1.2.3 同角三角函数的基本关系式
知识点一：平方关系
1．若α是第四象限角，cosα＝，则sinα等于
A.
B．－
C.
D．－
2．化简的结果为
A．sin4＋cos4
B．sin4－cos4
C．cos4－sin4
D．－sin4－cos4
3．已知cosα＝，且tanα<0，则sinα的值为
A．±
B.
C．－
D．±
4．化简sin2α＋cos2αsin2α＋cos4α＝__________.
5．化简的值为__________．
知识点二：商数关系
6．已知sinα＝，α∈(0，π)，则tanα的值为
A.
B.
C．±
D．±
7．已知cosθ＝且<θ<2π，那么tanθ的值为
A.
B．－
C.
D．－
8．若tanα＝，则的值等于
A.
B．2
C．－
D.或
9．下列四个命题可能成立的是
A．sinα＝且cosα＝
B．sinα＝0且cosα＝－1
C．tanα＝1且cosα＝－1
D．tanα＝－1且sinα＝
10．已知α是第四象限角，tanα＝－，求sinα.
能力点一：利用基本关系式求值
11．若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋的值等于
A．0
B．2
C．－2
D．2tanα
12．已知tanα＝－，则的值是
A.
B．3
C．－
D．－3
13．若sinx＋sin2x＝1，则cos2x＋cos4x＝__________.
14．(2010全国高考Ⅱ，文13)已知α是第二象限的角，tanα＝，则cosα＝__________.
15．已知＝2，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α－2sinαcosα＋1.
16．已知sinα＝，求tanα的值．
能力点二：利用基本关系式化简
17．使＝成立的α的范围是
A．{α|2kπ－π<α<2kπ，k∈Z}
B．{α|2kπ－π≤α≤2kπ，k∈Z}
C．{α|2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z}
D．只能是第三或第四象限的角
18．已知sinθ＋cosθ＝－1，则sin2
009θ＋cos2
009θ的值为__________．
19．化简下列各式．
(1)；
(2)(－)·(－)．
能力点三：利用基本关系式证明
20．求证：(1)tanα－＝；
(2)(1＋tanα)2＋(1－tanα)2＝.
21．求证：＝1＋tan2α＋sin2α.
22．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
23．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝.
(1)求sinAcosA；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tanA的值．
答案与解析
基础巩固
1．B
2．C 原式＝|sin4－cos4|，而4>，由单位圆中的三角函数线得：sin4
3．C ∵cosα＝>0且tanα<0，
∴角α为第四象限角．
∴sinα＝－＝－.
4．1 原式＝sin2α＋cos2α(sin2α＋cos2α)＝sin2α＋cos2α＝1.
5．－1 原式＝
＝
＝＝－1.
6．C 由sin2α＋cos2α＝1，α∈(0，π)，
∴cosα＝±.
∴tanα＝＝±.
7．B
8．A ∵tanα＝，∴cosα≠0.
∴原式＝
＝＝＝.
9．B
10.解法一：由
解得sinα＝±.
又∵α为第四象限角，∴sinα＜0.
∴sinα＝－.
解法二：∵α是第四象限角，
∴sinα<0.
又∵tanα＝－，
∴可设α终边上一点坐标为(12，－5)，
∴sinα＝－.
能力提升
11．A 原式＝＋，当角α终边在y＝－x(x≥0)上时，cosα>0，sinα<0；
当角α终边在y＝－x(x<0)上时，cosα<0，sinα>0.
综上知，原式＝0.
12．C 原式＝
＝＝－.
13．1 由sinx＋sin2x＝1得sinx＝1－sin2x＝cos2x，
∴cos2x＋cos4x＝sinx＋sin2x＝1.
14．－ 由＝1＋tan2α得
＝1＋＝.
∴cos2α＝.
∵α是第二象限的角，
∴cosα<0.
∴cosα＝－.
15．解：由＝2，得sinα＝3cosα.
∴tanα＝3.
(1)解法一：原式＝
＝＝.
解法二：原式＝
＝＝＝.
(2)原式＝＋1
＝＋1
＝＋1＝.
16．解：∵sinα＝>0，
∴α是第一象限或第二象限的角．
若α是第一象限角，
则cosα>0，tanα>0.
∴cosα＝
＝＝，
tanα＝＝＝.
若α是第二象限角，
则cosα<0，tanα<0，
∴cosα＝－＝－，
tanα＝＝＝－.
17．A ∵＝＝，
∴sinα<0.故{α|2kπ－π<α<2kπ，k∈Z}．
18．－1 由sinθ＋cosθ＝－1，平方得：sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＝1，
又∵sin2θ＋cos2θ＝1，
∴sinθcosθ＝0，sinθ＝0或cosθ＝0.
又∵sinθ＋cosθ＝－1，
∴θ的终边在x轴非正半轴或y轴非正半轴上．
当θ的终边在x轴非正半轴上时，sin2
009θ＋cos2
009θ＝－1；
当θ的终边在y轴非正半轴上时，sin2
009θ＋cos2
009θ＝－1.
综上所述：sin2
009θ＋cos2
009θ＝－1.
19．解：(1)∵1－2sin20°cos20°＝sin220°＋cos220°－2sin20°·cos20°
＝(sin20°－cos20°)2，
∴原式＝
＝＝－1.
(2)原式＝[－]·[－]
＝·
＝
＝
＝
20．证明：(1)左边＝－＝
＝＝＝右边，
∴原题得证．
(2)左边＝(1＋)2＋(1－)2
＝＋
＝
＝＝右边，
∴原题得证．
21．证法一：作差：因为－(1＋tan2α＋sin2α)
＝－(1＋＋sin2α)
＝
＝
＝＝0.
所以
＝1＋tan2α＋sin2α.
证法二：左边＝
＝＝＋sin2α
＝＋sin2α
＝1＋tan2α＋sin2α＝右边，
所以原等式成立．
22．证明：∵tan2α＝2tan2β＋1，
∴＝＋1＝
＝，
∴＝，
∴sin2α(1－sin2β)＝(1－sin2α)(1＋sin2β)
∴sin2β＝2sin2α－1.
拓展探究
23．解：(1)由sinA＋cosA＝，
可得(sinA＋cosA)2＝，
∴sinAcosA＝－.
(2)∵A∈(0，π)且sinAcosA<0，
∴A∈(，π)．
∴△ABC是钝角三角形．
(3)∵A∈(，π)，
∴sinA－cosA>0.
∴sinA－cosA＝
＝
＝＝.
由
解得sinA＝，cosA＝－.
∴tanA＝＝－.1.2.3
同角三角函数的基本关系式
课后导练
基础达标
1.若α是三角形的一个内角且sinα+cosα=,则这个三角形是（
）
A.正三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
解析：sinα+cosα=,
∴平方得2sinαcosα=<0.
∵sinα>0,∴cosα<0.
∴α为钝角.
答案：D
2.已知1+sinθ+cosθ=0,则θ的取值范围为（
）
A.第三象限
B.第四象限
C.2kπ+π≤θ≤2kπ+(k∈Z)
D.2kπ+≤θ≤2kπ+2π(k∈Z)
解析：原式=1+sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=0,
∴角θ可能为第三象限角或角θ的终边在x轴、y轴的非正半轴.
答案：C
3.化简的结果是（
）
A.sin4+cos4
B.sin4-cos4
C.cos4-sin4
D.-sin4-cos4
解析：原式=|sin4-cos4|,而sin4∴原式=cos4-sin4.
答案：C
4.已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=,则sinθ·cosθ的值是（
）
A.
B.-
C.
D.
解析：∵sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2(sinθcosθ)2,
∴(sinθcosθ)2=,即sinθcosθ=±.
又θ是第三象限角，即θ∈(2kπ+π,2kπ+),k∈Z.
∴sinθ<0,cosθ<0.
∴sinθcosθ>0.
∴sinθcosθ=.
答案：A
5.已知a∈(0,1),x是三角形的一个内角，tanx=,则cosx的值是（
）
A.
B.
C.
D.±
解析：∵0∴tanx=<0.
又x是三角形的内角，
∴90°又cos2x=2,cosx<0,
∴cosx=.
答案：C
6.若sinθ、cosθ是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两个根，则m的值（
）
A.m∈［,0）
B.m=1-
C.m=1±
D.m=1+
解析：由根与系数关系得
①2-②×2，得1=,
即m2-2m-4=0.∴m=1±.
又由①得≤m≤,
∴m=1-.
答案：B
7.已知f(x)=,若α∈（,π）,则f(cosα)+f(-cosα)=________.
解析：f(cosα)+f(-cosα)=
.
∵α∈(,π),∴sinα>0,1-cosα>0,1+cosα>0.
∴原式=.
答案：
8.分式化简后的最简结果是______________________.
解析：原式=
.
答案：
9.若sinα+3cosα=0，则的值为_______________--.
解析：由条件可知tanα=-3,
原式=
答案：
10.若A为锐角，lg(1+cosA)=m,lg=n,则lgsinA=_____________--.
解析：两式相减m-n=lg(1+cosA)(1-cosA)=lg(1-cos2A)=lgsin2A=2lgsinA(sinA>0),
∴lgsinA=.
答案：
综合运用
11.(2006湖北武汉模拟)
设0<α<π,sinα+cosα=,则的值为(
)
A.
B.
C.
D.
解析:由勾股数知sinα=,
cosα=tanα=,
则.
答案:C
12.(2006重庆高考,文13)
已知sinα=,<α<π,则tanα=____________.
解:∵sinα=,<α<π,
∴cosα=-1-(,
而tanα==-2.
答案:-2
13.已知tanα为非零实数，用tanα分别表示sinα,cosα.
解：∵tanα为非零实数，
∴α不是轴线角，即cosα≠0.
由=tan2α+1,得cos2α=；
若cosα>0,则cosα=,sinα=tanα·cosα=；
若cosα<0，则cosα=,
sinα=.
14.已知sinα、cosα是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根（a∈R),
(1)求sin3θ+cos3θ的值；
（2）求tanθ+的值.
解：依题意由Δ≥0,即（-a）2-4a≥0,得a≤0或a≥4且
①2+②×2,得a2-2a-1=0,
∴a=1-或a=1+(舍）.
∴sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.
(1)sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)
=(1-)［1-(1-)］=-2.
(2)tanθ+=,
∴tanθ+=.
拓展探究
15.已知sinθ+cosθ=(0<θ<π),求tanθ的值.
解法一：将已知等式两边平方，得sinθcosθ=,
∴<θ<π.
故sinθ-cosθ=.
解方程组
得sinθ=,cosθ=.
∴tanθ=.
解法二：由sinθ+cosθ=,得sinθcosθ=.于是sinθ>0,cosθ<0.
设以sinθ，cosθ为根的一元二次方程为x2-x-=0,
解得x1=sinθ=,
x2=cosθ=.
∴tanθ=.
16.若<θ<3π,求3+的值.
解：∵<θ<3π,
∴θ为第二象限角.
∴tanα<0.
∴2tanθ<20=1.
原式=（3）tanθ+=2tanθ+|2tanθ-1|=1.同角三角函数的基本关系式
1．已知，且＜θ＜2π，那么的值为( )
A．
B．
C．
D．
2．化简的值为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
3．(2012·黑龙江哈尔滨期末)已知cos
α＝3sin
α，则( )
A．
B．
C．
D．
4．设，且α是第二象限的角，则等于( )
A．
B．
C．
D．
5．已知α∈，且，则sin
α＋cos
α的值是( )
A．
B．
C．
D．
6．化简的结果是__________．
7．已知sin
θ＋cos
θ＝，θ∈(0，π)，则cot
θ的值是__________．
8．若，且tan
α＞0，则__________.
9．化简：.
10．已知sin
θ，cos
θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)，求tan
θ＋的值．
参考答案
1．解析：由sin2θ＋cos2θ＝1，得.
因为＜θ＜2π，故sin
θ＜0，
所以，
所以.
答案：B
2．解析：原式＝＝＝＝－1.
答案：B
3．答案：B
4．解析：∵α是第二象限的角，∴2kπ＋＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)，∴是第一或第三象限的角．而，∴是第一象限的角．
由，得，
∴.
答案：A
5．解析：因为(sin
α＋cos
α)2＝，且sin
α＋cos
α＜0，
所以sin
α＋cos
α＝，故选B．
答案：B
6．解析：因为，所以是第二象限的角，
所以，
故.
答案：
7．解析：因为sin
θ＋cos
θ＝，①
两边平方，得1＋2sin
θcos
θ＝，
所以2sin
θcos
θ＝.
因为θ∈(0，π)，所以cos
θ＜0＜sin
θ.
由于(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θcos
θ＝，
所以sin
θ－cos
θ＝.②
联立①②，解得，，
所以.
答案：
8．解析：
＝
＝
＝sin
α(1＋sin
α)．
又由，tan
α＞0，可知α为第三象限的角，
故，
因此sin
α(1＋sin
α)＝.
答案：
9．解：原式＝·＝·.
故当α为第一、三象限的角时，原式＝4；当α为第二、四象限的角时，原式＝－4.
10．解：依题意，知Δ≥0，即(－a)2－4a≥0，
解得a≤0或a≥4，且
由①2－②×2，得a2－2a－1＝0，
解得a＝1－或a＝1＋(舍)．
故sin
θ＋cos
θ＝sin
θcos
θ＝1－.
tan
θ＋＝，
因此tan
θ＋＝.1.2.3
同角三角函数的基本关系式
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知sinα=,α∈（0,π），则tanα的值等于（
）
A.
B.
C.±
D.±
解析：由sin2α+cos2α=1，α∈（0,π），
∴cosα=±=±.
∴tanα==±.
答案：C
2.已知cosθ=，且＜θ＜2π，那么的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由sin2θ+cos2θ=1，得sinθ=±.
因为＜θ＜2π，故sinθ＜0,所以sinθ==,tanθ==.
答案：D
3.若tanα=t（t≠0），且sinα=，则α是（
）
A.第一、二象限角
B.第二、三象限角
C.第三、四象限角
D.第一、四象限角
解析：由tanα=得cosα=，所以cosα=＜0，故α是第二、三象限角.
答案：B
4.若tanα=2，则（1）cos2α=________________；（2）sin2α-cos2α=________________.
解析：（1）由题意和基本三角恒等式，列出方程组
由②得sinα=2cosα,代入①，整理得5cos2α=1，cos2α=.
（2）由（1）得sin2α=1-=,
所以sin2α-cos2α=-=.
答案：（1）
(2)
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知sinα=，并且α是第二象限角，那么tanα的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由sin2α+cos2α=1，α是第二象限角，得cosα=.
∴tanα==.
答案：B
2.如果角x的终边位于第二象限，则函数y=的值可化简为（
）
A.1
B.2
C.0
D.-1
解析：利用同角基本关系式sin2x+cos2x=1以及x属于第二象限，有y==1-1=0.
答案：C
3.如果角α满足关系式=1，则角α的终边位于（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：由已知条件有sinα|sinα|-cosα|cosα|=1，故sinα＞0且cosα＜0.所以α属于第二象限.
答案：B
4.化简得到的结果是___________________.
解析：因为＜＜π，所以是第二象限角,cos＜0,
所以=｜cos｜=-cos.
答案：-cos
5.已知2sinα-cosα=sinα，那么cosα=_________________.
解析：由2sinα-cosα=sinα，得（2-）sinα=cosα，sinα=（2+）cosα，由sin2α+cos2α=1，得（2+）2cos2α+cos2α=1，解之,得cosα=±.
答案：±
6.化简:.
解：原式=［］·［］
=（）·（）=
=
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.设sin=，且α是第二象限角，则tan等于（
）
A.
B.
C.±
D.±
解析：∵α是第二象限角，∴2kπ+＜α＜2kπ+π（k∈Z），kπ+＜＜kπ+（k∈Z）.∴是第一、三象限角.而sin=＞0，∴是第一象限角，由sin2+cos2=1，得cos=，∴tan.
答案：A
2.已知tanx=，其中0＜a＜1，x是三角形的一个内角，则cosx的值为（
）
A.
B.
C.
D.±
解析：∵0＜a＜1,∴＜0.∴x是第二、四象限角.又x是三角形的一个内角,
∴x是第二象限角.由题意和基本三角恒等式，得到方程组
解得cos2x=（）2，∴cosx=.
答案：C
3.如果tanθ=2，那么sin2θ+sinθ·cosθ+cos2θ的值是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由题意和基本三角恒等式，得到方程组
∴cos2θ=.
∴sin2θ+sinθ·cosθ+cos2θ=1+2cos2θ=.
答案：B
4.如果sinα+cosα=1，则sinnx+cosnx（n∈Z）的值为（
）
A.-1
B.1
C.1或-1
D.2
解析：由sinα+cosα=1，则（sinα+cosα）2=1，故sinαcosα=0.若sinα=0，则cosα=1.这时sinnα+cosnα=1；若cosα=0，则sinα=1，这时也有sinnα+cosnα=1.
答案：B
5.若｜sinθ｜=，＜θ＜5π，则tanθ的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：因为＜θ＜5π，即4π+＜θ＜4π+π,所以θ是第二象限角，sinθ=.所以cosθ=,tanθ=,应选C项.
答案：C
6.化简的值为（
）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解析：原式=
=-1.
答案：B
7.已知=2，则（cosθ+3）·（sinθ+1）的值为（
）
A.4
B.0
C.2
D.0或4
解析：由=2得1-cos2θ+4=2cosθ+2,整理得cos2θ+2cosθ-3=0，解得cosθ=1或cosθ=-3（舍去），所以sinθ=±=0.所以（cosθ+3）·（sinθ+1）=4.
答案：A
8.(2006高考重庆卷,文13)已知sinα=＜α＜π，则tanα=_______________.
解析：由sinα=，＜α＜π可得cosα=，tanα=-2.
答案：-2
9.已知sinθ+cosθ=,θ∈（0，π），则cotθ的值是_____________.
解析：因为sinθ+cosθ=，两边平方，得1+2sinθ·cosθ=，所以2sinθ·cosθ=.
①
因为θ∈（0，π），所以cosθ＜0＜sinθ.由于（sinθ-cosθ）2=1-2sinθ·cosθ=，所以sinθ-cosθ=.②
联立①②，解得sinθ=，cosθ=，所以cotθ=.
答案：
10.（1）已知sinθ=，求的值.
（2）已知5sinθ+12cosθ=0，求的值.
解：（1）原式=
=.
（2）由5sinθ+12cosθ=0，得tanθ=＜0，故θ角在第二或第四象限，当θ在第二象限时，cosθ=，当θ在第四象限时，cosθ=，
∴原式=.
11.若tanα、tanβ是方程x2-2（log872+log972）x-log872·log972=0的两个根，
求sinα·cosβ+cosα·sinβ+2sinα·sinβ的值.
解：由定理得
而log872+log972=
=log872·log972.
所以tanα+tanβ=2log872·log972.
所以sinα·cosβ+cosα·sinβ+2sinα·sinβ
=cosα·sinβ（tanα+tanβ+2tanα·tanβ）
=cosα·sinβ（2log872·log972-2log872·log972）=0.1.2.3
同角三角函数的基本关系式
自我小测
1．已知cos
θ＝，且<θ<2π，那么的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
2．化简的值为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
3．已知tan
α＝m，则sin
α＝( )
A．m
B．±m
C．±
D．－
4．若sin
αcos
α＝，且<α<，则cos
α－sin
α的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
5．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于( )
A．2
B．－2
C．1
D．0
6．若－＝－1，则α是第__________象限的角．
7．若tan
α＝，则sin
αcos
α的值为__________．
8．若非零实数m，n满足tan
α－sin
α＝m，tan
α＋sin
α＝n，则cos
α等于__________．
9．证明：
(1)
－＝sin
α＋cos
α；
(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．
10．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin
θ和cos
θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)m的值；
(2)方程的两根及此时θ的值．
参考答案
1．解析：由sin2θ＋cos2θ＝1，得sin
θ＝±．
因为<θ<2π，故sin
θ<0，
所以sin
θ＝－＝－，
所以tan
θ＝＝－．
所以＝－．
答案：D
2．答案：B
3．答案：D
4．解析：(cos
α－sin
α)2＝cos2α－2sin
αcos
α＋sin2α
＝1－＝，
又因为sin
α>cos
α，所以cos
α－sin
α＝－．
答案：B
5．答案：D
6．答案：四
7．答案：
8．答案：
9．证明：(1)左边＝－
＝－
＝－
＝sin
α＋cos
α＝右边．
故原式成立．
(2)因为左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α
＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α
＝2＋2tan2α＋sin2α，
右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)
＝1＋cos2α＋2tan2α＋2sin2α
＝2＋2tan2α＋sin2α，
所以左边＝右边，原式成立．
10．解：由根与系数的关系，可知
(1)由①式平方得1＋2sin
θcos
θ＝，
所以sin
θcos
θ＝．
综合②得＝，所以m＝．
由③得m≤＝，而<，
所以m＝．
(2)当m＝时，原方程变为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝．
所以或
又因为θ∈(0,2π)，所以θ＝或θ＝．