单位圆与三角函数线
1．若角α的正切线位于第一象限，则角α是( )
A．第一象限的角
B．第一、二象限的角
C．第三象限的角
D．第一、三象限的角
2．下列命题中，正确的是( )
A．三角形的内角必是第一或第二象限的角
B．角α的终边在x轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成了一个点
C．终边在第二象限的角是钝角
D．终边相同的角必然相等
3．若θ∈，则sin
θ＋cos
θ的一个可能值是( )
A．
B．
C．
D．1
4．如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，我们把叫做α的正割，记作sec
α；把叫做α的余割，记作csc
α，则( )
A．
B．
C．
D．
5．已知sin
α＞sin
β，那么下列命题成立的是( )
A．若α，β是第一象限的角，则cos
α＞cos
β
B．若α，β是第二象限的角，则tan
α＞tan
β
C．若α，β是第三象限的角，则cos
α＞cos
β
D．若α，β是第四象限的角，则tan
α＞tan
β
6．利用三角函数线求cos
2
040°的函数值是__________．
7．设集合，集合，则M∩N＝__________.
8．在(0,2π)内，使sin
x＞cos
x成立的x的取值范围为__________．
9．当α＝3
rad时，利用三角函数线分析点P(sin
3－cos
3，sin
3＋cos
3)所在的象限．
10．已知关于x的方程(2sin
α－1)x2－4x＋4sin
α＋2＝0有两个不相等的正根，试求角α的取值范围．
参考答案
1．解析：由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限．
答案：D
2．解析：当三角形的一个内角为90°时，这个内角不是象限角，故选项A不正确；选项B正确；终边在第二象限的角的范围是，k∈Z，故选项C不正确；终边相同的角不一定相等，它们相差2π的整数倍，故选项D不正确．故选B．
答案：B
3．解析：由θ∈，结合三角函数线的知识知sin
θ＋cos
θ＞1，四个选项中仅有，故选C．
答案：C
4．答案：A
5．解析：利用三角函数线依次判断．
答案：D
6．答案：
7．解析：如图所示，画出单位圆，并分别作，两条直线，根据三角函数线的特点知，θ的终边与单位圆的交点坐标应满足且，只有图中阴影部分满足条件，故M∩N＝.
答案：
8．解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在(0,2π)内，sin
x＞cos
x，则x∈.
答案：
9．
解：因为＜3＜π，所以作出单位圆及角α＝3的正弦线和余弦线，如图所示．
设，的数量分别为a，b，
所以sin
3＝a＞0，cos
3＝b＜0.
所以sin
3－cos
3＞0.
因为|MP|＜|OM|，
即|a|＜|b|，
所以sin
3＋cos
3＝a＋b＜0.
故当α＝3
rad时，P(sin
3－cos
3，sin
3＋cos
3)在第四象限．
10．解：设方程的两根为x1，x2，根据题意列方程组得
即
化简得
故.
如图，利用三角函数线，可知α的取值范围是∪.1.2.2
单位圆与三角函数线
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.若单位圆的圆心与坐标原点重合，有下列结论：①单位圆上任意一点到原点的距离都是1；②单位圆与x轴的交点为（1，0）；③过点（1，0）的单位圆的切线方程为ｘ=1；④与x轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=1.以上结论正确的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：单位圆与x轴的交点为（1，0）和（-1，0）；与x轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=±1，所以②④错误.显然①③正确.
答案：B
2.对角α的正弦线叙述错误的是（
）
A.正弦线的起点为坐标原点
B.正弦线为有向线段
C.正弦线的长度为不大于1的正数
D.当角α的终边不在坐标轴上时，正弦线所在直线平行于ｙ轴
解析：正弦线的长度有可能为0,所以C答案错误.
答案：C
3.如图1-1-2，PM⊥x轴，AT⊥x轴，则α的正弦线、余弦线、正切线分别是____________、____________、____________，其中OM=___________，MP=____________，AT=____________.
图1-1-2
图1-1-3
解析：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出.
答案：
cosα
sinα
tanα
4.如图1-1-3，分别作出角β的正弦线、余弦线、正切线,并比较角β的正弦值、余弦值、正切值的大小.
解：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出下图.
正弦线、余弦线、正切线分别是、、，并且sinβ＞cosβ＞tanβ.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.若-＜α＜，从单位圆中的三角函数线观察sinα、cosα、tanα的大小是（
）
图1-1-4
A.sinα＜tanα＜cosα
B.tanα＜sinα＜cosα
C.cosα＜sinα＜tanα
D.sinα＜cosα＜tanα
解析：在单位圆中，作出＜α＜内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线，
||＜||＜||，考虑方向可得＜＜.
答案：D
2.若角α的正切线位于第一象限，则角α属于（
）
A.第一象限
B.第一、二象限
C.第三象限
D.第一、三象限
解析：由正切线的定义知，当角α是第一、三象限角时，正切线都在第一象限.
答案：D
3.在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围为（
）
A.（，）∪（π，）
B.（，π）
C.（，）
D.（，π）∪（，）
解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在（0，2π）内sinx＞cosx，则x∈（，）.
答案：C
4.如果cosα=cosβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（
）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线y=x对称
D.关于原点对称
解析：利用单位圆中的余弦线即得，如图.
答案：A
5.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.
证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线（余弦线）变成一个点，而余弦线（正弦线）的长等于r（r=1），所以|sinα|+|cosα|=1，当角α的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|+|cosα|=|MP|+|OM|＞1，综上有|sinα|+|cosα|≥1.
6.设＜α＜π，角α的正弦线、余弦线、正切线的数量分别为a、b、c，由图比较a、b、c的大小.
解：如图所示，|MP|＜|OM|＜|AT|，而a=|MP|，b=-|OM|，c=-|AT|，∴a＞b＞c.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.(2006安徽合肥统考，1)sin4·tan7的值（
）
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.不大于0
解析：4弧度的角是第三象限角，7弧度的角是第一象限角，由单位圆中的正弦线和正切线知sin4＜0，tan7＞0，所以sin4·tan7＜0.
答案：B
2.若θ∈(0,),则sinθ+cosθ的一个可能值是（
）
A.
B.
C.
D.1
解析：由θ∈(0，)知sinθ+cosθ＞1，A、B、C、D四个选项中仅有＞1，故选C.
答案:C
3.适合cosα≥的角α的集合是（
）
A.［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）
B.［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）
C.［2kπ-，2kπ+］（k∈Z）
D.［2kπ+，2kπ-］（k∈Z）
解析：在单位圆中作图，如图，α的范围是2kπ-≤α≤2kπ+.
答案：C
4.若sinα=sinβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（
）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线y=x对称
D.关于原点对称
解析：利用单位圆中的正弦线即得，如图.
答案：B
5.分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:(1)；(2).
解：如图,正弦线：，余弦线：，正切线：.
(1)
(2)
6.利用三角线，求满足sinx≤的角x的集合.
解：由图可知，值为的正弦线和，易得出∠M1OP1=，∠M2OP2=，故满足sinx≤的x的集合为｛x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z｝.
7.求函数y=的定义域.
解：如图，因为1-2cosx≥0，所以cosx≤，
所以x∈［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）.
8.已知关于x的方程（2sinα-1）x2-4x+4sinα+2=0有两个不相等的正根，试求角α的取值范围.
解：设方程的两根为x1、x2，这个方程有两个不相等正根必满足的条件为
即
化简得
故＜sinα＜.
利用三角函数线，在单位圆中标出满足条件的角α的终边位置，即图中两阴影部分的交集，故2kπ+＜α＜2kπ+或2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z，即α的取值范围是{α|2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z}∪{α|2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z}.
9.设α是第二象限的角，作α的正弦线、余弦线、正切线，由图证明cos2α+sin2α=1.
证明：如图，=cosα，=sinα，在Rt△MOP中，|OM|2+|MP|2=｜OP｜2=1，
所以cos2α+sin2α=1.
10.设α为任意角，求|sinα|+|cosα|的取值范围.
解：由正弦线、余弦线及三角形三边关系，可知|sinα|+|cosα|的取值范围为［1，］.
11.已知α∈（0，），求证：sinα＜α＜tanα.
证明：在单位圆中，利用三角函数线的定义，有=sinα，=tanα.又由α=，
显然S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即··＜··＜··.化简得＜α＜，所以sinα＜α＜tanα.1.2.2
单位圆与三角函数线
自我小测
1．若角α的正切线位于第一象限，则角α是( )
A．第一象限的角
B．第一、二象限的角
C．第三象限的角
D．第一、三象限的角
2．下列不等式中，成立的是( )
A．sin>sin
B．cos
C．cos
4>cos
D．tan
3．若θ∈，则sin
θ＋cos
θ的一个可能值是( )
A．
B．
C．
D．1
4．如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，我们把叫做α的正割，记作sec
α；把叫做α的余割，记作csc
α，则＝( )
A．－
B．
C．－
D．
5．已知sin
α>sin
β，那么下列命题成立的是( )
A．若α，β是第一象限的角，则cos
α>cos
β
B．若α，β是第二象限的角，则tan
α>tan
β
C．若α，β是第三象限的角，则cos
α>cos
β
D．若α，β是第四象限的角，则tan
α>tan
β
6．利用三角函数线求cos
2
040°的函数值是__________．
7．已知集合E＝{θ|cos
θθ，0≤θ<2π}，F＝{θ|tan
θθ，0≤θ<2π}，则E∩F＝__________．
8．求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝lg(3－4sin2x)．
9．利用三角函数线证明：若0<α<β<，则有β－α>sin
β－sin
α．
参考答案
1．解析：由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限．
答案：D
2．答案：B
3．解析：由θ∈，知sin
θ＋cos
θ>1，四个选项中仅有>1，故选C．
答案：C
4．答案：A
5．答案：D
6．答案：－
7．答案：
8．解：(1)如图甲，
因为2cos
x－1≥0，所以cos
x≥．
所以x∈
(k∈Z)．
(2)如图乙，因为3－4sin2x>0，
所以sin2x<．
所以－x<．
所以x∈∪
(k∈Z)．
9．证明：如图，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α，β的终边分别交于点Q，P，过点P，Q分别作OA的垂线，设垂足分别是M，N，则由三角函数定义可知：sin
α=NQ，sin
β=MP．
作QH⊥MP于点H，
则HP=MP-NQ=sin
β-sin
α．
由直观图可知HP<=-=β-α，
即β-α>sin
β-sin
α．1.2.2 单位圆与三角函数线
知识点一：单位圆与三角函数线
1．下列判断中错误的是
A．α一定时，单位圆中的正弦线一定
B．单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．α和2π＋α具有相同的正切线
D．具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上
2．已知角α的终边和单位圆的交点为P，则点P的坐标为
A．(sinα，cosα)
B．(cosα，sinα)
C．(sinα，tanα)
D．(tanα，sinα)
3．如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是
A．正弦线P，正切线
B．正弦线M，正切线
C．正弦线M，正切线
D．正弦线P，正切线A
4．对三角函数线，下列说法正确的是
A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线
B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在
C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在
D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在
5．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边在__________.
知识点二：三角函数线的简单应用
6．依据三角函数线，作出如下四个判断：
①sin＝sin；②cos(－)＝cos；③tan>tan；④sin>sin.其中判断正确的有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．在(0,2π)内，使sinα>cosα成立的α的取值范围为
A．(，)∪(π，)
B．(，π)
C．(，)
D．(，π)∪(，)
8．若角α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是
A．sinα＋cosα
B．tanα＋sinα
C．cosα－tanα
D．sinα－tanα
9．借助三角函数线比较下列各组值的大小．(由大到小排列)
(1)sin，sin，sin：__________；
(2)cos，cos，cos：__________；
(3)tan，tan，tan：__________.
10．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
(1)；(2)－.
能力点一：利用三角函数线比较三角函数值大小
11．如果0<α<，那么下列不等式成立的是
A．cosαB．tanαC．sinαD．cosα12．若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是__________．
13．用三角函数线比较sin1和cos1的大小结果是__________．
能力点二：利用三角函数线确定角的范围
14．使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是
A．[－，]
B．[－，]
C．[－，]
D．[0，π]
15．角α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为
A.或
B.或
C.或
D.或
16．y＝的定义域为__________．
17．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sinα≥；(2)cosα≤－.
能力点三：三角函数线的综合应用
18．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限内，若α∈[0,2π)，求α的取值范围．
19．当α＝3
rad时，利用三角函数线分析点P(sin3－cos3，sin3＋cos3)在第几象限．
20．求函数y＝＋lg(2cosx－1)的定义域．
21．利用三角函数线证明若0<α<β<，则有β－α>sinβ－sinα.
答案与解析
基础巩固
1．B 2.B 3.C 4.D 5.y轴上
6．B 分别作出各个角的三角函数线，由图知sin＝－sin，cos(－)＝cos，tansin，故②④正确．
7．C 当α的终边在直线y＝x上时，直线y＝x与单位圆的交点为(，)，(－，－)．
此时，α＝和，如图所示．
当α∈(，)时，恒有MP>OM，
而当α∈(0，)∪(，2π)时，
则有MP8．B 如下图，作出sinα、cosα、tanα的三角函数线，显然△OPM∽△OTA，且|MP|<|AT|，
∵MP>0，AT<0，
∴MP<－AT.
∴MP＋AT<0，即sinα＋tanα<0.
9．(1)sin>sin>sin
(2)cos>cos>cos
(3)tan>tan>tan
10．解：作图如下．
(1)
所以，的正弦线为M，余弦线为O，正切线为A.
(2)
所以，－的正弦线为M，余弦线为O，正切线为A.
能力提升
11．C
12．tanα>cosα>sinα
13．sin1>cos1
14．A
15．C
16．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z) 由函数有意义，x需满足1＋2cosx≥0，即cosx≥－.
根据单位圆中的三角函数线，可得满足条件的角x的范围是2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
17．解：(1)作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
18．解：∵点P在第一象限内，
∴
∴
结合单位圆(如图所示)中三角函数线且0≤α<2π，
可知<α<或π<α<.
19．解：因为<3<π，作出单位圆如图所示，
设M，O的数量分别为a，b，
所以sin3＝a>0，cos3＝b<0，所以sin3－cos3>0.
因为|MP|<|OM|，即|a|<|b|，
所以sin3＋cos3＝a＋b<0.
故当α＝3
rad时，P(sin3－cos3，sin3＋cos3)在第四象限．
20．解：由题意知
2kπ－≤x<2kπ＋(k∈Z)．
sinx≥－，cosx>的解如图阴影部分．
故所求函数的定义域为{x|2kπ－≤x<2kπ＋，k∈Z}．
拓展探究
21．证明：如图，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α、β的终边分别交于点Q、P，过P、Q分别作OA的垂线，设垂足分别是M、N，则由三角函数定义可知：
sinα＝NQ，sinβ＝MP.
过点Q作QH⊥MP于H，
则HP＝MP－NQ＝sinβ－sinα.
由图可知HP<－＝β－α，
即β－α>sinβ－sinα.1.2.2
单位圆与三角函数线
课后导练
基础达标
1.若角α终边上有一点P（-2，0），则下列函数值不存在的是（
）
A.sinα
B.cosα
C.tanα
D.cotα
答案：D
2.若角θ的终边过点P（a,8）且cosθ=，则a的值是（
）
A.6
B.-6
C.10
D.-10
解析：由任意角的三角函数定义可知,解得a=±6.显然a=6时不成立,
所以a=-6.
答案：B
3.若角α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是（
）
A.sinα+cosα
B.tanα+sinα
C.cosα-tanα
D.sinα-tanα
解析：如右图，作出sinα、cosα、tanα的三角函数线，显然△OPM∽△OTA,且|MP|<|AT|，
∵MP>0,AT<0,
∴MP<-AT.
∴MP+AT<0，
即sinα+tanα<0.
答案：B
4.已知sinθ·cosθ<0，且|cosθ|=cosθ,则P（tanθ,secθ）一定在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：∵sinθ·cosθ<0且|cosθ|=cosθ,
∴sinθ<0,cosθ>0,即<0,>0.
∴y<0,x>0.
∴tanθ=<0,secθ=>0,
即点P（tanθ,secθ）在第二象限.
答案：B
5.如右图，你从图中可读出什么信息？
（1）P点的坐标是_________；
（2）若Q点坐标是（-,），那么∠xOQ=_________rad,G点坐标为_________.
答案：（1）（,）
(2)
(,-)
6.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段,那么角α的终边在_________上.
解析:正弦线的长度为1,所以α的终边应在y轴上.
答案:y轴
7.不等式cosα≤的解集为_________.
解析:画出单位圆,然后画出直线y=,从图形中可以看出.
答案:［2kπ+,2kπ+］(k∈Z)
8.判定下列各式的符号.
(1)tan250°·cot(-350°);
(2)sin105°·cos230°;
(3)tan191°-cos191°;
(4)csc320°·sec820°.
解:(1)∵tan250°>0,cot(-350°)>0,
∴tan250°·cot(-350°)>0.
(2)∵sin105°>0,cos230°<0,
∴sin105°·cos230°<0.
(3)∵tan191°>0,cos191°<0,
∴tan191°-cos191°>0.
(4)∵csc320°<0,sec820°<0,
∴csc320°·sec820°>0.
综合运用
9.根据下图回答下列问题：
（1）在图（a）中，390°角的正弦值是________，P点坐标为________；
（2）在图（b）中，-30°角的正弦值是________，P点坐标是________；
（3）sin(+)=________;
(4)sin(π+)=________.
答案：(1)
(,)
(2)-
(,-)
(3)
(4)-
10.在半径为30
m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120°,若光源恰好照亮整个广场,则其高度应为________
m(精确到0.1
m).
解析:如图,△AOB为圆锥的轴截面,顶角为120°,底面半径为30
m,依三角函数定义,cot60°=,即h=AD·cot60°=30×=≈17.3(m).
答案:17.3
11.设θ∈［0，2π］，利用三角函数线求θ的取值范围.
（1）tanθ>-1;
(2)cosθ<;
(3)-≤sinθ<.
解：如图（1）tanθ>-1θ∈［0,)∪(,)∪(,2π).
(2)cosθ<θ∈(,).
(3)-≤sinθ<θ∈［0，)∪(,］∪［,2π］.
拓展探究
12.设角α=x(rad),且0解:(1)不妨取x=,于是x=,sinx=,tanx=1,显然sinx(2)如图,设角α的终边与单位圆交于点P,单位圆与x轴的正半轴的交点为A,过A点作圆的切线交OP的延长线于点T,连结AP,则sinx=MP,tanx=AT.
在△AOP中,=x·OP=x.
由图易得S△POA即OA·MP<·OA所以MP<即sinx即对区间(0,)上的任意x都成立.