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3.
应用一元一次方程
——水箱变高了
第五章
一元一次方程
一、温故知新
1、长方形的周长=
；面积=____
2、长方体的体积=________
正方体的体积=________
3、圆的周长=
；面积
=
_____
4、圆柱的体积=
_________
二、构建动场
活动一：先用一块橡皮泥捏出一个“瘦长”的圆柱体，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个又矮又胖的圆柱,请思考下列几个问题：
在你操作的过程中，圆柱由“高”变“低”，变化的量有哪些？
是否有不变的量？是什么没变？
活动二：自主学习，交流探究
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4米的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4米减少为3.2米.那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4米变为多少米？
什么发生了变化？
想一想
什么没有发生变化？
解：设水箱的高变为
xm，由题意列出方程：
等量关系：
旧水箱的容积＝新水箱的容积
=
解方程得
x=6.25
答：高变成了
米
6.25
等体积变形
解应用问题步骤：
（1）设未知量
（2）找等量关系
（3）列方程
（4）解方程（检验）
（5）答
三．走进数学文化，感受大师智慧
阿基米德（公元前287年—公元前212年），
伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家，阿基
米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家。阿基
米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个
地球。”
当时的国王命令金匠制造一顶纯金的皇冠，皇冠制后，他怀疑里面掺有银子，便请阿基米德鉴定一下。解决这个问题需要测量出皇冠的体积，阿基米德一直解决不了这个难题。有一天，阿基米德跨进浴盆洗澡时，看见水溢到盆外，于是他从中受到启发：可以通过排出水的体积确定皇冠的体积！从而判断皇冠是否掺有银子。
取其精华，启迪智慧
把一块长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体铁块，浸入半径为4cm的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水面将增高多少？（不外溢）
习主席指出“保护环境就是保护人类，建设生态文明就是造福人类”。
爱护环境
人人有责
四．学以致用，服务生活
我们要响应“创建生态文明城市”号召，积极美化环境
我们可以利用周末时间给家里围一个长方形花圃，用一根长为10米的篱笆围成一个长方形花圃.
解：（1）设长方形的宽为X米，则它的长为(X+1.4)
米，
2
(
x+1.4
+x
)
=10.
解,得
x=1.8.
长为：1.8+1.4=3.2（米）;
答：长方形的长为3.2米，宽为1.8米,面积是5.76平方米.
等量关系：
（长+宽）×
2
=
周长.
面积为：
3.2
×
1.8=5.76（米2）.
x
x+1.4
（1）若该长方形花圃的长比宽多1.4米.此时长方形花圃的长和宽各为多少米？面积是多少？
由题意得
为了使围成的花圃面积更大，图图和爸爸提出了不同的方案
(2)若该长方形花圃的长比宽多0.8米，此时长方形花圃的长和宽各为多少米 它围成的长方形花圃的面积与（1）中所围成长方形相比，面积有什么变化？
(3)若该长方形花圃的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形花圃的边长是多少 它围成的长方形花圃的面积与（2）中相比，又有什么变化？
(2)若该长方形花圃的长比宽多0.8米，此时长方形花圃的长和宽各为多少米 它围成的长方形花圃的面积与（1）中所围成长方形相比，面积有什么变化？
解：设长方形的宽为
x
米，则它的长为
（x+0.8）米.
由题意得
2(x
+0.8
+
x)
=10.
解,得
x=2.1.
长为：2.1+0.8=2.9（米）;
面积为：2.9
×2.1=6.09(平方米)
面积增加了：6.09-5.76=0.33（平方米）.
x
x+0.8
(3)若该长方形花圃的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形花圃的边长是多少 它围成的长方形花圃的面积与（2）中相比，又有什么变化？
解：设正方形的边长为x米.
由题意得
4x
=
10.
解，得
x=2.5.
边长为：2.5米；
面积为：2.5×2.5=6.25(平方米).
面积增加：6.25-6.09=0.16（平方米）.
面积：1.8×3.2=5.76
面积：2.9×2.1=6.09
面积：
2.5
×
2.5
=6.25
若围成四边形，
则围成正方形时面积最大
小知识：
知道吗？
例
（1）
例（2）
例（3）
五、课堂小结
畅谈我的收获：
形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：变化前物体的体积＝变化后物体的体积
形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：变化前图形的周长＝变化后图形的周长．
用一元一次方程解实际问题的一般步骤
：设—找—列—解—验--答
遇到较为复杂的实际问题时，我们可以借助表格分析问题中的等量关系，借此列出方程，并进行方程解的检验.
六.作业设置
1.必做题：
P144
第1,2题
2选做题：
P144
第3题课后反思
在本节教学中我能以学生为
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通过本课的教学，我感到成功的地方有以下几个方面：
1.通过学生捏橡皮泥的动手操作活动
( http: / / www.21cnjy.com )，引导学生进行探索，使学生在已有知识的基础上探求新内容，每个学生都有体会的过程，都有感悟的可能，用这种形式让学生切身去体验问题的情景，从而进一步帮助学生理解比较复杂的问题，找准等量关系。
2.在走进数学文化的环节中，让学生了解数学史，使学生对数学有了更深一层的了解，增加了兴趣，从而对今后学好数学奠定了良好的基础。
3.在学以致用，服务生活中，题目的设计让学生体会环保的重要性，融德育与一体，有利于学生形成正确的价值观。
4.
相信学生并为学生提供充分展示自己的机会，通过学生的分析讲解,发挥了学生的主动性，进一步锻炼了学生的思维能力。
同时我感觉在本节教学中还有以下不足之处：
1.由于时间的原因，后面环节的时间有点紧。
2.
课堂上大部分学生积极参与，表现出学习的欲望和热情，但还有个别同学学习的积极性不高，这是值得我深思的。
反思本节课的教学，还有很多地方需要改进：
1.加强课堂教学的驾驭能力，要充分安排时间，有紧有松。
2.多给学生更多的语言表达机会，即时表扬和鼓励。
3、在教学中多注重学生思维多样性的培养，使每一个学生都能融入进来。
在以后的教学中，我会继续发扬我的成功之处，逐步完善我的不足之处，我将尽自己最大的能力，上好每一堂课。应用一元一次方程——水箱变高了
一、选择题
1.小明在一次登山活动中捡到一块矿石,回家后,他使用一把刻度尺,一只圆柱形的玻璃杯和足量的水,就测量出了这块矿石的体积.如果他量出玻璃杯的内直径是d,把矿石完全浸没在水中,测出杯中水面上升的高度为h,则小明的这块矿石体积是( )
A.d2h
B.d2h
C.πd2h
D.4πd2h
2.小明用长250cm的铁丝围成一个长方形,并且长方形的长比宽多25cm,设这个长方形的长为x
cm,则x等于( )
A.75
cm
B.50
cm
C.137.5
cm
D.112.5
cm
3.请根据图中给出的信息,可得正确的方程是( )
A.π·()2x=π·()2·(x+5)
B.π·()2x=π·()2·(x-5)
C.π·82x=π·62(x+5)
D.π·82x=π·62×5
二、解答题
4.将一个底面半径是5厘米,高为10厘米的圆柱体冰淇淋盒改造成一个直径为20厘米的圆柱体,若体积不变,高为多少
5.长方形纸片的长是15cm,长、宽上各剪去1个宽为3cm的长条,剩下的面积是原面积的.求原面积.
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答案解析
1.【解析】选A.根据圆柱的体积公式可得这块矿石的体积为:d2h.
2.【解析】选A.根据题意得:
2(x+x-25)=250,
解得:x=75.
3.【解析】选A.根据圆柱的体积公式求得大量筒中的水的体积为:π×()2x.
小量筒中的水的体积为:π×()2×(x+5).
根据等量关系列方程得:π×()2x=π×()2(x+5).
4.【解析】设圆柱体的高为x厘米.
根据题意得:25π×10=100πx,
解得:x=2.5.
答:高为2.5厘米.
5.【解析】设长方形纸片的宽是xcm,原面积是15xcm2,
长、宽上各剪去1个宽为3cm的长条,剩下的面积是12(x-3)cm2,
由题意得:15x×=12(x-3),
所以9x=12(x-3),
解方程得x=12,
12×15=180(cm2),所以原面积是180cm2.课题：应用一元一次方程---水箱变高了
一．备课标：
（一）内容标准：能够根据具体问题中的数量
( http: / / www.21cnjy.com )关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
（二）核心概念：初步学会在具体情境中从数学
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二、备重点、难点：
（一）教材分析：本节课是在学生学习一元一次
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（二）重点、难点分析：本节
( http: / / www.21cnjy.com )学习列方程解应用题，其关键还是寻找实际问题中的等量关系.在实际生活中经常会遇到类似本节情境的问题，最关键的是抓住变化中的不变量，从而设出未知数，根据等量关系列出方程.我确定本节课的
重点为：找等量关系列出方程并能准确地解方程
难点为：找等量关系列出方程．
三、备学情
（一）
学习条件和起点能力分析：
1.
( http: / / www.21cnjy.com )学习条件分析：
（1）必要条件：学生已经学习了基本图形的体积、面积、周长等公式，了解方程、一元一次方程及其解的概念，具备了列一元一次方程解决实际问题的基础经验。
（2）支持性条件：借助图形学会分析问题中的数量关系和等量关系的能力，体会直接或间接设未知数的解题思路。已经掌握了通过找出题目中的等量关系列出方程，已经初步感知了方程中“元”和“次”的意义
（二）学生可能达到的程度和存在的普
( http: / / www.21cnjy.com )遍性问题：本节课通过自主学习与合作交流，多数学生能够找到等量关系,采用“探究式”、“讲练结合”的教学方法，通过引导学生探究，让学生充分动手、动口、动脑，参与学习全过程，体现学生为主体；通过针对性的练习，教师指导，来落实教学目标。遵循“自主、合作”这样一条学习线索，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、思考、探究、交流、反思，参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。教学中用学案搭建探究平台，用多媒体辅助教学，这种静态与动态、观察与思考相结合的呈现方式，既满足了学生多样化和个性化的学习需求，又增加了课堂容量，提高课堂效率。从而使教学目标的实现成为教学过程的自然结果。针对这一问题，采取策略是展现问题情境——提出问题——分析数量关系和等量关系——列出方程，解方程——检验解得合理性.
四．教学目标：
知识与技能
体验“列算式”和“列方程”解决问题
( http: / / www.21cnjy.com )的方法,能找出应用题中已知量、未知量和表示应用题全部含义的相等关系.列一元一次方程加以解决,并能从较复杂的生活情境中抽象出数学模型.
过程与方法
采用启发探究式的方法,使学生逐步学会从较复杂
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情感、态度与价值观
经历从生活中发现数学和应用
( http: / / www.21cnjy.com )数学知识解决实际问题的过程,树立用多种方法解决实际问题的创新意识,体验成功的喜悦,激发学生学习数学的兴趣和应用数学的意识.
一、温故知新
1、长方形的周长=
；面积=
2、长方体的体积=
；正方体的体积=
3、圆的周长=
；面积
=
4、圆柱的体积=
二、构建动场
（1）活动一：先用一块橡
( http: / / www.21cnjy.com )皮泥捏出一个“瘦长”的圆柱体，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个又矮又胖的圆柱，请思考下列几个问题：在你操作的过程中，圆柱由“高”变“低”，变化的量有哪些？
在这个变化过程中，是否有不变的量？是什么没变？
设计意图：让学生在愉快地玩的过程中体会等体积变化的现象中蕴涵的不变量.同时分析出不变量与变量间的等量关系.
(2.)自主学习，交流探究
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4米的
( http: / / www.21cnjy.com )圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4米减少为3.2米.那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4米增高了多少米？
请大家根据提示完成下面的知识.
分析：
1.在这个问题中水箱的_______不变.根据题意，可以找出如下的等量关系：____________________.
2.设新水箱的高变为x
m,试填写下表：
旧水箱
新水箱
底面半径(m)
4
3.2
高(m)
4
x
体积()
3.根据等量关系，列出方程：
_________________________________________________
因此，水箱的高变成了_______米.
总结：形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：变化前物体的体积＝变化后物体的体积．
设计意图：1.让学生经历从实际问题中抽
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三．走进数学文化，感受大师智慧
阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家
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"_blank )、物理学家
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"_blank )，阿基米德和高斯
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"_blank )、牛顿
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"_blank )并列为世界三大数学家。阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球。”
传说当时的国王命令金匠制造一顶
( http: / / www.21cnjy.com )纯金的皇冠，皇冠制好后，他怀疑里面掺有银子，便请阿基米德鉴定一下。解决这个问题需要测量出皇冠的体积，阿基米德一直解决不了这个难题。有一天，阿基米德跨进浴盆洗澡时，看见水溢到盆外，于是他从中受到启发：可以通过排出水的体积确定皇冠的体积！从而判断皇冠是否掺有银子。
取其精华，启迪智慧
把一块长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体铁块，浸入半径为4cm的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水面将增高多少？（不外溢）
四．学以致用，服务生活
习主席指出“保护环境就是保护人类，建设生态文明就是造福人类”，爱护环境，人人有责。
大耳朵图图：我们要响应“创建生态文明城市”号召，积极美化环境
爸爸：我们可以利用周末时间给家里围一个长方形花圃，用一根长为10米的篱笆围成一个长方形花圃.
(1)若该长方形花圃的长比宽多1.4米.此时长方形花圃的长和宽各为多少米？
(2)若该长方形花圃的长比宽多0.8米，
( http: / / www.21cnjy.com )此时长方形花圃的长和宽各为多少米 它围成的长方形花圃的面积与（1）中所围成长方形相比，面积有什么变化？
(3)若该长方形花圃的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形花圃的边长是多少 它围成的长方形花圃的面积与（2）中相比，又有什么变化？
总结：形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：变化前图形的周长＝变化后图形的周长．
设计意图：指导学生分析变量中的不变量
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为了让学生通过题目更好的总结规律，归纳方法，特意安排交流讨论环节。
交流讨论：解这道题的关键是什么？从解这道题中你有哪些收获或体验？
学生畅所欲言，互相交流，学生之间进行补充，教师进行点拨引导，最后师生共同总结规律归纳方法。
五、课堂小结
畅谈我的收获：
形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：变化前物体的体积＝变化后物体的体积
形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：变化前图形的周长＝变化后图形的周长．
用一元一次方程解实际问题的一般步骤
：设—找—列—解—验--答
遇到较为复杂的实际问题时，我们可以借助表格分析问题中的等量关系，借此列出方程，并进行方程解的检验.
设计意图：1.通过分组解决问题，提高课
( http: / / www.21cnjy.com )堂效率，并发展学生间的合作意识，提高学生解决问题的能力，2.通过成果展示，体现学生为主体及“以学定教”的理念，3.通过开展讨论，培养学生解题后反思、归纳总结的能力和习惯.4.通过本例，让学生再次经历从实际问题中抽象的过程，再次体会方程这一有效模型。
六、作业设置
1.必做题：
P144
第1,2题
2选做题：P144
第3题
设计意图：全体都做，进一步巩固教学目标，达到基本要求。（一）教材的地位和作用
本节课是七年级上册第五章第三节，也是学生学
( http: / / www.21cnjy.com )习一元一次方程含义和解一元一次方程的解法后，通过分析图形问题中的数量关系，建立一元一次方程解决实际问题，认识方程模型的重要环节。
（二）．教学目标：
知识与技能
体验“列算式”和“列方程”解决问题的方法,能
( http: / / www.21cnjy.com )找出应用题中已知量、未知量和表示应用题全部含义的相等关系.列一元一次方程加以解决,并能从较复杂的生活情境中抽象出数学模型.
过程与方法
采用启发探究式的方法,使学生逐步学会从较复杂
( http: / / www.21cnjy.com )的生活情境中抽象出数学模型,培养观察发现问题的能力以及创新的意识.了解“未知”转化成“已知”的数学思想,培养分析问题、解决问题的能力和严谨、细致的学习态度.
情感、态度与价值观
经历从生活中发现数学和应用数
( http: / / www.21cnjy.com )学知识解决实际问题的过程,树立用多种方法解决实际问题的创新意识,体验成功的喜悦,激发学生学习数学的兴趣和应用数学的意识.
（三）.教学重点、难点分析：本节
( http: / / www.21cnjy.com )学习列方程解应用题，其关键还是寻找实际问题中的等量关系.在实际生活中经常会遇到类似本节情境的问题，最关键的是抓住变化中的不变量，从而设出未知数，根据等量关系列出方程.我确定本节课的
重点为：找等量关系列出方程并能准确地解方程
难点为：找等量关系列出方程．
