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义务教育教科书（北师）九年级数学下册
第一章
直角三角形的边角关系
生活中的梯子
你会比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
实例1:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
合作探究，发现规律
(1)
3m
3m
2m
4m
实例2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
在直角三角形中，锐角与两直角边比值之间存在着对应的关系。
(3)
(4)
1．如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个以A为一个锐角的直角三角形（如图），那么图中：BC︰AC=B1C1︰AC1=B2C2︰AC2=…成立吗？为什么？
验证猜想，形成概念
A
B1
C1
C
B
由感性到理性
当锐角A变化时，上面等式仍然成立吗
上面等式值随锐角A的变化而变化吗？
在直角三角形中，若一个锐角确定,那么这个角对边与邻边的比值也是确定的。
要能记住有多好
由这种一一对应的关系建立函数模型，并用符号化的语言进行描述，即正切的定义
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
∠A的对边
∠A的邻边
tanA
∠A的正切
在Rt△ABC中,
如果
锐角A确定,
那么
∠A的对边与邻边的比
随之确定,
这个比叫做
∠A的正切.
记作:tanA
读？
思考
梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？
（1）
tanA是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角（注意构造直角三角形）。
（2）tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”。
注意：
(4) tanA是一个比值（直角边之比，注意比的顺序）；且tanA﹥0，无单位。
(5) tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
想一想：
梯子的倾斜程度与tanB有什么关系？
tanB的值越大，梯子越陡，∠B越大；
怎样解答
练１
如图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
乙
甲
解：甲梯中，
tanα=
.
乙梯中
tanβ＝
.
因为tanβ＞tanα，所以乙梯更陡.
练2
在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.
20
12
怎样解答
tanA=
tanB=
.
解：在△ABC中，∠C＝90°，所以AC=
=16(cm),
1、判断对错:
如图1，
(1)
tanA= （ ）
(2)
tanB=
（ ）
如图1，
错
错
怎样解答
(４) tanB= （ ）
如图2，
如图2，
(３) tanA=0.7m （ ）
错
对
怎样解答
2、在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值（
）
A、扩大100倍
B、缩小100倍
C、不变
D、不能确定
C
3.如图，△ABC是等腰三角形，AB=BC,你能根据图中所给数据求出tanC吗？
4
tanC=
4.
在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求tanB。
13
13
10
D
5
12
tanB=12/5
5.如图∠C=90°CD⊥AB，
tanB=
CD
BD
AC
BC
AD
CD
练一练
为什么楼梯做成螺旋式的？
小试身手
1、正切的定义。
2、梯子的倾斜程度与tanA的关系。
（∠A和tanA之间的关系）。
3、数形结合的方法；构造直角三角形的意识。评测练习
【训练案】
1.如图，在△ACB中，∠C
=
90°，
tanA
=
；tanB
=
；
若AC
=
4，BC
=
3，则tanA
=
；tanB
=
；
若AC
=
8，AB
=
10，则tanA
=
；tanB
=
；
2、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗
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3、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(铅直高度与水平宽度的比值，叫坡度。)（结果精确到0.001)
4、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡 你是怎么判断的？
5、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.
5
3锐角三角函数（1）
【教学目标】
1、让学生理解并掌握正切的含义，并能够举例说明；会在直角三角形中求出某个锐角的正切值；了解锐角的正切值随锐角的增大而增大．
2、让学生经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维的习惯,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力．
3、能激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交流，培养学生的创新意识．
【教学重点、难点】
重点：理解正切的意义，会将某些实际问题转化为解直角三角形的问题．
难点：让学生意识到为什么可以用直角边的比
( http: / / www.21cnjy.com )值来刻画一个角的大小，即如何根据直角三角形中锐角与两直角边比值之间一一对应的关系，正确理解正切函数的概念．
【教学方法】自主探究、讨论归纳
【教学过程】
1、情境导入，组织讨论
教师给出引例，带领学生进入到实际问题的情境中.
你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
1、比较梯子与地面夹角的大小来刻画梯子的倾斜程度．
2、引导学生从台阶的高度与水平方向的“长度”进行比较．
2、合作探究问题，自主发现规律
比较下列图形中倾斜角的大小．
教师引导学生从三个层次研究问题，从而发现其数学本质：
在一条直角边相同的情况下进行比较；
在两直角边对应成比例的图形进行比较；
比较两直角边既不相等也不成比例的情况．
然后，请学生归纳总结所能得到的数学结论：在直角三角形中，锐角与两直角边比值之间存在着对应的关系．
3、验证猜想，形成概念
教师提出问题：
1．如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数
( http: / / www.21cnjy.com )个以A为一个锐角的直角三角形（如图），那么图中：BC︰AC=B1C1︰AC1=B2C2︰AC2=…成立吗？为什么？
2．当∠A变化时，上面等式仍然成立吗？
3．上面等式的值随∠A的变化而变化吗？
学生通过前面的自主探索可以归纳出：
如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那
( http: / / www.21cnjy.com )么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定．而这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系．
由这种一一对应的关系建立函
( http: / / www.21cnjy.com )数模型，并用符号化的语言进行描述，即正切的定义：
在直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比称为∠A的正切，记作
tanA，
即
4、巩固练习，理解概念
（1）求下列直角三角形中锐角的正切值．
（2）求tan45°、tan65°
求tan45°时引导学生观察三角板或通过画图构造等腰直角三角形的方法解决问题．
求tan65°时启发学生利用前面解决问
( http: / / www.21cnjy.com )题方法，如何设计恰当的图形使问题简单化，怎样可以使除法计算简单，学生会想到让除数为1，其实质是只需画一个邻边为1，65°角的直角三角形，测量它的对边就可得出65°角的正切值．
5、实际应用，提高能力
完成表格，思考问题：锐角的正切值是如何随着角的变化而变化的？
学生归纳：直角三角形中，锐角的正切值随锐角的增大而增大．
6.
小试身手
6、课堂小结，感悟收获
教师提问：楼梯是我们日常生活中常见的物体，为什么大多数楼梯都是螺旋式的？
教师用问题引导学生回顾本节课所学的知识，感受数学来源于生活，服务于生活．
3m教材分析
本课是九年级下册第一章第一节《锐角三角
( http: / / www.21cnjy.com )函数》的第一课时.先由学生基于生活经验直观感受、判断梯子的倾斜程度，然后通过不易于判断的个例呈现给学生，引导学生进行简单的演算、比较、推理，教师采用教育技术实验的方法，借助几何画板，通过几何直观，帮助学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实存在着一定的关系，最终探索出直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比是随锐角的变化而变化的.说明在直角三角形中，用一个锐角的对边与邻边的的比来定义正切是合理的.在问题解决的过程中，要渗透数形结合等数学思想方法，发展学生的几何直观能力和符号感.由于不同学生对问题的理解是不一样的，教师应尊重学生间的差异，不要急于否定学生的答案，而要鼓励学生开展讨论，给学生提供成果展示的机会，培养学生的交流能力及学习数学的自信心.课后反思
本节课上完以后，有精彩的地方但也有不足之
( http: / / www.21cnjy.com )处。本节课以学生的思维训练为主，注重知识的生成，在知识的生成过成中承载着思维的训练，这也是北师版数学教材突出特点，这也是课堂教学设计的立足点。我认为本堂课成功的做法有以下几方面：本课时结合学生身边的数学现象，依据初中学生身心发展的特点，激发了学生的求知欲.为了突破教学难点，教学活动中运用了直观教学、几何推理等方法，既直观的呈现了知识的内在联系，培养了学生的几何直观能力，又唤起和加深学生对教学内容的体会和理解.本课中，对比萨斜塔的倾斜角、梯子的倾斜程度，让学生更进一步体验了数学的实用性，加深了数学和实际生活的联系，使学生学习数学不再感到恐惧和陌生.
不足之处有以下几点：
1、对学生的情感关注太少。没有焕发出
( http: / / www.21cnjy.com )学生的激情。在教学过程中对少数同学的回答能及时给予表扬和激励，不但能消除学生的紧张情绪，也能激发学生的兴趣，坚定学习的信心。
2、角色转换不彻底。在整个课堂教学过程中，教师围绕主题、围绕学生提问的多，给学生提问的时间和机会很少．不能大胆放心把课堂交还给学生.
今后还需要改进的地方：
1、在上课过程中，要始终关注学生的
( http: / / www.21cnjy.com )情感。因为学生的学习是认知和情感的结合，只有给了他们情感上的极大满足，学生才会获得渴望成功的动力，我们的自主学习活动才能收到应有的效果。
2、不断学习新的教育理论，
( http: / / www.21cnjy.com )不断更新教学观念，使数学教育面向全体学生，实现——人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。
3、注意评价的多元化，全面了解学生的
( http: / / www.21cnjy.com )数学学习历程，对数学学习的评价不仅要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程，帮助学生认识自我，建立信心。
4、努力学习多媒体软件设计和制作，把它
( http: / / www.21cnjy.com )作为教师备课、教学改革的工具，使电脑、网络、光盘、白板等现代媒体成为像黑板、粉笔一样的得心应手的工具，恰如其分地应用于日常课堂教学中，真正为教学服务。
