第四章 三角形
4.1 认识三角形（一）
一 学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在小学已经学习了 ( http: / / www.21cnjy.com )有关三角形的一些初步知识，能在生活中抽象出三角形的几何图形，并能给出三角形的简单概念及一些相关概念。但不够严密，教师要在教学中指出，并要相对严密地给出概念。学生在第二章对两直线平行的条件以及平行线的特征进行了探索，使学生具备了利用平行线的结论得出三角形内角和的结论的基本知识和基本技能。
学生的活动经验基础：学生在以前的几何学习过 ( http: / / www.21cnjy.com )程中，已对图形的概念、线段及角的表示法、线段的测量等有了一定的认识，为认识三角形概念、表示法的学习奠定了基础。在小学学习三角形的内角和的结论时是通过撕、拼的方法得到的，具备了直观操作的经验，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二 教学任务分析
让学生掌握三角形的概念，能指出三角形的顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )、边、角等基本元素，能用适当的符号表示三角形以及这些基本元素；经历探索、验证“三角形内角和等于180°”的活动过程，获得一定的推理活动经验；能应用三角形内角和定理解决一些简单的问题；能运用直角三角形两锐角互余的性质解决简单的问题；会按角的大小关系对三角形分类，能判断出给定三角形的形状。基于此，本节课的教学目标是：
知识与技能：通过观察、操作、想象、推理“三角形内角和等于180°”的活动过程，发展空间观念，推理能力和有条理地表达能力。
过程与方法：让学生在数学活动中通过相互间的合作与交流，培养学生的相互协作意识及数学表达能力。
情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心，体验解决问题方法的多样性，激发学生的学习兴趣。
三 教学设计分析
本节课设计了七个教学环节： ( http: / / www.21cnjy.com )第一环节：情境引入；第二环节：概念讲解；第三环节：合作学习；第四环节：猜角游戏；第五环节：练习提高；第六环节：总结收获；第七环节：布置作业。
第一环节 情境引入
活动内容： 让学生收集生活中有关三角形的图片，课上让学生举例，并观察图片。
活动目的： 使学生能从生活中抽象出几 ( http: / / www.21cnjy.com )何图形 ，感受到我们生活在几何图形的世界之中。 培养学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质，在课堂上用源于学生收集的图片展开教学，从而更大地激发学生学习数学的兴趣。
实际教学效果：学生能很好的找出生活 ( http: / / www.21cnjy.com )中的三角形的实例，如教师用的三角板、人字架房屋、自行车的大梁、埃及金字塔等，这些充分体现了学生走进生活、感受数学的高涨热情。
第二环节 概念讲解
活动内容 ：参照教材提供的屋顶框架图，提出问题
(1)你能从中找出三个不同的三角形吗？
(2)这些三角形有什么共同的特点？
活动目的: 通过上题的分析引导学 ( http: / / www.21cnjy.com )生归纳三角形的概念、基本要素（边、角、顶点），体会用符号表示三角形的必要性，培养学生观察分析能力及归纳总结的能力。
实际教学效果：学生对三角形的概念已牢固掌握并能熟练应用，能在图中找出三角形的个数。
第三环节 合作学习
活动内容：以4人合作小组为单位，充分利用课前 ( http: / / www.21cnjy.com )准备的任意三角形纸片，探索验证三角形内角和为180°的方法。然后各小组选派代表展示设计的方案并陈述理由。
活动目的：学生在探究过程中 ( http: / / www.21cnjy.com )，教师到各小组巡回指导，参与他们的讨论，鼓励他们提出疑问，但是并不急于评判他们的答案，而是有针对性的启发和指导，引导学生在操作中自觉思考：能否利用平行线的有关事实说明理由，让学生们主动思考，团结协作的释疑。
在这一环节中一方面充分利 ( http: / / www.21cnjy.com )用学生已有的知识和经验，另一方面使学生通过多角度思考、分析、说理、操作加深学生对三角形内角和为180°的理解，从而突出和解决了本节课的重点，同时在教学中注重在直观操作的基础上进行简单的推理，使学生学会用一定的方式有条理地表达推理过程，为今后的几何证明打下基础。
实际教学效果：通过小组讨论、直观教具演 ( http: / / www.21cnjy.com )示等手段，激发了学生学习的兴趣，创设师生间民主、互动的学习氛围，为每一个学生创设了平等参与学习的机会。通过合作交流，使学生在横向交流中各尽所能，取长补短，各有所获，在交往互动中共同发展。
小组合作过程：
师：请同学们动手做做，同桌也可以合作，互相讨论并说说你推出结论的过程(师巡)。
师：哪位同学拼得了 请把你的拼法展示给全班同学看看，并说说你的推理。
生：(展示图1)其推理是：由内错角相等得两直线a∥b，再由同旁内角互补得三内角和为180°。
师：还有别的推理方法吗
( http: / / www.21cnjy.com ) 图1
( http: / / www.21cnjy.com ) 图2
( http: / / www.21cnjy.com )图3
生：(展示图2)作延长线如图， ( http: / / www.21cnjy.com )其推理是：由内错角相等得直线a∥b，再由a∥b得同位角∠3=∠4。因为∠1+∠2+∠4=180°，所以∠１+∠2+∠3=180°，即三个内角和为180°。
师：再想想看，还有别的方法吗
生：(展示图3)延长b边， ( http: / / www.21cnjy.com )其推理是：由内错角相等得直线a∥b，再由内错角∠3=∠4得∠1+∠2+∠4=180°，所以∠1+∠2+∠3=180°。
师：通过大家的探讨，同学们自己找到了三角形的三个内角的数量关系。那我们一块来总结一下刚才的所有想法和思路。
第四环节 猜角游戏
活动内容：
教师借助下图提出问题：
（1）下面的图（1）、图（2）、图（3）中的三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由。
（2）将图（3）的结果与图（1）、图（2）的结果进行比较，可以将三角形如何按角分类？
2、进一步学习上述游戏活动中得出的直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的相关知识——直角三角形的符号、斜边、直角边，并提出问题：直角三角形有许多性质，你能发现它的两个锐角之间有什么关系吗？从而引导学生发现直角三角形两个锐角互余。
活动目的：
通过第1个活动，使学生从游戏中归纳出 ( http: / / www.21cnjy.com )根据三角形内角的大小只能把三角形分成三类。然后让学生任意说出三角形的两个内角的度数，请其他同学说出是什么三角形。通过对三角形分类的学习，使学生了解数学分类的基本思想。当只露出一个内角为锐角时，引导学生发现三种情况都是可以的，即两个锐角，一个锐角一个直角，一个钝角一个锐角，从而使学生初步体会反证法的思想，为后面进一步研究反证法奠定基础。
第2个活动是学生在理解三角形内角和为1 ( http: / / www.21cnjy.com )80°之后的延伸——直角三角形的符号、斜边、直角边以及直角三角形两个锐角互余，培养学生良好的学习习惯，提高学生灵活运用所学知识的能力。
实际教学效果：通过在游戏中对问 ( http: / / www.21cnjy.com )题的解决，使学生有成就感，树立了学好数学的信心。学生通过游戏活动，发现三角形三个角之间的关系与三角形的具体形状无本质关系，特殊三角形的特殊性质与其形状有关——直角三角形两个锐角互余。
第五环节 练习提高
活动内容：在这个环节设计了练一练、知识技能、想一想、实际问题
练一练
观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应图内：
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
知识技能
1、已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，∠C＝70°，∠A＝50 °， ∠B＝（ ）
2、在△ABC中，∠B=60°，∠A=2∠C，则∠C=（ ）
3、已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，求∠A，∠B，∠C的度数。
想一想
一个三角形中会有两个直角吗？可能两个内角是钝角或锐角吗？
实际教学效果：在练习的过程中对学生给予及时的肯定、表扬、激励，使不同的学生得到不同的发展，特别是“学习有困难”的学生也能够积极参与。
第六环节 总结收获
活动内容：引导学生进行小结
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈自 ( http: / / www.21cnjy.com )己的收获与感想，包括三角形的内角和为180°，直角三角形的表示法及有关概念，直角三角形两锐角互余，三角形按角分类，让学生知道本节课渗透的数学学习方法及思想如转化等。
实际教学效果：学生通过自己的思考、归纳、总 ( http: / / www.21cnjy.com )结本节课所学的知识要点，并敢于提出问题，说出自己的困惑，使学生带着问题走进课堂，又带着思索走出课堂，不仅激发了学生的学习兴趣，而且使数学学习延伸到课外。
第七环节 布置作业
必做题：习题4.1 1、2（直接填写在教材上）
选做题：写一篇关于三角形内角和为180°说明方法的文章
预习：认识三角形（2）
四、教学设计反思
1、让学生体验“做数学”、“说数学”
在教学过程中学生在教师创设的 ( http: / / www.21cnjy.com )情境下，自己动手操作、动脑思考、动口表达、探索未知领域、寻找客观真理、成为发现者，学生自始自终地参与这一探索过程，发展了学生的创新精神和实践能力。通过有条理的表达三角形内角和为180°的推理过程，为今后的几何证明打下基础。
2、教师应成为学生学习的促进者
通过让学生剪、拼得到三角形内角和为18 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，再请学生用所学知识推导出来，使学生的感性认识和理性认识都得到提高，而不是单纯的将问题的结论告诉学生。在备课时，更应思考的是学生怎么学，为了让学生学得更多、更好、更会学，身为教师应使自己从一个讲授者变成学生学习的促进者。
斜梁
斜梁
横梁认识三角形（一）教学反思
本节课目的是使学生由被动接受知识 ( http: / / www.21cnjy.com )转为主动学习，从而提高学习效率。让学生自主探究，在教学过程中充分发挥学生的主动性；让学生提出猜想，在教学中通过必要的提示指明学生思考问题的方向。在学生提出验证三角形内角和的不同方法时，教师注意让学生上台演示自己的操作过程和说明自己的想法，这样有助于学生接受三角形的内角和是180°这一结论。
新的教学理念提出教学中要以学生为中心， ( http: / / www.21cnjy.com )发挥学生的主体作用。在教学中要让学生多动手动脑，并通过思考把自己的观点看法用自己的语言表达出来，这样才能调动起学生的学习的兴趣。使他们乐学愿学好学，其实用一句话概括就是：让学生在快乐中学习，在学习中得到快乐。
课上不能以老师讲为主，这样不但课程进展的慢，老师累，而且学生对于知识的掌握也较死，其效果必定会是事倍功半。在讲《三角形的认识（一）》这节课的时候，讲课时自己说的过多，感觉在教学过程中自己的教学方法过于单一，学生的学习积极性未能完全调动起来。自己还不能真正放手，让他们自己主动去探索其中的奥秘。
在新课标提出后，要想在数学的教育教学工作中提高自己的教学水平就必须在教学上采用多种多样的教学方法，激起学生的学习兴趣，提高学生各方面的能力。要做到这一点，我们作为教育工作者就要时时对自己的教学方法进行总结反思，找到工作中的不足之处加以改进，在不断改进中提高自己的教学效果。
对于自己在教学中出现的问题应该多请 ( http: / / www.21cnjy.com )教同行，多写教学反思，通过在不断的反思中形成自己上课的风格和思考问题的方式，这样对于指导学生参与不同课型应有的素养会得到提升。
让学生体验“做数学”、“说数学”，在 ( http: / / www.21cnjy.com )教学过程中学生在教师创设的情境下，自己动手操作、动脑思考、动口表达、探索未知领域、寻找客观真理、成为发现者，学生自始自终地参与这一探索过程，发展了学生的创新精神和实践能力。通过有条理的表达三角形内角和为180°的推理过程，为今后的几何证明打下基础。教师应成为学生学习的促进者，通过让学生剪、拼得到三角形内角和为180°，再请学生用所学知识推导出来，使学生的感性认识和理性认识都得到提高，而不是单纯的将问题的结论告诉学生。在备课时，更应思考的是学生怎么学，为了让学生学得更多、更好、更会学，身为教师应使自己从一个讲授者变成学生学习的促进者。(共18张PPT)
§4.1 认识三角形
北师大版 七年级下册
观察下面的屋顶部分框架图：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
一、三角形的概念
你能从中找出三个不同的三角形吗？
①
这些是不是三角形？
②
③
④
A
B
C
a
b
c
三个顶点： 点A、点B、点C
三条边：边AB、边AC、边BC
三个内角:∠A 、∠B 、∠C
c
b
a
记作△ABC
A
G
F
E
D
B
C
（2）以∠B为内角的三角形有哪些？
△BDF、△BDA、△BAE、△BAC
（1）你能把刚才同学找出的三角形表示出来吗？
你能用学过的知识和方法说明“三角形的三个内角和是180 ”吗？
二、三角形的内角和等于1800.
小组合作
1
E
C
B
A
a
b
3
2
1
1
∴ ∠A=∠1
( )
∠B+∠BCE=180°
( )
又∵∠1+∠ACB= ∠BCE
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
（等量代换）
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
过点C作CE∥BA
2
1
E
D
C
B
A
∴ ∠A=∠1
( )
∠B=∠2
( )
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
（等量代换）
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同位角相等
过点C作CE∥BA，延长BC到D，
A
C
B
A
C
B
D
A
C
B
D
E
A
C
B
D
E
从三角形的某一顶点添加平行线（辅助线）
添加辅助线思路：
1、构造平角
2、构造同旁内角
二、三角形三个内角的和等于1800
1
1
2
1
2
3、已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，
求∠A、∠B和∠C的度数.
1、在△ABC中，∠C=70°，∠A=50°，则∠B=______.
2、在△ABC中，∠B=60°，∠A=2∠C，则∠C=______.
60°
40°
这类题可利用方程的思想，
设∠A、∠B、∠C的度数
分别为x°、2x°、3x°即可.
下面的图⑴、图⑵、图⑶中的三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由。
将图⑶的结果与图⑴、图⑵的结果进行比较，可以将三角形如何按角分类？
图（1）
图（2）
图（3）
按三角形内角的大小把三角形分为三类
三角形的分类
三个内角都是锐角
有一个内角是钝角
有一个内角是直角
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三、三角形分类
1、一个三角形两个内角的度数分别如下，这个
三角形是什么三角形？
（1）30°和60°
（2）40°和70°
（3）50°和20°
（4）25°和100°
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
钝角三角形
直角边
直角边
斜边
1、常用符号“Rt ABC”来
表示直角三角形ABC.
直角三角形的两个锐角互余
四、直角三角形
A
B
C
2、直角三角形的两个锐角之
间有什么关系？
在Rt ABC中，
∵∠B＝ 90゜
∴∠A＋∠C＝90゜
A
2
1
D
C
B
2、如图，已知∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足是D .
（1）图中有几个直角三角形？哪几个？说出它们
的直角边和斜边.
（2）∠1和∠A有什么关系？∠2和∠A呢？
Rt ABC、 Rt ACD、 Rt CDB
本节课你的收获？
巩固性作业：（必做题）
研究性作业：（选做题）
课本 习题4.1 知识技能1题 2题
预习作业:
认识三角形（2）
写一篇关于“三角形内角和为180°”
说明方法的文章《认识三角形》评测练习
在∠ABC中，∠C=70°，∠A=50°，则∠B=______。
2、在∠ABC中，∠B=60°，∠A=2∠C，则∠C=______。
3、已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，求∠A、∠B和∠C的度数。
4、一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形？
（1）30°和60°（2）40°和70°（3）50°和20°（4）25°和100°
5、如图，已知∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足是D。
（1）图中有几个直角三角形？哪几个？说出它们的直角边和斜边。
（2）∠1和∠A有什么关系？∠2和∠A呢？认识三角形（一）教材分析
一、教材的地位和作用
学生在小学已经学习了有关三角形的一些初步知 ( http: / / www.21cnjy.com )识，能在生活中抽象出三角形的几何图形，并能给出三角形的简单概念及一些相关概念。但不够严密，教师要在教学中指出，并要相对严密地给出概念。学生在第二章对两直线平行的条件以及平行线的特征进行了探索，使学生具备了利用平行线的结论得出三角形内角和的结论的基本知识和基本技能。它既是上学期所学线段和角的延续，又是后继学习全等三角形和四边形的基础。在知识体系上具有承上启下的作用。
2、教学目标
知识与技能：通过观察、操作、想象、推理“三角形内角和等于180°”的活动过程，发展空间观念，推理能力和有条理地表达能力。
过程与方法：让学生在数学活动中通过相互间的合作与交流，培养学生的相互协作意识及数学表达能力。
情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心，体验解决问题方法的多样性，激发学生的学习兴趣。
三、教学重、难点
教学重点：三角形内角和是180°的探究和归纳。
教学难点：三角形内角和是180°的应用。
