2．1 合情推理与演绎推理
2．1.1 合情推理
1．了解推理的结构及合情推理的定义．(易混点)
2．了解归纳推理的定义与特点，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳推理解决问题．(重点)
3．了解类比推理的定义与特点，掌握类比推理的一般步骤，能利用类比推理解决简单的问题．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 推理与合情推理
阅读教材P53，完成下列问题．
1．推理的定义
根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个_______________________，
这种思维方式叫做推理．
2．推理的结构
推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做__________；一部分是由已知推出的判断，叫做__________．
3．推理的分类
推理一般分为__________推理与__________推理．
4．合情推理
前提为真时，结论__________为真的推理，叫做合情推理．
【答案】 1.判断 2.前提 结论 3.合情 演绎
4．可能
如图2 1 1所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝_________________，
an＝________(n>1，n∈N＋)．
图2 1 1
【解析】 依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得an＝3n－3(n>1，n∈N＋)．
【答案】 15 3n－3
教材整理2 归纳推理与类比推理
阅读教材P54～P58，完成下列问题．
1．归纳推理
(1)定义
根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做________________________________________________
(简称__________)．
(2)归纳推理的一般步骤
①通过观察个别情况发现某些相同性质；
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．
【答案】 1.(1)归纳推理 归纳
2．类比推理
(1)定义：根据__________之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做________(简称__________)．它属于合情推理．
(2)类比推理的一般步骤
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
【答案】 2.(1)两类不同事物 类比推理 类比
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )
(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( )
(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√
2．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到( )
A．空间中平行于同一直线的两直线平行
B．空间中平行于同一平面的两直线平行
C．空间中平行于同一直线的两平面平行
D．空间中平行于同一平面的两平面平行
【解析】 利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．
【答案】 D
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
数、式中的归纳推理
(1)已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2
017(x)的表达式为________．
(2)观察下列等式：
(1＋1)＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
…
照此规律，第n个等式可为________．
(3)已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为__________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________.
【导学号：05410038】
【精彩点拨】 结合数或式子的结构特征，提炼结论．
【自主解答】 (1)由题意f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝＝，…，
fn(x)＝f(fn－1(x))＝…＝，
故f2
017(x)＝.
(2)从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
(3)∵f(x)＝，∴f1(x)＝.
又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，
∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f2(f2(x))＝＝，
f4(x)＝f3(f3(x))＝＝，
f5(x)＝f4(f4(x))＝＝，
根据前几项可以猜想fn(x)＝.
【答案】 (1)f2
017(x)＝ (2)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
(3)f3(x)＝ fn(x)＝
进行数、式中的归纳推理的一般规律
1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；
(4)运用归纳推理得出一般结论．
2．数列中的归纳推理
在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．
(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；
(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；
(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．
[再练一题]
1．(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(a∈N＋)，则可归纳猜想{an}的通项公式为( )
A．an＝
B．an＝
C．an＝
D．an＝
(2)已知＜，＜，＜，…，推测猜想一般性结论为________.
【导学号：05410039】
【解析】 (1)由已知得a1＝1，a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，…，由此可猜想an＝.
(2)每一个不等式的右边是不等式左边的分子、分母分别加了相同的正数，因此可猜测：＜(a，b，m均为正数，且a＞b)．
【答案】 (1)B
(2)＜(a，b，m均为正数，且a＞b)
几个图形中的归纳推理
(1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图2 1 2的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________．
图2 1 2
(2)根据图2 1 3中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为__________．
① ② ③ ④
图2 1 3
【精彩点拨】 (1)观察图案知，每多一块白色地面砖，则多5块黑色地面砖，从而每个图案中白色地面砖的块数，组成首项为6，公差为5的等差数列．
(2)先求出前4个图形中线段的数目，再归纳．
【自主解答】 (1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.
(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.
【答案】 (1)5n＋1 (2)509
归纳推理在图形中的应用策略
通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
[再练一题]
2．观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
【解析】 观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.
【答案】 F＋V－E＝2
3．根据如图2 1 4的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第n个图形有多少个圆圈．
(1) (2) (3) (4) (5)
图2 1 4
【解】 法一：图(1)中的圆圈数为12－0，图(2)中的圆圈数为22－1，图(3)中的圆圈数为32－2，图(4)中的圆圈数为42－3，图(5)中的圆圈数为52－4，…，
故猜测第n个图形中的圆圈数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.
法二：第2个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有2×(2－1)＋1个圆圈；第3个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有3×(3－1)＋1个圆圈；第4个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有4×(4－1)＋1个圆圈；第5个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有四个圆圈，共有5×(5－1)＋1个圆圈；……
由上述的变化规律，可猜测第n个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n个方向，每个方向有(n－1)个圆圈，因此共有n(n－1)＋1＝(n2－n＋1)个圆圈．
[探究共研型]
类比推理及其应用
探究1 在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？
【提示】 四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．
探究2 三角形的面积等于底边与高乘积的，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？
【提示】 四面体的体积等于底面积与高的积的.
(1)在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．可类比得到的结论是_________
________________________________________________________________.
(2)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
【精彩点拨】 (1)等比数列中的商类比等差数列中的差．
(2)三角形类比四面体，三角形中的边类比四面体中的面，三角形中的高类比四面体中的高．
【自主解答】 (1)因为等差数列{an}的公差d＝3，
所以(S30－S20)－(S20－S10)
＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)
＝
＝100d＝300，
同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，
所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.
即结论为：数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.
【答案】 数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300
(2)如图①所示，由射影定理得
①
AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，
所以＝
＝
＝.
又BC2＝AB2＋AC2，
所以＝＋.
类比猜想：
四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，
则＝＋＋.
如图②，连接BE交CD于F，连接AF，
②
因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，
所以AB⊥平面ACD，
而AF 平面ACD，所以AB⊥AF，
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
所以＝＋，
易知在Rt△ACD中，AF⊥CD，
所以＝＋，
所以＝＋＋，猜想正确．
1．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：
平面图形
空间图形
点
直线
直线
平面
边长
面积
面积
体积
三角形
四面体
线线角
面面角
2.中学阶段常见的类比知识点有：等差与等比数列，向量、复数与实数，空间与平面，圆与球等等．
[再练一题]
4．上例(1)中条件不变，试写出一个更为一般的结论(不必证明)．
【解】 对于任意的k∈N＋，都有数列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列，且公差为k2d.
[构建·体系]
1．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图2 1 5)．
图2 1 5
则第n个正方形数是( )
A．n(n－1)
B．n(n＋1)
C．n2
D．(n＋1)2
【解析】 观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.
【答案】 C
2．如图2 1 6所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )
图2 1 6
A．an＝3n－1
B．an＝3n
C．an＝3n－2n
D．an＝3n－1＋2n－3
【解析】 ∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想an＝3n－1.
【答案】 A
3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.
【导学号：05410040】
【解析】 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.
【答案】 1∶8
4．观察下列等式：
1＝1，
2＋3＋4＝9，
3＋4＋5＋6＋7＝25，
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，
…
照此规律，第五个等式应为________．
【解析】 每行最左侧数分别为1,2,3，…，所以第n行最左侧的数应为n；每行的个数分别为1,3,5，…，所以第n行的个数应为2n－1.所以第5行的数依次是5,6,7，…，13，其和为5＋6＋7＋…＋13＝81.
【答案】 5＋6＋7＋…＋13＝81
5．已知在数列{an}中，a1＝，an＋1＝.
(1)求a2，a3，a4，a5的值；
(2)猜想an.
【解】 (1)a2＝＝＝，
同理a3＝＝，a4＝，a5＝.
(2)由a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，可猜想an＝.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·厦门高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图2 1 7所示：
图2 1 7
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2
B．8n－2
C．6n＋2
D．8n＋2
【解析】 观察易知第1个“金鱼”图中需要火柴棒8根，而第2个“金鱼”图中比第1个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根，第3个“金鱼”图中比第2个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根，…….由此可猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第n－1个“金鱼”图需要火柴棒的根数多6，即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以8为首项，6为公差的等差数列，易求得通项公式为an＝6n＋2.
【答案】 C
2．数列－3,7，－11,15，…的通项公式可能是( )
A．an＝4n－7
B．an＝(－1)n(4n＋1)
C．an＝(－1)n(4n－1)
D．an＝(－1)n＋1(4n－1)
【解析】 当数列中负项、正项交替出现时，用(－1)n来控制；若是正项、负项交替出现，则用(－1)n＋1来控制．
【答案】 C
3．定义A
B，B
C，C
D，D
B依次对应下列4个图形：
图2 1 8
那么下列4个图形中，
图2 1 9
可以表示A
D，A
C的分别是( )
A．(1)，(2)
B．(1)，(3)
C．(2)，(4)
D．(1)，(4)
【解析】 由①②③④可归纳得出：符号“
”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A
D是(2)，A
C是(4)．
【答案】 C
4．下列推理正确的是( )
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则sin(x＋y)＝sin
x＋sin
y
C．把(ab)n与(x＋y)n类比，则(x＋y)n＝xn＋yn
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则(xy)z＝x(yz)
【解析】 A错误，因为logax＋logay＝logaxy(x>0，y>0)；
B错误，因为sin(x＋y)＝sin
xcos
y＋cos
xsin
y；
C错误，如当n＝2时，若xy≠0，则(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2≠x2＋y2；
D正确，类比的是加法、乘法的结合律．
【答案】 D
5．给出下列等式：
1×9＋2＝11，
12×9＋3＝111，
123×9＋4＝1
111，
1
234×9＋5＝11
111，
12
345×9＋6＝111
111，
…
猜测123
456×9＋7等于( )
A．1
111
110
B．1
111
111
C．1
111
112
D．1
111
113
【解析】 由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1
111
111.
【答案】 B
二、填空题
6．已知
＝2·
，＝3·，＝4·
，….若＝8·(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.
【解析】 由所给等式知，a＝8，t＝82－1＝63，∴a＋t＝71.
【答案】 71
7．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为__________.
【导学号：05410041】
【解析】 ∵f(2)＝，f(4)>2＝，f(8)>，f(16)>3＝，∴由此可推测一般性的结论为f(2n)≥.
【答案】 f(2n)≥
8．对于命题“如果O是线段AB上一点，则|
|·＋||·＝0”，将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有________________________________________________．
【解析】 根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为
VO BCD·＋VO ACD·＋VO ABD·＋VO ABC·＝0.
【答案】 VO BCD·＋VO ACD·＋VO ABD·＋VO ABC·＝0
三、解答题
9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：
(1)三角形两边之和大于第三边．
(2)三角形的面积S＝×底×高．
(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的.
…
请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．
【解】 由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：
(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．
(2)四面体的体积V＝×底面积×高．
(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.
10．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图2 1 10(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
图2 1 10
(1)求出f(5)；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．
【解】 (1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，
∴f(5)＝25＋4×4＝41.
(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
∴f(2)－f(1)＝4×1，
f(3)－f(2)＝4×2，
f(4)－f(3)＝4×3，
…
f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，
f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)．
∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]
＝2(n－1)·n，
∴f(n)＝2n2－2n＋1.
[能力提升]
1．观察下列各式：
1＝12，
2＋3＋4＝32，
3＋4＋5＋6＋7＝52，
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，
…
可以得出的一般结论是( )
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
【解析】 观察已知等式，第n个等式左边都是2n－1个数相加，第1个数是n，等式右边是(2n－1)2.由此可得一般结论为：
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，故选B.
【答案】 B
2．已知x>0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，我们可以得出推广结论：x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a＝( )
A．2n
B．n2
C．3n
D．nn
【解析】 ∵x＋≥2＝2，
x＋＝＋＋≥3＝3.
…
由此猜想，x＋＝
所以a＝nn，选D.
【答案】 D
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝，将此结论类比到空间，得到相类似的结论为：________.
【导学号：05410042】
【解析】 利用类比推理，可把Rt△ABC类比为三棱锥P ABC，且PA，PB，PC两两垂直，当PA＝a，PB＝b，PC＝c时，其外接球半径为R＝.
【答案】 在三棱锥P ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，则三棱锥P ABC的外接球的半径为R＝
4．如图2 1 11所示，为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N＋，m≥2)．
图2 1 11
(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；
(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；
(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；
(4)已知an＝9
900，问an是数列的第几项？
【解】 (1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….
(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1)·(n＋2)，n∈N＋.
(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
(4)令(n＋1)(n＋2)＝9
900，解得n＝98，即an是数列的第98项.1．1.3 导数的几何意义
1．理解导数的几何意义．(重点)
2．能应用导数的几何意义解决相关问题．(难点)
3．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(易混点)
[基础·初探]
教材整理 导数的几何意义
阅读教材P11“例1”以上部分，完成下列问题．
1．割线的斜率
已知y＝f(x)图象上两点A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是________________，即曲线割线的斜率就是________________．
2．导数的几何意义
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)的几何意义为________________．
【答案】 1.＝ 函数的平均变化率 2.曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．( )
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( )
(3)函数f(x)＝0没有导函数．( )
【解析】 (1)错．导函数的定义域和原函数的定义域可能不同，如f(x)＝x，其定义域为[0，＋∞)，而其导函数f′(x)＝，其定义域为(0，＋∞)．
(2)错．直线与曲线相切时，直线与曲线的交点可能有多个．
(3)错．函数f(x)＝0为常数函数，其导数f′(x)＝0，并不是没有导数．
【答案】 (1)× (2)× (3)×
2．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f′(2)等于( )
【导学号：05410036】
A．1
B．－1
C．－3
D．3
【解析】 由题意知f′(2)＝3.
【答案】 D
3．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为__________.
【导学号：05410004】
【解析】 设切线的倾斜角为α，则
tan
α＝f′(x0)＝1，又α∈[0°，180°)，
∴α＝45°.
【答案】 45°
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
求曲线在某点处切线的方程
已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
【精彩点拨】 (1)先求切点坐标，再求y′，最后利用导数的几何意义写出切线方程．
(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解．
【自主解答】 (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1,1)．
y′＝
＝
＝[3＋3Δx＋Δx2]＝3.
∴k＝3.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)由
解得或
从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)，
即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．
1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：
(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为x＝x0.
2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．
[再练一题]
1．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是__________．
【解析】 切线的斜率为k＝－1.
∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0.
【答案】 x＋y－3＝0
求切点坐标
已知抛物线y＝2x2＋1.求：
(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？
(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0
【精彩点拨】 →→→
【自主解答】 设切点的坐标为(x0，y0)，则
Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.
∴＝4x0＋2Δx.
∴f′(x0)＝
(4x0＋2Δx)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan
45°＝1，
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，该点为.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴斜率为4，
即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．
1．本题关键是由条件得到直线的斜率，从而得知函数在某点处的导数，进而求出切点的横坐标．
2．根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)求切线的斜率f′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标．
[再练一题]
2．上例中条件不变，求抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0
【解】 ∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
∴抛物线的切线的斜率为8.
由上例知f′(x0)＝4x0＝8，∴x0＝2，y0＝9.
即所求点的坐标为(2,9)．
[探究共研型]
求曲线过某点的切线方程
探究1 若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？
【提示】 根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
探究2 曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点．
【提示】 不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．
探究3 函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系．
【提示】 区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．
联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0时的函数值．
已知曲线f(x)＝.
(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；
(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．
【精彩点拨】 (1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．
(2)设出切点坐标，由该点斜率为－，求出切点，进而求出切线方程．
【自主解答】 (1)f′(x)＝
＝
＝－.
设过点A(1,0)的切线的切点为P，①
则f′(x0)＝－，即该切线的斜率为k＝－.
因为点A(1,0)，P在切线上，
所以＝－，②
解得x0＝.故切线的斜率k＝－4.
故曲线过点A(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)，
即4x＋y－4＝0.
(2)设斜率为－的切线的切点为Q，
由(1)知，k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±.
所以切点坐标为或.
故满足斜率为－的曲线的切线方程为
y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，
即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.
1．求曲线过已知点的切线方程的步骤
2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．
[再练一题]
3．求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程．
【解】 设切点为Q(a，a2＋1)，＝＝2a＋Δx，当Δx趋于0时，(2a＋Δx)趋于2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，＝2a，解得a＝1±，所求的切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)．
[构建·体系]
1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则( )
A．f′(x0)＞0
B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0
D．f′(x0)不存在
【解析】 由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数．
【答案】 A
2．曲线y＝x2－2在点x＝1处的切线的倾斜角为( )
【导学号：05410005】
A．30°
B．45°
C．135°
D．165°
【解析】 ∵y＝x2－2，
∴y′＝
＝
＝
＝x.
∴切线的斜率为1，倾斜角为45°.
【答案】 B
3．曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．
【解析】 f′(－2)＝
＝
＝
＝－，
∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.
【答案】 x＋2y＋4＝0
4．已知二次函数y＝f(x)的图象如图1 1 2所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：
f′(a)________f′(b)(填“＜”或“＞”)．
图1 1 2
【解析】 f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，
由图象可得f′(a)＞f′(b)．
【答案】 ＞
5．已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值．
【解】 设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则
f′(x)＝
＝3x2－4x.
由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点坐标为或(2,3)．
当切点为时，有＝4×＋a，
∴a＝.
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，
∴a＝－5，
因此切点坐标为或(2,3)，
a的值为或－5.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝
( )
A．4
B．－4
C．－2
D．2
【解析】 由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.
【答案】 D
2．(2016·衡水高二检测)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A．f′(x0)>0
B．f′(x0)＝0
C．f′(x0)<0
D．f′(x0)不存在
【解析】 切线的斜率为k＝－2，
由导数的几何意义知f′(x0)＝－2<0，故选C.
【答案】 C
3．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是( )
【导学号：05410006】
A．(1,1)
B．(－1,1)
C．(1,1)或(－1，－1)
D．(2,8)或(－2，－8)
【解析】 因为y＝x3，所以y′＝
＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.
由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.
当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.
故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)，故选C.
【答案】 C
4．(2016·银川高二检测)若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－4＝0
B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0
D．x＋4y＋3＝0
【解析】 设切点为(x0，y0)，
∵f′(x)＝
＝
(2x＋Δx)＝2x.
由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，
∴x0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A.
【答案】 A
5．曲线y＝在点处的切线的斜率为( )
A．2
B．－4
C．3
D.
【解】 因为y′＝
＝
＝
＝－，
所以曲线在点处的切线斜率为
k＝－4，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．已知函数y＝f(x)的图象如图1 1 3所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是__________(填序号)．
图1 1 3
【解析】 由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．
【答案】 ②
7．曲线y＝x2－2x＋3在点A(－1,6)处的切线方程是
__________.
【解析】 因为y＝x2－2x＋3，切点为点A(－1,6)，所以斜率k＝
＝
(Δx－4)＝－4，
所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.
【答案】 4x＋y－2＝0
8．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________．
【解析】 设P(x0，y0)，则
y′＝
＝
(2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.
因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，
所以点P处的切线的斜率为2，
所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0,0)．
【答案】 (0,0)
三、解答题
9．(2016·安顺高二检测)已知抛物线y＝f(x)＝x2＋3与直线y＝2x＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程．
【解】 由方程组得x2－2x＋1＝0，
解得x＝1，y＝4，所以交点坐标为(1,4)，又＝Δx＋2.
当Δx趋于0时，Δx＋2趋于2，所以在点(1,4)处的切线斜率k＝2，
所以切线方程为y－4＝2(x－1)，
即y＝2x＋2.
10．试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．
【解】 y′＝
＝
＝2x.
设所求切线的切点为A(x0，y0)．
∵点A在曲线y＝x2上，
∴y0＝x，
又∵A是切点，
∴过点A的切线的斜率k＝2x0，
∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，
∴其斜率为＝.
∴2x0＝，
解得x0＝1或x0＝5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．
当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；
当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.
∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.
[能力提升]
1．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于( )
A．2
B．－1
C．1
D．－2
【解析】 依导数定义可求得，y′＝3x2＋a，则由此解得所以2a＋b＝1，选C.
【答案】 C
2．(2016·天津高二检测)设f(x)为可导函数，且满足
＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
【导学号：05410007】
A．2
B．－1
C．1
D．－2
【解析】 ∵
＝
＝－1，
∴
＝－2，即f′(1)＝－2.
由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝－2，故选D.
【答案】 D
3．(2016·郑州高二检测)已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a的值为________．
【解析】 设切点为P(x0，y0)．
则f′(x0)＝
＝
＝
(2ax0＋aΔx)＝2ax0，即2ax0＝1.
又y0＝ax，x0－y0－1＝0，
联立以上三式，得
解得a＝.
【答案】
4．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，求a，b的值．
【解】 因为f′(x)＝
＝
＝2ax，
所以f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.
因为g′(x)＝
＝
＝3x2＋b，
所以g′(1)＝3＋b，即切线的斜率k2＝3＋b.
因为在交点(1，c)处有公切线，
所以2a＝3＋b.①
又因为c＝a＋1，c＝1＋b，
所以a＋1＝1＋b，即a＝b，
代入①式，得章末分层突破
[自我校对]
①－1
②a＝c，b＝d
③＝a－bi
④Z(a，b)
⑤
⑥a＋c
⑦(b＋d)i
⑧(a－c)＋(b－d)i
复数的概念
正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．
两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．
求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．
复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，
(1)z∈R；(2)z为虚数．
【精彩点拨】 根据复数的分类列方程求解．
【规范解答】 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以
由②得x＝4，经验证满足①③式．
所以当x＝4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
所以
由①得x>或x<.
由②得x≠4，由③得x>3.
所以当x>且x≠4时，z为虚数．
[再练一题]
1．设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
(2)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z的实部是__________.
【导学号：05410076】
【解析】 (1)因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.
(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i.
由复数相等的充要条件，得解得
故复数z的实部是1.
法二：由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝＝2＋3i，故z＝1＋3i，即复数z的实部是1.
【答案】 (1)D (2)1
复数的四则运算
复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母(i2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z·为实数．
(1)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝( )
A．－2
B．－2i
C．2
D．2i
(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( )
A．2＋3i
B．2－3i
C．3＋2i
D．3－2i
【精彩点拨】 (1)先求出及，结合复数运算法则求解．
(2)利用方程思想求解并化简．
【规范解答】 (1)∵z＝1＋i，∴＝1－i，＝＝＝1－i，∴＋i·＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.
(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋i＝2＋3i.
【答案】 (1)C (2)A
[再练一题]
2．已知(1＋2i)＝4＋3i，则的值为( )
A.＋i
B.－i
C．－＋i
D．－－i
【解析】 因为(1＋2i)＝4＋3i，所以＝＝＝2－i，所以z＝2＋i，所以＝＝＝＋i.
【答案】 A
复数的几何意义
1.复数的几何表示法：即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．
(1)在复平面内，复数对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
A．(0，－1)
B．(0,1)
C.
D.
【精彩点拨】 先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标．
【规范解答】 (1)复数＝＝＝＋i.
∴复数对应点的坐标是.
∴复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A.
(2)∵＝＝＝－i，其对应的点为(0，－1)，故选A.
【答案】 (1)A (2)A
[再练一题]
3．已知复数z对应的向量如图3 1所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
图3 1
(2)若i为虚数单位，图3 2中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
图3 2
A．E B．F C．G D．H
【解析】 (1)由题图知，z＝－2＋i，∴z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，故z＋1对应的向量应为选项A.
(2)由题图可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．
【答案】 (1)A (2)D
转化与化归思想
一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．
设z∈C，满足z＋∈R，z－是纯虚数，求z.
【精彩点拨】 本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.
【规范解答】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
z＋＝x＋yi＋
＝＋i，
∵z＋∈R，
∴y－＝0，
解得y＝0或x2＋y2＝1，
又∵z－＝x＋yi－＝＋yi是纯虚数．
∴
∴x＝，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±，
∴复数z＝±i.
[再练一题]
4．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．
【解】 设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i，z＋3＝x＋3＋yi.
由已知，得因为y≠0，
所以解得或
所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足题设条件．
1．(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足＝i，则|z|＝( )
A．1
B.
C.
D．2
【解析】 由＝i，得z＝＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1，故选A.
【答案】 A
2．(2015·广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝( )
A．2－3i
B．2＋3i
C．3＋2i
D．3－2i
【解析】 ∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴＝2－3i.
【答案】 A
3．(2016·全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1)
B．(－1,3)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－3)
【解析】 由题意知即－3＜m＜1.故实数m的取值范围为(－3,1)．
【答案】 A
4．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1
B.
C.
D．2
【解析】 ∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.
又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝1.
∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B.
【答案】 B
5．若z＝1＋2i，则＝( )
A．1
B．－1
C．i
D．－i
【解析】 因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝＝i.故选C.
【答案】 C
章末综合测评(三) 数系的扩充与复数
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a，b∈C，下列命题正确的是( )
A．3i<5i
B．a＝0 |a|＝0
C．若|a|＝|b|，则a＝±b
D．a2≥0
【解析】 A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，b∈R时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝，但i≠－＋i或－i；D选项中，当a∈R时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i2＝－1<0.
【答案】 B
2．i是虚数单位，则的虚部是( )
【导学号：05410077】
A.i
B．－i
C.
D．－
【解析】 ＝＝＝＋i.
【答案】 C
3.＝( )
A．2
B．2
C.
D．1
【解析】 由＝＝＝1－i，
∴＝|1－i|＝.故选C.
【答案】 C
4.是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝( )
A．1＋i
B．－1－i
C．－1＋i
D．1－i
【解析】 法一：设z＝a＋bi，a，b为实数，则＝a－bi，∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，
∴b＝－1.故z＝1－i.
法二：∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i.又z＋＝2，
∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，
∴z＝1－i.
【答案】 D
5．复数的共轭复数为( )
A．－＋i
B.＋i
C.－i
D．－－i
【解析】 ∵＝＝＝－＋i，
∴其共轭复数为－－i.故选D.
【答案】 D
6．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2；
p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i；
p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为( )
A．p2，p3
B．p1，p2
C．p2，p4
D．p3，p4
【解析】 ∵z＝＝－1－i，
∴|z|＝＝，
∴p1是假命题；
∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；
∵＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
其中的真命题为p2，p4.
【答案】 C
7．复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数是( )
A．－2＋3i
B．－3－2i
C．2－3i
D．3－2i
【解析】 设D(x，y)，由平行四边形对角线互相平分得∴
∴D(－3，－2)，∴对应复数为－3－2i.
【答案】 B
8．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1
B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1
D．a≠2
【解析】 要使复数不是纯虚数，则有
∴解得a≠－1.
【答案】 C
9．若a，b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 复数对应点的坐标为(a2－6a＋10，－b2＋4b－5)，
又∵a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，
－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1<0.
所以复数对应的点在第四象限．故选D.
【答案】 D
10．如果复数z＝3＋ai满足条件|z－2|<2，那么实数a的取值范围是( )
A．(－2，2)
B．(－2,2)
C．(－1,1)
D．(－，
)
【解析】 因为|z－2|＝|3＋ai－2|＝|1＋ai|＝<2，所以a2＋1<4，所以a2<3，即－
【答案】 D
11．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则( )
A．b＝2，c＝3
B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1
D．b＝2，c＝－1
【解析】 因为1＋i是实系数方程的一个复数根，所以1－i也是方程的根，则1＋i＋1－i＝2＝－b，(1＋i)(1－i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.
【答案】 B
12．设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．
选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确．
选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，
由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．
选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知i是虚数单位，计算＝________.
【解析】 ＝＝＝＝＝－－i.
【答案】 －－i
14．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝__________.
【解析】 ＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.
又a为正实数，所以a＝.
【答案】
15．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为__________.
【导学号：05410078】
【解析】 a＋bi＝＝＝＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.
从而a＋b＝8.
【答案】 8
16．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
【解析】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－i|≤可得≤，即x2＋(y－1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2π.
【答案】 2π
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算：
(1)(＋i)2(4＋5i)．
(2)＋2
016.
【解】 (1)(＋i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)
＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.
(2)＋2016
＝＋1
008
＝i(1＋i)＋1
008
＝－1＋i＋(－i)1
008
＝－1＋i＋1
＝i.
18．(本小题满分12分)已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值.
【导学号：05410079】
【解】 由①得解得
将x，y代入②得(5＋4a)－(6＋b)i＝9－8i，
所以
所以a＝1，b＝2.
19．(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.
【解】 (1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z是实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数．
(3)当即k＝4时，z是纯虚数．
(4)当即k＝－1时，z是0.
20．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
【解】 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.
21．(本小题满分12分)已知复数z1＝i，z2＝－i，z3＝2－i，z4＝－在复平面上对应的点分别是A，B，C，D.
(1)求证：A，B，C，D四点共圆；
(2)已知＝2
，求点P对应的复数．
【解】 (1)∵|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝，
即|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|，
∴A，B，C，D四点都在圆x2＋y2＝5上，即A，B，C，D四点共圆．
(2)∵A(0，)，B(，－)，
∴＝(，－－)．
设P(x，y)，则＝(x，y－)，
若＝2
，那么(，－－)＝(2x,2y－2)，
∴
解得
∴点P对应的复数为＋i.
22．(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量1，2分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R.若1＋z2可以与任意实数比较大小，求1·2的值．
【解】 由题意，得1＝－(10－a2)i，
则1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i
＝＋(a2＋2a－15)i.
因为1＋z2可以与任意实数比较大小，
所以1＋z2是实数，
所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又因为a＋5≠0，所以a＝3，所以z1＝＋i，z2＝－1＋i.
所以1＝，O2＝(－1,1)．
所以1·2＝×(－1)＋1×1＝.章末分层突破
[自我校对]
①由部分到整体，由个别到一般
②类比推理
③演绎推理
④由一般到特殊
⑤综合法
⑥执果索因
⑦反证法
⑧数学归纳法
合情推理
1.归纳推理的特点及一般步骤
2．类比推理的特点及一般步骤
观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，……，由此可归纳出的式子为( )
A．1＋＋＋…＋<
B．1＋＋＋…＋<
C．1＋＋＋…＋<
D．1＋＋＋…＋<
(2)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin
α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin
α＋sin＋sin＝0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为__________．
【精彩点拨】 (1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得．
(2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论．
【规范解答】 (1)由各式特点，可得1＋＋＋…＋<.故选C.
(2)用两点等分单位圆时，关系为sin
α＋sin(π＋α)＝0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α)－α＝π，
用三点等分单位圆时，关系为sin
α＋sin＋sin＝0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有－＝－α＝.
依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为＋α＝＋α，第三个角为＋α＋＝π＋α，第四个角为π＋α＋＝＋α，即其关系为sin
α＋sin＋sin(α＋π)＋sin＝0.
【答案】 (1)C (2)sin
α＋sin＋sin(α＋π)＋sin＝0
[再练一题]
1．已知函数y＝sin4x＋cos4x(x∈R)的值域是，则
(1)函数y＝sin6
x＋cos6x(x∈R)的值域是__________；
(2)类比上述结论，函数y＝sin2n
x＋cos2nx(n∈N＋)的值域是__________.
【导学号：05410055】
【解析】 (1)y＝sin6x＋cos6x＝(sin2x＋cos2x)(sin4x－sin2
xcos2
x＋cos4
x)＝sin4x－sin2xcos2
x＋cos4x＝(sin2
x＋cos2
x)2－3sin2xcos2x＝1－sin2(2x)＝1－(1－cos
4x)
＝＋cos
4x∈.
(2)由类比可知，y＝sin2nx＋cos2nx的值域是[21－n,1]．
【答案】 (1) (2)[21－n,1]
综合法与分析法
1.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．
2．分析法和综合法是两种思路相反的推理方法．分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．
设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.试用综合法和分析法分别证明．
【精彩点拨】 (1)综合法：根据a＋b＝1，分别求＋与的最小值．
(2)分析法：把变形为＝＋求证．
【规范解答】 法一：(综合法)
∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＝a＋b≥2，≤，ab≤，∴≥4.
又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
法二：(分析法)
∵a>0，b>0，a＋b＝1，
要证＋＋≥8，
只要证＋≥8，
只要证＋≥8，
即证＋≥4.
也就是证＋≥4.
即证＋≥2，
由基本不等式可知，当a>0，b>0时，
＋≥2成立，所以原不等式成立．
[再练一题]
2．(1)已知a，b，c为互不相等的非负数．
求证：a2＋b2＋c2>(＋＋)．
(2)用分析法证明：2cos(α－β)－＝.
【解】 (1)因为a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
又因为a，b，c为互不相等的非负数，
所以上面三个式子中都不能取“＝”，
所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，
因为ab＋bc≥2，bc＋ac≥2，
ab＋ac≥2，
又a，b，c为互不相等的非负数，
所以ab＋bc＋ac>(＋＋)，
所以a2＋b2＋c2>(＋＋)．
(2)要证原等式成立，只需证：
2cos(α－β)sin
α－sin(2α－β)＝sin
β，①
因为①左边＝2cos(α－β)sin
α－sin[(α－β)＋α]
＝2cos(α－β)sin
α－sin(α－β)cos
α－
cos(α－β)sin
α
＝cos(α－β)sin
α－sin(α－β)cos
α
＝sin
β＝右边，
所以①成立，即原等式成立．
反证法
反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论．反证法的思路：反设→归谬→结论．
设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．
【精彩点拨】 (1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论．
【规范解答】 (1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，∴Sn＝
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N
，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．
[再练一题]
3．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn.证明：数列{cn}不是等比数列．
【证明】 假设数列{cn}是等比数列，则
(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①
因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，
所以a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1.
代入①并整理，得
2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1
＝anbn，
即2＝＋，②
当p，q异号时，＋<0，与②相矛盾；
当p，q同号时，由于p≠q，
所以＋>2，与②相矛盾．
故数列{cn}不是等比数列．
数学归纳法
1.关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
2．关注点二：由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．
已知正数数列{an}(n∈N＋)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋，用数学归纳法证明：an＝－.
【规范解答】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝，
所以a＝1(an>0)，所以a1＝1，又－＝1，
所以n＝1时，结论成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，结论成立，即ak＝－.
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－
＝－
＝－，
所以a＋2ak＋1－1＝0，
解得ak＋1＝－(an>0)，所以n＝k＋1时，结论成立．
由(1)(2)可知，对n∈N＋都有an＝－.
[再练一题]
4．设数列{an}的前n项和Sn＝(n∈N＋)，a2＝2.
(1)求{an}的前三项a1，a2，a3；
(2)猜想{an}的通项公式，并证明．
【解】 (1)由Sn＝，得a1＝1，又由a2＝2，得a3＝3.
(2)猜想：an＝n.
证明如下：①当n＝1时，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥2)时，猜想成立，即ak＝k，
那么当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－
＝－.
所以ak＋1＝－＝k＋1，
所以当n＝k＋1时，猜想也成立．
根据①②知，对任意n∈N＋，都有an＝n.
转化与化归思想
转化与化归是数学思想方法的灵魂．在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化．
设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a，b，c都为整数，已知f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程f(x)＝0无整数根．
【精彩点拨】 假设方程f(x)＝0有整数根k，结合f(0)，f(1)均为奇数推出矛盾．
【规范解答】 假设方程f(x)＝0有一个整数根k，
则ak2＋bk＋c＝0，
∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c都为奇数，
∴a＋b必为偶数，ak2＋bk为奇数．
当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，则ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝2n(2na＋b)必为偶数，与ak2＋bk为奇数矛盾；
当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak2＋bk为奇数矛盾．
综上可知，方程f(x)＝0无整数根．
[再练一题]
5．用数学归纳法证明：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．
【证明】 设n＝2m－1，m∈N＋，则xn＋yn＝x2m－1＋y2m－1.
要证明原命题成立，只需证明x2m－1＋y2m－1能被x＋y整除(m∈N＋)．
(1)当m＝1时，x2m－1＋y2m－1＝x＋y能被x＋y整除．
(2)假设当m＝k(k∈N＋)时命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，那么当m＝k＋1时，
x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋2－1＋y2k＋2－1＝x2k－1x2－x2k－1y2
＋y2k－1y2＋x2k－1y2＝x2k－1(x2－y2)＋y2(x2k－1＋y2k－1)＝x2k－1(x－y)(x＋y)＋y2
(x2k－1＋y2k－1)．
因为x2k－1(x－y)(x＋y)与y2(x2k－1＋y2k－1)均能被x＋y整除，
所以当m＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)，知原命题成立.
1．(2016·北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【解析】 通过随机事件直接分析出现情况的可能性．
取两个球往盒子中放有4种情况：
①红＋红，则乙盒中红球数加1；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；
③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；
④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．
③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．
①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．
综上，选B.
【答案】 B
2．(2015·山东高考)观察下列各式：
C＝40；
C＋C＝41；
C＋C＋C＝42；
C＋C＋C＋C＝43；
……
照此规律，当n∈N＋时，
C＋C＋C＋…＋C＝________.
【解析】 观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C＋C＋C＋…＋C＝4n－1.
【答案】 4n－1
3．(2015·福建高考)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N＋)，其中xk(k＝1,2，…，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：
其中运算 定义为：0 0＝0,0 1＝1,1 0＝1,1 1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．
【解析】 因为x2 x3 x6 x7＝0，所以x2，x3，x6，x7都正确．又因为x4 x5 x6 x7＝1，x1 x3 x5 x7＝1，故x1和x4都错误，或仅x5错误．因为条件中要求仅在第k位发生码元错误，故只有x5错误．
【答案】 5
4．(2015·湖南高考)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
【证明】 由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0同理，0故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
5．(2016·北京高考)设数列A：a1，a2，…，aN(N≥2)．如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak(1)对数列A：－2,2，－1,1,3，写出G(A)的所有元素；
(2)证明：若数列A中存在an使得an>a1，则G(A)≠ ；
(3)证明：若数列A满足an－an－1≤1(n＝2,3，…，N)，则G(A)的元素个数不小于aN－a1.
【解】 (1)G(A)的元素为2和5.
(2)证明：因为存在an使得an＞a1，
所以{i∈N＋|2≤i≤N，ai>a1}≠ .
记m＝min{i∈N＋|2≤i≤N，ai>a1}，
则m≥2，且对任意正整数k因此m∈G(A)．从而G(A)≠ .
(3)证明：当aN≤a1时，结论成立．
以下设aN>a1.
由(2)知G(A)≠ .
设G(A)＝{n1，n2，…，np)，n1记n0＝1，则an0＜an1＜an2＜…＜anp.
对i＝0,1，…，p，记Gi＝{k∈N＋|ni＜k≤N，ak＞ani}．
如果Gi≠ ，取mi＝min
Gi，则对任何1≤k从而mi∈G(A)且mi＝ni＋1，
又因为np是G(A)中的最大元素，所以Gp＝ .
从而对任意np≤k≤N，ak≤anp，特别地，aN≤anp.
对i＝0,1，…，p－1，ani＋1－1≤ani.
因此ani＋1＝ani＋1－1＋(ani＋1－ani＋1－1)≤ani＋1.
所以aN－a1≤anp－a1＝
(ani－ani－1)≤p.
因此G(A)的元素个数p不小于aN－a1.
章末综合测评(二) 推理与证明
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下面四个推理不是合情推理的是( )
A．由圆的性质类比推出球的有关性质
B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分
D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的
【解析】 逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．
【答案】 C
2．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是
( )
A．归纳推理
B．类比推理
C．演绎推理
D．非以上答案
【解析】 根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.
【答案】 C
3．下列推理是归纳推理的是( )
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
【解析】 由归纳推理的特点知，选B.
【答案】 B
4．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( )
A．完全正确
B．推理形式不正确
C．不正确，两个“自然数”概念不一致
D．不正确，两个“整数”概念不一致
【解析】 大前提“凡是自然数都是整数”正确．小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．
【答案】 A
5．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为( )
A．(5k－2k)＋4×5k－2k
B．5(5k－2k)＋3×2k
C．(5－2)(5k－2k)
D．2(5k－2k)－3×5k
【解析】 5k＋1－2k＋1＝5k·5－2k·2＝5k·5－2k·5＋2k·5－2k·2＝5(5k－2k)＋3·2k.
【答案】 B
6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立．( )
A．k＋1
B．k＋2
C．2k＋2
D．2(k＋2)
【解析】 根据数学归纳法的步骤可知，n＝k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n＝k＋2，故选B.
【答案】 B
7．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28
B．76
C．123
D．199
【解析】 利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．
【答案】 C
8．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：【导学号：05410056】
A．a－b>0
B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0
D．(a－b)(a－c)<0
【解析】 因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，
所以3c0，c<0.
要证明0，只需证明2a＋c>0(a>0，c<0，则a－c>0)，只需证明a＋c＋(－b－c)>0，即证明a－b>0，这显然成立，故选A.
【答案】 A
9．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b11＝1，则有
( )
A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b19－n
B．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b21－n
C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n
D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n
【解析】 令n＝10时，验证即知选B.
【答案】 B
10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2
016项与5的差，即a2
016－5＝( )
图1
A．2
018×2
014
B．2
018×2
013
C．1
010×2
012
D．1
011×2
013
【解析】 an－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个．
∴an－5＝，∴a2
016－5
＝
＝2
013×1
011.
【答案】 D
11．在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图2中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2
015＋a2
016＋a2
017＝( )
图2
A．1
006
B．1
007
C．1
008
D．1
009
【解析】 依题意a1＝1，a2＝1；a3＝－1，a4＝2；a5＝2，a6＝3；…，归纳可得a1＋a3＝1－1＝0，a5＋a7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a2
015＋a2
017＝0，a2＝1，a4＝2，a6＝3，…，进而可归纳得a2
016＝×2
016＝1
008，a2
015＋a2
016＋a2
017＝1
008.故选C.
【答案】 C
12．记集合T＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，M＝，将M中的元素按从大到小排列，则第2
016个数是( )
A.＋＋＋
B.＋＋＋
C.＋＋＋
D.＋＋＋
【解析】 因为＋＋＋
＝(a1×103＋a2×102＋a3×101＋a4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9
999，从大到小排列，第2
016个数为9
999－2
016＋1＝7
984，
所以a1＝7，a2＝9，a3＝8，a4＝4.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为__________．
【解析】 圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.
【答案】 经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1
14．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________
.
【导学号：05410057】
【解析】 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到＜60＜，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．
【答案】 (5,7)
15．(2016·东莞高二检测)当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N＋时，你能得到的结论是__________．
【解析】 根据题意，由于当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，
当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，
当n∈N＋时，左边第二个因式可知为an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn，那么对应的表达式为(a－b)·(an＋an－1b
＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1.
【答案】 (a－b)(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1
16．如图3，如果一个凸多面体是n(n∈N＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________，f(n)＝__________.(答案用数字或n的解析式表示)
图3
【解析】 所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋＝.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4×2＋×2＝12，所以f(n)＝n(n－2)＋·(n－2)＝.
【答案】 12
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：
(1)如果a，b>0，则lg
≥；
(2)＋>2＋2.
【证明】 (1)当a，b>0时，有≥，
∴lg≥lg，
∴lg
≥lg
ab
＝.
(2)要证＋>2＋2，
只要证(＋)2>(2＋2)2，
即2>2，这是显然成立的，
所以，原不等式成立．
18．(本小题满分12分)观察以下各等式：
sin230°＋cos260°＋sin
30°cos
60°＝，
sin220°＋cos250°＋sin
20°cos
50°＝，
sin215°＋cos245°＋sin
15°cos
45°＝.
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
【解】 猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin
αcos(α＋30°)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin
αcos(α＋30°)
＝sin2α＋2
＋sin
α
＝sin2α＋cos2α－sin
αcos
α＋sin2α＋
sin
α·cos
α－sin2α
＝sin2α＋cos2α
＝.
19．(本小题满分12分)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
【解】 (1)由已知得∴d＝2.
故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0，
∵p，q，r∈N＋，
∴∴2＝pr，(p－r)2＝0.
∴p＝r，与p≠r矛盾．
∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
20．(本小题满分12分)点P为斜三棱柱ABC A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.
(1)求证：CC1⊥MN；
(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．
【解】 (1)因为PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，
所以BB1⊥平面PMN，所以BB1⊥MN.
又CC1∥BB1，所以CC1⊥MN.
(2)在斜三棱柱ABC A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cos
α.
其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角．
证明如下：
因为CC1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP.
在△PMN中，
因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·
MNcos∠MNP，
所以PM2·CC＝PN2·CC＋MN2·CC－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，
由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，
SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，
所以S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cos
α.
21．(本小题满分12分)(2014·江苏高考)如图4，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：
图4
(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
【证明】 (1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.
又因为PA 平面DEF，DE 平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.
又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC 平面ABC，EF 平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABC.
22．(本小题满分12分)在数列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2)．
(1)求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明；
(2)设bn＝，
求证：对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋bn<.
【解】 (1)容易求得：a3＝，a4＝.
故可以猜想an＝，n∈N＋.
下面利用数学归纳法加以证明：
①显然当n＝1,2,3,4时，结论成立，
②假设当n＝k(k≥4，k∈N＋)时，结论也成立，即
ak＝.
那么当n＝k＋1时，由题设与归纳假设可知：
ak＋1＝＝
＝＝
＝＝.
即当n＝k＋1时，结论也成立，综上，对任意n∈N＋，an＝成立．
(2)bn＝
＝
＝
＝(－)，
所以b1＋b2＋…＋bn
＝[(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(－1)，
所以只需要证明(－1)< <＋1 3n＋1<3n＋2＋1 0<2(显然成立)，
所以对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋bn<.3.2.2 复数的乘法
3．2.3 复数的除法
1．理解复数的乘除运算法则．
2．会进行复数的乘除运算．(重点)
3．掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并能应用周期性进行化简与计算．(难点)
4．掌握共轭复数的运算性质．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 复数的乘法及其运算律
阅读教材P93～P94，完成下列问题．
1．定义
(a＋bi)(c＋di)＝____________.
2．运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝________
结合律
(z1·z2)·z3＝__________
乘法对加法的分配律
z1·(z2＋z3)＝__________
3.两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)__________．
4．i4n＋1＝________；i4n＋2＝________；i4n＋3＝__________；i4n＝__________.
【答案】
1．(ac－bd)＋(ad＋bc)i 2.z2·z1 z1·(z2·z3) z1·z2＋z1·z3
3．模的平方
4．i －1 －i 1
已知复数z1＝(1＋i)(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.
【解析】 z1＝(1＋i)＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)
＝(2a＋2)＋(4－a)i，
因为z1·z2∈R，
所以a＝4.
所以z2＝4＋2i.
【答案】 4＋2i
教材整理2 复数的除法法则
阅读教材P95～P96，完成下列问题．
1．已知z＝a＋bi，如果存在一个复数z′，使z·z′＝________，则z′叫做z的__________，记作__________，则＝__________且＝__________.
2．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
＝＝________________________.
【答案】 1.1 倒数 －i
2.＋i
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
复数代数形式的乘法运算
(1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i
B．5＋4i
C．3－4i
D．3＋4i
(2)复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于( )
A．－2－3i
B．－2＋3i
C．2－3i
D．2＋3i
(3)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________.
【自主解答】 (1)由题意知a－i＝2－bi，∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
(2)∵z＝(3－2i)i＝3i－2i2＝2＋3i.
∴＝2－3i.故选C.
(3)(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.
【答案】 (1)D (2)C (3)5－5i
1．两个复数代数形式乘法的一般方法
首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
(3)(1±i)2＝±2i.
[再练一题]
1．若|z1|＝5，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝________.
【解析】 设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则|z1|＝＝5，即a2＋b2＝25，
z1·z2＝(a＋bi)·(3＋4i)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i.
∵z1·z2是纯虚数．
∴解得或
∴z1＝4＋3i或z1＝－4－3i.
【答案】 4＋3i或－4－3i
复数代数形式的除法运算
＝( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
(2)i是虚数单位，复数＝( )
A．1－i
B．－1＋i
C.＋i
D．－＋i
【自主解答】 (1)法一：＝＝
＝＝＝－1－i.故选D.
法二：＝2(1＋i)＝i2(1＋i)＝－(1＋i)．
(2)＝＝＝1－i，故选A.
【答案】 (1)D (2)A
1．两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.
[再练一题]
2．(1)满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝( )
A.＋i
B.－i
C．－＋i
D．－－i
(2)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
【导学号：05410072】
A．1
B．2
C.
D.
【解析】 (1)∵＝i，∴z＋i＝zi，∴i＝z(i－1)．
∴z＝＝＝＝－i.
(2)∵z(1＋i)＝2i，∴z＝＝＝1＋i，
∴|z|＝＝.
【答案】 (1)B (2)C
[探究共研型]
in的周期性及应用
探究1 i5与i是否相等？
【提示】 i5＝i4·i＝i，相等．
探究2 i＋i2＋i3＋i4的值为多少？
【提示】 i＋i2＋i3＋i4＝0.
计算i1＋i2＋i3＋…＋i2
016.
【精彩点拨】 本题中需求多个in和的值，求解时可考虑利用等比数列求和公式及in的周期性化简；也可利用in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)化简．
【自主解答】 法一：
原式＝＝＝＝0.
法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，
∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)，
∴i1＋i2＋i3＋…＋i2016，
＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2
013＋i2
014＋i2
015＋i2
016)＝0.
虚数单位i的周期性：
(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)．
(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．
[再练一题]
3．计算：·2·3·…·10.
【解】 ∵＝i，
∴原式＝i·i2·i3·…·i10＝i1＋2＋3＋…＋10＝i55＝i3
＝－i.
[构建·体系]
1．已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )
A．－3＋i
B．－1＋3i
C．－3＋3i
D．－1＋i
【解析】 按照复数乘法运算法则，直接运算即可．(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.
【答案】 B
2．在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 z＝＝＝1＋i的共轭复数为1－i，对应的点为(1，－1)，在第四象限．
【答案】 D
3．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
【解析】 因为＝＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.
【答案】 2
4．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________.
【导学号：05410073】
【解析】 设＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi，所以所以a＝.
【答案】
5．计算：
(1)(1－i)(1＋i)；(2)；
(3)(2－i)2.
【解】 (1)法一：(1－i)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i＋i＋i2
＝－1＋i.
法二：原式＝(1－i)(1＋i)
＝(1－i2)
＝2
＝－1＋i.
(2)
＝
＝
＝
＝＝i.
(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)
＝4－4i＋i2＝3－4i.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．i为虚数单位，2＝( )
A．－1
B．1
C．－i
D．i
【解析】 2＝＝＝－1.
【答案】 A
2．如图3 2 3，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
图3 2 3
A．A
B．B
C．C
D．D
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，且a<0，b>0，则z的共轭复数为a－bi，其中a<0，－b<0，故应为B点．
【答案】 B
3．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为( )
【导学号：05410074】
A．1
B．2
C.
D.
【解析】 由z＝－ai，a∈R，得z2＝2－2××ai＋(ai)2＝－a2－ai，因为z2＝－i，所以解得a＝.
【答案】 C
4．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( )
A.
B.
C．1
D．2
【解析】 ∵z＝＝＝
＝＝＝－＋，
∴＝－－，
∴z·＝.
【答案】 A
5．已知复数z＝2－i，则z·的值为( )
A．5
B.
C．3
D.
【解析】 z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.
【答案】 A
二、填空题
6．复数的值是________
.
【解析】 ＝＝－1.
【答案】 －1
7．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x等于________．
【解析】 ∵z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，
∴z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i.
∵z1z2∈R，∴x＋2＝0，即x＝－2.
【答案】 －2
8．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝__________.
【解析】 ∵＝b＋i，
∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi，
∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.
【答案】 1
三、解答题
9．计算：
(1)(1－i)(－1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(1＋i).
【解】 (1)原式＝－1＋i＋i－i2－1＋i＝－1＋3i.
(2)原式＝(1＋i)＝1＋i.
10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．
【解】 (1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，
所以复数z的共轭复数为－2－4i.
(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应向量为(－2,4＋a)，其模为＝.
又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，
所以实数a的取值范围是－8≤a≤0.
[能力提升]
1．(2016·宁夏练习)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
【解析】 A，|z1－z2|＝0 z1－z2＝0 z1＝z2 1＝2，真命题；
B，z1＝2 1＝2＝z2，真命题；
C，|z1|＝|z2| |z1|2＝|z2|2 z1·1＝z2·2，真命题；
D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．
【答案】 D
2．已知3－i＝z·(－2i)，那么复数z在复平面内对应的点应位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 ∵3－i＝z·(－2i)，
∴z＝＝＝＝＋i.
∴其对应点的坐标为，在第一象限．
【答案】 A
3．若复数z＝的实部为3，则z的虚部为__________________________．
【导学号：05410075】
【解析】 z＝＝＝＝＋i.由题意知＝3，∴a＝－1，∴z＝3＋i.
∴z的虚部为1.
【答案】 1
4．已知z为复数，为实数，为纯虚数，求复数z.
【解】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝＝(a－1＋bi)·(－i)＝b－(a－1)i.
因为为实数，所以a－1＝0，即a＝1.
又因为＝＝为纯虚数，
所以a－b＝0，且a＋b≠0，所以b＝1.
故复数z＝1＋i.1.4.2 微积分基本定理
1．理解并掌握微积分基本定理．(重点、易混点)
2．能用微积分基本定理求定积分．(难点)
3．能用定积分解决有关的问题．
[基础·初探]
教材整理 微积分基本定理
阅读教材P40～P41，完成下列问题．
1．F′(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之
__________.
2．如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则
f(x)dx＝____________________.
其中F(x)叫做f(x)的一个__________．由于[F(x)＋c]′＝f(x)，F(x)＋c也是f(x)的原函数，其中c为常数．
一般地，原函数在[a，b]上的改变量F(b)－F(a)简记作F(x).因此，微积分基本定理可以写成形式：____________________.
【答案】 1.差 2.F(b)－F(a) 原函数 f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．( )
(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )
(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
2．若a＝(x－2)dx，则被积函数的原函数为( )
A．f(x)＝x－2
B．f(x)＝x－2＋C
C．f(x)＝x2－2x＋C
D．f(x)＝x2－2x
【解析】 由微积分基本定理知，f′(x)＝x－2，∵′＝x－2，∴选C.
【答案】 C
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
利用微积分基本定理求定积分
(1)定积分(2x＋ex)dx的值为( )
A．e＋2
B．e＋1
C．e
D．e－1
(2)求下列定积分．
①(x2＋2x＋3)dx；②eq
\i\in(0,,)
sin2dx.
【自主解答】 (1)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)
＝(12＋e)－(02＋e0)＝1＋e－1
＝e.
【答案】 C
(2)①(x2＋2x＋3)dx
＝x2dx＋2xdx＋3dx
＝＋x2＋3x＝.
②sin2＝，
而′＝－cos
x＝sin2，
∴eq
\i\in(0,,)
sin2dx
＝eq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(,0))＝－＝.
求简单的定积分关键注意两点
1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．
2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
[再练一题]
1．(1)若(kx＋1)dx＝2，则k的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)dx＝________.
【导学号：05410032】
【解析】 (1)(kx＋1)dx＝＝k＋1＝2，∴k＝2.
(2)dx＝dx
＝
＝－(ln
1＋1)＝ln
2－.
【答案】 (1)B (2)ln
2－
求分段函数的定积分
计算下列定积分．
(1)f(x)＝求f(x)dx；
(2)|x2－1|dx.
【精彩点拨】 (1)按f(x)的分段标准，分成，，(2,4]三段求定积分，再求和．
(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．
【自主解答】 (1)f(x)dx＝eq
\i\in(0,,)sin
xdx＋eq
\i\in(,2,)1dx
(x－1)dx＝
(－cos
x)
eq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(,0))
＋xeq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(0,
))＋
＝1＋＋(4－0)＝7－.
(2)|x2－1|dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx
＝＋＝2.
1．本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号，可先求函数f(x)的零点，结合积分区间，分段求解．
2．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．
3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．
[再练一题]
2．计算定积分：
(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.
【解】 设f(x)＝|2x＋3|＋|3－2x|，x∈[－3,3]，
则f(x)＝
所以(|2x＋3|＋|3－2x|)dx
＝eq
\i\in(-3,－,)
(－4x)dx＋eq
\i\in(－,,)－6
dx＋eq
\i\in(,3,)4x
dx
＝－2x2eq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(－,－3))＋6xeq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(,－))＋2x2eq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(3,))
＝－2×＋6×＋2×
＝45.
[探究共研型]
利用定积分求参数
探究1 满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一吗？
【提示】 不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值．
探究2 如何求对称区间上的定积分？
【提示】 在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．
已知f(x)是一次函数，其图象过点(1,4)，且
f(x)dx＝1，求f(x)的解析式．
【精彩点拨】 设出函数解析式，由题中条件建立两方程，联立求解．
【自主解答】 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以k＋b＝4.①
又f(x)dx＝(kx＋b)dx＝＝＋b，所以＋b＝1.②
由①②得k＝6，b＝－2，所以f(x)＝6x－2.
1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．
2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念．
[再练一题]
3．上例中，若把“已知f(x)是一次函数”改为“已知f(x)＝ax2＋bx(a≠0)”，其余条件不变，求f(x)的解析式．
【解】 ∵函数的图象过点(1,4)，∴a＋b＝4，①
又f(x)dx＝(ax2＋bx)dx＝＝＋，
∴＋＝1，②
由①②得a＝6，b＝－2，所以f(x)＝6x2－2x.
[构建·体系]
1．下列值等于1的是( )
A.xdx
B.(x＋1)dx
C.1dx
D.dx
【解析】 选项A，因为′＝x，所以xdx＝＝；选项B，因为
′＝x＋1，所以(x＋1)dx＝＝；选项C，因为x′＝1，所以1dx＝x＝1；选项D，因为′＝，
所以dx＝x＝.
【答案】 C
2．eq
\i\in(-,,)
(sin
x＋cos
x)dx的值是( )
A．0
B.
C．2
D．4
【解析】 eq
\i\in(-,,)
(sin
x＋cos
x)dx＝eq
\i\in(-,,)sin
xdx＋
eq
\i\in(-,,)cos
xdx＝(－cos
x)
eq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(,-))eq
\f(π,2)－＋sin
eq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(,-))＝2.
【答案】 C
3．计算x2dx＝________.
【导学号：05410033】
【解析】 由于′＝x2，所以x2dx＝x3＝.
【答案】
4.(1＋)dx等于________．
【解析】 (1＋)dx＝(＋x)dx＝
＝－
＝45.
【答案】 45
5．已知f(x)＝ax＋b，且f2(x)dx＝1，求f(a)的取值范围．
【解】 由f(x)＝ax＋b，f2(x)dx＝1，
得2a2＋6b2＝3,2a2＝3－6b2≥0，所以－≤b≤，
所以f(a)＝a2＋b＝－3b2＋b＋＝－32＋，所以－≤f(a)≤.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.dx等于( )
A．－2ln
2
B．2ln
2
C．－ln
2
D．ln
2
【解析】 dx＝ln
x|＝ln
4－ln
2＝ln
2.
【答案】 D
2．设a＝xdx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c
B．c>a>b
C．a>c>b
D．c>b>a
【解析】 ∵a＝xdx＝＝，
b＝x2dx＝＝，c＝x3dx＝＝，
∴a>b>c.
【答案】 A
3．(2016·东莞高二检测)已知积分(kx＋1)dx＝k，则实数k＝( )
A．2
B．－2
C．1
D．－1
【解析】 (kx＋1)dx＝＝k＋1＝k，∴k＝2.
【答案】 A
4．已知f(x)＝2－|x|，则f(x)dx＝( )
A．3
B．4
C.
D.
【解析】 因为f(x)＝2－|x|＝所以
f(x)dx＝
(2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋＝＋2＝.
【答案】 C
5．设f(x)＝则f(x)dx＝( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3＋
＝＋＝.
【答案】 D
二、填空题
6．若(2x－3x2)dx＝0，则k等于__________.
【导学号：05410034】
【解析】 (2x－3x2)dx＝(x2－x3)|＝k2－k3＝0，∴k＝0(舍)或k＝1.
【答案】 1
7．(2016·南宁模拟)设抛物线C：y＝x2与直线l：y＝1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于____________
.
【解析】 由得x＝±1.如图，由对称性可知，S＝2＝2＝.
【答案】
8．已知f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝__________.
【解析】 因为f(1)＝lg
1＝0，
且3t2dt＝t3|＝a3－03＝a3，
所以f(0)＝0＋a3＝1，所以a＝1.
【答案】 1
三、解答题
9．计算下列定积分．
(1)dx；
(2)
eq
\i\in(－,,)
(cos
x＋2x)dx.
【解】 (1)∵dx＝dx
＝[ln
x－ln(x＋1)]＝ln
.
(2)
eq
\i\in(－,,)
(cos
x＋2x)dx＝
＝2＋(2－2－)．
10．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，f(1)＝4，f′(1)＝1，f(x)dx＝，求f(x)．
【解】 因为f(1)＝4，所以a＋b＋c＝4，①
f′(x)＝2ax＋b，
因为f′(1)＝1，所以2a＋b＝1，②
f(x)dx＝
＝a＋b＋c＝，③
由①②③可得a＝－1，b＝3，c＝2.
所以f(x)＝－x2＋3x＋2.
[能力提升]
1．(2016·石家庄高二检测)若dx＝3－ln
2，且a>1，则a的值为( )
A．6
B．4
C．3
D．2
【解析】 dx＝(x2－ln
x)|
＝a2－ln
a－1，故有a2－ln
a－1＝3－ln
2，
解得a＝2.
【答案】 D
2．如图1 4 4所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
图1 4 4
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为S正方形＝1，
S阴影＝(－x)dx＝＝－＝，
所以点P恰好取自阴影部分的概率为＝.
【答案】 C
3．计算：
(2|x|＋1)dx＝__________.
【解析】
(2|x|＋1)dx＝
(－2x＋1)dx＋
(2x＋1)dx＝(－x2＋x)|＋(x2＋x)|
＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12.
【答案】 12
4．已知f(x)＝
(12t＋4a)dt，F(a)＝[f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值．
【解】 因为f(x)＝
(12t＋4a)dt＝(6t2＋4at)|
＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)＝6x2＋4ax－2a2，
F(a)＝[f(x)＋3a2]dx＝(6x2＋4ax＋a2)dx
＝(2x3＋2ax2＋a2x)|
＝2＋2a＋a2＝(a＋1)2＋1≥1.
所以当a＝－1时，F(a)的最小值为1.2.2 直接证明与间接证明
2．2.1 综合法与分析法
1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)
2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 综合法
阅读教材P63，完成下列问题．
1．直接证明
(1)直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的__________、__________、__________，直接推证结论的真实性．
(2)常用的直接证明方法有__________与__________．
【答案】 1.(1)定义 公理 定理 (2)综合法 分析法
2．综合法
(1)定义：综合法是从__________推导到__________的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．
(2)符号表示：P0(已知) P1 P2 … Pn(结论)．
【答案】 2.(1)原因 结果
已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
求证：≥8.
证明过程如下：
∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，∴＝··≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．
这种证法是__________(填综合法、分析法)．
【解析】 本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法．
【答案】 综合法
教材整理2 分析法
阅读教材P64～P65，完成下列问题．
1．定义：分析法是一种从__________追溯到产生这一结果的__________的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的__________条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．
2．符号表示：
B(结论) B1 B2 … Bn A(已知)
【答案】 1.结果 原因 充分
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)综合法是执果索因的逆推证法．( )
(2)分析法就是从结论推向已知．( )
(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
综合法的应用
(1)在△ABC中，
已知cos
Acos
B>sin
Asin
B，则△ABC的形状一定是__________．
(2)已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m－n|＝__________.
(3)下面的四个不等式：①a2＋b2＋3≥ab＋(a＋b)；②a(1－a)≤；③＋≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有__________．
【自主解答】 (1)∵cos
Acos
B>sin
Asin
B，
∴cos
Acos
B－sin
Asin
B>0，
∴cos(A＋B)>0，即cos(π－C)>0，∴cos
C<0，
又0(2)设方程的四个根分别为x1，x2，x3，x4，则由题意可知，
x1＝，x1x4＝x2x3＝2，∴x4＝4.
设公比为q，则x4＝x1q3，
∴4＝·q3，∴q＝2，∴x2＝1，x3＝2，
由根与系数的关系可得，m＝x1＋x4＝，n＝x2＋x3＝3，∴|m－n|＝.
(3)①a2＋b2＋3＝＋＋＋＋＋≥2＋2＋2＝ab＋(a＋b)(当且仅当a2＝b2＝3时，等号成立)．
②a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋≤.
③当a与b异号时，不成立．
④∵a2d2＋b2c2≥2abcd，∴(ac＋bd)2＝a2c2＋b2d2＋2abcd≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝(a2＋b2)(c2＋d2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立．
【答案】 (1)钝角三角形 (2) (3)①②④
1．综合法处理问题的三个步骤
2．用综合法证明不等式时常用的结论
(1)ab≤2≤(a，b∈R)；
(2)a＋b≥2(a≥0，b≥0)．
[再练一题]
1．综合法是( )
【导学号：05410044】
A．执果索因的逆推证法
B．由因导果的顺推证法
C．因果分别互推的两头凑法
D．原命题的证明方法
【答案】 B
分析法的应用
设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．
【精彩点拨】 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键．
【自主解答】 当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b>0时，用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，
即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．
综上所述，不等式成立．
1．当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．
2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．
[再练一题]
2．已知a>0，－>1，求证：>.
【证明】 由已知－>1及a>0可知0，
只需证·>1，
只需证1＋a－b－ab>1，
只需证a－b－ab>0，即>1，
即－>1，这是已知条件，所以原不等式得证．
[探究共研型]
综合法与分析法的综合应用
探究1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．
探究2 综合法与分析法有什么区别？
【提示】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．
已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，
求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
【精彩点拨】 先求出角B，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决．
【自主解答】 法一：(分析法)
要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，
即证＋＝，
只需证＋＝3，
化简，得＋＝1，
即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，
所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.
因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°，
所以cos
B＝＝，
即a2＋c2－b2＝ac成立．
∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．
法二：(综合法)
因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°.
由余弦定理，
有b2＝c2＋a2－2accos
60°.
所以c2＋a2＝ac＋b2，
两边加ab＋bc，得
c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
两边同时除以(a＋b)(b＋c)，得
＋＝1，
所以＋＝3，
即＋＝，
所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.
[再练一题]
3．设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy.
【证明】 因为x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋≤＋＋xy，
只需证明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上式中的右式减左式，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
因为x≥1，y≥1，
所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
从而可得不等式x＋y＋≤＋＋xy成立．
[构建·体系]
1．下面叙述正确的是( )
A．综合法、分析法是直接证明的方法
B．综合法是直接证法，分析法是间接证法
C．综合法、分析法所用语气都是肯定的
D．综合法、分析法所用语气都是假定的
【解析】 直接证明包括综合法和分析法．
【答案】 A
2．欲证不等式－＜＜成立，只需证( )
A．(－)2＜(－)2
B．(－)2＜(－)2
C．(＋)2＜(＋)2
D．(－－)2＜(－)2
【解析】 要证－＜－成立，只需证＋＜＋成立，只需证(＋)2＜(＋)2成立．
【答案】 C
3．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证__________，即证__________．由于__________显然成立，因此原不等式成立．
【解析】 用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
【答案】 a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0
4．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________.
【导学号：05410045】
【解析】 因为a＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，
所以＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋
≥3＋2＋2＋2
＝3＋6＝9.
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
【答案】 9
5．已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋.(要求用两种方法证明)
【证明】 法一：(综合法)
因为a＞0，b＞0，所以＋－－＝＋＝＋＝(a－b)＝≥0，所以＋≥＋.
法二：(分析法)
要证＋≥＋，只需证a＋b≥a＋b，即证(a－b)(－)≥0，因为a＞0，b＞0，所以a－b与－符号相同，不等式(a－b)(－)≥0成立，所以原不等式成立．
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4
θ＝cos
2θ”的过程：“cos4
θ－sin4
θ＝(cos2
θ＋sin2
θ)(cos2
θ－sin2
θ)＝cos2
θ－sin2
θ＝cos
2θ”中应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．分析法和综合法综合使用
D．间接证法
【解析】 此证明符合综合法的证明思路．故选B.
【答案】 B
2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证( )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
【解析】 要证a2＋b2－1－a2b2≤0，
只需证a2b2－a2－b2＋1≥0，
只需证(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.
【答案】 D
3．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算 和 如下：
那么，d (a c)等于( )
A．a
B．b
C．c
D．d
【解析】 由 运算可知，a c＝c，
∴d (a c)＝d c.
由 运算可知，d c＝a.故选A.
【答案】 A
4．欲证－<－成立，只需证( )
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
【解析】 ∵－<0，－<0，
故－<－ ＋<＋ (＋)2<(＋)2.故选C.
【答案】 C
5．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( )
A．sin(α＋β)>sin
α＋sin
β
B．sin(α＋β)>cos
α＋cos
β
C．cos(α＋β)>sin
α＋sin
β
D．cos(α＋β)α＋cos
β
【解析】 因为0<α<，0<β<，
所以0<α＋β<π，
若≤α＋β<π，则cos(α＋β)≤0，
因为cos
α>0，cos
β>0.
所以cos
α＋cos
β>cos
(α＋β)．
若0<α＋β<，则α＋β>α且α＋β>β，
因为cos(α＋β)α，cos(α＋β)β，
所以cos(α＋β)α＋cos
β，
总之，对任意的锐角α，β有cos(α＋β)α＋cos
β.
【答案】 D
二、填空题
6．命题“函数f(x)＝x－xln
x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln
x求导得f′(x)＝－ln
x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln
x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．
【解析】 该证明方法是“由因导果”法．
【答案】 综合法
7．如果a>b，则实数a，b应满足的条件是__________．
【解析】 要使a>b，
只需使a>0，b>0，(a)2>(b)2，
即a>b>0.
【答案】 a>b>0
8．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是__________.
【导学号：05410046】
【解析】 若对任意x>0，≤a恒成立，只需求y＝的最大值，且令a不小于这个最大值即可．因为x>0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，所以a的取值范围是.
【答案】
三、解答题
9．已知倾斜角为60°的直线L经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，其中O为坐标原点．
(1)求弦AB的长；
(2)求三角形ABO的面积．
【解】 (1)由题意得，直线L的方程为y＝(x－1)，
代入y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝.
由抛物线的定义，得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝.
(2)点O到直线AB的距离d＝＝，所以三角形OAB的面积为S＝|AB|·d＝.
10．已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S.
【证明】 要证a2＋b2＋c2≥4S，
只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos
C)≥2
absin
C，即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，因为2absin(C＋30°)≤2ab，
只需证a2＋b2≥2ab，
显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥4S.
[能力提升]
1．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8
B．4
C．1
D.
【解析】 是3a与3b的等比中项 3a·3b＝3 3a＋b＝3 a＋b＝1，因为a>0，b>0，所以≤＝ ab≤，所以＋＝＝≥＝4.
【答案】 B
2．(2016·石家庄高二检测)已知关于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是( )
A．(－1,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【解析】 令f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2.
因为其图象开口向上，由题意可知f(1)<0，
即f(1)＝1＋(k－3)＋k2＝k2＋k－2<0，
解得－2【答案】 B
3．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是__________.
【导学号：05410047】
【解析】 a＋b>a＋b a－a>b－b a(－)>b(－) (a－b)(－)>0
(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
【答案】 a≥0，b≥0且a≠b
4．(2016·天津高二检测)已知α，β≠kπ＋，(k∈Z)且sin
θ＋cos
θ＝2sin
α，sin
θcos
θ＝sin2β.求证：＝.
【证明】 要证＝成立，
即证＝.
即证cos2α－sin2α＝(cos2β－sin2β)，
即证1－2sin2α＝(1－2sin2β)，
即证4sin2α－2sin2β＝1，
因为sin
θ＋cos
θ＝2sin
α，
sin
θcos
θ＝sin
2β，
所以(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ＝4sin2α，所以1＋2sin2β＝4sin2
α，
即4sin2α－2sin2β＝1.
故原结论正确.1.2.3 导数的四则运算法则
1．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点)
2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点)
3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 导数的运算法则
阅读教材P19～P20“例1”以上部分内容，完成下列问题．
1．和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝______________.
2．积的导数
(1)[f(x)g(x)]′＝____________；
(2)[cf(x)]′＝______________.
3．商的导数
′＝____________.
【答案】 1.f′(x)±g′(x) 2.(1)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(2)cf′(x) 3.，g(x)≠0
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.( )
(2)已知函数y＝2sin
x－cos
x，则y′＝2cos
x＋sin
x．( )
(3)已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1.( )
【解析】 (1)由f′(x)＝2x，则f(x)＝x2＋c.
(2)由y＝2sin
x－cos
x，则y′＝(2sin
x)′－(cos
x)′
＝2cos
x＋sin
x.
(3)由f(x)＝(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2，
所以f′(x)＝2x＋3.
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
教材整理2 复合函数的概念及求导法则
阅读教材P20“例5”右边部分，完成下列问题．
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成__________，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作________．
复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为＝__________，即y对x的导数等于__________.
【答案】 x的函数 y＝f(g(x)) ·
y对u的导数与u对x的导数的乘积
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．( )
(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos
x．( )
【答案】 (1)√ (2)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
[小组合作型]
导数四则运算法则的应用
求下列函数的导数．
(1)y＝x－2＋x2；
(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝；
(4)y＝x2－sin
cos.
【自主解答】 (1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln
3＋1)·(3e)x－2xln
2.
(3)y′＝.
(4)∵y＝x2－sincos＝x2－sin
x，
∴y′＝2x－cos
x.
1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．
2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
[再练一题]
1．(1)设函数f(x)＝x3＋x2＋tan
θ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是( )
A．[－2,2]
B．[，]
C．[，2]
D．[，2]
(2)已知f(x)＝，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________.
【导学号：05410013】
【解析】 (1)f′(x)＝sin
θ·x2＋cos
θ·x，
∴f′(1)＝sin
θ＋cos
θ＝2sin，
∵θ∈，∴sin∈，
∴2sin∈[，2]．
(2)∵f′(x)＝
＝(x≠0)．
∴由f′(x0)＋f(x0)＝0，得
＋＝0，
解得x0＝.
【答案】 (1)D (2)
复合函数的导数
求下列函数的导数．
(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；
(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin
3x.
【精彩点拨】 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．
【自主解答】 (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4
＝－6(2x－1)－4＝－.
(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin
x的复合函数，函数y＝sin
3x可看作函数y＝sin
v和v＝3x的复合函数．
∴y′x＝(u3)′·(sin
x)′＋(sin
v)′·(3x)′
＝3u2·cos
x＋3cos
v
＝3sin2x
cos
x＋3cos
3x.
1．解答此类问题常犯两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．
2．复合函数求导的步骤
[再练一题]
2．求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝log2(2x2－1)．
【解】 (1)y＝
＝
＝＝1＋.
设y＝1＋，u＝1－x，
则y′＝yu′·ux′＝(1＋)′·(1－x)′
＝·(－1)＝－.
(2)设y＝log2u，u＝2x2－1，
则y′＝y′u·ux′＝·4x
＝.
[探究共研型]
导数法则的综合应用
探究 试说明复合函数y＝(3x＋2)2的导函数是如何得出的？
【提示】 函数y＝(3x＋2)2可看出函数y＝u2和u＝3x＋2的复合函数，
∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(3x＋2)′
＝6u＝6(3x＋2)．
已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，求实数a的值．
【精彩点拨】 求出导数f′(1)，写出切线方程，由直线l与圆C相切，建立方程求解．
【自主解答】 因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，
所以f′(1)＝2a－2，
所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.
因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解得a＝.
关于复合函数导数的应用及其解决方法
1．应用
复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．
2．方法
先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．
[再练一题]
3．若将上例中条件改为“直线l与圆C：x2＋y2＝相交”，求a的取值范围．
【解】 由例题知，直线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.
∵直线l与圆C：x2＋y2＝相交，
∴圆心到直线l的距离小于半径．
即d＝<.
解得a>.
[构建·体系]
1．函数y＝(2
017－8x)3的导数y′＝( )
A．3(2
017－8x)2
B．－24x
C．－24(2
017－8x)2
D．24(2
017－8x)2
【解析】 y′＝3(2
017－8x)2×(2
017－8x)′
＝3(2
017－8x)2×(－8)＝－24(2
017－8x)2.
【答案】 C
2．函数y＝x2cos
2x的导数为( )
A．y′＝2xcos
2x－x2sin
2x
B．y′＝2xcos
2x－2x2sin
2x
C．y′＝x2cos
2x－2xsin
2x
D．y′＝2xcos
2x＋2x2sin
2x
【解析】 y′＝(x2)′cos
2x＋x2(cos
2x)′
＝2xcos
2x＋x2(－sin
2x)·(2x)′
＝2xcos
2x－2x2sin
2x.
【答案】 B
3．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.
【解析】 f′(x)＝·(3x－1)′＝，
∴f′(1)＝.
【答案】
4．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝_______.
【导学号：05410014】
【解析】 令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝(eax)·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.
【答案】 2
5．求下列函数的导数．
(1)y＝cos(x＋3)；(2)y＝(2x－1)3；(3)y＝e－2x＋1.
【解】 (1)函数y＝cos(x＋3)可以看做函数y＝cos
u和u＝x＋3的复合函数，
由复合函数的求导法则可得
yx′＝yu′·ux′＝(cos
u)′·(x＋3)′
＝－sin
u·1＝－sin
u＝－sin(x＋3)．
(2)函数y＝(2x－1)3可以看做函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，
由复合函数的求导法则可得
yx′＝yu′·ux′＝(u3)′·(2x－1)′
＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.
(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1
B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n
D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
【答案】 A
2．若f(x)＝，则f(x)的导数是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 f′(x)＝
＝.
【答案】 A
3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
A．ln(2x＋5)－
B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5)
D.
【解析】 y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋
x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··
(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.
【答案】 B
4．(2016·宁波高二检测)函数f(x)＝x＋xln
x在(1,1)处的切线方程为( )
A．2x＋y－1＝0
B．2x－y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0
D．2x－y＋1＝0
【解析】 ∵f′(x)＝(x＋xln
x)′
＝1＋x′ln
x＋x(lnx)′
＝1＋ln
x＋1＝2＋ln
x，
∴f′(1)＝2＋ln
1＝2，
∴函数f(x)在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
【答案】 B
5．函数y＝cos
2x＋sin的导数为( )
A．－2sin
2x＋
B．2
sin
2x＋
C．－2sin
2x＋
D．2sin
2x－
【解析】 y′＝－sin
2x·(2x)′＋cos
·()′
＝－2sin
2x＋·cos
＝－2sin
2x＋.
【答案】 A
二、填空题
6．若曲线y＝xln
x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.
【导学号：05410015】
【解析】 设P(x0，y0)．∵y＝xln
x，∴y′＝ln
x＋x·＝1＋ln
x.
∴k＝1＋ln
x0.又k＝2，∴1＋ln
x0＝2，∴x0＝e.
∴y0＝eln
e＝e.∴点P的坐标是(e，e)．
【答案】 (e，e)
7．已知函数f(x)＝f′sin
x＋cos
x，则f′＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝f′cos
x－sin
x，
∴f′＝f′cos
－sin
＝－1，
∴f′(x)＝－cos
x－sin
x，
∴f′＝－cos
－sin
＝－.
【答案】 －
8．(2016·广州高二检测)若函数为y＝sin4x－cos4x，则y′＝________________.
【解析】 ∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos
2x，
∴y′＝(－cos
2x)′＝－(－sin
2x)·(2x)′
＝2
sin
2x.
【答案】 2sin
2x
三、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝；(2)y＝esin
x；
(3)y＝sin；(4)y＝5log2(2x＋1)．
【解】 (1)设y＝u，u＝1－2x2，
则y′＝(u)′(1－2x2)′＝·(－4x)
＝(1－2x2)－(－4x)＝.
(2)设y＝eu，u＝sin
x，
则yx′＝yu′·ux′＝eu·cos
x＝esin
xcos
x.
(3)设y＝sin
u，u＝2x＋，
则yx′＝yu′·ux′＝cos
u·2＝2cos.
(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，
则y′＝yu′·ux′＝＝.
10．求曲线y＝2sin2x在点P处的切线方程．
【解】 因为y′＝(2sin2x)′＝2×2sin
x×(sin
x)′
＝2×2sin
x×cos
x＝2sin
2x，
所以k＝2sin＝.
所以过点P的切线方程为y－＝，
即x－y＋－＝0.
[能力提升]
1．(2016·长沙高二检测)函数y＝sin
2x－cos
2x的导数是( )
A．2
cos
B．cos
2x－sin
2x
C．sin
2x＋cos
2x
D．2cos
【解析】 ∵y′＝(sin
2x－cos
2x)′
＝(sin
2x)′－(cos
2x)′
＝cos
2x·(2x)′＋sin
2x·(2x)′＝2cos
2x＋2sin
2x
＝2＝2cos，
故选A.
【答案】 A
2．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
【导学号：05410016】
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为y＝，
所以y′＝＝＝.
因为ex>0，所以ex＋≥2，所以y′∈[－1,0)，所以tan
α∈[－1,0)．
又因为α∈[0，π)，所以α∈.
【答案】 D
3．曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为__________________________．
【解析】 因为y′＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，
所以k＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，
即5x＋y－3＝0.
【答案】 5x＋y－3＝0
4．已知函数f(x)＝x3＋1(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
【解】 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，
∴a≠－.
∴a的取值范围为∪.1.3 导数的应用
1．3.1 利用导数判断函数的单调性
1．理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)
3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理 函数的单调性与导数之间的关系
阅读教材P24，完成下列问题．
用函数的导数判定函数单调性的法则
(1)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；
(2)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间．
【答案】 f′(x)>0 f′(x)<0
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．( )
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
单调性与导数的关系
(1)(2016·武昌高二检测)函数y＝f(x)的图象如图1 3 1所示，给出以下说法：
图1 3 1
①函数y＝f(x)的定义域是
[－1,5]；
②函数y＝f(x)的值域是
(－∞，0]∪[2,4]；
③函数y＝f(x)在定义域内是增函数；
④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0.
其中正确的序号是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图1 3 2所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
图1 3 2
【精彩点拨】 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
【自主解答】 (1)由图象可知，函数的定义域为[－1,5]，值域为(－∞，0]∪[2,4]，故①②正确，选A.
(2)由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
【答案】 (1)A (2)D
1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可．
2．通过图象研究函数单调性的方法
(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．
[再练一题]
1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是( )
A B C D
(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
A B C D
【解析】 (1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．
(2)因为y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的．
【答案】 (1)D (2)A
利用导数求函数的单调区间
求函数f(x)＝x＋(a≠0)的单调区间．
【精彩点拨】 求出导数f′(x)，分a>0和a<0两种情况．由f′(x)>0求得单调增区间，由f′(x)<0求得单调减区间．
【自主解答】 f(x)＝x＋的定义域是
(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
当a>0时，
令f′(x)＝1－>0，解得x>或x<－；
令f′(x)＝1－<0，解得－当a<0时，f′(x)＝1－>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；单调递减区间为(－，0)和(0，)．
当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
利用导数求函数单调区间的步骤
1．确定函数f(x)的定义域．
2．求导数f′(x)．
3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．
4．结合定义域写出单调区间．
[再练一题]
2．(1)函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间为( )
【导学号：05410017】
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(－∞，1)
D．(1，＋∞)
(2)函数f(x)＝ln
x－x的单调递增区间是( )
A．(－∞，1)
B．(0,1)
C．(0，＋∞)
D．(1，＋∞)
【解析】 (1)∵f′(x)＝(ex－ex)′＝ex－e，
由f′(x)＝ex－e>0，可得x>1.
即函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调增区间为
(1，＋∞)，故选D.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝－1，
由f′(x)＝－1>0，得0所以函数f(x)＝ln
x－x的单调递增区间是(0,1)，故选B.
【答案】 (1)D (2)B
[探究共研型]
已知函数的单调性求参数的取值范围
探究1 已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，如何求实数a的取值范围．
【提示】 由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
探究2 若函数f(x)＝x3－ax－1的单减区间为(－1,1)，如何求a的取值范围．
【提示】 由f′(x)＝3x2－a，
①当a≤0时，f′(x)≥0，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
∴f(x)在上为减函数，
∴f(x)的单调递减区间为，
∴＝1，即a＝3.
已知关于x的函数y＝x3－ax＋b.
(1)若函数y在(1，＋∞)内是增函数，求a的取值范围；
(2)若函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值．
【精彩点拨】 (1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a的取值范围．
(2)函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a的值．
【自主解答】 y′＝3x2－a.
(1)若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)内是增函数．
则y′＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立，
即a≤3x2在x∈(1，＋∞)时恒成立，
则a≤(3x2)最小值．
因为x>1，所以3x2>3.
所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3]．
(2)令y′>0，得x2>.
若a≤0，则x2>恒成立，即y′>0恒成立，
此时，函数y＝x3－ax＋b在R上是增函数，与题意不符．
若a>0，令y′>0，得x>或x<－.
因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以＝1，即a＝3.
1．解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.
2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．
[再练一题]
3．将上例(1)改为“若函数y在(1，＋∞)上不单调”，则a的取值范围又如何？
【解】 y′＝3x2－a，
当a<0时，y′＝3x2－a>0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．
当a>0时，函数y在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x2－a＝0可得x＝或x＝－(舍去)．
依题意，有>1，∴a>3，
所以a的取值范围是(3，＋∞)．
[构建·体系]
1．函数y＝f(x)的图象如图1 3 3所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
图1 3 3
【解析】 ∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.
【答案】 D
2．已知函数f(x)＝＋ln
x，则有( )
A．f(2)＜f(e)＜f(3)
B．f(e)＜f(2)＜f(3)
C．f(3)＜f(e)＜f(2)
D．f(e)＜f(3)＜f(2)
【解析】 因为在定义域(0，＋∞)上，f′(x)＝＋＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.
【答案】 A
3．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．
【解析】 f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.
【答案】 (1,2)
4．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________.
【导学号：05410018】
【解析】 f′(x)＝，由题意得f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a≤，但当a＝时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a的取值范围是.
【答案】
5．已知函数f(x)＝ln
x，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.
若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
【解】 h(x)＝ln
x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在[1,4]上单调递减，
所以x∈[1,4]时，
h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立，
所以a≥G(x)最大值，而G(x)＝2－1.
因为x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)最大值＝－(此时x＝4)，
所以a≥－.
当a＝－时，
h′(x)＝＋x－2＝
＝.
因为x∈[1,4]，
所以h′(x)＝≤0，
即h(x)在[1,4]上为减函数．
故实数a的取值范围是.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y＝x＋xln
x的单调递减区间是( )
A．(－∞，e－2)
B．(0，e－2)
C．(e－2，＋∞)
D．(e2，＋∞)
【解析】 因为y＝x＋xln
x，所以定义域为(0，＋∞)．
令y′＝2＋ln
x<0，解得0即函数y＝x＋xln
x的单调递减区间是(0，e－2)，
故选B.
【答案】 B
2．(2016·深圳高二检测)如图1 3 4是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )
图1 3 4
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．在区间(3,5)上f(x)是增函数
【解析】 由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C.
【答案】 C
3．若函数f(x)＝ax3－x在R上是减函数，则( )
A．a≤0
B．a<1
C．a<2
D．a≤
【解析】 f′(x)＝3ax2－1.因为函数f(x)在R上是减函数，所以f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A.
【答案】 A
4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2.则f(x)>2x＋4的解集为( )
【导学号：05410019】
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，＋∞)
【解析】 构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，
则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2.
∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数．
∴f(x)>2x＋4 g(x)>0 g(x)>g(－1)，
∴x>－1.
【答案】 B
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－)∪[，＋∞)
B．[－，]
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－，
)
【解析】 f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0 －≤a≤.
【答案】 B
二、填空题
6．函数f(x)＝x－2sin
x在(0，π)上的单调递增区间为
__________.
【解析】 令f′(x)＝1－2cos
x>0，则cos
x<，又x∈(0，π)，解得【答案】
7．(2016·佛山高二检测)函数y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是________．
【解析】 y′＝x2－2ax＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a)2－4>0，得a2>1，解得a<－1或a>1.
【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
8．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________.
【导学号：05410020】
【解析】 若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.
【答案】 (0，＋∞)
三、解答题
9．(2016·吉林高二检测)定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：
①f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数；
②f(x)的导函数是偶函数；
③f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直．
求函数y＝f(x)的解析式．
【解】 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
因为f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数，
所以f′(－1)＝3a－2b＋c＝0.①
由f(x)的导函数是偶函数，得b＝0，②
又f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f′(0)＝c＝－1，③
由①②③得a＝，b＝0，c＝－1，
即f(x)＝x3－x＋3.
10．若函数f(x)＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间是(－9,0)，求m的值及函数的其他单调区间．
【解】 因为f′(x)＝3x2－2mx，
所以f′(x)<0，即3x2－2mx<0.
由题意，知3x2－2mx<0的解集为(－9,0)，
即方程3x2－2mx＝0的两根为x1＝－9，x2＝0.
由根与系数的关系，
得－＝－9，即m＝－.
所以f′(x)＝3x2＋27x.
令3x2＋27x>0，解得x>0或x<－9.
故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间．
综上所述，m的值为－，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋∞)．
[能力提升]
1．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图1 3 5所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
图1 3 5
【解析】 由题图，知函数g′(x)为增函数，f′(x)为减函数，且都在x轴上方，所以g(x)的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f(x)的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在减小．又由f′(x0)＝g′(x0)，知选D.
【答案】 D
2．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
【解析】 因为′＝
.又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．因此选C.
【答案】 C
3．(2016·亳州高二检测)若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围为________．
【解析】 f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．
由于导函数的二次项系数3>0，所以只能有f′(x)≥0恒成立．
法一 由上述讨论可知要使f′(x)≥0恒成立，只需使方程3x2＋2x＋m＝0的判别式Δ＝4－12m≤0，故m≥.
经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．
所以实数m的取值范围是m≥.
法二 3x2＋2x＋m≥0恒成立，即m≥－3x2－2x恒成立．
设g(x)＝－3x2－2x＝－32＋，易知函数g(x)在R上的最大值为，所以m≥.
经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．
所以实数m的取值范围是m≥.
【答案】
4．设函数f(x)＝a2ln
x－x2＋ax(a>0)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
【解】 (1)∵f(x)＝a2ln
x－x2＋ax，其中x>0，
∴f′(x)＝－2x＋a
＝－，
由于a>0，∴f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．
(2)由题意得，f(1)＝a－1≥e－1，
即a≥e，
由(1)知f(x)在[1，e]上单调递增，
要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，
只要
解得a＝e.3.1.3 复数的几何意义
1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．(易混点)
2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．(重点、易混点)
3．掌握复数模的定义及求模公式．
[基础·初探]
教材整理1 复平面
阅读教材P86“例1”以上内容，完成下列问题．
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做___________________________．
在复平面内，x轴叫做________，y轴叫做___________________________．
x轴的单位是1，y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.
【答案】 复平面 实轴 虚轴
教材整理2 复数的几何意义
阅读教材P86“例1”以上内容，完成下列问题．
1．复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)．
2．复数z＝a＋bi一一对应平面向量.
在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标为( )
A．(1，i)
B．(1，－i)
C．(1,1)
D．(1，－1)
【解析】 复数z＝1－i的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－1)．
【答案】 D
教材整理3 复数的模、共轭复数
阅读教材P87“例2”以上部分．
1．设＝a＋bi(a，b∈R)，则向量的长度叫做复数a＋bi的__________(或绝对值)，记作|a＋bi|，且|a＋bi|＝__________.
2．如果两个复数的实部__________，而虚部__________，则这两个复数叫做互为__________复数．复数z的共轭复数用表示．
【答案】 1.模 2.相等 互为相反数 共轭
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )
(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( )
(3)复数的模一定是正实数．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
复数与复平面内点的关系
(1)复数z＝－1＋2i所对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)已知复数z＝x＋1＋(y－1)i在复平面内的对应点位于第二象限，则点(x，y)所成的平面区域是( )
(3)复数z1＝1＋i和z2＝1－i在复平面内的对应点关于( )
A．实轴对称
B．一、三象限的角平分线对称
C．虚轴对称
D．二、四象限的角平分线对称
【自主解答】 (1)由复数的几何意义知z＝－1＋2i对应复平面中的点为(－1,2)，而(－1,2)是第二象限中的点，故选B.
(2)由题意，得即故点(x，y)所成的平面区域为A项中的阴影部分．
(3)复数z1＝1＋i在复平面内的对应点为Z1(1，)．
复数z2＝1－i在复平面内的对应点为
Z2(1，－)．
点Z1与Z2关于实轴对称，故选A.
【答案】 (1)B (2)A (3)A
解答此类问题的一般思路：
1 首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标.
2 根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系.
[再练一题]
1．实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z：
(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上．
【解】 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足即－3＜x＜2时，点Z位于第三象限．
(2)当实数x满足
即2＜x＜5时，点Z位于第四象限，
(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上．
复数与平面向量的关系
(1)向量对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，则1＋2对应的复数是( )
A．－10＋8i
B．10－8i
C．0
D．10＋8i
(2)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________.
【导学号：05410063】
【精彩点拨】 (1)先写出向量，2的坐标，再求出1＋2的坐标．
(2)利用＝－，求出向量的坐标，从而确定表示的复数．
【自主解答】 (1)因为向量对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，所以1＝(5，－4)，2＝(－5,4)，所以1＋2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以1＋2对应的复数是0.
(2)因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量表示的复数是－6－8i.
【答案】 (1)C (2)－6－8i
解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标，再根据向量的运算求出所求向量的坐标，从而求出向量所表示的复数．
[再练一题]
2．上例(2)中的条件不变，试求向量－表示的复数．
【解】 由上例(2)的解析知＝(－6，－8)，
∴－＝(3,4)，所以向量－表示的复数是3＋4i.
[探究共研型]
复数的模
探究1 复平面内的虚轴的单位长度是1，还是i
【提示】 复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.
探究2 若复数(a＋1)＋(a－1)i(a∈R)在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？
【提示】 a满足即－1＜a＜1.
(1)已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是( )
A．－
B.i
C．±i
D．±
(2)求复数z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比较它们模的大小．
【精彩点拨】 (1)设出复数z的虚部，由模的公式建立方程求解．
(2)用求模的公式直接计算．
【自主解答】 (1)设复数z的虚部为b，∵|z|＝2，实部为1，∴1＋b2＝4，∴b＝±，选D.
【答案】 D
(2)因为z1＝6＋8i，z2＝－－i，
所以|z1|＝＝10，
|z2|＝＝.
因为10>，
所以|z1|>|z2|.
1．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．
2．两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
[再练一题]
3．(1)复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是________．
(2)已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围.
【导学号：05410064】
【解析】 (1)∵|z|＝3，
∴＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．
【答案】 以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆
(2)∵z＝3＋ai(a∈R)，|z|＝
，
由已知得<4，
∴a2<7，
∴a∈(－，
)．
[构建·体系]
1．复数z＝－1＋2
017i(i是虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 由－1＜0,2
017＞0得复数z＝－1＋2
017i(i是虚数单位)在复平面上对应的点位于第二象限．
【答案】 B
2．已知复数z＝－3i，则复数的模|z|是( )
A．5
B．8
C．6
D.
【解析】 |z|＝＝.
【答案】 D
3．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________.
【导学号：05410065】
【解析】 ∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴解得x＞3.
【答案】 (3，＋∞)
4．已知复数z＝x－2＋yi(x，y∈R)的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是________．
【解析】 ∵|z|＝2，
∴＝2，
∴(x－2)2＋y2＝8.
【答案】 (x－2)2＋y2＝8
5．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
【解】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z|＝，
代入方程得，a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得
∴z＝－15＋8i.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·青岛高二检测)在复平面内，复数z＝sin
2＋icos
2对应的点位于
( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 ∵sin
2>0，cos
2<0，
∴复数z对应的点(sin
2，cos
2)在第四象限．故选D.
【答案】 D
2．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1
B．a≠2，且a≠1
C．a＝0
D．a＝2或a＝0
【解析】 由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2.故选D.
【答案】 D
3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i
B．－2＋i
C．1＋2i
D．－1＋2i
【解析】 因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以对应的复数为－2＋i.
【答案】 B
4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．1个圆
B．线段
C．2个点
D．2个圆
【解析】 由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1，
∵|z|≥0，
∴|z|＝3，
∴复数z对应点的轨迹是1个圆．
【答案】 A
5．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )
【导学号：05410066】
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 由题意可得复数z＝－2＋i，故在复平面内对应的点为(－2,1)，在第二象限，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝______.
【解析】 复数z1＝2－3i对应的点为(2，－3)，则z2对应的点为(－2,3)，所以z2＝－2＋3i.
【答案】 －2＋3i
7．已知在△ABC中，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为________．
【解析】 因为，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，所以＝(－1,2)，＝(－2，－3)，又＝－＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以对应的复数为－1－5i.
【答案】 －1－5i
8．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为________．
【解析】 由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，
得x＝3，y＝－4.
而|1－5i|＝＝，
|x－yi|＝|3＋4i|＝＝5，
|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝，
∵<5<，
∴|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|.
【答案】 |y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|
三、解答题
9．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
【解】 ∵复数z对应的点在第一象限．
∴
解得m<或m>.
所以实数m的取值范围为
∪.
10．已知x，y∈R，若x2＋2x＋(2y＋x)i和3x－(y＋1)i是共轭复数，求复数z＝x＋yi和.
【解】 若两个复数a＋bi与c＋di共轭，
则a＝c，且b＝－d.
由此可得到关于x，y的方程组
解得或所以或
[能力提升]
1．已知复数z对应的向量为O(O为坐标原点)，O与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为( )
A．1＋i
B．2
C．(－1,
)
D．－1＋i
【解析】 设复数z对应的点为(x，y)，则
x＝|z|·cos
120°＝2×＝－1，
y＝|z|·sin
120°＝2×＝，
∴复数z对应的点为(－1,
)，∴z＝－1＋i.
【答案】 D
2．与x轴同方向的单位向量e1，与y轴同方向的单位向量e2，它们对应的复数分别是( )
A．e1对应实数1，e2对应虚数i
B．e1对应虚数i，e2对应虚数i
C．e1对应实数1，e2对应虚数－i
D．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i
【解析】 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
【答案】 A
3．复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为__________.
【导学号：05410067】
【解析】 复数z＝－5－12i在复平面内对应点Z(－5，－12)，所以点Z与原点O的距离为|OZ|＝＝13.
【答案】 13
4．已知O为坐标原点，1对应的复数为－3＋4i，2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若1与2共线，求a的值．
【解】 因为1对应的复数为－3＋4i，2对应的复数为2a＋i，所以
1＝(－3,4)，2＝(2a,1)．因为1与2共线，所以存在实数k使2＝
k1，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以所以
即a的值为－.2.1.2 演绎推理
1．理解演绎推理的含义．(重点)
2．掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单的推理．(重点、易混点)
[基础·初探]
教材整理1 演绎推理
阅读教材P59～P60第一行，完成下列问题．
1．定义
根据概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，叫做__________．
2．特征
当前提为真时，结论__________．
【答案】 1.演绎推理 2.必然为真
下列几种推理过程是演绎推理的是______(填序号)．
①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
【解析】 ①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理．
【答案】 ①
教材整理2 三段论
阅读教材P60～P61，完成下列问题．
1．三段论推理
(1)三段论推理是演绎推理的一般模式．
(2)三段论的构成：
①__________：提供一般性原理；
②__________：指出一个特殊的对象；
③__________：结合大前提和小前提，得出一般性原理和特殊对象之间的内在联系．
(3)“三段论”的常用格式
大前提：M是P；
小前提：S是M；
结论：__________.
【答案】 1.(2)①大前提 ②小前提 ③结论 (3)S是P
2．演绎推理的常见模式
(1)三段论推理
(2)传递性关系推理
用符号表示推理规则是“如果aRb，bRc，则_________________________”，
其中“R”表示具有传递性的关系．
(3)完全归纳推理
把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理．
【答案】 2.(2)aRc
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“三段论”就是演绎推理．( )
(2)演绎推理的结论是一定正确的．( )
(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)×
2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的__________是错误的．
【解析】 f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提错误．
【答案】 小前提
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
把演绎推理写成三段论的形式
将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数；
(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°；
(3)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．
【自主解答】 (1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)
75不能被2整除．(小前提)
75是奇数．(结论)
(2)三角形的内角和为180°.(大前提)
Rt△ABC是三角形．(小前提)
Rt△ABC的内角和为180°.(结论)
(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列．(大前提)
通项公式an＝3n＋2，n≥2时，
an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)
通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论)
把演绎推理写成“三段论”的一般方法：
1 用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系.
2 在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
[再练一题]
1．将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.
【解】 (1)平行四边形的对角线互相平分，大前提
菱形是平行四边形，小前提
菱形的对角线互相平分．结论
(2)等腰三角形的两底角相等，大前提
∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提
∠A＝∠B.结论
演绎推理的综合应用
如图2 1 12所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．
图2 1 12
【精彩点拨】 用三段论的模式依次证明：(1)DF∥AE，(2)四边形AEDF为平行四边形，(3)DE＝AF.
【自主解答】 (1)同位角相等，两直线平行，(大前提)
∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)
所以DF∥AE.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
DE∥BA且DF∥EA，(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)
(3)平行四边形的对边相等，(大前提)
DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)
所以DE＝AF.(结论)
1．用“三段论”证明命题的步骤
(1)理清证明命题的一般思路；
(2)找出每一个结论得出的原因；
(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．
2．几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．
[再练一题]
2．证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角．
【证明】 已知在梯形ABCD中(如图所示)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.
证明：①等腰三角形的两底角相等，
大前提
△DAC是等腰三角形，DC＝DA，
小前提
∠1＝∠2.
结论
②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，
大前提
∠1和∠3是平行线AD，BC被AC
所截的内错角，
小前提
∠1＝∠3.
结论
③等于同一个量的两个量相等，
大前提
∠2，∠3都等于∠1，
小前提
∠2和∠3相等．
结论
即CA平分∠BCD.
④同理BD平分∠CBA.
[探究共研型]
利用完全归纳推理证明问题
探究1 演绎推理的结论一定正确吗？
【提示】 演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确．
探究2 利用完全归纳推理证明方程ax2＋2x－a＝0有实根，a的值应分哪几种情况？
【提示】 分a＝0和a≠0两种情况．
试证明函数f(x)＝ln(x＋)的定义域为R，并判断其奇偶性．
【精彩点拨】 只须对x>0，x＝0，x<0分别说明对数的真数均大于0即可．
【自主解答】 当x>0时，x＋>0显然成立；
当x＝0时，x＋＝1>0成立；
当x<0时，>＝|x|＝－x，
所以x＋>x＋(－x)＝0.
因此对x∈R，都有x＋>0，即函数的定义域为R.
又因为f(－x)＝ln(－x＋)
＝ln(－x)
＝ln
＝ln＝－ln(＋x)＝－f(x)．
故f(x)是奇函数．
1．完全归纳推理不同于归纳推理，后者仅仅说明了几种特殊情况，它不能说明结论的正确性，但完全归纳推理则把所有情况都作了证明，因此结论一定是正确的．
2．在利用完全归纳推理证明问题时，要对证明的对象进行合理的分类，且必须把所有情况都考虑在内．
[再练一题]
3．求证：n∈N，当1≤n≤4时，f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．
【证明】 当n＝1时，f(1)＝(2＋7)·3＋9＝36，能被36整除；
当n＝2时，f(2)＝(2×2＋7)·32＋9＝108＝36×3，能被36整除；
当n＝3时，f(3)＝(2×3＋7)·33＋9＝360＝36×10，能被36整除；
当n＝4时，f(4)＝(2×4＋7)·34＋9＝1
224＝36×34，能被36整除．
综上，当1≤n≤4时，f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．
[构建·体系]
1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝π
B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级的人数都超过50人
C．由平面三角形的性质，推测出空间四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，通过计算a2，a3，a4猜想出an的通项公式
【解析】 A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理．
【答案】 A
2．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．是正确的
【解析】 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2＞0”，显然结论错误，原因是大前提错误．
【答案】 A
3．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提：______________________________________________________；
小前提：______________________________________________________；
结论：________________________________________________________.
【答案】 一次函数的图象是一条直线
函数y＝2x＋5是一次函数
函数y＝2x＋5的图象是一条直线
4．如图2 1 13所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，BC＝AD.
图2 1 13
又因为△ABC和△CDA的三边对应相等，所以△ABC≌△CDA.
上述推理的两个步骤中分别省略了
________、________.
【答案】 大前提 大前提
5．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
(2)y＝x2(x∈R)是偶函数．
【解】 (1)因为矩形的对角线相等，大前提
而正方形是矩形，小前提
所以正方形的对角线相等．结论
(2)因为 x∈R，函数f(x)有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，大前提
而y＝x2满足 x∈R，f(－x)＝f(x)，小前提
∴y＝x2(x∈R)是偶函数．结论
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．给出下面一段演绎推理：
有理数是真分数，大前提
整数是有理数，小前提
整数是真分数．结论
结论显然是错误的，是因为( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
【解析】 举反例，如2是有理数，但不是真分数，故大前提错误．
【答案】 A
2．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：BC方框部分的证明是演绎推理的( )
A．大前提
B．小前提
C．结论
D．三段论
【解析】 因为本题的大前提是“在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边”，证明过程省略了大前提，方框部分的证明是小前提，结论是“BC【答案】 B
3．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是
( )
【导学号：05410043】
A．①④
B．②④
C．①③
D．②③
【解析】 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．
【答案】 A
4．(2016·郑州高二检测)在R上定义运算 ：x y＝x(1－y)．若不等式(x－a) (x＋a)<1对任意实数x都成立，则( )
A．－1B．0C．－D．－【解析】 ∵x y＝x(1－y)，
∴(x－a) (x＋a)＝(x－a)(1－x－a)＝－x2＋x＋a2－a<1.∴x2－x－a2＋a＋1>0，∵不等式(x－a) (x＋a)<1对任意实数x都成立，
∴Δ＝1－4×(－a2＋a＋1)<0，
解得－【答案】 C
5．“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是( )
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
【解析】 得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”．
【答案】 B
二、填空题
6．在三段论“因为a＝(1,0)，b＝(0，－1)，所以a·b＝(1,0)·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0，所以a⊥b”中，
大前提：_________________________________________________________；
小前提：_________________________________________________________；
结论：___________________________________________________________.
【解析】 本题省略了大前提，即“a，b均为非零向量，若a·b＝0，则a⊥b”．
【答案】 若a，b均为非零向量，a·b＝0，则a⊥b a＝(1,0)，b＝(0，－1)，且a·b＝(1,0)·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0 a⊥b
7．(2016·苏州高二检测)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除．其演绎推理的“三段论”的形式为_______________________
_________________________________________________________________
________________________________________________________________.
【答案】 一切奇数都不能被2整除，
大前提
2100＋1是奇数，
小前提
所以2100＋1不能被2整除．
结论
8．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N＋)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＋＝________.
【解析】 利用三段论．∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N＋)(大前提)．
令b＝1，则＝f(1)＝2(小前提)．
∴＝＝…＝＝＝2(结论)，
∴原式＝＝2
018.
【答案】 2
018
三、解答题
9．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)自然数是整数，所以6是整数；
(2)y＝cos
x(x∈R)是周期函数．
【解】 (1)自然数是整数，(大前提)
6是自然数，(小前提)
所以6是整数．(结论)
(2)三角函数是周期函数，(大前提)
y＝cos
x(x∈R)是三角函数，(小前提)
所以y＝cos
x(x∈R)是周期函数．(结论)
10．已知y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x2)＝2f(x)；
(2)求f(1)的值；
(3)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的取值范围．
【解】 (1)∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，
(大前提)
∴f(x2)＝f(x·x)
＝f(x)＋f(x)＝2f(x)．
(结论)
(2)∵f(1)＝f(12)＝2f(1)，
(小前提)
∴f(1)＝0.
(结论)
(3)∵f(x)＋f(x＋3)＝f(x(x＋3))≤2
＝2f(2)＝f(4)，
(小前提)
且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
(大前提)
∴解得0(结论)
[能力提升]
1．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b 平面α，直线a 平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
【解析】 大前提是错误的，直线平行于平面，但不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．
【答案】 A
2．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”中的“小前提”是( )
A．①
B．②
C．①②
D．③
【解析】 大前提为①，小前提为③，结论为②.
【答案】 D
3．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N＋(m，n∈N＋)，且对任意m，n∈N＋都有：
①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，
②f(m＋1,1)＝2f(m,1)．
给出以下三个结论：
(1)f(1,5)＝9，(2)f(5,1)＝16，(3)f(5,6)＝26.
其中正确结论为__________(填序号)．
【解析】 由题设条件可知：
(1)f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋4＝f(1,2)＋6＝f(1,1)＋8＝1＋8＝9.
(2)f(5,1)＝2f(4,1)＝4f(3,1)＝8f(2,1)
＝16f(1,1)＝16.
(3)f(5,6)＝f(5,5)＋2＝f(5,4)＋4＝…＝f(5,1)＋10＝2f(4,1)＋10＝4f(3,1)＋10＝…＝16f(1,1)＋10＝16＋10＝26.
【答案】 (1)(2)(3)
4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋.
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn；
(3)证明：不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N＋皆成立．
【解】 (1)因为an＋1＝4an－3n＋1，
所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋.
又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.
所以数列{an}的前n项和Sn＝＋.
(3)对任意的n∈N＋，
Sn＋1－4Sn＝＋－
4＝－(3n2＋n－4)≤0.
所以不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N＋皆成立.1．1 导数
1．1.1 函数的平均变化率
1．1.2 瞬时速度与导数
1．理解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率．(重点)
2．理解瞬时变化率、导数的概念．(难点、易混点)
3．会用导数的定义求函数的导数．
[基础·初探]
教材整理1 函数的平均变化率
阅读教材P3～P4“例1”以上部分，完成下列问题．
函数的平均变化率的定义
一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)
＝f(x0＋Δx)－f(x0)，
则当Δx≠0时，商________＝
称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．
【答案】
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Δx表示x2－x1，是相对于x1的一个增量，Δx可以为零．( )
(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为零．( )
(3)表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
教材整理2 瞬时速度与导数
阅读教材P6～P8，完成下列问题．
1．物体运动的瞬时速度
设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，当______________时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率________________趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度．
2．函数的瞬时变化率
设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率______________________________趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．
记作：当Δx→0时，→l.
还可以说：当Δx→0时，函数平均变化率的极限等于函数在x0的瞬时变化率l，记作
＝l.
3．函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在点x0的__________，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作________，即f′(x0)＝____________.
4．函数的导数
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x__________的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个________________．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为________________．
【答案】 1.Δt趋近于0
2.＝
3．瞬时变化率 f′(x0)
4．都是可导 确定的导数f′(x) f′(x)或y′(或y′x)
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( )
(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．( )
(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )
【解析】 (1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故正确．
(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误．
(3)在导数的定义中，Δy可以为零，故错误．
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
2．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是_________________________．
【导学号：05410000】
【解析】 ∵f(x)＝x2，
∴函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率是
＝
＝
＝
(2＋Δx)＝2.
【答案】 2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
求函数的平均变化率
(1)已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
(2)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
【精彩点拨】 (1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝f(2＋0.1)－f(2)可得．
(2)→→
【自主解答】 (1)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.
【答案】 B
(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝.
因为<，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；
第三步，求平均变化率＝.
2．求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用的形式．
[再练一题]
1．函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是( )
A．2
B．2x
C．2＋Δx
D．2＋(Δx)2
【解析】 ∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2，
∴＝＝2＋Δx，故选C.
【答案】 C
求瞬时速度
(1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为__________．
(2)某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是__________.
【导学号：05410001】
【精彩点拨】 先求出，再求
.
【自主解答】 (1)∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝v0Δt－gt0Δt－gΔt2，
∴＝v0－gt0－gΔt，
∴
＝v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.
(2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13
＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2
＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2
＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt，
∴＝＝2(Δt)2＋6Δt＋6，
∴
＝6，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6.
【答案】 (1)v0－gt0 (2)6
1．求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求平均速度＝；
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．
2．求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法
(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．
(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．
[再练一题]
2．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．
【解】 (1)初速度v0＝
＝
＝
(3－Δt)＝3，
即物体的初速度为3
m/s.
(2)v瞬＝
＝
＝
＝
(－Δt－1)＝－1，
即物体在t＝2时的瞬时速度为1
m/s，方向与初速度方向相反．
(3)＝＝＝1，
即t＝0到t＝2时的平均速度为1
m/s.
[探究共研型]
求函数在某点处的导数
一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．
探究1 试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．
【提示】 ＝＝－6－3Δt.
探究2 当Δt趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？
【提示】 当Δt趋近于0时，趋近于－6.这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．
(1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；
(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
【精彩点拨】 求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′(x0)．
【自主解答】 (1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2，
∴＝＝3－Δx，
∴f′(－1)＝
＝
(3－Δx)＝3.
(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，
∴＝6＋3Δx，
∴f′(1)＝
＝
(6＋3Δx)＝6.
1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A这一现象．
2．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率；
(3)求极限，得导数为f′(x0)＝
.
简记为：一差、二比、三趋近．
[再练一题]
3．求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数．
【解】 ∵Δy＝(1＋Δx)－－
＝Δx＋1－＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴f′(1)＝
＝
＝2.
[构建·体系]
1．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为( )
A．4
B．4x
C．4＋2Δx2
D．4＋2Δx
【解析】 ＝＝4＋2Δx.
【答案】 D
2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3
s末的瞬时速度是( )
A．7
m/s
B．6
m/s
C．5
m/s
D．8
m/s
【解析】 ∵＝＝5＋Δt，
∴
＝
(5＋Δt)＝5(m/s)．
【答案】 C
3．质点运动规律s＝gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于________．(g＝10
m/s2)
【解析】 Δs＝g×(3＋Δt)2－g×32＝×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，＝＝30＋5Δt.
【答案】 30＋5Δt
4．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2
s时的瞬时速度为8
m/s，则常数a＝________.
【导学号：05410002】
【解析】 因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，
所以＝4a＋aΔt，故当t＝2时，瞬时速度为
＝4a，所以4a＝8，所以a＝2.
【答案】 2
5．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求：
(1)；
(2)f′(1)．
【解】 (1)＝＝
＝2＋Δx.
(2)f′(1)＝
＝
(2＋Δx)＝2.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( )
A．3
B．2
C．1
D．4
【解析】 由已知得：＝3，
∴m＋1＝3，∴m＝2.
【答案】 B
2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3
B．3
C．6
D．－6
【解析】 由平均速度和瞬时速度的关系可知，
v＝s′(1)＝
(－3Δt－6)＝－6.
【答案】 D
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则＝( )
A．4
B．4x
C．4＋2Δx
D．4＋2(Δx)2
【解析】 因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－4－(2×12－4)＝4Δx＋2(Δx)2，
所以＝＝4＋2Δx.
【答案】 C
4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a
B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a
D．f′(x0)＝b
【解析】 ∵f′(x0)＝
＝
＝
(a＋bΔx)＝a，
∴f′(x0)＝a.
【答案】 C
5．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且
＝1，则f′(x0)等于( )
A．1
B．－1
C．－
D.
【解析】 ∵
＝[·(－3)]
＝－3f′(x0)＝1，
∴f′(x0)＝－.
【答案】 C
二、填空题
6．若f′(x0)＝1，则
＝__________.
【导学号：05410003】
【解析】
＝－
＝－f′(x0)＝－.
【答案】 －
7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图1 1 1所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是________．
图1 1 1
【解析】 ∵1＝＝kMA，
2＝＝kAB，
3＝＝kBC，
由图象可知：kMA∴3>2>1.
【答案】 3>2>1
8．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________．
【解析】 物体的速度为v＝s′(t)，
∴s′(t)＝
＝
＝
＝2－6t.
即v＝2－6t，
所以物体的初速度是v0＝2－6×0＝2.
【答案】 2
三、解答题
9．已知某物体按照s(t)＝3t2＋t＋4(t的单位：s，s的单位：m)的规律做直线运动，求该物体在4
s附近的平均速度．
【解】 ＝＝
＝
＝(25＋3Δt)m/s，
即该物体在4
s附近的平均速度为(25＋3Δt)m/s.
10．(2016·聊城高二检测)求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．
【解】 因为Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，故＝＝(2x＋a)＋Δx，
＝
(2x＋a＋Δx)＝2x＋a，所以y′＝2x＋a.
[能力提升]
1．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )
A．1
B．－1
C．±1
D．3
【解析】 ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x，
由f′(x0)＝3，得3x＝3，∴x0＝±1.
【答案】 C
2．如果函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，那么
＝( )
A.
B．1
C．2
D.
【解析】 因为f′(1)＝1，所以
＝1，
所以
＝
＝.
【答案】 A
3．已知f′(x0)>0，若a＝
，b＝
，c＝
，
d＝
，e＝
，
则a，b，c，d，e的大小关系为__________．
【解析】 a＝
＝f′(x0)，
b＝
＝－
＝－f′(x0)，
c＝
＝2
＝2f′(x0)，
d＝
＝f′(x0)，
e＝
＝f′(x0)．
即c>a＝d＝e>b.
【答案】 c>a＝d＝e>b
4．(2016·南充高二检测)某一运动物体，在x(s)时离开出发点的距离(单位：m)是f(x)＝x3＋x2＋2x.
(1)求在第1
s内的平均速度；
(2)求在1
s末的瞬时速度；
(3)经过多少时间该物体的运动速度达到14
m/s
【解】 (1)物体在第1
s内的平均变化率(即平均速度)为＝
m/s.
(2)＝
＝
＝6＋3Δx＋(Δx)2.
当Δx→0时，→6，
所以物体在1
s末的瞬时速度为6
m/s.
(3)＝＝
＝2x2＋2x＋2＋(Δx)2＋2x·Δx＋Δx.
当Δx→0时，→2x2＋2x＋2，
令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2，
即经过2
s该物体的运动速度达到14
m/s.1．3.3 导数的实际应用
1．了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．(重点)
2．能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值)．(难点、易混点)
[基础·初探]
教材整理 导数在实际生活中的应用
阅读教材P30～P33“练习”以上部分，完成下列问题．
1．最优化问题
生活中经常遇到求__________、__________、________等问题，这些问题通常称为最优化问题．
2．用导数解决最优化问题的基本思路
【答案】 1.利润最大 用料最省 效率最高 2.函数 导数
1．做一个容积为256
m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6
m
B．8
m
C．4
m
D．2
m
【解析】 设底面边长为x
m，高为h
m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S
m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－
，令S′＝0，得x＝8，
因此h＝＝4(m)．
【答案】 C
2．某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为______元时，利润最大．
【解析】 利润为S(x)＝(x－30)(200－x)
＝－x2＋230x－6
000，S′(x)＝－2x＋230，
由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．
【答案】 115
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
面积、体积的最值问题
请你设计一个包装盒，如图1 3 9，ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
图1 3 9
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
【精彩点拨】 弄清题意，根据“侧面积＝4×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值．
【自主解答】 设包装盒的高为h
cm，底面边长为a
cm.
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1
800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
1．解决面积、体积最值问题的思路
要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
2．解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
[再练一题]
1．将一张2×6
m
的矩形钢板按如图1 3 10所示划线，要求①至⑦全为矩形，且左右对称、上下对称，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为x
m，容积为y
m3.
图1 3 10
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)x取何值时，水箱的容积最大．
【解】 (1)由水箱的高为x
m，
得水箱底面的宽为(2－2x)
m，长为＝(3－x)
m.
故水箱的容积为y＝2x3－8x2＋6x(0(2)由y′＝6x2－16x＋6＝0，
解得x＝(舍去)或x＝.
因为y＝2x3－8x2＋6x(0所以当x的值为时，水箱的容积最大．
用料最省、成本(费用)最低问题
位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图1 3 11所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短．
图1 3 11
【精彩点拨】 可设CD＝x
km，则CE＝(3－x)km，利用勾股定理得出AC，BC的长，从而构造出所需电线总长度的函数．
【自主解答】 设CD＝x
km，则CE＝(3－x)km.
则所需电线总长
l＝AC＋BC＝＋(0≤x≤3)，
从而l′＝－.
令l′＝0，即－＝0，
解得x＝1.2或x＝－6(舍去)．
因为在[0,3]上使l′＝0的点只有x＝1.2，
所以根据实际意义，知x＝1.2就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE之间离点D的距离为1.2
km处时，所需电线总长最短．
1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
[再练一题]
2．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v，
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
【解】 (1)Q＝P·
＝·
＝·400
＝－v2＋6
000(0(2)Q′＝－5v，
令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，
当0当800，
∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q最小值＝Q(80)＝(元)．
[探究共研型]
利润最大、效率最高问题
探究 在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？
【提示】 根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【精彩点拨】 (1)根据x＝5时，y＝11求a的值．
(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．
【自主解答】 (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，故a＝2.
(2)由(1)知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)·(x－6)，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增?
极大值42
单调递减?
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
1．经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．
2．关于利润问题常用的两个等量关系
(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
[再练一题]
3．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p＝24
200－x2，且生产x吨的成本为R＝50
000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？
【解】 每月生产x吨时的利润为
f(x)＝x－(50
000＋200x)
＝－x3＋24
000x－50
000(x≥0)，
由f′(x)＝－x2＋24
000＝0，解得x＝200或x＝－200(舍去)．
因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－×2003＋24
000×200－50
000＝3
150
000(元)，故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．
[构建·体系]
1．(2016·益阳高二检测)某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0【导学号：05410025】
A．30
B．40
C．50
D．60
【解析】 V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，
因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)>0，
此时V(x)单调递增；
当40【答案】 B
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为
( )
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
【解析】 因为y′＝－x2＋81，所以当x＞9时，y′＜0；当0＜x＜9时，y′＞0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9时函数取最大值．
【答案】 C
3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________．
【解析】 设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r＞0)，则水桶的高为，所以S＝πr2＋2πr×＝πr2＋(r＞0)，求导数，得S′＝2πr－，令S′＝0，解得r＝3.
当0＜r＜3时，S′＜0；当r＞3时，S′＞0，所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省．
【答案】 3
4．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台．
【解析】 设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．
【答案】 6
5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
【解】 (1)若商品降价x元，则多卖的商品数为kx2件，
由题意知24＝k·22，得k＝6.
若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有
f(x)＝(30－x－9)·(432＋6x2)＝(21－x)(432＋6x2)，
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9
072，x∈[0,30]．
(2)根据(1)有f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,2)
2
(2,12)
12
(12,30)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
单调递减?
极小值
单调递增?
极大值
单调递减?
故x＝12时，f(x)取得极大值，因为f(0)＝9
072，f(12)＝11
664，f(0)＜f(12)，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )
A．32,16
B．30,15
C．40,20
D．36,18
【解析】 要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最短．
【答案】 A
2．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( )
A．2和6
B．4和4
C．3和5
D．以上都不对
【解析】 设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当40.所以当x＝4时，y最小．
【答案】 B
3．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( )
【导学号：05410026】
A.和R
B.R和R
C.R和R
D．以上都不对
【解析】 设矩形的宽为x，则长为2，则l＝2x＋4(0令l′＝0，解得x1＝R，x2＝－R(舍去)．
当00；当R所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R.
【答案】 B
4．某公司生产某种产品，固定成本为20
000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是( )
A．100
B．150
C．200
D．300
【解析】 由题意，得总成本函数为
C(x)＝20
000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝
所以P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，
总利润P(x)最大．
【答案】 D
5．用长为90
cm，宽为48
cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图1 3 12)，当容器的体积最大时，该容器的高为( )
图1 3 12
A．8
cm
B．9
cm
C．10
cm
D．12
cm
【解析】 设容器的高为x
cm，
容器的体积为V(x)cm3，
则V(x)＝(90－2x)(48－2x)x
＝4x3－276x2＋4
320x(0因为V′(x)＝12x2－552x＋4
320，
由12x2－552x＋4
320＝0，得x＝10或x＝36(舍)，
因为当00，当10V′(x)<0，
所以当x＝10时，V(x)在区间(0,24)内有唯一极大值，
所以容器高x＝10
cm时，容器体积V(x)最大．
【答案】 C
二、填空题
6．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为__________米．
【解析】 设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x>0)，所以y′＝2，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.当0200时，y′>0.所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．
【答案】 800
7．已知矩形的两个顶点A、D位于x轴上，另两个顶点B、C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．
【解析】 由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4－x2，
∴矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0∴S′＝8－6x2.
令S′＝0，解得x1＝
，x2＝－
(舍去)．
当00；
当
∴当x＝
时，S取得最大值为.
即矩形的边长分别是，时，矩形的面积最大．
【答案】 ，
8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10
km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为________km/h.
【解析】 设轮船的速度为x
km/h时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3(k≠0)．
因为6＝k×103，所以k＝，所以Q＝x3.
所以行驶每千米的费用总和为
y＝·＝x2＋(x>0)．
所以y′＝x－.令y′＝0，解得x＝20.
因为当x∈(0,20)时，y′<0，此时函数单调递减；
当x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增，
所以当x＝20时，y取得最小值，
即此轮船以20
km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小．
【答案】 20
三、解答题
9．如图1 3 13，一矩形铁皮的长为8
cm，宽为5
cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？
图1 3 13
【解】
设小正方形的边长为
x
cm，则盒子底面长为(8－2x)
cm，宽为(5－2x)
cm，
V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x，
V′＝12x2－52x＋40，
令V′＝0，得x＝1或x＝(舍去)，
V极大＝V(1)＝18，在定义域内仅有一个极大值，
所以V最大值＝18，即当小正方形的边长为1
cm时，盒子容积最大．
10．(2016·银川高二检测)一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？
【解】 设每次进书x千册(0x
(0,15)
15
(15,150)
y′
－
0
＋
y
单调递减?
极小值
单调递增?
所以当x＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，故当x＝15时，y取得最小值，此时进货次数为＝10(次)．
即该书店分10次进货，每次进15千册书，所付手续费与库存费之和最少．
[能力提升]
1．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8
300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元
B．60元
C．28
000元
D．23
000元
【解析】 设毛利润为L(p)，由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8
300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11
700p－166
000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11
700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23
000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23
000元．
【答案】 D
2．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20
cm，要使体积最大，则其高应为
( )
【导学号：05410027】
A.
cm
B.
m
C．5
m
D.
m
【解析】 如图，设圆锥底面半径为r，高为h，则h2＋r2＝202.
所以r＝，
所以圆锥体积V＝πr2h＝π(400－h2)h＝π(400h－h3)，
所以V′＝π(400－3h2)，
令V′＝0，得h＝或h＝－(舍去)．
当00；当h>时，V′<0.
所以当h＝时，V最大．故选D.
【答案】 D
3．如图1 3 14，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是__________．
图1 3 14
【解析】 设CD＝x，则点C的坐标为，
点B的坐标为，
∴矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·
＝－＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
故当x＝时，f(x)取最大值.
【答案】
4．(2016·广州高二检测)如图1 3 15所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40
km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50
km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？
图1 3 15
【解】 设C点距D点x
km，则AC＝50－x(km)，
所以BC＝
＝(km)．
又设总的水管费用为y元，
依题意，得y＝3a(50－x)＋5a(0y′＝－3a＋.
令y′＝0，解得x＝30.
在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30
km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．
故供水站建在A，D之间距甲厂20
km处，可使水管费用最省．1．4 定积分与微积分基本定理
1．4.1 曲边梯形面积与定积分
1．了解曲边梯形及其面积的含义；了解求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限”的基本过程．(重点)
2．掌握定积分的概念，会用定义求定积分．(难点)
3．理解定积分的几何意义与性质．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 曲边梯形
阅读教材P36，完成下列问题．
由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形(如图1 4 1)．
图1 4 1
【答案】 y＝f(x)
教材整理2 定积分的定义
阅读教材P38，完成下列问题．
设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上(如图1 4 2)．用分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小
区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi，作和式In＝(ξi)Δxi，当λ→0时，如果和式的极限
存在，我们把________________叫做____________________上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝(ξi)Δxi.其中f(x)叫做________，a叫____________，b叫________，f(x)dx叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上________．
图1 4 2
【答案】 和式In的极限 函数f(x)在区间[a，b] 被积函数 积分下限 积分上限 可积
教材整理3 定积分的性质与几何意义
阅读教材P39，完成下列问题．
1．定积分的性质
(1)cf(x)dx＝____________________________(c为常数)．
(2)设f(x)，g(x)可积，则[f(x)±g(x)]dx＝f(x)dx±________________________.
【答案】 1.(1)cf(x)dx (2)g(x)dx
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有________，那么定积分f(x)dx表示由__________________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分f(x)dx的几何意义．
【答案】 f(x)≥0 直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f(x)dx＝f(t)dt.( )
(2)f(x)dx的值一定是一个正数．( )
(3)(x2＋2x)dx＝x2dx＋2xdx.( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
2．填空
(1)由y＝0，y＝cos
x，x＝0，x＝围成的图形的面积用定积分的形式表示为__________．
(2)
f(x)dx＝f(x)dx＋__________.
(3)2xdx__________2xdx.(填“<”“＝”或“>”)
【答案】 (1)
eq
\i\in(0,,)cos
xdx (2)f(x)dx (3)<
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
求曲边梯形的面积
求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．
【精彩点拨】 按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解．
【自主解答】 (1)分割
将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点，，…，把区间[0,1]等分成n个小区间：
，，…，，…，，
简写作(i＝1,2，…，n)．
每个小区间的长度为Δx＝－＝.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.
(2)近似代替
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用f(ξi)的相反数－f(ξi)＝－为其一边长，以小区间长度Δx＝为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为
ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即
S＝Si≈－(ξi)Δx
＝·
＝－[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝－·n(n－1)(2n－1)＋·＝－＝－.
(4)取极限
当分割无限变细，即Δx趋向于0时，n趋向于∞，
此时－趋向于S.从而有
S＝
＝.
所以由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积为.
由极限法求曲边梯形的面积的步骤
第一步：分割．在区间[a，b]中等间隔地插入n－1个分点，将其等分成n个小区间[xi－1，xi](i＝1,2，…，n)，小区间的长度Δxi＝xi－xi－1.
第二步：近似代替．“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值．
第三步：求和．将n个小矩形的面积进行求和得Sn.
第四步：取极限．当n→∞时，Sn→S，S即为所求．
[再练一题]
1．求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S.
【解】 (1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：，，…，，
记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝－＝.
分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为S＝Si，
(2)近似代替
记f(x)＝.当n很大，即Δx很小时，在区间上，可以认为f(x)＝的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于
f.
从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi
≈ΔSi′＝fΔx＝
·＝
(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
小曲边梯形的面积和Sn＝Si≈Si′＝＝＋＋…＋
＝n
＝n＝.
从而得到S的近似值S≈Sn＝.
(4)取极限
分别将区间[1,2]等分成8,16,20，…等份时，Sn越来越趋向于S，从而有S＝Sn＝.
所以由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S为.
利用定义求定积分
利用定积分的定义，计算(3x＋2)dx的值．
【精彩点拨】 根据定积分的意义，分四步求解，即分割，近似代替，求和，取极限．
【自主解答】 令f(x)＝3x＋2.
(1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，将区间[1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、作和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则
Sn＝·Δx＝·＝＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5＝×＋5＝－.
(3)取极限
(3x＋2)dx＝Sn＝
＝.
利用定义求定积分的步骤
[再练一题]
2．利用定积分的定义，计算(x＋1)dx的值．
【解】 f(x)＝x＋1在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，
每个区间的长度为Δx＝，
在上取ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，
∴f(ξi)＝1＋1＋＝2＋，
∴(ξi)·Δx＝·
＝
＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝2＋＝2＋－＝－，
∴(1＋x)dx＝
＝.
定积分的几何意义
利用定积分的几何意义求下列定积分．
(1)
dx；(2)(2x＋1)dx；
(3)
(x3＋3x)dx.
【导学号：05410028】
【精彩点拨】 对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．
【自主解答】 (1)曲线y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，如图(1)所示．
其面积为S＝·π·32＝π.
由定积分的几何意义知dx＝π.
(2)曲线f(x)＝2x＋1为一条直线.(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3围成的直角梯形OABC的面积，如图(2)所示．
其面积为S＝(1＋7)×3＝12.
根据定积分的几何意义知
(2x＋1)dx＝12.
(3)∵y＝x3＋3x在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，
∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知
(x3＋3x)dx＝0.
1．定积分的几何意义的应用
(1)利用定积分的几何意义求f(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及y＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．
(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．
2．奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分
(1)若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，则＝0.
(2)若偶函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，则＝2f(x)dx.
[再练一题]
3．上例(1)中变为eq
\i\in(－,,)dx，如何求解？
【解】 由y＝，知x2＋y2＝9(y≥0)，x∈，
其图象如图所示：
由定积分的几何意义，知eq
\i\in(－,,)dx等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝××32－×3×＝，
S矩形＝|AB|×|BC|＝2××＝，
∴eq
\i\in(－,,)dx＝＋＝.
[探究共研型]
定积分性质的应用
探究1 怎样求分段函数的定积分？
【提示】 可先把每一段函数的定积分求出后再相加．
探究2 怎样求奇(偶)函数在区间[－a，a]上的定积分？
【提示】 ①若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，
则f(x)dx＝0；
②若偶函数y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续，
则g(x)dx＝2g(x)dx.
利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．
(1)y＝0，y＝，x＝2；
(2)y＝x－2，x＝y2.
【精彩点拨】 由定积分的几何意义，作出图形，分割区间表示．
【自主解答】 (1)曲线所围成的平面区域如图(1)所示．
设此面积为S，则S＝(－0)dx＝dx.
(1) (2)
(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示．
设面积为S，则S＝A1＋A2.
因为A1由y＝，y＝－，x＝1围成，
A2由y＝，y＝x－2，x＝1和x＝4围成，
所以A1＝[－(－)]dx＝2dx，
A2＝[－(x－2)]dx＝(－x＋2)dx.
故S＝2
dx＋(－x＋2)dx.
利用定积分的性质求定积分的技巧
灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：
(1)[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx
＝f1(x)dx±f2(x)dx±…±fn(x)dx；
(2)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋…＋f x dx(其中a[再练一题]
4．已知xdx＝，x2dx＝，求下列定积分的值．
(1)(2x＋x2)dx；(2)(2x2－x＋1)dx.
【解】 (1)(2x＋x2)dx
＝2xdx＋x2dx
＝2×＋＝e2＋.
(2)(2x2－x＋1)dx
＝2x2dx－xdx＋1dx，
因为已知xdx＝，x2dx＝，
又由定积分的几何意义知：1dx等于直线x＝0，x＝e，y＝0，y＝1所围成的图形的面积，
所以1dx＝1×e＝e，
故(2x2－x＋1)dx＝2×－＋e＝e3－e2＋e.
[构建·体系]
1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值( )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均正确
【解析】 作近似计算时，Δx＝xi＋1－xi很小，误差可忽略，所以f(x)可以是[xi，xi＋1]上任一值f(ξi)．
【答案】 C
2．图1 4 3中阴影部分的面积用定积分表示为( )
图1 4 3
A.2xdx
B.(2x－1)dx
C.(2x＋1)dx
D.(1－2x)dx
【解析】 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为2xdx－1dx＝(2x－1)dx.
【答案】 B
3．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n等分，则每个小区间的长度为__________.
【导学号：05410029】
【解析】 每个小区间长度为＝.
【答案】
4．若[f(x)＋g(x)]dx＝3，[f(x)－g(x)]dx＝1，则[2g(x)]dx＝________.
【解析】 [2g(x)]dx
＝[(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]dx
＝[f(x)＋g(x)]dx－[f(x)－g(x)]dx
＝3－1＝2.
【答案】 2
5．用定积分的几何意义求dx.
【解】 由y＝可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．
dx等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝××22－×2×2sin＝－.
S矩形＝|AB|·|BC|＝2.
∴dx＝2＋－＝＋.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．关于定积分m＝dx，下列说法正确的是( )
A．被积函数为y＝－x
B．被积函数为y＝－
C．被积函数为y＝－x＋C
D．被积函数为y＝－x3
【解析】 被积函数为y＝－.
【答案】 B
2．(2016·菏泽高二检测)已知定积分f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则f(x)dx＝( )
A．0
B．16
C．12
D．8
【解析】 偶函数图象关于y轴对称，故f(x)dx＝2f(x)dx＝16，故选B.
【答案】 B
3．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用下列哪个值近似代替( )
A．f
B．f
C．f
D．f(0)
【解析】 当n很大时，f(x)＝x2在区间上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．
【答案】 C
4．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝[f(x)－g(x)]dx求出的是( )
【解析】 定积分S＝[f(x)－g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方，对照各选项，知D中f(x)的图象不全在g(x)的图象上方．
【答案】 D
5．定积分f(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)，积分区间[a，b]和ξi的取法都有关
【解析】 定积分的大小与被积函数以及区间有关，与ξi的取法无关．
【答案】 A
二、填空题
6．(2016·长春高二检测)定积分(－3)dx＝__________.
【解析】 由定积分的几何意义知，定积分
(－3)dx表示由x＝1，x＝3与y＝－3，y＝0
所围成图形面积的相反数．所以(－3)dx
＝－(2×3)＝－6.
【答案】 －6
7．定积分|x|dx＝__________.
【导学号：05410030】
【解析】 如图，|x|dx＝＋2＝.
【答案】
8．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．
【解析】 如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx－dx＝dx.
【答案】 dx
三、解答题
9．(2016·济南高二检测)已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求：
(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x2－2x3)dx.
【解】 (1)3x3dx＝3x3dx
＝3
＝3＝12.
(2)6x2dx＝6x2dx
＝6＝6＝126.
(3)(3x2－2x3)dx＝3x2dx－2x3dx＝3×－2×＝－.
10．利用定积分的几何意义，求dx的值．
【解】 y＝(－1≤x≤1)表示圆x2＋y2＝1在x轴上方的半圆(含圆与x轴的交点)．根据定积分的几何意义，知dx表示由曲线y＝与直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积，
所以dx＝S半圆＝π.
[能力提升]
1．(2016·黄冈高二检测)设曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是( )
A．S＝(x2－x)dx
B．S＝(x－x2)dx
C．S＝(y2－y)dy
D．S＝(y－)dy
【解析】 作出图形如图，由定积分的几何意义知，S＝(x－x2)dx，选B.
【答案】 B
2．已知和式S＝(p>0)，当n趋向于∞时，S无限趋向于一个常数A，则A可用定积分表示为( )
A.dx
B.xpdx
C.pdx
D.pdx
【解析】 S＝＋p＋p＋…＋
＝p·，
∴p·＝xpdx.
【答案】 B
3．(2016·深圳高二检测)定积分2
017
dx＝________________.
【导学号：05410031】
【解析】 由定积分的几何意义知，定积分表示由直线x＝2
016，x＝2
017与y＝2
017，y＝0所围成矩形的面积，所以2
017dx＝(2
017－2
016)×2
017＝2
017.
【答案】 2
017
4．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)＝kx(k为常数，x是伸长量)，求将弹簧从平衡位置拉长b所做的功．
【解】 将物体用常力F沿力的方向拖动距离x，则所做的功W＝F·x.
(1)分割
在区间[0，b]上等间隔地插入n－1个点，将区间[0，b]等分成n个小区间：
，，…，，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝－＝.
把在分段，，…，上所做的功分别记作：
ΔW1，ΔW2，…，ΔWn.
(2)近似代替
取各小区间的右端点函数值作为小矩形的高，由条件知：ΔWi≈F·Δx＝k··(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
Wn＝Wi≈··
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝×＝.
从而得到W的近似值
W≈Wn＝.
(4)取极限
W＝Wn＝Wi
＝
＝.
所以将弹簧从平衡位置拉长b所做的功为.3.2 复数的运算
3．2.1 复数的加法与减法
1．掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进行复数的加减运算．(重点)
2．理解复数加减法运算的几何意义，能解决相关的问题．(难点、易混点)
[基础·初探]
教材整理1 复数代数形式的加减法
阅读教材P91例1以上部分．
1．运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．加法运算律
设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，
(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数与向量一一对应．( )
(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )
(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)×
教材整理2 复数加减法的几何意义
阅读教材P92练习A以上部分，完成下列问题．
若复数z1，z2对应的向量分别为，.
复数加法的几何意义
复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数
复数减法的几何意义
复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
已知向量O1对应的复数为2－3i，向量O2对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为__________．
【解析】 ＝O2－O1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.
【答案】 1－i
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
复数的加减法运算
(1)＋(2－i)－＝________.
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.
【自主解答】 (1)＋(2－i)－＝＋i
＝1＋i.
【答案】 1＋i
(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.
法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝－4＋3i.
1．复数加减运算法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．
2．当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)．
[再练一题]
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
【导学号：05410068】
A．－1＋i
B．1－i
C．i
D．－i
【解析】 (1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.
【答案】 A
复数加减法的几何意义
(1)在复平面内，平行四边形ABCD(顶点顺序为ABCD)的三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为__________．
(2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.
【精彩点拨】 (1)先写出点A，B，C的坐标，利用向量＝D列方程求解．
(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．
【自主解答】 (1)设D(x，y)，类比向量的运算知A＝D，所以有复数－i－(1＋3i)＝2＋i－(x＋yi)，得x＝3，y＝5，所以D对应的复数为3＋5i.
【答案】 3＋5i
(2)设复数z1，z2，z1＋z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，Z，由|z1|＝|z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ1Z
中，由余弦定理，得
cos∠OZ1Z＝
＝－，
所以∠OZ1Z＝120°，所以∠Z1OZ2＝60°，
因此△OZ1Z2是正三角形，
所以|z1－z2|＝|Z2Z1|＝1.
利用复数加减运算的几何意义解
题的技巧及常见结论
1．技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
2．常见结论
在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：
(1)为平行四边形；
(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；
(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；
(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
[再练一题]
2．若把上例(2)中的条件“|z1＋z2|＝”改为“|z1－z2|＝1”，则|z1＋z2|等于多少？
【解】 设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，由|z1|＝|z2|＝1，|z1－z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形OZ1ZZ2，OZ为对角线，△OZ1Z2为正三角形，由余弦定理，
得|z1＋z2|2＝|z1|2＋|z2|2－2|z1|·|z2|cos∠OZ1Z，
因为∠Z1OZ2＝60°，所以∠OZ1Z＝120°，
所以|z1＋z2|＝.
[探究共研型]
复数加减法的几何意义的应用
探究1 在实数范围内a－b＞0 a＞b恒成立，在复数范围内是否有z1－z2＞0 z1＞z2恒成立呢？
【提示】 若z1，z2∈R，则z1－z2＞0 z1＞z2成立．否则z1－z2＞0 ?z1＞z2.
如果z1＝1＋i，z2＝i，虽然z1－z2＝1＞0，但不能说1＋i大于i.
探究2 复数|z1－z2|的几何意义是什么？
【提示】 复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．
复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作 ABCD，求|.
【精彩点拨】 首先由A，C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标．
【自主解答】 如图，设D(x，y)，F为 ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，
所以即
所以点D对应的复数为z＝3＋3i，所以＝－＝3＋3i－1＝2＋3i，所以||＝.
1．解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．
2．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．
[再练一题]
3．已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．
【解】 由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，
又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.
即|z|最大值＝6，|z|最小值＝4.
[构建·体系]
1．设z1＝2＋i，z2＝1－5i，则|z1＋z2|为( )
A.＋
B．5
C．25
D.
【解析】 |z1＋z2|＝|(2＋i)＋(1－5i)|
＝|3－4i|＝＝5.
【答案】 B
2．设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则( )
A．a>0，b>0
B．a>0，b<0
C．b>0，a∈R
D．a>0，b∈R
【解析】 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．
【答案】 D
3．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.
【导学号：05410069】
【解析】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，∴＝3①，且z＋3i＝x＋yi＋3i＝x＋(y＋3)i是纯虚数，则
由①可得y＝3.
∴z＝3i.
【答案】 3i
4．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________
.
【解析】 由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到点(－2,0)距离相等的点即虚轴，|z－1|表示z对应的点到点(1,0)的距离，
∴|z－1|最小值＝1.
【答案】 1
5．集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.
(1)指出集合P在复平面内所表示的图形；
(2)求集合P中复数模的最大值和最小值．
【解】 (1)由|z－1|≤1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N在复平面内所对应的点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此，集合P在复平面内所表示的图形是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图．
(2)由(1)知，圆的方程为x2＋y2－2x＝0，
直线l的方程为y＝x－1.
解方程组
得A，B.
所以|OA|＝，|OB|＝.
因为点O到直线l的距离为，且过点O向l作垂线，垂足在线段BE上，<，
所以集合P中复数模的最大值为，最小值为.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是( )
A．1
B．2
C．－2
D．－1
【解析】 z1－z2＝y＋xi－(yi－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2，
∴∴x＝y＝1.
∴xy＝1.
【答案】 A
2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，
在复平面内z1－z2对应点的坐标为(5，－7)，位于第四象限．
【答案】 D
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，
对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是( )
A．2＋4i
B．－2＋4i
C．－4＋2i
D．4－2i
【解析】 在平行四边形ABCD中，＝＝－＝3＋i－(－1＋3i)＝4－2i，故选D.
【答案】 D
4．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【解析】 复数z1对应向量，复数z2对应向量.
则|z1＋z2|＝|＋|，|z1－z2|＝|O－|，
依题意有|＋|＝|－|.
∴以，为邻边所作的平行四边形是矩形．
∴△AOB是直角三角形．
【答案】 B
5．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝( )
A．0
B．6i
C．6
D．6－6i
【解析】 ∵z＋3i－3＝3－3i，
∴z＝(3－3i)－(3i－3)
＝6－6i.
【答案】 D
二、填空题
6．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数的个数为________个.
【导学号：05410070】
【解析】 依题意设z＝5＋bi，则|z|＝，
而|4－3i|＝＝5，
所以＝5，即b＝0.
【答案】 1
7．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝__________，z2＝__________.
【解析】 z＝z1－z2
＝－
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，
∴解得
∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
【答案】 5－9i －8－7i
8．已知z1＝2－2i，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．
【解析】 如图所示，因为|z|＝1，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为原点的圆，而z1对应坐标系中的点为(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z－z1|的最大值为2＋1.
【答案】 2＋1
三、解答题
9．如图3 2 1所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：
图3 2 1
(1)向量对应的复数；
(2)向量对应的复数；
(3)向量对应的复数．
【解】 (1)因为＝－，所以向量对应的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
10．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
【解】 ∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，
∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，
∴
解得
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
[能力提升]
1．(2016·南昌高二检测)如图3 2 2，设向量，
，所对应的复数为z1，z2，z3，那么( )
图3 2 2
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
【解析】 由题图可知，＋＝0，∴＋－＝0，
∴z1＋z2－z3＝0.
【答案】 D
2．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
【导学号：05410071】
A．2
B．4
C．4
D．16
【解析】 由|z－4i|＝|z＋2|，得
|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.
【答案】 C
3．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，
则f(z1＋z2)＝__________.
【解析】 ∵z1＋z2＝－2＋4i＋5－i＝3＋3i，
∴f(z1＋z2)＝(3＋3i)－3i＋|3＋3i|
＝3＋＝3＋3.
【答案】 3＋3
4．已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数．
【解】 因为＝，所以zA－zB＝zD－zC，
所以zD＝zA－zB＋zC＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i.
即点D对应的复数为1－7i，如图①.
用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z.
图②中点D对应的复数为3＋7i，
图③中点D对应的复数为－11＋3i.
故点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i.1.2 导数的运算
1．2.1 常数函数与幂函数的导数
1．2.2 导数公式表及数学软件的应用
1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点)
2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)
[基础·初探]
教材整理1 几个常用函数的导数
阅读教材P14～P15，完成下列问题．
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝________
f(x)＝x
f′(x)＝________
f(x)＝x2
f′(x)＝________
f(x)＝
f′(x)＝________
f(x)＝
f′(x)＝
【答案】 0 1 2x －
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若y＝x3＋2，则y′＝3x2＋2.( )
(2)若y＝，则y′＝.( )
(3)若y＝e，则y′＝0.( )
【解析】 (1)由y＝x3＋2，∴y′＝3x2.
(2)由y＝，∴y′＝－.
(3)由y＝e，∴y′＝0.
【答案】 (1)× (2)× (3)√
教材整理2 基本初等函数的导数公式
阅读教材P17，完成下列问题．
原函数
导函数
y＝c
y′＝________
y＝xn(n∈N＋)
y′＝________，n为正整数
y＝xμ(x＞0，μ≠0且μ∈Q)
y′＝________，μ为有理数
y＝ax(a＞0，a≠1)
y′＝________
y＝ex
y′＝________
y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)
y′＝________
y＝ln
x
y′＝________
y＝sin
x
y′＝________
y＝cos
x
y′＝________
【答案】 0 nxn－1 μxμ－1 axln
a ex
cos
x －sin
x
1．给出下列命题：
①y＝ln
2，则y′＝；
②y＝，则y′＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln
2；
④y＝log2x，则y′＝.
其中正确命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 对于①，y′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.
【答案】 C
2．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于( )
A.
B．10
C．10ln
10
D.
【解析】 ∵f′(x)＝10xln
10，∴f′(1)＝10ln
10.
【答案】 C
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
利用导数公式求函数的导数
求下列函数的导数：
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.
【精彩点拨】 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．
【自主解答】 (1)y′＝(x12)′＝12x11.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
(3)y′＝()′＝(x)′＝x－.
(4)y′＝(3x)′＝3xln
3.
(5)y′＝(log5x)′＝.
1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．
3．要特别注意“与ln
x”，“ax与logax”，“sin
x与cos
x”的导数区别．
[再练一题]
1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x,
则f′(x)－g′(x)＝__________.
【导学号：05410008】
【解析】 ∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝，
∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.
【答案】 3x2－
利用公式求函数在某点处的导数
质点的运动方程是s＝sin
t，
(1)求质点在t＝时的速度；
(2)求质点运动的加速度．
【精彩点拨】 (1)先求s′(t)，再求s′.
(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导．
【自主解答】 (1)v(t)＝s′(t)＝cos
t，∴v＝cos
＝.
即质点在t＝时的速度为.
(2)∵v(t)＝cos
t，
∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos
t)′＝－sin
t.
1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．
2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
[再练一题]
2．(1)求函数f(x)＝在(1,1)处的导数；
(2)求函数f(x)＝cos
x在处的导数．
【解】 (1)∵f′(x)＝′＝(x－)′＝－x－＝－，
∴f′(1)＝－＝－.
(2)∵f′(x)＝－sin
x，
∴f′＝－sin
＝－.
[探究共研型]
导数公式的应用
探究1 f(x)＝x，f(x)＝x2，f(x)＝均可表示为y＝xα(α∈Q＋)的形式，其导数有何规律？
【提示】 ∵(x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，()′＝′＝x－1，
∴(xα)′＝α·xα－1.
探究2 点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
【提示】 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
(2016·长沙高二检测)求过曲线f(x)＝cos
x上一点P且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．
【精彩点拨】 →→
→
【自主解答】 因为f(x)＝cos
x，所以f′(x)＝－sin
x，则曲线f(x)＝cos
x在点P的切线斜率为
f′＝－sin
＝－，
所以所求直线的斜率为
，
所求直线方程为y－＝，
即y＝
x－π＋.
求曲线方程或切线方程时应注意：
1 切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；
2 曲线在切点处的导数就是切线的斜率；
3 必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点.
[再练一题]
3．若将上例中点P的坐标改为(π，－1)，求相应的直线方程．
【解】 ∵f(x)＝cos
x，∴f′(x)＝－sin
x，
则曲线f(x)＝cos
x在点P(π，－1)处的切线斜率为f′(π)＝－sin
π＝0，
所以所求直线的斜率不存在，
所以所求直线方程为x＝π.
[构建·体系]
1．已知f(x)＝xα(α∈Q＋)，若f′(1)＝，则α等于( )
【导学号：05410009】
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝.
【答案】 D
2．给出下列结论：
①若y＝，则y′＝－；
②若y＝，则y′＝；
③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．0
【解析】 对于①，y′＝＝＝，正确；
对于②，y′＝x－1＝x－，不正确；
对于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正确．
【答案】 B
3．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1.
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.
【答案】 1
4．(2016·烟台高二检测)已知函数y＝kx是曲线y＝ln
x的一条切线，则k＝__________.
【解析】 设切点为(x0，y0)，∵y′＝，∴k＝，
∴y＝·x，又点(x0，y0)在曲线y＝ln
x上，∴y0＝ln
x0，
∴ln
x0＝，∴x0＝e，∴k＝.
【答案】
5．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________.
【解析】 设切点为(x0，y0)．
因为y′＝3xln
3，①
所以k＝3x0ln
3，
所以y＝3x0ln
3·x，
又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，
所以3x0ln
3·x0＝3x0，②
所以x0＝
＝log3
e.
所以k＝eln
3.
【答案】 eln
3
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列结论正确的是( )
A．若y＝cos
x，则y′＝sin
x
B．若y＝sin
x，则y′＝－cos
x
C．若y＝，则y′＝－
D．若y＝，则y′＝
【解析】 ∵(cos
x)′＝－sin
x，∴A不正确；
∵(sin
x)′＝cos
x，∴B不正确；
∵()′＝，∴D不正确．
【答案】 C
2．(2016·济南高二检测)在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为
( )
【导学号：05410010】
A．(1,1)
B．(－1，－1)
C．(－1,1)
D．(1,1)或(－1，－1)
【解析】 切线的斜率k＝tan
π＝－1，
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，
又f′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1，
∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D.
【答案】 D
3．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为( )
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝x4－2
C．f(x)＝x3＋1
D．f(x)＝x4－1
【解析】 由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得，选B.
【答案】 B
4．(2016·北京高二检测)已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝( )
A．4
B．－4
C．28
D．－28
【解析】 ∵y′＝3x2，∴点(2,8)处的切线斜率
k＝f′(2)＝12.
∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，
∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.
【答案】 C
5．若f(x)＝sin
x，f′(α)＝，则下列α的值中满足条件的是( )
A.
B.
C.π
D.π
【解析】 ∵f(x)＝sin
x，∴f′(x)＝cos
x.
又∵f′(α)＝cos
α＝，
∴α＝2kπ±(k∈Z)．
当k＝0时，α＝.
【答案】 A
二、填空题
6．(2016·菏泽高二检测)已知f(x)＝x2，g(x)＝
ln
x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
【解析】 因为f(x)＝x2，g(x)＝ln
x，
所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，
f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，
解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1.
【答案】 1
7．直线y＝x＋b是曲线y＝ln
x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.
【解析】 设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln
x0.
∵y′＝(ln
x)′＝，
由题意知＝，
∴x0＝2，y0＝ln
2.
由ln
2＝×2＋b，得b＝ln
2－1.
【答案】 ln
2－1
8．(2016·南京高二检测)已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.
【导学号：05410012】
【解析】 依题意知，f(1)＝×1＋2＝，
f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
【答案】 3
三、解答题
9．若质点P的运动方程是s＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8
s时的瞬时速度．
【解】 ∵s′＝()′＝(t)′＝t－，
∴v＝×8－＝×2－1＝，
∴质点P在t＝8
s时的瞬时速度为
m/s.
10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
【解】 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.
令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－
＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
[能力提升]
1．设f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2
017(x)＝( )
A．sin
x
B．－sin
x
C．cos
x
D．－cos
x
【解析】 f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin
x)′＝cos
x，
f2(x)＝f1′(x)＝(cos
x)′＝－sin
x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin
x)′＝－cos
x，f4(x)＝f3′(x)＝(－cos
x)′
＝sin
x，所以4为最小正周期，
故f2
017(x)＝f1(x)＝cos
x.
【答案】 C
2．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝( )
A．64
B．32
C．16
D．8
【解析】 因为y′＝－x－，所以曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线方程为：
y－a－＝－a－(x－a)，由x＝0得y＝a－，由y＝0得x＝3a，
所以·a－·3a＝18，解得a＝64.
【答案】 A
3．(2016·潍坊高二检测)点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是__________．
【解析】 与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，
∴x0＝，y0＝.即P到直线y＝x－1的距离最短．
∴d＝＝.
【答案】
4．(2016·淮南高二检测)已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
【解】 (1)因为y′＝2x.
P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝4，
过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，
切线的斜率k＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点M，
与PQ平行的切线方程为y－＝x－，
即4x－4y－1＝0.2.2.2 反证法
1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)
2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理 反证法
阅读教材P66～P67“例3”以上部分，完成下列问题．
1．反证法的定义
由证明p q转向证明：綈q r … t，t与________矛盾，或与某个________矛盾，从而判定__________，推出________的方法，叫做反证法．
2．常见的几种矛盾
(1)与假设矛盾；
(2)与__________、定理、公式、定义或____________矛盾；
(3)与______________矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．
【答案】
1．假设 真命题 綈q为假 q为真
2．(2)数学公理 已被证明了的结论 (3)公认的简单事实
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)反证法属于间接证明问题的方法．( )
(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( )
(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
2．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b α，直线c β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________．
【解析】 ∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，
∴应假设b与c平行或相交．
【答案】 b与c平行或相交
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
利用反证法证明否定性命题
(1)用反证法证明：“若方程ax2＋bx＋c＝0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为( )
A．整数
B．奇数或偶数
C．自然数或负整数
D．正整数或负整数
(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，
，
不成等差数列．
【自主解答】 (1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A.
【答案】 A
(2)证明：假设，
，
成等差数列，则＋＝2，
即a＋c＋2＝4b.
又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，
即b＝，
所以a＋c＋2＝4，
所以a＋c－2＝0，即(－)2＝0，
所以＝，从而a＝b＝c，
所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾．
原假设错误，故，
，
不成等差数列．
1．用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
2．反证法证明问题的一般步骤
[再练一题]
1．(2016·晋州高二检测)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．求证：数列{Sn}不是等比数列．
【证明】 假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾．
所以数列{Sn}不是等比数列．
利用“反证法”“证明”“至少”“至多”等存在性命题
已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
【精彩点拨】 “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．
【自主解答】 假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.
∵a，b，c∈(0,1)，
∴1－a>0,1－b>0,1－c>0.
∴≥>＝.
同理>，
>.
三式相加得
＋＋>，
即>，矛盾．
所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
应用反证法常见的“结论词”与“反设词”
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：
结论词
反设词
结论词
反设词
至少有一个
一个也没有
对所有x成立
存在某个x0不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x0成立
至少有n个
至多有n－1个
p或q
綈p且綈q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
綈p或綈q
[再练一题]
2．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
【证明】 假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.
又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，
这与已知ac＋bd>1矛盾，
所以a，b，c，d中至少有一个是负数．
[探究共研型]
利用反证法证明唯一性命题
探究 反证法解题的实质是什么？
【提示】 否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．
已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面．
【精彩点拨】 “有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑．
【自主解答】 因为a∥b，
所以过a，b有一个平面α.
又因为m∩a＝A，m∩b＝B，
所以A∈a，B∈b，
所以A∈α，B∈α.
又因为A∈m，B∈m，所以m α，
即过a，b，m有一个平面α，如图．
假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，
则a α，b α，a β，b β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾．
因此，过a，b，m有且只有一个平面．
用反证法证明唯一性命题的一般思路
证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．
[再练一题]
3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：
f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
【证明】 由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，
所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.
假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.
若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；
若n因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
[构建·体系]
1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为( )
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
【解析】 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数，所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．
【答案】 D
2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是
( )
【导学号：05410048】
A．三个内角中至少有一个钝角
B．三个内角中至少有两个钝角
C．三个内角都不是钝角
D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角
【解析】 “至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．
【答案】 B
3．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．
【解析】 “p且q”的否定形式为“綈p或綈q”．
【答案】 x≠0或y≠0
4．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________．
【解析】 “x≠a且x≠b”形式的否定为“x＝a或x＝b”．
【答案】 x＝a或x＝b
5．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．
【证明】 假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.
相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c.这与a，b，c互不相等矛盾．
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．实数a，b，c不全为0等价于( )
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
【解析】 “不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”．
【答案】 D
2．(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
【解析】 依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.
【答案】 A
3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为
( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
【解析】 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.
【答案】 C
4．设a，b，c大于0，则3个数：a＋，b＋，c＋的值( )
【导学号：05410049】
A．都大于2
B．至少有一个不大于2
C．都小于2
D．至少有一个不小于2
【解析】 假设a＋，b＋，c＋三个数都小于2，则必有a＋＋b＋＋c＋<6，而＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，故二者相矛盾．所以假设不成立．
【答案】 D
5．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )
A．有两个内角是钝角
B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角
D．没有一个内角是钝角
【解析】 “最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是____________________________________________________________．
【解析】 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是：没有一个面是三角形或四边形或五边形．
【答案】 没有一个面是三角形或四边形或五边形
7．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
【解析】 假设a，b均不大于1，即a≤1，b≤1.
则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一个大于1”，故选③.
【答案】 ③
8．完成反证法证题的全过程．
题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则__________均为奇数．①
因7个奇数之和为奇数，故有
(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为__________．②
而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝__________.③
②与③矛盾，故p为偶数．
【解析】 由假设p为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数，
故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，
这与0为偶数矛盾．
【答案】 ①a1－1，a2－2，…，a7－7 ②奇数 ③0
三、解答题
9．已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明：方程f(x)＝0没有负数根．
【证明】 假设x0是f(x)＝0的负数根，
则x0<0且x0≠－1且ax0＝－，
由0解得故方程f(x)＝0没有负数根．
10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1，求证：a，b，c中至少有一个大于.
【证明】 假设a，b，c都小于等于，
即a≤，b≤，c≤.
∵abc＝1，∴a，b，c三数同为正或一正两负．
又a＋b＋c＝0，
∴a，b，c只能是一正两负，
不妨设a＞0，b＜0，c＜0.
则b＋c＝－a，bc＝，
∴b，c为方程x2＋ax＋＝0的两根，
∴Δ＝a2－≥0，即a3≥4.
∴a≥
＞＝，这与a≤矛盾，
∴a，b，c中至少有一个大于.
[能力提升]
1．下列命题运用“反证法”证明正确的是( )
A．命题：若a>b>0，则>.用反证法证明：假设>不成立，则<.若<，则ab矛盾．故假设不成立，结论>成立
B．命题：已知二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a≠0)有实根，求证：Δ＝b2－4ac≥0.
用反证法证明：假设Δ＝b2－4ac<0，则ax2＋bx＋c＝0无实根，与已知方程有实根矛盾，∴Δ≥0
C．命题：已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实数根．用反证法证明：假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实数根，由已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，解得－2∵－2D．命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.“若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0”．
用反证法证明：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.
∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
则f(a)∴f(a)＋f(b)这与已知相矛盾．∴原命题成立
【解析】 A．反证法中的反证不全面，“>”的否定应为“≤”．
B．本题犯了“循环论证”的错误，实质上没有求出该题．
C．在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法．
【答案】 D
2．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的( )
【导学号：05410050】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，所以b<0，与b>0矛盾．故P，Q，R都大于0.
【答案】 C
3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；
②所以一个三角形不能有两个直角；
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为__________．
【解析】 由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.
【答案】 ③①②
4．已知函数f(x)＝，如果数列{an}满足a1＝4，an＋1＝f(an)，求证：当n≥2时，恒有an<3成立．
【证明】 假设an≥3(n≥2)，
则由已知得an＋1＝f(an)＝，
所以当n≥2时，＝＝·
≤＝＜1(因为an－1≥3－1)，
又易证an>0，所以当n≥2时，an＋1所以当n＞2时，
an而当n＝2时，a2＝＝＝＜3，
所以当n≥2时，an<3；
这与假设矛盾，故假设不成立，
所以当n≥2时，恒有an<3成立.2.3 数学归纳法
2．3.1 数学归纳法
2．3.2 数学归纳法应用举例
1．了解数学归纳法的原理．(重点、易混点)
2．掌握数学归纳法的步骤．(难点)
3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(难点)
[基础·初探]
教材整理 数学归纳法
阅读教材P69～P72，完成下列问题．
数学归纳法的定义
一个与________相关的命题，如果(1)_______________________________；
(2)在假设当________________________时命题也成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．
【答案】 自然数 (1)当n取第一个值n0时命题成立
(2)n＝k(k∈N＋，且k≥n0)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( )
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
用数学归纳法证明等式
(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是( )
A．1
B．1＋2
C．1＋2＋3
D．1＋2＋3＋4
(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为__________.
【导学号：05410051】
【自主解答】 (1)当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D.
(2)令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)·(k＋2)…(k＋k)，
f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)．
【答案】 (1)D (2)2(2k＋1)
数学归纳法证题的三个关键点
1．验证是基础
找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
2．递推是关键
数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．
3．利用假设是核心
在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
[再练一题]
1．下面四个判断中，正确的是( )
A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1
B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋k
C．式子1＋＋＋…＋(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋
D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N＋)，
则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋
【解析】 A中，n＝1时，式子＝1＋k；
B中，n＝1时，式子＝1；
C中，n＝1时，式子＝1＋＋；
D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.
故正确的是C.
【答案】 C
用数学归纳法证明不等式
(1)用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是__________．
(2)证明：不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．
【精彩点拨】 (1)写出当n＝k时左边的式子，和当n＝k＋1时左边的式子，比较即可．
(2)在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度．
【自主解答】 (1)当n＝k＋1时左边的代数式是＋＋…＋＋，增加了两项与，但是少了一项，故不等式的左边增加的式子是＋－＝.
【答案】
(2)①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋<2.
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋
<2＋＝
<＝＝2.
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知，原不等式对任意n∈N＋都成立．
[再练一题]
2．试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式．
【证明】 ①当n＝2时，＋＝>.
②假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时不等式成立，
即＋＋…＋>，
那么当n＝k＋1时，
＋＋…＋
＝＋＋…＋＋＋＋－
＝＋＋－
>＋＋－＝＋－
＝＋>.
这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．
由①②可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立．
归纳——猜想证明
已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝且a1＝.
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明．
【精彩点拨】 (1)令n＝2,3可分别求a2，a3.
(2)根据a1，a2，a3的值，找出规律，猜想an，再用数学归纳法证明．
【自主解答】 (1)a2＝＝，a1＝，
则a2＝，类似地求得a3＝.
(2)由a1＝，a2＝，a3＝，…，猜得：
an＝.
证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立；
②假设当n＝k时猜想成立，即ak＝，那么，当n＝k＋1时，由题设an＝，
得ak＝，ak＋1＝，
所以Sk＝k(2k－1)ak
＝k(2k－1)＝，
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－.
因此，k(2k＋3)ak＋1＝，
所以ak＋1＝
＝.
这就证明了当n＝k＋1时命题成立．
由①②可知命题对任何n∈N＋都成立．
1．“归纳—猜想—证明”的一般环节
2．“归纳—猜想—证明”的主要题型
(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．
(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．
(3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
[再练一题]
3．已知函数y＝f(n)(n∈N＋)，设f(1)＝2，且任意的n1，n2∈N＋，有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．
(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(2)试猜想f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明．
【解】 (1)因为f(1)＝2，
f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，
所以f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝22＝4，
f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)＝22·2＝23＝8.
f(4)＝f(3＋1)＝f(3)·f(1)＝23·2＝24＝16.
(2)猜想：f(n)＝2n(n∈N＋)．
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，f(1)＝21＝2，所以猜想正确．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想正确，即f(k)＝2k，
那么当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，
所以，当n＝k＋1时，猜想正确．
由①②知，对任意的n∈N＋，都有f(n)＝2n.
[探究共研型]
用数学归纳法证明整除性问题
探究1 数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1
【提示】 不一定，如证明n边形的内角和为(n－2)·180°时，第一个值为n0＝3.
探究2 数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？
【提示】 第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数列命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了．
用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋)．
【精彩点拨】 在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑．
【自主解答】 (1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时结论成立，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
则当n＝k＋1时，
(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．
因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，
所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立．
由(1)(2)知命题对一切n∈N＋成立．
与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将n＝k＋1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来.
[再练一题]
4．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________．
【解析】 由n＝k成立推证n＝k＋1成立时必须用上归纳假设，∴(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.
【答案】 (k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
[构建·体系]
1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
【答案】 C
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N＋，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为( )
A．1
B．1＋a＋a2
C．1＋a
D．1＋a＋a2＋a3
【解析】 当n＝1时，n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2.
【答案】 B
3．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________.
【导学号：05410052】
【解析】 当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1.
【答案】 1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2
4．以下是用数学归纳法证明“n∈N＋时，2n＞n2”的过程，证明：(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即2k＞k2.
那么，当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
即当n＝k＋1时不等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对任何n∈N＋不等式都成立．其中错误的步骤为________(填序号)．
【解析】 在2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，这是一个不确定的结论．如k＝2时，k2＜2k＋1.
【答案】 (2)
5．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝.
【证明】 (1)当n＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝＝0，
所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)
＝.
那么当n＝k＋1时，有[(k＋1)2－1]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k·[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]
＝(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k)
＝＋(2k＋1)
＝k(k＋1)[k(k－1)＋2(2k＋1)]
＝k(k＋1)(k2＋3k＋2)
＝.
所以当n＝k＋1时等式成立．
由(1)(2)知，对任意n∈N＋等式成立．
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·广州高二检测)用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步验证( )
A．n＝1
B．n＝2
C．n＝3
D．n＝4
【解析】 由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．
【答案】 C
2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
【解析】 结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.
【答案】 D
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1(n∈N＋)时，等式左边应在n＝k的基础上加上( )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
【解析】 当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，故选D.
【答案】 D
4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均为f(k)≥k2成立
【解析】 对于A，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时均有f(k)≥k2成立，故B错；对于C，应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k2成立．”
【答案】 D
5．已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其证明：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立．判断以上评述( )
A．命题、推理都正确
B．命题正确、推理不正确
C．命题不正确、推理正确
D．命题、推理都不正确
【解析】 推理不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________.
【导学号：05410053】
【解析】 ∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，
f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
∴f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
即f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
【答案】 f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
7．用数学归纳法证明：＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是___________________________．
【解析】 当n＝k＋1时，目标不等式为：＋＋…＋＋>－.
【答案】 ＋＋…＋＋>－
8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是__________．
【解析】 当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12.
当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，
所以左边添加的式子为(k＋1)2＋k2.
【答案】 (k＋1)2＋k2
三、解答题
9．用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋)．
【证明】 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，
那么，当n＝k＋1时，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
这就是说，当n＝k＋1时等式成立．
根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立．
10．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)．
【证明】 (1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋＋＋…＋由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立．
[能力提升]
1．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成( )
A．假设n＝2k＋1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋3时正确
B．假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋1时正确
C．假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋1时正确
D．假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋2时正确
【解析】 ∵n为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：
假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推出n＝2k＋1时正确．故选B.
【答案】 B
2．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立；
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即≤k＋1，则当n＝k＋1时，＝<
＝
＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立．
上述证法( )
A．过程全都正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
【解析】 n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证题要求．故选D.
【答案】 D
3．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________.
【导学号：05410054】
【解析】 当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.
【答案】 25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2
4．设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.
(1)求f(0)的值；
(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式，并用数学归纳法加以证明．
【解】 (1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0 f(0)＝0.
(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，
f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，
f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.
(3)猜想f(n)＝n2，
下面用数学归纳法证明．
当n＝1时，f(1)＝1满足条件．
假设当n＝k(k∈N＋)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.1.3.2 利用导数研究函数的极值
1．理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件．(易混点)
2．会求函数的极值．(重点)
3．会求函数在闭区间上的最值．
4．能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 极值点和极值的概念
阅读教材P27～P28第26行以上部分，完成下列问题．
名称
定义
表示法
极值
极大值
已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有________，则称函数f(x)在点x0处取极大值
记作________
极小值
已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有__________，则称函数f(x)在点x0处取极小值
记作______________
极值点
________________统称为极值点
【答案】 f(x)f(x0) y极小＝f(x0) 极大值点与极小值点
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．( )
(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．( )
(3)函数f(x)＝有极值．( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)×
教材整理2 函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
阅读教材P28第27行以下部分，完成下列问题．
假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得__________与________，若函数在[a，b]内是可导的，则该函数的最值必在极值点或区间端点取得．
【答案】 最大值 最小值
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )
(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
2．函数f(x)＝2x－cos
x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值
B．有极值
C．有最大值
D．有最小值
【解析】 f′(x)＝2＋sin
x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
【答案】 A
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
求函数的极值
求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x2－2x－1；
(2)f(x)＝－x3＋－6；
(3)f(x)＝|x|.
【自主解答】 (1)f′(x)＝2x－2，令f′(x)＝0，解得x＝1.
因为当x<1时，f′(x)<0，
当x>1时，f′(x)>0，
所以函数在x＝1处有极小值，
且y极小＝－2.
(2)f′(x)＝x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝1.
所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
＋
f(x)
单调递减?
极小值
单调递增?
无极值
单调递增?
所以当x＝0时，函数取得极小值，且y极小＝－6.
(3)f(x)＝|x|＝
显然函数f(x)＝|x|在x＝0处不可导，
当x>0时，f′(x)＝x′＝1>0，
函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；
当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，
函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．
故当x＝0时，函数取得极小值，
且y极小＝0.
1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．
2．极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点．
点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：
①f′(x0)＝0；
②点x0两侧f′(x)的符号不同．
(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x＝0点)，也可能不是极值点(如y＝，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点．
[再练一题]
1．已知函数f(x)＝x2－2ln
x，则f(x)的极小值是__________.
【导学号：05410021】
【解析】 ∵f′(x)＝2x－，
且函数定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1.
【答案】 1
利用函数的极值求参数
已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－时都取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若f(－1)＝，求f(x)的单调区间和极值．
【精彩点拨】 (1)求导函数f′(x)，则由x＝1和x＝－是f′(x)＝0的两根及根与系数的关系求出a，b.
(2)由f(－1)＝求出c，再列表求解．
【自主解答】 (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
令f′(x)＝0，由题设知x＝1与x＝－为f′(x)＝0的解．
∴∴a＝－，b＝－2.
(2)由(1)知f(x)＝x3－x2－2x＋c，
由f(－1)＝－1－＋2＋c＝，得c＝1.
∴f(x)＝x3－x2－2x＋1.
∴f′(x)＝3x2－x－2.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
单调递减?
－
单调递增?
∴f(x)的递增区间为和(1，＋∞)，递减区间为.
当x＝－时，f(x)有极大值为f＝；
当x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－.
已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
[再练一题]
2．已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．
【解】 f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以导数f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，
如图所示．
所以
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．
[探究共研型]
求函数的最值
如图1 3 6为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
图1 3 6
探究1 观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．
【提示】 f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．
探究2 结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
【提示】 存在．f(x)的最小值为f(a)，f(x)的最大值为f(x3)．
探究3 函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是其极值吗？
【提示】 不一定．也可能是区间端点的函数值．
(1)函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为( )
A．72
B．36
C．12
D．0
(2)函数f(x)＝ln
x－x在区间(0，e]上的最大值为( )
A．1－e
B．－1
C．－e
D．0
(3)求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]的最值．
【自主解答】 (1)因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4，令y′＝0，解得x＝1.当x<1时，y′<0，函数单调递减；当x>1时，y′>0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.而当x＝－2时，y＝27，当x＝3时，y＝72，所以当x＝1时，函数y＝x4－4x＋3取得最小值0，故选D.
(2)f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，
∴当x＝1时，f(x)有极大值，也是最大值，最大值为f(1)＝－1，故选B.
【答案】 (1)D (2)B
(3)f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x＋1)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
0
－
f(x)
－60
单调递增?
极大值4
单调递减?
极小值3
单调递增?
极大值4
单调递减?
－5
∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；
当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.
求函数最值的四个步骤
第一步，求函数的定义域；
第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0；
第三步，列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表；
第四步，求极值、端点值，确定最值．
[再练一题]
3．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝__________.
【解析】 f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，
当x∈(－2,0)时，f′(x)<0，
当x∈(0,2)时，f′(x)>0，
∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．
∴f(0)＝m＝1.
【答案】 1
[构建·体系]
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图1 3 7所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有( )
图1 3 7
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】 依题意，记函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f′(x)＜0.因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值，选B.
【答案】 B
2．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )
A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
【解析】 由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.
当x＜－1或x＞3时，y′＞0；由－1＜x＜3时，y′＜0.
∴当x＝－1时，函数有极大值5；3 (－2,2)，故无极小值．
【答案】 C
3．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________.
【导学号：05410022】
【解析】 ∵y＝ex＋ax，
∴y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，
即x＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.
【答案】 a＜－1
4．函数y＝在[0,2]上的最大值为________．
【解析】 ∵y′＝＝，
令y′＝0，得x＝1∈[0,2]．
∴f(1)＝，f(0)＝0，f(2)＝.
∴f(x)最大值＝f(1)＝.
【答案】
5．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)·(x－a)．
(1)求导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值．
【解】 (1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0，得a＝，
此时有f(x)＝(x2－4)·，
f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0，得x＝或x＝－1.
又f＝－，f(－1)＝，
f(－2)＝0，f(2)＝0，
∴f(x)在[－2,2]上的最大值为，
最小值为－.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列结论中，正确的是( )
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
C．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
D．如果在x0点附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
【解析】 根据极值的概念，左侧f′(x)>0，单调递增；右侧f′(x)<0，单调递减，f(x0)为极大值．
【答案】 B
2．设函数f(x)＝＋ln
x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
【解析】 f′(x)＝－，令f′(x)＝0，即－＝0，得x＝2，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，
f′(x)>0.
因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.
【答案】 D
3．(2016·烟台高二检测)已知函数f(x)＝x2－2(－1)k
ln
x(k∈N＋)存在极值，则k的取值集合是( )
A．{2,4,6,8，…}
B．{0,2,4,6,8，…}
C．{1,3,5,7，…}
D．N＋
【解析】 ∵f′(x)＝2x－且x∈(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x2＝(－1)k，(
)
要使f(x)存在极值，则方程(
)在(0，＋∞)上有解．
∴(－1)k>0，又k∈N＋，∴k＝2,4,6,8，…，
所以k的取值集合是{2,4,6,8，…}．
【答案】 A
4．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥
B．m>
C．m≤
D．m<
【解析】 令f′(x)＝2x3－6x2＝0，得x＝0或x＝3.
经检验，知x＝3是函数的最小值点，
所以函数f(x)的最小值为f(3)＝3m－.
因为不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，
所以3m－≥－9，解得m≥，故选A.
【答案】 A
5．(2016·海口高二检测)函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为( )
【导学号：05410023】
A．0
B.
C.
D.
【解析】 f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在区间[2,4]上单调递减，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.
【答案】 C
二、填空题
6．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝__________处取得极小值．
【解析】 由f(x)＝x3－3x2＋1，
得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
令f′(x)＝0，解得x＝0，x＝2，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
故当x＝2时，函数f(x)取得极小值．
【答案】 2
7．(2016·佛山高二检测)设方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则实数k的取值范围是________．
【解析】 设f(x)＝x3－3x－k，则f′(x)＝3x2－3.
令f′(x)＝0，得x＝±1，且f(1)＝－2－k，f(－1)＝2－k，
又f(x)的图象与x轴有3个交点，
故
∴－2【答案】 (－2,2)
8．已知函数f(x)＝＋2ln
x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是__________．
【解析】 由f(x)＝＋2ln
x，得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0时，f′(x)>0.故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln
a＋1.要使f(x)≥2恒成立，需ln
a＋1≥2恒成立，则a≥e.
【答案】 [e，＋∞)
三、解答题
9．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数y的极小值．
【解】 (1)y′＝3ax2＋2bx.
由题意，知即
解得
(2)由(1)知y＝－6x3＋9x2.
所以y′＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)．
令y′＝0，解得x1＝1，x2＝0.
所以当x<0时，y′<0；当00；
当x>1时，y′<0.
所以当x＝0时，y有极小值，其极小值为0.
10．(2015·太原高二检测)已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围．
【解】 因为f(x)＝，x>0，
则f′(x)＝－，
当00，
当x>1时，f′(x)<0.
所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以函数f(x)在x＝1处取得极大值．
因为函数f(x)在区间(其中a>0)上存在极值，
所以解得[能力提升]
1．(2016·哈尔滨高二检测)已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于(1,0)点，则f(x)( )
【导学号：05410024】
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极大值为0，极小值为－
D．极大值为，极小值为－
【解析】 f′(x)＝3x2－2px－q，
依题意知，∴
解得p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝.
∴当x∈时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝时，函数有极大值，f＝3－2×2＋＝，
当x＝1时，函数有极小值，f(1)＝1－2＋1＝0，
故选A.
【答案】 A
2．如图1 3 8是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于( )
图1 3 8
A.
B.
C.
D.
【解析】 函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d＝0，b＋c＋1＝0,4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
【答案】 C
3．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是__________．
【解析】 由题意，知f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，得x＝±.
因为函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，
所以f()＝2，f(－)＝6，即()3－3a＋b＝2，(－)3＋3a＋b＝6，解得a＝1，b＝4.
所以f′(x)＝3x2－3，令f′(x)<0，解得－1所以f(x)的单调递减区间是(－1,1)．
【答案】 (－1,1)
4．设函数f(x)＝ex－e－x，若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求实数a的取值范围．
【解】 令g(x)＝f(x)－ax，
由g′(x)＝f′(x)－a＝ex＋e－x－a，
由于ex＋e－x＝ex＋≥2(当且仅当x＝0时等号成立，)
所以当a≤2时，g(x)＝ex＋e－x－a≥2－a≥0，故g(x)在(0，＋∞)上为增函数．
所以当x≥0时，g(x)≥g(0)＝0，即f(x)≥ax，
当a>2时，方程g′(x)＝0的根为
x1＝ln<0，x2＝ln>0，
此时，若x∈(0，x2)，则g′(x)<0，故g(x)在区间(0，x2)内为减函数，所以x∈(0，x2)时，g(x)即f(x)综上所述，满足条件的实数a的取值范围为a≤2.3．1 数系的扩充与复数的概念
3．1.1 实数系
3．1.2 复数的概念
1．了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．(重点)
2．理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．(重点、难点)
3．掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 复数的概念及分类
阅读教材P81～P84“例1”以上部分，完成下列问题．
1．数系的扩充及对应的集合符号表示
→→→→
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
________―→Z―→Q―→R―→________
【答案】 N C
2．复数的有关概念
【答案】 实数 －1
3．复数的分类
(2)集合表示
【答案】 b＝0 b≠0 a＝0 a≠0
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．( )
(3)bi是纯虚数．( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是__________．
【解析】 当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．
【答案】 ③
教材整理2 两个复数相等的充要条件
阅读教材P85练习以上内容，完成下列问题．
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中，任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为( )
A．x＝1，y＝－1
B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0
D．x＝0，y＝0
【解析】 ∵(x＋y)i＝x－1，
∴∴x＝1，y＝－1.
【答案】 A
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
复数的概念
(1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是__________．
(3)下列命题正确的是__________(填序号)．
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集．
【自主解答】 (1)复数的平方不一定大于0，故①错；2i－1的虚部为2，故②错；2i的实部是0，③正确，故选B.
(2)由题意，得a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±，b＝5.
(3)①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．
②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题．
③由复数集的分类知，③正确，是真命题．
【答案】 (1)B (2)±，5 (3)③
判断与复数有关的命题是否正确的方法
1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
[再练一题]
1．下列命题中是假命题的是( )
【导学号：05410058】
A．自然数集是非负整数集
B．实数集与复数集的交集为实数集
C．实数集与虚数集的交集是{0}
D．纯虚数集与实数集的交集为空集
【解析】 复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，C是假命题．
【答案】 C
复数的分类
(1)复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是( )
A．|a|＝|b|
B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b
D．a>0且a＝±b
(2)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，
①z为实数？ ②z为虚数？ ③z为纯虚数？
【精彩点拨】 依据复数的分类列出方程(不等式)组求解．
【自主解答】 (1)要使复数z为纯虚数，则∴a>0，a＝±b.故选D.
【答案】 D
(2)①要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
②要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
③要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数z＝a＋bi a，b∈R 为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.
[再练一题]
2．若把上例(1)中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？
【解】 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，所以a≤0.
[探究共研型]
复数相等的充要条件
探究1 a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件吗？
【提示】 因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．
探究2 3＋2i＞3＋i正确吗？
【提示】 不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小．
(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值；
(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
【精彩点拨】 根据复数相等的充要条件求解．
【自主解答】 (1)由复数相等的充要条件，
得
解得
(2)设方程的实根为x＝m，
则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
所以
解得a＝11或a＝－.
1．复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则z1＝z2 a＝c且b＝d.
2．复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．转化过程主要依据复数相等的充要条件．基本思路是：
(1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；
(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；
(3)解方程组，求出相应的参数．
[再练一题]
3．已知x2＋y2－6＋(x－y－2)i＝0，求实数x，y的值.
【导学号：05410059】
【解】 由复数相等的条件得方程组
由②得x＝y＋2，代入①得y2＋2y－1＝0.
解得y1＝－1＋，y2＝－1－.
所以x1＝y1＋2＝1＋，x2＝y2＋2＝1－.
即或
[构建·体系]
1．设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是( )
A．A∪B＝C
B．A＝B
C．A∩( SB)＝
D．( SA)∪( SB)＝C
【解析】 集合A，B，C的关系如图，可知只有( SA)∪( SB)＝C正确．
【答案】 D
2．若复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为( )
A．1
B．1或－4
C．－4
D．0或－4
【解析】 由复数相等的条件得
∴a＝－4.
【答案】 C
3．复数(1－)i的实部为________.
【导学号：05410060】
【解析】 ∵复数(1－)i＝0＋(1－)i，∴实部为0.
【答案】 0
4．已知z1＝m2－3m＋mi，z2＝4＋(5m＋4)i，其中m∈R，i为虚数单位，若z1＝z2，则m的值为________．
【解析】 由题意得m2－3m＋mi＝4＋(5m＋4)i，从而解得m＝－1.
【答案】 －1
5．(2016·佛山高二检测)已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N≠ ，求整数a，b.
【解】 依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②
或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③
由①得a＝－3，b＝±2，
由②得a＝±3，b＝－2.
③中，a，b无整数解不符合题意．
综上所述得a＝－3，b＝2或a＝3，
b＝－2或a＝－3，b＝－2.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·泰安高二检测)－(2－i)的虚部是( )
A．－2
B．－
C.
D．2
【解析】 ∵－(2－i)＝－2＋i，
∴其虚部是.
【答案】 C
2．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则
( )
A．C＝R∪I
B．R∪I＝{0}
C．R＝C∩I
D．R∩I＝
【解析】 复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集．∴R∩I＝ ，故选D.
【答案】 D
3．(2016·肇庆高二检测)若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
【导学号：05410061】
A．－2＋i
B．2＋i
C．1－2i
D．1＋2i
【解析】 由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.
【答案】 B
4．下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 对于①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；
对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；
③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.
【答案】 A
5．复数i－2的虚部是( )
A．i
B．－2
C．1
D．2
【解析】 i－2＝－2＋i，因此虚部是1.
【答案】 C
二、填空题
6．设i为虚数单位，若复数z＝(m2＋2m－3)＋(m－1)i是纯虚数，则实数m＝__________.
【解析】 依题意有解得m＝－3.
【答案】 －3
7．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是__________．
【解析】 3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，所以所求的复数是3－3i.
【答案】 3－3i
8．有下列说法：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④纯虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦i是一个无理数．
其中正确的有________(填序号)．
【解析】 若两个复数相等，则有它们的实部、虚部均相等，故①正确；若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；因满足形如a＋bi(a，b∈R)的数均为复数，故③正确；纯虚数的平方，如i2＝－1，故④错误；－1的平方根不止一个，因为(±i)2＝－1，故⑤错误；∵i4－1＝0成立，故⑥正确；i是虚数，而且是纯虚数，故⑦错误．综上，①②③⑥正确．
【答案】 ①②③⑥
三、解答题
9．已知复数z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i，则当实数m为何值时，复数z
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．
【解】 z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i.
(1)令m2－m－6＝0 m＝3或m＝－2，即m＝3或m＝－2时，z为实数．
(2)令m2－m－6≠0，解得m≠－2且m≠3，所以m≠－2且m≠3时，z是虚数．
(3)由解得m＝－1，
所以m＝－1时，z是纯虚数．
10．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
【解】 ∵M∪P＝P，∴M P，
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得解得m＝2.
综上可知，m＝1或m＝2.
[能力提升]
1．若复数z＝＋i是纯虚数，则tan的值为( )
A．－7
B．－
C．7
D．－7或－
【解析】 ∵复数z是纯虚数，
∴∴sin
θ＝且cos
θ≠，∴cos
θ＝－.
∴tan
θ＝＝－.
∴tan＝＝＝－7，故选A.
【答案】 A
2．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋i
B．3－i
C．－3－i
D．－3＋i
【解析】 由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0，
所以解得
所以z＝3－i.
【答案】 B
3．设复数z＝＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是__________.
【导学号：05410062】
【解析】 依题意有
解得m＝3.
【答案】 3
4．如果log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，求自然数m，n的值．
【解】 因为log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，所以log(m＋n)－(m2－3m)i是实数，从而有
由①得m＝0或m＝3，
当m＝0时，代入②得n<2，又m＋n>0，所以n＝1；
当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾．
综上可得，m＝0，n＝1.章末分层突破
[自我校对]
①导数及其应用 ②导数的运算
③曲线的切线斜率 ④导数的四则运算 ⑤函数的单调性 ⑥曲线的切线 ⑦最优化问题 ⑧曲边梯形的面积 ⑨微积分基本定理的应用
导数的几何意义及其应用
利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得
y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，①
又y1＝f(x1)，②
由①②求出x1，y1的值，
即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
(1)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e
B．e
C．2
D．1
(2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图1 1所示，则该函数的图象是( )
【导学号：05410035】
图1 1
【精彩点拨】 (1)曲线在点(1,1)处的切线斜率即为该点处的导数．
(2)由导数值的大小变化，确定原函数的变化情况，从而得出结论．
【规范解答】 (1)y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为k＝2.
(2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误；B项正确．
【答案】 (1)C (2)B
[再练一题]
1．已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；
(3)求斜率为4的曲线的切线方程．
【解】 (1)∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率k＝x.
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，
∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，
∴x＋x－4x＋4＝0.
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
(3)设切点为(x0，y0)，
则切线的斜率k＝x＝4，∴x0＝±2.
∴切点为(2,4)或.
∴斜率为4的曲线的切线方程为y－4＝4(x－2)和y＋＝4(x＋2)，
即4x－y－4＝0和12x－3y＋20＝0.
利用导数判断函数的单调性
利用导数的符号判断函数的增减性，进而确定函数的单调区间，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．这部分内容要注意的是f(x)为增函数 f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数 f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个．
(2016·北京高考)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
【精彩点拨】 (1)利用导数的几何意义和求导运算建立方程组求未知数．(2)利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性．
【规范解答】 (1)因为f(x)＝xea－x＋bx，
所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.
依题设，即
解得
(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.
由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．
令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.
所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，
从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．
综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
[再练一题]
2．(2016·全国卷Ⅱ)(1)讨论函数f(x)＝ex的单调性，并证明当x＞0时，(x－2)ex＋x＋2＞0；
(2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)＝(x＞0)有最小值．设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．
【解】 (1)f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．
f′(x)＝＝≥0，
当且仅当x＝0时，f′(x)＝0，所以f(x)在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增．
因此当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝－1.
所以(x－2)ex>－(x＋2)，即(x－2)ex＋x＋2>0.
(2)g′(x)＝＝(f(x)＋a)．
由(1)知，f(x)＋a单调递增．
对任意a∈[0,1)，f(0)＋a＝a－1＜0，f(2)＋a＝a≥0.
因此，存在唯一xa∈(0,2]，使得f(xa)＋a＝0，
即g′(xa)＝0.
当0当x>xa时，f(x)＋a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．
因此g(x)在x＝xa处取得最小值，最小值为
g(xa)＝＝＝.
于是h(a)＝.
由′＝＞0，得y＝单调递增，
所以，由xa∈(0,2]，得
＝＜h(a)＝≤＝.
因为y＝单调递增，对任意λ∈，存在唯一的xa∈(0,2]，a＝－f(xa)∈[0,1)，使得h(a)＝λ.
所以h(a)的值域是.
综上，当a∈[0,1)时，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是.
利用导数研究函数的极值、最值
由函数的解析式能求出函数的极值和最值，反过来由函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．另外，这部分内容可能会和恒成立问题、有解等问题联系到一起考查．
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．
【精彩点拨】 (1)由求出a，b即可．
(2)对t分0(3)构造函数g(x)＝f(x)－c转化为g(x)在[1,3]上有实根求解．
【规范解答】 (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.
又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
①当0②当2x
0
(0,2)
2
(2，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
＋
f(x)
2
单调递减?
极小值－2
单调递增?
t3－3t2＋2
f(x)的最小值为f(2)＝－2，f(x)的最大值为f(0)与f(t)中较大的一个．
f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.
所以f(x)的最大值为f(0)＝2.
(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，
g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
在x∈[1,2)上，g′(x)<0；在x∈(2,3]上，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则解得－2[再练一题]
3．已知函数f(x)＝－x3＋12x＋m.
(1)若x∈R，求函数f(x)的极大值与极小值之差；
(2)若函数y＝f(x)有三个零点，求m的取值范围；
(3)当x∈[－1,3]时，f(x)的最小值为－2，求f(x)的最大值．
【解】 (1)f′(x)＝－3x2＋12.
当f′(x)＝0时，x＝－2或x＝2.
当f′(x)＞0时，－2＜x＜2.
当f′(x)＜0时，x＜－2或x＞2.
∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2,2)上单调递增．
∴f(x)极小＝f(－2)＝－16＋m.
f(x)极大＝f(2)＝16＋m.
∴f(x)极大－f(x)极小＝32.
(2)由(1)知要使函数y＝f(x)有三个零点，必须即
∴－16＜m＜16.
∴m的取值范围为(－16,16)．
(3)当x∈[－1,3]时，由(1)知f(x)在[－1,2)上单调递增，f(x)在[2,3]上单调递减，f(x)的最大值为f(2)．
又f(－1)＝－11＋m，f(3)＝m＋9，
∴f(－1)＜f(3)，
∴在[－1,3]上f(x)的最小值为f(－1)＝－11＋m，
∴－11＋m＝－2，∴m＝9.
∴当x∈[－1,3]时，f(x)的最大值为
f(2)＝(－2)3＋12×2＋9＝25.
函数与方程的思想
函数的单调性是证明不等式的一种常用方法，证明时灵活构造函数关系，尽可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数，如果证明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)与0的关系，若F′(x)＞0，则函数F(x)在(a，b)上是增函数．若F(a)≥0，则由增函数的定义，知当x∈(a，b)时，有F(x)＞F(a)≥0，即f(x)＞g(x)成立，同理可证明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)．
设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)【精彩点拨】 (1)利用f′(1)＝0，f′(2)＝0，列方程组求解．
(2)转化为求函数f(x)的最大值问题．
【规范解答】 (1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.
因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，
则有f′(1)＝0，f′(2)＝0，即解得
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
则f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
当x∈[0,1)时，f′(x)>0；
当x∈[1,2]时，f′(x)<0；
当x∈(2,3]时，f′(x)>0.
所以当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，当x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.
所以当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)所以9＋8c9.
故c的取值范围为c<－1或c>9.
[再练一题]
4．(2016·郑州高二检测)已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象相切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．
【解】 (1)对函数f(x)求导，得f′(x)＝＝.
因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．
所以即所以a＝4，b＝1，
所以f(x)＝.
(2)因为f′(x)＝，所以直线l的斜率
k＝f′(x0)＝＝4，令t＝，t∈(0,1]，则k＝4(2t2－t)＝82－，所以k∈.
定积分及其应用
定积分是对“分割、近似代替、求和、取极限”的概括，包含“以直代曲”的数学思想，利用定积分的几何意义、物理意义及微积分基本定理．可以解决不规则平面图形的面积及变力作功问题．
设两抛物线y＝－x2＋2x，y＝x2所围成的图形为M，求M的面积．
【精彩点拨】 求出两抛物线的交点，画出图象、利用定积分求解．
【规范解答】 函数y＝－x2＋2x，y＝x2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．
由图可知，图形M的面积
S＝(－x2＋2x－x2)dx
＝(－2x2＋2x)dx＝＝.
[再练一题]
5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln
5
B．8＋25ln
C．4＋25ln
5
D．4＋50ln
2
【解析】 由v(t)＝7－3t＋＝0，可得t＝4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4
s，在此期间行驶的距离为v(t)dt＝
dt
＝＝4＋25ln
5.
【答案】 C
1．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
【解析】 设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，
∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.
∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，
∴g(x)的图象的示意图如图所示．
当x>0，g(x)>0时，f(x)>0,0当x<0，g(x)<0时，f(x)>0，x<－1，
∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.
【答案】 A
2．(2015·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)＜0，则a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵f(0)＝－1＋a<0，∴x0＝0.
又∵x0＝0是唯一的使f(x)<0的整数，
∴
即解得a≥.
又∵a＜1，∴≤a<1，经检验a＝，符合题意．故选D.
【答案】 D
3．(2016·山东高考)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是
( )
A．y＝sin
x
B．y＝ln
x
C．y＝ex
D．y＝x3
【解析】 若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，
使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.
对于A：y′＝cos
x，若有cos
x1·cos
x2＝－1，则存在x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；
对于B：y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，∵x>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；
对于C：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；
对于D：y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，显然不存在这样的x1，x2.
综上所述，选A.
【答案】 A
4．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．
【解析】 因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln
x－3x，所以f′(x)＝－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.
【答案】 y＝－2x－1
5．(2015·湖南高考)(x－1)dx＝__________.
【解析】 (x－1)dx＝＝×22－2＝0.
【答案】 0
章末综合测评(一) 导数及其应用
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·天津高二检测)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则
的值为( )
A．f′(x0)
B．2f′(x0)
C．－2f′(x0)
D．0
【解析】
＝2
＝2f′(x0)，故选B.
【答案】 B
2．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )
【导学号：05410036】
A．1
B.
C．－
D．－1
【解析】 y′＝2ax，于是切线斜率k＝y′|x＝1＝2a，由题意知2a＝2，∴a＝1.
【答案】 A
3．下列各式正确的是( )
A．(sin
a)′＝cos
a(a为常数)
B．(cos
x)′＝sin
x
C．(sin
x)′＝cos
x
D．(x－5)′＝－x－6
【解析】 由导数公式知选项A中(sin
a)′＝0；选项B中(cos
x)′＝－sin
x；选项D中(x－5)′＝－5x－6.
【答案】 C
4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2)
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
【解析】 f′(x)＝(x－2)ex，由f′(x)>0，得x>2，所以函数f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．
【答案】 D
5．(2016·东北三校联考)若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为( )
A．0
B．2
C．1
D．－1
【解析】 f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0.
【答案】 A
6．如图1所示，图中曲线方程为y＝x2－1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )
图1
A.
B.(x2－1)dx
C.|x2－1|dx
D.(x2－1)dx－(x2－1)dx
【解析】 S＝[－(x2－1)]dx＋(x2－1)dx
＝|x2－1|dx.
【答案】 C
7．(2016·泰安高二检测)函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是( )
A．2
B．1
C．0
D．由a确定
【解析】 f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R上单调递增，无极值．故选C.
【答案】 C
8．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )
A．－5
B．7
C．10
D．－19
【解析】 ∵f(x)′＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，
所以函数在[－2，－1]内单调递减，
所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2.
∴a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5.
【答案】 A
9．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是( )
A．(0,1)
B．(－1,0)∪(0,1)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】 不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，
设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1，
由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，
∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0，
∴原不等式 g(x)>0 g(x)>g(1)．
∴x>1，故选C.
【答案】 C
10．已知函数f(x)＝x2＋2x＋aln
x，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是( )
A．a≥0
B．a<－4
C．a≥0或a≤－4
D．a>0或a<－4
【解析】 f′(x)＝2x＋2＋，x∈(0,1)，
∵f(x)在(0,1)上单调，
∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，
∴2x＋2＋≥0或2x＋2＋≤0在(0,1)上恒成立，
即a≥－2x2－2x或a≤－2x2－2x在(0,1)上恒成立．
设g(x)＝－2x2－2x＝－22＋，则g(x)在(0,1)上单调递减，
∴g(x)的最大值为g(0)＝0，g(x)的最大值为g(1)＝－4.
∴a≥0或a≤－4.
【答案】 C
11．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为( )
A.
B．2
C．3
D．2
【解析】 设曲线上的点A(x0，ln(2x0－1))到直线2x－y＋3＝0的距离最短，
则曲线上过点A的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
因为y′＝·(2x－1)′＝，
所以k＝＝2，解得x0＝1.
所以点A的坐标为(1,0)．
所以点A到直线2x－y＋3＝0的距离为
d＝＝＝.
【答案】 A
12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为( )
【导学号：05410037】
A．3
B.
C．2
D.
【解析】 由题意，得f′(x)＝2ax＋b.
由对任意实数x，有f(x)≥0，知图象开口向上，所以a>0，且Δ＝b2－4ac≤0，所以ac≥.
因为f′(0)>0，所以b>0，且在x＝0处函数递增．
由此知f(0)＝c>0.
所以＝≥≥＝2.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．eq
\i\in(0,,)
(3x＋sin
x)dx＝__________.
【解析】 eq
\i\in(0,,)
(3x＋sin
x)dx＝eq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(,0))eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))2－cos\f(π,2)))－(0－cos
0)＝＋1.
【答案】 ＋1
14．(2014·江西高考)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
【解析】 设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，
∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，
∴－x0＝ln
2，∴x0＝－ln
2，
∴y0＝eln
2＝2，
∴点P的坐标为(－ln
2,2)．
【答案】 (－ln
2,2)
15．(2016·南京高二检测)直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是__________．
【解析】 令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，
可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，
极小值为f(1)＝－2，
如图所示，－2【答案】 (－2,2)
16．周长为20
cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm3.
【解析】 设矩形的长为x，则宽为10－x(0∴V′(x)＝20πx－3πx2.
由V′(x)＝0，得x＝0(舍去)，x＝，
且当x∈时，V′(x)>0，
当x∈时，V′(x)<0，
∴当x＝时，V(x)取得最大值为π
cm3.
【答案】 π
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限，
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
【解】 (1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知得3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又因为点P0在第三象限，
所以切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，
所以直线l的斜率为－，
因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2－ax＋1(a>0)．
(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．
【解】 (1)f(0)＝1，f′(x)＝＋x－a＝，f′(0)＝0，所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f′(x)＝0，
即＝0.
解得x＝0或x＝a－1.
当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的变化情况为
x
(－1,0)
0
(0，a－1)
a－1
(a－1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
极大值
单调递减?
极小值
单调递增?
可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，单调增区间是(－1,0)和(a－1，＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝aln
a－a2＋.
19．(本小题满分12分)(2016·菏泽高二检测)已知函数f(x)＝x2－mln
x，h(x)＝x2－x＋a，
(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
【解】 (1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，
得m≤在(1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝，则g′(x)＝，故g′(e)＝0，
当x∈(1，e)时，g′(x)<0；
x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0.
故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.
所以m≤e.
(2)由已知可知k(x)＝x－2ln
x－a，函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2ln
x与直线y＝a有两个不同的交点，
φ′(x)＝1－＝，故φ′(2)＝0，
所以当x∈[1,2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减，
当x∈(2,3]时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增．
所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln
3，φ(2)＝2－2ln
2，
且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，
所以2－2ln
23.
所以实数a的取值范围为(2－2ln
2,3－2ln
3]．
20．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r
m，高为h
m，体积为V
m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12
000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
【解】 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，
底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意200πrh＋160πr2＝12
000π，
所以h＝(300－4r2)，从而
V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得0＜r<5，
故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
21．(本小题满分12分)(2016·长沙高二检测)抛物线y＝ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y＝4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值．
【解】 由题设可知抛物线与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝－，
所以S＝eq
\i\in(0,-,)0(ax2＋bx)dx
＝eq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(－,0))
＝a·3＋b·2，①
又直线x＋y＝4与抛物线y＝ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，
由方程组得
ax2＋(b＋1)x－4＝0，其判别式Δ＝0，
即(b＋1)2＋16a＝0.
于是a＝－(b＋1)2，代入①式得：
S(b)＝(b>0)，S′(b)＝；
令S′(b)＝0，在b＞0时，得b＝3，且当0S′(b)>0；
当b>3时，S′(b)<0.
故在b＝3时，S(b)取得极大值，也是最大值，
即a＝－1，b＝3时，S取得最大值，且S最大值＝.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求证：当x>0，且x≠1时，f(x)>.
【解】 (1)f′(x)＝－，
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，
故即解得
(2)证明：由(1)知，f(x)＝＋，
所以f(x)－＝.
设函数h(x)＝2ln
x－(x>0)，
则h′(x)＝－＝－.
所以当x≠1时，h′(x)<0，而h(1)＝0，
所以当x∈(0,1)时，h(x)>0，得f(x)>；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，得f(x)>.
故当x>0，且x≠1时，f(x)>.