1．3.1 正弦函数的图象与性质
知识点一：正弦函数的图象
1．正弦函数y＝sinx(x∈R)的图象关于______对称．
A．y轴
B．直线x＝
C．直线x＝π
D．直线y＝0
2．函数f(x)＝x－sinx零点的个数为
A．1
B．2
C．3
D．无数个
3．函数y＝sinx，x∈R的对称中心为__________．
知识点二：正弦函数的性质
4．下列四个函数中，为周期函数的是
A．y＝3sinx
B．y＝3x
C．y＝sin|x|(x∈R)
D．y＝sin(x∈R且x≠0)
5．函数y＝sin(x＋)在下列哪个区间上是递减的
A．[，]
B．[－π，0]
C．[－，]
D．[－，]
6．函数f(x)＝cos(πx－)－1，则下列命题正确的是
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
7．(2010江西高考，文6)函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为
A．[－1,1]
B．[－，－1]
C．[－，1]
D．[－1，]
8．函数y＝的定义域是__________．
9．求使下列函数取得最小值的自变量x的集合，并写出最小值．
(1)y＝－2sinx，x∈R；(2)y＝－2＋sin，x∈R.
知识点三：正弦型函数
10．(2010湖北高考，文2)函数f(x)＝sin(－)，x∈R的最小正周期为
A.
B．π
C．2π
D．4π
11．(2010四川高考，理6)将函数y＝sinx的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是
A．y＝sin(2x－)
B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(x－)
D．y＝sin(x－)
12．用五点法作出函数y＝2sin(x－)＋3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间．
能力点一：函数图象的应用
13．已知简谐运动f(x)＝2sin(x＋φ)(|φ|<)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为
A．T＝6，φ＝
B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝
D．T＝6π，φ＝
14．(2010重庆高考，理6)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则
A．ω＝1，φ＝
B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝－
15．(2010江西高考，文12)四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y＝sin2x，y＝sin(x＋)，y＝sin(x－)的图象如下，结果发现恰有一位同学作出的图象有错误，那么有错误的图象是
16．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图．
(1)求出f(x)的解析式；
(2)若g(x)与f(x)的图象关于x＝2对称，求g(x)的解析式．
能力点二：函数性质的应用
17．把函数y＝sinx(x∈R)的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是
A．y＝sin(2x－)，x∈R
B．y＝sin(＋)，x∈R
C．y＝sin(2x＋)，x∈R
D．y＝sin(2x＋)，x∈R
18．函数f(x)＝()x－sinx在区间[0,2π]上的零点个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
19．函数f(x)＝sin(－2x)的单调增区间为__________.
20．方程sinx＝lgx的实根有__________个．
21．求函数y＝sin2x－sinx＋1在x∈[，]上的最大值和最小值．
22．(2010广东高考，文16)设函数f(x)＝3sin(ωx＋)，ω＞0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．
(1)求f(0)；
(2)求f(x)的解析式；
(3)已知f(＋)＝，求sinα的值．
23．已知函数y＝sinx＋|sinx|.
(1)画出函数的简图．
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
(3)指出这个函数的单调增区间．
24．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为(，)，且此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(，0)．若φ∈(－，)，
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
答案与解析
基础巩固
1．B 2.A 3.(kπ，0)，k∈Z 4.A
5．A y＝sin(x＋)的递减区间是2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴选项A符合要求．
6．D ∵f(x)＝cos(πx－)－1＝sinπx－1，
∴周期T＝＝2.
又∵f(－x)≠±f(x)，
∴f(x)为非奇非偶函数．
7．C 令t＝sinx，则t∈[－1,1]，y＝t2＋t－1＝(t＋)2－，t∈[－1,1]，∴y∈[－，1]．
8．[6kπ－3π，6kπ]，k∈Z
9．解：(1)因为对于y＝sinx，x∈R，当x＝2kπ＋(k∈Z)时有最大值1，所以对于y＝－2sinx，x∈R，当x＝2kπ＋(k∈Z)时有最小值－2，x的集合为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}．
(2)因为对于y＝sinx，x∈R，当x＝2kπ－(k∈Z)时有最小值－1，把当作一个整体，相当于上式中的x，则有当＝2kπ－(k∈Z)时，y＝－2＋sin有最小值，即当x＝6kπ－(k∈Z)时，y＝－2＋sin，x∈R有最小值－3，x的集合为{x|x＝6kπ－，k∈Z}．
10．D
11．C 函数y＝sinx的图象上的点向右平行移动个单位长度可得函数y＝sin(x－)的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sin(x－)的图象，所以所求函数的解析式是y＝sin(x－)．
12．解：(1)列表：
x－
0
π
2π
x
y
3
5
3
1
3
(2)描点．
(3)作图，如下图．周期T＝2π，频率f＝＝，相位为x－，初相为－，最大值为5，最小值为1，函数的减区间为[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z，增区间为[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z.
将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展即得y＝2sin(x－)＋3的图象．
能力提升
13．A
14．D 由图象知T＝π，∴ω＝2.
∴y＝sin(2x＋φ)．
又由于y＝sin(2x＋φ)图象过点(，1)，∴sin(＋φ)＝1.
∴＋φ＝2kπ＋，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝－.
15．C 函数y＝sin2x取最小值－1时x的值为x＝kπ－(k∈Z)，y＝sin(x＋)取最小值－1时x的值为x＝2kπ－(k∈Z)，y＝sin(x－)取最小值－1时x的值为x＝2kπ－(k∈Z)，因此三个函数中没有两个函数有相同的最低点，所以C错误．
16．解：(1)由图知A＝2.周期T＝7－(－1)＝8，
∴＝8，ω＝.
∵点(1,2)在图象上，
∴2＝2sin(·1＋φ)，即sin(φ＋)＝1.
∴φ＝.
∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin(x＋)．
(2)在y＝g(x)的图象上任取一点P(x，y)，则点P关于x＝2的对称点P′(4－x，y)在y＝f(x)的图象上，
∴y＝2sin[·(4－x)＋]，
即y＝2sin(－x)．
∴g(x)的解析式为g(x)＝2sin(－x)．
17．C
18．B
19．[＋kπ，＋kπ]，k∈Z
f(x)＝sin(－2x)
＝－sin(2x－)，
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
20．3
21．解：y＝sin2x－sinx＋1
＝(sinx－)2＋.
∵x∈[，]，
∴由正弦函数的图象知≤sinx≤1.
而函数y＝(t－)2＋在[，1]上单调递增，
∴当sinx＝时，f(x)min＝；
当sinx＝1时，f(x)max＝1.
22．解：(1)由题设可知f(0)＝3sin＝.
(2)∵f(x)的最小正周期为，
∴ω＝＝4.
∴f(x)＝3sin(4x＋)．
(3)由f(＋)＝3sin(α＋＋)
＝3cosα＝，
∴cosα＝.
∴sinα＝±＝±.
拓展探究
23．解：(1)y＝sinx＋|sinx|＝
函数图象如图所示．
(2)由图象知该函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π.
(3)由图象知函数的单调增区间为[2kπ，2kπ＋](k∈Z)．
24．解：(1)依题意，A＝，
T＝4×(－)＝π.
∵T＝＝π，ω>0，∴ω＝2.
∴y＝sin(2x＋φ)．
又曲线上的最高点为(，)，
∴sin(2·＋φ)＝1.
∵－<φ<，
∴φ＝.
∴y＝sin(2x＋)．
(2)列出x、y的对应值表
2x＋
0
π
2π
x
－
y
0
0
－
0
作图如下：1.3.1
正弦函数的图象与性质
1．函数的单调递增区间是( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
2．要得到的图象，只需将y＝sin
2x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
3．已知正弦型函数在一个周期内的图象如图所示，则它的表达式可以为( )
A．
B．
C．
D．
4．已知函数y＝f(x)，f(x)图象上所有点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位长度，得到的曲线与y＝sin
x的图象相同，则y＝f(x)的表达式为( )
A．
B．
C．
D．
5．已知函数，其中k≠0，当自变量x在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有1个周期，则最小的正整数k是( )
A．60
B．61
C．62
D．63
6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是实数集R上的偶函数，则φ的值为__________．
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的图象中，最高点(距原点最近)的坐标是(2，)，由这个最高点到相邻最低点的曲线与x轴交于点(6,0)，则此函数的解析式应为__________．
8．关于函数f(x)＝4
(x∈R)有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0，可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写为；
③y＝f(x)的图象关于点对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
其中正确的命题的序号是__________(注：把你认为正确的命题的序号都填上)．
9．(2012·山东济宁期末)函数f(x)＝Asin(ωx＋θ)的一系列对应值如下表：
x
…
0
…
f(x)
…
0
1
0
－1
0
…
(1)根据表中数据求出f(x)的解析式；
(2)指出函数f(x)的图象是由函数y＝sin
x(x∈R)的图象经过怎样的变化而得到的．
10．已知f(x)＝－2a＋2a＋b，x∈，是否存在常数a，b∈Q，使得f(x)的值域为{y|－3≤y≤}？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1．解析：令2x－∈，k∈Z，
可解得x∈，k∈Z.
故选B．
答案：B
2．答案：A
3．解析：从图象中可以看出，曲线的振幅，周期T＝＝π，
∴ω＝＝2，则有y＝sin(2x＋φ)＋，再将(0,1)代入，得sin
φ＝1，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z.当k＝0时，，故选A．
答案：A
4．解析：采用逆向思维方式，由题意，y＝sin
x的图象沿x轴向右平移个单位长度后，得到，再保持此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到，即y＝f(x)的解析式．
答案：D
5．解析：∵k≠0，
∴函数的周期.
又∵T≤1，
∴|k|≥20π＞62.8.
∴最小的正整数k＝63.
答案：D
6．解析：∵f(x)＝sin(2x＋φ)是实数集R上的偶函数，
∴当x＝0时，sin
φ＝±1.又∵0≤φ≤π，∴φ＝.
答案：
7．解析：依题意，A＝，T＝4×(6－2)＝16，，
∴.再将(2，)代入，有，故，则＋φ＝2kπ＋，∴φ＝2kπ＋，k∈Z.
又∵0＜φ＜π，∴φ＝.
故所求函数的解析式为.
答案：
8．解析：如下图为的图象．
函数图象与x轴的交点均匀分布，相邻的两个交点的距离为，故命题①不正确；与x轴的每一个交点，都是函数图象的一个对称中心，所以命题③正确；函数图象的对称轴都必须经过图象的最高点或最低点，所以直线不是对称轴，故命题④不正确；由诱导公式可知，所以命题②正确．故应填②③.
答案：②③
9．解：(1)由已知条件，可得，ω＝2，
故f(x)＝sin(2x＋θ)，
∴.
∴θ＝＋kπ(k∈Z)．∵|θ|＜，∴θ＝.
∴.
(2)y＝sin
x
.
10．解：因为，所以，
所以－1≤≤.若存在这样的有理数a，b，则
(1)当a＞0时，
解得a＝1，b＝－5(舍去)．
(2)当a＜0时，
解得a＝－1，b＝1.
综上，a，b存在，且a，b的值分别为－1,1.1.3.1
正弦函数的图象与性质
自我小测
1．若将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于点对称，则|φ|的最小值是( )
A．
B．
C．
D．
2．函数y＝2sin的单调递增区间是( )
A．(k∈Z)
B．
(k∈Z)
C．
(k∈Z)
D．(k∈Z)
3．如图所示是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k在一个周期内的图象，那么这个函数的一个解析式为(
)
A．y＝2sin－1
B．y＝2sin－1
C．y＝3sin－1
D．y＝3sin－1
4．已知函数f(x)＝sin，其中k≠0，当自变量x在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有1个周期，则最小的正整数k是( )
A．60
B．61
C．62
D．63
5．已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
6．函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小值为－2，其图象相邻的最高点与最低点的横坐标之差是3π，又图象过(0,1)点，则这个函数解析式是__________．
7．关于函数f(x)＝4sin
(x∈R)有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0，可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；
③y＝f(x)的图象关于点对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．
其中真命题的序号是__________(把你认为正确的命题的序号都填上)．
8．已知函数f(x)＝2sin．
(1)求f(x)的最大值M，最小值N和最小正周期T．
(2)由y＝sin
x的图象经过怎样的变换得到y＝f(x)的图象？
(3)写出函数的对称轴和对称中心．
参考答案
1．解析：将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到的函数为
y＝2sin＝2sin，由3x＋＝kπ，得x＝＋(k∈Z)．
令＋＝．
所以φ＝kπ－
(k∈Z)，|φ|的最小值为．
答案：A
2．答案：B
3．答案：C
4．解析：因为k≠0，
所以函数f(x)＝sin的周期T＝．
又T≤1，所以|k|≥20π>62．8．
所以最小的正整数k＝63．
答案：D
5．解析：结合y＝sin
ωx的图象可知y＝sin
ωx在内单调递减，而y＝sin
＝sin，可知y＝sin
ωx的图象向左平移个单位长度之后可得y＝sin的图象，故y＝sin在内单调递减，故应有 ，解得≤ω≤．
答案：
6．答案：y＝2sin
7．解析：如图所示为y=4sin的图象．
函数图象与x轴的交点均匀分布，相邻的两个交点的距离为，故命题①不是真命题；因为与x轴的每一个交点都是函数图象的一个对称中心，所以③是真命题；因为函数图象的对称轴都必须经过图象的最高点或最低点，所以直线x＝－不是对称轴，故④不是真命题；最后由诱导公式可知cos＝sin＝sin，所以命题②是真命题．所以应填②③．
答案：②③
8．解：(1)M＝2，N＝－2，T＝＝π．
(2)变换步骤是：
①把y＝sin
x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得函数y＝sin的图象；
②把函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得函数y＝sin的图象；
③把函数y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得函数f(x)＝2sin的图象．
(3)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋
(k∈Z)，即对称轴是直线x＝＋
(k∈Z)．令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－
(k∈Z)，
即对称中心是
(k∈Z)．1.3.1
正弦函数的图象与性质
自我小测
1．函数y＝的定义域为( )
A．R
B．{x|x≠kπ，k∈Z}
C．[－1,0)∪(0,1]
D．{x|x≠0}
2．函数f(x)＝x3＋sin
x＋1(x∈R)，若f(－a)＝2，则f(a)的值为( )
A．3
B．0
C．－1
D．－2
3．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin
ax的图象不可能是( )
4．已知函数f(x)＝2sin
x，对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为( )
A．
B．
C．π
D．2π
5．y＝sin
x－|sin
x|的值域是( )
A．[－1,0]
B．[0,1]
C．[－1,1]
D．[－2,0]
6．比较大小：
(1)__________；
(2)__________．
7．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的周期函数，若f(x)＝则＝__________．
8．若f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－sin
x，则当x<0时，f(x)＝__________．
9．已知方程cos2x＋4sin
x－a＝0有解，则a的取值范围是__________．
10．用“五点法”作出函数y＝2－sin
x，x∈[0,2π]的图象．
11．若函数y＝a－bsin
x的最大值为，最小值为－，求函数f(x)＝－4absin
x的最值．
参考答案
1．答案：B
2．答案：B
3．解析：当a＝0时，f(x)＝1，选项C符合；
当0＜|a|＜1时，T＞2π，f(x)的最大值小于2，选项A符合；
当|a|＞1时，T＜2π，选项B符合．
排除选项A，B，C，故选D．
答案：D
4．解析：由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立，
不难发现f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为函数f(x)＝2sin
x的半个周期．
因为f(x)＝2sin
x的周期为2π，
所以|x1－x2|的最小值为π．
答案：C
5．答案：D
6．解析：(1)因为＝，
又＜＜＋＜，但y＝sin
x在上是减函数，
所以＞＝，
即＞．
(2)因为－<－<－＜0，且y＝cos
x在上是增函数，所以
＞．
答案：(1)＞ (2)＞
7．解析：由题意，得＝f
＝＝sin＝sin＝sin＝．
答案：
8．解析：当x<0时，－x>0，
所以f(－x)＝(－x)2－sin(－x)＝x2＋sin
x．
又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
所以f(x)＝－x2－sin
x．
答案：－x2－sin
x
9．答案：[－4,4]
10．解：列表如下：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
2－sin
x
2
1
2
3
2
描点，用光滑曲线连起来，图象如图所示．
11．解：①当b>0时，
由题意，得解得
所以y＝－2sin
x，此时f(x)的最大值为2，最小值为－2．
②当b<0时，由题意，得\
解得
所以y＝2sin
x，此时f(x)的最大值为2，最小值为－2．1.3.1
正弦函数的图象与性质（2）
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.要得到y=sin（2x-）的图象，只要将y=sin2x的图象（
）
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
解析：∵y=sin（2x-）=sin［2（x）］，∴把y=sin2x的图象向右平移，就能得到y=sin（2x-）的图象.
答案：D
2.把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，则所得图象的函数解析式是（
）
A.y=sin（4x+）
B.y=sin（4x+）
C.y=sin4x
D.y=sinx
解析：将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin［2（x-）+］，即y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，就得到函数y=sin2（2x），即y=sin4x的图象.
答案：C
3.函数y=2sin（3x+）的振幅为_____________,周期为_____________,相位为_____________,初期为_____________.
解析：由定义可知，振幅是2，周期为，相位3x+，初期.
答案：2
3x+
4.函数y=2sin（3x+）的对称轴为_____________；对称中心为_____________.
解：观察y=sinx的图象，x=kπ+（k∈Z）是其对称轴，（kπ，0）是其对称中心.
由3x+=kπ+（k∈Z）得x=（k∈Z）为对称轴；由3x+=kπ（k∈Z）得（，0）（k∈Z）为对称中心.
答案：x=（k∈Z）
（，0）（k∈Z）
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.为了得到函数y=3sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin（2x+）的图象上每一点的（
）
A.横坐标变为原来的3倍，纵坐标保持不变
B.纵坐标变为原来的3倍，横坐标保持不变
C.纵坐标变为原来的，横坐标保持不变
D.以上都不对
解析：观察两函数式的关系，相位相同，仅仅是纵坐标为3倍关系，即B项正确.
答案：B
2.(2006高考江苏卷,4)为了得到函数y=2sin(+)，x∈R的图象，只需把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点（
）
A.向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
B.向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
C.向左平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
D.向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
解析：把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到y=2sin（x+），x∈R，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），可得y=2sin(+),
x∈R.
答案：C
3.函数y=2sin（2x+）的图象是（
）
A.关于原点成中心对称的图形
B.关于y轴成轴对称的图形
C.关于直线x=成轴对称的图形
D.关于直线x=成轴对称的图形
解析：当x=时，y=2sin=2为最大值.所以直线x=是该函数的一条对称轴;该函数为非奇非偶函数,所以不关于原点或y轴对称.
答案：D
4.(2005高考福建卷,理6)函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图1-3-2,则（
）
图1-3-2
A.ω=,φ=
B.ω=,φ=
C.ω=,φ=
D.ω=,φ=
解析：由题图易知=2T=8.
而T==8,∴ω=.排除A、B.
∴函数y=sin(x+φ).
显然φ=满足sin(×1+)=1.
而φ=,则sin(×1+)=-1.∴排除D.
答案：C
5.函数y=sinx的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位，所得图象的函数解析式为___________________.
解析：y=sinx→y=3sinx→y=3sin（x-3）=3sin（x-1）.
答案：y=3sin（x-1）
6.已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）,
（1）若A=3，ω=，φ=-，作出该函数在一个周期内的草图；
（2）若y表示一个振动量，其振动频率是，当x=时，相位是，求ω与φ.
解：（1）y=3sin（-），列出下表：
0
π
2π
x
y
0
3
0
-3
0
描出对应五点（x，y），
用光滑曲线连结各点即得所应作的函数图象（见下图）.
（2）依题意，有∴
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知函数y=Asin（ωx+φ）在同一周期内，当x=时，y最大=2；当x=时，y最小=-2，那么函数的解析式为（
）
A.y=2sin（2x+）
B.y=2sin（2x-）
C.y=2sin（2x+）
D.y=2sin（2x-）
解析：由x=时，y最大=2，知A=2，同一周期内，y取最大与最小值时x相差-=.
∴=,T=π.
∴ω==2.
∴y=2sin（2x+φ），代入最大值坐标，得φ=.
答案：A
2.函数y=sin（2x+）的图象的一条对称轴方程为（
）
A.x=
B.x=-
C.x=-
D.x=
解析：依题意，令sin（2x+）=±1，则2x+=kπ+，
从而x=kπ-π，k∈Z.显然k=1时，x=，符合题意.
答案：C
3.已知正弦函数在一个周期内的图象如图1-3-3所示，则它的表达式应为
…（
）
图1-3-3
A.y=sin（2x+）+
B.y=sin（2x-）+
C.y=sin（2x+）+
D.y=sin（2x-）+
解析：从图形中可以看出，曲线的振幅A=，周期T=-（-）=π，ω==2，再将（0，1）代入，有sin（2x+φ）+=1，∴sinφ=1，φ=2kπ+，k∈Z.
答案：A
4.函数y=2sin（-2x）（x∈［0，π］）为增函数的区间是（
）
A.［0，］
B.［，］
C.［，］
D.［，π］
解析：y=2sin（-2x）=-2sin（2x），当2kπ+≤2x≤2kπ+（k∈Z），即kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），当k=0时，得在［0，π］内所求函数的单调增区间［，］.
答案：C
5.已知f（x）=sin（πx-）-1，则下列命题正确的是（
）
A.f（x）是周期为1的奇函数
B.f（x）是周期为2的偶函数
C.f（x）是周期为1的非奇非偶函数
D.f（x）是周期为2的非奇非偶函数
解析：f（x）=sin（πx-）-1=-sin（-πx）-1=-cosπx-1，
∴T==2,且f(x)是偶函数，故选B项.
答案：B
6.已知函数y=f（x），f（x）图象上所有点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到的曲线与y=sinx图象相同，则y=f（x）的图象表达式为（
）
A.y=sin（x-）
B.y=sin（x+）
C.y=sin（x+）
D.y=sin（2x-）
解析：采用逆向思维方式，由题意，y=sinx的图象沿x轴向右平移个单位后得到y=sin（x-），再将此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到y=sin（2x-），此即y=f（x）的解析式.
答案：D
7.下列命题中，真命题的个数为（
）
①若α、β为第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ
②函数y=的定义域为［2kπ-，2kπ+］（k∈Z）
③函数y=Asin（）（A为常数且A≠0）是偶函数
④将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=sin（2x+）的图象
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：对于①可举反例：＞，但sin＜sin；对于②，sin2x＞0，2x∈［2kπ，2kπ+π］，x∈［kπ，kπ+］，k∈Z；对于③，y=Asin（）=Asin（-）=-Acosx，故为偶函数；对于④，y=sin2x→y=sin2（x+）而不是y=sin（2x+）.
答案：B
8.已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象中最高点（距原点最近）的坐标是（2，），由这个最高点到相邻最低点的曲线与x轴交于点（6，0），则此函数的解析式应为________________________.
解析：依题意，A=，T=4×（6-2）=16，ω==，
∴y=sin（x+φ），再将（2，）代入前式，有sin（×2+φ）=，
故sin（+φ）=1，+φ=2kπ+，φ=2kπ+，k∈Z.
又∵0＜φ＜π，∴φ=.∴所求解析式为y=sin（x+）.
答案：y=sin（x+）
9.若f（x）=2sinωx（0＜ω＜1）在区间［0，］上的最大值是，则ω=________________.
解析：∵0＜ω＜1，则T=＞2π,
∴f（x）在区间［0，］上为增函数.
故f（x）max=f（），即2sin=.又0＜ω＜1，则ω=.
答案：
10.已知f（x）=-2asin（2x+）+2a+b，x∈［，］.是否存在常数a、b∈Q，使得f（x）的值域为{y|-3≤y≤-1} 若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由.
解：因为≤x≤，所以≤2x+≤，所以-1≤sin（2x+）≤.
若存在这样的有理数a、b,则
（1）当a＞0时，所以a=1,b=-5(舍去）.
（2）当a＜0时，
所以a=-1，b=1，即a、b存在，且a=-1，b=1.
11.如图1-3-4所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足y=Asin（ωx+φ）+b.
图1-3-4
(1)求这段时间的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式.
解：(1)由图可知，这段时间的最大温差为30-10=20（℃）.
(2)由图可知，半周期为·=14-6=8，∴ω=.
A=（30-10）=10，b=（30+10）=20.
∴y=10sin（x+φ）+20,
将x=6，y=10代入上式可得φ=.
综上，所求的解析式为y=10sin（x+）+20，x∈［6，14］.1.3.1
正弦函数的图象与性质
课后导练
基础达标
1.函数y=1-sinx，x∈［0，2π］的大致图象是…（
）
答案：B
2.已知函数y=2sinωx(ω>0)的图象与直线y+2=0的相邻的两个公共点间的距离为,则ω的值为（
）
A.3
B.
C.
D.
解析：函数y=2sinωx的最小值是-2，它与直线y+2=0的相邻两个公共点之间的距离为一个周期，由=,得ω=3.
答案：A
3.右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成（
）
A.sin(1+x)
B.sin(-1-x)
C.sin(x-1)
D.sin(1-x)
解析：函数y=f(x)的图象过点（1，0），即f(1)=0,可排除A、B.又因y=f(x)的图象过点（0，b)，b>0,即f(0)>0，排除C.故选D.
答案：D
4.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意的实数x，都有f(+x)=f(-x),则f()等于（
）
A.0
B.3
C.-3
D.3或-3
答案：D
5.(2006云南高三统考)
已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)是实数集R上的偶函数,则φ的值是(
)
A.π
B.
C.
D.
解析:∵f(x)=sin(2x+φ)是实数集R上的偶函数,
∴当x=0时,sinφ=±1.又0≤φ≤π,∴φ=.
答案:B
6.函数y=2sin(-2x),x∈［0,π］，函数的增区间是___________.
解析：y=2sin［-(2x)］=-2sin(2x).要使该函数在给定的区间上是增函数，只需+2kπ≤2x≤+2kπ,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.取k=0,得≤x≤.而［,］［0,π］,即在［0，π］上该函数的增区间为［,］.
答案：［,］
7.函数y=3sin(x+)-1的最小正周期是__________.
答案：10
8.当-≤x≤时，函数f(x)=sin(x+)的最大值是__________，最小值是___________.
解析：∵-≤x≤,∴≤x+≤.
令μ=x+,则≤μ≤.
∵-≤sinμ≤1,
∴≤sinμ≤，即≤sin(x+)≤.
∴该函数最大值为，最小值为.
答案：
9.若f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x2-sinx，则当x<0时，f(x)=___________.
解析：设x<0，则-x>0，
∴f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx.
又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=-x2-sinx.
答案：-x2-sinx
综合运用
10.(2006江西高考,2)
函数y=4sin(2x+)+1的最小正周期为(
)
A.
B.π
C.2π
D.4π
解析:T==π.
答案:B
11.(2006江苏高考,4)
为了得到函数y=2sin(+),x∈R的图象,只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上所有的点(
)
A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
B.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
解析:y=2sinx2sin(x+)2sin(+).
答案:C
12.(2006福建高考,16)
已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间［-,］上的最小值是-2,则ω的最小值等于__________.
解析:当ω取最小值时,最小正周期T取得最大值.
∴≤.∴T≤.
∴≤.
∴ω≥.
∴ω的最小值为.
答案:
13.求函数y=的定义域.
解：要使函数有意义，只需sin(2x-)-1≥0，
即sin(2x-)≥.
令μ=2x-,如图,作y=sinμ的图象.在［0，2π］上适合条件的μ的范围是［,］.扩展到整个定义域上，得+2kπ≤μ≤+2kπ,k∈Z,即+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z.化简得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z，即该函数的定义域为［+kπ,+kπ］,k∈Z.
14.若函数f(x)=a-bsinx的最大值为,最小值为-,求函数y=1-acosbx的最值和周期.
解：（1）b>0,当sinx=-1时，f(x)max=;
当sinx=1时，f(x)min=-.
于是
b=1.此时b=1>0符合题意，∴y=1-cosx.
(2)b=0,此时f(x)=a,这与f(x)有最大值,最小值-矛盾.故b=0不成立.
（3）b<0,由题意，得符合题意.
∴y=1-cos(-x),即y=1-cosx.
综上可知，函数y=1-cosx，它的最大值为,最小值为-，周期为2π.
拓展探究
15.已知函数f(x)=sin2x+acosx+-,在0≤x≤上的最大值是1，求a的值.
解：设cosx=t,则f(x)=1-cos2x+acosx+-
=-(t-)2++-.∵0≤x≤,∴0≤cosx≤1,即t∈［0,1］.
(1)0≤a≤2,则t=时,f(x)max=+-.令+-=1,得a=.
（2）a<0,则t=0时，f(x)max=-.令-=1,得a=>0（舍去）.
（3）a>2,则t=1时，f(x)max=a+-.
令a+-=1,得a=<2(舍去）.
综上知，a=.
16.根据y=Asin(ωx+φ)的图象的一段（如图），求其解析式.
解法一：以N为第一个零点，则A=，T=2（-)=π,ω==2.
于是，函数解析式为y=sin(2x+φ).
∵点N（,0)为y=sin(2x+φ)的第一个零点，
∴×2+φ=0.∴φ=.
∴所求解析式为y=sin(2x+).
解法二：以点M（,0)为第一个零点,则A=,T=2(-)=π，ω==2.
于是，函数解析式为y=sin(2x+φ).
∵点M（,0)为函数的第一个零点,
∴2×+φ=0.∴φ=-.
∴所求解析式为y=sin(2x-).正弦函数的图象与性质
1．在下列四个函数中，在区间上为增函数，且以π为最小正周期的偶函数是( )
A．y＝|sin
2x|
B．y＝sin|x|
C．y＝sin
2x
D．y＝|sin
x|
2．在[0,2π]上，满足的x的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
3．已知f(x)＝－1，则下列命题中正确的是( )
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
4．(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A．
B．
C．
D．
5．已知函数f(x)＝2sin
x，对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为( )
A．
B．
C．π
D．2π
6．若f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－sin
x，则当x＜0时，f(x)＝__________.
7．函数y＝sin
x－|sin
x|的值域为__________．
8．(2012·江苏南通期末)设f(x)是定义域为R，最小正周期为的周期函数，若则__________.
9．求函数f(x)＝cos2x－sin
x的最值．
10．设函数，ω＞0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．
(1)求f(0)；
(2)求f(x)的解析式；
(3)已知，求sin
α的值．
参考答案
1．答案：D
2．解析：由正弦函数y＝sin
x的图象，知当x∈时，.
答案：B
3．解析：∵
＝
＝－cos
πx－1，
∴周期为2，且f(x)是偶函数，故选B．
答案：B
4．解析：的单调递增区间：
2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)．
又x∈[－π，0]，从而x∈.
答案：D
5．解析：由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立，
不难发现f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为函数f(x)＝2sin
x的半个周期．
∵f(x)＝2sin
x的周期为2π，
∴|x1－x2|的最小值为π.
答案：C
6．解析：设x＜0，则－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)2－sin(－x)＝x2＋sin
x.
又∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝－x2－sin
x.
答案：－x2－sin
x
7．解析：∵(k∈Z)，
∴y∈[－2,0]．
答案：[－2,0]
8．解析：由题意，得
＝
＝.
答案：
9．解：f(x)＝1－sin2x－sin
x＝.
因为，
所以，
所以当，
即sin
x＝时，f(x)取得最大值；
当，
即sin
x＝时，f(x)取得最小值.
10．解：(1)由题设可知f(0)＝.
(2)∵f(x)的最小正周期为，ω＞0，
∴ω＝＝4.∴.
(3)∵
＝，
∴.
∴.1.3.1
正弦函数的图象与性质（1）
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.用“五点法”画y=sinx，x∈［0，2π］的简图时，正确的五个点应为（
）
A.（0，0），（，1），（π，0），（，-1），（2π，0）
B.（0，0），（，-1），（-π，0），（，1），（-2π，0）
C.（0，1），（，0），（π，1），（，-1），（2π，-1）
D.（0，-1），（，0），（π，-1），（，0），（2π，0）
提示：在［0，2π］上，y=sinx有三个零点、一个最大值点和一个最小值点.
答案：A
2.正弦函数y=sinx的单调增区间是（
）
A.［2kπ，2kπ+π］，k∈Z
B.［2kπ-，2kπ+］，k∈Z
C.［2kπ+π，2kπ+2π］，k∈Z
D.［2kπ+，2kπ+］，k∈Z
解析：由正弦函数的图象性质可直接选择B项.
答案：B
3.函数y=sin2x为（
）
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
解析：根据奇函数的定义f（-x）=-f（x）知，函数y=sin2x是奇函数.
答案：A
4.函数y=sinx+4的值域为_______________________.
解析：因为sinｘ的最大值为1，最小值为-1，所以sinｘ+4的值域为［3，5］.
答案：［3，5］
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.y=sinx的图象的大致形状是图1-3-1中的（
）
图1-3-1
答案：B
2.在［0，2π］上，满足sinx≥的x取值范围是（
）
A.［0，］
B.［，］
C.［，］
D.［，2π］
解析：由正弦函数y=sinx的图象知，当x∈［，］时，sinx≥.
答案：B
3.函数y=sin（）的最小正周期是（
）
A.π
B.2π
C.4π
D.
解析：y=sin（+）=-sin（-），ω=，所以周期T==4π.
答案：C
4.比较大小:
（1）sin_________________cos；
（2）sin（）_________________sin（）.
解析：（1）∵cos=sin（+），又＜＜+＜，y=sinx在［，］上是减函数，
∴sin＞sin（+）=cos，
即sin＞cos.
（2）∵-＜0，sinx在［，0］上是增函数，
∴sin（）＞sin（）.
答案：（1）＞
（2）＞
5.若sinx=，且x∈［，］，则m的取值范围是_________________.
解析：因为x∈［，］，所以|sinx|≤，即｜｜≤2｜1-m｜≤｜2m+3｜.
所以4（1-m）2≤（2m+3）2m≥-.
答案：［，+∞)
6.求函数f（x）=cos2x+sinx在区间［，］上的最小值.
解：∵f（x）=cos2x+sinx=-sin2x+sinx+1=-（sinx）2+，
∵≤x≤，
∴≤sinx≤.
∴当sinx=时，
f（x）min=-（）2+=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知a=sin，b=cos（），c=sin，d=cos，则a、b、c、d的大小关系为（
）
A.a＞b＞c＞d
B.a＜b＜c＜d
C.a＞c＞b＞d
D.a＜c＜b＜d
解析：由题意，a=sin（2π-）=-sin；
b=cos（）=cos；
c=sin（π+）=-sin；
d=cos（3π-）=-cos=-sin.
∵y=sinx在［0，］上单调递增，
∴y=-sinx在［0，］上单调递减.
又∵0＜＜＜＜＜，
∴a＞b＞c＞d.
答案：A
2.已知α、β∈（0，），且cosα＞sinβ，则α+β与的大小关系是（
）
A.α+β＞
B.α+β＜
C.α+β≥
D.α+β≤
解析：因为α、β∈（0，）,则-α∈（0，），又cosα＞sinβ，所以sin（-α）＞sinβ，而sinx在（0，）上是增函数，所以-α＞β，故α+β＜.
答案：B
3.(2006高考江西卷,文2)函数y=4sin(2x+)+1的最小正周期为（
）
A.
B.π
C.2π
D.4π
解析：最小正周期为T==π.
答案：B
4.已知y=f（x）是周期为2π的函数，当x∈［0，2π］时，f（x）=sin，则f（x）=的解集是（
）
A.｛x｜x=2kπ+，k∈Z｝
B.｛x｜x=2kπ+，k∈Z｝
C.｛x｜x=2kπ±，k∈Z｝
D.｛x｜x=2kπ+（-1）k，k∈Z｝
解析：当x∈［0，2π］时，由sin=得=或，即当x∈［-π，π］时，=或，所以x=或.所以x=2kπ±（k∈Z）.
答案：C
5.定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈（0，）时，f（x）=sinx，则f()的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：f（）=f（π+）=f（）=f（π-）=f（-）=f（）.
∵当x∈［0，］时，f（x）=sinx,
∴f（）=sin=,f()=
.
答案：D
6.观察正弦曲线，得到不等式sinx＞1在区间［0，π］内的解集为（
）
A.［0,π］
B.{}
C.
D.{0,,π}
解析：∵sinx的值不大于1,
∴sinx＞1的解集为.
答案:C
7.下列四个函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（
）
A.y=｜sin2x｜
B.y=sin2x
C.y=｜sinx｜
D.y=sinx
解析：y=｜sinx｜的图象如图，符合题目要求.
答案：C
8.函数y=sinx-|sinx|的值域为_________________.
解析：y=（k∈Z），
∴y∈［-2，0］.
答案：［-2，0］
9.函数y=2sin（-x）的单调增区间是_________________.
解析：y=2sin（-x）化为y=-2sin（x）.
∵y=sinu（u∈R）的单调减区间是［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）,
∴y=-2sin（x-）的单调增区间由下面的不等式确定:
2kπ+≤x-≤2kπ+（k∈Z）,
得2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z）.
故函数y=2sin（-x）的单调增区间是［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）.
答案：［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）
10.求函数y=2cos2x+5sinx-4的最大值和最小值.
解：y=2cos2x+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2=-2（sinx-）2+，
∵sinx∈［-1，1］,
∴当sinx=-1,
即x=2kπ-（k∈Z）时，y有最小值-9，
当sinx=1即x=2kπ+（k∈Z）时，y有最大值1.
11.若函数f（n）=sin（n∈Z），求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2
008）的值.
解：∵sin=sin(+2π)=sinπ,
∴f（n）=f（n+12）.
∴f(n)=sin是周期函数,周期为12.
又∵f（1）+f（2）+f（3）+…+f（12）=0，且2
008=12×167+4,
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2
008）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）
=sin+sin+sin+sin=+.
