江苏省兴化一中2017-2018学年高二上学期第一次月考数学试卷 Word版含答案

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兴化市第一中学2017秋学期数学高二第一次月考试卷
（总分160，时间120分钟）
一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应的位置上.)
1．直线的倾斜角等于_________
．
2．若方程表示椭圆，则的取值范围为__________．
3．双曲线的两条渐近线方程为___________．
4．过点且与有相同焦点的椭圆的方程是
.
5．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为______．
6．若椭圆经过点，且焦点为，则这个椭圆的离心率等于________．
7．已知双曲线离心率，虚半轴长为3，则双曲线方程为______________．
8．已知直线，，若直线，则____．
9．已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则___________.
10．已知椭圆的方程为，若椭圆的离心率，则的所有取值构成的集合为___．
11．已知和圆交于，两点，则的垂直平分线的方程是__．
12．直线与椭圆相交于，两点，中点为，若直线斜率与斜率之积为-1/4，则椭圆的离心率的值是
．
13．已知的离心率为，右焦点为，点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于，两点．若的周长为4，则的方程为_______．
14．过椭圆的左顶点的斜率为的直线交椭圆于另一点，且点与右焦点的连线垂直于轴，若，则椭圆的离心率的取值范围是____________．
兴化市第一中学2017秋学期数学高二第一次月考试卷
（总分160，时间120分钟）
一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应的位置上.)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
二、解答题：(本大题共6小题，共90分)
15．(本小题14分)已知直线经过点，且斜率为.
（1）求直线的方程；
（2）若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.
16．(本小题14分)
如图：在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB＝8，BC＝6，其中A（－4，0）、B（4，0）
（1）若A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，求该椭圆的方程；
（2）若A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，求双曲线的方程；
17．(本小题15分)
已知椭圆经过点，左焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，求的面积.
18．(本小题15分)
如图为双曲线的两焦点，以为直径的圆与双曲线交于是圆与轴的交点，连接与交于，且是的中点，
（1）当时，求双曲线的方程；
（2）试证：对任意的正实数，双曲线的离心率为常数．
19．(本小题16分)
在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线交椭圆于两点，为弦的中点，,，记直线,的斜率分别为,，当时，求的值.
20．(本小题16分)
已知、分别是椭圆的左顶点、右焦点，点为椭圆上一动点，当轴时，
.
（1）求椭圆的离心率；
（2）点在第一象限时，若椭圆存在点，使得四边形是平行四边形，求直线与的斜率之积；
（3）记圆为椭圆的“关联圆”.
若，过点作椭圆的“关联圆”的两条切线，切点为、，直线的横、纵截距分别为、，求证：
为定值.
兴化市第一中学2017秋学期数学高二第一次月考试卷
（总分160，时间120分钟）
一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应的位置上.)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
-2
9.
8
10.
11.
3x－y－9＝0
12.
13.
14.
二、解答题：(本大题共6小题，共90分)
15．(本小题14分)已知直线经过点，且斜率为.（1）求直线的方程；（2）若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.
【解析】（1）由点斜式方程得，
，∴.（7分）
（2）设的方程为，则由平等线间的距离公式得，
，解得：
或.
∴或（14分）
16．(本小题14分)
在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB＝8，BC＝6，其中A（－4，0）、B（4，0）
（1）若A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，求该椭圆的方程；
（2）若A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，求双曲线的方程；
【解析】由题意：
,
AC=10……………2分
（1）∵A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点
根据椭圆的定义：
∴
…………4分
在椭圆中：
…6分
∴所求椭圆方程为：
……7分
（2）∵A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点
根据双曲线的定义：
∴
…………10分
在双曲线中：
…12分
∴所求双曲线方程为：
…14分
17．(本小题15分)
已知椭圆经过点，左焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，求的面积.
【解析】（1）由椭圆的定义得：
（3分）
又，故，（5分）
∴椭圆的方程为：
.（7分）
（2）过的直线方程为，
（9分）
，
联立
，（11分）
设，则，（13分）
∴的面积.（15分）
18．(本小题15分)
如图为双曲线的两焦点，以为直径的圆与双曲线交于是圆与轴的交点，连接与交于，且是的中点，
（1）当时，求双曲线的方程；
（2）试证：对任意的正实数，双曲线的离心率为常数．
【解析】（1）由1有
设：
（7分）
（2）
设
为常数
（15分）
19．(本小题16分)
在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于两点，为弦的中点，,，记直线,的斜率分别为,，当时，求的值.
【解析】解：（1）因，所以椭圆的焦点在轴上，
又圆经过椭圆的焦点，所以椭圆的半焦距，
……………4分
所以，即，所以椭圆的方程为.
……………7分
（2）方法一：设，，，
联立，消去，得，
所以，又，所以，
所以，，
……………10分
则.
…………16分
方法二：设，，，
则，
两式作差，得，
又，，∴，∴，
又，在直线上，∴，∴，①
又在直线上，∴，②
由①②可得，.
……………10分
以下同方法一.
20．(本小题16分)已知、分别是椭圆的左顶点、右焦点，点为椭圆上一动点，当轴时，
.（1）求椭圆的离心率；（2）点在第一象限时，若椭圆存在点，使得四边形是平行四边形，求直线与的斜率之积；（3）记圆为椭圆的“关联圆”.
若，过点作椭圆的“关联圆”的两条切线，切点为、，直线的横、纵截距分别为、，求证：
为定值.
【解析】（1）由轴，知，代入椭圆的方程，得，解得.
……2分
又，所以，解得.
……4分
（2）因为四边形是平行四边形，所以且轴，
所以，代入椭圆的方程，解得，因为点在第一象限，所以，……6分
同理可得，
，所以，……8分
由（1）知，得，所以.
……9分
（3）由（1）知，又，解得，所以椭圆方程为，
圆的方程为
①.
……10分
连接，由题意可知，
，
，所以四边形的外接圆是以
为直径的圆，
设，则四边形的外接圆方程为，……12分
即　　②.
①－②，得直线的方程为，
令，则；令，则.
所以，……14分
因为点在椭圆上，所以，所以.
……16分