3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
[提出问题]
问题1：在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？
提示：成立．
问题2：在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？
提示：cos
2α＝cos2α－sin2α，sin
2α＝2sin
αcos
α，tan
2α＝.
[导入新知]二倍角公式
[化解疑难]
细解“倍角公式”
(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．
(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．
化简求值
[例1] 求下列各式的值：
(1)sincos；(2)1－2sin2750°；
(3)；(4)－；
(5)cos
20°cos
40°cos
80°.
[解] (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos
1
500°
＝cos(4×360°＋60°)＝cos
60°＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan
300°＝tan(360°－60°)＝－tan
60°＝－.
(4)原式＝
＝
＝＝＝4.
(5)原式＝
＝
＝＝＝.
[类题通法]
化简求值的四个方向
三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
[活学活用]
化简：(1)－；
(2).
答案：(1)tan
2θ (2)1
条件求值
[例2] (1)已知cos＝，≤α<，求cos的值；
(2)已知α∈，且sin
2α＝sin，求α.
[解] (1)∵≤α<，∴≤α＋<.
∵cos>0，∴<α＋<.
∴sin＝－＝－
＝－.
∴cos
2α＝sin2α＋＝2sinα＋cosα＋
＝2×－×＝－，
sin
2α＝－cos＝1－2cos2
＝1－2×2＝.
∴cos＝cos
2α－sin
2α
＝×＝－.
(2)∵sin
2α＝－cos
＝－，
sin＝－sin＝－cos
＝－cos，
∴原方程可化为1－2cos2α＋＝－cosα＋，
解得cos＝1或cos＝－.
∵α∈，∴α＋∈，
故α＋＝0或α＋＝，即α＝－或α＝.
[类题通法]
解决条件求值问题的方法
条件求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
[活学活用]
1．已知sinsin＝，α∈，求sin
4α的值．
答案：－
2．已知sin22α＋sin
2αcos
α－cos
2α＝1，求锐角α.
答案：
倍角公式的综合应用
[例3] 已知向量a＝(sin
A，cos
A)，b＝(，－1)，a·b＝1，且A为锐角．
(1)求角A的大小；
(2)求函数f(x)＝cos
2x＋4cos
Asin
x(x∈R)的值域．
[解] (1)由题意得a·b＝sin
A－cos
A＝1，
2sin＝1，sin＝.
由A为锐角得A－＝，所以A＝.
(2)由(1)知cos
A＝，
所以f(x)＝cos
2x＋2sin
x＝1－2sin2x＋2sin
x＝－22＋.
因为x∈R，所以sin
x∈[－1,1]，
因此，当sin
x＝时，f(x)有最大值.
当sin
x＝－1时，f(x)有最小值－3.
所以所求函数f(x)的值域是.
[类题通法]
二倍角公式的灵活运用
(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：
2sin
αcos
α＝sin
2α，sin
αcos
α＝
sin
2α，
cos
α＝，cos2α－sin2α＝cos
2α，＝tan
2α.
(2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：
1±sin
2α＝sin2α＋cos2α±2sin
αcos
α＝(sin
α±cos
α)2，
1＋cos
2α＝2cos2α，cos2α＝，
sin2α＝.
[活学活用]
(福建高考节选)已知函数f(x)＝10sincos＋10cos2.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.求函数g(x)的解析式．
答案：(1)2π (2)g(x)＝10sin
x－8
[典例] 已知cos＝，求的值．
[解] 原式＝
＝
＝2sin
xcos
x＝sin
2x.
或原式＝
＝
＝
＝sin
2x.
∵2x＝2－，
∴sin
2x＝sin
＝－cos
2.
∵cos＝，
∴cos
2＝2cos2－1
＝2×－1
＝－，
∴原式＝－＝.
[多维探究]
1．解决上面典例要注意角“2x”与“＋x”的变换方法，即sin
2x＝－cos＝－cos；
常见的此类变换，还有：
(1)sin
2x＝cos＝cos；
(2)cos
2x＝sin＝sin；
(3)cos
2x＝sin＝sin.
2．倍角公式中的“倍角”是相对的．对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，3α是
的二倍角等．在解决此类问题时，有时二倍角关系不是很明显，需要结合条件和结论中的函数名和角的关系去发现．
[活学活用]
1．若sin＝，则cos＝________.
答案：－
2．计算：cos·cos·cos＝________.
答案：
3．计算：sin
10°sin
30°sin
50°sin
70°＝________.
答案：
4．求值：.
答案：
[随堂即时演练]
1．下列各式中，值为的是( )
A．2sin
15°cos
15°
B．cos215°－sin215°
C．2sin215°
D．sin215°＋cos215°
答案：B
2．化简－＝( )
A．－2cos
50°
B．2cos
50°
C．－2sin
50°
D．2sin
50°
答案：B
3．已知α∈，sin
α＝，则tan
2α＝________.
答案：－
4．函数f(x)＝2cos2－1的最小正周期为________．
答案：π
5．已知α为第二象限角，且sin
α＝，
求的值．
答案：－
[课时达标检测]
一、选择题
1．若sin＝，则cos
2x的值为( )
A．－ B.
C．－
D.
答案：A
2．若＝，则tan
2α＝( )
A．－
B.
C．－
D.
答案：B
3．设－3π<α<－，化简
的结果是( )
A．sin
B．cos
C．－cos
D．－sin
答案：C
4．若α∈，且sin2α＋cos
2α＝，则tan
α的值等于( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
5．若θ∈，sin
2θ＝，则sin
θ＝( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
二、填空题
6．函数f(x)＝2cos2x＋sin
2x的最小值是________．
答案：1－
7．已知α∈，sin
α＝，则＋tan
2α＝________.
答案：7
8．等腰三角形一个底角的余弦为，那么这个三角形顶角的正弦值为________．
答案：
三、解答题
9．已知α为锐角，且tan＝2.
(1)求tan
α的值；
(2)求的值．
解：(1)tan＝，
所以＝2,1＋tan
α＝2－2tan
α，
所以tan
α＝.
(2)＝
＝
＝＝sin
α.
因为tan
α＝，所以cos
α＝3sin
α，
又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，
又α为锐角，所以sin
α＝，
所以＝.
10．已知函数f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x－1(x∈R)．若f(x0)＝，x0∈，求cos
2x0的值．
解：∵f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x－1
＝(2sin
xcos
x)＋(2cos2x－1)
＝sin
2x＋cos
2x＝2sin，
∴sin＝.
又∵x0∈，∴2x0＋∈.
∴cos＝－
＝－.
∴cos
2x0＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
11．设函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sin
xcos
x.
(1)求f；
(2)若f(α)＝5，α∈，求角α.
解：f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sin
xcos
x
＝5cos2x＋5sin2x－2sin
2x－4sin2x
＝5－2sin
2x－2(1－cos
2x)
＝3－2sin
2x＋2cos
2x
＝3－4
＝3－4
＝3－4sin，
(1)f＝3－4sin
＝3－4sin＝3－4.
(2)由f(α)＝5，得sin＝－，
由α∈，
得2α－∈，
∴2α－＝，α＝.第二课时 两角和与差的正切公式
[提出问题]
问题1：前面学习的同角三角函数关系中，tan
α，sin
α，cos
α的关系怎样？
提示：tan
α＝.
问题2：利用该关系式及两角和的正、余弦公式，能把tan(α＋β)用tan
α，tan
β表示吗？
提示：能．tan(α＋β)＝
＝＝.
问题3：能用tan
α，tan
β表示tan(α－β)吗？
提示：能．
问题4：公式中，α，β是任意实数吗？
提示：不是，α，β，α±β≠kπ＋，k∈Z.
[导入新知]
两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和的正切
tan(α＋β)＝
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切
tan(α－β)＝
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
[化解疑难]
1．公式tan(α＋β)＝的推导
当cos(α＋β)≠0时，将公式S(α＋β)，C(α＋β)的两边分别相除，有tan(α＋β)＝＝，若cos
αcos
β≠0，将上式的分子、分母分别除以cos
αcos
β，得tan(α＋β)＝.
2．公式tan(α－β)＝的推导
由于tan(－β)＝＝＝－tan
β，在T(α＋β)中以－β代替β，可得tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]＝，即tan(α－β)＝.
化简求值问题
[例1] (1)若α＋β＝，tan
α＋(tan
αtan
β＋c)＝0(c为常数)，则tan
β＝________.
(2)tan
23°＋tan
37°＋tan
23°tan
37°的值是________．
[答案] (1)(c＋1) (2)
[类题通法]
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan”“＝tan”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
[活学活用]
1．计算的值．
答案：－
2．求tan
20°＋tan
40°＋tan
20°tan
40°的值．
答案：
条件求值问题
[例2] 已知sin＝，cos＝－，且α－和－β分别为第二、第三象限角，求tan
的值．
[解] 由题意，得cos＝－，
sin＝－，
∴tan＝－，tan＝，
∴tan
＝tan
＝
＝＝－.
[类题通法]
给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．
[活学活用]
已知cos
α＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，求tan
β及tan(2α－β)的值．
答案：tan
β＝；tan(2α－β)＝2
给值求角问题
[例3] 是否存在锐角α和β，使α＋2β＝①，且tantan
β＝2－②，同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
[解] 由①得＋β＝，
∴tan＝＝.
将②代入得tan＋tan
β＝3－.
∵tantan
β＝2－，
∴tan，tan
β是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根．解得x1＝1，x2＝2－.
若tan＝1，则与α为锐角矛盾．
∴tan
β＝1，tan＝2－，
∴β＝，代入①得α＝，满足tan＝2－.
[类题通法]
解决给值求角问题的步骤
(1)根据题设条件求角的某一三角函数值；
(2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．
[活学活用]
已知tan(α－β)＝，tan
β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
答案：－
[典例] (12分)已知tan
α＝，sin
β＝，且α，β为锐角，求α＋2β的值．
[解题流程]
[规范解答]∵tan
α＝<1且α为锐角，∴0<α<.(2分)又∵sin
β＝<＝，且β为锐角，∴0<β<，∴0<α＋2β<.①(4分)由sin
β＝，β为锐角，得cos
β＝，∴tan
β＝.(6分)∴tan(α＋β)＝＝＝.(8分)∴tan(α＋2β)＝＝＝1.②(10分)由①②可得α＋2β＝.(12分)
[名师批注]利用tan
α＝<1及α为锐角，进一步将α的范围缩小到，此处极易被忽视.由sin
β<及β为锐角，将β的范围缩小到，此处同样很容易被忽视而造成解题错误． 此处在本题的解决过程中起到桥梁过渡的作用，若考虑不到此点，则问题很难解决． 将α＋2β化为(α＋β)＋β，使问题得以顺利解决，此处常因找不到此转化关系而造成题目无法求解或求解困难．
[活学活用]
设α，β∈，tan
α，tan
β是一元二次方程x2＋3x＋4＝0的两个根，求α＋β的值．
答案：－
[随堂即时演练]
1．计算：＝( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：D
2．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan
α)(1＋tan
β)的值为( )
A．1
B．2
C．1＋
D．1＋
答案：B
3．(江苏高考)已知tan
α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan
β的值为________．
答案：3
4．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则α等于________．
答案：
5．已知sin
α＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，求tan
β的值．
答案：7
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于( )
A. B.
C.
D.
答案：C
2．已知＝2，则tan的值是( )
A．2
B．－2
C.
D．－
答案：C
3．在△ABC中，若tan
Atan
B>1，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不能确定
答案：A
4.的值等于( )
A．－1
B．1
C.
D．－
答案：D
5．(1＋tan
21°)(1＋tan
22°)(1＋tan
23°)(1＋tan
24°)的值为( )
A．16
B．8
C．4
D．2
答案：C
二、填空题
6．计算：tan
10°tan
20°＋tan
20°tan
60°＋tan
60°·tan
10°＝________.
答案：1
7．若(tan
α－1)(tan
β－1)＝2，则α＋β＝________.
答案：kπ－，k∈Z
8．若sin(θ＋24°)＝cos(24°－θ)，则tan(θ＋60°)＝________.
答案：－2－
三、解答题
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：由条件得cos
α＝，cos
β＝.
∵α，β为锐角，
∴sin
α＝＝，
sin
β＝＝.
因此tan
α＝7，tan
β＝.
(1)tan(α＋β)＝
＝＝－3.
(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
又∵α，β为锐角，
∴0<α＋2β<，
∴α＋2β＝.
10．已知cos
α＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，求tan
β及tan(2α－β)．
解：∵cos
α＝>0，α∈(0，π)，
∴α∈，sin
α>0.
∴sin
α＝＝
＝，
∴tan
α＝＝＝.
∴tan
β＝tan[α－(α－β)]
＝
＝＝，
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝
＝＝2.
11．设向量a＝(4cos
α，sin
α)，b＝(sin
β，4cos
β)，c＝(cos
β，－4sin
β)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)若tan
αtan
β＝16，求证：a∥b.
解：(1)由a与b－2c垂直，得
a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，
∴4cos
αsin
β＋4sin
αcos
β－2(4cos
αcos
β－4sin
α·sin
β)＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，
∴tan(α＋β)＝2.
(2)证明：由tan
αtan
β＝16，
得sin
αsin
β＝16cos
αcos
β，
即4cos
α·4cos
β－sin
αsin
β＝0，
∴a∥b.2．3.2
&
2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
平面向量的正交分解及坐标表示
[提出问题]
问题1：在平面内，规定e1，e2为基底，那么一个向量对e1，e2的分解是唯一的吗？
提示：唯一．
问题2：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一向量.根据平面向量基本定理，＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？
提示：相同．
问题3：如果向量也用(x，y)表示，那么这种向量与实数对(x，y)之间是否一一对应？
提示：一一对应．
[导入新知]
1．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则(x，y)叫做a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．
3．向量i，j，0的坐标表示
i＝(1,0)，j＝(0,1)，0(0,0)．
[化解疑难]
辨析点的坐标与向量的坐标
(1)当且仅当向量的起点在原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标．
(2)书写不同，如：a＝(1,2)，A(1,2)．
(3)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一对实数，由于向量可以平移，故以这对实数为坐标的向量有无穷多个．
(4)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．
即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＝b
注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同.
平面向量的坐标运算
[提出问题]
设a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.
问题1：a，b的坐标分别是什么？
提示：(x1，y1)，(x2，y2)．
问题2：试求3a和2a－b.
提示：3a＝3(x1i＋y1j)＝3x1i＋3y1j，
2a－b＝(2x1－x2)i＋(2y1－y2)j.
问题3：3a与2a－b的坐标分别是什么？
提示：(3x1,3y1)，(2x1－x2,2y1－y2)．
问题4：若把向量平移到，则和的坐标相同吗？的坐标是C点的坐标吗？
提示：相同．的坐标不是C点坐标．
[导入新知]
平面向量的坐标运算
文字
符号
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘向量
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)
重要结论
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标
已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
[化解疑难]
向量坐标的特点
(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变.
平面向量的坐标表示
[例1] 已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．
[解] 由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．
设B(x1，y1)，D(x2，y2)．
由三角函数的定义，得
x1＝cos
30°＝，y1＝sin
30°＝，
∴B.
x2＝cos
120°＝－，y2＝sin
120°＝，
∴D.
∴＝，＝.
[类题通法]
求点和向量坐标的常用方法
(1)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
(2)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
[活学活用]
已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°.
(1)求向量的坐标；
(2)若B(，－1)，求的坐标．
答案：(1)＝(2，6) (2)＝(，7)
平面向量的坐标运算
[例2] (1)已知三点A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，则向量3＋2＝__________，－2＝________.
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．
[解] (1)(11,13) (－7，－14)
(2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)；
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)；
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)；
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)
＝(－2,4)＋(9，－15)
＝(7，－11)．
[类题通法]
平面向量的坐标运算技巧
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算(直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差，数乘向量的积的坐标等于数乘向量相应坐标的积)．
[活学活用]
1．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于( )
A．－a＋b B.a－b
C.a－b
D．－a＋b
答案：B
2．若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则等于( )
A．(－2，－4)
B．(3,4)
C．(6,10)
D．(－6，－10)
答案：A
由向量相等求坐标
[例3] (1)若a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且c＝pa＋qb，则p＝________，q＝________.
(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标．
[解] (1)1 4
(2)由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
可得＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，
＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)，
所以＝3＝3(1,8)＝(3,24)，
＝2＝2(6,3)＝(12,6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，x1＝0，y1＝20；
＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，x2＝9，y2＝2，
所以M(0,20)，N(9,2)，
＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．
[类题通法]
坐标形式下向量相等的条件及其应用
(1)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．
(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值．
[活学活用]
已知a＝，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．
答案：A(8，－10)
[典例] (12分)已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t，试问：
(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形OABP可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的t值；若不可能，请说明理由．
[解题流程]
[规范解答]由题可知＝(1,2)，＝(3,3)，＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．(2分)(1)若P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－；(3分)若P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－；(4分)解得－
＝＋＝(－1－3t，－2－3t)＋(4,5)＝(3－3t，3－3t)．(8分)若四边形OABP是平行四边形，则有＝
，(10分)即方程组显然无解．(11分)∴四边形OABP不可能是平行四边形．(12分)
[名师批注]由向量坐标与点的坐标之间的关系可知，向量的坐标就是P点坐标．正确求解的坐标是后续解题的关键．点在x轴上，只需纵坐标为0即可．点在y轴上，只需横坐标为0即可．点在第二象限，需横坐标小于0，纵坐标大于0.此处易搞混坐标符号而导致解题错误．假设四边形OABP是平行四边形，则＝.由＝相等求t，依据t是否有解判断假设是否成立即可．此处易出现找不到关于t的关系式而造成无法求解的情况.
[活学活用]
如图，已知平行四边形的三个顶点坐标分别为A(4,3)，B(3，－1)，C(1，－2)，求第四个顶点D的坐标．
答案：点D的坐标是(2,2)或(6,4)或(0，－6)
[随堂即时演练]
1．(全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
答案：A
2．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则a＝( )
A．(－3,4)
B．(5，－12)
C．(1，－4)
D．(－4,8)
答案：A
3．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2＝________.
答案：(－4,9)
4．已知a＝(3,4)，点A(1，－3)，若＝2a，则点B的坐标为________．
答案：(7,5)
5．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，则λ为何值时，
(1)点P在第一、三象限角平分线上？
(2)点P在第三象限内？
答案：(1)λ＝ (2)λ<－1
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知向量＝(1，－2)，＝(－3,4)，则等于( )
A．(－2,3)
B．(2，－3)
C．(2,3)
D．(－2，－3)
答案：A
2．已知a＝(－5,6)，b＝(－3,2)，c＝(x，y)，若a－3b＋2c＝0，则c等于( )
A．(－2,6)
B．(－4,0)
C．(7,6)
D．(－2,0)
答案：D
3．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，若ma＋nb＝(10,0)(m，n∈R)，则( )
A．m＝2，n＝4
B．m＝3，n＝－2
C．m＝4，n＝2
D．m＝－4，n＝－2
答案：C
4．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a等于( )
A．2
B．1
C.
D.
答案：A
5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( )
A．(2,6)
B．(－2,6)
C．(2，－6)
D．(－2，－6)
答案：D
二、填空题
6．已知A(2,3)，B(1,4)，且＝(sin
α，cos
β)，α，β∈，则α＋β＝________.
答案：或－
7．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以e1，e2为基底，将a分解成λ1e1＋λ2e2的形式为________．
答案：a＝e1＋e2
8．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝.设＝
λ＋
(λ∈R)，则λ＝
________.
答案：
三、解答题
9．已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C，D和的坐标．
解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，
＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)，
(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)．
则有
解得
∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，
因此＝(－2，－4)．
10．已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足＝＋λ
(λ∈R)．
(1)λ为何值时，点P在正比例函数y＝x的图象上？
(2)设点P在第三象限，求λ的取值范围．
解：设P点坐标为(x1，y1)，则＝(x1－2，y1－3)．
＋λ＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)，
即＋λ＝(3＋5λ，1＋7λ)，
由＝＋λ，
可得(x1－2，y1－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
则解得
∴P点的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)．
(1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝，
∴当λ＝时，P点在函数y＝x的图象上．
(2)因为点P在第三象限，∴解得λ＜－1，
∴λ的取值范围是{λ|λ＜－1}．
11．已知向量u＝(x，y)与向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．
(1)证明：对任意向量a，b及常数m，n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；
(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；
(3)求使f(c)＝(p，q)(p，q是常数)的向量c的坐标．
解：(1)证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，
∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，
mf(a)＋nf(b)＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1)
＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，
∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．
(2)f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，
f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
(3)设c＝(x，y)，
则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)，
∴y＝p,2y－x＝q，
∴x＝2p－q，
即向量c＝(2p－q，p)．2．3.4 平面向量共线的坐标表示
平面向量共线的坐标表示
[提出问题]
已知下列几组向量：
(1)a＝(0,2)，b＝(0,4)；(2)a＝(2,3)，b＝(4,6)；
(3)a＝(－1,4)，b＝(2，－8)；(4)a＝，b＝.
问题1：上面几组向量中，a与b有什么关系？
提示：(1)(2)中b＝2a；(3)中b＝－2a；(4)中b＝－a.
问题2：以上几组向量中，a，b共线吗？
提示：共线．
[导入新知]
平面向量共线的坐标表示
前提条件
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论
当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线
[化解疑难]
向量共线的坐标表示的推导
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，
则a∥b a＝λb(λ∈R)．
上式若用坐标表示，可写为a∥b (x1，y1)＝λ(x2，y2)，
即a∥b x1y2－x2y1＝0.
向量共线的判定
[例1] (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于( )
A. B.
C．1
D．2
(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，判断与是否共线．如果共线，它们的方向是相同还是相反？
[解] (1)A
(2)＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，
∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴，共线．
又∵＝－2，∴，方向相反．
综上，与共线且方向相反．
[类题通法]
向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
[活学活用]
1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( )
A．－ B.
C．－或
D．0
答案：C
2．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数k为何值时，(ka＋b)∥(a－3b)？这两个向量的方向是相同还是相反？
答案：当k＝－时，(ka＋b)∥(a－3b)，并且它们的方向相反.
三点共线问题
[例2] (1)若点A(1，－3)，B，C(x,1)共线，则x＝________.
(2)设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．
[解] (1)9
(2)若A，B，C三点共线，则，共线，
则存在实数λ，使得＝λ.
∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)．
∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，
即解得k＝－2或k＝11.
∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线．
[类题通法]
三点共线的实质与证明步骤
(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．
(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：
①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．
[活学活用]
已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求实数x的值，使向量与共线；
(2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？
答案：(1)x＝±2
(2)当x＝－2时，A，B，C，D四点在一条直线上
向量共线在几何中的应用
[例3] 如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标．
[解] 由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．
连接OC，则＝－＝(－2,6)．
由与共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．
[类题通法]
向量共线在几何中的应用及注意事项
向量共线在几何中的应用，可分为两个方面：
(1)已知两向量共线，求点或向量的坐标；
(2)证明或判断三点共线、直线平行．
解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行．
[活学活用]
已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．
证明：由已知得，＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，
＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．
∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴与共线．
∵＝(－1,2)，＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，
(－1)×1－2×(－2)≠0，∴与不共线．
∴四边形ABCD是梯形．
∵＝(－2,1)，＝(－1,2)，
∴||＝＝||，即BC＝AD.
故四边形ABCD是等腰梯形．
[典例] 已知P1(2，－1)，P2(－1,3)，P在直线P1P2上，且||＝||.则P点的坐标为________．
[解析] (1)当与同向时，
则有＝，设P点坐标为(x，y)，
＝(x－2，y＋1)，＝(－1－x,3－y)．
∴(x－2，y＋1)＝(－1－x,3－y)，
∴
即
故P点坐标为.
(2)当与反向时，
则有＝－，设P点坐标为(x，y)，
∴(x－2，y＋1)＝－(－1－x,3－y)，
∴即
故P点坐标为(8，－9)．
综上可得，P点坐标为或(8，－9)．
[答案] 或(8，－9)
[易错防范]
1．本题易由||＝||只得出＝的结论，从而得出P点坐标为的错误答案．
2．解决两向量共线问题时，要注意两非零向量a与b共线有同向共线和反向共线两种情况，不要发生遗漏．
[成功破障]
平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC延长至E，使||＝||，则点E的坐标为________．
答案：
[随堂即时演练]
1．下列各组的两个向量，共线的是( )
A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6)
B．a2＝(1，－2)，b2＝(7,14)
C．a3＝(2,3)，b3＝(3,2)
D．a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4)
答案：D
2．已知A(2，－1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是( )
A．(2,1)
B．(－6，－3)
C．(－1,2)
D．(－4，－8)
答案：D
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝________.
答案：
4．已知A(－1,4)，B(x，－2)，若C(3,3)在直线AB上，则x＝________.
答案：23
5．已知A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,2)，并且＝，＝，求证：∥.
证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝，∴＝，
∴(x1＋1，y1)＝，故E.
∵＝，∴＝，
∴(x2－3，y2＋1)＝，
故F.∴＝.
又∵4×－×(－1)＝0，
∴∥.
[课时达标检测]
一、选择题
1．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列命题成立的是( )
A．a－c与b共线
B．b＋c与a共线
C．a与b－c共线
D．a＋b与c共线
答案：C
2．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
答案：D
3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则等于( )
A．－
B.
C．－2
D．2
答案：A
4．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，且2a＋b－3c＝0，则c等于( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
5．已知a＝(－2,1－cos
θ)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于( )
A．45°
B．30°
C．60°
D．30°或60°
答案：A
二、填空题
6．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，若∥，则x＋2y的值为________．
答案：0
7．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
答案：－1
8．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.
答案：(－6,21)
三、解答题
9．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列问题：
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
解：(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)
＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)
＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．
(2)∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴－m＋4n＝3且2m＋n＝2，解得m＝，n＝.
(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.
∴k＝－.
10．已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
解：＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，
＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
∵(－2)×(－6)－3×4＝0，
∴与共线且方向相反．
11．如图所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
解：∵＝＝(0,5)＝，
∴C.
∵＝＝(4,3)＝，
∴D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝，＝，
＝.
∵∥，∴－x－2(y－5)＝0，
即7x＋4y＝20.①
∵∥，
∴x－4＝0，
即7x－16y＝－20.②
联立①②，解得x＝，y＝2，故点M的坐标为.2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
[提出问题]
已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
问题1：若i，j是两个互相垂直且分别与x轴，y轴的正半轴同向的向量，则a，b如何用i，j表示？
提示：a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.
问题2：|a|，|b|分别用坐标怎样表示？
提示：|a|＝
＝
；
|b|＝
＝
.
问题3：能用a，b的坐标表示a·b吗？
提示：a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2
＝x1x2＋y1y2.
问题4：垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗？
提示：能．
[导入新知]
1．平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
2．两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
3．三个重要公式
(1)向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝
.
(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos
θ＝
.
[化解疑难]
向量的模的坐标运算的实质
向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得＝a＝(x，y)，故||＝|a|＝，即|a|为点A到原点的距离．同样若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，故||＝，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．
平面向量数量积的坐标运算
[例1] (1)(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝( )
A．5
B．4
C．3
D．2
(2)已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)，求：①2a·(b－a)；②(a＋2b)·c.
[解] (1)A
(2)①∵2a＝2(1,3)＝(2,6)，b－a＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，∴2a·(b－a)＝(2,6)·(1,2)＝2×1＋6×2＝14.
②∵a＋2b＝(1,3)＋2(2,5)＝(1,3)＋(4,10)＝(5,13)，∴(a＋2b)·c＝(5,13)·(2,1)＝5×2＋13×1＝23.
[类题通法]
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
[活学活用]
已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.
答案：(1)(2,4) (2)0
向量的模的问题
[例2] (1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________．
(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：
①向量a的模；
②与a平行的单位向量的坐标；
③与a垂直的单位向量的坐标．
[解] (1)
(2)①∵a＝＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，
∴|a|＝＝5.
②与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)，
即坐标为或.
③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，
∴＝.
又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1.
解得或
∴e＝或e＝.
[类题通法]
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
[活学活用]
设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A.
B.
C．2
D．10
答案：B
向量的夹角和垂直问题
[例3] 已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
[解] (1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，
∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．
设m，n的夹角为θ，
则cos
θ＝＝
＝＝－.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝，即m，n的夹角为.
[类题通法]
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cos
θ＝求出cos
θ，也可由坐标表示cos
θ＝直接求出cos
θ.由三角函数值cos
θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
(2)由于0≤θ≤π，利用cos
θ＝来判断角θ时，要注意cos
θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos
θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.
[活学活用]
1．已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b的夹角θ的余弦值等于( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：C
2．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－(3＋m))．若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
答案：m＝
[典例] (上海高考)在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．
[解析] 法一：设＝＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ＝λ，＝(1－λ)＝(1－λ)，则·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·[＋(1－λ)]＝·＋(1－λ)2＋λ2＋λ(1－λ)·.
因为·＝0，所以·＝4－3λ.
因为0≤λ≤1，所以1≤·≤4，
即·的取值范围是[1,4]．
法二：以边AB所在直线为x轴，边AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．
因为AB＝2，AD＝1，所以A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)．
设M(2，b)，0≤b≤1，N(x,1)，0≤x≤2，根据题意得，b＝，所以＝(x,1)，AM＝，所以·＝x＋1(0≤x≤2)，1≤x＋1≤4，即1≤·≤4.
所以·的取值范围是[1,4]．
[答案] [1,4]
[多维探究]
由于向量与平面几何都具有数与形相结合的特性，因此在向量与平面几何的交汇处设计试题已逐渐成为高考命题的一个亮点．平面向量与平面几何的结合通常涉及夹角、平行、垂直、共线等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将其推理转化为运算．
[活学活用]
1．(天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )
A．－
B.
C.
D.
答案：B
2.如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为________．
答案：9
3．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．
答案：5
[随堂即时演练]
1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝( )
A．－1
B．－
C.
D．1
答案：D
2．已知向量＝(－1,2)，＝(3，m)，若⊥，则m的值是( )
A.
B．－
C．4
D．－4
答案：C
3．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于________．
答案：
4．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.
答案：10
5．以原点O和点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠B＝90°，求点B和向量的坐标．
答案：B或B；＝－，－或＝
[课时达标检测]
一、选择题
1．(福建高考)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )
A．－
B．－
C.
D.
答案：A
2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．4
B．2
C．8
D．8
答案：D
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
4．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是( )
A.
B.
C．－
D．－
答案：A
5．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪
B.
C.∪
D.
答案：A
二、填空题
6．已知A(1,2)，B(3,4)，|n|＝，则|·n|的最大值为________．
答案：4
7.如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B，若⊥，则向量的坐标为________．
答案：
8．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．
答案：∪∪
三、解答题
9．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，
∴x2＋y2＝20.
由c∥a和|c|＝2，
可得解得或
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，
∴cos
θ＝＝－1.
又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
10．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．
解：(1)设＝(x，y)，∵点M在直线OP上，
∴向量与共线，又＝(2,1)．
∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.
∴＝(2y，y)．又＝－，＝(1,7)，
∴＝(1－2y,7－y)．
同理＝－＝(5－2y,1－y)．
于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.
可知当y＝＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．
(2)当＝(4,2)，即y＝2时，
有＝(－3,5)，＝(1，－1)，
||＝，||＝，
·＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.
cos∠AMB＝＝＝－.
11．设平面向量a＝(cos
α，sin
α)(0≤α<2π)，b＝，且a与b不共线．
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)若两个向量a＋b与a－b的模相等，求角α.
解：(1)证明：由题意知，
a＋b＝，
a－b＝，
∵(a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
(2)|a|＝1，|b|＝1，由题意知(a＋b)2＝(a－b)2，化简得a·b＝0，∴－cos
α＋sin
α＝0，
∴tan
α＝，
又0≤α<2π，∴α＝或α＝.3．2
简单的三角恒等变换
[导入新知]
半角公式
[化解疑难]
对半角公式的理解
(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．
(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos
α的值及相应α的条件，sin，cos，tan便可求出．
(3)由于tan＝及tan＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．
(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用sin2＝，cos2＝.
求值问题
[例1] 已知sin
α＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．
[解] ∵π<α<，sin
α＝－，
∴cos
α＝－，且<<，
∴sin＝
＝，
cos＝－
＝－，
tan＝＝－2.
[类题通法]
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：
(1)先化简已知或所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
[活学活用]
已知sin－cos＝－，450°<α<540°，求tan的值．
答案：2
三角函数式的化简
[例2] 化简：
(180°<α<360°)．
[解]
原式＝
＝
＝.
又∵180°<α<360°，∴90°<<180°，
∴cos<0，
∴原式＝＝cos
α.
[类题通法]
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆角、凑角等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
[活学活用]
化简：
(1)－；
(2)－2cos(α＋β)．
答案：(1)－2sin (2)
三角恒等式的证明
[例3] 证明：
(1)sin
θ(1＋cos
2θ)＝sin
2θcos
θ；
(2)＝.
[证明] (1)左边＝sin
θ·2cos2θ＝(2sin
θcos
θ)·cos
θ＝sin
2θcos
θ＝右边．
∴原等式成立．
(2)右边＝，分子、分母同除以cos
αcos
β，得右边＝＝左边．
∴原等式成立．
[类题通法]
盘点三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，化异求同；
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
[活学活用]
求证：
＝.
证明：左边
＝
＝
＝＝
＝
＝＝右边．
∴原等式成立．
[典例] (12分)如图，ABCD是一块边长为100
m的正方形地皮，其中AST是半径为90
m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．
[解题流程]
[规范解答]如图，连接AP，设∠PAB＝θ， 延长RP交AB于M，则AM＝90cos
θ，MP＝90sin
θ. (2分)所以PQ＝MB＝100－90cos
θ，PR＝MR－MP＝100－90sin
θ. (4分)所以S矩形PQCR＝PQ·PR＝(100－90cos
θ)(100－90sin
θ)＝10
000－9
000(sin
θ＋cos
θ)＋8
100sin
θcos
θ. (7分)令t＝sin
θ＋cos
θ(1≤t≤)，则sin
θcos
θ＝， (8分)所以S矩形PQCR＝10
000－9
000t＋8
100·＝2＋950. (10分)故当t＝时，S矩形PQCR有最小值950
m2；当t＝时，S矩形PQCR有最大值(14
050－9
000)m2.(12分)
[名师批注]矩形PQCR的面积取决于P点位置，而P点的位置取决于θ的大小，因此应考虑利用θ表示PQ，PR的大小，对于AM及PM的值可实现此转化.在解题过程中常发生不知如何作辅助线进行转化，导致无法后续解题的情况.采用换元法实现了sin
θ＋cos
θ与sin
θcos
θ间的转化，从而将问题转化为熟知的一元二次函数，但要注意换元后的定义域．此处易忽视t的取值范围而导致答案错误.
[活学活用]
有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
解：如图所示，设∠AOB＝θ，
则AB＝asin
θ，OA＝acos
θ.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，
即S＝2acos
θ·asin
θ＝a2·2sin
θcos
θ＝a2sin
2θ.
∵θ∈，∴2θ∈(0，π)，
当2θ＝，即θ＝时，Smax＝a2，
此时，A，D距离O点都为a时，矩形ABCD的面积最大．
[随堂即时演练]
1．已知cos
θ＝－，＜θ＜3π，那么sin
等于( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：D
2．化简的结果是( )
A．－cos
1
B．cos
1
C.cos
1
D．－cos
1
答案：C
3．设5π<θ<6π，cos＝a，那么sin等于________．
答案：－
4．已知α是第三象限角，且sin
α＝－，则tan＝________.
答案：－
5．求－sin
10°的值．
答案：
[课时达标检测]
一、选择题
1．cos2－的值为( )
A．1 B.
C.
D.
答案：D
2．已知sin＝，则sin
2x的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
3．设a＝cos
6°－sin
6°，b＝，c＝，则有( )
A．a>b>c
B．aC．aD．b答案：C
4．化简2＋2sin2得( )
A．2＋sin
α
B．2＋sin
C．2
D．2＋sin
答案：C
5．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在上单调递增
答案：A
二、填空题
6．若cos
2θ＋cos
θ＝0，则sin
2θ＋sin
θ＝________.
答案：0或±
7．等腰三角形的顶角的正弦值为，则它的底角的余弦值为________．
答案：或
8．在△ABC中，若cos
A＝，则sin2＋cos
2A等于________．
答案：－
三、解答题
9．若π<α<，化简＋
.
解：∵π<α<，∴<<，
∴cos<0，sin>0.
∴原式
＝＋
＝＋
＝－＋
＝－cos.
10．点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP面积最大？
解：如图所示，
∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，AB＝1，
PA＝cos
α，PB＝sin
α.
又PT切圆于P点，∠TPB＝∠PAB＝α，
∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB
＝PA·PB＋PT·PB·sin
α
＝sin
αcos
α＋sin2α
＝sin
2α＋(1－cos
2α)
＝(sin
2α－cos
2α)＋
＝sin(2α－)＋.
∵0<α<，－<2α－<π，
∴当2α－＝，即α＝π时，S四边形ABTP最大．
11．设函数f(x)＝sin2ωx＋2sin
ωx·cos
ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)的值域．
解：(1)因为
f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin
ωx·cos
ωx＋λ
＝－cos
2ωx＋sin
2ωx＋λ
＝2sin＋λ.
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，
可得sin＝±1.
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，
即ω＝＋(k∈Z)．
又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图象过点，
得f＝0，
即λ＝－2sin＝－2sin＝－，
即λ＝－.
故f(x)＝2sin－，
函数f(x)的值域为[－2－，2－
]．2．5
平面向量应用举例
[导入新知]
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．
(3)动量mv是向量的数乘运算．
(4)功是力F与位移s的数量积．
[化解疑难]
向量法在平面几何中的应用
用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向：
(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．
平面几何中的垂直问题
[例1] 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
[证明] 设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝1×a×cos
180°＋1×(1－a)×cos
90°＋a×a×cos
45°＋a×(1－a)×cos
45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.
∴⊥，即DP⊥EF.
[类题通法]
利用向量解决垂直问题
对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．
[活学活用]
如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，
BC的中点．求证：AF⊥DE(利用向量证明)．
证明：设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝b－a，
∴·＝·
＝b2－a2＋a·b.
又∵⊥，且||＝||，
∴a2＝b2，a·b＝0，
∴·＝0，∴⊥，即AF⊥DE.
平面几何中的长度问题
[例2] 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
[解] (1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
∵D为AB的中点，
∴D，
∴||＝，||＝，
∴||＝||，即CD＝AB.
(2)∵E为CD的中点，∴E，
设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，
∴＝λ.
即(x，－m)＝λ.
则故λ＝，即x＝，
∴F.
∴||＝，即AF＝.
[类题通法]
利用向量法解决长度问题
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝.
[活学活用]
如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，
对角线BD＝2，求对角线AC的长．
答案：
向量在物理中的应用
[例3] 在水流速度为4
km/h的河水中，一艘船以12
km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘船的航行速度的大小与方向．
[解] 如图所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸行驶的速度，以为一边，为一对角线作 ABCD，则就是船的航行速度．
∵||＝4，||＝12，
∴||＝||＝8，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°.
即船的航行速度为8
km/h，方向与水流方向的夹角为120°.
[类题通法]
利用向量法解决物理问题的步骤
(1)抽象出物理问题的向量，转化为数学问题；
(2)建立以向量为主体的数学模型；
(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；
(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题．
[活学活用]
已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50
N，一个质量为8
kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02
的水平面上运动了20
m．求力F和摩擦力f所做的功分别为多少．(g取10
m/s2)
答案：F和f所做的功分别为500
J和－22
J
[典例] 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．
[解析] 由原等式得－＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．
[答案] 重
[多维探究]
探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合即可．上面典例就是利用向量探究三角形的重心问题，另外与三角形的内心、外心、垂心有关的问题也是各类考试常涉及的问题．
[活学活用]
1．若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．
答案：内
2．若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________心．
答案：垂
3．若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞),
则动点P的轨迹一定通过△ABC的________心．
答案：外
[随堂即时演练]
1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2
B．v1＋v2
C．|v1|－|v2|
D.
答案：B
2.如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则·等于( )
A.
B.
C．2
D．3
答案：B
3．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
答案：2
4．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10
m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________m/s.
答案：5
5．已知平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．
证明：设＝a，＝b，
则＝－＝－a＝b－a，
＝－＝b－＝b－a，
所以＝，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．
[课时达标检测]
一、选择题
1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A.
B．2
C.
D.
答案：C
2．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( )
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为两边的三角形的面积
C．以a，b为两边的三角形的面积
D．以b，c为邻边的平行四边形的面积
答案：A
3．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20
N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40
N
B．10
N
C．20
N
D．10
N
答案：B
4．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
答案：C
5．△ABC中，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，则＋＋＝( )
A．0
B．0
C．
D．
答案：B
二、填空题
6．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为________．
答案：y2＝8x
7．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.
答案：－
8．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10
N，则每根绳子的拉力大小为________
N.
答案：10
三、解答题
9．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
证明：设＝a，＝b，＝e，
＝c，＝d，
则a＝e＋c，b＝e＋d，
所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知可得a2－b2＝c2－d2，
所以c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，
所以e·(c－d)＝0.
因为＝＋＝d－c，
所以·＝e·(d－c)＝0，
所以⊥，即AD⊥BC.
10．如图，用两根分别长5米和10米的绳子，将100
N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
解：如图，由已知条件可知AG与铅直方向成45°角，BG与铅直方向成60°角．
设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，物体的重力为G，∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，
则有|Fa|cos
45°＋|Fb|cos
60°＝|G|＝100，①
且|Fa|sin
45°＝|Fb|sin
60°.②
由①②解得|Fa|＝150－50，
∴A处所受力的大小为(150－50)
N.
11.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若＝a，＝b.
(1)试以a，b为基底表示，；
(2)求证：A，G，C三点共线．
解：(1)＝－＝b－a，
＝－＝a－b.
(2)证明：D，G，F三点共线，
则＝λ，
＝＋λ＝λa＋(1－λ)b.
B，G，E三点共线，则＝μ，
＝＋μ＝(1－μ)a＋μb，
由平面向量基本定理知
解得λ＝μ＝，
∴＝(a＋b)＝，
所以A，G，C三点共线．1．6
三角函数模型的简单应用
[导入新知]
1．三角函数模型应用的步骤
三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．
步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．
这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．
2．三角函数模型的拟合应用
我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
[化解疑难]
三角函数模型应用流程
(1)审题：确定选用什么样的函数模型解题．
(2)建模：根据题意，列出数量关系，建立三角函数模型．
(3)解模：运用三角函数的相关公式进行化简．
(4)还原：解模后还要根据实际问题的背景，进行检验，并作答．
函数解析式与图象对应问题
[例1] 函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是( )
[答案] C
[类题通法]
解决函数图象与解析式对应问题的策略
(1)解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、图象的对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据．
(2)利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ.
其中A由最值确定；
ω由周期确定，而周期由特殊点求得；
φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.
[活学活用]
函数f(x)＝cos
x·|tan
x|在区间上的大致图象为( )
答案：C
三角函数在物理中的应用
[例2] 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin.
(1)作出函数的图象．
(2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？
(3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？
(4)单摆来回摆动一次需多长时间？
[解] (1)利用“五点法”可作出其图象．
(2)因为当t＝0时，
s＝6sin＝3，
所以此时离开平衡位置3
cm.
(3)离开平衡位置6
cm.
(4)因为T＝＝1，
所以单摆来回摆动一次所需的时间为1
s.
[类题通法]
三角函数在物理中的应用
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．
[活学活用]
交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
答案：(1)110
V (2)0.02
s (3)电压的最大值为220
V；t＝
s
三角函数在实际生活中的应用
[例3] 心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80
mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin
160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数p(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数．
[解] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函数p(t)的周期为
min.
(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝＝80(次)．
(3)列表：
t
0
p(t)
115
140
115
90
115
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：
(4)由图可知此人的收缩压为140
mmHg，舒张压为90
mmHg.
[类题通法]
解三角函数应用问题的基本步骤
[活学活用]
如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
答案：(1)y＝40.5－40cost(t≥0) (2)20分
[典例] (12分)已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos
ωt＋b.
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acos
ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动．
[解题流程]
[规范解答](1)由表中数据，知周期T＝12，∴ω＝＝. (2分)由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5. (3分)又由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0， (4分)∴A＝0.5，b＝1.0，即振幅为.(5分)∴y＝cost＋1. (6分)(2)由题意知，当y>1时才对冲浪者开放，∴cost＋1>1，∴cost>0， (7分)∴2kπ－[名师批注]相邻两个最大值或相邻两个最小值之间为一个周期． 要求A，b应建立关于A，b的方程组，本题可通过图象过点(0,1.5)和(3,1.0)建立关于A，b的方程组求解．由浪高大于1米建立关于t的不等式是解决此题的关键.此处易忽视t的取值范围而导致解题失误.,应根据实际确定k的取值，此处易忽视k∈N导致错误，也常漏解k的取值情况而造成解题错误.
[活学活用]
某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
根据上述数据描出曲线，如图所示，经拟合，该曲线可近似地看作函数y＝Asin
ωt＋b的图象．
(1)试根据以上数据，求函数解析式．
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5
m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7
m，那么该船何时能进入港口？在港口能待多久？
答案：(1)y＝3sint＋10(0≤t≤24) (2)在凌晨1点进港，5点出港或在13点进港，17点出港；停留4小时
[随堂即时演练]
1．将单摆的摆球拉至平衡位置左侧无初速度释放，并同时开始计时，取平衡位置为坐标原点，且向右为正，则下列振动图象中正确的是( )
答案：D
2．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7
s
B．该质点的振幅为－5
cm
C．该质点在0.1
s和0.5
s时的振动速度最大
D．该质点在0.3
s和0.7
s时的加速度为零
答案：
D
3．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为10
cm，秒针均匀地绕点O旋转．记钟面上数字12处为B点，当时间t＝0时，点A与钟面上点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
答案：20sin
4.如图，电流强度I(单位：安)随时间t(单位：秒)变化的函数I＝Asin(A>0，ω≠0)的图象，则当t＝秒时，电流强度是________安．
答案：5
5．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内的最大温差；
(2)若有一种细菌在15
℃到25
℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
答案：(1)20
℃ (2)
h
[课时达标检测]
一、选择题
1．(陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5
B．6
C．8
D．10
答案：C
2.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2π
s
B．π
s
C．0.5π
s
D．1
s
答案：D
3．如图为一半径为3
m的水轮，水轮圆心O距离水面2
m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3
B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5
D．ω＝，A＝5
答案：A
4．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12
s旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：s)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1]
B．[1,7]
C．[7,12]
D．[0,1]和[7,12]
答案：D
5.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的A的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
答案：C
二、填空题
6．直线y＝a与曲线y＝sin在(0,2π)内有两个不同的交点，则实数a的取值范围是________．
答案：∪
7．一根长a
cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，t∈[0，＋∞)，则小球摆动的周期为________s.
答案：
8．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．
答案：f(x)＝2sinx＋7
三、解答题
9．如图所示，某市拟在长为8
km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin
ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．
解：依题意，有A＝2，＝3，即T＝12.
又T＝，∴ω＝.
∴y＝2sinx，x∈[0,4]．
∴当x＝4时，y＝2sin＝3.
∴M(4,3)．
又P(8,0)，
∴MP＝
＝＝5(km)．
即M，P两点间的距离为5
km.
10．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12
h，低潮时水的深度为8.4
m，高潮时为16
m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系．
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1
m)
(3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于10.3
m
解：(1)依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12.2，
A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin＋12.2.
又因为t＝4时，d＝16，所以sin＝1，
所以φ＝－，所以d＝3.8sin＋12.2.
(2)t＝17时，d＝3.8sin＋12.2
＝3.8sin＋12.2≈15.5(m)．
(3)令3.8sin＋12.2＜10.3，
有sin＜－，
因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)，
所以2kπ＋＜t＜2kπ＋2π，k∈Z，
所以12k＋8＜t＜12k＋12.
令k＝0，得t∈(8,12)；
令k＝1，得t∈(20,24)．
故这一天共有8
h水深低于10.3
m.2．2.1 向量加法运算及其几何意义
向量的加法
[提出问题]
问题1：向量能进行运算吗？请举例说明．
提示：能，如力的合成．
问题2：两个力F1，F2作用于同一个物体上，当物体静止时，说明了什么？
提示：F1＋F2＝0.
问题3：做斜上抛运动的物体在水平方向上有速度吗？在竖直方向上有速度吗？
提示：有．有.
问题4：在问题3中，物体为什么没沿水平或垂直方向运动？
提示：力的合力不在这两个方向上．
[导入新知]
1．向量加法的定义
求两个向量和的运算叫做向量的加法．
2．求向量和的方法
(1)三角形法则：
已知非零向量a，b，在平面上任取一点A，
作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和 或和向量 ，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
(2)平行四边形法则：
已知两个不共线向量a，b，作＝a,
＝b，以a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，如图．
这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
对于零向量与任一向量a，规定：a＋0＝0＋a＝a.
[化解疑难]
准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则
(1)两个法则的使用条件不同．
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
如图所示，＝＋
(平行四边形法则)，
因为＝，
所以＝＋
(三角形法则)．
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同.
向量加法的运算律
[提出问题]
问题1：数的加法满足交换律和结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律？
提示：是．
问题2：你能验证向量加法也满足结合律吗？
提示：如图，a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
[导入新知]
向量加法的交换律和结合律
(1)向量加法的交换律：a＋b＝b＋a；
(2)向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
[化解疑难]
向量求和的多边形法则
(1)已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和．这称为向量求和的多边形法则．
(2)首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.
求作向量的和
[例1] 如图，已知a，b，求作向量a＋b.
[解] 在平面内任取一点O，如图所示，作＝a，＝b，则＝a＋b.
[类题通法]
应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．
(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单．
[活学活用]
如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c.
解：作法：在平面内任取一点O，如图所示，
作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c.
向量加法运算
[例2] 化简或计算：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋＋.
[解] (1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(2)＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
＝＋＋＝＋＝0.
[类题通法]
解决向量加法运算时应关注两点
(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．
(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.
[活学活用]
如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，
AC，AB的中点，化简下列三式：
(1)＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋.
答案：(1) (2) (3)
向量加法的应用
[例3] 轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40
km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40
km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．
[解] 如图所示，设，分别是轮船的两次位移，则表示最终位移，且＝＋.
在Rt△ABD中，||＝20
km，
||＝20
km，在Rt△ACD中，||＝＝40
km，∠CAD＝60°，即此时轮船位于A港北偏东30°，且距离A港40
km处．
[类题通法]
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
[活学活用]
雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0
m/s，现在有风，风使雨滴以
m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向．
答案：速度大小是
m/s；方向与垂直方向成30°角向东．
[典例] (1)若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值是________；
(2)当非零向量a，b(a，b不共线)满足________时，能使a＋b平分a，b的夹角．
[解析] 由向量的三角形不等式，知|a＋b|≥|b|－|a|，当且仅当a与b反向，且|b|≥|a|时，等号成立，故|a＋b|的最小值为4；由向量加法的平行四边形法则，知|a|＝|b|时，平行四边形为菱形，对角线平分一组内角．
[答案] (1)4 (2)|a|＝|b|
[易错防范]
1．本题易忽视a＋b的模是大于等于0的，不会灵活运用三角形法则和平行四边形法则而致误．
2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的联系
(1)当向量a与b不共线时，向量a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|，几何意义是三角形两边之和大于第三边．
(2)当向量a与b同向时，向量a＋b与a(或b)方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)当向量a与b反向，且|a|≤|b|时，a＋b与b方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.
[成功破障]
设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的序号为( )
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
A．①②
B．①③
C．①③⑤
D．③④⑤
答案：C
[随堂即时演练]
1．下列等式错误的是( )
A．a＋0＝＋a＝a
B．＋＋＝0
C．＋＝0
D．＋＝＋＋
答案：B
2．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度等于( )
A．2
B．4
C．12
D．6
答案：B
3.如图，在平行四边形ABCD中，
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________.
答案：(1) (2) (3) (4)0
4．如果||＝8，||＝5，那么||的取值范围为________．
答案：[3,13]
5.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
证明：＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
∵与大小相等，方向相反，
∴＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋.
[课时达标检测]
一、选择题
1．对任意四边形ABCD，下列式子中不等于的是( )
A．＋
B．＋＋
C．＋＋
D．＋＋
答案：C
2．下列各式不一定成立的是( )
A．a＋b＝b＋a
B．0＋a＝a
C．＋＝
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
答案：D
3．已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是( )
A．＋＝
B．＋＋＝0
C．＋＝
D．＋＝
答案：D
4．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝( )
A．
B．
C．
D．
答案：B
5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
答案：D
二、填空题
6．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|＝________.
答案：2
7．＋＋＋＝________.
答案：
8．若a等于“向东走8
km”，b等于“向北走8
km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
答案：8
km 北偏东45°
三、解答题
9．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且||＝||＝1，＋＝＋＝0，cos∠DAB＝.求|＋|与|＋|.
解：∵＋＝＋＝0，
∴＝，＝.
∴四边形ABCD是平行四边形．
又||＝||＝1，知四边形ABCD为菱形．
又cos∠DAB＝，∠DAB∈(0，π)，
∴∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形．
∴|＋|＝|＋|＝||＝2||＝，|＋|＝||＝||＝1.
10．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，求|＋|.
解：如右图，设菱形对角线交点为O，
∵＋＝＋＝，
∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
又∵AB＝2，
∴OB＝1.在Rt△AOB中，
||＝＝，
∴||＝2||＝2.
11．已知船在静水中的速度为20
m/min，水流的速度为10
m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
解：作＝v水，＝v船，以，为邻边作 ABCD，
则＝v实际，如图.
由题意可知∠CAB＝90°，
在Rt△ABC中，
|
|＝|v水|＝10
m/min，,|
|＝||＝|v船|＝20
m/min，
∴cos
∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝60°，从而船与水流方向成120°角．
故船行进的方向与水流的方向成120°角．第二课时 三角函数线及其应用
[提出问题]
在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，过A(1,0)作AT⊥x轴，交终边或其反向延长线于点T.
问题1：根据上面的叙述画出α分别取135°，30°，225°和－60°时的图形．
提示：
问题2：由上面的图形结合三角函数定义，可以得到sin
α，cos
α，tan
α与MP，OM，AT的关系吗？
提示：可以，|sin
α|＝|MP|，
|cos
α|＝|OM|，|tan
α|＝|AT|.
[导入新知]
1．有向线段
带有方向的线段叫做有向线段．
2．三角函数线
图示
正弦线
α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线
余弦线
有向线段OM即为余弦线
正切线
过A(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段AT即为正切线
[化解疑难]
三角函数线的四个注意点
(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；
(2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的交点；
(3)正负：三条有向线段中与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值；
(4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后．
三角函数线的作法
[例1] 作出的正弦线、余弦线和正切线．
[解] 角的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线AT，与的终边的反向延长线交于点T，则的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
[类题通法]
三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.
[活学活用]
作出－的正弦线、余弦线和正切线．
解：如图所示，
－的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
利用三角函数线比较大小
[例2] 分别比较sin与sin；cos与cos；tan与tan的大小．
[解] 在直角坐标系中作单位圆如图所示．以x轴非负半轴为始边作的终边与单位圆交于P点，作PM⊥Ox，垂足为M.由单位圆与Ox正方向的交点A作Ox的垂线与OP的反向延长线交于T点，则sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT.
同理，可作出的正弦线、余弦线和正切线，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.由图形可知，MP>M′P′，符号相同，则sin>sin；OM>OM′，符号相同，则cos>cos；AT[类题通法]
利用三角函数线比较大小的步骤
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．
[活学活用]
设<α<，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果<α<，上述长度关系又如何？
解：如图所示，当<α<时，角α的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然在长度上，AT>MP>OM；
当<α<时，角α的正弦线为M′P′，余弦线为OM′，正切线为AT′，显然在长度上，AT′>M′P′>OM′.
利用三角函数线解不等式
[例3] 利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围．
(1)sin
α<－；(2)cos
α>.
[解] (1)如图①，过点作x轴的平行线交单位圆于P，P′两点，则sin∠xOP＝sin∠xOP′＝－，∠xOP＝，∠xOP′＝，
故α的范围是.
(2)如图②，过点作x轴的垂线与单位圆交于P，P′两点，则cos∠xOP＝cos∠xOP′＝，∠xOP＝，∠xOP′＝－，
故α的范围是.
[类题通法]
利用三角函数线解三角不等式的方法
利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点．一般来说，对于sin
x≥b，cos
x≥a(或sin
x≤b，cos
x≤a)，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围；对于tan
x≥c(或tan
x≤c)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．
[活学活用]
利用三角函数线求满足tan
α≥的角α的范围．
答案：
[典例] 已知角α的正弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )
A．y轴的非负半轴上
B．y轴的非正半轴上
C．x轴上
D．y轴上
[解析] 由题意可知，sin
α＝±1，故角α的终边在y轴上．
[答案] D
[易错防范]
1．本题易错误地认为正弦线是长度为单位长度的有向线段时，sin
α＝1，从而误选A.
2．若搞错正弦线和余弦线的位置，则易错选C.
3．解决此类问题要正确理解有向线段的概念，既要把握好有向线段是带有方向的线段，有正也有负，同时也要把握准正弦线和余弦线的位置．
[成功破障]
已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )
A．直线y＝x上
B．直线y＝－x上
C．直线y＝x上或直线y＝－x上
D．x轴上或y轴上
答案：C
[随堂即时演练]
1．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( )
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、四象限的角平分线上
D．第一、三象限的角平分线上
答案：C
2．如果MP和OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( )
A．MP B．OM>0>MP
C．OMD．MP>0>OM
答案：D
3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．
答案：1
4．用三角函数线比较sin
1与cos
1的大小，结果是________．
答案：sin
1>cos
1
5．若θ∈，利用单位圆证明：sin
θ＋cos
θ＞1.
证明：如图所示，设角θ的终边交单位圆于点P，作PM⊥x轴于点M.因为sin
θ＝MP＝|MP|，cos
θ＝OM＝|OM|，所以sin
θ＋cos
θ＝|MP|＋|OM|＞|OP|，而|OP|＝1，所以sin
θ＋cos
θ＞1.
[课时达标检测]
一、选择题
1．角和角有相同的( )
A．正弦线
B．余弦线
C．正切线
D．不能确定
答案：C
2．已知α的余弦线是单位长度的有向线段，那么α的终边在( )
A．x轴上
B．y轴上
C．直线y＝x上
D．以上都不对
答案：A
3．若＜θ＜，则sin
θ，cos
θ，tan
θ的大小关系是( )
A．tan
θ＜cos
θ＜sin
θ
B．sin
θ＜tan
θ＜cos
θ
C．cos
θ＜tan
θ＜sin
θ
D．cos
θ＜sin
θ＜tan
θ
答案：D
4．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )
A．aB．bC．cD．a答案：C
5．使sin
x≤cos
x成立的x的一个变化区间是( )
A.
B.
C.
D．[0，π]
答案：A
二、填空题
6．利用单位圆，可得满足sin
α＜，且α∈(0，π)的α的集合为________．
答案：∪
7．若0<α<2π，且sin
α<，cos
α>.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．
答案：∪
8．若θ∈，则sin
θ的取值范围是________．
答案：
三、解答题
9．试作出角α＝的正弦线、余弦线和正切线．
试作出角α＝的正弦线、余弦线和正切线．
解：如图：α＝的余弦线、正弦线和正切线分别为OM，MP和AT.
10．利用单位圆中的三角函数线，求满足的x的取值范围．
解：由得
如图所示，由三角函数线可得
此交集为图形中的阴影重叠部分，即2kπ≤x＜2kπ＋(k∈Z)．
故x的取值范围为.
11．试利用单位圆中的三角函数线证明：当0<α<时，sin
α<αα.
证明：如图，单位圆与α的终边OP相交于P点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，连接AP，过单位圆与x轴正半轴的交点A作AT⊥x轴交OP于点T，则sin
α＝MP，α＝，tan
α＝AT，由S扇形OAPα<αα.1．1.2 弧
度
制
角度制与弧度制
[提出问题]
问题1：在角度制中，把圆周等分成360份，其中的一份是多少度？
提示：1°.
问题2：半径为1的圆的周长是2π，即周长为2π时，对应的圆心角是360°，那么弧长为π时，对应的圆心角是多少？
提示：180°.
问题3：在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？
提示：确定．
[导入新知]
1．角度制与弧度制
(1)角度制
①定义：用度作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的作为一个单位．
(2)弧度制
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．
2．任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
3．角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
[化解疑难]
角度制和弧度制的比较
(1)弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制．
(2)1弧度的角与1度的角所指含义不同，大小更不同．
(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．
(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写.
角度与弧度的换算
[提出问题]
问题1：周角是多少度？是多少弧度？
提示：360°，2π.
问题2：半圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？
提示：180°，π.
问题3：既然角度与弧度都是角的度量单位制，那么它们之间如何换算？
提示：π＝180°.
[导入新知]
1．弧度与角度的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π
rad
2π
rad＝360°
180°＝π
rad
π
rad＝180°
1°＝
rad≈0.017
45
rad
1
rad＝°≈57.30°
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
0
π
[化解疑难]
角度与弧度互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π
rad，
充分利用1°＝
rad，
1
rad＝°进行换算．
(2)方法：
设一个角的弧度数为α，角度数为n，
则α
rad＝°；n°＝n·
rad.
弧度制下的扇形的弧长及面积公式
[导入新知]
扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
α为度数
α为弧度数
扇形的弧长
l＝
l＝αR
扇形的面积
S＝
S＝lR＝αR2
[化解疑难]
扇形的弧长及面积公式的记忆
(1)扇形的弧长公式的实质是角的弧度数的计算公式的变形：|α|＝ l＝r|α|.
(2)扇形的面积公式S＝lR与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底，把半径看作高)，可以类比记忆．
角度与弧度的换算
[例1] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－.
[解] (1)72°＝72×＝；
(2)－300°＝－300×＝－；
(3)2＝2×°＝°；
(4)－＝－°＝－40°.
[类题通法]
角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π
rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．
[活学活用]
已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
答案：α<β<γ<θ＝φ
扇形的弧长公式及面积公式的应用
[例2] (1)已知扇形的周长为8
cm，圆心角为2，则扇形的面积为________
cm2.
(2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？
[解] (1)4
(2)设扇形的弧长为l，由题意得2πR＝2R＋l，所以l＝2(π－1)R，所以扇形的圆心角是＝2(π－1)，
扇形的面积是Rl＝(π－1)R2.
[类题通法]
弧度制下涉及扇形问题的攻略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．
[活学活用]
已知扇形的周长是30
cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
答案：r＝
cm时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为
cm2.
用弧度制表示角的集合
[例3] 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
[解] (1)如题图①，∵330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－，
而75°＝75×＝，
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.
(2)如题图②，∵30°＝，210°＝，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，
又终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，
从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.
[类题通法]
用弧度制表示角应关注的三点
(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．
(2)在表示角的集合时，可以先写出一周范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2kπ，k∈Z.
(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x＝α＋kπ，k∈Z}；终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为.
在进行区间合并时，一定要做到准确无误．
[活学活用]
以弧度为单位，写出终边落在直线y＝－x上的角的集合．
答案：αα＝π＋kπ，k∈Z
[典例] 若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.
[解析] 如图所示，设角的终边为OA，OA关于直线y＝x对称的射线为OB，
则以OB为终边且在0到2π之间的角为，
故以OB为终边的角的集合为αα＝＋2kπ，k∈Z.
∵α∈(－4π，4π)，
∴－4π<＋2kπ<4π(k∈Z)，
∴－∵k∈Z，
∴k＝－2，－1,0,1，
∴α＝－，－，，.
[答案] －，－，，
[多维探究]
在弧度制下，常见的对称关系如下
(1)若α与β的终边关于x轴对称，则α＋β＝2kπ(k∈Z)；
(2)若α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝(2k＋1)π(k∈Z)；
(3)若α与β的终边关于原点对称，则α－β＝(2k＋1)π(k∈Z)；
(4)若α与β的终边在一条直线上，则α－β＝kπ(k∈Z)．
[活学活用]
1．若α和β的终边关于x轴对称，则α可以用β表示为( )
A．2kπ＋β
(k∈Z)
B．2kπ－β
(k∈Z)
C．kπ＋β
(k∈Z)
D．kπ－β
(k∈Z)
答案：B
2．在平面直角坐标系中，α＝－，β的终边与α的终边分别有如下关系时，求β.
(1)若α，β的终边关于x轴对称；
(2)若α，β的终边关于y轴对称；
(3)若α，β的终边关于原点对称；
(4)若α，β的终边关于直线x＋y＝0对称．
答案：(1)β＝＋2kπ，k∈Z
(2)β＝－＋2kπ，k∈Z
(3)β＝＋2kπ，k∈Z
(4)β＝＋2kπ，k∈Z
[随堂即时演练]
1．下列命题中，错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1
rad的角是周角的
C．1
rad的角比1°的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
答案：D
2．若α＝－2
rad，则α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：C
3．－135°化为弧度为______，化为角度为______．
答案：－π 660°
4．已知半径为12
cm，弧长为8π
cm的弧，其所对的圆心角为α，则与角α终边相同的角的集合为______________．
答案：
5．设角α＝－570°，β＝.
(1)将α用弧度制表示出来，并指出它所在的象限；
(2)将β用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它有相同终边的所有角．
答案：(1)α＝－；α在第二象限；
(2)β＝108°；在－720°～0°之间与β有相同终边的角的大小为－612°和－252°.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列命题中，正确的是( )
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径长的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角
答案：D
2．1
920°化为弧度数为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
3.是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案：B
4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )
A.
B.
C.
D．2
答案：C
5．集合P＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，Q＝{α|－4≤α≤4}，则P∩Q等于( )
A．
B．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
C．{α|－4≤α≤4}
D．{α|0≤α≤π}
答案：B
二、填空题
6．用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为________．
答案：{α|2kπ<α<2kπ＋π，k∈Z}
7．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．
答案：3
8．若角α的终边与π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与的终边相同的角有________．
答案：，，，
三、解答题
9．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈.
解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π，
∴α＝－800°＝＋(－3)×2π.
∵α与角终边相同，∴α是第四象限角．
(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋，k∈Z.
又γ∈，∴－<2kπ＋<，k∈Z，
解得k＝－1，∴γ＝－2π＋＝－.
10．如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．
解：设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·＋t·＝2π，
所以t＝4(s)，
即P，Q第一次相遇时所用的时间为4
s.
P点走过的弧长为×4＝，Q点走过的弧长为×4＝.
11．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．
解：∵120°＝π＝π，
∴l＝6×π＝4π，
∴的长为4π.
∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，
如图所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos
30°×3＝9.
∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
∴弓形ACB的面积为12π－9.2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量的数量积
[提出问题]
一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．
问题1：如何计算这个力所做的功？
提示：W＝|s||F|cos
θ.
问题2：力F在位移方向上的分力是多少？
提示：|F|cos
θ.
问题3：力做功的大小与哪些量有关？
提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．
[导入新知]
1．向量的数量积的定义
(1)两个非零向量的数量积：
已知条件
向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ
定义
a与b的数量积(或内积)是数量|a||b|cos
θ
记法
a·b＝|a||b|cos
θ
(2)零向量与任一向量的数量积：
规定：零向量与任一向量的数量积均为0.
2．向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影为|b|cos
θ.
②向量a在b的方向上的投影为|a|cos
θ.
(2)数量积的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积．
[化解疑难]
透析平面向量的数量积
(1)向量的数量积a·b，不能表示为a×b或ab.
(2)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定．
设两个非零向量a与b的夹角为θ，则
当θ＝0°时，cos
θ＝1，a·b＝|a||b|；
当θ为锐角时，cos
θ>0，a·b>0；
当θ为钝角时，cos
θ<0，a·b<0；
当θ为直角时，cos
θ＝0，a·b＝0；
当θ＝180°时，cos
θ＝－1，a·b＝－|a||b|.
平面向量数量积的性质和运算律
[提出问题]
已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角．
问题1：若a·b＝0，则a与b有什么关系？
提示：∵a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cos
θ＝0，θ＝90°，a⊥b.
问题2：a·a等于什么？
提示：a·a＝|a|2cos
0°＝|a|2.
问题3：在什么条件下可求cos
θ？
提示：已知a·b及|a||b|时，可得cos
θ＝.
[导入新知]
1．向量数量积的性质
设a与b都是非零向量，
θ为a与b的夹角．
(1)a⊥b a·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝＝.
(4)cos
θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
2．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[化解疑难]
辨析向量数量积与实数运算
(1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：
①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.
(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cos
θ|，而|cos
θ|≤1.
(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.
(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
向量数量积的运算
[例1] (1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b;
②(a＋b)·(a－2b)．
(2)如图，设正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
[解] (1)①由已知得a·b＝|a||b|cos
θ＝4×2×cos
120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos
120°×3＝－3.
[类题通法]
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
[活学活用]
1．(山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝( )
A．－a2
B．－a2
C.a2
D.a2
答案：D
2．已知正方形ABCD的边长为2，分别求：
(1)·；(2)·；(3)·.
答案：(1)－4 (2)0 (3)－4
与向量的模有关的问题
[例2] (1)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
(2)已知|a|＝2，|b|＝4，a，b的夹角为，以a，b为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．
[解] (1)3
(2)∵平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为|a－b|，
∴|a－b|＝＝
＝
＝2.
[类题通法]
向量模的常见求法
在求向量的模时，直接运用公式|a|＝，但计算两向量的和与差的长度用|a±b|＝＝
.
[活学活用]
已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|.
答案：
两个向量的夹角和垂直问题
[例3] (1)(重庆高考)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D．π
(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
[解] (1)A
(2)由已知条件得
即
②－①得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，
∴|a|＝|b|，
∴cos
θ＝＝＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
[类题通法]
求向量a，b的夹角θ的思路
(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos
θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos
θ的值．
[活学活用]
1．如果向量a和b满足|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，那么a和b的夹角θ的大小为( )
A．30°
B．45°
C．75°
D．135°
答案：B
2．已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b
的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直．
答案：m＝时，c与d垂直
[典例] 设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________．
[解析] 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得<0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
化简即得2t2＋15t＋7<0，
画出2t2＋15t＋7＝0的图象，如图．
若2t2＋15t＋7<0，
则t∈.
当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
但此时夹角不是钝角，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，可得
∴所求实数t的取值范围是
∪.
[答案] ∪
[易错防范]
1．本题易混淆两非零向量的夹角为钝角与两向量的数量积小于零的关系，忽视向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π时，也有数量积小于0的情况，从而得出t∈的错误答案．
2．由于a·b<0包含了其夹角为180°的情况，a·b>0包含了其夹角为0°的情况，在求解时应注意排除．
[成功破障]
已知同一平面上的向量a，b，c两两所成的角相等，并且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b＋c的长度为( )
A．6
B.
C．3
D．6或
答案：D
[随堂即时演练]
1．下列命题：
(1)若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；
(2)(a·b)c＝a(b·c)对任意向量a，b，c都成立；
(3)对任一向量a，有a2＝|a|2.
其中正确的命题有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
答案：B
2．若|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为135°，则a·(－b)等于( )
A．12
B．－12
C．12
D．－12
答案：C
3．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
答案：120°
4．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
答案：7
5．设非零向量a和b，它们的夹角为θ.
(1)若|a|＝5，|b|＝4，θ＝150°，求a在b方向上的投影和a与b的数量积；
(2)若a·b＝9，|a|＝6，|b|＝3，求b在a方向上的投影和a与b的夹角θ.
答案：(1)|a|cos
θ＝－，a·b＝－10
(2)|b|cos
θ＝，θ＝60°
[课时达标检测]
一、选择题
1．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
答案：C
2．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形
B．菱形
C．直角梯形
D．等腰梯形
答案：B
3．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为( )
A．1
B.
C.
D.
答案：D
4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于( )
A.
B.
C．－
D．－
答案：A
5.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝
，||＝1，则·等于( )
A．2
B.
C.
D.
答案：D
二、填空题
6．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·＝________.
答案：16
7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝，则a与b的夹角θ为________．
答案：
8．(浙江高考)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若e为平面单位向量，则|a·e|＋|b·e|的最大值是________．
答案：
三、解答题
9．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；
(2)a2－b2；
(3)(2a－b)·(a＋3b)；
(4)|a＋b|.
解：(1)a·b＝|a||b|cos
120°＝2×3×＝－3；
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5；
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a|·|b|cos
120°－3|b|2＝8－15－27＝－34；
(4)|a＋b|＝＝＝＝.
10．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝|a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在满足条件的θ，
∵|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2.
∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)．
∴|a|2－4a·b＋|b|2＝0.
∴|a|2－4|a||b|cos
θ＋|b|2＝0.
∴
解得cos
θ∈[，1]．
又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.
故当θ∈时，|a＋b|＝|a－b|成立．
11．已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝.
(1)求|b|的值；
(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．
解：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝.
∵|a|＝1，∴1－|b|2＝，∴|b|＝.
(2)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝2，
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝1，
∴|a＋b|＝，|a－b|＝1.
令a＋b与a－b的夹角为θ，
则cos
θ＝＝＝，
即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是.2．3.1 平面向量基本定理
平面向量基本定理
[提出问题]
问题1：在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想：平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？
提示：可以．
问题2：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？根据是什么？
提示：可以．根据是数乘向量和平行四边形法则．
问题3：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
提示：不一定．当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．
[导入新知]
平面向量基本定理
条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
[化解疑难]
理解平面向量基本定理应关注的三点
(1)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，所以基底的选取不唯一．
(2)零向量与任一向量都共线，因此零向量不能作为基底．
(3)λ1，λ2是唯一的.
两向量的夹角
[提出问题]
问题1：平面中的任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？
提示：存在．
问题2：若上题中的结论为存在夹角，向量的夹角与直线的夹角一样吗？
提示：不一样．
[导入新知]
向量的夹角
条件
两个非零向量a和b
产生过程
作向量＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角
范围
[0，π]
特殊
情况
θ＝0°
a与b同向
θ＝90°
a与b垂直，记作a⊥b
θ＝180°
a与b反向
[化解疑难]
正确理解向量的夹角
(1)向量夹角的几何表示：
依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是两向量的夹角．如图①②③④⑤，已知两向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB为a与b的夹角．
(2)注意事项：
①向量的夹角是针对非零向量定义的．
②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是[0，π]和.
用基底表示向量
[例1] 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC，AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示，，.
[解] 如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．
则＝＝＝a；
＝－＝－＝b－a；
＝－＝－－
＝－－＝a－b.
[类题通法]
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
[活学活用]
如图所示，已知在 ABCD中，E，F分别是BC，
DC边的中点．若＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，.
答案：＝a－b；＝b－a
向量夹角的简单求解
[例2] 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
[解] 如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b.
因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形．又因为∠AOB＝60°，所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
[类题通法]
求两个向量夹角的方法
求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角．过程简记为“一作二证三算”．
[活学活用]
如图，已知△ABC是等边三角形．
(1)求向量与向量的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．
答案：(1)120° (2)90°
平面向量基本定理的唯一性及其应用
[例3] (1)设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为( )
A．0,0
B．1,1
C．3,0
D．3,4
(2)在 ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ＋μ的值．
[解] (1)D
(2)设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b＋a，＝a＋b，所以＝λ＋μ＝λ＋μ＝b＋a＝a＋b.又因为a，b不共线，所以解得λ＝μ＝，所以λ＋μ＝.
[类题通法]
1．平面向量基本定理唯一性的应用
设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
2．重要结论
设e1，e2是平面内一组基底，
当λ1e1＋λ2e2＝0时
恒有λ1＝λ2＝0
若a＝λ1e1＋λ2e2
当λ2＝0时，a与e1共线
当λ1＝0时，a与e2共线
λ1＝λ2＝0时，a＝0
[活学活用]
若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．
答案：c，d能作为基底．
5．平面向量基本定理的应用
[典例] (12分)如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．
[解题流程]
[规范解答]设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.(2分)∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ，使得＝λ＝－λe1－3λe2，(4分)＝μ＝2μe1＋μe2.(6分)故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而＝＋＝2e1＋3e2，(8分)由平面向量基本定理，得解得(10分)∴＝，∴AP∶PM＝4∶1.(12分)
[名师批注]选取恰当的基底是解决此类问题的前提．若不能根据题意选出基底或设出基向量，则后续推导无法进行．利用A，P，M和B，P，N分别共线建立＝λ，＝μ是解决本题的关键，也是解决此类问题的常用方法．由平面向量基本定理的唯一性建立关于λ，μ的方程组，求出λ，μ的值，即可求出与的关系，进而求出AP∶PM的值．
[活学活用]
如图，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若＝x，＝y，试问：＋是否为定值？
答案：＋＝4，为定值．
[随堂即时演练]
1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是( )
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
答案：B
2．已知 ABCD中，∠DAB＝30°，则与的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
答案：D
3．如图，C，D是△AOB中边AB的三等分点，设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底来表示＝________，＝________.
答案：e1＋e2 e1＋e2
4．已知e1，e2不共线，且a＝ke1－e2，b＝e2－e1，若a，b不能作为基底，则k等于________．
答案：1
5．梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量.
答案：＝e1＋(k－1)e2
[课时达标检测]
一、选择题
1．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
①λe1＋μ
e2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μ
e2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①②
B．②③
C．③④
D．②
答案：B
2．已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )
A．e1，e1＋e2
B．e1－2e2，e2－2e1
C．e1－2e2,4e2－2e1
D．e1＋e2，e1－e2
答案：C
3．如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝( )
A.(5e1＋3e2)
B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1)
D.(5e2－3e1)
答案：A
4．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b
B.a＋b
C.a－b
D．－a＋b
答案：B
5．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且＝a，＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则PR―→等于( )
A．a－b
B．2(b－a)
C．2(a－b)
D．b－a
答案：B
二、填空题
6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．
答案：90°
7．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
答案：
8．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________.
答案：a－b
三、解答题
9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若
4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴
∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴
故所求λ，μ的值分别为3和1.
10．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示，，.
解：∵DC∥AB，AB＝2DC，E、F分别是DC、AB的中点，
∴＝＝a，＝＝＝b.
＝＋＋
＝－－＋
＝－×b－a＋b＝b－a.
11.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，
||＝2，若＝λ＋μ
(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解：如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋.
在Rt△OCD中，
∵||＝2，
∠COD＝30°，∠OCD＝90°，
∴||＝4，||＝2，
故＝4，＝2，
即λ＝4，μ＝2，
∴λ＋μ＝6.2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
向量的数乘运算
[提出问题]
问题1：按照向量的加法法则，若a为非零向量，则a＋a的长度与|a|的关系怎样？
提示：按三角形法则，|a＋a|＝2|a|.
问题2：我们知道，x＋x＋x＝3x，那么a＋a＋a能否写成3a呢？
提示：可以．
问题3：3a与a的方向有什么关系？－3a与a的方向呢？
提示：3a与a方向相同．－3a与a方向相反．
[导入新知]
1．向量数乘运算
一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)λa(a≠0)的方向
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ00.
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，则
(1)λ(μ
a)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，
λ(a－b)＝λa－λb.
[化解疑难]
从两个角度看数乘向量
(1)代数角度：
λ是实数，a是向量，它们的积仍是向量；另外，λa＝0的条件是λ＝0或a＝0.
(2)几何角度：
对于向量的长度而言，
①当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长到|a|的|λ|倍；
②当0<|λ|<1时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短到|a|的|λ|倍.
共线向量定理
[提出问题]
问题1：如果两个向量共线，则这两个向量具有哪几种情况？
提示：方向相同或方向相反或其中一者为零向量．
问题2：根据向量的数乘运算，λa与a(λ≠0，a≠0)的方向有何关系？
提示：相同或相反．
问题3：向量a与λa(λ为常数)共线吗？
提示：共线．
[导入新知]
1．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
2．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
[化解疑难]
共线向量定理中规定a≠0的原因
(1)若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；
(2)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa；
(3)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.
向量的线性运算
[例1] 化简下列各式：
(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
[解] (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
[类题通法]
向量线性运算的方法
向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．
[活学活用]
化简下列各式：
(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
(2).
答案：(1)14a－9b (2)－2a＋4b
在几何图形中用已知向量表示未知向量
[例2] 如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.
[解] 由三角形中位线定理，知DE綊BC，
故＝，即＝a，
＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b，
＝＋＋＝＋＋
＝－a－b＋a＝a－b.
[类题通法]
用已知向量表示未知向量的方法
用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．
[活学活用]
1.如图所示，下列结论正确的是( )
①＝a＋b；②＝a－b；③＝a－b；④＝a＋b.
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
答案：C
2．如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，.
答案：＝a＋b；＝(a＋b)；＝a－b
共线向量定理的应用
[例3] (1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．
(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x
＋y
，求x＋y的值．
[解] (1)证明：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，
∴＝－＝e1－4e2.
又∵＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，
∴＝2，∴∥.
∵AB与BD有交点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵A，B，P三点共线，∴向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ，使＝λ，即－＝λ(－)，∴＝(1－λ)＋λ，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
[类题通法]
用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量＝λ，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
[活学活用]
1．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.若a与b是共线向量，则实数k的值为________．
答案：－2
2．如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE到N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线．
证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点，
∴＝＋，∴＝－＝.
同理可证明＝－＝.
∴＝－.
∴，共线且有公共点A，∴M，A，N三点共线．
[典例] (12分)已知 ABCD中，＝a，＝b，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．
(1)用a，b表示向量，；
(2)求证：M，N，C三点共线．
[解题流程]
[规范解答](1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝＝a.(1分)
∵M为AB的中点，∴＝＝b，(2分)∴＝＋＝b＋a.(4分)∵N为BD上靠近B的三等分点，∴＝，(6分)∴＝＋＝＋＝(－)＋
＝(b－a)＋a＝a＋b.(8分)(2)证明：由(1)知＝，(10分)又与有公共点C，∴M，N，C三点共线．(12分)
[名师批注]平行四边形的对边平行且相等，且其对边可表示两相等向量，这在线性运算中经常用到.先将用平行四边形中的有关有向线段表示，然后再用向量表示这是解决此类问题的通法．要注意向量的始点和终点，此点也极易出错.
将向量转化为是解决此题的难点，很多同学因不会转化而无法解题.
在证出∥后，只有再说明与有公共点C，才能说明M，N，C三点共线．此处极易被忽视而造成解题步骤不完整而失分．
[活学活用]
如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，点D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，；
(2)若＝λ，求λ的值．
答案：(1)＝2a－b；＝2a－b (2)
[随堂即时演练]
1．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相同
B．a与－λa的方向相反
C．a与λ2a的方向相同
D．|λa|＝λ|a|
答案：C
2.等于( )
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
答案：B
3．下列向量中a，b共线的有________(填序号)．
①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
答案：①②③
4．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________．
答案：－1或3
5.如图所示，已知 ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.
答案：＝e2－e1；＝－e1＋e2
[课时达标检测]
一、选择题
1．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝( )
A．－a
B．－b
C．－c
D．以上都不对
答案：A
2．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；
②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD，其中＝a，＝b.
A．①②
B．①③
C．②
D．③④
答案：A
3.如图，向量，，的终点在同一直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是( )
A．r＝－p＋q
B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q
D．r＝－q＋2p
答案：A
4．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
5．如图，设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与
( )
A．反向平行
B．同向平行
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
答案：A
二、填空题
6.如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
答案：(b－a)
7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于________．
答案：
8．已知两个不共线向量e1，e2，且＝e1＋λe2，＝3e1＋4e2，＝2e1－7e2，若A，B，D三点共线，则λ的值为________．
答案：－
三、解答题
9．如图，四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，，＋.
解：＝＋＋＝－a＋b＋c.
∵＝＋＋，＝＋＋，
∴2＝＋＋＋＋＋
＝－－＝－b－(－a＋b＋c)
＝a－2b－c.
∴＝a－b－c.
＋＝＋＋＋＝2＝a－2b－c.
10．设O是△ABC内部一点，且＋＝－3，求△AOB与△AOC的面积之比．
解：如图，由平行四边形法则，知＋＝，其中E为AC的中点．
所以＋＝2＝－3.
所以＝－，||＝||.
设点A到BD的距离为h，
则S△AOB＝||·h，S△AOC＝2S△AOE＝||·h，所以＝＝·＝×＝.
11．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
解：(1)证明：∵＝λ＋(1－λ)，
∴＝λ＋－λ，
－＝λ－λ，
∴＝λ
(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．
又∵与有公共点A，∴A，B，M三点共线．
(2)(1，＋∞)1．1.1 任意角
角的分类
[提出问题]
问题1：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确．在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？
提示：旋转方向不同．
问题2：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？
提示：顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°，顺时针方向旋转了900°.
[导入新知]
角的分类
1．按旋转方向
名称
定义
图形
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转形成的角
2.按角的终边位置
(1)角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角；
(2)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．
[化解疑难]
1．任意角的概念
认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边．
(1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．
(2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．
①要明确旋转方向；
②要明确旋转角度的大小；
③要明确射线未作任何旋转时的位置．
2．象限角的前提条件
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.
终边相同的角
[提出问题]
在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合”下，研究下列角：30°，390°，－330°.
问题1：这三个角的终边位置相同吗？
提示：相同．
问题2：如何用含30°的式子表示390°和－330°？
提示：390°＝1×360°＋30°，－330°＝－1×360°＋30°.
问题3：确定一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？
提示：不唯一．
[导入新知]
终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
[化解疑难]
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下几点．
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°，k∈Z与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°，k∈Z应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同．
象限角的判断
[例1] 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.
[解] 作出各角，其对应的终边如图所示：
(1)由图①可知：－75°是第四象限角．
(2)由图②可知：855°是第二象限角．
(3)由图③可知：－510°是第三象限角．
[类题通法]
象限角的判断方法
(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．
(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．
[活学活用]
在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．
(1)360°；(2)720°；(3)2
012°；(4)－120°.
解：如图所示，分别作出各角，可以发现：
(1)360°＝0°＋360°，(2)720°＝0°＋2×360°，因此，在0°～360°范围内，这两个角均与0°角终边相同．所以这两个角不属于任何一个象限．
(3)2
012°＝212°＋5×360°，所以在0°～360°范围内，与2
012°角终边相同的角是212°，所以2
012°是第三象限角．
(4)－120°＝240°－360°，所以在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°，所以－120°是第三象限角．
终边相同的角的表示
[例2] (1)写出与α＝－1
910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．
[解] (1)与角α＝－1
910°终边相同的角的集合为.
∵－720°≤β＜360°，
∴－720°≤－1
910°＋k·360°＜360°，
∴3≤k＜6，
故k＝4,5,6.
k＝4时，β＝－1
910°＋4×360°＝－470°.
k＝5时，β＝－1
910°＋5×360°＝－110°.
k＝6时，β＝－1
910°＋6×360°＝250°.
(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．
②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
③终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，结合②知所求角的集合为S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}．
(3)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}，
故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
[类题通法]
1．常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
2．区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；
(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．
[活学活用]
1．将下列各角表示为α＋k·360°(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．
(1)420°；(2)－495°；(3)1
020°.
答案：(1)420°＝60°＋360° 第一象限角
(2)－495°＝225°－2×360° 第三象限角
(3)1
020°＝300°＋2×360° 第四象限角
2．已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围．
答案：{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}
确定nα及所在的象限
[例3] 若α是第二象限角，则2α，分别是第几象限角？
[解] (1)∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，
∴180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°(k∈Z)，
∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上．
(2)∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，
∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)．
①当k＝2n(n∈Z)时，
45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，
即是第一象限角；
②当k＝2n＋1(n∈Z)时，
225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，
即是第三象限角．
故是第一或第三象限角．
[类题通法]
1．nα所在象限的判断方法
确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．
2.所在象限的判断方法
已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法：
(1)用不等式表示出角的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；……；被n除余n－1.从而得出结论．
(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据α终边所在的象限确定的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．
[活学活用]
已知角α为第三象限角，试确定角2α，分别是第几象限角．
答案：2α可能是第一象限角、第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角 可能是第二象限角或第四象限角
[典例] 下列说法中正确的是( )
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．第一象限角必是锐角
C．不相等的角终边一定不相同
D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α和β终边相同
[解析] 90°角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角；390°角是第一象限角，但它不是锐角；390°角和30°角不相等，但终边相同，故A、B、C均不正确．对于D，由终边相同的角的概念可知正确．
[答案] D
[易错防范]
1．若三角形是直角三角形，则有一个角为直角，且直角的终边在y轴的非负半轴上，不属于任何象限．若忽视此点，则易错选A.
2．锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，如380°角为第一象限角，但它不是锐角．若混淆这两个概念，则易误选B.
3．当角的范围扩充后，相差k·360°(k∈Z)的角的终边相同．若忽视此点，易错选C.
4．解决好此类问题应注意以下三点：
(1)弄清直角和象限角的区别，把握好概念的实质内容．
(2)弄清锐角和象限角的区别．
(3)对角的认识不能仅仅局限于0°～360°.
[成功破障]
下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③第二象限角大于第一象限角；
④第二象限角是钝角；
⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中正确命题的序号为________．
答案：①
[随堂即时演练]
1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角的大小是( )
A．120°
B．－120°
C．240°
D．－240°
答案：D
2．与－457°角的终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
答案：C
3．下列说法中正确的序号有________．
①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；
③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．
答案：①②③④
4．在0°～360°范围内与－1
050°终边相同的角是________，它是第________象限角．
答案：30° 一
5.试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．
答案：S＝{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z} 适合不等式－180°≤α＜180°的元素α为－60°，120°
[课时达标检测]
一、选择题
1．－435°角的终边所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：D
2．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )
A．{α|90°<α<180°}
B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}
D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}
答案：D
3．若α是第四象限角，则－α一定是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案：A
4．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中各角的终边都在( )
A．x轴非负半轴上
B．y轴非负半轴上
C．x轴或y轴上
D．x轴非负半轴或y轴非负半轴上
答案：C
5．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )
A．α＋β＝k·360°，k∈Z
B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z
D．α－β＝k·360°，k∈Z
答案：B
二、填空题
6．已知角α＝－3
000°，则与角α终边相同的最小正角是________．
答案：240°
7．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．
答案：－5 －60
8．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第________象限角．
答案：一或三
三、解答题
9．如果θ为小于360°的正角，这个角θ的4倍角的终边与这个角的终边重合，求θ的值．
解：由题意得4θ＝θ＋k·360°，k∈Z，
∴3θ＝k·360°，θ＝k·120°，
又0°＜θ＜360°，∴θ＝120°或θ＝240°.
10．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
解：由题意可知，
α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，
∵α，β都是锐角，
∴－90°<α－β<90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°.②
由①②，得α＝15°，β＝65°.
11．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．
解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；
(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．2．1
平面向量的实际背景及基本概念
向量的物理背景及概念
[提出问题]
(1)民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移．
(2)汽车向东北方向行驶了60
km，行驶速度的大小为120
km/h，方向是东北．
(3)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．
问题1：上述三个实例中涉及哪些物理量？
提示：分别涉及位移、速度和力．
问题2：这些量与我们日常生活中的面积、质量等有什么区别？
提示：面积、质量等只有大小没有方向，而位移、速度和力既有大小又有方向．
[导入新知]
向量和数量
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．
(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．
[化解疑难]
理解向量的概念应关注三点
(1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
(3)向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
向量的几何表示
[提出问题]
问题1：在学习三角函数线时，我们学习了有向线段，试想：有向线段应包含什么要素？
提示：起点、方向、长度．
问题2：对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？
提示：利用有向线段表示．
问题3：如何表示向量？
提示：有向线段的方向表示向量的方向，长度表示向量的大小．
[导入新知]
1．有向线段
(1)有向线段是带有方向的线段，如图所示，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作
.
(2)有向线段包含三个要素：起点、方向、长度，知道了有向线段的起点、长度和方向，它的终点就唯一确定．
2．向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．
(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时用，，，…表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，.
[化解疑难]
向量与有向线段的区别和联系
(1)区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由平移的．
(2)联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．
向量的有关概念
[导入新知]
1．向量的模及两个特殊向量
(1)向量的长度(模)：
向量的大小，也就是向量的长度(或模)，记作||.
(2)两个特殊向量：
①零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的；零向量的起点与终点是同一点，故不能用有向线段表示出来．
②单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．
2．相等向量与共线向量
(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．因为向量完全是由它的方向和模确定的．
(2)平行向量：
①定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，通常记作a∥b.
②规定：零向量与任一向量平行，即对于任意的向量a，都有0∥a.
③共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．
[化解疑难]
平行(共线)向量的含义
(1)平行向量与共线向量是同一概念的不同名称．根据定义可知，平行(共线)向量所在的直线可以平行，也可以重合．
(2)共线向量所在的直线可以平行，与平面几何中的“共线”含义不同．
(3)平行向量可以在同一条直线上，与平面几何中“直线平行”不同，平面中两直线平行是指两直线没有公共点．
向量的有关概念
[例1] 下列说法正确的是( )
A．向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．向量与向量是两平行向量
D．单位向量都相等
[答案] C
[类题通法]
解决与向量概念有关问题的方法
解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．
[活学活用]
下列说法正确的序号有________．
①若向量a＝，b＝，则|a|＝|b|；
②若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；
③若向量是单位向量，则也是单位向量；
④以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．
答案：①③④
向量的表示
[例2] (1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．
(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
①，使||＝4，点A在点O北偏东45°；
②，使||＝4，点B在点A正东；
③，使||＝6，点C在点B北偏东30°.
[解] (1)12
(2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又因为||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
②由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
③由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
[类题通法]
用有向线段表示向量的方法
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．
[活学活用]
已知汽车从A地按北偏东30°的方向行驶200
km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向行驶200
km
到达C地，再从C地按西南方向行驶100
km到达D地，作出向量，，
(用1
cm表示100
km)．
解：向量，，如图．
共线向量或相等向量
[例3] 如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．
(1)找出与向量共线的向量；
(2)找出与向量相等的向量．
[解] (1)依据图形可知，，与方向相同，，，，与方向相反，所以与向量共线的向量为，，，，，，.
(2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.
[类题通法]
寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
[活学活用]
如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则
(1)与向量相等的向量有________；
(2)与向量共线，且模相等的向量有________；
(3)与向量共线，且模相等的向量有________．
答案：(1)
， (2)
，，，，
(3)
，，，，
[典例] 给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中，正确的命题有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[解析] ①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当b＝0时，a，c可以为任意向量，故a不一定平行于c.
[答案] A
[易错防范]
1．本题若将向量的模错误地理解为绝对值，则会认为①②③都正确，从而误选D.
2．判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．而对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．
[成功破障]
有下列说法：
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③在 ABCD中，一定有＝；
④若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑤共线向量是在一条直线上的向量．
其中，正确说法的序号是________．
答案：③④
[随堂即时演练]
1．有下列说法：
①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；
②若向量，满足||>||，且与同向，则>；
③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；
④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．
其中，正确说法的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：A
2.如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量PQ与QR与RC与CR与QR
答案：B
3．当向量a与任一向量都平行时，向量a一定是________．
答案：零向量
4．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________.
答案：2
5．如图，O是正方形ABCD的中心．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与的模相等的向量．
答案：(1) (2)，，，，，，
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列结论中，不正确的是( )
A．向量，共线与向量∥意义是相同的
B．若＝，则∥
C．若向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
D．若向量＝，则向量＝
答案：C
2．如图，四边形ABCD中，＝，则必有( )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
答案：D
3.若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
答案：C
4.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有( )
A．2个
B．3个
C．6个
D．9个
答案：D
5.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是( )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
答案：D
二、填空题
6．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.
答案：③
7．如图，已知正方形ABCD边长为2，O为其中心，则||＝________.
答案：
8．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
答案：0
三、解答题
9.如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：
(1)分别写出与，相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与模相等的向量．
解：(1)＝，＝；
(2)与共线的向量有，，；
(3)与模相等的向量有，，，，，，.
10．在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务，它从A点出发向西航行了200
km到达B点，然后改变方向，向西偏北50°航行了400
km到达C点，最后又改变方向，向东航行了200
km到达D点，此时，它完成了此片海区的巡逻任务．请你回答下列问题：
(1)作出向量，，；
(2)求||.
解：(1)作向量，，，如图．
(2)由题意，易知与方向相反，
所以与共线．
所以AB∥CD.
又因为||＝||，
所以四边形ABCD为平行四边形．
所以||＝||＝400(km)．
11.如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解：(1)画出所有的向量，如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值
＝；
②当点C位于点C5和C6时，
||取得最大值＝，
∴||的最大值为，
最小值为.1.4.3 正切函数的性质与图象
正切函数的性质
[提出问题]
问题1：正切函数y＝tan
x的定义域是什么？
提示：.
问题2：诱导公式tan(π＋x)＝tan
x说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k∈Z)与tan
x的关系怎样？
提示：周期性．tan(kπ＋x)＝tan
x(k∈Z)．
问题3：诱导公式tan(－x)＝－tan
x说明了正切函数的什么性质？
提示：奇偶性．
问题4：从正切线上观察，正切函数值是有界的吗？
提示：不是，正切函数没有最大值和最小值．
问题5：从正切线上观察，正切函数值在上是增大的吗？
提示：是的．
[导入新知]
正切函数的性质
函数
y＝tan
x
定义域
值域
R
周期
T＝π
奇偶性
奇函数
单调性
在每个开区间(k∈Z)上都是增函数
[化解疑难]
细解正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan
x的定义域是xx∈R且x≠＋kπ，k∈Z，值域是全体实数．
(2)正切函数y＝tan
x的最小正周期是π.一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的最小正周期是T＝.若不知ω正负，则该函数的最小正周期为T＝.
(3)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．
正切函数的图象
[提出问题]
问题1：你还记得给定一个角在单位圆中的正切线怎样画吗？
提示：过单位圆与x正半轴的交点A，作垂直于x轴的直线，交角的终边或其反向延长线于点T，则有向线段AT即为该角的正切线．
问题2：仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，你能根据正切线作出正切曲线吗？
提示：能．
[导入新知]
正切函数的图象
(1)正切函数的图象：
(2)正切函数的图象叫做正切曲线．
(3)正切函数的图象特征：
正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．
[化解疑难]
正切函数是奇函数，图象关于原点对称，与x轴有无数个交点，因此有无穷多个对称中心，对称中心坐标是，k∈Z，正切函数的图象无对称轴.
正切函数的定义域、值域问题
[例1] 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝tan；(2)y＝.
[解] (1)由x＋≠kπ＋(k∈Z)得，
x≠kπ＋，k∈Z，
所以函数y＝tan的定义域为xx≠kπ＋，k∈Z，其值域为(－∞，＋∞)．
(2)由－tan
x≥0得，tan
x≤.
结合y＝tan
x的图象可知，在上，
满足tan
x≤的角x应满足－所以函数y＝的定义域为
，其值域为[0，＋∞)．
[类题通法]
求正切函数定义域的方法及求值域的注意点
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan
x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．解形如tan
x>a的不等式的步骤：
[活学活用]
求函数y＝的定义域．
答案：
正切函数的单调性及应用
[例2] (1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan与tan的大小．
[解] (1)由kπ－2kπ－所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)由于tan＝tan＝tan＝－tan，tan－＝－tan2π＋＝－tan，
又因为0<<<，
而y＝tan
x在上单调递增，
所以tan－tan，
即tan>tan.
[类题通法]
1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tan
x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
[活学活用]
1．比较tan
1，tan
2，tan
3的大小．
答案：tan
231
2．求函数y＝3tan的单调区间．
答案：单调递减区间为(k∈Z)
与正切函数有关的周期性、奇偶性问题
[例3] (1)求f(x)＝tan的最小正周期；
(2)判断y＝sin
x＋tan
x的奇偶性．
[解] (1)∵tan＝tan，
即tan＝tan，
∴f(x)＝tan的周期是.
(2)定义域为，关于原点对称，
∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin
x－tan
x＝－f(x)，
∴它是奇函数．
[类题通法]
与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．
[活学活用]
关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)有以下几种说法：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
②f(x)的图象关于对称；
③f(x)的图象关于(π－φ，0)对称；
④f(x)是以π为最小正周期的周期函数．
其中不正确的说法的序号是________．
答案：①
[典例] (山东高考)函数y＝xcos
x＋sin
x的图象大致为( )
[解析] 由函数y＝xcos
x＋sin
x是奇函数，排除B.当x＝π时，y＝πcos
π＋sin
π＝－π，排除A.当x＝时，y＝cos
＋sin
>0，排除C.故选D.
[答案] D
[多维探究]
函数图象与解析式的对应在近几年高考中出现得并不频繁，多以选择题的形式出现，解题时常从函数的奇偶性、单调性、图象上的特殊点着手逐一排除错误选项，从而得出正确结论．
[活学活用]
1．(浙江高考)函数f(x)＝cos
x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
答案：D
2．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin
ax的图象不可能是( )
答案：D
3．(浙江高考)函数y＝sin
x2的图象是( )
答案：D
[随堂即时演练]
1．下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是上的增函数的是( )
A．y＝tan
x
B．y＝tan
2x
C．y＝tan
D．y＝|sin
x|
答案：A
2．函数y＝tan(cos
x)的值域是( )
A.
B.
C．[－tan
1，tan
1]
D．以上均不对
答案：C
3．函数y＝5tan的最小正周期是________．
答案：2π
4．函数y＝tan
x－1，x∈的值域为________．
答案：[－2，－1]
5．求函数y＝tan的定义域、最小正周期及单调区间．
答案：定义域为；最小正周期为2π；单调递增区间为－＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)
[课时达标检测]
一、选择题
1．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝
B．x＝－
C．x＝
D．x＝
答案：D
2．在区间内，函数y＝tan
x与函数y＝sin
x的图象交点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C
3．函数y＝的定义域是( )
A．x＋kπ，k∈Z
B．x，k∈Z
C．x，k∈Z
D．x答案：C
4．下列图形分别是①y＝|tan
x|，②y＝tan
x，③y＝tan(－x)，④y＝tan
|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是( )
A．①②③④
B．①③④②
C．③②④①
D．①②④③
答案：D
5．下列关于函数y＝tan的说法正确的是( )
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
答案：B
二、填空题
6．函数f(x)＝tan
ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝1所得线段长为，则f的值是________．
答案：
7．已知函数y＝tan
ωx在内是单调减函数，则ω的取值范围是________．
答案：[－1,0)
8．若直线x＝(|k|≤1)与函数y＝tan的图象不相交，则k＝________.
答案：或－
三、解答题
9．作出函数y＝tan
x＋|tan
x|的图象，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．
解：y＝tan
x＋|tan
x|＝
其图象如图所示，
由图象可知，其定义域是(k∈Z)；值域是[0，＋∞)；单调递增区间是(k∈Z)；最小正周期T＝π.
10．若x∈[－，]，求函数y＝＋2tan
x＋1的最值及相应的x值．
解：y＝＋2tan
x＋1
＝＋2tan
x＋1
＝tan2x＋2tan
x＋2
＝(tan
x＋1)2＋1.
∵x∈[－，]，∴tan
x∈[－，1]．
故当tan
x＝－1，即x＝－时，y取最小值1；
当tan
x＝1，即x＝时，y取最大值5.
11．已知－≤x≤，f(x)＝tan2x＋2tan
x＋2，求f(x)的最值及相应的x值．
解：∵－≤x≤，∴－≤tan
x≤1，
f(x)＝tan2x＋2tan
x＋2＝(tan
x＋1)2＋1，
当tan
x＝－1即x＝－时，f(x)有最小值1，
当tan
x＝1即x＝时，f(x)有最大值5.3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第一课时 两角和与差的正弦、余弦公式
两角和的余弦公式
[提出问题]
问题1：把公式cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β中的β用－β代替，结果如何？
提示：cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β.
问题2：在cos(α±β)的公式中，α，β的条件是什么？
提示：α，β为任意角．
[导入新知]
两角和与差的余弦公式
名称
公式
简记符号
条件
两角和的余弦
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
C(α＋β)
α，β∈R
两角差的余弦
cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
C(α－β)
[化解疑难]
公式C(α＋β)的推导
cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]
＝cos
αcos(－β)＋sin
αsin(－β)
＝cos
αcos
β－sin
αsin
β，
即cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β.
两角和与差的正弦公式
[提出问题]
问题1：由公式C(α＋β)或C(α－β)可求sin
75°的值吗？
提示：可以，因为sin
75°＝cos
15°＝cos(45°－30°)．
问题2：由公式C(α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？
提示：可以，sin(α＋β)＝cos
＝cos＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β.
问题3：能利用上述公式把sin(α－β)用sin
α，cos
α，sin
β，cos
β表示吗？
提示：能．
[导入新知]
两角和与差的正弦公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和的正弦
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β
S(α＋β)
α，β∈R
两角差的正弦
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β
S(α－β)
α，β∈R
[化解疑难]
两角和与差的正弦公式与余弦公式的区别
(1)余弦公式右边函数名的排列顺序为：余·余±正·正，左右两边加减运算符号相反．
(2)正弦公式右边函数名的排列顺序为：正·余±余·正，左右两边加减运算符号相同．
给角求值问题
[例1] (1)·cos
10°＋sin
10°tan
70°－2cos
40°＝________.
(2)求值：(tan
10°－).
[解] (1)2
(2)原式＝(tan
10°－tan
60°)
＝
＝·
＝－2.
[类题通法]
解决给角求值问题的策略
对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善于逆用或变用公式．
[活学活用]
求值：[2sin
50°＋sin
10°(1＋tan
10°)]·.
答案：
给值(式)求值问题
[例2] 已知<α<，0<β<，
cos＝－，sin＝.
(1)求sin(α＋β)的值；
(2)求cos(α－β)的值．
[解] (1)∵<α<，<＋α<π，
∴sin＝
＝.
∵0<β<，<＋β<π，
∴cos＝－
＝－，
∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin
＝－sincos＋cos·sin
＝－＝.
(2)由(1)可知，
sin＝，cos＝－，
∴sin
＝sin＋αcos＋β－cos＋αsin＋β
＝×－×＝－.
又∵sin＝sin
＝－cos(α－β)，
∴cos(α－β)＝.
[类题通法]
给值求值的解题策略
在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、凑角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：
(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．
(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．
[活学活用]
已知α，β是锐角，且sin
α＝，cos(α＋β)＝－，求sin
β的值．
答案：
给值(式)求角问题
[例3] 已知△ABC中，B＝60°，且＋＝－，若A>C，求A的值．
[解] 由已知B＝60°，A＋C＝120°，
设＝α，∵A>C，则α>0，
故A＝＋＝60°＋α，
C＝－＝60°－α，
故＋＝＋
＝＋
＝＝.
由题设有＝－＝－2，
整理得：4cos2α＋2cos
α－3＝0.
即(2cos
α－)(2cos
α＋3)＝0.
∵2cos
α＋3≠0，∴2cos
α－＝0.
∴cos
α＝.
故α＝45°，A＝60°＋45°＝105°.
[类题通法]
解决给值(式)求角问题的方法
解决给值(式)求角问题的关键是寻求所求角的三角函数值与已知值或式之间的关系，利用两角和与差的正、余弦公式，求出所求角的三角函数值，从而求出角．
[活学活用]
已知α，β均为锐角，且sin
α＝，cos
β＝，求α－β的值．
答案：－
[典例] (12分)已知函数f(x)＝sin＋sin＋acos
x＋b(a，b∈R，且均为常数)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上单调递增，且恰好能够取到f(x)的最小值2，试求a，b的值．
[解题流程]
[规范解答](1)f(x)＝sin＋sin＋acos
x＋b＝2sin
xcos＋acos
x＋b＝sin
x＋acos
x＋b＝sin(x＋φ)＋b.(4分)所以，函数f(x)的最小正周期为2π.(6分)(2)由(1)可知：f(x)的最小值为－＋b，所以－＋b＝2.①(8分)另外由f(x)在区间上单调递增，可知f(x)在区间上的最小值为f，所以f＝－＋＋b＝2.②(10分)由①②解得a＝－1，b＝4.(12分)
[名师批注]此处在解题过程中极易忽视.注意对“恰好能够取到f x 的最小值2”的理解，否则无法求解.
[活学活用]
已知函数f(x)＝sin
2x＋sin.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值；(3)求函数f(x)的单调增区间．
答案：(1)π (2)x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)有最大值为2；x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)有最小值为－2
(3)kπ－，kπ＋(k∈Z)
[随堂即时演练]
1．sin
105°的值为( )
A. B.
C.
D.
答案：D
2．若sin(α＋β)cos
β－cos(α＋β)sin
β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( )
A．1
B．－1
C．0
D．±1
答案：C
3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos
αcos
β＝________.
答案：0
4．已知sin
α＝－，α是第四象限角，则sin＝________.
答案：
5．化简求值：
(1)sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)；
(2)cos(70°＋α)sin(170°－α)－sin(70°＋α)cos(10°＋α)；
(3)cos
21°·cos
24°＋sin
159°·sin
204°.
答案：(1)sin
2α (2)－ (3)
[课时达标检测]
一、选择题
1．若cos
α＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A．－
B.
C．－
D.
答案：A
2．在△ABC中，如果sin
A＝2sin
Ccos
B，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
答案：C
3．已知α为钝角，且sin＝，则cos的值为( )
A.
B.
C．－
D.
答案：C
4．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－
cos(θ＋15°)等于( )
A．±1
B．1
C．－1
D．0
答案：D
5．设α，β为钝角，且sin
α＝，cos
β＝－，则α＋β的值为( )
A.
B.
C.
D.或
答案：C
二、填空题
6．已知cos＝sin，则tan
α＝________.
答案：1
7．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos－＝，则cos＝________.
答案：
8．定义运算＝ad－bc.若cos
α＝，＝，0<β<α<，则β＝________.
答案：
三、解答题
9．已知sin(α－β)cos
α－cos(β－α)sin
α＝，β是第三象限角，求sin的值．
解：∵sin(α－β)cos
α－cos(β－α)sin
α
＝sin(α－β)cos
α－cos(α－β)sin
α
＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin
β＝，
∴sin
β＝－，又β是第三象限角，
∴cos
β＝－＝－，
∴sin＝sin
βcos＋cos
βsin
＝×＋×＝－.
10．已知sin
αcos
β＝，求t＝cos
αsin
β的取值范围．
解：由于sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
＝＋t，
sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β＝－t，
又sin(α＋β)∈[－1,1]，sin(α－β)∈[－1,1]，
故有解得－≤t≤.
即t的取值范围为.
11．已知函数f(x)＝2cos，x∈R.设α，β∈，f＝－，f＝，
求cos(α＋β)的值．
解：∵f＝－，
∴2cos＝2cos
＝－，
∴sin
α＝.
又∵f＝，
∴2cos＝2cos
β＝，
∴cos
β＝.
又∵α，β∈，∴cos
α＝，sin
β＝，
∴cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
＝×－×＝－.第二课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
A，ω，φ的物理意义
[导入新知]
在y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(A＞0，ω＞0)中，各参数的物理意义.
振幅
A
它是简谐振动的物体离开平衡位置的最大距离
周期
T＝
它是物体往复运动一次所需要的时间
频率
f＝＝
它是单位时间内往复运动的次数
相位
ωx＋φ
其中φ为初相
[化解疑难]
简记图象变换名称及步骤
(1)函数y＝sin
x到y＝sin(x＋φ)的图象变换称为相位变换；
(2)函数y＝sin
x到y＝sin
ωx的图象变换称为周期变换；
(3)函数y＝sin
x到y＝Asin
x的图象变换称为振幅变换;
(4)函数y＝sin
x到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换途径为相位变换→周期变化→振幅变换或周期变换→相位变化→振幅变换．
函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的有关性质
[导入新知]
函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的有关性质
名称
性质
定义域
R
值域
[－A，A]
对称性
对称中心，k∈Z，对称轴x＝＋，k∈Z
奇偶性
当φ＝kπ，k∈Z时是奇函数
单调性
通过整体代换可求出其单调区间
[化解疑难]
由y＝Asin(ωx＋φ)的性质或部分图象确定解析式
解决问题的关键是确定参数A，ω，φ，基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可以通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为，相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)以寻找“五点法”中的第一个“零点”作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”的位置，来确定φ.
由图象确定函数的解析式
[例1] 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的图象的一部分，求此函数的解析式．
[解] (逐一定参法)
由图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，
∴0＝3sin，
∴－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝，
∴y＝3sin.
[类题通法]
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin
ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．
[活学活用]
1．(全国甲卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
答案：A
2．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为( )
A．－
B．－
C.
D．－
答案：D
函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
[例2] 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的周期为π，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的最值．
[解] (1)由函数f(x)图象上的一个最低点为
M，得A＝2.
由周期T＝π，得ω＝＝＝2.
由点M在图象上，得2sin＝－2，即sin＝－1，所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)．又因为φ∈，所以k＝1，φ＝.所以函数的解析式为f(x)＝2sin.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，所以当2x＋＝，即x＝0时，函数f(x)取得最小值1；当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值
.
[类题通法]
函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
(1)应用的范围：函数的单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等方面都有体现和考查．
(2)解决的方法：有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的运用问题，充分利用三角函数的基本性质，要特别注意整体代换思想的运用．
[活学活用]
设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值．
解：(1)－
(2)单调增区间为(k∈Z)； 单调减区间为(k∈Z)．当x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1；当x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值－1.
5．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的对称性
[典例] 设函数y＝cos
πx的图象位于y轴右侧的所有对称中心从左依次为A1，A2，…，An，…，则A1
006的坐标是________．
[解析] 因为函数y＝cos
ωx的图象的对称中心是点(k∈Z)，
所以y＝cos
πx的图象的对称中心为
(2k＋1,0)(k∈Z)，
所以A1(1,0)，A2(3,0)，…，An(2(n－1)＋1,0)，…，
故A1
006的坐标为(2
011,0)．
[答案] (2
011,0)
[多维探究]
1．对称轴
与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
函数y＝Acos(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
2．对称中心
与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称．
函数y＝Acos(ωx＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称．
[活学活用]
1．函数y＝3sin的图象的一个对称中心是( )
A．(0,0)
B.
C.
D．(3,0)
答案：C
2．已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f＝f，则f的值为________．
答案：2或－2
[随堂即时演练]
1．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
答案：D
2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到的图象的解析式为( )
A．y＝sin
2x
B．y＝cos
2x
C．y＝sin
D．y＝sin
答案：D
3．函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)在一个周期内，当x＝时，函数f(x)取得最大值2；当x＝时，函数f(x)取得最小值－2，则函数解析式为________．
答案：f(x)＝2sin
4．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是______________．
答案：
5.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
答案：φ＝，ω＝2或
[课时达标检测]
一、选择题
1．函数y＝sin(2x＋φ)图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个φ值为( )
A. B. C. D.
答案：A
2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )
A．y＝4sin
B．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2
D．y＝2sin＋2
答案：D
3．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且f(0)＝，则( )
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝
答案：D
4．若f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋m对任意实数t都有f＝f(－t)，且f＝－1，则实数m的值等于( )
A．±1
B．－1或3
C．±3
D．－3或1
答案：D
5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
017)的值等于( )
A.
B．2＋2
C.＋2
D.－2
答案：A
二、填空题
6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.
答案：
7．如图所示的是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA>0，ω>0，|φ|∈的图象的一部分，则f＝________.
答案：3
8．关于函数f(x)＝4sin(x∈R)的说法如下：
①y＝f(x)的解析式可改写为y＝4cos；
②y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；
③y＝f(x)的图象关于点对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．
其中，正确的说法的序号是________．
答案：①③
三、解答题
9．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
解：(1)A＝3，＝＝5π，ω＝.
由f(x)＝3sin过，
得sin＝0，又|φ|<，故φ＝－，
∴f(x)＝3sin.
(2)由f(x＋m)＝3sin
＝3sin为偶函数(m>0)，
知－＝kπ＋，即m＝kπ＋，k∈Z.
∵m>0，∴mmin＝.
故把f(x)的图象向左至少平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．
10．已知函数y＝2cos.
(1)在该函数的图象的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；
(2)将该函数的图象向右平移φ个单位长度后，图象关于原点对称，求φ的最小正值．
解：(1)由2x＋＝kπ，得函数的对称轴方程是
x＝－＋，k∈Z.
所以函数的图象离y轴距离最近的那条对称轴方程为x＝.
(2)将函数y＝2cos的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数图象的解析式是y＝2cos.
因为y＝2cos的图象关于原点对称，所以－2φ＝＋kπ.所以φ＝－，k∈Z.
所以φ的最小正值是.
11．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数解析式；
(2)写出函数的单调区间．
解：(1)依题意，A＝，T＝4×＝4π，
∵T＝＝4π，ω＞0，∴ω＝.
∴y＝sin.
∵曲线上的最高点为，
∴sin＝1.
∴φ＋＝2kπ＋，k∈Z.
∵－＜φ＜，∴φ＝.
∴y＝sin.
(2)令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
∴4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为4kπ－，4kπ＋(k∈Z)．
令2kπ＋≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
∴4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为4kπ＋，4kπ＋(k∈Z)．第一课时 三角函数的诱导公式(一)
[提出问题]
问题1：锐角α的终边与π＋α角的终边位置关系如何？它们与单位圆的交点的位置关系如何？任意角α与π＋α呢？
提示：无论α是锐角还是任意角，π＋α与α的终边互为反向延长线，它们与单位圆的交点关于原点对称．
问题2：任意角α与－α的终边有怎样的位置关系？它们与单位圆的交点有怎样的位置关系？试用三角函数的定义验证－α与α的三角函数值的关系．
提示：α与－α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点P1与P2关于x轴对称，设P1的坐标为(x，y)，则P2的坐标为(x，－y)．sin(－α)＝－y＝－sin
α，cos(－α)＝x＝cos
α，tan(－α)＝－＝－tan
α.
问题3：任意角α与π－α的终边有何位置关系？它们与单位圆的交点的位置关系怎样？试用三角函数定义验证α与π－α的各三角函数值的关系．
提示：
α与π－α的终边关于y轴对称，如图所示，设P1(x，y)是α的终边与单位圆的交点，则π－α与单位圆的交点为P′(－x，y)，P1，P′关于y轴对称，由三角函数定义知，sin(π－α)＝y＝sin
α，cos(π－α)＝－x＝－cos
α，tan(π－α)＝＝－tan
α.
[导入新知]
1．诱导公式二
(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．
如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α.
cos(π＋α)＝－cos_α.
tan(π＋α)＝tan_α.
2．诱导公式三
(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．
如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.
cos(－α)＝cos_α.
tan(－α)＝－tan_α.
3．诱导公式四
(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．
如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝sin_α.
cos(π－α)＝－cos_α.
tan(π－α)＝－tan_α.
[化解疑难]
对诱导公式一～四的理解
(1)公式两边的三角函数名称应一致．
(2)符号由将α看成锐角时α所在象限的三角函数值的符号决定．但应注意，将α看成锐角只是为了公式记忆的方便，事实上α可以是任意角.
给角求值问题
[例1] 求下列三角函数值：
(1)sin(－1
200°)；(2)tan
945°；(3)cos.
[解] (1)sin(－1
200°)＝－sin
1
200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin
120°＝－sin(180°－60°)＝－sin
60°＝－；
(2)tan
945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan
225°＝tan(180°＋45°)＝tan
45°＝1；
(3)cos＝cos＝cos＝cos＝.
[类题通法]
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
[活学活用]
求sin
585°cos
1
290°＋cos(－30°)sin
210°＋tan
135°的值．
答案：tan
θ
化简求值问题
[例2] 化简：(1)＝________；
(2)＝________.
[答案] (1)1 (2)－1
[类题通法]
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
[活学活用]
化简：.
答案：tan
θ
给值(或式)求值问题
[例3] (1)已知sin
β＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )
A．1
B．－1
C.
D．－
(2)已知cos(α－55°)＝－，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值．
[解] (1)D
(2)∵cos(α－55°)＝－<0，且α是第四象限角，
∴α－55°是第三象限角，
∴sin(α－55°)＝－＝－.
∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，
∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]
＝－sin(α－55°)＝.
[类题通法]
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
[活学活用]
已知sin(π＋α)＝－，求cos(5π＋α)的值．
解：当α是第一象限角时，cos(5π＋α)＝－；当α是第二象限角时，cos(5π＋α)＝.
[典例] 化简：cos＋cos(n∈Z)＝________.
[解析] 原式＝cos＋cos.
当n＝2k(k∈Z)时，
原式＝cos＋cos－＋α
＝2cos＋α.
当n＝2k＋1(k∈Z)时，
原式＝cos＋cos
＝－2cos.
故原式＝
[答案]
[易错防范]
1．本题易混淆nπ＋α(n∈Z)和2kπ＋α(k∈Z)的区别，不对n进行奇偶性的讨论，错用诱导公式一，得出2cos的错误答案．
2．在化简三角函数式时，若含有参数，要注意是否需要进行分情况讨论．
[成功破障]
化简：(n∈Z)．
答案：原式＝
[随堂即时演练]
1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos(π－θ)的值为( )
A．－
B．－
C.
D．
答案：C
2．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )
A．－
B.
C．±
D.
答案：B
3．设tan(5π＋α)＝m，则＝______.
答案：
4.的值是________．
答案：－2
5．已知cos＝，求cos的值．
答案：－
[课时达标检测]
一、选择题
1．sin(－225°)＝( )
A.
B．－
C.
D.
答案：A
2．已知sin(π＋α)＝－，那么cos
α的值为( )
A．±
B.
C.
D．±
答案：D
3．若cos(－80°)＝k，则tan
100°＝( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：B
4．已知tan＝，则tan＝( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：B
5．若α∈，tan(α－7π)＝－，则sin
α＋cos
α的值为( )
A．±
B．－
C.
D．－
答案：B
二、填空题
6．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________.
答案：
7．设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2
016)＝－1，则f(2
017)的值为________．
答案：1
8．已知f(x)＝则f＋f的值为________．
答案：－2
三、解答题
9．化简：.
解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝＝－1.
10．已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
解：∵cos(α－75°)＝－<0，且α为第四象限角，
∴α－75°是第三象限角．
∴sin(α－75°)＝－
＝－
＝－.
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
11．已知＝3＋2，
求[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
解：由＝3＋2，
得(4＋2)tan
θ＝2＋2，
所以tan
θ＝＝，
故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·
＝(cos2θ＋sin
θcos
θ＋2sin2θ)·
＝1＋tan
θ＋2tan2θ
＝1＋＋2×2＝2＋.第二课时 三角函数的诱导公式(二)
[提出问题]
如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2.
问题1：P2点的坐标是什么？
提示：P2(y，x)．
问题2：－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？
提示：对称．sin＝cos
α，cos＝sin
α.
[导入新知]
诱导公式五和公式六
[化解疑难]
诱导公式的巧记
诱导公式一～六可归纳为k·±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：
(1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．
(2)“奇”“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的．
(3)“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，再根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．
例如，将cos写成cos，因为1是奇数，则“cos”变为正弦函数符号“sin”，又将α看成第一象限角时，＋α是第二象限角，cos符号为“－”，故有cos＝－sin
α.
给角求值问题
[例1] (1)已知cos
31°＝m，则sin
239°tan
149°的值是( )
A. B.
C．－
D．－
(2)已知sin＝，求cos的值．
[解] (1)B
(2)cos＝cos
＝sin＝.
[类题通法]
角的转化方法
(1)对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数．若转化之后的正角大于360°，再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数．
(2)当化成的角是90°到180°间的角时，再利用180°－α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．
(3)当化成的角是270°到360°间的角时，则利用360°－α及－α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．
[活学活用]
已知cos(π＋α)＝－，求cos的值．
解：若α为第一象限角，cos＝－；若α为第四象限角，cos＝.
化简求值问题
[例2]
已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α为第三象限角，且cos＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
[解] (1)f(α)＝＝－cos
α.
(2)∵cos＝－sin
α＝，∴sin
α＝－.
又∵α为第三象限角，∴cos
α＝－＝－，
∴f(α)＝.
(3)f＝－cos
＝－cos＝－cos
＝－cos＝－.
[类题通法]
化简求值的方法
解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数的基本关系式变形求解．
[活学活用]
已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若角α的终边在第二象限且sin
α＝，求f(α)．
答案：(1)－cos
α (2)
三角恒等式的证明
[例3] 求证：
＝.
[证明] 左边＝
＝
＝＝，
右边＝，所以原等式成立．
[类题通法]
三角恒等式的证明策略
对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
[活学活用]
求证：＋
＝.
证明：左边＝＋
＝＋＝
＝＝＝右边，
∴原式成立．
[典例] (12分)若sin
α＝，求＋的值．
[解题流程]
[规范解答]
＋
＝＋
(3分)
＝＋ (6分)
＝＋＝. (9分)
∵sin
α＝，
∴＝10，(11分)
即原式＝10. (12分)
[名师批注]
[名师批注]
结合诱导公式的特点，可考虑利用公式一、二、四将cos(3π－α)和cos(3π＋α)化简；利用公式一、五、六将其他三角函数式化简．化简过程中要牢记诱导公式，否则极易搞错符号或三角函数名称而导致解题错误．
此处应进行通分化简，要注意公式sin2α＋cos2α＝1的应用.
此处极易被忽视，造成解题步骤缺失而失分.
[活学活用]
已知sin
α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求的值．
答案：
[随堂即时演练]
1．若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案：B
2．已知cos＝，且|φ|<，则tan
φ＝( )
A．－
B.
C．－
D.
答案：C
3．化简：sin(－α－7π)·cos＝________.
答案：－sin2α
4．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
答案：
5．已知cos＝a(|a|≤1)，
求证：cos－sin＝－2a.
证明：∵＋θ＝π－，－θ＝＋，
∴cos－sin
＝cos－sin
＝－cos－cos＝－a－a＝－2a.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列与sin的值相等的式子为( )
A．sin
B．cos
C．cos
D．sin
答案：D
2．已知sin＝，α∈，则tan
α的值为( )
A．－2
B．2
C．－
D.
答案：A
3．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(6π－α)的值为( )
A．－m
B．－m
C.m
D.m
答案：B
4．已知sin(75°＋α)＝，则cos(15°－α)的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
答案：B
5．在△ABC中，下列各表达式为常数的是( )
A．sin(A＋B)＋sin
C
B．cos(B＋C)－cos
A
C．sin2＋sin2
D．sinsin
答案：C
二、填空题
6．若cos
α＝，且α是第四象限角，则cos＝________.
答案：
7．sin2＋sin2＝________.
答案：1
8．已知tan(3π＋α)＝2，
则
＝________.
答案：2
三、解答题
9．已知cos(15°＋α)＝，α为锐角，求
的值．
解：原式＝
＝
＝－
＝－＋
.
∵α为锐角，即0°<α<90°，
∴15°<α＋15°<105°，
又cos(15°＋α)＝，∴sin(15°＋α)＝，
∴原式＝－＋＝.
10．求证：＋
＝.
证明：左边＝＋
＝＋＝
＝＝＝右边．
11．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在角α，β满足条件，
则
由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，∴sin
α＝±.
∵α∈，∴α＝±.
当α＝时，cos
β＝，∵0<β<π，∴β＝；
当α＝－时，cos
β＝，∵0<β<π，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝，β＝满足条件.2.2.2 向量减法运算及其几何意义
相反向量
[提出问题]
问题1：一个数a的相反数是什么？
提示：－a.
问题2：一个向量有相反向量吗？
提示：有，向量a的相反向量是－a.
[导入新知]
相反向量
与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；
(2)－(－a)＝a；
(3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
[化解疑难]
对相反向量的理解
(1)两个非零向量a与b互为相反向量应具备两个条件：①长度相等；②方向相反．二者缺一不可．
(2)与互为相反向量，且＋＝0.
向量的减法
[提出问题]
问题1：两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零吗？
提示：不是，是零向量．
问题2：根据向量加法，如何求作a－b
提示：①先作出－b；②再按三角形法则或平行四边形法则进行．
[导入新知]
向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
(2)几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则
＝a－b，如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
[化解疑难]
透析差向量的作法
(1)表示a－b.强调：差向量“箭头”指向被减向量．
(2)可以用向量减法的三角形法则作差向量，也可以用向量减法的定义a－b＝a＋(－b)(即平行四边形法则)作差向量，显然，后一种方法作图较烦琐．
作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点，指向被减”．
向量的减法运算
[例1] 化简：(1)(－)－(－)；
(2)(＋＋)－(－－)．
[解] (1)(－)－(－)
＝(＋)－(＋)＝－＝0.
(2)(＋＋)－(－－)
＝(＋)－(－)＝－＝0.
[类题通法]
1．向量减法运算的常用方法
2．向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和；
(2)起点相同且为差．
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．
[活学活用]
化简下列各式：
(1)－－；(2)＋－；(3)－－.
答案：(1) (2) (3)
向量的减法及其几何意义
[例2] (1)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A．－＝
B．＋＝
C．＝
D．＋＝0
(2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
[解] (1)A
(2)如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
[类题通法]
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
[活学活用]
在本例(2)的条件下作出向量：
(1)a－b＋c；(2)a－b－c.
答案：如图所示．
利用已知向量表示未知向量
[例3] 如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
[解] 由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，
则(1)＝＋＋＝d＋e＋a.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝a＋b＋e.
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
[类题通法]
用已知向量表示某向量的基本步骤
第一步：观察各向量的位置；
第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；
第三步：运用法则找关系；
第四步：化简结果．
[活学活用]
如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3)－；
(4)＋；
(5)－.
答案：(1)c－a (2)d－a (3)d－b (4)b－a＋f－c (5)f－d
[典例] 设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8
B．4
C．2
D．1
[解析] 以，为邻边作平行四边形ACDB，则由向量加、减法的几何意义可知＝＋，＝－，因为|＋|＝|－|，所以||＝||.
又四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB.
则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，||＝||＝2.
[答案] C
[多维探究]
1．平行四边形中有关向量的以下结论，在解题中可以直接使用：(1)对角线平方和等于四边的平方和，即|a＋b|2＋b|2＝2(|a|2＋|b|2)；(2)若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形．
2．高考对向量加法、减法的考查，重在考查对加法法则、减法法则的理解，要特别注意首尾顺次相接的若干向量的和为0.一般将向量放在具体的几何图形中，常见的有三角形、四边形(平行四边形、矩形、菱形)、正六边形等．
[活学活用]
1．如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0
B．
C．
D．
答案：D
2．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A．＋＋＝0
B．－＋＝0
C．＋－＝0
D．－－＝0
答案：A
[随堂即时演练]
1．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b
B．b－a
C．a＋b
D．－a－b
答案：D
2．化简以下各式：
(1)＋＋；(2)－＋；(3)
＋＋－.
结果为零向量的式子个数是( )
A．0
B．1 C．2 D．3
答案：D
3.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．
答案：b－c
4．化简＋－－－的结果是________．
答案：
5．已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：＋＝＋.
证明：
如图，在四边形CDEF中，＋＋＋＝0，
所以＝－－－
＝＋＋.①
在四边形ABFE中，＋＋＋＝0，
所以＝＋＋.②
①＋②，得
＋＝＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)．
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴＋＝0，＋＝0，
∴＋＝＋.
[课时达标检测]
一、选择题
1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A．＝＋
B．＝－
C．＝－＋
D．＝－－
答案：B
2．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|的值为( )
A．0
B．1
C.
D．2
答案：B
3．已知一点O到 ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于( )
A．a＋b＋c
B．a－b＋c
C．a＋b－c
D．a－b－c
答案：B
4．有下列不等式或等式：
①|a|－|b|<|a＋b|<|a|＋|b|；
②|a|－|b|＝|a＋b|＝|a|＋|b|；
③|a|－|b|＝|a＋b|<|a|＋|b|；
④|a|－|b|<|a＋b|＝|a|＋|b|.
其中，一定不成立的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：A
5．平面上有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若m，n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在同一直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
答案：C
二、填空题
6．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝__________，|a－b|＝________.
答案：0 2
7．在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|＝______.
答案：2
8．设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|＝2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i＝1,2,3，则b1－b2＋b3＝________.
答案：0
三、解答题
9．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于一点O，若a＝，b＝，c＝，求证：c＋a－b＝.
证明：在 ABCD中，＝，＝，
∴c＋a－b＝＋－＝＋(－)
＝＋＝.
10．如图，在正五边形ABCDE中，若＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，求作向量a－c＋b－d－e.
解：a－c＋b－d－e
＝(a＋b)－(c＋d＋e)
＝(＋)－(＋＋)
＝－
＝＋.
如图，连接AC，并延长至点F，
使CF＝AC，则＝.
所以＝＋，
即为所求作的向量a－c＋b－d－e.
11．设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示，，.
解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，
∴＝＋＝a＋b，
∴＝－＝c－(a＋b)＝c－a－b.
又四边形ODHC为平行四边形，
∴＝＋＝c＋a＋b，
∴＝－＝a＋b＋c－b＝a＋c.1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
正弦函数的图象
[提出问题]
问题1：如何用描点法画y＝sin
x在[0,2π]上的图象？
提示：列表取值→描点→连线．
问题2：如何较准确地画出y＝sin
x在[0,2π]上的图象？
提示：利用正弦线．
问题3：如果有了正弦函数在[0,2π]上的图象，怎样才能得到在R上的图象？
提示：因为sin(x＋2kπ)＝sin
x(k∈Z)，所以只需将这段图象向左、右两方向平移(每次2π个单位长度)即可得到．
[导入新知]
1．正弦曲线
正弦函数y＝sin
x，x∈R的图象叫正弦曲线．
2．正弦函数图象的画法
(1)几何法：
①利用正弦线画出y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法：
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
[化解疑难]
y＝sin
x，x∈[0,2π]与y＝sin
x，x∈R的图象的关系
(1)y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象是y＝sin
x，x∈R的图象的一部分．
(2)y＝sin
x，x∈R的图象可由y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象左右平移(每次2π个单位长度)得到，因为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数y＝sin
x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图象与函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象的形状完全一样，只是位置不同.
余弦函数的图象
[提出问题]
问题1：根据诱导公式能得到某一角的正弦与余弦之间的等量关系吗？
提示：能，
sin＝cos
x.
问题2：根据关系式sin＝cos
x怎样才能得到y＝cos
x的图象？
提示：将正弦曲线向左平移个单位长度即可．
[导入新知]
1．余弦曲线
余弦函数y＝cos
x，x∈R的图象叫余弦曲线．
2．余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cos
x的图象，只需把y＝sin
x的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cos
x＝sin.
(2)用“五点法”：画余弦曲线y＝cos
x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
[化解疑难]
正弦函数、余弦函数图象中五点的确定
y＝sin
x，x∈[0,2π]与y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象与x轴的交点；②图象上的最高点和最低点．其中y＝sin
x，x∈[0,2π]与x轴有三个交点：(0,0)，(π，0)，(2π，0)，图象上有一个最高点，一个最低点；y＝cos
x，x∈[0,2π]与x轴有两个交点：，，图象上有两个最高点(0,1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)．
用“五点法”作简图
[例1] 作出下列函数在[－2π，2π]上的图象：
(1)y＝1－cos
x；(2)y＝.
[解] (1)描点，，，，，连线可得函数在[0,2π]上的图象，关于y轴作对称图形即得函数在[－2π，2π]上的图象，所得图象如图所示：
(2)由于y＝＝|cos
x|，所以只需作出函数y＝|cos
x|，x∈[－2π，2π]的图象即可．而函数y＝|cos
x|，x∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y＝cos
x，x∈[－2π，2π]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如图中实线所示：
[类题通法]
用“五点法”画函数y＝Asin
x＋b(A≠0)或y＝Acos
x＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤如下：
(1)列表：
x
0
π
2π
sin
x(或cos
x)
y
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，，(π，y)，，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．
[活学活用]
1．画出函数y＝3＋2cos
x，x∈[0,2π]的简图．
解：列表：
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
3＋2cos
x
5
3
1
3
5
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，得函数y＝3＋2cos
x，x∈[0,2π]的图象(如图所示)．
2．画出函数y＝sin
x－1在[0,2π]上的简图．
解：列表：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
sin
x－1
－1
0
－1
－2
－1
描点连线可得y＝sin
x－1在[0,2π]上的图象(如图所示)．
正、余弦函数图象的简单应用
[例2] 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．
(1)sin
x≥；(2)cos
x≤.
[解] (1)作出正弦函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z.
(2)作出余弦函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z.
[类题通法]
用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；
(3)根据公式一写出定义域内的解集．
[活学活用]
1．在[0,2π]内，使sin
x>cos
x成立的x的取值范围是( )
A.∪ B.
C.
D.∪
答案：C
2．利用正弦曲线，求满足x≤
的x的集合．
答案：x＋2kπ
[典例] 判断方程－cos
x＝0的根的个数．
[解] 设f(x)＝，g(x)＝cos
x，在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图：
由图可知，f(x)与g(x)的图象有三个交点，故方程－cos
x＝0有三个根．
[多维探究]
1．求f(x)－Asin
x＝0(A≠0)或f(x)－Acos
x＝0(A≠0)的根的个数，运用数形结合，转化为函数图象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于y＝－1与y＝1之间，只需考虑－A≤f(x)≤A
的x的范围，在该范围内f(x)的图象与Asin
x或Acos
x图象交点的个数即方程根的个数．
2．准确画出图象是解决此类问题的关键，同时要注意相关问题的求解．
[活学活用]
1．方程cos
x＝lg
x的实根的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．无数
答案：C
2．函数f(x)＝－cos
x在[0，＋∞)内( )
A．没有零点
B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点
D．有无穷多个零点
答案：B
3．函数y＝sin
x＋2|sin
x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝的交点共有________个．
答案：4
[随堂即时演练]
1．函数y＝－cos
x的图象与余弦函数图象( )
A．关于x轴对称
B．关于原点对称
C．关于原点和x轴对称
D．关于原点和坐标轴对称
答案：C
2．与图中曲线对应的函数是( )
A．y＝sin
x
B．y＝sin
|x|
C．y＝－sin
|x|
D．y＝－|sin
x|
答案：C
3．y＝1＋sin
x，x∈[0,2π]的图象与y＝的交点的个数是________．
答案：2
4．函数y＝的定义域是________．
答案：，k∈Z
5．用“五点法”作出函数y＝1＋2sin
x，x∈[0,2π]的图象．
解：列表：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
1＋2sin
x
1
3
1
－1
1
在直角坐标系中描出五点(0,1)，，(π，1)，，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sin
x，x∈[0,2π]的图象．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列函数图象相同的是( )
A．f(x)＝sin
x与g(x)＝sin(π＋x)
B．f(x)＝sin与g(x)＝sin
C．f(x)＝sin
x与g(x)＝sin(－x)
D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sin
x
答案：D
2．对余弦函数y＝cos
x的图象，有以下描述：
①向左向右无限延伸；②与y＝sin
x的图象形状完全一样，只是位置不同；③与x轴有无数多个交点；④关于y轴对称．
其中正确的描述有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：D
3．函数y＝cos的图象是( )
答案：B
4．不等式cos
x<0，x∈[0,2π]的解集为( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
5．要得到正弦曲线，只要将余弦曲线( )
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移π个单位长度
答案：A
二、填空题
6．当x∈[－π，π]时，y＝x与y＝sin
x的图象交点的个数为________．
答案：3
7．函数y＝2cos
x，x∈[0,2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．
答案：4π
8．方程sin
x＝lg
x的解有________个．
答案：3
三、解答题
9．利用“五点法”作出y＝sin的图象．
解：列表如下.
x
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
描点连线如图．
10．作出函数y＝－sin
x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
①sin
x>0，②sin
x<0.
(2)直线y＝与y＝－sin
x的图象有几个交点？
解：利用五点法作图．
(1)根据图象，可知图象在x轴上方时，－sin
x>0，
在x轴下方时，－sin
x<0，
所以当x∈(－π，0)时，－sin
x>0，sin
x<0；
当x∈(0，π)时，－sin
x<0，sin
x>0.
(2)画出直线y＝，由图象可知有两个交点．
11．方程sin
x＝在x∈上有两个实数根，求a的取值范围．
解：首先作出y＝sin
x，x∈的图象，然后再作出y＝的图象，如果y＝sin
x，x∈与y＝的图象有两个交点，方程sin
x＝，x∈就有两个实数根．
设y1＝sin
x，x∈，y2＝.
y1＝sin
x，x∈的图象如图．
由图象可知，当≤<1，即－1x，x∈的图象与y＝的图象有两个交点，即方程sin
x＝在x∈上有两个实根．1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第一课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)
正弦、余弦函数的周期性
[提出问题]
问题1：终边相同的角的三角函数值有什么关系？
提示：相等．即sin(2kπ＋x)＝sin
x，cos(2kπ＋x)＝cos
x(k∈Z)．
问题2：正弦曲线具有什么特点？
提示：“周而复始”，每隔2π就重复一次．
问题3：余弦曲线是否也具有上述特点？
提示：是．
[导入新知]
1．函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦、余弦函数的周期性
正弦函数y＝sin
x(x∈R)和余弦函数y＝cos
x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π.
[化解疑难]
细解周期函数
(1)一定要强调是对定义域内的每一个值都有f(x＋T)＝f(x)成立，即x的任意性，否则不能说y＝f(x)是周期函数．
(2)并非所有周期函数都有最小正周期．例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，最小正数不存在，所以常数函数没有最小正周期．
(3)在周期函数y＝f(x)中，若x∈D，则x＋nT∈D(n∈Z)，从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界.
正弦、余弦函数的奇偶性
[提出问题]
问题1：正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性？
提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．
问题2：诱导公式sin(－x)＝－sin
x，cos(－x)＝cos
x体现了函数的什么性质？
提示：奇偶性．
[导入新知]
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
[化解疑难]
函数y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)奇偶性的判断方法
由于函数y＝Asin
ωx(Aω≠0)是奇函数，y＝Acos
ωx(Aω≠0)是偶函数，因此判断函数y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)是否具备奇偶性，关键是看它们能否通过诱导公式转化为y＝Asin
ωx(Aω≠0)或y＝Acos
ωx(Aω≠0)．
函数的周期
[例1] 求下列三角函数的周期：
(1)y＝3sin
x，x∈R；
(2)y＝cos
2x，x∈R；
(3)y＝sin，x∈R；
(4)y＝|cos
x|，x∈R.
[解] (1)因为3sin(x＋2π)＝3sin
x，由周期函数的定义知，y＝3sin
x的周期为2π.
(2)因为cos2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos
2x，由周期函数的定义知，y＝cos
2x的周期为π.
(3)因为sin＝sinx＋2π－
＝sin，
由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π.
(4)y＝|cos
x|的图象如图(实线部分)所示，
由图象可知，y＝|cos
x|的周期为π.
[类题通法]
求函数最小正周期的常用方法
求三角函数的周期，一般有两种方法：①公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的形式，再利用T＝求得；②图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期．
[活学活用]
求下列函数的最小正周期：
(1)y＝3sin；(2)y＝cos|x|.
答案：(1)4 (2)2π
三角函数的奇偶性
[例2] (1)函数f(x)＝sin
2x的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
(2)判断函数f(x)＝sin的奇偶性．
[解析] (1)(1)A
(2)∵f(x)＝sin＝－cosx，
∴f(－x)＝－cos＝－cosx，
∴函数f(x)＝sin为偶函数．
[类题通法]
与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
[活学活用]
1．函数y＝cos的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数也是偶函数
答案：A
2．若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ等于( )
A．0 B. C. D．π
答案：C
三角函数的奇偶性与周期性的应用
[例3] 已知函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin
x，则f的值为( )
A．－ B.
C．－
D.
[答案] D
[类题通法]
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法
利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题．
[活学活用]
已知f(x)是以π为周期的偶函数且x∈时，f(x)＝1－sin
x，求x∈时，f(x)的解析式．
答案：f(x)＝1－sin
x，x∈
[典例] 函数y＝3sin的最小正周期是π，则a＝______.
[解析] ∵＝π，∴|a|＝2，∴a＝±2.
[答案] ±2
[易错防范]
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为，若忽视这一点，则易得出a＝2的错误答案．
2．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)，T＝.
[成功破障]
函数y＝2cos的最小正周期为4π，则ω＝______.
答案：±
[随堂即时演练]
1．函数y＝－cos的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案：A
2．函数f(x)＝7sin是( )
A．周期为3π的偶函数
B．周期为2π的奇函数
C．周期为3π的奇函数
D．周期为的偶函数
答案：A
3．f(x)＝sin
xcos
x是________(填“奇”或“偶”)函数．
答案：奇
4．函数y＝cos的最小正周期是________．
答案：4
5．求y＝|sin
x|＋|cos
x|的最小正周期，并判断其奇偶性．
答案：最小正周期为；偶函数
[课时达标检测]
一、选择题
1．(陕西高考)函数f(x)＝cos的最小正周期是( )
A.
B．π
C．2π
D．4π
答案：B
2．函数y＝4sin(2x＋π)的图象关于( )
A．x轴对称
B．原点对称
C．y轴对称
D．直线x＝对称
答案：B
3．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是( )
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
答案：B
4．已知a∈R，函数f(x)＝sin
x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于( )
A．0
B．1
C．－1
D．±1
答案：A
5．函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )
A．10
B．11
C．12
D．13
答案：D
二、填空题
6．函数f(x)＝sin(ω>0)的周期为，则ω＝________.
答案：8
7．函数f(x)＝的奇偶性为________．
答案：非奇非偶函数
8．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝则f＝________.
答案：
三、解答题
9．已知函数y＝sin
x＋|sin
x|.
(1)画出函数的简图．
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
解：(1)y＝sin
x＋|sin
x|＝
图象如图所示：
(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.
10．设有函数f(x)＝asin和函数g(x)＝bcos(a>0，b>0，k>0)，若它们的最小正周期之和为，且f＝g，f＝－g－1，求这两个函数的解析式．
解：∵f(x)和g(x)的最小正周期和为，
∴＋＝，解得k＝2.
∵f＝g，
∴asin＝bcos，
即a·sin＝b·cos.
∴a＝b，即a＝b.①
又f＝－g－1，
则有a·sin＝－b·cos－1，
即a＝b－1.②
由①②解得a＝b＝1，
∴f(x)＝sin，g(x)＝cos.
11．已知函数y＝5cos(其中k∈N)，对任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值．
解：由5cos＝，
得cos＝.
∵函数y＝cos
x在每个周期内出现函数值有两次，而区间[a，a＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．
即2×≤3，且4×≥3.
∴≤k≤.又k∈N，故k＝2,3.1．2.2 同角三角函数的基本关系
[提出问题]
设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，根据三角函数的定义知y＝sin
α，x＝cos
α，＝tan
α.
问题1：能否根据x，y的关系得到sin
α，cos
α，tan
α的关系？
提示：能，由x2＋y2＝1，得cos2α＋sin2α＝1.
由＝tan
α，得＝tan
α.
问题2：上面两个关系式对任意角都成立吗？
提示：对使三角函数有意义的任意角都成立．
[导入新知]
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tan_α其中α≠kπ＋(k∈Z)．
[化解疑难]
“同角”的含义
“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23α＝1等．
已知一个三角函数值求另两个三角函数值
[例1] (1)已知sin
α＝，并且α是第二象限角，求cos
α和tan
α.
(2)已知cos
α＝－，求sin
α和tan
α.
[解] (1)cos2α＝1－sin2α＝1－2＝2，又因为α是第二象限角，所以cos
α<0，cos
α＝－，tan
α＝＝－.
(2)sin2α＝1－cos2α＝1－2＝2，
因为cos
α＝－<0，所以α是第二或第三象限角，
当α是第二象限角时，sin
α＝，tan
α＝＝－；当α是第三象限角时，sin
α＝－，tan
α＝＝.
[类题通法]
已知三角函数值求其他三角函数值的方法
(1)若已知sin
α＝m，可以先应用公式cos
α＝±，求得cos
α的值，再由公式tan
α＝求得tan
α的值．
(2)若已知cos
α＝m，可以先应用公式sin
α＝±，求得sin
α的值，再由公式tan
α＝求得tan
α的值．
(3)若已知tan
α＝m，可以应用公式tan
α＝＝m sin
α＝mcos
α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos
α＝±，sin
α＝±的值．
[活学活用]
已知tan
α＝，且α是第三象限角，求sin
α，cos
α的值．
答案：sin
α＝－；cos
α＝－
化切求值
[例2] 已知tan
α＝3，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)sin2α＋cos2α.
[解] (1)原式＝＝＝；
(2)原式＝＝＝－；
(3)原式＝＝
＝
＝.
[类题通法]
化切求值的方法技巧
(1)已知tan
α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos
α或cos2α，化成关于tan
α的式子，从而达到求值的目的．
(2)对于asin2α＋bsin
αcos
α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan
α的式子，从而可以求值．
[活学活用]
已知tan
α＝2，求下列各式的值：
(1)；
(2)4sin2α－3sin
αcos
α－5cos2
α.
答案：(1)－1 (2)1
化简三角函数式
[例3] 化简tan
α，其中α是第二象限角．
[解] 因为α是第二象限角，所以sin
α>0，cos
α<0.
故tan
α
＝tan
α
＝tan
α
＝·
＝·＝－1.
[类题通法]
三角函数式化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
[活学活用]
化简：(1)；
(2)，θ是第二象限角．
答案：(1)cos
θ (2)－sin
θcos
θ
证明简单的三角恒等式
[例4] 求证：＝.
[证明] ∵右边＝
＝
＝
＝
＝＝左边，
∴原等式成立．
[类题通法]
简单的三角恒等式的证明思路
(1)从一边开始，证明它等于另一边；
(2)证明左、右两边等于同一个式子；
(3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．
[活学活用]
求证：＝.
证明：∵左边＝
＝
＝＝＝
＝右边，
∴原等式成立．
[典例] 已知0<θ<π，且sin
θ＋cos
θ＝，求sin
θ－cos
θ的值．
[解] ∵sin
θ＋cos
θ＝，
∴(sin
θ＋cos
θ)2＝，
解得sin
θcos
θ＝－.
∵0<θ<π，且sin
θcos
θ<0，
∴sin
θ>0，cos
θ<0，
∴sin
θ－cos
θ>0.
又∵(sin
θ－cos
θ)2
＝1－2sin
θcos
θ
＝，
∴sin
θ－cos
θ＝.
[多维探究]
1．在解决本题的过程中，sin
θcos
θ＝－<0隐含了条件sin
θ>0，cos
θ<0，从而得出sin
θ－cos
θ>0的结论．若忽视该隐含条件极易造成增解的情况，从而导致解题失误．
2．本题考查了sin
θ＋cos
θ，sin
θ－cos
θ以及sin
θcos
θ三者之间的转化．解决此类问题常涉及以下三角恒等式：
①(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ；
②(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θcos
θ；
③(sin
θ＋cos
θ)2＋(sin
θ－cos
θ)2＝2；
④(sin
θ－cos
θ)2＝(sin
θ＋cos
θ)2－4sin
θcos
θ.
上述三角恒等式告诉我们已知sin
θ＋cos
θ，sin
θ－cos
θ，sin
θcos
θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出．
[活学活用]
1．已知0<θ<π，且sin
θ－cos
θ＝，求sin
θ＋cos
θ，tan
θ的值．
答案：sin
θ＋cos
θ＝；tan
θ＝
2．若0<θ<π，sin
θcos
θ＝－，求sin
θ－cos
θ的值．
答案：
[随堂即时演练]
1．已知α∈，sin
α＝，则cos
α等于( )
A.
B．－
C．－
D．
答案：B
2．若α为第三象限角，则＋的值为( )
A．3
B．－3
C．1
D．－1
答案：B
3．已知cos
α－sin
α＝－，则sin
αcos
α的值为________．
答案：
4．已知tan
α＝，则sin
αcos
α的值为________．
答案：
5．化简：
.
答案：1
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知角α是第四象限角，cos
α＝，则sin
α＝( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：B
2．下列结论中成立的是( )
A．sin
α＝且cos
α＝
B．tan
α＝2且＝
C．tan
α＝1且cos
α＝±
D．sin
α＝1且tan
α·cos
α＝1
答案：C
3．已知＝2，则sin
θcos
θ的值是( )
A.
B．±
C.
D．－
答案：C
4．化简(1＋tan2α)·cos2α等于( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
答案：C
5．已知－<θ<，且sin
θ＋cos
θ＝a，其中a∈(0,1)，则关于tan
θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )
A．－3
B．3或
C．－
D．－3或－
答案：C
二、填空题
6．若sin
θ＝－，tan
θ>0，则cos
θ＝________.
答案：－
7．已知0<α<π，sin
α＋cos
α＝，则sin
α－cos
α的值是________．
答案：
8．若sin
α＋cos
α＝，则tan
α＋的值为________．
答案：2
三、解答题
9．已知<θ<π且sin
θ＝，cos
θ＝，求tan
θ的值．
解：∵sin2θ＋cos2θ＝1，
∴2＋2＝1，
整理得m2－8m＝0，
∴m＝0或m＝8.
当m＝0时，sin
θ＝－，不符合<θ<π，舍去，
当m＝8时，sin
θ＝，cos
θ＝－，满足题意．
∴tan
θ＝＝－
10．已知α是第二象限角，tan
α＝－，求cos
α.
解：∵α是第二象限角，∴cos
α<0.
由tan
α＝＝－，得sin
α＝－cos
α.
代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＋cos2α＝1，cos2α＝.
∴cos
α＝－.
11．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin
θ和cos
θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及θ的值．
解：因为已知方程有两根，
所以
(1)＋＝＋＝＝sin
θ＋cos
θ＝.
(2)对①式两边平方，得1＋2sin
θcos
θ＝，
所以sin
θcos
θ＝.
由②，得＝，所以m＝.
由③，得m≤，所以m＝.
(3)因为m＝，
所以原方程为2x2－(＋1)x＋＝0.
解得x1＝，x2＝，
所以或
又因为x∈(0,2π)，所以θ＝或θ＝.1.2.1 任意角的三角函数
第一课时 三角函数的定义
任意角的三角函数的定义
[提出问题]
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
问题1：角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
提示：sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝.
问题2：对于确定的角α，sin
α，cos
α，tan
α是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
提示：否．
问题3：若|OP|＝1，则P点的轨迹是什么？这样表示sin
α，cos
α，tan
α有何优点？
提示：P点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的单位圆，即P点是单位圆与角α终边的交点，在单位圆中定义sin
α，cos
α，tan
α更简便．
[导入新知]
1．任意角三角函数的定义
(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆．
(2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin
α，即sin
α＝y；x叫做α的余弦，记作cos
α，即cos
α＝x；叫做α的正切，记作tan
α，即tan
α＝(x≠0).
2．三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．
[化解疑难]
对三角函数定义的理解
(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应．
(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．
(3)三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关.
三角函数值的符号
[提出问题]
问题1：若角α是第二象限角，则它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？
提示：若角α为第二象限角，则x＜0，y＞0,
sin
α＞0，cos
α＜0，tan
α＜0.
问题2：当角α是第四象限角时，它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？
提示：sin
α＜0，cos
α＞0，tan
α＜0.
问题3：取角α分别为30°，390°，－330°，它们的三角函数值是什么关系？为什么？
提示：相等．因为它们的终边重合．
问题4：取α＝90°，－90°时，它们的正切值存在吗？
提示：不存在．
[导入新知]
1．三角函数的定义域
三角函数
定义域
sin
α
R
cos
α
R
tan
α
2．三角函数值的符号
[化解疑难]
巧记三角函数值的符号
三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．即第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四象限只有余弦值为正.
诱导公式一
[提出问题]
问题：若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin
α与sin
β，cos
α与cos
β，tan
α与tan
β之间有什么关系？
提示：sin
α＝sin
β，cos
α＝cos
β，tan
α＝tan
β.
[导入新知]
终边相同的角的同一三角函数的值
(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等．
(2)公式：sin(α＋k·2π)＝sin_α，
cos(α＋k·2π)＝cos_α，
tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.
[化解疑难]
诱导公式一的结构特点
(1)其结构特点是函数名相同，左边角为α＋k·2π，右边角为α.
(2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现．
(3)此公式也可以记为：sin(α＋k·360°)＝sin
α，cos(α＋k·360°)＝cos
α，tan(α＋k·360°)＝tan
α，其中k∈Z.
三角函数的定义及应用
[例1] (1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin
α＝________，cos
α＝________，tan
α＝________.
(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin
α，cos
α，tan
α的值．
[解] (1)－ －
(2)直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin
α＝，cos
α＝－，tan
α＝－；
在第四象限取直线上的点(1，－)，则r＝＝2，所以sin
α＝－，cos
α＝，tan
α＝－.
[类题通法]
利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．
②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sin
α＝，余弦值cos
α＝，正切值tan
α＝.
(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
[活学活用]
已知角α终边上一点P的坐标为(4a，－3a)(a≠0)，求2sin
α＋cos
α的值．
答案：2sin
α＋cos
α＝
三角函数值符号的运用
[例2] (1)若sin
αtan
α<0，且<0，则角α是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
(2)判断下列各式的符号：
①sin
105°·cos
230°；②cos
3·tan.
[解] (1)C
(2)①∵105°，230°分别为第二、第三象限角，
∴sin
105°>0，cos
230°<0.于是sin
105°·cos
230°<0.
②∵<3<π，∴3是第二象限角，
∴cos
3<0.
又∵－是第三象限角，
∴tan>0，∴cos
3·tan<0.
[类题通法]
三角函数值的符号规律
(1)当角θ为第一象限角时，sin
θ>0，cos
θ>0或sin
θ>0，tan
θ>0或cos
θ>0，tan
θ>0，反之也成立；
(2)当角θ为第二象限角时，sin
θ>0，cos
θ<0或sin
θ>0，tan
θ<0或cos
θ<0，tan
θ<0，反之也成立；
(3)当角θ为第三象限角时，sin
θ<0，cos
θ<0或sin
θ<0，tan
θ>0或cos
θ<0，tan
θ>0，反之也成立；
(4)当角θ为第四象限角时，sin
θ<0，cos
θ>0或sin
θ<0，tan
θ<0或cos
θ>0，tan
θ<0，反之也成立．
[活学活用]
已知点P(tan
α，cos
α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：B
诱导公式一的应用
[例3] 计算下列各式的值：
(1)sin(－1
395°)cos
1
110°＋cos(－1
020°)·sin
750°；
(2)sin＋costan
4π.
[解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin
45°cos
30°＋cos
60°sin
30°
＝×＋×＝＋＝.
(2)原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝.
[类题通法]
诱导公式一的应用策略
应用诱导公式一时，先将角转化为0～2π范围内的角，再求值．对于特殊角的三角函数值一定要熟记．
[活学活用]
求下列各式的值：
(1)sin＋tan；
(2)sin
810°＋cos
360°－tan
1
125°.
答案：(1)＋1 (2)1
1．应用三角函数定义求值
[典例] (12分)已知角α的终边过点P(－3m，m)(m≠0)，求α的正弦、余弦、正切值．
[解题流程]
[规范解答]由题意可得：由|OP|＝＝|m|.(2分)(1)当m>0时，|OP|＝|m|＝m，(4分)则sin
α＝＝，cos
α＝＝－，tan
α＝＝－.(7分)(2)当m<0时，|OP|＝|m|＝－m，(9分)则sin
α＝－，cos
α＝，tan
α＝－.(12分)
[名师批注]由于题目条件中只告诉m≠0，不知道m的符号，因此|OP|＝\r(10)|m|.此处极易忽视此点，误认为|OP|＝\r(10)m，从而导致解题不完整而失分.根据正切函数的定义tan
α＝，本题中tan
α的取值与m的符号无关，即无论m>0还是m<0，tan
α都是＝－.
[活学活用]
已知角α的终边上一点P(－，y)(y≠0)，且sin
α＝y，求cos
α，tan
α的值．
解：当y＝时，cos
α＝－，tan
α＝－；
当y＝－时，cos
α＝－，tan
α＝.
[随堂即时演练]
1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos
α＝( )
A.
B.
C．－
D．－
答案：D
2．若三角形的两内角α，β满足sin
αcos
β<0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上三种情况都可能
答案：B
3．计算：sin＝________.
答案：
4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin
θ＝－，则y＝________.
答案：－8
5．化简下列各式：
(1)acos
180°＋bsin
90°＋ctan
0°；
(2)p2cos
360°＋q2sin
450°－2pqcos
0°；
(3)a2sin－b2cos
π＋absin
2π－abcos
.
答案：(1)－a＋b (2)(p－q)2 (3)a2＋b2
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知角α的终边与单位圆交于点，则sin
α的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
答案：B
2．给出下列函数值：①sin(－1
000°)；②cos；③tan
2，其中符号为负的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：B
3．已知60°角的终边上有一点P(4，a)，则a的值为( )
A.
B．±
C．4
D．±4
答案：C
4．设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A．tan
A与cos
B
B．cos
B与sin
C
C．sin
C与tan
A
D．tan与sin
C
答案：D
5．已知tan
x>0，且sin
x＋cos
x>0，那么角x是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案：A
二、填空题
6．α是第二象限角，P(x,
)是其终边上一点，且cos
α＝x，则x的值为________．
答案：－
7．计算：tan
405°－sin
450°＋cos
750°＝________.
答案：
8．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋＝________.
答案：0
三、解答题
9．如果角α的终边经过点M(1，)，试写出角α的集合A，并求集合A中最大的负角和绝对值最小的角．
解：在0°～360°范围内，tan
α＝且终边在第一象限内，可求得α＝60°.A＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．所以k＝－1时，α＝－300°为最大的负角；k＝0时，α＝60°为绝对值最小的角．
10．已知直线y＝x与圆x2＋y2＝1交于A，B两点，点A在x轴的上方，O是坐标原点．
(1)求以射线OA为终边的角α的正弦值和余弦值；
(2)求以射线OB为终边的角β的正切值．
解：由得或
∵点A在x轴上方，
∴点A，B的坐标分别为，，－，－.
(1)sin
α＝，cos
α＝.
(2)tan
β＝＝1.
11．已知＝－，且lg(cos
α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin
α的值．
解：(1)由＝－，可知sin
α<0，
由lg(cos
α)有意义可知cos
α>0，
所以角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，∴2＋m2＝1，
解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin
α＝＝＝＝－.第二课时 正弦函数、余弦函数的性质(二)
[提出问题]
下图中的曲线分别是正弦函数和余弦函数的图象，根据图象回答以下问题：
问题1：正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？
提示：R.
问题2：正弦函数、余弦函数的值域各是什么？
提示：[－1,1]．
问题3：正弦函数在上函数值的变化有什么特点？余弦函数在[0,2π]上函数值的变化有什么特点？
提示：y＝sin
x在上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1；在上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1.
y＝cos
x在[0，π]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1；在[π，2π]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1.
[导入新知]
正弦函数、余弦函数的性质
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
定义域
R
值域
[－1,1]
图象
单调性
在－＋2kπ，＋2kπ，k∈Z上递增；在＋2kπ，＋2kπ，k∈Z上递减
在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增；在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减
最值
当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1；当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1
当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，ymin＝－1；当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1
对称轴
x＝＋kπ，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
，k∈Z
[化解疑难]
理解正、余弦函数的性质应关注三点
(1)正弦函数(余弦函数)不是定义域上的单调函数．另外，说“正弦函数(余弦函数)在第一象限内是增(减)函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．
(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．
(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.
正、余弦函数的单调性
[例1] 求函数y＝2sin的单调区间．
[解] 令z＝x－，则y＝2sin
z.
∵z＝x－是增函数，
∴y＝2sin
z单调递增(减)时，
函数y＝2sin也单调递增(减)．
由z∈(k∈Z)，
得x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
故函数y＝2sin的单调递增区间为
(k∈Z)．
同理可求函数y＝2sin的单调递减区间为(k∈Z)．
[类题通法]
与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin
z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
[活学活用]
求函数y＝3sin的单调递减区间．
答案：(k∈Z)
三角函数值的大小比较
[例2] 比较下列各组数的大小：
(1)sin
250°与sin
260°；(2)cos与cos.
[解] (1)∵函数y＝sin
x在90°＜x＜270°时单调递减，且90°<250°<260°<270°，
∴sin
250°>sin
260°.
(2)cos＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos.
∵函数y＝cos
x在[0，π]上单调递减，且0<<<π，
∴cos>cos，∴cos>cos.
[类题通法]
比较三角函数值大小的方法
(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．
[活学活用]
1．三个数cos，sin，－cos的大小关系是( )
A．cos>sin>－cos
B．cos>－cos>sin
C．cosD．－cos答案：C
2．比较下列各组数的大小．
(1)cos与cos；
(2)sin
194°与cos
160°.
答案：(1)cos＞cos
(2)sin
194°＞cos
160°
正、余弦函数的最值问题
[例3] 求下列函数的值域：
(1)y＝cos，x∈；
(2)y＝cos2x－4cos
x＋5.
[解] (1)由y＝cos，x∈可得
x＋∈，
函数y＝cos
x在区间上单调递减，
∴函数的值域为.
(2)令t＝cos
x，则－1≤t≤1.
∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
∴t＝－1时，y取得最大值10；
t＝1时，y取得最小值2.
∴y＝cos2x－4cos
x＋5的值域为[2,10]．
[类题通法]
求三角函数值域的常用方法
(1)求解形如y＝asin
x＋b(或y＝acos
x＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin
x，cos
x≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．
(2)求解形如y＝asin2x＋bsin
x＋c(或y＝acos2x＋bcos
x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin
x(或cos
x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin
x(或cos
x)的有界性．
[活学活用]
求函数y＝－2cos2x＋2sin
x＋3，x∈的最大值和最小值．
答案：ymax＝5 ymin＝
[典例] 设sin
x＋sin
y＝，则M＝sin
x－cos2y的最大值为________，最小值为________．
[解析] 由题意，得sin
x＝－sin
y.
由sin
x∈[－1,1]，得
解得－≤sin
y≤1.
∴M＝－sin
y－cos2y
＝sin2y－sin
y－
＝2－.
则当sin
y＝时，Mmin＝－；
当sin
y＝－时，Mmax＝.
[答案] －
[易错防范]
1．本题易忽视隐含条件“－≤sin
y≤1”的挖掘，误认为sin
y∈[－1,1]而导致解题错误．
2．解决此类问题时要注意正、余弦函数的有界性，解题时千万不能忽略转化后的条件限制而扩大取值范围导致错误．
[成功破障]
设－≤x≤，则函数y＝log2(1＋sin
x)＋log2(1－sin
x)的最大值为________，最小值为________．
答案：0 －1
[随堂即时演练]
1．函数y＝2－sin
x的最大值及取最大值时x的值为( )
A．ymax＝3，x＝
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
答案：C
2．y＝cos在[0，π]上的递减区间为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
3．比较大小：sin
________cos
.(填“>”“<”或“＝”)
答案：>
4．若y＝asin
x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝________.
答案：±2
5．求函数y＝sin，x∈[0，π]的单调递增区间．
答案：
[课时达标检测]
一、选择题
1．函数y＝sin的一个对称中心是( )
A. B.
C.
D.
答案：B
2．下列关系式中正确的是( )
A．sin
11°＜cos
10°＜sin
168°
B．sin
168°＜sin
11°＜cos
10°
C．sin
11°＜sin
168°＜cos
10°
D．sin
168°＜cos
10°＜sin
11°
答案：C
3．函数y＝|sin
x|＋sin
x的值域为( )
A．[－1,1]
B．[－2,2]
C．[－2,0]
D．[0,2]
答案：D
4．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
答案：D
5．若函数y＝f(x)同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称；③在区间上是增函数．则y＝f(x)的解析式可以是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝cos
答案：A
二、填空题
6．设x∈(0，π)，则f(x)＝cos2x＋sin
x的最大值是________．
答案：
7．函数f(x)＝sin的图象的对称轴是________．
答案：x＝kπ＋，k∈Z
8．函数y＝－cos的单调递增区间是________．
答案：，k∈Z
三、解答题
9．已知ω是正数，函数f(x)＝2sin
ωx在区间上是增函数，求ω的取值范围．
解：由2kπ－≤ωx≤2kπ＋(k∈Z)得
－＋≤x≤＋(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间是
(k∈Z)．
据题意： (k∈Z)．
从而有解得0<ω≤.
故ω的取值范围是
10．求函数y＝3－4cos，x∈的最大值、最小值及相应的x值．
解：∵x∈，∴2x＋∈，
从而－≤cos≤1.
∴当cos＝1，即2x＋＝0，
即x＝－时，ymin＝3－4＝－1.
当cos＝－，即2x＋＝，
即x＝时，ymax＝3－4×＝5.
11．已知f(x)＝－2asin＋2a＋b，x∈，是否存在常数a，b∈Q，使得f(x)的值域为{y|－3≤y≤－1}？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
解：∵≤x≤，
∴≤2x＋≤，∴－1≤sin≤.
假设存在这样的有理数a，b，则
当a>0时，
解得(不合题意，舍去)；
当a<0时，解得
故a，b存在，且a＝－1，b＝1.3．1.1 两角差的余弦公式
[提出问题]
问题1：当α＝60°，β＝30°时，cos
α－cos
β等于多少？
提示：cos
α－cos
β＝cos
60°－cos
30°＝.
问题2：cos
60°－cos
30°＝cos(60°－30°)成立吗？
提示：不成立．
问题3：cos
α－cos
β＝cos(α－β)成立吗？
提示：不一定．
问题4：单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？与的夹角是多少？
提示：A(cos
α，sin
α)，B(cos
β，sin
β)．与的夹角是α－β.
问题5：你能用几种方法计算·的数量积？
提示：①·＝||·||cos(α－β)＝cos(α－β)．
②·＝(cos
α，sin
α)·(cos
β，sin
β)
＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β.
问题6：根据上面的计算可以得出什么结论？
提示：cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β.
[导入新知]
两角差的余弦公式
公式
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
简记符号
C(α－β)
使用条件
α，β为任意角
[化解疑难]
1．公式C(α－β)的结构特点及适用条件
(1)公式的结构特点
公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
(2)公式的适用条件
公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的相当于公式中的角α，相当于公式中的角β.可用两角差的余弦公式展开，因此对公式的理解要注意结构形式，而不要局限于具体的角．
2．公式的巧记
两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和．
给角求值问题
[例1] 求下列各式的值．
(1)cos
75°cos
15°－sin
75°sin
195°；
(2)sin
46°cos
14°＋sin
44°cos
76°；
(3)cos
15°＋sin
15°.
[解] (1)cos
75°cos
15°－sin
75°sin
195°
＝cos
75°cos
15°－sin
75°sin(180°＋15°)
＝cos
75°cos
15°＋sin
75°sin
15°
＝cos(75°－15°)＝cos
60°＝.
(2)sin
46°cos
14°＋sin
44°cos
76°
＝sin(90°－44°)cos
14°＋sin
44°cos(90°－14°)
＝cos
44°cos
14°＋sin
44°sin
14°
＝cos(44°－14°)＝cos
30°＝.
(3)∵＝cos
60°，＝sin
60°，
∴cos
15°＋sin
15°
＝cos
60°cos
15°＋sin
60°sin
15°
＝cos(60°－15°)＝cos
45°＝.
[类题通法]
利用公式C(α－β)求值的方法技巧
在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，正用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．
[活学活用]
1．cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)＝________.
答案：
2．求的值．
答案：
给值(式)求值问题
[例2] (1)若sin
α－sin
β＝，cos
α－cos
β＝，则cos(α－β)的值为( )
A. B. C. D．1
(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cos
α的值．
[解] (1)A
(2)∵α，β为锐角，∴0<α＋β<π.
又∵cos(α＋β)＝>0，
∴0<α＋β<，∴0<2α＋β<π.
又∵cos(2α＋β)＝，∴0<2α＋β<，
∴sin(α＋β)＝，sin(2α＋β)＝，
∴cos
α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]
＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)
＝×＋×＝.
[类题通法]
给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
[活学活用]
若sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求sin(α＋β)的值．
答案：
给值求角问题
[例3] (1)已知α，β均为锐角，且sin
α＝，sin
β＝，则α－β＝________.
(2)已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
[解] (1)
(2)由α－β∈，cos(α－β)＝－，
可知sin(α－β)＝.
又∵α＋β∈，cos(α＋β)＝，
∴sin(α＋β)＝－，∴cos
2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
∵α－β∈，α＋β∈，
∴2β∈，
∴2β＝π，故β＝.
[类题通法]
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；
(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
[活学活用]
已知α，β都是锐角，cos
α＝，sin(α＋β)＝，求角β的值．
答案：
[典例] 已知α，β为锐角，cos
α＝，sin(α＋β)＝，则cos
β＝________.
[解析] 因为α为锐角，cos
α＝，所以sin
α＝.
因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.
又sin(α＋β)＝<，
所以0<α＋β<或<α＋β<π.
由cos
α＝<，得<α<，
从而<α＋β<π，于是cos(α＋β)＝－，
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝.
[答案]
[易错防范]
本题若不能利用sin(α＋β)＝<将α＋β的范围进一步缩小为0<α＋β<或<α＋β<π，误认为α＋β∈(0，π)，则会得出cos(α＋β)＝±，进而得出cos
β＝或的错误答案．
[成功破障]
已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos的值．
答案：－
[随堂即时演练]
1．cos(α＋β)cos
β＋sin(α＋β)sin
β化简为( )
A．sin(2α＋β)
B．cos(α－2β)
C．cos
α
D．cos
β
答案：C
2．设α∈，若sin
α＝，则cos＝( )
A.
B.
C．－
D．－
答案：B
3．计算：cos(－42°)cos
18°＋sin
42°
sin(－18°)＝______.
答案：
4．已知sin＝，α∈，则cos
α的值为________．
答案：
5．若x∈，且sin
x＝，求2cos＋2cos
x的值．
答案：
[课时达标检测]
一、选择题
1．cos
165°的值是( )
A. B.
C.
D.
答案：D
2．满足cos
αcos
β＝－sin
αsin
β的一组α，β的值是( )
A．α＝，β＝
B．α＝，β＝
C．α＝，β＝
D．α＝，β＝
答案：B
3．已知cos＝，0<θ<，则cos
θ等于( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
4．已知cos＝m，则cos
x＋cos＝( )
A．2m
B．±2m
C.m
D．±m
答案：C
5．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若a＝(cos
A，sin
A)，b＝(cos
B，sin
B)，且a·b＝1，则△ABC一定是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
答案：B
二、填空题
6．计算：(cos
75°＋sin
75°)＝________.
答案：
7．已知sin
α＋sin
β＋sin
γ＝0和cos
α＋cos
β＋cos
γ＝0，则cos(α－β)的值是________．
答案：－
8．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，<α＋β<2π，<α－β<π，则cos
2β＝________.
答案：－1
三、解答题
9．已知向量a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，|a－b|＝，求cos(α－β)的值．
解：∵a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，
∴a－b＝(cos
α－cos
β，sin
α－sin
β)．
∴|a－b|＝
＝
＝＝，
∴2－2cos(α－β)＝，
∴cos(α－β)＝.
10．已知sin
α＝，cos
β＝－，α、β均为第二象限角，求cos(α－β)的值．
解：由sin
α＝，α为第二象限角，
∴cos
α＝－＝－
＝－.
又由cos
β＝－，β为第二象限角，
∴sin
β＝
＝
＝.
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×＝.
11．已知cos＝－，sin＝，且α∈，β∈，求cos的值．
解：∵<α<π，0<β<，
∴<<，0<<，<α＋β<.
∴<α－<π，－<－β<，
<<.
又cos＝－，sin＝，
∴sin＝，cos＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝－＋＝.第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
[提出问题]
问题1：由y＝sin
x的图象能得到y＝sinx＋的图象吗？
提示：能，向左平移个单位长度即可．
问题2：函数y＝sin
x，y＝sin
2x和y＝sinx的最小正周期分别是什么？
提示：它们的最小正周期分别为2π，π，4π.
问题3：y＝sin
2x和y＝sin
的图象是否可以由y＝sin
x的图象得到？
提示：可以．只要“压缩”或“拉伸”y＝sin
x的图象即可．
问题4：对于同一个x，函数y＝2sin
x，y＝sin
x，y＝sin
x的函数值有什么关系？
提示：y＝2sin
x的函数值是y＝sin
x的函数值的2倍，而y＝sin
x的函数值是y＝sin
x的函数值的倍．
[导入新知]
1．φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．
2．ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0且ω≠1)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
3．A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0且A≠1)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0[化解疑难]
由y＝sin
x变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法
(1)先平移后伸缩：
(2)先伸缩后平移：
“五点法”作图
[例1] 作出函数y＝sinx－在长度为一个周期的闭区间上的图象．
[解] 列表：
X＝x－
0
π
2π
x
π
4π
7π
y＝sin
0
0
－
0
描点画图(如图所示)．
[类题通法]
1．“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
2．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤
第一步：列表.
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
－
－
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，得到图象．
[活学活用]
画出函数y＝3sin，x∈R的简图．
解：由T＝，得T＝π.
(1)列表：2x＋取值为0，，π，，2π得到对应的x与y的值如下表：
x
－
2x＋
0
π
2π
3sin
0
3
0
－3
0
(2)描点．
(3)用光滑的曲线顺次连接各点所得图象如图所示．
函数图象的平移变换
[例2] 为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos
2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
[答案] C
[类题通法]
三角函数的平移变换问题的分类及策略
(1)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先将解析式化简为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，即确定A，ω，φ的值，然后确定平移的方向和单位．
(2)确定函数y＝sin
x的图象经过变换后图象对应的函数解析式，关键是明确左右平移的方向的横纵坐标伸缩的量，确定出A，ω，φ的值．
[活学活用]
1．(全国乙卷)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
答案：D
2．设函数f(x)＝cos
ωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
A.
B．3
C．6
D．9
答案：C
函数图象的伸缩变换
[例3] (1)将函数y＝sin
x的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sin
x
B．y＝sin
x
C．y＝sin
2x
D．y＝sin
x
(2)如何由y＝sin
x的图象得到函数y＝3sin的图象？
[解] (1)D
[类题通法]
三角函数图象伸缩变换的两种思路
(1)y＝A1sin
ω1xy＝A2sin
ω1xy＝A2sin
ω2x.
(2)y＝A1sin
ω1xy＝A1sin
ω2xy＝A2sin
ω2x.
[活学活用]
把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y＝sin
x，则( )
A．ω＝2，φ＝
B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝，φ＝
D．ω＝，φ＝
答案：B
[典例] 把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，则所得函数的解析式为( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
[解析] 把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin的图象，即函数解析式为y＝sin，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，可得y＝sin的图象．
[答案] D
[易错防范]
1．在解答过程中，若不能正确理解平移的实质，则会出现y＝sin，得到y＝sin.从而误选C.
2．在解答过程中，若对伸缩变换理解不到位，对横坐标扩大或缩小为原来的倍数把握不准，则易出现对x的系数缩小或扩大的倍数造成失误，会出现y＝sin等类似的错误答案．
3．图象的左右平移是针对x而言的．图象的伸缩变换即周期变换，在变换中纵坐标不变，横坐标变为原来的倍．
[成功破障]
函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得图象的函数解析式为( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
答案：D
[随堂即时演练]
1．将函数y＝sin
2x
的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数的是
( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案：A
2．函数y＝sin在区间上的简图是( )
答案：A
3．将函数y＝cos
x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y＝cos的图象，则φ＝________.
答案：
4．把函数y＝cos
x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，然后将图象沿x轴负方向平移个单位长度，就会得到函数________的图象．
答案：y＝－sin
2x
5．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y＝sin
x的图象相同，求f(x)的解析式．
答案：f(x)＝sin
[课时达标检测]
一、选择题
1．为了得到y＝cos
4x，x∈R的图象，只需把余弦曲线上所有点的( )
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
答案：B
2．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案：B
3．若函数y＝sin
2x的图象经过适当变换可以得到y＝cos
2x的图象，则这种变换可以是( )
A．沿x轴向左平移个单位长度
B．沿x轴向右平移个单位长度
C．沿x轴向右平移个单位长度
D．沿x轴向左平移个单位长度
答案：D
4．把函数y＝cos
2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
答案：A
5．将函数f(x)＝sin
ωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是( )
A.
B．1 C. D．2
答案：D
二、填空题
6．函数y＝－sin的图象与x轴的各个交点中，离原点最近的一点是________．
答案：
7．要得到y＝sin的图象，需将函数y＝cos的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．
答案：
8．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－≤φ<图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度得到y＝sin
x的图象，则函数f(x)的单调递增区间为____________．
答案：，k∈Z
三、解答题
9．已知函数y＝sin＋1.
(1)用“五点法”画出函数的草图；
(2)函数图象可由y＝sin
x的图象怎样变换得到？
解：(1)列表：
2x＋
0
π
2π
x
－
y
1
2
1
0
1
描点，连线如图所示．
将y＝sin＋1在上的图象向左、向右平移(每次π个单位长度)，
即可得到y＝sin＋1的图象．
10．已知函数y＝3sin
2x的图象C1，问C1需要经过怎样的变换得到函数y＝3cos的图象C2，并且平移路程最短？
解：法一：∵y＝3cos
＝3sin
＝3sin＝3sin，
∴可将y＝3sin
2x的图象C1向右平移个单位长度可得C2.
法二：∵y＝3cos＝3sin
＝3sin＝3sin，
∴可将y＝3sin
2x的图象C1向左平移个单位长度可得C2.
综上可知，平移路程最短的方法是向左平移个单位长度．
11．将函数y＝lg
x的图象向左平移1个单位长度，可得函数f(x)的图象；将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)的图象．
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象；
(2)判断方程f(x)＝g(x)解的个数．
解：函数y＝lg
x的图象向左平移一个单位长度，
可得函数f(x)＝lg(x＋1)的图象，即图象C1；函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)＝cos＝cos
2x的图象，即图象C2.
(1)画出图象C1和C2的图象如图．
(2)由图象可知：两个图象共有5个交点．
即方程f(x)＝g(x)解的个数为5.