第一课时 椭圆的简单几何性质
[提出问题]
图中椭圆的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)．
问题1：椭圆具有对称性吗？
提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．
问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？
提示：可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a,0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b)．
问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？
提示：x∈[－a，a]，y∈[－b，b]．
问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？
提示：b越小，椭圆越扁．
[导入新知]
椭圆的简单几何性质
焦点
的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝(0[化解疑难]
1．由不等式＝1－≤1可得|x|≤a，由＝1－≤1可得|y|≤b，从而可得椭圆的范围．
2．椭圆有四个顶点、两个焦点共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置，注意长轴长是2a，而不是a.
3．椭圆的离心率e的大小，描述了椭圆的扁平程度．e越接近1，则c就越接近a，从而b＝越小，因此，椭圆越扁；反之，e越接近0，则c就越接近0，从而b越接近a，这时椭圆越接近圆．特别地，当a＝b时，c＝0，椭圆就变为圆了，此时方程为x2＋y2＝a2.
椭圆的几何性质
[例1] 求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
[解] 椭圆方程变形为＋＝1，
∴a＝3，b＝2，
∴c＝
＝＝.
∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，
离心率e＝＝.
[类题通法]
求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
[活学活用]
已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1，
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；
④离心率：e＝.
利用椭圆的几何性质求其标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[解] (1)设椭圆的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．
由已知得2a＝10，a＝5.
又∵e＝＝，∴c＝4.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[类题通法]
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置．
②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)．
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式为b2＝a2－c2，e＝等．
(2)在椭圆的简单性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆方程可能有两个．
[活学活用]
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在x轴上，短轴长为2，离心率e＝；
(2)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)．
解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由题意知解得a＝，b＝1，
因此，椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意得
解得故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由题意，得解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
椭圆的离心率
[例3] 如图，已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的一点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．
[解] 由已知可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)，
则由题意可知P.
∵△PF1O∽△BOA，
∴＝，∴＝，即b＝c，
∴a2＝2c2，∴e＝＝.
[类题通法]
椭圆的离心率的求法
求椭圆的离心率，关键是寻找a与c的关系，一般地：
(1)若已知a，c，则直接代入e＝求解；
(2)若已知a，b，则由e＝
求解；
(3)若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的齐次式，再转化为含e的方程求解即可．
[活学活用]
若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 依题意，△BF1F2是正三角形．
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴acos
60°＝c，
∴＝，即椭圆的离心率e＝.
[典例] 已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e＝，且过P(2,3)，求此椭圆的标准方程．
[解] (1)当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)．
由题意知解得b2＝10，a2＝40.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意得解得b2＝，a2＝25.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上，所求椭圆的标准方程为
＋＝1或＋＝1.
[易错防范]
求解时不讨论焦点的位置，而默认为椭圆的焦点在x轴上，这是最常见的错解．
[成功破障]
若椭圆＋＝1的离心率e＝，则k的值等于________．
解析：分两种情况进行讨论：
当焦点在x轴上时，a2＝k＋8，b2＝9，得c2＝k－1，
又∵e＝，
∴＝，解得k＝4.
当焦点在y轴上时，a2＝9，b2＝k＋8，得c2＝1－k，
又∵e＝，
∴＝，
解得k＝－.
∴k＝4或k＝－.
答案：4或－
[随堂即时演练]
1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：选A 因为2a＝18,2c＝×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.
2．椭圆C1：＋＝1与椭圆C2：＋＝1(k＜9)( )
A．有相同的长轴
B．有相同的短轴
C．有相同的焦点
D．有相等的离心率
解析：选C 25－9＝(25－k)－(9－k)，故两椭圆有相同的焦点．
3．椭圆x2＋4y2＝16的短轴长为________．
解析：由＋＝1可知b＝2，
∴短轴长2b＝4.
答案：4
4．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率e＝________.
解析：由题意知椭圆焦点在x轴上，
∴在直线x＋2y－2＝0中，
令y＝0得c＝2；令x＝0得b＝1.
∴a＝＝.
∴e＝＝.
答案：
5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12；
(2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)．
解：(1)由题意设椭圆的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12，
∴2a＝12，即a＝6.
∵椭圆的离心率为，
∴e＝＝＝＝，
∴b2＝9.∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知椭圆的焦点在y轴上，
可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则b＝9.
因为c＝7，所以a2＝b2＋c2＝81＋49＝130，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
[课时达标检测]
一、选择题
1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )
A．(±13,0)
B．(0，±10)
C．(0，±13)
D．(0，±)
解析：选D 由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，
故焦点坐标为(0，±)．
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1
B.＋y2＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：选A 由椭圆的性质知
|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
又∵△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，∴a＝.
又e＝，∴c＝1.
∴b2＝a2－c2＝2，
∴椭圆的方程为＋＝1.
3．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
解析：选D 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，
所以a2＝25，b2＝9.
4．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若AP―→＝2PB―→，则椭圆的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D ∵AP―→＝2PB―→，
∴|AP―→|＝2|PB―→|.
又∵PO∥BF，∴＝＝，
即＝，∴e＝＝.
5．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 法一：将x＝－c代入椭圆方程可解得点P－c，±，故|PF1|＝，
又在Rt△F1PF2中∠F1PF2＝60°，
所以|PF2|＝，根据椭圆定义得＝2a，
从而可得e＝＝.
法二：设|F1F2|＝2c，则在Rt△F1PF2中，
|PF1|＝c，|PF2|＝c.
所以|PF1|＋|PF2|＝2c＝2a，离心率e＝＝.
二、填空题
6．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是________________．
解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，因此可设待求椭圆为＋＝1.
又b＝2，
故m＝20，得＋＝1.
答案：＋＝1
7．椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________.
解析：当焦点在x轴上时，＝ m＝3；
当焦点在y轴上时，＝ m＝.
综上，m＝3或m＝.
答案：3或
8．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，
且过P(－5,4)，则椭圆的方程为__________．
解析：∵e＝＝，
∴＝＝，
∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞0)，
∵椭圆过点P(－5,4)，
∴＋＝1.
解得a2＝45.
∴椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
三、解答题
9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．
解：设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由e＝知＝，故＝，
从而＝，＝.
由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8.
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
10．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．
解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是：2＋y2＝2，所以y2＝ax－x2.①
又P点在椭圆上，故＋＝1.②
把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，
即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，
∵x≠a，x≠0，
∴x＝，又0＜x＜a，
∴0＜＜a，即2b2＜a2.
由b2＝a2－c2，得a2＜2c2，
所以e＞.
又∵0＜e＜1，∴＜e＜1.
即椭圆离心率的取值范围是.第二课时 直线与椭圆的位置关系
[导入新知]
1．直线与椭圆的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个公共点．
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入椭圆的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，椭圆方程为f(x，y)＝0.
由消元，
如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
设Δ＝b2－4ac.
①Δ＞0时，直线和椭圆相交于不同两点；
②Δ＝0时，直线和椭圆相切于一点；
③Δ＜0时，直线和椭圆没有公共点．
2．椭圆的弦
直线与椭圆相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做椭圆的弦，线段的长就是弦长，简单地说，椭圆的弦就是连接椭圆上任意两点所得的线段．
[化解疑难]
1．直线与椭圆有三种位置关系，即相交、相切和相离．
2．解决直线与椭圆的位置关系，一般是联立直线方程和椭圆方程组成方程组，根据方程组解的个数判断直线与椭圆的公共点的个数，从而确定位置关系．
直线与椭圆的位置关系
[例1] 对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．
[解] 由消去y，得＋(x＋m)2＝1，整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当－＜m＜时，Δ＞0，直线与椭圆相交；
当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；
当m＜－或m＞时，Δ＜0，直线与椭圆相离．
[类题通法]
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ＞0 直线与椭圆相交；
Δ＝0 直线与椭圆相切；
Δ＜0 直线与椭圆相离．
[活学活用]
若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围．
解：由
消去y，得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，
∴Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)＝20m(5k2＋m－1)．
∵直线与椭圆总有公共点，
∴Δ≥0对任意k∈R都成立．
∵m＞0，∴5k2≥1－m恒成立．
∵5k2≥0，∴1－m≤0，即m≥1.
又椭圆的焦点在x轴上，
∴0＜m＜5，
∴1≤m＜5，
即m的取值范围为[1,5)．
弦长问题
[例2] 已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．
[解] 法一：∵直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1,0)，且直线的斜率为2，
∴直线l的方程为y＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0.
由方程组
得交点A(0，－2)，B.
|AB|＝
＝
＝
＝.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B的坐标为方程组的解．
消去y得，3x2－5x＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝0.
∴|AB|＝
＝
＝
＝
＝.
[类题通法] 当直线与椭圆相交时，两交点间的距离，称为弦长．
(1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，然后运用根与系数的关系求弦长．不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这种方法是求弦长常采用的方法．
(2)求弦长的公式：设直线l的斜率为k，方程为y＝kx＋b，设端点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则|AB|＝
＝
＝·
＝·，
其中，x1＋x2，x1x2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y后得到关于x的一元二次方程得到．
[活学活用]
椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝，求椭圆的方程．
解：∵e＝，∴b2＝a2.
∴椭圆的方程为x2＋4y2＝a2.
与x＋2y＋8＝0联立消去y，
得2x2＋16x＋64－a2＝0，
由Δ＞0，得a2＞32，
由弦长公式得10＝×[64－2(64－a2)]．
∴a2＝36，b2＝9.∴椭圆的方程为＋＝1.
中点弦问题
[例3] 已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．
[解] 法一：由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆的方程有
(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.
∴x1＋x2＝＝8，
∴k＝－.
∴直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
法二：设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
∴＝－，
即k＝－.
∴直线l的方程为x＋2y－8＝0.
[类题通法]
解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，
则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，
变形得＝－·＝－·，
即kAB＝－.
[活学活用]
已知中心在原点，一个焦点为F(0，)的椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程．
解：设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
弦两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
由＋＝1及y＝3x－2得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋b2(4－a2)＝0，
x1＋x2＝，
由已知＝，
即＝1，
所以a2＝3b2.
又c2＝a2－b2＝50，
所以得a2＝75，b2＝25，
所以椭圆的方程为＋＝1.
[典例] (12分)(北京高考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
[解题流程]
[活学活用]
(浙江高考)如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1)．
(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
解：(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AP，由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，
故x1＝0，x2＝－.因此|AP|＝|x1－x2|＝.
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.
由(1)知，|AP|＝，|AQ|＝，故＝，
所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.
由k1≠k2，k1，k2＞0得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，
因此＝1＋a2(a2－2)． ①
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞.
因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤.
由e＝＝，得0＜e≤.所求离心率的取值范围为.
[随堂即时演练]
1．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
解析：选A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝＝
.因为1≤b＜2，所以0＜e≤.
2．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线与椭圆的交点，中点M(x0，y0)，
由得3x2＋4x－2＝0.
x0＝＝·＝－，
y0＝x0＋1＝，∴中点坐标为.
3．已知焦点在x轴上的椭圆C：＋y2＝1(a>0)，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为________．
解析：因为椭圆＋y2＝1(a>0)的焦点在x轴上，所以c＝，又过右焦点且垂直于x轴的直线为x＝c，将其代入椭圆方程中，得＋y2＝1，则y＝±
，又|AB|＝1，所以2＝1，得＝，所以该椭圆的离心率e＝＝(负值舍去)．
答案：
4．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．
解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
又∵直线与椭圆有两个公共点，
∴Δ＝(4m)2－4m(m＋3)＝16m2－4m2－12m
＝12m2－12m＞0，
解得m＞1或m＜0.
又∵m＞0且m≠3，∴m＞1且m≠3.
答案：(1,3)∪(3，＋∞)
5．过点P(－1,1)的直线与椭圆＋＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|.
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由A，B两点在椭圆上得
两式相减得
(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0.①
显然x1≠x2，故由①得
kAB＝＝－.
因为点P是AB的中点，所以有
x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2.②
把②代入①得kAB＝，
故AB的直线方程是y－1＝(x＋1)，即x－2y＋3＝0.
由消去y得3x2＋6x＋1＝0.
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝，
|AB|＝
＝
＝
＝·
＝
·＝.
[课时达标检测]
一、选择题
1．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为( )
A．10
B．12
C．16
D．18
解析：选B ∵|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，
∴|AF1|＋|BF1|＝4×5－8＝12.
2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝( )
A.
B.
C．2
D．4
解析：选A 将椭圆方程化为标准方程为x2＋＝1，∵焦点在y轴上，∴＞1，∴0＜m＜1.由方程得a＝
，b＝1.∵a＝2b，∴m＝.
3．两个正数1,9的等差中项是a，等比中项是b且b＞0，则曲线＋＝1的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A ∵a＝＝5，b＝＝3，
∴e＝＝.
4．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1)
B．0，
C．0，
D.，1
解析：选C ∵⊥，
∴点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c＜b，∴c2＜b2＝a2－c2，即2c2＜a2，
∴＜，即＜.又e＞0，∴0＜e＜.
5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则|
|＝( )
A.
B．2
C.
D．3
解析：选A 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)．
由＝3，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.将x0，y0代入＋y2＝1，
得×2＋2＝1.
解得n2＝1，
∴||＝＝＝.
二、填空题
6．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
解析：由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝
＝
＝.
答案：
7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．
∵·＝0，∴⊥.
∴||2＝||2－||2＝||2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，
∴||min＝2，∴||min＝.
答案：
8．(江苏高考)
如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
解析：将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，
所以x＝±a，故B，C.
又因为F(c,0)，所以BF―→＝，
CF―→＝.
因为∠BFC＝90°，所以BF―→·CF―→＝0，
所以＋2＝0，即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．
答案：
三、解答题
9．设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．
(1)求实数b的取值范围；
(2)当b＝1时，求|AB|.
解：(1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，
消去y，整理得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①
因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，
所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2＞0，
解得－＜b＜.
所以b的取值范围为(－，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.
解得x1＝0，x2＝－.
相应地y1＝1，y2＝－.
所以|AB|＝＝.
10．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，
∴b＝4.又e＝＝，得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为
y＝(x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，
得＋＝1，即x2－3x－8＝0，
解得x1＋x2＝3，
∴AB的中点坐标
＝＝，
＝＝(x1＋x2－6)＝－，
即中点坐标为.
