3.1
用表格表示的变量间关系
我们生活在一个变化的世界中，从数学的角
( http: / / www.21cnjy.com )度研究变量和变量之间的关系，将有助于人们更好地认识现实世界、预测未来。同时，研究现实世界中的变化规律，也使学生从常量世界进入了变量世界，开始接触一种新的思维方式。我们知道，函数是现实世界变化规律的一个重要模型，对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容。数学教育研究表明，对变化规律的探索、描述应从低年级非正式地开始，早期对函数的丰富经历是十分重要的。因此，本套教科书对函数的学习不是一蹴而就的，而是遵照循序渐进、螺旋上升的原则进行设计。
在七年级上学期中，教科书已经在代数式求值
( http: / / www.21cnjy.com )、探索规律等地方渗透了变化的思想，而本章则是第三学段第一次集中讨论变量之间的关系。本章通过大量学生感兴趣的日常生活或其他学科中的问题，使他们体会变量和变量之间相互依赖的关系，感受数学的应用价值。本章还通过分析用表格、关系式和图象所表示的关系的活动，使学生初步理解并尝试用数学的方法描述变量之间的关系。学生通过本章中对变量和变量之间关系的丰富经历，将为以后顺利地过渡到函数学习打下基础。
本节课是本章的起始课，与后面三个课时合起来分
( http: / / www.21cnjy.com )别呈现的是表示变量之间关系的三种方式——表格法、解析式法和图象法。本章作为研究变量和函数的起始章节，重在让学生感受和体会生活中的“变量”。同时，在第一课时还要教给学生用表格呈现实验中变量的数据的方法。但“数量推理所得到的结果远比那些单纯用数刻画的事实更具威力，这种数量推理稳固地根植于数和有关计算的一般模式之中。（James
Fey）”所以，依据变量之间关系的数学表示（表格、解析式和图象）进行预测或推测已知中没有给出的量，也是研究变量之间关系的重要目标之一。3.1
用表格表示的变量间关系
【课程标准陈述】
探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.
【学习目标】
1.
在具体情境中认识变化过程中的的常量、变量、自变量和因变量，能举出反映变量之间关系的例子，并能指出其中的常量、变量、自变量和因变量.
2.经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感.
3.能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关系，并根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步的预测.
4.在解决问题过程中体会学习数学的乐趣，在独立思考的基础上，敢于发表自己的观点并尊重他人的见解.
【评价活动方案】
1．在自主探究、合作交流环节，关注学生表
( http: / / www.21cnjy.com )达的正确性；在自主探究过程中，关注学生从事活动的投入程度，从表格中获取信息的准确性和广泛性，对具体情境中变量之间关系的敏感性，运用语言等描述变量之间关系的合理性，以评价目标1.2.3.4.
2．在生成概念环节，关注学生表达的正确性，并关注学生能否在具体情境中认识变化过程中的的常量、变量、自变量和因变量，以评价目标1.
3．组织学生小组合作完成实验，关注学生能否
( http: / / www.21cnjy.com )积极地进行活动，并在活动中独立思考，能否在实际操作中意识到变量之间存在着相依关系，以评价目标2.3.
4．设置启发性问题，通过总结提升，关注学生表达的正确性以评价目标4.
5．完成巩固提高，关注学生答题是否正确以评价目标1.2.3.
【学习过程】
一、创设情境，引入新课
由季节引入，请同学举例
活动目的:通过举例,希望学生体会身边的事物无时无刻不在发生变化，培养学生善于观察的能力.
活动的注意事项:大部分学生能够举出例子.从
( http: / / www.21cnjy.com )学生熟悉的事例入手,提高了他们的学习热情,培养了他们的学习兴趣,并能深刻体会到数学来源于生活.生活中有很多变化的量,从数学角度来研究,将有助于认识世界.
二、自主探究、合作交流（评价目标1.2.3.4.）
1.实验探究：
实验器材：测力计和五个钩码，每个钩码的质量是50克.
实验要求：1.改变钩码的质量，测量钩码所受重力的大小.
2.用适当的方式收集整理数据.
注意事项：测力计一定要竖直放置，指针一定要指在零刻度处.
探究问题：（请学生自己从表格中获取信息，以下问题备用）
（1）当钩码质量是100克时，钩码所受重力是多少？
（2）如果用m表示钩码质量，G表示钩码所受重力，随着m逐渐增大，G的变化趋势是什么？
（3）m每增加50克，G的变化情况相同吗？
（4）估计当m=300克时，G的值是多少？你是怎样估计的？
活动目的:学生亲自做实验，激发兴趣的同时获得深刻体验，同时体会表格对于数据的整理和呈现起到的作用.对于解决日常生活中变化的事物很有帮助.
活动的注意事项:学生在自己
( http: / / www.21cnjy.com )设计表格呈现变量之间关系的时候可能会产生困难.以让学生体会数学与实际生活的联系,增加了学生的学习兴趣为本环节的目的.
2.活动探究:
要求：注意观察实验，收集整理数据.
实验器材：小车、木板、支撑物、计时器.
实验目的：探究小车下滑时间和支撑物高度之间的关系.
实验内容：利用同一块木板，测量小车从不同高度下滑的时间.
支撑物高度/cm
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小车下滑时间/s
要求：独立思考完成以下问题.
(1)当支撑物高度为70厘米时，小车下滑的时间是多少？
(2)如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势如何？
(3)h每增加10厘米时，t的变化情况相同吗？
(4)估计当h=110厘米时，t的值是多少？你是怎样估计的？
(5)随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生变化？哪些量始终不发生变化？
活动目的:通过数据感受具体的变化及其中
( http: / / www.21cnjy.com )的蕴含的规律；让学生参与到收集数据的试验过程中，亲身感受随着支撑物高度的增加,小车下滑所用的时间越来越少.活动2问题(4)是进行预测,对学生来说有一定难度,鼓励学生充分进行交流,培养他们从表格获取信息的能力.
活动的注意事项:
活动1给学生充分的时间、空间从表格中获取信息，相信同学们会有很多的发现.
活动2的问题(1)、(2)、(3)
( http: / / www.21cnjy.com )、（5）很容易得到解决,对于问题（4）的预测,学生的回答可能有分歧,教师要发挥主导作用,对于答案在合理范围的都要给予肯定.
学生在回答问题时可能语言不够准确,教师要适当引导,鼓励学生用自己的语言进行描述.让学生体会到集体的智慧、合作交流的必要性.
三、生成概念：
在表1中，支撑物高度h和小车下滑的
( http: / / www.21cnjy.com )时间t都在变化，它们都是——————————.其中
随
的变化而变化，h是————————————————，t是——————————————————.
活动目的:通过两个例子,理解变量、自变量、因
( http: / / www.21cnjy.com )变量、常量这些概念，同时体会表格对于数据的整理和呈现起到的作用.对于解决日常生活中变化的事物很有帮助.
四、学以致用、拓展提升
要求：借助表格，独立思考以下问题.
1.我国从1949年到2009年的人口统计数据如下（精确到0.01）亿）：表2
时间/年
1949
1959
1969
1979
1989
1999
2009
人口/亿
5.42
6.72
8.07
9.75
11.07
12.59
13.35
请学生互相提出问题并解决，以下问题备用
（1）如果用x表示时间，y表示我国人口总数，随着x的变化，y的变化趋势是什么？
（2）从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样变化的？
2.
生活中有哪些例子反映了变量之间的关系？与同伴进行交流.
3.
研究表明当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：
氮肥施用量/（千克/公顷）
0
34
67
101
135
202
259
336
404
471
土豆产量/
（吨/公顷）
15.18
21.36
25.72
32.29
34.03
39.45
43.15
43.46
40.83
30.75
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当氮肥的施用量是101kg/hm2时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？
(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由.
(4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.
活动目的:对本环节知识进行
( http: / / www.21cnjy.com )巩固练习.在教学中要让学生体会不同情境下的变量之间的关系，如一个量随着另一个量增加的，一个量随着另一个量减少的，一个量随着另一个量先增加后减少或先减少后增加的，等等，避免单一的情况.
活动的注意事项:以锻炼学生从表格获取信息的能力以及对变化趋势进行初步预测能力为目的.
五、学后记:反思与小结
活动目的:鼓励学生谈本节的收获和体会,验收他们的学习效果.
活动的注意事项:以学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，感受生活中处处存在数学,数学反过来应用于生活为目的.
五、作业超市：
书面作业：习题6.1
1.2
实验作业：找出生活中包含
( http: / / www.21cnjy.com )变量的例子，选择其中一个，做试验，用表格收集、整理数据，从表格中获取信息，探究两个变量之间的相依关系，进行初步的预测.
活动目的:鼓励学生探究身边事物的变化规律，深切体会数学来源于现实生活又服务于现实生活.(共17张PPT)
用表格表示的变量间关系
济南汇才学校
邢友娟
用表格表示的变量间关系
实验器材：测力计和五个钩码，每个钩码的质量是50克.
实验要求：1.改变钩码的质量，测量钩码所受重力的大小.
2.搜集、整理数据.
注意事项：测力计一定要竖直放置，指针一定要指在零刻度处.
实验探究
实验器材：测力计和五个钩码，每个钩码的质量是50克.
实验要求：1.改变钩码的质量，测量钩码所受重力的大小.
2.设计表格并将测量结果填入表格.
注意事项：测力计一定要竖直放置，指针一定要指在零刻度处.
钩码质量/克
50
100
150
200
250
钩码所受的重力/牛顿
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
实验探究
钩码质量/克
50
100
150
200
250
钩码所受的重力/牛顿
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
m
G
（1）当钩码质量是100克时，钩码所受重力是多少？
（2）如果用m表示钩码质量，G表示钩码所受重力，随着m逐渐增大，G的变化趋势是什么？
（3）m每增加50克，G的变化情况相同吗？
（4）估计当m=300克时，G的值是多少？你是怎样估计的？
实验探究
实验器材：小车、木板、支撑物、计时器
实验目的：探究小车下滑时间和支撑物高度之间的关系
实验内容：利用同一块木板，测量小车从不同高度下滑的时间.
要求：认真观察实验，
收集实验数据.
实验探究
1.支撑物高度为70cm时，小车下滑的时间是多少？
支撑物高度/厘米
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小车下滑时间/秒
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
1.50
1.41
1.35
2．如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势如何？
h
t
3．h每增加10cm，t的变化情况相同吗？
4．估计当h=110cm时，t的值是多少？你是怎样估计的？
0.32
1.23
0.55
0.24
0.18
0.12
0.09
0.09
0.06
差
5.随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生变化？
哪些量始终不发生变化？
表1
实验探究
我国从1949年到1999年的人口统计数据如下（精确
到0.01亿）：表2
x
y
1.52
1.68
1.32
1.30
1.35
时间/年
1949
1959
1969
1979
1989
1999
2009
人口数量/亿
5.42
6.72
8.07
9.75
11.07
12.59
13.35
0.76
统计探究
支撑物高度/厘米
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小车下滑时间/秒
5.84
4.13
3.37
2.92
2.61
2.39
2.21
2.07
1.95
1.85
表1
表2
借助表格，表示因变量随自变量的变化而变化
的情况.
h
t
时间/年
1949
1959
1969
1979
1989
1999
2009
人口数量/亿
5.42
6.72
8.07
9.75
11.07
12.59
13.35
x
y
1.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这个变化过程中，因变量是（
）.
A.沙漠
B.体温
C.时间
D.骆驼
2.当正方形的边长发生变化时，它的面积也随之发生变化，如果正方形的面积是S厘米，边长是a厘米，则在这个变化过程中，自变量是（
），因变量是（
）.
3.小明早上从家匀速（v）走到学校，路程（s）随时间（t）的变化而变化，那么，在这个变化过程中，常量是（
）,自变量是（
），因变量是（
）.
巩固提高
思考：生活中哪些例子反映了变量之间的关系？
与同伴交流.并指出谁是自变量,谁是因变量
.
思维迁移
研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？
哪个是自变量？哪个
是因变量？你能用字母表示吗？
(2)当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多少？
如果不施氮肥呢？
(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？
说说你的理由.
(4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.
氮肥施用量/
(千克/公顷)
0
34
67
101
135
202
259
336
404
471
土豆产量/
(吨/公顷)
15.18
21.36
25.27
32.29
34.03
39.45
43.15
43.46
40.83
30.75
实际应用
1.在实验中亲身体验了变量之间的相互依存的变化关系.并用表格表示变量之间的相依关系.
2.在具体情境中指出变量、自变量、因变量、常量.
3.从表格中获得变量之间关系的信息.每确定一个自变量就有一个因变量与之对应；因变量随自变量的变化而变化的规律.
4.尝试对变化趋势进行初步的预测.
你学会了吗
重点内容
1.书面作业：习题3.1
1、2题
2.实践作业：找出生活中包含变量的例子，
选择其中一个，做试验，用表格收集、整理数
据，从表格中获取信息，探究两个变量之间的
相依关系，进行初步的预测.
课后作业
！3.1
用表格表示的变量间关系
1．这节课从现实生活入手，数据来自于学
( http: / / www.21cnjy.com )生可以参与的试验过程，来自于现实生活关注的人口问题，培养了学生的探究、试验精神，而且始终贯穿对学生的德育教育。
通过本节课的学习，学生可以意
( http: / / www.21cnjy.com )识到研究变量之间的关系是可以帮助我们把握事物发展的一定规律的，是可以帮我们找出影响事物发展的一些因素的。只有致力于这样的研究，才能改善我们的生存环境。所以，首先要关心周围世界发生的变化，变量之间的联系，并且使之成为一种习惯。
2．关于小车下滑时间的活动
( http: / / www.21cnjy.com )实验，在实际操作中有许多的困难，学校的物理实验室可以提供木板和小车，电火花计时器（由于小车下滑时间很短，所以用秒表的误差太大，就选择了打点计时器），而垫木可以用塑料膜替代，但是材料之间还是存在差异的，分组试验得到的数据各组之间相差很大。因为受器材影响，实际上各组试验的环境是不同的，所以此时综合各组数据取平均值是不正确的。因此建议此实验在不能保证各小组试验环境相同的情况下不宜分组。所以此实验是由课外兴趣小组同学实际做了，并且录制部分视频材料，作外学习素材。课堂上再通过电脑模拟实验，感受观察实验过程。
3.在选取操作实验时，用学生好操作而数据又比较统一的改变钩码质量测钩码所受重力的实验开篇，激发学生兴趣的同时，学生获得难忘的体验感受。
4．由于实验用的时间不容易把握，可能导致后面学习、讨论的时间较为紧张，老师应该根据学生的具体情况做适当的调整，使教学达到最佳的效果。
5.学生的课堂生成很精彩。同学们都给自己的
( http: / / www.21cnjy.com )结论从数学的角度道出了合理的理由。尤其对于自变量的取值范围的涉及是本节课的惊喜。让老师由衷的给学生们点赞。3.1
用表格表示的变量间关系
1．议一议∶我国从1949年到2009年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）：
时间/年
1949
1959
1969
1979
1989
1999
2009
人口数量/亿
5.42
6.72
8.07
9.75
11.07
12.59
13.35
要求：同学提问题，指定同学解决该问题.
2.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这个变化过程中，因变量是（
）.
A.沙漠
B.体温
C.时间
D.骆驼
3.当正方形的边长发生变化时，它的面积也
( http: / / www.21cnjy.com )随之发生变化，如果正方形的面积是s厘米，边长是a厘米，则在这个变化过程中，自变量是（
），因变量是（
）.
4.小明早上从家匀速（v）走到学校
( http: / / www.21cnjy.com )，路程（s）随时间（t）的变化而变化，那么，在这个变化过程中，常量是（
）,自变量是（
），因变量是（
）.
5.思考：生活中哪些例子反映了变量之间的关系？与同伴交流.并指出谁是自变量,谁是因变量.
6．研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：
氮肥施用量/千克/公顷
0
34
67
101
135
202
259
336
404
471
土豆产量/吨/公顷
15.18
21.36
25.72
32.29
34.03
39.45
43.15
43.46
40.83
30.75
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？你能用字母表示吗？
(2)当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？
(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由.
(4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.
