1.1.1
角的概念的推广
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.钟表的分针在一个半小时转了（
）
A.180°
B.-180°
C.540°
D.-540°
解析：分针旋转的角为负角，其值为-（360°+180°）=-540°.
答案：D
2.四个角-398°，38°，142°，1
042°中，终边相同的角是（
）
A.-398°，38°
B.-398°，142°
C.-398°，1
042°
D.142°，1
042°
解析：-398°=-1×360°-38°，1
042°=3×360°-38°.
答案：C
3.填空题：
（1）角可以看成平面内______________________________所成的图形.
（2）按___________________方向旋转形成的角叫做正角；按___________________方向旋转形成的角叫做负角；如果___________________，我们称它形成了一个零角.
解析：在角的形成过程中，既要知道旋转量，又要知道旋转方向.
答案：（1）一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置
（2）逆时针
顺时针
一条射线没有做任何旋转
4.终边落在射线y=(x＞0)上的角的集合为___________________.
解析：直线y=的斜率为，所以倾斜角为60°.射线y=x(x＞0)是x轴上方的部分,所求的角可表示为{β|β=k·360°+60°，k∈Z}.
答案：｛β｜β=k·360°+60°，k∈Z｝
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列各命题正确的是（
）
A.终边相同的角一定相等
B.第一象限的角都是锐角
C.锐角都是第一象限的角
D.小于90°的角都是锐角
解析：对于选项A，如-60°和300°是终边相同但不相等的角，则应排除A项；
对于选项B，390°是第一象限的角但不是锐角，则应排除B项；
对于选项D，-60°是小于90°的角，但它不是锐角，则应排除D项.选C.
答案：C
2.与-457°角终边相同的角的集合是（
）
A.{α|α=k·360°+457°，k∈Z}
B.{α|α=k·360°+97°，k∈Z}
C.{α|α=k·360°-263°，k∈Z}
D.{α|α=k·360°+263°，k∈Z}
解析：-457°=-2×360°+263°，所以D项正确.
答案：D
3.已知角α是第三象限角，则角-α的终边在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：因为α是第三象限角，所以k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z，
则-k·360°-270°＜-α＜-k·360°-180°，k∈Z，
即-α所在范围与（-270°，-180°）范围相同,也即与（90°,180°)范围相同，则-α的终边在第二象限.
答案：B
4.下列命题中正确的是（
）
A.第二象限的角是钝角
B.钝角的补角是第一象限的角
C.小于90°的角是锐角
D.第一象限的角小于第二象限的角
解析：由一个角与它的外角互补知，钝角的外角必为锐角，而锐角是第一象限角.
答案：B
5.角α和β的终边关于直线y=-x对称，且α=30°，则β=___________________.
解析：如图，OA为角α的终边，OB为角β的终边，由α=30°得∠AOC=75°.根据对称性知∠BOC=75°，因此∠BOx=120°，所以β=k·360°-120°，k∈Z.
答案：k·360°-120°，k∈Z
6.已知α、β是锐角，且α+β的终边与角-280°的终边相同，α-β的终边与角670°的终边相同，求角α与β的大小.
解：由题意得α+β=k1·360°-280°，α-β=k2·360°+670°（k1、k2∈Z）.
又∵α、β都是锐角，即0°＜α＜90°,0°＜β＜90°,∴0°＜α+β＜180°.
又-90°＜-β＜0°,∴-90°＜α-β＜90°.∴α+β=80°(k1=1),α-β=-50°(k2=-2).
∴α=15°,β=65°.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B等于（
）
A.{锐角}
B.{小于90°的角}
C.{第一象限的角}
D.以上都不对
解析：小于90°的角由锐角、零角、负角组成，而第一象限的角指锐角及其他终边落在第一象限的角，所以A∩B是由锐角和终边落在第一象限的负角组成.
答案：D
2.终边与两坐标轴重合的角α的集合是（
）
A.{α|α=k·360°，k∈Z}
B.{α|α=k·180°，k∈Z}
C.{α|α=k·90°，k∈Z}
D.{α|α=k·180°+90°，k∈Z}
解析：终边为x轴的角的集合为M={α|α=k·180°，k∈Z}，终边为y轴的角的集合为N={α|α=k·180°+90°，k∈Z},
则终边为坐标轴的角的集合为S=M∪N={α|α=k·180°，k∈Z}∪{α|α=k·180°+90°，k∈Z}={α|α=2k·90°，k∈Z}∪{α|α=（2k+1）·90°，k∈Z}={α|α=n·90°，n∈Z}.
答案：C
3.已知角α、β的终边相同，那么α-β的终边在（
）
A.x轴的正半轴上
B.y轴的正半轴上
C.x轴的负半轴上
D.y轴的负半轴上
解析：∵角α、β终边相同,∴α=k·360°+β，k∈Z.
作差α-β=k·360°+β-β=k·360°，k∈Z,∴α-β的终边在x轴的正半轴上.
答案：A
4.如果θ=k·360°+α，φ=n·360°-α，k、n∈Z，则角θ和φ的终边的位置关系是（
）
A.重合
B.关于原点中心对称
C.关于x轴对称
D.关于y轴对称
解析：θ与α终边相同，φ与-α终边相同，由α与-α角的终边关于x轴对称知θ和φ的终边关于x轴对称.
答案：C
5.集合A={α|α=k·90°-36°，k∈Z}，B={β|-180°＜β＜180°}，则A∩B等于（
）
A.{-36°，54°}
B.{-126°，144°}
C.{-126°，-36°，54°，144°}
D.{-126°，54°}
解析：根据集合B的范围，确定集合A中的k的值.k=-1，0，1，2时求得相应α的值为-126°，-36°，54°，144°.
答案：C
6.(2005全国高考卷Ⅲ，1)已知α为第三象限的角，则所在的象限是（
）
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限
解析：由k·360°+180°＜α＜k·360°+270°（k∈Z），
得k·180°+90°＜＜k·180°+135°（k∈Z）.
k为偶数时，为第二象限角；
k为奇数时，为第四象限角.
答案：D
7.若α是第四象限角，则180°-α是（
）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析：∵α为第四象限角，
∴k·360°-90°＜α＜k·360°（k∈Z）.
∴-k·360°＜-α＜-k·360°+90°（k∈Z）.
∴-k·360°+180°＜180°-α＜-k·360°+270°（k∈Z）.
∴180°-α是第三象限角.
答案：C
8.终边在第一、第三象限角平分线上角的集合为______________.
解析：在0°—360°范围内满足条件的角为45°和225°，
所以，所求集合为{α|α=k·360°+45°，k∈Z}∪{α|α=k·360°+225°，k∈Z}
={α|α=2k·180°+45°，k∈Z}∪{α|α=（2k+1）·180°+45°，k∈Z}={α|α=n·180°+45°，n∈Z}.
答案：{α|α=n·180°+45°，n∈Z}
9.时针走过2小时40分，则分针转过的角度是______________.
解析：分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为-360°×=-960°.
答案：-960°
10.表示出顶点在原点，始边重合于x轴的正半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（如图1-1-1）.
图1-1-1
解：(1){α|k·360°-15°＜α＜k·360°+75°，k∈Z};
(2){β|k·360°-135°＜β＜k·360°+135°，k∈Z};
(3){γ1|k·360°+30°＜γ1＜k·360°+90°，k∈Z}∪{γ2|k·360°+210°＜γ2＜k·360°+270°，k∈Z}={γ1|2k·180°+30°＜γ1＜2k·180°+90°，k∈Z}∪{γ2|（2k+1）·180°+30°＜γ2＜（2k+1）·180°+90°，k∈Z}={γ|k·180°+30°＜γ＜k·180°+90°，k∈Z}.
11.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素写出来.
解：如图所示，在直角坐标系中画出直线y=x，可以发现它与x轴的交角是45°，在0°到360°范围内，终边在直线y=x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y=x上的角的集合
S={β|β=45°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°，k∈Z}.
S中适合-360°≤β＜720°的元素有
45°-1×360°=-315°，45°+0×360°=45°，
45°+1×360°=405°，225°-1×360°=-135°，
225°+0×360°=225°，225°+1×360°=585°.1.1.1
角的概念的推广
课后导练
基础达标
1.下列命题中正确的是（
）
A.第一象限的角必是锐角
B.终边相同的角必相等
C.相等的角终边位置相同
D.不相等的角终边位置必不相同
解析：根据各种角的定义，利用排除法或特殊角代入法验证.
答案：C
2.与120°角终边相同的角是（
）
A.-600°+
k·360°(k∈Z)
B.-120°+k·360°(k∈Z)
C.120°+(2k+1）·180°(k∈Z)
D.660°+k·360°(k∈Z)
解析：根据终边相同的定义进行判断.
答案：A
3.已知角α、β终边相同，那么α-β的终边在…（
）
A.x轴的负半轴上
B.y轴的负半轴上
C.x轴的非负半轴上
D.y轴的非负半轴上
解析：∵角α、β终边相同,∴α=k·360°+β(k∈Z).
∴α-β=k·360°+β-β=k·360°(k∈Z).
∴α-β的终边在x轴的非负半轴上,选C.
答案：C
4.若α是第四象限角，则π-α在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
注:180°=π弧度,其意义见下节.
解法一:∵α为第四象限角，
∴2kπ-<α<2kπ(k∈Z).
∴π-2kπ<π-α<-2kπ+(k∈Z).
∴π-α是第三象限角.选C.
解法二：∵角α与-α的终边关于x轴对称，又角α的终边在第四象限,
∴角-α的终边在第一象限.
又-α与π-α关于原点对称，
∴角π-α的终边在第三象限.故选C.
答案：C
5.若角α、β的终边互为反向延长线，则α与β的关系一定是（
）
A.α=-β
B.α=-2·360°+β
C.α=180°+β
D.α=(2k+1)180°+β(k∈Z)
解析：根据角的有关概念进行判断.
答案:D
6.终边在直线y=x上的所有角的集合是____________，上述集合中介于-180°到180°之间的角是______________.
解析：终边在y=x上的所有角的集合是{α|α=k·360°+120°,k∈Z}
∪{α|α=k·360°+300°,k∈Z}={α|α=n·180°+120°，n∈Z
},当n=-1，0时，取得介于-180°到180°之间角为120°,-60°.
答案：{α|α=n·180°+120°,n∈Z}
-60°,120°
7.已知数集A={x|x=4kπ,k∈Z},B={x|x=2kπ,k∈Z},C={x|x=kπ,k∈Z},D={x|x=kπ,k∈Z},则A、B、C、D四个数集之间的关系是_________.
解析：对于B中元素x=2kπ,令k=2n（n∈Z）,得x=2kπ=4nπ(n∈Z),显然AB，同理,BD，DC.
综合得ABDC.
答案：ABDC
8.已知角2α的终边在x轴的上方（不与x轴重合），求α终边所在象限.
解：根据题意知k·360°<2α∴k
·180°<α当k=2n时，n·360°<α∴α是第一象限角；
当k=2n+1时，n·360°+180°<α综上,可知α为第一、第三象限角.
综合运用
9.(2005全国高考卷Ⅲ,理1文1)
已知α为第三象限的角,则所在的象限是(
)
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限
解析:∵α为第三象限的角,∴2kπ+π<α<2kπ+.
∴kπ+<当k=2n(n∈Z)时,2nπ+<<2nπ+,在第二象限;
当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+<<2nπ+,在第四象限.
答案:D
10.已知角β的终边在右图中阴影所表示的范围内，那么β∈_______.
解析：在0°—360°范围内，终边落在阴影内的角为30°<α<150°与210°<α<330°,于是所有满足题意的角α为
{α|k·360°+30°<α答案：{α|n·180°+30°<α11.如图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A（1，0）出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转.已知P在1
s内转过的角度为θ(0°<θ<180°），经过2
s到达第三象限，经过14
s后又恰好回到出发点A，求θ.
解：∵0°<θ<180°，且k·360°+180°<2θ∴必有k=0,于是90°<θ<135°.
又∵14θ=n·360°(n∈Z),
∴θ=.
从而90°<<135°,≈5.25.
∴n=4或5.故θ=或θ=.
拓展探究
12.今天是星期三、那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期几 7k(k∈Z)天前的那一天是星期几 100天后的那一天是星期几
解:每星期,从星期一直到星期日,每星期7天,呈现周期性变化,每7天都要重复出现.
∵今天是星期三、
∴7k(k∈Z)天后的那一天仍是星期三、
7k(k∈Z)天前的那一天仍是星期三.
∵100=7×14+2,
又∵今天是星期三、
∴100天后的那一天是星期五.角的概念的推广
1．已知A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限的角}，则A∩B等于( )
A．{锐角}
B．{小于90°的角}
C．{第一象限的角}
D．以上都不正确
2．已知角α，β的终边相同，那么α－β的终边在( )
A．x轴的非负半轴上
B．y轴的非负半轴上
C．x轴的非正半轴上
D．y轴的非正半轴上
3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B等于( )
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
4．已知角α与－60°角的终边相同，则是( )
A．第一或第三象限的角
B．第二或第三象限的角
C．第一或第四象限的角
D．第二或第四象限的角
5．终边在第一、三象限的角平分线上的角的集合为__________．
6．时针走过2小时40分，则分针转过的角度是__________．
7．角α和β的终边关于直线y＝－x对称，且α＝30°，则β＝__________.
8．已知角β的终边落在经过点(，－1)和原点的直线上，写出角β的集合A，并把A中满足不等式－360°＜β＜360°的元素写出来．
参考答案
1．解析：小于90°的角由锐角、零角、负角组成，而第一象限的角指锐角及其他终边落在第一象限的角，所以A∩B是由锐角和终边落在第一象限的负角组成．
答案：D
2．解析：∵角α，β的终边相同，∴α＝k·360°＋β，k∈Z.
∴α－β＝k·360°＋β－β＝k·360°，k∈Z，
∴α－β的终边在x轴的非负半轴上．
答案：A
3．解析：根据集合B的范围，确定集合A中的k的值．k＝－1，0,1,2时，求得相应α的值为－126°，－36°，54°，144°.
答案：C
4．解析：(方法一)∵角α与－60°角的终边相同，
∴α＝k·360°－60°，k∈Z，
∴＝k·180°－30°，k∈Z.
当k＝2n，n∈Z时，＝n·360°－30°，
此时是第四象限的角．
当k＝2n＋1，n∈Z时，＝n·360°＋150°，
此时是第二象限的角．
综上知，是第二或第四象限的角．
(方法二)∵角α与－60°角的终边相同，
∴α是第四象限的角．
如图所示，先将各象限2等分，然后从x轴正方向上方第一个区域起，按逆时针方向顺次标上1,2,3,4；1,2,3,4；…，依此循环，直至标完所有区域，其中出现数字4的区域即为角的终边所在区域，因此是第二或第四象限的角．
答案：D
5．解析：在0°～360°范围内满足条件的角为45°和225°，
所以所求角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}．
答案：{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}
6．解析：2小时40分＝小时，分针按顺时针方向转动，则转过的角是负角，为－360°×＝－960°.
答案：－960°
7．解析：如图，OA为角α的终边，OB为角β的终边，由α＝30°，得∠AOC＝75°.根据对称性知∠BOC＝75°，因此∠BOx＝120°，故β＝k·360°－120°，k∈Z.
答案：k·360°－120°，k∈Z
8．解：∵β的终边落在经过点(，－1)和原点的直线上，
∴在0°到360°范围内的角为150°和330°.
∴β的集合A＝{β|β＝k·360°＋150°，k∈Z}∪{β|β＝k·360°＋330°，k∈Z}＝{β|β＝(2k＋1)180°－30°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋2)180°－30°，k∈Z}＝{β|β＝n·180°－30°，n∈Z}，
即满足要求的角β的集合A＝{β|β＝n·180°－30°，n∈Z}．
令－360°＜n·180°－30°＜360°，n∈Z，
即，n∈Z，∴n＝－1,0,1,2.
∴当β∈(－360°，360°)时，β＝－210°，－30°，150°，330°.1.1.1
角的概念的推广
自我小测
1．下列说法正确的是( )
A．0°～90°的角是第一象限的角
B．第一象限的角都是锐角
C．平角跟周角不是象限内的角
D．钝角是大于第一象限的角
2．若α为第一象限的角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在象限为( )
A．第一象限
B．第一或第二象限
C．第一或第三象限
D．第一或第四象限
3．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限的角；②225°角是第三象限的角；③475°角是第二象限的角；④－315°角是第一象限的角．其中正确的命题有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．若角α与45°角的终边相同，角β与－135°角的终边相同，那么α与β之间的关系是( )
A．α＋β＝－50°
B．α－β＝180°
C．α＋β＝k·360°＋180°(k∈Z)
D．α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)
5．已知集合M＝，P＝，则集合M与P之间的关系为( )
A．MP
B．PM
C．P＝M
D．P∪M＝M
6．经过10分钟，分针转了__________度．
7．角α和β的终边关于直线y＝－x对称，且α＝30°，则β＝__________．
8．表示出顶点在原点，始边重合于x轴的正半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(如图所示)．
9．已知角α的集合为{α|α＝k·75°＋15°，k∈Z}．
(1)其中有几种终边不同的角？
(2)其中有几个属于区间(－180°，180°)内的角？
(3)写出其中是第三象限的角的一般表示方法．
10．若角β的终边落在150°角终边所在的直线上，写出角β的集合；当β∈(－360°，360°)时，求β．
参考答案
1．答案：C
2．解析：若k为偶数，则k·180°＋α的终边在第一象限；若k为奇数，则k·180°＋α的终边在第三象限．
答案：C
3．解析：因为－90°<－75°<0°，180°<225°<270°，360°＋90°<475°<360°＋180°，－360°<－315°<－270°，所以①②③④四个命题都是正确的．故选D．
答案：D
4．解析：α＝k1·360°＋45°(k1∈Z)，β＝k2·360°－135°(k2∈Z)，α－β＝k·360°＋180°，k∈Z．
答案：D
5．解析：因为M＝{x|x＝90°·k＋45°，k∈＋1)·45°，k∈Z}，P＝{x|x＝45°·k＋45°，k∈＋1)·45°，k∈Z}，所以M?P．
6．答案：A答案：－60
7．解析：如图，OA为角α的终边，OB为角β的终边，由α＝30°，得∠AOC＝75°．根据对称性，知∠BOC＝75°，因此∠BOx＝120°，所以β＝k·360°－120°，k∈Z．
答案：k·360°－120°，k∈Z
8．解：(1){α|k·360°－15°≤α≤k·360°＋75°，k∈Z}；
(2){β|k·360°－135°≤β≤k·360°＋135°，k∈Z}；
(3){γ1|k·360°＋30°≤γ1≤k·360°＋90°，k∈Z}∪{γ2|k·360°＋210°≤γ2≤k·360°＋270°，k∈Z}＝{γ1|2k·180°＋30°≤γ1≤2k·180°＋90°，k∈Z}∪{γ2|(2k＋1)·180°＋30°≤γ2≤(2k＋1)·180°＋90°，k∈Z}＝{γ|n·180°＋30°≤γ≤n·180°＋90°，n∈Z}．
9．解：(1)在给定的角的集合中，终边不同的角共有五种．
(2)由－180°又因为k∈Z，所以k＝－2，－1,0,1,2．
所以在给定的角的集合中属于区间(－180°，180°)内的角共有5个．
(3)其中是第三象限的角可表示成k·360°＋240°，k∈Z．
10．解：因为角β的终边落在150°角终边所在的直线上，
所以在0°～360°范围内的角为150°和330°．
所以β的集合A＝{β|β＝k·360°＋150°，k∈Z}∪{β|β＝k·360°＋330°，k∈Z}＝{β|β＝(2k＋1)180°－30°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋2)180°－30°，k∈Z}＝{β|β＝n·180°－30°，n∈Z}，即满足要求的角β的集合A＝{β|β＝n·180°－30°，n∈Z}．
令－360°得－1所以当β∈(－360°，360°)时，β＝－210°，－30°，150°，330°．1．1.1 角的概念的推广
知识点一：任意角的概念
1．不相等的角的终边位置
A．一定不相同
B．一定相同
C．可能相同
D．以上都不对
2．时针走过了1小时20分钟，则分针转过的角为__________．
知识点二：与任意角α终边相同的角
3．与405°角终边相同的角是
A．k·360°－45°，k∈Z
B．k·360°－405°，k∈Z
C．k·360°＋45°，k∈Z
D．k·180°＋45°，k∈Z
4．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z}的形式为__________．
6．与1
991°终边相同的最小正角是__________，绝对值最小的角是__________．
7．角α和β终边关于直线y＝x对称，且α＝30°，则β＝__________.
知识点三：象限角
8．若α是第二象限的角，则180°－α是
A．第一象限的角
B．第二象限的角
C．第三象限的角
D．第四象限的角
9．如果角α终边上有一点P(0，－2)，那么α是
A．第三象限角
B．第四象限角
C．终边落在y轴负半轴上的角
D．既是第三又是第四象限角
10．给出下面的角．
60°，120°，210°，300°，420°，460°，660°，－300°，－240°，570°，－150°，－60°.
其中，(1)第一象限的角是__________；
(2)第二象限的角是__________；
(3)第三象限的角是__________；
(4)第四象限的角是__________．
能力点一：角的有关概念的理解
11．下列说法正确的是
A．第二象限的角是钝角
B．第三象限的角必大于第二象限的角
C．－831°是第二象限的角
D．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角
12．A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限的角}，则A∩B等于
A．{锐角}
B．{小于90°的角}
C．{第一象限角}
D．以上都不对
13．已知角的顶点与坐标系的原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，判断它们在第几象限，并指出在0°～360°范围内与其终边相同的角．
(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.
能力点二：终边相同角的综合应用
14．如图，终边落在阴影部分的角的集合是
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
15．若集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则
A．M＝N
B．M?N
C．M?N
D．M∩N＝?
16．与－642°终边相同的最大负角为__________．
17．已知角α的终边与角60°的终边重合，写出满足条件的角α的集合S，并求出这个集合中在－360°～360°之间的角．
18.已知α与150°角的终边相同，写出与α终边相同的角的集合，并判断是第几象限角．
19．写出终边在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．
20．如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？
21．已知直线l1：y＝x及直线l2：y＝－x，且l1与l2垂直，如图所示，请表示出终边落在直线l1与l2上的角．
答案与解析
1．C
2．－480° 时针走1小时，分针顺时针转360°；每分钟分针顺时针转6°，则20分钟转120°，
∴分针转过的角为
－(360°＋120°)＝－480°.
3．C
4．C 对于α＝k·90°－36°，k∈Z，分别令k＝－1,0,1,2得α＝－126°，－36°，54°，144°.
5．195°＋(－3)·360°
6．191° －169° 与1
991°终边相同的角为k·360°＋1
991°＝(k＋5)·360°＋191°(k∈Z)，
当k＝－5时，191°是最小正角；
当k＝－6时，－169°是绝对值最小的角．
7．60°＋k·360°，k∈Z 由对称性知，60°与30°的终边关于直线y＝x对称，
∴与60°角的终边相同的所有角60°＋k·360°，k∈Z均满足条件．
8．A ∵α是第二象限角，
∴－α是第三象限角，－α与180°－α的终边互为反向延长线．
∴180°－α是第一象限角．
9．C
10．(1)60°，420°，－300° (2)120°，460°，－240° (3)210°，570°，－150° (4)300°，660°，－60° 把各个角写成α＋k·360°(α∈[0°，360°))的形式，判断α所在象限即可．
能力提升
11．D ∵984°40′＝264°40′＋2×360°，－95°20′＝264°40′＋(－1)×360°.
∴选项D正确．
12．D
13．解：如图所示．
由图可知，
(1)－75°角在第四象限，在0°～360°范围内与285°角的终边相同．
(2)855°在第二象限，在0°～360°范围内与135°角的终边相同，
(3)－510°在第三象限，在0°～360°范围内与210°角的终边相同．
14．C
15．C ∵M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}＝{x|x＝45°·(2k＋1)，k∈Z}，
N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}＝{x|x＝45°·(k＋2)，k∈Z}，∴M?N.
16．－282° －642°＝－360°－282°.
17．解：与60°角的终边重合的角的集合为S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，当k＝0时，α＝60°；
当k＝－1时，α＝60°－360°＝－300°.
所以集合S在－360°～360°之间的角为60°，－300°.
18．解：∵α与150°角的终边相同，
∴与α终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋150°，k∈Z}，
此时＝k·120°＋50°(k∈Z)．
若k＝3n(n∈Z)，则＝n·360°＋50°(n∈Z)，此时在第一象限；
若k＝3n＋1(n∈Z)，则＝n·360°＋170°(n∈Z)，
此时在第二象限；
若k＝3n＋2(n∈Z)，则＝n·360°＋290°(n∈Z)，
此时在第四象限．故可能为第一、二、四象限角．
19．解：如图，在直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°，因此，终边在直线y＝x上的角的集合S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}．
S中适合－360°≤β<720°的元素β是
45°－2×180°＝－315°，
45°－1×180°＝－135°，
45°＋0×180°＝45°，
45°＋1×180°＝225°，
45°＋2×180°＝405°，
45°＋3×180°＝585°.
20．解：∵α是第三象限的角，
∴180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z.
∴－270°－k·360°<－α<－180°－k·360°，360°＋2k·360°<2α<540°＋2k·360°，k∈Z.
∴－α的终边落在第二象限，2α的终边落在第一象限或第二象限或y轴的正半轴上．
拓展探究
21．解：由题意知，终边落在直线l1上的角的集合为M1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}；
在0°～360°的角中，终边落在直线y＝－x上的角为：120°或300°，所以终边落在直线l2上的角的集合为M2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}．
所以终边落在直线l1与l2上的角的集合为M＝M1∪M2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}．
1．1.2 弧度制和弧度制
与角度制的换算
基础巩固
1．D 2.2弧度 3.B
4．D －1
485°＝－1
485×
＝－＝－10π＋.
5．B ∵＝(×180)°＝105°，
465°＝360°＋105°，∴B项正确．
6.(1)－ (2)288
(1)∵1°＝
rad，
∴－300°＝(－300)×＝－；
∵67°30′＝(67)°，
∴67°30′＝×67＝.
(2)∵1
rad＝()°，
∴＝(×)°＝288°.
7．解：(1)如题图(1)中以OB为终边的角330°，可看成为－30°，化为弧度，即－，而75°＝75×＝，
∴阴影部分内角的集合为{θ|2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z}．
(2)如题图(2)中以OB为终边的角225°，可看成－135°，化为弧度，
即－，而OA为终边的角135°＝135×＝，
∴阴影部分角的集合为{θ|2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z}．
(3)如题图(3)，∵30°＝，210°＝，
∴{θ|2kπ＋<θ<2kπ＋，k∈Z}∪{θ|2kπ＋<θ<2kπ＋，k∈Z}，
即{θ|2kπ＋<θ<2kπ＋，k∈Z}∪{θ|(2k＋1)π＋<θ<(2k＋1)π＋，k∈Z}，
∴{θ|kπ＋<θ8．C 设弦AB＝R，且AB所对的圆周角为α，
则圆心角为∠AOB＝2α或2π－2α，由于弦AB等于半径，
∴∠AOB＝，可得2α＝或2π－2α＝，解得α＝或.
9．C
10．3
11．解：设扇形圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S.
由题意知，α＝，r＝20(cm)，
∴l＝α·r＝8π(cm)，
S＝lr＝×8π×20
＝80π(cm2)．
能力提升
12．C
13．B 分针转过的角度数为－(2×360°＋120°)＝－840°，
即×(－840)＝－.
14．解：(1)202°30′＝202.5°
＝()×＝.
(2)－＝－(×)°＝－75°.
(3)方法一(化为弧度)：α＝15°＝15×＝.
θ＝105°＝105×＝.
显然<<1<.故α<β<γ<θ＝φ.
方法二(化为角度)：
β＝＝(×)°＝18°，
γ＝1
rad≈57.30°，
φ＝(×)°＝105°.
显然，15°<18°<57.30°<105°.
故α<β<γ<θ＝φ.
15．D
16．B ∵N＝{x|x＝kπ－，k∈－1)＋，k∈Z}，
M＝{x|x＝·k＋，k∈Z}，
∴M?N.
17.，，， θ＝＋2kπ，k∈Z.
所以＝＋，k∈Z.
当k＝0,1,2,3时，＝，，，且∈[0,2π]．
18．解：θ与－的终边共线，
∴θ的终边落在－的终边或终边的反向延长线上．
若θ与－终边相同，则θ＝2kπ－(k∈Z)；
若θ与－的终边反向延长线相同，则
θ＝2kπ＋π－(k∈Z)．
可知：θ＝nπ－(n∈Z)．
∵θ∈(0°，360°)，即θ∈(0,2π)，
∴n＝1或2.
∴θ＝或.
19．D
20. 如图，过O作OC⊥AB，垂足为C.
在Rt△OAC中，
∠AOC＝
rad，AC＝1，
∴OA＝＝.
∴＝OA＝.
∴面积S＝××
＝.
21．137.5 设扇形的面积为S，剩余(也是扇形)面积为S′，则
＝＝0.618，
∴α＝0.618×(2π－α)．
∴α＝0.764π
rad≈137.5°.
22．解：设圆心角为α，圆半径为r，
由题意，得2r＋α·r＝Cα＝.
∴S＝lr＝α·r2
＝××r2(0即S＝－r2＋Cr＝－(r－)2＋≤.
当r＝时，S取最大值，此时l＝，∴＝2，
即当圆心角为2弧度时，扇形面积最大，最大值为.
拓展探究
23．解：(1)由扇形的弧长公式＝αR可得＝×10＝；
∵扇形面积S＝R，
∴扇形面积S＝××10＝.
∴该扇形的弧长为，面积为.
(2)∵扇形周长为4R，
∴扇形弧长为＝4R－2R＝2R.
∴α＝＝＝2
rad.
∴扇形面积S＝R＝R2.
在如图所示的△AOB中，取AB中点C，
连接OC，则OC⊥AB，且AC＝BC，
在Rt△AOC中，
OC＝Rcos＝Rcos1，
AC＝Rsin＝Rsin1，
∴AB＝2Rsin1.
∵S△AOB＝AB·OC
＝×2Rsin1·Rcos1
＝R2sin1·cos1，
由图可知，弓形面积为
S扇AOB－S△AOB＝R2－R2sin1cos1
＝R2(1－sin1cos1)．
