1．1.3 导数的几何意义
导数的几何意义
如下图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3，4)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．
问题1：割线PPn的斜率kn是什么？
提示：割线PPn的斜率kn＝＝.
问题2：当点Pn趋近于点P时，割线PPn与过点P的切线PT有什么关系？
提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于过点P的切线PT.
问题3：当Pn无限趋近于点P时，kn与切线PT的斜率k有什么关系？
提示：kn无限趋近于切线PT的斜率k.
问题4：如何求得过点P的切线PT的斜率？
提示：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝＝f′(x0)．
导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝.
导数与函数图象升降的关系
若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)＞0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)＜0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.
导函数
对于函数f(x)＝－x2＋2.
问题1：如何求f′(x0)
提示：f′(x0)＝li
＝li
(－2x0－Δx)＝－2x0.
问题2：若x0是一变量x，f′(x)是常量吗？
提示：f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，而是关于x的函数．
导函数的定义
对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)
是一个确定的数．当x变化时，f′(x)
便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝.
f′(x0)与f′(x)的异同
区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值
f′(x)
f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数
利用导数定义求函数的导数
利用导数的定义求下列函数的导数．
(1)y＝－3x2＋2x－1；
(2)y＝＋a(a为常数)．
(1)∵Δy＝－3(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－
1－(－3x2＋2x－1)＝(2－6x)Δx－3(Δx)2，
∴＝＝2－6x－3Δx，
∴y′＝li
＝li
(2－6x－3Δx)＝2－6x.
(2)∵Δy＝＋a－－a
＝，
∴＝＝，
∴li
＝li
＝－，
即y′＝－.
求函数y＝f(x)的导数的步骤
(1)求Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
(2)求＝；
(3)计算f′(x)＝li
.
利用导数的定义求函数f(x)＝x3＋x－2的导数f′(x)，并利用f′(x)求f′(－1)，f′(1)．
解：利用导数的定义，
得f′(x)＝li
＝li
＝li＝3x2＋1，
∴f′(x)＝3x2＋1，则f′(－1)＝4，f′(1)＝4.
求曲线的切线方程
已知曲线y＝x3及其上一点P.
(1)求点P处切线的斜率；
(2)写出点P处的切线方程．
(1)∵y＝x3，
∴y′＝li
＝li
＝li
＝li
＝x2，
∴y′|x＝2＝22＝4，
∴点P处切线的斜率为4.
(2)由(1)知，点P处切线斜率为4，
且点P的坐标为，
∴在点P处的切线方程是y－＝4(x－2)，
即12x－3y－16＝0.
利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(2)写出切线方程，即y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以直接得切线方程为x＝x0.
求曲线y＝在点处的切线的斜率．
解：因为y′＝li
＝li
＝li
＝－，
所以曲线在点的切线的斜率为k＝y′|x＝＝－4.
求切点坐标
若曲线y＝x2＋6在点P处的切线垂直于直线2x－y＋5＝0，求点P的坐标及切线方程．
设切点P的坐标为(x0，y0)，
因为f′(x0)＝li
＝li
＝li
(2x0＋Δx)＝2x0，
所以2x0·2＝－1，解得x0＝－，
所以y0＝x＋6＝，故点P的坐标为，
切线方程为y－＝－，
即8x＋16y－95＝0.
根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)求切线的斜率f′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
(5)由点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．
曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，则切线方程为( )
A．y＝9x
B．y＝9x－26
C．y＝9x＋26
D．y＝9x＋6或y＝9x－26
解析：选D ＝
＝
＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x－6x0.
所以f′(x0)＝li＝3x－6x0，
于是3x－6x0＝9，解得x0＝3或x0＝－1，
因此，点P的坐标为(3,1)或(－1，－3)．
又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y＝9(x－3)＋1或y＝9(x＋1)－3，即y＝9x－26或y＝9x＋6.
若函数y＝f(x)的导函数在区间上是增函数，则函数y＝f(x)在区间上的图象可能是下图中的( )
由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线的斜率随x增大而变大，因此应选A.应会灵活运用导数的几何意义辨析曲线的凹凸性．
A
1．本题易搞错导数的几何意义，混淆导函数的单调性与函数图象的凹凸变化间的关系而误选B或D.
2．导数的几何意义就是切线的斜率．借助图象，用斜率的正负及大小来说明曲线的变化情况既科学又直观，注意归纳总结．
已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如下图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
解析：选D 从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.
1．下列说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A、B、D错误．
2．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x0)＞0
B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0
D．f′(x0)不存在
解析：选B 根据导数的几何意义，f(x)在x0处的导数即f(x)在x0处切线的斜率，故f′(x0)＝－＜0.
3．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
解析：由导数的几何意义得f′(1)＝，由点M在切线上得f(1)＝×1＋2＝，所以f(1)＋f′(1)＝3.
答案：3
4．曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为________．
解析：因为li
＝li
＝x2，
所以y′＝x2，y′|x＝－1＝1，因此倾斜角为45°.
答案：45°
5．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
解：(1)由得或
∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．
(2)∵y＝x2＋4，
∴y′＝li
＝li
＝li
(Δx＋2x)
＝2x，
∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，
即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，
在点(3,13)处的切线斜率为6.
∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；
在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.
一、选择题
1．若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)等于( )
A．0
B．－3x
C．3
D．－3
解析：选D 法一：f′(x)＝li
＝li
＝li
(－3)＝－3.
法二：由导数的几何意义可知，f′(x)为直线y＝－3x－1的斜率，∴f′(x)＝－3.
2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴相交但不垂直
解析：选B ∵f′(x0)＝0，∴曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率为0.
3．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0)
B．(2,4)
C.
D.
解析：选D ∵k＝li
＝li
＝li
(2x＋Δx)＝2x，
∴2x＝tan＝1，∴x＝，从而y＝.
4．已知曲线y＝－x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．165°
解析：选C ∵点P在曲线y＝f(x)＝－x2－2上，∴在点P处的切线斜率为k＝f′(1)＝－1，
∴在点P处的切线的倾斜角为135°.
5．已知y＝f(x)的图象如下图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：选B 由题图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)二、填空题
6．y＝－在点处的切线方程是________．
解析：先求y＝－的导数：Δy＝－＋＝，＝，
＝
＝，即y′＝，所以y＝－在点处的切线斜率为f′＝4，所以切线方程是y＋2＝4，即y＝4x－4.
答案：y＝4x－4
7．对于函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
解析：因为f′(x0)＝li
＝a，
f′(1)＝2，所以a＝2.
答案：2
8．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为________．
解析：设P点坐标为(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝＝4x0＋4.
又∵f′(x0)＝16，
∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P点坐标为(3,30)．
答案：(3,30)
三、解答题
9．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．
解：f′(x)＝li
＝2x，
g′(x)＝li
＝3x2.
因为f′(x)＋2＝g′(x)，所以2x＋2＝3x2，
解得x＝或x＝.
10．已知曲线y＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标和实数a的值．
解：设切点P的坐标为(x0，y0)，切线斜率为k.
由y′＝
＝
＝
(4x＋2Δx)＝4x，
得k＝f′(x0)＝4x0.
根据题意得4x0＝8，x0＝2.
分别代入y＝2x2＋a和y＝8x－15，
解得y0＝1，a＝－7，
故所求切点P的坐标为(2,1)，a＝－7.3．1.2 复数的几何意义
复数的几何意义
平面直角坐标系内的点与有序实数对之间的关系是一一对应的，即平面直角坐标系内的任一点对应着一对有序实数；任一对有序实数，在平面直角坐标系内都有唯一的点与它对应．
问题1：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？
提示：一一对应．
问题2：有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？
提示：一一对应．
问题3：复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？
提示：由问题1、问题2可知能一一对应．
1．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应平面向量内的点Z(a，b)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)
平面向量＝(a，b)．
3．复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|或|a＋bi|，且|z|＝.
探究复数的几何意义
根据复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数z＝a＋bi、复平面内的点Z(a，b)和平面向量之间的关系可用如下图表示：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应点的坐标不是(a，bi)，而是(a，b)，做题时要注意这一点．
复数与复平面内点的一一对应
实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z：
(1)位于第三象限？
(2)位于第四象限？
(3)位于直线x－y－3＝0上？
因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．(1)当实数x满足即－3＜x＜2时，点Z位于第三象限．
(2)当实数x满足
即2＜x＜5时，点Z位于第四象限．
(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，
即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上．
探究复数z对应复平面内的点的位置
如果Z是复平面内表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)的点，则
(1)当a＞0，b＞0时，点Z位于第一象限；当a＜0，b＞0时，点Z位于第二象限；当a＜0，b＜0时，点Z位于第三象限；当a＞0，b＜0时，点Z位于第四象限．
(2)当a＝0时，点Z在虚轴上；当b＝0时，点Z在实轴上．
(3)当b＞0时，点Z位于实轴上面的半平面内；当b＜0时，点Z位于实轴下面的半平面内．
在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点：
(1)在虚轴上，求复数z；
(2)在实轴负半轴上，求复数z.
解：(1)若复数z对应点在虚轴上，
则m2－m－2＝0，所以m＝－1，或m＝2，
此时，z＝6i或z＝0.
(2)若复数z对应点在实轴负半轴上，
则
解得m＝1，所以z＝－2.
复数与平面向量的一一对应
(1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是( )
A．－5＋5i
B．5－5i
C．5＋5i
D．－5－5i
(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
①求向量，，对应的复数；
②判定△ABC的形状．
(1)选B 向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，根据复数的几何意义，可得向量＝(2，－3)，＝(－3,2)．
由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.
(2)①由复数的几何意义知：
＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，
∴＝－＝(1,1)，
＝－＝(－2,2)，
＝－＝(－3,1)，
∴，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
②∵||＝，||＝2，||＝，
∴||2＋||2＝||2，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
在复平面内，O是原点，向量OA―→对应的复数为2＋i.
(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量OB―→对应的复数；
(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．
解：(1)设向量OB―→对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点A的坐标为(2,1)．
根据对称性可知x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i.
(2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i.
复数模的计算
求复数z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小．
∵z1＝6＋8i，z2＝－－i，
∴|z1|＝＝10，
|z2|＝
＝.
∵10>，∴|z1|>|z2|.
复数模的计算方法
计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
已知复数z＝3＋ai，且|z|＜4，求实数a的取值范围．
解：∵z＝3＋ai(a∈R)，|z|＝，
由已知得
＜4，
∴a2＜7，即－＜a＜，∴a∈(－，).
设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
(1)|z|＝2； (2)2＜|z|＜3.
(1)因为|z|＝2，即||＝2，所以满足|z|＝2的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图①.
(2)不等式2＜|z|＜3可化为不等式组不等式|z|＞2的解集是圆|z|＝2外部所有的点组成的集合，不等式|z|＜3的解集是圆|z|＝3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集．
因此，满足条件2＜|z|＜3的点Z的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图②.
解决复数模的几何意义问题，需把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题来解决．要注意掌握复数模的几何意义常与轨迹、最值等问题相结合命题．
1．满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是________．
解析：由已知得|z－i|＝5，
令z＝x＋yi(x，y∈R)，
则|x＋(y－1)i|＝5，
∴x2＋(y－1)2＝25，
∴复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．
答案：圆
2．已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．
解析：|z|＝1，即||＝1，所以满足|z|＝1的点Z的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆．又因为复数z1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)，故|z－z1|的最大值为点Z1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z－z1|的最大值为2＋1.
答案：2＋1
1．(全国甲卷)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1)
B．(－1,3)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－3)
解析：选A 由题意知即－32．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a＝0或a＝2
B．a＝0
C．a≠1且a≠2
D．a≠1或a≠2
解析：选A ∵复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，∴a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.
3．若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数＝________.
解析：复数z1，z2，z3分别对应点P1(3，－5)，P2(1，－1)，P3(－2，a)，由已知可得＝，从而可得a＝5.
答案：5
4．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为________．
解析：由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，
得x＝3，y＝－4，
而|1－5i|＝＝，
|x－yi|＝|3＋4i|＝＝5，
|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝.
∵<5<，
∴|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|.
答案：|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|
5．在复平面内画出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量，，，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．
解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，
(－1,0)，
，则向量，，如图所示．
|z1|＝＝1，
|z2|＝|－1|＝1，|z3|＝＝1.
如上图，在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．
一、选择题
1．设z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则( )
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．b＞0，a∈R
D．a＞0，b∈R
解析：选D 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．
2．已知复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，集合A＝，B＝.若a，b∈A∩B，则|z|等于( )
A．1
B.
C．2
D．4
解析：选B 因为A∩B＝，所以a，b∈，所以|z|＝＝.
3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i
B．－2＋i
C．1＋2i
D．－1＋2i
解析：选B 因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以对应的复数为－2＋i.
4．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选D 由∴复数z在复平面内对应的点位于第四象限．
5．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹是( )
A．直线
B．圆心在原点的圆
C．圆心不在原点的圆
D．椭圆
解析：选C 因为a，x，y∈R，所以a2＋2a＋2xy∈R，a＋x－y∈R.又因为a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，所以消去a得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，即x2＋y2－2x＋2y＝0，亦即(x－1)2＋(y＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为的圆．
二、填空题
6．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是________．
解析：由题意得z＝a＋i，根据复数的模的定义可知|z|＝.因为0＜a＜2，所以1＜a2＋1＜5，故1＜＜.
答案：(1，)
7．在复平面内，表示复数z＝(m－3)＋2i的点位于直线y＝x上，则实数m的值为________．
解析：由表示复数z＝(m－3)＋2i的点位于直线y＝x上，得m－3＝2，解得m＝9.
答案：9
8．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________.
解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由题意，得x＋yi－＝－1＋i，
即(x－)＋yi＝－1＋i.
根据复数相等的条件，得
解得∴z＝i.
法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，
等式两边取模，得|z|＝.
两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1 |z|＝1.
把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.
答案：i
三、解答题
9．实数m取什么值时，复数z＝2m＋(4－m2)i在复平面内对应的点：
(1)位于虚轴上？
(2)位于第一、三象限？
(3)位于以原点为圆心，4为半径的圆上？
解：(1)若复数z在复平面内的对应点位于虚轴上，
则2m＝0，即m＝0.
(2)若复数z在复平面内的对应点位于第一、三象限，
则2m(4－m2)>0，解得m<－2或0(3)若复数z的对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则＝4，即m4－4m2＝0，
解得m＝0或m＝±2.
10．已知复数z＝2＋cos
θ＋(1＋sin
θ)i(θ∈R)，试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线．
解：设复数z与复平面内的点(x，y)相对应，则由复数的几何意义可知由sin2θ＋cos2θ＝1可得(x－2)2＋(y－1)2＝1，所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1为半径的圆．1．5.1～1.5.2 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程
曲边梯形的面积
如下图，阴影部分是由直线x＝1，x＝2，y＝0和函数f(x)＝x2所围成的曲边梯形．
问题1：曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？
提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．
问题2：能否用求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积？
提示：不能．
问题3：当曲边梯形的高很小时，是否可用“直边图形”的面积近似代替曲边梯形的面积？
提示：可以．
1．连续函数
如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．
2．曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图甲)．
(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：
①分割：把区间分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图乙)；
②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；
③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；
④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．
“以直代曲”的思想
曲边梯形的边中有曲线，不方便直接求出其面积，把曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，再用小矩形近似代替之，“以直代曲”求和，无限“细分”去“逼近”面积的精确值，这种极限的思想是学习定积分的一种很重要的思想．
汽车行驶的路程
问题：利用“以直代曲”的思想可以求物体做变速直线运动的路程吗？
提示：可以．
求变速直线运动的路程
如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么它在时间t所在的区间内的路程(或位移)也可以运用①分割；②近似代替；③求和；④取极限的方法求得．
变速直线运动的路程与曲边梯形的面积间的关系
与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题化归为求匀速直线运动的路程问题．
求曲边梯形的面积
求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝x3所围成的图形的面积．
(1)分割如右图所示，用分点，，…，，把区间等分成n个小区间，，…，，，…，
，每个小区间的长度为Δx＝－＝(i＝1,2,3，…，n)．过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
(2)近似代替
各小区间的左端点为ξi，取以点ξi的纵坐标ξ为一边，以小区间长Δx＝为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面积．第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔSi≈ξ·Δx＝3·(i＝1,2,3，…，n)．
(3)求和
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值，
即S＝Si≈3
·.
(4)取极限
当分点数目越多，即Δx越小时，和式的值就越接近曲边梯形ABCD的面积S.因此n→∞，即Δx→0时，和式的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积．
因为3·
＝(n＋i－1)3
＝(n－1)3＋3(n－1)2i＋3(n－1)i2＋i3]
＝，
所以S＝li3·
＝1＋＋1＋＝.
求曲边梯形的面积应关注两点
(1)根据步骤“分割、近似代替、求和、取极限”求曲边梯形的面积S，实质是用n个小矩形面积的和Sn来逼近，Sn的极限即为所求曲边梯形的面积S.求小矩形面积时，一般选取函数在相应小区间的左端点值．
(2)分割实现了把求不规则的图形的面积化归为计算矩形面积，但这是近似值，为逼近精确值，分割得越细，近似程度就会越好，无限细分就无限逼近精确值．
求由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线y＝2x2所围成的曲边梯形的面积．
解：(1)分割
在区间上等间隔地插入n－1个分点，把区间等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝，每个小区间内曲边梯形的面积记为ΔSi(i＝1,2，…，n)，显然S＝Si.
(2)近似代替
记f(x)＝2x2，取ξi＝(i＝1,2，…，n)，于是ΔSi≈ΔSi′＝f·Δx＝22·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
Sn＝Si′＝2·
＝1＋2＋2＋…＋1＋2
＝n＋＋
＝
＝2＋2＋.
从而得到S的近似值S≈Sn.
(4)取极限
S＝li
Sn＝li
2＋2＋1－·＝.
求变速运动的路程
有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
(1)分割
在时间区间上等间隔地插入n－1个分点，将它等分成n个小区间．记第i个小区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δt＝－＝.每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，则显然有s＝si.
(2)近似代替
取ξi＝(i＝1,2，…，n)．于是Δsi≈Δsi′＝v·Δt＝·＝＋(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
sn＝si′＝＝(12＋22＋…＋n2)＋4
＝·＋4＝81＋＋4.
从而得到s的近似值sn＝81＋＋4.
(4)取极限
s＝li
sn＝li
＝8＋4＝12，
所以这段时间内行驶的路程为12
km.
变速运动的路程的求法
求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．
已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间内物体下落的距离．
解：(1)分割
将时间区间分成n等份．
把时间分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段Δt＝－t＝，在各小区间物体下落的距离记作Δsi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替
在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．
在上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，可取ξi使v(ξi)＝g·t近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt＝内所经过的距离可近似表示为Δsi＝g·t·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
sn＝Δsi＝g·t·
＝
＝gt2.
(4)取极限
s＝
gt2＝gt2.
求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t(t＞0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间等分成n个小区间，则第i－1个区间为( )
A.
B.
C.
D.
每个小区间长度为，故第i－1个区间的左端点为0＋(i－2)×＝，右端点为＋＝.
D
1．解决本题易错误地认为区间左端为，从而误选C.
2．在将区间等分成n个小区间时，其第1个小区间的左端点为0，第2个小区间的左端点为，…，依次类推，第i个小区间的左端点为.
在求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边三角形的面积时，把区间等分成n个小区间，则第i个小区间是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 将区间等分为n个小区间后，每个小区间的长度为，第i个小区间为.
1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间上的近似值( )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈)
D．以上答案均正确
解析：选C 作近似计算时，Δx＝xi＋1－xi很小，误差可忽略，所以f(x)可以是上任一值f(ξi)．
2．已知汽车在时间内以速度v＝v(t)做直线运动，则下列说法不正确的是( )
A．当v＝a(常数)时，汽车做匀速直线运动，这时路程s＝vt1
B．当v＝at＋b(a，b为常数)时，汽车做匀速直线运动，这时路程s＝bt1＋at
C．当v＝at＋b(a≠0，a，b为常数)时，汽车做匀变速直线运动，这时路程s＝bt1＋at
D．当v＝at2＋bt＋c(a≠0，a，b，c为常数)时，汽车做变速直线运动，这时路程s＝lisn＝li(ξi)Δt
解析：选B 对于v＝at＋b，当a＝0时为匀速直线运动，当a≠0时为匀变速直线运动，其中a＞0时为匀加速直线运动，a＜0时为匀减速直线运动．对于v＝at2＋bt＋c(a≠0)及v＝v(t)是t的三次、四次函数时，汽车做的都是变速(即变加速或变减速)直线运动，故B是错误的．
3．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积时，若将区间
n等分，则每个小区间的长度为________．
解析：每个小区间长度为＝.
答案：
4.求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间等分成5个区间，如右图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为________．
解析：由题意得S＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2＝0.33.
答案：0.33
5．利用分割、近似代替、求和、取极限的办法求函数y＝1＋x，x＝1，x＝2的图象与x轴围成梯形的面积，并用梯形的面积公式加以验证．
解：f(x)＝1＋x在区间上连续，将区间分成n等份，则每个区间的长度为Δxi＝，在＝上取ξi＝xi－1＝1＋(i＝1,2,3，…，n)，于是f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋1＋＝2＋，
从而Sn＝(ξi)Δxi＝·＝＝·n＋＝2＋·＝2＋＝－.
则S＝liSn
＝li
＝.
如下进行验证：
如右图所示，由梯形的面积公式得S＝×(2＋3)×1＝.
一、选择题
1．下列函数在其定义域上不是连续函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝|x|
C．y＝
D．y＝
解析：选D 由于函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故其图象不是连续不断的曲线．
2．在求由x＝a，x＝b(aA．n个小曲边梯形的面积和等于S
B．n个小曲边梯形的面积和小于S
C．n个小曲边梯形的面积和大于S
D．n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定
解析：选A n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.
3．和式(yi＋1)可表示为( )
A．(y1＋1)＋(y5＋1)
B．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋1
C．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5
D．(y1＋1)(y2＋1)…(y5＋1)
解析：选C (yi＋1)＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋(y3＋1)＋(y4＋1)＋(y5＋1)＝y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5.
4．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 将区间三等分为，，，各小矩形的面积和为s1＝03·＋3·＋3·＝.
5．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C 将区间
n等分，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，此区间长为，用小矩形面积2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则Sn＝2·＝·(12＋22＋…＋n2)＝·，依题意得
＝9，∴＝9，解得a＝3.
二、填空题
6．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．
解析：∵把区间10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1，
∴物体运动的路程近似值s＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.
答案：55
7．物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)＝2t(t的单位：h；v的单位：km/h)，近似计算在区间内物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为________km.
解析：以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得过剩近似值为s＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66
(km)．
答案：66
8．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.
解析：将区间5等分为，，，，，以小区间左端点对应的函数值为高，得S1＝1＋2＋1＋2＋1＋2＋1＋2＋1×＝3.92，
同理S2＝2＋1＋2＋1＋2＋1＋2＋1＋22＋1×＝5.52.
答案：3.92 5.52
三、解答题
9．汽车行驶的速度为v＝t2，求汽车在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s.
解：(1)分割
将区间等分为n个小区间
，，…，，…，，
每个小区间的长度为Δt＝－＝.
(2)近似代替
在区间(i＝1,2，…，n)上，汽车近似地看作以时刻处的速度v＝2做匀速行驶，则在此区间上汽车行驶的路程为2·.
(3)求和
在所有小区间上，汽车行驶的路程和为
sn＝02×＋2×＋2×＋…＋2×＝＝×
＝.
(4)取极限
汽车行驶的路程
s＝lisn＝li＝.
10．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积．
解：(1)分割
将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，在区间上等间隔地插入n－1个点，将区间等分成n个小区间：
，，…，，
记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为
Δx＝－＝.
把每个小曲边梯形的面积记为
ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
(2)近似代替
把每个小曲边梯形近似地看作矩形，可得第i个小曲边梯形的面积的近似值
ΔSi≈
＝
＝·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
求出这n个小矩形的面积的和
Sn＝
＝·
＝·，
从而得到所求图形面积的近似值S≈.
(4)取极限
S＝
·＝.
所以由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积为.2．2.1 综合法和分析法
综合法
阅读下列证明过程，回答问题．
求证：π是函数f(x)＝sin的一个周期．
证明：因为f(x＋π)＝sin＝sin＝sin＝f(x)，所以由周期函数的定义可知，π是函数f(x)＝sin的一个周期．
问题1：本题的条件和结论各是什么？
提示：条件：f(x)＝sin；结论：π是f(x)的一个周期．
问题2：本题的证明顺序是什么？
提示：从已知利用诱导公式到待证结论．
1．综合法的定义
利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
2．综合法的框图表示
―→―→―→…―→
(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)
综合法的特点
(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件．
(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明.
分析法
阅读下列证明过程，回答问题．
求证：＋≥2＋.
证明：要证原不等式成立，只需证(＋)2≥(2＋)2，即证2≥2，该式显然成立，因此原不等式成立．
问题1：本题证明从哪里开始？
提示：从结论开始．
问题2：证明思路是什么？
提示：寻求每一步成立的充分条件．
1．分析法的定义
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
2．分析法的框图表示
―→―→―→…―→
分析法的特点
(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件．
(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等.
综合法的应用
已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
∵a，b，c是正数，∴b2＋c2≥2bc，
∴a(b2＋c2)≥2abc.①
同理，b(c2＋a2)≥2abc，②
c(a2＋b2)≥2abc.③
∵a，b，c不全相等，
∴b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，a2＋b2≥2ab三式中不能同时取到“＝”，
∴①②③式相加得
a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
综合法的证明步骤
(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；
(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．
特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．
已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：＋≥9.
证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，
∴＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋＋≥5＋2
＝5＋4＝9.当且仅当＝，即a＝2b时“＝”成立.
分析法的应用
设a，b为实数，求证：
≥(a＋b)．
当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b>0时，
用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．
综上所述，不等式得证．
分析法的证明过程及书写形式
(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．
(2)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．
在锐角△ABC中，求证：tan
Atan
B＞1.
证明：要证tan
Atan
B＞1，只需证＞1.
∵A，B均为锐角，
∴cos
A＞0，cos
B＞0.
即证sin
Asin
B＞cos
Acos
B，
即cos
Acos
B－sin
Asin
B＜0，
只需证cos(A＋B)＜0.
∵△ABC为锐角三角形，
∴90°＜A＋B＜180°，
∴cos(A＋B)＜0，因此tan
Atan
B＞1.
综合法和分析法的综合应用
已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
法一：(分析法)
要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，
即证＋＝，
只需证＋＝3，
化简，得＋＝1，
即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，
所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.
因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°，
所以cos
B＝＝，
即a2＋c2－b2＝ac成立，
∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．
法二：(综合法)
因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°.
由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos
60°，
所以c2＋a2＝ac＋b2.
两边加ab＋bc，得
c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
两边同时除以(a＋b)(b＋c)，得
＋＝1，
所以＋＝3，
即＋＝，
所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
综合法与分析法的适用范围
(1)综合法适用的范围：
①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；
②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．
(2)分析法适用的范围：
分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题．
设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.
证明：法一：(分析法)
要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，
即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立．
又因a＋b＞0，
故只需证a2－ab＋b2＞ab成立，
即需证a2－2ab＋b2＞0成立，
即需证(a－b)2＞0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立．
由此命题得证．
法二：(综合法)
a≠b a－b≠0 (a－b)2＞0 a2－2ab＋b2＞0
a2－ab＋b2＞ab.
∵a＞0，b＞0，
∴a＋b＞0，
(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，
∴a3＋b3＞a2b＋ab2.
(12分)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)的图象与f(x)的图象关于y轴对称．
求证：f为偶函数．
已知a≥－，b≥－，a＋b＝1，求证：＋≤2.
证明：要证＋≤2，只需证2(a＋b)＋2＋2·≤8.
因为a＋b＝1，即证·≤2.
因为a≥－，b≥－，所以2a＋1≥0,2b＋1≥0，
所以·≤＝＝2，
即·≤2成立，因此原不等式成立．
1．“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b与a③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中正确判断的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C 由于a，b，c不全相等中含有a≠b≠c这种情况，所以③错误，①②都正确．
2．欲证不等式
－＜
－成立，只需证( )
A．(－)2＜(－)2
B．(－)2＜(－)2
C．(＋)2＜(＋)2
D．(－－)2＜(－)2
解析：选C 要证
－＜
－成立，只需证
＋＜＋成立，只需证(＋)2＜(＋)2成立．
3．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
求证：≥8.
证明过程如下：
∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝＞0，－1＝＞0，－1＝＞0，
∴＝··≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．
这种证法是________(填“综合法”或“分析法”)．
解析：本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法．
答案：综合法
4．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________．由于________显然成立，因此原不等式成立．
解析：用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.
由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
答案：a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0
5．已知a＞0，b＞0，求证：＋≥
＋.(要求用两种方法证明)
证明：法一：(综合法)因为a＞0，b＞0，所以＋－－＝＋＝＋＝(a－b)·＝≥0，
所以＋≥＋.
法二：(分析法)要证＋≥
＋，只需证a＋b≥a＋b，即证(a－b)(－)≥0.因为a＞0，b＞0，所以a－b与－符号相同，不等式(a－b)(－)≥0成立，所以原不等式成立．
一、选择题
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有( )
A．2个 B．3个
C．4个
D．5个
解析：选C ①②③⑤正确．
2．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：选A 本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A项中，f′(x)＝′＝－＜0，∴f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数．
3．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8
B．4
C．1
D.
解析：选B 是3a与3b的等比中项 3a·3b＝3 3a＋b＝3 a＋b＝1，因为a＞0，b＞0，所以≤＝ ab≤，所以＋＝＝≥＝4.
4．A，B为△ABC的内角，A>B是sin
A>sin
B的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 若A>B，则a>b.
又∵＝，
∴sin
A>sin
B.
若sin
A>sin
B，则由正弦定理得a>b，
∴A>B.
5．已知f(x)＝ax＋1,0＜a＜1，若x1，x2∈R，且x1≠x2，则( )
A.≤f
B.＝f
C.≥f
D.＞f
解析：选D 因为x1≠x2，所以＝＞
＝a＋1＝f，
所以＞f.
二、填空题
6．命题“函数f(x)＝x－xln
x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln
x取导得f′(x)＝－ln
x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln
x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．
解析：该证明过程符合综合法的特点．
答案：综合法
7．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．
解析：a＋b＞a＋b
a－a＞b－b
a(－)＞b(－)
(a－b)(－)＞0
(＋)(－)2＞0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
答案：a≥0，b≥0且a≠b
8．已知sin
θ＋cos
θ＝且≤θ≤，则cos
2θ＝________.
解析：因为sin
θ＋cos
θ＝，所以1＋sin
2θ＝，所以sin
2θ＝－.因为≤θ≤，所以π≤2θ≤，
所以cos
2θ＝－＝－.
答案：－
三、解答题
9．求证：2cos(α－β)－＝.
证明：要证原等式成立，只需证：
2cos(α－β)sin
α－sin(2α－β)＝sin
β，
左边＝2cos(α－β)sin
α－sin
＝2cos(α－β)sin
α－sin(α－β)cos
α－cos(α－β)sin
α
＝cos(α－β)sin
α－sin(α－β)cos
α
＝sin
β＝右边．
所以等式成立．
10．设f(x)＝ln
x＋－1，证明：
(1)当x＞1时，f(x)＜(x－1)；
(2)当1＜x＜3时，f(x)＜.
证明：(1)记g(x)＝ln
x＋－1－(x－1)，则当x＞1时，g′(x)＝＋－＜0.
又因为g(1)＝0，故g(x)＜0，即f(x)＜(x－1)．
(2)记h(x)＝f(x)－，
则h′(x)＝＋－
＝－＜－
＝.
令p(x)＝(x＋5)3－216x，则当1＜x＜3时，p′(x)＝3(x＋5)2－216＜0，因此p(x)在(1,3)内单调递减．又因为p(1)＝0，则p(x)＜0，故h′(x)＜0，
因此h(x)在(1,3)内单调递减．又因为h(1)＝0，
则h(x)＜0，故当1＜x＜3时，f(x)＜.1．3.3 函数的最大(小)值与导数
函数的最大(小)值
下图为y＝f(x)，x∈的图象．
问题1：观察上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．
提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．
问题2：结合图象判断，函数y＝f(x)在区间上是否存在最大值和最小值？若存在，分别为多少？
提示：存在．f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．
问题3：函数y＝f(x)在上的最大(小)值一定是其极值吗？
提示：不一定，也可能是区间端点的函数值．
问题4：怎样确定函数f(x)在上的最小值和最大值？
提示：比较极值与区间端点处的函数值，最大(小)的是最大(小)值．
1．函数y＝f(x)在区间上的最值
一般地，如果在区间上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．
2．函数最值的求法
求函数y＝f(x)在闭区间上的最值的步骤如下：
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
极值与最值的区别与联系
(1)区别
①函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较，即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者．
②函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得．
(2)联系
如果在区间(a，b)上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点，那么该极值点就是最值点，这里区间(a，b)可以是无穷区间．
求函数的最值
求下列各函数的最值：
(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈；
(2)f(x)＝x2－(x＜0)．
(1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
(－，－1)
－1
(－1,1)
1
(1,3)
3
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
0
?
极小值
?
极大值
?
－18
所以x＝1和x＝－1是函数在上的两个极值点，且f(1)＝2，f(－1)＝－2.
又因为f(x)在区间端点处的取值为f(－)＝0，f(3)＝－18，
所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18.
(2)f′(x)＝2x＋，令f′(x)＝0，得x＝－3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,0)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
所以当x＝－3时，f(x)取得极小值，也就是最小值，
故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值．
利用导数求函数最值的方法
(1)若函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，在区间(a，b)内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点．
(2)求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数值为0的点，无须判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值．
求函数f(x)＝ln(1＋x)－x2在区间上的最值．
解：f′(x)＝－x，
令f′(x)＝0，即－x＝0，
得x＝－2或x＝1.
又∵x＋1＞0，∴x＞－1，∴x＝－2舍去．
∵f(0)＝0，f(1)＝ln
2－，f(2)＝ln
3－1，
∴该函数在区间上的最大值为ln
2－，最小值为0.
由函数的最值确定参数的值
若f(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间上的最大值为28，求k的取值范围．
由f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
得f′(x)＝3x2＋6x－9.
令f′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
28
?
－4
?
当x＝－3时，取极大值28；
当x＝1时，取极小值－4.而f(2)＝3如果f(x)在区间上的最大值为28，则k≤－3.
所以k的取值范围是(－∞，－3]．
由函数的最值确定参数的方法
已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．
已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
解：由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a＞0且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
?
b
?
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值，也就是函数在上的最大值，∴f(0)＝3，即b＝3.
又∵f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3＜f(－1)，
∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②当a＜0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值，也就是函数在上的最小值，∴f(0)＝－29，即b＝－29.
又∵f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29＞f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
与函数最值有关的恒成立问题
设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2
)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
单调递增?
极大值1－m
单调递减?
∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m.
h(t)＜－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)＜0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m＜0，∴m>1，
∴m的取值范围为(1，＋∞)．
不等式恒成立问题的转化技巧
(1)a≥f(x)(或a≤f(x))恒成立 a≥f(x)max(或a≤f(x)min)；
(2)a≥f(x)(或a≤f(x))恒有解 a≥f(x)min(或a≤f(x)max)；
(3)f(x)≥g(x)恒成立 F(x)min≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x))；
(4)f(x)≥g(x)恒有解 F(x)max≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x))．
已知函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的x∈，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围．
解：(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b，
因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，
所以f′(1)＝0，f′(2)＝0，
即解得
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；
当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；
当x∈(2,3)时，f′(x)＞0.
所以，当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.
又因为f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，
所以当x∈时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
因为对于任意的x∈，有f(x)＜c2恒成立，
所以9＋8c＜c2，解得c＜－1或c＞9.
因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
(12分)已知函数f(x)＝ax4ln
x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．
已知函数f(x)＝x－ax(a>0，且a≠1)．
(1)当a＝3时，求曲线f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)存在极大值g(a)，求g(a)的最小值．
解：(1)当a＝3时，f(x)＝x－3x，
∴f′(x)＝1－3xln
3，
∴f′(1)＝1－3ln
3.又f(1)＝－2，
∴所求切线方程为y＋2＝(1－3ln
3)(x－1)，
即y＝(1－3ln
3)x－3＋3ln
3.
(2)f′(x)＝1－axln
a，
①当00，ln
a<0，∴f′(x)>0，
∴f(x)在R上为增函数，f(x)无极大值．
②当a>1时，设方程f′(x)＝0的根为t，得at＝，
即t＝loga＝，
∴f(x)在(－∞，t)上为增函数，在(t，＋∞)上为减函数，
∴f(x)的极大值为f(t)＝t－at＝－，
即g(a)＝－.
∵a>1，∴>0.
设h(x)＝xln
x－x，x>0，
则h′(x)＝ln
x＋x·－1＝ln
x，
令h′(x)＝0，得x＝1，
∴h(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，
∴h(x)的最小值为h(1)＝－1，
即g(a)的最小值为－1，此时a＝e.
1．函数f(x)＝2x－cos
x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值
B．有极值
C．有最大值
D．有最小值
解析：选A f′(x)＝2＋sin
x＞0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
2．函数y＝x4－4x＋3在区间上的最小值为( )
A．72
B．36
C．12
D．0
解析：选D 因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4.令y′＝0，解得x＝1.当x＜1时，y′＜0，函数单调递减；当x＞1时，y′＞0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.而当x＝－2时，y＝27，当x＝3时，y＝72，所以当x＝1时，函数y＝x4－4x＋3取得最小值0.
3．函数y＝在上的最大值为________．
解析：∵y′＝＝，
令y′＝0，得x＝1∈，
∴f(1)＝，f(0)＝0，f(2)＝，
∴f(x)max＝f(1)＝.
答案：
4．函数f(x)＝＋x(x∈)的值域为________．
解析：f′(x)＝－＋1＝，所以在上f′(x)＞0恒成立，即f(x)在上单调递增，所以f(x)的最大值是f(3)＝，最小值是f(1)＝，故函数f(x)的值域为.
答案：
5．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．
(1)求导数f′(x)．
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在上的最大值和最小值．
解：(1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0，得a＝，
此时有f(x)＝(x2－4)，
f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0，得x＝或x＝－1.
又∵f＝－，f(－1)＝，
f(－2)＝0，f(2)＝0，
∴f(x)在上的最大值为，最小值为－.
一、选择题
1．函数y＝x－sin
x，x∈的最大值是( )
A．π－1 B.－1
C．π
D．π＋1
解析：选C y′＝1－cos
x≥0，所以y＝x－sin
x在上为增函数．当x＝π时，ymax＝π.
2．已知函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是( )
A．当x＝时，f(x)取最大值
B．当x＝时，f(x)取最小值
C．当x＝－时，f(x)取最大值
D．当x＝－时，f(x)取最小值
解析：选D f′(x)＝2x＋x·2xln
2，
令f′(x)＝0，得x＝－.
又∵当x<－时，f′(x)<0；
当x>－时，f′(x)>0，
∴当x＝－时，f(x)取最小值．
3．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为( )
A．2
B．3
C.
D．2＋
解析：选B 由f′(x)＝－＝＝0得x＝1，
且x∈(0,1)时f′(x)＜0，x∈(1,5]时f′(x)＞0，
∴x＝1时f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
4．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间上的最大值是3，则a的值为( )
A．2
B．1
C．－2 D．－1
解析：选B f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1.又因为f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1.
5．若对任意的x＞0，恒有ln
x≤px－1(p＞0)，则p的取值范围是( )
A．(0,1]
B．(1，＋∞)
C．(0,1)
D．上的最小值为________．
解析：g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：
x
0
1
g′(x)
－
0
＋
g(x)
0
?
极小值
?
0
所以当x＝时，g(x)有最小值g＝－.
答案：－
7．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.
解析：f′(x)＝3x2－3，
当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴f(x)在上单调递减，在上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.
又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)，
∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
答案：20
8．已知函数f(x)＝＋2ln
x，若当a＞0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由f(x)＝＋2ln
x，得f′(x)＝.又因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a＞0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0，故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln
a＋1.要使f(x)≥2恒成立，需ln
a＋1≥2恒成立，则a≥e.
答案：[e，＋∞)
三、解答题
9．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：f(x)的定义域为.
(1)f′(x)＝＋2x＝
＝.
当－＜x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜－时，
f′(x)＜0；当x＞－时，f′(x)＞0，从而f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减．
(2)由(1)知f(x)在区间上的最小值为f＝ln
2＋.
又因为f－f＝ln＋－ln－
＝ln＋＝＜0，
所以f(x)在区间上的最大值为
f＝＋ln.
10．设f(x)＝ln
x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值．
(2)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．
解：(1)由题设知f′(x)＝，g(x)＝ln
x＋，
所以g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调递减区间；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间．
因此x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.
(2)由(1)知g(x)的最小值为1，
所以g(a)－g(x)<，对任意x>0成立
g(a)－1<，即ln
a<1，得0所以实数a的取值范围为(0，e)．第二课时 复合函数求导及应用
复合函数
已知y＝(3x＋2)2，y＝sin.
问题1：这两个函数是复合函数吗？
提示：是复合函数．
问题2：试说明y＝(3x＋2)2是如何复合的．
提示：令u＝g(x)＝3x＋2，y＝f(u)＝u2，
则y＝f(u)＝f(g(x))＝(3x＋2)2.
问题3：试求y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，g(x)＝3x＋2的导数．
提示：y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，g′(x)＝3.
问题4：观察问题3中的导数有何关系．
提示：y′＝′＝f′(u)·g′(x)．
1．复合函数的概念
对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成
x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
对复合函数概念的理解
(1)在复合函数中，内层函数的值域必须是外层函数定义域的子集．
(2)对于复合函数，中间变量应该选择基本初等函数．判断一个函数是基本初等函数的标准是：运用求导公式可直接求导．
简单的复合函数求导问题
求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝esin
x；
(3)y＝sin；(4)y＝5log2(2x＋1)．
(1)设y＝u，u＝1－2x2，
则y′＝(u)′(1－2x2)′＝·(－4x)
＝(1－2x2)
(－4x)＝
.
(2)设y＝eu，u＝sin
x，
则yx′＝yu′·ux′＝eu·cos
x＝esin
xcos
x.
(3)设y＝sin
u，u＝2x＋，
则yx′＝yu′·ux′＝cos
u·2＝2cos.
(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，
则y′＝5(log2u)u′(2x＋1)x′＝＝.
复合函数的求导步骤
求下列函数的导数：
(1)y＝(2x－1)4；
(2)y＝102x＋3；
(3)y＝sin4x＋cos4x.
解：(1)令u＝2x－1，则y＝u4，
∴y′x＝y′u·u′x＝4u3·(2x－1)′＝4u3·2
＝8(2x－1)3.
(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，
∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln
10·(2x＋3)′
＝2ln
10·102x＋3.
(3)y＝sin4x＋cos4x
＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x
＝1－sin22x
＝1－(1－cos
4x)
＝＋cos
4x.
所以y′＝′＝－sin
4x.
复合函数与导数的运算法则的综合应用
求下列函数的导数：
(1)y＝x；
(2)y＝xcossin.
(1)y′＝(x)′
＝x′＋x()′
＝
＋＝.
(2)∵y＝xcossin
＝x(－sin
2x)cos
2x＝－xsin
4x，
∴y′＝′
＝－sin
4x－cos
4x·4
＝－sin
4x－2xcos
4x.
复合函数求导应注意的问题
(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．
(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．
求下列函数的导数：
(1)y＝sin2；
(2)y＝sin3x＋sin
x3；
(3)y＝xln(1＋2x)．
解：(1)y′＝′＝2sin
·′
＝2sin
·cos
·′＝sin
.
(2)y′＝(sin3x＋sin
x3)′＝(sin3x)′＋(sin
x3)′
＝3sin2xcos
x＋cos
x3·3x2
＝3sin2xcos
x＋3x2cos
x3.
(3)y′＝x′ln(1＋2x)＋x′
＝ln(1＋2x)＋
.
复合函数导数的综合问题
设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切，求a，b的值．
由曲线y＝f(x)过(0,0)点，
可得ln
1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，
得f′(x)＝＋＋a，
则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，
此即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．
由题意，得＋a＝，故a＝0.
解决复合函数求导与导数几何意义综合问题的方法
正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．
有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为y＝s(t)＝5－.求函数在t＝时的导数，并解释它的实际意义．
解：函数y＝5－可以看作函数f(x)＝5－和x＝φ(t)＝25－9t2的复合函数，其中x是中间变量．
由导数公式表可得f′(x)＝－x－，φ′(t)＝－18t.
再由复合函数求导法则得y′t＝s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝·(－18t)＝，
将t＝代入s′(t)，得s′＝0.875(m/s)．
它表示当t＝时，梯子上端下滑的速度为0.875
m/s.
函数y＝x·e1－2x的导数为________．
y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′
＝e1－2x＋xe1－2x·(1－2x)′
＝e1－2x＋xe1－2x×(－2)
＝(1－2x)e1－2x.
y′＝(1－2x)e1－2x
1．本题易发生对e1－2x的求导不按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全，得出y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x)e1－2x的错误结论．
2．复合函数的求导法则通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任何一环．
函数y＝ln在x＝0处的导数为________．
解析：y＝ln＝ln
ex－ln(1＋ex)＝x－ln(1＋ex)，
则y′＝1－.
当x＝0时，y′＝1－＝.
答案：
1．函数y＝(2
017－8x)3的导数y′等于( )
A．3(2
017－8x)2
B．－24x
C．－24(2
017－8x)2
D．24(2
017－8x)2
解析：选C y′＝3(2
017－8x)2×(2
017－8x)′＝3(2
017－8x)2×(－8)＝－24(2
017－8x)2.
2．函数y＝x2cos
2x的导数为( )
A．y′＝2xcos
2x－x2sin
2x
B．y′＝2xcos
2x－2x2sin
2x
C．y′＝x2cos
2x－2xsin
2x
D．y′＝2xcos
2x＋2x2sin
2x
解析：选B y′＝(x2)′cos
2x＋x2(cos
2x)′＝2xcos
2x＋x2·(－sin
2x)(2x)′＝2xcos
2x－2x2sin
2x.
3．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.
解析：f′(x)＝·(3x－1)′＝，
∴f′(1)＝.
答案：
4．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
解析：令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.
答案：2
5．求下列函数的导数：
(1)y＝cos(x＋3)；(2)y＝(2x－1)3；
(3)y＝e－2x＋1.
解：(1)函数y＝cos(x＋3)可以看作函数y＝cos
u和u＝x＋3的复合函数，
由复合函数的求导法则可得
yx′＝yu′·ux′＝(cos
u)′·(x＋3)′
＝－sin
u·1＝－sin
u＝－sin(x＋3)．
(2)函数y＝(2x－1)3可以看作函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，
由复合函数的求导法则可得
yx′＝yu′·ux′＝(u3)′·(2x－1)′
＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.
(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.
一、选择题
1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1
B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n
D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
答案：A
2．函数y＝5的导数为( )
A．y′＝54
B．y′＝54
C．y′＝54
D．y′＝54
解析：选C 函数y＝5是函数y＝u5与u＝x＋的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝54.
3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
A．ln(2x＋5)－
B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5)
D.
解析：选B y′＝′＝x′ln(2x＋5)＋x′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋
.
4．(新课标全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a的值为( )
A．0 B．1
C．2
D．3
解析：选D y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，∴a＝3.
5．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A.
B．2
C．3
D．0
解析：选A 设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝，∴y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1，
∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)，
∴切点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离为
d＝＝，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
二、填空题
6．函数y＝sin
2xcos
3x的导数是________．
解析：∵y＝sin
2xcos
3x，
∴y′＝(sin
2x)′cos
3x＋sin
2x(cos
3x)′
＝2cos
2xcos
3x－3sin
2xsin
3x.
答案：2cos
2xcos
3x－3sin
2xsin
3x
7．已知f(x)＝且f′(1)＝2，则a的值为________．
解析：∵f(x)＝(ax2－1)，
∴f′(x)＝(ax2－1)－(ax2－1)′＝.
又∵f′(1)＝2，
∴＝2，∴a＝2.
答案：2
8．函数y＝sin2x的图象在点A处的切线的斜率是________．
解析：∵y＝sin2x，
∴y′＝2sin
x(sin
x)′＝2sin
x·cos
x＝sin
2x，
∴k＝sin＝sin＝.
答案：
三、解答题
9．求下列各函数的导数：
(1)y＝(1＋x2)5；
(2)y＝(2＋3x2)；
(3)y＝ln
.
解：(1)y′＝5(1＋x2)4(1＋x2)′＝10x(1＋x2)4.
(2)y′＝6x＋(2＋3x2)·
＝6x＋(2＋3x2)·
＝
＝.
(3)y＝ln(1＋)－ln(1－)，
y′＝(1＋)′－(1－)′
＝·＋·
＝.
10．求曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积．
解：依题意得y′＝e－2x×(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2，故曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.
在坐标系中画出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x(图略)，注意到直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)．
结合图形可知，这三条直线所围成的三角形的面积为×1×＝.1.6
微积分基本定理
微积分基本定理
已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x.
问题1：f(x)
和F′(x)有何关系？
提示：F′(x)＝f(x)．
问题2：利用定积分的几何意义求
(2x＋1)dx的值．
提示：
(2x＋1)dx＝6.
问题3：求F(2)－F(0)的值．
提示：F(2)－F(0)＝6－0＝6.
问题4：(2x＋1)dx与F(2)－F(0)有什么关系？
提示：f(x)dx＝F(2)－F(0)．
1．微积分基本定理
内容
如果f(x)是区间上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)
符号
f(x)dx＝F(x)
＝F(b)－F(a)
2.定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下．则
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则f(x)dx＝S上．
(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图②，则＝－S下．
(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，则f(x)dx＝S上－S下；若S上＝S下，则＝0.
(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法——转化为计算函数F(x)在积分区间上的增量．
(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，再计算F(b)－F(a)．
(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分．
求简单函数的定积分
求下列定积分：
(1)(x2＋2x＋3)dx；
(2)
(cos
x－ex)dx；
(3)sin2dx.
(1)
(x2＋2x＋3)dx
＝x2dx＋2xdx＋3dx
＝＋x2＋3x＝.
(2)
(cos
x－ex)dx＝cos
xdx－exdx
＝sin
x－ex＝－1.
(3)sin2＝，
而′＝－cos
x，
∴sin2dx＝dx
＝＝－＝.
由微积分基本定理求定积分的步骤
当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x)，再计算定积分，具体步骤如下．
第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；
第二步：计算函数的增量F(b)－F(a)．
计算下列定积分：
(1)dx；
(2)(1＋)dx；
(3)∫－(sin
x＋2x)dx.
解：(1)因为(ex＋ln
x)′＝ex＋，
所以dx＝(ex＋ln
x)＝e2＋ln
2－e.
(2)因为(1＋)＝x＋，′＝x＋，
所以(1＋)dx＝(x＋)dx＝＝.
(3)法一：因为(－cos
x＋x2)′＝sin
x＋2x，
所以∫－(sin
x＋2x)dx＝(－cos
x＋x2)－＝0.
法二：令f(x)＝sin
x＋2x，因为函数f(x)＝sin
x＋2x为奇函数，所以f(x)＝sin
x＋2x的图象关于原点对称，即曲线y＝f(x)位于x轴上方的图形面积与位于x轴下方的图形面积相等，故由定积分的几何意义可得，所求定积分为0.
求分段函数的定积分
已知f(x)＝计算f(x)dx.
f(x)dx＝
f(x)dx＋f(x)dx＝
(4x－2π)dx＋cos
xdx.
取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π；
取F2(x)＝sin
x，则F2′(x)＝cos
x.
所以
(4x－2π)dx＋cos
xdx
＝(2x2－2πx)
＋sin
x＝－π2－1，
即f(x)dx＝－π2－1.
分段函数的定积分的求法
(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．
(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．
计算定积分－4|x＋3|dx.
解：因为f(x)＝|x＋3|＝
所以|x＋3|dx＝(－x－3)dx＋(x＋3)dx
＝＋＝5.
利用定积分求参数
设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，求x0的值．
因为f(x)＝ax2＋c(a≠0)，且′＝ax2＋c，
所以f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝＝＋c＝ax＋c，
解得x0＝或x0＝－(舍去)．
即x0的值为.
利用定积分求参数应注意的问题
利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．
已知f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，且f′(0)＝2，f(x)dx＝0，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴a＋b＋c＝0.①
∵f′(x)＝2ax＋b，
∴f′(0)＝b＝2.②
f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx
＝
＝a＋b＋c＝0.③
由①②③得
∴f(x)＝－x2＋2x－.
计算(2t＋3)dx＝________.
(2t＋3)dx＝(2t＋3)x＝(2t＋3)×2－(2t＋3)×1＝2t＋3.
2t＋3
1．本题的积分变量为x，解决本题易错误地把t当作积分变量，从而造成结论错误．
2．求定积分是对函数的积分变量而言的，在同一个题目中要注意区分“参数”及“变量”．高考对定积分运算的考查主要有以下几类：
(1)利用微积分基本定理求定积分：
例：(湖南高考)(x－1)dx＝________.
解析：(x－1)dx＝＝×22－2＝0.
答案：0
(2)利用定积分的几何意义求定积分：
例：
dx＝________.
解析：由定积分的几何意义，知dx就是由曲线y＝，x＝0，x＝1，y＝0围成的图形的面积．因为y＝等价于x2＋y2＝1(y≥0)，所以上述曲线围成的图形是以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，面积为，所以dx＝.
答案：
(3)利用转化法求定积分．
例：cos2dx＝________.
解析：cos2dx＝dx＝dx＋
cos
xdx＝x＋sin
x＝＋.
答案：＋
(4)利用函数性质求定积分．
例：lgdx＝________.
解析：记f(x)＝lg，易知定义域为(－1,1)，因为f(－x)＝lg＝lg－1＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故lgdx＝0.
答案：0
1．下列值等于1的是( )
1．下列值等于1的是( )
A.xdx
B.(x＋1)dx
C.1dx
D.dx
解析：选C 选项A，因为′＝x，所以xdx＝＝；选项B，因为′＝x＋1，所以(x＋1)dx＝＝；选项C，因为x′＝1，所以1dx＝x＝1；
选项D，因为′＝，所以dx＝x＝.
2．
(sin
x＋cos
x)dx的值是( )
A．0
B.
C．2
D．4
解析：选C
(sin
x＋cos
x)dx＝sin
xdx＋cos
xdx＝(－cos
x)
＋sin
x＝2.
3．计算x2dx＝________.
解析：由于′＝x2，所以x2dx＝x3＝.
答案：
4．已知2≤(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．
解析：(kx＋1)dx＝＝(2k＋2)－＝k＋1，所以2≤k＋1≤4，解得≤k≤2.
答案：
5．计算下列定积分．
(1)dx；
(2)2dx.
解：(1)∵′＝2x2－，
∴dx＝
＝－
＝－ln
2.
(2)∵2＝x＋＋2，
且′＝x＋＋2，
∴2dx＝
＝－
＝＋ln
.
一、选择题
1.(x3＋x2－30)dx等于( )
A．56 B．28
C．14
D.
解析：选D (x3＋x2－30)dx＝x4＋x3－30x＝(44－24)＋(43－23)－30×(4－2)＝.
2.－2dx等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A －2dx＝－2x2dx＋－2dx＝x3＋＝(x3－x－3)＝－＝.
3．设f(x)＝则f(x)dx等于( )
A.
B.
C.
D．不存在
解析：选C f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3＋
＝＋＝.
4．计算(1＋)dx的结果为( )
A．1
B.
C．1＋
D．1＋
解析：选C ∵dx＝，
∴(1＋)dx＝1dx＋dx＝1＋.
5．(江西高考)若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则( )
A．－1
B．－
C.
D．1
解析：选B ∵f(x)＝x2＋2f(x)dx，
∴f(x)dx＝＝＋
∴f(x)dx＝－.
二、填空题
6．若(2x－3x2)dx＝0，则k＝________.
解析：(2x－3x2)dx＝(x2－x3)＝k2－k3＝0，
解得k＝0(舍去)或k＝1.
答案：1
7．计算定积分－1(x2＋sin
x)dx＝________.
解析：－1(x2＋sin
x)dx＝＝.
答案：
8．设f(x)＝
若f(f(1))＝1，则a＝________.
解析：显然f(1)＝lg
1＝0，f(0)＝0＋3t2dt＝t3＝a3，得a3＝1，a＝1.
答案：1
三、解答题
9．计算下列定积分．
(1)∫0(sin
x－sin
2x)dx；
(2)－3(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.
解：(1)∵′＝sin
x－sin
2x，
∴∫0(sin
x－sin
2x)dx
＝0
＝－
＝－－＋1－＝－.
(2)∵|2x＋3|＋|3－2x|＝
∴－3(|2x＋3|＋|3－2x|)dx
＝∫－－3(－4x)dx＋∫－6dx＋4xdx
＝－2x2－－3＋6x－＋2x23
＝(－2)×2－(－2)×(－3)2＋6×－6×＋2×32－2×2＝45.
10．已知f(x)＝－a(12t＋4a)dt，F(a)＝dx，求函数F(a)的最小值．
解：因为f(x)＝－a(12t＋4a)dt＝(6t2＋4at)
＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)＝6x2＋4ax－2a2，
F(a)＝dx＝(6x2＋4ax＋a2)dx
＝(2x3＋2ax2＋a2x)＝2＋2a＋a2
＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1，
所以当a＝－1时，F(a)的最小值为1.2.3
数学归纳法
数学归纳法
在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．
问题1：试想，要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？
提示：①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．
问题2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？
提示：一些与正整数n有关的问题．
1．数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N
)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N
)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
上述证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的框图表示
数学归纳法中两个步骤的作用及关系
步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证．
这两个步骤缺一不可，如果只有步骤(1)缺少步骤(2)，则无法判断n＝k(k＞n0)时命题是否成立；如果只有步骤(2)缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了．
需要注意：步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“n＝k(k≥n0，k∈N
)时命题成立”起着已知的作用，证明“当n＝k＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出当n＝k＋1时命题也成立，而不能直接将n＝k＋1代入归纳假设，此时n＝k＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证．
用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N
)．
(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2.
那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)＝k(k＋1)2＋(k＋1)＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)2，即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N
都成立．
用数学归纳法证明等式的方法
用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，将n＝k＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论．
用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝.
证明：(1)当n＝1时＝成立．
(2)假设当n＝k时等式成立，即有＋＋…＋＝，
则＋＋…＋＋
＝＋＝，
即当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知对于任意的n∈N
等式都成立.
用数学归纳法证明不等式
已知f(n)＝1＋＋＋…＋，当n＞1，n∈N
时，求证：f(2n)＞.
(1)当n＝2时，f(22)＝1＋＋＋＝＞，原不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
且k＞1)时不等式成立，
即f(2k)＝1＋＋＋…＋＞，
那么当n＝k＋1时，有f(2k＋1)＝1＋＋…＋＋＋…＋＝f(2k)＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＞＋＋…＋＝＋＝＋＝.
所以当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)和(2)知，对任何n＞1，n∈N
不等式都成立．
用数学归纳法证明不等式应注意两点
(1)证明不等式的第二步即从n＝k到n＝k＋1的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的放缩来实现；
(2)用数学归纳法证明不等式时，推论过程中有时要用到比较法、分析法和配凑法等．
证明不等式：1＋＋＋…＋＜2(n∈N
)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2＝2.显然命题成立．
(2)假设n＝k时命题成立，即1＋＋＋…＋＜2.
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＜2＋
＝＜＝＝2，
这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．
根据(1)(2)，可知不等式对任意正整数n都成立.
用数学归纳法证明整除问题
用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．
(1)n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×31＋9＝36，能被36整除．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N
)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除．
当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝·3k＋1＋9
＝3＋18(3k－1－1)
＝3f(k)＋18(3k－1－1)．
∵3k－1－1是偶数，
∴18(3k－1－1)能被36整除．
又∵f(k)能被36整除，∴f(k＋1)能被36整除．
由(1)(2)知对n∈N
，f(n)能被36整除．
用数学归纳法证明整除问题的方法技巧
用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除，这是用数学归纳法证明整除问题的一大技巧．
利用数学归纳法证明：x2n－y2n(n∈N
)能被x＋y整除．
证明：(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被x＋y整除，所以命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时命题成立，即x2k－y2k能被x＋y整除．
那么，当n＝k＋1时，x2(k＋1)－y2(k＋1)＝x2·x2k－y2·y2k－x2·y2k＋x2·y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．
因为x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，
所以x2(k＋1)－y2(k＋1)能被x＋y整除，
即当n＝k＋1时命题也成立．
根据(1)和(2)，可知命题对任何n∈N
都成立．
(12分)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N
)，其中λ>0.
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想{an}的通项公式并加以证明．
将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下：
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
…
试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．
解：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；
当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；
当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；
当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.
猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4.
那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N
，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．
1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N
，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为( )
A．1
B．1＋a＋a2
C．1＋a
D．1＋a＋a2＋a3
解析：选B 当n＝1时，n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2.
3．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为_______________________________．
解析：当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1.
答案：1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2
4．以下是用数学归纳法证明“n∈N
时，2n＞n2”的过程．证明：(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时不等式成立，即2k＞k2.
那么，当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
即当n＝k＋1时不等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对任何n∈N
不等式都成立．其中错误的步骤为________(填序号)．
解析：在2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，这是一个不确定的结论．如k＝2时，k2＜2k＋1.
答案：(2)
5．求证：＋＋…＋＝1－(其中n∈N
)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，
即＋＋…＋＝1－.
那么，当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＝1－＋＝1－，
即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N
都成立．
一、选择题
1．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N
)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得( )
A．当n＝4时命题不成立
B．当n＝6时命题不成立
C．当n＝4时命题成立
D．当n＝6时命题成立
解析：选A 因为当n＝k(k∈N
)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立．
2．证明1＋＋＋＋…＋>(n∈N
)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是( )
A．1 B．k－1
C．k
D．2k
解析：选D 当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋＋…＋；
当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋＋…＋＋＋…＋，增加了＋…＋项，共(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项．
3．已知数列{an}的前n项之和为Sn且Sn＝2n－an(n∈N
)，若已经算出a1＝1，a2＝，则猜想an等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D ∵a1＝1，a2＝，
S3＝1＋＋a3＝6－a3，
∴a3＝.
同理可得a4＝.观察1，，，，…，
猜想an＝.
4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立
D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
解析：选D 对于A，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时均有f(k)≥k2成立，故B错；对于C应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k2成立”．
5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N
都成立，那么a，b的值为( )
A．a＝，b＝
B．a＝b＝
C．a＝0，b＝
D．a＝，b＝
解析：选A 法一：特值验证法，将各选项中a，b的值代入原式，令n＝1,2验证易知选A.
法二：∵1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N
都成立，
∴当n＝1,2时有
即解得
二、填空题
6．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，那么f(n＋1)－f(n)等于________．
解析：f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
答案：＋＋
7．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________________________________________________________________________．
解析：观察不等式左边的分母可知，后一项比前一项多1，因此由n＝k到n＝k＋1左边多出了这一项．
答案：＋＋…＋＋>－
8．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________________________．
解析：当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.
答案：25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2
三、解答题
9．平面内有n(n≥2，n∈N
)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点．证明：交点的个数f(n)＝.
证明：(1)当n＝2时，两条直线有一个交点，f(2)＝1，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N
)时，命题成立，
即f(k)＝.
那么，当n＝k＋1时，第k＋1条直线与前k条直线均有一个交点，即新增k个交点，所以f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝＝，即当n＝k＋1时命题也成立．
根据(1)和(2)，可知命题对任何n≥2，n∈N
都成立．
10．设数列的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n＝1,2,3，…)．
(1)求a1，a2；
(2)求的通项公式，并用数学归纳法证明．
解：(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0，
有一根S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，
解得a1＝.
当n＝2时，x2－a2x－a2＝0，有一根S2－1＝a2－，
于是2－a2－a2＝0，
解得a2＝.
(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
即S－2Sn＋1－anSn＝0.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.(
)
由(1)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.
由(
)可得S3＝.
由此猜想Sn＝，n＝1,2,3，….
下面用数学归纳法证明这个结论．
①n＝1时已知结论成立．
②假设n＝k(k∈N
)时结论成立，
即Sk＝，
当n＝k＋1时，由(
)得Sk＋1＝，即Sk＋1＝.
故n＝k＋1时结论也成立．
由①②可知Sn＝对所有正整数n都成立．2．1.2 演绎推理
演绎推理
看下面两个问题：
(1)一切奇数都不能被2整除，(22
017＋1)是奇数，所以(22
017＋1)不能被2整除；
(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．
问题1：这两个问题中的第一句都说的什么？
提示：都说的一般原理．
问题2：第二句又都说的什么？
提示：都说的特殊示例．
问题3：第三句呢？
提示：由一般原理对特殊示例做出判断．
1．演绎推理的概念
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理．
2．三段论
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
(1)大前提——已知的一般原理；
(2)小前提——所研究的特殊情况；
(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
“三段论”可以表示为：
大前提：M是P.
小前提：S是M.
结论：S是P.
演绎推理的三个特点
(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中．
(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．
(3)演绎推理是由一般到特殊的推理．
把演绎推理写成三段论的形式
将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．
(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.
(3)菱形对角线互相平分．
(4)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．
(1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)
75不能被2整除．(小前提)
75是奇数．(结论)
(2)三角形的内角和为180°.(大前提)
Rt△ABC是三角形．(小前提)
Rt△ABC的内角和为180°.(结论)
(3)平行四边形对角线互相平分．(大前提)
菱形是平行四边形．(小前提)
菱形对角线互相平分．(结论)
(4)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列．(大前提)
通项公式an＝3n＋2，n≥2时，
an－an－1＝3n＋2－＝3(常数)．(小前提)
通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论)
三段论的推理形式
三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b c，a b，则a c”．其中，b c为大前提，提供了已知的一般性原理；a b为小前提，提供了一个特殊情况；a c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．
把下列推断写成三段论的形式：
(1)y＝sin
x(x∈R)是周期函数．
(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若∠1和∠2是对顶角，则∠1和∠2相等．
解：(1)三角函数是周期函数，大前提
y＝sin
x(x∈R)是三角函数，小前提
y＝sin
x(x∈R)是周期函数．结论
(2)两个角是对顶角，则这两个角相等，大前提
∠1和∠2是对顶角，小前提
∠1和∠2相等．结论
三段论在证明几何问题中的应用
用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提．如右图，在锐角△ABC中，AD，BE是高，D，E为垂足，M为AB的中点．
求证：ME＝MD.
∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形，……大前提
在△ABD中，AD⊥CB，∠ADB＝90°，
………………………………小前提
∴△ABD为直角三角形．………………………………………………结论
同理△ABE也为直角三角形．
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，………………大前提
M是直角△ABD斜边AB上的中点，DM为中线，………………………………小前提
∴DM＝AB.
……………………………………………………………………………结论
同理EM＝AB.
∵和同一条线段相等的两条线段相等，………………………………………………大前提
DM＝AB，EM＝AB，……………………………………………………………小前提
∴ME＝MD.结论
三段论在几何问题中的应用
(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．
(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．
如图，已知在梯形ABCD中，，AB＝CD＝AD，AC和BD是梯形的对角线，求证：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA.
证明：∵等腰三角形两底角相等，………………………………………………大前提
△DAC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，………………………………小前提
∴∠1＝∠2.结论
∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，………………………………大前提
∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，………………………………小前提
∴∠1＝∠3.结论
∵等于同一个角的两个角相等，……………………………………………………大前提
∠2＝∠1，∠3＝∠1，………………………………………………………………小前提
∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.
…………………………………………………………结论
同理可证DB平分∠CBA.
演绎推理在代数中的应用
已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
如果在(－1，＋∞)上f′(x)>0，那么函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数，……………………………………………………………………………………………大前提
∵a>1，∴f′(x)＝axln
a＋>0，………………………………………………小前提
∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．………………………………………………结论
使用三段论应注意的问题
(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论．
(2)证明中常见的错误：
①条件分析错误(小前提错)．
②定理引入和应用错误(大前提错)．
③推理过程错误等．
已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明＜.
证明：因为不等式两边同乘一个正数，不等号不改变方向，……………大前提
b＜a，m＞0，………………………………………………………………小前提
所以mb＜ma.
…………………………………………………………………………结论
因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，…………………………大前提
mb＜ma，………………………………………………………………………………小前提
所以mb＋ab＜ma＋ab，即b(a＋m)＜a(b＋m)．………………………………结论
因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，……………………………大前提
b(a＋m)＜a(b＋m)，a(a＋m)＞0，………………………………小前提
所以＜，即＜.………………………………结论
6．混淆三段论的大、小前提而致误
定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x－y)＋f(x＋y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数．
证明：令x＝y＝0，
则有f(0)＋f(0)＝2f(0)×f(0)．
又因为f(0)≠0，所以f(0)＝1.
令x＝0，
则有f(－y)＋f(y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，
所以f(－y)＝f(y)，
因此，f(x)是偶函数．
以上证明结论“f(x)是偶函数”运用了演绎推理的“三段论”，其中大前提是________________________________________________________________________．
通过两次赋值先求得“f(0)＝1”，再证得“f(－y)＝f(y)”，从而得到结论“f(x)是偶函数”．所以这个三段论推理的小前提是“f(－y)＝f(y)”，结论是“f(x)是偶函数”，显然大前提是“若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数”．
若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数
解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式：大前提—小前提—结论，其中大前提是一个一般性的命题，即证明这个具体问题的理论依据．因此结合f(x)是偶函数的定义和证明过程容易确定本题答案．本题易误认为题目的已知条件为大前提而导致答案错误．
所有眼睛近视的人都是聪明人，我近视得很厉害，所以我是聪明人．下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是________(填序号)．
①我是个笨人，因为所有的聪明人都是近视眼，而我的视力那么好．
②所有的猪都有四条腿，但这种动物有八条腿，所以它不是猪．
③小陈十分高兴，所以小陈一定长得很胖，因为高兴的人都长得很胖．
④所有尖嘴的鸟都是鸡，这种总在树上待着的鸟是尖嘴的，因此这种鸟是鸡．
解析：根据④中的推理可得：这种总在树上待着的鸟是鸡，这显然是错误的．①②③不符合三段论的形式．
答案：④
1．“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是( )
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
解析：选B 得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”．
2．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”上述推理错误的原因是( )
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
解析：选A 大前提是错误的，因为对数函数y＝logax(0＜a＜1)是减函数．
3．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义，即a≥0，小前提是有意义，结论是________．
解析：由三段论的形式可知，结论是log2x－2≥0.
答案：log2x－2≥0
4．用三段论证明函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上为增函数的过程如下，试将证明过程补充完整：
①________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________(大前提)
②________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________(小前提)
③________________________________________________________________________
________________________________________________________________________(结论)
答案：①如果函数f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1，x2，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)在给定区间内是增函数．
②任取x1，x2∈(1，＋∞)，x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝，由于1＜x1＜x2，故x1－x2＜0，x1x2＞1，即x1x2－1＞0，所以f(x1)＜f(x2)．
③函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上为增函数．
5．将下列推理写成“三段论”的形式．
(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；
(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
(3)0.33是有理数．
解：(1)向量是既有大小又有方向的量．………………………………大前提
零向量是向量．……………………………………………………………小前提
零向量也有大小和方向．………………………………………………结论
(2)每一个矩形的对角线相等．……………………………………………大前提
正方形是矩形．………………………………………………………………小前提
正方形的对角线相等．………………………………………………………结论
(3)所有的循环小数都是有理数．……………………………………………大前提
0．33是循环小数．…………………………………………………………小前提
0．33是有理数．……………………………………………………………结论
一、选择题
1．给出下面一段演绎推理：
有理数是真分数，大前提
整数是有理数，小前提
整数是真分数．结论
结论显然是错误的，是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
解析：选A 推理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误．举反例，如2是有理数，但不是真分数．
2．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( )
A．演绎推理
B．类比推理
C．合情推理
D．归纳推理
解析：选A 是由一般到特殊的推理，故是演绎推理．
3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由三角形的性质，推测四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝
(n≥2)，由此归纳出an的通项公式
解析：选A B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理．
4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”补充以上推理的大前提( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
解析：选B 推理的大前提应该是矩形的对角线相等，表达此含义的选项为B.
5．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b 平面α，直线a 平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
解析：选A 大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．
二、填空题
6．若有一段演绎推理：“大前提：整数是自然数．小前提：－3是整数．结论：－3是自然数．”这个推理显然错误，则推理错误的是________(填“大前提”“小前提”或“结论”)．
解析：整数不全是自然数，还有零与负整数，故大前提错误．
答案：大前提
7．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是____________________．
解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；
结论：△ABC是直角三角形．
答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
8．若不等式ax2＋2ax＋2＜0的解集为空集，则实数a的取值范围为________．
解析：①a＝0时，有2＜0，显然此不等式解集为 .
②a≠0时需有
所以0＜a≤2.
综上可知，实数a的取值范围是．
答案：
三、解答题
9．如下图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：
(1)平面AD1E∥平面BGF；
(2)D1E⊥AC.
证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，
∴D1F綊BE，
∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF.
又∵D1E 平面BGF，BF 平面BGF，
∴D1E∥平面BGF.
∵F，G分别是D1D和DA的中点，
∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1.
又∵AD1 平面BGF，FG 平面BGF，
∴AD1∥平面BGF.
又∵AD1∩D1E＝D1，
∴平面AD1E∥平面BGF.
(2)
如右图，连接BD，B1D1，
∵底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵D1D⊥AC，BD∩D1D＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1.
∵D1E 平面BDD1B1，∴D1E⊥AC.
10．在数列中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N
.
(1)证明数列是等比数列．
(2)求数列的前n项和Sn.
(3)证明不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N
皆成立．
解：(1)证明：因为an＋1＝4an－3n＋1，
所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N
.
又因为a1－1＝1，
所以数列是首项为1，
公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，
于是数列的通项公式为
an＝4n－1＋n，
所以数列的前n项和Sn＝＋.
(3)证明：对任意的n∈N
，
Sn＋1－4Sn＝＋－4＋＝－(3n2＋n－4)≤0，
所以不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N
皆成立．1．5.3 定积分的概念
定积分的概念
问题1：求曲边梯形面积的步骤是什么？
提示：分割、近似代替、求和、取极限．
问题2：你能将区间等分吗？
提示：可以．
定积分的概念
如果函数f(x)在区间上连续，用分点a＝x0对定积分概念的理解
由定义可得定积分f(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即f(x)dx＝f(t)dt＝f(u)du.
定积分的几何意义
问题1：根据定积分的定义，求(x＋1)dx的值是多少．
提示：(x＋1)dx＝.
问题2：(x＋1)dx的值与直线x＝1，x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1围成的梯形的面积有什么关系？
提示：相等．
定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分f(x)dx的几何意义．
评析定积分的几何意义
关于定积分的几何意义，当函数f(x)在区间上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积．一般情况下，如图，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图象以及直线x＝a，x＝b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.
定积分的性质
问题1：利用定积分的定义，试求x2dx，2xdx，(x2＋2x)dx.
提示：计算得x2dx＝，2xdx＝3，(x2＋2x)dx＝.
问题2：由问题1计算得出什么结论？
提示：x2dx＋2xdx＝(x2＋2x)dx.
问题3：还有相类似的性质吗？
提示：有．
定积分的性质
(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
(2)dx＝f1(x)dx±；
(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a对定积分的性质的说明
定积分的性质(1)(2)被称为定积分的线性运算，定积分的性质(3)被称为区间的连续可加性，定积分的性质可以推广为：
①dx＝f1(x)dx±fm(x)dx(m∈N
)．
②f(x)dx＝∫c1af(x)dx＋f(x)dx＋…＋(a)．
利用定义求定积分
利用定积分的定义，计算(3x＋2)dx的值．
令f(x)＝3x＋2.
(1)分割
在区间上等间隔地插入n－1个分点，把区间等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、作和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则
Sn＝·Δx＝＋2·＝＝＋5＝×＋5＝－.
(3)取极限
(3x＋2)dx＝liSn＝li
＝.
利用定义求定积分的步骤
利用定积分的定义，计算(x＋1)dx的值．
解：f(x)＝x＋1在区间上连续，将区间等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，
每个区间的长度为Δx＝.
在上取ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，
∴f(ξi)＝1＋1＋＝2＋，
∴(ξi)·Δx＝·
＝
＝·n＋
＝2＋＝2＋－＝－，
∴1(1＋x)dx＝
＝.
利用定积分的几何意义求定积分
说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：
(1)2dx；(2)xdx；(3)
dx.
(1)2dx表示的是图①中阴影部分所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以2dx＝2.
(2)xdx表示的是图②中阴影部分所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为，所以xdx＝.
(3)－1dx表示的是图③中阴影部分所示半径为1的半圆的面积，其值为，所以dx＝.
利用几何意义求定积分的方法
利用定积分所表示的几何意义求f(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．
用定积分表示下图中阴影部分的面积，并根据定积分的几何意义求出定积分的值．
解：图①中，被积函数f(x)＝－1－x在区间上连续不间断，且f(x)≤0，
根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为
S＝－
(－1－x)dx＝×3×3＝，
所以阴影部分的面积为.
图②中，被积函数f(x)＝－在区间上连续不断，且f(x)≤0，
根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为
S＝－－dx＝π×12＝，
所以阴影部分的面积为.
利用定积分的性质求定积分
已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求下列各式的值：
(1)(3x3)dx；(2)(6x2)dx；(3)(3x2－2x3)dx.
(1)(3x3)dx＝3x3dx＝3x3dx＋x3dx＝3×＝12.
(2)(6x2)dx＝6x2dx＝6
＝6×＝126.
(3)(3x2－2x3)dx＝(3x2)dx－(2x3)dx
＝3x2dx－2x3dx＝3×－2×＝－.
定积分与函数的奇偶性
若函数f(x)的奇偶性已经明确，且f(x)在上连续，则：
(1)若函数f(x)为奇函数，则
f(x)dx＝0；
(2)若函数f(x)为偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.
已知
dx＝12，g(x)dx＝6，
求3f(x)dx.
解：∵f(x)dx＋g(x)dx＝
dx，
∴f(x)dx＝12－6＝6，
∴3f(x)dx＝3f(x)dx＝3×6＝18.
由y＝cos
x及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表示为________．
由y＝cos
x及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形可以分成三部分：，，，利用定积分的几何意义可得，所求面积为
cos
xdx－cos
xdx＋cos
xdx.
cos
xdx－cos
xdx＋cos
xdx
1．若对定积分的几何意义理解不到位，则易错误地表示为∫cos
xdx.
2．写定积分时应注意：当f(x)≥0时，S
由定积分的几何意义可得(3x＋1)dx＝________.
解析：由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示．
(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，
∴
(3x＋1)dx
＝××(3×3＋1)－××2＝－＝16.
答案：16
1．下列等式不成立的是( )
A.
dx＝mf(x)dx＋ng(x)dx
B.
dx＝f(x)dx＋b－a
C.
f(x)g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dx
D.xdx＝πsin
xdx＋sin
xdx
解析：选C 利用定积分的性质可判断A，B，D成立，C不成立．
例如xdx＝2，2dx＝4，2xdx＝4，
2xdx≠xdx·2dx.
2．图中阴影部分的面积用定积分表示为( )
A.2xdx
B.(2x－1)dx
C.(2x＋1)dx
D.(1－2x)dx
解析：选B 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为2xdx－1dx＝(2x－1)dx.
3．由y＝sin
x，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．
解析：∵0x>0.
∴y＝sin
x，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为sin
xdx.
答案：sin
xdx
4．若dx＝3，dx＝1，则dx＝________.
解析：dx
＝dx
＝dx－dx
＝3－1＝2.
答案：2
5．用定积分的几何意义求dx.
解：由y＝可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．
dx等于圆心角为60°的弓形CD的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝××22－×2×2sin
＝－，
S矩形＝AB·BC＝2，
∴dx＝2＋－＝＋.
一、选择题
1．若f(x)dx＝1，g(x)dx＝－3，
则dx等于( )
A．2 B．－3
C．－1
D．4
解析：选C dx＝2f(x)dx＋g(x)dx＝2×1－3＝－1.
2．由定积分的几何意义可得dx的值等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选A 定积分dx等于直线y＝与x＝0，x＝2，y＝0围成三角形的面积S＝×2×1＝1.
3．已知f(x)为偶函数，且f(x)dx＝8，则等于( )
A．0
B．4
C．8
D．16
解析：选D ∵被积函数f(x)是偶函数，
∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形的面积相等，∴－6f(x)dx＝2f(x)dx＝2×8＝16.
4．定积分(－3)dx等于( )
A．－6
B．6
C．－3
D．3
解析：选A 3dx表示的面积S＝3×2＝6，
(－3)dx＝－3dx＝－6.
5．定积分xdx与dx的大小关系是( )
A.xdx＝dx
B.xdx＞dx
C.xdx＜dx
D．无法确定
解析：选C 由定积分的几何意义结合右图可知xdx＜
二、填空题
6．设f(x)是连续函数，若f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝________.
解析：f(x)dx＝f(x)dx＋所以＝f(x)dx－f(x)dx＝－2.
答案：－2
7．如下图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．
解析：由定积分的几何意义知，S＝－4dx.
答案：－4dx
8.－2(sin
x＋2x)dx＝________.
解析：由定积分的性质可得－2(sin
x＋2x)dx＝
－2sin
xdx＋－22xdx.又因为y＝sin
x与y＝2x都是奇函数，故所求定积分为0.
答案：0
三、解答题
9．求－1f(x)dx的值，其中f(x)＝
解：对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即－1f(x)dx＝－1f(x)dx＋
＝－1(2x－1)dx＋e－xdx
＝－2＋1－e－1＝－(e－1＋1)．
10．利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．
(1)－1|x|dx；
(2)dx.
解：(1)如下图，因为A1＝A2，
所以－1|x|dx＝2A1＝2×＝1.
(A1，A2分别表示图中相应各处面积)
(2)dx＝1dx－即用边长为1的正方形的面积减去圆(x－1)2＋y2＝1的面积的，为1－.3．1.1 数系的扩充和复数的概念
复数的概念及代数表示
问题1：方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？
提示：没有．
问题2：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗．
提示：有解(x＝±i)，但不在实数范围内．
1．复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.全体复数所成的集合C叫做复数集．
2．复数的表示
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．
3．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
对复数概念的理解
(1)对复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时，a和b才分别是复数的实部和虚部，并注意：虚部是实数b而非bi.
(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
(3)利用复数相等，可以把复数问题转化成实数问题进行解决，并且一个复数等式可得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件.
复数的分类
问题1：复数z＝a＋bi在什么情况下表示实数？
提示：b＝0.
问题2：如何用集合关系表示实数集R和复数集C
提示：R?C.
复数的分类
(1)复数a＋bi(a，b∈R)
(2)集合表示：
1．0的特殊性
0是实数，因此也是复数，写成a＋bi(a，b∈R)的形式为0＋0i，即其实部和虚部都是0.
2．a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件吗？
因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．
复数相等的充要条件
(1)若5－12i＝xi＋y(x，y∈R)，则x＝________，y＝________.
(2)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x，y∈R，i为虚数单位．求实数x，y的值．
(1)由复数相等的充要条件可知x＝－12，y＝5.
(2)根据复数相等的充要条件，
由(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，
得解得
即x＝，y＝4.
答案：(1)－12 5 (2)x＝，y＝4.
解决复数相等问题的步骤
(1)等号两侧都写成复数的代数形式；
(2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组)；
(3)解方程(组)．
已知(2x＋8y)＋(x－6y)i＝14－13i，求实数x，y的值．
解：由复数相等的充要条件，得
解得
复数的分类
已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i.
(1)当m为何值时，z为实数？
(2)当m为何值时，z为虚数？
(3)当m为何值时，z为纯虚数？
(1)要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
利用复数的分类求参数的方法及注意事项
利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.
设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i.
(1)当m为何值时，z是实数？
(2)当m为何值时，z是纯虚数？
解：(1)要使复数z为实数，需满足
解得m＝－2或－1，即当m＝－2或－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，需满足
解得m＝3，
即当m＝3时，z是纯虚数．
(上海高考)设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
复数m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数的充要条件是
解得
即m＝－2.
故m＝－2时，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数．
－2
1．若忽视“纯虚数的虚部不为0”这一条件，易得出m＝1或m＝－2的错误结论．
2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件为二者缺一不可．
若z＝(x2－1)2＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．－1或1
解析：选A 因为z为纯虚数，所以(x2－1)2＝0.
又x－1≠0，所以x＝－1.
1．在2＋，i,0,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选C i，(1－)i是纯虚数；2＋，0，0.618是实数；8＋5i是虚数．
2．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的复数是( )
A．2－2i
B．2＋2i
C．－＋i
D.＋i
解析：选A －＋2i的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i，其实部为－2，故所求复数为2－2i.
3．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是________．
解析：当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错；两个虚数不能比较大小，故③对．
答案：③
4．已知(3x＋y)＋(2x－y)i＝(7x－5y)＋3i，则实数x＝________，y＝________.
解析：∵x，y是实数，
∴根据两个复数相等的充要条件，
可得解得
答案：
5．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求：
(1)实数a取什么值时，z为实数？
(2)实数a取什么值时，z为虚数？
(3)实数a取什么值时，z为纯虚数？
解：(1)当z为实数时，
则∴
∴当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有
∴
即a≠±1且a≠6.
∴当a≠±1且a≠6时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，
则有∴
∴不存在实数a使z为纯虚数．
一、选择题
1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B.
C．－
D．2
解析：选D 复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2.
2．方程1－z4＝0在复数范围内的根共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选D 由已知条件可得z4＝1，即z2＝±1，故z1＝1，z2＝－1，z3＝i，z4＝－i，故方程有4个根．
3．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为( )
A．－1
B．2
C．1
D．－1或2
解析：选D ∵复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，
∴m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
4．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1
B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1
D．a≠2
解析：选C 若此复数是纯虚数，则得a＝－1，所以当a≠－1时，已知的复数不是纯虚数．
5．下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选A 对①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；
对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；
③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.
二、填空题
6．设x，y∈R，且满足(x＋y)＋(x－2y)i＝(－x－3)＋(y－19)i，则x＋y＝________.
解析：因为x，y∈R，所以利用两复数相等的条件有解得所以x＋y＝1.
答案：1
7．若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，则实数m＝________.
解析：因为log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，所以所以m＝4.
答案：4
8．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为________．
解析：由z1>z2，
得即
解得a＝0.
答案：0
三、解答题
9．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为：
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
解：(1)当即m＝2时，复数z是实数．
(2)当m2－2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，
复数z是虚数．
(3)当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
10．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解：∵M∪P＝P，∴M P，
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.2.2.2 反
证
法
反证法
著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友们一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”
问题1：王戎的论述运用了什么推理思想？
提示：运用了反证法的推理思想．
问题2：反证法解题的实质是什么？
提示：否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．
1．反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．
1．反证法实质
用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用以下框图表示：
―→―→―→
2．反证法与逆否命题证明的区别
反证法的理论依据是p与綈p真假性相反，通过证明綈p为假命题说明p为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“p q”与“綈q 綈p”是等价命题，通过证明命题“綈q 綈p”为真命题来说明命题“p q”为真命题，证明过程不出现矛盾．
用反证法证明否定性命题
设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．
求证：f(x)＝0无整数根．
假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数，
∴n，an＋b均为奇数．
又∵a＋b为偶数，
∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，
∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾，
∴f(x)＝0无整数根．
1．用反证法证明否定性命题的适用类型
一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明．
2．反证法的一般步骤
用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．这个过程包括下面三个步骤：
(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；
(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．
即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真．
设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
证明：假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.
因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，
即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，
所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾，
故假设不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
用反证法证明唯一性命题
已知a≠0，求证关于x的方程ax＝b有且只有一个实根．
由于a≠0，
因此方程ax＝b至少有一个实根x＝.
如果方程不只有一个实根，不妨假设x1，x2是它的不同的两个根，从而有ax1＝b，ax2＝b，
两式作差得a(x1－x2)＝0.
因为x1≠x2，从而a＝0，
这与已知条件a≠0矛盾，从而假设不成立，原命题成立，
即当a≠0时，关于x的方程ax＝b有且只有一个实根．
用反证法证明唯一性命题的适用类型
(1)当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单．
(2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面．
用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．
证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．
假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.
因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立.
用反证法证明“至少”“至多”等存在性命题
已知a1＋a2＋a3＋a4＞100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.
假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，
则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，
这与已知a1＋a2＋a3＋a4＞100矛盾，故假设错误．
所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.
常见“结论词”与“反设词”
结论词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有(不存在)
至少有两个
至多有(n－1)个
至少有(n＋1)个
结论词
只有一个
对所有x成立
对任意x不成立
反设词
没有或至少有两个
存在某个x不成立
存在某个x成立
结论词
都是
一定是
p或q
p且q
反设词
不都是
不一定是
綈p且綈q
綈p或綈q
已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数．求证：函数y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．
证明：假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1＜x2，则f(x1)＝f(x2)＝0.
因为函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，
x1，x2∈(a，b)且x1＜x2，
∴f(x1)＜f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，假设不成立，故原命题正确.
(12分)如右图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
在同一平面内，设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0，证明l1与l2相交．
证明：假设直线l1与l2不相交，则l1与l2平行，由直线l1与l2的方程可知实数k1，k2分别为两直线的斜率，则有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，消去k1，得k＋2＝0，k2无实数解，这与已知k2为实数矛盾，所以k1≠k2，即l1与l2相交．
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用( )
①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①②④
解析：选C 除原结论不能作为推理条件外其余均可．
2．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a不能被5整除
D．a，b有1个不能被5整除
解析：选B 用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B正确．
3．下列命题适合用反证法证明的是________(填序号)．
①已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，证明：方程f(x)＝0没有负实数根；
②若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求证：和中至少有一个小于2；
③关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的；
④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．
解析：①是“否定”型命题；②是“至少”型命题；③是“唯一”型命题，且题中条件较少；④中条件较少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．
答案：①②③④
4．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b α，直线c β，b∩a＝A，c∥a.求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．
解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．
答案：b与c平行或相交
5．若下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．
解：若三个方程均无实根，
则
－＜a＜－1.
设A＝，
则 RA＝，
故所求实数a的取值范围是aa≤－或a≥－1.
一、选择题
1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至少有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
解析：选B “至少有一个”即“全部中最少有一个”．
2．用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
解析：选D 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．”
3．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容应是( )
A.＝成立
B.＜成立
C.＝或＜成立
D.＝且＜成立
解析：选C “大于”的否定为“小于或等于”．
4.“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°.”下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
(1)所以∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
(2)所以∠B<90°；
(3)假设∠B≥90°；
(4)那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是( )
A．(1)(2)(3)(4) B．(4)(3)(2)(1)
C．(3)(4)(1)(2)
D．(3)(4)(2)(1)
解析：选C 根据反证法证题的步骤可知选C.
5．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．无穷多个
解析：选A 假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a＞b，n∈N
，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn.
二、填空题
6．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为________________________________________________________________________．
解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.
答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP
7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
解析：由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.
答案：③①②
8．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是________．
解析：假设AC，BD共面，均在平面α内，即AC α，BD α，则A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，∴AB α，CD α，这与AB，CD异面矛盾，∴AC，BD异面．
答案：异面
三、解答题
9．已知x，y>0，且x＋y>2.求证：，中至少有一个小于2.
证明：假设，都不小于2，
即≥2，≥2.
∵x>0，y>0，
∴1＋x≥2y,1＋y≥2x，
∴2＋x＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2，与已知x＋y>2矛盾，
∴，中至少有一个小于2.
10．已知f(x)＝ax＋(a＞1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．
证明：假设x0是f(x)＝0的负数根，
则x0＜0且x0≠－1，且ax0＝－，
由0＜ax0＜1 0＜－＜1，
解得＜x0＜2，这与x0＜0矛盾，所以假设不成立，故方程f(x)＝0没有负数根．2．1.1 合情推理
归纳推理
如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME 7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图乙中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn的长度构成数列{an}，
问题1：试计算a1，a2，a3，a4的值．
提示：由图知a1＝OA1＝1，
a2＝OA2＝＝＝，
a3＝OA3＝＝＝，
a4＝OA4＝＝＝＝2.
问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{an}的通项公式an吗？
提示：能猜想出an＝(n∈N
)．
问题3：直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？
提示：所有三角形的内角和都是180°.
问题4：以上两个推理有什么共同特点？
提示：都是由个别事实推出一般结论．
1．归纳推理的定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．
2．归纳推理的特征
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
归纳推理的特点
(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；
(2)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠.
类比推理和合情推理
问题1：在三角形中，任意两边之和大于第三边．那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？
提示：四面体中任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．
问题2：三角形的面积等于底边与高乘积的.那么，在四面体中，如何表示四面体的体积？
提示：四面体的体积等于底面积与高乘积的.
问题3：以上两个推理有什么共同特点？
提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征．
问题4：以上两个推理是归纳推理吗？
提示：不是．归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从特殊到特殊的推理．
1．类比推理的定义
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理．
2．类比推理的特征
类比推理是由特殊到特殊的推理．
3．合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，称为合情推理．
对类比推理的定义的理解
(1)类比推理是两类对象特征之间的推理．
(2)对象的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互联系和相互制约的，如果两个对象有些性质相似或相同，那么它们另一些性质也可能相似或相同．
(3)在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题和获得新发现．
数、式中的归纳推理
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
当n＝1时，S1＝a1＝－；
当n＝2时，＝－2－S1＝－，所以S2＝－；
当n＝3时，＝－2－S2＝－，所以S3＝－；
当n＝4时，＝－2－S3＝－，所以S4＝－.猜想：Sn＝－，n∈N
.
归纳推理的一般步骤
归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤：
(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．
(1)(山东高考)观察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
……
照此规律，
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.
(2)将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
…
按照以上排列的规律，则第n(n≥3)行从左向右数第3个数为________．
解析：(1)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．
(2)前(n－1)行共有正整数个，即个，因此第n行从左向右数第3个数是全体正整数中第个，即为.
答案：(1)
n(n＋1) (2)
图形中的归纳推理
(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
A．26
B．31
C．32
D．36
(2)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是________．
(1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案
1
2
3
…
个数
6
11
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.
法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6＋5×(6－1)＝31.故选B.
(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
答案：(1)B (2)28
解决图形中归纳推理的方法
解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．
(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．
如图，第n个图形由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1，2,3，…)，则第n个图形中的顶点个数为( )
A．(n＋1)(n＋2)
B．(n＋2)(n＋3)
C．n2
D．n
解析：选B 第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有(n＋2)(n＋3)个顶点.
类比推理
设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性：
设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，
则T4＝bq6，T8＝bq1＋2＋…＋7＝bq28，
T12＝bq1＋2＋…＋11＝bq66，
T16＝bq1＋2＋…＋15＝bq120，
∴＝bq22，＝bq38，
＝bq54，
即2＝·T4，2＝·，
故T4，，，成等比数列．
答案：
类比推理的一般步骤
类比推理的思维过程大致是：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．
该过程包括两个步骤：
(1)找出两类对象之间的相似性或一致性；
(2)用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
如右图，在△ABC中，a＝b·cos
C＋c·cos
B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，写出对空间四面体性质的猜想．
解：如右图所示，在四面体P ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，
△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
猜想S＝S1·cos
α＋S2·cos
β＋S3·cos
γ.
三角形与四面体有下列相似性质：
(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．
(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．
通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，并填写下表：
三角形
四面体
三角形的两边之和大于第三边
三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边
三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比到空间为面．三角形的中位线对应四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．具体见下表：
三角形
四面体
三角形的两边之和大于第三边
四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积
三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边
四面体的中截面的面积等于第四个面的面积的，且平行于第四个面
三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心
1．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：
平面图形
点
线
边长
面积
线线角
三角形
平行四边形
圆
空间图形
线
面
面积
体积
二面角
四面体
平行六面体
球
2．常见的从平面到空间的类比有以下几种情况，要注意掌握：
(1)三角形类比到三棱锥：
例：在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两相互垂直，则______________________________．”
解析：“直角三角形的直角边长、斜边长”类比为“直角三棱锥的侧面积、底面积”．
答案：S＋S＋S＝S
(2)平行四边形类比到平行六面体：
例：平面几何中，有结论：“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”．类比这一结论，将其拓展到空间，可得到结论：“______________________________________.”
解析：“平行四边形的边、对角线”类比为“平行六面体的棱、对角线”．
答案：平行六面体四条对角线的平方和等于十二条棱的平方和
(3)圆类比到球：
例：半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr. ①
①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子②：________________________，②式可以用语言叙述为________________________．
解析：通过给出的两个量之间的关系，类比球的体积公式和球的表面积公式，我们不难发现′＝4πR2，从而使问题解决．
答案：′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
(4)平面解析几何类比到空间解析几何：
例：类比平面内一点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离公式，猜想空间中一点P(x0，y0，z0)到平面Ax＋By＋Cz＋D＝0(A2＋B2＋C2≠0)的距离公式为d＝______________________.
解析：类比平面内点到直线的距离公式
d＝，
易知答案应填.
答案：
1．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到( )
A．空间中平行于同一直线的两直线平行
B．空间中平行于同一平面的两直线平行
C．空间中平行于同一直线的两平面平行
D．空间中平行于同一平面的两平面平行
解析：选D 利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．
2．根据给出的等式猜测123
456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1
111
1
234×9＋5＝11
111
12
345×9＋6＝111
111
A．1
111
110
B．1
111
111
C．1
111
112
D．1
111
113
解析：选B 由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1
111
111.
3．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：＝＝·＝×＝.
答案：1∶8
4．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为____________________．
解析：观察等式，发现等式左边各指数幂的指数均为3，底数之和等于右边指数幂的底数，右边指数幂的指数为2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.
答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
5．已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则＝2.”若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则＝k(k为定值)”，求k的值．
解：如右图，易知球心O在线段AM上，不妨设四面体ABCD的边长为1，外接球的半径为R，则BM＝×＝，
AM＝＝，
R＝，解得R＝.
于是，k＝＝＝3.
一、选择题
1．下列类比推理恰当的是( )
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin
x＋sin
y
C．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c
答案：D
2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29
B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9
D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：选D 等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1＋a2＋…＋a9＝2＋2＋…＋＝2×9.
3．观察式子：
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，…，
则可归纳出第n－1个式子为( )
A．1＋＋＋…＋<
B．1＋＋＋…＋<
C．1＋＋＋…＋<
D．1＋＋＋…＋<
解析：选C 观察可得第n－1个式子为：不等式的左边为的前n项的和，右边为分式.
4．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图①中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图②中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289
B．1
024
C．1
225
D．1
378
解析：选C 记三角形数构成的数列为{an}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2.
将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1
225.
5．将正整数排成如下形式：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13 14 15 16
…
则数字2
017出现在( )
A．第44行第80列 B．第45行第80列
C．第44行第81列
D．第45行第81列
解析：选D 第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
∵442＝1
936，452＝2
025，且1
936＜2
017＜2
025，∴2
017在第45行．
又∵2
025－2
017＝8，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2
017在第89－8＝81列．
二、填空题
6．设函数f(x)＝(x＞0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N
且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
解析：由已知可归纳如下：
f1(x)＝，
f2(x)＝，
f3(x)＝，
f4(x)＝，
…，
fn(x)＝.
答案：
7．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地，在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示____________________．
解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．
答案：过原点的平面
8．观察下列等式：
23＝3＋5，
33＝7＋9＋11，
43＝13＋15＋17＋19，
53＝21＋23＋25＋27＋29，
…
若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于________．
解析：经观察，等式右边的数组成数列：3,5,7,9,11，…，所以由3＋(n－1)×2＝109，得n＝54，再由等式右边的数的个数为2,3,4，…，且分别等于左边数的底数，可得2＋3＋4＋…＋m＝54，即＝54，解得m＝10.
答案：10
三、解答题
9．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N
，m≥2)．
(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；
(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；
(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；
(4)已知an＝9
900，问：an是数列第几项？
解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，…，故所求数列为6,12,20,30，….
(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N
.
(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
(4)令(n＋1)(n＋2)＝9
900，所以n＝98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．
10．已知椭圆具有以下性质：已知M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1(a＞0，b＞0)写出类似的性质，并加以证明．
解：类似的性质为：已知M，N是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明如下：设点M，P的坐标为(m，n)，(x，y)，
则N点的坐标为(－m，－n)．
∵点M(m，n)在已知双曲线－＝1上，
∴－＝1，
得n2＝m2－b2.
同理y2＝x2－b2，
∴y2－n2＝(x2－m2)．
则kPM·kPN＝·＝
＝·＝(定值)．
∴kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．1．3.2 函数的极值与导数
函数的极值
已知y＝f(x)的图象(如下图)．
问题1：函数y＝f(x)在b，c，d，e点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
提示：在b，d点的函数值是这两个点附近的函数值中最大的，而在c，e点的函数值是这两个点附近的函数值中最小的．
问题2：y＝f(x)在b，c，d，e点的导数值是多少？
提示：f′(b)＝f′(c)＝f′(d)＝f′(e)＝0.
问题3：在b，c，d，e点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？
提示：在b，d点附近的导数的符号是左正右负，而在c，e点附近的导数的符号是左负右正．
极值点与极值
(1)极小值点与极小值：
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值：
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极值点与极值：
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．
1．对极值概念的理解
(1)函数的极值是一个局部概念，是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或是最小的．
(2)在定义域的某个区间内极大值或极小值并不唯一，也可能不存在，并且极大值与极小值之间无确定的大小关系．
2．极值与极值点辨析
(1)函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标，而不是点；极值是函数在极值点处取得的函数值，即函数取得极值时对应点的纵坐标．
(2)极值点一定在区间的内部，端点不可能为极值点．
函数极值的求法
问题：求函数的极值是否只需求出导数为0的点即可？
提示：不是，还需判断导数为0的点附近两侧导数值的符号．
函数极值的求法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
导数与极值的关系
(1)根据极值的定义可知，对于一个可导函数，如果函数y＝f(x)在x0处取得极值，则它在该极值点x0处的导数值等于0，但导数值为0的点不一定是函数的极值点．例如，函数f(x)＝x3可导，且在x＝0处满足f′(0)＝0，但由于当x＜0和x＞0时均有f′(x)＞0，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．
(2)函数y＝f(x)在点x0取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且f′(x)在x0左、右两侧的符号不同．
求函数的极值
求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－12x；
(2)y＝.
(1)函数的定义域为R，
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，
令f′(x)＝0，
得x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
16
?
－16
?
从表中可以看出，当x＝－2时，函数有极大值，且f(－2)＝16.当x＝2时，函数有极小值，且f(2)＝－16.
(2)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且y′＝.令y′＝0，得x1＝－1，x2＝2，
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
(1,2)
2
(2，＋∞)
y′
＋
0
－
＋
0
＋
y
?
－
?
?
3
?
故当x＝－1时，y有极大值－.
求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；
(2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根；
(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左、右两侧单调性的变化情况求极值．
求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
(2)f(x)＝.
解：(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
10
?
－22
?
由表可知，x＝－1是函数f(x)的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数f(x)的极小值点，极小值为f(3)＝－22.
(2)函数y＝的定义域为(0，＋∞)，
y′＝.令y′＝0，即＝0，得x＝e.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
y′
＋
0
－
y
?
?
由表可知，当x＝e时，函数的极大值是.
已知函数的极值求参数
已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．
f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
(1)法一：∵x＝±1是函数的极值点，
∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．
由根与系数的关系知
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
法二：由f′(1)＝f′(－1)＝0，
得3a＋2b＋c＝0，①
3a－2b＋c＝0.②
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
在(－1,1)上是减函数．
因此当x＝－1时函数取得极大值，x＝－1为极大值点；
当x＝1时函数取得极小值，x＝1为极小值点．
由函数的极值确定参数的方法及注意事项
(1)已知一个函数，可以用单调性研究它的极值．反过来，已知函数的极值，可以确定函数解析式中的参数，解这类问题，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．
(2)需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．
已知函数f(x)＝x3－bx2＋2cx的导函数的图象关于直线x＝2对称．
(1)求b的值；
(2)若函数f(x)无极值，求c的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2－2bx＋2c，
因为函数f′(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以－＝2，即b＝6.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－6x2＋2cx，
f′(x)＝3x2－12x＋2c＝3(x－2)2＋2c－12，
所以当c≥6时，f′(x)≥0，此时函数f(x)无极值，
即c的取值范围为 已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；
(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？
(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，
得f′(x)＝－3x2＋3.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；
当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，
极大值为f(1)＝a＋2.
由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如下图所示．
(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．
综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．
利用极值研究方程根的方法
(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题．一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．
(2)事实上，利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
求函数f(x)＝x3－3x2－a(a∈R)的极值，并讨论a为何值时函数f(x)恰有一个零点．
解：f′(x)＝3x2－6x，函数f(x)的定义域为R，
由f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
－a
?
－4－a
?
因此，函数在x＝0处有极大值，极大值为f(0)＝－a；在x＝2处有极小值，极小值为f(2)＝－4－a.
函数y＝f(x)恰有一个零点即y＝f(x)的图象与x轴只有一个交点(如下图)，所以或
即或
解得a＜－4或a＞0，
所以当a＞0或a＜－4时，函数f(x)恰有一个零点．
(12分)已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex，其中a≠，求f(x)的极值．
所以函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，
且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.(11分)
函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，
且f(－2a)＝3ae－2a.(12分)
设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，
f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.
(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1，
令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.
因为m>0，所以1＋m>1－m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1－m)
1－m
(1－m，1＋m)
1＋m
(1＋m，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
f(1－m)
?
f(1＋m)
?
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)，递增区间为(1－m,1＋m)．
函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，
且f(1－m)＝－m3＋m2－.
函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，
且f(1＋m)＝m3＋m2－.
1．已知函数y＝x(x－2)2，则( )
A．y有极小值但无极大值
B．y有极小值0，但无极大值
C．y有极小值0，极大值
D．y有极大值，但无极小值
解析：选C y′＝(x－2)2＋x·2(x－2)＝(x－2)(3x－2)，当2或x<时，y′>0.所以当x＝时，y有极大值；当x＝2时，y有极小值0.故选C.
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如下图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
解析：选C 由导数与函数极值的关系知，当f′(x0)＝0时，在x0的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x)在x＝x0处取得极大值；若在x0的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x)在x＝x0处取得极小值．设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．
3．函数y＝3x3－9x＋5的极大值为________．
解析：y′＝9x2－9.令y′＝0，得x＝±1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
?
极大值
?
极小值
?
从上表可以看出，当x＝－1时，函数y有极大值3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.
答案：11
4．若函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3(x2－1)，所以x＝1和x＝－1是函数的两个极值点，由题意知，
极大值为f(－1)＝2＋a，极小值为f(1)＝－2＋a，
所以要使函数f(x)有三个不同的零点，则有2＋a＞0且－2＋a＜0，解得－2＜a＜2，
即实数a的取值范围是(－2,2)．
答案：(－2,2)
5．(重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．
(1)确定a的值；
(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．
解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，
因为f(x)在x＝－处取得极值，
所以f′＝0，
即3a·＋2·＝－＝0，解得a＝.
(2)由(1)得g(x)＝ex，
故g′(x)＝ex＋ex
＝ex＝x(x＋1)(x＋4)ex.
令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝－4.
当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；
当－40，故g(x)为增函数；
当－1当x>0时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．
综上知，g(x)在(－∞，－4)，(－1,0)上为减函数，在(－4，－1)，(0，＋∞)上为增函数．
一、选择题
1．(陕西高考)设函数f(x)＝＋ln
x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
解析：选D 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，当x＝2时，f′(x)＝0；当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；当02．函数y＝f(x)＝(x2－1)3＋1在x＝－1处( )
A．有极大值 B．有极小值
C．无极值
D．无法判断极值情况
解析：选C f′(x)＝6x(x2－1)2＝6x(x－1)2(x＋1)2，虽然f′(－1)＝0，但f′(x)在x＝－1的左右(附近)不变号，∴函数f(x)在x＝－1处没有极值．
3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的( )
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极小值为－，极大值为0
D．极大值为－，极小值为0
解析：选A ∵f′(x)＝3x2－2px－q，
∴f′(1)＝3－2p－q＝0.①
又∵f(1)＝1－p－q＝0，②
由①②解得p＝2，q＝－1，
即f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.
令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，
从而当x∈∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
故f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，
在上单调递减．
∴当x＝时，f(x)有极大值，
当x＝1时，f(x)有极小值0.
4．若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是( )
A．b＜1
B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜
解析：选C f′(x)＝2x－2b＝2(x－b)，令f′(x)＝0，解得x＝b，由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值，则有0＜b＜1.当0＜x＜b时，f′(x)＜0；当b＜x＜1时，f′(x)＞0，符合题意，所以实数b的取值范围是0＜b＜1.
5．设函数f(x)＝x－ln
x(x＞0)，则y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
解析：选D f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝3，当0＜x＜3时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间(0,3)上为减函数．又因为f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，f＝＋1＞0，所以y＝f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．
二、填空题
6．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
解析：f′(x)＝＝，由题意得f′(1)＝＝0，解得a＝3.经检验，a＝3符合题意．
答案：3
7．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3既有极大值又有极小值，则a的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令f′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.因为函数f(x)有极大值和极小值，所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
8．已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则f(x)的图象在(－1，3)内与x轴的交点的个数为________．
解析：因为f′(x)＝4x3＋9，当x∈(－1,3)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1,3)上单调递增．又因为f(－1)＝－3＜0，f(0)＝5＞0，所以f(x)在(－1，3)内与x轴只有一个交点．
答案：1
三、解答题
9．(安徽高考)已知函数f(x)＝(a>0，r>0)．
(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；
(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值．
解：(1)由题意知x≠－r，
所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞)．
f(x)＝＝，
f′(x)＝
＝，
所以当x<－r或x>r时，f′(x)<0；
当－r0.
因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；f(x)的单调递增区间为(－r，r)．
(2)由(1)的解答可知
f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减．
因此，x＝r是f(x)的极大值点，
所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为
f(r)＝＝＝＝100.
无极小值．
10．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．
当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，由f′(x)>0解得x<－或x>，
由f′(x)<0，解得－∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，
(，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－，)．
(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，
f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1，
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1，
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
结合图象可知m的取值范围是(－3,1)．第一课时 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式
已知函数：
(1)y＝f(x)＝c；(2)y＝f(x)＝x；(3)y＝f(x)＝x2；(4)y＝f(x)＝；(5)y＝f(x)＝.
问题1：函数y＝f(x)＝c的导数是什么？
提示：∵＝＝＝0，
∴y′＝li
＝0.
问题2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？
提示：由导数的定义得(2)(x)′＝1，(3)(x2)′＝2x，(4)′＝－，(5)()′＝.
问题3：若(1)(2)中的函数表示路程关于时间的函数，则其导数的意义是什么？
提示：y′＝0说明某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态；y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
问题4：函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α∈Q
)的形式，其导数有何规律？
提示：∵(2)(x)′＝1·x1－1，(3)(x2)′＝2·x2－1，
(5)()′＝(x)′＝x＝，
∴(xα)′＝αxα－1.
基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q
)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin
x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos
x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln__a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝
f(x)＝ln
x
f′(x)＝
对公式(logax)′＝与(ax)′＝axln
a的理解和记忆
(1)区分公式的结构特征，从纵的方面“(ln
x)′与(logax)′”和“(ex)′与(ax)′”的区分，又要从横的方面“(logax)′与(ax)′”的区分找出差异，记忆公式．
(2)对公式(logax)′，用(ln
x)′和复合函数求导法则证明来帮助记忆，即求证对数函数导数公式(logax)′＝logae.
证明如下：
(logax)′＝′＝·＝logae.
这样就能知道logae的来历，对于记忆和区分很有必要.
导数运算法则
已知f(x)＝x，g(x)＝.
问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？
提示：f′(x)＝1，g′(x)＝－.
问题2：试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数．
提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋－＝Δx＋，
∴＝1－，
∴Q′(x)＝＝＝1－.
同理H′(x)＝1＋.
问题3：Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？
提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差．
问题4：′＝f′(x)g′(x)对吗？
提示：不对，因为f(x)g(x)＝1，′＝0，而f′(x)g′(x)＝1×＝－.
导数运算法则
1．′＝f′(x)±g′(x)；
2．′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
3.′＝(g(x)≠0)．
导数的运算法则的认识
1．在两个函数积与商的导数运算中，不能认为′＝f′(x)g′(x)以及′＝.
2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．
3．(1)′＝f1′(x)＋f2′(x)＋…＋fn′(x)；
(2)′＝cf′(x)，也就是说，常数与函数的积的导数等于常数乘函数的导数．
利用导数公式直接求导
求下列函数的导数：
(1)y＝10x；(2)y＝lg
x；(3)y＝logx；
(4)y＝；(5)y＝2－1.
(1)y′＝(10x)′＝10xln
10；
(2)y′＝(lg
x)′＝；
(3)y′＝(logx)′＝＝－；
(4)y′＝()′＝(x)′＝x－＝；
(5)∵y＝2－1
＝sin2＋2sincos＋cos2－1
＝sin
x，
∴y′＝(sin
x)′＝cos
x.
应用求导公式应注意的问题
求函数的导数，一般不再用定义，而主要应用导数公式，这就要求必须熟记常见的求导公式，应用公式时一般遵循“先化简，再求导”的基本原则．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
求下列函数的导数：
(1)y＝x；(2)y＝x；
(3)y＝lg
5；(4)y＝3lg；
(5)y＝2cos2－1.
解：(1)y′＝′＝xln＝－＝－e－x；
(2)y′＝′＝xln＝
＝－10－xln
10；
(3)∵y＝lg
5是常数函数，
∴y′＝(lg
5)′＝0；
(4)∵y＝3lg＝lg
x，
∴y′＝(lg
x)′＝；
(5)∵y＝2cos2－1＝cos
x，
∴y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
利用导数的运算法则求函数的导数
求下列函数的导数：
(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sincos；
(3)y＝x2＋log3x；(4)y＝.
(1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.
(2)∵y＝x－sin
x，
∴y′＝x′－(sin
x)′＝1－cos
x.
(3)y′＝(x2＋log3x)′
＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.
(4)y′＝
＝＝.
利用运算法则求导数的方法
对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式．在不宜直接应用导数公式时，应先对函数进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝xsin
x＋；
(3)y＝＋；(4)y＝lg
x－.
解：(1)y′＝′
＝
＝＝－.
(2)y′＝(xsin
x)′＋()′＝sin
x＋xcos
x＋.
(3)∵y＝＋＝＝－2，
∴y′＝′＝＝.
(4)y′＝′＝(lg
x)′－′
＝＋.
导数几何意义的应用
(1)(广东高考)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．
(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．
(1)∵y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5，
∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x2－10，所以3x－10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限内，所以x0＝2.又点P在曲线C上，所以y0＝23－10×2＋13＝1，所以点P的坐标为(2,1)．
答案：(1)5x＋y＋2＝0 (2)(2,1)
导数几何意义的应用
根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时，要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标．
若曲线f(x)＝acos
x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝________.
解析：f′(x)＝－asin
x，g′(x)＝2x＋b，
∵曲线f(x)＝acos
x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，
∴f(0)＝a＝g(0)＝1，且f′(0)＝0＝g′(0)＝b，
∴a＋b＝1.
答案：1
已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
由已知得f′(x)＝3x2－6x＋3a，
故f′(1)＝3－6＋3a＝3a－3，
且f(1)＝1－3＋3a－3a＋3＝1.
故所求切线方程为y－1＝(3a－3)(x－1)，
即3(a－1)x－y＋4－3a＝0.
1．利用导数研究切线问题是一个很重要的知识点，它突出表现了导数几何意义的价值，也是高考的常考内容．利用导数求解切线方程常常要先求出原函数的导函数，再利用导数的几何意义求出切点或斜率，最后借助直线方程的点斜式写出所求的切线方程．
2．本题比较简单，属于“已知切点求切线方程”问题，只要求出导数，再利用点斜式方程求解即可．另外，高考对切线的考查还有以下几种方式．
：已知斜率，求切线方程．
此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程．
例：求与直线x＋4y＋1＝0垂直的曲线f(x)＝2x2－1的切线方程．
解：因为所求切线与直线x＋4y＋1＝0垂直，所以所求切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝4x0＝4，即x0＝1，
所以切点坐标为(1,1)，
故所求切线方程为y－1＝4(x－1)，
即4x－y－3＝0.
：已知过曲线上一点，求切线方程．
过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程．
例：求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．
解：设切点坐标为(x0，y0)
因为f′(x)＝3x2－2，
所以f′(x0)＝3x－2，且y0＝f(x0)＝x－2x0，
所以切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，
即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．
因为切线过点(1，－1)，
故－1－(x－2x0)＝(3x－2)·(1－x0)，
即2x－3x＋1＝0，
解得x0＝1或x0＝－，
故所求切线方程为x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
：已知过曲线外一点，求切线方程．
这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切线方程．
例：已知函数f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程．
解：由题意知点A(0,16)不在曲线f(x)＝x3－3x上，设切点坐标为M(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x－3，
故切线方程为y－y0＝3(x－1)(x－x0)．
又因为点A(0,16)在切线上，
所以16－(x－3x0)＝3(x－1)(0－x0)，
化简得x＝－8，解得x0＝－2，
即切点为M(－2，－2)，
故切线方程为9x－y＋16＝0.
1．给出下列结论：
①(cos
x)′＝sin
x；②′＝cos；③若y＝，则y′＝－；④′＝.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B (cos
x)′＝－sin
x，所以①错误；
sin＝，而′＝0，所以②错误；
′＝＝＝－2x－3，所以③错误；
′＝－＝＝x＝，所以④正确．
2．函数y＝sin
x·cos
x的导数是( )
A．y′＝cos2x＋sin2x
B．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝2cos
x·sin
x
D．y′＝cos
x·sin
x
解析：选B y′＝(sin
x·cos
x)′＝cos
x·cos
x＋sin
x·(－sin
x)＝cos2x－sin2x.
3．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
解析：f(x)＝4x2＋4ax＋a2，∴f′(x)＝8x＋4a，
∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.
答案：1
4．(全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.
答案：1
5．求下列函数的导数：
(1)y＝x；
(2)y＝；
(3)y＝(4x－x)(ex＋1)．
解：(1)∵y＝x＝x3＋1＋，
∴y′＝3x2－.
(2)y′＝
＝.
(3)法一：∵y＝(4x－x)(ex＋1)＝4xex＋4x－xex－x，
∴y′＝(4xex＋4x－xex－x)′
＝(4x)′ex＋4x(ex)′＋(4x)′－－x′
＝ex4xln
4＋4xex＋4xln
4－ex－xex－1
＝ex(4xln
4＋4x－1－x)＋4xln
4－1.
法二：y′＝(4x－x)′(ex＋1)＋(4x－x)(ex＋1)′
＝(4xln
4－1)(ex＋1)＋(4x－x)ex
＝ex(4xln
4＋4x－1－x)＋4xln
4－1.
一、选择题
1．函数y＝x3cos
x的导数是( )
A．y′＝3x2cos
x＋x3sin
x
B．y′＝3x2cos
x－x3sin
x
C．y′＝3x2cos
x
D．y′＝－x3sin
x
解析：选B y′＝(x3cos
x)′＝(x3)′cos
x＋x3(cos
x)′＝3x2cos
x＋x3(－sin
x)＝3x2cos
x－x3sin
x，故选B.
2．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为( )
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝x4－2
C．f(x)＝x3＋1
D．f(x)＝x4－1
解析：选B 由f′(x)＝4x3知，f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得．
3．已知曲线y＝－3ln
x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．3
B．2
C．1
D.
解析：选A 因为y′＝－，所以根据导数的几何意义可知－＝，解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．
4．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：选B y′＝
＝，把x＝代入，得导数值为，即为所求切线的斜率．
5．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为( )
A．1
B．±1
C．－1
D．－2
解析：选A 设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax＋3，所以3x0＋1＝ax＋3…①.对y＝ax3＋3求导，得y′＝3ax2，则3ax＝3，ax＝1…②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.
二、填空题
6．(天津高考)已知函数f(x)＝axln
x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
解析：f′(x)＝a＝a(1＋ln
x)．
由于f′(1)＝a(1＋ln
1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.
答案：3
7．已知函数f(x)＝f′cos
x＋sin
x，则f＝________.
解析：∵f′(x)＝－f′sin
x＋cos
x，
∴f′＝－f′×＋
，
得f′＝
－1，
∴f(x)＝(－1)cos
x＋sin
x，
∴f＝1.
答案：1
8．若曲线f(x)＝ln
x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝＋a，
∵曲线f(x)＝ln
x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴＋a＝2有解，即＝2－a有解．又∵x>0，
∴2－a>0，∴a<2.
答案：(－∞，2)
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝3x2＋xsin
x；
(2)y＝(x2＋3)(ex＋ln
x)；
(3)y＝.
解：(1)y′＝(3x2)′＋(xsin
x)′
＝6x＋sin
x＋x(sin
x)′
＝6x＋sin
x＋xcos
x.
(2)y′＝(x2＋3)′(ex＋ln
x)＋(x2＋3)(ex＋ln
x)′
＝2x(ex＋ln
x)＋(x2＋3)
＝ex(x2＋2x＋3)＋2xln
x＋x＋.
(3)y′＝′＝
＝.
10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，
所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b.又因为f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b.又因为f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－，则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又因为f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.1.7
定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
如右图，由直线x＝a，x＝b，曲线y＝f(x)和x轴围成的曲边梯形面积为S1.由直线x＝a，x＝b，曲线y＝g(x)和x轴围成的曲边梯形的面积为S2.
问题1：如何求S1
提示：S1＝f(x)dx.
问题2：如何求S2
提示：S2＝g(x)dx.
问题3：如何求阴影部分的面积S
提示：S＝S1－S2.
平面图形的面积
由两条曲线y＝f(x)，y＝g(x)和直线x＝a，x＝b(b>a)所围图形的面积．
(1)如图①所示，f(x)>g(x)>0，所以所求面积
S＝dx.
(2)如图②所示，f(x)>0，g(x)<0，所以所求面积S＝f(x)dx＋＝dx.
相交曲线所围图形的面积求法
如下图，在区间上，若曲线y＝f(x)，y＝g(x)相交，则所求面积S＝S1＋S2＝
dx＋＝|f(x)－g(x)|dx.
定积分在物理中的应用
问题：在《1.5.2 汽车行驶的路程》中，我们学会了利用积分求物理中物体做变速直线运动的路程问题，利用积分还可以解决物理中的哪些问题？
提示：变力做功．
1．变速直线运动的路程
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间上的定积分，即s＝
2．变力做功
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a求变速直线运动的路程的注意点
对于给出速度－时间曲线的问题，关键是由图象得到速度的解析式及积分的上、下限，需要注意的是分段解析式要分段求路程，然后求和．
不必分割的图形的面积求解
计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积．
由解得x＝0或x＝3.如图．
因此所求图形的面积为
S＝(x＋3)dx－(x2－2x＋3)dx
＝dx
＝(－x2＋3x)dx＝＝.
求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤
(1)画出图形；
(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限；
(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图象上、下位置；
(4)写出平面图形面积的定积分表达式；
(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．
求曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1所围成的图形面积．
解：作图，并由
解得交点(0,1)．
所求面积为(ex－e－x)dx
＝(ex＋e－x)
＝e＋－2.
需分割的图形的面积求解
求抛物线y2＝2x和直线y＝－x＋4所围成的图形的面积．
先求抛物线和直线的交点，解方程组求出交点坐标为A(2,2)和B(8，－4)．
法一：选x为积分变量，变化区间为，将图形分割成两部分(如图)，则面积为
S＝S1＋S2＝2dx＋(－x＋4)dx
＝x＋＝18.
法二：选y作积分变量，则y的变化区间为，如图得所求的面积为
S＝dy＝
＝18.
需分割的图形的面积的求法
由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间上位于上方和下方的曲线不同．求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．
试求由抛物线y＝x2＋1与直线y＝－x＋7以及x轴、y轴所围成图形的面积．
解：画出图形(如下图)．
解方程组得或(舍去)，
即抛物线与直线相交于点(2,5)．
于是所求面积为S＝(x2＋1)dx＋(7－x)dx
＝＋
＝＋
＝.
求变速直线运动的路程、位移
A，B两站相距7.2
km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t
s后到达途中C点，这一段的速度为1.2t
m/s，到C点的速度为24
m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，速度为(24－1.2t)
m/s，经t
s后，在B点恰好停车．试求：
(1)A，C间的距离；
(2)B，D间的距离．
(1)设A到C的时间为t1，
则1.2t1＝24，t1＝20
s，
则AC＝1.2tdt＝0.6t2＝240(m)．
(2)设D到B的时间为t2，
则24－1.2t2＝0，t2＝20
s，
则DB＝
(24－1.2t)dt
＝(24t－0.6t2)
＝240(m)．
求变速直线运动的路程、位移应关注三点
(1)分清运动过程中的变化情况；
(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；
(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．
一点在直线上从时刻t＝0(单位：s)开始以速度v＝t2－4t＋3(单位：m/s)运动，求：
(1)在t＝4
s时的位置；
(2)在t＝4
s时运动的路程．
解：(1)在t＝4
s时该点的位移为
(t2－4t＋3)dt＝＝(m)，
即在t＝4
s时该点距出发点
m.
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间及上v(t)≥0，
在区间上，v(t)≤0.
∴在t＝4
s时的路程为
s＝(t2－4t＋3)dt－(t2－4t＋3)dt＋(t2－4t＋3)dt
＝－＋t3－2t2＋3t＝4(m)，
即在t＝4
s时运动的路程为4
m.
求变力做功
一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向运动，力 位移曲线如图所示．求该物体从x＝0
m处运动到x＝4
m处力F(x)做的功．
由力 位移曲线可知F(x)＝因此该物体从x＝0处运动到x＝4处力F(x)做的功为W＝10dx＋(3x＋4)dx＝10x＋＝46(J)．
解决变力做功应关注两点
(1)首先将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步；
(2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．
设有一长25
cm的弹簧，若加以100
N的力，则弹簧伸长到30
cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25
cm
伸长到40
cm所做的功．
解：设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在弹簧上的力(单位：N)．
由题意F(x)＝kx，且当x＝0.05
m时，F(0.05)＝100
N，解得即0.05k＝100，∴k＝2
000，
∴F(x)＝2
000x.
∴将弹簧由25
cm伸长到40
cm时所做的功为
W＝2
000xdx＝1
000x2＝22.5(J)．
由抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积为( )
A．16－
B．16＋
C.
D.＋
由题意，作图形如图所示，由得
所以抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＋y－6＝0的交点坐标为(2,4)．
法一：(选y为积分变量)S＝dy
＝＝24－8－×64＝.
法二：(选x为积分变量)
S＝()dx＋(6－x)dx
＝×x＋
＝＋＝.
C
1．本题易搞错被积函数及积分上、下限，误认为S＝x－)dx，从而得出S＝16－的错误答案．
2．求平面图形面积时，应首先求出交点坐标，确定积分上、下限，然后确定被积函数，判定积分的正负，用公式求解面积．
如本例法一中的被积函数为f(y)＝6－y－y2，y∈(0,4]，法二中的被积函数为f(x)＝
3．利用定积分求面积时，应根据具体问题选择不同的方法求解，常见类型有以下几种：
(1)换元积分：
当两区域所围成图形纵坐标一致时，换元变成对y积分可简化运算．如本例中的法一．
(2)分割求和：
当两曲线处于不同区间时，可分割成几块，分别求出面积再相加，如本节例2的求解法．事实上，本例中的法二就是分割求和．
(3)上正下负：
若a≤x≤c时，f(x)＜0，则f(x)dx＜0；
若c≤x≤b时，f(x)≥0，则f(x)dx≥0.
此时曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a＜b)及y＝0所围图形的面积是
S＝＋f(x)dx＝－f(x)dx＋dx.
例：求正弦曲线y＝sin
x，x∈和直线x＝0，x＝及y＝0所围图形的面积S.
解：作出曲线y＝sin
x和直线x＝0，x＝，y＝0的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．
由图可知，当x∈时，曲线y＝sin
x位于x轴的上方；
当x∈时，曲线位于x轴下方．
因此，所求面积应为两部分的和，即S＝|sin
x|dx＝sin
xdx－sin
xdx＝－cos
x＋cos
x＝3.
(4)上下之差：
若在区间上f(x)＞g(x)，则曲线f(x)与g(x)所围成的图形的面积S＝dx.
例：求由曲线y2＝x，y＝x3所围图形的面积S.
解：作出曲线y2＝x，y＝x3的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．
解方程组得交点的横坐标为x＝0及x＝1.
因此，所求图形的面积为S＝dx－x3dx＝x－x4＝.
1．(山东高考)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A．2
B．4
C．2
D．4
解析：选D 由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为＝＝4.
2．一物体沿直线以v＝3t＋2(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度运动，则该物体在3
s～6
s间的运动路程为( )
A．46
m
B．46.5
m
C．87
m
D．47
m
解析：选B s＝
(3t＋2)dt＝
＝(54＋12)－＝46.5(m)．
3．(天津高考)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．
解析：如图，阴影部分的面积即为所求．
由得A(1,1)．
故所求面积为S＝(x－x2)dx＝＝.
答案：
4．设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
解析：由已知得S＝dx＝x＝a＝a2，所以a＝，所以a＝.
答案：
5．一物体在变力F(x)＝(x的单位：m，F的单位：N)的作用下沿坐标平面内x轴的正方向由x＝8处运动到x＝18处，求力F(x)在这一过程中所做的功．
解：由题意得力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在上的定积分，从而
W＝F(x)dx＝－36x－1
＝(－36×18－1)－(－36×8－1)
＝(－2)－＝(J)．
从而可得力F(x)在这一过程中所做的功为
J.
一、选择题
1．用S表示下图中阴影部分的面积，则S的值是( )
A.f(x)dx
B.
C.f(x)dx＋f(x)dx
D.f(x)dx－f(x)dx
解析：选D 由图可知，x轴上方阴影部分的面积为，x轴下方阴影部分的面积为－f(x)dx，故D正确．
2．曲线y＝x3与直线y＝x所围图形的面积等于( )
A.(x－x3)dx
B.(x3－x)dx
C．2(x－x3)dx
D．2(x－x3)dx
解析：选C 由求得直线y＝x与曲线y＝x3的交点分别为(－1，－1)，(1,1)，(0,0)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S＝2(x－x3)dx.
3．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos
x所围成的封闭图形的面积为( )
A. B．1
C.
D.
解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分∫－cos
xdx＝sin
x－＝.
4．一质点运动的速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点做直线运动，则它在时间内的位移为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 质点在时间内的位移为(t2－t＋2)dt＝＝.
5．由抛物线y＝x2－x，直线x＝－1及x轴围成的图形的面积为( )
A.
B．1
C.
D.
解析：选B S＝－1(x2－x)dx＋(x－x2)dx
＝＋＝1.
二、填空题
6．曲线y＝sin
x(0≤x≤π)与直线y＝围成的封闭图形的面积为________．
解析：由于曲线y＝sin
x(0≤x≤π)与直线y＝的交点的横坐标分别为x＝及x＝，因此所求图形的面积为∫sin
x－dx＝－cos
x－x＝－.
答案：－
7．物体A以速度v＝3t2＋1(t的单位：s；v的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上，物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5
m处以v＝10t的速度与A同向运动，则两物体相遇时物体A运动的距离为________m.
解析：设t＝a时两物体相遇，依题意有(3t2＋1)dt－10tdt＝(t3＋t)－5t2＝5，即a3＋a－5a2＝5，(a－5)(a2＋1)＝0，解得a＝5，
所以(3t2＋1)dt＝53＋5＝130.
答案：130
8．有一横截面面积为4
cm2的水管控制往外流水，打开水管后t
s末的流速为v(t)＝6t－t2(单位：cm/s)(0≤t≤6)，则t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为________．
解析：由题意可得t＝0到t＝6这段时间内流出的水量(6t－t2)dt＝4(6t－t2)dt＝4＝144(cm3)．
故t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为144
cm3.
答案：144
cm3
三、解答题
9．求由曲线y＝x2和直线y＝x及y＝2x所围图形的面积S.
解：由得A(1,1)，
由得B(2,4)．
如图所示，所求面积(即图中阴影部分的面积)为S＝(2x－x)dx＋－x2)dx＝xdx＋－x2)dx＝x2＋＝.
10．有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．
(1)点P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；
(2)求点P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．
解：(1)由v(t)＝8t－2t2≥0，得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动；
当t>4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，点P离开原点的路程为
s1＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt
＝－＝.
当t＝6时，点P的位移为
(8t－2t2)dt＝＝0.
(2)依题意(8t－2t2)dt＝0，
即4t2－t3＝0，解得t＝0或t＝6，
而t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，
∴t＝6是所求的值．3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
复数的加减法
已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？
提示：两个复数相加减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？
提示：满足．
问题3：以交换律进行说明．
提示：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，
z2＋z1＝(c＋di)＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i，
∴z1＋z2＝z2＋z1.
1．复数的加、减法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，
z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．复数加法的运算律
(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
对复数加、减法的理解
1．把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．
2．复数的加、减法中规定，两复数相加、减，是实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减，复数的加、减法可推广到多个复数相加、减的情形．
3．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i＝3.
复数加、减法的几何意义
如图，分别与复数a＋bi，c＋di对应．
问题1：试写出，及＋，－的坐标．
提示：＝(a，b)，＝(c，d)，
＋＝(a＋c，b＋d)，－＝(a－c，b－d)．
问题2：向量＋，－对应的复数分别是什么？
提示：向量＋对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，也就是z1＋z2，向量－对应的复数是a－c＋(b－d)i，也就是z1－z2.
复数加、减法的几何意义
如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是
，与z1－z2对应的向量是
.
对复数加、减运算几何意义的认识
1．若复平面内任意两点Z1，Z2所对应的复数分别是z1，z2，则Z1，Z2两点之间的距离|Z1Z2|＝|z2－z1|.
2．复数加、减法的几何意义包含两方面：一是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数的运算，使复数作为工具运用于几何之中；另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释．
复数的加、减运算
计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)；
(2)(－1＋i)＋(1＋i)；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
(1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i.
(2)(－1＋i)＋(1＋i)＝(－1＋1)＋(＋)i＝2i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
复数的加、减运算的技巧
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．
计算下列各题．
(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；
(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2
017－2
018i)．
解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i＝－5＋20i.
(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2
015－2
016＋2
017)＋(－2＋3－4＋5－…－2
016＋2
017－2
018)i＝1
009－1
010i.
复数加、减运算的几何意义
已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．
如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，所以有zM＝＝，所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，
因为：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，
所以||＝|7＋2i|＝＝，
因为：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，所以||＝|5－12i|＝＝13.
故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是和13.
运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．
复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如右图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
解：复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，设正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．
因为＝－，所以对应的复数为(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，因为＝－，所以对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.因为＝，所以它们对应的复数相等，即解得
故点D对应的复数为2－i.
综合应用
设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.
法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2.
又∵(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，
∴2ac＋2bd＝0.
∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2
＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，
∴|z1－z2|＝.
法二 作出z1，z2对应的向量，，使＋＝，
∵|z1|＝|z2|＝1，又，不共线(若，共线，则|z1＋z2|＝2或0与题设矛盾)，
∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形．
又|z1＋z2|＝，
∴∠Z1OZ2＝90°，
即四边形OZ1ZZ2为正方形，
故|z1－z2|＝.
与复数模有关的几个常见结论
在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，Z1＋Z2对应的点为C，O为坐标原点．
(1)则四边形OACB为平行四边形；
(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；
(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；
(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
解：法一：设z1＝a＋bi，
z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1， ①
(a－c)2＋(b－d)2＝1.
②
由①②得2ac＋2bd＝1.
∴|z1＋z2|
＝
＝
＝.
法二：设O为坐标原点，
z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴△OAB是边长为1的正三角形，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，
∴|z1＋z2|＝|OC|
＝＝.
M＝{z||z＋1|＝1}，N＝{z||z＋i|＝|z－i|}，则M∩N＝________.
利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z＋1|＝1的几何意义是以点(－1,0)为圆心，以1为半径的圆．|z＋i|＝|z－i|的几何意义是到点A(0,1)和点B(0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB的垂直平分线，也就是x轴．M∩N的几何意义是x轴与圆的公共点对应的复数，故z＝0或z＝－2，
∴M∩N＝{0，－2}．
{0，－2}
1．本题若混淆复数运算与代数运算的不同，则会错误地将集合M和N化简为M＝{z|z＋1＝±1}，N＝{z|z＋i＝±(z－i)}，从而造成解题错误．
2．在复数运算中，若z＝a＋bi，则|z|＝.要注意与实数运算中的绝对值运算的区别．
已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝________.
解析：法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴
解得∴z＝－15＋8i.
法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i，
∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，
于是|z|＝，
即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17.
代入z＝2－|z|＋8i，得z＝－15＋8i.
答案：－15＋8i
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i
B．1－i
C．i
D．－i
解析：选A 原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.
2．在复平面内，
，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为( )
A．－1－5i
B．－1＋5i
C．3－4i
D．3＋4i
解析：选A ＝－＝(－2－3i)－(－1＋2i)
＝－1－5i.
3．实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是________．
解析：由题意得x＋y＋(x－y)i＝2，
∴解得
∴xy＝1.
答案：1
4．已知z是复数，|z|＝3且z＋3i是纯虚数，则z＝________.
解析：设z＝a＋bi，则a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i是纯虚数，
∴a＝0，b＋3≠0.又∵|z|＝3，∴b＝3，∴z＝3i.
答案：3i
5．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
解：z＝z1－z2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－
＝＋i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又∵z＝13－2i，且x，y∈R，
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－i＝－8－7i.
一、选择题
1．如下图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1＋z2|等于( )
A．1 B.
C．2
D．3
解析：选B 由图象可知z1＝－2－2i，z2＝i，
所以z1＋z2＝－2－i，|z1＋z2|＝.
2．(福建高考)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于( )
A．3，－2 B．3,2
C．3，－3
D．－1,4
解析：选A (1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝－2.
3．在复平面内的平行四边形ABCD中，对应的复数是6＋8i，对应的复数是－4＋6i，则对应的复数是( )
A．2＋14i
B．1＋7i
C．2－14i
D．－1－7i
解析：选D 依据向量的平行四边形法则可得＋＝，－＝，由对应的复数是6＋8i，对应的复数是－4＋6i，依据复数加减法的几何意义可得对应的复数是－1－7i.
4．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2
B．4
C．4
D．16
解析：选C 由|z－4i|＝|z＋2|，得
|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4.
当且仅当x＝2y＝时，
2x＋4y取得最小值4.
5．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
解析：选A 设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，及由|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外心．
二、填空题
6．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.
解析：∵z1＋z2＝5－6i，
∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，
∴
即
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
答案：－1＋10i
7．已知|z|＝，且z－2＋4i为纯虚数，则复数z＝________.
解析：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z－2＋4i＝(x－2)＋(y＋4)i.
由题意知
∴或
∴z＝2±i.
答案：2±i
8．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)，则在复平面内z1－z2对应的点在第________象限．
解析：因为z1－z2＝－2＋2i，所以对应点(－2,2)在第二象限．
答案：二
三、解答题
9.如右图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)向量AO―→对应的复数；
(2)向量CA―→对应的复数；
(3)向量OB―→对应的复数．
解：(1)因为AO―→＝－OA―→，所以向量AO―→对应的复数为－3－2i.
(2)因为CA―→＝OA―→－OC―→，所以向量CA―→对应的复数为
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为OB―→＝OA―→＋OC―→，所以向量OB―→对应的复数为
(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
10．已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos
2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解：(1)∵点A，B对应的复数分别是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos
2θ，
∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos
2θ)，
∴＝(－cos2θ，cos
2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos
2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)，
∴对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，
得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，
∴sin
θ＝±.
又∵θ∈(0，π)，∴sin
θ＝，∴θ＝或.1．3.1 函数的单调性与导数
函数的单调性与导数
已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝的图象如下图所示．
问题1：试结合图象指出以上三个函数的单调性．
提示：函数y1＝x在R上为增函数；y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数；y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．
问题2：判断它们的导数在其单调区间上的正、负．
提示：y1′＝1在R上为正；y2′＝2x，在(－∞，0)上为负，在(0，＋∞)上为正；y3′＝－在
(－∞，0)及(0，＋∞)上均为负．
问题3：结合问题1、问题2，探讨函数的单调性与其导函数正负有什么关系．
提示：当f′(x)>0时，f(x)为增函数；当f′(x)<0时，f(x)为减函数．
函数的单调性与其导数正负的关系
在区间(a，b)内函数的单调性与导数的正负有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)＞0
单调递增
f′(x)＜0
单调递减
f′(x)＝0
常数函数
对导数与单调性的关系的理解
在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为单调递增(减)函数的充分不必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是单调递增函数，但由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，即并不是在单调区间内的任意一点处都满足f′(x)＞0.
函数与导函数图象间的关系
设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如右图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为以下四个选项中的( )
选D 由函数的图象可知，当x＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
研究函数与导函数图象之间关系的方法
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
(浙江高考)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是以下四个选项中的( )
解析：选B 由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小.
判断(证明)函数的单调性
(1)下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin2x
B．y＝xex
C．y＝x3－x
D．y＝－x＋ln(1＋x)
(2)求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．
(1)选B y＝xex，则y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)在(0，＋∞)上恒大于0.
(2)证明：因为f(x)＝ex－x－1，
所以f′(x)＝ex－1.
当x∈(0，＋∞)时，ex＞1，即f′(x)＝ex－1＞0，
故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数．
当x∈(－∞，0)时，ex＜1，即f′(x)＝ex－1＜0，
故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．
利用导数判断函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤
(1)求f′(x)；
(2)确定f′(x)在(a，b)内的符号；
(3)得出结论．
试证明：函数f(x)＝在区间(0,2)上是单调递增函数．
证明：因为f(x)＝，所以f′(x)＝＝.因为0＜x＜2，所以ln
x＜ln
2＜1，故f′(x)＝＞0，即函数f(x)＝在区间(0,2)上是单调递增函数.
利用导数求函数的单调区间
求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x2－ln
x.
(1)f′(x)＝1－3x2.
令1－3x2＞0，解得－＜x＜，
因此函数f(x)的单调增区间为.
令1－3x2＜0，解得x＜－或x＞，
因此函数f(x)的单调减区间为
，.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝.
因为x＞0，所以x＋1＞0，
由f′(x)＞0，解得x＞，
所以函数f(x)的单调递增区间为；
由f′(x)＜0，解得x＜，又x∈(0，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为.
利用导数求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数．
(4)结合定义域写出单调区间．
当单调区间有多个时，不要写成并集．
求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3＋；
(2)f(x)＝.
解：(1)函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}．
f′(x)＝3x2－＝3.
由f′(x)>0，解得x<－1或x>1；
由f′(x)<0，解得－1∴函数的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；
单调递减区间为(－1,0)，(0,1)．
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以ex＞0，(x－2)2＞0.
由f′(x)＞0得x＞3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)＜0得x＜3，
又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
已知函数f(x)＝x3－ax－1，讨论f(x)的单调区间．
f′(x)＝3x2－a.
(1)当a≤0时，f′(x)≥0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
(2)当a＞0时，
令3x2－a＝0，得x＝±.
当x＞或x＜－时，
f′(x)＞0；
当－＜x＜时，
f′(x)＜0.
因此f(x)在，上为增函数，f(x)在上为减函数．
综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数．
当a＞0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数．
1．讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．
2．此题是对含参数的函数的单调性进行了讨论，另外，已知函数的单调性确定参数问题更是各类考试的重点，应注意掌握，如更换本题的条件，可得如下问题：
(1)f(x)不变，若f(x)为单调递增函数，求实数a的取值范围．
解：由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即a的取值范围为(－∞，0]．
(2)f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围．
解：因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)恒成立，即a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．
(3)f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围．
解：由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)恒成立．
因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.
即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上为减函数．
(4)f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的取值范围．
解：由例题可知，f(x)的单调递减区间为－，，所以＝1，即a＝3.
(5)f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
解：∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.
由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0)．
∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，
∴0＜＜1，
即0＜a＜3，
即a的取值范围为(0,3)．
1．函数f(x)＝2x－sin
x在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．有最大值
D．有最小值
解析：选A ∵cos
x≤1，∴f′(x)＝2－cos
x>0恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
2．已知函数f(x)＝＋ln
x，则有( )
A．f(2)＜f(e)＜f(3)
B．f(e)＜f(2)＜f(3)
C．f(3)＜f(e)＜f(2)
D．f(e)＜f(3)＜f(2)
解析：选A 因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝＋＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.
3．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调递减区间是________．
解析：f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.
答案：(1,2)
4．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．
解析：f′(x)＝，由题意得f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a≤，但当a＝时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a的取值范围是.
答案：
5．求下列函数的单调区间：
(1)y＝ln(2x＋3)＋x2；
(2)y＝x＋(b≠0)．
解：(1)函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为.
y′＝＋2x＝＝.
①令y′>0，即>0，
解得－－，
所以函数的单调递增区间为，－，＋∞.
②令y′<0，即<0，
解得－1所以函数的单调递减区间为.
(2)函数y＝x＋(b≠0)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
y′＝1－＝.
①当b<0时，在函数定义域内y′>0恒成立，
所以函数的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
②当b>0时，令y′>0，解得x>或x<－，
所以函数的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；
令y′<0，解得－所以函数的单调递减区间为(－，0)，(0，)．
一、选择题
1．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞)
D．(－3,1)
解析：选D y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x＋3)ex＞0，由于ex＞0，则－x2－2x＋3＞0，解得－3＜x＜1，所以函数的单调递增区间是(－3,1)．
2．y＝xln
x在(0,5)上是( )
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在上减，在上增
D．在上增，在上减
解析：选C ∵y′＝x′·ln
x＋x·(ln
x)′＝ln
x＋1，
∴当0＜x＜时，ln
x＜－1，即y′＜0，
∴y在上为减函数．
当＜x＜5时，ln
x＞－1，即y′＞0，
∴y在上为增函数．
3．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上的增函数的充要条件是( )
A．b2－3ac>0
B．b>0，c>0
C．b＝0，c>0
D．b2－3ac≤0
解析：选D ∵a>0，f(x)为R上的增函数，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0对x∈R恒成立，
∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac≤0，
∴b2－3ac≤0.
4．已知函数f(x)，g(x)在区间上均有f′(x)＜g′(x)，则下列关系式中正确的是( )
A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b)
B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)
C．f(x)≥g(x)
D．f(a)－f(b)≥g(b)－g(a)
解析：选B 据题意，由f′(x)＜g′(x)得f′(x)－g′(x)＜0，故F(x)＝f(x)－g(x)在上为单调递减函数，由单调性知识知，必有F(x)≥F(b)，即f(x)－g(x)≥f(b)－g(b)，移项整理得f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)．
5．已知函数y＝xf′(x)的图象如下图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
解析：选C 当01时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此A、B、D选项错误，故选C.
二、填空题
6．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,2)，则b＝________，c＝________.
解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1＜x＜2是不等式f′(x)＜0的解，即－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根，把－1,2分别代入方程，解得b＝－，c＝－6.
答案：－ －6
7．函数f(x)＝x－2sin
x在(0，π)上的单调递增区间为________．
解析：令f′(x)＝1－2cos
x＞0，则cos
x＜.又∈(0，π)，解得＜x＜π，所以函数的单调递增区间为.
答案：
8．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．
解析：若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b＞0.
答案：(0，＋∞)
三、解答题
9．若函数f(x)＝ax3＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
解：f′(x)＝3ax2＋1.
①当a＝0时，f(x)＝x－5在R上是单调递增的；
②当a≠0时，f′(x)＝0的根为有限个，因此要使函数f(x)在R上单调递增，只需f′(x)＝3ax2＋1≥0在R上恒成立即可，
则即所以a>0.
综上可知，实数a的取值范围是．1.4
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例
[提出问题]
某厂家计划用一种材料生产一种盛500
mL溶液的圆柱形易拉罐．
问题1：生产这种易拉罐，如何计算材料用得多少呢？
提示：计算出圆柱的表面积即可．
问题2：如何制作使用材料才能最省？
提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x，列出圆柱表面积S＝2πx2＋(x＞0)，求S最小时，圆柱的半径、高即可．
1．优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．用导数解决优化问题的基本思路
1．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．
2．在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围．
利用导数解决面积、体积最值问题
如图①，∠ACB＝45°，|BC|＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折叠，使∠BDC＝90°(如图②所示)．当BD的长为多少时，三棱锥A BCD的体积最大？
在如图①所示的△ABC中，设|BD|＝x(0＜x＜3)，则|CD|＝3－x.由AD⊥BC，∠ACB＝45°知，△ADC为等腰直角三角形，所以|AD|＝|CD|＝3－x.
由折叠前AD⊥BC知，折叠后，如图②所示，AD⊥DC，AD⊥BD，且BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD.又∠BDC＝90°，所以S△BCD＝|BD|·|CD|＝x(3－x)．
于是VA BCD＝|AD|·S△BCD＝(3－x)·x(3－x)＝(x3－6x2＋9x)．
令f(x)＝(x3－6x2＋9x)，
由f′(x)＝(x－1)·(x－3)＝0，且0＜x＜3，解得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；
当x∈(1,3)时，f′(x)＜0.
所以当x＝1时，f(x)取得最大值f(1)＝，
即VA BCD取得最大值.
故当|BD|＝1时，三棱锥A BCD的体积最大．
利用导数解决优化问题的一般步骤
(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式y＝f(x)．
(2)求函数f(x)的导数f′(x)，并解方程f′(x)＝0，即求函数可能的极值点．
(3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f(x)的最大值或最小值．
(4)根据实际问题的意义给出答案．
如右图，要设计一矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18
000
cm2，四周空白的宽度为10
cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5
cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？
解：设广告牌的高和宽分别为x
cm、y
cm，
则每栏的高和宽分别为x－20，，其中x>20，y>25.
两栏面积之和为2(x－20)·＝18
000，
由此得y＝＋25.
广告牌面积为S(x)＝x＝＋25x，
∴S′(x)＝＋25＝＋25.
令S′(x)>0，得x>140；
令S′(x)<0，得20∴函数S(x)在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，
∴S(x)的最小值为S(140)．
当x＝140时，y＝175，
即当x＝140，y＝175时，S(x)取得最小值24
500，
故当广告牌的高为140
cm，宽为175
cm时，可使广告牌的面积最小.
利用导数解决费用最省问题
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式．
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求出最小值．
(1)由题设，每年能源消耗费用为
C(x)＝(0≤x≤10)，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x
＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5或x＝－(舍去)．
当0＜x＜5时，f′(x)＜0；
当5＜x＜10时，f′(x)＞0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5
cm厚时，总费用达到最小值70万元．
解决优化问题应关注两点
(1)在列函数解析式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v.
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式．
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
解：(1)Q＝P·＝v4－v3＋15v·＝·400
＝－v2＋6
000(0＜v≤100)．
(2)Q′＝－5v.
令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80.
当0＜v＜80时，Q′＜0；
当80＜v≤100时，Q′＞0，
∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝(元).
利用导数解决利润最大问题
某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(单位：百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(单位：百万元，且0≤t≤5)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(单位：百万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(单位：百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大(注：收益＝销售额－投入)．
(1)设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，则有
f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，
∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，
即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x百万元，则用于广告促销的资金为(3－x)百万元，又设由此获得的收益是g(x)，则
g(x)＝＋－3
＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，
∴g′(x)＝－x2＋4.
令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.
当0≤x＜2时，g′(x)＞0；
当2＜x≤3时，g′(x)＜0，
故g(x)在上是减函数．
∴当x＝2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．
利润最大问题的解决方法
利润问题是经济生活中最为常见的问题．一般来说，利润等于总收入减去总成本，而总收入等于产量乘价格．由此可以得到利润与产量的函数关系式，进而用导数求最大利润．
某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p＝24
200－x2，且生产x吨的成本为R＝50
000＋200x(元)．问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？
解：依题意，每月生产x吨时的利润为
f(x)＝x－(50
000＋200x)
＝－x3＋24
000x－50
000(x≥0)．
f′(x)＝－x2＋24
000，
令f′(x)＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．
当00，当x>200时f′(x)<0，
∴x＝200时，f(x)取最大值，
最大值为f(200)＝－×2003＋24
000×200－50
000＝3
150
000.
故该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润为315万元．
(12分)如下图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记|CD|＝2x，梯形的面积为S.
(1)求面积S以x为自变量的函数解析式，并写出其定义域；
(2)求面积S的最大值．
有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40
km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50
km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问：供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
解：如右图所示，依题意，点C在线段AD上，设C点距D点x
km，则AC＝50－x，因为BD＝40，
所以BC＝
＝
.
设总的水管费用为y元，则
y＝3a(50－x)＋5a(0＜x＜50)，
y′＝－3a＋.
令y′＝0，解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．
当0＜x＜30时，y′＜0；
当30＜x＜50时，y′＞0，
所以当x＝30时，y取得最小值，
此时AC＝50－30＝20(km)，
即供水站建在A，D之间距甲厂20
km处，可使水管费用最省．
1．做一个容积为256
m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6
m
B．8
m
C．4
m
D．2
m
解析：选C 设底面边长为x
m，高为h
m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S
m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0得x＝8，因此h＝＝4(m)．
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( )
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
解析：选C 因为y′＝－x2＋81，所以当x>9时，y′<0；当0＜x＜9时，y′>0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9时函数取最大值．
3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________．
解析：设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r>0)，则水桶的高为，所以S＝πr2＋2πr×＝πr2＋(r>0)，求导数，得S′＝2πr－，令S′＝0，解得r＝3.
当03时，S′>0，所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省．
答案：3
4．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台．
解析：设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．
令y′＝0，解得x＝0或x＝6.经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．
答案：6
5．一个圆柱形圆木的底面半径为1
m，长为10
m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如下图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设∠BOC＝θ，木梁的体积为V(单位：m3)，表面积为S(单位：m2)．
(1)求V关于θ的函数表达式．
(2)求θ的值，使体积V最大．
(3)问：当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．
解：(1)等腰梯形ABCD的面积
SABCD＝·sin
θ＝sin
θcos
θ＋sin
θ，θ∈.
故木梁的体积V(θ)＝10(sin
θcos
θ＋sin
θ)，θ∈.
(2)由(1)知V′(θ)＝10(2cos2θ＋cos
θ－1)
＝10(2cos
θ－1)·(cos
θ＋1)，θ∈.
令V′(θ)＝0，得cos
θ＝或cos
θ＝－1(舍去)．
∵θ∈，∴θ＝.
当θ∈时，θ<1，V′(θ)>0，V(θ)为增函数；
当θ∈时，0θ<，V′(θ)<0，V(θ)为减函数．∴当θ＝时，体积V最大．
(3)∵木梁的侧面积S侧＝(AB＋2BC＋CD)·10
＝20，θ∈，
∴S＝2SABCD＋S侧
＝2＋20，
θ∈.
设g(θ)＝cos
θ＋2sin＋1，θ∈，
∵g(θ)＝－2sin2
＋2sin＋2，
∴当sin＝，即θ＝时，g(θ)最大．
又由(2)知θ＝时，sin
θcos
θ＋sin
θ取得最大值，
∴θ＝时，木梁的表面积S最大．
综上可知，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大．
一、选择题
1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s＝t3－2t2，那么速度为0的时刻是( )
A．1秒末 B．0秒
C．2秒末
D．0秒或1秒末
解析：选D 由题意可得t≥0，且s′＝4t2－4t，令s′＝0，解得t1＝0，t2＝1，故选D.
2．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( )
A．2和6
B．4和4
C．3和5
D．以上都不对
解析：选B 设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x＜4时，y′＜0；当4＜x≤8时，y′＞0.所以当x＝4时，y最小．
3．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( )
A.和R
B.R和R
C.R和R
D．以上都不对
解析：选B 设矩形的宽为x，则长为2，则l＝2x＋4(0＜x＜R)，l′＝2－
.
令l′＝0，解得x1＝R，x2＝－R(舍去)．
当0＜x＜R时，l′＞0；当R＜x＜R时，l′＜0，
所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R.
4．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8
300－170p－p2.则最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为( )
A．30元
B．60元
C．28
000元
D．23
000元
解析：选D 设毛利润为L(p)，由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8
300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11
700p－166
000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11
700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)，
此时L(30)＝23
000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23
000元．
5．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )
A．32米，16米
B．30米，15米
C．40米，20米
D．36米，18米
解析：选A 设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，则xy＝512，
则所用材料l＝x＋2y＝2y＋(y＞0)，
求导数，得l′＝2－.
令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．
当0＜y＜16时，l′＜0；
当y＞16时，l′＞0.
所以y＝16是函数l＝2y＋(y＞0)的极小值点，也是最小值点．此时，x＝＝32.
所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省．
二、填空题
6．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．
解析：设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x＞0)，所以y′＝2.
令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.
当0＜x＜200时，y′＜0；当x＞200时，y′＞0.
所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．
答案：800
7．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20
cm，要使其体积最大，则高为________
cm.
解析：设该漏斗的高为x
cm，体积为V
cm3，则底面半径为
cm，V＝πx(202－x2)＝π(400x－x3)(0＜x＜20)，则V′＝π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0.所以当x＝时，V取得最大值．
答案：
8．如下图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
解析：设CD＝x，则点C的坐标为，
点B的坐标为，
∴矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·
＝－＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍去)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，
x∈时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，
当x＝时，f(x)取最大值.
答案：
三、解答题
9．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，年销售量y关于x的函数式为y＝3
240，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？
解：由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x)，年利润为f(x)＝·y＝(3－0.9x)×3
240×＝3
240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3
240(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)，
由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)．
当x∈时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；
当x∈时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．
所以当x＝时，f(x)取极大值，f＝20
000.因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．
所以当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20
000万元．
10．某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10
000平方米，该中心每块球场的建设面积为1
000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？
解：设建成x个球场，则1≤x≤10，每平方米的购地费用为＝元，
因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800来表示，
所以每平方米的综合费用为
g(x)＝f(x)＋＝800＋160ln
x＋(x>0)，
所以g′(x)＝(x>0)，
令g′(x)＝0，则x＝8.当0当x>8时，g′(x)>0，所以x＝8时，函数取得极小值，且为最小值．
故当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省．3．2.2 复数代数形式的乘除运算
复数的乘法
问题1：两实数可以相乘，两复数可以相乘吗？
提示：可以．
问题2：复数代数形式的乘法与多项式的乘法相类似吗？
提示：类似．
问题3：复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律吗？
提示：满足．
1．复数的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i(a，b，c，d∈R)．
2．复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
对复数乘法的理解
(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同，即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数.
复数的除法
问题1：复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？
提示：两复数实部相等，虚部互为相反数．
问题2：试求z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R)的积．
提示：z1z2＝a2＋b2，积为实数．
问题3：如何规定两复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？
提示：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子和分母都乘c－di，化简后可得结果，
即＝＝
＝＋i(c＋di≠0)．
1．共轭复数的概念
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
2．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＋i(c＋di≠0)．
对复数除法的理解
(1)复数的除法实质上就是分母实数化的过程，这与实数的除法有所不同．
(2)复数除法的法则形式复杂，难于记忆．所以有关复数的除法运算，只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后结果再写成一个复数a＋bi(a，b∈R)的形式即可．
复数的乘除运算
计算：
(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)(1＋i)；
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；
(4)－.
(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)
＝1－i2＋(－1＋i)
＝2－1＋i＝1＋i.
(2)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i
＝－＋i.
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝＝
＝＝＋i.
(4)法一：－
＝
＝＝＝2i.
法二：－＝－
＝i＋i＝2i.
复数乘除运算的常用技巧
(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．
(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．
(1)已知复数z1＝4＋8i，z2＝6＋9i，求复数(z1－z2)i的实部与虚部；
(2)已知z是纯虚数，是实数，求z.
解：(1)由题意得z1－z2＝(4＋8i)－(6＋9i)＝(4－6)＋(8i－9i)＝－2－i，则(z1－z2)i＝(－2－i)i＝－2i－i2＝1－2i.于是复数(z1－z2)i的实部是1，虚部是－2.
(2)设纯虚数z＝bi(b∈R)，
则＝＝＝.
由于是实数，所以b＋2＝0，即b＝－2，所以z＝－2i.
共轭复数
(1)(全国丙卷)若z＝4＋3i，则＝( )
A．1
B．－1
C.＋i
D.－i
(2)(山东高考)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i
D．－1－2i
(1)∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5，
∴＝＝－i.
(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋＝2a＋2bi＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i.由复数相等的定义，得3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i.
法二：由已知条件2z＋＝3－2i①，得2＋z＝3＋2i②，解①②组成的关于z，的方程组，得z＝1－2i.故选B.
(1)D (2)B
共轭复数的求解与应用
(1)若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求.
(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．
已知复数z＝1＋i，复数z的共轭复数＝1－i，求实数a，b使az＋2b＝(a＋2z)2.
解：∵z＝1＋i，＝1－i，
∴az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，
(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.
∵a，b都是实数，
∴由az＋2b＝(a＋2z)2，得
解得或
复数运算的综合应用
已知z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．
设z1＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．
(1)z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋i.
因为z2是实数，b≠0，
于是有a2＋b2＝1，
即|z1|＝1，
所以z2＝2a.
由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤，
即z1的实部的取值范围是.
(2)ω＝＝＝＝－i.
因为a∈，b≠0，
所以ω为纯虚数．
解决双复数问题的方法
解决此类双复数问题的关键是设出已知条件较多的一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，注意题目对a，b取值的限制，然后用a，b表示出另外的复数，进而转化求解．此类题目难度较大，除需正确进行复数的四则运算外，还需掌握复数的基本概念及复数模的定义．
已知z，ω为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.
解：设ω＝x＋yi(x，y∈R)，
由ω＝，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)．
依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)＝(－x－7y)＋(7x－y)i，
∴7x－y＝0. ①
又∵|ω|＝5，
∴x2＋y2＝50. ②
由①②得或
∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i.
已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，则实数k的值为________．
设x0是方程的实数根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由复数相等的充要条件得
解得或
所以k的值为－2或2.
±2
1．求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以Δ＝(k＋2i)2－4(2＋ki)≥0，解得k≥2或k≤－2.需注意由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根．
2．复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．
在复数范围内方程x2－5|x|＋6＝0的解的个数为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：选C 设x＝a＋bi(a，b∈R)，
那么原方程即为(a＋bi)2－5＋6＝0，
即
解得或或
1．(湖南高考)满足＝i(i为虚数单位)的复数z等于( )
A.＋i
B.－i
C．－＋i
D．－－i
解析：选B 由＝i，得z＋i＝zi，所以(1－i)z＝－i，
解得z＝＝－i.
2．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选B ＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.
3．已知复数z1＝(2－i)i，复数z2＝a＋3i(a∈R)，若复数z2＝kz1(k∈R)，则a＝________.
解析：依题意z1＝1＋2i，由z2＝kz1，得a＋3i＝k(1＋2i)，即有故a＝.
答案：
4．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
解析：设＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi，所以所以a＝.
答案：
5．计算：
(1)(1－i)(1＋i)；
(2)；
(3)(2－i)2.
解：(1)法一：(1－i)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i＋i＋i2
＝－1＋i.
法二：原式＝(1－i)(1＋i)
＝(1－i2)
＝2
＝－1＋i.
(2)＝
＝＝
＝＝i.
(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)
＝4－4i＋i2＝3－4i.
一、选择题
1．(湖南高考)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
解析：选D 由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i，故选D.
2．已知复数z＝1－i，则等于( )
A．2i
B．－2i
C．2
D．－2
解析：选B 法一：因为z＝1－i，
所以＝＝＝－2i.
法二：由已知得z－1＝－i，而＝＝＝＝－2i.
3．若i为虚数单位，如下图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
A．E
B．F
C．G
D．H
解析：选D 由题图可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．
4．(广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝( )
A．2－3i
B．2＋3i
C．3＋2i
D．3－2i
解析：选A ∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，
∴＝2－3i.
5．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( )
A.
B.
C．1
D．2
解析：选A ∵z＝＝
＝
＝＝＝－＋，
∴＝－－，∴z·＝.
二、填空题
6．(天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)·(1－bi)＝a，则的值为________．
解析：因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，所以＝2.
答案：2
7．设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝________.
解析：＋＝＋＝＋i，
而＝＝＋i，所以＋＝且＋＝，解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4.
答案：4
8．设z2＝z1－i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________．
解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝z1－i1＝a＋bi－i(a－bi)＝(a－b)－(a－b)i.因为z2的实部是－1，即a－b＝－1，所以z2的虚部为1.
答案：1
三、解答题
9．计算：(1)；(2).
解：(1)＝
＝＝＝＋i.
(2)＝
＝＝
＝－－i.
10．已知z1＝1－i，z2＝1－3i，z3＝1－2i，且－＝.
(1)求实数x，y的值；
(2)求·.
解：(1)由已知－＝，
得－＝，
即＋i＝＋i.
∵x，y∈R，∴
解得
(2)由(1)知＝1＋i，＝1＋3i，
则·＝(1＋i)(1＋3i)
＝1＋4i＋3i2＝－2＋4i.1．1.1～1.1.2 变化率问题 导数的概念
平均变化率
假设下图是一座山的剖面示意图，建立如图所示的平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．
问题1：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量Δx，Δy分别是多少？
提示：自变量x的改变量为Δx＝x2－x1，函数值的改变量为Δy＝y2－y1.
问题2：能否根据Δy的大小判断山路的陡峭程度？
提示：不能．
问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？
提示：对山坡AB来说，＝可以近似地刻画．
问题4：能用刻画山路陡峭程度的原因是什么？
提示：因表示A，B两点所在直线的斜率k，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山路越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比越大，山路越陡；反之，山路越缓．
问题5：从A到B与从A到C，两者相同吗？
提示：不相同．
1．函数的平均变化率
对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．
习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1
的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为.
2．平均变化率的几何意义
设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如右图所示．
对Δx，Δy的理解
(1)Δx，Δy是一个整体符号，而不是Δ与x，y相乘．
(2)x1，x2是定义域内不同的两点，因此Δx≠0，但Δx可正也可负；Δy＝f(x2)－f(x1)是Δx＝x2－x1相应的改变量，Δy的值可正、可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负，也可为零.
导数的概念
一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．
问题1：试求质点在这段时间内的平均速度．
提示：＝＝－6－3Δt.
问题2：当Δt趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？
提示：当Δt趋近于0时，趋近于－6.这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．
1．瞬时速度
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度：
若物体运动的路程与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．
2．导数的定义
一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是li
＝li
，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li
＝li
.
导数概念的解读
(1)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0处及其附近的函数值有关，与Δx无关．
(2)f′(x0)是一个常数，即当Δx→0时，存在一个常数与无限接近．如果当Δx→0时，li
不存在，则称函数f(x)在x＝x0处不可导．
求函数的平均变化率
(1)已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
(2)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
(1)选B Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.
(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝.
因为＜，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．
求函数平均变化率的步骤
(1)求自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(2)求函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(3)求平均变化率＝.
分别计算下面三个图象表示的函数h(t)在区间上的平均变化率．
解：对于图①，Δh＝h(3)－h(0)＝10－0＝10，
∴＝＝，即平均变化率为.同理可以算得图②、图③中函数h(t)在区间上的平均变化率均为.
求函数在某点处的导数
(1)设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a
B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a
D．f′(x0)＝b
(2)求函数f(x)＝在x＝1处的导数．
(1)选C f′(x0)＝li
＝li
(a＋b·Δx)＝a.
(2)由导数的定义知，函数在x＝1处的导数f′(1)＝li
，而＝＝，又li
＝，所以f′(1)＝.
利用定义求导数的三步曲
由导数的定义知，求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：
(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝li
.
简认为：一差，二比，三趋近．
求函数y＝
在x＝2处的导数．
解：∵Δy＝－
＝－1
＝－，
∴＝－.
∴f′(2)＝li
＝－li
＝－1.
瞬时速度的应用
若一物体的运动方程为s＝(路程单位：m，时间单位：s)．求：
(1)物体在t＝3
s到t＝5
s这段时间内的平均速度；
(2)物体在t＝1
s时的瞬时速度．
(1)因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3
s到t＝5
s这段时间内的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)因为Δs＝29＋32－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－12Δt，所以＝＝3Δt－12，则物体在t＝1
s时的瞬时速度为s′(1)＝li
＝li
(3Δt－12)＝－12(m/s)．
求瞬时速度的步骤
(1)求位移增量，Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求平均速度，＝；
(3)取极限，li
＝li
；
(4)若极限存在，则t0时刻的瞬时速度为v＝
.
一质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2
s时的瞬时速度为8
m/s，求常数a的值．
解：因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝4a＋aΔt，故在t＝2
s时，瞬时速度为s′(2)＝li
＝4a(m/s)．
由题意知，4a＝8，所以a＝2.
已知f(x)在x＝x0处的导数为4，则li
＝________.
li
＝li
＝2li
＝2f′(x0)＝2×4＝8.
8
1．本题分子中x的增量是2Δx，即(x0＋2Δx)－x0＝2Δx，而分母为Δx，两者不是等量的，如果忽视该点，则易得出结论为4的错误答案．
2．在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致，常见的形式还有：
li
＝－li
＝－f′(x0)．
已知f′(1)＝－2，则li
＝
________.
解析：li
＝(－2)×li
＝(－2)×(－2)＝4.
答案：4
1．如果函数y＝ax＋b在区间上的平均变化率为3，则a的值为( )
A．－3
B．2
C．3
D．－2
解析：选C 根据平均变化率的定义，
可知＝＝a＝3.
2．若f(x)在x＝x0处存在导数，则li
( )
A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．以上答案都不对
解析：选B 由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关．
3．已知函数y＝2x2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于________．
解析：＝＝4＋2Δx.
答案：4＋2Δx
4．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2(t≥0)，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在3秒末的瞬时速度是________．
解析：∵＝＝Δt＋5，(Δt＋5)＝5，
∴该物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒．
答案：5米/秒
5．求y＝x2＋＋5在x＝2处的导数．
解：∵Δy＝(2＋Δx)2＋＋5－
＝4Δx＋(Δx)2－，
∴＝4＋Δx－，
∴f′(2)＝li
＝li
＝4＋0－＝.
一、选择题
1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足( )
A．Δx＜0 B．Δx＞0
C．Δx＝0
D．Δx≠0
解析：选D 根据定义知Δx可正、可负，但不能为0.
2．设f(x)＝，则f′(a)等于( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：选C ∵＝
＝＝，
∴f′(a)＝li
＝－.
3．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A．k1＞k2
B．k1＜k2
C．k1＝k2
D．不确定
解析：选D k1＝＝＝2x0＋Δx；
k2＝＝＝2x0－Δx.
因为Δx可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定．
4．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3
B．3
C．6
D．－6
解析：选D 当Δt趋于0时，式子－3Δt－6趋于－6.
5．设函数在x＝1处存在导数，则li
等于( )
A．f′(1)
B．3f′(1)
C.f′(1)
D．f′(3)
解析：选C li
＝li
＝f′(1)．
二、填空题
6．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24
h内发现水位从102.7
m上涨到105.1
m，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.
解析：水位涨幅的平均变化率为＝0.1(m/h)．
答案：0.1
7．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
解析：∵Δx＝1,2＋Δx＝3，
∴Δy＝－
＝－＝－，
∴kAB＝＝－.
答案：－
8．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为，则m的值为________．
解析：∵ΔV＝m3－×13＝(m3－1)，
∴＝＝，
即m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3(舍去)．
答案：2
三、解答题
9．已知函数f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，求x0的值．
解：∵f′(x0)＝li
＝li
＝li
＝li
(－8＋2x0＋Δx)
＝－8＋2x0，
∴－8＋2x0＝4，
∴x0＝3.
10．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．
(1)求此物体的初速度．
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．
解：(1)初速度v0＝li
＝li
＝li
(3－Δt)＝3(m/s)，
即物体的初速度为3
m/s.
(2)v＝li
＝li
＝li
＝li
(－Δt－1)＝－1(m/s)，
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1
m/s，方向与初速度相反．
(3)＝＝＝1(m/s)，
即t＝0到t＝2时的平均速度为1
m/s.