第3课时 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等
1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“ASA”，判定方法4——“AAS”；能运用它们判定两个三角形全等．
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
阅读教材P39～41，完成预习内容．
知识探究
1．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形________(可以简写成“角边角”或“________”)．
2．两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形________(可以简写成“角角边”或“________”)．
3．试总结全等三角形的判定方法，师生共同总结．
三角形全等的条件至少需要三对相等的元素(其中至少需要一条边相等)．
自学反馈
1．能确定△ABC≌△DEF的条件是( )
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E
B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E
C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D
D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
2．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是( )
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
3．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是( )
A．DE＝DF
B．AE＝AF
C．BD＝CD
D．∠ADE＝∠ADF
应用AAS证三角形全等时应注意边是对应角的对边．
4．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C.那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．
解：△AOD≌△COB.
证明：在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB(ASA)．
问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？
应用ASA证全等三角形时应注意边是对应角的夹边．
活动1 小组讨论
例1 已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ.求证：HN＝PM.
证明：∵MQ⊥PN，
∴∠MQP＝∠MQN＝90°.
∵NR⊥MP，∴∠MRN＝90°.
∴∠RMH＋∠RHM＝∠QHN＋∠QNH＝90°.
又∵∠RHM＝∠QHN，∴∠PMQ＝∠QNH.
在△PMQ与△HNQ中，∵∠MQP＝∠NQH＝90°，MQ＝NQ，∠PMQ＝∠QNH，∴△PMQ≌△HNQ.∴HN＝PM.
有直角三角形就有互余的角，利用同角(等角)的余角相等是证角相等的常用方法．
例2 已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB.
求证：AD＝AC.
证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，
∴∠CAD＝∠BAE＝90°.
∴∠CAD＋∠BAD＝∠BAE＋∠BAD.∴∠CAB＝∠DAE.
在△ABC与△AED中，
∵∠CAB＝∠DAE，∠B＝∠E，CB＝DE，
∴△ABC≌△AED.∴AD＝AC.
利用角的和证角相等．
活动2 跟踪训练
1．已知：如图，PM＝PN，∠M＝∠N.求证：AM＝BN.
2．P41页练习1、2题．
善于挖掘隐藏条件“公共边、公共角、对顶角”等．
活动3 课堂小结
1．本节内容是已知两个角和一条边对应相等得全等，三个角对应相等不能确定全等．
2．三角形全等的判定和全等三角形的性质常在一起进行综合应用，有时还得反复用两次或两次以上，从而达到解决问题的目的．
【预习导学】
知识探究
1．全等 ASA 2.全等 AAS
自学反馈
1．D 2.B 3.C 4.略．
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．略． 2.略．第4课时 用“HL”判定直角三角形全等
1．掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”(即“HL”)．
2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形全等的特殊方法判定两个直角三角形全等．
阅读教材P42，完成预习内容．
知识探究
1．判定两直角三角形全等的“HL”这种特殊方法指的是____________．
2．直角三角形全等的判定方法有________(用简写)．
自学反馈
1．如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF.则△ABC≌________，全等的根据是________．
2．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由．
①一个锐角和这个角的对边对应相等；( )
②一个锐角和这个角的邻边对应相等；( )
③一个锐角和斜边对应相等；( )
④两直角边对应相等；( )
⑤一条直角边和斜边对应相等．( )
3．下列说法正确的是( )
A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．斜边相等的两个直角三角形全等
C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D．一边长相等的两等腰直角三角形全等
直角三角形除了一般证全等的方法，“HL”可使证明过程简化，但前提是已知两个直角三角形，即在证明格式上表明“Rt△”．
活动1 小组讨论
例1 已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.求证：
(1)AB＝DC；(2)AD∥BC.
证明：(1)∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°.
在Rt△ABD与Rt△CDB中，∵AD＝CB，BD＝DB，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)．∴AB＝DC.
(2)∵Rt△ABD≌Rt△CDB(已证)，
∴∠ADB＝∠CBD.∴AD∥BC.
善于发现隐藏条件“公共边”．
例2 已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：AD＝BC.
证明：连接CD.
∵AD⊥AC，BC⊥BD，
∴∠A＝∠B＝90°.
在Rt△ADC与Rt△BCD中，∵AC＝BD，DC＝CD，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD.∴AD＝BC.
活动2 跟踪训练
1．已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC.
求证：ED⊥AC.
2．已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.
求证：AB∥DC.
3．已知：如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证△ACE≌△DBF，需要添加什么条件？证明全等的理由是什么？
具体方法要根据条件来选择，但要做到有依有据．
活动3 课堂小结
1．“HL”判别法是证明两个直角三角形全等的特殊方法，它只对两个直角三角形有效，不适合一般三角形，但两个直角三角形全等的判定，也可以用前面的各种方法．
2．证明两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，以及用HL，注意SSA和AAA条件不能判定两个三角形全等．
【预习导学】
知识探究
1．直角边，斜边 2.HL
自学反馈
1．△DFE HL 2.①AAS ②AAS或ASA ③AAS ④SAS ⑤HL 3.C
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．证明：先证Rt△AED≌Rt△BAC(HL)，∴∠E＝∠CAB.∵∠E＋∠EDA＝90°，∴∠CAB＋∠EDA＝90°.∴∠DFA＝90°.∴ED⊥AC. 2.证明：先证Rt△AED≌Rt△CFB，得AE＝CF.∴AF＝CE.再证Rt△ABF≌Rt△CDE，∴∠BAC＝∠DCA.∴AB∥DC. 3.需添加AC＝DB或∠1＝∠2或∠E＝∠F均可，理由依次为SAS、AAS、ASA.第2课时 用“SAS”判定三角形全等
1．理解和掌握全等三角形判定方法2——“SAS”．理解满足“SSA”的两个三角形不一定全等．
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
阅读教材P37～39，完成预习内容．
知识探究
1．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形________(可以简写成“边角边”或“________”)．
2．有两边和一个角对应相等的两个三角形________全等．
如果给定两个三角形的类型(如两个钝角三角形)，两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．
自学反馈
1．如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是( )
A．∠A＝∠D
B．∠E＝∠C
C．∠A＝∠C
D．∠ABD＝∠EBC
2．如图，AO＝BO，CO＝DO，AD与BC交于E，∠O＝40°，∠B＝25°，则∠BED的度数是( )
A．60°
B．90°
C．75°
D．85°
3．已知：如图，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB.
求证：∠D＝∠B.
分析：要证∠D＝∠B，只要证△AOD≌△COB.
证明：在△AOD与△COB中，
∴△AOD≌△________(SAS)．
∴∠D＝∠B(__________)．
4．已知：如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD.求证：∠B＝∠C.
1.利用SAS证明全等时，要注意“角”只能是两组相等边的夹角；在书写证明过程时相等的角应写在中间；
2．证明过程中注意隐含条件的挖掘，如“对顶角相等”、“公共角、公共边”等．
活动1 小组讨论
例1 已知：如图，AB∥CD，AB＝CD.求证：AD∥BC.
证明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠1.
在△CDB与△ABD中，
∵CD＝AB，∠2＝∠1，BD＝DB，
∴△CDB≌△ABD.∴∠3＝∠4.
∴AD∥BC.
可从问题出发，要证线段平行只需证角相等即可(∠3＝∠4)，而证角相等可证角所在的三角形全等．
例2 如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°)，连接AE、CD，试确定AE与CD的关系，并证明你的结论．
解：结论：AE＝CD，AE⊥CD.
理由(提示)：延长AE交CD于点F，先证△ABE≌△CBD，得AE＝CD，∠BAE＝∠BCD.又∠AEB＝∠CEF，可得∠CFE＝90°，即AE⊥CD.
1.注意挖掘等腰直角三角形中的隐藏条件；
2．线段的关系分数量与位置两种关系．
活动2 跟踪训练
1．已知：如图，AB＝AC，BE＝CD.求证：∠B＝∠C.
2．已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2.
求证：BC＝DE.
分析已知条件，确定证三角形全等所缺少的条件，充分挖掘隐藏条件．
活动3 课堂小结
1．利用对顶角、公共角、直角用SAS证明三角形全等．
2．用“分析法”寻找命题结论也是一种推理论证的方法，即从结论出发逐步递推到题中条件，常以此作为分析寻求推理论证的途径．
【预习导学】
知识探究
1．全等 SAS 2.不一定
自学反馈
1．D 2.B 3.AOD COB OB COB 对应角相等 4.证明：在△ABD与△ACD中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)．∴∠B＝∠C.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．略． 2.略．12．1 全等三角形
1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素．
2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．
3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．
阅读教材P31～32，完成预习内容．
知识探究
1．全等形、全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做________；能够完全重合的两个三角形叫做________．
2．把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做________，重合的边叫做________，重合的角叫做________．
3．全等三角形的性质：全等三角形的对应边________，全等三角形的对应角________．
自学反馈
1．下列图形中的全等形是______与______、______与______．
2．如图△ABC与△DEF能重合，则记作：________，读作：________________，对应顶点：________、________、________；对应边：________、________、________；对应角：________、________、________.
通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．
3．如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，相等的边有________________________，相等的角有________________________________．
4．△OCA≌△OBD，且OC＝3
cm，BD＝4
cm，OD＝6
cm.则△OCA的周长为________．∠C＝110°，∠A＝30°，则∠BOC＝________.
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长相等．
活动1 小组讨论
例1 如图，下面各图的两个三角形全等，指出它们的对应顶点、对应边、对应角；其中△ABC可以经过怎样的变换得到另一个三角形？
甲 乙
丙
解：甲：对应顶点是点A与点D，点B与点E，点C与点F；
对应边是AB与DE，AC与DF，BC与EF；
对应角是∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F；
△ABC经过平移得到另一个三角形．
乙：对应顶点是点A与点D，点B与点B，点C与点C；
对应边是AB与DB，AC与DC，BC与BC；
对应角是∠A与∠D，∠ABC与∠DBC，∠ACB与∠DCB；
△ABC经过向下翻折得到另一个三角形．
丙：对应顶点是点D与点C，点A与点A，点E与点B；
对应边是AD与AC，AE与AB，DE与CB；
对应角是∠D与∠C，∠E与∠B，∠DAE与∠CAB；
△ABC经过旋转得到另一个三角形．
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．
例2 如图，△ABC≌△DEF，AB＝DE，AC＝DF，且点B、E、C、F在同一条直线上．
(1)求证：AC∥DF；(2)若∠D＋∠F＝90°，试判断AB与BC的位置关系．
解：(1)证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠F.∴AC∥DF.
(2)结论：AB⊥BC.
证明：在△DEF中，∠D＋∠F＝90°，∴∠DEF＝90°.
又∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF＝90°.
∴AB⊥BC.
从证线段平行或垂直的条件出发去思考．
活动2 跟踪训练
1．如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE＝∠AED，∠B＝∠C，指出其他的对应边和对应角．
根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．常用方法有：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
2．如图，△ABC≌△CDA.求证：AB∥CD.
注意对应关系．
活动3 课堂小结
通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课大家要重点掌握的．
找对应元素的常用方法有两种：
(一)从运动角度看
1．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．
2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．
3．平移法：沿某一方向平移使两三角形重合来找对应元素．
(二)根据位置元素来推理
1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．
2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
【预习导学】
知识探究
1．全等形 全等三角形 2.对应顶点 对应边 对应角 3.相等 相等
自学反馈
1．d g e h 2.△ABC≌△DEF △ABC全等于△DEF A与D B与E C与F AB与DE AC与DF BC与EF ∠A与∠D ∠B与∠E ∠C与∠F 3.AC＝DB，CO＝BO，AO＝DO ∠A＝∠D，∠C＝∠B，∠COA＝∠BOD 4.13
cm 140°
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．对应边：AB与AC，AE与AD，BE与CD，对应角：∠BAE与∠CAD. 2.证明：∵△ABC≌△CDA，∴∠BAC＝∠DCA.∴AB∥CD.12．3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的性质
1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角平分线的画法．
阅读教材P48～49，完成预习内容．
知识探究
1．____________________________叫做角的平分线．
2．角的平分线的性质是____________________________________．它的题设是________________，结论是____________________．
自学反馈
1．如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5
cm，则BC的长是多少？
2．已知：如图，∠AOB.
求作：∠AOB的平分线OC.
角平分线的性质是证明线段相等的另一途径，通常能使证明过程简略．其前提条件有两条，角平分线和垂直．
活动1 小组讨论
例1 已知：如图，直线AB及其上一点P.
求作：直线MN，使得MN⊥AB于P.
作法：略．
例2 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：DE＝DF.
证明：在△ABD与△ACD中，
∵AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，
∴△ABD≌△ACD.
∴∠BAD＝∠CAD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
先证△ABD≌△ACD，从而得∠BAD＝∠CAD，AD为∠BAC的平分线，然后运用角平分线的性质证DE＝DF.
活动2 跟踪训练
1．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC.(画出图形，并写出画法)
2．如图，已知△ABC内，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点P，且PD、PE、PF分别垂直于BC、AC、AB于D、E、F三点．求证：PD＝PE＝PF.
角平线的性质是证线段相等的另一途径．
3．已知，如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°.试判断DE和DF的大小关系并说明理由．
在已知角的平分线的前提下，做两边的垂线段是常用辅助线之一．
活动3 课堂小结
在本节中，在已知角平分线的条件下，常想到过角平分线上的点向角两边作垂线段的方法．在已知角平分线的条件下，也可想到翻折的方法．
【预习导学】
知识探究
1．把一个角分成两个相等的角的射线 2.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角的平分线上的点 到角的两边的距离相等
自学反馈
1．15
cm. 2.略．
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．作∠B的平分线交AC于点P，图略． 2.证明：∵BP是∠ABC的平分线，PF⊥AB，PD⊥BC，∴PF＝PD.同理证得PE＝PD.∴PD＝PE＝PF. 3.结论：DE＝DF.(提示：过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，则DM＝DN，再证△DME≌△DNF，∴DE＝DF.)12．2 三角形全等的判定
第1课时 用“SSS”判定三角形全等
1．理解和掌握全等三角形判定方法1－“SSS”．
2．体会尺规作图．
3．掌握简单的证明格式．
阅读教材P35～37，完成预习内容．
知识探究
三边分别相等的两个三角形________(可以简写成“边边边”或“________”)．
自学反馈
1．在△ABC、△DEF中，若AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，则____________．
2．已知AB＝3，BC＝4，CA＝6，EF＝3，FG＝4，要使△ABC≌△EFG，则EG＝________.
3．如图，通常凳子腿活动后，木工师傅会在凳腿上斜钉一根木条，这是利用了三角形的________．
两个三角形三角、三边六个元素中，满足一个或两个元素相等是无法判定全等的，我们这节课探讨的是三个元素相等中三边对应相等的情况．
4．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是________．
可通过添加辅助线构造全等三角形加以证明．
活动1 小组讨论
例1 如图，AB＝AD，CB＝CD，求证：△ABC≌△ADC.
证明：在△ABC与△ADC中，
∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)．
例2 如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE.
求证：△ACD≌△CBE.
证明：∵C是AB的中点，∴AC＝CB.在△ACD与△CBE中，∵AD＝CE，CD＝BE，AC＝CB，∴△ACD≌△CBE(SSS)．
注意运用SSS证三角形全等时的证明格式；在证明过程中善于挖掘“公共边”这个隐含条件．
例3 如图，AB＝AD，DC＝BC，∠B与∠D相等吗？为什么？
解：结论：∠B＝∠D.
理由：连接AC，
在△ADC与△ABC中，
∵AD＝AB，AC＝AC，DC＝BC，
∴△ADC≌△ABC(SSS)．
∴∠B＝∠D.
要证∠B与∠D相等，可证这两个角所在的三角形全等，现有的条件并不满足，可以考虑添加辅助线证明．
活动2 跟踪训练
1．如图，AD＝BC，AC＝BD.求证：
(1)∠DAB＝∠CBA；
(2)∠ACD＝∠BDC.
2．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.求证：
(1)△ABC≌△DEF；
(2)AB∥DE.
1.三角形全等的判定与性质的应用经常交替使用．
2．注意线段和在证线段相等中的应用．
活动3 课堂小结
1．本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS.并利用它可以证明简单的三角形全等问题．
2．添加辅助线构造公共边，可以为证明两个三角形全等提供条件，证明两个三角形全等是证明线段相等或角相等的重要方法．
【预习导学】
知识探究
全等 SSS
自学反馈
1．△ABC≌△DEF 2.6 3.稳定性 4.SSS
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．证明：(1)在△DAB与△CBA中，∵AD＝BC，DB＝CA，AB＝BA，∴△DAB≌△CBA.∴∠DAB＝∠CBA.(2)同理可证得△DAC≌△CBD，∴∠ACD＝∠BDC. 2.证明：(1)∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋EC.∴BC＝FE.在△ABC与△DEF中，∵AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF.(2)∵△ABC≌△DEF(已证)，∴∠B＝∠DEF.∴AB∥DE.
