第二课时 对数的运算
对数的运算性质
[提出问题]
问题1：我们知道am＋n＝am·an，那么loga(M·N)＝logaM·logaN正确吗？举例说明．
提示：不正确．例如log24＝log2(2×2)＝log22·log22＝1×1＝1，而log24＝2.
问题2：你能推出loga(MN)(M>0，N>0)的表达式吗？
提示：能．令am＝M，an＝N，
∴MN＝am＋n.
由对数的定义知logaM＝m，logaN＝n，loga(MN)＝m＋n，
∴loga(MN)＝logaM＋logaN.
[导入新知]
对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，
(2)loga＝logaM－logaN，
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
[化解疑难]
巧记对数的运算性质
(1)两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和．
(2)两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差．
(3)正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.
换底公式
[提出问题]
问题1：(1)log28；(2)log232；(3)log832各为何值？
提示：(1)log28＝3；(2)log232＝5；
(3)log832＝log88＝.
问题2：log832＝成立吗？
提示：成立．
[导入新知]
换底公式
若c>0且c≠1，则logab＝(a>0，且a≠1，b>0)．
[化解疑难]
1．换底公式的推导
设x＝logab，化为指数式为ax＝b，两边取以c为底的对数，得logcax＝logcb，即xlogca＝logcb，
所以x＝，即logab＝.
2．换底公式常用推论
loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；
logambn＝logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；
logab·logba＝1(a>0，b>0，a≠1，b≠1)；
logab·logbc·logcd＝logad(a>0，a≠1，b>0，b≠1，c>0，c≠1，d>0)．
对数运算性质的应用
[例1] (1)若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N
，则下列各式：
①logax·logay＝loga(x＋y)；
②logax－logay＝loga(x－y)；
③loga(xy)＝logax·logay；④＝loga；
⑤(logax)n＝logaxn；⑥logax＝－loga；
⑦＝loga；⑧loga＝－loga.
其中式子成立的个数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
(2)计算下列各式的值：
①4lg
2＋3lg
5－lg；
②；
③2log32－log3＋log38－5；
④log2＋log2.
[解] (1)选A 对于①，取x＝4，y＝2，a＝2，
则log24·log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，
∴logax·logay＝loga(x＋y)不成立；
对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，
∴logax－logay＝loga(x－y)不成立；
对于③，取x＝4，y＝2，a＝2，则log2(4×2)＝log28＝3，而log24·log22＝2×1＝2≠3，
∴loga(xy)＝logax·logay不成立；
对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，则＝2≠log2＝1，
∴＝loga不成立；
对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠log243＝6，∴(logax)n＝logaxn不成立；
⑥成立，由于－loga＝－logax－1＝loga(x－1)－1＝logax；
⑦成立，由于loga＝logax＝logax；
⑧成立，由于loga＝loga－1＝－loga.
(2)①原式＝lg＝lg
104＝4.
②原式＝＝＝－3log32×log23＝－3.
③原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3
＝5log32－(5log32－2log33)－3＝－1.
④原式＝log2(·)＝log24＝2.
[类题通法]
解决对数运算的常用方法
解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质．常用方法有：
(1)将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的积，再展开；
(2)将同底数的对数的和、差、倍合并；
(3)利用常用对数中的lg
2＋lg
5＝1.
[活学活用]
求下列各式的值：
(1)lg
52＋lg
2×lg
50＋(lg
2)2；
(2)log2＋log212－log242；
(3)；
(4)lg(＋
)．
解：(1)原式＝2lg
5＋lg
2×lg(5×10)＋(lg
2)2＝2lg
5＋lg
2×lg
5＋lg
2＋(lg
2)2＝2lg
5＋lg
2×(lg
5＋lg
2)＋lg
2＝2lg
5＋lg
2＋lg
2＝2(lg
5＋lg
2)＝2.
(2)法一：原式＝(log27－log248)＋log23＋2log22－(log22＋log23＋log27)＝log27－log23－log216＋log23＋2－－log27＝－.
法二：原式＝log2＝－.
(3)分子＝lg
5(3＋3lg
2)＋3(lg
2)2
＝3lg
5＋3lg
2(lg
5＋lg
2)
＝3lg
5＋3lg
2＝3(lg
5＋lg
2)＝3；
分母＝(lg
6＋2)－lg＝lg
6＋2－lg
＝4.
∴原式＝.
(4)原式＝lg(＋)2＝lg(3＋＋3－＋2)＝lg
10＝.
换底公式的应用
[例2] (1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.
[解] (1)法一：原式＝
·log52＋＋
＝·log52＋＋
＝log25·(3log52)
＝13log25·＝13.
法二：原式＝
·＋＋
＝＋＋·＋＋
＝·＝13.
(2)因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，于是
法一：log3645＝＝＝＝.
法二：因为＝log189＝a，所以lg
9＝alg
18，
同理得lg
5＝blg
18，
所以log3645＝＝＝＝＝.
[类题通法]
换底公式的应用技巧
(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．
[活学活用]
已知log147＝a，log145＝b，用a，b表示log3528.
解：log3528＝＝＝＝＝＝＝.
对数方程的求解
[例3] 解下列关于x的方程：
(1)log2(2x＋1)＝log2(3x)；
(2)log5(2x＋1)＝log5(x2－2)；
(3)(lg
x)2＋lg
x3－10＝0.
[解] (1)由log2(2x＋1)＝log2(3x)，得2x＋1＝3x，解得x＝1.
检验：当x＝1时，2x＋1>0,3x>0.故x＝1.
(2)由log5(2x＋1)＝log5(x2－2)，得2x＋1＝x2－2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
检验：当x＝－1时，2x＋1<0，x2－2<0，不满足真数大于0，舍去；
当x＝3时，2x＋1>0，x2－2>0.故x＝3.
(3)原方程整理得(lg
x)2＋3lg
x－10＝0，
即(lg
x＋5)(lg
x－2)＝0，
所以lg
x＝－5或lg
x＝2，
解得x＝10－5或x＝102.
经检验知：x＝10－5，x＝102都是原方程的解．
[类题通法]
解对数方程的方法
根据目前的知识我们只能求解两种简单的对数方程：
(1)等号两边为底数相同的对数式，则真数相等；
(2)化简后得到关于简单对数式(形如lg
x)的一元二次方程，再由对数式与指数式的互化解得x.
[注意] 在解方程时，需检验得到的x是否满足所有真数都大于零．
[活学活用]
解下列关于x的方程：
(1)lg＝lg(x－1)；
(2)log4(3－x)＋log0.25(3＋x)＝log4(1－x)＋log0.25(2x＋1)．
解：(1)原方程整理得lg(x－1)＝lg(x－1)，
则(x－1)＝x－1，解得x＝1或x＝2.
检验：当x＝1时，(x－1)＝x－1＝0，不满足真数大于0，舍去；当x＝2时，满足所有真数都大于0.
故方程的解是x＝2.
(2)因为0.25＝4－1，所以原方程整理得
log4(3－x)－log4(3＋x)＝log4(1－x)－log4(2x＋1)，
即log4＝log4，则＝，
解得x＝7或x＝0.
检验：当x＝7时，3－x<0,1－x<0，不满足真数大于0，舍去；当x＝0时，满足所有真数都大于0.
故方程的解是x＝0.
[典例] 设lg
a＋lg
b＝2lg(a－2b)，则log4的值为________．
[解析] 依题意，得a>0，b>0，a－2b>0，
原式可化为ab＝(a－2b)2，即a2－5ab＋4b2＝0，
则2－5＋4＝0，∴＝4或＝1.
∵a－2b>0，>2，∴＝4，∴log4＝1.
[答案] 1
[易错防范]
1．在将对数式lg
a＋lg
b＝2lg(a－2b)化为代数式ab＝(a－2b)2时，易忽视隐含条件从而误认为＝4或＝1，得出log4＝1或0的错误答案．
2．在将对数转化成其他形式时，一定要先考虑定义域的限制，将字母的范围先确定出来．
[活学活用]
已知2lg(x＋y)＝lg
2x＋lg
2y，则＝________.
解析：∵2lg(x＋y)＝lg
2x＋lg
2y，
∴lg(x＋y)2＝lg
4xy，
∴(x＋y)2＝4xy，
即(x－y)2＝0.
∴x＝y，∴＝1.
答案：1
[随堂即时演练]
1．求值：2log510＋log50.25＝( )
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：选C 2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.
2．求值：(log29)·(log34)＝( )
A.
B.
C．2
D．4
解析：选D 原式＝(2log23)·(2log32)＝4log23·log32＝4.
3．已知2a＝5b＝10，则＋＝________.
解析：因为2a＝5b＝10，所以a＝log210，b＝log510.根据换底公式得a＝，b＝，所以＋＝lg
2＋lg
5＝1.
答案：1
4．方程lg
x＋lg(x＋3)＝1的解是x＝________.
解析：原方程可化为lg(x2＋3x)＝1，
∴
解得x＝2.
答案：2
5．计算下列各式的值：
(1)lg25＋lg
2＋lg
2·lg
5；
(2)2(lg)2＋lg·lg
5＋；
(3)log535－2log5＋log57－log51.8.
解：(1)原式＝lg
2＋lg
5·(lg
5＋lg
2)＝lg
2＋lg
5＝1.
(2)原式＝lg(2lg＋lg
5)＋
＝lg(lg
2＋lg
5)＋1－lg
＝lg＋1－lg＝1.
(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2.
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知ln
2＝a，ln
3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为( )
A．a－b
B.
C．ab
D．a＋b
解析：选B log32＝＝.
2．2等于( )
A．7
B．10
C．6
D.
解析：选B 2＝2×2＝2×5＝10.
3．若2.5x＝1
000,0.25y＝1
000，则－＝( )
A.
B．3
C．－
D．－3
解析：选A ∵x＝log2.51
000，y＝log0.251
000，
∴＝
＝
＝log1
0002.5，
同理＝log1
0000.25，
∴－＝log1
0002.5－log1
0000.25＝log1
00010＝＝.
4．若lg
a，lg
b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值等于( )
A．2
B.
C．4
D.
解析：选A 由一元二次方程的根与系数的关系得
lg
a＋lg
b＝2，lg
a·lg
b＝，
∴2＝(lg
a－lg
b)2
＝(lg
a＋lg
b)2－4lg
a·lg
b
＝22－4×＝2.
5．已知2lg(x－2y)＝lg
x＋lg
y，则的值为( )
A．1
B．4
C．1或4
D．4或－1
解析：选B ∵2lg(x－2y)＝lg
x＋lg
y，
∴(x－2y)2＝xy，即x2－5xy＋4y2＝0，
∴(x－y)(x－4y)＝0，
∴x＝y(舍去)或x＝4y，∴＝4.
二、填空题
6．求值：＝________.
解析：＝＝＝＝＝1.
答案：1
7．设x＝log23，则＝________.
解析：法一：由x＝log23得2x＝3,2－x＝，
＝＝32＋3×＋2＝.
法二：＝
＝22x＋1＋2－2x＝32＋1＋＝.
答案：
8．已知log23＝a，log37＝b，则log1456＝________(用含a，b的式子表示)．
解析：由log23＝a，log37＝b，得log27＝ab，
则log1456＝＝＝＝.
答案：
三、解答题
9．已知2x＝3y＝6z≠1，求证：＋＝.
证明：设2x＝3y＝6z＝k(k≠1)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log6k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk6＝logk2＋logk3，
∴＝＋.
10．计算下列各式的值：
(1)；
(2)lg
2＋lg
50＋3；
(3)2＋＋lg
20－lg
2－(log32)·(log23)＋(－1)lg
1.
解：(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝lg
2＋lg＋3×3
＝lg2＋(2－lg2)＋3×3
＝2＋3×3
＝2＋3×2
＝2＋.
(3)原式＝＋[()2]＋lg
－·＋1
＝＋()－1＋lg
10－1＋1＝2.
11．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log8的值．
解：由对数的运算法则，可将等式化为
loga[(x2＋4)·(y2＋1)]＝loga[5(2xy－1)]，
∴(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1)．
整理，得x2y2＋x2＋4y2－10xy＋9＝0，
配方，得(xy－3)2＋(x－2y)2＝0，
∴
∴＝.
∴log8＝log8＝log2－1＝－log22＝－.
12．若a、b是方程2lg2
x－lg
x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·的值．
解：原方程可化为2lg2x－4lg
x＋1＝0，
设t＝lg
x，则原方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1t2＝.
由已知a，b是原方程的两个根，则t1＝lg
a，t2＝lg
b，
即lg
a＋lg
b＝2，lg
a·lg
b＝，(lg
a＋lg
b)＋＝＝(lg
a＋lg
b)·＝2×＝12.
故lg(ab)·(loga
b＋logb
a)＝12.第二课时 对数函数及其性质的应用(习题课)
1．对数函数的定义是什么？
略
2．对数函数的定义域和值域分别是什么？
略
3．对数函数的图象与底数a之间有什么关系？
略
4．对数函数的单调性与底数a之间有什么关系？
略
5．对数函数y＝logax的图象与指数函数y＝ax的图象之间有什么关系？所过定点的坐标是什么？
略
对数值的大小比较
[例1] (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A．a＞c＞b
B．b＞c＞a
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
(2)(全国丙卷)若a＞b＞0,0＜c＜1，则( )
A．logac＜logbc
B．logca＜logcb
C．ac＜bc
D．ca＞cb
[解析] (1)∵＜2＜3,1＜2＜，3＞2，
∴log3＜log32＜log33，log51＜log52＜log5，log23＞log22，∴＜a＜1，0＜b＜，c＞1，
∴c＞a＞b.
(2)选B 法一：因为0＜c＜1，所以y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，又0＜b＜a，所以logca＜logcb.
法二：取a＝4，b＝2，c＝，则log4＝－＞log2，排除A；4＝2＞2，排除C；4＜2，排除D.
[答案] (1)D (2)B
[类题通法]
比较对数值大小的方法
比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底数后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较．
(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
[活学活用]
比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln
0.3，ln
2；
(2)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
解：(1)因为函数y＝ln
x是增函数，且0.3<2，
所以ln
0.3
2.
(2)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又因为3.1<5.2，所以loga3.1当0又因为3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2.
(3)因为0>log0.23>log0.24，所以<，
即log30.2(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π>3，
所以log3π>log33＝1.
同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.
求解对数不等式
[例2] (1)已知loga>1，则a的取值范围为________．
(2)已知log0.72x(3)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是________．
[解析] (1)由loga>1得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，此时无解．
②当0从而∴a的取值范围是.
(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.72x1，
即x的取值范围是(1，＋∞)．
(3)易知0＜a＜1，则函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图所示，则只需满足loga＞2，解得a＞，
∴＜a＜1.
[答案] (1) (2)(1，＋∞) (3)
[类题通法]
常见对数不等式的解法
常见的对数不等式有三种类型：
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logax>logbx的不等式，可利用图象求解．
[活学活用]
若a>0且a≠1，且loga(2a＋1)解：不等式可化为loga(2a＋1)等价于或
解得对数函数性质的综合应用
[例3] (1)下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是( )
A．y＝x－1
B．y＝3|x|
C．y＝log3x
D．y＝log23x
(2)已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1)．
①求f(x)的定义域和值域；
②判断并证明f(x)的单调性．
[解] (1)选D y＝x－1在定义域内不是单调函数；y＝3|x|为偶函数；y＝log3x既不是奇函数也不是偶函数，故A，B，C均不正确．又∵log23－x＝log2(3x)－1＝－log23x，log23x的定义域为R，∴函数y＝log23x为奇函数．
又∵y＝log23x在(－∞，＋∞)上为增函数，
∴选D.
(2)①由a>1，a－ax>0，即a>ax，得x<1.
故f(x)的定义域为(－∞，1)．
由0故函数f(x)的值域为(－∞，1)．
②f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下：
任取1>x1>x2，
又∵a>1，
∴ax1>ax2，
∴a－ax1∴loga(a－ax1)即f(x1)故f(x)在(－∞，1)上为减函数．
[类题通法]
解决对数函数综合问题的方法
对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算．解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．
[活学活用]
已知函数f(x)＝loga(3－ax)，
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)由题设，3－ax>0对x∈[0,2]恒成立，且a>0，a≠1.
设g(x)＝3－ax，则g(x)在[0,2]上为减函数，
∴g(x)min＝g(2)＝3－2a>0，∴a<.
∴a的取值范围是(0,1)∪.
(2)假设存在这样的实数a，则由题设知f(1)＝1，
即loga(3－a)＝1，∴a＝.
此时f(x)＝log.
但x＝2时，f(x)＝log0无意义．
故这样的实数a不存在．
[典例] (12分)已知x满足不等式－3≤log0.5x≤，求函数f(x)＝·的最值．
[解题流程]
[活学活用]
设x∈[2,8]，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)的最大值是1，最小值是－，求a的值．
解：f(x)＝(logax＋1)·(logax＋2)
＝[(logax)2＋3logax＋2]
＝2－，
由题设，
∵f(x)min＝－，这时logax＝－，
又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．
∵f(x)是关于logax的二次函数，
∴函数最大值必在x＝2或x＝8时取得．
若2－＝1，
则a＝2.
取得最小值时x＝(2)＝<2，
这时x∈/[2,8]，舍去．
若2－＝1，
则a＝，
此时取得最小值时x＝＝2∈[2,8]，符合题意，∴a＝.
[随堂即时演练]
1．设a＝log54，b＝log53，c＝log45，则( )
A．a＜c＜b
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
D．b＜a＜c
解析：选D 由于b＝log53＜a＝log54＜1＜log45＝c，
故b＜a＜c.
2．函数f(x)＝lg|x|为( )
A．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数
B．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数
C．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数
D．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数
解析：选D 已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数．又当x＞0时，f(x)＝lg
x在区间(0，＋∞)上是增函数．又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上是减函数．
3．不等式log(2x＋1)>log(3－x)的解集为________．
解析：由题意
－答案：
4．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________.
解析：∵a>1，∴f(x)＝logax在[a,2a]上递增，
∴loga(2a)－logaa＝，即loga2＝，
∴a＝2，∴a＝4.
答案：4
5．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中a>0且a≠1，设h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(3)＝2，求使h(x)<0成立的x的集合．
解：(1)∵f(x)＝loga(1＋x)的定义域为{x|x>－1}，
g(x)＝loga(1－x)的定义域为{x|x<1}，
∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x>－1}∩{x|x<1}＝{x|－1∵h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，
∴h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－h(x)，
∴h(x)为奇函数．
(2)∵f(3)＝loga(1＋3)＝loga4＝2，∴a＝2.
∴h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，
∴h(x)<0等价于log2(1＋x)∴解得－1故使h(x)<0成立的x的集合为{x|－1[课时达标检测]
一、选择题
1．若点(a，b)在y＝lg
x的图象上，且a≠1，则下列点也在此图象上的是( )
A.
B．(10a,1－b)
C.
D．(a2,2b)
解析：选D 因为点(a，b)在y＝lg
x图象上，所以b＝lg
a.
当x＝时，有y＝lg
＝－lg
a＝－b，
所以点不在函数图象上，A不正确；
当x＝10a时，有y＝lg(10a)＝1＋lg
a＝1＋b，
所以点(10a,1－b)不在函数图象上，B不正确；
当x＝时，有y＝lg
＝1－lg
a＝1－b，
所以点不在函数图象上，C不正确；
当x＝a2时，有y＝lg
a2＝2lg
a＝2b，所以点(a2,2b)在函数图象上，D正确．
2．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是( )
A.
B.∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
解析：选B 当a>1时，loga<0<1，成立．
当0由loga<1＝logaa，得0综上所述，0＜a＜或a>1.
3．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1,2]
B．[0,2]
C．[1，＋∞)
D．[0，＋∞)
解析：选D 当x≤1时，由f(x)≤2可得21－x≤2，解得0≤x≤1；
当x＞1时，f(x)＝1－log2x＜1，即f(x)≤2恒成立．
故x的取值范围是[0，＋∞)．
4．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是( )
A.
B．(0,1]
C．(0，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：选D f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．
5．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上为x的减函数，则a的取值范围为( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(0,2)
D．[2，＋∞)
解析：选B 题目中隐含条件a>0，
当a>0时，2－ax为减函数，
故要使y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，
则a>1，且2－ax在x∈[0,1]时恒为正数，
即2－a>0，故可得1二、填空题
6．比较大小：log0.2π________(填“<”“>”或“＝”)log0.23.14.
解析：∵y＝log0.2x在定义域上为减函数，且π>3.14，
∴log0.2π答案：<
7．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．
解析：①若a＞0，则－a＜0，
∴log2a＞loga log2a＞log2 a＞ a＞1.
②若a＜0，则－a＞0，
log(－a)＞log2(－a)
log2＞log2(－a)
－＞－a a∈(－1,0)．
由①②可知a∈(－1,0)∪(1，＋∞)．
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
8．已知实数a，b满足loga＝logb，下列五个关系式：
①a>b>1，②0a>1，
④0其中可能成立的关系式有________(填序号)．
解析：当a＝b＝1；或a＝，b＝；或a＝2，b＝3时，都有loga＝logb.故②③⑤均可能成立．
答案：②③⑤
三、解答题
9．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
解：(1)要使函数有意义，
则有
解得－3所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为：
f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)
＝loga[－(x＋1)2＋4]，
∵－3∵0∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，
即f(x)min＝loga4.
由loga4＝－4，得a－4＝4，
∴a＝4＝.
10．已知函数f(x)＝ln(ax－bx)(a>1>b>0)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在定义域上的单调性，并说明理由．
解：(1)要使f(x)＝
ln(ax－bx)(a>1>b>0)有意义，
需有ax－bx>0，即()x>1.
∵a>1>b，
∴>1.
∴x>0.
即所求函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)函数f(x)在定义域上是单调递增函数．
证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1∵a>1>b>0，∴ax1bx2，
∴ax1－bx1∴ln(ax1－bx1)∴f(x1)∴函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调递增函数．
11．若不等式x2－logmx＜0在内恒成立，求实数m的取值范围．
解：由x2－logmx＜0，得x2＜logmx.
要使x2＜logmx在内恒成立，只要y＝logmx在内的图象在y＝x2图象的上方即可，
于是0＜m＜1.
∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要当x＝时，y＝logm≥＝logmm即可．
∴≤m，
即≤m.
又∵0＜m＜1，
∴≤m＜1，
即实数m的取值范围是.
12．已知f(x)＝lg的定义域为(－1,1)．
(1)求f＋f；
(2)探究函数f(x)的单调性，并证明．
解：(1)∵函数的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，又f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
∴f()＋f(－)＝f()－f()＝0.
(2)先探究函数f(x)在(0,1)上的单调性．
设任意x1，x2∈(0,1)，x1f(x1)－f(x2)＝lg－lg
＝lg(·)
＝lg.
∵0∴1－x1x2＋x2－x1>1－x1x2－(x2－x1)>0，
∴>1.
∴lg>0，
即f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x)为(0,1)上的减函数．
又f(x)为奇函数，
所以f(x)在(－1,1)上是减函数．第二课时 集合的表示
列举法
[提出问题]
观察下列集合：
(1)中国古代四大发明组成的集合；
(2)20的所有正因数组成的集合．
问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？
提示：能．(1)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药，(2)中的元素为1,2,4,5,10,20.
问题2：如何表示上述两个集合？
提示：用列举法表示．
[导入新知]
列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
[化解疑难]
使用列举法表示集合的四个注意点
(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…，an}；
(2)元素不重复，满足元素的互异性；
(3)元素无顺序，满足元素的无序性；
(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
描述法
[提出问题]
观察下列集合：
(1)不等式x－2≥3的解集；
(2)函数y＝x2－1的图象上的所有点．
问题1：这两个集合能用列举法表示吗？
提示：不能．
问题2：如何表示这两个集合？
提示：利用描述法．
[导入新知]
描述法
(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
[化解疑难]
1．描述法表示集合的条件
对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法．
2．描述法的一般形式
它的一般形式为{x∈A|p(x)}，其中的x表示集合中的代表元素，A指的是元素的取值范围；p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来．
一般来说，集合元素x的取值范围A需写明确，但若从上下文的关系看，x∈A是明确的，则x∈A可以省略，只写元素x.
用列举法表示集合
[例1] (1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,9}，若x∈A且x B，则x＝( )
A．1
B．2
C．3
D．9
(2)用列举法表示下列集合：
①不大于10的非负偶数组成的集合；
②方程x2＝x的所有实数解组成的集合；
③直线y＝2x＋1与y轴的交点组成的集合；
④方程组的解．
[解] 选B (1)∵x∈A，
∴x＝1,2,3.
又∵x B，∴x≠1,3,9，故x＝2.
(2)①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集合是{0,2,4,6,8,10}．
②方程x2＝x的实数解是x＝0或x＝1，所以方程x2＝x的所有实数解组成的集合为{0,1}．
③将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故直线y＝2x＋1与y轴的交点组成的集合是{(0,1)}．
④解方程组得
∴用列举法表示方程组的解集为{(0,1)}．
[类题通法]
用列举法表示集合的步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来．
[活学活用]
已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a∈A，有|a|∈B，且B中只有4个元素，求集合B.
解：对任意a∈A，有|a|∈B.
因为集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，
由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B.
又因为B中只有4个元素，
所以B＝{0,1,2,3}.
用描述法表示集合
[例2] (1)用符号“∈”或“ ”填空：
①A＝{x|x2－x＝0}，则1____A，－1____A；
②(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．
(2)用描述法表示下列集合：
①正偶数集；
②被3除余2的正整数的集合；
③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
[解] (1)①将1代入方程，成立；将－1代入方程，不成立．故1∈A，－1 A.
②将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，成立，故填“∈”．
(2)①偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N
，
所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N
}．
②设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
③坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
[答案] (1)①∈ ②∈
[类题通法]
利用描述法表示集合应关注五点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．
[活学活用]
下列三个集合：
①A＝{x|y＝x2＋1}；
②B＝{y|y＝x2＋1}；
③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
解：(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对．可以认为集合C是坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的集合，其实就是抛物线y＝x2＋1的图象.
集合表示的应用
[例3] (1)集合A＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为( )
A．{x|x＝2n±1，n∈N}
B．{x|x＝(－1)n(2n－1)，n∈N}
C．{x|x＝(－1)n(2n＋1)，n∈N}
D．{x|x＝(－1)n－1(2n＋1)，n∈N}
(2)设集合B＝.
①试判断元素1,2与集合B的关系；
②用列举法表示集合B.
[解] 选C (1)观察规律，其绝对值为奇数排列，且正负相间，且第一个为正数，故应选C.
(2)①当x＝1时，＝2∈N；
当x＝2时，＝ N.
所以1∈B,2 B.
②∵∈N，x∈N，
∴2＋x只能取2,3,6.
∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4}．
[类题通法]
判断元素与集合间关系的方法
(1)用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系．
例如，集合A＝{1,9,12}，则0 A,9∈A.
(2)用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时就比较复杂．此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？…，其次要清楚元素的共同特征是什么，最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系．
[活学活用]
用列举法表示集合A＝{(x，y)|y＝x2，－1≤x≤1，且x∈Z}．
解：由－1≤x≤1，且x∈Z，得x＝－1,0,1，
当x＝－1时，y＝1；当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1.
∴A＝{(－1,1)，(0,0)，(1,1)}．
[典例] 集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，求a的取值范围．
[解] 当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意．
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
[多维探究]
解答上面例题时，a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题．
求解集合与方程问题时，要注意相关问题的求解，如：
1．在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
解：A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素．
当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1.
当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，即a>1.
故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．
2．在本例条件下，若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．
由例题可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；
当A中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，即a<1.
∴A中至少有一个元素时，a的取值范围为{a|a≤1}．
3．若1∈A，则a为何值？
解：∵1∈A，
∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.
4．是否存在实数a，使A＝{1}，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：∵A＝{1}，∴1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.
又当a＝－3时，
由－3x2＋2x＋1＝0，得x＝－或x＝1，
即方程ax2＋2x＋1＝0存在两个根－和1，此时A＝，与A＝{1}矛盾．
故不存在实数a，使A＝{1}．
[随堂即时演练]
1．方程组的解集是( )
A．(－5,4)
B．(5，－4)
C．{(－5,4)}
D．{(5，－4)}
解析：选D 解方程组得故解集为{(5，－4)}．
2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( )
A．{y|y＝2}
B．{x＝2}
C．{2}
D．{x|x2－4x＋4＝0}
解析：选B 集合{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其他选项所表示的集合都是含有一个元素2.
3．给出下列说法：
①平面直角坐标内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy>0}；
②方程＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}；
③集合{(x，y)|y＝1－x}与集合{x|y＝1－x}是相等的．
其中正确的是________(填序号)．
解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x，y)，故①正确；
方程＋|y＋2|＝0等价于即解为有序实数对(2，－2)，解集为{(2，－2)}或，故②不正确；
集合{(x，y)|y＝1－x}的代表元素是(x，y)，集合{x|y＝1－x}的代表元素是x，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．
答案：①
4．已知A＝{－1，－2,0,1}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，则B＝________.
解析：∵|－1|＝1，|－2|＝2，且集合中的元素具有互异性，
∴B＝{0,1,2}．
答案：{0,1,2}
5．用适当的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全体；
(2)大于－3.5小于12.8的整数的全体；
(3)梯形的全体构成的集合；
(4)所有能被3整除的数的集合；
(5)方程(x－1)(x－2)＝0的解集；
(6)不等式2x－1>5的解集．
解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．
(2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．
(3){x|x是梯形}或{梯形}．
(4){x|x＝3n，n∈Z}．
(5){1,2}．
(6){x|x>3}．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列集合的表示，正确的是( )
A．{2,3}≠{3,2}
B．{(x，y)|x＋y＝1}＝{y|x＋y＝1}
C．{x|x＞1}＝{y|y＞1}
D．{(1,2)}＝{(2,1)}
解析：选C {2,3}＝{3,2}，故A不正确；{(x，y)|x＋y＝1}中的元素为点(x，y)，{y|x＋y＝1}中的元素为实数y，{(x，y)|x＋y＝1}≠{y|x＋y＝1}，故B不正确；{(1,2)}中的元素为点(1,2)，而{(2,1)}中的元素为点(2,1)，{(1,2)}≠{(2,1)}，故D不正确．
2．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0 M
B．2∈M
C．－4 M
D．4∈M
解析：选D 当x，y，z都大于零时，代数式的值为4，所以4∈M.
当x，y，z都小于零时，代数式的值为－4，所以－4∈M.当x，y，z有两个为正，一个为负时，或两个为负，一个为正时，代数式的值为0.所以0∈M.综上知选D.
3．集合{x∈N
|x－3<2}的另一种表示法是( )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
解析：选B ∵x－3<2，x∈N
，
∴x<5，x∈N
，
∴x＝1,2,3,4.
4．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是( )
A．x1·x2∈A
B．x2·x3∈B
C．x1＋x2∈B
D．x1＋x2＋x3∈A
解析：选D 集合A表示奇数集，B表示偶数集，
∴x1，x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．
5．设P＝{1,2,3,4}，Q＝{4,5,6,7,8}，定义P
Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P
Q中元素的个数为( )
A．4
B．5
C．19
D．20
解析：选C 由题意知集合P
Q的元素为点，当a＝1时，集合P
Q的元素为：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)共5个元素．同样当a＝2,3时，集合P
Q的元素个数都为5个，当a＝4时，集合P
Q中元素为：(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)共4个．因此P
Q中元素的个数为19.
二、填空题
6．若集合{1，a＋b，a}＝，则a－b＝________.
解析：由题意知a≠0，a＋b＝0，b＝1，则a＝－1，
所以a－b＝－2.
答案：－2
7．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1 A，则实数a的取值范围是________．
解析：∵1 {x|2x＋a>0}，
∴2×1＋a≤0，即a≤－2.
答案：{a|a≤－2}
8．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．
解析：由－5∈{x|x2－ax－5＝0}，得(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4，所以{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.
答案：2
三、解答题
9．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．
解：①若a＋3＝1，则a＝－2，
此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；
当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．
③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，
此时A＝{2,0,1}，满足题意．
综上所述，实数a的值为－1或0.
10．用适当的方法表示下列集合：
(1)比5大3的数；
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(3)二次函数y＝x2－10的图象上的所有点组成的集合．
解：(1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}．
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，∴
∴方程的解集为{(2，－3)}．
(3)“二次函数y＝x2－10的图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．
11．(1)已知集合M＝，求M；
(2)已知集合C＝，求C.
解：(1)∵x∈N，∈Z，
∴1＋x应为6的正约数．
∴1＋x＝1,2,3,6，即x＝0,1,2,5.
∴M＝{0,1,2,5}．
(2)∵∈Z，且x∈N，
∴1＋x应为6的正约数，
∴1＋x＝1,2,3,6，此时分别为6,3,2,1，
∴C＝{6,3,2,1}．
12．若集合A＝有且只有一个元素，试求出实数k的值，并用列举法表示集合A.
解：当k＝0时，方程组可化为解得此时集合A为－，0；
当k≠0时，要使集合A有且只有一个元素，则方程kx2－2x－1＝0有且只有一个根，所以
解得k＝－1，代入中得
解得
即A＝{(－1,0)}．
综上可知，当k＝0时，A＝；当k＝－1时，A＝{(－1,0)}．2．1.2 指数函数及其性质
第一课时 指数函数及其性质
指数函数的定义
[提出问题]
观察下列从数集A到数集B的对应：
①A＝R，B＝R，f：x→y＝2x；
②A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝x.
问题1：这两个对应能构成函数吗？
提示：能．
问题2：这两个函数有什么特点？
提示：底数是常数，指数是自变量．
[导入新知]
指数函数的定义
函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
[化解疑难]
指数函数的概念中规定“a>0，且a≠1”的原因
(1)若a＝0，则当x>0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义．
(2)若a<0，则对于x的某些数值，可使ax无意义．如(－2)x，这时对于x＝，x＝，…，在实数范围内函数值不存在．
(3)若a＝1，则对于任何x∈R，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要．
为了避免上述各种情况的发生，所以规定a>0，且a≠1.在规定以后，对于任何x∈R，ax都有意义，且ax>0.
指数函数的图象与性质
[提出问题]
问题1：试作出函数y＝2x(x∈R)和y＝x(x∈R)的图象．
提示：如图所示：
问题2：两函数图象有无交点？
提示：有交点，其坐标为(0,1)．
问题3：两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？
提示：定义域都是R；值域都是(0，＋∞)；函数y＝2x是增函数，函数y＝x是减函数．
[导入新知]
指数函数的图象和性质
a＞1
0＜a＜1
图 象
性 质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
[化解疑难]
透析指数函数的图象与性质
(1)当底数a大小不确定时，必须分a>1和0(2)当a>1时，x的值越小，函数的图象越接近x轴；当0(3)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在第一、二象限．
指数函数的概念
[例1] (1)下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.
其中，指数函数的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)若函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则( )
A．a＝1或a＝3
B．a＝1
C．a＝3
D．a>0，且a≠1
[解析] (1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，y＝3x,3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；
④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．
(2)由指数函数定义知所以解得a＝3.
[答案] (1)B (2)C
[类题通法]
判断一个函数是否为指数函数的方法
判断一个函数是不是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征：
(1)底数a>0，且a≠1；
(2)ax的系数为1；
(3)y＝ax中a是常数，x为自变量，自变量在指数位置上．
[活学活用]
下列函数中是指数函数的是________(填序号)．
①y＝2·()x；②y＝2x－1；
③y＝x；④y＝xx；
⑤y＝3－；⑥y＝x.
解析：①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．
答案：③
指数函数的图象问题
[例2] (1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为( )
A．aB．bC．1D．a(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
[解析] (1)由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.
过点(1,0)作直线x＝1，如图所示，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1(2)法一：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3,4)．
法二：将原函数变形，得y－3＝ax－3，然后把y－3看作是(x－3)的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3，y＝4，所以原函数的图象过定点(3,4)．
[答案] (1)B (2)(3,4)
[类题通法]
底数a对函数图象的影响
(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0当a>b>1时，
①若x>0，则ax>bx>1；
②若x<0，则1>bx>ax>0.
当1>a>b>0时，
①若x>0，则1>ax>bx>0；
②若x<0，则bx>ax>1.
[活学活用]
函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
解析：选A 当a＞1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a＞1，此时两函数的图象大致为选项A.
与指数函数有关的定义域、值域问题
[例3] 求下列函数的定义域和值域：
[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30.
因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，
故函数y＝的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x＜1，
所以∈[0,1)，即函数y＝的值域为[0,1)．
(2)要使函数式有意义，则x－4≠0，解得x≠4，所以函数的定义域为{x∈R|x≠4}．
因为≠0，所以2≠1，即函数y＝2的值域为{y|y>0且y≠1}．
(3)要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0，所以函数y＝的定义域为{x|x＝0}．而y＝＝0＝1，则函数y＝的值域为{y|y＝1}．
[类题通法]
指数型函数的定义域、值域的求法
(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．
(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．
[活学活用]
求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；
(2)y＝
；
(3)y＝ax－1(a＞0，且a≠1)．
解：(1)对于任意的x∈R，函数y＝都有意义，故函数y＝的定义域是R.
由2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，且函数y＝x在R上是减函数，可知函数y＝的值域是.
(2)要使函数解析式有意义，需32x－1－≥0，
解得x≥－，故函数的定义域是，函数的值域是[0，＋∞)．
(3)函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域是R，值域是(0，＋∞)，故函数y＝ax－1(a＞0，且a≠1)的定义域是R，值域是(－1，＋∞)．
[典例] (12分)已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数f(x)的值域．
[解题流程]
[活学活用]
求函数y＝x＋x＋1的值域．
解：令t＝x，则t>0，
y＝f(t)＝t2＋t＋1＝2＋.
因为函数f(t)＝2＋在(0，＋∞)上为增函数，所以y∈(1，＋∞)，即函数的值域为(1，＋∞)．
[随堂即时演练]
1．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )
解析：选C 由于02．若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A.
B．(－∞，0)
C.
D.
解析：选B 由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数1－2a>1，解得a<0.
3．当a＞0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点________．
解析：当x＋1＝0，即x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图象一定过点(－1,0)．
答案：(－1,0)
4．函数f(x)＝x－1，x∈[－1,2]的值域为________．
解析：∵－1≤x≤2，∴≤x≤3.
∴－≤x－1≤2.
∴值域为.
答案：
5.已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解：(1)因为函数图象过点，
所以a2－1＝，则a＝.
(2)f(x)＝x－1(x≥0)，
由x≥0，得x－1≥－1，
于是0所以函数的值域为(0,2]．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y＝x－1；②y＝ax；
③y＝1x；④y＝2x－1.
A．0
B．1
C．3
D．4
解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确．
2．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则( )
A．f(－2)＞f(－1)
B．f(－1)＞f(－2)
C．f(1)＞f(2)
D．f(－2)＞f(2)
解析：选A 由f(2)＝a－2＝4，得a＝，即f(x)＝－|x|＝2|x|，故f(－2)＞f(－1)．
3．当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是( )
A．(－，－1)∪(1，)
B．(－1,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：选D 依题意得a2－1>1，a2>2，∴|a|>，所以实数a的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．
4．函数y＝(0解析：选D 当x>0时，y＝ax(05．若a>1，－1A．第一、二、三象限
B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、二、四象限
解析：选A ∵a>1，且－1二、填空题
6．已知函数f(x)＝则f(2)＝________.
解析：f(2)＝f(3)＝23＝8.
答案：8
7.图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝ax的图象，而a∈，则图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是________，________，________，________.
解析：由底数变化引起指数函数图象变化的规律，在y轴右侧，底大图高，在y轴左侧，底大图低．
则知C2的底数故C1，C2，C3，C4对应函数的底数依次是，，π，.
答案： π
8．若x1，x2是方程2x＝的两个实数解，则x1＋x2＝________.
解析：∵2x＝，
∴2x＝2－1，
∴x＝－1，
∴x2＋x－1＝0.
∴x1＋x2＝－1.
答案：－1
三、解答题
9．求函数y＝x－x＋1在[－3,2]上的值域．
解：y＝x－x＋1＝2－x＋1，
令x＝t，则y＝t2－t＋1＝2＋，
对称轴为直线t＝.
因为x∈[－3,2]，所以≤x≤8，即≤t≤8.
当t＝时，ymin＝；
当t＝8时，ymax＝57.
∴函数y＝x－x＋1在[－3,2]上的值域为.
10．已知－1≤x≤2，求函数y＝f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的值域．
解：f(x)＝3＋2×3x＋1－9x＝－(3x)2＋6×3x＋3.
令3x＝t，则y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12.
∵－1≤x≤2，∴≤t≤9.
由于当t＝3，即x＝1时，y取得最大值12；
当t＝9，即x＝2时，y取得最小值－24，即f(x)的最大值为12，最小值为－24.
故所求函数f(x)的值域为[－24,12]．
11．已知函数f(x)＝ax在[－2,2]上恒有f(x)＜2，求a的取值范围．
解：当a＞1时，
函数f(x)＝ax在[－2,2]上单调递增，
此时f(x)≤f(2)＝a2，
由题意可知a2＜2，即a＞，
所以1＜a＜.
当0＜a＜1时，
函数f(x)＝ax在[－2,2]上单调递减，
此时f(x)≤f(－2)＝a－2
由题意可知a－2＜2，即a＞，
所以＜a＜1.
综上所述，所求a的取值范围是∪(1，)．
12．求k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
解：函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到，函数图象如图所示．
当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；
当0子 集
[提出问题]
具有北京市东城区户口的人组成集合A，具有北京市户口的人组成集合B.
问题1：集合A中元素与集合B有关系吗？
提示：有关系，集合A中每一个元素都属于集合B.
问题2：集合A与集合B有什么关系？
提示：集合B包含集合A.
[导入新知]
子集的概念
定义
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集
记法与读法
记作A B(或B A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)
图示
结论
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，若A B，且B C，则A C
[化解疑难]
对子集概念的理解
(1)集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B.例如{0,1} {－1,0,1}，则0∈{0,1}，0∈{－1，0,1}．
(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A，此时记作AB或B A.
(3)注意符号“∈”与“ ”的区别：“ ”只用于集合与集合之间，如{0} N，而不能写成{0}∈N；“∈”只能用于元素与集合之间，如0∈N，而不能写成0 N.
集合相等
[提出问题]
设A＝{x|x是有三条边相等的三角形}，B＝{x|x是等边三角形}．
问题1：三边相等的三角形是何三角形？
提示：等边三角形．
问题2：两集合中的元素相同吗？
提示：相同．
问题3：A是B的子集吗？B是A的子集吗？
提示：是．是.
[导入新知]
集合相等的概念
如果集合A是集合B的子集(A B)，且集合B是集合A的子集(B A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.
[化解疑难]
对两集合相等的认识
(1)若A B，且B A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A B，且B A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A B与B A同时成立即可．
(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.
真子集
[提出问题]
给出下列集合：
A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}．
问题1：集合A与集合B有什么关系？
提示：A B.
问题2：集合B中的元素与集合A有什么关系？
提示：集合B中的元素a，b，c都在集合A中，但元素d，e不在集合A中．
[导入新知]
真子集的概念
定义
如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，我们称集合A是集合B的真子集
记法
记作A?B(或B?A)
图示
结论
(1)A?B且B?C，则A?C；(2)A B且A≠B，则A?B
[化解疑难]
对真子集概念的理解
(1)在真子集的定义中，A?B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A.
(2)若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.
空 集
[提出问题]
一个月有32天的月份组成集合T.
问题1：含有32天的月份存在吗？
提示：不存在．
问题2：集合T存在吗？是什么集合？
提示：存在．是空集．
[导入新知]
空集的概念
定义
我们把不含任何元素的集合，叫做空集
记法
规定
空集是任何集合的子集，即 A
特性
(1)空集只有一个子集，即它的本身， (2)A≠ ，则 ?A
[化解疑难]
与{0}的区别
(1) 是不含任何元素的集合；
(2){0}是含有一个元素0的集合， ?{0}．
集合间关系的判断
[例1] (1)下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2} {2,1,0}；③ {0,1,2}；④ ＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
③M＝{x|x＝2n－1，n∈N
}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N
}．
[解] (1)选B 对于①，是集合与集合的关系，应为{0}?{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以 ?{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的．
(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N
，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N?M.
[类题通法]
判断集合间关系的方法
(1)用定义判断
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B A，否则B不是A的子集；
若既有A B，又有B A，则A＝B.
(2)数形结合判断
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
[活学活用]
已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N
}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N
}，则M与P的关系为( )
A．M＝P
B．M P
C．P M
D．M?P
解析：选D ①对于任意x∈M，x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5，
∵a∈N
，∴a＋2∈N
，
∴x∈P，由子集定义知M P.
②∵1∈P，此时a2－4a＋5＝1，即a＝2∈N
，而1 M，
∴1＋a2＝1在a∈N
时无解．
综合①②知，M?P.
有限集合子集的确定
[例2] (1)已知集合A＝{x|0≤x＜3且x∈N}，则A的真子集的个数是( )
A．16
B．8
C．7
D．4
(2)满足{1,2}?M {1,2,3,4,5}的集合M有________个．
[解析] (1)∵A＝{x|0≤x＜3且x∈N}＝{0,1,2}，∴集合A的真子集的个数为23－1＝7.
(2)由题意可得{1,2}?M {1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有五个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足题意的集合M共有7个．
[答案] (1)C (2)7
[类题通法]
公式法求有限集合的子集个数
(1)含n个元素的集合有2n个子集．
(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．
(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．
(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A B C，则符合条件的集合B有2m－n个．
[活学活用]
已知集合A?{x∈N|－1＜x＜3}，且A中至少有一个元素为奇数，则这样的集合A共有多少个？并用恰当的方法表示这些集合．
解：这样的集合共有3个．
∵{x∈N|－1＜x＜3}＝{0,1,2}，A?{0,1,2}且A中至少有一个元素为奇数，
∴当A中含有1个元素时，A可以为{1}；当A中含有2个元素时，A可以为{0,1}，{1,2}.
集合间关系的应用
[例3] 已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}．若B A，求实数a的取值范围．
[解] 当B＝ 时，只需2a>a＋3，即a>3；
当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或
解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4或a>2}．
[类题通法]
利用集合关系求参数应关注三点
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．
[活学活用]
已知集合A＝{x|1解：①当a＝0时，A＝ ，满足A B.
②当a>0时，A＝.
又∵B＝{x|－1如图作出满足题意的数轴：
∴∴a≥2.
③当a<0时，A＝.
∵A B，如图所示，
∴
∴a≤－2.
综上所述，a的取值范围是{a|a＝0或a≥2或a≤－2}．
[典例] 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A B，求实数m的取值范围．
[解] ∵A B，
∴
解得
故3≤m≤4.
∴m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
[多维探究]
1．本例中，若B A，求实数m的取值范围．
解：①当B＝ 时，m－6>2m－1，即m<－5；
②当B≠ 时，解得
即m∈ .
故实数m的取值范围是{m|m<－5}．
2．在本例中，若将“A B”改为“A?B”，求实数m的取值范围．
解：∵A≠B，
∴两不等式端点不可能同时成立，但最终答案与本例一致．
3．若将本例中的不等式变为方程，试解决如下问题：
已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B A，求实数a的取值范围．
解：A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，
∵B A，
∴B＝ 或B＝{0}或B＝{－4}或B＝{0，－4}．
①当B＝ 时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实数根，
则Δ<0，即4(a＋1)2－4(a2－1)<0.
∴a<－1.
②当B＝{0}时，有
∴a＝－1.
③当B＝{－4}时，有无解．
④当B＝{0，－4}时，由一元二次方程的根与系数的关系可得a＝1.
综上所述，实数a的取值范围是{a|a＝1或a≤－1}．
[随堂即时演练]
1．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b} {b，a}；③ ＝{ }；④{0}＝ ；⑤ ?{0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是( )
A．1
B．3
C．4
D．6
解析：选C ①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误， 表示空集，而{ }表示的是含 这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为 ∈{ }；④错误， 表示空集，而{0}表示含有一个元素0的集合，并非空集，应改为 ?{0}；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，是元素与集合的关系．
2．已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是( )
A．A B C
B．B A C
C．A?B C
D．A＝B C
解析：选B 集合A，B，C关系如图．
3．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B A，则实数m＝________.
解析
：∵B A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}，
∴m∈A，∴m＝4.
答案：4
4．已知A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，定义某种运算：A
B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A
B中最大的元素是________，集合A
B的所有子集的个数为________．
解析：由题意知A
B＝{2,3,4,5}，∴A
B中最大的元素是5，集合A
B有4个元素，∴所有子集个数为24＝16.
答案：5 16
5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}．
(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；
(2)若B是A的子集，求a的取值范围；
(3)若A＝B，求a的取值范围．
解：(1)若A是B的真子集，即A?B，则a>2，即a的取值范围是{a|a＞2}．
(2)若B是A的子集，即B A，则a≤2，即a的取值范围是{a|a≤2}．
(3)若A＝B，则必有a＝2.
[课时达标检测]
一、选择题
1．设集合M＝，N＝，k∈Z，则正确的是( )
A．M＝N
B．M?N
C．M?N
D．M与N的关系不确定
解析：选B 集合M中的元素x＝＋＝(k∈Z)，集合N中的元素x＝＋＝(k∈Z)，而2k＋1为奇数，k＋2为整数，因此M?N.
2．已知集合M＝{x|－A．P＝{－3,0,1}
B．Q＝{－1,0,1,2}
C．R＝{y|－πD．S＝{x||x|≤，x∈N}
解析：选D 先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3 M，集合Q中的元素2 M，集合R中的元素－3 M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S M，且S?M.
3．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q P，则a的值是( )
A．1
B．－1
C．1或－1
D．0,1或－1
解析：选D 由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q P，知a＝1或a＝－1.
4．已知非空集合P满足：①P {1,2,3,4,5}，②若a∈P，则6－a∈P，符合上述条件的集合P的个数是( )
A．4
B．5
C．7
D．31
解析：选C 由a∈P,6－a∈P，且P {1,2,3,4,5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选；2,4同时选；3单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,5,2,4}，{1,2,3,4,5}，共7个．
5．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( )
A．P?M
B．M?P
C．M＝P
D．M P
解析：选C ∵∴∴M＝P.
二、填空题
6．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝(x，y)＝1，则A，B的关系是________．
解析：B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}．故B?A.
答案：B?A
7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：
A为________；B为________；
C为________；D为________．
解析：由Venn图可得A?B，C?D?B，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A为小说，B为文学作品，C为叙事散文，D为散文．
答案：小说 文学作品 叙事散文 散文
8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．
解析：因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．
当a＝0时，方程化为2x＝0，
∴x＝0，此时A＝{0}，符合题意．
当a≠0时，Δ＝22－4·a·a＝0，
即a2＝1，∴a＝±1.此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意．∴a＝0或a＝±1.
答案：{0,1，－1}
三、解答题
9．由“2，a，b”三个元素构成的集合与由“2a,2，b2”三个元素构成的集合是同一个集合，求a，b的值．
解：根据集合相等，有或
解得或或
再根据集合元素的互异性，得或
10．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B A，求实数a组成的集合C.
解：由x2－3x＋2＝0，得x＝1，或x＝2.
∴A＝{1,2}．
∵B A，∴对B分类讨论如下：
①若B＝ ，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0.
②若B≠ ，则B＝{1}或B＝{2}．
当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；
当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.
综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}．
11．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A B，求a的值．
解：∵A B，而a2－a＋1∈B，∴a2－a＋1∈A.
∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
当a2－a＋1＝3时，a＝2或a＝－1.
(1)a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，这时满足条件A B；
(2)a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，这时也满足条件A B.
当a2－a＋1＝a时，a＝1，此时A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，根据集合中元素的互异性，故舍去a＝1.
∴a的值为2或－1.
12．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(2)若A B，求m的取值范围．
解：化简集合A，得A＝{x|－2≤x≤5}．
(1)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
即A中含有8个元素，
∴A的非空真子集数为28－2＝254(个)．
(2)①当m≤－2时，B＝ A；
②当m>－2时，B＝{x|m－1因此，要B A，
则只要 －1≤m≤2.
综上所述，知m的取值范围是
{m|－1≤m≤2或m≤－2}．第二课时 函数的最大(小)值
[提出问题]
观察下面的函数图象：
问题1：该函数f(x)的定义域是什么？
提示：[－4,7]．
问题2：该函数f(x)图象的最高点及最低点的纵坐标分别是什么？
提示：3，－2.
问题3：函数y＝f(x)的值域是什么？
提示：[－2,3]．
[导入新知]
1．最大值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．
2．最小值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值．
[化解疑难]
1．函数最大(小)值的几何意义
函数的最大值对应图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应图象最低点的纵坐标．
2．函数的最大(小)值与值域、单调性之间的关系
(1)对一个函数来说，一定有值域，但不一定有最值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得，即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
图象法求函数的最值
[例1] (1)函数f(x)在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．－2，f(2)
B．2，f(2)
C．－2，f(5)
D．2，f(5)
(2)求函数f(x)＝的最值．
[解] (1)选C 由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5)．
(2)函数f(x)的图象如图：
由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1，无最大值．
[类题通法]
用图象法求最值的一般步骤
[活学活用]
作出函数y＝|x－2|(x＋1)的图象，说明函数的单调性，并判断是否存在最大值和最小值．
解：当x≥2，即x－2≥0时，
y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝2－；
当x<2，即x－2<0时，
y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－2＋.
所以y＝
画出该分段函数的图象，如图．由图象可知，函数y＝|x－2|(x＋1)在，[2，＋∞)上是增函数；在上是减函数．
观察函数图象，可知函数不存在最大值，也不存在最小值.
利用单调性求函数的最值
[例2] 已知函数f(x)＝x＋.
(1)求证：f(x)在(1，＋∞)上是增函数；
(2)求f(x)在[2,4]上的最值．
[解] (1)证明：设任意两个x1，x2∈(1，＋∞)，并且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＝.
∵x2>x1>1，∴x1－x2<0，
x1x2>1，∴x1x2－1>0，
故<0，即f(x1)所以f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)可知f(x)在[2,4]上是增函数，
∴当x∈[2,4]时，f(2)≤f(x)≤f(4)．
又∵f(2)＝2＋＝，f(4)＝4＋＝，
∴f(x)在[2,4]上的最大值为，最小值为.
[类题通法]
函数的最值与单调性的关系
(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)．
(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)．
(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．
[活学活用]
在题设条件不变的情况下，求f(x)在上的最值．
解：设x1，x2∈，并且x1f(x2)，即f(x)在上是减函数．
结合例题可知，函数f(x)在上单调递减，在(1,2)上单调递增．
∴当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝2；
又∵f＝＋3＝>f(2)＝，
∴f(x)在上的最大值为，最小值为2.
函数最值的应用
[例3] 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20
000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝
其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)．
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
[解] (1)设月产量为x台，则总成本为20
000＋100x，从而f(x)＝R(x)－(20
000＋100x)
＝
(2)当0≤x≤400时，
f(x)＝－(x－300)2＋25
000，
∴当x＝300时，f(x)max＝25
000.
当x>400时，f(x)＝60
000－100x是减函数，
f(x)<60
000－100×400<25
000.
∴当x＝300时，f(x)max＝25
000.
即每月生产300台仪器时，公司所获利润最大，最大利润为25
000元．
[类题通法]
解决函数最值应用题的方法
(1)解决实际问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学问题解决．
(2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．
[活学活用]
如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30
m，
问每间笼舍的宽度x为多少时，才能使得每间笼舍面积y达到最大？每间最大面积为多少？
解：由题意知笼舍的宽为x
m，
则笼舍的长为(30－3x)
m，每间笼舍的面积为
y＝x(30－3x)＝－(x－5)2＋37.5，x∈(0,10)．
当x＝5时，y取得最大值37.5，
即每间笼舍的宽度为5
m时，每间笼舍面积y达到最大，最大面积为37.5
m2.
[典例] 求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
[解] f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
(1)当a<0时，由图①可知，f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝－1，
f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，
f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(3)当1f(x)max＝f(0)＝－1.
(4)当a>2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上为减函数，所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，
f(x)max＝f(0)＝－1.
[多维探究]
上题由于对称轴x＝a，而a的取值不定，从而导致了分类讨论．由于抛物线的对称轴与区间[0,2]的相对位置关系不确定，最小值在顶点处或端点处取得，最大值可能是f(0)，也有可能是f(2)，故应分四类讨论．
与二次函数有关的最值问题还有以下三类：
1．求二次函数在某定区间上的最小(大)值．
例：求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．
解：∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
∴f(x)min＝
2．已知二次函数的最大(小)值，求参数．
例：已知函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)，且ymax＝a2，求实数a的取值范围．
解：∵y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2(0≤x≤1)，
∴函数图象是开口向下的抛物线，且对称轴为x＝－a.
又∵ymax＝a2，且0≤x≤1，
∴0≤－a≤1 －1≤a≤0.
∴实数a的取值范围是[－1,0]．
3．求二次函数在某动区间上的最大(小)值．
例：设f(x)＝x2－4x－4，x∈[a，a＋1](a∈R)，求函数f(x)的最小值g(a)的解析式．
解：∵f(x)＝(x－2)2－8，x∈[a，a＋1]，
∴当2∈[a，a＋1]时，即1≤a≤2时，
g(a)＝f(2)＝－8.
当a＋1<2，即a<1时，f(x)在[a，a＋1]上是减函数，
∴g(a)＝f(a＋1)＝a2－2a－7.
当a>2时，f(x)在[a，a＋1]上是增函数，
∴g(a)＝f(a)＝a2－4a－4.
综上可知，g(a)＝
[随堂即时演练]
1.函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为( )
A．f
，f
B．f(0)，f
C．f
，f(0)
D．f(0)，f(3)
解析：选B 观察函数图象，f(x)的最大值、最小值分别为f(0)，f
.
2．函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5,5)上的最大值、最小值分别为( )
A．42,12
B．42，－
C．12，－
D．无最大值，最小值－
解析：选D f(x)＝x2＋3x＋2＝2－，
∵－5<－<5，
∴f(x)min＝f＝－，无最大值．
3．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a＜b＜3)上有最大值9，最小值－7，则a＝______，b＝______.
解析：y＝－(x－3)2＋18，∵a＜b＜3，∴f(x)在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0，－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2.
答案：－2 0
4．函数f(x)＝的最大值为________．
解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.
故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
5．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解：(1)任取x1，x2∈[3,5]且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝.
∵x1，x2∈[3,5]且x1∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0.
∴f(x1)－f(x2)<0.
∴f(x1)∴函数f(x)＝在[3,5]上为增函数．
(2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为f(3)＝；当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为f(5)＝.
[课时达标检测]
一、选择题
1．函数f(x)＝的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D f(x)＝＝＝≤.
2．函数y＝x＋的最值的情况为( )
A．最小值为，无最大值
B．最大值为，无最小值
C．最小值为，最大值为2
D．最大值为2，无最小值
解析：选A ∵y＝x＋在定义域上是增函数，∴函数最小值为，无最大值，故选A.
3．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：选C ∵f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4
＝－(x－2)2＋4＋a，
∴函数f(x)图象的对称轴为x＝2.
∴f(x)在[0,1]上单调递增．
又∵f(x)min＝－2，∴f(0)＝－2，即a＝－2.
∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
4．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1]
B．(－∞，0]
C．(－∞，0)
D．(0，＋∞)
解析：选C 令f(x)＝－x2＋2x，
则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.
又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.
∴a<0.
5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元
B．60万元
C．120万元
D．120.25万元
解析：选C 设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋，
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
二、填空题
6．函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．
解析：原函数整理得y＝－2＋，
∴ymax＝.
答案：
7．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
解析：如图可知f(x)在[1，a]内是单调递减的，
又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，
∴1答案：(1,3]
8．对于函数f(x)＝x2＋2x，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax＝－1叫做函数f(x)＝x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，函数y＝a2－4a＋6的下确界为________．
解析：函数y＝a2－4a＋6＝(a－2)2＋2≥2，
则函数y＝a2－4a＋6的下确界为2.
答案：2
三、解答题
9．已知函数f(x)＝，其中x∈[2，＋∞)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若f(x)＞a恒成立，求a的取值范围．
解：(1)f(x)＝x＋＋2，
任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2).
∵x1＜x2，∴x1－x2＜0.
又∵x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4，∴1－＞0.
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
故f(x)在[2，＋∞)上是增函数．
∴当x＝2时，f(x)取得最小值为.
(2)∵f(x)的最小值为，
∴f(x)＞a恒成立，只需f(x)min＞a，即a＜.
故a的取值范围为.
10．轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s(km)，水流速度为p(km/h)，轮船在静水中的最大速度为q(km/h)(p，q为常数，且q>p)，已知轮船每小时的燃料费用与轮船在静水中的速度v(km/h)成正比，比例系数为常数k.
(1)将全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(km/h)的函数；
(2)若s＝100，p＝10，q＝110，k＝2，为了使全程的燃料费用最少，轮船的实际行驶速度应为多少？
解：(1)∵轮船行驶全程的时间t＝，
∴y＝(p(2)若s＝100，p＝10，q＝110，k＝2，则
y＝＝200(1＋)(10由于f(v)＝在(10,110]上是减函数，所以当v＝110时，函数y＝＝200(1＋)取得最小值，且最小值为220.
即当轮船的实际行驶速度为110
km/h时，全程的燃料费用最少．
11．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P(万元)和Q(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系有经验公式：P＝，Q＝.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？
解：设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元，
根据题意得y＝x＋(0≤x≤3)．
令＝t，则x＝3－t2,0≤t≤.
所以y＝＋t
＝－2＋，t∈[0，
]．
当t＝时，ymax＝，此时x＝0.75,3－x＝2.25.
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为0.75万元和2.25万元，能获得的最大利润为1.05万元．
12．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值及最小值．
解：(1)证明：∵f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.
又f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)，
∴f(－x)＝－f(x)．
设x1f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．
∵x2－x1>0，据题意有f(x2－x1)<0.
∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)∴y＝f(x)在R上是减函数．
(2)由(1)式知，f(x)在[－3,3]上是减函数，
∴f(－3)最大，f(3)最小．
而f(3)＝f(2)＋f(1)＝2f(1)＋f(1)＝3f(1)＝
3×(－)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2，
∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.第二课时 补集及综合应用
全 集
[导入新知]
全集的定义及表示
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)符号表示：全集通常记作U.
[化解疑难]
对全集概念的理解
“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集.
补 集
[提出问题]
A＝{高一(1)班参加足球队的同学}，B＝{高一(1)班没有参加足球队的同学}，U＝{高一(1)班的同学}．
问题1：集合A，B，U有何关系？
提示：U＝A∪B.
问题2：集合B中元素与集合U和A有何关系？
提示：集合B中元素在集合U中，不在集合A中．
[导入新知]
补集的概念及性质
定义
文字语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 UA
符号语言
UA＝{x|x∈U，且x A}
图形语言
性质
(1) UA U；(2) UU＝ ， U ＝U；(3) U( UA)＝A；(4)A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝
[化解疑难]
理解补集应关注三点
(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(2) UA包含三层意思：①A U；② UA是一个集合，且 UA U；③ UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合．
(3)若x∈U，则x∈A或x∈ UA，二者必居其一．
补集的运算
[例1] (1)(全国丙卷)设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则 AB＝( )
A．{4,8}
B．{0,2,6}
C．{0,2,6,10}
D．{0,2,4,6,8,10}
(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2[解析] (1)∵集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，∴ AB＝{0,2,6,10}．
(2)法一：在集合U中，
∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又∵A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，
∴ UA＝{－5，－4,3,4}， UB＝{－5，－4,5}．
法二：可用Venn图表示．
则 UA＝{－5，－4,3,4}， UB＝{－5，－4,5}．
答案：(1)C (2){－5，－4,3,4} {－5，－4,5}
[类题通法]
求补集的方法
求给定集合A的补集通常利用补集的定义去求，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．
[活学活用]
已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}， UB＝{1,4,6}，求集合B.
解：∵A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}，
∴U
＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∵ UB＝{1,4,6}，
∴B＝{2,3,5,7}.
集合的交、并、补的综合运算
[例2] 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，( UA)∪B，A∩( UB)， U(A∪B)．
[解] 如图所示．
∵A＝{x|－2U＝{x|x≤4}，
∴ UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
UB＝{x|x<－3，或2A∩B＝{x|－2故( UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，
A∩( UB)＝{x|2 U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．
[类题通法]
解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
[活学活用]
已知全集U＝{x|x<10，x∈N
}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求 U(A∪B)， U(A∩B)，( UA)∩( UB)，( UA)∪( UB)．
解：∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，
U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∴ U(A∪B)＝{6,7,9}．
∵A∩B＝{5,8}，
∴ U(A∩B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．
∵ UA＝{1,3,6,7,9}， UB＝{2,4,6,7,9}，
∴( UA)∩( UB)＝{6,7,9}，
( UA)∪( UB)＝{1,2,3,4,6,7,9}．
说明：作出Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果．
补集的综合应用
[例3] 设全集U＝R，M＝{x|3a[解] 解： UP＝{x|x<－2，或x>1}，
∵M? UP，
∴分M＝ ，M≠ 两种情况讨论．
①M≠ 时，如图可得
或
∴a≤－或≤a<5.
②M＝ 时，应有3a≥2a＋5，∴a≥5.
综上可知，a的取值范围是.
[类题通法]
利用补集求参数应注意两点
(1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．
(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
[活学活用]
已知集合A＝{x|x0}．若A∩( RB)＝ ，求实数a的取值范围．
解：∵B＝{x|x<－1，或x>0}，
∴ RB＝{x|－1≤x≤0}，
因而要使A∩( RB)＝ ，结合数轴分析(如图)，
可得a≤－1.
即实数a的取值范围是{a|a≤－1}．
[典例] (12分)已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠ ，求实数m的取值范围．
[解题流程]
[活学活用]
已知集合A＝{x|2m－1解：先求A∩B＝ ，分A＝ 和A≠ 讨论：
①若A＝ ，则2m－1≥3m＋2，解得m≤－3，
此时A∩B＝ .
②若A≠ ，要使A∩B＝ ，则应有
即所以－≤m≤1.
综上，当A∩B＝ 时，m的取值范围是.
又因为U＝R，所以当A∩B≠ 时，m的取值范围是
所以A∩B≠ 时，实数m的取值范围是
[随堂即时演练]
1．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{2,4,6}，B＝{2,3,5}，则( UA)∩B＝( )
A．{3,5}
B．{4,6}
C．{1,2,3,5}
D．{1,2,4,6}
解析：选A ∵U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{2,4,6}，
∴ UA＝{1,3,5}．又∵B＝{2,3,5}，
∴( UA)∩B＝{3,5}．
2．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．A∩B
B．A∪B
C．B∩( UA)
D．A∩( UB)
解析：选C 由题图可知，阴影部分所表示的集合为B∩( UA)．
3．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若 AB＝{5}，则实数m＝________.
解析：∵ AB＝{5}，∴5∈A，且5 B.
∴m＝5.
答案：5
4．已知全集U＝R，M＝{x|－1解析：∵U＝R， UN＝{x|0∴N＝{x|x≤0，或x≥2}，
∴M∪N＝{x|－1＝{x|x<1，或x≥2}．
答案：{x|x<1，或x≥2}
5．设U＝R，已知集合A＝{x|－5(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪( UB)；
(4)B∩( UA)；(5)( UA)∩( UB)．
解：如图(1)．
(1)A∩B＝{x|0≤x＜5}．
(2)A∪B＝{x|－5(3)如图(2)．
UB＝{x|x<0，或x≥7}，
∴A∪( UB)＝{x|x<5，或x≥7}．
(4)如图(3)．
(3)
UA＝{x|x≤－5，或x≥5}，
B∩( UA)＝{x|5≤x＜7}．
(5)法一：∵ UB＝{x|x<0，或x≥7}，
UA＝{x|x≤－5，或x≥5}，画数轴如下图，
∴( UA)∩( UB)＝{x|x≤－5，或x≥7}．
法二：( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)＝{x|x≤－5，或x≥7}．
[课时达标检测]
一、选择题
1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,4,5}，则( UA)∩( UB)＝( )
A．
B．{4}
C．{1,5}
D．{2,5}
解析：选A ∵ UA＝{2,4}， UB＝{1,3}，
∴( UA)∩( UB)＝ ，故选A.
2．若全集U＝{1,2,3,4,5}， UP＝{4,5}，则集合P可以是( )
A．{x∈N
||x|＜4}
B．{x∈N
|x＜6}
C．{x∈N
|x2≤16}
D．{x∈N
|x3≤16}
解析：选A 由题意得P＝{1,2,3}．又因为选项A化简得{1,2,3}，选项B化简得{1,2,3,4,5}，选项C化简得{1,2,3,4}，选项D化简得{1,2}，故选A.
3．设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2－5x＋p＝0}，若 UM＝{－1,1}，则实数p的值为( )
A．－6
B．－4
C．4
D．6
解析：选D 由已知可得M＝{2,3}，则2,3是方程x2－5x＋p＝0的两根，则p＝6，故选D.
4．已知U为全集，集合M，N是U的子集．若M∩N＝N，则( )
A．( UM) ( UN)
B．M ( UN)
C．( UM) ( UN)
D．M ( UN)
解析：选C ∵M∩N＝N，∴N M，
∴( UM) ( UN)．
5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合 U(A∪B)中元素的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B A＝{1,2}，B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{2,4}，
∴A∪B＝{1,2,4}，∴ U(A∪B)＝{3,5}，故选B.
二、填空题
6．设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩( UB)＝________.
解析：∵U＝R，B＝{x|x>1}，
∴ UB＝{x|x≤1}．
又∵A＝{x|x>0}，
∴A∩( UB)＝{x|x>0}∩{x|x≤1}＝{x|0答案：{x|07．已知集合A＝{x|x解析：∵B＝{x|1又∵A∪( RB)＝R，A＝{x|x观察 RB与A在数轴上表示的区间，如图所示：
可得当a≥2时，A∪( RB)＝R.
答案：{a|a≥2}
8．全集U＝R，A＝{x|x<－3或x≥2}，B＝{x|－1解析：如图所示，
由图可知C UA，且C B，
∴C＝B∩( UA)．
答案：B∩( UA)
三、解答题
9．设全集U＝R，M＝{x|3a＜x＜2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M? UP，求实数a的取值范围．
解： UP＝{x|x＜－2或x＞1}，
∵M? UP，
∴分M＝ ，M≠ ，两种情况讨论．
(1)M≠ 时，如图可得
或
∴a≤－，或≤a＜5.
(2)M＝ 时，
应有3a≥2a＋5 a≥5.
综上可知，a≤－，或a≥.
10．已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3(1)求A∪B，( RA)∩B；
(2)若A∩C≠ ，求a的取值范围．
解：(1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3所以A∪B＝{x|2≤x<10}．
因为A＝{x|2≤x<7}，
所以 RA＝{x|x<2，或x≥7}，
则( RA)∩B＝{x|7≤x<10}．
(2)因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x2，
所以a的取值范围为{a|a>2}．
11．设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．
(1)求( IM)∩N；
(2)记集合A＝( IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，
N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
∴ IM＝{x|x∈R且x≠－3}，
∴( IM)∩N＝{2}．
(2)A＝( IM)∩N＝{2}，
∵A∪B＝A，
∴B A，
∴B＝ 或B＝{2}，
当B＝ 时，a－1>5－a，
∴a>3；
当B＝{2}时，
解得a＝3，
综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．
12．已知全集U＝{小于10的正整数}，A U，B U，且( UA)∩B＝{1,8}，A∩B＝{2,3}，( UA)∩( UB)＝{4,6,9}．
(1)求集合A与B；
(2)求( RU)∪[ Z(A∩B)](其中R为实数集，Z为整数集)．
解：由( UA)∩B＝{1,8}，知1∈B,8∈B；
由( UA)∩( UB)＝{4,6,9}，
知4,6,9 A，且4,6,9 B；
由A∩B＝{2,3}，知2,3是集合A与B的公共元素．
因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
所以5∈A,7∈A.
画出Venn图，如图所示．
(1)由图可知A＝{2,3,5,7}，B＝{1,2,3,8}．
(2)( RU)∪[ Z(A∩B)]＝{x|x∈R，且x≠2，x≠3}．3．1.1 方程的根与函数的零点
函数的零点
[提出问题]
如图为函数f(x)在[－4,4]上的图象：
问题1：根据函数的图象，你能否得出方程f(x)＝0的根的个数？
提示：方程f(x)＝0的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，由题图可知，方程有3个根，即x＝－3，－1,2.
问题2：你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？
提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标．
[导入新知]
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
[化解疑难]
函数零点的本质
(1)函数的零点的本质是方程f(x)＝0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数．例如函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时，仅有一个实数根x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．
(2)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．
函数零点的判断
[提出问题]
函数f(x)＝x2－4x＋3的图象如图．
问题1：函数的零点是什么？
提示：1,3.
问题2：判断f(0)·f(2)与f(2)·f(4)的符号．
提示：∵f(0)＝3，f(2)＝－1，f(4)＝3，
∴f(0)·f(2)<0，f(2)·f(4)<0.
[导入新知]
函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
[化解疑难]
对函数零点存在性的探究
(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝.
(2)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)<0.则可判定函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．
(3)当函数y＝f(x)的图象在[a，b]上是连续的曲线，但是不满足f(a)·f(b)<0时，函数y＝f(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点．
求函数的零点
[例1] (1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x.
[解] (1)令＝0，解得x＝－3，
所以函数f(x)＝的零点是x＝－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，
由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．
(3)令2x－3＝0，解得x＝log23.
所以函数f(x)＝2x－3的零点是x＝log23.
(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－log3x的零点是x＝3.
[类题通法]
函数零点的求法
求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0.若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．
[活学活用]
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－x2－4x－4；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝4x＋5；
(4)f(x)＝log3(x＋1)．
解：(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，
所以函数的零点为x＝－2.
(2)令＝0，解得x＝1，
所以函数的零点为x＝1.
(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5<0，无解，即方程4x＋5＝0无实数根，所以函数不存在零点．
(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，
所以函数的零点为x＝0.
判断函数零点所在的区间
[例2] (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4)
B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2)
D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
(2)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
[解析] (1)利用f(a)f(b)<0，则f(x)＝0在(a，b)内有根来判定．∵f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，∴在(－3，－1)内必有根．又∵f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，∴在(2,4)内必有根．
(2)∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a＜b＜c，
∴f(a)＞0，f(b)＜0，f(c)＞0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
[答案] (1)A (2)A
[类题通法]
确定函数零点所在区间的方法
确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．
[活学活用]
在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A. B.
C.
D.
解析：选C 显然f(x)为定义域R上的连续函数．如图，作出y＝ex与y＝3－4x的图象，由图象知函数f(x)＝ex＋4x－3的零点一定落在区间内，又f＝－2＜0，f＝－1＞0，故选C.
判断函数零点的个数
[例3] (1)函数f(x)＝ln
x－的零点的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)判断函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
[解] (1)选C 在同一坐标系中画出y＝ln
x与y＝的图象，如图所示，函数y＝ln
x与y＝的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln
x－的零点个数为2.
(2)法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(2)＝4＋lg
3－2>0，
∴f(x)在(0,2)上必定存在零点，
又∵f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数，
故f(x)有且只有一个零点．
法二：在同一坐标系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
[类题通法]
判断函数零点个数的方法
判断函数零点的个数主要有以下几种方法：
方法一：直接求出函数的零点进行判断；
方法二：结合函数图象进行判断；
方法三：借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示．
[活学活用]
已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为( )
A．(1,3)
B．(0,3)
C．(0,2)
D．(0,1)
解析：选D 在同一直角坐标系中分别画出函数y＝f(x)和y＝a的图象如图所示，
观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0＜a＜1.
[典例] 函数f(x)＝x＋的零点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0.所以函数没有零点，故选A.
[答案] A
[易错防范]
1．函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域，通过作图，可知函数f(x)＝x＋的图象不是连续的．若忽视该特征，易由f(－1)<0，f(1)>0，得出错误的答案B.
2．零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；二是f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理．
[活学活用]
函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选C 当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，
解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln
x＝0，解得x＝e2，
所以函数f(x)＝有2个零点．
[随堂即时演练]
1．函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间( )
A．(5,6)
B．(3,4)
C．(2,3)
D．(1,2)
解析：选B f(3)＝log33－8＋2×3＝－1＜0，f(4)＝log34－8＋2×4＝log34＞0.又因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)．
2．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1,2)上的零点( )
A．至多有一个
B．有一个或两个
C．有且仅有一个
D．一个也没有
解析：选C 若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)＜0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，如有两个零点，则必有f(1)·f(2)＞0，与已知矛盾．
3．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
解析：由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，
∴即a＝5，b＝－6，
∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－，－，即为函数g(x)的零点．
答案：－，－
4．函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N
，则a＋b＝________.
解析：∵b－a＝1，a，b∈N
，f(1)＝3＋1－5＝－1＜0，f(2)＝9＋2－5＝6＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∴a＋b＝3.
答案：3
5．求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．
解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，
即log2x＝x－2.
令y1＝log2x，y2＝x－2.
画出两个函数的大致图象，如图所示．
有两个不同的交点．
所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表
x
1
2
3
4
f(x)
136.136
15.552
－3.92
10.88
x
5
6
7
f(x)
－52.488
－232.064
11.238
由表可知函数f(x)存在零点的区间有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选D ∵f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)·f(5)<0，f(6)f(7)<0，
∴共有4个零点．
2．方程0.9x－x＝0的实数解的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选B 设f(x)＝0.9x－x，则f(x)为减函数，值域为R，故有1个．
3．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)·f(b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B．若f(a)·f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C．若f(a)·f(b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
D．若f(a)·f(b)＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
解析：选C 根据函数零点存在性定理可判断，若f(a)·f(b)＜0，则一定存在实数c∈(a，b)，使f(c)＝0，但c的个数不确定，故B、D错．若f(a)·f(b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)＞0，但f(x)＝x2－1在(－2,2)内有两个零点，故A错，C正确．
4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是( )
A．a<αB．a<α<βC．αD．α解析：选C
∵α，β是函数f(x)的两个零点，
∴f(α)＝f(β)＝0.
又∵f(x)＝(x－a)(x－b)－2，
∴f(a)＝f(b)＝－2<0.
结合二次函数f(x)的图象，如图所示，
可知，a，b必在α，β之间，只有C满足．
5．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0
B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0
D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：选B 在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x和函数y＝的图象，如图所示，由图可知函数y＝2x和函数y＝的图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x＋只有一个零点x0，且x0>1.
因为x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，所以由函数图象可知，f(x1)<0，f(x2)>0.
二、填空题
6．函数f(x)＝ln
x－x2＋2x＋5的零点个数为________．
解析：令ln
x－x2＋2x＋5＝0得ln
x＝x2－2x－5，画图(图略)可得函数y＝ln
x与函数y＝x2－2x－5的图象有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2.
答案：2
7．已知方程mx2－x－1＝0在(0,1)上恰有一解，则实数m的取值范围是________．
解析：设f(x)＝mx2－x－1，∵方程mx2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，且当m＝0时，方程－x－1＝0在(0,1)内无解，∴m≠0，由f(0)f(1)＜0，即－1(m－1－1)＜0，解得m＞2.
答案：(2，＋∞)
8．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a>0且a≠1)与函数y＝x＋a的图象有两个交点，由图象可知当01时，因为函数y＝ax(a>1)的图象过点(0,1)，当直线y＝x＋a与y轴的交点(0，a)在(0,1)的上方时一定有两个交点．所以a>1.
答案：(1，＋∞)
三、解答题
9．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
解：令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得或
即或
解得－＜m＜0.
故m的取值范围为.
10．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
解：由题意知方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0，即m2－4＝0时，m＝±2；
当m＝－2时，t＝1；
当m＝2时，t＝－1不合题意，舍去，
∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ>0，即m>2或m<－2时，
设t2＋mt＋1＝0有两个根t1，t2且t1t2＝1.
又∵t>0，∴t1>0，t2>0，则原方程有两个根．
∴这种情况不可能．
综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为
x＝0.
11．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x＞0)．
(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；
(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
解：(1)作出g(x)＝x＋(x＞0)的图象如图所示：
可知若使g(x)＝m有零点，
则只需m≥2e，
故m的取值范围为[2e，＋∞)．
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．作出g(x)＝x＋(x＞0)和f(x)的图象如图所示．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1
＝－(x－e)2＋m－1＋e2，
其对称轴为直线x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，
∴当m－1＋e2＞2e，
即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，
即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
12．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．
解：(1)由条件知，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，得
即－(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示，
列不等式组
即－偶
性
[提出问题]
已知函数(1)f(x)＝x2－1，(2)f(x)＝－，(3)f(x)＝2x的图象分别如图所示：
问题1：各个图象有怎样的对称性？
提示：题图(1)关于y轴对称；题图(2)(3)关于坐标原点对称．
问题2：对于以上三个函数，分别计算f(－x)，观察对定义域内的每一个x，f(－x)与f(x)有怎样的关系？
提示：(1)f(－x)＝f(x)；(2)f(－x)＝－f(x)；(3)f(－x)＝－f(x)．
[导入新知]
偶函数
奇函数
定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
定义域
关于原点对称
图象特征
[化解疑难]
理解函数的奇偶性应关注四点
(1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数．
(2)函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－1,2]上却无奇偶性可言．
(3)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.
(4)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集．
判断函数的奇偶性
[例1] 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x＋1；
(2)f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)；
(3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；
(4)f(x)＝
[解] (1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点对称．
因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，
所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数又不是偶函数．
(2)因为函数的定义域不关于原点对称，即存在－4∈[－4,4)，而4 [－4,4)，所以函数f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)既不是奇函数又不是偶函数．
(3)函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为实数集R，关于原点对称．
因为f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．
(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝－(－x)2－1＝－＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝－＝－f(x)．
综上可知，函数f(x)＝是奇函数．
[类题通法]
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下：
①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．
②验证．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)．
③下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；
若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；
若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．
(2)图象法：
f(x)是奇(偶)函数的等价条件是f(x)的图象关于原点(y轴)对称．
(3)性质法：
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
②奇函数的和、差仍为奇函数；
③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
[活学活用]
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|；
(2)f(x)＝
解：(1)函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为R.
因为对于任意的x∈R，都有f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，
所以函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数．
(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－＝＝f(x)；
当x<0时，－x>0，则f(－x)＝＝－＝f(x)．
综上可知，函数f(x)＝是偶函数.
利用函数奇偶性的定义求参数
[例2] (1)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )
A.
B.
C.
D．1
(2)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
(3)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.
[解析] (1)要使函数式有意义，则x≠－，且x≠a，而函数f(x)为奇函数，所以其定义域应关于原点对称，由此得a＝，经验证当a＝时，函数f(x)是奇函数．
(2)因为偶函数的定义域关于原点对称，
所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(3)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，
得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
[答案] (1)A (2) 0 (3)0
[类题通法]
由函数的奇偶性求参数应关注两点
(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．
(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数．
[活学活用]
已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.
解析：当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x.
又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x2＋x，即ax2＋x＝x2＋x，∴a＝1.
答案：1
利用函数的奇偶性求解析式
[例3] 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象．
[解] (1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0.
当x＜0时，－x＞0.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]
＝－x2－2x.
综上，f(x)＝
(2)f(x)的图象如图所示．
[类题通法]
利用奇偶性求解析式的方法
首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．
[活学活用]
已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)
时，f(x)的解析式．
解：设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1.
∴f(－x)＝x2－x－1.
∵函数f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)＝x2－x－1.
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1.
[典例] (12分)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
[解题流程]
[活学活用]
设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减．
∵2a2＋a＋1＝22＋>0，
2a2－2a＋3＝22＋>0，
且f(2a2＋a＋1)∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，
即3a－2>0，解得a>，
∴a的取值范围为.
[随堂即时演练]
1．函数f(x)＝的图象关于( )
A．x轴对称
B．原点对称
C．y轴对称
D．直线y＝x对称
解析：选B 由题意知f(x)＝的定义域为[－，0)∪(0，]，
∴定义域关于原点对称，
又∵f(－x)＝＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．
2．定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则( )
A．f(3)>f(－4)B．f(－π)C．f(3)D．f(－4)解析：选C ∵f(x)在R上是偶函数，
∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)．
而3<π<4，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(3)3．已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，则常数m，n的值分别为________．
解析：由题意知f(0)＝0，故得m＝0.由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，即＝－，
∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，
∴n＝0.
答案：0,0
4．设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．
解析：因为偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解集．
∵当x∈[0,5]时，f(x)<0的解集为{x|2所以当x∈[－5,0]时，f(x)<0的解集为{x|－5≤x<－2}．
∴f(x)<0的解集是{x|－5≤x<－2，或2答案：{x|－5≤x<－2，或25．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋x2，x∈(－1,0)∪(0,1]；
(2)f(x)＝.
解：(1)因为函数f(x)的定义域为(－1,0)∪(0,1]，不关于原点对称，故此函数为非奇非偶函数．
(2)由1－x2≥0，得－1≤x≤1，
又∵|x＋2|－2≠0，
∴x≠0，
∴－1≤x≤1且x≠0，
∴定义域关于原点对称，且x＋2>0，
∴f(x)＝＝.
∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝x2
D．y＝x
解析：选A 易判断A，C为偶函数，B，D为奇函数，但函数y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以选A.
2．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是( )
A．(a，－f(a))
B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a))
D．(a，f(－a))
解析：选B ∵f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)，
∴点(－a，－f(a))在函数y＝f(x)图象上．
3．奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为( )
A．10
B．－10
C．9
D．15
解析：选C 由已知得，f(6)＝8，f(3)＝－1，
又∵f(x)是奇函数，
∴f(6)＋f(－3)＝f(6)－f(3)＝8－(－1)＝9，故选C.
4．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于( )
A．－26
B．－18
C．－10
D．10
解析：选A 令g(x)＝x5＋ax3＋bx，
则g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数．
又∵f(x)＝g(x)－8，
∴f(－2)＝g(－2)－8＝10 g(－2)＝18.
∴g(2)＝－18.
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
5．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．3
B．1
C．－1
D．－3
解析：选D 因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，
所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，
所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.
二、填空题
6．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式为________．
解析：令x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x.
又∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，
∴f(x)＝
答案：f(x)＝
7．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2x－1)解析：偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，所以函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减．由于f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，则f
＝f
.
由f(2x－1)，
得①或②，
解①得≤x<，
解②得综上，得答案：
8．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝________.
解析：令x＝－1，
得f(1)＝f(－1)＋f(2)＝－f(1)＋f(2)．
故＝－＋f(2)，则f(2)＝1.
令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝＋1＝.
令x＝3，得f(5)＝f(3)＋f(2)＝＋1＝.
答案：
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R.
(1)试判断f(x)的奇偶性；
(2)若a＝0时，求f(x)的最小值．
解：(1)当a＝0时，f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1＝f(x)．
当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，
此时f(a)≠f(－a)，f(a)≠－f(a)．
∴当a＝0时，f(x)为偶函数，当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．
(2)当a＝0时，f(x)＝x2＋|x|＋1为偶函数，
∴x≥0时，f(x)＝x2＋x＋1，
x＝0时，f(x)min＝1，
∴f(x)min＝1.
10．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
解：(1)由题意知即
解得
∴f(x)＝.
(2)证明：任取x1，x2且满足－1则x2－x1>0，
f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵－1∴－10.
于是f(x2)－f(x1)>0，
∴f(x)为(－1,1)上的增函数．
(3)f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴－111．已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f(ab)＝af(b)＋bf(a)．
(1)求f(0)，f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论．
解：(1)令a＝b＝0，
则f(0×0)＝0×f(0)＋0×f(0)＝0，
∴f(0)＝0.
令a＝b＝1，则f(1×1)＝f(1)＝f(1)＋f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)f(x)是奇函数．证明如下：
∵f(1)＝f((－1)2)＝－f(－1)－f(－1)＝0，
∴f(－1)＝0.
令a＝－1，b＝x，
则f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)．
故f(x)为奇函数．
12．已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数m和n的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，0)上的单调性，并加以证明．
解：(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－＝.
比较得n＝－n，则n＝0.
又∵f(2)＝，
∴＝，
解得m＝2，故实数m和n的值分别是2和0.
(2)函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数，在(－1,0)上为减函数．
证明如下：由(1)可知f(x)＝＝＋.
设x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＝
(x1－x2)·.
当x10，x1x2－1>0，
则f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)故函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数；
当－1x1－x2<0，x1x2>0，x1x2－1<0.
则f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
故函数f(x)在(－1,0)上为减函数．
(A卷 学业水平达标)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，共60分)
1．设全集U＝{x∈Z|－1≤x≤5}，A＝{1,2,5}，B＝{x∈N|－1A．{3}
B．{0,3}
C．{0,4}
D．{0,3,4}
解析：选B ∵U＝{－1,0,1,2,3,4,5}，B＝{0,1,2,3}，
∴ UA＝{－1,0,3,4}．
∴B∩( UA)＝{0,3}．
2．设集合A＝{－1,3,5}，若f：x→2x－1是集合A到集合B的映射，则集合B可以是( )
A．{0,2,3}
B．{1,2,3}
C．{－3,5}
D．{－3,5,9}
解析：选D 将A中的元素－1代入得－3，A中的元素3代入得5，A中的元素5代入得9，故选D.
3．已知f(x)＝则f()等于( )
A.
B.
C．7
D．无法确定
解析：选B ∵1<<6，
∴f()＝.
4．若f(x)为R上的奇函数，给出下列结论：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)－f(－x)＝2f(x)；③f(x)·f(－x)≤0；④＝－1.其中不正确的结论有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
解析：选A 由奇函数的性质可知①②③正确，④错误，故选A.
5．已知函数f＝x2＋，则f(3)＝( )
A．8
B．9
C．11
D．10
解析：选C ∵f
＝2＋2，
∴f(3)＝9＋2＝11.
6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：选B ∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0.又∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，f(x)是周期为4的奇函数，∴f(6)＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0.
7．函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如下图，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )
解析：选A 由于函数y＝f(x)·g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集
(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以函数图象在x＝0处是断开的，故可以排除C，D；
由于当x为很小的正数时，f(x)>0且g(x)<0，故f(x)·g(x)<0，可排除B，故选A.
8．偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则不等式f(x)＞f(1)的解集是( )
A．(1，＋∞)
B．(－∞，1)
C．(－1,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选D 因为f(x)是偶函数，所以f(|x|)＝f(x)，所以f(x)＞f(1)可转化为f(|x|)＞f(1)，又因为x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，所以|x|＞1，即x＜－1或x＞1.
9．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选D 由f(x)为奇函数可知，
＝<0.
而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.
当x>0时，f(x)<0＝f(1)；
当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．
所以010．设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若对所有的x∈[－1,1]及任意的a∈[－1,1]都满足f(x)≤t2－2at＋1，则t的取值范围是( )
A．[－2,2]
B.
C．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)
D.∪{0}∪
解析：选C 由题意，得f(1)＝－f(－1)＝1.
又∵f(x)在[－1,1]上是增函数，
∴当x∈[－1,1]时，有f(x)≤f(1)＝1.
∴t2－2at＋1≥1在a∈[－1,1]时恒成立．
得t≥2，或t≤－2，或t＝0.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．当A，B是非空集合，定义运算A－B＝{x|x∈A，且x B}，若M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝x2，－1≤x≤1}，则M－N＝________.
解析：集合M：{x|x≤1}，集合N：{y|0≤y≤1}，
∴M－N＝{x|x∈M且x N}＝{x|x<0}．
答案：{x|x<0}
12．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)＝________.
解析：设g(x)＝ax3＋bx，显然g(x)为奇函数，
则f(x)＝ax3＋bx－4＝g(x)－4，
于是f(－2)＝g(－2)－4＝－g(2)－4＝2，
所以g(2)＝－6，
所以f(2)＝g(2)－4＝－6－4＝－10.
答案：－10
13．函数f(x)＝的值域是________．
解析：设g(x)＝2x－x2,0≤x≤3，结合二次函数的单调性可知：g(x)min＝g(3)＝－3，g(x)max＝g(1)＝1；
同理，设h(x)＝x2＋6x，－2≤x≤0，
则h(x)min＝h(－2)＝－8，h(x)max＝h(0)＝0.
所以f(x)max＝g(1)＝1，f(x)min＝h(－2)＝－8.
答案：[－8,1]
14．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则不等式f(x)<0的解集为________．
解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2)＝0，所以f(－2)＝0.
又因为f(x)在(－∞，0]上是减函数，故f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
故满足f(x)<0的x的取值范围应为(－2,2)，
即f(x)<0的解集为{x|－2答案：{x|－2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．(10分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝R.
(1)求A∪B，( UA)∩B；
(2)若A∩C≠ ，求a的取值范围．
解：(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1＜x＜6}
＝{x|1＜x≤8}．
∵ UA
＝{x|x＜2或x＞8}，
∴( UA)∩B＝{x|1＜x＜2}．
(2)∵A∩C≠ ，作图易知，只要a在8的左边即可，
∴a＜8.
∴a的取值范围为(－∞，8)．
16．(12分)已知集合P＝{x|－2≤x≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)求集合 RP；
(2)若P Q，求实数m的取值范围；
(3)若P∩Q＝Q，求实数m的取值范围．
解：(1) RP＝{x|x<－2或x>10}；
(2)由P Q，需得m≥9，即实数m的取值范围为[9，＋∞);
(3)由P∩Q＝Q得，Q P，
①当1－m>1＋m，即m<0时，Q＝ ，符合题意；
②当1－m≤1＋m，即m≥0时，需
得0≤m≤3；
综上得：m≤3，即实数m的取值范围为(－∞，3]．
17．(12分)若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y>0，满足f＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2.
解：(1)在f＝f(x)－f(y)中，令x＝y＝1，
则有f(1)＝f(1)－f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)∵f(6)＝1，
∴f(x＋3)－f<2＝f(6)＋f(6)，
∴f(3x＋9)－f(6)即f∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，
∴解得－3即不等式的解集为(－3,9)．
18．(12分)已知奇函数f(x)＝
(1)求实数m的值，并画出函数f(x)的图象；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上是增函数，结合函数f(x)的图象，求实数a的取值范围；
(3)结合图象，求函数f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．
解：(1)当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又∵函数f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝－f(－x)＝－(－x2－2x)＝x2＋2x.
又∵当x<0时，f(x)＝x2＋mx，
∵对任意x<0，总有x2＋2x＝x2＋mx，∴m＝2.
函数f(x)的图象如图所示．
(2)由(1)知f(x)＝
由图象可知，函数f(x)的图象在区间[－1,1]上的图象是“上升的”，
∴函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数．
要使f(x)在[－1，a－2]上是增函数，
需有解得1即实数a的取值范围是(1,3]．
(3)由图象可知，函数f(x)的图象在区间[－2,2]上的最高点是(1，f(1))，最低点是(－1，f(－1))．
又因为f(1)＝－1＋2＝1，f(－1)＝1－2＝－1，所以函数f(x)在区间[－2,2]上的最大值是1，最小值是－1.
19．(12分)已知函数f(x)＝x＋，且此函数的图象过点(1,5)．
(1)求实数m的值；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)讨论函数f(x)在[2，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．
解：(1)∵f(x)过点(1,5)，∴1＋m＝5 m＝4.
(2)对于f(x)＝x＋，∵x≠0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∴f(－x)＝－x＋＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(3)证明：任取x1，x2∈[2，＋∞)且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋
＝.
∵x1，x2∈[2，＋∞)且x1∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2>0.
∴f(x1)－f(x2)<0.
∴f(x)在[2，＋∞)上单调递增．
20．(12分)小张周末自己驾车旅游，早上八点从家出发，驾车3
h后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系式为s(t)＝－5t(t－13)．
由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60
km/h的速度沿原路返回．
(1)求这天小张的车所走的路程s(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式；
(2)途经一加油站，距离小张家60
km，求这天小张的车途经该加油站的时间．
解：(1)依题意得，当0≤t≤3时，s(t)＝－5t(t－13)，
∴s(3)＝－5×3×(3－13)＝150.
即小张家距离景点150
km，
小张的车在景点逗留时间为16－8－3＝5(h)．
∴当3小张从景点回家所花时间为＝2.5(h)，
故s(10.5)＝2×150＝300.
∴当8s(t)＝150＋60(t－8)＝60t－330.
综上所述，这天小张的车所走的路程
s(t)＝
(2)当0≤t≤3时，
令－5t(t－13)＝60得t2－13t＋12＝0，
解得t＝1或t＝12(舍去)，
当8令60t－330＝2×150－60＝240，解得t＝.
答：小张这天途经该加油站的时间分别为9点和17时30分．
(B卷 能力素养提升)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，共60分)
1．设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2＞4，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{x|x＞2，x∈N}
B．{x|x≤2，x∈N}
C．{0,2}
D．{1,2}
解析：选C 由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩( UA)， UA＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，
∴B∩( UA)＝{0,2}，选C.
2．函数y＝＋的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 由∴－≤x≤1且x≠0.
3．下列各组函数表示同一函数的是( )
A．f(x)＝，g(x)＝()2
B．f(x)＝1，g(x)＝x0
C．f(x)＝，g(x)＝()2
D．f(x)＝x＋1，g(x)＝
解析：选C 选项A、B、D中函数的定义域不同，不是同一函数．
4．函数y＝的定义域是(－∞，1)∪[2,5]，则其值域是( )
A．(－∞，0)∪
B．(－∞，2]
C.∪[2，＋∞)
D．(0，＋∞)
解析：选A 因为函数y＝在(－∞，1)和[2,5]上都是减函数，故y∈(－∞，0)∪.
5．函数f(x)＝x2＋2ax－b在(－∞，1)上为减函数，则a的取值范围为( )
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，－1]
C．[1，＋∞)
D．(－∞，1]
解析：选B ∵对称轴是x＝－a，∴－a≥1，∴a≤－1.
6．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3
B．－1
C.
1
D.
3
解析：选C 在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，即f(1)＋g(1)＝1.
7．若函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A．fB．f(－1)C．f(－2)D．f(－2)解析：选D ∵f(x)在(－∞，－1]上是增函数，且－2<－<－1，所以f(－2)8．函数y＝x|x|的图象大致是( )
解析：选A y＝x|x|＝故选A.
9．小明去上学，由于担心迟到所以一开始就跑，等跑累了再走完余下的路程．如果用纵轴表示与学校的距离d，横轴表示出发后的时间t，则下列四个图象中比较符合此人走法的是( )
解析：选D t＝0时，小明在家，与学校的距离d≠0，因此排除A，C；小明先跑后走，因此d随t的变化是先快后慢，故选D.
10．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是( )
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)＋1为奇函数
D．f(x)＋1为偶函数
解析：选C 令x1＝x2＝0，得f(0)＝2f(0)＋1，所以f(0)＝－1.令x2＝－x1，得f(0)＝f(x1)＋f(－x1)＋1，即f(－x1)＋1＝－f(x1)－1，所以f(x)＋1为奇函数．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．满足条件{1,2,3}∪A＝{1,2,3,4,5}的所有集合A有________个．
解析：A＝{4,5}，{1,4,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}，{2,3,4,5}，{1,2,3,4,5}，共8个．
答案：8
12．已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.
解析：当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－x，－f(x)＝－ax2－bx，故x2－x＝－ax2－bx，所以－a＝1，－b＝－1，即a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.
答案：0
13．若f(x)＝x2－2ax＋4在(－∞，2]上是减函数，则a的取值范围是________．
解析：因为f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝a，要使f(x)在(－∞，2]上是减函数，故a≥2.
答案：[2，＋∞)
14．定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如图所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题：
①f(0)＝1；②f(－1)＝1；③若x>0，则f(x)<0；④若x<0，则f(x)>1.
其中，正确的命题是________．
解析：由y＝f(x＋1)的图象知y＝f(x)的图象如图所示．
∴①正确，②不正确，③不正确，④正确．
答案：①④
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，C＝{x|2(1)A∪(B∩C)；(2)( UB)∪( UC)．
解：(1)依题意有：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C＝{3,4,5}，故有A∪(B∩C)＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．
(2)由 UB＝{6,7,8}， UC＝{1,2}；
故有( UB)∪( UC)＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．
16．(12分)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)．
(1)证明：函数f(x)是偶函数；
(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图象；
(3)写出函数的值域．
解：
(1)证明：∵f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|－(x＋1)|＋|－(x－1)|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)，
∴函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)为偶函数．
(2)由x－1＝0，得x＝1；由x＋1＝0，得x＝－1.
当x<－1时，f(x)＝－2x；
当－1≤x≤1时，f(x)＝2；
当x>1时，f(x)＝2x.
∴f(x)＝f(x)的图象如图所示．
(3)由函数图象知，函数的值域为[2，＋∞)．
17．(12分)已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1.
(1)求f(9)，f(27)的值；
(2)若f(3)＋f(a－8)<2，求实数a的取值范围．
解：(1)由原题条件，可得到
f(9)＝f(3×3)＝f(3)＋f(3)＝1＋1＝2，
f(27)＝f(3×9)＝f(3)＋f(9)＝1＋2＝3.
(2)f(3)＋f(a－8)＝f(3a－24)，又f(9)＝2，
∴f(3a－24)又函数在定义域上为增函数，
即有3a－24<9，
∴
解得8∴a的取值范围为(8,11)．
18．(12分)某市营业区内住宅电话通话费用为前3分钟0.20元，以后每分钟0.10元(前3分钟不足3分钟按3分钟计，以后不足1分钟按1分钟计)．
(1)在直角坐标系内，画出一次通话在6分钟内(包括6分钟)的话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数图象；
(2)如果一次通话t分钟(t>0)，写出话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数关系式(可用[t]表示不小于t的最小整数)．
解：(1)如下图所示．
(2)由(1)知，话费y与时间t的关系是分段函数．
当0当t>3时，话费y应为(0.2＋[t－3]×0.1)元．
所以y＝
19．(12分)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f(x)＝1＋.
(1)求f(2)的值及y＝f(x)的解析式；
(2)用定义法判断y＝f(x)在区间(－∞，0]上的单调性．
解：(1)由函数f(x)为偶函数，知f(2)＝f(－2)＝1＋＝；
又x>0时，－x<0，由函数f(x)为偶函数，知f(x)＝f(－x)＝1＋＝1－，
综上，f(x)＝
(2)在(－∞，0]上任取x1，x2，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝－＝；
由x1－1<0，x2－1<0，x2－x1>0，知f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
由定义可知，函数y＝f(x)在区间(－∞，0]上单调递减．
20．(12分)已知二次函数f(x)满足f(x)－f(x＋1)＝－2x且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[－1,1]时，不等式
f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的范围；
(3)设G(t)＝f(2t＋a)，t∈[－1,1]，求G(t)的最大值．
解：(1)令f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，代入已知条件，
得：
∴
∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)当x∈[－1,1]时，f(x)>2x＋m恒成立，
即x2－3x＋1>m恒成立；
令g(x)＝x2－3x＋1＝2－，x∈[－1,1]．
则对称轴：x＝ [－1,1]，g(x)min＝g(1)＝－1，
∴m<－1.
(3)G(t)＝f(2t＋a)＝4t2＋(4a－2)t＋a2－a＋1，t∈[－1，1]，对称轴为：t＝.
①当≥0时，即：a≤；如图1：
G(t)max＝G(－1)＝4－(4a－2)＋a2－a＋1＝a2－5a＋7，
②当<0时，
即：a>；如图2：
G(t)max＝G(1)＝4＋(4a－2)＋a2－a＋1＝a2＋3a＋3，
综上所述：
G(t)max＝
图1
图2第二课时 分段函数与映射
分段函数
[提出问题]
某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5千米以内，票价2元；
(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．
已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站．
问题1：从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？
提示：有函数关系．
问题2：若有函数关系，函数的表达式是什么？
提示：y＝
问题3：x与y之间有何特点？
提示：x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同．
[导入新知]
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，称这样的函数为分段函数．
[化解疑难]
分段函数的三要点
(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数．分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．
(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．
(3)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集.
映 射
[提出问题]
A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是圆}．
对应关系：每一个三角形都对应它的外接圆．
问题1：从集合A到集合B能构成函数吗？
提示：不能．
问题2：从集合A到集合B的对应有什么特点？
提示：对于集合A中的任何一个三角形，在集合B中都有唯一的外接圆与之对应．
[导入新知]
映射的定义
设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
[化解疑难]
映射与函数的区别与联系
名称区别与联系
函数
映射
区别
函数中的两个集合A和B必须是非空数集
映射中的两个集合A和B可以是数集，也可以是其他集合，只要非空即可
联系
函数是一种特殊的映射；映射是函数概念的推广，但不一定是函数
分段函数求值问题
[例1] 已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，f
的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，
－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝(－5)＋1＝－4，f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.
∵f
＝＋1＝－，且－2<－<2，
∴f
＝f
＝2＋2×＝－3＝－.
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去．
当－2所以(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3 (－2,2)，∴a＝1符合题意．
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2，符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.
[类题通法]
1．求分段函数的函数值的方法
先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值，直到求出值为止．
2．求某条件下自变量的值的方法
先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
[活学活用]
已知函数f(x)＝
(1)求f(f(－2))的值；
(2)求f(a2＋1)(a∈R)的值；
(3)当－4≤x＜3时，求f(x)的值域．
解：(1)∵f(－2)＝1－2×(－2)＝5，
∴f(f(－2))＝f(5)＝4－52＝－21.
(2)当a∈R时，a2＋1≥1＞0，∴f(a2＋1)＝4－(a2＋1)2＝－a4－2a2＋3(a∈R)．
(3)①当－4≤x＜0时，f(x)＝1－2x，
∴1＜f(x)≤9；
②当x＝0时，f(x)＝2；
③当0＜x＜3时，f(x)＝4－x2，
∴－5＜f(x)＜4.
故当－4≤x＜3时，函数f(x)的值域是(－5,9].
分段函数的图象及应用
[例2] (1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________．
(2)已知函数f(x)＝1＋(－2①用分段函数的形式表示该函数；
②画出该函数的图象；
③写出该函数的值域．
[解] (1)由图象可知，第一段的定义域为[－1,0)，值域为[0,1)；
第二段的定义域为[0,2]，值域为[－1,0]．
所以该分段函数的定义域为[－1,2]，值域为[－1,1)．
(2)①当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1；
当－2∴f(x)＝
②函数f(x)的图象如图所示，
③由②知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
[答案] (1)[－1,2] [－1,1)
[类题通法]
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
[活学活用]
已知函数y＝f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．
解：题图中给定的图象实际上是一个分段函数的图象，对各段对应的函数解析式进行求解时，一定要注意其区间的端点．
根据图象，设左侧的射线对应的函数解析式为
y＝kx＋b(x<1)．
∵点(1,1)，(0,2)在射线上，
∴解得
∴左侧射线对应的函数的解析式为y＝－x＋2(x<1)．
同理，x>3时，函数的解析式为y＝x－2(x>3)．
再设抛物线对应的二次函数解析式为
y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a<0)．
∵点(1,1)在抛物线上，∴a＋2＝1，a＝－1.
∴1≤x≤3时，
函数的解析式为y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．
综上可知，函数的解析式为
y＝
映射的概念
[例3] 判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：
(1)A＝N
，B＝N
，对应关系f：x→|x－3|；
(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f：作圆的内接矩形；
(3)A＝{高一(1)班的男生}，B＝R，对应关系f：每个男生对应自己的身高；
(4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系f：x→y＝x.
[解] (1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0，而0 B，故不是映射．
(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射．
(4)因为A中每一个元素在f：x→y＝x作用下对应的元素构成的集合C＝{y|0≤y≤1} B，符合映射定义，是映射．
[类题通法]
判断一个对应是否为映射的两个关键点
(1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素对应；
(2)B中的对应元素是否是唯一的．
[注意] “一对一”或“多对一”的对应都是映射．
[活学活用]
已知A＝{1,2,3，…，9}，B＝R，从集合A到集合B的映射f：x→.
(1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么？
(2)与B中元素相对应的A中的元素是什么？
解：(1)A中元素1，即x＝1，
代入对应关系得＝＝，
即与A中元素1相对应的B中的元素是.
(2)B中元素，即＝，解得x＝4，因此与B中元素相对应的A中的元素是4.
[典例] (12分)如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7
cm，腰长为2
cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x
cm，试写出左边部分的面积y(cm2)关于x(cm)的函数解析式，并画出大致图象．
[规范解答]
过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为ABCD是等腰梯形，
底角为45°，AB＝2
cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2
cm.
又因为BC＝7
cm，所以AD＝GH＝3
cm.(2分)
[活学活用]
某汽车以52
km/h的速度从A地行驶到260
km远处的B地，在B地停留1.5
h后，再以65
km/h的速度返回A地，试将汽车离开A地后行驶的路程s表示为时间t的函数．
解：因为260÷52＝5,260÷65＝4，
所以，当0≤t≤5时，s＝52t；
当5当6.5所以s＝
[随堂即时演练]
1．下列对应关系f中，能构成从集合A到集合B的映射的是( )
A．A＝{x|x＞0}，B＝R，f：x→|y|＝x2
B．A＝{－2,0,2}，B＝{4}，f：x→y＝x2
C．A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝
D．A＝{0,2}，B＝{0,1}，f：x→y＝
解析：选D 对于A，集合A中元素1在集合B中有两个元素与之对应；对于B，集合A中元素0在集合B中无元素与之对应；对于C，集合A中元素0在集合B中无元素与之对应．故A，B，C均不能构成映射．
2．已知函数f(x)＝则正确的函数图象是( )
解析：选A 当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1，0)，显然D错；当x＝0时，y＝1，即图象过点(0,1)，C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1,2)，B错．所以选A.
3．若f(1－2x)＝(x≠0)，那么f＝________.
解析：令1－2x＝t，则x＝(t≠1)，
∴f(t)＝－1，
即f(x)＝－1，
∴f
＝16－1＝15.
答案：15
4．函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是________．
解析：当x≤－1时，x＋2＝3，得x＝1，舍去；
当－1答案：
5.如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)．
(1)求f(f(0))的值；
(2)求函数f(x)的解析式．
解：(1)直接由图中观察，可得
f(f(0))＝f(4)＝2.
(2)设线段AB所对应的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将与代入，得
∴
∴y＝－2x＋4(0≤x≤2)．
同理，线段BC所对应的函数解析式为
y＝x－2(2∴f(x)＝
[课时达标检测]
一、选择题
1．给出如图所示的对应：
其中构成从A到B的映射的个数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选A ①是映射，是一对一；②③是映射，满足对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应；④⑤不是映射，是一对多；⑥不是映射，a3，a4在集合B中没有元素与之对应．
2．映射f：A→B，在f作用下A中元素(x，y)与B中元素(x－1,3－y)对应，则与B中元素(0,1)对应的A中元素是( )
A．(－1,2)
B．(0,3)
C．(1,2)
D．(－1,3)
解析：选C 由题意知解得所以与B中元素(0,1)对应的A中元素是(1,2)．
3．已知f(x)＝则f(3)等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：选A f(3)＝f(3＋2)＝f(5)，
f(5)＝f(5＋2)＝f(7)．
∵f(7)＝7－5＝2，故f(3)＝2.
4．设x∈R，定义符号函数sgn
x＝则( )
A．|x|＝x|sgn
x|
B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn
x
D．|x|＝xsgn
x
解析：选D 当x＜0时，|x|＝－x，x|sgn
x|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgn
x＝(－x)·(－1)＝x，排除A、B、C，故选D.
5．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费符合f(m)＝其中[m]表示不超过m的最大整数，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是( )
A．3.71
B．4.24
C．4.77
D．7.95
解析：选C f(5.2)＝1.06×(0.5×[5.2]＋2)＝1.06×(2.5＋2)＝4.77.
二、填空题
6．集合A＝{a，b}，B＝{－1,0,1}，从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B的个数是________．
解析：由f(a)＝0，f(b)＝0得f(a)＋f(b)＝0；由f(a)＝1，f(b)＝－1得f(a)＋f(b)＝0；由f(a)＝－1，f(b)＝1得f(a)＋f(b)＝0.共3个．
答案：3
7．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
解析：由题意得f(x)＝画出函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
8．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是________．
解析：由f(－4)＝f(0) (－4)2＋b×(－4)＋c＝c，f(－2)＝－2 (－2)2＋b×(－2)＋c＝－2，
解得b＝4，c＝2.
则f(x)＝
由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x x2＋3x＋2＝0 x＝－2或x＝－1，即当x≤0时，有两个解．当x>0时，有一个解x＝2.综上，f(x)
＝x有3个解．
答案：3
三、解答题
9．已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数的图象．
解：(1)∵5>4，∴f(5)＝－5＋2＝－3.
∵－3<0，
∴f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
∵0<1<4，
∴f(f(f(5)))＝f(1)
＝12－2×1＝－1，
即f(f(f(5)))＝－1.
(2)图象如右图所示．
10.在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P，从B点开始，沿折线BCDA向A点运动(如图)，设P点移动的距离为x，△ABP的面积为y，求函数y＝f(x)及其定义域．
解：如题图，当点P在线段BC上，即0≤x≤4时，y＝×4×x＝2x；
当P点在线段CD上，即4当P点在线段DA上，即8∴y＝f(x)＝
且f(x)的定义域是[0,12]．
11.如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动．设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)．
(1)求△ABP的面积与P移动的路程的函数关系式；
(2)作出函数的图象，并根据图象求f(x)的最大值．
解：(1)函数的定义域为(0,12)．
当0当4当8∴函数解析式为f(x)＝
(2)图象如图所示．从图象可以看出f(x)max＝8.
12．设A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，对应关系f：x→y＝px＋q，已知m，n∈N
,1对应的元素是4,2对应的元素是7，试求p，q，m，n的值．
解：因为1对应的元素为4,2对应的元素为7，列方程组解得故对应关系为f：x→y＝3x＋1.由此判断A中元素3对应的元素要么是n4，要么是
n2＋3n.
若n4＝10，则n∈N
不成立，
所以n2＋3n＝10，解得n＝－5(舍去)或n＝2.
因为集合A中的元素m对应的元素只能是n4，等于16，
所以3m＋1＝16，
所以m＝5.
故p＝3，q＝1，m＝5，n＝2.1．2.2 函数的表示法
第一课时 函数的表示法
函数的表示法
[提出问题]
(1)如图是我国人口出生率变化曲线：
(2)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
污染源距离
50
100
200
300
500
氰化物浓度
0.678
0.398
0.121
0.05
0.01
问题1：实例(1)中的图能表示两个变量之间存在函数关系吗？如果能，自变量是什么？
提示：能．表示出生率是年份的函数，其中年份为自变量．
问题2：实例(2)中的表格能表示两个变量之间存在函数关系吗？如果能，定义域是什么？值域是什么？
提示：能．表示浓度是距离的函数．其中，定义域为{50,100,200,300,500}，值域为{0.678,0.398,0.121,0.05,0.01}．
问题3：实例中的函数关系能否用解析式表示？
提示：不能．并不是所有的函数都有解析式．
[导入新知]
[化解疑难]
三种表示方法的优、缺点比较
优 点
缺 点
解析法
一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值
不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示
列表法
不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值
它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系
图象法
直观形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究函数的某些性质
只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大
函数的表示方法
[例1] (1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
(2)已知函数f(x)按下表给出，满足f(f(x))>f(3)的x的值为________．
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
[解析] (1)由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又因纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.
(2)由表格可知f(3)＝1，
故f(f(x))>f(3)，即f(f(x))>1.
∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.
[答案] (1)D (2)3或1
[类题通法]
理解函数的表示法应关注三点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．
(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
[活学活用]
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
解析：选A 由这一过程中汽车的速度变化可知，速度由小变大→保持匀速→由大变小．
速度由小变大时，路程曲线上升得越来越快，曲线显得陡峭；匀速行驶中路程曲线上升速度不变；速度由大变小时，路程曲线上升得越来越慢，曲线显得平缓．
2．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
(1)f(g(1))＝________；
(2)若g(f(x))＝2，则x＝________.
解析：(1)由表知g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.
(2)由表知g(2)＝2，又因g(f(x))＝2，得f(x)＝2，
再由表知x＝1.
答案：(1)1 (2)1
函数图象的作法及应用
[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
[解] (1)列表：
x
0
1
2
y
1
2
3
4
5
当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．
(2)列表：
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知，其值域为(0,1]．
(3)列表：
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－1,8]．
[类题通法]
1．作函数图象的三个步骤
(1)列表．先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来．
(2)描点．把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在坐标平面上描出来．
(3)连线．用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．
[注意] 所选的点越多画出的图象越精确，同时所选的点应该是关键处的点．
2．常见函数图象的画法技巧
(1)对于一次函数的图象，描出与坐标轴的交点，连线即得；
(2)对于二次函数的图象，描出与坐标轴的交点、顶点，连线即得．
[活学活用]
作出下列函数图象：
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
解：(1)∵x∈Z且|x|≤2，
∴x∈{－2，－1,0,1,2}．
所以图象为一直线上的孤立点(如图①)．
(2)∵y＝2(x－1)2－5，∴当x＝0时，y＝－3；
当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.
所画函数图象如图②.
[典例] (1)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)的解析式．
(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
[解] (1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b
＝a2x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，
∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即解得或
∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝1，∴c＝1.
又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.
整理得2ax＋(a＋b)＝2x.
由恒等式性质知上式中对应项系数相等，
∴
解得a＝1，b＝－1，
∴f(x)＝x2－x＋1.
[多维探究]
上例为“已知函数的类型，求函数的解析式”的问题．解决此类问题的方法是待定系数法，即引入参数设出函数的解析式，然后利用条件确定所设的参数的具体值，即可求出其结果．
对于函数解析式的求解还有如下几种类型，应注意掌握．
1．已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式
解决此类问题的方法为“直接代入法”．直接代入法主要解决已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式的问题，其解法为用g(x)替换f(x)解析式中的所有自变量x.
例：已知f(x)＝2x2＋1，求f(＋1)的解析式．
解：因为f(x)＝2x2＋1，
所以f(＋1)＝2(＋1)2＋1＝2x＋4＋3.
2．已知f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式
解决此类问题常见的方法有“整体代入法”和“换元法”．“整体代入法”是把g(x)视为一个整体，将f(g(x))的解析式转化为含g(x)的表达式，然后直接整体代换g(x)，即可求出解析式，此种方法不必求出x，可以减少运算量．“换元法”是通过引入参数t进行式子的变形，从而得到f(x)的表达式，这是解此类型题的通法．
例：求下列函数的解析式：
(1)已知f＝＋，求f(x)；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
解：(1)法一：(换元法)
令t＝＝＋1，得x＝，则t≠1.
把x＝代入f＝＋，得
f(t)＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)
＝t2－t＋1.
∴所求函数的解析式为
f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．
法二：(配凑法)
∵f＝＋
＝2－
＝2－＋1，
∴f(x)＝x2－x＋1.
又∵＝＋1≠1，
∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
(2)法一：(换元法)
令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2，
∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1.
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二：(配凑法)
∵x＋2＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1.
又∵＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
3．已知的式子中含有f(x)，f或f(x)，f(－x)形式的函数，求f(x)的解析式
解决此类问题的方法为“方程组法”，即用－x替换x，或用替换x，组成方程组进行求解．
例：(1)已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，求f(x)；
(2)已知f(x)－2f＝3x＋2，求f(x)．
解：(1)在原式中以－x替换x，得af(－x)＋f(x)＝－bx，
于是得
消去f(－x)，得f(x)＝.
故f(x)的解析式为f(x)＝x.
(2)在原式中用替换x，得f－2f(x)＝＋2，
于是有
消去f，得f(x)＝－x－－2.
[随堂即时演练]
1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图中的s_t函数图象与故事情节相吻合的是( )
解析：选B 由于兔子中间睡了一觉，所以有一段路程不变，而乌龟的路程始终在增加且比兔子早到终点，故选B.
2.函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是( )
A．R
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(－1,0)
解析：选C 由题图知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
3．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(f(3))的值等于________．
解析：据题图知f(3)＝1，∴f(f(3))＝f(1)＝2.
答案：2
4．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则3f(x＋1)＝3[k(x＋1)＋b]＝3kx＋3k＋3b＝6x＋4，
所以解得
所以f(x)＝2x－.
答案：2x－
5．(1)已知函数f(x)＝x2，求f(x－1)；
(2)已知函数f(x－1)＝x2，求f(x)．
解：(1)f(x－1)＝(x－1)2＝x2－2x＋1.
(2)法一(配凑法)：因为f(x－1)＝x2＝(x－1)2＋2(x－1)＋1，所以f(x)＝x2＋2x＋1.
法二(换元法)：令t＝x－1，则x＝t＋1，可得f(t)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，即f(x)＝x2＋2x＋1.
[课时达标检测]
一、选择题
1．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)等于( )
A．2x＋1
B．2x－1
C．2x－3
D．2x＋7
解析：选B ∵f(x)＝2x＋3，∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，故选B.
2．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选A 对于第一幅图，水面的高度h的增加应是均匀的，因此不正确，其他均正确，选A.
3．观察下表：
x
－3
－2
－1
1
2
3
f(x)
4
1
－1
－3
3
5
g(x)
1
4
2
3
－2
－4
则f(g(3)－f(－1))＝( )
A．3
B．4
C．－3
D．5
解析：选B 由题表知，g(3)－f(－1)＝－4－(－1)＝－3，∴f(g(3)－f(－1))＝f(－3)＝4.
4．已知x≠0，函数f(x)满足f＝x2＋，则f(x)的表达式为( )
A．f(x)＝x＋
B．f(x)＝x2＋2
C．f(x)＝x2
D．f(x)＝2
解析：选B ∵f＝x2＋＝2＋2，
∴f(x)＝x2＋2.
5．已知函数f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(12)＝( )
A．p＋q
B．2p＋q
C．p＋2q
D．p2＋q
解析：选B 由f(ab)＝f(a)＋f(b)，∴f(12)＝f(4)＋f(3)＝2f(2)＋f(3)＝2p＋q.
二、填空题
6．已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为________．
解析：将点(5,4)代入f(x)＝x－，得m＝5.
答案：5
7．若f(x)－f(－x)＝2x(x∈R)，则f(2)＝______.
解析：由
得
相加得f(2)＝4，f(2)＝.
答案：
8．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量(单位：kg)与其运费(单位：元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.
解析：设一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，
代入点(30,330)与点(40,630)，得
解得
即y＝30x－570，
若要免费，则y≤0，∴x≤19.
答案：19
三、解答题
9．已知f(x＋4)＋f(x－1)＝x2－2x，其中f(x)是二次函数，求函数f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋4)＋f(x－1)＝a(x＋4)2＋b(x＋4)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝x2－2x.
整理得2ax2＋(6a＋2b)x＋(17a＋3b＋2c)＝x2－2x.
∴解得
∴f(x)＝x2－x－.
10.如图所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V以x为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．
解：由题意可知该盒子的底面是边长为(a－2x)的正方形，高为x，
∴此盒子的体积V＝(a－2x)2·x＝x(a－2x)2，
其中自变量x应满足即0∴此盒子的体积V以x为自变量的函数式为V＝x(a－2x)2，定义域为.
11．设二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，对于x∈R恒成立，且f(x)＝0的两个实数根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．
解：∵f(2＋x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称．
于是，设f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)，
则由f(0)＝3，可得k＝3－4a，
∴f(x)＝a(x－2)2＋3－4a＝ax2－4ax＋3.
∵ax2－4ax＋3＝0的两实数根的平方和为10，
∴10＝x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－，
∴a＝1，∴f(x)＝x2－4x＋3.
12．某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为y＝ax＋.且当x＝2时，y＝100；当x＝7时，y＝35.且此产品生产件数不超过20件．
(1)写出函数y关于x的解析式；
(2)用列表法表示此函数，并画出图象．
解：(1)将代入y＝ax＋中，
得
所以所求函数解析式为y＝x＋(x∈N,0(2)当x∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
197
100
68.3
53
44.2
38.7
35
32.5
30.8
29.6
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
y
28.8
28.3
28.1
28
28.1
28.25
28.5
28.9
29.3
29.8
依据上表，画出函数y的图象如图所示，由20个点构成的点列．1．3.1 单调性与最大(小)值
第一课时 函数的单调性
[提出问题]
观察下列函数图象：
问题1：从图象上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？
提示：甲图中，函数f(x)的值随x增大而增大．
乙图中，函数f(x)的值随x增大而减小．
丙图中，在y轴左侧，函数f(x)的值随x的增大而减小；
在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大．
问题2：甲、乙图中，若x1提示：甲图中，若x1乙图中，若x1f(x2)．
问题3：丙图中，若x1提示：(0，＋∞)．
[导入新知]
1．定义域为I的函数f(x)的增减性
2．单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
[化解疑难]
1．x1，x2的三个特征
(1)任意性，即x1，x2是在某一区间上的任意两个值，不能以特殊值代换；
(2)有大小，即确定的两个值x1，x2必须区分大小，一般令x1(3)同属一个单调区间．
2．理解函数的单调性应注意的问题
(1)函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集．
(2)函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性．
(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．
(4)并非所有的函数都具有单调性．如函数f(x)＝就不具有单调性．
由函数图象说明函数的单调性
[例1] (1)函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．
[解] (1)选C 根据函数单调性定义及函数图象知f(x)在[－3,1]上单调递增．
(2)y＝
即y＝
函数图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
[类题通法]
由图象确定函数单调性的方法及注意事项
(1)图象从左向右上升，则函数递增；图象从左向右下降，则函数递减．
(2)单调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能用“∪”，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接．
[活学活用]
求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝3|x|；
(2)f(x)＝|x2＋2x－3|.
解：(1)f(x)＝3|x|＝
图象如图所示．
f(x)的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)．
(2)令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.
先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．
由图象易得函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1].
函数单调性的证明
[例2] 求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．
[解] 证明：对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1有f(x1)－f(x2)＝－
＝＝.
∵x10，x1＋x2<0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．
对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝.
∵00，x2＋x1>0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
[类题通法]
利用定义证明函数单调性的步骤
[活学活用]
求证：函数f(x)＝－在其定义域上是减函数．
证明：f(x)＝－的定义域为[0，＋∞)．
设0≤x1＜x2，则x1－x2＜0，
且f(x2)－f(x1)＝(－)－(－)
＝－
＝
＝.
∵x1－x2＜0，＋＞0，
∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．
∴f(x)＝－在它的定义域[0，＋∞)上是减函数.
由函数的单调性求参数的取值范围
[例3] (1)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)(2)已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，求实数a的取值范围．
[解] (1)由题意可知
解得0又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，
且f(1－a)∴1－a>2a－1，
即a<. ②
由①②可知0即所求a的取值范围是.
(2)函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上分别单调，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上单调，只需a≤1或a≥2(其中当a≤1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增；当a≥2时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减)，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
[答案] (1)
[类题通法]
“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别
单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
[活学活用]
若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]
上都是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－1,0)∩(0,1)
C．(0,1)
D．(0,1]
解析：选D 因为g(x)＝在区间[1,2]上是减函数，所以a>0.因为函数f(x)＝－x2＋2ax的图象开口向下，对称轴为直线x＝a，且函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，所以a≤1.故满足题意的a的取值范围是(0,1]．
[典例] 已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)[解析] 由题意，得
解得1≤x≤2. ①
因为f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，
且f(x－2)解得x<. ②
由①②得1≤x<.
[答案]
[类题通法]
1．上题易忽视函数的定义域为[－1,1]，直接利用单调性得到不等式x－2<1－x，从而得出x<的错误答案．
2．解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为熟悉的不等式．若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则对任意x1，x2∈D，且f(x1)x2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域．
[成功破障]
函数y＝的单调递增区间为________．
解析：∵x＋1≥0，∴x≥－1，
∴函数y＝的单调递增区间为[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
[随堂即时演练]
1．下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝－3x＋1
C．f(x)＝x2＋4x＋3
D．f(x)＝x＋
解析：选C >0 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，而f(x)＝及f(x)＝－3x＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故A，B错误；f(x)＝x＋在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故D错误；f(x)＝x2＋4x＋3＝x2＋4x＋4－1＝(x＋2)2－1，所以f(x)在[－2，＋∞)上递增，故只有C正确．
2．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是( )
A．(－∞，0]，(－∞，1]
B．(－∞，0]，(1，＋∞)
C．[0，＋∞)，(－∞，1]
D．[0，＋∞)，[1，＋∞)
解析：选C 分别作出f(x)
与g(x)的图象(图略)得：f(x)在[0，＋∞)上递增，g(x)在(－∞，1]上递增，选C.
3．已知函数f(x)是(0，＋∞)上的减函数，则f(a2－a＋1)与f的大小关系是________________________________________________________________________．
解析：∵a2－a＋1＝2＋≥＞0，
又∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，
∴f(a2－a＋1)≤f.
答案：f(a2－a＋1)≤f
4．已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．
解析：∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2
＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，
∴f(x)的单调递减区间是(－∞，1－a]．
又∵函数f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴1－a≥4，即a≤－3.
∴所求实数a的取值范围是(－∞，－3]．
答案：(－∞，－3]
5．求证：函数y＝在区间(1，＋∞)上为单调减函数．
证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1y1－y2＝－＝
＝.
∵x2>x1>1，
∴x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，
∴>0，
∴y1>y2，
∴函数y＝在区间(1，＋∞)上为单调减函数．
[课时达标检测]
一、选择题
1．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上( )
A．必是增函数
B．必是减函数
C．是增函数或减函数
D．无法确定单调性
解析：选D 函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．
2．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f(x1)B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．不能确定
解析：选D 根据单调函数的定义，所取两个自变量必须是同一单调区间内的任意两个自变量，才能由该区间上函数的单调性来比较出函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定，选D.
3．设f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则有( )
A．a≥
B．a≤
C．a>－
D．a<
解析：选D ∵f(x)在R上是减函数，故2a－1<0，即a<.
4．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )
①y＝|x|＋1；②y＝；③y＝－；
④y＝x＋.
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
解析：选C ①y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；②y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；③y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；④y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数．
5．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0,3)
B．(0,3]
C．(0,2)
D．(0,2]
解析：选D 依题意得实数a满足
解得0＜a≤2.
二、填空题
6．函数f(x)＝|x－1|＋2的单调递增区间为________．
解析：f(x)＝显然函数f(x)在x≥1时单调递增．
答案：[1，＋∞)
7．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：∵函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝且在区间上是增函数，
∴≤，即a≤2.
答案：(－∞，2]
8．函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且过点(－3，2)和(1，－2)，则使|f(x)|<2的自变量x的取值范围是________．
解析：∵f(x)是定义域上的减函数，f(－3)＝2，f(1)＝－2，∴当x>－3时，f(x)<2，当x<1时，f(x)>－2，则当－3答案：(－3,1)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝满足对任意的x1，x2∈R，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，求a的取值范围．
解：由对任意的x1，x2∈R，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0知函数f(x)在R上为减函数．当x<0时，函数f(x)＝－x＋3－3a为一次函数，且为减函数，则此时f(x)>f(0)＝3－3a；当x≥0时，函数f(x)＝－x2＋a为二次函数，也为减函数，且有f(x)≤f(0)＝a.要使函数f(x)在R上为减函数，则有a≤3－3a，解得a≤.所以a的取值范围是.
10．已知函数f(x)＝.
(1)设f(x)的定义域为A，求集合A；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义加以证明．
解：(1)由x2－1≠0，得x≠±1，所以函数f(x)＝的定义域为A＝{x∈R|x≠±1}．
(2)函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减．
证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，设x1则Δx＝x2－x1>0，
Δy＝y2－y1＝－＝，
∵x1>1，x2>1，
∴x－1>0，x－1>0，x1＋x2>0.
又x1因此，函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减．
11．讨论函数f(x)＝x＋(a＞0)的单调性．
解：f(x)＝x＋(a＞0)．
∵定义域为{x|x∈R，且x≠0}，
∴可分开证明，设x1＞x2＞0，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2).
当0＜x2＜x1≤时，恒有＞1，
则f(x1)－f(x2)＜0，
故f(x)在(0，]上是减函数；
当x1＞x2＞时，恒有0＜＜1，
则f(x1)－f(x2)＞0，
故f(x)在(，＋∞)上是增函数．
同理可证f(x)在(－∞，－)上是增函数，在[－，0)上是减函数．
综上所述，f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数，在[－，0)，(0，]上是减函数．
12．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：
设x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)设1∵a>0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述a的取值范围是(0,1]．2．2.1 对数与对数运算
第一课时 对 数
对 数
[提出问题]
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，依次类推．
问题1：1个这样的细胞分裂2次得到多少个细胞？分裂x次得到多少个细胞？
提示：22＝4个，2x个．
问题2：分裂多少次可得到8个？16个呢？如何求解？
提示：由2x＝8，得2x＝23，即x＝3；
由2y＝16，得2y＝24，即y＝4.
[导入新知]
对数的概念
(1)定义：
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)常用对数与自然对数：
通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lg_N；以无理数e＝2.718
28…为底的对数称为自然对数，并且把logeN记为ln_N.
[化解疑难]
对数的概念中规定“a>0，且a≠1”的原因
(1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在．如x＝log－28不存在．
(2)若a＝0，
①当N≠0时，x的值不存在．如log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在．
②当N＝0时，x可以是任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值．
(3)若a＝1，
①当N≠1时，x的值不存在．如log13不存在．
②当N＝1时，x可以为任意数，是不唯一的，即log11有无数个值．
因此规定a>0，且a≠1.
对数与指数的关系及性质
[导入新知]
1．对数与指数的关系
当a＞0，且a≠1时，ax＝N x＝logaN.前者叫指数式，后者叫对数式．
2．对数的性质
性质1
负数和零没有对数
性质2
1的对数是0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)
性质3
底数的对数是1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)
[化解疑难]
剖析指数式ax＝N和对数式x＝logaN的关系
(1)对数的概念中出现了两个等式：指数式ax＝N和对数式x＝logaN，这两个等式是等价的，它们之间的关系如下：
根据这个关系可以将指数式化成对数式，也可以将对数式化成指数式．
(2)指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：
式子
名称
a
x
N
指数式
ax＝N
底数
指数
幂
对数式
x＝logaN
底数
对数
真数
对数的概念
[例1] 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1；
(4)log32＝－5；(5)lg
0.001＝－3.
[解] (1)log2＝－7.
(2)log327＝a.
(3)lg
0.1＝－1.
(4)－5＝32.
(5)10－3＝0.001.
[类题通法]
指数式与对数式互化的方法
将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，而底数不变即可；而将对数式化为指数式，则反其道而行之．指数式与对数式的互化是一个重要内容，应熟练掌握．
[活学活用]
将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4；(2)log27＝－3；
(3)logx＝6；(4)43＝64；
(5)3－2＝；(6)－2＝16.
解：(1)24＝16.
(2)－3＝27.
(3)()6＝x.
(4)log464＝3.
(5)log3＝－2.
(6)log16＝－2.
对数的性质
[例2] 求下列各式中x的值：
(1)log5(log3x)＝0；
(2)log3(lg
x)＝1；
(3)ln[log2(lg
x)]＝0.
[解] (1)设t＝log3x，则log5t＝0，∴t＝1，
即log3x＝1，∴x＝3.
(2)∵log3(lg
x)＝1，
∴lg
x＝3，∴x＝103＝1
000.
(3)∵ln[log2(lg
x)]＝0，
∴log2(lg
x)＝1，
∴lg
x＝2，
∴x＝102＝100.
[类题通法]
对数性质的运用技巧
logaa＝1及loga1＝0是对数计算的两个常用量，可以实现数1,0与对数logaa及loga1的互化．
[活学活用]
已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值．
解：∵log2(log3(log4x))＝0，
∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3.∴x＝43＝64.
同理求得y＝16.∴x＋y＝80.
利用指数与对数的互化求变量的值
[例3] 求下列各式中x的值：
(1)logx27＝；(2)log2x＝－；
(3)x＝log27；(4)x＝log16.
[解] (1)由logx27＝，可得x＝27，
∴x＝27＝＝32＝9.
(2)由log2x＝－，可得x＝2.
∴x＝＝＝.
(3)由x＝log27，可得27x＝，
∴33x＝3－2，∴x＝－.
(4)由x＝log16，可得x＝16.
∴2－x＝24，∴x＝－4.
[类题通法]
指数与对数互化的本质
指数式ab＝N(a>0，且a≠1)与对数式b＝logaN(a>0，a≠1，N>0)之间是一种等价关系．已知对数式可以转化成指数式，指数式同样可以转化成对数式．
[活学活用]
求下列各式中x的值：
(1)logx8＝6；(2)x＝log84；
(3)log64x＝－；(4)－ln
e3＝x.
解：(1)∵logx8＝6，∴x6＝8.
又∵x>0，
∴x＝8＝(23)
＝2＝.
(2)∵x＝log84，
∴8x＝4，
即23x＝22，
∴3x＝2，∴x＝.
(3)∵log64x＝－，
∴x＝64＝(43)＝4－2＝.
(4)∵－ln
e3＝x，
∴ln
e3＝－x，
∴e3＝e－x，
∴x＝－3.
[典例] 对数式log(a－2)(5－a)＝b中，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，5)
B．(2,5)
C．(2，＋∞)
D．(2,3)∪(3,5)
[解析] 由题意，得
∴2[答案] D
[易错防范]
1．本题极易只注意真数大于0，即5－a>0而忽视底数a－2也大于0，从而得出a<5的错误结论，从而误选A.
2．在求解对数形式表达式中参数的取值范围时，应根据对数中的底数和真数满足的要求列出不等式组，进而求解即可．
[活学活用]
若对数log(x－1)(4x－5)有意义，则x的取值范围是( )
A.
B.
C.∪(2，＋∞)
D．[2,3]
解析：选C x应满足∴x>且x≠2.
[随堂即时演练]
1．已知logx16＝2，则x等于( )
A．4
B．±4
C．256
D．2
解析：选A 改写为指数式x2＝16，但x作为对数的底数，必须取正值，∴x＝4.
2．若logx＝z，则x，y，z之间满足( )
A．y7＝xz
B．y＝x7z
C．y＝7xz
D．y＝z7x
解析：选B ＝xz，∴y＝(xz)7＝x7z，把对数式转化为指数式，并进行运算．
3．已知log2x＝3，则x＝________.
解析：∵log2x＝3，
∴x＝23＝8，
∴x＝＝＝.
答案：
4．若log7[log3(logx)]＝0，则x＝________.
解析：∵log7[log3(logx)]＝0，
∴log3(logx)＝1，
∴logx＝3，
∴x＝3＝.
答案：
5．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)53＝125；
(2)4－2＝；
(3)log8＝－3；
(4)log3＝－3.
解：(1)∵53＝125，∴log5125＝3.
(2)∵4－2＝，∴log4＝－2.
(3)∵log8＝－3，∴－3＝8.
(4)∵log3＝－3，∴3－3＝.
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知loga2b＝c，则有( )
A．a2b＝c
B．a2c＝b
C．bc＝2a
D．c2a＝b
解析：选B 根据指数与对数之间的关系转化，有(a2)c＝b，即a2c＝b.
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0＝1与ln
1＝0
B．8＝与log8＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log77＝1与71＝7
解析：选C 由指对互化的关系ax＝N x＝logaN可知A，B，D都正确；C中log39＝2 9＝32.
3．下列各式中正确的个数是( )
①lg(lg
10)＝0；②lg(ln
e)＝0；③若10＝lg
x，则x＝10；④由log25x＝，得x＝±5.
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B 底的对数为1,1的对数为0，故①②正确，0和负数没有对数，故④错误，③中10＝lg
x，应该有x＝1010，所以，只有①②正确．
4．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是( )
A．1
B．0
C．x
D．y
解析：选B 由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，
则(x－2)2＋(y－1)2＝0，
∴x＝2，y＝1.logx(yx)＝log2(12)＝0.
5．若a>0，a＝，则loga等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：选B ∵a＝，a>0，
∴a＝＝3，
设loga＝x，∴x＝a.
∴x＝3.
二、填空题
6．求值：lg
10
000＝________；lg
0.001＝________.
解析：熟悉常用对数符号，并由指数运算得结果．由104＝10
000知lg
10
000＝4,10－3＝0.001得lg
0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.
答案：4 －3
7．方程log2(1－2x)＝1的解x＝________.
解析：∵log2(1－2x)＝1＝log22，
∴1－2x＝2，∴x＝－.
经检验满足1－2x>0.
答案：－
8．求值：log6[log4(log381)]＝________.
解析：令t＝log381，则3t＝81＝34，
∴t＝4，即log381＝4.
原式＝log6(log44)＝log61＝0.
答案：0
三、解答题
9．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．
解：∵logx＝m，∴m＝x，x2＝2m.
∵logy＝m＋2，∴m＋2＝y，y＝2m＋4.
∴＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16.
10．求下列各式中x的值．
(1)log2(log4x)＝0；
(2)log－1＝x.
解：(1)∵log2(log4x)＝0，
∴log4x＝1，
∴x＝4.
(2)∵log－1＝log－1(3－2)＝x，
∴(－1)x＝3－2＝(－1)2，
∴x＝2.
11．设loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值．
解：∵loga2＝m，loga3＝n，
∴am＝2，an＝3，
∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an
＝22×3＝12.
12．已知二次函数f(x)＝(lg
a)x2＋2x＋4lg
a的最大值为3，求a的值．
解：原函数式可化为
f(x)＝lg
a(x＋)2－＋4lg
a.
∵f(x)有最大值3，
∴lg
a<0，且－＋4lg
a＝3，
整理得4(lg
a)2－3lg
a－1＝0，
解之得lg
a＝1或lg
a＝－.
又∵lg
a<0，
∴lg
a＝－.
∴a＝10.2．2.2 对数函数及其性质
第一课时 对数函数的图象及性质
对数函数的概念
[提出问题]
在指数函数中我们已经知道，某种放射性物质若最初的质量为1，第二年的剩留量为上一年的0.84，则经过x年，该物质的剩留量为y＝0.84x.
问题1：经过多少年这种物质的剩留量为0.5
提示：0.84x＝0.5 x＝log0.840.5.
问题2：若经过y年的剩留量为x，能用x表示y吗？
提示：能．y＝log0.84x.
问题3：“问题2”的等式中y是x的函数吗？
提示：是，符合函数的定义．
[导入新知]
对数函数的定义
函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
[化解疑难]
对数函数概念的注意点
(1)对数函数的概念与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：y＝2log2x，y＝log5都不是对数函数，可称其为对数型函数．
(2)由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)．
(3)对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1.
对数函数的图象和性质
[提出问题]
问题1：试作出y＝log2x和y＝logx的图象．
提示：如图所示：
问题2：两图象与x轴交点坐标是什么？
提示：交点坐标为(1,0)．
问题3：两函数单调性如何？
提示：y＝log2x是增函数，y＝logx是减函数．
问题4：函数y＝2x与y＝log2x的图象有什么关系？定义域、值域有什么关系？
提示：图象关于直线y＝x对称，定义域和值域互换．
[导入新知]
1．对数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
2．对数函数与指数函数的关系
指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
[化解疑难]
a对对数函数的图象的影响
(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1还是0(3)函数y＝logax与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称．
对数函数的概念
[例1] 判断下列函数是不是对数函数，并说明理由．
①y＝logax2(a>0，且a≠1)；
②y＝log2x－1；
③y＝2log8x；
④y＝logxa(x>0，且x≠1)；
⑤y＝log5x.
[解] ∵①中真数不是自变量x，
∴不是对数函数；
∵②中对数式后减1，∴不是对数函数；
∵③中log8x前的系数是2，而不是1，
∴不是对数函数；
∵④中底数是自变量x，而非常数a，
∴不是对数函数．
⑤为对数函数．
[类题通法]
判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
①系数为1；
②底数为大于0且不等于1的常数；
③对数的真数仅有自变量x.
[活学活用]
函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
解析：a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.
又a＋1>0，且a＋1≠1，∴a＝1.
答案：1
对数函数的图象
[例2] (1)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
(2)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________．
[解析] (1)因为函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，
此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，
所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．
(2)由图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a>1，b>1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c.
[答案] (1)(0，－2) (2)b>a>1>d>c
[类题通法]
1．对数函数图象过定点问题
求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．
2．对数函数图象的判断
根据对数函数图象判断底数大小的方法：
作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
[活学活用]
已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是( )
解析：选B 法一：若0若a>1，则函数y＝ax的图象上升且过点(0,1)，而函数y＝loga(－x)的图象下降且过点(－1,0)，只有B中图象符合．
法二：首先指数函数y＝ax的图象只可能在上半平面，函数y＝loga(－x)的图象只可能在左半平面，从而排除A，C；再看单调性，y＝ax与y＝loga(－x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合．
与对数函数有关的定义域问题
[例3] 求下列函数的定义域：
(1)y＝log5(1－x)；
(2)y＝log1－x5；
(3)y＝；
(4)y＝(a＞0，且a≠1)．
[解] (1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，
所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}．
(2)要使函数式有意义，需
解得x<1，且x≠0，
所以函数y＝log1－x5的定义域是{x|x<1，且x≠0}．
(3)由得
∴x＞－1，且x≠999，
∴函数的定义域为{x|x＞－1，且x≠999}．
(4)loga(4x－3)≥0 loga(4x－3)≥loga1.
当a＞1时，有4x－3≥1，x≥1.
当0＜a＜1时，有0＜4x－3≤1，
解得＜x≤1.
综上所述，当a＞1时，函数的定义域为[1，＋∞)，
当0＜a＜1时，函数的定义域为.
[类题通法]
求对数函数定义域应注意的问题
定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.
[活学活用]
求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝log2(16－4x)；
(4)y＝logx－1(3－x)．
解：(1)要使函数式有意义，需
解得x>0，且x≠1.
∴函数y＝的定义域是{x|x>0，且x≠1}．
(2)要使函数式有意义，
需即解得x≥4.
∴所求函数的定义域是{x|x≥4}．
(3)要使函数式有意义，需16－4x>0，解得x<2.
∴所求函数的定义域是{x|x<2}．
(4)要使函数式有意义，
需解得1∴所求函数的定义域是{x|1
[典例] (12分)设x≥0，y≥0，且x＋2y＝，求函数z＝log(8xy＋4y2＋1)的最大值与最小值．
[活学活用]
求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log(3＋2x－x2)．
解：(1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R.
∵x2＋4≥4，
∴log2(x2＋4)≥log24＝2.
∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．
(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4.
∵u>0，∴0＜u≤4.
又∵y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，
∴logu≥log4＝－2，
∴y＝log(3＋2x－x2)的值域为{y|y≥－2}．
[随堂即时演练]
1．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞)
D．(2,4)∪(4，＋∞)
解析：选C 要使函数有意义，应满足
即解得x＞2且x≠3.
2．当a>1时，函数y＝logax和y＝(1－a)x的图象只能是( )
解析：选B 因为a>1，所以y＝logax为增函数，且函数图象过定点(1,0)，故排除C，D.又因为1－a<0，所以直线y＝(1－a)x应过原点，且经过第二象限和第四象限．
3．已知对数函数过点(2,4)，则f(x)的解析式为________．
解析：设f(x)＝logax，则由f(2)＝loga2＝4，得a4＝2，
∴a＝，∴f(x)＝logx.
答案：f(x)＝logx
4．函数f(x)＝ax－2＋loga(x－1)＋1(a>0，a≠1)的图象必经过点________．
解析：当x＝2时，f(2)＝a0＋loga1＋1＝2，所以图象必经过点(2,2)．
答案：(2,2)
5．已知函数f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)解：(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，
解得x＝2.
由图象知：当0∴所求a的取值范围为{a|0[课时达标检测]
一、选择题
1．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．[2，＋∞)
D．[3，＋∞)
解析：选C 当x≥1时，log2x≥0，所以y＝2＋log2x≥2.
2．函数y＝的定义域是( )
A．[1，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．[0,1]
D．(0,1]
解析：选D 由函数的解析式得log(2x－1)≥0＝log1.
∴0<2x－1≤1，解得1＜2x≤2,0＜x≤1.
3．已知a＞0，且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是( )
解析：选C 对于A，由指数函数知a＞1，而此时一次函数a＜1，不符合；对于B，由指数函数知a＞1，而此时由对数函数知0＜a＜1，不符合；对于C，都符合；对于D，由指数函数知0＜a＜1，而由一次函数知a＞1，不符合，故选C.
4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x
B.
C．logx
D．2x－2
解析：选A 函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，
又因为f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.
5.已知a＜b，函数f(x)＝(x－a)·(x－b)的图象如图所示，则函数g(x)＝logb(x＋a)的图象可能为( )
解析：选B 由题图可知0＜a＜1＜b，故函数g(x)单调递增，排除A、D，结合a的范围可知选B.
二、填空题
6．设g(x)＝则g＝________.
解析：∵g＝ln<0，
∴g＝e＝.
答案：
7.函数f(x)＝的图象如图所示，则a＋b＋c＝______.
解析：由图象可求得直线的方程为y＝2x＋2，即a＝2，b＝2，
又因为函数y＝logc的图象过点(0,2)，
将其坐标代入可得c＝，
所以a＋b＋c＝2＋2＋＝.
答案：
8．已知函数y＝|logx|的定义域为，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．
解析：作出y＝|logx|的图象(如图)，
可知f
＝f(2)＝1，
由题意结合图象知：1≤m≤2.
答案：[1,2]
三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．
解：(1)由题意得即
∴x≤1，即y＝的定义域为.
(2)由得
解得x>，且x≠1.
∴y＝的定义域为xx>，且x≠1.
(3)由题意得解得
∴y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为
.
10．已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性．
解：(1)要使函数有意义，则有>0，
即
或解得x>1或x<－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．
(2)f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．
11．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值，及y取最大值时x的值．
解：∵f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)
＝(2＋log3x)2＋(2＋log3x2)
＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.
∵函数f(x)的定义域为[1,9]，
∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，必须满足∴1≤x≤3.
令u＝log3x，则0≤u≤1.
又∵函数y＝(u＋3)2－3在[－3，＋∞)上是增函数，
∴当u＝1，即x＝3时，函数y＝(u＋3)2－3取得最大值13.
故当x＝3时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)取得最大值13.
12．(1)已知函数y＝lg(x2＋2x＋a)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(2a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
解：(1)因为y＝lg(x2＋2x＋a)的定义域为R，
所以x2＋2x＋a>0恒成立，所以Δ＝4－4a<0，
所以
a>1.
故a的取值范围是(1，＋∞)．
(2)依题意(a2－1)x2＋(2a＋1)x＋1>0对一切x∈R恒成立．
当a2－1≠0时，
解得a<－.
当a2－1＝0时，显然(2a＋1)x＋1>0，对x∈R不恒成立．
所以a的取值范围是(－∞，－)．3．2.2 函数模型的应用实例
[导入新知]
1．常见的函数模型
(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；
(2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；
(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；
(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．
2．建立函数模型解决问题的框图表示
[化解疑难]
求解函数应用题的程序
二次函数模型
[例1] 已知某种商品涨价x成(1成＝10%)时，每天的销售量减少x(其中x>0)成．
(1)应该涨价多少，才能使每天的营业额(售出的总金额)最大？
(2)如果适当涨价，能使每天的营业额增加，求x的取值范围．
[解] 设商品原价格为m，每天的原销售量为n，则每天的原营业额为m·n，涨价后每天的营业额为y＝m···n.
(1)y＝m···n
＝·m·n.
当x＝，即涨价125%时，每天的营业额最大．
(2)要使涨价后每天的营业额比原来增加，
则需m···n＞m·n，
即2x2－5x＜0，变形得x(2x－5)<0.
又x>0，故0＜x＜.
∴x的取值范围为.
[类题通法]
利用二次函数模型解决问题的方法
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．
[活学活用]
[活学活用]
如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解：(1)作PQ⊥AF于Q，
所以PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米．
又△EPQ∽△EDF，
所以＝，即＝.
所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，
则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，
S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x＝10，
所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增．
所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米.
分段函数模型
[例2] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)．
[解] (1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20＜x≤200时，设v(x)＝ax＋b(a≠0)，
再由已知得
解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并结合(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1
200；
当20＜x≤200时，f(x)＝x(200－x)＝－(x－100)2＋≤，当且仅当x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3
333.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3
333辆/时．
[类题通法]
构建分段函数模型的关键点
建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．
[活学活用]
某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4
μg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？
解：(1)依题意得y＝
(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则－t1＋＝4，解得t1＝4，因而第二次服药应在11：00.
设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－t2＋－(t2－4)＋＝4，解得t2＝9，故第三次服药应在16：00.
设第四次服药在第一次服药后t3(t3>10)小时，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－(t3－4)＋－(t3－9)＋＝4，解得t3＝13.5，故第四次服药应在20：30.
指数、对数型函数模型
[例3] 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.
(1)求p%的值．
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)该森林今后最多还能砍伐多少年？
[解] (1)由题意得a(1－p%)10＝，
即(1－p%)10＝，解得p%＝1－.
(2)设经过m年森林面积为a，
则a(1－p%)m＝a，即＝，
＝，解得m＝5.
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，n年后森林面积为
a·(1－p%)n.
令a(1－p%)n≥a，
即(1－p%)n≥，
≥，得≤，解得n≤15，
故今后最多还能砍伐15年．
[类题通法]
指数函数模型的应用
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
[活学活用]
某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：
lg
2＝0.301
0，lg
3＝0.477
1)
解：依题意，得·n≤，即n≤.
则n(lg
2－lg
3)≤－(1＋lg
2)，
故n≥≈7.4，考虑到n∈N，即至少要过滤8次才能达到市场要求．
[典例] (12分)甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规律(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到如下两图．
甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只；
乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减到第六年10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数．
(2)到第六年，这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由．
(3)哪一年的规模最大？说明理由．
[解题流程]
[活学活用]
某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：
销售单价x/元
30
40
45
50
日销售量y/件
60
30
15
0
(1)在坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．
解：实数对(x，y)对应的点如图所示，由图可知y是x的一次函数．
(1)设f(x)＝kx＋b，
则
解得
∴f(x)＝－3x＋150,30≤x≤50，检验成立．
(2)P＝(x－30)·(－3x＋150)
＝－3x2＋240x－4
500,30≤x≤50，
∴对称轴x＝－＝40∈[30,50]．
答：当销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
[随堂即时演练]
1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N
)之间关系的是( )
A．y＝100x
B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x
D．y＝100x
解析：选C 当x＝4时，A中，y＝400；B中，y＝700；C中，y＝800；D中，y＝1004.故选C.
2．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t(时)的函数解析式是( )
A．x＝60t
B．x＝150－50t
C．x＝
D．x＝
解析：选D 显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数．
3．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8
100元的计算机15年后的价格应降为________元．
解析：y＝a·，所以当x＝15时，y＝8
100×3＝8
100×＝2
400(元)．
答案：2
400
4.如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系图象，根据图象填空：
(1)通话2分钟，需付的电话费为________元；
(2)通话5分钟，需付的电话费为________元；
(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系式为________．
解析：(1)由题图可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
(2)由题图可知，当t＝5时，y＝6，即需付电话费6元．
(3)当t≥3时，y关于x的图象是一条直线，且经过(3，3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y＝kt＋b，
则
解得
故y关于t的函数关系式为y＝1.2t(t≥3)．
答案：(1)3.6 (2)6 (3)y＝1.2t(t≥3)
5．在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3
600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销量价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2
000元．
(1)当商品的价格为每百件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
解：设该店月利润余额为L元，
则由题设得L＝Q(P－14)×100－3
600－2
000，①
由销量图易得Q＝
代入①式得
L＝
(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；
当20故当P＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．
(2)设可在n年后脱贫，依题意有12n×450－50
000－58
000≥0，解得n≥20.即最早可望在20年后脱贫．
[课时达标检测]
一、选择题
1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )
A. B.
C.－1
D.－1
解析：选D 设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1.
2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4
000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝0.2x(0≤x≤4
000)
B．y＝0.5x(0≤x≤4
000)
C．y＝－0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)
D．y＝0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)
解析：选C 由题意得y＝0.3(4
000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1
200.
3．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是( )
(1)这几年生活水平逐年得到提高；
(2)生活费收入指数增长最快的一年是2013年；
(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2014年；
(4)虽然2015年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C 由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故(1)正确；“生活费收入指数”在2013～2014年最陡；故(2)正确；“生活价格指数”在2014～2015年比较平缓，故(3)不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故(4)正确．
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15
B．40
C．25
D．130
解析：选C 若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．故拟录用25人．
5．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是( )
A．[5,6)
B．(5,6]
C．[6,7)
D．(6,7]
解析：选B 若按x(x∈Z)千米计价，则6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得x＝6.故实际行程应属于区间(5,6]．
二、填空题
6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2
000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：当v＝12
000时，2
000·ln＝12
000，
∴ln＝6，∴＝e6－1.
答案：e6－1
7．一水池有2个进水口、1个出水口，2个进水口的进水速度如图甲、乙所示，出水口的排水速度如图丙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丁所示．
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；
②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水．
其中一定正确的论断序号是________．
解析：从0点到3点，两个进水口的进水量为9，故①正确；由排水速度知②正确；4点到6点可以是不进水，不出水，也可以是开一个进水口(速度快的)、一个排水口，故③不正确．
答案：①②
8．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．
解析：由题意知，第一年产量为a1＝×1×2×3＝3；
以后各年产量分别为
an＝f(n)－f(n－1)
＝n(n＋1)(2n＋1)－n(n－1)(2n－1)
＝3n2(n∈N
)，
令3n2≤150，得1≤n≤5 1≤n≤7，
故生产期限最长为7年．
答案：7
三、解答题
9．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3
000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费40元．
(1)当每辆车的月租金定为3
900元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解：(1)租金增加了900元，900÷60＝15，
所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．
(2)设租金提高后有x辆未租出，则已租出(100－x)辆．
租赁公司的月收益为y元，
y＝(3
000＋60x)(100－x)－160(100－x)－40x，
其中x∈[0,100]，x∈N，
整理，得y＝－60x2＋3
120x＋284
000
＝－60(x－26)2＋324
560，
当x＝26时，y＝324
560，
即最大月收益为324
560元．
此时，月租金为3
000＋60×26＝4
560(元)．
10．某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产1百件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为5百件，产品销售数量为t(百件)时，销售所得的收入为万元．
(1)该公司这种产品的年生产量为x百件，生产并销售这种产品得到的利润为当年产量x的函数f(x)，求f(x)；
(2)当该公司的年产量为多大时当年所获得的利润最大．
解：(1)当x≤5时，f(x)＝5x－x2－(0.25x＋0.5)＝－＋x－；
当x>5时，f(x)＝5×5－×52－(0.25x＋0.5)＝12－x；
所以f(x)＝
(2)当0故当x＝百件＝475件时，f(x)max＝(万元)；
当x>5时，f(x)＝12－x<12－<.
故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．
11．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15
000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅行团人数为x，飞机票价格为y元，
则y＝
即y＝
(2)设旅行社获利S元，
则S＝
即S＝
因为S＝900x－15
000在区间(0,30]上单调递增，当x＝30时，S取最大值12
000，
又因为S＝－10(x－60)2＋21
000在区间(30,75]上，
当x＝60时，S取最大值21
000.
故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．3．2.1 几类不同增长的函数模型
[提出问题]
观察如表给出的函数值：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x)＝2x
2
4
8
16
32
64
128
256
2x＋1－2x
2
4
8
16
32
64
128
256
g(x)＝x2
1
4
9
16
25
36
49
64
(x＋1)2－x2
3
5
7
9
11
13
15
17
h(x)＝log2x
0
1
1.585
0
2
2.321
9
2.585
0
2.807
4
3
log2(x＋1)－log2x
1
0.585
0
0.415
0
0.321
9
0.263
1
0.222
4
0.192
6
0.169
9
问题1：函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？
提示：函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值增大．
问题2：函数f(x)，g(x)，h(x)增长的速度有什么不同？
提示：各函数增长的速度不同，其中f(x)＝2x增长得最快，其次是g(x)＝x2，最慢的是h(x)＝log2x.
[导入新知]
指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．
随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．
因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，就有logax1，n>0)．
[化解疑难]
对比指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势
函数性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
增长的速度
先慢后快
先快后慢
相对平稳
图象的变化
随着x的增大逐渐加快增大
随着x的增大逐渐减慢增大
随n值的不同而不同
考查函数模型的增长差异
[例1] 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1
024
32
768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
[解析] 从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．
以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
[答案] y2
[类题通法]
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
(4)幂函数模型
幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
[活学活用]
今有一组实验数据如下：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )
A．v＝log2t
B．v＝logt
C．v＝
D．v＝2t－2
解析：选C 从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D，选C.
指数函数、对数函数与幂函数模型的比较
[例2] 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2
017)，g(2
017)的大小．
[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)>g(1)，f(2)f(10)>g(10)，
∴1∴x1<6014>x2.
从图象上可以看出，当x1∴f(6)当x>x2时，f(x)>g(x)，
∴f(2
014)>g(2
014)．
又∵g(2
014)>g(6)，
∴f(2
014)>g(2
014)>g(6)>f(6)．
[类题通法]
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．
[活学活用]
函数f(x)＝lg
x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异[以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较]．
解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg
x.
(2)当xf(x)；
当x1g(x)；
当x>x2时，g(x)>f(x)；
当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).
函数模型的选取
[例3] 某汽车制造商在2017年初公告：公司计划2017年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份/年
2014
2015
2016
产量/万辆
8
18
30
如果我们分别将2014,2015,2016,2017定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年生产量y与年份x的关系？
[解] 建立年生产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．
①构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点坐标代入，可得
解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f(x)＝x2＋7x，
故f(4)＝44，与计划误差为1.
②构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，
将点坐标代入，可得
解得a＝，b＝，c＝－42，
则g(x)＝·x－42，
故g(4)＝·4－42＝44.4，与计划误差为1.4.
由①②可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年生产量y与年份x的关系．
[类题通法]
不同函数模型的选取标准
不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．
[活学活用]
某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
解：借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
[典例] 下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A．y＝ex
B．y＝100ln
x
C．y＝x100
D．y＝100·2x
[解析] 指数爆炸式形容指数函数．
又∵e>2，
∴ex比100·2x增大速度快．
[答案] A
[易错防范]
1．影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数，而并非其系数，本题易发生误认为100>，所以100·2x比ex增大速度快的错误结论．
2．函数y＝a·bx＋c(b>0，且b≠1，a≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b>1，a>0)，常形象地称为指数爆炸．
[活学活用]
四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2
B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x
D．f4(x)＝2x
解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.
[随堂即时演练]
1．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝50
B．y＝1
000x
C．y＝2x－1
D．y＝ln
x
解析：选C 指数函数模型增长速度最快，故选C.
2．三个变量y1，y2，y3，随着自变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1
715
3
645
6
655
y2
5
29
245
2
189
19
685
177
149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )
A．y1，y2，y3
B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1
D．y1，y3，y2
解析：选C 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.
3．若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是________．
解析：∵a>1，n>0，
∴函数y1＝ax，y2＝xn，y3＝logax都是增函数．
由指数函数、对数函数、幂函数的变化规律可知，当x足够大时，ax>xn>logax.
答案：ax>xn>logax
4．函数y＝x2与函数y＝xln
x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
解析：当x变大时，x比ln
x增长要快，
∴x2比xln
x增长要快．
答案：y＝x2
5．某地发生地震，各地纷纷捐款捐物，甲、乙、丙三个公司分别派代表到慈善总会捐款给灾区．甲公司的代表说：“在10天内，我们公司每天捐款5万元给灾区．”乙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元．”丙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番．”你觉得哪个公司在10天内捐款最多？
解：三个公司在10天内捐款情况如下表所示：
甲公司
乙公司
丙公司
第1天
5
1
0.1
第2天
5
2
0.2
第3天
5
3
0.4
第4天
5
4
0.8
第5天
5
5
1.6
第6天
5
6
3.2
第7天
5
7
6.4
第8天
5
8
12.8
第9天
5
9
25.6
第10天
5
10
51.2
总计
50
55
102.3
由上表可以看出，丙公司捐款最多，为102.3万元，即丙公司在10天内捐款最多．
[课时达标检测]
一、选择题
1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如下图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲比乙先到达终点
解析：选D 由题图可知，甲到达终点用时短，故选D.
2．已知y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2A．y1>y2>y3
B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2
D．y2>y3>y1
解析：选B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.
3．有一组实验数据如下表所示：
x
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝logax(a>1)
B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0)
D．y＝logax＋b(a>1)
解析：选C 通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.
4．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是( )
A．2x>x>lg
x
B．2x>lg
x>x
C．x>2x>lg
x
D．lg
x>x>2x
解析：选A 结合y＝2x，y＝x及y＝lg
x的图象易知，当x∈(0,1)时，2x>x>lg
x.
5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
解析：选D 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.
二、填空题
6．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y1
2
4
8
16
32
64
128
256
…
y2
1
4
9
16
25
36
49
64
…
y3
0
1
1.585
2
2.322
2.585
2.807
3
…
其中，关于x呈指数函数变化的函数是____________________．
解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.
答案：y1
7．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．
答案：②③
8．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80
km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3
h，晚到1
h；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发1.5
h后追上了骑自行车者；
④骑摩托车者在出发1.5
h后与骑自行车者速度一样．
其中，正确信息的序号是________．
解析：看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．
答案：①②③
三、解答题
9．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln
x＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln
x＋1.
由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；
当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
10．截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y(单位：亿)．
(1)求y与x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数，并指出函数增减的实际意义．
解：(1)1999年底人口数：13亿．
经过1年，2000年底人口数：
13＋13×1%＝13×(1＋1%)亿．
经过2年，2001年底人口数：
13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%
＝13×(1＋1%)2亿．
经过3年，2002年底人口数：
13×(1＋1%)2＋13×(1＋1%)2×1%
＝13×(1＋1%)3亿．
…
∵经过年数与(1＋1%)的指数相同，
∴经过x年后人口数为13×(1＋1%)x亿．
∴y＝f(x)＝13×(1＋1%)x.
(2)∵此问题以年作为单位时间，
∴x∈N
是此函数的定义域．
(3)y＝f(x)＝13×(1＋1%)x.
∵1＋1%>1,13>0，
∴y＝f(x)＝13×(1＋1%)x是增函数，
即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．
11．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这3个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y＝a·bx＋c(a，b，c为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由．
解：设两个函数：y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)，y2＝g(x)＝a·bx＋c.
依题意，
解得
∴y1＝f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，
∴f(4)＝1.3(万件)．
依题意，得
解得
∴y2＝g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.
∴g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35(万件)．
经比较，g(4)＝1.35(万件)比f(4)＝1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件．
∴选y2＝g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数较好．1．1.3 集合的基本运算
第一课时 集合的并集、交集
并 集
[提出问题]
已知下列集合：
A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x∈N|1≤x≤4}，C＝{－1,1,2,3,4}．
问题1：集合A与集合B各有几个元素？
提示：A＝{－1,1}，B＝{1,2,3,4}，即集合A有2个元素，集合B有4个元素．
问题2：若将集合A与集合B的元素放在一起，构成一个新的集合是什么？
提示：{－1,1,2,3,4}．
问题3：集合C中的元素与集合A，B有什么关系？
提示：集合C中元素属于集合A或属于集合B.
[导入新知]
1．并集的概念
文字语言
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)
符号语言
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
图形语言
2.并集的性质
(1)A∪B＝B∪A，即两个集合的并集满足交换律．
(2)A∪A＝A，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身．
(3)A∪ ＝ ∪A＝A，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身．
(4)A (A∪B)，B (A∪B)，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集．
(5)若A B，则A∪B＝B，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集，等于这个集合本身．
[化解疑难]
理解并集应关注三点
(1)A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成．
(2)“或”的数学内涵的形象图示如下：
(3)若集合A和B中有公共元素，根据集合元素的互异性，则在A∪B中仅出现一次.
交 集
[提出问题]
已知A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，C＝{3,4}．
问题1：集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？
提示：有．{3,4}．
问题2：集合C中的元素与集合A，B有什么关系？
提示：集合C中的元素既属于集合A又属于集合B.
[导入新知]
1．交集的概念
文字语言
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)
符号语言
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
图形语言
2．交集的性质
(1)A∩B＝B∩A，即两个集合的交集满足交换律．
(2)A∩A＝A，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身．
(3)A∩ ＝ ∩A＝ ，即任何集合与空集的交集等于空集．
(4)A∩B A，A∩B B，即两个集合的交集是其中任一集合的子集．
(5)若A B，则A∩B＝A，反之也成立，即若A是B的子集，则A，B的公共部分是A.
[化解疑难]
理解交集的概念应关注四点
(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素．
(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．
(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝ .
(4)定义中“x∈A，且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为A∩B.而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于A∩B.
并集的运算
[例1] (1)(广东高考)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝( )
A．{－1,0,1}
B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2}
D．{0,1}
(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2A．{x|x>－2}
B．{x|x>－1}
C．{x|－2D．{x|－1[解析] (1)M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．
(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．
[答案] (1)B (2)A
[类题通法]
并集的运算技巧
(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．
(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．
[活学活用]
若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选C 从A∪B＝{1,4，x}看它与集合A，B元素之间的关系，可以发现A∪B＝A，从而B是A的子集，则x2＝4或x2＝x，解得x＝±2或1或0.当x＝±2时，符合题意；当x＝1时，与集合元素的互异性相矛盾(舍去)；当x＝0时，符合题意．因此x＝±2或0.
交集的运算
[例2] (1)(天津高考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝( )
A．{1}
B．{4}
C．{1,3}
D．{1,4}
(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A．{x|0≤x≤2}
B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4}
D．{x|1≤x≤4}
[解析] (1)因为集合B中，x∈A，
所以当x＝1时，y＝3－2＝1；
当x＝2时，y＝3×2－2＝4；
当x＝3时，y＝3×3－2＝7；
当x＝4时，y＝3×4－2＝10.
即B＝{1,4,7,10}．
又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.
(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图．
则由交集的定义，A∩B＝{x|0≤x≤2}．
[答案] (1)D (2)A
[类题通法]
求交集运算应关注两点
(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合．
(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性．
[活学活用]
已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．
解：∵M∩N＝{3}，∴3∈M，
∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，
解得a＝－1或4.
但当a＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾，
当a＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意．
∴a＝4.
交集、并集的性质及应用
[例3] 已知集合A＝{x|－3[解] ∵A∪B＝A，∴B A，
∴分B＝ 和B≠ 两种情况讨论．
①当B＝ 时，k＋1>2k－1，∴k<2.
②当B≠ ，则根据题意如图所示：
根据数轴可得
解得2≤k≤.
综合①②可得k的取值范围是.
[类题通法]
并集、交集的性质应用技巧
对于涉及集合运算的问题，可利用集合运算的等价性(即若A∪B＝A，则B A，反之也成立；若A∩B＝B，则B A，反之也成立)，转化为相关集合之间的关系求解．
[活学活用]
把本例中的条件“A∪B＝A”换为“A∩B＝A”，求k的取值范围．
解：∵A∩B＝A，∴A B.
又∵A＝{x|－3由数轴(如图所示)可知解得k∈ ，
即当A∩B＝A时，k的取值范围为 .
[典例] (1)已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是( )
A．1或2
B．2或4
C．2
D．1
(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，若A∩B＝B，则a的取值范围为________．
[解析] (1)∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}不合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}符合题意．
(2)由题意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，
∴当B＝ 时，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；
当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意；
当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不合题意．综上所述，a的取值范围是{a|a≥2}．
[答案] (1)C (2){a|a≥2}
[易错防范]
1．本例(1)中的M∩N＝{2,3}有两层含义：①2,3是集合M，N的元素；②集合M，N只有这两个公共元素．因此解出字母后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视．
2．在本例(2)中，A∩B＝B B A，B可能为空集，极易被忽视．
[成功破障]
设集合M＝{x|－2解析：由M∩N＝N，得N M.故当N＝ ，即2t＋1≤2－t，t≤时，M∩N＝N成立；
当N≠ 时，由图得
解得综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤2}．
答案：{t|t≤2}
[随堂即时演练]
1．已知表示集合M＝{－1,0,1}和P＝{0,1,2,3}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是( )
A．{0,1}
B．{0}
C．{－1,2,3}
D．{－1,0,1,2,3}
解析：选A 由题中Venn图得，阴影部分表示的集合是M∩P，因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，所以M∩P＝{－1,0,1}∩{0,1,2,3}＝{0,1}．
2．已知集合M＝{a,0}，N＝，如果M∩N≠ ，则a等于( )
A．1
B．2
C．1或2
D.
解析：选C ∵N＝＝{1,2}，
又∵M＝{a,0}，M∩N≠ ，
∴a＝1或a＝2.
3．若集合A＝{x|－1解析：借助数轴可知：A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x<5}．
答案：R {x|4≤x<5}
4．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
解析：因为A∪B＝R，画出数轴(图略)可知表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边，所以a≤1.
答案：{a|a≤1}
5．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.
解：由已知A＝{2，－1，x2－x＋1}，
B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C得：
7∈A,7∈B且－1∈B，
∴在集合A中x2－x＋1＝7，
解得x＝－2或3.
当x＝－2时，在集合B中，x＋4＝2，
又∵2∈A，故2∈A∩B＝C，
但2 C，故x＝－2不合题意，舍去．
当x＝3时，在集合B中，x＋4＝7.
故有2y＝－1，解得y＝－，
经检验满足A∩B＝C.
综上知，所求x＝3，y＝－.
此时，A＝{2，－1,7}，B＝{－1，－4,7}，
故A∪B＝{－4，－1,2,7}．
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝( )
A．{x|x≥－1}
B．{x|x≤2}
C．{x|0＜x≤2}
D．{x|－1≤x≤2}
解析：选A 借助数轴可知A∪B＝{x|x≥－1}．
2．设S，T是两个非空集合，且它们互不包含，那么S∪(S∩T)等于( )
A．S∩T
B．S
C．
D．T
解析：选B ∵(S∩T) S，∴S∪(S∩T)＝S.
3．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：选D ∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.
4．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( )
A．{1,2}
B．{1,5}
C．{2,5}
D．{1,2,5}
解析：选D ∵A∩B＝{2}，
∴2∈A,2∈B，
∴a＋1＝2，
∴a＝1，b＝2，
即A＝{1,2}，B＝{2,5}．
∴A∪B＝{1,2,5}．
5．如图所示的Venn图中，若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x＞1}，则阴影部分表示的集合为( )
A．{x|0＜x＜2}
B．{x|1＜x≤2}
C．{x|0≤x≤1，或x≥2}
D．{x|0≤x≤1，或x＞2}
解析：选D 因为A∩B＝{x|1＜x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，阴影部分为A∪B中除去A∩B的部分，即为{x|0≤x≤1，或x＞2}．
二、填空题
6．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数为________．
解析：∵M∪{1}＝{1,2,3}，∴M＝{1,2,3}或{2,3}，即M的个数为2.
答案：2
7．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
解析：设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x)＝x－5，故15＋x－5＝30－8 x＝12.
答案：12
8．设集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠ ，则a的取值范围是____________．
解析：由图可知，若A∩B≠ ，则a＞－1，即a的取值范围为{a|a＞－1}．
答案：{a|a＞－1}
三、解答题
9．已知S＝{x|2x2－px＋q＝0}，T＝{x|6x2＋(p＋2)x＋q＋5＝0}，且S∩T＝，求S∪T.
解：∵S∩T＝，
∴∈S，且∈T.
因此有
从而S＝{x|2x2＋7x－4＝0}＝.
T＝{x|6x2－5x＋1＝0}＝.
∴S∪T＝∪＝.
10．集合A＝{x|－1(1)若A∩B＝ ，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝{x|x<1}，求a的取值范围．
解：(1)如下图所示，A＝{x|－1∴数轴上的点x＝a在x＝－1的左侧(含点x＝－1)，
∴a≤－1，即a的取值范围为{a|a≤－1}．
(2)如下图所示，A＝{x|－1∴数轴上的点x＝a在x＝－1和x＝1之间(含点x＝1，但不含点x＝－1)，
∴－111．已知A＝{x|a＜x≤a＋8}，B＝{x|x<－1，或x>5}．若A∪B＝R，求a的取值范围．
解：在数轴上标出集合A，B，如图．
要使A∪B＝R，则
解得－3≤a＜－1.
综上可知，a的取值范围为{a|－3≤a＜－1}．
12．已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，且 ?(A∩B)，A∩C＝ ，求a的值．
解：B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{x|(x－2)(x－3)＝0}＝{2,3}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{x|(x－2)(x＋4)＝0}＝{2，－4}，∵A∩B≠ ，A∩C＝ ，∴3∈A，将x＝3代入x2－ax＋a2－19＝0得：a2－3a－10＝0，解得a＝5或－2.
当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}与A∩C＝ 矛盾；
当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}符合题意．
综上a＝－2.1．1.1 集合的含义与表示
第一课时 集合的含义
集合的概念
[提出问题]
观察下列实例：
(1)某公司的所有员工；
(2)平面内到定点O的距离等于定长d的所有的点；
(3)不等式组的整数解；
(4)方程x2－5x＋6＝0的实数根；
(5)某中学所有较胖的同学．
问题1：上述实例中的研究对象各是什么？
提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学．
问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？
提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定．
问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？
提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定．
[导入新知]
元素与集合的概念
定义
表示
元素
一般地，我们把研究对象统称为元素
通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示
集合
把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)
通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示
[化解疑难]
准确认识集合的含义
(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．
(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.
元素的特性及集合相等
[提出问题]
问题1：“知识点一”中的实例(3)组成的集合的元素是什么？
提示：2,3.
问题2：“知识点一”中的实例(4)组成的集合的元素是什么？
提示：2,3.
问题3：“知识点一”中的实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？
提示：相等．
[导入新知]
1．集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．
2．集合元素的特性
集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
[化解疑难]
对集合中元素特性的理解
(1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．
(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．
(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合.
元素与集合的关系及常用数集的记法
[提出问题]
某中学2017年高一年级20个班构成一个集合．
问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合中的元素吗？
提示：是这个集合的元素．
问题2：高二(3)班是这个集合中的元素吗？为什么？
提示：不是．高一年级这个集合中没有高二(3)班这个元素．
[导入新知]
1．元素与集合的关系
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
2．常用的数集及其记法
常用的数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N
或N＋
Z
Q
R
[化解疑难]
1．对“∈”和“ ”的理解
(1)符号“∈”“ ”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a A”这两种结果．
(2)“∈”和“ ”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
2．常用数集关系网
集合的基本概念
[例1] (1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点A的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体．其中能构成集合的组数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
(2)判断下列说法是否正确，并说明理由．
①某个公司里所有的年轻人组成一个集合；
②由1，，，，组成的集合有五个元素；
③由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合．
[解] (1)选A “接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．
(2)①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合．
②不正确．由于＝，＝，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1，，这三个元素组成的．
③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，但它们仍表示同一个集合．
[类题通法]
判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点
(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．
(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．
[活学活用]
判断下列每组对象能否构成一个集合．
(1)著名的数学家；
(2)某校2017年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数；
(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(5)平面直角坐标系内第一象限的一些点．
解：(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.
元素与集合的关系
[例2] (1)设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是( )
A．0∈A
B．a A
C．a∈A
D．a＝A
(2)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；②
Q；③0∈N
；④|－4| N
.
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] (1)由元素与集合的关系可知，a∈A.
(2)①π∈R显然是正确的；②
是无理数，而Q表示有理数集，∴ Q，正确；③N
表示不含0的自然数集，∴0 N
，③错误；④|－4|＝4∈N
，④错误，所以①②是正确的．
[答案] (1)C (2)B
[类题通法]
判断元素与集合间关系的方法
判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．
[活学活用]
给出下列说法：
①R中最小的元素是0；
②若a∈Z，则－a Z；
③若a∈Q，b∈N
，则a＋b∈Q.
其中正确的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选B 实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确.
集合中元素的特性及应用
[例3] 已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．
[解] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，∴a≠1.
当a＝－1时，
集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a＝－1.
[类题通法]
关注元素的互异性
根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能取值，但要时刻关注集合中元素的三个特性，尤其是互异性，解题后要注意进行检验．
[活学活用]
已知集合A中含有三个元素1,0，x，若x2∈A，求实数x的值．
解：∵x2∈A，∴x2是集合A中的元素．又∵集合A中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若x2＝0，则x＝0，此时集合A中有两个元素0，不符合互异性，舍去；②若x2＝1，则x＝±1.当x＝1时，此时集合A中有两个元素1，舍去；当x＝－1时，此时集合A中有三个元素1,0，－1，符合题意；③若
x2＝x，则x＝0或x＝1，不符合互异性，都舍去．综上可知，x＝－1.
[典例] 若集合A中有三个元素x，x＋1,1，集合B中也有三个元素x，x2＋x，x2，且A＝B，则实数x的值为________．
[解析] ∵A＝B，
∴或
解得x＝±1.经检验，x＝1不适合集合元素的互异性，而x＝－1适合．
∴x＝－1.
[答案] －1
[易错防范]
1．上面例题易由方程组求得x＝±1后，忽视对求出的值进行检验，从而得出错误的结论．
2．当集合中元素含字母并要求对其求值时，求出的值一定要加以检验，看是否符合集合元素的互异性．
[成功破障]
若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．
解析：①若a－3＝－3，则a＝0，
此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意．
②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．
③若a2－4＝－3，则a＝±1.
当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，满足题意；
当a＝－1时，由②知不合题意．
综上可知a＝0或a＝1.
答案：0或1
[随堂即时演练]
1．下列选项中能构成集合的是( )
A．高一年级跑得快的同学
B．中国的大河
C．3的倍数
D．有趣的书籍
解析：选C 根据集合的定义，选项A，B，D都不具备确定性．
2．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A．梯形
B．平行四边形
C．菱形
D．矩形
解析：选A 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．
3．有下列说法：
①集合N与集合N
是同一个集合；
②集合N中的元素都是集合Z中的元素；
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；
④集合Q中的元素都是集合R中的元素．
其中正确的有________(填序号)．
解析：因为集合N
表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
答案：②④
4．设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________.
解析：代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意；若a＝6，则6－6＝0 A，不符合题意，舍去．所以a＝2或a＝4.
答案：2或4
5．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．
解：因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.
①当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.
由①知x＝0应舍去．
综上知x＝1，y＝0.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列判断正确的个数为( )
(1)所有的等腰三角形构成一个集合．
(2)倒数等于它自身的实数构成一个集合．
(3)素数的全体构成一个集合．
(4)由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C (1)正确；(2)若＝a，则a2＝1，∴a＝±1，构成的集合为{1，－1}，∴(2)正确；(3)也正确，任何一个素数都在此集合中，不是素数的都不在；(4)不正确，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2,3,4,6}，含4个元素，故选C.
2．设不等式3－2x<0的解集为M，下列正确的是( )
A．0∈M,2∈M
B．0 M,2∈M
C．0∈M,2 M
D．0 M,2 M
解析：选B 从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0 M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.
3．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )
A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141
59构成的集合
C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
解析：选A 由于选项A中P，Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而选项B，C，D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．
4．已知集合M中的元素x满足x＝a＋b，其中a，b∈Z，则下列实数中不属于集合M中元素的个数是( )
①0；②－1；③3－1；④；
⑤；⑥.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选A 当a＝b＝0时，x＝0；当a＝－1，b＝0时，x＝－1；当a＝－1，b＝3时，x＝－1＋3；＝＝6＋4，即a＝6，b＝4；当a＝0，b＝2时，x＝2＝；＝＝－1－，即a＝－1，b＝－1.综上所述：0，－1,3－1，，，都是集合M中的元素．
5．由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有________个元素．( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B 当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中最多有两个元素．
二、填空题
6．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________.
解析：∵方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，
∴a，b是方程x2－2x－3＝0的两个根，
∴a＋b＝2.
答案：2
7．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b______A，ab_____A．(填“∈”或“ ”)
解析：∵a是偶数，b是奇数，
∴a＋b是奇数，ab是偶数，
故a＋b A，ab∈A.
答案： ∈
8．设A是由满足不等式x＜6的自然数组成的集合，若a∈A，且3a∈A，则a的值为________．
解析：∵a∈A，且3a∈A，
∴
解得a＜2.
又∵a∈N，
∴a＝0或a＝1.
答案：0或1
三、解答题
9．已知集合M由三个元素－2，3x2＋3x－4，x2＋x－4组成，若2∈M，求x.
解：当3x2＋3x－4＝2时，即x2＋x－2＝0，x＝－2或x＝1，经检验，x＝－2，x＝1均不合题意；当x2＋x－4＝2时，即x2＋x－6＝0，x＝－3或x＝2，经检验，x＝－3或x＝2均合题意．∴x＝－3或x＝2.
10．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求实数x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x.
解：(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3.
解得x≠－1且x≠0，且x≠3.
(2)∵－2∈A，
∴x＝－2或x2－2x＝－2.
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴x＝－2.
11．数集M满足条件：若a∈M，则∈M(a≠±1且a≠0)．若3∈M，则在M中还有三个元素是什么？
解：∵3∈M，
∴＝－2∈M，
∴＝－∈M，
∴＝＝∈M.
又∵＝3∈M，
∴在M中还有元素－2，－，.
12．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；
(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
(3)从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的这个“道理”．
解：根据已知条件“若a∈A，则∈A(a≠1)”逐步推导得出其他元素．
(1)其他所有元素为－1，.
(2)假设－2∈A，则∈A，则∈A.其他所有元素为，.
(3)A中只能有3个元素，它们分别是a，，，且三个数的乘积为－1.
证明如下：
由已知，若a∈A，则∈A知，＝∈A，＝a∈A.
故A中只能有a，，这3个元素．
下面证明三个元素的互异性：若a＝，则a2－a＋1＝0有解，因为Δ＝1－4＝－3<0，所以方程无实数解，故a≠.
同理可证，a≠，≠.结论得证．第二课时 指数函数及其性质的应用(习题课)
1．指数函数的定义是什么？
略
2．指数函数的定义域和值域分别是什么？
略
3．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)图象的位置与底数a之间有什么关系？
略
4．指数函数的单调性与底数之间有什么关系？
略
利用指数函数的单调性比较大小
[例1] (1)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则( )
A．y3＞y1＞y2
B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2
D．y1＞y2＞y3
(2)比较下列各题中两个值的大小：
①－1.8，－2.5；②－0.5，－0.5；
③0.20.3,0.30.2.
[解] (1)选C y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝－1.5＝21.5，∵y＝2x是增函数，1.8＞1.5＞1.44，∴y1＞y3＞y2，故选C.
(2)①因为0<<1，所以函数y＝x在其定义域R上单调递减，
又因为－1.8>－2.5，所以－1.8<－2.5.
②在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝x与y＝x的图象，如图所示．当x＝－0.5时，由图象观察可得－0.5>－0.5.
③因为0<0.2<0.3<1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，所以0.20.2<0.30.2.
又根据指数函数y＝0.2x的性质可得0.20.3<0.20.2，
所以0.20.3<0.30.2.
[类题通法]
三类指数式的大小比较问题
(1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．
(2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可．
(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较ac与bd的大小，可取ad为中间量，ac与ad利用函数的单调性比较大小，bd与ad利用函数的图象比较大小．
[活学活用]
比较下列各题中两个值的大小：
(1)3－1.8,3－2.5；(2)7－0.5,8－0.5；(3)6－0.8,70.7.
解：(1)因为3>1，所以函数y＝3x在定义域R上单调递增，又因为－1.8>－2.5，所以3－1.8>3－2.5.
(2)依据指数函数中底数a对函数图象的影响，画出函数y＝7x与y＝8x的图象(图略)，可得7－0.5>8－0.5.
(3)因为1<6<7，所以指数函数y＝6x与函数y＝7x在定义域R上是增函数，且6－0.8<1,70.7>1，所以6－0.8<70.7.
解简单的指数不等式
[例2] (1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围．
(2)已知0.2x<25，求实数x的取值范围．
[解] (1)因为3>1，
所以指数函数f(x)＝3x在R上是增函数．
由3x≥30.5，可得x≥0.5，
即x的取值范围为[0.5，＋∞)．
(2)因为0<0.2<1，
所以指数函数f(x)＝0.2x在R上是减函数．
又因为25＝－2＝0.2－2，
所以0.2x<0.2－2，则x>－2，
即x的取值范围为(－2，＋∞)．
[类题通法]
解指数不等式应注意的问题
(1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．
[活学活用]
已知a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．
解：①当a>1时，∵a－5x>ax＋7，
∴－5x>x＋7，解得x<－.
②当0ax＋7，
∴－5x－.
综上所述，当a>1时，x∈；
当0指数函数性质的综合应用
[例3] 已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝，f(2)＝.
(1)求a，b的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明；
(3)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并求f(x)的值域．
[解] (1)∵
∴根据题意得
解得
故a，b的值分别为－1,0.
(2)由(1)知f(x)＝2x＋2－x，f(x)的定义域为R，关于原点对称．
因为f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
[类题通法]
解决指数函数性质的综合问题应关注两点
(1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义．
(2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．
[活学活用]
已知函数f(x)＝·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)求证：f(x)＞0.
解：(1)由2x－1≠0，得x≠0.
∴函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)由于函数f(x)的定义域关于原点对称，
且f(－x)＝·(－x)3
＝－·x3
＝·x3＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(3)证明：当x＞0时，＞0，x3＞0，∴f(x)＞0.
又∵f(x)为偶函数，∴x＜0时，f(x)＞0.
综上所述，对于定义域内的任意x都有f(x)＞0.
[典例] 若指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a的值为________．
[解析] 当0当a>1时，f(x)＝ax为增函数，最小值为a，最大值为a2.故a2＝2a，解得a＝2.
综上，a＝或a＝2.
[答案] 或2
[易错防范]
1．解决上题易忽视对a的讨论，错认为a2＝2a，从而导致得出a＝2的错误答案．
2．求函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在闭区间[s，t]上的最值，应先根据底数的大小对指数函数进行分类．当底数大于1时，指数函数为[s，t]上的增函数，最小值为as，最大值为at.当底数大于0小于1时，指数函数为[s，t]上的减函数，最大值为as，最小值为at.
[活学活用]
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a＝________.
解析：由于f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上是单调函数，故其最大值与最小值之和为a2＋a＝6，解得a＝－3(舍去)，或a＝2，所以a＝2.
答案：2
[随堂即时演练]
1．若2x＋1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)
解析：选D 不等式2x＋1<1＝20，∵y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，即x<－1.
2．已知三个数a＝60.7，b＝0.70.8，c＝0.80.7，则这三个数的大小关系是( )
A．a>b>c
B．b>c>a
C．c>b>a
D．a>c>b
解析：选D a＝60.7>60＝1，c＝0.80.7>0.70.7>0.70.8＝b，且c＝0.80.7<0.80＝1，所以a>c>b.
3．不等式2x<22－3x的解集是________．
解析：由2x<22－3x得x<2－3x，即x<，
解集为.
答案：
4．方程x＝－x＋2的解的个数为____________________________________．
解析：在同一坐标系中画出函数y＝x和y＝－x＋2的图象，观察可知有两个交点，即方程有2个解．
答案：2
5．设函数f(x)＝＋(e为无理数，且e≈2.718
28…)是R上的偶函数且a>0.
(1)求a的值；
(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
解：(1)∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，
∴＋＝＋，
即－＝－ae.
∴＝e，
∴－a＝0，∴a2＝1.
又∵a>0，∴a＝1.
(2)f(x)＝ex＋e－x，取任意x1，x2>0，且x1f(x2)－f(x1)＝ex2＋e－x2－ex1－e－x1
＝ex2－ex1＋－
＝ex2－ex1＋
＝(ex2－ex1).
∵x1，x2>0，x1ex1且ex1ex2>1，
∴(ex2－ex1)>0，即f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
[课时达标检测]
一、选择题
1．函数y＝的图象大致是( )
解析：选B 当x＜0时，函数的图象是抛物线的一部分，当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.
2．已知a＞b，则a，b的大小关系是( )
A．1＞a＞b＞0
B．a＜b
C．a＞b
D．1＞b＞a＞0
解析：选B ∵0＜＜1，∴y＝x在R上单调递减，
又∵a＞b，∴a＜b.
3．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞)
B．(1,8)
C．(4,8)
D．[4,8)
解析：选D 由题意得
解得4≤a＜8.
4．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝3x⊙3－x的值域是( )
A．(0,1]
B．[1，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
解析：选A 法一：当x>0时，3x>3－x，f(x)＝3－x，
f(x)∈(0,1)；当x＝0时，f(x)＝3x＝3－x＝1；
当x<0时，3x<3－x，f(x)＝3x，f(x)∈(0,1)．
综上，f(x)的值域是(0,1]．
法二：作出f(x)＝3x⊙3－x的图象，如图．
可知值域为(0,1]．
5．已知实数a，b满足等式a＝b，给出下列五个关系式：①0A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选B 作y＝x与y＝x的图象．当a＝b＝0时，a＝b＝1；当ab>0时，也可以使a＝b.故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④.
二、填空题
6．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
解析：∵a2＋a＋2＝2＋>1，
∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数．
∴x>1－x，即x>.
答案：
7．已知函数f(x)＝|x－1|，则f(x)的单调递增区间是________．
解析：法一：由指数函数的性质可知f(x)＝x在定义域上为减函数，故要求f(x)的单调递增区间，只需求y＝|x－1|的单调递减区间．
又因为y＝|x－1|的单调递减区间为(－∞，1]，
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1]．
法二：f(x)＝|x－1|＝可画出f(x)的图象求其单调递增区间．
答案：(－∞，1]
8．若方程x＋x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是________．
解析：令x＝t，
∵方程有正根，∴t∈(0,1)．
方程转化为t2＋2t＋a＝0，
∴a＝1－(t＋1)2.
∵t∈(0,1)，∴a∈(－3,0)．
答案：(－3,0)
三、解答题
9．若函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
解：当a>1时，f(x)在[0,2]上递增，
∴即
∴a＝±.
又∵a>1，∴a＝.
当0∴即解得a∈ ，
综上所述，a＝.
10．讨论函数f(x)＝的单调性．
解：∵函数f(x)的定义域是R.
令u＝x2－2x，则f(u)＝u
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上是减函数，
又∵f(u)＝u在其定义域内是减函数，
∴函数f(x)在(－∞，1]上是增函数；
又u＝x2－2x＝(x－1)2－1在[1，＋∞)上是增函数，
∵f(u)＝u在其定义域内是减函数，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数．
11．已知函数f(x)＝满足f(c2)＝.
(1)求实数c的值；
(2)解不等式f(x)＞＋1.
解：(1)由题意知0＜c＜1，∴c2＜c.
由f(c2)＝，得c3＋1＝，
∴c＝.
(2)由(1)得f(x)＝
当0＜x＜时，令f(x)＞＋1，即x＋1＞＋1，
解得x＞，
∴＜x＜；
当≤x＜1时，令f(x)＞＋1，即2－4x＋1＞＋1，解得x＜，∴≤x＜.
∴f(x)＞＋1的解集为.
12．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)；
(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得
结合a>0且a≠1，解得
∴f(x)＝3·2x.
(2)要使x＋x≥m在(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数y＝x＋x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．
∵函数y＝x＋x在(－∞，1]上为减函数，
∴当x＝1时，y＝x＋x有最小值.
∴只需m≤即可．
∴m的取值范围为.2.3
幂_函_数
幂函数的概念
[提出问题]
问题1：函数y＝2x，y＝x3是指数函数吗？
提示：y＝2x是指数函数，而y＝x3不是指数函数．
问题2：函数y＝x3中自变量有什么特点？
提示：自变量在底数的位置．
问题3：再举出几个这样的函数．
提示：y＝x2，y＝x，y＝x－1.
[导入新知]
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
[化解疑难]
1．幂函数的特征
(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)；
(2)xα前的系数为1，且只有一项．
2．指数函数与幂函数的辨析
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的底数a为常数，指数为自变量；幂函数y＝xα(α∈R)以幂的底为自变量，指数α为常数.
幂函数的图象与性质
[提出问题]
问题1：在同一坐标系中，试作出幂函数y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象．
提示：如图所示：
问题2：在第一象限，图象有何特点？
提示：都过点(1,1)；只有y＝x－1随x增大而减小，但不与x轴相交，其他的都随x增大而增大．
问题3：这几个函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？
提示：y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数；y＝x2是偶函数；y＝x是非奇非偶函数．
[导入新知]
常见幂函数的图象与性质
解析式
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
y＝x
图象
定义域
R
R
R
{x|x≠0}
[0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
{y|y≠0}
[0，＋∞)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
非奇非偶函数
单调性
在(－∞，＋∞)上单调递增
在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在(－∞，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)
上单调递减
在[0，＋∞)上单调递增
定点
(1,1)
[化解疑难]
幂函数的性质归纳
(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．
特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；
当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
幂函数的概念
[例1] (1)下列函数：①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出定义域．
[解] (1)选B ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.
(2)∵y＝(m2－m－1)x为幂函数，
∴m2－m－1＝1，
解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.
故所求幂函数的解析式为
y＝x－3(x≠0)或y＝x0(x≠0)．
[类题通法]
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．
[活学活用]
函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
解：根据幂函数的定义得
m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．
故f(x)＝x3.
幂函数的图象
[例2] (1)如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象，已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为( )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
(2)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A．－1B．n<－1,0C．－11
D．n<－1，m>1
[解析] (1)令x＝2，则22>2>2>2－2，
故相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为2，，－，－2.故选B.
(2)此类题有一简捷的解决办法，在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0[答案] (1)B (2)B
[类题通法]
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．
[活学活用]
函数y＝x的图象大致是( )
解析：选D 由幂函数的性质知函数y＝x在第一象限为减函数，且它的定义域为{x|x＞0}.
利用幂函数的性质比较大小
[例3] 比较下列各组数中两个数的大小：
(1)0.5与0.5；
(2)－1与－1；
(3)与.
[解] (1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，
∴0.5>0.5.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，
∴－1>－1.
(3)∵函数y1＝x为R上的减函数，
又>，
∴>.
又∵函数y2＝x在(0，＋∞)上是增函数，且>，
∴>，
∴>.
[类题通法]
比较幂值大小的方法
(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；
(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；
(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．
[活学活用]
设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
解析：选A 由于幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数，且＞，所以＞，即a＞c.
由于指数函数y＝x在R上是减函数，且＜，所以＞，即c＞b.
综上可知，a＞c＞b.
[典例] 已知幂函数y＝x(－1[解析] ∵－1∴m＝0,1,2.
又∵函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．
又∵02－2×0－3＝22－2×2－3＝－3为奇数，
12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.
又∵y＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，
由(a＋1)<(3－2a)，
得a＋1>3－2a>0或3－2a解得a<－1或