选修1-2 第二章 2.1 课时作业34
一、选择题
1．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是( )
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
解析：只有平行四边形与平行六面体较为接近．
答案：C
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
A．①
B．①②
C．①②③
D．③
解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边
( http: / / www.21cnjy.com )类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．
答案：C
3．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( )
A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交
B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直
C．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行
D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行
解析：推广到空间以后，对于A，还有可能异面，对于C还有可能异面，对于D，还有可能异面．
答案：B
4．已知结论：“在正三角形AB
( http: / / www.21cnjy.com )C中，若D是BC边的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A－BCD中，若ΔBCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则＝( )
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
解析：面的重心类比几何体重心，平面类比空间，
＝2类比＝3，故选C.
答案：C
二、填空题
5．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程A
( http: / / www.21cnjy.com )x＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O－xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示__________________．
解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比
( http: / / www.21cnjy.com )到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O－xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．
答案：过原点的平面
6．[2014·潍坊质检]
( http: / / www.21cnjy.com )在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体A－BCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________.
解析：平面几何中，圆的面积与圆半径的平方成正
( http: / / www.21cnjy.com )比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，设正四面A－BCD的棱长为a，可得其内切球的半径为a，外接球的半径为a，则＝.
答案：
7．给出下列推理：
(1)三角形的内角和为(3－2)·180°，
四边形的内角和为(4－2)·180°，
五边形的内角和为(5－2)·180°，
…
所以凸n边形的内角和为(n－2)·180°；
(2)三角函数都是周期函数，y＝tanx是三角函数，所以y＝tanx是周期函数；
(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；
(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．
其中属于合情推理的是__________．(填序号)
解析：根据合情推理的定义来判断．因
( http: / / www.21cnjy.com )为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．
答案：(1)(3)(4)
三、解答题
8．在公差为3的等差数列{an}中，若
( http: / / www.21cnjy.com )Sn是{an}的前n项和，则有S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，且公差为300.类比上述结论，相应的在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是bn的前n项积，试得出类似结论并证明．
解：类比等差数列可得等比数列对应性质：
在公比为4的等比数列{bn}中，Tn表示bn的前n项积，则，，也成等比数列且公比为4100.
证明如下：Tn＝b1b2…bn＝b1·b1q·b1q2…b1qn－1
＝bq0＋1＋2＋…＋(n－1)＝bq＝b·4，
∴T10＝b·445，T20＝b4190，T30＝b4435，T40＝b4780.
∴＝b·4145，＝b4245，＝b4345.
而＝4100，＝4100，
∴，，是以4100为公比的等比数列．
9．已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于
( http: / / www.21cnjy.com )原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．
解：类似的性质为：若M，N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，
则N(－m，－n)．
因为点M(m，n)在已知的双曲线上，
所以n2＝m2－b2，同理，y2＝x2－b2.
则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．第二章 单元综合检测(二)
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和都是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．
仅①②
B．
①③④
C．
①②④
D．
仅②④
解析：合情推理包括归纳推理和类比
( http: / / www.21cnjy.com )推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．归纳推理，应是由部分对象的特征，推出全部对象的特征．②④都具备此特征，①是类比推理，③中仅有一个同学的成绩，并不能推出全班同学的成绩，故选C.
答案：C
2．下列有关三段论推理“凡是自然数是整数，4是自然数，所以4是整数”的说法正确的是( )
A．推理正确
B．推理形式错误
C．大前提错误
D．小前提错误
解析：三段论中的大前提、小前提以及推理形式都是正确的，所以结论正确．
答案：A
3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面__________．”( )
A．各正三角形内一点
B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选C.
答案：C
4．已知命题p1为真命题，命题p2为假
( http: / / www.21cnjy.com )命题，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：( p1)∨p2和q4：p1∧( p2)中，真命题是( )
A．
q1，q3
B．
q2，q3
C．
q1，q4
D．
q2，q4
解析：由复合命题的真值表知，q1：p1∨
( http: / / www.21cnjy.com )p2为真，q2：p1∧p2为假，q3：( p1)∨p2为假，q4：p1∧( p2)为真，故真命题是q1，q4，故选C.
答案：C
5．用反证法证明：若a≥b>0，则＋2－a≤＋2－b的假设为( )
A．
＋2－a<＋2－b
B．
＋2－a≥＋2－b
C．
＋2－a>＋2－b
D．
＋2－a≤＋2－b
解析：易知“≤”的对立面为“>”．故选C.
答案：C
6．已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝1，则可归纳出{an}的一个通项公式为( )
A．an＝
B．an＝
C．an＝
D．an＝
解析：由an＋1＝和a1＝1得a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝，a5＝＝＝.归纳上述结果，得到猜想：an＝.
答案：A
7．如下图所示，4个小动物换
( http: / / www.21cnjy.com )座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐1,2,3,4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，第4次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2010次互换座位后，小兔所坐的座位号为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由题意得第4次互换
( http: / / www.21cnjy.com )座位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，而2010＝4×502＋2，所以第2010次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同，故小兔坐在2号座位上，应选B.
答案：B
8．已知x>0，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为( )
A．
n2
B．
nn
C．
2n
D．
22n－2
解析：由x＋≥2，x＋＝x＋≥3，
x＋＝x＋≥4，…，
可推广为x＋≥n＋1，故a＝nn.
答案：B
9．若实数a，b满足0
A．
B．
2ab
C．
a2＋b2
D．
a
解析：∵a＋b＝1，a＋b>2，∴2ab<，
由a2＋b2>＝，又∵0∴a<，∴a2＋b2最大．
答案：C
10．对于奇数列1,3,5,7,9，…，
( http: / / www.21cnjy.com )现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内奇数之和Sn与其组的编号数n的关系是( )
A．Sn＝n2
B．Sn＝n3
C．Sn＝n4
D．Sn＝n(n＋1)
解析：当n＝1时，S1＝1；当n＝2时，S2＝8＝23；当n＝3时，S3＝27＝33；∴归纳猜想Sn＝n3，故选B.
答案：B
11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：
他们研究过图(1)中的1,3,6,10
( http: / / www.21cnjy.com )，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数，又是正方形数的是( )
A．289
B．1024
C．1225
D．1378
解析：根据图形的规律可知，第n个三角形
( http: / / www.21cnjy.com )数为an＝，第n个正方形数为bn＝n2，由此可排除选项D(1378不是平方数)，将选项A，B，C中的数代入到三角形数与正方形数表达式中检验可知，符合题意的是选项C，故选C.
答案：C
12．六个面都是平行四边形的四棱
( http: / / www.21cnjy.com )柱称为平行六面体．如图(1)所示，在平行四边形ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在图(2)所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC＋BD＋CA＋DB等于( )
A．2(AB2＋AD2＋AA)
B．3(AB2＋AD2＋AA)
C．4(AB2＋AD2＋AA)
D．4(AB2＋AD2)
解析：如图，连A1C1，AC，
则四边形AA1C1C是平行四边形，故A1C2＋AC＝2(AA＋AC2)．
连BD，B1D1，
则四边形BB1D1D是平行四边形，
∴BD＋DB＝2(BB＋BD2)．
又在 ABCD中，AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，AA＝BB，
∴AC＋BD＋CA＋DB
＝2(AA＋AC2)＋2(BB＋BD2)
＝2(AC2＋BD2＋BB＋AA)
＝2[2(AB2＋AD2)＋2AA]
＝4(AB2＋AD2＋AA)．
故选C.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n≥2时，有________．
解析：观测f(n)中n的规律为2k(k＝1,2，…)
不等式右侧分别为，k＝1,2，…，
∴f(2n)>(n≥2)．
答案：f(2n)>(n≥2)
14．若符号“
”表示求实数a与b
( http: / / www.21cnjy.com )的算术平均数的运算，即a
b＝，则a＋(b
c)用含有运算符号“
”和“＋”表示的另一种形式是________．
解析：a＋(b
c)＝a＋＝
＝＝(a＋b)
(a＋c)．
答案：(a＋b)
(a＋c)
15．观察下图：
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
…
则第__________行的各数之和等于20112.
解析：观察知，图中的第n行的各数构成一个首项为n，公差为1，共(2n－1)项的等差数列，其各项和为：
Sn＝(2n－1)n＋＝(2n－1)n＋(2n－1)(n－1)＝(2n－1)2.
令(2n－1)2＝20112，得2n－1＝2011.
∴n＝1006.
答案：1006
16．中学数学中存在许多关系
( http: / / www.21cnjy.com )，比如“相等关系”“平行关系”等．如果集合A中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件：(1)自反性；对于任意a∈A，都有a～a；(2)对称性：对于a，b∈A，若a～b，则有b～a；(3)传递性：对于a，b，c∈A，若a～b，b～c，则有a～c.
则称“～”是集合A的一个等价关系．例如
( http: / / www.21cnjy.com )：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)．请你再列出三个等价关系：______________________________________________________.
答案：图形的全等”“图形的相似”“非零向量的共线”(答案不唯一)
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)观察右图，可以发现：
1＋3＝4＝22，
1＋3＋5＝9＝32，
1＋3＋5＋7＝16＝42，
1＋3＋5＋7＋9＝25＝52，
……
由上述具体事实能得出怎样的结论？
解：将上述事实分别叙述如下：
对于正整数，有
前2个奇数的和等于2的平方；
前3个奇数的和等于3的平方；
前4个奇数的和等于4的平方；
前5个奇数的和等于5的平方；
……
由此猜想：前n(n∈N
)个连续奇数的和等于n的平方，即1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.
18．(12分)[2012·江苏高考]已知
( http: / / www.21cnjy.com )各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an＋1＝，n∈N
，bn＋1＝·，n∈N
，且{an}是等比数列，求证：an＝a1，n∈N
.
解：∵an>0，bn>0，∴≤a＋b<(an＋bn)2，∴1)
设等比数列{an}的公比为q，由an>0知q>0，下面用反证法证明q＝1：
若q>1，则a1＝logq时，an＋1＝a1qn>，与(
)矛盾；
若0a2>1，∴当n>logq时，an＋1＝a1qn<1，与(
)矛盾．
综上所述，q＝1，从而an＝a1，n∈N
.
19．(12分)已知函数f(x)＝ax＋(a>1)，用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
证明：假设方程f(x)＝0有负数根，设为x0(x0≠－1)．则有x0<0，且f(x0)＝0.
∴ax0＋＝0 ax0＝－.
∵a>1，∴0解上述不等式，得故方程f(x)＝0没有负数根．
20．(12分)如图所示，已知BE，CF分别为△ABC的边AC，AB上的高，G为EF的中点，H为BC的中点．求证：HG⊥EF.
证明：连结HE，HF，由CF⊥AB，且H是BC的中点，可知FH是Rt△BCF斜边上的中线，
所以HF＝BC.
同理可证HE＝BC.
所以HF＝HE，从而△EHF为等腰三角形．
又G为EF的中点，所以HG⊥EF.
21．(12分)已知a、
( http: / / www.21cnjy.com )b、c是不全相等的正数，且0证明：要证logx＋logx＋logx只需证logx(··)由已知0得只需证··>abc.
由公式≥>0，≥>0，
≥>0.
又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴··>＝abc.
即··>abc成立．
∴logx＋logx＋logx22．(12分)已知函数f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，对任意两个不相等的正数x1、x2，证明：当a≤0时，>f()．
证明：由f(x)＝x2＋＋aln
x，
得＝(x＋x)＋(＋)＋(ln
x1＋ln
x2)
＝(x＋x)＋＋aln
f()＝()2＋＋aln
，
∵x1≠x2且都为正数，
有(x＋x)>[(x＋x)＋2x1x2]＝()2.
①
又(x1＋x2)2＝(x＋x)＋2x1x2>4x1x2，
∴>.
②
∵<，
∴ln.
∵a≤0，∴aln
≥aln
.
③
由①②③得
(x＋x)＋＋aln>()2＋＋aln
即>f()．选修1-2 第三章 3.2 课时作业40
一、选择题
1．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于( )
A．1＋i
B．1＋3i
C．－1－i
D．－1－3i
解析：z＝(4＋i)－(3－2i)＝1＋3i.
答案：B
2．已知z1＝3－4i，z2＝－5＋2i，z1，z2对应的点分别为P1，P2，则对应的复数为( )
A．
－8＋6i
B．
8－6i
C．
8＋6i
D．
－2－2i
解析：∵＝－，
∴对应的复数为：
z1－z2＝3－4i－(－5＋2i)
＝(3＋5)＋(－4－2)i＝8－6i.
答案：B
3．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是( )
A．
等腰三角形
B．
直角三角形
C．
等边三角形
D．
等腰直角三角形
解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△OAB为直角三角形．
答案：B
4．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在( )
A．
第一象限
B．
第二象限
C．
第三象限
D．
第四象限
解析：∵z＝3－4i，
∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－＋1－i
＝(3－5＋1)＋(－4－1)i＝－1－5i.
∴复数对应的点在第三象限．
答案：C
二、填空题
5．(2x＋3yi)－(3x－2yi)＋(y－2xi)－3xi＝__________.(x，y∈R)
解析：原式＝(2x－3x＋y)＋(3y＋2y－2x－3x)i
＝(y－x)＋5(y－x)i.
答案：(y－x)＋5(y－x)i
6．在复平面上，复数－3－2i，－4＋5i,2＋i，z分别对应点A，B，C，D，且四边形ABCD为平行四边形，则z＝__________.
解析：由于＝，
∴2＋i－z＝(－4＋5i)－(－3－2i)．
∴z＝3－6i.
答案：3－6i
7．设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2＋i|的最大值是__________．
解析：复数z满足条件|z|＝1，z所对应的点的轨迹是单位圆，而|z＋2＋i|即表示单位圆上的动点到定点(－2，－1)的距离．
即最大值为圆心到(－2，－1)的距离加上半径，
∴|z＋2＋i|的最大值是4.
答案：4
三、解答题
8．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，若z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
解：z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i.
又∵z1－z2＝13－2i，
∴(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i.
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i.
z2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i
＝－8－7i.
9．在平行四边形ABCD中，已知，对应的复数分别为z1＝3＋5i，z2＝－1＋2i.
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数；
(3)求平行四边形ABCD的面积．
解：(1)由于＝＋＝＋，
所以＝－.
故对应的复数为
z＝z1－z2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i.
(2)由于＝－＝－，
所以对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i.
(3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD中，
＝＝(－1,2)，＝＝(4,3)，
∴cos∠DAB＝＝＝.
因此sin∠DAB＝＝.
于是平行四边形ABCD的面积
S＝||||sin∠DAB＝×5×＝11.选修1-2 第二章 2.1 课时作业33
一、选择题
1．下列关于归纳推理的说法错误的是( )
A．归纳推理是由一般到一般的推理过程
B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程
C．归纳推理得出的结论不一定正确
D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
解析：由归纳推理的定义与特征可知选项A错误，选项B，C，D均正确，故选A.
答案：A
2．定义A
B，B
C，C
D，D
B依次对应下列4个图形：
那么下列4个图形中，
可以表示A
D，A
C的分别是( )
A．
1,2
B．
1,3
C．
2,4
D．
1,4
解析：由①②③④可归纳得出：符号“
”表示
( http: / / www.21cnjy.com )图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A
D是图2，A
C是图4.
答案：C
3．观察下列数表规律
则数2014的箭头方向是( )
解析：因上行偶数是首项为2，公差为4的等差
( http: / / www.21cnjy.com )数列，若2014在上行，则2014＝2＋(n－1)·4 n＝504∈N
.故2014在上行，又因为在上行偶数的箭头为an，故选A.
答案：A
4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4
( http: / / www.21cnjy.com )x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x)
B．－f(x)
C．g(x)
D．－g(x)
解析：由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查．
答案：D
二、填空题
5．观察下列等式：13＋23＝
( http: / / www.21cnjy.com )(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…根据上述规律，第四个等式为__________．
解析：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，…，
所以13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.
答案：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2
6．设{an}是首项为1的正数项数
( http: / / www.21cnjy.com )列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N
)，经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．
解析：由首项为1，得a1＝1；
当n＝1时，由2a－1＋a2＝0，得a2＝；
当n＝2时，由3a－2()2＋a3＝0，
即6a＋a3－1＝0，解得a3＝；
…
归纳猜想该数列的通项公式为an＝(n∈N
)．
答案：an＝(n∈N
)
7．[2013·湖北高考]古希腊毕达哥
( http: / / www.21cnjy.com )拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n,3)＝n2＋n，
正方形数
N(n,4)＝n2，
五边形数
N(n,5)＝n2－n，
六边形数
N(n,6)＝2n2－n，
………………
可推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.
解析：首先将三、四、五、六边形数中第n个数的表达式分别通分，化成分母统一为2的形式如下：
三角形数：N(n,3)＝n2＋n＝
＝；
正方形数：N(n,4)＝n2＝；
五边形数：N(n,5)＝－n＝；
六边形数：N(n,6)＝2n2－n＝
＝；
……
根据以上规律总结，推测：N(n，k)＝.
故N(10,24)＝＝1000.
答案：1000
三、解答题
8．已知数列{an}满足条件(n－1)an＋
( http: / / www.21cnjy.com )1＝(n＋1)·an－n－1，且a2＝6，设bn＝an＋n(n∈N
)，猜想数列{bn}的通项公式．
解：a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28，
b1＝2，b2＝8，b3＝18，b4＝32.
可以通过求数列{an}的通项公式来求数列{bn}的通项公式．
我们发现a1＝1＝1×1；a2＝6＝2×3；
a3＝15＝3×5；a4＝28＝4×7；
…，猜想an＝n×(2n－1)，
进而猜想bn＝2n2－n＋n＝2n2.
9．观察下列各式：
sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝；
sin240°＋cos270°＋sin40°cos70°＝；
sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝，
分析以上各式的共同特点，根据其特点写出能反映一般规律的等式，并对等式是否正确加以证明．
解：反映一般规律的等式是：
sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝.
(表达形式不唯一)
该等式是正确的，证明如下：
sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)
＝sin2α＋(cosαcos30°－sinαsin30°)2＋sinα(cosαcos30°－sinαsin30°)
＝sin2α＋2＋sinα·cosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＋sin2α－sinαcosα＋sinαcosα－sin2α＝(sin2α＋cos2α)＝.第二章 单元综合检测(一)
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是( )
A．
归纳推理
B．
类比推理
C．
演绎推理
D．
非以上答案
解析：由偶函数定义，定义域关于原
( http: / / www.21cnjy.com )点对称的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数，∵f(x)＝x2时，f(－x)＝f(x)，∴“f(x)＝x2在R上是偶函数”是利用演绎推理．
答案：C
2．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
A．
使用了归纳推理
B．
使用了类比推理
C．
使用了“三段论”，但大前提错误
D．
使用了“三段论”，但小前提错误
解析：大前提错误，小前提正确．
答案：C
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设( )
A．
三角形的三个内角都不大于60°
B．
三角形的三个内角都大于60°
C．
三角形的三个内角至多有一个大于60°
D．
三角形的三个内角至少有两个大于60°
解析：其假设应是对“至少有一个角不大于60°”的否定，即“都大于60°”．
答案：B
4．分析法是要从证明的结论出发逐步寻求使结论成立的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．等价条件
解析：由分析法定义知选A.
答案：A
5．[2012·江西高考]观察下列各
( http: / / www.21cnjy.com )式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．
28
B．
76
C．
123
D．
199
解析：记an＋bn＝f(n)，则f(
( http: / / www.21cnjy.com )3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N
，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
答案：C
6．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )
A．
2ab－1－a2b2≤0
B．
a2＋b2－1－≤0
C．
－1－a2b2≤0
D．
(a2－1)(b2－1)≥0
解析：因式分解可得．
答案：D
7．设f(x)是定义在正整数集上的
( http: / / www.21cnjy.com )函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
解析：由题设f(x)满足：“当f(x)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，因此，对于A不一定有k＝1,2时成立．
对于B、C显然错误．
对于D，∵f(4)＝25>42，因此对于任意的k≥4，
有f(k)≥k2成立．
答案：D
8．设正数x，y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是( )
A．
(0,6]
B．
[6，＋∞)
C．
[1＋，＋∞)
D．
(0,1＋]
解析：x＋y＋3＝xy≤()2 (x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，故x＋y≥6，当且仅当x＝y＝3时等号成立．
答案：B
9．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值( )
A．一定是正数
B．一定是负数
C．可能是零
D．正、负不能确定
解析：∵(a＋b＋c)2＝0，
∴ab＋bc＋ac＝－(a2＋b2＋c2)<0.
又abc>0，∴＋＋＝<0.
答案：B
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( )
A．
B．
C．
D．
解析：∵Sn＝n2·an(a≥2)，a1＝1，
∴S2＝4·a2＝a1＋a2 a2＝＝.
S3＝9a3＝a1＋a2＋a3 a3＝＝＝.
S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4 a4＝＝.
∴猜想an＝.
答案：B
11．若函数f(x)＝x2－2x＋m(x∈R)有两个零点，并且不等式f(1－x)≥－1恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．
(0,1)
B．
[0,1)
C．
(0,1]
D．
[0,1]
解析：∵f(x)＝x2－2x＋m有两个零点，
∴4－4m>0，∴m<1.
由f(1－x)≥－1，得(1－x)2－2(1－x)＋m≥－1，
即x2＋m≥0，∴m≥－x2.
∵－x2的最大值为0，∴0≤m<1.
答案：B
12．某人在上楼梯时，一步上一个台阶
( http: / / www.21cnjy.com )或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f(1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f(2)种走法，……则他从平地上到第n(n≥3)级台阶时的走法f(n)等于( )
A．f(n－1)＋1
B．f(n－2)＋2
C．f(n－2)＋1
D．f(n－1)＋f(n－2)
解析：到第n级台阶可分两类：从第n
( http: / / www.21cnjy.com )－2级一步到第n级有f(n－2)种走法，从第n－1级到第n级有f(n－1)种走法，共有f(n－1)＋f(n－2)种走法．
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N
)，那么f(n＋1)－f(n)＝__________.
解析：f(n＋1)－f(n)＝(＋＋…＋＋＋)－(＋＋…＋)＝＋－＝－.
答案：－
14．[2014·课标全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合丙的回答可得乙去过A城市．
答案：A
15．由“等腰三角形的两
( http: / / www.21cnjy.com )底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是____________________________________________．
解析：等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比．
答案：正棱锥各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等
16．[2012·陕西高考]观察下列不等式
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
……
照此规律，第五个不等式为________________．
解析：观察得出规律，第n(n∈N
)个不等式的左边为1＋＋＋…＋，右边为，因此可得第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.
答案：1＋＋＋＋＋<
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)用反证法证明：已知a与b均为有理数，且与都是无理数，证明：＋是无理数．
证明：假设＋为有理数，
则(＋)(－)＝a－b，
由a>0，b>0，得＋>0.
∴－＝.
∵a、b为有理数且＋为有理数，
∴即－为有理数．
∴(＋)＋(－)，即2为有理数．
从而也就为有理数，这与已知为无理数矛盾，
∴＋一定为无理数．
18．(12分)已知a、b、c是不等正数，且abc＝1，
求证：＋＋<＋＋.
证明：∵a、b、c是不等正数，且abc＝1，
∴＋＋＝＋＋
<＋＋＝＋＋.
故＋＋<＋＋.
19．(12分)f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
解：f(0)＋f(1)＝＋
＝＋
＝＋＝，
同理可得：f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝.
由此猜想f(x)＋f(1－x)＝.
证明：f(x)＋f(1－x)＝＋
＝＋
＝＋
＝＝.
20．(12分)[2012·福建高考]某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.证明如下：
sin2α＋cos2(30
( http: / / www.21cnjy.com )°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
21．(12分)先解答(1)，再通过类比解答(2)．
(1)求证：tan＝；
(2)设x∈R且f(x＋1)＝，试问f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
解：(1)证明：tan＝
＝；
(2)f(x)是以4为一个周期的周期函数．
证明如下：
∵f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝
＝＝－，
∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－＝f(x)．
∴f(x)是周期函数．
22．(12分)用综合法和分析法证明：
已知α∈(0，π)，求证：2sin2α≤.
证明：(分析法)
要证明2sin2α≤成立．
只要证明4sinαcosα≤.
∵α∈(0，π)，∴sinα>0.
只要证明4cosα≤.
上式可亦形为4≤＋4(1－cosα)．
∵1－cosα>0，
∴＋4(1－cosα)≥2＝4，
当且仅当cosα＝，即α＝时取等号．
∴4≤＋4(1－cosα)成立．
∴不等式2sin2α≤成立．
(综合法)
∵＋4(1－cosα)≥4，
(1－cosα>0，当且仅当cosα＝，即α＝时取等号)
∴4cosα≤.
∵α∈(0，π)，∴sinα>0.
∴4sinαcosα≤.∴2sin2α≤.选修1-2 第三章 3.1 课时作业39
一、选择题
1．若A．
第一象限
B．
第二象限
C．
第三象限
D．
第四象限
解析：∵0,3m－7<0.
∴复数z＝(2m－2)＋(3m－7)i在复平面上对应的点位于第四象限．
答案：D
2．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于( )
A．－1＋i
B．1＋i
C．－1＋i或1＋i
D．－2＋i
解析：因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0.
由|z|＝2知，＝2，解得a＝±1.
故a＝－1，所以z＝－1＋i.
答案：A
3．复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为( )
A．1＋i,1＋i
B．2＋i,2＋i
C．1＋i,2＋i
D．2＋i,1＋i
解析：∵表示复数1＋i，
∴点A(1,1)，
将向右平移一个单位，
将对应1＋i，A′(2,1)，
∴点A′对应复数2＋i.
故选C.
答案：C
4．已知0A．(1，)
B．(1，)
C．(1,3)
D．(1,5)
解析：∵|z|＝，a∈(0,2)，
∴|z|∈(1，)．故选B.
答案：B
二、填空题
5．在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为3－4i，如果点B关于原点的对称点为A，点A关于虚轴的对称点为C，则向量对应的复数为________．
解析：∵点B的坐标为(3，－4)，
∴点A的坐标为(－3,4)．
∴点C的坐标为(3,4)．
∴向量对应的复数为3＋4i.
答案：3＋4i
6．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模的取值范围为________．
解析：|z|＝＝，
∵π<α<2π，∴－1∴0<2＋2cosα<4.∴|z|∈(0,2)．
答案：(0,2)
7．复数z1＝1＋2i，z2＝－
( http: / / www.21cnjy.com )2＋i，z3＝－－i，z4＝－i，z1，z2，z3，z4在复平面内的对应点分别是A，B，C，D，则∠ABC＋∠ADC＝________.
解析：|z1|＝|z2|＝|z3|＝
( http: / / www.21cnjy.com )|z4|＝，所以点A，B，C，D应在以原点为圆心，为半径的圆上，由于圆内接四边形ABCD对角互补，所以∠ABC＋∠ADC＝180°.
答案：180°
三、解答题
8．实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点：
(1)位于第二象限；
(2)位于直线y＝x上．
解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
(1)由点Z位于第二象限得
解得－2故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)．
(2)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1.
9．已知a∈R，z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹是什么？
解：解题时，应先判断a2
( http: / / www.21cnjy.com )－2a＋4与－(a2－2a＋2)的符号，设出z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等的充要条件转化为动点(x，y)关于a的参数方程．
由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，
∴复数z的实部为正数，虚部为负数．
∴复数z的对应点在第四象限．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)．
∴复数z的对应点的轨迹是一条射线，
方程为y＝－x＋2(x≥3)．第四章 单元综合检测
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.
要描述一工厂某产品的生产工艺，应用( )
A．程序框图
B．工序流程图
C．知识结构图
D．组织结构图
解析：这是设计生产过程，应为工序流程图．
答案：B
2.
在下面的图中，是结构图的是( )
解析：采用排除法，A是流程图，C是表格，D是Venn图，故选B.
答案：B
3.
下列关于结构图的说法不正确的是
( )
A．结构图中各要素之间通常表现为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系
B．结构图都是“树”形结构
C．简洁的结构图能清晰地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点
D．复杂的结构图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系
解析：由结构图的概念及应用可知A，C，D正确，结构图有两种结构：“树”形和“环”形结构．
答案：B
4.
下面是“神舟”七号宇宙飞船从发射到返回的主要环节：( )
①箭船分离；②出舱行走；③点火发射；④返回地球；⑤轨道舱和返回舱分离．图中正确的是
( )
A．
→→→→
B．
→→→→
C．
→→→→
D．
→→→→
解析：由事情发展的先后顺序知C正确．
答案：C
5.
[2014·唐山统考]执行如图所示的程序框图，则输出的n是( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：第一次循环：a＝0，b＝1，n＝1，x＝1，a＝1，b＝1，
第二次循环：n＝2，x＝0，a＝1，b＝0，
第三次循环：n＝3，x＝－1，a＝0，b＝－1，
第四次循环：n＝4，x＝－1，a＝－1，b＝－1，
第五次循环：n＝5，x＝0，a＝－1，b＝0，
第六次循环：n＝6，x＝1，a＝0，b＝1，符合条件，结束循环，故输出的n＝6.
答案：C
6.
解决数学问题的过程较为合理的是下列流程图中的( )
解析：根据解决数学问题的流程对比选择．
答案：C
7.
根据二分法原理求解方程x2－2＝0，得到的程序框图可称为( )
A．程序流程图
B．工序流程图
C．知识结构图
D．组织结构图
解析：程序框图是流程图中的一种．
答案：A
8.
[2014·辽宁五校联考]某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的k的值是6，则满足条件的整数S0一共有( )个．
A．31
B．32
C．63
D．64
解析：输出k的值为6说明最后一次参与运算的
( http: / / www.21cnjy.com )k＝5，所以S＝S0－20－21－22－23－24－25＝S0－63，上一个循环S＝S0－20－21－22－23－24＝S0－31，所以31答案：B
9.
在如图所示的知识结构图中：
“求简单函数的导数”的“上位”要素有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：“上位”要素有“基本导数公式”“四则运算求导法则”“复合函数求导法则”共3个．
答案：C
10.
[2014·吉林长春调研]定义某种
( http: / / www.21cnjy.com )运算S＝a b，运算原理如图所示，则式子：[(2tan) lne]－[lg100 ()－1]的值是( )
A．－3
B．－4
C．－8
D．0
解析：由题意可知，程序框图的运算原理
( http: / / www.21cnjy.com )可视为函数S＝a b＝，所以2tan lne＝2 1＝4，lg100 ()－1＝2 3＝4，所以[(2tan) lne]－[lg100 ()－1]＝4－4＝0，故选D.
答案：D
11.
[2014·辽宁五校联考]执行如图所示的框图，若输出结果为3，则可输入的实数x值的个数为( )
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
解析：若输入的x>2，则y＝log2
( http: / / www.21cnjy.com )x，当输出结果是3时，log2x＝3，解得x＝8；若输入的x≤2，则y＝x2－1，当输出结果为3时，y＝x2－1＝3，解得x＝±2.故可输入的实数x值的个数为3.
答案：C
12.
[2014·甘肃诊断]执行如图所示的程序框图，那么输出的S为( )
A．
3
B．
C．
D．
－2
解析：S＝3，k＝1<2011，S＝2－＝；
k＝2<2011，S＝2－＝；
k＝3<2011，S＝2－4＝－2；
k＝4<2011，S＝2＋1＝3；
k＝5<2011，S＝2－＝；
……
由此可以看出，S是以4为周期的数，而小于2011的最大整数是2010＝502×4＋2，所以输出的S是.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.
如图所示的是某公司的组织结构图，则后勤部的直接领导是________．
解析：由组织结构图可知，后勤部的直接领导是专家办公室．
答案：专家办公室
14.
下图是向量运算的知识结构图，如果要加入“向量共线的充要条件”，则应该是在________的下位．
解析：向量共线的充要条件是其中一个向量能用另一个非零向量的数乘形式表示．
答案：数乘
15.
在平面几何中，四边形的分类关系可用以下框图描述：
则在①中应填入________，在②中应填入________．
解析：一组邻边相等的平行四边形是菱形，一条腰和底边垂直的梯形是直角梯形．
答案：菱形'直角梯形
16.
某工程由A，B，C
( http: / / www.21cnjy.com )，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C需要的时间最多为________天．
解析：由题意可画出工序流程图如下图所示．
∵总工期为9天，
∴2＋x≤5，∴x≤3.
∴完成工序C的最长时间为3天．
答案：3
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.
(10分)汽车保养流程是：顶起车辆、更换机油、润滑部件、调换轮胎、放下车辆、清洁打蜡，试画出汽车保养的流程图．
解：流程图如图所示．
18.
(12分)银行办理房屋抵押贷款
( http: / / www.21cnjy.com )手续如下：先按顺序进行房屋评估、银行审查、签订合同、办理保险产权过户，然后有三种选择：(1)若直接办理抵押贷款，则只进行抵押登记，然后发放贷款；(2)若采用全程担保方式，则直接发放贷款；(3)若采用阶段性担保方式，则先发放贷款，然后再办理抵押登记．试画出办理房屋抵押贷款手续的流程图．
解：
19.
(12分)某公司做人事调整：设总经
( http: / / www.21cnjy.com )理一名，配有经理助理一名；设副经理两人，直接对总经理负责，设有6个部门，其中副经理A管理生产部、安全部和质量部，副经理B管理销售部、财务部和保卫部；生产车间由生产部和安全部共同管理，公司配有质检中心和门岗．请根据以上信息设计并画出该公司的人事结构图．
解：人事结构图如图所示．
20.
(12分)画出“直线与方程”这一部分的知识结构图．
解：
21.
(12分)小流域综合治理可以有3个
( http: / / www.21cnjy.com )措施：工程措施、生物措施和农业技术措施．其中，工程措施包括打坝建库、平整土地、修基本农田和引水灌溉，其功能是贮水拦沙、改善生产条件和合理利用水土；生物措施包括栽种乔木、灌木和草木，其功能是蓄水保土和发展多种经营；农业技术措施包括深耕改土、科学施肥、选育良种、地膜覆盖和轮作套种，其功能是蓄水保土、提高肥力和充分利用光和热，试画出小流域综合治理开发模式的结构图．
解：根据题意，3个措施为结构图的第一层
( http: / / www.21cnjy.com )，每个措施中具体的实现方式为结构图的第二层，每个措施实施所要达到的治理功能为结构图的第三层，各类功能所体现的具体内容为结构图的第四层．小流域综合治理开发模式的结构图如图所示．
22.
(12分)A，B，C，D四
( http: / / www.21cnjy.com )位同学分别拿着5,3,4,2个暖瓶去打开水，热水龙头只有一个．怎么安排他们打水的顺序，才能使他们打完水所花的总时间(含排队、打水的时间)最少？假如打满一瓶水需1分钟，那么打水的总时间是多少分钟？
解：由题意可知A，B，C，D四人把自己手中的暖瓶打满水分别需要5分钟、3分钟、4分钟、2分钟．A用时最长，D用时最短．
对于A和D来说，如果先安排A打水用去5分
( http: / / www.21cnjy.com )钟，这样A用了5分钟，而D除了等A灌满水5分钟外再加上自己打水用2分钟，共需要7分钟，那么两个人总共用了5＋5＋2＝12分钟．
反过来，如果将D安排在A前面，那么D打水用去2分钟，A等候2分钟，再加上自己打水用去5分钟，两人总共用了2＋2＋5＝9分钟．
相比较，第二种方案用时少于
( http: / / www.21cnjy.com )第一种，由此可以得出这样的结论：把占时间少的人安排在前面可以使等候的总时间最短．按占用时间由少到多的顺序安排四个人为D，B，C，A.等候时间：
D打水时，需耗用A，B，C，D四人时间，即2×4＝8分钟；
B打水时，需耗用A，B，C三人时间，即3×3＝9分钟；
C打水时，需耗用A，C两人时间，即4×2＝8分钟；
A打水时，需耗用5分钟；
故总用去8＋9＋8＋5＝30分钟．
综上，按D，B，C，A的顺序安排4人打水所花的总时间最少，最少为30分钟．选修1-2 第三章 3.1 课时作业38
一、选择题
1．下列各数中，纯虚数的个数是( )
3＋，i,0i,8＋3i，(2＋)i,0.618
A．
0
B．
1
C．
2
D．
3
解析：根据纯虚数的定义知，i，(2＋)i是纯虚数．
答案：C
2．复数(1＋)i的虚部是( )
A．1
B．
C．0
D．1＋
解析：(1＋)i为纯虚数，故虚部为1＋.
答案：D
3．下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①由于x，y∈C，
所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，
∴②是假命题．
③当x＝1，y＝i时，
x2＋y2＝0成立，
∴③是假命题．
答案：A
4．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )
A．2kπ－
B．2kπ＋
C．2kπ±
D．＋(以上k∈Z)
解析：由得(k∈Z)．
∴θ＝2kπ＋(k∈Z)．
答案：B
二、填空题
5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是________．
解析：若复数为纯虚数，则有
即∴a＝－1.
故复数不是纯虚数时a≠－1.
答案：(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
6．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值(或取值范围)是________．
解析：由题意知解得x＝－2.
答案：－2
7．已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，则实数x、y的值分别为________、________.
解析：由复数相等的充要条件知
解得
答案：3 －2
三、解答题
8．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解：∵M∪P＝P，∴M P.
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得
解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得
解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
9．当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解：复数z的实部为，虚部为m2＋5m＋6.
(1)复数z是实数的充要条件是：
m＝－2.
∴当m＝－2时复数z为实数．
(2)复数z是虚数的充要条件是：
即m≠－3且m≠－2.
∴当m≠－3且m≠－2时复数z为虚数．
(3)复数z是纯虚数的充要条件是：
m＝3.
∴当m＝3时复数z为纯虚数．选修1-2 第二章 2.2 课时作业37
一、选择题
1．[2014·山东高考]用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
答案：A
2．设a，b，c为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于零”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：首先若P，Q，R同时大于零，
( http: / / www.21cnjy.com )则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，则P，Q，R同时大于零或其中两个负数一个正数，不妨假设P<0，Q<0，∴a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b为正实数矛盾，故P，Q，R都大于0.故选C.
答案：C
3．已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R，下列四个命题：
①若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0；
③若a＋b<0，则f(a)＋f(b)④若f(a)＋f(b)其中真命题的个数为( )
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
解析：易知①③正确．②用反证法：假设a＋b<
( http: / / www.21cnjy.com )0，则a<－b，b<－a，∴f(a)答案：D
4．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( )
A．
△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．
△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．
△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．
△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
解析：因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形．
假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cosA1＝sinA2，则cosA1＝cos(90°－∠A2)，
所以∠A1＝90°－∠A2.
同理设cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2，则有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2.
又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，
∴(90°－∠A2)＋(90°－∠B2)＋(90°－∠C2)＝180°，即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°.
这与三角形内角和等于180°矛盾，
所以原假设不成立．故选D.
答案：D
二、填空题
5．用反证法证明“f(x)＝x2＋
( http: / / www.21cnjy.com )px＋q，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”时的假设为________．
解析：“至少有一个”的反设词为“一个也没有”．
答案：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于
6．用反证法证明“一个三角形不能有两个钝角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个钝角．
③假设△ABC中有两个钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°.
上述步骤的正确顺序为__________．
解析：根据反证法知，上述步骤的正确顺序应为③①②.
答案：③①②
7．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是__________．
解析：假设两个一元二次方程均无实根，则有即解得{a|－2答案：{a|a≤－2或a≥－1}
三、解答题
8．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
证明：假设数列{cn}是等比数列，利用{an}，{bn}是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾，即知假设不成立．
假设数列{cn}是等比数列，则
(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．
①
∵{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，∴a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1.
代入①并整理，得
2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbn(＋)，
即2＝＋.
②
当p，q异号时，＋<0，与②相矛盾；
当p，q同号时，由于p≠q，∴＋>2，与②相矛盾．
故数列{cn}不是等比数列．
9．已知a，b，c是互不相等的实数，
( http: / / www.21cnjy.com )求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．
证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点．
由y＝ax2＋2bx＋c，
y＝bx2＋2cx＋a，
y＝cx2＋2ax＋b，
得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，
且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，
且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.
同向不等式求和得
4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，
∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0.
∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0.
∴a＝b＝c.
这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证．选修1-2 第四章 4.1 课时作业42
一、选择题
1.
下列表示旅客搭乘火车的流程正确的是( )
A．买票→候车→检票→上车
B．候车→买票→检票→上车
C．买票→候车→上车→检票
D．候车→买票→上车→检票
解析：流程图解决实际简单问题时，要注意实际问题中各工序的先后顺序．
答案：A
2.
[2014·山西四校联考]阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是( )
A．
6
B．
5
C．
4
D．
3
解析：程序是对{2n}求和，21＋22＋23＋24＝30，这时走“否”的路径，因此输出的n＝5.
答案：B
3.
如图，小黑点表示网
( http: / / www.21cnjy.com )络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是( )
A．
26
B．
24
C．
20
D．
19
解析：由A→B有4条路线，4条路线单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.
答案：D
4.
小明每天早晨起床后要做如下事情：洗
( http: / / www.21cnjy.com )漱用5分钟，收拾床褥用4分钟，听广播用15分钟，吃早饭用8分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为
( )
A．
17分钟
B．
19分钟
C．
23分钟
D．
27分钟
解析：把过程简化，把能放在同一个时间内完成的并列，如听广播的同时可以洗涮、收拾被褥、吃早饭，共用5＋4＋8＝17(分钟)．
答案：A
二、填空题
5.
如图所示的是求过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率的流程图，则空白处应填________．
解析：由程序流程图的功能可知应填x1＝x2？.
答案：x1＝x2
6.
椭圆＋＝1(a>b>0)的面积为S＝πab，当a＝4，b＝2时，计算椭圆面积的流程图如图所示，则空白处应为________．
解析：由S＝πab知，需要a，b的值，由已知a＝4，b＝2，而且用的是框，故为赋值．
答案：a＝4，b＝2
7.
[2014·云南统考]如图，该程序运行后输出的结果为________．
解析：运行第一次，S＝2，A＝
( http: / / www.21cnjy.com )9；运行第二次，S＝4，A＝8；运行第三次，S＝6，A＝7；运行第四次，S＝8，A＝6；运行第五次，S＝10，A＝5；运行第六次，S＝12，A＝4；运行第七次，S＝14，A＝3；运行第八次，S＝16，A＝2，满足条件A≤2，故输出的S＝16.
答案：16
三、解答题
8.
想沏壶茶喝，当时的情况是：
( http: / / www.21cnjy.com )开水没有，烧开水的壶要洗，沏茶的壶和茶杯要洗，茶叶已有，问应如何进行？(各工序所需时间分别为：洗水壶1分钟，洗茶壶、茶杯2分钟，烧开水15分钟，取茶叶1分钟，沏茶1分钟)
解：解法一：洗好水壶，灌入凉水，放在炉子上，打开煤气．待水烧开后，洗茶壶、茶杯，取茶叶，沏茶，用流程图表示为：
洗水壶→烧开水→洗茶壶、茶杯→取茶叶→沏茶
解法二：先做好准备工作，即洗水壶、洗茶壶、茶杯，取茶叶、灌凉水烧开水、沏茶，将此方案用流程图表示出来，流程图如下图所示：
洗水壶→烧茶壶、茶杯→取茶叶→烧开水→沏茶
9.
某市环境保护局信访工作流程如下：
(1)信访办受理来访，一般信访填单转办，重大信访报局长批示后转办；
(2)及时转送有关部门办理、督办，如特殊情况未能按期办理完毕，批准后可延期办理，办理完毕后反馈；
(3)信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．
据上画出该局信访工作流程图．
解：某市环境保护局信访工作流程如下：选修1-2 第三章 3.2 课时作业41
一、选择题
1．[2013·湖南高考]复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A．
第一象限
B．
第二象限
C．
第三象限
D．
第四象限
解析：z＝i＋i2＝－1＋i的对应点为(－1,1)，此点位于第二象限，故选B.
答案：B
2．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为( )
A．2
B．－2
C．－
D．
解析：解法一：＝＝
为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2，故选A.
解法二：＝为纯虚数，
所以a＝2，故选A.
答案：A
3．[2014·安徽高考]设i是虚数单位，
表示复数z的共轭复数.
若z＝1＋i，则＋i·＝( )
A．－2
B．－2i
C．2
D．2i
解析：因为z＝1＋i，所以＋i·＝(－i＋1)＋i＋1＝2.
答案：C
4．[2012·课标全国卷]下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2,
p2：z2＝2i，
p3：z的共轭复数为1＋i,
p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为( )
A．
p2，p3
B．
p1，p2
C．
p2，p4
D．
p3，p4
解析：z＝＝＝－1－i，所
( http: / / www.21cnjy.com )以|z|＝，p1为假命题；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2为真命题；＝－1＋i，p3为假命题；p4为真命题．故选C.
答案：C
二、填空题
5．[2012·上海高考]计算：＝________(i为虚数单位)．
解析：＝＝＝1－2i.
答案：1－2i
6．若n∈N
，则()4n＋()4n＝__________.
解析：∵()4＝i2＝－1，
()4＝(－i)2＝－1，
∴()4n＋()4n＝(－1)n＋(－1)n.
(1)当n是奇数时，原式＝－2.
(2)当n是偶数时，原式＝2.
答案：
7．若z＝i－1是方程z2＋az＋b＝0的一个根，则实数a，b的值分别为__________，__________.
解析：把z＝i－1代入方程z2＋az＋b＝0，
得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，即
解得a＝2，b＝2.
答案：2 2
三、解答题
8．计算＋()2014＋.
解：原式＝＋()1007＋
＝i＋(－i)1007＋
＝i＋i＋0＝2i.
9．复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数a.
解：z＝＝＝＝1－i.
∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m≠0)，则
z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋
＝－＋i<0，
∴∴m＝4.∴a＝4i.第三章 单元综合检测(二)
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．复数z是实数的充分而不必要条件是( )
A．|z|＝z
B．z＝
C．z2是实数
D．z＋是实数
解析：注意题目是求充分不必要条件而不是充要条件，即当满足条件时z为实数，但复数z为实数时，条件不一定成立．
当z＝i时，z2＝－1，故C不成立．
当z为虚数且非纯虚数时，z＋是实数，故D不成立．
若z＝，设z＝a＋bi，则＝a－bi，由复数相等，得b＝0，∴复数z为实数；反之，若复数z为实数，则必有z＝，故B是充要条件．
当|z|＝z，设z＝a＋bi，由复数相等，得b＝0，
∴复数z为实数；反之，若复数z为实数且a<0时得不出|z|＝z.
答案：A
2．[2013·北京高考]在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )
A．
第一象限
B．
第二象限
C．
第三象限
D．
第四象限
解析：(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，对应的点为(3，－4)，位于第四象限，故选D.
答案：D
3．[2013·山东高考]复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．
2＋i
B．
2－i
C．
5＋i
D．
5－i
解析：由题意得z＝＋3＝＋3＝5＋i，∴＝5－i，故选D.
答案：D
4．[2014·课标全国卷Ⅱ]设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( )
A．
－5
B．
5
C．
－4＋i
D．
－4－i
解析：由题意可知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.
答案：A
5．对于下列四个命题：
①任何复数的绝对值都是非负数．
②如果复数z1＝i，z2＝－i，z3＝－i，z4＝2－i，那么这些复数的对应点共圆．
③|cosθ＋isinθ|的最大值是，最小值为0.
④x轴是复平面的实轴，y轴是虚轴．
其中正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：①正确．因为若z∈
( http: / / www.21cnjy.com )R，则|z|≥0，若z＝a＋bi(b≠0，a，b∈R)，则|z|＝>0.②正确．因为|z1|＝，|z2|＝＝，|z3|＝，|z4|＝，这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上．③错误．因为|cosθ＋isinθ|＝＝1为定值，最大、最小值相等都是1.④正确．故应选D.
答案：D
6．复数z＝＋(3－i)，若z为实数，则实数m的值为( )
A．0
B．－4
C．－6
D．－8
解析：z＝＋(3－i)＝＋(3－i)
＝(＋i)＋(3－i)＝－i.
z为实数，则＝0，得m＝0.
答案：A
7．[2014·浙江高考]已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，若(a＋bi)2＝2i，则有a＝b＝－1或a＝b＝1，因此选A.
答案：A
8．已知z1＝，z2＝，则|z2|的值是( )
A．
B．
C．
D．
解析：|z2|＝，|z1|＝＝，
所以|z2|＝，故选C.
答案：C
9．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z等于( )
A．
2－2i
B．
2＋2i
C．
－2＋2i
D．
－2－2i
解析：∵b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，∴b2＋4b＋4＋(a＋b)i＝0，
∴∴∴z＝2－2i.故选A.
答案：A
10．若复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．
一个圆
B．
线段
C．
两个点
D．
两个圆
解析：由|z|2－2|z|－3＝0，得(|z|－3)(|z|＋1)＝0.
∵|z|＋1>0，
∴|z|－3＝0，即|z|＝3.
∴复数z对应点的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，故选A.
答案：A
11．[2012·上海高考]若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则( )
A．
b＝2，c＝3
B．
b＝－2，c＝3
C．
b＝－2，c＝－1
D．
b＝2，c＝－1
解析：解法一：∵1＋i是关于x的实系
( http: / / www.21cnjy.com )数方程x2＋bx＋c＝0的一个根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，整理得(b＋c－1)＋(2＋b)i＝0，则解得故选B.
解法二：∵1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个根，
∴1－i也是它的一个根，
由韦达定理得：，
∴，故选B.
答案：B
12．若z∈C且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|－3的最小值是( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：方法一：(几何法)
|z＋2－2i|＝1表示圆心为点(－2,2)，半径为1的圆，
而|z－2－2i|表示圆上的点到点(2,2)的距离，其最小值为3，
∴|z－2－2i|－3的最小值为0.故选B.
方法二：(代数法)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因此有|x＋2＋(y－2)i|＝1，即(x＋2)2＋(y－2)2＝1.
又|z－2－2i|
＝
＝
＝.
又∵|x＋2|≤1，∴－3≤x≤－1，∴在x＝－1时，|z－2－2i|取得最小值，最小值为3.
∴|z－2－2i|－3的最小值为0.故选B.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[2013·江苏高考]设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．
解析：∵z＝(2－i)2＝3－4i，
∴|z|＝＝5.
答案：5
14．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
解析：＝＝
＝.
若为纯虚数，则 a＝.
答案：
15．设z1是复数，z2＝z1－i(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是1，则z2的虚部是__________．
解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi，∴z2＝a＋bi－i(a－bi)
＝(a－b)－(a－b)i.
由已知得a－b＝1.
∴z2的虚部为－1.
答案：－1
16．计算(2＋i15)－()22＝__________.
解析：原式＝(2＋i12·i3)－[()2]11＝(2－i)－i11＝2－i＋i＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)6＋
解：解法一：原式＝6＋
＝i6＋＝－1＋i.
解法二：原式＝6＋
＝i6＋＝－1＋i.
18．(12分)已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.
解：设z＝a＋bi，则＝a－bi(a，b∈R)，
∴(1＋2i)(a－bi)＝4＋3i.
∴(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i.
∴∴a＝2，b＝1，∴z＝2＋i.
∴＝2－i.
∴＝＝＝＋i.
19．(12分)已知复数z1＝，z2＝a－3i(a∈R)．
(1)若a＝2，求z1·；
(2)若z＝是纯虚数，求a的值．
解：由于z1＝＝＝
＝＝1－3i.
(1)当a＝2时，z2＝2－3i，
∴z1·＝(1－3i)·(2＋3i)＝2＋3i－6i＋9＝11－3i.
(2)若z＝＝＝＝为纯虚数，则应满足
解得a＝－9.即a的值为－9.
20．(12分)已知x2－(3－2i)x－6i＝0.
(1)若x∈R，求x的值．
(2)若x∈C，求x的值．
解：(1)x∈R时，由方程得
(x2－3x)＋(2x－6)i＝0.
则得x＝3.
(2)x∈C时，设x＝a＋bi(a、b∈R)代入方程整理得(a2－b2－3a－2b)＋(2ab－3b＋2a－6)i＝0.
则
得或.
故x＝3或x＝－2i.
21．(12分)[2014·盐城高二检测]已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)若w＝，求复数w的模|w|.
解：(1)(1＋3i)·(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i，
∵(1＋3i)·z是纯虚数，
∴3－3b＝0，且9＋b≠0.
∴b＝1，∴z＝3＋i.
(2)w＝＝＝＝－i.
∴|w|＝＝.
22．(12分)已知复数z1＝cosθ－i，z2＝sinθ＋i，求|z1·z2|的最大值和最小值．
解：|z1·z2|＝|1＋sinθcosθ＋(cosθ－sinθ)i|
＝
＝＝.
∵0≤sin22θ≤1，∴2≤2＋sin22θ≤.
∴≤
≤.
∴|z1·z2|的最大值为，最小值为.选修1－2 模块综合测试(二)
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋
( http: / / www.21cnjy.com )1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N
)个等式应为( )
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9
B．9(n－1)＋n＝10n－9
C．9n＋(n－1)＝10n－9
D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
解析：等式的左边是9×(等式的序号－1)＋等式的序号，故选B.
答案：B
2．[2013·广东高考]若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )
A．(2,4)
B．(2，－4)
C．(4，－2)
D．(4,2)
解析：由已知条件得z＝＝4－2i，所以z对应的点的坐标为(4，－2)，故选C.
答案：C
3．数列5,9,17,33，x，…中的x等于( )
A．47
B．65
C．63
D．128
解析：5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，
归纳可得：x＝26＋1＝65.
答案：B
4．由①正方形的四个内角相等；②矩形的四
( http: / / www.21cnjy.com )个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为( )
A．②①③
B．③①②
C．①②③
D．②③①
解析：根据三段论的一般形式，可以得到大前提是②，小前提是③，结论是①.
答案：D
5．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如图)．
试求第n个正方形数是( )
A．n(n－1)
B．n(n＋1)
C．n2
D．(n＋1)2
解析：观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.
答案：C
6.
函数f(x)在[－1,1]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式正确的是( )
A．f(cosα)>f(sinβ)
B．f(sinα)>f(sinβ)
C．f(cosα)D．f(sinα)解析：α，β是锐角三角形的两个内角，这就意味着α，β为锐角，另外第三个角π－(α＋β)为锐角．
所以0<α<，0<β<，<α＋β<π.
所以>β>－α>0.
所以01>sinβ>sin(－α)＝cosα>0.
又因为f(x)在[－1,1]上为减函数，
所以f(sinβ)答案：A
7.
在两个基础相当的班级实行某种
( http: / / www.21cnjy.com )教学措施的实验，测试成绩见下表．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，试分析实验效果与教学措施是否有关( )
优、良、中
差
合计
实验班
48
2
50
对比班
38
12
50
合计
86
14
100
A.有关
B．无关
C．不一定
D．以上都不正确
解析：χ2＝≈8.306>6.635.
故在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为实验效果与教学措施有关．
答案：A
8．设x，y，z都是正数，则三个数x＋，y＋，z＋的值( )
A．都小于2
B．至少有一个不大于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
解析：假设这三个数都小于2，
即x＋<2，y＋<2，z＋<2，
则(x＋)＋(y＋)＋(z＋)<6，
又由基本不等式x>0，y>0，z>0时，(x＋)＋(y＋)＋(z＋)≥2
＋2
＋2
＝6，与假设矛盾．故选C.
答案：C
9．如果在一次试验中，测得(x，y)
( http: / / www.21cnjy.com )的四组数值分别是A(1,3)，B(2,3.8)，C(3,5.2)，D(4,6)，则y与x之间的回归直线方程是( )
A．＝x＋1.9
B．＝1.04x＋1.9
C．＝1.9x＋1.04
D．＝1.05x－0.9
解析：＝＝
＝1.04，
＝－＝1.9.
∴回归直线方程为＝1.04x＋1.9.
答案：B
10.
执行如图所示的程序框图，若输入n＝10，则输出S＝( )
A．
B．
C．
D．
解析：执行第一次循环后，S＝，i＝4；
执行第二次循环后，S＝，i＝6；
执行第三次循环后，S＝，i＝8；
执行第四次循环后，S＝，i＝10；
执行第五次循环后，S＝，i＝12，此时i≤n不成立，退出循环，输出S＝.
答案：A
11．已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(|x|)|的图象可能是( )
解析：显然从f(x)→f(|x|)的图
( http: / / www.21cnjy.com )象是保留原函数y轴右侧的图象，再根据偶函数的性质处理即可；从f(x)→|f(x)|的图象是保留原函数在x轴上方的图象，把下方的图象翻折到x轴上方去，结合原函数的特征．
答案：A
12．已知f(x)＝x3＋x，若a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值( )
A．一定大于0
B．一定等于0
C．一定小于0
D．正负都有可能
解析：f′(x)＝3x2＋1>0，所以f(x)在R上单调递增，且f(x)为奇函数．
由a＋b>0得，a>－b，
所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0；
同理可得，f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0.
所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.故选A.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．按下列程序框图运算：
规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算，若x＝5，则运算进行________次才停止．
解析：第一次运算得13，第二次运算得37，第三次运算得109，第四次运算得325.
答案：4
14．[2013·陕西高考]观察下列等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n个等式可为____________________．
解析：设等式右边的数的绝对值
( http: / / www.21cnjy.com )构成数列{an}，∵a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，以上所有等式相加可得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝，再观察各式的符号可知第n个等式为：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1
15．若a>b>c，n∈N
，且＋≥恒成立，则n的最大值为________．
解析：要使＋≥恒成立．
∵a>b>c，∴a－c>0.
∴只需＋≥n恒成立．
∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，
∴＋＝＋
＝2＋＋≥2＋2＝4.
要使不等式恒成立只需n≤4.
∴n的最大值为4.
答案：4
16．下列命题中，正确的是________．(填序号)
①a，b∈R且“a＝b”是“(a－b)＋(a＋b)i”为纯虚数的充要条件；
②当z是非零实数时，|z＋|≥2恒成立；
③复数的模都是正实数；
④当z是纯虚数时，z＋∈R.
解析：当a＝b＝0时，①不正确；
当z＝0时，|z|＝0，③错；
设z＝bi(b∈R，b≠0)，
z＋＝bi＋＝bi＋＝·bi＝i；
当b≠±1时，i是纯虚数．
当b＝±1时，z＋为实数．
故④也不正确．
答案：②
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知x，y∈(0，＋∞)，且x＋y>2，求证：和中至少有一个小于2.
证明：反证法．
假设≥2，≥2，即1＋y≥2x,1＋x≥2y.
∴2＋x＋y≥2x＋2y.即x＋y≤2.
这与x＋y>2矛盾．
∴和中至少有一个小于2.
18．(12分)设z1＝1
( http: / / www.21cnjy.com )＋2ai，z2＝a－i(a∈R)，已知A＝{z||z－z1|≤}，B＝{z||z－z2|≤2}，A∩B＝ ，求a的取值范围．
解：∵集合A、B在复平面内对应的点是两个圆面，又A∩B＝ ，∴这两个圆外离．
所以|z1－z2|>3，
即|(1＋2ai)－(a－i)|>3.
解之得a∈(－∞，－2)∪.
19．(12分)数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N
)，证明：
(1)数列{}是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
证明：(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，aa＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
∴＝2·，又＝1≠0，(小前提)
故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义，这里省略了)
(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)(小前提)
又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意的正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)
20．(12分)用分析法证明：在△ABC中，若A＋B＝120°，则＋＝1.
证明：要证＋＝1，只需证＝1，
即证a2＋b2－c2＝ab，
而因为A＋B＝120°，所以C＝60°.
又cosC＝，
所以a2＋b2－c2＝2abcos60°＝ab.
所以原式成立．
21．(12分)通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下2×2列联表：
女生
男生
总计
读营养说明
16
28
44
不读营养说明
20
8
28
总计
36
36
72
请问性别和读营养说明之间在多大程度上有关系？
解：χ2＝≈8.416>6.635，
所以有99%的把握认为性别和读营养说明之间有关系．
22．(12分)已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R.
(1)求证：如果a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论．
解：(1)证明：当a＋b≥0时，a≥－b且b≥－a，
因为f(x)在R上是增函数，
所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
故f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)(1)中命题的逆命题：
如果f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0，
此命题成立，用反证法证明如下：
假设a＋b<0，则a<－b，从而f(a)同理可得f(b)即f(a)＋f(b)这与f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，故假设不成立，
故a＋b≥0成立，即(1)中命题的逆命题成立．选修1-2 第四章 4.2 课时作业43
一、选择题
1.
下列关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则的结构图正确的是
( )
A．
—
B．
—
C．
—
D．
—
解析：从知识结构划分：函数包括函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则．
答案：A
2.
下列结构图中，体现要素之间逻辑先后关系的是( )
A．
—
B．
—
C．
→→
D．
—
解析：A、B、D为从属关系，C为逻辑关系．
答案：C
3.
如图所示是数列一章的知识结构图，下列说法正确的是( )
A．
“概念”与“分类”是从属关系
B．
“等差数列”与“等比数列”是从属关系
C．
“数列”与“等差数列”是从属关系
D．
“数列”与“等差数列”是从属关系，但“数列”与“分类”不是从属关系
解析：“概念”与“分类”
( http: / / www.21cnjy.com )是并列关系；“等差数列”与“等比数列”是并列关系；“数列”与“等差数列”，“数列”与“分类”都是从属关系，故在A、B、C、D四个选项中只有C正确．
答案：C'
4.
把平面内两条直线的位置关系填入结构图中的M、N、E、F中，顺序较为恰当的是
( )
—
①平行'②垂直'③相交'④斜交
A．①②③④
B．①④②③
C．①③②④
D．②①④③
解析：平行无交点，而垂直、相交、斜交都有交点，垂直与斜交是并列的，都隶属于相交．
答案：C
二、填空题
5.
下面关于结构图的说法正确的是________．
①结构图只能是从左向右分解 ②结构图只能是从上向下分解 ③结构图只能是从下向上分解 ④结构图一般呈“树”形结构 ⑤结构图有时呈“环”形结构
解析：结构图呈“树”形或“环”形结构．
答案：④⑤
6.
如图是一商场制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有________个．
解析：影响“计划”的主要要素是3个“上位要素”：政府行为、策划部、社会需求．
答案：3
7.
如图所示的结构图中，有________个“环”形结构．
解析：(1个)(2个)
(1个)所以共4个．
答案：4
三、解答题
8.
国内知名网站搜狐网设有房地产频道，其栏目结构图如图所示：
(1)某人若上网搜索租房信息应如何操作？
(2)某人在建材装修方面遇有法律咨询方面需求应如何办？
解：由结构图得：
(1)搜索租房信息：打开搜狐网站→房地产频道→租房搜索即可．
(2)建材装修方面法律咨询：打开搜狐网站→房地产频道→建材装修→律师楼．
9.
画出《数学必修2》中“点、线、面之间的位置关系”这一章的知识结构图．
解：选修1－2 模块综合测试(一)
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是( )
A．
完全归纳推理
B．
归纳推理
C．
类比推理
D．
演绎推理
解析：由特殊到一般的推理为归纳推理．故选B.
答案：B
2．设集合C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是( )
A．
A∪B＝C
B．
A＝B
C．
A∩ SB＝
D．
SA∪ SB＝C
解析： SA＝{虚数}， SB包括实数和除去纯虚数以外的虚数．
答案：D
3．[2013·四川高考]如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
A．
A
B．
B
C．
C
D．
D
解析：设z＝－a＋bi(a，b∈R＋)，则z的共轭复数＝－a－bi，它对应点的坐标为(－a，－b)，是第三象限的点．故选B.
答案：B
4．[2014·江西高考]是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝( )
A．1＋i
B．－1－i
C．－1＋i
D．1－i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z＋＝2，即(a＋bi)＋(a－bi)＝2，所以2a＝2，解得a＝1.又(z－)i＝2，即[(a＋bi)－(a－bi)]·i＝2，所以bi2＝1，解得b＝－1.所以z＝1－i.
答案：D
5．a＋b>2c成立的一个充分条件是( )
A．a>c或b>c
B．a>c且b>c
C．a>c且bD．a>c或b解析： a＋b>2c，a＋b>2cD /
答案：B
6．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝11111
12345×9＋6＝111111
A．
1111110
B．
1111111
C．
1111112
D．
1111113
解析：由数塔猜测应是各位数字都是1的七位数，即1111111.
答案：B'
7．已知两个变量x和y之间具有线性相关关系，5次试验的观测数据如下：
x
100
120
140
160
180
y
45
54
62
75
92
那么变量y关于x的回归直线方程只可能是( )
A．
y＝0.575x－14.9
B．
y＝0.572x－13.9
C．
y＝0.575x－12.9
D．
y＝0.572x－14.9
解析：可计算得＝140，＝65.6，代入检验可知回归直线方程只可能是y＝0.575x－14.9.
答案：
A'
8．给出下列三个命题：
①若a≥b>－1，则≥；
②若正整数m和n满足m≤n，则≤；
③设P(x1，y1)为圆O1：x2＋y2＝
( http: / / www.21cnjy.com )9上任意一点，圆O2以Q(a，b)为圆心且半径为1，当(a－x1)2＋(b－y1)2＝1时，圆O1与O2相切．
其中假命题的个数是( )
A．
0
B．
1
C．
2
D．
3
解析：①中，∵a≥b>－1，
∴a＋1≥b＋1>0.
∴要证原式成立，只要证
a(1＋b)≥b(1＋a)，这显然成立．
∴①正确；
②中≤＝也成立；
③中⊙O1的圆心为O(0,0)，半径r1＝3.
⊙O2的圆心为Q(a，b)，半径r2＝1，
∴|OQ|＝.
∵|OP|＋|PQ|＝r1＋r2＝4或|O
( http: / / www.21cnjy.com )P|－|PQ|＝r1－r2＝2与|OQ|的大小关系都是不确定的，∴不一定相切，故③为假命题．故选B.
答案：B
9．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为( )
解析：观察图中每一行，每一
( http: / / www.21cnjy.com )列的规律，从形状和颜色入手．每一行、每一列中三种图形都有，故填长方形．又每一行、每一列中的图形的颜色应有二黑一白．
答案：A
10．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是( )
A．
4
B．
C．
D．
－1
解析：初始：S＝4，i＝1，
第一次循环：1<6，S＝＝－1，i＝2；
第二次循环：2<6，S＝＝，i＝3；
第三次循环：3<6，S＝＝，i＝4；
第四次循环：4<6，S＝＝4，i＝5；
第五次循环：5<6，S＝＝－1，i＝6.
6<6不成立，此时跳出循环，输出S值，S值为－1.故选D.
答案：D
11．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于( )
A．
f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1)
B．
f()
C．
n(n＋1)
D．
f(1)
解析：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝1，∴f(2)＝2f(1)．
令x＝1，y＝2，f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)．
f(n)＝nf(1)，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(1＋2＋…＋n)f(1)
＝f(1)．
∴A、D正确；
又f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝f(1＋2＋…＋n)
＝f()．
∴B也正确．故选C.
答案：C
12．设f0(x)＝sinx，f1(x
( http: / / www.21cnjy.com ))＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2013(x)等于( )
A．
sinx
B．－sinx
C．
cosx
D．
－cosx
解析：本题考查归纳推理能力，通过计算
f1(x)＝(sinx)′＝cosx，
f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，
f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，
f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，
f5(x)＝(sinx)′＝cosx，
f6(x)＝(cosx)′＝－sinx，
…
发现fn(x)取值的周期性变化规律
( http: / / www.21cnjy.com )为：sinx，cosx，－sinx，－cosx.最小正周期是4，f2013(x)＝f1(x)＝cosx.故选C.
答案：C'
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[2013·重庆高考]已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________.
解析：∵z＝＝＝＝2＋i，
∴|z|＝＝.
答案：
14．类比平面直角坐标系中△ABC
( http: / / www.21cnjy.com )的重心G(，)的坐标公式(其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3))，猜想以A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)、C(x3，y3，z3)、D(x4，y4，z3)为顶点的四面体A－BCD的重心G(，，)的公式为________．
答案：
15.
用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，因此∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为________．
解析：由反证法证明的步骤知，先反设即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.
答案：③①②
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角
( http: / / www.21cnjy.com )形ABC的顶点分别为A(0，a)、B(b,0)、C(c,0)．点P(0，p)为线段AO上的一点(异于端点)，这里a、b、c、p为非零常数．设直线BP、CP分别与边AC、AB交于点E、F，某同学已正确求得直线OE的方程：(－)x＋(－)y＝0.请你完成直线OF的方程：
(________)x＋(－)y＝0.
解析：由对称性可猜想填－.事实上，由截距式可得直线AB：＋＝1.
直线CP：＋＝1，两式相减得
(－)x＋(－)y＝0.显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求直线OF的方程．
答案：－
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知复数z
( http: / / www.21cnjy.com )1满足(1＋i)z1＝1＋5i，z2＝1－(a－2)i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－|<|z1|，求实数a的取值范围．
解：由题意，得z1＝＝3＋2i，于是|z1－|＝|2－(4－a)i|＝，|z1|＝.
因为|z1－|<|z1|，所以<，即a2－8a＋7<0，解得a的取值范围为(1,7)．
18．(12分)已知a、b、c、d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数．
证明：假设a、b、c、d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.
又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾．
所以a、b、c、d中至少有一个是负数．
19．(12分)为了研究教师工作积极性和对待教育改革态度的关系，随机抽取了278名教师进行问卷调查，所得数据如下表：
积极支持教育改革
不太赞成教育改革
合计
工作积极
55
73
128
工作一般
98
52
150
合计
153
125
278
对于该教委的研究项目，根据上述数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为态度与工作积极性有关？
解：利用公式得
χ＝≈13.959>6.635，
故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该单位教师对待教育改革的态度与其工作积极性是有关的．
20．(12分)已知对两个变量x，y的观测数据如下表：
x
35
40
42
39
45
y
5.90
6.20
6.30
6.55
6.53
x
46
42
50
58
48
y
9.52
6.99
8.72
9.49
7.50
(1)画出x，y的散点图；
(2)求出回归直线方程．
解：(1)散点图如下：
(2)＝44.5，x＝20183,
＝7.37，xiyi＝3346.32，
则＝≈0.175，
＝7.37－0.175×44.5＝－0.4175.
∴回归直线方程＝0.175x－0.4175.
21．(12分)按有关规定在国内投寄平信，每封信的重量x(g)不超过60
g的邮费(分)的标准为；
y＝
设计一个计算邮费的流程图．
解：流程图如下：
22．(12分)某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的相关关系，随机抽取10户进行调查，其结果如下：
月人均收入x(元)
300
390
420
520
570
月人均生活费y(元)
255
324
335
360
450
月人均收入x(元)
700
760
800
850
1080
月人均生活费y(元)
520
580
600
630
750
(1)作出散点图；
(2)求出回归直线方程；
(3)试预测月人均收入为1100元和月人均收入为1200元的两个家庭的月人均生活费．
解：(1)作出散点图如图所示，由图可知月人均生活费与月人均收入之间具有较强的线性相关关系．
(2)通过计算可知＝639，＝480.4，
x＝4610300，xiyi＝3417560，
∴＝≈0.6599，＝－＝58.7239，
∴回归直线方程为＝0.6599x＋58.7239.
(3)由以上分析可知，我们可以利用回归直线方程＝0.6599x＋58.7239来计算月人均生活费的预报值．
将x＝1100代入，得y≈784.61，
将x＝1200代入，得y≈850.60.
故预测月人均收入分别为1100元和1200元的两个家庭的月人均生活费分别为784.61元和850.60元．选修1-2 第一章 1.1 课时作业31
一、选择题
1．对于独立性检验，下列说法中错误的是( )
A．
χ2的值越大，说明两事件相关程度越大
B．
χ2的值越小，说明两事件相关程度越小
C．
χ2≤3.841时，有95%的把握说事件A与B无关
D．
χ2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关
解析：在独立性检验中，随
( http: / / www.21cnjy.com )机变量χ2的取值大小可说明两个变量相关的程度．一般地随机变量χ2的值越大，两变量的相关程度越大，反之就越小．两个临界值χ2>6.635说明有99%的把握认为二者有关系，χ2≤3.841则说明二者几乎无关．因此可知C中说法是不正确的．
答案：C
2．变量X和Y的列联表如下：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
则下列说法正确的是
( )
A．
ad－bc越小，说明X与Y关系越弱
B．
ad－bc越大，说明X与Y关系越弱
C．
(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强
D．
(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强
解析：对于同一样本，|ad－bc|越小，说明X与Y之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明X与Y之间的关系越强．
答案：C
3．[2014·广州高二检测]利用随机变量
( http: / / www.21cnjy.com )χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验，现通过计算高中生的性别与喜欢数学课程列联表中的数据，得到χ2≈5.12，并且知道P(χ2≥3.841)≈0.05，那么下列结论中正确的是( )
A．100个高中生中只有5个不喜欢数学
B．100个高中生中只有5个喜欢数学
C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为高中生的性别与喜欢数学课程有关系
D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为高中生的性别与喜欢数学课程没有关系
解析：当χ2≈5.12时，P(χ2≥3.841)≈0.05，说明在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为高中生性别与喜欢数学课程有关系．
答案：C
4．[2014·江西高考]某人研究中学生的
( http: / / www.21cnjy.com )性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1
成绩性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2
视力性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3
智商性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
表4
阅读量性别
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A.
成绩
B．
视力
C．
智商
D．
阅读量
解析：因为χ＝
＝，
χ＝
＝，
χ＝＝，
χ＝＝，
则有χ>χ>χ>χ，所以阅读量与性别关联的可能性最大．
答案：D
二、填空题
5．下列说法正确的是__________．
①对事件A与B的检验无关，即两个事件互不影响
②事件A与B关系越密切，χ2就越大
③χ2的大小是判断事件A与B是否相关的唯一数据
④若判定两事件A与B有关，则A发生B一定发生
解析：对于①，事件A与B的检验无关，只是说两事件的相关性较小，并不一定两事件互不影响，故①错．②是正确的．
对于③，判断A与B是否相关的方式很多，可以用列联表，也可以借助于概率运算，故③错．
对于④，两事件A与B有关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是A发生B一定发生，故④错．
答案：②
6．在一次独立性检验中，有300人按性别和是否色弱分类如下表：
男
女
正常
142
140
色弱
13
5
由此表计算得χ2≈________.(结果保留两位小数)
解析：代入χ2公式计算即可．
答案：3.24
7．[2013·广东湛江一模]为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
总计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
总计
30
20
50
则在犯错误的概率不超过________的前提下认为喜爱打篮球与性别有关(请用百分数表示)．
附：χ2＝
解析：χ2＝＝
≈8.333>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜爱打篮球与性别有关．
答案：1%
三、解答题
8．为了调查胃病是否与生活规律有
( http: / / www.21cnjy.com )关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．
(1)根据以上数据列出2×2列联表；
(2)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗？为什么？
解：(1)由已知可列2×2列联表：
患胃病
未患胃病
总计
生活规律
20
200
220
生活不规律
60
260
320
总计
80
460
540
(2)根据列联表中的数据，由计算公式得χ2的值：
χ2＝≈9.638.
因为9.638>6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．
9．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：
积极支持改革
不太赞成改革
合计
工作积极
54
40
94
工作一般
32
63
95
合计
86
103
189
依据表中的数据对人力资源部的研究项目进行分析，能够得出什么结论？
解：计算χ2＝≈10.759.
由于10.759>7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．第三章 单元综合检测(一)
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．[2013·辽宁高考]复数z＝的模为( )
A．
B．
C．
D．
2
解析：z＝＝＝＝－－i，
|z|＝＝，故选B.
答案：B
2．[2014·课标全国卷Ⅰ]＝( )
A．
1＋i
B．
－1＋i
C．
1－i
D．
－1－i
解析：＝＝＝－1－i，选D.
答案：D
3．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是( )
A．1
B．－1
C．±1
D．以上都不对
解析：因为(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，
所以x2－1＝0且x2＋3x＋2≠0，解得x＝1.
答案：A
4．[2013·湖北高考]在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A．
第一象限
B．
第二象限
C．
第三象限
D．
第四象限
解析：z＝＝1＋i，故＝1－i，其对应的点位于第四象限．
答案：D
5．[2013·课标全国卷Ⅰ]若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．
－4
B．
－
C．
4
D．
解析：∵|4＋3i|＝＝5，∴z＝＝＝＋i，虚部为，故选D.
答案：D
6．已知＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni等于( )
A．1＋2i
B．1－2i
C．2＋i
D．2－i
解析：＝1－ni，所以m＝(1＋n)＋(1－n)i，因为m，n∈R，所以所以即m＋ni＝2＋i.
答案：C
7．若z＝x＋yi(x，y∈R)是方程z2＝－3＋4i的一个根，则z＝( )
A．1－2i
B．－1＋2i
C．－1－2i
D．2＋i
解析：利用完全平方公式，代入验证：(－1－2i)2＝(1＋2i)2＝1－4＋4i＝－3＋4i.
答案：C
8．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为( )
A．
B．
C．
D．
解析：因为(m＋ni)(n－mi)＝
( http: / / www.21cnjy.com )2mn＋(n2－m2)i为实数，所以n2＝m2，故m＝n，则可以取1,2，…，6，共6种可能.
所以P＝＝.
答案：C
9．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·是实数，则实数t等于( )
A．
B．
C．
－
D．
－
解析：z1·＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i，
因为z1·是实数，所以4t－3＝0，所以t＝，因此选A.
答案：A
10．设复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z等于( )
A．－＋i
B．－i
C．－－i
D．＋i
解析：解法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则x＋yi＋＝2＋i.
∴解得∴z＝＋i.
解法二：∵|z|∈R，由复数相等的充要条件可知：若等式z＋|z|＝2＋i成立，则必有虚部为1，
故可设z＝x＋i(x∈R)，代入原等式有：x＋＝2，解得x＝，所以z＝＋i.
答案：D
11．[2013·陕西高考]设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．
若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．
若z1＝2，则1＝z2
C．
若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．
若|z1|＝|z2|，则z＝z
解析：A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故1＝2成立．
B中，z1＝2，则1＝z2成立．C中，|z1|＝|z2|，
则|z1|2＝|z2|2，即z11＝z22，C正确．D不一定成立，
如z1＝1＋i，z2＝2，则|z1|＝2＝|z2|，
但z＝－2＋2i，z＝4，z≠z.
答案：D
12．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则|2x＋4y|的最小值为( )
A．2
B．4
C．4
D．16
解析：由|z－4i|＝|z＋2|，得x＋2y＝3.
则2x＋4y≥2＝2＝4.
(当且仅当x＝2y＝时“＝”成立)
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[2013·天津高考]已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
解析：∵(a＋i)(1＋i)＝a＋ai＋i＋i2＝(a－1)＋(a＋1)i，
又由已知(a＋i)(1＋i)＝bi，得
解得a＝1，b＝2，所以a＋bi＝1＋2i.
答案：1＋2i
14．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝__________.
解析：∵＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i，
∴||＝2.
答案：2
15．已知复数z1＝3－i，z2是复数－1＋2i的共轭复数，则复数－的虚部等于________．
解析：－＝－
＝－＝，
其虚部为.
答案：
16．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)且满足＋＝，则复数z在复平面对应的点位于第__________象限．
解析：∵a，b∈R且＋＝，
∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
即解得
∴z＝7－10i.
∴z对应的点在第四象限．
答案：四
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是4－20i的共轭复数，求实数x的值．
解：因为复数4－20i的共轭复数为4＋20i，由题意得x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i＝4＋20i.
根据复数相等的定义，得
方程①的解为x＝－3或x＝2，
方程②的解为x＝－3或x＝6.
∴x＝－3.
18．(12分)计算：(1)；
(2).
解：(1)＝＝＝2.
(2)＝＝
＝＝＝－＋i.
19．(12分)已知z＝1＋i，若＝1－i，求实数a，b的值．
解：∵z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b
＝a＋b＋(2＋a)i，
z2－z＋1＝(1＋i)2－(1＋i)＋1＝i，
∴＝(2＋a)－(a＋b)i＝1－i.
∴解得
20．(12分)[2014·临沂检测]数列{an}满足a1＝2i，(1＋i)an＋1＝(1－i)an，求a10的值．
解：由于(1＋i)an＋1＝(1－i)an，则＝＝－i.
∴数列{an}是以2i为首项，以－i为公比的等比数列
∴a10＝a1·(－i)9＝2i(－i)9＝2.
21．(12分)设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2，求|z|的值及实部的取值范围．
解：∵z是虚数，
∴可设z＝x＋yi(x，y∈R且y≠0)，
ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋
＝(x＋)＋(y－)i.
∵ω是实数且y≠0，∴y－＝0，
即x2＋y2＝1，∴|z|＝1，此时ω＝2x.
由－1<ω<2，得－1<2x<2.
∴－22．(12分)已知z＝m＋3＋3i，其中m∈C，且为纯虚数．
(1)求m对应点的轨迹；
(2)求|z|的最大值、最小值．
解：(1)设m＝x＋yi(x，y∈R)，则
＝＝.
∵为纯虚数，
∴
即
∴m对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，
除去(－3,0)，(3,0)两点．
(2)由(1)知|m|＝3，
由已知m＝z－(3＋3i)，
∴|z－(3＋3i)|＝3.
∴z所对应的点Z在以(3,3)为圆心，以3为半径的圆上．
由图形可知|z|的最大值为|3＋3i|＋3＝9；
最小值为|3＋3i|－3＝3.第一章 单元综合检测
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．[2013·湖北高考]四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；
②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．
①②
B．
②③
C．
③④
D．
①④
解析：①中y与x负相关而斜率为正，不正确；④中y与x正相关而斜率为负，不正确．故选D.
答案：D
2．已知呈线性相关关系的变量x，y之间的关系如下表所示，则回归直线一定过点( )
x
0.1
0.2
0.3
0.5
y
2.11
2.85
4.08
10.15
A.(0.1,2.11)
B．(0.2,2.85)
C．(0.3,4.08)
D．(0.275,4.7975)
解析：回归直线一定过点(，)，通过表格中的数据计算出和，易知选D.
答案：D
3．[2014·重庆高考]已知变量x
( http: / / www.21cnjy.com )与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A．
＝0.4x＋2.3
B．
＝2x－2.4
C．
＝－2x＋9.5
D．
＝－0.3x＋4.4
解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C、D.
且直线必过点(3,3.5)，代入A、B得A正确．
答案：A
4．某工厂某产品单位成本y(元)与产量x(千件)满足线性回归方程
＝75.7－2.13x，则以下说法中正确的是( )
A．产量每增加1000件，单位成本下降2.13元
B．产量每减少1000件，单位成本下降2.13元
C．产量每增加1000件，单位成本上升75.7元
D．产量每减少1000件，单位成本上升75.7元
解析：在线性回归方程
＝
x＋
中，
＝－2.13，是斜率的估计值，说明产量每增加1000件，单位成本下降2.13元．
答案：A
5．对两个变量y和x进行线性相关检验，已知n是观察值组数，r是相关系数，且已知：
①n＝10，r＝0.9533；②n＝15，r＝0.3012；
③n＝17，r＝0.9991；④n＝3，r＝0.9950.
则变量y和x具有线性相关关系的是( )
A．①和②
B．①和③
C．②和④
D．③和④
解析：相关系数r的绝对值越接近1，变量x、y的线性相关性越强．②中的r太小，④中观察值组数太小．
答案：B
6．在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合得最好的模型为( )
A．模型1的相关指数R2为0.75
B．模型2的相关指数R2为0.90
C．模型3的相关指数R2为0.25
D．模型4的相关指数R2为0.55
解析：相关指数R2的值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选B.
答案：B
7．下列说法中正确的有( )
①若r>0，则x增大时，y也相应增大；
②若r<0，则x增大时，y也相应增大；
③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上．
A．
①②
B．
②③
C．
①③
D．
①②③
解析：若r>0，表示两个相关变量正相关
( http: / / www.21cnjy.com )，x增大时，y也相应增大，故①正确．r<0，表示两个变量负相关，x增大时，y相应减小，故②错误．|r|越接近1，表示两个变量相关性越高，|r|＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故③正确．
答案：C
8．[2013·福建高考]已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性
( http: / / www.21cnjy.com )回归直线方程为
＝
x＋
.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A．
>b′，
>a′
B．
>b′，
C．
>a′
D．
解析：由两组数据(1,0)和(2,
( http: / / www.21cnjy.com )2)可求得直线方程为y＝2x－2，b′＝2，a′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得
＝＝＝，
＝－
＝－×＝－，所以
>a′.
答案：C
9．下列说法中，正确的是( )
①回归方程适用于一切样本和总体；
②回归方程一般都有时间性；
③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；
④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．
A．①②
B．②③
C．③④
D．①③
解析：①回归方程只适用于我们所研究的样本总体，故①错误；④回归方程得到的预报值可能是取值的平均值，故④是错误的．
答案：B
10．为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生，得到下面列联表：
数学物理
85～100分
85分以下
合计
85～100分
37
85
122
85分以下
35
143
178
合计
72
228
300
现判断数学成绩与物理成绩有关系，则判断的出错率为( )
A．0.5%
B．1%
C．2%
D．5%
解析：代入公式得
χ2＝≈4.514>3.841，
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩与物理成绩有关系，即判断的出错率为5%.
答案：D
11．某考察团对全国10
( http: / / www.21cnjy.com )大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为
＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )
A．
83%
B．
72%
C．
67%
D．
66%
解析：将
＝7.675代入回归方
( http: / / www.21cnjy.com )程，可计算得x≈9.262，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.675÷9.262≈0.83≈83%，即约为83%.
答案：A
12．有一组观测数据(x1，y1
( http: / / www.21cnjy.com ))，(x2，y2)，…，(x12，y12)得＝1.542，＝2.8475，＝29.808，＝99.208，iyi＝54.243，则回归直线方程为( )
A．
＝1.218x－0.969
B．
＝－1.218x＋0.969
C．
＝0.969x＋1.218
D．
＝1.218x＋0.969
解析：∵＝1.542，＝2.8475
利用公式可得
＝＝1.218，
又
＝－
＝0.969
∴回归直线方程为
＝1.218x＋0.969.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．下表为收集到的一组数据：
x
1
3
5
7
9
y
4
8
11
17
20
已知变量x、y呈线性相关关系，则二者对应的回归直线方程为________．
解析：xi＝25，＝5，yi＝60，＝12，x＝165，xiyi＝382，
∴＝＝＝＝2.05，
＝－＝12－2.05×5＝1.75.
∴回归直线方程为＝1.75＋2.05x.
答案：＝1.75＋2.05x
14．许多因素都会影响贫穷，教育也
( http: / / www.21cnjy.com )许是其中之一．在研究这两个因素的关系时，收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)的数据，建立的回归直线方程为
＝0.8x＋4.6.斜率的估计值为0.8说明__________．
答案：美国一个地区的成年人受过9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右
15．若一组观测值(x1，
( http: / / www.21cnjy.com )y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝a＋bxi＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒为0，则R2为__________．
解析：若ei恒为0，则残差平方和
(yi－
i)2＝e＝0，而R2＝1－＝1－0＝1.
答案：1
16．某数学老师身高176
c
( http: / / www.21cnjy.com )m，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173
cm、170
cm和182
cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为__________cm.
解析：由题意知：设解释变量为x，预报变量为y，它们对应的取值如下表所示
x
173
170
176
y
170
176
182
于是有＝173，＝176，
＝＝1，
＝176－173×1＝3，
得
＝x＋3，所以当x＝182时，
＝185.
答案：185
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)某产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
请画出散点图并用散点图粗略地判断x、y是否线性相关．
解：散点图如下图．
从散点图可以看出散点呈条状分布，所以x、y具有较强的线性相关关系．
18．(12分)假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
(1)y与x间是否有线性相关关系？若有，求出线性回归方程；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
解：(1)作散点图，如图：
由散点图可知，y与x呈线性相关关系，
＝4，＝5，所以
＝＝1.23，
＝－
＝5－1.23×4＝0.08.
所以线性回归方程为
＝1.23x＋0.08.
(2)当x＝10年时，
＝1.23×10＋0.08＝12.3＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用10年时，维护费用是12.38万元．
19．(12分)针对时下的“韩剧热”，某校团
( http: / / www.21cnjy.com )委对“学生性别和是否喜欢韩剧有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的.
若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人？
解：设男生人数为x，依题意可得列联表如下：
喜欢韩剧
不喜欢韩剧
总计
男生
x
女生
总计
x
x
若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则χ2>3.841，
由χ2＝＝x>3.841，
解得x>10.24，
∵，为整数，
∴若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．
20．(12分)[2014·黑龙江鹤
( http: / / www.21cnjy.com )岗高二检测]为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)在犯错误的概率不超过0.01的前提下是否可认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
解：(1)调查的500位老人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为＝14%.
(2)χ2＝≈9.967，
由于9.967>6.635，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，
( http: / / www.21cnjy.com )该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据中能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好．
21．(12分)[2012·课标全国卷Ⅱ]某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归
( http: / / www.21cnjy.com )方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝，＝
－.
解：(1)由所给数据计算得
＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝＝＝0.5，
＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得
＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
22．(12分)某农科所对冬季昼夜温差
( http: / / www.21cnjy.com )大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差x(℃)
10
11
13
12
8
发芽数y(颗)
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程
＝
x＋
；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所
( http: / / www.21cnjy.com )选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得到的线性回归方程是否可靠？
解：(1)设抽到不相邻的两组数据为事件
( http: / / www.21cnjy.com )A，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况：(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)，其中数据为12月份的日期数．
每种情况都是可能出现的，事件A包括的基本事件有6种．
所以P(A)＝＝.所以选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是.
(2)由数据，求得＝12，＝27.
由公式，求得
＝，
＝－
＝－3.
所以y关于x的线性回归方程为
＝x－3.
(3)当x＝10时，
＝×10－3＝22，|22－23|<2；
同样，当x＝8时，
＝×8－3＝17，|17－16|<2；
所以，该研究所得到的回归方程是可靠的．选修1-2 第二章 2.1 课时作业35
一、选择题
1．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a证明：
∴a画框格部分是演绎推理的( )
A．大前提
B．小前提
C．结论
D．三段论
解析：本题应用了三段论．大前提是大角对大边，小前提是∠A<∠B.故选B.
答案：B
2．下面几种推理是演绎推理的是( )
A．
全等三角形的对应角相等，如果△ABC≌△A′B′C′，则A＝A′
B．
某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三各班的人数均超过50人
C．
由平面内三角形的性质，推测空间中四面体的性质
D．
在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，由此猜想出{an}的通项公式
解析：B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理．
答案：A
3．指数函数都是增函数，大前提
函数y＝()x是指数函数，小前提
所以函数y＝()x是增函数．结论
上述推理错误的原因是( )
A．
大前提不正确
B．
小前提不正确
C．
推理形式不正确
D．
大、小前提都不正确
解析：大前提错误．因为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)．
在a>1时是增函数，而在0答案：A
4．在R上定义运算 ：x y＝x(1－y)，若不等式(x－a) (x＋a)<1对任意实数x都成立，则( )
A．
－1B．
0C．
－D．
－解析：(x－a) (x＋a)<1对任意x恒成立
(x－a)[1－(x＋a)]<1对任意x恒成立
x2－x－a2＋a＋1>0对任意x恒成立
Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0 －答案：C
二、填空题
5．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________．
解析：大前提：一条边的平方等于
( http: / / www.21cnjy.com )其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5满足32＋42＝52；结论：△ABC是直角三角形．
答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
6．若不等式ax2＋2ax＋2<0的解集为空集，则实数a的取值范围为________．
解析：①a＝0时，有2<0，显然此不等式解集为 .
②a≠0时须有
∴0答案：[0,2]
7．有些导演留大胡子，因此，有些留大胡子的人是大嗓门，为使上述推理成立，请补充大前提________________．
解析：利用“三段论”推理．
大前提：所有导演是大嗓门，
小前提：有些导演留大胡子，
结论：有些留大胡子的人是大嗓门．
答案：所有导演是大嗓门
三、解答题
8．如图所示，在梯形ABCD中，AB＝DC＝AD，AC和BD是对角线．求证：CA平分∠BCD.
证明：等腰三角形两底角相等(大前提)，
△DAC是等腰三角形，DA，DC是两腰(小前提)，
∴∠1＝∠2(结论)．
两条平行线被第三条直线所截得的内错角相等(大前提)，
∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截出的内错角(小前提)，
∴∠1＝∠3(结论)．
等于同一个角的两个角相等(大前提)，
∠2和∠3都等于∠1(小前提)，
∴∠2＝∠3(结论)，
即CA平分∠BCD.
9．(1)证明函数f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数；
(2)判断函数f(x)＝－x2＋2x在区间[－5，－2]上的单调性，并加以证明．
证明：(1)法一：任取x1，x2∈(－∞，1]，x1则f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2)，
∵x1∴x2＋x1－2<0.
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)于是，根据“三段论”可知，
f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．
法二：∵f′(x)＝－2x＋2＝－2(x－1)，
当x∈(－∞，1)时，x－1<0，
∴－2(x－1)>0.
∴f′(x)>0在x∈(－∞，1)上恒成立．
故f(x)在(－∞，1]上是增函数．
(2)f(x)在区间[－5，－2]上单调递增，证明如下：
∵由(1)可知f(x)在(－∞，1]上是增函数，
而[－5，－2]是区间(－∞，1]的子区间，
∴f(x)在[－5，－2]上是增函数．选修1-2 第二章 2.2 课时作业36
一、选择题
1．命题“对于任意角θ，c
( http: / / www.21cnjy.com )os4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其过程应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．间接证法
解析：从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．
答案：B
2．欲证－<－成立，只需证( )
A．
(－)2<(－)2
B．
(－)2<(－)2
C．
(＋)2<(＋)2
D．
(－－)2<(－)2
解析：A中，－<0，－<0平方后不等价；B、D与A情况一样；只有C项，－<－ ＋<＋ (＋)2<(＋)2.故选C.
答案：C
3．在△ABC中，A>B是cos2B>cos2A的( )
A．既不充分也不必要条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．必要不充分条件
解析：∵A>B a>b sinA>sinB
( http: / / www.21cnjy.com )(由正弦定理得)，又cos2B>cos2A 1－2sin2B>1－2sin2A sin2B∴A>B cos2B>cos2A.故选C.
答案：C
4．已知a、b、c、d为正实数，且<，则( )
A．
<<
B．
<<
C．
<<
D．
以上均可能
解析：先取特值检验，∵<，
可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，
则＝，满足<<.
∴B、C不正确．
要证<，∵a、b、c、d为正实数，
∴只需证a(b＋d)只需证<.而<成立，
∴<.同理可证<.
故A正确，B、C、D不正确．
答案：A
二、填空题
5．设n∈N，a＝－，b＝－，则a，b的大小关系是________．
解析：要比较－与－的大小，即判断(－)－(－)
＝(＋)－(＋)的符号，
∵(＋)2－(＋)2
＝2[－]
＝2(－)<0，
∴－<－.
答案：a6．已知p＝a＋(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p与q的大小关系是________．
解析：p＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，(当且仅当a＝3时取“＝”)
－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2，
∴q<22＝4≤p.
答案：p>q
7．若不等式(－1)na<2＋对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当n为偶数时，a<2－，而2－≥2－＝，∴a<.
当n为奇数时，a>－2－，而－2－<－2，
∴a≥－2.综上可得－2≤a<.
答案：[－2，)
三、解答题
8．设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
证法一：综合法
a≠b a－b≠0 (a－b)2>0
a2－2ab＋b2>0 a2－ab＋b2>ab.
注意到a，b∈R＋，a＋b>0，由上式即得
(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．
∴a3＋b3>a2b＋ab2.
证法二：分析法
要证a3＋b3>a2b＋ab2，
只需证a3＋b3－a2b－ab2>0，
即证(a－b)2(a＋b)>0.
∵a>0,
b>0,
∴a＋b>0，
又∵a≠b,
∴(a－b)2>0，
∴(a－b)2(a＋b)>0成立．
∴原不等式成立．
9．证明：若a>b>c且a＋b＋c＝0，则<.
证明：∵a>b>c且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0.
要证<，
只需证即证b2－ac<3a2.
因为b＝－a－c，
故只需证(a＋c)2－ac<3a2，
即证2a2－ac－c2>0，
即证(2a＋c)(a－c)>0.
∵2a＋c>a＋b＋c＝0，a－c>0，
∴(2a＋c)(a－c)>0成立．
∴原不等式成立．选修1-2 第一章 1.2 课时作业32
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
①任何两个变量都具有相关关系
②圆的周长与圆的半径具有相关关系
③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系
④根据散点图求得的线性回归方程可能是没有意义的
⑤两个变量的线性相关关系可以通过线性回归方程，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究
A．
①③④
B．
②④⑤
C．
③④⑤
D．
②③⑤
解析：显然①是错误的，而②中圆的周长与圆的半径的关系为；C＝2πR，是一种确定性的函数关系，故应选C.
答案：C
2．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有( )
A．
b与r的符号相同
B．
a与r的符号相同
C．
b与r的符号相反
D．
a与r的符号相反
解析：因为b>0时，两变量正相关，此时r>0；b<0时，两变量负相关，此时r<0.
答案：A
3.
在判断两个变量y与x是否相关时，选
( http: / / www.21cnjy.com )择了4个不同的模型，它们的相关指数R2分别为：模型1的相关指数R2为0.98，模型2的相关指数R2为0.80，模型3的相关指数R2为0.50，模型4的相关指数R2为0.25.
其中拟合效果最好的模型是( )
A．
模型1
B．
模型2
C．
模型3
D．
模型4
解析：相关指数R2能够刻画用回归模型拟合数据的效果，相关指数R2的值越接近于1，说明回归模型拟合数据的效果越好．
答案：A
4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程
＝
x＋
中的
为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元
B．65.5万元
C．67.7万元
D．72.0万元
解析：由表可计算＝＝，＝＝42，因为点(，42)在回归直线
＝
x＋
上，且
为9.4，所以42＝9.4×＋
，解得
＝9.1，故回归方程为
＝9.4x＋9.1，令x＝6得
＝65.5，选B.
答案：B
二、填空题
5．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不
( http: / / www.21cnjy.com )断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本的资料进行线性回归分析，结果如下：＝，＝71，x＝79，xiyi＝1481.
＝≈－1.8182，
＝71－(－1.8182)×≈77.36，则销量每增加1000箱，单位成本下降__________元．
解析：由上表可得，
＝－1.8182x＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.8182元．
答案：1.8182
6．已知回归直线的斜率的估计值为1.23.样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．
解析：由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得
－5＝1.23(x－4)，
即
＝1.23x＋0.08.
答案：
＝1.23x＋0.08
7．[2014·宁夏吴忠模拟]某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程
＝
x＋
中
＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．
解析：＝10，＝40，回归方程过点(，)，∴40＝－2×10＋
.
∴
＝60.∴
＝－2x＋60.
令x＝－4，∴
＝(－2)×(－4)＋60＝68.
答案：68
三、解答题
8．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2002
2004
2006
2008
2010
需求量(万吨)
236
246
257
276
286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程
＝
x＋
；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据预处理如下：
年份－2006
－4
－2
0
2
4
需求量－257
－21
－11
0
19
29
由预处理后的数据，容易算得
＝0，＝3.2，
＝6.5，
＝－
＝3.2.由上述计算结果知，所求回归直线方程为
－257＝
(x－2006)＋
＝6.5(x－2006)＋3.2.
即
＝6.5(x－2006)＋260.2.
(2)利用所求得的直线方程，可预测2012年的粮食需求量为
6．5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．
9．[2013·重庆高考]
( http: / / www.21cnjy.com )从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，x＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程
＝
x＋
；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程＝x＋中，
＝，
＝－
，
其中，为样本平均值．
解：(1)由题意知n＝10，＝eq
\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi＝＝8，＝yi＝＝2，又x－n2＝720－10×82＝80，xiyi－n
＝184－10×8×2＝24，
由此得
＝＝＝0.3，
＝－
＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求回归方程为
＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(
＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．