＝－＝－0.857
5.
所以回归直线的方程为＝0.728
6x－0.857
5.
(2)要使y≤10，则0.728
6x－0.857
5≤10，
解得x≤14.90.
所以机器的转速应该控制在15转/秒以下．
[类题通法]
回归分析的三个步骤
(1)进行相关性检验，若两变量无线性相关关系，则所求的线性回归方程毫无意义；
(2)求回归直线方程，其关键是正确地求得，；
(3)根据直线方程进行预测．
[活学活用]
(全国乙卷)如图是我国2008年到2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：i＝9.32，iyi＝40.17,
＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数r＝，
回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－.
解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得
＝4，(ti－)2＝28,
＝0.55，
(ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－4×9.32＝2.89，
r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝≈1.331及(1)得
＝＝≈0.103，
＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.
将2016年对应的t＝9代入回归方程得
＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．
[典例] 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨标准煤)的几组对照数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
[解题流程]
[规范解答]
＝＝4.5，＝＝3.5，
＝32＋42＋52＋62＝86，
∴＝＝＝0.7，
＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35，
故线性回归方程为＝0.7x＋0.35.
(3)根据回归方程预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，
故耗能约减少了90－70.35＝19.65(吨)标准煤．
[类题通法]
解答回归分析问题的四个注意点
(1)先用散点图确定是否线性相关；
(2)准确计算回归方程中的各个系数；
(3)回归直线必过样本中心；
(4)利用回归直线方程求出的值只是估计值，会与实际值有一定的误差．
[活学活用]
某个体服装店经营某种服装在某周内所获纯利y(元)与该周每天销售这种服装的件数x(件)之间有一组数据如下表：
每天销售服装件数x/件
3
4
5
6
7
8
9
该周内所获纯利y/元
66
69
73
81
89
90
91
(1)求，；
(2)若纯利y与每天销售这种服装的件数x之间是线性相关的，求回归直线方程；
(3)若该店每周至少要获纯利200元，请你预测该店每天至少要销售这种服装多少件？
(以下数据供选择：＝280，＝45
309，iyi＝3
487)
解：(1)＝＝6，
＝≈79.86.
(2)∵＝≈4.75，
＝79.86－4.75×6＝51.36，
∴纯利与每天销售件数x之间的回归直线方程为＝51.36＋4.75x.
(3)当＝200时，200＝4.75x＋51.36，所以x≈31.29.
因此若该店每周至少要获纯利200元，则该店每天至少要销售这种服装32件．
[随堂即时演练]
1．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )
A.＝－10x＋200
B．＝10x＋200
C.＝－10x－200
D．＝10x－200
解析：选A ∵商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，∴b＜0，排除B，D.又∵x＝0时，y＞0，∴选A.
2．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
解析：选C 由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关．
3．若施肥量x(kg)与水稻产量y(kg)的线性回归方程为＝5x＋250，当施肥量为80
kg时，预计水稻产量约为________kg.
解析：把x＝80
kg代入回归方程可得其预测值
＝5×80＋250＝650(kg)．
答案：650
4．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表所示．
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
若已求得它们的回归直线的斜率为6.5，这条回归直线的方程为__________________．
解析：由题意可知＝＝5，
＝＝50.
即样本中心为(5,50)．
设回归直线方程为＝6.5x＋，
∵回归直线过样本中心(，)，
∴50＝6.5×5＋，
即＝17.5，
∴回归直线方程为＝6.5x＋17.5.
答案：＝6.5x＋17.5
5．2015年元旦前夕，某市统计局统计了该市2014年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：
年收入x/万元
2
4
4
6
6
6
7
7
8
10
年饮食支出y/万元
0.9
1.4
1.6
2.0
2.1
1.9
1.8
2.1
2.2
2.3
(1)如果已知y与x是线性相关的，求回归方程；
(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．
(参考数据：iyi＝117.7，＝406)
解：(1)依题意可计算得：
＝6，＝1.83，2＝36，
＝10.98，
又∵iyi＝117.7，＝406，
∴＝≈0.17，
＝－＝0.81，
∴＝0.17x＋0.81.
∴所求的回归方程为＝0.17x＋0.81.
(2)当x＝9时，＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)．
可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列命题正确的是( )
①任何两个变量都具有相关关系；
②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；
③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；
④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；
⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．
A．①③④
B．②③④
C．③④⑤
D．②④⑤
答案：C
2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；
②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
答案：D
3．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x/万元
4
2
3
5
销售额y/万元
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时的销售额为( )
A．63.6万元
B．65.5万元
C．67.7万元
D．72.0万元
答案：B
4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本的中心点(，)
C．若该大学某女生身高增加1
cm，则其体重约增加0.85
kg
D．若该大学某女生身高为170
cm，则可断定其体重必为58.79
kg
答案：D
5．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程＝＋x中，回归系数( )
A．不能小于0
B．不能大于0
C．不能等于0
D．只能小于0
答案：C
二、填空题
6．正常情况下，年龄在18岁到38岁之间的人，体重y(单位：kg)对身高x(单位：cm)的回归方程为＝0.72x－58.2，张红同学(20岁)身高为178
cm，她的体重应该在________
kg左右．
解析：用回归方程对身高为178
cm的人的体重进行预测，当x＝178时，＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．
答案：69.96
7．为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x(单元：万元)和年教育支出y(单位：万元)．调查显示年收入x与年教育支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程为＝0.15x＋0.2.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元．
解析：因为回归直线的斜率为0.15，所以家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加0.15万元．
答案：0.15
8．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x(单位：小时)与当天投篮的命中率：
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．
解析：小李这5天的平均投篮命中率
＝(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5，＝3，
＝
＝
＝0.01，
＝－＝0.47，
∴线性回归方程为＝0.01x＋0.47，
则当x＝6时，y＝0.53.
∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53.
答案：0.5 0.53
三、解答题
9．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192，3
246](单位：吨)，船员的人数为5～32人，船员人数y关于吨位x的回归方程为＝9.5＋0.006
2x，
(1)若两艘船的吨位相差1
000，求船员平均相差人数；
(2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数．
解：(1)设两艘船的吨位分别为x1，x2则
1－2＝9.5＋0.006
2x1－(9.5＋0.006
2x2)
＝0.006
2×1
000≈6，
即船员平均相差6人．
(2)当x＝192时，＝9.5＋0.006
2×192≈11，
当x＝3
246时，＝9.5＋0.006
2×3
246≈30.
即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为30和11.
10．某工厂对某种产品的产量与成本进行资料分析后有如下数据：
产量x/千件
2
3
5
6
成本y/万元
7
8
9
12
(1)画出散点图；
(2)求成本y与产量x之间的线性回归方程；
(3)预计产量为8千件时的成本．
解：(1)散点图如下：
(2)设成本y与产量x的线性回归方程为＝x＋，
＝＝4，＝＝9.
＝＝＝1.1，
＝－＝9－1.1×4＝4.6.
所以，回归方程为＝1.1x＋4.6.
(3)当x＝8时，＝1.1×8＋4.6＝8.8＋4.6＝13.4，即产量为8千件时，成本约为13.4万元．3．1.1 随机事件的概率
事件的概念及分类
[提出问题]
(1)在山顶上，抛一块石头，石头下落；
(2)在常温下，铁熔化；
(3)掷一枚硬币，出现正面向上．
问题：以上3个事件中，哪一个是确定会发生的？哪一个是确定不会发生的，哪一个是有可能发生也有可能不发生的？
提示：(1)确定会发生；(2)确定不会发生；(3)可能发生也可能不发生．
[导入新知]
事件
确定事件
不可能事件
在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件
必然事件
在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件
随机事件
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件
[化解疑难]
理解随机事件应注意的问题
(1)随机事件就是在条件S下，不能事先预测结果的事件．
(2)当条件S改变时，事件的性质也可能发生变化，因此在判断事件类型时，一定要明确前提条件S，它决定着事件的属性．例如，“常温常压下，水沸腾”是不可能事件，但“100℃常压下，水沸腾”就成为必然事件了.
频数与频率
[提出问题]
抛掷一枚硬币100次，出现正面向上48次．
问题1：你能计算正面向上的频率吗？
提示：正面向上的频率为0.48.
问题2：掷一枚硬币一次，出现正面向上的概率为多少？
提示：掷一枚硬币一次，出现正面向上的概率为.
[导入新知]
1．频数与频率
(1)前提：对于给定的随机事件A，在相同的条件S下重复n次试验，观察事件A是否出现．
(2)频数：指的是n次试验中事件A出现的次数nA.
频率：指的是事件A出现的比例fn(A)＝.
2．概率
(1)定义：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．
(2)范围：[0,1]．
(3)意义：概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．
[化解疑难]
频率与概率的关系
名称
区别
联系
频率
本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同
频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．在实际问题中，通常事件的概率是未知的，常用频率估计概率
概率
一个[0,1]的确定值，不随试验结果的改变而改变
事件的分类
[例1] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
[解] (1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．
(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．
(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
[类题通法]
对事件分类的两个关键点
(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；
(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
[活学活用]
指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；
(2)若a为实数，则|a|≥0；
(3)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；
(4)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标；
(5)没有水分，种子发芽．
解：(1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．
(2)对任意实数a，|a|≥0总成立，是必然事件．
(3)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．
(4)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件．
(5)没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件.
试验及重复试验的结果的分析
[例2] 指出下列试验的条件和结果：
(1)某人射击一次，命中的环数；
(2)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取1个球；
(3)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，一次任取2个球．
[解] (1)条件为射击一次；结果为命中的环数：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，共11种．
(2)条件为从袋中任取1个球；结果为：a，b，c，d，共4种．
(3)条件为从袋中任取2个球；若记(a，b)表示一次取出的2个球是a和b，则试验的全部结果为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6种．
[类题通法]
分析试验结果的方法
(1)首先要准确理解试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是后续学习求事件的概率的前提和基础．
(2)在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活的经验，按一定的次序一一列举，才能保证没有重复，也没有遗漏．
[活学活用]
下列随机事件中，一次试验各指什么？它们各有几次试验？试验的可能结果有哪几种？
(1)一天中，从北京站开往合肥站的3列列车，全部正点到达；
(2)某人射击两次，一次中靶，一次未中靶．
解：(1)一列列车开出，就是一次试验，共有3次试验．试验的结果有“只有1列列车正点到达”“只有2列列车正点到达”“全部正点到达”“全部晚点到达”，共4种．
(2)射击一次，就是一次试验，共有2次试验．试验的结果有“两次中靶”“第一次中靶，第二次未中靶”“第一次未中靶，第二次中靶”“两次都未中靶”，共4种．
概率及其求法
[例3] 某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1
000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组
[0，900)
[900，1
100)
[1100，1300)
[1
300，1
500)
[1
500，1
700)
[1
700，1
900)
[1
900，＋∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1
500小时的概率．
[解] (1)频率依次是0.048,0.121,0.208，0.223，0.193,0.165,0.042.
(2)样本中使用寿命不足1
500小时的频数是
48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中使用寿命不足1
500小时的频率是＝0.6，即灯管使用寿命不足1
500小时的概率约为0.6.
[类题通法]
估算法求概率
(1)用频率估计概率
①进行大量的随机试验，求得频数；
②由频率计算公式fn(A)＝得频率；
③由频率与概率的关系估计概率．
(2)注意事项
试验次数n不能太小．只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近摆动，且这个常数就是概率．
[活学活用]
某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心的次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)
解：(1)表中依次填入的数据为：0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.
(2)由(1)知，这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.
8．事件判断中的误区
[典例] 从12个同类产品(其中10个是正品，2个是次品)中任意抽取3个的必然事件是( )
A．3个都是正品
B．至少有1个是次品
C．3个都是次品
D．至少有1个是正品
[解析] 任意抽取3件的可能情况是：
3个正品；2个正品一个次品；1个正品2个次品．由于只有2个次品，不会有3个次品的情况.3种可能的结果中，都至少有1个正品，所以至少有1个是正品是必然发生的，必然事件应该是“至少有1个是正品”．
[答案] D
[易错防范]
1．本题易误认为正品数远大于次品数，抽出的就都是正品，从而错选A.
2．本题还易错误地认为，因为产品中既有正品也有次品，因此抽取的3个产品中应两种产品都有，从而误选B.
3．在试验中，当可能结果不唯一时，要判断事件类型，必须把握所有的可能结果，才能正确判断．
[成功破障]
在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；
④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于9.
其中，________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件(只填事件的序号即可)．
解析：根据事件的有关概念可以判断④是必然事件，②是不可能事件；①③是随机事件．
答案：④ ② ①③
[随堂即时演练]
1．下列事件：
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②经过有信号灯的路口，遇上红灯；
③从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中，任取3个，3个都是次品；
④下周六是晴天．
其中，是随机事件的是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
解析：选D ①为必然事件；对于③，次品总数为2，故取到的3个不可能都是次品，所以③是不可能事件；②④为随机事件．
2．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是( )
A．不可能事件
B．必然事件
C．可能性较大的随机事件
D．可能性较小的随机事件
解析：选D 掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．
3．下列事件：
①在空间内取三个点，可以确定一个平面；
②13个人中，至少有2个人的生日在同一个月份；
③某电影院某天的上座率会超过50%；
④函数y＝logax(0＜a＜1)在定义域内为增函数；
⑤从一个装有100只红球和1只白球的袋中摸球，摸到白球．
其中，________是随机事件，________是必然事件，________是不可能事件(填序号)．
解析：①③⑤是随机事件，②是必然事件，④是不可能事件．
答案：①③⑤ ② ④
4．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么可能共进行了________次试验．
解析：设共进行了n次试验，则＝0.02，解得n＝500.
答案：500
5．下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题.
每批粒数
2
5
10
70
130
700
1
500
2
000
3
000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
637
1
370
1
786
2
715
发芽的频率
(1)完成上面表格；
(2)该油菜籽发芽的概率约是多少？
解：(1)填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.905.
(2)该油菜籽发芽的概率约为0.9.
[课时达标检测]
一、选择题
1．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“三个数字的和大于6”这一事件是( )
A．必然事件
B．不可能事件
C．随机事件
D．以上选项均不正确
答案：C
2．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为( )
A．3件都是正品
B．至少有1件次品
C．3件都是次品
D．至少有1件正品
答案：C
3．事件A的频率满足( )
A.＝0
B．＝1
C．0＜＜1
D．0≤≤1
答案：D
4．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0,1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
答案：C
5．在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为( )
A．0.49
B．49
C．0.51
D．51
答案：D
二、填空题
6．下列说法正确的有________．(填序号)
(1)频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性的大小．
(2)做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率．
(3)频率是不能脱离具体的试验次数的试验值，而概率是确定性的、不依赖于试验次数的理论值．
(4)在大量实验中频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
解析：由频率、概率的意义及二者的关系可知(1)，(3)，(4)正确．
答案：(1)(3)(4)
7．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃在一年时间里破碎的概率，公司收集了20
000部汽车，从某年的5月1日到下一年的4月30日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率约为________．
解析：p＝＝0.03.
答案：0.03
8．某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如表(结果保留两位有效数字)：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5
544
9
013
13
520
17
191
男婴数
2
716
4
899
6
812
8
590
男婴出生频率
(1)将表格补充完整；
(2)这一地区男婴出生的概率约是________．
解析：频率＝，可以利用频率来求近似概率．
(1)中各频率为0.49,0.54,0.50,0.50.
(2)由(1)得概率约为0.50.
答案：(1)0.49 0.54 0.50 0.50 (2)0.50
三、解答题
9．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径(单位：cm)检验，结果如下：
直径(单位：cm)
个数
直径(单位：cm)
个数
(6.88,6.89]
1
(6.93,6.94]
26
(6.89,6.90]
2
(6.94,6.95]
15
(6.90,6.91]
10
(6.95,9.96]
8
(6.91,6.92]
17
(6.96,6.97]
2
(6.92,6.93]
17
(6.97,6.98]
2
从这100个螺母中任意取一个，检验其直径的大小，求下列事件的频率：
(1)事件A：螺母的直径在(6.93,6.95]范围内；
(2)事件B：螺母的直径在(6.91,6.95]范围内；
(3)事件C：螺母的直径大于6.96.
解：(1)螺母的直径在(6.93,6.95]范围内的频数为
nA＝26＋15＝41，
所以事件A的频率为＝0.41.
(2)螺母的直径在(6.91,6.95]范围内的频数为
nB＝17＋17＋26＋15＝75.
所以事件B的频率为＝0.75.
(3)螺母的直径大于6.96的频数为nC＝2＋2＝4，
所以事件C的频率为＝0.04.
10．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10
000个鱼卵能孵出8
513条鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：
(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？
(2)30
000个鱼卵大约能孵化多少条鱼苗？
(3)要孵化5
000条鱼苗，大约需准备多少个鱼卵(精确到百位)
解：(1)这种鱼卵的孵化频率为＝0.851
3，
把它看作近似孵化的概率．
(2)设能孵化x条鱼苗，则＝0.851
3.
所以x＝25
539，
即30
000个鱼卵大约能孵化25
539条鱼苗．
(3)设大约需准备y个鱼卵，则＝0.851
3，
所以y≈5
900，
即大约需准备5
900个鱼卵．
11．对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品频率
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2
000个U盘，至少需进货多少个U盘？
解：(1)表中次品频率从左到右依次为0.06，0.04，0.025,0.017,0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2
000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2
000，因为x是正整数，
所以x≥2
041，即至少需进货2
041个U盘．3．1.3 概率的基本性质
事件的关系与运算
[提出问题]
一袋中有2个红球，2个白球，从中摸出两个球，记“摸出的两球是红球”为事件A，“摸出的两球是白球”为事件B，“摸出的两球是一红一白”为事件C，“摸出的两球至少一个红球”为事件D，“摸出的两球至少有一个白球”为事件E.
问题1：若事件A发生，事件D发生吗？它们是什么关系？
提示：事件A发生，则事件D一定发生，它们是包含关系．
问题2：若事件C发生，则事件D会发生吗？事件A，C，D之间有何关系？
提示：事件C发生，则事件D一定会发生；事件D包含事件A和事件C两个事件．
问题3：若事件C发生，那么事件E会发生吗？事件C，D，E又有何关系？
提示：若事件C发生，那么事件E一定会发生；事件D、事件E均包含事件C.
问题4：事件A与事件B能同时发生吗？事件A与事件E能同时发生吗？事件A与事件E的并事件是什么事件？交事件又是什么事件？
提示：事件A与事件B不能同时发生；事件A与事件E也不能同时发生；A∪E是必然事件；A∩E是不可能事件．
[导入新知]
事件的关系及运算
定义
表示法
图示
事件的关系
包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B A(或A B)
事件互斥
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
若A∩B＝ ，则A与B互斥
事件对立
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
若A∩B＝ ，且A∪B＝U，则A与B对立
事件的运算
并事件
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
[化解疑难]
利用集合间的关系掌握事件间的关系
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.
①事件A与B互斥，即集合A∩B＝ ；
事件A与B对立，即集合A∩B＝ ，且A∪B＝I(I为全集)，也即A＝ IB或B＝ IA.
概率的基本性质
[提出问题]
在“知识点一”的实例中，事件A发生的频数与试验的总次数之间什么关系？事件A、事件C、事件D发生的频数之间有什么关系？
提示：事件A发生的频数会小于或等于试验的总次数；事件D发生的频数等于事件A发生的频数与事件C发生的频数之和．
[导入新知]
概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围[0,1]．
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)，P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.
[化解疑难]
概率加法公式的推广
如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件A1∪A2…∪An发生(即A1，A2，…，An中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1∪A2…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
事件间关系的判断
[例1] 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
[解] 从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．
(1)“恰有一名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)“至少一名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)“至少一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)“至少有一名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
[类题通法]
判断事件间关系的方法
(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的．
(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．
[活学活用]
从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；
(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；
(3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．
解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：(1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件；同理可以判断(2)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件；(3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件.
事件的运算
[例2] 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
[解] (1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球，故C∩A＝A.
[类题通法]
进行事件运算应注意的问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
[活学活用]
在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与A，B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
解：C＝A∪B∪E；C∩F＝A∪B.
互斥事件与对立事件的概率公式的应用
[例3] 在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求：
(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率；
(2)小王数学考试及格的概率．
[解] 设小王的成绩在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥．
(1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D，则D＝A＋B，所以P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件，所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93.
[类题通法]
概率公式的应用
(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果．
(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率．
[活学活用]
一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
解：法一：(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．
∴任取1球得红球或黑球的概率为P1＝＝.
(2)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为＝.
法二：(利用互斥事件求概率)
记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，
A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
法三：(利用对立事件求概率)
(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝＝.
(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4，
所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
[典例] 某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24,0.28，0.19，0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率；
(3)射中环数不足8环的概率．
[解题流程]
[规范解答]
[类题通法]
含有“至多”“至少”等词语的事件的概率的求法
(1)当所给的事件比较简单时，则将其分解成彼此互斥的几个事件的和，然后利用概率加法公式求解．但是，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏．
(2)当所给的事件比较复杂，且很难将其分解成几个互斥事件的和时，常考虑先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．
[活学活用]
某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1
000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)抽取1张奖券中奖的概率；
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
解：(1)∵每1
000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
∴P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则
P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋
＝.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则
P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝.
[随堂即时演练]
1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )
A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
解析：选D 由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．
2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A．至多有2件次品
B．至多有1件次品
C．至多有2件正品
D．至少有2件正品
解析：选B 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．
3．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.
答案：
4.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.15，0.20，0.45，则不中靶的概率是________________．
解析：设射手“命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C互斥，故射手中靶概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.15＋0.20＋0.45＝0.80.因为中靶和不中靶是对立事件，故不中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.80＝0.20.
答案：0.20
5．黄种人群中各种血型的人所占比例如下：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例/%
28
29
8
35
已知同种血型的人之间可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，则：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，
P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给小明血的人”为事件B′∪D′，根据互斥事件的概率加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，
故“不能输血给小明的人”为事件A′∪C′，
且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
法二：因为任找一个人，其血要么可以输给小明，要么不可以输给小明，两者互为对立事件，所以不能输给小明的概率为1－P(B′∪D′)＝1－0.64＝0.36.
[课时达标检测]
一、选择题
1．把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是( )
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．以上答案均不对
答案：C
2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )
A．0.42
B．0.28
C．0.3
D．0.7
答案：C
3．给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A与事件B是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件．其中命题正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：B
4．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A．A∪B是必然事件
B.∪是必然事件
C.与一定互斥
D.与一定不互斥
答案：B
5．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，那么乙不输的概率是( )
A．20%
B．70%
C．80%
D．30%
答案：B
二、填空题
6．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，抽得正品的概率为________．
解析：记事件A＝，B＝，C＝，事件A，B，C彼此互斥且A与(B∪C)是对立事件，所以P(A)＝1－P(B∪C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.
答案：0.96
7．设事件A的对立事件为B，已知事件B的概率是事件A的概率的2倍，则事件A的概率是____________________________________________________________________．
解析：由条件可知P(B)＝2P(A)，又P(A)＋P(B)＝1，所以P(A)＋2P(A)＝1，则P(A)＝.
答案：
8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有一名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________．
解析：“至少有一名女生”与“都是男生”是对立事件．故3人中都是男生的概率P＝1－＝.
答案：
三、解答题
9．某省是高中新课程改革试验省份之一，按照规定每个学生都要参加学业水平考试，全部及格才能毕业，不及格的可进行补考．某校有50名同学参加物理、化学、生物水平测试补考，已知只补考物理的概率为，只补考化学的概率为，只补考生物的概率为.随机选出一名同学，求他不止补考一门的概率．
解：设“不止补考一门”为事件E，“只补考一门”为事件F，“只补考物理”为事件A，则P(A)＝，“只补考化学”为事件B，则P(B)＝，“只补考生物”为事件C，则P(C)＝.这三个事件为互斥事件，所以P(F)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝0.6.又因为事件E和事件F互为对立事件．所以P(E)＝1－P(F)＝1－0.6＝0.4.即随机选出一名同学，他不止补考一门的概率为0.4.
10．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
解：从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，
则P(A)＝，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝1－P(A)＝1－＝.
解
得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
即得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为，，.
11．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．
解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，
得0.1＋0.16＋x＝0.56，
∴x＝0.3.
(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z＝1，∴z＝0.04.
由派出医生最少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋z＝0.44，
∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.2．1.3 分层抽样
[提出问题]
某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内分别对小学生、初中生、高中生三个群体抽样，进而了解中小学生的总体情况和三个群体近视情况的差异大小．
问题1：上述问题中样本总体有什么特征？
提示：此总体，小学生、初中生、高中生三个群体在年龄、体质等方面存在着明显的差异．
问题2：若采用抽签法或系统抽样法会出现什么结果？
提示：抽取的样本可能集中于某一个群体，不具有代表性．
问题3：为使抽取的样本更合理，更有代表性，有更好的抽样方法解决该问题吗？
提示：有．可分不同群体抽取．
[导入新知]
1．分层抽样的概念
在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
2．分层抽样的适用条件
分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充
分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
[化解疑难]
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的联系和区别
类别
简单随机抽样
系统抽样
分层抽样
各自特点
从总体中逐个抽取
将总体均分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取
将总体分成几层，分层进行抽取
相互联系
在起始部分采用简单随机抽样
在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
适用范围
总体中的个体数较少
总体中的个体数较多
总体由存在明显差异的几部分组成
共同点
抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；②每次抽出个体后不再放回，即不放回抽样
分层抽样的概念
[例1] (1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适( )
A．系统抽样法
B．简单随机抽样法
C．分层抽样法
D．随机数法
(2)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行( )
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽取的个体数量相同
[解析] (1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层抽样法．
(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．
[答案] (1)C (2)C
[类题通法]
1．使用分层抽样的前提
分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．
2．使用分层抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．
[活学活用]
下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1
000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
解析：选B A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样.
分层抽样的应用
[例2] (1)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．
(2)一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．
[解] (1)∵A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，
又有总体中每个个体被抽到的概率相等，
∴分层抽样应从C中抽取100×＝20(个)个体．
(2)因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法．
具体过程如下：
第一步，将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．
第二步，按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人，40人，100人，40人，60人．
第三步，按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．
第四步，将300人合到一起，即得到一个样本．
[答案] (1)20
[类题通法]
1．分层抽样的步骤
2．确定每层抽取的个体数的方法
(1)已知总体容量、样本容量及各层的个体数时，首先确定抽样比，其中N为总体容量，n为样本容量；然后确定每层抽取的个体的个数ni＝Ni×，其中Ni为第i(i＝1,2，…，k)层的个体数，ni为第i层应抽取的样本数．
(2)已知各层个体数之比为m1∶m2∶…∶mk，样本容量为n时，每层抽取的个体数为ni＝n×.
[活学活用]
(北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1
800
青年教师
1
600
合计
4
300
A.90
B．100
C．180
D．300
解析：选C 设该样本中的老年教师人数为x，
由题意及分层抽样的特点得＝，
故x＝180.
三种抽样方法的综合应用
[例3] 某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3
000名初中生、4
000名高中生中做问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估．
(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？
(2)要从3
000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？
(3)为了从4
000份高中生的答卷中抽取一个容量为64的样本，如何使用系统抽样抽取到所需的样本？
[解] (1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样．
因为样本容量＝120，总体个数＝500＋3
000＋4
000＝7
500，则抽样比为＝，
所以有500×＝8,3
000×＝48，
4
000×＝64，
所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.
分层抽样的步骤是：
①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层．
②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.
③各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取样本．
④综合每层抽样，组成样本．
这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论．
(2)由于简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法．如果用抽签法，要作3
000个号签，费时费力，因此采用随机数表法抽取样本，步骤是：
①编号：将3
000份答卷都编上号码：0
001，0
002，0
003，…，3
000.
②在随机数表上随机选取一个起始位置．
③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于3
000，则去掉，如果遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止．
(3)由于4
000÷64＝62.5不是整数，则应先使用简单随机抽样从4
000名学生中随机剔除32个个体，再将剩余的3
968个个体进行编号：1,2，…，3
968，然后将整体分为64个部分，其中每个部分中含有62个个体，如第1部分个体的编号为1,2，…，62.从中随机抽取一个号码，如若抽取的是23，则从第23号开始，每隔62个抽取一个，这样得到容量为64的样本：23,85,147,209,271,333,395,457，…，3
929.
[类题通法]
选择抽样方法的步骤及注意事项
(1)选择抽样方法的步骤：
第一步，看总体是否由差异明显的几个层次组成．若是，则选用分层抽样；否则，考虑用简单随机抽样或系统抽样．
第二步，看总体容量和样本容量的大小．当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大、样本容量较小时，采用随机数表法；当总体容量较大、样本容量也较大时，采用系统抽样．
(2)注意事项：
①弄清三种抽样方法的使用范围和实际情况是灵活选用抽样方法的前提．
②三种抽样都是等可能抽样．
③简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础，三种抽样方法经常交叉使用．例如，在分层抽样中，各层抽样时可采用系统抽样或简单随机抽样；在系统抽样中，起始部分可采用简单随机抽样．
[活学活用]
为了评估某学校的教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行考察．为全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查(已知该学校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同)：
①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班任意抽取20人，考察他们的学习成绩；
②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的学习成绩；
③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)．
根据上面的叙述，回答下列问题：
(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？按每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？
(2)上面三种抽取方式中，各自采用何种抽样方法？
(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤．
解：(1)三种抽取方式中，其总体都是高三全体学生本学年的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第
三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100.
(2)三种抽取方式中，第一种方式采用的是简单随机抽样法；第二种方式采用的是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法．
(3)第一种方式抽样的步骤如下：
第一步，在这20个班中用抽签法任意抽取一个班；
第二步，从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩．
第二种方式抽样的步骤如下：
第一步，在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为a；
第二步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，共计20人．
第三种方式抽样的步骤如下：
第一步，分层．由于按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，故在抽取样本时，应把全体学生分成三层．
第二步，确定各个层抽取的人数．由于样本容量与总体的个体数的比为100∶1
000＝1∶10，故在每层抽取的个体数依次为，，，即15,60,25.
第三步，按层分别抽取．在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人；在良好生中用简单随机抽样法抽取60人；在普通生中用简单随机抽样法抽取25人．
[典例] 某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求得样本容量为________．
[解析] 总体容量N＝36.
当样本容量为n时，系统抽样间隔为∈N
，所以n是36的约数；
分层抽样的抽样比为，求得工程师、技术员、技工的抽样人数分别为、、，所以n应是6的倍数，所以n＝6或12或18或36.
当样本容量为n＋1时，总体中先剔除1人时还有35人，系统抽样间隔为∈N
，所以n只能是6.
[答案] 6
[易错防范]
1．若没有考虑样本容量为n＋1时的变化情况，会得到n＝6或12或18或36的错误结论．
2．样本容量增加1个个体，若总体没有剔除1人，没有考虑到系统抽样的间隔为∈N
，而是利用n＋1是36的约数，则易得n＝5，从而导致解题错误．
[成功破障]
某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3
000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
由于不小心，表格中A、C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是__________件．
解析：抽样比为130∶1
300＝1∶10，即每10个产品中抽取1个个体，又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，故C产品的数量是[(3
000－1
300)－100]×＝800(件)．
答案：800
[随堂即时演练]
1．(四川高考)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A．抽签法
B．系统抽样法
C．分层抽样法
D．随机数法
解析：选C 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．
2．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表．现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )
类别
粮食类
植物油类
动物性食品类
果蔬类
种数
40
10
30
20
A.7
B．6
C．5
D．4
解析：选B 由已知可得抽样比为：＝，∴抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为(10＋20)×＝6.
3．已知某单位有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样的方法(按男、女分层)抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为________．
解析：分层抽样中抽样比一定相同，设样本容量为n，由题意得，＝，解得n＝36.
答案：36
4．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________人．
解析：∵单位共有职工200人，取一个容量为25的样本，∴依题意知抽取超过45岁的职工人数为×80＝10(人)．
答案：10
5．对某单位1
000名职工进行某项专门调查，调查的项目与职工任职年限有关，人事部门提供了如下资料：
任职年限
人数
5年以下
300
5～10年
500
10年以上
200
试利用上述资料，设计一个抽样比为的抽样方法．
解：因为抽样比为，
故只需从1
000人中抽取1
000×＝100(人)．
故从任职5年以下的职工中抽取300×＝30(人)．
从任职5年～10年的职工中抽取500×＝50(人)．
从任职10年以上的职工中抽取200×＝20(人)．
[课时达标检测]
一、选择题
1．在抽样过程中，每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样，那么分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中，是不放回抽样的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
答案：D
2．当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户．若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( )
A．40
B．30
C．20
D．36
答案：A
3．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A．101
B．808
C．1
212
D．2
012
答案：B
4．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3
500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取的高一学生人数为( )
A．8
B．11
C．16
D．10
答案：A
5．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中从11～12岁学生问卷中抽取60份，则从15～16岁学生中抽取的问卷份数为( )
A．60
B．80
C．120
D．180
答案：C
二、填空题
6．某学院的A，B，C三个专业共有1
200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生．
解析：C专业的学生有1
200－380－420＝400(名)，由分层抽样原理，应抽取120×＝40(名)．
答案：40
7．一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是________．
解析：抽取女运动员的人数为×28＝12.
答案：12
8．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
解析：高二年级学生人数占总数的，样本容量为50，则50×＝15.
答案：15
三、解答题
9．某高级中学共有学生3
000名，各年级男、女生人数如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
女生
487
x
y
男生
513
560
z
已知从全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率是0.18.
(1)问高二年级有多少名女生？
(2)现对各年级用分层抽样的方法从全校抽取300名学生，问应从高三年级抽取多少名学生？
解：(1)由＝0.18得x＝540，
所以高二年级有540名女生．
(2)高三年级人数为：
y＋z＝3
000－(487＋513＋540＋560)＝900.
∴×300＝90，故应从高三年级抽取90名学生．
10．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工只能参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%；登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
解：(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，
则有＝47.5%，＝10%.
解得b＝50%，c＝10%.
故a＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占的比例为40%,50%，10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200××40%＝60；
抽取的中年人人数为200××50%＝75；
抽取的老年人人数为200××10%＝15.
11．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多多少人？
解：因为采用的是分层抽样且三类同学的人数比例为5∶1∶3，所以可设三类同学的人数分别为5x、x、3x，依题意3x－x＝12，得x＝6.所以“喜欢”摄影的同学共有5×6＝30人，全班共有9×6＝54人，因此全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多3人．1．1.1 算法的概念
算法的概念
[提出问题]
2014年8月“青奥会”在南京开幕，某人想观看“青奥会”的开幕式，通过网络订票成功，然后按时验票入场，观看完开幕式后退场返回．
问题1：观看开幕式的过程是明确的吗？
提示：是明确的．
问题2：观众订票的方式是唯一的吗？
提示：不唯一．
问题3：若你想去观看“青奥会”开幕式，如何设计你的行程？
提示：首先订票，然后选择合适的交通工具按时到场，验票入场，观看开幕式．
[导入新知]
[化解疑难]
1．对算法概念的理解
(1)算法没有一个精确化的定义，可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或看成按要求设计好的有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题．
(2)算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
事实上，算法的概念很广泛，为解决一类问题而采取的方法和步骤都称为“算法”．但我们这里讲的是计算机能实现的算法，即一类问题的机械的、统一的求解方法，如解方程(组)的算法、函数求值的算法等．
2．算法的特征
特征
具体内容
确定性
算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可的
正确性和顺序性
算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，上一步是下一步的前提，只有执行完上一步，才能执行下一步
有限性
一个算法必须在执行完有限步之后结束，而不能是无限的
不唯一性
求解某个问题的算法不一定是唯一的，一个问题可以有不同的算法
普遍性
很多具体的问题都可以设计合理的算法去解决，写出的算法必须能解决一类问题
算法与计算机
[提出问题]
问题1：在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具，听音乐、看电影、玩游戏、办公、处理数据、收发邮件，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域．那么你知道算法与计算机的关系吗？
提示：算法是计算机科学的基础，计算机处理任何问题都要依赖于算法．
问题2：如何设计一个利用计算机求当x取任何值时函数f(x)＝x2－x＋2的值的算法？试写出算法步骤．
提示：第一步，输入x.
第二步，计算f(x)＝x2－x＋2.
第三步，输出f(x)．
[导入新知]
算法与计算机的关系
计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．
[化解疑难]
1．算法设计的要求
(1)设计的算法要适用于一类问题，并且遇到类似问题能够重复使用；
(2)算法过程要做到能一步一步地执行，每一步执行的操作，必须是明确有效的，不能含糊不清；
(3)所设计的算法必须在有限步后得到问题的结果，不能无限进行下去；
(4)设计的算法的步骤应当是最简练的，即最优算法．
2．算法与数学中的解法的联系和区别
(1)联系：算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系，算法的获取要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般方法解决．
(2)区别：算法是解决某些问题所需要的程序和步骤的统称，也可以理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程．
算法的概念
[例1] (1)下列关于算法的描述正确的是( )
A．算法与求解一个问题的方法相同
B．算法只能解决一个问题，不能重复使用
C．算法过程要一步一步执行
D．有的算法执行完以后，可能没有结果
(2)下列叙述不能称为算法的是( )
A．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海
B．解方程4x＋1＝0的过程是先移项再把x的系数化成1
C．利用公式S＝πr2计算半径为2的圆的面积得π×22
D．解方程x2－2x＋1＝0
[解析] (1)算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A不对；算法能够重复使用，故B不对；每一个算法执行完以后，必须有结果，故D不对．
(2)选项A，B给出了解决问题的方法和步骤，是算法；选项C是利用公式计算也属于算法；选项D只提出问题没有给出解决的方法，不是算法．
[答案] (1)C (2)D
[类题通法]
理解算法的关键点
(1)算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想．
(2)判断一个问题是否有算法，关键看是否有解决某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．
[活学活用]
计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是( )
①S＝2＋4＋6＋…＋1
000；
②S＝2＋4＋6＋…＋1
000＋…；
③S＝2＋4＋6＋…＋2n(n≥1，n∈N)．
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
解析：选B 由算法的有限性知②不正确，而①③都可通过有限的步骤操作，输出确定结果.
算法的设计
[例2] (1)早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5
min)、刷水壶(2
min)、烧水(8
min)、泡面(3
min)、吃饭(10
min)、听广播(8
min)几个步骤．从下列选项中选出最好的一种算法( )
A．第一步洗脸刷牙、第二步刷水壶、第三步烧水、第四步泡面、第五步吃饭、第六步听广播
B．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭、第五步听广播
C．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭同时听广播
D．第一步吃饭同时听广播、第二步泡面、第三步烧水同时洗脸刷牙、第四步刷水壶
(2)写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法．
[解析] (1)选C
A
×
所用时间为36分钟
B
×
所用时间为31分钟
C
√
所用时间为23分钟
D
×
不符合日常生活规律
(2)算法一：
第一步，计算1＋2，得到3.
第二步，将第一步中的运算结果3与3相加，得到6.
第三步，将第二步中的运算结果6与4相加，得到10.
第四步，将第三步中的运算结果10与5相加，得到15.
第五步，将第四步中的运算结果15与6相加，得到21.
算法二：
第一步，将原式变形为(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝7×3.
第二步，计算7×3.
第三步，得到运算结果．
算法三：
第一步，取n＝6.
第二步，计算.
第三步，得到运算结果．
[类题通法]
设计具体问题的算法的步骤
设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：
(1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；
(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．
[活学活用]
1．一个算法的步骤如下，如果输入x的值为－3，则输出z的值为( )
第一步，输入x的值．
第二步，计算x的绝对值y.
第三步，计算z＝2y－y.
第四步，输出z的值．
A．4
B．5
C．6
D．8
解析：选B 分析算法中各变量、各语句的作用，再根据算法的步骤可知：
该算法的作用是计算并输出z＝2|x|－|x|的函数值．
第一步，输入x的值－3.
第二步，计算x的绝对值y＝3.
第三步，计算z＝2y－y＝23－3＝5.
第四步，输出z的值为5.
2．给定一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，设计一个算法来判定方程根的情况．
解：第一步，计算Δ＝b2－4ac；
第二步，如果Δ>0，那么方程有两个不相等的实数根；
第三步，如果Δ＝0，那么方程有两个相等的实数根；
第四步，如果Δ<0，那么方程没有实数根.
算法的应用
[例3] (1)结合下面的算法：
第一步，输入x.
第二步，判断x是否小于0.若是，则输出x＋2，否则执行第三步．
第三步，输出x－1.
当输入的x的值为－1,0,1时，输出的结果分别为( )
A．－1,0,1
B．－1,1,0
C．1，－1,0
D．0，－1,1
(2)设计一个判断直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2的位置关系的算法．
[解析] (1)选C 根据x值与0的关系，选择执行不同的步骤．当x＝－1时，输出x＋2，即输出1；当x＝0时，输出x－1，即输出－1；当x＝1时，输出x－1，即输出0.
(2)算法如下：
第一步，输入圆心坐标(x0，y0)，直线方程的系数A，B，C和半径r.
第二步，计算z1＝Ax0＋By0＋C.
第三步，计算z2＝.
第四步，计算d＝.
第五步，若d＞r，则输出“相离”；若d＝r，则输出“相切”；若d＜r，则输出“相交”．
[类题通法]
数学中两种算法应用的处理方法
(1)数值性计算问题，如解方程(组)、解不等式(组)或套用公式判断性问题，一般通过数学模型借助数学计算方法分解成清晰的步骤，并条理化．
(2)非数值性问题，如查找、变量代换、文字处理等非数值性计算问题，设计算法时，首先建立过程模型，然后根据过程设计步骤，完成算法．
[活学活用]
设计一个算法，求解方程组
解：用消元法解方程组，其算法步骤是：
第一步，①＋③得x＝5. ④
第二步，①＋②得2x－y＝14.
⑤
第三步，将④代入⑤得y＝－4.
⑥
第四步：将④⑥代入③得z＝11.
第五步：得到方程组的解为
[典例] 已知函数y＝试设计一个算法输入x的值，求对应的函数值．
[解题流程]
[类题通法]
分段函数求值问题的算法设计
(1)在生活中，经常遇到条件的判断．如现在在二楼，需要决定是上楼还是下楼；在买袋装大米的时候，你需要决定买10千克装的，还是20千克装的，还是30千克装的；等等．同样，设计含有判断条件的算法时，往往是先判断条件，根据条件是否成立，有不同的步骤．
(2)分段函数求函数值的算法要运用分类讨论思想进行设计，一定要对算法中可能遇到的情况考虑周全，满足与不满足都要有相应的步骤．
[活学活用]
函数y＝写出给定自变量x的值，求函数值y的算法．
解：算法如下：
第一步，输入x的值．
第二步，若x>0，则y＝－x＋1，然后执行第四步；否则执行第三步．
第三步，若x＝0，则y＝0；否则y＝x＋1.
第四步，输出y的值．
[随堂即时演练]
1．下列可以看成算法的是( )
A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题
B．今天餐厅的饭真好吃
C．这道数学题难做
D．方程2x2－x＋1＝0无实数根
解析：选A A是学习数学的一个步骤，所以是算法，而其他三个选项都不是．
2．已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：
①计算c＝；②输入直角三角形两直角边长a，b的值；③输出斜边长c的值．
其中正确的顺序是( )
A．①②③
B．②③①
C．①③②
D．②①③
解析：选D 明确各步骤间的关系即可知D选项正确．
3．输入一个x值，利用y＝|x＋1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整：
第一步，输入x.
第二步，________________________.
第三步，计算y＝－x－1.
第四步，输出y.
解析：含绝对值的函数的函数值的算法要注意分类讨论思想的应用．本题中当x≥－1时y＝x＋1；当x＜－1时y＝－x－1，由此可完善算法．
答案：当x≥－1时，计算y＝x＋1；否则，执行第三步
4．求过P(a1，b1)，Q(a2，b2)两点的直线的斜率有如下算法，请在横线上填上适当的步骤：
第一步，取x1＝a1，y1＝b1，x2＝a2，y2＝b2.
第二步，判断“x1＝x2”是否成立．若是，则输出“斜率不存在”，结束算法；否则，执行第三步．
第三步，________________________.
第四步，输出k.
解析：根据题意，当“x1≠x2”时执行第三步，即计算斜率k，此时只需用两点间的斜率公式即可求解．
答案：计算k＝
5．设计一个算法，求表面积为16π的球的体积．
解：算法一：
第一步，取S＝16π.
第二步，计算R＝(由于S＝4πR2)．
第三步，计算V＝πR3.
第四步，输出运算结果．
算法二：
第一步，取S＝16π.
第二步，计算V＝π3.
第三步，输出运算结果．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列叙述中，能称为算法的个数为( )
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；
②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100；
③从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广州观看广州恒大的亚冠比赛；
④3x＞x＋1；
⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….
A．2
B．3
C．4
D．5
答案：B
2．关于一元二次方程x2－5x＋6＝0的求根问题，下列说法正确的是( )
A．只能设计一种算法
B．可以设计多种算法
C．不能设计算法
D．不能根据解题过程设计算法
答案：B
3．一个厂家生产商品的数量按照每年比前一年都增加18%的比率递增，若第一年的产量为a，“计算第n年的产量”的算法中用到的一个函数解析式是( )
A．y＝an0.18
B．y＝a(1＋18%)n
C．y＝a(1＋18%)n－1
D．y＝n(1＋18%)n
答案：C
4．对于解方程x2－2x－3＝0的下列步骤：
①设f(x)＝x2－2x－3；
②计算判别式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0；
③作f(x)的图象；
④将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝，得x1＝3，x2＝－1.
其中可作为解方程的算法的有效步骤为( )
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
答案：C
5．如下算法：
第一步，输入x的值．
第二步，若x≥0，则y＝x；否则，y＝x2.
第三步，输出y的值．
若输出的y值为9，则x的值是( )
A．3
B．－3
C．3或－3
D．－3或9
答案：D
二、填空题
6．以下是解二元一次方程组的一个算法，请将该算法补充完整．
第一步，①②两式相加得3x＋9＝0.③
第二步，由③式可得____________．④
第三步，将④式代入①式得y＝0.
第四步，输出方程组的解____________．
解析：由3x＋9＝0，得x＝－3，即④处应填x＝－3；
把x＝－3代入2x－y＋6＝0，得y＝0，
即方程组的解为
答案：x＝－3
7．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求他的总分和平均成绩的一个算法为：
第一步，取A＝89，B＝96，C＝99.
第二步，__________________________.
第三步，__________________________.
第四步，输出计算的结果．
解析：应先计算总分D＝A＋B＋C，然后再计算平均成绩E＝.
答案：计算总分D＝A＋B＋C 计算平均成绩E＝
8．已知A(－1,0)，B(3,2)，下面是求直线AB的方程的一个算法，请将其补充完整：
第一步，__________________________________.
第二步，用点斜式写出直线AB的方程y－0＝[x－(－1)]．
第三步，将第二步的方程化简，得到方程x－2y＋1＝0.
解析：该算法功能为用点斜式方程求直线方程，第一步应为求直线的斜率，应补充为“计算直线AB的斜率k＝”．
答案：计算直线AB的斜率k＝
三、解答题
9．已知一个等边三角形的周长为a，求这个三角形的面积．设计一个算法解决这个问题．
解：算法步骤如下：
第一步，输入a的值．
第二步，计算l＝的值．
第三步，计算S＝×l2的值．
第四步，输出S的值．
10．有分别装有醋和酱油的A、B两个瓶子，现要将B瓶中的酱油装入A瓶，A瓶中的醋装入B瓶，写出解决这个问题的一种算法．
解：算法步骤如下：
第一步，引入第三个空瓶C瓶．
第二
步，将A瓶中的醋装入C瓶中．
第三步，将B瓶中的酱油装入A瓶中．
第四步，将C瓶中的醋装入B瓶中．
第五步，交换结束．
11．已知函数y＝试设计一个算法，输入x的值，求对应的函数值．
解：算法如下：
第一步，输入x；
第二步，当x≤－1时，
计算y＝2x－1，否则执行第三步；
第三步，当x<2时，计算y＝log3(x＋1)，否则执行第四步；
第四步，计算y＝x4；
第五步，输出y.1．2.2 条件语句
[提出问题]
儿童乘坐火车时，若身高不超过1.2
m，则不需买票；若身高超过1.2
m但不超过1.5
m，则需买半票；若身高超过1.5
m，则需买全票．
问题1：试设计一个儿童买票的程序框图．
提示：程序框图如下：
问题2：能否只用输入语句、输出语句和赋值语句写出其程序？
提示：不能．
问题3：该程序框图中的条件结构有几种形式？
提示：两种．
问题4：若要写出该算法的算法语句，还需要什么语句？
提示：条件语句．
[导入新知]
条件语句的一般格式及功能
类别
单支
双支
条件结构框图
条件语句
IF 条件 THEN语句体END
IF
IF 条件 THEN语句体1
ELSE语句体2END
IF
语句功能
首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体，否则执行END_IF之后的语句
首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体1，否则(ELSE)执行语句体2
[化解疑难]
两种条件语句的区别与联系
IF－THEN语句
IF－THEN－ELSE语句
区别
该条件语句中只有一个语句体，是满足条件时执行的语句体
该条件语句含有两个语句体，满足条件时执行一个语句体，不满足时执行另一个语句体
联系
IF－THEN语句实质上是IF－THEN－ELSE语句的简化，也就是在条件语句中，当不符合条件且不进行任何处理时，把语句体2省略不写②两种语句首先都是先对条件进行判断，然后才执行相应的语句体，执行完语句体后程序都交汇于一点完成条件语句
条件语句与条件结构
[例1] (1)根据下面的程序，填写程序框图．
①________，②________，③________.
(2)根据右面的程序框图，写出程序．
[解] (1)根据条件语句可知该语句为求分段函数
y＝的值．
所以三个空中分别填的内容为：
①x≥？，②y＝2x－5，③y＝5－2x.
(2)程序如下：
[答案] (1)①x≥？ ②y＝2x－5 ③y＝5－2x
[类题通法]
条件语句与条件结构的转化
(1)根据条件结构写条件语句
①首先选择语句格式．当判断语句的两个出口语句都要执行时，采用“IF－THEN－ELSE”语句，当判断语句的两个出口语句只有一个要执行时，采用“IF－THEN”语句．
②然后确定条件和语句体．条件即为判断框内的条件，放在IF后．判断框中“是”后的执行框中的内容，是THEN后的语句体1，“否”后的执行框中(如果有的话)的内容，是ELSE后的语句体2.
③最后应注意所用程序符合书写格式．
(2)如果是由条件语句画条件结构，可相应变化．
[活学活用]
求函数y＝|x－4|＋1的函数值，则③处应填________．
解析：如果x＜4，则y＝4－x＋1＝5－x，
故③处应填y＝5－x.
答案：y＝5－x
条件语句的简单应用
[例2] 已知函数y＝编写一个程序，对输入的每一个x值，都得到相应的函数值．
[解] 用变量x，y分别表示自变量和函数值，步骤如下：
第一步，输入x值．
第二步，判断x的范围．若x≥0，则用函数y＝x2－1求函数值；
否则用y＝2x2－5求函数值．
第三步，输出y的值．
程序框图如图所示：
程序如下：
[类题通法]
使用条件语句时的四个关注点
(1)条件语句是一个语句，IF，THEN，ELSE，END
IF都是语句的一部分；
(2)条件语句必须是以IF开始，以END
IF结束，一个IF必须与一个END
IF相对应；
(3)如果程序中只需对条件为真的情况作出处理，不用处理为假的情况时，ELSE分支可以省略，此时条件语句就由双支变为单支；
(4)为了使程序看起来更清晰明了，一般IF，ELSE与END
IF顶格书写，其他语句前面则空两格．
[活学活用]
给出一个程序语句如下，说出程序的功能，并求f(－1)＋f(2)的值．
解：程序的功能：
已知函数f(x)＝输入自变量x的值，求对应的函数值．
由函数解析式可得f(－1)＝4×(－1)＝－4，
f(2)＝22＝4.
∴f(－1)＋f(2)＝0.
条件语句的嵌套问题
[例3] 高等数学中经常用到符号函数，符号函数的定义为y＝画出程序框图，并编写程序，要求输入x的值，输出y的值．
[解] 程序框图如图所示：
程序如下：
[类题通法]
1．使用条件语句嵌套应关注两点
(1)适用范围：适用于判断条件多于一个时．此时，若重复应用条件语句，书写程序繁琐，可用条件语句的嵌套．
(2)分清层次：编写条件时，要注意IF和END IF的配对，常常利用文字的缩进来表示嵌套的层次，以便于程序的阅读与理解．嵌套可以多于2个．
2．条件语句嵌套的一般格式
[活学活用]
在下面的程序中，如果输入x＝，则输出的y值为( )
A．0
B．1
C．3
D．
解析：选B 先判断输入的x的取值范围，再执行相应操作．由于＞0，故输出y＝×－5＝1.
[典例] 某商场购物实行优惠措施，若购物金额x在800元以上(包括800元)，打8折；若购物金额x在500元以上(包括500元)，但不足800元，则打九折，否则不打折，设计程序框图并编写程序，要求输入购物金额x，能输出实际交款额y.
[解题流程]
[规范解答]
实际交款额y与购物金额x的函数关系是
y＝
程序框图如右：
[类题通法]
用条件语句解决实际问题的步骤
(1)将实际问题转化为数学问题，并构思出解决问题的一个算法(可用自然语言)．
(2)画出程序框图，形象直观地描述算法．
(3)根据程序框图编写程序，即逐步把程序框图中的算法步骤用算法语句表达出来．
[活学活用]
某运输公司规定，运货50吨以下(含50吨)，运费为80元/吨；50吨以上且不足100吨的，运费为75元/吨；100吨及以上，运费为70元/吨，请用算
法语句及程序框图描述算法：输入运货重量，输出运费．
解：设运货x吨的运费为y元，由题意得
y＝
程序框图如下图：
程序如下：
[随堂即时演练]
1.
下列关于IF语句的叙述正确的是( )
A．IF语句中必须有ELSE和END
IF
B．IF语句中可以没有END
IF
C．IF语句中可以没有ELSE，但必须以END
IF结束
D．IF语句中可以没有END
IF，但必须有ELSE
解析：选C IF语句中的IF和END IF是成对出现的，但是ELSE可以没有，即满足条件执行，否则跳过IF语句．
2．下面的程序：
如果输入x，y的值分别是2，－30，则输出的结果为( )
A．38，－38
B．36，－36
C．32，－32
D．28，－28
解析：选D 根据题意输入的x＝2不满足条件，需要执行ELSE后面的语句，所以得到y＝－26，所以x－y＝28，y－x＝－28.
3．给出以下四个问题：
①输入一个数x，输出它的绝对值；
②求表面积为6的正方体的体积；
③求函数f(x)＝的函数值．
其中需要用条件语句来描述其算法的是________．(填序号)
解析：②直接用顺序结构即可，不需用条件语句；而①需要判断这个数的正负，③需要判断这三个数的大小，④是分段函数求值问题，故需用到条件语句．
答案：①③
4．写出下列程序的运行结果．
若a＝4，则b＝_______；若a＝－4，则b＝_______.
解析：分析程序可知，上述程序是一个分段函数的程序，即b＝所以当a＝4时，b＝42＋3×4＋1＝29；当a＝－4时，b＝0.5×(－4)＝－2.
答案：29 －2
5．给计算机编写一个程序，输入一个自变量x的值，输出分段函数f(x)＝的函数值．
解：程序如下：
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列问题所描述出来的算法，其中不包含条件语句的为( )
A．输入三个表示三条边长的数，计算三角形的面积
B．给出两点的坐标，计算直线的斜率
C．给出一个数x，计算它的常用对数的值
D．给出三棱锥的底面积与高，求其体积
答案：D
2．运行程序：
在两次运行中分别输入8,4和2,4，则两次运行程序的输出结果分别为( )
A．8,2
B．8,4
C．4,2
D．4,4
答案：C
3．给出如图所示的程序：
执行该程序时，若输入的x为3，则输出的y值是( )
A．3
B．6
C．9
D．27
答案：B
4．阅读下列程序：
如果输入x＝－2，则输出结果为( )
A．2
B．－12
C．10
D．－4
答案：D
5．已知程序如下：
根据程序提示输入a＝4，b＝2，c＝－5，则程序运行结果是( )
A．max＝a
B．max＝b
C．max＝c
D．max＝4
答案：D
二、填空题
6．判断输入的数x是否为正数，若是，输出它的平方；若不是，输出它的相反数，则横线上应填________．
解析：y是一个分段函数，由题意知，
y＝
答案：x＜＝0
7．读程序，写出程序的意义：______________________________________________.
解析：由程序可知，该算法功能是求函数
y＝的函数值．
答案：求函数y＝的函数值
8．下面是一个算法，如果输出的值是25，则输入的x的值为________．
解析：程序对应的函数是
y＝
由或
得x＝－6或x＝6.
答案：6或－6
三、解答题
9．已知函数y＝试输入x的值，计算y值，写出程序．
解：程序如下：
10．如图所示，在边长为16的正方形ABCD的边上有一动点P，点P沿边线由B→C→D→A(B为起点，A为终点)运动．若设P运动的路程为x，△APB的面积为y，试写出程序，根据输入的x值，输出相应的y值．
解：由题意可得函数关系式为：
y＝
显然需利用条件语句的嵌套或叠加编写程序．
程序如下：1．2.1 输入语句、输出语句和赋值语句
[提出问题]
已知小明同学在一次期中考试中语文、数学、英语学科成绩分别为120,126,110.
问题1：画出求三科平均分的框图．
提示：如图所示：
问题2：该问题能用计算机处理吗？如何操作？
提示：能．应将算法过程转化成计算机理解的语言．
[导入新知]
三种算法语句的格式及功能
名称
格式
功能
输入语句
INPUT“提示内容”；变量，其中“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息
把程序中新输入的值赋给变量
输出语句
PRINT“提示内容”；表达式
在计算机的屏幕上输出常量、变量的值和系统信息
赋值语句
变量＝表达式
将表达式所代表的值赋给变量．一般先计算“＝”右边表达式的值，然后把这个值赋给“＝”左边的变量
[化解疑难]
1．对输入语句的理解
(1)又称“键盘输入语句”，在程序运行过程中，计算机用户由键盘输入数，而不是需要在写程序时指定．
(2)输入语句要求输入的值是具体的常量．
(3)“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息，必须加双引号，提示内容会原原本本地在计算机屏幕上显示，提示内容与变量之间要用分号隔开，当然“提示内容”及后面的分号也可省略，直接输入数据．
(4)输入语句没有计算功能．
2．对输出语句的理解
(1)又称“打印语句”，将表达式的值在屏幕上显示出来；
(2)表达式可以是变量，计算公式或系统信息；
(3)一个语句可以输出多个表达式，不同的表达式之间可用逗号分隔；
(4)有计算功能，能直接输出计算公式的值．
3．对赋值语句的理解
(1)赋值语句中的“＝”是赋值号，其作用是将它右边的一个确定值赋给左边的一个变量，执行时先计算“＝”右边的值，再将该值赋给左边的变量，因此，赋值语句具有计算和赋值双重功能．但不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解、解方程等)，如y＝x2－1＝(x－1)(x＋1)，这是实现不了的．在赋值号右边表达式中每一个变量的值必须事先赋给确定的值．
(2)可以对一个变量多次赋值，每次赋的新值将取代变量中的原有值．
(3)赋值号两侧的内容不能随意互换，如A＝B与B＝A是不同的．
(4)赋值号的左侧只能是一个变量．
(5)一个赋值语句只能给一个变量赋值，如A＝B＝C＝3是错误的．
输入和输出语句
[例1] (1)利用输入语句可以给多个变量赋值，下面能实现这一功能的语句是( )
A．INPUT“A，B，C”a，b，c
B．INPUT“A，B，C”；a，b，c
C．INPUT
a，b，c；“A，B，C”
D．PRINT“A，B，C”；a，b，c
(2)编写一个程序，给定圆的半径，求圆的周长和面积(取π≈3.14)，要求输入圆的半径r的值，输出圆的周长L和面积S.
[解] (1)选B 提示内容与输入内容之间要用“；”隔开，故A错；提示内容在前，输入内容在后，故C错；输入语句用“INPUT”而非“PRINT”，故D错．
(2)程序如下：
[类题通法]
利用输入、输出语句编程应注意的问题
(1)输入语句没有计算功能，只能输入常量；而输出语句有计算功能，可以输出常量、变量或表达式的值以及字符．
(2)“提示内容”和变量之间用分号隔开，若输入(出)多个数，各数之间应用逗号隔开，“提示内容”可以省略．
(3)程序中运算符号要规范，输出语句不能输出一个等式，这是易错点．
[活学活用]
下列程序若输出的结果为3，则输入的x值可能是( )
A．1
B．－3
C．－1
D．1或－3
解析：选D 根据条件可知，x2＋2x＝3，解得x＝1或－3.
赋值语句
[例2] (1)看下面赋值语句的写法：
①x=2
y+z；②x=3，y=4，z=5；?
③x+y=7；④y=3.14
5；⑤y=x+z=3+4.?
其中写法正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
(2)阅读下列程序，并指出当a＝3，b＝－5时的计算结果：
① ② ③
输出结果：①a＝________，b＝________；
②a＝________，b＝________；
③a＝________，b＝________.
[解析] (1)①②④正确，③⑤错误．
(2)在程序①中，将a＋b＝－2的值赋给X，将a－b＝8的值赋给Y，然后将(X＋Y)/2的值3赋给a，将(X－Y)/2的值－5赋给b；在程序②中，将a＋b＝－2的值赋给a，将a－b＝3的值赋给b(注意，此时a的值为－2)，然后将(a＋b)/2的值0.5赋给a，将(a－b)/2的值－1.25赋给b(注意，此时a的值为0.5)；在程序③中，将a＋b＝－2的值赋给a，将a－b＝3的值赋给b(注意，此时a的值为－2)，然后将(a－b)/2的值－2.5赋给a，将(a＋b)/2的值0.25赋给b(注意，此时a的值为－2.5)．
[答案] (1)C (2)①3 －5 ②0.5 －1.25
③－2.5 0.25
[类题通法]
1．赋值语句的几种常见形式
(1)赋予变量常数值，如a＝1.
(2)赋予变量其他变量或表达式的值，如b＝a，b＝2a＋1.
(3)变量自身的值在原值上加常数或变量，如i＝i＋1，i＝i＋S.
2．根据程序求输出结果应注意以下两点
(1)根据给出的算法语句写结果，应抓住输入、输出语句和赋值语句的特点，按语句的计算、赋值功能依次执行．
(2)注意在算法语言中常见运算符号的书写方式，明确它们的运算规则：先乘除，后加减；乘幂优先于乘除；同级运算从左向右按顺序进行；括号内最优先．
[活学活用]
1．下列给出的赋值语句正确的是( )
A．6＝N
B．A＝－A
C．5＋c＝a
D．x2－9＝(x＋3)(x－3)
解析：选B 按照赋值语句的要求，变量的值不能赋给常量，所以A错；左边只能是变量，不能是表达式，C错；不能进行代数式的演算，D错；B的意义是将－A的值赋给A，故B正确．
2．设A＝10，B＝20，则可以实现A，B的值互换的程序是( )
A.
B．
C.
D．
解析：选C A中程序执行后A＝B＝10，B中程序执行后A＝B＝10，C中程序执行后A＝20，B＝10，D中程序执行后A＝B＝10.
算法语句与程序框图的转换
[例3] 读下面的程序，根据程序画出程序框图．
[解] 程序框图如图所示：
[类题通法]
算法语句与程序框图的关系
(1)顺序结构的程序框图利用输入语句、输出语句和赋值语句即可完成．其中输入、输出框对应输入语句和输出语句，执行框对应赋值语句．
(2)由程序画程序框图是上述过程的逆过程，只需把输入语句、输出语句与输入、输出框对应转化，将赋值语句与执行框对应转化即可．
[活学活用]
用算法语句写出下面程序框图的程序．
解：程序如下：
[典例] 下列程序语言中表达式的值正确的是( )
A.6
?SQR（4）+3＾
2
2=154
B.3
（5+4）+?SQR（9）＾2=17
C.（5+3
（12-7））/4=5
D.（2+3）
5-4+2
3
SQR（4）^2=72
[解析] A中错误之处是违背运算顺序的规定，正确含义为：6×＋32×2＝30；B中正确含义为3×(5＋4)＋()2＝36；C的含义是[5＋3×(12－7)]÷4＝5；D中的含义为(2＋3)×5－4＋2×3×()2＝45.
[答案] C
[易错防范]
1．计算机中的程序运算顺序与一般数学的运算顺序相同，但运算符号的书写方式不同，此处极易混淆．
2．数学符号与程序符号对照表
数学符号
程序符号
×(代数运算中的乘法运算符号)
(程序里面表示乘法的运算符号)
÷(代数运算中的除法运算符号)
/(程序里面表示除法的运算符号)
[](代数中取整运算，如[5÷3]＝1)
\(程序里面表示取整运算如5\3＝1)
ab(代数运算中指数运算符号)
a^
b(程序里面表示指数的运算符号)
≤(代数中小于等于符号)
＜＝(程序里面表示小于等于的符号)
≥(代数中大于等于符号)
＞＝(程序里面表示大于等于的符号)
≠(代数中不等号符号)
＜＞(程序里面表示不等于的符号)
|x|(代数运算中的取绝对值)
ABS(x)(程序里面取绝对值的函数)
(代数运算中求算术平方根)
SQR(x)(程序里面取算术平方根的函数)
且(逻辑中的“且”运算)
AND(程序里面表示逻辑中的“且”运算)
或(逻辑中的“或”运算)
OR(程序里面表示逻辑中的“或”运算)
[成功破障]
运行下面的程序，若输入x＝1，则输出结果y＝________.
解析：由程序知x＝2，x＝2×3＝6，
y＝x2＋6＝62＋6＝42.
答案：42
[随堂即时演练]
1．下列给出的输入输出语句正确的是( )
①输入语句INPUT a，b，c，d，e；
②输入语句INPUT X＝1；
③输出语句PRINT A＝4；
④输出语句PRINT 10,3
2，2/3.
A.
①②
B.②③
C．③④
D．①④
解析：选D ①INPUT语句可以给多个变量赋值，变量之间用“，”隔开；②INPUT语句中只能是变量，而不能是表达式；③PRINT语句中不用赋值号“＝”；④PRINT语句可以输出常量、表达式的值．
2．下列算法：①z＝x；②x＝y；③y＝z；④输出x，y.关于算法的作用，叙述正确的是( )
A．交换了原来的x，y
B．让x与y相等
C．变量z与x，y相等
D．x，y仍是原来的值
解析：选A 本算法利用了中间变量z，使x，y的值进行了互换．
3．计算机执行下面的程序后，输出的结果为________．
解析：∵a＝1，b＝2，
∴a＝1＋2＝3，b＝3－2＝1.
答案：3,1
4．下面的程序的功能是求所输入的两个正数的平方和，已知最后输出的结果为3.46，试据此将程序补充完整：①________，②________.
解析：由于程序的功能是求所输入的两个数的平方和，所以，S＝x＋x；又由于最后输出的结果是3.46，所以3.46＝1.12＋x，解得x＝2.25.又x2是正数，所以x2＝1.5.
答案：①1.5 ②x1^2＋x2^2
5．如下是一个用基本算法语句编写的程序，根据程序画出其相应的程序框图．
解：程序框图如图所示：
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列给出的输入、输出语句正确的是( )
①INPUT a；b；c ②INPUT x＝3
③PRINT A＝4 ④PRINT 20,3
2
A.
①②
B.②③
C．③④
D．④
答案：D
2．下列给出的赋值语句中正确的是( )
A．x＋3＝y－2
B．d＝d＋2
C．0＝x
D．x－y＝5
答案：B
3．执行下列算法语句后的结果(x
MOD
y表示整数x除以整数y的余数)为( )
(运行时从键盘上输入16和5)
A．A＝80，B＝1，C＝401
B．A＝80，B＝3，C＝403
C．A＝80，B＝3.2，C＝403.2
D．A＝80，B＝3.2，C＝404
答案：A
4．将两个数a＝25，b＝9交换，使a＝9，b＝25，下面语句正确的一组是( )
A B C
D
答案：C
5．程序：
若输入的是2，则输出的值是( )
A．16
B．120
C．240
D．360
答案：C
二、填空题
6．
(1)程序Ⅰ的运行结果为________；
(2)若程序Ⅱ与程序Ⅰ运行结果相同，则程序Ⅱ输入的值为________．
解析：(1)程序Ⅰ中，x＝x＋2＝2，
x＝x＋3＝2＋3＝5，
故输出x的值是5.
(2)程序Ⅱ的功能是求y＝x2＋6x＋10的函数值，
由题意知程序Ⅱ中y＝5，
∴x2＋6x＋10＝5，
即x＝－1或－5.
输入的值为－1或－5.
答案：(1)5 (2)－1或－5
7．程序：
若输入的是3，则运行结果是________．
解析：先对M，N进行赋值运算，第一句输入3时，将3赋给了M；第二句，将3赋给N；第三句，将12赋给M；第四句，将18赋给P；第五句，将54赋给Q；第六句，输出M，N，P，Q的值．
答案：12,3,18,54
8．结合下图，下面程序输出的结果为________．
解析：该程序功能是求一个边长为a的正方形，去掉一个边长为b的小正方形后剩余的面积(即阴影部分面积)，最后输出S2的值为a2－b2.
答案：a2－b2
三、解答题
9．已知函数f(x)＝3x－1，求f[f(2)]的值．编写一个程序，解决上述问题．
解：程序如下：
10．某城市规定，在法定工作时间内每小时的工资是8元，在法定工作时间外每小时的加班工资为16元，某人在一周内工作60小时，其中加班20小时．编写程序，计算这个人这一周所得的工资．
解：算法如下：
第一步，输入法定工作时间．
第二步，输入加班工作时间．
第三步，计算法定工作时间所得工资．
第四步，计算加班工作时间所得工资．
第五步，计算这个人这一周所得的工资．
第六步，输出这个人这一周所得的工资．
程序框图如图所示：
程序如下：
11．以下是一个用基本算法语句编写的程序，根据程序画出其相应的程序框图．
解：程序框图如图所示：3.3.1 几何概型
[提出问题]
每逢节假日，各大型商场竞相出招，吸引顾客，其中某商场设立了一个可以自由转动的转盘，规定顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准①，②或③区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形)，一位顾客消费了120元．
问题1：这位顾客获得100元购物券的概率与什么因素有关？
提示：与标注①的小扇形个数多少(面积大小)有关．
问题2：在该实例试验中，试验结果有多少个？其发生的概率相等吗？
提示：试验结果有无穷多个，但每个试验结果发生的概率相等．
问题3：如何计算该顾客获得100元购物券的概率？
提示：用标注①的扇形面积除以圆的面积．
[导入新知]
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域
的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．几何概型概率公式
在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：
P(A)＝
.
[化解疑难]
理解几何概型应关注三点
(1)几何概型中，每个基本事件在一个区域内均匀分布，所以随机事件概率的大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与区域的大小有关；
(2)如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但不是不可能事件；
(3)如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但不是必然事件．
与长度有关的几何概型
[例1] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．
(2)某汽车站每隔15
min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10
min的概率．
[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝.
(2)设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图所示．
记“等车时间超过10
min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生．
∴P(A)＝＝＝，
即该乘客等车时间超过10
min的概率是.
[答案] (1)
[类题通法]
1．几何概型概率问题的一般步骤
(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；
(2)把基本事件转化为与之对应的区域D；
(3)把所求随机事件A转化为与之对应的区域I；
(4)利用概率公式计算．
2．与长度有关的几何概型问题的计算公式
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：
P(A)＝.
[活学活用]
1．(重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．
解析：设方程x2＋2px＋3p－2＝0的两个负根分别为x1，x2，
∴解得
故所求概率P＝＝.
答案：
2．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒．当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯亮；
(2)黄灯亮；
(3)不是红灯亮．
解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．
(1)P＝＝＝.
(2)P＝＝＝.
(3)P＝＝＝＝，或P＝1－P(红灯亮)＝1－＝.
与面积有关的几何概型
[例2] (1)有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为( )
(2)四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
A.
B．1－
C.
D．1－
[解析] (1)根据几何概型的面积比，选项A中的游戏盘中奖概率为，选项B中游戏盘的中奖概率为，选项C中游戏盘的中奖概率为＝，选项D中游戏盘的中奖概率为＝，故A游戏盘的中奖概率最大．
(2)如图所示，长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为，因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝，取到的点到O的距离大于1的概率为1－.
[答案] (1)A (2)B
[类题通法]
1．与面积有关的几何概型的概率公式
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：
P(A)＝.
2．解与面积相关的几何概型问题的三个关键点
(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；
(3)套用公式，从而求得随机事件的概率．
[活学活用]
1．(福建高考改编)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上.
若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．
解析：因为f(x)＝B点坐标为(1,0)，所以C点坐标为(1,2)，D点坐标为(－2,2)，A点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为×3×1＝，故P＝＝.
答案：
2．在平面直角坐标系xOy中，设M是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向M中随机投一点，则所投的点落入E中的概率是________．
解析：如图，区域M表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，
因此P＝＝.
答案：
与角度有关的几何概率
[例3] 在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM＜AC的概率．
[解] 如图，在AB上取AC′＝AC，连接CC′，
则∠ACC′＝＝67.5°.
设D＝，则所有可能结果的区域角度为90°，事件D的区域角度为67.5°，
∴P(D)＝＝.
[类题通法]
与角度有关的几何概型概率的求法
(1)如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为
P(A)＝.
(2)解决此类问题的关键是事件A在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的．
[活学活用]
在平面直角坐标系中，射线OT为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内的概率是( )
A.
B．
C.
D．
解析：选A 如图，∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内对应的角度为60度，而整个角集合对应的角度为圆周角，∴该角终边落在∠xOT内的概率P＝＝.
与体积有关的几何概型
[例4] (1)在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )
A.
B．
C.
D．
(2)已知正方体ABCD A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是________．
[解析] (1)由题意可得正方体的体积为V1＝1.又球的直径是正方体的对角线，故球的半径R＝.球的体积V2＝πR3＝π.这是一个几何概型，则此点落在正方体内的概率为P＝＝＝.
(2)设正方体的棱长为2.正方体ABCD A1B1C1D1的内切球O的半径是其棱长的一半，其体积为V1＝π×13＝.则点M在球O内的概率是＝.
[答案] (1)D (2)
[类题通法]
与体积有关的几何概型概率的求法
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为
P(A)＝.
[活学活用]
有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O的距离大于1的概率．
解：圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π是试验的全部结果构成的区域体积．
以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝××13＝，则构成事件A“点P到点O的距离大于1”的区域体积为2π－＝，
由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.
[典例] 设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，若a是从区间[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
[解题指导] 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0”有实根．
则Δ＝4a2－4b2≥0，即a2≥b2.
又∵a≥0，b≥0.
∴a≥b.
试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，而构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，即如图所示的阴影部分．
所以P(A)＝＝.
[多维探究]
几何概型与其他知识的交汇问题，以其新颖性、综合性而渐成为命题者的一个重要着眼点，本题是以方程的根为依托考查了与面积有关的几何概型的求法，另外，几何概型还常与集合、解析几何等问题相交汇命题，出现在试卷中．
[角度一] 几何概型与集合的交汇问题
已知集合M＝，N＝，若向区域M随机投一点，则点P落入区域N的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选D 根据题设中集合的意义，在平面直角坐标系中分别画出区域M和N，可分别计算区域M和N的面积，进而求解．
将集合M和N所表示的区域在直角坐标系中画出，如图，
则区域M的面积S＝×8×8＝32，
区域N的面积S′＝×6×2＝6，
所以点P落入区域N的概率为P＝＝.
[角度二] 几何概型与解析几何的交汇问题
已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离；
(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．
解：(1)由点到直线l的距离公式可得
d＝＝5.
(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l平行的直线为l1，其方程为4x＋3y＝15.则符合题意的点应在l1：4x＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为2，圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为.
故所求概率为P＝＝.
[随堂即时演练]
1．下列概率模型中，几何概型的个数为( )
①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到1的概率；
②从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
③从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；
④向一个边长为4
cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1
cm的概率．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B ①不是几何概型，虽然区间[－10,10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；④是几何概型，因为在边长为4
cm的正方形和半径为1
cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有相等可能被投到，故满足无限性和等可能性．
2.如图所示，在一个边长为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选C S矩形＝ab，S梯形＝b＝ab.
故所投的点在梯形内部的概率为P＝＝＝.
3．方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根的概率为________．
解析：由于方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根，
∴Δ≥0，即1－4n≥0，∴n≤，
又n∈(0,1)，∴有实根的概率为P＝＝.
答案：
4．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．
解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，
则P(A)＝＝0.005.
答案：0.005
5．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，求此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率．
解：设正三角形ABC的边长为4，其面积为4.分别以A，B，C为圆心，1为半径在△ABC中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为4－3×××12＝4－，故所求概率P＝＝1－π.
[课时达标检测]
一、选择题
1．在长为12
cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边长作正方形，这个正方形的面积介于36
cm2与81
cm2之间的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：D
2．(全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝，故选B.
3．已知函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么满足f(x0)≤0，x0∈[－5,5]的x0取值的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：A
4．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，即称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：B
5．如图，A是圆O上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它的长度小于或等于半径的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：C
二、填空题
6．设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P(A)＝________.
解析：如图所示，△DPQ为圆内接正三角形，当C点位于劣弧上时，弦DC＞PD，
∴P(A)＝.
答案：
7．在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________．
解析：点P到点A的距离小于等于a可以看作是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率：
P＝＝π.
答案：π
8．已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点．在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|<的概率为________．
解析：如图，设E，F分别为边AB，CD的中点，则满足|PH|<的点P在△AEH，扇形HEF及△DFH内，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为＝＋.
答案：＋
三、解答题
9．已知点M(x，y)满足|x|≤1，|y|≤1.求点M落在圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的内部的概率．
解：如图所示，区域Ω为图中的正方形，
正方形的面积为4，且阴影部分是四分之一圆，其面积为π，则点M落在圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的内部的概率为＝.
10．小朋友做投毽子游戏，首先在地上画出如图所示的框图，其中AG＝HR＝DR＝GH，CP＝DP＝AE＝2CQ.其游戏规则是：将毽子投入阴影部分为胜，否则为输．求某小朋友投毽子获胜的概率．
解：观察图形可看出阴影部分面积占总面积的一半，投入阴影部分的概率只与阴影部分的面积和总面积有关，故所求事件(记为事件A)的概率为P(A)＝.
11．如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝8，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点．
(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；
(2)在半圆内任取一点S，求△SAB的面积大于8的概率．
解：(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM，△ABN，△ABP，△AMN，△AMP，△ANP，△BMN，△BMP，△BNP，△MNP，其中是直角三角形的只有△ABM，△ABN，△ABP
3个，所以组成直角三角形的概率为.
(2)连接MP，取线段MP的中点D，
则OD⊥MP，
易求得OD＝2，
当S点在线段MP上时，S△ABS＝×2×8＝8，
所以只有当S点落在阴影部分时，△SAB的面积才能大于8，而S阴影＝S扇形MOP－S△OMP＝××42－×42＝4π－8，
所以由几何概型的概率公式得△SAB的面积大于8的概率为＝.第三课时 循环结构、程序框图的画法
循环结构的概念
[提出问题]
用二分法求方程f(x)＝0近似解的算法共分以下五步：
第一步，确定有解区间[a，b](f(a)·f(b)＜0)．
第二步，取区间[a，b]的中点x＝.
第三步，计算函数f(x)在中点处的函数值．
第四步，判断函数值f
是否为0.
(1)如果为0，x＝就是方程的解，问题得到解决；
(2)若f
不为0，分两种情况：
若f(a)·f
＜0，确定新的有解区间为；
若f(a)·f
＞0，确定新的有解区间为.
第五步，判断新的有解区间的长度是否小于精确度．
①如果新的有解区间长度大于精确度，则在新的有解区间上重复上述步骤；
②如果新的有解区间长度小于或等于精确度，则取新的有解区间的中点为方程的近似解．
问题1：该算法问题与前面所学的算法有什么不同？
提示：该算法需要重复执行某个步骤(第四步)，之前学过的算法则不需要重复执行某个步骤．
问题2：该算法若用框图表示，只有顺序结构与条件结构可以吗？
提示：不可以．
问题3：在该算法中，要重复多次操作，那么控制重复操作的条件及重复的内容是什么？
提示：控制重复操作的条件是f≠0及有解区间长度大于精确度，重复的内容是
f(a)·f的符号及有解区间的长度．
问题4：该算法能用程序框图表示吗？
提示：能．
[导入新知]
循环结构的概念及相关内容
[化解疑难]
1．循环结构的特点
(1)重复性：在一个循环结构中，总有一个过程要重复一系列的步骤若干次，而且每次的操作完全相同．
(2)判断性：每个循环结构都包含一个判断条件，它决定这个循环的执行与终止．
(3)函数性：循环变量在构造循环结构中起了关键作用，一般蕴含着函数的思想．
2．理解循环结构应注意的两点
(1)循环结构中必须包含条件结构，以保证在适当时候终止循环．
(2)循环结构内不存在无终止的循环，即不存在死循环.
循环结构的分类及特征
[提出问题]
问题1：在“知识点一”用二分法求方程f(x)＝0近似解的算法中，是先执行循环体，还是先判断条件？
提示：先执行循环体，后判断条件．
问题2：能否适当改变使其先判断条件，后执行循环体？
提示：能．
[导入新知]
循环结构的分类及特征
名称
直到型循环
当型循环
结构
特征
先执行循环体，后判断条件，若条件不满足，则执行循环体，否则终止循环
先判断条件，若条件满足，则执行循环体，否则终止循环
[化解疑难]
两种循环结构的区别和联系
类型
特征
何时终止循环
循环体执行次数
联系
当型
先判断，后执行
条件不满足时
可能一次也不执行
可以相互转化，条件互补
直到型
先执行，后判断
条件满足时
至少执行一次
利用循环结构解决累加(乘)问题
[例1] (1)如图所示，程序框图的输出结果是( )
A.
B.
C.
D.
(2)设计求1×2×3×4×…×2
015×2
016×2
017的一个算法，并画出程序框图．
[解] (1)选D 第一次循环：n＝2<8，S＝，n＝4；
第二次循环：n＝4<8，S＝＋，n＝6；
第三次循环：n＝6<8，S＝＋＋，n＝8;
第四次循环：n＝8<8不成立，输出S＝＋＋＝，故选D.
(2)算法如下：
第一步，设M的值为1.
第二步，设i的值为2.
第三步，若i≤2
017，则执行第四步；否则，执行第六步．
第四步，计算M乘i并将结果赋给M.
第五步，计算i加1并将结果赋给i，返回执行第三步．
第六步，输出M的值并结束算法．
程序框图如图：
[类题通法]
利用循环结构应注意的问题
(1)如果算法问题里涉及的运算进行多次重复的操作，且先后参与运算的各数之间有相同的变化规律，就可以引入循环变量参与运算，构成循环结构．
(2)在循环结构中，要注意根据条件设置合理的计数变量，累加(乘)变量，同时条件的表述要恰当、精确．
(3)累加变量的初值一般为0，而累乘变量的初值一般为1，累加(乘)和计数一般是同步进行的，累加(乘)一次，计数一次．
[活学活用]
编写一个计算12＋32＋52＋…＋9992的算法，并画出程序框图．
解：据题意算法如下：
第一步，令S＝0.
第二步，令i＝1.
第三步，S＝S＋i2.
第四步，i＝i＋2.
第五步，若i＞1
000，则执行第六步；
否则，返回第三步．
第六步，输出S.
程序框图如右图：
利用循环结构求满足条件的最值问题
[例2] 求满足1＋＋＋＋…＋＞2的最小正整数n，写出算法，并画出程序框图．
[解] 算法：第一步，S＝0.
第二步，i＝1.
第三步，S＝S＋.
第四步，i＝i＋1.
第五步，若S≤2，则返回第三步；否则输出i－1，循环结束．
程序框图如图：
[类题通法]
求满足条件的最值问题的实质及注意事项
(1)实质：利用计算机的快速运算功能，对所有满足条件的变量逐一测试，直到产生第一个不满足条件的值时结束循环．
(2)注意事项：
①要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数；
②注意要统计的数出现的次数与循环次数的区别；
③要特别注意判断框中循环变量的取值限止，是“＞”“＜”还是“≥”“≤”，它们的意义是不同的．
[活学活用]
如图所示的程序框图表示的算法功能是________．
解析：由程序框图分析，题目是累乘问题，并且输出的是计数变量，所以其功能是输出使得1×3×5×7×…×(2n－1)≥10
000的最小奇数．
答案：输出使得1×3×5×7×…×(2n－1)≥10
000的最小奇数
循环结构的实际应用
[例3] (1)某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…，aN，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用如图所示的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( )
A．A＞0？，V＝S－T
B．A＜0？，V＝S－T
C．A＞0？，V＝S＋T
D．A＜0？，V＝S＋T
(2)某工厂2016年生产轿车20万辆，技术革新后预计每年的产量比上一年增加5%，问最早哪一年生产的轿车超过30万辆？试设计算法并画出相应的程序框图．
[解] (1)选C 由程序框图可以看出，判断框中应填“A＞0？”，因为当满足条件时右边执行S＝S＋A，即收入，故应填“A＞0？”．而处理框中应填V＝S＋T，因为T为负数即支出，所以V＝S＋T，即收入减去支出．
(2)算法如下：第一步，n＝2014.
第二步，a＝20.
第三步，T＝0.05a.
第四步，a＝a＋T.
第五步，n＝n＋1.
第六步，若a＞30，输出n；否则，执行第三步．
程序框图如图所示：
[类题通法]
利用循环结构解决应用问题的方法
[活学活用]
某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：
队员i
1
2
3
4
5
6
三分球个数
a1
a2
a3
a4
a5
a6
如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填________，输出的S＝________.
解析：题干中是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，故题图中判断框应填“i≤6？”，输出的S＝a1＋a2＋…＋a6.
答案：i≤6？ a1＋a2＋…＋a6
[典例] 有一列数1,1,2,3,5,8，…，其规律是从第3个数开始，后一个数等于前两个数的和，画出计算这列数前20个数的和的程序框图．
[解题流程]
[类题通法]
循环结构的应用
(1)在应用两种循环结构时主要注意三个问题的书写：
①循环变量及其初始值；
②循环体；
③循环终止的条件．
(2)绘制循环结构的程序框图时，要注意：
①流程线上要有标记顺序的箭头；
②判断框后面的流程线上应根据情况标注“是”或“否”．
(3)构造循环结构，一般按照确定循环体→初始化变量→设定循环控制条件的顺序来构造．
[活学活用]
给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图(如图所示)，请在图中判断框(1)处和执行框(2)处填
上合适的语句，使之能完成该题的算法功能．
解：该算法使用了当型循环结构．因为是求30个数的和，故循环体应执行30次，其中i是计数变量．因此判断框内的条件应该用来限制计数变量i，故应填写“i≤30？”．算法中的变量p表示参与求和的各个数，由于它也是变化的，且满足第i个数比其前一个数大i－1，第i＋1个数比其前一个数大i，故应有p＝p＋i.
即(1)处应填“i≤30？”；(2)处应填“p＝p＋i”．
[随堂即时演练]
1.(全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝( )
A．5
B．6
C．7
D．8
解析：选C 运行第一次：S＝1－＝＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；
运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；
运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062
5，n＝3，S>0.01；
运行第四次：S＝0.125－0.062
5＝0.062
5，m＝0.031
25，n＝4，S>0.01；
运行第五次：S＝0.031
25，m＝0.015
625，n＝5，S>0.01；
运行第六次：S＝0.015
625，m＝0.007
812
5，n＝6，S>0.01；
运行第七次：S＝0.007
812
5，m＝0.003
906
25，n＝7，S<0.01.
输出n＝7.故选C.
2．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内①处应填( )
A．3
B．4
C．5
D．12
解析：选A 按照程序框图依次执行：初始a＝1，b＝1；第一次循环后，b＝21＝2，a＝1＋1＝2；第二次循环后，b＝22＝4，a＝2＋1＝3；第三次循环后，b＝24＝16，a＝3＋1＝4，而此时应输出b的值，故判断框中的条件应为“a≤3？”．
3．(山东高考)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．
解析：第一次循环：S＝－1,1＜3，i＝2；
第二次循环：S＝－1,2＜3，i＝3；
第三次循环：S＝－1＝1,3≥3，输出S＝1.
答案：1
4．按下列程序框图运算：
规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算．若x＝5，则运算进行________次才停止．
解析：第一次运算得13，第二次运算得37，第三次运算得109，第四次运算得325，大于244，程序终止，故运算进行4次．
答案：4
5．设计一个计算1×3×5×…×99的算法，画出程序框图．
解：算法如下：
第一步，令i＝1，S＝1.
第二步，S＝S×i.
第三步，i＝i＋2.
第四步，判断i＞99是否成立，若是，则输出S；否则，执行第二步．
程序框图如图所示：
[课时达标检测]
一、选择题
1．以下说法不正确的是( )
A．顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，每一个算法都离不开顺序结构
B．循环结构是在一些算法中从某处开始按照一定条件，反复执行某一处理步骤，故循环结构中一定包含条件结构
C．循环结构中不一定包含条件结构
D．用程序框图表示算法，使之更加直观形象，容易理解
答案：C
2．(全国丙卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选B 程序运行如下：
开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0.
第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；
第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；
第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；
第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.
此时，满足条件s>16，退出循环，输出n＝4.故选B.
3．(全国乙卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足( )
A．y＝2x
B．y＝3x
C．y＝4x
D．y＝5x
解析：选C 输入x＝0，y＝1，n＝1，
运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋y2≥36；
运行第二次，x＝，y＝2，不满足x2＋y2≥36；
运行第三次，x＝，y＝6，满足x2＋y2≥36，
输出x＝，y＝6.
由于点在直线y＝4x上，故选C.
4．如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S＝720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是( )
A．k≥6
B．k≥7
C．k≥8
D．k≥9
答案：C
5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )
A．3
B．－6
C．10
D．－15
答案：C
二、填空题
6．阅读下边的框图，运行相应的程序，输出S的值为________．
解析：n＝3，S＝0＋(－2)3＝－8，n－1＝2＞1；S＝－8＋(－2)2＝－4，n－1＝1≤1，终止循环，故输出S＝－4.
答案：－4
7．如图的程序框图，若输入m＝4，n＝3，则输出a＝________，i＝________.
解析：由程序框图可知，当a＝m×i＝4×i能被n＝3整除时输出a和i并结束程序．显然，当i＝3时，a可以被3整除，故i＝3，此时a＝4×3＝12.
答案：12 3
8．已知如图所示的程序框图(未完成)，设当箭头a指向①时，输出的结果为S＝m；当箭头a指向②时，输出的结果为S＝n，则m＋n的值为________．
解析：当箭头a指向①时：i＝1，S＝1；i＝2，S＝2；i＝3，S＝3；i＝4，S＝4；i＝5，S＝5；i＝6，结束循环，输出结果S＝m＝5.当箭头a指向②时：i＝1，S＝1；i＝2，S＝1＋2；i＝3，S＝1＋2＋3；i＝4，S＝1＋2＋3＋4；i＝5，S＝1＋2＋3＋4＋5；i＝6，结束循环，输出结果S＝n＝1＋2＋3＋4＋5＝15，故m＋n＝20.
答案：20
三、解答题
9．设计程序框图，求出××××…×的值．
解：程序框图如图所示：
10．以下是某次考试中某班15名同学的数学成绩：72,91,58,63,84,88,90,55,61,73,64，
77,82,94,60.
画出求80分以上的同学的平均分的程序框图．
解：程序框图如图所示：1．2.3 循环语句
[提出问题]
相传古代印度国王舍罕要褒赏他聪明能干的宰相达依尔(国际象棋的发明者)，问他想要什么，达依尔回答说：“国王只要在象棋棋盘的第1个格子里放1粒麦子，第2个格子里放2粒，第3个格子里放4粒，以后按此比例每格加一倍，一直放到第64个格子(国际象棋棋盘是8×8＝64格)，我就感恩不尽，其他的我什么也不要了．”国王想：“这还不容易！”让人扛来一袋麦子，但不到一会儿就全用完了，再扛来一袋很快又没有了，结果全印度的粮食全部用完还不够．国王纳闷，怎样也算不清这笔账．
问题1：设计出国王计算多少粒麦子的算法．
提示：算法步骤如下：
第一步，令i＝0，S＝0.
第二步，P＝2i，S＝S＋P，i＝i＋1.
第三步，若i≤63，则返回第二步．
否则，执行第四步．
第四步，输出S.
问题2：根据“问题1”中的算法画出程序框图．
提示：如图所示：
问题3：若仅采用前面我们所学习的算法语句，还能编写出其对应的程序吗？
提示：不能．
[导入新知]
循环语句的格式、功能
直到型
当型
程序结构框图
格式
DO循环体LOOP_UNTIL 条件
WHILE 条件循环体WEND
执行步骤
先执行一次DO和UNTIL之间的循环体，再判断UNTIL后的条件是否符合，如果不符合，继续执行循环体，然后再检查上述条件，如果仍不符合，再次执行循环体直到某一次条件符合为止．这时不再执行循环体，跳出循环体执行UNTIL语句之后的语句
先判断条件的真假，如果条件符合，则执行WHILE和WEND之间的循环体，然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止，这时不再执行循环体，跳出循环体，执行WEND之后的语句
[化解疑难]
1．两种循环语句的区别
执行的顺序不同
执行UNTIL语句时，先执行循环体，再判断条件，直到条件满足；执行WHILE语句时，先判断条件，再执行循环体，直到条件不满足
条件的内容不同
UNTIL语句中的条件是循环结束的条件，满足此条件时，执行循环体后面的语句，不满足时执行循环体；WHILE语句中的条件是执行循环体的条件，满足此条件时，执行循环体，否则执行循环体后面的语句
循环体的执行次数不同
由于UNTIL语句是先执行循环体再判断条件，因此，任何一个UNTIL语句中，循环体至少要执行一次，直到条件满足；而WHILE语句是先判断条件，因此，循环体可能一次也不执行就退出循环体
2.两种循环语句的联系
两种语句都可以实现计算机反复执行循环体的目的，只是表达形式不同．一般地，WHILE语句和UNTIL语句可以相互转化．
UNTIL语句的应用
[例1] (1)根据下列程序框图，把程序中所缺少的语句补充完整．
程序框图
程序：
(2)设计算法求2＋4＋6＋…＋100的值，要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序．
[解] (1)由程序框图可知利用了直到型循环结构，对应的语句为直到型循环语句，DO后面执行的为循环体，故①②处应分别为S＝S＋i^2，i＝i＋1，直到满足条件i＞100为止，所以③处应为i＞100.
(2)程序框图如图所示：
答案：(1)①S＝S＋i^2 ②i＝i＋1 ③i＞100
[类题通法]
1．UNTIL语句的适用类型
直到型循环又称“后测试”循环，也就是我们所讲的“先执行后测试”“先循环后判断”．
2．使用UNTIL语句应关注两点
(1)DO语句只是循环的开始标记，遇到DO语句，程序只是记住这个标记，其他什么也不做，接着执行后面的循环体，在执行一次循环体后，再检查LOOP
UNTIL语句中的条件是否成立，如果不成立，就重复执行循环体，直到条件符合时退出循环．
(2)在循环体内，应注意务必有相应的语句使“条件”改变，保证能终止循环，否则循环将无休止地进行下去．
[活学活用]
在下面的程序运行中，计算机输出的结果是________．
解析：根据题意，程序对20每次减3，直至小于0为止，当循环到第6次时，x＝2，此时仍不符合循环条件，故x变为－1，至此x＜0，满足循环条件，结束循环．
答案：－1
WHILE语句的应用
[例2] (1)下列程序运行后输出的结果为( )
A．1
B．3
C．5
D．7
(2)给出的30个数，1,2,4,7,11，…，其规律是第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第二个数大2，第4个数比第3个数大3，…，依次类推，要求计算这30个数的和，写出程序．
[解] (1)选C 该程序的执行过程是i＝1，i＝1＜5是；
i＝1＋2＝3，i＝3＜5是；
i＝3＋2＝5，i＝5＜5否．
输出i的值为5.
(2)程序：
[类题通法]
1．WHILE语句的适用类型
当型循环也叫“前测试”循环，也就是我们所讲的“先测试后执行”“先判断后执行”．
2．使用WHILE语句应关注五点
(1)当型循环以WHILE开头，以WEND作为结束标志．WEND是WHILE
END的缩写，表示“WHILE循环到此结束”．
(2)一般来讲，WHILE语句与UNTIL语句可以相互转化．
(3)执行WHILE语句时，先判断条件，再执行循环体，然后再判断条件，再执行循环体，反复执行，直至条件不满足．
(4)WHILE语句中的条件是指循环体的条件，满足此条件时，执行循环体，不满足时，则执行循环结构后面的语句．
(5)WHILE语句由于先判断条件，再执行循环体，因此，循环体可能一次也不执行就退出循环结构．
[活学活用]
读程序，回答下列问题：
(1)若输入n＝3，则输出的结果为________．
(2)此程序对应的计算式子是_____________________________________________.
(3)程序中的循环语句对应________型循环结构．
解析：(1)输入n＝3，
当i＝1时，S＝0＋＝；
当i＝2时，S＝＋＝；
当i＝3时，S＝＋＝，结束循环，此时输出S＝.
(2)此程序是用于计算＋＋…＋的值．
(3)这是WHILE语句，对应的是当型循环结构．
答案：(1) (2)＋＋…＋ (3)当
循环语句的综合应用
[例3] 下面程序的功能是输出1～100间的所有偶数．
程序：
(1)试将上面的程序补充完整；
(2)改写为WHILE
型循环语句．
[解] (1)①m＝0 ②i＝i＋1
(2)改写为WHILE型循环程序如下：
[类题通法]
应用循环语句解决问题应关注两点
(1)对于累加求和问题及累乘求积问题，需用到循环结构，解题的关键是设立累加变量S及控制循环次数的计数变量，可以用当型循环语句或直到型循环语句来设计程序．
(2)在WHILE语句中是当条件满足时执行循环体，而在UNTIL语句中是当条件不满足时执行循环体，二者是有区别的，在用两种循环语句编写程序时应注意条件的不同，它们的表达方法恰好是相反的．
[活学活用]
1．读下面甲、乙两个程序：
程序甲 程序乙
对甲、乙两个程序和输出的结果表述正确的是( )
A．程序不同，结果相同
B．程序不同，结果不同
C．程序相同，结果相同
D．程序相同，结果不同
解析：选A 执行甲、乙程序后可知都是计算1＋2＋3＋4＋…＋1
000的值．
2．编写程序，计算函数f(x)＝x2－3x＋5，当x＝1,2,3，…，20时的函数值．
解：程序如下：
5．循环语句的应用
[典例] 试编写程序，求满足1＋3＋5＋…＋n＞10
000的最小自然数n.
[解题流程]
方法二：直到型循环：
[类题通法]
循环语句编写程序的“条件三步曲”
(1)给循环语句中的变量赋初始值：n＝1，S＝0；
(2)找出在程序中反复执行的部分，即循环体：
S＝S＋n，n＝n＋2；
(3)找出控制循环的条件：本题中终止循环的条件是S＞10
000(或S≤10
000)．
[活学活用]
设计程序求使1×2×…×n＜10
000成立的最大正整数n，并画出程序框图．
解：
[随堂即时演练]
1．关于循环语句的说法不正确的是( )
A．算法中的循环结构由WHILE语句来实现
B．循环语句中有直到型语句和当型语句，即UNTIL语句和WHILE语句
C．一般来说UNTIL语句和WHILE语句可以互相转换
D．算法中的循环结构由循环语句来实现
解析：选A 算法中的循环结构由循环语句来实现，循环语句包括UNTIL语句和WHILE语句两种不同的格式，且一般情况下这两种语句可以相互转换．所以选项A是错误的，其余都正确．
2．设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．下面给出了程序的一部分，则在横线①上不能填入的数是( )
A．13
B．13.5
C．14
D．14.5
解析：选A 程序运行过程中，各变量值如下表所示：
第1次循环：S＝1×3，i＝5，
第2次循环：S＝1×3×5，i＝7，
第3次循环：S＝1×3×5×7，i＝9，
第4次循环：S＝1×3×5×7×9，i＝11，
第5次循环：S＝1×3×5×7×9×11，i＝13，
第6次循环：S＝1×3×5×7×9×11×13，i＝15，
退出循环．
故应填入的数要大于13且小于等于15，则在横线①上不能填入的数是13，故选A.
3．已知有下面的程序，如果程序执行后输出的结果是360，那么在程序UNTIL后面的“条件”应为________________．
解析：因为输出的结果是360，即S＝1×6×5×4×3，需执行4次，S需乘到3，i＜3后结束算法．所以，程序中UNTIL后面的“条件”应为i＜3.
答案：i＜3
4．对于下面一个程序：
运行后输出的结果为________．
解析：执行过程如下：M＝5，N＝0；
当N＝0＜15时，N＝0＋5＝5，M＝5－1＝4；
当N＝5＜15时，N＝5＋4＝9，M＝4－1＝3；
当N＝9＜15时，N＝9＋3＝12，M＝3－1＝2；
当N＝12＜15时，N＝12＋2＝14，M＝2－1＝1；
当N＝14＜15时，N＝14＋1＝15，M＝1－1＝0；
当N＝15时不小于15，终止循环，最后输出M的值为0.
答案：0
5．设计算法求＋＋＋…＋的值．要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序．
解：这是一个累加求和问题，共1
007项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法．
程序框图如图所示：
程序如下：
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列问题，设计程序求解时，要用到循环语句的有( )
①输入每个同学的数学成绩，求全班同学的平均分；
②求分段函数的函数值；
③求连续100个自然数的平方和；
④输入100个数，从中找出最大的数．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：C
2．下面为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为( )
A．i＞20
B．i＜20
C．i＞＝20
D．i＜＝20
答案：A
3．有以下程序段，其中描述正确的是( )
A．循环体语句执行10次
B．循环体是无限循环
C．循环体语句一次也不执行
D．循环体语句只执行一次
答案：C
4．以下程序( )
A．输出结果是1
B．能执行一次
C．能执行10次
D．是“死循环”，有语法错误
答案：D
5．下面两个程序最后输出的“S”分别等于( )
A．17,17
B．21,21
C．21,17
D．14,21
答案：C
二、填空题
6．下面的程序执行后输出的结果是________．
解析：第一次执行循环体：S＝5，n＝4；
第二次执行循环体：S＝9，n＝3；
第三次执行循环体：S＝12，n＝2，此时S≥10，循环终止，故输出n＝2.
答案：2
7．下列程序运行后，输出的值为________．
解析：由程序知i2≥2
000时，
i的最小值为45，又把i－1＝44的值赋给i，∴i＝44.
答案：44
8．将求1×2×3×4×5×6×7×8×9×10的程序补充完整：①________，②________.
解析：a的初始值为10，故循环体中的值应该递减，即a从10减到1，循环的条件为a＞0，当然也可以为a≥1.
答案：①a＞0 ②a－1
三、解答题
9．给出一个算法的程序框图(如图所示)．
(1)说明该程序的功能；
(2)请用WHILE型循环语句写出程序．
解：(1)该程序的功能是求1＋＋＋…＋的值．
(2)程序如下：
10．某商场第一年销售计算机5
000台，如果平均每年销售量比上一年增加10%，那么从第一年起，大约几年可使总销售量达到30
000台？画出解决此问题的程序框图，并写出程序．
解：程序框图如图所示：
程序：2．2.1 用样本的频率分布估计总体分布
频率分布表及频率分布直方图
[提出问题]
美国历届总统中，就任时年纪最小的是西奥多·罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是特朗普，他于2017年就任，当时70岁，下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2017年的特朗普，共45任)给出了历届美国总统就任时的年龄：
57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48,70
问题1：上述45个数据中最大值与最小值的差是多少？
提示：70－42＝28.
问题2：若将上述数据分成下列几组：
[41.5,46.5)，[46.5,51.5)，[51.5,56.5)，
[56.5,61.5)，[61.5,66.5)，[66.5,71.5)．
各组中数据个数分别是多少？
提示：各组数据的个数分别为4,11,14,9,4,3.
问题3：我们初中学过的频数分布图和频数分布表能清楚地知道数据分布在各个小组的个数，那么如何刻画各个小组数据在样本容量中所占的比例大小呢？
提示：利用频率分布表和频率分布直方图．
[导入新知]
1．用样本估计总体的两种情况
(1)用样本的频率分布估计总体分布．
(2)用样本的数字特征估计总体数字特征．
2．频率分布直方图的画法
3．频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图：
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到了频率分布折线图．
(2)总体密度曲线：
随着样本容量的增加，作图时所分的组数也在增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为总体密度曲线，它反映了总体在各个范围内取值的百分比．
[化解疑难]
四种图表的区别与联系
名称
区别
频率分布表
从数量上比较准确地反映样本的频率分布规律
频率分布直方图
反映样本的频率分布情况
频率分布折线图
直观地反映了数据的变化趋势
总体密度曲线
虽客观存在，但要准确画出难度较大，只能用样本频率分布估计．样本容量越大，估计越准确
这四种图表都是描述样本数据分布情况，估计总体频率分布规律的，其联系如下：
茎叶图
[提出问题]
甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩(单位：分)如下：
甲组：76
90
84
86
81
87
86
82
85
83；
乙组：82
84
85
89
79
80
91
89
79
74；
问题1：从甲、乙两组得分情况能否得出甲、乙两组哪组的成绩更整齐？
提示：能．甲组的成绩更整齐．
问题2：上述两组数据能否用图形直观地分析？
提示：能．
[导入新知]
茎叶图的概念
茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．茎叶图可用来分析单组数据，也可以对两组数据进行比较．茎叶图不仅能够保留原始数据，而且能够展示数据的分布情况．
[化解疑难]
对茎叶图的理解
茎叶图又称“枝叶图”，它的思路是将数组中的数按位数进行比较，将高位数字作为一个主干(茎)，将低位数字作为分枝(叶)，列在主干的一侧，这样就可以清楚地看到每个主干后面有几个数，每个数具体是多少．
例如，上例中甲、乙两个小组的英语口语测试成绩可用茎叶图表示为：
它的中间部分像一棵植物的茎，两边部分像这棵植物茎上生长出来的叶子．
列频率分布表、画频率分布直方图
[例1] 考察某校高二年级男生的身高，随机抽取40名高二男生，实测身高数据(单位：cm)如下：
171
163
163
166
166
168
168
160
168
165
171
169
167
169
151
168
170
160
168
174
165
168
174
159
167
156
157
164
169
180
176
157
162
161
158
164
163
163
167
161
(1)作出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图．
[解] (1)最低身高151，最高身高180，
它们的极差为180－151＝29.
确定组距为3，组数为10，列表如下：
分组
频数
频率
[150.5,153.5)
1
0.025
[153.5,156.5)
1
0.025
[156.5,159.5)
4
0.1
[159.5,162.5)
5
0.125
[162.5,165.5)
8
0.2
[165.5,168.5)
11
0.275
[168.5,171.5)
6
0.15
[171.5,174.5)
2
0.05
[174.5,177.5)
1
0.025
[177.5,180.5)
1
0.025
合计
40
1
(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．
[类题通法]
绘制频率分布直方图应注意的问题
(1)在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高．一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后以各组的“”所占的比例来定高．如我们预先设定以“”为1个单位长度，代表“0.1”，则若一个组的为0.2，则该小矩形的高就是“”(占两个单位长度)，如此类推．
(2)数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30～100个左右时，应分成5～12组，在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和为1.
[活学活用]
有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：
[－20，－15)，7；[－15，－10)，11；[－10，－5)，15；[－5,0)，40；[0,5)，49；[5,10)，41；[10,15)，20；[15,20]，17.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；
(3)求样本数据不足0的频率．
解：(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[－20，－15)
7
0.035
[－15，－10)
11
0.055
[－10，－5)
15
0.075
[－5,0)
40
0.2
[0,5)
49
0.245
[5,10)
41
0.205
[10,15)
20
0.1
[15,20]
17
0.085
合计
200
1.00
(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示：
(3)样本数据不足0的频率为：
0．035＋0.055＋0.075＋0.2＝0.365.
频率分布直方图的应用
[例2] (1)某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部介于13
s与19
s之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13
s且小于14
s；第二组，成绩大于等于14
s且小于15
s；…；第六组，成绩大于等于18
s且小于等于19
s，如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17
s的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15
s且小于17
s的学生人数为y，则从频率分布直方图(如图所示)中分析出x和y分别为( )
A．0.9,35
B．0.9,45
C．0.1,35
D．0.1,45
(2)为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
①第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
②若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
[解] (1)选A 由频率分布直方图知x＝0.34＋0.36＋0.18＋0.02＝0.9，∵＝0.36＋0.34＝0.7，∴y＝35.
(2)①频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，
因此第二小组的频率为＝0.08.
又因为第二小组的频率＝，
所以样本容量＝＝＝150.
②由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.
[类题通法]
频率分布直方图的意义
(1)频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各组内的频率大小．
(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
(3)＝样本容量．
[活学活用]
(山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A．56
B．60
C．120
D．140
解析：选D 由频率分布直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140.故选D.
茎
叶
图
[例3] (1)甲、乙两个班级各随机选出15名同学进行测验，成绩的茎叶图如图所示(单位：分)，则甲班、乙班的最高成绩分别是________，从图中看，________班的平均成绩较高.
(2)某中学高一(2)班甲、乙两名同学自入高中以来每场数学考试成绩情况如下：
甲同学得分：
95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110；
乙同学得分：
83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101,107.
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．
[解] (1)由茎叶图知甲班的最高成绩为96分，乙班的最高成绩为92分，再根据茎叶图的分布特点知，乙班的成绩分布集中在下面，故乙班的平均成绩较高．
(2)甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示.
从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是98；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是87，因此乙同学发挥较稳定，总体得分情况比甲同学好．
答案：(1)96,92 乙
[类题通法]
画茎叶图的步骤
第一步，将数据分为“茎”(高位)和“叶”(低位)两部分；
第二步，将表示“茎”的数字按大小顺序由上到下排成一列；
第三步，将各个数据的“叶”按次序写在其茎的左、右两侧．
[活学活用]
如图是2017年某大学校园歌手大奖赛中七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(图中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有( )
A.a1＞a2
B．a2＞a1
C．a1＝a2
D．a1，a2的大小与m的值有关
解析：选B 根据茎叶图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，甲的平均分为a1＝80＋＝84，乙的平均分为a2＝80＋＝85，故a2＞a1.
[典例] 如图所示是某公司(共有员工300人)2017年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在10万元～12万元之间的共有________人．
[解析] 由所给图形，可知员工中年薪在10万元～12万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.08＋0.10＋0.10)×2＝0.24，所以员工中年薪在10万元～12万元之间的共有300×0.24＝72(人)．故填72.
[答案] 72
[易错防范]
解本题容易出现的错误是审题不细，对所给图形观察不细心，认为员工中年薪在10万元～12万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.10)×2＝0.60，从而得到员工中年薪在10万元～12万元之间的共有300×[1－(0.02＋0.08＋0.10)×2]＝180(人)的错误答案．
[成功破障]
某校高一(2)班共有64名学生，下图是该班某次数学考试成绩的频率分布直方图，根据该图可知，成绩在110～120分之间的同学人数大约为( )
A．10
B．11
C．13
D．16
解析：选C 通过直方图可知，成绩在110～120分的频率是＝0.2，所以分数在110～120分之间的同学大约有64×0.2＝12.8≈13(人)．
[随堂即时演练]
1．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示．数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )
A．45
B．50
C．55
D．60
解析：选B [20,40)内的频率为0.005×20＝0.1；
[40,60)内的频率为0.01×20＝0.2；
低于60分的频率为0.1＋0.2＝0.3，
∴总人数为＝50.
2．如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知( )
A.甲运动员的成绩好于乙运动员
B．乙运动员的成绩好于甲运动员
C．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异
D．甲运动员的最低得分为0分
解析：选A 由茎叶图可以看出甲的成绩都集中在30～50分，且高分较多；而乙的成绩只有一个高分52分，其他成绩比较低，故甲运动员的成绩好于乙运动员的成绩．
3．如图是一个班的语文成绩的茎叶图(单位：分)，则优秀率(90分以上)是________，最低分是________.
解析：由茎叶图知，样本容量为25,90分以上的有1人，故优秀率为＝4%，最低分为51分．
答案：4% 51
4．某地为了了解该地区10
000户家庭的用电情况，采用分层抽样的方法抽取了500户家庭的月平均用电量，并根据这500户家庭的月平均用电量画出频率分布直方图如图所示，则该地区10
000户家庭中月平均用电度数在[70,80)的家庭有________户．
解析：根据频率分布直方图得该地区10
000户家庭中月平均用电度数在[70,80)的家庭有10
000×0.012×10＝1
200(户)．
答案：1
200
5．随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位：cm)，按照区间[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)，[180,185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170
cm以上的学生人数；
(2)将身高在[170,175)，[175,180)，[180,185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数．
解：(1)由频率分布直方图可知
5×(0.01＋0.02＋0.04＋x＋0.07)＝1，
解之得x＝0.06.
身高在170
cm以上的学生人数为
100×(0.06×5＋0.04×5＋0.02×5)＝60(人)．
(2)A组人数为100×0.06×5＝30(人)，
B组人数为100×0.04×5＝20(人)，
C组人数为100×0.02×5＝10(人)，
由题意可知抽样比k＝＝，
故应从A，B，C三组中分别抽取30×＝3(人)，20×＝2(人)，10×＝1(人)．
[课时达标检测]
一、选择题
1．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.125，则该组样本的频数为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
答案：B
2．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查．结果显示这些同学的支出都在[10,50](单位：元)之间，其中支出在[10,30)(单位：元)之间的同学有33人，其频率分布直方图如图所示，则支出在[40,50](单位：元)之间的同学人数是( )
A．100
B．120
C．30
D．300
答案：C
3．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图．据此可估计该校上学期400名教师中，使用多媒体进行教学次数在[16,30)内的人数为( )
A.100
B．160
C．200
D．280
答案：B
4．某校100名学生的数学测试成绩频率分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是( )
A．130
B．140
C．133
D．137
答案：C
5．为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10
000位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)．为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10
000位居民中再用分层抽样抽出100位居民做进一步调查，则在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是( )
A．25
B．30
C．50
D．75
答案：A
二、填空题
6．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，若乙的平均分是89，则污损的数字是________.
解析：设污损的叶对应的成绩是x，由茎叶图可得89×5＝83＋83＋87＋x＋99，所以x＝93，故污损的数字是3.
答案：3
7．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图形中的数据填空．
(1)样本数据落在范围[6,10)内的频率为________；
(2)样本数据落在范围[10,14)内的频数为________．
解析：(1)样本数据落在范围[6,10)内的频率为
0．08×4＝0.32.
(2)样本数据落在范围[10,14)内的频数为
0．09×4×100＝36.
答案：(1)0.32 (2)36
8．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图所示)．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数为________．
解析：前3个小组的频率和为
1－0.0375×5－0.012
5×5＝0.75.
又因为前3个小组的频率之比为1∶2∶3，
所以第2小组的频率为×0.75＝0.25.
又知第2小组的频数为12，则＝48，即为所抽取的学生人数．
答案：48
三、解答题
9．下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图：
(1)甲、乙两名队员的最高得分各是多少？
(2)哪名运动员的成绩好一些？
解：(1)甲、乙两名队员的最高得分分别为51分，52分．
(2)从茎叶图可以看出，甲运动员得分大致对称，乙运动员的得分除一个52分以外，也大致对称．因此甲运动员的成绩好，总体得分比乙好．
10．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日．评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：
(1)本次活动共有多少件作品参加评比？
(2)哪组上交的作品数最多？有多少件？
(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？
解：(1)依题意知第三组的频率为＝，又因为第三组的频数为12，
∴本次活动的参评作品数为＝60(件)．
(2)根据频率分布直方图可以看出，第四组上交的作品数量最多，共有60×＝18(件)．
(3)第四组的获奖率是＝，
第六组上交的作品数量为
60×＝3(件)．
∴第六组的获奖率为＝，显然第六组的获奖率较高．第二课时 条件结构
[提出问题]
已知一个算法的步骤如下：
第一步，输入x.
第二步，若x＜2，执行第三步；否则，执行第四步．
第三步，计算2x－1＋1的值，输出结果，结束算法．
第四步，计算log3(x2－1)的值，输出结果，结束算法．
问题1：该算法的算法功能是什么？
提示：计算函数f(x)＝的函数值．
问题2：若画出该算法的程序框图，只用顺序结构能完成吗？
提示：不能．
问题3：上述算法中除含有顺序结构外，还含有什么逻辑结构？
提示：条件结构．
[导入新知]
1．条件结构
在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，处理上述过程的结构就是条件结构．
2．条件结构程序框图两种形式及特征
形式一
形式二
结构形式
特征
两个步骤A、B根据条件选择一个执行
根据条件是否成立选择是否执行步骤A
[化解疑难]
对条件结构形式的理解
(1)如形式一所示的条件结构中，算法执行到此判断框给定的条件时，根据条件是否成立，选择不同的执行框(步骤A、步骤B)，无论条件是否成立，都要执行步骤A和步骤B之一，但不可能既执行步骤A又执行步骤B，也不可能步骤A和步骤B都不执行．
(2)步骤A和步骤B可以有一个是空的(如形式二)，即不执行任何操作．
简单条件结构的算法与框图
[例1] 画出求分段函数y＝的函数值的程序框图．
[解] 算法如下：
第一步，输入x的值．
第二步，判断x的大小．
若x≥0，则y＝2x＋1；
若x＜0，则y＝3x－2.
第三步，输出y的值．
程序框图如下：
[类题通法]
1．条件结构与顺序结构的不同点
条件结构不同于顺序结构的地方：它不是依次执行操作指令进行运算，而是依据条件作出逻辑判断，选择执行不同指令中的一个．一般地，这里的判断主要是判断“是”或“否”，即判断是否符合条件的要求，因而它有一个入口和两个出口，但最后还是只有一个终结口．
2．含有条件结构的程序框图的设计
设计程序框图时，首先设计算法步骤(自然语言)，再将算法步骤转化为程序框图(图形语言)．如果已经非常熟练地掌握了画程序框图的方法，那么可以省略设计算法步骤而直接画出程序框图．对于算法中含有分类讨论的步骤，在设计程序框图时，通常用条件结构来解决．
[活学活用]
设计一个程序框图，使之能判断任意输入的数x是奇数还是偶数．
解：程序框图如下：
与条件结构有关的读图问题
[例2] (1)如图所示的程序框图，其功能是( )
A．输入a，b的值，按从小到大的顺序输出它们的值
B．输入a，b的值，按从大到小的顺序输出它们的值
C．求a，b的最大值
D．求a，b的最小值
(2)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )
A．[－3,4]
B．[－5,2]
C．[－4,3]
D．[－2,5]
[解析] (1)取a＝1，b＝2知，该程序框图输出b＝2，因此是求a，b的最大值．
(2)由题中框图可知s＝即求分段函数的值域．
当－1≤t＜1时，－3≤s＜3；当1≤t≤3时，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4,3≤s≤4.
综上，s∈[－3,4]．
[答案] (1)C (2)A
[类题通法]
条件结构读图注意的两点
(1)理清所要实现的算法的结构特点和流程规则，分析其功能．
(2)结合框图判断所要填入的内容或计算所要输出或输入的值．
[活学活用]
1．根据图中的流程图操作，使得当成绩不低于60分时，输出“及格”，当成绩低于60分时，输出“不及格”，则( )
A．①框中填“是”，②框中填“否”
B．①框中填“否”，②框中填“是”
C．①框中填“是”，②框中可填可不填
D．①框中填“否”，②框中可填可不填
解析：选A 当x≥60时，应输出“及格”；当x＜60时，应输出“不及格”，故①中应填“是”，②中应填“否”．
2．如图，函数f(x)＝2x，g(x)＝x2，若输入的x值为3，则输出的h(x)的值为________．
解析：由框图可知，当x＝3时，f(3)＝23＝8，g(3)＝32＝9，∴f(3)＜g(3)，∴h(3)＝g(3)＝9，输出值为9.
答案：9
条件结构的实际应用
[例3] (1)某市出租车的起步价为8元(含3千米)，超过3千米的里程每千米收2.6元，另外每车次超过3千米收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应的收费系统的程序框图如图所示，则①处应填________，②处应填________．
(2)某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费，计费方法如下：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费，并画出程序框图．
[解] (1)当x＞3时，y＝8＋2.6(x－3)＋1＝9＋2.6(x－3)＝2.6x＋1.2；
当x≤3时，y＝8.
(2)设应收取的卫生费用y(元)表示，人数用x表示，则y＝
算法如下：第一步，输入x.
第二步，若x≤3，则y＝5；否则执行第三步．
第三步，y＝5＋1.2(x－3)．
第四步，输出y.
程序框图如图所示．
[答案] (1)y＝2.6x＋1.2 y＝8
[类题通法]
设计程序框图解决实际问题的步骤
(1)读懂题意，分析已知与未知的关系；
(2)概括题意写出表达式；
(3)设计算法步骤；
(4)根据算法步骤画出程序框图．
[活学活用]
为了加强居民的节水意识，某市制定了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过12立方米时，每立方米收费2.8元，并加收1.4元的城市污水处理费；超过12立方米的部分，每立方米收费4.2元，并加收1.4元的城市污水处理费．设某户每月用水量为x立方米，应缴纳水费y元，请你设计一个输入用水量、输出应缴水费额的算法，画出程序框图．
解：y与x之间的函数解析式为
y＝
算法设计如下：
第一步，输入每月用水量x(x≥0)．
第二步，判断输入的x是否超过12，若x＞12，则应缴纳水费y＝5.6x－16.8；否则应缴纳水费y＝4.2x.
第三步，输出应缴水费y.
程序框图如图所示：
[典例] 设计程序框图，求方程ax＋b＝0(a，b为常数)的解．
[解题流程]
程序框图为：
[多维探究]
[角度一]
在解决此类问题时要注意相关题目的求解，如将本例中的等式改为不等式，问题就变为：
设计一个程序框图，求不等式ax＋b＞0(a，b为常数)的解集，如何求解？
解：算法如下：
第一步，输入a，b.
第二步，判断a是否大于0.若a＞0，则输出“x＞－”，结束算法；否则，执行第三步．
第三步，判断a是否等于0.若a＝0，b＞0.则输出“x是任意实数”，结束算法；若a＝0，b≤0，则输出“此不等式无解”，结束算法；若a＜0，则输出“x＜－”，结束算法．
程序框图如下：
[角度二]
若将“角度一”中的不等式改为“ax2＋bx＋c＜0(a＞0)”，试写出算法，并画出程序框图．
解：算法步骤如下：
第一步，输入三个系数a，b，c(其中a>0)；
第二步，计算Δ＝b2－4ac.
第三步，判断Δ≤0是否成立．若是，则输出“不等式的解集为 ”；否则，计算x1＝，x2＝，输出“不等式解集为(x1，x2)”．结束算法．
程序框图如图所示：
[类题通法]
1．条件结构的嵌套
所谓嵌套，是指条件结构内又套有小的分支，对条件进行二次或更多次的判断．常用于一些分段函数的求值问题．
一般地，如果是分三段的函数，则需要引入两个判断框；如果是分四段的函数，则需要引入三个判断框；以此类推．
2．条件结构的应用
凡必须先根据条件作出判断再决定进行哪一个步骤的问题，如分段函数问题，在画程序框图时，必须引入一个判断框，应用条件结构．
[随堂即时演练]
1．如图是算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构是( )
A．顺序结构
B．条件结构
C．判断结构
D．以上都不对
解析：选B 此逻辑结构是条件结构．
2．给出以下四个问题：
①输入一个数x，输出它的相反数；
②求面积为6的正方形的周长；
③求三个数a，b，c中的最大数；
④求函数f(x)＝的函数值．
其中不需要用条件结构来描述其算法的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选B 语句①不需要对x进行判断，所以不需要用条件结构来描述算法；语句②不需要进行判断，不需要使用条件语句；语句③要比较两个数的大小，需要用到条件结构；语句④为分段函数，需要判断x的范围，所以需要用到条件结构来描述算法．
3．如图所示的程序框图，输入x＝2，则输出的结果是________．
解析：通过程序框图可知本题是求函数y＝的函数值，根据x＝2可知y＝＝2.
答案：2
4．已知函数y＝如图所示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图．
①处应填写______________；
②处应填写____________．
解析：由框图可知只要满足①中的条件则对应的函数解析式为y＝2－x，故此处应填写x<2，则②处应填写y＝log2x.
答案：x<2？ y＝log2x
5．如下图，给出了一个算法的流程图，根据该流程图，回答下列问题：
(1)若输入的四个数为3,4,7,18，则最后输出结果是________．
(2)该算法流程图是为什么问题而设计的？
解：(1)18
(2)为求a，b，c，d四个数中的最大数并进行输出而设计的．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列关于条件结构的说法正确的是( )
A．条件结构的程序框图中有两个入口和一个出口
B．无论条件结构中的条件是否满足，都只能执行两条路径之一
C．条件结构中的两条路径可以同时执行
D．对于一个算法来说，判断框中的条件是唯一的
答案：B
2．如图所示框图，当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于( )
A．7
B．8
C．10
D．11
答案：B
3．下面的程序框图，若输入a，b，c分别是21,32,75，则输出的值是( )
A．96
B．53
C．107
D．128
答案：B
4．程序框图如图所示，若输出的y＝0，那么输入x的值为( )
A．－3,0
B．－3，－5
C．0，－5
D．－3,0，－5
答案：A
5．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝
C．f(x)＝ln
x＋2x－6
D．f(x)＝x3＋x
答案：D
二、填空题
6．如图是求实数x的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填________．
解析：因为满足条件直接输出x，否则输出－x，
∴条件应该是x≥0？或x＞0
答案：x≥0？或x＞0
7．如图是某种算法的程序框图，当输出的y的值大于2时，则输入的x的取值范围为________．
解析：由题知，此算法的程序框图是求分段函数f(x)＝的值．
若f(x)＞2，
①当x≤0时，令3－x－1＞2，
即3－x＞3，
所以－x＞1，得x＜－1；
②当x＞0时，令＞2，得x＞4.
综上所述，x的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)
8．如图所示的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入________．
解析：由框图知将a，b，c中较大的用x表示，先令x＝a，再比较x与b的大小．若b＞x，则令x＝b，否则判断x与c的大小；若x＞c，则令x＝c，输出x，否则直接输出x.
答案：c＞x
三、解答题
9．如图所示的程序框图，其作用是：输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，求这样的x值有多少个？
解：由题可知算法的功能是求分段函数
y＝的函数值．
要满足题意，则需要或或
解得x＝0或x＝1或x＝3，共3个值．
10．在新华书店里，《创新方案》每本售价14.80元，书店为促销，规定：如果顾客购买5本或5本以上，10本以下则按九折(即13.32元)出售；如果顾客购买10本或10本以上，则按八折(即11.84元)出售．请设计一个完成计费工作的程序框图．
解：程序框图：2．1.2 系统抽样
系统抽样的概念
[提出问题]
在一次有奖明信片的100
000个有机会中奖的号码(编号00
000～99
999)中，邮政部门按照随机抽取的方式确定后两位为37的号码为中奖号码．
问题1：上述抽样是简单随机抽样吗？
提示：不是．
问题2：上述抽样方法有什么特点？
提示：每隔100个号码有一个中奖．
[导入新知]
系统抽样的概念
要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先规定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法．
[化解疑难]
系统抽样的特点
(1)系统抽样适用于总体容量较大，且分布均衡(即个体间无明显的差异)的情况；
(2)系统抽样的本质是“等距抽样”，要取多少个样本就把总体分成多少组，每组中取一个；
(3)系统抽样是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是.
系统抽样的步骤
[导入新知]
[化解疑难]
系统抽样需注意的问题
(1)如果总体中个体数N正好被样本容量n整除，则每个个体被入样的可能性是，若N不能被n整除，需要随机剔除m个个体，m＝N－n·
，此时每个个体入样的可能性仍是，而不是.
(2)剔除个体后需要对剩余的个体重新进行编号．
(3)剔除个体及第一段抽样都用简单随机抽样．
系统抽样的概念
[例1] (1)某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…，发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是( )
A．抽签法
B．随机数法
C．系统抽样法
D．以上都不对
(2)为了了解某地参加计算机水平测试的5
008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为( )
A．24 B．25 C．26 D．28
[解析] (1)所述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽15＋50n(n∈N
)号，符合系统抽样的特点．
(2)选B 5
008除以200的整数商为25，
∴选B.
[答案] (1)C (2)B
[类题通法]
系统抽样的判断方法
判断一个抽样是否为系统抽样：(1)首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成，多少个个体；(2)再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在每一个部分中进行简单随机抽样；(3)最后看是否等距抽样．
[活学活用]
某影院有40排座位，每排有46个座位，一个报告会上坐满了听众，会后留下座号为20的所有听众进行座谈，这是运用了( )
A．抽签法
B．随机数表法
C．系统抽样法
D．放回抽样法
解析：选C 此抽样方法将座位分成40组，每组46个个体，会后留下座号为20的相当于第一组抽20号，以后各组抽取20＋46n，符合系统抽样特点.
系统抽样的设计
[例2] (1)某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k＝＝16，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是________．
(2)某企业对新招的504名员工进行岗前培训，为了了解员工的培训情况，试用系统抽样的方法按照下列要求抽取员工，请你写出具体步骤．
①从中抽取8名员工，了解基本理论的掌握情况．
②从中抽取50名员工，了解实际操作的掌握情况．
[解] (1)∵采用系统抽样方法，每16人抽取一个人，1～16中随机抽取一个数抽到的是7，
∴在第k组抽到的是7＋16(k－1)，
∴从33～48这16个数中应取的数是7＋16×2＝39.
(2)①第一步，将504名员工随机编号，依次为001,002,003，…，503,504，将其等距分成8段，每一段有63个个体；
第二步，在第一段(001～063)中用简单随机抽样方法随机抽取一个号码作为起始号码，比如26号；
第三步，起始号＋间隔的整数倍，确定各个个体：将编号为26,26＋63,26＋63×2，…，26＋63×7的个体抽出组成样本．
②第一步，用随机方式给每个个体编号：001,002,003，…，503,504；
第二步，利用随机数表法剔除4个个体，比如剔除编号为004,135,069,308的4个个体，然后再对余下的500名员工重新编号，分别为001,002,003，…，499,500，并等距分成50段，每段10个个体；
第三步，在第一段001,002,003，…，010中用简单随机抽样方法抽出一个号码(如006)作为起始号码；
第四步，起始号＋间隔的整数倍，确定各个个体，将编号为006,016,026，…，486,496的个体抽出组成样本．
[答案] (1)39
[类题通法]
设计系统抽样应关注的几个问题
(1)系统抽样一般是等距离抽取，适合总体中个体数较多，个体无明显差异的情况．
(2)总体均匀分段，通常在第一段(也可以选在其他段)中采用简单随机抽样的方法抽取一个编号，再通过将此编号加段距的整数倍的方法得到其他的编号．注意要保证每一段中都能取到一个个体．
(3)若总体不能均匀分段，要将多余的个体剔除(通常用随机数表的方法)，不影响总体中每个个体被抽到的可能性．
[活学活用]
某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．
解：第一步，先把这253名学生编号000,001，…，252.
第二步，用随机数表法任取出3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生．
第三步，把余下的250名学生重新编号1,2,3，…，250.
第四步，分段．取分段间隔k＝5，将总体均分成50段．每段含5名学生．
第五步，以第一段即1～5号中随机抽取一个号作为起始号，如l.
第六步，从后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245这49个号．
这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本.
简单随机抽样与系统抽样的综合问题
[例3] 某集团有员工1
019人，其中获得过国家级表彰的有29人，其他人员990人．该集团拟组织一次出国学习，参加人员确定为：获得过国家级表彰的人员5人，其他人员30人，如何确定人选？
[解] 获得过国家级表彰的人员选5人，适宜使用抽签法：其他人员选30人，适宜使用系统抽样法．
(1)确定获得过国家级表彰的人员人选：
第一步，用随机方式给29人编号，号码为1,2，…，29；
第二步，将这29个号码分别写在一个小纸条上，揉成小球，制成号签；
第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，搅拌均匀；
第四步，从袋子中逐个抽取5个号签，并记录上面的号码；
第五步，从总体中将与抽到的号签的号码相一致的个体取出，人选就确定了．
(2)确定其他人员人选：
第一步，将990名其他人员重新编号(分别为1,2，…，990)，并分成30段，每段33人；
第二步，在第一段1,2，…，33这33个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如3)作为起始号码；
第三步，将编号为3,36,69，…，960的个体抽出，人选就确定了．
(1)(2)确定的人选合在一起就是最终确定的人选．
[类题通法]
系统抽样与简单随机抽样的区别和联系
1．区别
(1)系统抽样比简单随机抽样更容易实施，可节约抽样成本．
(2)系统抽样所得样本的代表性与具体的编号有关，而简单随机抽样所得样本的代表性与个体的编号无关．如果编号的个体特征随编号的变化呈一定的周期性，可能会使抽样的代表性很差．
(3)系统抽样的应用比简单随机抽样的应用更广泛，尤其是工业生产线上产品质量的检验，不知道产品的数量，因此不能用简单随机抽样．
2．联系
(1)将总体均分后的起始部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样．
(2)与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的．
(3)与简单随机抽样一样是不放回的抽样．
(4)总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除再进行系统抽样．
[活学活用]
下面给出某村委会调查本村各户收入情况做的抽样，阅读并回答问题．本村人口数1
200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数30；
抽样间隔：＝40；
确定随机数字：取一张人民币，后两位数为12；
确定第一样本户：编号12的户为第一样本户；
确定第二样本户：12＋40＝52,52号为第二样本户；
……
(1)该村委会采用了何种抽样方法？
(2)抽样过程存在哪些问题，试修改．
(3)何处是用简单随机抽样？
解：(1)系统抽样．
(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，末位数为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12,12号为第二样本户．
(3)确定随机数字：取一张人民币，其末位数为2.
[典例] 从2
009名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面方法选取：先用简单随机抽样从2
009人中剔除9人，剩下的2
000人再按系统抽样的方法抽取
50人，则在2
009人中，每个人入选的机会( )
A．都相等，且为
B．不全相等
C．均不相等
D．都相等，且为
[解析] 因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，本题要先剔除9人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等，所以每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是被选中，这两个过程是相互独立的，所以，每个人入选的机会都相等，且为.
[答案] A
[易错防范]
1．本题若认为剔除9人后，入选的机会就不相等了，则易误选C.
2．本题易误认为入选的机会虽然相等，但是利用了剔除后的数据，误选D.
3．在系统抽样过程中，为将整个的编号分段(即分成几个部分)，要确定分段的间隔，当在系统抽样过程中比值不是整数时，要从总体中删除一些个体(用简单随机抽样的方法)．但是每一个个体入样的机会仍然是相等的，不会发生变化．
[成功破障]
从样本容量为73的总体中抽取8个个体的样本，若采用系统抽样的方法抽样，则分段间隔k是________；每个个体被抽到的可能性为________．
解析：采用系统抽样的方法，因为＝9.125，故分段间隔是k＝9，每个个体被抽到的可能性为.
答案：9
[随堂即时演练]
1．系统抽样适用的总体应是( )
A．容量较少的总体
B．总体容量较多
C．个体数较多但均衡的总体
D．任何总体
解析：选C 系统抽样适用的总体应是个体数较多但均衡的总体．
2．从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( )
A．5,10,15,20,25
B．3,13,23,33,43
C．1,2,3,4,5
D．2,4,6,16,32
解析：选B 用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为k，k＋d，k＋2d，k＋3d，k＋4d，其中d＝＝10，k是1到10中用简单随机抽样方法得到的编号，因此只有选项B满足要求．
3．将参加数学竞赛的1
000名同学编号如下：0001,0002,0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样方法分成50个部分，如果第1部分编号为
0001,0002，…，0020，第1部分随机抽取的一个号码为0015，则抽取的第40个号码为______________．
解析：利用系统抽样的概念，若n部分中在第1部分抽取的号码为m，分段间隔为d，则在第k部分中抽取的第k个号码为m＋(k－1)d，所以抽取的第40个号码为0
015＋39×20＝0
795.
答案：0
795
4．一个总体中有100个个体，随机编号0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个组，组号依次为1,2,3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为t，则在第k组中抽取的号码个位数字与t＋k的个位数字相同．若t＝7，则在第8组中抽取的号码应该是________．
解析：∵k＝8，t＝7，t＋k＝15，
∴在第8组中抽取的号码是75.
答案：75
5．某公司有1
000名职工，从中抽取10人参加培训，试用系统抽样进行具体实施．
解：第一步，将每个职工随机编号为：0001,0002,0003，…，1
000.
第二步，分段，取间隔k＝＝100，将总体分为10组，每组100名职工．
第三步，从第一组0
001号至0
100号中随机抽取一个号i0.
第四步，按编号将i0，i0＋100，i0＋200，…，i0＋900共10个号码选出．
这10个号码所对应职工即组成样本．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是( )
A．某市的4个区共有2
000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样
B．从某厂生产的2
000个电子元件中随机抽取5个入样
C．从某厂生产的2
000个电子元件中随机抽取200个入样
D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样
答案：C
2．为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况，若用系统抽样方法，则抽样间隔和随机剔除的个数分别为( )
A．3,2
B．2,3
C．2,30
D．30,2
答案：A
3．在一个个体数目为2
003的总体中，利用系统抽样抽取一个容量为100的样本，则总体中每个个体被抽到的机会为( )
A.
B．
C.
D．
答案：C
4．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8,9～16，…，153～160)，若第16组得到的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是( )
A．8
B．6
C．4
D．2
答案：B
5．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )
A．26,16,8
B．25,17,8
C．25,16,9
D．24,17,9
答案：B
二、填空题
6．已知标有1～20号的小球20个，目的是估计总体号码的平均值，即20个小球号码的平均数．试验者从中抽取4个小球，以这4个小球号码的平均数估计总体号码的平均值，按下面方法抽样(按小号到大号排序)：
(1)以编号2为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________；
(2)以编号3为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________．
解析：20个小球分4组，每组5个：
(1)若以2号为起点，则另外三个球的编号依次为7,12,17,4个球编号的平均值为＝9.5.
(2)若以3号为起点，则另外三个球的编号依次为8,13,18,4个球编号的平均值为＝10.5.
答案：(1)9.5 (2)10.5
7．某高三(1)班有学生56人，学生编号依次为01,02,03，…，56.现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为06,34,48的同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号应该是________．
解析：由于系统抽样的样本中个体编号是等距的，且间距为56/4＝14，所以样本编号应为06,20,34,48.
答案：20
8．有40件产品，编号从1至40，现从中抽4件检验，用系统抽样的方法确定所抽的编号可能是________(填序号)
①5,10,15,20；②2,12,22,32；③5,8,31,36
解析：由系统抽样的定义可知，间隔k＝＝10，可以在第一组1～10号个体中取一个l,1≤l≤10，则抽到的样本为l，l＋10，l＋20，l＋30.
答案：②
三、解答题
9．某批产品共有1
564件，产品按出厂顺序编号，号码从1到1
564，检测员要从中抽取15件产品做检测，请你给出一个系统抽样方案．
解：(1)先从1
564件产品中，用简单随机抽样方法抽出4件产品，将其剔除．
(2)将余下的1
560件产品编号：1,2,3，…，1
560.
(3)取k＝＝104，将总体均分为15组，每组含104个个体．
(4)从第一组即1号到104号利用简单随机抽样抽取一个编号s.
(5)按编号把s,104＋s,208＋s，…，1
456＋s共15个编号选出，这15个编号所对应的产品即组成样本．
10．要装订厂平均每小时大约装订图书362册，需要检验员每小时抽取40册图书，检验其质量状况，请你设计一个抽样方案．
解：第一步，把这些图书分成40个组，由于的商是9，余数是2，所以每个小组有9册书，还剩2册书．这时抽样距就是9.
第二步，先用简单随机抽样的方法从这些书中抽取2册，不进行检验．
第三步，将剩下的书进行编号，编号分别为0,1，…，359.
第四步，从第一组(编号为0,1，…，8)的书中用简单随机抽样的方法，抽取1册书，比如说，其编号为k.
第五步，顺次抽取编号分别为下面数字的书：k，k＋9，k＋18，k＋27，…，k＋39×9.这样总共就抽取了40个样本．
11．将一个总体中的1
000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其均分为10个小组，组号为0,1,2，…，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．
(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；
(2)若所抽取样本的10个号码中有一个后两位数是87，求x的取值范围．
解：(1)由题意知，此系统抽样的间隔是100，根据x＝24和题意得，24＋33×1＝57，第二组抽取的号码是157.由24＋33×2＝90，则从第三组抽取的号码是290，…
故依次是24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.
(2)由x＋33×0＝87得x＝87，由x＋33×1＝87得x＝54，由x＋33×3＝187得x＝88，…，
依次求得x值可能为21,22,23,54,55,56,87,88,89,90.3．3.2 均匀随机数的产生
[导入新知]
1．均匀随机数的产生
(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数．
(2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand(_)”．
2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法
(1)试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．
(2)计算机模拟的方法：用Excel的软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．
[化解疑难]
整数随机数与均匀随机数的异同
二者都是随机产生的随机数，在一定的区域长度上出现的概率是均等的．但是整数随机数是离散的单个整数值，相邻两个整数随机数的步长为1；而均匀随机数是小数或整数，是连续的小数值，相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的．
用随机模拟法估计长度型几何概型
[例1] 取一根长度为5
m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2
m
的概率有多大？
[解] 设剪得两段的长都不小于2
m为事件A.
法一：(1)利用计算器或计算机产生n个0～1之间的均匀随机数，x＝RAND；
(2)作伸缩变换：y＝x
(5－0)，转化为[0,5]上的均匀随机数；
(3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数m；
(4)概率P(A)的近似值为.
法二：(1)做一个带有指针的转盘，把圆周五等分，标上刻度[0,5](这里5和0重合)；
(2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在[2,3]内(表示剪断绳子位置在[2,3]范围内)的次数m及试验总次数n；
(3)概率P(A)的近似值为.
[类题通法]
利用随机模拟计算概率的步骤
(1)确定概率模型；
(2)进行随机模拟试验，即利用计算器等以及伸缩和平移变换得到[a，b]上的均匀随机数；
(3)统计计算；
(4)得出结论，近似求得概率．
[活学活用]
已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD内，如果通过大量的试验发现米粒落入△BCD内的频率稳定在附近，那么点A和点C到直线BD的距离之比约为________．
解析：设米粒落入△BCD内的频率为P1，米粒落入△BAD内的频率为P2，点C和点A到直线BD的距离分别为d1，d2，
根据题意得，P2＝1－P1＝1－＝，
又∵P1＝＝，
P2＝＝，
∴＝＝.
答案：
用随机模拟估计面积型的几何概型
[例2] 如图所示，在墙上挂着一块边长为32
cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为3
cm，6
cm,9
cm.某人站在3
m之外向此板投镖，假设投镖击在线上或没有投中木板不算，可重投，用随机模拟的方法估计：
(1)“投中小圆内”的概率是多少？
(2)“投中小圆与中圆形成的圆环”的概率是多少？
[解] 记事件A＝，
事件B＝.
按如下步骤进行：
第一步，用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；
第二步，经过伸缩和平移变换，a＝a1·32－16，b＝b1·32－16，得到两组[－16,16]上的均匀随机数；
第三步，统计投在小圆内的次数N1(即满足a2＋b2＜9的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环的次数N2(即满足9＜a2＋b2＜36的点(a，b)的个数)，投中木板的总次数N(即满足－16＜a＜16，－16＜b＜16的点(a，b)的个数)；
第四步，计算频率fn(A)＝，fn(B)＝，即分别为概率P(A)，P(B)的近似值．
[类题通法]
用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的联系与区别
(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数；
(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的横纵坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比．
[活学活用]
现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率．
解：第一步，利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a1、b1(共N组)；
第二步，经过平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)
2，
b＝(b1－0.5)
2；
第三步，数出满足不等式b＜2a－，即6a－3b＞4的数组数N1.所求概率P≈.可以发现，试验次数越多，概率P越接近.
利用随机模拟的方法计算不规则图形的面积
[例3] (1)如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为( )
A.
B．
C.
D．无法计算
(2)利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(抛物线y＝2－2x－x2与x轴围成的图形)的面积．
[解析] (1)选B 由几何概型的公式可得＝，又S正方形＝4，∴S阴影＝4×＝.
(2)第一步，利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；
第二步，经过平移和伸缩变换，a＝a1·4－3，b＝b1·3，得到一组[－3,1]和一组[0,3]上的均匀随机数；
第三步，统计试验总次数N和落在阴影部分的点数N1(满足条件b＜2－2a－a2的点(a，b)的个数)；
第四步，计算频率就是点落在阴影部分的概率的近似值；
第五步，设阴影部分的面积为S，由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为，所以≈，故S≈即为阴影部分面积的近似值．
[类题通法]
利用随机模拟法估计图形面积的步骤
(1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)内的一部分，并用阴影表示；
(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率P(A)＝；
(3)设阴影部分的面积是S，规则图形的面积是S′，则有＝，解得S＝S′，即已知图形面积的近似值为S′.
[活学活用]
利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(曲线y＝2x与直线x＝±1及x轴围成的图形)的面积．
解：设事件A为“随机向正
方形内投点，所投的点落在阴影部分”，操作步骤如下：
第一步，用计数器n记录做了多少次试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足－1＜x＜1,0＜y＜2x(即点落在图中阴影部分)，首先设置n＝0，m＝0；
第二步，用变换rand( )
2－1产生－1～1之间的均匀随机数x表示所投点的横坐标，用变换rand( )
2产生0～2之间的均匀随机数y表示所投点的纵坐标；
第三步，判断点是否落在阴影部分，即是否满足y＜2x，如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1，如果不是，m的值保持不变；
第四步，表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1，如果还要试验，则返回步骤第二步继续执行，否则结束．程序结束后事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值．
设阴影部分的面积为S，正方形面积为4，由几何概型概率计算公式得，P(A)＝，所以≈，故可作为阴影部分面积S的近似值．
[典例] 甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并约定先到者要等候另一人一刻钟，过时即可离开．求甲、乙能见面的概率．
[解题流程]
[规范解答]
法一(利用几何概型的概率公式)：
如图所示：
[类题通法]
利用几何概型求解会面问题
会面问题是利用数形结合转化为面积型几何概型的问题解决的，步骤如下：
(1)将时间分别用x，y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)；
(2)找出会面关系，用式子表示出能够会面的条件；
(3)在平面直角坐标系里，画出所有可能的结果表示的区域，并求出面积；
(4)用阴影部分表示出能够会面的区域，并求面积；
(5)代入几何概型的概率公式求解．
[活学活用]
两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，设甲、乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是2小时与4小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．
解：如图所示，以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的等价条件是甲先到：y≤x＋2，乙先到：x≤y＋4.在平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间”的所有可能结果由图中的阴影部分来表示，μA＝242－×222－×202＝134，μΩ＝242＝576，所以P(A)＝＝＝.故有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为.
[随堂即时演练]
1．要产生[－3,3]上的均匀随机数y，现有[0,1]上的均匀随机数x，则y不可取为( )
A．－3x
B．3x
C．6x－3
D．－6x－3
解析：选D 法一：利用伸缩和平移变换进行判断，
法二：由0≤x≤1，得－9≤－6x－3≤－3，
故y不能取－6x－3.
2．设x，y是两个[0,1]上的均匀随机数，则0≤x＋y≤1的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选A 如图所示，所求的概率为
P＝＝.
3．b1是[0,1]上的均匀随机数，b＝6(b1－0.5)，则b是________上的均匀随机数．
解析：∵b1∈[0,1]，
∴b1－0.5∈[－0.5,0.5]，
∴6(b1－0.5)∈[－3,3]．
答案：[－3,3]
4．(全国甲卷改编)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为________．(用m，n表示)
解析：因为x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得＝，即＝，所以π＝.
答案：
5.如图所示，向边长为2的大正方形内投飞镖，利用随机模拟的方法求飞镖落在中央边长为1的小正方形中的概率．(假设飞镖全部落在大正方形内)
解：用几何概型概率计算公式得P＝＝.用计算机随机模拟这个试验，步骤如下：
第一步，用计数器n记录做了多少次投飞镖的试验，用计数器m记录其中有多少次投在中央的小正方形内，设置n＝0，m＝0；
第二步，用函数rand( )
4－2产生两个－2～2之间的均匀随机数x，y，x表示所投飞镖的横坐标，y表示所投飞镖的纵坐标；
第三步，判断(x，y)是否落在中央的小正方形内，也就是看是否满足|x|＜1，|y|＜1，如果是，则m的值加1，即m＝m＋1，否则m的值保持不变；
第四步，表示随机试验次数的计数器n加1，即n＝n＋1，如果还需要继续试验，则返回步骤第二步继续执行，否则，程序结束．
程序结束后飞镖投在小正方形内的频率作为所求概率的近似值．
[课时达标检测]
一、选择题
1．若－4≤x≤2，则x是负数的概率是( )
A.
B．
C.
D．
答案：D
2．已知函数f(x)＝log2x，x∈，则在区间上任取一点x0，使f(x0)≥0的概率为( )
A．1
B．
C.
D．
答案：C
3．设一直角三角形两直角边的长均是区间[0,1]上的随机数，则斜边的长小于1的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：C
4．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5
cm的圆，中间有边长为0.5
cm的正方形孔，随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：A
5.如图，在△AOB中，已知∠AOB＝60°，OA＝2，OB＝5，在线段OB上任取一点C，求△AOC为钝角三角形的概率．( )
A．0.6
B．0.4
C．0.2
D．0.1
答案：B
二、填空题
6．如图的矩形，长为5
m，宽为2
m，在矩形内随机撒300粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138，则我们可以估计出阴影部分的面积为________m2.
解析：由题意得：＝，S阴影＝.
答案：
7.一个投针试验的模板如图所示，AB为半圆O的直径，点C在半圆上，且CA＝CB.现向模板内任投一针，则该针恰好落在△ABC内(图中的阴影区域)的概率是________．
解析：设半圆O的半径为r，
则半圆O的面积S半圆＝πr2，
在△ABC中，AB＝2r，CA＝CB＝r，
∴S△ABC＝·r·r＝r2.
据题意可知该概率模型是几何概型，
所以所求的概率为P＝＝＝.
答案：
8．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
解析：由题意画出示意图，如图所示．表示小波在家看书的区域如图中阴影部分所示，则他在家看书的概率为
＝，
因此他不在家看书的概率为
1－＝.
答案：
三、解答题
9．利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴、x＝±1围成的部分)的面积．
解：(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，
a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)经过平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)
2，b＝b1]N1,N)，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
（3）统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1.
（4）计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值.
(5)用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝，＝，∴S≈，即为阴影部分的面积值．
10．对某人某两项指标进行考核，每项指标满分100分，设此人每项得分在[0,100]上是等可能出现的．若单项80分以上，且总分170分以上才合格，求他合格的概率．
解：设某人两项的分数分别为x分、y分，
则0≤x≤100,0≤y≤100，
某人合格的条件是：80＜x≤100，
80＜y≤100，x＋y＞170.
在同一平面直角坐标系中，作出上述区域(如图中阴影部分所示)．
由图可知：0≤x≤100,0≤y≤100构成的区域面积为100×100＝10
000，
合格条件构成的区域面积为S五边形BCDEF＝S矩形ABCD－S△AEF＝400－×10×10＝350，
所以所求概率为P＝＝.
答：该人合格的概率为.
11．已知甲、乙两人约定到羽毛球馆去打球，两人都在9：30～11：30的任意时刻到达，若两人的到达时刻相差20分钟以内，两人可以一起打球，否则先到者就和别人在一起打球，求甲、乙两人没在一起打球的概率．
解：设甲的到达时刻为x，乙的到达时刻为y，
由(x，y)构成的区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2}，
此区域面积S＝2×2＝4，令两人没在一起打球的事件为A，则事件A构成区域A＝(x，y)|x－y|>，0≤x≤2,0≤y≤2，区域A的面积为SA＝2＝，
∴P(A)＝＝.1.3
算法案例
辗转相除法与更相减损术
[提出问题]
问题1：如何求18与54的最大公约数？
提示：短除法．
问题2：要求6
750与3
492的最大公约数，上述法还好用吗？
提示：数值太大，短除法不方便用．
问题3：还有没有其他方法，可用来解决“问题2”中的问题？
提示：有．
[导入新知]
1．辗转相除法
(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．
(2)辗转相除法的算法步骤：
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，计算m除以n所得的余数r.
第三步，m＝n，n＝r.
第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于m；否则返回第二步．
2．更相减损术
(1)更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法．
(2)其基本过程是：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
[化解疑难]
辗转相除法与更相减损术的比较
两种方法
辗转相除法
更相减损术
计算法则
除法
减法
终止条件
余数为0
减数与差相等
最大公约数的选取
最后一步中的除数
最后一步中的减数
计算次数
步骤较少，运算复杂
步骤较多，运算简单
相同点
同为求两个正整数最大公约数的方法，都是递归过程
秦九韶算法
[提出问题]
已知多项式f(x)＝x5＋3x4－3x3＋4x2－x－1.
问题1：求f(1)．
提示：f(1)＝1＋3－3＋4－1－1＝3.
问题2：若求f(39)，再代入运算出现什么情况？
提示：运算量太大，不易运算．
问题3：当x的值较大时，有没有更好的方法求函数值呢？
提示：有．可将f(x)转化为求一次多项式的值．
[导入新知]
秦九韶算法的算法原理
把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：
f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
＝…
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v2＝v1x＋an－2，
v3＝v2x＋an－3，
…
vn＝vn－1x＋a0.
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．
[化解疑难]
秦九韶算法的步骤
进位制
[提出问题]
问题1：今天是星期二，那么20天后是星期几？
提示：20天后是星期一．
问题2：每周七天，逢七便又是一循环，这与我们所学过的十进制，逢十进一是否有相似之处？
提示：其实一周七天，与十进制一样，相当于逢七进一，是七进制论法．
[导入新知]
1．进位制
(1)概念：进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制．
(2)基数：几进制的基数就是几．
2．不同进位制之间的互化
(1)k进制化为十进制的方法：
anan－1…a1a0(k)＝an×kn＋an－1×kn－1＋…＋a1×k＋a0(an，an－1，…，a1，a0∈N，0＜an＜k,0≤an－1，…，a1，a0＜k)．
(2)十进制化为k进制的方法——除k取余数．
[化解疑难]
常见的进位制
(1)二进制：①只使用0和1两个数字；②满二进一，如1＋1＝10.
(2)八进制：①使用0,1,2,3,4,5,6,7八个不同的数字；②满八进一，如7＋1＝10.
(3)十六进制：①使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A，B，C，D，E，F这十六个不同的数码，其中A，B，C，D，E，F分别代表十进制中的10,11,12,13,14,15；②满十六进一，如F＋1＝2＋E＝10.
求最大公约数
[例1] 分别用辗转相除法和更相减损术求779与209的最大公约数．
[解] (1)辗转相除法：
779＝209×3＋152，
209＝152×1＋57，
152＝57×2＋38，
57＝38×1＋19，
38＝19×2.
所以，779与209的最大公约数为19.
(2)更相减损术：
779－209＝570， 152－57＝95，
570－209＝361,
95－57＝38，
361－209＝152,
57－38＝19，
209－152＝57,
38－19＝19.
所以779和209的最大公约数为19.
[类题通法]
1．用辗转相除法求最大公约数的步骤
2．用更相减损术求最大公约数的步骤
第一步，给定两个正整数m，n(m＞n且m，n不全是偶数)．
第二步，计算m－n所得的差k.
第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示．
第四步，若m＝n，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．
[活学活用]
用辗转相除法和更相减损术求1
515与600的最大公约数，需要运算的次数分别为( )
A．4,15
B．5,14
C．5,13
D．4,12
解析：选B 辗转相除法：1515＝600×2＋315；600＝315×1＋285,315＝285×1＋30,285＝30×9＋15,30＝15×2，故最大公约数为15，且需计算5次．用更相减损术法：1515－600＝915，915－600＝315,600－315＝285，315－285＝30,285－30＝255,255－30＝225,225－30＝195,195－30＝165,165－30＝135,135－30＝105,105－30＝75,75－30＝45,45－30＝15,30－15＝15，故最大公约数为15，且需计算14次.
秦九韶算法及其应用
[例2] 用秦九韶算法求多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝2时的值．
[解] f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，
当x＝2时，有
v0＝6，
v1＝6×2＋5＝17，
v2＝17×2＋4＝38，
v3＝38×2＋3＝79，
v4＝79×2＋2＝160，
v5＝160×2＋1＝321，
v6＝321×2＝642，
故当x＝2时，多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为642.
[类题通法]
秦九韶算法原理及注意事项
(1)秦九韶算法的原理是
(k＝1,2，…，n)．
(2)在运用秦九韶算法进行计算时，应注意每一步的运算结果，像这种一环扣一环的运算，如果错一步，那么下一步，一直到最后一步就会全部算错，同学们在计算这种题时应格外小心．
[活学活用]
用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1.当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )
A．6,6
B．5,6
C．5,5
D．6,5
解析：选A f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1，所以需要进行6次乘法和6次加法．
进位制
[例3] (1)将101
111
011(2)转化为十进制数；
(2)将235(7)转化为十进制数；
(3)将137(10)转化为六进制数；
(4)将53(8)转化为二进制数．
[解] (1)101
111
011(2)＝1×28＋0×27＋1×26＋1×25＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝379(10)．
(2)235(7)＝2×72＋3×71＋5×70＝124(10)．
(3)∵137＝3×62＋4×6＋5，
∴137(10)＝345(6)．
(4)53(8)＝5×81＋3×80＝43(10)．
∴53(8)＝101
011(2)．
[类题通法]
1．k进制数化为十进制数的步骤
(1)把k进制数写成不同数位上的数字与k的幂的乘积之和的形式．
(2)按十进制数的运算规则运算出结果．
2．十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤
[活学活用]
若六进制数13m502(6)化为十进制数等于12
710，求数字m的值．
解：因为13m502(6)
＝1×65＋3×64＋m×63＋5×62＋0×61＋2×60
＝216m＋11
846，
令216m＋11
846＝12
710，
所以m＝4.
[典例] 利用秦九韶算法求f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1当x＝3时的值( )
A．121
B．283
C．321
D．239
[解析] 原多项式可化为：
f(x)＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1.
当x＝3时，
v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋1＝10，
v3＝10×3＋1＝31，v4＝31×3＋1＝94，
v5＝94×3＋1＝283.
所以，当x＝3时f(3)＝283.
[答案] B
[易错防范]
当多项式中间出现空项时，用秦九韶算法求函数值要补上系数为0的相应项，否则，本题极易出现如下所示的错误算法，从而误选A.
∵f(x)＝(((x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，
∴当x＝3时，
v0＝1，v1＝3＋1＝4，
v2＝4×3＋1＝13，
v3＝13×3＋1＝40，
v4＝40×3＋1＝120＋1＝121，
所以当x＝3时，f(3)＝121.
[成功破障]
用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋0.11x3－0.15x－0.04当x＝0.3时的值．
解：根据秦九韶算法，将f(x)写为：
f(x)＝((((x＋0)x＋0.11)x＋0)x－0.15)x－0.04.
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝0.3时的值：
v0＝1；
v1＝v0×0.3＋0＝0.3；
v2＝v1×0.3＋0.11＝0.2；
v3＝v2×0.3＋0＝0.06；
v4＝v3×0.3－0.15＝－0.132；
v5＝v4×0.3－0.04＝－0.079
6.
所以，当x＝0.3时，多项式的值为－0.079
6.
[随堂即时演练]
1．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16－12＝4,12－4＝8,8－4＝4.由此可以看出12和16的最大公约数是( )
A．4
B．12
C．16
D．8
解析：选A 根据更相减损术的方法判断．
2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4在x＝－1时的值，v2的结果是( )
A．－4
B．－1
C．5
D．6
解析：选D n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式得v0＝2，v1＝v0x＋a3＝－5，v2＝v1x＋a2＝6.
3．将51化为二进制数得________．
解析：
答案：110
011(2)
4．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是________．
解析：294＝84×3＋42，
84＝42×2.
答案：2
5．将1
234(5)转化为八进制数．
解：将1
234(5)转化为十进制数：
1
234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194.
再将十进制数194转化为八进制数：
所以1
234(5)＝302(8)．
[课时达标检测]
一、选择题
1．4
830与3
289的最大公约数为( )
A．23
B．35
C．11
D．13
答案：A
2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3的值时，需要进行乘法运算和加减运算的次数分别为( )
A．4,2
B．5,3
C．5,2
D．6,2
答案：C
3．用辗转相除法求72与120的最大公约数时，需要做除法的次数为( )
A．4
B．3
C．5
D．6
答案：B
4．用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
答案：B
5．下列各数，化为十进制后，最大的为( )
A．101
010(2)
B．111(5)
C．32(8)
D．54(6)
答案：A
二、填空题
6．用更相减损术求三个数168,54,264的最大公约数为________．
解析：为简化运算，先将3个数用2约简为84,27,132.由更相减损术，先求84与27的最大公约数.84－27＝57，57－27＝30,30－27＝3,27－3＝24,24－3＝21,21－3＝18，18－3＝15,15－3＝12,12－3＝9,9－3＝6,6－3＝3.故84与27的最大公约数为3.
再求3与132的最大公约数，易知132＝3×44，所以3与132的最大公约数就是3.
故84,27,132的最大公约数为3；168,54,264的最大公约数为6.
答案：6
7．三位七进制数表示的最大的十进制数是______．
解析：最大的三位七进制数表示的十进制数最大，最大的三位七进制数为666(7)，则666(7)＝6×72＋6×71＋6×70＝342.
答案：342
8．按照秦九韶算法求多项式f(x)＝1.5x5＋3.5x4－4.1x3－3.6x＋6当x＝0.5时的值的过程中，令v0＝a5，v1＝v0x＋a4，…，v5＝v4x＋a0，则v4＝________.
解析：由题意，有v0＝1.5，v1＝1.5×0.5＋3.5＝4.25，v2＝4.25×0.5－4.1＝－1.975，v3＝－1.975×0.5＋0＝－0.987
5，v4＝－0.987
5×0.5－3.6＝－4.093
75.
答案：－4.093
75
三、解答题
9．10x1(2)＝y02(3)，求x、y的值．
解：因为10x1(2)＝1×20＋x×21＋0×22＋1×23＝9＋2x，y02(3)＝2×30＋y×32＝9y＋2，所以9＋2x＝9y＋2且x∈，y∈，所以x＝1，y＝1.
10．用秦九韶算法计算当x＝2时，多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64的值．
解：将f(x)改写为
f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64，
v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，
v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，
v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.
所以f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.
11．用秦九韶算法求多项式f(x)＝5x5＋7x4＋6x3＋3x2＋x＋1，当x＝3时的值．
解：f(x)＝5x5＋7x4＋6x3＋3x2＋x＋1
＝(5x4＋7x3＋6x2＋3x＋1)x＋1
＝((5x3＋7x2＋6x＋3)x＋1)x＋1
＝(((5x2＋7x＋6)x＋3)x＋1)x＋1
＝((((5x＋7)x＋6)x＋3)x＋1)x＋1
∴f(3)＝((((5×3＋7)×3＋6)×3＋3)×3＋1)×3＋1
＝1
975.3．1.2 概率的意义
[提出问题]
经市场抽检，质检部门得知市场上的食用油合格率为80%，现将对市场上的100个品牌的食用油进行检查．
问题1：这100个品牌的食用油一定有20个不合格，对吗？
提示：不对．
问题2：这100个品牌的食用油可能有20个不合格，对吗？
提示：对．
问题3：以你对合格率的理解，这100个品牌的食用油，不合格的应有多少个？
提示：可能有20个，也可能一个也没有．
[导入新知]
1．对概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的可能性．
2．游戏的公平性
(1)裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球的概率均是等可能的，所以这个规则是公平的．
(2)在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则．
3．决策中的概率思想
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．
4．天气预报的概率解释
天气预报的“降水”是一个随机事件，“降水概率为90%”指明了“降水”这个随机事件发生的概率为90%，在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不能说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的．
5．孟德尔与遗传机理中的统计规律
孟德尔从豌豆试验中洞察到的遗传规律是一种统计规律．
[化解疑难]
概率的正确认识
(1)随机事件的发生都有随机性．例如，尽管每次抛掷硬币的结果出现正、反面的概率都为0.5，但连续两次抛掷硬币的结果不一定恰好是正面朝上、反面朝上各一次，可以有三种情况：“两次正面朝上”“两次反面朝上”“一次正面朝上，一次反面朝上”．
(2)随机事件的某一结果在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中又含有规律性．认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地把握某随机事件发生的可能性．例如，做连续抛掷两枚硬币的试验1
000次，可以预见：“两个正面朝上”大约出现250次，“两个反面朝上”大约出现250次，“正面朝上、反面朝上各一个”大约出现500次．
概率含义的理解
[例1] (1)下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
(2)某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明( )
A．该厂生产的10
000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10
000件产品中合格的产品一定有9
999件
C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10
000件产品中没有不合格产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
[解析] (1)一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确；D正确．
(2)合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率．
[答案] (1)D (2)D
[类题通法]
从三个方面理解概率的意义
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
[活学活用]
抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1
000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( )
A.
B．
C.
D．
解析：选D 抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，故所求概率为.
游戏的公平性
[例2] 某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
[解] 该方案是公平的，理由如下：
各种情况如下表所示：
4
5
6
7
1
5
6
7
8
2
6
7
8
9
3
7
8
9
10
由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝＝，(2)班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．
[类题通法]
游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平；否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．
[活学活用]
玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？
解：两枚硬币落地共有四种结果：
正，正；正，反；反，正；反，反．
由此可见，她们两人得到门票的概率都是，所以公平.
概率的应用
[例3] (1)同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况( )
A．这100个铜板两面是一样的
B．这100个铜板两面是不同的
C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的
D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的
(2)为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
[解析] (1)选A 落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是一样的可能性较大．
(2)设保护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的．从保护区中任捕一只，设事件A＝，则P(A)＝.
第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知P(A)＝，
∴＝，解得n＝1
500，
∴该自然保护区中约有天鹅1
500只．
[类题通法]
1．极大似然法的应用
在“风险与决策”中经常会遇到统计中的极大似然法：如果我们面临的是从多个可以选择的答案中挑选正确答案的决策问题，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法．
2．概率的实际应用
由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生，从而对某些事情作出决策．当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率．
[活学活用]
某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色．而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3
000辆帕萨特出租车；乙公司有3
000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理？( )
A．甲公司
B．乙公司
C．甲、乙公司均可
D．以上都对
解析：选B 由题意得肇事车是甲公司的概率为，是乙公司的概率为，由极大似然法可知认定肇事车为乙公司的车辆较为合理．
[典例] 为了了解我国机动车的所有人缴纳车船使用税情况，调查部门在某大型停车场对机动车的所有人进行了如下的随机调查：向被调查者提出三个问题：(1)你的车牌号码的最后一位是奇数吗？(2)你缴纳了本年度的车船使用税吗？(3)你的家庭电话号码的倒数第二位是偶数吗？调查人员给被调查者准备了一枚骰子，让被调查者背对调查人员掷一次骰子．如果出现一点或二点则回答第一个问题；如果出现三点或四点则回答第二个问题；如果出现五点或六点则回答第三个问题(被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“否”，所以都如实做了回答)．结果被调查的3
000人中1
200人回答了“否”，由此估计在这3
000人中没有缴纳车船使用税的人数大约是( )
A．600
B．200
C．400
D．300
[解析] 因为骰子出现一点或二点、三点或四点、五点或六点的概率相等，都等于，所以应有1
000人回答了第一个问题．因为车牌号码的最后一位数是奇数还是偶数的概率也是相等的，所以在这1
000人中应有500人的车牌号码是偶数，这500人都回答了“否”；同理也有1
000人回答了第三个问题，在这1
000人中有500人回答了“否”．因此在回答“否”的1
200人中约有200人是对第二个问题回答了“否”，根据用样本特征估计总体特征知识可知在这3
000人中约有600人没有缴纳车船使用税．
[答案] A
[易错防范]
1．本题易误认为回答这三个问题的人数是相同的，因此有400人回答了第(2)个问题，而回答“是”与“否”的概率是一样的，因此误选B.
2．解决此类问题的实质是在充分掌握随机事件的概率的基础上，得到一个估计量，为生活中的一些决策做一定的理论参考．
[成功破障]
下列命题中的真命题有( )
①做9次抛掷一枚均匀硬币的试验，结果有5次出现正面，因此，出现正面的概率是；
②盒子中装有大小均匀的3个红球，3个黑球，2个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；
③从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取得的数小于0和不小于0的可能性相同；
④分别从2名男生，3名女生中各选一名作为代表，那么每名学生被选中的可能性相同．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：选A 命题①中，抛掷一枚硬币出现正面的概率是；命题②中摸到白球的概率要小于摸到红球与黑球的概率；命题③中取得小于0的概率大于取得不小于0的概率；命题④中男生被抽到的概率为，而每名女生被抽到的概率为.
[随堂即时演练]
1．“某彩票的中奖概率为”意味着( )
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为
解析：选D 概率是描述事件发生的可能性大小．
2．在天气预报中，有“降水概率预报”．例如，预报“明天降水概率为85%”，这是指( )
A．明天该地区有85%的地区降水，其他15%地区不降水
B．明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水
C．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水
D．明天该地区降水的可能性为85%
解析：选D 概率的本质含义是事件发生的可能性大小，因此D正确．
3．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球1个黑球，乙箱中有1个白球99个黑球．随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，这球是从________箱中取出的．
解析：甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是，乙箱中有1个白球99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是.由此可知，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多，由极大似然法知，既然在一次抽样中就抽到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中取出的，所以我们可以认为该球是从甲箱中取出的．
答案：甲
4．先后抛掷两枚均匀的一分、贰分的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大________．(填序号)
(1)至少一枚硬币正面向上；
(2)只有一枚硬币正面向上；
(3)两枚硬币都是正面向上；
(4)两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上．
解析：抛掷两枚硬币，其结果有“正正”“正反”“反正”“反反”四种情况．“至少有一枚硬币正面向上”包括三种情况，其概率最大．
答案：(1)
5．为了估计水库中鱼的尾数，使用以下的方法：先从水库中捕出2
000尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500尾，查看其中有记号的鱼，有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．
解：设水库中鱼的尾数是n(n∈N
)，每尾鱼被捕到的可能性相等，给2
000尾鱼做上记号后，从水库中任捕一尾鱼，带记号的概率为.又从水库中捕500尾鱼，有40尾带记号，于是带记号的频率为.则有＝，解得n＝25
000.所以估计水库中有25
000尾鱼．
[课时达标检测]
一、选择题
1．事件A发生的概率接近于0，则( )
A．事件A不可能发生
B．事件A也可能发生
C．事件A一定发生
D．事件A发生的可能性很大
答案：B
2．从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件，则对C的说法正确的是( )
A．概率为
B．频率为
C．概率接近
D．每抽10台电视机，必有1台次品
答案：B
3．高考数学试题中，有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是.某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对．”这句话( )
A．正确
B．错误
C．不一定
D．无法解释
答案：B
4．某篮球运动员投篮的命中率为98%，估算该运动员投篮1
000次命中的次数为( )
A．98
B．980
C．20
D．998
答案：B
5．从12件同类产品中(其中10件正品，2件次品)，任意抽取6件产品，下列说法中正确的是( )
A．抽出的6件产品必有5件正品，1件次品
B．抽出的6件产品中可能有5件正品，1件次品
C．抽取6件产品时，逐个不放回地抽取，前5件是正品，第6件必是次品
D．抽取6件产品时，不可能抽得5件正品，1件次品
答案：B
二、填空题
6．在一次考试中，某班学生的及格率是80%，这里所说的80%是________(填“概率”或“频率”)．
解析：80%是及格人数与全体人数的商，是频率，而不是概率．
答案：频率
7．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为________．
解析：设总体中的个体数为x，则＝，所以x＝120.
答案：120
8．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，一般给出两个问题，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．
由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以被测试者一般乐意如实地回答问题．
如果我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为________．
解析：因为掷硬币出现正面向上的概率为，我们期望大约有150人回答第一个问题．又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，另外5个回答“是”的人服用过兴奋剂．因此我们估计这群人中大约有3.33%的人服用过兴奋剂．
答案：3.33%
三、解答题
9．元旦就要到了，某校将举行联欢活动，每班派一人主持节目，高二(1)班的小明、小华和小丽实力相当，都争着要去，班主任决定用抽签的方法来决定．小强给小华出主意要小华先抽，说先抽的机会大，你是怎么认为的？说说看．
解：我们取三张卡片，上面标有1,2,3，抽到1就表示中签，假设抽签的次序为甲、乙、丙，则可以把所有的情况填入下表：
情况人名
一
二
三
四
五
六
甲
1
1
2
2
3
3
乙
2
3
1
3
1
2
丙
3
2
3
1
2
1
从上表可以看出：甲、乙、丙依次抽签，一共有六种情况，第一、二种情况，甲中签；第三、五种情况，乙中签；第四、六种情况，丙中签．由此可知，甲、乙、丙中签的可能性都是相同的，即甲、乙、丙中签的机会是一样的，先抽后抽，机会是均等的．
10．某家具厂为全国运动会某比赛场馆生产观众坐椅．质检人员对该厂所生产的2
500套坐椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，试问该厂所生产的2
500套坐椅中大约有多少套次品．
解：设有n套次品，由概率的统计定义，知＝，解得n＝50，所以该厂所生产的2
500套坐椅中大约有50套次品．
11.有一个转盘游戏，转盘被平均分成10份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”．
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？
解：(1)为了尽可能获胜，乙应选择方案B，猜“不是4的整数倍数”，因为“不是4的整数倍数”的概率为＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B.
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，因为方案A中“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性．2．1.1 简单随机抽样
简单随机抽样
[提出问题]
继“地沟油”“瘦肉精”“镉大米”“皮革奶”及“毒生姜”等国内食品安全事件的不断曝光，食品安全问题越来越受到人们的关注，也得到各级政府部门的重视．
问题1：某报告称，食品质量检测人员对某品牌牛奶的抽检合格率为99.9%，你知道这一数据是怎么得到的吗？
提示：是抽取少量的牛奶来检测得到的．
问题2：你认为质检人员是怎样抽取样本的？
提示：在所有牛奶中，随机地逐个抽取得到样本．
[导入新知]
简单随机抽样的定义
设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
[化解疑难]
简单随机抽样的特点
简单随机抽样的常用方法
[提出问题]
问题：在“知识点一”的事例中，质检人员在对某个体经商户所销售的牛奶进行抽检和对生产厂家所生产的牛奶进行抽检采取的方式一样吗？
提示：个体经商户销售的牛奶数量较少，可用抽签法(抓阄法)；而生产厂家生产的牛奶太多，可用计算机按生产批号进行抽取．
[导入新知]
1．抽签法
把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．
2．随机数法
随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．
[化解疑难]
1．抽签法的一般步骤
2．抽签法的特点
(1)优点：简单易行，当总体的个体数不多时，使总体处于“搅拌”均匀的状态比较容易，这时，每个个体都有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性．
(2)缺点：仅适用于个体数较少的总体，当总体容量较大时，费时费力又不方便，况且，如果号签搅拌的不均匀，可能导致抽样不公平．
3．随机数表法的步骤
4．随机数表法的特点
(1)优点：操作简单易行，它很好地解决了用抽签法当总体中的个数较多时制签难的问题，在总体容量不大的情况下是行之有效的．
(2)缺点：如果总体中的个体数很多，对个体编号的工作量太大，即使用随机数表法操作也不方便快捷．
简单随机抽样的概念
[例1] 下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
(2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
(3)某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区参加救灾工作；
(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．
[解] (1)不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．
(2)不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．
(3)不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．
(4)是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．
[类题通法]
简单随机抽样的判断策略
判断一个抽样能否用简单随机抽样，关键是看它是否满足四个特点：①总体的个体数目有限；②从总体中逐个进行抽取；③是不放回抽样；④是等可能抽样．同时还要注意以下几点：①总体的个体性质相似，无明显的层次；②总体的个体数目较少，尤其是样本容量较小；③用简单随机抽样法抽出的样本带有随机性，个体间无固定的距离．
[活学活用]
下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是( )
A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C．某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解在编人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本
D．某乡农田有：山地800公顷，丘陵1
200公顷，平地2
400公顷，洼地400公顷，现抽取农田48公顷估计全乡农田平均每公顷产量
解析：选B A的总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦；B的总体容量较少，用简单随机抽样法比较方便；C由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜采用简单随机抽样法；D总体容量大，且各类田地的差别很大，也不宜采用简单随机抽样法.
抽签法及其应用
[例2] (1)下列抽样实验中，适合用抽签法的有( )
A．从某厂生产3
000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两工厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3
000件产品中抽取10件进行质量检验
(2)某大学为了选拔世博会志愿者，现从报名的18名同学中选取6人组成志愿小组，请用抽签法写出抽样过程．
[解] (1)选B A，D两项总体容量较大，不适合用抽签法；对C项甲、乙两厂生产的产品质量可能差异明显．
(2)第一步，将18名同学编号，号码是01,02，…，18；
第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签；
第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀；
第四步，从袋子中依次抽取6个号签，并记录上面的编号；
第五步，所得号码对应的同学就是志愿小组的成员．
[类题通法]
1．抽签法的适用条件
一个抽样能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否容易被搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时适宜用抽签法．
2．应用抽签法的关注点
(1)对个体编号时，也可以利用已有的编号．例如，从某班学生中抽取样本时，可以利用学生的学号、座位号等．
(2)在制作号签时，所使用的工具(纸条、卡片或小球等)应形状、大小都相同，以保证每个号签被抽到的概率相等．
(3)用抽签法抽样的关键是将号签搅拌均匀．只有将号签搅拌均匀，才能保证每个个体有相等的机会被抽中，从而才能保证样本具有代表性．
(4)要逐一不放回抽取．
[活学活用]
1．抽签法中确保样本具有代表性的关键是( )
A．制签
B．搅拌均匀
C．逐一抽取
D．抽取不放回
解析：选B 只有将号签搅拌均匀，才能保证每个个体有相等的机会被抽中，从而才能保证样本具有代表性．
2．现有30本《三维设计》，要从中随机抽取5本进行印刷质量检验，请用抽签法进行抽样，并写出抽样过程．
解：总体和样本数目较小，可采用抽签法进行：
①先将30本书进行编号，从1编到30；
②把号码写在形状、大小均相同的号签上；
③将号签放在某个箱子中进行充分搅拌，然后依次从箱子中取出5个号签，按这5个号签上的号码取出样品，即得样本.
随机数表法的应用
[例3] (1)要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001,002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号________________________________________________________________________．
(下面抽取了随机数表第1行至第5行．)
03
47
43
73
86 36
96
47
36
61 46
98
63
71
62 33
26
16
80
45 60
11
14
10
95
97
74
24
67
62 42
81
14
57
20 42
53
32
37
32 27
07
36
07
51 24
51
79
89
73
16
76
62
27
66 56
50
26
71
07 32
90
79
78
53 13
55
38
58
59 88
97
54
14
10
12
56
85
99
26 96
96
68
27
31 05
03
72
93
15 57
12
10
14
21 88
26
49
81
76
55
59
56
35
64 38
54
82
46
22 31
62
43
09
90 06
18
44
32
53 23
83
01
30
30
(2)现有一批零件，其编号为600,601,602，…，999.利用原有的编号从中抽取一个容量为10的样本进行质量检查，若用随机数表法，怎样设计方案？
[解] (1)从随机数表第3行第6列的数2开始向右读第一个小于850的数字是227，第二个数字665，第三个数字650，第四个数字267，符合题意．
(2)第一步，在随机数表中任选一数字作为开始数字，任选一方向作为读数方向．比如：选第7行第6个数“7”，向右读．
第二步，从“7”开始向右每次读取三位，凡在600～999中的数保留，否则跳过去不读，依次得753,724,688,770,721,763,676,630,785,916.
第三步，以上号码对应的10个零件就是要抽取的对象．(答案不唯一)
[答案] (1)227,665,650,267
[类题通法]
利用随机数表法抽样时应注意的问题
(1)编号要求位数相同，若不相同，需先调整到一致再进行抽样，如当总体中有100个个体时，为了操作简便可以选择从00开始编号，那么所有个体的号码都用两位数字表示即可，从00～99号．如果选择从1开始编号那么所有个体的号码都必须用三位数字表示，从001～100.很明显每次读两个数字要比读三个数字节省读取随机数的时间．
(2)第一个数字的抽取是随机的．
(3)当随机数选定，开始读数时，读数的方向可左，可右，可上，可下，但应是事先定好的．
[活学活用]
现有一批编号为10,11，…，98,100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验，如何用随机数表法设计抽样方案？
解：第一步，将元件的编号调整为010,011,012，…，099,100，…，600.
第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第6行第7个数“9”．
第三步，从数9开始，向右读，每次读取三位，凡不在010～600中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到544,354,378,520,384,263.
第四步，以上这6个号码所对应的6个元件就是所要抽取的对象．(答案不唯一)
[典例] 为了了解参加第27届世界大学生运动会的2
000名运动员的身高情况，从中抽取100名运动员进行调查．就这个问题，下面说法中正确的是( )
①2
000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的100名运动员是一个样本；④样本容量为100；⑤每个运动员被抽到的可能性相等．
A．④⑤
B．①②③
C．①②④⑤
D．①②③④⑤
[解析] 抽样的目的是了解参加运动会的2
000名运动员的身高情况，故总体应该是2
000名运动员的身高，而不是这2
000名运动员，同理，个体应该是每个运动员的身高，样本应该是所抽取的100名运动员的身高．故①②③都不正确，④⑤正确．
[答案] A
[易错防范]
1．解决本题易搞错考察的对象，误认为考察对象为运动员，从而误认为①②③也正确．
2．解决此类问题，关键是明确考察的对象，根据有关的概念可得总体、个体与样本的考察对象是相同的．
[成功破障]
某学校为了解高一800名新入学同学的数学学，从中随机抽取100名同学的中考数学成绩进行分析，在这个问题中，下列说法正确的是( )
A．800名同学是总体
B．100名同学是样本
C．每名同学是个体
D．样本容量是100
解析：选D 据题意总体是指800名新入学同学的中考数学成绩，样本是指抽取的100名同学的中考数学成绩，个体是指每名同学的中考数学成绩，样本容量是100，故只有D正确．
[随堂即时演练]
1．下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位是2
709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．从8台电脑中逐个不放回地随机抽取2台，进行质量检验，假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取
D．从20个零件中一次性抽出3个进行质量检查
解析：选C 由简单随机抽样的特点可知选项C正确．
2．用随机数表法进行抽样有以下几个步骤：
①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字；④选定读数的方向．这些步骤的先后顺序应为( )
A．①②③④
B．①③④②
C．③②①④
D．④③①②
解析：选B 由随机数表法的步骤知选B.
3．用随机数法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的可能性是________．
解析：因为样本容量为20，总体容量为100，所以总体中每一个个体被抽到的可能性都为＝0.2.
答案：0.2
4．一个总体的60个个体编号为00,01，…，59，现需从中抽取一容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列开始，向右读取，直到取足样本，则抽取样本的号码是
.
95
33
95
22
00 18
74
72
00
18 38
79
58
69
32 81
76
80
26
92 82
80
84
25
39
90
84
60
79
80 24
36
59
87
38 82
07
53
89
35 96
35
23
79
18 05
98
90
07
35
46
40
62
98
80 54
97
20
56
95 15
74
80
08
32 16
46
70
50
80 67
72
16
42
79
20
31
89
03
43 38
46
82
68
72 32
14
82
99
70 80
60
47
18
97 63
49
30
21
30
71
59
73
05
50 08
22
23
71
77 91
01
93
20
49 82
96
59
26
94 66
39
67
98
60
解析：所取的号码要在00～59之间且重复出现的号码仅取一次．
答案：18,00,38,58,32,26,25,39
5．某校高一年级有43名足球运动员，要从中抽出5人抽查学习负担情况．用抽签法设计一个抽样方案．
解：第一步，编号，把43名运动员编号为1～43；
第二步，制签，做好大小、形状相同的号签，分别写上这43个数；
第三步，搅拌，将这些号签放在暗箱中，进行均匀搅拌；
第四步，抽签入样，每次从中抽取一个，连续抽取5次，从而得到容量为5的入选样本．
[课时达标检测]
一、选择题
1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性( )
A．与第几次有关，第一次可能性最大
B．与第几次有关，第一次可能性最小
C．与第几次无关，与抽取的第几个样本有关
D．与第几次无关，每次可能性相等
答案：D
2．为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是( )
A．总体是240
B．个体是每名学生
C．样本是40名学生
D．样本容量是40
答案：D
3．某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数法抽取10件检查，对100件产品采用下面的编号方法：
①1,2,3，…，100；②001,002，…，100；
③00,01,02，…，99；④01,02,03，…，100.
其中正确的序号是( )
A．②③④
B．③④
C．②③
D．①②
答案：C
4．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性、“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A.，
B．，
C.，
D．，
答案：A
5．从一群游戏的小孩中随机抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏．过了一会儿，再从中任选m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为( )
A.
B．k＋m－n
C.
D．不能估计
答案：C
二、填空题
6．某种福利彩票是从1～36的号码中，选出7个号码来按规则确定中奖情况，这种从36个号码中选7个号码的抽样方法是________．
解析：符合抽签法的特点：①个体数较少；②样本容量小．
答案：抽签法
7．假设要检验某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表法抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先被检测的5袋牛奶的编号____________．
(下面摘取的是随机数表第7行至第9行．)
84
42
17
53
31 57
24
55
06
88 77
04
74
47
67 21
76
33
50
25 83
92
12
06
76
63
01
63
78
59 16
95
56
67
19 98
10
50
71
75 12
86
73
58
07 44
39
52
38
79
33
21
12
34
29 78
64
56
07
82 52
42
07
44
38 15
51
00
13
42 99
66
02
79
54
解析：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916大于800，要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667符合题意，这样依次读出结果．
答案：785,667,199,507,175
8．从个体数为N的总体中抽出一个样本容量是20的样本，每个个体被抽到的可能性是，则N的值是________．
解析：从个体数为N的总体中抽出一个样本容量是20的样本，∴每个个体被抽取的可能性是.
∵每个个体被抽取的可能性是，∴＝，
∴N＝100.
答案：100
三、解答题
9．要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程．
解：利用抽签法：第一步，将30辆汽车编号，号码是1，2，…，30；第二步，将号码分别写在形状、大小相同的纸条上，制成号签；第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀；第四步，从袋子中依次不放回地抽取3个号签，并记录上面的号码；第五步，所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象．
10．某企业调查消费者对某产品的需求量，要从95户居民中抽选10户居民，请用随机数表法抽选样本．
附部分随机数表：
85
38
44
05
27 48
98
76
06
02 16
08
52
99
71 61
27
94
30
21 92
98
02
77
68
26
91
62
77
83 84
57
27
84
83 39
82
06
14
59 39
07
37
92
42 20
37
22
10
48
解：第一步：将95户居民编号，每一户一个编号，即01～95.
第二步：两位一组的表中，随机确定抽样的起点和抽样的顺序．如假定从第6列和第7列这两列的第1行开始读取，读数顺序从左往右．(横的数列称为“行”，纵的数列称为“列”)．
第三步：依次抽出10个号码．可能有号码如96,98两个号码不在总体编号范围内，应排除在外，再补充两个号码．得到的样本号码是：40,52,74,89,87,60,21,85,29,16.
由此产生10个样本号码，编号为这些号码的居民家庭就是抽样调查的对象．
11．为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：
A．测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高；
B．查阅有关外地180名初中男生身高的统计资料；
C．在本市的市区和郊县各任选一所完全中学和两所初级中学，在这六所学校有关的年级(1)班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．
为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？
解：方案C比较合理，理由如下：
由于A中，少年体校的男子篮球、排球的运动员的身高一定高于一般的情况，因此无法用测量的结果去估计总体的结果；B中，用外地学生的身高也不能准确地反映本地学生身高的实际情况；而C中的抽样方法符合简单随机抽样，因此用C方案比较合理．2．2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
众数、中位数、平均数
[提出问题]
现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下(单位：年)
甲：3,4,5,6,8,8,8,10
乙：4,6,6,6,8,9,12,13
丙：3,3,4,7,9,10,11,12
问题：三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？
提示：三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品．其中甲：众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为8年．
[导入新知]
众数、中位数、平均数的概念
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数．
(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．
[化解疑难]
三种数字特征的比较
名称
优点
缺点
众数
体现了样本数据的最大集中点；②容易计算
它只能表达样本数据中很少的一部分信息；②无法客观地反映总体的特征
中位数
不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响；②容易计算，便于利用中间数据的信息
对极端值不敏感
平均数
代表性较好，是反映数据集中趋势的量．一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息
任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大
方差和标准差
[提出问题]
甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
问题1：甲、乙两战士命中环数平均数甲，乙各是多少？
提示：甲＝7环，乙＝7环．
问题2：由甲，乙能否判断两人的射击水平？
提示：由于甲＝7环，乙＝7环，所以不能判断．
问题3：观察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳定？
提示：从数字分布来看，甲命中的环数较分散，乙命中的环数较集中．故乙的射击水平更稳定．
[导入新知]
标准差、方差的概念与计算公式
(1)标准差：
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝.
(2)方差：
标准差的平方s2叫做方差．
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，
其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．
[化解疑难]
对方差与标准差概念的理解
(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．
(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
众数、中位数、平均数的计算
[例1] (1)已知一组数据按从小到大排列为－1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数是5，那么数据的众数是________，平均数是________．
(2)下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表：
老板
大厨
二厨
采购员
杂工
服务生
会计
6
000元
900元
700元
800元
640元
640元
820元
①计算所有人员的周平均收入；
②这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？为什么？
③去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的周收入的水平吗？
[解] (1)∵中位数为5，
∴＝5，即x＝6.
∴该组数据的众数为6，
平均数为＝5.
(2)①周平均收入1＝(3
000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元)．
②这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员．
③去掉老板的收入后的周平均收入
2＝(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元)．
这能代表打工人员的周收入水平．
答案：(1)6 5
[类题通法]
利用样本数字特征进行决策时的两个关注点
(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．
(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．
[活学活用]
从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则( )
A.甲＜乙，m甲＞m乙
B.甲＜乙，m甲＜m乙
C.甲＞乙，m甲＞m乙
D.甲＞乙，m甲＜m乙
解析：选B 由茎叶图知，甲的平均数为
(5＋6＋8＋10＋10＋14＋18＋18＋22＋25＋27＋30＋30＋38＋41＋43)÷16＝21.562
5，
乙的平均数为(10＋12＋18＋20＋22＋23＋23＋27＋31＋32＋34＋34＋38＋42＋43＋48)÷16＝28.562
5，
所以甲＜乙．
甲的中位数为(18＋22)÷2＝20，
乙的中位数为(27＋31)÷2＝29，
所以m甲＜m乙.
标准差(方差)的计算及应用
[例2] 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
问：(1)哪种玉米苗长得高？
(2)哪种玉米苗长得齐？
[解] (1)∵甲＝(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm)，
乙＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝×310＝31(cm)．
∴甲＜乙，
即乙种玉米苗长得高．
(2)s＝[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]
＝(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝×1
042＝104.2，
s＝[(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－10×312]＝×1
288＝128.8，
∴s＜s，即甲种玉米苗长得齐．
[类题通法]
1．计算标准差的算法
2．标准差(方差)的两个作用
(1)标准差(方差)较大，数据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小．
(2)在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策．在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．
[活学活用]
1．(安徽高考)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为( )
A．8
B．15
C．16
D．32
解析：选C 已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为＝2×8＝16，故选C.
2．(广东高考)某工厂36名工人的年龄数据如下表.
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
1
40
10
36
19
27
28
34
2
44
11
31
20
43
29
39
3
40
12
38
21
41
30
43
4
41
13
39
22
37
31
38
5
33
14
43
23
34
32
42
6
40
15
45
24
42
33
53
7
45
16
39
25
37
34
37
8
42
17
38
26
44
35
49
9
43
18
36
27
42
36
39
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据．
(2)计算(1)中样本的均值和方差s2.
(3)36名工人中年龄在－s与＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)
解：(1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2，
所以所有样本数据的编号为4n－2(n＝1,2，…，9)，
其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37.
(2)由均值公式知：＝＝40，
由方差公式知：s2＝[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝.
(3)因为s2＝，s＝，
所以36名工人中年龄在－s和＋s之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数，
即40,40,41，…，39，共23人．
所以36名工人中年龄在－s和＋s之间的人数所占的百分比为×100%≈63.89%.
数字特征的综合应用
[例3] 从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：
(1)这50名学生成绩的众数与中位数；
(2)这50名学生的平均成绩．
[解] (1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为75.
由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求．
∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，
∴前三个小矩形面积的和为0.3.
而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5，
∴中位数应约位于第四个小矩形内．
设其底边为x，高为0.03，∴令0.03x＝0.2得x≈6.7，
故中位数应约为70＋6.7＝76.7.
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可．
∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)＝73.65.
[类题通法]
众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
众数
众数是最高长方形底边的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值
中位数
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；②表示样本数据所占频率的等分线
平均数
①平均数等于每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和；②平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点
[活学活用]
为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________．
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________．
(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．
解析：(1)(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.
(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，
x＝62.5.
(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
答案：(1)13 (2)62.5 (3)64
[典例] 对一组样本数据xi(i＝1,2，…，n)，如将它们改为xi－m(i＝1,2，…，n)，其中m≠0，则下面结论正确的是( )
A．平均数与方差都不变
B．平均数与方差都变了
C．平均数不变，方差变了
D．平均数变了，方差不变
[解析] 若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a≠0)的平均数为a＋b，方差为a2s2，标准差为，于是知道正确答案应为D.
[答案] D
[易错防范]
(1)本题易误认为样本数据变化了，则样本的平均数与方差也会随之改变，从而误选B.
(2)若x1，x2，x3，…，xn的平均数为，方差为s2，标准差为s，则数据的平均数、方差和标准差有以下规律：
数据
平均数
方差
标准差
x1，x2，x3，…，xn
s2
s
x1＋b，x2＋b，…，xn＋b(b为常数)
＋b
s2
s
ax1，ax2，…，axn(a为常数)
a
a2s2
|a|s
ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a，b为常数)
a＋b
a2s2
|a|s
[成功破障]
一组数据的方差为s2，平均数为，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数为( )
A.s2，
B．2s2,2
C．4s2,2
D．s2，
解析：选C 将一组数据的每一个数都乘以a，则新数据组的方差为原来数据组方差的a2倍，平均数为原来数据组的a倍．
[随堂即时演练]
1．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A．a＞b＞c
B．b＞c＞a
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
解析：选D 将数据从小到大排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，则平均数a＝(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7，中位数b＝15，众数c＝17，显然a＜b＜c.
2．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有( )
A．s3＞s1＞s2
B．s2＞s1＞s3
C．s1＞s2＞s3
D．s3＞s2＞s1
解析：选D 所给图是成绩分布图，平均分是75分，在图1中，集中在75分附近的数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，图2介于两者之间．由标准差的意义可得s3＞s2＞s1.
3．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是________．
解析：数据从小到大排列后可得其中位数为＝91.5，平均数为＝91.5.
答案：91.5,91.5
4．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．
解析：由题意知(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1.
所以样本方差为s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
答案：2
5.甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：
(1)请填写下表：
平均数
中位数
命中9环以上的次数(含9环)
甲
7
乙
(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？
③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？
解：(1)由题图可知，甲打靶的成绩为：2,4,6,8,7,7,8,9,9,10；乙打靶的成绩为：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数是3；
乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.
(2)由(1)知，甲、乙的平均数相同．
①甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好．
②甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好．
③从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列说法不正确的是( )
A．方差是标准差的平方
B．标准差的大小不会超过极差
C．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0
D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散
答案：D
2．下图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是( )
A.56分
B．57分
C．58分
D．59分
答案：B
3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
则7个剩余分数的方差为( )
A.
B．
C．36
D．
答案：B
4．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则( )
A.A＞B，sA＞sB
B．A＜B，sA＞sB
C.A＞B，sA＜sB
D．A＜B，sA＜sB
答案：B
5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示．假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则( )
A．me＝m0＝
B．me＝m0＜
C．me＜m0＜
D．m0＜me＜
答案：D
二、填空题
6．五个数1,2,3,4，a的平均数是3，则a＝_____________________________________，
这五个数的标准差是________．
解析：由＝3得a＝5；
由s2＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2得，标准差s＝.
答案：5
7．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差是
，则xy＝________.
解析：由平均数得9＋10＋11＋x＋y＝50，∴x＋y＝20，又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x－10)2＋(y－10)2＝()2×5＝10，得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，xy＝96.
答案：96
8．对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据：
观测序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
观测数据ai
40
41
43
43
44
46
47
48
在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中是这8个数据的平均数)，则输出的S的值是________．
解析：＝(40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋48)÷8＝44，该程序框图是计算这8个数据的方差，经计算得S＝7，则输出7.
答案：7
三、解答题
9．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15，0.10，0.05.
求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数．
(2)高一参赛学生的平均成绩．
解：(1)由图可知众数为65，
又∵第一个小矩形的面积为0.3，
∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，
∴中位数为60＋5＝65.
(2)依题意，平均成绩为
55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，
∴平均成绩约为67.
10．(全国乙卷)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
解：(1)当x≤19时，y＝3
800；
当x＞19时，y＝3
800＋500(x－19)＝500x－5
700，
所以y与x的函数解析式为
y＝(x∈N)．
(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3
800(元)，20台的费用为4
300(元)，10台的费用为4
800(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3
800×70＋4
300×20＋4
800×10)＝4
000(元)．
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4
000(元)，10台的费用为4
500(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4
000×90＋4
500×10)＝4
050(元)．比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．3．2.2 (整数值)随机数(random
numbers)的产生
随机数的产生
[导入新知]
1．随机数的产生
(1)标号：把n个大小、形状相同的小球分别标上1,2,3，…，n；
(2)搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌；
(3)摸取：从中摸出一个．
这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数．
2．伪随机数的产生
(1)规则：依照确定算法；
(2)特点：具有周期性(周期很长)；
(3)性质：它们具有类似随机数的性质．
计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为伪随机数．
[化解疑难]
对随机数的理解
计算器或计算机产生的整数随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质，不是真正的随机数，称为伪随机数．即使是这样，由于计算器或计算机省时省力，并且速度非常快，我们还是把计算器或计算机产生的伪随机数近似地看成随机数.
产生随机数的方法
[导入新知]
1．利用计算器产生随机数的操作方法
用计算器的随机函数RANDI(a，b)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．
例如，用计算器产生1到25之间的取整数值的随机数，方法如下：
2．利用计算机产生随机数的操作程序
每个具有统计功能的软件都有随机函数，以Excel软件为例，打开Excel软件，执行下面的步骤：
(1)选定A1格，键入“＝RANDBETWEEN(0,1)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的0或1.
(2)选定A1格，按Ctrl＋C快捷键，然后选定要随机产生0,1的格，比如A2至A100，按Ctrl＋V快捷键，则在A2至A100的数均为随机产生的0或1，这样相当于做了100次随机试验．
(3)选定C1格，键入频数函数“＝FREQUENCY(A1∶A100,0.5)”，按Enter键，则此格中的数是统计A1至A100中，比0.5小的数的个数，即0出现的频数．
(4)选定D1格，键入“＝1－C1/100”，按Enter键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率．
[化解疑难]
计算机模拟试验的优点
用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法真正进行．因此利用计算机进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代方法，它可以在短时间内多次重复地来做试验，不需要对试验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域．
随机数的产生方法
[例1] 某校高一年级共有20个班1
200名学生，期末考试时，如何把学生随机地分配到40个考场中去？
[解] 第一步，n＝1；
第二步，用RANDI(1,1
200)产生一个[1，1
200]内的整数随机数x表示学生的座号；
第三步，执行第二步，再产生一个座号，若此座号与以前产生的座号重复，则执行第二步，否则n＝n＋1；
第四步，如果n≤1
200，则重复执行第三步，否则执行第五步；
第五步，按座号的大小排列，作为考号(不足四位的前面添上“0”，补足位数)，程序结束．
[类题通法]
产生随机数需要注意的两个问题
(1)利用抽签法时，所设计的试验要切实保证任何一个数被抽到的可能性是相等的，这是试验成功的基础．(关键词：等可能)
(2)利用计算器或计算机产生随机数时，由于不同型号的计算器产生随机数的方法可能会有所不同，故需特别注意操作步骤与顺序的正确性，具体操作需严格参照其说明书．(关键词：步骤与顺序)
[活学活用]
用随机模拟方法抛掷一枚均匀的硬币100次，产生计算机统计这100次试验中“出现正面朝上”随机数．
解：利用计算机统计频数和频率，用Excel演示．
(1)选定C1格，键入频数函数“＝FREQUENCY(A1：A100,0.5)”，按Enter键，则此格中的数是统计A1至A100中比0.5小的数的个数，即0出现的频数，也就是反面朝上的频数；
(2)选定D1格，键入“＝1－C1/100”，按Enter键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率，即正面朝上的频率.
利用随机模拟法估计概率
[例2] (1)已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569
683 431 257 393 027 556 488 730 113
537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A．0.35
B．0.25
C．0.20
D．0.15
(2)种植某种树苗，成活率是0.9.若种植该种树苗5棵，用随机模拟方法估计恰好4棵成活的概率．
[解析] (1)选B 由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,271,932,812,393，共5组随机数，∴所求概率为＝＝0.25.
(2)利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9.因为种植5棵，所以每5个随机数作为一组，可产生30组随机数，如下所示：
69801 66097 77124 22961 74235 31516
29747 24945 57558 65258 74130 23224
37445 44344 33315 27120 21782 58555
61017 45241 44134 92201 70362 83005
94976 56173 34783 16624 30344 01117
这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为＝0.3.
[类题通法]
利用随机模拟估计概率应关注三点
用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
[活学活用]
甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．
先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数：
034
743
738
636
964
736
614
698
637
162
332
616
804
560
111
410
959
774
246
762
428
114
572
042
533
237
322
707
360
751
据此估计乙获胜的概率为________．
解析：产生30组随机数，就相当于做了30次试验．如果6,7,8,9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707.共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为≈0.367.
答案：0.367
[典例] 通过模拟试验，产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884
2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725
6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中，表示恰有三次击中目标，则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________．
[解析] 表示三次击中目标分别是3013,2604,5725,6576,6754，共5组数，而随机数总共20组，所以所求的概率近似为＝25%.
[答案] 25%
[易错防范]
1．由题意可知，数字1,2,3,4,5,6代表击中，若不能正确理解各数字的意义，则容易导致题目错解．
2．解决此类题目时正确设计试验，准确理解随机数的意义是解题的基础和关键．
[成功破障]
天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．可利用计算机产生0到9之间的整数值的随机数，如果我们用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：
907 966 191 925 271 932 812 458
569 683 631 257 393 027 556 488
730 113 137 989
则这三天中恰有两天下雨的概率约为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选B 由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191,271,932,812,631,393,137，共7组随机数，∴所求概率为.
[随堂即时演练]
1．利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2.小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选A 抛掷硬币两次，产生的随机数的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)共四种，其中随机数之和为3的情况有(1,2)，(2,1)两种，故所求概率为＝.
2．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0～9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
5727 0293 7140 9857 0347
4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011
3661 9597 7424 6710 4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )
A．0.85
B．0.819
2
C．0.8
D．0.75
解析：选D 该射击运动员射击4次至少击中3次，考虑该事件的对立事件，故看这20组数据中含有0和1的个数多少，含有2个或2个以上的有5组数，故所求概率为＝0.75.
3．一个正方体，它的表面涂满了红色，在它的每个面上切两刀，可得27个小正方体，从中任取一个它恰有一个面涂有红色的概率是________．
解析：恰有一个面涂有红色在每一个侧面上只有一个，共有6个，故所求概率为.
答案：
4．从1,2,3,4,5这5个数中任取两个，则这两个数正好相差1的概率是________．
解析：从5个数中任取两个，共有10种取法，两个数相差1的有1,2；2,3；3,4；4,5四种，故所求概率为＝.
答案：
5．盒中有大小、形状相同的5只白球2只黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：
(1)任取一球，得到白球；
(2)任取三球，都是白球．
解：用1,2,3,4,5表示白球，6,7表示黑球．
(1)步骤：
①利用计算器或计算机产生1到7的整数随机数，每一个数一组，统计组数n；
②统计这n组数中小于6的组数m；
③任取一球，得到白球的概率估计值是.
(2)步骤：
①利用计算器或计算机产生1到7的整数随机数，每三个数一组，统计组数n；
②统计这n组数中，每个数字均小于6的组数m；
③任取三球，都是白球的概率估计值是.
[课时达标检测]
一、选择题
1．袋子中有四个小球，分别写有“巴”“西”“奥”“运”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“奥”就停止．用随机模拟的方法估计直到第二次才停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1,2,3,4表示取出的小球上分别写有“巴”“西”“奥”“运”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计，直到第二次才停止概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
2．用计算机模拟随机掷骰子的试验，估计出现2点的概率，下列步骤中不正确的是( )
A．用计算器的随机函数RANDI(1,7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生6个不同的1到6之间取整数值的随机数x，如果x＝2，我们认为出现2点
B．我们通常用计数器n记录做了多少次掷骰子试验，用计数器m记录其中有多少次出现2点，置n＝0，m＝0
C．出现2点，则m的值加1，即m＝m＋1；否则m的值保持不变
D．程序结束．出现2点的频率作为概率的近似值
答案：A
3．从3名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则这三人中恰有一名男生的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
4．从2,4,6,8,10这5个数中任取3个，则这三个数能成为三角形三边的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
5．甲、乙两人一起去游济南趵突泉公园，他们约定，各自独立地从1号到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
二、填空题
6．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．则他乘上上等车的概率为________．
解析：共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中、上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)，所以他乘坐上等车的概率为＝.
答案：
7．某小组有五名学生，其中三名女生、两名男生，现从这个小组中任意选出两名分别担任正、副组长，则正组长是男生的概率是________．
解析：从五名学生中任选两名，有10种情况，再分别担任正、副组长，共有20个基本事件，其中正组长是男生的事件有8种，则正组长是男生的概率是＝.
答案：
8．现有五个球分别记为A，B，C，D，E，随机取出三球放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则D或E在盒中的概率是________．
解析：从5个球中取3个，有10种取法，再把3个球放入3个盒子，有6种放法，基本事件有60个，D和E都不在盒中含6个基本事件，则D或E在盒中的概率P＝1－＝.
答案：
三、解答题
9．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
解：(1)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为P＝.
(2)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为P＝.
10．甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球．
(1)求取出的两个球是不同颜色的概率；
(2)请设计一种随机模拟的方法，来近似计算(1)中取出两个球是不同颜色的概率(写出模拟的步骤)．
解：(1)设A表示“取出的两球是相同颜色”，B表示“取出的两球是不同颜色”．
则事件A的概率为：P(A)＝＝.
由于事件A与事件B是对立事件，所以事件B的概率为：P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
(2)随机模拟的步骤：
第1步：利用抽签法或计算机(计算器)产生1～3和2～4两组取整数值的随机数，每组各有N个随机数．用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球．
第2步：统计两组对应的N对随机数中，每对中两个数字不同的对数n.
第3步：计算的值，则就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值．
11．先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．
(1)求点P(x，y)在直线y＝x－1上的概率；
(2)求点P(x，y)满足y2<4x的概率．
解：(1)每颗骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为6×6＝36个．
记“点P(x，y)在直线y＝x－1上”为事件A，A有5个基本事件：
A＝{(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)}，
∴P(A)＝.
(2)记“点P(x，y)满足y2<4x”为事件B，则事件B有17个基本事件：
当x＝1时，y＝1；
当x＝2时，y＝1,2；
当x＝3时，y＝1,2,3；
当x＝4时，y＝1,2,3；
当x＝5时，y＝1,2,3,4；
当x＝6时，y＝1,2,3,4.
∴P(B)＝.3.2.1
古典概型
1．基本事件有哪些特征？
2．如何判断一个试验是否是古典概型？
3．古典概型的概率公式是什么？
有序和无序型问题
[例1] 从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
[解] (1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．
用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，
所以A＝.
因为事件A由4个基本事件组成，
所以P(A)＝＝.
(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝.
[类题通法]
解决有序和无序问题应注意两点
(1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个基本事件．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．
[活学活用]
一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．
解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个，因此所求事件的概率为P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n≥m＋2的有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．
所以，满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝，
故满足条件n＜m＋2的事件的概率为
1－P1＝1－＝.
数字型问题
[例2] 某城市的电话号码是8位数，如果从电话号码本中任取一个电话号码，求：
(1)头两位数字都是8的概率；
(2)头两位数字都不超过8的概率．
[解] 电话号码每位上的数字都可以由0,1,2，…，9这十个数字中的任意一个数字组成，
故试验基本事件总数为n＝108.
(1)记“头两位数字都是8”为事件A，则若事件A发生，头两位数码都只有一种选法，即只能选8，后六位各有10种选法，故事件A包含的基本事件数为m1＝106.所以由古典概型概率公式，得P(A)＝＝＝＝0.01.
(2)记“头两位数字都不超过8”为事件B，则事件B的头两位数码都有9种选法，即从0～8这9个数字中任选一个，后六位各有10种选法，
故事件B所包含的基本事件数为m2＝81×106.
所以由古典概型概率公式，得P(B)＝＝＝0.81.
[类题通法]
解决数字型问题
(1)电话号码及密码问题中，每个数字在各个位置出现的机会是相等的，且首位也可以为0.
(2)由于此类问题的基本事件数目较大，且很难一一列举，常借助整数的有关性质求解．
[活学活用]
储蓄卡的密码是一种六位数字号码，每位上的数字可以从0到9这10个数字中任取．
(1)如果某人拾到储蓄卡一张，随意按下六位号码正好按对密码的概率是多少？
(2)若某人未记准储蓄卡密码的后两位数字，随机按下两位数字正好按对密码的概率是多少？
解：(1)由储蓄卡的密码是六位数字号码，且每位上的数字都有从0到9共10种取法，故这种号码共有106个．由于随意按下一个六位号码，无论按下哪个号码的可能性都是均等的，故正好按对密码的概率P＝.
(2)按六位号码的后两位数字共有10×10＝100种按法，随意按下后两位数字，每一种按法机会均等，故按对的概率为P＝.
概率与统计的综合问题
[例3] 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
[解] (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．
所以P(B)＝＝.
[类题通法]
使用古典概型的概率公式的两个关键点
(1)审读题干：对于实际问题要认真读题，深入理解题意，计算基本事件总数要做到不重不漏，这是解决古典概型问题的关键．(关键词：不重不漏)
(2)编号：分析实际问题时，往往对要研究的对象进行编号或用字母代替，使复杂的实际意义变为简单的数字和字母，方便寻找对象间的关系，可以使问题得以简单地表示，这是解决古典概型问题时主要的解题技巧．(关键词：简单的数字和字母)
[活学活用]
某iPhone手机专卖店对某市市民进行iPhone手机认可度的调查，在已购买iPhone手机的1
000名市民中，随机抽取100名，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：
分组(岁)
频数
[25,30)
5
[30,35)
x
[35,40)
35
[40,45)
y
[45,50)
10
合计
100
(1)求频数分布表中x，y的值，并补全频率分布直方图；
(2)在抽取的这100名市民中，从年龄在[25,30)、[30,35)内的市民中用分层抽样的方法抽取5人参加iPhone手机宣传活动，现从这5人中随机选取2人各赠送一部iPhone
7手机，求这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率．
解：(1)由频数分布表和频率分布直方图可知，
解得
频率分布直方图中年龄在[40,45)内的人数为30，对应的为＝0.06，所以补全的频率分布直方图如下：
(2)由频数分布表知，在抽取的5人中，
年龄在[25,30)内的市民的人数为5×＝1，记为A1，年龄在[30,35)内的市民的人数为5×＝4，分别记为B1，B2，B3，B4.
从这5人中任选2人的所有基本事件为：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，B4}，{B2，B3}，{B2，B4}，{B3，B4}，共10个．
记“恰有1人的年龄在[30,35)内”为事件M，则M所包含的基本事件有4个：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}．
所以这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率为P(M)＝＝.
[典例] 设集合A＝，B＝，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，求使事件Cn的概率最大的n的所有可能取值．
[解题指导] 点P的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)．
若点P(a，b)落在直线x＋y＝n(2≤n≤5)上，则：
当n＝2时，点P只能是(1,1)；
当n＝3时，点P可能是(1,2)，(2,1)；
当n＝4时，点P可能是(1,3)，(2,2)；
当n＝5时，点P只能是(2,3)．
故事件C3，C4的概率最大，所以n可取3或4.
[多维探究]
古典概型是高考考查的重点和热点之一，考查的主要内容是事件发生的概率的求解，且常与其他相关知识交汇命题，如本例就是将古典概型与解析几何进行的交汇命题，而本课时例3是古典概型与统计的交汇问题．另外，古典概型还常与函数、方程等问题相结合命题．
[角度一] 古典概型与方程相结合问题
设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根意味着Δ＝(2a)2－4b2≥0，即a≥b.
基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12个．其中第1个数表示a的取值，第2个数表示b的取值．而事件A包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝＝.
[角度二] 古典概型与函数相结合问题
袋里装有五个球，号码依次为1,2,3,4,5，设号码为x的球重(x2－5x＋30)克，这些球以同等的机会(不受质量的影响)从袋里取出．若同时从袋内任意取出两球，则它们质量相等的概率是多少？
解：设质量相等的两球的号码分别是m，n，m≠n，则有m2－5m＋30＝n2－5n＋30，解得m＋n＝5.而五个球中任意取两球的基本事件共有10种，符合题意的只有2种，即两球的号码分别是或，所以P＝＝.
[角度三] 古典概型与新定义相结合问题
“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2
578)，在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是多少？
解：十位是1的“渐升数”有8个，十位是2的“渐升数”有7个，…，十位是8的“渐升数”有1个；所以二位的“渐升数”有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个，以3为十位比37大的“渐升数”为2个，分别以4、5、6、7、8为十位的“渐升数”均比37大，且共有5＋4＋3＋2＋1＝15个，所以比37大的“渐升数”共有2＋15＝17个，故在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是.
[随堂即时演练]
1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选C 由log2xy＝1，得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以或或共3种情况，
所以P＝＝.
2．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈，若a＝b或a＝b－1，就称甲、乙“心有灵犀”，现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选C 由于甲、乙各记一个数，则基本事件总数为6×6＝36个，而满足a＝b或a＝b－1的共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)11个．∴概率P＝.
3．从集合A＝{－3，－2，－1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第四象限的概率为________．
解析：根据题意可知，总的基本事件(k，b)共有4×3＝12个，直线y＝kx＋b不经过第四象限，则k>0，b>0，包含的基本事件有(2,1)，(2,2)，共2个，根据古典概型的概率计算公式可知直线y＝kx＋b不经过第四象限的概率P＝＝.
答案：
4．如图所示，a，b，c，d，e是处于断开状态的开关，任意闭合其中的两个，则电路接通的概率是________．
解析：“任意闭合其中的两个开关”所包含的基本事件总数是10，“电路接通”包含6个基本事件，所以电路接通的概率P＝.
答案：
5．(天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．
因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.
[课时达标检测]
一、选择题
1．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：B
2．从分别写有数字1,2,3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数之积是完全平方数的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：A
3．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则是下列哪个事件的概率( )
A．颜色全同
B．颜色不全同
C．颜色全不同
D．无红球
答案：B
4．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：C
5．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：C
二、填空题
6．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个学习小组各4名同学在某次考试中的数学成绩，乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，在图中用m表示，假设数字具有随机性，则乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率为________．
甲组
乙组
7
9
8
5
3
1
9
1
0
m
解析：由(87＋89＋91＋93)＝(85＋90＋91＋90＋m)，得m＝4，即m＝4时，甲、乙两个小组的平均成绩相等．设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，m的取值有0,1,2，…，9，共10种可能，其中，当m＝5,6，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，故所求概率为＝.
答案：
7．甲、乙、丙三名同学上台领奖，从左到右按甲、乙、丙的顺序排列，则三人全都站错位置的概率是________．
解析：甲，乙，丙三人随意站队排列，共有6种顺序，即(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，而“三人全都站错位置”包括(乙，丙，甲)和(丙，甲，乙)2个基本事件，故所求概率P＝＝.
答案：
8．设集合P＝，Q＝，P Q，x，y∈.在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对(x，y)所表示的点中任取一个，其落在圆x2＋y2＝r2内的概率恰为，则r2的一个可能整数值是________(只需要写出一个即可)．
解析：满足条件的点有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(7,7)，(8,8)，(9,9)，共14个．欲使其点落在x2＋y2＝r2内的概率为，则这14个点中有4个点在圆内，所以只需29＜r2≤32，故r2＝30或31或32.
答案：30(或31或32)
三、解答题
9．设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
解：设事件A为“方程x2＋bx＋c＝0有实根”，
则A＝.
而(b，c)共有
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
共36组．
其中，可使事件A成立的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共19组．
故事件A的概率为P(A)＝.
10．从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组[40,50)；第二组[50,60)；……；第六组[90,100]，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求成绩在区间[80,90)内的学生人数；
(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内的概率．
解：(1)因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80,90)内的频率为1－(0.005×2＋0.015＋0.020＋0.045)×10＝0.1，所以选取的40名学生中成绩在区间[80,90)内的学生人数为40×0.1＝4.
(2)设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”，由(1)可知成绩在区间[80,90)内的学生有4人，记这4名学生分别为a，b，c，d，成绩在区间[90,100]内的学生有0.005×10×40＝2(人)，记这2名学生分别为e，f，则选取2名学生的所有可能结果为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15种，事件“至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”的可能结果为(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共9种，所以P(A)＝＝.
11．某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78米以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
解：(1)从身高低于1.80米的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78米以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种．因此选到的2人身高都在1.78米以下的概率为P＝＝.
易出现所有事件包含的事件数列举不全或重复而致误的情况
(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3种．
因此选到的2人身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P1＝.
3.2古典概型
3．2.1 古典概型
第一课时 古典概型的概念及简单应用
古典概型的概念
[提出问题]
掷一枚质地均匀的硬币两次，观察哪一面向上．
问题1：这个试验共有哪几种结果？基本事件总数是几？
提示：共有正正、正反、反正、反反四种结果，基本事件总数是4.
问题2：事件A＝{恰有一次正面向上}包含哪些试验结果？
提示：正反、反正．
问题3：问题2中事件A的概率是多少？
提示：.
[导入新知]
基本事件及古典概型的概念
基本事件
古典概型
特点
任何两个基本事件是互斥的
试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和
每个基本事件出现的可能性相等
[化解疑难]
对古典概型的认识
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性．例如，在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽．这个试验的基本事件只有两个：发芽、不发芽．而“发芽”和“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，所以它不属于古典概型．又如，从规格直径为300±0.6
mm的一批合格产品中任意抽取一件，测量其直径d，测量值可能是从299.4
mm到300.6
mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个，因此这个试验也不属于古典概型.
古典概型的概率公式
[导入新知]
古典概型的概率公式
对于任何事件A，P(A)＝.
[化解疑难]
频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
不同点
相同点
频率
频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值
都计算了一个比值
古典概型的概率
是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化
基本事件的计数问题
[例1] (1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( )
A．2
B．3
C．4
D．6
(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．
①写出这个试验的所有基本事件；
②求这个试验的基本事件的总数；
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？
[解] (1)选C 用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．
(2)①这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)；
②这个试验包含的基本事件的总数是8；
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
[类题通法]
基本事件的两个探求方法
(1)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以清楚地弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数，列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法．(关键词：基本事件的总数)
(2)树状图法：树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合于较复杂的试验的题目．(关键词：结构关系)
[活学活用]
一个不透明的口袋中装有大小形状相同的1个白球和3个编有不同号码的黑球，从中任意摸出2个球．
(1)写出所有的基本事件；
(2)求事件“摸出的2个球是黑球”包括多少个基本事件？
解：(1)从装有4个球的口袋中摸出2个球，基本事件共有6个：(白，黑1)，(白，黑2)，(白，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)．
(2)事件“摸出的2个球是黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}，包括3个基本事件.
对古典概型的判断
[例2] (1)向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？
(2)如图所示，射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)．你认为这是古典概型吗？为什么？
[解] (1)试验的所有可能结果是圆面内的所有点．试验的所有可能结果数是无限的．因此，尽管每一个试验结果出现的可能性相同，这个试验不是古典概型．
(2)试验的所有可能结果只有11个，但是命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)的出现不是等可能的，这个试验不是古典概型．
[类题通法]
判断一个试验是古典概型的依据
判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．
[活学活用]
下列试验是古典概型的为________(填序号)．
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率
③近三天中有一天降雨的概率
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
解析：①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．
答案：①②④
简单的古典概型的概率计算
[例3] 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
[解] (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝.
(2)由(1)知任取2道题的基本事件共有15个，用B表示“所取的2道题不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
[类题通法]
求解古典概率“四步”法
[活学活用]
(山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以基本事件总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.
则事件B包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P(B)＝＝.
事件C包含的基本事件数共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
所以P(C)＝.因为＞，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
[典例] 箱子里有3双不同的手套，随机拿出2只，记事件A表示“拿出的手套配不成对”；事件B表示“拿出的都是同一只手上的手套”；事件C表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”．
(1)请罗列出所有的基本事件；
(2)分别求事件A、事件B、事件C的概率．
[解题流程]
[类题通法]
古典概型求解三注意
解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式．但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下三个问题：
(1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性．
(2)计算基本事件的数目时，须做到不重不漏
常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件．
(3)利用事件间的关系
在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P(A1∪A2
∪A3
∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)求得，或采用正难则反的原则，转化为求其对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得．
[活学活用]
先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求：
(1)点数之和是4的倍数的概率；
(2)点数之和大于5且小于10的概率．
解：从图中容易看出，基本事件与所描点一一对应，共36种．
(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个：
(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)，所以P(A)＝.
(2)记“点数之和大于5且小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个(已用虚线圈出)，所以P(B)＝＝.
[随堂即时演练]
1．下列试验是古典概型的是( )
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球}
B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
解析：选C 根据古典概型的两个特征进行判断．A中两个基本事件不是等可能的，B中基本事件的个数是无限的，D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C符合古典概型的两个特征．
2．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )
A.
B．
C.
D．1
解析：选C 从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝.
3．(四川高考)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．
解析：从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则(a，b)的所有可能结果为(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12种取法，其中logab为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P＝＝.
答案：
4．甲、乙两人随意入住两间客房，则甲、乙两人各住一间房的概率是________．
解析：甲、乙两人入住两间客房有甲、乙两人同住一间房，甲、乙两人各住一间房共4种情况，其中甲、乙两人各住一间房的概率为＝.
答案：
5．甲、乙两人做出拳游戏(锤子，剪刀，布)．
求：(1)平局的概率；
(2)甲赢的概率；
(3)乙赢的概率．
解：设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.容易得到下图．
(1)平局含3个基本事件(图中的△)，P(A)＝＝.
(2)甲赢含3个基本事件(图中的⊙)，P(B)＝＝.
(3)乙赢含3个基本事件(图中的※)，P(C)＝＝.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列关于古典概型的说法中正确的是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个基本事件出现的可能性相等；
④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝.
A．②④
B．①③④
C．①④
D．③④
答案：B
2．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A.
B．
C.
D．
答案：B
3．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则( )
A．p1＜p2＜p3
B．p2＜p1＜p3
C．p1＜p3＜p2
D．p3＜p1＜p2
答案：C
4．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：A
5．(北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形，故甲被选中的概率P＝＝.
二、填空题
6．从甲，乙，丙，丁四个同学中选两人当班长和副班长，其中甲，乙为男生，丙、丁是女生，则至少有一名女生当选的概率是________．
解析：基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)共6个，其中“没有女生当选”只包含(甲，乙)1个，故至少一名女生当选的概率为P＝1－P(没有女生当选)＝1－＝.
答案：
7．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3
m的概率为________．
解析：从5根竹竿中一次随机抽取2根的基本事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3
m的基本事件数为2，分别是：2.5和2.8,2.6和2.9，故所求概率为0.2.
答案：0.2
8．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________．
解析：设2名男生记为A1，A2,2名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1
12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2
4种情况，则所求概率为P＝＝.
答案：
三、解答题
9．从－3，－2，－1,0,5,6,7这七个数中任取两个数相乘得到的积中，求：
(1)积为零的概率；
(2)积为负数的概率．
解：从七个数中任取两个数相乘，共有＝21个基本事件．
(1)从七个数中任取两个数相乘，积为零时，共有6个基本事件，因此，积为零的概率为＝.
(2)从七个数中任取两个数相乘，积为负数时，共有3×3＝9个基本事件，因此，积为负数的概率为＝.
10．现共有6家企业参与某项工程的竞标，其中A企业来自辽宁省，B、C两家企业来自福建省，D、E、F三家企业来自河南省，此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．
(1)列举所有企业的中标情况；
(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的概率是多少？
解：(1)从这6家企业中选出2家的选法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共有15种，以上就是中标情况．
(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的选法有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(B，D)，(B，E)(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．
则“在中标的企业中，至少有一家来自福建省”的概率为＝.
11．一个口袋内装有除颜色外其他均相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求：
(1)基本事件总数，并写出所有的基本事件；
(2)事件“摸出2个黑球”包含的基本事件是多少个？
(3)摸出2个黑球的概率是多少？
解：(1)从装有4个球的口袋内摸出2个球，基本事件总数为6，分别是：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)．
(2)事件“从3个黑球中摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个基本事件．
(3)基本事件总数m＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数n＝3，故P＝＝＝.1．1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构
第一课时 程序框图、顺序结构
程序框图
[提出问题]
计算1×2＋3×4＋5×6＋…＋99×100.
问题1：能否设计一个算法，计算这个式子的值？
提示：可以．
问题2：你能采用更简洁的方式表述上述算法过程吗？如何表示？
提示：可以，利用程序框图．
[导入新知]
1．定义
程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
2．表示
在程序框图中，算法的一个步骤通常用一个或几个程序框的组合来表示；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．
3．常见的程序框及其功能
图形符号
名称
功能
终端框(起止框)
表示一个算法的起始和结束
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息
处理框(执行框)
赋值、计算
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”
流程线
连接程序框
连接点
连接程序框图的两部分
[化解疑难]
程序框图中图形符号的应用
(1)终端框(起止框)是任何程序框图都不可缺少的，表示程序的开始和结束．一个完整的程序框图首末两端必须是终端框．
(2)输入、输出框表示数据的输入或结果的输出，可用在算法中任何需要输入、输出的位置，有时不止一个．
(3)处理框可以用于对变量赋值．另外，算法中处理数据需要的算式、公式等，也可以写在用以处理数据的处理框内．
(4)当算法要求对两个不同的结果进行判断时，需要将实现判断的条件写在判断框内．
(5)一个算法步骤到另一个算法步骤用流程线连接．如果一个流程图需要分开来画，要在断开处画上连接点，并标出连接的号码.
顺序结构
[提出问题]
问题1：若下图中a，b分别表示某矩形的长和宽，则该框图所表示的算法功能是什么？
提示：计算矩形的面积．
问题2：计算机执行上述算法解决问题时，其执行顺序有何特点？
提示：按照顺序从上到下依次进行．
[导入新知]
顺序结构
概念
图示
顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构.
[化解疑难]
顺序结构的特点
语句与语句之间、框与框之间是按照从上到下的顺序进行的．上图所示虚框内是一个顺序结构，其中“步骤n”和“步骤n＋1”两个框是按顺序执行的，即只有在执行完“步骤n”后，才能接着执行“步骤n＋1”．
对程序框图的认识和理解
[例1] (1)关于程序框图的框图符号的理解，正确的有( )
①任何一个程序框图都必须有起止框；②输入框、输出框可以在算法中任何需要输入、输出的位置出现；③判断框是唯一具有超过一个退出点的框图符号；④对于一个程序来说，判断框内的条件是唯一的．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
(2)下列说法正确的是( )
A．程序框图中的图形符号可以由个人来确定
B.也可以用来执行计算语句
C．输入框只能紧接在起始框之后
D．长方形框是执行框，可用来对变量赋值，也可用来计算
[解析] (1)任何一个程序都有开始和结束，从而必须有起止框；输入、输出框可以在算法中任何需要输入、输出的位置出现，判断框内的条件不是唯一的，如a＞b？也可以写为“a≤b”？.但其后步骤需相应调整，故①②③正确，④错误．
(2)程序框是由通用图形符号构成，并且有特殊含义，A不正确；菱形框是判断框，只能用来判断，所以B不正确；输入框可用在算法中任何需要输入的位置，所以C也不正确；由程序框的功能可知D项正确．
[答案] (1)C (2)D
[类题通法]
1．画程序框图的规则
(1)使用标准的程序框图的图形符号．
(2)程序框图一般按照从上到下、从左到右的顺序画．
(3)一个完整的程序框图必须有终端框，用于表示一个算法的开始和结束．
(4)除判断框外，大多程序框图的图形符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一具有超过一个退出点的框图符号．
(5)一种判断框是“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另外一种是多分支判断，可能有几种不同的结果．
(6)在程序框图的图形符号内，用于描述的语言要简练、清楚．
2．规则的记法
以上规则简记为：框图符号标准化；框内语言精练化；框间流程方向化，从上到下，从左到右勿颠倒；起止框不可少，判断框搞特殊：一进口，两出口．
[活学活用]
1．在程序框图中，表示判断框的图形符号的是( )
解析：选C 四个选项中的程序框依次为处理框，输入、输出框，判断框和起止框．
2．下列关于程序框图的说法正确的是( )
A．程序框图是描述算法的图形语言
B．在程序框图中，一个判断框最多只能有两个退出点
C．程序框图虽可以描述算法，但不如用自然语言描述算法直观
D．程序框图和流程图不是一个概念
解析：选A 由于存在一种多分支判断，所以一个判断框可能有多个退出点，所以B选项是错误的；相对于自然语言，用程序框图描述算法的优点主要就是直观、形象，容易理解，在步骤上简单了许多，所以C选项是错误的；程序框图就是流程图，所以D选项也是错误的．
用顺序结构表示算法
[例2] 求底面边长为4，侧棱长为5的正四棱锥的侧面积及体积，为该问题设计算法，并画出程序框图．
[解] 算法一：第一步，a＝4，c＝5.
第二步，R＝a.
第三步，h＝
，S＝a2.
第四步，V＝Sh.
第五步，h′＝
第六步，S＝2ah′.
第七步，输出S，V.
程序框图如图所示：
算法二：第一步，a＝4，c＝5.
第二步，S＝2a
.
第三步，V＝a2.
第四步，输出S，V.
程序框图如图所示：
[类题通法]
应用顺序结构表示算法的步骤
(1)认真审题，理清题意，明确解决方法；
(2)明确解题步骤；
(3)用数学语言描述算法，明确输入量、计算过程、输出量；
(4)用程序框图表示算法过程．
[活学活用]
已知点P0(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，写出求点P0到直线l的距离d的算法及程序框图．
解：用数学语言描述算法：
第一步，输入点的横、纵坐标x0，y0，
输入直线方程的系数，即常数A，B，C.
第二步，计算z1＝Ax0＋By0＋C.
第三步，计算z2＝A2＋B2.
第四步，计算d＝
.
第五步，输出d.
程序框图：
与顺序结构有关的读图问题
[例3] 如图所示是解决某个问题而绘制的程序框图．仔细分析各图框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题：
(1)图框①中x＝2的含义是什么？
(2)图框②中y1＝ax＋b的含义是什么？
(3)图框④中y2＝ax＋b的含义是什么？
(4)该程序框图解决的是怎样的一个问题？
(5)若最终输出的结果y1＝3，y2＝－2.当x取5时输出的结果5a＋b的值应该是多大？
(6)在(5)的前提下，输入的x值越大，输出的ax＋b是不是越大？为什么？
(7)在(5)的前提下，当输入的x值为多大时，输出结果等于0
[解] (1)图框①中x＝2表示把2赋给变量x.
(2)图框②中y1＝ax＋b的含义：该图框在执行①的前提下，即当x＝2时计算ax＋b的值，并把这个值赋给y1.
(3)图框④中y2＝ax＋b的含义：该图框在执行③的前提下，即当x＝－3时计算ax＋b的值，并把这个值赋给y2.
(4)该程序框图解决的是求函数f(x)＝ax＋b的函数值的问题．其中输入的是自变量x的值，输出的是x对应的函数值．
(5)y1＝3，即2a＋b＝3.
y2＝－2，即－3a＋b＝－2.
得a＝1，b＝1.
∴f(x)＝x＋1.
∴x取5时，5a＋b＝5×1＋1＝6.
(6)输入的x值越大，输出的函数值ax＋b越大，因为f(x)＝x＋1是R上的增函数．
(7)令f(x)＝x＋1＝0，得x＝－1，因而当输入的x值为－1时，输出的函数值为0.
[类题通法]
由程序框图识别算法功能应注意的问题
根据算法功能求输出结果，或根据输出结果求框图中某一步骤，应注意以下几点：
(1)要明确各框图符号的含义及作用；
(2)要明确框图的方向流程；
(3)要正确认图，即根据框图说明该算法所要解决的问题．
其中明确算法功能是解决此类问题的关键．
[活学活用]
1．根据如图程序框图，若输入m的值是3，则输出的y的值是________．
解析：若输入m的值是3，则p＝8，y＝8＋5＝13，
故输出y的值为13.
答案：13
2．已知在平面直角坐标系中有一个圆心在坐标原点，半径为c的圆，(a，b)为任一点，则如图所示的程序框图表示的算法的作用是________．
解析：∵x＝表示点(a，b)到原点(0,0)的距离，∴该算法的功能是计算点(a，b)到原点的距离与圆的半径之差．
答案：计算点(a，b)到原点的距离与圆的半径之差
[典例] 设计一个算法，已知函数y＝2x的图象上，任意给定两点的横坐标x1和x2(x1≠x2)，求过这两点的直线的斜率，并画出程序框图．
[解题流程]
[规范解答]
算法如下：
第一步，输入x1，x2.
第二步，计算y1＝2x1.
第三步，计算y2＝2x2.
第四步，计算k＝.
第五步，输出k.
程序框图：
[类题通法]
程序框图的画法
画程序框图一般分三步：
(1)第一步，用自然语言表述算法步骤(又称算法分析)；
(2)第二步，确定每一个算法步骤所含的逻辑结
构，并用相应的程序框图表示；
(3)第三步，将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到整个表示算法的程序框图．
[活学活用]
已知一个直角三角形的两条直角边长分别为a，b，求该直角三角形内切圆的面积．试设计求解该问题的算法，并画出程序框图．
解：算法步骤如下：
第一步，输入a，b.
第二步，计算c＝
.
第三步，计算r＝(a＋b－c)．
第四步，计算S＝πr2.
第五步，输出面积S.
相应程序框图如图：
[随堂即时演练]
1．对程序框图叙述正确的是( )
A．表示一个算法的起始和结束，程序框是
B．表示一个算法输入和输出的信息，程序框是
C．表示一个算法的起始和结束，程序框是
D．表示一个算法输入和输出的信息，程序框是
解析：选C 由程序框的算法功能可知，选项C正确．
2．下列所画程序框图是已知直角三角形两直角边a，b求斜边c的算法，其中正确的是( )
解析：选C 根据顺序结构的要求，先输入，后计算，再结合直角三角形的三边关系可知C正确．
3．若R＝8，则如图所示的程序框图运行后的结果为a＝________.
解析：R＝8→b＝＝2→a＝2b＝4.
答案：4
4．如图是求长方体的体积和表面积的一个程序框图，补充完整，横线处应填______________________．
解析：根据题意，长方体的长、宽、高应从键盘输入，故横线处应填写输入框
答案：
5．写出求函数y＝2x＋3图象上任意一点到原点的距离的算法，并画出相应的程序框图．
解：算法如下：
第一步，输入横坐标的值x.
第二步，计算y＝2x＋3.
第三步，计算d＝
.
第四步，输出d.
程序框图如图所示：
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列关于程序框图的说法正确的是( )
①程序框图只有一个入口，也只有一个出口；
②程序框图中的每一部分都应有一条从入口到出口的路径通过它；
③流程线只要是上下方向就表示上下执行，可以不要箭头；
④连接点是用来连接两个程序框图的．
A．①②③
B．②③
C．①④
D．①②
答案：D
2．下列是程序框图中的一部分，表示恰当的是( )
答案：A
3．如图所示的程序框图，若输入x＝3，则输出y的值为( )
A．33
B．34
C．40
D．45
答案：B
4．如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则①处的执行框内应填的是( )
A．x＝2
B．b＝2
C．x＝1
D．a＝5
答案：C
5．如图所示的是一个算法的程序框图，已知a1＝3，输出的b＝7，则a2等于( )
A．9
B．10
C．11
D．12
答案：C
二、填空题
6．执行如图所示的程序框图，输出ω的值为________．
解析：ω＝5×10＋8×2＝50＋16＝66.
答案：66
7．已知点P(x0，y0)，直线l：x＋2y－3＝0，求点P到直线l的距离的一个算法程序框图如图所示，则在①处应填________．
解析：应填上点到直线的距离公式．
答案：d＝
8．如图所示程序框图，则输出X的值是________．
解析：X＝1＋3＋5＝9.
答案：9
三、解答题
9．已知一个圆的周长为a，求这个圆的面积．试设计该问题的算法，并画出程序框图．
解：由圆的周长及面积公式可得．
算法如下：
第一步，输入a的值．
第二步，计算r＝的值．
第三步，计算S＝πr2的值．
第四步，输出结果．
相应的程序框图如右图：
10．如图所示的程序框图，根据该图和下列各小题的条件回答下面的几个小题．
(1)该程序框图解决的是一个什么问题？
(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，问：当输入的x的值为3时，输出的值为多大？
(3)在(2)的条件下要想使输出的值最大，输入的x的值应为多大？
解：(1)该程序框图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题．
(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，
即f(0)＝f(4)．
因为f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，
所以－16＋4m＝0，
所以m＝4，
所以f(x)＝－x2＋4x.
则f(3)＝－32＋4×3＝3，
所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)值为3.
(3)因为f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
当x＝2时，f(x)最大值＝4.
所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2.