高中数学全一册优化训练（打包30套）新人教B版必修4

1.1.1
角的概念的推广
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.钟表的分针在一个半小时转了（
）
A.180°
B.-180°
C.540°
D.-540°
解析：分针旋转的角为负角，其值为-（360°+180°）=-540°.
答案：D
2.四个角-398°，38°，142°，1
042°中，终边相同的角是（
）
A.-398°，38°
B.-398°，142°
C.-398°，1
042°
D.142°，1
042°
解析：-398°=-1×360°-38°，1
042°=3×360°-38°.
答案：C
3.填空题：
（1）角可以看成平面内______________________________所成的图形.
（2）按___________________方向旋转形成的角叫做正角；按___________________方向旋转形成的角叫做负角；如果___________________，我们称它形成了一个零角.
解析：在角的形成过程中，既要知道旋转量，又要知道旋转方向.
答案：（1）一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置
（2）逆时针
顺时针
一条射线没有做任何旋转
4.终边落在射线y=(x＞0)上的角的集合为___________________.
解析：直线y=的斜率为，所以倾斜角为60°.射线y=x(x＞0)是x轴上方的部分,所求的角可表示为{β|β=k·360°+60°，k∈Z}.
答案：｛β｜β=k·360°+60°，k∈Z｝
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列各命题正确的是（
）
A.终边相同的角一定相等
B.第一象限的角都是锐角
C.锐角都是第一象限的角
D.小于90°的角都是锐角
解析：对于选项A，如-60°和300°是终边相同但不相等的角，则应排除A项；
对于选项B，390°是第一象限的角但不是锐角，则应排除B项；
对于选项D，-60°是小于90°的角，但它不是锐角，则应排除D项.选C.
答案：C
2.与-457°角终边相同的角的集合是（
）
A.{α|α=k·360°+457°，k∈Z}
B.{α|α=k·360°+97°，k∈Z}
C.{α|α=k·360°-263°，k∈Z}
D.{α|α=k·360°+263°，k∈Z}
解析：-457°=-2×360°+263°，所以D项正确.
答案：D
3.已知角α是第三象限角，则角-α的终边在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：因为α是第三象限角，所以k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z，
则-k·360°-270°＜-α＜-k·360°-180°，k∈Z，
即-α所在范围与（-270°，-180°）范围相同,也即与（90°,180°)范围相同，则-α的终边在第二象限.
答案：B
4.下列命题中正确的是（
）
A.第二象限的角是钝角
B.钝角的补角是第一象限的角
C.小于90°的角是锐角
D.第一象限的角小于第二象限的角
解析：由一个角与它的外角互补知，钝角的外角必为锐角，而锐角是第一象限角.
答案：B
5.角α和β的终边关于直线y=-x对称，且α=30°，则β=___________________.
解析：如图，OA为角α的终边，OB为角β的终边，由α=30°得∠AOC=75°.根据对称性知∠BOC=75°，因此∠BOx=120°，所以β=k·360°-120°，k∈Z.
答案：k·360°-120°，k∈Z
6.已知α、β是锐角，且α+β的终边与角-280°的终边相同，α-β的终边与角670°的终边相同，求角α与β的大小.
解：由题意得α+β=k1·360°-280°，α-β=k2·360°+670°（k1、k2∈Z）.
又∵α、β都是锐角，即0°＜α＜90°,0°＜β＜90°,∴0°＜α+β＜180°.
又-90°＜-β＜0°,∴-90°＜α-β＜90°.∴α+β=80°(k1=1),α-β=-50°(k2=-2).
∴α=15°,β=65°.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B等于（
）
A.{锐角}
B.{小于90°的角}
C.{第一象限的角}
D.以上都不对
解析：小于90°的角由锐角、零角、负角组成，而第一象限的角指锐角及其他终边落在第一象限的角，所以A∩B是由锐角和终边落在第一象限的负角组成.
答案：D
2.终边与两坐标轴重合的角α的集合是（
）
A.{α|α=k·360°，k∈Z}
B.{α|α=k·180°，k∈Z}
C.{α|α=k·90°，k∈Z}
D.{α|α=k·180°+90°，k∈Z}
解析：终边为x轴的角的集合为M={α|α=k·180°，k∈Z}，终边为y轴的角的集合为N={α|α=k·180°+90°，k∈Z},
则终边为坐标轴的角的集合为S=M∪N={α|α=k·180°，k∈Z}∪{α|α=k·180°+90°，k∈Z}={α|α=2k·90°，k∈Z}∪{α|α=（2k+1）·90°，k∈Z}={α|α=n·90°，n∈Z}.
答案：C
3.已知角α、β的终边相同，那么α-β的终边在（
）
A.x轴的正半轴上
B.y轴的正半轴上
C.x轴的负半轴上
D.y轴的负半轴上
解析：∵角α、β终边相同,∴α=k·360°+β，k∈Z.
作差α-β=k·360°+β-β=k·360°，k∈Z,∴α-β的终边在x轴的正半轴上.
答案：A
4.如果θ=k·360°+α，φ=n·360°-α，k、n∈Z，则角θ和φ的终边的位置关系是（
）
A.重合
B.关于原点中心对称
C.关于x轴对称
D.关于y轴对称
解析：θ与α终边相同，φ与-α终边相同，由α与-α角的终边关于x轴对称知θ和φ的终边关于x轴对称.
答案：C
5.集合A={α|α=k·90°-36°，k∈Z}，B={β|-180°＜β＜180°}，则A∩B等于（
）
A.{-36°，54°}
B.{-126°，144°}
C.{-126°，-36°，54°，144°}
D.{-126°，54°}
解析：根据集合B的范围，确定集合A中的k的值.k=-1，0，1，2时求得相应α的值为-126°，-36°，54°，144°.
答案：C
6.(2005全国高考卷Ⅲ，1)已知α为第三象限的角，则所在的象限是（
）
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限
解析：由k·360°+180°＜α＜k·360°+270°（k∈Z），
得k·180°+90°＜＜k·180°+135°（k∈Z）.
k为偶数时，为第二象限角；
k为奇数时，为第四象限角.
答案：D
7.若α是第四象限角，则180°-α是（
）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析：∵α为第四象限角，
∴k·360°-90°＜α＜k·360°（k∈Z）.
∴-k·360°＜-α＜-k·360°+90°（k∈Z）.
∴-k·360°+180°＜180°-α＜-k·360°+270°（k∈Z）.
∴180°-α是第三象限角.
答案：C
8.终边在第一、第三象限角平分线上角的集合为______________.
解析：在0°—360°范围内满足条件的角为45°和225°，
所以，所求集合为{α|α=k·360°+45°，k∈Z}∪{α|α=k·360°+225°，k∈Z}
={α|α=2k·180°+45°，k∈Z}∪{α|α=（2k+1）·180°+45°，k∈Z}={α|α=n·180°+45°，n∈Z}.
答案：{α|α=n·180°+45°，n∈Z}
9.时针走过2小时40分，则分针转过的角度是______________.
解析：分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为-360°×=-960°.
答案：-960°
10.表示出顶点在原点，始边重合于x轴的正半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（如图1-1-1）.
图1-1-1
解：(1){α|k·360°-15°＜α＜k·360°+75°，k∈Z};
(2){β|k·360°-135°＜β＜k·360°+135°，k∈Z};
(3){γ1|k·360°+30°＜γ1＜k·360°+90°，k∈Z}∪{γ2|k·360°+210°＜γ2＜k·360°+270°，k∈Z}={γ1|2k·180°+30°＜γ1＜2k·180°+90°，k∈Z}∪{γ2|（2k+1）·180°+30°＜γ2＜（2k+1）·180°+90°，k∈Z}={γ|k·180°+30°＜γ＜k·180°+90°，k∈Z}.
11.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素写出来.
解：如图所示，在直角坐标系中画出直线y=x，可以发现它与x轴的交角是45°，在0°到360°范围内，终边在直线y=x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y=x上的角的集合
S={β|β=45°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°，k∈Z}.
S中适合-360°≤β＜720°的元素有
45°-1×360°=-315°，45°+0×360°=45°，
45°+1×360°=405°，225°-1×360°=-135°，
225°+0×360°=225°，225°+1×360°=585°.1.2.2
单位圆与三角函数线
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.若单位圆的圆心与坐标原点重合，有下列结论：①单位圆上任意一点到原点的距离都是1；②单位圆与x轴的交点为（1，0）；③过点（1，0）的单位圆的切线方程为ｘ=1；④与x轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=1.以上结论正确的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：单位圆与x轴的交点为（1，0）和（-1，0）；与x轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=±1，所以②④错误.显然①③正确.
答案：B
2.对角α的正弦线叙述错误的是（
）
A.正弦线的起点为坐标原点
B.正弦线为有向线段
C.正弦线的长度为不大于1的正数
D.当角α的终边不在坐标轴上时，正弦线所在直线平行于ｙ轴
解析：正弦线的长度有可能为0,所以C答案错误.
答案：C
3.如图1-1-2，PM⊥x轴，AT⊥x轴，则α的正弦线、余弦线、正切线分别是____________、____________、____________，其中OM=___________，MP=____________，AT=____________.
图1-1-2
图1-1-3
解析：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出.
答案：
cosα
sinα
tanα
4.如图1-1-3，分别作出角β的正弦线、余弦线、正切线,并比较角β的正弦值、余弦值、正切值的大小.
解：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出下图.
正弦线、余弦线、正切线分别是、、，并且sinβ＞cosβ＞tanβ.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.若-＜α＜，从单位圆中的三角函数线观察sinα、cosα、tanα的大小是（
）
图1-1-4
A.sinα＜tanα＜cosα
B.tanα＜sinα＜cosα
C.cosα＜sinα＜tanα
D.sinα＜cosα＜tanα
解析：在单位圆中，作出＜α＜内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线，
||＜||＜||，考虑方向可得＜＜.
答案：D
2.若角α的正切线位于第一象限，则角α属于（
）
A.第一象限
B.第一、二象限
C.第三象限
D.第一、三象限
解析：由正切线的定义知，当角α是第一、三象限角时，正切线都在第一象限.
答案：D
3.在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围为（
）
A.（，）∪（π，）
B.（，π）
C.（，）
D.（，π）∪（，）
解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在（0，2π）内sinx＞cosx，则x∈（，）.
答案：C
4.如果cosα=cosβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（
）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线y=x对称
D.关于原点对称
解析：利用单位圆中的余弦线即得，如图.
答案：A
5.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.
证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线（余弦线）变成一个点，而余弦线（正弦线）的长等于r（r=1），所以|sinα|+|cosα|=1，当角α的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|+|cosα|=|MP|+|OM|＞1，综上有|sinα|+|cosα|≥1.
6.设＜α＜π，角α的正弦线、余弦线、正切线的数量分别为a、b、c，由图比较a、b、c的大小.
解：如图所示，|MP|＜|OM|＜|AT|，而a=|MP|，b=-|OM|，c=-|AT|，∴a＞b＞c.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.(2006安徽合肥统考，1)sin4·tan7的值（
）
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.不大于0
解析：4弧度的角是第三象限角，7弧度的角是第一象限角，由单位圆中的正弦线和正切线知sin4＜0，tan7＞0，所以sin4·tan7＜0.
答案：B
2.若θ∈(0,),则sinθ+cosθ的一个可能值是（
）
A.
B.
C.
D.1
解析：由θ∈(0，)知sinθ+cosθ＞1，A、B、C、D四个选项中仅有＞1，故选C.
答案:C
3.适合cosα≥的角α的集合是（
）
A.［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）
B.［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）
C.［2kπ-，2kπ+］（k∈Z）
D.［2kπ+，2kπ-］（k∈Z）
解析：在单位圆中作图，如图，α的范围是2kπ-≤α≤2kπ+.
答案：C
4.若sinα=sinβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（
）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线y=x对称
D.关于原点对称
解析：利用单位圆中的正弦线即得，如图.
答案：B
5.分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:(1)；(2).
解：如图,正弦线：，余弦线：，正切线：.
(1)
(2)
6.利用三角线，求满足sinx≤的角x的集合.
解：由图可知，值为的正弦线和，易得出∠M1OP1=，∠M2OP2=，故满足sinx≤的x的集合为｛x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z｝.
7.求函数y=的定义域.
解：如图，因为1-2cosx≥0，所以cosx≤，
所以x∈［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）.
8.已知关于x的方程（2sinα-1）x2-4x+4sinα+2=0有两个不相等的正根，试求角α的取值范围.
解：设方程的两根为x1、x2，这个方程有两个不相等正根必满足的条件为
即
化简得
故＜sinα＜.
利用三角函数线，在单位圆中标出满足条件的角α的终边位置，即图中两阴影部分的交集，故2kπ+＜α＜2kπ+或2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z，即α的取值范围是{α|2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z}∪{α|2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z}.
9.设α是第二象限的角，作α的正弦线、余弦线、正切线，由图证明cos2α+sin2α=1.
证明：如图，=cosα，=sinα，在Rt△MOP中，|OM|2+|MP|2=｜OP｜2=1，
所以cos2α+sin2α=1.
10.设α为任意角，求|sinα|+|cosα|的取值范围.
解：由正弦线、余弦线及三角形三边关系，可知|sinα|+|cosα|的取值范围为［1，］.
11.已知α∈（0，），求证：sinα＜α＜tanα.
证明：在单位圆中，利用三角函数线的定义，有=sinα，=tanα.又由α=，
显然S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即··＜··＜··.化简得＜α＜，所以sinα＜α＜tanα.2.2.3
用平面向量坐标表示向量共线条件
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.与向量a=（）共线且方向相同的向量b的坐标是(
)
A.(-1,2)
B.(4,8)
C.（）
D.(-4,-8)
解析：由向量共线的条件，并注意方向相同.
答案：B
2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(5，t)三点共线，则t的值为(
)
A.0
B.5
C.6
D.10
解析：=(1,1),
=(3,t-3),由于三点共线，∴1×(t-3)-1×3=0，t=6.
答案：C
3.已知，a=(6，m)，b=(3，-4)，且a与b共线，则m=_____________.
解析：6×(-4)=3m，∴m=-8.
答案：-8
4.已知a=(x-y，-1)，b=(2x，-3)，c=(y-5，2)，并且a∥b∥c，则x=_____________，y=___________.
解:∵a∥b，∴(x-y)·(-3)-2x·(-1)=0，即x-3y=0.
①
又∵b∥c，∴2x·2-(y-5)·(-3)=0，即4x+3y=15.
②
由①②联立解得x=3，y=1.
答案：3
1
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.以下命题错误的是（
）
A.若将=(x0，y0)平移，使起点M与坐标原点O重合，则终点N的坐标一定为(x0，y0)
B.=(x0，y0)的相反向量的坐标为(-x0，-y0)
C.若=(x0，y0)与y轴垂直，则必有y0=0
D.若=(x0，y0)是一个单位向量，则x0必小于1
解析：∵(x0，y0)为单位向量，∴x02+y02=1.
∴-1≤x0≤1.∴D选项错误.
答案：D
2.已知向量m=(-7，2+k)，n=(k+13，-6)，且m∥n，则k的值为（
）
A.1
B.-2
C.-16
D.1或-16
解析：∵m∥n，∴-7·(-6)=(2+k)·(k+13).∴k2+15k-16=0.∴k=1或-16.
答案：D
3..若△ABC的三边中点分别为D(2，1)，E(-3，4)，F(-1，-1)，则△ABC的重心P的坐标为_____________.
解析：易知△ABC的重心即是△DEF的重心.
设P(x，y)，则
∴P().
答案：()
4.已知平面内A，B，C三点的坐标分别为(0，-1)，(2，3)，(-1，-3)，则A，B，C三点的位置关系是_____________.
解析：∵=(2，4)，=(-1，-2)，
∴=-2.∴∥，且AB，AC有共同点A.
∴三点A、B、C共线.
答案：共线
5.已知向量a=(1，2)，b=(x，1)，u=a+2b，v=2a-b，且u∥v，求x的值.
解：u=(1，2)+2(x，1)=(1，2)+(2x，2)=(2x+1，4)，
v=2(1，2)-(x，1)=(2，4)-(x，1)=(2-x，3).
由于u∥v，则存在λ∈R，使得u=λv，即(2x+1，4)=((2-x)λ，3λ).
∴(2x+1)=(2-x).
解之,得x=.
6.已知a=(1，2)，b=(-3，2).
(1)求证：a和b是一组基底，并用它们表示c=f(x0，y0)；
(2)若(k2+1)a-4b与ka+b共线，求k的值.
(1)证明：∵1×2≠2×(-3)，∴a与b不共线,
又∵a与b皆为非零向量.
∴a和b是一组基底，可设c=ma+nb,则(x0，y0)=m(1，2)+n(-3，2).
∴(x0，y0)=(m，2m)+(-3n，2n).
∴
∴c=.
(2)解：依题意，［(k2+1)a-4b］∥(ka+b).
∴.
∴k2+4k+1=0，k=-2±.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知=e1+2e2，=(3-x)e1+(4-y)e2，其中e1、e2的方向分别与x、y轴正方向相同，且为单位向量.若与共线，则点P(x，y)的轨迹方程为（
）
A.2x-y-2=0
B.(x+1)2+(y-1)2=2
C.x-2y+2=0
D.(x-1)2+(y+1)2=2
解析：=(1，2)，=(3-x，4-y).
又与共线，令=λ，则有，即2x-y-2=0.
答案：A
2.已知a=(，sinα)，b=(sinα,)，若a∥b，则锐角α为（
）
A.30°
B.60°
C.45°
D.75°
解析：∵a∥b，
∴=sinα·sinα.
∴sinα=(sinα=舍去).∴α=30°.
答案：A
3.下列各组中的两个向量，其中不能作为一组基底的是(
)
A.a=(-2，3)，b=(4，6)
B.a=(2，3)，b=(3，2)
C.a=(1，-2)，b=(7，14)
D.a=(-3，2)，b=(-6，4)
解析：a与b共线,则a与b不能作为一组基底，选项D满足a=λb(λ∈R)，即a=-2b.
答案：D
4.四边形ABCD中，若=，则四边形ABCD是(
)
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.梯形
解析：由题意,知AB∥CD，且||≠||，
∴四边形ABCD为梯形.
答案：D
5.已知向量a=(3，4)，b=(sinα，cosα)，且a∥b，则tanα等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析：∵a∥b，∴3cosα-4sinα=0.
∴tanα=.
答案：A
6.平面上有A(-2，1)，B(1，4)，D(4，-3)三点，点C在直线AB上，且=，连结DC并延长，取点E使=，则点E的坐标为(
)
A.(0，1)
B.(0，1)或()
C.()
D.(-8，)
解析：设C(x，y)，由=,得(x+2，y-1)=(x-1，y-4).
即
即C(-5，-2).又E在DC延长线上，
∴=，设E(a，b)，
则(a+5,b+2)=(a-4,b+3)a=-8，b=.
∴E(-8，).
答案：D
7.(2006北京西城抽样，7)已知A(7,1),B(1,4),直线y=与线段AB交于点C，且=2，则a等于（
）
A.2
B.
C.1
D.
解析：设C(a，b)，∵=2.
∴(a-7，b-1)=2(1-a，4-b)，a-7=2-2a且b-1=8-2b，∴a=3，b=3.∴C(3，3).又点C在直线y=ax上，∴a=2.
答案：A
8.已知A(1，-2)，若与a=(2，3)同向，||=，则点B的坐标为_______________.
解析：设B(x，y)，则=(x-1，y+2)，与a=(2，3)同向，
∴可设=λa=(2λ，3λ)(λ＞0).
由||=知，
∴λ=2.
又=(x-1，y+2)=(4，6)，
∴即B(5，4).
答案：(5，4)
9.已知e1=(-1，1)，e2=(0，2)，c=(4，6)，则c=_____________e1+______________e2.
解析：e1，e2显然不共线，设c=te1+ve2，则(4，6)=u(-1，1)+v(0，2)=(-u，u+2v).
∴
∴即c=-4e1+5e2.
答案：-4
5
10.如图2-2-5所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB交点P的坐标.
图2-2-5
解：设=s·=(4s，4s)，=(4s-4，4s-0)=(4s-4，4s)，=(2-4，6-0)=(-2，6).
由与共线可得(4s-4)×6-4s×(-2)=0，解得s=.
所以=(4s，4s)=(3，3)，P点的坐标为(3，3).
11.是否存在这样的实数m、n，使得以点A(1，m),B(n，-3),C(m，0)、D(-1，n)为顶点的四边形ABCD为矩形 为什么
解：若四边形ABCD是矩形，则其必为平行四边形，所以=.
将A(1，m)、B(n，-3)、C(m，0)、D(-1，n)代入，有=(n-1，-3-m)，
=(m+1，-n)，
∴
由①得n-m=2，由②得m-n=-3，两式矛盾.∴不存在这样的实数m、n，使四边形ABCD为矩形.2.1.3
向量的减法
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下面给出了四个式子，其中值为0的有(
)
①++
②+++
③-+-
④++-
A.①②
B.①③
C.①③④
D.①②③
解析：①中，++=+=0；②中,
+++=(+)+
(+)=+0=；③中，(-)+(-)=
+=0；④中，(+)+
(-)=+=0.
答案：C
2.如图2-1-12,已知ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中=a，=b，=c，则等于(
)
图2-1-12
A.a+b
B.b-a
C.c-b
D.b-c
解析：==b-c.
答案：D
3.若=a，则=_______________.
答案：-a
4.化简：--=_______________.
解析：--=-=.
答案：
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列命题中，正确命题的个数为(
)
①|a|+|b|=|a+b|a与b方向相同
②|a|+|b|=|a-b|a与b方向相反
③|a+b|=|a-b|a与b有相等的模
④|a|-|b|=|a-b|a与b方向相同
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：当向量共线时，向量加法的平行四边形法则不适用，可考虑应用向量加法的三角形法则，其中①②是正确的；③由向量加减法的几何意义知|a+b|=|a-b|等价于以a、b为邻边的平行四边形的对角线相等，即为矩形，此时a与b垂直，但a与b的模不一定相等;④错在|a|-|b|不知符号正负，而|a-b|一定大于等于0，故不一定成立.
答案：C
2.下列等式中，正确的个数为(
)
①0-a=-a
②-(-a)=a
③a+(-a)=0
④a+0=a
⑤a-b=a+(-b)
⑥a-(-a)=0
A.3
B.4
C.5
D.6
解析：①②③④⑤正确，⑥错误.
答案：C
3.如图2-1-13所示，D、E是△ABC中AB、AC边中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知=a，=b，试用a、b分别表示、和.
图2-1-13
解：由三角形中位线定理知DEBC，故=，即=a.
=++=-a+b+a=a+b.
=++=++=a-b+a=a-b.
4.如图2-1-14所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则AF?-等于(
)
图2-1-14
A.
B.
C.
D.
解析：由图可知=，则-=-=.又由三角形中位线定理知=.
答案：D
5.若||=8，||=5，则||的取值范围是_______________.
解析：由题中所给向量之间的关系=-，再根据向量不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a+b|，问题迎刃而解.
即|||-|||≤||=|-|≤||+||.
∴3≤||≤13.
答案：［3，13］
6.已知两个向量a和b，求证：若|a+b|=|a-b|，则a的方向与b的方向垂直；反之也成立.
证明：①如图所示.若a与b方向垂直，设=a，=b，
∵a与b方向垂直，
∴OA⊥OB.以OA、OB为邻边作矩形OACB，
则|a+b|=||，|a-b|=||，
∵AOBC为矩形，
∴||=||.∴|a+b|=|a-b|.
②反之，若|a+b|=|a-b|，设=a，=b，以、为邻边作平行四边形OACB，则|a+b|=||，|a-b|=||，又|a+b|=|a-b|，
∴||=||，即平行四边形OACB对角线相等.
∴平行四边形OACB为矩形.
∴a的方向与b的方向垂直.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且=a，=b，用a、b表示向量为(
)
A.a+b
B.-a-b
C.-a+b
D.a-b
解析：由平行四边形对角线互相平分的性质知=-，即=-a，=-=-a-b.
答案：B
2.对于任意向量a，b，恒有(
)
A.|a+b|=|a|+|b|
B.|a-b|=|a|-|b|
C.|a-b|≤|a|+|b|
D.|a-b|≤|a|-|b|
解析：利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
答案：C
3.在平行四边形ABCD中，-与-分别等于(
)
A.，
B.，
C.，
D.，
解析：-=；-=+=.
答案：C
4.△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，=a,则-等于(
)
A.a
B.-a
C.0
D.
解析：=a，=2a,∴-2a=-a.
答案：B
5.已知平行四边形ABCD，O是ABCD所在平面外任意一点，=a，=b，=c，则向量等于(
)
A.a+b+c
B.a-b+c
C.a+b-c
D.a-b-c
解析：如图，有=+=+=+-=a+c-b.
答案：B
6.O是四边形ABCD所在平面上任一点，∥，且|-|=|-|，则四边形ABCD一定为(
)
A.菱形
B.任意四边形
C.矩形
D.平行四边形
解析：由|-|=|-|知||=||，且∥，
∴四边形ABCD一定为平行四边形.
答案：D
7.(2006高考全国卷Ⅰ，理9)设平面向量a1，a2，a3的和a1+a2+a3=0.如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|=2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i=1,2,3,则(
)
A.-b1+b2+b3=0
B.b1-b2+b3=0
C.b1+b2-b3=0
D.b1+b2+b3=0
解析：如图.在平行四边形OACB中，令=a1，=a2，=-a3，则++=0，
a1，a2，a3满足a1+a2+a3=0.将向量，，绕点O顺时针旋转30°且模扩大2倍后，得到的是与原四边形相似的平行四边形，这时仍有++=0，同时=b1，=b2，=b3，故有b1+b2+b3=0.
答案：D
8.计算：（1）a+b-(a-c)+(-b)=_______________；
（2）(p+q-r)+(q+r-p)+(r+p-q)=________________；
（3）(i-j)+(j-h)+(h-i)=__________________.
解析：（1）原式=a+b-a+c-b=c；（2）原式=p+q-r+q+r-p+r+p-q=p+q+r；（3）原式=i-j+j-h+h-i=0.
答案：（1）c
（2）p+q+r
（3）0
9.|a|=8，|b|=6，则|a+b|的最小值为______________,此时，a与b的方向______________;|a-b|的最大值为______________；此时a与b的方向______________.
解析：|a+b|≥||a|-|b||,
∴|a+b|的最小值为2，此时a、b反向，同理|a-b|的最大值为8+6=14，此时a、b也反向.
答案：2
反向
14
反向
10.化简：(-)-(-)=_______________.
解析：(-)-(-)=--+=+++=
(+)+(+)=+=0(此法是将向量减法转化为加法进行化简的).
答案：0
11.如图2-1-15的五边形ABCDE中，若=m，=n，=p，=q，=r，求作向量m-p+n-q-r.
图2-1-15
解：∵m-p+n-q-r=(m+n)-(p+q+r)=-=+，所以延长AC至F点，使||=||，则=，
∴=+，即向量为所求.1.3.1
正弦函数的图象与性质（2）
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.要得到y=sin（2x-）的图象，只要将y=sin2x的图象（
）
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
解析：∵y=sin（2x-）=sin［2（x）］，∴把y=sin2x的图象向右平移，就能得到y=sin（2x-）的图象.
答案：D
2.把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，则所得图象的函数解析式是（
）
A.y=sin（4x+）
B.y=sin（4x+）
C.y=sin4x
D.y=sinx
解析：将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin［2（x-）+］，即y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，就得到函数y=sin2（2x），即y=sin4x的图象.
答案：C
3.函数y=2sin（3x+）的振幅为_____________,周期为_____________,相位为_____________,初期为_____________.
解析：由定义可知，振幅是2，周期为，相位3x+，初期.
答案：2
3x+
4.函数y=2sin（3x+）的对称轴为_____________；对称中心为_____________.
解：观察y=sinx的图象，x=kπ+（k∈Z）是其对称轴，（kπ，0）是其对称中心.
由3x+=kπ+（k∈Z）得x=（k∈Z）为对称轴；由3x+=kπ（k∈Z）得（，0）（k∈Z）为对称中心.
答案：x=（k∈Z）
（，0）（k∈Z）
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.为了得到函数y=3sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin（2x+）的图象上每一点的（
）
A.横坐标变为原来的3倍，纵坐标保持不变
B.纵坐标变为原来的3倍，横坐标保持不变
C.纵坐标变为原来的，横坐标保持不变
D.以上都不对
解析：观察两函数式的关系，相位相同，仅仅是纵坐标为3倍关系，即B项正确.
答案：B
2.(2006高考江苏卷,4)为了得到函数y=2sin(+)，x∈R的图象，只需把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点（
）
A.向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
B.向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
C.向左平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
D.向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
解析：把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到y=2sin（x+），x∈R，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），可得y=2sin(+),
x∈R.
答案：C
3.函数y=2sin（2x+）的图象是（
）
A.关于原点成中心对称的图形
B.关于y轴成轴对称的图形
C.关于直线x=成轴对称的图形
D.关于直线x=成轴对称的图形
解析：当x=时，y=2sin=2为最大值.所以直线x=是该函数的一条对称轴;该函数为非奇非偶函数,所以不关于原点或y轴对称.
答案：D
4.(2005高考福建卷,理6)函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图1-3-2,则（
）
图1-3-2
A.ω=,φ=
B.ω=,φ=
C.ω=,φ=
D.ω=,φ=
解析：由题图易知=2T=8.
而T==8,∴ω=.排除A、B.
∴函数y=sin(x+φ).
显然φ=满足sin(×1+)=1.
而φ=,则sin(×1+)=-1.∴排除D.
答案：C
5.函数y=sinx的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位，所得图象的函数解析式为___________________.
解析：y=sinx→y=3sinx→y=3sin（x-3）=3sin（x-1）.
答案：y=3sin（x-1）
6.已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）,
（1）若A=3，ω=，φ=-，作出该函数在一个周期内的草图；
（2）若y表示一个振动量，其振动频率是，当x=时，相位是，求ω与φ.
解：（1）y=3sin（-），列出下表：
0
π
2π
x
y
0
3
0
-3
0
描出对应五点（x，y），
用光滑曲线连结各点即得所应作的函数图象（见下图）.
（2）依题意，有∴
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知函数y=Asin（ωx+φ）在同一周期内，当x=时，y最大=2；当x=时，y最小=-2，那么函数的解析式为（
）
A.y=2sin（2x+）
B.y=2sin（2x-）
C.y=2sin（2x+）
D.y=2sin（2x-）
解析：由x=时，y最大=2，知A=2，同一周期内，y取最大与最小值时x相差-=.
∴=,T=π.
∴ω==2.
∴y=2sin（2x+φ），代入最大值坐标，得φ=.
答案：A
2.函数y=sin（2x+）的图象的一条对称轴方程为（
）
A.x=
B.x=-
C.x=-
D.x=
解析：依题意，令sin（2x+）=±1，则2x+=kπ+，
从而x=kπ-π，k∈Z.显然k=1时，x=，符合题意.
答案：C
3.已知正弦函数在一个周期内的图象如图1-3-3所示，则它的表达式应为
…（
）
图1-3-3
A.y=sin（2x+）+
B.y=sin（2x-）+
C.y=sin（2x+）+
D.y=sin（2x-）+
解析：从图形中可以看出，曲线的振幅A=，周期T=-（-）=π，ω==2，再将（0，1）代入，有sin（2x+φ）+=1，∴sinφ=1，φ=2kπ+，k∈Z.
答案：A
4.函数y=2sin（-2x）（x∈［0，π］）为增函数的区间是（
）
A.［0，］
B.［，］
C.［，］
D.［，π］
解析：y=2sin（-2x）=-2sin（2x），当2kπ+≤2x≤2kπ+（k∈Z），即kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），当k=0时，得在［0，π］内所求函数的单调增区间［，］.
答案：C
5.已知f（x）=sin（πx-）-1，则下列命题正确的是（
）
A.f（x）是周期为1的奇函数
B.f（x）是周期为2的偶函数
C.f（x）是周期为1的非奇非偶函数
D.f（x）是周期为2的非奇非偶函数
解析：f（x）=sin（πx-）-1=-sin（-πx）-1=-cosπx-1，
∴T==2,且f(x)是偶函数，故选B项.
答案：B
6.已知函数y=f（x），f（x）图象上所有点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到的曲线与y=sinx图象相同，则y=f（x）的图象表达式为（
）
A.y=sin（x-）
B.y=sin（x+）
C.y=sin（x+）
D.y=sin（2x-）
解析：采用逆向思维方式，由题意，y=sinx的图象沿x轴向右平移个单位后得到y=sin（x-），再将此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到y=sin（2x-），此即y=f（x）的解析式.
答案：D
7.下列命题中，真命题的个数为（
）
①若α、β为第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ
②函数y=的定义域为［2kπ-，2kπ+］（k∈Z）
③函数y=Asin（）（A为常数且A≠0）是偶函数
④将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=sin（2x+）的图象
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：对于①可举反例：＞，但sin＜sin；对于②，sin2x＞0，2x∈［2kπ，2kπ+π］，x∈［kπ，kπ+］，k∈Z；对于③，y=Asin（）=Asin（-）=-Acosx，故为偶函数；对于④，y=sin2x→y=sin2（x+）而不是y=sin（2x+）.
答案：B
8.已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象中最高点（距原点最近）的坐标是（2，），由这个最高点到相邻最低点的曲线与x轴交于点（6，0），则此函数的解析式应为________________________.
解析：依题意，A=，T=4×（6-2）=16，ω==，
∴y=sin（x+φ），再将（2，）代入前式，有sin（×2+φ）=，
故sin（+φ）=1，+φ=2kπ+，φ=2kπ+，k∈Z.
又∵0＜φ＜π，∴φ=.∴所求解析式为y=sin（x+）.
答案：y=sin（x+）
9.若f（x）=2sinωx（0＜ω＜1）在区间［0，］上的最大值是，则ω=________________.
解析：∵0＜ω＜1，则T=＞2π,
∴f（x）在区间［0，］上为增函数.
故f（x）max=f（），即2sin=.又0＜ω＜1，则ω=.
答案：
10.已知f（x）=-2asin（2x+）+2a+b，x∈［，］.是否存在常数a、b∈Q，使得f（x）的值域为{y|-3≤y≤-1} 若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由.
解：因为≤x≤，所以≤2x+≤，所以-1≤sin（2x+）≤.
若存在这样的有理数a、b,则
（1）当a＞0时，所以a=1,b=-5(舍去）.
（2）当a＜0时，
所以a=-1，b=1，即a、b存在，且a=-1，b=1.
11.如图1-3-4所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足y=Asin（ωx+φ）+b.
图1-3-4
(1)求这段时间的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式.
解：(1)由图可知，这段时间的最大温差为30-10=20（℃）.
(2)由图可知，半周期为·=14-6=8，∴ω=.
A=（30-10）=10，b=（30+10）=20.
∴y=10sin（x+φ）+20,
将x=6，y=10代入上式可得φ=.
综上，所求的解析式为y=10sin（x+）+20，x∈［6，14］.2.3.3
向量数量积的坐标运算与度量公式
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（
）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法判断
解析：由=(1，1)，=(-4，2)，=(3，-3)，得2=2，2=20，2=18.∴2+2=2，即AB2+AC2=BC2.∴△ABC为直角三角形.
(本题亦可画图，验证·=3-3=0⊥)
答案：B
2.已知m=(3，-1)，n=(x，-2)，且〈m，n〉=，则x等于（
）
A.1
B.-1
C.-4
D.4
解析：cos=，解得x=1.
答案：A
3.已知a=(2，5)，b=(λ，-3)，且a⊥b，则λ=________________.
解析：∵a⊥b，∴a·b=0，即2λ-15=0，λ=.
答案：
4.设=(3，1)，=(-1，2)，⊥，∥，则满足+=的坐标(O为原点)为_________________.
解：设=(x，y)，则=(x+3，y+1)，=-=(x+4，y-1).
∵⊥，∴-(x+3)+2(y+1)=0，即x-2y+1=0.
①
又∵∥，∴3(y-1)-(x+4)=0，即x-3y+7=0.
②
由①②得x=11，y=6.
∴=(11，6).
答案：(11，6)
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知a=(m-2，m+3)，b=(2m+1，m-2)，且a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围为（
）
A.m＞2或m＜
B.＜m＜2
C.m≠2
D.m≠2且m≠
解析：a与b夹角大于90°a·b＜0，
a·b=(m-2)(2m+1)+(m+3)(m-2)=3m2-2m-8,
解不等式3m2-2m-8＜0，得＜m＜2.
答案：B
2.(2006高考重庆卷，文7)已知三点A(2，3)，B(-1，-1)，C(6，k)，其中k为常数.若||=||,则与的夹角为(
)
A.arccos()
B.或arccos
C.arccos
D.或π-arccos
解析：由于||=||,且=(-3，-4)，=(4，k-3)，所以16+(k-3)2=25,解出k=6或0.当k=0时，·=0，其中夹角是；当k=6时，cosθ=，所以θ=π-arccos.
答案：D
3.已知m=(a，b)，向量n与m垂直，且|m|=|n|，则n的坐标为（
）
A.(b，-a)
B.(-a，b)
C.(-a，b)或(a，-b)
D.(b，-a)或(-b，a)
解析：设n的坐标为(x，y)，
由|m|=|n|，得a2+b2=x2+y2,
①
由m⊥n，得ax+by=0,
②
解①②组成的方程组得得n的坐标为(b，-a)或(-b，a).
答案：D
4.若i=(1，0)，j=(0，1)，则与3i+4j垂直的单位向量是______________.
解析：3i+4j=(3，4).设与3i+4j垂直的单位向量为b=(x，y)，
依题意，得
故与3i+4j垂直的单位向量为ij或-i+j.
答案：ij或-i+j
5.已知向量x与a=(2，-1)共线，且a·x=-18，则x=_______________.
解析：设x=(2λ，-λ)，又a·x=-18.
∴4λ+λ=-18.∴λ=.
答案：()
6.设向量a=(1，-1),b=(3，-4)，x=a+λb，λ为实数，试证：使模|x|最小的向量x垂直于向量b.
证明：因|x|2=x·x=|a|2+λ2|b|2+2λa·b，
故x2=25λ2+14λ+2=(5λ+)2+.
当5λ+=0，即λ=时，|x|最小.
此时x=ab=().
又=0，∴向量x与b垂直.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知a=(-1，3)，b=(2，-1)，且(ka+b)⊥(a-2b)，则k的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由(ka+b)⊥(a-2b)，得(ka+b)·(a-2b)=0.
而ka+b=(2-k，3k-1)，a-2b=(-5，5).
故-5(2-k)+5(3k-1)=0，解得k=.
答案：C
2.(2006高考重庆卷，理7)与向量a=()，b=()的夹角相等，且模为1的向量是(
)
A.()
B.()或()
C.（）
D.（）或（）
解析：设所求向量为e=(cosθ,sinθ)，由于该向量与a、b的夹角相等，故
a·e=b·ecosθ+sinθ=cosθsinθ3cosθ=-4sinθ,所以sinθ=且cosθ=，或sinθ=且cosθ=，所以B选项成立.
答案：B
3.已知点A(2，3)，若把向量绕原点O按逆时针方向旋转90°，得到向量，则B点坐标为(
)
A.(2，-3)
B.(-3，2)
C.(3，-2)
D.(3，2)
解析：设B(x，y)，∵⊥，||=||，
∴(舍去)，故B点坐标为(-3，2).
答案：B
4.已知A(1，2)，B(4，0)，C(8，6)，D(5，8)四点，则四边形ABCD是(
)
A.梯形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
解析：=(3，-2)，=(-3，2)，=-，∴四边形ABCD为平行四边形.
又=(4，6)，·=3×4-2×6=0，即⊥，且||≠||，∴四边形ABCD为矩形.
答案：B
5.已知a=(2，-3)，b=(1，-2)，且c⊥a，b·c=1，则c的坐标为(
)
A.(3，-2)
B.(3，2)
C.(-3，-2)
D.(-3，2)
解析：设c=(x，y)，c⊥a，∴2x-3y=0.
①
又b·c=1，∴x-2y=1,
②
综合①②知x=-3，y=-2.
答案：C
6.已知a=(3，1)，b=(x，-3)，且a⊥b，则x等于(
)
A.3
B.1
C.-1
D.-3
解析：∵a⊥b，∴3x-3=0.∴x=1.
答案：B
7.以原点O及点A(5，2)为顶点作等腰直角△OAB，使∠A=90°，则的坐标为______________.
解析：依题意，设=(x，y)，则由||=||得.
①
而又由⊥得5x+2y=0.
②
由①②联立可解得x=2，y=-5或x=-2，y=5，
∴=(2，-5)或(-2，5).
答案：(2，-5)或(-2，5)
8.平面向量a，b中，已知a=(4，-3)，|b|=1，且a·b=5，则向量b=______________.
解析：设b=(x，y)，则
∴b=(，).
答案：(，)
9.设O为原点，点A(a，0)，B(0，a)(a＞0)，点P在线段AB上，且=t
(0≤t≤1)，则·的最大值为______________.
解析：∵·=·(+)=·(+t)=2+t·
=a2+t(a，0)·(-a，a)=a2+t(-a2+0)=(1-t)a2，
∵0≤t≤1，∴-1≤-t≤0，0≤1-t≤1，即·≤a2.
答案：a2
10.已知a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)(0＜α＜β＜π).
(1)求证：a+b与a-b互相垂直；
(2)若ka+b与ka-b的模相等，求β-α(其中k∈R且k≠0).
(1)证明：依题意知a+b=(cosα+cosβ，sinα+sinβ)，a-b=(cosα-cosβ，sinα-sinβ).
又(a+b)·(a-b)=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0，
所以(a+b)⊥(a-b).
(2)解：由于ka±b=(kcosα±cosβ，ksinα±sinβ)，
所以|ka±b|=.
又因为|ka+b|=|ka-b|，所以2kcos(β-α)=-2kcos(β-α)，且k≠0，故cos(β-α)=0.
又0＜α＜β＜π，所以β-α=.
11.已知a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，且|ka+b|=|a-kb|(k＞0)，
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求此时a，b的夹角θ.
解：(1)由|ka+b|=|a-kb|,得(ka+b)2=3(a-kb)2，
∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2·b2.
∴(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0.
∵|a|=1，|b|=1，∴k2-3+8ka·b+1-3k2=0，∴a·b=.
(2)a·b=，由函数单调性定义易知f(k)=(k+)在(0，1］上单调递减，在［1，+∞)上单调递增，
∴当k=1时最小值为f(1)=(1+1)=.
此时a，b夹角为θ，
cosθ=，∴θ=60°.2.1.2
向量的加法
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列命题中正确命题的个数为(
)
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a、b之一的方向相同
②△ABC中，必有++=0
③若++=0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点
④若a、b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①假命题，当a+b=0时，命题不成立；②真命题；③假命题，当A、B、C三点共线时，也可以有++=0；④假命题，只有当a与b同向时才相等.
答案：B
2.向量(+)+(+)+化简后等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析：原式=(+)+(+)+=++=.
答案：C
3.如图2-1-7，在平行四边形ABCD中，++等于(
)
图2-1-7
A.
B.
C.
D.
解析：++=+(+)==.
答案：A
4.如图2-1-8，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形.
图2-1-8
(1)若=a，则=_______________；
(2)若=b，则=______________；
(3)和相等的所有向量为______________；
(4)和共线的所有向量为______________.
答案：(1)-a
(2)
(3)、
(4)
、、、、、、
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.如图2-1-9，+++++等于(
)
图2-1-9
A.0
B.0
C.2
D.-2
解析：利用向量封闭性原理.
答案：B
2.已知正方形ABCD的边长为1，=a，=b，=c，则|a+b+c|等于(
)
A.0
B.3
C.
D.
解析：如图，a+b+c=2c，|c|=，∴|a+b+c|=|2c|=.
答案：D
3.设a、b为非零向量，下列说法不正确的是(
)
A.a与b反向，且|a|>|b|，则向量a+b与a的方向相同
B.a与b反向，且|a|<|b|，则向量a+b与a的方向相同
C.a与b同向，则a+b与a同向
D.a与b同向，则a+b与b同向
解析：两个向量反向，则哪个向量的模长两向量之和的方向就与哪个向量方向一致.
答案：B
4.在五边形A1A2A3A4A5中，+++=________________.
解析：原式=+=.
答案：
5.平行四边形ABCD中，||=3，||=4，则：(1)||_____________7(填“>”“<”或“≥”“≤”)；(2)若||=5，则此四边形为_____________形.
解析：（1）由三角形两边之和大于第三边.（2）由||2+||2=||2可知△ABC为直角三角形，所以应填“矩形”.
答案：(1)＜
(2)矩
6.一艘船以垂直河岸方向8
km/h的速度驶向对岸，水流速度为8
km/h，方向向东，问船实际沿什么方向行驶？速度为多少？
解：如图，代表水流速度，代表船速度，则为船实际速度.∵||=||=8
km，
∴∠DAB=45°且||=.
∴船实际沿东偏北45°方向行驶，且速度为
km/h.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列各式中结果为0的个数为(
)
①++
②+++
③+++
④+++
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：①是；②原式=(+)+(+)=+=；③原式=+(+)+
=+(+)=+=；④原式=(+)+(+)=+=0.
答案：B
2.四边形ABCD中，若=且||=||，则四边形ABCD为(
)
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
解析：由=可判断四边形ABCD为平行四边形，由||=||进一步判断该四边形的对角线相等，所以四边形ABCD为矩形.
答案：C
3.如图2-1-10,在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(
)
图2-1-10
A.=
B.+=
C.=+
D.+=0
解析：因为+=,所以=+错误.
答案：C
4.设向量a，b为非零向量，若|a+b|=|a|+|b|，则a的方向与b的方向一定为_____________.
解析：由向量加法的定义知，a，b方向相同.
答案：相同
5.如图2-1-11,已知梯形ABCD，AD∥BC，则+++=___________________.
图2-1-11
解析：原式=(+)+(+)=
+=.
答案：
6.当非零向量a,b满足______________时，能使a+b平分a与b的夹角.
解析：平行四边形OBCA中，只有OA=OB时，OC才平分∠AOB.
答案：|a|=|b|
7.正△ABC中，边长为a，则|+|=_______________.
解析：作正△ABC的边AC、AB的平行线，得到一个平行四边形ABEC，
可知+=，易知||=2||=2×.
答案：
8.平行四边形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，则a=+与b=+有什么关系？
解析：由三角形法则知与，与大小相等方向相反，可得结果.
答案：a与b模相等，方向相反.
9.我们知道△ABC中，++=0，反过来，三个不共线的非零向量a、b、c满足什么条件时，顺次将它们的终点与起点相连而成一个三角形？
解：当a+b+c=0时，顺次将它们的终点与起点相连而成一个三角形.
可作=a，=b，=c，则+=，
∴+c=0，即c与方向相反，大小相同，即c=，∴a、b、c可构成一个三角形.
10.已知向量a、b，比较|a+b|与|a|+|b|的大小.
解：(1)当a、b至少有一个为零向量时，有|a+b|=|a|+|b|；
(2)当a、b为非零向量:①a、b不共线时，有|a+b|＜|a|+|b|；
②a、b同向共线时，有|a+b|=|a|+|b|；
③a、b异向共线时，有|a+b|＜|a|+|b|.
总之，|a+b|≤|a|+|b|.1.3.1
正弦函数的图象与性质（1）
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.用“五点法”画y=sinx，x∈［0，2π］的简图时，正确的五个点应为（
）
A.（0，0），（，1），（π，0），（，-1），（2π，0）
B.（0，0），（，-1），（-π，0），（，1），（-2π，0）
C.（0，1），（，0），（π，1），（，-1），（2π，-1）
D.（0，-1），（，0），（π，-1），（，0），（2π，0）
提示：在［0，2π］上，y=sinx有三个零点、一个最大值点和一个最小值点.
答案：A
2.正弦函数y=sinx的单调增区间是（
）
A.［2kπ，2kπ+π］，k∈Z
B.［2kπ-，2kπ+］，k∈Z
C.［2kπ+π，2kπ+2π］，k∈Z
D.［2kπ+，2kπ+］，k∈Z
解析：由正弦函数的图象性质可直接选择B项.
答案：B
3.函数y=sin2x为（
）
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
解析：根据奇函数的定义f（-x）=-f（x）知，函数y=sin2x是奇函数.
答案：A
4.函数y=sinx+4的值域为_______________________.
解析：因为sinｘ的最大值为1，最小值为-1，所以sinｘ+4的值域为［3，5］.
答案：［3，5］
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.y=sinx的图象的大致形状是图1-3-1中的（
）
图1-3-1
答案：B
2.在［0，2π］上，满足sinx≥的x取值范围是（
）
A.［0，］
B.［，］
C.［，］
D.［，2π］
解析：由正弦函数y=sinx的图象知，当x∈［，］时，sinx≥.
答案：B
3.函数y=sin（）的最小正周期是（
）
A.π
B.2π
C.4π
D.
解析：y=sin（+）=-sin（-），ω=，所以周期T==4π.
答案：C
4.比较大小:
（1）sin_________________cos；
（2）sin（）_________________sin（）.
解析：（1）∵cos=sin（+），又＜＜+＜，y=sinx在［，］上是减函数，
∴sin＞sin（+）=cos，
即sin＞cos.
（2）∵-＜0，sinx在［，0］上是增函数，
∴sin（）＞sin（）.
答案：（1）＞
（2）＞
5.若sinx=，且x∈［，］，则m的取值范围是_________________.
解析：因为x∈［，］，所以|sinx|≤，即｜｜≤2｜1-m｜≤｜2m+3｜.
所以4（1-m）2≤（2m+3）2m≥-.
答案：［，+∞)
6.求函数f（x）=cos2x+sinx在区间［，］上的最小值.
解：∵f（x）=cos2x+sinx=-sin2x+sinx+1=-（sinx）2+，
∵≤x≤，
∴≤sinx≤.
∴当sinx=时，
f（x）min=-（）2+=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知a=sin，b=cos（），c=sin，d=cos，则a、b、c、d的大小关系为（
）
A.a＞b＞c＞d
B.a＜b＜c＜d
C.a＞c＞b＞d
D.a＜c＜b＜d
解析：由题意，a=sin（2π-）=-sin；
b=cos（）=cos；
c=sin（π+）=-sin；
d=cos（3π-）=-cos=-sin.
∵y=sinx在［0，］上单调递增，
∴y=-sinx在［0，］上单调递减.
又∵0＜＜＜＜＜，
∴a＞b＞c＞d.
答案：A
2.已知α、β∈（0，），且cosα＞sinβ，则α+β与的大小关系是（
）
A.α+β＞
B.α+β＜
C.α+β≥
D.α+β≤
解析：因为α、β∈（0，）,则-α∈（0，），又cosα＞sinβ，所以sin（-α）＞sinβ，而sinx在（0，）上是增函数，所以-α＞β，故α+β＜.
答案：B
3.(2006高考江西卷,文2)函数y=4sin(2x+)+1的最小正周期为（
）
A.
B.π
C.2π
D.4π
解析：最小正周期为T==π.
答案：B
4.已知y=f（x）是周期为2π的函数，当x∈［0，2π］时，f（x）=sin，则f（x）=的解集是（
）
A.｛x｜x=2kπ+，k∈Z｝
B.｛x｜x=2kπ+，k∈Z｝
C.｛x｜x=2kπ±，k∈Z｝
D.｛x｜x=2kπ+（-1）k，k∈Z｝
解析：当x∈［0，2π］时，由sin=得=或，即当x∈［-π，π］时，=或，所以x=或.所以x=2kπ±（k∈Z）.
答案：C
5.定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈（0，）时，f（x）=sinx，则f()的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：f（）=f（π+）=f（）=f（π-）=f（-）=f（）.
∵当x∈［0，］时，f（x）=sinx,
∴f（）=sin=,f()=
.
答案：D
6.观察正弦曲线，得到不等式sinx＞1在区间［0，π］内的解集为（
）
A.［0,π］
B.{}
C.
D.{0,,π}
解析：∵sinx的值不大于1,
∴sinx＞1的解集为.
答案:C
7.下列四个函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（
）
A.y=｜sin2x｜
B.y=sin2x
C.y=｜sinx｜
D.y=sinx
解析：y=｜sinx｜的图象如图，符合题目要求.
答案：C
8.函数y=sinx-|sinx|的值域为_________________.
解析：y=（k∈Z），
∴y∈［-2，0］.
答案：［-2，0］
9.函数y=2sin（-x）的单调增区间是_________________.
解析：y=2sin（-x）化为y=-2sin（x）.
∵y=sinu（u∈R）的单调减区间是［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）,
∴y=-2sin（x-）的单调增区间由下面的不等式确定:
2kπ+≤x-≤2kπ+（k∈Z）,
得2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z）.
故函数y=2sin（-x）的单调增区间是［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）.
答案：［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）
10.求函数y=2cos2x+5sinx-4的最大值和最小值.
解：y=2cos2x+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2=-2（sinx-）2+，
∵sinx∈［-1，1］,
∴当sinx=-1,
即x=2kπ-（k∈Z）时，y有最小值-9，
当sinx=1即x=2kπ+（k∈Z）时，y有最大值1.
11.若函数f（n）=sin（n∈Z），求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2
008）的值.
解：∵sin=sin(+2π)=sinπ,
∴f（n）=f（n+12）.
∴f(n)=sin是周期函数,周期为12.
又∵f（1）+f（2）+f（3）+…+f（12）=0，且2
008=12×167+4,
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2
008）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）
=sin+sin+sin+sin=+.2.2.2
向量的正交分解与向量的直角坐标运算
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知A(-5，-1)，B(3，-2)，则的坐标为（
）
A.(8，1)
B.(-4，）
C.(-8，1)
D.(-8，-1)
解析：∵A(-5，-1)，B(3，-2)，
∴=(8，-1).
∴-=(-4，).
答案：B
2.已知向量a=(3，m)的长度为5，则m的值为（
）
A.4
B.±4
C.16
D.±16
解析：作向量=a=(3，m)，则A点坐标为(3，m)，||==5，
∴m=±4.
答案：B
3.设a=(4，3)，b=(λ，6)，c=(-1，μ)，若a+b=c，则λ=___________，μ=___________.
解析：a+b=(4，3)+(λ，6)=(4+λ，9)=c=(-1，μ).
答案：-5
9
4.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
(1)当点P是线段P1P2的中点时，点P的坐标为___________；
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，点P的坐标为___________.
解：(1)如图(甲)，由向量的线性运算可知=(+)=().
(2)如图(乙)，当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，即或=2.
(甲)
(乙)
如果=，那么=+=+=+(-)=+
=()，
即点P的坐标是().
同理，如果=2，那么点P的坐标是().
答案：(1)()
(2)()或()
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知a=(-7，24)，|λa|=50，则λ等于（
）
A.±
B.2
C.-2
D.±2
解析：|λa|=|λ||a|=25|λ|=50|λ|=2.
答案：D
2.已知a=(-1，2)，b=(1，-2)，则a+b与a-b的坐标分别为（
）
A.(0，0)，(-2，4)
B.(0，0)，(2，-4)
C.(-2，4)，(2，-4)
D.(1，-1)，(-3，3)
解析：a+b=(0，0)，a-b=(-2，4).
答案：A
3.已知=(x，y)，点B的坐标为(-2，1)，则的坐标为（
）
A.(x-2，y+1)
B.(x+2，y-1)
C.(-2-x，1-y)
D.(x+2，y+1)
解析：=-，∴=-=(-2-x，1-y).
答案：C
4.设a=(-1，2)，b=(1，-1)，c=(3，-2)，用a、b作基底可将c表示为c=pa+qb，则实数p、q的值为（
）
A.p=4，q=1
B.p=1，q=4
C.p=0，q=4
D.p=1，q=-4
解析：c=(-p+q，2p-q)，∴
答案：B
5.已知m=(sinα+cosα，sinα-cosα)，则m的长度为______________.
解析：∵|m|2=(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2sin2α+2cos2α=2，
∴|m|=.
答案：
6.如图2-2-4所示的直角坐标系xOy中，|a|=4，|b|=3，求a，b的坐标及B点的坐标.
图2-2-4
解：设a=(x，y)，则x=|a|cos45°=4×，y=|a|sin45°=4×，即a=()；b相对于x轴正方向的转角为120°，设b=(u，v)，
∴u=|b|cos120°=3×()=，v=|b|sin120°
=3×.
∴b=(，).
又的坐标即为A点的坐标，
∴A()，b==(，).
设B(a，b)，
∴()=(a-，b-),
∴
即B(，).
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.设A(1，2)，B(4，3)，若向量a=(x+y，x-y)与相等，则（
）
A.x=1，y=2
B.x=1，y=1
C.x=2，y=1
D.x=2，y=2
解析：=(3,1),由=a，得
答案：C
2.△ABC的两个顶点为A(4，8)，B(-3，6)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则C的坐标为（
）
A.(-8，3)
B.(-3，4)
C.(3，-8)
D.(-4，3)
解析：设C=(x，y)，则
解之，得∴C=(3，-8).
答案：C
3.若M(3，-2)，N(-5，-1)，且=，则P点坐标为（
）
A.(-8，-1)
B.(-1，）
C.(1，）
D.(8，-1)
解析：P为的中点.
答案：B
4.若向量a=(1，1)，b=(1，-1)，c=(-1，2)，则c等于（
）
A.a+b
B.
C.
D.
解析：设c=ma+nb，则(-1，2)=m(1，1)+n(1，-1)=(m+n，m-n).
∴
答案：B
5.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足=α+β，其中α，β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为(
)
A.3x+2y-11=0
B.(x-1)2+(y-2)2=5
C.2x-y=0
D.x+2y-5=0
解析：已知=(3，1)，=(-1，3)，设=(x,y),∵=α+β，
∴(x，y)=α(3，1)+β(-1，3).
∴
又∵α+β=1，∴x+2y-5=0.
答案：D
6.已知平行四边形ABCD中，=(3，7)，=(-2，3)，对角线AC，BD交于点O，则的坐标为(
)
A.(，5)
B.(，5)
C.(，-5)
D.(，-5)
解析：∵=+=(-2，3)+(3，7)=(1，10)，∴=(-1，-10).
∴==(，-5).
答案：C
7.已知点A(3，-4)，B(-1，2)，点P在直线AB上，且||=2||，则点P的坐标为(
)
A.(，0)
B.(-5，8)
C.(，1)或(-4，7)
D.(，0)或(-5，8)
解析：由题意知=±2，设P(x，y)，则(3-x，-4-y)=±2(-1-x，2-y)，
∴
答案：D
8.(2006贵州模拟,11)函数y=sinx的图象按向量a=（，2）平移后与函数ｇ(x)的图象重合，则ｇ(x)的表达式是（
）
A.cosx-2
B.-cosx-2
C.cosx+2
D.-cosx+2
解析：设平移前后对应点的坐标分别为(x′,y′),(x,y),则x′-x=且y′-y=-2，代入原函数式得y-2=sin(x+)，整理得g(x)=-cosx+2.
答案：D
9.已知A(，-1)，则所在直线与x轴所夹的锐角为_____________.
解析：易知点A在第四象限，作AH⊥x轴于H点，则在Rt△AHO中，AH=1，HO=，
∴tan∠HOA=，∠HOA=30°.
答案：30°
10.(1)已知2a+b=(-4，3)，a-2b=(3，4)，求向量a、b的坐标.
(2)x轴的正方向到a的夹角为60°，且|a|=2，求a的坐标.
解：(1)
①×2+②得5a=(-8+3，6+4)，a=(-1，2)，
b=(-4，3)-2(-1，2)=(-4，3)-(-2，4)=(-2，-1).
(2)∵x=|a|·cos60°=2·=1，y=|a|·sin60°=2×，
∴a=(1，).
11.用向量法：求cos+cos+cos的值.
解：将边长为1的正七边形ABCDEFO如图放入直角坐标系中，
则=(1，0)，=(cos，rin)，=(cos，sin)，=(cos，sin)，=(cos，sin)，=(cos，sin)，=(cos，sin).
∵++++++=0，∴这些向量的横坐标之和为0，即1+cos+cos+cos+cos+cos+cos=0.
由三角函数的诱导公式，可得cos=s，cos=cos，cos=cos.
∴上式为1+2(cos+cos+cos)=0.
∴cos+cos+cos=-.1.3.3
已知三角函数值求角
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.方程2sinx=(x∈［0,4π］)的解的个数有（
）
A.1个
B.2个
C.4个
D.无数个
提示：利用正弦函数图象.
答案：C
2.函数y=arcsinx+arctanx的定义域为（
）
A.（-1，1）
B.［-1，1］
C.［,］
D.R
解析：函数y=arcsinx的定义域为［-1，1］，函数y=arctanx的定义域为R，取交集.
答案：B
3.用符号表示下列各式中的x：
(1)sinx=0.348，则x=_____________；(2)cosx=，则x=____________；(3)tanx=，则x=_______________.
解析：(1)∵x∈［，］，且sinx=0.348，
∴x=arcsin0.348.
(2)∵x∈［0，π］，且cosx=，
∴x=arccos.
(3)∵x∈(，)，且tanx=-，
∴x=arctan（）=-arctan.
答案：(1)arcsin0.348
(2)arccos
(3)arctan（）或-arctan
4.已知tanx=，且x∈（，），则x=________________.
解析：因为正切函数在区间（，）上是增函数，所以正切值等于的角x有且只有一个.
由tan（）=-tan=，得x=.
答案：
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列函数，在［，π］上是增函数的是（
）
A.y=sinx
B.y=cosx
C.y=sin2x
D.y=cos2x
解析：∵y=sinx与y=cosx在［，π］上都是减函数，∴排除选项A、B.
∵≤x≤π，∴π≤2x≤2π，知y=sin2x在［π，2π］内不具有单调性，
∴又可排除C项.
答案：D
2.若＜θ＜，则下列关系式中成立的是（
）
A.sinθ＞cosθ＞tanθ
B.cosθ＞tanθ＞sinθ
C.sinθ＞tanθ＞cosθ
D.tanθ＞sinθ＞cosθ
解析一：在同一坐标系内分别作出y=sinθ，y=cosθ，y=tanθ，θ∈（，）的图象，
由图可知，当θ∈（，）时，tanθ＞sinθ＞cosθ.
解析二：如图所示，θ∈（，），作出其正弦线、余弦线、正切线分别为MP、OM、AT，由图可看出：
AT＞MP＞OM，即tanθ＞sinθ＞cosθ.
答案：D
3.在区间（，）范围内，函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析一：在同一坐标系中，首先作出y=sinx与y=tanx在（，）内的图象，需明确x∈（，）的两个函数的图象，由图象可知它们有三个交点.
解析二：x∈（，），即sinx=tanx=，sinx（）=0，sinx=0或cosx=1，在x∈（，）内，x=-π，0，π满足sinx=0，x=0满足cosx=1，所以交点个数为3.
答案：C
4.已知函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|＜，ω＞0）的图象如图1-3-6所示，则有…（
）
图1-3-6
A.ω=，φ=
B.ω=，φ=
C.ω=2，φ=
D.ω=2，φ=
解析：当x=0时，y=2sinφ=1，sinφ=.
又由|φ|＜，所以φ=.又点A坐标为（，0），即（，0），由，解得ω=2.
答案：C
5.在△ABC中，cosA=，则A=______________.
解析：△ABC中，∠A∈（0，π），而cosx在（0，π）上是减函数，∴cosA=的A有且只有一个，而cos（π）=-cos=，∴A=.
答案：
6.求函数y=3cos2x-4cosx+1，x∈［，］的最大值与最小值.
解：y=3cos2x-4cosx+1=3（cosx）2-，∵x∈［，］，∴cosx∈［，］.从而当cosx=，即x=时，ymax=;当cosx=，即x=时，ymin=-.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知点P（sinα-cosα，tanα）在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是（
）
A.（，）∪（π，）
B.（，）∪（π，）
C.（，）∪（,)
D.（，）∪（，π）
解析：点P在第一象限，其纵坐标y=tanα＞0，因此α是第一、三象限角，而选项A、C、D的取值范围中皆含有第二象限角，故排除选项A、C、D.
答案：B
2.n为整数,化简所得的结果是（
）
A.tannα
B.-tannα
C.tanα
D.-tanα
解析：当n=2k(k∈Z)时,原式==tanα;
当n=2k+1(k∈Z)时,原式==tanα.
答案：C
3.计算式子arctan(-1)+arcsin+arccos()的值为（
）
A.0
B.
C.
D.
解析：∵arctan(-1)=,arcsin=，arccos()=,∴原式=.
答案：D
4.(2006高考重庆卷，文10)若α、β∈(0,),cos(α)=,sin(-β)=,则cos(α+β)的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵α、β∈(0,
)，∴-＜α-＜,＜-β＜，由cos(α)=和sin(-β)=，可得α-=±，-β=,当α-=时，α+β=0，
与α,β∈(0,
)矛盾；当α-=,
-β=时,α=β=，此时cos(α+β)=.
答案：B
5.已知函数y=tan（2x+φ）的图象过点（，0），则φ可以是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵y=tan（2x+φ）过（，0），∴tan（+φ）=0.∴+φ=kπ.∴φ=kπ.当k=0时，φ=.∴应选A项.
答案：A
6.定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈［0，］时，f（x）=sinx，则f(）的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：f（）=f（π+）=f（）=f（π-）=f（）=f（），∵当x∈［0，］时，f（x）=sinx，∴f（）=sin=，∴应选D项.
答案：D
7.若函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数，则φ的一个值为（
）
A.φ=π
B.φ=
C.φ=
D.φ=
解析：φ=-时，f（x）=sin（2x-）=-sin（-2x）=-cos2x是偶函数.
答案：B
8.y=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=_____________.
解析：∵T==，∴ω=3.
答案：3
9.已知f（n）=cos，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2
006）=_____________.
解析：因为f（n）=cos具有周期,T=8，且f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=0，而2
006=250×8+6，所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2
006）=f（1）+f（2）+f（3）+f（5）+f(6)=cos+cos+cos+cosπ+cos+=-1-.
答案：-1-
10.若A是△ABC的一个内角，且sinA+cosA=，求A.
解：由已知得
①2-②得2sinAcosA=，即sinA·cosA=.
③
由①③知sinA、cosA是方程x2-x=0的两个根，解得x1=，x2=.
又由A为三角形内角知，A∈（0，π）,
由三角函数值规律,知
∴A为钝角，∴A=π-arcsin.
11.求函数y=2sin（-x）-cos（+x）（x∈R）的最小值.
解：y=2sin（-x）-cos（+x）=2sin（-x）-cos［-（-x）］
=2sin（-x）-sin（-x）=sin（-x），
∵x∈R，∴ymin=-1.3.1.3
两角和与差的正切
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.与相等的是（
）
A.tan66°
B.tan24°
C.tan42°
D.tan21°
解析：由两角差的正切公式，原式==tan（45°-21°)=tan24°.
答案:B
2.的值是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：=tan（45°+75°)=tan120°=-tan60°=.
答案:B
3.(2006河北唐山二模，9)在△ABC中，C=45°，则（1-tanA）（1-tanB）等于（
）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解析：(1-tanA)(1-tanB)=1+tanAtanB-(tanA+tanB)
=1+tanAtanB-tan(A+B)(1-tanAtanB)
=1+tanAtanB-tan135°(1-tanAtanB)=2.
答案:C
4.=_____________，=____________.
解析：
答案:1
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知tanα=,tan（α-β）=，则tan（2α-β）的值是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵tanα=,tan（α-β)=,
∴tan（2α-β)=tan[（α-β)+α]=.
答案:C
2.已知，则cot（-α）等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由,
所以cot（-α)=.
答案:A
3.锐角△ABC中，tanA·tanB的值是（
）
A.不小于1
B.小于1
C.等于1
D.大于1
解析：由于△ABC为锐角三角形，∴tanA、tanB、tanC均为正数.
∴tanC＞0.
∴tan[180°-（A+B)]＞0.
∴tan（A+B)＜0，即＜0.
而tanA＞0，tanB＞0，
∴1-tanAtanB＜0,即tanAtanB＞1.
答案:D
4.若tanα=，则tan（α+）=_____________.
解析：∵tanα=,
∴tan（α+)==3.
答案:3
5.函数y=tan（2x-)+tan（2x+）的最小正周期是_____________.
解析：y=tan（2x-)+tan（2x+)
==2tan4x.
答案：
6.已知tan（+α）=，求的值.
解:∵tan（+α)=,
∴,得tanα=-3.
∴=4cos2α
=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.在△ABC中，已知tanA、tanB是方程3x2+8x-1=0的两根，则tanC等于（
）
A.2
B.-2
C.4
D.-4
解析：由于tanA、tanB是3x2+8x-1=0的两根，得
∴tan（A+B)==-2.
∴tanC=-tan（A+B)=2.
答案:A
2.设tanα=，tanβ=，且α、β角为锐角，则α+β的值是（
）
A.
B.或
C.
D.
解析：由tanα=，tanβ=,得tan（α+β)==1.又α、β均是锐角,∴α+β=.
答案:C
3.若tan110°=a，则tan50°的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：tan110°=tan（60°+50°)==a，
∴+tan50°=a-atan50°.
∴tan50°（1+a)=a-
.
∴tan50°=.
另：tan50°=tan（110°-60°)=.
答案:A
4.设tanα和tanβ是方程mx2+（2m-3）x+（m-2）=0的两根，则tan（α+β）的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.不确定
解析：∵tanα和tanβ是mx2+（2m-3)x+（m-2)=0的两根，
∴
∴m≤，且m≠0.
tan（α+β)=.
∴当m=时，tan（α+β)的最小值为.
答案:C
5.在△ABC中，若（1+cotA）（1+cotC）=2，则log2sinB=______________.
解析：由（1+cotA)（1+cotC)=2,得=2，
∴（tanA+1)（tanC+1)=2tanAtanC.
∴1+tanA+tanC=tanAtanC.
∴tan（A+C)=-1.又A、B、C是△ABC的内角,
∴A+C=.∴B=.∴sinB=.
∴log2sinB=.
答案:
6.计算：=________________.
解析：∵tan60°=tan（20°+40°)
=,∴tan20°+tan40°=3-3tan20°tan40°.
∴=1.
答案:1
7.计算：tan72°-tan12°-tan72°tan12°=______________.
解析：原式=tan(72°-12°)·(1+tan72°tan12°)-tan72°tan12°=.
答案:
8.(2005高考全国卷Ⅱ,文17)已知α为第二象限角，sinα=，β为第一象限角，cosβ=，求tan（2α-β）的值.
解：∵α为第二象限角且sinα=，
∴cosα=，tanα=.
又β为第一象限角且cosβ=，
∴sinβ=,tanβ=.
∴tan（α-β)=.
∴tan（2α-β)=tan［α+（α-β)］=.
9.设tanα、tanβ是方程x2-3x-3=0的两实根，求sin2(α+β)-3sin（α+β）cos（α+β）-3cos2(α+β)的值.
解：由题意,得tanα+tanβ=3，tanαtanβ=-3,
∴tan(α+β)=.
∴sin2(α+β)-3sin（α+β)cos（α+β)-3cos2(α+β)
=
.
10.在锐角△ABC中化简：tantan+tantan+tantan.
解:∵A+B+C=π,
∴,
∴,
∴tantan+tantan+tantan
=tan（tan+tan)+tanvtan
=tan·tan（1-tantan)+tantan
=tancot·（1-tantan)+tantan
=1-tantan+tantan=1.1.2.4
诱导公式
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.sin（）+2sin+3sin等于（
）
A.1
B.
C.0
D.-1
解析：原式=-sin+2sin（π+）+3sin（+）
=--2×+3×cos=+3×=0.
答案：C
2.化简为（
）
A.-cos80°
B.-sin80°
C.cos80°
D.sin80°
解析：原式==｜cos460°｜=｜cos（360°+100°）｜
=｜cos100°｜=-cos（90°+10°）=sin10°=cos80°.
答案：C
3.sin（π-2）-cos（-2）化简的结果为（
）
A.0
B.-1
C.2sin2
D.-2sin2
解析：原式=-sin（-2）-sin2=sin2-sin2=0.
答案：A
4.已知a=tan（），b=cos，c=sin（），则a、b、c的大小关系是_____________.
解析：a=-tan（π+）=-tan=，b=cos（6π-）=cos=，c=-sin（8π+）=，而＞＞，∴b＞a＞c.
答案：b＞a＞c
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.cos225°+tan240°+sin（-60°）+tan（-60°）的值是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：原式=cos（180°+45°）+tan（180°+60°）-sin60°-tan60°=-cos45°+tan60°-sin60°-tan60°
=-cos45°-sin60°=.
答案：A
2.在△ABC中，下列等式一定成立的是（
）
A.sin=-cos
B.sin（2A+2B）=-cos2C
C.sin（A+B）=-sinC
D.sin（A+B）=sinC
解析：在△ABC中,A+B+C=π，所以sin（A+B）=sin（π-C）=sinC.,所以sin=sin()=cos.2A+2B+2C=2π,所以sin(2A+2B)=sin(2π-2C)=2sin2C.
答案：D
3.已知sin（π-α）=log8，且α∈（，0），则tan（2π-α）的值为（
）
A.
B.
C.±
D.
解析：因为sin（π-α）=log8=，所以sinα=.而α∈（，0），所以cosα==，tanα==.所以tan（2π-α）=-tanα=.
答案：B
4.化简：+sin（-θ）的结果为（
）
A.0
B.1
C.2
D.
解析：原式=
-sinθ=sinθ-sinθ=0.
答案：A
5.已知tan（-2α）=m（m≠0），则cot（2α+）的值为_______________.
解析：cot（2α+）=cot［π-（-2α）］=-cot（-2α）=.
答案：
6.设f（x）=
求g()+f()+g()+f()的值.
解：原式=cos+f（）+1+g（）+1+f（）+1=+sin（）+cos（）+sin（）+3=-++3=3.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.(2006北京西城5月抽样,1)sin600°+tan240°的值是（
）
A.
B.
C.+
D.+
解析：sin600°+tan240=-sin120°+tan60°=+=.
答案：B
2.已知sin（π+α）=，则cos（2π-α）的值等于（
）
A.或
B.
C.
D.
解析：由sin（π+α）=，即sinα=,又cos（2π-α）=cosα，故当α属于第一象限时，cosα==；当α属于第二象限时，cosα==-.
答案：A
3.如果角α与β的终边关于y轴对称，则下列等式恒成立的是（
）
A.sin（α+π）=sinβ
B.sin（α-π）=sinβ
C.sin（2π-α）=-sinβ
D.sin（-α）=sinβ
解析：由对称性可知存在k∈Z，使得α=2kπ+π-β.故sin（α+π）=sin（2kπ+2π-β）=-sinβ，sin（α-π）=sin（2kπ-β）=-sinβ，sin（2π-α）=sin（2π-2kπ-π+β）=-sinβ，sin（-α）=sin（-2kπ-π+β）=-sinβ.
答案：C
4.sinsinsinsin…sin的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：原式=sin（π-）sin（2π-）…sin（200π-）=（）（-）（）（-）…（）（-）=（-1）100（）200=.
答案：C
5.化简tan（27°-α）·tan（49°-β）·tan（63°+α）·tan（139°-β）的结果为（
）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解析：原式=tan（27°-α）·tan（49°-β）·tan［90°-（27°-α）］·tan［90°+（49°-β）］=tan（27°-α）·cot（27°-α）·tan（49°-β）·［-cot（49°-β）］=-1.
答案：B
6.已知函数f（x）=cos，则下列等式成立的是（
）
A.f（2π-x）=f（x）
B.f（2π+x）=f（x）
C.f（-x）=f（x）
D.f（-x）=-f（x）
解析：f（-x）=cos（）=cos=f（x）.
答案：C
7.(2006高考上海卷,理6)如果cosα=，且α是第四象限的角，那么cos(α+)=___________.
解析：∵cosα=，且α是第四象限的角，
∴sinα=.
∴cos(α+)=-sinα=.
答案：
8.已知f（x）=，若α∈（，π），则f（cosα）+f（-cosα）可化简为______________.
解析：f（cosα）+f（-cosα）=.
而α∈（，π），所以f（cosα）+f（-cosα）=.
答案：
9.sin,cos,tan从小到大的顺序是_____________________.
解析：因为＜＜π，所以cos＜0.而tan=tan（π+）=tan，0＜＜，所以sin＜tan.故cos＜sin＜tan.
答案：cos＜sin＜tan
10.已知sin（π-α）-cos（π+α）=，α∈（，π），试求：
（1）sinα-cosα；
（2）sin3（+α）+cos3（+α）.
解：（1）由sin（π-α）-cos（π+α）=sinα+cosα，故sinα+cosα=.两边平方并整理得sinαcosα=.又由α∈（，π），∵α∈(,π),sinα＞cosα,∴sinα-cosα=
.
（2）sin3（+α）+cos3（+α）=cos3α-sin3α=（cosα-sinα）（cos2α+
sinαcosα+sin2α）=（）×（）=.
11.函数y=（a-b）sin2x+cos2x的值恒等于2，求a、b的值.
解：由（a-b）sin2x+cos2x=2，
两边同除以cos2x，得（a-b）tan2x+=2（1+tan2x），
（a-b-2）tan2x=（4-a-b）.
因上式为恒等式，即对任意x上式都成立，故需2.1.4
向量数乘
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知a=e1+e2，b=3e1-2e2，则3a-2b等于(
)
A.9e1+4e2
B.0
C.7e2-2e1
D.-3e1+7e2
解析：3a-2b=3(e1+e2)-2(3e1-2e2)=-3e1+7e2.
答案：D
2.已知=a，=b，=，用a，b表示，则等于(
)
A.
B.
C.
D.a-b
解析：∵=，∴-=(-).∴b-a=-a.
∴=.
答案：B
3.化简(-2)·3m-4(n-2m)的结果为(
)
A.-14m-4n
B.-6m-4n
C.2m-4n
D.4n+2m
解析：原式=-6m-4n+8m=2m-4n.
答案：C
4.若|a|=3，b与a的方向相反，且|b|=5，则a=b.
解析：∵b与a的方向相反，且|a|=|b|,
∴a=-b.
答案：-
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.如图2-1-16，在梯形ABCD中，AD∥BC，=a，=b，=c，=d，且E、F分别为AB、CD的中点，则(
)
图2-1-16
A.=(a+b+c+d)
B.=(a-b+c-d)
C.=(c+d-a-b)
D.=(a+b-c-d)
解析：=-=(+)-(+)=(c+d)-(a+b).
∴=(c+d-a-b).
答案：C
2.已知AD、BE、CF分别为△ABC的三条中线，G是它们的交点，则下列等式不正确的是(
)
A.=
B.=
C.=-2
D.+=
解析：本题的关键点在于将重心的性质用向量的形式表示出来，由图知B错在方向反了.应该为=.
答案：B
3.点C在线段AB上，且=，则=.(
)
A.
B.
C.
D.
解析：∵||=||，∴||∶||=3∶2，
且与方向相反,∴=.
答案：D
4.化简：=____________.
解析：原式=[(a+4b)-4a+2b]
=
(-3a+6b)=-a+2b.
答案：2b-a
5.若2(x-a)-(b-3x+c)+b=0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量x=______________.
解析：2x+，
∴x=.
答案：.
6.如图2-1-17,已知=3e1,=3e2,
(1)
(2)
图2-1-17
(1)如图（1）,C、D为AB三等分点，求,；
(2)如图（2），C、D、E为AB的四等分点，求、.
解:(1)=-=3e2-3e1，
∴=e2-e1=.∴=+=3e1+e2-e1=2e1+e2；
=+=2e1+e2+(e2-e1)=e1+2e2.
(2)=3e2-3e1，=e2-e1，
=+=3e1+e2-e1=e1+e2，
此时，==(3e2-3e1)=e2-e1，
=+=3e1+e2-e1=e1+e2.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.M为线段AB的中点，O为平面内任一点，=a，=b，则等于（
）
A
B.
C.
D.2a+2b
解析：以OA、OB为邻边作平行四边形OANB，=a+b，=，
∴=a+b.
答案：A
2.如图2-1-18平行四边形ABCD中，O为平面外任一点，=a，=b，=c，=d，则(
)
图2-1-18
A.a+b+c+d=0
B.a-b-c-d=0
C.a+b-c-d=0
D.a-b+c-d=0
解析：由平行四边形ABCD知=，即-=-，
∴a-b=d-c.∴a-b+c-d=0.
答案：D
3.已知四边形ABCD为菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则等于(
)
A.λ(+)，λ∈(0，1)
B.λ(+)，λ∈(0，)
C.λ(-)，λ∈(0，1)
D.λ(-)，λ∈(0，)
解析：由向量的运算法则=+，点P在对角线AC上，所以与同向，且||＜||，故=λ(+)，λ∈(0，1).
答案：A
4.正方形ABCD中，已知=a，=b，=c，表示a-b+c的是(
)
A.
B.
C.
D.
解析：a-b+c=-+=+==.
答案：C
5.(2006高考广东卷，4)如图2-1-19所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(
)
图2-1-19
A.-+
B.--
C.-
D.+
解析：=-=-.
答案：A
6.O为平行四边形ABCD中心，=4e1，=6e2，则3e2-2e1=_______________.
解析：3e2-2e1=(6e2-4e1)=(-)=(-)==.
答案：或
7.已知向量x，y，则满足方程组的x=_______________,y=_______________.
解析：用解方程组方法即得x=p+q，y=q-2p.
答案：p+q
q-2p
8.给出下面四个结论：
①对于实数p和向量a，b，有p(a-b)=pa-pb;
②对于实数p、q和向量a,有(p-q)a=pa-qa;
③若pa=pb(p∈R)，则有a=b；
④若pa=qa(p,q∈R,a≠0),则p=q.
其中正确结论的序号为_______________.
解析：①②显然正确；③在p=0时不可以；
④可化为(p-q)a=0，
∵a≠0，∴p-q=0即p=q，∴④正确.
答案：①②④
9.如图2-1-20，ABCD的两条对角线相交于点M，且=a，=b，你能用a、b表示、、和吗
图2-1-20
解：在ABCD中，∵=+=a+b，=-=a-b，
又∵平行四边形的两条对角线互相平分，
∴==(a+b)=ab，
==(a-b)=ab，
==a+b，
=-==a+b.
10.如图2-1-21，平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=c，AN?=d，试用c、d表示和.
图2-1-21
解：设=a，=b，则由M、N分别为DC、BC的中点，可得=b，=a.
从△ABN和△ADM中，可得
①×2-②，得a=(2d-c)，②×2-①，得b=(2c-d)，
即=(2d-c)，=(2c-d).3.1.2
两角和与差的正弦
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.若M=cos17°sin13°+sin17°cos13°,则M的值为（
）
A.
B.
C.
D.以上都不对
解析：利用两角和的正弦公式，原式=sin（13°+17°)=sin30°=.
答案:A
2.若M=sin12°cos57°-cos12°sin57°，N=cos10°cos55°+sin10°sin55°，则以下判断正确的是（
）
A.M＞N
B.M=N
C.M+N=0
D.MN=
解析：利用两角和与差的正弦或余弦公式，知M=sin（12°-57°)=-sin45°=，
N=cos（10°-55°)=cos（-45°)=,
∴M+N=0.
答案:C
3.化简：sin（-α）cos（-α）+sin（+α）cos（+α）=_____________.
解析：cosα·sinα-sinα·cosα=0.
答案:0
4.化简：sin（α+β）+sin（α-β）+2sinαsin(-β)=____________.
解析：原式=2sinαcosβ-2sinαcosβ=0
答案:0
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.sin44°cos14°-cos44°sin14°等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：sin44°cos14°-cos44°sin14°=sin（44°-14°)=sin30°=.
答案:A
2.若3sinx-cosx=sin（x+φ），φ∈（-π，π）,则φ=_____________.
解析：3sinx-cosx=（sinxcosx)=（sinxcosφ+cosxsinφ)，
∴cosφ=,sinφ=.又φ∈（-π，π)，∴φ=.
也可以由sin（x+φ)=sinxcosφ+cosxsinφ=3sinx-3cosx,
∴23cosφ=3，23sinφ=-3.
∴cosφ=,sinφ=.而φ∈（-π，π),
∴φ=.
答案:
3.=______________.
解析：
==2sin30°=1.
答案:1
4.化简：
解:
=
=cotβ-cotα+cotθ-cotβ+cotα-cotθ=0.
5.已知α、β都是锐角，且sinα=,sinβ=，求sin（α+β）.
解:∵α、β为锐角，且sinα=，sinβ=，
∴cosα=,cosβ=.
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知sin（α+β）=，sin（α-β）=，则tanα∶tanβ等于（
）
A.
B.
C.-7
D.7
解析：由sin（α+β)=,sin（α-β)=,得sinαcosβ+cosαsinβ=,
①
sinαcosβ-cosαsinβ=,
②
①+②,得2sinαcosβ=;
①-②,得2cosαsinβ=，相除=-7.
答案:C
2.设a=2sin24°,b=sin85°cos85°,c=2（sin47°sin66°-sin24°sin43°）,则（
）
A.a＞b＞c
B.b＞c＞a
C.c＞b＞a
D.b＞a＞c
解析：b=sin85°-3cos85°=2（sin85°-cos85°)
=2sin（85°-60°)=2sin25°,
c=2（sin47°sin66°-sin24°sin43°)
=2（sin47°cos24°-cos47°sin24°)
=2sin（47°-24°)=2sin23°,函数y=sinx在（0，)上是增函数，所以b＞a＞c.
答案:D
3.发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是关于时间t的函数，IA=Isinωt，IB=Isin（ωt+），IC=Isin（ωt+φ）且IA+IB+IC=0，0≤φ≤2π，则φ等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：IA+IB+IC=Isinωt+Isinωtcos+Icosωtsin+Isinωtcosφ+Icosωtsinφ
=Isinωt（1+cos+cosφ)+Icosωt（sin+sinφ)
=Isinωt（+cosφ)+Icosωt（+sinφ)=0，
∴而0≤φ≤2π,∴φ=.
答案:C
4.sin（θ+75°）+cos（θ+45°）cos（θ+15°）的值等于（
）
A.
B.
C.
D.0
解析：sin（θ+75°)+cos（θ+45°)-cos（θ+15°)
=sin（θ+15°+60°)+cos（θ+15°+30°)-cos（θ+15°)
=sin（θ+15°)cos60°+cos（θ+15°)sin60°+cos（θ+15°)cos30°-sin（θ+15°)sin30°-cos（θ+15°)
=sin（θ+15°)+cos（θ+15°)+cos（θ+15°)sin（θ+15°)-cos（θ+15°)=0.
答案:D
5.若＜β＜α＜，cos（α-β）=,sin（α+β）=,则sin2α等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵＜β＜α＜,cos（α-β)=,sin（α+β)=.
∴sin（α-β)=,
cos（α+β)=.
∴sin2α=sin［（α+β)+（α-β)］
=sin（α+β)cos（α-β)+cos（α+β)sin（α-β)
=×+（)×.
答案:A
6.(2005重庆高考卷,13)已知α、β均为锐角，且cos（α+β）=sin（α-β），则tanα=___________.
解析：∵cos（α+β)=sin（α-β)，
∴cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ.
∴cosα（cosβ+sinβ)=sinα（cosβ+sinβ).
又α、β均为锐角，
∴cosβ+sinβ≠0.
∴cosα=sinα.∴tanα=1.
答案:1
7.已知tan（α+β）=2,则=_________________.
解析：原式=.
答案:3
8.已知cos（-α）=，sin（+β）=，其中＜α＜，0＜β＜,求sin(α+β)的值.
解：∵α+β+=+β-(-α),
∴sin(α+β)=-cos［+(α+β)］
=-cos［(+β)-(-α)］
=-cos(+β)cos(-α)-sin(+β)sin(-α).(
)
又∵＜α＜,0＜β＜,
∴-＜-α＜0,＜+β＜π.
∴sin(-α)=,cos(+β)=.
将各式分别代入(
)式,
∴sin(α+β)=.
9.求证：.
证明:左=
=
=
=
=
==右，因此结论成立.
10.(2006高考全国卷Ⅱ，理17)已知向量a=（sinθ,1）,b=(1,cosθ),＜θ＜.
(1)若a⊥b，求θ；
（2）求｜a+b｜的最大值.
解：（1)若a⊥b，则sinθ+cosθ=0，由此得tanθ=-1(＜θ＜)，
∴θ=.
（2)由a=（sinθ,1),b=(1,cosθ),
得a+b=(sinθ+1,1+cosθ),
|a+b|=,
当sin(θ+)=1时，|a+b|取最大值，当θ=时，|a+b|的最大值为.2.3.1
向量数量积的物理背景与定义
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.力使一个物体产生的位移为H，F与H的夹角为α，那么力F所做的功可表示为(
)
A.|F||H|sinα
B.|F||H|cosα
C.|F||H|tanα
D.|F||H|cotα
解析：由功的物理意义.
答案：B
2.以下命题中，不与“非零向量a、b夹角为钝角”等价的是（
）
A.非零向量a在非零向量b上的正射影为负值
B.非零向量a、b的内积为负值
C.非零向量a、b的长度皆小于a-b的长度
D.非零向量a、b的平方和大于a+b的平方
解析：由三角形法则知a、b、a-b恰构成一个三角形，
令|a|＜|b|＜|a-b|，且a与b夹角为锐角即可否定C选项的条件.
答案：D
3.已知|p|=2，|q|=3，且p与q的夹角为120°，则向量p在q方向上的正射影值为_____________；向量q在p方向上的正射影值为_____________.
解析：向量p在q方向上的正射影值为|p|sθ=2×cos120°=-1.
同理，|q|cosθ=3×cos120°=.
答案：-1
4.已知|a|=10，|b|=12，且(3a)·(b)=-36，则a与b的夹角为____________.
解析：(3a)·(b)=3|a||b|cos〈a，b〉
=3×10××12cos〈a，b〉=-36,∴cos〈a，b〉=.
∵cos〈a，b〉∈［0°，180°］.
∴cos〈a，b〉=120°.
答案：120°
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列命题正确的是(
)
A.若|a|=|b|，则a=b
B.若a、b为非零向量，则|a-b|＜|a+b|
C.若x、y满足|x+y|=|x|+|y|，则x·y=|x||y|
D.若x、y为非零向量，则x与y同向的条件是存在实数k，使得x=ky
解析：对于A，显然不成立；对于B，
|a-b|＜|a+b||a-b|2＜|a+b|2
(a-b)2＜(a+b)2a2+b2-2a·b＜a2+b2+2a·ba·b＞0，所以当a与b夹角为锐角时命题才能成立；
对于C，|x+y|=|x|+|y||x+y|2=(|x|+|y|)2(x+y)2=|x|2+|y|2+2|x||y|x2+y2+2x·y=
x2+y2+2|x||y|x·y=|x||y|，所以该命题正确；对于D，当且仅当k为正实数时才能成立.
答案：C
2.已知a、b都是单位向量，则下列结论中正确的是（
）
A.a·b=1
B.a2=b2
C.a∥ba=b
D.a·b=0
解析：单位向量是指模长为1的向量，对方向没有要求，因此夹角也无从得知，故A、C、D不正确，而|a|=，故B正确.
答案：B
3.在△ABC中，=a，=b，且a·b＞0，则△ABC为三角形.（
）
A.锐角
B.直角
C.钝角
D.等腰直角
解析：∵·＞0，∴·＜0，即∠ABC为钝角.
答案：C
4.若|a|=3，|b|=4，a，b的夹角为135°，则a·b等于(
)
A.
B.
C.
D.12
解析：∵a·b=|a||b|cos135°=3×4×()=.
答案：B
5.若|a|=2，b=-2a，则a·b=______________.
解析：|b|=2|a|=4，且b与a反向，∴〈a，b〉=180°.∴a·b=|a||b|cos180°=2×4×(-1)=-8.
答案：-8
6.已知|a|=4，|b|=5，当①a∥b；②a⊥b；③〈a，b〉=120°时，分别求a与b的数量积.
解：①a∥b，则a与b同向时，〈a，b〉=0°，此时a·b=|a||b|cos0°=4×5=20.
a与b反向时，〈a，b〉=180°，此时a·b=|a||b|cos180°=4×5×(-1)=-20.
②a⊥b时，a·b=0.
③〈a，b〉=120°，则a·b=|a||b|s〈a，b〉=4×5×()=-10.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.对任意向量x和y，|x||y|与x·y的大小关系是（
）
A.|x||y|≤x·y
B.|x||y|＞x·y
C.|x||y|≥x·y
D.|x||y|＜x·y
解析：设x与y夹角为θ，则x·y=|x||y|cosθ≤|x||y|·1=|x||y|.
特别地，当x或y等于0时，x·y=|x||y|=0；当θ=0°时，x·y=|x||y|.
答案：C
2.在△ABC中，若∠C=90°，AC=BC=4，则·等于(
)
A.16
B.8
C.-16
D.-8
解析：∵∠C=90°，AC=BC=4，故△ABC为等腰直角三角形，∴BA=，∠ABC=45°.
∴·=4×cos45°=16.
答案：A
3.(2006高考陕西卷，9)向量、满足()·=0且，则△ABC为(
)
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.三边均不相等的三角形
解析：由=∠A=60°.又由()·=0，
知∠A的平分线与BC垂直，所以△ABC为等边三角形.
答案：A
4.已知|a|=4，b在a方向上的正射影的数量为-8，则a·b等于(
)
A.16
B.32
C.-16
D.-32
解析：∵ab=|a||b|cos〈a，b〉=4×(-8)=-32.
答案：D
5.已知a·b=2，|a|=|b|=，则下面正确的是(
)
A.〈a，b〉=45°
B.a⊥b
C.a与b同向
D.a与b反向
解析：a·b=|a||b|cos〈a，b〉，即2=cos〈a，b〉，
∴cos〈a，b〉=1.
∴〈a，b〉=0°，即a∥b，且a与b同向.
答案：C
6.已知|a|=8，e为单位向量，当它们之间夹角为60°时，a在e方向上的正射影为(
)
A.-4
B.4
C.2
D.-2
解析：∵|a|cos60°=8×=4.
答案：B
7.若非零向量α，β满足|α+β|=|α-β|，则α与β所成角的大小为_____________.
解析：设=α，=β，作平行四边形ABCD，则α+β=，α-β=，
∴||=||.∴平行四边形ABCD为矩形.∴α⊥β.
答案：90°
8.已知a·b=，|a|=4，〈a，b〉=135°，则|b|=______________.
解析：a·b=|a||b|cos〈a，b〉，∴=4×|b|cos135°.∴|b|=6.
答案：6
9.若四边形ABCD满足+=0，且·=0，试判断四边形ABCD的形状.
解：∵+=0，∴=，即AB∥DC且AB=DC，∵四边形ABCD为平行四边形，
又∵·=0，∴⊥，即AB⊥BC.
∴四边形ABCD为矩形.
10.已知△ABC中，=c，=a，=b，
若|c|=m，|b|=n，〈b，c〉=θ,①试用m、n、θ表示S△ABC；
②若c·b＜0，且S△ABC=，|c|=3，|b|=5，则〈c，b〉为多少？
解：①S△ABC=AB·AC·sin∠CAB=m·nsinθ.
②∵S△ABC==|b||c|sinθ，
∴=×3×5sinθ.∴sinθ=.
∵c·b＜0，∴θ为钝角.
∴θ=150°，即〈c，b〉=150°.3.3
三角函数的积化和差与和差化积
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列等式错误的是（
）
A.sin（A+B）+sin（A-B）=2sinAcosB
B.sin（A+B）-sin（A-B）=2cosAsinB
C.cos（A+B）+cos（A-B）=2cosAcosB
D.cos（A+B）-cos（A-B）=2sinAcosB
提示：由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A、B、C正确.
答案:D
2.sin20°cos70°+sin10°sin50°的值为(
)
A.
B.
C.
D.
解析：sin20°cos70°+sin10°sin50°
=（sin90°-sin50°)（cos60°-cos40°)
=sin50°-+cos40°=.
答案:A
3.函数ｙ=sin（x+）-sinｘ(x∈［0，π］)的值域是（
）
A.［-2，2］
B.［，］
C.［，1］
D.［，］
解析：由和差化积公式可得y=cos(x+)，再由x∈［0，π］，可得≤x+≤，y∈［,］.
答案:B
4.2sin55°cos35°=_________________；
sin75°-sin15°=___________________.
解析：2sin55°cos35°=sin（55°+35°)+sin（55°-35°)=1+sin20°,
sin75°-sin15°=2cos
=2cos45°sin30°=.
答案:1+sin20°
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.有下列关系式：①sin5θ+sin3θ=2sin8θcos2θ；
②cos3θ-cos5θ=-2sin4θsinθ；③sin3θ-sin5θ=cos4θcosθ；
④sin5θ+cos3θ=2sin4θcosθ；⑤sinxsiny=［cos（x-y）-cos（x+y）］.
其中正确等式的个数是（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①②③④均不正确，⑤正确.
答案:B
2.若cos（α+β）cos（α-β）=，则cos2α-sin2β等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析：cos（α+β)cos（α-β)=（cos2α+cos2β)
=［（2cos2α-1)+（1-2sin2β)］
=cos2α-sin2β，∴cos2α-sin2β=.
答案:C
3.化简：的结果为(
)
A.tan
B.tan2x
C.tanx
D.-tanx
解析：原式==-tanx.
答案:D
4.函数y=sin（x-）cosx的最小值是_____________.
解析：y=sin（x)cosx
=［sin（2x)+sin（)］
=［sin（2x)］
=sin（2x)-，
当sin（2x)=-1时，y取得最小值.
答案:
5.化简：.
解：原式=
=csc5Asin3A.
6.求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.
解：原式=+sin20°cos50°
=1（cos40°-cos100°)+［sin70°+sin（-30°)］
=1·（-2)sin70°sin（-30°)+sin70°-
=1sin70°+sin70°-=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.(2006山东济南统考，2)（sin75°-sin15°）（cos15°+cos75°）的值是（
）
A.
B.
C.
D.1
提示：利用和差化积公式；还可利用诱导公式及二倍角余弦公式等.
答案:B
2.如果，那么等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：.
答案:B
3.直角三角形中两锐角为A和B，则sinAsinB（
）
A.有最大值和最小值0
B.有最大值但无最小值
C.既无最大值也无最小值
D.有最大值1但无最小值
解析：因为A+B=，sinAsinB=［cos（A-B)-cos（A+B)］=cos（A-B).
又＜A-B＜，而0＜cos（A-B)≤1，
故sinAsinB有最大值无最小值.
答案:B
4.化简cos+cos+cos所得结果为（
）
A.sin
B.sin
C.
D.
解析：原式=
=.
答案:C
5.已知α-β=且cosα-cosβ=，则cos（α+β）等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由cosα-cosβ=，得
-2sin
·sin
=，
即sin
=，
∴cos（α+β)=1-2sin2
=1-2×（)2=.
答案:C
6.cos20°+cos60°+cos100°+cos140°的值为_________________.
解析：cos20°+cos60°+cos100°+cos140°
=cos20°++2cos120°cos20°
=cos20°+-cos20°=.
答案:
7.若cos2α-cos2β=m，则sin（α+β）·sin（α-β）=________________.
解析：sin（α+β)·sin（α-β)=［cos2α-cos2β］
=［（2cos2α-1)-（2cos2β-1)］=cos2β-cos2α=-m.
答案:-m
8.若x为锐角三角形的内角，则函数y=sin(x+)+sinx的值域为______________.
解析：y=2sin(x+)cos=sin(x+)，
由条件知＜x+＜，
所以＜sin(x+)≤1.
所以y∈(,］.
答案:(,］
9.已知cosα=cosβ·cosA，求证：tan2=tan·tan.
证法一：欲证tan2
=tan·tan，
只需证
cosA=
cosAcosβ=cosα.故原式成立.
证法二：∵tan
·tan
=
，∴原式成立.
10.化简:cos2α+cos2（α+β）-2cos
α
cos
β
cos（α+β）-sin2β.
解：原式=cos2α+cos（α+β)［cos（α+β)-2cosαcosβ］-sin2β
=cos2α+cos（α+β)（-cosαcosβ-sinαsinβ)-sin2β
=-cos（α+β)cos（α-β)-
=（cos2α+cos2β)
（cos2α+cos2β)=0.2.4.2
向量在物理中的应用
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列各量中是向量的是（
）
A.密度
B.体积
C.电流强度
D.重力
解析：利用物理定义及向量的定义.
答案：D
2.已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力大小为10
N，合力与F1的夹角为60°，则F1的大小为（
）
A.N
B.5
N
C.10
N
D.N
解析：|F1|=|F|·cos60°=5.
答案：B
3.已知两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为va=(4，3)，vb=(3，4)，则va在vb上的正射影为_______________.
解析：由题知va与vb的夹角θ的余弦值为cosθ=.
∴va在vb上的正射影为|va|cosθ=5×=.
答案：
4.一条河的两岸平行，河的宽度d=500
m，一艘船从A处出发到河对岸(如图2-4-3).已知船的速度|v1|=10
km/h，水流速度|v2|=2
km/h，问行驶最短航程时，所用时间是多少 为什么
图2-4-3
解：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶的航程最短，所用时间最短.考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸，如下图.
|v|=≈9.8
km/h，θ=90°+arccos≈104°28′.
所以t=≈3.1
min.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.某人先位移向量a：“向东走3
km，”接着再位移向量b：“向北走3
km，”则a+b为（
）
A.向东南走
km
B.向东北走
km
C.向东南走
km
D.向东北走
km
解析：由图知|a+b|=km.
答案：B
2.在重600
N的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为(
)
A.
B.150，150
C.，300
D.300，
解析：作OACB，使∠AOC=30°，∠BOC=60°，
在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，
||=||cos30°=N,
||=||sin30°=300
N
||=||=300
N.
答案：C
3.一条渔船距对岸4
km，以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8
km，则河水的流速为（
）
A.
km/h
B.2
km/h
C.
km/h
D.3
km/h
解析：如图，设河水流速大小为v1，实际航向与水流方向的夹角为α，则sinα==，所以α=30°，v1=km/h，即水流速度大小为km/h.
答案：A
4.已知向量=(4，-5)，=(-7，9)分别表示两个力f1、f2，则f1+f2的大小为_____________.
解析：f1+f2=1+2=(-3，4)，
∴|f1+f2|==5.
答案：5
5.如图2-4-4,甲表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC的方向伸长了EO；图乙表示撤去F1和F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的直线方向伸长相同的长度.改变力F1与F2的大小和方向，重复以上实验，可以得到F与F1、F2的关系为________________.
图2-4-4
解析：由向量的加法可得F=F1+F2，如图，实验验证了向量加法在力的分解中的应用.
答案：F=F1+F2
6.一自行车以6
m/s的速度向北行驶，这时骑车人感觉风自正西方吹来，但站在地面上测得风自西偏南方向吹来，试求：
(1)风相对于车的速度；
(2)风相对于地面的速度.
解：按相对速度概念，作速度向量如图，已知|v车地|=6
m/s，方向为正北，v风车与v风地的夹角为.由此可知
(1)风相对于车(即人)的速度的大小为|v风车|=|v车地|cot=m/s.
(2)风相对于地面的速度大小为|v风地|==12
m/s.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.用力f推动一物体水平运动s
m，设f与水平面夹角为θ，则它所做的功是(
)
A.f·s·cosθ
B.f·s
C.-|f|·s·cosθ
D.|f||s|cosθ
解析：W=|f||s|cosθ.
答案：D
2.所受重力为G的物体用绳子缚着，某人手拉着绳子在水平地面上拖走.若物体与地面滑动系数U=，那么绳子与地面所成角θ=____________时，所用拉力最少.（
）
A.30°
B.60°
C.90°
D.45°
解析：Fcosθ=(G-Fsinθ)，F=，
∴当θ=30°时，F取最小值其最小值为.
答案：A
3.已知作用在坐标原点的一个力F1=(3，4)，F2=(2，-5)，F3=(3，1)，则作用在原点的合力F1+F2+F3的坐标为（
）
A.(4，0)
B.(8，0)
C.(0，8)
D.(6，2)
解析：F1+F2+F3=(3，4)+(2，-5)+(3，1)=(8，0).
答案：B
4.一架飞机向北飞行300
km后改变航向向西飞行300
km，则飞行路程为_____________，两次位移和的方向为_____________，大小为_____________.(
)
A.300
km，北偏东45°，km
B.600
km，南偏东45°，km
C.600
km，北偏西45°，
km
D.km，北偏东45°，300
km
解析：路程为300+300=600
km，可按平形四边形(如图)作出位移及方向，知||=km，而∠BAC=45°.
答案：C
5.在静水中划船速度为每分钟40
m，水流速度为每分钟20
m，如果船从岸边A处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，那么船应该沿上游与河岸夹角为___________的方向前进.（
）
A.30°
B.60°
C.90°
D.45°
解析：设水速对应向量，则||=20
m，静水中船速对应向量，则||=40
m，
而+=，由题意知△ADC为直角三角形，
sin∠DAC=.
∴∠DAC=30°.
∴船沿上游与河岸夹角为60°方向前进.
答案：B
6.(2006高考辽宁卷，12)设O(0，0)，A(1，0)，B(0，1)，点P是线段AB上的一个动点，=λ.若·≥?·,则实数λ的取值范围是（
）
A.≤λ≤1
B.≤λ≤1
C.≤λ≤
D.≤λ≤1+
解析：由=λ，可得P点坐标为(1-λ,λ)，若·≥·,可得(1-λ)×(-1)+λ≥λ(λ-1)+(-λ)(1-λ)，
即2λ2-4λ+1=0，得1-≤λ≤1+.
同时因为点P在线段AB上，所以0≤λ≤1.所以1-≤λ≤1.
答案：B
7.用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10
N，则每根绳子的拉力大小为_______________.
解析：由题意，知∠AOB=∠COB=60°，||=10，||=||=10.
答案：10
N
8.质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为α，则斜面对于物体的摩擦力f的大小为______________
N.
解析：物体受三个力：重力g，斜面对物体的支持力p，摩擦力f.
由于物体静止，
∴ｗ+f+p=0，设垂直于斜面斜下方、大小为1
N的力为e1，沿斜面下降方向、大小为1
N的力为e2，以e1，e2为基底，写出涉及三个力的坐标，则p=(-p，0)，f=(0，f)，
G=(mgcosα，mgsinα),
ｗ+f+p=(mgcosα-p，mgsinα-f)=(0，0),
故mgsinα-f=0，f=mgsinα(N).
答案：mgsinα
9.如图2-4-5，用两根绳子把重10
kg的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°，∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小(忽略绳子的重量).
图2-4-5
解：设A、B处所受力分别为f1、f2，10
kg的重力用f表示，则f1+f2=f.以重力作用点C为f1、f2的始点作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则=f2，=f1，=f,
∠ECW=180°-150°=30°，∠FCW=180°-120°=60°，∠FCE=90°.
∴四边形CEWF为矩形.
∴||=||cos30°=10·=，||=||cos60°=10×=5.
∴A处所受力为
kg，B处所受力为5
kg.
10.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图2-4-6所示，一艘船从长江南岸A点出发，以
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2
km/h.
图2-4-6
(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示).
解：(1)如图所示，表示船速，表示水速，以AD、AB为邻边作ABCD，则表示船实际航行的速度.
(2)在Rt△ABC中，||=2，||=，
∴||==4.
∵tan∠CAB=.
∴∠CAB=60°.
11.在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗 并请同学们思考下面的问题：
(1)θ为何值时，|F1|最小，最小值是多少
(2)θ为何值时，|F1|=|G|
(3)如果|F|=588
N，|G|=882
N，θ在什么范围时，绳子才不会断
解：如图，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道|F|=.
通过上面的式子，我们发现：当θ由0°到180°逐渐增大时，由0°到90°逐渐变大，cos的值由大逐渐变小，因此F由小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.
由三角函数及表达式得：(1)θ=0时，|F1|最小，这时|F1|=；
(2)θ=120°时，|F1|=|G|；(3)0°≤θ＜82°.1.2.3
同角三角函数的基本关系式
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知sinα=,α∈（0,π），则tanα的值等于（
）
A.
B.
C.±
D.±
解析：由sin2α+cos2α=1，α∈（0,π），
∴cosα=±=±.
∴tanα==±.
答案：C
2.已知cosθ=，且＜θ＜2π，那么的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由sin2θ+cos2θ=1，得sinθ=±.
因为＜θ＜2π，故sinθ＜0,所以sinθ==,tanθ==.
答案：D
3.若tanα=t（t≠0），且sinα=，则α是（
）
A.第一、二象限角
B.第二、三象限角
C.第三、四象限角
D.第一、四象限角
解析：由tanα=得cosα=，所以cosα=＜0，故α是第二、三象限角.
答案：B
4.若tanα=2，则（1）cos2α=________________；（2）sin2α-cos2α=________________.
解析：（1）由题意和基本三角恒等式，列出方程组
由②得sinα=2cosα,代入①，整理得5cos2α=1，cos2α=.
（2）由（1）得sin2α=1-=,
所以sin2α-cos2α=-=.
答案：（1）
(2)
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知sinα=，并且α是第二象限角，那么tanα的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由sin2α+cos2α=1，α是第二象限角，得cosα=.
∴tanα==.
答案：B
2.如果角x的终边位于第二象限，则函数y=的值可化简为（
）
A.1
B.2
C.0
D.-1
解析：利用同角基本关系式sin2x+cos2x=1以及x属于第二象限，有y==1-1=0.
答案：C
3.如果角α满足关系式=1，则角α的终边位于（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：由已知条件有sinα|sinα|-cosα|cosα|=1，故sinα＞0且cosα＜0.所以α属于第二象限.
答案：B
4.化简得到的结果是___________________.
解析：因为＜＜π，所以是第二象限角,cos＜0,
所以=｜cos｜=-cos.
答案：-cos
5.已知2sinα-cosα=sinα，那么cosα=_________________.
解析：由2sinα-cosα=sinα，得（2-）sinα=cosα，sinα=（2+）cosα，由sin2α+cos2α=1，得（2+）2cos2α+cos2α=1，解之,得cosα=±.
答案：±
6.化简:.
解：原式=［］·［］
=（）·（）=
=
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.设sin=，且α是第二象限角，则tan等于（
）
A.
B.
C.±
D.±
解析：∵α是第二象限角，∴2kπ+＜α＜2kπ+π（k∈Z），kπ+＜＜kπ+（k∈Z）.∴是第一、三象限角.而sin=＞0，∴是第一象限角，由sin2+cos2=1，得cos=，∴tan.
答案：A
2.已知tanx=，其中0＜a＜1，x是三角形的一个内角，则cosx的值为（
）
A.
B.
C.
D.±
解析：∵0＜a＜1,∴＜0.∴x是第二、四象限角.又x是三角形的一个内角,
∴x是第二象限角.由题意和基本三角恒等式，得到方程组
解得cos2x=（）2，∴cosx=.
答案：C
3.如果tanθ=2，那么sin2θ+sinθ·cosθ+cos2θ的值是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由题意和基本三角恒等式，得到方程组
∴cos2θ=.
∴sin2θ+sinθ·cosθ+cos2θ=1+2cos2θ=.
答案：B
4.如果sinα+cosα=1，则sinnx+cosnx（n∈Z）的值为（
）
A.-1
B.1
C.1或-1
D.2
解析：由sinα+cosα=1，则（sinα+cosα）2=1，故sinαcosα=0.若sinα=0，则cosα=1.这时sinnα+cosnα=1；若cosα=0，则sinα=1，这时也有sinnα+cosnα=1.
答案：B
5.若｜sinθ｜=，＜θ＜5π，则tanθ的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：因为＜θ＜5π，即4π+＜θ＜4π+π,所以θ是第二象限角，sinθ=.所以cosθ=,tanθ=,应选C项.
答案：C
6.化简的值为（
）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解析：原式=
=-1.
答案：B
7.已知=2，则（cosθ+3）·（sinθ+1）的值为（
）
A.4
B.0
C.2
D.0或4
解析：由=2得1-cos2θ+4=2cosθ+2,整理得cos2θ+2cosθ-3=0，解得cosθ=1或cosθ=-3（舍去），所以sinθ=±=0.所以（cosθ+3）·（sinθ+1）=4.
答案：A
8.(2006高考重庆卷,文13)已知sinα=＜α＜π，则tanα=_______________.
解析：由sinα=，＜α＜π可得cosα=，tanα=-2.
答案：-2
9.已知sinθ+cosθ=,θ∈（0，π），则cotθ的值是_____________.
解析：因为sinθ+cosθ=，两边平方，得1+2sinθ·cosθ=，所以2sinθ·cosθ=.
①
因为θ∈（0，π），所以cosθ＜0＜sinθ.由于（sinθ-cosθ）2=1-2sinθ·cosθ=，所以sinθ-cosθ=.②
联立①②，解得sinθ=，cosθ=，所以cotθ=.
答案：
10.（1）已知sinθ=，求的值.
（2）已知5sinθ+12cosθ=0，求的值.
解：（1）原式=
=.
（2）由5sinθ+12cosθ=0，得tanθ=＜0，故θ角在第二或第四象限，当θ在第二象限时，cosθ=，当θ在第四象限时，cosθ=，
∴原式=.
11.若tanα、tanβ是方程x2-2（log872+log972）x-log872·log972=0的两个根，
求sinα·cosβ+cosα·sinβ+2sinα·sinβ的值.
解：由定理得
而log872+log972=
=log872·log972.
所以tanα+tanβ=2log872·log972.
所以sinα·cosβ+cosα·sinβ+2sinα·sinβ
=cosα·sinβ（tanα+tanβ+2tanα·tanβ）
=cosα·sinβ（2log872·log972-2log872·log972）=0.2.1.5
向量共线的条件与轴上向量坐标运算
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.以下选项中，a与b不一定共线的是（
）
A.a=5e1-e2，b=2e2-10e1
B.a=4e1e2，b=e1e2
C.a=e1-2e2，b=e2-2e1
D.a=3e1-3e2，b=-2e1+2e2
解析：对于A，b=-2a；对于B，a=4b；对于D，a=b.
答案：C
2.下列各命题中，正确命题的个数是（
）
①向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上
②两非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
③四边形ABCD是平行四边形的条件是=
④已知λ、ω∈R，λ≠ω，则(λ+ω)a与a共线
A.2
B.3
C.4
D.1
答案：A
3.长度相等的三个非零向量，，满足++=0，则由A、B、C三点构成的三角形ABC是_____________三角形.
解析：以OA，OB为邻边作菱形OAFB，
则+=，
∴+=0，=-.
∴O、F、C共线.∵菱形OAFB，
∴OE即CE垂直平分AB.∴CA=CB.
同理,AB=AC，
∴△ABC为等边三角形.
答案：等边
4.已知数轴上两点A，B坐标分别是-8，-3，则的坐标为___________________,长度为________________.
解析：=(-3)-(-8)=5；||=|5|=5.
答案：5
5
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知p、q、r是两两不共线的非零向量，且p+q与r共线，q+r与p共线.以下结论错误的是（
）
A.p+r与q也一定共线
B.p、q、r之和恰好为零向量
C.p+r与2q也一定共线
D.p、r、2q之和恰好为零向量
解析：依题意，设p+q=λr，q+r=μp，两式相减得p-r=λr-μp，移项整理得
(1+μ)p+(-1-λ)r=0.又由于p与r不共线，故1+μ=-1-λ=0.∴μ=λ=-1.
∴p+q+r=0，p+2q+r=q≠0.故选D.
答案：D
2.已知e1≠0，λ∈R，a=e1+λe2，b=2e1，若a∥b，则(
)
A.λ=0
B.e2=0
C.e1∥e2
D.e1∥e2或λ=0
解析：∵a∥b，
∴存在实数k，使得a=kb，
即(2k-1)e1=λe2，
∵e1≠0，∴若2k-1=0，则λ=0或e2=0；
若2k-1≠0，e1=e2，此时e1∥e2，而0与任何一个向量平行，∴e1∥e2或λ=0，
∴应选D.
答案：D
3.若e是a的单位向量，b与e方向相反，且|b|=3，又|a|=4，则a=___________b.（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由题知b=-3e，又a=4e，∴a=.
答案：D
4.已知向量i和j不共线，实数λ和μ满足等式3λi+(10-μ)j=2λj+(4μ+7)i，则λ的值为______________，μ的值为______________.
解析：i与j不共线，可以以i和j为一组基底，
由向量基本定理得
∴
答案：
5.在数轴x上，已知=-3e(e为x轴上的单位向量)，且B的坐标为3，则向量的坐标为______________.
解析：A点坐标为-3，则AB=3-(-3)=6，即的坐标为6.
答案：6
6.如图2-1-22所示，已知平面五边形ABCDE中的四边AB，BC，CD，DE的中点依次是M，P，N，Q，且线段MN，PQ的中点为K，T，试判断四边形AETK的形状.
图2-1-22
证明：∵M，P，N，Q，K，T分别是AB，BC，CD，DE，MN，PQ的中点，
∴+=0，+=0，+=0，+=0，+=0，+=0，据向量加法法则，得=++++.
①
=+++.
②
=+++.
③
=+++.
④
由①+②+③+④，得4=.
∴KT∥AE，KT≠AE.
∴四边形AETK为梯形.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.e为x轴上一单位向量，若=-2e，且知B点坐标为3，则A点坐标为____________，此时AB中点坐标为____________.(
)
A.2，1
B.5，4
C.4，5
D.1，-2
解析：由题意知，AB=-2=3-xA，∴xA=5，线段AB中点的坐标为=4.
答案：B
2.(2006浙江金华十校联考，6)设a，b是两个非零向量，若8a-kb与-ka+b共线，则实数k的值为(
)
A.
B.
C.±
D.8
解析：因为8a-kb与-ka+b共线，所以有解之得k=±.
答案：C
3.若点M是△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是(
)
A.++
B.++
C.++
D.3+
解析：设D，E，F分别为各边的中点，==·(+)=(+)，同理，=(+)，=(+)，++=0，∴应选C.
答案：C
4.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ()，λ∈［0，+∞)?，则P的轨迹一定通过△ABC的(
)
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
解析：为上的单位向量，设为e1，为上的单位向量，设为e2，则e1+e2的方向为∠BAC的角平分线的方向.又λ∈［0，+∞），
∴λ(e1+e2)的方向与e1+e2方向相同，而由题意=λ(e1+e2)，∴P在上移动.
∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.
答案：B
5.(2006甘肃兰州模拟,6)设a，b为不共线向量，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，则下列关系式中正确的是（
）
A.=
B.=2
C.=-
D.=-2
解析：=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2.
答案：B
6.已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式+2=+2，则四边形ABCD的形状为______________.
解析：由+2=+2知-=2(-)，∴=2.
∴四边形ABCD中，AB∥CD且||≠||.
∴四边形ABCD为梯形.
答案：梯形
7.设e1，e2不共线，b=e1+λe2与a=2e1-e2共线，则实数λ的值为______________.
解析：设a=kb，即2e1-e2=ke1+kλe2，∵e1，e2不共线，∴
∴λ=.
答案：
8.下面给出三个命题：①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行
②向量a与b共线，则存在唯一实数λ，使a=λb
③若a=λb，则a与b共线
填上正确的序号：______________.
解析：①a与b所在直线有可能在一条直线上；②若b=0，λb=0，∴λ可取任意实数；③正确.
答案：③
9.如图2-1-23，已知△OAB中，点C是以A为中心的B的对称点，点D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设=a，=b.
图2-1-23
(1)用a和b表示向量、；
(2)若=λ，求实数λ的值.
解：(1)依题意，A是BC的中点，∴2=+，即=2-=2a-b，
=-==2a-b-b=2a-b.
(2)设=λ，则=-=λa-(2a-b)=(λ-2)a+b.
∵与共线，
∴存在实数k，使=k，(λ-2)a+b=k(2a-b)，解得λ=.
快乐时光
放学回家，一对双胞胎兄弟兴奋地告诉母亲：“妈妈，今天我们全班同学要选一位美丽的母亲，结果你当选了.”母亲很高兴，问怎么会当选的.双胞胎兄弟说：“同学们都投自己妈妈的票，我们有两票，所以你当选了！”1.2.1
三角函数的定义
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知角α终边经过点P（,），则sinα+tanα等于（
）
A.+
B.+
C.+
D.
解析：由三角函数定义,知x=，y=，
∴r=OP==1.
∴sinα==，tanα=，sinα+tanα=+.
答案：B
2.角α的正割secα=_______________=_______________；
角α的余割cscα=_______________=_______________.
解析：由定义，secα=，
cscα=.
答案：
3.在空格内填上符号+、-.
函数
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
Sinα
Cosα
Tanα
解析：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以确定三角函数的符号.
答案：sinα：+
+
-
-
cosα：+
-
-
+
tanα：+
-
+
-
4.角α的终边上有一点P（m，m）（m∈R，且m≠0），则sinα的值是_____________.
解析：因为x=m，y=m，所以r=OP=±m.所以sinα==±=±.
答案：±
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知点P（4，-3）是角α终边上一点，则下列三角函数值中正确的是（
）
A.tanα=
B.cotα=
C.sinα=
D.cosα=
解析：由三角函数的定义，知x=4，y=-3，r=5，所以sinα==,cosα==,tanα=,
cotα=.
答案：B
2.如果cosα=，则下列是角α终边上的一点的是（
）
A.P（1，）
B.P（，1）
C.P（，-1）
D.P（-1，）
解析：由余弦函数的定义cosα=及cosα=，知x＜0，淘汰A、C，再检验选项B、D，知D项正确.
答案：D
3.已知点P在角α的终边上且|OP|=1，则点P的坐标是（
）
A.（，）
B.（，）
C.（，）
D.（cosα，sinα）
解析：由三角函数定义及|OP|==1，得cosα=x，sinα=y.∴P点坐标为（cosα，sinα）.
答案：D
4.如果sinα＜0且cosα＜0，则角α是（
）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析：由sinα＜0，则α终边位于第三象限或第四象限或y轴的负半轴上.由cosα＜0，则α终边位于第二象限或第三象限或x轴的负半轴上.所以角α的终边只能位于第三象限.
答案：C
5.函数y=的定义域是___________________.
解析：依题意，得
故x的范围是2kπ+≤x≤2kπ+π（k∈Z）.
答案：［2kπ+，2kπ+π］（k∈Z）
6.若角α的终边落在直线y=-3x上，求cosα、sinα、tanα的值.
解：设直线y=-3x上任意一点（x，-3x）（x≠0），当x＞0时，r=，∴cosα==,sinα=,tanα=；
当x＜0时，r=，
∴cosα=,sinα=,tanα==-3.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若cosθ＞0，sinθcosθ＜0,则角θ的终边所在象限是（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：由cosθ＞0和sinθcosθ＜0，知sinθ＜0，所以θ为第四象限角.
答案：D
2.设θ是第二象限角，则必有（
）
A.tan＞cot
B.tan＜cot
C.sin＞cos
D.sin＜cos
解析：∵θ是第二象限角，故有2kπ+＜θ＜2kπ+π，k∈Z，
∴kπ+＜＜kπ+（k∈Z）.
当k=2n（n∈Z）时，2nπ+＜＜2nπ+；
当k=2n+1（n∈Z）时，2nπ+＜＜2nπ+.
可知在单位圆中的范围如下图中阴影部分所示，不难知tan＞cot.
答案：A
3.若＞1，则α在（
）
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第三、四象限
D.第一、二象限
解析：由＞1，则sin2α＜0，
∴2kπ+π＜2α＜2kπ+2π，k∈Z.
∴kπ+＜α＜kπ+π，k∈Z.
当k=2n时，2nπ+＜α＜2nπ+π，k∈Z；
当k=2n+1时，2nπ+＜α＜2nπ+2π，k∈Z.∴α为第二、第四象限角.
答案：B
4.若θ为第一象限角，则能确定为正值的是（
）
A.sin
B.cos
C.tan
D.cos2θ
解析：∵2kπ＜θ＜2kπ+（k∈Z），
∴kπ＜＜kπ+（k∈Z），4kπ＜2θ＜4kπ+π（k∈Z）.
可知是第一、第三象限角，sin、cos都可能取负值，只有tan能确定为正值.
2θ是第一、第二象限角，cos2θ可能取负值.
答案：C
5.(2006福建质检题,8)在△ABC中，下列结论正确的是（
）
A.若∠A为锐角，则sinA＞0
B.若sinA＞0，则∠A为锐角
C.∠A为锐角sinA＞0
D.“∠A为锐角”与“sinA＞0”不能相互推导
解析：∠A为锐角时一定有sinA＞0；sinA＞0时∠A不一定为锐角,∠A还可为直角或钝角.
答案：A
6.已知A为锐角，lg（1+cosA）=m，=n，则lgsinA的值为（
）
A.m+
B.m-n
C.（m+）
D.（m-n）
解析：两式相减得lg（1+cosA）-lg=m-nlg［（1+cosA）（1-cosA）］=m-nlgsin2A=m-n，
∵A为锐角，∴sinA＞0.
∴2lgsinA=m-n.∴lgsinA=.
答案：D
7.若点P（2m，-3m）（m＜0）在角α的终边上，则sinα=_____________，cosα=_____________，tanα=_____________，secα=_____________，cscα=_____________，cotα=_____________.
解析：因为点P（2m，-3m）（m＜0）在第二象限，且r=，
所以，sinα=,cosα=,
tanα=,
cscα=，cotα=.
答案：
8.sin0°+cos90°+tan180°+cot270°+2
006cos0°+2tan45°=___________________.
解析：原式=0+0+0+0+2
006×1+2=2
008.
答案：2
008
9.已知α是第三象限角，则sin（cosα）·cos（sinα）_____________0.
解析：因为α是第三象限角，∴-1＜cosα＜0，-1＜sinα＜0.∴sin（cosα）＜0，cos（sinα）＞0.
∴sin（cosα）·cos（sinα）＜0.
答案：＜
10.已知角α的终边上一点P的坐标为（，y）（y≠0），且sinα=y，求cosα、tanα的值.
解：由r2=x2+y2=3+y2，得r=，由三角函数的定义，得
sinα=，∴y=±.
∴cosα=，tanα=.
11.证明恒等式.
证明：设M（x，y）为角α终边上异于原点的一点，|OM|=r，由三角函数的定义有sinα=，cosα=，secα=，cscα=.
∴左边=
=1+1=2=右边.∴原等式成立.2.3.2
向量数量积的运算律
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.有下面四个关系式：①0·0=0；②(a·b)c=a(b·c)；③a·b=b·a；④0a=0.其中正确的个数是
…（
）
A.4
B.3
C.2
D.1
解析：只有③是正确的.①错，因为数量积的结果是数量而不是向量；②错，因为数量积不满足结合律；④错，因为实数与向量的积结果应是向量.
答案：D
2.已知e1和e2是两个单位向量，夹角为，则下面的向量中与2e2-e1垂直的是（
）
A.e1+e2
B.e1-e2
C.e1
D.e2
解析：依题意，|e1|2=|e2|2=1，θ=，
∴e1·e2=|e1||e2|cosθ=.对于A，(e1+e2)·(2e2-e1)=2e22-e12+e1·e2=；
对于B，(e1-e2)·(2e2-e1)=-2e22-e12+3e1·e2=；对于C，e1·(2e2-e1)=
2e1·e2-e12=0；对于D，e2·(2e2-e1)=2e22-e1·e2=.
∴e1⊥(2e2-e1).
答案：C
3.已知|a|=|b|=5，向量a与b的夹角为，则|a+b|、|a-b|的值分别为___________、___________.
解析：依题意得a2=|a|2=25，b2=|b|2=25.
a·b=|a||b|cosθ=5×5×cos=.
∴|a+b|=.
同理,|a-b|==5.
答案：
5
4.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60°，则(a+2b)·(a-3b)=
___________.
解：(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2
=|a|2-|a||b|cosθ-6|b|2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.
答案：-72
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.关于向量a、b，下列命题中正确的是（
）
A.a-b=a+(-b)
B.a-a=0
C.|a-b|＞|a|-|b|
D.a∥b存在唯一的λ∈R，使b=λa
解析：向量的和与差仍是向量，因此B是错误的，应改为a-a=0.根据向量减法的三角形法则，当非零向量a与b不共线时，|a-b|＞|a|-|b|；
当a与b同向或a，b中有一个为0时，|a-b|=||a|-|b||，因此C不正确；D是在判断两向量平行时最常见的错误，它成立的前提是a≠0.
答案：A
2.向量m和n满足|m|=1，|n|=2，且m⊥(m-n)，则m与n夹角的大小为（
）
A.30°
B.45°
C.75°
D.135°
解析：设m与n夹角为θ，则由m⊥(m-n)，知m·(m-n)=0，m2-m·n=0，
∴m·n=m2=|m|2=1.
∴cosθ=.∴θ=45°.
答案：B
3.已知非零向量a、b、c两两夹角相等，且|a|=|b|=|c|=1，则|a+b+c|等于（
）
A.0
B.1
C.3
D.0或3
解析：a、b、c两两夹角相等有两种情形：夹角为0°(即三个向量同向)和夹角为120°.
答案：D
4.若向量a、b、c满足a+b+c=0，且|a|=3，|b|=1，|c|=4，则a·b+b·c+c·a=___________.
解析：解法一：根据已知条件，知|c|=|a|+|b|，c=-a-b，从而可知a与b同向，c与a、b反向.
所以有a·b+b·c+c·a=3×1×cos0°+1×4×cosπ+4×3×cosπ=3-4-12=-13.
解法二：因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)，
所以a·b+b·c+c·a==
=-13.
答案：-13
5.已知|a|=4，|b|=5，且a，b夹角为60°.
求值：(1)a2-b2；
(2)(2a+3b)·(3a-2b).
解：(1)a2-b2=|a|2-|b|2=42-52=-9;
(2)(2a+3b)·(3a-2b)=6a2+5a·b-6b2=6×16+5×4×5cos60°-6×25=-4.
6.在△ABC中，若·=·=·，那么点O是△ABC的什么特殊点？
解：如图，由·=·,得·(-)=0，·=0.
∴⊥即OB⊥CA.同理,OC⊥AB.
⊥BC.∴O为△ABC的垂心.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.以下等式中恒成立的有（
）
①|a·b|=|a||b|
②(a·b)2=a2·b2
③|a|=
④a2-2b2=(a-b)·(a+b)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：对于①，|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|，仅当θ=0°或180°时或b=0或a=0时等号成立；对于②，实质上是依据乘法结合律进行的变形，对于向量的内积运算不适用；③和④均符合运算法则，故只有③④正确.
答案：B
2.若a+b=c，a-b=d，且c⊥d，则一定有(
)
A.a=b
B.|a|=|b|
C.a⊥b
D.|a|=|b|且a⊥b
解析：∵c⊥d，∴(a+b)·(a-b)=0.∴a2-b2=0,即|a|=|b|，故应选B.
答案：B
3.(2006高考浙江卷，文2)设向量a，b，c满足a+b+c=0，a⊥b，|a|=1，|b|=2，则|c|2等于(
)
A.1
B.2
C.4
D.5
解析：|c|2=|a+b|2=a2+b2+2a·b=|a|2+|b|2=5.
答案：D
4.已知a，b是非零向量，满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是(
)
A.
B.
C.
D.
解析：由(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，
∴a·(a-2b)=0，b·(b-2a)=0.
∴a2=2a·b，b2=2a·b.
∴2|a||b|cosθ=|a|2=|b|2.
cosθ=，∴θ=.
答案：B
5.在菱形ABCD(如图2-3-1)中，下列关系式不正确的是（
）
图2-3-1
A.∥
B.(+)⊥(+)
C.(-)·(-)=0
D.·=·
解析：A显然正确；
B：+=，+=，∵菱形对角线垂直，∴⊥.∴B正确;
C：-=，-=，同B一样，正确.
D：·=||||cos∠BAD，=||||cos(π-∠BAD)=-||||cos
∠BAD=-||||.
∴D错误.
答案：D
6.A、B、C、D为平面上四个互异点，且满足(+-2)·(-)=0，则△ABC的形状是(
)
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
解析：由(+-2)·(-)=0，
知［(-)+(
-)］·(-)=0，
(+)·(-)=0，即2=2.
∴||=||.
答案：B
7.已知：a·b=，|a|=4，则b在a方向上的射影数量为_____________.
解析：|a||b|cos〈a，b〉=，又|a|=4，
∴|b|cos〈a，b〉=.
答案：
8.设O、A、B、C为平面上的四个点，=a，=b，=c，且a+b+c=0，a·b=b·c=c·a=-1，则|a|+|b|+|c|=_____________.
解析：∵a·(a+b+c)=a·0=0，a·a+a·b+a·c=0，a·a-1-1=0，
∴|a|=.同理|b|=|c|=，即|a|+|b|+|c|=.
答案：
9.已知|a|=4，|b|=3，a与b的夹角为120°，且c=a+2b，d=2a+kb，问当k取何实数时，
(1)c⊥d；
(2)c∥d
解：设c与d的夹角为θ，则由已知得c·d=(a+2b)·(2a+kb)=2a2+(4+k)a·b+2kb2
=2×42+(4+k)×4×3×cos120°+2k·32=8+12k，
|c|=|a+2b|=，
|d|=|2a+kb|=
.
∴cosθ=.
(1)要使c⊥d，只要cosθ=0，即6k+4=0.
∴k=.
(2)要使c∥d，只要cosθ=±1，即=±(6k+4)，解得k=4.
综上，当k=时，c⊥d；当k=4时，c∥d.
10.已知a，b为非零向量，当a+tb(t∈R)的模取到最小值时,
(1)求t的值；
(2)已知a与b共线同向，求证：b⊥(a+tb).
(1)解：令m=|a+tb|，θ为a，b的夹角，则m2=|a|2+2ta·b+t2|b|2
=t2|b|2+2t|a||b|cosθ+|a|2=|b|2(t+cosθ)2+|a|2sin2θ，
∴当t=cosθ时，|a+tb|有最小值|a|sinθ.
(2)证明：∵a与b共线且同向，故cosθ=1，
∴t=.
∴b·(a+tb)=a·b+t|b|2=|a||b|-|a||b|=0.∴b⊥(a+tb).
11.设a⊥b，且|a|=2，|b|=1，又k，t是两个不同时为零的实数，
(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直，求k关于t的函数关系式k=f(t)；
(2)求出函数k=f(t)的最小值.
解：(1)∵a⊥b，∴a·b=0.又x⊥y，
∴x·y=0，即［a+(t-3)b］·(-ka+tb)=0.
-ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0，∵|a|=2，|b|=1，∴-4k+t2-3t=0，即k=(t2-3t).
(2)由(1)知k=(t2-3t)=(t-)2-，即函数最小值为-.3.2.1
倍角公式
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.cos4-sin4等于（
）
A.0
B.
C.1
D.
解析：cos4-sin4=（cos2+sin2).（cos2-sin2)=cos=.
答案:B
2.已知sin=，cos=，则α所在的象限是（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：由sin=，cos=得
sinα=2sincos=＜0，
cosα=cos2-sin2=（)2-（)2=＜0，
∴α为第三象限角.
答案:C
3.(2006高考全国卷Ⅱ，2)函数y=sin2xcos2x的最小正周期是（
）
A.2π
B.4π
C.
D.
解析：y=sin4x,最小正周期T=.
答案:D
4.cos·sin=___________，cos2-sin2=___________，=____________.
解析：cos·sin=·2sincos=sin=；
cos2v-sin2v=cos（2×)=cos=；
.
答案:
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.cos2α=时，sin4α+cos4α的值是（
）
A.1
B.
C.
D.
解析：由cos2α=,得sin22α=.
∴sin4α+cos4α=（sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α
=1sin22α=1-×=.
答案:C
2.已知sinα+cosα=，则tanα的值为（
）
A.
B.
C.或
D.不确定
解析：由sinα+cosα=，平方得1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=.
∴（sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=.
∴sinα-cosα=±.
由
∴tanα=.
由
∴tanα=.
答案:C
3.函数f（x）=cos2x-sinxcosx的最小正周期是____________.
解析：f（x)=cos2x-sin2x=2cos（2x+)，
∴T==π.
答案:π
4.化简：.
解：
=-(sin4+cos4)-2cos4=-sin4-3cos4.
5.已知函数f（x）=cos2x-2sinxcosx-sin2x，
(1)求f（x）的最小正周期；(2)求f（x）的最大值、最小值.
解：f（x)=cos2x-2sinxcosx-sin2x=cos2x-sin2x=2cos（2x+)，
∴T=π，f（x)max=2，f（x)min=-2.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是(
)
A.{x|2kπ＜x＜2kπ+，k∈Z}
B.{x|2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z}
C.{x|kπ＜x＜kπ+，k∈Z}
D.{x|kπ+＜x＜kπ+，k∈Z}
解析：由已知cos2x-sin2x＜0，cos2x＜0，于是2kπ+＜2x＜2kπ+（k∈Z).
∴kπ+＜x＜kπ+（k∈Z).
答案:D
2.若sinα=，α∈（，π），则tan2α的值为(
)
A.
B.
C.
D.
解析：由已知可得cosα=，则tanα==，
tan2α=.
答案:B
3.函数y=2sinx（sinx+cosx）的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.2
解析：y=2sinx（sinx+cosx)=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=sin2x-cos2x+1
=sin（2x-)+1，
∴y的最大值为2+1.
答案:A
4.(2005高考全国卷Ⅱ,理7)锐角三角形的内角A、B满足tanA-=tanB，则有（
）
A.sin2A-cosB=0
B.sin2A+cosB=0
C.sin2A-sinB=0
D.sin2A+sinB=0
解析：由tanA-=tanB得-=tanB，
∴
=tanB.
∴
=tanB.
∴-cot2A=tanB.∴tan（2A-
)=tanB.
又A、B均为锐角，∴2A-
=B.
∴cos（2A-
)=cosB.∴sin2A=cosB.
∴sin2A-cosB=0.
答案:A
5.已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，则sin2θ=____________.
解析：由sin4θ+cos4θ=（sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1
sin22θ及已知条件可得1-
sin22θ=，得sin22θ=，即sin2θ=±.
又θ为第三象限角，故2kπ+π＜θ＜2kπ+（k∈Z)，
4kπ+2π＜2θ＜4kπ+3π（k∈Z)，
2（2k+1)π＜2θ＜2（2k+1)π+π（k∈Z).所以sin2θ＞0，
故sin2θ=.
答案：
6.(2006高考江苏卷，14)cot20°cos10°+sin10°tan70°-2cos40°=___________.
解析：原式=
cos10°+
sin10°
-2cos40°
=cos20°·
-2cos40°
=cos20°·
-2cos40°
=4cos220°-2cos40°
=2cos40°+2-2cos40°=2.
答案:2
7.已知=-5，则3cos2θ+sin2θ=______________.
解析：由=-5得
2sinθ+cosθ=-5sinθ+15cosθ，
∴7sinθ=14cosθ.∴tanθ=2.
∴3cos2θ+sin2θ=3（cos2θ-sin2θ)+2sinθcosθ
=
=-1.
答案:-1
8.求值：cos50°（-tan10°）.
解：原式=cos50°·（tan60°-tan10°)
=cos50°·（)
=cos50°·
=cos50°·=1.
9.(2006高考安徽卷，文17)已知α为锐角，且sinα=.
（1）求的值；
（2）求tan(α-)的值.
解:(1)∵α为锐角，且sinα=，
∴cosα==.
∴=20.
(2)∵tanα=，
∴tan(α-)=.
10.已知函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R，问：
（1）函数的最小正周期是多少
（2）函数的单调递增区间是什么
（3）函数的图象可由函数y=sin2x，x∈R的图象如何变换而得出
解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=（sin2x+cos2x)+2sinxcosx+（2cos2x-1)+1=2+sin2x+cos2x=2+sin（2x+).
（1)T==π.
（2)由+2kπ≤2x+≤+2kπ，得原函数的单调递增区间为
［+kπ，+kπ］(k∈Z).
（3)可由y=2sin2x，x∈R的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到.3.2.2
半角的正弦、余弦和正切
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知cosα=-cos2，则cos等于(
)
A.±
B.
C.
D.±
解析：由二倍角余弦公式，得3cos2=1，所以cos=±.
答案:A
2.若cosα=，则sin等于(
)
A.
B.
C.±
D.±
解析：sin=±=±或由1-2sin2=cosαsin=±.
答案:C
3.设α∈（π，2π），则等于（
）
A.sin
B.cos
C.-sin
D.-cos
解析：=｜cos｜，又α∈（π，2π)，
∴∈（，π).∴｜cos｜=-cos.
答案:D
4.已知sinθ=，θ为第三象限的角，则tan=______________.
解析：由条件，求得cosθ=，于是tan=-2.
答案:-2
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列各式与tanα相等的是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由于=tanα.
答案:D
2.设5π＜θ＜6π，cos=a，那么等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由于5π＜θ＜6π，
∴＜＜.
∴sin=.
答案:B
3.已知sinα=，且α为第三象限角，则tan等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由sinα=，且α为第三象限角，则cosα=，
所以tan.
答案:A
4.已知sin-cos=，450°＜α＜540°，则tan=______________.
解析：由sin-cos=，
∴（sin-cos)2=（)2,得sinα=.
又450°＜α＜540°，
∴cosα=.
∴tan=.
答案:2
5.若＜α＜2π，且cosα=，则的值是多少？
解析：∵＜α＜2π，∴＜＜π.又cosα=，
∴cos=.
∴=｜cos｜=-cos=.
答案:
6.已知tanα=a，求的值.
解：∵tan，
∴tanα=.
利用比例性质，
∴=tanα=a.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.设α∈（π，2π），则等于（
）
A.sin
B.cos
C.-sin
D.-cos
解析：∵α∈（π，2π)，∴∈（，π).
∴sin＞0.
∴=｜sin｜=sin.
答案:A
2.设＜α＜π，且cosα=a，则等于（
）
A.
B.
C.±
D.±
解析：sin=.
答案:B
3.化简等于（
）
A.tan2θ
B.cot4θ
C.tan4θ
D.cot2θ
解析：由tan=得
tan4θ=，
∴=tan4θ.
答案:C
4.若sinθ=，3π＜θ＜，则tan等于（
）
A.3
B.-3
C.
D.
解析：∵sinθ=，3π＜θ＜，
∴cosθ=-.∴＜＜.
∴tan=
答案:B
5.tan15°+cot15°等于(
)
A.2
B.
C.4
D.
解析：∵tan=，
∴原式=
答案:C
6.y=cos2x+cosxsinx的值域是_____________.
解析：y=cos2x+cosxsinx=sin2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+)+，
∴y∈［+，+］.
答案:［+，+］
7.已知sinα=，2π＜α＜3π，那么sin+cos=______________.
解析：（sin+cos)2=1+sinα=，
又2π＜α＜3π，
∴π＜＜.
∴sin+cos=.
答案:
8.已知α为三角形内角,sinα=,则cot=____________.
解析：由条件,得cosα=±,cot=.
答案:3或
9.化简：cos2A+cos2（-A）+cos2（+A）.
解：原式=
［cos2A+cos（-2A)+cos（+2A)］
=+［cos2A+coscos2A+sinsin2A+coscos2A-sinsin2A］
=+［cos2A+2coscos2A］
=+（cos2A-cos2A)=.
10.已知sin（+2α）·sin（-2α）=，α∈（，），求2sin2α+tanα--1的值.
解：由sin（+2α)·sin（-2α)=，
∴2sin（+2α)cos（+2α)=，
即sin（+4α)=.∴cos4α=.
而2sin2α+tanα--1
=-cos2α+=-（cos2α+).
∵α∈（，)，∴2α∈（，π).
∴cos2α=，
tan2α=.
∴-（cos2α+)=-（)=.2.4.1
向量在几何中的应用
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.在边长为1的等边△ABC中，若=a，=b，=c，则a·b+b·c+c·a等于（
）
A.
B.
C.3
D.0
解析：依题意，得a·b+b·c+c·a=3|a|2·cos120°=-.
答案：B
2.四边形ABCD中，若=，则四边形ABCD是（
）
A.平行四边形
B.梯形
C.菱形
D.矩形
解析：由=AB∥CD且AB≠CD，故四边形为梯形，选B.
答案：B
3.平面上不共线的三点A、B、C使得+所在的直线和-所在的直线恰好互相垂直，则△ABC必为_________________三角形.
解析：如图所示，作ABCD，易知+=，-=-=.依题意知BD与AC互相垂直，故ABCD为菱形，从而△ABC为等腰三角形，∠B为顶角.
答案：等腰
4.通过点A(3，2)且与直线l：4x-3y+9=0平行的直线方程为________________.
解：因向量(4，-3)与直线l垂直，所以向量n=(4，-3)与所求直线垂直.
设P(x，y)为所求直线上的一动点，则=(x-3，y-2)，点P在所求直线上.当且仅当n·=0，即4(x-3)+(-3)(y-2)=0时，化简得4x-3y-6=0.
答案：4x-3y-6=0
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.在△ABC中，有命题：
①-=；②++=0；③若(+)·(-)=0，则△ABC为等腰三角形；④若·＞0，则△ABC为锐角三角形.
上述命题正确的是（
）
A.①②
B.①④
C.②③
D.②③④
解析：对于①，应有-=，故①错;对于④，由·＞0有||||cosA＞0，
∴cosA＞0.∴A为锐角.但B或C是否为锐角，不能肯定，故④错.②③是正确的.
答案：C
2.设e是单位向量，=2e，=-2e，||=2，则四边形ABCD是（
）
A.梯形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
解析：由=2e，=-2e，得ABCD.故为平行四边形.又||=2，||=2，∴四边形ABCD为菱形.
答案：B
3.直线3x+2y-6=0与向量n=(-2，3)的位置关系为（
）
A.平行
B.相交
C.垂直
D.重合
解析：由题知n=(-2，3)是直线3x+2y-6=0的方向向量，所以选A.
答案：A
4.过点A(3，-2)垂直于向量n=(5，-3)的直线方程是_______________.
解析：设此直线方程为5x-3y+c=0，因为直线过A(3，-2)，
∴5×3-3×(-2)+c=0.∴c=-21，即直线方程为5x-3y-21=0.
答案：5x-3y-21=0
5.如图2-4-1，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.
图2-4-1
证明：设=a，=b，=e，=c，=d，
则a=e+c，b=e+d，
∴a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.
由已知a2-b2=c2-d2，∴c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,
∴e·(c-d)=0.
∵=+=d-c，
∴·=e·(d-c)=0.∴⊥，即AB⊥BC.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.在△AOB中，=(2cosα，2sinα)，=(5cosβ，5sinβ)，若·=-5，则S△AOB等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析：||=2，||=5，cosθ=，
∴θ=120°.
∴S△AOB=||·||sinθ=.
答案：D
2.在平面上有A、B、C三点，设m=+，n=-，若m与n的长度恰好相等，则有（
）
A.A、B、C三点必在同一条直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
解析：如图所示，作出ABCD，其中+=，-=-=.由于|m|=|n|，因此||=||，即ABCD的对角线AC与BD相等，故ABCD为矩形.所以△ABC为直角三角形，其中∠B=90°.
答案：C
3.和直线3x-4y+7=0平行的向量a及垂直的向量b分别是(
)
A.a=(3，4)，b=(3，-4)
B.a=(-3，4)，b=(4，-3)
C.a=(4，3)，b=(3，-4)
D.a=(-4，3)，b=(3，4)
解析：由课本例题结论可知与直线Ax+By+C=0垂直的向量为(A，B)，平行的向量为(-B，A).
答案：C
4.已知△ABC的三个顶点A，B，C和平面内一点P，且++=，则P与△ABC的位置关系是(
)
A.P在△ABC内部
B.P在△ABC外部
C.P在AB边上或其延长线上
D.P在AC边上
解析：∵++=，∴+=+=，即=2.
∴A，C，P三点共线，即P在边AC上.
答案：D
5.已知A(2，3)，B(3，4)，C(1，5)，则△ABC的重心G的坐标为(
)
A.(4，2)
B.(2，4)
C.(-4，2)
D.(-2，4)
解析：由三角形的重心坐标公式,得若G(x，y)，即G(2，4).
答案：B
6.已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°，CD=DA=AB，则AC与BC的位置关系是(
)
A.平行
B.垂直
C.共线
D.不确定
解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示，设AD=1，
则A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，1)，
∴=(-1，1)，=(1，1)，·=-1×1+1×1=0.
∴⊥,即BC⊥AC.
答案：B
7.(2006高考福建卷，理11)已知||=1，||=3，·=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°,设=m+n(m、n∈R)，则等于(
)
A.
B.3
C.
D.
解析：∵||=1，||=，·=0，
∴△ABC为直角三角形，其中AC=AB=.
=+=OA+=+
(-)==,
∴m=,n=,即=3.
答案：B
8.已知O(0，0)和A(6，3)两点，若点P在直线OA上，且，又P是线段OB的中点，则点B的坐标是______________.
解析：设D(x，y)，由定比分点公式x=，则P(2，1).又由中点坐标公式，可得B(4，2).
答案：(4，2)
9.在△ABC中，A(-1，2)，B(3，1)，C(2，-3)，则AC边上的高所在直线方程为____________.
解析：与AC边平行的向量为：=(3，-5)，设P(x，y)是所求直线上任意一点，=(x-3，y-1)，所以AC边上的高所在的直线方程为·(x-3，y-1)=0，即3x-5y-4=0.
答案：3x-5y-4=0
10.以原点O和A(4，2)为两顶点作等腰直角三角形OAB，∠OBA=90°，求点B的坐标和向量.
解：设B(x，y)，则=(x，y)，=(x-4，y-2)，∵∠OBA=90°，即⊥，·=0，
∴x(x-4)+y(y-2)=0，即x2+y2-4x-2y=0.
①
设OA的中点为C，则C(2，1)，=(2，1)，=(x-2，y-1)，
在等腰直角△ABC中，⊥，
∴2(x-2)+y-1=0，即2x+y-5=0.
②
联立①②解得
故B点的坐标为(1，3)或(3，-1)；
当B(1，3)时，=(-3，1);
当B(3，-1)时，=(-1，-3).
11.如图2-4-2，已知△ABC中，||=，||=4，||=，MN是以点A为圆心，为半径的圆的直径，求·的最大值、最小值，并指出取最大值、最小值时向量的方向.
图2-4-2
解：在△ABC中，
∵cosA=，
∴·=||||cosA=5.
∴·=(-)·(-)=(-)·(--)
=-||2+(-)·+·=3+·.
(1)当与同向时，·=·=6.此时·取最大值9.
(2)当与反向时，·=-6，此时·取最小值-3.1.1.2
弧度制和弧度制与角度制的换算
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列命题中，是假命题的为（
）
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.一度的角是周角的，一弧度的角是周角的
C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D.不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关
解析：由角和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关.
答案：D
2.把-300°化为弧度是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：-300°=-300×.
答案：B
3.把化成度是（
）
A.-960°
B.-480°
C.-120°
D.-60°
解析：×180°=-480°.
答案：B
4.将-1
485°表示成2kπ+α，k∈Z的形式（0≤α＜2π）为___________________.
解：∵-1
485°=-5×360°+315°,又315°=315×，
∴-1
485°=-10π+.
答案：-10π+
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知α=9
rad，β=10
rad，下面关于α和β的说法中正确的是（
）
A.都是第一象限角
B.都是第二象限角
C.分别是第二象限和第三象限角
D.分别是第三象限和第四象限角
解析一：由1
rad≈57°18′，故57°＜1
rad＜58°.所以513°＜9
rad＜522°，
即360°+153°＜9
rad＜360°+162°，因此9
rad
是第二象限角.同理,570°＜10
rad＜580°，360°+210°＜10
rad＜360°+220°.因此10
rad是第三象限角.
解析二：π≈3.14，=1.57，×5＜9＜3π，即9∈（2π+，2π+π），故α为第二象限角.同理,3π＜10＜3π+，β为第三象限角.
答案：C
2.在半径为2
cm的圆中，有一条弧长为cm，它所对的圆心角为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：设圆心角为θ，则θ=.
答案：A
3.终边与坐标轴重合的角α的集合是（
）
A.{α|α=2kπ，k∈Z}
B.{α|α=kπ，k∈Z}
C.{α|α=kπ+，k∈Z}
D.{α|α=，k∈Z}
解析：终边与x轴正半轴重合的角的集合为A={α|α=2kπ，k∈Z}，
终边与x轴负半轴重合的角的集合为B={α|α=2kπ+π，k∈Z}，
故终边与x轴重合的角的集合是C=A∪B={α|α=kπ，k∈Z}.
同理可得，终边与y轴重合的角的集合D={α|α=kπ+，k∈Z}.
故终边与坐标轴重合的角的集合是C∪D={α|α=，k∈Z}.
答案：D
4.集合A={α|α=2kπ+π，k∈Z}，B={α|α=（4k±1）π，k∈Z}，则集合A与B的关系是（
）
A.A=B
B.AB
C.AB
D.A≠B
解析：设α∈A，则α=2kπ+π，k∈Z.
若k为偶数，即k=2n，n∈Z，α=4nπ+π；
若k为奇数，即k=2n-1，n∈Z，α=4nπ-π.
故α∈B.所以AB.
设α∈B，则α=（4k+1）π或α=（4k-1）π，k∈Z.若α=（4k+1）π，则α=2（2k）π+π；
若α=（4k-1）π，则α=2（2k-1）π+π.故α∈A.所以BA.故A=B.
答案：A
5.一时钟分针长3
cm，经过20
min，分针外端点转过的弧长为___________________.
解析：分针转过的圆心角为α=·2π=，所以分针转过的弧长为l=α·r=·3=2π（cm）.
答案：2π
cm
6.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿.
（1）当大轮转一周时小轮转动的角是多少度？是多少弧度
（2）如果大轮的转速为180
r/min，小轮的半径为10.5
cm，那么小轮周上一点每秒转过的弧长是多少？
解：（1）当大轮转一周时，小轮转=2.4周，即小轮转2.4×360°=864°，合rad.
（2）大轮转速为180
r/min，则小轮转速为每分180×=432
r，每秒转角为432×.
故小轮周上一点每秒转过的弧长为×10.5=151.2π
cm.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列各角中与终边相同的角为（
）
A.435°
B.465°
C.225°
D.-435°
解析：=7×15°=105°.
435°=360°+75°，465°=360°+105°，225°=360°-135°，-435°=-360°+（-75°）.
答案：B
2.一条弦的长度等于半径r，则这条弦所对的圆心角及劣弧长为（
）
A.1，r
B.,r
C.，r
D.，r
解析：弦AB=r，圆心为O，△AOB为正三角形，∠AOB=60°=，故劣弧长为r.
答案：B
3.已知2kπ+＜α＜2kπ+（k∈Z），则为（
）
A.第一或第二象限角
B.第一或第三象限角
C.第二或第三象限角
D.第三或第四象限角
解析：由2kπ+＜α＜2kπ+，得kπ+＜＜kπ+（k∈Z）.当k为偶数时，设k=2n（n∈Z），2nπ+＜＜2nπ+，为第一象限角；
当k为奇数时，设k=2n+1（n∈Z），2nπ+＜＜2nπ+π+，为第三象限角.
答案：B
4.已知角α的终边经过点P（-1，-1），则角α为（
）
A.α=kπ+（k∈Z）
B.α=2kπ+（k∈Z）
C.α=kπ+(k∈Z）
D.α=2kπ-（k∈Z）
解析：由终边过点P（-1，-1），知α为第三象限角，在（-2π，0）上，α=.故由终边相同的角，得α=2kπ（k∈Z）.
答案：D
5.设两个集合M=｛x|x=+，k∈Z｝，N=｛x|x=kπ-,k∈Z｝,则（
）
A.M=N
B.MN
C.MN
D.M∩N=
解析：集合M、N分别如图（1）和图（2）所示.
由图形可知MN.
答案：B
6.sin·tan+tan·cos-tan·cos=________________.
解析：原式=×+×-1×0==2.
答案：2
7.角α、β的终边关于x+y=0对称，且α=，则β=______________.
解析：终边与α相同的角的集合是{x|x=2kπ-,k∈Z}，而关于x+y=0与α对称的角为,∴β={x|x=2kπ，k∈Z}.
答案：{x|x=2kπ，k∈Z}
8.已知角α的终边与的终边相同，在[0，2π]内终边与角的终边相同的角为___________.
解析：因为α角的终边与的终边相同，所以α=2kπ+（k∈Z），所以=（k∈Z）.又0≤＜2π，所以0≤+＜2π（k∈Z）.当k=0，1，2时，有=,,时，满足条件，所以,,为所求.
答案:,,
9.(2006山东淄博统考)已知扇形OAB的圆心角为120°，半径长为6，则的长为_____________，弓形AOB的面积为_____________.
解析：因为α=120°=rad，r=6,
所以l==×6=4π.
又因为S扇形OAB=×4π×6=12π,
S△AOB=·sin=,
所以，S弓形OAB=S扇形OAB-S△AOB=12π-.
答案:4π
12π-
10.用弧度制表示，并分别写出:
（1）终边在x轴上的角的集合;（2）终边在y轴上的角的集合.
解：（1）终边在x轴上的角的集合为{α|α=2kπ，k∈Z}∪{α|α=2kπ+π，k∈Z}={α|α=kπ，k∈Z}.
（2）终边在y轴上的角的集合为{α|α=2kπ+，k∈Z}∪{α|α=2kπ+，k∈Z}={α|α=kπ+，k∈Z}.
11.已知α、β满足≤α+β≤，≤α-β≤，求2α-β的范围.
解：由2α-β=（α+β）+（α-β），而≤（α+β）≤，-π≤（α-β）≤，以上两式相加即得≤2α-β≤.3.1.1
两角和与差的余弦
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.(高考全国卷Ⅰ，文1)已知向量a、b满足｜a｜=1，｜b｜=4，且a·b=2，则a与b的夹角为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵a·b=|a||b|cos〈a,b〉，2=1×4cos〈a,b〉，
∴cos〈a,b〉=，〈a,b〉=.
答案:C
2.(高考湖北卷，理1)已知向量a=（，1），b是不平行于ｘ轴的单位向量，且a·b=，则b等于（
）
A.（，）
B.(,)
C.(,)
D.（1，0）
解析：A答案中的b不满足a·b=，C答案中的b不是单位向量，D答案中的b平行于x轴，所以淘汰A、C、D，而B答案满足题设所有条件.
答案:B
3.不查表求值：cos80°cos20°+sin80°sin20°=_____________.
解析：原式=cos（80°-20°)=cos60°=.
答案:
4.化简：cos（x+y）cos（x-y）-sin（x+y）sin（x-y）=______________.
解析：原式=cos［（x+y)+（x-y)］=cos2x.
答案:cos2x
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.sin22°sin23°-cos23°cos22°的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：利用两角和的余弦公式，M=-（cos23°cos22°-sin23°sin22°)=-cos（23°+22°)=-cos45°=.
答案:D
2.sin75°cos45°+sin15°sin45°的值为（
）
A.
B.
C.
D.-1
解：先用诱导公式sinα=cos（90°-α)得sin75°=cos15°，再用两角差的余弦公式：
sin75°cos45°+sin15°sin45°=cos15°cos45°+sin15°sin45°=cos（45°-15°)=cos30°=.
答案:C
3.满足cosαcosβ=+sinαsinβ的一组α、β的值是（
）
A.α=,β=
B.α=,β=
C.α=,β=
D.α=,β=
解析：由cosαcosβ=+sinαsinβ,得cosαcosβ-sinαsinβ=，利用两角和的余弦公式得cos（α+β)=，∴α+β=2kπ±（k∈Z).
答案:A
4.(2005重庆高考卷,文2)（cos-sin）（cos+sin）=________________.
解析：（cos-sin)（cos+sin)=cos·cos-sin·sin=cos（+)=cos=.
答案:
5.cos15°+sin15°=______________.
解：cos15°+sin15°=cos60°cos15°+sin60°sin15°=cos（60°-15°)=cos45°=.
答案:
6.已知cos（α-β）cosα+sin（α-β）sinα=m，且β为第三象限角，求sinβ的值.
解：由于cos（α-β)cosα+sin（α-β)sinα中视α-β为一个角时由两角差的余弦公式，可求出cosβ，再由同角三角函数的基本关系式求出sinβ.
∵cos（α-β)cosα+sin（α-β)sinα=m.
∴cos（α-β-α)=m.
∴cosβ=m.而β为第三象限角，
∴sinβ=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列四个命题中的假命题是（
）
A.存在这样的α和β的值使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ
B.不存在无穷多个α和β的值使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ
C.对任意的α和β有cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
D.不存在这样的α和β的值使得cos（α+β）≠cosαcosβ-sinαsinβ
解析：由于选项C是公式，故选项C、D显然正确，对于选项A，可令α=2kπ，k∈Z，β=2kπ+时，cos（2kπ+2kπ+)=0，cos2kπ·cos（2kπ+)+sin2kπsin（2kπ+)=0，因此存在无数多个α、β，使得cos（α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ，但不是对任意的α、β均成立，所以选项A也是真命题.
答案:B
2.已知cos（α+β）+cos（α-β）=，则cosαcosβ的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由两角和与差的余弦公式cos（α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,
cos（α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，
所以cos（α+β)+cos（α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=2cosαcosβ=，
∴cosαcosβ=.
答案:D
3.sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：原式=sin163°sin223°+sin（90°+163°)sin（90°+223°)=sin163°sin223°+cos163°cos223°
=cos（223°-163°)=cos60°=.
答案:B
4.已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，则cos（α-β）的值是（
）
A.1
B.-1
C.
D.
解析：由已知可得sinα+sinβ=-sinγ，
①
cosα+cosβ=-cosγ.
②
①2+②2,得2+2cos（α-β)=1.
∴cos（α-β)=.
答案:D
5.(2006内蒙古包头一模，6)向量a=(2cosα,2sinα)，b=(3cosβ,3sinβ)，a与b的夹角为60°，则直线xcosα-ysinα=与(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置关系是（
）
A.相切
B.相交
C.相离
D.随α、β的值而定
解析：cos〈a,b〉==cos(α-β)=.
圆心(cosβ,-sinβ)到直线的距离为=0，
所以圆心在直线上，圆与直线相交.
答案:B
6.cos（54°-x）cos（36°+x）-sin（54°-x）sin（36°+x）=____________.
解析：cos（54°-x)cos（36°+x)-sin（54°-x)sin（36°+x)=cos［（54°-x)+（36°+x)］=cos90°=0.
答案:0
7.若cosα+cosβ=，sinα+sinβ=，则cos（α-β）的值为_______________.
解析：将两条件等式平方后相加，得（cos2α+sin2α)+（cos2β+sin2β)+2（cosαcosβ+sinαsinβ)=.
∴2+2cos（α-β)=，cos（α-β)=.
答案:
8.函数y=sinx+cosx的值域为______________.
解析：y=sinx+cosx=2(cosxcos+sinxsin)=2cos(x)∈［-2,2］.
答案:［-2,2］
9.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,＜α+β＜2π,＜α-β＜π,求cos2α.
解:cos2α=cos［(α+β)+(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β),
∵＜α+β＜2π,
∴sin(α+β)=.
又∵＜α-β＜π,
∴sin(α-β)=.
∴cos2α=×()-()×.
10.已知cos（α+β）=，cos（α-β）=,求tanαtanβ的值.
解:由
①+②,得cosαcosβ=,
②-①,得sinαsinβ=.
∴tanαtanβ=.2.1.1
向量的概念
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功.其中不是向量的有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：一个量是不是向量就是看它是否具备向量的两要素：大小和方向.②③④既有大小又有方向，所以是向量；而①⑤⑥⑦只有大小没有方向，所以不是向量.
答案：D
2.下列命题中真命题的个数为(
)
①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
②若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线
③若非零向量a与b共线，则a=b
④四边形ABDC是平行四边形，则必有=
⑤a∥b，则a、b方向相同或相反
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①显然为假命题；②中与共线，只能说明AB、CD所在直线平行或在一条直线上，所以错；
③a与b共线，说明a与b方向相同或相反，a与b不一定相等，所以③错；④对；⑤a可能为零向量，则a∥b，但零向量的方向为任意的，所以⑤错.
答案：B
3.如图2-1-1的四边形ABCD中，=，则相等的向量是(
)
图2-1-1
A.与
B.与
C.与
D.与
解析：判断出四边形ABCD为平行四边形即得出=.
答案：D
4.在⊙O中，以O点为起点，圆周上任一点为终点作向量，则该向量可以确定的要素是(
)
A.方向
B.大小
C.大小和方向
D.以上均不对
解析：由于⊙O半径的确定性，因此该向量的长度(大小)是确定的.
答案：B
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列各命题中，正确命题的个数为(
)
①若|a|=|b|，则a=b或a=-b
②若=，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点
③若a=b，b=c，则a=c
④若a∥b，b∥c，则a∥c
A.4
B.3
C.2
D.1
解析：①|a|=|b|只说明两向量大小相等，不能得出两向量相等或反向，故此命题不正确；
②由=可得||=||且∥，由于∥可能是A、B、C、D在同一条直线上，故此命题不正确；③正确；④b=0时，a∥c不一定成立，命题不正确.
答案：D
2.以下说法中正确的是(
)
A.长度相等的两个向量一定是相等向量
B.当且仅当两个向量所在的直线恰为同一直线时，这两个向量为共线向量
C.零向量没有方向
D.单位向量的长度一定是1
解析：相等向量不仅长度相等，而且方向相同，A错；共线向量所在直线可以相互平行，也可以是同一条直线，B错；零向量方向为任意方向，C错.
答案：D
3.如图2-1-2所示，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，则图中，，，，，向量中共线的向量有(
)
图2-1-2
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
解析：与、与、与分别共线.
答案：C
4.在四边形ABCD中,若∥,且||≠||,则四边形为_________________.
解析：由梯形的定义及向量的概念判断.
答案：梯形
5.在四边形ABCD中，若=且||=||，则四边形为_________________.
解析：∵=，∴四边形ABCD为平行四边形，又||=||.∴四边形ABCD为菱形.
答案：菱形
6.如图2-1-3，D、E、F分别为正△ABC的各边中点，则在以A、B、C、D、E、F六个点中任意两点为起点与终点的向量中：
图2-1-3
(1)找出与向量相等的向量；
(2)是否存在与向量长度相等，方向相反的向量？
(3)与向量共线的向量有几个？
(4)若△ABC为任意三角形，以上几问的答案会发生变化吗？
解析：由向量相等与向量共线的定义可知：(1)与相等的向量有、；(2)存在，例如、；(3)有7个，分别为、、、、、、；(4)不会.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.在下列命题中，正确的是(
)
A.若|a|>|b|，则a>b
B.若|a|=|b|，则a=b
C.若a=b，则a与b共线
D.若a≠b，则a一定不与b共线
解析：A错.因为向量有大小和方向两个要素，无法比较大小；B错.相等向量不仅要模长相等，方向也要相同；C对.相等向量方向一定相同，因此共线；D错.因为向量不相等，可能仅由于模长不等，方向仍可能是相同的，所以a与b有共线的可能.
答案：C
2.设O为△ABC外心，则、、是(
)
A.相等向量
B.平行向量
C.模相等向量
D.起点相同的向量
解析：∵O为△ABC外心，∴OA=OB=OC，即||=||=||.
答案：C
3.在矩形ABCD中，AB=2AD，M、N分别为AB和CD的中点，则在以A、B、C、D、M、N六点中任一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，相等向量有(
)
A.9对
B.11对
C.18对
D.22对
解析：其中===；==；=；=.以上分别取相反向量(如变为)又有4组.经计算，共有22对.
答案：D
4.如图2-1-4，点O是正六边形ABCDEF的中心，则在以A、B、C、D、E、F、O七点中的任一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，设与相等的向量个数为m，与模相等的向量个数为n，则m、n的值分别是(
)
图2-1-4
A.3，23
B.3，11
C.3，24
D.以上都不对
解析：(1)与方向相同的向量仅有、、、四个，而||≠||，||=||=||，故m=3.
(2)与的模相等的向量有两类：
一是以O为起点，以正六边形的顶点为终点或以正六边形顶点为起点，以O为终点的向量，有2×6-1=11个;还有六边形的六条边2×6=12个.
答案：A
5.下列命题中正确的是(
)
A.|a|=|b|a=b
B.|a|>|b|a>b
C.a=ba∥b
D.a∥ba=b
解析：由向量相等的概念知A错,C对；向量不能比较大小，B错；向量平行不能推出相等，D错.
答案：C
6.一架飞机向西飞行100
km，然后改变方向向南飞行100
km，则飞机两次位移的和是_____________.
解析：如图，令起点为A，向西飞行100
km到达B，由B向南飞行100
km到达C，则飞机两次飞行后的位移向量为，且||=
km.
答案：
km
7.如图2-1-5，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
图2-1-5
(1)与向量ED?相等的向量为_____________;
(2)若||=3，则向量的模等于_____________.
答案：(1),
(2)6
8.如图2-1-6,B、C、D是线段AE的四等分点，分别以A、B、C、D、E为起点和终点，最多可以写多少个互不相等的非零向量？
图2-1-6
解：设||=1，则与方向相同，模为1的向量算一个向量，与方向相同，模为2的向量算一个向量,与方向相同，模为3的向量算一个向量，与方向相同，模为4的向量算一个向量，∴与方向相同，互不相等的向量共有4个.同理与方向相反，互不相等的向量共有4个.
∴共8个.
9.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2
000
km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2
000
km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行km到达丁地，问丁地在甲地什么地方？丁地距甲地多远？
解：如图，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知△ABC为正三角形，
∴AC=2
000
km.
又∵∠ACD=45°，CD=1
0002，
∴△ACD为等腰直角三角形，即AD=km，∠CAD=45°.
答：丁地在甲地的东南方向，距甲地km.
快乐时光
教授在考试当天突然宣布延期考试,有个学生立即理直气壮地站起来抗议,说延期会扰乱他温习其他科目的计划.教授立刻问，“你叫什么名字？”“我叫王大明”.王大明学生的口气有些软化.“好吧,王同学,我给你一个甲等，而且免你参加考试,因为你有胆量据理直言,这正是教育的最重要目的.”学生答道,“既然这样,那么,我的本名叫做李小华.”1.3.2
余弦函数、正切函数的图象与性质
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.函数y=xcosx（
）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
解析：由f(-x)=(-x)·cos(-x)=-x·cosx=-f(x)，可知f(x)是奇函数.
答案：A
2.若α、β∈（，π），且tanα＜cotβ，则必有（
）
A.α＜β
B.β＜α
C.α+β＜
D.α+β＞
解析：∵α、β∈（，π）,
∴-β∈（，π）.
∵tanα＜cotβ=tan（-β），且tanx在（，π）上单调递增,
∴α＜-β,∴α+β＜.
答案：C
3.函数y=的定义域是___________________.
解析：要使函数y=有意义，则有即x≠kπ-，
且x≠kπ+（k∈Z）.
∴函数的定义域为｛x｜x∈R，且x≠kπ-，x≠kπ+，k∈Z｝.
答案：｛x｜x∈R，且x≠kπ，x≠kπ+，k∈Z｝
4.函数y=3cosx+1的最大值是________________，最小值是________________.
解析：∵-1≤cosx≤1,
∴y=3cosx+1的最大值是4，最小值是-2.
答案：4
-2
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.余弦函数y=cosx的单调减区间是（
）
A.［2kπ，2kπ+π］，k∈Z
B.［2kπ-，2kπ+］，k∈Z
C.［2kπ+π，2kπ+2π］，k∈Z
D.［2kπ+，2kπ+］，k∈Z
答案：A
2.函数y=3cos（2x+）+1取得最大值时，x的值应为（
）
A.2kπ-，k∈Z
B.kπ-，k∈Z
C.kπ-，k∈Z
D.kπ+，k∈Z
解析：依题意，当cos（2x+）=1时，y有最大值，此时2x+=2kπ，k∈Z，变形为x=kπ，k∈Z.
答案：B
3.下列说法不正确的是（
）
A.正弦函数、余弦函数的定义域是R，值域是［-1，1］
B.余弦函数当且仅当x=2kπ（k∈Z）时取得最大值1，当且仅当x=（2k+1）π（k∈Z）时取得最小值-1
C.正弦函数在每个区间［+2kπ，+2kπ］（k∈Z）上都是减函数
D.余弦函数在每个区间［2kπ-π，2kπ］（k∈Z）上都是减函数
提示：画出正、余弦函数一个周期的图象，分析即得.
答案：D
4.(2006高考全国卷Ⅰ,5)函数f(x)=tan（x+）的单调增区间是（
）
A.(kπ-,kπ+)，k∈Z
B.(kπ,(k+1)π)，k∈Z
C.（kπ-，kπ+），k∈Z
D.（kπ-，kπ+），k∈Z
解析：由题意kπ-＜x+＜kπ+，
∴kπ＜x＜kπ+，k∈Z.
∴增区间为（kπ，kπ+），k∈Z.
答案：C
5.(1)三个数cos，sin,-cos的大小关系是_______________;
(2)比较tan1、tan2、tan3的大小:
_______________.
(1)解析：∵sin=cos（-）=cos1.47,
-cos=cos（π-）=cos1.39，cos=cos1.5，而y=cosx在［0，π］上是减函数，
故由0＜1.39＜1.47＜1.5＜π可得cos1.5＜cos1.47＜cos1.39，
∴cos＜sin＜-cos.
答案：cos＜sin＜-cos
(2)解析：∵tan2=tan（2-π）,tan3=tan（3-π）,
又∵＜3＜π,
∴＜3-π＜0，显然，＜2-π＜3-π＜1＜.
而y=tanx在（，）内是增函数，
∴tan（2-π）＜tan（3-π）＜tan1，即tan2＜tan3＜tan1.
答案：tan2＜tan3＜tan1
6.如何由y=sinx的图象得到y=2cos(x+)的图象
解：∵y=2cos(x+)=2sin(x+),∴可由y=sinx的图象向左平移个单位,得到y=sin(x+)的图象,再把y=sin(x+)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=sin(x+)的图象,再把纵坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sin(x+)的图象,即y=2cos(x+)的图象.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.函数y=-5cos（3x+1）的周期为（
）
A.
B.3π
C.
D.
解析：该函数最小正周期T==.
答案：C
2.函数y=tan2（x+）（
）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
解析：∵y=tan2（x+）=tan（2x+）=-cot2x=，
∴f（-x）==-f（x）.
∴f（x）为奇函数.
答案：A
3.将函数y=cosx图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位，所得函数图象的解析式为（
）
A.y=cos（2x+）
B.y=cos（-）
C.y=cos（-）
D.y=cos（+）
解析：根据题意,函数的变化过程是:y=cosx→y=cosx→y=cos（x-）=cos（-）.
答案：C
4.函数y=cos（2x+）的图象的一条对称轴方程为（
）
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=π
解析：依题意，令cos（2x+）=-sin2x=±1，则2x=kπ+，x=kπ+，k∈Z.
显然当k=-1时，x=-.
答案：B
5.今有一组生物实验数据如下：
x
0
0.261
6
0.436
1
0.785
4
1.308
9
y
0
0.258
8
0.422
6
0.708
5
0.912
5
现准备用下列函数中的某个函数近似表示数据满足的规律，其中接近的一个是（
）
A.y=tanx
B.y=1-cosx
C.y=sinx
D.y=2x-1
解析：四个函数在［0，1.5］上都是增函数，且当x=0时都有y=0，但通过特值估算发现，≈0.785
4，此时tan=1，1-cos≈0.293，sin≈0.707，0＜20.785
4-1＜1，可排除选项A、B；当x=1.308
9时，由图象知2x-1＞1，从而排除D项.
答案：C
6.使sinx≤cosx成立的一个x的变化区间是（
）
A.［，］
B.［，］
C.［，］
D.［0，π］
解析：作出y=sinx及y=cosx在［-π，π］上的图象，观察可知C项正确.
答案：C
7.(2006高考四川卷，5)下列函数中,图象的一部分如图1-3-5所示的是（
）
图1-3-5
A.y=sin(x+)
B.y=sin(2x-)
C.y=cos(4x-)
D.y=cos(2x-)
解析：（特殊值法）由于x=，y=1，故将x=分别代入各选项，可排除A、B；又x=时，y=0，将x=分别代入选项C、D，可排除C.所以选D.
答案：D
8.函数y=tan（+）的单调增区间是______________________.
解析：∵kπ-＜+＜kπ+，kπ-＜＜kπ+，
∴2kπ-＜x＜2kπ+.
答案：（2kπ-，2kπ+），k∈Z
9.函数y=4sin（3x+）+3cos（3x+）的最小正周期为_______________.
解析：∵4sin（3x+）和3cos（3x+）的最小正周期都是，∴所求函数的最小正周期为T=.
答案：
10.已知某海滨浴场的海浪高度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作y=f（t），下表是某日各时的浪高数据：
t（h）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（m）
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y=f（t）的曲线可近似地看成函数y=Acosωt+b.
（1）根据上述数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
（2）根据规定，当海浪高度不低于1
m时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内对冲浪爱好者能开放几次 时间最长的一次是什么时候 有多长时间 时间最短的一次是什么时候 有多长时间
解：（1）A==，而A+b=1.5.∴b=1.
再根据T=12，得ω=.
∴y=cost+1.
（2）由y≥1cost+1≥1，
∴cost≥0.
∴2kπ-≤t≤2kπ+，k∈Z.
∴12k-3≤t≤12k+3.∴k=0时，t∈［0，3］；当k=1时，t∈［9，15］；
当k=2时，t∈［21，24］.
∴一天内对冲浪爱好者能开放三次.时间最长的一次是上午9时至下午3时，共有6个小时，时间最短的一次是早晨零点到3点或晚上21时至第二天零点，时间都是3小时.
11.研究函数y=|tanx|与y=tan|x|的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及函数图象.
解：y=|tanx|的定义域为{x|x≠kπ+，x∈R}，值域为{y|y≥0}，图象如下:
由图象可知周期为π，为偶函数.
［kπ，kπ+）（k∈Z）为增区间，（kπ-，kπ］（k∈Z）为减区间.
y=tan|x|的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，值域为R，图象如下：
由图象分析无周期性，（，）的图象不会重复出现，为偶函数.
其中［0，)，（kπ-，kπ+）（k∈Z且k＞0）为单调增区间,
（，0］，（kπ-，kπ+）（k∈Z且k＜0)为单调减区间.3.1
和角公式
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.化简cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ的结果为（
）
A.1
B.cosα
C.sinα
D.cos(α-2β)
提示：逆用两角和的余弦公式.
答案:B
2.若sinαcosβ=，则cosαsinβ的取值范围是（
）
A.［-1，］
B.［，1］
C.［］
D.［，］
解析：sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β)∈［-1，1］,
①
sinαcosβ-cosαsinβ=sin（α-β)∈［-1，1］,
②
由①≤cosαsinβ≤，
由②≤cosαsinβ≤，
∴≤cosαsinβ≤.
答案:D
3.若sin（α-β）cosα-cos（α-β）sinα=m，且β为第二象限角，则cosβ的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由sin（α-β)cosα-cos（α-β)sinα=m，
得sin［（α-β)-α］=m，
∴sin（-β)=m,
∴sinβ=-m.
又β为第二象限角，
∴cosβ=.
答案:B
4.(2006高考陕西卷，13)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为_______________.
解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°=sin13°cos43°-cos13°sin43°=sin(13°-43°)=sin(-30°)=.
答案:－
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.设α∈（0，），β∈（，π），若cosβ=，sin（α+β）=，则sinα等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵α∈（0，)，β∈（，π)，
∴α+β∈（，).
又sin（α+β)=，
∴cos（α+β)=.又cosβ=，
∴sinβ=.
∴sinα=sin［（α+β)-β］=sin（α+β)·cosβ-cos（α+β)·sinβ
=·（-
)-（)·
=.
答案:C
2.已知△ABC中，若tanA=成立，则△ABC为（
）
A.等腰三角形
B.A=60°的三角形
C.等腰三角形或A=60°的三角形
D.不确定
解析：由tanA=，得
，
∴sinAsinC-sinAsinB=cosAcosB-cosAcosC.
∴cosAcosB+sinAsinB=cosAcosC+sinAsinC.
∴cos（A-B)=cos（A-C).
∴A-B=A-C或A-B=C-A.
∴B=C或2A=B+C.
由2A=B+C且A+B+C=180°,得A=60°.
答案:C
3.若，则cot（+α）=_____________.
解析：=cot（+α)=.
答案:
4.计算=_______________.（用数字作答）
解析：
=-tan15°=-tan(45°-30°)=.
答案:
5.化简:-2cos（α-β）.
解：-2cos(α-β)
.
6.已知cos（θ-α）=a，sin（θ-β）=b，求证：cos2（α-β）=a2+b2-2absin（α-β）.
证明：由cos（θ-α)=a得cosθcosα+sinθsinα=a,
①
由sin（θ-β)=b得sinθcosβ-cosθsinβ=b,
②
①×sinβ+②×cosα得sinθcos（α-β)=asinβ+bcosα,
③
①×cosβ-②×sinα得cosθcos（α-β)=acosβ-bsinα,
④
③2+④2得cos2（α-β)=a2+b2+2ab（sinβcosα-cosβsinα)=a2+b2-2absin（α-β)，
∴结论成立.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.（1+tan17°）（1+tan18°）（1+tan27°）（1+tan28°）的值是（
）
A.2
B.4
C.8
D.16
解析：tan（α+β)=，当α+β=45°时，tanα+tanβ=1-tanαtanβ，
∴tanα+tanβ+tanαtanβ+1=2.
∴（1+tanα)（1+tanβ)=2.
∴（1+tan17°)（1+tan18°)=2，（1+tan27°)（1+tan28°)=2.
答案:B
2.y=3sin（x+10°）+5sin（x+70°）的最大值是（
）
A.
B.
C.7
D.8
解析：y=3sin（x+10°)+5sin（x+70°)
=3sin（x+10°)+5sin（x+10°+60°)
=3sin（x+10°)+5sin（x+10°)cos60°+5cos（x+10°)sin60°
=
sin（x+10°)+cos（x+10°)，
∴y的最大值为（)2+（)2=7.
答案:C
3.已知sin（x-y）cosy+cos（x-y）siny≥1，则x、y的取值范围分别是（
）
A.不存在
B.x=2kπ+,k∈Z，y∈R
C.x∈R，y=2kx+,k∈Z
D.x、y∈R
解析：由sin（x-y)cosy+cos（x-y)siny≥1得sinx≥1，又-1≤sinx≤1，
∴sinx=1，x=2kπ+,k∈Z.
答案:B
4.设a，b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是（
）
A.
B.
C.-3
D.
解：由a2+2b2=6，可设a=cosα，b=sinα，
∴a+b=cosα+sinα=3（cosα+sinα)
=3sin（θ+α)（其中，sinθ=，cosθ=
).
∴a+b的最小值为-3.
答案:C
5.(2006高考福建卷，理3)已知α∈(,π)sinα=，则tan(α+)等于（
）
A.
B.7
C.
D.-7
解析：∵α∈(,π),sinα=,∴cosα=,tanα=.
∴tan(α+)=.
答案:A
6.(tan10°-)=____________.
解析：原式==-2.
答案:-2
7.在△ABC中，tanAtanB＞1，则△ABC为___________三角形.
解析：由于tanAtanB＞1，
∴A、B均为锐角，tan（A+B)=＜0.
而tanC=-tan（A+B)＞0，∴C为锐角.
答案:锐角
8.(2006高考江西卷，文13)已知向量a=（1，sinθ），b=（1，cosθ），则｜a-b｜的最大值为___________.
解析：由题意得a-b=(0,sinθ-cosθ)，
则｜a-b｜=｜sinθ-cosθ｜=
|sin(θ-
)|≤2.
故｜a-b｜的最大值为.
答案:
9.如图3-1-1，矩形ABCD中，AB=a，BC=2a，在BC上取一点P，使AB+BP=PD，求tan∠APD的值.
图3-1-1
解：设BP=x，则PC=2a-x，设∠BPA=α，∠DPC=β，
由于AB+BP=PD，∴a+x=,得x=.
∴tanα=，tanβ=.
∴tan（α+β)==-18.
∴tan∠APD=tan［180°-（α+β)］=18.
10.已知3sinβ=sin（2α+β），α≠kπ+，α+β≠kπ+，k∈Z，求证：tan（α+β）=2tanα.
证明：由3sinβ=sin（2α+β)，
∴3sin（α+β-α)=sin（α+β+α).
∴3sin（α+β)cosα-3cos（α+β)sinα
=sin（α+β)cosα+cos（α+β)sinα.
∴2sin（α+β)cosα=4cos（α+β)sinα.
又α≠kπ+，α+β≠kπ+，k∈Z，
∴cosα≠0，cos（α+β)≠0.
∴,
即tan（α+β)=2tanα.
快乐时光
化学课开始了，老师经过一通理论说教后，进入了实验阶段.“同学们注意了，”老师郑重其事地说：“我手上有一块银元，现在我要把它投进这杯硫酸里面，回想一下我刚才讲过的内容，银元会溶解吗？”立即有一声音答道：“不会.”“为什么？”老师追问道.该学生：“如果银元会溶解的话，您一定舍不得投进硫酸里面.”2.2.1
平面向量基本定理
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列各组向量中，一定能作为基底的是(
)
A.a=0，b≠0
B.a=3e，b=-3e(e≠0)
C.a=2e1-e2，b=e1+2e2(e1，e2不共线)
D.a=e1+e2，b=-2e1-2e2(e1，e2不共线)
解析：由平面向量基本定理知，a、b应不共线，
∴选C.
答案：C
2.O为平面上任一点，=x+y,若A，B，C三点共线，则必有(
)
A.x+y=1
B.x-y=1
C.x=-y
D.x，y为任意实数
解析：A、B、C三点共线,则=(1-t)+t，知x+y=1-t+t=1.
答案：A
3.M为线段AB的中点，O为平面上任一点，=x+y，则有x=____________，y=____________.
解析：由线段AB的中点的向量表达式知x=y=.
答案：
4.已知四边形ABCD中，=+，设=a，=b，用a，b表示=____________.
解：由=+知，四边形ABCD为平行四边形，∴=-=a-b.
答案：a-b
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是(
)
A.若实数λ1，λ2使λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0
B.空间任一向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C.λ1e1+λ2e2不一定在平面α内，其中λ1，λ2∈R
D.对于平面a内任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
解析：利用平面向量基本定理.
答案：A
2.已知ABCDEF为正六边形，且=a，=b，则等于(
)
A.(a-b)
B.(b-a)
C.a+b
D.(a+b)
解析：∵==a，∴=+=b+a，
∴==(a+b).
答案：D
3.向量e1，e2不共线，则a=e1-2e2，b=λe1+4e2共线的条件是(
)
A.λ=0
B.λ=
C.λ=-2
D.λ=2
解析：要使a∥b，即存在k使e1-2e2=k(λe1+4e2)，∴
解得
答案：C
4.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则等于（
）
A.λ（+），λ∈（0，1）
B.λ（+），λ∈（0，）
C.λ（-），λ∈（0，1）
D.λ（-），λ∈（0，）
解析：如图，由向量的运算法则=+及点P在对角线AC上，所以与同向，且||＜||，故=λ（+），λ∈（0，1）.
答案：A
5.若2x+y=a，x-2y=b，其中a，b为已知向量，则x=____________，y=____________.
解析：可解方程组即得
答案：(a+b)
a-b
6.若A，B，C三点共线，+λ=2，则λ=____________.
解析：由=-λ+2，且A，B，C三点共线知-λ+2=1，∴λ=1.
答案：1
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.设=(a+5b)，=-2a+8b，=3(a-b)，那么下面各组中三点一定共线的是(
)
A.A，B，C
B.A，B，D
C.A，C，D
D.B，C，D
解析：=a+5b，=(a+5b)，
∴=，∴∥，且AB，BD有共同点B.∴A，B，D共线.
答案：B
2.e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是(
)
A.e1+e2和e1-e2
B.3e1-2e2和4e2-6e1
C.e1+2e2和e2+2e1
D.e2和e1+e2
解：由题意,知e1，e2不共线，所以易看出B中4e2-6e1=-2(3e1-2e2)，即3e1-2e2与4e2-6e1共线.
答案：B
3.如图2-2-1，已知△ABC中，N，M，P顺次是AB的四等分点，=e1，=e2，则下列正确的是(
)
图2-2-1
A.=e1+e2，=
B.=e1-e2，=
C.=，=(e1+e2)
D.=(e1-e2)，=e1+e2
解析：N为AB中点，即得=(+)=(e1+e2)，而M又为AN中点，
=(+)=(e2+e1+e2)=e1+e2，∴A正确.
B中应是=e1+e2，C中=(e1-e2)，D中=e1-e2.
答案：A
4.已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，且=a，=b，=c，则：①=(b+c)；②=a+b；③=(b+c).
其中正确的有______________个.（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①=-a=-
(-b-c)=
(b+c);②=+=a+b;
③=(+)=(c-b).∴①②正确.
答案：C
5.如图2-2-2,已知=a，=b，且|a|=|b|，O点关于线段AB的对称点为S，则等于(
)
图2-2-2
A.a-b
B.2(a+b)
C.b-a
D.a+b
解析：由|a|=|b|知，||=||，∴OS垂直平分AB，四边形OBSA为平行四边形，
∴=a+b.
答案：D
6.(2006高考湖南卷，文10)如图2-2-3，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界),且=x+y，则实数对(x，y)可以是（
）
图2-2-3
A.（)
B.（）
C.（）
D.（）
解析：=a+b(a,b∈R+,0＜b＜1)
=aλ+b（λ＞0)=aλ(-)+b=-aλ+(aλ+b)=x+y,
则x=-aλ＜0,y=aλ+b,
∴x+y=b∈(0,1).∴选C.
答案：C
7.设e1，e2为一组基底，a=-e1+2e2，b=e1-e2，c=3e1-2e2，用a，b为基底将c表示为c=pa+qb，则实数p，q的值分别为____________与____________.
解析：c=pa+qb,即3e1-2e2=(-pe1+2pe2)+(qe1-qe2)
=(q-p)e1+(2p-q)e2，
∴
答案：1
4
8.若=3e1，=-5e2，且||=||，=，则四边形ABCD是____________.
解析：∵=，∴AB∥CD，且||=||.∴四边形ABCD为等腰梯形.
答案：等腰梯形
9.起点相同的三个非零向量a，b，3a-λb的终点在一条线上，则λ=_____________.
解析：设=a，=b，=3a-λb=3-λ，
∵A，B，C三点共线，∴3+(-λ)=1.
∴λ=2.
答案：2
10.已知D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC的中点，
求证：四边形BDEF为平行四边形.
证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴=，=，
=-=(-)=.又F是BC的中点.
∴=.
∴=.
所以DE∥BF且DE=BF，即四边形BDEF为平行四边形.
11.已知向量a=-e1+3e2+2e3，b=4e1-6e2+2e3，c=-3e1+12e2+11e3，问a能否表示成a=λb+μc的形式？若能，写出表达式；若不能，请说明理由.
解：假设a=λb+μc，将a，b，c代入a=λb+μc得-e1+3e2+2e3=(4λ-3μ)e1+(-6λ+12μ)e2+(2λ+11μ)e3，
则∴a=b+c.∴a能表示成a=λb+μc的形式.