4.3运用公式法（1）教学设计
一、备课标
1.内容标准：能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。
2.核心概念：本节课通过整式乘法的平方差公式的逆向运用得出因式分解的平方差公式的过程，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，在此过程中，通过观察、类比等方法，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解，渗透数学的“互逆”、降幂的思想，感受数学知识的完整性。
十大核心概念在本节课中突出体现的是：符号意识、运算能力、应用意识、推理能力。
二、备重点、难点
1、教材分析：
本节课是八下第四章《因式分解》的第三节课《公式法》的第1课时，属于“数与代数”领域中的“数与式”。在前几课时，学生了解了对因式分解的概念的理解，学会了用提取公因式法因式分解，本节课通过整式乘法的平方差公式的逆向运用得出因式分解的平方差公式的过程，让学生进一步加深对分解因式与整式的乘法运算之间互逆关系的理解，并会用平方差公式进行因式分解,为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。所以本课时的重点是用平方差公式分解因式，难点是综合应用提取公因式法与平方差公式法对一些比较复杂的多项式进行因式分解。
2、重点、难点分析
本节课是对平方差公式的再认识，通过整式乘法的逆向变形得到进行因式分解的方法，让学生进一步感受整式乘法与因式分解互为逆变形的关系。用平方差公式因式分解的关键在于学生能否正确地把多项式看成两个数或式的平方差。因此确定：
重点：掌握平方差公式的特点，会用此公式分解因式。
难点：综合应用提取公因式法与平方差公式法对一些比较复杂的多项式进行因式分解。
三、备学情
（一） 学习条件和起点能力分析：
1、学习条件分析
（1）必要条件：学生在前几节课的基础上，已经了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式.
（2）支持性条件：通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础。
2、起点能力分析
学生会用平方差公式进行整式乘法运算，会用提公因式法分解因式。
（二）学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：
本节课采用的活动是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，基于学生较好的知识基础．多数学生对于只用平方差公式直接分解的多项式能够顺利解决，而对于含有公因式的多项式会有困难；对于需要连续两次用平方差公式分解的多项式易出现分解不彻底的错误。针对这一问题采取的策略：分析平方差公式的特点，进一步让学生理解平方差公式中的a、b不仅可以表示具体的数，而且可以表示其它代数式（注意使用整体方法进行教学），只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。同时让学生明白分解因式的结果必须彻底，要分解到不能再分解为止。总结分解因式的一般步骤：一提二套三检查。
三、教学目标：
1、经历通过整式乘法公式（a＋b）（a－b）=a2－b2的逆变形得出公式法因式分解的平方差公式的过程。
2、会用平方差公式a2－b2=（a＋b）（a－b）分解因式，理解公式中a、b不仅表示具体的数，还可以表示其他代数式。
3、会用提公因式法和平方差公式法进行因式分解，掌握因式分解的基本步骤。
4、体会用符号表示公式的意义，形成初步的符号感，培养应用意识，发展逆向思维和推理能力。
六、教学过程
（一）构建动场
活动一：复习回顾，探究新知
计算： （1）（x+5）（x–5） = ；
（2）（3x+y）（3x–y）= ；
（3）（3m+2n）（3m–2n）= ．
它们的结果有什么共同特征？
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：
活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．
注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．
（二）：自主学习，合作交流
活动二：观察、比较、归纳
整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。
说一说 找公式特征
(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成
（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边:（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
设计意图：在老师的指导下，完善学生对公式特征的相关描述并得出结论。同时要求学生对于不能利用平方差公式进行分解因式的式子给出相应的解释。
活动三：学以致用
1、下列各式能用平方差公式a2－b2=（a＋b）（a－b）分解因式吗？
公式中的a、b分别表示什么？
（1）x2－1 （2）m2－9 （3）x2－4y2
例1、把下列各式分解因式
（1）16a2－1 （2）－m2n2+4p2
（3）9a2－b2 （4）
跟踪练习
1、下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？说说你的理由
（1）4x2+y2 （2）4x2－（－y）2 （3）－4x2－y2
（4）－4x2+y2 （5）a2－4 （6）a2+3
2、练一练
分解因式：（1）25x2－4 （2）121－4a2b2 （3）－+4x2 （4）x2－9
活动四：综合应用
例2、把下列各式分解因式
（1）4x3y－9xy3 （2）27a3bc－3ab3c （3）
建模：多项式中若含有公因式，要先提出公因式，再用公式法分解，直至不能再分解为止。
跟踪练习：（1） （2） （3）
（4） （5）
例3、把下列各式分解因式
（1） a4－1 （2） （3）
跟踪练习：（1） （2） （3） （4）
例4、把下列各式分解因式
（1）（2n+1）2－（2n－1）2 （2）
建模：要分解的多项式是两个二项式的平方差，分解后的因式往往要经过去括号、合并同类项等化简整理的过程，最后还要检查分解是否彻底。
跟踪练习：（1） （2） （3）
问题解决：如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是R cm和r cm，求它们所围成的环形的面积。如果R=8.45cm,r=3.45cm呢？
（三）综合建模：
1、今天这节课你学会了什么？
2、在学习过程中你有哪些收获？
当堂检测
1．判断：下列各式能不能写成平方差的形式(能画“√”，并分解，不能的画“×”)
（1）x2＋64 （ ）； （2）－x2－4y2 （ ）
（3）9x2－16y4 （ ）； （4）－x6＋9n2 （ ）
（5）－9x2－(－y)2 （ ）； （6）－9x2＋(－y)2 （ ）
（7）(－9x)2－y2 （ ）； （8）(－9x)2－(－y)2 ( )
2.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 （ ）
A. B. C. D.
3. (x＋1)2－y2分解因式应是（ ）
A. (x＋1－y)(x＋1＋y) B. (x＋1＋y)(x－1＋y)
C. (x＋1－y)(x－1－y) D. (x＋1＋y)(x－1－y)
4.填空（把下列各式因式分解）
(1)=____________ (2)_______________
(3) =____________ (4)=______________
5、把下列各式分解因式：
（1） 36－x2 （2） a2－b2 （3） x2－16y2
x2y2－z2 （5） (x+2)2－9 （6）
布置作业：
必做：课本100页知识技能 第2题
选作：(1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)
4.3运用公式法（1）教材分析
本节课是八下第四章《因式分解》的第三节课《公式法》的第1课时，属于“数与代数”领域中的“数与式”。在前几课时，学生了解了对因式分解的概念的理解，学会了用提取公因式法因式分解，本节课通过整式乘法的平方差公式的逆向运用得出因式分解的平方差公式的过程，让学生进一步加深对分解因式与整式的乘法运算之间互逆关系的理解，并会用平方差公式进行因式分解,为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。所以本课时的重点是用平方差公式分解因式，难点是综合应用提取公因式法与平方差公式法对一些比较复杂的多项式进行因式分解。
本节课是对平方差公式的再认识，通过整式乘法的逆向变形得到进行因式分解的方法，让学生进一步感受整式乘法与因式分解互为逆变形的关系。用平方差公式因式分解的关键在于学生能否正确地把多项式看成两个数或式的平方差。因此确定：
重点：掌握平方差公式的特点，会用此公式分解因式。
难点：综合应用提取公因式法与平方差公式法对一些比较复杂的多项式进行因式分解。
4.3运用公式法（1）评测练习
1．判断：下列各式能不能写成平方差的形式(能画“√”，并分解，不能的画“×”)
（1）x2＋64 （ ）； （2）－x2－4y2 （ ）
（3）9x2－16y4 （ ）； （4）－x6＋9n2 （ ）
（5）－9x2－(－y)2 （ ）； （6）－9x2＋(－y)2 （ ）
（7）(－9x)2－y2 （ ）； （8）(－9x)2－(－y)2 ( )
2.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 （ ）
A. B. C. D.
3. (x＋1)2－y2分解因式应是（ ）
A. (x＋1－y)(x＋1＋y) B. (x＋1＋y)(x－1＋y)
C. (x＋1－y)(x－1－y) D. (x＋1＋y)(x－1－y)
4.填空（把下列各式因式分解）
(1)=____________ (2)_______________
(3) =____________ (4)=______________
5、把下列各式分解因式：
（1） 36－x2 （2） a2－b2 （3） x2－16y2
x2y2－z2 （5） (x+2)2－9 （6）
课件24张PPT。第四章 因式分解3 公式法（一）
填空：
（1）（x+5）（x-5） = ；
（2）（3x+y）（3x-y）= ；
（3）（3m+2n）（3m–2n）= ．
它们的结果有什么共同特征？复习回顾 尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积： （x+5）（x-5）
（3x+y）（3x-y）
（3m+2n）（3m–2n）
2、动手做一做：把如图卡纸剪开，拼成一张长方形卡纸，作为一幅精美剪纸衬底，怎么剪？你能给出数学解释吗？aS1=因式分解整式乘法探究新知谈谈你的感受。整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。(2) 公式右边:（是分解因式的结果）★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。说一说 找特征 下列各式能用平方差公式 a2－b2=（a＋b）（a－b） 分解因式吗？a、b分别表示什么？ 把下列各式分解因式（1）x2－1
（2）m2－9
（3）x2－4y2例1（1）16a2－1
1、下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？如果能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。(1) m2 －81(2) 1 －16b2(3) 4m2+9(4) a2x2 －25y 2(5) －x2 －25y2= m2 －92= 12－(4b)2不能转化为平方差形式＝ (ax)2 －(5y)2不能转化为平方差形式跟踪练习2、练一练分解因式1.判断正误：a2和b2的符号相反3、落实基础（ ）
（ ）
（ ）
（ ）√×××例2.分解因式：分解因式需“彻底”！跟踪练习方法：
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用平方差公式分解因式。
结论：
分解因式的一般步骤：一提二套
多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。例3、分解因式跟踪练习（1）
（2）
（3）
（4） 例4、分解下列因式跟踪练习结论：
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。数、单项式、
多项式数、单项式、
多项式自主小结 从今天的课程中，你学到了哪些知识？
掌握了哪些方法？ （1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；
（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；
（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；当堂测试1．判断：下列各式能不能写成平方差的形式(能画“√”，并分解，不能的画“×”)
（1）x2＋64（ ）；
（2）－x2－4y2 （ ）
（3）9x2－16y4 （ ）；
（4）－x6＋9n2 （ ）
（5）－9x2－(－y)2（ ）；
（6）－9x2＋(－y)2 （ ）
（7）(－9x)2－y2 （ ）；
（8）(－9x)2－(－y)2 ( ) 2.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
3. (x＋1)2－y2分解因式应是（ ）
(x＋1－y)(x＋1＋y) B. (x＋1＋y)(x－1＋y)
C. (x＋1－y)(x－1－y) D. (x＋1＋y)(x－1－y)
4.填空（把下列各式因式分解）
(1)=____________ (2)_______________
(3) =____________ (4)=______________
5、把下列各式分解因式：
（1） 36－x2 （2） a2－b2
（3） x2－16y2 （4）x2y2－z2
（5） (x+2)2－9 （6）
布置作业：
A组：习题4.4 1,2 随堂练习3。
B组：(1)习题4.4 3
(2)计算
4.3运用公式法（1）课后反思
因式分解这部分的内容是八年级数学第一学期重难点，虽然应用的公式只是三条，但要灵活应用于解题却不容易，所以我在制定这一章书的教学计划时就对教材的教学顺序作出了一些调整。因式分解的公式是乘法公式的逆运算，所以我将因式分解提前学，在学会乘法公式后暂时略过整式的除法直接学习因式分解，我认为这样调整后可以加强公式的熟练使用；另一方面我加强乘法公式的练习巩固，在没有学习因式分解之前，先针对平方差公式以及完全平方公式的应用及逆用作了一个专题训练。在学习因式分解的这个专题训练的效果是不错的，因为平方差公式以及完全平方公式都是刚刚学习且应用较多的公式。作好这些准备工作之后，便开始学习因式分解。正式提出因式分解的定义的时候，同学们都一副明了的表情。而我也强调的就是因式分解与乘法公式是相反方向的变形，并且在练习中一再将公式罗列出来。然后讲授提公因式法、公式法（包括平方差、完全平方公式），讲课的时候是一个公式一节课，先分解公式符合条件的形式再练习，主要是以练习为重。讲课的过程是非常顺利的，这令我以为学生的掌握程度还好。讲完因式分解的新课，我随堂出了一些综合性的练习题，才发现效果是不太好的。他们只是看到很表层的东西，而对于较为复杂的式子，却无从下手。 课后，我总结的原因有以下四点：１、思想上不重视，因为对于公式的互换觉得太简单，只是将它作为一个简单的内容来看，所以课后没有以足够的练习来巩固。２、在学习过程中太过于强调形式，反而如何创造条件来满足条件忽略了。导致他们对于与公式相同或者相似的式子比较熟悉而需要转化的或者多种公式混合使用的式子就难以入手。３、灵活运用公式（特别与幂的运算性质相结合的公式）的能力较差。４、因式分解没有先想提公因式的习惯，在结果也没有注意是否进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，比如最简单的将ａ3－a提公因式后应用平方差公式，但很多同学都是只化到a(ａ2－１)而没有化到最后结果a(a＋１)(a－１)。 因式分解是一个重要的内容，也是难点，我认为我对教材内容的调整是比较适合的，但是我忽略了学生的接受能力，也没有注意到计算题在练习方面的巩固及题型的多样化。在以后的教学中应该更多结合学生的学习情况去调整教学进度，多发现学生在学习方面的优势和不足之处。
