2．1．5向量共线条件与轴上向量坐标运算
一、学习要点：单位向量、轴上向量坐标运算、共线定理应用
二、学习过程：
（一）复习引入：1．向量的表示方法
2.
向量的加法，减法及运算律
3．实数与向量的乘法（向量数乘）
4．向量共线定理
（二）讲解新课：
1．单位向量
给定一个非零向量，与同方向且长度等于的单位向量叫做的单位向量，记作：
，则 或 。
2．轴上向量的坐标及其运算
（1）轴上的基向量：给定轴，取单位向量与同向，则叫做轴的基向量。
（2）轴上向量的坐标:对于轴上向量，一定存在唯一实数，使得，那么称为向量的坐标（或数量）。如：，则在轴上坐标为，，则在轴上坐标为。
（3）轴上向量的坐标运算：设，，则
①；
②；
即轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和。
（4）设点是数轴上的两点其坐标分别为和，那么向量的坐标为
，即轴上向量的坐标等于
（5）数轴上两点间距离公式：
（三）例题解析：
例1已知数轴上的坐标分别是，求的坐标和长度。
例2求证：三角形两边中点的连线平行于第三边并等于第三边的一半。
例3（1）已知，，试问向量与是否平行？并求。
(2)已知向量，，其中不共线，向量。问是否存在这样的实数，使与共线？
例4如图，，不共线，用，表示．
（四）课堂练习：教材93页练习
（五）课堂小结：本节课学习了轴上向量坐标运算，同时进一步巩固了共线定理的应用。
（六）课后作业：见作业（17）1.2.4诱导公式
一．学习要点：诱导公式及其简单应用
二．学习过程：
一、复习：诱导公式一:
二、讲解新课：
公式二：
公式三：
公式四：
公式五：
五组诱导公式可概括为：+k·360 （k∈Z），-，180 ±，360 -的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．
诱导公式六到九
归纳诱导公式口诀及用途：
三、讲解范例：
例1．下列三角函数值：
（1）cos210 ；
(2)sin
例2．求下列各式的值：
（1）sin(－)；(2)cos(－60 )－sin(－210 )
例3．化简
例4把下列三角函数化成到之间的三角函数：
（1），（2），（3）
例5
化简：
四、课堂练习：P:30及P:33练习
五、小结
通过本节课的教学，我们获得了诱
( http: / / www.21cnjy.com )导公式．值得注意的是公式右端符号的确定．在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简中，我们又一次使用了转化的数学思想．通过进行角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性．
六、布置作业:
见作业（3）1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质
一．学习要点：余弦函数、正切函数的图象与性质
二．学习过程：
1．余弦函数的图象
2．余弦函数的性质
（1）定义域：
．
（2）值域：
当
时，．
当
时，．
（3）周期：
余弦类函数的最小正周期公式：
（4）奇偶性：
余弦曲线的对称轴方程为:
；
中心的坐标为
（5）单调性：
余弦函数在
上是减函数;
余弦函数在
上是增函数．
例1求下列函数的最大值或最小值：
(1)
；
(2)．
例2判断下列函数的奇偶性：
(1)
；
(2)．
例３求函数的周期．
3．正切函数的图象
4．正切函数的性质
（1）定义域：
．
（2）值域：
（3）周期性：
正切类函数最小正周期公式：
（4）奇偶性：
正切曲线的对称中心的坐标为
（5）单调性：
例４求函数的定义域．
例４求下列函数的周期：
(1)
；
(2)
二．课堂练习：教材53页、57页练习
三．课后作业：见作业（10）1.1.2
弧度制（1）
学习要点：弧度制以及角度制与之换算关系。
学习过程：
（一）复习：
度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
（二）新课学习：
1．1弧度角的定义：长度等于
的弧所对的圆心角称为
的角。
如图：AOB=1rad
AOC=2rad
周角=2rad
正角的弧度数是
，负角的弧度数是
，零角的弧度数是
角的弧度数的绝对值
（为弧长，为半径）
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
三、角度制与弧度制的换算
360=
∴180=
∴
1=
例1
把化成弧度
例2
把化成度
注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行；
1．今后在
( http: / / www.21cnjy.com )具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略
如：3表示3rad
sin表示rad角的正弦
2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住
3．应
( http: / / www.21cnjy.com )确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
任意角的集合
实数集R
用弧度制表示：
1终边在轴上的角的集合
2终边在轴上的角的集合
3终边在坐标轴上的角的集合
四、课堂练习（P12
练习）
五、
小结：1．弧度制定义
2．与弧度制的互化
六、作业：见作业（61）
o
r
C
2rad
1rad
r
2r
o
A
A
B
正角
零角
负角
正实数
零
负实数3.1.2两角和与差的正弦公式
一．学习要点：两角和与差的正弦公式及其简单应用。
二．学习过程：
1．两角和与差的正弦公式及推导：
公式：
2．公式的结构特征：
3．公式的运用：
例1求，的值．
例2：利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）、；
（2）、；
例3
求证：
例4：求函数的最大值、最小值和最小正周期，其中、是不同时为零的实数．
例5：已知向量，逆时针旋转到的位置．求点的坐标．
巩固练习：
教材138页练习
注意：重点训练辅助角公式。
小结：学习两角差的正弦公式，首先要认
( http: / / www.21cnjy.com )识公式结构的特征，了解推导过程.还要注意区分与两角和与差的余弦的公式结构的本质区别：异名弦的乘积的和差。
作业：见作业（26）3.1.1两角和与差的余弦公式
一．学习要点：两角和与差的余弦公式及其简单应用。
二．学习过程：
1．两角和与差的余弦公式及推导：
公式：
2．公式的结构特征：
3．公式的运用：
例１：求及的值．
例2：已知，求，．
例3利用两角差的低余弦公式化简下列各式：
（1）
（2）
例4已知
巩固练习：
教材135页练习
补充练习：
1．求下列各式的值：
2．已知
3．已知，，
，求
小结：学习两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解推导过程.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.
作业：见作业（25）性质：
1．定义域：的定义域为
.
2．值域：
1的值域为
结论：
（有界性）
2
对于
当且仅当
时
,
当且仅当
时
；
3．周期性：正弦函数是周期函数，它的周期
，最小正周期是
.
4．奇偶性：正弦函数是
，正弦曲线关于原点对称．
正弦曲线是中心对称图形，其所有对称中心的坐标为
；
正弦曲线是轴对称图形，其所有对称轴的方程为：
．
5．单调性
正弦函数在每一个闭区间
上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间
上都是减函数，其值从1减小到－1.这两类区间的每一个都是函数的一个单调区间．
正弦类函数的值域求法（通法归纳）
（1）一次式：（）
根据正弦函数的有界性，其值域为
；
（2）二次式：
先将函数表达式化为
再根据正弦函数的有界性求函数的最小值和最大值，最后就可求出其值域；
（3）一次分式：
有表达式可得
，再根据正弦函数的有界性可得不等式
这个不等式的解集就是此函数的值域。
注意：以上给出的都是在存在域内的值域问题。
最小正周期公式：
（）
求下列函数的最大值和最小值以及相应的的集合
1．；2．；3．
例2 直接写出下列函数的定义域、值域：
1
；
2
；
3
.
例3
求下列函数的最大值与最小值：
(1)
(2);
(3),
[];
例4
求下列函数的周期：
(1)
(2)
(3)
例5
求函数的最小正周期：
例6
设f(x)是以5为周期的函数，且当x∈［－，］时，f(x)＝x，则f(6.5)＝_________
例7
如果对于定义在上的函数分别满足下列条件，判断是否为周期函数？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
例8判断下列函数的奇偶性
（1）;（2）;（3）
例9
1．
函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴方程为
A.x＝
B.x＝－
C.x＝
D.x＝
2．求下列函数图像的对称中心坐标和对称轴方程：
(1)
(2)
例10（1）函数为增函数的区间是
（2）求函数y＝3sin(＋2x)的单调区间.（3）求函数y＝3sin(2x)的单调区间
例11
1．不通过求值,指出下列各式大干零还是小于零；
(1)；
(2)．
2．比较1,
2,
3的大小．1．2．1任意角的三角函数（2）
一．学习要点：单位圆中的三角函数线及其简单应用
二．学习过程：
（一）复习：
1．三角函数的定义及定义域、值域：2．三角函数的符号分布：3．诱导公式：
（二）新课学习：
1．单位圆：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆.
2．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负.
3．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P，
过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反
向延长线交与点.
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
，
，
．
我们就分别称有向线段
为
.
4．例题：
例1
作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
例2
利用单位圆写出符合下列条件的角的范围.
（1）；
（2）；
五、小结：1．三角函数线的定义；
2．会画任意角的三角函数线;
3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围.
六、练习：
1．利用余弦线比较的大小；
2．若，则比较、、的大小；
3．分别根据下列条件，写出角的取值范围：
（1）
；
（2）
；
（3）
（选做）4.当，求证：.
（Ⅱ）
（Ⅰ）
（Ⅳ）
（Ⅲ）1.1.2
弧度制（2）
一．学习要点：弧长公式、扇形的面积公式
二．学习过程：
（一）复习：
（1）弧度制定义：
（2）换算关系：
说出下列角所对弧度数
．
（3）写出阴影部分的角的集合：
（4）在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？
（二）新课学习：
1．弧长公式：
2．扇形面积公式：
说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；②以上公式中的必须为弧度单位．
3．例题：
例1
（1）已知扇形的圆心角为，半径，求弧长及扇形面积.
（2）已知扇形周长为，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？
例2
如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长.
五、课堂练习：
1．集合的关系是
（
）
（A）
（B）
（C）
（D）以上都不对。
2．已知集合，则等于（
）
（A）
（B）
（C）
（D）或
3．圆的半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的
倍.
4．若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是
．
5．在以原点为圆心，半径为１的单位圆中，一条弦的长度为，
所对的圆心角的弧度数为
．
6．教材练习及习题
六、小结：1．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；
2．由将转化成，利用这个与的二次函数关系求出扇形面积的最值.
七、作业：见作业（62）3．2．1倍角公式（习题课）
一。学习要点：二倍角公式的应用。
二。学习过程：
复习
倍角公式：2．升幂公式：3．降幂公式：
例1化简下列各式：
1．
2．
3．2sin21575
1
=
例2已知求的值
例3求函数的最小值及相应的自变量的集合
例4
求证：的值是与无关的定值
例5
化简：
例6
求证：
例7利用三角公式化简：
作业：见作业（29）2．1．1向量的概念
一．学习要点：向量的有关概念
二．学习过程：
一、复习：
在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在
( http: / / www.21cnjy.com )取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.
二、新课学习：
1.向量的概念：
。
2.向量的表示方法：
1．用
表示；
2．用
：；
3．向量的模：向量的
，也是向量的长度称为向量的模，记作
4.零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作
的方向是任意的
长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
5.平行向量定义：
①
非零向量叫平行向量；
②我们规定与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；
（2）向量记作
.
6.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量与相等，记作；
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
7.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
8．位置向量：
任给一定点和向量，过点作，则点相对于点的位置被向量所唯一确定，这时向量，叫做点相对于点的位置向量。
三、例题：
例1．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量
想一想：向量相等吗？向量相等吗？
例2
判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝
。
⑤共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
四、课堂练习：教材79页练习
五、小结
：向量及向量的有关概念、表示方法，还知道有两个特殊向量，最后学了向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量
六、课后作业：见作业（13）2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式
一、学习要点：向量数量积的坐标运算与度量公式及其简单运用
二、学习过程：
一.复习回顾：平面向量数量积的性质及运算律.
二.新课学习：
1.平面向量数量积的坐标表示:
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，
即：a=,
b=
则a
b
=
.
根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算.
2.向量模的坐标表示:
若a=,
则
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为,,
那么
3.两向量垂直和平行的坐标表示:
设a=,
b=,则
4.两向量夹角的坐标表示:
设a、b都是非零向量,
a=,
b=,
θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示，
可得：
三．例题：
例1
已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明.
例2
设a=(5,-7),
b=(-6,-4),求a·b及a与b的夹角θ.
例3已知|a|=3,
b=(2,3)
,试分别解答下面两个问题:
(1)
若a⊥b,求a;
(2)
若a∥b求a.
例4已知向量，且是钝角。
求的取值范围
四.课堂练习:1.
教材练习题;
五.课堂小结:
１.理解各公式的正向及逆向运用；
２.数量积的运算转化为向量的坐标运算；
３.掌握平行、垂直、夹角的坐标表示，形成转化技能.
六.作业:见作业（22）1.3.1正弦函数的图象与性质（四）
一．学习要点：正弦函数的性质之奇偶性、单调性
二．学习过程：
复习
正弦函数的图象;
正弦函数的周期性;
正弦函数的定义域、值域.
新课学习：
1．
奇偶性
由知：正弦函数是
，正弦曲线关于原点对称．
正弦曲线是中心对称图形，其所有对称中心的坐标为
；
正弦曲线是轴对称图形，其所有对称轴的方程为：
．
２．单调性
观察图象，结合函数周期可以看出：
正弦函数在每一个闭区间
( http: / / www.21cnjy.com )
上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间
上都是减函数，其值从1减小到－1.这两类区间的每一个都是函数的一个单调区间．
练习：（1）写出的单调区间；
例1判断下列函数的奇偶性
（1）;（2）;（3）
例2
1．
函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴方程为
A.x＝
B.x＝－
C.x＝
D.x＝
2．求下列函数图像的对称中心坐标和对称轴方程：
(1)
(2)
例3（1）函数为增函数的区间是
（2）求函数y＝3sin(＋2x)的单调区间.（3）求函数y＝3sin(2x)的单调区间
例5
1．不通过求值,指出下列各式大干零还是小于零；
(1)；
(2)
．
2．比较1,
2,
3的大小．
课堂练习
1.
教材43页练习.
课堂小结
正弦函数的奇偶性;
正弦函数的单调性.
课后作业：见作业（7）1.2.2
同角三角函数的基本关系式（一）
一．学习要点：同角三角函数基本关系式及其简单应用
二．学习过程：
（一）复习：
1．任意角的三角函数定义：
设角是一个任意角，终边上任意一点，
它与原点的距离为
，
，
，
，
，
．
（二）新课学习：
1．同角三角函数关系式：
（1）倒数关系：
（2）商数关系：
（3）平方关系：
说明：
①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
；
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
例1已知，且是第二象限角，求求
例2
已知，求．
练习：已知为非零实数，用表示．
总结：
已知一个角的某一个三角函数值，便可运用
( http: / / www.21cnjy.com )基本关系式求出其它三角函数值.在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的.有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种.解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根.
例3
已知，，求的值
（三）课堂练习：教材25页练习
（四）小结：
（五）作业：见作业（64）1．2．1任意角的三角函数（1）
一．学习要点：三角函数的定义、符号分布、诱导公式
二．学习过程：
（一）复习：初中锐角的三角函数是如何定义的？
（二）新课学习：
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么
说明：
①的始边与轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角，六个比值不以点在的终边上的位置的改变而改变大小；
③当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以与无意义；同理，当时，与无意义；
④除以上两种情况外，对于确定的值，比值、、、、、分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数.
2．三角函数的定义域、值域
函
数
定
义
域
值
域
3．三角函数的符号分布：
例1求的六个三角函数值.
例2已知角的终边经过点，求的六个函数制值。
练习：已知角的终边过点，求的六个三角函数值.
4．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。
即有：
例3（1）；（2）；（3）；（4）．
四、小结：1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域；
3．三角函数的符号及诱导公式.
五、作业：见作业（63）1.3.1正弦函数的图象与性质（五）
一．学习要点：正弦型函数的图象、图象变换
二．学习过程：
正弦型函数
形如（其中都是常数）的函数，叫做正弦型函数，其定义域是．
例1作函数及的简图．
规律探索：
1．函数的值域是，最大值是，最小值是．的大小,反映曲线波动幅度的大小．
2．函数的图象与函数的图象的关系:（纵向伸缩变换）
函数图象可以看作是把函数的图象上的所有点的纵坐标伸长(当时)，或缩短(当时)到原来的倍(横坐标不变)而得到．
例２在同一坐标系中作函数和的简图．
规律探索：
函数的图象与函数的图象的关系:（横向平移变换）
函数图象可以看作是把函数的图象上的所有点(当时)向左或（当时）向右平行移动个单位长度，就得到函数的图像．
例3在同一坐标系中作函数和的简图．
规律探索：
1．函数的图象与函数的图象的关系:（横向伸缩变换）
函数图象可以看作是把函数的图象上的所有点横坐标缩短(当时)或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到．
2．函数的周期：．越大,在一定区间内曲线波动的次数越多，反之越少.
例４作函数的简图．
图象变换：
（1）先平移，再伸缩
（2）先伸缩，再平移
课后作业：见作业（8）1.3.3已知三角函数值求角（二）
一．学习要点：已知三角函数值求角
二．学习过程：
一、复习：
1．反正弦，反余弦函数的意义：
2．已知三角函数求角：
二、讲解新课：
反正切函数
三、讲解范例：
例1
（1）已知，求x
（2）已知且，求x的取值集合
（3）已知，求x的取值集合
例2已知，根据所给范围求：
1为锐角
2为某三角形内角
3为第二象限角
4
例3
求适合下列关系的x的集合
1
2
3
例4
直角锐角A，B满足：
例5
1用反三角函数表示中的角x
2用反三角函数表示中的角x
例6已知，求角x的集合
例7求y
=
arccos(sinx),
()的值域
四、课堂练习：
教材P61练习及习题
五、小结：反正切函数的有关概念，并能运用知识已知三角函数值求角
六、课后作业：见作业（12）3．2．2半角公式
一。学习要点：半角公式及其简单应用。
二。学习过程：复习：
升幂公式：
降幂公式：
新课学习：
1．半角公式
2．万能公式
例1
已知，，求
例2
已知，求及
例3已知，求3cos
2
+
4sin
2
的值
例4已知sin
cos
=
，，求和tan的值
例5
求证：
例6已知函数f
(x)=tanx，x∈(0，)．若x1，x2∈(0，)，且x1≠x2，证明[f(x1)+f(x2)]>f()
课堂练习：教材146页练习
作业：见作业（30）3．1两角和与差的三角公式
习题课
例1将下列化成的形式
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）
例2已知函数，且．
（1）求a的值和的最大值；（2）问在什么区间上是减函数．
例3
已知，求的值
例4计算：
例5已知：，求的值
例6在中，求证：
例7是否存在锐角和同时满足下列连个条件：
（1）
（2）
若存在，求出锐角和；若不存在，说明理由。2.2.1平面向量基本定理
一．学习要点：向量基本定理及其简单应用
二．学习过程：
（一）复习：
1
向量的加法运算;
2
向量共线定理；
（二）新课学习：
1．平面向量基本定理：
如果，是同一平面内的两个
向量，那么对于这一平面内的任一向量，
，使
．其中我们把不共线的向量，叫做表示这一平面所有向量的
。
注：
①，均非零向量；
②，不唯一（事先给定）；
③，唯一；
④时，与共线；时，与共线；
时，．
2．例题：
例1
已知向量，（如图），求作向量．
例2
如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点，且，，用、表示、、和．
例3
已知向量a和b不共线,实数x,y满足向量等式,求实数x,y的值.
例4如图，、不共线，，用、表示．
(三)
巩固练习
教材98页练习
(四)
作业:
见作业（18）1.3.3已知三角函数值求角（一）
一．学习要点：已知三角函数值求角
二．学习过程：
复习引入：复习诱导公式一到诱导公式五
二、讲解新课：
简单理解反正弦，反余弦函数的意义：
由
1在R上无反函数
2在上，
x与y是一一对应的，且区间比较简单
在上，的反函数称作反正弦函数，
记作
性质：
同理，由在上，的反函数称作反余弦函数，
记作
性质：
已知三角函数求角：
首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的;已知三角函数值求角是多值的
三、讲解范例：
例1
(1)已知，求x
(2)已知，求x
(3)已知，求x
例2（1）
已知，求
（2）已知，求
四、课堂练习：
教材60页练习
五、小结
求角的多值性法则：1、先决定角
( http: / / www.21cnjy.com )的象限2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x；
如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x，3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角
三．课后作业：见作业（11）2．1．4数乘向量
一．学习要点：数乘向量、向量共线和三点共线的判断。
二．学习过程：
一、复习引入：1、向量的加法：2、向量的减法：
二、讲解新课：1、实数与向量的积
引例1：已知非零向量，作出和。
探究：相同向量相加后，和的长度与方向有什么变化？
定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：
。其大小和方向规定如下：
大小：
方向：
2、运算律：引例2：
(1)根据定义，求作向量和(为非零向量)，并进行比较。
结论：
，
(2)
已知向量、，求作向量和，并进行比较。
结论：
归纳得：设、为任意向量，、为任意实数，则有：
结合律：
；第一分配律：
第二分配律：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
对于任意向量、及任意实数、,恒有。
3、向量共线定理
问题①
如果
,
那么，向量与是否共线？
问题②
如果非零向量与共线，
那么，成立么
？
向量共线定理
向量与非零向量共线当且仅当有唯一一个实数，使得
.
三、例题解析：例1：计算(口答)：(1)
；(2)
(3)
例2
已知是未知向量，解方程：
例3
已知任意两非零向量、，试作,
，。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
例4如图，已知、，试判断与是否共线
四、课堂练习:
教材89页练习.
五、课堂小结:
1、概念与定理
①
的定义及运算律；②
向量共线定理
()：向量与共线。
2、知识应用：
①
证明
向量共线；②
证明
三点共线:
A,B,C三点共线；
六、课后作业:见作业（16）
C
E
A
B
D2．4向量的向量的应用
一．学习要点：向量在平面几何、解析几何、物理中的应用
二．学习过程：
1．向量在平面几何中的应用
例1已知平行四边形，、在对角线上，并且，求证是平行四边形。
例2求证：平行四边形对角线互相平分。
例3已知正方形（如图），为对角线上任一点，于点，于点，连、．求证：．
2．向量在解析几何中的应用
例4求通过点，且平行于向量的直线方程。
例5已知直线：，，求证：向量．
例6求通过，且与直线：平行的直线方程。
3．向量在物理中的应用
例7如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船航行的速度=10km/h，水流速度=2km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0．1min）？
课堂练习：教材120页、123页练习
课后作业：见作业（23）
A
B
C
D
E
F
D
A
B
C
M
A
B
C
D
F
E
P3.1.3两角和与差的正切公式
一．学习要点：两角和与差的正切公式及其简单应用。
二．学习过程：
公式及其推导：
2．公式的结构特征：
公式的运用：
例1求tan15和tan75的值
例2
求下列各式的值：
1
2tan17+tan28+tan17tan28
例3
求证：
变式：
求证：
例4已知是方程
求的值
例5在中，求证：
课堂练习：教材140页练习
作业：见作业（27）1.1.1
角的概念的推广
一．学习要点：角的有关概念、终边相同的角、象限角。
二．学习过程：
（一）复习引入：
1．初中所学角的概念.
2．实际生活中出现一系列关于角的问题。
（二）新课讲解：
1．角的定义：一条射线绕着它的端点，从起始位置旋转到终止位置，形成一个角，点
是角的顶点，射线分别是角的终边、始边.
说明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为．
2．角的分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角.
说明：零角的始边和终边重合.
3．象限角：
在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负轴重合，则
（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.
例如：都是第一象限角；是第四象限角。
（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。例如：等等.
说明：角的始边“与轴的非负半轴重合”不能说成是“与轴的正半轴重合”。因为轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.
4．终边相同的角的集合：由特殊角看出：所有与角终边相同的角，连同角自身在内，都可以写成的形式；反之，所有形如的角都与角的终边相同.
从而得出一般规律：
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，
即：任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
探究：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.
5．例题分析：
例1
在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？
（1）
（2）
（3）
例2
写出终边在轴上的角的集合
练习2写出终边在轴上的角的集合；写出终边在坐标轴上的角的集合.
例3
写出终边在直线的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来：
练习3
写出下列各边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来：
（1）；
（2）；
（3）．
四、课堂练习：
1．教材7页练习；
2．教材6页思考与讨论
五、课堂小结：
1．正角、负角、零角的定义；
2．象限角、非象限角的定义；
3．终边相同的角的集合的书写及意义.
六、作业：
见作业（60）3．3三角函数的积化和差与和差化积
一。学习要点：积化和差与和差化积公式及其简单应用。
二。学习过程：
1．积化和差公式
2．和差化积公式
例１：1。把化成积的形式．2。把化成积的形式
例2：已知，．
例3：求证：
例4：已知，，求的值．
例5
：已知，且，求的最小值．
例6：
计算：
例7：
在中，，求证：
例8：在中，解方程：
课堂练习：教材152页练习
作业：见作业（31）2．1．2向量的加法
一．学习要点：向量的加法
二．学习过程：
一、复习：
1.向量的定义
2.相关概念
零向量、单位向量、平行向量、相等向量.
二、新课学习：
1．向量加法
（1）三角形法则：
如图，已知非零向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做
，记作a＋ｂ，即
.
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.注:首尾顺次连接，首尾连。
（2）平行四边形法则：
以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形OACB,则以O为起点的对角线就是a、的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量的平行四边行法则.(力的合成可以看作向量加法平行和四边行法则的物理模型.)注:共起点
（3）加法性质：
（1）a
+
0=
0
+
a=
a。
（2）|+|≤||+||
当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||（可由三角形三边关系推得）
①当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||；
②当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.
交换律:
（4）结合律：(+)
+=+
(+)
三、应用举例：
例1在长江某渡口处,江水以的速度12.5km/h向东流,渡船的速度是25km/h,渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定
四、课堂练习
教材83页练习
五、小结
1、向量加法的几何意义；
２、交换律和结合律；
３、注意：|+|
≤
||
+
||，当且仅当方向相同时取等号.
课后作业：见作业（14）
a
ｂ
A
C
ｂ
ａ＋ｂ
a
a
a1.3.1正弦函数的图象与性质（二）
一．学习要点：正弦函数的性质之定义域、值域
二．学习过程：
复习提问
正函数的图象及其画法;
讲授新课
1．研究性质：观察图象可知
（1）定义域：的定义域为
.
（2）值域：
1的值域为
结论：
（有界性）
2
对于
当且仅当
时
,
当且仅当
时
；
求下列函数的最大值和最小值以及相应的的集合
1．；2．；3．
例2 直接写出下列函数的定义域、值域：
1
；
2
；
3
.
例3
求下列函数的最大值与最小值：
(1)
(2);
(3),
[];
正弦类函数的值域求法（通法归纳）
（1）一次式：（）
根据正弦函数的有界性，其值域为
；
（2）二次式：
先将函数表达式化为
再根据正弦函数的有界性求函数的最小值和最大值，最后就可求出其值域；
（3）一次分式：
有表达式可得
，再根据正弦函数的有界性可得不等式
这个不等式的解集就是此函数的值域。
注意：以上给出的都是在存在域内的值域问题。
课堂练习
教材43页练习1，2，3，4.
课堂小结
正弦函数的定义域与值域;
运用正弦函数的有界性求函数的值域或最值.
课后作业：见作业（5）1.3.1正弦函数的图象与性质（三）
一．学习要点：正弦函数的性质之周期性
二．学习过程：
复习提问
正弦函数的图象及其特征;2。诱导公式一
新课学习：
一、周期函数：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，
那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.
说明：
1、是非零的常数.
2、具有任意性；
即对于定义域中的每一个，都有成立.如果函数不是当取定义域内的“每一个值”时都有，那么就不是的周期。
3、若是的周期，那么也是的周期，因为；也是的周期；例如，都是正弦函数和余弦函数的周期.事实上，任何一个常数2k都是这两个函数的周期.
二、最小正周期
对于一个周期函数，如果在它的所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期.
例如，是正弦函数的所有周期中的最小正数，所以是正弦函数的最小正周期.
三、正弦函数的周期性
正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k都是它的周期，最小正周期是.
今后，我们提到的周期，如无特殊说明，一般指的都是它的最小正周期.
说明：
1、不是所有的周期函数都有最小正周期.如常值函数.
2、周期性不是三角函数所独有的性质.如常值函数.
例题解析
例1
求下列函数的周期：
(1)
(2)
(3)
总结：一般地，函数（其中的周期.因而，可以利用公式直接求解.
例2
求函数的最小正周期：
例3
设f(x)是以5为周期的函数，且当x∈［－，］时，f(x)＝x，则f(6.5)＝_________
例4
如果对于定义在上的函数分别满足下列条件，判断是否为周期函数？
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）．
课堂练习
教材43页练习2。
课堂小结
周期函数的定义，周期，最小正周期．
求周期的主要方法是把三角函数恒等变形为的形式后，再求周期观察图象
课后作业：见作业（6）1.3.1正弦函数的图象与性质（一）
一．学习要点：正弦函数的图象和性质
二．学习过程：
复习：
三角函数线的概念及作法：
设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线.
新课学习：
1．用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象：
（1）在直角坐标系中如何作点？
由单位圆中的正弦线知识，我们只要已知一个角的大小，就能用几何方法作出对应的正弦值的大小来，请同学们思考一下，如何用几何方法在直角坐标系中作出点？
(2)
用几何方法作的图象
a．建立直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧画单位圆．
b．把单位圆分成12等份（等份越多，画出的图象越精确）．过单位圆上的各分点作轴的垂线，可以得到对应于角的正弦线．
c．找横坐标：把轴上从0到这一段分成12等分．
d．找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应12个点．
e．连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即得，
的图象．
(3)作正弦函数
的图象．
因为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数
，
，
且
的图象与函数的图象的形状完全一样，只是位置不同就可以得到正弦函数
，
的图象，如图
正弦函数
，
的图象叫做正弦曲线．
探究：正弦曲线有无数条对称轴，无数个对称中心．通过最高点（或最低点）且垂直于ｘ轴的直线为对称轴，图象与ｘ轴的交点为对称中心．
2.
五点法作的简图：
例1画出下列函数的简图：
（1）
，
；
（2）
，
．
课堂练习
1．（１）P39
练习．
（2）作的简图．
2.函数的对称中心为
，对称轴为
.
课堂小结
本课介绍了作函数
图象的方法，其中五点作图法最常用，要牢记五个关键点的选取特点．
课后作业：作业（4）2．3．1向量数量积的物理背景与定义
一、学习要点：向量数量积的定义、投影、数量积的性质
二、学习过程：
一.复习回顾：数乘运算的定义及运算律:
二.新课学习：
1.平面向量数量积的物理背景:
如图:一个物体在力F
的作用下产生位移s，那么力F
所做的功应当怎样计算？
W
=
|F||s|cos
其中力F
和位移s
是向量，是F
与s
的夹角，
2.平面向量数量积的定义:
(1)向量的夹角:
不共线向量有不同方向,它们的位置关系可用夹角来表示,关于向量的夹角,我们规定:
两个非零向量a
和b
，作a，b,则
叫做向量a
和b
的夹角．
特殊情况:当θ=
0时,
a
与b同向；
当θ=
180时,
a
与b反向；
当θ=
90时,我们说a
与b垂直,记作a⊥b.
注意:求两向量的夹角,两向量必须共起点.
(2)定义:
已知两个非零向量a与b,
( http: / / www.21cnjy.com )
我们把数量
叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab,
即
规定:
零向量与任一向量的数量积为0.即
a0
=0
.
注意:
1两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由cos的符号所决定;
2
ab不能写成a×b
，也不能写成ab．
(3)思考
:向量的数量积什么时候为正,什么时候为负
当0°≤θ
＜
90°时
ab
为正；
当90°＜θ≤180°时
ab
为负；
当θ=90°时
ab为零.
(4)投影的概念与数量积的几何意义:
1
“投影”的概念：
定义：
叫做向量b在a方向上的投影.
注意：(1)投影也是一个数量，不是向量.
(2)当为锐角时投影为正值；
当θ为钝角时投影为负值；
当θ为直角时投影为0；
当θ=
0时投影为
|b|；
当θ=
180时投影为|b|.
2向量的数量积的几何意义：
3.平面向量数量积的性质:
设a、b为两个非零向量，e是单位向量.
1
2
3
4
5
三．例题：
例1
已知|a|=5，|b|=4，若
(1)a与b的夹角θ=120°(2)
a∥b;
(3)
ab,分别求a·b.
例2
已知平面上三点A、B、C满足求的值.
四.课堂练习:
1.
教材109页练习题;
2.判断下列各命题正确与否：
(1)
若a
=
0，则对任一向量b，有ab
=
0。
(2)
若a
0，则对任一非零向量b，有ab
0。
(3)
若a
0，ab
=
0，则b
=
0。
(4)
若ab
=
0，则a
、b至少有一个为零。
(5)
若a
0，ab
=
ac，则b
=
c。
(6)
若ab
=
ac，则b
=
c当且仅当a
0时成立。
(7)
对任意向量a、b、c，有(ab)c
a(bc)。
(8)
对任意向量a，有a2
=
|a|2。
五.课堂小结:
六.作业:
见作业（20）
θ
s
F
A
OO
BO
B1O
a
b
A
OO
BO
B1O
a
b
A
OO
BO
(B1)O
a
b
A
A
O
A
B
a
b
C
A
B
A
=
0
O
B
B
B
A
O
O
O
O
B
B
A
O
=
180
公式变形
抽象
特殊化
五条重要性质
数形
结合
几何意义
平面数量积的定义
ab
=
|a||b|cos
对功W=
|F||s|cos结构分析2．3．2向量数量积的运算律
一、学习要点：向量数量积的运算律及其简单运用
二、学习过程：
一.复习回顾：
平面向量数量积的定义及其几何意义、性质:
二.新课学习：
1.平面向量数量积的运算律:
(1)
(2)
(3)
注意:
向量的数量积是一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合．
〈1〉.实数a、b、c(b0)，则ab=bc
a=c.
但是ab
=
bc
a
=
c
〈2〉.在实数中，有(ab)c
=
a(bc)，但是(ab)
c
a(bc)
2.常用数量积运算公式
在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式及类似于实数平方差的公式在解题中的应用较为广泛.即:
(1)
(2)
(3)
三．例题：
例1用向量方法证明：菱形对角线互相垂直.
例2已知a、b都是单位向量，它们的夹角为，求.
例3已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
四.课堂练习:
1.
教材练习题;
五.课堂小结:
通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质及运算律解决相关问题.
六.作业:见作业（21）3．2．1倍角公式
一。学习要点：二倍角公式及其简单应用。
二。学习过程：复习：和角公式.
新课学习：
升幂公式：
降幂公式：
例
1、已知
，，求
，，
的值
变式
1、已知
，，求
，，
的值
变式
2、已知
，，求
，，
的值
例
2、化简:
,
.
变式
1、化简:
,
.
变式
2、化简:
,
.
变式
3、化简:
,
.
例
3、在
中，，，求
的值？
例4．
求值：
练习：
一（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
二(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
三
（1）
(2)
作业：见作业（28）2．1．3向量的减法
一．学习要点：向量的减法
二．学习过程：
复习：向量加法的法则：
二、新课学习：
用“相反向量”定义向量的减法
（1）
“相反向量”的定义：
（2）
规定：
零向量的相反向量仍是零向量.
(a)
=
a.
任一向量与它的相反向量的和是
如果a、b互为相反向量，则
（3）
向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，
.
即：a
b
=
a
+
(b)
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
求作差向量：已知向量a、b，求作向量a
b
向量减法的三角形法则：
注意：1表示a
b.强调：差向量“箭头”指向被减数
2用“相反向量”定义法作差向量，
a
b
=
a
+
(b)
4．性质：
若a,b反向，则a-b与a同向，且；
若a,b同向，
(ⅰ)若，则a-b与a同向，且；
(ⅱ)
若，则a-b与a反向，且
(ⅲ)
若，则a-b=0
例题：
例1已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.
例2平行四边形中，a，b，你能用a、b表示向量、.
例3化简：
四、课堂练习
教材85页练习
课后作业：见作业（15）
d
b
a
c1.2.2
同角三角函数的基本关系式（二）
一．学习要点：同角三角函数基本关系式的应用
二．学习过程：
（一）复习：
1．同角三角函数的基本关系式
（二）新课学习：
例1
已知求下列各式的值
（1）；（2）
例2
化简．
例3
已知，试确定使等式成立的角的集合。
例4
化简．
例5
求证：．
例6．求证：．
（三）小结：1．运用同角三角函数关系式化简、证明.
2．常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等.
（四）作业：见作业（65）
