【人教B版】2017-2018学年高中数学必修3学案（24份打包，Word版，含解析）

2.2.2　用样本的数字特征估计总体的数字特征
1.会求样本的平均数、标准差、方差.(重点)
2.理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法.(重点)
3.会应用相关知识解决实际统计问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理1　样本的平均数
阅读教材P65～P66，完成下列问题.
1.定义：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数.
2.特点：平均数描述了数据的平均水平，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平.用样本的平均数估计总体的平均数时，样本平均数只是总体平均数的近似.
3.作用：n个样本数据x1，x2，…，xn的平均数＝，则有n＝x1＋x2＋…＋xn，也就是把每个xi(i＝1,2，…，n)都用代替后，数据总和保持不变.所以平均数对数据有“取齐”的作用，代表了一组数据的数值平均水平.
一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值为(　　)
A.4.55　　　　　　　
B.4.5
C.12.5
D.1.64
【解析】　＝≈4.55.
【答案】　A
教材整理2　样本的方差和标准差
阅读教材P66“最后一段”至P68，完成下列问题.
1.数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述.样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.一般地，设样本的元素为x1，x2，…，xn，样本的平均数为，定义
s2＝.
s2表示样本方差.
2.为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求出样本方差的算术平方根
s＝.
s表示样本标准差.
某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则：(1)平均命中环数为________；
(2)命中环数的标准差为________.
【解析】　(1)＝＝7.
(2)s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.
【答案】　(1)7　(2)2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
平均数的求法
　甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图2 2 20所示，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为_______和________.
【精彩点拨】　由茎叶图分别提取出甲、乙10天中每天加工零件的个数，然后求平均数.
【尝试解答】　甲每天加工零件的个数分别为：18,19,20,20,21,22,23,31,31,35，所求平均数为甲＝×(18＋19＋20＋20＋21＋22＋23＋31＋31＋35)＝24.
乙每天加工零件的个数分别为：11,17,19,21,22,24,24,30,30,32，所求平均数为：
乙＝×(11＋17＋19＋21＋22＋24＋24＋30＋30＋32)＝23.
【答案】　24　23
茎叶图与平均数相结合的问题，关键是识别茎叶图的意义.在一般情况下，要计算一组数据的平均数可使用平均数计算公式；当数据较大，且大部分数据在某一常数a左右波动时，可建立一组新的数据(各个数据减去a)，再利用平均数简化公式计算，应用此法可减少运算量.
[再练一题]
1.某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)，该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图2 2 21所示.求合唱团学生参加活动的人均次数.
图2 2 21
【解】　由图可知，该合唱团学生参加的人均次数为＝2.3.
方差和标准差
　甲、乙两机床同时加工直径为100
cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定.
【精彩点拨】　
【尝试解答】　(1)甲＝[99＋100＋98＋100＋100＋103]＝100，
乙＝[99＋100＋102＋99＋100＋100]＝100，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)由(1)知甲＝乙，比较它们的方差，∵s＞s，故乙机床加工零件的质量更稳定.
1.在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)，方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定.
2.关于统计的有关性质及规律：
(1)若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a；
(2)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等；
(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
[再练一题]
2.某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：
甲
127
138
130
137
135
131
乙
133
129
138
134
128
136
求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛.
【解】　设甲、乙两人成绩的平均数分别为甲，乙，
则甲＝130＋(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133，
乙＝130＋(3－1＋8＋4－2＋6)＝133，
s＝[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝，
s＝[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝.
因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适.
频率分布直方图与数字特征的综合应用
　已知一组数据：
125　121　123　125　127　129　125　128　130　129
126　124　125　127　126　122　124　125　126　128
(1)填写下面的频率分布表：
分组
频数累计
频数
频率
[120.5,122.5)
[122.5,124.5)
[124.5,126.5)
[126.5,128.5)
[128.5,130.5]
合计
(2)作出频率分布直方图；
(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数.
【导学号：25440036】
【精彩点拨】　将数据分组后依次填写分布表.然后画出直方图，最后根据数字特征在直方图中的求法求解.
【尝试解答】　
(1)
分组
频数累计
频数
频率
[120.5,122.5)
2
0.1
[122.5,124.5)
3
0.15
[124.5,126.5)
8
0.4
[126.5,128.5)
4
0.2
[128.5,130.5]
3
0.15
合计
20
1
(2)
(3)在[124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是124.5＋2×＝125.75，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8，事实上平均数的精确值为＝125.75.
1.利用频率分布直方图求数字特征：
(1)众数是最高的矩形的底边的中点；
(2)中位数左右两侧直方图的面积相等；
(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
2.利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.
[再练一题]
3.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘制成如图2 2 22所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求：
图2 2 22
(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数；
(2)高一参赛学生的平均成绩.
【解】　(1)由题图可知众数为65，
又∵第一个小矩形的面积为0.3，
∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，
∴中位数为60＋5＝65.
(2)依题意，平均成绩为：
55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，
∴平均成绩约为67.
[探究共研型]
平均数、中位数、众数的特征
探究1　一组数据的平均数、中位数、众数唯一吗？
【提示】　一组数据的平均数、中位数都是唯一的，众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有.如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数.
探究2　如何从样本的数字特征中了解数据中是否存在极端数据？
【提示】　中位数不受几个极端数据的影响，而平均数受每个数据的影响，“越离群”的数据，对平均数的影响越大，因此如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值.在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以了解样本数据中极端数据的信息.
探究3　众数、中位数有哪些应用？
【提示】　(1)众数只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据重复出现时，众数往往更能反映问题.
(2)中位数仅与数据的排列位置有关，中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势.
方差、标准差的特征
探究4　从数据的哪些数字特征可以得到数据的离散程度？
【提示】　(1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值极为敏感，一般情况下，极差大，则数据波动性大；极差小，则数据波动性小.极差只需考虑两个极端值，便于计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差.
(2)标准差和方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，方差、标准差的运算量较大.因为方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然标准差与方差在体现数据离散程度上是一样的，但解决问题时一般用标准差.
样本的数字特征
探究5　样本的数字特征具有哪些性质？
【提示】　(1)样本的数字特征具有随机性，这种随机性是由样本的随机性引起的.
(2)样本的数字特征具有规律性，在很广泛的条件下，简单随机样本的数字特征(如众数、中位数、平均数和标准差等)随样本容量的增加而稳定于总体相应的数字特征(总体的数字特征是一定的，不存在随机性).
　某班4个小组的人数为10,10，x,8，已知该组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数.
【精彩点拨】　x的大小未知，可根据x的取值不同分别求中位数.
【尝试解答】　该组数据的平均数为(x＋28)，中位数一定是其中两个数的平均数，由于x不知是多少，所以要分几种情况讨论：
(1)当x≤8时，原数据按从小到大的顺序排列为x,8,10,10，其中位数为×(10＋8)＝9.若(x＋28)＝9，则x＝8，此时中位数为9.
(2)当8(3)当x>10时，原数据按从小到大的顺序排列为8,10,10，x，其中位数为×(10＋10)＝10.若(x＋28)＝10，则x＝12，此时中位数为10.
综上所述，这组数据的中位数为9或10.
当在数据中含有未知数x，求该组数据的中位数时，由于x的取值不同，所以数据由小到大(或由大到小)排列的顺序不同，由于条件的变化，问题的结果有多种情况，不能用同一标准或同一种方法解决，故需分情况讨论，讨论时要做到全面合理，不重不漏.
[再练一题]
4.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为____________.
【解析】　设5个班级中参加的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则由题意知＝7，(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20，由|x－7|＝3可得x＝10或x＝4.由|x－7|＝1可得x＝8或x＝6，由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10.
【答案】　10
[构建·体系]
1.样本101,98,102,100,99的标准差为(　　)
A.　　　　　　　　
B.0
C.1
D.2
【解析】　样本平均数＝100，方差为s2＝2，
∴标准差s＝，故选A.
【答案】　A
2.甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图2 2 23所示.
图2 2 23
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学高；
③甲同学的平均分比乙同学低；
④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.
上面说法正确的是(　　)
A.③④
B.①②④
C.②④
D.①③
【解析】　甲的中位数81，乙的中位数87.5，故①错，排除B、D；甲的平均分＝(76＋72＋80＋82＋86＋90)＝81，乙的平均分＝(69＋78＋87＋88＋92＋96)＝85，故②错，③对，排除C，故选A.
【答案】　A
3.甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数及其方差s2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是(　　)
甲
乙
丙
丁
7
8
8
7
s2
6.3
6.3
7
8.7
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
【解析】　∵乙＝丙＞甲＝丁，且s＝s＜s＜s，
∴应选择乙进入决赛.
【答案】　B
4.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图2 2 24，则
图2 2 24
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________.
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________.
(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________.
【导学号：25440037】
【解析】　(1)(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.
(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.
(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
【答案】　(1)13　(2)62.5　(3)64
5.甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图2 2 25所示：
图2 2 25
(1)填写下表：
平均数
方差
中位数
命中9环及以上
甲
7
1.2
1
乙
5.4
3
(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：
①从平均数和方差结合分析偏离程度；
②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些；
④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力.
【解】　(1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以乙＝(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7；乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位数是＝7.5；甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示：
平均数
方差
中位数
命中9环及以上
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
(2)①甲、乙的平均数相同，均为7，但s＜s，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大.
②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶成绩比甲好.
③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好.
④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________1.1.2　程序框图
1.1.3　算法的三种基本逻辑结构和框图表示
第1课时　程序框图、顺序结构
1.了解程序框图的含义，理解程序框图的作用.(难点)
2.掌握各种程序框和流程线的画法与功能.
3.理解程序框图中的顺序结构，会用顺序结构表示算法.(重点)
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[基础·初探]
教材整理1　程序框图
阅读教材P7～P9，完成下列问题.
1.定义：通常用一些通用图形符号构成一张图来表示算法，这种图称做程序框图(简称框图).
2.常见图形符号及其表示的意义：
图形符号
名称
符号表示的意义
起、止框
框图的开始或结束
输入、输出框
数据的输入或结果的输出
处理框
赋值、执行计算语句、结果的传送
判断框
根据给定条件判断
流程线
流程进行的方向
连接点
连接另一页或另一部分的框图
注释框
帮助理解框图
在下列程序框图中，表示判断框的图形是(　　)
【解析】　四个选项中的程序框依次为处理框，输入、输出框，判断框和起、止框.
【答案】　C
教材整理2　顺序结构
阅读教材P10，完成下列问题.
名称
概念
框图结构
特征
顺序结构
描述的是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间按从上到下的顺序进行
A和B两个框是依次进行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能执行B框指定的操作
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)程序框图是算法的一种表现形式.(　　)
(2)一个完整的程序框图一定是以起止框开始，同时又以起止框表示结束.(　　)
(3)一个程序框图中可以没有顺序结构.(　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×
2.如图1 1 1所示的程序框图，输出的结果是S＝7，则输入的A值为________.
图1 1 1
【解析】　该程序框图的功能是输入A，计算2A＋1的值.由2A＋1＝7，解得A＝3.
【答案】　3
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
程序框图的认识和理解
　(1)下列关于程序框图的说法正确的是(　　)
A.程序框图是描述算法的语言
B.程序框图中可以没有输出框，但必须要有输入框给变量赋值
C.在程序框图中，一个判断框可能同时产生两种结果
D.程序框图与流程图不是同一个概念
(2)下列说法正确的是(　　)
A.程序框图中的图形符号可以由个人来确定
B.也可以用来执行计算语句
C.输入框只能紧接在起始框之后
D.长方形框是执行框，可用来对变量赋值，也可用来计算
【精彩点拨】　根据程序框图的定义和程序框的功能判断.
【尝试解答】　(1)由于算法设计时要
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(2)程序框是由通用图形符号构成，并且
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【答案】　(1)A　(2)D
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1.理解程序框图中各框图的功能是解此类题的关键，用程序框图表示算法更直观、清晰、易懂；
2.起止框用“”表示，是任何流程不可少的，表明程序的开始和结束；
3.输入、输出框图用“”表示，可用在算法中任何需要输入、输出的位置，需要输入的字母、符号、数据都填在框内；
4.处理框用“”表示，算法中处理数据需要的算式、公式等可以分别写在不同的用以处理数据的处理框内，另外，对变量进行赋值时，也用到处理框；
5.判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号.
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[再练一题]
1.关于程序框图的框图符号的理解，正确的个数有(　　)
①任何一个程序框图都必须有起止框；②输入
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A.1个　　
B.2个　　　
C.3个　　　
D.4个
【解析】　任何一个程序都有开始和结
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【答案】　C
利用顺序结构表示算法
　已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，点P(x0，y0)，设计一个算法计算点P到直线l的距离，并画出程序框图.
【导学号：25440003】
【精彩点拨】　可以利用点到直线的距离公式d＝，给公式中的字母赋值，再代入计算.
【尝试解答】　用自然语言描述算法如下：
S1　输入点P的横、纵坐标x0，y0，
输入直线方程的系数，即常数A，B，C.
S2　计算z1＝Ax0＋By0＋C.
S3　计算z2＝A2＋B2.
S4　计算d＝.
S5　输出d.
程序框图：
1.对于套用公式求解的问题往往运用顺
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2.应用顺序结构表示算法的步骤
(1)认真审题，理清题意，明确解决方法；
(2)明确解题步骤；
(3)数学语言描述算法，明确输入量、计算过程、输出量；
(4)用程序框图表示算法过程.
3.顺序结构在程序框图中的表现就是用流
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[再练一题]
2.把上例中直线l改为圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，写出求点P0(x0，y0)到圆上的点的距离最大值的算法及程序框图.
【解】　S1　输入点P0的横、纵坐标x0，y0，输入圆心C的横、纵坐标a，b，圆的半径r.
S2　计算z1＝.
S3　计算d＝z1＋r.
S4　输出d.
程序框图：
[探究共研型]
程序框图的画法与特征
探究1　画程序框图应遵循的规则有哪些？
【提示】　(1)使用标准的程序框图的图形符号.
(2)程序框图一般按照从上到下、从左到右的顺序画.
(3)一个完整的程序框图必须有终端框，用于表示一个算法的开始和结束.
(4)除判断框外，大多程序框图的图形符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一具有超过一个退出点的框图符号.
(5)一种判断框是“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另外一种是多分支判断，可能有几种不同的结果.
(6)在程序框图的图形符号内，用于描述的语言要简练、清楚.
探究2　画程序框图时，一般共分几步？
【提示】　画程序框图一般分三步：
(1)第一步：用自然语言表述算法步骤(又称算法分析)；
(2)第二步：确定每一个算法步骤所含的逻辑结构，并用相应的程序框图表示；
(3)第三步：将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到整个表示算法的程序框图.
探究3　程序框图与计算机程序的关系是什么？
【提示】　在设计计算机程序时
( http: / / www.21cnjy.com )要画出程序运行的程序框图，有了这个程序框图，再去设计程序就有了依据，从而就可以把整个程序用机器语言表述出来，因此程序框图是我们设计程序的基本和开端.
　如图1 1 2所示是解决某个问题而绘制的程序框图，仔细分析各图框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题：
图1 1 2
(1)该框图解决的是怎样的一个问题？
(2)若最终输出的结果y1＝3，y2＝－2，当x取5时输出的结果5a＋b的值应该是多大？
(3)在(2)的前提下，输入的x值越大，输出的ax＋b是不是越大，为什么？
(4)在(2)的前提下，当输入的x值为多大时，输出结果ax＋b等于0
【精彩点拨】　根据程序框图的意义进行分析.
【尝试解答】　(1)该框图解决的是求函数f(x)＝ax＋b的函数值的问题.其中输入的是自变量x的值，输出的是x对应的函数值.
(2)y1＝3，即2a＋b＝3.①
y2＝－2，即－3a＋b＝－2.②
由①②得a＝1，b＝1.所以f(x)＝x＋1.
所以当x取5时，5a＋b＝f(5)＝5＋1＝6.
(3)输入的x值越大，输出的函数值ax＋b越大，
因为f(x)＝x＋1是R上的增函数.
(4)令f(x)＝x＋1＝0，得x＝－1，因此当输入的x值为－1时，输出的函数值为0.
对程序框图我们应注意以下几点：
(1)要明确各框图符号的含义及作用；
(2)要明确框图的方向流程；
(3)要正确认图，即根据框图说明该算法所要解决的问题.
其中，明确算法功能是解决算法问题的关键.
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[再练一题]
3.银行的三年期定期存款年利率4.25(每100元存款到期平均每年获利4.25元).请你设计一个程序，输入存款数，输出利息与本利和.
【解】　设存款为a元，据题意三年到期利息b为：×4.25×3＝0.127
5a元.
到期本利和p为：a＋0.127
5a＝1.127
5a元.
程序框图为：
1.对程序框图叙述正确的是(　　)
A.表示一个算法的起始和结束，程序框是
B.表示一个算法输入和输出的信息，程序框是
C.表示一个算法的起始和结束，程序框是
D.表示一个算法输入和输出的信息，程序框是
【解析】　由程序框的算法功能可知选项C正确.
【答案】　C
2.根据所给的程序框图，如图1 1 3所示，输出的结果是(　　)
图1 1 3
A.3　　
B.1　　　　
C.2　　　　
D.0
【解析】　由X＝Y，得X＝2；
由Y＝X，得Y＝2；由Z＝Y，得Z＝2.
【答案】　C
3.若R＝8，则如图1 1 4所示的程序框图运行后的结果为a＝________.
【导学号：25440004】
图1 1 4
【解析】　由R＝8得b＝＝2，a＝2b＝4.
【答案】　4
4.如图1 1 5是求长方体的体积和表面积的一个程序框图，补充完整，横线处应填________.
图1 1 5
【解析】　根据题意，长方体的长、宽、高应从键盘输入，故横线处应填写输入框
.
【答案】　
5.写出解不等式2x＋1＞0的一个算法，并画出程序框图.
【解】　S1，将1移到不等式的右边；
S2，不等式的两端同乘；
S3，得到x＞－.
程序框图如图所示：
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________第2课时　条件分支结构
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1.了解条件分支结构的概念，并明确其执行过程.(重点)
2.理解条件分支结构在程序框图中的作用.(难点)
3.会用条件分支结构设计程序框图解决有关问题.(易错易混点)
[基础·初探]
教材整理　条件分支结构的概念与结构特征
阅读教材P10～P11，完成下列问题.
名称
概念
框图结构
特征
条件
分支
结构
依据指定条件
选择执行不同
指令的控制
结构
根据指定条件P是否成立而选择执行A框或B框指定的操作
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)条件分支结构是一种重要的基本逻辑结构，任何算法都离不开它.(　　)
(2)条件分支结构的条件需要放在判断框内，判断框有两个出口，根据条件的成立与否，要走不同的出口.(　　)
(3)条件分支结构的判断框有两个出口，所以执行条件分支结构后的结果不唯一.(　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×
2.如图1 1 14所示，若输入x＝－1，则输出y＝______________.
图1 1 14
【解析】　∵－1<3，∴y＝4－(－1)＝5.
【答案】　5
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
对条件分支结构的理解
　(1)如图1 1 15是算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构是(　　)
图1 1 15
A.顺序结构　　　　　　
B.条件分支结构
C.判断结构
D.以上都不对
(2)给出以下四个问题：
①输入一个数x，输出它的相反数；
②求面积为6的正方形的周长；
③求三个数a，b，c中的最大数；
④求函数f(x)＝的函数值.
其中不需要用条件分支结构来描述其算法的个数有(　　)
【导学号：25440006】
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【精彩点拨】　根据顺序结构与条件分支结构的特点判断.
【尝试解答】　(1)此逻辑结构是条件分支结构.
(2)语句①不需要对x进行判断，所以不需要用条件分支结构来描述算法；语句②不需要进行判断，不需要使用条件语句；语句③要比较两个数的大小，需要用到条件分支结构；语句④为分段函数，需要判断x的范围，所以需要用到条件分支结构来描述算法.
【答案】　(1)B　(2)B
条件分支结构不同于顺序结构的地方：它不是依次执行操作指令进行运算，而是依据条件作出逻辑判断，选择执行不同指令中的一个.一般地，这里的判断主要是判断“是”或“否”，即判断是否符合条件的要求，因而它有一个入口和两个出口，但最后还是只有一个终结口.
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[再练一题]
1.条件分支结构不同于顺序结构的特征是含有(　　)
A.处理框
B.判断框
C.输入、输出框
D.起止框
【解析】　由于顺序结构中不含判断框，而条件分支结构中必须含有判断框，故选B.
【答案】　B
简单条件分支结构的设计
　求过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率.设计该问题的算法并画出程序框图.
【精彩点拨】　先对x1，x2是否相等进行判断，然后利用斜率公式.
【尝试解答】　算法如下：S1，输入x1，y1，x2，y2.
S2，如果x1＝x2，输出“斜率不存在”；
否则，k＝.
S3，输出k.
程序框图如图所示：
1.已知两点求直线斜率，若条件中已知x1≠x2，则只用顺序结构即可解决问题；若无限制条件，必须分类讨论应用条件分支结构解决问题.
2.程序框图中的判断框内的内容x1＝x2，也可改为x1≠x2，此时相应地与“是”、“否”相连的图框必须对换.
3.解决这类问题时，首先对问题设置的条件作出判断，设置好判断框内的条件，然后根据条件是否成立选择不同的流向.
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[再练一题]
2.设计求一个数的绝对值的算法并画出程序框图.
【解】　算法如下：
S1　输入实数x.
S2　若x≥0，则y＝x；
若x<0，则y＝－x.
S3　输出y.
程序框图如图所示：
条件分支结构的读图与应用
　如图1 1 16所示的程序框图运行时，若输入a＝2，b＝－1，c＝5，则输出结果为________.
图1 1 16
【精彩点拨】　该程序框图的功能是找出三个数中最小的数，所以逐一比较两数的大小即可.
【尝试解答】　因为a＝2，b＝－1，c＝5，所以根据程序框图可知，先令x＝a，即x＝2.再比较x与b的大小，因为x＞b，所以令x＝b，即x＝－1，然后比较x与c的大小，因为x＜c，所以直接输出x，故输出结果为－1.
【答案】　－1
条件分支结构读图要注意：
(1)理清所要实现的算法的结构特点和流程规则，分析其功能.
(2)结合框图判断所要填入的内容或计算所要输出或输入的值.
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[再练一题]
3.某市出租车的起步价为8元(含3千米)，超过3千米的里程每千米收2.6元，另外每车次超过3千米收燃油附加费1元(不考虑其他因素).相应的收费系统的程序框图如图1 1 17所示，则(1)处应填________，(2)处应填________.
图1 1 17
【解析】　当x＞3时，y＝8＋2.6(x－3)＋1＝9＋2.6(x－3)＝2.6x＋1.2；当x≤3时，y＝8.
【答案】　y＝2.6x＋1.2　y＝8
[探究共研型]
条件分支结构中的“条件”特征
探究1　条件分支结构中的“条件”有哪些特征？
【提示】　(1)条件分支结构是依据指定条件选择执行不同指令的控制结构.
(2)条件分支结构主要用在需要根据条件进行判断的算法中，如分段函数的求值、比较数据的大小关系等.
探究2　一个判断框有两条流出线，能说条件分支结构执行的结果不唯一吗？
【提示】　一个判断框有两个退出点，但根据判断条件是否成立，选择的退出点是确定的，所以条件分支结构执行的结果是唯一的，即条件分支结构只有一个退出点，不能将判断框的退出点和条件分支结构的退出点混为一谈.
探究3　在条件分支结构中，“条件”可以改变吗？
【提示】　求分段函数的函数值的程序框图画法不唯一，判断框内的内容可以改变，但相应处理框的内容也要发生改变.
　“特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式.某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：
f＝
其中f(单位：元)为托运费，ω为托运物品的重量(单位：千克).
试设计计算费用f的算法并画出程序框图.
【精彩点拨】　在计算费用f时，需要讨论ω与50的大小.所以要用条件分支结构画程序框图.
【尝试解答】　算法步骤如下：
S1　输入物品的重量ω.
S2　如果ω≤50，则令f＝0.53ω，否则执行S3.
S3　f＝50×0.53＋(ω－50)×0.85.
S4　输出托运费f.
程序框图如下：
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在处理分段函数问题的过程中，当x在不同的范围内取值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的取值范围，所以在算法框图中需要设计选择结构.
[再练一题]
4.设火车托运质量为w(kg)的行李时，每千米的费用(单位：元)标准为：
f＝
试画出路程为s千米时，行李托运费用M的程序框图.
【解】　算法如下：
S1　输入物品质量w，路程s，
S2　若w>30.那么f＝0.4×30＋0.5(w－30)；否则，f＝0.4w.
S3　计算M＝s×f.
S4　输出M.
程序框图如图所示：
条件结构的嵌套
探究4　什么是条件结构的嵌套？有哪些特征？
【提示】　所谓嵌套，是指条件结构内，又套有小的分支，对条件进行二次或更多次的判断.常用于一些分段函数的求值问题.
一般地，如果是分三段的函数，则需要引入两个判断框；如果是分四段的函数，则需要引入三个判断框；以此类推.
探究5　在条件结构的嵌套中，判断框中的条件是唯一的吗？
【提示】　不是.在具体的程序设计中，这里的条件可以不同，但相应的条件下对应的结果是相同的.因此对于一个具体问题，编写的程序可以是不一样的.
探究6　如何寻找各层的判断条件？
【提示】　寻找问题的判断条件就是寻找分类讨论的依据，将其顺次列出即可，但是要注意条件之间的顺序.
　已知函数y＝f(x)＝试写出求该函数的函数值的算法，并画出程序框图.
【精彩点拨】　解答本题可先对x的值进行判断，然后根据不同情况y取不同的值.
【尝试解答】　算法如下：
S1　输入x.
S2　判断x>0是否成立，
若成立，则y＝1，转执行S4；若不成立，则执行S3.
S3　判断x＝0是否成立，
若成立，则y＝0，转执行S4；否则y＝－1，执行S4.
S4　输出y.
程序框图：
[再练一题]
5.在图书超市里，每本书售价为25元，顾客如果购买5本以上(含5本)，则按八折优惠；如果购买10本以上(含10本)，则按五折优惠.请写出算法并画出这个算法的程序框图.
【解】　设购买的图书为x本，付费y元，由题意知：
y＝
算法如下：
S1　输入x.
S2　若x＜5，则y＝25x；否则执行S3.
S3　若x＜10，则y＝20x；否则执行S4.
S4　y＝12.5x.
S5　输出y.
程序框图如图所示：
1.下列关于条件分支结构的说法中正确的是(　　)
A.条件分支结构的程序框图有一个入口和两个出口
B.无论条件分支结构中的条件是否满足，都只能执行路径之一
C.条件分支结构中两条路径可以同时执行
D.对于一个算法来说，判断框中条件是唯一的
【解析】　根据条件结构的特征可知知，选B.
【答案】　B
2.如图1 1 18所示的程序框图，其功能是(　　)
图1 1 18
A.输入a，b的值，按从小到大的顺序输出它们的值
B.输入a，b的值，按从大到小的顺序输出它们的值
C.求a，b的最大值
D.求a，b的最小值
【解析】　取a＝1，b＝2知，该程序框图输出b＝2，因此是求a，b的最大值.
【答案】　C
3.如1 1 19图所示的程序框图，输入x＝2，则输出的结果是________.
【导学号：25440007】
图1 1 19
【解析】　通过程序框图可知本题是求函数y＝的函数值，根据x＝2可知y＝＝2.
【答案】　2
4.已知函数y＝如图1 1 20表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图.
图1 1 20
①处应填写________；②处应填写________.
【解析】　由框图可知只要满足①中的条件则对应的函数解析式为y＝2－x，故此处应填写x<2，则②处应填写y＝log2x.
【答案】　x<2　y＝log2x
5.儿童乘坐火车时，若身高不超过1.2
m，则无需购票；若身高超过1.2
m，但不超过1.5
m，可买半票；若超过1.5
m，应买全票，请设计一个算法，并画出程序框图.
【解】　根据题意，该题的算法中应用条件结构，首先以身高为标准，分成买票和免费，在买票中再分出半票和全票.买票的算法步骤如下：
S1　测量儿童身高h.
S2　如果h≤1.2
m，那么免费乘车，否则若h≤1.5
m，则买半票，否则买全票.
程序框图如图所示：
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
http://www.21cnjy.com/3.1.3　频率与概率
1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.(重点)
2.理解概率的意义以及频率与概率的区别.(难点)
3.正确理解概率的意义，利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.
[基础·初探]
教材整理　频率与概率
阅读教材P95～P96例2以上部分，完成下列问题.
1.概率
(1)统计定义：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).
(2)性质：随机事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1.
特别地，①当A是必然事件时，P(A)＝1.
②当A是不可能事件时，P(A)＝0.
2.概率和频率之间的联系
在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动，事件的频率是概率的一个近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
1.某射击运动员射击20次，恰有18次击中目标，则该运动员击中目标的频率是________.
【解析】　设击中目标为事件A，则n＝20，nA＝18，则f20(A)＝＝0.9.
【答案】　0.9
2.在一次掷硬币试验中，掷30
000次，其中有14
984次正面朝上，则出现正面朝上的频率是________，这样，掷一枚硬币，正面朝上的概率是________.
【解析】　设“出现正面朝上”为事件A，则n＝30
000，nA＝14
984，fn(A)＝≈0.499
5，P(A)＝0.5.
【答案】　0.499
5　0.5
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
概率概念的理解
　下列说法正确的是(　　)
A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，
则一定为一男一女
B.一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C.10张票中有1
张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D.10张票中有1
张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
【精彩点拨】　抓住事件的概率是在大量试验基础上得到，它只反映事件发生的可能性大小来判断.
【尝试解答】　一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确.
【答案】　D
1.概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值.
2.由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映.
3.正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.
[再练一题]
1.若某种彩票准备发行1
000万张，其中有1万张可以中奖，则买一张这种彩票的中奖概率是多少？买1
000张的话是否一定会中奖？
【解】　中奖的概率为；不一定中奖，因为买彩票是随机的，每张彩票都可能中奖也可能不中奖.买彩票中奖的概率为，是指试验次数相当大，即随着购买彩票的张数的增加，大约有的彩票中奖.
概率与频率的关系及求法
　某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
【精彩点拨】　由表中数据→计算事件频率→观察频率的稳定值→估计概率.
【尝试解答】　
(1)表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89.
1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定值就是概率.
2.解此类题目的步骤是：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率.
[再练一题]
2.一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5
544
9
607
13
520
17
190
男婴数m
2
883
4
970
6
994
8
892
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？
【解】　(1)①第一年内：n1＝5
544，m1＝2
883，故频率为≈0.520
0；
②第二年内：n2＝9
607，m2＝4
970，故频率为≈0.517
3；
③第三年内：n3＝13
520，m3＝6
994，故频率为≈0.517
3；
④第四年内：n4＝17
190，m4＝8
892，故频率为≈0.517
3.
(2)由于这些频率非常接近0.517
3，因此这一地区男婴出生的概率约为0.517
3.
概率的应用
　为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出2
000尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库.经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500尾，查看其中有记号的鱼，有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数.
【精彩点拨】　按有记号的鱼所占的比例进行求解.
【尝试解答】　设水库中鱼的尾数是n，现在要估计n的值，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾鱼，设事件A＝{带记号的鱼}，则P(A)＝.
第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带记号的有40尾，即事件A发生的频数为40，由概率的统计定义知P(A)≈，即≈，解得n≈25
000.
所以估计水库中的鱼有25
000尾.
1.由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率.
2.实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等.
[再练一题]
3.某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况，在校门口按系统抽样的方法：每2分钟随机抽取一名学生，登记佩带胸卡的学生的名字.结果，150名学生中有60名佩带胸卡.第二次检查，调查了初中部的所有学生，有500名学生佩带胸卡.据此估计该中学初中部一共有多少名学生.
【解】　设初中部有n名学生，依题意得＝，解得n＝1
250.
所以该中学初中部共有学生大约1
250名.
[探究共研型]
概率的意义
探究1　如何理解概率意义上的“可能性”？
【提示】　(1)概率意义上的“可能性”是大量随机现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次试验结果的不肯定性与多次试验累积结果的有规律性，才是概率意义上的“可能性”.
(2)概率是根据大量的随机试验得到的一个相应的期望值，它说明一个事件发生的可能性的大小，并未说明一个事件一定发生或一定不发生.
探究2　如何用概率知识解释天气预报中的“降水”？
【提示】　天气预报中的“降水”是一个随机事件，概率只是说明这个随机事件发生的可能性的大小，概率值越大，说明在一次试验中事件发生的可能性越大，但在一次试验中，“降水”这个事件是否发生还是随机的.
探究3　我们知道，每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都为0.5，则连续抛掷质地均匀的硬币两次，是否一定出现“一次正面向上，一次反面向上”呢？
【提示】　不一定.这是因为统计规律不同于确定的数学规律，对于具体的一次试验而言，它带有很大的随机性(即偶然性)，通过具体试验可以知道除上述结果外，也可能出现“两次都是正面向上”、“两次都是反面向上”.
尽管随机事件的概率不像函数关系那样具有确定性，但是如果我们知道某事件发生的概率的大小，也能作出科学的决策.例如：做连续抛掷两枚质地均匀的硬币的试验1
000次，可以预见：“两个都是正面向上”大约出现250次，“两个都是反面向上”大约出现250次，而“一个正面向上、一个反面向上”大约出现500次.
　已知某厂的产品合格率为9%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是(　　)
【导学号：25440045】
A.合格产品少于9件
B.合格产品多于9件
C.合格产品正好是9件
D.合格产品可能是9件
【精彩点拨】　利用“概率”及“合格率”的意义进行分析.
【尝试解答】　一个事件的概率是通过大量的重复试验得到的，其反映了该随机事件发生的可能性大小，因此在本题中“抽出10件产品”相当于做了10次试验，而每次试验结果可能是正品，也可能是次品.故只有D正确.
【答案】　D
随机事件在一次试验中发生与否是随机的.但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映，概率是客观存在的，它与试验次数，哪一个具体的试验都没有关系，运用概率知识，可以帮助我们预测事件发生的可能性.
[再练一题]
4.“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法不正确的是(　　)
A.北京今天一定降雨，而上海一定不降雨
B.上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨
C.北京和上海都可能没降雨
D.北京降雨的可能性比上海大
【解析】　北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，说明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都没有降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，所以B，C，D正确，A错误.
【答案】　A
[构建·体系]
1.在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%.下列解释正确的是(　　)
A.100个手术有99个手术成功，有1个手术失败
B.这个手术一定成功
C.99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术
D.这个手术成功的可能性大小是99%
【解析】　成功率大约是99%，说明手术成功的可能性大小是99%，故选D.
【答案】　D
2.下列叙述中的事件最能体现概率是0.5的是(　　)
A.抛掷一枚骰子10次，其中数字6朝上出现了5次，抛掷一枚骰子数字6向上的概率
B.某地在8天内下雨4天，该地每天下雨的概率
C.进行10
000次抛掷硬币试验，出现5
001次正面向上，那么抛掷一枚硬币正面向上的概率
D.某人买了2张体育彩票，其中一张中500万大奖，那么购买一张体育彩票中500万大奖的概率
【解析】　A，B，D中试验次数较少，只能说明相应事件发生的频率是0.5.
【答案】　C
3.经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有(　　)
A.64个　　　　　　　
B.640个
C.16个
D.160个
【解析】　80×(1－80%)＝16.
【答案】　C
4.(2016·深圳高一检测)给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是.
其中正确命题有________.
【解析】　①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的.②③混淆了频率与概率的区别.④正确.
【答案】　④
5.如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于，这种理解正确吗？
【导学号：25440046】
【解】　这种理解是不正确的.掷一枚质地均匀的硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过大量的试验，其结果呈现出一定的规律，即“正面向上”、“反面向上”的可能性都是，连续5次正面向上这种结果是可能的，但对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面向上和反面向上的可能性还是，而不会大于.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________2.1.2　系统抽样
1.记住系统抽样的方法和步骤.(重点)
2.会用系统抽样从总体中抽取样本.(难点)
3.能用系统抽样解决实际问题.(易错易混点)
[基础·初探]
教材整理　系统抽样的概念
阅读教材P52，完成下列问题.
当总体元素个数很大时，样本容量就不宜太小，采用简单随机抽样，就显得费事.这时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样.
在系统抽样中，由于抽样的间隔相等，因此系统抽样也被称作等距抽样.
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)总体个数较多时可以用系统抽样.(　　)
(2)系统抽样的过程中，每个个体被抽到的概率不相等.(　　)
(3)用系统抽样从N个个体中抽取一个容量为n的样本，要平均分成n段，每段各有个号码.(　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
2.有20个同学，编号为1～20，现在从中抽取4人的作文卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为(　　)
A.5,10,15,20　　　　　
B.2,6,10,14
C.2,4,6,8
D.5,8,11,14
【解析】　将20分成4个组，每组5个号，间隔等距离为5.
【答案】　A
3.已知标有1～20号的小球20个，按下面方法抽样(按从小号到大号排序)：
(1)以编号2为起点，采用系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________；
(2)以编号3为起点，采用系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________.
【解析】　这20个小球分4组，每组5个，(1)若以2号为起点，则另外三个球的编号依次为7,12,17，这4球编号平均值为＝9.5.(2)若以3号为起点，则另外三个球的编号依次为8,13,18，这4球编号平均值为＝10.5.
【答案】　(1)9.5　(2)10.5
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
系统抽样的概念
　(1)某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…，发票上的销售金额组成一个调查样本.这种抽取样本的方法是(　　)
A.抽签法　　　　　　
B.随机数法
C.系统抽样法
D.以上都不对
(2)为了解1
200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k＝________.
【精彩点拨】　解决此类问题的关键是根据系统抽样的概念及特征，抓住系统抽样适用的条件作出判断.
【尝试解答】　(1)上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽15＋50n(n∈N
)号，符合系统抽样的特点.
(2)根据样本容量为30，将1
200名学生分为30段，每段人数即间隔k＝＝40.
【答案】　(1)C　(2)40
判断一个抽样是否为系统抽样：(1)首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成，多少个个体；(2)再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在每一个部分中进行简单随机抽样；(3)最后看是否等距抽样.
[再练一题]
1.下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是(　　)
A.从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动
B.一个城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家.为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本
C.从参加模拟考试的1
200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况
D.从参加模拟考试的1
200名高中生中随机抽取10人了解某些情况
【解析】　A总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；B总体中的个体有明显的层次不适宜用系统抽样法；C总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法；D若总体容量较大，样本容量较小时可用随机数表法.
【答案】　C
系统抽样的方案设计
　某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，请用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程.
【导学号：25440027】
【精彩点拨】　按1∶5的比例确定样本容量，再按系统抽样的步骤进行，关键是确定第1段的编号.
【尝试解答】　按照1∶5的比例抽取样本，则样本容量为×295＝59.
抽样步骤是：
(1)编号：按现有的号码；
(2)确定分段间隔k＝5，把295名同学分成59组，每组5人，第1组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59组是编号为291～295的5名学生；
(3)采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l(1≤l≤5)；
(4)那么抽取的学生编号为l＋5k(k＝0,1,2，…，58)，得到59个个体作为样本，如当l＝3时的样本编号为3,8,13，…，288,293.
当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k＝；当用系统抽样抽取样本时，通常是将起始数s加上间隔k得到第2个个体编号(s＋k)，再加k得到第3个个体编号(s＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本.
[再练一题]
2.(2016·青岛高一检测)某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本.已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是(　　)
A.10
B.11
C.12
D.16
【解析】　分段间隔k＝＝13，可推出另一个同学的学号为16，故选D.
【答案】　D
[探究共研型]
系统抽样的特点
探究1　系统抽样有哪些特点？
【提示】　(1)系统抽样适用于总体容量较大，且个体之间无明显差异的情况；
(2)剔除多余的个体及第1段抽样都用简单随机抽样的方法；
(3)系统抽样是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性相等.
探究2　怎样判断一种抽样是否为系统抽样？
【提示】　判断一种抽样是否为系统抽样，关键有两点：
(1)是否在抽样前知道总体是由什么构成的，抽样的方法能否保证每个个体被抽到的机会均等；
(2)是否能将总体分成几个均衡的部分，在每个部分中是否能进行简单随机抽样.
探究3　在系统抽样中，N不一定能被n整除，那么系统抽样还公平吗？
【提示】　在系统抽样中，
(1)若N能被n整除，则将比值作为分段间隔k.由于起始编号的抽取采用简单随机抽样的方法，因此每个个体被抽取的可能性是一样的.
(2)若N不能被n整除，则用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被n整除，再确定样本.因此每个个体被抽取的可能性还是一样的.
所以，系统抽样是公平的.
　为了了解参加某种知识竞赛的1
003名学生的成绩，抽取一个容量为50的样本，选用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程.
【精彩点拨】　编号→剔除→再编号→分段→在第一段上抽样→在其他段上抽样→成样
【尝试解答】　(1)随机地将这1
003个个体编号为1,2,3，…，1
003；
(2)利用简单随机抽样，先从总体中随机剔除3个个体，剩下的个体数1
000能被样本容量50整除，然后将1
000个个体重新编号为1,2,3，…，1
000；
(3)将总体按编号顺序均分成50组，每组包括20个个体；
(4)在编号为1,2,3，…，20的第一组个体中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如是18；
(5)以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：18,38,58，…，978,998.
当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个体，但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等.剔除几个个体后使总体中剩余的个体数能被样本容量整除.
[再练一题]
3.从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能.请用系统抽样方法进行抽样，并写出抽样过程.
【解】　第一步，先从802辆轿车中剔除2辆轿车(剔除方法可用随机数表法)；
第二步，将余下的800辆轿车编号为1,2，…，800，并均匀分成80段，每段含k＝＝10个个体；
第三步，从第1段即1,2，…，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个号(如5)作为起始号；
第四步，从5开始，再将编号为15,25，…，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本.
1.为了了解参加某次知识竞赛的1
252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为(　　)
A.2　　　
B.3　　　　
C.4　　　
D.5
【解析】　因为1
252＝50×25＋2，所以应随机剔除2个个体，故选A.
【答案】　A
2.为了了解某地参加计算机水平测试的5
008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为(　　)
A.24
B.25
C.26
D.28
【解析】　因为5
008＝200×25＋8，所以选B.
【答案】　B
3.要从160名学生中抽取容量为20的样本，用系统抽样法将160名学生从1～160编号.按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是(　　)
A.7
B.5
C.4
D.3
【解析】　由系统抽样知第一组确定的号码是125－15×8＝5.
【答案】　B
4.在一个个体数目为2
017的总体中，利用系统抽样抽取一个容量为100的样本，则总体中每个个体被抽到的机会为_________.
【导学号：25440028】
【解析】　因为采用系统抽样的方法从个体数目为2
017的总体中抽取一个样本容量为100的样本，每个个体被抽到的可能性都相等，于是每个个体被抽到的机会都是.
【答案】　
5.中秋节，相关部门对某食品厂生产的303盒中秋月饼进行质量检验，需要从中抽取10盒，请用系统抽样的方法完成对此样本的抽取.
【解】　(1)将303盒月饼用随机的方式编号；
(2)从总体中用简单随机抽样的方式剔除3盒月饼，将剩下的月饼重新用000～299编号，并等距分成10段；
(3)在第一段000,001,002，…，029这三十个编号中用简单随机抽样确定起始号码l；
(4)将编号为l，l＋30，l＋2×30，l＋3×30，…，l＋9×30的个体抽出，组成样本.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________3.2　古典概型
3.2.1　古典概型
3.2.2　概率的一般加法公式(选学)
1.理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型.(难点)
2.会用列举法求古典概型的概率.(重点)
[基础·初探]
教材整理1　古典概型
阅读教材P102～P103“例1”以上部分，完成下列问题.
1.古典概型
(1)古典概型的概念：
同时具有以下两个特征的试验称为古典概型：
①有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；
②等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的.
(2)概率的古典定义：
在基本事件总数为n的古典概型中，
①每个基本事件发生的概率为；
②如果随机事件A包含的基本事件数为m，由互斥事件的概率加法公式可得P(A)＝，所以在古典概型中P(A)＝，这一定义称为概率的古典定义.
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型.(　　)
(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件.(　　)
(3)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型.(　　)
(4)一个古典概型的基本事件数为n，则每一个基本事件出现的概率都是.(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是(　　)
A.　　
B.　　
C.　　
D.
【解析】　基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个，所以甲站在中间的概率：P＝＝.
【答案】　C
教材整理2　概率的一般加法公式(选学)
阅读教材P106～P107，完成下列问题.
1.事件A与B的交(或积)：
由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝A∩B(或D＝AB).
2.设A，B是Ω的两个事件，则有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，这就是概率的一般加法公式.
已知A，B是两个事件，且P(A∪B)＝0.2，P(A)＝P(B)＝0.3，则P(AB)＝________.
【解析】　由概率的一般加法公式P(AB)＝－P(A∪B)＋P(A)＋P(B)＝0.3＋0.3－0.2＝0.4.
【答案】　0.4
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
基本事件和古典概型的判断
　(1)抛掷一枚骰子，下列不是基本事件的是(　　)
A.向上的点数是奇数
B.向上的点数是3
C.向上的点数是4
D.向上的点数是6
(2)下列是古典概型的是(　　)
A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件
C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D.抛掷一枚质地均匀的硬币首次出现正面为止
【精彩点拨】　结合基本事件及古典概型的定义进行判断，基本事件是最小的随机事件，而古典概型具有两个特征——有限性和等可能性.
【尝试解答】　(1)向上的点数是奇数包含三个基本事件：向上的点数是1，向上的点数是3，向上的点数是5，则A项不是基本事件，B，C，D项均是基本事件.故选A.
(2)A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故D不是.
【答案】　(1)A　(2)C
1.基本事件具有以下特点：①不可能再分为更小的随机事件；②两个基本事件不可能同时发生.
2.判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可.
[再练一题]
1.下列试验是古典概型的为________.
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.
【解析】　①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点.③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响.
【答案】　①②④
基本事件的计数问题
　有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数.试写出：
(1)试验的基本事件；
(2)事件“朝下点数之和大于3”；
(3)事件“朝下点数相等”；
(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”.
【精彩点拨】　根据事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，列举出来即可.
【尝试解答】　(1)这个试验的基本事件为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).
(2)事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个基本事件：
(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).
(3)事件“朝下点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4).
(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以下10个基本事件：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4).
1.在求基本事件时，一定要按规律去写，这样不容易漏写.
2.确定基本事件是否与顺序有关.
3.写基本事件时，主要用列举法，具体写时可用列表法或树状图法.
[再练一题]
2.列出下列各试验中的基本事件，并指出基本事件的个数(不考虑先后顺序).
(1)从字母a，b，c中任意取出两个字母的试验；
(2)从装有形状、大小完全一样且分别标有1,2,3,4,5号的5个球的袋中任意取出两个球的试验.
【导学号：25440051】
【解】　(1)从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即基本事件.
分别是(a，b)，(a，c)，(b，c)共3个.
(2)从袋中取两个球的等可能结果为：
球1和球2，球1和球3，球1和球4，球1和球5，
球2和球3，球2和球4，球2和球5，球3和球4，
球3和球5，球4和球5.
故共有10个基本事件.
简单的古典概型的概率计算
　袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球.
(1)写出所有不同的结果；
(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；
(3)求至少摸出1个黑球的概率.
【精彩点拨】　(1)可以利用初中学过的树状图写出；(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出；(3)找出至少摸出1个黑球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出.
【尝试解答】　(1)用树状图表示所有的结果为：
所以所有不同的结果是ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，
则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个基本事件，
所以P(A)＝＝0.6，
即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.
(3)记“至少摸出1个黑球”为事件B，
则事件B包含的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7个基本事件，
所以P(B)＝＝0.7，
即至少摸出1个黑球的概率为0.7.
1.求古典概型概率的计算步骤：
(1)确定基本事件的总数n；
(2)确定事件A包含的基本事件的个数m；
(3)计算事件A的概率P(A)＝.
2.解决古典概型问题的基本方法是列举法，但对于较复杂的古典概型问题，可采用转化的方法：一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率.
[再练一题]
3.袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：
(1)三次颜色恰有两次同色；(2)三次颜色全相同；(3)三次摸到的红球多于白球.
【解】　每个基本事件为(x，y，z)，其中x，y，z分别取红、白球，故基本事件个数n＝8个.全集I＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白)}.
(1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”.
∵A中含有基本事件个数为m＝6，
∴P(A)＝＝＝0.75.
(2)记事件B为“三次颜色全相同”.
∵B中含基本事件个数为m＝2，
∴P(B)＝＝＝0.25.
(3)记事件C为“三次摸到的红球多于白球”.
∵C中含有基本事件个数为m＝4，
∴P(C)＝＝0.5.
概率的一般加法公式(选学)
　甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.
【精彩点拨】　由于一人跑四棒中的任一棒都是等可能的，故此试验是古典概型，可以利用概率的一般加法公式求解.
【尝试解答】　设事件A为“甲跑第一棒”，事件B为“乙跑第四棒”，则P(A)＝，P(B)＝.记甲跑第x棒，乙跑第y棒，则结果可记为(x，y)，共有12种等可能结果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3).
而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能：(1,4)，
故P(A∩B)＝.
所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
概率的一般加法公式与概率的加法公式在限制条件上的区别为：
(1)在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)中，事件A、B是互斥事件；
(2)在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，事件A、B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.可借助Venn图直观理解.
[再练一题]
4.在对200家公司的最新调查中发现，40%的公司在大力研究广告效果，50%的公司在进行短期销售预测，而30%的公司在从事这两项研究.假设从这200家公司中任选一家，记事件A为“该公司在研究广告效果”，记事件B为“该公司在进行短期销售预测”，求P(A)，P(B)，P(A∪B).
【解】　P(A)＝40%＝0.4，P(B)＝50%＝0.5，
又已知P(A∩B)＝30%＝0.3，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.4＋0.5－0.3＝0.6.
[探究共研型]
基本事件的特征
探究1　为什么说基本事件是彼此互斥的？
【提示】　基本事件是试验的最基本结果，这些基本结果不能用其他结果加以描述.在一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件，如掷骰子试验中，一次试验只会出现一个点数，任何两个点数不可能在一次试验中同时发生，即基本事件不可能同时发生，因而基本事件是彼此互斥的，但其他试验结果都可以用基本事件加以描述.
探究2　基本事件的表示方法有哪些？
【提示】　写出所有的基本事件可采用的方法较多，例如列表法、坐标系法、树状图法，但不论采用哪种方法，都要按一定的顺序进行，做到不重不漏.
古典概型的特征
探究3　古典概型有何特点？何为非古典概型？
【提示】　一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型：
(1)基本事件个数有限，但非等可能；
(2)基本事件个数无限，但等可能；
(3)基本事件个数无限，也不等可能.
探究4　举例说明古典概型的概率与模型选择无关？
【提示】　以“甲、乙、丙三位同学站成一排，计算甲站在中间的概率”为例，若从三个同学的站位顺序来看，则共有“甲乙丙”、“甲丙乙”、“乙甲丙”、“乙丙甲”、“丙甲乙”、“丙乙甲”六种结果，其中“甲站在中间”包含“乙甲丙”、“丙甲乙”两个基本事件，因此所求事件的概率为P＝＝；若仅从甲的站位来看，则只有“甲站1号位”、“甲站2号位”、“甲站3号位”三种结果，其中“甲站在中间”只有“甲站2号位”这一种情况，因此所求概率为P＝.
　先后抛掷两枚大小相同的骰子.
(1)求点数之和出现7点的概率；
(2)求出现两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率.
【精彩点拨】　明确先后掷两枚骰子的基本事件总数，然后用古典概型概率计算公式求解，可借图来确定基本事件情况.
【尝试解答】　如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种.
(1)记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6).故P(A)＝＝.
(2)记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件只有1个，即(4,4).故P(B)＝.
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6).故P(C)＝＝.
1.在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，以便我们准确地找出某事件所包含的基本事件个数.
2.数形结合能使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便.
[再练一题]
5.抛掷两颗骰子，求：
(1)点数之和是4的倍数的概率；
(2)点数之和大于5小于10的概率.
【解】　如图，基本事件共有36种.
(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)，所以P(A)＝.
(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个.即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3).所以P(B)＝.
[构建·体系]
1.同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是(　　)
A.3　　　
B.4　　　
C.5　　　
D.6
【解析】　事件A包含的基本事件有6个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1).
【答案】　D
2.下列关于古典概型的说法中正确的是(　　)
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝.
A.②④
B.①③④
C.①④
D.③④
【解析】　根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确.
【答案】　B
3.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.1
【解析】　从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝.
【答案】　C
4.据报道：2015年我国高校毕业生为749万人，创历史新高，就业压力进一步加大.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________.
【解析】　记事件A：甲或乙被录用.从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立事件仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A的对立事件的概率为P()＝，
∴P(A)＝1－P()＝.
【答案】　
5.一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：
(1)小球是不放回的；
(2)小球是有放回的.
分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率.
【导学号：25440052】
【解】　随机选取两个小球，记事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”，可能结果为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，(7,6)，(8,7)，(9,8)，(10,9)共18种.
(1)如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)，共有可能结果90种.
因此，事件A的概率是＝＝.
(2)如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)，则x有10种可能，y有10种可能，共有可能结果100种.
因此，事件A的概率是＝.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________1.3　中国古代数学中的算法案例
1.了解割圆术中无限通近的数学思想.
2.理解更相减损之术的含义，了解其执行过程.(难点)
3.掌握秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质.(难点)
[基础·初探]
教材整理1　更相减损之术(等值算法)
阅读教材P27～P28“探索与研究”以上部分，完成下列问题.
求两个正整数最大公约数的算法
(1)更相减损之术(等值算法)：
用两数中较大的数减去较小的数，再用差数和较小数构成新的一对数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数.
(2)用“等值算法”求最大公约数的程序：
用“等值算法”可求得98与280的最大公约数为________.
【解析】　(98,280)→(98,182)→(98,84)→(14,84)→(14,70)→(14,56)
→(14,42)→(14,28)→(14,14)，∴最大公约数为14.
【答案】　14
教材整理2　割圆术
阅读教材P28～P29，完成下列问题.
用圆内接正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法是计算圆周率的近似值.
我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率π是(　　)
A.准确值　　　　　
B.近似值
C.循环小数
D.有理数
【答案】　B
教材整理3　秦九韶算法
阅读教材P30～P31，完成下列问题.
1.把一元n次多项式P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写为
P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.
令vk＝(…(anx＋an－1)x＋…＋an－(k－1))x＋an－k，
则递推公式为：其中k＝1,2，…，n.
2.计算P(x0)的方法：
先计算最内层的括号，然后由内向外逐层计算，直到最外层的一个括号，然后加上常数项.
用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11当x＝x0时的值时，应把f(x)变形为(　　)
A.x3－(3x＋2)x－11
B.(x－3)x2＋(2x－11)
C.(x－1)(x－2)x－11
D.((x－3)x＋2)x－11
【解析】　f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝(x2－3x＋2)x－11
＝((x－3)x＋2)x－11.
【答案】　D
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
求最大公约数
　用“等值算法”(更相减损之术)求78和36的最大公约数.
【精彩点拨】　按等值算法的步骤执行即可.
【尝试解答】　操作如下：
(78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→
(6,12)→(6,6)，所以最大公约数为6.
用更相减损之术求两数最大公约数时，是大数减小数恰好等于小数时停止减法，这时的小数就是要求的两数的最大公约数.
[再练一题]
1.用“等值算法”(更相减损之术)求98与63的最大公约数.
【解】　操作如下：
(98,63)→(35,63)→(28,35)→(7,28)→
(7,21)→(7,14)→(7,7)，所以98与63的最大公约数为7.
秦九韶算法的应用
　用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值.
【精彩点拨】　改写多项式，确定v0，再依次计算vi，i＝1,2,3,4,5,6,7，最后求得f(3).
【尝试解答】　根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，
由内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝3时的值：
由v0＝7；
v1＝7×3＋6＝27；
v2＝27×3＋5＝86；
v3＝86×3＋4＝262；
v4＝262×3＋3＝789；
v5＝789×3＋2＝2
369；
v6＝2
369×3＋1＝7
108；
v7＝7
108×3＝21
324，
故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21
324.
利用秦九韶算法计算多项式的值关键是正确地将多项式改写，然后由内向外依次计算，由于下一次的计算用到上一次计算的结果，只有细心，认真，保证中间的结果正确才能保证计算准确.
[再练一题]
2.用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.166
67x3＋0.041
67x4＋0.008
33x5在x＝－0.2时的值.
【导学号：25440021】
【解】　x＝－0.2.
a5＝0.008
33　v0＝a5＝0.008
33，
a4＝0.041
67
v1＝v0x＋a4＝0.04，
a3＝0.166
67
v2＝v1x＋a3＝0.158
67，
a2＝0.5
v3＝v2x＋a2＝0.468
27，
a1＝1
v4＝v3x＋a1＝0.906
35，
a0＝1
v5＝v4x＋a0＝0.818
73，
所以f(－0.2)＝0.818
73.
[探究共研型]
秦九韶算法中的运算次数
探究1　怎样计算多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1当x＝5时的值呢？统计所做的计算的种类及计算次数分别是什么？
【提示】　f(5)＝55＋54＋53＋52＋5＋1＝3
906.根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算.
探究2　我们把多项式变形为f(x)＝x2(1＋x(1＋x(1＋x)))＋x＋1，再统计一下计算当x＝5时的计算的种类及计算次数分别是什么？
【提示】　从里往外计算仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果.
探究3　怎样利用秦九韶算法把求n次多项式f(x)的值转化为求n个一次多项式的值？
【提示】　f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋an－2xn－2＋…＋a1x＋a0
＝(anxn－1＋an－1xn－2＋an－2xn－3＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
＝……
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，vn＝vn－1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.
　已知f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6，用秦九韶算法求这个多项式当x＝2时的值时，做了几次乘法？几次加法？
【精彩点拨】　用秦九韶算法多项式的值时，要先将多项式改写成f(x)＝(…(anx＋an－1)x＋…＋a1)x＋a0，然后逐步计算乘法和加法的次数，但要注意v0＝1时，也作了一次乘法.
【尝试解答】　在v1中虽然“v1＝2＋2＝4”，而计算机还是做了1次乘法“v1＝2×1＋2＝4”.因为用秦九韶算法计算多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0当x＝x0时的值时，首先将多项式改写成f(x)＝(…(anx＋an－1)x＋…＋a1)x＋a0，然后再计算v1＝anx＋an－1，v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，vn＝vn－1x＋a0.无论an是不是1，这次的乘法都是要进行的.由以上分析，共做了5次乘法，5次加法.
利用秦九韶算法计算多项式的值时，计算的乘法的次数，与多项式的未知数的最高次项的指数相同，加法运算的次数在多项式有常数项的条件下与乘法的次数相同.
[再练一题]
3.用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值时，需要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为(　　)
A.4,2　　　　　　　
B.5,3
C.5,2
D.6,2
【解析】　f(x)＝4x5－x2＋2＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，需5次乘法运算和2次加法运算.
【答案】　C
1.用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为(　　)
A.5,4　　
B.5,5　　　
C.4,4　　
D.4,5
【解析】　n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法，缺一项就减少一次加法运算.f(x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为5－1＝4.故选D.
【答案】　D
2.用更相减损之术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是(　　)
【导学号：25440022】
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】　∵(294,84)→(210,84)→(126,84)→(42,84)→(42,42)，∴需做4次减法.
【答案】　C
3.用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值时，v4的值为(　　)
A.－57
B.220
C.－845
D.3
392
【解析】　v0＝3，v1＝v0x＋5，v2＝v1x＋6，v3＝v2x＋79，v4＝v3x－8，∴v4＝220.
【答案】　B
4.用更相减损之术求36,24的最大公约数是________.
【解析】　36－24＝12,24－12＝12，
因此36,24的最大公约数是12.
【答案】　12
5.用更相减损之术求80和36的最大公约数.
【解】　(80,36)→(44,36)
→(8,36)→(8,28)
→(8,20)→(8,12)
→(8,4)→(4,4)，
所以80与36的最大公约数为4.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________2.3　变量的相关性
2.3.1　变量间的相关关系
2.3.2　两个变量的线性相关
1.理解两个变量的相关关系的概念.(难点)
2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.(重点)
3.会求回归直线方程.(重点)
4.相关关系与函数关系.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1　变量间的相关关系
阅读教材P73，完成下列问题.
1.两个变量的关系
分类
函数关系
相关关系
特征
两变量关系确定
两变量关系带有随机性
2.散点图
将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形.
3.正相关与负相关
(1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关.
(2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关.
图2 3 1所示的两个变量不具有相关关系的有________.
图2 3 1
【解析】　①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系.
【答案】　①④
教材整理2　两个变量的线性相关
阅读教材P74～P76，完成下列问题.
1.最小二乘法
设x、Y的一组观察值为(xi，yi)，i＝1,2，…，n，且回归直线方程为＝a＋bx.当x取值xi(i＝1,2，…，n)时，Y的观察值为yi，差yi－i(i＝1,2，…，n)刻画了实际观察值yi与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即Q＝(yi－a－bxi)2作为总离差，并使之达到最小.这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条.由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法.
2.回归直线方程的系数计算公式
回归直线方程
回归系数
系数的计算公式
方程或公式
＝a＋bx
＝eq
\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)
,－n2)
＝－x
上方加记号“^
”的意义
区分y的估计值与实际值y
a、b上方加“^
”表示由观察值按最小二乘法求得的估计值
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)回归方程中，由x的值得出的y值是准确值.(　　)
(2)回归方程一定过样本点的中心.(　　)
(3)回归方程一定过样本中的某一个点.(　　)
(4)选取一组数据中的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程是同一个方程.(　　)
【答案】　
(1)×　(2)√　(3)×　(4)
×
2.过(3,10)，(7,20)，(11,24)三点的回归直线方程是(　　)
A.＝1.75＋5.75x　
B.＝－1.75＋5.75x
C.＝5.75＋1.75x
D.＝5.75－1.75x
【解析】　求过三点的回归直线方程，目的在于训练求解回归系数的方法，这样既可以训练计算，又可以体会解题思路，关键是能套用公式.代入系数公式得＝1.75，＝5.75.代入直线方程，求得＝5.75＋1.75x.故选C.
【答案】　C
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
相关关系的判断
　(1)下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系(　　)
A.正方体的棱长和体积
B.圆半径和圆的面积
C.正n边形的边数和内角度数之和
D.人的年龄和身高
(2)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断(　　)
图2 3 2
A.变量x与y正相关，u与v正相关
B.变量x与y正相关，u与v负相关
C.变量x与y负相关，u与v正相关
D.变量x与y负相关，u与v负相关
【精彩点拨】　结合相关关系，函数关系的定义及正负相关的定义分别对四个选项作出判断.
【尝试解答】　(1)A、B、C都是函数关系，对于A，V＝a3；对于B，S＝πr2；对于C，g(n)＝(n－2)π.而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高，∴选D.
(2)由图象知，变量x与y呈负相关关系；u与v呈正相关关系.
【答案】　(1)D　(2)C
判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.
[再练一题]
1.某公司2009～2014年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：
年份
2009
2010
2011
2012
2013
2014
利润x
12.2
14.6
16
18
20.4
22.3
支出y
0.62
0.74
0.81
0.89
1
1.11
A.利润中位数是16，x与y有正线性相关关系
B.利润中位数是18，x与y有负线性相关关系
C.利润中位数是17，x与y有正线性相关关系
D.利润中位数是17，x与y有负线性相关关系
【解析】　由表知，利润中位数是(16＋18)＝17，且y随x的增大而增大，故选C.
【答案】　C
求回归直线方程
　一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：
零件数x(个)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间y(分)
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
(1)y与x是否具有线性相关关系？
(2)如果y与x具有线性相关关系，求y关于x的回归直线方程.
【精彩点拨】　画散点图→确定相关关系→求回归直线系数
→写回归直线方程
【尝试解答】　(1)画散点图如下：
由上图可知y与x具有线性相关关系.
(2)列表、计算：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
yi
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
xiyi
620
1
360
2
250
3
240
4
450
5
700
7
140
8
640
10
350
12
200
＝55，＝91.7，x＝38
500，＝87
777，iyi＝55
950
＝eq
\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)
,－102)＝≈0.668，
＝－＝91.7－0.668×55＝54.96.
即所求的回归直线方程为：＝0.668x＋54.96.
用公式求回归方程的一般步骤：
(1)列表xi，yi，xiyi；
(3)代入公式计算、的值；
(4)写出回归方程.
[再练一题]
2.已知变量x，y有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于x，y的回归直线方程.
【解】　(1)散点图如图所示：
(2)＝＝，
＝＝，
iyi＝1＋6＋12＋20＝39.
＝1＋4＋9＋16＝30，
＝＝，
＝－×＝0，
所以＝x为所求回归直线方程.
利用回归方程对总体进行估计
　下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程＝x＋；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
【导学号：25440039】
【精彩点拨】　(1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内画散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数，的值；(3)实际上就是求当x＝100时，对应的v的值.
【尝试解答】　(1)散点图，如图所示：
(2)由题意，得iyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
＝＝4.5，
＝＝3.5，
＝32＋42＋52＋62＝86，
∴＝＝＝0.7，
＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35，
故线性回归方程为＝0.7x＋0.35.
(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤为0.7×100＋0.35＝70.35(吨)，
故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨)标准煤.
回归分析的三个步骤：
(1)判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图；
(2)求线性回归方程，注意运算的正确性；
(3)根据回归直线进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差.
[再练一题]
3.某种产品的广告费支出y(百万元)与销售额x(百万元)之间的关系如下表所示.
x
8
12
14
16
y
5
8
9
11
(1)假定y与x之间存在线性相关关系，求其回归直线方程.
(2)若广告费支出不少于60百万元，则实际销售额应不少于多少？
【解】　(1)设回归直线方程为＝bx＋a，则＝＝＝，＝－＝－×＝－×＝－，则所求回归直线方程为＝x－.
(2)由＝x－≥60，得x≥≈84，所以实际销售额不少于84百万元.
[探究共研型]
散点图的特征
探究1　任意两个统计数据是否均可以作出散点图？怎么根据散点图判断变量之间的关系？
【提示】　任意两个统计数据均可以作出散点图，对于作出的散点图，如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系.特别地，若所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就具有线性相关关系；如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系；如果散点图中的点的分布几乎没有什么规则，则这两个变量之间不具有相关关系.
回归直线的特征
探究2　如何画回归直线？
【提示】　(1)建立直角坐标系，两轴的长度单位可以不一致.
(2)将n个数据点描在平面直角坐标系中.
(3)画回归直线时，一定要画在多数点经过的区域，可以先观察有哪两个点在直线上.
探究3　回归系数的含义是什么？
【提示】　(1)代表x每增加一个单位，y的平均增加单位数，而不是增加单位数.
(2)当＞0时，两个变量呈正相关关系，含义为：x每增加一个单位，y平均增加个单位数；
当＜0时，两个变量呈负相关关系，含义为：x每增加一个单位，y平均减少个单位数.
探究4　回归直线方程与直线方程的区别是什么？
【提示】　线性回归直线方程中y的上方加记号“^
”是与实际值y相区别，因为线性回归方程中的“”的值是通过统计大量数据所得到的一个预测值，它具有随机性，因而对于每一个具体的实际值而言，的值只是比较接近，但存在一定的误差，即y＝＋e(其中e为随机变量)，预测值与实际值y的接近程度由随机变量e的标准差决定.
　已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝bx＋a.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　)
A.>b′，>a′　　　　　
B.>b′，C.a′
D.【精彩点拨】　先由已知条件分别求出b′，a′的值，再由，的计算公式分别求解，的值，即可作出比较.
【尝试解答】　根据所给数据求出直线方程y＝b′x＋a′和回归直线方程的系数，并比较大小.
由(1,0)，(2,2)求b′，a′.
b′＝＝2，
a′＝0－2×1＝－2.
求，时，
iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，
＝3.5，＝，
＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，
∴＝＝，
＝－×3.5＝－＝－，
∴a′.
【答案】　C
求回归直线方程时应注意的问题：
(1)知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，即使求出回归方程也是毫无意义的.
(2)用公式计算、的值时，要先算出，然后才能算出，由＝－知回归直线必经过点(，).
(3)利用回归方程，我们可以进行估计和预测.若回归直线方程为＝bx＋a，则x＝x0处的估计值为＝bx0＋a.
[再练一题]
4.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　)
A.y与x具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心(，)
C.若该大学某女生身高增加1
cm，则其体重约增加0.85
kg
D.若该大学某女生身高为170
cm，则可断定其体重必为58.79
kg
【解析】　为正数，所以两变量具有正的线性相关关系，故A正确；B，C显然正确；若该大学某女生身高为170
cm，则可估计其体重为58.79
kg.
【答案】　D
1.设一个回归方程＝3＋1.2x，则变量x增加一个单位时(　　)
A.y平均增加1.2个单位
B.y平均增加3个单位
C.y平均减少1.2个单位
D.y平均减少3个单位
【解析】　由b＝1.2>0，故选A.
【答案】　A
2.下列有关线性回归的说法，不正确的是(　　)
A.变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B.在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图
C.回归方程最能代表观测值x、y之间的线性关系
D.任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线
【解析】　只有数据点整体上分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线.
【答案】　D
3.(2014·重庆高考)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(　　)
A.＝0.4x＋2.3　　　
B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5
D.＝－0.3x＋4.4
【解析】　因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排除B，故选A.
【答案】　A
4.对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表所示.
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
若已求得它们的回归直线的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为________.
【导学号：25440040】
【解析】　由题意可知＝＝5，
＝＝50.
即样本中心为(5,50)，
设回归直线方程为＝6.5x＋b，
∵回归直线过样本中心(5,50)，
∴50＝6.5×5＋，即＝17.5，
∴回归直线方程为＝6.5x＋17.5.
【答案】　＝6.5x＋17.5
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________第3课时　循环结构
1.掌握两种循环结构的程序框图的画法.(重点)
2.能进行两种循环结构的程序框图的相互转化.
3.能正确设计程序框图，解决有关实际问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理1　循环结构的定义
阅读教材P13，完成下列问题.
1.循环过程
如果一个计算过程，要重复一系列的计算步骤若干次，每次重复的计算步骤完全相同，则这种算法过程称为循环过程.
2.循环结构
循环结构是指根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)循环结构是在一些算法中从某处开始，按照一定条件反复执行处理某一步骤，因此循环结构一定包含条件分支结构.(　　)
(2)循环结构中不一定包含条件分支结构.(　　)
(3)循环结构中反复执行的步骤叫做循环体.(　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
教材整理2　常见的两种循环结构
阅读教材P13～P14，完成下列问题.
名称
结构图
特征
第一种
先执行循环体后判断条件，若不满足条件则执行循环体，否则终止循环
第二种
先对条件进行判断，满足时执行循环体，否则终止循环
阅读如图1 1 31的框图，运行相应的程序，输出S的值为________.
图1 1 31
【解析】　S＝0，n＝3，S＝0＋(－2)3＝－8，
n＝3－1＝2≤1不成立；
故S＝－8＋(－2)2＝－4，
n＝2－1＝1≤1成立.
故输出S的值为－4.
【答案】　－4
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
含循环结构的程序的运行
　执行如图1 1 32所示的程序框图，输出的S值为(　　)
图1 1 32
A.1　　
B.3　　　
C.7　　　
D.15
【精彩点拨】　根据程序框图进行判断，要注意程序终止的条件.
【尝试解答】　程序框图运行如下：
k＝0<3，S＝0＋20＝1，k＝1<3；
S＝1＋21＝3，k＝2<3；
S＝3＋22＝7，k＝3.
输出S＝7.
【答案】　C
1.如果算法问题里涉及的运算进行多次重复的操作，且先后参与运算的各数之间有相同的变化规律，就可以引入循环变量参与运算，构成循环结构.
2.在循环结构中，要注意根据条件设置合理的计数变量，累加(乘)变量，同时条件的表述要恰当，精确.
3.累加变量的初值一般为0，而累乘变量的初值一般为1，累加(乘)和计数一般是同步进行的，累加(乘)一次，计数一次.
[再练一题]
1.阅读如图1 1 33所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为(　　)
图1 1 33
A.1　　　　　　　　　
B.2
C.3
D.4
【解析】　当n＝1时，21>12满足条件，继续循环得n＝2,22>22不成立，不满足条件，所以输出n＝2.
【答案】　B
含循环结构程序框图的设计
　设计一个算法，求1×2×3×…×100的值，并画出程序框图.
【精彩点拨】　式中各项相乘，且各项有规律递增，所以引入累乘变量S和计数变量i，利用S＝S×i，i＝i＋1这两个式子反复执行，因此需要利用循环结构设计程序框图.
【尝试解答】　算法如下：
S1　令S＝1.
S2　令i＝2.
S3　S＝S×i.
S4　i＝i＋1.
S5　若i＞100，则输出S；否则，返回S3.
该算法的程序框图如图所示.
1.如果算法问题中涉及的运算进行了许多次重复的操作，且先后参与运算的数之间有相同的变化规律，就可以引入变量(我们称之为循环变量)，构成循环结构.
2.在循环结构中，要注意根据条件设计合理的计数变量、累加变量和累乘变量等，特别要求条件的表述要恰当、精确.累加变量的初始值一般取0，而累乘变量的初始值一般取1.
[再练一题]
2.根据例2选择另外一种循环结构，画出它的程序框图.
【解】　程序框图：
循环结构的实际应用
　用分期付款的方式购买价格为2
150元的冰箱，如果购买时先付1
150元，以后每月付50元，并加付欠款的利息，若一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么购冰箱钱全部付清后，实际共付出款额多少元？画出程序框图.
【导学号：25440009】
【精彩点拨】　根据题中条件解决该问题需选择循环结构画流程图.
【尝试解答】　购买时付款1
150元，余款1
000元分20次分期付款，每次的付款数为：
a1＝50＋(2
150－1
150)×1%＝60(元)，
a2＝50＋(2
150－1
150－50)×1%＝59.5(元)，
……
an＝50＋[2
150－1
150－(n－1)×50]×1%
＝60－(n－1).
∴a20＝60－×19＝50.5(元)，
总和S＝1
150＋60＋59.5＋…＋50.5＝2
255(元).
程序框图如图：
用循环结构设计算法解决应用问题的步骤：
1.审题；
2.建立数学模型；
3.用自然语言表述算法步骤；
4.确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，对于要重复执行的步骤，通常用循环结构来设计，并用相应的程序框图表示，得到表示该步骤的程序框图；
5.将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到表示整个算法的程序框图.
[再练一题]
3.某班共有学生50人，在一次数学测试中，要搜索出测试中及格(60分及以上)的成绩，试设计一个算法，并画出程序框图.
【解】　算法步骤如下：
S1　把计数变量n的初始值设为1.
S2　输入一个成绩r，比较r与60的大小.若r≥60，则输出r，然后执行下一步；若r<60，则执行下一步.
S3　使计数变量n的值增加1.
S4　判断计数变量n与学生个数50的大小，若n≤50，返回S2；若n>50，则结束.
程序框图如图：
[探共研型]
循环“变量”与循环“条件”
探究1　在循环结构中，计数变量和累加(乘)变量有什么作用？
【提示】　一般地，循环结构中都有一个计数变量和累加(乘)变量：计数变量用于记录循环次数，同时它的取值还可能用于判断循环是否终止；累加(乘)变量用于表示每一步的计算结果.计数变量和累加(乘)变量一般是同步执行的，累加(乘)一次，计数一次.
探究2　利用循环结构描述算法，要注意什么？
【提示】　要注意循环条件、变量初值、循环体各语句之间的影响.
(1)注意各个语句顺序不同对结果的影响；
(2)注意各个变量初始值不同对结果的影响；
(3)要对循环开始和结束的变量及结束时变量的值认真检验，以免出现多循环或者漏循环.
探究3　循环结构的判断框中的条件是唯一的吗？
【提示】　不是.在设计具体的程序框图时，循环结构的判断框中的条件可能根据选择模型的不同而不同，也可能由于具体算法的特点而不同，但不同的条件应该有相同的确定的结果.
探究4　已知有一列数，，，…，，某同学作出了两个求这列数前20项的和的程序框图，但判断框中的条件空缺，你能给他补上吗？
【提示】　能.这一列数中每一项的分母是分子数加1，单独观察分子，恰好是1,2,3，…，n，因此设计变量i，用i＋1实现分子，因为是求前20项的和，所以i只能加到20，程序框图(1)中满足条件输出，不满足条件才循环，故其条件应是i>20，同理程序框图(2)中应填入i≤20.
　请用两种不同的方法画出求满足1×3×5×7×…×n>50
000的最小正整数n的程序框图.
【精彩点拨】　利用循环结构，重复操作，在设计终止循环的条件时有两种思路，一种是当积不满足小于等于50
000时，另一种是当积满足大于50
000时.
【尝试解答】　法一：
法二：
[再练一题]
4.如图1 1 35所示的3个程序框图中，哪一个是满足12＋22＋32＋…＋n2＞106的最小正整数n的程序框图.
【解】　图①中变量i2加给S后i再加1，在检验条件时，满足条件后输出的i比实际值多1，显然是未重视最后一次循环的检验所致；图②中，i加1后再加i2加给S，由于开始时i＝1，这样导致第一次执行循环体时加的就是22，漏掉了第1项，是由于未重视第一次执行循环时的数据所致.图③是满足条件的.
1.下列框图是循环结构的是(　　)
图1 1 36
A.①②　
B.②③　　
C.③④　　
D.②④
【解析】　由循环结构的特点知③④是循环结构，其中①是顺序结构，②是条件分支结构.
【答案】　C
2.执行如图1 1 37所示的程序框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内①处应填(　　)
图1 1 37
A.3
B.4
C.5
D.12
【解析】　按照程序框图依次执行：初始a＝1，b＝1；第一次循环后，b＝21＝2，a＝1＋1＝2；第二次循环后，b＝22＝4，a＝2＋1＝3；第三次循环后，b＝24＝16，a＝3＋1＝4，而此时应输出b的值，故判断框中的条件应为“a≤3”.
【答案】　A
3.如图1 1 38所示的程序框图中，语句“S＝S×n”将被执行的次数是(　　)
【导学号：25440010】
图1 1 38
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】　由程序框图知：
S＝1×2×3×…×n.
又1×2×3×4×5＝120＜200，
1×2×3×4×5×6＝720＞200.
故语句“S＝S×n”被执行了5次.
【答案】　B
4.运行如图1 1 39程序框图，输出的结果为________.
图1 1 39
【解析】　n＝1，S＝1＋0＝1；n＝2，S＝3；n＝3，S＝6；n＝4，S＝10；n＝5，S＝15；n＝6，S＝21；n＝7，S＝28.
【答案】　28
5.画出计算1＋＋＋…＋的值的一个程序框图.
【解】　程序框图如图所示：
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________2.2　用样本估计总体
2.2.1　用样本的频率分布估计总体的分布
1.理解用样本的频率分布估计总体的分布的方法.
2.会列频率分布表，画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图.(重点)
3.能够利用图形解决实际问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理1　频率分布表及频率分布直方图
阅读教材P58～P61，完成下列问题.
1.频率分布表、频率分布直方图的编制步骤
(1)计算极差(全距)；
(2)决定组数与组距；
(3)决定分点；
(4)列频率分布表；
(5)绘制频率分布直方图.
2.频率分布直方图
3.频率分布折线图、总体密度曲线
(1)频率分布折线图的定义：
把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图.
(2)总体密度曲线：
如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线y＝f(x)来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线.
1.一个容量为80的样本中，数据的最大值为152，最小值为60，组距为10，应将样本数据分为(　　)
A.10组　　　　　　　
B.9组
C.8组
D.7组
【解析】　由题意可知，＝9.2，故应将数据分为10组.
【答案】　A
2.从一群学生中抽取一个一定容量的样本，对他们的学习成绩进行分析.已知不超过80分的为10人，其累积频率为0.5，则样本容量是(　　)
A.20
B.40
C.80
D.60
【解析】　样本容量＝＝20.
【答案】　A
教材整理2　茎叶图
阅读教材P62～P63，完成下列问题.
茎叶图
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)样本容量越大，估计的越准确.(　　)
(2)频率分布直方图的纵轴表示频率.(　　)
(3)茎叶图不能增加数据.(　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
2.如图2 2 1是一个班的语文成绩的茎叶图(单位：分)，则优秀率(90分以上)是________，最低分是________.
图2 2 1
【解析】　由茎叶图知，样本容量为25,90分以上的有1人，故优秀率为＝4%，最低分为51分.
【答案】　4%　51
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
频率分布直方图的绘制
　某省为了了解和掌握2016年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩，数据如下：(单位：分)
135
98
102
110
99
121
110
96
100
103
125
97
117
113
110
92
102
109
104
112
105
124
87
131
97
102
123
104
104
128
109
123
111
103
105
92
114
108
104
102
129
126
97
100
115
111
106
117
104
109
111
89
110
121
80
120
121
104
108
118
129
99
90
99
121
123
107
111
91
100
99
101
116
97
102
108
101
95
107
101
102
108
117
99
118
106
119
97
126
108
123
119
98
121
101
113
102
103
104
108
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和折线图；
(3)估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例.
【精彩点拨】　先求极差.根据极差与数据个数确定组距、组数，然后按频率分布直方图的画法绘制分析.
【尝试解答】　100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为135－80＝55.取组距为5，则组数为＝11.
(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
频率/组距
[80,85)
1
0.01
0.002
[85,90)
2
0.02
0.004
[90,95)
4
0.04
0.008
[95,100)
14
0.14
0.028
[100,105)
24
0.24
0.048
[105,110)
15
0.15
0.030
[110,115)
12
0.12
0.024
[115,120)
9
0.09
0.018
[120,125)
11
0.11
0.022
[125,130)
6
0.06
0.012
[130,135]
2
0.02
0.004
合计
100
1
0.2
注：表中加上“频率/组距”一列，这是为画频率分布直方图准备的，因为它是频率分布直方图的纵坐标.
(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图，如图所示：
(3)从频率分布表中可知，这100名考生的数学成绩在[100,120)分之间的频率为0.24＋0.15＋0.12＋0.09＝0.60，据此估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例为60%.(0.60＝60%)
1.在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：
(1)若为整数，则＝组数；
(2)若不为整数，则的整数部分＋1＝组数.
2.组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少都会影响了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多.
[再练一题]
1.有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：
[－20，－15)，7；[－15，－10)，11；[－10，－5)，15；[－5,0)，40；[0,5)，49；[5,10)，41；[10,15)，20；[15,20]，17.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；
(3)求样本数据不足0的频率.
【解】　(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[－20，－15)
7
0.035
[－15，－10)
11
0.055
[－10，－5)
15
0.075
[－5,0)
40
0.2
[0,5)
49
0.245
[5,10)
41
0.205
[10,15)
20
0.1
[15,20]
17
0.085
合计
200
1.00
(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示：
(3)样本数据不足0的频率为：
0.035＋0.055＋0.075＋0.2＝0.365.
频率分布直方图的应用
　某校在5月份开展了科技月活动.在活动中某班举行了小制作评比，规定作品上交的时间为5月1日到31日，逾期不得参加评比.评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图2 2 2).已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：
图2 2 2
(1)本次活动共有多少件作品参加评比？
(2)哪组上交的作品数最多，有多少件？
(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？
【导学号：25440033】
【精彩点拨】　(1)根据条件：从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，计算参加评比的作品总数；(2)根据频率分布直方图判断哪组上交的作品最多，再由本组的频率计算频数；(3)先分别由第四组和第六组的频率计算该组的频数，再计算获奖率.
【尝试解答】　(1)设从左到右各长方形的高分别为2x,3x,4x,6x,4x，x.设参加评比的作品总数为a件，
依题意得：4x×5＝，x＝，
满足(2x＋3x＋4x＋6x＋4x＋x)×5＝1.
解得a＝60(件).
(2)由频率分布直方图可以看出第四组上交的作品数量最多，共有6×x×5×a＝18(件).
(3)第四组和第六组上交的作品数分别为：18件，x×5×a＝3(件)，则它们的获奖率分别为：＝；，又<，所以第六组的获奖率较高.
1.频率分布直方图的性质：
(1)因为小矩形的面积＝组距×频率/组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小；
(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1；
(3)频数/相应的频率＝样本容量.
2.频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性.
[再练一题]
2.某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图2 2 3是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106].已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(　　)
图2 2 3
A.90　　
B.75　　　
C.60　　
D.45
【解析】　产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n，则＝0.300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×(0.1＋0.15＋0.125)×2＝90.
【答案】　A
茎叶图及其应用
　某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：
甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.
乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.
【精彩点拨】　题中可用十位数字为茎，个位数字为叶作茎叶图，然后根据茎叶图分析两人成绩.
【尝试解答】　甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：
从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是98；甲同学的得分情况，也大致对称，中位数是88.乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同学好.
1.绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，如本题中数据是两位数，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；如果是小数时，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶.
2.利用茎叶图进行数据分析时，一般从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几个方面来考虑.
[再练一题]
3.如图2 2 4是2016年青年歌手大奖赛中七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(图中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有(　　)
图2 2 4
A.a1＞a2
B.a2＞a1
C.a1＝a2
D.a1，a2的大小与m的值有关
【解析】　根据茎叶图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，甲的平均分为a1＝80＋＝84，乙的平均分为a2＝80＋＝85，故a2＞a1.
【答案】　B
[探究共研型]
频率分布直方图的特征
探究1　频率分布表和频率分布直方图有哪些特征？
【提示】　频率分布表和频率分布直方图有以下特征：
(1)频率分布表中的数字和频率分布直方图的形状都与分组数有关.
分组数的变化引起频率分布表和频率分布直方图的结构变化.
(2)随机性.频率分布表和频率分布直方图由样本决定，因此它们会随着样本的改变而改变.
(3)规律性.若固定分组数，随着样本容量的增加，频率分布表中各个频率会稳定在某个值的附近，从而频率分布直方图中的各个矩形的高度也会稳定在特定的值上.
探究2　画频率分布直方图时，如何确定组距？
【提示】　组距的选择应力求“取整”，如果极差不利于分组(如不能被组数整除)，可适当增大极差，如在左、右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同).
探究3　影响频率分布直方图的因素有哪些？
【提示】　同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图的形状也会不同，不同的形状给我们的印象也不同，这种印象有时会影响我们对总体的判断；同一个总体，由于抽样的随机性，如果随机抽取另外一个容量相同的样本，所形成的样本频率分布一般会与前一个的样本频率分布有所不同，但是，它们都可以近似地看作总体的分布.
探究4　频率分布表和频率分布直方图有什么优缺点？
【提示】　(1)频率分布表反映具体数据在各个不同区间的取值频率，但不够直观、形象，对分析数据分布的总体态势不太方便.
(2)频率分布直方图能够直观地表明数据分布的形状，一般呈中间高、两端低、左右对称的“峰”状结构.但是从直方图本身得不到具体的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原始数据不能在图中表示出来.
茎叶图的特征
探究5　画茎叶图时，重复出现的数据只记录一次吗？
【提示】　不是.绘制茎叶图时，重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”位置的数据.同一数据出现几次，就要在图中体现几次.
探究6　什么情况下适合用茎叶图？
【提示】　(1)对于样本数据较少，但较为集中的一组数据：若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶.样本数据为小数时作类似处理.
(2)对于样本数据较少，但较为集中的两组数据，关键是找到两组数据共有的茎.
　中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图2 2 5所示.从左至右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6，则全市高一学生视力在[3.95,4.25)范围内的学生人数约有________.
图2 2 5
【精彩点拨】
1.注重对图形的观察：
图表试题解题三个步骤：一观、二识、三解，做到观图要细、识图要全、解图要准.如本例中，要从频率分布直方图中看出组距，求出第五组的频率.
2.重视对性质的理解和应用：
在频率分布直方图中，小长方形的高＝，小长方形的面积＝×组距＝频率.如本例中，0.5×0.3＝0.15才是第五个小组的频率.
【尝试解答】　由图知，第五小组的频率为0.5×0.3＝0.15，所以第一小组的频率为0.15×＝0.125，所以全市6万名高一学生中视力在[3.95,4.25)范围内的学生约有60
000×0.125＝7
500(人).
【答案】　7
500人
[再练一题]
4.某公司为了改善职工的出行条件，随机抽取100名职工，调查了他们的居住地与公司间的距离d(单位：km).由其数据绘制的频率分布直方图如图2 2 6所示，则样本中职工居住地与公司间的距离不超过4
km的人数为________.
图2 2 6
【解析】　不超过4
km的频率为(0.1＋0.14)×2＝0.48，故样本中职工居住地与公司间的距离不超过4
km的人数有0.48×100＝48(人).
【答案】　48
1.一个容量为20的样本数据，分组及各组的频数如下：
[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2.则样本在区间[20,60)上的频率是(　　)
A.0.5　　　　　　　　
B.0.6
C.0.7
D.0.8
【解析】　频率＝＝＝＝0.8.
【答案】　D
2.一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.125，则该组样本的频数为(　　)
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】　频率＝，则频数＝频率×样本容量＝0.125×32＝4.
【答案】　B
3.如图2 2 7是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为(　　)
图2 2 7
A.0.2
B.0.4
C.0.5
D.0.6
【解析】　∵数据总个数n＝10，
又落在区间[22,30)内的数据个数为4，
∴所求的频率为＝0.4，故选B.
【答案】　B
4.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于________.
【导学号：25440034】
【解析】　设第一组至第六组的样本数据的频数为2x,3x,4x,6x,4x，x，则2x＋3x＋4x＝27，得x＝3.
故n＝20x＝60.
【答案】　60
5.某班50名同学参加数学测验，成绩的分组及各组的频数如下：
[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图.
【解】　(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[40,50)
2
0.04
[50,60)
3
0.06
[60,70)
10
0.2
[70,80)
15
0.3
[80,90)
12
0.24
[90,100]
8
0.16
(2)频率分布直方图如下：
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________1.2.2　条件语句
1.理解条件语句.(重点)
2.能够用条件语句编写条件分支结构的程序.(难点)
[基础·初探]
教材整理　条件语句的概念、格式及功能
阅读教材P20“最后一段”～P21，完成下列问题.
1.条件语句的概念：
处理条件分支逻辑结构的算法语句，叫做条件语句.
2.Scilab语言中的条件语句的格式及功能：
格式
功能
一般格式
if　表达式语句序列1；else语句序列2；end
如果表达式结果为真，则执行表达式后面的语句序列1；如果表达式结果为假，则执行else后面的语句序列2
最简单格式
if　表达式语句序列1；end
如果表达式结果为真，则执行表达式后面的语句序列1，否则跳过语句序列1
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)条件语句的执行是按照程序中的先后顺序执行的.(　　)
(2)条件语句实现了程序框图中的条件分支结构.(　　)
(3)条件语句一定要完整，即if—else—end中每一部分都不能少.(　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×
2.当输入x＝－3.2时，程序
输出的结果为(　　)
A.－3.2　　
B.3.2　　　
C.3　　　
D.－3
【解析】　∵x＝－3.2<0，∴把－(－3.2)＝3.2赋给x，故输出3.2.
【答案】　B
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
条件语句最简单格式的应用
　编写程序，输入x的值，当x>0时，求y＝x2的值.
【精彩点拨】　根据条件语句最简单格式可解决.
【尝试解答】　程序如下：
计算机执行条件语句的最简单格式时，若表达式结果为真，则执行表达式后面的语句序列1，否则跳过语句序列1，执行下面的语句.
[再练一题]
1.编写程序，输入两个实数，由小到大输出这两个数.
【解】　程序如下：
条件语句一般格式的应用
　编写程序计算：y＝
【精彩点拨】　以x≥0是否成立作为条件判断，利用条件语句的一般格式.
【尝试解答】　程序如下：
if—else—end格式的条件语句中，计算机执行这种格式的条件语句时，若表达式结果为真，则执行表达式后面的语句序列1；如果表达式结果为假，执行else后面的语句序列2，然后结束这一条件语句.
[再练一题]
2.已知函数f(x)＝编写一个程序，使输入的每一个x值都得到相应的函数值.
【解】　用变量x，y分别表示自变量和函数值.步骤如下：
S1输入x值.
S2判断x的范围.若x≥0，则用解析式y＝x2－1求函数值；否则，用y＝2x2－5求函数值.
S3输出y值.
程序框图如图所示.
程序如下：
条件语句的嵌套
　已知分段函数y＝编写程序，要求输入自变量x的值，输出相应的函数值，并画出程序框图.
【精彩点拨】　输入自变量x的值需要作两次判断，因此需要利用条件语句的嵌套格式编写程序.
【尝试解答】　程序框图如图所示：
1.适用范围：
已知分段函数的解析式求函数值的问题，须用条件语句书写程序，当条件的判断有两个以上的结果时，可以选择条件分支结构嵌套去解决.
2.解此类问题的步骤：
(1)构思出解决问题的一个算法(可用自然语言)；
(2)画出程序框图，形象直观地描述算法；
(3)根据框图编写程序，即逐步把框图中的算法步骤用算法语句表达出来.
[再练一题]
3.已知函数f(x)＝试编写程序，根据输入的x值输出对应的y值.
【导学号：25440015】
【解】　程序如下：
[探究共研型]
两种条件语句的辨析
探究1　两种条件语句的共同点是什么？
【提示】　两种语句首先都要对条件进行判断，然后才执行相应的语句体；执行完语句体后，程序都交汇于一点完成条件语句；都以if开始，以end结束.
探究2　两种条件语句的区别是什么？
【提示】　if－else－end语句含有两个语句体，满足条件时执行一个语句体，不满足条件时执行另一个语句体；而if－end条件语句，只有一个语句体，是满足条件时执行的语句体.
探究3　在条件语句中，“条件”可以是复合条件吗？
【提示】　在“条件”处可以是复合条件，如
　根据下面的程序，画出程序框图，然后利用另外一种条件分支结构和条件语句画出程序框图，并写出程序.
【精彩点拨】　由所给的程序知其格式为if－else－end，由条件可画其程序框图，并可写出用if－end语句表达的程序.
【尝试解答】　所给的程序所对应的程序框图如下：
利用另一种条件分支结构画程序框图如下.
条件语句有两种形式，应用时要根据实际问题适当选取.
[再练一题]
4.已知y＝编写程序，输入自变量x的值，输出相应的函数值.
【解】　程序
[构建·体系]
1.给出以下程序：
如果输入x1＝2，x2＝3，那么执行此程序的结果是(　　)
A.7　　
B.10　　　
C.5　　　
D.8
【解析】　由于输入的两个数x1＝2，x2＝3，不满足条件x1＝x2，因此，不执行语句体x1＝x1·x2，而直接执行y＝x1＋x2，所以y＝5，最后输出5.
【答案】　C
2.输入两个数，输出其中较大的数，则能将程序补充完整的是(　　)
【导学号：25440016】
A.print(%io(2)，b)
B.print(%io(2)，a)
C.a＝b
D.b＝a
【解析】　因为要求输出a，b中较大的数，若a>b，输出a，否则输出b，故应填“print(%io(2)，b).”
【答案】　A
3.根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为(　　)
A.25
B.30
C.31
D.61
【解析】　由题意，得y＝
当x＝60时，y＝25＋0.6×(60－50)＝31，∴输出y的值为31.
【答案】　C
4.下面的程序运行后输出的结果为________.
【解析】　因x＝5>0，根据题意，执行y＝y＋3，y＝－20＋3＝－17，因此x－y＝5－(－17)，y－x＝－17－5＝－22.输出的结果y－x在前，x－y在后，所以答案为－22,22.
【答案】　－22　22
5.儿童乘坐火车时，若身高不超过1.1
m，则无需购票；若身高超过1.1
m不超过1.4
m，只需买半票.若身高超过1.4
m，购买全票.试写出一个购票算法程序.
【解】　程序为
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________3.1.4　概率的加法公式
1.了解事件间的相互关系.
2.理解互斥事件、对立事件的概念.(重点、易混点)
3.会用概率的加法公式求某些事件的概率.(难点)
[基础·初探]
教材整理　事件的关系及概率的加法公式
阅读教材P98～P99，完成下列问题.
1.事件的关系
事件
定义
图形表示
互斥事件
在同一试验中，不可能同时发生的两个事件A与B叫做互斥事件
事件的并
一般地，由事件A和B至少有一个发生(即A发生，或B发生或A，B都发生)所构成的事件C，称为事件A与B的并(或和)，记作C＝A∪B
A∪B
互为对立事件
在同一试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件，事件A的对立事件记作
A∪＝Ω
2.互斥事件的概率加法公式
(1)若A，B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
(2)若是A的对立事件，则P()＝1－P(A).
(3)若A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)互斥事件一定对立.(　　)
(2)对立事件一定互斥.(　　)
(3)互斥事件不一定对立.(　　)
(4)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率.(　　)
(5)事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B).(　　)
(6)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B一定是对立事件.(　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　(6)×
2.P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A∪B)等于(　　)
A.0.3　　　　　　
B.0.2
C.0.1
D.不确定
【解析】　由于不能确定A与B互斥，则P(A∪B)的值不能确定.
【答案】　D
3.一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________.
【解析】　中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.
【答案】　0.65
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
互斥事件与对立事件的判定
　(1)抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为(　　)
A.至多两件次品　　　
B.至多一件次品
C.至多两件正品
D.至少两件正品
(2)把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　)
A.对立事件
B.不可能事件
C.互斥但不对立事件
D.以上答案都不对
【精彩点拨】　根据互斥事件及对立事件的定义判断.
【尝试解答】　(1)“至少有两件次品”的否定是“至多有一件次品”，故选B.
(2)“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但分得红牌的还可能是丙或丁，所以不是对立事件.故选C.
【答案】　(1)B　(2)C
判断互斥事件和对立事件时，主要用定义来判断.当两个事件不能同时发生时，这两个事件是互斥事件；当两个事件不能同时发生且必有一个发生时，这两个事件是对立事件.
[再练一题]
1.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有一名男生”与“至少有一名女生”.
【解】　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女.
(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件.
(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件.
(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.
互斥事件的概率
　盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球.设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”.已知P(A)＝，P(B)＝，求“3个球中既有红球又有白球”的概率.
【导学号：25440048】
【精彩点拨】　本题应先判断事件“3个球中既有红球又有白球”所包含的结果是什么，分别计算出每个基本事件发生的概率，再利用概率的加法公式进行计算.
【尝试解答】　记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”，和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A和事件B是互斥的，所以
P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
1.当一个事件包含几种情况时，可把事件转化为几个互斥事件的并事件，再利用概率的加法公式计算.
2.使用概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)时，必须判断A，B是互斥事件.
[再练一题]
2.某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示：
年降水量(单位：mm)
[100,150)
[150,200)
[200,250)
[250,300)
概率
0.12
0.25
0.16
0.14
(1)求年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率；
(2)求年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率.
【解】　记这个地区的年降水量在[100,150)(mm)、[150,200)(mm)、[200,250)(mm)、[250,300)(mm)范围内分别为事件A、B、C、D.
这四个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，有
(1)年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率是
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.25＝0.37.
(2)年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率是
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.25＋0.16＋0.14＝0.55.
[探究共研型]
互斥事件和对立事件的关系
探究1　在一次试验中，对立的两个事件会都不发生吗？
【提示】　在一次试验中，事件A和它的对立事件只能发生其中之一，并且必然发生其中之一，不可能两个都不发生.
探究2　互斥事件和对立事件有何区别和联系？
【提示】　(1)对立事件一般是针对两个事件来说的，一般两个事件对立，则这两个事件是互斥事件；反之，若两个事件是互斥事件，则这两个事件未必是对立事件.
(2)对立事件是特殊的互斥事件，若事件A，B是对立事件，则A与B互斥，而且A∪B是必然事件.
　某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)不够7环的概率.
【精彩点拨】先设出事件，判断是否互斥或对立，然后再使用概率公式求解.
【尝试解答】　(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件.“射中10环或7环”的事件为A∪B.
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.
∴射中10环或7环的概率为0.49.
(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环，但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面大于等于7环，即7环，8环，9环，10环，由于此两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理.
设“不够7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”、“射中8环”等彼此是互斥事件，
∴P()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，
从而P(E)＝1－P()＝1－0.97＝0.03.
∴不够7环的概率是0.03.
1.对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率等于这些事件概率的和.并且互斥事件的概率加法公式可以推广为：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).其使用的前提条件仍然是A1，A2，…，An彼此互斥.故解决此类题目的关键在于分解事件及确立事件是否互斥.
2.“正难则反”是解决问题的一种很好的方法，应注意掌握，如本例中的第(2)问，直接求解比较麻烦，则可考虑求其对立事件的概率，再转化为所求.
[再练一题]
3.(2016·大同高一检测)甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率.
【解】　(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－－＝.
(2)法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝.
法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝.
[构建·体系]
1.(2016·西安高一检测)如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么(　　)
A.A∪B是必然事件
B.∪是必然事件
C.与一定互斥
D.与一定不互斥
【解析】　用集合的Venn图解决此类问题较为直观，如图所示，∪是必然事件.
【答案】　B
2.从一批产品中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品至少有一件是次品}，则下列结论正确的是(　　)
A.A与C互斥　　　
B.任何两个均互斥
C.B与C互斥
D.任何两个均不互斥
【解析】　∵从一批产品中取出三件产品包含4个基本事件.
D1＝{没有次品}，D2＝{1件次品}，D3＝{2件次品}，D4＝{3件次品}，
∴A＝D1，B＝D4，C＝D2∪D3∪D4，故A与C互斥，A与B互斥，B与C不互斥.
【答案】　A
3.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为(　　)
A.60%
B.30%
C.10%
D.50%
【解析】　甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.
【答案】　D
4.从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________.
【解析】　设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都为男生}，则A，B为对立事件，所以P(B)＝1－P(A)＝.
【答案】　
5.玻璃盒子里装有各色球12个，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1球.记事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”.已知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.求：
(1)“取出1球为红球或黑球”的概率；
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率.
【导学号：25440049】
【解】　法一：(1)“取出1球为红球或黑球”的概率为
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为
P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋
＝.
法二：(1)“取出1球为红球或黑球”的对立事件为“取出1球为白球或绿球”，即A∪B的对立事件为C∪D，故“取出1球为红球或黑球”的概率为P(A∪B)＝1－P(C∪D)＝1－＝.
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1球为绿球”，即A∪B∪C的对立事件为D，所以“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P(A∪B∪C)＝1－P(D)＝1－＝.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________3.3　随机数的含义与应用
3.3.1　几何概型
1.理解几何概型的定义及特点.(重点)
2.掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题.(难点)
3.与长度、角度有关的几何概型问题.(易混点)
[基础·初探]
教材整理　几何概型
阅读教材P109，完成下列问题.
1.定义
如果把事件A理解为区域Ω的某一子区域A(如图3 3 1所示)，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型.
图3 3 1
2.几何概型的概率公式
在几何概型中，事件A的概率定义为：P(A)＝，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量.
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关.(　　)
(2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0,1)内.(　　)
(3)几何概型的基本事件有无数多个.(　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
2.在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________.
【解析】　∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝.
【答案】　
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
与长度有关的几何概型
　某汽车站每隔15
min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10
min的概率.
【精彩点拨】　乘客在上一辆车发车后的5
min之内到达车站，等车时间会超过10
min.
【尝试解答】　设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图所示.
记“等车时间超过10
min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生.
∴P(A)＝＝＝，
即该乘客等车时间超过10
min的概率是.
在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.
[再练一题]
1.一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯亮；
(2)黄灯亮；
(3)不是红灯亮.
【解】　在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型.
(1)P＝＝＝.
(2)P＝＝＝.
(3)P＝
＝＝＝，
或P＝1－P(红灯亮)＝1－＝.
与面积有关的几何概型
　设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4
cm，现用直径等于2
cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率.
【精彩点拨】　当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径1，硬币落下后与格线没有公共点，在等边三角形内作与正三角形三边距离为1的直线，构成小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题.
【尝试解答】　设A＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形的边长为4－2＝2，由几何概率公式得：
P(A)＝＝.
几何概型的特点是基本事件有无限多个，但应用数形结合的方法即可巧妙解决，即要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何量度来求随机事件的概率.
[再练一题]
2.如图3 3 2，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M(图中白色部分).若在此三角形内随机取一点P，则点P落在区域M内的概率为________.
图3 3 2
【解析】　由题意知题图中的阴影部分的面积相当于半径为1的半圆面积，即阴影部分面积为，又易知直角三角形的面积为2，所以区域M的面积为2－.故所求概率为＝1－.
【答案】　1－
与体积有关的几何概型
　一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率.
【精彩点拨】　利用体积之比求概率.
【尝试解答】　依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体.由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：
P＝＝.
与体积有关的几何概型问题的解决：
(1)如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，则其概率的计算公式为：
P(A)＝.
(2)解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆.
[再练一题]
3.本例条件不变，求这个蜜蜂飞到正方体某一顶点A的距离小于的概率.
【解】　到A点的距离小于的点，在以A为球心，半径为的球内部，而点又必须在已知正方体内，
则满足题意的A点的区域体积为π×3×.
所以P＝＝.
[探究共研型]
几何概型与古典概型的异同
探究1　古典概型和几何概型有何异同点？
【提示】　相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的.
不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关.
探究2　P(A)＝0 A是不可能事件，P(A)＝1 A是必然事件是否成立？
【提示】　(1)无论是古典概型还是几何概型，若A是不可能事件，则P(A)＝0肯定成立；若A是必然事件，则P(A)＝1肯定成立.
(2)在古典概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A为不可能事件；若事件A的概率P(A)＝1，则A为必然事件.
(3)在几何概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A不一定是不可能事件，如：事件A对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A并不是不可能事件；同样地，若事件A的概率P(A)＝1，则A也不一定是必然事件.
　(1)在区间[－2,2]上任取两个整数x，y组成有序数对(x，y)，求满足x2＋y2≤4的概率；
(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，求满足x2＋y2≤4的概率.
【导学号：25440054】
【精彩点拨】　(1)在区间[－2,2]上任取两个整数x，y，组成有序数对(x，y)是有限的，应用古典概型求解；(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y，组成有序数对(x，y)是无限的，应用几何概型求解.
【尝试解答】　(1)在区间[－2,2]上任取两个整数x，y组成有序数对(x，y)，共计25个，其中满足x2＋y2≤4的在圆上或圆内共计13个(如图所示)，∴P＝.
(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，充满的区域是边长为4的正方形区域，其中满足x2＋y2≤4的是图中阴影区域(如图所示)，S阴＝π×22＝4π，∴P＝＝.
古典概型与几何概型的不同之处是古典概型的基本事件总数是有限的，而几何概型的基本事件总数是无限的，解题时要仔细审题，注意区分.
[再练一题]
4.下列概率模型中，几何概型的个数为(　　)
①从区间[－10,10]上任取一个数，求取到1的概率；
②从区间[－10,10]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
③从区间[－10,10]上任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；
④向一个边长为4
cm的正方形内投一点，求点离中心不超过1
cm的概率.
A.1　　　
B.2　　　
C.3　　　
D.4
【解析】　①中的概率模型不是几何概型，虽然区间[－10，10]上有无数个数，但取到“1”只是一个数字，不能构成区间长度；②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]和区间[－1,1]上都有无数个数，且在这两个区间上的每个数被取到的可能性相等；③中的概率模型不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个，是有限的；④中的概率模型是几何概型，因为在边长为4
cm的正方形和半径为1
cm的圆内均有无数个点，且这两个区域内的任何一个点被投到的可能性相同.
【答案】　B
[构建·体系]
1.转动图中各转盘，指针指向红色区域的概率最大的是(　　)
【解析】　D中红色区域面积是圆面积的一半，其面积比A，B，C中要大，故指针指到的概率最大.
【答案】　D
2.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是(　　)
A.　　　　　　　　
B.
C.
D.
【解析】　由题意可知在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件.事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式得，“看到黄灯”的概率为P＝＝.
【答案】　C
3.在半径为1的圆中随机地投一个点，则点落在圆内接正方形中的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　点落在圆内的任意位置是等可能的，而落在圆内接正方形中只与面积有关，与位置无关，符合几何概型特征，圆内接正方形的对角线长等于2，则正方形的边长为.
∵圆面积为π，正方形面积为2，∴P＝.
【答案】　B
4.函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[－1,3]，则任取一点x0∈[－1,3]，使得f(x0)≥0的概率为________.
【解析】　依题意得，解得0≤x0≤2，所以任取一点x0∈[－1,3]，使得f(x0)≥0的概率P＝＝.
【答案】　
5.在长为12
cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边长作一个正方形，求作出的正方形面积介于36
cm2与81
cm2之间的概率.
【导学号：25440055】
【解】　如图所示，点M落在线段AB上的任一点上是等可能的，并且这样的点有无限多个.
设事件A为“所作正方形面积介于36
cm2与81
cm2之间”，它等价于“所作正方形边长介于6
cm与9
cm之间”.
取AC＝6
cm，CD＝3
cm，则当M点落在线段CD上时，事件A发生.
所以P(A)＝＝＝.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________章末分层突破
[自我校对]
①P(A)＋P(B)
②P(A)＋P(B)＝1
③A包含的基本事件的个数/基本事件的总数
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
随机事件的概率
1.有关事件的概念
(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件.
(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件.
(3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件.
(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件.
(5)事件的表示方法：确定事件和随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.
2.对于概率的定义应注意以下几点
(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验.
(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率.
(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小.
(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.
　对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品频率
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2
000个U盘，至少需进货多少个U盘？
【精彩点拨】　结合频率的定义进行计算填表，并用频率估计概率.
【规范解答】　(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2
000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2
000，因为x是正整数，
所以x≥2
041，即至少需进货2
041个U盘.
[再练一题]
1.某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
【解】　(1)由题意，击中靶心的频率分别为0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91，当射击次数越来越大时，击中靶心的频率在0.9附近摆动，故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次).
(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心.
(4)不一定.
互斥事件与对立事件
1.对互斥事件与对立事件的概念的理解
(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况.
(2)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝ ，则两事件是互斥的，此时A∪B的概率就可用加法公式来求，即为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A∩B≠ ，则可考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式.
(3)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝ ，A∪B＝U，则两事件是对立的，此时A∪B就是必然事件，可由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1来求解P(A)或P(B).
2.互斥事件概率的求法
(1)若A1，A2，…，An互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
(2)利用这一公式求概率的步骤：①要确定这些事件彼此互斥；②这些事件中有一个发生；③先求出这些事件分别发生的概率，再求和.值得注意的是：①、②两点是公式的使用条件，不符合这两点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的.
3.对立事件概率的求法
P(Ω)＝P(A∪)＝P(A)＋P()＝1，由公式可得P(A)＝1－P()(这里是A的对立事件，Ω为必然事件).
4.互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂的概率问题转化为较为简单的概率或转化为其对立事件的概率求解.
　甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目.其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
【精彩点拨】　用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式.
【规范解答】　把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.
总的事件数为20.
“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；
“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种.
(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为＝，
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为＝，
故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为＋＝.
(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－＝.
[再练一题]
2.某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
【解】　(1)设事件“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N)，那么事件Ak彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得P(A)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.
(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为.根据对立事件的概率公式，得P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
古典概型与几何概型
古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，求出n，m.但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏.
几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置.我们要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即：每次试验中基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性，由于其结果的无限性，概率就不能应用P(A)＝求解，而需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解，体现了数形结合的数学思想.
　甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率.
【精彩点拨】　甲、乙两艘货轮停靠泊位的时间是6小时，当两船到达泊位的时间差不超过6小时时，两船中一艘停靠，另一艘必须等待.
【规范解答】　设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x、y.
则作出如图所示的区域.
本题中，区域D的面积S1＝242，区域d的面积S2＝242－182.
∴P＝＝＝.
即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为.
[再练一题]
3.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是(　　)
A.　　　　　　　
B.
C.
D.
【解析】　∵当b＝1时，没有满足条件的a值；
当b＝2时，a＝1；
当b＝3时，a可以是1，可以是2，∴共3种情况.
而从{1,2,3,4,5}中随机取一个数a，再从{1,2,3}中随机取一个数b，共有3×5＝15种不同取法，
∴概率为＝.
【答案】　D
概率与统计的综合问题
统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的.
　随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图3 1所示.
图3 1
(1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173
cm的同学，求身高为176
cm的同学被抽中的概率.
【精彩点拨】　(1)根据“叶”上的数据的集中情况作出判断；(2)代入方差的计算公式求解；(3)列出基本事件和所求事件，用古典概型概率公式求解.
【规范解答】　(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160
cm～179
cm之间，而乙班身高集中于170
cm～179
cm之间.因此乙班平均身高高于甲班；
(2)＝
＝170(cm).
甲班的样本方差s2＝[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm2).
(3)设“身高为176
cm的同学被抽中”为事件A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173
cm的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，
∴P(A)＝＝.
[再练一题]
4.某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：
组数
分组
低碳族的人数
占本组的频率
第一组
[25,30)
120
0.6
第二组
[30,35)
195
p
第三组
[35,40)
100
0.5
第四组
[40,45)
a
0.4
第五组
[45,50)
30
0.3
第六组
[50,55]
15
0.3
图3 2
(1)补全频率分布直方图并求n，a，p的值；
(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率.
【解】　(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为＝0.06.频率分布直方图如下：
第一组的人数为＝200，频率为0.04×5＝0.2，
所以n＝＝1
000.
由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1
000×0.3＝300，所以p＝＝0.65.
第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1
000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.
(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60∶30＝2∶1，
所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人.
设[40,45)岁中的4人为a，b，c，d，[45,50)岁中的2人为m，n，则选取2人作为领队的选法有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8种.
所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为.
数形结合思想
数形结合思想在求古典概型和几何概型的概率中有着广泛的应用.在古典概型中，基本事件的个数较多且不易列举时，借助于图形会比较直观计数.在几何概型中，把基本事件转化到与长度、面积、体积有关的图形中，结合图形求长度、面积、体积的比.
　设点(p，q)在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现，试求方程x2＋2px－q2＋1＝0的两根都是实数的概率.
【精彩点拨】　试验的全部结果构成的区域为正方形的面积，方程有两个实根构成的区域为圆的外部.
【规范解答】　基本事件总体的区域D的度量为正方形面积，
即D的度量为S正方形＝62＝36，
由方程x2＋2px－q2＋1＝0的两根都是实数，
得Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)≥0，
∴p2＋q2≥1.
∴当点(p，q)落在如图所示的阴影部分时，
方程的两根均为实数，由图可知，构成的区域d的度量为S正方形－S圆＝36－π，
∴原方程的两根都是实数的概率为P＝.
[再练一题]
5.三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A发球算起，经4次传球又回到A手中的概率是多少？
【解】　记三人为A、B、C，则4次传球的所有可能可用树状图方式列出，如下图：
每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16，而又回到A手中的事件个数为6个，根据古典概型概率公式得P＝＝.
1.(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)
A.　　
B.　　　
C.　　
D.
【解析】　从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.故选C.
【答案】　C
2.(2015·山东高考)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　不等式－1≤log
≤1可化为log2≤log≤log，即≤x＋≤2，解得0≤x≤，故由几何概型的概率公式得P＝＝.
【答案】　A
3.(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝＝.故选B.
【答案】　B
4.(2015·福建高考)如图3 3，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(　　)
图3 3
A.
B.
C.
D.
【解析】　因为f(x)＝B点坐标为(1,0)，所以C点坐标为(1,2)，D点坐标为(－2,2)，A点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为×3×1＝，故P＝＝.
【答案】　B
5.(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　因为x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示.若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个.用随机模拟的方法可得＝，即＝，所以π＝.
【答案】　C
6.(2014·重庆高考)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________.(用数字作答)
【解析】　设小王到校时间为x，小张到校时间为y，则小张比小王至少早到5分钟时满足x－y≥5.如图，原点O表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为×15×15＝，故所求概率P＝＝.
【答案】　
7.(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；
(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认为正确吗？请说明理由.
【解】　(1)所有可能的摸出结果是
{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，
{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}.
(2)不正确.理由如下：
由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝>，故这种说法不正确.
8.(2016·北京高考)A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：
A班
6　6.5　7　7.5　8
B班
6　7　8　9　10　11　12
C班
3　4.5　6　7.5　9　10.5　12　13.5
(1)试估计C班的学生人数；
(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
(3)再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位：小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)
【解】　(1)由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名.根据分层抽样的方法，估计C班的学生人数为100×＝40.
(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i＝1,2，…，5，
事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j＝1,2，…，8.
由题意可知，P(Ai)＝，i＝1,2，…，5；
P(Cj)＝，j＝1,2，…，8.
P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝×＝，i＝1,2，…，5，j＝1,2，…，8.
设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.
因此P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×＝.
(3)μ1＜μ0.3.3.2　随机数的含义与应用
1.了解随机数的含义.
2.掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法.
3.会利用随机数模拟某一问题的试验来解决具体的有关概率的问题.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理　随机数的含义与应用
阅读教材P110～P114，完成下列问题.
1.随机数
随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样.
2.产生随机数的方法
(1)用函数型计算器产生随机数的方法：
每次按SHIFT　Ran#键都会产生0～1之间的随机数，而且出现0～1内任何一个数的可能性是相同.
(2)用计算机软件产生随机数(这里介绍的是Scilab中产生随机数的方法)：
①Scilab中用rand()函数来产生0～1的均匀随机数.每调用一次rand()函数，就产生一个随机数.
②如果要产生a～b之间的随机数，可以使用变换rand()
(b－a)＋a得到.
3.计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法
(1)建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量有关.
(2)设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量.
按这样的思路建立起来的方法称为计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法.
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机数只能用计算器或计算机产生.(　　)
(2)计算机或计算器只能产生[0,1]的均匀随机数，对于试验结果在[2,5]上的试验，无法用均匀随机数进行模拟估计试验.(　　)
(3)x是[0,1]上的均匀随机数，则利用变量代换y＝(b－a)x＋a可得[a，b]上的均匀随机数.(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
2.用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则(　　)
A.m>n　　　　　　　
B.mC.m＝n
D.m是n的近似值
【解析】　随机模拟法求其概率，只是对概率的估计.
【答案】　D
3.在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a，则这个实数a<13的概率是(　　)
A.　　
B.
C.　　
D.
【解析】　∵a∈(10,13)，
∴P(a<13)＝＝.
【答案】　C
4.在边长为2的正方形当中，有一个封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒入100粒豆子，恰有60粒豆子落入阴影区域内，那么阴影区域的面积近似为____________.
图3 3 7
【解析】　设阴影区域的面积为S，则≈，S≈.
【答案】　
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
用随机模拟法估计古典概型的概率
　同时抛掷两颗骰子，用随机模拟法估计都是1点的概率.
【精彩点拨】　可根据抛掷两颗骰子，需要产生两组1～6之间的整数随机数来分别表示两颗骰子的点数.
【尝试解答】　设事件A表示“掷两颗骰子都得到1点”.
S1　用计数器n记录做了多少次试验，用计数器m记录其中有多少次随机数x和y都出现1(即同时出现1点)，首先置n＝0，m＝0.
S2　用变换int(rand()
5)＋1产生1～6之间的整数随机数x表示掷一颗骰子出现的点数；用变换int(rand()
5)＋1产生1～6之间的整数随机数y表示掷另一颗骰子出现的点数，用1表示1点，用2表示2点，用3表示3点，…，用6表示6点.
S3判断是否同时出现1点，即是否满足x＝1且y＝1，如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1，如果不是，m的值保持不变.
S4　表示随机试验次数的计数器n值加1，即n＝n＋1，如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束.
程序结束后事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值.
用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.我们可以从以下三方面考虑：
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
[再练一题]
1.种植某种树苗，成活率是0.9.若种植该种树苗5棵，用随机模拟方法估计恰好4棵成活的概率.
【解】　利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9.因为种植5棵，所以每5个随机数作为一组，可产生30组随机数，如下所示：
69801　66097　77124　22961　74235　31516
29747　24945　57558　65258　74130　23224
37445　44344　33315　27120　21782　58555
61017　45241　44134　92201　70362　83005
94976　56173　34783　16624　30344　01117
这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为＝0.3.
用随机模拟方法估计几何概型的概率
　如图3 3 8在一个边长为3
cm的正方形内部画一个边长为2
cm的正方形，向大正方形内随机投点，求所投的点落入小正方形内的概率.
图3 3 8
【精彩点拨】　把二维型的图形放在一个确定的坐标平面或者平面上，用均匀随机数产生两组随机数作为点的坐标，或者用实物(如黄豆)计算其频率，从而可估计概率.
【尝试解答】　记事件A＝{所投点落入小正方形内}.
S1　利用计算机产生两组[－1.5,1.5]上的均匀随机数a＝rand()
3－1.5，b＝rand()
3－1.5.
S2　统计落入大正方形内点数N(即上述所有随机数构成的点(a，b)数)及落入小正方形内的点数N1(即满足－1S3　计算频率fn(A)＝，即为概率P(A)的近似值.
一般地，若一个随机事件需要用两个连续变量(如本例中的x，y)来描述，用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，利用坐标平面能顺利地建立与面积有关的几何概型.
[再练一题]
2.如图3 3 9，在墙上挂着一块边长为16
cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2
cm、4
cm、6
cm，某人站在3
m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问：投中大圆内的概率是多少？投中小圆与中圆形成的圆环内的概率是多少？投中大圆之外的概率是多少？
图3 3 9
【解】　记事件A＝{投中大圆内}，事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，事件C＝{投中大圆之外}.
S1　利用计算机产生两组[－8,8]上的均匀随机数a＝rand()
16－8，b＝rand()
16－8.
S2　统计投中大圆内的次数N1(即满足a2＋b2＜36的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环的次数N2(即满足4＜a2＋b2＜16的点(a，b)的个数)，投中木板的总次数N(即满足－8＜a＜8，－8＜b＜8的点(a，b)的个数)；
S3　计算频率fn(A)＝，fn(B)＝，fn(C)＝，即分别为概率P(A)，P(B)，P(C)的近似值.
利用随机模拟试验估计不规则图形的面积
　利用随机模拟方法计算图3 3 10中阴影部分(曲线y＝2x与x轴、x＝±1围成的部分)的面积.
【导学号：25440057】
图3 3 10
【精彩点拨】　在坐标系中画出正方形，用随机模拟的方法可以求出阴影部分面积与正方形面积之比，从而求得阴影部分的近似值.
【尝试解答】　S1利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝rand，b1＝rand.
S2进行平移和伸缩变换，a＝a1[N1，N)，即为点落在阴影部分的概率的近似值.
S3统计试验总次数N和落在阴影内的次数N1(满足条件b<2a的点(a，b)).
S4计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值.
S5用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝.
∴≈.
∴S＝即为阴影部分面积的近似值.
1.解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过方程求得阴影部分面积的近似值.
2.＝，应当作公式记住，当然应理解其来历，其中N为总的试验次数，N1为落在不规则图形内的试验次数.
[再练一题]
3.如图3 3 11所示，在一个长为4，宽为2的矩形中有一个半圆，试用随机模拟的方法近似计算半圆面积，并估计π的值.
图3 3 11
【解】　事件A：“随机向矩形内投点，所投的点落在半圆内”.
S1　经过变换x＝rand()
4－2，y＝rand()
2.
S2　统计出试验总次数N和满足条件x2＋y2<4的点(x，y)的个数N1.
S3　计算频率fn(A)＝，即为概率P(A)的近似值.
半圆的面积为S1＝2π，矩形的面积为S＝8.由几何概率公式得P(A)＝，所以≈.
所以即为π的近似值，半圆的面积的近似值即为.
[探究共研型]
[a，b]内的均匀随机数
探究1　如何产生[a，b]内的均匀随机数？
【提示】　利用计算机(或计算器)产生[0,1]上的均匀随机数x1＝rand，然后利用伸缩和平移变换，令x＝x1
(b-a)+a,则可以得到[a，b]上的均匀随机数.
探究2　产生[a，b]内的均匀随机数时，[a，b]上的任何一个实数，都是等可能的吗？
【提示】　产生[a，b]内的均匀随机数时，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的.
　将[0,1]内的均匀随机数a1转化为[－2,6]内的均匀随机数a，需实施的变换为(　　)
A.a＝a1
18
B.a＝a1
8+2
C.
a＝a1
8-2
D.a＝a1
6
【精彩点拨】　结合两个区间长度及对应的端点值对a1实施变换.
【尝试解答】　因为随机数x∈[0,1]，而基本事件都在[－2,6]上，其区间长度为8，所以首先把a1变为8a1，又因区间左端值为－2，所以8a1再变为8a1－2，故变换公式为a＝8a1－2.
【答案】　C
[再练一题]
4.b1是[0,1]上的均匀随机数，b＝3(b1－2)，则b是区间________上的均匀随机数.
【解析】　0≤b1≤1，则函数b＝3(b1－2)的值域是－6≤b≤－3，即b是区间[－6，－3]上的均匀随机数.
【答案】　[－6，－3]
[构建·体系]
1.用均匀随机数进行随机模拟，可以解决(　　)
A.只能求几何概型的概率，不能解决其他问题
B.不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积
C.不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积
D.最适合估计古典概型的概率
【解析】　很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率.
【答案】　C
2.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1<0”发生的概率为(　　)
A.　　
B.　　
C.　　
D.
【解析】　因为0【答案】　C
3.设x是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y＝2x＋3，则x＝对应变换成的均匀随机数是(　　)
A.0
B.2
C.4
D.5
【解析】　当x＝时，y＝2×＋3＝4.
【答案】　C
4.(2014·福建高考)如图3 3 12，在边长为1的正方形中随机撒1
000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________.
图3 3 12
【解析】　由题意知，这是个几何概型问题，＝＝0.18，
∵S正＝1，∴S阴＝0.18.
【答案】　0.18
5.设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6
cm，现用直径等于2
cm的硬币投掷到网格上，用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率.
【导学号：25440058】
【解】　记事件A＝{硬币与格线有公共点}，
设硬币中心为B(x，y).
S1利用计算机或计算器产生两组0到1之间的均匀随机数，x1＝rand，y1＝rand.
S2经过平移和伸缩变换，则x＝(x1－0.5)
6，y＝(y1－0.5)
6，得到两组[－3,3]内的均匀随机数.
S3统计试验总次数N及硬币与格线有公共点的次数N1(满足条件|x|≥2或|y|≥2的点(x，y)的个数).
S4计算频率，即为硬币落下后与格线有公共点的概率.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________2.1　随机抽样
2.1.1　简单随机抽样
1.理解并掌握简单随机抽样的定义、特点和适用范围.(重点、易错易混点)
2.掌握两种简单随机抽样的步骤，并能用简单随机抽样方法抽取样本.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理　简单随机抽样
阅读教材P49～P51，完成下列问题.
1.基本概念
名称
定　义
总体
所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合
样本
从总体中抽出若干个体所组成的集合
随机抽样
满足每一个个体都可能被抽到且被抽到的机会是均等的抽样
简单随机抽样
从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样
2.简单随机抽样方法的分类
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)简单随机抽样就是随便抽取样本.(　　)
(2)抽签时，先抽的比较幸运.(　　)
(3)3个人抓阄，每个人抓到的可能性都一样.(　　)
(4)使用随机数表时，开始的位置和方向可以任意选择.(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.采用简单随机抽样，从6个标有序号A，B，C，D，E，F的球中抽取1个球，则每个球被抽到的可能性是_______________________________.
【解析】　每个个体抽到的可能性是一样的.
【答案】　
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
简单随机抽样的概念
　(1)关于简单随机抽样，下列说法正确的是(　　)
①它要求被抽取样本的总体的个数有限；
②它是从总体中逐个地进行抽取；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等可能性抽样，每次从总体中抽取一个个体时，不仅各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性.
A.①②　　　　　　　　
B.③④
C.①②③
D.①②③④
(2)下面的抽样方法是简单随机抽样的是________________________.
①从无数张高考试卷中抽取50张试卷作为样本；
②从80台笔记本电脑中一次性抽取6台电脑进行质量检查；
③一福彩彩民买30选7彩票时，从装有30个大小、形状都相同的乒乓球的盒子(不透明)中逐个无放回地摸出7个有标号的乒乓球，作为购买彩票的号码；
④用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验.
【精彩点拨】　根据简单随机抽样的概念及特征去判断.
【尝试解答】　(1)由随机抽样的特征可知.
(2)①中样本总体数目不确定，不是简单随机抽样；②中样本不是从总体中逐个抽取，不是简单随机抽样；③④符合简单随机抽样的特点，是简单随机抽样.
【答案】　(1)D　(2)③④
判断一个抽样是否是简单随机抽样，一定要看它是否满足简单随机抽样的四个特点，这是判断的唯一标准.
(1)简单随机抽样的样本总体个数有限；
(2)简单随机抽样的样本是从总体中逐个抽取；
(3)简单随机抽样是一种不放回抽样；
(4)简单随机抽样的每个个体入样机会均等.
[再练一题]
1.下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
(2)质量监督部门从180种儿童玩具中选出18种玩具进行质量检验，在抽样操作过程中，从中任取一种玩具检验后再放回；
(3)国家跳水队挑出最优秀的10名跳水队员，备战2016年里约热内卢奥运会；
(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.
【解】　(1)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.
(2)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求逐个不放回地抽取样本.
(3)不是简单随机抽样，因为这10名跳水队员是挑选出来的最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.
(4)是简单随机抽样，因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样.
抽签法的方案设计
　要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程.
【导学号：25440024】
【精彩点拨】　已知N＝30，n＝3，抽签法抽样时编号1,2，…，30，抽取3个编号，对应的汽车组成样本.
【尝试解答】　应使用抽签法，步骤如下：
①将30辆汽车编号，号码是1,2,3，…，30；
②将1～30这30个编号写在大小、形状都相同的号签上；
③将写好的号签放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀；
④从容器中每次抽取一个号签，连续抽取3次，并记录上面的编号；
⑤所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象.
1.一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显.一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法.
2.应用抽签法时应注意以下几点：
(1)编号时，如果已有编号可不必重新编号；
(2)号签要求大小、形状完全相同；
(3)号签要均匀搅拌；
(4)要逐一不放回的抽取.
[再练一题]
2.下列抽样实验中，用抽签法方便的是(　　)
A.从某厂生产的3
000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的3
000件产品中抽取10件进行质量检验
【解析】　A总体容量较大，样本容量也较大不适宜用抽签法；B总体容量较小，样本容量也较小可用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别，不能用抽签法；D总体容量较大，不适宜用抽签法.
【答案】　B
随机数表法的方案设计
　现有120台机器，请用随机数表法抽取10台机器，写出抽样过程.
【精彩点拨】　已知N＝120，n＝10，用随机数表法抽样时编号000,001,002，…，119，抽取10个编号(都是三位数)，对应的机器组成样本.
【尝试解答】　第一步，先将120台机器编号，可以编为000,001,002，…，119；
第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，任选一个方向作为读数方向，例如选出第9行第7列的数6，向右读；
第三步，从选定的数6开始向右读，每次读取三位，凡不在000～119中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到040,047,054,077,090,060,087,056,033,072.
第四步，以上这10个号码040,047,054,077,090,060,087,056,033,072所对应的10台机器就是要抽取的对象.
1.在利用随机数表法抽样的过程中应注意：
(1)编号要求位数相同；
(2)第一个数字的抽取是随机的；
(3)读数的方向是任意的，且事先定好的.
2.随机数表法的特点：
优点：简单易行.它很好地解决了当总体中的个体数较多时用抽签法制签难的问题.
缺点：当总体中的个体数很多，需要的样本容量也很大时，用随机数表法抽取样本容易重号.
[再练一题]
3.总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08　　
B.07
C.02　　
D.01
【解析】　由随机数表法的随机抽样的过程可知，选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.
【答案】　D
[探究共研型]
简单随机抽样的特点
探究1　从100名学生中抽取20名进行100米测试，则样本指的是抽取的20名学生吗？
【提示】　不是.样本指的是抽取的20名学生的100米测试成绩，而不是这些学生.因为抽取的是考察对象的某一数值指标，而不是考察的对象.
探究2　什么样的总体适合用简单随机抽样？
【提示】　(1)总体中的个体性质相似，无明显层次；
(2)总体中的个体数目较小，尤其是样本容量较小.
探究3　现有甲、乙两位同学对同一个总体用简单随机抽样的方法抽样，那么他们抽取的样本一定一样吗？
【提示】　这两位同学抽出来的样本不一定一样.因为对于一次简单随机抽样来说，抽出来的样本是确定的，而这两位同学分别抽取时，各个个体是否入样带有随机性，且个体间无固定间距.
简单随机抽样的方法
探究4　抽取一个号签，记录其编号后放入容器中，再次抽取记录，连续n次后得到号签上的号码对应的个体，这些个体组成样本，这种抽样方法是抽签法吗？
【提示】　不是.因为抽签法是逐个不放回抽取，目的是保证抽取的号签不会重复，而这里记录编号后又放回容器中，所以不是抽签法.
探究5　利用随机数表法抽样时，如何对各个个体编号？
【提示】　利用随机数表法抽样时，对各个个体编号要视总体中的个数情况而定，但必须保证所编号码的位数一致，不允许出现不同位数的号码.另外，对于两位数的编号，一般是将起始号编为00，而不是01，它的好处在于可使100个个体都可用两位数字号码表示，否则将会出现三位数字号码100，这样确定的起始号便于我们使用随机数表.
探究6　抽签法和随机数表法有什么异同点？
【提示】　相同点：
(1)都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限；
(2)都是从总体中逐个地进行抽取，都是不放回抽样.
不同点：
(1)在总体容量较小的情况下，抽签法比随机数表法简单；
(2)抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况，而随机数表法更适用于总体中的个体数较多的情况，这样可以节约大量的人力和制作号签的成本.
　某单位积极支援西部开发，现从报名的20名志愿者中随机选取5名组成志愿小组到新疆工作，请用抽签法设计抽样方案.
【精彩点拨】　1.明确简单随机抽样的特点，特别是不放回抽样与等可能抽样的特点.2.掌握抽签法的操作步骤.
【尝试解答】　①将20名志愿者编号，号码是01,02，…，20；
②将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签；
③将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并搅拌均匀；
④从袋子中依次抽取5个号签，并记录上面的编号；
⑤所得号码对应的5名志愿者就是志愿小组的成员.
1.一个抽样方式能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便，二是号签是否容易被搅匀.
2.在利用随机数法抽样的过程中应注意以下三点：
(1)编号要求位数相同；
(2)第一个数字的抽取是随机的；
(3)读数的方向是任意的，且是读数前定好的.
[再练一题]
4.某学校高二年级有500名学生，考试后为详细分析教学中存在的问题，计划抽取一个容量为20的样本，使用随机数表法进行抽取，要取三位数，写出你抽得的样本，并写出抽取过程.(起点在第几行、第几列，具体方法)
【解】　第一步：给500名学生编号：001,002,003，…，500；
第二步：从随机数表的第13行第7列的1(任意选取的)开始向右连续读取数字，以3个数为一组，碰到右边线时向下错一行向左继续读取.在读取时，遇到大于500或重复前数时，将它舍弃，再继续向下取，所取得的样本号码是：146,241,123,208,267,276,290,336,199,449,220,234,443,337,080,108,328,175,217,008；
第三步：以上这20个号码所对应的20名学生就是要抽取的对象.
1.抽签法中确保样本代表性的关键是(　　)
A.制签　　　　　　　
B.搅拌均匀
C.逐一抽取
D.抽取不放回
【解析】　逐一抽取、抽取不放回是简单随机抽样的特点，但不是确保代表性的关键，一次抽取与有放回抽取也不影响样本的代表性，制签也一样，故选B.
【答案】　B
2.为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量.下列说法正确的是(　　)
A.总体是240名　　　　　
B.个体是每一个学生
C.样本是40名学生
D.样本容量是40
【解析】　在这个问题中，总体是240名学生的身高，个体是每个学生的身高，样本是40名学生的身高，样本容量是40，因此选D.
【答案】　D
3.某班50名学生中有30名男生，20名女生，用简单随机抽样抽取1名学生参加某项活动，则抽到女生的可能性为(　　)
A.0.4
B.0.5
C.0.6
D.
【解析】　在简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等，故可能性为＝0.4.
【答案】　A
4.一个总体的60个个体编号为00,01，…，59，现需从中抽取一容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列开始，向右读取，直到取足样本，则抽取样本的号码是________.
95
33
95
22
00　18
74
72
00
18　38
79
58
69
32
81
76
80
26
92
82
80
84
25
39
90
84
60
79
80
24
36
59
87
38　
82
07
53
89
35
96
35
23
79
18
05
98
90
07
35
46
40
62
98
80
54
97
20
56
95
15
74
80
08
32
16
46
70
50
80
67
72
16
42
79
20
31
89
03
43
38
46
82
68
72
32
14
82
99
70
80
60
47
18
97
63
49
30
21
30
71
59
73
05
50
08
22
23
71
77
91
01
93
20
49
82
96
59
26
94
66
39
67
98
60
【解析】　所取的号码要在00～59之间且重复出现的号码仅取一次.
【答案】　18,00,38,58,32,26,25,39
5.从30个灯泡中抽取10个进行质量检测，试说明利用随机数表法抽取这个样本的步骤.
【导学号：25440025】
【解】　第一步，将30个灯泡编号：00,01,02,03，…，29；
第二步，在随机数表中任取一个数作为开始，如从第9行第4列的1开始(见课本随机数表)；
第三步，从1开始向右读，每次读取两位，凡不在00～29中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到13,16,23,06,01,04,19,12,24,02.这10个编号，则这10个编号所对应的灯泡就是要抽取的对象.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________1.2　基本算法语句
1.2.1　赋值、输入和输出语句
1.理解赋值、输入和输出语句.(重点)
2.能够将程序框图转化为“算法”语句.(难点)
3.进一步体会算法的基本思想.
[基础·初探]
教材整理1　赋值语句
阅读教材P16～P17“输入语句”以上部分，完成下列问题.
1.赋值语句的定义
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句叫做赋值语句.在算法语句中，赋值语句是最基本的语句.
2.赋值语句的格式
赋值语句的一般格式为：变量名＝表达式.
3.赋值号及其作用
赋值语句中的“＝”号，称做赋值号.赋值语句的作用是先计算出赋值号右边表达式的值，然后把该值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值.
教材整理2　输入语句
阅读教材P17“最后两段”～P18“例1”以上部分，完成下列问题.
1.作用：用“input”输入语句来控制在屏幕上输入，可输入数值、单个或多个字符.
2.输入语句的一般格式：
变量＝input(“提示内容”)；//注释内容.
(1)“提示内容”提示用户输入什么样的信息，运行程序时会显示在屏幕上.“提示内容”也可省略不用.
(2)“//”后面显注释内容，对程序运行不起作用.
教材整理3　输出语句
阅读教材P19“输出语句”，完成下列问题.
1.输出语句的一般格式：
print(%io(2)字符或表达式).
2.输出语句的作用：
以某种形式把求解结果“输出”出来.
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)语句input只能给一个变量赋值.(　　)
(2)输出语句可以输出数值计算的结果.(　　)
(3)赋值语句中的“＝”和数学中的“＝”作用一样.(　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×
2.下列赋值语句错误的是(　　)
A.A＝A＋2
　　　
　　
B.m－1＝n
C.m＝3n
D.P＝3＋1
【解析】　赋值语句中，“＝”左边是变量，右边是表达式，故B错误.
【答案】　B
3.下列程序执行后结果为3，则输入的x值可能为(　　)
A.1　　
B.－3　　　
C.－1　　　
D.1或－3
【解析】　由题意得：x2＋2x＝3，解方程得x＝1或x＝－3.
【答案】　D
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
赋值语句
　请写出下面程序运算输出的结果.
【精彩点拨】　根据赋值语句的意义可以依次得到a，b，c的值.
【尝试解答】　(1)因为a＝1，b＝2，c＝a＋b，所以c＝3，b＝a＋c－b，即b＝1＋3－2＝2，所以输出a＝1，b＝2，c＝3.
(2)由b＝20及a＝b知a＝20，由c＝30及b＝c知b＝30，再由c＝a及a＝20知c＝20，所以输出a＝20，b＝30，c＝20.
1.赋值语句的作用是先算出赋值号右边表达式的值，然后把该值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值.
2.赋值号两边的内容不能对调，如a＝b与b＝a表示的意义完全不同.赋值号与“等于”的意义也不同，若把“＝”看作等于则N＝N＋1不成立，若看作赋值号，则成立.
3.赋值语句只能给一个变量赋值，不能接连出现两个或多个“＝”.可给一个变量多次赋值，但只保留最后一次所赋的值.
[再练一题]
1.将两个数a＝8，b＝17交换，使a＝17，b＝8，下面语句正确的一组是(　　)
【解析】　先把b的值赋给中间变量c，于是c＝17；再把a的值赋给变量b，于是b＝8；最后把c的值赋给变量a，于是a＝17.
【答案】　B
输入、输出语句
　编写一个程序，要求输入两个数a，b的值，输出a＋b和ab的值.
【精彩点拨】　利用输入、输出语句编写、注意其格式.
【尝试解答】
1.输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是变量或表达式(输入语句无计算功能)，若输入多个数，各数之间应用“，”隔开.
2.计算机执行到输入语句时，暂停等候用户输入“提示内容”所提示的数据，输入后回车，则程序继续运行，“提示内容”及其后的“；”可省略.
3.输出语句可以输出常量、变量或表达式的值(输出语句有计算功能)或字符，程序中引号内的部分将原始呈现.
[再练一题]
2.要交换两个变量a，b的值，请用Scilab语句来描述算法.
【解】　
算法语句与程序框图
　写出鸡兔同笼问题的一个算法，画出相应算法的框图，写出计算机程序.
【导学号：25440012】
【精彩点拨】　先用自然语言设计算法，根据算法画出框图，并写出程序.
【尝试解答】　算法：
S1　输入鸡和兔的总数量M；
S2　输入鸡和兔腿的总数量N；
S3　鸡的数量A＝；
S4　兔的数量B＝M－A；
S5　输出A，B.
程序框图如图所示：
程序如下：
利用条件语句解决算法问题的步骤：
(1)算法分析(自然语言)：根据提供的问题，利用数学及相关学科的知识，设计出解决问题的算法.
(2)画出框图：依据算法分析画出对应的框图.
(3)写出算法语句：根据框图中的算法步骤，逐步把算法用相应的程序设计语言表达出来.
[再练一题]
3.“植树造林，防风抗沙”.某沙漠地区在2013年底有绿化带树林20
000亩.该地区每年春天都会种树400亩加以绿化，但同时每年冬天又会有总绿化面积的1%被沙漠化，问2016年底该地区总绿化面积S有多少亩？画出程序框图，并写出程序.
【解】　程序框图如图：
程序如下：
[探究共研型]
赋值语句、输入输出语句的应用
探究1　赋值语句有怎样的作用？在赋值语句的一般格式中，“表达式”具体指什么？
【提示】　赋值语句的作用是先计算出赋值号右边表达式的值，然后把该值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值.
格式中右边“表达式”可以是一个数值、常量或算式.
探究2　输入语句和赋值语句都可给变量赋值，这一点二者有何不同？
【提示】　输入语句可使初始数值与程序分开，利用输入语句可以多次改变初始数据，而程序不变，赋值语句是程序的一部分；输入语句可对多个变量赋值，赋值语句只能给一个变量赋值.
探究3　计算机中的程序运算顺序与一般数学的运算顺序相同吗？运算符号的书写方式一样吗？
【提示】　运算顺序相同，但是运算符号的书写方式是不同的，此处极易混淆，数学符号与程序符号对照表如下：
数学符号
程序符号
×(代数运算中的乘法运算符号)
(程序里面表示乘法的运算符)
÷(代数运算中的除法运算符)
/(程序里面表示除法的运算符)
ab(代数中的指数运算符)
a^b(程序里面表示指数的运算符)
≤(代数中小于等于符号)
<＝(程序里面表示小于等于的符号)
≥(代数中大于等于符号)
>＝(程序里面表示大于等于的符号)
≠(代数中不等号)
<>(程序里面表示不等于的符号)
|x|(代数中的取绝对值)
abs(x)(程序里面表示求绝对值的函数)
(代数中求算术平方根)
sqrt(x)(程序里面表示求算术平方根的函数)
　已知一个正三棱柱的底面边长为a，高为h，试设计一个程序来求解这个正三棱柱的表面积和体积，并画出程序框图.
【精彩点拨】　根据正三棱柱的体积公式V＝a2h和表面积公式P＝3ah＋2×a2设计算法，并画出程序框图.
【尝试解答】　程序如下：
程序框图如图所示：
一般地说，写一个算法程序的顺序为：用自然语言描述算法——用流程图描述算法——用基本算法语句描述程序.
这三种形式的算法思路是一致的，学习时，要加强三种形式的互译训练.
[再练一题]
4.编写一个程序，要求输入两个正数a，b的值，输出ab和ba的值.
【解】　
1.关于赋值语句需要注意的事项中不正确的是(　　)
A.赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式
B.赋值号左、右不能对换
C.不能利用赋值语句进行代数式的演算
D.赋值号与数学中的符号的意义相同
【解析】　关于赋值语句中一定要注意的事项是把赋值号与数学中的等号区分开，它们的意义不相同.
【答案】　D
【答案】　B
3.下面算法执行后的结果为________.
【解析】　先把2赋给a，然后又把4赋给a，此时a的原值2被4“冲掉”，所以a的值为4，最后把4＋4再赋给a，因此输出的a的值为8.
【答案】　8
4.下面一段程序执行后的结果是________.
A＝2；
A＝A
2；
A＝A＋6；
Print(%io(2)，A)；
【解析】　先把2赋给A，然后把2×2赋给A，即A的值为4，再把4＋6＝10赋给A，所以输出A的值为10.
【答案】　10
5.已知三角形的边长分别为a，b，c，借助海伦公式(三角形的面积S＝，其中p＝(a＋b＋c)求三角形的面积.
【导学号：25440013】
【解】　
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________章末分层突破
[自我校对]
①顺序结构
②条件分支结构
③循环结构
④条件语句
⑤循环语句
⑥秦九韶算法
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
算法的设计
1.算法设计与一般意义上的解决问题不同，它是对一类问题的一般解法的抽象与概括，它往往是把问题的解法划分为若干个可执行的步骤，有时是重复多次，但最终都必须在有限个步骤之内完成.
2.对于给定的问题，设计其算法时应注意以下五点：
(1)与解决问题的一般方法相联系，从中提炼与概括步骤；
(2)将解决问题的过程划分为若干步骤；
(3)引入有关的参数或变量对算法步骤加以表述；
(4)用简练的语言将各个步骤表达出来；
(5)算法的执行要在有限步内完成.
　已知平面直角坐标系中两点A(－1,0)，B(3,2)，写出求线段AB的垂直平分线方程的一个算法.
【精彩点拨】　根据求线段的垂直平分线的步骤，先求线段的中点坐标，然后根据线段所在直线的斜率求出垂直平分线的斜率，可求垂直平分线的方程.
【规范解答】　S1　计算x0＝＝1，y0＝＝1，得AB的中点N(1,1).
S2　计算k1＝＝，得AB斜率.
S3　计算k＝－＝－2，得AB垂直平分线的斜率.
S4　由点斜式得直线AB的垂直平分线的方程，并输出.
[再练一题]
1.已知函数y＝2x4＋8x2－24x＋30，写出连续输入自变量的11个取值，分别输出相应的函数值的算法.
【解】　算法为：
S1　输入自变量x的值；
S2　计算y＝2x4＋8x2－24x＋30；
S3　输出y；
S4　记录输入次数；
S5　判断输入的次数是否大于11.若是，则结束算法；否则，返回S1.
程序的编写
算法设计和程序框图是设计程序的基础.编写程序的基本方法是“自上而下逐步求精”，步骤如下：
(1)把一个复杂的大问题分解成若干相对独立的小问题.若小问题仍较复杂，则可以把小问题分解成若干个子问题.这样不断地分解，使小问题或子问题简单到能直接用程序的三种基本结构甚至是五种基本语句表达清楚为止.
(2)对应每一个小问题或子问题编写出一个功能上相对独立的程序块来.
(3)把每一个模块统一组装，完成程序.
　某人从家到单位共需要40分钟，在途中前20分钟以60米/分钟的速度跑步前进，后20分钟以25米/分钟的速度步行，请设计算法计算此人离家t分钟时的路程S，写出程序.
【规范解答】　由题意可知，路程S与时间t分钟存在如下关系：
S＝
根据关系式可写出算法程序如下：
[再练一题]
2.到银行办理个人异地汇款(不超过100万)时，银行要收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5
000元，按汇款额的1%收取；超过5
000元，一律收取50元手续费.试用条件语句描述汇款额为x元时，银行收取手续费为y元的过程，写出程序.
【解】　依题意，我们可求手续费y与汇款额x之间的关系式为
y＝
程序如下：
程序框图的设计与应用
从近几年高考各省市试题中可以看出，本部分命题呈现以下特点：
(1)考题以选择题、填空题为主，属中低档题.
(2)考查内容是程序框图，或者要求补充完整框图，或者要求求出按程序框图执行后的结果.程序框图中主要以条件结构和循环结构为主，其中循环结构是重点.
　(2015·重庆高考)执行如图1 1所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是(　　)
图1 1
A.s≤　　　　　
B.s≤
C.s≤
D.s≤
【规范解答】　由程序框图，k的值依次为0,2,4,6,8，因此S＝＋＋＝(此时k＝6)，还必须计算一次，因此可填s≤，选C.
【答案】　C
[再练一题]
3.(2016·北京高考)执行如图1 2所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为(　　)
图1 2
A.1　　
B.2　　　
C.3　　
D.4
【解析】　开始a＝1，b＝1，k＝0；
第一次循环a＝－，k＝1；
第二次循环a＝－2，k＝2；
第三次循环a＝1，条件判断为“是”，跳出循环，此时k＝2.
【答案】　B
分类讨论的思想
在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，需对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得结论，这就是分类讨论思想.在具体问题的算法设计中，往往需要根据条件进行逻辑判断，并进行不同的处理(如条件分支结构和循环结构)，这实际上运用了分类讨论的数学思想方法.
　写出解方程px＋q＝0(其中p，q为常数)的一个算法，并画出相应的程序框图.
【精彩点拨】　方程px＋q＝0的根与p，q的取值关系密切.
当p≠0时，方程的解为x＝－；
当p＝0且q≠0时，方程无实数根；
而当p＝0，q＝0时，方程的解为全体实数.
因此对p，q的取值进行讨论，由此可知在算法中应不止一次地应用判断框引入条件结构.
【规范解答】　算法如下：
S1　输入p，q.
S2　如果p≠0，则x＝－，并执行S3；否则执行S4.
S3　输出x，结束算法.
S4　如果q≠0，则输出“方程无实数根”；否则输出“方程的解是全体实数”.
程序框图如图.
[再练一题]
4.已知函数f(x)＝画出求f(f(x))的程序框图.
【解】　程序框图如图所示：
1.(2015·全国卷Ⅰ)执行如图1 3的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝(　　)
图1 3
A.5　　
B.6　　　
C.7　　
D.8
【解析】　运行第一次：S＝1－＝＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；
运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；
运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062
5，n＝3，S>0.01；
运行第四次：S＝0.125－0.062
5＝0.062
5，m＝0.031
25，n＝4，S>0.01；
运行第五次：S＝0.031
25，m＝0.015
625，n＝5，S>0.01；
运行第六次：S＝0.015
625，m＝0.007
812
5，n＝6，S>0.01；
运行第七次：S＝0.007
812
5，m＝0.003
906
25，n＝7，S<0.01.
输出n＝7.故选C.
【答案】　C
2.(2016·全国卷Ⅲ)执行下面的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝(　　)
图1 4
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】　程序运行如下：
开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0.
第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；
第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；
第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；
第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.
此时，满足条件s>16，退出循环，输出n＝4.故选B.
【答案】　B
3.(2016·四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图1 5所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为(　　)
图1 5
A.9
B.18
C.20
D.35
【解析】　由程序框图知，初始值：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2，
第一次执行：v＝4，i＝1；
第二次执行：v＝9，i＝0；
第三次执行：v＝18，i＝－1.
结束循环，输出当前v的值18.故选B.
【答案】　B
4.(2016·天津高考)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为(　　)
图1 6
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】　S＝4不满足S≥6，S＝2S＝2×4＝8，n＝1＋1＝2；
n＝2不满足n>3，S＝8满足S≥6，则S＝8－6＝2，n＝2＋1＝3；
n＝3不满足n>3，S＝2不满足S≥6，则S＝2S＝2×2＝4，n＝3＋1＝4；
n＝4满足n>3，输出S＝4.故选B.
【答案】　B
5.(2015·北京高考)执行如图1 7所示的程序框图，输出的结果为(　　)
图1 7
A.(－2,2)
B.(－4,0)
C.(－4，－4)
D.(0，－8)
【解析】　x＝1，y＝1，k＝0，s＝x－y＝0，t＝x＋y＝2，x＝s＝0，y＝t＝2，k＝1，不满足k≥3；s＝x－y＝－2，t＝x＋y＝2，x＝－2，y＝2，k＝2不满足k≥3；s＝x－y＝－4，t＝x＋y＝0，x＝－4，y＝0，k＝3，满足k≥3，输出的结果为(－4,0).
【答案】　B
6.(2014·全国卷Ⅱ)执行如图1 8所示的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝(　　)
图1 8
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】　x＝2，t＝2，M＝1，S＝3，k＝1.
k≤t，M＝×2＝2，S＝2＋3＝5，k＝2；
k≤t，M＝×2＝2，S＝2＋5＝7，k＝3；
3>2，不满足条件，输出S＝7.
【答案】　D
7.(2014·重庆高考)执行如图1 9所示的程序框图，则输出s的值为(　　)
图1 9
A.10
B.17
C.19
D.36
【解析】　开始s＝0，k＝2；
第一次循环s＝2，k＝3；
第二次循环s＝5，k＝5；
第三次循环s＝10，k＝9；
第四次循环s＝19，k＝17，
不满足条件，退出循环，输出s＝19，故选C.
【答案】　C
8.(2016·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足(　　)
图1 10
A.y＝2x
B.y＝3x
C.y＝4x
D.y＝5x
【解析】　输入x＝0，y＝1，n＝1，
运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋y2≥36；
运行第二次，x＝，y＝2，不满足x2＋y2≥36；
运行第三次，x＝，y＝6，满足x2＋y2≥36，
输出x＝，y＝6.
由于点在直线y＝4x上，故选C.
【答案】　C
9.(2014·辽宁高考)执行如图1 11的程序框图，若输入n＝3，则输出T＝________.
图1 11
【解析】　初始值：i＝0，S＝0，T＝0，n＝3，
①i＝1，S＝1，T＝1；
②i＝2，S＝3；T＝4；
③i＝3，S＝6，T＝10；
④i＝4，S＝10，T＝20，
由于此时4≤3不成立，停止循环，输出T＝20.
【答案】　201.1　算法与程序框图
1.1.1　算法的概念
1.通过回顾解二元一次方程组的方法，了解算法的思想.(重点)
2.了解算法的含义和特征.(难点)
3.会用自然语言表述简单的算法.(易错易混点)
[基础·初探]
教材整理1　算法的概念
阅读教材P3～P4，完成下列问题.
算法的概念
由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题
描述算法的方式
可以用自然语言和数学语言加以叙述，也可以借助形式语言(算法语言)给出精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个算法可解决某一类问题.(　　)
(2)算法的步骤是有限的，有些步骤可有可无.(　　)
(3)同一个问题可以有不同的算法.(　　)
【解析】　(1)√　根据算法的概念可知.
(2)×　算法的步骤是有限的，也是明确的，不能可有可无.
(3)√　例如二元一次方程组的算法，可用“加减消元法”，也可用“代入消元法”.
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
教材整理2　算法的要求
阅读教材P5“例2”以上部分，完成下列问题.
1.写出的算法，必须能解决一类问题并且能重复使用.
2.算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清，而且经过有限步后能得出结果.
下列可以看成算法的是(　　)
A.学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题
B.今天餐厅的饭真好吃
C.这道数学题很难做
D.方程2x2－x＋1＝0无实数根
【解析】　A是学习数学的一个步骤，所以是算法.
【答案】　A
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
算法的概念
　(1)下列描述不能看作算法的是(　　)
A.解一元一次方程的步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1
B.洗衣机的使用说明书
C.解方程2x2＋x－1＝0
D.利用公式S＝πr2计算半径为4的圆的面积，就是计算π×42
(2)下列关于算法的说法：
①求解某一类问题的算法是唯一的；
②算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；
③算法执行后一定产生明确的结果.
其中正确的个数有(　　)
A.1个　　　　　　　　
B.2个
C.3个
D.0个
【精彩点拨】　判断对算法的阐述是否正确，应当以算法的概念为标准，衡量各种阐述是否符合算法特点.
【尝试解答】　(1)A，B，D都描述了解决问题的过程，可以看作算法，
而C只描述了一个事实，没说明怎么解决问题，不是算法.
(2)根据算法的特征可以知道，算法要有明
( http: / / www.21cnjy.com )确的开始与结束，每一步操作都必须是明确而有效的，必须在有限步内得到明确的结果，所以②③正确.而解决某一类问题的算法不一定是唯一的，故①错误.
【答案】　(1)C　(2)B
1.算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，在用算法解决问题时，显然体现了特殊与一般的数学思想.
2.算法的特点有：①有限性，②确定性，③顺序性和正确性，④不唯一性，⑤普遍性.解答有关算法的概念判断题应根据算法的这五大特点.
.TIF"http://www.21cnjy.com/
( http: / / www.21cnjy.com )
[再练一题]
1.下列叙述中，
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；
②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100；
③从青岛乘动车到济南，再从济南乘飞机到南京观看全运会；
④3x>x＋1；
⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….
能称为算法的有________.(填序号)
【解析】　根据算法的含义和特征：①②③都是
( http: / / www.21cnjy.com )算法；④⑤不是算法.其中④，3x>x＋1不是一个明确的步骤，不符合确定性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾.
【答案】　①②③
算法的设计
　(1)设计一个算法，判断7是否为质数；
(2)设计一个算法，判断35是否为质数.
【精彩点拨】　(1)依次用2～6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数；(2)根据(1)的方法进行判断.
【尝试解答】　(1)S1　用2除7，得到余数1，所以2不能整除7.
S2　用3除7，得到余数1，所以3不能整除7.
S3　用4除7，得到余数3，所以4不能整除7.
S4　用5除7，得到余数2，所以5不能整除7.
S5　用6除7，得到余数1，所以6不能整除7.
因此，7是质数.
(2)S1　用2除35，得到余数1，所以2不能整除35.
S2　用3除35，得到余数2，所以3不能整除35.
S3　用4除35，得到余数3，所以4不能整除35.
S4　用5除35，得到余数0，所以5能整除35.
因此，35不是质数.
设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：
(1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；
(4)用简练的语言将这个步骤表示出来.
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[再练一题]
2.判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？
【导学号：25440000】
【解】　S1　给定一个大于2的整数n.
S2　令i＝2.
S3　用i除n，得到余数r.
S4　判断“r＝0”是否成立.若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示.
S5　判断“i>n－1”是否成立.若是，则n是质数，结束算法；否则，返回S3.
算法的应用
　设计算法，给定任一x的值，求y的值，其中y＝
【精彩点拨】　题目中的函数为分段函数，求函数值时，应对x进行分类讨论.判断给定的x的值与0的大小关系，再代入相应关系式求函数值.
【尝试解答】　S1　输入x的值.
S2　判断x是否大于零，若x>0，执行S3；否则，执行S4.
S3　计算y＝x2＋1的值，转去执行S5.
S4　计算y＝2x－1的值.
S5　输出y的值.
分段函数求函数值的算法要运用分类讨论思想进行设计，一定要对算法中可能遇到的情况考虑周全，满足与不满足都要有相应的步骤.
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[再练一题]
3.已知y＝写出给定变量x的值，求函数值y的算法.
【解】　算法如下：
S1　输入x的值.
S2　若x＞0，则y＝－x＋1，然后执行S4；否则执行S3.
S3　若x＝0，则y＝0，然后执行S4；否则y＝x＋1.
S4　输出y的值.
[探究共研型]
算法的概念与特征
探究1　是不是任何一个算法都有明确的结果？
【提示】　是.因为算法的步骤是明确的，有时可能需要大量重复的计算，但只要按部就班地去做，总能得到确定的结果.
探究2　算法的书写步数等同于算法的执行步数吗？
【提示】　不同.在算法构造中会出现步骤的重
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，也就是说算法的执行步数大于等于算法的书写步数，很有可能书写的步数较少而要执行的步数很多，但不可以无限.另外，在算法中有些步骤也可能不被执行.
探究3　书写算法时，能使用“……”、“同理”、“类似地”等词语吗？
【提示】　不能.书写算法时，要注意算法的确定性，步骤要清晰、明确，“……”、“同理”、“类似地”等所代表的部分是无法执行的.
探究4　一个具体问题的算法唯一吗？
【提示】　一个具体问题的算
( http: / / www.21cnjy.com )法不唯一.如解二元一次方程组的算法就有消元法、代入法两种.由于传统数学问题的解法不唯一，使得求解某一个问题的算法也不唯一.
探究5　描述算法的方式唯一吗？
【提示】　描述算法可以有不同的方式.例
( http: / / www.21cnjy.com )如，可以用自然语言和数学语言加以叙述，后面还会学习用程序设计语言给出精确的说明，或者用框图直观地显示算法的全貌.
探究6　写算法应该注意什么？
【提示】　算法就是解决问题的步骤，平时无论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言.
写算法应注意以下几点：
1.写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n＞1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；…)，并且能够重复使用.
2.要使算法尽量简单、步骤尽量少.
3.要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的.
再如：用自然语言描述求y＝－x2－2x＋3的最大值的算法.
一般同学们会这样写：S1　配方得y＝－(x＋1)2＋4.
S2　函数的最大值为4.
实际上，作为一个具体问题来说，上述
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本题算法应该这样写：
S1　给a，b，c赋值.
S2　判断a≥0是否成立，若成立，则输出“函数无最大值”，结束算法；否则执行S3.
S3　计算，并将结果赋给max.
S4　输出max，结束算法.(算法执行过程中，依次给a，b，c取值－1、－2、3)
　已知一个等边三角形的周长为a，求这个三角形的面积，设计一个算法解决这个问题.
【精彩点拨】　对于已知等边三角形的边长求面积的题目.同学们已经很熟悉，回顾其中的解题过程不难得到这个问题的算法步骤.
【尝试解答】　算法步骤如下：
S1，输入a的值.
S2，计算l＝的值.
S3，计算S＝×l2的值.
S4，输出S的值.
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1.写一个算法应遵循由粗到细的处理问题的方法，先确定大的框架，再根据情况具体化，这是设计算法时普遍采用的方法.
2.给出一个问题，设计算法时要注意：
(1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法；
(2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况；
(3)将解决问题的过程划分为若干个步骤.
[再练一题]
4.下面给出了一个问题的算法：
S1，输入x.
S2，若x≥4，则执行S3，否则执行S4.
S3，输出2x－1.
S4，输出x2－2x＋3.
这个算法解决的问题是什么？
【解】　这个算法先是输入一个变量x
( http: / / www.21cnjy.com )，当x≥4时输出2x－1，当x<4时输出x2－2x＋3，不难发现这个算法解决的问题是求分段函数f(x)＝的函数值.
1.算法的每一步都应该是确定的、能有效执行的，并且得到确定的结果，这里指算法的(　　)
A.有穷性　　　　　　
B.确定性
C.逻辑性
D.不唯一性
【解析】　算法的过程和每一步的结果都是确定的，即确定性.
【答案】　B
2.结合下面的算法：
S1　输入x.
S2　判断x是否小于0.若是，则输出x＋2，否则执行第三步.
S3　输出x－1.
当输入的x的值为－1,0,1时，输出的结果分别为(　　)
A.－1,0,1
B.－1,1,0
C.1，－1,0
D.0，－1,1
【解析】　根据x值与0的关系，选择执行不同的
( http: / / www.21cnjy.com )步骤.当x＝－1时，输出x＋2，即输出1；当x＝0时，输出x－1，即输出－1；当x＝1时，输出x－1，即输出0.
【答案】　C
3.输入一个x值，利用y＝|x＋1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整：
S1　输入x；
S2　________；
S3　计算y＝－x－1；
S4　输出y.
【导学号：25440001】
【解析】　含绝对值的函数的函数值的算法要注意分类讨论思想的应用，本题中当x≥－1时y＝x＋1；当x＜－1时y＝－x－1，由此可完善算法.
【答案】　当x≥－1时，计算y＝x＋1，否则执行S3
4.已知长方体的长、宽、高分别为a、b、c.写出求对角线长l的算法如下：
S1　输入长、宽、高即a，b，c的值.
S2　计算l＝的值.
S3　________.
将算法补充完整，横线处应填________.
【解析】　算法要有输出，故第三步应为输出结果l的值.
【答案】　输出对角线长l的值
5.设计一个算法，求表面积为16π的球的体积.
【解】　算法一：
S1　取S＝16π.
S2　计算R＝(由于S＝4πR2).
S3　计算V＝πR3.
S4　输出运算结果.
算法二：
S1　取S＝16π.
S2　计算V＝π3.
S3　输出运算结果.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________3.1　事件与概率
3.1.1　随机现象
3.1.2　事件与基本事件空间
1.了解必然现象和随机现象，了解不可能事件、必然事件及随机事件.
2.理解事件与基本事件的定义，会求试验中的基本事件空间以及事件A包含的基本事件的个数.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1　随机现象
阅读教材P91，完成下列问题.
1.常见现象的特点及分类
名称
定义
必然现象
在一定条件下必然发生某种结果的现象
随机现象
在相同的条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现的现象
2.试验
把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验结果称为试验的结果.
教材整理2　事件与基本事件的空间
阅读教材P92～P93例1以上部分，完成下列问题.
1.不可能事件、必然事件、随机事件
事件
必然事件
在同样的条件下重复进行试验时，一定会发生的结果
不可能事件
在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果
随机事件(简称为事件)
①在同样的条件下重复进行试验时，可能发生，也可能不发生的结果②表示：通常用大写英文字母A，B，C，…来表示
2.基本事件、基本事件空间
(1)基本事件：
试验中不能再分的最简单的，且其他事件可以用它们来描绘的随机事件称为基本事件.
(2)基本事件空间：
①定义：所有基本事件构成的集合称为基本事件空间.
②表示：基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形的内角和为180°是必然事件.(　　)
(2)“抛掷硬币三次，三次正面向上”是不可能事件.(　　)
(3)“下次李欢的数学成绩在130分以上”是随机事件.(　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
必然现象、随机现象
判断下列现象是必然现象还是随机现象.
(1)小明在校学生会主席竞选中成功；
(2)掷一枚质地均匀的硬币出现的结果；
(3)某人购买的彩票号码恰好是中奖号码；
(4)标准大气压下，把水加热至100
℃沸腾.
【精彩点拨】　利用必然现象与随机现象的定义去判断
【尝试解答】　(1)随机现象.因为竞选能否成功是不可预知与确定的；
(2)随机现象.因为出现的结果可能是正面，也可能是反面，结果并不确定.
(3)随机现象.因为彩票号码是否为中奖号码，本身无法预测，是不可知的.
(4)必然现象.因为标准大气压下，水加热至100
℃时沸腾这个结果一定会发生，是确定的.
判断某一现象是随机现象还是必然现象的关键是看在一定条件下，现象的结果是否可以预知、确定，若在一定条件下，出现的结果是可以预知的，这类现象为必然现象；若在一定条件下，出现哪种结果是无法预知、无法事先确定的，这类现象为随机现象.
[再练一题]
1.判断下列现象是必然现象还是随机现象：
(1)掷一枚质地均匀的骰子出现的点数；
(2)行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色；
(3)在10个同类产品中，有8个正品、2个次品，从中任意抽出2个检验的结果.
【解】
　(1)掷一枚质地均匀的骰子其点数有可能出现1～6点，不能确定，因此是随机现象.
(2)行人在十字路口看到交通信号灯的颜色有可能是红色，有可能是黄色，也有可能是绿色，故是随机现象.
(3)抽出的2个产品中有可能全部是正品，也有可能是一个正品一个次品，还有可能是两个次品，故此现象为随机现象.
事件类型的判断
判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件.
(1)“抛一石块，下落”.
(2)“在标准大气压下且温度低于0
℃时，冰融化”；
(3)“某人射击一次，中靶”；
(4)“如果a＞b，那么a－b＞0”；
(5)“掷一枚硬币，出现正面”；
(6)“导体通电后，发热”；
(7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签”；
(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；
(9)“没有水分，种子能发芽”；
(10)“在常温下，焊锡熔化”.
【精彩点拨】　根据时间的概念判断：必然事件必然发生；不可能事件不可能发生；随机事件可能发生也可能不发生.
【尝试解答】　事件(1)(4)(6)是必然事件；事件(2)(9)(10)是不可能事件；事件(3)(5)(7)(8)是随机事件.
要判定某事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的.其次再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生.一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.
[再练一题]
2.下列事件中的随机事件为(　　)
A.若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)c
B.没有水和空气，人也可以生存下去
C.抛掷一枚硬币，反面向上
D.在标准大气压下，温度达到60
℃时水沸腾
【解析】　A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件.在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件.抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件.在标准大气压的条件下，只有温度达到100
℃，水才会沸腾，当温度是60
℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件.
【答案】　C
[探究共研型]
事件与基本事件空间
探究1　如果某个练习投篮的中学生决定投篮5次，那么“他投进6次”，“他投进的次数比6小”，“他投进3次”分别是什么事件？
【提示】　“他投进6次”是不可能事件；“他投进的次数比6小”是必然事件；“他投进3次”是随机事件.
探究2　举例说明随机现象与随机事件的区别.
【提示】　行人在十字路口看到的交通信号灯颜色是一种随机现象，看到的是红色是随机事件，看到的是黄色或者是绿色都是一个随机事件.因此随机事件是在同样的条件下重复进行试验时，可能出现的结果都是随机事件，随机现象指的是一个现象在相同的条件下多次观察它，每次观察到的结果不一定相同.
探究3　先后掷两枚硬币试验的基本事件空间是怎样的？设事件A＝“至少有一次出现正面”，则A怎样表示，A与Ω的关系怎样？如何表示？
【提示】　Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，A＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，A是Ω的一个子集，可表示为A Ω.
　连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件的总数；
(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？
【导学号：25440042】
【精彩点拨】　根据题意可用列举法按照顺序列举出所要求的基本事件.
【尝试解答】　　(1)试验的基本事件空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}；
(2)基本事件的总数是8；
(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正).
随机事件的结果是相对于条件而言的.要弄清某一随机事件的所有结果，必须首先明确事件发生的条件，根据题意，按一定的次序列出问题的答案.在写基本事件空间时，要注意做到既不重复也不遗漏.
[再练一题]
3.1个盒子中装有5个完全相同的球，分别标有号码1,2,3,4,5，从中一次任取两球.
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件总数；
(3)写出“取出的两球上的数字之和是6”的这一事件中所包含的基本事件.
【解】　(1)Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}；
(2)基本事件总数为10；
(3)“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的基本事件为(1,5)，(2,4).
[构建·体系]
1.
下列现象：①当x是实数时，x－|x|＝2；②某班一次数学测试，及格率低于75%；
③从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；
④体育彩票某期的特等奖号码.其中是随机现象的是(　　)
A.①②③　
B.①③④　
C.②③④　
D.①②④
【解析】　由随机现象的定义知②③④正确.
【答案】　C
2.下列事件中，是不可能事件的是(　　)
A.三角形的内角和为180°
B.三角形中大角对大边，小角对小边
C.锐角三角形中两内角和小于90°
D.三角形中任意两边之和大于第三边
【解析】　锐角三角形中两内角和大于90°.
【答案】　C
3.下列事件中，是随机事件的有________.(填序号)
①早晨，太阳从东方升起；
②某电话交换台在单位时间内收到用户呼唤的次数；
③检查流水线上一件产品，是合格产品还是不合格产品；
④一个盒子中有十个完全相同的小球，搅匀后从中任意摸取一球.
【答案】　②③
4.从100个同类产品中(其中有2个次品)任取3个.
①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品.
其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________.
【导学号：25440043】
【解析】　从100个产品(其中2个次品)中取3个可能结果是：“三个全是正品”“两个正品一个次品”“一个正品二个次品”.
【答案】　⑥　④　①②③⑤
5.做试验“从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字”.
(1)求这个试验结果的个数；
(2)写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件.
【解】　(1)当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；同理当x＝3,4时，也各有3个不同的有序数对，所以共有12个不同的有序数对.故这个试验结果的个数为12.
(2)记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________3.4　概率的应用
1.通过实例进一步理解概率的意义及应用.(重点)
2.能用概率的知识解决实际生活中的问题.
[基础·初探]
教材整理　概率的应用
阅读教材P116～P117，完成下列问题.
概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0～1之间的一个数，它度量该事件发生的可能性.小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生.
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)事件A发生的概率很小时，该事件为不可能事件.(　　)
(2)某医院治愈某种病的概率为0.8，则10个人去治疗，一定有8人能治愈.(　　)
(3)平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华的高，所以这次比赛应选小明参加.(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
2.已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是(　　)
A.若他投100次，一定有50次投中
B.若他投一次，一定投中
C.他投一次投中的可能性大小为50%
D.以上说法均错
【解析】　概率是指一件事情发生的可能性大小.
【答案】　C
3.若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有(　　)
A.f(n)与某个常数相等
B.f(n)与某个常数的差逐渐减小
C.f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小
D.f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定
【解析】　随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系.
【答案】　D
4.事件A发生的概率是，则表示的________.
【解析】　根据概率的含义知表示的是事件A发生的可能性大小.
【答案】　事件A发生的可能性的大小
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
概率在密码中的应用
　为了保证信息安全传输，有一种称为密钥的密码系统(Private Key
Cryptosystem)，其加密、解密原理如下：明文密文明文.
设加密密钥为y＝ax＋1，明文“3”通过加密后得到密文“16”，接收方收到密文后，通过解密密钥解密得到明文“3”.
(1)若接收方接到密文为“64”，则解密后的明文是多少？
(2)若用数字1,2,3，…分别表示A，B，C，…(字母表中的顺序)，且在英文常用文章中字母“E”(即5)出现的概率为10.5%，则上述密码系统中，其对应的密文出现的概率是多少？
【精彩点拨】　(1)由条件给出的信息可得16＝a3＋1，即求出a后，可解决.
(2)利用明文与密文之间的对应关系结合条件给出判断.
【尝试解答】　由题意知，16＝a3＋1，解得a＝2.
(1)由64＝2x＋1，得x＝5，所以解密后的明文是“5”.
(2)因为明文与密文之间是一一对应关系，所以其对应密文出现的概率也是10.5%.
密码技术在军事、政治、经济方面有着广泛的用途.为了使密码设计更难破译，人们发明了许多反破译的方法，利用随机序列就是一种极为重要的方法，其原理是：利用取值在1到26之间的整数值随机数序列，使每个字母出现在密码中的概率都相等.
[再练一题]
1.现代社会对破译密码的要求越来越高，有一种密码把英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26个字母(不论大小写)依次对应1,2,3，…，26，这26个自然数，见表格：
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
给出下列一个变换公式：
x′＝
将明文转换成密文，如8→＋13＝17，即h变成q；5→＝3，即e变成c.
(1)按上述规定，将明文good译成密文是(　　)
A.love　
B.eovl　
C.dhho　
D.ohhd
(2)按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是(　　)
A.lhho
B.ohhl
C.love
D.eovl
【解析】　(1)g→7→＝4→d，o→15→＝8→h，d→4→＋13＝15→o，故明文good的密文是dhho.
(2)逆变换公式为x＝
则s→19→2×19－26＝12→l，h→8→2×8－1＝15→o，x→24→2×24－26＝22→v，c→3→2×3－1＝5→e，故密文shxc的明文是love.
【答案】　(1)C　(2)C
社会调查问题
　深夜，某市某路段发生一起出租车交通事故.该市有两家出租车公司，红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中红色出租车公司和蓝色出租车公司的出租车分别占整个城市出租车的15%和85%.据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色的，并对现场目击证人的辨别能力做了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大嫌疑.你觉得警察这样的认定公平吗？
【导学号：25440060】
【精彩点拨】利用条件给出的信息可将真实颜色与证人眼中的颜色列表分析.
【尝试解答】　设该市的出租车有1
000辆，那么依题意可得如下信息：
证人眼中的颜色(正确率80%)
真实颜色
实际数据
蓝色
红色
蓝色(85%)
850
680
170
红色(15%)
150
30
120
合计
1
000
710
290
从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，确定它是红色的概率为≈0.41，而它是蓝色的概率为≈0.59.在实际数据面前，警察仅以目击证人的证词作为推断的依据对红色出租车公司显然是不公平的.
社会调查人员希望从人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题诚实的回答.但是被采访者常常不愿意如实地作出应答.1965年Stanley
L.
Warner发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意情绪的方法.Warner的随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个问题中的一个，而不必告诉采访者回答的是哪个问题.两个问题中有一个是敏感的或者是令人为难的；另一个问题是无关紧要的.这样应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他知道自己回答的是哪个问题.
[再练一题]
2.某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，他们被要求在“赞成调整”“反对调整”“对这次调查不发表看法”中任选一项，调查结果如下表：
男
女
合计
赞成调整
18
9
27
反对调整
12
25
37
对这次调查不发表看法
20
16
36
合计
50
50
100
随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？
【解】　用A表示事件“对这次调整表示反对”，B表示事件“对这次调整不发表看法”，则A和B是互斥事件，并且A∪B就表示事件“对这次调整表示反对或不发表看法”.由互斥事件的概率加法公式，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝0.73.
总体估计
　为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.
【精彩点拨】　利用古典概型的特征，等可能性可估计.
【尝试解答】　设保护区中天鹅的数量约为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{带有记号的天鹅}，则P(A)＝.①
第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，
由概率的统计定义可知P(A)＝.②
由①②两式，得＝，解得n＝1
500，
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1
500只.
用古典概型概率的观点求随机事件的概率时，首先对于在试验中出现的结果的可能性认为是相等的，其次是通过一个比值的计算来确定随机事件的概率.
[再练一题]
3.山东三吉钢木家具厂为某游泳比赛场馆生产观众座椅.质检人员对该厂所产2
500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有5套次品，试问该厂所产2
500套座椅中大约有多少套次品？
【解】　设有n套次品，由概率的统计定义可知≈，解得n≈125.
所以该厂所产2
500套座椅中大约有125套次品.
[构建·体系]
1.从一群游戏的小孩中抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，一会儿后，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计一共有小孩(　　)
A.人　　　　
B.人
C.(k＋m－n)人
D.(k＋m－n)人
【解析】　设一共有x个小孩，根据概率的意义，有＝，所以x＝人.
【答案】　B
2.据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是(　　)
A.　　
B.　　
C.　　
D.
【解析】　所含的基本事件总数为4，分别为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，∴两胎均是女孩的概率为.
【答案】　C
3.在所有的两位数10～99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　10～99中有90个两位数，这些两位数中，偶数有45个，10～99中有30个能被3整除的数，其中奇数有30÷2＝15(个)，∴所求的概率为＝.
【答案】　C
4.电脑“扫雷”游戏的操作面被平均分成480块，其中有99块埋有地雷，现在操作面上任意点击一下，碰到地雷的概率为________.
【解析】　由古典概型的概率公式可得碰到地雷的概率为＝.
【答案】　
5.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖品，其余没有奖品，参与游戏的观众有三次翻牌机会(翻过的牌不能再翻).
(1)第一次翻牌获奖的概率是多少？
(2)某观众前两次翻牌均获奖，那么他第三次翻牌获奖的概率是多少？
【导学号：25440061】
【解】　(1)第一次翻牌时有5个有奖品，故获奖的概率为P＝＝.
(2)前两次翻牌均获奖，第三次翻牌时，只有3个有奖品，还有18个商标牌，故获奖的概率为P＝＝.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________章末分层突破
[自我校对]
①随机数法
②系统抽样
③分层抽样
④频率分布直方图
⑤茎叶图
⑥方差与标准差
⑦散点图
⑧回归方程
_________________________________________________________
_________________________________________________________
抽样方法及应用
随机抽样有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种.其共同点是在抽样过程中每个个体被抽到的机会相等，当总体中的个体数较少时，常采用简单随机抽样；当总体中的个体数较多时，多采用系统抽样；当已知总体由差异明显的几部分组成时，常采用分层抽样.其中简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法.在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样.
应用各种抽样方法抽样时要注意以下问题：
(1)利用抽签法时要注意把号签放在不透明的容器中且搅拌均匀；
(2)利用随机数表法时注意编号位数要一致；
(3)利用系统抽样时，若抽样间隔k＝不是整数，应剔除部分个体；
(4)在分层抽样中，若在某一层抽到的个体数不是整数，应在该层剔除部分个体，使抽取个体数为整数.
　某高级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人.现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.
关于上述样本的下列结论中，正确的是(　　)
A.②③都不能为系统抽样
B.②④都不能为分层抽样
C.①④都可能为系统抽样
D.①③都可能为分层抽样
【精彩点拨】　分层抽样时，在各层所抽取的样本个数与该层个体数的比值等于抽样比；系统抽样抽取的号码按从小到大排列后，每一个号码与前一个号码的差都等于分段间隔.
【规范解答】　按分层抽样时，在一年级抽取108×＝4(人)，在二年级、三年级各抽取81×＝3(人)，则在号码段1,2，…，108中抽取4个号码，在号码段109,110，…，189中抽取3个号码，在号码段190,191，…，270中抽取3个号码，①②③符合，所以①②③可能是分层抽样，④不符合，所以④不可能是分层抽样；如果按系统抽样时，抽取出的号码应该是“等距”的，①③符合，②④不符合，所以①③都可能为系统抽样，②④都不能为系统抽样.
【答案】　D
[再练一题]
1.①教育局督学组到校检查工作，临时需在每班各抽调两人参加座谈；②某班数学期中考试有15人在120分以上，40人在90～119分，1人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；③某班春节聚会，要产生两位“幸运者”.就这三件事，合适的抽样方法分别为(　　)
A.分层抽样，分层抽样，简单随机抽样
B.系统抽样，系统抽样，简单随机抽样
C.分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样
D.系统抽样，分层抽样，简单随机抽样
【尝试解答】　①每班各抽两人需用系统抽样.
②由于学生分成了差异比较大的几层，应用分层抽样.
③由于总体与样本容量较小，应用简单随机抽样.故选D.
【答案】　D
用样本的频率分布估计总体分布
利用样本的频率分布表和频率分布直方图对总体情况作出估计，有时也利用频率分布折线图和茎叶图对总体情况作出估计.直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式，这样根据样本的频率分布，我们可以大致估计出总体的分布.但是，当总体的个体数较多时，所需抽样的样本容量也不能太小，随着样本容量的增加，频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条曲线为总体密度曲线，它能给我们提供更加精细的信息.在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始信息，而且可以随时记录，这给数据的记录和表示都能带来方便.
　如下表所示给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料.(单位：cm)
区间界限
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
人数
5
8
10
22
33
区间界限
[142,146)
[146,150)
[150,154)
[154,158]
人数
20
11
6
5
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计身高低于134
cm的人数占总人数的百分比.
【精彩点拨】　(1)根据频数计算出频率.分“分组
”、“频数”、“频率”三列，列出频率分布表.
(2)根据频率分布表画出频率分布直方图.
(3)根据频率分布表计算出身高低于134
cm的频率.
【规范解答】　(1)样本的频率分布表：
分组
频数
频率
[122,126)
5
0.04
[126,130)
8
0.07
[130,134)
10
0.08
[134,138)
22
0.18
[138,142)
33
0.28
[142,146)
20
0.17
[146,150)
11
0.09
[150,154)
6
0.05
[154,158]
5
0.04
合计
120
1.00
(2)画出频率分布直方图，如下图所示：
(3)因为样本中身高低于134
cm的人数的频率为＝≈0.19，所以估计身高低于134
cm的人数约占总人数的19%.
[再练一题]
2.为了了解某校高一学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高一学生的视力情况，得到频率分布直方图如图2 1，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为(　　)
图2 1
A.64　　
B.54　　　
C.48　　
D.27
【解析】　[4.7,4.8)之间频率为0.32，[4.6,4.7)之间频率为1－0.62－0.05－0.11＝1－0.78＝0.22.
∴a＝(0.22＋0.32)×100＝54.
【答案】　B
用样本的数字特征估计总体的数字特征
样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括平均数、众数、中位数；另一类是反映样本数据的波动大小，包括样本方差及标准差.通常，在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定.
　甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图2 2所示：
图2 2
(1)求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差；
(2)比较两名同学的成绩，谈谈你的看法.
【精彩点拨】　(1)利用茎叶图中的数据计算平均数、标准差.
(2)从平均数和方差两方面比较两人的成绩.
【规范解答】　甲＝(65＋70＋80＋86＋89＋95＋91＋94＋107＋113)＝89.
s＝[(65－89)2＋(70－89)2＋(80－89)2＋(86－89)2＋(89－89)2＋(95－89)2＋(91－89)2＋(94－89)2＋(107－89)2＋(113－89)2]＝199.2，
∴s甲≈14.1.
乙＝(79＋86＋83＋88＋93＋99＋98＋98＋102＋114)＝94.
s＝[(79－94)2＋(86－94)2＋(83－94)2＋(88－94)2＋(93－94)2＋(99－94)2＋(98－94)2＋(98－94)2＋(102－94)2＋(114－94)2]＝96.8.
∴s乙≈9.8.
∴甲＜乙且s甲＞s乙.
∴乙同学的平均成绩较高且标准差较小；
说明乙同学比甲同学的成绩扎实，稳定.
[再练一题]
3.对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲
60
80
70
90
70
乙
80
60
70
80
75
问：甲、乙谁的平均成绩好？谁的各门功课发展较平衡？
【解】　甲的平均成绩为甲＝74，乙的平均成绩为乙＝73.所以甲的平均成绩好.
甲的方差是s＝(142＋62＋42＋162＋42)＝104，乙的方差是s＝×(72＋132＋32＋72＋22)＝56.
因为s＞s，所以乙的各门功课发展较平衡.
回归直线的方程
分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘法求出回归方程.从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系.如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，直线的方程叫做回归方程.
求回归方程的步骤：
(1)先把数据制成表，从表中计算出i，i，，iyi；
(2)计算回归系数，；
(3)写出回归方程＝bx＋a.
　下表数据是退水温度x(℃)对黄酮延长性y(%)效应的试验结果，y是以延长性计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关.
x(℃)
300
400
500
600
700
800
y(%)
40
50
55
60
67
70
(1)画出散点图；
(2)指出x，y是否线性相关；
(3)若线性相关，求y关于x的回归方程；
(4)估计退水温度是1
000
℃时，黄酮延长性的情况.
【精彩点拨】　先画出散点图，确定y与x之间是否线性相关，再根据求回归直线方程的步骤求出回归直线方程，最后根据回归方程确定黄酮延长性的情况.
【规范解答】　(1)散点图如图：
(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y与x线性相关.
(3)列出下表并用科学计算器进行有关计算.
i
1
2
3
4
5
6
xi
300
400
500
600
700
800
yi
40
50
55
60
67
70
xiyi
12
000
20
000
27
500
36
000
46
900
56
000
x
90
000
160
000
250
000
360
000
490
000
640
000
＝550，＝57，x＝1
990
000，xiyi＝198
400
于是可得
＝eq
\f(\o(∑,\s\up6(6))\o(
,\s\do4(i＝1))xiyi－6\x\to(x),x－62)＝≈0.058
86，
＝－＝57－0.058
86×550＝24.627.
因此所求的回归直线的方程为：
＝0.058
86x＋24.627.
(4)将x＝1
000代入回归方程得
＝0.058
86×1
000＋24.627＝83.487，
即退水温度是1
000
℃时，
黄酮延长性大约是83.487%.
[再练一题]
4.有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：
平均气温(℃)
－2
－3
－5
－6
销售额(万元)
20
23
27
30
根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间的线性回归方程＝bx＋a的系数＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品的销售额为(　　)
A.34.6万元　　　　　
B.35.6万元
C.36.6万元
D.37.6万元
【解析】　＝＝－4，
＝＝25，
所以25＝(－2.4)×(－4)＋a.
所以＝15.4.
所以回归直线方程为＝－2.4x＋15.4.
当x＝－8时，y＝34.6，即预测平均气温为－8℃时，该商品的销售额为34.6万元.故选A.
【答案】　A
数形结合思想
数形结合思想在本章中的重要应用是通过频率分布的态势对总体进行估计及根据散点图确定两个变量是否具有相关关系，并做出判断.
统计图表(频率分布直方图、茎叶图)与数字特征(平均数、中位数、方差)是高考的重点和热点内容，几乎每年必考，通常以茎叶图和频率分布直方图为载体，考查平均数、中位数、方差等的计算，高考对变量间的相关性的考查呈逐年上升的趋势，主要考查借助散点图直观地分析两个变量间的相关关系，知道回归直线经过样本中心，会求回归方程，并能利用方程对有关变量作出估计.
　为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00～10：00间各自的点击量，得如图2 3所示的茎叶图，根据茎叶图求：
图2 3
(1)甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？
(2)甲网站点击量在[10,40]间的频率是多少？
(3)观察茎叶图，估计甲、乙两个网站哪个更受欢迎，并说明理由.
【精彩点拨】　茎叶图的比较可以观察茎叶图中反映的信息，通过极差可以粗略判断分散集中程度.
【规范解答】　(1)根据茎叶图，得甲网站的点击量的最大值是73，最小值是8，乙网站的点击量的最大值是71，最小值是5，则甲网站的极差为73－8＝65，乙网站的极差为71－5＝66.
(2)观察茎叶图，得甲网站点击量在[10,40]间的有20,24,25,38，共4个，所以甲网站点击量在[10,40]间的频率为＝.
(3)观察茎叶图，得甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎.
[再练一题]
5.从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图2 4所示).设甲、乙两组数据的平均数分别为甲、乙，中位数分别为m甲、m乙，则下列关系中正确的是________(填序号).
图2 4
①甲<乙，m甲>m乙；　　②甲<乙，m甲③甲>乙，m甲>m乙；
④甲>乙，m甲【解析】　由茎叶图m甲＝＝20，m乙＝＝29.
∴m甲＜m乙.
甲＝(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝，
乙＝(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝.
∴甲<乙.
【答案】　②
1.(2015·全国卷Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是(　　)
图2 5
A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【解析】　依据给出的柱形图，逐项验证.
对于A选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正确.对于B选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B正确.对于C选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确.由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D.
【答案】　D
2.(2016·山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图2 6所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(　　)
图2 6
A.56　　　　　
B.60
C.120
D.140
【解析】　由直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，则每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140.故选D.
【答案】　D
3.(2015·全国卷Ⅱ节选)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
图2 7①
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
2
8
14
10
6
在图2 7②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
图2 7②
【解】　如图所示.
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散.
4.(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
图2 8
表中wi＝，w]＝wi.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝
【解】　(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程.
由于＝＝＝68，
＝－
＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，
因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.
5.(2016·四川高考)我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图2 9所示的频率分布直方图.
图2 9
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由.
【思路方法】　(1)根据所有小矩形面积的和为1求a的值；(2)由频率分布直方图求出100位居民每人的月均用水量不低于3吨对应的频率，由频数＝总体容量×频率进行估计；(3)先计算前几个小矩形的面积，确定0.85所在的组，再估计x的值.
【解】　(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.
由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，
解得a＝0.30.
(2)由(1)，知100位居民每人的月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300
000×0.12＝36
000.
(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x<3.由0.30×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.
所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.
6.(2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125)
频数
6
26
38
22
8
(1)作出这些数据的频率分布直方图；
图2 10
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
【解】　(1)
(2)质量指标值的样本平均数为＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.
7.(2014·全国卷Ⅱ)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表示市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：
(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；
(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.
【解】　(1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.
50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.
(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为＝0.1，＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.
(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大.(注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分.)1.2.3　循环语句
1.理解循环语句的两种格式及功能.(重点)
2.会应用条件语句和循环语句编写程序.(难点)
3.掌握两种循环语句的使用条件.(易混点)
[基础·初探]
教材整理　循环语句
阅读教材P22～P24“例2”以上部分，完成下列问题.
1.循环语句的概念：
用来处理算法中的循环结构的语句.
2.在Scilab语言中，for循环和while循环的格式.
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在for循环语句中，循环变量的值与终值比较.(　　)
(2)while语句是先判断条件，后执行循环体.(　　)
(3)在for循环语句中，结果为真时终止循环，结果为假时执行循环体.(　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×
2.下面程序的作用是(　　)
A.求1＋3＋…＋9＋11
B.求1＋2＋3＋…＋10
C.求1×3×5×…×11
D.求1×2×3×4×…×10
【解析】　i的初值为1，sum的初值为0，步长为1.程序的处理过程为：第1轮的结果为：sum＝0＋1＝1，i＝1＋1＝2；第2轮的结果为sum＝1＋2，i＝2＋1＝3；第3轮的结果为：sum＝1＋2＋3，i＝3＋1＝4；…；第10轮(最后一轮)的结果为：sum＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10，i＝10＋1＝11.i＝11>10，跳出循环.故选B.
【答案】　B
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
for循环语句的应用
　画出计算12＋32＋52＋…＋9992的程序框图，并写出程序.
【精彩点拨】　根据累加的特点，用循环结构，然后用for循环语句编写.
【尝试解答】　由题意知各项指数相同，底数相差2，可以借助于循环设计算法.
①程序框图：
②程序为：
1.for循环语句的格式：
2.根据for语句中所给定的初值、终值和步长，来确定循环次数，反复执行循环体内各语句.
3.执行过程：通过for语句进入循环，将初值赋给循环变量，当循环变量的值不超过终值时，则顺序执行循环体内的各个语句，遇到end，将循环变量增加一个步长的值，再与终值比较，如果仍不超过终值范围，则再次执行循环体，这样重复执行，直到循环变量的值超过终值，则跳出循环.
[再练一题]
1.
用for循环语句写出求1＋＋＋…＋的值的计算程序.
【导学号：25440018】
【解】　
while循环语句的应用
　编写程序求2×4×6×…×100的值.
【精彩点拨】　可用while循环语句编写，循环的条件是累乘变量小于等于100.
【尝试解答】　程序框图如下：
程序如下：
1.计算机执行while型循环语句时，先判断条件的真假，若条件为真，执行循环体，若为假则退出.这是确定是否应用while型语句的关键.
2.while型循环语句中while和end成对出现.
3.判断条件往往是控制循环次数的变量.
[再练一题]
2.写出求平方值小于1
000的最大整数的计算程序.
【解】　用Scilab的格式来解决这个问题.
在输入完程序的第二行后，击Enter键，再在提示符下输入j，击Enter键后，输出最大的j值.
循环语句的实际应用
　一球从100
m高度落下，每次落地后反跳回原高度的一半，再落下.在第10次落地时，共经过多少路程？第10次下落多高？
【精彩点拨】　可用for语句编写，注意循环终止的条件.
【尝试解答】　算法分析：
第1次下落的高度h1＝100；
第2次下落的高度h2＝＝50；
……
第10次下落的高度h10＝.
得到递推公式为h1＝100，hn＋1＝，n＝1,2，…，9.
到第10次落地时，共经过了h1＋2h2＋…＋2h10
(m).
由以上分析，可写出Scilab程序如下：
运行该程序后，输出结果为
S＝299.609
38，
h＝0.195
312
5.
利用循环语句编写程序解决实际应用问题的步骤：
(1)审清题意；(2)建立数学模型；(3)设计算法分析解决解决数学问题；(4)编写程序.
[再练一题]
3.某玩具厂2015年的产值为200万元，如果年生产增长率为5%，计算最早哪一年生产总值超过400万元，画出程序框图，并写出程序.
【解】　程序框图如图所示：
程序如下：
[探究共研型]
两种循环语句的辨析
探究1　两种循环语句有哪些联系？
【提示】　两种语句都可以实现计算机反复执行循环体的目的，只是表达形式不同，一般地while语句和for语句可以相互转化.
探究2　两种循环语句执行循环体的顺序相同吗？
【提示】　两种循环语句执行循环体的顺序不同.在for循环语句中，循环变量的值和终值比较，结果为真时执行循环体，结果为假时，停止循环.在while循环语句中，当表达式的结果为真时执行循环体；结果为假时，停止循环.
探究3　在两种循环语句中，循环体执行的次数相同吗？
【提示】　在两种循环语句中，循环体执行的次数是不同的，由于for语句是先执行循环体再判断条件，因此，任何一个for语句中，循环体至少要执行一次，直到满足条件为止；而while语句是先判断条件，因此，循环体可能一次也不执行就退出循环体.
　分别用for，while语句设计计算＋＋＋…＋的值的程序.
【解】　用for语句
若已知循环次数，则循环语句可选择for语句，也可选择while语句；若不知循环次数，则应选择while语句.
[再练一题]
4.计算1＋2＋3＋…＋100的值又有如下算法：
S1　令i＝1，S＝0.
S2　若i≤100成立，则执行S3；否则，输出S，结束算法.
S3　S＝S＋i.
S4　i＝i＋1，返回S2.
请利用while语句写出这个算法对应的程序.
【解】　
[构建·体系]
1.
关于循环语句的说法不正确的是(　　)
A.算法中的循环结构由while语句来实现
B.循环语句中有for语句和while语句
C.一般来说for语句和while语句可以互相转换
D.算法中的循环结构由循环语句来实现
【解析】　算法中的循环结构由循环语句来实现，循环语句包括for语句和while语句两种不同的格式，且一般情况下这两种语句可以相互转换.所以选项A是错误的，其余都正确.
【答案】　A
2.
下面程序输出的结果为(　　)
A.17　
B.19　　
C.21　
D.23
【解析】　S＝2×9＋3＝21.
【答案】　C
3.有以下程序段，其中描述正确的是(　　)
A.while循环执行10次
B.循环体是无限循环
C.循环体语句一次也不执行
D.循环体语句只执行一次
【解析】　对于while语句条件为真，则执行循环体，而本题k＝8，不满足条件k＝0，所以循环体语句一次也不执行.
【答案】　C
4.(2016·陕西高一检测)下面是求1～1
000内所有偶数的和的程序，把程序框图补充完整，则(　　)
图1 2 2
A.①处为S＝S＋i，②处为i＝i＋1
B.①处为S＝S＋i，②处为i＝i＋2
C.①处为i＝i＋1，②处为S＝S＋i
D.①处为i＝i＋2，②处为S＝S＋i
【解析】　程序框图求的是1～1
000内所有偶数的和，故i步长为2，应有i＝i＋2，排除A、C；i初值为2，S应加的第一个偶数为2，而不是4，故语句S＝S＋i应在i＝i＋2的前面，排除D.
【答案】　B
5.设计一个计算1＋3＋5＋7＋…＋99的值的程序，并画出程序框图.
【导学号：25440019】
【解】　程序如下：
程序框图如图所示.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________2.1.3　分层抽样
2.1.4　数据的收集
1.理解并掌握分层抽样，会用分层抽样从总体中抽取样本.(重点)
2.了解三种抽样方法的联系和区别.(易混点)
3.掌握收集数据的方法.(重点)
[基础·初探]
教材整理1　分层抽样的概念
阅读教材P53，完成下列问题.
当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分层抽样实际上是按比例抽样.(　　)
(2)分层抽样中每个个体被抽到的可能性不一样.(　　)
(3)分层抽样中不能用简单随机抽样和系统抽样.(　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
2.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记作①；某学校高一年级有18名女排运动员，要从中选出4人调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是(　　)
A.①用简单随机抽样法，②用系统抽样法
B.①用分层抽样法，②用简单随机抽样法
C.①用系统抽样法，②用分层抽样法
D.①用分层抽样法，②用系统抽样法
【解析】　①因家庭收入不同其社会购买力也不同，宜用分层抽样的方法.②因总体个数较小，宜用简单随机抽样法.
【答案】　B
教材整理2　数据的收集
阅读教材P54～P56，完成下列问题.
数据收集的常用方式
下列问题符合调查问卷要求的是(　　)
A.你所购买的名牌产品，您认为该产品的知名度
□很好　□一般　□很低
B.你认为数学学习
□较容易　□较困难
C.你们班有几位大个子同学？________
D.你对我们厂生产的电视机
□满意　□不满意
【解析】　问卷调查的题目要避免一般性或不具体的问题，标准要明确，故A、C、D不符合.
【答案】　B
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
分层抽样的概念
　(1)
下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(　　)
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～100分，12人低于90分，现从中抽取12人了解有关情况
C.从1
000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
(2)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行(　　)
A.每层等可能抽样
B.每层可以不等可能抽样
C.所有层按同一抽样比等可能抽样
D.所有层抽个体数量相同
【精彩点拨】　当总体由差异明显的几部分组成时，该样本的抽取适合用分层抽样，结合(1)中的四个选项及分层抽样的特点可对(1)(2)作出判断.
【尝试解答】　(1)
A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样.
(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取.
【答案】　(1)B　(2)C
1.使用分层抽样的前提：
分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小.
2.使用分层抽样应遵循的原则：
(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.
[再练一题]
1.某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是(　　)
A.抽签法　　　
B.随机数法
C.系统抽样法
D.分层抽样法
【解析】　由于被抽取的个体属性有明显的差异，因此宜采用分层抽样法.
【答案】　D
分层抽样的方案设计
　某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人.上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作.
【导学号：25440030】
【精彩点拨】　→→→→→
【尝试解答】　因机构改革关系到每个人的不同利益，故采用分层抽样方法较妥.
∵＝5，
∴＝2，＝14，＝4.
∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人.
因副处级以上干部与工人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人进行00,01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人.这样便得到了一个容量为20的样本.
1.在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N.
2.分层后，各层的个体较多时，可采用系统抽样或简单随机抽样取出各层中的个体，一定要注意按比例抽取.
[再练一题]
2.某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1
200辆，6
000辆和2
000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取________辆、________辆、________辆.
【解析】　三种型号的轿车共9
200辆，抽取样本为46辆，则按＝的比例抽样，所以依次应抽取1
200×＝6(辆)，6
000×＝30(辆)，2
000×＝10(辆).
【答案】　6　30　10
数据的收集
　请设计一个测量某单位职工身高的试验.
【精彩点拨】　(1)做好试验前准备工作；(2)组织好测量；(3)整理数据.
【尝试解答】　试验前准备工作：
①准备好试验器材，如：测量仪、记录数据的表格(附表).
②测量人员安排，为了使试验数据较准确，需多次测量求其平均值，比如安排三个小组测量.
③组织好观测对象——某单位全体职工，可先分成几个小组(如3个小组)，每组安排一个组长负责具体组织协调.
试验操作步骤如下：
S1　布置身高测量仪三架；
S2　安排负责仪器的人两个，一个测量，一个记录；
S3　组织职工按预先分成的小组排队依次测量，在一个机器前测量完后，换另一架机器，每人测量三次，将所测数据填入附表；
S4　整理数据，用求平均值的方法算出每位职工身高.
附表：
1.收集数据时的注意点：
(1)必须清楚地知道要收集的数据是什么；
(2)抽样的目的是为了了解总体的情况；
(3)高质量的样本数据来自“搅拌均匀”的总体.
2.收集数据的方式有：做试验、查阅资料、设计调查问卷等.
[再练一题]
3.请设计一份问卷(包括阅读时间，书的类型、来源和阅读课外书和学习的关系)调查你们班同学阅读课外书的情况.
【解】　调查问卷设计如下：
姓名：________，所在班级：________.
请回答下列问题：
1.你一般在什么时间阅读课外书？(　　)
A.每天课间
B.每天放学回家后
C.周末或假期
D.老师安排的阅读课上
2.你喜欢读的课外书有(　　)
A.散文
B.报告文学　
C.小说
D.所学功课的辅导资料　E.其他
3.你的课外书的来源是(　　)
A.同学介绍的
B.老师推荐的
C.在书店中偶然发现的
D.家长推荐的
E.你宣传资料上看到的
4.你认为课外阅读和学习的关系是(　　)
A.能促进学习
B.与学习没多大关系
C.妨碍学习
[探究共研型]
分层抽样的特点
探究1　分层抽样的特点有哪些？
【提示】　(1)分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的；
(2)分成的各层互不交叉；
(3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量.
探究2　计算各层所抽取个体的个数时，若Ni·的值不是整数怎么办？
【提示】　为获取各层的入样数目，需先正确计算出抽样比，若Ni·的值不是整数，可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多余的个体.
探究3　分层抽样公平吗？
【提示】　分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无关.
如果总体的个数为N，样本容量为n，Ni为第i层的个体数，则第i层抽取的个体数ni＝n·，每个个体被抽到的可能性是＝·n·＝.
三种抽样方法的特点和适用范围
探究4　简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的各自特点及适用范围有什么异同？
【提示】　简单随机抽样是最基本的抽样方法，应用于系统抽样和分层抽样中.简单随机抽样所得样本的代表性与个体编号无关.
系统抽样容易实施，可节约抽样成本.系统抽样所得样本的代表性与个体编号有关，如果个体随编号呈现某种特征，所得样本代表性很差.
分层抽样应用最广泛，它充分利用总体信息，得到的样本比前两种抽样方法都具有代表性.
三种抽样方法的特点及其适用范围如下表：
类别
简单随机抽样
系统抽样
分层抽样
各自特点
从总体中逐个抽取
将总体均分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取
将总体分成几层，分层进行抽取
相互联系
在起始部分采用简单随机抽样
在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
适用范围
总体中的个体数较少
总体中的个体数较多
总体由存在明显差异的几部分组成
共同点
①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；②每次抽出个体后不再放回，即不放回抽样
　选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程.
(1)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个；
(2)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个；
(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个；
(4)有甲厂生产的300个篮球，抽取30个.
【精彩点拨】　应结合三种抽样方法的使用范围和实际情况灵活使用各种抽样方法解决问题.
【尝试解答】　(1)总体容量较小，用抽签法.
①将30个篮球编号，编号为00,01，…，29；
②将以上30个编号分别写在完全一样的小纸条上，揉成小球，制成号签；
③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌；
④从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；
⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本.
(2)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样.
①确定抽取个数.因为＝3，所以甲厂生产的应抽取＝7(个)，乙厂生产的应抽取＝3(个)；
②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个，这些篮球便组成了我们要抽取的样本.
(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法.
①将300个篮球用随机方式编号，编号为001,002，…，300；
②在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如第8行第29列的数“9”开始.任选一个方向作为读数方向，比如向右读；
③从数“9”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，依次得到10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码.
(4)总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样.
①将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001,002，…，299，并分成30段，其中每一段包含＝10(个)个体；
②在第一段000,001,002，…，009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为起始号码；
③将编号为002,012,022，…，292的个体抽出，即可组成所要求的样本.
抽样方法的选取：
(1)若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层抽样；
(2)若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样或系统抽样.
当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时宜用随机数表法；当总体容量较大，样本容量也较大时宜用系统抽样；
(3)采用系统抽样时，当总体容量N能被样本容量n整除时，抽样间隔为k＝；当总体容量不能被样本容量整除时，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为k＝.
[再练一题]
4.下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？
(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；
(2)某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本；
(3)体育彩票000
001～100
000编号中，凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖.
【解】　
题号
判断
原因分析
(1)
抽签法
总体容量较小，宜用抽签法
(2)
分层抽样
由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，用分层抽样
(3)
系统抽样
总体容量大，样本容量较大，等距抽取，用系统抽样
1.下列实验中最适合用分层抽样法抽样的是(　　)
A.从一箱3
000个零件中抽取5个入样
B.从一箱3
000个零件中抽取600个入样
C.从一箱30个零件中抽取5个入样
D.从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样
【解析】　D中总体有明显差异，故用分层抽样.
【答案】　D
2.当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户，270户，180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为(　　)
【导学号：25440031】
A.40　　　　　　　　
B.30
C.20
D.36
【解析】　抽样比为＝，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×＝40，故选A.
【答案】　A
3.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为(　　)
A.7,5,8
B.9,5,6
C.7,5,9　
D.8,5,7
【解析】　由于样本容量与总体个体数之比为＝，故各年龄段抽取的人数依次为45×＝9(人)，25×＝5(人)，20－9－5＝6(人).
【答案】　B
4.某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3
000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类型
A
B
C
产品数量(件)
1
300
样本容量
130
由于不小心，表格中A、C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件.
【解析】　抽样比为130∶1
300＝1∶10，即每10个产品中抽取1个个体，又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，故C产品的数量是[(3
000－1
300)－100]×＝800(件).
【答案】　800
5.请设计一份关于中学生的课余活动情况的调查问卷.
【解】　调查问卷设计如下：
姓名：________　班级：________
年龄：________　性别：________
(1)你每天的课余时间约为(　　)
A.2小时
B.3小时
C.3小时以上
(2)你们的课余时间安排是(　　)
A.自由活动
B.组织安排
(3)你的主要娱乐方式是(　　)
A.踢足球
B.打篮球
C.打羽毛球
D.上网
E.其他
(4)你觉得课余活动时间(　　)
A.太少
B.适中
C.太多
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________
(2)_________________________________________________________