三角函数的定义
1．(2012·天津测试)若sin
α＜0且tan
α＞0，则α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．下列说法中，正确的个数是( )
①与角的终边相同的角有有限个；
②sin
20°＜0；
③cos
260°＞0；
④tan
120°＞0.
A．0
B．1
C．2
D．3
3．当(k∈Z)时，的取值为( )
A．M≥0
B．M＞0
C．M＜0
D．M可正可负
4．已知cos
α＝m,0＜|m|＜1，且，则角α的终边在( )
A．第一或第二象限
B．第三或第四象限
C．第一或第四象限
D．第二或第三象限
5．若α是第二象限的角，则sin
2α，，tan
2α，中必取正数的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
6．sin
0°＋cos
90°＋tan
180°＋2
010cos
0°＋2tan
45°＝__________.
7．函数的定义域是__________．
8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且，则y＝__________.
9．已知角α的终边所在的直线与函数y＝3x的图象重合，求α的六个三角函数值．
10．证明恒等式.
参考答案
1．答案：C
2．答案：A
3．解析：因为，k∈Z，所以角α的终边不落在坐标轴上．设角α终边上任意一点的坐标为P(x，y)，xy≠0，OP＝r(r＞0)，由任意角的三角函数的定义，知，，，，故.
答案：B
4．解析：因为cos
α＝m,0＜|m|＜1，所以角α的终边不会落在坐标轴上．又因为，所以cos
α与tan
α同号，所以角α的终边在第一或第二象限．
答案：A
5．解析：∵2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z，∴4kπ＋π＜2α＜4kπ＋2π，kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，∴2α是第三或第四象限的角，是第一或第三象限的角，∴只有.故选B．
答案：B
6．解析：原式＝0＋0＋0＋2
010×1＋2＝2
012.
答案：2
012
7．解析：依题意得即
故x的取值范围是2kπ＋≤x≤2kπ＋π(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
8．解析：因为，
所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.
答案：－8
9．解：函数y＝3x的图象是过原点O和一、三象限的直线．
若α的终边在第一象限的射线上，
∵三角函数值与点在终边上的位置无关，
∴可在射线上取点P(1,3)，，
∴，，tan
α＝3，
，，.
若α的终边落在第三象限的射线上，同理可取点P(－1，－3)，
又，得，，tan
α＝3，，，.
10．证明：设M(x，y)为角α终边上异于原点O的一点，OM＝r，由三角函数的定义，有，，，.
∴原式左边＝
＝
＝
＝1＋1＝2＝等式右边．
∴原等式成立．1.2.1
三角函数的定义
自我小测
1．若角α的终边经过点P(－b,4)，且cos
α＝－，则b的值为( )
A．3
B．－3
C．±3
D．5
2．若角α的终边在直线y＝2x上，则sin
α等于( )
A．±
B．±
C．±
D．±
3．下列各式为正号的是( )
A．cos2－sin
2
B．cos
2·sin
2
C．tan
2·cos
2
D．sin
2·tan
2
4．已知cos
α＝m,0<|m|<1，且tan
α＝，则角α的终边在( )
A．第一或第二象限
B．第三或第四象限
C．第一或第四象限
D．第二或第三象限
5．若α是第二象限的角，则sin
2α，sin，tan
2α，tan
中必取正数的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
6．终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos
α≤0，sin
α>0，则a的取值范围是__________．
7．已知点P(3，y)在角α的终边上，且满足y<0，cos
α＝，则tan
α的值为__________．
8．函数y＝的定义域是__________．
9．已知角θ的终边上有一点P(－，m)，且sin
θ＝m，求cos
θ与tan
θ的值．
10．根据任意角的三角函数的定义证明：＝．
参考答案
1．解析：因为r＝，所以＝－．
所以b＝3．
答案：A
2．解析：由角α的终边在直线y＝2x上得tan
α＝2，
故sin
α＝±．故选C．
答案：C
3．解析：因为cos
2<0，sin
2>0，tan
2<0，所以tan
2·cos
2>0．
答案：C
4．解析：因为cos
α＝m,0<|m|<1，所以角α的终边不会落在坐标轴上．又因为>0，所以cos
α与tan
α同号，所以角α的终边在第一或第二象限．
答案：A
5．答案：B
6．解析：因为≤0，
>0，所以x≤0，y>0，
即所以－2
答案：(－2,3]
7．解析：因为＝，y<0，
所以y＝－4．所以tan
α＝－．
答案：－
8．解析：函数定义域为
即
解得x≠kπ＋，k∈Z．
答案：
9．解：由已知，得m＝，解得m＝0，或m＝±．
(1)当m＝0时，cos
θ＝－1，tan
θ＝0；
(2)当m＝时，cos
θ＝－，tan
θ＝－；
(3)当m＝－时，cos
θ＝－，tan
θ＝．
10．解：由三角函数定义，有
左边＝＝
＝
＝
＝
＝＝；
右边＝＝．左边＝右边．
所以原式成立．1.2.1
三角函数的定义
课后导练
基础达标
1.下列函数中与函数y=tanα有相同定义域的是（
）
①y=
②y=secα
③y=cscα
④y=
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：要使y=tanα=有意义,只需角α的终边上异于原点的点P(x,y)的横坐标x≠0,显然函数②④与之相同.
答案：B
2.若sinθcosθ>0,则θ在（
）
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第一、四象限
D.第二、四象限
解析：由sinθcosθ>0,可知若sinθ>0且cosθ>0,则θ角的终边位于第一象限;若sinθ<0且cosθ<0,则θ角的终边位于第三象限.综上,可知θ角的终边位于第一或第三象限.
答案：B
3.已知P（x,4）是角θ终边上一点，且tanθ=,则x的值为（
）
A.10
B.
C.-10
D.-
解析：由任意角的三角函数的定义，可知tanθ==,∴x=-10.
答案：C
4.当α≠(k∈Z)时，M=的取值为(
)
A.M≥0
B.M>0
C.M<0
D.M时正时负
解析：因为α≠,k∈Z,所以角α的终边不落在坐标轴上.由任意角的三角函数的定义知sinα=,cosα=,tanα=,cotα=.原式=>0.
答案：B
5.已知cosα=m,0<|m|<1且tanα=,则α在（
）
A.第一或第二象限
B.第三或第四象限
C.第一或第四象限
D.第二或第三象限
解析：因为cosα=m,0<|m|<1,所以角α的终边不会落在坐标轴上，又因为>0,所以cosα与tanα同号，所以角α的终边在第一或第二象限.
答案:A
6.若角α的终边过点P（3cosθ,-4cosθ）(θ为第二象限角)，则sinα=___________.
解析：∵x=3cosθ,y=-4cosθ,
∴r==5|cosθ|=-5cosθ(θ为第二象限角).
∴sinα==.
答案：
7.若0解析：∵0∴=x-a,cosx<0,ax<1.
∴原式==1.
答案：1
8.求值：x2sin(-1
350°)+y2tan405°-(x-y)2cot765°-2xycos(-1
080°）.
解：原式=x2sin(90°-4×360°)+y2tan(45°+360°)-（x-y）2cot(45°+2×360°)-2xycos(0°-3×360°)
=x2sin90°+y2tan45°-(x-y)2cot45°-2xycos0°
=x2+y2-(x-y)2-2xy=0.
综合运用
9.α是第二象限角,则sin2α,sin,tan2α,tan中必取正数的个数有(
)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析:2α是第三、四象限角,而kπ+<0.故选B.
答案:B
10.在△ABC中,若sinA·cosB·tanC<0,判断△ABC的形状.
解:0sinA·cosB·tanC<0,
∴cosB·tanC<0.
∴cosB与tanC异号.
∴B,C中只有一个角为钝角.
∴△ABC是钝角三角形.
11.若sin2α>0且cosα<0,试确定α所在的象限.
解:∵sin2α>0,∴2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z).
∴kπ<α当k=2n(n∈Z)时,有2nπ<α<2nπ+(n∈Z),α为第一象限角.
当k=2n+1(n∈Z)时,有2nπ+π<α<2nπ+(n∈Z),α为第三象限角.
∴α为第一或第三象限角.
由cosα<0,可知α在第二或第三象限,或α终边在x轴的负半轴上.
综上,可知α在第三象限.
拓展探究
12.若tan(cosθ)·cot(sinθ)>0,试指出θ所在象限,并且用图形表示出所取值的范围.
解:由题意,知
∴
即θ在第一或第三象限.
若θ在第一象限,则的取值范围如图①所示;若θ在第三象限,则的取值范围如图②所示.(见阴影部分,不含边界)1.2.1
三角函数的定义
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知角α终边经过点P（,），则sinα+tanα等于（
）
A.+
B.+
C.+
D.
解析：由三角函数定义,知x=，y=，
∴r=OP==1.
∴sinα==，tanα=，sinα+tanα=+.
答案：B
2.角α的正割secα=_______________=_______________；
角α的余割cscα=_______________=_______________.
解析：由定义，secα=，
cscα=.
答案：
3.在空格内填上符号+、-.
函数
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
Sinα
Cosα
Tanα
解析：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以确定三角函数的符号.
答案：sinα：+
+
-
-
cosα：+
-
-
+
tanα：+
-
+
-
4.角α的终边上有一点P（m，m）（m∈R，且m≠0），则sinα的值是_____________.
解析：因为x=m，y=m，所以r=OP=±m.所以sinα==±=±.
答案：±
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知点P（4，-3）是角α终边上一点，则下列三角函数值中正确的是（
）
A.tanα=
B.cotα=
C.sinα=
D.cosα=
解析：由三角函数的定义，知x=4，y=-3，r=5，所以sinα==,cosα==,tanα=,
cotα=.
答案：B
2.如果cosα=，则下列是角α终边上的一点的是（
）
A.P（1，）
B.P（，1）
C.P（，-1）
D.P（-1，）
解析：由余弦函数的定义cosα=及cosα=，知x＜0，淘汰A、C，再检验选项B、D，知D项正确.
答案：D
3.已知点P在角α的终边上且|OP|=1，则点P的坐标是（
）
A.（，）
B.（，）
C.（，）
D.（cosα，sinα）
解析：由三角函数定义及|OP|==1，得cosα=x，sinα=y.∴P点坐标为（cosα，sinα）.
答案：D
4.如果sinα＜0且cosα＜0，则角α是（
）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析：由sinα＜0，则α终边位于第三象限或第四象限或y轴的负半轴上.由cosα＜0，则α终边位于第二象限或第三象限或x轴的负半轴上.所以角α的终边只能位于第三象限.
答案：C
5.函数y=的定义域是___________________.
解析：依题意，得
故x的范围是2kπ+≤x≤2kπ+π（k∈Z）.
答案：［2kπ+，2kπ+π］（k∈Z）
6.若角α的终边落在直线y=-3x上，求cosα、sinα、tanα的值.
解：设直线y=-3x上任意一点（x，-3x）（x≠0），当x＞0时，r=，∴cosα==,sinα=,tanα=；
当x＜0时，r=，
∴cosα=,sinα=,tanα==-3.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若cosθ＞0，sinθcosθ＜0,则角θ的终边所在象限是（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：由cosθ＞0和sinθcosθ＜0，知sinθ＜0，所以θ为第四象限角.
答案：D
2.设θ是第二象限角，则必有（
）
A.tan＞cot
B.tan＜cot
C.sin＞cos
D.sin＜cos
解析：∵θ是第二象限角，故有2kπ+＜θ＜2kπ+π，k∈Z，
∴kπ+＜＜kπ+（k∈Z）.
当k=2n（n∈Z）时，2nπ+＜＜2nπ+；
当k=2n+1（n∈Z）时，2nπ+＜＜2nπ+.
可知在单位圆中的范围如下图中阴影部分所示，不难知tan＞cot.
答案：A
3.若＞1，则α在（
）
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第三、四象限
D.第一、二象限
解析：由＞1，则sin2α＜0，
∴2kπ+π＜2α＜2kπ+2π，k∈Z.
∴kπ+＜α＜kπ+π，k∈Z.
当k=2n时，2nπ+＜α＜2nπ+π，k∈Z；
当k=2n+1时，2nπ+＜α＜2nπ+2π，k∈Z.∴α为第二、第四象限角.
答案：B
4.若θ为第一象限角，则能确定为正值的是（
）
A.sin
B.cos
C.tan
D.cos2θ
解析：∵2kπ＜θ＜2kπ+（k∈Z），
∴kπ＜＜kπ+（k∈Z），4kπ＜2θ＜4kπ+π（k∈Z）.
可知是第一、第三象限角，sin、cos都可能取负值，只有tan能确定为正值.
2θ是第一、第二象限角，cos2θ可能取负值.
答案：C
5.(2006福建质检题,8)在△ABC中，下列结论正确的是（
）
A.若∠A为锐角，则sinA＞0
B.若sinA＞0，则∠A为锐角
C.∠A为锐角sinA＞0
D.“∠A为锐角”与“sinA＞0”不能相互推导
解析：∠A为锐角时一定有sinA＞0；sinA＞0时∠A不一定为锐角,∠A还可为直角或钝角.
答案：A
6.已知A为锐角，lg（1+cosA）=m，=n，则lgsinA的值为（
）
A.m+
B.m-n
C.（m+）
D.（m-n）
解析：两式相减得lg（1+cosA）-lg=m-nlg［（1+cosA）（1-cosA）］=m-nlgsin2A=m-n，
∵A为锐角，∴sinA＞0.
∴2lgsinA=m-n.∴lgsinA=.
答案：D
7.若点P（2m，-3m）（m＜0）在角α的终边上，则sinα=_____________，cosα=_____________，tanα=_____________，secα=_____________，cscα=_____________，cotα=_____________.
解析：因为点P（2m，-3m）（m＜0）在第二象限，且r=，
所以，sinα=,cosα=,
tanα=,
cscα=，cotα=.
答案：
8.sin0°+cos90°+tan180°+cot270°+2
006cos0°+2tan45°=___________________.
解析：原式=0+0+0+0+2
006×1+2=2
008.
答案：2
008
9.已知α是第三象限角，则sin（cosα）·cos（sinα）_____________0.
解析：因为α是第三象限角，∴-1＜cosα＜0，-1＜sinα＜0.∴sin（cosα）＜0，cos（sinα）＞0.
∴sin（cosα）·cos（sinα）＜0.
答案：＜
10.已知角α的终边上一点P的坐标为（，y）（y≠0），且sinα=y，求cosα、tanα的值.
解：由r2=x2+y2=3+y2，得r=，由三角函数的定义，得
sinα=，∴y=±.
∴cosα=，tanα=.
11.证明恒等式.
证明：设M（x，y）为角α终边上异于原点的一点，|OM|=r，由三角函数的定义有sinα=，cosα=，secα=，cscα=.
∴左边=
=1+1=2=右边.∴原等式成立.1．2.1 三角函数的定义
知识点一：三角函数的定义
1．若α的终边与y轴重合，则α的六种三角函数中，函数值不存在的是
A．sinα与cosα
B．tanα与cotα
C．tanα与secα
D．cotα与cscα
2．已知点M(3,4)是角α终边上一点，则sinα＋cosα＋tanα等于
A．1
B.
C.
D．12
3．已知点P(3，y)在角α的终边上，且满足y<0，cosα＝，则tanα的值为
A．－
B.
C.
D．－
4．已知角α终边经过点P(7,24)，则＝__________.
知识点二：三角函数值的符号
5．下列各式的值是正值的是
A．sin(－30°)
B．cos(－30°)
C．sin240°
D．cos240°
6．sin2·cos3·tan4的值
A．小于0
B．大于0
C．等于0
D．不存在
7．若角α的终边经过点P(－2，－1)，则①sinα·tanα>0；②cosα·tanα>0；③sinα·cosα>0；④sinα·tanα<0中，成立的有__________．
8．如果tanα·cscα<0，那么角α的终边在第__________象限．
知识点三：三角函数的定义域
9．函数y＝＋的定义域为__________．
10．求函数y＝＋tanx的定义域．
能力点一：利用三角函数定义求值
11．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为
A．4
B．－4
C．±4
D.
12．sin0°＋cos90°＋tan180°＋cot270°＋2
008cos0°＋2tan45°＝__________.
13．已知角α的终边在直线y＝x上，求sinα＋cosα的值．
14．若点P(－4a,3a)(a≠0)为角α终边上一点，求sinα，cosα，tanα.
15．已知角α的终边上一点P的坐标为(－，y)(y≠0)且sinα＝y，求cosα，tanα的值．
能力点二：三角函数值符号有关问题
16.已知角α的终边经过点(3m－9，m＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则m的取值范围为
A．(－2,3)
B．[－2,3)
C．(－2,3]
D．[－2,3]
17．若sinαcosα<0，则函数y＝＋＋的值域为__________．
18．用不等号(>，<)填空：
(1)sin·cos·tan__________0；
(2)__________0.
19．若()sin2θ<1，则θ是第__________象限角．
20.求y＝的定义域．
21．(1)已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sinα的值；
(2)已知角α的顶点在原点，始边为x轴的正半轴，若角α终边过点P(－，y)，且sinα＝y(y≠0)，判断角α所在的象限，并求cosα的值．
22．已知＝－，且lg(cosα)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M(，m)，求m的值及sinα的值．
23．已知角α的终边上的点P与A(a，b)关于x轴对称(ab≠0)．角β的终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sinα·secβ＋tanα·cotβ＋secα·cscβ的值．
答案与解析
基础巩固
1．B 2.B 3.C 4.D 5.y轴上
6．B 分别作出各个角的三角函数线，由图知sin＝－sin，cos(－)＝cos，tansin，故②④正确．
7．C 当α的终边在直线y＝x上时，直线y＝x与单位圆的交点为(，)，(－，－)．
此时，α＝和，如图所示．
当α∈(，)时，恒有MP>OM，
而当α∈(0，)∪(，2π)时，
则有MP8．B 如下图，作出sinα、cosα、tanα的三角函数线，显然△OPM∽△OTA，且|MP|<|AT|，
∵MP>0，AT<0，
∴MP<－AT.
∴MP＋AT<0，即sinα＋tanα<0.
9．(1)sin>sin>sin
(2)cos>cos>cos
(3)tan>tan>tan
10．解：作图如下．
(1)
所以，的正弦线为M，余弦线为O，正切线为A.
(2)
所以，－的正弦线为M，余弦线为O，正切线为A.
能力提升
11．C
12．tanα>cosα>sinα
13．sin1>cos1
14．A
15．C
16．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z) 由函数有意义，x需满足1＋2cosx≥0，即cosx≥－.
根据单位圆中的三角函数线，可得满足条件的角x的范围是2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
17．解：(1)作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
18．解：∵点P在第一象限内，
∴
∴
结合单位圆(如图所示)中三角函数线且0≤α<2π，
可知<α<或π<α<.
19．解：因为<3<π，作出单位圆如图所示，
设M，O的数量分别为a，b，
所以sin3＝a>0，cos3＝b<0，所以sin3－cos3>0.
因为|MP|<|OM|，即|a|<|b|，
所以sin3＋cos3＝a＋b<0.
故当α＝3
rad时，P(sin3－cos3，sin3＋cos3)在第四象限．
20．解：由题意知
2kπ－≤x<2kπ＋(k∈Z)．
sinx≥－，cosx>的解如图阴影部分．
故所求函数的定义域为{x|2kπ－≤x<2kπ＋，k∈Z}．
拓展探究
21．证明：如图，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α、β的终边分别交于点Q、P，过P、Q分别作OA的垂线，设垂足分别是M、N，则由三角函数定义可知：
sinα＝NQ，sinβ＝MP.
过点Q作QH⊥MP于H，
则HP＝MP－NQ＝sinβ－sinα.
由图可知HP<－＝β－α，
即β－α>sinβ－sinα.