一、选择题
1．sin
37.5°cos
7.5°＝( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 原式＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
＝(sin
45°＋sin
30°)＝×(＋)＝.
【答案】 C
2．化简：＝( )
A．sin
10°
B．tan
10°
C．sin
20°
D．tan
20°
【解析】 原式＝＝＝tan
20°.
【答案】 D
3．函数f(x)＝sin(2x－)cos(2x＋)的周期是( )
A.
B．π
C．2π
D．4π
【解析】 ∵f(x)＝[sin
4x＋sin(－)]
＝sin
4x－，
∴T＝＝.
【答案】 A
4．(2013·临沂高一检测)求值：sin
20°＋sin
40°＋sin
60°－sin
80
°＝( )
A.
B.
C.
D．1
【解析】 sin
20°＋sin
40°＋sin
60°－sin
80°
＝2sin
30°cos(－10°)＋sin
60°－sin
80°
＝2××sin
80°＋－sin
80°＝.
【答案】 C
5．已知α－β＝，且cos
α＋cos
β＝，则cos(α＋β)等于( )
A.
B．－
C.
D．－
【解析】 ∵cos
α＋cos
β＝，∴2cos
cos
＝，
∵α－β＝π，
∴cos
＝.
∴cos
＝
则cos(α＋β)＝2cos2()－1＝－.
【答案】 D
二、填空题
6．函数y＝cos(＋2x)cos(－2x)的最大值是________．
【解析】 y＝cos(＋2x)cos(－2x)＝{cos[(＋2x)＋(－2x)]＋cos[(＋2x)－(－2x)]}＝(cos
＋cos
4x)＝cos
4x－.
∴ymax＝.
【答案】
7．直角三角形中两锐角为A和B，则sin
Asin
B的最大值为________．
【解析】 ∵A＋B＝，
sin
Asin
B＝[cos(A－B)－cos(A＋B)]
＝cos(A－B)，
又－＜A－B＜，∴0＜cos(A－B)≤1，
∴sin
Asin
B有最大值.
【答案】
8.＋＝________.
【解析】 原式＝
＝
＝
＝＝2cos
30°＝.
【答案】
三、解答题
9．已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan
＋
，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？并证明你的结论．
【解】 ∵A，B，C是△ABC的三个内角，
∴A＋B＋C＝π，
＝－.
∴y＝tan
＋
＝tan
＋
＝tan
＋tan
＋tan
.
因此，任意交换两个角的位置，y的值不变．
10．求函数f(x)＝sin
x[sin
x－sin(x＋)]的最小正周期与最值．
【解】 f(x)＝sin
x[sin
x－sin(x＋)]
＝sin
x·2cos(x＋)sin(－)
＝－sin
xcos(x＋)
＝－[sin(2x＋)＋sin(－)]
＝－sin(2x＋)＋.
∴最小正周期为T＝＝π.
∵sin(2x＋)∈[－1,1]，
∴f(x)max＝，f(x)min＝－.
11．已知3tan(α－)＝tan(α＋)，求证：sin
2α＝1.
【证明】 ∵3tan(α－)＝tan(α＋)，
∴＝.
∴3sin(α－)cos(α＋)＝sin(α＋)cos(α－)．
∴(sin
2α－sin
)＝(sin
2α＋sin
)．
∴3sin
2α－＝sin
2α＋，∴sin
2α＝1.一、选择题
1．已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( )
A.或
B.或
C.或
D.或
【解析】 由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝或π.
【答案】 C
2．下列四个命题中：
①α一定时，单位圆中的正弦线一定；
②单位圆中，有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上．
不正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 由三角函数线的定义①③正确，②④不正确．
【答案】 C
3．在[0,2π]上满足sin
x≥的x的取值范围是( )
A．[0，]
B．[，π]
C．[，]
D．[，π]
【解析】 画出单位图，结合正弦线得出sin
x≥的取值范围是[，π]．
【答案】 B
4．若－＜α＜－，则sin
α、cos
α、tan
α的大小关系是( )
A．sin
α＜tan
α＜cos
α
B．tan
α＜sin
α＜cos
α
C．cos
α＜sin
α＜tan
α
D．sin
α＜cos
α＜tan
α
【解析】 在单位圆中，作出－＜α＜－内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线，易知选D.
【答案】 D
5．点P(sin
3－cos
3，sin
3＋cos
3)所在的象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 因为＜3＜π，作出单位圆如图所示．
设，的数量分别为a，b，
所以sin
3＝a＞0，cos
3＝b＜0.
所以sin
3－cos
3＞0.
因为|MP|＜|OM|，即|a|＜|b|，
所以sin
3＋cos
3＝a＋b＜0.
故点P(sin
3－cos
3，sin
3＋cos
3)在第四象限．
【答案】 D
二、填空题
6．依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin
＝sin
；②cos(－)＝cos
；③tan
＞tan
；
④sin
＞sin
，其中正确的判断有________个．
【解析】 ①③错误，②④正确．
【答案】 2
7．函数y＝＋
的定义域是________．
【解析】 由sin
x≥0得2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，①
由cos
x≥得
2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z②
由①②可得2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.
∴定义域是{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
【答案】 {x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}
8．用三角函数线比较sin
1和cos
1的大小，结果是_____________________．
【解析】 如图，借助三角函数线可知sin
1>cos
1.
【答案】 sin
1>cos
1
三、解答题
9．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sin
α＝；(2)cos
α＝－.
【解】 (1)作直线y＝交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图甲．
甲 乙
(2)作直线x＝－交单位圆于M、N两点，则OM与ON为角α的终边，如图乙．
10．若0＜α＜β＜，试比较sin
α－α与sin
β－β的大小．
【解】 如图①，在单位圆中，由扇形面积公式
( http: / / www.21cnjy.com )与三角形面积公式可得弓形AmC的面积S1＝α－sin
α＝(α－sin
α)，其中sin
α为△OAC的面积，α为扇形OAC的面积．
同理，如图②，S2＝(β－sin
β)为弓形AnD的面积．由图可以看出，S1＜S2，故sin
α－α＞sin
β－β.
11．若α、β是关于x的二次方程x2＋2(cos
θ＋1)x＋cos2
θ＝0的两根，且(α－β)2≤8.求θ的范围．
【解】 由题意得Δ≥0
∴[2(cos
θ＋1)]2－4cos2θ≥0，
∴cos
θ≥－.
又(α－β)2≤8，
∴(α＋β)2－4αβ≤8，
∴[2(cos
θ＋1)]2－4×cos2θ≤8，
∴cos
θ≤.
∴－≤cos
θ≤.
∴由三角函数线得
＋2kπ≤θ≤＋2kπ或＋2kπ≤θ≤＋2kπ(k∈Z)．
∴＋kπ≤θ≤＋kπ(k∈Z)．一、选择题
1.＝( )
A．－
B.
C．－
D.
【解析】 原式＝tan(75°－15°)＝tan
60°＝.
【答案】 D
2．已知tan
α＋tan
β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan
αtan
β等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵4＝tan(α＋β)＝
＝，∴tan
αtan
β＝.
【答案】 A
3．已知α＋β＝，则(1－tan
α)(1－tan
β)＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 tan(α＋β)＝＝tan
＝－1，所以tan
α＋tan
β＝－1＋tan
αtan
β，从而(1－tan
α)(1－tan
β)＝1－(tan
α＋tan
β)＋tan
αtan
β＝1－(－1＋tan
αtan
β)＋tan
αtan
β＝2.
【答案】 B
4．tan
18°＋tan
42°＋tan
18°tan
42°＝( )
A．1
B.
C.
D．2
【解析】 tan
60°＝tan(18°＋42°)＝，
所以tan
18°＋tan
42°＝tan
60°(1－tan
18°tan
42°)，
tan
18°＋tan
42°＋tan
18°tan
42°
＝tan
60°(1－tan
18°tan
42°)＋tan
18°tan
42°＝.
【答案】 C
5．已知tan
α，tan
β是关于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则＝( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
【解析】 ∵tan
α，tan
β是关于
( http: / / www.21cnjy.com )x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，∴tan
α＋tan
β＝－6，tan
α·tan
β＝2.则＝
＝＝＝－2.
【答案】 C
二、填空题
6．已知tan
α，tan
β是方程x2＋6x＋7＝0的两个实根，则tan(α－β)的值等于________．
【解析】 由已知tan
α＝－3＋，tan
β＝－3－或tan
α＝－3－，tan
β＝－3＋，
∴tan(α－β)＝＝±.
【答案】 ±
7．设tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，则tan(α＋)的值是________．
【解析】 ∵α＋＝(α＋β)－(β－)．
∴tan(α＋)＝＝＝.
【答案】
8．已知tan(α＋β)＝7，tan
α＝，且β∈(0，π)，则β的值为________．
【解析】 tan
β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝1，又β∈(0，π)，所以β＝.
【答案】
三、解答题
9．已知tan(＋α)＝，tan(β－)＝2，
(1)求tan(α＋β－)的值；
(2)求tan(α＋β)的值．
【解】 (1)tan(α＋β－)＝tan[(＋α)＋(β－)]
＝＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan[(α＋β－)＋]
＝＝
＝2－3.
10．已知tan
α，tan
β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，且α，β∈(－，)，求α＋β的值．
【解】 由题意，有，
tan
α＜0且tan
β＜0.又因为α，β∈(－，)，
所以α，β∈(－，0)，α＋β∈(－π，0)．
又因为tan(α＋β)＝＝＝.
在(－π，0)内，正切值为的角只有－，
所以α＋β＝－.
11．是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝和②tan
·tan
β＝2－同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
【解】 由①得＋β＝，
∴tan(＋β)＝＝.
将②代入上式得tan
＋tan
β＝3－.
因此，tan
与tan
β是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根．解之，得x1＝1，x2＝2－.
若tan
＝1，由于0＜＜，
∴这样的α不存在．
故只能是tan
＝2－，tan
β＝1.
由于α，β均为锐角，∴α＝，β＝.
故存在锐角α＝，β＝使①②同时成立.一、选择题
1．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a、b是方向相反的向量
C．a＝－b
D．a、b无论什么关系均可
【解析】 只有a∥b，且a与b方向相同时才有|a＋b|＝|a|＋|b|成立．故A项正确．
【答案】 A
2．已知菱形的两邻边＝a，＝b,
其对角线交点为D，则等于( )
A.a＋b
B.b＋a
C.(a＋b)
D．a＋b
【解析】 作出图形，＋＝＝a＋b，
∴＝(a＋b)．
【答案】 C
3．(2013·阜阳高一检测)下列向量的运算结果为零向量的是( )
A.＋
B.＋＋
C.＋＋＋
D.＋＋＋
【解析】 A项，＋＝＋＝；
B项，＋＋＝＋＋＝；
C项，＋＋＋
＝(＋＋)＋＝0＋＝；
D项，＋＋＋＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0.
【答案】 D
4．(2013·济南高一检测)在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|＋|，则四边形ABCD是( )
A．菱形
B．矩形
C．正方形
D．不确定
【解析】 ∵|＋|＝||，
|＋|＝|＋|＝||，
∴||＝||，
∴ ABCD是矩形．
【答案】 B
5．(2013·嘉兴高一检测)已知P为△ABC所在平面内一点，当＋＝成立时，点P位于( )
A．△ABC的AB边上
B．△ABC的BC边上
C．△ABC的内部
D．△ABC的外部
【解析】 如图＋＝，则P在△ABC的外部．
【答案】 D
二、填空题
6．化简(＋)＋＋＋＋＝__________.
【解析】 (＋)＋＋＋＋＝＋(＋)＋＋(＋)＝＋＋＋＝＋0＋＝0.
【答案】 0
7．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝2，则|＋|＝__________.
【解析】 因为＋＝，又AC＝＝＝，
∴|＋|＝.
【答案】
8．当非零向量a，b满足________时，能使a＋b平分a与b的夹角．
【解析】 以a，b为邻边构成的平行四边形为菱形时，a＋b平分a与b的夹角，此时|a|＝|b|.
【答案】 |a|＝|b|
三、解答题
9．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.
【解】 如图，∵||＝||＝3，
∴四边形OACB为菱形．
连OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D.
∵∠AOB＝60°，
∴AB＝||＝3.
∴在Rt△BDC中，CD＝.
∴||＝|a＋b|＝×2＝3.
10．如图所示，在 ABCD的对角线BD的延长线上取点E、F，使BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．
图2－1－18
【证明】 ＝＋，＝＋，
又∵＝，＝.
∴＝.
∴AE綊FC，
∴四边形AECF是平行四边形．
11．如图所示，中心为O的正八边形A
( http: / / www.21cnjy.com )1A2…A7A8中，ai＝AiAi＋1(i＝1,2，…，7)，bj＝(j＝1,2，…，8)，试化简a2＋a5＋b2＋b5＋b7.
图2－1－19
【解】 因为＋＝0，所以a2＋a5＋b2＋b5＋b7＝＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＝b6.一、选择题
1．用力F推动一物体水平运动s
m，设F与水平面的夹角为θ，则力F对物体所做的功为( )
A．|F|·s
B．F·cos
θ·s
C．F·sin
θ·s
D．|F|·cos
θ·s
【解析】 W＝F·s＝|F|·|s|
·cos
θ＝|F|cos
θ·s.
【答案】 D
2．(2013·福建高考)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A.
B．2
C．5
D．10
【解析】 ∵·＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，∴⊥，∴S四边形ABCD＝||·||＝××2＝5.
【答案】 C
3．一船从某河一岸驶向另一岸，航速为υ1、水速为υ2，已知船垂直到达对岸，则( )
A．|υ1|＜|υ2|
B．|υ1|＞|υ2|
C．|υ1|≤|υ2|
D．|υ1|≥|υ2|
【解析】 速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量υ1在水流方向上的分量与向量υ2大小相等、方向相反，由此即得|υ1|＞|υ2|.
【答案】 B
4．(2013·漳州高一检测)若四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是( )
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．直角梯形
【解析】 ∵＋＝0，∴＝，四边形ABCD是平行四边形，由(－)·＝0，得·＝0，∴⊥，即此四边形对角线互相垂直，故为菱形．
【答案】 C
5．过点M(2,3)，且垂直于向量u＝(2,1)的直线方程为( )
A．2x＋y－7＝0
B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0
D．x－2y－4＝0
【解析】 设P(x，y)是所求直线上任一点，则⊥u，
又∵＝(x－2，y－3)，∴2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0.
【答案】 A
二、填空题
6．飞机以300
km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是________km/h.
【解析】 在水平方向上的速度为v·cos
30°＝150
km/h.
【答案】 150
7．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，则·＝________.
【解析】 由∠C＝90°，AC＝BC＝4，知△ABC是等腰直角三角形．∴BA＝4，∠ABC＝45°，
∴·＝4×4×cos
45°＝16.
【答案】 16
图2－4－2
8.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图所示，已知物体的重力大小为10
N，则每根绳子的拉力大小是________．
【解析】 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10
N.
【答案】 10
N
三、解答题
图2－4－3
9.如图所示，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
【解】 设＝a，＝b，
则＝a－b，＝a＋b.
而||＝|a－b|
＝＝
＝＝，
∴||2＝5－2a·b＝4，∴2a·b＝1.
又||2＝|a＋b|2＝a2＋2ab＋b2＝|a|2＋2ab＋|b|2
＝1＋4＋2ab，
∴||2＝6，∴||＝，即AC＝.
10.
图2－4－4
如图所示，作用于同一点O的三个力F1、F2、F3处于平衡状态，已知|F1|＝1，|F2|＝2，F1与F2的夹角为，求F3的大小．
【解】 ∵F1、F2、F3三个力处于平衡状态，
∴F1＋F2＋F3＝0，
即F3＝－(F1＋F2)，
∴|F3|＝|F1＋F2|
＝
＝
＝＝.
11．△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线所在的直线的方程．
【解】 向量＝(7,5)
( http: / / www.21cnjy.com )－(4,1)＝(3,4)，＝(－4，7)－(4,1)＝(－8,6)，从而∠A的平分线的一个方向向量为＋＝(，)＋(－，)＝(－，)，则∠A的平分线方程可设为x＋y＋m＝0，将点(4,1)的坐标代入，得m＝－，整理得7x＋y－29＝0，即∠A的平分线所在直线的方程为7x＋y－29＝0.一、选择题
1．下列各式与tan
α相等的是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 ＝＝＝tan
α.
【答案】 D
2．若函数f(x)＝sin
2x－(x∈R)，则f(x)是( )
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
【解析】 y＝sin
2x－
＝－
＝－cos
2x，
∴函数是最小正周期为π的偶函数．
【答案】 D
3．如果|cos
θ|＝，<θ<3π，那么sin的值等于( )
A．－
B.
C．－
D.
【解析】 |cos
θ|＝，<θ<3π，θ为第二象限的角，则cos
θ＝－，又<<，为第三象限的角，则sin＝－＝－＝－.
【答案】 C
4．已知sin
θ＝－，3π＜θ＜π，则tan
的值为( )
A．3
B．－3
C.
D．－
【解析】 ∵3π＜θ＜π，sin
θ＝－，
∴cos
θ＝－＝－，∴tan
θ＝.
∵3π＜θ＜π，∴π＜＜π，
又tan
θ＝＝，
∴tan
＝－3或(舍去)．
【答案】 B
5．设a＝cos
6°－sin
6°，b＝2sin
13°cos
13°，c＝，则有( )
A．c
B．aC．aD．b【解析】 a＝sin
30°cos
6°－cos
30°sin
6°＝sin(30°－6°)＝sin
24°，
b＝2sin
13°
·cos
13°＝sin
26°，
c＝sin
25°，
y＝sin
x在[0，]上是递增的．
∴a【答案】 C
二、填空题
6.＋2的化简结果是________．
【解析】 原式＝2|cos
4|＋2|sin
4－cos
4|.
∵π＜4，∴cos
4＜0，sin
4＜cos
4.
∴原式＝－2cos
4＋2cos
4－2sin
4＝－2sin
4.
【答案】 －2sin
4
7．5π<θ<6π，cos＝a，则sin＝________.
【解析】 ∵5π<θ<6π，∴<<，∴sin<0.
sin
＝－
＝－
.
【答案】 －
8．(2013·常熟高一检测)函数y＝cos2(x－)＋sin2(x＋)－1的最小正周期为________．
【解析】 y＝cos2(x－)＋sin2(x＋)－1＝＋－1
＝
＝sin
2x，
∴T＝＝π.
【答案】 π
三、解答题
9．设π＜θ＜2π，cos
＝a，求
(1)sin
θ的值；(2)cos
θ的值；(3)sin2的值．
【解】 (1)∵π＜θ＜2π，∴＜＜π，
又cos
＝a，∴sin
＝＝，
∴sin
θ＝2sin
cos
＝2a.
(2)cos
θ＝2cos2－1＝2a2－1.
(3)sin2＝＝.
10．已知向量a＝(cos
，sin
)，b＝(cos
，－sin
)，且x∈[0，]，求：a·b及|a＋b|.
【解】 a·b＝cos
cos
－sin
sin
＝cos
2x；
|a＋b|＝
＝＝
＝2
＝2|cos
x|.
∵x∈[0，]，∴cos
x≥0，∴|a＋b|＝2cos
x.
11．若π＜α＜，化简＋
.
【解】 ∵π＜α＜，∴＜＜，
∴cos
＜0，sin
＞0.
∴原式＝＋
＝＋
＝－＋＝－cos
.一、选择题
1．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C关系是( )
A．B＝A∩C
B．B∪C＝C
C．A?C
D．A＝B＝C
【解析】 锐角大于0°小于90°，故C?B，选项B正确．
【答案】 B
2．把－1
485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )
A．45°－4×360°
B．－45°－4×360°
C．－45°－5×360°
D．315°－5×360°
【解析】 B、C选项中α不在0°～360°范围内，A选项的结果不是－1
485°，只有D正确．
【答案】 D
3．若α是第二象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【解析】 可借助于取特殊值法，取α＝120°，则180°－120°＝60°.
【答案】 A
4．若α与β的终边互为反向延长线，则有( )
A．α＝β＋180°
B．α＝β－180°
C．α＝－β
D．α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z
【解析】 α与β的终边互为反向延长线，则两角的终边相差180°的奇数倍，可得α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z.
【答案】 D
5．以下命题正确的是( )
A．若α是第一象限角，则2α是第二象限角
B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A?B
C．若k·360°<αD．终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)
【解析】 A不正确，如α＝30°时，2α＝60°为第一象限角．
在B中，当k＝2n，k∈Z时，β＝n·180°，n∈Z.
∴A?B，∴B正确．
又C中，α为第一或第二象限角，或在y轴的非负半轴上，∴C不正确．显然D不正确．
【答案】 B
二、填空题
6．(2013·哈尔滨高一检测)与－2
002°终边相同的最小正角是________．
【解析】 与－2
002°终边相同的角的
( http: / / www.21cnjy.com )集合为{β|β＝－2
002°＋k·360°，k∈Z}，与－2
002°终边相同的最小正角是当k＝6时，β＝－2
002°＋6×360°＝158°.
【答案】 158°
7．若将时钟拨慢5分钟，则分针转了________度，时针转了________度．
【解析】 拨慢时钟为逆时针形成正角，分针每
( http: / / www.21cnjy.com )分钟转过的度数为＝6°，5分钟转过30°，时针每分钟转过的度数为＝0.5°，5分钟转过2.5°.
【答案】 30 2.5
8．(2013·宁波高一检测)在四个角－20°，－400°，－2
000°，600°中，第四象限的角的个数是________．
【解析】 －20°是第四象限的角；－400
( http: / / www.21cnjy.com )°＝－360°－40°，也是第四象限的角；－2000°＝(－6)×360°＋160°，是第二象限的角；600°＝360°＋240°，是第三象限的角．所以第四象限的角的个数是2个．
【答案】 2个
三、解答题
9．若角α的终边和函数y＝－x的图象重合，试写出角α的集合．
【解】 在0°～360°范围内所对应的两个角分别为135°和315°，
∴终边为y＝－x的角的集合是{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}
＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}
＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．
10．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)－720°到－360°的角．
【解】 与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.
(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°，且k∈Z可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.
(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z可得k＝－1，
故所求的最小正角为170°.
(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z得k＝－3，故所求的角为－550°.
11．如图1－1－4所示．
图1－1－4
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
【解】 (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}．
终边落在OB位置上的角的集合为
{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由题图可知，终边落在
( http: / / www.21cnjy.com )阴影部分(包括边界)角的集合是由大于或等于－30°而小于或等于135°范围内的所有与之终边相同的角组成的集合，故终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}.一、选择题
1.·＝( )
A．tan
2α
B．tan
α
C．1
D.
【解析】 原式＝·＝tan
2α.
【答案】 A
2．函数f(x)＝sin
xcos
x的最小值是( )
A．－1
B．－
C.
D．1
【解析】 f(x)＝sin
2x，∴f(x)min＝－.
【答案】 B
3．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知sin
2α＝，是cos2＝( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵sin
2α＝，∴cos2＝＝＝＝.
【答案】 A
4．设sin
α＝(＜α＜π)，tan(π－β)＝，则tan(α－2β)＝( )
A．－
B．－
C.
D.
【解析】 ∵sin
α＝，α∈(，π)，
∴cos
α＝－，∴tan
α＝－.
又∵tan(π－β)＝，∴tan
β＝－，
∴tan
2β＝＝－.
∴tan(α－2β)＝
＝＝.
【答案】 D
5.＋2的化简结果是( )
A．2cos
4－4sin
4
B．2sin
4
C．2sin
4－4cos
4
D．－2sin
4
【解析】 原式＝＋2＝×＋2
＝2|sin
4|＋2|sin
4－cos
4|，
∵sin
4<0，sin
44，
∴原式＝－2sin
4＋2(cos
4－sin
4)＝2cos
4－4sin
4.
【答案】 A
二、填空题
6．(2013·广州高一检测)已知sin(－x)＝，则sin
2x的值等于________．
【解析】 法一 ∵sin(－x)＝，∴cos(－2x)＝1－2sin2(－x)＝1－2×()2＝，
∴sin
2x＝cos(－2x)＝.
法二 由sin(－x)＝，得(sin
x－cos
x)＝－，
∴sin
x－cos
x＝－，两边平方得
1－sin
2x＝，∴sin
2x＝.
【答案】
7．在△ABC中，已知cos
2C＝－，则sin
C的值为________．
【解析】 cos
2C＝1－2sin2C＝－且0所以sin
C＝.
【答案】
8．函数f(x)＝sin(2x－)－2·sin2x的最小正周期是________．
【解析】 f(x)＝sin(2x－)－2sin2x
＝sin
2x－cos
2x－2×
＝sin
2x＋cos
2x－
＝sin(2x＋)－，
故该函数的最小周期为＝π.
【答案】 π
三、解答题
9．(1)求函数f(x)＝cos(x＋π)＋2cos2，x∈R的值域；
(2)已知tan
α＝3，α∈(，)，求sin
2α，cos
2α，tan
2α的值．
【解】 (1)f(x)＝cos
xcosπ－sin
xsinπ＋cos
x＋1＝－cos
x－sin
x＋cos
x＋1＝cos
x－sin
x＋1＝sin(x＋)＋1，因此f(x)的值域为[0,2]．
(2)∵α∈(，)，tan
α＝3，∴sin
α＝，cos
α＝.
∴sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝，cos
2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－，
∴tan
2α＝＝－.
10．已知sin(＋α)sin(－α)＝，且α∈(，π)，求sin
4α的值．
【解】 因为(＋α)＋(－α)＝.
所以sin(－α)＝cos(＋α)
因为sin(＋α)sin(－α)＝，
所以2sin(＋α)·cos(＋α)＝，
即sin(＋2α)＝.
所以cos
2α＝.
又因为α∈(，π)，所以2α∈(π，2π)，
所以sin
2α＝－＝－.
所以sin
4α＝2sin
2αcos
2α＝－.
11．(2013·安徽高考)已知函数f(x)＝4cos
ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
【解】 (1)f(x)＝4cos
ωx·sin
＝2sin
ωx·cos
ωx＋2cos2ωx
＝(sin
2ωx＋cos
2ωx)＋＝2sin＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，
从而有＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋)＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当＜2x＋≤，即＜x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.章末质量评估(一)
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求)
1．在①160°；②480°；③－960°；④1
530°这四个角中，属于第二象限角的是
( )．
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④
解析 160°角显然是第二象限角；480°＝
( http: / / www.21cnjy.com )360°＋120°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1
530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．
答案 C
2．若2弧度的圆心角所对的弧长为2
cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是
( )．
A．4
cm2
B．2
cm2
C．4π
cm2
D．1
cm2
解析 由弧长公式得2＝2R，即R＝1
cm，则S＝Rl＝×1×2＝1(cm2)．
答案 D
3．函数y＝cos
x·tan
x的值域是
( )．
A．(－1,0)∪(0,1)
B．[－1,1]
C．(－1,1)
D．[－1,0]∪(0,1)
解析 化简得y＝sin
x，由cos
x≠0，得sin
x≠±1.故得函数的值域(－1,1)．
答案 C
4．三角函数y＝sin
是
( )．
A．周期为4π的奇函数
B．周期为的奇函数
C．周期为π的偶函数
D．周期为2π的偶函数
解析 x∈R，f(－x)＝sin＝－sin
＝－f(x)，是奇函数，T＝＝4π.
答案 A
5．已知sin＝，则cos的值为
( )．
A.
B．－
C．－
D.
解析 根据题意得：cos＝cos＝－sin＝－，故选B.
答案 B
6．函数f(x)＝sin－1的最小值和最小正周期分别是
( )．
A．－－1，π
B．－＋1，π
C．－，π
D．－－1,2π
解析 f(x)min＝－－1，T＝＝π.
答案 A
7．要得到函数y＝f(2x＋π)的图象，只要将函数y＝f(x)的图象
( )．
A．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
解析 把y＝f(x)的图象向左平移π个单位得到y＝f(x＋π)，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到y＝f(2x＋π)．
答案 C
8．函数y＝2sin的图象
( )．
A．关于原点成中心对称
B．关于y轴成轴对称
C．关于点成中心对称
D．关于直线x＝成轴对称
解析 本题考查三角函数的图象与性质．由形如y
( http: / / www.21cnjy.com )＝Asin(ωx＋φ)函数图象的对称中心和对称轴的意义，分别将各选项代入检验即可，由于f＝0，故函数的图象关于点成中心对称．
答案 C
9．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则该函数的表达式为
( )．
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
解析 本题考查由图象求三角函数解析式．由图象可知，A＝2，ω＝＝2，当x＝时，y＝2，从而有2×＋φ＝，
∴φ＝，故选C.
答案 C
10．下列说法正确的是
( )．
A．在内sin
x>cos
x
B．函数y＝2sin的图象的一条对称轴是x＝π
C．函数y＝的最大值为π
D．函数y＝sin
2x的图象可以由函数y＝sin的图象向右平移个单位得到
解析 在内有sin
xx，所
( http: / / www.21cnjy.com )以A错；当x＝π时，
y＝2sin＝0，所以x＝π不是函数图象的一条对称轴，故B错；函数y＝sin
2x的图象应该由函数y＝sin的图象向左平移个单位得到，所以D错；而在函数y＝中，由于1＋tan2x≥1，所以y≤π，即函数y＝的最大值等于π.
答案 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．函数y＝tan的定义域为________．
解析 2x－≠＋kπ，即x≠＋，k∈Z.
答案
12．函数y＝2cos的最小正周期是4π，则ω＝________.
解析 T＝＝4π，∴|ω|＝，ω＝±.
答案 ±
13.的值等于________．
解析 arcsin＝，arccos＝π，
arctan(－)＝－，∴原式＝＝1.
答案 1
14．已知tan
θ＝2，则＝________.
解析 ＝
＝
＝＝.
答案
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)已知tan
α＝，
求的值．
解 原式＝
＝＝
＝＝＝＝－3.
16．(10分)已知sin
α＋3cos
α＝0，求sin
α，cos
α的值．
解 ∵sin
α＝－3cos
α.
又sin2α＋cos2α＝1，得(－3cos
α)2＋cos2α＝1，
即10cos2α＝1.∴cos
α＝±.
又由sin
α＝－3cos
α，可知sin
α与cos
α异号，
∴α在第二、四象限．
①当α是第二象限角时，sin
α＝，cos
α＝－.
②当α是第四象限角时，sin
α＝－，cos
α＝.
17．(10分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0且ω>0,0<φ<的部分图象，如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a在上有两个不同的实根，试求a的取值范围．
解 (1)由图象易知函数f(x)的周期为
T＝4×＝2π，A＝1，所以ω＝1.
法一 由图可知此函数的图象是由y＝sin
x的图象向左平移个单位得到的，故φ＝，所以函数解析式为f(x)＝sin.
法二 由图象知f(x)过点.
则sin＝0，
∴－＋φ＝kπ，k∈Z.
∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又∵φ∈，
∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
(2)方程f(x)＝a在上有两个不同的实根
( http: / / www.21cnjy.com )等价于y＝f(x)与y＝a的图象在上有两个交点，在图中作y＝a的图象，如图为函数f(x)＝sin在上的图象，当x＝0时，f(x)＝，当x＝时，f(x)＝0，由图中可以看出有两个交点时，a∈∪(－1,0)．
18．(12分)已知f(x)＝sin＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间．
(2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin
2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
解 (1)T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z知kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以所求的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)变换情况如下：y＝sin
2x
( http: / / www.21cnjy.com )
y＝sin
y＝sin＋.
19.
(12分)如右图所示，函数y＝2cos(ωx＋θ)的图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值．
解 (1)将x＝0，y＝代入函数y＝2cos(ωx＋θ)中，得cos
θ＝，因为0≤θ≤，所以θ＝.
由已知T＝π，且ω>0，得ω＝＝＝2.
(2)因为点A，Q(x0，y0)是PA的中点，
y0＝，所以点P的坐标为.
又因为点P在y＝2cos的图象上，且≤x0≤π，
所以cos＝，且≤4x0－≤，
从而得4x0－＝，或4x0－＝，即x0＝，或x0＝.一、选择题
1．已知sin
α＝－，－＜α＜0，则α等于( )
A．π－arcsin(－)
B．π＋arcsin(－)
C．arcsin(－)
D．－arcsin(－)
【解析】 －＜α＜0，sin
α＝－，所以α＝
arcsin(－)．
【答案】 C
2．若＜x＜π且cos
x＝－，则x等于( )
A．arccos
B．－arccos
C．π－arccos
D．π＋arccos
【解析】 ∵x∈(，π)，
∴x＝arccos(－)＝π－arccos
.
【答案】 C
3．若tan
x＝－，则角x的值为( )
A.或
B．2kπ＋(k∈Z)
C．kπ＋(k∈Z)
D．2kπ±(k∈Z)
【解析】 x＝kπ－(k∈Z)等价写成x＝kπ＋(k∈Z)．
【答案】 C
4．函数y＝cos
x·tan
x的值域是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．[－1,1]
C．(－1,1)
D．[－1,0)∪(0,1]
【解析】 化简得y＝sin
x，由cos
x≠0，得sin≠±1，故得函数的值域为(－1,1)．
【答案】 C
5．计算式子arctan(－1)＋arcsin
＋arccos(－)的值为( )
A．0
B．－
C.
D.
【解析】 原式＝－＋＋＝.
【答案】 D
二、填空题
6．tan[arccos(－)]＝________.
【解析】 令α＝arccos(－)，α∈[0，π]，则cos
α＝－，sin
α＝，∴tan
α＝－.
【答案】 －
7．函数y＝＋π－arccos(2x－3
( http: / / www.21cnjy.com ))的定义域是__________________________________________________．
【解析】 由得1≤x≤，
∴函数的定义域是[1，]．
【答案】 [1，]
8．已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为________．
【解析】 r＝＝1，
由三角函数的定义，知
tan
θ＝＝＝－1.
又∵sin>0，cos<0，
∴P在第四象限，∴θ＝.
【答案】
π
三、解答题
9．已知sin
＝－，且α是第二象限的角，求角α.
【解】 ∵α是第二象限角，∴是第一或第三象限的角．
又∵sin
＝－＜0，∴是第三象限角．
又sin
＝－，∴＝2kπ＋π(k∈Z)．
∴α＝4kπ＋π(k∈Z)．
10．已知cos(2x＋)＝－，x∈(－，)，求角x.
【解】 ∵x∈(－，)，∴0＜2x＋＜π.
又cos(2x＋)＝－，
∴2x＋＝，∴x＝.
11．若f(arcsin
x)＝x2＋4x，求f(x)的最小值，并求f(x)取得最小值时的x的值．
【解】 令t＝arcsin
x，t∈[－，]，即sin
t＝x，
sin
t∈[－1,1]，于是f(t)＝si
( http: / / www.21cnjy.com )n2t＋4sin
t，即f(x)＝(sin
x＋2)2－4，x∈[－，]．∵－1≤sin
x≤1，
∴当sin
x＝－1，即x＝－时，f(x)取得最小值(－1＋2)2－4＝－3.一、选择题
1．已知数轴上两点A、B的坐标分别是－4，－1，则AB与||分别是( )
A．－3,3
B．3,3
C．3，－3
D．－6,6
【解析】 AB＝－1－(－4)＝3，||＝3.
【答案】 B
2．设a，b为不共线向量，＝a＋b，＝－4a－b，＝－5a－2b，则下列关系式中正确的是( )
A.＝
B.＝2
C.＝－
D.＝－2
【解析】 ＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.
【答案】 B
3．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3a－3b，则( )
A．A、B、D三点共线
B．A、B、C三点共线
C．A、C、D三点共线
D．B、C、D三点共线
【解析】 ＝＋＋＝2a＋10b＝2(a＋5b)＝2，故A、B、D三点共线．
【答案】 A
4．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则( )
A．λ＝0
B．e2＝0
C．e1∥e2
D．e1∥e2或λ＝0
【解析】 ∵a∥b，∴存在实数k，使得a＝kb，
即(2k－1)e1＝λe2.∵e1≠0，∴若2k－1＝0，则λ＝0或e2＝0；
若2k－1≠0，则e1＝e2，此时e1∥e2，又0与任何一个向量平行，∴有e1∥e2或λ＝0.
【答案】 D
5．设＝(a＋5b)，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则||与||的比值为( )
A．2
B．3
C.
D.
【解析】 ∵＋＝＝(－2a＋8b)＋3(a－b)＝a＋5b，
∴＝，∴与平行，
∴＝.
【答案】 C
二、填空题
6．已知A、B、C三点在数轴上，且点B的坐标3，AB＝5，AC＝2，则点C的坐标为________．
【解析】 设A、C的坐标分别为xA、xC，则AB＝3－xA＝5.∴xA＝－2，又AC＝xC－xA＝xC－(－2)＝2，
∴xC＝0.
【答案】 0
7．下面给出三个命题：①非零向量a与b
( http: / / www.21cnjy.com )共线，则a与b所在的直线平行；②向量a与b共线，则存在唯一实数λ，使a＝λb；③若a＝λb，则a与b共线．
其中真命题的序号为________．
【解析】 ③正确．
【答案】 ③
8．(2013·绍兴高一检测)设a，b是
( http: / / www.21cnjy.com )两个不共线的非零向量，记＝a，＝tb(t∈R)，＝(a＋b)，那么当A、B、C三点共线时，实数t的值为________．
【解析】 ∵＝a，＝tb，＝(a＋b)，
∴＝－＝tb－a，
＝－＝(a＋b)－a＝b－a，
∵A、B、C三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，
即tb－a＝λ(b－a)．
由于a，b不共线，∴解得
故当t＝时，A、B、C三点共线．
【答案】
三、解答题
9．已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.
(1)x2＝－5，BA＝－3；(2)x2＝－1，|AB|＝2.
【解】 (1)BA＝x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.
(2)|AB|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.
10．已知向量a＝2e1－3
( http: / / www.21cnjy.com )e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ使向量d＝λa＋μb与c共线？
【解】 假设存在这样的实数λ，μ使得d＝λa＋μb与c共线，
∴d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2.
要使d与c共线．
则有实数k，使得d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
得
所以λ＝－2μ.
故存在这样的λ，μ，使d与c共线．
11．已知△ABC中，P为其内部一点，且满足＝λ(＋)(λ∈R)，＝μ(＋)(μ∈R)，试判断点P的位置．
【解】 如图，、分别为、的单位向量，长度均为1，设＝，＝，则以、为邻边的平行四边形AMQN为菱形，
∴AQ平分∠BAC.
又＝λ(＋)(λ∈R)＝λ，
∴、共线，则AP也平分∠BAC.
同理，根据＝μ(＋)(μ∈R)
知，BP平分∠ABC，
∴P是△ABC三个内角的平分线的交点，即P是△ABC的内心．一、选择题
1．如果角α的终边经过点P(－1,0)，则不存在的是( )
A．sin
α
B．cos
α
C．tan
α
D．cot
α
【解析】 x＝－1，y＝0，r＝1，∴cot
α＝不存在．
【答案】 D
2．已知角α终边经过P(，)，则cos
α＝( )
A.
B.
C.
D．±
【解析】 由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos
α＝.
【答案】 B
3．(2013·铜川高一检测)已知角α的终边过点P(－3,4)，则sin
α＋cos
α＝( )
A.
B．－
C.
D．－
【解析】 ∵r＝＝＝5，
∴sin
α＋cos
α＝＝.
【答案】 C
4．(2013·周口高一检测)如果点P(sin
θcos
θ，2cos
θ)位于第三象限，那么θ在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 由题意知，∴sin
θ＞0且cos
θ＜0，故θ在第二象限．
【答案】 B
5．α是第二象限角，则sin
α，sin
2α，sin中必取正数的个数有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【解析】 ∵α是第二象限角，即sin
α＞0，
∴2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z，
∴4kπ＋π＜2α＜4kπ＋2π，k∈Z，
kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z
∴sin
2α＜0，sin
的正负不确定．
综上知选B.
【答案】 B
二、填空题
6．已知角α的终边经过点(，－)，则sin
α＝________，cos
α＝________，tan
α________.
【解析】 由题意x＝，y＝－，∴r＝2.
∴sin
α＝＝－，cos
α＝＝，tan
α＝＝－1.
【答案】 － －1
7．当α为第二象限时，－的值是________．
【解析】 因为α为第二象限角，所以＝1，＝－1.
【答案】 2
8．角α的终边上有一点M(a，a)，a∈R且a≠0，则sin
α的值为________．
【解析】 当a＞0时，r＝＝a，sin
α＝＝＝.
当a＜0时，r＝＝－a，sin
α＝＝＝－.
∴sin
α＝或－.
【答案】 或－
三、解答题
9．判断下列各式的符号．
(1)sin
105°·cos
230°；
(2)sin
240°·sin
300°；
(3)cos
·sin
π；
(4)cos
4·cos
5.
【解】 (1)∵105°是第二象限角，
∴sin
105°＞0，
又∵230°是第三象限角，
∴cos
230°＜0，
∴sin
105°·cos
230°＜0.
(2)∵240°是第三象限角，
∴sin
240°＜0；
又∵300°是第四象限角，
∴sin
300°＜0，
∴sin
240°·sin
300°＞0.
(3)∵sin
π＝0.
∴cos
π·sin
π＝0.
(4)∵4是第三象限角，
∴cos
4＜0，又∵5是第四象限角，
∴cos
5＞0，
∴cos
4·cos
5＜0.
10．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝lgsin
2x＋＋.
【解】 (1)由cos
x·cot
x≥0得
或
∴2kπ∴f(x)＝的定义域为
{x|2kπ(2)由f(x)有意义得
∴
∴∴0＜x＜.
∴f(x)＝lgsin
2x＋＋的定义域为
{x|0＜x＜}．
11．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sin
α＜0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，求m－n的值．
【解】 由题意，P(m，n)是角α终边上一点，sin
α＝＝＜0，∴n＜0.
又角α的终边与y＝3x重合，
故n＝3m＜0，∴m＜0，
由OP＝，则m2＋n2＝10，
10m2＝10，m2＝1，∴m＝－1，
由n＝3m，∴n＝－3，
∴m－n＝－1－(－3)＝2.一、选择题
1．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是( )
【解析】 ∵y＝sin(－x)＝－sin
x，由五点法知应选B.
【答案】 B
2．函数y＝的定义域是( )
A．[，]
B．[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)
C．[，]
D．[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)
【解析】 由2sin
x－≥0得≤sin
x≤1.
∴＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，故选D.
【答案】 D
3．正弦函数y＝sin
x，x∈R的图象的一条对称轴是( )
A．y轴
B．x轴
C．直线x＝
D．直线x＝π
【解析】 当x＝时，y取最大值，∴x＝是一条对称轴．
【答案】 C
4．函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是( )
A．0
B.
C.
D．π
【解析】 当φ＝时，y＝sin(2x＋)＝cos
2x，而y＝cos
2x是偶函数，故选C.
【答案】 C
5．函数f(x)＝3sin(x＋)在下列区间内递减的是( )
A．[－，]
B．[－π，0]
C．[－π，]
D．[，]
【解析】 令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z可得
2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)的递减区间为[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z.
【答案】 D
二、填空题
6．y＝sin(ωx＋)(ω＞0)的周期是π，则ω＝________.
【解析】 T＝＝π，且ω＞0，∴ω＝3.
【答案】 3
7．函数y＝sin2x＋sin
x－1的值域为________．
【解析】 y＝(sin
x＋)2－，
∵－1≤sin
x≤1，
∴0≤(sin
x＋)2≤.
－≤y≤1.
【答案】 [－，1]
8．如果直线y＝m与函数y＝si
( http: / / www.21cnjy.com )n
x，x∈[0,2π]的图象只有一个交点，则m＝________；有且只有两个交点，则m的取值范围是________．
【解析】 画出y＝sin
x，x∈[0,2π]及y＝m的图象如下：
由图可知，当m＝1或m＝－1时二图象只有一个交点；当－1【答案】 1或－1 (－1,0)∪(0,1)
三、解答题
9．求函数y＝3sin(－)的单调递增区间．
【解】 y＝3sin(－)＝－3sin(－)．
由＋2kπ≤－≤＋2kπ，k∈Z，
解得：＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
∴函数y＝3sin(－)的单调增区间为[＋4kπ，＋4kπ](k∈Z)．
10．已知函数f(x)＝2asin(2x－)＋b的定义域为[0，]，最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
【解】 ∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤π，
∴－≤sin(2x－)≤1，易知a≠0.
当a>0时，f(x)max＝2a＋b＝1，
f(x)min＝－a＋b＝－5.
由，
解得.
当a<0时，f(x)max＝－a＋b＝1，
f(x)min＝2a＋b＝－5.
由，解得.
11．已知直线y＝a，函数y＝sin
x，x∈[0,2π]，试探求以下问题．
(1)当a为何值时，直线y＝a与函数y＝sin
x的图象只有一个交点？
(2)当a为何值时，直线与函数图象有两个交点？
(3)当a为何值时，直线与函数图象有三个交点？
(4)当a为何值时，直线与函数图象无交点？
【解】 作出直线y＝a，与函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象(如图所示)，由图象可知．
(1)当a＝1或－1时，直线与函数图象有一个交点．
(2)当－1＜a＜0或0＜a＜1时，直线与函数图象有两个交点．
(3)当a＝0时，直线与函数图象有三个交点．
(4)当a＜－1或a＞1时，直线与函数图象无交点．章末质量评估(二)
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．给出下列等式：(1)a·0 ＝
( http: / / www.21cnjy.com )0；(2)0·a＝0；(3)若a，b同向共线，则a·b＝|a|·|b|；(4)a≠0，b≠0，则a·b≠0；(5)a·b＝0，则a·b中至少有一个为0；(6)若a，b均是单位向量，则a2＝b2.以上成立的是
( )．
A．(1)(2)(5)(6)
B．(3)(6)
C．(2)(3)(4)
D．(3)(6)
解析 因为a·0 ＝0，所以(
( http: / / www.21cnjy.com )1)错；因为0·a＝0，所以(2)错；当a，b同向共线时，cos〈a，b〉＝1，此时a·b＝|a|·|b|，所以(3)对；若a⊥b，尽管a≠0，b≠0，仍有a·b＝0，所以(4)错；当a≠0，b≠0，且a⊥b时，a·b＝0，所以(5)错；因为a，b均是单位向量，所以a2 ＝b2，即(6)正确．故选D.
答案 D
2．已知向量a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，则a与b的夹角为
( )．
A.
B.
C.
D.
解析 cos
θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，
∴θ＝.
答案 A
3．设a，b是共线的单位向量，则|a＋b|的值是
( )．
A．等于2
B．等于0
C．大于2
D．等于0或等于2
解析 |a＋b|＝＝
＝，∵a与b共线，∴cos
θ＝1或cos
θ＝－1.
∴|a＋b|＝0或2.
答案 D
4．已知线段AB的中点为C，则－＝
( )．
A．3
B.
C.
D．3
解析 ∵＝2＝－2，∴－＝－3＝3.
答案 A
5．已知△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则a与b的夹角为
( )．
A．30°
B．－150°
C．150°
D．30°或150°
解析 ·<0，∴∠ACB>90°，故答案应为C.
答案 C
6．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是
( )．
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
解析 根据基底概念，e1与e2不共线，对于B，∵－1×7－2×5≠0，故可作平面内的一组基底．
答案 B
7．已知非零向量a，b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则等于
( )．
A.
B．4
C.
D．2
解析 由(a＋2b)·(a－2b)＝0，有a2－2ab＋2ab－4b2＝0，∴a2＝4b2，∴|a|＝2|b|，∴＝2.故选D.
答案 D
8．点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的
( )．
A．三条内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
解析 ·＝· (－)·＝0 ·＝0 ⊥.
同理可得⊥，⊥.
因此点O是△ABC的垂心．故选D.
答案 D
9．点P在平面上做匀速直线运
( http: / / www.21cnjy.com )动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为
( )．
A．(－2,4)
B．(－30,25)
C．(10，－5)
D．(5，－10)
解析 由已知，设平移后M(x，y)，有＝5v，∴(x，y)＝(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．
答案 C
10．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于
( )．
A．－
B．－
C.
D.
解析 由＝2，AM＝1知，PM＝，PA＝，＋＝2，所以·(＋)＝2·＝2||||cos
180°＝2×××(－1)＝－.故选A.
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
解析 |5a－b|2＝(5a－b)2＝25a2＋b2－10a·b
＝25×12＋32－10×1×3×＝49，
∴|5a－b|＝7.
答案 7
12．已知点A(2,3)，C(0,1)，且＝－2，则点B的坐标为________．
解析 设点B的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－3)．
＝(－x,1－y)，又＝－2，
∴(x－2，y－3)＝－2(－x,1－y)＝(2x,2y－2)．
∴x＝－2，y＝－1.
答案 (－2，－1)
13．与a＝(12,5)平行的单位向量是________．
解析 由题意设b＝λa＝(12λ，5λ)，且|b|＝1.
则(12λ)2＋(5λ)2＝1，解得λ＝±
∴b＝或b＝
答案 或
14．已知向量a＝(6,2)，b＝(－4，)，直线l过点A(3，－1)且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为________．
解析 a＋2b＝(6,2)＋2＝(－2,3)．
设P(x，y)为所求直线上任意一点，则
＝(x－3，y＋1)．
∵·(a＋2b)＝0，
∴－2(x－3)＋3(y＋1)＝0，
整理得2x－3y－9＝0.
∴2x－3y－9＝0即为所求直线方程．
答案 2x－3y－9＝0
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)如图，O是△ABC内一点，PQ∥BC，且＝t，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示与.
解 因为＝t，所以＝t，得到BP＝(1－t)AB，
＝＋＝b＋(1－t)＝b＋(1－t)(a －b)＝(1－t)a＋tb.
同理可得，＝(1－t)a＋tc.
16．(10分)已知点A(0,1)和点B(－3,4)，O为坐标原点，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求向量的坐标．
解 设a＝＝(0,1)，b＝＝，则|a| ＝|b|＝1.即a与b分别是与，共线的单位向量．因为点C在∠AOB的平分线上，所以与a＋b共线．设＝λ(a＋b)(λ>0)，则＝λ(－，)．
∵||＝2，∴λ2＝4，得λ＝.
故＝.
17．(10分)已知a＝(
，－1)，b＝，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．
解 ∵a＝(，－1)，b＝，
∴|a|＝
＝2，
|b|＝
＝1.
∴a·b＝
×＋(－1)×＝0，故有a⊥b.
由x⊥y，得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
即－ka2＋(t3－3t)b2＋(t－kt2＋3k)a·b＝0.
∴－k|a|2＋(t3－3t)|b|2＝0.
将|a|＝2，|b|＝1代入上式，得－4k＋t3－3t＝0.
∴k＝，
∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－.
故当t＝－2时，有最小值－.
18．(12分)已知向量a＝(sin
x，cos
x)，b＝(cos
x，cos
x)，且b≠0，定义函数f(x)＝2a·b－1.
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)若a∥b，求tan
x的值；
(3)若a⊥b，求x的最小正值．
解 (1)f(x)＝2a·b－1
＝2(sin
xcos
x＋cos2x)－1
＝sin
2x＋cos
2x
＝2sin.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋.
∴单调增区间为，k∈Z.
(2)由a∥b，得sin
xcos
x－cos2x＝0，
∵b≠0，
∴cos
x≠0.
∴tan
x－＝0，
∴tan
x＝.
(3)由a⊥b得sin
xcos
x＋cos2x＝0，
∵b≠0，
∴cos
x≠0
∴tan
x＝－
故x的最小正值为：x＝.
19．(12分)平面内有四边形ABCD，＝2，且AB＝CD＝DA＝2，＝a，＝b，M是CD的中点．
(1)试用a，b表示；
(2)AB上有点P，PC和BM的交点为Q，PQ∶QC＝1∶2，求AP∶PB和BQ∶QM.
解 (1)＝(＋)
＝(＋＋2)＝a＋b.
(2)设＝t，则
＝＋＝＋(＋)
＝＋＝t＋·2
＝(a＋tb)．
设＝λ＝a＋b，
由于，不共线，则有，解方程组
得λ＝，t＝.
故AP∶PB＝2∶1，BQ∶QM＝4∶5.一、选择题
1．sin
600°＋tan(－300°)的值是( )
A．－
B.
C．－＋
D.＋
【解析】 原式＝sin(360°＋240°)＋tan(－360°＋60°)
＝sin
240°＋tan
60°＝－sin
60°＋tan
60°＝.
【答案】 B
2．(2013·杭州高一检测)cos(－)＋sin(－)的值为( )
A．－
B.
C.
D.
【解析】 原式＝cos－sin＝cos－sin＝－cos＋sin＝.
【答案】 C
3．(2013·广东高考)已知sin＝，那么cos
α＝( )
A．－
B．－
C.
D.
【解析】 sin(＋α)＝cos
α，故cos
α＝，故选C.
【答案】 C
4．若f(cos
x)＝2－sin
2x，则f(sin
x)＝( )
A．2－cos
2x
B．2＋sin
2x
C．2－sin
2x
D．2＋cos
2x
【解析】 ∵f(cos
x)＝2－sin
2x，
∴f(sin
x)＝f[cos(－x)]＝2－sin[2(－x)]
＝2－sin(π－2x)＝2－sin
2x.
【答案】 C
5．(2013·吉安高一检测)若α∈(，π)，tan(α－7π)＝－，则sin
α＋cos
α的值为( )
A．±
B．－
C.
D．－
【解析】 tan(α－7π)＝tan(α－π)＝tan[－(π－α)]＝tan
α，
∴tan
α＝－，∴＝－，
∵cos2α＋sin2α＝1，α∈(，)且tan
α＝－，
∴α为第二象限角．
∴cos
α＝－，sin
α＝，∴sin
α＋cos
α＝－.
【答案】 B
二、填空题
6．已知tan(π＋2α)＝－，则tan
2α＝__________.
【解析】 tan(π＋2α)＝tan
2α＝－.
【答案】 －
7.的值等于________．
【解析】 原式＝
＝
＝
＝＝－2.
【答案】 －2
8．若函数f(x)＝asin(πx＋α
( http: / / www.21cnjy.com ))＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2
009)＝2，则f(2
010)＝__________.
【解析】 ∵f(2
009)＝asin(2
009π＋α)＋bcos(2
009π＋β)＝2.
∴f(2
010)＝asin(2
010π＋α)＋bcos(2
010π＋β)
＝asin[π＋(2
009π＋α)]＋bcos[π＋(2
009π＋β)]
＝－[asin(2
009π＋α)＋bcos(2
009π＋β)]
＝－2.
【答案】 －2
三、解答题
9．求sin(－1
200°)·cos
1
290°＋cos(－1
020°)·sin(－1
050°)＋tan
945°的值．
【解】 原式＝－sin(3×
( http: / / www.21cnjy.com )360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)
＝－sin(180°－60
( http: / / www.21cnjy.com )°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)
＝sin
60°cos
30°＋cos
60°sin
30°＋tan
45°
＝×＋×＋1＝2.
10．已知角α的终边经过点P.
(1)求·的值；
(2)求的值．
【解】 (1)∵r＝|OP|＝
＝1，
∴sin
α＝＝－，cos
α＝＝，
∴·＝·＝＝.
(2)∵tan
α＝－，
∴
＝
＝
＝.
11．(2013·湛江高一检测)已知<α<，cos＝m(m≠0)，求tan的值．
【解】 因为－α＝π－，
所以cos＝cos
＝－cos＝－m.
由于<α<，所以0<－α<.
于是sin＝
＝.
所以tan＝＝－.章末质量评估(三)
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算sin
89°cos
14°－sin
1°cos
76°＝
( )．
A.
B.
C.
D.
解析 sin
89°cos
14°－sin
1°cos
76°
＝sin
89°cos
14°－cos
89°sin
14°
＝sin
75°＝sin(45°＋30°)＝.
答案 A
2．若＝3，则cos2θ＋sin
2θ的值是
( )．
A．－
B．－
C.
D.
解析 ∵tan
θ＝，
∴原式＝＝＝＝＝.
答案 D
3．已知cos(α－β)＝，sin
β＝－，且α∈，β∈，则sin
α＝
( )．
A.
B.
C．－
D．－
解析 ∵α∈，β∈，∴α－β∈(0，π)，
由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，
由sin
β＝－得cos
β＝，
∴sin
α＝sin[(α－β)＋β]＝×＋×＝.
答案 A
4．设a＝sin
17°cos
45°＋cos
17°sin
45°，b＝2cos213°－1，c＝，则有
( )．
A．cB．bC．aD．b解析 a＝sin(17°＋45°)＝sin
62°，
b＝2cos213°－1＝cos
26°＝sin
64°，
c＝＝sin
60°，∴c答案 A
5．在△ABC中，若0Atan
B<1，则△ABC是
( )．
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不能确定
解析 ∵0Atan
B<1，∴0又tan
Atan
B＝·<1，
∴cos
Acos
B－sin
Asin
B＝cos(A＋B)>0，
∴A＋B<，∴C>，
∴△ABC为钝角三角形．
答案 A
6．若x∈，cos
x＝，则tan
2x等于
( )．
A.
B．－
C.
D．－
解析 ∵x∈，cos
x＝，∴sin
x＝－，∴tan
x＝－，∴tan
2x＝＝－.
答案 D
7．函数y＝sin4x＋cos2x的最小正周期为
( )．
A.
B.
C．π
D．2π
解析 y＝sin4x＋cos2x＝(1－cos2x)2＋cos2x＝2＋＝cos
4x＋.∴T＝.
答案 B
8．已知sin＝，则sin
2x的值为
( )．
A.
B.
C.
D.
解析 sin
2x＝cos＝cos
2＝1－2sin2＝1－2×2＝.
答案 D
9．当函数y＝sincos取得最大值时，tan
x的值为
( )．
A．1
B．±1
C.
D．－1
解析 y＝
＝(sin2x＋cos2x)＋sin
xcos
x＋sin
x
cos
x
＝＋sin
2x.
当sin
2x＝1时，ymax＝，
此时2x＝2kπ＋，x＝kπ＋(k∈Z)，∴tan
x＝1.
答案 A
10．函数y＝sin
x－c
( http: / / www.21cnjy.com )os
x的图象可以看成是由函数y＝sin
x＋cos
x的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是
( )．
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向右平移个单位
D．向左平移个单位
解析 令y＝sin
x＋cos
x
＝sin＝f(x)，
则y＝sin
x－cos
x＝sin
＝sin
＝f，
答案 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．化简的结果是________．
解析 原式＝
＝
＝|cos
1|.
又0<1<，∴cos
1>0，
∴原式＝cos
1.
答案 cos
1
12.
给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图，点C在以O为圆心的圆弧上变动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．
解析 建立如图所示的坐标系，则A(1,0)，B(cos
120°，sin
120°)，
即B.设∠AOC＝α，则＝(cos
α，sin
α)．
∵＝x＋y＝(x,0)＋＝(cos
α，sin
α)，
∴∴
∴x＋y＝sin
α＋cos
α＝2sin(α＋30°)．
∵0°≤α≤120°，
∴30°≤α＋30°≤150°
∴x＋y有最大值2，当α＝60°时取得最大值2.
答案 2
13．已知sin
x－cos
x＝sin
xcos
x，则sin
2x＝________.
解析 ∵sin
x－cos
x＝sin
xcos
x，
∴(sin
x－cos
x)2＝(sin
xcos
x)2
1－2sin
xcos
x＝(sin
xcos
x)2，
∴令t＝sin
xcos
x，则1－2t＝t2.
即t2＋2t－1＝0，
∴t＝＝－1±.
又∵t＝sin
xcos
x＝sin
2x∈，
∴t＝－1，∴sin
2x＝2－2.
答案 2－2
14．关于函数f(x)＝cos＋cos，有下列说法：
①y＝f(x)的最大值为；
②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；
③y＝f(x)在区间上单调递减；
④将函数y＝cos
2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确说法的序号是________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上)
解析 f(x)＝cos＋cos
＝cos－sin＝cos，
∴f(x)max＝，即①正确．
T＝＝＝π，即②正确．
f(x)的递减区间为2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)．
即kπ＋≤x≤kπ＋π(k∈Z)，
k＝0时，≤x≤，所以③正确．
将函数y＝cos
2x向左平移个单位得
y＝cos≠f(x)，∴④不正确．
答案 ①②③
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)已知|cos
θ|＝，且<θ<3π，求sin
、cos
、tan
的值．
解 ∵|cos
θ|＝，<θ<3π，
∴cos
θ＝－，<<.
由cos
θ＝1－2sin2，
有sin
＝－＝－＝－.
又cos
θ＝2cos2－1，
有cos
＝－＝－，tan
＝＝2.
16．(10分)求证：
＝tan
.
证明 左式
＝
＝＝
＝＝＝＝tan
.
17．(10分)已知sinsin＝，x∈，求sin
4x的值．
解 因为＋＝，
所以sinsin
＝sincos
＝
＝sin＝cos
2x＝，所以cos
2x＝.
又x∈，所以2x∈(π，2π)，
所以sin
2x<0，所以sin
2x＝－.
所以sin
4x＝2sin
2xcos
2x＝2××＝－1.
18．(12分)已知sin
α＝，cos
β＝－，α、β均在第二象限，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．
解 因为sin
α＝，cos
β＝－，α、β均为第二象限角，所以cos
α＝－＝－，sin
β＝＝.
故sin(α＋β)＝sin
αcos
β
( http: / / www.21cnjy.com )＋cos
αsin
β＝×＋×＝，sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β＝×－×＝.
19．(12分)设向量a＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))，
b＝(cos(α－β)，sin(α－β))，且a＋b＝.
(1)求tan
α；
(2)求.
解 (1)a＋b＝(cos
αcos
( http: / / www.21cnjy.com )
β－sin
αsin
β＋cos
αcos
β＋sin
αsin
β，sin
αcos
β＋cos
αsin
β＋sin
αcos
β－cos
αsin
β)
＝(2cos
αcos
β，2sin
αcos
β)＝.
∴2cos
αcos
β＝，2sin
αcos
β＝，∴tan
α＝.
(2)＝＝＝－.一、选择题
1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )
A．tan
α＝－
B．cos
α＝－
C．sin
α＝－
D．tan
α＝
【解析】 由商数关系可知A、D均不正确，当α为第二象限角时，cos
α＜0，sin
α＞0，故B正确．
【答案】 B
2．已知α∈(，π)，sin
α＝，则cos
α等于( )
A.
B．－
C．－
D.
【解析】 ∵α∈(，π)，∴cos
α<0，∵sin2α＋cos2α＝1.∴cos
α＝－＝－.
【答案】 B
3．已知α是第四象限角，tan
α＝－，则sin
α＝( )
A.
B．－
C.
D．－
【解析】 ∵α是第四象限角，∴sin
α<0.
由tan
α＝－得＝－，
∴cos
α＝－sin
α，
由sin2α＋cos2α＝1得
sin2α＋(－sin
α)2＝1，
∴sin2α＝1，sin
α＝±.
∵sin
α<0，∴sin
α＝－.
【答案】 D
4．已知sin
α－cos
α＝－，则tan
α＋的值为( )
A．－4
B．4
C．－8
D．8
【解析】 tan
α＋＝＋
＝＝.
∵sin
α－cos
α＝－，∴1－2sin
αcos
α＝，
∴sin
αcos
α＝－，∴＝－8.
【答案】 C
5．若sin
θ＝，cos
θ＝，则m的值为( )
A．0
B．8
C．0或8
D．3＜m＜9
【解析】 由sin2
θ＋cos2
θ＝1得
()2＋()2＝1
解得m＝0或8，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·长沙高一检测)若α为第三象限角，则＋的值为________．
【解析】 ∵α为第三象限角，
∴sin
α<0，cos
α<0，
∴原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.
【答案】 －3
7．(2013·唐山高一检测)若＝10，则tan
α的值为________．
【解析】 ∵＝10，
∴4sin
α－2cos
α＝50cos
α＋30sin
α，
∴26sin
α＝－52cos
α，即sin
α＝－2cos
α.
∴tan
α＝－2.
【答案】 －2
8．(2013·德州高一检测)在△ABC中，sin
A＝，则角A＝________.
【解析】 由题意知cos
A＞0，即A为锐角．
将sin
A＝两边平方得2sin2
A＝3cos
A.
∴2cos2
A＋3cos
A－2＝0，
解得cos
A＝或cos
A＝－2(舍去)，
∴A＝.
【答案】
三、解答题
9．求证：sin
θ(1＋tan
θ)＋cos
θ·(1＋)＝＋.
【证明】 左边＝sin
θ(1＋)＋cos
θ·(1＋)
＝sin
θ＋＋cos
θ＋
＝(sin
θ＋)＋(cos
θ＋)
＝()＋()
＝＋＝右边．
∴原等式成立．
10．若<α<2π，化简
＋.
【解】 ∵<α<2π，∴sin
α<0.
∴原式＝＋
＝
＋
＝＋.
∵sin
α<0，
∴原式＝－－
＝－.
11．已知tan
α＝3，求下列各式的值：
(1)； (2)2sin2α－3sin
αcos
α；
(3).
【解】 因为已知tan
α＝3，所以逆用公式把弦函数化成切函数．
∵tan
α＝3，∴cos
α≠0.
(1)原式＝＝
＝＝＝－2＋.
(2)原式＝
＝
＝＝＝.
(3)法一：
原式＝
＝＝.
法二：原式＝
＝＝.一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．y＝tan
x是增函数
B．y＝tan
x在第一象限是增函数
C．y＝tan
x在每个区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)内是增函数
D．y＝tan
x在某一区间上是减函数
【解析】 由y＝tan
x是周期函数，
( http: / / www.21cnjy.com )知A、B不正确．又y＝tan
x在(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数，没有减区间，∴C正确，D错误．
【答案】 C
2．函数y＝tan(x＋)，x∈R且x≠π＋kπ，k∈Z的一个对称中心是( )
A．(0,0)
B．(，0)
C．(π，0)
D．(π，0)
【解析】 由x＋＝，k∈Z，得x＝π－，
令k＝2，得x＝π.
【答案】 C
3．函数f(x)＝tan
ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得线段长为，则f()的值是( )
A．0
B.
C．1
D.
【解析】 正切函数图象上的相邻两支曲线之间的距离为周期T，则＝，所以ω＝4，从而f()＝tan(4×)＝tan＝.
【答案】 D
4．下列各式中正确的是( )
A．tan
＞tan
B．tan(－)＜tan(－)
C．tan
4＞tan
3
D．tan
281°＞tan
665°
【解析】 对于A，tan
＜0，tan
＞0.
对于B，tan(－)＝tan(－)＝－tan
＝－1，
tan(－)＝tan(－)＝－tan
＜－tan
.
∴tan(－)＞tan(－)．
对于D，tan
281°＝tan
101°＜tan
665°＝tan
125°.故选C.
【答案】 C
5．函数y＝lg(1＋tan
x)的定义域是( )
A．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
B．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
C．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
D．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
【解析】 由题意得1＋tan
x＞0，即tan
x＞－1，
由正切函数的图象得
kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)．
【答案】 C
二、填空题
6．函数y＝的奇偶性是________．
【解析】 由得：x≠kπ＋且x≠(2k＋1)π，
k∈Z.
∴函数的定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴函数y＝为奇函数．
【答案】 奇函数
7．(2013·南通高一检测)f(x)＝asin
x＋btan
x＋1，满足f(5)＝7，则f(－5)＝________.
【解析】 ∵f(5)＝asin
5＋btan
5＋1＝7，
∴asin
5＋btan
5＝6，
∵f(－5)＝asin(－5)＋btan(－5)＋1
＝－(asin
5＋btan
5)＋1
＝－6＋1＝－5.
【答案】 －5
8．已知函数y＝tan
ωx在(－，)内是减函数，则ω的取值范围为__________．
【解析】 由题意可知ω<0，又(ω，－ω) (－，)．
故－1≤ω<0.
【答案】 －1≤ω<0
三、解答题
9．求函数y＝tan(3x－)的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．
【解】 由3x－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z.
∴所求定义域为{x|x∈R，且x≠＋，k∈Z}．
值域为R，周期T＝，是非奇非偶函数．
在区间(－，＋)(k∈Z)上是增函数．
10．利用函数图象，解不等式－1≤tan
x≤.
【解】 作出函数y＝tan
x的图象，如图所
( http: / / www.21cnjy.com )示．观察图象可得：在(－，)内，满足条件的x为－≤x≤，由正切函数的周期性可知，满足不等式的x的解集为{x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}．
11．求函数y＝－tan2x＋10tan
x－1，x∈[，]的值域．
【解】 设tan
x＝t，∵x∈[，]，∴t∈[1，]，
∴y＝－tan2x＋10tan
x－1
＝－t2＋10t－1
＝－(t－5)2＋24.
∴当t＝1，即x＝时，ymin＝8；
当t＝，即x＝时，ymax＝10－4.
∴函数的值域为[8,10－4].一、选择题
1．(2013·重庆高一检测)已知α＝π，则α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 α＝π∈(，π)，
∴α的终边在第二象限．
【答案】 B
2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A.π
B．－π
C.π
D．－π
【解析】 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，用弧度制表示就是－4π－×2π＝－π.
【答案】 B
图1－1－5
3．若角α的终边在如图1－1－5所示的阴影部分，则角α的取值范围是( )
A．{α|＜α＜}
B．{α|＜α＜}
C．{α|≤α≤}
D．{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}
【解析】 易知阴影部分的两条边界分别是和的终边，所以α的取值范围是{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
【答案】 D
4．下列角的终边相同的是( )
A．kπ＋与2kπ±，k∈Z
B．2kπ－，k∈Z与π＋
C.与kπ＋，k∈Z
D．(2k＋1)π与3kπ，k∈Z
【解析】 选项B中，2kπ－，k∈Z，与π＋的终边都与的角的终边相同．
【答案】 B
5．(2013·玉溪高一检测)已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A．2
B．sin
2
C．2sin
1
D.
【解析】 设圆的半径为R，则sin
1＝，∴R＝，故所求弧长为l＝α·R＝2·＝.
【答案】 D
二、填空题
6.rad＝________度，________rad＝－300°.
【解析】 ＝＝15°.
－300°＝－300×＝－.
【答案】 15 －
7．已知扇形的周长为10
cm，面积为4
cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为__________．
【解析】 由题意得 或，
∴α＝8或.又∵0<α<2π，∴α＝.
【答案】
8．若角θ的终边与的终边相同，则在[0,2π]内终边与角的终边相同的角是________．
【解析】 θ＝＋2kπ，k∈Z，所以＝＋，k∈Z.当k＝0,1,2,3时，＝，，，且∈[0,2π]．
【答案】 ，，，
三、解答题
9．把下列角化为2kπ＋α(0≤α＜2kπ，k∈Z)的形式：
(1)；(2)－315°.
【解】 (1)＝4π＋.∵0≤＜2π.
∴＝4π＋.
(2)∵－315°＝－315×＝－＝－2π＋，
∵0≤＜2π，∴－315°＝－2π＋.
10.
图1－1－6
如图1－1－6已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求
(1)
( http: / / www.21cnjy.com )
的长；
(2)扇形所含弓形的面积．
【解】 (1)∵120°＝π＝π，
∴l＝6×π＝4π，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )的长为4π.
(2)∵S扇形OAB＝lr
＝×4π×6＝12π，
如题干图所示有
S△OAB＝×AB×OD(D为AB中点)
＝×2×6cos
30°×6sin
30°＝9.
∴S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
即弓形的面积是12π－9.
11．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2
km，一列火车用每小时30
km的速度通过，求火车10
s转过的弧度数．
【解】 ∵圆弧半径为R＝2
km＝2
000
m，速度v＝30
km/h＝
m/s，
∴10
s走过的弧长为
m，
∴火车10
s转过的弧度数
|α|＝＝＝.一、选择题
1．下列各量中是向量的是( )
A．密度
B．电流
C．面积
D．浮力
【解析】 只有浮力既有大小又有方向．
【答案】 D
2．(2013·杭州高一检测)下列说法正确的是( )
A．若a∥b，则a与b的方向相同或相反
B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
D．若a＝b，b＝c，则a＝c
【解析】
选项
对否
原因分析
A、B
×
当b＝0时均错误
C
×
两个单位向量平行但方向不一定相同
D
√
本结论实际是向量相等的传递性
【答案】 D
3.
图2－1－7
如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是( )
A.＝
B．||＝||
C.＞
D.＜
【解析】 ||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等．
【答案】 B
4．如图所示，在正方形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )
图2－1－8
A.与
B.与
C.与
D.与
【解析】 ∵＝，∴与可用同一条有向线段表示．
【答案】 B
5．如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC，AB，BC的中点，则与的模相等的向量共有( )
图2－1－9
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
【解析】 ∵E、F、D分别是边AC、AB和BC的中点，
∴EF＝BC，BD＝DC＝BC.
又∵AB，BC，AC均不相等，从而与的模相等的向量是：，，，，.
【答案】 B
二、填空题
6．如图所示，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点或终点，与相等的向量是________．
图2－1－10
【解析】 以AD的为单位长度，则||＝2，由图知||＝2且与的方向相同．
【答案】
7．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
图2－1－11
(1)与向量相等的向量为________；
(2)若||＝3，则向量的模等于________．
【解析】 (1)在平行四边形ABCD和ABDE中，∵＝，＝，∴＝.
(2)由(1)知，＝，∴E、D、C三点共线，||＝||＋||＝2||＝6.
【答案】 (1)， (2)6
8．(2012·榆林高一检测)把平面上一切单位向量归结到共同的始点O，那么这些向量的终点所组成的图形是________．
【解析】 单位向量的长度是一个单位，方向任意，若单位向量有共同的始点O，则其终点构成一个单位圆．
【答案】 以O为圆心的单位圆
三、解答题
9.
图2－1－12
O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图2－1－12所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
【解】 (1)＝，＝.
(2)与共线的向量有：，，.
(3)与模相等的向量有：，，，，，，.
(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同．
10．设在平面内给定一个四边形ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，求证：＝.
【证明】 如图所示，连接AC.在△ABC中，由三角形中位线定理知，
EF＝AC，EF∥AC，
同理HG＝AC，HG∥AC.
所以||＝||且和同向，所以＝.
11．如图是中国象棋的半个
( http: / / www.21cnjy.com )棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A跳到A1或A2，用向量、表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B、C分别走了一步的所有情况．
图2－1－13
【解】 如图所示，在B处有3种走法；在C处有8种走法．一、选择题
1．|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则a与b的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【解析】 c⊥a，设a与b的夹角为θ，则(a＋b)·a＝0，所以a2＋a·b＝0，所以a2＋|a||b|cos
θ＝0，
则1＋2cos
θ＝0，所以cos
θ＝－，所以θ＝120°.故选C.
【答案】 C
2．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为( )
A．2
B．4
C．6
D．12
【解析】 ∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a|·|b|cos
60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72，
∴|a|2－2|a|－24＝0，
∴|a|＝6.
【答案】 C
3．若m·n≤0，则m与n的夹角θ的取值范围是( )
A．[0，)
B．[，π)
C．[，π]
D．[0，]
【解析】 ∵m·n≤0，∴|m|·|n|cos
θ≤0，∴cos
θ≤0，∴≤θ≤π.
【答案】 C
4．△ABC中，·＜0，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
【解析】 ∵·＝||||cos
A＜0，
∴cos
A＜0.∴A是钝角．∴△ABC是钝角三角形．
【答案】 C
5．点O是△ABC所在平面上一点，且满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．重心
B．垂心
C．内心
D．外心
【解析】 ∵·＝·，
∴·(－)＝0，
即·＝0，则⊥.
同理⊥，⊥.
所以O是△ABC的垂心．
【答案】 B
二、填空题
6．已知|a|＝8，e为单位向量，a与e的夹角为150°，则a在e方向上的射影为________．
【解析】 a在e方向上的射影为|a|cos
150°＝8×(－)＝－4.
【答案】 －4
7．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________．
【解析】 ∵(3a＋2b)⊥(λa－b)
∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，
∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.
又∵|a|＝2，|b|＝3，a⊥b，
∴12λ＋(2λ－3)×2×3×cos
90°－18＝0，
∴12λ－18＝0，
∴λ＝.
【答案】
8．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数m＝________.
【解析】 ∵3a＋mb＋7c＝0，∴3a＋mb＝－7c，
∴(3a＋mb)2＝(－7c)2，
化简得9＋m2＋6ma·b＝49.
又a·b＝|a||b|cos
60°＝，∴m2＋3m－40＝0，
解得m＝5或m＝－8.
【答案】 5或－8
三、解答题
9．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
【解】 ①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos
0°＝3×6×1＝18；
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos
180°＝3×6×(－1)＝－18.
②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，
∴a·b＝0.
③当a与b的夹角是60°时，
有a·b＝|a||b|cos
60°＝3×6×＝9.
10．已知向量a、b的长度|a|＝4，|b|＝2.
(1)若a、b的夹角为120°，求|3a－4b|；
(2)若|a＋b|＝2，求a与b的夹角θ.
【解】 (1)a·b＝|a||b|cos
120°
＝4×2×(－)＝－4.
又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，
∴|3a－4b|＝4.
(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2a·b＋22＝(2)2，
∴a·b＝－4，∴cos
θ＝＝＝－.
又
θ∈[0，π]，∴θ＝.
11．已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值．
【解】 ∵a⊥b，∴a·b＝0，
又由已知得[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
∴－ka2＋t(t－3)b2＝0.
∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t(t－3)＝0.
∴k＝(t2－3t)＝(t－)2－(t≠0)．
故当t＝时，k取最小值－.一、选择题
1．点C在线段AB上，且＝
，则等于( )
A.
B.
C．－
D．－
【解析】 ∵＝，∴＝－，
∴＝－.
【答案】 D
2．下面四个说法
①对于实数m和向量a、b，恒有m(a－b)＝ma－mb；
②对于实数m、n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；
③对于实数m和向量a、b，若ma＝mb，则a＝b；
④对于实数m、n和向量a，若ma＝na，则m＝n.
其中正确的个数是( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【解析】 由向量数乘运算律知①②均正确，
( http: / / www.21cnjy.com )对于③，若m＝0，ma＝mb成立，此时a，b任意，未必有a＝b，故③错；对于④，若a＝0，ma＝na成立，此时m，n任意，未必有m＝n，故④错误．
【答案】 C
3．(2013·泉州高一检测)点P满足向量＝2－，则点P与AB的位置关系是( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB延长线上
C．点P在线段AB反向延长线上
D．点P在直线AB外
【解析】 ∵＝2－，∴－＝－，
∴＝，
∴点P在线段AB反向延长线上，故应选C.
【答案】 C
4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A.
B．－
C.
D.
【解析】 由题意知＝＋，
①
＝＋，
②
且＋2＝0.
①＋②×2得3＝＋2.
∴＝＋，∴λ＝.
【答案】 A
图2－1－31
5．如图2－1－31所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，＝a，＝b，＝c，＝d，且E，F分别为AB，CD的中点，则( )
A.＝(a＋b＋c＋d)
B.＝(a－b＋c－d)
C.＝(c＋d－a－b)
D.＝(a＋b－c－d)
【解析】 如右图，连接OF，OE.＝－＝(＋)－(＋)＝(c＋d)－(a＋b)．∴＝(c＋d－a－b)．
【答案】 C
二、填空题
6．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝__________.
【解析】 ＝＝2，
∴|a|＝2|b|，又a与b的方向相反，
∴a＝－2b，∴m＝－2.
【答案】 －2
7．(2013·黄冈高一检测)已知点M是△ABC的重心，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
【解析】 如图，＝，而＋＝2，故＋＝2×＝3，∴m＝3.
【答案】 3
图2－1－32
8.如图所示，O是平面内一定点，
( http: / / www.21cnjy.com )A、B、C是平面内不共线的三点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．
【解析】 设＝，＝，则与分别为单位向量，以它们为邻边作 ADFE，则它为菱形．
∴AF在∠BAC的角平分线上．
∴＝－＝λ(＋)＝λ.
∴与共线．
∴点P的轨迹一定过△ABC的内心．
【答案】 内
三、解答题
9．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求(a－b)－(a－b)＋(2b－a)．
【解】 原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝(－1－1)a＋(－1＋＋2)b＝－a＋b
＝－(3i＋2j)＋(2i－j)
＝(－5＋)i＋(－－)j
＝－i－5j.
10．(2013·宁德高一检测)在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，求(用a，b表示)．
【解】 法一 如图所示 ABCD中，
连接AC交BD于O点，
则O平分AC和BD.
∵＝3，
∴＝，
∴N为OC的中点，
又M为BC的中点，
∴MN綊BO，
∴＝＝＝(b－a)．
法二 ＝－＝－(＋)
＝－＝(a＋b)－a＝(b－a)．
11．如图所示，点P在直线AB上，O为直线外任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求证：λ＋μ＝1.
图2－1－33
【证明】 ∵点P在直线AB上，
∴∥，
设＝x，
∵＝－，＝－，
∴－＝x(－)，
∴＝(1－x)＋x.
又＝λ＋μ，
∴λ＝1－x，μ＝x，
∴λ＋μ＝1.一、选择题
1．(2013·衡水高一检测)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2
D．e1和e1＋e2
【解析】 B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，
∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．
【答案】 B
2．如图所示，矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于( )
图2－2－8
A.(5e1＋3e2)
B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1)
D.(5e2－3e1)
【解析】 ＝＝(－)＝(5e1＋3e2)．
【答案】 A
3．M为△ABC的重心，点D、E、F分别为三边BC，AB，AC的中点，则＋＋等于( )
A．6
B．－6
C．0
D．6
【解析】 ＋＋＝＋2＝＋＝0.
【答案】 C
4．设一直线上三点A、B、P满足＝m(m≠－1)，O是直线所在平面内一点，则用，表示为( )
A.＝＋m
B.＝m＋(1－m)
C.＝
D.＝＋
【解析】 由＝m得－＝m(－)，
∴＋m＝＋m，∴＝.
【答案】 C
5．(2013·三明高一检测)若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】
∵＝4＝r＋s，
∴＝＝(－)＝r＋s，
∴r＝，s＝－.
∴3r＋s＝－＝.
【答案】 C
二、填空题
6．已知λ1＞0，λ2＞0，e1
( http: / / www.21cnjy.com )，e2是一组基底，且a＝λ1e1＋λ2e2，则a与e1________，a与e2________(填“共线”或“不共线”)．
【解析】 ∵e1，e2不共线，λ1＞0，λ2＞0，
∴a与e1，e2都不共线．
【答案】 不共线 不共线
7．已知e1、e2不共线，
( http: / / www.21cnjy.com )a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a、b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为__________．
【解析】 若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb即得λ≠4.
【答案】 (－∞，4)∪(4，＋∞)
8．若A、B、C三点共线，＋λ＝2，则λ＝________.
【解析】 ＝－λ＋2，且A、B、C三点共线，故－λ＋2＝1，∴λ＝1.
【答案】 1
三、解答题
9．判断下列命题的正误，并说明理由：
(1)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a、b、c、d∈R)，则a＝c，b＝d；
(2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出来．
【解】 (1)错，当e1与e2共线时，结论不一定成立．
(2)正确，假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ，使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2.
因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线矛盾．
所以e1＋e2与e1－e2不共线，因而它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出来．
10．已知＝λ(λ∈R)，O是平面内任意一点(O不在直线AB上)．
(1)试以，为基底表示；
(2)当λ＝时，试确定点P的位置．
【解】 (1)∵＝－，＝－.
由＝λ得－＝λ(－)，
∴＝λ＋(1－λ).
(2)当λ＝时，由(1)可知＝＋＝(＋)，结合向量加法的几何意义可知，此时点P为线段AB的中点．
图2－2－9
11．如图2－2－9，点L、M、N分别为△ABC的边BC、CA、AB上的点，且＝l，＝m，＝n，若＋＋＝0.
求证：l＝m＝n.
【证明】 令＝a，＝b，＝c，
则由＝l得，＝lb；
由＝m得＝mc；
由＝n得＝na.
∵＋＋＝0，
∴(＋)＋(＋)＋(＋)＝0.
即(a＋lb)＋(b＋mc)＋(c＋na)＝0，
∴(1＋n)a＋(1＋l)b＋(1＋m)c＝0.
又∵a＋b＋c＝0，
∴a＝－b－c，
∴(1＋n)(－b－c)＋(1＋l)b＋(1＋m)c＝0，
即(l－n)b＋(m－n)c＝0.
∵b与c不共线，∴l－n＝0且m－n＝0，∴l＝n且m＝n，
即l＝m＝n.一、选择题
1．已知函数y＝cos
x(x∈R)，下面结论错误的个数是( )
①函数f(x)的最小正周期为2π；
②函数f(x)在区间[0，]上是增函数；
③函数f(x)的图象关于直线x＝0对称；
④函数f(x)是奇函数．
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 余弦函数的最小正周期是2π，在[0，]上是减函数，图象关于x＝0对称，是偶函数，故②④错误．
【答案】 C
2．从函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象来看，对应于sin
x＝的x有( )
A．1个值
B．2个值
C．3个值
D．4个值
【解析】 当x∈[0,2π]时，sin＝sin＝.
【答案】 B
3．函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是( )
A．－1,3
B．－1,1
C．0,3
D．0,1
【解析】 ∵cosx∈[－1,1]，∴－2cosx∈[－2,2]，
∴y＝1－2cosx∈[－1,3]，
∴ymin＝－1，ymax＝3.
【答案】 A
4．下列关系式中正确的是( )
A．sin
11°10°168°
B．sin
168°11°10°
C．sin
11°168°10°
D．sin
168°10°11°
【解析】 ∵sin
168°＝sin(180°－12°)＝sin
12°
＝cos
78°，sin
11°＝cos(90°－79°)＝cos
79°.
由余弦函数的单调性得cos
79°78°10°，即sin
11°168°10°.
【答案】 C
5．设函数f(x)＝cos
ωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
A.
B．3
C．6
D．9
【解析】 将f(x)向右平移个单位长度得g(x)＝f(x－)＝cos[ω(x－)]
＝cos(ωx－ω)，则－ω＝2kπ，
∴ω＝－6k，又ω＞0，∴k＜0，当k＝－1时，
ω有最小值6，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．函数y＝2cos(－ωx)的最小正周期为4π，则ω＝_____________________.
【解析】 ∵4π＝，∴ω＝±.
【答案】 ±
7．利用余弦曲线，写出满足cos
x>0，x∈[0,2π]的x的区间是__________．
【解析】 画出y＝cos
x，x∈[0,2π]上的图象如下图所示．
cos
x>0的区间为[0，)∪(，2π]．
【答案】 [0，)∪(，2π]
8．若已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝sin
2x＋cos
x．则x<0时，f(x)＝__________.
【解析】 当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝sin(－2x)＋cos(－x)，
∴f(－x)＝－sin
2x＋cos
x.
∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)，
∴f(x)＝－(－sin
2x＋cos
x)＝sin
2x－cos
x.
【答案】 sin
2x－cos
x
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)y＝；
(2)y＝.
【解】 (1)要使函数有意义，须有sin
(cos
x)≥0，
又∵cos
x∈[－1,1]，∴cos
x∈[0,1]，
∴函数的定义域为
{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}，
关于原点对称，
又∵f(－x)＝＝＝f(x)，
∴y＝是偶函数．
(2)要使函数有意义，
须有sin
x－cos
x≠0，
即x≠kπ＋，k∈Z，
∴函数的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，不关于原点对称，
∴y＝既不是奇函数也不是偶函数．
10．已知函数y＝cos
x＋|cos
x|.
(1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
(3)指出这个函数的单调区间．
【解】 (1)y＝cos
x＋|cos
x|
＝
函数图象如图所示．
(2)由图象知函数是周期函数，且它的周期是2π.
(3)由图象知函数的单调增区间为[2kπ－，2kπ](k∈Z)．
11．已知函数f(x)＝2cos
ωx(ω＞0)，且函数y＝f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f()的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．
【解】 (1)∵f(x)的周期T＝π，故＝π，∴ω＝2.
∴f(x)＝2cos
2x.∴f()＝2cos
＝.
(2)将y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝f(x－)的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝f(－)的图象，
所以g(x)＝f(－)
＝2cos[2(－)]＝2cos(－)．
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，
因此g(x)的单调递减区间为[4kπ＋，4kπ＋](k∈Z).一、选择题
1．设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是( )
A．b＝(k，k)
B．c＝(－k，－k)
C．d＝(k2＋1，k2＋1)
D．e＝(k2－1，k2－1)
【解析】 由向量共线的判定条件，当k＝0时，向量b，c与a平行；当k＝±1时，向量e与a平行．
对任意k∈R,1·(k2＋1)＋1·(k2＋1)≠0，∴a与d不平行．
【答案】 C
2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于( )
A．(－5，－10)
B．(－4，－8)
C．(－3，－6)
D．(－2，－4)
【解析】 由a∥b得m＋2×2＝0，∴m＝－4，
∴b＝(－2，－4)．
∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
【答案】 B
3．在 ABCD中，已知＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC、BD相交于O点，则的坐标是( )
A．(－，5)
B．(－，－5)
C．(，－5)
D．(，5)
【解析】 ∵＝－＝－(＋)
＝－(－2,3)－(3,7)＝(－，－5)．
【答案】 B
4．已知向量a＝(，sin
α)，b＝(sin
α，)，若a∥b，则锐角α为( )
A．30°
B．60°
C．45°
D．75°
【解析】 ∵a∥b，∴sin2
α＝×＝，
∴sin
α＝±.∵α为锐角，∴α＝30°.
【答案】 A
5．与a＝(12,5)平行的单位向量为( )
A．(，－)
B．(－，－)
C．(，)或(－，－)
D．(±，±)
【解析】 设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，则
∴或
【答案】 C
二、填空题
6．已知A，B，C三点的坐标分别为(0，－1)，(2,3)，(－1，－3)，则A，B，C三点的位置关系是________．
【解析】 ＝(2,4)，＝(－1，－2)，∴＝－2.
∴A，B，C三点共线．
【答案】 共线
7．(2013·福州高一检测)设向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，若向量λa＋b与向量c＝(6,2)共线，则实数λ＝________.
【解析】 λa＋b＝λ(1,0)＋(1,1)＝(λ＋1,1)，因为向量λa＋b与c＝(6,2)共线，所以(λ＋1)×2＝6×1，∴λ＝2.
【答案】 2
8．(2013·宿州高一检测)已知：＝(6,1)，＝(4，k)，＝(2,1)．若A、C、D三点共线，则k＝________.
【解析】 ∵＝(6,1)，＝(4，k)，＝(2,1)，
∴＝＋＝(10，k＋1)，又∵A、C、D三点共线，
∴∥.
∴10×1－2(k＋1)＝0，
解得k＝4.
【答案】 4
三、解答题
9．已知向量A＝(6,1)，C＝(－2，－3)，B＝(x，y)
且|B|＝，B∥D，求x，y的值．
【解】 由题意得D＝－A＝－(A＋B＋C)
＝－[(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)]＝(－x－4，－y＋2)，
B＝(x，y)．又∵B∥D，
∴x(－y＋2)－y(－x－4)＝0.
化简得x＋2y＝0.
即x，y应满足的关系为x＋2y＝0.①
又∵|B|＝，即x2＋y2＝5.②
由①②解得或
10．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，试证明四边形ABCD是梯形．
【证明】 ∵＝(3,3)，＝(－2，－2)，
∴＝－.
又∵A、B、C、D四点不共线，∴∥.
又∵＝(0,2)－(1,0)＝(－1,2)，
＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)．
且－1×1－2×(－2)≠0，∴AD与BC不平行，
∴四边形ABCD是梯形．
11．已知四边形ABCD是
( http: / / www.21cnjy.com )边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．
【解】 以A为坐标原点，为x轴建立直角坐标系，如图所示，
∴A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)．
∴F(6,4)，E(3,0)，
设P(x，y)，＝(x，y)，
＝(6,4)，＝(x－3，y)，＝(3,6)．
由点A，P，F和点C，P，E分别共线，
得∴
∴S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△AEP－S△CEB
＝36－×3×3－×3×6＝.一、选择题
1．cos(－)的值为( )
A.
B．－
C.
D.
【解析】 cos(－)＝cos(－14π＋)＝cos＝.
【答案】 A
2．sin(－1
560°)的值是( )
A．－
B．－
C.
D.
【解析】 sin(－1
560°)＝－sin
1
560°＝－sin(4×360°＋120°)＝－sin
120°＝－.
【答案】 A
3．α是第四象限的角，cos
α＝，则sin(20kπ－α)＝( )
A.
B．－
C.
D．－
【解析】 由题意得sin
α＝－＝－，
∴sin(20kπ－α)＝sin(－α)＝－sin
α＝.
【答案】 A
4.等于( )
A．sin
2－cos
2
B．sin
2＋cos
2
C．±(sin
2－cos
2)
D．cos
2－sin
2
【解析】 原式＝＝＝|sin
2－cos
2|.
而sin
2＞cos
2，故应选A.
【答案】 A
5．设f(α)＝，则f(－π)的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
【解析】 f(α)＝
＝＝－.
∴f(－π)＝－＝－＝－.
【答案】 D
二、填空题
6．(2013·沈阳高一检测)cos
1
110°的值为________．
【解析】 cos
1
110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos
30°＝.
【答案】
7．sin
690°＋cos(－1
140°)＋tan
1
020°的值为________．
【解析】 原式＝sin(2×360°－30°)＋cos(－3×360°－60°)＋tan(3×360°－60°)
＝sin(－30°)＋cos(－60°)＋tan(－60°)
＝－sin
30°＋cos
60°－tan
60°＝－＋－＝－.
【答案】 －
8．若tan(－α－)＝－3，则tan(π＋α)＝________.
【解析】 ∵tan(－α－)＝tan[－(α＋)]＝－3，
∴tan(α＋)＝3.
∴tan(π＋α)＝tan[2π＋(α＋)]＝tan(α＋)＝3.
【答案】 3
三、解答题
9．化简求值：
(1)sin(－1
320°)cos(1
110°)＋cos(－1
020°)sin
750°；
(2)cos(－π)＋tan.
【解】 (1)原式＝sin(－4×36
( http: / / www.21cnjy.com )0°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin
120°cos
30°＋cos
60°sin
30°
＝×＋×＝1.
(2)原式＝cos[＋(－4)×2π]＋tan(＋2×2π)
＝cos＋tan＝＋1＝.
10．化简：.
【解】 原式＝
＝
＝
＝1.
11．已知sin(2π＋α)＋cos(－α)＝，α∈(，π)，求sin
α－cos
α的值．
【解】 由sin(2π＋α)＋cos(－α)＝sin
α＋cos
α，故sin
α＋cos
α＝.
两边平方并整理得sin
αcos
α＝－.
又由α∈(，π)，
得sin
α＞cos
α，
∴sin
α－cos
α＝
＝
＝
＝.一、选择题
1．cos
45°cos
15°＋sin
15°sin
45°的值为( )
A．－
B.
C.
D．－
【解析】 cos
45°cos
15°＋sin
15°sin
45°＝cos(45°－15°)＝cos
30°＝.
【答案】 B
2．若α∈(0，π)，且cos(α＋)＝，则cos
α等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵α∈(0，π)且cos(α＋)＝，
∴sin(α＋)＝.
cos
α＝cos[(α＋)－]
＝×＋×＝.
【答案】 C
3．已知：cos(α＋β)cos
β＋sin(α＋β)sin
β＝－，且180°＜α＜270°，则tan
α等于( )
A.
B．－
C.
D．－
【解析】 由已知得cos[(α＋
( http: / / www.21cnjy.com )β)－β]＝－，即cos
α＝－.又180°＜α＜270°，所以sin
α＝－，所以tan
α＝＝.
【答案】 A
4．设α∈(0，)，sin
α＝，则cos(α＋)＝( )
A.
B．－
C.
D．－
【解析】 ∵α∈(0，)，sin
α＝，∴cos
α＝，
∴cos(α＋)＝(cos
αcos
－sin
αsin
)＝cos
α－sin
α＝－＝.
【答案】 A
5．若sin
α－sin
β＝1－，cos
α－cos
β＝，则cos(α－β)的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
【解析】 ∵(sin
α－sin
β)
( http: / / www.21cnjy.com )2＋(cos
α－cos
β)2＝2－2cos(α－β)＝(1－)2＋()2，∴cos(α－β)＝.
【答案】 D
二、填空题
6．化简：＝________.
【解析】 ＝
＝＝.
【答案】
7．(2013·成都高一检测)若cos
θ＝－，θ∈(π，)，则cos(θ＋)＝________.
【解析】 ∵cos
θ＝－，θ∈(π，)，
∴sin
θ＝－，
∴cos(θ＋)＝cos
θcos
－sin
θsin
＝－×－(－)×＝－.
【答案】 －
8．已知向量a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，α，β∈(0，π)且a⊥b，则α－β的值为________．
【解析】 ∵a⊥b，∴a·b＝0，
即cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝0，从而cos(α－β)＝0.
∵α，β∈(0，π)，∴－π＜α－β＜π，
∴α－β＝或－.
【答案】 ±
三、解答题
9．已知α、β为锐角，且cos
α＝，cos
β＝，求α＋β的值．
【解】 ∵α，β为锐角，∴sin
α＝，sin
β＝，
∴cos(α＋β)＝cos
α·cos
β－sin
α·sin
β＝·－·＝－＝－.
又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.
10．(2013·广东高考)已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos
θ＝，θ∈，求f.
【解】 (1)因为f(x)＝cos，
所以f＝cos＝cos＝×＝1.
(2)因为θ∈，cos
θ＝，
所以sin
θ＝－＝－＝－.
所以f＝cos
＝cos
＝×
＝cos
θ＋sin
θ＝－＝－.
11．已知向量a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)；
(2)若0<α<，－<β<0，且sin
β＝－，求sin
α.
【解】 (1)∵a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，
∴a－b＝(cos
α－cos
β，sin
α－sin
β)．
∵|a－b|＝，
∴＝，
即2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.
(2)∵0<α<，－<β<0，∴0<α－β<π.
∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.
∵sin
β＝－，∴cos
β＝.
∴cos
α＝cos[(α－β)＋β]
＝cos(α－β)cos
β－sin(α－β)sin
β
＝×－×(－)＝.
又0<α<，∴sin
α＝＝.一、选择题
1．化简：sin
21°cos
81°－cos
21°sin
81°＝( )
A.
B．－
C.
D．－
【解析】 sin
21°cos
81°－cos
21°sin
81°＝sin(21°－81°)＝－sin
60°＝－.
【答案】 D
2.的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 原式
＝
＝＝2sin
30°＝1.
【答案】 A
3．已知＜β＜，sin
β＝，则sin(β＋)＝( )
A．1
B．2
C.
D.
【解析】 ∵＜β＜，∴cos
β＝＝＝，
∴sin(β＋)＝sin
β＋cos
β＝×＋×＝.
【答案】 C
4．cos(－α)sin
α＋cos(＋α)cos
α＝( )
A．－
B.
C.
D．－
【解析】 由于cos(＋α)＝sin(－α)，
所以原式＝sin(－α)cos
α＋cos(－α)sin
α
＝sin(－α＋α)＝sin
＝.
【答案】 B
5．在△ABC中，2cos
Bsin
A＝sin
C，则△ABC的形状一定是( )
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【解析】 在△ABC中，C＝π－(A＋B)，
∴2cos
Bsin
A＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B.
∴－sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝0.
即sin(B－A)＝0.∴A＝B.
【答案】 C
二、填空题
6．若8sin
α＋5cos
β＝6,8cos
α＋5sin
β＝10，则sin(α＋β)＝________.
【解析】 由8sin
α＋5cos
β＝6，两边平方，
得64sin2α＋80sin
αcos
β＋25cos2β＝36.
①
由8cos
α＋5sin
β＝10，两边平方，
得64cos2α＋80
cos
α
sin
β＋25sin2β＝100.
②
①＋②，得64＋25＋80(sin
αcos
β＋cos
αsin
β)＝136.
∴sin(α＋β)＝.
【答案】
7．已知sin
α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于________．
【解析】 由条件知cos
α＝
( http: / / www.21cnjy.com )，cos(α－β)＝(因为－＜α－β＜0)，所以sin
β＝sin[α－(α－β)]＝sin
αcos(α－β)－cos
αsin(α－β)＝×－×(－)＝，又β为锐角，所以β＝.
【答案】
8．求值：＝________.
【解析】
＝
＝＝＝－2.
【答案】 －2
三、解答题
9．设α∈(，π)，β∈(，2π)，若cos
α＝－，sin
β＝－，求sin(α＋β)的值．
【解】 ∵α∈(，π)，cos
α＝－，∴sin
α＝，
∵β∈(，2π)，sin
β＝－，
∴cos
β＝.
∴sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
＝×＋(－)×(－)＝.
10．已知：＜α＜，且cos(α－)＝，求cos
α，sin
α的值．
【解】 因为＜α＜，所以0＜α－＜.
因为cos(α－)＝，
所以sin(α－)＝＝.
所以sin
α＝sin[(α－)＋]
＝sin(α－)cos
＋cos(α－)sin
＝，
cos
α＝cos[(α－)＋]
＝cos(α－)cos
－sin(α－)sin
＝.
11．求证：－2cos(α＋β)＝.
【证明】 ∵左边＝
＝
＝
＝＝＝右边．
∴原等式得证.一、选择题
1．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b＝( )
A．23
B．57
C．63
D．83
【解析】 |a|2＝a2＝a·a＝(－4)2＋32＝25，
a·b＝(－4,3)·(5,6)＝－20＋18＝－2.
∴3|a|2－4a·b＝3×25－4×(－2)＝83.
【答案】 D
2．(2013·宿州高一检测)若a＝(2,1)，b＝(3,4)，则向量a在向量b方向上的射影为( )
A．2
B．2
C.
D．10
【解析】 |a|cos
θ＝|a|＝＝＝2.
【答案】 B
3．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)且(ka＋b)⊥(a－2b)，则k＝( )
A.
B．－
C.
D．－
【解析】 由题意知(ka＋b)·(a－2b)＝0，
而ka＋b＝(2－k,3k－1)，a－2b＝(－5,5)，
故－5(2－k)＋5(3k－1)＝0，解得k＝.
【答案】 C
4．已知＝(－2,1)，＝(0,2)，且∥，⊥，则点C的坐标是( )
A．(2,6)
B．(－2，－6)
C．(2,6)
D．(－2,6)
【解析】 设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，
＝(x，y－2)，＝(2,1)．
由∥，⊥，得
解得
∴点C的坐标为(－2,6)．
【答案】 D
5．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．以上均不正确
【解析】
＝(－1，－3)，
＝(3，－1)．
∵·＝－3＋3＝0，
∴AC⊥AB.
又∵||＝，||＝，
∴AC＝AB.
∴△ABC为等腰直角三角形．
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·山东高考)在平面直角坐
( http: / / www.21cnjy.com )标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．
【解析】 ∵∠ABO＝90°，∴⊥，∴·＝0.
又＝－＝(2,2)－(－1，t)＝(3,2－t)，
∴(2,2)·(3,2－t)＝6＋2(2－t)＝0.
∴t＝5.
【答案】 5
7．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝4，则b＝________.
【解析】 由题意可设b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0，
则|b|2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，
∴b＝－4a＝(－4,8)．
【答案】 (－4,8)
8．设平面向量a＝(－2,1)，b＝(λ，－1)(λ∈R)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是_________．
【解析】 a·b＜0 (－2,1)·(λ，－
( http: / / www.21cnjy.com )1)＜0 λ＞－.又设b＝ta(t＜0)，则(λ，－1)＝(－2t，t)，∴t＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a和b反向，且共线，此时，不满足题意．∴λ∈(－，2)∪(2，＋∞)．
【答案】 (－，2)∪(2，＋∞)
三、解答题
9．(2013·徐州高一检测)在平面直角坐标系内，已知三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求：
(1)，的坐标；
(2)|－|的值；
(3)cos∠BAC的值．
【解】 (1)＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．
(2)因为－＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，所以|－|＝＝2.
(3)因为·＝(－1,1)·(1,5)＝4，
||＝，||＝，
cos∠BAC＝＝＝.
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)、B(2,3)、C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
【解】 (1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则
＋＝(2,6)，－＝(4,4)，
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为2，4.
(2)由题设知：＝(－2，－1)，
－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，
得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，
所以t＝－.
11．已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求点D的坐标与||.
【解】 设点D的坐标为(x，y)，则
＝(x－2，y＋1)，
＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)．
∵D在直线BC上，即与共线，
∴－3(x－3)＋6(y－2)＝0.
即x－2y＋1＝0.又AD⊥BC，
∴·＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，
即2x＋y－3＝0.
联立方程组解得
∴点D的坐标为(1,1)，
||＝＝.一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则的相反向量是( )
A．a－b
B．b－a
C．a＋b
D．－a－b
【解析】 ∵＝－＝b－a，
∴的相反向量为－(b－a)＝a－b.
【答案】 A
2．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.＝＋
B.＝－
C.＝－＋
D.＝－－
【解析】 ∵O，E，F是不共线的任意三点，∴＋＝，由此可以推出＝－.故选B.
【答案】 B
3.
图2－1－25
如图，D、E、F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 由图易知＝，
∴－＝－＝，
又＝，∴－＝.
【答案】 D
4.(2013·中山高一检测)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是
( )
图2－1－26
A.＝
B.＋＝
C.－＝
D.＋＝0
【解析】 －＝，故C项错．
【答案】 C
5．O是四边形ABCD所在平面上任一点，∥，且|－|＝|－|，则四边形ABCD一定为( )
A．菱形
B．任意四边形
C．矩形
D．平行四边形
【解析】 由|－|＝|－|知||＝||，且∥，故四边形ABCD是平行四边形．
【答案】 D
二、填空题
6．在△OAB中，已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°，则|a－b|＝________.
【解析】 a－b＝－＝，∵|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°，故△AOB为等边三角形，∴||＝4，即|a－b|＝4.
【答案】 4
7．(2013·徐州高一检测)已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则可用、表示为________．
【解析】 ＝＋＝＋2
＝＋2(－)，
∴＝2－.
【答案】 2－
8．给出以下五个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②任一非零向量的方向都是唯一的；
③|a|－|b|＜|a＋b|；
④若|a|－|b|＝|a|＋|b|，则b＝0；
⑤已知A、B、C是平面上任意三点，则＋＋＝0.
其中正确的命题有________．
【解析】 由|a|＝|b|
( http: / / www.21cnjy.com )，得不到a＝b，因为两个向量相等需要模相等，方向相同，故①不正确；当b＝0时，|a|－|b|＝|a＋b|，故③不正确．
【答案】 ②④⑤
三、解答题
9．设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，若以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示、、.
【解】 由题意可知四边形OADB为平行四边形，
∴＝＋＝a＋b，
∴＝－＝c－(a＋b)＝c－a－b.
又四边形ODHC为平行四边形，
∴＝＋＝c＋a＋b，
∴＝－＝a＋b＋c－b＝a＋c.
10．(2013·泰安高一检测)已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b，求证：
(1)|a－b|＝|a|；
(2)|a＋(a－b)|＝|b|.
【证明】 如图，在等腰Rt△ABC中，由M是斜边AB的中点，
得||＝||，||＝||.
(1)在△ACM中，＝－＝a－b.
于是由||＝||，
得|a－b|＝|a|.
(2)在△MCB中，＝＝a－b，
所以＝－
＝a－b＋a＝a＋(a－b)．
从而由||＝||，
得|a＋(a－b)|＝|b|.
11．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
【解】 由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，同样，由向量的减法知＝－＝a－b.
则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．一、选择题
1．已知简谐运动f(x)＝2sin(x＋φ)(|φ|<)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝
B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝
D．T＝6π，φ＝
【解析】 T＝＝＝6，代入(0,1)点得sin
φ＝.
∵－<φ<，∴φ＝.
【答案】 A
2．函数y＝8sin(6x＋)取最大值时，自变量x的取值集合是( )
A．{x|x＝－＋，k∈Z}
B．{x|x＝＋，k∈Z}
C．{x|x＝，k∈Z}
D．{x|x＝＋，k∈Z}
【解析】 由题意知sin(6x＋)＝1，此时6x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
∴x＝＋(k∈Z)．
【答案】 B
3．把函数y＝sin
x的图象上所
( http: / / www.21cnjy.com )有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标不变，再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式为( )
A．y＝cos
2x
B．y＝－sin
2x
C．y＝sin(2x－)
D．y＝sin(2x＋)
【答案】 A
4．(2013·绍兴高一检测)已
( http: / / www.21cnjy.com )知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图1－3－4所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则( )
图1－3－4
A．A＝4
B．ω＝1
C．φ＝
D．B＝4
【解析】 由题图可知A＝＝2，B＝2，T＝4(π－)＝π，∴ω＝＝＝2.
∴y＝2sin(2x＋φ)＋2，代入点(，4)得φ＝.
【答案】 C
5．为了得到函数y＝sin(2x－)的图象，可以将函数y＝cos
2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【解析】 y＝sin(2x－)
＝cos[－(2x－)]＝cos(－2x)
＝cos(2x－)＝cos
2(x－)．
故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．已知f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f(＋x)＝f(－x)，则f()等于__________．
【解析】 由f(＋x)＝f(－x)知x＝是f(x)的一条对称轴，故f()＝±3.
【答案】 ±3
7．把函数y＝2sin(x＋)的图象向左平移m个单位，所得图象关于y轴对称，则m的最小正值是________．
【解析】 把y＝2sin(x＋)的图象向左平移m个单位，则y＝2sin(x＋m＋)，其图象关于y轴对称，
∴m＋＝kπ＋，即m＝kπ－，k∈Z.
∴取k＝1，m的最小正值为.
【答案】 π
8．关于函数f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)，有下列命题：
①y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos(2x－)；
②y＝f(x)是奇函数；
③y＝f(x)的图象关于点(－，0)对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．
其中正确命题的序号为________．
【解析】 4sin(2x＋)＝4cos(－2x)＝4cos(2x－)，所以①正确，②④不正确，而③中f(－)＝0，故(－，0)是对称中心，所以③正确．
【答案】 ①③
三、解答题
9．(1)利用“五点法”画出函数y＝sin(x＋)在长度为一个周期的闭区间的简图列表：
x＋
x
y
作图：
图1－3－5
(2)并说明该函数图象可由y＝sin
x(x∈R)的图象经过怎样变换得到的．
【解】 先列表，后描点并画图.
x＋
0
π
2π
x
－
y
0
1
0
－1
0
(2)把y＝sin
x的图象上所有
( http: / / www.21cnjy.com )的点向左平移个单位长度，得到y＝sin(x＋)的图象，再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(x＋)的图象．
或把y＝sin
x的图象横坐标伸长到
( http: / / www.21cnjy.com )原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin
x的图象．再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin
(x＋)，即y＝sin
(x＋)的图象．
10．已知函数f(x)＝2sin(2x－)，x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
【解】 (1)由2x－＝kπ＋，k∈Z，解得f(x)的对称轴方程是x＝＋π，k∈Z；由2x－＝kπ，k∈Z解得对称中心是(＋π，0)，k∈Z；由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z解得单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z；由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得单调递减区间是[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π.
∴当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取最小值为－1；
当2x－＝，即x＝时，f(x)取最大值为2.
11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的周期为π，且图象上一个最低点为M(，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，]时，求f(x)的值域．
【解】 (1)由最低点为M(，－2)，得A＝2.
由T＝π，得ω＝＝＝2.
由点M(，－2)在图象上，得2sin(＋φ)＝－2，
k∈Z.
即sin(＋φ)＝－1，
∴＋φ＝2kπ－，k∈Z，
即φ＝2kπ－，k∈Z.
又φ∈(0，)，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)∵x∈[0，]，
∴2x＋∈[，]．
∴当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最小值1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值.
∴f(x)的值域为[1，].一、选择题
1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b等于( )
A．(7,3)
B．(7,7)
C．(1,7)
D．(1,3)
【解析】 a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
【答案】 A
2．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，已知A(1,2)和B(3,2)，则x的值为( )
A．－1
B．－1或4
C．4
D．1或－4
【解析】 ＝(2,0)，∴
∴x＝－1.
【答案】 A
3．设a＝(－1,2)，b＝(－1,1)，c＝(3，－2)，用a，b作基底，可得c＝pa＋qb，则( )
A．p＝4，q＝1
B．p＝1，q＝4
C．p＝0，q＝4
D．p＝1，q＝－4
【解析】 ∵c＝pa＋qb，
∴(3，－2)＝p(－1,2)＋q(－1,1)，
∴解得
【答案】 D
4．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与向量A同向的单位向量是( )
A．(，－)
B．(－，)
C．(－，)
D．(，－)
【解析】 ∵与A同向的单位向量为，
|A|＝＝5，
A＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)，
∴＝(，－)．
【答案】 A
5．(2012·佛山高一检测
( http: / / www.21cnjy.com ))在△ABC中，点P在BC上，且B＝2P，点Q是AC的中点，若P＝(4,3)，P＝(1,5)，则B＝( )
A．(－2,7)
B．(－6,21)
C．(2，－7)
D．(6，－21)
【解析】 ∵P＝(4,3)，P＝(1,5)，
∴A＝P－P＝(－3,2)．
又∵Q是AC的中点，∴A＝2A＝(－6,4)，
∴P＝P＋A＝(－2,7)．又∵B＝2P，
∴B＝3P＝3(－2,7)＝(－6,21)．
【答案】 B
二、填空题
6．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.
【解析】 ＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
【答案】 (－3，－5)
7．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________．
【解析】 过A分别作AM，AN垂直于x轴，y轴，垂足为M，N.易知AM＝1，AN＝，
∴A(－，1)，
∴＝(－，1)．
【答案】 (－，1)
8．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
图2－2－10
【解析】 以向量a的终点为原点，过该点的水
( http: / / www.21cnjy.com )平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋
μb，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－，则＝4.
【答案】 4
三、解答题
9．已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C、D和的坐标．
【解】 设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，
＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)．
∴(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)，则有和解得和∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，
∴＝(－2，－4)．
10．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝(m，＋sin
α)，其中λ、m、α为实数，若a＝2b，求的取值范围．
【解】 ∵a＝2b，
∴
①代入②消去λ整理得
(sin
α－1)2＝－4m2＋9m－2.
∵－1≤sin
α≤1，∴0≤(sin
α－1)2≤4，
从而0≤－4m2＋9m－2≤4，
由得≤m≤2.
易证＝2－在[，2]上是增函数，
∴－6≤≤1，即∈[－6,1]．
11．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t·，试问：
(1)当t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第三象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，则求出t的值；若不能，请说明理由．
【解】 (1)＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)，
则P(1＋3t,2＋3t)，
若P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－；
若P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－；
若P在第三象限，则所以t＜－.
(2)因为＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)，
若四边形OABP是平行四边形，则＝，
所以此方程组无解，
故四边形OABP不能成为平行四边形．