冀教版九年级数学上册第28章圆单元测试（含答案解析）

第28章圆单元测试
一、单选题（共10题；共30分）
1.在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a>2)，半径为2，函数y＝x的图象被OP所截的弦AB的长为23，则a的值是(
)
A、23　　　B、2＋2　C、2
3
D、2＋3
2.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°,则∠DCF等于（ ）
A、80°
B、50°
C、40°
D、20°
3.如图，经过原点的⊙P与两坐标轴分别交于点A（23，0）和点B（0，2），
C是优弧AB上的任意一点（不与点O，B重合），则tan∠BCO的值为（ ）
A、33
B、22
C、32
D、3
4.下列语句中正确的是（　　）
A.长度相等的两条弧是等弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
5.若圆的一条弦把圆分成度数比为1：5的两条弧，则优弧所对的圆心角为（　　）
A.60°
B.300°
C.30°
D.150°
6.如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（　　）
A.30°
B.45°
C.50°
D.60°
7.如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，AB=10，BC=6，过O作OE⊥AB交AC于点E，则CE的长为（　　）
A.54
B.74
C.154
D.254
8.图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（　　）

A.甲先到B点
B.乙先到B点
C.甲、乙同时到B
D.无法确定
9.如图，以AB为直径的半圆绕A点，逆时针旋转60°，点B旋转到点B′的位置，已知AB=6，则图中阴影部分的面积为（
）
A.6π
B.5π
C.4π
D.3π
10.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则
BC
的长为（
）
A.103
π
B.109
π
C.59
π
D.518
π
二、填空题（共8题；共25分）
11.如图，在⊙O中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 ________条弦，它们分别是 ________

12.在⊙O中，弦AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，则⊙O的直径为 ________cm．
13.（2013 辽阳）已知点O是△ABC外接圆的圆心，若∠BOC=110°，则∠A的度数是________
14.（2014 抚顺）如图，⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于点E、F、G、H，点P是上的一点，则tan∠EPF的值是 ________．
15.如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=________ 度．

16.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径是________ cm．
17.如图△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°，BC=5，则⊙O的直径为________．
18.如图，扇形AOB中，OA=10，∠AOB=36°．若将此扇形绕点B顺时针旋转，得一新扇形A′O′B，其中A点在O′B上，则点O的运动路径长为________cm．（结果保留π）
三、解答题（共5题；共30分）
19.如图①，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D。
（1）求证：∠DAC＝∠BAC；
（2）若把直线EF向上平行移动，如图②，EF交⊙O于G、C两点，若题中的其它条件不变，猜想：此时与∠DAC相等的角是哪一个？并证明你的结论。
20.已知排水管的截面为如图所示的⊙O,半径为10，圆心O到水面的距离是6，求水面宽AB.
21.如图，AC为⊙O的直径，AC=4，B、D分别在AC两侧的圆上，∠BAD=60°，BD与AC的交点为E．
(1)求∠BOD的度数及点O到BD的距离；
(2)若DE=2BE，求cos∠OED的值．
22.已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．
23.某机械传动装置在静止时如图，连杆PB与点B运动所形成的⊙O交于点A，测得PA=4cm，AB=6cm，⊙O半径为5cm，求点P到圆心O的距离．
四、综合题（共1题；共15分）
24.（2014 常州）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知Rt△DOE，∠DOE=90°，OD=3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上，AC=5．∠ACB+∠ODE=180°，∠ABC=∠OED，BC=DE．按下列要求画图（保留作图痕迹）：
(1)将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点M，点E的对应点为点N），画出△OMN；
(2)将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′（其中点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′），使得B′C′与（1）中的△OMN的边NM重合；
(3)求OE的长．
答案解析
一、单选题
1、【答案】B
【考点】垂径定理
【解析】【分析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．
【解答】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．
∵PE⊥AB，AB=23，半径为2，
∴AE=12AB=3，PA=2，
根据勾股定理得：PE=22-32=1，
∵点A在直线y=x上，
∴∠AOC=45°，
∵∠DCO=90°，
∴∠ODC=45°，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴OC=CD=2，
∴∠PDE=∠ODC=45°，
∴∠DPE=∠PDE=45°，
∴DE=PE=1，
∴PD=2．
∵⊙P的圆心是（2，a)，
∴a=PD+DC=2+2．
故选B．
【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．
2、【答案】D
【考点】垂径定理，圆周角定理
【解析】
【分析】欲求∠DCF，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【解答】∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，
∴弧ED=弧DF（垂径定理)，
∴∠DCF=12∠EOD（等弧所对的圆周角是圆心角的一半)，
∴∠DCF=20°．
故选：D．
【点评】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力
3、【答案】A
【考点】圆周角定理
【解析】【分析】连结AB，根据正切的定义得到tan∠BAO=OBOA=33，再根据圆周角定理得∠C=∠BAO，所以tan∠BCO=33．
故选A．
4、【答案】D
【考点】圆的认识
【解析】【解答】解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以A选项错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项错误；
D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以D选项正确．
故选D．
【分析】根据等弧的定义对A进行判断；根据垂径定理对B进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对C进行判断；根据圆的对称性对D进行判断．
5、【答案】B
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，
∴AB所对应的圆心角的度数是：360°×11+3=60°，
∴所分得的优弧所对的圆心角为：360°﹣60°=300°．
故选：B．
【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系求出这条弦所对圆心角的度数，再根据圆周角定理得出所分得的优弧所对的圆心角的度数即可．
6、【答案】B
【考点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵正六边形ADHGFE的内角为120°，
正方形ABCD的内角为90°，
∴∠BAE=360°﹣90°﹣120°=150°，
∵AB=AE，
∴∠BEA=12 ×（180°﹣150°）=15°，
∵∠DAE=120°，AD=AE，
∴∠AED==30°，
∴∠BED=15°+30°=45°．
故选B．
【分析】根据正六边形ADHGFE的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，求出∠BEA=30°，∠AED=30°，据此即可解答．
7、【答案】B
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为直径，
∴∠C=90°，
∵AB=10，BC=6，
∴OA=5，AC==8，
又∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°=∠C，
又∵∠OAE=∠CAB，
∴△AOE∽△ACB，
∴
解得：AE=254
，
∴CE=AC﹣AE=8﹣254=74；
故选：B．
【分析】由AB为直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠C=90°，再根据勾股定理得到AC=8，易证△AOE∽△ACB，得出对应边成比例求出AE，即可得出CE的长．
8、【答案】C
【考点】圆的认识
【解析】【解答】解：12π（AA1+A1A2+A2A3+A3B）=12π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，
因此两个同时到B点．
故选C．
【分析】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该是12π（AA1+A1A2+A2A3+A3B）=12π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B点．
9、【答案】A
【考点】扇形面积的计算，旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示：∵以AB为直径的半圆绕A点，逆时针旋转60°，∴AB=AB′=6，∠BAB′=60°，
∴图中阴影部分的面积为：S扇形B′AB=
=6π．
故选：A．
【分析】根据旋转的性质得出阴影部分的面积为：S扇形B′AB进而利用扇形面积公式求出即可．
10、【答案】B
【考点】圆周角定理，弧长的计算
【解析】【解答】解：∵∠OCA=50°，OA=OC，
∴∠A=50°，
∴∠BOC=100°，
∵AB=4，
∴BO=2，
∴
BC
的长为：
100π×2180
=
109
π．
故选：B．
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．
二、填空题
11、【答案】三；AE，DC，AD
【考点】圆的认识
【解析】【解答】解：图中的弦有AE，DC，AD共三条，
故答案为：三，AE，DC，AD．
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
12、【答案】4
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】解：如图所示，
∵在⊙O中AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=2cm，
∴⊙O的直径=2OA=4cm．
故答案为：4．
【分析】根据题意画出图形，再由等边三角形的性质即可得出结论．
13、【答案】55°或125°
【考点】圆周角定理，三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：当△ABC为锐角三角形，即点A在优弧BC上，则∠A=12∠BCO=12×110°=55°；
当△ABC为钝角三角形，即点A在劣弧BC上，则∠A′=180°﹣∠A=180°﹣55°=125°，
即∠A的度数为55°或125°．
故答案为55°或125°．
【分析】分类讨论：当△ABC为锐角三角形，即点A在优弧BC上，可根据圆周角定理求得∠A=12∠BCO=55°；当△ABC为钝角三角形，即点A在劣弧BC上，可根据圆内接四边形的性质得到∠A′=125°．
14、【答案】1
【考点】正方形的性质，圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接HF，EG，FG，
∵⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于点E、F、G、H，
∴FH⊥EG，
∵OG=OF，
∴∠OGF=45°，
∵∠EPF=∠OGF，
∴tan∠EPF=tan45°=1，
故答案为：1．

【分析】连接HF，EG，FG，根据切线的性质和正方形的性质可知：FH⊥EG，再由圆周角定理可得：∠EPF=∠OGF，而∠OGF=45°，问题得解．
15、【答案】60
【考点】平行四边形的性质，圆周角定理
【解析】【解答】解：连接DO并延长，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠B=∠AOC，
∵∠AOC=2∠ADC，
∴∠B=2∠ADC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴3∠ADC=180°，
∴∠ADC=60°，
∴∠B=∠AOC=120°，
∵∠1=∠OAD+∠ADO，∠2=∠OCD+∠CDO，
∴∠OAD+∠OCD=（∠1+∠2）﹣（∠ADO+∠CDO）=∠AOC﹣∠ADC=120°﹣60°=60°．
故答案为：60．

【分析】由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B=∠AOC，由圆周角定理，可得∠AOC=2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B+∠ADC=180°，即可求得∠B=∠AOC=120°，∠ADC=60°，然后由三角形外角的性质，即可求得∠OAD+∠OCD的度数．
16、【答案】5
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【解答】解：在直角△AOE中，AE=4cm，OE=3cm，根据勾股定理得到OA=5，则⊙O的半径是5cm．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
17、【答案】5
2
【考点】圆周角定理，三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作⊙O的直径CD，连接BD，则∠CBD=90°，
∵∠D=∠BAC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD=
2
BC=5
2
，
即⊙O的直径为5
2
．
故答案为：5
2
．
【分析】首先作⊙O的直径CD，连接BD，可得∠CBD=90°，由已知条件得出△BCD是等腰直角三角形，得出CD=
2
BC=5
2
即可．
18、【答案】4π
【考点】弧长的计算，旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意，知OA=OB．
又∠AOB=36°，
∴∠OBA=72°．
∴点O旋转至O′点所经过的轨迹长度=
=4πcm．
故答案是：4π．
【分析】根据弧长公式，此题主要是得到∠OBO′的度数．根据等腰三角形的性质即可求解．
三、解答题
19、【答案】解：（1）连OC，构建平行线OC∥AD．然后由两直线平行，内错角相等推知∠OCA=∠DAC，再根据等腰三角形OAC两个底角相等的性质知，∠BAC=∠OCA，所以根据等量代换易证明：∠DAC=∠BAC；
（2）根据（2）的思路，可以直接写出答案．
证明：（1）连OC，
则OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA
∵EF切⊙O于C，
∴OC⊥EF
∵AD⊥EF，
∴OC∥AD
∴∠OCA=∠DAC
∴∠DAC=∠BAC
(2）∠BAG=∠DAC，理由如下：
连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，∠B+∠BAC=90°，
∵∠AGD+∠GAD=90°，
又∵∠B=∠AGD，
∴∠BAC=∠GAD；
即∠BAG+∠GAC=∠GAC+∠DAC，
∴∠BAG=∠DAC．
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】（1）连结OC，得OC∥AD。连OC，构建平行线OC∥AD．然后由两直线平行，内错角相等推知∠OCA=∠DAC，再根据等腰三角形OAC两个底角相等的性质知，∠BAC=∠OCA，所以根据等量代换易证明：∠DAC=∠BAC；
（2）连结BG，得∠ACD＝∠B。
【分析】此题考查了圆的综合应用，涉及知识点有平行线性质，等腰三角形的性质以及圆周角的定理。
20、【答案】解：如图，过O点作OC⊥AB，连接OB，
根据垂径定理得出AB=2BC，再根据勾股定理求出BC===8，从而求得AB=2BC=2×8=16.
【考点】垂径定理
【解析】【分析】过O点作OC⊥AB，连接OB，由垂径定理可得出AB=2BC，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出BC的长，进而可得出AB的长．
21、【答案】解：（1）作OF⊥BD于点F，
∵∠BAD=60°，
∴∠BOD=2∠BAD=120°，
又∵OB=OD，
∴∠OBD=30°，
∵AC为⊙O的直径，AC=4，
∴OB=OD=2．
在Rt△BOF中，∵∠OFB=90°，OB=2，∠OBF=30°，
∴OF=12OB=1，
即点O到BD的距离等于1．
（2）∵OB=OD，OF⊥BD于点F，
∴BF=DF．
由DE=2BE，设BE=2x，则DE=4x，BD=6x，EF=x，BF=3x．
∵BF=OB cos30°=3，
∴x＝33，EF=33，
在Rt△OEF中，∠OFE=90°，∵tan∠OED=OFEF=3，
∴∠OED=60°，cos∠OED=12.
【考点】垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）作OF⊥BD于点F，连接OD，根据圆周角定理可得出∠DOB=120°，再由OB=OD=12AC=2，可得出∠OBD的度数，也可得出OF的长度；
（2）设BE=2x，则可表示出DF、EF的长度，从而可解出x的值，在Rt△OEF中，利用三角函数值的知识可求出∠OED的度数，从而可得出cos∠OED的值．
22、【答案】证明：连接ME、MD，
∵BD、CE分别是△ABC的高，M为BC的中点，
∴ME=MD=MC=MB= BC，
∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．
【考点】圆的认识
【解析】【分析】分别连接ME、MF，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得到ME=MD=MC=MB，可证得结论．
23、【答案】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
∵AB=6cm，
∴AD=BD=
AB=3，
∴PD=PA+AD=4+3=7．
在Rt△AOD中，
∵OA=5，
∴OD=
=
=4．
在Rt△OPD中，OP=
=
=
．
【考点】勾股定理，垂径定理的应用
【解析】【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AD=BD=
12
AB=3，根据PD=PA+AD可得出PD的长，再根据勾股定理求出OD及OP的长即可．
四、综合题
24、【答案】（1）解：△OMN如图所示；
（2）解：△A′B′C′如图所示；
（3）解：设OE=x，则ON=x，作MF⊥A′B′于点F，
由作图可知：B′C′平分∠A′B′O，且C′O⊥O
B′，
所以，B′F=B′O=OE=x，F
C′=O
C′=OD=3，
∵A′C′=AC=5，
∴A′F=
=4，
∴A′B′=x+4，A′O=5+3=8，
在Rt△A′B′O中，x2+82=（4+x）2
，
解得x=6，
即OE=6．
【考点】角平分线的性质，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）以点O为圆心，以OE为半径画弧，与y轴正半轴相交于点N，以OD为半径画弧，与x轴负半轴相交于点M，连接MN即可；（2）以M为圆心，以AC长为半径画弧与x轴负半轴相交于点A′，B′与N重合，C′与M重合，然后顺次连接即可；（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A′B′于点F，判断出B′C′平分∠A′B′O，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等和角平分线的对称性可得B′F=B′O=OE=x，F
C′=O
C′=OD=3，利用勾股定理列式求出A′F，然后表示出A′B′、A′O，在Rt△A′B′O中，利用勾股定理列出方程求解即可．