第5章 二次根式单元检测B卷
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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二次根式单元检测B卷
姓名：__________班级：__________学号：__________
、选择题（本大题共12小题 ）
计算|2﹣|+|4﹣|的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．2﹣6 D．6﹣2
化简二次根式的结果是（ ）
A．﹣a B． C．|a| D．
下列各组二次根式中，x的取值范围相同的是（ ）
A．与 B．（）2与 C．与 D．与
已知, 则的值为（ ）
A． B． C． D．
已知是整数，则满足条件的最小正整数n为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
在下列各式的化简中，化简正确的有（ ）
①=a，②5x﹣=4x，③6a=，④+=10
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
下列各实数中最大的一个是（ ）
A．5× B． C． D．+
（﹣2）2008（+2）2007的值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
已知，，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，则a的值等于（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣9 D．9
已知a是1997的算术平方根的整数部分，b是1991的算术平方根的小数部分，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
计算：=（ ）
A． B． C． D．
、填空题（本大题共6小题 ）
观察分析下列数据，寻找规律：0，-，，-，2，-5，，…则第100个数据应是 ．
对于X，Y定义一种新运算“*”：X*Y=aX+bY，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若成立，那么2*3= ．
如果（x﹣）（y﹣）=2008，求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007= ．
已知：x=，y=，那么x2+y2的值为 ．
已知x1=+，x2=﹣，则x12+x22= ．
设的整数部分是a，小数部分是b，则的值是 ．
、解答题（本大题共8小题 ）
计算：
（1） （2）．
小东在学习了后， 认为也成立， 因此他认为一个化简过程：=是正确的. 你认为他的化简对吗 如果不对请说明理由并改正.
观察下列格式，-，，，…
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
对于“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．
甲的解答是：+=+=+﹣a=﹣a=；
乙的解答是：+=+=+a﹣=a=．
（1） 的解答是错误的；
（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质： ．
（3）化简并求值：|1﹣a|+，其中a=2．
（1）要使在实数范围内有意义，求x的取值范围；
（2）实数x，y满足条件：y=++，求（x+y）100的值．
如图是一个正方体展开图，已知正方体相对两面的代数式的值相等；
（1）求a、b、c 的值；
（2）判断a+b-c的平方根是有理数还是无理数．
已知a，b为正实数，试比较+与+的大小．
（1）设a、b、c、d为正实数，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一个三角形的三边长分别为，，，求此三角形的面积；
（2）已知a，b均为正数，且a+b=2，求U=的最小值．
答案解析
、选择题
【分析】先进行绝对值的化简，然后合并同类二次根式求解．
解：原式=﹣2+4﹣
=2．
故选B
【分析】根据题意可判断ab≤0，不能确定a的符号，利用二次根式的意义化简，注意添加绝对值．
解：原式==|a|．
故选C．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，分别求x的取值范围，比较是否相同．
解：A．第一个式子中x≥﹣1，第二个式子中x≥1；故错误；
B、第一个式子中x≥0，第二个式子中x取任意实数；故错误；
C、两者都是x取任意实数；故正确；
D、第一个式子中x＞0；第二个式子中x≥0，故错误．
故选C．
解：由题意,知≥≥，
所以
故选A
【分析】因为是整数，且==2，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．
解：∵==2，且是整数；
∴2是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故本题选D．
【分析】分别对每个等式进行化简，看是否成立．
解：①二次根式有意义，a≥0，∴=a，正确；
②5x﹣=（5x﹣1），错误；
③2b不能直接进行根号的运算，因为不能确定b的符号，错误；
对于④+=2+=，错误；
综上可知①正确．
故选A．
【分析】分别把四个选项的值同1进行比较，A要根据二次根式的性质把5移到根号里面去；C中要先把分母有理化再同一进行比较；D中要把原式化为完全平方式的形式再同1进行比较．
解：A中5×==＜1；
B中∵π=3.14159＞3.141，
∴＜1；
C中===（-1）＞1；
D中∵＜=0.25，
∴2＜0.5，
∴0.3+2+0.2＜1，即（+）2＜1，
∴+＜1．
故选C．
【分析】根据am bm=（ab）m，先把原式化简后再求值．
解：原式=（﹣2）（﹣2）2007（+2）2007
=（﹣2）×（﹣1）=2﹣．
故选D．
【分析】根据同类二次根式的意义，将题中的根式化简，找到被开方数相同者即可．
解：=
A．=与被开方数不同，不是同类二次根式；
B、=与被开方数相同，是同类二次根式；
C、=与被开方数相同，是同类二次根式；
D、=与被开方数相同，是同类二次根式．
故选：A．
【分析】观察已知等式可知，两个括号里分别有m2﹣2m，n2﹣2n的结构，可由已知m、n的值移项，平方得出m2﹣2m，n2﹣2n的值，代入已知等式即可．
解：由m=1+得m﹣1=，
两边平方，得m2﹣2m+1=2
即m2﹣2m=1，同理得n2﹣2n=1．
又（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，
所以（7+a）（3﹣7）=8，
解得a=﹣9
故选C．
【分析】将a，b求出，代入即可，a=44，b=．
解：∵a是1997的算术平方根的整数部分，b是1991的算术平方根的小数部分
∴
∴
=
=
=
=
故选C．
【分析】根据每个加数的特点，推出一般规律为，将所得式子化简，分别取n=1，2，3，…，40，寻找抵消规律，得出结论．
解：∵
=（）
=（）
=（）
=（-）
∴分别取n=1，2，3，…，40得
原式=[（1-）+（-）+（-）+…+（-）]
=（1-）=．
故选B．
、填空题
【分析】将各数写为含有二次根式的形式，然后得出被开方数的规律，继而可得出第100个数据
解：第一个数据为：，第二个数据为：-，第三个数据为：，第四个数据为：-…
从而发现偶数为负，奇数为正，且被开方数比前一个数的被开方数大5，
故可得第n个数据为：（-1）n+1，
则第100个数据为：-=-3．
故答案为：-3．
【分析】利用二次方根式的被开方数是非负数求得a=2；然后将a=2代入已知等式中求得b=﹣1；最后利用新定义运算法则知2*3=2a+3b=2×2+3×（﹣1）=4﹣3=1．
解：∵，
∴a=2，
∴由，得
2b=，
解得，b=﹣1，
∵X*Y=aX+bY，
∴2*3=2a+3b=2×2+3×（﹣1）=4﹣3=1；
故答案是1．
【分析】设a=，b=，得出x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．
解：设a=，b=，则x2﹣a2=y2﹣b2=2008，
∴（x+a）（x﹣a）=（y+b）（y﹣b）=2008①
∵（x﹣a）（y﹣b）=2008②
∴由①②得
x+a=y﹣b，x﹣a=y+b
∴x=y，a+b=0，
∴+=0，
∴x2=y2=2008，
∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008﹣2×2008+3（x﹣y）﹣2007=2008+3×0﹣2007=1．
故答案为：1．
【分析】将x、y的值化简，分别求出x+y、xy的值，根据x2+y2=（x+y）2-2xy求解．
解：∵x==-，y==+，
∴x+y=2，xy=1，
∴x2+y2=（x+y）2-2xy=（2）2-2=10．
故本题答案为10．
【分析】首先把x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，再进一步代入求得数值即可．
解：∵x1=+，x2=﹣，
∴x12+x22
=（x1+x2）2﹣2x1x2
=（++﹣）2﹣2（+）×（﹣）
=12﹣2
=10．
故答案为：10．
【分析】将分母有理化，确定整数部分a的值，再用这个数减a，得b的值，代入所求代数式计算．
解：∵=，
∴整数部分a=2，小数部分b=-2=，
∴=22+（1+）×2×
=4+7-1=10．
故本题答案为：10．
、解答题
【分析】（1）根据去括号法则去括号，并且化成最简根式，合并同类二次根式即可；
（2）运用完全平方公式和平方差公式展开，再合并即可．
解：（1）原式=2﹣2+=．
（2）原式=3﹣2+2+3﹣2=6﹣2．
解：不对.
理由：因为只有正数有平方根，负数是没有平方根的，
所以这一步是错误的.
注意的前提条件是.
正确的化简过程是：
【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；
（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；
（3）根据（1）的规律可得-，然后分母有理化，求出结果即可．
解：（1）-=-=-=-1，
=-=-2，
==-3，
=-=-4，
（2）-=-5，
（3）-=-=-n．
【分析】（1）由二次根式的化简可得乙的解答是错误的；
（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：=|a|；
（3）利用二次根式的性质化简求值即可．
解：（1）乙的解答是错误的，
故答案为：乙．
（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：=|a|，
故答案为：=|a|．
（3）∵a=2，
∴|1﹣a|+=a﹣1+4a﹣1=5a﹣2=8．
【分析】（1）根据二次根式中的被开方数必须是非负数，可求x的取值范围；
（2）根据二次根式中的被开方数必须是非负数，可求x的取值，从而得到y的值，代入即可求出（x+y）100的值．
解：（1）∵负数没有算术平方根
∴1-2x≥0，x≤，
∴x的取值范围是：x≤
（2）根据题意有：
∴2x-1=0，x=
把
得：
∴
【分析】（1）根据正方体相对两面的代数式的值相等可列出方程组，从而解出即可得出答案．
（2）根据（1）的结果，将各组数据分别代入可判断出结果．
解：1）依题意，得 ，
由 ①、②得方程组：，
解得：，
由③得：c=±2，
∴a=3，b=1，c=±2．
（2）当a=3，b=1，c=-2 时
a+b-c=3+1+2=6，
a=3，b=1，c=2时
a+b-c=3+1-2=2，
∵和都是无理数
∴a+b-c 的平方根是无理数．
【分析】先将两个代数式作差，将（+）﹣（+）化简变形后，根据所得结果的符号，即可得出大小关系．
解：作差，得：
（+）﹣（+）
=（﹣）+（﹣）
=+
=
=
∵a、b为正实数
∴≥0
∴+≥+
【分析】（1）显然不能用面积公式求三角形面积，的几何意义是以a、c为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决；
（2）用代数的方法求U的最小值较繁，运用对称分析，借助图形求U的最小值．
解：如图1，作长方形ABCD，使AB=b-a，AD=c，
延长DA至E，使DE=d，延长DC至F，使DF=b，连接EF、FB，
则BF=，EF=，BE=，
从而可知△BEF就是题设的三角形；
而S△BEF=S长方形ABCD+S△BCF+S△ABE-S△DEF
=（b-a）c+ac+（d-c）（b-a）-bd
=（bc-ad）；
（2）将b=2-a代入U=中，得U=+，
构造图形（如图2），
可得U的最小值为A′B==．
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二次根式单元检测B卷
姓名：__________班级：__________学号：__________
、选择题（本大题共12小题 ）
计算|2﹣|+|4﹣|的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．2﹣6 D．6﹣2
化简二次根式的结果是（ ）
A．﹣a B． C．|a| D．
下列各组二次根式中，x的取值范围相同的是（ ）
A．与 B．（）2与 C．与 D．与
已知, 则的值为（ ）
A． B． C． D．
已知是整数，则满足条件的最小正整数n为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
在下列各式的化简中，化简正确的有（ ）
①=a，②5x﹣=4x，③6a=，④+=10
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
下列各实数中最大的一个是（ ）
A．5× B． C． D．+
（﹣2）2008（+2）2007的值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
已知，，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，则a的值等于（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣9 D．9
已知a是1997的算术平方根的整数部分，b是1991的算术平方根的小数部分，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
计算：=（ ）
A． B． C． D．
、填空题（本大题共6小题 ）
观察分析下列数据，寻找规律：0，-，，-，2，-5，，…则第100个数据应是 ．
对于X，Y定义一种新运算“*”：X*Y=aX+bY，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若成立，那么2*3= ．
如果（x﹣）（y﹣）=2008，求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007= ．
已知：x=，y=，那么x2+y2的值为 ．
已知x1=+，x2=﹣，则x12+x22= ．
设的整数部分是a，小数部分是b，则的值是 ．
、解答题（本大题共8小题 ）
计算：
（1） （2）．
小东在学习了后， 认为也成立， 因此他认为一个化简过程：=是正确的. 你认为他的化简对吗 如果不对请说明理由并改正.
观察下列格式，-，，，…
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
对于“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．
甲的解答是：+=+=+﹣a=﹣a=；
乙的解答是：+=+=+a﹣=a=．
（1） 的解答是错误的；
（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质： ．
（3）化简并求值：|1﹣a|+，其中a=2．
（1）要使在实数范围内有意义，求x的取值范围；
（2）实数x，y满足条件：y=++，求（x+y）100的值．
如图是一个正方体展开图，已知正方体相对两面的代数式的值相等；
（1）求a、b、c 的值；
（2）判断a+b-c的平方根是有理数还是无理数．
已知a，b为正实数，试比较+与+的大小．
（1）设a、b、c、d为正实数，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一个三角形的三边长分别为，，，求此三角形的面积；
（2）已知a，b均为正数，且a+b=2，求U=的最小值．
答案解析
、选择题
【分析】先进行绝对值的化简，然后合并同类二次根式求解．
解：原式=﹣2+4﹣
=2．
故选B
【分析】根据题意可判断ab≤0，不能确定a的符号，利用二次根式的意义化简，注意添加绝对值．
解：原式==|a|．
故选C．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，分别求x的取值范围，比较是否相同．
解：A．第一个式子中x≥﹣1，第二个式子中x≥1；故错误；
B、第一个式子中x≥0，第二个式子中x取任意实数；故错误；
C、两者都是x取任意实数；故正确；
D、第一个式子中x＞0；第二个式子中x≥0，故错误．
故选C．
解：由题意,知≥≥，
所以
故选A
【分析】因为是整数，且==2，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．
解：∵==2，且是整数；
∴2是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故本题选D．
【分析】分别对每个等式进行化简，看是否成立．
解：①二次根式有意义，a≥0，∴=a，正确；
②5x﹣=（5x﹣1），错误；
③2b不能直接进行根号的运算，因为不能确定b的符号，错误；
对于④+=2+=，错误；
综上可知①正确．
故选A．
【分析】分别把四个选项的值同1进行比较，A要根据二次根式的性质把5移到根号里面去；C中要先把分母有理化再同一进行比较；D中要把原式化为完全平方式的形式再同1进行比较．
解：A中5×==＜1；
B中∵π=3.14159＞3.141，
∴＜1；
C中===（-1）＞1；
D中∵＜=0.25，
∴2＜0.5，
∴0.3+2+0.2＜1，即（+）2＜1，
∴+＜1．
故选C．
【分析】根据am bm=（ab）m，先把原式化简后再求值．
解：原式=（﹣2）（﹣2）2007（+2）2007
=（﹣2）×（﹣1）=2﹣．
故选D．
【分析】根据同类二次根式的意义，将题中的根式化简，找到被开方数相同者即可．
解：=
A．=与被开方数不同，不是同类二次根式；
B、=与被开方数相同，是同类二次根式；
C、=与被开方数相同，是同类二次根式；
D、=与被开方数相同，是同类二次根式．
故选：A．
【分析】观察已知等式可知，两个括号里分别有m2﹣2m，n2﹣2n的结构，可由已知m、n的值移项，平方得出m2﹣2m，n2﹣2n的值，代入已知等式即可．
解：由m=1+得m﹣1=，
两边平方，得m2﹣2m+1=2
即m2﹣2m=1，同理得n2﹣2n=1．
又（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，
所以（7+a）（3﹣7）=8，
解得a=﹣9
故选C．
【分析】将a，b求出，代入即可，a=44，b=．
解：∵a是1997的算术平方根的整数部分，b是1991的算术平方根的小数部分
∴
∴
=
=
=
=
故选C．
【分析】根据每个加数的特点，推出一般规律为，将所得式子化简，分别取n=1，2，3，…，40，寻找抵消规律，得出结论．
解：∵
=（）
=（）
=（）
=（-）
∴分别取n=1，2，3，…，40得
原式=[（1-）+（-）+（-）+…+（-）]
=（1-）=．
故选B．
、填空题
【分析】将各数写为含有二次根式的形式，然后得出被开方数的规律，继而可得出第100个数据
解：第一个数据为：，第二个数据为：-，第三个数据为：，第四个数据为：-…
从而发现偶数为负，奇数为正，且被开方数比前一个数的被开方数大5，
故可得第n个数据为：（-1）n+1，
则第100个数据为：-=-3．
故答案为：-3．
【分析】利用二次方根式的被开方数是非负数求得a=2；然后将a=2代入已知等式中求得b=﹣1；最后利用新定义运算法则知2*3=2a+3b=2×2+3×（﹣1）=4﹣3=1．
解：∵，
∴a=2，
∴由，得
2b=，
解得，b=﹣1，
∵X*Y=aX+bY，
∴2*3=2a+3b=2×2+3×（﹣1）=4﹣3=1；
故答案是1．
【分析】设a=，b=，得出x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．
解：设a=，b=，则x2﹣a2=y2﹣b2=2008，
∴（x+a）（x﹣a）=（y+b）（y﹣b）=2008①
∵（x﹣a）（y﹣b）=2008②
∴由①②得
x+a=y﹣b，x﹣a=y+b
∴x=y，a+b=0，
∴+=0，
∴x2=y2=2008，
∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008﹣2×2008+3（x﹣y）﹣2007=2008+3×0﹣2007=1．
故答案为：1．
【分析】将x、y的值化简，分别求出x+y、xy的值，根据x2+y2=（x+y）2-2xy求解．
解：∵x==-，y==+，
∴x+y=2，xy=1，
∴x2+y2=（x+y）2-2xy=（2）2-2=10．
故本题答案为10．
【分析】首先把x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，再进一步代入求得数值即可．
解：∵x1=+，x2=﹣，
∴x12+x22
=（x1+x2）2﹣2x1x2
=（++﹣）2﹣2（+）×（﹣）
=12﹣2
=10．
故答案为：10．
【分析】将分母有理化，确定整数部分a的值，再用这个数减a，得b的值，代入所求代数式计算．
解：∵=，
∴整数部分a=2，小数部分b=-2=，
∴=22+（1+）×2×
=4+7-1=10．
故本题答案为：10．
、解答题
【分析】（1）根据去括号法则去括号，并且化成最简根式，合并同类二次根式即可；
（2）运用完全平方公式和平方差公式展开，再合并即可．
解：（1）原式=2﹣2+=．
（2）原式=3﹣2+2+3﹣2=6﹣2．
解：不对.
理由：因为只有正数有平方根，负数是没有平方根的，
所以这一步是错误的.
注意的前提条件是.
正确的化简过程是：
【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；
（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；
（3）根据（1）的规律可得-，然后分母有理化，求出结果即可．
解：（1）-=-=-=-1，
=-=-2，
==-3，
=-=-4，
（2）-=-5，
（3）-=-=-n．
【分析】（1）由二次根式的化简可得乙的解答是错误的；
（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：=|a|；
（3）利用二次根式的性质化简求值即可．
解：（1）乙的解答是错误的，
故答案为：乙．
（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：=|a|，
故答案为：=|a|．
（3）∵a=2，
∴|1﹣a|+=a﹣1+4a﹣1=5a﹣2=8．
【分析】（1）根据二次根式中的被开方数必须是非负数，可求x的取值范围；
（2）根据二次根式中的被开方数必须是非负数，可求x的取值，从而得到y的值，代入即可求出（x+y）100的值．
解：（1）∵负数没有算术平方根
∴1-2x≥0，x≤，
∴x的取值范围是：x≤
（2）根据题意有：
∴2x-1=0，x=
把
得：
∴
【分析】（1）根据正方体相对两面的代数式的值相等可列出方程组，从而解出即可得出答案．
（2）根据（1）的结果，将各组数据分别代入可判断出结果．
解：1）依题意，得 ，
由 ①、②得方程组：，
解得：，
由③得：c=±2，
∴a=3，b=1，c=±2．
（2）当a=3，b=1，c=-2 时
a+b-c=3+1+2=6，
a=3，b=1，c=2时
a+b-c=3+1-2=2，
∵和都是无理数
∴a+b-c 的平方根是无理数．
【分析】先将两个代数式作差，将（+）﹣（+）化简变形后，根据所得结果的符号，即可得出大小关系．
解：作差，得：
（+）﹣（+）
=（﹣）+（﹣）
=+
=
=
∵a、b为正实数
∴≥0
∴+≥+
【分析】（1）显然不能用面积公式求三角形面积，的几何意义是以a、c为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决；
（2）用代数的方法求U的最小值较繁，运用对称分析，借助图形求U的最小值．
解：如图1，作长方形ABCD，使AB=b-a，AD=c，
延长DA至E，使DE=d，延长DC至F，使DF=b，连接EF、FB，
则BF=，EF=，BE=，
从而可知△BEF就是题设的三角形；
而S△BEF=S长方形ABCD+S△BCF+S△ABE-S△DEF
=（b-a）c+ac+（d-c）（b-a）-bd
=（bc-ad）；
（2）将b=2-a代入U=中，得U=+，
构造图形（如图2），
可得U的最小值为A′B==．
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