2．2.1
&
2.2.2 直线与平面、平面与平面平行的判定
直线与平面平行的判定
[提出问题]
门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面(墙面)存在不变的位置关系．
问题1：上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？
提示：平行．
问题2：若判断直线与平面平行，由上述问题你能得出一种方法吗？
提示：可以，只需在面内找一条与面外直线平行的直线即可．
问题3：若一直线与平面内的直线平行，一定有直线与平面平行吗？
提示：不一定，要强调线在面外．
[导入新知]
表示定理
图形
文字
符号
直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内一直线平行，则该直线与此平面平行
a∥α
[化解疑难]
1．用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：
(1)直线a在平面α外，即a α；
(2)直线b在平面α内，即b α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b.
2．该定理的作用：证明线面平行．
3．应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可．
平面与平面平行的判定
[提出问题]
如何判断桌子的桌面是否水平？工人师傅将水平仪放在桌子上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的(注：当水平仪的气泡居中时，水平仪所在的直线就是水平线)，否则桌面就不是水平的，这是为什么呢？
问题1：上述问题中给出了判断两面平行的一种怎样的方法？
提示：在一个平面内找两条相交线，分别平行于另一个平面即可．
问题2：若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？
提示：不一定，也可能相交．
问题3：若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？
提示：不一定，也可能相交．
[导入新知]
表示位置
图形
文字
符号
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
α∥β
[化解疑难]
1．平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．
2．面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．
直线与平面平行的判定
[例1] 如图，已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和矩形ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.
[解] 证明：作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，
则PM∥QN，＝，＝.
∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又AB＝CD，∴PM綊QN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.
又PQ 平面CBE，MN 平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
[类题通法]
利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线定理、平行公理等．
[活学活用]
如图，在三棱台DEF ABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.
证明：如图，连接DG，CD，设CD∩FG＝O，连接OH.在三棱台DEF ABC中，AB＝2DE，点G为AC的中点，
可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，所以点O为CD的中点．
又因为点H为BC的中点，所以OH∥BD.
又因为OH 平面FGH，BD 平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
面面平行的判定
[例2] 如图，在正方体ABCD
A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．
求证：(1)E，F，B，D四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB.
[解] 证明：
(1)连接B1D1.
∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，
∴EF∥B1D1.
而BD∥B1D1，∴BD∥EF.
∴E，F，B，D四点共面．
(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，
∴MN∥BD.
又∵MN 平面EFDB，BD 平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB.
连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.
∴MF∥AD，MF＝AD.
∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.
又AM 平面BDFE，DF 平面BDFE，
∴AM∥平面BDFE.
又∵AM∩MN＝M，
∴平面MAN∥平面EFDB.
[类题通法]
两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行．
[活学活用]
如图所示，已知四棱锥P ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点．
求证：平面AFH∥平面PCE.
证明：因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FH∥PC.
因为PC 平面PCE，FH 平面PCE，所以FH∥平面PCE.
又由已知得AE∥CF且AE＝CF，
所以四边形AECF为平行四边形，
所以AF∥CE，而CE 平面PCE，AF 平面PCE，
所以AF∥平面PCE.
又FH 平面AFH，AF 平面AFH，FH∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE.
线线平行与面面平行的综合问题
[例3] 如图，在四棱锥O
ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．
证明：直线MN∥平面OCD.
[解] 证明：如图，取OB的中点E，连接ME，NE，则ME∥AB.
又∵AB∥CD，
∴ME∥CD.
又∵ME 平面OCD，CD 平面OCD，
∴ME∥平面OCD.
又∵NE∥OC，且NE 平面OCD，OC 平面OCD，∴NE∥平面OCD.
又∵ME∩NE＝E，且ME，NE 平面MNE，
∴平面MNE∥平面OCD.
∵MN 平面MNE，∴MN∥平面OCD.
[类题通法]
解决线线平行与面面平行的综合问题的策略
(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．
(2)
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．
[活学活用]
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．
求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：(1)如图，连接SB.
∵E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB 平面BDD1B1，
EG 平面BDD1B1.
∴直线EG∥平面BDD1B1.
(2)连接SD.∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.
又∵SD 平面BDD1B1，FG 平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1.
又EG∥平面BDD1B1，
且EG 平面EFG，FG 平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
[典例] (12分)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO
[解题流程]
[规范解答]
[名师批注]
∴PQ∥DC.(3分)
又DC∥AB，
∴PQ∥AB且PQ＝AB，
∴四边形ABQP为平行四边形，
∴QB∥PA.(5分)
又PA 平面PAO，QB 平面PAO，
∴BQ∥平面PAO.(7分)
连接BD，则O∈BD，
又∵O为DB的中点，P为D1D的中点，
∴PO∥D1B.(8分)
又∵PO 平面PAO，D1B 平面PAO，
∴D1B∥平面PAO.(10分)
又∵D1B∩BQ＝B，
∴平面D1BQ∥平面PAO.(12分)
[活学活用]
如图，在正方体ABCD
A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
解：在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.
证明如下：如图，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG.因为A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因此D1C∥A1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B.这说明A1，B，G，E四点共面，所以BG 平面A1BE.
因为四边形C1CDD1与B1BCC1都是正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B.因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F∥BG.而B1F 平面A1BE，BG 平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.
[随堂即时演练]
1．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )
A．一定平行
B．一定相交
C．平行或相交
D．以上判断都不对
答案：C
2．能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A．b α，a∥b
B．b α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D．a α，b α，a∥b
答案：D
3．正方体ABCD
A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是________．
答案：平行
4．下列命题中正确的命题序号为________
①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；
④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行．
答案：③④
5．如图所示，已知三棱柱A1B1C1 ABC，E，E1分别是AC，A1C1的中点．
求证：平面AB1E1∥平面BEC1.
证明：由于AE綊E1C1，
因此四边形AE1C1E是平行四边形，则AE1∥EC1，
因为AE1 平面BEC1，EC1 平面BEC1，
所以AE1∥平面BEC1.
同理，B1E1∥平面BEC1.
又AE1∩B1E1＝E1，
由两平面平行的判定定理得，平面AB1E1∥平面BEC1.
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是( )
A．b 平面α
B．b∥α或b α
C．b∥平面α
D．b与平面α相交，或b∥平面α
答案：D
2．下列说法正确的是( )
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∥b，b α，则a∥α
D．若直线a∥b，b α，那么直线a平行于α内的无数条直线
答案：D
3．在正方体ABCD
A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：D
4．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )
A．m∥l，l∥α m∥α
B．l∥β，m∥β，l α，m α α∥β
C．l∥m，l α，m β α∥β
D．l∥β，m∥β，l α，m α，l∩m＝M α∥β
答案：D
5．下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
答案：B
二、填空题
6．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：
①a∥c，b∥c a∥b;
②a∥γ，b∥γ a∥b；
③c∥α，c∥β α∥β；
④α∥γ，β∥γ α∥β；
⑤c∥α，a∥c a∥α；
⑥a∥γ，α∥γ a∥α.
正确命题是________(填序号)．
答案：①④
7．下列说法正确的个数是________．
(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α；
(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行；
(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．
答案：0
8．如图，在正方体ABCD
A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.
答案：M∈FH
三、解答题
9.如图，在直四棱柱ABCD
A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.
证明：
如图，取A1B1的中点F1.
连接FF1，C1F1.
由于FF1∥BB1∥CC1，
所以F1∈平面FCC1，
因此平面FCC1即为平面C1CFF1.
连接A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊DC，
所以四边形A1DCF1为平行四边形，
因此A1D∥F1C.
又EE1∥A1D，得EE1∥F1C.
而EE1 平面FCC1，F1C 平面FCC1，
故EE1∥平面FCC1.
10.如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明：(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綊EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
观察图形特点，只需在CC1上取中点Q，恰好有AP∥BQ.2．3.1 直线与平面垂直的判定
直线与平面的垂直
[提出问题]鲁班是我国古代一位出色的发明家，他在做木匠活时，常常遇到有关直角的问题．虽然他手头有画直角的矩，但用起来很费事．于是，鲁班对矩进行改进，做成一把叫做曲尺的“L”形木尺．现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如右图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．
问题1：用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
提示：不能．
问题2：上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？
提示：直线垂直于平面内的两条相交直线．
问题3：若直线垂直于平面内的无数条直线，直线与平面垂直吗？
提示：不一定．
[导入新知]
1．直线与平面垂直的定义
(1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
(2)图形语言：如图．
画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．
(3)符号语言：任意a α，都有l⊥a l⊥α.
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a α，b α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b l⊥α.
[化解疑难]
1．关于直线与平面垂直的定义的理解：
(1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直．
(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．
(3)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．
(4)在画线面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，符号语言表述为l⊥α.
2．判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直．
3．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可．至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的.
直线与平面所成的角
[提出问题]
斜拉桥又称斜张桥，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系．其可看作是拉
索代替支墩的多跨弹性支承连续梁．其可使梁体内弯矩减小，降低建筑高度，减轻了结构重量，节省了材料．斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成．
问题1：图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系，其倾斜程度相同吗？
提示：不同．
问题2：能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗？
提示：能．
问题3：直线与平面所成的角是空间角，能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗？
提示：能．
[导入新知]
1．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．
2．当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.
3．当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.
4．线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.
[化解疑难]
关于直线与平面所成的角的认识
(1)把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．
(2)其定义反映了求线面角的基本思想——平面化思想，即把空间角等价转化为平面角，并放在三角形内求解．
线面垂直的定义及判定定理的理解
[例1] 下列说法中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0
B．1
C．2
D．3
[答案] D
[类题通法]
1．对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．
2．判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．
[活学活用]
下列说法中，正确的是( )
A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行
C．若a∥b，a α，l⊥α，则l⊥b
D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α
答案：C
线面垂直的判定
[例2] 如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．
求证：AD⊥平面A1DC1.
[解] 证明：∵AA1⊥底面ABC，
平面A1B1C1∥平面ABC，
∴AA1⊥平面A1B1C1，
∴A1C1⊥AA1.
又∵∠B1A1C1＝90°，
∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A1，
∴A1C1⊥平面AA1B1B.又AD 平面AA1B1B，
∴A1C1⊥AD.
由已知计算得AD＝，A1D＝，AA1＝2.
∴AD2＋A1D2＝AA，
∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，
∴AD⊥平面A1DC1.
[类题通法]
1．用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．
2．线线垂直与线面垂直的转化关系．
线线垂直线面垂直．
3．解决线面垂直的常用方法：
(1)利用勾股定理的逆定理．
(2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线．
(3)利用线面垂直的定义．
(4)利用平行转化，即a∥b，b⊥c，则a⊥c.
[活学活用]
如图，四棱锥P ABCD
中，
AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC
的中点．
(1)求证：
AP∥平面BEF；
(2)求证：BE⊥平面PAC
.
证明：(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC.
由于E为AD的中点，
AB＝BC＝AD，AD∥BC，
所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，
因此四边形ABCE为菱形，
所以O为AC的中点．
又F为PC
的中点，
因此在△PAC中，可得AP∥OF.
又OF 平面BEF，AP 平面BEF.
所以AP∥平面BEF.
(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.
所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE∥CD.
又AP⊥平面PCD，
所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.
因为四边形ABCE为菱形，
所以BE⊥AC.
又AP∩AC＝A，AP，AC 平面PAC，
所以BE⊥平面PAC.
直线与平面所成的角
[例3] 如图所示，在正方体ABCD
A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．
[解] 取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.
又在正方体ABCD
A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，
从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2，
则EM＝AD＝2，BE＝＝3，
于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，
即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.
[类题通法]
求斜线与平面所成角的步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
[活学活用]
如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝1，BC＝，求OA与平面α所成的角的大小．
解：∵OA＝OB＝OC＝1，∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴△AOB，△AOC为正三角形，
∴AB＝AC＝1，又BC＝，
∴△BAC为直角三角形，
同理△BOC为直角三角形，
取BC中点H，连接AH，则AH⊥BC，
易得△AHB≌△AOH，∴AH⊥OH，∴AH⊥平面α，
∠AOH为OA与α所成的角，
在Rt△AOH中，AH＝，
∴sin∠AOH＝＝，∴∠AOH＝45°，
即AO与平面α所成的角为45°.
[典例] (12分)如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两互相垂直，H是△ABC的垂心．
求证：PH⊥平面ABC.
[解题流程]
[规范解答]
[名师批注]
如图所示，连接CH，
∵PC⊥AP，PC⊥BP，
AP∩BP＝P①，AP 平面APB，
BP 平面APB②，
∴PC⊥平面APB.(3分)
∵AB 平面APB③，
∴PC⊥AB.(5分)
∵H为△ABC的垂心，
∴CH⊥AB.(7分)
∵PC∩CH＝C①，PC 平面PHC，CH 平面PHC②，
∴AB⊥平面PHC.
∵PH 平面PHC③，
∴AB⊥PH.(9分)
同理可证PH⊥BC.(10分)
∵AB 平面ABC，BC
平面ABC②且AB∩BC＝B①，
∴PH⊥平面ABC.(12分)
[活学活用]
如图，已知PA⊥圆O所在平面，AB为圆O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于E.求证：AE⊥平面PBC.
证明：∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AC⊥BC，AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC.∵AE 平面PAC，∴BC⊥AE.
又∵PC⊥AE，BC∩PC＝C，
PC 平面PBC，BC 平面PBC，
∴AE⊥平面PBC.
[随堂即时演练]
1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
A．①③
B．②
C．②④
D．①②④
答案：A
2.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60°
B．45°
C．30°
D．120°
答案：A
3.如图所示，三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．
答案：45°
4．已知正方形ABCD的边长为1，AP⊥平面ABCD，且AP＝2，则PC＝________.
答案：
5．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．
证明：PC⊥平面BEF.
证明：如图，连接PE，EC，
在Rt△PAE和Rt△CDE中，
PA＝AB＝CD,
AE＝DE，
∴△PAE≌△CDE.
∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．
又F是PC的中点，
∴EF⊥PC.
又BP＝＝2＝BC，
F是PC的中点，
∴BF⊥PC.
又BF∩EF＝F，
∴PC⊥平面BEF.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列说法中正确的个数是( )
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；
③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.
A．3
B．2
C．1
D．0
答案：B
2．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为( )
A．相交但不垂直
B．垂直但不相交
C．不相交也不垂直
D．无法判断
答案：B
3.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A．平行
B．垂直相交
C．垂直但不相交
D．相交但不垂直
答案：C
4．如图，四棱锥S ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
答案：D
5．正方体ABCD A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
二、填空题
6．菱形ABCD的对角线交于点O，点P在ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________．
答案：PO⊥平面ABCD
7.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有_____________________________；
(2)与AP垂直的直线有___________________________________．
答案：(1)AB，AC，BC (2)BC
8.如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为________．
答案：30°
三、解答题
9．如图，在直角三角形BMC中，∠BCM＝90°，∠MBC＝60°，BM＝5，MA＝3且MA⊥AC，AB＝4，求MC与平面ABC所成角的正弦值．
解：因为BM＝5，MA＝3，AB＝4，所以AB2＋AM2＝BM2，所以MA⊥AB.
又因为MA⊥AC，AB，AC 平面ABC，且AB∩AC＝A，所以MA⊥平面ABC，
所以∠MCA即为MC与平面ABC所成的角．
又因为∠MBC＝60°，所以MC＝，
所以sin∠MCA＝＝＝.
10.如图，在正方体
ABCD
A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：
(1)直线BC1
∥平面EFPQ；
(2)直线
AC1⊥平面
PQMN.
证明：(1)连接AD1，由ABCD A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.
而FP 平面EFPQ，且BC1 平面EFPQ，
故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)如图，连接AC，BD，
则AC⊥BD.
由CC1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1＝C，
所以BD⊥平面ACC1.
而AC1 平面ACC1，
所以BD⊥AC1.
连接B1D1，因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，
所以MN∥B1D1，故MN∥BD，从而MN⊥AC1.
同理可证PN⊥AC1.
又PN∩MN＝N，
所以直线AC1⊥平面PQMN.
①处易漏掉AP∩BP＝P，PC∩CH＝C和AB∩BC＝B的条件，而直接证明出线面垂直，虽然结果正确，但不严密．虽然写清了①的条件，若没有写清楚②处的条件或漏掉，都是不全面的，都容易失分．
若漏掉③处而直接由线面垂直得出线线垂直也是不严谨的．第二课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质(习题课)
1．直线与平面垂直的性质定理是什么？
略
2．直线与平面垂直的性质定理有什么作用？
略
3．平面与平面垂直的性质定理是什么？
略
4．平面与平面垂直的性质定理有什么作用？
略
线面、面面垂直的综合问题
[例1] 如图，已知直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求证：AB∥c.
[解] 证明：过点B作直线a′∥a，
a′与b确定的平面设为γ.
因为a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′，
又AB⊥b，a′∩b＝B，所以AB⊥γ.
因为b⊥β，c β，所以b⊥c.①
因为a⊥α，c α，所以a⊥c，又a′∥a，所以a′⊥c.②
由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c.
[类题通法]
判断线线、线面的平行或垂直关系，一般要利用判定定理和性质定理，有时也可以放到特殊的几何体中(如正方体、长方体等)然后再判断它们的位置关系．
[活学活用]
如图所示：平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB.求证：a⊥β.
证明：如图，∵a∥α，过a作平面γ交α于a′，则a∥a′.
∵a⊥AB，∴a′⊥AB.
∵α⊥β，α∩β＝AB，
∴a′⊥β，∴a⊥β.
求点到面的距离
[例2] 已知△ABC，AC＝BC＝1，AB＝，又已知S是△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离．
[解] 法一：如图所示，连接PA，PB.易知△SAC，△ACB是直角三角形，
所以SA⊥AC，BC⊥AC.
取AB，AC的中点E，F，连接PF，EF，PE，则EF∥BC，PF∥SA.
所以EF⊥AC，PF⊥AC.
因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF.
又PE 平面PEF，所以PE⊥AC.
易证△SAC≌△SBC.因为P是SC的中点，
所以PA＝PB.
而E是AB的中点，所以PE⊥AB.
因为AB∩AC＝A，
所以PE⊥平面ABC.
从而PE的长就是点P到平面ABC的距离．
在Rt△AEP中，AP＝SC＝，AE＝AB＝，
所以PE＝＝
＝，
即点P到平面ABC的距离为.
法二：如图所示，过A作AE∥BC，交SC于点E，过B作BF∥AC，交AE于点D，则四边形ACBD为正方形．
连接SD.因为AC⊥SA，AC⊥AD，SA∩AD＝A，所以AC⊥平面SDA.
所以AC⊥SD.
又由题意，可知BC⊥SB.因为BC⊥BD，
SB∩BD＝B，所以BC⊥平面SDB，所以BC⊥SD.
又BC∩AC＝C，于是SD⊥平面ACBD.
所以SD的长为点S到平面ABC的距离．
在Rt△SDA中易得SD＝＝＝.
因为P为SC的中点，
故点P到平面ABC的距离为SD＝.
[类题通法]
求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线段．可通过外形进行转化，转化为易于求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方法．
[活学活用]
如图所示，正四棱柱ABCD
A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G.
(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；
(2)求点D1到平面B1EF的距离．
解：(1)证明：连接AC，
∵正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是正方形，
∴AC⊥BD.又AC⊥DD1，且BD∩DD1＝D，
故AC⊥平面BDD1B1.
∵E，F分别为棱AB，BC的中点，
故EF∥AC，
∴EF⊥平面BDD1B1，
又EF 平面B1EF，
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
(2)由(1)知平面B1EF⊥平面BDD1B1且交线为B1G，
所以作D1H⊥B1G于H，
则D1H⊥平面B1EF，即D1H为D1
到平面B1EF的距离．
∵B1D1∥BD，
∴∠D1B1H＝∠B1GB，
∴sin∠D1B1H＝sin∠B1GB＝
＝.
在△D1B1H中，D1B1＝4，
sin∠D1B1H＝，∴D1H＝＝.
折叠问题
[例3] 如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起．
(1)如果二面角A DE C是直二面角，求证：AB＝AC；
(2)如果AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE.
[解] 证明：(1)过点A作AM⊥DE于点M，则AM⊥平面BCDE，
∴AM⊥BC.又AD＝AE，
∴M是DE的中点．取BC的中点N，
连接MN，AN，则MN⊥BC.
又AM⊥BC，AM∩MN＝M，∴BC⊥平面AMN，∴AN⊥BC.
又∵N是BC的中点，∴AB＝AC.
(2)取BC的中点N，连接AN.∵AB＝AC，
∴AN⊥BC.
取DE的中点M，连接MN，AM，∴MN⊥BC.
又AN∩MN＝N，∴BC⊥平面AMN，∴AM⊥BC.
又M是DE的中点，AD＝AE，∴AM⊥DE.
又∵DE与BC是平面BCDE内的相交直线，
∴AM⊥平面BCDE.
∵AM 平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCDE.
[类题通法]
解决折叠问题的策略
(1)抓住折叠前后的变量与不变量．一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键．
(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况．注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况．
[活学活用]
如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2的五棱锥P ABFED，且PB＝.
(1)求证：BD⊥平面POA；
(2)求四棱锥P BFED的体积．
解：(1)证明：∵点E，F分别是边CD，CB的中点，
∴BD∥EF.
∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴EF⊥AC，
∴翻折后EF⊥AO，EF⊥PO，
∵AO 平面POA，PO 平面POA，AO∩PO＝O，
∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA.
(2)如图，设AO∩BD＝H，连接BO，
∵ABCD是菱形，∴AB＝AD.
∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝4，BH＝2，HA＝2，HO＝PO＝.
在Rt△BHO中，BO＝＝，
在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，
∴PO⊥BO.
∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF 平面BFED，
BO 平面BFED，
∴PO⊥平面BFED，
又梯形BFED的面积为S＝(EF＋BD)·HO＝3，
∴四棱锥P BFED的体积V＝S·PO＝×3×＝3.
[随堂即时演练]
1.如图所示，三棱锥P ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是( )
A．一条线段
B．一条直线
C．一个圆
D．一个圆，但要去掉两个点
答案：D
2．在三棱锥P ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )
A．2
B．2
C．4
D．4
答案：B
3．若构成教室墙角的三个墙面记为α，β，γ，交线记为BA，BC，BD，教室内一点P到三墙面α，β，γ的距离分别为3
m，4
m,1
m，则P与墙角B的距离为________
m.
答案：
4.如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A A′BB′的体积V＝________.
答案：4
5．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝4，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.
(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；
(2)求多面体CDEFG的体积．
解：(1)证明：由已知可得AE＝3，BF＝4，则折叠完后EG＝3，GF＝4.又因为EF＝5，所以可得EG⊥GF.又因为CF⊥底面EGF，可得CF⊥EG，即EG⊥平面CFG，所以平面DEG⊥平面CFG.
(2)16
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是( )
A．n∥α
B．n∥α或n α
C．n α或n与α不平行
D．n α
答案：A
2.如图所示，在正四面体P ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
答案：C
3．已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直．
其中正确的命题是( )
A．②③
B．①③
C．②④
D．③④
答案：D
4.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小( )
A．变大
B．变小
C．不变
D．有时变大有时变小
答案：C
5.如图，在四面体D ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下面结论正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
答案：C
二、填空题
6．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.
答案：若①③④，则②(或若②③④，则①)
7．如图所示，沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A BCDE.则平面ABC与平面ACD的关系是________．
答案：平面ABC⊥平面ACD
8.如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，则二面角C BD A的平面角的正切值为________．
答案：
三、解答题
9.如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB＝3BC＝6，BF＝CF＝AE＝DE＝2，EF＝4，EF∥AB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM＝2.
(1)证明：AF∥平面BDG；
(2)证明：平面BGM⊥平面BFC；
(3)求三棱锥F BMC的体积V.
解：(1)证明：连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，因为点G为CF的中点，所以OG为△AFC的中位线，所以OG∥AF.
∵AF 平面BDG，OG 平面BDG，
∴AF∥平面BDG.
(2)证明：连接FM.
∵BF＝CF＝BC＝2，G为CF的中点，∴BG⊥CF.
∵CM＝2，∴DM＝4.
∵EF∥AB，四边形ABCD为矩形，
∴EF∥DM，又EF＝4，∴EFMD为平行四边形，
∴FM＝ED＝2，∴△FCM为正三角形，∴MG⊥CF.
∵MG∩BG＝G，∴CF⊥平面BGM.
∵CF 平面BFC，
∴平面BGM⊥平面BFC.
(3)VF BMC＝VF BMG＋VC BMG＝×S△BMG×FC
＝×S△BMG×2，
∵GM＝BG＝，BM＝2，
∴S△BMG＝×2×1＝，
∴VF BMC＝×S△BMG＝.
10.如图，AE是半径为a的半圆，AC为直径，点E为A的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，FB＝a.
(1)证明：EB⊥FD；
(2)求点B到平面FED的距离．
解：(1)证明：∵FC⊥平面BED，BE 平面BED，
∴EB⊥FC.
又点E为A的中点，B为直径AC的中点，
∴EB⊥BC.
又∵FC∩BC＝C，∴EB⊥平面FBD.
∵FD 平面FBD，∴EB⊥FD.
(2)如图，在平面BEC内过C作CH⊥ED，连接FH.则由FC⊥平面BED知，ED⊥平面FCH.
∵Rt△DHC∽Rt△DBE，
∴＝.
在Rt△DBE中，DE＝
＝＝a，
∴CH＝＝＝a.
∵FB＝a，BC＝a，∴FC＝2a.
在平面FCH内过C作CK⊥FH，则CK⊥平面FED.
∵FH2＝FC2＋CH2＝4a2＋＝a2，
∴FH＝a.
∴CK＝＝＝a.
∵C是BD的中点，
∴B到平面FED的距离为2CK＝a.2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
空间两直线的位置关系
[提出问题]
立交桥是伴随高速公路应运而生的．城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景．为了车流畅通，并安全地通过交叉路口，1928年，美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930年，芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931年至1935年，瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥．从此，城市交通开始从平地走向立体．
问题1：在同一平面内，两直线有怎样的位置关系？
提示：平行或相交．
问题2：若把立交桥抽象成一直线，它们是否在同一平面内？有何特征？
提示：不共面．不相交也不平行．
问题3：观察一下，教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线，是否也具有类似特征？
提示：是．
[导入新知]
1．异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)异面直线的画法
2．空间两条直线的位置关系
位置关系
特 点
相交
同一平面内，有且只有一个公共点
平行
同一平面内，没有公共点
异面直线
不同在任何一个平面内，没有公共点
[化解疑难]
1．对于异面直线的定义的理解
异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线．例如，如图所示的长方体中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故AB与B1C1是异面直线．
2．空间两条直线的位置关系
(1)若从有无公共点的角度来看，可分为两类：
直线
(2)若从是否共面的角度看，也可分两类：
直线
平行公理及等角定理
[提出问题]
1．同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．
问题：空间中是否有类似规律？
提示：有．
2．观察下图中的∠AOB与∠A′O′B′.
问题1：这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？
提示：分别对应平行．
问题2：测量一下，这两个角的大小关系如何？
提示：相等．
[导入新知]
1．平行公理(公理4)
(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．
(2)符号表述： a∥c.
2．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.
(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
[化解疑难]
对平行公理与等角定理的理解
公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法．等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时，它们相等，否则它们互补．
两直线位置关系的判定
[例1] 如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.
[答案] (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
[类题通法]
1．判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．
2．判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A α，B∈α，l α，B l AB与l是异面直线(如图)．
[活学活用]
如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：
(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
解：(1)不是异面直线．理由：
∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点，
∴MN∥A1C1.
又A1A綊D1D，而D1D綊C1C，
∴A1A綊C1C.
∴四边形A1ACC1为平行四边形．
∴A1C1∥AC，得到MN∥AC.
∴A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．
(2)是异面直线．证明如下：
假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，
∴BC
平面CC1D1.
而BC⊥平面CC1D1，BC 平面CC1D1，
∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.
平行公理及等角定理的应用
[例2] 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
[解] 证明：(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，
∴MM1綊AA1.又∵AA1綊BB1，
∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1＝BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1＝CM.
又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1.
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
[类题通法]
1．证明两条直线平行的方法：
(1)平行线定义；
(2)三角形中位线定理、平行四边形性质等；
(3)公理4.
2．空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互补，因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的．
[活学活用]
已知正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点．求证：BF綊ED1.
证明：如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.
∵F为CC1的中点，∴BG綊C1F.
∴四边形BGC1F为平行四边形．
∴BF綊GC1.
又∵EG綊A1B1，A1B1綊C1D1，
∴EG綊D1C1，∴四边形EGC1D1为平行四边形，∴ED1綊GC1，∴BF綊ED1.
两异面直线所成的角
[例3] 如图，已知长方体ABCD A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小．
[解] 取CD1的中点G，连接EG，DG，
∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝BC.
∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．
又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，
∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1，EF所成的角为90°.
[类题通法]
求两异面直线所成的角的三个步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
(2)证：证明作出的角就是要求的角；
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．
可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°.
[活学活用]
已知ABCD A1B1C1D1是正方体，求异面直线A1C1与B1C所成的角的大小．
解：如图所示，连接A1D和C1D.
∵B1C∥A1D，
∴∠DA1C1即为异面直线A1C1与B1C所成的角．
∵A1D，A1C1，C1D为正方体各面上的对角线，
∴A1D＝A1C1＝C1D，
∴△A1C1D为等边三角形．即∠C1A1D＝60°.
∴异面直线A1C1与B1C所成的角为60°.
[典例] 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
[证明] 如图，连接BD.
因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，
且EH＝BD.
同理，FG∥BD，且FG＝BD.
因此EH∥FG.
又EH＝FG，
所以四边形EFGH为平行四边形．
[多维探究]
1．矩形的判断
本例中若加上条件“AC⊥BD”，则四边形EFGH是什么形状？
证明：由例题可知EH∥BD，同理EF∥AC，
又BD⊥AC，因此EH⊥EF，
所以四边形EFGH为矩形．
2．菱形的判断
本例中，若加上条件“AC＝BD”，则四边形EFGH是什么形状？
证明：由例题知EH∥BD，且EH＝BD，
同理EF∥AC，且EF＝AC.
又AC＝BD，
所以EH＝EF.
又四边形EFGH为平行四边形，
所以四边形EFGH为菱形．
3．正方形的判断
本例中，若加上条件“AC⊥BD，且AC＝BD”，则四边形EFGH是什么形状？
证明：由探究1与2可知，
四边形EFGH为正方形．
4．梯形的判断
若本例中，E，H分别是AB，AD中点，F，G分别是BC，CD上的点，且CF∶FB＝CG∶GD＝1∶2，则四边形EFGH是什么形状？
证明：由题意可知EH是△ABD的中位线，则EH∥BD且EH＝BD.
又∵＝＝，∴FG∥BD，＝＝，
∴FG＝BD，∴FG∥EH且FG≠EH，
∴四边形EFGH是梯形．
[方法感悟]
根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法．公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．
[随堂即时演练]
1．如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是( )
A．6
B．4
C．5
D．8
答案：B
2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )
A．30°
B．30°或150°
C．150°
D．以上结论都不对
答案：B
3．已知正方体ABCD EFGH，则AH与FG所成角的度数是________．
答案：45°
4．给出下列说法：
(1)若直线上有两个点在平面外，则直线上至少有一个点在平面内；
(2)若直线上有两个点在平面外，则直线上有无穷多个点在平面内；
(3)若直线上有两个点在平面外，则直线上所有点都在平面外；
(4)若直线上有两个点在平面外，则直线上至多有一个点在平面内；
(5)若a，b是异面直线，c∥a，那么c与b一定是异面直线．
其中正确的是________(填序号)．
答案：(4)
5．如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角的大小．
答案：45°
[课时达标检测]
一、选择题
1．若a，b，c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是( )
A．异面
B．相交
C．平行
D．异面或相交
答案：D
2.如图所示，在三棱锥S MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或异面
答案：A
3．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )
A．相交
B．平行
C．异面而且垂直
D．异面但不垂直
答案：D
4．下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
其中正确的结论有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：B
5．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则( )
A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面
答案：B
二、填空题
6．直线a，b 平面α，且a，b成的角为40°，经过α外一点A与a，b都成30°角的直线有且只有________条．
答案：2
7．已知正方体ABCD
A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为________．
答案：
8．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________．
答案：③
三、解答题
9.如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1 ABCD的棱A1A，C1C的中点．
求证：四边形B1EDF是平行四边形．
证明：设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.
∵E是AA1的中点，
∴EQ綊A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中，
A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1(平行公理)．
∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.
又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD綊C1F.
∴四边形QDFC1为平行四边形．
∴C1Q綊DF.
又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF.
∴四边形B1EDF为平行四边形．
10.已知三棱锥A BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．
解：如图，取AC的中点P，连接PM，PN，因为点M，N分别是BC，AD的中点，所以PM∥AB，且PM＝AB；
PN∥CD，且PN＝CD，
所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角．
所以∠PMN(或其补角)为AB与MN所成的角．
因为直线AB与CD成60°角，
所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.
又因为AB＝CD，所以PM＝PN，
①若∠MPN＝60°，则△PMN是等边三角形，
所以∠PMN＝60°，即AB与MN所成的角为60°.
②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．
所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°.
综上可知：AB与MN所成角为60°或30°.4．2.2
&
4.2.3 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用
圆与圆的位置关系
[提出问题]
上图为某次拍到的日环食全过程．可以用两个圆来表示变化过程．
问题1：根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？
提示：5种，即内含、内切、相交、外切、外离．
问题2：能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？
提示：可以，利用圆心距与半径的关系可判断．
问题3：直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？
提示：可以．
[导入新知]
1．圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2．圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程组得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
内切或外切
外离或内含
[化解疑难]
几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判定方法一样，能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判定两圆的位置关系问题．
判断两圆的位置关系
[例1] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
[解] 将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝(k＜50)，
从而|C1C2|＝＝5.
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．
当|－1|＜5＜1＋，
即14＜k＜34时，两圆相交．
当1＋＜5或|－1|＞5，
即k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．
[类题通法]
1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
(2)计算两圆圆心的距离d；
(3)通过d与r1＋r2，|r1－r2|的大小关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
[活学活用]
1．两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是( )
A．相离
B．相切
C．相交
D．内含
答案：C
2．(湖南高考)若圆C1：x2＋y2＝1
与圆
C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则
m＝( )
A．21
B．19
C．9
D．－11
答案：C
与两圆相交有关的问题
[例2] 求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
[解] 法一：解方程组得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.则有＝，
解得a＝，故圆心为，
半径为
＝
.
故圆的方程为2＋2＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
法二：
∵圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为，代入x－y－4＝0，求得λ＝－7.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
[类题通法]
1．圆系方程
一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．
2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
3．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
[活学活用]
已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，与圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0相交于A，B两点，求AB所在的直线方程和公共弦AB的长．
解：由圆C1的方程减去圆C2的方程，整理，得方程3x－4y＋6＝0，又由于方程3x－4y＋6＝0是由两圆相减得到的，即两圆交点的坐标一定是方程3x－4y＋6＝0的解．因为两点确定一条直线，所以3x－4y＋6＝0是两圆公共弦AB所在的直线方程．
∵圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，
∴圆心为C1(－1,3)，半径r＝3，
∴圆心C1到直线AB的距离d
＝＝，
∴│AB│＝2＝2＝.
∴AB所在的直线方程为3x－4y＋6＝0，公共弦AB的长为.
直线与圆的方程的实际应用
[例3] 有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10
千米，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
[解] 以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设A(－5,0)，则B(5,0)．
在坐标平面内任取一点P(x，y)，
设从A运货到P地的运费为2a元/千米，
则从B运货到P地运费为a
元/千米．
若P地居民选择在A地购买此商品，
则2a＜a，
整理得2＋y2＜2.
即点P在圆C：2＋y2＝2的内部．
也就是说，圆C内的居民应在A地购物．
同理可推得圆C外的居民应在B地购物．
圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购物．
[类题通法]
求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤
(1)认真审题，明确题意；
(2)建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程；
(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；
(4)把代数结果还原为实际问题的解．
[活学活用]
某公园有A，B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路
km和2
km，且A，B景点间相距2
km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？
解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A，B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x轴，B点在y轴正半轴上建立平面直角坐标系．
由题意，得A(，)，B(0,2)，
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2，由A，B两点在圆上，得或由实际意义知a＝0，b＝，
∴圆的方程为x2＋(y－)2＝2，切点为(0,0)，
∴观景点应设在B景点在小路的投影处．
坐标法解决平面几何问题
[例4] 如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H.求证：EF平分CD.
[解] 证明：以AB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系．如图所示，设|AB|＝2r，D(a,0)，
则|CD|＝，
∴C(a，)，
∴圆O：x2＋y2＝r2，
圆C：(x－a)2＋(y－)2＝r2－a2.
两方程作差得直线EF的方程为
2ax＋2y＝r2＋a2.
令x＝a，得y＝，
∴H，
即H为CD中点，
∴EF平分CD.
[类题通法]
平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：
(1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题．
(2)通过代数运算，解决代数问题．
(3)把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论．
[活学活用]
在平行四边形ABCD中，用坐标法证明：|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＋|BD|2.
证明：以CA所在的直线为x轴，线段CA的中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
设A(a,0)，B(b，c)，则C(－a,0)，D(－b，－c)．
|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2
＝2(|AB|2＋|BC|2)
＝2[(b－a)2＋c2＋(－a－b)2＋(－c)2]
＝4a2＋4b2＋4c2，
|BD|2＋|AC|2＝(－b－b)2＋(－c－c)2＋(－a－a)2
＝4a2＋4b2＋4c2.
|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2
＝|AC|2＋|BD|2.
[典例] (12分)求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
[解题流程]
故a＝2±2，此时圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16.(10分)
综上，所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16或(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16.(12分)
[活学活用]
(江苏高考节选)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
解：圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M(6,7)，半径为5.
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以0＜y0＜7，圆N的半径为y0，
从而7－y0＝5＋y0，
解得y0＝1.
因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为直线l∥OA，
所以直线l的斜率为＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m，
即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离
d＝＝.
因为BC＝OA＝＝2，
而MC2＝d2＋2，
所以25＝＋5，
解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0
或2x－y－15＝0.
[随堂即时演练]
1．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0公共弦长为( )
A.
B.
C．2
D．2
答案：C
2．已知两圆相交于A(1,3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋2c的值为( )
A．－1
B．1
C．3
D．0
答案：B
3．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的位置关系是________．
答案：外切
4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
答案：x＋3y＝0
5．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x＝0.
(1)m＝1时，圆C1与圆C2有什么位置关系？
(2)是否存在m，使得圆C1与圆C2内含？
答案：(1)相交． (2)不存在．
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知0＜r＜＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是( )
A．外切
B．相交
C．外离
D．内含
答案：B
2．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
答案：D
3．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7
B．6
C．5
D．4
答案：B
4．若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}，且A∩B＝B，则a的取值范围是( )
A．(－∞，1]
B．[5，＋∞)
C．[1,5]
D．(－∞，5]
答案：D
5．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A．4
B．4
C．8
D．8
答案：C
二、填空题
6．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线方程为________．
答案：x＋y－3＝0
7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________.
答案：1
8．已知实数x，y满足x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为________，最小值为________．
答案： －
三、解答题
9．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解：(1)由两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，
r2＝|O1O2|－r1＝2(－1)，
故圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x＋y＋1－2＝0.
(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r.
∵圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x＋4y＋r－8＝0.
作O1H⊥AB，则|AH|＝|AB|＝，
|O1H|＝＝＝.
又圆心(0，－1)到直线AB的距离为＝，
得r＝4或r＝20，故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
10.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1
km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7
km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8
km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．
解：以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为－1＝(4－1)km.4．2.1 直线与圆的位置关系
第一课时 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
[提出问题]
“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片．
问题1：图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？
提示：(1)相离，(2)相切，(3)相交．
问题2：结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有几种位置关系？
提示：3种，分别是相交、相切、相离．
问题3：如何判断直线与圆的位置关系？
提示：可利用圆心到直线的距离d与半径r的关系．
[导入新知]
1．直线与圆有三种位置关系
位置关系
交点个数
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
两个
一个
零个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
[化解疑难]
判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算烦琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法．
直线与圆位置关系的判断
[例1] 若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值范围．
[解] 法一：(代数法)
由方程组消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.
Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90
000.
①当直线和圆相交时，Δ>0，即－36a2＋90
000>0，－50
②当直线和圆相切时，Δ＝0，即a＝50或a＝－50；
③当直线和圆相离时，Δ<0，即a<－50或a>50.
法二：(几何法)
圆x2＋y2＝100的圆心为(0,0)，半径r＝10，
则圆心到直线的距离d＝＝.
①当直线和圆相交时，d②当直线和圆相切时，d＝r，即＝10，a＝50或a＝－50；
③当直线和圆相离时，d>r，即>10，a<－50或a>50.
[类题通法]
直线与圆位置关系判断的三种方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
[活学活用]
1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交
B．相离
C．相交或相切
D．相切
答案：C
2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1]
B．[－1,3]
C．[－3,1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案：C
切
线
问
题
[例2] 过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程．
[解] ∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，
∴点A在圆外．
法一：当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，
不满足题意．
设直线l的斜率为k，则方程为y－4＝k(x＋1)，
即kx－y＋4＋k＝0.
圆心(2,3)到切线l的距离为＝1，
解得k＝0或k＝－，
因此，所求直线l的方程y＝4或3x＋4y－13＝0.
法二：由于直线l与圆相切，所以方程组
只有一解．
消去y，得到关于x的一元二次方程(1＋k2)x2＋(2k2＋2k－4)x＋k2＋2k＋4＝0，
则Δ＝(2k2＋2k－4)2－4(1＋k2)(k2＋2k＋4)＝0，
解得8k2＋6k＝0，即k＝0或k＝－，
因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.
[类题通法]
1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
2．过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
[活学活用]
1．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( )
A．0或2
B．2
C.
D．无解
答案：B
2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为( )
A．x＋y－2＝0
B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0
D．x－y＋2＝0
答案：D
弦
长
问
题
[例3] 已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
[解] (1)法一：(几何法)
如图所示，过点O作OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率为k＝tan
135°＝－1，
∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
∵圆心为(0,0)，∴|OC|＝＝.
∵r＝2，∴|BC|＝＝，
∴|AB|＝2|BC|＝.
法二：(代数法)
当α＝135°时，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即y＝－x＋1，代入x2＋y2＝8，
得2x2－2x－7＝0.
∴x1＋x2＝1，x1x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝＝.
(2)如图，当弦AB被点P平分时，
OP⊥AB.∵kOP＝－2，
∴kAB＝，
∴直线AB的方程为y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0.
[类题通法]
求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2，即|AB|＝2.
(2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝·|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．
[活学活用]
求经过点P且被定圆x2＋y2＝25截得的弦长为8的直线的方程．
解：当直线的斜率不存在时，过点P的直线方程为x＝－3，代入x2＋y2＝25，得y1＝4，y2＝－4，
所以弦长为|y1－y2|＝8，符合题意．
当直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y＋＝k(x＋3)，
即kx－y＋3k－＝0.
由已知，得弦心距为＝3，
所以＝3，
解得k＝－，
所以此直线的方程为y＋＝－(x＋3)，
即3x＋4y＋15＝0.
综上所述，所求直线的方程为x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.
[典例] 过点A(3,1)和圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线方程是( )
A．y＝1
B．x＝3
C．x＝3或y＝1
D．不确定
[解析] 由题意知，点A在圆外，故过点A的切线应有两条．当所求直线斜率存在时，设其为k，则直线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由于直线与圆相切，所以d＝＝1，解得k＝0，所以切线方程为y＝1.当所求直线斜率不存在时，x＝3也符合条件．综上所述，所求切线方程为x＝3或y＝1.
[答案] C
[易错防范]
1．解题时只考虑所求直线的斜率存在的情况，而忽视了斜率不存在的情况，而错误地选A；若只考虑斜率不存在的情形，而忽视了斜率存在的情况，而错误地选B.
2．过一点求圆的切线时，首先要判断点与圆的位置关系，以此来确定切线的条数，经过圆外一点可以作圆的两条切线，求解中若只求出一个斜率，则另一条必然斜率不存在．
[成功破障]
已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，则过点(3,5)并与圆C相切的切线方程为________．
答案：5x－12y＋45＝0或x＝3
[随堂即时演练]
1．直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是( )
A．相离
B．相切
C．相交但直线不过圆心
D．相交且直线过圆心
答案：C
2．设直线l过点P(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是( )
A．±1
B．±
C．±
D．±
答案：C
3．(全国乙卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
答案：4π
4．过点P(－1,2)且与圆C：x2＋y2＝5相切的直线方程是________．
答案：x－2y＋5＝0
5．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
答案：(1)－ (2)7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
[课时达标检测]
一、选择题
1．直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是( )
A．相离
B．相切
C．相交且过圆心
D．相交但不过圆心
答案：D
2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )
A.
B．2
C.
D．2
答案：D
3．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．3
B．2
C.
D．1
答案：B
4．由直线y＝x＋1上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )
A．1
B．2
C.
D．3
答案：C
5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．10
B．20
C．30
D．40
答案：B
二、填空题
6．(山东高考)圆心在直线
x－2y＝0上的圆
C与
y轴的正半轴相切，圆
C截x
轴所得弦的长为2，则圆C
的标准方程为__________________．
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4
7．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为____________________．
答案：(x＋1)2＋y2＝2
8．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上．直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为__________．
答案：x＋y－3＝0
三、解答题
9．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
解：设圆心坐标为(3m，m)．
∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，
∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.
由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，
∴m＝±1，
∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
10．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，过点P(2，－1)作圆C的切线，切点为A，B.
(1)求直线PA，PB的方程；
(2)求过P点的圆C的切线长．
解：(1)由题意知，切线的斜率存在，设切线方程为
y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
圆心到直线的距离等于，即＝，
∴k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，
故所求的切线方程为
y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)，
即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.
(2)在Rt△PAC中，PA2＝PC2－AC2
＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8，
∴过P点的圆C的切线长为2.4．1.1 圆的标准方程
圆的标准方程
[提出问题]
右图是一个公园内的摩天轮．该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米．
问题1：游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？
提示：一样．圆上的点到圆心距离都是相等的，都是圆的半径．
问题2：若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？
提示：
＝.
问题3：以(1,2)为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标(x，y)满足什么关系？
提示：
＝3.
[导入新知]
圆的标准方程
(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．
(3)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
[化解疑难]
1．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．
2．几种特殊位置的圆的标准方程：
条件
圆的标准方程
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0)
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在x轴上且过原点
(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
圆心在y轴上且过原点
x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与x轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与y轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)
点与圆的位置关系
[提出问题]
爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一场掷飞镖比赛，他们把靶子钉在土墙上，规定谁的飞镖离靶心O越近，谁获胜．如图A，B，C分别是他们掷一轮飞镖的落点．看图回答下列问题：
问题1：点与圆的位置关系有几种？
提示：三种．点在圆外、圆上、圆内．
问题2：如何判断他们的胜负？
提示：利用点与圆心的距离．
[导入新知]
点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心C(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则
位置关系
判断方法
几何法
代数法
点在圆上
│MC│＝r 点M在圆C上
点M(x0，y0)在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内
│MC│点M(x0，y0)在圆内 (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
点在圆外
│MC│>r 点M在圆C外
点M(x0，y0)在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
[化解疑难]
1．点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外．
2．判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法．
求圆的标准方程
[例1] 过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
[答案] C
[类题通法]
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
[活学活用]
求下列圆的标准方程：
(1)圆心是(4，－1)，且过点(5,2)；
(2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
(3)求过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的标准方程．
解：(1)圆的半径长r＝＝，
故圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10.
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
解得b＝0或b＝－8，则圆心为(0,0)或(0，－8)．
又∵半径r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(3)直线CD的斜率kCD＝＝1，
线段CD中点E的坐标为(0,2)，
故线段CD的垂直平分线的方程为y－2＝－x，
即y＝－x＋2，令y＝0，得x＝2，
即圆心为(2,0)．由两点间的距离公式，
得r＝＝.
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
点与圆的位置关系
[例2] 如图，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)．
(1)求以P1P2为直径的圆的方程；
(2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
[解] (1)设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为P1P2的中点，得a＝＝5，b＝＝6.
又由两点间的距离公式得
r＝|CP1|＝＝，
故所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.
(2)由(1)知，圆心C(5,6)，则分别计算点到圆心的距离：
|CM|＝＝，
|CN|＝＝＞，
|CQ|＝
＝3＜.
因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．
[类题通法]
1．判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
2．灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．
[活学活用]
若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是( )
A．{a|－1＜a＜1}
B．{a|0＜a＜1}
C．{a|a＞1或a＞－1}
D．{a|a＝±1}
答案：A
10．求解圆的方程中漏解
[典例] 已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
[解] 法一：如图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，
∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，
|OC|＝
＝
＝3.
设点C坐标为(a,0)，
则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.
∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.
法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.
∵圆截y轴线段长为8，
∴圆过点A(0,4)．
代入方程得a2＋16＝25，
∴a＝±3.
∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.
[易错防范]
1．若解题分析只画一种图形，而忽略两种情况，考虑问题不全面，漏掉圆心在x轴负半轴的情况而导致出错．
2．借助图形解决数学问题，只能是定性分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就要考虑到几何图形的各种情况．
[成功破障]
圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为________．
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
[随堂即时演练]
1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心、半径分别是( )
A．(1，－2)，4
B．(1，－2)，2
C．(－1,2)，4
D．(－1,2)，2
答案：D
2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外
B．在圆内
C．在圆上
D．不确定
答案：A
3．圆(x＋3)2＋(y－1)2＝25上的点到原点的最大距离是________．
答案：5＋
4．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．
答案：(x＋2)2＋y2＝4
5．求以A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的方程．
答案：(x－4)2＋(y－1)2＝5
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知点P(3,2)和圆的方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，则它们的位置关系为( )
A．在圆心
B．在圆上
C．在圆内
D．在圆外
答案：C
2．以P(－2,3)为圆心，且与y轴相切的圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝4
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝9
答案：B
3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
答案：A
4．已知圆C经过点P(－2,4)和点Q(4,4)，直径为2，则圆C的标准方程为( )
A．(x－1)2＋(y－3)2＝10
B．(x＋1)2＋(y－5)2＝10
C．(x＋1)2＋(y－3)2＝10或(x－1)2＋(y－5)2＝10
D．(x－1)2＋(y－3)2＝10或(x－1)2＋(y－5)2＝10
答案：D
5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
答案：C
二、填空题
6．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且经过原点的圆的标准方程是___________．
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20
7．点(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．
答案：[0,1)
8．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是________．
答案：(x＋5)2＋y2＝5
三、解答题
9．求经过点A(－1,4)，B(3,2)两点且圆心在y轴上的圆的方程．
解：法一：设圆心坐标为(a，b)．
∵圆心在y轴上，∴a＝0.
设圆的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2.
∵该圆过A，B两点，
∴解得
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
法二：∵线段AB的中点坐标为(1,3)，kAB＝＝－，
∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.
由解得∴点(0,1)为所求圆的圆心．
由两点间的距离公式，得圆的半径r＝，
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
10．求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的方程．
解：圆心在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r，则圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝r2.
将点(1,10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2，①
而r＝，代入①，得(a－1)2＋16＝，
解得a＝3，r＝2，或a＝－7，r＝4.
故所求圆为(x－3)2＋(y－6)2＝20，或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.3．2.2
&
3.2.3 直线的两点式方程 直线的一般式方程
两点式、截距式
[提出问题]某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1
km和4
km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A，B两处，并使区商业中心O到A，B两处的距离之和最短．
问题1：在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A，B能否确定？
提示：可以确定．
问题2：根据上图知建立平面坐标系后，A，B两点的坐标值相当于在x轴、y轴上的什么量？
提示：在x轴、y轴上的截距．
问题3：那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？
提示：可以．
[导入新知]
直线的两点式与截距式方程
两点式
截距式
条件
P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
在x轴上截距a，在y轴上截距b
图形
方程
＝
＋＝1
适用范围
不表示垂直于坐标轴的直线
不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线
[化解疑难]
1．要注意方程＝和方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．
2．直线方程的截距式为＋＝1，x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如－＝1，＋＝－1就不是直线的截距式方程.
直线方程的一般式
[提出问题]
观察下列直线方程：
直线l1：y－2＝3(x－1)；
直线l2：y＝3x＋2；
直线l3：＝；
直线l4：＋＝1.
问题1：上述直线方程的形式分别是什么？
提示：点斜式、斜截式、两点式、截距式．
问题2：上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax＋By＋C＝0的形式吗？
提示：能．
问题3：二元一次方程Ax＋By＋C＝0都能表示直线吗？
提示：能．
[导入新知]
1．直线与二元一次方程的关系
(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．
(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
2．直线的一般式方程的定义
我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
[化解疑难]
1．求直线的一般式方程的策略
(1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
2．直线的一般式转化为其他形式的步骤
(1)一般式化为斜截式的步骤
①移项得By＝－Ax－C；
②当B≠0时，得斜截式：y＝－x－.
(2)一般式化为截距式的步骤
①把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；
②当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1；
③化为截距式：＋＝1.
由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．
利用两点式求直线方程
[例1] 三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．
[解] 由两点式，直线AB所在直线方程为＝，即x＋4y＋1＝0.
同理，直线BC所在直线方程为＝，
即2x＋y－5＝0.
直线AC所在直线方程为＝，
即3x－2y＋3＝0.
[类题通法]
求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．
[活学活用]
1．已知直线经过点A(－3，－1)和点B(3,7)，则它在y轴上的截距是________．
答案：3
2．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
答案：－2
直线的截距式方程及应用
[例2] 直线l过点P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程．
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．
[解] (1)设直线l的方程为
＋＝1(a＞0，b＞0)，
由题意知，a＋b＋＝12.
又因为直线l过点P，
所以＋＝1，即5a2－32a＋48＝0，
解得或
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
(2)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
由题意知，ab＝12，＋＝1，
消去b，得a2－6a＋8＝0，
解得或
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
[类题通法]
用截距式方程解决问题的优点及注意事项
(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．
(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．
(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．
[活学活用]
求经过点A(－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．
解：设直线在x轴、y轴上的截距分别是a，b，
则有S＝|a·b|＝1.
∴ab＝±2.设直线的方程是＋＝1.
∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得＋＝1，
即b＝.
∴ab＝＝±2.
当＝－2时，化简得a2＋a＋2＝0，方程无解；
当＝2时，化简得a2－a－2＝0，
解得或
∴直线方程是＋＝1或＋＝1，
即2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
直线方程的一般式应用
[例3] (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
[解] (1)法一：由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，
l2：mx＋3y－2＝0，
①当m＝0时，显然l1与l2不平行．
②当m≠0时，l1∥l2，
需＝≠.
解得m＝2或m＝－3.∴m的值为2或－3.
法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
l1与l2不重合，l1∥l2，
∴m的值为2或－3.
(2)法一：由题意，l1⊥l2，
①若1－a＝0，即a＝1时，
直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0，显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－时，
直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－，当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即·＝－1，所以a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，l1⊥l2.
法二：由l1⊥l2，
所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得a＝±1.
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
[类题通法]
1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)若l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
[活学活用]
(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；
(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
解：(1)法一：设直线l的斜率为k，
∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝－.
又∵l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y－2＝
－(x－1)，即3x＋4y－11＝0.
法二：设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.
∵l经过点(1,2)，
∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.
∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
(2)法一：设直线l的斜率为k.
∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，
∴k·(－2)＝－1，
∴k＝.
又∵l经过点A(2,1)，
∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0.
法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.
∵直线l经过点A(2,1)，
∴2－2×1＋m＝0，
∴m＝0.
∴所求直线l的方程为x－2y＝0.
[典例] 求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．
[解] 当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，满足题意．此时，直线的斜率为，所以直线方程为y＝x.
当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，又过点A，所以＋＝1①.
因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|＝|b|②.
由①②联立方程组，解得或
所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
化简得直线l的方程为x＋y＝6或x－y＝2.
综上，直线l的方程为y＝x或x＋y＝6或x－y＝2.
[多维探究]
1．截距相等问题
求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
解：①当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为，所以直线方程为y＝x.
②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为
＋＝1，又过A(4,2)，
∴a＝6，
∴方程为x＋y－6＝0.
综上，直线方程为y＝x或x＋y－6＝0.
2．截距和为零问题
求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
解：①当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为，所以直线方程为y＝x.
②当直线不过原点时，
由题意可设直线方程为－＝1.又过A(4,2)，
∴＝1，即a＝2，∴x－y＝2.
综上，直线l的方程为y＝x或x－y＝2.
3．截距成倍数问题
求过点A(4,2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍，求直线l的方程．
解：①当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为，所以直线方程为y＝x.
②当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，又直线过A(4,2)，所以＋＝1，
解得a＝，方程为x＋3y－10＝0.
综上，所求直线方程为y＝x或x＋3y－10＝0.
4．截距和是定数问题
求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程．
解：设直线l的方程为＋＝1，
由题意得
∴4b＋2a＝ab，即4(12－a)＋2a＝a(12－a)，
∴a2－14a＋48＝0，解得a＝6或a＝8.
因此或
∴所求直线l的方程为x＋y－6＝0或x＋2y－8＝0.
[方法感悟]
如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况．
[随堂即时演练]
1．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为( )
A．1
B．－1
C．7
D．－7
答案：B
2．直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则有( )
A．a＝2，b＝5
B．a＝2，b＝－5
C．a＝－2，b＝5
D．a＝－2，b＝－5
答案：B
3．直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________．
答案：x－y＋3＝0
4．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________．
答案：2x－y＋1＝0
5．三角形的顶点坐标为A(0，－5)，B(－3,3)，C(2,0)，求直线AB和直线AC的方程．
解：直线AB的方程为8x＋3y＋15＝0，
直线AC的方程为5x－2y－10＝0.
[课时达标检测]
一、选择题
1．平面直角坐标系中，直线x＋y＋2＝0的斜率为( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：B
2．直线ax＋by＝1(a，b均不为0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
A.ab
B.|ab|
C.
D.
答案：D
3．已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则( )
A．若c＞0，则a＞0，b＞0
B．若c＞0，则a<0，b＞0
C．若c＜0，则a>0，b<0
D．若c<0，则a>0，b＞0
答案：D
4．已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，点P(x0，y0)在l上，则l的方程可化为( )
A．A(x＋x0)＋B(y＋y0)＋C＝0
B．A(x＋x0)＋B(y＋y0)＝0
C．A(x－x0)＋B(y－y0)＋C＝0
D．A(x－x0)＋B(y－y0)＝0
答案：D
5．若直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x－ay＋1＝0平行，则a的值为( )
A.
B.或0
C．0
D．－2
答案：A
二、填空题
6．若直线l1：ax＋(1－a)y＝3与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，则实数a＝________.
答案：1或－3
7．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________．
答案：3或－3
8．过点P(2，－1)，在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b的直线方程为____________．
答案：x＋3y＋1＝0或x＋2y＝0
三、解答题
9．已知在△ABC中，点A，B的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
解：(1)设点C(m，n)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，由中点坐标公式得
解得
∴点C的坐标为(1，－3)．
(2)由(1)知，点M，N的坐标分别为M0，－，N，0，
由直线方程的截距式，
得直线MN的方程是＋＝1，即y＝x－.
10．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，不符合题意；
当a≠－1时，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为a－2，因为l在两坐标轴上的截距相等，
所以＝a－2，解得a＝2或a＝0，
所以直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将直线l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，所以或
解得a≤－1.
综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤－1}．3．3.1
&
3.3.2
两条直线的交点坐标 两点间的距离
第一课时 两条直线的交点坐标 两点间的距离
两条直线的交点坐标
[提出问题]
已知二元一次方程组
问题1：二元一次方程组的解法有哪些？
提示：代入消元法、加减消元法．
问题2：在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？
提示：两直线的公共部分，即交点．
问题3：若给出两直线y＝x＋1与y＝3x－2，如何求其交点坐标？
提示：联立解方程组求方程组的解即可得．
[导入新知]
1．两直线的交点坐标
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线l
l：Ax＋By＋C＝0
点A在直线l上
Aa＋Bb＋C＝0
直线l1与l2的交点是A
方程组的解是
2．两直线的位置关系
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
[化解疑难]
两直线相交的条件
(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．
(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)．
(3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交 k1≠k2.
两点间的距离
[提出问题]
数轴上已知两点A，B.
问题1：如何求A，B两点间的距离？
提示：|AB|＝|xA－xB|.
问题2：在平面直角坐标系中能否用数轴上两点间距离求出任意两点间距离？
提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解．
[导入新知]
两点间的距离公式
(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
[化解疑难]
两点间距离公式的理解
(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝
.
(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.
当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.
当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝
.
两条直线的交点问题
[例1] 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标．
(1)l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0；
(2)l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝x＋；
(3)l1：2x－6y＝0，l2：y＝x＋.
[解] (1)解方程组
得
所以l1与l2相交，且交点坐标为.
(2)解方程组
②×6整理得2x－6y＋3＝0.
因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
(3)解方程组
②×6－①得3＝0，矛盾．
方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.
[类题通法]
判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．
(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．
(3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．
[活学活用]
直线y＝kx＋3与直线y＝x－5的交点在直线y＝x上，求k的值．
解：由题意可知，三条直线y＝kx＋3，y＝x－5，y＝x交于一点．由得x＝y＝，代入y＝x－5，得＝·－5，解得k＝1或k＝.因为直线y＝kx＋3与直线y＝x－5相交，所以k≠，即k≠1，故k＝.
直线恒过定点问题
[例2] 求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点．
[解] 证明：法一：取m＝1时，直线方程为y＝－4；取m＝时，直线方程为x＝9.
两直线的交点为P(9，－4)，将点P的坐标代入原方程左边＝(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5.
故不论m取何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即直线恒过点P(9，－4)．
法二：原方程化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0.
若对任意m都成立，
则有得
所以不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，－4)．
[类题通法]
解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
[活学活用]
求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
解：法一：设所求直线为l，因为直线l过已知两直线的交点，因此直线l的方程可设为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0(其中λ为常数)，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ①
又直线l与直线3x＋y－1＝0平行，
所以－＝－3且≠，解得λ＝.
将λ＝代入①，整理，得15x＋5y＋16＝0，即为所求．
法二：解方程组得所以两直线的交点坐标为.
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y＋＝－3，即15x＋5y＋16＝0.
两点间距离公式的应用
[例3] 已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三角形．
[解] 证明：法一：∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝，
又|BC|＝＝5，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
∴△ABC为直角三角形．
法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－2，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
[类题通法]
1．计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝.
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
2．解答本题还要注意构成三角形的条件．
[活学活用]
若点A(－3,4)与坐标轴上的点P的距离等于5，试确定点P的坐标．
解：若点P在x轴上，设点P的坐标为(x,0)，由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得x＝0或x＝－6，所以点P的坐标为(0,0)或(－6,0)；
若点P在y轴上，设点P的坐标为(0，y)，由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得y＝0或y＝8，所以点P的坐标为(0,0)或(0,8)．
故所求的点P有3个，坐标分别为(－6,0)，(0,0)，(0,8)．
[典例] 若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是( )
A．a＝1或a＝－2
B．a≠±1
C．a≠1且a≠－2
D．a≠±1且a≠－2
[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．
①若三条直线交于一点，由
解得
将l2，l3的交点(－a－1,1)代入l1的方程解得a＝1或a＝－2
；
②若l1∥l2，则由a×a－1×1＝0，得a＝±1
，
当a＝1时，l1与l2重合；
③若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，得a＝1，
当a＝1时，l2与l3重合；
④若l1∥l3，则由a×1－1×1＝0，得a＝1，
当a＝1时，l1与l3重合．
综上，当a＝1时，三条直线重合；
当a＝－1时，l1∥l2；当a＝－2时，三条直线交于一点，
所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠－2.
[答案] D
[易错防范]
处，解题过程中，由a＝1或a＝－2得a≠1且a≠－2，此种错误是因只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形．
处，若得到a≠±1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形．
解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形．
[成功破障]
若直线y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：C
[随堂即时演练]
1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐标为( )
A．(－4，－3)
B．(4,3)
C．(－4,3)
D．(3,4)
答案：C
2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1
B．－5
C．1或－5
D．－1或5
答案：C
3．若直线y＝kx＋3k－2与y＝－x＋1的交点在第一象限，则k的取值范围为________．
答案：
4．若p，q满足p－2q＝1，直线px＋3y＋q＝0必过一个定点，该定点坐标为________．
答案：
5．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．
(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；
(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0.
答案：(1)2x－y－1＝0 (2)2x＋3y－5＝0
[课时达标检测]
一、选择题
1．两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为( )
A．－24
B．6
C．±6
D．24
答案：C
2．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点是( )
A．(－3,1)或(7,1)
B．(2，－3)或(2,7)
C．(－3,1)或(5,1)
D．(2，－3)或(2,5)
答案：A
3．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是( )
A．x－3y＋7＝0
B．x－3y＋13＝0
C．3x－y＋7＝0
D．3x－y－5＝0
答案：B
4．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6
B.
C．2
D．不能确定
答案：B
5．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )
A．恒过定点(－2,3)
B．恒过定点(2,3)
C．恒过点(－2,3)和点(2,3)
D．都是平行直线
答案：A
二、填空题
6．已知在△ABC中，A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，则△ABC的形状为________．
答案：等腰直角三角形
7．已知直线l1：a1x＋b1y＋1＝0和直线l2：a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是____________．
答案：2x＋y＋1＝0
8．在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________．
答案：
三、解答题
9．若三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0能构成一个三角形，求k的取值范围．
解：①当l1∥l3时知k≠0且有＝1，所以有k＝5.
②当l2∥l3时知k≠0且有＝－1，所以有k＝－5.
③当l1，l2，l3三线交于一点时，
解方程组得
故直线l1与l2相交于点(1,1)．
又l3过点(1,1)，所以有5×1－k－15＝0，
所以有k＝－10.
综上可知，要使三条直线构成一个三角形，需有k≠±5且k≠－10.
10．已知点A(1，－1)，B(2,2)，点P在直线y＝x上，求|PA|2＋|PB|2取得最小值时P点的坐标．
解：设P(2t，t)，则|PA|2＋|PB|2＝(2t－1)2＋(t＋1)2＋(2t－2)2＋(t－2)2＝10t2－14t＋10.当t＝时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，此时有P，所以|PA|2＋|PB|2取得最小值时P点的坐标为.3．2.1 直线的点斜式方程
点斜式、斜截式
[提出问题]
如图，过点A(1,1)作直线l.
问题1：试想直线l确定吗？
提示：不确定．因为过一点可画无数条直线．
问题2：若直线l的倾斜角为45°，直线确定吗？
提示：确定．
问题3：若直线l的斜率为2，直线确定吗？
提示：确定．
[导入新知]
1．直线的点斜式方程
(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．
(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.
2．直线的斜截式方程
(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，
且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．
(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．
[化解疑难]
1．关于点斜式的几点说明：
(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
(2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线．
(3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线．
2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零.
直线的点斜式方程
[例1] (1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________________．
(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________________．
(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________________．
[答案] (1)x＝－5 (2)y－4＝－(x－3) (3)2x－y＝0
[类题通法]
已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.
[活学活用]
若直线l过点(2,1)，分别求l满足下列条件时的直线方程：(1)倾斜角为135°；(2)平行于x轴；(3)平行于y轴；(4)过原点．
解：(1)直线的斜率为k＝tan
135°＝－1，
所以由点斜式方程得y－1＝－1×(x－2)，
即方程为x＋y－3＝0.
(2)平行于x轴的直线的斜率k＝0，故所求的直线方程为y＝1.
(3)过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为x＝2.
(4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k＝，
故所求的直线方程为y＝x.
直线的斜截式方程
[例2] (1)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________________．
(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
[解] (1)y＝－x－3
(2)由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，
又∵l∥l1，∴l的斜率k＝k1＝－2.由题意知l2在y轴上的截距为－2，∴l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
[类题通法]
1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．
2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．
[活学活用]
写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.
解：(1)y＝3x－3.
(2)∵k＝tan
60°＝，∴y＝x＋5.
(3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，∴直线过点(4,0)和(0，－2)，
∴k＝＝，∴y＝x－2.
两直线平行与垂直的应用
[例3] 当a为何值时，
(1)两直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直？
(2)两直线y＝－x＋4a与y＝(a2－2)x＋4互相平行？
[解] (1)设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1＝a，k2＝a＋2.
∵两直线互相垂直，∴k1k2＝a(a＋2)＝－1，解得a＝－1.
故当a＝－1时，两条直线互相垂直．
(2)设两直线的斜率分别为k3，k4，
则k3＝－1，k4＝a2－2.
∵两条直线互相平行，
∴解得a＝－1.
故当a＝－1时，两条直线互相平行．
[类题通法]
判断两条直线位置关系的方法
直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.
(1)若k1≠k2，则两直线相交．
(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，
当b1≠b2时，两直线平行；
当b1＝b2时，两直线重合．
(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．
(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．
[活学活用]
1．若直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直，则a＝________.
答案：
2．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a的值为________．
答案：3
[典例] 已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)·x＋3y＋2m＝0，当l1∥l2时，求m的值．
[解] 由题设l2的方程可化为y＝－x－m，则其斜率k2＝－，在y轴上的截距b2＝－m.
∵l1∥l2，
∴l1的斜率一定存在，即m≠0.
∴l1的方程为y＝－x－.
由l1∥l2，得
解得m＝－1.
∴m的值为－1.
[易错防范]
1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．
2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合．
[成功破障]
当a为何值时，直线l1：y＝－2ax＋2a与直线l2：y＝(a2－3)x＋2平行？
解：∵l1∥l2，∴a2－3＝－2a且2a≠2，
解得a＝－3.
[随堂即时演练]
1．直线的点斜式方程y－y1＝k(x－x1)( )
A．可以表示任何一条直线
B．不能表示过原点的直线
C．不能表示与坐标轴垂直的直线
D．不能表示与x轴垂直的直线
答案：D
2．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( )
A．y＋3＝x－2
B．y－3＝x＋2
C．y＋2＝x－3
D．y－2＝x＋3
答案：A
3．直线y＝3x－2在y轴上的截距为________．
答案：－2
4．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________________．
答案：y＝－3x＋2
5．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；
(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．
解：(1)2x－y－1＝0 (2)x＋3y＋8＝0
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
答案：C
2．直线y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一直角坐标系中的图形可能是( )
答案：D
3．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )
A．y＝x＋4
B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4
D．y＝－x＋4
答案：D
4．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．2x＋y－1＝0
B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0
D．x－2y＋7＝0
答案：A
5．直线y＝2x＋3与y－2＝2(x＋3)的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．重合
D．无法判断
答案：A
二、填空题
6．过点(－3,2)且与直线y－1＝(x＋5)平行的直线的点斜式方程是________________．
答案：y－2＝(x＋3)
7．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点____________．
答案：(3,2)
8．已知斜率为2的直线的方程为5ax－5y－a＋3＝0，此直线在y轴上的截距为________．
答案：
三、解答题
9．已知三角形的顶点坐标是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程．
解：直线AB的斜率kAB＝＝－，过点A(－5,0)，由点斜式得直线AB的方程为y＝－(x＋5)，即3x＋8y＋15＝0；同理，kBC＝＝－，kAC＝＝，直线BC，AC的方程分别为5x＋3y－6＝0,2x－5y＋10＝0.
10．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的方程．
解：由题意知，直线l的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋b，l在x轴上的截距为－b，在y轴上的截距为b，所以－b－b＝1，b＝－，直线l的方程为y＝x－，即15x－10y－6＝0.1．2.3 空间几何体的直观图
斜二测画法
[提出问题]
美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系．
问题1：在画实物图的平面图形时，其中的直角在图中一定画成直角吗？
提示：为了直观，不一定．
问题2：正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么？为什么？
提示：平行四边形、扁圆形．为增加直观性．
问题3：这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗？
提示：不相同．
[导入新知]
1．用斜二测画法画平面图形的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，
两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．
[化解疑难]
1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
2．用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．
水平放置的平面图形的直观图
[例1] 按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．
[解] 画法：
(1)在图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H.
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD.
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．
[类题通法]
1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
[活学活用]
如图是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出它的直观图．
解：画法：(1)以AB边所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，两轴相交于点O(如图①)，画相应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°(如图②)．
(2)在图②中，以O′为中点，在x′轴上截取A′B′＝AB；分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′＝AE，B′C′＝BC；在y′轴上截取O′D′＝OD.
(3)连接E′D′，D′C′，C′E′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便得到平面图形ABCDE水平放置的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．
空间几何体的直观图
[例2] 用斜二测画法画棱长为2
cm的正方体ABCD
A′B′C′D′的直观图．
[解] 画法：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝2
cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1
cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2
cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图(如图②)．
[类题通法]
画空间图形的直观图的原则
(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段．
(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的.
[活学活用]
如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
解：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′.
(3)画正四棱锥顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．
(4)成图．连接PA′，PB′，PC′，PD′，A′A，B′B，C′C，D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.
直观图的还原和计算问题
[例3] 如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝
O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求原图形的面积．
[解] 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形(如图)．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
所以面积为S＝×2＝5.
[类题通法]
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
[活学活用]
如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是________．
答案：
[典例]
一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为( )
A．2
B.
C．2
D．4
[解析]
如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高．原梯形的高OC是直观图中OC′长度的2倍，OC′的长度是直观图中梯形的高的倍．由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2倍，故其面积是梯形OA′B′C′面积的2倍，梯形OA′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4.
[答案] D
[易错防范]
1．原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样，但高的长度不一样．原梯形的高OC是直观图中OC′的长度的2倍，OC′长度是直观图中梯形的高的倍，此处易出错．
2．解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化，直观图面积S′与原图形面积S满足S′＝S.
[成功破障]
如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为( )
A．2
B．4
C．2
D．4
答案：D
[随堂即时演练]
1．关于斜二测画法，下列说法不正确的是( )
A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的
C．在画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
答案：C
2．利用斜二测画法得到的下列结论中，正确的是( )
①两条相交直线的直观图是平行直线；
②两条垂直直线的直观图是垂直直线；
③正方形的直观图是平行四边形；
④梯形的直观图是梯形．
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
答案：B
3.已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为________．
答案：9
4.如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为________．
答案：
5．画边长为1
cm的正三角形的水平放置的直观图．
解：(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5
cm，
在y′轴上截取O′A′＝AO＝
cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．
[课时达标检测]
一、选择题
1．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )
答案：A
2．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．任意三角形
答案：C
3．如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1
cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )
A．6
cm
B．8
cm
C．(2＋3)
cm
D．(2＋2)
cm
答案：B
4.如图所示的水平放置的三角形的直观图中，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中( )
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
答案：C
5．已知正三角形ABC的边长为a，那么正三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积是( )
A.a2
B.a2
C.a2
D.a2
答案：D
二、填空题
6.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．
答案：10
7．在如图所示的平面直角坐标系中，得到的边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是________．
答案：(3)
8.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，原平面图形的面积为________．
答案：2＋
三、解答题
9.如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．
解：画法：(1)如图②，画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
(2)在图①中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′.在图②中，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.
(3)连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图②.
10．已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：cm)．
解：画法：
(1)如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)在x轴上取线段OB＝8
cm，在y
轴上取线段OA′＝2
cm，以OB和OA′为邻边作平行四边形OBB′A′.
(3)在z轴上取线段OC＝4
cm，过C
分别作x轴、y轴的平行线，并在平行线上分别截取CD
＝4
cm，CC′＝2
cm.以CD和CC′为邻边作平行四边形CDD′C′.
(4)连接A′C′，BD，B′D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到该几何体的直观图(如图②)．1．3.2 球的体积和表面积
球的体积和表面积
[提出问题]
从生活经验中我们知道，不能将橘子皮展成平面，因为橘子皮近似于球面，这种曲面不能展成平面图形．那么，人们又是怎样计算球面的面积的呢？古人在计算圆周率时，一般是用割圆术，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长．理论上，只要取得圆内接正多边形的边数越多，圆周率越精确，直到无穷．这种思想就是朴素的极限思想．
问题1：运用上述思想能否计算球的表面积和体积？
提示：可以．
问题2：求球的表面积和体积需要什么条件？
提示：已知球的半径即可．
[导入新知]
1．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝πR3.
2．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．
[化解疑难]
1．一个关键
把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．
2．两个结论
(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．
(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方．
球的体积与表面积
[例1] 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比．
[解] 设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，
则由题意得
∴π(2R)2·h＝πR3，∴R＝h，r＝2h，
∴l＝＝
h，
∴S圆锥侧＝πrl＝π×2h×h＝2πh2，S球＝4πR2＝4πh2，
∴＝＝.
[类题通法]
求球的体积与表面积的方法
(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．
(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
[活学活用]
球的体积是，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
C.
D.
答案：B
根据三视图计算球的体积与表面积
[例2] 一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm2.
[答案] 4π＋12
[类题通法]
1．由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．
2．计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉．
[活学活用]
如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( )
A．18π
B．30π
C．33π
D．40π
答案：C
球的截面问题
[例3] 已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．
[解] 如图所示，设以r1为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，球的半径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：
r＝R2－x2且πr＝π(R2－x2)＝8π，
r＝R2－(x＋1)2且πr＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，
于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，
即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，
∴2x＝2，即x＝1.
又∵π(R2－x2)＝8π，
∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3.
球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.
[类题通法]
球的截面问题的解题技巧
(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．
(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
[活学活用]
已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积与球的体积．
解：如图，设球心为O，球半径为R，作OO1垂直平面ABC于O1，由于OA＝OB＝OC＝R，
则O1是△ABC的外心．
设M是AB的中点，
由于AC＝BC，则O1在CM上．
设O1M＝x，易知O1M⊥AB，设O1A＝，
O1C＝CM－O1M＝－x.
又O1A＝O1C，∴＝－x.
解得x＝.则O1A＝O1B＝O1C＝.
在Rt△OO1A中，O1O＝，∠OO1A＝90°，OA＝R.由勾股定理得2＋2＝R2.解得R＝.
故S球＝4πR2＝54π，V球＝πR3＝27π.
1．探究与球有关的组合问题
[典例] 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．
[解析] 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝＝，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.
[答案] 14π
[多维探究]
1．球的内接正方体问题
若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的体积．
解：正方体的外接球直径等于正方体的对角线长，
即2R＝×2，所以R＝，
所以V球＝·π·()3＝4π.
2．球内切于正方体问题
将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
3．球的内接正四面体问题
若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．
解：把正四面体放在正方体中，
设正方体棱长为x，则a＝x，
由题意2R＝x＝×＝a，
∴S球＝4πR2＝aπ＝aπ.
4．球的内接圆锥问题
球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．
解析：①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为
＝，高为.
该圆锥的体积为×π×2×＝πr3，球体积为πr3，∴该圆锥的体积和此球体积的比值为＝.
②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为.
答案：或
5．球的内接直棱柱问题
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2
B.πa2
C.πa2
D．5πa2
答案：B
[方法感悟]
1．正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面，如图(1)．
2．球与正方体的各条棱相切
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝，如图(2)．
3．长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝
，如图(3)．
4．正方体的外接球
正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.
5．正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a.
[随堂即时演练]
1．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( )
A．1∶9
B．1∶27
C．1∶3
D．1∶1
答案：A
2．棱长为2的正方体的外接球的表面积是( )
A．8π
B．4π
C．12π
D．16π
答案：C
3．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍．
答案：8
4．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________．
答案：16π
5．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积．
(2)已知球的体积为36π，求它的表面积．
答案：(1)表面积：4π，体积：π. (2)36π.
[课时达标检测]
一、选择题
1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )
A．2∶3
B．4∶9
C.∶
D.∶
答案：B
2．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
答案：B
3．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为( )
A．4∶3
B．3∶1
C．3∶2
D．9∶4
答案：C
4．(全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是( )
A．17π
B．18π
C．20π
D．28π
答案：A
5．(山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.＋π
B.＋π
C.＋π
D．1＋π
答案：C
二、填空题
6．圆柱形容器的内壁底半径是10
cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了
cm，则这个铁球的表面积为________
cm2.
答案：100π
7．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．
答案：π
8．(天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
答案：18＋9π
三、解答题
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
10．用两个平行平面去截半径为R的球面，两个截面圆的半径为r1＝24
cm，r2＝15
cm，两截面间的距离为d＝27
cm，求球的表面积．
解：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于A1B1，A2B2，上述大圆的垂直于A1B1的直径交两截面圆于O1，O2，设球心到两截面的距离分别为d1，d2，
则解得R＝25.
当|d1－d2|＝27时，
其与②③组成的方程组无解．
∴S球＝4πR2＝2
500π(cm2)．第二课时
圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
旋转体
[提出问题]
如图，给出下列实物图．
问题1：上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？
提示：它们不是由平面多边形围成的．
问题2：上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否以某平面图形旋转而成？
提示：可以．
问题3：如何形成上述几何体的曲面？
提示：可将半圆、直角梯形、直角三角形绕一边所在直线为轴旋转而成．
[导入新知]
旋转体
结构特征
图形
表示
圆柱
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，左图可表示为圆柱OO′
圆锥
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为圆锥SO
圆台
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
我们用表示圆台轴的字母表示圆台，左图可表示为圆台OO′
球
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径
球常用球心字母进行表示，左图可表示为球O
[化解疑难]
1．以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥．
2．球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．
3．圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的垂直平分线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．
简单组合体
[提出问题]
2013年6月13日13时18分，“天宫一号”目标飞行器与“神舟”十号飞船实现自动交会对接．这是“天宫一号”自2011年9月发射入轨以来第五次与神舟飞船成功实现交会对接．下图为“天宫一号”目标飞行器的结构示意图．
其主体结构如上面右图所示．
问题1：该几何体由几个简单几何体组合而成？
提示：4个．
问题2：图中标注的①②③④部分分别为什么几何体？
提示：①为圆台，②为圆柱，③为圆台，④为圆柱．
[导入新知]
1．简单组合体的概念
由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
2．简单组合体的构成形式
有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．
[化解疑难]
简单组合体识别的要求
(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征．
(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式．
(3)若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)．
旋转体的结构特征
[例1] 给出下列说法：(1)以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(2)以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(3)经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；(4)圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆直径．其中说法正确的序号是________．
[答案] (2)(3)(4)
[类题通法]
1．判断简单旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成．
(2)明确旋转轴是哪条直线．
2．简单旋转体的轴截面及其应用
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
[活学活用]
给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．
答案：(1)(2)
简单组合体
[例2] 观察下列几何体的结构特点，完成以下问题：
(1)图①所示几何体是由哪些简单几何体构成的？试画出几何图形，可旋转该图形180°后得到几何体①.
(2)图②所示几何体的结构特点是什么？试画出几何图形，可旋转该图形360°得到几何体②.
(3)图③所示几何体是由哪些简单几何体构成的？请说明该几何体的面数、棱数、顶点数．
[解] (1)图①是由圆锥和圆台组合而成．
可旋转如下图形180°得到几何体①.
(2)图②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心．
可旋转如下图形360°得到几何体②.
(3)图③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面相同．共有9个面，9个顶点，16条棱．
[类题通法]
1．明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数．
2．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．
[活学活用]
指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．
解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成；
(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成；
(3)几何体由一个六棱柱挖去一个圆柱而成．
[典例] 如图，四边形ABCD为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体．
[解题流程]
[规范解答]
以边AD所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是圆台，如图(1)所示．
以边AB所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接而成的几何体，如图(2)所示．
以边CD所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是一个圆柱挖掉一个圆锥构成的几何体，如图(3)所示．
以边BC所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是由一个圆台挖掉一个圆锥构成的几何体和一个圆锥拼接而成，如图(4)所示．
[活学活用]
一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？
解：如图①和②所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥．
如图③所示，绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个同底相对的圆锥．
如图④所示，绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转180°围成的几何体是两个半圆锥，旋转360°围成的几何体是一个圆锥．
[随堂即时演练]
1.右图是由哪个平面图形旋转得到的( )
答案：A
2．下列说法中错误的是( )
A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B．圆锥的平行于轴的截面是等腰三角形
C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆
D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
答案：B
3．等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°，所得几何体是________．
答案：圆锥
4．如图所示的组合体的结构特征为______________．
答案：一个四棱锥和一个四棱柱的组合体
5.如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．
解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形
B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形
C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形
答案：C
2．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )
A．一个圆台、两个圆锥
B．两个圆台、一个圆柱
C．两个圆柱、一个圆台
D．一个圆柱、两个圆锥
答案：D
3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( )
A．两个圆锥拼接而成的组合体
B．一个圆台
C．一个圆锥
D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
答案：D
4．下列叙述中正确的个数是( )
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：B
5.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )
A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形
答案：D
二、填空题
6．有下列说法：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点连线是圆柱的母线；
②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的．
其中正确的是________(把所有正确说法的序号都填上)．
答案：②④
7．下面这个几何体的结构特征是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
答案：由一个四棱锥、一个四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱而成
8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．
答案：圆柱
三、解答题
9．指出如图①②③所示的图形是由哪些简单几何体构成的．
解：分割原图，使它的每一部分都是简单几何体．
图①是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
图②是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
图③是由一个半球、一个圆柱和一个圆台拼接而成的简单组合体．
10.如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别为2
cm和5
cm，圆台的母线长是12
cm，求圆锥SO的母线长．
解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2
cm，下底半径OB＝5
cm，且腰长AB＝12
cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得＝，所以l＝20
cm，即截得此圆台的圆锥的母线长为20
cm.2．1.1 平 面
平面
[提出问题]
宁静的湖面、海面，生活中的课桌面、黑板面，一望无垠的草原给你什么样的感觉？
问题1：生活中的平面有大小之分吗？
提示：有．
问题2：几何中的“平面”是怎样的？
提示：从物体中抽象出来的，绝对平，无大小之分．
[导入新知]
1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．
2．平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.
3．平面的表示法
图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
[化解疑难]
几何中的平面有以下几个特点
(1)平面是平的；
(2)平面是没有厚度的；
(3)平面是无限延展而没有边界的．
平面的基本性质
[提出问题]
问题1：若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？
提示：在桌面上．
问题2：为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车？
提示：撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点不在一条直线上．
问题3：两张纸面相交有几条直线？
提示：一条．
[导入新知]
平面的基本性质
公理
内容
图形
符号
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线 存在唯一的α使A，B，C∈α
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，P∈β α∩β＝l，且P∈l
[化解疑难]
从集合角度理解点、线、面之间的关系
(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示；
(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示；
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“ ”或“ ”表示.
文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
[例1] 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
[解] (1)点P∈直线AB；
(2)点C
直线AB；
(3)点M∈平面AC；
(4)点A1 平面AC；
(5)直线AB∩直线BC＝点B；
(6)直线AB 平面AC；
(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.
[类题通法]
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
[活学活用]
根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B α；(2)l α，m∩α＝A，A l；(3)P∈l，P α，Q∈l，Q∈α.
解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①；
(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②；
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.
点、线共面问题
[例2] 证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
[解] 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
法一：(纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
法二：(辅助平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
[类题通法]
证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有以下几种
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．
[活学活用]
下列说法正确的是( )
①任意三点确定一个平面；②圆上的三点确定一个平面；③任意四点确定一个平面；④两条平行线确定一个平面．
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
答案：C
共线问题
[例3] 已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．
[解] 证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又∵AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P，Q，R三点共线．
法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，
∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．
[类题通法]
点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证
明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．
[活学活用]
如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，
求证：B，Q，D1三点共线．
证明：如图所示，连接A1B，CD1.显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.
∴BD1 平面A1BCD1.
同理BD1 平面ABC1D1.
∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.
∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
∴Q∈平面ABC1D1.
又∵A1C 平面A1BCD1，
∴Q∈平面A1BCD1.
∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线．
[典例] (12分)如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.
求证：EF，GH，BD交于一点．
[解题流程]
[活学活用]
如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．
证明：∵EF∩GH＝P，
∴P∈EF且P∈GH.
又∵EF 平面ABD，GH 平面CBD，
∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，
又P∈平面ABD∩平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.
∴点P在直线BD上．
[随堂即时演练]
1．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作( )
A．Q∈b∈β
B．Q∈b β
C．Q b β
D．Q b∈β
答案：B
2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
答案：C
3．下列对平面的描述语句：
①平静的太平洋面就是一个平面；
②8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚；
③四边形确定一个平面；
④平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集．
其中正确的是________(填序号)．
答案：④
4．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.
答案：C
5．将下列符号语言转化为图形语言．
(1)a α，b∩α＝A，A a.
(2)α∩β＝c，a α，b β，a∥c，b∩c＝P.
解：(1)
(2)
[课时达标检测]
一、选择题
1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是( )
A．A∈l，l α
B．A∈l，l α
C．A l，l α
D．A l，l α
答案：B
2．下列说法正确的是( )
A．三点可以确定一个平面
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．四边形是平面图形
D．两条相交直线可以确定一个平面
答案：D
3．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是( )
A．1
B．2
C．3
D．1或3
答案：D
4．下列推断中，错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α l α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C．l α，A∈l A α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线 α，β重合
答案：C
5．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，那么( )
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上
答案：A
二、填空题
6．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是________．
答案：直线AB 平面α
7．把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上．
(1)A α，a α________.
(2)α∩β＝a，P α且P β________.
(3)a α，a∩α＝A________.
(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________.
答案：(1)C (2)D (3)A (4)B
8．平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈平面β且C l，AB∩l＝R，设过点A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ＝________.
答案：CR
三、解答题
9．求证：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．
解：已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：直线a，b，c和l共面．
证明：如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确定一个平面，设为α.
因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.又因为A∈l，B∈l，所以由公理1可知l α.
因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l β.
因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2的推论2知，经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．
10．已知正方体ABCD
A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
证明：如图．
(1)连接B1D1，
∵EF是△D1B1C1的中位线，
∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，
∴EF∥BD.
∴EF，BD确定一个平面，
即D，B，F，E四点共面．
(2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1，
∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β.
则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，
∴α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.
∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ.
故P，Q，R三点共线．2．2.3
&
2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质
直线与平面平行的性质
[提出问题]
将一本书打开，扣在桌面上，使书脊所在的直线与桌面平行，观察过书脊的每页纸和桌面的交线与书脊的位置．
问题1：上述问题中，书脊与每页纸和桌面的交线有何位置关系？
提示：平行．
问题2：每页纸与桌面的交线之间有何关系？
提示：平行．
问题3：书脊所在的直线与桌面上任何直线都平行吗？
提示：不一定．平行或异面．
[导入新知]
线面平行的性质定理
(1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则
过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
(2)图形语言：
(3)符号语言：
a∥b
(4)作用：线面平行 线线平行．
[化解疑难]
对线面平行性质定理的理解
(1)如果直线a∥平面
α，在平面α内，除了与直线a平行的直线外，其余的任一直线都与a是异面直线．
(2)线面平行的性质定理的条件有三个：①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即a β.三个条件缺一不可．
(3)线面平行的性质定理体现了数学的化归思想，线面平行转化为线线平行.
面面平行的性质
[提出问题]
2010年在上海举行的世界博览会给全世界的游客留下了深刻的印象，作为东道主的中国国家馆被永久保留，成为上海市的又一标志性建筑．中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉．
问题1：展馆的每两层所在的平面平行，那么上层面上任一直线状物体与下面地面有何位置关系？
提示：平行．
问题2：上层面上任何一直线状物体与下层面上任何一直线状物体有何位置关系？
提示：平行或异面．
问题3：上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？
提示：平行．
[导入新知]
面面平行的性质定理
(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
(2)图形语言：
(3)符号语言：
a∥b
(4)作用：面面平行 线线平行．
[化解疑难]
对面面平行性质定理的理解
(1)面面平行的性质定理的条件有三个：
①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.
三个条件缺一不可．
(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行．
(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义．
线面平行的性质及应用
[例1] 如图所示，已知三棱锥A BCD被一平面所截，截面为 EFGH，求证：CD∥平面EFGH.
[解] 证明：∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH.
又GH 平面BCD，EF 平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF 平面ACD，
∴EF∥CD.
又EF 平面EFGH，CD 平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.
[类题通法]
运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．
[活学活用]
在长方体ABCD
A′B′C′D′中，点P∈BB′(不与B，B′重合)．PA∩BA′＝M，PC∩BC′＝N，求证：MN∥平面ABCD.
证明：如图所示，
连接AC，A′C′，
∵ABCD
A′B′C′D′是长方体，
∴AC∥A′C′.
又AC 平面BA′C′，
A′C′ 平面BA′C′，
∴AC∥平面BA′C′.
又∵平面PAC过AC与平面BA′C′交于MN，
∴MN∥AC.
∵MN 平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD.
面面平行的性质及应用
[例2] 如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A和D，C，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α.
[解] 证明：过A作AE∥CD交平面α于点E，取AE的中点P，
连接MP，PN，BE，ED，AC.
∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC.
则平面AEDC∩α＝DE，
平面AEDC∩β＝AC.
∵α∥β，∴AC∥DE.
又∵P，N分别为AE，CD的中点，
∴PN∥DE.∵PN α，DE α，∴PN∥α.
又∵M，P分别为AB，AE的中点，
∴MP∥BE.又∵MP α，BE α，
∴MP∥α.∵MP，PN 平面MPN，且MP∩PN＝P，
∴平面MPN∥α.
又∵MN 平面MPN，∴MN∥平面α.
[类题通法]
1．把握面面平行性质定理的关键
(1)成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平面均相交．
(2)定理的实质：面面平行 线线平行，体现了转化思想与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．
2．面面平行的性质定理的几个推论
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．
(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
[活学活用]
如图所示，在矩形ABCD中，E为AB上一点，将B点沿线段EC折起至点P，连接PA，PC，PD，取PD中点F，若有AF∥平面PEC，试确定E点的位置．
解：取PC的中点G，连接GE，GF.如图．
由条件知GF∥CD，EA∥CD，
∴GF∥EA，则G，E，A，F四点共面．
∵AF∥平面PEC，平面GEAF∩平面PEC＝GE，
∴AF∥GE.∴四边形GEAF为平行四边形．
∵GF＝CD，∴EA＝CD＝BA，∴E为AB的中点.
线面平行和面面平行的综合问题
[例3] 如图，在正方体ABCD
A1B1C1D1中．
(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.
[解] (1)证明：因为在正方体ABCD A1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.
又因为C1D 平面C1BD，AB1 平面C1BD，
所以AB1∥平面C1BD.
同理B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1＝B1，
AB1 平面AB1D1，B1D1 平面AB1D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.
又因为AO1 平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．
下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，
平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，
即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.
[类题通法]
1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．
2．要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
[活学活用]
如图，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；
(2)求PQ的长；
(3)求证：EF∥平面BB1D1D.
解：(1)证明：如图所示．
连接AC，CD1，
∵P，Q分别是AD1，AC的中点，
∴PQ∥CD1.又PQ 平面DCC1D1，
CD1 平面DCC1D1，
∴PQ∥平面DCC1D1.
(2)由(1)易知PQ＝D1C＝a.
(3)证明：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，
∴平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF 平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.
[典例] (12分)如图所示，已知E，F分别是正方体ABCD
A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形．
[解题流程]
[活学活用]
已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
证明：连接AC，设AC交BD于O，连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．又M是PC的中点，
∴MO∥PA.又MO 平面BDM，
PA 平面BDM，
∴PA∥平面BDM.又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH，
∴AP∥GH.
[随堂即时演练]
1．梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行
B．平行或异面
C．平行或相交
D．异面或相交
答案：B
2.如图，四棱锥P
ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )
A．MN∥PD
B．MN∥PA
C．MN∥AD
D．以上均有可能
答案：B
3．过正方体ABCD
A1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
答案：平行
4.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
答案：平行四边形
5.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明：(1)连接AE，
则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO，
又BE 平面DMF，
MO 平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE 平面MNG，GN 平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN 平面MNG，BD 平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD 平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中正确的是( )
A．若m α，n β，m∥n，则α∥β
B．若m α，n β，α∥β，则m∥n
C．若m α，n β，α∥β，且m，n共面，则m∥n
D．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β
答案：C
2．已知a，b是两条异面直线，平面α过a且与b平行，平面β过b且与a平行，则平面α与平面β的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或相交
答案：A
3.在正方体ABCD
A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是( )
A．矩形
B．菱形
C．平行四边形
D．正方形
答案：C
4．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在α，β内运动时，那么所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面
C．当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面
D．不论A，B如何移动都共面
答案：D
5.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，每个平面内以交点为顶点的两个三角形是( )
A．相似但不全等的三角形
B．全等三角形
C．面积相等的不全等三角形
D．以上结论都不对
答案：B
二、填空题
6．在棱长为a的正方体ABCD
A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.
答案：a
7．已知直线m，n及平面α，β，有下列关系：
①m，n β；②n α；③m∥α；④m∥n.
现把其中一些关系看作条件，另一些关系看作结论组成一个正确的结论，应是________．
答案：①②③ ④(答案不唯一)
8.如图是正方体的平面展开图：
在这个正方体中，①BM∥平面ADE；②CN∥平面BAF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF，以上说法正确的是________(填序号)．
答案：①②③④
三、解答题
9.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．
解：若MB∥平面AEF，
过F，B，M作平面FBMN交AE于N，连接MN，NF.
因为BF∥平面AA1C1C，
BF 平面FBMN，
平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，
所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB 平面FBMN，
平面FBMN∩平面AEF＝FN，
所以MB∥FN，
所以BFNM是平行四边形，
所以MN∥BF，MN＝BF＝1.
而EC∥FB，EC＝2FB＝2，
所以MN∥EC，MN＝EC＝1，
故MN是△ACE的中位线．
所以M是AC的中点时，
MB∥平面AEF.
10.如图所示：三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论．
解：当点E为棱AB的中点时，
DE∥平面AB1C1.证明如下：
如图，取BB1的中点F，
连接EF，FD，DE.∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1.
∵AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.
∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1.
∵DE 平面EFD，
∴DE∥平面AB1C1.2．3.2 平面与平面垂直的判定
二面角
[提出问题]
随手打开一本书，发现每两书页之间所在的平面也形成一个角度；修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度
问题1：根据上述问题，你发现两平面形成的角有何特点？
提示：可以是锐角、直角、钝角、平角．
问题2：两平面形成的角可以为0°角吗？
提示：可以．
问题3：两平面成角θ的范围是什么？
提示：0°≤θ≤180°.
[导入新知]
二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图)．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面．
记法：α AB β，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作P AB Q；当棱记为l时，可记作α l β或P l Q.
(2)二面角的平面角：
①定义：在二面角α
l
β的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
②直二面角：平面角是直角的二面角．
[化解疑难]
对于二面角及其平面角的理解
(1)二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的思想．
(2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.
平面与平面垂直
[提出问题]
建筑工地上，砌墙时，泥水匠为了保证墙面与地面垂直，常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直．
问题1：由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系？
提示：垂直．
问题2：若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一个方法？
提示：可以，只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可．
[导入新知]
1．面面垂直的定义
(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)画法：
记作：α⊥β.
2．两平面垂直的判定
(1)文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
(2)图形语言：如图．
(3)符号语言：AB⊥β，AB∩β＝B，AB α α⊥β.
[化解疑难]
对面面垂直的判定定理的理解
(1)该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”．
(2)定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线．
(3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直 线面垂直 面面垂直．这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握．
面面垂直的判定
[例1] 如图所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求证：平面ABC⊥平面SBC.
[解] 证明：法一：(利用定义证明)
∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
∴△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，
令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
∴∠ADS为二面角A BC S的平面角．
在Rt△BSC中，∵SB＝SC＝a，
∴SD＝a，BD＝＝a.
在Rt△ABD中，AD＝a，
在△ADS中，∵SD2＋AD2＝SA2，
∴∠ADS＝90°，即二面角A BC S为直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
法二：(利用判定定理)
∵SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
∴SA＝AB＝AC，
∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
∵△SBC为直角三角形，
∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
∴AD⊥平面SBC.
又∵AD 平面ABC，
∴平面ABC⊥平面SBC.
[类题通法]
证明面面垂直的方法
(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
[活学活用]
(江苏高考)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明：(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中，
A1C1∥AC.
在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.
又因为DE 平面A1C1F，A1C1 平面A1C1F，
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中，
A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1 平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1，A1A 平面ABB1A1，A1B1 平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，
所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D 平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.
又因为B1D⊥A1F，A1C1 平面A1C1F，
A1F 平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，
所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D 平面B1DE，
所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
二面角
[例2] 已知D，E分别是正三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D＝2B1E＝B1C1.求过D，E，C1的平面与棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小．
[解] 如图所示，在平面AA1B1B内延长DE和A1B1交于点F，则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点．于是C1F为这两个平面的交线．
因而，所求二面角即为二面角D C1F A1.
∵A1D∥B1E，且A1D＝2B1E，
∴E，B1分别为DF和A1F的中点．
∵A1B1＝B1C1＝A1C1＝B1F，∴FC1⊥A1C1.
又∵CC1⊥平面A1B1C1，FC1 平面A1B1C1，
∴CC1⊥FC1.
又∵A1C1，CC1为平面AA1C1C内的两条相交直线，
∴FC1⊥平面AA1C1C.
∵DC1 平面AA1C1C，
∴FC1⊥DC1.
∴∠DC1A1是二面角D C1F A1的平面角．
由已知A1D＝A1C1，则∠DC1A1＝45°.
故所求二面角的大小为45°.
[类题通法]
解决二面角问题的策略
清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”．
[活学活用]
如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E BD C的大小．
解：∵E为SC中点，且SB＝BC，
∴BE⊥SC.又DE⊥SC，
BE∩DE＝E，∴SC⊥平面BDE，
∴BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，
可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，
∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，
∴∠EDC为二面角E BD C的平面角．
设SA＝AB＝1，在△ABC中，∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝，
AC＝，∴SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，
∴∠EDC＝60°，即二面角E BD C为60°.
线面、面面垂直的综合问题
[例3] 如图，在四棱锥P ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，求证：
(1)PD⊥平面ABCD；
(2)平面PAC⊥平面PBD；
(3)二面角P BC D是45°的二面角．
[解] 证明：(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，
∴PC2＝PD2＋DC2.
则PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD.又∵AD∩DC＝D，
且AD，DC 平面ABCD，
∴PD⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，又∵AC 平面ABCD，
∴PD⊥AC.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
又∵BD∩PD＝D，且PD，BD 平面PBD，
∴AC⊥平面PBD.
又∵AC 平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.
(3)由(1)知PD⊥BC，
又∵BC⊥DC，且PD，DC为平面PDC内两条相交直线，
∴BC⊥平面PDC.
∵PC 平面PDC，∴BC⊥PC.
则∠PCD为二面角P BC D的平面角．
在Rt△PDC中，∵PD＝DC＝a，
∴∠PCD＝45°，
即二面角P BC D是45°的二面角．
[类题通法]
本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题，解决这类问题的关键是转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直．
[活学活用]
已知△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：
(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明：(1)设BD＝a，作DF∥BC交CE于F，
则CF＝DB＝a.因为CE⊥平面ABC，
所以BC⊥CF，DF⊥EC，
所以DE＝＝a.
又因为DB⊥平面ABC，
所以DA＝＝a，
所以DE＝DA.
(2)取CA的中点N，连接MN，BN，
则MN綊CE綊DB.
所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.
又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.
又DE＝DA，M为EA中点，所以DM⊥AE.又EC∩AE＝E，
所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA.
(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM 平面DEA，
所以平面DEA⊥平面ECA.
[典例] (12分)如图所示，已知三棱锥P ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求二面角D AP C的正弦值；
(3)若M为PB的中点，求三棱锥M BCD的体积．
[解题流程]
[活学活用]
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且AD＝PD＝2MA.
(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；
(2)求三棱锥P MAB与四棱锥P ABCD的体积之比．
解：(1)证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.
又BC 平面ABCD，所以PD⊥BC.
因为四边形ABCD为正方形，
所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，因此BC⊥平面PDC.
在△PBC中，因为G，F分别为PB，PC的中点，
所以GF∥BC，因此GF⊥平面PDC.
又GF 平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.
(2)因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，则PD＝AD＝2，
所以VP ABCD＝S正方形ABCD·PD＝.
由于DA⊥平面MAB，且PD∥MA，
所以DA的长即为点P到平面MAB的距离．
三棱锥VP MAB＝××1×2×2＝，
所以VP MAB∶VP ABCD＝1∶4
[随堂即时演练]
1．如图，已知α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，∠AEB＝45°，那么二面角α
CD β的平面角等于( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．135°
答案：D
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n β
C．m∥n，n⊥β，m α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
答案：C
3．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是________________________________________________________________________．
答案：面面垂直的判定定理
4．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P BC A的大小为________．
答案：90°
5．在四面体ABCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求证：平面ABD⊥平面BCD.
证明：如图所示，∵△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，
∴取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.
∴∠AEC为二面角A BD C的平面角．
在△ABD中，AB＝a，BE＝BD＝a，
AE＝＝a.
同理CE＝a.
在△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a，
由于AC2＝AE2＋CE2，
∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，
∴平面ABD⊥平面BCD.
[课时达标检测]
一、选择题
1．有下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是( )
A．①③
B．②④
C．③④
D．①②
答案：B
2．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角( )
A．相等
B．互补
C．不确定
D．相等或互补
答案：C
3．在四棱锥P ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是( )
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
答案：C
4.如图所示，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B PA C的大小为( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
答案：A
5．在正方体ABCD A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1 BD A的正切值为( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
二、填空题
6．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．
答案：1或无数
7．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________．
答案：
8.如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.
答案：a
三、解答题
9．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.
证明：连接AC，交BD于点F，连接EF，
∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.
∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.
又EF 平面EDB，
∴平面EDB⊥平面ABCD.
10．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.
证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.
∵AB＝AD，E是AD的中点，
∴AB＝AE，即A′B＝A′E.
∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，
∴A′M⊥CD.
在四边形BCDE中，CD⊥MN，
又MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN.∴CD⊥A′N.
∵DE∥BC且DE＝BC，∴BE必与CD相交．
又A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.
又A′N 平面A′BE，
∴平面A′BE⊥平面BCDE.4．1.2 圆的一般方程
[提出问题]
已知圆心(2,3)，半径为2.
问题1：写出圆的标准方程．
提示：(x－2)2＋(y－3)2＝4.
问题2：上述方程能否化为二元二次方程的形式？
提示：可以，x2＋y2－4x－6y＋9＝0.
问题3：方程x2＋y2－4x－6y＋13＝0是否表示圆？
提示：配方化为(x－2)2＋(y－3)2＝0，不表示圆．
问题4：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？
提示：不一定．
[导入新知]
1．圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋
E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为
.
[化解疑难]
1．圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：
(1)x2，y2的系数相等且不为0；
(2)没有xy项．
2．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明：
方程
条件
图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点
D2＋E2－4F>0
表示以为圆心，以为半径的圆
圆的一般方程的概念辨析
[例1] 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
[解] (1)据题意知
D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜，
故m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.
[类题通法]
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
(1)由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆，否则不表示圆；
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
[活学活用]
下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；
(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
解：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，
∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，
∴方程不表示任何图形．
(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，
∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，
∴方程表示点(－a,0)．
(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，
D＝a，E＝－a，F＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0，
∴方程表示圆，它的圆心为，
半径r＝＝|a|.
圆的一般方程的求法
[例2] 已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
[解] 法一：设△ABC的外接圆方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圆上，
∴
∴
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，
∴外心是线段BC的中点，
坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.
∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
[类题通法]
应用待定系数法求圆的方程时的两个注意点
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
[活学活用]
求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．
解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为.
∵圆与x＋3y－26＝0相切，
∴·＝－1，
即E－3D－36＝0.①
∵(－2，－4)，(8,6)在圆上，∴2D＋4E－F－20＝0，②
8D＋6E＋F＋100＝0.③
联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30，故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
代入法求轨迹方程
[例3] 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
[解] 以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．
∴①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9.
②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
[类题通法]
用代入法求轨迹方程的一般步骤
[活学活用]
过点A(8,0)的直线与圆x2＋y2＝4交于点B，则AB中点P的轨迹方程为________________．
答案：(x－4)2＋y2＝1
[典例] (12分)已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹．
[解题流程]
[活学活用]
一动点M到点A(－4,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹．
解：设动点M的坐标为(x，y)，
则|MA|＝2|MB|，
即＝2，
整理得x2＋y2－8x＝0，
即所求动点的轨迹方程为x2＋y2－8x＝0.
[随堂即时演练]
1．圆(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0的圆心坐标和半径长分别为( )
A．(－1,2)，2
B．(1，－1)，1
C.，3
D.，
答案：D
2．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D.
答案：A
3．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a＝________，b＝________，c＝________.
答案：－2 4 4
4．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是________．
答案：(x－1)2＋y2＝2
5．求过点(－1,1)，且圆心与已知圆x2＋y2－6x－8y＋15＝0的圆心相同的圆的方程．
答案：x2＋y2－6x－8y＝0
[课时达标检测]
一、选择题
1．圆的方程是x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，当圆的面积最大时，圆心的坐标是( )
A．(－1,1)
B．(1，－1)
C．(－1,0)
D．(0，－1)
答案：D
2．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝32
B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16
D．x2＋(y－1)2＝16
答案：B
3．当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则( )
A．这些圆的圆心都在直线y＝x上
B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上
C．这些圆的圆心都在直线y＝x或直线y＝－x上
D．这些圆的圆心不在同一条直线上
答案：A
4．如果圆x2＋y2＋ax＋by＋c＝0(a，b，c不全为零)与y轴相切于原点，那么( )
A．a＝0，b≠0，c≠0
B．b＝c＝0，a≠0
C．a＝c＝0，b≠0
D．a＝b＝0，c≠0
答案：B
5．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
答案：B
二、填空题
6．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，若点A的坐标为(0,1)，则点B的坐标为________．
答案：(2，－3)
7．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.
答案：－2
8．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且│AB│＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是____________________．
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝9
三、解答题
9．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．
解：圆心C，
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
∴－－－1＝0，即D＋E＝－2.①
又∵半径长r＝＝，
∴D2＋E2＝20.②
由①②可得或
又∵圆心在第二象限，
∴－＜0即D＞0，－>0即E<0.
则
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
10．设△ABC顶点坐标A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，其中a>0，圆M为△ABC的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．
解：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为圆M过点A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，
所以
解得
所以圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0.
(2)圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0.
由
解得x＝0，y＝－3.
所以圆M过定点(0，－3)．2．3.3
&
2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质
第一课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质
直线与平面垂直的性质
[提出问题]
世界上的高楼大厦太多了：中国上海中心大厦632米，天津高银117大厦621米，位于深圳的平安国际金融大厦600米(如右图)．
问题1：上海中心大厦外墙的每列玻璃形成的直线与地面有何位置关系？
提示：垂直．
问题2：每列玻璃形成的直线是什么位置关系？
提示：平行．
[导入新知]
直线与平面垂直的性质定理
(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
(2)图形语言：
(3)符号语言： a∥b.
(4)作用：
①线面垂直 线线平行；
②作平行线．
[化解疑难]
对于线面垂直的性质定理的理解
(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．
(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．
平面与平面垂直的性质
[提出问题]
教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直．
问题1：在黑板上任意画一条线与地面垂直吗？
提示：不一定，也可能平行、相交(不垂直)．
问题2：怎样画才能保证所画直线与地面垂直？
提示：只要保证所画的线与两面的交线垂直即可．
[导入新知]
平面与平面垂直的性质定理
(1)文字语言：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
(2)图形语言：
(3)符号语言：
a⊥β.
(4)作用：
①面面垂直 线面垂直；
②作面的垂线．
[化解疑难]
对面面垂直的性质定理的理解
(1)定理成立的条件有三个：
①两个平面互相垂直；
②直线在其中一个平面内；
③直线与两平面的交线垂直．
(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．
(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.
线面垂直性质定理的应用
[例1] 如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
求证：平面BCE⊥平面CDE.
[解] 证明：取CE的中点G，连接FG，BG，AF.
∵F为CD的中点，∴GF∥DE，
且GF＝DE.
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE.则GF∥AB.
又∵AB＝DE，∴GF＝AB.
则四边形GFAB为平行四边形．于是AF∥BG.
∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD，AF 平面ACD，∴DE⊥AF.
又∵CD∩DE＝D，CD，DE 平面CDE，∴AF⊥平面CDE.
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.
∵BG 平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.
[类题通法]
1．此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题，证明时要综合题目中的条件，利用条件和已知定理来证，或从结论出发逆推分析．
2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，
可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．
[活学活用]
如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥平面ABCD.
(1)若AC＝6，BD＝8，PB＝3，求三棱锥A PBC的体积；
(2)若点E是DP的中点，证明：BD⊥平面ACE.
解：(1)∵四边形ABCD为菱形，
∴BD与AC相互垂直平分，
∴底面ABCD的面积S菱形ABCD＝×6×8＝24，
∴S△ABC＝S菱形ABCD＝12.
又PB⊥平面ABCD，且PB＝3，
∴三棱锥A PBC的体积VA PBC＝VP ABC＝×PB×S△ABC＝12.
(2)证明：如图，设BD与AC相交于点O，连接OE，
∵O为BD的中点，E是DP的中点，∴OE∥PB.
又PB⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.
∵BD 平面ABCD，∴OE⊥BD，
由(1)知AC⊥BD，又AC∩OE＝O，
∴BD⊥平面ACE.
面面垂直的性质的应用
[例2] 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
[解] 证明：(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，则PG⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD，PG 平面PAD，
∴PG⊥平面ABCD.
∵BG 平面ABCD，
∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形，
且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形．
则BG⊥AD.
又∵AD∩PG＝G，且AD，PG 平面PAD，
∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.
又∵BG，PG为平面PBG内两条相交直线，
∴AD⊥平面PBG.
∵PB 平面PBG，
∴AD⊥PB.
[类题通法]
证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：
(1)两个平面垂直；
(2)直线必须在其中一个平面内；
(3)直线必须垂直于它们的交线．
[活学活用]
如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2CD＝4，∠ABE＝60°，∠BAD＝∠CDA＝90°，点H是线段EF的中点．
(1)求证：平面AHC⊥平面BCE；
(2)求此几何体的体积．
解：(1)证明：连接AE，在菱形ABEF中，因为∠ABE＝60°，
所以△AEF是等边三角形．
又因为H是线段EF的中点，
所以AH⊥EF，所以AH⊥AB.
因为平面ABEF⊥平面ABCD，
且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，
所以AH⊥平面ABCD，所以AH⊥BC.
在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2CD＝4，
∠BAD＝∠CDA＝90°，得到AC＝BC＝2，
从而AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.
又AH∩AC＝A，所以BC⊥平面AHC.
又BC 平面BCE，所以平面AHC⊥平面BCE.
(2)连接FC，因为V＝VE ACB＋VF ADC＋VC AEF，
又易得S△ACB＝4，S△ADC＝2，S△AEF＝4，
所以V＝VE ACB＋VF ADC＋VC AEF
＝(2×4＋2×2＋2×4)＝.
线线、线面、面面垂直的综合问题
[例3] 已知：如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
[解] 证明：(1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.
∵PA 平面PAC，∴DF⊥PA.
同理可证，DG⊥PA.
∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.
(2)连接BE并延长交PC于点H.
∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.
又∵AE是平面PBC的垂线，
∴PC⊥AE.
∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
[类题通法]
线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想．证明线面垂直常转化为线线垂直，证明面面垂直常转化为线面垂直．
[活学活用]
如图，在三棱锥P ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°，求证：平面PEF⊥平面PBC.
证明：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF∥AB.
又EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，
∴PE⊥AC.
又∵平面PAC⊥平面ABC，
∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.
又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.
∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.
∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.
又∵BC 平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PEF.
[典例] 已知两个平面垂直，有下列命题：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确命题的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
[解析] 如图，在正方体ABCD
A1B1C1D1中，对于①AD1 平面AA1D1D，BD 平面ABCD，AD1与BD是异面直线，所成角为60°，①错误；②正确．
对于③，AD1 平面AA1D1D，
AD1不垂直于平面ABCD；
对于④，过平面AA1D1D内点D1作D1C.
∵AD⊥平面D1DCC1，D1C 平面D1DCC1，
∴AD⊥D1C.
但D1C不垂直于平面ABCD，
④错误．
[答案] C
[易错防范]
对于④，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平面内．
[成功破障]
如果直线l，m与平面α，β，γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m α和m⊥γ，那么( )
A．α⊥γ且l⊥m
B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m
D．α∥β且α⊥γ
答案：A
[随堂即时演练]
1．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
答案：D
2．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是( )
A．若m α，n β，m∥n，则α∥β
B．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
D．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α
答案：B
3．若a，b表示直线(不重合)，α表示平面，有下列说法：①a⊥α，b∥α a⊥b；②a⊥α，a⊥b b∥α；③a∥α，a⊥b b⊥α；④a⊥α，b⊥α a∥b.其中正确的是________(填序号)．
答案：①④
4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．
答案：平行
5.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.
证明：如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.
由AB＝易知CG＝1，
则EF＝CG＝CE.
又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.
又平面ACEF⊥平面ABCD，
且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
所以BD⊥平面ACEF，所以BD⊥CF.
又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.
[课时达标检测]
一、选择题
1．若l，m，n表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为( )
①l∥m，m∥n，l⊥α n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α l∥n；③m⊥α，n α m⊥n.
A．1
B．2
C．3
D．0
答案：C
2．如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有( )
A．0条
B．1条
C．无数条
D．任意条
答案：C
3．(浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
答案：B
4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m
B．AC⊥m
C．AB∥β
D．AC⊥β
答案：D
5.如图，线段AB的两端在直二面角α l β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
答案：B
二、填空题
6.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．
答案：平行
7.如图，四面体P ABC中，PA＝PB＝，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.
答案：7
8.如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论：
①PB⊥AE；
②平面ABC⊥平面PBC；
③直线BC∥平面PAE；
④∠PDA＝45°.
其中正确的有______(把所有正确的序号都填上)．
答案：①④
三、解答题
9.如图，三棱锥P ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC 平面ABC，∴PA⊥BC.
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB 平面PAB，
PA 平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC 平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.
10.如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明：(1)在四棱锥P ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.
而AE 平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，
可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，
∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
而PD 平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，而PD 平面PAD，
∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，
∴PD⊥平面ABE.1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
柱体、锥体、台体的表面积与体积
[提出问题]
南京青年奥运会的前奏是奥运圣火的传递，圣火由“幸福之门”火炬承载，传遍五洲四海，弘扬奥林匹克精神．“幸福之门”火炬外形是细长的圆台形式，燃料为丙烷．
问题1：能否计算出“幸福之门”火炬的外层着色需要覆盖多大的面积？
提示：可以，即计算圆台的表面积．
问题2：能否计算其内部能盛装多少液态的丙烷？
提示：可以，即计算其容积．
[导入新知]
1．几种几何体的表面积公式
图形
表面积公式
多面体
多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积
旋转体
圆柱
底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2
圆锥
底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
2．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；
锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；
台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h.
[化解疑难]
对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识
(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．
(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍．
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系．
柱体、锥体、台体的表面积
[例1] 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．180
B．200
C．220
D．240
[答案] D
[类题通法]
1．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．
2．结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式求解．
[活学活用]
圆台的上、下底面半径分别是10
cm和20
cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，求圆台的表面积．
解：如图所示，设圆台的上底面周长为c
cm，由于扇环的圆心角是180°，则c＝π·SA＝2π×10，解得SA＝20(cm)．
同理可得SB＝40(cm)，
所以AB＝SB－SA＝20(cm)．
所以S表＝S侧＋S上＋S下
＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202
＝1
100π(cm2).
柱体、锥体、台体的体积
[例2] (天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.
[答案] 2
[类题通法]
求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积；同时，对不规则的几何体可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱体、锥体、台体的体积计算问题．
[活学活用]
已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20
cm和30
cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面的面积之和，求棱台的高和体积．
解：如图所示，在三棱台ABC A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中心，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，
所以S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′.
又A′B′＝20
cm，AB＝30
cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)．
由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325，
所以DD′＝(cm)．
又∵O′D′＝×20＝(cm)，
OD＝×30＝5(cm)，
∴棱台的高h＝O′O＝
＝
＝4(cm)，
由棱台的体积公式，可得棱台的体积为
V＝(S上＋S下＋)
＝×(325＋×20×30)
＝1
900(cm3).
简单组合体的表面积和体积
[例3] 已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．
[解] 如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为D.
由AC＝3，BC＝4，AB＝5，
知AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC.
∵BC·AC＝AB·CD，
∴CD＝，记为r＝，那么△ABC以AB所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r＝，母线长分别是AC＝3，BC＝4，
所以S表面积＝πr·(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π，
V＝πr2(AD＋BD)＝πr2·AB
＝π×2×5＝π.
所以，所求旋转体的表面积是π，体积是π.
[类题通法]
求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式，对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再分别代入公式求解．
[活学活用]
一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
答案：
[典例] 把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．
[解] 设圆柱的底面半径为r，母线长为l，高为h.
当2πr＝4，l＝2时，r＝，h＝l＝2，
所以V圆柱＝πr2h＝.
当2πr＝2，l＝4时，r＝，h＝l＝4，
所以V圆柱＝πr2h＝.
综上所述，这个圆柱的体积为或.
[易错防范]
把矩形卷成圆柱时，可以以4为底，2为高；也可以以2为底，4为高．容易漏掉一种情况，解决此类问题一定要考虑全面．
[成功破障]
如图，从底面半径为2a，高为a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比．
解：由题意知，S1＝2π·2a·a＋2π·(2a)2＝(4＋8)πa2，S2＝S1＋πa·(2a)－πa2＝(4＋9)πa2.∴S1∶S2＝(4＋8)∶(4＋9)．
[随堂即时演练]
1．(全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．20π B．24π C．28π D．32π
答案：C
2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2
B．1∶
C．1∶
D.∶2
答案：C
3．(天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
答案：π
4．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．
答案：100π
5．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．
解：表面积：(24＋8)
cm2，体积：8
cm3.
[课时达标检测]
一、选择题
1.如图，ABC A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C AA′B′B的体积是( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A．π
B．2π
C．4π
D．8π
答案：B
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
A．6
B．9
C．12
D．18
答案：B
4．(全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
5.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是( )
A．4，8
B．4，
C．4(＋1)，
D．8,8
答案：B
二、填空题
6．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
答案：12
7．(浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.
答案：72 32
8．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8
cm和18
cm，侧棱长为13
cm，则其表面积为________
cm2.
答案：1
012
三、解答题
9．如图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．(单位：cm)
解：由三视图知该几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致．长方体的长、宽、高分别是8,4,6，圆柱的高是8，底面半径是2，
∴表面积为S＝8×4＋2×8×6＋2×4×6＋2××π×22＋×2π×2×8＝176＋20π(cm2)，
体积为V＝8×4×6＋×π×22×8＝192＋16π(cm3)，
故该几何体的表面积为(176＋20π)cm2，体积为(192＋16π)cm3.
10．已知正三棱锥V
ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2，求该三棱锥的表面积．
解：由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，
且VA＝VB＝VC＝4，
AB＝BC＝AC＝2.
取BC的中点D，连接VD，
则VD⊥BC，
有VD＝
＝
＝，
则S△VBC＝×VD×BC＝××2＝，
S△ABC＝×(2)2×＝3，
所以，三棱锥V ABC的表面积为
3S△VBC＋S△ABC＝3＋3＝3(＋)．3．3.3
&
3.3.4 点到直线的距离 两条平行直线间的距离
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
[提出问题]
在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.
问题1：若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？
提示：过点P作直线l′⊥l，垂足为Q，|PQ|即为所求，直线l的斜率为k，则l′的斜率为－，
∴l′的方程为y－y0＝－(x－x0)，联立l，l′的方程组，解出Q点坐标，利用两点间距离公式求出|PQ|.
问题2：平面直角坐标系中，若P(x0，y0)，则P到x轴、y轴的距离分别是多少？
提示：|y0|，|x0|.
问题3：在直角坐标系中，若P(x0，y0)，则P到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离是不是过点P到直线l的垂线段的长度？
提示：是．
问题4：若过P(x0，y0)的直线l′与l：Ax＋By＋C＝0平行，那么点P到l的距离与l′与l的距离相等吗？
提示：相等．
[导入新知]
点到直线的距离与两条平行直线间的距离
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝
[化解疑难]
1．点到直线的距离公式需注意的问题
直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P0(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝.
2．点到几种特殊直线的距离
(1)点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；
(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；
(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|；
(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.
3．对平行直线间的距离公式的理解
(1)利用公式求平行直线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．
(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．
①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.
点到直线的距离
[例1] 求点P(3，－2)到下列直线的距离：(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.
[解] (1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，
由点到直线的距离公式可得d＝＝.
(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.
(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.
[类题通法]
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
[活学活用]
1．已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A.
B．2－
C.－1
D.＋1
答案：C
2．已知原点和点P(4，－1)到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，求实数a的值．
解：利用点到直线的距离公式得
＝，
于是a2－4a－6＝±6，且a2＋a4≠0，
∴a2－4a＝0或a2－4a－12＝0，且a2＋a4≠0，
∴a＝－2或a＝4或a＝6.
两条平行直线间的距离
[例2] 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．
[解] 法一：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0.
在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0，
则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为＝，
由题意，得＝2，
所以C＝32，或C＝－20.
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.
法二：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
由两条平行直线间的距离公式得2＝，
解得C＝32，或C＝－20.
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.
[类题通法]
求两条平行直线间的距离，一般是直接利用两条平行直线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
[活学活用]
两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
答案：
距离的综合应用
[例3] 求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．
[解] 法一：当直线斜率不存在时，即x＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)．
由条件得＝，解得k＝4，
故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.
法二：由平面几何知识知l∥AB或l过线段AB的中点．
∵直线AB的斜率kAB＝4，
若l∥AB，则l的方程为4x－y－2＝0；
若l过AB的中点(1，－1)，则直线方程为x＝1.
故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.
[类题通法]
解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．
[活学活用]
求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．
解：由
解得，
即直线l过点B.
①当l与x轴垂直时，方程为x＝2，
点A(－3,1)到l的距离d＝|－3－2|＝5，满足题意．
②当l与x轴不垂直时，设斜率为k，
则l的方程为y＋＝k(x－2)，
即kx－y－2k－＝0，由点A到l的距离为5，得＝5，解得k＝，
所以l的方程为x－y－－＝0，
即4x－3y－10＝0.
综上，所求直线方程为x＝2或4x－3y－10＝0.
[典例] 直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．
[解] ①若直线l1，l2的斜率存在
，设直线的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.因为直线l1过点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝＝5，
∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，
∴k＝，
∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，
l2的方程为12x－5y－60＝0.
②若l1，l2的斜率不存在
，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．
综上所述，满足条件的直线方程有两组：l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5.
[易错防范]
1．
处容易漏掉l1，l2的斜率都不存在的情形而导致错误．
2．用待定系数法求直线方程时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论．
[成功破障]
经过点A(1,2)且到原点的距离等于1的直线方程为________．
答案：x＝1或3x－4y＋5＝0
[随堂即时演练]
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1
B.
C．2
D.
答案：D
2．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为( )
A．1
B.
C.
D．2
答案：B
3．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．
答案：
4．已知直线l在y轴上的截距为10，且原点到直线l的距离是8，则直线l的方程为________________．
答案：3x－4y＋40＝0或3x＋4y－40＝0
5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.
答案：4
[课时达标检测]
一、选择题
1．与直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为( )
A．2x＋y＝0
B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
答案：D
2．两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是( )
A．0＜d≤3
B．0＜d≤5
C．0＜d＜4
D．3≤d≤5
答案：B
3．过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有( )
A．3条
B．2条
C．1条
D．0条
答案：B
4．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为( )
A．3x－y－13＝0
B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0
D．3x＋y＋13＝0
答案：C
5．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是( )
A．3
B．2
C．3
D．4
答案：A
二、填空题
6．若点(4,0)到直线y＝x＋的距离为3，则m的值为________．
答案：－1或－31
7．直线l在x轴上的截距为1，又有两点A(－2，－1)，B(4,5)到l的距离相等，则l的方程为________________．
答案：x＝1或x－y－1＝0
8.如图所示，平面中两条直线l1，l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题：
①若p＝q＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且只有1个；②若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且只有2个；③若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且只有4个．
上述命题中，正确的命题是________(填序号)．
答案：①③
三、解答题
9．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
解：(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，
整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为
3x＋4y＋C＝0，
由点到直线的距离公式得＝3，
即＝3，解得C＝1或C＝－29，
故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
10．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．
解：点P(1,5)到lCD的距离为d，则d＝
.
∵lAB∥lCD，∴可设lAB：x＋3y＋m＝0.
点P(1,5)到lAB的距离也等于d，
则＝.
又∵m≠－13，∴m＝－19，即lAB：x＋3y－19＝0.
∵lAD⊥lCD，∴可设lAD：3x－y＋n＝0，
则P(1,5)到lAD的距离等于P(1,5)到lBC的距离，且都等于d＝，＝，得n＝5，或n＝－1，
则lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0.
所以，正方形ABCD其他三边所在直线方程为
x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0.第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
空间几何体与多面体
[提出问题]
观察下列图片：
问题1：图片(1)(2)(3)中的物体的形状有何特点？
提示：由若干个平面多边形围成．
问题2：图片(4)(5)(6)(7)的物体的形状与(1)(2)(3)中有何不同？
提示：(4)(5)(6)的表面是由平面与曲面围成的，(7)的表面是由曲面围成的．
问题3：图片(4)(5)(6)(7)中的几何体是否可以看作平面图形绕某定直线旋转而成？
提示：可以．
[导入新知]
1．空间几何体
概念
定义
空间几何体
在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体
多面体
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
旋转体
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴
2．多面体
多面体
定义
图形及表示
相关概念
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
如图可记作：棱柱ABCD
A′B′C′D′
底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点
棱锥
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
如图可记作：棱锥S ABCD
底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点
棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台
如图可记作：棱台ABCD
A′B′C′D′
上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
[化解疑难]
1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：
(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体．
(2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分．
2．棱柱具有以下结构特征和特点：
(1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形．
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a所示．
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b所示．
(4)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图c所示．
3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形，如图d所示．
4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．
棱柱的结构特征
[例1] 下列关于棱柱的说法：
(1)所有的面都是平行四边形；
(2)每一个面都不会是三角形；
(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确说法的序号是________．
[答案] (3)(4)
[类题通法]
有关棱柱的结构特征问题的解题策略
(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析．
①两个面互相平行；
②其余各面是四边形；
③相邻两个四边形的公共边互相平行．
求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．
[活学活用]
下列说法正确的是( )
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．各个侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形
答案：D
棱锥、棱台的结构特征
[例2] 下列关于棱锥、棱台的说法：
(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；
(3)棱锥的侧面只能是三角形；
(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中说法正确的序号是________．
[答案] (2)(3)(4)
[类题通法]
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法：
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法：
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
[活学活用]
下列说法正确的有( )
①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
答案：A
多面体的平面展开图
[例3] 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
[解] 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
[类题通法]
1．解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．
2．若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．
3．若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．
[活学活用]
水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )
A．1
B．7
C．快
D．乐
答案：B
[典例] 如图所示，下列关于这个几何体的正确说法的序号为________．
(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．
[解析] (1)正确，因为有六个面，属于六面体的范围；
(2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；
(3)正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；
(4)(5)都正确，如图所示．
[答案] (1)(3)(4)(5)
[易错防范]
1．解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理．
2．解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断．
[成功破障]
如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A．棱柱
B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体
D．不能确定
答案：A
[随堂即时演练]
1．下列几何体中，棱柱的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：D
2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
答案：D
3．棱锥最少有________个面．
答案：4
4．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．(仅填相应序号)
答案：③ ⑤ ①④
5．(1)三棱锥、四棱锥、十五棱锥分别有多少条棱，多少个面？
(2)有没有一个多棱锥，其棱数是2
016？若有，求出有多少个面；若没有，说明理由．
解：(1)三棱锥有6条棱、4个面；四棱锥有8条棱、5个面；十五棱锥有30条棱、16个面．
(2)有1
007个面．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列图形中，不是三棱柱的展开图的是( )
答案：C
2.如图所示，在三棱台ABC A′B′C′中，截去三棱锥A′ ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥
B．四棱锥
C．三棱柱
D．组合体
答案：B
3．下列说法正确的是( )
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②三棱柱的侧面为三角形；
③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
④棱锥的各侧棱长都相等．
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
答案：B
4．(广东高考)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )
A．20
B．15
C．12
D．10
答案：D
5．下列命题正确的是( )
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C．棱台的底面是两个相似的正方形
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
答案：D
二、填空题
6．面数最少的棱柱为________棱柱，共有________个面围成．
答案：三 5
7．如图，M是棱长为2
cm的正方体ABCD A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________
cm.
答案：
8．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．
侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体．
侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．
底面是矩形的直平行六面体叫做长方体．
棱长都相等的长方体叫做正方体．
请根据上述定义，回答下面的问题：
(1)直四棱柱________是长方体；
(2)正四棱柱________是正方体．(填“一定”“不一定”或“一定不”)
答案：(1)不一定 (2)不一定
三、解答题
9．如图所示，长方体ABCD
A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．
解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．
(2)截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1M CC1N，下方部分是四棱柱ABMA1 DCND1.
10．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．
解：如图①所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．
如图②所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．4．3
空间直角坐标系
空间直角坐标系的建立及坐标表示
[提出问题]
(1)如图数轴上A点，B点.
(2)如图在平面直角坐标系中，P，Q点的位置．
(3)如图是一个房间的示意图，我们如何表示板凳和气球的位置？
问题1：上述(1)中如何确定A，B两点的位置？
提示：利用A，B两点的坐标2和－2.
问题2：上述(2)中如何确定P，Q两点的位置？
提示：利用P，Q两点的坐标(a，b)和(m，n)．
问题3：对于上述(3)中，空间中如何表示板凳和气球的位置？
提示：可借助于平面坐标系的思想建立空间直角坐标系，如图示．
[导入新知]
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz.
(2)相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
3．空间一点的坐标
空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫点M的横坐标，y叫点M的纵坐标，z叫点M的竖坐标．
[化解疑难]
1．空间直角坐标系的建立
建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上，对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
2．空间直角坐标系的画法
(1)x轴与y轴成135°(或45°)，x轴与z轴成135°(或45°)．
(2)y轴垂直于z轴、y轴和z轴的单位长相等，x轴上的单位长则等于y轴单位长的.
3．特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示如下
点的位置
x轴
y轴
z轴
xOy平面
yOz平面
xOz平面
坐标表示
(x,0,0)
(0，y,0)
(0,0，z)
(x，y,0)
(0，y，z)
(x,0，z)
空间两点间的距离公式
[提出问题]
(1)已知数轴上A点的坐标2，B点的坐标－2.
(2)已知平面直角坐标系中P(a，b)，Q(m，n)．
问题1：如何求数轴上两点间的距离？
提示：|AB|＝|x1－x2|＝|x2－x1|.
问题2：如何求平面直角坐标系中P，Q两点间距离？
提示：d＝|PQ|＝.
问题3：若在空间中已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求|P1P2|
提示：与平面直角坐标系中两点的距离求法类似．
[导入新知]
1．点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离
|OP|＝.
2．任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离|P1P2|＝
.
[化解疑难]
1．空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．
2．空间中点坐标公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点P.
空间中点的坐标的确定
[例1] 如图，在长方体ABCD
A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．
[解] 以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
分别设|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝4，
则|CF|＝|AB|＝1，
|CE|＝|AB|＝，
所以|BE|＝|BC|－|CE|＝2－＝.
所以点E的坐标为，点F的坐标为(1,2,1)．
[类题通法]
空间中点P坐标的确定方法
(1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点Px、Py，Pz，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．
(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．
[活学活用]
如图所示，V ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．
解：∵底面是边长为2的正方形，
∴|CE|＝|CF|＝1.
∵O点是坐标原点，
∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，－1,0)，A(－1，－1，0)，D(－1,1,0)．
∵V在z轴上，
∴V(0,0,3)．
空间中点的对称
[例2] (1)点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是________．
(2)已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．
[答案] (1)(1,2,1)，(1，－2,1) (2)(2，－3,1)
[类题通法]
1．求空间对称点的规律方法
空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
2．空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：
(1)关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；
(2)关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；
(3)关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；
(4)关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；
(5)关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；
(6)关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；
(7)关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．
[活学活用]
1．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面yOz对称的点的坐标为( )
A．(－3,1,5)
B．(－3，－1,5)
C．(3，－1，－5)
D．(－3,1，－5)
答案：A
2．点P(－3,2，－1)关于平面xOy的对称点是_______，关于平面yOz的对称点是________，关于x轴的对称点是________，关于y轴的对称点是________．
答案：(－3,2,1) (3,2，－1) (－3，－2,1) (3,2,1)
空间中两点间的距离
[例3] 如图，已知正方体ABCD
A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．
[解] 由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．
因为正方体的棱长为a，
所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．
由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，
所以M，O′.
因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故N.
根据空间两点间的距离公式，可得|MN|＝
＝a.
[类题通法]
求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．
[活学活用]
如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为( )
A.a
B.a
C．a
D.a
答案：B
[典例] 如图，三棱柱ABC A1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．
[解析] 取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．因为三棱柱各棱长均为2，所以OA＝OC＝1，OB＝，可得A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)．
[易错防范]
1．解答此题不是以OB，OC，OO1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，而是以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，进而错误地求出A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)．
2．求空间点的坐标的关键是建立正确的空间直角坐标系，这也是正确利用坐标求解此类问题的前提．建立空间直角坐标系时要注意坐标轴必须是共点且两两垂直，且符合右手法则．
[成功破障]
如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz.
(1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标；
(2)在线段C1D上找一点M，使点M到点P的距离最小，求出点M的坐标．
解：(1)由题意知P的坐标为，P关于y轴的对称点P′的坐标为.
(2)设线段C1D上一点M的坐标为(0，m，m)，
则有|MP|＝
＝
＝
.
当m＝时|MP|取得最小值，
所以点M为.
[随堂即时演练]
1．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于xOy平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
答案：A
2．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是( )
A．(－2,1，－4)
B．(－2，－1，－4)
C．(2，－1,4)
D．(2,1，－4)
答案：A
3．已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标是________．
答案：(0,0,6)
4．在空间直角坐标系中，正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．
答案：
5．如图所示，直三棱柱ABC A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
答案：|DE|＝
|EF|＝
[课时达标检测]
一、选择题
1．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确叙述的个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
答案：C
2．若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )
A．7
B．－7
C．－1
D．1
答案：D
3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为( )
A．(0，，0)
B．(0，，)
C．(1,0，)
D．(1，，0)
答案：D
4．点A(1,2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为( )
A．2
B．4
C．2
D．2
答案：B
5．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A．－3或4
B．6或2
C．3或－4
D．6或－2
答案：D
二、填空题
6．已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则△ABC是________三角形．(填三角形的形状)
答案：等腰
7．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为________．
答案：
8．在棱长为1的正方体ABCD
A1B1C1D1中，F是BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝|CD|，E为C1G的中点，则EF的长为________．
答案：
三、解答题
9.如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．
解：过点D作DE⊥BC，垂足为E.
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得|BD|＝1，|CD|＝，∴|DE|＝|CD|sin
30°＝，|OE|＝|OB|－|BE|＝|OB|－|BD|cos
60°＝1－＝，
∴点D的坐标为.
10．如图所示，在长方体ABCD
A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M，N两点间的距离．
解：如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，
∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，
∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)．
∵N为CD1的中点，
∴N.
M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，
∴M(1,1,2)．
由两点间距离公式，得
|MN|＝
＝.1．2.1
&
1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图
中心投影与平行投影
[提出问题]
《泰坦尼克号》是一部浪漫的爱情灾难电影，于1997年11月1日开始，在全球上映，票房收入超过18亿美元，并获得了多项奥斯卡奖项.15年之后，《泰坦尼克号》再次被搬上了荧屏，而这次的宣传噱头则是3D.《泰坦尼克号(3D)》让观众在明知下一步剧情发展的情况下，仍然会因为发生在“眼前”的真实爱情悲歌热泪盈眶．从上图中我们可以清楚地看到3D电影是怎么一回事：两个投影机会从不同的方向错开一定距离，把画面中有距离区别的部分投射到荧幕上．而观众所佩戴的3D眼镜也会选择不同的光线进入左右眼，这样你就能看到物体“前于画面”或“后于画面”的视觉假象了．
电影的播放实质是利用了小孔成像原理，而太阳光下地面上人的影子是阳光照射到人后留下的影像．
放电影和太阳光照射成影像都具备光线、不透明物体和投影面这些相同的条件．
问题1：放电影成像与太阳光照射成像原理一样吗？
提示：不一样．
问题2：放电影成像中的光线有何特点？
提示：光是由一点向外散射．
问题3：太阳光照人成影像的光线又有何特点？
提示：一束平行光线．
[导入新知]
1．投影的定义
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．
2．中心投影与平行投影
投影
定义
特征
分类
中心投影
光由一点向外散射形成的投影
投影线交于一点
平行投影
在一束平行光线照射下形成的投影
投影线互相平行
正投影和斜投影
[化解疑难]
平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法，但二者又有区别
(1)中心投影的投影线交于一点，平行投影的投影线互相平行．
(2)平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．
三
视
图
[提出问题]
如梦似幻！——这是无数来自全世界的游客对国家游泳中心“水立方”的第一印象．同天安门、故宫、长城等北京标志性建筑一样，“水立方”成了游客在北京的必到之地．
问题1：“水立方”的外观形状是什么？
提示：长方体．
问题2：假如你站在“水立方”入口处的正前方或在“水立方”的左侧看“水立方”，你看到的是什么？
提示：“水立方”的一个侧面．
问题3：若你在“水立方”的正上方观察“水立方”看到的是什么？
提示：“水立方”的一个表面．
问题4：根据上述三个方向观察到的平面，能否画出“水立方”的形状？
提示：可以．
[导入新知]
三视图
概念
规律
正视图
光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图
一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样
侧视图
光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图
俯视图
光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图
[化解疑难]
1．每个视图都反映物体两个方向上的尺寸．正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸．
2．画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示．
中心投影与平行投影
[例1] 下列说法中：
①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；
②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；
③两条相交直线的平行投影是两条相交直线．
其中正确的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[答案] B
[类题通法]
1．判定几何体投影形状的方法．
(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．
(2)对于平行投影，当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影具有以下性质：
①直线或线段的投影仍是直线或线段；
②平行直线的投影平行或重合；
③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；
④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；
⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．
2．画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影．
[活学活用]
如图，在正方体ABCD
A′B′C′D′中，E，F分别是A′A，C′C的中点，则下列判断正确的序号是________．
①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；
②四边形BFD′E在平面A′D′DA内的投影是菱形；
③四边形BFD′E在平面A′D′DA内的投影与在平面ABB′A内的投影是全等的平行四边形．
答案：①③
画空间几何体的三视图
[例2] 画出如右图所示的四棱锥的三视图．
[解] 几何体的三视图如下：
[类题通法]
画三视图的注意事项
(1)务必做到长对正，宽相等，高平齐．
(2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．
(3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
[活学活用]
沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
答案：B
由三视图还原空间几何体
[例3] 如图所示的三视图表示的几何体是什么？画出物体的形状．
(1)
(2)
(3)
[解析] (1)该三视图表示的是一个四棱台，如右图．
(2)由俯视图可知该几何体是多面体，结合正视图、侧视图可知该几何体是正六棱锥．如下图．
(3)由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，所以该几何体的形状如右图所示．
[类题通法]
由三视图还原几何体时，一般先由俯视图确定底面，由正视图与侧视图确定几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状．
[活学活用]
如图(1)(2)(3)(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )
A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台
D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
答案：C
[典例] 某几何体及其俯视图如图所示，下列关于该几何体正视图和侧视图的画法正确的是( )
[解析] 该几何体是由圆柱切割而得，由俯视图可知正视方向和侧视方向，进一步可画出正视图和侧视图(如图所示)，故选A.
[答案] A
[易错防范]
1．易忽视该组合体的结构特征是由圆柱切割而得到，对正视方向与侧视方向的判断不正确而出错．
2．三种视图中，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画成虚线．画三视图时，一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误．
[成功破障]
沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是( )
答案：D
[随堂即时演练]
1.(天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )
答案：B
2.如图，在正方体ABCD
A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影为( )
答案：A
3．直线的平行投影可能是________．
答案：直线或点
4.如图，在多面体ABC A′B′C′中，底面ABC为正三角形，三条侧棱AA′，BB′，CC′分别平行，侧棱垂直于底面ABC，且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，则下面图形可视为多面体ABC A′B′C′的正视图的是________．
答案：④
5．画出如图所示几何体的三视图．
解：图①为正六棱柱，可按棱柱的画法画出；图②为一个圆锥与一个圆台的组合体，按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状．三视图如图所示．
[课时达标检测]
一、选择题
1．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影(阴影部分)效果如图，则在字母L，K，C的投影中，与字母N属同一种投影的有( )
答案：A
2．(江西高考)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
答案：D
3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
答案：B
4．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
答案：C
5．将正方体(如图①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )
答案：B
二、填空题
6．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于________．
答案：
7．如图甲所示，在正方体ABCD
A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的________．
答案：(1)(2)(3)
8．两条平行线在一个平面内的正投影可能是________．
①两条平行线；②两个点；③两条相交直线；④一条直线和直线外的一点；⑤一条直线．
答案：①②⑤
三、解答题
9．如图所示，画出下列组合体的三视图．
解：三视图如图①②所示．
10．某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征．
解：该三视图表示的是组合体，如图所示，是7个小正方体拼接而成的组合体．2．1.3
&
2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面的位置关系
[提出问题]
应县木塔，在山西应县城佛宫寺内，辽清宁二年(1056年)建．塔呈平面八角形，外观五层，夹有暗层四级，实为九层，总高67.31米，底层直径30.27米，是国内外现存最古老最高大的木结构塔式建筑．塔建在4米高的两层石砌台基上，内外两槽立柱，构成双层套筒式结构，柱头间有栏额和普柏枋，柱脚间有地伏等水平构件，内外槽之间有梁枋相连接，使双层套筒紧密结合．暗层中用大量斜撑，结构上起圈梁作用，加强木塔结构的整体性．
问题1：立柱和地面是什么位置关系？
提示：相交．
问题2：柱脚间有地伏等水平构件看成直线，它和地面有什么关系？
提示：在同一平面内．
问题3：直线和平面还有其他关系吗？
提示：平行．
[导入新知]
直线与平面的位置关系
位置关系
直线a在平面α内
直线a在平面α外
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
无数个公共点
一个公共点
没有公共点
符号表示
a α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
[化解疑难]
1．利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系．
(1)当直线与平面无公共点时，直线与平面平行．
(2)当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交．
(3)当直线与平面有两个公共点时，它们就有无数个公共点，这时直线在平面内．
2．直线在平面外包括两种情形：a∥α与a∩α＝A.
空间中平面与平面的位置关系
[提出问题]
观察拿在手中的两本书，我们可以想象两本书为两个平面．
问题1：两本书所在的平面可以平行吗？公共点的个数是多少？
提示：可以．无公共点．
问题2：两本书所在的平面可以相交吗？公共点的个数是多少？
提示：可以．有无数个．
[导入新知]
两个平面的位置关系
位置关系
图示
表示法
公共点个数
两平面平行
α∥β
没有公共点
两平面相交
α∩β＝l
有无数个公共点(在一条直线上)
[化解疑难]
1．判断面面位置关系时，要利用好长方体(或正方体)这一模型．
2．画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．
直线与平面的位置关系
[例1] 下列说法：
①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b α，则a∥α；③若直线a∥b，b α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．
其中说法正确的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[答案] B
[类题通法]
空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．
在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
[活学活用]
下列说法中，正确的个数是( )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：C
平面与平面的位置关系
[例2] (1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问：α∥β是否正确？为什么？
(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问：α∥β是否正确？为什么？
[解] (1)不正确．
如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，an，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，an，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，an，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.
(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．
[类题通法]
两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.
[活学活用]
1．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有________个．
答案：4 6
2.如图所示，平面ABC与三棱柱ABC A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？
解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，
∴平面ABC与平面A1B1C1平行．
∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，
∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．
[典例] (12分)在正方体ABCD A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状．
[解题流程]
[规范解答]
由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图甲．(4分)
当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图乙．(8分)
当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图丙．(12分)
[活学活用]
如图所示，G是正方体ABCD A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．
(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1.
解：(1)画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．
(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．
[随堂即时演练]
1．M∈l，N∈l，N α，M∈α，则有( )
A．l∥α
B．l α
C．l与α相交
D．以上都有可能
答案：C
2．如图所示，用符号语言可表示为( )
A．α∩β＝l
B．α∥β，l∈α
C．l∥β，l α
D．α∥β，l α
答案：D
3．平面α∥平面β，直线a α，则a与β的位置关系是________．
答案：平行
4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．
答案：0或1
5．三个平面α，β，γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c β，c∥b.
(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．
解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c β，所以c与α无公共点，则c∥α.
(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a α，b β，且a，b γ，所以a，b没有公共点．由于a，b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.
[课时达标检测]
一、选择题
1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．不能确定
答案：C
2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为( )
A．平行
B．相交
C．直线在平面内
D．平行或直线在平面内
答案：D
3．(浙江高考)若直线l不平行于平面α，且l α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
答案：B
4．已知直线m，n和平面α，m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上均有可能
答案：A
5．给出下列几个说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行．
其中正确说法的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：B
二、填空题
6．下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为________．
答案：①②
7．与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有________个．
答案：7
8．下列命题正确的有________(填序号)．
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；
⑥若平面α∥平面β，直线a α，直线b β，则直线a∥b.
答案：①⑤
三、解答题
9．如图所示，在正方体ABCD
A1B1C1D1中M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？
(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；
(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系．
解：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；
(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；
(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交．
10.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A l，B l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．
解：平面ABC与β的交线与l相交．
证明：∵AB与l不平行，且AB α，l α，∴AB与l一定相交，设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.
又∵AB 平面ABC，l β，∴P∈平面ABC，P∈β.
∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，
∴直线PC就是平面ABC与β的交线．
即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，
∴平面ABC与β的交线与l相交．3．1.1 倾斜角与斜率
直线的倾斜角
[提出问题]
在平面直角坐标系中，直线l经过点P.
问题1：直线l的位置能够确定吗？
提示：不能．
问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？
提示：无数条．
问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？
提示：倾斜程度不同．
[导入新知]
1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
3．倾斜角与直线形状的关系
倾斜角
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
直线
[化解疑难]
对直线的倾斜角的理解
(1)倾斜角定义中含有三个条件：
①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．
(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度．
(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.
直线的斜率
[提出问题]
日常生活中，常用坡度(坡度＝)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度＞.
问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？
提示：可以．
问题2：上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？
提示：可以．
问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？
提示：与倾斜角的正切值相等．
[导入新知]
1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α.
2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．
[化解疑难]
1．倾斜角α与斜率k的关系
(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．
(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
2．斜率公式
(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，
如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝.
(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步．二用，就是将点的坐标代入斜率公式．三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
直线的倾斜角
[例1] (1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( )
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°
(2)下列说法中，正确的是( )
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan
α
B．直线的斜率为tan
α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin
α＞0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan
α
[答案] (1)D (2)D
[类题通法]
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
[活学活用]
1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°≤α＜90°
B．90°≤α＜180°
C．90°＜α＜180°
D．0°≤α＜180°
答案：C
2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°
答案：D
直线的斜率
[例2] (1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；
(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________；
(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．
[答案] (1)－5 (2)1 (3)0
[类题通法]
利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
[活学活用]
若直线过点
(1,2)，(4，2＋)，则此直线的倾斜角是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
答案：A
直线的斜率的应用
[例3] 已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．
[解] 如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．
由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，所以可求得的最大值为2，最小值为.
[类题通法]
根据题目中代数式的特征，看是否可以写成的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题．
[活学活用]
点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．
解：＝的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．
∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，
∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)．
∵kNA＝，kNB＝－，∴－≤≤.
∴的取值范围为.
6．倾斜角与斜率的关系
[典例] 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则l的倾斜角的取值范围________；直线l的斜率k的取值范围________．
[解析] 如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，
则直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
所以直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.
要使l与线段AB有公共点，
则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.
[答案]
[易错防范]
1．本题易错误地认为－1≤k≤1，结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA.
2．如图，过点P的直线l与直线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而PC所在的直线与线段AB不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边．
[成功破障]
已知直线l过点P(3,4)，且与以A(－1,0)，B(2,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
解：∵直线PA的斜率kPA＝＝1，直线PB的斜率kPB＝＝3，
∴要使直线l与线段AB有公共点，k的取值范围为[1,3]．
[随堂即时演练]
1.如图所示直线l与y轴垂直，则直线l的倾斜角为( )
A．0°
B．90°
C．180°
D．不存在
答案：A
2．经过下列两点的直线，其倾斜角是钝角的是( )
A.，(0,0)
B．(1，－1)，(2,4)
C．(2,1)，(－1，－)
D．(，－2)，(2，－)
答案：D
3．直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角为________．
答案：135°
4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．
答案：2或
5．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．
答案：4
[课时达标检测]
一、选择题
1．给出下列结论：
①直线的倾斜角不是锐角就是直角或钝角；
②如果直线的倾斜角是锐角，那么直线的斜率是正实数；
③如果直线的倾斜角是钝角，那么直线的斜率是负实数；
④如果直线的倾斜角是直角，那么直线上不同的两点的横坐标相等，而纵坐标不等．
其中，正确的结论是( )
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④
答案：B
2．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于( )
A．－
B.
C．－1
D．1
答案：C
3.如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为( )
A．k1＜k2＜k3
B．k1＜k3＜k2
C．k2＜k1＜k3
D．k3＜k2＜k1
答案：A
4．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( )
A．{m|m＜1}
B．{m|m＞－1}
C．{m|－1＜m＜1}
D．{m|m＞1或m＜－1}
答案：C
5．如果直线l过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是( )
A．[0,1]
B．[0,2]
C.
D．(0,3]
答案：B
二、填空题
6．已知a＞0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.
答案：1＋
7．如果直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．
答案：30°
8．已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，的取值范围为________．
答案：∪
三、解答题
9．已知直线l过点A(1,2)，B(m,3)，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围．
解：设l的斜率为k，倾斜角为α.
当m＝1时，斜率k不存在，α＝90°；
当m≠1时，k＝＝；
当m＞1时，k＝＞0，此时α为锐角，0°＜α＜90°；
当m＜1时，k＝＜0，此时α为钝角，
90°＜α＜180°.
所以0°＜α＜180°，k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
10．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率．
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.
故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.第二课时 两条直线的交点坐标 两点间的距离(习题课)
1．两条直线的交点坐标如何求？
略
2．如何根据方程组的解判断两直线的位置关系？
略
3．平面内两点间的距离公式是什么？
略
4．过定点的直线系方程有什么特点？
略
5．如何用坐标法解决几何问题？
略
6．点关于点的对称点，点关于线的对称点如何求？
略
两直线交点问题的综合应用
[例1] 过点M(0,1)作直线，使它被两已知直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线的方程．
[解] 法一：过点M与x轴垂直的直线显然不合要求，故设所求直线方程为y＝kx＋1.若与两已知直线分别交于A，B两点，则解方程组和可得xA＝，xB＝.
由题意＋＝0，
∴k＝－.故所求直线方程为x＋4y－4＝0.
法二：设所求直线与两已知直线分别交于A，B两点，点B在直线2x＋y－8＝0上，故可设B(t,8－2t)，由中点坐标公式得A(－t,2t－6)．
又因为点A在直线x－3y＋10＝0上，所以(－t)－3(2t－6)＋10＝0，得t＝4，即B(4,0)．由两点式可得所求直线方程为x＋4y－4＝0.
[类题通法]
两条直线的交点坐标就是联立两条直线方程所得的方程组的解．
[活学活用]
若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0交于一点，则点(m，n)可能是( )
A．(1，－3)
B．(3，－1)
C．(－3,1)
D．(－1,3)
答案：A
对称问题
[例2] 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程．
[解] 设原点关于l的对称点A
的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
解得
∴A的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线方程为y＝3.
由方程组
解得
由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3.
[类题通法]
1．点关于直线对称的点的求法
点N(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)．
可由方程组求得．
2．直线关于直线的对称的求法
求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程．
[活学活用]
与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A．3x－2y＋2＝0
B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0
D．2x＋3y＋8＝0
答案：D
坐标法的应用
[例3] 一长为3
m，宽为2
m缺一角A的长方形木板(如图所示)，长缺0.2
m，宽缺0.5
m，EF是直线段，木工师傅要在BC的中点M处作EF延长线的垂线(直角曲尺长度不够)，应如何画线？
[解] 以AB所在直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立直角坐标系，
则E(0.2,0)，F(0,0.5)，B(3,0)，D(0,2)，M(3,1)，
所以EF所在直线斜率k＝＝－.
∵所求直线与EF垂直，
∴所求直线斜率为k′＝，
又直线过点M(3,1)，
所以所求直线方程为y－1＝(x－3)．
令y＝0，则x＝0.5，所以所求直线与x轴交点为(0.5,0)，
故应在EB上截|EN|＝0.3
m，得点N，即得满足要求的直线MN.
[类题通法]
1．用坐标法解决实际应用题，首先通过建立模型将它转化为数学问题．
2．用坐标法解决几何问题，首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．
[活学活用]
已知等腰梯形ABCD，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC|＝|BD|.
证明：如图，
以等腰梯形ABCD的下底AB所在直线为x轴，以AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，设梯形下底|AB|＝2a，上底|CD|＝2b，高为h，则A(－a，0)，B(a,0)，C(b，h)，D(－b，h)，由两点间的距离公式得
|AC|＝＝，
|BD|＝＝，
所以|AC|＝|BD|.
[典例] (12分)在x轴上求一点P，使得：
(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大，并求出最大值；
(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小，并求出最小值．
[解题流程]
[活学活用]
求函数f(x)＝＋的最小值．
解：由于f(x)＝＋＝＋，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则可把问题转化为在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|取得最小值，作A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，连接A′B.
由图可直观得出|PA|＋|PB|的最小值为|BA′|＝＝5，即f(x)的最小值为5.
[随堂即时演练]
1．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．2
B．4
C．5
D.
答案：D
2．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0
B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0
D．x＋2y－3＝0
答案：D
3．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为________．
答案：5x－15y－18＝0
4．点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则直线l的方程为________．
答案：3x－y＋3＝0
5．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.
证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在的直线为坐标轴，建立如右图所示的平面直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．
因为斜边BC的中点为M，
所以点M的坐标为，即.
由两点间的距离公式，得
|BC|＝＝，
|AM|＝
＝，
所以|AM|＝|BC|.
[课时达标检测]
一、选择题
1．点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是( )
A．(－2,1)
B．(－2,5)
C．(2，－5)
D．(4，－3)
答案：B
2．已知点P(a，b)与点Q(b＋1，a－1)关于直线l对称，则直线l的方程为( )
A．y＝x－2
B．y＝x＋2
C．y＝x－1
D．y＝x＋3
答案：C
3．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是( )
A．5
B．2
C．5
D．10
答案：C
4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于( )
A．－2
B．－
C．2
D.
答案：B
5．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为( )
A．－3，－4
B．3,4
C．4,3
D．－4，－3
答案：B
二、填空题
6．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________．
答案：(－4，－1)
7．直线ax＋by－2＝0，若满足3a－4b＝1，则必过定点________．
答案：(6，－8)
8．已知x，y∈R，函数f(x，y)＝＋的最小值是________．
答案：5
三、解答题
9．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程．
解：若l与x轴垂直，则l的方程为x＝1，
由得B点坐标(1,4)，此时|AB|＝5，
∴x＝1为所求；
当l不与x轴垂直时，可设其方程为y＋1＝k(x－1)．
解方程组
得交点B(k≠－2)．
由已知
＝5，解得k＝－.
∴y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.
综上可得，所求直线l的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
10．某地东西有一条河，南北有一条路，A村在路西3
千米、河北岸4千米处；B村在路东2
千米、河北岸
千米处．两村拟在河边建一座水力发电站，要求发电站到两村距离相等，问：发电站建在何处？到两村的距离为多远？
解：以小河的方向向东为x轴正方向，以路的方向向北为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则A(－3,4)，B(2，)，问题转化为在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
可设点P为(x,0)，则有|PA|＝
＝，|PB|＝＝.由|PA|＝|PB|得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.即所求点P为－，0且|PA|＝
＝.
故发电站应建在小路以西千米处的河边，它距两村的距离为千米．3．1.2 两条直线平行与垂直的判定
两条直线平行
[提出问题]
平面几何中，两条直线平行，同位角相等．
问题1：在平面直角坐标中，若l1∥l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？
提示：相等．
问题2：若l1∥l2，则l1，l2的斜率相等吗？
提示：不一定，可能相等，也可能都不存在．
问题3：若l1与l2的斜率相等，则l1与l2一定平行吗？
提示：不一定．可能平行也可能重合．
[导入新知]
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2 k1＝k2.
[化解疑难]
对两条直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1)l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
l1∥l2 k1＝k2或l1，l2斜率都不存在．
两条直线垂直
[提出问题]
已知两条直线l1，l2，若l1的倾斜角为30°，l1⊥l2.
问题1：上述问题中，l1，l2的斜率是多少？
提示：k1＝，k2＝－.
问题2：上述问题中两直线l1，l2的斜率有何关系？
提示：k1k2＝－1.
问题3：若两条直线垂直且都有斜率，它们的斜率之积一定为－1吗？
提示：一定．
[导入新知]
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2 k1k2＝－1.
[化解疑难]
对两条直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1)l1⊥l2 k1·k2＝－1成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
②k1≠0且k2≠0.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
l1⊥l2 k1·k2＝－1，或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
两条直线平行的判定
[例1] 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；
(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)；
(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)．
[解] (1)由题意知，k1＝＝－，
k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合，
又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2.
(2)由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合．
(3)由题意知，k1＝tan
60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．
(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.
[类题通法]
判断两条不重合直线是否平行的步骤
[活学活用]
求证：顺次连接A(2，－3)，B，C(2,3)，D(－4,4)四点所得的四边形是梯形(如图所示)．
证明：因为kAB＝＝－，
kCD＝＝－，所以kAB＝kCD，从而AB∥CD.
因为kBC＝＝－，kDA＝＝－，
所以kBC≠kDA，从而直线BC与DA不平行．
因此，四边形ABCD是梯形．
两条直线垂直的问题
[例2] 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值．
[解] 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.
∵直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，
∴l2的斜率存在．
当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意．
当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0，
由k1·k2＝－1，得·＝－1，解得a＝－6.
综上可知，a的值为5或－6.
[类题通法]
使用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．
(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1·k2＝－1.
[活学活用]
已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．
答案：(1,0)或(2,0)
平行与垂直的综合应用
[例3] 已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．
[解] 由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，
kAD＝＝－3，kBC＝＝－.
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，
所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．
[类题通法]
1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标．
2．证明两直线平行时，仅有k1＝k2是不够的，注意排除两直线重合的情况．
[活学活用]
已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标．
解：设D(x，y)，则kAB＝＝1，kBC＝＝－，
kCD＝，kDA＝.因为AB⊥CD，AD∥BC，
所以，kAB·kCD＝－1，kDA＝kBC，
所以
解得即D(10，－6)．
[典例] (12分)已知直线l1经过A(3，m)，B(m－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，m＋2)．
(1)若l1∥l2，求m的值；
(2)若l1⊥l2，求m的值．
[解题流程]
[规范解答]
[名师批注]
由题知直线l2的斜率存在，
且k2＝＝－①.(2分)
(1)若l1∥l2，
则直线l1的斜率也存在，
由k1＝k2，得＝－，
解得m＝1或m＝6，(4分)
经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l.(6分)
(2)若l1⊥l2，当k2＝0②时，
此时m＝0，l1斜率存在，
不符合题意；(8分)
当k2≠0②时，直线l2的斜率存在且不为0，
则直线l1的斜率也存在，
且k1·k2＝－1，
即－·＝－1，
解得m＝3或m＝－4，(10分)
所以m＝3或m＝－4时，l1⊥l.(12分)
[活学活用]
已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
解：因为A，B两点纵坐标不等，
所以AB与x轴不平行．
因为AB⊥CD，所以CD与x轴不垂直，故m≠－3.
当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1，而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1，所以CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．
当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得
kAB＝＝，
kCD＝＝.
因为AB⊥CD，所以kAB·kCD＝－1，解得m＝1.
综上，m的值为1或－1.
[随堂即时演练]
1．下列说法正确的有( )
①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
②若l1∥l2，则k1＝k2；
③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；
④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：A
2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行
B．重合
C．相交但不垂直
D．垂直
答案：D
3．已知直线l1的倾斜角α1为30°，l2⊥l1，则l2的斜率k2＝________，l2的倾斜角α2＝________.
答案：－ 120°
4．经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．
答案：
5．判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系．
(1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(2)l1过点A(3,4)，B(3,100)，l2过点M(－10,40)，N(10,40)；
(3)l1过点A(0,1)，B(1,0)，l2过点M(－1,3)，N(2,0)；
(4)l1过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2过点M(5，－2)，N(5,5)．
答案：(1)l1⊥l2 (2)l1⊥l2 (3)l1∥l2 (4)l1∥l2
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
答案：B
2．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
答案：C
3．已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为( )
A．(0，－6)
B．(0,7)
C．(0，－6)或(0,7)
D．(－6,0)或(7,0)
答案：C
4．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC∥BD；④AC⊥BD中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C
5．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是( )
A．梯形
B．平行四边形
C．菱形
D．矩形
答案：B
二、填空题
6．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝________.
答案：0
7．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2∥l1，且l2过点A(－2，－1)和B(3，a)，则a的值为________．
答案：4
8．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.
答案：(－9,0)
三、解答题
9．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1,0)，B(1,1)，C(0,2)，试分别求△ABC三条边上的高所在直线的斜率．
解：设边AB，AC，BC上的高所在直线的斜率分别为k1，k2，k3.
因为kAB＝＝，
所以由kAB·k1＝－1，可得k1＝－2；
因为kAC＝＝2，
所以由kAC·k2＝－1，可得k2＝－；
因为kBC＝＝－1，
所以由kBC·k3＝－1，可得k3＝1.
综上可得，边AB，AC，BC上的高所在直线的斜率分别为－2，－，1.
10．直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值．
解：当l1∥l2时，
由于直线l2的斜率存在，则直线l1的斜率也存在，
则kAB＝kCD，即＝，
解得m＝3；
当l1⊥l2时，由于直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，则kABkCD＝－1，
即·＝－1，
解得m＝－.
综上，当l1∥l2时，m的值为3；
当l1⊥l2时，m的值为－.
①处易漏掉而直接利用两直线平行或垂直所具备的条件来求m值，解答过程不严谨．
②处讨论k2＝0和k2≠0两种情况．
③此处易漏掉检验，做解答题要注意解题的规范．第二课时 直线与圆的位置关系(习题课)
1．直线与圆的位置关系有哪几种？
略
2．如何用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系？
略
3．如何求过某点的圆的切线方程？
略
4．如何求圆的弦长？
略
与圆有关的切线问题
[例1] 自点P(－6,7)发出的光线l射到x轴上的点A处，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0相切于点Q.求光线l所在直线方程．
[解] 如图，作圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0关于x轴的对称圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0，由几何光学原理，知直线l与圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0相切．
由于l的斜率必存在，故可设直线l：y－7＝k(x＋6)，即kx－y＋6k＋7＝0.
由圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0的圆心(4，－3)到直线l的距离等于半径，知＝＝2，解得k＝－或k＝－，
故光线l所在直线的方程为3x＋4y－10＝0或4x＋3y＋3＝0.
[类题通法]
过已知圆外一点求切线的方程一般有三种方法：
(1)设切线斜率，用判别式法；
(2)设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径长；
(3)设切点(x0，y0)，用切线公式法．
[活学活用]
已知圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1.求：
(1)过A(3,4)的圆C的切线方程；
(2)在两坐标轴上的截距相等的圆C的切线方程．
解：(1)当所求直线的斜率存在时，设过A(3,4)的直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，
由＝1，得k＝.
所以切线方程为y－4＝(x－3)，即4x－3y＝0.
当所求直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，也符合题意．
故所求直线方程为4x－3y＝0或x＝3.
(2)设在两坐标轴上的截距相等的直线方程为＋＝1或y＝kx，于是由圆心(2,1)到切线距离为1，得＝1或＝1.
解得a＝3±，k＝0或k＝.
故所求切线方程为x＋y＝3±或y＝0或y＝x.
与圆有关的参数问题
[例2] 已知直线l：y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，求m的取值范围．
[解] ∵l：y＝－x＋m，圆x2＋y2＝1，
∴l可变形为x＋3y－3m＝0，
圆的圆心为(0,0)，半径长r＝1.
当直线和该圆相切时，应满足d＝＝1，解得m＝±.在平面直角坐标系中作出图象，如图所示，
其中l2：y＝－x＋，l3：y＝－x－.
过原点作直线l0：y＝－x，m0：y＝－x.
∵直线l的斜率k＝－，直线AB的斜率k＝－1，
∴只有当直线l在移动到过A(0,1)后才开始与圆在第一象限内有两个交点，此时对应的直线l1：y＝－x＋1.要使直线与圆在第一象限内有两个不同交点，直线l只有在直线l1和直线l2之间运动才可，此时相应的m∈.
∴m的取值范围是.
[类题通法]
解决与圆有关的参数问题，有时直接求解比较困难，可根据题意先画出图象，利用数形结合的方法，可以很容易得出答案．
[活学活用]
在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，直线l：12x－5y＋c＝0(其中c为常数)．下列有关直线l与圆O的命题：
①当c＝0时，圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1；
②若圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1，则－13＜c＜13；
③若圆O上恰有三个不同的点到直线l的距离为1，则c＝13；
④若圆O上恰有两个不同的点到直线l的距离为1，则13＜c＜39；
⑤当c＝±39时，圆O上只有一个点到直线l的距离为1.
其中正确命题的序号是________．
答案：①②⑤
直线与圆的综合问题
[例3] 已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．
[解] 由消去y，
得5x2＋10x＋4m－27＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则
又OP⊥OQ，
∴kOP·kOQ＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.
∴x1·x2＋(3－x1)·(3－x2)＝0，
整理得5x1x2－3(x1＋x2)＋9＝0，
∴5×－3×(－2)＋9＝0.
解得m＝3满足①
∴实数m的值为3.
[类题通法]
此题设出P，Q两点的坐标，但在求解过程中又不能刻意地求出来，只将它作为一个转化过程中的桥梁，这种“设而不求”的解题方法在解析几何中很常见，要注意认真体会并掌握．
[活学活用]
自原点O作圆(x－1)2＋y2＝1的不重合两弦OA，OB，若|OA|·|OB|＝k(定值)，证明不论A，B两点位置怎样，直线AB恒切于一个定圆，并求出定圆的方程．
解：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则|OA|·|OB|＝·
＝·
＝＝k.
∴x1x2＝.
设直线AB的方程为y＝mx＋b，
代入已知圆的方程并整理，得
(1＋m2)x2＋2(mb－1)x＋b2＝0，
由根与系数的关系，得x1x2＝.
∴＝.
∵原点O到直线mx－y＋b＝0的距离为，
∴所求定圆的半径r满足
r2＝＝(定值)．
∴直线AB恒切于定圆x2＋y2＝.
[典例] 设点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上，求的最值．
[解] 的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的距离．
因为圆心(0,1)与定点的距离是＝，圆的半径是1，
所以的最小值是－1，最大值是＋1.
[多维探究]
1．化为求斜率问题
求的最小值．
解：法一：令＝t，
则方程组一定有解．消去y，整理得(1＋t2)x2＋2(t2－3t)x＋(t2－6t＋8)＝0有解．
所以Δ＝4(t2－3t)2－4(1＋t2)(t2－6t＋8)≥0，
即6t－8≥0，解得t≥.
故的最小值是.
法二：令＝k，
则k表示圆上任一点与点(－1，－2)连线的斜率，
∴kx－y＋k－2＝0，
由≤1，得k≥.
∴的最小值为.
2．化为求圆心到直线距离问题
求直线x－y－2＝0上的点到圆的距离的最值．
解：圆心为(0,1)，到直线x－y－2＝0的距离为＝，
因此直线上的点和圆上的点的最大距离为＋1，最小距离为－1.
3．化为求圆心到直线距离问题
若圆上有且只有四个点到直线3x－4y＋C＝0的距离为，求C的取值范围．
解：由题意，圆心(0,1)到直线的距离小于即可，
则＜，
解得＜C＜.
所以C的取值范围为.
[方法感悟]
解与圆有关的最值问题，要明确其几何意义：
(1)k＝表示圆上的点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率，直线方程可与圆的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用Δ≥0求k的最值；也可用圆心到直线的距离d≤r，求k的最值．
(2)直线与圆相离时，直线上的点到圆的距离的最大值为d＋r，最小值为d－r.
[随堂即时演练]
1．直线x＋y＝0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系是( )
A．直线与圆相切
B．直线与圆相交但不过圆心
C．直线与圆相离
D．直线过圆心
答案：A
2．若直线y＝x＋t被圆x2＋y2＝8截得的弦长大于等于，则t的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
3．如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是________．
答案：
4．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
答案：
5．已知以点P为圆心的圆过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C，D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
答案：(1)x＋y－3＝0
(2)(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40
[课时达标检测]
一、选择题
1．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( )
A．0或2
B．0或4
C．2
D．4
答案：C
2．过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．2
B．4
C．2
D．5
答案：B
3．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为( )
A．k＝，b＝－4
B．k＝－，b＝4
C．k＝，b＝4
D．k＝－，b＝－4
答案：A
4．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
答案：B
5．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A．x＋y－2＝0
B．y－1＝0
C．x－y＝0
D．x＋3y－4＝0
答案：A
二、填空题
6．(重庆高考)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．
答案：0或6
7．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积最小值是____________．
答案：3－
8．已知圆的方程为x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值为________．
答案：14＋6
三、解答题
9．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2)设l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝，求l的倾斜角；
(3)求弦AB的中点M的轨迹方程．
解：(1)证明：由已知直线l：y－1＝m(x－1)，知直线l恒过定点P(1,1)．
∵12＝1＜5，∴P点在圆C内，
所以直线l与圆C总有两个不同的交点．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组消去y得
(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0，
x1，x2是一元二次方程的两个实根，
∵|AB|＝|x1－x2|，
∴＝·，∴m2＝3，m＝±，
∴l的倾斜角为或.
(3)设M(x，y)，∵C(0,1)，P(1,1)，当M与P不重合时，
|CM|2＋|PM|2＝|CP|2，
∴x2＋(y－1)2＋(x－1)2＋(y－1)2＝1.整理得轨迹方程为x2＋y2－x－2y＋1＝0(x≠1)．
当M与P重合时，M(1,1)满足上式，
故M的轨迹方程为x2＋y2－x－2y＋1＝0.
10．已知⊙O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由⊙O外一点P(a，b)向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝|PA|.
(1)求实数a，b间满足的等量关系；
(2)求线段PQ的最小值．
解：(1)连接OP，∵Q为切点，
∴PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2.
又∵|PQ|＝|PA|，∴|PQ|2＝|PA|2，
即a2＋b2－1＝(a－2)2＋(b－1)2，
整理，得2a＋b－3＝0.
(2)由2a＋b－3＝0得b＝－2a＋3，
∴|PQ|＝＝
＝＝
，
∴当a＝时，|PQ|min＝，
即线段PQ的最小值为.