【人教A版】2017-2018学年数学选修2-2课时跟踪检测（33份打包，Word版，含解析）

www.
(B卷　能力素养提升)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下面三个命题：
①0比－i大；
②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数时成立；
③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1.
其中，正确命题的个数是(　　)
A．0个　　　　　　　　
　B．1个
C．2个
D．3个
解析：选A　①中实数与虚数
( http: / / www.21cnjy.com )不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有标明x，y是否是实数．
2．已知复数z＝2－i，则z·的值为(　　)
A．5
B.
C．3
D.
解析：选A　∵z＝2－i，∴＝2＋i，∴z·＝(2＋i)(2－i)＝4＋1＝5.
3．若复数
z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)
A．1
B．2
C.
D.
解析：选C　法一：设z＝
( http: / / www.21cnjy.com )a＋bi(a，b∈R)，则由z(1＋i)＝2i，得(a＋bi)·(1＋i)＝2i，所以(a－b)＋(a＋b)i＝2i，由复数相等的条件得解得a＝b＝1，所以z＝1＋i，故|z|＝＝.
法二：由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝i－i2＝1＋i，所以|z|＝＝.
4．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝(1＋ai)·i为“等部复数”，则实数a的值为(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：选A　由已知可得z＝(1＋ai)·i＝－a＋i，所以－a＝1，即a＝－1.
5．已知a∈R，且0A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选D　∵00且a－1<0，故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点(a，a－1)位于第四象限．故选D.
6．已知复数z＝，则z的实部为(　　)
A．1
B．2
C．－2
D．－1
解析：选D　因为z＝＝＝＝－1＋2i，故z的实部为－1.
7．已知a，b是实数，设i是虚数单位，若a＋i＝，则复数a＋bi是(　　)
A．2－I
B．2＋i
C．1＋2i
D．1－2i
解析：选C　因为a＋i＝
( http: / / www.21cnjy.com )，整理得：(a＋i)(1＋i)＝bi，∴(a－1)＋(a＋1)i＝bi，由复数相等的条件知：解得即a＋bi＝1＋2i，故选C.
8．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为(　　)
A．1－2i
B．－1＋2i
C．3＋4i
D．－3－4i
解析：选D　＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D.
9．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　)
A．|z－|＝2y
B．z2＝x2＋y2
C．|z－|≥2x
D．|z|≤|x|＋|y|
解析：选D　|z|＝≤＝＝|x|＋|y|，D正确．
10．已知f(x)＝x2，i是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选A　因为＝＝＋i，所以选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝________.
解析：由题意知A(1,1)，B(－1,3)，
故||＝＝2.
答案：2
12．设复数z满足iz＝－3＋i(i为虚数单位)，则z的实部为________．
解析：由iz＝－3＋i，得z＝＝＝1＋3i，则z的实部为1.
答案：1
13．已知i为虚数单位，复数z1＝3－ai，z2＝1＋2i，若复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为________．
解析：＝＝＝－i，因为复平面内对应的点在第四象限，所以 －6答案：
14．对于任意两个复数z1＝x1＋y1i，z
( http: / / www.21cnjy.com )2＝x2＋y2i(x1、y1，x2、y2为实数)，定义运算“⊙”为：z1⊙z2＝x1x2＋y1y2.设非零复数ω1、ω2在复平面内对应的点分别为P1、P2，点O为坐标原点．如果ω1⊙ω2＝0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为________．
解析：设
1＝x1＋y1i，2＝x2＋y2i(x1，y1，x2，y2为实数)，∵ω1⊙ω2＝0，由定义知x1x2＋y1y2＝0，
∴1⊥2，∴∠P1OP2＝.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限内，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．
解：z＝(a＋bi)＝2i·i·(a＋bi)＝－2a－2bi，
由|z|＝4，得a2＋b2＝4.①
∵复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，
∴|z|＝|z－|，
把z＝－2a－2bi代入化简，得|b|＝1.②
又∵点在第一象限内，∴a<0，b<0.
由①②，得
故所求a＝－，b＝－1.
16．(本小题满分12分)已知z＝(a>0)，复数ω＝z(z＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数ω.
解：由已知，ω＝×
＝＝
＝＋i，
∴－＝，
∴a＝2(a>0)，
∴ω＝＋3i.
17．(本小题满分12分)已知z＝i－1是方程z2＋az＋b＝0的一个根．
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明．
解：(1)把z＝i－1代入z2＋az＋b＝0得
(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
∴a＝2，b＝2.
(2)设另一个根为x2，由根与系数的关系，得i－1＋x2＝－2，
∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程左边得(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝2i－2－2i＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根．
18．(本小题满分14分)已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值；
(2)若复数z满足|z－a＋bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值？并求出|z|的最小值．
解：(1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根，∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，
故解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－3＋3i|＝2|z|，得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，即(x＋1)2＋(y－1)2＝8，
∴Z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，2为半径的圆．
如图，当Z点在直线OO1上时，
|z|有最大值或最小值．
∵|OO1|＝，半径r＝2，
∴当z＝1－i时，|z|有最小值，且|z|min＝.www.
(A卷　学业水平达标)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下列各式正确的是(　　)
A．(sin
a)′＝cos
a(a为常数)
B．(cos
x)′＝sin
x
C．(sin
x)′＝cos
x
D．(x－5)′＝－x－6
解析：选C　由导数公式知选项A中(sin
a)′＝0；选项B中(cos
x)′＝－sin
x；选项D中(x－5)′＝－5x－6.
2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)
A．y＝sin
x　　　　　　
　B．y＝xe2
C．y＝x3－x
D．y＝ln
x－x
解析：选B　只有B中y′＝e2＞0在(0，＋∞)内恒成立．
3．若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为(　　)
A．x＋4y＋3＝0
B．x＋4y－9＝0
C．4x－y＋3＝0
D．4x－y－2＝0
解析：选D　设切点坐标为(x0，y0
( http: / / www.21cnjy.com ))，y′＝4x，由题意得4x0＝4，解得x0＝1，所以y0＝2，故切线l的方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
4．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为(　　)
A．0　　　　　　　　
B．2
C．1
D．－1
解析：选A　∵f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，
∴f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，
∴f′(1)＝1－2f′(1)－1，
∴f′(1)＝0.
5．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是(　　)
A．0≤a≤21
B．a＝0或a＝7
C．a<0或a>21
D．a＝0或a＝21
解析：选A　f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．
6．已知，对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时，(　　)
A．f′(x)>0，g′(x)>0
B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0
D．f′(x)<0，g′(x)<0
解析：选B　f(x)为奇函数
( http: / / www.21cnjy.com )且x>0时单调递增，所以x<0时单调递增，f′(x)>0；g(x)为偶函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递减，g′(x)<0.
7.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如右图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析：选D　由题图可知，
( http: / / www.21cnjy.com )当x<－2时，f′(x)>0；当x＝－2时，f′(x)＝0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
8．设f(x)＝则f(x)dx等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　f(x)dx＝x2dx＋dx
＝x3＋ln
x＝.
9.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b
( http: / / www.21cnjy.com )x(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．－2
解析：选A　法一：因为f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，函数f(x)的图象与x轴相切于原点，所以f′(0)＝0，即b＝0，所以f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)，因为函数f(x)的图象与x轴所围成区域的面积为，所以(－x3＋ax2)dx＝－，所以＝－，所以a＝－1或a＝1(舍去)，故选A.
法二：因为f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，函数f(x)的图象与x轴相切于原点，所以f′(0)＝0，即b＝0，所以f(x)＝－x3＋ax2.若a＝0，则f(x)＝－x3，与x轴只有一个交点(0,0)，不符合所给的图象，排除B；若a＝1，则f(x)＝－x3＋x2＝－x2(x－1)，与x轴有两个交点(0,0)，(1,0)，不符合所给的图象，排除C；若a＝－2，则所围成的面积为－
(－x3－2x2)dx＝＝≠，排除D，故选A.
10．若函数f(x)＝2x2－ln
x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D　由f(x)＝2x2－ln
( http: / / www.21cnjy.com )
x可知定义域为(0，＋∞)，所以k－1≥0，k≥1，故排除B，C两项．又f′(x)＝4x－，令f′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)，f(x)在上单调递减，在上单调递增．由题意知且k≥1，得1≤k＜.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．(江西高考)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.
解析：由题意y′＝αxα－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k＝α.又因为切线过坐标原点，所以α＝＝2.
答案：2
12．函数f(x)＝2x2－ln
x的单调递增区间为________．
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝4x－＝≥0，得x≥.
答案：
13．一列车沿直线轨道前进，
( http: / / www.21cnjy.com )刹车后列车速度v(t)＝27－0.9t(v的单位：m/s，t的单位：s)，则列车刹车后至停车时的位移为________．
解析：停车时v(t)＝0，则27－0.9t＝0，∴t＝30
s，
s＝v(t)dt＝
(27－0.9t)dt
＝(27t－0.45t2)
＝405(m)．
答案：405
m
14．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围为________．
解析：令f′(x)＝3x2－3a2＝0，
∴x＝±a.
当f′(x)>0时，x>a或x<－a，
当f′(x)<0时，－a所以函数f(x)在(a，＋∞)，(－∞，－a)上为增函数，
在(－a，a)上为减函数．
故f(x)极大值＝f(－a)＝2a3＋a，
f(x)极小值＝f(a)＝a－2a3.
∴
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤)
15．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋4ln
x的极值点为1和2.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在区间(0,3]上的最大值．
解：(1)f′(x)＝2ax＋b＋
＝，x∈(0，＋∞)．
由y＝f(x)的极值点为1和2，
∴2ax2＋bx＋4＝0的两根为1和2，
∴
解得
(2)由(1)得f(x)＝x2－6x＋4ln
x，
∴f′(x)＝2x－6＋＝
＝，x∈(0,3]．
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,3)
3
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
－5
?
4ln
2－8
?
4ln
3－9
∵f(3)＝4ln
3－9>f(1)＝－5>f(2)＝4ln
2－8，
∴f(x)max＝f(3)＝4ln
3－9.
16．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax2＋2x－ln
x在x＝1处取得极值．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)单调区间及极值．
解：(1)f′(x)＝2ax＋2－，
由f′(1)＝2a＋＝0，得a＝－.
(2)f(x)＝－x2＋2x－ln
x(x＞0)，
f′(x)＝－x＋2－＝.
由f′(x)＝0，得x＝1或x＝2.
①当f′(x)＞0时1＜x＜2；
②当f′(x)＜0时0＜x＜1或x＞2.
当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
?
－ln
2
?
因此f(x)的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1)，(2，＋∞)．
函数的极小值为f(1)＝，极大值为f(2)＝－ln
2.　
17．(本小题满分12分)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex.
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2
( http: / / www.21cnjy.com )x)ex，f′(x)＝(－x2＋2)ex.令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，注意到ex＞0，所以－x2＋2＞0，解得－＜x＜，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－，)．同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)和(，＋∞)．
(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．
又因为f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋
( http: / / www.21cnjy.com )a]ex，所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到ex＞0，因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立．
设y＝x＋1－，则y′＝1＋＞0，
即y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，
则y＜1＋1－＝，故a≥，
所以实数a的取值范围为.
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ln
x－.
(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a的值；
(2)设g(x)＝ln
x－a，若g(x)＜x2在(0，e]上恒成立，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝＋＝(x＞0)，
当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)不存在最小值．
当a＜0时，由f′(x)＝0，得x＝－a，
且0＜x＜－a时f′(x)＜0，
x＞－a时f′(x)＞0.
∴x＝－a时f(x)取最小值，
f(－a)＝ln(－a)＋1＝2，解得a＝－e.
(2)g(x)＜x2，即ln
x－a＜x2，即a＞ln
x－x2，
故g(x)＜x2在(0，e]上恒成立，也就是a＞ln
x－x2在(0，e]上恒成立．
设h(x)＝ln
x－x2，则h′(x)＝－2x＝，由h′(x)＝0及0＜x≤e，得x＝.
当0＜x＜时h′(x)＞0，当
( http: / / www.21cnjy.com )＜x≤e时h′(x)＜0，即h(x)在上为增函数，在上为减函数，所以当x＝时h(x)取得最大值为h＝ln
－.
所以g(x)＜x2在(0，e]上恒成立时，
a的取值范围为.课时跟踪检测(四)　复合函数求导及应用
一、选择题
1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　)
A．y＝un，u＝x2－1
B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n
D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
答案：A
2．函数y＝5的导数为(　　)
A．y′＝54
B．y′＝54
C．y′＝54
D．y′＝54
解析：选C　函数y＝5是函数y＝u5与u＝x＋的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝54.
3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　)
A．ln(2x＋5)－
B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5)
D.
解析：选B　y′＝[xln(2x＋5)]′
( http: / / www.21cnjy.com )＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋
.
4．(新课标全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a的值为(　　)
A．0　　　　　　　
　B．1
C．2
D．3
解析：选D　y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，∴a＝3.
5．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　)
A.
B．2
C．3
D．0
解析：选A　设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝，∴y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1，
∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)，
∴切点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离为
d＝＝，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
二、填空题
6．函数y＝sin
2xcos
3x的导数是________．
解析：∵y＝sin
2xcos
3x，
∴y′＝(sin
2x)′cos
3x＋sin
2x(cos
3x)′
＝2cos
2xcos
3x－3sin
2xsin
3x.
答案：2cos
2xcos
3x－3sin
2xsin
3x
7．已知f(x)＝且f′(1)＝2，则a的值为________．
解析：∵f(x)＝(ax2－1)
，
∴f′(x)＝(ax2－1)
(ax2－1)′＝.
又∵f′(1)＝2，
∴＝2，∴a＝2.
答案：2
8．函数y＝sin2x的图象在点A处的切线的斜率是________．
解析：∵y＝sin2x，
∴y′＝2sin
x(sin
x)′＝2sin
x·cos
x＝sin
2x，
∴k＝sin＝sin＝.
答案：
三、解答题
9．求下列各函数的导数：
(1)y＝(1＋x2)5；
(2)y＝(2＋3x2)；
(3)y＝ln
.
解：(1)y′＝5(1＋x2)4(1＋x2)′＝10x(1＋x2)4.
(2)y′＝6x＋(2＋3x2)·
＝6x＋(2＋3x2)·
＝
＝.
(3)y＝ln(1＋)－ln(1－)，
y′＝(1＋)′－(1－)′
＝·＋·
＝.
10．求曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积．
解：依题意得y′＝e－2x×(－
( http: / / www.21cnjy.com )2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2，故曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.
在坐标系中画出直线y＝－2x＋2，y＝0
( http: / / www.21cnjy.com )与y＝x(图略)，注意到直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)．
结合图形可知，这三条直线所围成的三角形的面积为×1×＝.www.
(B卷　能力素养提升)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．已知函数y＝，则它的导函数是(　　)
A．y′＝
B．y′＝
C．y′＝
D．y′＝－
解析：选B　u＝x－1，y′＝()′·u′＝＝＝.
2．设正弦函数y＝sin
x在x＝0和x＝附近的瞬时变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为(　　)
A．k1>k2　　　　　
　B．k1C．k1＝k2
D．不确定
解析：选A　k1＝y′|x＝0＝cos
x|x＝0＝1，
k2＝y′|＝cos
x|＝0，所以k1>k2.
3．函数f(x)＝2x－sin
x在(－∞，＋∞)上(　　)
A．有最小值
B．是减函数
C．有最大值
D．是增函数
解析：选D　∵f(x)＝2x
( http: / / www.21cnjy.com )－sin
x，∴f′(x)＝2－cos
x；因为f′(x)＝2－cos
x>0恒成立，所以f(x)＝2x－sin
x在(－∞，＋∞)上是增函数．
4．曲线f(x)＝x3＋x－2在p0处的切线平行于直线y＝4x－1，则p0的坐标为(　　)
A．(1,0)
B．(2,8)
C．(1,0)或(－1，－4)
D．(2,8)或(－1，－4)
解析：选C　由y＝x3＋x－2，
( http: / / www.21cnjy.com )得y′＝3x2＋1，∵切线平行于直线y＝4x－1，∴3x2＋1＝4，解之得x＝±1，当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.∴切点P0的坐标为(1,0)和(－1，－4)，故选C.
5．求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是(　　)
A．S＝(x2－x)dx
B．S＝(x－x2)dx
C．S＝(y2－y)dy
D．S＝(y－)dy
解析：选B　两函数图象的交点坐标是(0
( http: / / www.21cnjy.com ),0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝(x－x2)dx.
6．设f(x)＝x2－2x－4ln
x，则f(x)的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1,0)
解析：选C　f′(x)＝2x－2－，由2x－2－＞0，
即＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，又因为x＞0，所以x＞2，故选C.
7．已知实数a，b，c，d成等比数列，且函数y＝ln(x＋2)－x，当x＝b时取到极大值c，则ad等于(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：选A　y′＝－1，令y′＝0得x＝－1，当－2＜x＜－1时，y′＞0；当x＞－1时，y′＜0.
∴b＝－1，c＝ln(－1＋2)－(－1)＝1，
∴ad＝bc＝－1，故选A.
8．已知x≥0，y≥0，x＋3y＝9，则x2y的最大值为(　　)
A．36
B．18
C．25
D．42
解析：选A　∵x＋3y＝9，
∴y＝＝3－x.
又x≥0，y≥0，
∴3－x≥0，∴0≤x≤9.
x2y＝x2＝3x2－x3.
令f(x)＝3x2－x3.
则f′(x)＝6x－x2.
当f′(x)＝0时，6x－x2＝0，
∴x＝0或x＝6.
而f(0)＝0，f(6)＝3×36－×216＝36，f(9)＝0.
∴f(x)最大值＝f(6)＝36.
9．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，－2)
D．(－∞，－1)
解析：选C　显然当a＝0时，不符合题意；
( http: / / www.21cnjy.com )因为f(x)＝ax3－3x2＋1，所以f′(x)＝3ax2－6x＝3ax；当a>0时，令f′(x)<0，得00，则f(0)＝1<0(舍去)；当a<0时，令f′(x)>0，得0，则f＝1－>0，即a<－2.
10．设f(x)，g(x)分别
( http: / / www.21cnjy.com )是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
解析：选D　设F(x)＝，
则F′(x)＝，
由题意知：F(x)为奇函数，F
( http: / / www.21cnjy.com )(x)在(－∞，0)上递增，F(3)＝0，数形结合易得F(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，从而f(x)g(x)<0的解集也为(－∞，－3)∪(0,3)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．曲线C：f(x)＝sin
x＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________．
解析：∵f′(x)＝cos
x＋ex，∴k＝
( http: / / www.21cnjy.com )f′(0)＝cos
0＋e0＝2，且f(0)＝sin
0＋e0＋2＝3，所以所求切线方程为y－3＝2(x－0)，即2x－y＋3＝0.
答案：2x－y＋3＝0
12．y＝，－π解析：y′＝＝，
令＝2，得cos
x＝－，
∵－π答案：±π
13．由曲线y＝(x＋2)2(x≥－2)与x轴，直线y＝4－x所围成的平面图形的面积是________．
解析：在同一坐标系中画出曲线y＝(x＋2)
( http: / / www.21cnjy.com )2与直线y＝4－x的图象，可求得交点为(0,4)，而两曲线与x轴的交点分别为(－2,0)，(4,0)，所以所求平面图形的面积为(x＋2)2dx＋(4－x)dx＝.
答案：
14．已知a＜0，函数f(x)＝ax3＋ln
x，且f′(1)的最小值是－12，则实数a的值为________．
解析：f′(x)＝3ax2＋，所以f′(1)＝3a＋≥－12，即a＋≥－4，又a＜0，有a＋≤－4，所以a＋＝－4，故a＝－2.
答案：－2
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的极值．
解：(1)f′(x)＝6x2－6(a－1)x，
①当a＝1时f′(x)≥0恒成立，此时f(x)在R上是增函数，
②当a>1时，令f′(x
( http: / / www.21cnjy.com ))＝0得x＝0或x＝a－1>0，解f′(x)<0得减区间为(0，a－1)，解f′(x)>0得增区间为(－∞，0)，(a－1，＋∞)．
(2)由(1)知，①当a＝1时，无极值，
②当a>1时，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝－(a－1)3＋1.
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋2aln
x.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝2x＋＝，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
①当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
②当a＜0时，f′(x)＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，＋∞)．
(2)由g(x)＝＋x2＋2aln
x，得g′(x)＝－＋2x＋，
由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，
则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，
即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立．即a≤－x2在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝－x2，在[1,2]上h′(x)＝－－2x＝－<0，
所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min＝h(2)＝－，
所以a≤－.
故实数a的取值范围为.
17．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x＋ax2＋b·ln
x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤2x－2.
解：(1)f′(x)＝1＋2ax＋，
由已知条件得即
解得a＝－1，b＝3.
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x－x2＋3ln
x.
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln
x，
则g′(x)＝－1－2x＋＝－.
当00；当x>1时，g′(x)<0.
所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．
而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，
即f(x)≤2x－2.
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln
x.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，其中e是自然对数的底数，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋ln
x，f′(x)＝2x－3＋，
因为f′(1)＝0，f(1)＝－2.所以切线方程是y＝－2.
(2)函数f(x)＝2ax－(a＋2)x＋ln
x的定义域是(0，＋∞)，
当a>0时，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋＝＝(x>0)，
令f′(x)＝0得x＝或x＝，
①当0<≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2，满足条件，于是a≥1；
②当1<≤e，即≤a<1时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在[1，e]上的最小值f③当>e，即0( http: / / www.21cnjy.com )1，e]上单调递减，所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(e)一、选择题
1．某个与正整数有关的命题：如果当n＝
( http: / / www.21cnjy.com )k(k∈N
)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得(　　)
A．当n＝4时命题不成立
B．当n＝6时命题不成立
C．当n＝4时命题成立
D．当n＝6时命题成立
解析：选A　因为当n＝k(k∈N
( http: / / www.21cnjy.com ))时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立．
2．证明1＋＋＋＋…＋>(n∈N
)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是(　　)
A．1　　　　　　　　
　B．k－1
C．k
D．2k
解析：选D　当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋＋…＋；
当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋＋…＋＋＋…＋，增加了＋…＋项，共(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项．
3．已知数列{an}的前n项之和为Sn且Sn＝2n－an(n∈N
)，若已经算出a1＝1，a2＝，则猜想an等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D　∵a1＝1，a2＝，
S3＝1＋＋a3＝6－a3，
∴a3＝.
同理可得a4＝.观察1，，，，…，
猜想an＝.
4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，
( http: / / www.21cnjy.com )且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么下列命题总成立的是(　　)
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立
D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
解析：选D　对于A，若f(
( http: / / www.21cnjy.com )3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时均有f(k)≥k2成立，故B错；对于C应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k2成立”．
5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N
都成立，那么a，b的值为(　　)
A．a＝，b＝
B．a＝b＝
C．a＝0，b＝
D．a＝，b＝
解析：选A　法一：特值验证法，将各选项中a，b的值代入原式，令n＝1,2验证易知选A.
法二：∵1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N
都成立，
∴当n＝1,2时有
即解得
二、填空题
6．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，那么f(n＋1)－f(n)等于________．
解析：f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
答案：＋＋
7．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________________________________________________．
解析：观察不等式左边的分母可知，后一项比前一项多1，因此由n＝k到n＝k＋1左边多出了这一项．
答案：＋＋…＋＋>－
8．用数学归纳法证明34
( http: / / www.21cnjy.com )n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________________________．
解析：当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋5
( http: / / www.21cnjy.com )2(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.
答案：25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2
三、解答题
9．平面内有n(n≥2，n∈N
)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点．证明：交点的个数f(n)＝.
证明：(1)当n＝2时，两条直线有一个交点，f(2)＝1，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N
)时，命题成立，
即f(k)＝.
那么，当n＝k＋1时，第k＋1条
( http: / / www.21cnjy.com )直线与前k条直线均有一个交点，即新增k个交点，所以f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝＝，即当n＝k＋1时命题也成立．
根据(1)和(2)，可知命题对任何n≥2，n∈N
都成立．
10．设数列的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n＝1,2,3，…)．
(1)求a1，a2；
(2)求的通项公式，并用数学归纳法证明．
解：(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0，
有一根S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，
解得a1＝.
当n＝2时，x2－a2x－a2＝0，有一根S2－1＝a2－，
于是2－a2－a2＝0，
解得a2＝.
(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
即S－2Sn＋1－anSn＝0.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.(
)
由(1)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.
由(
)可得S3＝.
由此猜想Sn＝，n＝1,2,3，….
下面用数学归纳法证明这个结论．
①n＝1时已知结论成立．
②假设n＝k(k∈N
)时结论成立，
即Sk＝，
当n＝k＋1时，由(
)得Sk＋1＝，即Sk＋1＝.
故n＝k＋1时结论也成立．
由①②可知Sn＝对所有正整数n都成立．阶段质量检测(四)　模块综合检测
班级：____________　姓名：____________　得分：____________
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．(大纲卷)设z＝，则z的共轭复数为(　　)
A．－1＋3i　　　　　　
B．－1－3i
C．1＋3i
D．1－3i
2．若函数f(x)＝excos
x，则此函数的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为(　　)
A．0
B．锐角
C.
D．钝角
3．用反证法证明命题“若函数f(x)＝x2
( http: / / www.21cnjy.com )＋px＋q，那么|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”时，反设正确的是(　　)
A．假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都不小于
B．假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于
C．假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|至多有两个小于
D．假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|至多有一个小于
4．设a＝x－dx，b＝1－xdx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系(　　)
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．a＞c＞b
D．b＞c＞a
5.由①y＝2x＋5是一次函数
( http: / / www.21cnjy.com )；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是(　　)
A．②①③
B．③①②
C．①②③
D．②③①
6.如图，我们知道，圆环也可以
( http: / / www.21cnjy.com )看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×，所以，圆环的面积等于以线段AB＝R－r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M＝(其中0A．2πr2d
B．2π2r2d
C．2πrd2
D．2π2rd2
7．观察下列各式：55＝3
125,56＝15
625,57＝78
125，…，则52
015的末四位数字为(　　)
A．3
125
B．5
625
C．0
625
D．8
125
8．下面给出了关于复数的四种类比推理：
①复数的加减法运算，可以类比多项式的加减法运
( http: / / www.21cnjy.com )算法则；②由向量a的性质|a|2＝a2，可以类比得到复数z的性质：|z|2＝z2；③方程ax2＋bx＋c＝0，(a，b，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b2－4ac>0，类比可得方程ax2＋bx＋c＝0，(a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的复数根的条件是b2－4ac>0；④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义．
其中类比得到的结论正确的是(　　)
A．①③
B．②④
C．②③
D．①④
9．设x＞0，y＞0，A＝，B＝＋，则A与B的大小关系为(　　)
A．A＞B
B．A≥B
C．A＜B
D．A≤B
10．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．若复数z满足＋i＝，则|z|＝________.
12．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为________．
13．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形，如下图所示：
第n个正方形数是________．
14．若O为△ABC内部任意一点，连接A
( http: / / www.21cnjy.com )O并延长交对边于A′，则＝，同理连接BO，CO并延长，分别交对边于B′，C′，这样可以推出＋＋＝________；类似地，若O为四面体ABCD内部任意一点，连接AO，BO，CO，DO并延长，分别交相对的面于A′，B′，C′，D′，则＋＋＋＝________.
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤)
15．(本小题满分12分)已知F(x)＝t(t－4)dt，x∈(－1，＋∞)．
(1)求F(x)的单调区间；
(2)求函数F(x)在[1,5]上的最值．
16．(本小题满分12分)在△ABC中，AB
( http: / / www.21cnjy.com )⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋.在四面体A BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－3x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝是函数f(x)的极值点，是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，试说明理由．
18．(本小题满分14分)已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝.
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
答
案
1．选D　∵z＝＝＝1＋3i，∴＝1－3i.
2．选D　f′(x)＝ex·cosx＋ex
( http: / / www.21cnjy.com )·(－sin
x)＝ex(cos
x－sin
x)．当x＝1时，cos
x－sin
x＜0，故f′(1)＜0，所以倾斜角为钝角．
3．选B　“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”的反设为“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于”．
4．解析：选A　由题意可得a＝x－dx＝eq
\f(x,－\f(1,3)＋1)
EMBED
Equation.DSMT4
＝x＝；b＝1－xdx＝1－eq
\f(x,\f(3,2))
EMBED
Equation.DSMT4
＝1－＝；c＝x3dx＝＝.综上，a＞b＞c.
5．选B　该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图象是一条直线(结论)．
6．选B　平面区域M的面积为
( http: / / www.21cnjy.com )πr2，由类比知识可知：平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体类似于为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr2)为底，以O为圆心、d为半径的圆的周长2πd为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V＝πr2×2πd＝2π2r2d.
7．选D　∵55＝3
125,56＝15
625,57＝8
125，
58＝390
625,59＝1
953
125,510＝9
765
625，…
∴5n(n∈Z，且n≥5)的
( http: / / www.21cnjy.com )末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则f(2
015)＝f(502×
4＋7)＝f(7)．
∴52
015与57的末四位数字相同，均为8
125.
8．选D　②中|z|2∈R，但z2不一定是实数．③中复数集不能比较大小，不能用b2－4ac来确定根的个数．
9．选C　＋＞＋＝.
10．选C　由函数f(x
( http: / / www.21cnjy.com ))在x＝－2处取得极小值可知x<－2，f′(x)<0，则xf′(x)>0；x>－2，f′(x)>0，则－20时，xf′(x)>0.
11．解析：∵＝－i＝－i＝－i2－3i－i＝1－4i，∴z＝1＋4i.∴|z|＝＝.
答案：
12．解析：∵直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，y＝x3＋ax＋b的导数y′＝3x2＋a.
∴解得a＝－1，b＝3，
∴2a＋b＝1.
答案：1
13．解析：观察前5个正方形数，正好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.
答案：n2
14．解析：根据面积公式，在△ABC中，
＝＝1－
＝1－＝，
所以＋＋
＝3－
＝3－＝2.
根据体积分割方法，同理可得在四面体ABCD中，
＋＋＋
＝4－
＝4－＝3.
答案：2　3
15．解：F(x)＝
(t2－4t)dt＝
＝x3－2x2－
＝x3－2x2＋(x>－1)．
(1)F′(x)＝x2－4x，
由F′(x)>0，即x2－4x>0，得－14；
由F′(x)<0，即x2－4x<0，得0∴F(x)的单调递增区间为(－1,0)和(4，＋∞)，
单调递减区间为(0,4)．
(2)由(1)知F(x)在[1,4]上递减，在[4,5]上递增，∵F(1)＝－2＋＝，
F(4)＝×43－2×42＋＝－，
F(5)＝×53－2×52＋＝－6，
∴F(x)在[1,5]上的最大值为，最小值为－.
16．
证明：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，
∴＝
＝＝.
又BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋.
所以＝＋.
猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想四面体A BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.
如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF 平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋.
∴＝＋＋，故猜想正确．
17．解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax－3，
∵f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0，
∴－≤1，且f′(1)＝2a≥0.
∴a≥0.
故实数a的取值范围为[0，＋∞)．
(2)由题意知f′＝0，
即＋－3＝0，
∴a＝4.
∴f(x)＝x3＋4x2－3x.
若函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x3＋4x2－3x＝bx恰有3个不等实根．
∵x＝0是其中一个根，
∴方程x2＋4x－(3＋b)＝0有两个非零不等实根．
∴
∴b>－7，且b≠－3.
∴满足条件的b存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)．
18．解：(1)由an＋1＝可得a2＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝.
(2)推测an＝.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，左边＝a1＝a，
右边＝＝a，结论成立．
②假设n＝k时等式成立，
有ak＝，
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝＝
＝
＝.
故当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②可知，对任何n∈N
都有an＝.www.
模块综合检测(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．设z＝，则z的共轭复数为(　　)
A．－1＋3i　　　　　
　B．－1－3i
C．1＋3i
D．1－3i
解析：选D　∵z＝＝＝1＋3i，∴＝1－3i.
2．若函数f(x)＝excos
x，则此函数的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为(　　)
A．0
B．锐角
C.
D．钝角
解析：选D　f′(x)＝ex·cosx＋
( http: / / www.21cnjy.com )ex·(－sin
x)＝ex(cos
x－sin
x)．当x＝1时，cos
x－sin
x＜0，故f′(1)＜0，所以倾斜角为钝角．
3．用反证法证明命题“若函数f(x)＝x2
( http: / / www.21cnjy.com )＋px＋q，那么|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”时，反设正确的是(　　)
A．假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都不小于
B．假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于
C．假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|至多有两个小于
D．假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|至多有一个小于
解析：选B　“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”的反设为“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于”．
4．设a＝xdx，b＝1－xdx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系(　　)
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．a＞c＞b
D．b＞c＞a
解析：选A　由题意可得a＝x－dx＝eq
\f(x,－\f(1,3)＋1)＝x＝；b＝1－xdx＝1－eq
\f(x,\f(3,2))＝1－＝；c＝x3dx＝＝.综上，a＞b＞c.
5．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x
( http: / / www.21cnjy.com )＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是(　　)
A．②①③
B．③①②
C．①②③
D．②③①
解析：选B　该“三段论”应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图象是一条直线(结论)．
6．如下图，我们知道，圆环
( http: / / www.21cnjy.com )也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×.所以，圆环的面积等于以线段AB＝R－r为宽，以AB的中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M＝(其中0A．2πr2d
B．2π2r2d
C．2πrd2
D．2π2rd2
解析：选B　平面区域M的面积为πr2，
( http: / / www.21cnjy.com )由类比知识可知：平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体类似于为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr2)为底，以O为圆心、d为半径的圆的周长2πd为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V＝πr2×2πd＝2π2r2d.
7．观察下列各式：55＝3
125,56＝15
625,57＝78
125，…，则52
015的末四位数字为(　　)
A．3
125
B．5
625
C．0
625
D．8
125
解析：选D　∵55＝3
125,56＝15
625,57＝78
125，
58＝390
625,59＝1
953
125,510＝9
765
625，…，
∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位
( http: / / www.21cnjy.com )数字呈周期性变化，且最小正周期为4.记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则f(2
015)＝f(502×
4＋7)＝f(7)，
∴52
015与57的末四位数字相同，均为8
125.
8．下面给出了关于复数的四种类比推理：
①复数的加、减法运算，可以类比多项式的加、减法运算法则；
②由向量a的性质|a|2＝a2，可以类比得到复数z的性质|z|2＝z2；
③方程ax2＋bx＋c＝0(a，b
( http: / / www.21cnjy.com )，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b2－4ac>0，类比可得方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的复数根的条件是b2－4ac>0；
④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义．
其中类比得到的结论正确的是(　　)
A．①③
B．②④
C．②③
D．①④
解析：选D　②中|z|2∈R，但z2不一定是实数．③中复数集不能比较大小，不能用b2－4ac来确定根的个数．
9．设x＞0，y＞0，A＝，B＝＋，则A与B的大小关系为(　　)
A．A＞B
B．A≥B
C．A＜B
D．A≤B
解析：选C　＋＞＋＝.
10．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)
解析：选C　由函数f(x)在x＝－2处取得极
( http: / / www.21cnjy.com )小值可知x<－2，f′(x)<0，则xf′(x)>0；x>－2，f′(x)>0，则－20时，xf′(x)>0.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．若复数z满足＋i＝，则|z|＝________.
解析：∵＝－i＝－i＝－i2－3i－i＝1－4i，∴z＝1＋4i.∴|z|＝＝.
答案：
12．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为________．
解析：∵直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，y＝x3＋ax＋b的导数y′＝3x2＋a，
∴解得a＝－1，b＝3，
∴2a＋b＝1.
答案：1
13．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形，如下图所示：
第n个正方形数是________．
解析：观察前5个正方形数，正好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.
答案：n2
14．若O为△ABC内部任
( http: / / www.21cnjy.com )意一点，连接AO并延长交对边于A′，则＝，同理连接BO，CO并延长，分别交对边于B′，C′，这样可以推出＋＋＝________；类似地，若O为四面体ABCD内部任意一点，连接AO，BO，CO，DO并延长，分别交相对的面于A′，B′，C′，D′，则＋＋＋＝________.
解析：根据面积公式，在△ABC中，
＝＝1－
＝1－＝，
所以＋＋
＝3－
＝3－＝2.
根据体积分割方法，同理可得在四面体ABCD中，
＋＋＋
＝4－
＝4－＝3.
答案：2　3
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤)
15．(本小题满分12分)已知F(x)＝t(t－4)dt，x∈(－1，＋∞)．
(1)求F(x)的单调区间；
(2)求函数F(x)在[1,5]上的最值．
解：F(x)＝
(t2－4t)dt＝
＝x3－2x2－
＝x3－2x2＋(x>－1)．
(1)F′(x)＝x2－4x，
由F′(x)>0，即x2－4x>0，得－14；
由F′(x)<0，即x2－4x<0，得0∴F(x)的单调递增区间为(－1,0)和(4，＋∞)，
单调递减区间为(0,4)．
(2)由(1)知F(x)在[1,4]上递减，在[4,5]上递增，∵F(1)＝－2＋＝，
F(4)＝×43－2×42＋＝－，
F(5)＝×53－2×52＋＝－6，
∴F(x)在[1,5]上的最大值为，最小值为－.
16．(本小题满分12分
( http: / / www.21cnjy.com ))在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋.那么在四面体A BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
证明：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，
∴＝
＝＝.
又∵BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋，
∴＝＋.
类比题中结论猜想：在四面体A BCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.
如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD.
而AF 平面ACD，
∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋，
∴＝＋＋，故猜想正确．
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－3x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
(2)若x＝是函数f(x)的极值点，
( http: / / www.21cnjy.com )是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax－3，
∵f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0，
∴－≤1，且f′(1)＝2a≥0，
∴a≥0，
故实数a的取值范围为[0，＋∞)．
(2)由题意知f′＝0，
即＋－3＝0，
∴a＝4，
∴f(x)＝x3＋4x2－3x.
若函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x3＋4x2－3x＝bx恰有3个不等实根．
∵x＝0是其中一个根，
∴方程x2＋4x－(3＋b)＝0有两个非零不等实根，
∴
∴b>－7，且b≠－3，
∴满足条件的b存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)．
18．(本小题满分14分)已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝.
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
解：(1)由an＋1＝可得a2＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝.
(2)推测an＝.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，左边＝a1＝a，
右边＝＝a，结论成立．
②假设n＝k(n∈N
)时等式成立，
有ak＝，
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝＝
＝
＝，
故当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②可知，对任何n∈N
都有an＝.www.
阶段质量检测(三)　数系的扩充与复数的引入
班级：____________　姓名：____________　得分：____________
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．(江西高考)已知集合M{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝(　　)
A．－2i　　　　　　　　　
B．2i
C．－4i
D．4i
2．复数z＝(i为虚数单位)的虚部为(　　)
A．1
B．－1
C．±1
D．0
3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
4．复数z＝的共轭复数是(　　)
A．2＋i
B．2－i
C．－1＋i
D．－1－i
5．在复平面内，复数，(i为虚数单位)对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为(　　)
A.
B．1
C.i
D．i
6．(安徽高考)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝(　　)
A．－2
B．－2i
C．2
D．2i
7．(陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，则＝
B．若z1＝，则＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2·
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
8．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0,3)
B．(－∞，－2)
C．(－2,0)
D．(3,4)
9．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为(　　)
A．3－i
B．1＋3i
C．3＋i
D．1－3i
10．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　)
A．b＝2，c＝3
B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1
D．b＝2，c＝－1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11.若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是________．
12．计算：[(1＋2i)·i100－i]2－30＝________.
13．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝________.
14．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)且＋＝，则复数z在复平面对应的点位于第________象限．
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤)
15．(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.
16．(本小题满分12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：
(1)z1z2；(2).
17．(本小题满分12分)已知复
( http: / / www.21cnjy.com )数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－|＜|z1|，求a的取值范围．
18．(本小题满分14分)
( http: / / www.21cnjy.com )已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a的取值范围．
答
案
1．选C　由M∩N＝{4}，知4∈M，故zi＝4，故z＝＝＝－4i.
2．选B　因为z＝＝－1－i，所以复数z的虚部为－1.
3．选B　∵ab＝0，∴a＝0或b
( http: / / www.21cnjy.com )＝0.由复数a＋＝a－bi为纯虚数，得a＝0且b≠0.∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
4．选D　z＝＝＝＝－1＋i，
所以其共轭复数为＝－1－i.
5．选A　＝－i，＝＋i，故在复平面内对应的点A，B，故点C，对应的复数为.
6．选C　因为z＝1＋i，所以＋i·＝－i＋1＋i＋1＝2.
7．选D　对于A，|z1－z
( http: / / www.21cnjy.com )2|＝0 z1＝z2 ＝，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋i，则|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i，是假命题．
8．选D　整理得z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应的点位于第二象限，则解得3＜m＜4.
9．选A　由定义知＝zi＋z，得zi＋z＝4＋2i，即z＝＝3－i.
10．选B　因为1＋i是实系数方程的一个复数根，所以1－i也是方程的根，
则1＋i＋1－i＝2＝－b，(1＋i)(1－i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.
11．解析：由图知z＝2＋i，则＝＝＝i，其共轭复数是－i.
答案：－i
12．解析：原式＝[(1＋2i)－i]2－＝(1＋i)2＋i＝3i.
答案：3i
13．解析：＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝
＝2，所以a2＝3.
又a为正实数，所以a＝.
答案：
14．解析：∵a，b∈R且＋＝，
即＋＝，
∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
即解得
∴z＝7－10i.
∴z对应的点位于第四象限．
答案：四
15．解：(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z是实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数．
(3)当即k＝4时，z是纯虚数．
(4)当即k＝－1时，z是0.
16．解：因为z2＝＝＝＝＝1－3i，所以：
(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i；
(2)＝＝＝＝＋i.
17．解：∵z1＝＝2＋3i，z2＝a－2－i，＝a－2＋i，
∴|z1－|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|
＝
，
又∵|z1|＝，|z1－|＜|z1|，
∴
＜，
∴a2－8a＋7＜0，解得1＜a＜7.
∴a的取值范围是(1,7)．
18．解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，
由z＋2i为实数，得y＝－2.
∵＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由为实数，得x＝4.
∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件，可知
解得2∴实数a的取值范围是(2,6)．课时跟踪检测(三)　几个常用函数的导数、基本初等函数的导
数公式及导数的运算法则
一、选择题
1．函数y＝x3cos
x的导数是(　　)
A．y′＝3x2cos
x＋x3sin
x
B．y′＝3x2cos
x－x3sin
x
C．y′＝3x2cos
x
D．y′＝－x3sin
x
解析：选B　y′＝(x3co
( http: / / www.21cnjy.com )s
x)′＝(x3)′cos
x＋x3(cos
x)′＝3x2cos
x＋x3(－sin
x)＝3x2cos
x－x3sin
x，故选B.
2．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为(　　)
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝x4－2
C．f(x)＝x3＋1
D．f(x)＝x4－1
解析：选B　由f′(x)＝4x3知，f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得．
3．已知曲线y＝－3ln
x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　)
A．3
B．2
C．1
D.
解析：选A　因为y′＝－，所以根据导数的几何意义可知－＝，解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．
4．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)
A．－
B.
C．－
D.
解析：选B　y′＝
＝，把x＝代入，得导数值为，即为所求切线的斜率．
5．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为(　　)
A．1
B．±1
C．－1
D．－2
解析：选A　设切点为(x0，y0)，则y0＝
( http: / / www.21cnjy.com )3x0＋1，且y0＝ax＋3，所以3x0＋1＝ax＋3…①.对y＝ax3＋3求导，得y′＝3ax2，则3ax＝3，ax＝1…②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.
二、填空题
6．(江西高考)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
解析：因为f(ex)＝x＋ex，所以f(x)＝x＋ln
x(x>0)，所以f′(x)＝1＋，所以f′(1)＝2.
答案：2
7．已知函数f(x)＝f′cos
x＋sin
x，则f＝________.
解析：∵f′(x)＝－f′sin
x＋cos
x，
∴f′＝－f′×＋
，
得f′＝
－1，
∴f(x)＝(－1)cos
x＋sin
x，
∴f＝1.
答案：1
8．若曲线f(x)＝ln
x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝＋a，
∵曲线f(x)＝ln
x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴＋a＝2有解，即＝2－a有解．又∵x>0，
∴2－a>0，∴a<2.
答案：(－∞，2)
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝3x2＋xsin
x；
(2)y＝(x2＋3)(ex＋ln
x)；
(3)y＝.
解：(1)y′＝(3x2)′＋(xsin
x)′
＝6x＋sin
x＋x(sin
x)′
＝6x＋sin
x＋xcos
x.
(2)y′＝(x2＋3)′(ex＋ln
x)＋(x2＋3)(ex＋ln
x)′
＝2x(ex＋ln
x)＋(x2＋3)
＝ex(x2＋2x＋3)＋2xln
x＋x＋.
(3)y′＝′＝
＝.
10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的
( http: / / www.21cnjy.com )导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，
所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b.又因为
( http: / / www.21cnjy.com )f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b.又因为f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－，则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又因为f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.课时跟踪检测(十五)　综合法和分析法
一、选择题
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②
( http: / / www.21cnjy.com )综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有(　　)
A．2个　　　　　　
　B．3个
C．4个
D．5个
解析：选C　①②③⑤正确．
2．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：选A　本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A项中，f′(x)＝′＝－＜0，∴f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数．
3．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．8
B．4
C．1
D.
解析：选B　是3a与3b的等比中项 3a·
( http: / / www.21cnjy.com )3b＝3 3a＋b＝3 a＋b＝1，因为a＞0，b＞0，所以≤＝ ab≤，所以＋＝＝≥＝4.
4．A，B为△ABC的内角，A>B是sin
A>sin
B的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C　若A>B，则a>b.
又∵＝，∴sin
A>sin
B.
若sin
A>sin
B，则由正弦定理得a>b，
∴A>B.
5．已知f(x)＝ax＋1,0＜a＜1，若x1，x2∈R，且x1≠x2，则(　　)
A.≤f
B.＝f
C.≥f
D.＞f
解析：选D　因为x1≠x2，所以＝＞
＝a＋1＝f，
所以＞f.
二、填空题
6．命题“函数f(x)＝x－xln
( http: / / www.21cnjy.com )
x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln
x取导得f′(x)＝－ln
x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln
x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．
解析：该证明过程符合综合法的特点．
答案：综合法
7．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．
解析：a＋b＞a＋b
a－a＞b－b
a(－)＞b(－)
(a－b)(－)＞0
(＋)(－)2＞0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
答案：a≥0，b≥0且a≠b
8．已知sin
θ＋cos
θ＝且≤θ≤，则cos
2θ＝________.
解析：因为sin
θ＋cos
θ＝，所以1＋sin
2θ＝，所以sin
2θ＝－.因为≤θ≤，所以π≤2θ≤，
所以cos
2θ＝－＝－.
答案：－
三、解答题
9．求证：2cos(α－β)－＝.
证明：要证原等式成立，只需证：
2cos(α－β)sin
α－sin(2α－β)＝sin
β，
左边＝2cos(α－β)sin
α－sin[(α－β)＋α]
＝2cos(α－β)sin
α－sin(α－β)cos
α－cos(α－β)sin
α
＝cos(α－β)sin
α－sin(α－β)cos
α
＝sin
β＝右边．
所以等式成立．
10．设f(x)＝ln
x＋－1，证明：
(1)当x＞1时，f(x)＜(x－1)；
(2)当1＜x＜3时，f(x)＜.
证明：(1)记g(x)＝ln
x＋－1－(x－1)，则当x＞1时，g′(x)＝＋－＜0.
又因为g(1)＝0，故g(x)＜0，即f(x)＜(x－1)．
(2)记h(x)＝f(x)－，
则h′(x)＝＋－
＝－＜－
＝.
令p(x)＝(x＋5)3－21
( http: / / www.21cnjy.com )6x，则当1＜x＜3时，p′(x)＝3(x＋5)2－216＜0，因此p(x)在(1,3)内单调递减．又因为p(1)＝0，则p(x)＜0，故h′(x)＜0，
因此h(x)在(1,3)内单调递减．又因为h(1)＝0，
则h(x)＜0，故当1＜x＜3时，f(x)＜.课时跟踪检测(十三)　合情推理
一、选择题
1．下列类比推理恰当的是(　　)
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin
x＋sin
y
C．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c
答案：D
2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为(　　)
A．a1a2a3…a9＝29
B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9
D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：选D　等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1＋a2＋…＋a9＝2＋2＋…＋＝2×9.
3．观察式子：
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，…，
则可归纳出第n－1个式子为(　　)
A．1＋＋＋…＋<
B．1＋＋＋…＋<
C．1＋＋＋…＋<
D．1＋＋＋…＋<
解析：选C　观察可得第n－1个式子为：不等式的左边为的前n项的和，右边为分式.
4．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图①中的1,3
( http: / / www.21cnjy.com ),6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图②中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(　　)
A．289　　　　　　　　
　B．1
024
C．1
225
D．1
378
解析：选C　记三角形数构
( http: / / www.21cnjy.com )成的数列为{an}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2.
将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1
225.
5．将正整数排成如下形式：
1
2　
3　
4
5　
6　
7
　
8
　9
10　
11　
12　13　14　15　16
…
则数字2
013出现在(　　)
A．第44行第78列　　　
　B．第45行第78列
C．第44行第77列
D．第45行第77列
解析：选D　第n行有2n－1个数字，前n行
( http: / / www.21cnjy.com )的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1
936,452＝2
025，且1
936＜2
013＜2
025，∴2
013在第45行．
又∵2
025－2
013＝12，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2
013在第89－12＝77列．
二、填空题
6．设函数f(x)＝(x＞0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N
且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
解析：由已知可归纳如下：
f1(x)＝，
f2(x)＝，
f3(x)＝，
f4(x)＝，
…，
fn(x)＝.
答案：
7．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程
( http: / / www.21cnjy.com )Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地，在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示____________________．
解析：由方程的特点可知：平面几何
( http: / / www.21cnjy.com )中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．
答案：过原点的平面
8．观察下列等式：
23＝3＋5，
33＝7＋9＋11，
43＝13＋15＋17＋19，
53＝21＋23＋25＋27＋29，
…
若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于________．
解析：经观察，等式右边的数组成数列：3,5
( http: / / www.21cnjy.com ),7,9,11，…，所以由3＋(n－1)×2＝109，得n＝54，再由等式右边的数的个数为2,3,4，…，且分别等于左边数的底数，可得2＋3＋4＋…＋m＝54，即＝54，解得m＝10.
答案：10
三、解答题
9．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N
，m≥2)．
(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；
(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；
(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；
(4)已知an＝9
900，问：an是数列第几项？
解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的
( http: / / www.21cnjy.com )士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，…，故所求数列为6,12,20,30，….
(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N
.
(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
(4)令(n＋1)(n＋2)＝9
900，所以n＝98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．
10．已知椭圆具有以下性质：已知M，N
( http: / / www.21cnjy.com )是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1(a＞0，b＞0)写出类似的性质，并加以证明．
解：类似的性质为：已知M，N是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明如下：设点M，P的坐标为(m，n)，(x，y)，则N点的坐标为(－m，－n)．
∵点M(m，n)在已知双曲线－＝1上，
∴－＝1，得n2＝m2－b2.
同理y2＝x2－b2，∴y2－n2＝(x2－m2)．
则kPM·kPN＝·＝
＝·＝(定值)．
∴kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．课时跟踪检测(五)　函数的单调性与导数
一、选择题
1．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，0)　　　　　　
　B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞)
D．(－3,1)
解析：选D　y′＝－2xex
( http: / / www.21cnjy.com )＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x＋3)ex＞0，由于ex＞0，则－x2－2x＋3＞0，解得－3＜x＜1，所以函数的单调递增区间是(－3,1)．
2．y＝xln
x在(0,5)上是(　　)
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在上减，在上增
D．在上增，在上减
解析：选C　∵y′＝x′·ln
x＋x·(ln
x)′＝ln
x＋1，
∴当0＜x＜时，ln
x＜－1，即y′＜0，
∴y在上为减函数．
当＜x＜5时，ln
x＞－1，即y′＞0，
∴y在上为增函数．
3．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上的增函数的充要条件是(　　)
A．b2－3ac>0
B．b>0，c>0
C．b＝0，c>0
D．b2－3ac≤0
解析：选D　∵a>0，f(x)为R上的增函数，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0对x∈R恒成立，
∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac≤0，
∴b2－3ac≤0.
4．已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f′(x)＜g′(x)，则下列关系式中正确的是(　　)
A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b)
B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)
C．f(x)≥g(x)
D．f(a)－f(b)≥g(b)－g(a)
解析：选B　据题意，由f′(x)＜g′
( http: / / www.21cnjy.com )(x)得f′(x)－g′(x)＜0，故F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上为单调递减函数，由单调性知识知，必有F(x)≥F(b)，即f(x)－g(x)≥f(b)－g(b)，移项整理得f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)．
5．已知函数y＝xf′(x)的图象如下图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)
解析：选C　当0( http: / / www.21cnjy.com )0，∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数；当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此A、B、D选项错误，故选C.
二、填空题
6．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,2)，则b＝________，c＝________.
解析：f′(x)＝3x2
( http: / / www.21cnjy.com )＋2bx＋c，由题意知－1＜x＜2是不等式f′(x)＜0的解，即－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根，把－1,2分别代入方程，解得b＝－，c＝－6.
答案：－　－6
7．函数f(x)＝x－2sin
x在(0，π)上的单调递增区间为________．
解析：令f′(x)＝1－2cos
x＞0，则cos
x＜.又∈(0，π)，解得＜x＜π，所以函数的单调递增区间为.
答案：
8．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．
解析：若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b＞0.
答案：(0，＋∞)
三、解答题
9．若函数f(x)＝ax3＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
解：f′(x)＝3ax2＋1.
①当a＝0时，f(x)＝x－5在R上是单调递增的；
②当a≠0时，f′(x)＝0的根为有限个，因此要使函数f(x)在R上单调递增，只需f′(x)＝3ax2＋1≥0在R上恒成立即可，
则即所以a>0.
综上可知，实数a的取值范围是[0，＋∞)．
10．设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时f(x)≥0，求实数a的取值范围．
解：(1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．
令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.
若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0；
若a>1，则当x∈(0，ln
a)时，g′(
( http: / / www.21cnjy.com )x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，ln
a)时，g(x)<0，即f(x)<0，不符合题意，故实数a的取值范围为(－∞，1]．课时跟踪检测(六)　函数的极值与导数
一、选择题
1．(陕西高考)设函数f(x)＝＋ln
x，则(　　)
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
解析：选D　函数f(x)
( http: / / www.21cnjy.com )的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，当x＝2时，f′(x)＝0；当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；当02．函数y＝f(x)＝(x2－1)3＋1在x＝－1处(　　)
A．有极大值　　　　
　B．有极小值
C．无极值
D．无法判断极值情况
解析：选C　f′(x)＝
( http: / / www.21cnjy.com )6x(x2－1)2＝6x(x－1)2(x＋1)2，虽然f′(－1)＝0，但f′(x)在x＝－1的左右(附近)不变号，∴函数f(x)在x＝－1处没有极值．
3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的(　　)
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极小值为－，极大值为0
D．极大值为－，极小值为0
解析：选A　∵f′(x)＝3x2－2px－q，
∴f′(1)＝3－2p－q＝0.①
又∵f(1)＝1－p－q＝0，②
由①②解得p＝2，q＝－1，
即f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.
令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，
从而当x∈∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
故f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，
在上单调递减．
∴当x＝时，f(x)有极大值，
当x＝1时，f(x)有极小值0.
4．若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是(　　)
A．b＜1
B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜
解析：选C　f′(x)＝2x－2b＝2(x－
( http: / / www.21cnjy.com )b)，令f′(x)＝0，解得x＝b，由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值，则有0＜b＜1.当0＜x＜b时，f′(x)＜0；当b＜x＜1时，f′(x)＞0，符合题意，所以实数b的取值范围是0＜b＜1.
5．设函数f(x)＝x－ln
x(x＞0)，则y＝f(x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
解析：选D　f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝3，当0＜x＜3时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间(0,3)上为减函数．又因为f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，f＝＋1＞0，所以y＝f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．
二、填空题
6．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
解析：f′(x)＝＝，由题意得f′(1)＝＝0，解得a＝3.经检验，a＝3符合题意．
答案：3
7．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2
( http: / / www.21cnjy.com ))，令f′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.因为函数f(x)有极大值和极小值，所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
8．已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则f(x)的图象在(－1，3)内与x轴的交点的个数为________．
解析：因为f′(x)＝4x
( http: / / www.21cnjy.com )3＋9，当x∈(－1,3)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1,3)上单调递增．又因为f(－1)＝－3＜0，f(0)＝5＞0，所以f(x)在(－1，3)内与x轴只有一个交点．
答案：1
三、解答题
9．(新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8，从而得a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0，得x＝－ln
2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln
2，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(－2，－ln
2)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln
2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln
2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4.
10．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．
当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，由f′(x)>0解得x<－或x>，
由f′(x)<0，解得－∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，
(，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－，)．
(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，
f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1，
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1，
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
结合图象可知m的取值范围是(－3,1)．阶段质量检测(二)　推理与证明
班级：____________　姓名：____________　得分：____________
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为(　　)
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是(　　)
①y＝cos
x(x∈R)是三角函数；
②三角函数是周期函数；
③y＝cos
x(x∈R)是周期函数．
A．①②③　　　　　　　
B．②①③
C．②③①
D．③②①
3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”(　　)
A．各正三角形内一点
B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
4．(山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
5．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：(　　)
①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.
则正确的结论有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．用数学归纳法证明(n＋1
( http: / / www.21cnjy.com ))(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N
)时，从n＝k到n＝k＋1时，左边需增乘的代数式是(　　)
A．2k＋1
B．2(2k＋1)
C.
D.
7．已知a∈(0，＋∞)，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为(　　)
A．2n
B．n2
C．22(n－1)
D．nn
8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为(　　)
A．6n－2　　　　　　　　　
B．8n－2
C．6n＋2
D．8n＋2
9．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)
A．28
B．76
C．123
D．199
10．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2
015等于(　　)
A.
B.－1
C．2
D．3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．设函数f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．
12．已知
＝2
，
＝3
，
＝4
，…，若
＝6
(a，b均为实数)，请推测a＝________，b＝________.
13．若定义在区间D上的函数f(
( http: / / www.21cnjy.com )x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f
，称函数f(x)为D上的凸函数；现已知f(x)＝sin
x在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sin
A＋sin
B＋sin
C的最大值是________．
14.观察下列数字：
1
2　3　4
3
4
5　6　7
4
5
6　7　8　9　10
……
则第________行的各数之和等于2
0152.
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤)
15．(本小题满分12分)观察下列式子：
①sin210°＋cos240°＋sin
10°cos
40°＝；
②sin26°＋cos236°＋sin
6°cos
36°＝.
由上面两个式子的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．
16．(本小题满分12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，假设，，成等差数列．
(1)比较
与
的大小，并证明你的结论；
(2)求证：角B不可能是钝角．
17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)．
(1)求证：tan
＝.
(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
18．(本小题满分14分)在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝.
(1)求a1，a2，a3；
(2)由(1)猜想到数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
答
案
1．选A　观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.
2．选B　按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.
3．选C　正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．
4．选A　因为“方程x3＋ax＋b
( http: / / www.21cnjy.com )＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是方程x3＋ax＋b＝0没有实根．
5．选B　平面向量的数量积的运算满足交换律和
( http: / / www.21cnjy.com )分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．
6．选B　增乘的代数式为＝2(2k＋1)．
7．选D　将四个答案分别用n＝1,2,3检验即可，故选D.
8．选C　归纳“金鱼”图形的构成规律知
( http: / / www.21cnjy.com )，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.
9．选C　记an＋bn＝
( http: / / www.21cnjy.com )f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N
，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a10＋b10＝123.
10．选B　∵a1＝，an＋1＝1－，
∴a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，
a4＝1－＝，a5＝1－＝－1，
a6＝1－＝2，∴an＋3k＝an(n∈N
，k∈N
)
∴a2
015＝a2＋3×671＝a2＝－1.
11．解析：∵f(x)＝，
f(1－x)＝＝＝.
∴f(x)＋f(1－x)＝＝，
发现f(x)＋f(1－x)正好是一个定值，
∴2S＝×12，∴S＝3.
答案：3
12．解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数
( http: / / www.21cnjy.com )的整数与分数的关系，发现规律．由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测
中，a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35.
答案：6　35
13．解析：因为f(x)＝sin
x在(0，π)上是凸函数(小前提)，
所以(sin
A＋sin
B＋sin
C)≤sin(结论)，
即sin
A＋sin
B＋sin
C≤3sin＝.
因此，sin
A＋sin
B＋sin
C的最大值是.
答案：
14．解析：观察知，图中的第n行各数构成一个首项为n，公差为1，共2n－1项的等差数列，其各项和为
Sn＝(2n－1)n＋＝(2n－1)n＋(2n－1)·(n－1)＝(2n－1)2，
令(2n－1)2＝2
0152，得2n－1＝2
015，解得n＝1
008.
答案：1
008
15．解：猜想sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin
αcos(30°＋α)＝.
证明如下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin
αcos(30°＋α)
＝＋＋[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)]
＝1＋＋sin(2α＋30°)－
＝＋[cos
60°·cos
2α－sin
60°sin
2α－cos
2α]＋sin(2α＋30°)
＝－·＋sin(2α＋30°)
＝－sin(2α＋30°)＋sin(2α＋30°)＝，
即sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin
α·cos(30°＋α)＝.
16．解：(1)
＜
.证明如下：
要证
＜
，只需证＜.
∵a，b，c＞0，∴只需证b2＜ac.
∵，，成等差数列，
∴＝＋≥2
，∴b2≤ac.
又a，b，c均不相等，∴b2＜ac.
故所得大小关系正确．
(2)证明：法一　假设角B是钝角，则cos
B＜0.
由余弦定理得
cos
B＝≥＞＞0，
这与cos
B＜0矛盾，故假设不成立．
所以角B不可能是钝角．
法二　假设角B是钝角，则角B的对边b为
( http: / / www.21cnjy.com )最大边，即b＞a，b＞c，所以＞＞0，＞＞0，则＋＞＋＝，这与＋＝矛盾，故假设不成立．
所以角B不可能是钝角．
17．解：(1)根据两角和的正切公式得tan＝＝＝，
即tan＝，命题得证．
(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数．
因为f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝－，
所以f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝－＝f(x)．
所以f(x)是以4a为周期的周期函数．
18．解：(1)S1＝a1＝，得a＝1，
因为an＞0，所以a1＝1.
S2＝a1＋a2＝，得a＋2a2－1＝0，
所以a2＝－1.
S3＝a1＋a2＋a3＝，
得a＋2a3－1＝0，所以a3＝－.
(2)猜想an＝－(n∈N
)．
证明：①n＝1时，
a1＝－＝1，命题成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N
)时，
ak＝－成立，
则n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－，即ak＋1
＝－
＝－，
所以a＋2ak＋1－1＝0，
所以ak＋1＝－，则n＝k＋1时，命题成立．
由①②知，n∈N
，an＝－.课时跟踪检测(十)　定积分的概念
一、选择题
1．若f(x)dx＝1，g(x)dx＝－3，则[2f(x)＋g(x)]dx＝(　　)
A．2　　　　　　　　　
　B．－3
C．－1
D．4
解析：选C　[2f(x)＋g(x)]dx＝2f(x)dx＋
g(x)dx＝2×1－3＝－1.
2．由定积分的几何意义可得dx的值等于(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选A　定积分dx等于直线y＝与x＝0，x＝2，y＝0围成三角形的面积S＝×2×1＝1.
3．已知f(x)为偶函数，且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于(　　)
A．0
B．4
C．8
D．16
解析：选D　∵被积函数f(x)是偶函数，
∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形的面积相等．
∴f(x)dx＝2f(x)dx＝2×8＝16.
4．定积分(－3)dx＝(　　)
A．－6
B．6
C．－3
D．3
解析：选A　3dx表示的面积S＝3×2＝6，
(－3)dx＝－3dx＝－6.
5．定积分xdx与dx的大小关系是(　　)
A.xdx＝dx
B.xdx＞dx
C.xdx＜dx
D．无法确定
解析：选C　由定积分的几何意义结合右图可知xdx＜dx.
二、填空题
6．设f(x)是连续函数，若f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝________.
解析：f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，
所以f(x)dx＝f(x)dx－f(x)dx＝－2.
答案：－2
7．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．
解析：由定积分的几何意义知，S＝dx.
答案：dx
8.
(sin
x＋2x)dx＝________.
解析：由定积分的性质可得
(sin
x＋2x)dx＝
sin
xdx＋2xdx，又y＝sin
x与y＝2x都是奇函数，故所求定积分为0.
答案：0
三、解答题
9．求f(x)dx的值，其中f(x)＝
且
(2x－1)dx＝－2，e－xdx＝1－e－1.
解：对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx
＝
(2x－1)dx＋e－xdx
＝－2＋1－e－1＝－(e－1＋1)．
10．利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．
(1)
|x|dx；
(2)[1－]dx.
解：(1)如下图，因为A1＝A2，
所以|x|dx＝2A1＝2×＝1.
(A1，A2分别表示图中相应各处面积)
(2)[1－]dx＝1dx－dx，即用边长为1的正方形的面积减去圆(x－1)2＋y2＝1的面积的，为1－.课时跟踪检测(十六)　反证法
一、选择题
1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是(　　)
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至少有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
解析：选B　“至少有一个”即“全部中最少有一个”．
2．用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为(　　)
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
解析：选D　自然数a，b，c的奇偶
( http: / / www.21cnjy.com )性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．”
3．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容应是(　　)
A.＝成立
B.＜成立
C.＝或＜成立
D.＝且＜成立
解析：选C　“大于”的否定为“小于或等于”．
4.“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°.”下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
(1)所以∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
(2)所以∠B<90°；
(3)假设∠B≥90°；
(4)那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是(　　)
A．(1)(2)(3)(4)　　
　B．(4)(3)(2)(1)
C．(3)(4)(1)(2)
D．(3)(4)(2)(1)
解析：选C　根据反证法证题的步骤可知选C.
5．已知数列{an}，{bn}的通项公
( http: / / www.21cnjy.com )式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．无穷多个
解析：选A　假设存在序号和数值均相等的项，即
( http: / / www.21cnjy.com )存在n使得an＝bn，由题意a＞b，n∈N
，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn.
二、填空题
6．△ABC中，若AB＝AC，P是△A
( http: / / www.21cnjy.com )BC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为________________________________________________．
解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.
答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP
7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
解析：由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.
答案：③①②
8．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是________．
解析：假设AC，BD共面，均在
( http: / / www.21cnjy.com )平面α内，即AC α，BD α，则A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，∴AB α，CD α，这与AB，CD异面矛盾，∴AC，BD异面．
答案：异面
三、解答题
9．已知x，y>0，且x＋y>2.求证：，中至少有一个小于2.
证明：假设，都不小于2，
即≥2，≥2.
∵x>0，y>0，
∴1＋x≥2y,1＋y≥2x，
∴2＋x＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2，与已知x＋y>2矛盾，
∴，中至少有一个小于2.
10．已知f(x)＝ax＋(a＞1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．
证明：假设x0是f(x)＝0的负数根，
则x0＜0且x0≠－1，且ax0＝－，
由0＜ax0＜1 0＜－＜1，
解得＜x0＜2，这与x0＜0矛盾，所以假设不成立，故方程f(x)＝0没有负数根．课时跟踪检测(九)　曲边梯形的面积　汽车行驶的路程
一、选择题
1．下列函数在其定义域上不是连续函数的是(　　)
A．y＝x2　　　　　　　
　B．y＝|x|
C．y＝
D．y＝
解析：选D　由于函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故其图象不是连续不断的曲线．
2．在求由x＝a，x＝b(a
( http: / / www.21cnjy.com )A．n个小曲边梯形的面积和等于S
B．n个小曲边梯形的面积和小于S
C．n个小曲边梯形的面积和大于S
D．n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定
解析：选A　n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.
3．和式(yi＋1)可表示为(　　)
A．(y1＋1)＋(y5＋1)
B．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋1
C．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5
D．(y1＋1)(y2＋1)…(y5＋1)
解析：选C　(yi＋1)＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋(y3＋1)＋(y4＋1)＋(y5＋1)＝y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5.
4．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　将区间[0,1]三等分为，，，各小矩形的面积和为s1＝03·＋3·＋3·＝.
5．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C　将区间[0，a]
n
( http: / / www.21cnjy.com )等分，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，此区间长为，用小矩形面积2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则Sn＝2·＝·(12＋22＋…＋n2)＝·，依题意得
＝9，∴＝9，解得a＝3.
二、填空题
6．已知某物体运动的速度为v＝t，t
( http: / / www.21cnjy.com )∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．
解析：∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1，
∴物体运动的路程近似值s＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.
答案：55
7．物体运动的速度和时间的函数关系式
( http: / / www.21cnjy.com )为v(t)＝2t(t的单位：h；v的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为________km.
解析：以小区间右端点时的速度作为小
( http: / / www.21cnjy.com )区间的平均速度，可得过剩近似值为s＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66
(km)．
答案：66
8．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线
( http: / / www.21cnjy.com )y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.
解析：将区间[0,2]5等分为，，，，，以小区间左端点对应的函数值为高，得S1＝1＋2＋1＋2＋1＋2＋1＋2＋1×＝3.92，
同理S2＝2＋1＋2＋1＋2＋1＋2＋1＋22＋1×＝5.52.
答案：3.92　5.52
三、解答题
9．汽车行驶的速度为v＝t2，求汽车在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s.
解：(1)分割
将区间[0,1]等分为n个小区间
，，…，，…，，
每个小区间的长度为Δt＝－＝.
(2)近似代替
在区间(i＝1,2，…，n)上，汽车近似地看作以时刻处的速度v＝2做匀速行驶，则在此区间上汽车行驶的路程为2·.
(3)求和
在所有小区间上，汽车行驶的路程和为
sn＝02×＋2×＋2×＋…＋2×＝[12＋22＋…＋(n－1)2]＝×
＝.
(4)取极限
汽车行驶的路程
s＝sn＝＝.
10．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积．
解：(1)分割
将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个点，将区间[0,1]等分成n个小区间：
，，…，，
记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为
Δx＝－＝.
把每个小曲边梯形的面积记为
ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
(2)近似代替
把每个小曲边梯形近似地看作矩形，可得第i个小曲边梯形的面积的近似值
ΔSi≈
＝
＝·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
求出这n个小矩形的面积的和
Sn＝
＝·
＝·，
从而得到所求图形面积的近似值S≈.
(4)取极限
S＝
·＝.
所以由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积为.课时跟踪检测(二)　导数的几何意义
一、选择题
1．若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)等于(　　)
A．0
B．－3x
C．3
D．－3
解析：选D　法一：f′(x)＝
＝
＝li
(－3)＝－3.
法二：由导数的几何意义可知，f′(x)为直线y＝－3x－1的斜率，∴f′(x)＝－3.
2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴相交但不垂直
解析：选B　∵f′(x0)＝0，∴曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率为0.
3．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是(　　)
A．(0,0)
B．(2,4)
C.
D.
解析：选D　∵k＝
＝
＝
(2x＋Δx)＝2x，
∴2x＝tan＝1，∴x＝，从而y＝.
4．已知曲线y＝－x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为(　　)
A．30°
B．45°
C．135°
D．165°
解析：选C　∵点P在曲线y＝f(x)＝－x2－2上，∴在点P处的切线斜率为k＝f′(1)＝－1，
∴在点P处的切线的倾斜角为135°.
5．已知y＝f(x)的图象如下图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：选B　由题图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)二、填空题
6．y＝－在点处的切线方程是________．
解析：先求y＝－的导数：Δy＝－＋＝，＝，
＝
＝，即y′＝，所以y＝－在点处的切线斜率为f′＝4，所以切线方程是y＋2＝4，即y＝4x－4.
答案：y＝4x－4
7．对于函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
解析：因为f′(x0)＝
＝a，
f′(1)＝2，所以a＝2.
答案：2
8．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为________．
解析：设P点坐标为(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝＝4x0＋4.
又∵f′(x0)＝16，
∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P点坐标为(3,30)．
答案：(3,30)
三、解答题
9．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．
解：f′(x)＝
＝2x，
g′(x)＝
＝3x2.
因为f′(x)＋2＝g′(x)，所以2x＋2＝3x2，
解得x＝或x＝.
10．已知曲线y＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标和实数a的值．
解：设切点P的坐标为(x0，y0)，切线斜率为k.
由y′＝
＝
＝
(4x＋2Δx)＝4x，
得k＝f′(x0)＝4x0.
根据题意得4x0＝8，x0＝2.
分别代入y＝2x2＋a和y＝8x－15，
解得y0＝1，a＝－7，
故所求切点P的坐标为(2,1)，a＝－7.www.
课时跟踪检测(十九)　复数的几何意义
一、选择题
1．设z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则(　　)
A．a＞0，b＞0　　　　
　B．a＞0，b＜0
C．b＞0，a∈R
D．a＞0，b∈R
解析：选D　复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．
2．已知复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，集合A＝，B＝.若a，b∈A∩B，则|z|等于(　　)
A．1
B.
C．2
D．4
解析：选B　因为A∩B＝，所以a，b∈，所以|z|＝＝.
3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为(　　)
A．－2－i
B．－2＋i
C．1＋2i
D．－1＋2i
解析：选B　因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以对应的复数为－2＋i.
4．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选D　由∴复数z在复平面内对应的点位于第四象限．
5．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹是(　　)
A．直线
B．圆心在原点的圆
C．圆心不在原点的圆
D．椭圆
解析：选C　因为a，x，y∈R，所以a2＋2
( http: / / www.21cnjy.com )a＋2xy∈R，a＋x－y∈R.又因为a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，所以消去a得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，即x2＋y2－2x＋2y＝0，亦即(x－1)2＋(y＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为的圆．
二、填空题
6．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是________．
解析：由题意得z＝a＋i，根据复数的模的定义可知|z|＝.因为0＜a＜2，所以1＜a2＋1＜5，故1＜＜.
答案：(1，)
7．在复平面内，表示复数z＝(m－3)＋2i的点位于直线y＝x上，则实数m的值为________．
解析：由表示复数z＝(m－3)＋2i的点位于直线y＝x上，得m－3＝2，解得m＝9.
答案：9
8．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________.
解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由题意，得x＋yi－＝－1＋i，
即(x－)＋yi＝－1＋i.
根据复数相等的条件，得
解得∴z＝i.
法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，
等式两边取模，得|z|＝.
两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1 |z|＝1.
把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.
答案：i
三、解答题
9．实数m取什么值时，复数z＝2m＋(4－m2)i在复平面内对应的点：
(1)位于虚轴上？
(2)位于第一、三象限？
(3)位于以原点为圆心，4为半径的圆上？
解：(1)若复数z在复平面内的对应点位于虚轴上，
则2m＝0，即m＝0.
(2)若复数z在复平面内的对应点位于第一、三象限，
则2m(4－m2)>0，解得m<－2或0(3)若复数z的对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则＝4，即m4－4m2＝0，
解得m＝0或m＝±2.
10．已知复数z＝2＋cos
θ＋(1＋sin
θ)i(θ∈R)，试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线．
解：设复数z与复平面内的点(x，y)
( http: / / www.21cnjy.com )相对应，则由复数的几何意义可知由sin2θ＋cos2θ＝1可得(x－2)2＋(y－1)2＝1，所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1为半径的圆．课时跟踪检测(十一)　微积分基本定理
一、选择题
1.(x3＋x2－30)dx等于(　　)
A．56　　　　　　　
　B．28
C．14
D.
解析：选D　(x3＋x2－30)dx＝x4＋x3－30x＝(44－24)＋(43－23)－30×(4－2)＝.
2.
dx＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　dx＝x2dx＋dx＝x3＋＝(x3－x－3)＝－＝.
3．设f(x)＝则f(x)dx等于(　　)
A.
B.
C.
D．不存在
解析：选C　f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3＋
＝＋＝.
4．计算(1＋)dx的结果为(　　)
A．1
B.
C．1＋
D．1＋
解析：选C　∵dx＝，
∴(1＋)dx＝1dx＋dx＝1＋.
5．(江西高考)若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝(　　)
A．－1
B．－
C.
D．1
解析：选B　∵f(x)＝x2＋2f(x)dx，
∴f(x)dx＝＝＋2f(x)dx.
∴f(x)dx＝－.
二、填空题
6．若(2x－3x2)dx＝0，则k等于________．
解析：(2x－3x2)dx＝(x2－x3)
＝k2－k3＝0，
∴k＝0(舍)或k＝1.
答案：1
7．计算定积分
(x2＋sin
x)dx＝________.　
解析：
(x2＋sin
x)dx＝＝.
答案：
8．设f(x)＝
若f(f(1))＝1，则a＝________.
解析：显然f(1)＝lg
1＝0，f(0)＝0＋3t2dt＝t3＝a3，得a3＝1，a＝1.
答案：1
三、解答题
9．计算下列定积分．
(1)
(sin
x－sin
2x)dx；
(2)
(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.
解：(1)∵′＝sin
x－sin
2x，
∴
(sin
x－sin
2x)dx
＝
＝－
＝－－＋1－
＝－.
(2)∵|2x＋3|＋|3－2x|＝
∴
(|2x＋3|＋|3－2x|)dx
＝
(－4x)dx＋6dx＋4xdx
＝－2x2－＋6x＋2x2
＝(－2)×2－(－2)×(－3)2＋6×－6×＋2×32－2×2＝45.
10．已知f(x)＝
(12t＋4a)dt，F(a)＝[f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值．
解：因为f(x)＝
(12t＋4a)dt＝(6t2＋4at)
＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)＝6x2＋4ax－2a2，
F(a)＝[f(x)＋3a2]dx＝(6x2＋4ax＋a2)dx
＝(2x3＋2ax2＋a2x)
＝2＋2a＋a2
＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1.
所以当a＝－1时，F(a)的最小值为1.课时跟踪检测(十四)　演绎推理
一、选择题
1．给出下面一段演绎推理：
有理数是真分数，…………………………………大大前提
整数是有理数，…………………………………大小前提
整数是真分数．…………………………………大结论
结论显然是错误的，是因为(　　)
A．大前提错误　　　　　
　B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
解析：选A　推理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误．举反例，如2是有理数，但不是真分数．
2．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于(　　)
A．演绎推理
B．类比推理
C．合情推理
D．归纳推理
解析：选A　是由一般到特殊的推理，故是演绎推理．
3．下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由三角形的性质，推测四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝
(n≥2)，由此归纳出an的通项公式
解析：选A　B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理．
4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”补充以上推理的大前提(　　)
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
解析：选B　推理的大前提应该是矩形的对角线相等，表达此含义的选项为B.
5．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面
( http: / / www.21cnjy.com )，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b 平面α，直线a 平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.结论显然是错误的，这是因为(　　)
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
解析：选A　大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．
二、填空题
6．若有一段演绎推理：“大
( http: / / www.21cnjy.com )前提：整数是自然数．小前提：－3是整数．结论：－3是自然数．”这个推理显然错误，则推理错误的是________(填“大前提”“小前提”或“结论”)．
解析：整数不全是自然数，还有零与负整数，故大前提错误．
答案：大前提
7．已知推理：“因为△ABC的三边
( http: / / www.21cnjy.com )长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是____________________．
解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；
小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；
结论：△ABC是直角三角形．
答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
8．若不等式ax2＋2ax＋2＜0的解集为空集，则实数a的取值范围为________．
解析：①a＝0时，有2＜0，显然此不等式解集为 .
②a≠0时需有
所以0＜a≤2.
综上可知，实数a的取值范围是[0,2]．
答案：[0,2]
三、解答题
9．如下图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：
(1)平面AD1E∥平面BGF；
(2)D1E⊥AC.
证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，
∴D1F綊BE，
∴四边形BED1F是平行四边形，
∴D1E∥BF.
又∵D1E 平面BGF，BF 平面BGF，
∴D1E∥平面BGF.
∵F，G分别是D1D和DA的中点，
∵FG是△DAD1的中位线，
∴FG∥AD1.
又∵AD1 平面BGF，FG 平面BGF，
∴AD1∥平面BGF.
又∵AD1∩D1E＝D1，
∴平面AD1E∥平面BGF.
(2)如右图，连接BD，B1D1，
∵底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵D1D⊥AC，BD∩D1D＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1.
∵D1E 平面BDD1B1，
∴D1E⊥AC.
10．在数列中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N
.
(1)证明数列是等比数列．
(2)求数列的前n项和Sn.
(3)证明不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N
皆成立．
解：(1)证明：因为an＋1＝4an－3n＋1，
所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N
.
又因为a1－1＝1，
所以数列是首项为1，公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，
于是数列的通项公式为an＝4n－1＋n，
所以数列的前n项和Sn＝＋.
(3)证明：对任意的n∈N
，
Sn＋1－4Sn＝＋－4＋＝－(3n2＋n－4)≤0，
所以不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N
皆成立．www.
(B卷　能力素养提升)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．用演绎推理证明函数y＝x3是增函数时的小前提是(　　)
A．增函数的定义
B．函数y＝x3满足增函数的定义
C．若x1D．若x1>x2，则f(x1)>f(x2)
解析：选B　“三段论”中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数y＝x3满足增函数的定义，结论是y＝x3是增函数，故选B.
2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(　　)
A．由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：数列{an}的前n项和Sn＝n2
B．由f(x)＝xcos
x满足f(－x)＝－f(x)对 x∈R都成立，推断：f(x)＝xcos
x为奇函数
C．由半径为r的圆的面积S＝πr2，推断单位圆的面积S＝π
D．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n∈N
，(n＋1)2＞2n
解析：选A　选项A：为归纳推理，且∵an
( http: / / www.21cnjy.com )＝2n－1，∴{an}是等差数列，首项a1＝1，公差d＝2，则Sn＝n＋×2＝n2，故A正确；选项B：为演绎推理；选项C：为类比推理；选项D：为归纳推理，当n＝7时，(n＋1)2＝82＝64<2n＝27＝128，故结论错误；故选A.
3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋
>时，步骤(1)中n取的第一个值即n0的值为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B　n＝1时不等式不成立，n＝2时不等式成立，因此n取的第一个值即n0的值为2.
4．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝
( http: / / www.21cnjy.com )1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N
)个等式应为(　　)
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9
B．9(n－1)＋n＝10n－9
C．9n＋(n－1)＝10n－1
D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
解析：选B　先观察已知等式的左边，可得
( http: / / www.21cnjy.com )第n(n∈N
)个等式的左边应为：9(n－1)＋n；再观察已知等式的右边结果：1、11、21、31、…知它们构成以1为首项，10为公差的等差数列，所以第n(n∈N
)个等式的右边应为：1＋10(n－1)＝10n－9；故选B.
5．已知圆x2＋y2＝r2(r>0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆＋＝1(a>b>0)的面积最有可能是(　　)
A．πa2
B．πb2
C．πab
D．π(ab)2
解析：选C　圆的方程可以看作是椭圆的极端情况，即a＝b时的情形，∵S圆＝πr2，可以类比出椭圆的面积最有可能是S＝πab.
6．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)
A．P>Q
B．P＝Q
C．PD．由a的取值确定
解析：选C　P2＝(＋)2＝2a＋7＋2，
Q2＝(＋)2＝2a＋7＋2，
∴P2又∵P>0，Q>0，
∴P7．已知a，b∈R，若a≠b，且a＋b＝2，则(　　)
A．1B．ab<1<
C．ab<<1
D.解析：选B　∵b＝2－a，
∴ab＝a(2－a)
＝－(a2－2a)＝－(a－1)2＋1<1，
＝＝
＝a2－2a＋2＝(a－1)2＋1>1，故选B.
8．记Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，当k＝1,2,3，…时，观察下列等式：
S1＝n2＋n，S2＝n3＋n2＋n，S3＝n4＋n3＋n2，S4＝n5＋n4＋n3－n，S5＝n6＋n5＋n4＋An2，…由此可以推测A＝(　　)
A．－
B.
C．－
D.
解析：选A　根据所给等式可知，各等式右边的各项系数之和为1，所以＋＋＋A＝1，解得A＝－.
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N
)，可归纳猜想出Sn的表达式为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　由a1＝1，得a1＋a2＝22a2，
∴a2＝，S2＝；
又1＋＋a3＝32a3，
∴a3＝，S3＝＝；
又1＋＋＋a4＝16a4，得a4＝，
S4＝.
由S1＝，S2＝，S3＝，S4＝可以猜想Sn＝.
10．已知x＞0，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为(　　)
A．n2
B．nn
C．2n
D．22n－2
解析：选B　由x＋≥2，x＋＝x＋≥3，x＋＝x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，故a＝nn.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．
答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)
12．函数y＝a1－x(a>0，a
( http: / / www.21cnjy.com )≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________．
解析：因为函数y＝a1－x的图象
( http: / / www.21cnjy.com )所过的定点为A(1,1)，且点A在直线mx＋ny－1＝0上，所以m＋n＝1.又因为mn>0，所以必有m>0，n>0，于是＋＝(m＋n)·＝2＋＋≥2＋2
＝4.
答案：4
13．给出以下数对序列：
(1,1)
(1,2)(2,1)
(1,3)(2,2)(3,1)
(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)
……
记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，则
(1)a54＝________；(2)anm＝________.
解析：由前4行的特点，归纳可得：若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，
∴a54＝(4,5－4＋1)＝(4,2)，anm＝(m，n－m＋1)，
故答案为(1)(4,2)；(2)(m，n－m＋1)．
答案：(1)(4,2)　(2)(m，n－m＋1)
14．请阅读下列材料：
若两个正实数a1，a2满足a＋a＝1，求证：a1＋a2≤.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋
( http: / / www.21cnjy.com )(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.
根据上述证明方法，若n个正实数满足a＋a＋…＋a＝1时，你能得到的结论是________．
解析：类比给出的材料，构造函数f(x)
( http: / / www.21cnjy.com )＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，由对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，即可得到结论．故答案为：a1＋a2＋…＋an≤.
答案：a1＋a2＋…＋an≤
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)若x，y∈R，且满足(x2＋y2＋2)·(x2＋y2－1)－18≤0.
(1)求x2＋y2的取值范围；
(2)求证：xy≤2.
解：(1)由(x2＋y2)2＋(x2＋y2)－20≤0得
(x2＋y2＋5)(x2＋y2－4)≤0，
因为x2＋y2＋5>0，所以有0≤x2＋y2≤4，即x2＋y2的取值范围为[0,4]．
(2)证明：由(1)知x2＋y2≤4，由基本不等式得xy≤≤＝2，
所以xy≤2.
16．(本小题满分12分)已知
( http: / / www.21cnjy.com )：sin2
30°＋sin2
90°＋sin2
150°＝；sin2
5°＋sin2
65°＋sin2
125°＝，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明．
解：一般形式为：sin2
α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝.
证明：左边＝＋＋
＝－[cos
2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]
＝－(cos
2α＋cos
2α
( http: / / www.21cnjy.com )cos
120°－sin
2αsin
120°＋cos
2αcos
240°－sin
2αsin
240°)
＝－cos
2α－cos
2α－sin
2α－cos
2α＋sin
2α＝＝右边．
将一般形式写成sin2(α－60°)＋sin2
α＋sin2(α＋60°)＝也正确．
17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：
(1)求证：tan＝；
(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
解：(1)证明：由两角和正切公式，得
tan＝＝
即tan＝.
(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数．
证明过程如下：
∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝
＝＝－，
∴f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝－＝f(x)．
∴f(x)是以4a为周期的周期函数．
∴f(x)是周期函数，其中一个周期为4a.
18．(本小题满分14分)给出四个等式：
1＝1
1－4＝－(1＋2)
1－4＋9＝1＋2＋3
1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)
……
(1)写出第5,6个等式，并猜测第n(n∈N
)个等式；
(2)用数学归纳法证明你猜测的等式．
解：(1)第5行：1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5，
第6行：1－4＋9－16＋25－36＝－(1＋2＋3＋4＋5＋6)，
第n行等式为：
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·(1＋2＋3＋…＋n)．
(2)证明：①当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，等式成立．
②假设n＝k(k∈N
)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·.
则当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k(k＋1)·
＝(－1)k·.
∴当n＝k＋1时，等式也成立，
根据(1)、(2)可知，对于任何n∈N
等式均成立．课时跟踪检测(一)　变化率问题　导数的概念
一、选择题
1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足(　　)
A．Δx＜0　　　　　　
　B．Δx＞0
C．Δx＝0
D．Δx≠0
解析：选D　根据定义知Δx可正、可负，但不能为0.
2．设f(x)＝，则f′(a)等于(　　)
A．－
B.
C．－
D.
解析：选C　∵＝
＝＝，
∴f′(a)＝
＝－.
3．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　)
A．k1＞k2
B．k1＜k2
C．k1＝k2
D．不确定
解析：选D　k1＝＝＝2x0＋Δx；
k2＝＝＝2x0－Δx.
因为Δx可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定．
4．一质点运动的方程为s＝5－3t
( http: / / www.21cnjy.com )2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　)
A．－3
B．3
C．6
D．－6
解析：选D　当Δt趋于0时，式子－3Δt－6趋于－6.
5．设函数在x＝1处存在导数，则
等于(　　)
A．f′(1)
B．3f′(1)
C.f′(1)
D．f′(3)
解析：选C　
＝
＝f′(1)．
二、填空题
6．在雨季潮汛期间，某水文观测员
( http: / / www.21cnjy.com )观察千岛湖水位的变化，在24
h内发现水位从102.7
m上涨到105.1
m，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.
解析：水位涨幅的平均变化率为＝0.1(m/h)．
答案：0.1
7．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
解析：∵Δx＝1,2＋Δx＝3，
∴Δy＝－
＝－＝－，
∴kAB＝＝－.
答案：－
8．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为，则m的值为________．
解析：∵ΔV＝m3－×13＝(m3－1)，
∴＝＝，
即m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3(舍去)．
答案：2
三、解答题
9．已知函数f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，求x0的值．
解：∵f′(x0)＝
＝
＝
＝
(－8＋2x0＋Δx)
＝－8＋2x0，
∴－8＋2x0＝4，
∴x0＝3.
10．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．
(1)求此物体的初速度．
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．
解：(1)初速度v0＝li
＝
＝li
(3－Δt)＝3(m/s)，
即物体的初速度为3
m/s.
(2)v＝
＝
＝
＝
(－Δt－1)＝－1(m/s)，
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1
m/s，方向与初速度相反．
(3)＝＝＝1(m/s)，
即t＝0到t＝2时的平均速度为1
m/s.www.
课时跟踪检测(二十一)　复数代数形式的乘除运算
一、选择题
1．(辽宁高考)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z等于(　　)
A．2＋3i　　　　　　
　B．2－3i
C．3＋2i
D．3－2i
解析：选A　z＝＋2i＝＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i.
2．已知复数z＝1－i，则等于(　　)
A．2i
B．－2i
C．2
D．－2
解析：选B　法一：因为z＝1－i，
所以＝＝＝－2i.
法二：由已知得z－1＝－i，而＝＝＝＝－2i.
3．若i为虚数单位，如下图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　)
A．E
B．F
C．G
D．H
解析：选D　由题图可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．
4．(安徽高考)设i是虚数单位，
是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z等于(　　)
A．1＋I
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
解析：选A　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
又∵z·i＋2＝2z，∴(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，
∴a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
5．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于(　　)
A.
B.
C．1
D．2
解析：选A　∵z＝＝＝
＝＝＝－＋，
∴＝－－，
∴z·＝.
二、填空题
6．若z＝－时，则z2
014＋z104＝________.
解析：z2＝2＝－i.
z2
014＋z104＝(－i)1
007＋(－i)52
＝(－i)1
004·(－i)3＋1
＝1＋i.
答案：1＋i
7．设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝________.
解析：＋＝＋＝＋i，
而＝＝＋i，所以＋＝且＋＝，解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4.
答案：4
8．设z2＝z1－i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________．
解析：设z1＝a＋bi(a，b∈
( http: / / www.21cnjy.com )R)，则z2＝z1－i1＝a＋bi－i(a－bi)＝(a－b)－(a－b)i.因为z2的实部是－1，即a－b＝－1，所以z2的虚部为1.
答案：1
三、解答题
9．计算：(1)；(2).
解：(1)＝
＝＝＝＋i.
(2)＝
＝＝
＝－－i.
10．已知z1＝1－i，z2＝1－3i，z3＝1－2i，且－＝.
(1)求实数x，y的值；
(2)求·.
解：(1)由已知－＝，
得－＝，
即＋i＝＋i.
∵x，y∈R，∴
解得
(2)由(1)知＝1＋i，＝1＋3i，
则·＝(1＋i)(1＋3i)
＝1＋4i＋3i2＝－2＋4i.www.
(A卷　学业水平达标)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为(　　)
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
解析：选A　观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.
2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是(　　)
①y＝cos
x(x∈R)是三角函数；
②三角函数是周期函数；
③y＝cos
x(x∈R)是周期函数．
A．①②③　　　　　　
　B．②①③
C．②③①
D．③②①
解析：选B　按“三段论”的模式，排列顺序正确的是②①③.
3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”(　　)
A．各正三角形内一点
B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
解析：选C　正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．
4．(山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：选A　因为“方程x3＋ax＋
( http: / / www.21cnjy.com )b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
5．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：(　　)
①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)，可得b＝c.
则正确的结论有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选B　平面向量的数量积的运
( http: / / www.21cnjy.com )算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．
6．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2
( http: / / www.21cnjy.com ))(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N
)时，从n＝k到n＝k＋1时，左边需增乘的代数式是(　　)
A．2k＋1
B．2(2k＋1)
C.
D.
解析：选B　增乘的代数式为＝2(2k＋1)．
7．已知a∈(0，＋∞)，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为(　　)
A．2n
B．n2
C．22(n－1)
D．nn
解析：选D　将四个答案分别用n＝1,2,3检验即可，故选D.
8．用火柴棒摆“金鱼”，如下图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为(　　)
A．6n－2　　　　　　　　
　B．8n－2
C．6n＋2
D．8n＋2
解析：选C　归纳“金鱼”图形的构成规律知
( http: / / www.21cnjy.com )，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.
9．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于(　　)
A．28
B．76
C．123
D．199
解析：选C　记an＋bn＝f(n
( http: / / www.21cnjy.com ))，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N
，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a10＋b10＝123.
10．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2
015等于(　　)
A.
B.－1
C．2
D．3
解析：选B　∵a1＝，an＋1＝1－，
∴a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，
a4＝1－＝，a5＝1－＝－1，
a6＝1－＝2，∴an＋3k＝an(n∈N
，k∈N
)，
∴a2
015＝a2＋3×671＝a2＝－1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．设函数f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．
解析：∵f(x)＝，
f(1－x)＝＝＝.
∴f(x)＋f(1－x)＝＝，
发现f(x)＋f(1－x)正好是一个定值，
∴2S＝×12，∴S＝3.
答案：3
12．已知
＝2
，
＝3
，
＝4
，…，若
＝6
(a，b均为实数)，请推测a＝________，b＝________.
解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的
( http: / / www.21cnjy.com )整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测
中：a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35.
答案：6　35
13．若定义在区间D上的函数f(x)对于
( http: / / www.21cnjy.com )D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，称函数f(x)为D上的凸函数．现已知f(x)＝sin
x在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sin
A＋sin
B＋sin
C的最大值是________．
解析：因为f(x)＝sin
x在(0，π)上是凸函数(小前提)，
所以(sin
A＋sin
B＋sin
C)≤sin(结论)，
即sin
A＋sin
B＋sin
C≤3sin＝.
因此sin
A＋sin
B＋sin
C的最大值是.
答案：
14．观察下图：
1
2　3　4
3
4
5　6　7
4
5
6　7　8　9　10
…
则第________行的各数之和等于2
0152.
解析：观察知，图中的第n行各数构成一个首项为n，公差为1，共2n－1项的等差数列，其各项和为
Sn＝(2n－1)n＋＝(2n－1)n＋(2n－1)·(n－1)＝(2n－1)2，
令(2n－1)2＝2
0152，得2n－1＝2
015，解得n＝1
008.
答案：1
008
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤．)
15．(本小题满分12分)观察：①
( http: / / www.21cnjy.com )sin210°＋cos240°＋sin
10°cos
40°＝；②sin26°＋cos236°＋sin
6°cos
36°＝.
由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？证明你的猜想．
解：猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin
αcos(30°＋α)＝.
证明如下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin
αcos(30°＋α)
＝＋＋[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)]
＝1＋＋sin(2α＋30°)－
＝＋[cos
60°cos
2α－sin
60°sin
2α－cos
2α]＋sin(2α＋30°)
＝－＋sin(2α＋30°)
＝－sin(2α＋30°)＋sin(2α＋30°)＝，
即sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin
αcos(30°＋α)＝.
16．(本小题满分12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列．
(1)比较
与
的大小，并证明你的结论；
(2)求证：角B不可能是钝角．
解：(1)
＜
.证明如下：
要证
＜
，只需证＜.
∵a，b，c＞0，∴只需证b2＜ac.
∵，，成等差数列，
∴＝＋≥2
，∴b2≤ac.
又∵a，b，c均不相等，∴b2＜ac，
故所得大小关系正确．
(2)证明：法一：假设角B是钝角，则cos
B＜0.
由余弦定理得，
cos
B＝≥＞＞0，
这与cos
B＜0矛盾，故假设不成立，
所以角B不可能是钝角．
法二：假设角B是钝角，则角
( http: / / www.21cnjy.com )B的对边b为最大边，即b＞a，b＞c，所以＞＞0，＞＞0，则＋＞＋＝，这与＋＝矛盾，故假设不成立，
所以角B不可能是钝角．
17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：
(1)求证：tan
＝.
(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
解：(1)根据两角和的正切公式得tan＝＝＝，
即tan＝，命题得证．
(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数．
证明：因为f(x＋2a)＝f((x＋a)＋a)＝＝＝－，
所以f(x＋4a)＝f((x＋2a)＋2a)＝－＝f(x)．
所以f(x)是以4a为周期的周期函数．
18．(本小题满分14分)在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝.
(1)求a1，a2，a3；
(2)由(1)猜想到数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
解：(1)S1＝a1＝，得a＝1，
因为an＞0，所以a1＝1.
S2＝a1＋a2＝，得a＋2a2－1＝0，
所以a2＝－1.
S3＝a1＋a2＋a3＝，
得a＋2a3－1＝0，所以a3＝－.
(2)猜想an＝－(n∈N
)．
证明如下：①n＝1时，
a1＝－＝1，命题成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N
)时，
ak＝－成立，
则n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－，即ak＋1
＝－－＋
＝－，
所以a＋2ak＋1－1＝0，
所以ak＋1＝－，则n＝k＋1时，命题成立．
由①②知，n∈N
，an＝－.www.
模块综合检测(二)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．(辽宁高考)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝(　　)
A．2＋3i　　　
　
　　　
　B．2－3i
C．3＋2i
D．3－2i
解析：选A　z＝＋2i＝＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i.
2．已知
＝2，
＝3，
＝4，…，类比这些等式，若＝6(a，b均为正实数)，则a＋b＝(　　)
A．40
B．41
C．43
D．47
解析：选B　观察下列等式
＝2，
＝3，
＝4，…，第n个应该是
＝(n＋1)
，则第5个等式中：a＝6，b＝a2－1＝35，a＋b＝41.
3．三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②雅安人是中国人；③雅安人一定坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是(　　)
A．①②
B．①③
C．②③
D．②①
解析：选A　解本题的关键是透彻理解三
( http: / / www.21cnjy.com )段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题(①所有的中国人都坚强不屈)”，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件(②雅安人是中国人)”，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论(③雅安人一定坚强不屈)”．故选A.
4．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则f(－x)dx的值等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　由于f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是
f(－x)dx＝(x2－x)dx＝＝.
5．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C　由a1＝，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.猜想an＝.
6．已知函数f(x)＝x3＋bx的图象
( http: / / www.21cnjy.com )在点A(1，f(1))处的切线的斜率为4，则函数g(x)＝sin
2x＋bcos
2x的最大值是(　　)
A．1
B．2
C.
D.
解析：选B　∵f′(x)＝3x2＋b，∴f′(1)＝3＋b＝4，
∴b＝1.∴g(x)＝sin
2x＋cos
2x＝2sin≤2.
7．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为(　　)
A．p≥q
B．p≤q
C．p>q
D．不确定
解析：选B　q＝
≥＝＋＝p.
8．在，2上，函数f(x)＝x2＋px＋q与g(x)＝＋在同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在，2上的最大值是(　　)
A.
B．4
C．8
D.
解析：选B　因为g(x)＝＋，且x∈，2，则g(x)≥3，
当且仅当x＝1时，g(x)min＝3.又f′(x)＝2x＋p，
∴f′(1)＝0，即2＋p＝0，得p＝－2，∴f(x)＝x2－2x＋q.
又f(x)min＝g(1)＝3，∴1－2＋q＝3，∴q＝4.
∴f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，x∈，2.
∴f(x)max＝f(2)＝4.
9．若函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值没有极大值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,3)
B．(－∞，3)
C．(0，＋∞)
D.
解析：选D　f′(x)＝3x2－2a，
∵f(x)在(0,1)内有极小值没有极大值，
∴
即010．设f(x)＝kx－－2ln
x，若f(x)在其定义域内为单调增函数，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，1]
B．[1，＋∞)
C．(－∞，－1]
D．[－1，＋∞)
解析：选B　由f′(x)＝k
( http: / / www.21cnjy.com )＋－＝，令h(x)＝kx2－2x＋k，要使f(x)在其定义域(0，＋∞)上单调递增，只需h(x)在(0，＋∞)内满足h(x)≥0恒成立．由h(x)≥0得kx2－2x＋k≥0，即k≥＝在x∈(0，＋∞)上恒成立，∵x>0，∴x＋≥2.∴≤1.∴k≥1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为____________．
解析：a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，显然，<.∴a答案：a12．复数z＝(其中i为虚数单位)的虚部是________．
解析：化简得z＝＝＝＋i，则虚部为.
答案：
13．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.
解析：f′(x)＝＝.因为f(x)在x＝1处取极值，所以1是f′(x)＝0的根，将x＝1代入得a＝3.
答案：3
14．已知f(x)＝，定义f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝[f1(x)]′，…，fn＋1(x)＝[fn(x)]′，n∈N.经计算f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝，…，照此规律，则fn(x)＝________.
解析：观察各个式子，发现分母都是ex，分子依次是－(x－1)，(x－2)，－(x－3)，(x－4)，…，前边是(－1)n，括号里是x－n，
故fn(x)＝.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝×1×(4－1)＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝k(4k2－1)．
则当n＝k＋1时，
12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2
＝k(4k2－1)＋(2k＋1)2＝k(4k2－1)＋4k2＋4k＋1
＝k[4(k＋1)2－1]－k·4(2k＋1)＋4k2＋4k＋1
＝k[4(k＋1)2－1]＋(12k2＋12k＋3－8k2－4k)
＝k[4(k＋1)2－1]＋[4(k＋1)2－1]
＝(k＋1)[4(k＋1)2－1]．
即当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)，(2)可知，对一切n∈N
，等式都成立．
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋x2－2ax－1，f′(－1)＝0.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)如果对于任意的x∈[－2,0)，都有f(x)≤bx＋3，求b的取值范围．
解：(1)因为f′(x)＝ax2＋2x－2a，因为f′(－1)＝0，
所以a＝－2.所以f′(x)＝－2x2＋2x＋4＝－2(x2－x－2)＝－2(x＋1)(x－2)．
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝2.随着x的变化，f′(x)和f(x)的变化情况如下：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,2)
2
(2，＋∞)
f(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
↗
↘
即f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递减，在(－1,2)上单调递增．
(2)因为对于任意的x∈[－2,0)，都有f(x)≤bx＋3，
即bx＋3≥－x3＋x2＋4x－1，
所以b≤－x2＋x＋4－.
设h(x)＝－x2＋x＋4－.
则h′(x)＝－x＋1＋，
因为x∈[－2,0)，所以－x>0，>0.
所以h′(x)>0.
所以h(x)在[－2,0)上单调递增．所以hmin(x)＝h(－2)＝.即b≤.故b的取值范围为.
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝m·＋2ln
x(m∈R)．
(1)若m＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
解：(1)当m＝1时，函数f(x)＝x－＋2ln
x，函数的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，∴f(1)＝0，f′(1)＝4，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为4x－y－4＝0.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，
当m≥0时，f′(x)>0在x∈(0，＋∞)时恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当m<0时，
①当m≤－1时，f′(x)≤0在x∈(0，＋∞)时恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
②当－1x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
减
增
减
所以f(x)在和，＋∞上单调递减，f(x)在
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )上单调递增．
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x3－x－.
(1)判断的单调性；
(2)求函数y＝f(x)的零点的个数；
(3)令g(x)＝＋ln
x，若函数y＝g(x)在内有极值，求实数a的取值范围．
解：(1)设φ(x)＝＝x2－1－(x>0)，
φ′(x)＝2x＋>0，
所以y＝φ(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知φ(1)＝－1，φ(2)＝3
( http: / / www.21cnjy.com )－>0且y＝φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以y＝φ(x)在(1,2)上有一个零点，又f(x)＝x3－x－＝xφ(x)，显然x＝0是f(x)＝0的一个零点，所以y＝f(x)在[0，＋∞)上有两个零点．
(3)因为g(x)＝＋ln
x＝＋ln
x＝＋ln
x，
所以g′(x)＝＋＝，
设h(x)＝x2－(2＋a)x＋1，则h(x)＝0有两个不同的根x1，x2，且一根在内，
不妨设0e，
由于h(0)＝1，则只需h<0，即－(2＋a)＋1<0，解得a>e＋－2，即a的取值范围为.课时跟踪检测(十二)　定积分的简单应用
一、选择题
1．用S表示下图中阴影部分的面积，则S的值是(　　)
A.f(x)dx
B.
C.f(x)dx＋f(x)dx
D.f(x)dx－f(x)dx
解析：选D　由图可知，x轴上方阴影部分的面积为，x轴下方阴影部分的面积为－f(x)dx，故D正确．
2．曲线y＝x3与直线y＝x所围图形的面积等于(　　)
A.(x－x3)dx
B.(x3－x)dx
C．2(x－x3)dx
D．2(x－x3)dx
解析：选C　由求得直线y＝
( http: / / www.21cnjy.com )x与曲线y＝x3的交点分别为(－1，－1)，(1,1)，(0,0)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S＝2(x－x3)dx.
3．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos
x所围成的封闭图形的面积为(　　)
A.
B．1
C.
D.
解析：选D　结合函数图象可得所求的面积是定积分
cos
xdx＝sin
x＝.
4．一质点运动的速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点做直线运动，则它在[1,2]时间内的位移为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　质点在[1,2]时间内的位移为(t2－t＋2)dt＝＝.
5．由抛物线y＝x2－x，直线x＝－1及x轴围成的图形的面积为(　　)
A.
B．1
C.
D.
解析：选B　S＝
(x2－x)dx＋(x－x2)dx
＝＋＝1.
二、填空题
6．曲线y＝sin
x(0≤x≤π)与直线y＝围成的封闭图形的面积为________．
解析：由于曲线y＝sin
x(0≤x≤π)与直线y＝的交点的横坐标分别为x＝及x＝，因此所求图形的面积为＝－.
答案：－
7．某一物体A以速度v＝3t2＋1(t的
( http: / / www.21cnjy.com )单位：s，v的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上，物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5
m处以v＝10t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与A同向运动，则两物体相遇时物体A运动的距离为________m.
解析：设t＝a时两物体相遇，依题意有(3t2＋1)dt－
10tdt＝(t3＋t)
－5t2＝5，即a3＋a－5a2＝5，
(a－5)(a2＋1)＝0，解得a＝5，
所以(3t2＋1)dt＝53＋5＝130(m)．
答案：130
8．有一横截面面积为4
cm2的水管控制
( http: / / www.21cnjy.com )往外流水，打开水管后t
s末的流速为v(t)＝6t－t2(单位：cm/s)(0≤t≤6)，则t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为________．
解析：由题意可得t＝0到t＝6这段时间内流出的水量(6t－t2)dt＝4(6t－t2)dt＝4＝144(cm3)．
故t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为144
cm3.
答案：144
cm3
三、解答题
9．求由曲线y＝x2和直线y＝x及y＝2x所围图形的面积S.
解：由得A(1,1)，
由得B(2,4)．
如图所示，所求面积(即图中阴影部分的面积)为S＝(2x－x)dx＋－x2)dx＝xdx＋(2x－x2)dx＝x2＋＝.
10．有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．
(1)点P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；
(2)求点P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．
解：(1)由v(t)＝8t－2t2≥0，得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动；
当t>4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，点P离开原点的路程为
s1＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt
＝－＝.
当t＝6时，点P的位移为
(8t－2t2)dt＝＝0.
(2)依题意(8t－2t2)dt＝0，
即4t2－t3＝0，解得t＝0或t＝6，
而t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，
∴t＝6是所求的值．课时跟踪检测(七)　函数的最大(小)值与导数
一、选择题
1．函数y＝x－sin
x，x∈的最大值是(　　)
A．π－1　　　　　　
　B.－1
C．π
D．π＋1
解析：选C　y′＝1－cos
x≥0，所以y＝x－sin
x在上为增函数．当x＝π时，ymax＝π.
2．已知函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是(　　)
A．当x＝时，f(x)取最大值
B．当x＝时，f(x)取最小值
C．当x＝－时，f(x)取最大值
D．当x＝－时，f(x)取最小值
解析：选D　f′(x)＝2x＋x·2xln
2，
令f′(x)＝0，得x＝－.
又∵当x<－时，f′(x)<0；
当x>－时，f′(x)>0，
∴当x＝－时，f(x)取最小值．
3．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为(　　)
A．2
B．3
C.
D．2＋
解析：选B　由f′(x)＝－＝＝0得x＝1，
且x∈(0,1)时f′(x)＜0，x∈(1,5]时f′(x)＞0，
∴x＝1时f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
4．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的值为(　　)
A．2　
　　B．1
C．－2　　　D．－1
解析：选B　f′(x)＝3x2－2x
( http: / / www.21cnjy.com )－1，令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1.又因为f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1.
5．若对任意的x＞0，恒有ln
x≤px－1(p＞0)，则p的取值范围是(　　)
A．(0,1]
B．(1，＋∞)
C．(0,1)
D．[1，＋∞)
解析：选D　原不等式可化为ln
x－px＋1≤0，令f(x)＝ln
x－px＋1，故只需
f(x)max≤0，由f
( http: / / www.21cnjy.com )′(x)＝－p知f(x)在上单调递增，在上单调递减，故f(x)max＝f＝－ln
p，即－ln
p≤0，解得p≥1.
二、填空题
6．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为________．
解析：g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：
x
0
1
g′(x)
－
0
＋
g(x)
0
?
极小值
?
0
所以当x＝时，g(x)有最小值g＝－.
答案：－
7．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.
解析：f′(x)＝3x2－3，
当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.
又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)，
∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
答案：20
8．已知函数f(x)＝＋2ln
x，若当a＞0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由f(x)＝＋2ln
x，得f′(x)＝.又因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a＞0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0，故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln
a＋1.要使f(x)≥2恒成立，需ln
a＋1≥2恒成立，则a≥e.
答案：[e，＋∞)
三、解答题
9．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：f(x)的定义域为.
(1)f′(x)＝＋2x＝
＝.
当－＜x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜－时，
f′(x)＜0；当x＞－时，f′(x)＞0，从而f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减．
(2)由(1)知f(x)在区间上的最小值为f＝ln
2＋.
又因为f－f＝ln＋－ln－
＝ln＋＝＜0，
所以f(x)在区间上的最大值为
f＝＋ln.
10．设f(x)＝ln
x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值．
(2)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．
解：(1)由题设知f′(x)＝，g(x)＝ln
x＋，
所以g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调递减区间；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间．
因此x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.
(2)由(1)知g(x)的最小值为1，
所以g(a)－g(x)<，对任意x>0成立
g(a)－1<，即ln
a<1，得0所以实数a的取值范围为(0，e)．阶段质量检测(一)　导数及其应用
班级：____________　姓名：____________　得分：____________
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下列各式正确的是(　　)
A．(sin
a)′＝cos
a(a为常数)
B．(cos
x)′＝sin
x
C．(sin
x)′＝cos
x
D．(x－5)′＝－x－6
2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)
A．y＝sin
x　　　　　　　
B．y＝xe2
C．y＝x3－x
D．y＝ln
x－x
3．若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为(　　)
A．x＋4y＋3＝0
B．x＋4y－9＝0
C．4x－y＋3＝0
D．4x－y－2＝0
4．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为(　　)
A．0　　　　　　　　
B．2
C．1
D．－1
5．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是(　　)
A．0≤a≤21
B．a＝0或a＝7
C．a<0或a>21
D．a＝0或a＝21
6．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时(　　)
A．f′(x)>0，g′(x)>0
B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0
D．f′(x)<0，g′(x)<0
7.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
8．设f(x)＝则f(x)dx等于(　　)
A.
B.
C.
D.
9.已知函数f(x)＝－x3＋a
( http: / / www.21cnjy.com )x2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．－2
10．若函数f(x)＝2x2－ln
x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．(江西高考)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.
12．函数f(x)＝2x2－ln
x的单调递增区间为________．
13．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速
( http: / / www.21cnjy.com )度v(t)＝27－0.9t(v的单位：m/s，t的单位：s)，则列车刹车后至停车时的位移为________．
14．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围为________．
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤)
15．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋4ln
x的极值点为1和2.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在区间(0,3]上的最大值．
16．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax2＋2x－ln
x在x＝1处取得极值．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)单调区间及极值．
17．(本小题满分12分)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex.
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求实数a的取值范围．
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ln
x－.
(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a的值；
(2)设g(x)＝ln
x－a，若g(x)＜x2在(0，e]上恒成立，求a的取值范围．
答
案
1．选C　由导数公式知选项A中(sin
a)′＝0；选项B中(cos
x)′＝－sin
x；选项D中(x－5)′＝－5x－6.
2．选B　只有B中y′＝e2＞0在(0，＋∞)内恒成立．
3．选D　设切点坐标为(x0，y0)
( http: / / www.21cnjy.com )，y′＝4x，由题意得4x0＝4，解得x0＝1，所以y0＝2，故切线l的方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
4．选A　∵f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，
∴f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，
∴f′(1)＝1－2f′(1)－1，
∴f′(1)＝0.
5．选A　f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．
6．选B　f(x)为奇函数且
( http: / / www.21cnjy.com )x>0时单调递增，所以x<0时单调递增，f′(x)>0；g(x)为偶函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递减，g′(x)<0.
7．选D　由题图可知，当x<－2时
( http: / / www.21cnjy.com )，f′(x)>0；当x＝－2时，f′(x)＝0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
8．选A　　f(x)dx＝x2dx＋dx
＝x3＋ln
x＝.
9．选A　法一：因为f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，函数f(x)的图象与x轴相切于原点，所以f′(0)＝0，即b＝0，所以f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)，因为函数f(x)的图象与x轴所围成区域的面积为，所以(－x3＋ax2)dx＝－，所以＝－，所以a＝－1或a＝1(舍去)，故选A.
法二：因为f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，函数f(x)的图象与x轴相切于原点，所以f′(0)＝0，即b＝0，所以f(x)＝－x3＋ax2.若a＝0，则f(x)＝－x3，与x轴只有一个交点(0,0)，不符合所给的图象，排除B；若a＝1，则f(x)＝－x3＋x2＝－x2(x－1)，与x轴有两个交点(0,0)，(1,0)，不符合所给的图象，排除C；若a＝－2，则所围成的面积为－
(－x3－2x2)dx＝＝≠，排除D，故选A
10．选D　由f(x)＝2x2－l
( http: / / www.21cnjy.com )n
x可知定义域为(0，＋∞)，所以k－1≥0，k≥1，故排除B，C两项．又f′(x)＝4x－，令f′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)，f(x)在上单调递减，在上单调递增．由题意知且k≥1，得1≤k＜.
11．解析：由题意y′＝αxα－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k＝α，又切线过坐标原点，所以α＝＝2.
答案：2
12．解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝4x－＝≥0，得x≥.
答案：
13．解析：停车时v(t)＝0，则27－0.9t＝0，∴t＝30
s，
s＝∫v(t)dt＝∫(27－0.9t)dt
＝(27t－0.45t2)＝405(m)．
答案：405
m
14．解析：令f′(x)＝3x2－3a2＝0，
∴x＝±a.
当f′(x)>0时，x>a或x<－a，
当f′(x)<0时，－a所以函数f(x)在(a，＋∞)，(－∞，－a)上为增函数，
在(－a，a)上为减函数．
故f(x)极大值＝f(－a)＝2a3＋a，
f(x)极小值＝f(a)＝a－2a3.
∴
答案：
15．解：(1)f′(x)＝2ax＋b＋
＝，x∈(0，＋∞)．
由y＝f(x)的极值点为1和2，
∴2ax2＋bx＋4＝0的两根为1和2，
∴
解得
(2)由(1)得f(x)＝x2－6x＋4ln
x，
∴f′(x)＝2x－6＋＝
＝，x∈(0,3]．
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,3)
3
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
－5
?
4ln
2－8
?
4ln
3－9
∵f(3)＝4ln
3－9>f(1)＝－5>f(2)＝4ln
2－8，
∴f(x)max＝f(3)＝4ln
3－9.
16．解：(1)f′(x)＝2ax＋2－，
由f′(1)＝2a＋＝0，得a＝－.
(2)f(x)＝－x2＋2x－ln
x(x＞0)，
f′(x)＝－x＋2－＝.
由f′(x)＝0，得x＝1或x＝2.
①当f′(x)＞0时1＜x＜2；
②当f′(x)＜0时0＜x＜1或x＞2.
当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
?
－ln
2
?
因此f(x)的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1)，(2，＋∞)．
函数的极小值为f(1)＝，极大值为f(2)＝－ln
2.　
17．解：(1)当a＝2时，f(x)＝(
( http: / / www.21cnjy.com )－x2＋2x)ex，f′(x)＝(－x2＋2)ex.令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，注意到ex＞0，所以－x2＋2＞0，解得－＜x＜.
所以，函数f(x)的单调递增区间为(－，)．同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)和(，＋∞)．
(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．
又f′(x)＝[－x2＋(a－2)
( http: / / www.21cnjy.com )x＋a]ex，所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到ex＞0，因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立．
设y＝x＋1－，则y′＝1＋＞0，
即y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，
则y＜1＋1－＝，故a≥.
18．解：(1)f′(x)＝＋＝(x＞0)，
当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)不存在最小值；
当a＜0时，由f′(x)＝0得x＝－a，
且0＜x＜－a时f′(x)＜0，
x＞－a时f′(x)＞0.
∴x＝－a时f(x)取最小值，
f(－a)＝ln(－a)＋1＝2，解得a＝－e.
(2)g(x)＜x2即ln
x－a＜x2，即a＞ln
x－x2，
故g(x)＜x2在(0，e]上恒成立，也就是a＞ln
x－x2在(0，e]上恒成立．
设h(x)＝ln
x－x2，则h′(x)＝－2x＝，由h′(x)＝0及0＜x≤e得x＝.
当0＜x＜时h′(x)＞0，当＜x≤e时h′(x)＜0，即h(x)在上为增函数，在上为减函数，所以当x＝时h(x)取得最大值为h＝ln
－.
所以g(x)＜x2在(0，e]上恒成立时，
a的取值范围为.www.
课时跟踪检测(十八)　数系的扩充和复数的概念
一、选择题
1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　)
A．－2　　　　　　　
　B.
C．－
D．2
解析：选D　复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2.
2．方程1－z4＝0在复数范围内的根共有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选D　由已知条件可得z4＝1，即z2＝±1，故z1＝1，z2＝－1，z3＝i，z4＝－i，故方程有4个根．
3．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为(　　)
A．－1
B．2
C．1
D．－1或2
解析：选D　∵复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，
∴m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
4．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)
A．a＝－1
B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1
D．a≠2
解析：选C　若此复数是纯虚数，则得a＝－1，所以当a≠－1时，已知的复数不是纯虚数．
5．下列命题中，正确命题的个数是(　　)
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选A　对①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；
对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；
③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.
二、填空题
6．设x，y∈R，且满足(x＋y)＋(x－2y)i＝(－x－3)＋(y－19)i，则x＋y＝________.
解析：因为x，y∈R，所以利用两复数相等的条件有解得所以x＋y＝1.
答案：1
7．若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，则实数m＝________.
解析：因为log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，所以所以m＝4.
答案：4
8．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为________．
解析：由z1>z2，
得即
解得a＝0.
答案：0
三、解答题
9．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为：
(1)实数？　　(2)虚数？　　(3)纯虚数？
解：(1)当即m＝2时，复数z是实数．
(2)当m2－2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，
复数z是虚数．
(3)当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
10．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解：∵M∪P＝P，∴M P，
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.www.
(A卷　学业水平达标)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．(江西高考)已知集合M{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z等于(　　)
A．－2i　　　　　　　　
　B．2i
C．－4i
D．4i
解析：选C　由M∩N＝{4}，知4∈M，故zi＝4，故z＝＝＝－4i.
2．复数z＝(i为虚数单位)的虚部为(　　)
A．1
B．－1
C．±1
D．0
解析：选B　因为z＝＝－1－i，所以复数z的虚部为－1.
3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B　∵ab＝0，∴a＝0或
( http: / / www.21cnjy.com )b＝0.由复数a＋＝a－bi为纯虚数，得a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
4．复数z＝的共轭复数是(　　)
A．2＋i
B．2－i
C．－1＋i
D．－1－i
解析：选D　z＝＝＝＝－1＋i，
所以其共轭复数为＝－1－i.
5．在复平面内，复数，(i为虚数单位)对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为(　　)
A.
B．1
C.i
D．i
解析：选A　＝－i，＝＋i，故在复平面内对应的点A，B，故点C，对应的复数为.
6．(安徽高考)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·等于(　　)
A．－2
B．－2i
C．2
D．2i
解析：选C　因为z＝1＋i，所以＋i·＝－i＋1＋i＋1＝2.
7．(陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，则＝
B．若z1＝，则＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2·
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
解析：选D　对于A，|z1
( http: / / www.21cnjy.com )－z2|＝0 z1＝z2 ＝，是真命题；对于B、C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋i，则|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i，是假命题．
8．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0,3)
B．(－∞，－2)
C．(－2,0)
D．(3,4)
解析：选D　整理得z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应的点位于第二象限，则解得3＜m＜4.
9．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为(　　)
A．3－I
B．1＋3i
C．3＋i
D．1－3i
解析：选A　由定义知＝zi＋z，得zi＋z＝4＋2i，即z＝＝3－i.
10．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　)
A．b＝2，c＝3
B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1
D．b＝2，c＝－1
解析：选B　因为1＋i是实系数方程的一个复数根，所以1－i也是该方程的根，
则1＋i＋1－i＝2＝－b，(1＋i)(1－i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11.若i为虚数单位，右图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是________．
解析：由图知z＝2＋i，则＝＝＝i，其共轭复数是－i.
答案：－i
12．计算：[(1＋2i)·i100－i]2－30＝________.
解析：原式＝[(1＋2i)－i]2－＝(1＋i)2＋i＝3i.
答案：3i
13．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝________.
解析：＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝
＝2，所以a2＝3.
又因为a为正实数，所以a＝.
答案：
14．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)且＋＝，则复数z在复平面对应的点位于第________象限．
解析：∵a，b∈R且＋＝，
即＋＝，
∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
即
解得
∴z＝7－10i，
∴z对应的点位于第四象限．
答案：四
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤)
15．(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是：
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)0
解：(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z是实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数．
(3)当即k＝4时，z是纯虚数．
(4)当即k＝－1时，z是0.
16．(本小题满分12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：
(1)z1z2；(2).
解：因为z2＝＝＝＝＝1－3i，所以
(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)＝＝＝＝＋i.
17．(本小题满分12分)已
( http: / / www.21cnjy.com )知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－|＜|z1|，求a的取值范围．
解：∵z1＝＝2＋3i，z2＝a－2－i，＝a－2＋i，
∴|z1－|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|
＝
.
又∵|z1|＝，|z1－|＜|z1|，
∴
＜，
∴a2－8a＋7＜0，
解得1＜a＜7，
∴a的取值范围是(1,7)．
18．(本小题满分14分)已
( http: / / www.21cnjy.com )知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a的取值范围．
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，
由z＋2i为实数，得y＝－2.
∵＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由为实数，得x＝4，
∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件，可知
解得2∴实数a的取值范围是(2,6)．课时跟踪检测(八)　生活中的优化问题举例
一、选择题
1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s＝t3－2t2，那么速度为0的时刻是(　　)
A．1秒末　　　　　　
　B．0秒
C．2秒末
D．0秒或1秒末
解析：选D　由题意可得t≥0，且s′＝4t2－4t，令s′＝0，解得t1＝0，t2＝1，故选D.
2．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为(　　)
A．2和6
B．4和4
C．3和5
D．以上都不对
解析：选B　设一个数为x，则另
( http: / / www.21cnjy.com )一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x＜4时，y′＜0；当4＜x≤8时，y′＞0.所以当x＝4时，y最小．
3．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为(　　)
A.和R
B.R和R
C.R和R
D．以上都不对
解析：选B　设矩形的宽为x，则长为2，则l＝2x＋4(0＜x＜R)，l′＝2－
.
令l′＝0，解得x1＝R，x2＝－R(舍去)．
当0＜x＜R时，l′＞0；当R＜x＜R时，l′＜0，
所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R.
4．某商场从生产厂家以每件20元购进
( http: / / www.21cnjy.com )一批商品，若该商品的零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8
300－170p－p2.则最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为(　　)
A．30元
B．60元
C．28
000元
D．23
000元
解析：选D　设毛利润为L(p)，由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8
300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11
700p－166
000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11
700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)，
此时L(30)＝23
000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23
000元．
5．某工厂要围建一个面积为512平
( http: / / www.21cnjy.com )方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为(　　)
A．32米，16米
B．30米，15米
C．40米，20米
D．36米，18米
解析：选A　设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，则xy＝512，
则所用材料l＝x＋2y＝2y＋(y＞0)，
求导数，得l′＝2－.
令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．
当0＜y＜16时，l′＜0；
当y＞16时，l′＞0.
所以y＝16是函数l＝2y＋(y＞0)的极小值点，也是最小值点．此时，x＝＝32.
所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省．
二、填空题
6．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．
解析：设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x＞0)，所以y′＝2.
令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.
当0＜x＜200时，y′＜0；当x＞200时，y′＞0.
所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．
答案：800
7．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20
cm，要使其体积最大，则高为________
cm.
解析：设该漏斗的高为x
cm，体积为V
c
( http: / / www.21cnjy.com )m3，则底面半径为
cm，V＝πx(202－x2)＝π(400x－x3)(0＜x＜20)，则V′＝π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0.所以当x＝时，V取得最大值．
答案：
8．如下图，内接于抛物线y＝1－x
( http: / / www.21cnjy.com )2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
解析：设CD＝x，则点C的坐标为，
点B的坐标为，
∴矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·
＝－＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍去)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，
x∈时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，
当x＝时，f(x)取最大值.
答案：
三、解答题
9．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车
( http: / / www.21cnjy.com )的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，年销售量y关于x的函数式为y＝3
240，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？[年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量]
解：由题意得，本年度每辆车的投入
( http: / / www.21cnjy.com )成本为10(1＋x)，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x)，年利润为f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y＝(3－0.9x)×3
240×＝3
240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3
240(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)，
由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)．
当x∈时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；
当x∈时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．
所以当x＝时，f(x)取极大值，f＝20
000.因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．
所以当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20
000万元．
10．某网球中心欲建连成片的网球场数
( http: / / www.21cnjy.com )块，用128万元购买土地10
000平方米，该中心每块球场的建设面积为1
000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？
解：设建成x个球场，则1≤x≤10，每平方米的购地费用为＝元，
因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800来表示，
所以每平方米的综合费用为
g(x)＝f(x)＋＝800＋160ln
x＋(x>0)，
所以g′(x)＝(x>0)，
令g′(x)＝0，则x＝8.当0当x>8时，g′(x)>0，所以x＝8时，函数取得极小值，且为最小值．
故当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省．www.
课时跟踪检测(二十)　复数代数形式的加、减运算及其几何意义
一、选择题
1．如下图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1＋z2|等于(　　)
A．1　　　　　　　　　
　B.
C．2
D．3
解析：选B　由图象可知z1＝－2－2i，z2＝i，
所以z1＋z2＝－2－i，|z1＋z2|＝.
2．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于(　　)
A．1－3i
B．－2＋11i
C．－2＋i
D．5＋5i
解析：选D　∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，
∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i.
又∵f(z)＝z，
∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.
3．在复平面内的平行四边形ABCD中，对应的复数是6＋8i，对应的复数是－4＋6i，则对应的复数是(　　)
A．2＋14i
B．1＋7i
C．2－14i
D．－1－7i
解析：选D　依据向量的平行四边形法则可得＋＝，－＝，由对应的复数是6＋8i，对应的复数是－4＋6i，依据复数加减法的几何意义可得对应的复数是－1－7i.
4．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为(　　)
A．2
B．4
C．4
D．16
解析：选C　由|z－4i|＝|z＋2|，得
|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4.
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.
5．△ABC的三个顶点所对应的复数
( http: / / www.21cnjy.com )分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(　　)
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
解析：选A　设复数z与复平面内的点Z相对
( http: / / www.21cnjy.com )应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，及由|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外心．
二、填空题
6．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.
解析：∵z1＋z2＝5－6i，
∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，
∴即
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
答案：－1＋10i
7．已知|z|＝，且z－2＋4i为纯虚数，则复数z＝________.
解析：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z－2＋4i＝(x－2)＋(y＋4)i.
由题意知
∴或
∴z＝2±i.
答案：2±i
8．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)，则在复平面内z1－z2对应的点在第________象限．
解析：因为z1－z2＝－2＋2i，所以对应点(－2,2)在第二象限．
答案：二
三、解答题
9.如右图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)向量对应的复数；
(2)向量对应的复数；
(3)向量对应的复数．
解：(1)因为＝－，所以向量对应的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
10．已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos
2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解：(1)∵点A，B对应的复数分别是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos
2θ，
∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos
2θ)，
∴＝(－cos2θ，cos
2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos
2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)．
∴对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，
得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，
∴sin
θ＝±.
又∵θ∈(0，π)∴sin
θ＝，∴θ＝或.