1.2.4 诱导公式
知识点一：诱导公式(1)(2)(3)
1．(全国高考Ⅰ，文1)cos300°等于
A．－
B．－
C.
D.
2．与cos的值相同的是
A．sin
B．sin
C．sin
D．sin
3．已知cos(π＋α)＝－且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于
A.
B．－
C．±
D.
4．若sin(－α)＝－m，则sin(3π＋α)＋sin(2π－α)等于
A．－m
B．－m
C.m
D.m
5．若|cosα|＝cos(π＋α)，则角α的集合为__________．
6．化简sin(－α)·cos(2π＋α)·tan(2π＋α)＝__________.
知识点二：诱导公式(4)
7．sin2(＋α)＋cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值是
A．1
B．2sin2α
C．2cos2α
D．0
8．设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是
A．cos(A＋B)＝cosC
B．sin(A＋B)＝sinC
C．tan(A＋B)＝tanC
D．sin＝sin
9．若cos(π＋α)＝－，那么sin(－α)等于
A．－
B.
C.
D．－
10．f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝__________.
11．sin2(－x)＋sin2(＋x)＝__________.
能力点一：利用诱导公式求值
12．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是
A.
B.
C.
D.
13．sin2150°＋sin2135°＋2sin210°＋cos2225°的值是
A.
B.
C.
D.
14．(2010全国高考Ⅰ，理2)记cos(－80°)＝k，那么tan100°等于
A.
B．－
C.
D．－
15.＝__________.
16．求下列各三角函数值：
(1)sincostan；
(2)sin(－1
200°)tan－cos585°tan(－)．
17．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，求[sin(α＋)·sin(－α)·tan2(2π－α)·tan(π－α)]÷[cos(－α)·cos(＋α)]的值．
能力点二：利用诱导公式进行化简
18．设tan(5π＋α)＝m，则化简的结果为__________．(用m表示)
19．化简：
(1)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°；
(2)tan1°tan2°tan3°…tan89°.
20.化简：cos(π－α)·sin(π－α)(n∈Z)．
能力点三：利用诱导公式进行证明
21．求证：tan(2π－α)sin(－2π－α)cos(6π－α)＝sin2α.
22．设k∈Z，求证：＝－1.
23．已知α是第三象限的角，f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos(α－)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－1
860°，求f(α)的值．
答案与解析
基础巩固
1．C cos300°＝cos(300°－360°)
＝cos(－60°)＝cos60°＝.
2．B cos＝cos(4π＋)
＝cos＝＝sin.
3．B
4．B ∵sin(－α)＝－m，
∴sinα＝m.
sin(3π＋α)＋sin(2π－α)＝sin(π＋α)＋sin(－α)＝－sinα－sinα＝－sinα＝－m.
5．{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}
6．－sin2α
7．A
8．B ∵A、B、C满足A＋B＝π－C，＝－，
∴B正确．
9．A ∵cos(π＋α)＝－，
∴cosα＝.
∴sin(－α)＝－cosα＝－.
10．3＋cos2x ∵cosx＝sin(－x)，
∴f(cosx)＝f[sin(－x)]
＝3－cos[2(－x)]
＝3－cos(π－2x)
＝3＋cos2x.
11．1 ∵(－x)＋(＋x)＝，
∴原式＝sin2(－x)＋cos2(－x)＝1.
能力提升
12．C 由已知得
∴
∴sinβ＝，tanα＝3.
又∵α为锐角，∴sinα>0.
由
解得sinα＝.
13．A
14．B ∵cos(－80°)＝cos80°＝k，
∴sin80°＝＝.
∴tan100°＝－tan80°
＝－＝－.
15．1 原式＝tan(45°＋θ)tan(45°－θ)＝tan(45°＋θ)·cot(45°＋θ)＝1.
16．解：(1)原式＝sincos(2π＋)tan(4π＋)
＝costan
＝cos(π＋)tan(π＋)
＝(－cos)tan
＝－××1
＝－.
(2)原式＝－sin1
200°tan(2π＋)－cos(360°＋225°)(－tan)
＝－sin(－240°)tan－cos45°tan(π＋)
＝×sin(180°＋60°)－tan
＝－×sin60°－
＝－.
17．解：5x2－7x－6＝0的根为x＝2或x＝－，
所以sinα＝－.
所以cosα＝±＝±.
所以tanα＝±.
原式＝
＝tanα＝±.
18. 由tan(5π＋α)＝tanα＝m知，
原式＝＝＝.
19．解：(1)原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝(sin21°
＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋
＝1＋1＋…＋1＋
＝44＋＝.
(2)∵tan1°tan89°＝
＝＝1.
同理，tan2°tan88°＝1＝tan3°tan87°
＝…＝tan44°tan46°＝1，
且tan45°＝1.
∴原式＝(tan1°tan89°)(tan2°tan88°)(tan3°tan87°)…(tan44°tan46°)tan45°＝1.
20.解：原式＝cos[nπ－(＋α)]·sin[nπ＋(－α)]．
当n为奇数时，
原式＝cos[π－(＋α)]·sin[π＋(－α)]
＝－cos(＋α)·[－sin(－α)]
＝cos[－(－α)]sin(－α)
＝sin2(－α)，
当n为偶数时，原式＝cos[－(＋α)]·sin(－α)
＝cos(＋α)·sin(－α)
＝cos[－(－α)]·sin(－α)
＝sin2(－α)，
综上，原式＝sin2(－α)．
21．证明：左边＝tan(－α)·sin(－α)·cos(－α)
＝(－tanα)·(－sinα)·cosα
＝sin2α＝右边，
∴原等式成立．
22．证明：(1)当k＝2n(n∈Z)时，
∵左边＝
＝－1＝右边，
∴原式成立；
(2)当k＝2n＋1(n∈Z)时，
∵左边＝
＝－1＝右边，
∴原式成立．
综上所述，原式成立．
拓展探究
23．解：(1)f(α)＝
＝
＝－cosα.
(2)∵cos(α－)＝cos(＋α)＝－sinα，
∴sinα＝－，cosα＝－＝－.
∴f(α)＝.
(3)f(α)＝f(－1
860°)
＝－cos(－1
860°)＝－cos1
860°
＝－cos(360°×5＋60°)
＝－cos60°＝－.1.2.3 同角三角函数的基本关系式
知识点一：平方关系
1．若α是第四象限角，cosα＝，则sinα等于
A.
B．－
C.
D．－
2．化简的结果为
A．sin4＋cos4
B．sin4－cos4
C．cos4－sin4
D．－sin4－cos4
3．已知cosα＝，且tanα<0，则sinα的值为
A．±
B.
C．－
D．±
4．化简sin2α＋cos2αsin2α＋cos4α＝__________.
5．化简的值为__________．
知识点二：商数关系
6．已知sinα＝，α∈(0，π)，则tanα的值为
A.
B.
C．±
D．±
7．已知cosθ＝且<θ<2π，那么tanθ的值为
A.
B．－
C.
D．－
8．若tanα＝，则的值等于
A.
B．2
C．－
D.或
9．下列四个命题可能成立的是
A．sinα＝且cosα＝
B．sinα＝0且cosα＝－1
C．tanα＝1且cosα＝－1
D．tanα＝－1且sinα＝
10．已知α是第四象限角，tanα＝－，求sinα.
能力点一：利用基本关系式求值
11．若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋的值等于
A．0
B．2
C．－2
D．2tanα
12．已知tanα＝－，则的值是
A.
B．3
C．－
D．－3
13．若sinx＋sin2x＝1，则cos2x＋cos4x＝__________.
14．(2010全国高考Ⅱ，文13)已知α是第二象限的角，tanα＝，则cosα＝__________.
15．已知＝2，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α－2sinαcosα＋1.
16．已知sinα＝，求tanα的值．
能力点二：利用基本关系式化简
17．使＝成立的α的范围是
A．{α|2kπ－π<α<2kπ，k∈Z}
B．{α|2kπ－π≤α≤2kπ，k∈Z}
C．{α|2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z}
D．只能是第三或第四象限的角
18．已知sinθ＋cosθ＝－1，则sin2
009θ＋cos2
009θ的值为__________．
19．化简下列各式．
(1)；
(2)(－)·(－)．
能力点三：利用基本关系式证明
20．求证：(1)tanα－＝；
(2)(1＋tanα)2＋(1－tanα)2＝.
21．求证：＝1＋tan2α＋sin2α.
22．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
23．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝.
(1)求sinAcosA；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tanA的值．
答案与解析
基础巩固
1．B
2．C 原式＝|sin4－cos4|，而4>，由单位圆中的三角函数线得：sin4
3．C ∵cosα＝>0且tanα<0，
∴角α为第四象限角．
∴sinα＝－＝－.
4．1 原式＝sin2α＋cos2α(sin2α＋cos2α)＝sin2α＋cos2α＝1.
5．－1 原式＝
＝
＝＝－1.
6．C 由sin2α＋cos2α＝1，α∈(0，π)，
∴cosα＝±.
∴tanα＝＝±.
7．B
8．A ∵tanα＝，∴cosα≠0.
∴原式＝
＝＝＝.
9．B
10.解法一：由
解得sinα＝±.
又∵α为第四象限角，∴sinα＜0.
∴sinα＝－.
解法二：∵α是第四象限角，
∴sinα<0.
又∵tanα＝－，
∴可设α终边上一点坐标为(12，－5)，
∴sinα＝－.
能力提升
11．A 原式＝＋，当角α终边在y＝－x(x≥0)上时，cosα>0，sinα<0；
当角α终边在y＝－x(x<0)上时，cosα<0，sinα>0.
综上知，原式＝0.
12．C 原式＝
＝＝－.
13．1 由sinx＋sin2x＝1得sinx＝1－sin2x＝cos2x，
∴cos2x＋cos4x＝sinx＋sin2x＝1.
14．－ 由＝1＋tan2α得
＝1＋＝.
∴cos2α＝.
∵α是第二象限的角，
∴cosα<0.
∴cosα＝－.
15．解：由＝2，得sinα＝3cosα.
∴tanα＝3.
(1)解法一：原式＝
＝＝.
解法二：原式＝
＝＝＝.
(2)原式＝＋1
＝＋1
＝＋1＝.
16．解：∵sinα＝>0，
∴α是第一象限或第二象限的角．
若α是第一象限角，
则cosα>0，tanα>0.
∴cosα＝
＝＝，
tanα＝＝＝.
若α是第二象限角，
则cosα<0，tanα<0，
∴cosα＝－＝－，
tanα＝＝＝－.
17．A ∵＝＝，
∴sinα<0.故{α|2kπ－π<α<2kπ，k∈Z}．
18．－1 由sinθ＋cosθ＝－1，平方得：sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＝1，
又∵sin2θ＋cos2θ＝1，
∴sinθcosθ＝0，sinθ＝0或cosθ＝0.
又∵sinθ＋cosθ＝－1，
∴θ的终边在x轴非正半轴或y轴非正半轴上．
当θ的终边在x轴非正半轴上时，sin2
009θ＋cos2
009θ＝－1；
当θ的终边在y轴非正半轴上时，sin2
009θ＋cos2
009θ＝－1.
综上所述：sin2
009θ＋cos2
009θ＝－1.
19．解：(1)∵1－2sin20°cos20°＝sin220°＋cos220°－2sin20°·cos20°
＝(sin20°－cos20°)2，
∴原式＝
＝＝－1.
(2)原式＝[－]·[－]
＝·
＝
＝
＝
20．证明：(1)左边＝－＝
＝＝＝右边，
∴原题得证．
(2)左边＝(1＋)2＋(1－)2
＝＋
＝
＝＝右边，
∴原题得证．
21．证法一：作差：因为－(1＋tan2α＋sin2α)
＝－(1＋＋sin2α)
＝
＝
＝＝0.
所以
＝1＋tan2α＋sin2α.
证法二：左边＝
＝＝＋sin2α
＝＋sin2α
＝1＋tan2α＋sin2α＝右边，
所以原等式成立．
22．证明：∵tan2α＝2tan2β＋1，
∴＝＋1＝
＝，
∴＝，
∴sin2α(1－sin2β)＝(1－sin2α)(1＋sin2β)
∴sin2β＝2sin2α－1.
拓展探究
23．解：(1)由sinA＋cosA＝，
可得(sinA＋cosA)2＝，
∴sinAcosA＝－.
(2)∵A∈(0，π)且sinAcosA<0，
∴A∈(，π)．
∴△ABC是钝角三角形．
(3)∵A∈(，π)，
∴sinA－cosA>0.
∴sinA－cosA＝
＝
＝＝.
由
解得sinA＝，cosA＝－.
∴tanA＝＝－.2．1.3 向量的减法
知识点一：向量的加法
1．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于
A. B. C. D.
2．已知平行四边形ABCD，设(A＋C)＋(B＋D)＝a，而b是一非零向量，则下列结论正确的有
①a∥b ②a＋b＝a ③a＋b＝b ④|a＋b|＜|a|＋|b|
A．①③
B．②③
C．②④
D．①②
3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，向量|A|＝1，则|B＋C|＝__________.
4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，则＋＋＋＝________.
知识点二：向量的减法
5．在下列各式中，化简结果恒为零向量的是
A.－＋－
B.＋＋＋
C.＋＋＋
D.＋＋＋
6．下列命题中正确命题的个数为
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a、b之一的方向相同；②△ABC中，必有A＋B＋C＝0；③若A＋B＋C＝0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；④若a、b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
A．0
B．1
C．2
D．3
7．已知向量a的终点与向量b的起点重合，向量c的起点与向量b的终点重合，则下列各结论中，正确的个数为
①以a的起点为终点，以c的起点为起点的向量等于－(a＋b)；
②以a的起点为终点，以c的终点为起点的向量为－a－b－c；
③以b的起点为终点，以c的终点为起点的向量为－b－c.
A．1
B．2
C．3
D．0
8．在△ABC中，设＝a，＝b，则＝________.
能力点一：向量加减法的运算
9．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
10．在平行四边形ABCD中，＋－等于
A.
B.
C.
D.
11．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－－|，则△ABC的形状是
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
12．如图所示，在矩形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则a－(b＋c)＝________.
13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＝________.
14．如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝e，＝d，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示，，－，＋，－，＋＋.
15．如图，在正六边形A1A2A3A4A5A6中，已知＝p，＝q，试用p、q表示向量、、、.
能力点二：向量加减法的综合应用
16．若A、B、C、D是平面内任意四点，则下列式子正确的有________个．
①＋＝＋
②＋＝＋
③－＝＋
A．0
B．1
C．2
D．3
17．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|等于________．
18．已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°.求a－b与a所在直线的夹角．
19．如图，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作向量并分别求模．
(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.
20．已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：－＝－.
21．如图所示，?ABCD中，＝a，＝b，
(1)用a、b表示、.
(2)当a、b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？
(3)当a、b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|
(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
答案与解析
1．C 原式＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝.
2．A
3．1 ＋＝，在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，∴BD＝1.∴|＋|＝||＝1.
4.
5．A 6.B 7.C
8．－a－b ＝＋＝－－＝－a－b.
能力提升
9．A 由条件知＝，＝，
∴＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝0.
10．D ＋－＝(＋)－＝－＝.
11．B 由已知得||＝|(－)＋(－)|＝|＋|，
∴以||与||为邻边的平行四边形为矩形，即AB⊥AC.故△ABC为直角三角形．
12．c a－(b－c)＝－(＋)＝(－)－(－＋)＝－－＝－＋＝＝c.
13.
14．解：＝－＝c－a，
＝－＝d－a，
－＝＝－＝d－b，
＋＝－＋－＝b－a－c＋f，
－＝＝－＝f－d，
＋＋＝0.
15．解：∵由已知得：
＝＝p，＝＝＝＝q，
∴＝＋＝＋＝q＋p＝p＋q；
＝＝q；＝＋＝2＝2(p＋q)；
＝＋＝2＝2＝2q.
16．C ∵＋＝和＝－，
①式可变形为－＝－，
即＋＝＋，不恒成立；
②式可变形为－＝－，即＝，故正确；
③式可变形为－＝＋，即＝，正确．
17. 利用|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)求得|a＋b|＝.
18．解：如图所示，
?OACB，|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°，
∴此平行四边形为菱形，＝a－b，△ABO为等边三角形．
∴||＝4，即|a－b|＝4.
∵a－b与a所在直线分别为BA与OA，∴所求夹角为60°.
19．解：(1)由已知得a＋b＝＋＝，又＝c，
∴延长AC到E，使||＝||.
则a＋b＋c＝，且||＝2.
(2)作＝，
则＋＝，而＝－＝a－＝a－b，
∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.
拓展探究
20．证明：如图，在四边形CDEF中，
＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝＋＋.①
在四边形ABFE中，＋＋＋＝0，
∴＝＋＋.②
①＋②，得＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)．
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴＋＝0，＋＝0.
∴＋＝＋，
即－＝－.
21．解：(1)＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.
(2)由(1)知a＋b＝，a－b＝.
a＋b与a－b所在直线互相垂直，即AC⊥BD.
又∵ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，即a、b应满足|a|＝|b|.
(3)|a＋b|＝|a－b|，即||＝||.
∵矩形的对角线相等，
∴当a与b所在直线互相垂直时，满足|a＋b|＝|a－b|.
(4)不可能，因为?ABCD的两对角线不可能平行，因此a＋b与a－b不可能为共线向量，那么就不可能为相等向量了．3.3 三角函数的积化和差与和差化积
知识点一：积化和差
1．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于
A．－m
B．m
C．－
D.
2．sin20°cos70°＋sin10°sin50°的值为
A.
B.
C.
D.
3．在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是
A．[－1,1]
B．[－，]
C．[－，]
D．[－，]
4．计算sin105°cos75°的值是
A.
B.
C．－
D．－
5．函数y＝sin(x＋)sin(x＋)的最小正周期T＝__________.
知识点二：和差化积
6．将cos2x－sin2y化为积的形式，结果是
A．－sin(x＋y)sin(x－y)
B．cos(x＋y)cos(x－y)
C．sin(x＋y)cos(x－y)
D．－cos(x＋y)sin(x－y)
7．函数y＝cos2(x－)＋sin2(x＋)－1是
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
8．化简sin(θ＋)＋sin(θ＋)的结果是__________．
9．把cosx＋cos2x＋cos3x＋cos4x化成积的形式．
10．把下列各式化为积的形式：
(1)sin122°＋sin36°；
(2)sin75°－sin15°；
(3)cos75°－cos23°.
能力点一：利用积化和差、和差化积公式进行求值、化简、证明
11．有下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ；②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsinθ；③sin3θ－sin5θ＝－cos4θcosθ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcosθ；⑤sinxsiny＝[cos(x－y)－cos(x＋y)]．
其中正确等式的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
12．函数f(x)＝asinx＋acos(x－)(x∈R)的最大值是，则实数a等于
A.
B．－
C.
D．－
13．化简cos＋cos＋cos所得结果为
A．sin
B.sin
C．－
D．－cos
14．函数y＝的最小正周期是__________．
15．求证：sinαsin(60°＋α)sin(60°－α)＝sin3α.
能力点二：公式的综合应用
16.在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则△ABC是
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．不等边三角形
D．直角三角形
17．如果向量a＝(cosα＋sinα，2
009)，b＝(cosα－sinα，1)，且a∥b，那么＋tan2α＋1的值是__________．
18．已知△ABC的三个内角A、B、C满足：(1)A＋C＝2B；(2)＋＝－，求cos的值．
19．已知sin(＋2α)sin(－2α)＝，α∈(，)，求：2sin2α＋tanα－cotα－1的值．
20．已知△ABC的面积为3，且满足0≤·≤6，设〈，〉＝θ.
(1)求θ的取值范围；
(2)求函数f(θ)＝2sin2(＋θ)－cos2θ的最大值与最小值．
答案与解析
1．A sin(α＋β)sin(α－β)＝－(cos2α－cos2β)
＝－[(2cos2α－1)－(2cos2β－1)]＝－(cos2α－cos2β)＝－m.
2．A 原式＝[sin90°＋sin(－50°)]＋(－cos60°＋cos40°)
＝－sin50°＋cos40°－
＝.
3．C cosAsinC＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)，
∵－1≤sin(A－C)≤1，
∴cosAsinC∈[－，]．
4．B
5．π
6．B
7．C y＝＋－1
＝[cos(2x－)－cos(2x＋)]＝－sin2x·sin(－)＝sin2x，
∴函数是周期为π的奇函数．
8．－sinθ
9．解：原式
＝(cosx＋cos4x)＋(cos2x＋cos3x)
＝2cosxcosx＋2cosxcos
＝2cosx(cosx＋cos)
＝4cosx·cosx·cos.
10．解：(1)sin122°＋sin36°＝2sin·cos＝2sin79°·cos43°；
(2)sin75°－sin15°＝2cos·sin＝2cos45°·sin30°＝；
(3)cos75°－cos23°
＝－2sinsin
＝－2sin49°·sin26°.
能力提升
11．B 根据和差化积公式与积化和差公式，只有⑤正确．
12．A f(x)＝asinx＋asin[－(x－)]＝a[sinx＋sin(－x＋)]＝2asincos(x－)＝acos(x－)，
∴a＝，a＝.
13．C 原式＝
＝
＝＝－.
14.
＝
＝
＝＝tan(2x＋)，
∴y＝tan(2x＋)，T＝.
15．证明：左边＝sinα·(－)(cos120°－cos2α)
＝sinα＋sinαcos2α
＝sinα＋[sin3α＋sin(－α)]
＝sinα＋sin3α－sinα
＝sin3α.
∴左边＝右边，原等式成立．
16．B 在△ABC中，
∵sinBsinC＝cos2，
∴sinBsinC＝，
即2sinBsinC＝1－cos(B＋C)．
∴cos(B－C)＝1.
∴B－C＝0，即B＝C.
17．2
010 ∵a∥b，
∴cosα＋sinα－2
009(cosα－sinα)＝0，
即＝2
009.
又＋tan2α＋1＝＋＋1
＝＋1
＝＋1
＝＋1＝2
009＋1
＝2
010.
18．解：由题设条件知B＝60°，A＋C＝120°，
∵＝－2，
∴＋＝－2.
∴cosA＋cosC＝－2cosAcosC.
利用和差化积及积化和差公式得
2coscos＝－[cos(A＋C)＋cos(A－C)]，
∴cos＝－(－＋2cos2－1)，
化简得4cos2＋2cos－3＝0，
又(2cos－)(2cos＋3)＝0，
∵2cos＋3≠0，
∴cos＝.
19．解：由已知，得
－(cos－cos4α)＝，
∴cos4α＝.
∵α∈(，)，
∴4α∈(π，2π)．
∴4α＝.
∴2α＝.
∴2sin2α＋tanα－cotα－1
＝2sin2α＋－－1
＝1－cos2α＋－1
＝－cos2α－
＝－cos－
＝＋＝.
拓展探究
20．解：(1)设△ABC的角A、B、C所对应的边的边长分别为a、b、c.
则S△ABC＝bcsinθ＝3.
∴bc＝.①
由已知：0≤·≤6，
得0≤bccosθ≤6，②
将①代入②得0≤≤6，
即0≤cotθ≤1，又θ为△ABC的内角，
∴θ∈[，]．
(2)f(θ)＝1－cos(＋2θ)－cos2θ
＝1－2cos(2θ＋)cos
＝1－cos(2θ＋)，
由(1)知≤θ≤，
∴≤2θ≤π.
∴≤2θ＋≤.
∴－1≤cos(2θ＋)≤－.
∴－≤cos(2θ＋)≤－.
∴当θ＝时，ymax＝1＋，
当θ＝时，ymin＝1＋.2．3.2 向量数量积的运算律
知识点一：向量的数量积
1．已知向量a与b满足|a|＝3，|b|＝6，〈a，b〉＝，则a·b等于
A．－9 B．9 C．9 D．－9
2．已知非零向量m，n满足m·n≥0，则m与n夹角θ的取值范围是
A．[0，)
B．[0，]
C．[，π)
D．[，π]
3．一物体在力F的作用下沿水平方向由A运动至B，已知AB＝10米，F与水平方向成30°角，|F|＝5牛顿，则物体从A运动到B力F所做的功W＝__________________
________________________________________________________________________.
4．给出下列命题中，
①若a＝0，则对任一向量b，有a·b＝0；
②若a≠0，则对任意一个非零向量b，有a·b≠0；
③若a≠0，a·b＝0，则b＝0；
④若a·b＝0，则a、b至少有一个为0；
⑤若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；
⑥若a·b＝a·c，且b≠c，当且仅当a＝0时成立．
其中真命题为________．
5．(2010江西高考，文13)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是__________．
知识点二：向量数量积的性质及运算律
6．向量a，b、c满足a＋b＋c＝0且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2等于
A．1
B．2
C．4
D．5
7．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是
A.
B.
C.
D.
8．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
9．(2010湖南高考，文6)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
10．设a，b，c为任意向量，m∈R，下列各式中
①(a－b)＋c＝a－(b－c)
②m(a＋b)＝ma＋mb
③(a－b)·c＝a·c－b·c
④(a·b)c＝a(b·c)
⑤|a·b|＝|a||b|
不成立的有________．
11．已知|a|＝1，|b|＝，设a与b的夹角为θ.
(1)若θ＝，求|a＋b|；
(2)若a与a－b垂直，求θ.
能力点一：有关数量积的计算问题
12．已知非零向量a，b，若(a＋2b)⊥(a－2b)，则等于
A.
B．4
C.
D．2
13．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的正射影的数量为
A.
B．3
C．4
D．5
14．对于任意向量x和y，|x||y|与x·y的大小关系是
A．|x||y|≤x·y
B．|x||y|＞x·y
C．|x||y|≥x·y
D．|x||y|＜x·y
15．已知|a|＝2，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则|a－λb|的最小值为
A．4
B．2
C．2
D.
16．若|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝________.
17．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，求a与b夹角的取值范围．
18.设平面内两个向量a与b互相垂直且|a|＝2，|b|＝1，又k与t是两个不同时为零的实数．
(1)若x＝a＋(t－4)b与y＝－ka＋tb互相垂直，求k关于t的函数解析式k＝f(t)；
(2)求函数k＝f(t)取最小值时的向量x、y.
能力点二：数量积的应用
19．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为
A．6
B．2
C．2
D．2
20．(2010四川高考，理5)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||等于
A．8
B．4
C．2
D．1
21．(2010天津高考，文9)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则A·A等于
A．2
B.
C.
D.
22．在边长为的等边三角形ABC中，设＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋c·a＝________.
23．在△ABC中，设＝c，＝a，＝b，且a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状．
24．在等腰直角三角形ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
答案与解析
基础巩固
1．A 2.B
3．75 W＝|F|·||·cos30°＝5×10×＝75.
4．①
5．1 b在a上的投影是|b|cos60°＝2×＝1.
6．D |c|2＝c2＝[－(a＋b)]2＝(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b，∵a⊥b，∴a·b＝0.∴|c|2＝1＋22＝5.
7．C
8．B (＋－2)·(－)＝[(－)＋(－)]·(－)＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0，∴||＝||.
9．C 0＝(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2，
∵|a|＝|b|≠0，
∴2cos〈a·b〉＋1＝0，cos〈a，b〉＝－，〈a，b〉＝120°.
10．④⑤
11．解：(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b
＝1＋()2＋2×1××cos＝3＋，∴|a＋b|＝.
(2)由条件得a·(a－b)＝0，∴a2＝a·b＝|a|·|b|·cosθ.
∴cosθ＝＝＝.
∴θ＝.
能力提升
12．D 因为(a＋2b)⊥(a－2b)，所以(a＋2b)·(a－2b)＝0.所以a2＝4b2.所以|a|＝2|b|.故＝2.
13．A 由于cos〈a，b〉＝＝＝，
∴|a|·cos〈a，b〉＝3×＝.
14．C
15．D ∵a·(b－a)＝a·b－|a|2＝a·b－4，∴a·b＝6.
|a－λb|2＝|a|2＋λ2|b|2－2λa·b＝4＋36λ2－12λ＝36(λ－)2＋3，
∴当λ＝时，|a－λb|2取最小值3.∴|a－λb|的最小值为.
16．± 由于(a＋λb)·(a－λb)＝0，
∴|a|2－λ2|b|2＝0.
∴λ2＝＝.
∴λ＝±.
17．解：设a与b的夹角为θ，根据题意得Δ≥0，即|a|2－4a·b≥0，
即|a|2－4|a||b|·cosθ≥0，
∴|a|2－4|a|×|a|·cosθ≥0.
∴cosθ≤.∴θ∈[，π]．
18．解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.
又x⊥y，∴x·y＝0，
即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0.
－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.
∵|a|＝2，|b|＝1，
∴－4k＋t2－3t＝0，
即k＝(t2－3t)．
(2)由(1)知，k＝(t2－3t)＝(t－)2－，
即函数最小值为－，此时t＝，
∴x＝a－b，y＝a＋b.
19．D 由已知得F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)．F＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2|F1||F2|cos60°＝28.
∴|F3|＝2.
20．C 因为|＋|＝|－|，平方得·＝0，即⊥，
又2＝16，
所以||＝4.
所以||＝||＝2.
21．D 设||＝x，则||＝x，
·＝(＋)·＝·＝||·||·cos∠ADB＝x×1×＝.
22．－3
23．解：∵a·b＝b·c，
∴b·(a－c)＝0.
又b＝－(a＋c)，则有－(a＋c)·(a－c)＝0，
即c2－a2＝0，也即|c|＝|a|.
同理|b|＝|a|，故|a|＝|b|＝|c|.
所以△ABC为正三角形．
拓展探究
24．证明：方法一：·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝－＋·()＋0＋·
＝－||2＋||||cos45°＋||||cos45°
＝－||2＋·||·||·＋·||·||·
＝－||2＋||2＋||2＝0.
∴⊥，即AD⊥CE.
方法二：设＝a，＝b.
由题设得|a|＝|b|，a·b＝0.
∵D为CB的中点，
∴＝b－a.
∵AE＝2EB，
∴＝＝(b－a)＝b－a.
∴＝＋＝a＋b－a＝a＋b.
∴·＝(b－a)(a＋b)
＝a·b－a·b＋b2－a2
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥，即AD⊥CE.1.2.2 单位圆与三角函数线
知识点一：单位圆与三角函数线
1．下列判断中错误的是
A．α一定时，单位圆中的正弦线一定
B．单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．α和2π＋α具有相同的正切线
D．具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上
2．已知角α的终边和单位圆的交点为P，则点P的坐标为
A．(sinα，cosα)
B．(cosα，sinα)
C．(sinα，tanα)
D．(tanα，sinα)
3．如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是
A．正弦线P，正切线
B．正弦线M，正切线
C．正弦线M，正切线
D．正弦线P，正切线A
4．对三角函数线，下列说法正确的是
A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线
B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在
C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在
D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在
5．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边在__________.
知识点二：三角函数线的简单应用
6．依据三角函数线，作出如下四个判断：
①sin＝sin；②cos(－)＝cos；③tan>tan；④sin>sin.其中判断正确的有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．在(0,2π)内，使sinα>cosα成立的α的取值范围为
A．(，)∪(π，)
B．(，π)
C．(，)
D．(，π)∪(，)
8．若角α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是
A．sinα＋cosα
B．tanα＋sinα
C．cosα－tanα
D．sinα－tanα
9．借助三角函数线比较下列各组值的大小．(由大到小排列)
(1)sin，sin，sin：__________；
(2)cos，cos，cos：__________；
(3)tan，tan，tan：__________.
10．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
(1)；(2)－.
能力点一：利用三角函数线比较三角函数值大小
11．如果0<α<，那么下列不等式成立的是
A．cosαB．tanαC．sinαD．cosα12．若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是__________．
13．用三角函数线比较sin1和cos1的大小结果是__________．
能力点二：利用三角函数线确定角的范围
14．使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是
A．[－，]
B．[－，]
C．[－，]
D．[0，π]
15．角α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为
A.或
B.或
C.或
D.或
16．y＝的定义域为__________．
17．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sinα≥；(2)cosα≤－.
能力点三：三角函数线的综合应用
18．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限内，若α∈[0,2π)，求α的取值范围．
19．当α＝3
rad时，利用三角函数线分析点P(sin3－cos3，sin3＋cos3)在第几象限．
20．求函数y＝＋lg(2cosx－1)的定义域．
21．利用三角函数线证明若0<α<β<，则有β－α>sinβ－sinα.
答案与解析
基础巩固
1．B 2.B 3.C 4.D 5.y轴上
6．B 分别作出各个角的三角函数线，由图知sin＝－sin，cos(－)＝cos，tansin，故②④正确．
7．C 当α的终边在直线y＝x上时，直线y＝x与单位圆的交点为(，)，(－，－)．
此时，α＝和，如图所示．
当α∈(，)时，恒有MP>OM，
而当α∈(0，)∪(，2π)时，
则有MP8．B 如下图，作出sinα、cosα、tanα的三角函数线，显然△OPM∽△OTA，且|MP|<|AT|，
∵MP>0，AT<0，
∴MP<－AT.
∴MP＋AT<0，即sinα＋tanα<0.
9．(1)sin>sin>sin
(2)cos>cos>cos
(3)tan>tan>tan
10．解：作图如下．
(1)
所以，的正弦线为M，余弦线为O，正切线为A.
(2)
所以，－的正弦线为M，余弦线为O，正切线为A.
能力提升
11．C
12．tanα>cosα>sinα
13．sin1>cos1
14．A
15．C
16．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z) 由函数有意义，x需满足1＋2cosx≥0，即cosx≥－.
根据单位圆中的三角函数线，可得满足条件的角x的范围是2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
17．解：(1)作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
18．解：∵点P在第一象限内，
∴
∴
结合单位圆(如图所示)中三角函数线且0≤α<2π，
可知<α<或π<α<.
19．解：因为<3<π，作出单位圆如图所示，
设M，O的数量分别为a，b，
所以sin3＝a>0，cos3＝b<0，所以sin3－cos3>0.
因为|MP|<|OM|，即|a|<|b|，
所以sin3＋cos3＝a＋b<0.
故当α＝3
rad时，P(sin3－cos3，sin3＋cos3)在第四象限．
20．解：由题意知
2kπ－≤x<2kπ＋(k∈Z)．
sinx≥－，cosx>的解如图阴影部分．
故所求函数的定义域为{x|2kπ－≤x<2kπ＋，k∈Z}．
拓展探究
21．证明：如图，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α、β的终边分别交于点Q、P，过P、Q分别作OA的垂线，设垂足分别是M、N，则由三角函数定义可知：
sinα＝NQ，sinβ＝MP.
过点Q作QH⊥MP于H，
则HP＝MP－NQ＝sinβ－sinα.
由图可知HP<－＝β－α，
即β－α>sinβ－sinα.1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
知识点一：余弦函数的图象和性质
1．函数f(x)＝sin(－2x)是
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
2．要得到函数y＝cos(－)的图象，只需将y＝sin的图象
A．向左平移
B．向右平移
C．向左平移
D．向右平移
3．函数f(x)＝cos(2x－)＋1的最小正周期是__________．
4．函数y＝的单调增区间是__________，单调减区间是__________．
5．若函数y＝acosx＋b(a、b为常数)的最大值为1，最小值为－7，求y＝3＋absinx的最大值．
知识点二：正切函数的图象及性质
6．正切函数y＝tan(2x－)的定义域是
A．{x|x∈R且x≠－，k∈Z}
B．{x|x∈R且x≠＋，k∈Z}
C．{x|x∈R且x≠＋，k∈Z}
D．{x|x∈R且x≠＋，k∈Z}
7．函数y＝2tan(3x＋)的一个对称中心是
A．(，0)
B．(，0)
C．(，0)
D．(π，0)
8．函数y＝tan(x＋)(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是__________．
9．比较大小：tan1__________tan4(填“>”或“<”)
.
10．给出下列命题：
①正切函数的图象的对称中心是唯一的；
②y＝|sinx|、y＝|tanx|的周期分别为π、；
③若x1>x2，则sinx1>sinx2；
④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－)＝0.
其中正确命题的序号是__________．
能力点一：函数图象的应用
11．下列图形分别是①y＝|tanx|，②y＝tanx，③y＝tan(－x)，④y＝tan|x|在x∈(－，)内的大致图象．那么，由上到下由左到右对应的函数关系式应是
A．①②③④
B．①③④②
C．③②④①
D．①②④③
12．函数y＝lncosx(－13．若函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是
A．4
B．8
C．2π
D．4π
14．已知函数f(x)＝.
(1)求函数的定义域；
(2)用定义判断f(x)的奇偶性；
(3)在[－π，π]上作出f(x)的图象．
能力点二：函数性质的应用
15．函数y＝＋的定义域为
A．{x|2kπ≤x<2kπ＋，k∈Z}
B．{x|2kπC．{x|2kπ≤x<2kπ＋，k∈π＋π，k∈Z}
D．{x|2kπ≤x<2kπ＋且x≠2kπ＋π，k∈Z}
16．已知函数f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下列结论错误的是
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间[0，]上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
17．一个大风车的半径为8
m，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2
m，则风车翼片的一个端点离地面距离h(米)与时间t(分钟)之间(h(0)＝2)的函数关系式为__________．
18．若f(x)＝tan(x＋)，试比较f(－1)，f(0)，f(1)，并按从小到大的顺序排列：__________.
19．(2010江苏高考，10)设定义在区间(0，)上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为__________．
20．有两个函数f(x)＝asin(ωx＋)，g(x)＝btan(ωx－)(其中ω>0)．已知它们的周期之和为，且f()＝g()，f()＝－g()＋1，你能确定a、b、ω的值吗？
21．求下列函数的最值，并求取得最值时x取值的集合：
(1)y＝；(2)y＝2cos(x－)．
22．已知函数y＝10lg(tan2x)．
(1)分别求出函数的定义域与值域；
(2)判断函数是否为周期函数，若是，求出周期；
(3)讨论这个函数的单调性．
答案与解析
基础巩固
1．B
2．A y＝sinsin(x＋)＝sin[＋(－)]＝y＝cos(－)
3．π
4．[2kπ－，2kπ]，k∈Z [2kπ，2kπ＋]，k∈Z 由cosx≥0得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
当2kπ－≤x≤0时，函数y为增函数，
当0≤x≤2kπ＋时，函数y为减函数．
5．解：若a＞0，当cosx＝1时，ymax＝a＋b；
当cosx＝－1时，ymin＝b－a，
∴∴
∴ab＝－12＜0.
∴当sinx＝－1时，3－12sinx取得最大值为15.
若a＜0，当cosx＝1时，ymin＝a＋b，
当cosx＝－1时，ymax＝b－a.
∴∴
∴ab＝12＞0，
∴当sinx＝1时，3＋absinx取最大值为15.
6．B 由2x－≠kπ＋得x≠＋(k∈Z)．
∴定义域为{x|x∈R且x≠＋，k∈Z}．
7．B 由3x＋＝kπ得x＝－，
∴函数y的对称中心为(－，0)，k∈Z.
当k＝1时，中心为(，0)．
8．7
9．> ∵tan4＝tan(4－π)，y＝tanx在(－，)内为增函数，且1>4－π，
∴tan1>tan(4－π)＝tan4.
10．④ 对于④，因为f(x)是奇函数，所以f(－)＝－f()．
又因为f(x)的最小正周期为T，
所以f(－)＝f(T－)
＝f()．
由此可得－f()＝f()，
即f()＝0，
所以f(－)＝－f()＝0，
故④正确．
观察图象知，①②③均错．
能力提升
11．D 12.A
13．D 作出函数y＝2cosx，x∈[0,2π]的图象，函数y＝2cosx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．
利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC的面积，
又∵|OA|＝2，|OC|＝2π，
∴S平面图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.
14．解：将f(x)的解析式化简，然后用定义求解．
(1)∵f(x)＝＝，
∴函数的定义域是{x|x≠kπ＋，k∈Z}．
(2)∵f(－x)＝
＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(3)f(x)＝
f(x)的图象如图．
15．C 16.D
17．h(t)＝－8cost＋10 首先考虑建立直角坐标系，以最低点的切线作为x轴，最低点作为坐标原点，建立如图直角坐标系．
那么，风车上翼片端点所在位置P可由函数x(t)、y(t)来刻画，而且h(t)＝y(t)＋2.
所以，只需要考虑y(t)的解析式．又设P的初始位置在最低点即y(0)＝0，
在Rt△O1PQ中，cosθ＝，y(t)＝－8cosθ＋8，
而＝，所以θ＝t，y(t)＝－8cost＋8，h(t)＝－8cost＋10.
18．f(1)则有f(1)＝f(1－π)．
∵－<1－π<－1<0<，
∴f(1－π)即f(1)19. 如图，由题意得：6cosx＝5tanx，
即6cosx＝，6cos2x＝5sinx，
6(1－sin2x)＝5sinx，6sin2x＋5sinx－6＝0，得sinx＝，或sinx＝－(舍去)．
结合图象得：sinx＝P1P2＝.
20．解：∵f(x)的周期为，g(x)的周期为，∴＋＝，得ω＝2.
∴函数解析式为f(x)＝asin(2x＋)，g(x)＝btan(2x－)．
由已知，得方程组
即解得
∴a＝1，b＝，ω＝2.
21．解：(1)∵y＝＝－1＋，
∴当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymax＝2；
当cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，ymin＝.
∴y取得最大值2时，x取值的集合是{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}；
y取得最小值时，x取值的集合是{x|x＝2kπ，k∈Z}．
(2)令x－＝z，则y＝2cosz，当z＝2kπ(k∈Z)，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝2；
当z＝2kπ＋π(k∈Z)，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－2.
∴y取得最大值2时，x取值的集合是{x|x＝2kπ＋，k∈Z}；
y取得最小值－2时，x取值的集合是{x|x＝2kπ＋，k∈Z}．
拓展探究
22．解：(1)由tan2x>0，得故定义域为{x|∴y＝10lg(tan2x)＝tan2x.
又∵∴y∈(0，＋∞)．
∴值域为{y|y>0}．
(2)是周期函数，T＝.2．2.1 平面向量基本定理
知识点一：平面向量基本定理
1．下列关于基底的说法正确的是
①平面内的任意两个向量都可作为一组基底．
②基底中的向量可以是零向量．
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．① B．② C．③ D．②③
2．O为?ABCD的对角线交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1等于
A.
B.
C.
D.
3．已知e1、e2是同一平面内不共线的任意两个向量，下列说法正确的有
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②若实数λ、μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；
③对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ、μ有无数多对；
④若λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ2e1＋μ2e2＝λ(λ1e1＋μ1e2)．
A．①②
B．③④
C．②③
D．①③
4．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则等于
A.a＋b
B.a＋b
C.a－b
D．－a＋b
5．已知向量e1、e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于__________．
6．四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形，又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，.
知识点二：直线的向量参数方程式
7．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，若＝3e1，＝e2，则等于
A．e1＋2e2
B．2e1＋e2
C.e1＋e2
D．e1＋e2
8．设一直线上三点A，B，P满足＝λ(λ≠1)，O为平面上任一点，则用，表示为__________．
能力点一：向量的分解
9．在?ABCD中，与交于点M.若设＝a，＝b，则以下各选项中，与－a＋b相等的向量有
A.
B.
C.
D.
10．△ABC中，＝，EF∥BC交AC于F点，设＝a，＝b，用a，b表示向量为__________．
11．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.
12．如图所示，已知四边形ABCD为矩形，且AD＝2AB，又△ADE为等腰直角三角形，F为ED的中点，＝e1，＝e2，选择{e1，e2}作为基底，用基底表示向量，，，.
13．如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、DC边上的中点，若＝a，＝b.试以a，b为基底表示，.
能力点二：平面向量基本定理的综合应用
14．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系为
A．不共线
B．共线
C．相等
D．无法确定
15．如图所示，点P在∠AOB的对角区域MON内，且满足＝x＋y，则实数对(x，y)可以是
A．(，－)
B．(，)
C．(－，－)
D．(－，)
16．如图，已知△ABC中，M，N，P顺次是AB的四等分点，＝e1，＝e2，则下列正确的是
A.＝e1＋e2，＝e1＋e2
B.＝e1－e2，＝e1＋e2
C.＝e1＋e2，＝(e1＋e2)
D.＝(e1－e2)，＝e1＋e2
17．设向量e1、e2是平面向量的一组基底，则a＝e1＋λe2与b＝－e1＋2e2共线时，λ＝________.
18．已知△ABC中，D为AB上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.
19．设e1、e2为两个不共线向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试以b、c为基底来表示向量a.
20．如图所示，点L、M、N分别为△ABC的边BC、CA、AB上的点，且＝l，＝m，＝n，若＋＋＝0，求证：l＝m＝n.
答案与解析
基础巩固
1．C
2．B 由＋＝得6e2－4e1＝，即2(3e2－2e1)＝＝2，
∴3e2－2e1＝.
3．A ④中，如果λ1e1＋μ1e2＝0，则不成立．
4．B 设AD与BE交点为F，则＝a，＝b，由＋＋＝0得＝(a－b)，
∴＝2＝2(－)＝a＋b.
5．3 ∵e1、e2不共线，
∴∴x－y＝3.
6．解：＝－＝a－b，
＝＝＝a－b，
∴＝＋＝b＋a－b＝a＋b.
又∵＝a＋b，∴＝＝a＋b，
∴＝－＝a－b.
7．D 如图，＝＋＝＋(－)＝＋＝e1＋e2.
8.＝
能力提升
9．D
10．－a＋b 如图，＝＋＝＋＝－a＋b.
11. 延长AF，DC交于点H，
∵E、F为中点，
∴AB＝HC＝CD，AF＝FH.
∴＝＋
＝2＋2
＝2＋2(－)．
∴＝＋，
即λ＝，μ＝.
∴λ＋μ＝.
12．解：∵e1＝，e2＝，
∴＝－＝e2－e1.
由已知AD＝2AB＝DE，且F为DE的中点，
∴四边形ABDF为平行四边形．
∴＝＝＝e2，
＝－＝2－＝2e2－e1，＝＝e2－e1.
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC的中点，
∴＝＝2，＝＝2.
∴＝＝b，＝＝＝－＝－a.
∴＝＋＋＝－＋＋＝－b＋a＋b＝a－b，
＝＋＝＋＝b－a.
14．B a＋b＝(e1－2e2)＋(2e1＋e2)＝3e1－e2.
又c＝6e1－2e2，∴a＋b＝c.
∴a＋b与c共线．
15．C
16．A N为AB中点，
即得＝(＋)＝(e1＋e2)，而M又为AN中点，
＝(＋)＝(e2＋e1＋e2)＝e1＋e2，
∴A正确．
B中应是＝e1＋e2，
C中＝(e1－e2)，
D中＝e1－e2.
17．－2 若a与b共线，则a＝mb，即e1＋λe2＝m(－e1＋2e2)，又e1与e2不共线，∴
∴λ＝－2.
18.
19．解：设a＝λ1b＋λ2c，则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，
即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2.
∵e1，e2不共线，由平面向量基本定理，
得
解得
∴a＝－b＋c.
拓展探究
20．证明：设＝a，＝b，以a，b为基底．
由已知，得＝la，＝mb，
∵＝＋＝－b－a，
∴＝n＝－na－nb.
∴＝＋＝－b－a＋la＝(l－1)a－b，①
＝＋＝a＋mb，②
＝＋＝b＋(－na－nb)＝－na＋(1－n)b.③
将①②③代入＋＋＝0，得(l－1)a－b＋a＋mb－na＋(1－n)b＝0，
即(l－n)a＋(m－n)b＝0，
又∵a与b不共线，
∴∴l＝m＝n.1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
知识点一：弧度制
1．下列说法正确的是
A．一弧度就是一度的圆心角所对的弧
B．一弧度是长度为半径的弧
C．一弧度是一度的弧与一度的角之和
D．一弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
2．在半径为2的圆内，弧长为4的弧所对的圆心角的弧度数为__________.
知识点二：角度与弧度的换算关系
3．把－化成角度是
A．－960°
B．－480°
C．－120°
D．－60°
4．把－1
485°化为2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式为
A．－8π＋
B．－8π－
C．－10π＋
D．－10π＋
5．下列各角中与终边相同的角为
A．435°
B．465°
C．225°
D．－435°
6．填空：
(1)－300°＝________
rad，67°30′＝________
rad；
(2)＝__________°.
7．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图所示)．
知识点三：弧长公式和扇形面积公式
8．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为
A．1
B.
C.或
D.或
9．已知弧度数为2的圆心角所对弧长也是2，则这个圆心角所对的弦长是
A．2
B.
C．2sin1
D．sin2
10．圆的半径为1，所对圆心角为3弧度的弧长为__________．
11．已知扇形的圆心角为，半径等于20
cm，求扇形面积．
能力点一：角度与弧度的相互转化
12．下列各式正确的是
A．π＝180
B．π＝3.14
C．90°＝
rad
D．1
rad＝π
13．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为
A.
B．－
C.
D．－
14．(1)把202°30′化成弧度；
(2)把－化成角度；
(3)已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α、β、γ、θ、φ的大小．
能力点二：用弧度制解决与终边相同角有关的问题
15．终边在第二象限和第三象限的角的集合是
A．(－，)
B．(，)
C．(＋2kπ，＋2kπ)(k∈Z)
D．(＋2kπ，π＋2kπ)∪(π＋2kπ，＋2kπ)(k∈Z)
16．设两个集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝kπ－，k∈Z}，则
A．M＝N
B．M?N
C．M?N
D．M∩N＝
17．若角θ的终边与的终边相同，则在[0,2π]内终边与角的终边相同的角是__________．
18.已知角θ的终边与－的终边共线，且θ∈(0°，360°)，求θ的弧度数．
能力点三：弧长公式及扇形面积公式的应用
19．下列命题正确的是
A．若两扇形面积的比为1∶9，则两扇形弧长的比是1∶3
B．若扇形的弧长一定，则面积存在最大值
C．若扇形的面积一定，则弧长存在最小值
D．角的集合与实数集之间可以建立起一一对应
20．已知扇形AOB中，所对的圆心角为1
rad，弦AB＝2，则该扇形的面积为__________．
21．美观的纸扇是一种艺术品，它在设计上符合黄金比例(0.618)，即从一圆形(半径为R)的纸片中分割出来的扇形的面积与剩余面积比值为0.618.那么符合黄金比例的纸扇的中心角α大约是__________度(精确到0.1)．
22．已知一扇形周长为C(C>0)，当扇形的圆心角为何值时，它的面积最大？求出面积最大值．
23．已知一扇形的中心角为α，所在圆半径为R.
(1)若α＝60°，R＝10，求该扇形的弧长和面积；
(2)若该扇形的周长为4R，则扇形中所含弓形的面积是多少？
答案与解析
基础巩固
1．C
2．B 由三角函数定义知，x＝3，y＝4，r＝＝5，
∴sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝，
故sinα＋cosα＋tanα＝＋＋＝.
3．D 由cosα＝，y<0，得y＝－4，故tanα＝＝－.
4. ∵x＝7，y＝24，
∴r＝25，＝＝＝.
5．B
6．A ∵2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三角限角，
∴sin2>0，cos3<0，tan4>0，故sin2·cos3·tan4<0.
7．③④
8．二、三 由tanα·cscα<0知，tanα与cscα的值异号．
∴α终边位于二、三象限．
9．[2kπ＋，2kπ＋π](k∈Z) 依题意，得
(k∈Z)．
故x的范围是2kπ＋≤x≤2kπ＋π(k∈Z)．
10．解：由题意得
即
解得0∴函数的定义域为(0，)∪(，4]．
能力提升
11．B 由定义知，tan420°＝，
又∵tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝，
∴＝.∴a＝－4.
12．2
010
13．解：在直线y＝x上任取一点P(a，a)(a≠0)，
则r＝＝|a|.
当a>0时，r＝a.
sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，
∴sinα＋cosα＝.
当a<0时，r＝－a，sinα＝＝＝－，
cosα＝＝＝－.
∴sinα＋cosα＝－.
综上，sinα＋cosα＝±.
14．解：由题意得r＝＝5|a|.
当a>0时，r＝5a，α角在第二象限，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝－；
当a<0时，r＝－5a，α角在第四象限，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.
15．解：由r2＝x2＋y2＝3＋y2，得r＝，由三角函数的定义可得sinα＝＝＝y，
∴y＝±，r＝2.
∴cosα＝＝－，tanα＝＝±.
16．C cosα≤0，且sinα>0，则α在第二象限或终边在y轴的非负半轴上，
∴即－217．{－1} 由sinαcosα<0，知α在第二象限或第四象限．
当α在第二象限时，sinα>0，cosα<0，tanα<0，则y＝－1；
当α在第四象限时，sinα<0，cosα>0，tanα<0，则y＝－1.
综上可得，值域为{－1}．
18．(1)> (2)>
19．一或三 由()sin2θ<1，得sin2θ>0.
∴2θ∈(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z.
∴θ∈(kπ，kπ＋)，k∈Z.
当k＝2m时，m∈Z，θ∈(2mπ，2mπ＋)，θ为第一象限角；
当k＝2m＋1时，m∈Z，θ∈(2mπ＋π，2mπ＋)，θ为第三象限角．
20．解：所求定义域应满足
即
或
根据x所在象限情况可判断原函数定义域为{x|2kπ－21．解：(1)当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，
则r＝＝.
∴sinα＝＝＝.
当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，
则r＝＝，
∴sinα＝＝＝－.
(2)依题意，P到原点O的距离r＝OP＝＝.
∴sinα＝＝＝y.
∵y≠0，∴9＋3y2＝16.
∴y2＝，y＝±.
∴点P在第二或第三象限，且cosα＝＝－＝－.
拓展探究
22．解：(1)由＝－可知sinα<0，
∴α是第三或第四象限角或y轴的负半轴上角．
由lg(cosα)有意义可知cosα>0，
∴α是第一或第四象限角或x轴的正半轴上角．
综上可知角α是第四象限的角．
(2)∵点M(，m)在单位圆上，
∴()2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，
从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sinα＝－.
23．解：由题意可知P点坐标为P(a，－b)，Q点的坐标为Q(b，a)．
根据三角函数定义得：
sinα＝－，tanα＝－，secα＝，secβ＝，cotβ＝，cscβ＝.
∴原式＝－·－·＋·
＝－1－＋＝0.1．2.1 三角函数的定义
知识点一：三角函数的定义
1．若α的终边与y轴重合，则α的六种三角函数中，函数值不存在的是
A．sinα与cosα
B．tanα与cotα
C．tanα与secα
D．cotα与cscα
2．已知点M(3,4)是角α终边上一点，则sinα＋cosα＋tanα等于
A．1
B.
C.
D．12
3．已知点P(3，y)在角α的终边上，且满足y<0，cosα＝，则tanα的值为
A．－
B.
C.
D．－
4．已知角α终边经过点P(7,24)，则＝__________.
知识点二：三角函数值的符号
5．下列各式的值是正值的是
A．sin(－30°)
B．cos(－30°)
C．sin240°
D．cos240°
6．sin2·cos3·tan4的值
A．小于0
B．大于0
C．等于0
D．不存在
7．若角α的终边经过点P(－2，－1)，则①sinα·tanα>0；②cosα·tanα>0；③sinα·cosα>0；④sinα·tanα<0中，成立的有__________．
8．如果tanα·cscα<0，那么角α的终边在第__________象限．
知识点三：三角函数的定义域
9．函数y＝＋的定义域为__________．
10．求函数y＝＋tanx的定义域．
能力点一：利用三角函数定义求值
11．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为
A．4
B．－4
C．±4
D.
12．sin0°＋cos90°＋tan180°＋cot270°＋2
008cos0°＋2tan45°＝__________.
13．已知角α的终边在直线y＝x上，求sinα＋cosα的值．
14．若点P(－4a,3a)(a≠0)为角α终边上一点，求sinα，cosα，tanα.
15．已知角α的终边上一点P的坐标为(－，y)(y≠0)且sinα＝y，求cosα，tanα的值．
能力点二：三角函数值符号有关问题
16.已知角α的终边经过点(3m－9，m＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则m的取值范围为
A．(－2,3)
B．[－2,3)
C．(－2,3]
D．[－2,3]
17．若sinαcosα<0，则函数y＝＋＋的值域为__________．
18．用不等号(>，<)填空：
(1)sin·cos·tan__________0；
(2)__________0.
19．若()sin2θ<1，则θ是第__________象限角．
20.求y＝的定义域．
21．(1)已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sinα的值；
(2)已知角α的顶点在原点，始边为x轴的正半轴，若角α终边过点P(－，y)，且sinα＝y(y≠0)，判断角α所在的象限，并求cosα的值．
22．已知＝－，且lg(cosα)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M(，m)，求m的值及sinα的值．
23．已知角α的终边上的点P与A(a，b)关于x轴对称(ab≠0)．角β的终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sinα·secβ＋tanα·cotβ＋secα·cscβ的值．
答案与解析
基础巩固
1．B 2.B 3.C 4.D 5.y轴上
6．B 分别作出各个角的三角函数线，由图知sin＝－sin，cos(－)＝cos，tansin，故②④正确．
7．C 当α的终边在直线y＝x上时，直线y＝x与单位圆的交点为(，)，(－，－)．
此时，α＝和，如图所示．
当α∈(，)时，恒有MP>OM，
而当α∈(0，)∪(，2π)时，
则有MP8．B 如下图，作出sinα、cosα、tanα的三角函数线，显然△OPM∽△OTA，且|MP|<|AT|，
∵MP>0，AT<0，
∴MP<－AT.
∴MP＋AT<0，即sinα＋tanα<0.
9．(1)sin>sin>sin
(2)cos>cos>cos
(3)tan>tan>tan
10．解：作图如下．
(1)
所以，的正弦线为M，余弦线为O，正切线为A.
(2)
所以，－的正弦线为M，余弦线为O，正切线为A.
能力提升
11．C
12．tanα>cosα>sinα
13．sin1>cos1
14．A
15．C
16．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z) 由函数有意义，x需满足1＋2cosx≥0，即cosx≥－.
根据单位圆中的三角函数线，可得满足条件的角x的范围是2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
17．解：(1)作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
18．解：∵点P在第一象限内，
∴
∴
结合单位圆(如图所示)中三角函数线且0≤α<2π，
可知<α<或π<α<.
19．解：因为<3<π，作出单位圆如图所示，
设M，O的数量分别为a，b，
所以sin3＝a>0，cos3＝b<0，所以sin3－cos3>0.
因为|MP|<|OM|，即|a|<|b|，
所以sin3＋cos3＝a＋b<0.
故当α＝3
rad时，P(sin3－cos3，sin3＋cos3)在第四象限．
20．解：由题意知
2kπ－≤x<2kπ＋(k∈Z)．
sinx≥－，cosx>的解如图阴影部分．
故所求函数的定义域为{x|2kπ－≤x<2kπ＋，k∈Z}．
拓展探究
21．证明：如图，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α、β的终边分别交于点Q、P，过P、Q分别作OA的垂线，设垂足分别是M、N，则由三角函数定义可知：
sinα＝NQ，sinβ＝MP.
过点Q作QH⊥MP于H，
则HP＝MP－NQ＝sinβ－sinα.
由图可知HP<－＝β－α，
即β－α>sinβ－sinα.3．1 和角公式
知识点一：两角和与差的余弦
1．cos45°cos15°＋sin15°sin45°的值为
A.
B.
C．－
D．－
2．cosα＝，则cos(α－)的值为
A.
B．－
C.
D.或－
3．若cos(α－β)＝，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝__________.
知识点二：两角和与差的正弦
4．若M＝sin13°cos17°＋cos13°sin17°，则M的值为
A.
B.
C.
D．以上均错
5．(2010福建高考，理1)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于
A.
B.
C.
D.
6．已知cosx－sinx＝－，则sin(－x)＝__________.
7．在△ABC中，若sinAcosB＝1－cosAsinB，则△ABC一定是__________三角形．
知识点三：两角和与差的正切
8．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于
A．－3
B．－
C．3
D.
9．tan10°tan20°＋(tan10°＋tan20°)的值为
A.
B．1
C.
D.
10．已知cosθ＝－，θ∈(π，)，求tan(θ－)的值．
能力点一：和角公式的基本应用
11．(2010课标全国高考，文10)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)等于
A．－
B.
C．－
D.
12．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为
A.
B.
C.
D.
13.的值为
A.
B．1
C.
D.
14．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值为
A．1
B．2
C.＋1
D.＋2
15．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝__________.
16．已知α、β均为锐角，sinα＝，cosβ＝，求α－β的值．
17．已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，)．
(1)求sinθ和cosθ的值；
(2)若sin(θ－φ)＝，0<φ<，求cosφ的值．
能力点二：和角公式的综合应用
18．若a，b是非零实数，且＝tan，则＝__________.
19．(2010全国高考Ⅰ，理14)已知α为第三象限的角，cos2α＝－，则tan(＋2α)＝________.
20．在△ABC中，若sinA＝，cosΒ＝－，则sinC
＝__________.
21．已知函数f(x)＝－1＋2sin2x＋mcos2x的图象经过点A(0,1)，求此函数在[0，]上的最值．
22.在△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＋1＝tanAtanB，判断△ABC的形状．
23．(2010四川高考，理19)(1)①证明两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；
②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
(2)已知△ABC的面积S＝，·＝3，且cosB＝，求cosC.
24．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π，x∈R)的最大值是1，其图象经过点M(，)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知α，β∈(0，)，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值．
答案与解析
基础巩固
1．B
2．D ∵cosα＝，
∴sinα＝±＝±.
∴cos(α－)＝cosαcos＋sinαsin＝(sinα＋cosα)＝或－.
3. 原式＝(sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ)＋(cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ)＝2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝2＋2cos(α－β)＝2＋2×＝.
4．A
5．A ∵sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.∴选A.
6．－ sin(－x)＝sincosx－cossinx＝cosx－sinx＝×(－)＝－.
7．直角 由条件得sinAcosB＋cosAsinB＝1，
∴sin(A＋B)＝1，故sinC＝1.
∴C＝.
8．D
9．B ∵tan(10°＋20°)＝，
∴tan30°(1－tan10°tan20°)＝tan10°＋tan20°，
即(1－tan10°tan20°)＝tan10°＋tan20°.
∴1－tan10°tan20°＝(tan10°＋tan20°)，故原式＝1.
10．解：∵cosθ＝－，θ∈(π，)，
∴sinθ＝－＝－.
∴tanθ＝＝.
∴tan(θ－)＝＝＝－.
能力提升
11．A sin(α＋)＝(sinα＋cosα)＝(－－)＝－.
12．B 原式＝sin(65°－x)·sin[90°－(x－20°)]＋cos(65°－x)·cos(110°－x)＝sin(65°－x)·sin(110°－x)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)＝cos(110°－x－65°＋x)＝cos45°＝.
13．A 原式＝＝tan(45°＋15°)＝.
14．B f(x)＝cosx＋sinx＝2×(cosx＋sinx)＝2sin(x＋)，
∵0≤x<，∴≤x＋<.∴f(x)的最大值为2.
15．0 由sinαcosβ＝1知或
∴α＝2k1π＋，β＝2k2π或α＝2k1π＋，β＝2k2π＋π(k1，k2∈Z)．
∴α＋β＝2kπ＋或(2k＋1)π＋(k∈Z)．∴cos(α＋β)＝0.
16．解：∵α、β均为锐角，sinα＝，cosβ＝，
∴sinβ＝，cosα＝.
∵sinα∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
＝×－×＝－.
∴α－β＝－.
17．解：(1)∵a⊥b，则a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ，代入sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝±，cosθ＝±，又∵θ∈(0，)，∴sinθ＝，cosθ＝.
(2)∵0<φ<，0<θ<，
∴－<θ－φ<.
则cos(θ－φ)＝＝，
∴cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]
＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)＝×＋×＝.
18. 由
＝，及tan＝tan(＋)＝，
∴＝tan＝.
19．－ ∵α为第三象限的角，
∴π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z.
∴2π＋4kπ<2α<3π＋4kπ，k∈Z.
又∵cos2α＝－，
∴2α为第二象限角．
∴sin2α＝＝.
∴tan2α＝＝－.
∴tan(＋2α)＝
＝＝－.
20. ∵cosB＝－，∴∠B为钝角，且sinB＝＝.又∵sinA＝，∴cosA＝＝，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.
21．解：∵A(0,1)在函数的图象上，
∴1＝－1＋2sin0＋mcos0，
解得m＝2.
∴f(x)＝－1＋2sin2x＋2cos2x
＝2(sin2x＋cos2x)－1
＝2sin(2x＋)－1.
∵0≤x≤，∴≤2x＋≤.
∴－≤sin(2x＋)≤1.
∴－3≤f(x)≤2－1.
∴函数f(x)在[0，]上的最大值为2－1，最小值为－3.
22．解：由tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝＝＝－，
而0°而0°∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
拓展探究
23．解：(1)①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.
则P1(1,0)，P2(cosα，sinα)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))．
由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，
得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)
＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2，
展开并整理，得2－2cos(α＋β)
＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)．
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
②由①易得，cos(－α)＝sinα，
sin(－α)＝cosα.
sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]
＝cos[(－α)＋(－β)]
＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)
＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c，则S＝bcsinA＝.
·＝bccosA＝3>0.
∴A∈(0，)，cosA＝3sinA.
又sin2A＋cos2A＝1，
∴sinA＝，cosA＝.
由题意cosB＝，得sinB＝.
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝.
故cosC＝cos[π－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)＝－.
24．解：(1)依题意有A＝1，
则f(x)＝sin(x＋φ)，
将点M(，)代入得
sin(＋φ)＝，而0<φ<π，
∴＋φ＝.∴φ＝.故f(x)＝sin(x＋)＝cosx.
(2)依题意有cosα＝，cosβ＝，
而α，β∈(0，)，
∴sinα＝＝，
sinβ＝＝.
∴f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.1．1.1 角的概念的推广
知识点一：任意角的概念
1．不相等的角的终边位置
A．一定不相同
B．一定相同
C．可能相同
D．以上都不对
2．时针走过了1小时20分钟，则分针转过的角为__________．
知识点二：与任意角α终边相同的角
3．与405°角终边相同的角是
A．k·360°－45°，k∈Z
B．k·360°－405°，k∈Z
C．k·360°＋45°，k∈Z
D．k·180°＋45°，k∈Z
4．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z}的形式为__________．
6．与1
991°终边相同的最小正角是__________，绝对值最小的角是__________．
7．角α和β终边关于直线y＝x对称，且α＝30°，则β＝__________.
知识点三：象限角
8．若α是第二象限的角，则180°－α是
A．第一象限的角
B．第二象限的角
C．第三象限的角
D．第四象限的角
9．如果角α终边上有一点P(0，－2)，那么α是
A．第三象限角
B．第四象限角
C．终边落在y轴负半轴上的角
D．既是第三又是第四象限角
10．给出下面的角．
60°，120°，210°，300°，420°，460°，660°，－300°，－240°，570°，－150°，－60°.
其中，(1)第一象限的角是__________；
(2)第二象限的角是__________；
(3)第三象限的角是__________；
(4)第四象限的角是__________．
能力点一：角的有关概念的理解
11．下列说法正确的是
A．第二象限的角是钝角
B．第三象限的角必大于第二象限的角
C．－831°是第二象限的角
D．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角
12．A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限的角}，则A∩B等于
A．{锐角}
B．{小于90°的角}
C．{第一象限角}
D．以上都不对
13．已知角的顶点与坐标系的原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，判断它们在第几象限，并指出在0°～360°范围内与其终边相同的角．
(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.
能力点二：终边相同角的综合应用
14．如图，终边落在阴影部分的角的集合是
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
15．若集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则
A．M＝N
B．M?N
C．M?N
D．M∩N＝?
16．与－642°终边相同的最大负角为__________．
17．已知角α的终边与角60°的终边重合，写出满足条件的角α的集合S，并求出这个集合中在－360°～360°之间的角．
18.已知α与150°角的终边相同，写出与α终边相同的角的集合，并判断是第几象限角．
19．写出终边在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．
20．如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？
21．已知直线l1：y＝x及直线l2：y＝－x，且l1与l2垂直，如图所示，请表示出终边落在直线l1与l2上的角．
答案与解析
1．C
2．－480° 时针走1小时，分针顺时针转360°；每分钟分针顺时针转6°，则20分钟转120°，
∴分针转过的角为
－(360°＋120°)＝－480°.
3．C
4．C 对于α＝k·90°－36°，k∈Z，分别令k＝－1,0,1,2得α＝－126°，－36°，54°，144°.
5．195°＋(－3)·360°
6．191° －169° 与1
991°终边相同的角为k·360°＋1
991°＝(k＋5)·360°＋191°(k∈Z)，
当k＝－5时，191°是最小正角；
当k＝－6时，－169°是绝对值最小的角．
7．60°＋k·360°，k∈Z 由对称性知，60°与30°的终边关于直线y＝x对称，
∴与60°角的终边相同的所有角60°＋k·360°，k∈Z均满足条件．
8．A ∵α是第二象限角，
∴－α是第三象限角，－α与180°－α的终边互为反向延长线．
∴180°－α是第一象限角．
9．C
10．(1)60°，420°，－300° (2)120°，460°，－240° (3)210°，570°，－150° (4)300°，660°，－60° 把各个角写成α＋k·360°(α∈[0°，360°))的形式，判断α所在象限即可．
能力提升
11．D ∵984°40′＝264°40′＋2×360°，－95°20′＝264°40′＋(－1)×360°.
∴选项D正确．
12．D
13．解：如图所示．
由图可知，
(1)－75°角在第四象限，在0°～360°范围内与285°角的终边相同．
(2)855°在第二象限，在0°～360°范围内与135°角的终边相同，
(3)－510°在第三象限，在0°～360°范围内与210°角的终边相同．
14．C
15．C ∵M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}＝{x|x＝45°·(2k＋1)，k∈Z}，
N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}＝{x|x＝45°·(k＋2)，k∈Z}，∴M?N.
16．－282° －642°＝－360°－282°.
17．解：与60°角的终边重合的角的集合为S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，当k＝0时，α＝60°；
当k＝－1时，α＝60°－360°＝－300°.
所以集合S在－360°～360°之间的角为60°，－300°.
18．解：∵α与150°角的终边相同，
∴与α终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋150°，k∈Z}，
此时＝k·120°＋50°(k∈Z)．
若k＝3n(n∈Z)，则＝n·360°＋50°(n∈Z)，此时在第一象限；
若k＝3n＋1(n∈Z)，则＝n·360°＋170°(n∈Z)，
此时在第二象限；
若k＝3n＋2(n∈Z)，则＝n·360°＋290°(n∈Z)，
此时在第四象限．故可能为第一、二、四象限角．
19．解：如图，在直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°，因此，终边在直线y＝x上的角的集合S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}．
S中适合－360°≤β<720°的元素β是
45°－2×180°＝－315°，
45°－1×180°＝－135°，
45°＋0×180°＝45°，
45°＋1×180°＝225°，
45°＋2×180°＝405°，
45°＋3×180°＝585°.
20．解：∵α是第三象限的角，
∴180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z.
∴－270°－k·360°<－α<－180°－k·360°，360°＋2k·360°<2α<540°＋2k·360°，k∈Z.
∴－α的终边落在第二象限，2α的终边落在第一象限或第二象限或y轴的正半轴上．
拓展探究
21．解：由题意知，终边落在直线l1上的角的集合为M1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}；
在0°～360°的角中，终边落在直线y＝－x上的角为：120°或300°，所以终边落在直线l2上的角的集合为M2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}．
所以终边落在直线l1与l2上的角的集合为M＝M1∪M2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}．
1．1.2 弧度制和弧度制
与角度制的换算
基础巩固
1．D 2.2弧度 3.B
4．D －1
485°＝－1
485×
＝－＝－10π＋.
5．B ∵＝(×180)°＝105°，
465°＝360°＋105°，∴B项正确．
6.(1)－ (2)288
(1)∵1°＝
rad，
∴－300°＝(－300)×＝－；
∵67°30′＝(67)°，
∴67°30′＝×67＝.
(2)∵1
rad＝()°，
∴＝(×)°＝288°.
7．解：(1)如题图(1)中以OB为终边的角330°，可看成为－30°，化为弧度，即－，而75°＝75×＝，
∴阴影部分内角的集合为{θ|2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z}．
(2)如题图(2)中以OB为终边的角225°，可看成－135°，化为弧度，
即－，而OA为终边的角135°＝135×＝，
∴阴影部分角的集合为{θ|2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z}．
(3)如题图(3)，∵30°＝，210°＝，
∴{θ|2kπ＋<θ<2kπ＋，k∈Z}∪{θ|2kπ＋<θ<2kπ＋，k∈Z}，
即{θ|2kπ＋<θ<2kπ＋，k∈Z}∪{θ|(2k＋1)π＋<θ<(2k＋1)π＋，k∈Z}，
∴{θ|kπ＋<θ8．C 设弦AB＝R，且AB所对的圆周角为α，
则圆心角为∠AOB＝2α或2π－2α，由于弦AB等于半径，
∴∠AOB＝，可得2α＝或2π－2α＝，解得α＝或.
9．C
10．3
11．解：设扇形圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S.
由题意知，α＝，r＝20(cm)，
∴l＝α·r＝8π(cm)，
S＝lr＝×8π×20
＝80π(cm2)．
能力提升
12．C
13．B 分针转过的角度数为－(2×360°＋120°)＝－840°，
即×(－840)＝－.
14．解：(1)202°30′＝202.5°
＝()×＝.
(2)－＝－(×)°＝－75°.
(3)方法一(化为弧度)：α＝15°＝15×＝.
θ＝105°＝105×＝.
显然<<1<.故α<β<γ<θ＝φ.
方法二(化为角度)：
β＝＝(×)°＝18°，
γ＝1
rad≈57.30°，
φ＝(×)°＝105°.
显然，15°<18°<57.30°<105°.
故α<β<γ<θ＝φ.
15．D
16．B ∵N＝{x|x＝kπ－，k∈－1)＋，k∈Z}，
M＝{x|x＝·k＋，k∈Z}，
∴M?N.
17.，，， θ＝＋2kπ，k∈Z.
所以＝＋，k∈Z.
当k＝0,1,2,3时，＝，，，且∈[0,2π]．
18．解：θ与－的终边共线，
∴θ的终边落在－的终边或终边的反向延长线上．
若θ与－终边相同，则θ＝2kπ－(k∈Z)；
若θ与－的终边反向延长线相同，则
θ＝2kπ＋π－(k∈Z)．
可知：θ＝nπ－(n∈Z)．
∵θ∈(0°，360°)，即θ∈(0,2π)，
∴n＝1或2.
∴θ＝或.
19．D
20. 如图，过O作OC⊥AB，垂足为C.
在Rt△OAC中，
∠AOC＝
rad，AC＝1，
∴OA＝＝.
∴＝OA＝.
∴面积S＝××
＝.
21．137.5 设扇形的面积为S，剩余(也是扇形)面积为S′，则
＝＝0.618，
∴α＝0.618×(2π－α)．
∴α＝0.764π
rad≈137.5°.
22．解：设圆心角为α，圆半径为r，
由题意，得2r＋α·r＝Cα＝.
∴S＝lr＝α·r2
＝××r2(0即S＝－r2＋Cr＝－(r－)2＋≤.
当r＝时，S取最大值，此时l＝，∴＝2，
即当圆心角为2弧度时，扇形面积最大，最大值为.
拓展探究
23．解：(1)由扇形的弧长公式＝αR可得＝×10＝；
∵扇形面积S＝R，
∴扇形面积S＝××10＝.
∴该扇形的弧长为，面积为.
(2)∵扇形周长为4R，
∴扇形弧长为＝4R－2R＝2R.
∴α＝＝＝2
rad.
∴扇形面积S＝R＝R2.
在如图所示的△AOB中，取AB中点C，
连接OC，则OC⊥AB，且AC＝BC，
在Rt△AOC中，
OC＝Rcos＝Rcos1，
AC＝Rsin＝Rsin1，
∴AB＝2Rsin1.
∵S△AOB＝AB·OC
＝×2Rsin1·Rcos1
＝R2sin1·cos1，
由图可知，弓形面积为
S扇AOB－S△AOB＝R2－R2sin1cos1
＝R2(1－sin1cos1)．3.2 倍角公式和半角公式
知识点一：倍角公式
1.·等于
A．tanα
B．tan2α
C．1
D.
2．log2(sin15°cos15°)的值为
A．－1
B
.
C．2
D．－2
3．(2010全国高考Ⅱ，文3)已知sinα＝，则cos(π－2α)等于
A．－
B．－
C.
D.
4．若＝－，则cosα＋sinα＝__________.
5.＝__________.
6．(2010全国高考Ⅰ，文14)已知α为第二象限的角，sinα＝，则tan2α＝__________.
7．已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
知识点二：半角公式
8．已知cosθ＝－，<θ<3π，那么sin等于
A.
B．－
C.
D．－
9．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝，则cos的值为
A.
B.
C．±
D．±
10．已知sinθ＝，<θ<3π，那么tan＋cos的值为__________．
11．(2010全国高考Ⅱ，理13)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tanα＝________.
12．已知sinα＝，sin(α＋β)＝，α，β均为锐角，求cos的值．
能力点一：利用倍角、半角公式求值、化简
13．若3sinα＋cosα＝0，则的值为
A.
B.
C.
D．－2
14.－等于
A．－2cos5°
B．2cos5°
C．－2sin5°
D．2sin5°
15．函数y＝2cos2x的一个单调递增区间是
A．(－，)
B．(0，)
C．(，)
D．(，π)
16．化简等于
A．tan2θ
B．cot4θ
C．tan4θ
D．cot2θ
17．已知α为锐角，且sinαcosα＝，则＋＝__________.
18．已知tan2α＝－2，且满足<α<，求的值．
能力点二：倍角公式及半角公式的综合应用
19.已知x∈(－，0)，cosx＝，则tan2x等于
A.
B．－
C.
D．－
20．cos·cos·cos·cos的值为__________．
21．已知函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间[，]上的最小值和最大值．
22．(2010天津高考，理17)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．
23.如图，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE前进30
m至C点，测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10
m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．
答案与解析
1．B
2．D 原式＝log2(sin30°)＝log2＝－2.
3．B cos(π－2α)＝－cos2α
＝－(1－2sin2α)
＝－(1－2×)
＝－.
4. ∵cos2α＝cos2α－sin2α，sin(α－)＝(sinα－cosα)，
∴＝
＝＝－.
∴cosα＋sinα＝.
5. 原式＝×＝tan＝.
6．－ ∵α为第二象限角，sinα＝，
∴cosα＝－.
∴tanα＝＝－.
∴tan2α＝＝＝－.
7．解：(1)∵f(x)＝2sin(π－x)cosx＝2sinxcosx
＝sin2x，
∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由－≤x≤，得－≤2x≤π.
∴－≤sin2x≤1，
即f(x)的最大值为1，最小值为－.
8．D ∵<θ<3π，∴<<，
∴sinθ＝－＝－.
9．C ∵sin(π－θ)＝，
∴sinθ＝，θ为第二象限角．
∴cosθ＝－.为第一、三象限的角，
∴cos＝±＝±.
10．3－ cosθ＝－，sin＝－＝－，cos＝－＝－，∴tan＝3.
∴tan＋cos＝3－.
11．－ tan(π＋2α)＝－，tan2α＝－，
∴＝－.
∵α是第二象限的角，
∴tanα<0.∴tanα＝－.
12．解：∵0<α<，∴cosα＝＝.
∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π.
∵sin(α＋β)∴<α＋β<π.
∴cos(α＋β)＝－.
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝－×＋×＝.
∴0<β<，即0<<.
故cos＝＝.
能力提升
13．A 由3sinα＋cosα＝0，有tanα＝－.
∴＝＝＝.
14．C 原式＝－＝(cos50°－sin50°)＝2sin(45°－50°)＝2sin(－5°)＝－2sin5°.
15．D
16．C
17．4－2 ∵sin2α＝2sinαcosα＝1，∴α＝.
∴原式＝＋＝4－2，
18．解：＝＝.
又tan2α＝－2＝
?2tan2α－2tanα－2＝0.
解得tanα＝－或.
又<α<，
∴tanα＝.
原式＝＝2－3.
19．D ∵x∈(－，0)，cosx＝，
∴sinx＝－.
∴tanx＝－.
∴tan2x＝＝－.
20. 原式＝
＝＝.
21．解：(1)f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)．
因此，函数f(x)的最小正周期为π.
(2)根据对f(x)在[，]上的单调性进行研究，易知f(x)在[，]上递增，在[，]上递减．
又f()＝0，f()＝，f()＝sin(－)＝－cos＝－1，
故函数f(x)在区间[，]上的最大值为，最小值为－1.
22．解：(1)由f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1，得
f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)
＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)．
所以函数f(x)的最小正周期为π.
因为f(x)＝2sin(2x＋)在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f(0)＝1，f()＝2，f()＝－1，所以函数f(x)在区间[0，]上的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin(2x0＋)．
又因为f(x0)＝，所以sin(2x0＋)＝.
由x0∈[，]，得2x0＋∈[，]．
从而cos(2x0＋)＝－＝－.
所以cos2x0＝cos[(2x0＋)－]＝cos(2x0＋)cos＋sin(2x0＋)sin＝.
拓展探究
23．解：由已知得BC＝30
m，CD＝10
m，∠ABE＝θ，∠ACE＝2θ，∠ADE＝4θ，在△ABE中，BE＝AE·cotθ，在Rt△ACE中，CE＝AE·cot2θ，∴BC＝BE－CE＝AE(cotθ－cot2θ)，同理可得CD＝AE(cot2θ－cot4θ)．
∴＝，
即＝＝.
而＝＝＝＝2cos2θ.
∴2cos2θ＝?cos2θ＝?2θ＝30°?θ＝15°.
∴AE＝AC＝BC＝15
m.
答：θ的大小为15°，建筑物的高为15
m.1.3.3 已知三角函数值求角
知识点一：已知正弦值求角
1．下列命题中正确的是
A．若sinx＝sinα，则x＝α
B．若sinx＝sinα，则x＝2kπ＋α(k∈Z)
C．若sinx＝sinα，则x＝2kπ±α(k∈Z)
D．若sinx＝sinα，则x＝2kπ＋α或x＝(2k＋1)π－α(k∈Z)
2．已知α是三角形的内角，sinα＝，则角α等于
A.
B.
C.或
D.或
3．arcsin(sin)＝__________.
4．下列命题中：
①arcsin(－)＝－arcsin；②arcsin0＝0；③arcsin1＝；④arcsin(－1)＝－，其中正确命题的序号是__________．
知识点二：已知余弦值和正切值求角
5．若cosx＝0，则x等于
A.
B．kπ(k∈Z)
C．2kπ＋(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
6．在下式arccos，arcsin(log34)，arcsin(－1)2，arcsin(tan)中，有意义的式子个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
7．若tanα＝，且α∈(，)，则α等于
A.
B.
C.
D.
8．点A(4a，－3a)(a≠0)在角α终边上，则tanα＝__________，α＝__________.
9．已知cosx＝－，按要求求角x的值．
(1)x是三角形的一个内角；
(2)x∈[0,2π]．
能力点一：符号arcsinx，arccosx，arctanx的应用
10．使arcsin(1－x)有意义的x的取值范围是
A．[1－π，1]
B．[0,2]
C．(－∞，1]
D．[－1,1]
11．适合tanx＝－的角x的集合是
A．{x|x＝(k＋1)π－arctan，k∈Z}
B．{x|x＝(2k－1)π－arctan，k∈Z}
C．{x|x＝kπ＋arctan，k∈Z}
D．{x|x＝(k＋1)π＋arctan，k∈Z}
12.的值等于
A.
B．0
C．1
D．－1
13．若0A．[0，arcsina]
B．[arcsina，π－arcsina]
C．[π－arcsina，π]
D．[arcsina，＋arcsina]
14．已知集合A＝{x|sinx＝}，B＝{x|tanx＝－}，则A∩B＝__________.
15．若a＝arcsin，b＝arctan，c＝arccos，则a、b、c的大小关系为__________．
16．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝.
能力点二：综合应用
17．tan[arccos(－)]＝__________.
18．在Rt△ABC中，C＝90°且sin2B＝sinAsinC，则A＝__________.
19.若f(arcsinx)＝x2＋4x，求f(x)的最小值，并求f(x)取得最小值时的x的值．
20．求下列函数的定义域与值域．
(1)y＝；
(2)y＝arccos(x2－x)．
21．求函数y＝cos2x＋sinx的最大值和最小值，并求使函数取得最大和最小值时的自变量x的集合．
答案与解析
基础巩固
1．D 2.D
3. ∵sin＝sin(π－)
＝sin＝，
∴arcsin(sin)＝arcsin＝.
4．①②③④
5．D 6.B
7．C ∵tan＝，且在(，)内，有tan(π＋)＝，∴α＝.
8．－ kπ－arctan(k∈Z)
tanα＝＝－，
∴角α终边在第二、四象限，
∴α＝kπ－arctan.
9．解：已知cos＝，cosx＝－<0，
∴x是第二或第三象限的角．
(1)x是三角形的一个内角，
则x∈(，π)，∴x＝π－＝.
(2)已知x∈[0,2π]，
则x∈[，]．
∴x＝π－或x＝π＋，即x＝或x＝为所求．
能力提升
10．B 由－1≤1－x≤1得0≤x≤2.
11．A
12．D 原式＝
＝＝－1.
13．B ∵0∴满足sinx≥a的x的范围是[arcsina，π－arcsina]．
14．{x|x＝2kπ＋，k∈Z}
15．c>b>a ∵sina＝，sinb＝，sinc＝，
又∵>>.∴c>b>a.
16．解：(1)为使函数有意义，
－cosx≥0，即cosx≤，
由余弦函数性质知
－1≤cosx≤，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
即所求函数定义域是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)．
(2)已知tanx－3≠0，即tanx≠3.
∴x≠kπ＋arctan3(k∈Z)．
∵x≠＋kπ，k∈Z，
∴函数的定义域是{x∈R|x≠kπ＋arctan3且x≠＋kπ，k∈Z}．
17．－ 令α＝arccos(－)，则α∈[0，π]，cosα＝－，
∴sinα＝.
∴tanα＝＝－.
18．arcsin 由已知A＋B＝90°，且sin2B＝sinA，
∴sin2(90°－A)＝sinA，即cos2A＝sinA，
∴sin2A＋sinA－1＝0.
∴sinA＝.
∵0∴sinA＝.
故A＝arcsin.
19．解：令t＝arcsinx，t∈[－，]．
则sint＝x，sint∈[－1,1]，
于是f(t)＝sin2t＋4sint，
即f(x)＝(sinx＋2)2－4，x∈[－，]．
∵－1≤sinx≤1，∴当sinx＝－1，即x＝－时，f(x)取得最小值(－1＋2)2－4＝－3.
拓展探究
20．解：(1)由arcsin(2cosx)≥0得0≤2cosx≤1，即0≤cosx≤，
∴函数的定义域为{x|2kπ－≤x≤2kπ－，k∈Z}∪{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}，
由0≤arcsin(2cosx)≤知，函数的值域为[0，]．
(2)由－1≤x2－x≤1得≤x≤，
又x2－x＝(x－)2－≥－，
∴0≤arccos(x2－x)≤arccos(－)＝π－arccos.
∴函数的定义域为[，]，值域为[0，π－arccos]．
21.解：由sin2x＋cos2x＝1，得cos2x＝1－sin2x，
∴y＝cos2x＋sinx
＝－sin2x＋sinx＋1.
∴y＝－(sinx－)2＋.
∵－1≤sinx≤1，
∴当sinx＝时，ymax＝，此时x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)，当sinx＝－1时，ymin＝－1，此时x＝2kπ－(k∈Z)，即当x∈{x|x＝2kπ＋或x＝2kπ＋，k∈Z}时，ymax＝；
x∈{x|x＝2kπ－，k∈Z}时，ymin＝－1.1．3.1 正弦函数的图象与性质
知识点一：正弦函数的图象
1．正弦函数y＝sinx(x∈R)的图象关于______对称．
A．y轴
B．直线x＝
C．直线x＝π
D．直线y＝0
2．函数f(x)＝x－sinx零点的个数为
A．1
B．2
C．3
D．无数个
3．函数y＝sinx，x∈R的对称中心为__________．
知识点二：正弦函数的性质
4．下列四个函数中，为周期函数的是
A．y＝3sinx
B．y＝3x
C．y＝sin|x|(x∈R)
D．y＝sin(x∈R且x≠0)
5．函数y＝sin(x＋)在下列哪个区间上是递减的
A．[，]
B．[－π，0]
C．[－，]
D．[－，]
6．函数f(x)＝cos(πx－)－1，则下列命题正确的是
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
7．(2010江西高考，文6)函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为
A．[－1,1]
B．[－，－1]
C．[－，1]
D．[－1，]
8．函数y＝的定义域是__________．
9．求使下列函数取得最小值的自变量x的集合，并写出最小值．
(1)y＝－2sinx，x∈R；(2)y＝－2＋sin，x∈R.
知识点三：正弦型函数
10．(2010湖北高考，文2)函数f(x)＝sin(－)，x∈R的最小正周期为
A.
B．π
C．2π
D．4π
11．(2010四川高考，理6)将函数y＝sinx的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是
A．y＝sin(2x－)
B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(x－)
D．y＝sin(x－)
12．用五点法作出函数y＝2sin(x－)＋3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间．
能力点一：函数图象的应用
13．已知简谐运动f(x)＝2sin(x＋φ)(|φ|<)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为
A．T＝6，φ＝
B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝
D．T＝6π，φ＝
14．(2010重庆高考，理6)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则
A．ω＝1，φ＝
B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝－
15．(2010江西高考，文12)四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y＝sin2x，y＝sin(x＋)，y＝sin(x－)的图象如下，结果发现恰有一位同学作出的图象有错误，那么有错误的图象是
16．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图．
(1)求出f(x)的解析式；
(2)若g(x)与f(x)的图象关于x＝2对称，求g(x)的解析式．
能力点二：函数性质的应用
17．把函数y＝sinx(x∈R)的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是
A．y＝sin(2x－)，x∈R
B．y＝sin(＋)，x∈R
C．y＝sin(2x＋)，x∈R
D．y＝sin(2x＋)，x∈R
18．函数f(x)＝()x－sinx在区间[0,2π]上的零点个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
19．函数f(x)＝sin(－2x)的单调增区间为__________.
20．方程sinx＝lgx的实根有__________个．
21．求函数y＝sin2x－sinx＋1在x∈[，]上的最大值和最小值．
22．(2010广东高考，文16)设函数f(x)＝3sin(ωx＋)，ω＞0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．
(1)求f(0)；
(2)求f(x)的解析式；
(3)已知f(＋)＝，求sinα的值．
23．已知函数y＝sinx＋|sinx|.
(1)画出函数的简图．
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
(3)指出这个函数的单调增区间．
24．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为(，)，且此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(，0)．若φ∈(－，)，
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
答案与解析
基础巩固
1．B 2.A 3.(kπ，0)，k∈Z 4.A
5．A y＝sin(x＋)的递减区间是2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴选项A符合要求．
6．D ∵f(x)＝cos(πx－)－1＝sinπx－1，
∴周期T＝＝2.
又∵f(－x)≠±f(x)，
∴f(x)为非奇非偶函数．
7．C 令t＝sinx，则t∈[－1,1]，y＝t2＋t－1＝(t＋)2－，t∈[－1,1]，∴y∈[－，1]．
8．[6kπ－3π，6kπ]，k∈Z
9．解：(1)因为对于y＝sinx，x∈R，当x＝2kπ＋(k∈Z)时有最大值1，所以对于y＝－2sinx，x∈R，当x＝2kπ＋(k∈Z)时有最小值－2，x的集合为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}．
(2)因为对于y＝sinx，x∈R，当x＝2kπ－(k∈Z)时有最小值－1，把当作一个整体，相当于上式中的x，则有当＝2kπ－(k∈Z)时，y＝－2＋sin有最小值，即当x＝6kπ－(k∈Z)时，y＝－2＋sin，x∈R有最小值－3，x的集合为{x|x＝6kπ－，k∈Z}．
10．D
11．C 函数y＝sinx的图象上的点向右平行移动个单位长度可得函数y＝sin(x－)的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sin(x－)的图象，所以所求函数的解析式是y＝sin(x－)．
12．解：(1)列表：
x－
0
π
2π
x
y
3
5
3
1
3
(2)描点．
(3)作图，如下图．周期T＝2π，频率f＝＝，相位为x－，初相为－，最大值为5，最小值为1，函数的减区间为[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z，增区间为[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z.
将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展即得y＝2sin(x－)＋3的图象．
能力提升
13．A
14．D 由图象知T＝π，∴ω＝2.
∴y＝sin(2x＋φ)．
又由于y＝sin(2x＋φ)图象过点(，1)，∴sin(＋φ)＝1.
∴＋φ＝2kπ＋，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝－.
15．C 函数y＝sin2x取最小值－1时x的值为x＝kπ－(k∈Z)，y＝sin(x＋)取最小值－1时x的值为x＝2kπ－(k∈Z)，y＝sin(x－)取最小值－1时x的值为x＝2kπ－(k∈Z)，因此三个函数中没有两个函数有相同的最低点，所以C错误．
16．解：(1)由图知A＝2.周期T＝7－(－1)＝8，
∴＝8，ω＝.
∵点(1,2)在图象上，
∴2＝2sin(·1＋φ)，即sin(φ＋)＝1.
∴φ＝.
∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin(x＋)．
(2)在y＝g(x)的图象上任取一点P(x，y)，则点P关于x＝2的对称点P′(4－x，y)在y＝f(x)的图象上，
∴y＝2sin[·(4－x)＋]，
即y＝2sin(－x)．
∴g(x)的解析式为g(x)＝2sin(－x)．
17．C
18．B
19．[＋kπ，＋kπ]，k∈Z
f(x)＝sin(－2x)
＝－sin(2x－)，
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
20．3
21．解：y＝sin2x－sinx＋1
＝(sinx－)2＋.
∵x∈[，]，
∴由正弦函数的图象知≤sinx≤1.
而函数y＝(t－)2＋在[，1]上单调递增，
∴当sinx＝时，f(x)min＝；
当sinx＝1时，f(x)max＝1.
22．解：(1)由题设可知f(0)＝3sin＝.
(2)∵f(x)的最小正周期为，
∴ω＝＝4.
∴f(x)＝3sin(4x＋)．
(3)由f(＋)＝3sin(α＋＋)
＝3cosα＝，
∴cosα＝.
∴sinα＝±＝±.
拓展探究
23．解：(1)y＝sinx＋|sinx|＝
函数图象如图所示．
(2)由图象知该函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π.
(3)由图象知函数的单调增区间为[2kπ，2kπ＋](k∈Z)．
24．解：(1)依题意，A＝，
T＝4×(－)＝π.
∵T＝＝π，ω>0，∴ω＝2.
∴y＝sin(2x＋φ)．
又曲线上的最高点为(，)，
∴sin(2·＋φ)＝1.
∵－<φ<，
∴φ＝.
∴y＝sin(2x＋)．
(2)列出x、y的对应值表
2x＋
0
π
2π
x
－
y
0
0
－
0
作图如下：2．1.1 向量的概念
知识点一：位移、向量的概念
1．下列物理量中，不是向量的有
①质量；②位移；③力；④加速度；⑤速度；⑥路程；⑦功；⑧密度；⑨面积．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，△ABC为等边三角形，则与△ABC中向量的长度相等的向量有
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
3．下列说法错误的是
A．作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量
B．向量可以用有向线段表示，但有向线段并不是向量
C．只有零向量的模等于0
D．零向量没有方向
知识点二：单位向量、相等向量及共线向量
4．若AB＝AD，且＝，则四边形ABCD的形状为
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
5．已知a、b都是单位向量，则下列说法正确的是
A．a＝b
B．|a|＝|b|
C．如果a和b平行，则a＝b
D．a>b
6．下列结论中，不正确的是
A．向量、共线与向量∥意义是相同的
B．若＝，则∥
C．若向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
D．若向量＝，则向量＝
7．下列说法正确的是
A.∥就是的基线平行于的基线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．零向量长度等于0
D．共线向量是在同一条直线上的向量
8．四边形ABCD是菱形，如图所示的向量中，
(1)与相等的向量是________．
(2)与||相等的向量是________．
9．如图所示，E、F分别为△ABC边AB、AC的中点，则与向量共线的向量有________．(将图中符合条件的向量全部写出来)
10．如图所示，D、E、F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCGF是平行四边形，试分别写出与共线及相等的向量．
能力点一：向量的有关概念问题
11．如图，在边长为1的正方形ABCD中，以下说法正确的是
A．与共线的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有7个(不含)
C.与不共线
D．向量：方向东南，大小为1
12．如图所示，在⊙O中，向量，，是
A．有相同始点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等向量
13．若向量a与b是两个不平行的非零向量，并且a∥c，b∥c，则c等于
A．0
B．a
C．b
D．不存在这样的向量c
14．下列结论中，正确的是
A．2
009
cm长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A、B，使得、是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量不可能是平行向量
D．一人从点A向东走500米到达点B，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
15．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，与向量平行且模也相等的向量有
A.，，
B.，，，，，
C.，，，
D.，，，，，，
16．已知四边形ABCD中，＝，且||＝||，则四边形ABCD的形状是________．
17．⊙O的周长是2π，AB是⊙O的直径，C是圆周上的一点，∠BAC＝，CD⊥AB于D，这时||＝_______________________________________________________________.
18．如下图，D、E、F分别为正△ABC的各边中点，则在以A、B、C、D、E、F六个点中任意两点为起点与终点的向量中：
(1)找出与向量相等的向量．
(2)是否存在与向量长度相等，方向相反的向量？
(3)与向量共线的向量有几个？
(4)若△ABC为任意三角形，以上几问的答案会发生变化吗？
能力点二：向量的应用
19．如图，已知四边形ABCD中，N、M分别是AD、BC的中点，又＝.求证：＝.
20．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2
000
km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2
000
km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1
000
km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
21．在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a.
(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么？并作出轨迹．
22．如图，A、B、C三点的坐标依次是(－1,0)、(0,1)、(x，y)，其中x、y∈R.当x、y满足什么条件时，向量与共线(其中O为坐标原点)
23．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位置向量．
答案与解析
基础巩固
1．D
2．D 与长度相等的向量有，，，，.
3．D
4．C 由＝知，四边形ABCD为平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD为菱形．
5．B 6.C 7.C
8．(1) (2)，，
9.，，
10．解：与共线的向量有，，，，，，，，，，；
与相等的向量有，，.
能力提升
11．B 12.C
13．A 零向量与任一向量共线，又a与b不平行，∴c＝0.
14．B 15.D
16．等腰梯形
17. 如图，∵⊙O的周长是2π，
∴直线AB＝2.
又∵C是圆周上的一点，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝.
再由∠BAC＝，
得BC＝AB＝×2＝1，
∴CD＝BC·sin60°＝，
即||＝.
18．解：由向量相等与共线的定义可知：(1)与相等的向量有、；(2)存在，例如、；(3)有7个，分别为E、、、、、、；(4)不会．
19．解：∵＝，
∴||＝||，且∥.
从而，四边形ABCD是平行四边形．
∴∥，||＝||.
∵N、M分别是AD、BC的中点，
∴||＝||，||＝||.
∴||＝||.
又∥，∴四边形AMCN是平行四边形．
于是得∥，||＝||.
又由题图可知，与的方向一致，
∴＝.
20．解：如图所示，
A，B，C，D分别表示甲地，乙地，丙地，丁地，依题意知，△ABC为正三角形，∴AC＝2
000
km，
又∵∠ACD＝45°，CD＝1
000
km，
∴△ACD为直角三角形，
即AD＝1
000
km，∠CAD＝45°.
∴丁地在甲地的东南方向，距甲地1
000
km.
21．解：(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如图．
拓展探究
22．解：由已知，A、B的坐标是(－1,0)、(0,1)，所以∠BAO＝45°.
当点C(x，y)的坐标满足x＝y＝0时，＝0，
这时与共线(零向量与任意的向量都共线)；
当xy≠0，且x＝y，即∠COx＝45°或∠COx＝135°时，
有AB∥OC，这时与共线．
综上，当x＝y时，与共线．
23．解：(1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝，
∴ADBC，则四边形ABCD为平行四边形．
∴＝，则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．2.3.3 向量数量积的坐标运算及度量公式
知识点一：向量数量积的坐标运算
1．若向量＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·＝7，那么n·等于
A．－2
B．2
C．－2或2
D．0
2．已知a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，则(a＋b)·(a－b)＝__________.
知识点二：两个向量垂直的坐标表示
3．(2010重庆高考，文3)若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为
A．－
B.
C．2
D．6
4．已知a＝(4,3)，向量b是垂直于a的单位向量，则b等于
A．(，)或(，)
B．(，－)或(－，)
C．(，)或(－，－)
D．(，－)或(－，)
5．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝__________.
6．已知a＝(1，m)与b＝(n，－4)共线，且c＝(2,3)与b垂直，则m＋n的值为__________．
知识点三：向量的长度、夹角、距离公式
7．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为
A.
B.
C．－
D．－
8．(2010课标全国高考，文2)a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于
A.
B．－
C.
D．－
9．已知a＝(m,1)，若|a|＝2，则m等于
A．1
B.
C．±1
D．±
10．已知a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，则a与b的夹角是__________．
11．已知向量a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝__________.
12．设a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．
能力点一：向量数量积的基本运算
13．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于
A.
B.
C．5
D．25
14．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
15．已知a＝(x,1)，b＝(1，x)，则的取值范围是
A．[－，]
B．[－1,1]
C．[0,1]
D．[0，]
16．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量在向量上的投影为__________．
17．已知△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.
(1)求证：AB⊥AC；
(2)求点D和向量的坐标；
(3)设∠ABC＝θ，求cosθ；
(4)求证：AD2＝BD·CD.
能力点二：数量积的综合应用
18．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上的一点P使·最小，则P点坐标是
A．(－3,0)
B．(2,0)
C．(3,0)
D．(4,0)
19．(2010山东高考，理12)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面说法错误的是
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
20．已知A(3,2)，B(－1，－1)，若点P(x，－)在线段AB的中垂线上，则x＝__________.
21．已知A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹方程为__________．
22．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时：
(1)ka＋b与a－3b垂直？
(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
23．已知点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值．
24．(2010江苏高考，15)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
25．在△ABC中，A(1,1)，B(1，－2)，C(－2，－1)，BD是AC边上的高，求：
(1)点D的坐标；
(2)·的值．
答案与解析
1．B n·＝n·(－)＝n·－n·＝7－(3×2－1)＝2.
2．－15
3．D 因为a·b＝0，所以6－m＝0.所以m＝6.
4．B 设b＝(x，y)，则4x＋3y＝0，且x2＋y2＝1，
解得x＝，y＝－或x＝－，y＝，
即b＝(，－)或(－，)．
5．－1 λa＋b＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)，∴(λ＋4)＋(－3)·(－3λ－2)＝0.解得λ＝－1.
6. 由a与b共线得mn＋4＝0，由c与b垂直得2n－12＝0，∴n＝6，m＝－，故m＋n＝.
7．A
8．C b＝(2a＋b)－2a＝(3,18)－(8,6)＝(－5,12)，因此cos〈a，b〉＝＝＝.
9．D 由向量长度公式得|a|＝＝2，∴m＝±.
10.
11．(，－) 设b＝(m，n)，
∴解得
12．解：a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(4＋2t，t－3)，(a＋tb)·b＝(4＋2t，t－3)·(2,1)＝5t＋5.
|a＋tb|＝＝.
由(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos45°，得5t＋5＝，即t2＋2t－3＝0，∴t＝－3或t＝1.经检验t＝－3不合题意，舍去，∴t＝1.
能力提升
13．C
14．C a＋b＝(－1，－2)，设a＋b与c夹角为θ.
由(a＋b)·c＝，得|a＋b||c|cosθ＝.∴cosθ＝.∵a＋b与a共线且反向，∴a与c夹角为120°.
15．A 原式＝＝＝(x≠0)，
易知x＋≥2或x＋≤－2，
∴0<≤或－≤<0.
当x＝0时，原式＝0，
∴原式范围是[－，]．
16.
17．(1)证明：＝(－3，－6)，＝(2，－1)．因为·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，所以⊥，即AB⊥AC.
(2)解：设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－4)，＝(5,5)，因为AD为BC边上的高，所以AD⊥BC，即⊥.所以·＝5(x－2)＋5(y－4)＝0①.
又＝(x＋1，y＋2)，而与共线，所以5(x＋1)＝5(y＋2)②.联立①②，解得x＝，y＝，故点D的坐标为(，)，所以＝(－2，－4)＝(，－)．
(3)解：cosθ＝＝＝.
(4)证明：因为＝(，－)，＝(，)，＝(，)，所以||2＝，||＝，||＝||＝.所以||2＝||||，即AD2＝BD·CD.
18．C
19．B 对于A，若a，b共线，则mq－np＝0，所以a⊙b＝mq－np＝0，故A正确；对于B，因为a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，故B错误．同理可知C、D正确．
20. 线段AB的中点C(1，)，∴＝(1－x,1)．又∵PC⊥AB，＝(－4，－3)，∴·＝0.∴(1－x，1)·(－4，－3)＝0，解得x＝.
21．y2＝x＋6
22．解：(1)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当(ka＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．由(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0.解得k＝19，即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．
(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，得
解得所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，此时ka＋b＝－a＋b.因为λ<0，所以－a＋b与a－3b反向．
23．解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴＝(1,1)，＝(－3,3)．由·＝1×(－3)＋1×3＝0，得⊥，∴AB⊥AD.
(2)∵AB⊥AD，四边形ABCD为矩形
，∴＝.设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)．
又＝(1,1)，
∴
∴
∴C(0,5)．从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，且||＝2，||＝2，·＝8＋8＝16.
设〈，〉＝θ，则
cosθ＝＝＝.
∴求得矩形两条对角线所成的锐角的余弦值为.
24．解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则
＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线长分别为4，2.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.
拓展探究
25．解：(1)设D(x，y)，则＝(x－1，y＋2)，＝(3,2)，＝(x－1，y－1)，
由⊥，得·＝0，
即3(x－1)＋2(y＋2)＝0，
∴3x＋2y＋1＝0.①
由与共线，
得3(y－1)－2(x－1)＝0，
∴2x－3y＋1＝0.②
由①、②联立，解方程组得即D(－，)，
(2)由B(1，－2)，D(－，)，A(1,1)，得＝(－，)，＝(0,3)，
∴·＝(－，)·(0,3)＝.2．1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
知识点一：数乘向量
1．下面四个命题：
①对于实数m和向量a、b，恒有m(a－b)＝ma－mb；
②对于实数m、n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；
③对于实数m和向量a、b，若ma＝mb，则a＝b；
④对于实数m、n和向量a，若ma＝na，则m＝n.
其中正确命题的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
2．下列关系正确的是
A．若λ＝0，则λa＝0
B．若a＝0，则λa＝0
C．|λa|＝λ|a|
D．|λa|＝|λ|·a
3．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于
A.b＋c
B.c－b
C.b－c
D.b＋c
4．若3x－2(x－a)＝0，则向量x＝________.
知识点二：向量共线的条件
5．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表达式中正确的是
A．e＝
B．a＝|a|e
C．a＝－|a|e
D．a＝±|a|e
6．以下选项中，a与b不一定共线的是
A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1
B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1
D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2
7．已知e1，e2不共线，若a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2，且a∥b，则k的值为
A．8
B．－8
C．4
D．－4
8．已知两个非零向量e1、e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2.求证：A、B、D三点共线．
知识点三：轴上向量的坐标运算
9．已知数轴上两点A、B的坐标分别是－4，－1，则AB与||分别是
A．－3,3
B．3,3
C．3，－3
D．－6,6
10．已知M、P、N三点在数轴上，且点P的坐标是5，MP＝2，MN＝8，则点N的坐标为________．
能力点一：数乘向量的概念及运算
11．设P是△ABC所在平面内的一点，B＋B＝2B，则
A．P＋P＝0
B．P＋P＝0
C．P＋P＝0
D．P＋P＋P＝0
12．(2010湖北高考，文8)已知△ABC和点M满足M＋M＋M＝0，若存在实数m使得A＋A＝m成立，则m等于
A．2
B．3
C．4
D．5
13．将[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]化简成最简式为________．
14．计算：
(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
(2)[(3a＋2b)－a－b]－[a＋(b＋a)]．
15．设x、y是未知向量．
①解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；
②解方程组
能力点二：用已知向量表示未知向量
16．如图所示，在△ABC中，＝，＝3，若＝a，＝b，则等于
A.a＋b
B．－a＋b
C.a＋b
D．－a＋b
17．(2010全国高考Ⅱ，文10)△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则等于
A.a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
18．如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，O＝a，O＝b，O＝c，O＝d，且E、F分别为AB、CD的中点，则E＝__________.
19．梯形ABCD(如下图)中，AB∥CD且AB＝2CD，M、N分别是DC与AB的中点．若A＝a，A＝b，试用a，b表示B和M.
能力点三：平面向量基本定理的应用
20．已知a＝xe1＋2e2与b＝3e1＋ye2共线，且e1、e2不共线，则xy的值为
A．6
B.
C．－6
D．－
21．已知三点A、B、C共线，且＝－，则＝________.
22．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ、μ，使d＝λa＋μb与c共线？
23．在?OACB中，BD＝BC，OD与BA交于点E，求证：BE＝BA.
24．如下图，已知＝3e1，＝3e2，
(1)若C、D是AB的三等分点，求，.(用e1，e2表示)
(2)若C、D、E是AB的四等分点，求，，.(用e1，e2表示)
答案与解析
1．C 由数乘向量的定义知①②正确．
2．B |λa|＝|λ|·|a|.
3．A 由＝2得－＝2(－)，
∴3＝＋2＝c＋2b.
故＝c＋b.
4．－2a
5．D
6．C 选项A中，b＝－2a；选项B中，a＝4b；选项D中，a＝－b.
7．B ∵a∥b，∴设a＝λb，即3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)．
∵e1与e2不共线，
∴
∴
8．证明：∵＝＋＋＝(2e1＋3e2)＋(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)，
又∵＝2e1＋3e2，
∴＝6.
∴与共线．
∴A、B、D三点共线．
9．B AB＝xB－xA＝(－1)－(－4)＝3，||＝3.
10．11 MP＝xP－xM＝2，
∴xM＝xP－2＝5－2＝3.
又∵MN＝xN－xM＝8，
∴xN＝8＋xM＝11.
能力提升
11．B ∵＋＝2，
∴由向量加法法则知，P为AC中点，
∴＋＝0.
12．B 设BC的中点为D，由已知条件可得M为△ABC的重心，A＋A＝2A，又A＝A，故m＝3.
13．－a＋2b
14．解：(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)原式＝(3a－a＋2b－b)－(a＋a＋b)＝(a＋b)－(a＋b)
＝a＋－a－b＝0.
15．解：①原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0,8x＝－5a＋3b.
∴x＝－a＋b.
②把第1个方程的－2倍与第2个方程相加，得y＝－2a＋b，从而y＝－a＋b.代入原来第2个方程得x＝－a＋b.
∴
16．B ＝＝(b－a)，＝＝(－)＝－a－b，∴＝＋＝－a＋b.
17．B ∵CD平分∠ACB，
∴＝＝.
∴＝2＝＝(－)＝(a－b)．
∴＝＋
＝b＋(a－b)
＝a＋b.
18.(c＋d－a－b)
19．解：解法一：连结CN，N为AB中点．
∵AN∥DC，AN＝DC，
∴四边形ANCD为平行四边形，
有＝－＝－b.
∴＝N－N＝b－a.
∴＝－
＝＋
＝a－b.
解法二：梯形ABCD中，有＋＋＋＝0，
即a＋＋(－a)＋(－b)＝0.
可得＝b－a.
在四边形ADMN中，＋＋＋＝0，即b＋a＋＋(－a)＝0，∴＝a－b.
20．A 设a＝λb，即xe1＋2e2＝λ(3e1＋ye2)．
又e1、e2不共线，∴消去λ得xy＝6.
21．－
22．解：设存在λ、μ使得d与c共线，
并设m(2e1－9e2)＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)，
则m＝λ＋μ且m＝，解得λ＝－2μ，
即存在实数λ、μ，使得d＝λa＋μb与c共线．
23．解：如下图，
设E′是线段BA上的点，且BE′＝BA，只要证E、E′重合即可，设＝a，＝b，则＝a，＝b＋a.
又∵＝－b，＝a－，3＝，
∴3(－b)＝a－.
∴＝(a＋3b)＝(b＋a)．
∴＝，∴O、E′、D三点共线，即E、E′重合．∴BE＝BA.
拓展探究
24．解：(1)∵C、D是AB的三等分点，
∴＝＝＝＝(－)＝(3e2－3e1)＝e2－e1.
∴＝＋＝3e1＋e2－e1＝2e1＋e2；
＝＋＝3e1＋2＝3e1＋2e2－2e1＝e1＋2e2.
(2)＝＝＝＝＝(3e2－3e1)＝e2－e1，
∴＝＋＝3e1＋e2－e1＝e1＋e2，
＝＋＝e1＋e2＋e2－e1
＝e1＋e2，
＝＋＝e1＋e2＋e2－e1
＝e1＋e2.