《最短路径问题》
在生产和经营中为了省时省力常希望寻求最短
( http: / / www.21cnjy.com )路径，因此最短路径问题在现实生活中是经常遇到的问题。本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题“的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段和最短问题，再利用轴对称将线段和最小转化为两点之间，线段最短问题，让学生体会数学来源于生活，又服务于生活。
【知识与能力目标】
能利用所学轴对称的知识解决简单的最短路径问题。
【过程与方法目标】
在探索最短路径的过程中，培养学生的探究能力、数学归纳能力，分析问题、解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】
在探索最短路径的过程中，让学生感悟转化的思想，获得成功的体验。
【教学重点】
将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。
【教学难点】
探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及原理。
多媒体课件、教具等。
一、回顾导入
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，
( http: / / www.21cnjy.com )线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们会称它们为最短路径问题，同学们仔细回顾一下原来的知识，然后思考我们教材中的问题1。
二、传授新知
转化为数学问题，如图所示，点A，B分别是直
( http: / / www.21cnjy.com )线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点。
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为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B如下：
证明：由作图可知，点B和B
( http: / / www.21cnjy.com )′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线。因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′。
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，
所以AC＋BC＜AC′＋C′B。
问题2.如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
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思路导引：从A到B要走的路线是A→M→
( http: / / www.21cnjy.com )N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可。此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥。
学生之间相互交流合作完成问题2的求解以及证明。
三、课后作业
教材93页第15题。
略。
教材分析
教学目标
教学重难点
课前准备
教学过程
教学反思(共16张PPT)
第十三章●第四节
最短路径问题
引入新知
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识来解决它们。
问题引入
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A
地出发，到一条笔直的河边l
饮马，然后到B
地。到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
B
A
l
问题引入
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题。这个问题后来被称为“将军饮马问题”。
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B
A
l
知识点详解
这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B
两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。
B
·
·
A
l
你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A
地出发，到河边l
饮马，然后到B
地；
（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B
连接起来的两条线段的长度之和，就是从A
地到饮马地点，再回到B
地的路程之和；
B
A
l
C
知识点详解
你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点。设C
为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C
在l
的什么位置时，AC
与CB
的和最小（如图）。
B
A
l
C
知识点详解
如图，点A，B
在直线l
的同侧，点C
是直线上的一个动点，当点C
在l
的什么位置时，AC
与CB的和最小？
追问1 如何将点B“移”到l
的另一侧B′处，满足直线l
上的任意一点C，都保持CB
与CB的长度相等？
追问2 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？
B
A
l
C
知识点详解
如图，点A，B
在直线l
的同侧，点C
是直线上的一个动点，当点C
在l
的什么位置时，AC
与CB的和最小？
B
A
l
C
作法：
（1）作点B
关于直线l
的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l
相交于点C。
则点C
即为所求。
B’
知识点详解
你能用所学的知识证明AC
+BC最短吗？
证明：如图，在直线l
上任取一点C′（与点C
不重合），连接
AC′，BC′，B′C′。
由轴对称的性质知，
BC
=B′C，BC′=B′C′。
∴ AC
+BC=
AC
+B′C
=
AB′，
AC′+BC′=
AC′+B′C′。
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC
+BC＜AC′+BC′。
即 AC
+BC
最短。
B
A
l
C
B’
C’
知识点详解
追问 证明AC
+BC
最短时，为什么要在直线l
上任取一点C′（与点C
不重合），证明AC
+BC
＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
若直线l
上任意一点（与点C
不重合）与A，B
两点的距离和都大于AC
+BC，就说明AC
+
BC
最小。
B
A
l
C
B’
C’
知识点详解
例题详解
如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
A
B
N
M
C
作法：1。将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到C，
2。连接BC交河对岸与点N，
则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。
练习题
1.如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是( )
A。(－2，0)
B。(4，0)
C。(2，0)
D。(0，0)
C
练习题
2.如图，一个旅游船从大桥AB
的P
处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P
处，请画出旅游船的最短路径。
A
B
C
P
Q
山
河岸
大桥
基本思路：
由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ
为旅游船最短路径中的必经线路。将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q
在直线BC
的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR
的和最小”。
课堂小结
1.最短路径问题的类型：
(1)两点一线型的线段和最小值问题；
(2)两线一点型线段和最小值问题；
(3)两点两线型的线段和最小值问题；
(4)造桥选址问题。
2.解决最短路径问题的方法：
借助轴对称或平移的知识，化折为直，利用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”来求线段和的最小值。
