4.3运用公式法（1）教学设计
一、备课标
1.内容标准：能用能用提供因式法、公式法（直接利用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。 2·1·c·n·j·y
2.数学思想方法（核心概念）：本节课通过整式乘法的平方差公式的逆向运用得出因式分解的平方差公式的过程，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，在此过程中，通过观察、类比等方法，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解，渗透数学的“互逆”、降幂的思想，感受数学知识的完整性．21·世纪*教育网
十大核心概念在本节课中突出培养的是学生的符号意识、应用意识、运算能力、推理能力。
二、备重点、难点
1、教材分析：
本节课是八下第四章《因式分解》的第三节课《公式法》的第1课时，属于“数与代数”领域中的“数与式”。在前一课时，学生加深了对因式分解的概念的理解，学会了用提取公因式法因式分解，本节课通过整式乘法的平方差公式的逆向运用得出因式分解的平方差公式的过程，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，并会用平方差公式进行因式分解,同时让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。所以本课时的重点用平方差公式分解因式，难点是综合应用提取公因式法与平方差公式法对一些比较复杂的多项式进行因式分解。21*cnjy*com
2、重点、难点分析
本节课是对平方差公式的再认识，通过整式乘法的逆向变形得到进行因式分解的方法，让学生进一步感受整式乘法与因式分解是互为逆变形的关系。用平方差公式因式分解的关键在于学生能否正确地把多项式看成两个数或式的平方差。因此确定：
重点：1、掌握平方差公式的特点及运用此公式分解因式。
2、发展学生的观察能力与逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解，渗透数学的“互逆”、降幂的思想，感受数学知识的完整性．21教育网
难点：正确地把多项式看成两个数或式的平方差。
三、备学情
（一） 学习条件和起点能力分析：
1、学习条件分析
（1）必要条件：学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式.
（2）支持性条件：整式乘法与因式分解的互逆关系，类比提供因式法进行因式分解。
2、起点能力分析
(1)学生会用平方差公式进行整式乘法运算
（2）学生会用提公因式法分解因式
（二）学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：
通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验．普遍存在的问题：多数学生对于只用平方差分解的式子能够顺利的做出来，而对于1.含有公因式的多项式有点困难，需要指点； 3对于连续两次用平方差公式的多项式分解应该是分解不彻底。针对这一问题采取的策略：进一步让学生理解平方差公式中的a、b不仅可以表示具体的数，而且可以表示其它代数式（注意使用整体方法进行教学），只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。同时让学生明白分解因式的结果必须彻底。总结分解因式的一般步骤：一提二套，多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。www.21-cn-jy.com
三、教学目标：
1、认识a2－b2=（a＋b）（a－b）与（a＋b）（a－b）=a2－b2之间区别联系，经历平方差公式的产生过程，会用公式a2－b2=（a＋b）（a－b）分解因式【来源：21CNJ*Y.CO*M】
2、会用平方差公式进行因式分解，能做与例1难度相当的题目；
3、灵活运用提公因式法和平方差公式法进行因式分解，能做与例2难度相当的题目；
4、体会整体换元（整体）思想，用符号表示公式的意义，形成初步的符号感，培养应用意识，发展推理能力，提高运算能力。www-2-1-cnjy-com
六、教学过程
（一）构建动场
活动一：复习回顾，探究新知
（1）（x+5）（x–5） = ；
（2）（3x+y）（3x–y）= ；
（3）（3m+2n）（3m–2n）= ．
它们的结果有什么共同特征？
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：
活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．21世纪教育网版权所有
注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．21·cn·jy·com
（二）、自主学习，合作交流
活动二、动手做一做：把如图卡纸剪开，拼成一张长方形卡纸，作为一幅精美剪纸衬底，怎么剪？你能给出数学解释吗？【出处：21教育名师】
这个图形的剪拼在整式的乘法中学生已经接触过了，比较容易，估计学生能剪拼成功，可能得到以下两条公式a2－b2=（a＋b）（a－b） 与（a＋b）（a－b）=a2－b2
活动目的：通过动手剪拼，发展学生的应用意识，从数形结合的角度进一步理解平方差公式。
换一换：请你把公式中的字母a,b换成你喜欢的整式，以小组为单位组内互相出题练一练
活动目的：通过活动，加深学生对正确理解多项式如何看成两个数或式的平方差。让一些学生把题目写到黑板上，为找公式特征做好铺垫。21教育名师原创作品
注意事项：可能有的学生会找不到合适的整式去代替，教师应予以指导。
说一说 找公式特征
(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成
（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边:（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
设计意图：在老师的指导下，完善学生对公式特征的相关描述并得出结论。同时要求学生对于不能利用平方差公式进行分解因式的式子给出相应的解释。【版权所有：21教育】
巩固基础： 1、下列各式能用平方差公式分解因式吗？
设计意图：对公式特征理解的应用
练一练：（1）
设计意图：对每一题都提问a、b分别表示什么？让学生经历这过程后，能充分体验到a、b可以是单项式，也可以是多项式。21cnjy.com
活动三：综合应用
例2、把下列各式分解因式
（1）
建模一：要分解的多项式是两个二项式的平方差，分解后的因式往往要经过去括号、合并同类项等化简整理的过程，最后还要检查分解是否彻底。【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪练习
（1） （2）
注意：关注学生的完成情况，对出现的问题及时纠正，反馈
例3：（1）
建模二：多项式中若含有公因式，要先提出公因式，再用公式法分解，直至不能再分解为止。
跟踪练习
（1） （2）
（三）综合建模：
1、同学们，今天这节课你学会了什么？
2、在学习过程中你有哪些收获？还有什么疑问？
学生先说说自己的收获，老师再总结补充因式分解的平方差公式以及因式分解的步骤，需要注意的方面。
（四）当堂检测
1．判断：下列各式能不能写成平方差的形式(能画“√”，并分解，不能的画“×”)
（1）x2＋64 （ ）； （2）－x2－4y2 （ ）
（3）9x2－16y4 （ ）； （4）－x6＋9n2 （ ）
2. (x＋1)2－y2分解因式应是（ ）
A. (x＋1－y)(x＋1＋y) B. (x＋1＋y)(x－1＋y)
C. (x＋1－y)(x－1－y) D. (x＋1＋y)(x－1－y)
3.填空（把下列各式因式分解）
(1)=____________ (2)_______________
4、把下列各式分解因式：
（1） 36－x2 （2） (x+2)2－9 （3）
设计意图：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚（对应目标1），对平方差公式分解因式的运用是否得当（对应目标2），因式分解的步骤是否真正了解（对应目标3），以便教师能及时地进行查缺补漏．2-1-c-n-j-y
布置作业：
必做：课本100页随堂练习，知识技能。
选作：（1）你知道992-1能被100整除吗?
(2)(1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)
《因式分解－公式法（1）》教材分析
教材分析：本节课是八下第四章《因式分解》的第三节课《公式法》的第1课时，属于“数与代数”领域中的“数与式”。在前一课时，学生加深了对因式分解的概念的理解，学会了用提取公因式法因式分解，本节课通过整式乘法的平方差公式的逆向运用得出因式分解的平方差公式的过程，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，并会用平方差公式进行因式分解,同时让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。所以本课时的重点用平方差公式分解因式，难点是综合应用提取公因式法与平方差公式法对一些比较复杂的多项式进行因式分解。
教材重点难点：平方差公式的特点及运用此公式分解因式
确立依据：本节课是对平方差公式的再认识，通过整式乘法的逆向变形得到进行因式分解的方法，让学生进一步感受整式乘法与因式分解是互为逆变形的关系。用平方差公式因式分解的关键在于学生能否正确地把多项式看成两个数或式的平方差。因此确定：21世纪教育网版权所有
教学重点难点：
教学重点：1、掌握平方差公式的特点及运用此公式分解因式。
2、发展学生的观察能力与逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解，渗透数学的“互逆”、降幂的思想，感受数学知识的完整性．21教育网
教学难点：正确地把多项式看成两个数或式的平方差。
本课为新授课安排课时1课时
《因式分解－公式法（1）》评测练习（20分）
1．判断：下列各式能不能写成平方差的形式(能画“√”，并分解，不能的画“×”)（4分）
（1）x2＋64 （ ）； （2）－x2－4y2 （ ）
（3）9x2－16y4 （ ）； （4）－x6＋9n2 （ ）
2. (x＋1)2－y2分解因式应是（ ）（3分）
A. (x＋1－y)(x＋1＋y) B. (x＋1＋y)(x－1＋y)
C. (x＋1－y)(x－1－y) D. (x＋1＋y)(x－1－y)
3.填空（把下列各式因式分解）（4分）
(1)=____________
(2)_______________
4、把下列各式分解因式：（9分）
（1） 36－x2 （2） (x+2)2－9 （3）
课件15张PPT。北师大版八年级下册课题：公式法（1）历城区王舍人实验中学 孙学霞课题：公式法（1）北师大版八年级下册填空：
（1）（x+5）（x-5） = ；
（2）（3x+y）（3x-y）= ；
（3）（3m+2n）（3m–2n）= ．
它们的结果有什么共同特征？9m2 –4n2构建动场 尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积： （x+5）（x-5）
（3m+2n）（3m–2n） （3x+y）（3x-y） 因式分解整式乘法探究新知谈谈你的感受。整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。把如图卡纸剪开，拼成一张长方形卡纸，作为一幅精美剪纸衬底，怎么剪？你能给出数学解释吗？
动手做一做：试一试 写一写 请你把公式中的字母a,b换成你喜欢的整式，以小组为单位组内互相出题练一练（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。(2) 公式右边:（是分解因式的结果）★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。说一说 找特征下列多项式能用平方差公式进行因式分解吗?(1) m2 －81(2) 1 －16b2(3) 4m2+9(4) － x2 +25y 2(5) －x2 －25y2= m2 －92= 12－(4b)2不能转化为平方差形式＝ (5y)2 －x2不能转化为平方差形式例1.分解因式：先确定a和b练一练解：原式要分解到不能分解为止建模：
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。解：原式 勇攀高峰例2.分解因式：把括号看作一个整体牛刀小试（2） （1）方法：
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用平方差公式分解因式。解：原式 再显身手例3.分解因式：畅游分享1.把下列各式分解因式：建模：
分解因式的一般步骤：一提二套
多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。综合建模从今天的课程中，你学到了哪些知识？
掌握了哪些方法？ （1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；
（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；
（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；作业 完成课本100页习题
拓展作业：
你能尝试运用今天所学的知识解决下面的问题吗(1)你知道992-1能否被100整除吗？
《因式分解－公式法（1）》课后反思
当初设计《因式分解－公式法（1）》教学时，基本的思路是充分的利用“活动建构论”的理论基础，将此堂课定义为以“自主学习”为主的课型。让“活动”贯穿课堂，真正的设计一堂让学生“动起来”的课。21cnjy.com
因此，在“构建动场——自主学习——交流探究——综合建模”四个基本程序中。我采用了“设疑 构建动场”、“解疑 综合建模”的方式，使整堂课更完整，也更灵动。
执教完毕，总觉得有些许遗憾，感觉活动的进行不太到位，只注重了形式而忽略了效果。
在上课复习回顾探究新手中，应给学生留足充分的时间，并让其他同学做出评价与判断，这样会在课堂的一开始就活跃起来，让学生真正的从亲身体验中有知识的收获。
在动手做一做中，我采取了学生剪拼的方法，效果比较突出，在真正体现学生的主动性的基础上，让学生自身融入到知识的海洋中，用自己的表现更能升华情感态度价值观。
在试一试中，采用了让学生互相出题的方法，调动了学生的积极性，发挥学生的主动性。激发学生的积极情感。
尽管课上讲了大量的题目也做了相应的练习，但是作业中仍暴漏了很多问题，他们只是看到很表层的东西，而对于较为复杂的式子，却无从下手，课后我总结的原因有以下三点：
1、思想上不重视，因为对于公式的互换觉得太简单，只是将它作为一个简单的内容来看，所以课后没有以足够的练习来巩固。21教育网
2、灵活运用公式（特别与幂的运算性质相结合的公式）的能力较差，如要将化成然后应用平方差公式这样的题目却无从下手。究其原因，和我布置的作业及随堂练习的单一性及难度低的特点有关。21世纪教育网版权所有
3、因式分解没有先想提公因式的习惯，在结果也没有注意是否进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，比如最简单的将提公因式后应用平方差公式，但很多同学都是只化到而没有化到最后结果 。21·cn·jy·com
因式分解是一个重要的内容，也是难点，我认为我对教材内容的把握和讲解是比较到位的，但是我忽略了学生的接受能力，也没有注意到计算题在练习方面的巩固及题型的多样化。在以后的教学中应该更多结合学生的学习情况去调整教学方法和内容，多发现学生在学习方面的优势和不足之处。www.21-cn-jy.com
