3.1.3 两角和与差的正切
1.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理 两角和与差的正切公式
阅读教材P140内容，完成下列问题.
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
Tα＋β
tan(α＋β)＝
α、β、α＋β≠kπ＋(k∈Z)
且tan
α·tan
β≠1
两角差的正切
Tα－β
tan(α－β)＝
α、β、α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan
α·tan
β≠－1
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan
α＋tan
β成立.( )
(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立.( )
(3)tan(α＋β)＝等价于tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)·(1－tan
αtan
β).( )
【解析】 (1)√.当α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝tan＝tan
0＋tan
，但一般情况下不成立.
(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z).
(3)√.当α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan
αtan
β可得后一个式子.
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
化简求值
求下列各式的值：
(1)tan
15°；(2)；(3)tan
23°＋tan
37°＋tan
23°tan
37°.
【精彩点拨】 解决本题的关键是把非特
( http: / / www.21cnjy.com )殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的.
【自主解答】 (1)tan
15°＝tan(45°－30°)
＝＝＝＝2－.
(2)＝
＝
＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan
45°＝－1.
(3)∵tan(23°＋37°)＝tan
60°＝＝，
∴tan
23°＋tan
37°＝(1－tan
23°tan
37°)，
∴原式＝(1－tan
23°tan
37°)＋tan
23°tan
37°＝.
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1.公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两
( http: / / www.21cnjy.com )个公式，公式中有tan
α·tan
β，tan
α＋tan
β(或tan
α－tan
β)，tan(α＋β)(或tan(α－β)).三者知二可表示或求出第三个.
2.一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.
[再练一题]
1.求下列各式的值：
(1)；
(2)tan
36°＋tan
84°－tan
36°tan
84°.
【解】 (1)原式＝
＝
＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan
30°＝－.
(2)原式＝tan
120°(1－tan
36°tan
84°)
－tan
36°tan
84°
＝tan
120°－tan
120°tan
36°tan
84°－tan
36°tan
84°
＝tan
120°＝－.
条件求值(角)问题
如图3 1 1，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
图3 1 1
(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值.
【导学号：72010081】
【精彩点拨】 解决本题可
( http: / / www.21cnjy.com )先由任意角的三角函数定义求出cos
α，cos
β，再求sin
α，sin
β，从而求出tan
α，tan
β，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值.
【自主解答】 由条件得
cos
α＝，cos
β＝，
∵α，β为锐角，∴sin
α＝，sin
β＝，
∴tan
α＝7，tan
β＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，
∴α＋2β＝.
1.通过先求角的某个三角函数值来求角.
2.选取函数时，应遵照以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，
( http: / / www.21cnjy.com )选正弦或余弦函数.若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.
3.给值求角的一般步骤：
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角的范围；
(3)根据角的范围写出所求的角.
[再练一题]
2.(2016·北京高一检测)(1)已知α∈，sin
α＝，求tan的值；
(2)如图3 1 2所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小.
图3 1 2
【解】 (1)因为sin
α＝，且α∈，所以cos
α＝－，
所以tan
α＝＝＝－，
故tan＝＝＝.
(2)由题图可知tan
α＝，tan
β＝，且α，β均为锐角，
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
[探究共研型]
三角形中的三角函数
探究1 判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？
【提示】 根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等.
探究2 在△ABC中，tan(A＋B)与tan
C有何关系？
【提示】 根据三角形内角和定理可得A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan
C.
已知△ABC中，tan
B＋tan
C＋tan
Btan
C＝，且tan
A＋tan
B＋1＝tan
Atan
B，判断△ABC的形状.
【精彩点拨】 化简条件→求出tan
A，tan
C→求出角A，C→判断形状.
【自主解答】 由tan
A＝tan[π－(B＋C)]
＝－tan(B＋C)
＝＝＝－.
而0°＜A＜180°，∴A＝120°.
由tan
C＝tan[π－(A＋B)]＝
＝＝，
而0°＜C＜180°，∴C＝30°，∴B＝30°.
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形.
利用和差角公式判断三角形
( http: / / www.21cnjy.com )形状时，应考虑借助同名三角函数之间关系判断三角形内角的关系或者求出内角大小，进而判断三角形形状，注意对三角形内角和A＋B＋C＝180°这一隐含条件的运用.
[再练一题]
3.已知A，B，C为锐角三角形ABC的内角，求证：tan
A＋tan
B＋tan
C＝tan
Atan
Btan
C.
【证明】 ∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B＝π－C，
∴tan(A＋B)＝＝－tan
C，
∴tan
A＋tan
B＝－tan
C＋tan
Atan
Btan
C，
即tan
A＋tan
B＋tan
C＝tan
Atan
Btan
C.
[构建·体系]
1.的值等于( )
A.
B.
C.－
D.－
【解析】 ＝
＝tan(105°－45°)＝tan
60°＝.
【答案】 B
2.(2015·无锡高一检测)已知＝2＋，则tan的值为( )
A.2＋
B.1
C.2－
D.
【解析】 ∵＝2＋，
∴tan＝＝＝2－.
【答案】 C
3.已知tan
α＋tan
β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan
α·tan
β等于( )
A.2
B.1
C.
D.4
【解析】 ∵tan(α＋β)＝＝＝4，
∴tan
αtan
β＝.
【答案】 C
4.计算＝________.
【解析】 ＝
＝tan
45°＝1.
【答案】 1
5.已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan的值.
【导学号：72010082】
【解】 ∵α＋＝(α＋β)－，
∴tan＝tan
＝＝
＝.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(二十六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知＝，则cot＝( )
A.－
B.
C.
D.－
【解析】 ∵＝，
∴cot＝＝＝.
【答案】 B
2.已知α＋β＝，则(1－tan
α)(1－tan
β)＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 tan(α＋β)＝＝tan
eq
\f(3π,4)＝－1，所以tan
α＋tan
β＝－1＋tan
αtan
β，从而(1－tan
α)(1－tan
β)＝1－(tan
α＋tan
β)＋tan
αtan
β＝1－(－1＋tan
αtan
β)＋tan
αtan
β＝2.
【答案】 B
3.(2016·沈阳高一检测)已知β∈，满足tan(α＋β)＝，sin
β＝，则tan
α＝( )
【导学号：72010083】
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为β∈，sin
β＝，所以cos
β＝，所以tan
β＝＝，又因为tan(α＋β)＝，所以tan
α＝tan[(α＋β)－β]＝
＝＝，故选B.
【答案】 B
4.在△ABC中，
tan
A＋tan
B＋＝tan
Atan
B，则角C等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 由已知得tan
A＋tan
B＝－(1－tan
Atan
B)，∴＝－，
∴tan
C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，
∴C＝.
【答案】 A
5.(2016·沈阳高一检测)若α，β∈，tan
α＝，tan
β＝，则α－β等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 由题意，0<β<α<，
因为tan(α－β)＝＝1，
所以α－β＝.
【答案】 B
二、填空题
6.设tan(α＋β)＝，tan＝，则tan的值是________.
【解析】 ∵tan＝，
∴＝＝，
∴tan
β＝，
tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝.
【答案】
7.已知tan(α＋β)＝7，tan
α＝，且β∈(0，π)，则β的值为________.
【解析】 tan
β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝1，又β∈(0，π)，所以β＝.
【答案】
8.(2016·新洲高一检测)
( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中，tan
A＋tan
B＋tan
C＝3，tan2B＝tan
A·tan
C，则B＝________.
【解析】 tan
B＝－tan(A＋C)＝－＝－，所以tan3B＝3，所以tan
B＝，又因为B为三角形的内角，所以B＝.
【答案】
三、解答题
9.已知tan＝，tan＝2，
(1)求tan的值；
(2)求tan(α＋β)的值.
【解】 (1)tan
＝tan
＝＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan
＝＝
＝2－3.
10.已知tan
α，tan
β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，且α，β∈，求α＋β的值.
【解】 由题意，有
tan
α＜0且tan
β＜0.又因为α，β∈，
所以α，β∈，α＋β∈(－π，0).
又因为tan(α＋β)＝＝＝.
在(－π，0)内，正切值为的角只有－，
所以α＋β＝－.
[能力提升]
1.(2016·宜昌高一期末)已知sin
α＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝－，则tan
β的值为( )
A.－
B.
C.－
D.
【解析】 ∵α为第二象限角，
∴cos
α<0，cos
α＝－，
∴tan
α＝－.
tan
β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝－.
【答案】 C
2.(2016·潍坊高一检测)设tan
α，tan
β是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 由题意得tan
α＋tan
β＝－，tan
α·tan
β＝，
所以＝
＝＝.
【答案】 C
3.计算＝________.
【解析】 原式＝
＝tan(45°－15°)＝.
【答案】
4.是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝和②tan
·tan
β＝2－同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由.
【解】 由①得＋β＝，
∴tan＝＝.
将②代入上式得tan
＋tan
β＝3－.
因此，tan
与tan
β是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根.解之，得x1＝1，x2＝2－.
若tan
＝1，由于0＜＜，
∴这样的α不存在.
故只能是tan
＝2－，tan
β＝1.
由于α，β均为锐角，∴α＝，β＝.
故存在锐角α＝，β＝使①②同时成立.2.1.3 向量的减法
1.掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.(重点)
2.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义.(难点)
3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 向量的减法
阅读教材P84倒数“第7行”以上内容，完成下列问题.
图2 1 19
1.向量减法的定义：
已知向量a，b(如图2 1 19)，作＝a，作＝b，则b＋＝a，向量叫做向量a与b的差，并记作a－b，即＝a－b＝－.
2.向量减法的两个重要结论：
(1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量.
(2)一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，或简记“终点向量减始点向量”.
在△ABC中，D是BC的中点，设＝c，＝b，＝a，＝d，则d－a＝________.
【解析】 d－a＝d＋(－a)＝＋＝＝c.
【答案】 c
教材整理2 相反向量
阅读教材P84倒数“第6行”～P85“例1”以上部分内容，完成下列问题.
1.相反向量的定义：
与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作－a.
2.相反向量的性质：
(1)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
(2)－(－a)＝a；
(3)零向量的相反向量仍是0，即0＝－0.
3.向量减法的理解：
在向量减法的定义式b＋＝a的两边同时加(－b)，由b＋(－b)＝0得＝a＋(－b)，这就是说，从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.
设b是a的相反向量，则下列说法错误的有________.
①a与b的长度必相等；
②a∥b；
③a与b一定不相等；
④a是b的相反向量.
【解析】 因为0的相反向量是0，故③不正确.
【答案】 ③
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
向量减法及其几何意义
(1)可以写成：①＋；②－；③－；④－.其中正确的是( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
(2)化简：①＋－＝________；
②－－－＝________.
(3)已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为________，||的范围是________.
【精彩点拨】 (1)用三角形法则求向量和的关键是“首尾相连”，用平行四边形法则求向量和的关键是“共起点”.
(2)求两个向量的减法可以转化为向
( http: / / www.21cnjy.com )量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把减向量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.
【自主解答】 (1)因为＋＝，－＝，所以选D.
(2)①＋－＝＋(－)＝＋＝0；
②－－－＝(－)－(＋)＝.
(3)因为－＋＝＋＋＝，
又||＝2，
所以|－＋|＝||＝2.
又因为＝＋，且在菱形ABCD中，||＝2，
所以|||－|||<||
＝|＋|<||＋||，
即0<||<4.
【答案】 (1)D (2)①0 ② (3)2 (0,4)
1.向量加法与减法的几何意义的联系：
(1)如图所示，平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
(2)类比||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|可知||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
2.向量加减法化简的两种形式：
(1)首尾相连且为和.
(2)起点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用.
[再练一题]
1.下列各式中不能化简为的是( )
A.(－)－
B.－(＋)
C.－(＋)－(＋)
D.－－＋
【解析】 选项A中(－)－＝＋＋＝＋＋＝；选项B中－(＋)＝－0＝；选项C中－(＋)－(＋)＝－－－－＝＋＋＋＝(＋＋)＋＝.
【答案】 D
利用已知向量表示其他向量
如图2 1 20所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f
，试用a，b，c，d，e，f
表示：
图2 1 20
(1)－；(2)＋；(3)－.
【导学号：72010045】
【精彩点拨】 运用三角形法则和平行四边形法则，将所求向量用已知向量a，b，c，d，e，f
的和与差来表示.
【自主解答】 (1)∵＝b，＝d，∴－＝＝－＝d－b.
(2)∵＝a，＝b，＝c，＝f
，
∴＋＝(－)＋(－)＝b＋f
－a－c.
(3)∵＝d，＝f
，
∴－＝＝－＝f
－d.
1.解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道.
2.通过表示向量的有向线段
( http: / / www.21cnjy.com )的字母符号运算来解决问题时，运算过程中，将“－”改为“＋”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“－”改为“”.
[再练一题]
2.如图2 1 21，在五边形ABCDE
( http: / / www.21cnjy.com )中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
图2 1 21
【解】 ∵四边形ACDE为平行四边形，
∴＝＝c，＝－＝b－a，
＝－＝c－a，
＝－＝c－b，
∴＝＋＝b－a＋c.
[探究共研型]
向量减法的三角不等式及其取等条件
探究1 若||＝8，||＝5，则||的取值范围是什么？
【提示】 由＝＋及三角不等式
( http: / / www.21cnjy.com )，得||－||≤|＋|≤||＋||，又因为||＝||＝8，所以3≤||＝|＋|≤13，即||∈[3,13].
探究2 已知向量a，b，那么|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？
【提示】 它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立.
(2)当a，b不共线时，作＝a，＝b，则a＋b＝，如图(1)所示，根据三角形的性质，有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.同理可证||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|.
(3)当a，b非零且共线
( http: / / www.21cnjy.com )时，①当向量a与b同向时，作法同上，如图(2)所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.②当向量a，b反向时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)所示，此时|a＋b|＝|a|－|b|.
综上所述，得不等式
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
设a和b的长度均为6，夹角为，则|a－b|等于________.
【精彩点拨】 画出平行四边形数形结合求解.
【自主解答】 作＝a，＝b，则|a－b|＝||，
在Rt△BCO中，
∠BOC＝，||＝6，
∴||＝3，
∴|a－b|＝||＝2||＝6.
【答案】 6
利用“三角形法则、平行四边形
( http: / / www.21cnjy.com )法则”把向量问题转化为平面几何的问题，然后利用平面几何中的方法进行数量的计算或位置关系的判断也是本节的一个解题技巧，采用数形结合的方法常可以简化运算，达到巧解的目的.
[再练一题]
3.已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.
【解】 如图，作＝a，＝b，再以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则有＝a＋b，＝a－b，
即|a＋b|与|a－b|是平行四边形的两条对角线的长度，又因为|a＋b|＝|a－b|，所以该四边形为矩形，从而|a－b|＝＝10.
[构建·体系]
1.在△ABC中，若＝a，＝b，则等于( )
A.a
B.a＋b
C.b－a
D.a－b
【解析】 ＝－＝a－b.故选D.
【答案】 D
图2 1 22
2.如图2 1 22，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A.a－b＋c
B.b－(a＋c)
C.a＋b＋c
D.b－a＋c
【解析】 ＝＋＋＝a－b＋c.
【答案】 A
3.若O，E，F
是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.＝＋
B.＝－
C.＝－＋
D.＝－－
【解析】 因为O，E，F
三点不共线，所以在△OEF
中，由向量减法的几何意义，得＝－，故选B.
【答案】 B
4.已知a，b为非零向量，则下列命题中真命题的序号是________.
【导学号：72010046】
①若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同；
②若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反；
③若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b有相等的模；
④若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同.
【解析】 当a，b方向相同时有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|，当a，b方向相反时有
||a|－|b||＝|a＋b|，|a|＋|b|＝|a－b|.因此①②④为真命题.
【答案】 ①②④
5.化简：(－)－(－).
【解】 法一：(－)－(－)
＝－－＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0.
法二：(－)－(－)
＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋＝0.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(十五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则的相反向量是( )
A.a－b
B.b－a
C.a＋b
D.－a－b
【解析】 ∵＝－＝b－a，
∴的相反向量为－(b－a)＝a－b.
【答案】 A
2.已知平面内M，N，P三点满足－＋＝0，则下列说法正确的是( )
A.M，N，P是一个三角形的三个顶点
B.M，N，P是一条直线上的三个点
C.M，N，P是平面内的任意三个点
D.以上都不对
【解析】 因为－＋＝＋＋＝＋＝0，＋＋＝0对任意情况是恒成立的.故M，N，P是平面内的任意三个点.故选C.
【答案】 C
3.(2016·天津和平区期末)在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是( )
A.＋＝
B.＋＝
C.＋＝
D.－＝
【解析】 由向量加减法法则知＋＝，＋＝，C项只有四边形ABCD是平行四边形时才成立，－＝.故选B.
【答案】 B
4.给出下列各式：
①＋＋；②－＋－；③－＋；④－＋＋.
对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】 ①＋＋＝＋＝0；
②－＋－＝＋－(＋)＝－＝0；
③－＋＝＋＋＝＋＝0；
④－＋＋＝＋＋－＝＋＝0.
【答案】 A
5.已知D，E，F
分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
【导学号：72010047】
图2 1 23
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
【解析】 因为D，E，F
分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，
所以＝，＝，＝，＝，
所以＋＋＝＋＋＝0，故A成立.
－＋＝＋－＝＋＝≠0，故B不成立.
＋－＝＋＝＋＝≠0，故C不成立.
－－＝－＝＋≠0，故D不成立.
【答案】 A
二、填空题
6.如图2 1 24所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.(用a，b，c表示)
图2 1 24
【解析】 由题意，在平行四边形ABCD中，因为＝a，＝b，所以＝－＝a－b，
所以＝＝a－b，
所以＝＋＝a－b＋c.
【答案】 a－b＋c
7.在平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，且|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是________.
【解析】 由平行四边形法则知，|a＋b|，|a－b|分别表示对角线AC，BD的长，当||＝||时，平行四边形ABCD为矩形.
【答案】 矩形
三、解答题
8.
图2 1 25
如图2 1 25，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示.
(2)用b，c表示.
(3)用a，b，e表示.
(4)用d，c表示.
【解】 因为＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，
所以(1)＝＋＋＝d＋e＋a；
(2)＝－＝－－＝－b－c；
(3)＝＋＋＝a＋b＋e；
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
9.(2016·泰安高一检测)已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b，求证：
(1)|a－b|＝|a|；
(2)|a＋(a－b)|＝|b|.
【证明】 如图，在等腰Rt△ABC中，由M是斜边AB的中点，
得||＝||，||＝||.
(1)在△ACM中，＝－＝a－b.
于是由||＝||，
得|a－b|＝|a|.
(2)在△MCB中，＝＝a－b，
所以＝－＝a－b＋a＝a＋(a－b).
从而由||＝||，
得|a＋(a－b)|＝|b|.
[能力提升]
1.平面内有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若|m|＝|n|，则有( )
A.A，B，C三点必在同一直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
【解析】
如图，作＝，则ABCD为平行四边形，从而m＝＋＝，n＝－＝－＝.
∵|m|＝|n|，∴||＝||.
∴四边形ABCD是矩形，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.
【答案】 C
2.已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积.
【解】 由已知得||＝||，以、为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，
且＝a＋b，＝a－b，
由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，
∴|a＋b|＝||＝2×＝2，
S△OAB＝×2×＝.2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
1.掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算.(重点)
2.能运用数量积表示两个向量的夹角.计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
阅读教材P112“思考与讨论”以上内容，完成下列问题.
1.向量内积的坐标运算：
已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.
2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b a1b1＋a2b2＝0.
已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝( )
A.5
B.4
C.－2
D.－1
【解析】 a·b＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.
【答案】 D
教材整理2 向量的长度、距离和夹角公式
阅读教材P112～P113内容，完成下列问题.
1.向量的长度：
已知a＝(a1，a2)，则|a|＝.
2.两点间的距离：
如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
3.两向量的夹角：
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则cos〈a，b〉
＝.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0度.( )
(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.( )
(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角.( )
【解析】 (1)×.因为当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b的夹角也可能为180°.
(2)√.由向量数量积定义可知正确.
(3)×.因为两向量的夹角有可能为180°.
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
平面向量数量积的坐标运算
(1)(2016·安溪高一检测)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，x)，且a·b＝－1，则x的值等于( )
A.
B.－
C.
D.－
(2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)，则a·b＝________，a·(a－b)＝________.
(3)已知a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________.
【精彩点拨】 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解.
【自主解答】 (1)因为a＝(1,2)，b＝(2，x)，
所以a·b＝(1,2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1，
解得x＝－.
(2)a·b＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，
a·(a－b)＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4.
(3)设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5，
所以解得所以c＝.
【答案】 (1)D (2)1 4 (3)
1.进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
|a|2＝a·a；(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2；
(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
2.通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系.
3.向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充.
[再练一题]
1.设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝( )
A.(－15,12)
B.0
C.－3
D.－11
【解析】 依题意可知，a＋2b＝
( http: / / www.21cnjy.com )(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.
【答案】 C
向量的模的问题
(1)(2016·莱州期末)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于( )
A.4
B.5
C.3
D.4
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
【精彩点拨】 (1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.
(2)已知a＝(x，y)，则|a|＝.
【自主解答】 (1)由y＋4＝0知
y＝－4，b＝(－2，－4)，
∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4.故选D.
(2)由题意知，a＋b＝(－2,4)，a－b＝(4,0)，
因此|a＋b|＝2，|a－b|＝4.
【答案】 (1)D (2)2 4
向量模的问题的解题策略：
(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算.
(2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则|a|＝.
[再练一题]
2.已知向量a＝(2x＋3,2－x)，b＝(－3－x,2x)(x∈R)，则|a＋b|的取值范围为________.
【解析】 ∵a＋b＝(x，x＋2)，
∴|a＋b|＝＝
＝≥，
∴|a＋b|∈[，＋∞).
【答案】 [，＋∞)
[探究共研型]
向量的夹角与垂直问题
探究1 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cos
θ如何用坐标表示？
【提示】 cos
θ＝＝.
探究2 已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，当a与b的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？
【提示】 ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
∵a，b的夹角α为钝角，
∴
即
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).
(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是( )
A.(－2，＋∞)
B.∪
C.(－∞，－2)
D.(－2,2)
(2)已知a＝(3,4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m为何值？
【精彩点拨】 (1)可利用a，b夹角为锐角 求解.
(2)可利用两非零向量a⊥b a·b＝0来求m.
【自主解答】 (1)当a·b共线
( http: / / www.21cnjy.com )时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向.由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是∪，选B.
【答案】 B
(2)a＋mb＝(3＋2m,4－m)，a－b＝(1,5)，因为(a＋mb)⊥(a－b)，所以(a＋mb)·(a－b)＝0，
即(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0，所以m＝.
1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：
(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.
(2)求模.利用|a|＝计算两向量的模.
(3)求夹角余弦值.由公式cos
θ＝
求夹角余弦值.
(4)求角.由向量夹角的范围及cos
θ求θ的值.
2.涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决.
[再练一题]
3.已知a＝(1,2)，b＝(1
( http: / / www.21cnjy.com )，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角.
【导学号：72010066】
【解】 设a与b的夹角为θ，
则a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos
θ＝0，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为钝角，
所以cos
θ<0且cos
θ≠－1，
所以a·b<0且a与b不反向.
由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－，
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向，
所以λ的取值范围为.
(3)因为a与b的夹角为锐角，
所以cos
θ>0，且cos
θ≠1，
所以a·b>0且a，b不同向.
由a·b>0，得λ>－，由a与b同向得λ＝2，所以λ的取值范围为∪(2，＋∞).
1.已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝( )
A.－1
B.－
C.
D.1
【解析】 由a＝(1，－1)，b＝(2，x)可得a·b＝2－x＝1，故x＝1.
【答案】 D
2.已知a＝(－2,1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为( )
A.－1
B.0
C.1
D.2
【解析】 由题意，a·b＝(－2,1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.故选A.
【答案】 A
3.(2016·邢台期末)在平行四边形ABCD中，＝(1,0)，＝(2,2)，则·等于( )
A.－4
B.－2
C.2
D.4
【解析】 ·＝(－)·(－2)
＝＋2－3·
＝8＋2－3×2＝4.故选D.
【答案】 D
4.已知a＝(3，－4)，则|a|＝________.
【解析】 因为a＝(3，－4)，
所以|a|＝＝5.
【答案】 5
5.已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b).
【导学号：72010067】
【解】 (1)因为a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
所以a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5.
(2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，
所以(a＋b)2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25.
(3)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，
a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)，
(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2,1)＝8－3＝5.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(二十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·开封质检)已知向量a＝(3,1)，b＝(x，－2)，c＝(0,2)，若a⊥(b－c)，则实数x的值为( )
A.
B.
C.－
D.－
【解析】 b－c＝(x，－4)，由a⊥(b－c)知3x－4＝0，
∴x＝.故选A.
【答案】 A
2.(2016·马鞍山质检)已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,4)，且a∥b，则|a－b|＝( )
A.5
B.3
C.2
D.2
【解析】 ∵a∥b，∴4＋2x＝0，
∴x＝－2，a－b＝(1，－2)－(－2,4)＝(3，－6)，
∴|a－b|＝3.故选B.
【答案】 B
3.已知向量a＝(1，)，b＝(－2,2)，则a与b的夹角是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 设a与b的夹角为θ，
则cos
θ＝＝＝，
解得θ＝.故选C.
【答案】 C
4.若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 a在b方向上的投影为|a|cos
＝＝＝
＝.
【答案】 A
5.已知正方形OABC两边AB，BC的中点分别为D和E，则∠DOE的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 以点O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，设边长为1，则D，E，于是cos∠DOE＝
＝.
【答案】 D
二、填空题
6.已知O＝(－2,1)，O＝(0,2)，且A∥O，B⊥A，则点C的坐标是________.
【解析】 设C(x，y)，则A＝(x＋2，y－1)，
B＝(x，y－2)，A＝(2,1).
由A∥O，B⊥A，得
解得
∴点C的坐标为(－2,6).
【答案】 (－2,6)
7.(2016·德州高一检测)若向量a＝(－2,2)与b＝(1，y)的夹角为钝角，则y的取值范围为________.
【解析】 若a与b夹角为180°，则有b＝λa(λ<0)
即解得y＝－1且λ＝－，所以b≠λa(λ<0)时y≠－1；①
若a与b夹角θ∈时，则只要a·b<0且b≠λa(λ<0).
当a·b<0有－2＋2y<0解得y<1.②
由①②得y<－1或－1【答案】 (－∞，－1)∪(－1,1)
三、解答题
8.已知＝(6,1)，＝(4，k)，＝(2,1).
(1)若A，C，D三点共线，求k的值；
(2)在(1)的条件下，求向量与的夹角的余弦值.
【导学号：72010068】
【解】 (1)因为＝＋＝(10，k＋1)，由题意知A，C，D三点共线，
所以∥，所以10×1－2(k＋1)＝0，即k＝4.
(2)因为＝(2,1)，设向量与的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝.
9.已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，
(1)ka－b与a＋b共线；
(2)ka－b与a＋b的夹角为120°.
【解】 ∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，
ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，
a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1).
(1)∵ka－b与a＋b共线，
∴k＋2－(－k)＝0，∴k＝－1.
即当k＝－1时，ka－b与a＋b共线.
(2)∵|ka－b|＝，
|a＋b|＝＝，
(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)
＝k－k－2＝－2，
而ka－b与a＋b的夹角为120°，
∴cos
120°＝，
即－＝，
化简整理，得k2＋2k－2＝0，解之得k＝－1±.
即当k＝－1±时，ka－b与a＋b的夹角为120°.
[能力提升]
1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3).若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 设c＝(x，y)，
又因为a＝(1,2)，b＝(2，－3)，
所以c＋a＝(x＋1，y＋2)，
又因为(c＋a)∥b，
所以有(x＋1)·(－3)－2·(y＋2)＝0，
即－3x－2y－7＝0，①
又a＋b＝(3，－1)，
由c⊥(a＋b)得：3x－y＝0，②
由①②解得
因此有c＝.
【答案】 D
2.(2016·徐州高一检测)在平面直角坐标系内，已知三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求：
(1)，的坐标；
(2)|－|的值；
(3)cos∠BAC的值.
【解】 (1)＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
＝(2,5)－(1,0)＝(1,5).
(2)因为－＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，
所以|－|＝＝2.
(3)因为·＝(－1,1)·(1,5)＝4，
||＝，||＝，
cos∠BAC＝＝＝.2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
1.会用坐标表示平面向量共线的条件.
2.能运用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理 两个向量平行的坐标表示
阅读教材P103～P104“例1”以上内容，完成下列问题.
选择基底{e1，e2}.
(1)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a∥b a1b2－a2b1＝0.
(2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如果向量b不平行于坐标轴，即b1≠0，b2≠0，则a∥b ＝.
用语言可以表述为：两个向量平行的条件是，相应坐标成比例.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量(1,2)与向量(4,8)共线.( )
(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向.( )
【解析】 (1)正确.因为(4,8)＝4(1,2)，所以向量(1,2)与向量(4,8)共线.
(2)正确.因为(－4，－6)＝－2(2,3)，所以向量(2,3)与向量(－4，－6)反向.
【答案】 (1)√ (2)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
判定直线平行、三点共线
(1)已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则C的坐标可以是( )
A.(－9,1)
B.(9，－1)
C.(9,1)
D.(－9，－1)
(2)已知四点坐标A(－1,1)，B(1,5)，C(－2，－1)，D(4,11)，请判断直线AB与CD是否平行？
(3)已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
【精彩点拨】 (1)利用向量的平行条件x1y2－x2y1＝0，可证明有公共点的两个平行向量共线，从而可证明三点共线.
(2)判定两直线平行，先判定两向量平行，再说明两向量上的相关点不共线.
【自主解答】 (1)设点C的坐标是(x，y)，
因为A，B，C三点共线，
所以∥.
因为＝－(1，－3)＝，
＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，
所以7(y＋3)－(x－1)＝0，整理得x－2y＝7，
经检验可知点(9,1)符合要求，故选C.
【答案】 C
(2)因为＝(1,5)－(－1,1
( http: / / www.21cnjy.com ))＝(2,4)，＝(4,11)－(－1，1)＝(5,10)，＝(－2，－1)－(－1,1)＝(－1，－2)，
所以＝－2，＝－5.
所以∥∥.
由于与，有共同的起点A，
所以A，B，C，D四点共线，
因此直线AB与CD重合.
(3)因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，
＝(2－1,7－5)＝(1,2).
又因为2×2－4×1＝0，
所以∥.
又因为＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2,6)，＝(2,4)，
所以2×4－2×6≠0，
所以A，B，C不共线，
所以AB与CD不重合，
所以AB∥CD.
三点共线的条件以及判断方法：
若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法：
(1)直接利用上述条件，计算(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)是否为0；
(2)任取两点构成向量，计算出两向量如，，再通过两向量共线的条件进行判断.
[再练一题]
1.设O是坐标原点，＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？
【解】 ∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)，
又A，B，C三点共线，
∴由两向量平行的充要条件，得(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，
解得k＝－2或k＝11.
即当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线.
已知平面向量共线求参数
(1)已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则
①存在实数x，使a∥b；
②存在实数x，使(a＋b)∥a；
③存在实数x，m，使(ma＋b)∥a；
④存在实数x，m，使(ma＋b)∥b.
其中，所有叙述正确的序号为________.
(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
【精彩点拨】 (1)可利用向量共线定理列方程判断方程解的情况来解决.
(2)可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用b＝λa判定同向还是反向.
【自主解答】 (1)由a∥b x2＝－9无实数解，故①不对；
又a＋b＝(x－3,3＋x)，由(a＋b)∥a得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9无实数解，故②不对；
因为ma＋b＝(mx－3,3m＋x)，
由(ma＋b)∥a得(3m＋x)x－3(mx－3)＝0，
即x2＝－9无实数解，故③不对；
由(ma＋b)∥b得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，
即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，故④正确.
【答案】 ④
(2)由题知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，
因为ka＋b与a－3b平行，
所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，
解得k＝－.
这时ka＋b＝＝－(a－3b).
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向.
利用向量平行的条件处理求值问题的思路：
(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解.
(2)利用向量平行的坐标表达式a1b2－a2b1＝0直接求解.
[再练一题]
2.(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
(2)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3,4)，若(3a－b)∥(a＋kb)，求实数k的值.
【解析】 (1)∵a＝(1,2)，b＝(2,3)，
∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3).
∵向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，
∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，
∴λ＝2.
【答案】 2
(2)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，
因为(3a－b)∥(a＋kb)，
所以0－(－10－30k)＝0，
所以k＝－.
向量共线的综合应用
如图2 2 18所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标.
图2 2 18
【精彩点拨】 要求点P的坐标
( http: / / www.21cnjy.com )，只需求出向量的坐标，由与共线得到＝λ，利用与共线的坐标表示求出λ即可；也可设P(x，y)，由∥及∥，列出关于x，y的方程组求解.
【自主解答】 设P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，则得(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以P点的坐标为(3,3).
1.关于解决两线段的交点问题可以用解析几何的知识联立两直线方程求交点的坐标；也可以使用对应向量共线列等式，再解方程组求解.
2.本例利用了向量共线定理，已知四边形四
( http: / / www.21cnjy.com )个顶点坐标求对角线交点坐标的向量解法，为我们展示了向量的坐标运算在解决平面几何、平面解析几何问题中的应用，在以后学习中应加以体会运用.
[再练一题]
3.如图2 2 19，已知A(4,5)，B(1,2)，C(12,1)，D(11,6)，求AC与BD的交点P的坐标.
【导学号：72010060】
图2 2 19
【解】 设＝λ＝λ(11－1,6－2)＝(10λ，4λ).
由题意知＝(－11,1)，
∴＝＋＝(10λ－11,4λ＋1).
又＝(－8,4)，且与共线，
∴4×(10λ－11)＋8×(4λ＋1)＝0，
解得λ＝.
设点P的坐标为(xp，yp)，
∴＝(5,2)＝(xp－1，yp－2)，
∴
即
故点P的坐标为(6,4).
[探究共研型]
共线向量与中点坐标公式
探究1 设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，如何求线段P1P2的中点P的坐标？
【提示】 如图所示，∵P为P1P2的中点，
∴＝，
∴－＝－，
∴＝(＋)
＝，
∴线段P1P2的中点坐标是.
探究2 设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？
【提示】 点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：
①当＝时，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋
＝；
②当＝时，
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝.
探究3 当＝λ时，点P的坐标是什么？
【提示】 ∵＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ－λ，
∴＝
＝(x1，y1)＋(x2，y2)
＝＋
＝，
∴P.
已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标.
【精彩点拨】 点P在直线AB上，包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上，因此应分类讨论.
【自主解答】 设P点坐标为(x，y)，
||＝2||.
当P在线段AB上时，＝2，
∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
∴解得
∴P点坐标为.
当P在线段AB延长线上时，＝－2，
∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，
∴解得
∴P点坐标为(－5,8).
综上所述，点P的坐标为或(－5,8).
在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论.
[再练一题]
4.已知△ABC的三个顶点坐标依次为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，求△ABC的重心G的坐标.
【解】 延长AG交BC于点D，
∵G为△ABC的重心，
∴D为BC的中点，
∴＝
＝＝＋，
∴＝＋＝＋＋
＝＋(－)＋(－)
＝(＋＋)
＝.
综上所述，G的坐标为
.
1.下列满足平行的一组向量是( )
A.a＝(1，－4)，b＝(504，－2
016)
B.a＝(2,3)，b＝(4，－6)
C.a＝(1,2)，b＝(－1
008,2
016)
D.a＝(－1,4)，b＝(3,12)
【解析】 A中，因为1×(－2
0
( http: / / www.21cnjy.com )16)－504×(－4)＝0，∴a∥b；B中，因为2×(－6)－4×3＝－24≠0，∴a与b不平行；C中，因为1×2
016－(－1
008)×2＝4
032≠0，∴a与b不平行；D中，因为－1×12－3×4＝－24≠0，∴a与b不平行.
【答案】 A
2.设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是( )
A.b＝(k，k)
B.c＝(－k，－k)
C.d＝(k2＋1，k2＋1)
D.e＝(k2－1，k2－1)
【解析】 由向量共线的判定条件，当k＝0时，向量b，c分别与a平行；当k＝±1时，向量e与a平行.
对任意k∈R,1·(k2＋1)＋1·(k2＋1)≠0，∴a与d不平行.
【答案】 C
3.已知a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝( )
A.－9
B.9
C.3
D.－3
【解析】 因为a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，
若a∥b则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.
【答案】 B
4.与向量a＝(1,2)平行，且模等于的向量为________.
【导学号：72010061】
【解析】 因为所求向量与向量a＝(1,2)平行，所以可设所求向量为x(1,2)，又因为其模为，所以x2＋(2x)2＝5，解得x＝±1.
因此所求向量为(1,2)或(－1，－2).
【答案】 (1,2)或(－1，－2)
5.已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值.
【解】 因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，
u＝a＋2b＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，
v＝2a－b＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3).
又因为u∥v，
所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，
解得x＝.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(二十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为( )
A.
B.2
C.－
D.－2
【解析】 ma＋4b＝(2m
( http: / / www.21cnjy.com )－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，由ma＋4b与a－2b共线，有－(2m－4)－4(3m＋8)＝0，解得m＝－2，故选D.
【答案】 D
2.已知A，B，C三点共线，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A.－13
B.9
C.－9
D.13
【解析】 设C(6，y)，∵∥，
又＝(－8,8)，＝(3，y＋6)，
∴－8×(y＋6)－3×8＝0，
∴y＝－9.
【答案】 C
3.已知向量a＝(1－sin
θ，1)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
【解析】 由a∥b，可得(1－sin
θ)(1＋sin
θ)－＝0，即cos
θ＝±，而θ是锐角，故θ＝45°.
【答案】 B
4.(2016·马鞍山期末)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么2a－b＝( )
A.(4,0)
B.(0,4)
C.(4，－8)
D.(－4,8)
【解析】 由a∥b知4＋2m＝0，∴m＝－2,2a－b＝(2，－4)－(－2,4)＝(4，－8).故选C.
【答案】 C
5.如果向量a＝(k,1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于( )
A.±2
B.2
C.－2
D.0
【解析】 由a，b共线得k2＝4，又两个向量的方向相反，故k＝－2.故选C.
【答案】 C
二、填空题
6.已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________.
【导学号：72010062】
【解析】 由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ).设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.
由
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B或.
【答案】 或
7.向量a＝(1，－2)，向量b与a共线，且|b|＝4|a|，则b＝________.
【解析】 因为b∥a，令b＝λa＝(λ，－2λ)，
又|b|＝4|a|，
所以(λ)2＋(－2λ)2＝16(1＋4)，故有λ2＝16，解得λ＝±4，∴b＝(4，－8)或(－4,8).
【答案】 (4，－8)或(－4,8)
三、解答题
8.已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C，D和向量的坐标.
【解】 设点C(x1，y1)
( http: / / www.21cnjy.com )，D(x2，y2)，由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)，
因为＝，＝－，
所以(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)，
(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)，
则有和
解得和
所以点C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，＝(－2，－4).
图2 2 20
9.如图2 2 20，在△OCB中，A是CB的中点，D是OB的靠近B点的一个三等分点，DC与OA交于点E，若＝λ，求实数λ的值.
【解】 ∵C，E，D三点共线，
∴存在实数x，有＝x，
∴－＝x(－)，
∴λ－＝x，
又点A是CB的中点，
∴λ·(＋)－＝x，
∴＋＝x－x，
∴
∴λ＝.
[能力提升]
1.(2016·温州高一
( http: / / www.21cnjy.com )检测)若＝i＋2j，＝(3－x)i＋(4－y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量)，与共线，则x，y的值可能分别为( )
A.1,2
B.2,2
C.3,2
D.2,4
【解析】 因为＝(1,2)，＝(3－x,4－y)，
又∥，
所以4－y－2×(3－x)＝0，
即2x－y－2＝0，验知B合适.
【答案】 B
2.已知四边形ABCD是边长为6的正方形
( http: / / www.21cnjy.com )，E为AB的中点，点F
在BC上，且BF
∶F
C＝2∶1，AF
与EC相交于点P，求四边形APCD的面积.
【解】 以A为坐标原点，为x轴建立直角坐标系，如图所示，
∴A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)，
F
(6,4)，E(3,0)，
设P(x，y)，＝(x，y)，
＝(6,4)，＝(x－3，y)，＝(3,6).
由点A，P，F
和点C，P，E分别共线，
得∴
∴S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△AEP－S△CEB
＝36－×3×3－×3×6＝.1.3 三角函数的图象与性质
1.3.1 正弦函数的图象与性质
第1课时 正弦函数的图象与性质
1.能正确使用“五点法”、“几何法”作出正弦函数的图象.(难点)
2.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值.(重点)
[基础·初探]
教材整理1 正弦函数的图象
阅读教材P37～P38“例1”以上部分，完成下列问题.
1.利用正弦线可以作出y＝s
( http: / / www.21cnjy.com )in
x，x∈[0,2π]的图象，要想得到y＝sin
x(x∈R)的图象，只需将y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象沿x轴平移±2π，±4π…即可，此时的图象叫做正弦曲线.
2.“五点法”作y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象时，所取的五点分别是(0,0)，，(π，0)，和(2π，0).
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的.( )
(2)正弦函数y＝sin
x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，(k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同.( )
(3)正弦函数y＝sin
x(x∈R)的图象关于x轴对称.( )
(4)正弦函数y＝sin
x(x∈R)的图象关于原点成中心对称.( )
【解析】 由正弦曲线的定义可知只有(3)错误.
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
教材整理2 正弦函数的性质
阅读教材P39～P40“例2”以上部分，完成下列问题.
1.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f
(x)，如果存
( http: / / www.21cnjy.com )在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f
(x＋T)＝f
(x)，那么函数f
(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：对于一个周期函数f
(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.
2.正弦函数的性质
函数
y＝sin
x
定义域
(－∞，＋∞)
值域
[－1,1]
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期：2π
单调性
在(k∈Z)上递增；在(k∈Z)上递减
最值
x＝2kπ＋，(k∈Z)时，y最大值＝1；x＝2kπ－(k∈Z)时，y最小值＝－1
函数y＝sin
x的一条对称轴是( )
A.x＝
B.x＝
C.x＝0
D.x＝π
【解析】 y＝sin
x的对称轴是x＝kπ＋(k∈Z)，∴应选A.
【答案】 A
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问4：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
五点法作函数的图象
作函数y＝sin
x，x∈[0,2π]与函数y＝－1＋sin
x，x∈[0,2π]的简图，并研究它们之间的关系.
【导学号：72010021】
【精彩点拨】 可以用“五点法”原理在同一坐标系中作出两函数的图象，然后比较它们的关系.
【自主解答】 按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
－1＋sin
x
－1
0
－1
－2
－1
利用正弦函数的性质描点作图，如图：
由图象可以发现，把y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y＝－1＋sin
x，x∈[0,2π]的图象.
1.五点法作图，要抓住五个关键点，使函数式中的x依次取0，，π，π，2π，然后解出相应的y值，再描点，连线得出图象.
2.y＝sin
x±b的图象可以由y＝sin
x的图象上、下平移获得.
[再练一题]
1.作出函数y＝1＋sin
x(x∈[0,2π])的简图.
【解】 列表：
x
0
π
π
2π
y
1
2
1
0
1
描点连线：
求三角函数的周期
求下列函数的最小正周期.
(1)y＝sinx；
(2)y＝2sin.
【精彩点拨】 求周期的方法可以用诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin
x得到.
【自主解答】 (1)如果令u＝x，则sinx＝sin
u是周期函数，且最小正周期为2π.
∴sin＝sinx，
即sin＝sinx.
∴y＝sinx的最小正周期是4π.
(2)∵2sin＝2sin，
即2sin＝2sin，
∴y＝2sin的最小正周期是6π.
用定义求周期时应注意，从等式f
(x＋T)
( http: / / www.21cnjy.com )＝f
(x)来看，应强调是自变量x本身加的常数才是周期，如：f
(2x＋T)＝f
(2x)，T不是周期，要写成f
(2x＋T)＝f
＝f
(2x)，是f
(x)的周期.
[再练一题]
2.求下列函数的周期：
(1)y＝sin；(2)y＝|sin
x|.
【解】 (1)∵sin＝sin，
即sin＝sin，
∴y＝sin的最小正周期是π.
(2)令f
(x)＝|sin
x|，则f
( http: / / www.21cnjy.com )
(kπ＋x)＝|sin(kπ＋x)|＝|±sin
x|＝|sin
x|＝f
(x)(k∈Z且k≠0).
∴kπ是函数f
(x)的周期，则最小正周期为π.
正弦函数的单调性及应用
已知函数f
(x)＝sin
x－1.
(1)写出f
(x)的单调区间；
(2)求f
(x)的最大值和最小值及取得最值时x的集合；
(3)比较f
与f
的大小.
【精彩点拨】 结合正弦函数的单调性及单调区间求解即可.
【自主解答】 (1)∵函数f
(x)＝sin
x－1与g(x)＝sin
x的单调区间相同，
∴f
(x)＝sin
x－1的增区间为
(k∈Z)，
减区间为(k∈Z).
(2)∵函数g(x)＝sin
x，
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，取最大值1，
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，取最小值－1.
∴函数f
(x)＝sin
x－1，
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，取最大值0，
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，取最小值－2.
(3)f
＝sin－1，
f
＝sin－1，
∵－＜－＜－＜，
且y＝sin
x在上是增函数，
∴sin＜sin.
∴f
＞f
.
1.求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图象，同时注意三角函数的周期性.
2.比较三角函数值的大小时，
( http: / / www.21cnjy.com )需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较.
[再练一题]
3.比较大小：
(1)sin
250°与sin
260°；
(2)sin与sin.
【解】 (1)sin
2
( http: / / www.21cnjy.com )50°＝sin(180°＋70°)＝－sin
70°，sin
260°＝sin(180°＋80°)＝－sin
80°，
因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y＝sin
x，x∈是增函数，所以sin
70°＜sin
80°，
所以－sin
70°＞－sin
80°，即sin
250°＞sin
260°.
(2)sin＝－sin
＝－sin
＝－sin＝－sin
，
sin＝－sin
＝－sin
.
因为0＜＜＜，且函数y＝sin
x，x∈是增函数，
所以sin
＜sin
，－sin>－sin，
即sin＜sin.
[探究共研型]
正弦函数的值域与最值问题
探究1 函数y＝sin在x∈[0，π]上最小值能否为－1
【提示】 不能.因为x∈[0，π]，所以x＋∈，由正弦函数图象可知函数的最小值为－.
探究2 函数y＝Asin
x＋b，x∈R的最大值一定是A＋b吗？
【提示】 不是.因为A>0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋b.
求下列函数的值域.
(1)y＝3＋2sin；
(2)y＝1－2sin2x＋sin
x.
【精彩点拨】 (1)用|sin
α|≤1构建关于y的不等式，从而求得y的取值范围.
(2)用t代替sin
x，然后写出关于t的函数，再利用二次函数的性质及|t|≤1即可求出y的取值范围.
【自主解答】 (1)∵－1≤sin≤1，
∴－2≤2sin≤2，
∴1≤2sin＋3≤5，
∴1≤y≤5，即函数y＝3＋2sin的值域为[1,5].
(2)y＝1－2sin2x＋sin
x，
令sin
x＝t，则－1≤t≤1，
y＝－2t2＋t＋1＝－22＋.
由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图象可知－2≤y≤，
即函数y＝1－2sin2x＋sin
x的值域为.
1.换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性.
2.转化成同一函数，要注意不要一见sin
x就有－1≤sin
x≤1，要根据x的范围确定.
[再练一题]
4.设|x|≤，求函数f
(x)＝cos2x＋sin
x的最小值.
【解】 f
(x)＝cos2x＋sin
x＝1－sin2x＋sin
x
＝－2＋.
∵|x|≤，∴－≤sin
x≤，
∴当sin
x＝－时取最小值为.
1.以下对于正弦函数y＝sin
x的图象描述不正确的是( )
A.在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同
B.关于x轴对称
C.介于直线y＝1和y＝－1之间
D.与y轴仅有一个交点
【解析】 观察y＝sin
x图象可知A，C，D正确，且关于原点中心对称，故选B.
【答案】 B
2.下列图象中，是y＝－sin
x在[0,2π]上的图象的是( )
【解析】 由y＝sin
x在[0,2π]上的图象作关于x轴的对称图形，应为D项.
【答案】 D
3.点M在函数y＝sin
x的图象上，则m等于( )
A.0
B.1
C.－1
D.2
【解析】 由题意－m＝sin
，∴－m＝1，∴m＝－1.
【答案】 C
4.若sin
x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是__________.
【导学号：72010022】
【解析】 因为－1≤sin
x≤1，sin
x＝2m＋1，
所以－1≤2m＋1≤1，解得－1≤m≤0.
【答案】 [－1,0]
5.(2016·西安高一检测)用五点法画出函数y＝－2sin
x在区间[0,2π]上的简图.
【解】 列表：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
y＝－2sin
x
0
－2
0
2
0
描点、连线得y＝－2sin
x的图象如图：
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.函数y＝sin|x|的图象是( )
【解析】 ∵函数y＝sin|x|是偶函数，且x≥0时，sin|x|＝sin
x.故应选B.
【答案】 B
2.(2016·济南高一检测)函数y＝|sin
x|的一个单调递增区间是( )
A.
B.(π，2π)
C.
D.(0，π)
【解析】 作出函数y＝|sin
x|的图象，如图，观察图象知C正确，
故选C.
【答案】 C
3.在[0,2π]内，不等式sin
x<－的解集是( )
【导学号：72010023】
A.(0，π)
B.
C.
D.
【解析】 画出y＝sin
x，x∈[0,2π]的草图如下：
因为sin
＝，
所以sin＝－，
sin＝－.
即在[0,2π]内，满足sin
x＝－的是x＝或x＝.
可知不等式sin
x<－的解集是.
【答案】 C
4.(2016·兰州高一检测)设a＞0，对于函数f
(x)＝(0＜x＜π)，下列结论正确的是( )
A.有最大值而无最小值
B.有最小值而无最大值
C.有最大值且有最小值
D.既无最大值又无最小值
【解析】 因为0＜x＜π，所以0＜sin
x≤1，≥1，所以函数f
(x)＝＝1＋有最小值而无最大值，故选B.
【答案】 B
5.函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是( )
A.0
B.
C.
D.π
【解析】 当φ＝时，y＝sin＝cos
2x，而y＝cos
2x是偶函数，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6.y＝sin(ω＞0)的周期是π，则ω＝________.
【解析】 根据题意有sin＝sin，
sin＝sin，
∴ω＝2π，
∴ω＝3.
【答案】 3
7.函数y＝log2(sin
x)的定义域为________.
【解析】 据题意知sin
x＞0，得x∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z).
【答案】 (2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)
8.(2016·杭州高一检测)若x是三角形的最小角，则y＝sin
x的值域是________.
【解析】 由三角形内角和为π知，
若x为三角形中的最小角，
则0＜x≤，
由y＝sin
x图象知y∈.
【答案】
三、解答题
9.定义在R上的函数f
(x)既是偶函数又是周期函数，若f
(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f
(x)＝sin
x，求f
的值.
【解】 ∵f
(x)的最小正周期是π，
∴f
＝f
＝f
.
∵f
(x)是R上的偶函数，
∴f
＝f
＝sin
＝，
∴f
＝.
10.已知函数f
(x)＝2asin＋b的定义域为，最大值为1，最小值为－5，求a和b的值.
【解】 ∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤π，
∴－≤sin≤1，易知a≠0.
当a>0时，最大值为2a＋b＝1，
最小值为－a＋b＝－5.
由解得
当a<0时，最大值为－a＋b＝1，
最小值为2a＋b＝－5.
由解得
[能力提升]
1.函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是( )
【解析】 因为y＝sin
( http: / / www.21cnjy.com )(－x)＝－sin
x，x∈[0,2π]的图象可看作是由y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象关于x轴对称得到的.故选B.
【答案】 B
2.直线xsin
α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________.
【解析】 ∵sin
α∈[－1,1]，∴－sin
α∈[－1,1]，
∴已知直线的斜率范围为[－1,1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是∪
【答案】 ∪
3.已知直线y＝a，函数y＝sin
x，x∈[0,2π]，试探求以下问题.
(1)当a为何值时，直线y＝a与函数y＝sin
x的图象只有一个交点？
(2)当a为何值时，直线与函数图象有两个交点？
(3)当a为何值时，直线与函数图象有三个交点？
(4)当a为何值时，直线与函数图象无交点？
【解】 作出直线y＝a，与函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象(如图所示)，由图象可知.
(1)当a＝1或－1时，直线与函数图象只有一个交点.
(2)当－1＜a＜0或0＜a＜1时，直线与函数图象有两个交点.
(3)当a＝0时，直线与函数图象有三个交点.
(4)当a＜－1或a＞1时，直线与函数图象无交点.3.1.2 两角和与差的正弦
1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式.(难点)
2.能利用公式解决简单的化简求值问题.(重点)
[基础·初探]
教材整理 两角和与差的正弦
阅读教材P136内容，完成下列问题.
1.公式：
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦
Sα＋β
sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
α，β∈R
两角差的正弦
Sα－β
sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
α，β∈R
2.重要结论－辅助角公式：
y＝asin
x＋bcos
x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos
θ＝，sin
θ＝.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦公式中的角α，β是任意的.( )
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin
α－sin
β成立.( )
(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β都不成立.( )
(4)sin
54°cos
24°－sin
36°sin
24°＝sin
30°.( )
【解析】 (1)√.根据公式的推导过程可得.
(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin
α－sin
β.
(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β成立.
(4)√.因为sin
54°cos
24°－sin
36°sin
24°
＝sin
54°cos
24°－cos
54°sin
24°＝sin(54°－24°)＝sin
30°，故原式正确.
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问4：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
给角求值
(1)＝( )
A.－
B.－
C.
D.
(2)求sin
157°cos
67°＋cos
23°sin
67°的值；
(3)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)的值.
【精彩点拨】 (1)化简求值应注意公式的逆用.
(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值.
【自主解答】 (1)
＝
＝
＝＝sin
30°＝.
【答案】 C
(2)原式＝sin(180°－23°)cos
( http: / / www.21cnjy.com )
67°＋cos
23°sin
67°＝sin
23°cos
67°＋cos
23°sin
67°＝sin(23°＋67°)＝sin
90°＝1.
(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)cos
6
( http: / / www.21cnjy.com )0°＋cos(θ＋15°)sin
60°＋cos(θ＋15°)cos
30°－sin(θ＋15°)sin
30°－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0.
http://www.21cnjy.com/
( http: / / www.21cnjy.com )
1.对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：
(1)化为特殊角的三角函数值；
(2)化为正负相消的项，消去，求值；
(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值.
2.在进行求值过程的变换中
( http: / / www.21cnjy.com )，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换.
[再练一题]
1.化简下列各式：
(1)sin＋2sin－cos；
(2)－2cos(α＋β).
【解】 (1)原式＝sin
xcos
＋cos
xsin
＋2sin
xcos
－2cos
xsin
－cos
cos
x－sin
sin
x＝sin
x＋cos
x＋sin
x－cos
x＋cos
x－sin
x
＝sin
x＋cos
x＝0.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
给值求值
(2016·青岛高一检测)已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin
2α的值.
【导学号：72010078】
【精彩点拨】 观察出角的关系，即2
( http: / / www.21cnjy.com )α＝(α－β)＋(α＋β)，然后求出sin(α－β)和cos(α＋β)的值，利用两角和的正弦公式求解结果.
【自主解答】 因为＜β＜α＜，
所以0＜α－β＜，π＜α＋β＜π.
又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
所以sin(α－β)＝
＝
＝，
cos(α＋β)＝－
＝－
＝－.
所以sin
2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×＝－.
解答此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来，一般注意以下几方面：
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两“已知角”的和与差的形式.
(2)当“已知角”有一个时，应注意“所求角”与“已知角”的和与差的形式，“所求角”再用诱导公式变成“已知角”.
(3)角的拆分方法不唯一，应根据题目合理拆分.
(4)用同角三角函数的基本关系式求值时，一定要注意角的范围.
[再练一题]
2.本例中条件不变，试求sin
2β的值.
【解】 由例题中解法知：
sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－.
所以sin2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]
＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－.
[探究共研型]
辅助角公式的应用
探究1 函数y＝sin
x＋cos
x(x∈Z)的最大值为2对吗？为什么？
【提示】 不对.因为sin
x＋cos
x
＝
＝
＝sin，
所以函数的最大值为.
探究2 函数y＝3sin
x＋4cos
x的最大值等于多少？
【提示】 因为y＝3sin
x＋4cos
x
＝5，
令cos
φ＝，sin
φ＝，
则y＝5(sin
xcos
φ＋cos
xsin
φ)＝5sin(x＋φ)，
所以函数y的最大值为5.
探究3 如何推导asin
x＋bcos
x＝sin(x＋φ)公式.
【提示】 asin
x＋bcos
x
＝，
令cos
φ＝，sin
φ＝，则
asin
x＋bcos
x＝(sin
xcos
φ＋cos
xsin
φ)
＝sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan
φ＝确定，或由sin
φ＝和cos
φ＝共同确定).
当函数y＝sin
x－cos
x(0≤x<2π)取得最大值时，x＝________.
【精彩点拨】 可先用公式Sα±β将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)形式再求最大值对应的x值.
【自主解答】 函数为y＝sin
x－cos
x＝2
＝2
＝2sin，
当0≤x<2π时，－≤x－<，
所以当y取得最大值时，x－＝，所以x＝.
【答案】
1.对于形如sin
α±cos
α，sin
α±cos
α的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式.
2.在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则.
[再练一题]
3.函数f
(x)＝sin
x－cos的值域为( )
A.[－2,2]
B.
C.[－1,1]
D.
【解析】 f
(x)＝sin
x－cos
＝sin
x－cos
x＋sin
x
＝sin
x－cos
x
＝sin，
所以函数f
(x)的值域为[－，].
故选B.
【答案】 B
[构建·体系]
1.(2016·清远期末)化简：sin
21°cos
81°－cos
21°sin
81°等于( )
A.
B.－
C.
D.－
【解析】 原式＝sin(21°－81°)＝－sin
60°＝－.故选D.
【答案】 D
2.函数y＝sin
x－cos
x的最小正周期是( )
A.
B.π
C.2π
D.4π
【解析】 y＝sin
x－cos
x＝sin，所以T＝2π.
【答案】 C
3.＝( )
A.－
B.－
C.
D.
【解析】
＝
＝
＝sin
30°
＝.
【答案】 C
4.(2016·淮安高一检测)sin
155°cos
35°－cos
25°cos
235°＝________.
【解析】 原式＝sin
25°cos
35°＋cos
25°sin
35°＝
sin(25°＋35°)＝sin
60°＝.
【答案】
5.已知α，β均为锐角，sin
α＝，cos
β＝，求α－β.
【导学号：72010079】
【解】 ∵α，β均为锐角，sin
α＝，cos
β＝，
∴sin
β＝，cos
α＝.
∵sin
αβ，∴α<β，∴－<α－β<0，
∴sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
＝×－×＝－，∴α－β＝－.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(二十五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2015·全国卷Ⅰ)sin
20°cos
10°－cos
160°sin
10°＝( )
A.－
B.
C.－
D.
【解析】 sin
20°cos
10
( http: / / www.21cnjy.com )°－cos
160°sin
10°＝sin
20°cos
10°＋cos
20°sin
10°＝sin(20°＋10°)＝sin
30°＝，故选D.
【答案】 D
2.(2016·北京高一检测)在△ABC中，A＝，cos
B＝，则sin
C等于( )
A.
B.－
C.
D.－
【解析】 因为cos
B＝且0所以sin
B＝又A＝，
所以sin
C＝sin(A＋B)＝sincos
B＋cossin
B
＝×＋×＝.
【答案】 A
3.已知＜β＜，sin
β＝，则sin＝( )
A.1
B.2
C.
D.
【解析】 ∵＜β＜，∴cos
β＝＝＝，∴sin＝sin
β＋cos
β＝×＋×＝.
【答案】 C
4.(2016·温州高一检测)在△ABC中，若sin
B＝2sin
Acos
C，那么△ABC一定是( )
A.等腰直角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
【解析】 在△ABC中，因为sin
B＝s
( http: / / www.21cnjy.com )in[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C＝2sin
Acos
C，所以sin
Acos
C－cos
Asin
C＝0，即sin(A－C)＝0，因为0＜A＜π，0＜C＜π，所以－π＜A－C＜π，所以A－C＝0，即A＝C，所以△ABC一定是等腰三角形，故选B.
【答案】 B
5.已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，则＝( )
【导学号：72010080】
A.
B.
C.
D.－
【解析】 由已知sin(α
( http: / / www.21cnjy.com )＋β)＝，sin(α－β)＝－，得sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝，sin
αcos
β－cos
αsin
β＝－，两式分别相加减得sin
αcos
β＝－，cos
αsin
β＝，所以＝＝＝－，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6.求值：＝________.
【解析】
＝
＝＝＝－2.
【答案】 －2
7.(2016·汕头高一检测)已知cos
α＝，cos(α＋β)＝－，α，β∈，则β＝________.
【解析】 由题意得：sin
α
( http: / / www.21cnjy.com )＝，sin(α＋β)＝，所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝－×＋×＝，又β∈，所以β＝.
【答案】
8.若8sin
α＋5cos
β＝6,8cos
α＋5sin
β＝10，则sin(α＋β)＝________.
【解析】 由8sin
α＋5cos
β＝6，两边平方，
得64sin2α＋80sin
αcos
β＋25cos2β＝36.①
由8cos
α＋5sin
β＝10，两边平方，
得64cos2α＋80
cos
α
sin
β＋25sin2β＝100.②
①＋②，得64＋25＋80(sin
αcos
β＋cos
αsin
β)＝136，
∴sin(α＋β)＝.
【答案】
三、解答题
9.已知：＜α＜，且cos＝，求cos
α，sin
α的值.
【解】 因为＜α＜，所以0＜α－＜.
因为cos＝，
所以sin＝＝.
所以sin
α＝sin
＝sincos
＋cossin
＝，
cos
α＝cos
＝coscos
－sinsin
＝.
10.(2016·普宁高一检测)已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值.
【解】 因为<α<，所以<＋α<π，
所以sin
＝＝.
又因为0<β<，<＋β<π，
所以cos
＝－＝－，
所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝
－sin
＝－
＝－
＝.
[能力提升]
1.已知f
(x)＝sin－cos，则f
(1)＋f
(2)＋…＋f
(2
016)的值为( )
A.2
B.
C.1
D.0
【解析】 f
(x)＝sin－cos＝2sin＝2sin
x，因为周期为6，且f
(1)＋f
(2)＋…＋f
(6)＝0
，所以f
(1)＋f
(2)＋…＋f
(2
016)＝0.
【答案】 D
2.(2016·衡水高一检测
( http: / / www.21cnjy.com ))使函数f
(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)为奇函数，且在区间上为减函数的φ的一个值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 f
(x)＝sin(2x＋φ
( http: / / www.21cnjy.com ))＋cos(2x＋φ)＝2＝2＝2sin为奇函数，所以φ＋＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，排除A和D；因为f
(x)＝2sin在区间上为减函数，又2x＋φ＋＝2x＋kπ∈k∈Z，所以k为奇数，故选C.
【答案】 C
3.在△ABC中，若4sin
A＋2cos
B＝1,2sin
B＋4cos
A＝3，则sin
C的值为________.
【解析】 由已知得(4sin
A＋2cos
B)2＋(2sin
B＋4cos
A)2
＝28，
即16＋4＋16(sin
Acos
B＋cos
Asin
B)＝28，
∴20＋16sin(A＋B)＝28，
∴sin(A＋B)＝，
∴sin
C＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)＝.
【答案】
4.若函数f
(x)＝(1＋tan
x)cos
x,0≤x＜.
(1)把f
(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式；
(2)判断f
(x)在上的单调性，并求f
(x)的最大值.
【解】 (1)f
(x)＝(1＋tan
x)cos
x
＝cos
x＋··cos
x＝cos
x＋sin
x
＝2
＝2
＝2sin.
(2)∵0≤x＜，∴f
(x)在上是单调增函数，在上是单调减函数.
∴当x＝时，f
(x)有最大值为2.1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
第1课时 余弦函数的图象与性质
1.会用“五点法”、“图象变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图象.(重点)
2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 余弦函数的图象
阅读教材P51内容，完成下列问题.
把正弦函数y＝sin
x的图象向左平移个单位长度就得到余弦函数y＝cos
x的图象，该图象叫做余弦曲线.
图1 3 5
用“五点法”作函数y＝cos
2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是( )
A.0，，π，，2π
B.0，，，，π
C.0，π，2π，3π，4π
D.0，，，，
【解析】 令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，，，π，故选B.
【答案】 B
教材整理2 余弦函数的性质
阅读教材P52～P53内容，完成下列问题.
1.余弦函数的性质：
函数
y＝cos
x
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
偶函数
周期性
以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期
单调性
当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)时，递增；当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，递减
最大值与最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1
2.余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦函数y＝cos
x是偶函数，图象关于y轴对称，对称轴有无数多条.( )
(2)余弦函数y＝cos
x的图象是轴对称图形，也是中心对称图形.( )
(3)在区间[0,3π]上，函数y＝cos
x仅在x＝0时取得最大值1.( )
(4)函数y＝cos
x在上是减函数.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
用“五点法”作余弦型函数的图象
用“五点法”作函数y＝2＋cosx，x∈[0,2π]的简图.
【精彩点拨】 在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可.
【自主解答】 列表：
x
0
π
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
2＋cos
x
3
2
1
2
3
描点连线，如图
1.“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点、与x轴的交点.
2.列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点.
[再练一题]
1.用“五点法”作函数y＝3－2cos
x，x∈[0,2π]的简图.
【解】 按五个关键点列表，描点画出图象(如图).
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
y＝3－2cos
x
1
3
5
3
1
求余弦型函数的单调区间
求函数y＝cos的单调递减区间.
【导学号：72010027】
【精彩点拨】 本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式，将y＝cos化为y＝cos形式，故只需求y＝cos的单调递减区间即可.
【自主解答】 y＝cos＝cos，
令z＝x－，则y＝cos
z，即2kπ≤z≤2kπ＋π，k∈Z，
∴2kπ≤x－≤2kπ＋π，k∈Z，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
故函数y＝cos的单调递减区间为，k∈Z.
1.求形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，w>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得.
2.具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一
( http: / / www.21cnjy.com )个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间.
[再练一题]
2.(2016·南京高一检测)求函数y＝2的单调递增区间.
【解】 y＝2＝2.结合y＝|co
( http: / / www.21cnjy.com )s
x|的图象.由kπ－≤x－≤kπ(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).所以函数y＝2的单调递增区间为(k∈Z).
有关三角函数的最值问题
已知函数y1＝a－bcos
x的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4asin
3bx的最大值.
【精彩点拨】 欲求函数y的最大值，须先求出a，b，为此可利用函数y1的最大、最小值，结合分类讨论求解.
【自主解答】 ∵函数y1的最大值是，最小值是－.
当b>0时，由题意得
∴
当b<0时，由题意得
∴
因此y＝－2sin
3x或y＝2sin
3x.
函数的最大值均为2.
1.对于求形如y＝acos
x
( http: / / www.21cnjy.com )＋b的函数值域问题，一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决.注意当x有具体范围限制时，需考虑cos
x的范围.
2.求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解.
[再练一题]
3.(2016·日照高一检测)函数y＝sin2x＋cos
x的值域为________.
【解析】 设cos
x＝t，因为－≤x≤，则t∈，
所以y＝1－cos2x＋cos
x＝－2＋，
t∈，故当t＝，
即x＝±时，ymax＝；
当t＝1，即x＝0时，ymin＝1.
所以函数的值域为.
【答案】
[探究共研型]
与正弦、余弦函数图象有关的零点问题
探究1 方程sin
x＝x的实根个数有多少个？
【提示】 在同一坐标系内分别
( http: / / www.21cnjy.com )作出y＝sin
x，y＝x图象可知在x∈[0,1]内，sin
x1时不会相交，所以方程只有一个实根为0.
探究2 函数f
(x)＝－cos
x在[0，＋∞)内有多少个零点？
【提示】 令f
(x)＝0，所以＝cos
x分别作出y＝，y＝cos
x可知两函数只有一个交点，所以f
(x)在[0，＋∞)内只有一个零点.
判断方程－cos
x＝0根的个数.
【精彩点拨】 当求解的方程不是普通方程时，经常采用数形结合法求解，即分别画出两个函数图象来求方程解的个数.
【自主解答】 设f
(x)＝，g(x)＝cos
x，在同一直角坐标系中画出f
(x)与g(x)的图象，如图：
由图可知，f
(x)与g(x)的图象有三个交点，故方程－cos
x＝0有三个根.
1.求f
(x)－Asin
x＝0(A≠
( http: / / www.21cnjy.com )0)或f
(x)－Acos
x＝0(A≠0)的根的个数，运用数形结合，转化为函数图象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于y＝－1与y＝1之间，只需考虑－A≤f
(x)≤A的x的范围，在该范围内f
(x)的图象与Asin
x或Acos
x的图象的交点的个数即方程根的个数.
2.准确画出图象是解决此类问题的关键，同时要注意相关问题的求解.
[再练一题]
4.求下列方程解的个数：
(1)方程x2－cos
x＝0的实数解的个数是________.
(2)方程sin
x＝lg
x的解的个数是__________.
【解析】 (1)作函数y＝cos
x与y＝x2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解.
(2)建立坐标系xOy，先用五
( http: / / www.21cnjy.com )点法画出函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin
x的图象.描出点，(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg
x的图象，如图所示.
由图象可知方程sin
x＝lg
x的解有3个.
【答案】 (1)2 (2)3
1.函数y＝cos
x与函数y＝－cos
x的图象( )
A.关于直线x＝1对称
B.关于原点对称
C.关于x轴对称
D.关于y轴对称
【解析】 作出函数y＝cos
x与函数y＝－cos
x的简图(略)，易知它们关于x轴对称，故选C.
【答案】 C
2.下列函数中，周期为的是( )
A.y＝sin
B.y＝sin
2x
C.y＝cos
D.y＝cos
4x
【解析】 ∵T＝＝，∴ω＝4.
【答案】 D
3.(2016·济南高一检测)函数y＝sin是( )
【导学号：72010028】
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.即是奇函数又是偶函数
【解析】 ∵y＝sin
＝sin
＝sin
＝cos
x，
∴函数y＝sin是偶函数.
【答案】 B
4.(2016·山东省实验中学高一检测)函数y＝cos(－x)，x∈[0,2π]的单调递减区间是________.
【解析】 y＝cos(－x)＝cos
x，其单调递减区间为[0，π].
【答案】 [0，π]
5.用五点法作出函数y＝1－cos
x(0≤x≤2π)的简图.
【解】 列表：
x
0
π
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
1－cos
x
0
1
2
1
0
描点连线，如图.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·广州高一检测)已知函数f
(x)＝－cos
x，下面结论错误的是( )
A.函数f
(x)的最小正周期为2π
B.函数在区间上是增函数
C.函数f
(x)的图象关于直线x＝0对称
D.函数f
(x)是奇函数
【解析】 ∵f
(x)＝－cos
x的图象
( http: / / www.21cnjy.com )即为函数f
(x)＝cos
x的图象绕x轴翻转而成的，∴A、B、C均正确，函数f
(x)应是偶函数，故选D.
【答案】 D
2.(2016·南昌高一检测)函数y＝|cos
x|－1的最小正周期是( )
A.2kπ(k∈Z)
B.3π
C.π
D.2π
【解析】 因为函数y＝|c
( http: / / www.21cnjy.com )os
x|－1的周期同函数y＝|cos
x|的周期一致，由函数y＝|cos
x|的图象知其最小正周期为π，所以y＝|cos
x|－1的最小正周期也为π，故选C.
【答案】 C
3.函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是( )
A.－1,3
B.－1,1
C.0,3
D.0,1
【解析】 ∵cosx∈[－1,1]，∴－2cosx∈[－2,2]，∴y＝1－2cosx∈[－1,3]的最小值为－1，最大值为3.
【答案】 A
4.下列关系式中正确的是( )
A.sin
11°10°168°
B.sin
168°11°10°
C.sin
11°168°10°
D.sin
168°10°11°
【解析】 ∵sin
168°＝sin(180°－12°)＝sin
12°
＝cos
78°，sin
11°＝cos
79°.
由余弦函数的单调性得cos
79°78°10°，即sin
11°168°10°.
【答案】 C
5.在(0,2π)内使sin
x>|cos
x|的x的取值范围是( )
A.
B.∪
C.
D.
【解析】 ∵sin
x>|cos
( http: / / www.21cnjy.com )x|，∴sin
x>0，∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin
x，x∈(0，π)与y＝|cos
x|，x∈(0，π)的图象，观察图象易得x∈.
【答案】 A
二、填空题
6.函数y＝2cos的最小正周期为4π，则ω＝________.
【解析】 ∵4π＝，∴ω＝±.
【答案】 ±
7.利用余弦曲线，写出满足cos
x>0，x∈[0,2π]的x的区间是__________.
【解析】 画出y＝cos
x，x∈[0,2π]上的图象如图所示.
cos
x>0的区间为
∪.
【答案】 ∪
8.(2016·徐州高一检测)函数y＝lg(－2cos
x)的定义域为________.
【解析】 由题意知－2cos
x＞0，即cos
x＜，所以＋2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)，即函数的定义域为(k∈Z).
【答案】 (k∈Z)
三、解答题
9.判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期.
(1)y＝3cos
2x，x∈R；
(2)y＝cos，x∈R.
【导学号：72010029】
【解】 (1)把2x看成一个新
( http: / / www.21cnjy.com )的变量u，那么cos
u的最小正周期为2π，这就是说，当u增加到u＋2π且必须至少增加到u＋2π时，函数cos
u的值重复出现.
而u＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π
( http: / / www.21cnjy.com ))，所以当自变量x增加到x＋π且必须至少增加到x＋π时，函数值重复出现，因此，y＝3cos
2x的周期为π.
∵y＝f
(x)＝3cos
2x，f
(－x)＝3cos(－2x)＝3cos
2x，∴y＝3cos
2x为偶函数.
(2)函数y＝cos的周期
T＝＝.
∵x∈R，且f
(x)＝cos
＝sinx，
∴f
(－x)＝sin＝－sinx
＝－f
(x)，
∴y＝cos为奇函数.
10.求函数y＝sin2x＋acos
x－a－的最大值为1时a的值.
【解】 y＝1－cos2x＋acos
x－a－＝－2＋－a－.
因为cos
x∈[－1,1]，要使y最大，则必须满足2最小.
①当<－1，即a<－2时，
若cos
x＝－1，则ymax＝－a－.
由题设，令－a－＝1，得a＝－>－2(舍去)；
②当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，
若cos
x＝，则ymax＝－－.
由题设，令－－＝1，得a＝1±(舍去正值)；
③当>1，即a>2时，
若cos
x＝1，则ymax＝－，
由题设，令－＝1，得a＝5.
综上所述a＝5或a＝1－.
[能力提升]
1.(2016·潍坊高一检测)函数y＝cos的( )
A.最小正周期为2π
B.图象关于y轴对称
C.图象关于原点对称
D.图象关于x轴对称
【解析】 函数y＝cos的周期为：＝π.
所以A不正确；函数y＝cos＝sin
2x，当x＝0时，函数取得0，函数关于原点对称，故B不正确，D不正确.
【答案】 C
2.(2014·江苏高考)已知函数y＝cos
( http: / / www.21cnjy.com )
x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________.
【解析】 由题意，得sin＝cos，
因为0≤φ≤π，所以φ＝.
【答案】
3.已知函数f
(x)＝2cos
ωx(ω＞0)，且函数y＝f
(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f
的值；
(2)将函数y＝f
(x)
( http: / / www.21cnjy.com )的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.
【解】 (1)∵f
(x)的周期T＝π，
故＝π，∴ω＝2，
∴f
(x)＝2cos
2x，
∴f
＝2cos
＝.
(2)将y＝f
(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝f
的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝f
的图象，所以g(x)＝f
＝2cos＝2cos.
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).3.2 倍角公式和半角公式
3.2.1 倍角公式
1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系.
2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理 倍角公式
阅读教材P143内容，完成下列问题.
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式：
记法
公式
S2α
sin
2α＝2sin_αcos_α
C2α
cos
2α＝cos2α－sin2α
T2α
tan
2α＝
2.余弦的二倍角公式的变形：
3.正弦的二倍角公式的变形：
(1)sin
αcos
α＝sin
2α，cos
α＝.
(2)1±sin
2α＝(sin_α±cos_α)2.
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( )
(2)存在角α，使得sin
2α＝2sin
α成立.( )
(3)对于任意的角α，cos
2α＝2cos
α都不成立.( )
【解析】 (1)×.二倍
( http: / / www.21cnjy.com )角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠＋kπ(k∈Z)且α≠±＋kπ(k∈Z)，故此说法错误.
(2)√.当α＝kπ(k∈Z)时，sin
2α＝2sin
α.
(3)×.当cos
α＝时，cos
2α＝2cos
α.
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
2.已知cos
α＝，则cos
2α等于________.
【解析】 由cos
α＝，得cos
2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－.
【答案】 －
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
利用二倍角公式化简三角函数式
化简求值.
(1)cos4
－sin4
；
(2)sin
·cos
·cos
；
(3)1－2sin2
750°；
(4)tan
150°＋.
【精彩点拨】 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得.
【自主解答】 (1)cos4
－sin4
＝
＝cos
α.
(2)原式＝cos
＝sin
cos
＝
＝sin
＝，
∴原式＝.
(3)原式＝cos(2×750°)＝cos
1
500°
＝cos(4×360°＋60°)＝cos
60°＝，
∴原式＝.
(4)原式＝
＝＝
＝＝
＝－＝－，
∴原式＝－.
二倍角公式的灵活运用：
(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有：
2sin
αcos
α＝sin
2α，sin
αcos
α＝sin
2α，
cos
α＝，cos2
α－sin2
α＝cos
2α，＝tan
2α.
(2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式.主要形式有：
1±sin
2α＝sin2
α＋cos2
( http: / / www.21cnjy.com )
α±2sin
αcos
α＝(sin
α±cos
α)2，1＋cos
2α＝2cos2
α，cos2
α＝，sin2
α＝.
[再练一题]
1.求下列各式的值：
(1)sin
cos
；
(2)；
(3)cos
20°cos
40°cos
80°.
【解】 (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝tan(2×150°)＝tan
300°＝tan(360°－60°)
＝－tan
60°＝－.
(3)原式＝
＝
＝＝＝.
利用二倍角公式解决求值问题
(1)已知sin
α＝3cos
α，那么tan
2α的值为( )
A.2
B.－2
C.
D.－
(2)已知sin＝，则cos的值等于( )
A.
B.
C.－
D.－
(3)(2016·天津高一检测)已知cos
α＝－，sin
β＝，α是第三象限角，β∈.
①求sin
2α的值；②求cos(2α＋β)的值.
【精彩点拨】 (1)可先求tan
α，再求tan
2α；
(2)可利用π－2α＝2求值；
(3)可先求sin
2α，cos
2α，cos
β，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β).
【自主解答】 (1)因为sin
α＝3cos
α，
所以tan
α＝3，
所以tan
2α＝＝＝－.
(2)因为cos
＝sin
＝sin＝，
所以cos
＝2cos2－1
＝2×2－1＝－.
【答案】 (1)D (2)C
(3)①因为α是第三象限角，cos
α＝－，
所以sin
α＝－＝－，
所以sin
2α＝2sin
αcos
α
＝2××＝.
②因为β∈，sin
β＝，
所以cos
β＝－＝－，
cos
2α＝2cos2
α－1＝2×－1＝，
所以cos(2α＋β)＝cos
2αcos
β－sin
2αsin
β＝×－×＝－.
直接应用二倍角公式求值的三种类型：
(1)sin
α(或cos
α)cos
α(或sin
α)sin
2α(或cos
2α).
(2)sin
α(或cos
α)
cos
2α＝1－2sin2
α(或2cos2
α－1).
(3)sin
α(或cos
α)
[再练一题]
2.(1)已知α∈，sin
α＝，则sin
2α＝______，cos
2α＝________，tan
2α＝________.
(2)已知sinsin＝，且α∈，求tan
4α的值.
【导学号：72010084】
【解析】 (1)因为α∈，sin
α＝，所以cos
α＝－，所以sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝－，cos
2α＝1－2sin2
α＝1－2×2＝，tan
2α＝＝－.
【答案】 － －
(2)因为sin＝sin
＝cos，
则已知条件可化为sincos＝，
即sin＝，
所以sin＝，
所以cos
2α＝.因为α∈，所以2α∈(π，2π)，
从而sin
2α＝－＝－，
所以tan
2α＝＝－2，
故tan
4α＝＝－＝.
利用二倍角公式证明
求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos
2Acos
2B；
(2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos
2θ.
【精彩点拨】 (1)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.
(2)从右向左：利用余弦二倍角公式升幂后向左边形式转化.
【自主解答】
(1)左边＝－
＝
＝(cos
2Acos
2B－sin
2Asin
2B＋cos
2Acos
2B＋sin
2Asin
2B)
＝cos
2Acos
2B＝右边，
∴等式成立.
(2)右边＝cos
2θ＝cos2θ－sin2θ
＝cos2θ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边.
证明问题的原则及一般步骤：
(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
(2)证明的一般步骤是：先观察，找
( http: / / www.21cnjy.com )出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
[再练一题]
3.证明：＝tan
α＋.
【证明】 左边＝
＝
＝
＝tan
α＋＝右边.
所以＝
tan
α＋成立.
[探究共研型]
倍角公式的灵活运用
探究1 在化简＋时，如何灵活使用倍角公式？
【提示】 在化简时，如果只是从α的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将α看成的倍角，可能会有另一种思路，
原式＝＋
＝＋
＝＝.
探究2 如何求函数f
(x)＝2cos2x－1－2·sin
xcos
x(x∈R)的最小正周期？
【提示】 求函数f
(x)的最小
( http: / / www.21cnjy.com )正周期，可由f
(x)＝(2cos2x－1)－(2sin
xcos
x)＝cos
2x－sin
2x＝2sin，知其最小正周期为π.
求函数f
(x)＝5cos2x＋sin2x－4sin
xcos
x，x∈的最小值，并求其单调减区间.
【精彩点拨】 化简f
(x)的解析式→f
(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B→ωx＋φ的范围
→求最小值，单调减区间
【自主解答】 f
(x)＝5·＋·－2sin
2x
＝3＋2cos
2x－2sin
2x
＝3＋4
＝3＋4
＝3＋4sin＝3－4sin，
∵≤x≤，∴≤2x－≤，
∴sin∈，
所以当2x－＝，即x＝时，
f
(x)取最小值为3－2.
因为y＝sin在上单调递增，
所以f
(x)在上单调递减.
本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数
( http: / / www.21cnjy.com )的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再利用函数图象解决问题.
[再练一题]
4.求函数y＝sin4x＋2sin
xcos
x－cos4
x的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间.
【解】 y＝sin4x＋2sin
xcos
x－cos4x
＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋2sin
xcos
x
＝－cos
2x＋sin
2x
＝2
＝2sin，
所以T＝＝π，ymin＝－2.
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
又x∈[0，π]，
所以令k＝0，
得函数的单调递减区间为.
[构建·体系]
1.sin
22°30′·cos
22°30′的值为( )
A.
B.
C.－
D.
【解析】 原式＝sin
45°＝.
【答案】 B
2.已知sin
x＝，则cos
2x的值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为sin
x＝，
所以cos
2x＝1－2sin2
x＝1－2×2＝.
【答案】 A
3.的值为( )
A.－
B.－
C.
D.
【解析】 原式＝cos2－sin2＝cos
＝.
【答案】 D
4.已知tan
α＝－，则＝________.
【导学号：72010085】
【解析】 ＝
＝＝tan
α－＝－.
【答案】 －
5.求下列各式的值：
(1)cos
cos
；
(2)－cos2.
【解】 (1)原式＝
＝＝＝＝.
(2)原式＝
＝－
＝－cos
＝－.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(二十七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若sin
α＝3cos
α，则＝( )
A.2
B.3
C.4
D.6
【解析】 ＝＝＝＝6.
【答案】 D
2.(2016·铁岭高一检测)已知sin
α＝，则cos(π－2α)＝( )
A.－
B.－
C.
D.
【解析】 因为sin
α＝，
所以cos(π－2α)＝－cos
2α＝－(1－2sin2
α)＝－1＋2×2＝－.
【答案】 B
3.若＝，则tan
2α＝( )
A.－
B.
C.－
D.
【解析】 因为＝，
整理得tan
α＝－3，
所以tan
2α＝＝＝.
【答案】 B
4.(2016·沈阳高一检测)若sin
x·tan
x<0，则等于( )
A.cos
x
B.－cos
x
C.sin
x
D.－sin
x
【解析】 因为sin
x·tan
x<0，
所以x为第二、三象限角，所以cos
x<0，
所以＝＝|cos
x|
＝－cos
x.
【答案】 B
5.已知＝，则sin
2x＝( )
A.－
B.－
C.
D.
【解析】 ∵＝，
∴＝，
∴cos
x＋sin
x＝，
∴1＋sin
2x＝，
∴sin
2x＝－.
【答案】 A
二、填空题
6.(2016·广州高一检测)已知sin＝，则sin
2x的值等于________.
【解析】 法一：∵sin＝，
∴cos＝1－2sin2
＝1－2×2＝，
∴sin
2x＝cos＝.
法二：由sin＝，得(sin
x－cos
x)＝－，∴sin
x－cos
x＝－，两边平方得
1－sin
2x＝，∴sin
2x＝.
【答案】
7.已知sin
2α＝，α∈，则cos
α－sin
α＝________.
【导学号：72010086】
【解析】 因为α∈，所以sin
α>cos
α即cos
α－sin
α<0，又sin
2α＝，则有
cos
α－sin
α＝－
＝－＝－＝－.
【答案】 －
三、解答题
8.化简：tan
70°cos
10°(tan
20°－1).
【解】 原式
＝·cos
10°·
＝·cos
10°·
＝·cos
10°·
＝－·
＝－1.
9.求证：(1)－＝4；
(2)＝－4.
【证明】 (1)左边＝
＝
＝＝4＝右边.
所以原等式成立.
(2)左边＝
＝
＝＝＝－4＝右边.
所以原等式成立.
[能力提升]
1.(2016·牡丹江一中期末)已知α，β均为锐角，且3sin
α＝2sin
β，3cos
α＋2cos
β＝3，则α＋2β的值为( )
A.
B.
C.
D.π
【解析】 由题意得
①2＋②2得cos
β＝，cos
α＝，
由α，β均为锐角知，sin
β＝，sin
α＝，
∴tan
β＝2，tan
α＝，
∴tan
2β＝－，
∴tan(α＋2β)＝0，又α＋2β∈，
∴α＋2β＝π.故选D.
【答案】 D
2.(2014·江苏高考)已知α∈，sin
α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值.
【解】 (1)由题意知cos
α
＝－＝－，
所以sin
＝sincos
α＋cos
sin
α
＝×＋×
＝－.
(2)sin
2α＝2sin
αcos
α＝－，
cos
2α＝2cos2
α－1＝，
所以cos
＝cos
cos
2α＋sin
sin
2α
＝－×＋×
＝－.1.1 任意角的概念与弧度制
1.1.1 角的概念的推广
1.了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角.
2.理解象限角的概念.
3.掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置.(重点)
[基础·初探]
教材整理1 角的概念
阅读教材P3～P4“例1”以上内容，完成下列问题.
1.角的概念
(1)角的形成：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)角的分类：
按旋转方向可将角分为如下三类：
①正角：按照逆时针方向旋转而成的角；
②负角：按照顺时针方向旋转而成的角；
③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角.
2.角的加减法运算
(1)射线OA绕端点O旋转到OB位置所成的角，记作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始边，OB叫做∠AOB的终边.
(2)引入正角、负角的概念以后，角的减法
( http: / / www.21cnjy.com )运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋(－β).这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
时钟经过1小时，时针转动的角的大小是________.
【解析】 时钟是顺时针转，故形成的角是负角
( http: / / www.21cnjy.com )，又经过12个小时时针转动一个周角，故经过1个小时时针转动周角的，所以转动的角的大小是－×360°＝－30°.
【答案】 －30°
教材整理2 终边相同的角
阅读教材P4“例1”以下～P5“第4行”以上内容，完成下列问题.
1.前提：α表示任意角.
2.表示：所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.( )
(2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.( )
(3)终边相同的角的表示不唯一.( )
【解析】 由终边相同角的定义可知(1)(2)(3)正确.
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
教材整理3 象限角
阅读教材P5“第5行”～“例2”以上内容，完成下列问题.
1.象限角：平面内任意一个角都可以通过移动
( http: / / www.21cnjy.com )，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合.这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.
2.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.
下列说法：
①第一象限角一定不是负角；
②第二象限角大于第一象限角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中错误的序号为________.(把错误的序号都写上)
【解析】 由象限角定义可知①②③④都不正确.
【答案】 ①②③④
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
任意角的概念
(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )
A.A＝B＝C
B.A C
C.A∩C＝B
D.B∪C C
(2)下面与－850°12′终边相同的角是( )
A.230°12′
B.229°48′
C.129°48′
D.130°12′
【精彩点拨】 正确理解第一象限角、锐角、小于90°的角的概念.
【自主解答】 (1)第一象
( http: / / www.21cnjy.com )限角可表示为k·360°<α(2)与－850°12′终边相同的角可
( http: / / www.21cnjy.com )表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1
080°＝229°48′.
【答案】 (1)D (2)B
1.判断角的概念问题的关键与技巧：
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.
2.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角.
(2)如果所给的角的绝对值不是很大
( http: / / www.21cnjy.com )，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.常见360°的倍数如下：
1×360°＝360°，
2×360°＝720°，
3×360°＝1
080°，
4×360°＝1
440°，
5×360°＝1
800°.
[再练一题]
1.有下列说法：
①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；
②终边相同的角一定相等；
③终边关于x轴对称的两个角α，β之和为k·360°，(k∈Z).
其中正确说法的序号是________.
【导学号：72010000】
【解析】 ①不正确.终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立；
②不正确.由①可知终边相同的两个角一定相差k·360°，(k∈Z)；
③正确.因为终边关于x轴对称的两个
( http: / / www.21cnjy.com )角，当α∈(－180°，180°)，且β∈(－180°，180°)时α＋β＝0°，当α，β为任意角时，α＋β＝k·360°(k∈Z).
【答案】 ③
象限角与区域角的表示
(1)如图1 1 1，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是( )
图1 1 1
A.{α|k·360°＋30°<αB.{α|k·180°＋150°<αC.{α|k·360°＋150°<αD.{α|k·360°＋30°<α(2)已知角β的终边在如图1 1 2所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围.
图1 1 2
【精彩点拨】 找出0°～360°内阴影部分的角的集合
适合题意的角的集合
【自主解答】 (1)在0°～360°内落在阴
( http: / / www.21cnjy.com )影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k·360°＋150°<α【答案】 C
(2)阴影在x轴上方部分的角的集合为：
A＝{β|k·360°＋60°≤β阴影在x轴下方部分的角的集合为：B＝{β|k·360°＋240°≤β所以阴影部分内角β的取值范
( http: / / www.21cnjy.com )围是A∪B，即{β|k·360°＋60°≤β即{β|(2m＋1)×180°＋60°≤β<(2m＋1)×180°＋105°，m∈Z}.
集合A可以化为
{β|2m×180°＋60°≤β<2m×180°＋105°，m∈Z}.
故A∪B可化为{β|n·180°＋60°≤β表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合.
[再练一题]
2.写出图1 1 3中阴影部分(不含边界)表示的角的集合.
图1 1 3
【解】 在－180°～1
( http: / / www.21cnjy.com )80°内落在阴影部分角集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}.
[探究共研型]
所在象限的判定方法及角的终边对称问题
探究1 由α所在象限如何求(k∈N
)所在象限？
【提示】 (1)画图法：将各象限k等分
( http: / / www.21cnjy.com )，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，则当α在第n象限时，就在n号区域.例如：当角α在第二象限时，在图k＝2时的2号区域，在图k＝3时的2号区域.
但此规律有局限性，如在已知角α的范围求角2α的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法.
(2)代数推导法：运用代数式一步一步推
( http: / / www.21cnjy.com )理.如：当角α在第二象限时，90＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，则30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z，所以在第一、二、四象限.
探究2 若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
【提示】 (1)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.
(2)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.
(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.
(4)关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.
(1)(2016·北京高一检测)若α是第四象限角，则180°－α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
(2)已知α为第二象限角，则2α，分别是第几象限角？
【精彩点拨】 (1)可通过写出α的
( http: / / www.21cnjy.com )取值范围，逐步求得180°－α范围来求解；(2)可由α范围写出2α，的范围后，直接求得2α的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定的位置.
【自主解答】 (1)因为α是第四象限角，则角α应满足：
k·360°－90°<α所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°，
则－k·360°＋180°<180°－α<－k·360°＋90°＋180°，k∈Z，
当k＝0时，180°<180°－α<270°，
故180°－α为第三象限角.
【答案】 C
(2)∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z，
∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角.
同理45°＋·360°<<90°＋·360°.
当k为偶数时，
不妨令k＝2n，n∈Z，
则45°＋n·360°<<90°＋n·360°，
此时，为第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，
则225°＋n·360°<<270°＋n·360°，
此时，为第三象限角.
∴为第一或第三象限角.
解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或的范围，再根据k与n的关系进行讨论.
[再练一题]
3.本例(2)中条件不变，试判断是第几象限角？
【解】 ∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z.
当k＝3n，n∈Z时，
30°＋n·360°<<60°＋n·360°，n∈Z此时为第一象限角，当k＝3n＋1，n∈Z时，
150°＋n·360°<<180°＋n·360°，n∈Z，
此时为第二象限角，当k＝3n＋2，n∈Z时，
270°＋n·360°<<300°＋n·360°，n∈Z，此时为第四象限角.
∴为第一、第二或第四象限角.
1.若α是第一象限角，则－是( )
A.第一象限角
B.第一、四象限角
C.第二象限角
D.第二、四象限角
【解析】 因为α是第一象限角，所以为第一、三象限角，所以－是第二、四象限角.
【答案】 D
2.与－457°角终边相同的角的集合是( )
A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
【解析】 当选项C的集合中k＝－2时，α＝－457°.
【答案】 C
3.下列各角中，与330°角的终边相同的角是( )
A.510°
B.150°
C.－150°
D.－390°
【解析】 与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，
当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D.
【答案】 D
4.若角α与角β终边相同，则α－β＝________.
【解析】 根据终边相同角的定义可知：
α－β＝k·360°(k∈Z).
【答案】 k·360°(k∈Z)
5.在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：
(1)－120°；(2)640°.
【导学号：72010001】
【解】 (1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}.
当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，
∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角.
(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}.
当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，
∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A，B，C关系是( )
A.B＝A∩C
B.B∪C＝C
C.A?C
D.A＝B＝C
【解析】 钝角大于90°，小于180°，故C?B，选项B正确.
【答案】 B
2.下列是第三象限角的是( )
A.－110°
B.－210°
C.80°
D.－13°
【解析】 －110°是第三象限角，－210°是第二象限角，80°是第一象限角，－13°是第四象限角.故选A.
【答案】 A
3.终边与坐标轴重合的角α的集合是( )
A.{α|α＝k·360°，k∈Z}
B.{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C.{α|α＝k·180°，k∈Z}
D.{α|α＝k·90°，k∈Z}
【解析】 终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}.故选D.
【答案】 D
4.若α是第一象限的角，则下列各角中属于第四象限角的是( )
A.90°－α
B.90°＋α
C.360°－α
D.180°＋α
【解析】 因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角.
【答案】 C
5.在平面直角坐标系中，若角α与角β的终边互为反向延长线，则必有( )
A.α＝－β
B.α＝k·180°＋β(k∈Z)
C.α＝180°＋β
D.α＝2k·180°＋180°＋β(k∈Z)
【解析】 因为角α与角β的终边互为反向延长线，所以角α与角β的终边关于原点对称，所以α＝2k·180°＋180°＋β(k∈Z).
【答案】 D
二、填空题
6.在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________.
【解析】 根据终边相同角定义知，与－60
( http: / / www.21cnjy.com )°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.故填120°，300°.
【答案】 120°，300°
7.设集合A＝{x|k·360°＋6
( http: / / www.21cnjy.com )0°【导学号：72010002】
【解析】 A∩B＝{x|k·360°＋
( http: / / www.21cnjy.com )60°【答案】 {x|k·360°＋150°三、解答题
8.在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)－720°到－360°的角.
【解】 与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.
(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°，且k∈Z可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.
(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z可得k＝－1，
故所求的最小正角为170°.
(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z得k＝－3，故所求的角为－550°.
9.若角β的终边落在直线y＝－x上，写出角β的集合；当－360°＜β＜360°时，求角β.
【解】 ∵角β的终边落在直线y＝－x上，
∴在0°到360°范围内的角为150°和330°，
∴角β的集合为{x|x＝k·180°＋150°，k∈Z}.
当－360°＜β＜360°时，
角β为－210°，－30°，150°，330°.
[能力提升]
1.如图1 1 4，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是( )
图1 1 4
A.{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
B.{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}
C.{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}
D.{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}
【解析】 终边落在直线y＝±x
( http: / / www.21cnjy.com )在[0°，360°)内角有45°，135°，225°和315°共四个角，相邻两角之间均相差90°，故终边落在直线y＝±x上的角的集合为{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}.
【答案】 D
2.已知，如图1 1 5所示.
图1 1 5
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
【解】 (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}.
(2)由图可知，阴影部分角的集合是由所
( http: / / www.21cnjy.com )有介于[－30°，135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.2.2 向量的分解与向量的坐标运算
2.2.1 平面向量基本定理
1.了解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理和向量的线性运算进行向量之间的相互表示.(重点)
2.理解直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 平面向量基本定理
阅读教材P96～P97“例1”以上内容，完成下列问题.
1.平面向量基本定理：
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.
2.基底：
把不共线向量e1，e2叫做表
( http: / / www.21cnjy.com )示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.( )
(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.( )
(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.( )
【解析】 (1)错误.根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底.
(2)正确.根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1，e2线性表示.
(3)错误.当e1与e2共线时，结论不一定成立.
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
教材整理2 直线的向量参数方程式
阅读教材P97“例2”～P98以上内容，完成下列问题.
1.向量参数方程式：
已知A，B是直线l上任意两点，O是l外
( http: / / www.21cnjy.com )一点(如图2 2 1所示)，对直线l上任意一点P，一定存在唯一的实数t满足向量等式＝(1－t)＋t；反之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应.向量等式＝(1－t)＋t叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数.
图2 2 1
2.线段中点的向量表达式：
在向量等式＝(1－t)＋t中，令t＝，点M是AB的中点，则＝(＋).这是线段AB的中点的向量表达式.
已知AD为△ABC的边BC上的中线，则等于( )
A.＋
B.－
C.－
D.＋
【解析】 根据线段BC的中点向量表达式可知＝(＋)＝＋，故选D.
【答案】 D
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问4：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
用基底表示向量
如图2 2 2，设点P，Q是线段AB的三等分点，若＝a，＝b，则＝________，＝________.(用a，b表示)
图2 2 2
【精彩点拨】 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则.
【自主解答】 ＝－＝＋
＝(－)＋
＝＋＝a＋b，
＝－＝＋＝(－)＋
＝＋＝a＋b.
【答案】 a＋b a＋b
平面向量基本定理的作用以及注意点：
(1)根据平面向量基本定理，
( http: / / www.21cnjy.com )任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算.
(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量.
[再练一题]
1.已知△ABC中，D为BC的中点，E，F
为BC的三等分点，若＝a，＝b用a，b表示，，.
图2 2 3
【解】 ＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
直线的向量参数方程式的应用
已知平面内两定点A，B，对该平面内任一动点C，总有＝3λ＋(1－3λ)(λ∈R，点O为直线AB外一点)，则点C的轨迹是什么图形？并说明理由.
【导学号：72010054】
【精彩点拨】 将所给向量式与直线的向量参数方程式比较易得答案，也可以考虑将所给向量式化简后再观察特点.
【自主解答】 将已知向量等式两边同时减去，得－＝(3λ－1)＋(1－3λ)
＝(1－3λ)(－)
＝(1－3λ)，
即＝(1－3λ)，λ∈R，又，共始点，
∴A，B，C三点共线，
即点C的轨迹是直线AB.
理解直线的向量参数方程式时要注
( http: / / www.21cnjy.com )意＝(1－t)＋t中三向量共始点，左边向量的系数是1，右边两向量的系数之和为1，也可以结合向量加法的平行四边形法则进行理解.
[再练一题]
2.如图2 2 4，设一直线上三点A，B，P满足＝λ(λ≠－1)，O是平面上任意一点，则( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
图2 2 4
【解析】 ∵P，A，B三点共线，
∴一定存在实数t，
使得＝(1－t)＋t，
则t满足(1－t)＋t＝1，
只有选项A：＋＝＝1符合.
【答案】 A
[探究共研型]
平面向量基本定理的综合应用
探究1 在向量等式＝x＋y中，若x＋y＝1，则三点P，A，B具有什么样的位置关系？
【提示】 三点P，A，B在同一直线上.在向量等式＝x＋y中，若x＋y＝1，则P，A，B三点共线；若P，A，B三点共线，则x＋y＝1.
探究2 如图2 2 5所
( http: / / www.21cnjy.com )示，有点O，A，D，B，以OA和OB为邻边作一平行四边形ADBO，将此平行四边形的各边所在直线延长，将平面分成9部分，对于平面上任一向量，存在唯一有序实数对(x，y)，使＝x＋y成立.
图2 2 5
对于点C的位置与实数x，y的取值情况需分几种讨论？
【提示】 需分12种情况.
(1)点C与点O重合，则x＝y＝0.
(2)点C与点A重合，则x＝1，y＝0.
(3)点C与D重合，则x＝y＝1.
(4)点C与点B重合，则x＝0，y＝1.
(5)点C在直线OA上，则x∈R，y＝0.
(6)点C在直线AD上，则x＝1，y∈R.
(7)点C在直线BD上，则x∈R，y＝1.
(8)点C在直线OB上，则x＝0，y∈R.
(9)点C在直线OD上，则x＝y.
(10)点C在直线AB上，则x＋y＝1.
(11)点C在①②③区域上，则x>1；点C在④⑤⑥区域上，则0(12)点C在①④⑦区域上，则y<0；点C在②⑤⑧区域上，则01.
如图2 2 6所示，在△OAB中，＝a，＝b，点M是AB的靠近B的一个三等分点，点N是OA的靠近A的一个四等分点.若OM与BN相交于点P，求.
图2 2 6
【精彩点拨】 可利用＝t及＝＋＝＋s两种形式来表示，并都转化为以a，b为基底的表达式.根据任一向量基底表示的唯一性求得s，t，进而求得.
【自主解答】 ＝＋A＝＋
＝＋(－)＝a＋b.
因为与共线，
故可设＝t＝a＋b.
又与共线，可设＝s，＝＋s＝＋s(－)＝(1－s)a＋sb，
所以解得
所以＝a＋b.
1.任意一向量基底表示的唯一性的理解：
条件一
平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2
条件二
a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2
结论
2.任意一向量基底表示的唯一性的应用：
平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以
( http: / / www.21cnjy.com )表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理；
(2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解.
[再练一题]
3.如图2 2 7所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于E，设＝a，＝b，试用基底a，b表示向量.
图2 2 7
【解】 易得＝＝b，＝＝a，
由N，E，B三点共线，设存在实数m，
满足＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.
由C，E，M三点共线，设存在实数n满足：
＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.
所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b，
由于a，b为基底，所以
解之得所以＝a＋b.
1.(2016·黄石高一检测)已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
【解析】 由于，不共线，所以是一组基底.
【答案】 D
2.已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是( )
A.不共线
B.共线
C.相等
D.不确定
【解析】 ∵a＋b＝3e1－e2，
∴c＝2(a＋b)，
∴a＋b与c共线.
【答案】 B
3.如图2 2 8，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝( )
图2 2 8
A.(5e1＋3e2)
B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1)
D.(5e2－3e1)
【解析】 ＝＝(＋)
＝(＋)＝(5e1＋3e2).
【答案】 A
4.(2016·福州市八县一中高一联考)已知A，B，D三点共线，且对任意一点C，有＝＋λ，则λ＝________.
【解析】 ∵A，B，D三点共线，
∴存在实数t，使＝t，则－＝t(－)，即＝＋t(－)＝(1－t)＋t，∴即λ＝－.
【答案】 －
5.已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
【导学号：72010055】
【解】 ∵a，b不共线，
∴可设c＝xa＋yb，
则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)
＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.
又∵e1，e2不共线，
∴解得
∴c＝a－2b.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(十八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·衡水高一检测)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A.e1＋e2和e1－e2
B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2
D.e1和e1＋e2
【解析】 B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，
∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底.
【答案】 B
2.(2016·合肥高一检测)如图2 2 9，向量a－b等于( )
图2 2 9
A.－4e1－2e2
B.－2e1－4e2
C.e1－3e2
D.3e1－e2
【解析】 不妨令a＝，
b＝，
则a－b＝－＝，
由平行四边形法则可知＝e1－3e2.
【答案】 C
3.(2016·大连高一检测)
( http: / / www.21cnjy.com )如图2 2 10，已知E，F
分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF
与AC交于点G，若＝a，＝b，用a、b表示＝( )
图2 2 10
A.a＋b
B.a＋b
C.a－b
D.a＋b
【解析】 易知＝，＝.
设＝λ，则由平行四边形法则可得＝λ(＋)＝2λ＋2λ，
由于E，G，F
三点共线，
则2λ＋2λ＝1，
即λ＝，从而＝，
从而＝＝(a＋b).
【答案】 D
4.若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵＝4＝r＋s，
∴＝＝(－)＝r＋s，
∴r＝，s＝－，
∴3r＋s＝－＝.
【答案】 C
5.如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是( )
A.若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B.空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C.对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
D.对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
【解析】 选项B错误，这样的a只能与e1，
( http: / / www.21cnjy.com )e2在同一平面内，不能是空间任一向量；选项C错误，在平面α内任一向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；选项D错误，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对.
【答案】 A
二、填空题
6.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
【解析】 由题意可以设a＋λb＝λ1(－b＋3a)＝3λ1a－λ1b，
因为a与b不共线，
所以有解得
【答案】 －
7.设e1，e2是平面内一组基向
( http: / / www.21cnjy.com )量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________.
【解析】 因为a＝e1＋2e2
①，
b＝－e1＋e2
②，
显然a与b不共线，
①＋②得a＋b＝3e2，
所以e2＝代入②得
e1＝e2－b＝－b＝a－b，
故有e1＋e2＝a－b＋a＋b＝a－b.
【答案】 a－b
三、解答题
8.如图2 2 11，平
( http: / / www.21cnjy.com )面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，|＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值.
图2 2 11
【导学号：72010056】
【解】 如图，以OA，OB所在射线为邻边，O
( http: / / www.21cnjy.com )C为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋，在Rt△OCD中，因为||＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，所以||＝4，||＝2，故＝4，＝2，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
9.(2016·马鞍山二中期末)如图2 2
( http: / / www.21cnjy.com ) 12所示，在 ABCD中，E，F
分别是BC，DC的中点，BF
与DE交于点G，设＝a，＝b.
图2 2 12
(1)用a，b表示；
(2)试用向量方法证明：A，G，C三点共线.
【解】 (1)＝－＝＋－
＝a＋b－b＝a－b.
(2)证明：连接AC，BD交于O，
则＝，
∵E，F
分别是BC，DC的中点，
∴G是△CBD的重心，
∴＝＝×＝－，
又C为公共点，∴A，G，C三点共线.
[能力提升]
1.已知点O是平面上一定点，A，B，C是平
( http: / / www.21cnjy.com )面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
【解析】 为上的单位向量，
为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向.又λ∈[0，＋∞)，
∴λ的方向与＋的方向相同.而＝＋λ，
∴点P在上移动，
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
【答案】 B
2.如图2 2 13所示，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x＋y.
图2 2 13
(1)求x的取值范围；
(2)当x＝－时，求y的取值范围.
【解】 (1)因为＝x＋yeq
\o(OB,\s\up13(→))，以OB和OA的反向延长线为两邻边作平行四边形，由向量加法的平行四边形法则可知OP为此平行四边形的对角线，当OP长度增大且靠近OM时，x趋向负无穷大，所以x的取值范围是(－∞，0).
(2)如图所示，当x＝－时，在OA的反向延长线取点C，使OC＝OA，过C作CE∥OB，分别交OM和AB的延长线于点D，E，
则CD＝OB，CE＝OB，
要使P点落在指定区域内，则P点应落在DE上，当点P在点D处时＝－＋，当点P在点E处时＝－＋，
所以y的取值范围是.2.1.4 数乘向量
1.掌握数乘向量的定义并理解其几何意义.(重点)
2.理解数乘向量的运算律.
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 数乘向量
阅读教材P86～P87以上内容，完成下列问题.
1.定义：实数λ和向量a的乘积是一个向量，记
( http: / / www.21cnjy.com )作λa，且λa的长度|λa|＝|λ||a|.若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反.当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.
2.数乘向量的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.
3.数乘向量的运算律：
设λ，μ为实数，则
(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(2)λ(μa)＝(λμ)a；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律).
设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________.
①a与－λa的方向相反；
②|－λa|≥|a|；
③a与λ2a方向相同；
④|－2λa|＝2|λ|·|a|.
【解析】 由向量数乘的几何意义知③④正确.
【答案】 ③④
教材整理2 向量的线性运算
阅读教材P88“例1”以上内容，完成下列问题.
向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算.
如图2 1 26，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
图2 1 26
【解析】 由向量加法的平行四边形法则知＋＝，
又∵O是AC的中点，∴AC＝2AO，
∴＝2，∴＋＝2，
∴λ＝2.
【答案】 2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问4：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
数乘向量的概念
(1)若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为______.
(2)若平面内不共线的四点O，A，B，C满足＝＋，则＝___.
(3)已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧)，且AB∶AC＝2∶3.
①用表示；
②用表示.
【精彩点拨】 对数乘运算的理解，关键是对系数λ的作用的认识：
λ>0时，λa与a同向，模是|a|的λ倍；
λ<0时，λa与a反向，模是|a|的－λ倍；
λ＝0时，λa＝0.
【自主解答】 (1)由定义可知，2x－1>0，即x>.
(2)因为＝＋，所以－＝＋－，
即＝，
所以||＝||， ①
同理可得||＝||， ②
①÷②得＝2.
【答案】 (1)x> (2)2
(3)如图a，因为点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3，所以AB＝2BC，AC＝3BC.
①如图b，向量与方向相同，所以＝2；
②如图c，向量与方向相反，所以＝－3.
对向量数乘运算的三点说明：
(1)λa中的实数λ叫做向量a的系数.
(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.
(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0.
[再练一题]
1.已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由.
(1)a的方向与a的方向相同，且a的模是a的模的倍；
(2)－3a的方向与6a的方向相反，且－3a的模是6a的模的；
(3)－4a与4a是一对相反向量；
(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量；
(5)若a，b不共线，则0·a与b不共线.
【解】 (1)真命题.∵>0，∴a与a同向，
∵|a|＝|a|，
∴a的模是a的模的倍.
(2)真命题.∵－3<0，
∴－3a与a方向相反且|－3a|＝3|a|，
又∵6>0，∴6a与a方向相同且|6a|＝6|a|，
∴－3a与6a方向相反且模是6a的模的.
(3)真命题.由数乘定义和相反向量定义可知.
(4)假命题.
∵a－b与b－a是相反向量，
∴a－b与－(b－a)是相等向量.
(5)假命题.0·a＝0，∴0·a与b共线.
向量的线性运算
(1)化简：(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝________.
(2)已知向量a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，则x＝________.
【精彩点拨】 (1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简；
(2)可类比解方程方法求解.
【自主解答】 (1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝2a－3a＋3b＋2b－c－c＝－a＋5b－2c.
(2)因为(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，所以2x－a－b＝x－a－b，即：x＝0.
【答案】 (1)－a＋5b－2c (2)0
向量数乘运算的方法：
(1)向量的数乘运算类似于多项式的
( http: / / www.21cnjy.com )代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.
[再练一题]
2.(2016·枣庄高一检测)化简：
的结果是( )
A.2a－b
B.2b－a
C.b－a
D.a－b
【解析】 原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(6b－3a)＝2b－a.
【答案】 B
[探究共研型]
向量的线性运算在平面几何中的应用
探究1 怎样理解λa的几何意义？
【提示】 λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.
探究2 如何用已知向量表示所求向量？
【提示】 在向量的线性运算中，用已知向量表示所求向量，要尽可能的转化到平行四边形或三角形中，结合图形的有关性质及联想到相关的法则来求.
如图2 1 27所示，已知 ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.
【导学号：72010048】
图2 1 27
【精彩点拨】 解答本题可先将，视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)求出，.
【自主解答】 设＝x，＝y，则＝x，＝－y.
由＋＝，＋＝得
用－2乘以②与①相加得x－2x＝e1－2e2，解得x＝(2e2－e1)，即＝(2e2－e1)，
同理得y＝(－2e1＋e2)，即＝－e1＋e2.
1.由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何定理的应用.
2.当用已知向量表示未知向量比较困难时，应考虑方程思想，利用方程的观点进行求解.
[再练一题]
3.已知任意四边形ABCD中，E，F
分别是AD，BC的中点.求证：＝(＋).
【证明】 取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图.
∵E为AD的中点，
∴＝.
∵F
是BC的中点，
∴＝(＋).
又∵＝＋，
∴＝(＋＋)
＝(＋)＋，
∴＝－＝(＋)＋－＝(＋).
1.下列各式中不表示向量的是( )
A.0·a
B.a＋3b
C.|3a|
D.e(x，y∈R，且x≠y)
【解析】 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量.
【答案】 C
2.下列计算正确的个数是( )
①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 因为(－3)·2a＝－6a
( http: / / www.21cnjy.com )故①正确；②中左边＝2a＋2b－2b＋a＝3a成立，故②正确；③中左边＝a＋2b－2b－a＝0≠0，故③错误.
【答案】 C
3.化简：－等于( )
A.a－b＋2c
B.5a－b＋2c
C.a＋b＋2c
D.5a＋b
【解析】 －＝(3a－2a)＋＋(c＋c)＝a－b＋2c.故选A.
【答案】 A
4.O为平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝________.
【导学号：72010049】
【解析】 设点E为平行四边形ABCD的BC边中点，点F
为AB边中点，则3e2－2e1＝＋＝＝.
【答案】 (或)
5.化简下列各式：
(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)].
【解】 (1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b；
(2)原式＝(4a＋16b－16a＋8b)
＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(十六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·德州高一检测)若向量方程2x－3(x－2a)＝0，则向量x等于( )
A.a
B.－6a
C.6a
D.－a
【解析】 由题意得：2x－3x＋6a＝0，
所以有x＝6a.
【答案】 C
2.设P是△ABC所在平面内一点，且＋＝2，则( )
A.＋＝0
B.＋＝0
C.＋＝0
D.＋＋＝0
【解析】 因为＋＝2，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确.
【答案】 B
3.(2016·北京高一
( http: / / www.21cnjy.com )检测)四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD是( )
A.梯形
B.平行四边形
C.菱形
D.矩形
【解析】 因为＝a＋2b，
又＝－＝－4a－b－(－5a－3b)＝a＋2b＝.
又因在四边形ABCD中，有||＝||且AB∥DC，
所以四边形ABCD为平行四边形.
【答案】 B
4.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，那么( )
A.＝
B.＝2
C.＝3
D.2＝
【解析】 由2＋＋＝0，得＋＝－2，又因为＋＝2，所以＝.
【答案】 A
5.如图2 1 28，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F
是BC的一个三等分点，那么＝( )
图2 1 28
A.－
B.＋
C.＋
D.－
【解析】 ＝，＝＝－，所以＝＋＝－.
【答案】 D
二、填空题
6.(2016·郑州高一检测)已知＝，若＝λ，则λ等于________.
【解析】 因为＝，
所以－＝(＋)，
即＝－＝λ，
所以λ＝－.
【答案】 －
7.已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝__________.
【解析】 ＝＝2，∴|a|＝2|b|，又a与b的方向相反，
∴a＝－2b，∴m＝－2.
【答案】 －2
8.(2016·南宁高一检测)若＝t(t∈R)，O为平面上任意一点，则＝________.(用，表示)
【解析】 ＝t，－＝t(－)，
＝＋t－t＝(1－t)＋t.
【答案】 (1－t)＋t
三、解答题
9.设a＝3i＋2j，b＝2i－j，试用i，j表示向量.
【导学号：72010050】
【解】
＝(4a－3b)＋b－(6a－7b)
＝a－2b＋b－a＋b
＝a＋b
＝a－b＝(3i＋2j)－(2i－j)
＝5i＋j－i＋j＝i＋j.
10.如图2 1 29所示，OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形.又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，.
图2 1 29
【解】 ＝＝＝(－)
＝(a－b)，
所以＝＋＝b＋a－b＝a＋b，
＝＝，
所以＝＋＝＋
＝＝(＋)
＝(a＋b)＝a＋b.
＝－
＝(a＋b)－a－b
＝a－b.
[能力提升]
1.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A.
B.－
C.
D.
【解析】 由题意知＝＋，①
＝＋，②
且＋2＝0.
①＋②×2得3＝＋2，
∴＝＋，∴λ＝.
【答案】 A
2.已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】 因为＋＋＝0，
所以＋＋＋＋＝0，
从而有＋＝－3＝3＝m，故有m＝3.
【答案】 B
3.(2016·济宁高一检测)
( http: / / www.21cnjy.com )若＝3e1，＝3e2，且P是线段AB靠近点A的一个三等分点，则向量用e1，e2可表示为＝________.
【解析】 如图，
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋＝×3e2＋×3e1＝2e1＋e2.
【答案】 2e1＋e2
4.如图2 1 30所示，点P在直线AB上，O为直线外任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求证：λ＋μ＝1.
图2 1 30
【证明】 ∵点P在直线AB上，
∴∥，设＝x，
∵＝－，＝－，
∴－＝x(－)，
∴＝(1－x)＋x.
又＝λ＋μ，∴λ＝1－x，μ＝x，∴λ＋μ＝1.第2课时 正切函数的图象与性质
1.能画出y＝tan
x的图象，借助图象理解正切函数在区间上的性质.
2.掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期，会用函数的图象与性质解决综合问题.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 正切函数的图象
阅读教材P54～P55“第三行”内容，完成下列问题.
1.正切函数的图象：
y＝tan
x的图象，
图1 3 6
2.正切函数的图象叫做正切曲线.
3.正切函数的图象特征：
正切曲线是由通过点(k∈Z)且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.( )
(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心.( )
(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±，k∈Z.( )
(4)正切函数在某个区间上是减函数.( )
【解析】 由正切函数图象可知(1)×(2)√(3)×(4)×.
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
教材整理2 正切函数的性质
阅读教材P55“第四行”～P56内容，完成下列问题.
1.函数y＝tan
x的图象与性质表：
解析式
y＝tan
x
图象
定义域
值域
R
周期
π
奇偶性
奇
单调性
在开区间k∈Z内都是增函数
2.函数y＝tan
ωx(ω≠0)的最小正周期是.
(1)y＝tan定义域为________.
(2)(2016·湄潭中学期末)函数y＝tan的单调增区间为________.
【解析】 (1)∵2x－≠kπ＋，k∈Z，
∴x≠＋π，k∈Z.
(2)令kπ－得kπ－π即y＝tan的单调增区间为
，k∈Z.
【答案】 (1)
(2)，k∈Z
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
正切函数的定义域、值域问题
(1)函数y＝＋lg(1－tan
x)的定义域是________.
(2)函数y＝tan(sin
x)的值域为________.
(3)求函数y＝－tan2
x＋2tan
x＋5，x∈
的值域.
【精彩点拨】 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线.
【自主解答】 (1)要使函数y＝＋lg(1－tan
x)有意义，则
即－1≤tan
x<1.
在上满足上述不等式的x的取值范围是.
又因为y＝tan
x的周期为π，所以所求x的定义域为
.
(2)因为－1≤sin
x≤1，且[－1,1] ，
所以y＝tan
x在[－1,1]上是增函数，
因此tan(－1)≤tan
x≤tan
1，
即函数y＝tan(sin
x)的值域为[－tan
1，tan
1].
【答案】 (1)
(2)[－tan
1，tan
1]
(3)令t＝tan
x，
∵x∈，∴t＝tan
x∈[－，)，
∴y＝－t2＋2t＋5＝－(t－1)2＋6，抛物线开口向下，对称轴为t＝1，
∴t＝1时，取最大值6，
t＝－时，取最小值2－2，
∴函数y＝－tan2
x＋2tan
x＋5，x∈时的值域为[2－2，6].
1.求正切函数定义域的方法及求值域的注意点：
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan
x有意义即x≠＋kπ，k∈Z；
(2)求解与正切函数有关的函数的值域时，要
( http: / / www.21cnjy.com )注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围.
2.解正切不等式的两种方法：
(1)图象法：先画出函数图象，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合；
(2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.
[再练一题]
1.求函数y＝的定义域.
【导学号：72010030】
【解】 根据题意，
得
解得(k∈Z).
所以函数的定义域为
∪(k∈Z).
正切函数的奇偶性、周期性
(1)函数y＝4tan的周期为________.
(2)判断下列函数的奇偶性：
①f
(x)＝；
②f
(x)＝tan＋tan.
【精彩点拨】 (1)可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图象来求.
(2)可按定义法的步骤判断.
【自主解答】 (1)由于ω＝3，故函数的周期为T＝＝.
【答案】
(2)①由
得f
(x)的定义域为
，
不关于原点对称，
所以函数f
(x)既不是偶函数，也不是奇函数.
②函数定义域为
，
关于原点对称，
又f
(－x)＝tan＋tan
＝－tan－tan
＝－f
(x)，
所以函数是奇函数.
1.函数f
(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法：
(1)定义法.
(2)公式法：对于函数f
(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现.
2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：
先求函数的定义域，看其定义域是否
( http: / / www.21cnjy.com )关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f
(－x)与f
(x)的关系.
[再练一题]
2.(1)求f
(x)＝tan的周期；
(2)判断y＝sin
x＋tan
x的奇偶性.
【解】 (1)∵tan＝tan，即tan＝tan，
∴f
(x)＝tan的周期是.
(2)定义域为，
关于原点对称，
∵f
(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin
x－tan
x＝－f
(x)，
∴函数是奇函数.
[探究共研型]
正切函数的单调性
探究1 正切函数y＝tan
x在其定义域内是否为增函数？
【提示】 不是.正切函数的
( http: / / www.21cnjy.com )图象被直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数.假设x1＝，x2＝π，x1x1＝tan
x2.
探究2 正切函数y＝tan
x在∪上是增函数成立吗？
【提示】 不成立.因为正切函数y＝ta
( http: / / www.21cnjy.com )n
x的单调性是针对某一区间的，不能用区间“∪”表示，设x1＝，x2＝，虽有x1x1>tan
x2.
探究3 正切函数的定义域能写成
，(k∈Z)吗？为什么？
【提示】 不能.因为正切函数的定义域是
，它表示x是不等于＋kπ(k∈Z)的全体实数，而(k∈Z)只表示k取某个整数时的一个区间，而不是所有区间的并集.
(1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan
1，tan
2，tan
3的大小.
【精彩点拨】 解答本题(1)可先令y＝－tan，从而把x－整体代入，k∈Z这个区间内解出x便可.
解答本题(2)可先把角化归到同一单调区间
( http: / / www.21cnjy.com )内，即利用tan
2＝tan(2－π)，tan
3＝tan(3－π)，最后利用y＝tan
x在上的单调性判断大小关系.
【自主解答】 (1)y＝tan
＝－tan，
由kπ－得2kπ－∴函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z).
(2)∵tan
2＝tan(2－π)，tan
3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0，
∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan
x在内是增函数，
∴tan(2－π)1，即tan
231.
求y＝Atan(ωx＋φ)的
( http: / / www.21cnjy.com )单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－<ωx＋φ[再练一题]
3.(1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan与tan的大小.
【解】 (1)∵y＝tan单调区间为(k∈Z)，
∴kπ－<2x－＋∴函数y＝tan的单调递增区间为k∈Z.
(2)由于tan＝tan
＝tan
＝－tan
，tan
＝－tan
＝－tan
，又0<<<，
而y＝tan
x在上单调递增，所以tan
，－tan
>－tan
，
即tan>tan.
[构建·体系]
1.函数y＝tan
x的值域是( )
A.[－1,1]
B.[－1,0)∪(0,1]
C.(－∞，1]
D.[－1，＋∞)
【解析】 根据函数的单调性可得.
【答案】 B
2.函数f
(x)＝tan的定义域是________，f
＝________.
【解析】 由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，
即x≠＋kπ(k∈Z).
故定义域为，
且f
＝tan＝.
【答案】
3.函数y＝－tan
x的单调递减区间是________.
【解析】 因为y＝tan
x与y＝－tan
x的单调性相反，所以y＝－tan
x的单调递减区间为
(k∈Z).
【答案】 (k∈Z)
4.函数y＝|tan
x|的周期为________.
【解析】 作出y＝|tan
x|的图象，如图所示.
由图可知，函数y＝|tan
x|的最小正周期是π.
【答案】 π
5.求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝lg(－tan
x).
【导学号：72010031】
【解】 (1)要使函数y＝有意义，需使
所以函数的定义域为
.
(2)因为－tan
x>0，所以tan
x<.
又因为tan
x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图象(图略)，
得kπ－我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.f
(x)＝－tan的单调区间是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
【解析】 令－＋kπ所以函数f
(x)的单调减区间为
，k∈Z.
【答案】 C
2.函数f
(x)＝tan
ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为，则ω的值是( )
A.1
B.2
C.4
D.8
【解析】 由题意可得f
(x)的周期为，则＝，∴ω＝4.
【答案】 C
3.函数y＝tan图象的对称中心为( )
【导学号：72010032】
A.(0,0)
B.
C.，k∈Z
D.，k∈Z
【解析】 由函数y＝tan
x的对称中心为，k∈Z，令3x＋＝，k∈Z，则x＝－(k∈Z)，∴y＝tan对称中心为，k∈Z.故选D.
【答案】 D
4.(2016·鹤岗一中期末)若直线x＝(－1≤k≤1)与函数y＝tan的图象不相交，则k＝( )
A.
B.－
C.或－
D.－或
【解析】 由题意得2×＋＝＋mπ，m∈Z，
k＝＋m，m∈Z.由于－1≤k≤1，所以k＝或－.故选C.
【答案】 C
5.(2016·遵义四中期末)在下列给出的函数中，以π为周期且在内是增函数的是( )
A.y＝sin
B.y＝cos
2x
C.y＝sin
D.y＝tan
【解析】 由函数周期为π可排除A.x∈时，2x∈(0，π)，2x＋∈，此时B，C中函数均不是增函数.故选D.
【答案】 D
二、填空题
6.(2016·南通高一检测)f
(x)＝asin
x＋btan
x＋1，满足f
(5)＝7，则f
(－5)＝________.
【解析】 ∵f
(5)＝asin
5＋btan
5＋1＝7，
∴asin
5＋btan
5＝6，
∴f
(－5)＝asin(－5)＋btan(－5)＋1
＝－(asin
5＋btan
5)＋1
＝－6＋1＝－5.
【答案】 －5
7.已知函数y＝tan
ωx在内是减函数，则ω的取值范围为__________.
【解析】 由题意可知ω<0，又≥π，
故－1≤ω<0.
【答案】 －1≤ω<0
三、解答题
8.求函数y＝tan的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性、单调性.
【解】 由3x－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z，
∴所求定义域为.
值域为R，周期T＝，是非奇非偶函数.
在区间(k∈Z)上是增函数.
9.已知x∈，f
(x)＝tan2x＋2tan
x＋2，求f
(x)的最大值和最小值，并求出相应的x值.
【解】 f
(x)＝tan2
x＋2tan
x＋2＝(tan
x＋1)2＋1，
∵x∈，∴tan
x∈[－，1]，
∴当tan
x＝－1，即x＝－时，y有最小值1；
当tan
x＝1，即x＝时，y有最大值5.
[能力提升]
1.(2016·九江高一检测)函数f
(x)＝lg(tan
x＋)为( )
A.奇函数
B.既是奇函数又是偶函数
C.偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
【解析】 ∵>|tan
x|≥－tan
x，
∴其定义域为，关于原点对称，又f
(－x)＋f
(x)＝lg(－tan
x＋)＋lg(tan
x＋)
＝lg
1＝0，
∴f
(x)为奇函数，故选A.
【答案】 A
2.函数y＝tan
x＋sin
x－|tan
x－sin
x|在区间内的图象是图1 3 7中的________.
图1 3 7
【解析】 函数y＝tan
x＋sin
x－|tan
x－sin
x|
＝
【答案】 ④
3.已知函数f
(x)＝Atan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3).
(1)求f
(x)的解析式；
(2)求满足f
(x)≥的x的取值范围.
【解】 (1)由题意可得f
(x)的周期为
T＝－＝＝，所以ω＝，
得f
(x)＝Atan，
因为它的图象过点，
所以tan＝0，
即tan＝0，
所以＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝kπ－，
又|φ|<，所以φ＝－，
于是f
(x)＝Atan，
又它的图象过点(0，－3)，
所以Atan＝－3，得A＝3，
所以f
(x)＝3tan.
(2)由(1)得3tan≥，
所以tan≥，
得kπ＋≤x－解得＋≤x<＋(k∈Z)，
所以满足f
(x)≥的x的取值范围是
(k∈Z).2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
1.掌握平行向量基本定理并理解两向量共线的条件及单位向量的含义.(重点)
2.理解轴上的基向量、向量的坐标及其运算公式，并解决轴上的相关问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 平行向量基本定理
阅读教材P90“例1”以上内容，完成下列问题.
1.平行向量基本定理：
如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.
2.单位向量：
给定一个非零向量a，与a同方向且长度
( http: / / www.21cnjy.com )等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，由数乘向量的定义可知：a＝|a|a0或a0＝.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若b与a共线，则存在实数λ，使得b＝λa.( )
(2)任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点.( )
(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量.( )
(4)有相同起点的两个非零向量不平行.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
教材整理2 轴上向量的坐标及其运算
阅读教材P91“例2”以下～P92“例3”以上内容，完成下列问题.
1.规定了方向和长度单位的直线叫做轴.已知轴
( http: / / www.21cnjy.com )l，取单位向量e，使e的方向与l同方向.根据向量平行的条件，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x，使a＝xe.反过来，任意给定一个实数x，我们总能作一个向量a＝xe，使它的长度等于这个实数x的绝对值，方向与实数的符号一致.单位向量e叫做轴l的基向量，x叫做a在l上的坐标(或数量).
2.x的绝对值等于a的长，当a与e同方向时，x是正数，当a与e反方向时，x是负数.实数与轴上的向量建立起一一对应关系.
3.向量相等与两个向量的和：设a
( http: / / www.21cnjy.com )＝x1e，b＝x2e，于是：如果a＝b，则x1＝x2；反之，如果x1＝x2，则a＝b；另外，a＋b＝(x1＋x2)e，这就是说，轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.
4.向量的坐标常用AB表示，则＝ABe.表示向量，而AB表示数量，且有AB＋BA＝0.
5.轴上向量的坐标：在数
( http: / / www.21cnjy.com )轴x上，已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB＝x2－x1，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.
6.数轴上两点的距离公式：在数轴x上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则|AB|＝|x2－x1|.
数轴上点A，B，C的坐标分别为－1,1,5，则下列结论错误的是( )
A.的坐标是2
B.＝－3
C.的坐标是4
D.＝2
【解析】 答案C不正确.故选C.
【答案】 C
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问4：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
平行向量基本定理的应用
如图2 1 31所示，已知在 ABCD中，点M为AB的中点，点N在BD上，且3BN＝BD.求证：M，N，C三点共线.
【导学号：72010051】
图2 1 31
【精彩点拨】 利用向量的运算法则将，两向量分别用，表示出来，再利用平行向量基本定理判定，共线，从而证明M，N，C三点共线.
【自主解答】 设＝a，＝b，
则＝＋＝－a＋b，
＝＝－a＋b，
＝a，＝＝b，
∴＝＋＝a＋b，
＝＋＝a－a＋b
＝，
∴＝，
∴∥，又M为公共点，
∴M、N、C三点共线.
平行向量基本定理有两个方面的应用：
(1)一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行，进而证明三点共线，三角形相似，两线段平行以及用来判断图形的形状等.
(2)若两向量平行，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示，可以用来求参数，它是轴上向量坐标化的依据.
[再练一题]
1.已知任意两个非零向量a，b，作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由.
【解】 因为＝－＝(a＋2b)－(a＋b)＝b，
＝－＝(a＋3b)－(a＋b)＝2b，故有＝2.
所以∥，且有公共点A，所以A，B，C三点共线.
用平行向量基本定理证明几何问题
已知梯形ABCD中，AB∥DC，E，F
分别是AD，BC的中点，求证：EF
∥AB∥DC.
图2 1 32
【精彩点拨】 解题时首先结合图形与所证问题，把几何条件转化为向量条件，然后利用向量的线性运算与平行向量基本定理求证.
【自主解答】 延长EF
到M，使EF
＝F
M，连接CM，BM，EC，EB，得 ECMB，
由平形四边形法则得
＝＝(＋).
由于AB∥DC，所以，共线且同向，根据平行向量基本定理，存在正实数λ，使＝λ.
由三角形法则得
＝＋，＝＋且＋＝0，
∴＝(＋)＝(＋＋＋)
＝(＋)＝，
∴∥.
由于E，D不共点，∴EF
∥DC∥AB.
1.用平行向量基本定理证直线平行或三点共线时，关键是把一个向量用有关向量线性表示，同时有机地结合向量的线性运算及图形完成证明.
2.用向量法证明几何问题的一般步骤是：首先用
( http: / / www.21cnjy.com )向量表示几何关系，然后进行向量运算，得到新的适合题目要求的向量关系，最后将向量关系还原为几何关系.
[再练一题]
2.(2016·石家庄高一检测)已知e，f
为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f
，＝－4e－f
，＝－5e－3f
.
(1)将用e，f
表示；
(2)证明四边形ABCD为梯形.
【解】 (1)根据向量求和的多边形法则，
( http: / / www.21cnjy.com )有＝＋＋＝(e＋2f
)＋(－4e－f
)＋(－5e－3f
)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f
＝－8e－2f
.
(2)证明：因为＝－8e－2f
＝2(－4e－f
)＝2，即＝2.
所以∥，且的长度为的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形.
轴上向量的坐标及其运算
已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d.
(1)若AC＝5，求c的值；
(2)若|BD|＝6，求d的值.
(3)若＝－3，求证：3＝－4.
【精彩点拨】 解答本题首先据条件表示出两点所对应的向量的坐标，然后求解.
【自主解答】 (1)∵AC＝5，
∴c－(－4)＝5，∴c＝1.
(2)∵|BD|＝6，∴|d－(－2)|＝6，
即d＋2＝6或d＋2＝－6，
∴d＝4或d＝－8.
(3)因为＝＋＝－＋，
而＝－3AD，
所以＝－(－3)＋＝4，所以3＝12，
又－4＝－4×(－3)＝12，
故3＝－4.
正确理解和运用轴上向量的坐标及长
( http: / / www.21cnjy.com )度计算公式是学习其他向量计算的基础；解答本题首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形.
[再练一题]
3.已知数轴上A、B两点的坐标为x1，x2，求，的坐标和长度.
(1)x1＝2，x2＝－5.3；(2)x1＝10，x2＝20.5.
【解】 (1)∵x1＝2，x2＝－5.3，
∴AB＝－5.3－2＝－7.3，BA＝2－(－5.3)＝7.3.
∴||＝7.3，||＝7.3.
(2)同理AB＝10.5，BA＝－10.5.
||＝10.5，||＝10.5.
[探究共研型]
向量共线问题
探究1 已知m，n是不共线向量，a＝3m＋4n，b＝6m－8n，判断a与b是否共线？
【提示】 要判断两向量是否共线，只需看是否能找到一个实数λ，使得a＝λb即可.
若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，即3m＋4n＝λ(6m－8n).
∵m，n不共线，∴
∵不存在λ同时满足此方程组，∴a与b不共线.
探究2 已知e1，e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？
【提示】 ∵e1，e2共线，
∴存在λ∈R，使e1＝λe2.
∴a＝3e1＋4e2＝3λe2＋4e2＝(3λ＋4)e2，
b＝6e1－8e2＝6λe2－8e2＝(6λ－8)e2，
∴a＝b，∴a与b共线.
当λ＝时，b＝0，∴a与b共线.
探究3 设两非零向量e1和e2不共线，是否存在实数k，使ke1＋e2和e1＋ke2共线？
【提示】 设ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
∵e1与e2不共线，
∴只能有则k＝±1.
已知非零向量e1，e2不共线.
如果A＝e1＋e2，B＝2e1＋8e2，C＝3(e1－e2)，求证A，B，D三点共线.
【精彩点拨】 欲证A，B，D共线，只需证存在实数λ，使B＝λA即可.
【自主解答】 ∵A＝e1＋e2，
B＝B＋C＝2e1＋8e2＋3e1－3e2
＝5(e1＋e2)
＝5A，
∴A，B共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线.
1.本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a≠0)共线 b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.
2.向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.
[再练一题]
4.设两个非零向量e1，e2不共线，
( http: / / www.21cnjy.com )已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
【解】 设存在k∈R，使得A，B，D三点共线，
∵＝－＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，＝2e1＋ke2.
又∵A，B，D三点共线，∴＝λ，
∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，
∴∴k＝－8，
所以存在k＝－8，使得A，B，D三点共线.
1.以下选项中，a与b不一定共线的是( )
A.a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1
B.a＝4e1－e2，b＝e1－e2
C.a＝e1－2e2，b＝e2－2e1
D.a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2
【解析】 只有C选项不一定共线.
【答案】 C
2.已知数轴上两点A、B的坐标分别是－4，－1，则AB与||分别是( )
A.－3,3
B.3,3
C.3，－3
D.－6,6
【解析】 AB＝－1－(－4)＝3，||＝3.
【答案】 B
3.如图2 1 33所示，已知′＝3，＝3，则向量与的关系为( )
图2 1 33
A.共线
B.同向
C.共线且同向
D.共线、同向，且的长度是的3倍
【解析】 由题意，知＝，
∴AB∥A′B′，
∴＝＝，∴＝3，故选D.
【答案】 D
4.设a，b是两个不共线的向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A、B、D三点共线，则实数p的值是________.
【导学号：72010052】
【解析】 ∵A、B、D三点共线，
∴存在实数λ使＝x，
又＝＋＝2a－b，＝2a＋pb，
∴2a＋pb＝λ(2a－b)，
∴
∴p＝－1.
【答案】 －1
5.如图2 1 34，ABCD为一个四边形，E，F
，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EF
GH为平行四边形.
图2 1 34
【证明】 ∵F
，G分别是AB，AC的中点，
∴＝.同理，＝.
∴＝.同理＝.
∴四边形EF
GH为平行四边形.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(十七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A.A，B，D
B.A，B，C
C.B，C，D
D.A，C，D
【解析】 ＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，所以A，B，D三点共线.
【答案】 A
2.(2016·临沂高一检测)设a，b为不共线向量，＝a＋b，＝－4a－b，＝－5a－2b，则下列关系式中正确的是( )
A.＝
B.＝2
C.＝－
D.＝－2
【解析】 ＝＋＋＝－8a－2b
＝2(－4a－b)＝2.
【答案】 B
3.设a，b是不共线的向量，＝a＋kb，＝ma＋b(k，m∈R)，则当A，B，C三点共线时，有( )
A.k＝m
B.km－1＝0
C.km＋1＝0
D.k＋m＝0
【解析】 ∵A，B，C三点共线，
∴＝n，∴a＋kb＝mna＋nb，
∴
∴mk－1＝0.
【答案】 B
4.(2016·济南高一检测)已知向量e1，e2不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，若a与b共线，则k等于( )
A.±1
B.1
C.－1
D.0
【解析】 ∵a与b共线，∴a＝λb.
即ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
∴解得k＝±1.
【答案】 A
5.(2016·佛山高一检测)已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则( )
A.λ＝0
B.e2＝0
C.e1∥e2
D.e1∥e2或λ＝0
【解析】 ∵a∥b，∴存在实数k，使得a＝kb，
即(2k－1)e1＝λe2.∵e1≠0，∴若2k－1＝0，则λ＝0或e2＝0；
若2k－1≠0，则e1＝e2，此时e1∥e2，又0与任何一个向量平行，∴有e1∥e2或λ＝0.
【答案】 D
二、填空题
6.已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标为3，AB＝5，AC＝2，则点C的坐标为________.
【解析】 设A，C的坐标分别为xA，xC，则AB＝3－xA＝5，∴xA＝－2，又AC＝xC－xA＝xC－(－2)＝2，
∴xC＝0.
【答案】 0
7.(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
【解析】 ∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，
即λa＋b＝ta＋2tb，
∴解得
【答案】
8.(2016·绍兴高一检测)设a，b
( http: / / www.21cnjy.com )是两个不共线的非零向量，记＝a，＝tb(t∈R)，＝(a＋b)，那么当A，B，C三点共线时，实数t的值为________.
【导学号：72010053】
【解析】 ∵＝a，＝tb，＝(a＋b)，
∴＝－＝tb－a，
＝－＝(a＋b)－a＝b－a，
∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，
即tb－a＝λ.
由于a，b不共线，∴解得
故当t＝时，A，B，C三点共线.
【答案】
三、解答题
9.已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.
(1)x2＝－5，BA＝－3；(2)x2＝－1，|AB|＝2.
【解】 (1)BA＝x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.
(2)|AB|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.
10.已知向量a＝2e1－3
( http: / / www.21cnjy.com )e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ使向量d＝λa＋μb与c共线？
【解】 假设存在这样的实数λ，μ使得d＝λa＋μb与c共线，
∴d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2.
要使d与c共线.
则有实数k，使得d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
∴所以λ＝－2μ.
故存在这样的λ，μ，使d与c共线.
[能力提升]
1.设e1，e2是不共线向量，若向量a＝3e1＋5e2与向量b＝me1－3e2共线，则m的值等于( )
A.－
B.－
C.－
D.－
【解析】 ∵a∥b，∴存在实数λ，使得b＝λa，
即me1－3e2＝λ(3e1＋5e2)，
∵e1，e2是不共线向量，∴
解得m＝－.
【答案】 A
2.(2016·枣庄校级月考)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝( )
A.a
B.b
C.c
D.0
【解析】 ∵a＋b与c共线，
b＋c与a共线，
∴a＋b＝λc，b＋c＝μa，
两式相减得a－c＝λc－μa，
移项得(1＋λ)c＝(1＋μ)a.
∵向量a，c不共线，
∴只有1＋λ＝0,1＋μ＝0.
即λ＝－1，μ＝－1.
也就是a＋b＝－c，
即a＋b＋c＝0.
【答案】 D
3.已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________.
【解析】 ∵a∥b，
∴存在实数μ，使得a＝μb.
即2e1－e2＝μe1＋λμe2，
∴解得λ＝－.
【答案】 －
4.如图2 1 35，设G为△ABC的重心，过G的直线l分别交AB，AC于P，Q，若＝m，＝n，求证：＋＝3.
图2 1 35
【证明】 设＝a，＝b，∵＝m，＝n，
∴＝ma，＝nb.
∵G为△ABC的重心，连接AG并延长交BC于D，
则AD为△ABC一边BC的中线，
∴＝(a＋b)，
∴＝＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b.
＝－＝nb－(a＋b)
＝－a＋b.
又与共线，∴＝λ，
∴a＋b
＝－λa＋λb，
∴
消去λ得：m＋n＝3mn，
即＋＝3.1.2.2 单位圆与三角函数线
1.了解三角函数线的意义.(重点)
2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 单位圆
阅读教材P19“第1行”～“第12行”，完成下列问题.
单位圆：我们把半径为1的圆叫做单位圆.
角的终边与单位圆的交点的坐标是________.
【解析】 由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos
＝－，纵坐标是sin
＝，∴角的终边与单位圆的交点的坐标是.
【答案】
教材整理2 三角函数线
阅读教材P19“第13行”～P20“例”以上部分，完成下列问题.
如图1 2 2所示，点P的坐标为(cos
α，sin
α)，即P(cos
α，sin
α).
图1 2 2
其中cos
α＝OM，sin
( http: / / www.21cnjy.com )
α＝ON.这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.以A为原点建立y′轴与y轴同向，y′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T′)，则tan
α＝AT(或AT′).
我们把轴上向量，和(或)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线.
图1 2 3
如图1 2 3，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A.正弦线，正切线
B.正弦线，正切线
C.正弦线，正切线
D.正弦线，正切线
【解析】 由三角函数线的定义知C正确.
【答案】 C
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
三角函数线的概念
(1)(2016·济宁高一检测)设P点为角α的终边与单位圆O的交点，且sin
α＝MP，cos
α＝OM，则下列命题成立的是( )
A.总有MP＋OM＞1
B.总有MP＋OM＝1
C.存在角α，使MP＋OM＝1
D.不存在角α，使MP＋OM＜0
(2)分别作出π和－π的正弦线、余弦线和正切线.
【自主解答】 (1)显然，当角α
( http: / / www.21cnjy.com )的终边不在第一象限时，MP＋OM＜1，MP＋OM＜0都有可能成立；当角α的终边落在x轴或y轴正半轴时，MP＋OM＝1，故选C.
【答案】 C
(2)①在直角坐标系中作单位圆，如图
( http: / / www.21cnjy.com )甲，以Ox轴为始边作π角，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin
π＝MP，cos
π＝OM，tan
π＝AT，即π的正弦线为，余弦线为，正切线为.
②同理可作出－π的正弦线、余弦线和正切线，如图乙.
sin＝M1P1，
cos＝O1M1，
tan＝A1T1，即－π的正弦线为，余弦线为，正切线为.
1.作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.
2.作正切线时，应从A(1,0)点引
( http: / / www.21cnjy.com )单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线.
[再练一题]
1.下列四个命题中：
①α一定时，单位圆中的正弦线一定；
②单位圆中，有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上.
不正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 由三角函数线的定义①③正确，②④不正确.
【答案】 C
解三角不等式
在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合.
(1)sin
α≥；
(2)cos
α≤－.
【导学号：72010009】
【精彩点拨】 作出满足sin
α＝，cos
α＝－的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围.
【自主解答】 (1)作直线y＝，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围.
故满足条件的角α的集合为
.
(2)作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围.
故满足条件的角α的集合为
.
1.通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤：
(1)作出取等号的角的终边；
(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；
(3)将图中的范围用不等式表示出来.
2.求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域.
[再练一题]
2.求y＝lg(1－cos
x)的定义域.
【解】 如图所示，∵1－cos
x＞0，∴cos
x＜，
∴2kπ＋＜x＜2kπ＋(k∈Z)，
∴函数定义域为：(k∈Z).
[探究共研型]
三角函数线问题
探究1 为什么在三角函数线上，点P的坐标为(cos
α，sin
α)，点T的坐标为(1，tan
α)呢？
【提示】 由三角函数的定义可知si
( http: / / www.21cnjy.com )n
α＝，cos
α＝，而在单位圆中，r＝1，所以单位圆上的点都是(cos
α，sin
α)；另外角的终边与直线x＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan
α＝，知纵坐标y＝tan
α，所以点T的坐标为(1，tan
α).
探究2 如何利用三角函数线比较大小？
【提示】 利用三角函数线比较三角函数
( http: / / www.21cnjy.com )值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负.
已知α∈，试比较sin
α，α，tan
α的大小.
【精彩点拨】 本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sin
α，α，tan
α，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决.
【自主解答】 如图所示，设角α的终
( http: / / www.21cnjy.com )边与单位圆交于点P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PM⊥x轴，PN⊥y轴，作AT⊥x轴，交α的终边于点T，由三角函数线定义，
得sin
α＝MP，tan
α＝AT，
又α＝
( http: / / www.21cnjy.com )的长，
∴S△AOP＝·OA·MP＝sin
α，
S扇形AOP＝·
( http: / / www.21cnjy.com )·OA
＝·
( http: / / www.21cnjy.com )＝α，
S△AOT＝·OA·AT＝tan
α.
又∵S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，
∴sin
α＜α＜tan
α.
1.本题的实质是数形结合思想，即要求找到与所研究问题相应的几何解释，再由图形相关性质解决问题.
2.三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题.
[再练一题]
3.利用三角函数线证明：|sin
α|＋|cos
α|≥1.
【证明】 在△OMP中，
( http: / / www.21cnjy.com )OP＝1，OM＝|cos
α|，MP＝|sin
α|，因为三角形两边之和大于第三边，所以|sin
α|＋|cos
α|＞1.
当点P在坐标轴上时，|sin
α|＋|cos
α|＝1.
综上可知，|sinα|＋|cosα|≥1.
[构建·体系]
1.如果MP，OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，则下列结论正确的是( )
A.MPB.MP>OM>0
C.MP<0D.OM>MP>0
【解析】 因为α＝<，所以余弦线大于正弦线，且大于0.
【答案】 D
2.已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( )
A.或
B.或
C.或
D.或
【解析】 由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝或.
【答案】 C
3.(2016·济南高一期末)在[0,2π]上满足sin
x≥的x的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 画出单位圆，结合正弦线得出sin
x≥的取值范围是.
【答案】 B
4.用三角函数线比较sin
1与cos
1的大小，结果是________.
【解析】 ∵<1<，∴正弦线大于余弦线的长度，
∴sin
1>cos
1.
【答案】 sin
1>cos
1
5.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边.
(1)sin
α＝；(2)cos
α＝－.
【导学号：72010010】
【解】 (1)作直线y＝交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图甲.
甲 乙
(2)作直线x＝－交单位圆于M，N两点，则OM与ON为角α的终边，如图乙.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )
A.在x轴上
B.在y轴上
C.在直线y＝x上
D.在直线y＝x或y＝－x上
【解析】 ∵sin
α＝1或sin
α＝－1，
∴角α终边在y轴上.故选B.
【答案】 B
2.(2016·石家庄高一检测)如果＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( )
A.cos
θ＜tan
θ＜sin
θ
B.sin
θ＜cos
θ＜tan
θ
C.tan
θ＜sin
θ＜cos
θ
D.cos
θ＜sin
θ＜tan
θ
【解析】 由于＜θ＜π，如图所示，正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，由此容易得到OM＜AT＜0＜MP，故选A.
【答案】 A
3.在(0,2π)内，使sin
x>cos
x成立的x的取值范围是( )
A.∪
B.
C.
D.∪
【解析】 如图阴影部分(不包括边界)即为所求.
【答案】 C
4.若α是三角形的内角，且sin
α＋cos
α＝，则这个三角形是( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
【解析】 当0＜α≤时，由单位圆中的三角函数线知，sin
α＋cos
α≥1，而sin
α＋cos
α＝，∴α必为钝角.
【答案】 D
5.(2016·天津高一检测)依据三角函数线，作出如下四个判断：
①sin
＝sin
；②cos＝cos
；③tan
＞tan
；④sin
＞sin
.
其中判断正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】 根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6.(2016·西安高一检
( http: / / www.21cnjy.com )测)已知θ∈，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP，OM，AT，则它们从大到小的顺序为________.
【解析】 作图如下：
因为θ∈，所以θ>，根据三角函数线的定义可知AT>MP>OM.
【答案】 AT>MP>OM
7.(2016·济南高一检测)函数y＝的定义域为________.
【导学号：72010011】
【解析】 要使函数有意义，
有1－2sin
x≥0，得sin
x≤，
如图，确定正弦值为的角的终边OP与OP′，
其对应的一个角分别为π，π
所求函数定义域为(k∈Z).
【答案】 (k∈Z)
8.点P(sin
3－cos
3，sin
3＋cos
3)所在的象限为________.
【解析】 因为＜3＜π，作出单位圆如图所示.
设，的数量分别为a，b，
所以sin
3＝a＞0，cos
3＝b＜0，
所以sin
3－cos
3＞0.
因为|MP|＜|OM|，即|a|＜|b|，
所以sin
3＋cos
3＝a＋b＜0.
故点P(sin
3－cos
3，sin
3＋cos
3)在第四象限.
【答案】 第四象限
三、解答题
9.画出的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值.
【解】
如图，MP，OM，AT分别为正弦线，余弦线和正切线.sin
＝－，cos
＝－，tan
＝.
10.求函数f
(x)＝＋ln的定义域.
【解】 由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴.
[能力提升]
1.已知sin
α＞sin
β，那么下列结论成立的是( )
A.若α，β是第一象限角，则cosα＞cos
β
B.若α，β是第二象限角，则tan
α＞tan
β
C.若α，β是第三象限角，则cos
α＞cos
β
D.若α，β是第四象限角，则tan
α＞tan
β
【解析】 若α，β同属于第一象限
( http: / / www.21cnjy.com )，则0≤β＜α≤，cos
α＜cos
β，故A错；第二象限，则≤α＜β≤π，tan
α＜tan
β，故B错；第三象限，则π≤α＜β≤，cos
α＜cos
β，故C错；第四象限，则≤β＜α≤2π，tan
α>tan
β，(均假定0≤α，β≤2π)，故D正确.
【答案】 D
2.满足sin≥的x的集合是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 由sin≥，得＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
【答案】 A
3.(2016·东莞高一检测)若θ∈，则下列各式错误的是________.
①sin
θ＋cos
θ＜0;
②sin
θ－cos
θ＞0；
③|sin
θ|＜|cos
θ|;
④sin
θ＋cos
θ＞0.
【解析】 若θ∈，则sin
θ＞0，cos
θ＜0，sin
θ＜|cos
θ|，所以sin
θ＋cos
θ＜0.
【答案】 ④
4.(2016·德州高一检测)已知α∈，求证：1＜sin
α＋cos
α＜.
【证明】 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，过P作PM⊥Ox，PN⊥Oy，M，N分别为垂足.
∴|MP|＝y＝sin
α，|OM|＝x＝cos
α，
在△OMP中，|OM|＋|MP|＞|OP|，
∴sin
α＋cos
α＞1.
∵S△OAP＝|OA|·|MP|＝y＝sin
α，
S△OBP＝|OB|·|NP|＝x＝cos
α，
S扇形OAB＝π×12＝，
又∵S△OAP＋S△OBP＜S扇形OAB，
∴sin
α＋cos
α＜，即sin
α＋cos
α＜，
∴1＜sin
α＋cos
α＜.3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程.
2.掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理 半角公式
阅读教材P145内容，完成下列问题.
sin＝±，
cos＝±，
tan＝±
＝＝.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos
＝.( )
(2)存在α∈R，使得cos
＝cos
α.( )
(3)对于任意α∈R，sin
＝sin
α都不成立.( )
(4)若α是第一象限角，则tan
＝.( )
【解析】 (1)×.只有当－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cos
＝.
(2)√.当cos
α＝－＋1时，上式成立，但一般情况下不成立.
(3)×.当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立.
(4)√.若α是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan
＝成立.
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
化简求值问题
(1)已知cos
θ＝－，且180°<θ<270°，求tan
；
(2)化简(1－sin
α)(1－sin
β)－2.
【精彩点拨】 (1)①cos
θ＝－→tan
＝±→tan
的值；
②cos
θ＝－→tan
＝→tan
的值.
对于(1)的思考要注意符号的选择.
(2)灵活运用三角函数公式求解.
【自主解答】 (1)因为180°<θ<270°，所以90°<<135°，即是第二象限的角，所以tan
<0，
∴tan
＝－＝－＝－2.
(2)原式＝1－(sin
α＋sin
β)＋sin
αsin
β－
＝1－2sin
cos
＋sin
αsin
β－
＝sin
αsin
β＋
＝sin
αsin
β－sin
αsin
β
＝0.
1.解决给值求值问题的方法及思路：
(1)给值求值问题，其关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，经过适当变换已知式或变换欲求式解题.
(2)给值求值的重要思想是建立已知式与欲求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用.
2.三角函数化简的思路及原则：
(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.
(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑：
①运用公式之后能否出现特殊角；
②运用公式之后能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消项；
③运用公式之后能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件.
(3)对于三角函数的和差化积，有时因为使用公式不同，或选择题的思路不同，化积结果可能不一致.
[再练一题]
1.(1)已知sin
α＝，cos
α＝，则tan
等于( )
A.2－
B.2＋
C.－2
D.±(－2)
(2)化简(－π<α<0).
【导学号：72010087】
【解析】 (1)因为sin
α＝>0，cos
α＝>0，
所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一、三象限.
所以tan
>0，故tan
＝
＝＝－2.
【答案】 C
(2)原式＝
＝
＝＝.
因为－π<α<0，所以－<<0，
所以sin
<0，
所以原式＝＝cos
α.
三角恒等式的证明
(1)求证：1＋2cos2θ－cos
2θ＝2；
(2)求证：＝.
【精彩点拨】 (1)可由左向右证：先把左边cos2
θ降幂化为同角后整理可证.
(2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化.
【自主解答】 (1)左边＝1＋2×－cos
2θ＝2＝右边.
所以原等式成立.
(2)左边＝
＝＝
＝＝＝＝右边.
所以原等式成立.
三角恒等式证明的五种常用方法：
(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简.
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同.
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”.
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
[再练一题]
2.已知0<α<，0<β<，且3sin
β＝sin(2α＋β)，4tan
＝1－tan2，求证：α＋β＝.
【证明】 ∵3sin
β＝sin(2α＋β)，
即3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，
∴3sin(α＋β)cos
α－3cos(α＋β)sin
α
＝sin(α＋β)cos
α＋cos(α＋β)sin
α，
∴2sin(α＋β)cos
α＝4cos(α＋β)sin
α，
∴tan(α＋β)＝2tan
α.
又∵4tan
＝1－tan2，
∴tan
α＝＝，
∴tan(α＋β)＝2tan
α＝1，
∵α＋β∈，∴α＋β＝.
三角函数在实际问题中的应用
如图3 2 1所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
图3 2 1
【精彩点拨】 设∠AOB＝α→建立周长l(α)→求l的最大值
【自主解答】 设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin
α，OB＝Rcos
α，
∴l＝OA＋AB＋OB
＝R＋Rsin
α＋Rcos
α
＝R(sin
α＋cos
α)＋R
＝Rsin＋R.
∵0<α<，∴<α＋<.
∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，
此时，α＋＝，即α＝，
即当α＝时，△OAB的周长最大.
1.解答此类问题，关键是合理引入辅助角α，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.
2.在求解过程中，要注意三
( http: / / www.21cnjy.com )点：(1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系；(2)注意实际问题中变量(角α)的范围；(3)重视三角函数有界性的影响.
[再练一题]
3.有一块以O为圆心的半圆形空地
( http: / / www.21cnjy.com )，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
【解】 如图所示，设∠AOB＝θ，则AB＝asin
θ，OA＝acos
θ.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，
∴S＝2acos
θ·asin
θ＝a2·2sin
θcos
θ＝a2sin
2θ.
∵θ∈，∴2θ∈(0，π).
因此，当2θ＝，即θ＝时，Smax＝a2.
这时点A、D距离O的距离为a，
矩形ABCD的面积最大值为a2.
[探究共研型]
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合应用
探究1 如何求函数y＝sin＋2sin2(x∈R)的最小正周期？
【提示】 y＝sin＋1－cos
＝sin＋1＝sin＋1，
所以函数的最小正周期T＝π.
探究2 研究形如f
(x)＝asin2ωx＋bsin
ωxcos
ωx＋ccos2ωx的性质时应首先把函数f
(x)化简成什么形式再解答？
【提示】 研究形如f
(x)＝as
( http: / / www.21cnjy.com )in2ωx＋bsin
ωxcos
ωx＋ccos2ωx的性质时，先化成f
(x)＝sin(ωx＋φ)＋c的形式再解答.
已知函数f
(x)＝4cos
ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f
(x)在区间上的单调性.
【精彩点拨】 利用三角公式化简函数式，写为f
(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，再讨论函数的性质.
【自主解答】 (1)f
(x)＝4cos
ωx·sin
＝2sin
ωx·cos
ωx＋2cos2
ωx
＝(sin
2ωx＋cos
2ωx)＋
＝2sin＋.
因为f
(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f
(x)＝2sin＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，
即0≤x≤时，f
(x)单调递增；
当<2x＋≤，
即(x)单调递减.
综上可知，f
(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.
http://www.21cnjy.com/
( http: / / www.21cnjy.com )
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解
( http: / / www.21cnjy.com )题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin
ωx＋bcos
ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质.
[再练一题]
4.已知函数f
(x)＝－sin＋6sin
xcos
x－2cos2
x＋1，x∈R.
(1)求f
(x)的最小正周期；
(2)求f
(x)在区间上的最大值和最小值.
【解】 (1)f
(x)＝－sin
2x－cos
2x＋3sin
2x－cos
2x
＝2sin
2x－2cos
2x＝2sin.
所以f
(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f
(x)＝2sin，
由于x∈，所以2x－∈，
则sin∈.
所以f
(x)在上的最大值为2，最小值为－2.
[构建·体系]
1.若cos
α＝，α∈(0，π)，则cos
的值为( )
A.
B.－
C.
D.－
【解析】 由题意知∈，∴cos
>0，
cos
＝＝.
【答案】 C
2.已知cos
α＝，α∈，则sin
等于( )
A.
B.－
C.
D.
【解析】 由题知∈，∴sin
>0，sin
＝＝.
【答案】 A
3.已知sin
α－cos
α＝－，则sin
2α的值等于( )
【导学号：72010088】
A.
B.－
C.－
D.
【解析】 由sin
α－cos
α＝－，
(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α＝1－sin
2α＝，所以sin
2α＝－.
【答案】 C
4.(2014·山东高考)函数y＝sin
2x＋cos2x的最小正周期为________.
【解析】 ∵y＝sin
2x＋cos2x＝sin
2x＋cos
2x＋＝sin＋，∴函数的最小正周期T＝＝π.
【答案】 π
5.化简.
【解】
＝
＝＝＝1.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(二十八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若函数f
(x)＝－sin2
x＋(x∈R)，则f
(x)是( )
A.最小正周期为的奇函数
B.最小正周期为π的奇函数
C.最小正周期为2π的偶函数
D.最小正周期为π的偶函数
【解析】 f
(x)＝－＋＝cos
2x.故选D.
【答案】 D
2.(2016·邢台期末)若sin(π－α)＝－且α∈，则sin等于( )
A.－
B.－
C.
D.
【解析】 由题意知sin
α＝－，α∈，
∴cos
α＝－，
∵∈，∴sin＝cos
＝－＝－.故选B.
【答案】 B
3.(2016·鹤岗一中期末)设a＝cos
7°＋sin
7°，b＝，c＝，则有( )
A.b>a>c
B.a>b>c
C.a>c>b
D.c>b>a
【解析】 a＝sin
37°
( http: / / www.21cnjy.com )，b＝tan
38°，c＝sin
36°，由于tan
38°>sin
38°>sin
37°>sin
36°，所以b>a>c.故选A.
【答案】 A
4.若sin(α＋β)cos
β－cos(α＋β)sin
β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( )
A.1
B.－1
C.0
D.±1
【解析】 ∵sin(α＋β)cos
β－cos(α＋β)sin
β
＝sin(α＋β－β)＝sin
α＝0，
∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β)
＝2sin
αcos
2β＝0.
【答案】 C
5.若函数f
(x)＝(1＋tan
x)cos
x,0≤x<，则f
(x)的最大值是( )
A.1
B.2
C.＋1
D.＋2
【解析】 f
(x)＝(1＋tan
x)cos
x
＝cos
x＝sin
x＋cos
x
＝2sin.
∵0≤x<，
∴≤x＋<π，
∴当x＋＝时，
f
(x)取到最大值2.
【答案】 B
二、填空题
6.若θ是第二象限角，且25sin2
θ＋sin
θ－24＝0，则cos
＝________.
【导学号：72010089】
【解析】 由25sin2
θ＋sin
θ－24＝0，
又θ是第二象限角，
得sin
θ＝或sin
θ＝－1(舍去).
故cos
θ＝－＝－，
由cos2
＝得cos2
＝.
又是第一、三象限角，
所以cos
＝±.
【答案】 ±
7.(2016·重庆一中期末)－＝________.
【解析】 原式＝
＝
＝＝4.
【答案】 4
三、解答题
8.(2015·广东高考)已知tan
α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值.
【解】 (1)tan＝
＝＝－3.
(2)
＝
＝＝＝1.
9.设函数f
(x)＝2cos2ωx＋sin＋a(其中ω>0，a∈R)，且f
(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(1)求ω的值；
(2)设f
(x)在区间上的最小值为，求a的值.
【解】 f
(x)＝1＋cos
2ωx＋sin
2ωx－cos
2ωx＋a＝sin＋a＋1.
(1)由2ωx＋＝2kπ＋(k∈Z)，
得ωx＝kπ＋(k∈Z).
又ω>0，
∴当k＝0时，f
(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x＝＝，故ω＝1.
(2)由(1)知f
(x)＝sin＋a＋1，
由≤x≤，得≤2x≤π，≤2x＋≤，
∴当2x＋＝，即x＝时，
f
(x)取得最小值为＋a＋1.
由＋a＋1＝，得a＝－.
[能力提升]
1.(2016·临沂高一检测)已知450°<α<540°，则的值是( )
A.－sin
B.cos
C.sin
D.－cos
【解析】 因为450°<α<540°，
所以225°<<270°，
所以cos
α<0，sin
<0，
所以原式＝
＝
＝＝
＝＝＝－sin
.故选A.
【答案】 A
2.(2016·泉州质检)已知函数f
(x)＝2cos2
，g(x)＝2.
(1)求证：f
＝g(x)；
(2)求函数h(x)＝f
(x)－g(x)(x∈[0，π])的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值.
【解】 (1)证明：f
(x)＝2cos2
＝1＋cos
x，
g(x)＝2
＝1＋2sin
cos
＝1＋sin
x，
∵f
＝1＋cos＝1＋sin
x，
∴f
＝g(x)，命题得证.
(2)函数h(x)＝f
(x)－g(x)＝cos
x－sin
x
＝
＝cos，
∵x∈[0，π]，
∴≤x＋≤，
当≤x＋≤π，即0≤x≤时，h(x)递减，
当π≤x＋≤，即≤x≤π时，
h(x)递增.
∴函数h(x)的单调递减区间为，
单调递增区间为，
根据函数h(x)的单调性，
可知当x＝时，
函数h(x)取到最小值.2.3 平面向量的数量积
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
2.3.2 向量数量积的运算律
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(难点)
2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系.
3.掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题.(重点)
[基础·初探]
教材整理1 两个向量的夹角
阅读教材P107内容，完成下列问题.
1.已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉，并规定0≤〈a，b〉≤π，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉.
2.当〈a，b〉＝时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作a⊥b.在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直.
3.当〈a，b〉＝0时，a与b同向；
当〈a，b〉＝π时，a与b反向；
当〈a，b〉＝或a与b中至少有一个为零向量时，a⊥b.
如图2 3 1，在△ABC中，，的夹角与，的夹角的关系为________.
图2 3 1
【解析】 根据向量夹角定义可知向量，夹角为∠BAC，而向量，夹角为π－∠BAC，故二者互补.
【答案】 互补
教材整理2 向量在轴上的正射影
阅读教材P108“例1”以上内容，完成下列问题.
已知向量a和轴l如图2 3 2.
( http: / / www.21cnjy.com )作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称做a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.
图2 3 2
＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos
θ.
已知|a|＝3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 向量a在b方向上的投影为|a|cos
θ＝3×cos
＝.故选D.
【答案】 D
教材整理3 数量积的定义及性质和运算律
阅读教材P108“例1”下～P110内容，，完成下列问题.
1.向量的数量积(内积)的定义：
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
由定义知，两个向量a与b的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零.
2.平面向量数量积的性质：
(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；
(2)a⊥b a·b＝0；
(3)a·a＝|a|2即|a|＝；
(4)cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)；
(5)|a·b|≤|a||b|.
3.平面向量数量积的运算律：
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；
(3)数乘向量结合律：对任意实数λ，有λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb).
已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是( )
A.－25
B.25
C.－24
D.24
【解析】 因为||2＋||2＝9＋16＝25＝||2，
所以∠ABC＝90°，
所以原式＝·＋·(＋)＝0＋·＝－2＝－25.
【答案】 A
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问4：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
与向量数量积有关的概念
(1)以下四种说法中正确的是________.(填序号)
①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0；
②如果向量a与b满足a·b<0，则a与b所成的角为钝角；
③△ABC中，如果·＝0，那么△ABC为直角三角形；
④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
(2)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影为________.
(3)已知等腰△ABC的底边BC长为4，则·＝________.
【精彩点拨】 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答.
【自主解答】 (1)由数量积的定义知a·b＝|a||b|cos
θ(θ为向量a，b的夹角).
①若a·b＝0，则θ＝90°或a＝0或b＝0，故①错；
②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错；
③由·＝0知B＝90°，故△ABC为直角三角形，故③正确；
④由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确.
(2)设a与b的夹角为θ，则有
a·b＝|a|·|b|cos
θ＝－12，
所以向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos
θ＝＝＝－；向量b在向量a方向上的投影为|b|·cos
θ＝＝＝－4.
(3)如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.
因为AB＝AC，
所以BD＝BC＝2，
于是||cos∠ABC＝||
＝||＝×4＝2，
所以·＝||||cos∠ABC＝4×2＝8.
【答案】 (1)③④ (2)－ －4 (3)8
1.在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写.
2.求平面向量数量积的方法：
(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos
θ.
(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b.
[再练一题]
1.给出下列判断：①若a2＋b2＝
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θ表示向量b在向量a方向上的投影长.
其中正确的是________.(填序号)
【导学号：72010063】
【解析】 由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；
若a＋b＝0，则a＝－b，
( http: / / www.21cnjy.com )又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线 a·b＝±|a||b|，所以③不正确；
对于④应有|a||b|≥a·b；
对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a；
⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；
当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，因此⑦错；
|b|cos
θ表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非投影长，故⑧错.综上可知①②⑥正确.
【答案】 ①②⑥
数量积的基本运算
已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为135°时，分别求a与b的数量积.
【精彩点拨】 (1)当a∥b时，a与
( http: / / www.21cnjy.com )b夹角可能为0°或180°.(2)当a⊥b时，a与b夹角为90°.(3)若a与b夹角及模已知时可利用a·b＝|a|·|b|cos
θ(θ为a，b夹角)求值.
【自主解答】 设向量a与b的夹角为θ，
(1)a∥b时，有两种情况：
①若a和b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|＝20；
②若a与b反向，则θ＝180°，a·b＝－|a||b|＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，
∴a·b＝0.
(3)当a与b夹角为135°时，
a·b＝|a||b|cos
135°＝－10.
1.求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cos
θ.
2.非零向量a与b共线的条件是a·b＝±|a||b|.
[再练一题]2.已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；
(3)·.
图2 3 3
【解】 (1)与的夹角为60°，
∴·＝||||cos
60°
＝1×1×＝.
(2)与的夹角为120°，
∴·＝||||cos
120°
＝1×1×＝－.
(3)与的夹角为60°，
∴·＝||||cos
60°＝1×1×＝.
与向量模有关的问题
已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；
(2)|(a＋b)·(a－2b)|.
【精彩点拨】 利用a·a＝a2或|a|＝求解.
【自主解答】 由已知a·b＝|a||b|cos
θ＝4×2×cos
120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，∴|a＋b|＝2.
(2)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.
1.此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系.
2.利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
[再练一题]
3.例3中，题干条件不变，求|a－b|.
【解】 因为|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角θ＝120°，
所以|a－b|＝＝
＝＝2，
所以|a－b|＝2.
[探究共研型]
平面向量数量积的性质
探究1 设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
【提示】 a⊥b a·b＝0.
探究2 当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
【提示】 当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；a·a＝a2＝|a|2或|a|＝.
探究3 |a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
【提示】 |a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos
θ.
两边取绝对值得：
|a·b|＝|a||b||cos
θ|≤|a||b|.
当且仅当|cos
θ|＝1，
即cos
θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”，
所以|a·b|≤|a||b|，
cos
θ＝.
已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？
【精彩点拨】 由条件计算a·b，当c⊥d时，c·d＝0列方程求解m.
【自主解答】 由已知得a·b＝3×2×cos
60°＝3.
由c⊥d，知c·d＝0，
即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)
＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2
＝27m＋3(5m－9)－60
＝42m－87
＝0，
∴m＝，即m＝时，c与d垂直.
1.已知非零向量a，b，若a⊥b，则a·b＝0，反之也成立.
2.设a与b夹角为θ，利用公式cos
θ＝可求夹角θ，求解时注意向量夹角θ的取值范围θ∈[0，π].
[再练一题]
4.若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________.
【解析】 设a与b夹角为θ，因为|a|＝3|b|，
所以|a|2＝9|b|2，
又|a|＝|a＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b
＝|a|2＋4|b|2＋4|a|·|b|·cos
θ＝13|b|2＋12|b|2cos
θ，
即9|b|2＝13|b|2＋12|b|2cos
θ，故有cos
θ＝－.
【答案】 －
1.在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则·＝( )
A.20
B.－20
C.20
D.－20
【解析】 ·＝||||cos
120°＝5×8×＝－20.
【答案】 B
2.设e1，e2是两个平行的单位向量.则下面的结果正确的是( )
A.e1·e2＝1
B.e1·e2＝－1
C.|e1·e2|＝1
D.|e1·e2|<1
【解析】 e1·e2＝|e1||e2|cos＝±1.
【答案】 C
3.在△ABC中，＝a，＝b，且b·a＝0，则△ABC是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.无法确定
【解析】 在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形.
【答案】 C
4.已知|a|＝4，e为单位向量，a在e方向上的投影为－2，则a与e的夹角为________.
【导学号：72010064】
【解析】 因为a在e方向上的投影为－2，
即|a|cos＝－2，
所以cos＝＝－，又〈a，e〉∈[0，π]，所以＝120°.
【答案】 120°
5.已知a·b＝20，|a|＝5，求b在a方向上的投影的大小.
【解】 设a，b的夹角为θ，
则b在a方向上的投影就是|b|cos
θ，
因为|a||b|cos
θ＝a·b＝20，
所以|b|cos
θ＝＝＝4，
即b在a方向上的投影是4.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(二十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为( )
A.
B.
C.3
D.2
【解析】 由数量积的几何意义知
a·b＝×3＝2，故选D.
【答案】 D
2.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝，则a与b的夹角θ为( )
【导学号：72010065】
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵|2a＋b|2＝4＋9＋4a·b＝7，∴a·b＝－，
∴cos
θ＝＝－.
又θ∈[0，π]，
∴θ＝.
【答案】 B
3.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于( )
A.－2
B.－1
C.1
D.2
【解析】 因为|e1|＝|e2|＝1
( http: / / www.21cnjy.com )，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B.
【答案】 B
4.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为( )
A.2
B.4
C.6
D.12
【解析】 ∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a|·|b|cos
60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72，
∴|a|2－2|a|－24＝0，
∴|a|＝6.
【答案】 C
5.已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为( )
A.1
B.
C.
D.
【解析】 ∵|a|＝|b|＝1，
c与a＋b同向，
∴a与c的夹角为60°.
又|a－c|＝
＝
＝，
故|a－c|的最小值取.
【答案】 D
二、填空题
6.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝1，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________.
【解析】 ∵(3a＋2b)⊥(λa－b)，
∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，
∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.
又∵|a|＝2，|b|＝1，a⊥b，
∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cos
90°－2＝0，
∴12λ－2＝0，∴λ＝.
【答案】
7.已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数m＝________.
【解析】 ∵3a＋mb＋7c＝0，∴3a＋mb＝－7c，
∴(3a＋mb)2＝(－7c)2，化简得9＋m2＋6ma·b＝49.
又a·b＝|a||b|cos
60°＝，∴m2＋3m－40＝0，
解得m＝5或m＝－8.
【答案】 5或－8
三、解答题
8.已知|a|＝4，|b|＝2.
(1)若a、b的夹角为120°，求|3a－4b|；
(2)若|a＋b|＝2，求a与b的夹角θ.
【解】 (1)a·b＝|a||b|cos
120°＝4×2×＝－4.
又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，
∴|3a－4b|＝4.
(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2a·b＋22＝(2)2，
∴a·b＝－4，∴cos
θ＝＝＝－.
又
θ∈[0，π]，∴θ＝.
9.在△ABC中，＝a，＝b，＝c，且a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状.
【解】 如图，a＋b＋c＝0.
则a＋b＝－c，
即(a＋b)2＝(－c)2，
故a2＋2a·b＋b2＝c2.①
同理，a2＋2a·c＋c2＝b2,
②
b2＋2b·c＋c2＝a2.
③
由①－②，得
b2－c2＝c2－b2，即2b2＝2c2，
故|b|＝|c|.
同理，由①－③，得|a|＝|c|.故|a|＝|b|＝|c|，
故△ABC为等边三角形.
[能力提升]
1.(2016·玉溪高一检测)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为Δ＝a2－4|a|·|b|cos
θ(θ为向量a与b夹角).
若方程有实根，则有Δ≥0即a2－4|a|·|b|cos
θ≥0，
又|a|＝2|b|，∴4|b|2－8|b|2cos
θ≥0，
∴cos
θ≤，又0≤θ≤π，
∴≤θ≤π.
【答案】 B
2.已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角.
【解】 ∵e1，e2为单位向量且夹角为60°，
∴e1·e2＝1×1×cos
60°＝.
∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－，
|a|＝＝
＝＝，
|b|＝＝
＝＝，
∴cos
θ＝＝－×＝－.
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，
∴a与b的夹角为120°.1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
1.了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算.
2.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.(重点)
[基础·初探]
教材整理1 度量角的两种单位制
阅读教材P7～P8“第17行”以上内容，完成下列问题.
1.角度制与弧度制的定义
(1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做角度制.角度制规定60分等于1度，60秒等于1分.
(2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.
2.角的弧度数的计算
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为α
rad，则α＝.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度是1度的圆心角所对的弧.( )
(2)1弧度是长度为半径的弧.( )
(3)1弧度是1度的弧与1度的角之和.( )
(4)1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.( )
【解析】 根据弧度制的定义知(4)正确.
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
教材整理2 角度制与弧度制的换算
阅读教材P8“第18行”～P9“例1”以上内容，完成下列问题.
1.角度与弧度的互化
2.一些特殊角与弧度数的对应关系
(1)把67°30′化成弧度＝________.
(2)把π
rad化成度＝________.
【解析】 (1)67°30′＝67.5°＝67.5°×rad
＝π
rad.
(2)π
rad＝×180°＝108°.
【答案】 (1)π (2)108°
教材整理3 扇形的弧长与面积公式
阅读教材P10“例4”～“例5”内容，完成下列问题.
设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则
α为度数
α为弧度数
扇形的弧长
l＝
l＝αr
扇形的面积
S＝
S＝lr＝αr2
圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为________.
【解析】 扇形的面积为×62×＝6π.
【答案】 6π
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
角度与弧度的互化与应用
(1)将下列角度与弧度进行互化.
①20°＝________；②－15°＝________；
③＝________；④－π＝________.
(2)把－157°30′化成弧度为________.
(3)在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________.(用弧度表示)
【精彩点拨】 在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住π
rad＝180°，1°＝
rad这一关系.
【自主解答】 (1)①20°＝20×＝；②－15°＝－15×＝－；③π＝π×°＝105°；④－π＝－π×°＝－396°.
(2)因为－157°30′＝－157.5°＝－×
rad
＝－π
rad.
(3)因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z).
当k＝0时，θ＝72°＝π；
当k＝1时，θ＝432°＝π；
所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有π，π.
【答案】 (1)① ②－ ③105° ④－396°
(2)－π
(3)π，π
角度制与弧度制互化的方法及注意点：
(1)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α
rad＝α·°；n°＝n·.
(2)注意点：
①以“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写.
②以“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数.
③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
[再练一题]
1.把56°15′化为弧度是( )
【导学号：72010003】
A.
B.
C.
D.
【解析】 56°15′＝56.25°＝×＝.
【答案】 D
用弧度数表示角
(1)与角π终边相同的角是( )
A.π
B.2kπ－π(k∈Z)
C.2kπ－π(k∈Z)
D.(2k＋1)π＋π(k∈Z)
(2)若α是第三象限的角，则π－是( )
A.第一或第二象限的角
B.第一或第三象限的角
C.第二或第三象限的角
D.第二或第四象限的角
【精彩点拨】 (1)可把选择
( http: / / www.21cnjy.com )题中角写成2kπ＋α，(k∈Z，α∈[0,2π))形式来判断；(2)可由α范围写出π－范围后，根据k为奇数或偶数来确定π－终边位置.
【自主解答】 (1)选项A中＝2π＋π，与角π终边相同，故A错；2kπ－π，k∈Z，当k＝1时，得[0,2π)之间的角为π，故与π有相同的终边，B错；2kπ－π，k∈Z，当k＝2时，得[0,2π)之间的角为π，与π有相同的终边，故C对；(2k＋1)π＋π，k∈Z，当k＝0时，得[0,2π)之间的角为π，故D错.
(2)因为α为第三象限的角，所以有2kπ＋π<α<2kπ＋π，k∈Z，
kπ＋<－kπ－π<－<－kπ－，k∈Z，
故－kπ＋<π－<－kπ＋，k∈Z.
当k为偶数时，π－在第一象限；
当k为奇数时，π－在第三象限，故选B.
【答案】 (1)C (2)B
1.弧度制下与角α终边相同的角的表示：
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.
2.确定角范围时，k值的取法：
在表示角或角的范围时，通常会用到k，如α＝
( http: / / www.21cnjy.com )＋2kπ(k∈Z)①，kπ－<β[再练一题]
2.用弧度表示终边落在如图1 1 6所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.
图1 1 6
【解】 因为30°＝
rad,210°＝
rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边
( http: / / www.21cnjy.com )在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为
.
[探究共研型]
弧长公式与扇形面积公式的应用
探究1 用公式|α|＝求圆心角时，应注意什么问题？
【提示】 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负.
探究2 在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？
【提示】 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错.
(1)(2016·鹤岗高一检测)设扇形的周长为8
cm，面积为4
cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)已知扇形的周长为20
cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【精彩点拨】 (1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解.
【自主解答】 (1)设扇形半径为r，弧长为l，由题意得解得
则圆心角α＝＝2
rad.
【答案】 B
(2)设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.
则l＝20－2r，∴S＝lr＝(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0＜r＜10).
∴当半径r＝5
cm时，扇形的面积最大，为25
cm2.
此时α＝＝＝2
rad.
∴当它的半径为5
cm，圆心角为2
rad时，
扇形面积最大，最大值为25
cm2.
弧度制下解决扇形相关问题的步骤：
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2和S＝lr；(这里α必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式；
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.
[再练一题]
3.已知扇形的圆心角为α，半径为r.
(1)若α＝60°，r＝10
cm，求扇形的弧长；
(2)若扇形的周长是8，面积是4，求α和r.
【解】 (1)弧长l＝|α|r＝×π×10＝(cm).
(2)由题意得
由②得ar＝，代入①并整理得r2－4r＋4＝0.
∴r＝2，α＝2.
[构建·体系]
1.正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【解析】 B中k＝1时为显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐标轴的角故C，D均错，只有A正确.
【答案】 A
2.与30°角终边相同的角的集合是( )
A.
B.{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}
C.{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}
D.
【解析】 ∵30°＝30×
rad＝
rad，
∴与30°终边相同的所有角可表示为
α＝2kπ＋，k∈Z，故选D.
【答案】 D
3.在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )
A.π
B.π
C.π
D.π
【解析】 240°＝240×
rad＝πrad，
∴弧长l＝|α|·r＝π×10＝π，选A.
【答案】 A
4.将－1
485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________.
【导学号：72010004】
【解析】 由－1
485°＝－5×360°＋315°，
所以－1
485°可以表示为－10π＋π.
【答案】 －10π＋π
5.一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数.
【解】 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α，
则2R＋l＝4.①
由扇形的面积公式S＝
lR，得lR＝1.②
由①②得R＝1，l＝2，∴α＝＝2
rad.
∴扇形的圆心角为2
rad.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.－的角是( )
A.第一象限的角
B.第二象限的角
C.第三象限的角
D.第四象限的角
【解析】 因为－＝－－4π，
所以－与－的终边相同，为第四象限的角.
【答案】 D
2.若2
rad的圆心角所对的弧长为4
cm，则这个圆心角所对的扇形面积是
( )
A.4
cm2
B.2
cm2
C.4π
cm2
D.2π
cm2
【解析】 r＝＝＝2(cm)，S＝lr＝×4×2
＝4(cm2).
【答案】 A
3.圆的半径是6
cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是( )
A.
cm2
B.
cm2
C.π
cm2
D.3π
cm2
【解析】 15°＝，则S＝|α|r2＝××62
＝(cm2).
【答案】 B
4.下列说法不正确的是( )
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的，1弧度的角是周角的
C.1
rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
【解析】 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关.
【答案】 D
5.集合中角所表示的范围(阴影部分)是( )
【解析】 k为偶数时，集合对应的区
( http: / / www.21cnjy.com )域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)，k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界).故选C.
【答案】 C
二、填空题
6.把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，α∈(0,2π)的形式是________.
【导学号：72010005】
【解析】 法一：－570°＝－rad
＝－πrad，
∴－π＝－4π＋π.
法二：－570°＝－2×360°＋150°，
∴－570°＝－4π＋π.
【答案】 －4π＋π
7.一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________弧度，扇形面积是________.
【解析】 由题意知r＝2，l＋2r＝πr，∴l＝(π－2)r，
∴圆心角α＝＝＝π－2(rad)，
扇形面积S＝lr＝×(π－2)·r·r＝2(π－2).
【答案】 π－2 2(π－2)
三、解答题
8.已知α＝2
000°.
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π)的形式；
(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π).
【解】 (1)α＝2
000°＝5×360°＋200°＝10π＋π.
(2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋π，k∈Z，
又θ∈(4π，6π)，所以k＝2时，θ＝4π＋π＝.
9.已知一个扇形的周长是40，
(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角；
(2)求扇形面积S的最大值.
【解】 (1)设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则由题意得
解得则α＝＝2(rad).
故扇形的圆心角为2
rad.
(2)由l＋2r＝40得l＝40－2r，
故S＝lr＝(40－2r)·r
＝20r－r2＝－(r－10)2＋100，
故r＝10时，扇形面积S取最大值100.
[能力提升]
1.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的( )
A.
B.2倍
C.
D.3倍
【解析】 设圆的半径为r，弧长为
( http: / / www.21cnjy.com )l，圆心角的弧度数为，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则弧度数变为＝3·，即弧度数变为原来的3倍.
【答案】 D
2.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
【解】 (1)由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
∴α＝∠AOB＝60°＝.
(2)由(1)可知α＝，r＝10，
∴弧长l＝α·r＝×10＝，
∴S扇形＝lr＝××10＝，
而S△AOB＝·AB·5＝×10×5＝，
∴S＝S扇形－S△AOB＝50.2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算.
3.会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 向量的正交分解及坐标表示
阅读教材P99～P100“例1”以上内容，完成下列问题.
一、向量的正交分解及坐标表示
1.向量的正交分解：
2.向量的直角坐标：
(1)在直角坐标系内，分别取与
( http: / / www.21cnjy.com )x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2，则对任一向量a，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a＝(a1，a2).
(2)向量的坐标：设点A的坐标为(x，y
( http: / / www.21cnjy.com ))，则＝(x，y).符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.( )
(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( )
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.( )
(4)点的坐标与向量的坐标相同.( )
【解析】 (1)错误.对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样.
(2)正确.根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标.
(3)错误.根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关.
(4)错误.当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐标.
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
教材整理2 向量的直角坐标运算
阅读教材P100～P102内容，完成下列问题.
向量的加、减法
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b
( http: / / www.21cnjy.com )2)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差
实数与向量的积
若a＝(a1，a2)，λ∈R，则λa＝(λa1，λa2)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积
向量的坐标
已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标
已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x＝________.
【解析】 易得＝(2,0)，
由a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等得
解得x＝－1.
【答案】 －1
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
平面向量的坐标表示
(1)已知＝(1,3)，且点A(－2,5)，则点B的坐标为( )
A.(1,8)
B.(－1,8)
C.(3,2)
D.(－3,2)
(2)如图2 2 14，在正方形ABC
( http: / / www.21cnjy.com )D中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________；＝________；________.
图2 2 14
(3)如图2 2 15，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求点B和点D的坐标和与的坐标.
图2 2 15
【精彩点拨】 表示出各点的坐标→用终点坐标减去起点坐标→得相应向量的坐标
【自主解答】 (1)设B的坐标为(x，y)，＝(x，y)－(－2,5)＝(x＋2，y－5)＝(1,3)，所以解得
所以点B的坐标为(－1,8).
(2)如题干图，＝－＝－(－1，－1)＝(1,1)，
由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以＝(1，－1)，
同理＝(－1,1).
【答案】 (1)B (2)(1，－1) (1,1) (－1,1)
(3)由题意知B,
D分别是30°，120°角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点.设B(x1，y1)，D(x2，y2).由三角函数的定义，
得x1＝cos
30°＝，y1＝sin
30°＝，
所以B.
x2＝cos
120°＝－，
y2＝sin
120°＝，
所以D.
所以＝，＝.
求点、向量坐标的常用方法：
(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标.
(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.
[再练一题]
1.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标.
【导学号：72010057】
【解】 如图，正三角形ABC的边长为2，
则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos
60°，2sin
60°)，
∴C(1，)，D，
∴＝(2,0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝＝.
平面向量的坐标运算
(1)设＝(2,3)，＝(m，n)，＝(－1,4)，则＝( )
A.(1＋m,7＋n)
B.(－1－m，－7－n)
C.(1－m,7－n)
D.(－1＋m
，－7＋n)
(2)已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是( )
A.
B.
C.
D.(8,1)
(3)若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求＋2，－的坐标.
【精彩点拨】 (1)可利用向量加法的三角形法则将分解为＋＋来求解.
(2)可借助＝－来求坐标.
(3)可利用＝(xB－xA，yB－yA)来求解.
【自主解答】 (1)＝＋＋
＝－－－
＝－(－1,4)－(m，n)－(2,3)
＝(－1－m，－7－n).
(2)A＝(－)
＝
＝(－8,1)＝，∴＝.
【答案】 (1)B (2)A
(3)∵＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)，
∴＋2＝(－2,10)＋2(－8,4)
＝(－2,10)＋(－16,8)
＝(－18,18)，
－＝(－8,4)－(－10,14)
＝(－8,4)－(－5,7)
＝(－3，－3).
平面向量坐标的线性运算的方法：
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
[再练一题]
2.已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
【解】 (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)
＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).
(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)
＝－＝.
[探究共研型]
向量坐标运算的综合应用
探究1 已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及＝＋t.当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
【提示】 ∵＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t).
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，
∴t＝－.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，
∴t＝－.
若点P在第二象限，则
∴－探究2 对于探究1条件不变，四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.
【提示】 ∵＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t).
若四边形OABP为平行四边形，
则＝，
∴该方程组无解.
故四边形不能成为平行四边形.
探究3 已知在非平行四边形ABCD中，AB∥
( http: / / www.21cnjy.com )DC，且A，B，D三点的坐标分别为(0,0)，(2,0)，(1,1)，则顶点C的横坐标的取值范围是什么？
图2 2 16
【提示】 当ABCD为平行四边形时，则＝＋＝(2,0)＋(1,1)＝(3,1)，故满足条件的顶点C的横坐标的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞).
已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10).若A＝A＋λA(λ∈R)，试求λ为何值时，
(1)点P在一、三象限角平分线上；
(2)点P在第三象限内.
【精彩点拨】 解答本题可先用λ表示点P的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解.
【自主解答】 设点P的坐标为(x，y)，
则A＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
A＋λ·A＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)]
＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ).
∵A＝A＋λA，
∴则
(1)若P在一、三象限角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝，
即λ＝时，点P在一、三象限角平分线上.
(2)若P在第三象限内，则∴λ<－1.
即λ<－1时，点P在第三象限内.
1.解答本题可用待定系数法，此法是最
( http: / / www.21cnjy.com )基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，此方法是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.
2.坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.
[再练一题]
3.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图2 2 17所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
图2 2 17
【解析】 以向量a的终点为原点
( http: / / www.21cnjy.com )，以过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3).由c＝λa＋
μb，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－，则＝4.
【答案】 4
[构建·体系]
1.已知点A(1，－3)，的坐标为(3,7)，则点B的坐标为( )
A.(4,4)
B.(－2,4)
C.(2,10)
D.(－2，－10)
【解析】 设点B的坐标为(x，y)，由＝(3,7)＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，得B(4,4).
【答案】 A
2.若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a－2b的坐标是( )
A.(5,3)
B.(4,3)
C.(8,3)
D.(0，－1)
【解析】 3a－2b＝3(2,1)－2(1,0)＝(4,3).
【答案】 B
3.若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝( )
A.(4,6)
B.(－4，－6)
C.(－2，－2)
D.(2,2)
【解析】 ＝＋＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6).故选A.
【答案】 A
4.已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为________.
【解析】 ＝(3，－4)，则与同方向的单位向量为＝(3，－4)＝.
【答案】
5.已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，＝3，＝2，求的坐标.
【导学号：72010058】
【解】 因为A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，所以＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)，
＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)，
所以＝3＝(3,24)，
＝2＝(12,6).
设M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)，
即解得
所以M(0,20)，同理可得N(9,2)，
所以＝(9－0,2－20)＝(9，－18).
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(十九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知A(3,1)，B(2，－1)，则的坐标是( )
A.(－2，－1)
B.(2,1)
C.(1,2)
D.(－1，－2)
【解析】 B＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2).
【答案】 C
2.(2016·威海高一检测)设向量a
( http: / / www.21cnjy.com )＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于( )
A.(1，－1)
B.(－1,1)
C.(－4,6)
D.(4，－6)
【解析】 因为4a,3b－2a，c对应有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，
故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2,4)
＝(4，－6).
【答案】 D
3.(2016·孝感高级中学期末)若a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c用a，b表示为( )
A.－a＋b
B.a－b
C.a－b
D.－a＋b
【解析】 设c＝λ1a＋λ2b(λ1、λ2∈R)，则
(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，
则∴
∴c＝a－b.故选B.
【答案】 B
4.已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A.平行于y轴
B.平行于第一、三角限的角平分线
C.平行于x轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
【解析】 a＋b＝(0,1＋x2)，故平行于y轴.
【答案】 A
5.(2016·抚顺市质检
( http: / / www.21cnjy.com ))已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，则λ的值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 如图所示，∵∠AOC＝45°，
∴设C(x，－x)，则＝(x，－x).
又∵A(－3,0)，B(0,2)，
∴λ＋(1－λ)＝(－3λ，2－2λ)，
∴ λ＝.
【答案】 C
二、填空题
6.已知点A(2,3)，B(－1,5)，且＝，则点C的坐标为________.
【解析】 因＝，即－＝(－)，所以＝＋＝(2,3)＋(－1,5)＝.
【答案】
7.已知边长为单位长度的正
( http: / / www.21cnjy.com )方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的正方向上，则向量2＋3＋的坐标为________.
【导学号：72010059】
【解析】 根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1).
∴＝(1,0)，＝(0,1)，＝(1,1)，
∴2＋3＋＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)
＝(3,4).
【答案】 (3,4)
三、解答题
8.若向量|a|＝|b|＝1，且a＋b＝(1,0)，求a与b的坐标.
【解】 设a＝(m，n)，b＝(p，q)，
则有
解得或
故所求向量为a＝，b＝，
或a＝，b＝.
9.(1)已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求，，＋，－，2＋.
(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b,3a－4b的坐标.
【解】 (1)因为A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，
所以＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)，
＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)，
＋＝(3，－1)＋(－3,2)
＝(0,1)，
－＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)，
2＋＝2(3，－1)＋(－3,2)
＝(6，－2)＋
＝.
(2)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)，
a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)，
3a－4b＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10).
[能力提升]
1.在四边形ABCD中，＝＝(1,0)，＋＝，则四边形ABCD的面积是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 为在方向上的单位向量
( http: / / www.21cnjy.com )，记为e1＝，类似地，设＝e2＝，＝e3＝，所以e1＋e2＝e3，可知四边形BNGM为菱形，且||＝||＝||，所以∠MBN＝120°，从而四边形ABCD也为菱形，||＝||＝1，所以S ABCD＝||·||·sin∠ABC＝.
【答案】 D
2.以原点O及点A(2，－2)为顶点作一个等边△AOB，求点B的坐标及向量的坐标.
【解】 因为△AOB为等边三角形，且A(2，－2)，
所以||＝||＝||＝4，
因为在0～2π范围内，以Ox为始边，
( http: / / www.21cnjy.com )OA为终边的角为，当点B在OA的上方时，以OB为终边的角为，由三角函数的定义得：＝＝(2，2).
所以＝－＝(2，2)－(2，－2)＝(0,4).
当点B在OA的下方时，以OB为终边的角为，
由三角函数的定义得：＝(0，－4)，
所以＝－＝(0，－4)－(2，－2)
＝(－2，－2).
综上所述，点B的坐标为(2，2)，的坐标为(0,4)或点B的坐标为(0，－4)，的坐标为(－2，－2).1.2.3 同角三角函数的基本关系式
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.(重点)
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.(难点)
[基础·初探]
教材整理 同角三角函数的基本关系
阅读教材P22“例1”以上内容，完成下列问题.
1.平方关系：sin2
α＋cos2
α＝1.
商数关系：＝tan_α.
2.语言叙述：同一个角α
的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立.( )
(2)对任意角α，＝tan
都成立.( )
(3)因为sin2
π＋cos2
＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角.( )
(4)对任意角α，sin
α＝cos
α·tan
α都成立.( )
【解析】 由同角三角函数的基本关系知(1)√，(3)×，由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以(2)×，(4)×.
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
应用同角三角函数关系求值
(1)若sin
α＝－，且α是第三象限角，求cos
α，tan
α的值；
(2)若cos
α＝，求tan
α的值；
(3)若tan
α＝－，求sin
α的值.
【精彩点拨】 对(1)中明确α是第三象限
( http: / / www.21cnjy.com )角，所以只有一种结果.对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论、分类求解，一般有两种结果.
【自主解答】 (1)∵sin
α＝－，α是第三象限角，
∴cos
α＝－＝－，
tan
α＝＝－×＝.
(2)∵cos
α＝>0，∴α是第一、四象限角.
当α是第一象限角时，
sin
α＝＝＝，
∴tan
α＝＝；
当α是第四象限角时，
sin
α＝－＝－＝－，
∴tan
α＝－.
(3)∵tan
α＝－<0，∴α是第二、四象限角.
由可得sin2α＝2.
当α是第二象限角时，sin
α＝；
当α是第四象限角时，sin
α＝－.
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：
(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系；
(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.
[再练一题]
1.已知sin
α＋3cos
α＝0，求sin
α，cos
α的值.
【解】 ∵sin
α＋3cos
α＝0，
∴sin
α＝－3cos
α.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cos
α)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，
∴cos
α＝±.
又由sin
α＝－3cos
α，可知sin
α与cos
α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限.
当角α的终边在第二象限时，cos
α＝－，sin
α＝；
当角α的终边在第四象限时，cos
α＝，sin
α＝－.
利用sin
α±cos
α，sin
α·cos
α之间的关系求值
已知0<α<π，sin
α＋cos
α＝，求tan
α的值.
【导学号：72010012】
【精彩点拨】 sin
α＋cos
α＝→
sin
αcos
α＝－→sin
α－cos
α＝→
sin
α＝，cos
α＝－→tan
α＝－
【自主解答】 由sin
α＋cos
α＝(1)
得sin
αcos
α＝－<0，
又∵0<α<π，∴sin
α>0，cos
α<0，则sin
α－cos
α>0，
∴sin
α－cos
α＝
＝
＝＝，(2)
由(1)(2)解得sin
α＝，cos
α＝－，
所以tan
α＝＝－.
1.sin
α＋cos
α，
( http: / / www.21cnjy.com )sin
α－cos
α，sin
αcos
α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α.
2.求sin
α＋cos
α或sin
α－cos
α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号.
[再练一题]
2.已知0<α<π，sin
α－cos
α＝，求tan
α的值.
【解】 将sin
α－c
( http: / / www.21cnjy.com )os
α＝两边平方得，1－2sin
αcos
α＝，2sin
αcos
α＝，则1＋2sin
αcos
α＝＝(sin
α＋cos
α)2，由2sin
αcos
α＝>0，可知0<α<，则sin
α＋cos
α＝，
于是
得出
所以tan
α＝.
利用tan
α求值
设tan
α＝2，求的值.
【精彩点拨】 把分子、分母化成正、余弦齐次分式后，分子、分母同除以cos2α，化tan
α求解.
【自主解答】
＝，
将上式分子、分母同除以cos2α，得
原式＝＝＝3.
这是一道在已知条件tan
α＝m的条件下
( http: / / www.21cnjy.com )，求关于sin
α，cos
α的齐次式的值的题目，解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin
α，cos
α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos
α≠0，所以可除以cos
α，这样可将被求式化为关于tan
α的表示式，然后代入tan
α＝m的值，从而完成被求式的求值.
[再练一题]
3.已知tan
α＝3，则2sin2
α＋4sin
αcos
α－9cos2
α的值为( )
A.3
B.
C.
D.
【解析】 2sin2
α＋4sin
αcos
α－9cos2
α
＝
＝，
由于tan
α＝3，原式＝＝.
【答案】 B
[探究共研型]
三角恒等式的证明
探究1 证明三角恒等式常用哪些方法？
【提示】 (1)从右证到左.
(2)从左证到右.
(3)证明左右归一.
(4)变更命题法.如：欲证明＝，则可证MQ＝NP，或证＝等.
探究2 在证明＝
sin
α＋cos
α时如何巧用“1”的代换.
【提示】 在求证＝sin
α＋cos
( http: / / www.21cnjy.com )
α时，观察等式左边有2sin
αcos
α，它和1相加应该想到“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，所以等式左边
＝
＝
＝
＝sin
α＋cos
α＝右边.
求证：(1)＝；
(2)2(sin6
θ＋cos6
θ)－3(sin4
θ＋cos4
θ)＋1＝0.
【精彩点拨】 解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较.关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧.
【自主解答】 (1)证明：左边
＝
＝
＝
＝
＝＝＝右边，
∴原等式成立.
(2)证明：左边＝2[(sin2
θ)3＋(cos2
θ)3]－3(sin4
θ＋cos4
θ)＋1
＝2(sin2
θ＋cos2
θ)(sin4
θ－sin2
θcos2
θ＋cos4
θ)
－3(sin4
θ＋cos4
θ)＋1
＝(2sin4
θ－2sin2
θcos2
θ＋2cos4
θ)－(3sin4
θ＋3cos4
θ)＋1
＝－(sin4
θ＋2sin2
θcos2
θ＋cos4
θ)＋1
＝－(sin2
θ＋cos2
θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边，
∴原等式成立.
1.证明恒等式常用的思路是：(1)从一
( http: / / www.21cnjy.com )边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法).
2.技巧感悟：朝目标奔.常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式).
3.解决此类问题要有整体代换思想.
[再练一题]
4.求证：＝.
【证明】 右边＝＝
＝
＝＝左边，
∴原等式成立.
[构建·体系]
1.如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )
A.tan
α＝－
B.cos
α＝－
C.sin
α＝－
D.tan
α＝
【解析】 由商数关系可知A，D均不正确，当α为第二象限角时，cos
α＜0，sin
α＞0，故B正确.
【答案】 B
2.已知α是第四象限角，cos
α＝，则sin
α等于( )
A.
B.－
C.
D.－
【解析】 由条件知sin
α＝－
＝－
＝－.
【答案】 B
3.已知sin
α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A.－
B.－
C.
D.
【解析】 sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)
＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.
【答案】 B
4.已知3sin
α＋cos
α＝0，则tan
α＝________.
【解析】 由题意得：3sin
α＝－cos
α≠0，
∴tan
α＝－.
【答案】 －
5.已知θ∈(0，π)，sin
θ＋cos
θ＝，求tan
θ的值.
【导学号：72010013】
【解】 将sin
θ＋cos
θ＝的两边分别平方，
得1＋2sin
θcos
θ＝1－，
即sin
θcos
θ＝－，
所以sin
θcos
θ＝
＝
＝－，
解得tan
θ＝－或tan
θ＝－.
∵θ∈(0，π)，0θ＋cos
θ＝<1，
∴θ∈，且|sin
θ|>|cos
θ|，
∴|tan
θ|>1，
即θ∈，
∴tan
θ<－1，
∴tan
θ＝－.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若sin
α＋sin2α＝1，那么cos2α＋cos4α的值等于( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 因为由sin
α＋sin2α＝1，得sin
α＝cos2α，所以cos2α＋cos4α＝sin
α＋sin2α＝1.
【答案】 B
2.若tan
α＝3，则2sin
αcos
α＝( )
A.±
B.－
C.
D.
【解析】 2sin
αcos
α＝＝＝＝.
【答案】 C
3.已知sin
θ＋cos
θ＝，则sin
θ－cos
θ＝( )
A.
B.－
C.
D.－
【解析】 由(sin
θ＋cos
( http: / / www.21cnjy.com )
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ＝，得2sin
θcos
θ＝，则(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θcos
θ＝，又由于0<θ≤，知sin
θ－cos
θ≤0，所以sin
θ－cos
θ＝－.
【答案】 B
4.若α∈[0,2π)，且有＋＝sin
α－cos
α，则角α的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为＋＝sin
α－cos
α，
所以又α∈[0,2π)，
所以α∈，故选B.
【答案】 B
5.若θ是△ABC的一个内角，且sin
θcos
θ＝－，则sin
θ－cos
θ的值为( )
A.－
B.
C.－
D.
【解析】 由题意知θ∈，所以sin
θ－cos
θ>0，sin
θ－cos
θ＝＝＝，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6.(2016·山师大附中期中)若tan
α＋＝3，则sin
αcos
α＝________，tan2
α＋＝________.
【解析】 ∵tan
α＋＝＝3，
∴sin
αcos
α＝，
又tan2
α＋＝2－2＝9－2＝7，
∴tan2
α＋＝7.
【答案】 7
7.已知sin
θ，cos
θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，则＋＝________.
【导学号：72010014】
【解析】 ＋
＝＋＝＋
＝＝sin
θ＋cos
( http: / / www.21cnjy.com )
θ，又因为sin
θ，cos
θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，所以由韦达定理得sin
θcos
θ＝，则(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ＝2，所以sin
θ＋cos
θ＝±.
【答案】 ±
三、解答题
8.已知tan
α＝，求下列各式的值：
(1)＋；
(2)；
(3)sin2
α－2sin
αcos
α＋4cos2
α.
【解】 ＋＝＋＝＋＝.
(2)＝
＝＝.
(3)sin2
α－2sin
αcos
α＋4cos2
α
＝
＝
＝＝.
9.若<α<2π，化简
＋.
【解】 ∵<α<2π，∴sin
α<0.
原式＝＋
＝
＋
＝＋
＝－－
＝－.
[能力提升]
1.已知sin
θ＝，cos
θ＝，则tan
θ＝( )
A.
B.±
C.－
D.－或－
【解析】 由sin2θ＋cos2θ＝1，
有2＋2＝1，化简得m2－8m
( http: / / www.21cnjy.com )＝0，解得m＝0或m＝8，由于θ在第二象限，所以sin
θ>0，m＝0舍去，故m＝8，sin
θ＝，cos
θ＝－，得tan
θ＝－.
【答案】 C
2.已知sin
x＋sin
y＝，
求μ＝sin
y－cos2
x的最值.
【解】 因为sin
x＋sin
y＝，
所以sin
y＝－sin
x，
则μ＝sin
y－cos2
x＝－sin
x－cos2
x
＝－sin
x－(1－sin2
x)
＝sin2
x－sin
x－
＝2－.
又因为－1≤sin
y≤1，则－1≤－sin
x≤1，结合－1≤sin
x≤1，解得－≤sin
x≤1，
故当sin
x＝－时，μmax＝，
当sin
x＝时，μmin＝－.2.4 向量的应用
2.4.1 向量在几何中的应用
2.4.2 向量在物理中的应用
1.会用向量法计算或证明平面几何和解析几何中的相关问题.(重点)
2.会用向量法解决某些简单的物理学中的问题.
[基础·初探]
教材整理1 向量在几何中的应用
阅读教材P117～P120以上内容，完成下列问题.
1.直线与向量平行的条件
(1)直线的斜率与向量的关系：
设直线l的倾斜角为α，斜率为k，A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，向量a＝(a1，a2)平行于l，可得k＝＝＝tan
α.
(2)平行条件：
如果知道直线l的斜率k＝，则向量(a1，a2)一定与该直线平行.
(3)法向量：
如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线.这个向量称为这条直线的法向量.
2.特殊向量
设直线l的一般方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与l平行.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.( )
(2)若∥，则直线AB与CD平行.( )
【解析】 (1)错误.因为△ABC为直角三角形，∠B并不一定是直角，有可能是∠A或∠C为直角.
(2)错误.向量∥时，直线AB∥CD或AB与CD重合.
【答案】 (1)× (2)×
教材整理2 向量在物理中的应用
阅读教材P121～P122以上内容，完成下列问题.
1.力向量
力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素.在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算.
2.速度向量
一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示.
已知力F
＝(2,3)作用在一物体上，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则F
对物体所做的功为________焦耳.
【解析】 由已知位移＝(－4,3)，∴力F
做的功为W＝F
·＝2×(－4)＋3×3＝1.
【答案】 1
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问4：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
向量在平面几何中的应用
如图2 4 1，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且AE与CD交于点P，求证：BP⊥DC.
图2 4 1
【精彩点拨】 先表示出图中向量对应的线段，再计算所需向量的数量积.
【自主解答】 设＝λ，并设正三角形ABC的边长为a，则有：＝－，
＝＋＝λ＋＝λ＋＝(2λ＋1)－λ.
又＝－，∥，
∴(2λ＋1)－λ
＝k－k，
于是有解得
∴＝，
∴＝＋＝＋，
从而·＝·
＝a2－a2－a2cos
60°＝0.
由向量垂直的条件知，BP⊥DC.
垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的
( http: / / www.21cnjy.com )垂直转化为向量的数量积为零，而在此过程中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量，由基底，线性表示.当然基底的选取应以能够方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知.
[再练一题]
1.如图2 4 2所示，若D是△ABC内的一点，且－＝－，求证：AD⊥BC.
图2 4 2
【证明】 设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则
a＝e＋c，b＝e＋d，
∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2
＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知a2－b2＝c2－d2，
∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.
∵＝＋＝d－c，
∴·＝e·(d－c)＝0，
∴⊥，即AD⊥BC.
向量在解析几何中的应用
过点A(－2,1)，求：
(1)与向量a＝(3,1)平行的直线方程；
(2)与向量b＝(－1,2)垂直的直线方程.
【精彩点拨】 在直线上任取一点P(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，由∥a可以得(1)，由⊥b可以得(2).
【自主解答】 设所求直线上任意一点P(x，y)，
∵A(－2,1)，∴＝(x＋2，y－1).
(1)由题意知∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，
即x－3y＋5＝0，
∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.
(2)由题意，知⊥b，
∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0，
即x－2y＋4＝0，
∴所求直线方程为x－2y＋4＝0.
1.本题求解的关键是在所求直线上任取一点P(x，y)，从而得到向量的坐标.
2.用向量方法解决解析几何问题的步骤
( http: / / www.21cnjy.com )：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题.
[再练一题]
2.已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若＝2，求点P的轨迹方程.
【导学号：72010069】
【解】 设P(x，y)，R(x0，y0)，
则＝(1,0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)，
＝(x，y)－(1,0)＝(x－1，y).
由＝2，得
又∵点R在直线l：y＝2x－6上，∴y0＝2x0－6，
∴
由①得x0＝3－2x，代入②得6－2(3－2x)＝2y，整理得y＝2x，即为点P的轨迹方程.
向量在物理中的应用
(1)一个质点受到平面上的三个力F
1，F
2，F
3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F
1，F
2成60°角且|F
1|＝2，|F
2|＝4，则|F
3|＝( )
A.6
B.2
C.2
D.2
(2)某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.
【精彩点拨】 (1)可利用F
1＋F
2＋F
3＝0分离F
3得F
3＝－F
1－F
2，平方可求|F
3|.
(2)用相关向量表示行驶速度与风速，可利用三角形法则求解.
【自主解答】 (1)因为物体处于平衡状态，
( http: / / www.21cnjy.com )所以F
1＋F
2＋F
3＝0，所以F
3＝－(F
1＋F
2)，所以|F
3|＝|F
1＋F
2|
＝
＝
＝＝2.
【答案】 D
(2)设a表示此人以每小时a千米的速度
( http: / / www.21cnjy.com )向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v－a，设＝－a，＝－2a，＝v，因为＋＝，
所以＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速，
因为＋＝，所以＝v－2a.
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.
由题意：∠PBO＝45°，
( http: / / www.21cnjy.com )PA⊥BO，BA＝AO，从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝PB＝a，即|v|＝a，所以实际风速是每小时a千米的西北风.
向量在物理中的应用：
(1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解.
(2)用向量方法解决物理问题的步骤：
①把物理问题中的相关量用向量表示；
②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；
③结果还原为物理问题.
再练一题]
3.在静水中划船速度的大小是每
( http: / / www.21cnjy.com )分钟40
m，水流速度的大小是每分钟20
m，如果一小船从岸边O处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？
【解】 如图所示，设向量
( http: / / www.21cnjy.com )的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以，为邻边作平行四边形OACB，连接OC.
依题意OC⊥OA，BC＝OA＝20，OB＝40，
∴∠BOC＝30°.
故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进.
[探究共研型]
向量的数量积在物理中的应用
探究1 向量的数量积与功有什么联系？
【提示】 物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积.
探究2 用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？
【提示】 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
①问题转化，即把物理问题转化为数学问
( http: / / www.21cnjy.com )题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中.
两个力F
1＝i＋j，F
2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量).
求(1)F
1，F
2分别对该质点做的功；
(2)F
1，F
2的合力F
对该质点做的功.
【精彩点拨】 向量数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问题转化为求向量的数量积的问题.
【自主解答】 ＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j.
(1)F
1做的功W1＝F
1·s＝F
1·
＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28
J.
F
2做的功W2＝F
2·s＝F
2·
＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23
J.
(2)F
＝F
1＋F
2＝5i－4j，
所以F
做的功W＝F
·s＝F
·＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5
J.
1.求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用向量法求解.
2.如果一个物体在力F
的作用下产生位移s，
( http: / / www.21cnjy.com )那么力F
所做的功W＝|F
||s|cos
θ，其中θ是F
与s的夹角.由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积.
[再练一题]
4.如图2 4 3所示，已知
( http: / / www.21cnjy.com )力F
与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50
N，一个质量为8
kg的木块受力F
的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20
m，则力F
和摩擦力f
所做的功分别为多少？(|g|＝10
m/s2)
图2 4 3
【解】 设木块的位移为s，则：
W＝F
·s＝|F
|·|s|cos
30°＝50×20×
＝500(J).
因为F
在竖直方向上的分力的大小为
|F
1|＝|F
|·sin
30°＝50×＝25(N)，
所以物体所受的支持力的大小为
|F
N|＝|mg|－|F
1|＝8×10－25＝55(N).
所以摩擦力的大小为
|f
|＝|μF
N|＝0.02×55＝1.1(N).
又f
与s反向，所以f
·s＝|f
|·|s|cos
180°
＝1.1×20×(－1)＝－22(J).
即F
与f
所做的功分别是500
J与－22
J.
1.过点M(2,3)，且垂直于向量u＝(2,1)的直线方程为( )
A.2x＋y－7＝0
B.2x＋y＋7＝0
C.x－2y＋4＝0
D.x－2y－4＝0
【解析】 设P(x，y)是所求直线上任一点，则⊥u，
又∵＝(x－2，y－3)，∴2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0.
【答案】 A
2.若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F
1，F
2，则|F
1＋F
2|为( )
A.
B.2
C.
D.
【解析】 由于F
1＋F
2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，
所以|F
1＋F
2|＝＝，
故选C.
【答案】 C
3.在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC为( )
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.形状无法确定
【解析】 ∵(＋)·(－)＝0，
∴2－2＝0，2＝2，∴CA＝CB，△ABC为等腰三角形.
【答案】 C
4.若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为________.
【解析】 由＝3e，＝5e，得∥，
≠，又因为ABCD为四边形，
所以AB∥DC，AB≠DC.
又||＝||，得AD＝BC，
所以四边形ABCD为等腰梯形.
【答案】 等腰梯形
5.一架飞机从A地向北偏西60°
( http: / / www.21cnjy.com )的方向飞行1
000
km到达B地，然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C两地相距2
000
km，求飞机从B地到C地的位移.
【导学号：72010070】
【解】 如图所示，
设A地在东西基线和南北基线的交点处，
则A(0,0)，B(－1
000cos
30°，1
000sin
30°)
＝(－500，500)，
C(－2
000cos
30°，－2
000sin
30°)
＝(－1
000，－1
000)，
∴＝(－500，－1
500)，
∴||＝＝1
000(km).
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(二十三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为( )
A.－1
B.1
C.2
D.－1或2
【解析】 向量(1－m,1)是直线的方向向量，所以斜率为，则＝－，解得m＝－1或m＝2.
【答案】 D
2.已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以ABCD为顶点的四边形是( )
A.梯形
B.邻边不相等的平行四边形
C.菱形
D.两组对边均不平行的四边形
【解析】 因为＝(8,0)，＝(8,0)，所以＝，因为＝(4，－3)，所以||＝5，而||＝8，故为邻边不相等的平行四边形.
【答案】 B
3.在△ABC中，若(＋＋)＝，则点G是△ABC的( )
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
【解析】 因为(＋＋)＝，所以－＋－＋－＝3，化简得＋＋＝0，故点G为三角形ABC的重心.
【答案】 D
4.在△ABC中，D为BC边的中点，已知＝a，＝b，则下列向量中与同方向的是( )
A.
B.＋
C.
D.－
【解析】 因为D为BC边的中点，则有＋＝2，所以a＋b与共线，又因为与a＋b共线，所以选项A正确.
【答案】 A
5.如图2 4 4所示，一力作用在小车上，
( http: / / www.21cnjy.com )其中力F
的大小为10
N，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F
做的功为( )
图2 4 4
A.100焦耳
B.50焦耳
C.50焦耳
D.200焦耳
【解析】 设小车位移为s，则|s|＝10米，
WF
＝F
·s＝|F
||s|·cos
60°
＝10×10×＝50(焦耳).
故选B.
【答案】 B
二、填空题
6.在边长为1的正三角形ABC中，·＋·＋·＝________.
【导学号：72010071】
【解析】 ·＋·＋·
＝·(＋)＋·
＝·－·
＝－2－||||cos
60°
＝－12－1×1×
＝－.
【答案】 －
7.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图2 4 5所示，已知物体的重力大小为10
N，则每根绳子的拉力大小是________.
图2 4 5
【解析】 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10
N.
【答案】 10
N
三、解答题
8.已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F
分别为边BC，CA，AB的中点.
(1)求直线DE，EF
，F
D的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在直线的方程.
【解】 (1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F
(2，－2).
设点M(x，y)是直线DE上的任意一点，
则∥，＝(x＋1，y－1)，
＝(－2，－2)，
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程.
同理可得直线EF
，F
D的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上的任意一点，
则⊥，·＝0，
＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)，
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求高线CH所在直线的方程.
9.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1).
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)求和夹角的余弦值；
(3)是否存在实数t满足(－t)·＝·，若存在，求t的值；若不存在，说明理由.
【解】 (1)由题意知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)，
所以|＋|＝2，|－|＝4，
故所求的两条对角线的长分别为2，4.
(2)cos∠BAC＝
＝＝，
所以和夹角的余弦值为.
(3)存在.由题设知：＝(－1，－2)，＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t).
假设存在实数t满足(－t)·
＝·，
所以(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝4，
从而5t＝－15，所以t＝－3.
[能力提升]
1.(2016·德州高一检测)点O
( http: / / www.21cnjy.com )是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若(－)·(＋)＝(－)·(＋)＝0，则点O为△ABC的( )
A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心
【解析】 因为(－)·(＋)＝0，
则(－)·(＋)＝0，
所以2－2＝0，
所以||＝||.
同理可得||＝||，
即||＝||＝||，
所以O为△ABC的外心.
【答案】 B
2.如图2 4 6，ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折起使点A与M重合，设折痕为EF
，若正方形面积为64，求△AEM的面积.
图2 4 6
【解】 如图，建立直角坐标系，显然EF
是AM的中垂线，设AM与EF
交于点N，则N是AM的中点，
又正方形边长为8，
所以M(8,4)，N(4,2).
设点E(e,0)，则＝(8,4)，＝(4,2)，＝(e,0)，＝(4－e,2)，
由⊥得·＝0，
即(8,4)·(4－e,2)＝0，解得e＝5，即||＝5，
所以S△AEM＝||||＝×5×4＝10.3.3 三角函数的积化和差与和差化积
1.能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式.(难点)
2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力.(重点)
[基础·初探]
教材整理 积化和差与和差化积公式
阅读教材P149内容，完成下列问题.
1.积化和差公式：
cos
αcos
β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
sin
αsin
β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
sin
αcos
β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
cos
αsin
β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)].
2.和差化积公式：
设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝，β＝.这样，上面的四个式子可以写成，
sin
x＋sin
y＝2sin
cos
；
sin
x－sin
y＝2cos
sin
；
cos
x＋cos
y＝2cos
cos
；
cos
x－cos
y＝－2sin
sin
.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin
AcosB.( )
(2)sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos
AsinB.( )
(3)cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cos
AcosB.( )
(4)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2cos
AcosB.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
积化和差与和差化积公式在给角求值中的应用
(1)求值：sin
20°cos
70°＋sin
10°sin
50°.
(2)求值：sin
20°sin
40°sin
60°sin
80°.
【精彩点拨】 在利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.
【自主解答】 (1)sin
20°co
( http: / / www.21cnjy.com )s
70°＋sin
10°sin
50°＝(sin
90°－sin
50°)－(cos
60°－cos
40°)
＝－sin
50°＋cos
40°
＝－sin
50°＋sin
50°＝.
(2)原式＝cos
10°cos
30°cos
50°cos
70°
＝cos
10°cos
50°cos
70°
＝
＝cos
70°＋cos
40°cos
70°
＝cos
70°＋(cos
110°＋cos
30°)
＝cos
70°＋cos
110°＋＝.
给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.
[再练一题]
1.求sin220°＋cos250°＋sin
20°·cos
50°的值.
【解】 原式＝＋＋(sin
70°－sin
30°)
＝1＋(cos
100°－cos
40°)＋sin
70°－
＝＋(－2sin
70°sin
30°)＋sin
70°
＝－sin
70°＋sin
70°＝.
积化和差与和差化积公式在给值求值中的应用
(2016·平原高一检测)已知cos
α－cos
β＝，sin
α－sin
β＝－，求sin(α＋β)的值.
【导学号：72010090】
【精彩点拨】 解答本题利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解.
【自主解答】 ∵cos
α－cos
β＝，
∴－2sinsin＝.①
又∵sin
α－sin
β＝－，
∴2cossin＝－.②
∵sin≠0，
∴由①②，得－tan＝－，即tan＝.
∴sin(α＋β)＝
＝＝＝.
http://www.21cnjy.com/
( http: / / www.21cnjy.com )
对于给值求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不满足，再对所求式化简，直到找到两者的联系为止.
[再练一题]
2.(2016·银川高一检测)已知sin
α＝－，π＜α＜π，求sin
，cos
，tan
的值.
【解】 ∵π＜α＜π，sin
α＝－，
∴cos
α＝－，且＜＜π，
∴sin
＝＝，
cos
＝－＝－，tan
＝＝－2.
[探究共研型]
三角函数公式在解决三角形问题中的应用
探究1 解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？
【提示】 注意三角形中的隐含条件的应用，如A＋B＋C＝π，a＋b>c等.
探究2 在△ABC中有哪些重要的三角关系？
【提示】
在△ABC中的三角关系：
sin(A＋B)＝sin
C，
cos(A＋B)＝－cos
C，
sin＝cos，cos＝sin，
sin(2A＋2B)＝－sin
2C，
cos(2A＋2B)＝cos
2C.
在△ABC中，求证：sin
A＋sin
B－sin
C＝4sinsincos.
【精彩点拨】 利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C＝π.
【自主解答】 左边＝sin(B＋C)＋2sin·cos
＝2sincos＋2sincos
＝2cos
＝4sinsincos＝右边，
∴原等式成立.
证明三角恒等式的基本思路是根
( http: / / www.21cnjy.com )据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.
[再练一题]
3.在△ABC中，求证：sin
A＋sin
B＋sin
C＝4cos
·cos
cos
.
【证明】 由A＋B＋C＝180°，
得C＝180°－(A＋B)，
即＝90°－，
∴cos
＝sin
.
∴sin
A＋sin
B＋sin
C
＝2sin·cos＋sin(A＋B)
＝2sin·cos＋2sin·cos
＝2sin
＝2cos
·2cos
·cos
＝4cos
cos
cos
，∴原等式成立.
[构建·体系]
1.计算sin
105°cos75°的值是( )
A.
B.
C.－
D.－
【解析】 sin
105°cos
75°＝(sin
180°＋sin
30°)＝.
【答案】 B
2.sin
75°－sin
15°的值为( )
A.
B.
C.
D.－
【解析】 sin
75°－sin
15
＝2cossin＝2××＝.
故选B.
【答案】 B
3.函数y＝sincos
x的最大值为( )
【导学号：72010091】
A.
B.
C.1
D.
【解析】 ∵y＝sincos
x
＝
＝
＝sin－.
∴取最大值.
【答案】 B
4.已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则sin
αcos
β＝________.
【解析】 sin
αcos
β＝sin(α＋β)＋sin(α－β)＝×＋×＝.
【答案】
5.化简下列各式：
(1)；
(2).
【解】 (1)原式＝
＝＝
＝tan
.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(二十九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.sin
37.5°cos
7.5°＝( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 原式＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
＝(sin
45°＋sin
30°)＝×＝.
【答案】 C
2.(2016·吉林高一检测)＝( )
A.
B.
C.2
D.4
【解析】 原式＝＝＝＝2.
【答案】 C
3.若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β等于( )
A.－
B.－
C.
D.
【解析】 ∵cos(α＋β)cos(α－β)
＝(cos
2α＋cos
2β)
＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]
＝cos2α－sin2β，
∴cos2α－sin2β＝.
【答案】 C
4.(2016·沈阳高一检测)在△ABC中，若sin
Asin
B＝cos2，则△ABC是( )
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.不等边三角形
D.直角三角形
【解析】 由sin
Asin
B＝cos2，得cos(A－B)－cos(A＋B)＝，
∴cos(A－B)＋cos
C＝＋cos
C，
即cos
(A－B)＝1，
∴A－B＝0，即A＝B.
∴△ABC是等腰三角形.
【答案】 B
5.求值：sin
20°＋sin
40°＋sin
60°－sin
80
°＝( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】 sin
20°＋sin
40°＋sin
60°－sin
80°
＝2sin
30°cos
10°＋sin
60°－sin
80°
＝2××sin
80°＋－sin
80°＝.
【答案】 C
二、填空题
6.函数y＝coscos的最大值是________.
【解析】 y＝coscos
＝
＝＝cos
4x－.
∴取最大值.
【答案】
7.直角三角形中两锐角为A和B，则sin
Asin
B的最大值为________.
【解析】 ∵A＋B＝，
sin
Asin
B＝[cos(A－B)－cos(A＋B)]
＝cos(A－B)，
又－＜A－B＜，∴0＜cos(A－B)≤1，
∴sin
Asin
B有最大值.
【答案】
8.(2016·日照高一检测)化简：sin
42°－cos
12°＋sin
54°＝________.
【导学号：72010092】
【解析】 sin
42°－cos
12°＋sin
54°
＝sin
42°－sin
78°＋sin
54°
＝－2cos
60°sin18°＋sin
54°＝sin
54°－sin
18°
＝2cos
36°sin
18°＝
＝＝
＝＝.
【答案】
三、解答题
9.(2016·济宁高一检测)已知A
( http: / / www.21cnjy.com )，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan
＋，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？并证明你的结论.
【解】 ∵A，B，C是△ABC的三个内角，
∴A＋B＋C＝π，＝－.
∴y＝tan
＋
＝tan
＋
＝tan
＋tan
＋tan
.
因此，任意交换两个角的位置，y的值不变.
10.求函数f
(x)＝sin
x的最小正周期与最值.
【解】 f
(x)＝sin
x
＝sin
x·2cossin
＝－sin
xcos
＝－
＝－sin＋.
∴最小正周期为T＝＝π.
∵sin∈[－1,1]，
∴取最大值，取最小值－.
[能力提升]
1.若sin
α＋sin
β＝(cos
β－cos
α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( )
A.－
B.－
C.
D.
【解析】 ∵α，β∈(0，π)，∴sin
α＋sin
β＞0，
∴cos
β－cos
α＞0，
∴cos
β＞cos
α，又在(0，π)上，y＝cos
x是减函数，
∴β＜α，0＜α－β＜π，由原式可知：
2sincos
＝，
∴tan＝，∴＝，∴α－β＝.
【答案】 D
2.在△ABC中，若B＝30°，则cos
Asin
C的取值范围是( )
A.[－1,1]
B.
C.
D.
【解析】 cos
Asin
C＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)，∵－1≤sin(A－C)≤1，
∴cos
Asin
C∈.
【答案】 C
3.sin220°＋cos280°＋sin
20°cos
80°＝________.
【解析】 原式＝＋＋
sin
100°－sin
60°
＝－cos
40°－cos
20°＋sin
100°
＝－×2cos
30°cos
10°＋cos
10°
＝－cos
10°＋cos
10°＝.
【答案】
4.已知3tan＝tan，求证：sin
2α＝1.
【证明】 ∵3tan＝tan，
∴＝，
∴3sincos
＝sincos，
∴＝，
∴3sin
2α－＝sin
2α＋，
∴sin
2α＝1.3.1 和角公式
3.1.1 两角和与差的余弦
1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.(难点)
2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式.
3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值.(重点)
[基础·初探]
教材整理 两角和与差的余弦公式
阅读教材P133内容，完成下列问题.
两角差的余弦公式
cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
Cα－β
两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
Cα＋β
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)α，β∈R时，cos(α－β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β.( )
(2)α，β∈R时，cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β.( )
(3)存在实数α，β，使cos(α＋β)＝cos
α－cos
β成立.( )
(4)coscos－sinsin＝cos
2α.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问4：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
利用两角和与差的余弦公式化简求值
(1)cos
345°的值等于( )
A.
B.
C.
D.－
(2)化简下列各式：
①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
②－sin
167°·sin
223°＋sin
257°·sin
313°.
【精彩点拨】 (1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和或差，然后利用两角和与差的余弦公式求解.
(2)两特殊角之和或差的余弦值，利用两角和与差的余弦公式直接展开求解.
(3)对较复杂的式子化简时应注意两角和与差余弦公式的逆用.
【自主解答】 (1)cos
345°＝cos(360°－15°)
＝cos
15°＝cos(45°－30°)
＝cos
45°cos
30°＋sin
45°sin
30°
＝.
【答案】 C
(2)①原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]
＝cos
45°＝，所以原式＝；
②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
＝sin
13°sin
43°＋sin
77°sin
47°
＝sin
13°sin
43°＋cos
13°cos
43°
＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)
＝.
1.在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体.
2.在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是：
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值.
[再练一题]
1.求下列各式的值：
(1)cos
；
(2)sin
460°sin(－160°)＋cos
560°cos(－280°)；
(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α).
【导学号：72010075】
【解】 (1)cos
＝cos＝－cos
＝－cos＝－cos
＝－
＝－＝－.
(2)原式＝－sin
100°sin
160°＋cos
200°cos
280°
＝－sin
80°sin
20°－cos
20°cos
80°
＝－(cos
80°cos
20°＋sin
80°sin
20°)
＝－cos
60°＝－.
(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)·sin(40°－α)
＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)]
＝cos
60°＝.
给值(式)求值
(1)已知cos
α＝，α∈，
则cos＝________.
(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cos
α的值.
【精彩点拨】 (1)可先求得sin
α，再用两角差的余弦公式求cos；
(2)可考虑拆角即α＝(2α＋β)－(α＋β)来求cos
α.
【自主解答】 (1)因为cos
α＝，α∈，
所以sin
α＝－，
所以cos＝cos
αcos
＋sin
αsin
＝×＋×
＝.
【答案】
(2)因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.
又因为cos(α＋β)＝，所以0<α＋β<，所以0<2α＋β<π.
又因为cos(2α＋β)＝，
所以0<2α＋β<，
所以sin(α＋β)＝，sin(2α＋β)＝，
所以cos
α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]
＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)
＝×＋×＝.
http://www.21cnjy.com/
( http: / / www.21cnjy.com )
给值求值的解题步骤：
(1)找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异.
(2)拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，
α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等.
(3)求解.结合公式Cα±β求解便可.
[再练一题]
2.已知cos
α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求cos
β的值.
【解】 ∵α，β∈，
∴α＋β∈(0，π).
又∵cos
α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin
α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝×＋×
＝.
已知三角函数值求角
已知α，β均为锐角，且cos
α＝，cos
β＝，求α－β的值.
【精彩点拨】 本题可先求出cos(α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值.
【自主解答】 ∵α，β均为锐角，cos
α＝，cos
β＝，
∴sin
α＝，sin
β＝，
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×
＝.
又sin
αβ，
∴0<α<β<，
∴－<α－β<0.
故α－β＝－.
1.这类问题的求解，关键环节有两点：
(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解.
2.确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定.
[再练一题]
3.已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值.
【解】 由α－β∈，
且cos(α－β)＝－，
得sin(α－β)＝.
由α＋β∈，
且cos(α＋β)＝，
得sin(α＋β)＝－，
cos
2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
又∵α－β∈，α＋β∈，
∴2β∈，
∴2β＝π，则β＝.
[探究共研型]
利用角的变换求三角函数值
探究1 若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos
α的值？
【提示】 cos
α＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cos
β＋sin(α＋β)sin
β.
探究2 利用α－(α－β)＝β可得cos
β等于什么？
【提示】 cos
β＝cos[α－(α－β)]＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β).
探究3 若cos
α－cos
β＝a，sin
α－sin
β＝b，则cos(α－β)等于什么？
【提示】 cos(α－β)＝.
若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos的值为( )
A.
B.－
C.
D.－
【精彩点拨】 把α＋看成α与之和，从已知条件中求出α与的正、余弦的值，然后运用和角的余弦公式，思路很流畅但运算量繁杂且大.求解此类问题的关键是：先从题设的条件与结论中寻找角的变形的目标，再利用同角三角函数的基本关系式求出正弦值、余弦值，最后利用和(差)角的余弦公式解题.
【自主解答】 ∵0<α<，－<β<0，
∴<α＋<，<－<，
又∵cos＝，cos＝，
∴sin＝，sin＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.故选C.
【答案】 C
巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角
( http: / / www.21cnjy.com ).主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：①单角变为和(差)角，如α＝(α－β)＋β，β＝－等；②倍角化为和(差)角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)等等.
[再练一题]
4.设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos
的值.
【解】 ∵α∈，β∈，
∴α－∈，－β∈，
∴sin＝＝＝，cos＝
＝＝，
∴cos
＝cos
＝coscos
＋sinsin
＝－×＋×＝.
[构建·体系]
1.cos
65°cos
35°＋sin
65°sin
35°等于( )
A.cos
100°
B.sin
100°
C.
D.
【解析】 原式＝cos(65°－35°)＝cos
30°＝.
【答案】 C
2.若a＝(cos
60°，sin
60°)，b＝(cos
15°，sin
15°)，则a·b＝( )
A.
B.
C.
D.－
【解析】 a·b＝cos
60°cos
15°＋sin
60°·sin
15°
＝cos(60°－15°)＝cos
45°＝.
【答案】 A
3.已知锐角α，β满足cos
α＝，cos(α＋β)＝－，则cos
β等于( )
A.
B.－
C.
D.－
【解析】 因为α，β为锐角，cos
α＝，cos(α＋β)＝－，
所以sin
α＝，sin(α＋β)＝，
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)·cos
α＋sin(α＋β)·sin
α
＝－×＋×
＝.故选A.
【答案】 A
4.sin
75°＝________.
【解析】 sin
75°＝cos
15°
＝cos(45°－30°)
＝cos
45°·cos
30°＋sin
45°·sin
30°
＝×＋×
＝.
【答案】
5.设α，β都是锐角，且cos
α＝，sin(α＋β)＝，求cos
β的值.
【导学号：72010076】
【解】 ∵α，β都是锐角且cos
α＝<
∴<α<，
又sin(α＋β)＝>，
∴<α＋β<π，
∴cos(α＋β)＝－＝－，
sin
α＝＝，
∴cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝－×＋×＝.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(二十四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·鞍山高一检测)cos
78°cos
18°＋sin
78°sin
18°的值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 原式＝cos(78°－18°)＝cos
60°＝.
【答案】 A
2.已知sin
α＝，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为sin
α＝，α是第二象限角
( http: / / www.21cnjy.com )，所以cos
α＝－，故cos(α－60°)＝cos
αcos
60°＋sin
αsin
60°＝×＋×＝.
【答案】 B
3.在△ABC中，若sin
Asin
BAcos
B，则△ABC一定为( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
【解析】 ∵sin
Asin
BAcosB，
∴cos
Acos
B－sin
Asin
B>0，
即cos(A＋B)>0，∴cos
C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)<0，
∴角C为钝角，
∴△ABC一定为钝角三角形.
【答案】 D
4.已知：cos(α＋β)cos
β＋sin(α＋β)sin
β＝－，且180°＜α＜270°，则tan
α等于( )
【导学号：72010077】
A.
B.－
C.
D.－
【解析】 由已知得cos[(α＋β)－
( http: / / www.21cnjy.com )β]＝－，即cos
α＝－.又180°＜α＜270°，所以sin
α＝－，所以tan
α＝＝.
【答案】 A
5.(2016·淄博高一检测)已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos
α·cos
β＝( )
A.1
B.－1
C.
D.0
【解析】 由题意得：
两式相加得：cos
α·cos
β＝0，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6.(2016·北京高一检测)sin
75°＋sin
15°的值等于________.
【解析】 原式＝cos
60°cos
15°＋sin
60°sin
15°＝cos(60°－15°)＝cos
45°＝.
【答案】
7.(2016·济南高一检测)已知cos＝，则cos
α＋sin
α的值为________.
【解析】 因为cos＝coscos
α＋
sin
sin
α＝cos
α＋sin
α＝，
所以cos
α＋sin
α＝.
【答案】
8.在△ABC中，sin
A＝，cos
B＝－，则cos(A－B)＝________.
【解析】 因为cos
B＝－，且0所以所以sin
B＝＝＝，且0所以cos
A＝＝＝，
所以cos(A－B)＝cos
Acos
B＋sin
Asin
B，
＝×＋×＝－.
【答案】 －
三、解答题
9.已知sin
α＋sin
β＋sin
γ＝0，cos
α＋cos
β＋cos
γ＝0，求证：cos(α－β)＝－.
【证明】 由sin
α＋sin
β＋sin
γ＝0，
cos
α＋cos
β＋cos
γ＝0得
(sin
α＋
sin
β)2＝(－sin
γ)2，①
(cos
α＋cos
β)2＝(－cos
γ)2.②
①＋②得，2＋2(cos
αcos
β＋sin
αsin
β)＝1，
即2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－.
10.已知：cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β<，求cos(α＋β).
【解】 因为<α<，0<β<，
所以<2α－β<π.
因为cos(2α－β)＝－，
所以<2α－β<π.
所以sin(2α－β)＝.
因为<α<，0<β<，
所以－<α－2β<.
因为sin(α－2β)＝，
所以0<α－2β<，
所以cos(α－2β)＝，
所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝×＋×＝0.
[能力提升]
1.已知sin
α＋sin
β＝，cos
α＋cos
β＝，则cos(α－β)的值为( )
A.
B.
C.
D.－
【解析】 由已知得(sin
α＋sin
β)2＝，①
(cos
α＋cos
β)2＝，②
①＋②得：2＋2sin
αsin
β＋2cos
αcos
β＝1，
∴cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝－，
即cos(α－β)＝－.
【答案】 D
2.若α，β为两个锐角，则( )
A.cos(α＋β)>cos
α＋cos
β
B.cos(α＋β)α＋cos
β
C.cos(α－β)αcos
β
D.cos(α－β)αsin
β
【解析】 cos－(cos
α＋cos
β)
＝cos
αcos
β－sin
αsin
β－cos
α－cos
β
＝cos
α(cos
β－1)－sin
αsin
β－cos
β，
因为α，β是锐角，
所以cos
β－1<0，cos
α(cos
β－1)<0，
－sin
αsin
β<0，－cos
β<0，
故cos
[α－(－β)]－(cos
α＋cos
β)<0，
即cos(α＋β)α＋cos
β.
因为cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β，
α，β均为锐角，所以cos
αcos
β>0，
sin
αsin
β>0，所以
( http: / / www.21cnjy.com )cos
(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β>cos
αcos
β，同理cos(α－β)>sin
αsin
β，故C，D错误.
【答案】 B
3.函数f
(x)＝sin
2x＋cos
2x的最小正周期是________.
【解析】 由于f
(x)＝cos
2xcos
＋sin
2xsin
＝cos，所以T＝＝π.
【答案】 π
4.已知函数f
(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f
＝－，f
＝，求cos(α＋β)的值；
(3)求f
(x)的单调递增区间.
【解】 (1)因为T＝＝10π，
所以ω＝.
(2)f
＝2cos
＝2cos＝－2sin
α＝－，
所以sin
α＝.
f
＝2cos＝2cos
β＝，
所以cos
β＝，因为α，β∈，
所以cos
α＝＝，
sin
β＝＝，
所以cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
＝×－×＝－.
(3)f
(x)＝2cos，
由2kπ－π≤＋≤2kπ，k∈Z，
得10kπ－≤x≤10kπ－，k∈Z，
所以单调递增区间为(k∈Z).2.1.2 向量的加法
1.掌握向量加法的运算，并理解其几何意义.(难点)
2.理解向量加法的三角形法则、平行四边形法则、多边形法则的适用范围，并能应用向量加法的运算律进行相关运算.(重点)
[基础·初探]
教材整理1 向量的加法法则
阅读教材P80～P82以上部分，完成下列问题.
1.三角形法则
已知向量a，b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.
图2 1 6
上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.
2.平行四边形法则
已知两个不共线向量a，b，作
( http: / / www.21cnjy.com )＝a，＝b，则A，B，D三点不共线，以，为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量＝a＋b.这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.
图2 1 7
3.多边形法则
已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量.
这个法则叫做向量求和的多边形法则.
对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为的是________.
(1)＋＋；(2)＋＋；
(3)＋＋；(4)＋＋.
【解析】 在(1)中＋＋＝＋＝；在(2)中＋＋＝＋＝；在(3)中＋＋＝＋＝；在(4)中＋＋＝＋＝＋＝.
【答案】 (3)
教材整理2 向量加法的运算律
阅读教材P81“第12行”～P82“第13行”以上部分，完成下列问题.
交换律
结合律
a＋b＝b＋a
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a＋0＝a.( )
(2)a＋b＝b＋a.( )
(3)＋＝2.( )
【解析】 根据运算律知，(1)、(2)显然正确，对于(3)，应为＋＝0.故(3)错误.
【答案】 (1)√ (2)√ (3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
向量加法运算法则的应用
(1)化简＋＋等于( )
A.
B.
C.
D.
(2)如图2 1 8所示，a＋d＝________，c＋b＝________.
图2 1 8
(3)若正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c.试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小.
【精彩点拨】 利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图.
【自主解答】 (1)由向量加法的三角形法则可得：
＋＋＝＋＝.故选B.
(2)由向量求和的三角形法则可知a＋d＝，c＋b＝.
【答案】 (1)B (2)
(3)根据平行四边形法则可知，a＋b＝＋＝.
根据三角形法则，延长AC，在AC的延长线上作＝，则a＋b＋c＝＋＝＋＝(如图所示).
所以|a＋b＋c|＝||＝2＝2.
1.向量求和的注意点：
(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用.
(2)两个向量的和向量仍是一个向量.
(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.
2.利用向量的两种加法法则作图的方法：
法则
作法
三角形法则
①把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与其前面向量的终点重合即用同一个字母来表示)②由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和
平行四边形法则
①把两个已知向量的始点平移到同一点②以这两个已知向量为邻边作平行四边形③对角线上以两向量公共始点为始点的向量就是这两个已知向量的和
[再练一题]
1.如图2 1 9所示，设O为正六边形ABCDEF
的中心，求下列向量：
图2 1 9
(1)＋；
(2)＋.
【解】 (1)由图可知，四边形OABC为平行四边形，
∴由向量加法的平行四边形法则，
得＋＝.
(2)由图可知，＝＝＝，
∴＋＝＋＝.
向量加法运算律的应用
(1)下列等式不正确的是( )
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②＋＝0；③＝＋＋.
A.②③
B.②
C.①
D.③
(2)设A，B，C，D是平面上任意四点，试化简：
①＋＋；
②＋＋＋.
【精彩点拨】 可利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法则求和.
【自主解答】 (1)由向量的加法满足结合律知①正确；因为＋＝0，故②不正确；＋＋＝＋＋＝成立，故③正确.
【答案】 B
(2)①＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
②＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝0＋0＝0.
向量加法运算律的意义和应用原则：
(1)意义：
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.
实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则：
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
[再练一题]
2.化简：(1)(＋)＋(＋)；
(2)＋(＋)＋.
【解】 (1)(＋)＋(＋)
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝.
(2)＋(＋)＋
＝＋＋＋＝0.
向量加法的实际应用
如图2 1 10所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800
km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
【导学号：72010042】
图2 1 10
【精彩点拨】 解答本题先明确飞行路程与两次位移和的含义，再解Rt△ABC，求出||和∠BAC，最后结合图形作答.
【自主解答】 设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km，从B地按南偏东55°的方向飞行800
km，则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和指的是＋＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1
600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝＝
＝800(km).
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1
600
km，两次飞行的位移和的大小为800
km，方向为北偏东80°.
向量加法的实际问题的解题步骤如下：
(1)用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量；
(2)利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和；
(3)利用直角三角形知识解决问题.
[再练一题]
3.为了调运急需物资，如图2 1
( http: / / www.21cnjy.com )11所示，一艘船从江南岸A点出发，以5
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5
km/h.
图2 1 11
(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向.(用与江水的速度方向间的夹角表示)
【解】 (1)如图所示，表示船速，表示水速.
易知AD⊥AB，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则表示船实际航行的速度.
(2)在Rt△ABC中，||＝5，||＝5，
所以||＝＝＝＝10.
因为tan∠CAB＝＝，所以∠CAB＝60°.
因此，船实际航行的速度大小为10
km/h，方向与江水的速度方向间的夹角为60°.
[探究共研型]
向量加法的多边形法则
探究1 在△ABC中，若＝a，＝b，＝c，那么a＋b＋c＝0一定成立吗？
【提示】 一定成立，因为在△ABC中，由向量加法的三角形法则＋＝，所以＋＋＝0，那么a＋b＋c＝0.
探究2 如果任意三个向量a，b，c满足条件a＋b＋c＝0，那么表示它们的有向线段是否一定构成三角形？
【提示】 若任意三个向量a，b，c满足a
( http: / / www.21cnjy.com )＋b＋c＝0，则表示它们的有向线段不一定构成三角形，因为当这三个向量为共线向量时，同样有可能满足a＋b＋c＝0，此时，表示它们的有向线段肯定不能构成三角形，所以任意三个向量a，b，c满足a＋b＋c＝0时，表示它们的有向线段不一定构成三角形.
探究3 设A1，A2，A3，…，An(n
( http: / / www.21cnjy.com )∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，＝＋＋＋…＋An－1An.当A1与An重合时，＋＋＋…＋An－1An满足什么关系？
【提示】 当A1与An重合时，有＋＋＋…＋An－1An＝0.
如图2 1 12，正六边形ABCDEF
中，＋＋＝( )
图2 1 12
A.0
B.
C.
D.
【精彩点拨】 用向量加法的运算律可以实现简化运算的目的，将＋＋变形为＋＋就可以利用向量加法的多边形法则求和向量.
【自主解答】 因为ABCDEF
是正六边形，所以BA∥DE，BA＝DE，所以＝，所以＋＋＝＋＋＝＋＋＝.
【答案】 D
三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据多边形法则作出向量的和向量.
[再练一题]
4.如图2 1 13，E，F
，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
图2 1 13
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
【解】 (1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
1.化简＋＋＋的结果等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 ＋＋＋＝＋0＝.
【答案】 B
2.下列命题中正确的个数为( )
(1)如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么(a＋b)∥a；
(2)在平行四边形ABCD中，必有＝；
(3)若＝，则A，B，C，D为平行四边形的四个顶点；
(4)若a，b均为非零向量，则|a＋b|≤|a|＋|b|.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 (1)正确；(2)在平行四边形AB
( http: / / www.21cnjy.com )CD中，BC∥AD，且BC＝AD，所以＝，正确；(3)A，B，C，D可能共线，所以错误；(4)为向量的三角不等式，所以正确.
【答案】 D
3.在四边形ABCD中，＝＋，则一定有( )
【导学号：72010043】
A.四边形ABCD是矩形
B.四边形ABCD是菱形
C.四边形ABCD是正方形
D.四边形ABCD是平行四边形
【解析】 根据题意，由于在四边形ABCD中，
＝＋.
又∵＝＋，
∴＝，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四边形ABCD一组对边平行且相等，故为平行四边形.
【答案】 D
4.若|a|＝|b|＝1，则|a＋b|的取值范围为________.
【解析】 由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知0≤|a＋b|≤2.
【答案】 [0,2]
5.已知向量a，b，c，如图2 1 14，求作a＋b＋c.
图2 1 14
【解】 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，如图，
则由向量加法的三角形法则，得
＝a＋b，＝a＋b＋c，
即为所作向量.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(十四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知a，b，c是非零向量
( http: / / www.21cnjy.com )，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的个数为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
【解析】 依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a＋b＋c相等，故选A.
【答案】 A
2.如图2 1 15所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝( )
图2 1 15
A.
B.
C.
D.
【解析】 ＋＋＝＋＋＝.
【答案】 B
3.如图2 1 16所示的方格中有定点O，P，Q，E，F
，G，H，则＋＝( )
图2 1 16
A.
B.
C.
D.
【解析】 设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a＝＋，则a与长度相等，方向相同，所以a＝.
【答案】 C
4.下列结论中，正确结论的个数为( )
【导学号：72010044】
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么
( http: / / www.21cnjy.com )a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；②在△ABC中，必有＋＋＝0；③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则a＋b的长度与a的长度加b的长度的和一定相等.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】 当a＋b＝0时，
( http: / / www.21cnjy.com )知①不正确；由向量加法的三角形法则知②正确；当A，B，C三点共线时知③不正确；当向量a与向量b方向不相同时|a＋b|≠|a|＋|b|，故④不正确.
【答案】 B
5.在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|＋|，则四边形ABCD是( )
A.菱形
B.矩形
C.正方形
D.不确定
【解析】 ∵|＋|＝||，
|＋|＝|＋|＝||，
∴||＝||，∴ ABCD是矩形.
【答案】 B
二、填空题
6.若a表示“向东走8
km”，b表示“向北走8
km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________.
【解析】 如图所示，作＝a，＝b，
则a＋b＝＋＝.
所以|a＋b|＝||
＝＝8(km)，
因为∠AOB＝45°，
所以a＋b的方向是东北方向.
【答案】 8
km 东北方向
7.(2016·济南高一检测)当非零向量a，b满足________时，a＋b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角.
【解析】 当|a|＝|b|时，以a与b为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a＋b平分此菱形的内角.
【答案】 |a|＝|b|
三、解答题
8.已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.
【解】 如图，∵||＝||＝3，
∴四边形OACB为菱形.
连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D.
∵∠AOB＝60°，∴AB＝||＝3，
∴在Rt△BDC中，CD＝，
∴||＝|a＋b|＝×2＝3.
9.如图2 1 17，已知D，E，F
分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点.求证：＋＋＝0.
图2 1 17
【证明】 由题意知：＝＋，＝＋，＝＋.
由平面几何可知，＝，＝.
∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋＋)＋(＋)
＝(＋＋＋＋)＋0
＝＋＋＝＋＋＝0，
∴＋＋＝0.
[能力提升]
1.在正六边形ABCDEF
中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 如图，∵＋＋
＝＋＋＝，
∴|＋＋|＝||＝2||
＝2||＝2.故选B.
【答案】 B
2.如图2 1 18，在重
( http: / / www.21cnjy.com )300
N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力.
图2 1 18
【解】 如图，作 OACB，
使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
则在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.
设向量，分别表示两根绳子的拉力，
则表示物体的重力，且||＝300(N)，
∴||＝||cos
30°＝150(N)，
||＝||cos
60°＝150(N).
故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150
N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150
N.第2课时 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)
1.了解正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义及各参数对图象变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等.(重点)
2.会用“图象变换法”作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 正弦型函数
阅读教材P44“例6”以上内容，完成下列问题.
1.形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数.
2.函数y＝Asin(ωx
( http: / / www.21cnjy.com )＋φ)(其中A≠0，ω＞0，x∈R)的周期T＝，频率f
＝，初相为φ，值域为[－|A|，|A|]，|A|也称为振幅，|A|的大小反映了y＝Asin(ωx＋φ)的波动幅度的大小.
已知函数y＝3sin，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是______，______，______.
【解析】 由函数y＝3sin的解析式知，振幅为3，最小正周期为T＝＝10π，初相为.
【答案】 10π 3
教材整理2 A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
阅读教材P44“例6”～P48以上内容，完成下列问题.
1.φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响：
2.ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响：
3.A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响：
4.用“变换法”作图：
y＝sin
x的图象y＝sin(x＋φ)的图象横坐标变为原来的倍,纵坐标不变y＝sin(ωx＋φ)的图象
y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)将函数y＝sin
ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象.( )
(2)要得到函数y＝sin
ωx(ω>0)的图象，只需将函数y＝sin
x图象上所有点的横坐标变为原来的ω倍.( )
(3)将函数y＝sin
x图象上各点的纵坐标变为原来的A(A>0)倍，便得到函数y＝Asin
x的图象.( )
(4)将函数y＝sin
x的图象向左平移个单位，得到函数y＝cos
x的图象.( )
【解析】 (1)×.将函数y＝sin
ωx的
( http: / / www.21cnjy.com )图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，便得到函数y＝sin[ω(x－φ)]＝sin(ωx－ωφ)的图象，而不是函数y＝sin(ωx－φ)的图象，故此说法是错误的.
(2)×.要得到函数y＝sin
ωx
( http: / / www.21cnjy.com )(ω>0)的图象，只需将函数y＝sin
x图象上所有点的横坐标变为原来的倍，而不是ω倍，故此说法是错误的.
(3)√.
(4)√.函数y＝sin
x的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin的图象，
因为y＝sin＝cos
x，故正确.
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
“五点法”作函数图象及相关问题
作出函数y＝3sin，x∈R的简图，并说明它与y＝sin
x的图象之间的关系.
【导学号：72010024】
【精彩点拨】 列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的四个基本步骤，令2x＋取0，，π，，2π即可找到五点.
【自主解答】 列表：
x
－
2x＋
0
π
2π
3sin
0
3
0
－3
0
描点画图，如图：
利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展，就得到y＝3sin，x∈R的简图.
从图可以看出，y＝3sin的图象是用下面方法得到的.
y＝sin＝sin的图象
y＝3sin的图象.
用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点.
[再练一题]
1.作出函数y＝sin在x∈上的图象.
【解】 令X＝2x－，列表如下：
X
0
π
2π
x
y
0
0
－
0
描点连线得图象如图所示.
三角函数图象之间的变换
(1)(2016·遵义高一检测)要得到y＝3sin的图象，只需将y＝3sin
2x的图象( )
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
(2)(2016·石家庄高一检测)把函数y＝
( http: / / www.21cnjy.com )sin
x的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移个单位，则所得图象的解析式为( )
A.y＝sin
B.y＝－sin
2x
C.y＝cos
2x
D.y＝sin
(3)(2016·济宁高一检测)已知函数y＝
( http: / / www.21cnjy.com )f
(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线和y＝2sin
x的图象相同，则函数y＝f
(x)的解析式为________.
【精彩点拨】 (1)可利用左右平移时“左加右减”，自变量“x”的加减来判断；
(2)可利用横坐标伸缩到(ω>0)倍时，解析式中“x”换为“ωx”；
(3)可利用纵坐标变为A(A>0)倍时，解析式中在原表达式前应乘以A.
【自主解答】 (1)y＝3sin
2x的图象
【答案】 (1)C (2)C (3)f
(x)＝－cos
2x
三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略：
(1)确定函数y＝sin
x的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.
[再练一题]
2.为了得到函数y＝sin，x∈R的图象，只需把函数y＝sin
x，x∈R的图象上所有的点：
①向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；
②向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；
③向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；
④向右平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，
其中正确的是________.
【解析】 y＝sin
xy＝sin
y＝sin.
【答案】 ③
求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
如图1 3 1所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，确定其一个函数解析式.
图1 3 1
【精彩点拨】 解答本题可由最高点、最低点确定A，再由周期确定ω，然后由图象所过的点确定φ.
【自主解答】 由图象，知A＝3，T＝π，
又图象过点A，
∴所求图象由y＝3sin
2x的图象向左平移个单位得到，
∴y＝3sin
2，即y＝3sin.
确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
[再练一题]
3.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的部分函数图象如图1 3 2所示，求此函数的解析式.
图1 3 2
【解】 由图象可知A＝2，＝－＝1，∴T＝2，
∴T＝＝2，∴ω＝π，
∴y＝2sin(πx＋φ).
代入得2sin＝2，
∴sin＝1，∵|φ|＜，∴φ＝，
∴y＝2sin.
[探究共研型]
函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性
探究1 如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程？
【提示】 与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴.
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求
( http: / / www.21cnjy.com )法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z).
探究2 如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心？
【提示】 与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点.
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称
( http: / / www.21cnjy.com )中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称.
已知函数f
(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π).
(1)若函数f
(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，求φ的值；
(2)若函数f
(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝对称，求出φ的值及f
(x)的所有的对称轴方程及对称中心的坐标.
【精彩点拨】 利用正弦函数的性质解题.
【自主解答】 (1)∵f
(x)为偶函数，φ＝kπ＋，
又φ∈(0，π)，∴φ＝.
(2)∵f
(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝对称，
∴f
(0)＝f
，即sin
φ＝sin＝cos
φ，
∴tan
φ＝1，φ＝kπ＋(k∈Z).
又φ∈(0，π)，∴φ＝，∴f
(x)＝sin.
由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
由2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)，
∴f
(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，
对称中心(k∈Z).
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质较为综合，在历年高考题中都有所体现.围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等都有考查.
2.有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质运用问题，要特别注意整体代换思想的运用.
[再练一题]
4.函数f
(x)＝3sin的图象为C，则以下结论中正确的是________.(写出所有正确结论的编号)
①图象C关于直线x＝对称；
②图象C关于点对称；
③函数f
(x)在区间内是增函数；
④由y＝3sin
2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
【解析】 f
＝3sin
＝3sin＝－.
f
＝3sin＝0，
故①错，②正确.
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，故③正确.
函数y＝3sin
2x的图象向右平移个单位，得到函数y＝3sin
2＝3sin的图象，故④错.
【答案】 ②③
1.函数y＝3sin的振幅和周期分别为( )
A.3,4
B.3，
C.，4
D.，3
【解析】 由于函数y＝3sin，∴振幅是3，周期T＝＝4.
【答案】 A
2.将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为( )
【导学号：72010025】
A.y＝sin
B.y＝sin
C.y＝sinx
D.y＝sin
【解析】 函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得y＝sin的图象，再将此图象向左平移个单位，得y＝sin＝sin的图象，选D.
【答案】 D
3.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是，初相是，则这个函数的表达式是( )
A.y＝3sin
B.y＝3sin
C.y＝3sin
D.y＝3sin
【解析】 由已知得A＝3，T＝，φ＝，ω＝＝7，所以y＝3sin.故选B.
【答案】 B
4.函数y＝2sin图象的一条对称轴是____.(填序号)
①x＝－；②x＝0；③x＝；④x＝－.
【解析】 由正弦函数对称轴可知.
x＋＝kπ＋，k∈Z，
x＝kπ＋，k∈Z，
k＝0时，x＝.
【答案】 ③
5.已知函数f
(x)＝sin(ωx＋φ
( http: / / www.21cnjy.com ))(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值.
【解】 由f
(x)是偶函数，得f
(－x)＝f
(x)，
即函数f
(x)的图象关于y轴对称，
∴f
(x)在x＝0时取得最值，
即sin
φ＝1或sin
φ＝－1.
依题设0≤φ≤π，解得φ＝.
由f
(x)的图象关于点M对称，可知
sin＝0，
∴ω＋＝kπ(k∈Z)，
解得ω＝－，k∈Z，
又f
(x)在上是单调函数，
所以T≥π，即≥π，
又ω>0，∴0<ω≤2.
∴当k＝1时，ω＝；
当k＝2时，ω＝2.
∴φ＝，ω＝2或.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.将函数y＝sin
3x的图象向左平移个单位长度，所得函数的解析式是( )
A.y＝sin
B.y＝sin
C.y＝sin
D.y＝sin
【解析】 y＝sin
3x的图象向左平移个单位长度得y＝sin
3＝sin.故选D.
【答案】 D
2.要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin
2x的图象( )
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
【解析】 y＝sin＝sin，故要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin
2x的图象向右平移个单位.
【答案】 D
3.函数y＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为( )
【导学号：72010026】
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为函数的最大值为
( http: / / www.21cnjy.com )1，最小值为－1，且在区间上单调递减，又函数值从1减小到－1，所以－＝为半周期，则周期为π，ω＝＝＝2，此时原式为y＝sin(2x＋φ)，又由函数过点，代入可得φ＝，因此函数为y＝sin，令x＝0，可得y＝.
【答案】 A
4.若函数f
(x)＝sin－1(ω>0)的周期为，则函数f
(x)图象的对称轴方程为( )
A.x＝kπ＋(k∈Z)
B.x＝kπ－(k∈Z)
C.x＝＋(k∈Z)
D.x＝－(k∈Z)
【解析】 由函数y＝sin－1的周期为
( http: / / www.21cnjy.com )，知＝，又ω>0，所以ω＝3，则对称轴方程为3x＋＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z.
【答案】 C
5.将函数f
(x)＝sin的图象分别向左、向右平移φ个单位后，所得的图象都关于y轴对称，则φ的最小值分别为( )
A.，
B.，
C.，
D.，
【解析】 函数f
(x)的图象向左平移φ
( http: / / www.21cnjy.com )个单位得到函数g(x)＝sin的图象，向右平移φ个单位得函数h(x)＝sin的图象，于是，2φ＋＝＋kπ，k∈Z，－2φ＋＝＋kπ，k∈Z，于是φ的最小值分别为，.故选A.
【答案】 A
二、填空题
6.(2016·梅州质检)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)的图象如图1 3 3所示，则φ＝________.
图1 3 3
【解析】 由题意得＝2π－π，
∴T＝π，ω＝.
又由x＝π时y＝－1得－1＝sin，
－<π＋φ<π，
∴π＋φ＝π，
∴φ＝π.
【答案】 π
7.若g(x)＝2sin＋a在上的最大值与最小值之和为7，则a＝________.
【解析】 当0≤x≤时，≤2x＋≤，≤sin≤1，所以1＋a≤2sin＋a≤2＋a，由1＋a＋2＋a＝7，得a＝2.
【答案】 2
三、解答题
8.(2016·济宁高一检测)函数y
( http: / / www.21cnjy.com )＝Asin(ωx＋φ)在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，最大值为3；当x＝6π时，最小值为－3.
(1)求此函数的解析式；
(2)求此函数的单调递增区间.
【解】 (1)由题意得A＝3，T＝5π，所以T＝10π，所以ω＝＝，
则y＝3sin.
因为点(π，3)在此函数图象上，
则3sin＝3.
又因0≤φ≤，有φ＝－＝，
所以y＝3sin.
(2)当－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
即－4π＋10kπ≤x≤π＋10kπ，k∈Z时，
函数y＝3sin单调递增.
所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10kπ，π＋10kπ](k∈Z).
9.已知函数f
(x)＝2sin，x∈R.
(1)写出函数f
(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；
(2)求函数f
(x)在区间上的最大值和最小值.
【解】 (1)由2x－＝kπ＋，k∈Z，解得f
(x)的对称轴方程是x＝＋π，k∈Z；由2x－＝kπ，k∈Z解得对称中心是，k∈Z；由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z解得单调递增区间是，k∈Z；由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得单调递减区间是，k∈Z.
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，
∴当2x－＝－，即x＝0时，f
(x)取最小值为－1；
当2x－＝，即x＝时，f
(x)取最大值为2.
[能力提升]
1.为了得到函数y＝cos的图象，可以将函数y＝sin
2x的图象( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
【解析】 y＝cos
＝sin
＝sin
＝－sin
＝sin
＝sin，
故C项正确.
【答案】 C
2.已知方程2sin＋2a－1＝0在[0，π]上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________.
【解析】 由2sin＋2a－1＝0，
得2sin＝1－2a，所以原题等价于函数
( http: / / www.21cnjy.com )y＝2sin的图象与函数y＝1－2a的图象在[0，π]上有两个交点，如图，所以≤1－2a<2，解得a∈.
【答案】
3.(2016·苏州高一检测)已知定义在
( http: / / www.21cnjy.com )区间上的函数f
(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ≤π)的图象关于直线x＝－对称，当x∈时，f
(x)的图象如图1 3 4所示.
图1 3 4
(1)求f
(x)在上的解析式；
(2)求方程f
(x)＝的解.
【解】 (1)由图知：A＝1，
T＝4＝2π，则ω＝＝1，
在x∈时，将代入f
(x)得，
f
＝sin＝1，因为0<φ≤π，
所以φ＝，所以在x∈时，f
(x)＝sin.
同理在x∈时，f
(x)＝sin.
综上，f
(x)＝
(2)由f
(x)＝在区间内可得x1＝，x2＝－.
因为y＝f
(x)关于x＝－对称，
有x3＝－，x4＝－.
则f
(x)＝的解为－，－，－，.第2课时 诱导公式(三)、(四)
1.掌握诱导公式，能正确运用这些公式求任意角的三角函数值.
2.能运用诱导公式进行简单的三角函数的化简与恒等式的证明.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 诱导公式三
阅读教材P28～P29“例3”以上部分，完成下列问题.
1.角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系：
(三).
2.角α＋nπ的三角函数值：
sin(α＋nπ)＝
cos(α＋nπ)＝
tan(α＋nπ)＝tan_α，n∈Z.
sin
585°的值为( )
A.－
B.
C.－
D.
【解析】 sin
585°＝sin(360°＋180°＋45°)
＝－sin
45°＝－.故选A.
【答案】 A
教材整理2 诱导公式四
阅读教材P31～P32“例6”以上部分，完成下列问题.
α与α＋的三角函数间的关系：
(四).
以－α替代α可得另一组公式：
cos＝sin_α，
sin＝cos_α.
已知sin
40°＝a，则cos
130°＝( )
A.a
B.－a
C.
D.－
【解析】 cos
130°＝cos(90°＋40°)＝－sin
40°＝－a.
【答案】 B
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
给角求值问题
(1)求下列各三角函数值.
①sin；②cos
π；
(2)求sin·cos(n∈Z)的值.
【精彩点拨】 (1)直接利用诱导公式求解，注意公式的灵活选择；
(2)分n为奇数、偶数两种情况讨论.
【自主解答】 (1)①sin
＝－sin
＝－sin＝－sin
＝－sin＝sin
＝.
②cos
π＝cos＝cos
＝cos＝－cos
＝－.
(2)①当n为奇数时，
原式＝sin
·＝sin·
＝sin
·cos
＝×＝；
②当n为偶数时，原式＝sin
π·cos
π
＝sin·cos
＝sin
·
＝×＝－.
1.已知角求值的问题主要是利用诱导公式
( http: / / www.21cnjy.com )把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，同时，准确记忆特殊角的三角函数值.
2.凡涉及参数n的三角函数求值问题.由于n为
( http: / / www.21cnjy.com )奇数、偶数时，三角函数值有所不同，故考虑对n进行分类讨论.其次，熟记诱导公式，熟悉各诱导公式的作用也是解题的关键.
[再练一题]
1.求下列各三角函数值.
(1)tan(－855°)；(2)sin
π；
(3)cos·sin(n∈Z).
【导学号：72010018】
【解】 (1)tan(－8
( http: / / www.21cnjy.com )55°)＝－tan
855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan
135°＝－tan(180°－45°)＝tan
45°＝1.
(2)sin
π＝sin＝sin
π
＝sin
＝cos
＝.
(3)①当n为奇数时，原式＝cos
·
＝cos·
＝·sin
＝－×＝－.
②当n为偶数时，原式＝cos
·sin
＝cos·sin
＝·
＝×＝.
给值(式)求值问题
已知cos(π＋α)＝－，求cos的值.
【精彩点拨】 由已知求cos
α的值→
讨论α所在的象限→根据诱导公式求cos的值
【自主解答】 ∵cos(π＋α)＝－cos
α＝－，
∴cos
α＝，∴α为第一或第四象限角.
①若α为第一象限角，
则cos＝－sin
α＝－
＝－＝－.
②若α为第四象限角，
则cos＝－sin
α＝
＝＝.
1.已知一个角的某种三角函数值，求这个角的其他三角函数值，若给定具体数值，但未指定角α的取值范围，就要进行讨论.
2.常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等.
3.常见的互补关系有：＋θ与－θ；＋θ与－θ等.
[再练一题]
2.若cos
165°＝a，则tan
195°＝( )
A.
B.－
C.
D.
【解析】 cos
165°＝cos(180°－15°)
＝－cos
15°＝a，
故cos
15°＝－a(a<0)，
得sin
15°＝，
tan
195°＝tan(180°＋15°)
＝tan
15°＝.
【答案】 B
利用诱导公式证明三角恒等式
求证：＝－tan
α.
【精彩点拨】 观察被证式两端，左繁右简，可以从左端入手，利用诱导公式进行化简，逐步地推向右边.
【自主解答】 原式左边＝
＝＝－
＝－tan
α＝右边，
原式得证.
关于三角恒等式的证明，常用方法：
(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简.
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子.无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异.
[再练一题]
3.已知tan(7π＋α)＝2，
求证＝2.
【证明】 ∵tan(7π＋α)＝2，∴tan
α＝2，
∴＝＝＝＝2.
[探究共研型]
诱导公式中的分类讨论思想
探究1 利用诱导公式能否直接写出sin(kπ＋α)的值？
【提示】 不能.因为k是奇数还是偶数不确定.
当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin
α；
当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin
α.
探究2 如何化简tan呢？
【提示】 当k为奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，
tan＝tan＝＝＝；
当k为偶数时，即k＝2n(n∈Z)，
tan＝tan
α.
综上，tan＝
设k为整数，化简：
.
【精彩点拨】 本题主要考查
( http: / / www.21cnjy.com )分类讨论的思想以及诱导公式.常用的解决方法有两种：①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法.
【自主解答】 由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ
( http: / / www.21cnjy.com )，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)，
所以原式＝＝－1.
由于k∈Z的任意性，对于不同的k值，可能导致不同的结果，因而要加以分类讨论，正确的思维就是分为奇数与偶数加以分析.
[再练一题]
4.化简(n∈Z)的结果为________.
【解析】 (1)当n＝2k(k∈Z)时，
原式＝＝
＝－sin
α.
(2)当n＝2k＋1(k∈Z)时，
原式＝
＝＝sin
α.
所以化简所得的结果为(－1)n＋1sin
α.
【答案】 (－1)n＋1sin
α
[构建·体系]
1.下列各式不正确的是( )
A.sin(α＋180°)＝－sin
α
B.cos(－α＋β)＝－cos(α－β)
C.sin(－α－360°)＝－sin
α
D.cos(－α－β)＝cos(α＋β)
【解析】 cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B项错误.
【答案】 B
2.(2016·梅州抽检)sin
600°的值为( )
A.
B.－
C.
D.－
【解析】 sin
600°＝sin(720°－120°)＝－sin
120°
＝－sin(180°－60°)＝－sin
60°＝－.故选D.
【答案】 D
3.cos
1
030°＝( )
A.cos
50°
B.－cos
50°
C.sin
50°
D.－sin
50°
【解析】 cos
1
030°＝cos(3×360°－50°)
＝cos(－50°)＝cos
50°.
【答案】 A
4.若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三角限角
D.第四象限角
【解析】 由于sin＝cos
θ<0，
cos＝sin
θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
【答案】 B
5.已知sin
φ＝，求cos＋sin(3π－φ)的值.
【导学号：72010019】
【解】 ∵sin
φ＝，
∴cos＝cos
＝cos＝cos＝sin
φ＝，
∴cos＋sin(3π－φ)
＝＋sin(π－φ)
＝＋sin
φ＝.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.设sin
160°＝a，则cos
340°的值是( )
A.1－a2
B.
C.－
D.±
【解析】 因为sin
160°＝a，所以s
( http: / / www.21cnjy.com )in(180°－20°)＝sin
20°＝a，而cos
340°＝cos(360°－20°)＝cos
20°＝.
【答案】 B
2.已知α∈，tan
α＝－，则sin(α＋π)＝( )
A.
B.－
C.
D.－
【解析】 因为sin(α＋π)＝－sin
α，且tan
α＝－，α∈，所以sin
α＝，则sin(α＋π)＝－.
【答案】 B
3.已知sin＝，则cos＝( )
A.－
B.
C.
D.－
【解析】 cos＝cos
＝－sin＝－.故选A.
【答案】 A
4.设tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
A.
B.
C.－1
D.1
【解析】 由tan(5π＋α)＝m，得tan
α＝m，
所以＝
＝＝＝.
【答案】 A
5.若f
(cos
x)＝cos
2x，则f
(sin
15°)的值为( )
A.－
B.
C.－
D.
【解析】 因为f
(sin
15°)＝f
(cos
75°)＝cos
150°＝－.
【答案】 A
二、填空题
6.若a＝tan，b＝tanπ，则a，b的大小关系是________.
【解析】 a＝tan＝tan
＝tanπ
＝－tan，
b＝tanπ＝tan＝tanπ
＝tan＝－tan，
∵0<<<，
∴tan∴a>b.
【答案】 a>b
7.(2016·徐州高一检测)已知tan(3π＋α)＝2，则
＝________.
【解析】 由tan(3π＋α)＝2，得tan
α＝2，
则原式＝
＝
＝
＝＝＝2.
【答案】 2
三、解答题
8.求sin(－1
200°)·cos
1
290°＋cos(－1
020°)·sin(－1
050°)＋tan
945°的值.
【导学号：72010020】
【解】 原式＝－sin(3×360°＋12
( http: / / www.21cnjy.com )0°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)
＝－sin(180°－60°)·cos(1
( http: / / www.21cnjy.com )80°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)
＝sin
60°cos
30°＋cos
60°sin
30°＋tan
45°
＝×＋×＋1＝2.
9.已知f
(α)
＝.
(1)化简f
(α)；
(2)若f
＝－，且α是第二象限角，求tan
α.
【解】 (1)f
(α)＝
＝＝sin
α.
(2)由sin＝－，得cos
α＝－，
又α是第二象限角，所以sin
α＝＝，
则tan
α＝＝－.
[能力提升]
1.若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(6π－α)的值为( )
A.－m
B.－m
C.m
D.m
【解析】 ∵sin(π＋α)＋cos＝－m，
即－sin
α－sin
α＝－2sin
α＝－m，
从而sin
α＝，
∴cos＋2sin
(6π－α)
＝－sin
α－2sin
α＝－3sin
α
＝－m.
【答案】 B
2.计算：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )
A.89
B.90
C.
D.45
【解析】 原式＝sin21°＋sin
( http: / / www.21cnjy.com )22°＋sin23°＋…sin244°＋sin245°＋sin2(90°－44°)＋…＋sin2(90°－3°)＋sin2(90°－2°)＋sin2(90°－1°)
＝sin21°＋sin22°＋sin
( http: / / www.21cnjy.com )23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°
＝(sin21°＋cos2
( http: / / www.21cnjy.com )1°)＋(sin22°＋cos22°)＋(sin23°＋cos23°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°
＝44＋＝.
【答案】 C
3.已知α为锐角，且2tan(π－α)
( http: / / www.21cnjy.com )－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin
α的值是________.
【解析】 由条件知
解得tan
α＝3，又α为锐角，tan
α＝＝＝3，解得sin
α＝.
【答案】
4.(2016·济宁高一检测)已知sin
θ，cos
θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根.
(1)求cos＋sin的值.
(2)求tan(π－θ)－的值.
【解】 由已知原方程判别式Δ≥0，
即(－a)2－4a≥0，则a≥4或a≤0.
又
(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ，
即a2－2a－1＝0，
所以a＝1－或a＝1＋(舍去).
则sin
θ＋cos
θ＝sin
θcos
θ＝1－.
(1)cos＋sin＝sin
θ＋cos
θ＝1－.
(2)tan(π－θ)－＝－tan
θ－
＝－＝－
＝－＝－＝＋1.1.2 任意角的三角函数
1.2.1 三角函数的定义
1.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解任意角余切、正割、余割的定义.(难点)
2.会根据三角函数的定义来求正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域，并知道三角函数在各象限内的符号.(重点)
[基础·初探]
教材整理1 任意角的三角函数
阅读教材P14～P15，完成下列问题.
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝＞0).
三角函数
定义
定义域
名称
sin
α
R
正弦
cos
α
R
余弦
tan
α
正切
sec
α
正割
csc
α
{α|α≠kπ，k∈Z}
余割
cot
α
{α|α≠kπ，k∈Z}
余切
若角α的终边上有一点P(3,4)，则sin
α＋cos
α＝________.
【解析】 由三角函数定义知，sin
α＝，cos
α＝，
∴sin
α＋cos
α＝.
【答案】
教材整理2 三角函数在各象限的符号
阅读教材P16“例2”以下～P17“例3”以上部分，完成下列问题.
图1 2 1
口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
已知cos
θ·tan
θ<0，那么角θ是________象限角.
【解析】 ∵cos
θ·tan
θ<0，∴sin
θ<0.
故由象限角知识可知θ在第三或第四象限.
【答案】 第三或第四
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问4：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问5：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
任意角三角函数的定义及应用
(1)(2016·温州高一检测)若sin
α＝，cos
α＝－，则在角α终边上的点有( )
A.(－4,3)
B.(3，－4)
C.(4，－3)
D.(－3,4)
(2)若α＝－，则sin
α＝________，cos
α＝________，tan
α＝________.
(3)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin
α＋cos
α＝________.
【精彩点拨】 准确理解任意角三角函数的定义是解题的关键.
【自主解答】 (1)由sin
α，cos
α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A.
(2)因为角－的终边与单位圆交于P，
所以sin
α＝－，cos
α＝，
tan
α＝－.
(3)因为r＝
＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限.
sin
α＝＝＝，cos
α＝＝＝－，
所以2sin
α＋cos
α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sin
α＝＝－，cos
α＝＝，
所以2sin
α＋cos
α＝－＋＝－1.
【答案】 (1)A (2)－ － (3)1或－1
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值；
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点
( http: / / www.21cnjy.com )的距离为r(r>0)，则sin
α＝，cos
α＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论.
[再练一题]
1.设函数f
(θ)＝sin
θ＋
( http: / / www.21cnjy.com )cos
θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.若点P的坐标为，求f
(θ)的值.
【解】 由点P的坐标为和三角函数定义得sin
θ＝，cos
θ＝，
所以f
(θ)＝sin
θ＋cos
θ＝×＋＝2.
三角函数符号的判断
判断下列各式的符号.
(1)sin
2
015°cos
2
016°tan
2
017°；
(2)tan
191°－cos
191°；
(3)sin
2cos
3tan
4.
【导学号：72010006】
【精彩点拨】 角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号.
【自主解答】 (1)∵2
015°＝5×360°＋215°，
2
016°＝5×360°＋216°，2
017°＝5×360°＋217°，
∴它们都是第三象限角，
∴sin
2
015°<0，cos
2
016°<0，tan
2
017°>0，
∴sin
2
015°cos
2
016°tan
2
017°>0.
(2)∵191°角是第三象限角，
∴tan
191°>0，cos
191°<0，
∴tan
191°－cos
191°>0.
(3)∵<2<π，<3<π，π<4<，
∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，
∴sin
2>0，cos
3<0，tan
4>0，
∴sin
2cos
3tan
4<0.
判断三角函数值在各象限的符号的方法：
(1)依据口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”判断.
(2)记住正弦、余弦函数值的正负规律：
[再练一题]
2.(1)已知点P(tan
α，cos
α)在第四象限，则角α终边在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)下列各式：
①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④cos
π，其中符号为负的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】 (1)因为点P在第四象限，
所以有
由此可判断角α终边在第三象限.
(2)－100°在第三象
( http: / / www.21cnjy.com )限，故sin
(－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0；－10在第二象限，故tan(－10)<0；cosπ＝－1<0.
【答案】 (1)C (2)D
[探究共研型]
三角函数的定义域
探究1 正切函数tan
α的定义域为何不是R
【提示】 根据正切函数的定义tan
α＝，当α的终边在y轴上，即α＝kπ＋(k∈Z)时，x＝0，正切函数无意义，故正切函数的定义域为
.
探究2 怎样解决与三角函数有关的定义域问题？
【提示】 解决与三角函数有关的定义域问题要注意以下几种情况：
(1)分母不为零，(2)偶次根号下大于等于零，(3)在真数位置时大于零，(4)在底数位置时大于零且不等于1.
求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝＋.
【精彩点拨】 (1)在保证正切函数有意义的前提下满足分式的分母不等于0；(2)由根式下代数式大于等于0，列出不等式组求交集.
【自主解答】 (1)要使函数有意义，须tan
x≠0，所以x≠kπ＋，k∈Z且x≠kπ，k∈Z，所以x≠，k∈Z.
于是函数的定义域是
.
(2)要使函数有意义，须
得
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
所以函数的定义域是
.
函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量x的取值范围，注意求解结果应用区间或集合表示.
[再练一题]
3.(2016·潍坊高一检测)求函数y＝＋的定义域.
【解】 由题意知
由y＝16－x2的图象解得16－x2≥0的解集为[－4,4].
由三角函数线解得sin
x≥0的解集为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.
结合数轴知函数定义域为[－4，－π]∪[0，π].
1.已知角α终边经过P，则cos
α等于( )
A.
B.
C.
D.±
【解析】 由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos
α＝.
【答案】 B
2.已知角α终边过点P(1，－1)，则tan
α的值为( )
A.1
B.－1
C.
D.－
【解析】 由三角函数定义知tan
α＝＝－1.
【答案】 B
3.sin
1·cos
2·tan
3的值是( )
A.正数
B.负数
C.0
D.不存在
【解析】 ∵0<1<，<2<π，<3<π，∴sin
1>0，cos
2<0，tan
3<0，∴sin
1·cos
2·tan
3>0.
【答案】 A
4.如果sin
x＝|sin
x|，那么角x的取值集合是________.
【解析】 ∵sin
x＝|sin
x|，
∴sin
x≥0，
∴2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
【答案】
5.若角α的终边在直线y＝3x上，且sin
α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，求m－n的值.
【导学号：72010007】
【解】 ∵角α的终边在直线y＝3x上，且sin
α<0，∴α是第三象限角，∴m<0，n<0.∵P在直线y＝3x上，∴n＝3m.①
∵|OP|＝，∴m2＋n2＝10.②
解①②组成的方程组得m＝－1，n＝－3或m＝1，n＝3(舍去).
∴m－n＝－1－(－3)＝2.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列三角函数判断错误的是( )
A.sin
165°>0
B.cos
280°>0
C.tan
170°>0
D.tan
310°<0
【解析】 ∵90°<165°<180°，∴sin
165°>0；
又270°<280°<360°，∴cos
280°>0；
又90°<170°<180°，∴tan
170°<0；
又270°<310°<360°，∴tan
310°<0，故选C.
【答案】 C
2.已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|＝r，则点P坐标为( )
A.P(sin
α，cos
α)
B.P(cos
α，sin
α)
C.P(rsin
α，rcos
α)
D.P(rcos
α，rsin
α)
【解析】 设P(x，y)，则sin
( http: / / www.21cnjy.com )α＝，∴y＝rsin
α，又cos
α＝，x＝rcos
α，∴P(rcos
α，rsin
α)，故选D.
【答案】 D
3.角α的终边上有一点(－a,2a)(a<0)，则sin
α的值为( )
A.－
B.
C.
D.－
【解析】 因为a<0，所以sin
α＝＝＝－.
【答案】 D
4.若θ是第二象限角，则( )
A.sin
>0
B.cos
<0
C.tan
>0
D.以上均不对
【解析】 ∵θ是第二象限角，∴2kπ＋<θ<2kπ＋π，∴kπ＋<>0.
【答案】 C
5.使得lg(cos
αtan
α)有意义的角α是( )
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
【解析】 要使原式有意义，必须cos
αtan
α>0，即需cos
α，tan
α同号，所以α是第一或第二象限角.
【答案】 A
二、填空题
6.设α为第二象限角，则点P(cos
α，sin
α)在第________象限.
【解析】 ∵α为第二象限角，∴cos
α<0，sin
α>0.
【答案】 二
7.(2016·镇江高一检测)已知角α
( http: / / www.21cnjy.com )的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos
α≤0，sin
α＞0，则实数a的取值范围是________.
【解析】 由得
解得－2＜a≤3.
【答案】 －2＜a≤3
8.若角α终边经过点P(－，y)，且sin
α＝y(y≠0)，则cos
α＝________.
【导学号：72010008】
【解析】 ∵过点P(－，y)，∴sin
α＝＝y.
又y≠0，∴＝，
∴|OP|＝＝＝＝r，
∴cos
α＝＝＝－.
【答案】 －
三、解答题
9.已知角α的终边经过点P(1，)，
(1)求sin
α＋cos
α的值；
(2)写出角α的集合S.
【解】 (1)由点P的坐标知，r＝|OP|＝2，x＝1，y＝，
∴sin
α＝，cos
α＝，
∴sin
α＋cos
α＝.
(2)由(1)知，在0～2π内满足条件的角α＝，
∴角α的集合S＝.
10.在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin
α－3cos
α＋tan
α的值.
【解】 ①当α的终边在第二象限时，取终边上的点P(－4，3)，OP＝5，
sin
α＝，cos
α＝＝－，tan
α＝＝－，
所以sin
α－3cos
α＋tan
α＝＋－＝.
②当α的终边在第四象限时，取终边上的点P(4，－3)，OP＝5，
sin
α＝－，cos
α＝，tan
α＝＝－，
所以sin
α－3cos
α＋tan
α＝－－－＝－.
[能力提升]
1.(2016·承德一中高一测试)若θ是第三象限角，且cos
<0，则是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【解析】 由θ为第三象限角，知2kπ＋π
( http: / / www.21cnjy.com )<θ<2kπ＋π，∴kπ＋<<0，∴为第二象限角.
【答案】 B
2.如果α的终点过点P，则sin
α的值等于( )
A.
B.－
C.－
D.－
【解析】 ∵2sin
＝1，－2cos
＝－，
∴r＝＝2，∴sin
α＝－.
【答案】 C
3.函数y＝＋＋的值域是________.
【解析】 由题意知x不是终边在坐标轴上角，则有：
x为第一象限角时：y＝＋＋＝3；
x为第二象限角时：y＝＋＋＝－1；
x为第三象限角时：y＝＋＋＝－1；
x为第四象限角时：y＝＋＋＝－1；
综上知此函数值域为{－1,3}.
【答案】 {－1,3}
4.判断下列各式的符号：
(1)sin
340°cos
265°；
(2)sin
4tan；
(3)(θ为第二象限角).
【解】 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin
340°<0，cos
265°<0，
∴sin
340°cos
265°>0.
(2)∵π<4<，∴4是第三象限角，
∵－＝－6π＋，
∴－是第一象限角.
∴sin
4<0，tan>0，
∴sin
4tan<0.
(3)∵θ为第二象限角，
∴0θ<1<，－<－1θ<0，
∴sin(cos
θ)<0，cos(sin
θ)>0，
∴<0.1.2.4 诱导公式
第1课时 诱导公式(一)、(二)
1.掌握诱导公式一、二，并会用公式求任意角的三角函数值.
2.会用诱导公式一、二进行简单的三角求值化简与恒等式的证明.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 诱导公式一
阅读教材P26“例1”以上内容，完成下列问题.
角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系：
(一).
已知tan
α＝3，则tan(α＋4π)的值为________.
【解析】 因为tan
α＝3，所以tan(α＋4π)＝tan
α＝3.
【答案】 3
教材整理2 诱导公式二
阅读教材P26“例1”以下部分，完成下列问题.
角α与－α的三角函数间的关系：
(二).
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角的同一个三角函数值相等.( )
(2)利用诱导公式二可以把负角的三角函数化为正角的三角函数.( )
(3)tan(－1)＝tan
1.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
利用诱导公式求值
计算：
(1)sin·tan
π－cos
π·tan；
(2)sin＋cosπ·tan
4π；
(3)cosπ＋tan；
(4)cossin＋sincos.
【精彩点拨】 先化负角为正角，再将大于360°的角化为0°到360°内的角，进而利用诱导公式求得结果.
【自主解答】 (1)原式＝·tan－cos·tan
＝－sin·tan
－cos
·tan
＝－××－×(－1)＝0.
(2)原式＝－sinπ＋cosπ·tan
0
＝－sin＋0
＝－sin＝－.
(3)原式＝cos－tanπ
＝cos－tan
＝－tan
＝－1
＝－.
(4)原式＝cossin＋sin·cos
＝cossin
＋sin
cos
＝cos
·sin
＋sin
cos
＝×＋×
＝＋.
1.解决本类问题的一般规律是：先用公式二将负角的三角函数值化为正角的三角函数值，再用公式一将其转化为[0,2π)内角的三角函数值.
2.求值问题要用到0～2π上特殊角的三角函数值来表达结果，一定要把特殊角的三角函数值记牢.
[再练一题]
1.计算：
(1)sin(－1
320°)cos(1
110°)＋cos(－1
020°)·sin
750°；
(2)cos＋tan.
【导学号：72010015】
【解】 (1)原式＝sin(－4×360°
( http: / / www.21cnjy.com )＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin
120°cos
30°＋cos
60°sin
30°
＝×＋×＝1.
(2)原式＝
cos＋tan
＝cos＋tan＝＋1＝.
利用诱导公式化简
化简：.
【精彩点拨】 由于本例含有根式且所给角度不一样，化简时应用诱导公式尽可能将角统一，去根号时还应注意三角函数的正负.
【自主解答】 原式＝
＝＝
＝＝－1.
1.三角函数式的化简常用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.
2.化简时要特别注意“1”的变形应用.
[再练一题]
2.化简：.
【解】 原式＝
＝＝
＝
[探究共研型]
利用诱导公式证明恒等式
探究 利用诱导公式证明恒等式有哪些方法？
【提示】 利用诱导公式证明恒等式问
( http: / / www.21cnjy.com )题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简；(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同.
已知tan(2π－α)＝－2，求证：4sin2(4π－α)－3sin
α·cos(－α)－5cos2α＝1.
【精彩点拨】 可以先对所证明的等式的左边利用诱导公式化简，再根据条件求值即可.
【自主解答】 左边＝4sin2(－α)－3sin
αcos
α－5cos2
α＝
＝
＝.
因为tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan
α＝－2，
所以tan
α＝2，所以左边＝＝＝1，所以4sin2(4π－α)－3sin
α·cos(－α)－5cos2α＝1.
1.证明恒等式问题，实质上就是三角函数式的化简问题.
2.证明三角恒等式的一般思路是：先分析角的特点及角之间的关系，再将角变形，然后利用诱导公式及同角三角函数的基本关系式来完成证明.
[再练一题]
3.求证：＝－1.
【证明】 左边＝
＝＝＝－1＝右边，
∴原等式成立.
1.sin
690°的值为( )
A.
B.
C.－
D.－
【解析】 sin
690°＝sin(720°－30°)＝－sin
30°＝－.
【答案】 C
2.cos的值为( )
A.
B.－
C.
D.
【解析】 cos＝cos＝cos＝.
【答案】 A
3.(2016·中山高一检测)点P(cos
2
016°，sin
2
016°)落在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】 2
016°＝6×360°－144°，∴cos
2
016°
＝cos(－144°)＝cos
144°<0，
sin
2
016°＝sin(－144°)＝－sin
144°<0，
∴点P在第三象限.
【答案】 C
4.的化简结果为________.
【解析】 原式＝＝1.
【答案】 1
5.求下列各式的值：
(1)cosπ＋tan；
(2)sin
810°＋tan
1
125°＋cos
420°.
【导学号：72010016】
【解】 (1)cosπ＋tan
＝cos＋tan＝cos＋tan
＝＋1＝.
(2)原式＝sin(2×360°＋90
( http: / / www.21cnjy.com )°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin
90°＋tan
45°＋cos
60°＝1＋1＋＝.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
(3)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
(3)_________________________________________________________
学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·包头高一月考)sin的值为( )
A.
B.
C.－
D.－
【解析】 sin＝sin＝sin＝，故选A.
【答案】 A
2.给出下列函数值：①sin(－1
000°)；②cos；③tan
2，其中符号为负的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 ①sin(－1
000°)＝sin(－360°×3＋80°)＝sin
80°>0；
②cos＝cos
＝>0；③∵<2<π，∴tan
2<0.
【答案】 B
3.记cos(－80°)＝k，那么tan
440°＝( )
A.
B.－
C.
D.－
【解析】 ∵cos(－80°)＝
( http: / / www.21cnjy.com )cos
80°＝k，∴sin
80°＝＝，tan
440°＝tan(360°＋80°)＝tan
80°＝＝，故选A.
【答案】 A
4.(2016·潍坊高一检测)已知sin＝a，则sin＝( )
【导学号：72010017】
A.a
B.－a
C.±a
D.不确定
【解析】 ∵＋＝2π，
∴sin＝sin
＝sin＝－sin＝－a.故选B.
【答案】 B
5.＝( )
A.sin
2－cos
2
B.sin
2＋cos
2
C.±(sin
2－cos
2)
D.cos
2－sin
2
【解析】 原式＝
＝＝|sin
2－cos
2|.而sin
2＞cos
2，故应选A.
【答案】 A
二、填空题
6.cos
1
110°的值为________.
【解析】 cos
1
110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos
30°＝.
【答案】
7.若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为________.
【解析】 由三角函数定义知，tan
420°＝－，又tan
420°＝tan(360°＋60°)＝tan
60°＝，
∴－＝，∴a＝－4.
【答案】 －4
8.(2015·北京高一检测)化简：
＝________.
【解析】 原式＝＝
＝＝1.
【答案】 1
二、解答题
9.求下列各式的值：
(1)a2sin(－1
350°)＋b2tan
405°－2abcos(－1
080°)；
(2)sin＋cosπ·tan
4π.
【解】 (1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)
＝a2sin
90°＋b2tan
45°－2abcos
0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
(2)sin＋cosπ·tan
4π
＝sin＋cosπ·tan
0
＝sin＋0＝.
10.化简：.
【解】 原式＝
＝
＝
＝1.
[能力提升]
1.设f
(α)＝，则f
的值为( )
A.
B.－
C.
D.－
【解析】 f
(α)＝
＝＝－，
∴f
＝－＝－＝－.
【答案】 D
2.已知cos＝，则cos＋sin2的值为( )
A.
B.
C.－
D.－
【解析】 ∵cos＝cos＝，
∴sin2＝1－cos2
＝1－＝，
∴cos＋sin2
＝cos＋sin2
＝cos＋sin2＝＋＝.
【答案】 B
3.设f
(x)＝
g(x)＝
则g＋f
＋g＋f
＝________.
【解析】 原式＝cos＋f
＋1＋g＋1＋f
＋1＝＋sin＋cos＋sin＋3＝－＋－＋3＝3.
【答案】 3
4.设函数f
(x)＝asin(πx
( http: / / www.21cnjy.com )＋a)－bcos(πx－b)＋ctan(πx＋c)，其中a，b，c∈R且abc≠0，且有f
(2
012)＝－1，求f
(2
016)的值.
【解】 f
(2
012)＝asin(2
012π＋a)－bcos(2
012π－b)＋ctan(2
012π＋c)
＝asin
a－bcos
b＋ctan
c，
而f
(2
016)＝asin(2
016π＋a)－bcos(2
016π－b)＋ctan(2
016π＋c)
＝asin
a－bcos
b＋ctan
c，
∴f
(2
016)＝f
(2
012)＝－1.1.3.3 已知三角函数值求角
1.掌握已知三角函数值求角的方
( http: / / www.21cnjy.com )法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin
x，arccos
x，arctan
x表示角.(重点、难点)
2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角.
[基础·初探]
教材整理 已知三角函数值求角的相关概念
阅读教材P57～P60内容，完成下列问题.
1.已知正弦值，求角：
对于正弦函数y＝sin
x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记为x＝arcsin_y.
2.已知余弦值，求角：
对于余弦函数y＝cos
x，如果已知函数值y
( http: / / www.21cnjy.com )(y∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记为x＝arccos_y(其中－1≤y≤1,0≤x≤π).
3.已知正切值，求角：
一般地，如果y＝tan
x(y∈R)且x∈
( http: / / www.21cnjy.com )，那么对每一个正切值y，在开区间内，有且只有一个角x，使tan
x＝y，记为x＝arctan_y.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在区间上，满足条件sin
x＝a(－1≤a≤1)的x有1个.( )
(2)在区间[0,2π]上，满足条件sin
x＝a(－1≤a≤1)的x有2个.( )
(3)在区间[0,2π]上，满足条件cos
x＝a(－1≤a≤1)的x有2个.( )
(4)在区间上，满足条件tan
x＝a(a∈R)的x只有1个.( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问4：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问5：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
已知正弦值求角
已知sin
x＝.
(1)当x∈时，求x的取值集合；
(2)当x∈[0,2π]时，求x的取值集合；
(3)当x∈R时，求x的取值集合.
【精彩点拨】 尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解.
【自主解答】 (1)∵y＝sin
x在上是增函数，且sin
＝，∴x＝，∴
是所求集合.
(2)∵sin
x＝＞0，∴x为第一或第二象限的角.且sin
＝sin＝，
∴在[0,2π]上符合条件的角有x＝或x＝π，
∴x的取值集合为
.
(3)当x∈R时，x的取值集合为
.
1.给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用.
2.对于已知正弦值求角有如下规律：
[再练一题]
1.已知sin
α＝，根据所给范围求角α.
(1)α为锐角；(2)α∈R.
【导学号：72010033】
【解】 (1)由于sin
α＝，且α为锐角，即α∈，
所以α＝arcsin
.
(2)由于sin
α＝，且α∈R，所以符合条件的所有角为α1＝2kπ＋arcsin
(k∈Z)，
α2＝2kπ＋π－arcsin
(k∈Z)，
即α＝nπ＋(－1)narcsin
(n∈Z).
已知余弦值求角
已知cos
x＝－，
(1)当x∈[0，π]时，求值x.
(2)当x∈R时，求x的取值集合.
【精彩点拨】 解答本题可先求出定义arccos
a的范围的角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合.
【自主解答】 (1)∵cos
x＝－且x∈[0，π]，
∴x＝arccos.
(2)当x∈R时，先求出x在[0,2π]上的解.
∵cos
x＝－，故x是第二或第三象限角.
由(1)知x＝arccos是第二象限角，
又cos
＝cos＝－，
且2π－arccos∈，
所以，由余弦函数的周期性知，
当x＝arccos＋2kπ或
x＝2π－arccos＋2kπ(k∈Z)时，
cos
x＝－，即所求x值的集合是
.
cos
x＝a(－1≤a
( http: / / www.21cnjy.com )≤1)，当x∈[0，π]时，则x＝arccos
a，当x∈R时，可先求得[0,2π]内的所有解，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±arccos
a，k∈Z}.
[再练一题]
2.已知cos
x＝－且x∈[0,2π)，求x的取值集合.
【解】 由于余弦函数值是负值且不为－1，
( http: / / www.21cnjy.com )所以x是第二或第三象限的角，由cos＝－cos
＝－，所以在区间[0,2π)内符合条件的第二象限的角是x＝π－＝.又cos＝－cos
＝－，所以在区间[0,2π)内符合条件的第三象限的角是x＝＋π＝.
故所求角的集合为
.
已知正切值求角
已知tan
α＝－3.
(1)若α∈，求角α；
(2)若α∈R，求角α.
【精彩点拨】 尝试由arctan
α的范围及给值求角的步骤求解.
【自主解答】 (1)由正切函数在开区间
上是增函数可知，符合条件tan
α＝－3的角只有一个，即α＝arctan(－3).
(2)α＝kπ＋arctan(－3)(k∈Z).
1.已知角的正切值求角，可先求出内的角，再由y＝tan
x的周期性表示所给范围内的角.
2.tan
α＝a，a∈R的解集为{α|α＝kπ＋arctan
a，k∈Z}.
[再练一题]
3.已知tan
x＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x.
【解】 ∵tan
x＝－1＜0，
∴x是第二或第四象限的角.
由tan＝－tan
＝－1可知，
所求符合条件的第四象限角为x＝－.
又由tan＝－tan
＝－1得所求符合条件的第二象限角为x＝－π，
∴在[－2π，0]内满足条件的角是－与－.
[探究共研型]
三角方程的求解
探究1 已知角x的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？
【提示】 不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个.
探究2 怎样求解三角方程？
【提示】 明确所求角的范围和个
( http: / / www.21cnjy.com )数，结合诱导公式先用arcsin
a或arccos
a或arctan
a表示一个或两个特殊角，然后再根据函数的周期性表示出所有的角.
若cos
x＝cos，求x的值.
【精彩点拨】 先求出一个周期内的角，然后利用周期性找出所有的角.
【自主解答】 在同一个周期[－π，π]内，
满足cos
x＝cos的角有两个：和－.
又y＝cos
x的周期为2π，所以满足cos
x＝cos的x为2kπ±(k∈Z).
已知三角函数值求角的大致步骤
(1)由三角函数值的符号确定角的象限；
(2)求出[0,2π)上的角；
(3)根据终边相同的角写出所有的角.
[再练一题]
4.已知sin
x＝，且x∈[0,2π]，则x的取值集合为________.
【解析】 ∵x∈[0,2π]，且
( http: / / www.21cnjy.com )sin
x＝＞0，∴x∈(0，π)当x∈时，y＝sin
x递增且sin＝，∴x＝，又sin＝sin＝，∴x＝也适合题意.∴x的取值集合为.
【答案】
1.(2016·石景山高一检测)下列说法中错误的是( )
A.arcsin＝－
B.arcsin
0＝0
C.arcsin(－1)＝π
D.arcsin
1＝
【解析】 根据已知正弦值求角的定义知arcsin(－1)＝－，故C错误.
【答案】 C
2.若α是三角形内角，且sin
α＝，则α等于( )
A.30°
B.30°或150°
C.60°
D.120°或60°
【解析】 ∵α是三角形内角，∴0°<α<180°.
∵sin
α＝，∴α＝30°或150°.
【答案】 B
3.已知cos
x＝－，π＜x＜2π，则x＝( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为x∈(π，2π)且cos
x＝－，∴x＝.
【答案】 B
4.等腰三角形的一个底角为α，且sin
α＝，用含符号arcsin
x的关系式表示顶角β＝________.
【导学号：72010034】
【解析】 由题意，α∈，
又sin
α＝，
所以<α<，<2α<，<π－2α<，
所以β＝π－arcsin.
【答案】 π－arcsin
5.求值：.
【解】 arcsin
＝，
arccos＝，
arctan(－)＝－，
∴原式＝＝1.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列叙述错误的是( )
A.arctan
y表示一个内的角
B.若x＝arcsin
y，|y|≤1，则sin
x＝y
C.若tan
＝y，则x＝2arctan
y
D.arcsin
y，arccos
y中的y∈[－1,1]
【解析】 ∵tan
＝y，∴＝kπ＋arctan
y，∴x＝2kπ＋2arctan
y，故C错.
【答案】 C
2.已知sin
α＝－，－＜α＜0，则α等于( )
A.π－arcsin
B.π＋arcsin
C.arcsin
D.－arcsin
【解析】 －＜α＜0，sin
α＝－，所以α＝
arcsin.
【答案】 C
3.若＜x＜π且cos
x＝－，则x等于( )
A.arccos
B.－arccos
C.π－arccos
D.π＋arccos
【解析】 ∵x∈，
∴x＝arccos＝π－arccos
.
【答案】 C
4.(2016·大连高一检测)若tan＝，则在区间[0,2π]上解的个数为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
【解析】 ∵tan＝，∴2x＋＝kπ＋(k∈Z).即x＝－(k∈Z).
∵x∈[0,2π]，∴k＝1,2,3,4时，x分别为，π，，π.故选B.
【答案】 B
5.直线x＋2y＋1＝0的倾斜角为( )
【导学号：72010035】
A.arctan
B.－arctan
C.arcsin
D.arccos
【解析】 直线x＋2y＋
( http: / / www.21cnjy.com )1＝0可化为y＝－x－，∴直线斜率k＝－，设直线倾斜角为α，则tan
α＝－，故α为钝角，∴cos
α＝－，∴α＝arccos.
【答案】 D
二、填空题
6.(2016·威海高一检测)函数y＝arccos(sin
x)的值域为________.
【解析】 ∵－≤x≤，∴－≤sin
x≤1，
∴0≤arccos(sin
x)≤.
【答案】
7.(2016·东营高一检测)若x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则角α＝________.
【解析】 由条件可知2cos＝1，
即cos＝，∴α＋＝2kπ±(k∈Z).
∵α∈(0,2π)，∴α＝.
【答案】
8.(2016·日照高一检测)已知cos
α＝，α∈[0,2π)，则角α＝________.
【解析】 因为cos
α＝，所以α是第一或第四象限角.又因为α∈[0,2π)，
所以α＝arccos或α＝2π－arccos.
【答案】 arccos或2π－arccos
三、解答题
9.已知sin
＝－，且α是第二象限的角，求角α.
【解】 ∵α是第二象限角，∴是第一或第三象限的角.
又∵sin
＝－＜0，∴是第三象限角.
又sin
＝－，∴＝2kπ＋π(k∈Z)，
∴α＝4kπ＋π(k∈Z).
10.(2016·四川高一检测)已知tan
α＝－2，根据下列条件求角α.
(1)α∈；(2)α∈[0,2π]；(3)α∈R.
【解】 (1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan
α＝－2的角只有一个，即α＝arctan(－2).
(2)∵tan
α＝－2＜0，∴α是第二或第四象限角.
又∵α∈[0,2π]，由正切函数在区间、上是增函数知，符合tan
α＝－2的角有两个.
∵tan(π＋α)＝tan(2π＋α)＝tan
α＝－2，
且arctan(－2)∈，
∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2).
(3)α＝kπ＋arctan(－2)(k∈Z).
[能力提升]
1.给出下列等式：
①arcsin＝1；②arcsin＝；
③arcsin＝；④sin＝.
其中正确等式的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 ①arcsin无意义；②③④正确.
【答案】 C
2.若直线x＝(－1≤k≤1)与函数y＝tan的图象不相交，则k＝( )
A.
B.－
C.或－
D.－或
【解析】 要使函数y＝tan有意义则2x＋≠mπ＋，m∈Z
∵直线x＝(－1≤k≤1)与y＝tan的图象不相交，
∴x＝时正切函数y＝tan无意义，
即2×＋＝＋mπ，
∴4k＝4m＋1.
当m＝0时，k＝，满足要求；
当m＝－1时，k＝－满足要求；
当m＝1时，k＝不满足要求，
故满足条件的k＝或－.
【答案】 C
3.函数y＝＋π－arccos(2x－3)的定义域是________.
【解析】 要使函数有意义，需有：
解得：1≤x≤.
【答案】
4.若f
(arcsin
x)＝x2＋4x，求f
(x)的最小值，并求f
(x)取得最小值时的x的值.
【解】 令t＝arcsin
x，t∈，即sin
t＝x，
sin
t∈[－1,1]，于是f
(t)＝sin2t＋4sin
t，即f
(x)＝(sin
x＋2)2－4，x∈.
∵－1≤sin
x≤1，
∴当sin
x＝－1，即x＝－时，f
(x)取得最小值(－1＋2)2－4＝－3.2.1 向量的线性运算
2.1.1 向量的概念
1.理解向量、零向量、基线、向量模的意义.(重点)
2.掌握向量的几何表示，会用字母表示向量，用向量表示点的位置.
3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间共线(平行)、相等的关系.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 向量及其几何表示
阅读教材P77～P78“第17行”以上内容，完成下列问题.
1.向量的定义
具有大小和方向的量称为向量.
2.自由向量
只有大小和方向，而无特定的位置的向量叫做自由向量.
3.向量的表示
(1)有向线段：具有方向的线段.
(2)向量可以用有向线段表示，向量的大小，也就是向量的长度，记作||，向量也可以用字母a，b，c，……表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，.
(3)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量可以比较大小.( )
(2)坐标平面上的x轴和y轴都是向量.( )
(3)某个角是一个向量.( )
(4)体积、面积和时间都不是向量.( )
【解析】 因为向量之间不
( http: / / www.21cnjy.com )可以比较大小，故(1)错；x轴、y轴只有方向，没有大小，故(2)错；因为角只有大小没有方向，故(3)错；因为体积、面积和时间只有大小没有方向，都不是向量，所以(4)正确.
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
教材整理2 向量的有关概念
阅读教材P78“第18行”～P79以上内容，完成下列问题.
1.零向量：长度等于零的向量，叫做零向量，记作0.规定：零向量与任意向量平行.
2.相等向量：同向且等长的向量叫做相等向量.
3.平行向量(共线向量)：
( http: / / www.21cnjy.com )如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行.也就是说方向相同或相反向量叫做平行向量，也叫共线向量.向量a平行于b，记作a∥b.
4.位置向量：任给一定点O和向
( http: / / www.21cnjy.com )量a，过点O作有向线段＝a，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量，又常叫做点A相对于点O的位置向量.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)单位向量都平行.( )
(2)零向量与任意向量都平行.( )
(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
(4)||＝||.( )
【解析】 (1)错误，长度等于1
( http: / / www.21cnjy.com )个单位长度的向量叫做单位向量，单位向量有无数多个且每个都有确定的方向，故单位向量不一定平行；(2)正确，零向量的方向是任意的，故零向量与任意向量都平行；(3)错误，若b＝0，则(3)不成立；(4)正确.故只有(2)(4)正确.
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问4：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
向量的有关概念
判断下列命题是否正确，请说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.
【精彩点拨】 解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素.
【自主解答】 (1)不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小.
(2)不正确.由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系.
(3)正确.因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.
(4)不正确.依据规定：0与任意向量平行.
(5)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定.
求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等.
[再练一题]
1.给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②向量的模一定是正数；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上.
其中正确命题的序号是________.
【解析】 ①错误.由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系.
②错误.0的模|0|＝0.
③正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的.
④错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上.
【答案】 ③
向量的表示及应用
某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.
(1)作出向量，，；
(2)求的模.
【精彩点拨】 可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量.可把放在直角三角形中求得||.
【自主解答】 (1)作出向量，，，如图所示：
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其
( http: / / www.21cnjy.com )中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米.△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以||＝5米.
1.向量的两种表示方法：
(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点.
(2)字母表示法：为了便于运算可用字
( http: / / www.21cnjy.com )母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等.
2.两种向量表示方法的作用：
(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础.
(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算.
[再练一题]
2.一辆汽车从点A出发，向西
( http: / / www.21cnjy.com )行驶了100公里到达点B，然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200公里到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100公里达到点D.
(1)作出向量，，；
(2)求||.
【导学号：72010039】
【解】 (1)作出向量，，，如图所示.
(2)由题意知与方向相反，∴与共线，
∴在四边形ABCD中，
AB∥CD，
又∵||＝||，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴||＝||＝200(公里).
[探究共研型]
相等向量与共线向量
探究1 向量a，b共线，向量b，c共线，向量a与c是否共线？
【提示】 向量a与c不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若b＝0，则向量a与c不一定共线.
探究2 两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？
【提示】 不一定.因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关.
(1)(2016·潍坊高一检测)如图2 1 1，在等腰梯形ABCD中.
图2 1 1
①与是共线向量；
②＝；③>.以上结论中正确的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
(2)下列说法中，正确的序号是________.
①任何两个单位向量都是相等向量；
②零向量都相等；
③任一向量与它的平行向量不相等；
④若四边形ABCD是平行四边形，则＝；
⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同.
【精彩点拨】 可借助几何图形性质及向量相关概念进行判断.
【自主解答】 ①单位长度是1，长度
( http: / / www.21cnjy.com )相等，但方向不一定相同，故不是相等向量，即①不正确；②由①可知②也不正确；③因为两个向量不能比较大小，所以③不正确.
(2)因为向量与是共线向量，它
( http: / / www.21cnjy.com )们的基线不一定是同一个，所以A，B，C，D也不一定在一条直线上，所以①错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，即③错误；画出图形，可得＝，所以④正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以⑤不正确.
【答案】 (1)A (2)②④
相等向量与共线向量需注意的四个问题：
(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量.
(2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合.
(3)平行(共线)向量无传递性(因为有0).
(4)三点A，B，C共线 ，共线.
[再练一题]
3.如图2 1 2所示，O是正六边形ABCDEF
的中心.
图2 1 2
①分别写出图中与，，相等的向量；
②与的长度相等、方向相反的向量有哪些？
【解】 ①与相等的向量有，，；与相等的向量有，，；与相等的向量有，，.
②与的长度相等、方向相反的向量有，，，.
1.下列说法中正确的个数是( )
①身高是一个向量；
②∠AOB的两条边都是向量；
③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
④物理学中的加速度是向量.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误，④正确.
【答案】 B
2.在下列判断中，正确的是( )
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线.
A.①②③
B.②③④
C.①②⑤
D.①③⑤
【解析】 由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确.显然③、⑤正确，④不正确，故选D.
【答案】 D
3.(2016·三明市期末)设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )
A.e1＝e2
B.e1∥e2
C.|e1|＝|e2|
D.以上都不对
【解析】 单位向量的模都等于1个单位，故C正确.
【答案】 C
4.在下列命题中：①平行向量一定相等；②
( http: / / www.21cnjy.com )不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.正确的命题是________.(填序号)
【解析】 由向量的相关概念可知④⑥正确.
【答案】 ④⑥
5.如图2 1 3所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，找出与向量相等的向量.
图2 1 3
【导学号：72010040】
【解】 由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知，与的长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列说法正确的个数是( )
(1)温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；
(2)零向量没有方向；
(3)非零向量的单位向量是唯一的.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 (1)中温度和功不是向量；(2)零向量的方向不确定，而不是没有方向，所以(1)(2)错误.
【答案】 B
2.下列结论正确的是( )
A.向量必须用有向线段来表示
B.表示一个向量的有向线段是唯一的
C.有向线段和是同一向量
D.有向线段和的大小相等
【解析】 向量除了可以用有向线段表
( http: / / www.21cnjy.com )示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A错误；向量为自由向量，只要大小相等，方向相同就为同一个向量，而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的，选项B错误；有向线段和的方向相反，大小相等，不为同一向量，所以选项C错误，D正确.
【答案】 D
3.给出下列四个命题：
①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.
其中正确的命题有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】 对于①，前一个零是实数，后一个应
( http: / / www.21cnjy.com )是向量0.对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定.对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等.只有④正确.故选A.
【答案】 A
4.数轴上点A，B分别对应－1、2，则向量的长度是( )
A.－1
B.2
C.1
D.3
【解析】 易知||＝2－(－1)＝3，故选D.
【答案】 D
5.(2016·长春十一中期末)若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.等腰梯形
【解析】 由＝知四边形为平行四边形；
由||＝||知四边形ABCD为菱形.故选C.
【答案】 C
二、填空题
6.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
【解析】 因为A，B，C三点不共线，所以与不共线，又因为m∥且m∥，所以m＝0.
【答案】 0
7.给出以下五个条件：①a＝b；
( http: / / www.21cnjy.com )②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是________.(填序号)
【解析】 共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小.很明显仅有①③④.
【答案】 ①③④
三、解答题
8.O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCF
B都是正方形，在如图2 1 4所示的向量中：
图2 1 4
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
【解】 (1)＝，＝.
(2)与共线的向量有：，，.
(3)与模相等的向量有：，，，，，，.
(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同.
9.如图2 1 5所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝且＝，求证：＝.
【导学号：72010041】
图2 1 5
【证明】 因为＝，
所以||＝||且AB∥DC，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以||＝||且DA∥CB.
又因为与的方向相同，
所以＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，
所以＝.
因为||＝||，||＝||，
所以||＝||.
又与的方向相同，
所以＝.
[能力提升]
1.已知向量a，b是两个非零向量，，分别是与a，b同方向的单位向量，则以下各式正确的是( )
A.＝
B.＝或＝
C.＝
D.与的长度相等
【解析】 因为a与b方向关系不确定且a≠0，b≠0，又与a同方向，与b同方向，
所以与方向关系不确定，所以A，B，C均不对.
又与均为单位向量，
所以||＝||＝1.
【答案】 D
2.已知飞机从A地按北偏东3
( http: / / www.21cnjy.com )0°方向飞行2
000
km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2
000
km到达C地，再从C地按西南方向飞行1
000
km到达D地.画图表示向量，，，并指出向量的模和方向.
【解】 以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系.
据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量，，如图所示，
由已知可得，
△ABC为正三角形，所以AC＝2
000
km.
又∠ACD＝45°，CD＝1
000
km.
所以△ADC为等腰直角三角形，
所以AD＝1
000
km，∠CAD＝45°.
故向量的模为1
000
km，方向为东南方向.