3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
1．理解平面的法向量的概念，
会求平面的法向量．(重点)
2．会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直．(重点)
3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 平面的法向量与向量表示
阅读教材P102～P103“例1”，完成下列问题．
1．平面的法向量
已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．
2．平面的向量表示
设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件·n＝0的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式．
3．两平面平行、垂直的判定
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
(1)α∥β或α与β重合 n1∥n2；
(2)α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0.
1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l α
D．l与α斜交
【解析】 ∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，
∴n∥a，∴l⊥α.
【答案】 B
2．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2,0)，则α与β的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．无法确定
【解析】 ∵a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.
【答案】 B
教材整理2 三垂线定理及其逆定理
阅读教材P104第5行～P105第2行内容，完成下列问题．
1．正射影
已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的正射影，简称射影．
2．三垂线定理
如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射线垂直，则它也和这条斜线垂直．
3．三垂线定理的逆定理
如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a是平面α的一条斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b.( )
(2)若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b.( )
(3)若a是平面α的斜线，直线b α，且b垂直于a在另一个平面β内的射影，则a⊥b.( )
(4)若a是平面α的斜线，b∥α，直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
利用平面法向量证明平行关系
已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
【精彩点拨】 建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解．
【自主解答】 (1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥，n1⊥，
即
得
令z1＝2，则y1＝－1，
所以n1＝(0，－1,2)．
因为·n1＝－2＋2＝0，
所以⊥n1.
又因为FC1 平面ADE，
所以FC1∥平面ADE.
(2)∵＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量．由n2⊥，n2⊥，
得
得
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，
因为n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
用向量方法证明空间平行关系的方法
线线平行
设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb(k∈R)．
线面平行
(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.(2)根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)证明一条直线l与一个平面α平行，只需证明l的方向向量能用平面α内两个不共线向量线性表示即可．
面面平行
(1)转化为相应的线线平行或线面平行．(2)求出平面α，β的法向量u，v，证明u∥v即可说明α∥β.
[再练一题]
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG∥平面HMN.
【证明】 如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)．
∴＝(0，－1,1)，
＝(1,0,1)，
＝(0,1，－1)，
＝(－1,0，－1)．
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面EFG和HMN的法向量，
由得
令x1＝1，得m＝(1，－1，－1)．
由得
令x2＝1，得n＝(1，－1，－1)．
于是有m＝n，即m∥n，故平面EFG∥平面HMN.
利用向量证明线面垂直
如图3 2 14所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F.
图3 2 14
【精彩点拨】 建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标，求出平面A1D1F的法向量，然后证明与法向量共线．
【自主解答】
如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则A(1,0,0)，E，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，F，
∴＝，
＝(－1,0,0)，＝.
设平面A1D1F的法向量n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
即解得x＝0，y＝2z.
令z＝1，则n＝(0,2,1)．
又＝，∴n＝2.
∴n∥，即AE⊥平面A1D1F.
1．坐标法证明线面垂直有两种思路
方法一：(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
方法二：(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)求出平面的法向量；
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决．
[再练一题]
2．如图3 2 15，长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，求证：直线PB1⊥平面PAC.
图3 2 15
【证明】 依题设，以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0,1,0)，B1(1,1,2)，
于是＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,1,1)，
∴·＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0，
·＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0，
故⊥，⊥，即PB1⊥CP，PB1⊥CA，
又CP∩CA＝C，且CP 平面PAC，CA 平面PAC.
故直线PB1⊥平面PAC.
三垂线定理及其逆定理的应用
在正方体ABCD A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BDC1.
图3 2 16
【自主解答】 在正方体中，AA1⊥平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD内的射影，又AC⊥BD，所以BD⊥A1C.
同理D1C是A1C在平面CDD1C1内的射影．
所以C1D⊥A1C.又C1D∩BD＝D，
所以A1C⊥平面BDC1.
1．三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题．对于同一平面内的两直线垂直问题也可用“平移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明．
2．当图形比较复杂时，要认真观察图形，证题的思维过程是“一定二找三证”，即“一定”是定平面和平面内的直线，“二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的射影，“三证”是证直线垂直于射影或斜线．
[再练一题]
3．正三棱锥P ABC中，求证：BC⊥PA.
【证明】 如图，在正三棱锥P ABC中，P在底面ABC内的射影O为正三角形ABC的中心，连接AO，则AO是PA在底面ABC内的射影，且BC⊥AO，所以BC⊥PA.
[探究共研型]
利用向量证明面面垂直
探究1 如何用向量法判定两个平面垂直？
【提示】 只需求出两个平面的法向量，再看它们的法向量的数量积是否为0即可．
探究2 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.
【提示】
建系如图，取A(0,0，a)，则易得B(0,0,0)，C，D(0，a,0)，E，F.
∵∠BCD＝90°，∴CD⊥BC.又AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，∴＝为平面ABC的一个法向量．
设平面BEF的法向量n＝(x，y，z)，
由n·＝0，
即(x，y，z)·＝0，有x＝y.
由n·＝0，即(x，y，z)·＝0，
有ay＋z＝0 z＝－y.
取y＝1，得n＝(1,1，－)．
∵n·＝(1,1，－)·＝0，
∴n⊥，
∴平面BEF⊥平面ABC.
如图3 2 17所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
图3 2 17
【精彩点拨】 要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1·n2＝0.
【自主解答】
由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E，
则＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝.
设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
则
令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1,1,0)．
设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
则
令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1,4)．
∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.
∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．
[再练一题]
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED⊥平面B1BD.
【证明】 以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，E，＝(1,1,1)，＝，设平面B1DE的法向量为n1＝(x，y，z)，则x＋y＋z＝0且y＋z＝0，令z＝－2，则y＝1，x＝1，∴n1＝(1,1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量为n2＝(1，－1,0)，由n1·n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD.
[构建·体系]
1．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有取x＝1，则y＝－2，z＝2.
所以n＝(1，－2,2)．由于|n|＝3，
所以平面ABC的一个单位法向量可以是.
【答案】 B
2．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是( )
A．l⊥α
B．l∥α
C．l与α相交但不垂直
D．l∥α或l α
【解析】 因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u.所以l∥α或l α.
【答案】 D
3．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．
对于结论：
①AP⊥AB；
②AP⊥AD；
③是平面ABCD的法向量；
④∥.
其中正确的是________．(填序号)
【解析】 由于·＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，·＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，所以①②③正确．
【答案】 ①②③
4．如图3 2 18，已知PO⊥平面ABC，且O为△ABC的垂心，则AB与PC的关系是________.
【导学号：15460075】
图3 2 18
【解析】 ∵O为△ABC的垂心，
∴CO⊥AB.
又∵OC为PC在平面ABC内的射影，
∴由三垂线定理知AB⊥PC.
【答案】 垂直
5．在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.
求证：(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
【证明】 建立如图所示的空间直角坐标系．D是坐标原点，设DC＝a.
(1)连接AC交BD于G，连接EG，依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E.
因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，所以＝.
又＝(a,0，－a)，所以＝2，这表明PA∥EG.
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)，＝，
所以·＝0＋－＝0，所以⊥，即PB⊥DE.
又已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD.
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )
A．4
B．－4
C．5
D．－5
【解析】 ∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.
∴k＝－5.
【答案】 D
2．已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )
A．(4,2，－2)
B．(2,0,4)
C．(2，－1，－5)
D．(4，－2,2)
【解析】 ∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故应选D.
【答案】 D
3．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )
A.，－，4
B．，－，4
C.，－2,4
D．4，，－15
【解析】 ∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，
又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥，
则解得
【答案】 B
4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1,1)
B．
C.
D．
【解析】 对于B，＝，
则n·＝(3,1,2)·＝0，
∴n⊥，则点P在平面α内．
【答案】 B
5．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是( )
A．圆
B．直线
C．平面
D．线段
【解析】 M构成的图形经过点A，且是以n为法向量的平面．
【答案】 C
二、填空题
6．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.
【解析】 由题意知u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，∴z＝－9.
【答案】 －9
7．已知a＝(x,2，－4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝________.
【解析】 由题意，知
解得x＝－64，y＝－26，z＝－17.
【答案】 (－64，－26，－17)
8．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.
【导学号：15460076】
【解析】 因为＝，
＝，
又因为a·＝0，a·＝0，
所以
解得
所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
【答案】 2∶3∶(－4)
三、解答题
9.如图3 2 19，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.
图3 2 19
【证明】 以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M.
所以＝，＝(0,
，1)，＝(，－，0)．
设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，
则n⊥，n⊥，
所以
取y＝1，得x＝1，z＝－.
则n＝(1,1，－)．
因为＝.
所以n＝－
，得n与共线．
所以AM⊥平面BDF.
10．底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.
【证明】
法一 设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E.
连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为.
因为＝(0,0,1)，＝，
所以＝.所以OE∥AS.
又因为AS⊥平面ABCD，
所以OE⊥平面ABCD.
又因为OE 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
法二 设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)，
因为＝(－1,1,0)，＝，
所以即
令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0)．
因为AS⊥平面ABCD，
所以平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0,0,1)．
因为n1·n2＝0，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
[能力提升]
1．如图3 2 20，在正方体ABCD A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
图3 2 20
A．(1，－2,4)
B．(－4,1，－2)
C．(2，－2,1)
D．(1,2，－2)
【解析】 设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，
则A(1,0,0)，E，F.
故＝，＝.
所以
即所以
当z＝－2时，n＝(－4,1，－2)，故选B.
【答案】 B
2．如图3 2 21，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是( )
图3 2 21
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在DQ与平面A1BD垂直
【解析】 以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，D，P(0,2,0)，＝(1,0,1)，＝，＝(－1,2,0)，＝.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2,1，－2)．假设DQ⊥平面A1BD，且＝λ＝λ(－1,2,0)＝(－λ，2λ，0)，则＝＋＝，因为也是平面A1BD的法向量，所以n＝(2,1，－2)与＝共线，于是有＝＝＝成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ与平面A1BD垂直，故选D.
【答案】 D
3.如图3 2 22，四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系________．
图3 2 22
【解析】 以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则E，F，∴＝，平面PBC的一个法向量n＝(0,1,1)，∵＝－n，∴∥n，
∴EF⊥平面PBC.
【答案】 垂直
4．如图3 2 23，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝AD.
图3 2 23
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由．
【解】 因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD.又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设AD＝2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．
(1)＝(0,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,1,0)，
可得·＝0，·＝0，所以AP⊥CD，AC⊥CD.
又因为AP∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.
(2)设侧棱PA的中点是E，则E，＝.
设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则因为＝(－1,1,0)，＝(0,2，－1)，所以取x＝1，则y＝1，z＝2，所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,2)．
所以n·＝(1,1,2)·＝0，所以n⊥.
因为BE 平面PCD，所以BE∥平面PCD.
综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD.3.2.5 距离(选学)
1．理解点到平面的距离的概念．(重点)
2．能灵活运用向量方法求各种空间距离．(难点、重点)
3．体会向量法在求空间距离中的作用．
[基础·初探]
教材整理 距离
阅读教材P112～P113“例2”，完成下列问题．
1．图形与图形的距离
一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．
2．点到平面的距离
一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．
3．直线与它的平行平面的距离
一条直线上的任一点，到与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．
4．两个平行平面的距离
(1)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线．
(2)公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．
(3)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．
5．四种距离的关系
如图3 2 35，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是________．
图3 2 35
【解析】 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，O，A1(1,0,1)，则＝，＝(1,0,1)．
由题意知为平面ABC1D1的一个法向量，
所以O到平面ABC1D1的距离d＝|||cos〈，〉|＝＝＝.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
两点间的距离
如图3 2 36，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M，N分别是边AB，CD的中点，求MN的长．
图3 2 36
【精彩点拨】 利用||＝|－|＝|＋－|求解．
【自主解答】 设＝p，＝q，＝r.
由题意|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.
＝－＝(＋)－
＝(q＋r－p)．
∴||2＝·＝(q＋r－p)·(q＋r－p)
＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－q·p－r·p)]
＝
＝×2a2＝.
∴||＝a，即MN的长为a.
计算两点间的距离的基本方法：
(1)把线段用向量表示，然后利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|.
(2)求解的图形适合建立空间直角坐标系时，可用坐标法求向量的长度(或两点间距离)．
[再练一题]
1．已知平行六面体ABCD A′B′C′D′，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.求AC′的长．
图3 2 37
【解】 因为＝＋＋，
所以||2＝(＋＋)·(＋＋)
＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85.
因此||＝.
点到平面的距离
如图3 2 38，已知ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AD，AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
图3 2 38
【精彩点拨】 建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解．
【自主解答】 以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间坐标系，则G(0,0,2)，B(0,4,0)，A(4,4,0)，D(4,0,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)．
＝(4,2，－2)，＝(2,4，－2)，＝(0，－4,2)．
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，
则有
n·＝0，n·＝0 2x＋y－z＝0，x＋2y－z＝0，
取x＝1，则y＝1，z＝3，得n＝(1,1,3)，
n的一个单位向量n0＝.
则点B到平面EFG的距离为|||cos
〈，n〉|＝＝|·n0|＝＝，
即点B到平面EFG的距离为.
用向量法求点面距的方法与步骤
[再练一题]
2．如图3 2 39，已知四棱锥S ABCD，SA⊥底面ABCD，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AS＝4，E是AB的中点，F在BC上，且BF＝FC，求点A到平面SEF的距离．
图3 2 39
【解】 以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在的直线为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系Oxyz，如图所示，则
A(0,0,0)，E(0,2,0)，F(1,4,0)，S(0,0,4)，
＝(0,0,4)，＝(0,2，－4)，＝(1,4，－4)．
设平面SEF的法向量n＝(x，y，z)，则·n＝0，且·n＝0，
即(0,2，－4)·(x，y，z)＝2y－4z＝0，
且(1,4，－4)·(x，y，z)＝x＋4y－4z＝0.
在上面的两个方程中，令z＝k，
则可解得x＝－4k，y＝2k，z＝k.
所以n＝(－4k,2k，k)，n的单位向量
n0＝.
因此，点A到平面SEF的距离
d＝|·n0|＝＝＝.
[探究共研型]
直线与平面、平面与平面的距离
探究1 已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，求P(－2,1,4)到α的距离．
【提示】 d＝
＝＝.
探究2 四棱锥P ABCD的底面ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，侧棱PA⊥底面AC，且PA＝4，E是PA的中点，求PC与平面BED间的距离．并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系．
【提示】 以A为原点，AB为x轴，△ACD中CD边上的高AF为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则F为CD的中点，于是A(0,0,0)，B(4,0,0)，F(0,2，0)，C(2,2，0)，D(－2,2，0)，P(0,0,4)，E(0,0,2)．
设平面BED的法向量n＝(x，y，z)，
由＝(－4,0,2)，
＝(2，－2，2)，
得即
得取z＝2，得n＝(1，，2)．
∵＝(2,2，－4)，
∴n·＝2＋6－8＝0，故PC∥平面BED，
∴PC到平面BED的距离就是P到平面BED的距离．
∵＝(0,0,2)，
∴d＝＝＝.
直线PC上各点到平面BED的距离都相等．
棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，DG＝DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求A1D1到平面EFGH的距离．
【精彩点拨】 把A1D1到平面EFGH的距离转化为直线A1D1上某一点(如点D1)到平面EFGH的距离，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．
【自主解答】 以D点为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则E，F，G，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，
＝(－1,0,0)，＝，
∴＝(1,0,0)，
∴∥.
又EF 平面EFGH，D1A1 平面EFGH，
∴D1A1∥平面EFGH.
∴A1D1到平面EFGH的距离，即D1到平面EFGH的距离．
设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，
即令z＝6，
可得n＝(0，－1,6)，n0＝.
又＝，
∴d＝|·n0|
＝＝，
因此，A1D1到平面EFGH的距离为.
1．求直线与平面的距离以及平面与平面之间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则．
2．求解点到平面的距离常用的方法：
(1)空间向量法；(2)垂线段法；(3)等体积法．
[再练一题]
3．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离．
图3 2 40
【解】 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)．
从而＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(－2,0,4)，＝(－2，0,4)，
∴＝，＝，
∴EF∥MN，AM∥BF，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.
∴平面AMN∥平面EFBD.
设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，从而解得
取z＝1，得n＝(2，－2,1)，由于＝(0,4,0)，
所以在n上的投影为＝＝－.
∴两平行平面间的距离d＝＝.
[构建·体系]
1．若O为坐标原点，＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为( )
【导学号：15460081】
A.
B．2
C.
D．
【解析】 ＝(＋)＝(4,3,6)＝，而＝(0,1,0)，
∴＝－＝，
||＝＝.
【答案】 D
2．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边长的高BD的长等于( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】 ＝(4，－5,0)，＝(0,4，－3)，
则在上的投影d＝＝4，
而||＝，
∴AC边上的高BD＝＝5.
【答案】 C
3．点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2.则P到平面BQD的距离为________．
图3 2 41
【解析】 如图，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则
B(3,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0,2)，Q(0,0,1)，
＝(3,0，－1)，
＝(－3,4,0)，
＝(0,0,1)，
设平面BQD的法向量n＝(x，y，z)，
由得
令x＝4，则z＝12，y＝3，
∴n＝(4,3,12)．
∴P到平面BQD的距离d＝＝.
【答案】
4．已知直二面角α l β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于________．
【解析】 ∵＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2，
∴||2＝2.在Rt△BDC中，BC＝.
∵平面ABC⊥平面BCD，过D作DH⊥BC于H，则DH⊥平面ABC，∴DH的长即为D到平面ABC的距离，∴DH＝＝＝.
【答案】
5．在三棱锥B ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离．
【解】 如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴，y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，则A，B，C，D，
∴＝，
＝，
＝，
设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，
则
∴y＝－x，z＝－x，
可取n＝(－，1,3)，
代入d＝，
得d＝＝，
即点D到平面ABC的距离是.
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为( )
A．10
B．3
C．
D．
【解析】 由题意可知＝(1,2，－4)．设点P到α的距离为h，
则h＝＝.
【答案】 D
2．在△ABC中，AB＝15，∠BCA＝120°，若△ABC所在平面α外一点P到A，B，C的距离都是14，则P到α的距离是( )
A．13
B．11
C．9
D．7
【解析】 作PO⊥α于点O，连接OA，OB，OC，∴PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．∴OA＝＝＝5，
∴PO＝＝11即为所求．
【答案】 B
3．在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是( )
A.
B．
C．
D．
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，M，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，
∴＝，
＝(a，a,0)，＝(a,0，a)．
设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则可得n＝(1，－1，－2)．
∴d＝＝＝a.
【答案】 A
4．若正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为( )
【导学号：15460082】
A.
B．1
C．
D．
【解析】 如图，A1C1∥平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离，由AB1与平面ABCD所成的角是60°，AB＝1，所以BB1＝，即点A1到平面ABCD的距离为.
【答案】 D
5．已知二面角α l β为60°，动点P，Q分别在平面α，β内，P到β的距离为，Q到α的距离为2，则P，Q两点之间距离的最小值为( )
A．2
B．2
C．2
D．4
【解析】 作PM⊥β，QN⊥α，垂足分别为M，N.
分别在平面α，β内作PE⊥l，QF⊥l，垂足分别为E，F，如图所示，
连接ME，NF，则ME⊥l，
∴∠PEM为二面角α l β的平面角，∴∠PEM＝60°.
在Rt△PME中，||＝＝＝2，
同理||＝4.
又＝＋＋，
∴||2＝4＋||2＋16＋2·＋2·＋2·＝20＋||2＋2×2×4cos
120°＝12＋||2.
∴当||2取最小值0时，||2最小，
此时||＝2.
【答案】 C
二、填空题
6．如图3 2 42，已知在60°的二面角α l β中，A∈α，B∈β，AC⊥l于C，BD⊥l于D，并且AC＝1，BD＝2，AB＝5，则CD＝________.
图3 2 42
【解析】 ∵AC⊥l，BD⊥l，α l β为60°的二面角，
∴〈，〉＝60°.
∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，
∴52＝12＋2＋4＋2·||||×cos
〈，〉，
∴2＝20－2×1×2×cos
120°＝22，
∴||＝.
【答案】
7．在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则点D到平面PBC的距离是________．
【解析】 分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,1,0)，
∴＝(2,2，－2)，＝(0,2,0)．
设n＝(x，y，z)为平面PBC的法向量，则
即取x＝1，则n＝(1,0,1)．
又＝(－2,1,0)，
∴点D到平面PBC的距离为＝.
【答案】
8．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________．
【解析】 建立空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，D1(0,0，a)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，B1(a，a，a)，E，F，如图所示．
设平面A1D1E的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
即
∴－ax＝0，ay－z＝0，
∴令z＝2，得n＝(0,1,2)．
又＝，
∴所求距离d＝＝＝a.
【答案】 a
三、解答题
9．在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，E，F分别为PC，AD的中点．
图3 2 43
(1)证明：DE∥平面PFB；
(2)求点E到平面PFB的距离．
【解】 (1)证明：以D为原点，建立如图所示的坐标系，
则P(0,0,2)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，E(0,1,1)．
＝(－1,0,2)，＝(1,2,0)，
＝(0,1,1)．
∴＝＋.
∴∥平面PFB.
又∵D 平面PFB，∴DE∥平面PFB.
(2)令平面PFB的法向量为n＝(x，y，z)，
则 令x＝2，
则
∴法向量n＝(2，－1,1)．
又∵＝(0,1，－1)，
∴d＝＝＝.
∴点E到平面PFB的距离为.
10．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
【解】 (1)建立以D为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，
C(0,1,0)，E，
F，＝，＝，
＝，
设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，
则
即
令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2,2,3)，
所以点D到平面PEF的距离为
d＝＝＝，
因此，点D到平面PEF的距离为.
(2)因为＝，
所以点A到平面PEF的距离为d＝＝＝，
所以AC到平面PEF的距离为.
[能力提升]
1．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，点M分的比为，N为BB1的中点，则|MN|为( )
A.a
B．a
C．a
D．a
【解析】 以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.又∵M分的比为，
∴M，
∴||＝
＝a.
【答案】 A
2．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离为( )
A．3
B．
C．
D．
【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
∴＝(1，－2,1)，＝(2，－1，－1)，
＝(0，－1,0)，
设n＝(x，y，z)是平面EFG的一个法向量，
则
∴
∴x＝y＝z，可取n＝(1,1,1)，∴d＝＝＝，
即点A到平面EFG的距离为.
【答案】 C
3．如图3 2 44，已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，则点A到平面SND的距离为________.
【导学号：15460083】
图3 2 44
【解析】 建立如图的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(4,1,0)，
∴＝(0，－2,2)，＝(4,1，－2)．设平面SND的法向量为n＝(x，y,1)．
∵n·＝0，
n·＝0，
∴∴
∴n＝.∵＝(0,0,2)．
∴A到平面SND的距离为
＝＝.
【答案】
4．如图3 2 45，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
图3 2 45
【解】 在△PAD中，PA＝PD，O为AD中点，∴PO⊥AD.又侧面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PO⊥平面ABCD.
建立如图所示空间直角坐标系，易得A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，
＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)．
假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，设Q(0，y,0)(－1≤y≤1)，＝(－1，y,0)．
设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则∴
即x0＝y0＝z0，取x0＝1，则
平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,1)．
∴点Q到平面PCD的距离为
d＝＝＝，
∴y＝－或y＝(舍去)．此时||＝，||＝.
∴存在点Q满足题意，此时＝.3.1.4 空间向量的直角坐标运算
1．了解空间向量坐标的定义．
2．掌握空间向量运算的坐标表示．(重点)
3．能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．(难点、重点)
[基础·初探]
教材整理1 空间向量的直角坐标运算
阅读教材P89～P90“空间向量平行和垂直的条件”以上部分内容，完成下列问题．
1．单位正交基底与坐标向量
建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做坐标向量．
2．空间向量的直角坐标运算
(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量坐标运算法则
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
也就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是( )
A．a＋b＝(10，－5，－6)
B．a－b＝(2，－1，－6)
C．a·b＝10
D．2a＝(8，－4，－8)
【解析】 易验证A，B，C均不正确，D正确．
【答案】 D
2．在空间直角坐标系中，若A(1,3,2)，B(0,2,4)，则向量的坐标为______．
【答案】 (－1，－1,2)
教材整理2 空间向量平行和垂直的条件
阅读教材P90“空间向量平行和垂直的条件”以下部分内容，完成下列问题．
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
平行(a∥b)
a∥b(b≠0) a＝λb (λ∈R)
垂直(a⊥b)
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)
已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝( )
A．1
B．
C.
D．
【解析】 ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝.
【答案】 D
教材整理3 两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式
阅读教材P91第10行以下部分内容，完成下列问题．
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a·b＝________；
(2)|a|＝＝________；
(3)a≠0，b≠0，cos〈a，b〉＝＝________；
(4)a≠0，b≠0，a⊥b a·b＝0 ________.
【答案】 (1)a1b1＋a2b2＋a3b3
(2)
(3)
(4)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，)，B，C(－1,0，)，则角A的大小为________．
【解析】 ＝，＝(－1,0,0)，
则cos
A＝＝＝，故角A的大小为30°.
【答案】 30°
教材整理4 空间中两点间的距离公式
阅读教材P91“例3”以上部分内容，完成下列问题．
在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
(1)＝________；
(2)dAB＝||＝________.
【答案】 (1)(x2－x1，y2－y1，z2－z1)
(2)
在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 建系如图，则C1(0,1,2)，D(1,0,1)，A1(0,0,2)，C(0,1,0)．
∴＝(1，－1，－1)，
＝(0,1，－2)．
∴cos〈，〉＝
＝＝.
故选C.
【答案】 C
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
空间向量的坐标运算
已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)．若p＝，q＝，求下列各式的值：
(1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－q)·(p＋q)；(4)cos〈p，q〉．
【精彩点拨】 (1)已知两点的坐标，怎样表示由这两点构成的向量的坐标？(2)向量的加、减、数乘、数量积的坐标运算的法则是怎样的？
【自主解答】 由于A(－1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，－1,4)，D(2，－1，－2)，所以p＝＝(2,1,3)，q＝＝(2,0，－6)．
(1)p＋2q＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)
＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)．
(2)3p－q＝3(2,1,3)－(2,0，－6)
＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)．
(3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2
＝(22＋12＋32)－[22＋02＋(－6)2]＝－26.
(4)cos〈p，q〉＝
＝
＝＝－.
1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
[再练一题]
1．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．求：
(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；
(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．
【解】 (1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)
＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)．
(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)
＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)．
(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)
＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.
(4)∵2a＝(4，－2，－4)，
∴(2a)·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)
＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.
(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.
利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k的值．
【精彩点拨】 (1)向量共线的条件是什么？(2)向量垂直的条件是什么？
【自主解答】 ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，
a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．
(1)法一 因为(ka＋b)∥(a－3b)，
所以＝＝，解得k＝－.
法二 因为a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，
所以a≠0，b≠0.
又因为(ka＋b)∥(a－3b)，
所以＝，解得k＝－.
法三 因为(ka＋b)∥(a－3b)，
所以ka＋b＝λ(a－3b)(λ∈R)，
即(k－2,5k＋3，－k＋5)＝(7λ，－4λ，－16λ)．
从而有
解得k＝λ＝－，所以k＝－.
(2)法一 因为(ka＋b)⊥(a－3b)，
所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，
解得k＝.
法二 因为a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，
所以a2＝27，b2＝38，a·b＝8.
因为(ka＋b)⊥(a－3b)，
所以(ka＋b)·(a－3b)＝ka2－3b2＋(1－3k)a·b
＝27k－114＋8(1－3k)
＝3k－106
＝0.
所以k＝.
向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意：(1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；(2)最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
[再练一题]
2．已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)．
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
(2)若|a|＝，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
【导学号：15460068】
【解】 (1)由a∥b，得
(λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)，
∴解得
∴实数λ＝，m＝3.
(2)∵|a|＝，且a⊥c，
∴
化简得解得λ＝－1.
因此，a＝(0,1，－2)．
[探究共研型]
利用向量的坐标运算求夹角与距离
探究1 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤？
【提示】 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；
(4)转化：转化为几何结论．
探究2 已知A(2,1，－3)，B(1，－2,4)，求与向量共线的单位向量．
【提示】 ∵＝(－1，－3,7)，||＝＝，
∴与共线的单位向量为
或.
在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点．利用空间向量解决下列问题：
(1)求EF与B1C所成的角；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值；
(3)求F，H两点间的距离．
【精彩点拨】 建系Dxyz→得各点的坐标→
数量积运算→夹角、长度公式→几何结论
【自主解答】 如图所示，以DA，DC，DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，E，F，C(0,1,0)，C1(0，1,1)，B1(1,1,1)，G.
(1)＝，＝(－1,0，－1)，
∴·＝·(－1,0，－1)＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0.
∴⊥，即EF⊥B1C.
∴EF与B1C所成的角为90°.
(2)因为＝.
则||＝.
又||＝，且·＝，
∴cos〈，〉＝＝，
即EF与C1G所成角的余弦值为.
(3)∵H是C1G的中点，∴H.
又F，
∴FH＝||
＝
＝.
空间向量的数量积应用很广泛，其主要用途有：
(1)求向量的模|a|＝；
(2)求角，利用公式cos〈a·b〉＝；
(3)证明垂直a·b＝0 a⊥b.
[再练一题]
3．如图3 1 33，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝BC.
图3 1 33
(1)求异面直线SC与AB所成角的余弦值；
(2)用空间向量的方法证明：BC⊥平面ABS.
【解】 以点A为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系．
设SA＝AB＝BC＝a，
则B，C(0,
a,0)，S(0,0，a)．
(1)＝，＝(0,
a，－a)．
cos〈，〉＝＝，
故SC与AB所成角的余弦值为.
(2)由于＝，＝(0,0，a)，
＝，
显然，·＝0，·＝0.
即AB⊥BC，AS⊥BC，又AB∩AS＝A，
故BC⊥平面ABS.
[构建·体系]
1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，则|3a＋b|为( )
A.
B．4
C．5
D．
【解析】 3a＋b＝3(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(3,3,0)＋(－1,0,2)＝(2,3,2)，故|3a＋b|＝＝.
【答案】 D
2．点A(n，n－1,2n)，B(1，－n，n)，则||的最小值是( )
A.
B．
C．2
D．不存在
【解析】 ∵＝(1－n,1－2n，－n)，
∴||2＝(1－n)2＋(1－2n)2＋n2＝62＋，
当n＝时，||的最小值为.
【答案】 B
3．已知a＝(1，x,3)，b＝(－2,4，y)，若a∥b，则x－y＝________.
【解析】 ∵a∥b，∴b＝λa.
∴∴
∴x－y＝4.
【答案】 4
4．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角等于________．
【解析】 ＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
于是cos〈，〉＝＝＝，
故与的夹角为60°.
【答案】 60°
5．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，＋λ与的夹角为120°，求λ的值．
【解】 ∵＝(1,0,0)，
＝(0，－1,1)，
∴＋λ＝(1，－λ，λ)，
∴(＋λ)·＝λ＋λ＝2λ，
|＋λ|＝＝.
||＝.
∴cos
120°＝＝－，
∴λ2＝，又＜0，即λ＜0，
∴λ＝－.
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4,2)
B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2)
D．(2,1，－3)
【解析】 b＝a－(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．
【答案】 A
2．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为
( )
【导学号：15460069】
A.
B．
C.
D．
【解析】 ∵AB的中点M，∴＝，故|CM|＝||＝
＝.
【答案】 C
3．已知向量a＝(2,3)，b＝(k,1)，若a＋2b与a－b平行，则k的值是( )
A．－6
B．－
C.
D．14
【解析】 由题意得a＋2b＝(2＋2k,5)，且a－b＝(2－k,2)，又因为a＋2b和a－b平行，则2(2＋2k)－5(2－k)＝0，解得k＝.
【答案】 C
4．如图3 1 34，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为( )
图3 1 34
A．1
B．
C.
D．
【解析】
以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1，1，)，F，所以|EF|＝＝，故选C.
【答案】 C
5．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是( )
A.
B．
C．
D．
【解析】 b－a＝(1＋t,2t－1,0)，
∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋02
＝5t2－2t＋2＝52＋.
∴|b－a|＝.
∴|b－a|最小值＝.
【答案】 C
二、填空题
6．已知点A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，O(0,0,0)，点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，点Q的坐标为________．
【解析】 设＝λ＝(λ，λ，2λ)，故Q(λ，λ，2λ)，故＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．则·＝6λ2－16λ＋10＝62－，当·取最小值时，λ＝，此时Q点的坐标为.
【答案】
7．若＝(－4,6，－1)，＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥，a⊥，则a＝________.
【导学号：15460070】
【解析】 设a＝(x，y，z)，由题意有代入坐标可解得或
【答案】 或
8．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝________.
【解析】 因为＝(m－1,1，m－2n－3)，＝(2，－2，6)，由题意得∥，则＝＝，所以m＝0，n＝0，m＋n＝0.
【答案】 0
三、解答题
9．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)
【解】 (1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a＋b|＝＝5.
(2)＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，
若⊥b，则·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，
因此存在点E，使得⊥b，E点坐标为.
10．在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O是正方形ABCD的中心．
求证：⊥.
【证明】 建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为1个单位，则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，M，O.
∴＝，＝.
∵·＝×(－1)＋×0＋1×＝0，
∴⊥.
[能力提升]
1．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A．－2
B．2
C．3
D．－3
【解析】 ∵b－c＝(－2,3,1)，a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.
【答案】 A
2．已知a＝(cos
α，1，sin
α)，b＝(sin
α，1，cos
α)，则向量a＋b与a－b的夹角是( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
【解析】 a＋b＝(cos
α＋sin
α，2，sin
α＋cos
α)，a－b＝(cos
α－sin
α，0，sin
α－cos
α)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
【答案】 A
3．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是________．
【解析】 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，所以3×(－1)＋(－2)×(x－1)＋(－3)×1<0，解得x>－2.若a与b的夹角为π，则x＝，
所以x∈∪.
【答案】 ∪
4．在正三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°？
【解】
以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知A(0,0,0)，C(0,2,0)，B(，1,0)，B1(，1,2)，M.
又点N在CC1上，可设N(0,2，m)(0≤m≤2)，
则＝(，1,2)，＝，
所以||＝2，||＝，·＝2m－1.
如果异面直线AB1和MN所夹的角等于45°，那么向量和的夹角等于45°或135°.
又cos〈，〉＝＝.
所以＝±，解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾．
所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°.2.4.2 抛物线的几何性质
1．掌握抛物线的几何性质．(重点)
2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)
3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理 抛物线的几何性质
阅读教材P61，完成下列问题.
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
性质
焦点
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
________
________
对称轴
________
________
顶点
________
离心率
________
开口方向
向右
向左
向上
向下
【答案】 y≥0，x∈R y≤0，x∈R x轴 y轴 (0,0) e＝1
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线关于顶点对称．( )
(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( )
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
利用抛物线的性质求抛物线方程
已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，求抛物线的标准方程．
【精彩点拨】 由双曲线离心率求得其渐近线方程，从而求得交点A，B的坐标，即可得到三角形面积表达式，从而得到p的值，进而写出标准方程．
【自主解答】 由已知得＝2，所以＝4，解得＝，
即渐近线方程为y＝±x.
而抛物线准线方程为x＝－，
于是A，B，
从而△AOB的面积为·p·＝，可得p＝2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y2＝4x.
抛物线各元素间的关系
抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离为.
[再练一题]
1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
【解】 椭圆的方程可化为＋＝1，
其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
即＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
抛物线几何性质的应用
正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
【精彩点拨】 先证明x轴是它们的公共对称轴，再求三角形边长．
【自主解答】 如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2.
又OA＝OB，所以x＋y＝x＋y，
即x－x＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
∵x1>0，x2>0,2p>0，
∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，
即线段AB关于x轴对称，
由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝x1，与y＝2px1联立，
解得y1＝2p，∴|AB|＝2y1＝4p.
抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称．另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常用的几何性质．
[再练一题]
2．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则Rt△ABO的面积是( )
【导学号：15460047】
A．8p2
B．4p2
C．2p2
D．p2
【解析】 由抛物线的对称性，可知kOA＝1，可得A，B的坐标分别为(2p,2p)，(2p，－2p)，S△ABO＝×2p×4p＝4p2.
【答案】 B
[探究共研型]
抛物线的焦点弦及其它弦的问题
探究1 直线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，求|AB|.
【提示】 |AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.
探究2 解决焦点弦问题需注意什么？
【提示】 解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．
【精彩点拨】 法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，用点差法求kAB；法二：设直线AB的方程，建立方程求解．
【自主解答】 法一 设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝8x1，y＝8x2，
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．
又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，
即4＝，∴k＝4.
∴所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，
即4x－y－15＝0.
法二 设弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.联立消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，
此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标，
由根与系数得y1＋y2＝.
又y1＋y2＝2，∴k＝4.
∴所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.
直线与抛物线相交的弦长问题
直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k.
(1)一般的弦长公式：|AB|＝|x1－x2|.
(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)“中点弦”问题解题策略方法
[再练一题]
3．已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．
(1)若|AB|＝10，求实数m的值；
(2)若OA⊥OB，求实数m的值．
【解】 由得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1·x2＝m2，y1·y2＝m(x1＋x2)＋x1·x2＋m2＝8m.
(1)因为|AB|＝＝·＝10，所以m＝.
(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，
解得m＝－8，m＝0(舍去)，所以m＝－8.
[构建·体系]
1．顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于4的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝±4x
B．x2＝±16y
C．y2＝±16x
D．y2＝±8x
【解析】 依题意知抛物线的方程为y2＝±2px(p＞0)，又＝4，∴p＝8,2p＝16，故方程为y2＝±16x.
【答案】 C
2．若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 线段AB所在的直线的方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.
【答案】 A
3．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________.
【导学号：15460048】
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线2x2＝y，可得p＝，
∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，
∴y1＋y2＝4－＝，
故AB的中点的纵坐标是＝.
【答案】
4．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝________.
【解析】 由题意知抛物线的焦点为(1,0)，代入直线方程得a×1－0＋1＝0，
∴a＝－1.
【答案】 －1
5．设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A，B两点，已知弦AB的长为3，求b的值．
【解】 由
消去y，得4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.
由Δ＞0，得b＜.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝1－b，x1x2＝.
∴|x1－x2|＝＝.
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝3.
∴1－2b＝9，即b＝－4.
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于( )
A．2
B．1
C．4
D．8
【解析】 抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线准线的距离等于4，故选C.
【答案】 C
2．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为( )
A．2
B．4
C．6
D．4
【解析】 据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设P，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1,0)，|PM|＝|FM|，得1＋＝，得m＝2，∴等边三角形的边长为4，其面积为4，故选D.
【答案】 D
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝2
D．x＝－2
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得
①－②得，
(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)．
又∵y1＋y2＝4，∴＝＝＝k＝1，∴p＝2.
∴所求抛物线的准线方程为x＝－1.
【答案】 B
4．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
A.
B．6
C．12
D．7
【解析】 焦点F的坐标为，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y＝，
即y＝x－，代入y2＝3x，
得x2－x＋＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
所以|AB|＝x1＋x2＋＝＋＝12，故选C.
【答案】 C
5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于( )
A．10
B．8
C．6
D．4
【解析】 由题意知p＝2，|AB|＝x1＋x2＋p＝8.故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．
【解析】 设抛物线上点的坐标为(x，±)，此点到准线的距离为x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝，∴y＝±，∴此点坐标为.
【答案】
7．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
【解析】 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.
【答案】 0或1
8．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________.
【导学号：15460049】
【解析】 设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.
过点P(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．
由得ky2－4y＋4k＝0.
当k＝0时，显然不符合题意；
当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，
化简得k2－1>0，解得k>1或k<－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
三、解答题
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
【解】 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，
设A(x0，y0)，由题知M.
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，
∵|AM|＝，
∴x＋2＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0，
得8＝2p，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
【解】
(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan
60°＝.
又F，所以直线l的方程为y＝.
联立消去y得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，
所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离为3＋＝.
[能力提升]
1．(2016·菏泽期末)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A，B两点，若∈(0,1)，则＝( )
A.
B．
C．
D．
【解析】 因为抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为30°的直线的方程为y＝x＋，与抛物线方程联立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p，所以＝＝，故选C.
【答案】 C
2．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k＝( )
A.
B．
C．
D．2
【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则过焦点且斜率为k的直线的方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16，因为·＝0，所以(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0(
)，将上面各个量代入(
)，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2，故选D.
【答案】 D
3．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
【导学号：15460050】
【解析】 由于x2＝2py(p>0)的准线为y＝－，由
解得准线与双曲线x2－y2＝3的交点为
A，B，所以AB＝2.
由△ABF为等边三角形，得AB＝p，解得p＝6.
【答案】 6
4．已知抛物线x＝－y2与过点(－1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积等于时，求k的值．
【解】 过点(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，
由方程组消去x，整理得ky2＋y－k＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1＋y2＝－，y1y2＝－1.
设直线与x轴交于点N，显然N点的坐标为(－1,0)．
∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON||y1－y2|，
∴S△OAB＝＝＝，
解得k＝－或.1.2.2 “非”(否定)
1．能说出“非”的意义．(重点)
2．能够判断“非p”的真假．(难点)
3．会用逻辑联结词“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的
真假．(易错点)
[基础·初探]
教材整理 “非”
阅读教材P14～P16内容，完成下列问题．
1．概念
一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”
.
由“非”的含义，可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集 UA＝{x∈U|綈(x∈A)}＝{x∈U|x A}．
2．p与綈p真值表
p
綈p
真
假
假
真
3.存在性命题的否定
存在性命题p： x∈A，p(x)，
它的否定是綈p： x∈A，綈p(x)．
存在性命题的否定是全称命题．
4．全称命题的否定
全称命题q： x∈A，q(x)，
它的否定是綈q： x∈A，綈q(x)．
全称命题的否定是存在性命题．
5．开句
含有变量的语句，通常称为开句或条件命题．
1．命题：对任意x∈R，x3－x2＋1≤0的否定是( )
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意x∈R，x3－x2＋1>0
【解析】 全称命题的否定为存在性命题．
【答案】 C
2．对下列命题的否定说法错误的是( )
A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形
D．p： x∈R，x2＋x＋2≤0；綈p： x∈R，x2＋x＋2>0
【解析】 “有的三角形为正三角形”的否定为“所有的三角形都不是正三角形”，故选C.
【答案】 C
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
命题的否定
写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)若x，y是奇数，则x＋y是偶数；
(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0；
(3)若一个数是质数，则这个数一定是奇数；
(4)若两个角是对顶角，则这两个角相等．
【精彩点拨】 明确命题的条件和结论→对命题的结论进行否定→
判断真假
【自主解答】 (1)若x，y是奇数，则x＋y不是偶数，假命题．
(2)若xy＝0，则x≠0且y≠0，假命题．
(3)若一个数是质数，则这个数不一定是奇数，真命题．
(4)若两个角是对顶角，则这两个角不相等，假命题．
1．一些常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系要熟悉，总结如下：
正面词语
等于(＝)
大于(>)
小于(<)
有
是
都是
全是
否定词语
不等于(≠)
不大于(≤)
不小于(≥)
无
不是
不都是
不全是
正面词语
任意的
任意两个
至少有一个
至多有一个
所有的
至多有n个
或
否定词语
某个
某两个
一个也没有
至少有两个
某些
至少有n＋1个
且
2.当命题p真假不易判断时，可以转化为去判断命题綈p的真假，当命题綈p为真时，命题p为假，当命题綈p为假时，命题p为真．
[再练一题]
1．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：y＝sin
x是周期函数；
(2)p：3<2；
(3)p：空集是集合A的子集；
(4)一元二次方程至多有两个解.
【导学号：15460009】
【解】 (1)綈p：y＝sin
x不是周期函数．命题p是真命题，綈p是假命题；
(2)綈p：3≥2.命题p是假命题，綈p是真命题；
(3)綈p：空集不是集合A的子集，命题p是真命题，綈p是假命题．
(4)綈p：一元二次方程至少有三个解，命题p是真命题，綈p是假命题.
全称命题的否定
判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)任何一个平行四边形的对边都平行；
(4)负数的平方是正数．
【精彩点拨】 先判断命题的真假，再写出命题的否定．
【自主解答】 (1)结合三角形内角和定理可知命题为真命题．
命题的否定：存在一个三角形且它的内角和不等于180°.
(2)二次函数的图象开口可上可下，所以本命题为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图象不开口向下．
(3)结合平行四边形的定义可知为真命题．
命题的否定：存在一个平行四边形的对边不平行．
(4)本命题为真命题．
命题的否定：某个负数的平方不是正数．
1．否定全称命题时，首先把全称量词改为存在量词，再对性质q(x)进行否定．
2．有的全称命题省略了全称量词，否定时要先理解其含义，再进行否定．如本例(1)应理解为“每个三角形的内角和都为180°”．
[再练一题]
2．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)任何一个素数是奇数；
(2)所有的矩形都是平行四边形；
(3) a，b∈R，a2＋b2>0；
(4)被5整除的整数，末位数字是0.
【解】 (1)其否定为：存在一个素数不是奇数，因为2是素数，而不是奇数，所以其否定是真命题．
(2)其否定为：存在一个矩形不是平行四边形，假命题．
(3)其否定为： a，b∈R，a2＋b2≤0，真命题．
(4)其否定为：存在被5整除的整数，末位数字不是0，因为15能被5整除，其末位数字为5，
因此其否定是真命题．
存在性命题的否定
写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)有些平行四边形是菱形；
(3) x∈R，x2＋1<0；
(4) x，y∈Z，使得x＋y＝3.
【精彩点拨】 写命题的否定时注意更换量词并否定结论．
【自主解答】 (1)命题的否定是：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．为假命题．
(2)命题的否定是：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(3)命题的否定是：“ x∈R，x2＋1≥0”．由于x2＋1≥1≥0，因此命题的否定是真命题．
(4)命题的否定是：“ x，y∈Z，x＋y≠3”．
∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，
因此命题的否定是假命题．
1．存在性命题的否定为全称命题，即命题“ x∈M，p(x)”的否定为“ x∈M，綈p(x)”．
2．只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”．例如：三角形存在外接圆．这个命题是全称命题，量词“所有的”被省略了，所以，这个命题的否定是：有些三角形不存在外接圆．
[再练一题]
3．写出下列存在性命题的否定，并判断其真假．
(1)p： x>1，使x2－2x－3＝0；
(2)p：若an＝－2n＋10，则 n∈N＋，Sn<0；
(3)p： x∈R，x>2；
(4)p： x∈R，x2<0.
【解】 (1)綈p： x>1，使x2－2x－3≠0，假命题．
(2)綈p：若an＝－2n＋10，则 n∈N＋，Sn≥0，假命题．
(3)綈p： x∈R，x≤2，假命题．
(4)綈p： x∈R，x2≥0，真命题．
[探究共研型]
存在性命题，全称命题的综合应用
探究 我们学习过逻辑联结词“非”．对给定的命题p，如何得到命题p的否定(或綈p)，它们的真假性之间有何联系？
【提示】 对命题p加以否定，可得到命题綈p，命题p和綈p的真假性相反．
已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．
【精彩点拨】 利用命题的否定求解．
【自主解答】 在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是在[－1,1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函数的图象特征可知，
即
即
∴p≥或p≤－3.
故p的取值范围是－3
通常对于含有“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算．
[再练一题]
4．命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是____________．
【解析】 命题为全称命题，其否定为存在性命题，“>”的否定为“≤”，
所以应为存在x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3.
【答案】 存在x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3
[构建·体系]
1．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“綈p”形式的命题是( )
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
C．对任意的实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根
【解析】 命题p为存在性命题，綈p应为全称命题．
【答案】 C
2．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q： ＝{0}，下列判断正确的是( )
【导学号：15460010】
A．p假q真
B．“p∨q”为真
C．“p∧q”为真
D．綈p为真
【解析】 (x＋2)(x－3)<0 －2∴p为真，而q为假，则p∨q为真．
【答案】 B
3．命题：方程x2＝4的解是x＝2或x＝－2的否定是________．
【解析】 方程x2＝4的解是x＝2或x＝－2，则它的否定：方程x2＝4的解不是2也不是－2.
【答案】 方程x2＝4的解不是2也不是－2
4．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．
【解析】 ∵p(1)是假命题，p(2)是真命题．
∴
∴3≤m<8.
【答案】 [3,8)
5．分别指出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假：
(1)p：点P(1,1)在直线2x＋y－1＝0上，q：直线y＝x过圆x2＋y2＝4的圆心；
(2)p：4∈{2,3,4}，q：不等式x2－x－2＞0的解集为{x|－2＜x＜1}；
(3)p：若a＞b，则2a＞2b，q：若a＞b，则a3＞b3.
【解】 (1)∵p是假命题，q是真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．
(2)∵p是真命题，q是假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．
(3)∵p是真命题，q是真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．
我还有这些不足：
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(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．给出下列命题：①2014年2月14日是中国传统节日元宵节，同时也是西方的情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x2＝1的解是x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】 ①中使用逻辑联结词“且”；②中没有使用逻辑联结词；③中使用逻辑联结词“非”；④中使用逻辑联结词“或”．命题①③④使用逻辑联结词，共有3个，故选C.
【答案】 C
2．命题“ab≠0”是指( )
A．a≠0且b≠0
B．a≠0或b≠0
C．a，b中至少有一个不为0
D．a，b不都为0
【解析】 只有a≠0且b≠0时，才有ab≠0.
【答案】 A
3．已知命题p：3≥3，q：3＞4，则下列判断正确的是( )
A．p∨q为真，p∧q为真，綈p为假
B．p∨q为真，p∧q为假，綈p为真
C．p∨q为假，p∧q为假，綈p为假
D．p∨q为真，p∧q为假，綈p为假
【解析】 ∵p为真命题，q为假命题，∴p∨q为真，p∧q为假，綈p为假，应选D.
【答案】 D
4．已知p：|x－1|≥2，q：x∈Z，若p∧q，綈q同时为假命题，则满足条件的x的集合为( )
A．{x|x≤－1或x≥3，x Z}
B．{x|－1≤x≤3，x Z}
C．{x|x＜－1或x∈Z}
D．{x|－1＜x＜3，x∈Z}
【解析】 p：x≥3或x≤－1，q：x∈Z，由p∧q，綈q同时为假命题知，p假q真，∴x满足－1＜x＜3且x∈Z，故满足条件的集合为{x|－1＜x＜3，x∈Z}．
【答案】 D
5．命题p：x＝π是y＝|sin
x|的对称轴，命题q：2π是y＝|sin
x|的最小正周期．下列命题中，是真命题的个数为( )
①p∨q；②p∧q；③綈p；④綈q.
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【解析】 p为真，q为假，故“p∨q”为真，“綈q”为真，①④正确．
【答案】 C
二、填空题
6．若命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是________.
【导学号：15460011】
【解析】 因为綈p为假命题，所以p为真命题．故－(a－1)≥4，所以a≤－3，即所求a的取值范围是(－∞，－3]．
【答案】 (－∞，－3]
7．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：
(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；
(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中元素或B中的元素”是________的形式；
(3)命题“非空集 UA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．
【解析】 (1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.
【答案】 (1)p且q (2)p或q (3)非p
8．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p∨(綈q)”表示________．
【解析】 綈q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p∨(綈q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环．
【答案】 甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环
三、解答题
9．写出下列命题的否定．
(1)若2x>4，则x>2；
(2)2和3都是奇数；
(3)正方形的对角线相等且互相垂直．
【解】 (1)若2x>4，则x≤2.
(2)2和3不都是奇数．
(3)正方形的对角线不相等或不垂直．
10．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”(∨，∧，綈)表示下列命题：
(1)命题s：两次都击中飞机；
(2)命题r：两次都没击中飞机；
(3)命题t：恰有一次击中了飞机；
(4)命题u：至少有一次击中了飞机．
【解】 (1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p∧q.
(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r表示为綈p∧綈q.
(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：
①第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为p∧綈q；
②第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为綈p∧q.
所以命题t表示为(p∧綈q)∨(綈p∧q)．
(4)法一 命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p∨q.
法二 綈u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是綈r，从而命题u表示为綈(綈p∧綈q)．
法三 命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p∧綈q)∨(綈p∧q)∨(p∧q)．
[能力提升]
1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q)
B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q)
D．p∨q
【解析】 依题意，綈p：“甲没有降落在指定范围”，綈q：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)．
【答案】 A
2．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2，q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( )
A．q1，q3
B．q2，q3
C．q1，q4
D．q2，q4
【解析】 ∵y＝2x在R上是增函数，y＝2－x在R上是减函数，∴y＝2x－2－x在R上是增函数为真命题，y＝2x＋2－x在R上为减函数是假命题．
因此p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题．
∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，
∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．
∴真命题是q1，q4，故选C.
【答案】 C
3．若x∈{x|x＜4或x≥10}是假命题，则x的取值范围是________．
【解析】 由题意其否定为真，即4≤x＜10成立．
【答案】 [4,10)
4．已知命题p： x∈R,4x－2x＋1＋m＝0，若綈p是假命题，求实数m的取值范围．
【解】 ∵綈p是假命题，∴p是真命题．
也就是 x∈R，有m＝－(4x－2x＋1)，
令f(x)＝－(4x－2x＋1)＝－(2x－1)2＋1，
∴对任意x∈R，f(x)≤1，
∴m的取值范围是(－∞，1].3.1.3 两个向量的数量积
1．掌握空间向量的夹角与长度的概念．
2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)
3．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 空间向量的夹角
阅读教材P85～P86“两个向量的数量积”上面内容，完成下列问题．
1．夹角的定义
已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．
图3 1 20
2．夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝________时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量________，记作________．
【答案】 π 垂直 a⊥b
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)〈a，b〉与(a，b)都表示直角坐标系下的点．( )
(2)在△ABC中，〈，〉＝∠B.( )
(3)在正方体ABCD A′B′C′D′中，与的夹角为45°.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√
教材整理2 空间向量的数量积及其性质
阅读教材P86“两个向量的数量积”～P87“例2”，以上部分内容，完成下列问题．
1．已知空间中两个非零向量a，b，则________叫做a，b的数量积，记作________．规定：零向量与任何向量的数量积为________，即0·a＝________.
【答案】 |a||b|cos〈a，b〉 a·b 0 0
2．空间向量数量积满足下列运算律
(1)(λa)·b＝λ(a·b)；
(2)交换律：a·b＝b·a；
(3)分配律：(a＋b)·c＝________.
【答案】 a·b＋b·c
3．空间向量数量积的性质
若a，b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|
cos
θ；
(2)a⊥b a·b＝0；
(3)a·a＝|a|2或|a|＝________；
(4)若θ为a，b的夹角，则cos
θ＝；
(5)|a·b|≤|a|·|b|.
【答案】
下列式子中正确的是( )
A．|a|a＝a2
B．(a·b)2＝a2b2
C．a(a·b)＝b·a2
D．|a·b|≤|a||b|
【解析】 根据数量积的定义知，A，B，C均不正确．故选D.
【答案】 D
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
空间向量数量积的运算
(1)如图3 1 21，三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝AC，则在向量，，，，，中，夹角为90°的共有( )
图3 1 21
A．6对 B．5对
C．4对
D．3对
(2)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·＝________.
图3 1 22
(3)如图3 1 22所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，求下列数量积：
①·＝________；
②·＝________.
【自主解答】 (1)与，与，与，与，与夹角为90°.
(2)·＝·
＝·＋·＝a2cos
60°＝a2.
(3)①·＝1×cos
135°
＝－1；
②·＝·(＋)
＝·＋·
＝0.
【答案】 (1)B (2)a2 (3)①－1 ②0
1．求两向量数量积的解题思路
(1)解模：解出两向量的模．
(2)求夹角：根据向量的方向求出两向量的夹角．
(3)求结果：使用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉得结果．
2．数量积的运算结果是一个数量，正、负、零皆有可能．
[再练一题]
1．已知空间向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角为150°，求下列各式的值．
(1)a·b；(2)(a＋2b)·(2a－3b)．
【解】 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4×8×cos
150°＝4×8×＝－16.
(2)(a＋2b)·(2a－3b)＝2a2＋a·b－6b2
＝2|a|2＋|a||b|cos
150°－6|b|2＝2×42－16－6×82＝－352－16.
求两个空间向量的夹角
如图3 1 23，在正方体ABCD A1B1C1D1中，求1与夹角的大小．
图3 1 23
【精彩点拨】 (1)怎样用向量，，1表示向量1与？
(2)求两向量的夹角公式是怎样的？
【自主解答】 不妨设正方体的棱长为1，
1·＝(＋1)·(＋)
＝(＋1)·(＋)
＝·＋2＋1·＋1·
＝0＋2＋0＋0＝2＝1，
又∵|1|＝，||＝，
∴cos
〈，〉＝＝＝.
∵0°≤〈1，〉≤180°，
∴〈1，〉＝60°.
∴1与夹角的大小为60
°.
1．由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为，因此利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度之间的关系．当〈a，b〉∈
时，它们相等；而当〈a，b〉∈
时，它们互补．
2．利用数量积求异面直线所成角θ的余弦值的步骤
(1)取向量；
(2)求向量夹角余弦cos
〈a，b〉；
(3)定结果cos
θ＝|cos〈a，b〉|.
[再练一题]
2.如图3 1 24，已知直三棱柱ABC A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
图3 1 24
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
【解】 (1)证明：设＝a，＝b，＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0.
∴＝b＋c，＝－c＋b－a.
∴·＝－c2＋b2＝0，
∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)∵＝－a＋c，
∴||＝|a|，||＝|a|，
∵·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝.
∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
[探究共研型]
利用数量积求距离
探究1 已知A(1,2,1)，B(2,0,2)，求||的值．
【提示】 ＝(1，－2,1)，∴||＝＝.
探究2 求两点间距离或线段的长度的方法．
【提示】 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝a·a求解即可．
平行四边形ABCD中，AB＝2AC＝2且∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求点B，D间的距离．
图3 1 25
【精彩点拨】 (1)由已知可以得出AC与CD，AC与AB垂直吗？
(2)根据AB与CD成60°角可建立什么方程？能直接求出||吗？
【自主解答】 由已知得AC⊥CD，AC⊥AB，折叠后AB与CD所成角为60°，
于是，·＝0，·＝0，
且〈，〉＝60°或120°.
||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝22＋12＋22＋2×2×2cos〈，〉，故||2＝13或5，
解得||＝或，
即B，D间的距离为或.
1．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算．
2．用数量积求两点间距离的步骤
(1)用向量表示此距离；
(2)用其他向量表示此向量；
(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|；
(4)|a|即为所求距离．
[再练一题]
3.如图3 1 26所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．
图3 1 26
【解】 ＝＋＝＋(＋)
＝＋[(－)＋(－)]
＝－＋＋，
所以＝2＋2＋2＋2××·＋2××·＋2××·＝2.
∴||＝，即E，F间的距离为.
[构建·体系]
1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6
B．6
C．3
D．－3
【解析】 由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，
|e1|＝|e2|＝1，
∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
∴2k－12＝0，∴k＝6.
【答案】 B
2．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为( )
A.
B．
C．－
D．0
【解析】 ·＝·(－)＝·－·＝||||cos∠AOC－||·||cos∠AOB＝||||－||||＝0，
∴⊥.
∴cos〈，〉＝0.
【答案】 D
3．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝________.
【导学号：15460065】
【解析】 原式＝·＋·＋·(－)＝·(－)＋·(＋)
＝·＋·＝0.
【答案】 0
4.如图3 1 27，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|＋|＝________，|－|＝________，与所成的角为________．
图3 1 27
【解析】 |＋|＝||＝2；
＝，
·＝2×2×cos
60°＝2，
故|－|2＝2
＝2－·＋2
＝4－2＋×4＝3.
故|－|＝.
又因为＝＝(－)，
故·＝·(－)
＝(·－·)＝0，
因为〈，〉∈[0°，180°]，
所以〈，〉＝90°.
【答案】 2 90°
5.如图3 1 28，三棱柱ABC A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.
图3 1 28
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
【解】 (1)＝＋＋
＝＋＋
＝(c－a)＋a＋(b－a)
＝a＋b＋c.
(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c
＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，
∴|a＋b＋c|＝，
∴||＝|a＋b＋c|＝，
即MN＝.
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|＝；③a2b＝b2a；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中，|a|2·b＝|b|2·a不一定成立，④运算正确．
【答案】 D
2．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a与b的夹角〈a，b〉＝( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．以上都不对
【解析】 ∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，∴a·b＝，∴cos〈a，b〉＝＝.
【答案】 D
3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )
A.与
B．与
C.与
D．与
【解析】 用排除法，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故·＝0，排除D；因为AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故·＝0，排除B，同理·＝0，排除C.
【答案】 A
4.如图3 1 29，已知空间四边形每条边和对角线都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
图3 1 29
A．2·
B．2·
C．2·
D．2·
【解析】 2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－a2，故D错；2·＝2＝a2，故只有C正确．
【答案】 C
5．在正方体ABCD A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°.
其中正确命题的个数是( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
【解析】 由题意知①②都正确，③不正确，与的夹角为120°.
【答案】 B
二、填空题
6．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝_________________.
【导学号：15460066】
【解析】 |2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2
＝4×|a|2＋9×|b|2－12×|a|·|b|·cos
60°＝61，
∴|2a－3b|＝.
【答案】
7．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．
【解析】 由题意知
即
得λ2＋2λ－2<0.
∴－1－<λ<－1＋.
【答案】 (－1－，－1＋)
8.如图3 1 30，已知正三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
图3 1 30
【解析】 不妨设棱长为2，则1＝－，＝＋，
cos〈，〉＝
＝＝0，故填90°.
【答案】 90°
三、解答题
9．如图3 1 31，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面BDG.
图3 1 31
【证明】 设＝a，＝b，＝c.
则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.
而＝＋＝＋(＋)＝c＋(a＋b)，
＝－＝b－a，
＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)＋c.
∴·＝·(b－a)
＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)
＝c·b－c·a＋(b2－a2)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥.
∴A1O⊥BD.
同理可证⊥.
∴A1O⊥OG.
又OG∩BD＝O且A1O 平面BDG，
∴A1O⊥平面BDG.
10．已知长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：(1)·；(2)·；(3)·.
【解】 如图所示，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝·(＋)
＝·＝b·
＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝(＋)·(＋)
＝·(＋)
＝·(a＋c)
＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)·＝(＋)·(＋)
＝·
＝·
＝(－a＋b＋c)·
＝－|a|2＋|b|2＝2.
[能力提升]
1．已知边长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
【解析】 ＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，则·＝(2＋2)＝1，故选C.
【答案】 C
2．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．45°
【解析】 由于＝＋＋，则·＝(＋＋)·＝2＝1.
cos〈，〉＝＝，得〈，〉＝60°.
【答案】 B
3．已知正三棱柱ABC DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝________.
【导学号：15460067】
【解析】
设＝m，由于＝＋，
＝＋m，
又·＝0，
得×1×1×＋4m＝0，解得m＝.
【答案】
4.如图3 1 32，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．
图3 1 32
【解】 ∵＝＋＋，
∴||＝＝
.
∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
∴〈，〉＝90°，〈，〉＝〈，〉＝60°，
∴||
＝
＝.2.5 直线与圆锥曲线
1．通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系．(重点)
2．会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理 直线与圆锥曲线的位置关系
阅读教材P67～P69“例4”，完成下列问题．
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类：没有公共点，有且只有一个公共点及有两个不同的公共点．
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.
由消元，
如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．
②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.
(ⅰ)Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；
(ⅱ)Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；
(ⅲ)Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点．
2．圆锥曲线的弦
直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦，线段的长就是弦长．简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段．
1．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是( )
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
【解析】 联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，
Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与椭圆相交．
【答案】 C
2．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则( )
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
【解析】 由得y2－y－k＝0，
因为Δ＝1＋>0，所以直线与抛物线有两个公共点．
【答案】 B
3．抛物线y2＝8x，直线AB的斜率为2，且过抛物线的焦点，则AB＝________.
【导学号：15460051】
【解析】 ∵抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴直线AB的方程为y＝2(x－2)．
由得x2－6x＋4＝0.
∴x1＋x2＝6，x1x2＝4.
AB＝x1＋x2＋4＝10.
【答案】 10
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
直线与圆锥曲线位置关系的判断
对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．
【精彩点拨】 联立两个方程―→消去y得到关于x的二次方程―→求Δ
―→讨论Δ得结论
【自主解答】 联立方程组
将①代入②得＋(x＋m)2＝1，
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.③
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当Δ＞0，即－＜m＜时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；
当Δ＝0，即m＝±时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；
当Δ＜0，即m＜－或m＞时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离．
1．求直线与圆锥曲线的位置关系，或求直线与圆锥曲线的交点个数问题，其基本方法是联立直线方程和圆锥曲线的方程，消元化成一元二次(或一次)方程，通过二次(或一次)方程解的个数来判定．在解答过程中要注意两点：一是二次项系数是否为0，只有二次方程才能用判别式．二是对于变量的取值受到特别限制的情况要数形结合．
2．利用代数方法判断直线与双曲线、抛物线的位置关系时，注意方程组有一解时，直线与双曲线、抛物线的位置关系，可能是相交或相切．
[再练一题]
1．已知抛物线的方程为y2＝2x，直线l的方程为y＝kx＋1(k∈R)，当k分别为何值时，直线l与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
【解】 联立直线l与抛物线方程得方程组
可得k2x2＋(2k－2)x＋1＝0.①
(1)当k＝0时，由方程①得x＝，
代入y＝kx＋1得y＝1.
这时直线l与抛物线只有一个公共点.
(2)当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝4(1－2k)．
当Δ＝0，即k＝时，方程①有一个解，从而直线l与抛物线只有一个公共点．
当Δ>0，且k≠0，即k<且k≠0时，方程①有两个解，从而直线l与抛物线有两个公共点．
当Δ<0且k≠0，即k>时，方程①没有实数解，从而直线l与抛物线没有公共点．
综上可得：当k＝0或k＝时，直线l与抛物线只有一个公共点；
当k<且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点；当k>时，直线l与抛物线没有公共点.
弦长问题
已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－.
(1)试求动点P的轨迹方程C；
(2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M，N两点，当MN＝时，求直线l的方程．
【精彩点拨】 (1)采用什么方法求动点P的轨迹；
(2)求弦长MN时需要具体求出M、N的坐标吗，如何表示出弦长MN.
【自主解答】 (1)设动点P的坐标是(x，y)，由题意得，kPA·kPB＝－.
∴·＝－，
化简整理得＋y2＝1.
故P点的轨迹方程C是＋y2＝1(x≠±)．
(2)设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得(1＋2k2)x2＋4kx＝0.
∴x1＋x2＝，x1·x2＝0.
MN＝·＝，
整理得k4＋k2－2＝0，
解得k2＝1或k2＝－2(舍)．
∴k＝±1，经检验符合题意．
∴直线l的方程是y＝±x＋1，即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
求弦长的两种方法
1．求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点距离公式求弦长．
2．联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：P1P2＝·＝，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．
[再练一题]
2．斜率为2的直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为，求l的方程．
【解】 设直线l的方程为y＝2x＋m，
由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(
)
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由根与系数的关系，
得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．
∴AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2
＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]＝5.
∵AB＝，∴m2－6(m2＋2)＝6，
∴m2＝15，m＝±.
由(
)式得Δ＝24m2－240，
把m＝±代入上式，得Δ>0，
∴m的值为±，
∴所求l的方程为y＝2x±.
[探究共研型]
中点弦问题
探究1 直线与椭圆相交，怎样求相交弦的弦长？
【提示】 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系解决．
探究2 怎样处理与弦的中点有关的问题？
【提示】 在处理与弦的中点有关的问题时，常采用“点差法”，即若椭圆方程为＋＝1，直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x，y)，则
①－②得a2(y－y)＋b2(x－x)＝0，
∴＝－·＝－·.
这样就建立了中点坐标与直线斜率之间的关系，从而使问题能得以解决．
过椭圆＋＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求此弦所在的直线方程．
【精彩点拨】 可以联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解，也可以考虑利用点差法求解．
【自主解答】 法一 设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．
代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个根，
于是x1＋x2＝.
又M为AB的中点，
∴＝＝2，
解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
法二 设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
又M(2,1)为AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，
则x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－，
即kAB＝－.
又直线AB过点M(2,1)，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
本题的这两种解法，是解中点弦问题的常用方法，解中点弦问题关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系，法一是设出方程，根据中点坐标求出k；法二是设出交点坐标，代入方程，整体作差求直线方程(也叫点差法)，是“设而不求”．
[再练一题]
3．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得弦长AB＝3，求抛物线的方程．
【解】 设抛物线y2＝ax(a≠0)，将y＝2x－4代入得4x2－(a＋16)x＋16＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，即x1，x2为方程4x2－(a＋16)x＋16＝0的两个根，则有x1＋x2＝，x1x2＝4，|x1－x2|＝＝＝.
∴AB＝|x1－x2|＝·.
又∵AB＝3，∴a＝4或a＝－36.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－36x.
[构建·体系]
1．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1)
B．
C.
D．
【解析】 依题意得，c＜b，即c2＜b2，c2＜a2－c2,2c2＜a2，故离心率e＝＜，又0＜e＜1，∴0＜＜.
【答案】 C
2．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是( )
A.
B．－
C．±
D．±
【解析】 把y＝kx＋2代入＋＝1，得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，因为直线与椭圆相切，∴Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±.
【答案】 C
3．若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且只有一个公共点，则k的值为________.
【导学号：15460052】
【解析】 由得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
当1－k2＝0时，即k＝±1时，
方程变为±2x－2＝0，x＝±1，
此时直线与双曲线渐近线平行，有且只有一个交点．
当1－k2≠0时，由Δ＝4k2＋8(1－k2)＝0，
解得k＝±，
此时直线与双曲线相切，有且只有一个公共点．
综上所述k＝±1或±.
【答案】 ±1或±
4．已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长AB＝3，则m的值为________．
【解析】 由得4x2＋4(m－1)x＋m2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由根与系数的关系得x1＋x2＝1－m，x1x2＝，
∴AB＝
＝＝.
由AB＝3，即＝3，解得m＝－4.
【答案】 －4
5．焦点分别为(0,5)和(0，－5)的椭圆截直线y＝3x－2所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程．
【解】 设＋＝1(a>b>0)．
依题意，有a2－b2＝(5)2＝50.①
由消去y并整理，得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0.
因为＝，
所以＝.
所以a2＝3b2.②
由①②，得a2＝75，b2＝25.
经检验，此时Δ>0.
所以椭圆方程为＋＝1.
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于( )
A．2或－2
B．－1
C．2
D．3
【解析】 由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
∴x1＋x2＝＝4，∴k＝2(k＝－1舍去)．
【答案】 C
2．已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1,2)的直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
【解析】 因为双曲线的渐近线方程为y＝±2x，点P在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(±1,0)，所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条．过点P平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．
【答案】 B
3．已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
( )
【导学号：15460053】
A.
B．4
C．3
D．5
【解析】 ∵抛物线y2＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，即c＝3，故32＝4＋b2，
∴b2＝5，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为＝.
【答案】 A
4．(2016·浙江高考)已知椭圆C1：＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )
A．m>n且e1e2>1
B．m>n且e1e2<1
C．m1
D．m【解析】 C1的焦点为(±，0)，C2的焦点为(±，0)，
∵C1与C2的焦点重合，
∴＝，∴m2＝n2＋2，∴m2>n2.
∵m>1，n>0，∴m>n.
∵C1的离心率e1＝，C2的离心率e2＝，
∴e1e2＝·
＝＝
＝＝>＝1.
【答案】 A
5．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若FA＝2FB，则k等于( )
A.
B．
C．
D．
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4.①
∵FA＝x1＋＝x1＋2，FB＝x2＋＝x2＋2，
且FA＝2FB，∴x1＝2x2＋2.②
由①②得x2＝1，∴B(1,2)，
代入y＝k(x＋2)，得k＝.
【答案】 D
二、填空题
6．若直线x－y－m＝0与椭圆＋y2＝1有且仅有一个公共点，则m＝________.
【导学号：15460054】
【解析】 将直线方程代入椭圆方程，消去x，得到10y2＋2my＋m2－9＝0，
令Δ＝0，解得m＝±.
【答案】 ±
7．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
【解析】 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)，
由消去y，得3x2－4x＝0.
∴A(0，－1)，B.
∴|AB|＝，
∴|F1A|＋|F1B|＝4a－|AB|＝4－＝.
【答案】
8．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
【解析】 直线l的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程得y2－y－4＝0，解得yA＝＝2(yB<0，舍去)，故△OAF的面积为×1×2＝.
【答案】
三、解答题
9．如图2 5 1所示，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
图2 5 1
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
【解】 (1)由得x2－4x－4b＝0.(
)
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，
故方程(
)即为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.
将其代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2,1)．
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
10．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
【解】 (1)由题意得消去y，整理得
5x2＋2mx＋m2－1＝0.
∵直线与椭圆有公共点，
∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，
∴－≤m≤.
(2)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由(1)得
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝.
∵－≤m≤，
∴0≤m2≤，
∴当m＝0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为y＝x，即x－y＝0.
[能力提升]
1．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，则·的值等于( )
A．0
B．2
C．4
D．－2
【解析】 由题意得c＝＝，
又S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，
所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，
此时∠F1PF2＝120°.
所以·＝||·||·cos
120°＝2×2×＝－2.
故选D.
【答案】 D
2．过椭圆＋＝1内一点P
(2，－1)的弦恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A．5x－3y＋13＝0
B．5x＋3y＋13＝0
C．5x－3y－13＝0
D．5x＋3y－13＝0
【解析】 设弦的两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组
两式作差可得
5(x1＋x2)(x1－x2)＝－6(y1＋y2)(y1－y2)，①
又弦的中点为(2，－1)，
可得x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2，②
将②代入①式可得k＝＝，
故直线的方程为y＋1＝(x－2)，
化为一般式为5x－3y－13＝0，故选C.
【答案】 C
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则AB的最大值为________.
【导学号：15460055】
【解析】 法一 设直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得
＋(x＋t)2＝1，
整理得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.
∵Δ＝64t2－80(t2－1)>0，
∴－设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
∴AB＝
＝
＝.
当t＝0时，AB最大，即AB最大值＝.
法二 根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，将y＝x代入＋y2＝1得交点坐标为A和B，
故AB＝.
【答案】
4．(2013·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．
【解】 (1)设F(－c,0)，由＝，知a＝c.
过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，
代入椭圆方程有＋＝1，
解得y＝±，于是＝，
解得b＝，
又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，
由方程组消去y，
整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
可得x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·
＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋.
由已知得6＋＝8，解得k＝±.3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量的线性运算
1．熟悉向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．
(难点)
2．掌握空间向量的加法、减法运算．(重点)
3．掌握空间的数乘运算．(重点)
[基础·初探]
教材整理1 空间向量的概念
阅读教材P79“空间向量的概念”部分，完成下列问题.
名称
定义
空间向量
在空间中，具有______和______的量叫做向量，向量的大小叫做向量的______
单位向量
长度或模为______的向量
零向量
______的向量
相等向量
方向______且模______的向量
相反向量
______相反且______相等的向量
【答案】大小 方向 长度(模) 1 起点与终点重合 相同 相等 方向 模
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在空间中，单位向量唯一．( )
(2)在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( )
(3)在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．( )
(4)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
教材整理2 空间向量的线性运算
阅读教材P79～P81，完成下列问题．
1．(1)空间向量的加法、减法运算(如图3 1 1)
图3 1 1
＝＋＝________；＝－＝________.
(2)运算律：①a＋b＝________；
②(a＋b)＋c＝________.
【答案】 (1)a＋b a－b (2)b＋a a＋(b＋c)
2．空间向量的数乘运算
(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积________仍然是一个________，称为向量的数乘运算．
(2)运算律：①λ(a＋b)＝______；②λ(μa)＝_______.
【答案】 (1)λa 向量 (2)λa＋λb (λμ)a
给出下列命题：①若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；②若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；③空间中任意两个单位向量必相等．其中正确的个数为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
【解析】 根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但①中向量a与b的方向不一定相同，故①错；命题②显然正确；
对于命题③，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故③错．故选D.
【答案】 D
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
空间向量的有关概念
(1)下列说法正确的是( )
A．若|a|<|b|，则aB．若a，b为相反向量，则a＋b＝0
C．空间内两平行向量相等
D．四边形ABCD中，－＝
(2)如图3 1 2所示，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有_______．
(要求写出所有适合条件的向量)
图3 1 2
【自主解答】 (1)向量的模有大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C错；D正确．
(2)根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，.与向量相反的向量有，，，.
【答案】 (1)D (2)，， ，，，
1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同．
2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决．
3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
[再练一题]
1．下列说法中，错误的个数为( )
(1)若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
(2)若向量，满足||＞||，且与同向，则＞；
(3)若两个非零向量与满足＋＝0，则，为相反向量；
(4)＝的充要条件是A与C重合，B与D重合．
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 (1)错误．两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关．
(2)错误．向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．
(3)正确.＋＝0，得＝－，且，为非零向量，所以，为相反向量．
(4)错误．由＝，知||＝||，且与同向，但A与C，B与D不一定重合．
【答案】 C
空间向量的线性运算
如图3 1 3，已知正方体ABCD A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′
D′的中心，求下列各式中x，y，z的值．
图3 1 3
(1)＝x＋y＋z；
(2)＝x＋y＋z.
【精彩点拨】 利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据向量对应系数相等，求出x，y，z的值．
【自主解答】 (1)因为＝＋
＝＋＋＝－＋＋，
又＝x＋y＋z，
所以x＝1，y＝－1，z＝1.
(2)因为＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋
＝＋＋，
又＝x＋y＋z，
所以x＝，y＝，z＝1.
用已知向量表示未知向量，是向量线性运算的基础类型，解决这类问题，要注意两个方面：
(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律；
(2)要注意数形结合思想的运用．
[再练一题]
2.如图3 1 4，已知空间四边形OABC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.
图3 1 4
【解】 ＝＋＝＋
＝＋(＋＋)＝＋
＝＋
＝＋＋＝a＋b＋c.
[探究共研型]
用已知向量表示未知向量
探究1 已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
【提示】 由空间向量的加法、减法运算可知＝c－a，＝－＝c－a－b.
探究2 如图3 1 5所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
图3 1 5
【提示】 由图形可知：＝＝(b－a)．
＝＝c，则＝＋＝c＋b－a.
已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中点O.Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：
图3 1 6
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
【精彩点拨】 利用空间向量的线性运算法则求解．
【自主解答】 (1)∵＝－
＝－(＋)＝－－，
∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，∴＝2－.
又∵＋＝2，∴＝2－.
从而有＝2－(2－)＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.
利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．
应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握．
[再练一题]
3．如图3 1 7所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c.M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1.用a，b，c表示以下向量：
图3 1 7
(1)；(2).
【解】 (1)＝(＋)
＝[(＋＋)＋(＋]
＝(＋2＋2)
＝a＋b＋c.
(2)＝＋＝＋(－)
＝＋＋
＝a＋b＋c.
[构建·体系]
1．下列命题中，假命题是( )
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．单位向量都相等
【解析】 单位向量是模为1的向量，它的方向没有限制．但两个向量相等必须同时满足模相等，且方向相同，故D错误．
【答案】 D
2.如图3 1 8所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则等于( )
图3 1 8
A.a－b＋c
B．－a＋b＋c
C.a＋b－c
D.a＋b－c
【解析】 连接(图略)，
则＝－＝(＋)－
＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.
【答案】 B
3．化简(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝________.
【导学号：15460059】
【解析】 原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝a＋b＋c＝a＋b－c.
【答案】 a＋b－c
4．若把空间内平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置于同一点，则这些向量的终点构成的图形是________．
【答案】 球面
5．如图3 1 9，设O为 ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值．
图3 1 9
【解】 ∵＝＋＋
＝－＋－－
＝－＋
＝－＋(＋)
＝－＋(＋)
＝－＋＋(－)
＝－＋＋，
∴x＝，y＝－.
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则－＋＝( )
A．2
B．3
C．3
D．2
【解析】 －＋＝＋＝＋2＝3.
【答案】 B
2．在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，与向量的模相等的向量有( )
【导学号：15460060】
A．7个
B．3个
C．5个
D．6个
【解析】 ||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||.
【答案】 A
3．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，用向量，，表示向量的结果为( )
图3 1 10
A.＝－＋
B.＝＋－
C.＝＋－
D.＝＋＋
【解析】 ＝＋＋＝－＋＋.故选B.
【答案】 B
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是( )
①(－)－；
②(＋)－；
③(－)－；
④(－)＋.
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【解析】 ①(－)－＝－＝；
②(＋)－＝－＝；
③(－)－＝－≠；
④(－)＋＝＋.
【答案】 A
5．在四面体O ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC中点，E为AD的中点，则＝( )
A.a－b＋c
B．a－b＋c
C.a＋b＋c
D.a＋b＋c
【解析】 ＝＋＝＋
＝＋×(＋)
＝＋(－＋－)
＝＋＋
＝a＋b＋c.
【答案】 C
二、填空题
6．下列说法正确的有________(填序号)．
①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
④有向线段就是向量，向量就是有向线段．
【解析】 由平行向量的定义可知①正确；由相等向量定义知②正确；有公共终点的向量的基线不一定平行或重合，故③错误；有向线段是向量的几何表示，有向线段与向量不是同一概念，故④错误．
【答案】 ①②
7．化简：(－)－(－)＝________.
【解析】 (－)－(－)＝－－＋＝(＋)－(＋)＝－＝0.
【答案】 0
8．在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则＝________.
【解析】 ＝(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＋＋＝(＋)＝3a－b＋3c.
【答案】 3a－b＋3c
三、解答题
9．在长方体ABCD A1B1C1D1中，化简－＋－＋－.
【解】 如图．
－＋－＋－
＝(－)＋(－)＋(－)
＝＋＋＝＋＝.
10．如图3 1 11，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
图3 1 11
(1)单位向量共有多少个；
(2)试写出模为的所有向量；
(3)试写出与相等的所有向量；
(4)试写出的相反向量．
【解】 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量，，，，，，，.共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，，共8个．
(3)与向量相等的所有向量(除它自身之外)共有，及，共3个．
(4)向量的相反向量为，，，，共4个．
[能力提升]
1．已知λ，μ∈R，给出以下命题：
①λ<0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；
②λ≠0，a≠0时，λa与a是共线向量；
③λμ>0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；
④λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 由数乘的定义及性质可知①②③④均正确．
【答案】 D
2．已知点M是△ABC的重心，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为( )
A．1
B．0
C．3
D．
【解析】 因为M为△ABC的重心，设BC的中点为D，
所以＝＋＝＋(－)
＝＋·(＋)＝＋＋，
故x＝.
【答案】 D
3．在三棱锥A BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则有＋－－化简的结果为________.
【导学号：15460061】
【解析】 延长DE交边BC于点F，则＋＝，＋＝＋＝，故＋－－＝0.
【答案】 0
4．如图3 1 12所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，若＝x＋y，则x，y的值分别为多少？
图3 1 12
【解】 设＝a，
＝b，＝c，
∵四边形B1C1D1A1为平行四边形，∴＝c－a，
又O是B1D1的中点，
∴＝(a＋b)，
∴＝－(a＋b)，
＝－＝b－(a＋b)＝(b－a)．
∵D1D綊C1C，∴＝c，
∴＝＋＝(b－a)＋c.
若存在实数x，y，使＝x＋y(x，y∈R)成立，则
c－a＝x＋y
＝－(x＋y)a＋(x－y)b＋xc.
∵a，b，c不共线，∴
得3.2.3 直线与平面的夹角
3.2.4 二面角及其度量
1．理解直线与平面所成角的概念．(重点)
2．会用向量法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点)
3．正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 直线与平面的夹角
阅读教材P106～P107“例”以上部分内容，完成下列问题．
1．直线与平面所成的角
2．最小角定理
1．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为_______________．
【解析】 设l与α所成的角为θ，则sin
θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝60°.
【答案】 60°
2．PA，PB，PC是由点P出发的三条射线，两两夹角为60°，则PC与平面PAB所成角的余弦值为________．
【解析】 设PC与平面PAB所成的角为θ，则cos
60°＝cos
θcos
30°，得cos
θ＝.
【答案】
教材整理2 二面角及其度量
阅读教材P108～P109“例1”以上部分内容，完成下列问题．
1．二面角的相关概念
(1)二面角及其平面角
半平面
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面
二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α l β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A l B
平面角
在二面角α l β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α l β的平面角
(2)二面角的范围
设二面角为α，则0°≤α≤180°.
2．直二面角
平面角是直角的二面角叫做直二面角．
3．二面角的度量
(1)分别在二面角α l β的面α，β内，作向量n1⊥l，n2⊥l，则可以用〈n1，n2〉来度量二面角α l β.
(2)设m1⊥α，m2⊥β，则〈m1，m2〉与二面角α l β大小相等或互补．
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，二面角A1 BC A的余弦值为( )
A.
B．
C．
D．
【解析】 易知∠A1BA为二面角A1 BC A的平面角，
cos∠A1BA＝＝.
【答案】 C
2．已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝a，则二面角A BC D的大小为( )
【导学号：15460077】
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解析】 如图，取BC的中点为E，连接AE，DE，
由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，
且AE＝DE＝a，又AD＝a，
∴∠AED＝60°，即二面角A BC D的大小为60°.
【答案】 C
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
利用空间角的定义求空间角
在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，试求B1D1与平面A1BCD1所成角的正弦值．
【精彩点拨】 作出B1点在平面A1BCD1内的射影，从而得到B1D1在平面A1BCD1内的射影．
【自主解答】 作B1E⊥A1B，垂足为E，又因为A1D1⊥平面ABB1A1，
∴A1D1⊥B1E.
由B1E⊥A1B及B1E⊥A1D1得B1E⊥平面A1BCD1，
所以，D1E就是D1B1在平面A1BCD1内的射影，
从而∠B1D1E就是D1B1与平面A1BCD1所成的角．
在Rt△B1D1E中，有sin∠B1D1E＝.
D1B1＝＝＝5，
又S△A1BB1＝A1B·EB1＝A1B1·BB1，
A1B＝＝，
∴EB1＝＝，∴sin∠B1D1E＝.
1．作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的角．其中关键是作平面的垂线，此方法简称为“一作，二证，三计算”．
2．用定义求二面角的步骤：
(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)；
(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角；
(3)解三角形求角．
[再练一题]
1．如图3 2 24，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A VB C的余弦值．
图3 2 24
【解】 取VB的中点为E，
连接AE，CE.
∵VA＝AB＝BC＝VC，
∴AE⊥VB，CE⊥VB.
∴∠AEC是二面角A VB C的平面角．
设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝a，AC＝a，由余弦定理可知
cos∠AEC＝＝－，
∴所求二面角A VB C的余弦值为－.
利用空间向量求线面角
如图3 2 25所示，三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
图3 2 25
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．
【精彩点拨】 (1)怎样建立坐标系？
(2)向量与满足什么关系时有CM⊥SN成立？
(3)的坐标是多少？平面CMN的一个法向量怎么求？与平面CMN的法向量的夹角就是SN与平面CMN所成的角吗？
【自主解答】
设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系(如图)．
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，
又AN＝AB，M，S分别为PB，BC的中点，
∴N，M，S，
(1)＝，＝，
∴·＝·＝0，
因此CM⊥SN.
(2)＝，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，∴·a＝0，·a＝0.
则
∴
取y＝1，得a＝(2,1，－2)．
因为cos＝＝－.
∴〈a，〉＝π.
所以SN与平面CMN所成的角为π－＝.
1．本题中直线的方向向量与平面的法向量a的夹角并不是所求线面角θ，它们的关系是sin
θ＝|cos〈，a〉|.
2．若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：
[再练一题]
2．设在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点．试求A1B与平面AEF的夹角的正弦值．
图3 2 26
【解】 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，所以＝(2,0，－2)，＝(0,2,1)，＝(1,1,0)．
设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)，
由得
令a＝1，可得n＝(1，－1,2)．
设A1B与平面AEF的夹角为θ，
所以sin
θ＝|cos〈n，〉|＝＝，即A1B与平面AEF的夹角的正弦值为.
[探究共研型]
求二面角
探究1 如何利用向量求二面角的大小？
【提示】 当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的．
探究2 在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角．
【提示】 法一 如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD与AC交于点O，取AD中点F，则C(b,0,0)，B(0，a,0)，＝.
∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)，
∴E，O，
＝，＝(b,0,0)．
∵·＝0，∴⊥，
＝＝，·＝0.
∴⊥.
∴∠EOF为平面EAC与平面ABCD的夹角(或补角)．
cos〈，〉＝＝.
∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.
法二 建系如方法一，∵PA⊥平面ABCD，
∴＝(0,0，a)为平面ABCD的法向量，
＝，＝(b,0,0)．
设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z)．
由得
∴x＝0，y＝z.∴取m＝(0,1,1)，
cos〈m，〉＝＝＝.
∴平面AEC与平面ABCD的夹角为45°.
如图3 2 27，直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.
图3 2 27
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角D A1C E的正弦值．
【精彩点拨】 (1)能否运用线面平行的判定定理求解？
(2)如何建立空间直角坐标系，能确定平面DA1C和平面A1CE的法向量，进而利用公式求出二面角的正弦值？
【自主解答】 (1)证明：连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点．
又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF 平面A1CD，BC1 平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
(2)由AC＝CB＝AB，
得AC⊥BC.
以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，
则即
可取n＝(1，－1，－1)．
同理，设m＝(x2，y2，z2)是平面A1
CE的法向量，
则即
可取m＝(2,1，－2)．
从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.
即二面角D A1C E的正弦值为.
用向量法求二面角的大小，可以避免作出二面角的平面角这一难点，转化为计算两半平面法向量的夹角问题，具体求解步骤如下：
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；
(5)确定二面角的大小．
[再练一题]
3．如图3 2 28，在空间直角坐标系Cxyz中，AB是圆O的直径，AC＝BC＝2，DC∥EB，DC＝EB，tan∠EAB＝，求二面角D AE B的余弦值．
图3 2 28
【解】 由题可知AB＝4，tan∠EAB＝，可得CD＝EB＝1，∴D(0,0,1)，E(0,2，1)，A(2，0,0)，B(0，2，0)，则＝(－2，2，0)，＝(0,0,1)，＝(2，0，－1)，＝(0,2，0)，
设平面DAE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
∴y1＝0，令x1＝1，则z1＝2，∴平面DAE的一个法向量为n1＝(1,0,2)．
设平面ABE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即
∴z2＝0，令x2＝1，则y2＝1，
∴平面ABE的一个法向量为n2＝(1,1,0)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.
由图可以判断二面角D AE B为钝角，
∴二面角D AE B的余弦值为－.
[构建·体系]
1．正方体ABCD A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为( )
A.
B．
C．
D．
【解析】 取BC中点M，连接AM，OM，易知∠OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sin∠OAM＝.
【答案】 C
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )
A．－
B．
C．－
D．
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)．
∴＝(－2，－2,0)，＝(0,0,2)，
＝(－2,0,1)．
设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)．
∵n⊥，n⊥，
∴∴
令y＝1，则n＝(－1,1,0)．
∴cos〈n，〉＝＝，
设直线BE与平面B1BD所成角为θ，则sin
θ＝|cos〈n，〉|＝.
【答案】 B
3．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为________.
【导学号：15460078】
【解析】 两向量夹角与二面角相等或互补，则二面角的余弦值为.
【答案】
4.如图3 2 29，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求二面角A PB C的余弦值为________．
图3 2 29
【解析】 如图建立空间直角坐标系，则
A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，
＝(0,0,1)，＝(，1,0)，
＝(，0,0)，
＝(0，－1,1)．
设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，
则
即
解得
令x＝1，则m＝(1，－，0)．
设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，
则即
解得
令y′＝－1，则n＝(0，－1，－1)，
∴cos〈m，n〉＝＝.
故二面角A PB C的余弦值为.
【答案】
5.如图3 2 30，在三棱锥P ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.
图3 2 30
(1)求证：AB∥GH；
(2)求二面角D GH E的余弦值．
【解】 (1)证明：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB.所以EF∥DC.
又因为EF 平面PCD，DC 平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
又因为EF 平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，
所以EF∥GH.又因为EF∥AB，所以AB∥GH.
(2)在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，
所以∠ABQ＝90°.又因为PB⊥平面ABQ，
所以BA，BQ，BP两两垂直．
以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设BA＝BP＝BQ＝2，
则E(1,0,1)，F(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，所以＝(－1,2，－1)，＝(0,2，－1)，＝(－1，－1,2)，＝(0，－1,2)．
设平面EFQ的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
由m·＝0，m·＝0，
得取y1＝1，得m＝(0,1,2)．
设平面PDC的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，
由n·＝0，n·＝0，
得取z2＝1，得n＝(0,2,1)．
所以cos〈m，n〉＝＝.
因为二面角D GH E为钝角，
所以二面角D GH E的余弦值为－.
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
我的课下提升方案：
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(建议用时：45分钟)
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一、选择题
1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120°
B．60°
C．30°
D．以上均错
【解析】 设直线l与平面α所成的角为θ，则sin
θ＝|cos
120°|＝.
又∵0<θ≤90°，∴θ＝30°.
【答案】 C
2．若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为.
【答案】 D
3．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
【导学号：15460079】
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解析】
如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1.则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于是＝(0,1,0)．
取PD中点为E，
则E，
∴＝，
易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，∴cos<，>＝，
∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
【答案】 B
4．如图3 2 31，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCD A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，则二面角B1 A1B E的余弦值为( )
图3 2 31
A．－
B．－
C.
D．
【解析】 设AD＝1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为E，F分别为C1D1，A1B的中点，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以＝(－1,1,0)，＝(0,2，－2)，设m＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则所以所以取x＝1，则y＝z＝1，所以平面A1BE的一个法向量为m＝(1,1,1)，又DA⊥平面A1B1B，所以＝(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cos〈m，〉＝＝＝，又二面角B1 A1B E为锐二面角，所以二面角B1 A1B E的余弦值为，故选C.
【答案】 C
5．正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，
则A1(1,0,1)，E，
F，B1(1,1,1)．
＝(0,1,0)，设平面A1EF的法向量n＝(x，y，z)，
则即
令y＝2，则
∴n＝(1,2,1)，cos〈n，〉＝＝，
即线面角的正弦值为.
【答案】 B
二、填空题
6．等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为________．
【解析】 作CO⊥α，O为垂足，连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO为CM与α所成的角．在Rt△AOC中，设CO＝1，则AC＝2.在等腰Rt△ABC中，由AC＝2得CM＝.在Rt△CMO中，sin∠CMO＝＝＝，
所以∠CMO＝45°.
【答案】 45°
7．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2,0)，B(2,1，)，则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．
【解析】 设平面xOz的法向量为n＝(0，t,0)(t≠0)，＝(1,3,
)，所以cos〈n，〉＝＝，因为〈n，〉∈[0，π]，所以sin〈n，〉＝＝.
【答案】
8．已知点E，F分别在正方体ABCD A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．
【解析】 如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．
所以A(1,0,0)，E，F，
所以＝，＝，
则即
取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝.
所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cos
α＝，sin
α＝，所以tan
α＝.
【答案】
三、解答题
9.如图3 2 32所示，在四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.
图3 2 32
(1)求证：AO⊥平面BCD；
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
【解】 (1)证明：连接OC，
由题意知BO＝DO，AB＝AD，
∴AO⊥BD.
又BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD.
在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝，
又AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2，
∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC.
∵BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD.
(2)以O为坐标原点建立空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0,
，0)，A(0,0,1)，
E，
∴＝(－1,0,1)，＝(－1，－，0)，
∴cos〈，〉＝＝.
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
10．四棱锥P ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；
(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
【解】 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设AB＝a，PD＝h，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，
(1)∵＝(－a，a,0)，＝(0,0，h)，＝(a，a,0)，
∴·＝0，·＝0，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，又DP∩DB＝D，
∴AC⊥平面PDB，
又AC 平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.
(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，P(0,0，a)，E，
设AC∩BD＝O，O，连接OE，由(1)知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，
∵＝，＝，
∴cos∠AEO＝＝，
∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.
[能力提升]
1．已知在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为( )
A．60°
B．90°
C．45°
D．以上都不对
【解析】 以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图．
由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，所以＝(0,1，－1)，＝(1,1，－1)，＝(0，－1，－1)．
设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则得
令z＝1，得y＝1，x＝0，所以n＝(0,1,1)，
cos〈n，〉＝＝＝－1.
所以〈n，〉＝180°.
所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.
【答案】 B
2.在三棱柱ABC A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
图3 2 33
A.
B．
C.
D．
【解析】 不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，
则＝(－2,2,1)，＝(0，－2,1)，
所以cos〈，〉＝
＝＝－.
因为直线BC1与直线AB1的夹角为锐角，所以所求角的余弦值为.
【答案】 A
3．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a＞0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.
【导学号：15460080】
【解析】 平面xOy的法向量为n＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，则
即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝.
而cos〈n，u〉＝＝，
又∵a＞0，∴a＝.
【答案】
4.如图3 2 34，在直三棱柱A1B1C1 ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
图3 2 34
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．
【解】
(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4).
因为cos〈，〉＝＝＝，
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.
由|cos
θ|＝＝＝，
得sin
θ＝.
因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.选修2－1
1.1 命题与量词
1.1.1 命题
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1．了解命题的概念．(难点)
2．理解命题的构成，并能指出命题的条件和结论．(重点)
3．能判断一些简单命题的真假．(难点)
[基础·初探]
教材整理 命题
阅读教材P3，完成下列问题．
1．命题：能判断真假的语句叫命题，命题一般用小写英文字母表示，如：p，q，r，….
2．一个命题要么是真，要么是假．
判断下列语句是命题的是________(填序号)．
①求证是无理数；
②x2＋2x＋1≥0；
③你是高二学生吗？
④并非所有的人都喜欢苹果；
⑤一个正整数不是质数就是合数．
【解析】 判断一个语句是否为命题，关键符合两点：①陈述句，②能判断真假．
【答案】 ②④⑤
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
命题的判断
下列语句中是命题的有________．
①一个数不是正数就是负数；
②0是自然数吗？
③22
016是一个很大的数；
④4是集合{2,3,4}的元素；
⑤作△ABC≌△A′B′C′.
【精彩点拨】 判断语句是否为命题，要看是否符合两条：
(1)是否为陈述句．(2)能否判断真假．
【自主解答】 ②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“很大”无法说明到底多大，不能判断真假，不是命题；⑤是祈使句，不是命题；①是命题，为假命题，因为0既不是正数，也不是负数；④是命题，为真命题．
【答案】 ①④
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判断一个语句是不是命题，关键是把握好以下两点：
(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
(2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．
[再练一题]
1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；
(2)x2－3x＋2＝0；
(3)函数y＝cos
x是周期函数吗？
(4)集合{a，b，c}有3个子集．
【解】 (1)是命题，满足指数函数的定义，为真命题．
(2)不是命题，不能判断真假．
(3)不是命题，是疑问句，不能判断真假．
(4)是命题．因为集合{a，b，c}有23＝8个子集，所以集合{a，b，c}有3个子集为假命题．
命题真假的判断
(2016·衡水高二检测)给定下列命题：①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.其中是真命题的是________．
【精彩点拨】
【自主解答】 ①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题．
【答案】 ①②④
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1．由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的，不存在模棱两可的情况．
2．如果要判断一个命题为真命题，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断一个命题为假命题时，只要举出一个反例即可．
[再练一题]
2．判断下列命题的真假．
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)若x∈N，则x3＞x2成立；
(3)若m＞1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆．
【解】 (1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.
(2)假命题．反例：当x＝0时，x3＞x2不成立．
(3)真命题．∵m＞1 Δ＝4－4m＜0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．
(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．
[探究共研型]
命题的构成
探究1 指出下列命题中的条件p和结论q：
(1)若整数a能被2整除，则整数a是偶数；
(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．
【提示】 命题由条件和结论两部分组成，其结构形式为“若p，则q”；也可写成“如果p，那么q”，其中p是条件，q是结论．(1)p：“整数a能被2整除”，q：“整数a是偶数”．(2)p：“四边形是菱形”，q：“它的对角线互相垂直且平分”．
探究2 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．
(1)等边三角形的三个内角相等；
(2)当a＞1时，函数y＝ax是增函数；
(3)菱形的对角线互相垂直．
【提示】 (1)若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．其中条件p：一个三角形是等边三角形，结论q：它的三个内角相等．
(2)若a＞1，则函数y＝ax是增函数．其中条件p：a＞1，结论q：函数y＝ax是增函数．
(3)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．其中条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直．
(2016·南京高二检测)将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)能被3整除的数一定能被6整除；
(2)到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【精彩点拨】 (1)上述命题的条件与结论分别是什么？
(2)怎样用“若p，则q”的形式改写命题？
【自主解答】 (1)命题改写成“若p，则q”的形式为：若一个数能被3整除，则这个数一定能被6整除．
它是假命题，如：9能被3整除，但不能被6整除．
(2)命题改写成“若p，则q”的形式为：若一个点到已知线段两端点的距离相等，则这个点在这条线段的垂直平分线上．
由平面几何知识知它是真命题．
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1．要把一个命题写成“若p，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”的形式，有一些命题虽然不是“若p，则q”的形式，但是把它们的表述作适当的改变，也能写成“若p，则q”的形式，但要注意语言的流畅性．
2．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这种命题真假的办法是：若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可判断“若p，则q”是真；而判定“若p，则q”是假，则只需要举出一个反例即可．
[再练一题]
3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)当>时，a(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
(3)同弧所对的圆周角不相等．
【解】 (1)若>，则a(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，真命题；
(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，假命题．
[构建·体系]
1．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
【解析】 把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C.
【答案】 C
2．若M，N是两个集合，则下列命题中的真命题是( )
A．如果M N，那么M∩N＝M
B．如果M∩N＝N，那么M N
C．如果M N，那么M∪N＝M
D．如果M∪N＝N，那么N M
【解析】 由集合的包含关系知道，若M N，则M∩N＝M.
【答案】 A
3．“常数列是等差数列”是________命题，“常数列是等比数列”是________命题．(填“真”或“假”)
【导学号：15460000】
【解析】“常数列是等差数列”是真命题，“常数列是等比数列”是假命题．
【答案】 真 假
4．命题：若a＞0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)，条件p：________，结论q：___________________，是________命题．(填“真”或“假”)
【解析】 把握命题结构特征分析易得答案．
【答案】 a＞0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界) 真
5．将命题“a＞0时，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大”写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
【解】“若p，则q”的形式：若a＞0，则函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
∵a＞0.∴函数y＝ax＋b为增函数，故该命题为真命题．
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一、选择题
1．在空间中，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
【解析】 A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质知，D为真命题．
【答案】 D
2．下列命题中是假命题的是( )
A．a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若ac2＞bc2，则a＞b
D．若α＝60°，则cos
α＝
【解析】 因为|a|＝|b|只能说明a与b的模相等，所以a＝b不一定成立，故选B.
【答案】 B
3．下列四个命题中，真命题是( )
【导学号：15460001】
A．a＞b，c＞d ac＞bd
B．a＜b a2＜b2
C.＜ a＞b
D．a＞b，c＜d a－c＞b－d
【解析】 可以通过举反例的方法说明A、B、C为假命题．
【答案】 D
4．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，则下列四个命题为真命题的是( )
A．在a，b，c，d中有且仅有一个是负数
B．在a，b，c，d中有且仅有两个是负数
C．在a，b，c，d中至少有一个是负数
D．在a，b，c，d中都是负数
【解析】 举例取特殊值，验证可知C是真命题．
【答案】 C
5．下面的命题中是真命题的是( )
A．y＝sin2x的最小正周期为2π
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则＞0
C．若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝3
D．在△ABC中，若·＞0，则B为锐角
【解析】 A中，y＝sin2x＝，T＝＝π，故A为假命题；C中，∵a∥b，∴＝，得k＝－3，故C为假命题；D中，当·＞0时，向量与的夹角为锐角，B为钝角，故D为假命题．
【答案】 B
二、填空题
6．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2＞bc2，则a＞b.其中真命题的序号是________．
【解析】 ②中四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，③中平行四边形不是梯形，①④正确．
【答案】 ①④
7．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y＝ax＋1是指数函数吗？③老师写的粉笔字真漂亮！④若x∈R，则x2＋4x＋5＞0.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．
【解析】 ①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③该语句是感叹句，不是命题；④是命题，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0恒成立，所以是真命题．
【答案】 ①④ ④
8．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
④直线l与α垂直的等价条件是l与α内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).
【导学号：15460002】
【解析】 由线面平行及面面平行的判定定理可知，①②正确；当两平面斜交时，在α内的直线可以与交线垂直，故③不对；只有直线l与α内的两条相交直线垂直时，直线l与α垂直，故④不对．
【答案】 ①②
三、解答题
9．判断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？
(1)2＋2是有理数；
(2)1＋1>2；
(3)2100是个大数；
(4)968能被11整除；
(5)非典型性肺炎是怎样传播的？
【解】 (1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题．因为(1)(2)(4)都可以判断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法判断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．
10．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)等腰梯形的两条对角线相等；
(2)平行四边形的两条对角线互相垂直．
【解】 (1)若一个梯形是等腰梯形，则它的两条对角线相等．真命题．
(2)若一个四边形是平行四边形，则它的两条对角线互相垂直．假命题．
[能力提升]
1．若a，b∈R，且a2＋b2≠0，则下列命题：①a，b全为0；②a，b不全为0；③a，b全不为0；④a，b至少有一个不为0.其中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 ②④为真命题．
【答案】 C
2．给出下列命题：
①在△ABC中，若∠A>∠B，则sin
A>sin
B；
②函数y＝x3在R上既是奇函数又是增函数；
③函数y＝f(x)的图象与直线x＝a至多有一个交点；
④若将函数y＝sin
2x的图象向左平移个单位，则得到函数y＝sin的图象．
其中真命题的序号是( )
A．①②
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
【解析】 ①②③是真命题．
【答案】 B
3．设a，b为正实数．现有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若－＝1，则a－b<1；③若|－|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
【解析】 将条件方程变形分析．
①中，a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，a，b为正实数，若a－b≥1，
则必有a＋b>1，不合题意，故①正确．
②中，－＝＝1，只需a－b＝ab即可．如取a＝2，b＝满足上式，但a－b＝>1，故②错．
③中，a，b为正实数，所以＋>|－|＝1，且|a－b|＝|(＋)(－)|＝|＋|>1,
故③错．
④中，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝|a－b|·
(a2＋ab＋b2)＝1.
若|a－b|≥1，不妨取a>b>1，则必有a2＋ab＋b2>1，不合题意，故④正确．
【答案】 ①④
4．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当m>时，方程mx2－x＋1＝0无实根；
(2)平行于同一平面的两条直线平行．
【解】 (1)命题可改写为：若m>，则mx2－x＋1＝0无实根．
因为当m>时，Δ＝1－4m<0，
所以是真命题．
(2)命题可改写为：若两条直线平行于同一平面，则它们互相平行．
因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题.1.2 基本逻辑联结词
1．2.1 “且”与“或”
1．能说出逻辑联结词“且”“或”的意义．(重点)
2．能够判断命题“p且q”“p或q”的真假．(难点)
3．会使用联结词“且”“或”联结并改写成某些数学命题，会判断命题
的真假．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 “且”
阅读教材P10，完成下列问题．
1．定义
一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．
【答案】 p∧q p且q
2．真假判断
当p，q都是真命题时，p∧q是________；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是________．
【答案】 真命题 假命题
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若p∧q为真，则p，q中有一个为真即可．( )
(2)若命题p为假，则p∧q一定为假．( )
(3)逻辑联结词“且”只能出现在命题的结论中．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
教材整理2 “或”
阅读教材P11倒数第1自然段～P12部分内容，完成下列问题．
1．定义
一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________．读作“__________________”．
【答案】 p∨q p或q
2．真假判断
当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是________________；
当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是________________________．
【答案】 真命题 假命题
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若“p∨q为假命题”，则“p为假命题”．( )
(2)梯形的对角线相等且互相平分是“p∨q”形式的命题．( )
(3)若命题p为真，则命题“p∨q”为真命题．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
含有逻辑联结词的命题结构
指出下列命题的形式及构成它的简单命题．
(1)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；
(2)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．
【自主解答】 (1)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．
(2)这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：1是方程x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．
1．判断一个命题的结构，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题．
2．用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形．
[再练一题]
1．指出下列命题的形式及构成它们的简单命题：
(1)王彪同学是数学和英语课代表；
(2)△ABC是等腰直角三角形；
(3)－1是偶数或奇数．
【解】 (1)这个命题是“p∧q”的形式，p：王彪同学是数学课代表，q：王彪同学是英语课代表．
(2)这个命题是“p∧q”的形式，p：△ABC是等腰三角形，q：△ABC是直角三角形．
(3)这个命题是“p∨q”的形式，p：－1是偶数，q：－1是奇数．
含逻辑联结词的命题真假的判断
分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”形式的命题，并判断其真假．
(1)p：6是自然数，q：6是偶数；
(2)p：等腰梯形的对角线相等，q：等腰梯形的对角线互相平分；
(3)p：函数y＝x2－2x＋2没有零点，q：不等式x2－2x＋1＞0恒成立．
【精彩点拨】 分别写成“p∧q”，“p∨q”的形式―→
判断p，q的真假―→得出“p∧q”“p∨q”的真假
【自主解答】 (1)p∨q：6是自然数或偶数，真命题．
p∧q：6是自然数且是偶数，真命题．
(2)p∨q：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题．
p∧q：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题．
(3)p∨q：函数y＝x2－2x＋2没有零点或不等式x2－2x＋1＞0恒成立，真命题．
p∧q：函数y＝x2－2x＋2没有零点且不等式x2－2x＋1＞0恒成立，假命题．
1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的步骤
(1)确定含逻辑联结词的命题的构成形式；
(2)判断其中简单命题p，q的真假；
(3)由真值表判断命题的真假．
2．真值表
p
q
p∨q
p∧q
真
真
真
真
真
假
真
假
假
真
真
假
假
假
假
假
解读真值表
命题形式
规律总结
结论解释
“p∨q”
一真必真
p，q中只要有一个是真命题，则“p∨q”一定是真命题
“p∧q”
一假必假
p，q中只要有一个是假命题，则“p∧q”一定是假命题
[再练一题]
2．分别指出下列各小题中的“p∨q”“p∧q”形式的新命题的真假．
(1)p：梯形只有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：a∈{a，b，c}，q：{a}?{a，b，c}；
(3)p：3是19的约数，q：3是27的约数；
(4)p：x＝－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：x＝－3是方程x2＋4x＋3＝0的解；
(5)p：不等式x2－4x＋4>0的解集为R，q：不等式x2－4x＋4≤0的解集为 .
【解】 (1)∵p真q假，∴“p∨q”为真，“p∧q”为假．
(2)∵p真q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为真．
(3)∵p假q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为假．
(4)∵p真q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为真．
(5)∵p假q假，∴“p∨q”为假，“p∧q”为假．
[探究共研型]
逻辑联结词的应用
探究1 如果“p∧q”为真命题，那么“p∨q”一定是真命题吗？反之，如果“p∨q”为真命题，那么“p∧q”一定是真命题吗？
【提示】 若“p∧q”为真命题，得p，q都为真命题，即“p∨q”一定是真命题．
若“p∨q”为真命题，得p，q至少有一个为真命题，因此，需分p真q假，p假q真，p真q真三种情况来讨论“p∧q”的真假．
探究2 涉及命题“p∨q”“p∧q”的真假且含参数的问题，参数范围怎样确定？
【提示】 由真值表可判断“p∨q”，“p∧q”命题的真假，反之，由“p∨q”，“p∧q”命题的真假也可判断p，q的真假情况．一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数范围，再求其补集．
已知a＞0且a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)上单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若“p或q”为真，“p且q”为假，求a的取值范围．
【精彩点拨】 (1)由题意，p，q中实数a的取值范围是怎样的？(2)“p或q为真，p且q为假”的含义是什么？如何由此确定a的取值范围？
【自主解答】 y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，故0＜a＜1.
曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同两点等价于(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞.
又a＞0，∴0＜a＜或a＞.
∵“p或q”为真，∴p，q中至少有一个为真．
又∵“p且q”为假，∴p，q中至少有一个为假，
∴p，q中必定是一个为真一个为假．
①若p真，q假，则∴≤a＜1.
②若p假，q真，则∴a＞.
综上可知，实数a的取值范围为∪.
1．含有逻辑联结词的命题“p∧q”“p∨q”的真假可以用真值表来判断，反之根据命题“p∧q”“p∨q”的真假也可以判断命题p、q的真假．
2．解答这类问题的一般步骤
(1)先求出命题“p∧q”“p∨q”在命题p，q成立时的参数范围；
(2)其次根据命题“p∧q”“p∨q”的真假判断命题p，q的真假；
(3)根据p，q的真假求出参数的取值范围．
[再练一题]
3．已知c>0，设p：函数y＝cx在R上单调递减，q：曲线y＝4x2－4c＋c2＋1与x轴交于不同的两点，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求c的取值范围．
【解】 法一 ∵函数y＝cx在R上单调递减，
∴0由y＝4x2－4c＋c2＋1与x轴交于不同的两点，
可得方程4x2－4cx＋c2－2c＋1＝0所对应的判别式
Δ＝16c2－16(c2－2c＋1)>0.
解得c>，令B＝.
根据题意，如果p真，q假，则0如果p假，q真，则c≥1，
∴c的取值范围为∪[1，＋∞)．
法二 同解法一，问题等价于求集合：
[( RA)∩B]∪[( RB)∩A]＝∪[1，＋∞)．
∴c的取值范围为∪[1，＋∞)．
[构建·体系]
1．“p∧q是真命题”，则下列结论错误的是( )
A．p是真命题
B．q是真命题
C．p∨q是真命题
D．p∨q是假命题
【解析】 “p∧q”为真命题，则“p”“q”均为真命题，“p∨q”也为真命题，故D错误．
【答案】 D
2．由下列命题构成的“p∧q”为真命题的是( )
A．p：菱形是正方形，q：正方形是菱形
B．p：2是偶数，q：2不是质数
C．p：15是质数，q：4是12的约数
D．p：a∈{a，b，c}，q：{a} {a，b，c}
【解析】 若“p∧q”为真命题，则命题p，q均为真命题，所以应选D.
【答案】 D
3．下列各组命题中，满足“p∨q”为真，“p∧q”为假的是________(填序号)．
①p：0＝ ；q：0∈ ；
②p：在△ABC中，若cos
2A＝cos
2B，则A＝B；q：y＝sin
x在第一象限不是增函数；
③p：a＋b≥2(a，b∈R)；q：不等式|x|>x的解集为(－∞，0)；
④p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：3≥3.
【解析】 由已知条件知命题p与命题q中必须有一个为真，一个为假．
①中命题p，q均假，排除；
②中命题p，q均为真，排除；
③中命题q为真，p为假；
④中命题p和命题q都为真，排除．
【答案】 ③
4．已知命题p：方程x2－1＝0的根是x＝－1，命题q：方程x2－1＝0的根是x＝1.写出p∨q：___________，它是________命题(填“真”或“假”).
【导学号：15460007】
【答案】 方程x2－1＝0的根是x＝－1或方程x2－1＝0的根是x＝1 假
5．已知p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
【解】 设g(x)＝x2＋2ax＋4.由于关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16<0，
∴－2∴p：－2函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，
则有5－2a>1，即a<2，∴q：a<2.
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
(1)若p真q假，则此不等式组无解．
(2)若p假q真，则
∴a≤－2.
综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如果命题“p”为假，命题“p∧q”为假，那么则有( )
A．q为真
B．q为假
C．p∨q为真
D．p∨q不一定为真
【解析】 由已知条件不能确定命题q的真假，故选D.
【答案】 D
2．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，下面使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是( )
A．(0，－3)
B．(1,2)
C．(1，－1)
D．(－1,1)
【解析】 使“p∧q”为真命题的点即为直线y＝2x－3与抛物线y＝－x2的交点．
【答案】 C
3．设命题p：函数y＝sin
2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos
x的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真
B．q为真
C．p∧q为假
D．p∨q为真
【解析】 p是假命题，q是假命题．故选C.
【答案】 C
4．下列命题：
①2>1或1<3；
②方程x2－3x－4＝0的判别式大于或等于0；
③周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等；
④集合A∩B是集合A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 前三个命题是“p∨q”形式，第四个是“p∧q”形式，根据真值表判断方法知命题③中两个简单命题均为假命题，故命题③是假命题．
【答案】 C
5．命题p：若x>0，则x2>0，命题q：△ABC中，若A>B，则sin
A>sin
B，则( )
A．p真q假
B．p∨q为真
C．p∨q为假
D．p假q真
【解析】 命题p为真命题，q为真命题．故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．已知p：不等式ax＋b>0的解集为，q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a【导学号：15460008】
【解析】 ∵p∨q为假命题，∴p，q均为假命题．p假 a≤0，q假 a≥b，则b≤a≤0.
【答案】 b≤a≤0
7．已知命题p：“一次函数的图象是一条直线”，命题q：“函数y＝ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线”，则下列四种形式的命题：①p；②q；③p∨q；④p∧q中，为真命题的是________．
【解析】 ∵p为真命题，q为假命题，p或q为真，p且q为假，
∴①③是真命题．
【答案】 ①③
8．已知p：<0，q：x2－4x－5<0，若“p且q”为假命题，则x的取值范围是________．
【解析】 p：x<3；q：－1∴p，q中至少有一个为假，∴x≥3或x≤－1.
【答案】 (－∞，－1]∪[3，＋∞)
三、解答题
9．分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”形式的命题的真假．
(1)p：6<6，q：6＝6.
(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分．
(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，
q：不等式x2＋x＋2<0无解．
(4)p：函数y＝cos
x是周期函数．
q：函数y＝cos
x是奇函数．
【解】 (1)∵p为假命题，q为真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．
(2)∵p为假命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为假命题．
(3)∵p为真命题，q为真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题．
(4)∵p为真命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．
10．对命题p：1是集合{x|x2【解】 若p为真，则1∈{x|x2所以121；
若q为真，则2∈{x|x24.
若“p或q”为真，则a>1或a>4，即a>1；
若“p且q”为真，则a>1且a>4，即a>4.
[能力提升]
1．命题p：函数y＝loga(ax＋2a)(a>0且a≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q：如果函数y＝f(x)的图象关于(3,0)对称，那么函数y＝f(x－3)的图象关于原点对称，则有( )
A．“p且q”为真
B．“p或q”为假
C．p真q假
D．p假q真
【解析】 命题p：当x＝－1时，y＝loga(－a＋2a)＝logaa＝1，故正确．命题q：y＝f(x－3)是由y＝f(x)的图象向右平移3个单位而得到，故y＝f(x－3)的图象关于(6,0)对称，故命题q为假命题．
【答案】 C
2．已知p： {0}，q：{1}∈{1,2}．在命题“p”“q”“p∧q”和“p∨q”中，真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．0
【解析】 命题p为真命题，命题q为假命题，“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题．
【答案】 B
3．对于函数：①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x－2)．有命题p：f(x＋2)是偶函数；命题q：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，能使“p∧q”为真命题的所有函数的序号是________．
【解析】 若f(x)＝|x＋2|，则f(x＋2)＝|x＋4|不是偶函数，不满足命题p；若f(x)＝(x－2)2，则f(x＋2)＝x2为偶函数，此时f(x)在(－∞，2)上递减，在(2，＋∞)上递增；
若f(x)＝cos(x－2)，则f(x＋2)＝cos
x为偶函数，但此时f(x)不满足命题q，故填②.
【答案】 ②
4．已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．
【解】 由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0.
显然a≠0，∴x＝－或x＝.若命题p为真，
∵x∈[－1,1]，故≤1或≤1，∴|a|≥1.
若命题q为真，即只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点．
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∵命题“p∨q”为假命题，∴p，q同时为假命题．
∴a的取值范围是{a|－13.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
1．理解直线的方向向量，了解直线的向量方程．
2．会用向量的方法证明线线、线面、面面平行．(重点)
3．会用向量证明两条直线垂直，会利用向量求两条直线所成的角．
(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 用向量表示直线或点在直线上的位置
阅读教材P95～P96“例1”，完成下列问题．
1.给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量＝ta ①，这时点P的位置被t的值完全确定．当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是通过点A且平行于向量a的一条直线l.反之，在直线l上任取一点P，一定存在一个实数t，使＝ta.向量方程①通常称作直线l以t为参数的参数方程．向量a称为该直线的方向向量．
图3 2 1
2．对空间任一个确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式＝＋ta. ②
如果在l上取＝a，则②式可化为
＝(1－t)＋t. ③
①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与平面的直线向量参数方程相同．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线l的方向向量的基线与l一定重合．( )
(2)直线l的方向向量a一定是单位向量．( )
(3)已知A，B，P三点共线，O为空间中任一点，若＝x＋y，则x＋y＝1.( )
(4)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的向量参数方程可以为＝t.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√
教材整理2 用向量证明直线、平面间的平行关系
阅读教材P97～P98内容，完成下列问题．
1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得
l1∥l2或l1与l2重合 v1∥v2.
2．已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得
l∥α或l在α内 存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
3．已知两个不共线的向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得
α∥β或α与β重合 v1∥β且v2∥β.
1．直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的是( )
A．a＝
B．a＝k
C．a＝p＋λ
D．以上均不能
【答案】 D
2．若a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4,2－2m,2－2m)分别为直线l1，l2的方向向量，且l1∥l2，则实数m＝________.
【解析】 ∵l1∥l2，∴a∥b，∴＝，解得m＝3.
当m＝1时，也适合题意，故m＝1或3.
【答案】 1或3
教材整理3 利用向量证明两直线垂直及求夹角
阅读教材P99～P101内容，完成下列问题．
1．设直线l1和l2所成的角为θ，方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2 v1⊥v2，cos
θ·|cos
〈v1，v2〉|.
2．求两直线所成的角应注意的问题
在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取其补角作为两直线的夹角．
1．设l1的方向向量a＝(1,3，－2)，l2的方向向量b＝(－4，3，m)，若l1⊥l2，则m等于________．
【解析】 ∵l1⊥l2，∴1×(－4)＋3×3＋(－2)·m＝0，
∴m＝.
【答案】
2．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于________．
【解析】 由异面直线所成角的定义可知，l1与l2所成的角为180°－150°＝30°.
【答案】 30°
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
确定直线上点的位置
已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3,4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)．
(1)若＝(－)，求P点的坐标；
(2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标．
【精彩点拨】 (1)由条件先求出，的坐标，再利用向量的运算求P点的坐标．
(2)先把条件AP∶PB＝1∶2转化为向量关系，再运算．
【自主解答】 (1)＝(－1,1,5)，＝(－3，－1,5)．
＝(－)＝(2,2,0)＝(1,1,0)．
∴P点的坐标为(1,1,0)．
(2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，
知＝.
设点P的坐标为(x，y，z)，
则＝(x－3，y－4，z)，＝(2－x,5－y,5－z)，
故(x－3，y－4，z)＝(2－x,5－y,5－z)，
即得
因此P点的坐标为.
此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点的坐标的方程或方程组求解即可．
[再练一题]
1．如图3 2 2，已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：
图3 2 2
(1)AP∶PB＝1∶2；
(2)AQ∶QB＝－2.
求点P和点Q的坐标．
【解】 (1)由已知，得＝2，
即－＝2(－)，
＝＋.
设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得
(x，y，z)＝(2,4,0)＋(1,3,3)，
即x＝＋＝，y＝＋＝，
z＝0＋1＝1.
因此，P点的坐标是.
(2)因为AQ∶QB＝－2，
所以＝－2，
－＝－2(－)，
＝－＋2，
设点Q的坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，
得(x，y，z)＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)，即x＝0，y＝2，z＝6.
因此，Q点的坐标是(0,2,6)．
利用空间向量证明垂直问题
在棱长为a的正方体OABC O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.
【导学号：15460071】
【精彩点拨】 分析题意→建立空间直角坐标系→
表示出A1，F，C1，E的坐标→表示出向量与→·＝0→A1F⊥C1E
【自主解答】 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设AE＝BF＝x，
则E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．
∴＝(－x，a，－a)，
＝(a，x－a，－a)．
∵·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)
＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，
∴⊥，即A1F⊥C1E.
利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标，进而求直线的方向向量．
[再练一题]
2．正方体ABCD A1B1C1D1中，E为AC的中点，证明：
图3 2 3
(1)BD1⊥AC；
(2)BD1⊥EB1.
【证明】 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，B1(1,1,1)．
(1)＝(－1，－1,1)，
＝(－1,1,0)，
∴·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，
∴⊥，∴BD1⊥AC.
(2)＝(－1，－1,1)，
＝，
∴·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0，
∴⊥，∴BD1⊥EB1.
求异面直线所成的角
如图3 2 4，在三棱锥V ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．
图3 2 4
【精彩点拨】 确定A，C，V，D的坐标→求向量与→
计算cos〈，〉的大小，并转化为AC与VD夹角的余弦值
【自主解答】 由于AC＝BC＝2，D是AB的中点，
所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．
当θ＝时，在Rt△VCD中，CD＝，∴V(0,0,
)，
∴＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)，
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为.
1．几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可．
2．由于两异面直线夹角θ的范围是，而两向量夹角α的范围是[0，π]，故应有cos
θ＝|cos
α|，求解时要特别注意．
[再练一题]
3．在长方体ABCD A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值．
【解】 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，B1(4,4,3)，C(0,4,0)，
得＝(0,4，－3)，＝(－4,0，－3)．
设与的夹角为θ，则cos
θ＝＝，
故与的夹角的余弦值为，
即异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为.
[探究共研型]
利用空间向量证明线面、面面平行
探究1 利用待定系数法求平面法向量的解题步骤是什么？
【提示】
探究2 在长方体ABCD A1B1C1D1中，DA＝2，DC＝3，DD1＝4，M，N，E，F分别为棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN∥平面EFBD.
【提示】
法一 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,3,0)，M(1,0,4)，N，E，F(1,3,4)．
∴＝，
＝，
＝(－1,0,4)，
＝(－1,0,4)．
∴＝，＝.
∴MN∥EF，AM∥BF.
∴MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD.
又∵MN 平面AMN，AM 平面AMN，
且MN∩AM＝M，
∴平面AMN∥平面EFBD.
法二 由法一可知，A(2,0,0)，M(1,0,4)，N，D(0,0,0)，E，F(1,3,4)，则＝(－1,0,4)，＝，＝，＝(1,3,4)．
设平面AMN，平面EFBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则
即
令x1＝1，得z1＝，y1＝－.
又即
令y2＝－1，得z2＝，x2＝.
∴n1＝，n2＝，
∴n1＝n2，即n1∥n2，
∴平面AMN∥平面EFBD.
如图3 2 5，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面OC1D.
图3 2 5
【精彩点拨】 证明线面平行，可用平面内的一组基底表示直线，然后证明直线不在平面内．
【自主解答】 设＝a，＝b，＝c，
则＝a＋c，＝b＋c，＝＋＝c＋(a＋b)．
设存在实数x，y，使得＝x＋y成立，
则a＋c＝x(b＋c)＋y
＝a＋b＋(x＋y)c.
∵a，b，c不共线，
∴解得
∴＝－＋2，
即向量，，共面．
∵向量不在，所确定的平面OC1D内，
∴B1C∥平面OC1D.
1．利用空间向量证明线面平行一般有三种方法
方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．
方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直．
2．利用空间向量证明面面平行，求出两平面的法向量，若两法向量是共线向量，则可判定两平面平行．
[再练一题]
4.在如图3 2 6所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.
图3 2 6
【证明】 ∵EF⊥平面AEB，AE 平面AEB，BE 平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE.
又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)，∴＝(0,2,2)，＝(2,2,0)，＝(2,0，－2)．
设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1,1，－1)，
∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n.
∵AB 平面DEG，
∴AB∥平面DEG.
[构建·体系]
1．给定下列命题：①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2 α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，且向量a α，则a·n＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
其中正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 ①③④正确，②中由α∥β，得n1∥n2.
【答案】 C
2.如图3 2 7，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
图3 2 7
A.
B．
C.
D．
【解析】 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，设AB＝1.
则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，＝(0,1，－2)，＝(－1,0,2)，
cos〈，〉＝
＝＝－，
∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.
【答案】 D
3．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos
x＋1,2cos
2x＋2,0)和点Q(cos
x，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________.
【导学号：15460072】
【解析】 由OP⊥OQ，所以·＝0.
即(2cos
x＋1)·cos
x＋(2cos
2x＋2)·(－1)＋0×3＝0.
∴cos
x＝0或cos
x＝.
∵x∈[0，π]，
∴x＝或x＝.
【答案】 或
4．直线l1的方向向量为v1＝(1,0，－1)，直线l2的方向向量为v2＝(－2,0，－2)，则直线l1与l2的位置关系是________．
【解析】 ∵v1·v2＝(1,0，－1)·(－2,0，－2)＝0，
∴v1⊥v2，∴l1⊥l2.
【答案】 垂直
5．在正方体ABCD A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1.
图3 2 8
【证明】 如图，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，
D(0,1,0)，B1(1,0,1)，
C(1,1,0)，D1(0,1,1)，
＝(1,0，－1)，
＝(1,0，－1)，
＝(－1,1,0)，
＝(－1,1,0)，
∴∥，∥，
∴A1B∥D1C，B1D1∥BD.
又∵D1C 平面CB1D1，A1B 平面CB1D1，
∴A1B∥平面CB1D1，
同理BD∥平面CB1D1.
又∵A1B∩BD＝B，
∴平面A1BD∥平面CB1D1.
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ＝
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 ∵l1∥l2，∴v1∥v2，则＝，∴λ＝2.
【答案】 B
2．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是( )
A．相交
B．平行
C．在平面内
D．平行或在平面内
【解析】 ∵＝λ＋μ，∴，，共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．
【答案】 D
3．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为( )
A.
B．－
C.
D．－
【解析】 ＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴直线AB，CD所成角的余弦值为.
【答案】 A
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC
B．BD
C．A1D
D．A1A
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1.
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，
∴＝，
＝(－1,1,0)，＝(－1，－1,0)，
＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)．
∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，∴CE⊥BD.
【答案】 B
5．如图3 2 9，空间正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是( )
图3 2 9
A.
B．
C.
D．
【解析】 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系，则＝，＝，
cos〈，〉＝＝0.
∴〈，〉＝.
【答案】 D
二、填空题
6．已知O为坐标原点，四面体OABC中，A(0,3,5)，B(1,2,0)，C(0,5,0)，直线AD∥BC，并且AD交坐标平面xOz于点D，则点D的坐标为________．
【解析】 ∵D∈平面xOz，∴设D(x,0，z)，
则＝(x，－3，z－5)，＝(－1,3,0)．
∵∥，∴＝λ，
∴(x，－3，z－5)＝λ(－1,3,0)，
∴即
∴点D的坐标为(1,0,5)．
【答案】 (1,0,5)
7．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________.
【导学号：15460073】
【解析】 依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，
∴＝，＝，
∴cos〈，〉＝＝，
故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.
【答案】
8．设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)，A(1，－3,2)，B(8，－1,4)确定的平面上，则a＝________.
【解析】 ＝(－1，－3,2)，＝(6，－1,4)，＝(2a－1，a＋1,2)，
∵A，B，C，P四点共面．
设＝x＋y，则(2a－1，a＋1,2)＝(－x＋6y，－3x－y,2x＋4y)，
∴解得a＝16.
【答案】 16
三、解答题
9．已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点(如图3 2 10所示)，并且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m.求证：
图3 2 10
(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；
(2)∥；
(3)＝k.
【证明】 (1)由＝＋m，＝＋m，知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面．
(2)∵＝＋m＝－＋m(－)
＝k(－)＋km(－)＝k＋km
＝k(＋m)＝k，
∴∥.
(3)由(2)知＝－＝k－k
＝k(－)＝k.
∴＝k.
10．如图3 2 11所示，直三棱柱ABC A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点．
图3 2 11
(1)求BN的长；
(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．
【解】 如图所示，以C为原点建立空间直角坐标系．
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．
∴||＝＝，
∴BN的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴·＝3.
又∵||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝
＝.
∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为.
[能力提升]
1．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( )
A．－3或1
B．3或－1
C．－3
D．1
【解析】 依题意，得
解得或∴x＋y＝1或－3.
【答案】 A
2．如图3 2 12，在正三棱柱ABC A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为( )
图3 2 12
A．60°
B．90°
C．105°
D．75°
【解析】 取AC的中点D，建立如图所示的坐标系，设AB＝a，则B，C1，A，B1，
∴cos〈，〉＝
＝.
＝0.
∴AB1与C1B所成角为90°.
【答案】 B
3．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x＝________.
【导学号：15460074】
【解析】 ＝(－2,2，－2)，＝(－1,6，－8)，
＝(x－4，－2,0)，由题意知A，B，C，P四点共面，
∴＝λ＋μ＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．
∴∴
而x－4＝－2λ－μ，∴x＝11.
【答案】 11
4.如图3 2 13，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.
图3 2 13
(1)求证：AC⊥BC1；
(2)在AB上是否存在点D，使得AC1⊥CD
【解】 在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)．
(1)证明：∵＝(－3,0,0)，＝(0，－4,4)，
∴·＝0.∴⊥.
∴AC⊥BC1.
(2)假设在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，
设＝λ＝(－3λ，4λ，0)，其中λ∈[0,1]，
则D(3－3λ，4λ，0)，
于是＝(3－3λ，4λ，0)，
∵＝(－3,0,4)，且AC1⊥CD，
∴－9＋9λ＝0，得λ＝1.
∴在AB上存在点D，
使得AC1⊥CD，
且这时点D与点B重合.3.1.2 空间向量的基本定理
1．理解共线向量定理．(重点)
2．理解共面向量定理及推论．(重点)
3．理解空间向量分解定理，并能用定理解决一些几何问题．(重点)
4．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 共线向量与共面向量定理
阅读教材P82～P83“空间向量分解定理”上面，完成下列问题．
1．共线向量定理
两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb.
2．共面向量定理
(1)向量与平面平行
已知向量a，作＝a，如果a的基线OA平行于平面α或在平面内，则说明向量a平行于平面α.
(2)共面向量
平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
(3)共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.
1．空间的任意三个向量a，b,3a－2b，它们一定是( )
A．共线向量
B．共面向量
C．不共面向量
D．既不共线也不共面向量
【答案】 B
2．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有6＝＋2＋3，则( )
A．四点O，A，B，C必共面
B．四点P，A，B，C必共面
C．四点O，P，B，C必共面
D．五点O，P，A，B，C必共面
【答案】 B
教材整理2 空间向量分解定理
阅读教材P83“空间向量分解定理”～P84，完成下列问题．
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.其中，表达式xa＋yb＋zc，叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合，a，b，c叫做空间的一个基底，记作{a，b，c}，其中a，b，c都叫做基向量．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b,2c}也可构成空间一个基底．( )
(2)若向量的坐标为(x，y，z)，则点P的坐标也为(x，y，z)．( )
(3)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
共线向量定理
如图3 1 13所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．
图3 1 13
【精彩点拨】 分析题意→＝＋→根据M，N的位置表示出
→根据与的关系作出判断
【自主解答】 ∵M，N分别是AC，BF的中点，
四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋
＝＋＋
＝(－)＋＋(＋)
＝＋＋
＝(＋)
＝.
∴∥，即与共线．
判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立，同时要充分利用空间向量运算法则．结合具体的图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即a与b共线．
[再练一题]
1．已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．
图3 1 14
【证明】 ∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝，＝，
＝－＝－＝(－)
＝＝(－)＝
＝(－)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又点F不在上，∴四边形EFGH是梯形．
基底的判断
若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
【精彩点拨】判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．
【自主解答】 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，
则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．
∴此方程组无解，
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
[再练一题]
2．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝
－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？
【解】 假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y使＝x＋y成立．
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
∴e1，e2，e3不共面，
∴此方程组无解，
即不存在实数x，y使＝x＋y成立．
∴，，不共面．
故{，，}能作为空间的一个基底．
[探究共研型]
向量共面
探究 P，A，B，C四点共面的四种充要条件．
【提示】 (1)存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y.
(2)对于空间任意一定点O，有＝＋x＋y.
(3)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x，y，z)使得＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)．
(4)∥.
已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
【精彩点拨】 (1)是否存在实数x，y，使＝x＋y？(2)如何证明四点共面？
【自主解答】
如图：
(1)由已知，得＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)．∴＝＋＝－－.
∴向量，，共面．
(2)由(1)知，向量，，共面，表明三个向量的有向线段又过同一点M，
∴M，A，B，C四点共面．∴点M在平面ABC内．
1．证明空间三个向量共面，常用如下方法：
(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a，b，c共面；
(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
2．对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：
(1)＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
(4)∥(或∥，或∥)．
[再练一题]
3．如图3 1 15，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．试用向量方法证明E，F，G，H四点共面．
图3 1 15
【解】 分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，
连接MN，NQ，QR，RM，
因为点E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R是所在边的中点，且
＝，＝，＝，＝.
由题意知四边形MNQR是平行四边形，
所以＝＋＝(－)＋(－)
＝(－)＋(－)＝(＋)．
又＝－＝－＝.
所以＝＋，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．
[构建·体系]
1．给出下列几个命题：
①向量a，b，c共面，则它们的基线共面；
②零向量的方向是任意的；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
其中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 向量a，b，c共面，它们的基线不一定共面．故①错误；由共线向量定理知③错误．
【答案】 A
2．若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量，，成为空间一组基底的关系是( )
A.＝＋＋
B.＝＋
C.＝＋＋
D.＝2－
【解析】 由共面向量定理可知A，B，D中均满足，，共面，故，，不能构成空间向量的一组基底．
【答案】 C
3．如图3 1 16所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为AC的三等分点(靠近A点)，N是A1D的三等分点(靠近D点)．设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示为________．
图3 1 16
【解析】 ＝＋＋
＝－＋＋
＝－(＋)＋＋(－)
＝－(a＋b)＋c＋(b－c)
＝－a＋b＋c.
【答案】 －a＋b＋c
4．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取＝a，＝b，＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则＝________.(用a，b，c表示)
【导学号：15460062】
【解析】 ＝＋＝－＋(＋)
＝－＋＋＝－a＋b＋c.
【答案】 －a＋b＋c
5．如图3 1 17，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.
图3 1 17
求证：E，F，B三点共线．
【证明】 设＝a，＝b，＝c，
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，
＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c，
所以＝－＝a－b－c＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，所以＝，所以E，F，B三点共线．
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋y
b＋c，若m与n共线，则x＋y等于( )
A．2
B．－2
C．1
D．0
【解析】 因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．
所以
所以所以x＋y＝0.
【答案】 D
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
【解析】 ＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，＝－＝－a－2b，∴＝－2，
∴与共线，
又它们经过同一点B，
∴A，B，D三点共线．
【答案】 A
3．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面
B．共面
C．不一定共面
D．无法判断
【解析】 ∵＋＋＝1，
∴点P，A，B，C四点共面．
【答案】 B
4．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此pq，q p.
【答案】 B
5．正方体ABCD A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{1，2，3}为基底，＝x1＋y＋z3，则x，y，z的值是( )
A．x＝y＝z＝1
B．x＝y＝z＝
C．x＝y＝z＝
D．x＝y＝z＝2
【解析】 ＝＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋＝＋＋，
由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1.
【答案】 A
二、填空题
6．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋ve3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝________.
【解析】 ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
∴e1，e2，e3为不共面向量．
又∵λe1＋μe2＋ve3＝0，
∴λ＝μ＝v＝0，∴λ2＋μ2＋v2＝0.
【答案】 0
7．已知O为空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z的值为________.
【导学号：15460063】
【解析】 由题意知A，B，C，D共面的充要条件是对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得＝x1＋y1＋z1，且x1＋y1＋z1＝1，因此2x＋3y＋4z＝－1.
【答案】 －1
8．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.
【解析】 由已知可得：＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵A，B，D三点共线，
∴与共线，即存在λ∈R使得＝λ.
∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，
∵e1，e2不共线，
∴解得k＝－8.
【答案】 －8
三、解答题
9．如图3 1 18所示，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
图3 1 18
(1)；(2)；(3)；(4).
【解】 由题意知||＝，
||＝，＝＋，＝＋＋，
∵PA⊥平面ABCD，
∴·＝·＝·＝0，
∵AB⊥AD，∴·＝0，
∵AB⊥BC，∴·＝0，
∴·＝(＋)·(＋＋)
＝2＝||2＝1，
又∵||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴〈，〉＝60°，∴PB与CD所成的角为60°.
10．正方体OABC O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c表示向量；
(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.
【解】 (1)·＝||·||·cos∠AOB
＝1×1×cos
60°＝.
(2)(＋)·(＋)
＝(＋)·(－＋－)
＝(＋)·(＋－2)
＝12＋1×1×1×cos
60°－2×1×1×cos
60°＋1×1×cos
60°＋12－2×1×1×cos
60°＝1.
(3)|＋＋|＝
＝＝.
[能力提升]
1．若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.
【答案】 C
2．已知正方体ABCD A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必( )
A．在平面BAD1内
B．在平面BA1D内
C．在平面BA1D1内
D．在平面AB1C1内
【解析】 由于＝＋7＋6－4＝＋＋6－4＝＋＋6－4＝＋6(－)－4(－)＝11－6－4，于是M，B，A1，D1四点共面，故选C.
【答案】 C
3．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________.
【导学号：15460064】
①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．
【解析】 当λ＝0时，a＝μe2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μe2，知a与e1，e2共面．
【答案】 ①②③
4．如图3 1 19所示，M，N分别是空间四边形ABCD的棱AB，CD的中点．试判断向量与向量，是否共面．
图3 1 19
【解】 由题图可得＝＋＋，①
∵＝＋＋，②
又＝－，＝－，
所以①＋②得
2＝＋，
即＝＋，故向量与向量，共面.章末分层突破
[自我校对]
①对称性
②离心率
③顶点
④渐近线
⑤离心率
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
圆锥曲线定义及应用
圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．
研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题．
(1)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．以上都不对
(2)(2016·湖南岳阳质检)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
【精彩点拨】 (1)利用动点满足的几何条件符合抛物线定义．(2)利用椭圆定义来解．
【规范解答】 (1)把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝.
∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．
∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图所示，则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4.
又离心率e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝8，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
【答案】 (1)C (2)＋＝1
[再练一题]
1．点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2,3)，求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标．
【解】 抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，过点P作PD垂直于准线x＝－2，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝2－(－2)＝4，
所以|PM|＋|PF|的最小值是4.
此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点P的坐标是.
圆锥曲线的方程与性质
椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等．
如图2 1所示，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
图2 1
A.
B．
C．
D．
【精彩点拨】 由椭圆可求出|AF1|＋|AF2|，由矩形求出|AF1|2＋|AF2|2，再求出|AF2|－|AF1|即可求出双曲线方程中的a，进而求得双曲线的离心率．
【规范解答】 由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，
|F1F2|＝2.
因为四边形AF1BF2为矩形，
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，
所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2，
因此对于双曲线有a＝，c＝，
所以C2的离心率e＝＝.
【答案】 D
[再练一题]
2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是c2，则这一椭圆的离心率是( )
A.
B．
C．
D．
【解析】 ab＝c2，即a2(a2－c2)＝12c4，所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，故e＝＝.
【答案】 A
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系主要有：
(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合；
(2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；
(3)有关垂直问题，应注意运用斜率关系及根与系数的关系，尽量设而不求，简化运算．
已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．
图2 2
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
【精彩点拨】 (1)利用定义解题．(2)利用勾股定理和弦长公式来解．
【规范解答】 (1)由题设知
解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心到直线l的距离d＝，
由d<1得|m|<
.(
)
∴|CD|＝2＝2＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
∴|AB|＝＝.
由＝，得＝1，
解得m＝±，满足(
)．
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.
[再练一题]
3．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B.
(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；
(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取值范围.
【导学号：15460056】
【解】 (1)由椭圆的离心率为，得a＝c，
由A(2,0)，得a＝2，∴c＝，b＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)由e＝，设椭圆方程为＋＝1，
联立得6y2－8y＋4－a2＝0，
若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解．
设f(y)＝6y2－8y＋4－a2，
∴即
∴≤a2≤4，
故a的取值范围是≤a≤2.
曲线与方程
求曲线方程的常用方法有：
(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．
(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式．
(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．
已知椭圆C经过点A，两个焦点为(－1，0)，(1,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
【精彩点拨】 设AF，AE的直线方程得交点E，F，再求kEF.
【规范解答】 (1)由题意，c＝1，设椭圆的方程为＋＝1.
因为A在椭圆上，所以＋＝1，
解得b2＝3或b2＝－(舍去)．
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设直线AE的方程为y＝k(x－1)＋，
代入＋＝1，
得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋42－12＝0，
设E(xE，yE)，F(xF，yF)，
所以xE＝，yE＝kxE＋－k.
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代k，可得
xF＝，yF＝－kxF＋＋k.
所以直线EF的斜率
kEF＝＝＝.
即直线EF的斜率为定值，其值为.
[再练一题]
4．已知椭圆G：＋y2＝1，过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
【解】 (1)由已知得a＝2，b＝1，所以c＝＝.
所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)，
离心率为e＝＝.
(2)由题意知|m|≥1.
当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为，.
此时|AB|＝.
当m＝－1时，同理可得|AB|＝.
当|m|>1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．
由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝.
又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，
即m2k2＝k2＋1.
所以|AB|＝
＝
＝
＝.
由于当m＝±1时，|AB|＝，
所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
因为|AB|＝＝≤2，
当且仅当m＝±时，|AB|＝2，
所以|AB|的最大值为2.
1．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3)
B．(－1，)
C．(0,3)
D．(0，)
【解析】 若双曲线的焦点在x轴上，则
又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴
∴－1若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为
－＝1，即
即n>3m2且n<－m2，此时n不存在．故选A.
【答案】 A
2．(2015·四川高考)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )
A.
B．2
C．6
D．4
【解析】 由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x＝c＝2代入得y＝±2，即A，B两点的坐标分别为(2,2)，(2，－2)，所以|AB|＝4.
【答案】 D
3．(2015·福建高考)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11
B．9
C．5
D．3
【解析】 由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.
【答案】 B
4．(2015·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1
B．－＝1
C.－＝1
D．－＝1
【解析】 由双曲线的渐近线y＝x过点(2，)，可得＝×2.①
由双曲线的焦点(－，0)在抛物线y2＝4x的准线x＝－上，可得＝.②
由①②解得a＝2，b＝，所以双曲线的方程为－＝1.
【答案】 D
5．(2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．
【解】 设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.
(1)当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2,0)．
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.
因此直线AM的方程为y＝x＋2.
将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0，
解得y＝0或y＝，所以y1＝.
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.
(2)由题意t＞3，k＞0，A(－，0)．
将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得
(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.
由x1·(－)＝得x1＝，
故|AM|＝|x1＋|＝.
由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋)，
故同理可得|AN|＝.
由2|AM|＝|AN|得＝，
即(k3－2)t＝3k(2k－1)．
当k＝时上式不成立，因此t＝.
t＞3等价于＝＜0，
即＜0.
由此得或解得＜k＜2.
因此k的取值范围是(，2)．
章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为( )
A.
B．2
C．2
D．4
【解析】 方程化为标准方程为－＝1，
∴a2＝3，b2＝9.
∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，∴2c＝4.
【答案】 D
2．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0,1)
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，焦点为
【解析】 抛物线可化为x2＝y，故开口向上，焦点为.
【答案】 B
3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
【导学号：15460057】
A.
B．
C．1
D．
【解析】 抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，到双曲线x2－＝1的渐近线x－y＝0的距离为＝，故选B.
【答案】 B
4．已知抛物线C1：y＝2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线y＝－x对称，则抛物线C2的准线方程是( )
A．x＝－
B．x＝
C．x＝
D．x＝－
【解析】 抛物线C1：y＝2x2关于直线y＝－x对称的C2的表达式为－x＝2(－y)2，即y2＝－x，其准线方程为x＝.
【答案】 C
5．已知点F，A分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足·＝0，则双曲线的离心率为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 ∵·＝0，∴FB⊥AB，∴b2＝ac，又b2＝c2－a2，∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－1－e＝0，∴e＝.
【答案】 D
6．(2013·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
【解析】 由e＝，得＝，
∴c＝a，b＝＝a.
而－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，
∴所求渐近线方程为y＝±x.
【答案】 C
7.如图1，已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB(O为原点)，则该椭圆的离心率是( )
图1
A.
B．
C．
D．
【解析】 因为PF⊥x轴，所以P.
又OP∥AB，所以＝，即b＝c.
于是b2＝c2，
即a2＝2c2，所以e＝＝.
【答案】 A
8．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )
A．[3－2，＋∞)
B．[3＋2，＋∞)
C.
D．
【解析】 因为双曲线左焦点的坐标为F(－2,0)，
所以c＝2.
所以c2＝a2＋b2＝a2＋1，
即4＝a2＋1，解得a＝.
设P(x，y)，则·＝x(x＋2)＋y2，
因为点P在双曲线－y2＝1上，
所以·＝x2＋2x－1＝2－－1.
又因为点P在双曲线的右支上，所以x≥.
所以当x＝时，·最小，且为3＋2，
即·的取值范围是[3＋2，＋∞)．
【答案】 B
9．已知定点A，B满足AB＝4，动点P满足PA－PB＝3，则PA的最小值是( )
A.
B．
C．
D．5
【解析】 已知定点A，B满足AB＝4，动点P满足PA－PB＝3，则点P的轨迹是以A，B为左、右焦点的双曲线的右支，且a＝，c＝2.所以PA的最小值是点A到右顶点的距离，即为a＋c＝2＋＝，选C.
【答案】 C
10．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则n＝( )
A.
B．
C．
D．
【解析】 依题意知，a＝，b＝，
∴c2＝a2－b2＝2－n，
又e＝，
∴＝＝，∴n＝.
【答案】 B
11．已知直线y＝k(x＋2)与双曲线－＝1，有如下信息：联立方程组消去y后得到方程Ax2＋Bx＋C＝0，分类讨论：(1)当A＝0时，该方程恒有一解；(2)当A≠0时，Δ＝B2－4AC≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1,
]
B．[，＋∞)
C．(1,2]
D．[2，＋∞)
【解析】 依题意可知直线恒过定点(－2,0)，根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点，故需要定点(－2,0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即－2≤－，即0.
【答案】 B
12．已知点P为抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，直线l过点P且与x轴平行，若同时与直线l、直线PF、x轴相切且位于直线PF左侧的圆与x轴切于点Q，则点Q( )
A．位于原点的左侧
B．与原点重合
C．位于原点的右侧
D．以上均有可能
【解析】 设抛物线的准线与x轴、直线l分别交于点D，C，圆与直线l、直线PF分别切于点A，B.如图，由抛物线的定义知PC＝PF，由切线性质知PA＝PB，于是AC＝BF.又AC＝DO，BF＝FQ，所以DO＝FQ，而DO＝FO，所以O，Q重合，故选B.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．(2013·江苏高考)双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．
【解析】 由双曲线方程可知a＝4，b＝3，
所以两条渐近线方程为y＝±x.
【答案】 y＝±x
14．(2016·东城高二检测)已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若F2A＋F2B＝12，则AB＝________.
【导学号：15460058】
【解析】 由题意，知(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝AB＋AF2＋BF2＝2a＋2a，又由a＝5，可得AB＋(BF2＋AF2)＝20，即AB＝8.
【答案】 8
15.如图2所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，AK＝AF，则△AFK的面积为________．
图2
【解析】 由题意知抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x＝－2，∴K(－2,0)，设A(x0，y0)(y0＞0)，∵过点A作AB⊥l于B，
∴B(－2，y0)，∴AF＝AB＝x0－(－2)＝x0＋2，
BK2＝AK2－AB2，∴x0＝2，
∴y0＝4，即A(2,4)，∴△AFK的面积为KF·y0＝×4×4＝8.
【答案】 8
16．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若FQ＝2，则直线l的斜率等于________．
【解析】 设直线l的方程为
y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由联立得k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0，
∴x1＋x2＝－，
∴＝－＝－1＋，
＝，
即Q.
又FQ＝2，F(1,0)，
∴2＋2＝4，解得k＝±1.
【答案】 ±1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为.求椭圆C的方程．
【解】 设椭圆的半焦距为c，依题意，
得a＝且e＝＝，
∴a＝，c＝，
从而b2＝a2－c2＝1，
因此所求椭圆的方程为＋y2＝1.
18．(本小题满分12分)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．
(1)求PF1·PF2的最大值；
(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值．
【解】 (1)PF1·PF2≤2＝100(当且仅当PF1＝PF2时取等号)，
∴PF1·PF2的最大值为100.
(2)S△F1PF2＝PF1·PF2sin
60°＝，
∴PF1·PF2＝，①
由题意知：
∴3PF1·PF2＝400－4c2.②
由①②得c＝6，∴b＝8.
19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上，半径为4的圆C位于y轴右侧，且与y轴相切．
(1)求圆C的方程；
(2)若椭圆＋＝1的离心率为，且左、右焦点为F1，F2.试探究在圆C上是否存在点P，使得△PF1F2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．
【解】 (1)依题意，设圆的方程为(x－a)2＋y2＝16(a>0)．
∵圆与y轴相切，∴a＝4，
∴圆的方程为(x－4)2＋y2＝16.
(2)∵椭圆＋＝1的离心率为，
∴e＝＝＝，解得b2＝9.
∴c＝＝4，
∴F1(－4,0)，F2(4,0)，
∴F2(4,0)恰为圆心C，
(ⅰ)过F2作x轴的垂线，交圆于点P1，P2，则∠P1F2F1＝∠P2F2F1＝90°，符合题意；
(ⅱ)过F1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P3，P4，
连接CP3，CP4，则∠F1P3F2＝∠F1P4F2＝90°，符合题意．
综上，圆C上存在4个点P，使得△PF1F2为直角三角形．
20．(本小题满分12分)(2016·江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
【解】 (1)∵e＝，
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵过点P(4，－)，
∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)法一 由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，
∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.
∴·＝0.
法二 ∵＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵M点在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底边|F1F2|＝4，
△F1MF2的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝6.
21．(本小题满分12分)(2013·北京高考)已知A，B，C是椭圆W：＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．
(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．
【解】 (1)椭圆W：＋y2＝1的右顶点B的坐标为(2,0)．因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得＋m2＝1，即m＝±.
所以菱形OABC的面积是
|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝.
(2)四边形OABC不可能为菱形．理由如下：
假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．
由消去y并整理得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
则＝－，
＝k·＋m＝.
所以AC的中点为M.
因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为－.
因为k·≠－1，
所以AC与OB不垂直．
所以OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．
22．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点，且kOA·kOB＝－.求证：△AOB的面积为定值．
【解】 (1)由题意得，b＝＝，＝，
又b2＋c2＝a2，
联立解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标满足
消去y化简得，(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
由Δ>0得4k2－m2＋3>0，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝k2＋km＋m2＝.
∵kOA·kOB＝－，＝－，即y1y2＝－x1x2，
∴＝－·，即2m2－4k2＝3，
∵|AB|＝
＝
＝
＝.
又O到直线y＝kx＋m的距离d＝.
∴S△AOB＝d|AB|＝
＝
＝
＝，为定值．2.3.2 双曲线的几何性质
1．掌握双曲线的简单几何性质．(重点)
2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)
[基础·初探]
教材整理 双曲线的几何性质
阅读教材P52～P54“例1”内容，完成下列问题.
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
____________
____________
对称性
对称轴：________，对称中心：________
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
轴长
实轴长＝________，虚轴长＝________
离心率
____________
渐近线
y＝±x
____________
【答案】 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 坐标轴 原点 2a 2b e＝且e>1 y＝±x
1．若双曲线－＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________．
【解析】 由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝±x，∴m＝3，求得双曲线方程为－＝1，从而得到焦点坐标为(－，0)，(，0)．
【答案】 (－，0)，(，0)
2．设中心在原点的双曲线与椭圆＋y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是________.
【导学号：15460038】
【解析】 椭圆的焦点为(±1,0)，∴双曲线的焦点为(±1,0)，椭圆的离心率e＝，∴双曲线的离心率e′＝，又c2－a2＝b2，∴1＝2a2，a2＝b2＝，所求双曲线方程为2x2－2y2＝1.
【答案】 2x2－2y2＝1
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
根据双曲线方程研究几何性质
求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
【精彩点拨】 化为标准方程形式→求出a，b，c→得双曲线的几何性质
【自主解答】 把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，
化为标准方程－＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝.
顶点坐标为(－，0)，(，0)．
∴渐近线的方程为y＝±x＝±x.
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
1．把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．
2．由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
3．由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．
[再练一题]
1．将本“例1”双曲线方程改为“16x2－9y2＝－144”，试求实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
【解】 方程变形为－＝1，
∴a＝4，b＝3，c＝5，
∴实半轴长为4，虚半轴长为3，焦点为(0,5)，(0，－5)，渐近线方程为y＝±x，顶点为(0,4)，(0，－4)，离心率e＝.
求双曲线的标准方程
求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
【精彩点拨】 分析双曲线的几何性质→求a，b，c→确定(讨论)焦点位置→求双曲线的标准方程
【自主解答】 (1)由题意知双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
因为＝，所以a＝5，b＝＝12.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一 因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)，则＝.①
因为点A(2，－3)在双曲线上，
所以－＝1.②
联立①②，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)，则＝.③
因为点A(2，－3)在双曲线上，
所以－＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二 由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)．
因为点A(2，－3)在双曲线上，
所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
1．求双曲线标准方程的两个关注点
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程求解．
2．若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为“mx2＋ny2＝1”的形式，为简单起见，常标明条件“mn＜0”．
[再练一题]
2．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则双曲线C的方程是( )
【导学号：15460039】
A.－＝1
B．－＝1
C.－＝1
D．－＝1
【解析】右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x轴上；c＝3.又离心率为＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝32－22＝5，故双曲线C的方程为－＝1，选B.
【答案】 B
[探究共研型]
双曲线的离心率
探究 椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？
【提示】 如右图，作直线±＝1，在双曲线－＝1的各支向外延伸时，与两直线无限接近，把这两条直线叫做双曲线的渐近线；
双曲线的“张口”大小取决于的值，设e＝，则＝.
当e的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大．
双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．
【精彩点拨】 写出直线l的方程→写出点(1,0)到直线l的距离→
写出点(－1,0)到直线l的距离→依题意列出不等式→求出e的范围
【自主解答】 直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.点(1,0)到直线l的距离d1＝，点(－1,0)到直线l的距离d2＝，
s＝d1＋d2＝＝，由s≥c，得≥c，
即5a≥2c2，于是得5≥2e2，
即4e4－25e2＋25≤0，得≤e2≤5.
由于e>1，所以e的取值范围是≤e≤.
双曲线离心率及其范围的求法
1．双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等．
2．双曲线离心率范围的求解，涉及解析几何中“范围”问题的解法．在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ>0；③利用点在曲线内部形成的不等式关系；④利用解析式的结构特点，如a，，|a|等非负性．
[再练一题]
3．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为( )
A.
B．
C．4
D．
【解析】 根据双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a.又(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，所以4a2＝b2－3ab，即(a＋b)(4a－b)＝0，
又a＋b≠0，所以b＝4a，所以
e＝＝＝＝.
【答案】 D
[构建·体系]
1．(2014·全国卷Ⅰ)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
A．2
B．
C.
D．1
【解析】 由题意得e＝＝2，∴＝2a，
∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.
【答案】 D
2．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )
A．y2－3x2＝36
B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36
D．3x2－y2＝36
【解析】 椭圆4x2＋y2＝64，即＋＝1，焦点为(0，±4)，离心率为，则双曲线的焦点在y轴上，c＝4，e＝，从而a＝6，b2＝12，故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36.
【答案】 A
3．已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________.
【导学号：15460040】
【解析】 由题意得
解得a2＝1，b2＝4.
又a＞0，b＞0，故a＝1，b＝2.
【答案】 1 2
4．已知双曲线－＝1(0＜n＜12)的离心率为，则n＝________.
【解析】 ∵0＜n＜12，∴a2＝n，b2＝12－n，
∴c2＝a2＋b2＝12，∴e＝＝＝，
∴n＝4.
【答案】 4
5．求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，－2)，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线的方程．
【解】 渐近线方程为y＝±x，设双曲线方程为x2－3y2＝λ.将(3，－2)代入求得λ＝－3，所以双曲线方程为y2－＝1.
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则它的标准方程是( )
A.－＝1
B．－＝1
C.－＝1
D．－＝1
【解析】 设等轴双曲线方程为－＝1(a＞0)，
∴a2＋a2＝62，∴a2＝18，故双曲线方程为－＝1.
【答案】 B
2．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l( )
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
【解析】 因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.
【答案】 B
3．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于( )
A．2
B．2
C．4
D．4
【解析】 由已知得e＝＝2，所以a＝c，故b＝＝c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，由焦点到渐近线的距离为，得c＝，解得c＝2，故2c＝4，故选C.
【答案】 C
4．若实数k满足0A．实半轴长相等
B．虚半轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
【解析】 若00,16－k>0，故方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝；同理方程－＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝.可知两曲线的焦距相等，故选D.
【答案】 D
5．双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )
A．2
B．
C.
D．
【解析】 双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y＝±x，即＝1，e＝＝.
【答案】 C
二、填空题
6．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________.
【导学号：15460041】
【解析】 ∵c2＝m＋m2＋4，
∴e2＝＝＝5，
∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2.
【答案】 2
7．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
【解析】 由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16.由左焦点F(－5,0)，且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P，Q都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得，|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF的周长为28＋16＝44.
【答案】 44
8．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
【解析】 由得点A的坐标为
，
由得点B的坐标为，
则AB的中点C的坐标为，
∵kAB＝，
∴kCP＝＝－3，
即＝－3，化简得a2＝4b2，
即a2＝4(c2－a2)，∴4c2＝5a2，
∴e2＝，∴e＝.
【答案】
三、解答题
9．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率．
【解】 由椭圆＋＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上，
∵双曲线的一条渐近线为y＝x，
∴设双曲线方程为－＝1.
又c2＝2a2＝48，∴a2＝24.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
由a2＝24，c2＝48，
得e2＝＝2，
又e>0，∴e＝.
10．已知双曲线－＝1的右焦点为(2,0)．
(1)求双曲线的方程；
(2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积．
【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2,0)，且双曲线方程为－＝1，∴c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4，∴b2＝1，
∴双曲线的方程为－y2＝1.
(2)∵a＝，b＝1，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，
令x＝－2，则y＝±，
设直线x＝－2与双曲线的渐近线的交点为A，B，
则|AB|＝，记双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积为S，
则S＝××2＝.
[能力提升]
1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均与曲线C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )
【导学号：15460042】
A.
B．
C.
D．
【解析】 圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为C(3,0)，半径r＝2，双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝＝2，即9b2＝4(a2＋b2)，所以5b2＝4a2，b2＝a2＝c2－a2，即a2＝c2，所以e2＝，e＝，选A.
【答案】 A
2．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．3x±4y＝0
B．3x＋5y＝0
C．5x±4y＝0
D．4x±3y＝0
【解析】 由题意可知|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以△PF1F2为等腰三角形，所以由F2向直线PF1作的垂线也是中线，因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a，所以|PF1|＝2＝4b，又|PF1|－|PF2|＝2a，所以4b－2c＝2a，所以2b－a＝c，两边平方可得4b2－4ab＋a2＝c2＝a2＋b2，所以3b2＝4ab，所以4a＝3b，从而＝，所以该双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，故选D.
【答案】 D
3．过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为________．
【解析】 双曲线的左焦点为F1(－2,0)，
将直线AB的方程y＝(x＋2)代入双曲线方程，
得8x2－4x－13＝0.显然Δ＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝·
＝×
＝3.
【答案】 3
4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2，其中O为原点，求k的取值范围．
【解】 (1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得a＝，c＝2.
又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即k2≠且k2<1.①
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xA＋xB＝，xAxB＝，
由·>2得xAxB＋yAyB>2，
而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)·＋＋2＝，
于是>2，解此不等式得由①②得故k的取值范围是∪.章末分层突破
[自我校对]
①共面向量定理
②坐标表示
③加减运算
④坐标运算
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
空间向量的概念及运算
1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．
2．空间向量的数量积
(1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式cos〈a，b〉＝是两个重要公式．
(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2＝|a|2，a在b上的投影＝|a|·cos
θ等．
给出下列命题：
①若＝，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；
②若a·b＜0，则〈a，b〉为钝角；
③若a是直线l的方向向量，则λa(λ∈R)也是l的方向向量；
④非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面．
其中错误命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【精彩点拨】 紧扣空间向量的相关概念、运算法则加以判断，注意举反例的思想方法．
【规范解答】 ①错误，如在正方体ABCD A1B1C1D1中，＝，但线段AB与A1B1不重合；②错误，a·b＜0，即cos〈a，b〉＜0，得＜〈a，b〉≤π，而钝角的范围是；③错误，当λ＝0时，λa＝0，不是l的方向向量；④错误，如在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，令＝a，＝b，＝c，则它们两两共面，但，，不共面．
【答案】 D
[再练一题]
1．已知正方体ABCD A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则x＝________，y＝________.
图3 1
【解析】 由题知＝＋＝＋＝＋(＋)，
从而有x＝1，y＝.
【答案】 1
空间向量与线面关系
空间图形中的平行、垂直问题是立体几何中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．
在四棱锥P ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．
(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由．
【精彩点拨】 (1)证明向量垂直于平面PAD的一个法向量即可；
(2)假设存在点N，设出其坐标，利用⊥，⊥，列方程求其坐标即可．
【规范解答】 以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,1,1)，
(1)∵＝(0,1,1)，
平面PAD的一个法向量为n＝(1,0,0)，
∴·n＝0，即⊥n，
又BM 平面PAD，∴BM∥平面PAD.
(2)＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)，
假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.
设N(0，y，z)，则＝(－1，y－1，z－1)，
从而MN⊥BD，MN⊥PB，
∴即
∴∴N，∴在平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.
[再练一题]
2.如图3 2所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：
图3 2
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PDC.
【证明】 (1)法一 如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PA＝AD＝a，AB＝b，则有P(0,0，a)，A(0,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，B(b,0,0)，
∵M，N分别为AB，PC的中点，
∴M，N.
∴＝，＝(0,0，a)，＝(0，a,0)，
∴＝＋.
又∵MN 平面PAD，∴MN∥平面PAD.
法二 易知为平面PAD的一个法向量．
＝(b,0,0)，又＝，
∴·＝0，
∴⊥.又MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)由(1)可知，P(0,0，a)，C(b，a,0)，M，D(0，a,0)．
所以＝(b，a，－a)，＝，
＝(0，a，－a)．
设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则得
∴令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b)．
设平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则得
∴
令y2＝1，则n2＝(0,1,1)，
∵n1·n2＝0.
∴n1⊥n2，
即平面PMC⊥平面PDC.
空间向量与空间角
利用空间向量只要求出直线的方向向量和平面的法向量即可求解．
(1)若两条异面直线的方向向量分别为a，b，所成角为θ，则cos
θ＝|cos〈a，b〉|.
(2)直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，直线与平面所成角为θ，则sin
θ＝|cos〈u，n〉|.
(3)二面角的平面角为θ，两个半平面的法向量分别为n1，n2，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，根据情况确定．
如图3 3，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图(2)所示的四棱锥A′ BCDE，其中A′O＝.
(1) (2)
图3 3
(1)证明：A′O⊥平面BCDE；
(2)求二面角A′ CD B的平面角的余弦值．
【精彩点拨】 (1)利用勾股定理可证A′O⊥OD，A′O⊥OE，从而证得A′O⊥平面BCDE；(2)用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角．
【规范解答】 (1)证明：由题意，得OC＝3，AC＝3，AD＝2.
如图，连接OD，OE，在△OCD中，由余弦定理，得
OD＝＝.
由翻折不变性，知A′D＝2，
所以A′O2＋OD2＝A′D2，所以A′O⊥OD.
同理可证A′O⊥OE.
又因为OD∩OE＝O，所以A′O⊥平面BCDE.
(2)如图，过点O作OH⊥CD交CD的延长线于点H，连接A′H.
因为A′O⊥平面BCDE，OH⊥CD，
所以A′H⊥CD.
所以∠A′HO为二面角A′ CD B的平面角．
结合图(1)可知，OH＝，
从而A′H＝＝.
所以cos∠A′HO＝＝.
所以二面角A′ CD B的平面角的余弦值为.
[再练一题]
3．如图3 4，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，点E，F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．试用向量方法解决下列问题：
图3 4
(1)求异面直线AF和BE所成的角；
(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值．
【解】 (1)由题意得A(2,0,0)，F，B(2,2,0)，E(1,1,
)，C(0,2,0)．
∴＝，＝(－1，－1,
)，
∴·＝1－2＋1＝0.
∴直线AF和BE所成的角为90°.
(2)设平面BEC的法向量为n＝(x，y，z)，
又＝(－2,0,0)，＝(－1，－1,
)，
则n·＝－2x＝0，n·＝－x－y＋z＝0，
∴x＝0，取z＝1，则y＝，
∴平面BEC的一个法向量为n＝(0,
，1)．
∴cos〈，n〉＝＝＝.
设直线AF和平面BEC所成的角为θ，则sin
θ＝，即直线AF和平面BEC所成角的正弦值为.
空间向量与立体几何中的数形结合思想
空间向量是既有大小、又有方向的量，本身它就具有数形兼备的特点，因此将几何中的“形”与代数中的“数”有机地结合在一起，用向量法解立体几何问题，下列等价关系是从“数”与“形”两方面建立的，它们在向量方法中有重要的作用．
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则：①l∥m a∥b；②l∥α a⊥u a·u＝0；③α∥β
u∥v；④l⊥m a⊥b a·b＝0；⑤l⊥α a∥u；⑥α⊥β
u⊥v
u·v＝0.
如图3 5，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.
图3 5
(1)求证：AA1⊥平面ABC；
(2)求二面角A1 BC1 B1的余弦值；
(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．
【精彩点拨】 根据面面垂直的性质证明线面垂直，建立空间直角坐标系求二面角的平面角，根据向量的坐标建立方程求线段的比值．
【规范解答】 (1)证明：因为AA1C1C为正方形，
所以AA1⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.
(2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.
如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)．
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．
同理可得，平面B1BC1的法向量为m＝(3,4,0)．
所以cos〈n，m〉＝＝.
由题知二面角A1 BC1 B1为锐角，
所以二面角A1 BC1 B1的余弦值为.
(3)证明：设D(x1，y1，z1)是线段BC1上一点，且＝λ.所以(x1，y1－3，z1)＝λ(4，－3,4)．
解得x1＝4λ，y1＝3－3λ，z1＝4λ.
所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．
由·＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝.
因为∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.此时，＝λ＝.
[再练一题]
4.如图3 6，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD＝EA＝1.
图3 6
(1)求多面体EABCDF的体积；
(2)求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；
(3)记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．
【解】 (1)如图，连接ED，
∵EA⊥底面ABCD且FD∥EA，
∴FD⊥底面ABCD，∴FD⊥AD，
∵DC⊥AD，FD∩CD＝D，
∴AD⊥平面FDC，
∴VE FCD＝AD·S△FDC＝×2××1×2＝，
VE ABCD＝EA·S ABCD＝×2×2×2＝，
∴多面体EABCDF的体积V多面体＝VE FCD＋VE ABCD＝＋＝.
(2)以点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，AE所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．
由已知可得A(0,0,0)，E(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，F(0,2,1)，
∴＝(2,2，－2)，＝(2,0，－2)，E＝(0,2，－1)，设平面ECF的法向量为n＝(x，y，z)，
则得
取y＝1，则z＝2，x＝1，
∴平面ECF的一个法向量为n＝(1,1,2)，
设直线EB与平面ECF所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
(3)如图，取线段CD的中点Q，连接KQ，直线KQ即为所求的直线．
1．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A.＝－＋
B.＝－
C.＝＋
D.＝－
【解析】 ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋.故选A.
【答案】 A
2．(2015·安徽高考)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A．|b|＝1
B．a⊥b
C．a·b＝1
D．(4a＋b)⊥
【解析】 在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos
120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，故选D.
【答案】 D
3．(2015·山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝
( )
A．－a2
B．－a2
C.a2
D．a2
【解析】 由已知条件得·＝·＝a·acos
30°＝a2，故选D.
【答案】 D
4．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
【解析】 ∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，
即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得
【答案】
5．(2016·全国卷Ⅲ)如图3 7，四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
图3 7
(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
【解】 (1)证明：由已知得AM＝AD＝2.
取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
因为AT 平面PAB，MN 平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，
且AE＝＝＝.
以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.
由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，
＝(0,2，－4)，＝，＝.
设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则
即
可取n＝(0,2,1)．
于是|cos〈n，〉|＝＝.
所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.2.4 抛物线
2.4.1 抛物线的标准方程
1．掌握抛物线的定义及其标准方程．(重点、难点)
2．会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 抛物线的定义
阅读教材P59前3自然段，完成下列问题．
平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)的距离相等的点的轨迹叫做________．定点F叫做抛物线的________，定直线l叫做抛物线的________．
【答案】 抛物线 焦点 准线
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．( )
(2)抛物线的方程都是y关于x的二次函数．( )
(3)方程x2＝2py是表示开口向上的抛物线．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)×
教材整理2 抛物线的标准方程
阅读教材P59第4自然段～P60，完成下列问题.
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
________
________
y2＝－2px(p>0)
________
________
x2＝2py(p>0)
________
________
x2＝－2py(p>0)
________
________
【答案】 x＝－ x＝ y＝－ y＝
抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A.
B．
C.
D．0
【解析】 抛物线y＝4x2化为标准方程为x2＝y，如图所示，由抛物线定义可知，点M到焦点的距离等于点M到准线y＝－的距离，
即＝1，
∴yM＝.
【答案】 B
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
求抛物线的标准方程
求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点M(－6,6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上；
(3)焦点到准线的距离是4.
【精彩点拨】 (1)过点M(－6,6)的抛物线有几种情况？
(2)所求抛物线的焦点是什么，有几种情况？
(3)由焦点位置判断有几种情况？
【自主解答】 (1)由于点M(－6,6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p>0)，
将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
∴p＝3.
∴抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，
将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，
∴抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，
∴抛物线的焦点是F(2,0)，
∴＝2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x.
②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
∴＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.
综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.
(3)焦点到准线距离p＝4，焦点可在x，y轴上，故有四种情况，标准方程为y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，x2＝－8y.
1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题
(1)把握开口方向与方程间的对应关系．
(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx或x2＝ny，这样可以减少讨论情况的个数．
(3)注意p与的几何意义．
[再练一题]
1．根据下列条件确定抛物线的标准方程．
(1)关于y轴对称且过点(－1，－3)；
(2)过点(4，－8)；
(3)焦点在x－2y－4＝0上．
【解】 (1)法一 设所求抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，将点(－1，－3)代入方程，得(－1)2＝－2p·(－3)，解得p＝，所以所求抛物线方程为x2＝－y.
法二 由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)．又抛物线过点(－1，－3)，所以1＝m·(－3)，即m＝－，所以所求抛物线方程为x2＝－y.
(2)法一 设所求抛物线方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p′y(p′＞0)，将点(4，－8)代入y2＝2px，得p＝8；将点(4，－8)代入x2＝－2p′y，得p′＝1.所以所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－2y.
法二 当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝nx(n≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以64＝4n，即n＝16，抛物线的方程为y2＝16x；
当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m，即m＝－2，抛物线的方程为x2＝－2y.
综上，抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－2y.
(3)由得
由得
所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．
当焦点为(0，－2)时，由＝2，得p＝4，所以所求抛物线方程为x2＝－8y；当焦点为(4,0)时，由＝4，得p＝8，所以所求抛物线方程为y2＝16x.
综上所述，所求抛物线方程为x2＝－8y或y2＝16x.
抛物线定义的应用
(1)一动圆圆心在抛物线x2＝4y上，该圆过点(0,1)，且与定直线l相切，则直线l的方程为________．
(2)已知抛物线x2＝4y，焦点是F(0,1)，A为抛物线上一动点，以AF为直径的圆与定直线l相切，则直线l的方程为________．
【精彩点拨】 圆与直线相切，寻找圆心与定点和定直线的关系．
【自主解答】 (1)因为动圆过点(0,1)，且与定直线l相切，
所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等．
又因为动圆圆心在抛物线x2＝4y上，且(0,1)为抛物线的焦点，
所以l为抛物线的准线，所以直线l的方程为y＝－1.
(2)因为F(0,1)为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，
则AF的中点坐标为M.
又因为圆的半径为＝，
所以圆心M到x轴的距离恒等于半径，
所以直线l的方程为y＝0.
【答案】 (1)y＝－1 (2)y＝0
根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物线定义的功能是可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
[再练一题]
2．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A.
B．3
C.
D．
【解析】 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得，
∴点P到准线x＝－的距离d＝|PF|，
易知点A(0,2)在抛物线y2＝2x的外部，
连接AF，交y2＝2x于点P′，
欲使所求距离之和最小，只需A，P′，F共线，
∴其最小值为
|AF|＝
＝.
【答案】 A
与抛物线有关的轨迹问题
已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
【导学号：15460043】
【精彩点拨】 (1)圆M与直线y＝2相切可以想到什么？(2)两圆外切的条件是什么？(3)点M的条件满足抛物线定义吗？
【自主解答】 设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，
则由题意可得M到圆心C(0，－3)的距离与直线y＝3的距离相等．
由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
求动点轨迹方程的方法：定义法，判断动点的轨迹是否满足抛物线的定义．若满足抛物线的定义，则可按抛物线标准方程的形式写出方程．
[再练一题]
3．已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【解】 设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，
则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，∴＝3，∴p＝6，
故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
[探究共研型]
抛物线的实际应用
探究1 求解抛物线实际应用题的步骤有哪些？
【提示】 求解抛物线实际应用题的五个步骤：
探究2 如何利用抛物线定义解决实际问题？
【提示】 把实际问题转化为数学问题，利用抛物线的知识来解决实际问题．在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．
河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
【精彩点拨】 建系→设方程→解方程→求出相关量→解决问题
【自主解答】 如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝，∴抛物线方程为x2＝－y.
∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－.
又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．
1．本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．
2．以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线主要体现在：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程．(2)利用已求方程求点的坐标．
[再练一题]
4.探照灯反射镜(如图2 4 1)的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60
cm，灯深40
cm，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
图2 4 1
【解】 如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使探照灯的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，由已知条件可得点A的坐标是(40,30)，且在抛物线上，代入方程，得
302＝2p·40，解得p＝.
故所求抛物线的标准方程为y2＝x，焦点坐标是.
[构建·体系]
1．准线方程为y＝的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝y
B．x2＝－y
C．y2＝－x
D．y2＝x
【解析】 由准线方程为y＝知抛物线焦点在y轴负半轴上，且＝，则p＝.故所求抛物线的标准方程为x2＝－y.
【答案】 B
2．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
【导学号：15460044】
A．－
B．－1
C．－
D．－
【解析】 ∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上，
∴＝2，∴p＝4.
∴抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2,0)．
又A(－2,3)，根据斜率公式得kAF＝＝－.
【答案】 C
3．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是________．
【解析】 由双曲线－＝1，
得抛物线的焦点坐标为(4,0)，
故可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
所以＝4，即p＝8，抛物线方程为y2＝16x.
【答案】 y2＝16x
4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为________．
【解析】 把点(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．
故点A到焦点的距离为4.
【答案】 4
5．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标．
【解】 由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－2x
B．y2＝2x
C．x2＝2y
D．x2＝－2y
【解析】 由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.
【答案】 B
2．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
【解析】 设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.
∵|AB|＝4，|DE|＝2，
抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D.
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，
∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．
∴C的焦点到准线的距离为4.
【答案】 B
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )
A.
B．
C．2
D．2
【解析】 抛物线的焦点为(，0)，即c＝.双曲线的渐近线方程为y＝x，由＝，即b＝a，所以b2＝2a2＝c2－a2，所以c2＝3a2，即e2＝3，e＝，即离心率为.
【答案】 B
4．抛物线y2＝12x的准线与双曲线－＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为( )
【导学号：15460045】
A．3
B．2
C．2
D．
【解析】 抛物线y2＝12x的准线为x＝－3，双曲线的两条渐近线为y＝±x，它们所围成的三角形为边长等于2的正三角形，所以面积为3，故选A.
【答案】 A
5．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )
A．1
B．2
C．4
D．8
【解析】 由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p.故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．
【解析】 抛物线y2＝2x的焦点为F，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.
【答案】 2
7．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
【解析】 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上的一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
【答案】 ②④
8．抛物线y＝2x2的准线方程为________．
【解析】 方程化为标准方程为x2＝y，故＝，开口向上，
∴准线方程为y＝－.
【答案】 y＝－
三、解答题
9．求焦点在x轴上，且焦点在双曲线－＝1上的抛物线的标准方程．
【解】 由题意可设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
则焦点为.
∵焦点在双曲线－＝1上，
∴＝1，求得m＝±4，
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
10．已知平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．
【解】 法一 设点P的坐标为(x，y)，
则有＝|x|＋1.
两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|.
∴y2＝
即点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．
法二 由题意知，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．
[能力提升]
1．已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为( )
A．2
B．4
C.
D．＋1
【解析】 将P点到直线l1：x＝－1的距离转化为点P到焦点F(1,0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为＝2，故选A.
【答案】 A
2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O为原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )
【导学号：15460046】
A.
B．
C.
D．2
【解析】 根据题意画出简图(图略)，设∠AFO＝θ(0<θ<π)，|BF|＝m，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos
θ，得cos
θ＝，又m＝2＋mcos(π－θ)，得m＝＝，△AOB的面积为S＝·|OF|·|AB|·sin
θ＝×1××＝，故选C.
【答案】 C
3．如图2 4 2是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2
m，水面宽4
m．水位下降1
m后，水面宽______________m.
图2 4 2
【解析】 以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．
则A(2，－2)，代入方程得p＝1，
∴抛物线的方程为x2＝－2y，
设B(x0，－3)(x0<0)代入方程得x0＝－.
∴此时的水面宽度为2
m.
【答案】 2
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1，点M是两条曲线的一个公共点．
(1)求抛物线的方程；
(2)求双曲线的方程．
【解】 (1)把M代入方程y2＝2px，
得p＝2，
因此抛物线的方程为y2＝4x.
(2)抛物线的准线方程为x＝－1，所以F1(－1,0)，设双曲线的右焦点为F，则F(1,0)，
于是2a＝||MF1|－|MF||＝＝，
因此a＝.
又因为c＝1，所以b2＝c2－a2＝，
于是，双曲线的方程为－＝1.1.3.2 命题的四种形式
1．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念．
2．能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．(重点、难点)
3．掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 四种命题的概念及结构
阅读教材P22～P23，完成下列问题．
1．四种命题的概念
一般地，对于两个命题，
(1)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做________．
(2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的________，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．
(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的________的否定和________的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．
以上定义中，把第一个命题叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的________、________、________.
【答案】 (1)互逆命题 (2)否定 (3)结论 条件 逆命题 否命题 逆否命题
2．四种命题的结构
【答案】 若q，则p 若綈p，则綈q 若綈q，则綈p
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题“若綈p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”．( )
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )
(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
教材整理2 四种命题之间的关系
阅读教材P23“例”以下内容，完成下列问题．
1．四种命题之间的关系
【答案】 若p，则q 若q，则p 若綈p，则綈q
若綈q，则綈p
2．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性________．
【答案】 (1)相同 (2)没有关系
下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题；④若m>2，则不等式x2－2x＋m>0.
其中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 命题①的逆否命题是“若x≠0或y≠0，则xy≠0”，为假命题；
命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；
命题③的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，为假命题；
命题④为真命题，当m>2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ<0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.
【答案】 B
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
四种命题的概念
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)相似三角形对应的角相等；
(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；
(3)正方形的对角线互相平分．
【精彩点拨】 根据四种命题的定义解答．
【自主解答】 (1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；
逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；
否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；
逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．
(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；
逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；
否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；
逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.
(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；
逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；
逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．
四种命题的写法
1．由原命题写出其它三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件和结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
2．如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．
[再练一题]
1．命题“若y＝kx，则x与y成正比例关系”的否命题是( )
A．若y≠kx，则x与y成正比例关系
B．若y≠kx，则x与y成反比例关系
C．若x与y不成正比例关系，则y≠kx
D．若y≠kx，则x与y不成正比例关系
【答案】 D
四种命题真假的判断
判断下列四个命题的真假，并说明理由．
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；
(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题．
【精彩点拨】 依题意写出命题进行判定，正确的命题进行证明，错误的命题只需举出反例，或应用互为逆否命题的命题具有相同的真假性判定．
【自主解答】 (1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．
(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．
(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．
(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．
判断命题真假的方法
1．解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证．
2．原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可．
[再练一题]
2．(1)写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断真假；
(2)写出本例(3)中命题的逆否命题，并判断真假．
【解】 (1)逆命题：若x2>y2，则x>y，是假命题，如(－2)2>12，但－2<1；否命题：若x≤y，则x2≤y2，由于逆命题和否命题同真同假，所以否命题也是假命题．(2)逆否命题：若x2－x－6≤0，则x>3，是假命题，如x＝0，满足x2－x－6≤0，但不满足x>3.
[探究共研型]
等价命题的应用
探究1 已知命题“若m－1【提示】 因为命题“若m－1探究2 证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2为真命题．
【提示】 将命题“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”，下面证明逆否命题的正确性．
因为m2＋n2≥2mn，
所以2(m2＋n2)≥m2＋n2＋2mn＝(m＋n)2，即
m2＋n2≥(m＋n)2，
又因为m＋n>2，
所以m2＋n2≥(m＋n)2>×22＝2，
即m2＋n2>2，所以m2＋n2≠2.
故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．
命题：对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立是真命题，求实数a的取值范围．
【精彩点拨】 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
【自主解答】 因为命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”
等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，
若a＝0，则－3≤0恒成立，所以a＝0符合题意．
设f(x)＝ax2－2ax－3，当a＞0时，二次函数的图象开口向上，又因为Δ＝4a2＋12a＞0，所以图象不会全部落在x轴下方，显然不符合题意．
当a＜0时，二次函数f(x)＝ax2－2ax－3开口向下，只需满足Δ≤0即可，即所以
所以所以－3≤a＜0.
综上所述，a的取值范围是－3≤a≤0.
1．解答本题时首先利用了等价转化思想，把不成立的问题转化为恒成立的问题解决，即求对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立时的a的范围．在解题过程中还利用了分类讨论的思想．
2．若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．
[再练一题]
3．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．
【解】 法一 原命题的逆否命题：
已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．真假判断如下：
因为抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，
若a＜1，则4a－7＜0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点．
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真命题．
法二 先判断原命题的真假．
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，因为a≥，所以a≥1，
所以原命题为真命题．
又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真命题．
[构建·体系]
1．命题“若a A，则b∈B”的逆命题是( )
A．若a A，则b B
B．若a∈A，则b B
C．若b∈B，则a A
D．若b B，则a A
【解析】 “若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a A”．
【答案】 C
2．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，在原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 由题意可判断原命题为真命题，故逆否命题也为真命题，其逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”，为假命题，所以否命题也为假命题，故四个命题中，真命题的个数为2.
【答案】 B
3．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________.
【导学号：15460016】
【解析】 原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．
【答案】 若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1
4．(2016·马鞍山四校联考)“两奇数的和是偶数”的否命题为：
________________________________________________________.
【解析】 “两奇数的和是偶数”即“若两个数都是奇数，则它们的和是偶数”．其否命题为“若两个数不都是奇数，则它们的和不是偶数”．
【答案】 若两个数不都是奇数，则它们的和不是偶数
5．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”
(1)写出它的逆命题，并判断其真假；
(2)写出它的逆否命题，并判断其真假．
【解】 (1)逆命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
则a＋b≥0，真命题．
(2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
a，b∈R，若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，
则a＋b＜0，真命题．
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是( )
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
D．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
【解析】 命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”．
【答案】 A
2．(2016·济宁高二检测)命题“已知a，b都是实数，若a＋b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a＋b＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C.
【答案】 C
3．(2016·南宁高二检测)已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )
A．原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
B．原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
C．原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
D．原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
【解析】 逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.
【答案】 B
4．(2016·潍坊高二期末)命题“若x＝3，则x2－2x－3＝0”的逆否命题是
( )
A．若x≠3，则x2－2x－3≠0
B．若x＝3，则x2－2x－3≠0
C．若x2－2x－3≠0，则x≠3
D．若x2－2x－3≠0，则x＝3
【解析】 其逆否命题为“若x2－2x－3≠0，则x≠3”．故选C.
【答案】 C
5．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是
( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
【答案】 A
二、填空题
6．(2016·三门峡高二期中)命题“若x>2，则x2>4”的逆命题是____________.
【导学号：15460017】
【解析】 原命题的逆命题为“若x2>4，则x>2”．
【答案】 若x2>4，则x>2
7．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题是________．
【解析】 否定条件与结论，得否命题“若a≤b，则2a≤2b－1”．
【答案】 若a≤b，则2a≤2b－1
8．在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．其中逆命题为真命题的是________．
【解析】 ①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题．
【答案】 ②
三、解答题
9．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
【解】 逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；
否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；
逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.
原命题是假命题．
逆否命题也是假命题．
逆命题是假命题．
否命题也是假命题．
10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．
【解】 (1)命题p的否命题为“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．
(2)命题p的否命题是真命题．
证明如下：
∵ac＜0，
∴－ac＞0 Δ＝b2－4ac＞0 二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
∴该命题是真命题．
[能力提升]
1．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是( )
A．若a·b≠0，则a不垂直于b
B．若a⊥b，则a·b＝0
C．若a不垂直于b，则a·b≠0
D．若a·b≠0，则a⊥b
【解析】 原命题与其逆否命题为等价命题．
【答案】 C
2．(2016·福州期末)命题“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”的逆否命题是
( )
A．若x，y都不是偶数，则x＋y不是偶数
B．若x，y不都是偶数，则x＋y是偶数
C．若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数
D．若x，y都不是偶数，则x＋y是偶数
【解析】 “x，y都是偶数”的否定为“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定是“x＋y不是偶数”．故选C.
【答案】 C
3．下列命题中________为真命题(填上所有正确命题的序号)．
①若A∩B＝A，则A?B；②“若x＝y＝0，则x2＋y2＝0”的逆命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
【解析】 ①错误，若A∩B＝A，则A B；②正确，它的逆命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”为真命题；③错误，它的逆命题为“相似三角形是全等三角形”为假命题；④正确，因为原命题为真命题，故逆否命题也为真命题．
【答案】 ②④
4．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．
(1)等高的两个三角形是全等三角形；
(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
【解】 (1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题；
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．
(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程的概念
2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质
1．结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系．(了解)
2．理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(重点)
3．通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 曲线的方程与方程的曲线
阅读教材P33～P35，完成下列问题．
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：
(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；
(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．
设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是( )
A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0
C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上
D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0
【解析】 本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错．
【答案】 D
教材整理2 求曲线方程的步骤
阅读教材P36～P37，完成下列问题．
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解
分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；
(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
【精彩点拨】 曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？
【自主解答】 (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．
(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上．因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
1．分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义．
2．定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可．条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f(x，y)＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性．两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化．
[再练一题]
1．已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M在此方程表示的曲线上，求实数m的值．
【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，
所以点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，点Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．
(2)因为点M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
所以x＝，y＝－m适合方程x2＋(y－1)2＝10，
即2＋(－m－1)2＝10.
解得m＝2或m＝－.
故实数m的值为2或－.
由方程研究曲线
下列方程分别表示什么曲线：
(1)2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；
(2)(x－2)2＋＝0.
【精彩点拨】 (1)在研究形如Ax2＋By2＋Cx＋Dy＋E＝0的方程时常采用什么方法？
(2)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？
【自主解答】 (1)对方程左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0.
∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
∴解得
从而方程表示的图形是一个点(1，－1)．
(2)由(x－2)2＋＝0，得
∴或
因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2)．
1．判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定．
2．方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想．
[再练一题]
2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )
【导学号：15460021】
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于x－y＝0对称
【解析】 同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，
所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．
【答案】 C
[探究共研型]
求曲线的方程
探究1 求曲线的方程要“建立适当的坐标系”，这句话怎样理解？
【提示】 建立坐标系的基本原则：
(1)让尽量多的点落在坐标轴上；
(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴．
建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．
探究2 求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？
【提示】 一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法．在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法．求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件．
(2016·德州高二检测)在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程．
【精彩点拨】 (1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？
【自主解答】 取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，
过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y)．
由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
所以()2＋()2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.
由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.
所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．
1．求曲线方程的一般步骤
(1)建系设点；
(2)写几何点集；
(3)翻译列式；
(4)化简方程；
(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
2．一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程．
3．没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系．
[再练一题]
3．已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．
【解】 设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，
则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}．
由距离公式，点M适合的条件可表示为
－y＝2.
化简得x2＝8y.
∵曲线在x轴上方，∴y>0.
∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线．
∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0)．
[构建·体系]
1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( )
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
【解析】 将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上．
【答案】 B
2．在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是( )
【解析】 当x＞0时，方程为xy＝1，
∴y＞0，故在第一象限有一支图象；
当x＜0时，方程为－xy＝1，
∴y＞0，故在第二象限有一支图象．
【答案】 C
3．如果方程ax2＋by2＝4的曲线过点A(0，－2)，B，则a＝________，b＝________.
【答案】 4 1
4．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P满足·＝4，则点P的轨迹方程为________.
【导学号：15460022】
【解析】 设点P的坐标为P(x，y)，由·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝4，得x2＋y2＝8，则点P的轨迹方程为x2＋y2＝8.
【答案】 x2＋y2＝8
5．设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
【解】 法一 如图所示，设OQ为过O的一条弦，P(x，y)为其中点，连接CP，则CP⊥OQ.OC的中点为M，连接MP，则|MP|＝|OC|＝，得方程2＋y2＝.
由圆的范围，知0即所求弦中点的轨迹方程为2＋y2＝，0法二 如图所示，由垂径定理，知∠OPC＝90°，
所以动点P在以M为圆心，OC为直径的圆上．
由圆的方程，得2＋y2＝，
由圆的范围，知0即所求弦中点的轨迹方程为2＋y2＝，0我还有这些不足：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是( )
A．(4,0)和(－1,0)
B．(4,0)和(－2,0)
C．(4,0)和(1,0)
D．(4,0)和(2,0)
【解析】 在曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中，令y＝0，则x2－3x－4＝0，∴x＝－1或x＝4.
∴交点坐标为(－1,0)和(4,0)．
【答案】 A
2．方程(x2－4)(y2－4)＝0表示的图形是( )
A．两条直线
B．四条直线
C．两个点
D．四个点
【解析】 由(x2－4)(y2－4)＝0得(x＋2)(x－2)(y＋2)·(y－2)＝0，所以x＋2＝0或x－2＝0或y＋2＝0或y－2＝0，表示四条直线．
【答案】 B
3．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是( )
A．x＋y＝4
B．2x＋y＝4
C．x＋2y＝4
D．x＋2y＝1
【解析】 由＝(x，y)，＝(1,2)得·＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，则x＋2y＝4即为所求的轨迹方程，故选C.
【答案】 C
4．方程(2x－y＋2)·＝0表示的曲线是( )
【导学号：15460023】
A．一个点与一条直线
B．两个点
C．两条射线或一个圆
D．两个点或一条直线或一个圆
【解析】 原方程等价于x2＋y2－1＝0，即x2＋y2＝1，或故选C.
【答案】 C
5．已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是( )
A．a＞1
B．0＜a＜1
C．0＜a＜1或a＞1
D．a∈
【答案】 A
二、填空题
6．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”的________条件．
【解析】 “方程f(x，y)＝0是曲线C的方程
” “曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，反之不成立．
【答案】 必要不充分
7．方程·(x＋y＋1)＝0表示的几何图形是________________．
【解析】 由方程得或x－3＝0，
即x＋y＋1＝0(x≥3)或x＝3.
【答案】 一条射线和一条直线
8．(2016·广东省华南师大附中月考)已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是________．
【解析】 由于||＝||，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x,0)，P，由·＝0，得·＝0，所以(－x)·1＋·＝0，则y2＝4x，即点N的轨迹方程是y2＝4x.
【答案】 y2＝4x
三、解答题
9．如图2 1 1，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．
图2 1 1
【解】 以O1O2的中点为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
得O1(－2,0)，O2(2,0)．
连接PO1，O1M，PO2，O2N.
由已知|PM|＝|PN|，得
|PM|2＝2|PN|2，
又在Rt△PO1M中，|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2，
在Rt△PO2N中，|PN|2＝|PO2|2－|NO2|2，
即得|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．
设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
化简得(x－6)2＋y2＝33.
因此所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
10．△ABC的三边长分别为|AC|＝3，|BC|＝4，|AB|＝5，点P是△ABC内切圆上一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值．
【解】
因为|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB＝90°.
以C为原点O，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC|＝3，|BC|＝4，得C(0,0)，A(0,3)，B(4,0)．
设△ABC内切圆的圆心为(r，r)，
由△ABC的面积＝×3×4＝r＋2r＋r，
得r＝1，
于是内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1 x2＋y2＝2x＋2y－1，
由(x－1)2≤1 0≤x≤2.
设P(x，y)，那么|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋(y－3)2＋(x－4)2＋y2＋x2＋y2＝3(x2＋y2)－8x－6y＋25＝3(2x＋2y－1)－8x－6y＋25＝22－2x，
所以当x＝0时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取最大值为22，
当x＝2时取最小值为18.
[能力提升]
1．到点A(0,0)，B(－3,4)的距离之和为5的轨迹方程是( )
A．y＝－x(－3≤x≤0)
B．y＝－x(0≤x≤4)
C．y＝－x(－3≤x≤4)
D．y＝－x(0≤x≤5)
【解析】 注意到|AB|＝5，则满足到点A(0,0)，B(－3,4)的距离之和为5的点必在线段AB上，因此，方程为y＝－x(－3≤x≤0)，故选A.
【答案】 A
2．(2016·河南省实验中学月考)已知动点P到定点(1,0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为( )
【导学号：15460024】
A．y2＝4x
B．y2＝－12(x－4)
C．y2＝4x(x≥3)或y2＝－12(x－4)(x<3)
D．y2＝4x(x≤3)或y2＝－12(x－4)(x>3)
【解析】 设P(x，y)，由题意得＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)，故选D.
【答案】 D
3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．
【解析】 设动点P(x，y)，
依题意|PA|＝2|PB|，
∴＝2，
化简得(x－2)2＋y2＝4，
方程表示半径为2的圆，
因此图形的面积S＝π·22＝4π.
【答案】 4π
4．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
【解】 法一 设点M的坐标为(x，y)，
∵M为线段AB的中点，
∴A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)．
∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，
∴PA⊥PB，即kPA·kPB＝－1，
而kPA＝＝(x≠1)，
kPB＝＝，
∴·＝－1(x≠1)，
整理得x＋2y－5＝0(x≠1)．
∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，
∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二 设点M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM.
∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.
而|PM|＝，
|AB|＝，
∴2＝，
化简得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程.2.3 双曲线
2.3.1 双曲线的标准方程
1．了解双曲线的定义及焦距的概念．
2．了解双曲线的几何图形、标准方程．(重点)
3．能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准方程．(重点)
[基础·初探]
教材整理1 双曲线的定义
阅读教材P49前3自然段，完成下列问题．
平面内与两个定点F1，F2的距离的________等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这________叫做双曲线的焦点，________叫做双曲线的焦距．
【答案】 差的绝对值 两个定点 两焦点的距离
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系同椭圆中a，b，c之间的关系相同．( )
(2)点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．( )
(3)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0，且a≠b.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)×
教材整理2 双曲线的标准方程
阅读教材P49第4自然段～P50“思考与讨论”，完成下列问题.
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
______(a＞0，b＞0)
______(a＞0，b＞0)
焦点
F1________，F2________
F1________，F2________
a，b，c的关系
c2＝________
【答案】 －＝1 －＝1 (－c,0) (c,0) (0，－c) (0，c) a2＋b2
若方程－＝1表示双曲线，则实数m满足( )
A．m≠1且m≠－3
B．m＞1
C．m＜－或m＞
D．－3＜m＜1
【解析】 因为方程－＝1表示双曲线，而m2＋1＞0恒成立，所以m2－3＞0，解得m＜－或m＞，故选C.
【答案】 C
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
双曲线定义的应用
已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点)．
【精彩点拨】 利用中位线定理，结合双曲线定义解题．
【自主解答】 因为ON是△PF1F2的中位线，
所以|ON|＝|PF2|.
因为||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10，
所以|PF2|＝2或|PF2|＝18，
故|ON|＝1或|ON|＝9.
在双曲线的定义中，注意三个关键点：①在平面内；②差的绝对值；③定值且定值小于两定点间距．在这三个条件中，缺少一个条件，其动点轨迹也不是双曲线．
[再练一题]
1．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________.
【导学号：15460034】
【解析】 由双曲线的方程可知a＝1，c＝，
∴||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
∴|PF1|2－2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4，
∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝8，
∴2|PF1||PF2|＝4，
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝8＋4＝12，
∴|PF1|＋|PF2|＝2.
【答案】 2
求双曲线的标准方程
根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)过点P，Q且焦点在坐标轴上；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
【精彩点拨】 (1)所求双曲线的焦点位置不确定，怎样求解？(2)已知半焦距时，如何设双曲线的标准方程？
【自主解答】 (1)设双曲线方程为＋＝1(mn＜0)．
∵P，Q两点在双曲线上，
∴解得
∴所求双曲线的方程为－＝1.
(2)∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线的方程为－＝1(0＜λ＜6)．
∵双曲线过点(－5,2)，∴－＝1，
解得λ＝5或λ＝30(舍去)，
∴所求双曲线的方程为－y2＝1.
1．求双曲线标准方程的步骤
(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；
(2)求出a2，b2的值．
2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)来求解．
[再练一题]
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)一个焦点是(0，－6)，经过点A(－5,6)；
(2)a＝5，c＝7.
【解】 (1)由已知c＝6，且焦点在y轴上，另一焦点为(0,6)．
由双曲线定义得：2a＝|－|＝8.
∴a＝4，∴b2＝c2－a2＝20.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由已知a＝5，c＝7，
∴b2＝c2－a2＝24，焦点不确定，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
[探究共研型]
双曲线在实际问题中的应用
探究1 如何求双曲线上的点到焦点的距离？
【提示】 若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)．
探究2 如何解决双曲线中与焦点三角形有关的问题？
【提示】 首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．
某地发生地震，为了援救灾民，救援队在如图2 3 1所示的P处收到了一批救灾药品，现要把这批药品沿道路PA，PB运送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA＝100
km，PB＝150
km，BC＝60
km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线，并求出其方程．
图2 3 1
【精彩点拨】 审题可得界线是使沿道路PA和PB送药一样远近的曲线，设M为界线上任一点，则根据已知条件，得|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，据此设出双曲线的标准方程，用待定系数法求解即可．
【自主解答】 灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样近．依题意，知界线是第三类点的轨迹．
设M为界线上的任一点，
则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，
即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值)．
因为|AB|＝＝50>50，
所以界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．
如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为a＝25，c＝25，所以b2＝c2－a2＝3
750.
故双曲线的标准方程为－＝1.
注意到点C的坐标为(25，60)，
故y的最大值为60，此时x＝35.
故界线的曲线方程为－＝1(25≤x≤35,0≤y≤60)．
利用双曲线解决实际问题的基本步骤
1．建立适当的坐标系．
2．求出双曲线的标准方程．
3．根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题．
注意：(1)解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用．
(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围．
[再练一题]
3.如图2 3 2，B地在A地的正东方向4
km处，C地在B地的北偏东30°方向2
km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A地的距离比到B地的距离远2
km.现要在河岸PQ上选一处M建码头，向B，C两地转运货物．经测算，修建公路的费用是a万元/km，求修建这两条公路的总费用最低是多少．
图2 3 2
【解】 以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系(图略)．根据题意，得C(3，)．
因为|MA|－|MB|＝2<|AB|，
所以点M的轨迹是双曲线x2－＝1的右支．
总费用为a|MB|＋a|MC|＝a(|MB|＋|MC|)．
因为|MB|＋|MC|＝|MA|－2＋|MC|≥|AC|－2＝2－2，当M，A，C三点共线时，等号成立，
所以总费用最低为(2－2)a万元．
[构建·体系]
1．已知m，n∈R，则“mn＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 方程＋＝1表示双曲线，必有mn＜0；当mn＜0时，方程＋＝1表示双曲线．所以“mn＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的充要条件．
【答案】 C
2．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )
A.－y2＝1
B．y2－＝1
C.－＝1
D．－＝1
【解析】 椭圆＋＝1的焦点为F1(0,1)，F2(0，－1)，长轴的端点A1(0,2)，A2(0，－2)，所以对于所求双曲线a＝1，c＝2，b2＝3，焦点在y轴上，双曲线的方程为y2－＝1.
【答案】 B
3．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.
【导学号：15460035】
【解析】 由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.
【答案】 16
4．若点P到点(0，－3)与到点(0,3)的距离之差为2，则点P的轨迹方程为________．
【解析】 由题意并结合双曲线的定义，可知点P的轨迹方程为双曲线的上支，且c＝3,2a＝2，则a＝1，b2＝9－1＝8，所以点P的轨迹方程为y2－＝1(y≥1)．
【答案】 y2－＝1(y≥1)
5．求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．
【解】 (1)由已知，可设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则
解得
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知c＝2.
因为双曲线过点(3，2)，
所以－＝1.
又因为a2＋b2＝(2)2，
所以a2＝12，b2＝8.
故所求双曲线的方程为－＝1.
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围为( )
A．－2＜m＜2
B．m＞0
C．m≥0
D．|m|≥2
【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.
【答案】 A
2．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1
B．－＝1
C.－＝1(x≤－3)
D．－＝1(x≥3)
【解析】 由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．
【答案】 D
3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为( )
A.－＝1
B．－＝1
C.－y2＝1
D．x2－＝1
【解析】 由
(|PF1|－|PF2|)2＝16，
即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故选C.
【答案】 C
4．已知椭圆方程＋＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )
A.
B．
C．2
D．3
【解析】 椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a＝1，c＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝2.
【答案】 C
5．若k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．焦点在x轴上的双曲线
【解析】 原方程化为标准方程为＋＝1，
∵k＞1，∴1－k＜0，k2－1＞0，
∴此曲线表示焦点在y轴上的双曲线．
【答案】 C
二、填空题
6．设点P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________.
【解析】 由双曲线的标准方程得a＝3，b＝4.
于是c＝＝5.
(1)若点P在双曲线的左支上，
则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，∴|PF2|＝6＋|PF1|＝16；
(2)若点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝6，
∴|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.
综上，|PF2|＝16或4.
【答案】 16或4
7．已知F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的________．(填序号)
【导学号：15460036】
①2；②－1；③4；④－3.
【解析】 设双曲线的方程为－＝1，则c＝3，∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，∴－【答案】 ①②
8．已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于________．
【解析】 由方程－＝1知a2＝16，b2＝9，即a＝4，c＝＝5.
在△ABP中，利用正弦定理和双曲线的定义知，＝＝＝＝.
【答案】
三、解答题
9．求与双曲线－＝1有相同焦点且过点P(2,1)的双曲线的方程．
【解】 ∵双曲线－＝1的焦点在x轴上．
依题意，设所求双曲线为－＝1(a>0，b>0)．
又两曲线有相同的焦点，
∴a2＋b2＝c2＝4＋2＝6.①
又点P(2,1)在双曲线－＝1上，
∴－＝1.②
由①②联立得a2＝b2＝3，
故所求双曲线方程为－＝1.
10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
【解】 (1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
[能力提升]
1．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为( )
【导学号：15460037】
A．1
B．
C．2
D．3
【解析】 由题意知椭圆、双曲线的焦点在x轴上，且
a>0.∵4－a2＝a＋2，∴a2＋a－2＝0，
∴a＝1或a＝－2(舍去)．故选A.
【答案】 A
2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
【解析】 不妨设P是双曲线右支上一点，
在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2，
∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，
∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·，
∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴8＝4＋|PF1||PF2|，
∴|PF1||PF2|＝4.故选B.
【答案】 B
3．已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________.
【解析】 设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|，又|FN|＝＝5，由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－|PF′|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1.
【答案】 －1
4．已知双曲线－＝1的两焦点为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求点M到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
【解】 (1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，
·＝0，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义知，m－n＝2a＝8，①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8，
∴mn＝4＝|F1F2|·h，
∴h＝.
(2)设所求双曲线C的方程为
－＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，
所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线C的方程为－＝1.2.2.2 椭圆的几何性质
1．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a、b、c的几何意义．
(重点)
2．会用椭圆的几何意义解决相关问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 椭圆的简单几何性质
阅读教材P43～P44第5自然段，完成下列问题.
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
________
范围
________
________
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长＝________，长轴长＝________
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝________
对称性
对称轴为________，对称中心为________
【答案】 ＋＝1(a＞b＞0) －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 2b 2a 2c 坐标轴 原点
1．椭圆＋＝1的长轴长为( )
A．81
B．9
C．18
D．45
【解析】 由标准方程知a＝9，故长轴长2a＝18.
【答案】 C
2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为
( )
A.
B．2
C．
D．4
【解析】 方程化为x2＋＝1，长轴长为，短轴长为2，由题意，＝2×2，∴m＝.
【答案】 C
教材整理2 离心率
阅读教材P44“离心率”～P44“例1”，完成下列问题．
1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比________叫做椭圆的________．
【答案】 e＝ 离心率
2．性质：离心率e的范围是________．当e越趋近于1时，椭圆________；当e越趋近于________时，椭圆就越趋近于圆．
【答案】 (0,1) 越扁 0
1．椭圆＋＝1的离心率为________．
【解析】 ∵a2＝16，b2＝8，
∴e＝＝.
【答案】
2．已知椭圆的两焦点为F1、F2，A为椭圆上一点，且·＝0，∠AF2F1＝60°，则该椭圆的离心率为________．
【解析】 ∵·＝0，
∴AF1⊥AF2，且∠AF2F1＝60°.
设|F1F2|＝2c，
∴|AF1|＝c，|AF2|＝c.
由椭圆定义知：c＋c＝2a，即(＋1)c＝2a.
∴e＝＝＝－1.
【答案】 －1
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
根据椭圆的方程研究其几何性质
若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为( )
【导学号：15460030】
A.＋＝1
B．＋＝1
C.＋＝1
D．＋＝1
【精彩点拨】 根据椭圆的几何性质解题．
【自主解答】 由题意，得解得
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
【答案】 B
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
[再练一题]
1．已知椭圆方程为9x2＋16y2＝144，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．
【解】 已知方程化成标准方程为＋＝1.
∴a＝4，b＝3，c＝＝.
∴椭圆的长轴长与短轴长分别为8和6，离心率e＝＝.
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)；四个顶点的坐标为A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)，B2(0,3).
由几何性质求椭圆的方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.
【精彩点拨】 (1)椭圆的焦点位置确定吗？(2)基本量a、b、c分别为多少？怎样求出？
【自主解答】 (1)若焦点在x轴上，则a＝3，
∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.
∴椭圆的方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝＝＝＝，解得a2＝27.
∴椭圆的方程为＋＝1.
∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
1．用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法．
2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．
3．在求解a2、b2时常用方程(组)思想，通常由已知条件与关系式a2＝b2＋c2，e＝等构造方程(组)加以求解．
[再练一题]
2．椭圆的长轴长为10，一焦点坐标为(4,0)，则它的标准方程为________．
【解析】 2a＝10，c＝4，∴a2＝25，b2＝a2－c2＝9.
焦点在x轴上，故标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
[探究共研型]
椭圆的离心率
探究 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－c，0)，A(－a,0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e.
【提示】 由A(－a,0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB＝，
故AB所在的直线方程为y－b＝x，
即bx－ay＋ab＝0.
又F1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d＝＝，
∴·(a－c)＝.
又b2＝a2－c2，
整理得8c2－14ac＋5a2＝0，
即82－14＋5＝0.
∴8e2－14e＋5＝0.∴e＝或e＝(舍去)．
综上可知，椭圆的离心率e＝.
若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．
【精彩点拨】 能否由已知条件构造关于的方程．
【自主解答】 由题意得：2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，
又∵a2＝b2＋c2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2，
即3a2－2ac－5c2＝0，∴3－2·－5·2＝0，
即5·2＋2·－3＝0，∴e＝＝.
求e的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式，具体如下：
(1)若已知a，c可直接代入e＝求得；
(2)若已知a，b，则使用e＝求解；
(3)若已知b，c，则求a，再利用(1)或(2)求解；
(4)若已知a，b，c的关系，可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(范围)．
[再练一题]
3．若过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为________．
【解析】 由题意，△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝60°，所以|PF2|＝2|PF1|.
设|PF1|＝x，则|PF2|＝2x，|F1F2|＝x，又|F1F2|＝2c，所以x＝.
即|PF1|＝，|PF2|＝.
由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以＋＝2a，即e＝＝.
【答案】
[构建·体系]
1．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的短轴长与＋＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝15，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
【解析】 由题意得，椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且2a＝10，a＝5,2b＝6，b＝3，故a2＝25，b2＝9.
【答案】 D
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是
( )
A.＋＝1
B．＋＝1
C.＋＝1
D．＋＝1
【解析】 右焦点为F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上，c＝1.又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为＋＝1.
【答案】 D
3．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于________．
【解析】 根据题意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9(舍去)．
所以a＝5，c＝4，故e＝＝.
【答案】
4．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是________.
【导学号：15460031】
【解析】 椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，因此可设待求椭圆为＋＝1.
又b＝2，故m＝20，得＋＝1.
【答案】 ＋＝1
5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点(3,0)，离心率e＝；
(2)焦距为8，在y轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直．
【解】 (1)当椭圆的焦点在x轴上时，
因为a＝3，e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的标准方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝，
所以＝，所以a2＝27.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知，得c＝4，b＝4，
则a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________
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我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________
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(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·人大附中月考)焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1
B．＋＝1
C.＋＝1
D．＋＝1
【解析】 由题意知2b＝8，得b＝4，所以b2＝a2－c2＝16，又e＝＝，解得c＝3，a＝5，又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1，故选C.
【答案】 C
2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 由题意知a＝2c，∴e＝＝＝.
【答案】 A
3．曲线＋＝1与＋＝1(0A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
【解析】 曲线＋＝1的焦距为2c＝8，而曲线＋＝1(0＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.
【答案】 B
4．已知O是坐标原点，F是椭圆＋＝1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，则cos∠MON的值为( )
【导学号：15460032】
A.
B．－
C.
D．－
【解析】 由题意，a2＝4，b2＝3，
故c＝＝＝1.
不妨设M(1，y0)，N(1，－y0)，所以＋＝1，
解得y0＝±，
所以|MN|＝3，|OM|＝|ON|＝＝.
由余弦定理知cos∠MON＝＝＝－.
【答案】 B
5．如图2 2 4，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )
图2 2 4
A.
B．
C.
D．
【答案】 D
二、填空题
6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为________．
【解析】 如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝.
【答案】
7．设AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kAB·kOM＝________.
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点坐标M，得kAB＝，
kOM＝，kAB·kOM＝，
b2x＋a2y＝a2b2，b2x＋a2y＝a2b2，
得b2(x－x)＋a2(y－y)＝0，即＝－.
【答案】 －
8．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________．
【解析】 因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.
【答案】 [1,2]
三、解答题
9．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
【解】 (1)∵c＝＝，
∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．
设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵e＝＝，c＝，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵2c＝8，∴c＝4，
又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.
∴椭圆的方程为＋＝1.
10．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)与x轴交于点A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点P在椭圆上，且∠OPA＝120°，求椭圆的离心率．
【解】 不妨设A(a,0)，点P在第一象限内，由题意知，点P的横坐标是，设P，由点P在椭圆上，得＋＝1，y2＝b2，即P，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝30°，故tan∠POA＝＝，所以a＝3b，所以e＝＝＝＝.
[能力提升]
1．(2016·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A.
B．－1
C．2－
D．
【解析】 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得|PF2|＝＝2c，
即＝2c，
得离心率e＝－1，故选B.
【答案】 B
2．“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的( )
【导学号：15460033】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 椭圆＋＝1的离心率为，
当0当m>4时，＝，得m＝，
即“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的充分不必要条件．
【答案】 A
3．(2016·济南历城高二期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是________．
【解析】 由＝2，得|AO|＝2|FO|(O为坐标原点)，即a＝2c，
则离心率e＝.
【答案】
4．已知点A，B分别是椭圆＋＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
【解】 (1)由已知可得A(－6,0)，B(6,0)，F(4,0)，
设点P的坐标是(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
由已知得
则2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6.
由于y>0，所以只能取x＝，于是y＝.
所以点P的坐标是.
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是(m,0)，
则M到直线AP的距离是，又B(6,0)，
于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2，
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝2＋15，
由于－6≤x≤6，所以当x＝时，d取最小值为.章末分层突破
[自我校对]
①p∧q
②全称命题
③存在量词
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
四种命题的关系及其真假的判定
命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”；否命题为“若綈p，则綈q”；逆否命题为“若綈q，则綈p”．书写四种命题应注意：
(1)分清命题的条件与结论，注意大前提不能当作条件来对待．
(2)要注意条件和结论的否定形式．
(2016·银川高二检测)将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假．
(1)垂直于同一平面的两条直线平行；
(2)当mn＜0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根；
(3)能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除．
【精彩点拨】 明确命题的条件和结论及命题的关系，再判定真假．
【规范解答】 (1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．(假)
否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．(假)
逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(真)
(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.(假)
否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假)
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真)
(3)将命题写成“若p，则q”的形式为：若一个数能被6整除，则它能被2整除，且能被3整除，它的逆命题，否命题和逆否命题如下：
逆命题：若一个数既能被2整除又能被3整除，则它能被6整除．(真)
否命题：若一个数不能被6整除，则它不能被2整除或不能被3整除．(真)
逆否命题：若一个数不能被2整除或不能被3整除，则它不能被6整除．(真)
[再练一题]
1．给出下列三个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②“若lg
x2＝0，则x＝－1”的逆命题；
③若“x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x＝－1，则lg
x2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.
【答案】 B
充分条件、必要条件与充要条件
关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定：
若p q，且pq，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；
若p q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件；
若pq，则p是q的既不充分也不必要条件，同时q是p的既不充分也不必要条件．
(2016·成都高二月考)已知a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件是( )
A．λ1＝λ2＝－1
B．λ1＝λ2＝1
C．λ1λ2＝1
D．λ1λ2＝－1
【精彩点拨】 利用向量三点共线的条件及定义判断．
【规范解答】 依题意，A，B，C三点共线 ＝λ λ1a＋b＝λa＋λλ2b 故选C.
【答案】 C
[再练一题]
2．已知p：＜x＜，q：x(x－3)＜0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【解】 记A＝，
B＝{x|x(x－3)＜0}＝{x|0＜x＜3}，
若p是q的充分不必要条件，则A?B.
注意到B＝{x|0＜x＜3}≠ ，分两种情况讨论：
(1)若A＝ ，即≥，解得m≤0，此时A?B，符合题意；
(2)若A≠ ，即＜，解得m＞0，
要使A?B，应有解得0＜m＜3.
综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3).
全称命题与存在性命题
全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题．
要判断一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立，一般要运用推理的方法加以证明；要判断一个全称命题为假命题，只需举出一个反例即可．
要判断一个存在性命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使p(x0)成立即可，否则这一存在性命题为假命题．
(1)已知命题p：“ x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“ x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．[e,4]
B．[1,4]
C．(4，＋∞)
D．(－∞，1]
(2)命题p： x∈R，f(x)≥m，则命题p的否定綈p是________．
【精彩点拨】 (1)p∧q为真 p，q都为真；
(2)由綈p的定义写綈p.
【规范解答】 (1)由p为真得出a≥e，由q为真得出a≤4，
∴e≤a≤4.
(2)全称命题的否定是存在性命题，所以“ x∈R，f(x)≥m”的否定是“ x0∈R，f(x0)【答案】 (1)A (2) x0∈R，f(x0)[再练一题]
3．在下列四个命题中，真命题的个数是( )
① x∈R，x2＋x＋3＞0；
② x∈Q，x2＋x＋1是有理数；
③ α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β；
④ x0，y0∈Z，使3x0－2y0＝10.
【导学号：15460018】
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 ①中，x2＋x＋3＝2＋≥＞0，故①为真命题；
②中， x∈Q，x2＋x＋1一定是有理数，故②也为真命题；
③中，当α＝，β＝－时，sin(α＋β)＝0，sin
α＋sin
β＝0，故③为真命题；
④中，当x0＝4，y0＝1时，3x0－2y0＝10成立，故④为真命题．
【答案】 D
转化与化归思想
所谓转化与化归思想是指在研究和解决问题时，采用某种手段将问题通过变换、转化，进而使问题得到解决的一种解题策略．一般是将复杂的问题进行变换，转化为简单的问题；将较难的问题通过变换，转化为容易求解的问题；将未解决的问题转化为已解决的问题．
在本章内容中，转化思想主要体现在四种命题间的相互关系与集合之间关系的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化．
已知命题p：对任意x∈R，函数y＝lg(x2＋m)有意义；命题q：函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数．若p∧q为真，求实数m的取值范围．
【精彩点拨】 x∈R，y＝lg(x2＋m)有意义，等价于 x∈R，x2＋m>0恒成立，可求m的范围．
【规范解答】 由于p∧q为真，则p真且q真．
当p为真时，即对任意x∈R，函数y＝lg(x2＋m)有意义．
即对任意x∈R，x2＋m>0恒成立，
即m>－x2恒成立，
又－x2≤0，所以m>0.
当q为真时，即函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数，
所以有5－2m>1，解得m<2.
即0所以实数m的取值范围是(0,2)．
[再练一题]
4．判断命题“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
【解】 ∵m＞0，∴12m＞0，∴12m＋4＞0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝22－4×1×(－3m)＝4＋12m＞0，∴原命题“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．
又∵原命题与它的逆否命题等价，
∴“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题为真.
1．(2016·浙江高考)命题“ x∈R， n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是
( )
A． x∈R， n∈N
，使得nB． x∈R， n∈N
，使得nC． x∈R， n∈N
，使得nD． x∈R， n∈N
，使得n【解析】 由于存在性命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是存在性命题，所以“ x∈R， n∈N
，使得n≥x2”的否定形式为“ x∈R， n∈N
，使得n【答案】 D
2．(2016·四川高考)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 画出p和q确定的平面区域，根据图形进行判断．
p表示以点(1,1)为圆心，为半径的圆面(含边界)，如图所示．q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．
由图可知，p是q的必要不充分条件．故选A.
【答案】 A
3．(2015·福建高考)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α l⊥m.
但l⊥ml∥α，∵l⊥m时，l可能在α内．
故“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．
【答案】 B
4．(2015·陕西高考)“sin
α＝cos
α”是“cos
2α＝0
”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 cos
2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos
α＝±sin
α.由cos
α＝sin
α可得到cos
2α＝0，反之不成立，故选A.
【答案】 A
章末综合测评(一) 常用逻辑用语
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是( )
A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1＜x＜1，则x2＜1
C．若x＞1或x＜－1，则x2＞1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
【解析】 命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．
【答案】 D
2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
【解析】 把全称量词改为存在量词并把结论否定．
【答案】 D
3．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 命题“若p，则q”的逆否命题为“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．
【答案】 A
4．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )
【导学号：15460019】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0,
即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0,1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分不必要条件．
【答案】 A
5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )
A． x0∈R，使得f(x0)＞0成立
B． x0∈R，使得f(x0)≤0成立
C． x∈R，使得f(x)＞0成立
D． x∈R，f(x)≤0成立
【解析】 “关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x0，使得f(x0)＞0成立”．故选A.
【答案】 A
6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.
【答案】 A
7．命题p：函数y＝lg(x2＋2x－c)的定义域为R；命题q：函数y＝lg(x2＋2x－c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A，命题q为真命题时c的取值集合为B，则A∩B＝( )
A．
B．{c|c<－1}
C．{c|c≥－1}
D．R
【解析】 命题p为真命题，即x2＋2x－c>0恒成立，则有Δ＝4＋4c<0，解得c<－1，即A＝{c|c<－1}；令f(x)＝x2＋2x－c，命题q为真命题，则f(x)的值域包含(0，＋∞)．即Δ＝4＋4c≥0，求得c≥－1，即B＝{c|c≥－1}．于是A∩B＝ ，故选A.
【答案】 A
8．对 x∈R，kx2－kx－1＜0是真命题，则k的取值范围是( )
A．－4≤k≤0
B．－4≤k＜0
C．－4＜k≤0
D．－4＜k＜0
【解析】 由题意知kx2－kx－1＜0对任意x∈R恒成立，当k＝0时，－1＜0恒成立；当k≠0时，有即－4＜k＜0，所以－4＜k≤0.
【答案】 C
9．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2x0＜0.下列选项中为真命题的是( )
A．綈p
B．綈p∨q
C．綈q∧p
D．q
【解析】 很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p∨q为假命题，綈q∧p为真命题，故选C.
【答案】 C
10．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 等比数列{an}为递增数列的充要条件为或故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．
【答案】 D
11．已知命题p： x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为( )
A． x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1
B． x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1
C． x>0，总有(x＋1)ex≤1
D． x≤0，使得(x＋1)ex≤1
【解析】 因为全称命题 x∈M，p(x)的否定为 x0∈M，綈p(x)，故綈p： x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1.
【答案】 B
12．已知p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在直线y＝－3x＋2上，则使p∧q为真命题的点P的坐标是( )
A．(0，－3)
B．(1,2)
C．(1，－1)
D．(－1,1)
【解析】 因为p∧q为真命题，所以p，q均为真命题．所以点P为直线y＝2x－3与直线y＝－3x＋2的交点．解方程组得即点P的坐标为(1，－1)．
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的为________．
【解析】 p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，綈p为真命题．
【答案】 p∨q与綈p
14．(2016·临川高二检测)“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是____________________，否命题是____________________．
【解析】 命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．
【答案】 末位数字是1或3的整数能被8整除 末位数字不是1且不是3的整数能被8整除
15．已知f(x)＝x2＋2x－m，如果f(1)>0是假命题，f(2)>0是真命题，则实数m的取值范围是______．
【解析】 依题意，∴3≤m<8.
【答案】 [3,8)
16．给出以下判断：
①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；
②命题“ x∈N，x3>x2”的否定是“ x0∈N，使x>x”；
③“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数”的充要条件；
④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题．
其中正确命题的序号是________.
【导学号：15460020】
【解析】 ①②④是假命题，③是真命题．
【答案】 ③
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．
(1)q：所有的矩形都是正方形；
(2)r： x0∈R，x＋2x0＋2≤0；
(3)s：至少有一个实数x0，使x＋3＝0.
【解】 (1)綈q：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题．
(2)綈r： x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．这是由于 x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立．
(3)綈s： x∈R，x3＋3≠0，假命题．这是由于当x＝－时，x3＋3＝0.
18．(本小题满分12分)指出下列命题中，p是q的什么条件？
(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；
(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数；
(3)p：0【解】 (1)因为{x|x2－x－6<0}＝{x|－2所以{x|x>－2或x<3}{x|－2而{x|－2－2或x<3}．
所以p是q的必要不充分条件．
(2)因为a，b都是奇数 a＋b为偶数，而a＋b为偶数a，b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件．
(3)mx2－2x＋3＝0有两个同号不等实根 .
所以p是q的充要条件．
19．(本小题满分12分)已知命题p：不等式2x－x2如果“綈p”与“p∧q”同时为假命题，求实数m的取值范围．
【解】 2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，所以p为真时，
m>1.由m2－2m－3≥0得m≤－1或m≥3，
所以q为真时，m≤－1或m≥3.
因为“綈p”与“p∧q”同时为假命题，
所以p为真命题，q为假命题，所以得
即120．(本小题满分12分)已知两个命题p：sin
x＋cos
x＞m，q：x2＋mx＋1＞0，如果对任意x∈R，有p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．
【解】 当命题p是真命题时，
由于x∈R，则sin
x＋cos
x＝sin≥－，
所以有m＜－.
当命题q是真命题时，
由于x∈R，x2＋mx＋1＞0，
则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.
由于p∨q为真，p∧q为假，所以p与q一真一假．
考虑到函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象为开口向上的抛物线，对任意的x∈R，x2＋mx＋1≤0不可能恒成立．所以只能是p为假，q为真，
此时有解得－≤m＜2，
所以实数m的取值范围是[－，2)．
21．(本小题满分12分)已知命题p：对数函数loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义；命题q：实数t满足不等式t2－(a＋3)t＋a＋2<0.
(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解】 (1)因为命题p为真，则对数的真数－2t2＋7t－5>0，解得1所以实数t的取值范围是.
(2)因为p是q的充分不必要条件，所以是不等式t2－(a＋3)t＋a＋2<0的解集的真子集．
法一 因为方程t2－(a＋3)t＋a＋2＝0的两根为1和a＋2，
所以只需a＋2>，解得a>.
即实数a的取值范围为.
法二 令f(t)＝t2－(a＋3)t＋a＋2，因为f(1)＝0，
所以只需f<0，解得a>.
即实数a的取值范围为.
22．(本小题满分12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
【证明】 充分性：∵∠A＝90°，
∴a2＝b2＋c2.
于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，
∴x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.
∴[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0.
∴该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，
同样另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，
∴该方程有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)．
可以发现，x1＝x3，
∴方程有公共根．
必要性：设x是方程的公共根，
则
由①＋②，得x＝－(a＋c)或x＝0(舍去)．
代入①并整理，可得a2＝b2＋c2.
∴∠A＝90°.
∴结论成立．2.2 椭圆
2.2.1 椭圆的标准方程
1．了解椭圆标准方程的推导．
2．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
3．掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 椭圆的定义
阅读教材P39前4自然段，完成下列问题．
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这________叫做椭圆的焦点，________叫做椭圆的焦距．
【答案】 常数(大于|F1F2|) 两个定点 两焦点的距离
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( )
(2)在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于F1F2”的常数，其它条件不变，点的轨迹为线段．( )
(3)到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为3的点M的轨迹为椭圆．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
教材整理2 椭圆的标准方程
阅读教材P39第5自然段～P40“思考与讨论”，完成下列问题.
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
__________
＋＝1(a＞b＞0)
焦点
(－c,0)与(c,0)
________与________
a，b，c的关系
c2＝________
【答案】 ＋＝1(a＞b＞0) (0，－c) (0，c) a2－b2
椭圆＋＝1的焦点在________轴上，焦距为________，椭圆＋＝1的焦点在________轴上，焦点坐标为________．
【解析】 由25>9可判断椭圆＋＝1的焦点在x轴上，由c2＝25－9＝16，可得c＝4，故其焦距为8.由16>9，可判断椭圆＋＝1的焦点在y轴上，
c2＝16－9＝7，故焦点坐标为(0，)和(0，－)．
【答案】 x 8 y (0，)和(0，－)
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．
【自主解答】 (1)由于椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由于椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∴a＝2，b＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)法一 ①当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
②当焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有解得
因为a＞b＞0，所以无解．
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二 设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
1．利用待定系数法求椭圆的标准方程
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．
2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．
[再练一题]
1．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点A(0,2)和B，求椭圆的标准方程.
【导学号：15460025】
【解】 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
将A，B两点坐标代入方程得
解得
∴所求椭圆方程为x2＋＝1.
椭圆的定义及其应用
设P是椭圆＋＝1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
【精彩点拨】 (1)由椭圆方程，你能写出|PF1|＋|PF2|与|F1F2|的大小吗？(2)在△F1PF2中，根据余弦定理可以得到|F1F2|、|PF1|、|PF2|之间的关系式吗？(3)怎样求△F1PF2的面积？
【自主解答】 由椭圆方程知，a2＝25，b2＝，∴c2＝，∴c＝，2c＝5.
在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
60°，
即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得10＝|PF1|＋|PF2|，
即100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
②－①得3|PF1|·|PF2|＝75，
所以|PF1|·|PF2|＝25，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin
60°＝.
1．椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
2．椭圆中的焦点三角形
椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．
[再练一题]
2．在本例中，若把椭圆方程改为“＋＝1”，把“∠F1PF2＝60°”改为“∠PF1F2＝90°”，其余条件不变，试求△PF1F2的面积．
【解】 由椭圆方程＋＝1，知a＝2，c＝1，由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，且|F1F2|＝2，在△PF1F2中，∠PF1F2＝90°.
∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2.
从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，则|PF1|＝，
因此S△PF1F2＝·|F1F2|·|PF1|＝.
故所求△PF1F2的面积为.
[探究共研型]
与椭圆有关的轨迹问题
探究1 如图2 2 1，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A的坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．
图2 2 1
【提示】 用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a，b，c.
所求点Q的轨迹方程为＋＝1.
探究2 如图2 2 2，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程是什么？为什么？
图2 2 2
【提示】 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为：
(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1)．
(2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．
所求点M的轨迹方程为＋y2＝1.
一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
【精彩点拨】 由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．
【自主解答】 由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3,0)，R1＝1；Q2(3,0)，R2＝9.
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图．
由题设有|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，
所以|MQ1|＋|MQ2|＝10>|Q1Q2|＝6.
由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，
且a＝5，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
1．求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所用方法为代入法．
2．对定义法求轨迹方程的认识
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．
3．代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程
F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．
[再练一题]
3．(2016·北大附中高二检测)已知圆C：x2＋y2＝4，过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设直线m与y轴的交点为N，若向量＝＋，则动点Q的轨迹方程为____________.
【导学号：15460026】
【解析】 设点M的坐标为(x0，y0)，点Q的坐标为(x，y)，点N的坐标为(0，y0)，∵＝＋，∴(x，y)＝(x0,2y0)，即x0＝x，y0＝，又∵x＋y＝4，∴x2＋＝4.由已知，直线m平行于x轴，得y≠0，∴Q点的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．
【答案】 ＋＝1(y≠0)
[构建·体系]
1．若椭圆＋＝1过点(－2,
)，则其焦距为( )
A．2
B．2
C．4
D．4
【解析】 将点(－2,
)代入椭圆方程求得b2＝4，于是焦距2c＝2＝4.
【答案】 D
2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为
( )
A.＋＝1
B．＋y2＝1
C.＋＝1
D．＋x2＝1
【解析】 c＝1，
a＝(＋)＝2，
∴b2＝a2－c2＝3.
∴椭圆的方程为＋＝1.
【答案】 A
3．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．
【解析】 由已知2a＝8,2c＝2，
∴a＝4，c＝，
∴b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，
∴椭圆的标准方程为＋x2＝1.
【答案】 ＋x2＝1
4．若方程＋＝1表示椭圆，则m满足的条件是________.
【导学号：15460027】
【解析】 由方程＋＝1表示椭圆，知解得m＞且m≠1.
【答案】
5．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．
【解】 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．
∵F1A⊥F2A，
∴·＝0，
而＝(－4＋c,3)，
＝(－4－c,3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.
∴F1(－5,0)，F2(5,0)．
∴2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·潍坊高二检测)如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．(3，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(3，＋∞)∪(－∞，－2)
D．(3，＋∞)∪(－6，－2)
【解析】 由于椭圆的焦点在x轴上，
所以即
解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D.
【答案】 D
2．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋x2＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C.＋y2＝1
D．以上都不对
【解析】 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则
∴
∴椭圆的方程为x2＋＝1.
【答案】 A
3．(2016·合肥高二月考)设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( )
A．5
B．4
C．3
D．1
【解析】 由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.
【答案】 B
4．椭圆mx2＋ny2＝－mn(m【导学号：15460028】
A．(0，±)
B．(±，0)
C．(0，±)
D．(±，0)
【解析】 将mx2＋ny2＝－mn(m－n>0，得焦点在y轴上，即a2＝－m，b2＝－n，得c2＝a2－b2＝n－m，故选C.
【答案】 C
5．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
【解析】 由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，
又|F1F2|＝2c＝2＝4，
即|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2，
∴△PF1F2为直角三角形．
【答案】 B
二、填空题
6．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
【解析】 依题意，有
可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3.
【答案】 3
7．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________．
【解析】 法一：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．
从而有解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的标准方程为＋＝1.
法二：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
8．已知P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是________．
【解析】 如图，依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常数且a＞0)．
又|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a.
由题意知，a＝2，b＝，c＝＝＝1.
∴|QF1|＝4，F1(－1,0)，
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，
∴动点Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.
【答案】 (x＋1)2＋y2＝16
三、解答题
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，
∴2a＝4，a2＝4，
∵点是椭圆上的一点，
∴＋＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
10．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
【解】 (1)由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．
由椭圆的定义知，
2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又因为c∶a＝5∶13，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
[能力提升]
1．“0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 曲线＋＝1表示椭圆等价于
得t∈∪.故选B.
【答案】 B
2．已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的( )
A．7倍
B．5倍
C．4倍
D．3倍
【解析】 由已知F1(－3,0)，F2(3,0)，
由条件，知P，即|PF2|＝.
由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.
所以|PF1|＝.
所以|PF1|＝7|PF2|.
【答案】 A
3．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是________.
【导学号：15460029】
【解析】 由条件可取F1(－3,0)，∵PF1的中点在y轴上，
∴设P(3，y0)，由P在椭圆＋＝1上得y0＝±，
∴M的坐标为.
【答案】 ±
4.设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点(如图2 2 3)，∠F1F2B＝，△F1F2A的面积是△F1F2B面积的2倍．若|AB|＝，求椭圆C的方程．
图2 2 3
【解】 由题意可得S△F1F2A＝2S△F1F2B，
∴|F2A|＝2|F2B|，
由椭圆的定义得
|F1B|＋|F2B|＝|F1A|＋|F2A|＝2a，
设|F2A|＝2|F2B|＝2m，
在△F1F2B中，由余弦定理得
(2a－m)2＝4c2＋m2－2·2c·m·cos
m＝.
在△F1F2A中，同理可得m＝，
所以＝，
解得2a＝3c，
可得m＝，|AB|＝3m＝＝，c＝4.
由＝，得a＝6，b2＝20，
所以椭圆C的方程为＋＝1.1.1.2 量词
1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及
全称命题和存在性命题的意义．(重点)
2．掌握全称命题与存在性命题真假性的判定．(重点)
[基础·初探]
教材整理1 全称量词与全称命题
阅读教材P4～P5“思考与讨论”下面第3自然段，完成下列问题．
1．全称量词与全称命题
短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．
2．全称命题的形式
设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为 x∈M，p(x)．
下列命题：
①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．
其中是全称命题的为________．
【解析】 ①中的量词“至少有一个”和④中的量词“存在”都不是全称量词，故这两个命题不是全称命题．②③中的量词“任意的”是全称量词，所以这两个命题是全称命题．
【答案】 ②③
教材整理2 存在量词与存在性命题
阅读教材P5“思考与讨论”下面第3自然段以下部分内容，完成下列问题．
1．存在量词与存在性命题
短语“有一个”“有些”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题．
2．存在性命题的形式
设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为 x∈M，q(x)．
判断下列存在性命题的真假：
(1)有一个实数x0，使x＋2x0＋3＝0；
(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；
(3)有些整数只有两个正因数．
【解】 (1)由于 x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在．所以存在性命题“有一个实数x0，使x＋2x0＋3＝0”是假命题．
(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．
(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
全称命题和存在性命题的判定
指出下列命题是全称命题还是存在性命题．
(1) x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x0∈R，使＝0；
(3)对任意向量a，|a|＞0；
(4)有一个角α，使sin
α＞1.
【精彩点拨】 判断一个语句是全称命题还是存在性命题的思路：
判命题―→看量词―→下结论
【自主解答】 (1)因为含有“ ”，所以是全称命题．
(2)因为含有“存在”，所以是存在性命题．
(3)因为含有全称量词“任意”，所以该命题是全称命题．
(4)因为含有存在量词“有一个”，所以该命题是存在性命题．
判定一个命题是全称命题还是存在性命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词．当然有些全称命题中并不含全称量词，这时要根据命题所涉及的意义去判断．
[再练一题]
1．给出下列四个命题：
①所有梯形的对角线相等；
②对任意实数x，均有x＋2>x；
③存在实数x，使x2＋x＋1<0；
④有些三角形不是等腰三角形．
其中为全称命题的序号是________，为存在性命题的序号是________．
【答案】 ①② ③④
全称命题与存在性命题真假的判断
判断下列命题的真假：
(1) x∈R，x2＋1>0；
(2) x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；
(3) x∈Q，x2＝3；
(4) x∈R，x2－x＋1＝0.
【精彩点拨】 结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断．
【自主解答】 (1)由于 x∈R，都有x2≥0，所以有x2＋1≥1>0，所以“ x∈R，x2＋1>0”是真命题．
(2)因为对集合{3,5,7}中的每一个值，都有3x＋1是偶数，所以“ x∈{3,5,7},3x＋1是偶数”是真命题．
(3)由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以“ x∈Q，x2＝3”是假命题．
(4)因为对于x2－x＋1＝0，Δ<0，所以方程x2－x＋1＝0无实数根，所以“ x∈R，x2－x＋1＝0”是假命题．
全称命题与存在性命题真假的判断方法
1．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
2．要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个存在性命题就是假命题．
[再练一题]
2．下列命题中的假命题是( )
【导学号：15460003】
A． x∈R，lg
x＝0
B． x∈R，tan
x＝1
C． x∈R，x3>0
D． x∈R,2x>0
【解析】 选项A，lg
x＝0 x＝1；选项B，tan
x＝1 x＝＋kπ(k∈Z)；选项C，x3>0 x>0；选项D,2x>0 x∈R.
【答案】 C
[探究共研型]
全称命题与存在性命题的应用
探究 已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围．
【提示】 不等式有解问题是存在性命题，只需Δ≥0即可．因此(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即a≥.
已知函数f(x)＝x2－2x＋5，是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
【精彩点拨】 (1)m＋f(x)>0恒成立→m>－f(x)恒成立→
求y＝－f(x)的最大值→m大于－f(x)的最大值
【解】 不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
应用全称命题与存在性命题求参数范围的两类题型
1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用集合中相应元素的具体性质求解；也可以根据函数等数学知识来解决．
2．存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
[再练一题]
3．若命题“ x∈R，有x2－mx－m≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________.
【导学号：15460004】
【解析】 “ x∈R，有x2－mx－m≥0”是真命题，即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.
【答案】 [－4,0]
[构建·体系]
1．以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
【解析】 A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在性命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．
【答案】 B
2．下列命题为存在性命题的是( )
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．有很多实数不小于3
【解析】 A，B，C都是全称命题，D命题可以改为“有一些实数不小于3”，是存在性命题．
【答案】 D
3．下列命题中是真命题的有________．(填序号)
① x∈R，x2＋2x＋1＞0；
② x∈R，|x|≤0；
③ x∈N
，log2x＞0；
④ x∈R，cos
x＝.
【解析】 ①∵当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，
∴命题是假命题．
②∵当x＝0时，|x|≤0成立，
∴命题是真命题．
③∵当x＝1时，log2x＝0，
∴命题是假命题．
④∵当x∈R时，cos
x∈[－1,1]，而＞1，
∴不存在x∈R，使cos
x＝，
∴命题是假命题．
【答案】 ②
4．命题p： x0∈R，x＋2x0＋5＜0是________(填“全称命题”或“存在性命题”)，它是_____命题(填“真”或“假”)．
【解析】 命题p： x0∈R，x＋2x0＋5＜0是存在性命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p为假命题．
【答案】 存在性命题 假
5．已知命题p：ax2＋2x＋1＞0，若对 x∈R，p是真命题，求实数a的取值范围．
【解】 由题意可得， x∈R，ax2＋2x＋1＞0恒成立．
(1)当a＝0时，ax2＋2x＋1＝2x＋1＞0，显然不恒成立，不合题意．
(2)当a≠0时，要使ax2＋2x＋1＞0恒成立，
则解得a＞1.
综上可知，所求实数a的取值范围是(1，＋∞)．
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列命题为存在性命题的是( )
A．奇函数的图象关于原点对称
B．棱台只有两个面平行
C．棱锥仅有一个底面
D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0
【解析】 A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是存在性命题，故选D.
【答案】 D
2．下列命题为真命题的是( )
A． x∈R，cos
x<2
B． x∈Z，log2(3x－1)<0
C． x>0,3x>3
D． x∈Q，方程x－2＝0有解
【解析】 A中，由于函数y＝cos
x的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)<0 0<3x－1<1 ，所以D是假命题．故选A.
【答案】 A
3．有以下四个关于三角函数的命题：
p1： x∈R，sin2＋cos2＝；
p2： x，y∈R，sin(x－y)＝sin
x－sin
y；
p3： x∈[0，π]，＝sin
x；
p4：sin
x＝cos
y x＋y＝.
其中的假命题是( )
【导学号：15460005】
A．p1，p4
B．p2，p4
C．p1，p3
D．p2，p3
【解析】 sin2＋cos2＝1恒成立，p1错；
当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin
x－sin
y，p2对；
当x∈[0，π]时，sin
x≥0，
∴＝＝sin
x，p3对；
当x＝π，y＝时，sin
x＝cos
y成立，但x＋y≠，p4错．
【答案】 A
4．有下列四个命题：
① x∈R,2x2－3x＋4>0；
② x∈{1，－1,0},2x＋1>0；
③ x∈N，x2≤x；
④ x∈N＋，x为29的约数．
其中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是存在性命题，当x＝0或x＝1时，有x2≤x成立，故③为真命题；对于④，这是存在性命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以④为真命题．
【答案】 C
5．下列命题不是“ x∈R，x2＞3”的表述方法的是( )
A．有一个x∈R，使x2＞3
B．对有些x∈R，使x2＞3
C．任选一个x∈R，使x2＞3
D．至少有一个x∈R，使x2＞3
【解析】 选项C中“任选一个”是全称量词，没有“ ”的含义．
【答案】 C
二、填空题
6．给出下列四个命题：
①a⊥b a·b＝0；
②矩形都不是梯形；
③ x，y∈R，x2＋y2≤1；
④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.
其中全称命题是________．
【解析】 由全称命题的定义可知①②④为全称命题，而③为存在性命题．
【答案】 ①②④
7．已知命题：“ x0∈[1,2]，使x＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是______．
【解析】 当x∈[1,2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，∴a≥－8.
【答案】 [－8，＋∞)
8．下列命题：
①存在x<0，使|x|>x；
②对于一切x<0，都有|x|>x；
③已知an＝2n，bn＝3n，对于任意n∈N
，都有an≠bn；
④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N
，都有A∩B＝ .
其中，所有正确命题的序号为________.
【导学号：15460006】
【解析】 命题①②显然为真命题；③由于an－bn＝2n－3n＝－n<0，对于 n∈N
，都有an【答案】 ①②③
三、解答题
9．判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
(1)有一个实数α，使sin2α＋cos2α≠1；
(2)任何一条直线都存在斜率；
(3)对于任意的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一解；
(4)存在实数x0，使得x0≤0.
【解】 (1)是一个存在性命题，用符号表示为： α∈R，使sin2α＋cos2α≠1，假命题．
(2)是一个全称命题，用符号表示为： 直线l，l都存在斜率，假命题．
(3)是一个全称命题，用符号表示为： a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有唯一解，假命题．
(4)是一个存在性命题，用符号表示为： x0∈R，使得x0≤0，真命题．
10．若x∈[－2,2]，关于x的不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，求a的取值范围．
【解】 设f(x)＝x2＋ax＋3－a，则此问题转化为当x∈[－2,2]时，f(x)的最小值不小于0即可．
①当－<－2，即a>4时，f(x)在[－2,2]上单调递增，
f(x)的最小值为f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤.
又因为a>4，所以a不存在．
②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，
f(x)的最小值为f＝≥0，解得－6≤a≤2.
又因为－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.
③当－>2，即a<－4时，
f(x)在[－2,2]上单调递减，
f(x)的最小值为f(2)＝7＋a≥0，
解得a≥－7.
又因为a<－4，所以－7≤a<－4.
综上所述，a的取值范围是{a|－7≤a≤2}．
[能力提升]
1．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列命题中为假命题的是( )
A． x∈R，f(x)≤f(x0)
B． x∈R，f(x)≥f(x0)
C． x∈R，f(x)≤f(x0)
D． x∈R，f(x)≥f(x0)
【解析】 由题知，x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此 x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，故选C.
【答案】 C
2．下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是( )
A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan
α
B．存在实数x，使sin
x＝
C．对一切α，sin(180°－α)＝sin
α
D．sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
【解析】 B是存在性命题，但为假命题，C是全称命题，D为全称命题．
【答案】 A
3．已知函数f(x)＝x2＋m，g(x)＝x，若对任意x1∈[－1,3]，存在x2∈[0,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
【解析】 因为对任意x1∈[－1,3]，f(x1)∈[m,9＋m]，即f(x)的最小值为m.存在x2∈[0,2]，使f(x1)≥g(x2)成立，只要满足g(x)的最小值小于等于m即可，而g(x)是单调递减函数，故g(x)的最小值为g(2)＝2＝，得m≥.
【答案】
4．已知a>且a≠1，条件p：函数f(x)＝log(2a－1)x在其定义域上是减函数；条件q：函数g(x)＝的定义域为R，如果p∨q为真，试求a的取值范围．
【解】 若p为真，则0<2a－1<1，得若q为真，则x＋|x－a|－2≥0对 x∈R恒成立．
记f(x)＝x＋|x－a|－2，
则f(x)＝
所以f(x)的最小值为a－2，即q为真时，a－2≥0，即a≥2.
于是p∨q为真时，得充分条件、必要条件与命题的四种形式
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义．(重点)
2．会求(判定)某些简单命题的条件关系．(重点)
3．通过对充分条件、必要条件概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳
逻辑思维的能力．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 充分条件与必要条件
阅读教材P19～P20第2自然段，完成下列问题．
充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p________q
p________q
条件关系
p是q的______条件q是p的______条件
p不是q的______条件q不是p的______条件
【答案】 充分 必要 充分 必要
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立．( )
(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)×
教材整理2 充要条件
阅读教材P20第3自然段～P21，完成下列问题．
充要条件的概念
一般地，如果p q，且q p，就记作p q.此时，我们说，p是q的________条件，简称________条件．
概括地说，如果p q，那么p与q________条件．
【答案】 充分且必要 充要 互为充要
在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________.
【导学号：15460012】
【解析】 x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直 1·m＋(m＋1)·2＝0 m＝－.
【答案】 －
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
充分条件、必要条件、充要条件的判断
下列各题中，p是q的什么条件？(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
(1)p：A∩B＝A，q： UB UA；
(2)在△ABC中，p：sin
A>sin
B，q：tan
A>tan
B；
(3)p：＝1，q：y＝f(x)为偶函数．
【精彩点拨】 (1)画出Venn图(如图1 3 1)可得．
图1 3 1
(2)在△ABC中，sin
A>sin
B A>B，但是当A为钝角时，tan
A<0.
【自主解答】 (1)A∩B＝A A B UA UB.
故p是q的充要条件．
(2)在△ABC中，sin
A>sin
B A>Btan
A>tan
B，
tan
A>tan
Bsin
A>sin
B．
故p是q的既不充分也不必要条件．
(3)＝1 f(－x)＝f(x) y＝f(x)为偶函数，
但当f(x)＝0时，qp.
故p是q的充分不必要条件．
1．判断p是q的什么条件，主要判断p q，及q p两命题的正确性，若p q真，则p是q成立的充分条件；若q p真，则p是q成立的必要条件．要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定．
2．充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法：
(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．
(3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．
若綈p 綈q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；
若綈p 綈q，且綈q
綈p，则p是q的必要不充分条件；
若綈p 綈q，则p与q互为充要条件；
若綈p
綈q，且綈q
綈p，则p是q的既不充分也不必要条件．
(4)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时，要尽可能用图示、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度．
[再练一题]
1．已知如下四个命题中：
①若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；
②对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；
③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0，则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；
④“m＜－2或m＞6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．
其中正确的结论是________．
【解析】 ①中，当a＝2时，有(a－1)(a－2)＝0；但当(a－1)(a－2)＝0时，a＝1或a＝2，不一定有a＝2.
∴“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件，①正确．
②∵a>bac2>bc2(c＝0)，但ac2>bc2 a>b.
∴“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，②错．
③中，ab＝1且ac＝3时，l1与l2重合，但l1∥l2 ＝，即ab＝1，
∴“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件，③正确．
④中，y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点 Δ＝m2－4(m＋3)＞0 m＜－2或m＞6.
∴是充要条件，④正确．
【答案】 ①③④
充分条件、必要条件、充要条件的应用
已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【精彩点拨】 先解出两个不等式，由p是q的充分不必要条件可得p q，qp.从解集的角度出发，p对应的集合要真包含于q对应的集合，从而建立关于m的不等式组，解出m的范围．
【自主解答】 设A＝，B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0}，则A?B.
解不等式≤2 －2≤x≤10，
解不等式x2－2x＋1－m2≤0 1－m≤x≤1＋m(m>0)，
∵p q且qp，
故A?B，则或
∴m≥9.
1．利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A＝{x|p(x)}和B＝{x|q(x)}，然后根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A与B的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围．
2．判断p是q的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性．
[再练一题]
2．已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解】 令M＝{x|2x2－3x－2≥0}
＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝，
N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}
＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}
＝{x|x≤a－2或x≥a}，
由已知p q且q /p，得M?N.
∴或
≤a<2或[探究共研型]
充要条件的证明
探究1 求a，b中至少有一个不为零的充要条件？
【提示】判断p是q的什么条件，最常用的方法是定义法，另外也可以使用等价命题法或集合法．易得a，b中至少有一个不为零的充要条件是a2＋b2>0.
探究2 充要条件的证明与探求应注意哪些问题？
【提示】 (1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则
由p q证的是充分性，由q p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则
由p q证的是必要性，由q p证的是充分性．
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．
已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
【精彩点拨】 依题意，分别证明充分性和必要性．
【自主解答】 必要性：由<，得－<0，即<0.
又由x>y，得y－x<0.所以xy>0.
充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.
综上所述，<的充要条件是xy>0.
1．证明p是q的充要条件，既要证明命题“p q”为真，又要证明“q p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．
2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．
[再练一题]
3．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
【证明】 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
(1)证明p q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，
即a＋b＋c＝0.
(2)证明q p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[构建·体系]
1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；若x＝y，则|x|＝|y|.
【答案】 B
2．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )
【导学号：15460013】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】对于“a>0且b>0”可以推出“a＋b>0且ab>0”，反之也是成立的．
【答案】 C
3．“α＝”是“cos
α＝”的________条件．
【解析】 当α＝时，必有cos
α＝，但当cos
α＝时，不一定有α＝.例如α还可取－，因此“α＝”是“cos
α＝”的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要
4．若“x＜m”是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是________．
【解析】 由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，由已知条件，知{x|x＜m}?{x|x＞2或x＜1}，∴m≤1.
【答案】 (－∞，1]
5．判断下列各题中p是q的什么条件？
(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(4)p：a【解】 (1)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC；反之，若BC>AC，则A>B.因此，p是q的充要条件．
(2)由x>1可以推出x2>1；由x2>1得x<－1或x>1，不一定有x>1.因此p是q的充分不必要条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此p是q的必要不充分条件．
(4)由于a1；
当b>0时，<1，故若a当a>0，b>0，<1，可以推出ab.因此p是q的既不充分也不必要条件．
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________
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我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A B”的充分不必要条件．
【答案】 A
2．已知命题甲：“a，b，c成等差数列”，命题乙：“＋＝2”，则命题甲是命题乙的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若＋＝2，则a＋c＝2b，由此可得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数列时，可得a＋c＝2b，但不一定得出＋＝2，如a＝－1，b＝0，c＝1.所以命题甲是命题乙的必要不充分条件．
【答案】 A
3．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )
【导学号：15460014】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若φ＝0，则f(x)＝cos(x＋φ)＝cos
x为偶函数，充分性成立；反之，若f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)，必要性不成立，故选A.
【答案】 A
4．“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当a＝－1时，函数f(x)＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1只有一个零点1；但若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1或a＝0.所以“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的充分不必要条件，故选B.
【答案】 B
5．(2016·甘肃临夏期中)已知函数f(x)＝x＋bcos
x，其中b为常数，那么“b＝0”是“f(x)为奇函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当b＝0时，f(x)＝x为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＝－f(x)，
∴－x＋bcos
x＝－x－bcos
x，从而2bcos
x＝0，b＝0.
【答案】 C
二、填空题
6．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的________条件．
【解析】 “b2＝ac”“a，b，c成等比数列”，如b2＝ac＝0；而“a，b，c成等比数列” “b2＝ac”．
【答案】 必要不充分
7．“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的________条件．
【解析】 若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行，则需满足1×2(a－1)－a×(3－a)＝0，化简整理得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，经验证得当a＝－1时，两直线平行，当a＝2时，两直线重合，故“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的充要条件．
【答案】 充要
8．在下列各项中选择一项填空：
①充分不必要条件；
②必要不充分条件；
③充要条件；
④既不充分也不必要条件．
(1)集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________；
(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间上是增函数”的________．
【解析】 (1)当p＝3时，A＝{－1,2,3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．
(2)当a＝1时，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在上是增函数；但由f(x)＝|2x－a|在区间上是增函数不能得到a＝1，如当a＝0时，函数f(x)＝|2x－a|＝|2x|在区间上是增函数．因此“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间上是增函数”的充分不必要条件．
【答案】 (1)③ (2)①
三、解答题
9．下列各题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)在△ABC，p：sin
A>，q：A>.
【解】 (1)因为|x|＝|y| x＝y或x＝－y，但x＝y |x|＝|y|，
所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．
(2)因为A∈(0，π)时，sin
A∈(0,1]，且A∈时，y＝sin
A单调递增，A∈时，y＝sin
A单调递减，所以sin
A> A>，但A>sin
A>.
所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
10．设a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，证明：“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．
【证明】 充分性：由a2＝b(b＋c)＝b2＋c2－2bccos
A可得1＋2cos
A＝＝.
即sin
B＋2sin
Bcos
A＝sin(A＋B)．
化简得sin
B＝sin(A－B)．
由于sin
B＞0且在三角形中，
故B＝A－B，
即A＝2B.
必要性：若A＝2B，
则A－B＝B，sin(A－B)＝sin
B，
sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B，
sin(A－B)＝sin
Acos
B－cos
Asin
B．
∴sin(A＋B)＝sin
B(1＋2cos
A)．
∵A，B，C为△ABC的内角，
∴sin(A＋B)＝sin
C，
即sin
C＝sin
B(1＋2cos
A)．
∴＝1＋2cos
A＝1＋＝，
即＝.
化简得a2＝b(b＋c)．
∴“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．
[能力提升]
1．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由条件，知D C B A，即D A，但A
D，故选A.
【答案】 A
2．设有如下命题：
甲：两相交直线l，m在平面α内，
且都不在平面β内；
乙：l，m中至少有一条与β相交；
丙：α与β相交．
那么当甲成立时( )
A．乙是丙的充分不必要条件
B．乙是丙的必要不充分条件
C．乙是丙的充分必要条件
D．乙既不是丙的充分条件，又不是丙的必要条件
【解析】 当l，m中至少有一条与β相交时，α与β有公共点，则α与β相交，即乙 丙，反之，当α与β相交时，l，m中也至少有一条与β相交，否则若l，m都不与β相交，又都不在β内，则l∥β，m∥β，从而α∥β，与已知α与β相交矛盾，即丙 乙，故选C.
【答案】 C
3．已知f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)<2}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是________.
【导学号：15460015】
【解析】 因为f(x)是R上的增函数，f(－1)＝－4，
f(x)<－4，f(2)＝2，f(x＋t)<2，
所以x<－1，x＋t<2，x<2－t.
又因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，
所以2－t<－1，即t>3.
【答案】 (3，＋∞)
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
【证明】 充分性：因为q＝－1，所以a1＝S1＝p－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，
显然，当n＝1时，也成立．
因为p≠0，且p≠1，
所以＝＝p，
即数列{an}为等比数列，
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
因为p≠0，且p≠1，
所以＝＝p.
因为{an}为等比数列，
所以＝＝p，即＝p.
所以－p＝pq，即q＝－1.
所以数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.