13.4最短路径问题 课件
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课件28张PPT。 两点之间,线段最短
我们把研究关于“两点之间，线段最短” “垂线段最短”等问题，称它们为最短路径问题.最短路径问题在现实生活中经常碰到，今天我们就通过几个实际问题,具体体会如何运用所学知识选择最短路径.新 课 引 入 问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久
负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访
海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然
后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程
最短？探索新知13.4最短路径问题 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的
知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马
问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 探索新知l当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？分析： 如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，
如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B
的距离的和最短？联想：两点之间，线段最短.l（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？
（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢？
（3）利用什么知识可以实现转化目标？分析：(利用轴对称找点)l如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ .
当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？ 在连接AB′两点的线中，线段AB′最短. 因此，线段AB′与直线 l 的交点C的位置即为所求.你能证明为什么点C即为所求吗？ 作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
于点C．
则点C 即为所求． 在直线 l 上任取另一点C′ ，
连接AC′ 、BC′ 、B′ C′ ．
∵ 直线 l 是点B、B′的对称轴，
点C、C′在对称轴上，
∴ BC=B′C，
BC′=B′C′．
∴ AC+BC=AC+B′C=AB′．
在△AB′C′中，
AB′< AC′+B′C′，
∴ AC+BC < AC′+BC′，
即AC+BC最小．证明：如图.问题1 归纳新知1运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核
心，所有作法都相同. 归纳：问题2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.） 思考：
你能将这个问题抽象为数学问题吗？ ab 分析：
可以把河岸看成两条平行线a和b，N为直线b上一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样问题可以转化为：
当点N在直线的什么位置时，AM+MN+NB最小？
由于河宽固定，因此AM+NB最小时，AM+MN+NB最小。这样问题进一步转化为：
当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？分析： 如图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′，使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？ 参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决. 如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河宽，连接A′B交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.ab解：你能证明吗？另任意造桥M′N′，
连接AM′、BN′、A′N′.由平移性质可知，
AM＝A′N，AM′＝A′N′，
AA′＝MN＝M′ N′.∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，
AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中，由线段公理知A′N′+BN′ ＞A′B，∴AM′ +M′N′ +BN′ ＞ AM+MN+BN.证明：ab问题2 归纳新知2利用平移确定最短路径选址 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平
移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题. 1. 如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）D尝试应用：2.（1）作AB的中垂线交l于点C，如图.解：C（2）如图.A’C3. 4.如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。
5.如图所示，点A是货运总部，想在公路m上建一个分部B，在公路n上建一个分部C，要使AB＋BC＋CA最小，应如何建？ 利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定B、C的位置，从而使AB＋BC＋CA最小.解析：解： ①作A关于m的对称点A1，再作A关于n的对称点A2； ②连接A1A2交m于B，交n于C，连接AB、AC.A1A2BC由于两点之间线段最短，且AB＝A1B，AC＝A2C，∴AB＋BC＋CA最小.小结归纳转化轴对称
变换平移
变换两点之间，线段最短.总结归纳： 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换，把较复杂的问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
我们把研究关于“两点之间，线段最短” “垂线段最短”等问题，称它们为最短路径问题.最短路径问题在现实生活中经常碰到，今天我们就通过几个实际问题,具体体会如何运用所学知识选择最短路径.新 课 引 入 问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久
负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访
海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然
后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程
最短？探索新知13.4最短路径问题 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的
知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马
问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 探索新知l当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？分析： 如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，
如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B
的距离的和最短？联想：两点之间，线段最短.l（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？
（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢？
（3）利用什么知识可以实现转化目标？分析：(利用轴对称找点)l如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ .
当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？ 在连接AB′两点的线中，线段AB′最短. 因此，线段AB′与直线 l 的交点C的位置即为所求.你能证明为什么点C即为所求吗？ 作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
于点C．
则点C 即为所求． 在直线 l 上任取另一点C′ ，
连接AC′ 、BC′ 、B′ C′ ．
∵ 直线 l 是点B、B′的对称轴，
点C、C′在对称轴上，
∴ BC=B′C，
BC′=B′C′．
∴ AC+BC=AC+B′C=AB′．
在△AB′C′中，
AB′< AC′+B′C′，
∴ AC+BC < AC′+BC′，
即AC+BC最小．证明：如图.问题1 归纳新知1运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核
心，所有作法都相同. 归纳：问题2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.） 思考：
你能将这个问题抽象为数学问题吗？ ab 分析：
可以把河岸看成两条平行线a和b，N为直线b上一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样问题可以转化为：
当点N在直线的什么位置时，AM+MN+NB最小？
由于河宽固定，因此AM+NB最小时，AM+MN+NB最小。这样问题进一步转化为：
当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？分析： 如图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′，使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？ 参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决. 如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河宽，连接A′B交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.ab解：你能证明吗？另任意造桥M′N′，
连接AM′、BN′、A′N′.由平移性质可知，
AM＝A′N，AM′＝A′N′，
AA′＝MN＝M′ N′.∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，
AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中，由线段公理知A′N′+BN′ ＞A′B，∴AM′ +M′N′ +BN′ ＞ AM+MN+BN.证明：ab问题2 归纳新知2利用平移确定最短路径选址 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平
移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题. 1. 如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）D尝试应用：2.（1）作AB的中垂线交l于点C，如图.解：C（2）如图.A’C3. 4.如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。
5.如图所示，点A是货运总部，想在公路m上建一个分部B，在公路n上建一个分部C，要使AB＋BC＋CA最小，应如何建？ 利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定B、C的位置，从而使AB＋BC＋CA最小.解析：解： ①作A关于m的对称点A1，再作A关于n的对称点A2； ②连接A1A2交m于B，交n于C，连接AB、AC.A1A2BC由于两点之间线段最短，且AB＝A1B，AC＝A2C，∴AB＋BC＋CA最小.小结归纳转化轴对称
变换平移
变换两点之间，线段最短.总结归纳： 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换，把较复杂的问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。