2017-2018学年高二数学新人教A版选修1-1学案：第2章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程
文档属性
| 名称 | 2017-2018学年高二数学新人教A版选修1-1学案：第2章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 416.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-10-16 15:18:43 | ||
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文档简介
2．1.1 椭圆及其标准方程
椭圆的定义
[提出问题]
取一条定长的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．
问题1：若绳长等于两点F1，F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？
提示：线段F1F2.
问题2：若绳长大于两点F1，F2的距离，画出的轨迹还是线段吗？其图形又是什么？
提示：不是线段，椭圆．
[导入新知]
椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
[化解疑难]
定义中的条件2a＞|F1F2|＞0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：
(1)当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；
(2)当2a＜|F1F2|时，其轨迹不存在.
椭圆的标准方程
[提出问题]
在平面直角坐标系中，设A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(0，－4)．
问题1：若|PA|＋|PB|＝10，则点P的轨迹方程是什么？
提示：轨迹方程为＋＝1.
问题2：若|PC|＋|PD|＝10，则点P的轨迹方程是什么？
提示：＋＝1.
[导入新知]
若|F1F2|＝2c，|MF1|＋|MF2|＝2a(a＞c)，则椭圆的标准方程、焦点坐标及a，b，c的关系见下表：
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
[化解疑难]
1．标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上，对称轴是坐标轴．
2．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方和，并且分母不相等．
3．a，b，c三个量的关系：椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆.
椭圆标准方程的识别
[例1] 当3＜k＜9时，指出方程＋＝1表示的曲线．
[解] ∵3＜k＜9，
∴9－k＞0，k－3＞0.
(1)当9－k＞k－3，即3＜k＜6时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；
(2)当9－k＝k－3，即k＝6时，方程表示圆x2＋y2＝3；
(3)当9－k＜k－3，即6＜k＜9时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．
[类题通法]
根据椭圆标准方程的两种形式可知，焦点在哪一坐标轴上，哪一变量对应的分母大，即x2对应的分母大，焦点就在x轴上；y2对应的分母大，焦点就在y轴上．
[活学活用]
已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于________．
解析：由题意得m－2＞10－m＞0，
解得6＜m＜10.
又a2＝m－2，b2＝10－m，
则c2＝a2－b2＝2m－12＝4，
解得m＝8.
答案：8
求椭圆的标准方程
[例2] 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
[解] (1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
将点(5,0)代入上式解得a＝5，又c＝4，
所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
[类题通法]
确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
[活学活用]
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
解：(1)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得
解得
即a2＝4，b2＝8，
则a2＜b2，与题设中a＞b＞0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，
A≠B)．将两点(2，－)，代入，
得
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，
所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，
故a2－b2＝16.①
又点(，－)在椭圆上，
所以＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
椭圆的定义及其应用
[例3] 已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解] 在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
∴S＝|PF1|·|PF2|·sin
60°＝.
[类题通法]
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．
[活学活用]
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2是它的焦点．过F1的直线AB与椭圆交于A，B两点，求△ABF2的周长．
解：∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，则△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，
∴△ABF2的周长为4a.
定义法是求轨迹方程的一种常用方法．求解时，若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．下面利用椭圆的定义求轨迹方程．
1．求三角形顶点的轨迹方程
[例] 已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
[解] 以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示．
由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4，0)，c＝4.
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，
得|AB|＋|AC|＝10.
因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0，且y≠0)，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．
由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.
所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
[类题通法]
利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，要注意检验．
[活学活用]
1．若本题中“且△ABC周长等于18”变为“且△ABC周长等于24”，试求此时顶点A的轨迹方程．
解：由题可知，此时2a＝24－8＝16，
则a＝8，c＝4，得b2＝a2－c2＝48，
所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
2．求动圆圆心的轨迹方程
[例] 已知动圆M过定点A(－3,0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解] 设动圆M的半径为r，
则|MA|＝r，|MB|＝8－r，
∴|MA|＋|MB|＝8，且8＞|AB|＝6，
∴动点M的轨迹是椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，且焦点分别是A(－3,0)，B(3,0)，且2a＝8，
∴a＝4，c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.
∴所求动圆圆心M的轨迹方程是＋＝1.
[类题通法]
巧妙地应用几何知识(两圆内切时圆心距与半径之间的关系)，寻求到|MA|＋|MB|＝8，而且8＞|AB|＝6，从而判断动点M的轨迹是椭圆．
[活学活用]
2．已知动圆M和定圆C1：x2＋(y－3)2＝64相内切，并且外切于定圆C2：x2＋(y＋3)2＝4，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：设动圆M的半径为r，圆心M(x，y)，两定圆圆心C1(0,3)，C2(0，－3)，半径r1＝8，r2＝2.
则|MC1|＝8－r，|MC2|＝r＋2.
故|MC1|＋|MC2|＝(8－r)＋(r＋2)＝10.
又|C1C2|＝6，则动圆圆心M的轨迹是椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，
且焦点为C1(0,3)，C2(0，－3)，2a＝10，即a＝5，c＝3，
则b2＝a2－c2＝25－9＝16.
所以动圆圆心M的轨迹方程是＋＝1.
[随堂即时演练]
1．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C．x2＋＝1
D.＋＝1
解析：选D 由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝2，∴a2＝2＋4＝6，
因此椭圆方程为＋＝1，故选D.
2．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则△PF1F2的面积等于( )
A.
B.
C.
D．4
解析：选A 如图所示，
由定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
c＝＝，
又由PF1⊥F1F2，
可设点P的坐标为(－，y0)，
代入＋y2＝1，得|y0|＝，
即|PF1|＝，
所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|＝.
3．椭圆9x2＋16y2＝144的焦点坐标为________．
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，
∴a2＝16，b2＝9，c2＝7，且焦点在x轴上，
∴焦点坐标为(－，0)，(，0)．
答案：(－，0)，(，0)
4．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________________．
解析：∵c＝2，a2＝4b2，
∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，
b2＝4，a2＝16.
又∵焦点在y轴上，
∴标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
5．求适合下列条件的椭圆的方程．
(1)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，
P到它较近的一个焦点的距离等于2.
解：(1)由题意知2c＝10,2a＝26，
所以c＝5，a＝13，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144.
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵P(0，－10)在椭圆上，
∴a＝10.
又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，
∴－c－(－10)＝2，故c＝8，
∴b2＝a2－c2＝36，
∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.
[课时达标检测]
一、选择题
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8
D．10
解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，故选D.
2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2
B．6
C．4
D．12
解析：选C 由于△ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝2，|CA|＋|CF|＝2，便可求得△ABC的周长为4.
3．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选B 利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)，
∴甲是乙的必要条件．
反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．
这是因为：仅当2a＞|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a＜|AB|时，P点无轨迹，
∴甲不是乙的充分条件．
综上，甲是乙的必要不充分条件．
4．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．(3，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
D．(－6，－2)∪(3，＋∞)
解析：选D 由a2＞a＋6＞0，得
所以
所以a＞3或－6＜a＜－2.
5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
解析：选B 由已知2c＝|F1F2|＝2，
∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2.
∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
二、填空题
6．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．
解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，
∴c＝1.∴m－4＝1，m＝5.
当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，
∴c2＝4－m＝1，∴m＝3.
答案：3或5
7．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为____________．
解析：法一：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．
从而有解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的标准方程为＋＝1.
法二：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为__________．
解析：
如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
∴×8b＝12，
∴b＝3.
又∵c＝4，
∴a2＝b2＋c2＝25.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
三、解答题
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
解：由点在椭圆上，得＋＝1，
又2a＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
10．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2＝＋.
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．
解：(1)由已知得＝2，
∴＋＝4＝2a，∴a＝2.
∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)在△PF1F2中，由余弦定理得2
＝2＋2－2cos
120°，
即4＝2－，
∴4＝(2a)2－
＝16－，
∴＝12，
∴S△PF1F2＝sin
120°
＝×12×＝3.
椭圆的定义
[提出问题]
取一条定长的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．
问题1：若绳长等于两点F1，F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？
提示：线段F1F2.
问题2：若绳长大于两点F1，F2的距离，画出的轨迹还是线段吗？其图形又是什么？
提示：不是线段，椭圆．
[导入新知]
椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
[化解疑难]
定义中的条件2a＞|F1F2|＞0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：
(1)当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；
(2)当2a＜|F1F2|时，其轨迹不存在.
椭圆的标准方程
[提出问题]
在平面直角坐标系中，设A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(0，－4)．
问题1：若|PA|＋|PB|＝10，则点P的轨迹方程是什么？
提示：轨迹方程为＋＝1.
问题2：若|PC|＋|PD|＝10，则点P的轨迹方程是什么？
提示：＋＝1.
[导入新知]
若|F1F2|＝2c，|MF1|＋|MF2|＝2a(a＞c)，则椭圆的标准方程、焦点坐标及a，b，c的关系见下表：
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
[化解疑难]
1．标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上，对称轴是坐标轴．
2．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方和，并且分母不相等．
3．a，b，c三个量的关系：椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆.
椭圆标准方程的识别
[例1] 当3＜k＜9时，指出方程＋＝1表示的曲线．
[解] ∵3＜k＜9，
∴9－k＞0，k－3＞0.
(1)当9－k＞k－3，即3＜k＜6时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；
(2)当9－k＝k－3，即k＝6时，方程表示圆x2＋y2＝3；
(3)当9－k＜k－3，即6＜k＜9时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．
[类题通法]
根据椭圆标准方程的两种形式可知，焦点在哪一坐标轴上，哪一变量对应的分母大，即x2对应的分母大，焦点就在x轴上；y2对应的分母大，焦点就在y轴上．
[活学活用]
已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于________．
解析：由题意得m－2＞10－m＞0，
解得6＜m＜10.
又a2＝m－2，b2＝10－m，
则c2＝a2－b2＝2m－12＝4，
解得m＝8.
答案：8
求椭圆的标准方程
[例2] 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
[解] (1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
将点(5,0)代入上式解得a＝5，又c＝4，
所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
[类题通法]
确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
[活学活用]
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
解：(1)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得
解得
即a2＝4，b2＝8，
则a2＜b2，与题设中a＞b＞0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，
A≠B)．将两点(2，－)，代入，
得
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，
所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，
故a2－b2＝16.①
又点(，－)在椭圆上，
所以＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
椭圆的定义及其应用
[例3] 已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解] 在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
∴S＝|PF1|·|PF2|·sin
60°＝.
[类题通法]
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．
[活学活用]
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2是它的焦点．过F1的直线AB与椭圆交于A，B两点，求△ABF2的周长．
解：∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，则△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，
∴△ABF2的周长为4a.
定义法是求轨迹方程的一种常用方法．求解时，若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．下面利用椭圆的定义求轨迹方程．
1．求三角形顶点的轨迹方程
[例] 已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
[解] 以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示．
由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4，0)，c＝4.
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，
得|AB|＋|AC|＝10.
因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0，且y≠0)，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．
由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.
所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
[类题通法]
利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，要注意检验．
[活学活用]
1．若本题中“且△ABC周长等于18”变为“且△ABC周长等于24”，试求此时顶点A的轨迹方程．
解：由题可知，此时2a＝24－8＝16，
则a＝8，c＝4，得b2＝a2－c2＝48，
所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
2．求动圆圆心的轨迹方程
[例] 已知动圆M过定点A(－3,0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解] 设动圆M的半径为r，
则|MA|＝r，|MB|＝8－r，
∴|MA|＋|MB|＝8，且8＞|AB|＝6，
∴动点M的轨迹是椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，且焦点分别是A(－3,0)，B(3,0)，且2a＝8，
∴a＝4，c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.
∴所求动圆圆心M的轨迹方程是＋＝1.
[类题通法]
巧妙地应用几何知识(两圆内切时圆心距与半径之间的关系)，寻求到|MA|＋|MB|＝8，而且8＞|AB|＝6，从而判断动点M的轨迹是椭圆．
[活学活用]
2．已知动圆M和定圆C1：x2＋(y－3)2＝64相内切，并且外切于定圆C2：x2＋(y＋3)2＝4，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：设动圆M的半径为r，圆心M(x，y)，两定圆圆心C1(0,3)，C2(0，－3)，半径r1＝8，r2＝2.
则|MC1|＝8－r，|MC2|＝r＋2.
故|MC1|＋|MC2|＝(8－r)＋(r＋2)＝10.
又|C1C2|＝6，则动圆圆心M的轨迹是椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，
且焦点为C1(0,3)，C2(0，－3)，2a＝10，即a＝5，c＝3，
则b2＝a2－c2＝25－9＝16.
所以动圆圆心M的轨迹方程是＋＝1.
[随堂即时演练]
1．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C．x2＋＝1
D.＋＝1
解析：选D 由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝2，∴a2＝2＋4＝6，
因此椭圆方程为＋＝1，故选D.
2．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则△PF1F2的面积等于( )
A.
B.
C.
D．4
解析：选A 如图所示，
由定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
c＝＝，
又由PF1⊥F1F2，
可设点P的坐标为(－，y0)，
代入＋y2＝1，得|y0|＝，
即|PF1|＝，
所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|＝.
3．椭圆9x2＋16y2＝144的焦点坐标为________．
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，
∴a2＝16，b2＝9，c2＝7，且焦点在x轴上，
∴焦点坐标为(－，0)，(，0)．
答案：(－，0)，(，0)
4．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________________．
解析：∵c＝2，a2＝4b2，
∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，
b2＝4，a2＝16.
又∵焦点在y轴上，
∴标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
5．求适合下列条件的椭圆的方程．
(1)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，
P到它较近的一个焦点的距离等于2.
解：(1)由题意知2c＝10,2a＝26，
所以c＝5，a＝13，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144.
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵P(0，－10)在椭圆上，
∴a＝10.
又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，
∴－c－(－10)＝2，故c＝8，
∴b2＝a2－c2＝36，
∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.
[课时达标检测]
一、选择题
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8
D．10
解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，故选D.
2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2
B．6
C．4
D．12
解析：选C 由于△ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝2，|CA|＋|CF|＝2，便可求得△ABC的周长为4.
3．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选B 利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)，
∴甲是乙的必要条件．
反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．
这是因为：仅当2a＞|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a＜|AB|时，P点无轨迹，
∴甲不是乙的充分条件．
综上，甲是乙的必要不充分条件．
4．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．(3，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
D．(－6，－2)∪(3，＋∞)
解析：选D 由a2＞a＋6＞0，得
所以
所以a＞3或－6＜a＜－2.
5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
解析：选B 由已知2c＝|F1F2|＝2，
∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2.
∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
二、填空题
6．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．
解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，
∴c＝1.∴m－4＝1，m＝5.
当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，
∴c2＝4－m＝1，∴m＝3.
答案：3或5
7．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为____________．
解析：法一：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．
从而有解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的标准方程为＋＝1.
法二：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为__________．
解析：
如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
∴×8b＝12，
∴b＝3.
又∵c＝4，
∴a2＝b2＋c2＝25.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
三、解答题
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
解：由点在椭圆上，得＋＝1，
又2a＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
10．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2＝＋.
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．
解：(1)由已知得＝2，
∴＋＝4＝2a，∴a＝2.
∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)在△PF1F2中，由余弦定理得2
＝2＋2－2cos
120°，
即4＝2－，
∴4＝(2a)2－
＝16－，
∴＝12，
∴S△PF1F2＝sin
120°
＝×12×＝3.