【人教B版】2017-2018学年数学·选修1-1全册练习（24份，Word版，含解析）

第三章　3.3　第1课时
一、选择题
1．函数y＝xlnx在区间(0,1)上是导学号
96660554
(　　)
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在(0，)上是减函数，在(，1)上是增函数
D．在(0，)上是增函数，在(，1)上是减函数
[答案]　C
[解析]　f′(x)＝lnx＋1，当0当0.
2．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有导学号
96660555
(　　)
A．f(x)＞0
B．f(x)＜0
C．f(x)＝0
D．不能确定
[答案]　A
[解析]　∵在区间(a，b)内有f′(x)>0，且f(a)≥0，
∴函数f(x)在区间(a，b)内是递增的，
且f(x)>f(a)≥0.
3．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，则f(x)为增函数的一个充分条件是导学号
96660556
(　　)
A．b2－4ac＞0
B．b＞0，c＞0
C．b＝0，c＞0
D．b2－3ac＞0
[答案]　C
[解析]　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，又a>0，∴当b＝0，c>0时，f′(x)>0恒成立．
4．函数y＝x＋lnx的单调递增区间为导学号
96660557
(　　)
A．(0，＋∞)
B．(－∞，－1)，(1，＋∞)
C．(－1,0)
D．(－1,1)
[答案]　A
[解析]　由题意知x>0，∴f′(x)＝1＋＝>0.故选A.
5．(2015·湖南文，8)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是导学号
96660558
(　　)
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
[答案]　A
[解析]　求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，函数的定义域为(－1,1)，函数f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝－f(x)，所以函数是奇函数．f′(x)＝＋＝，已知在(0,1)上f′(x)＞0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，故选A.
6．(2016·全国卷Ⅰ文，12)若函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,1]
B．[－1，]
C．[－，]
D．[－1，－]
[答案]　C
[解析]　函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f′(x)＝1－cos2x＋acosx＝－cos2x＋acosx＋≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cosx＝t，
则g(t)＝－t2＋at＋≥0在[－1,1]恒成立，
所以，
解得－≤a≤．故选C．
二、填空题
7．函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是________．导学号
96660560
[答案]　(－∞，－)，(1，＋∞)
[解析]　令y′＝3x2＋2x－5>0，得x<－或x>1.
8．函数f(x)＝xlnx(x＞0)的单调递增区间是________．导学号
96660561
[答案]　[，＋∞)
[解析]　∵f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋1，
令f′(x)>0，即lnx>－1，∴x>.
∴增区间为[，＋∞)．
三、解答题
9．讨论函数f(x)＝(－196660562
[解析]　f(x)的定义域为(－1,1)，函数f(x)是奇函数，所以只需讨论函数在(0,1)上的单调性．
∵f′(x)＝b·＝－，
当00，(x2－1)2>0，
∴－<0.
∴当b>0时，f′(x)<0.
∴函数f(x)在(0,1)上是减函数；
当b<0时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在(0,1)上是增函数．
又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，所以可知：
当b>0时，f(x)在(－1,1)上是减函数；
当b<0时，f(x)在(－1,1)上是增函数.
一、选择题
1．函数f(x)＝lnx－ax(a>0)的单调递增区间为导学号
96660563
(　　)
A．(，＋∞)
B．(0，)
C．(0，＋∞)
D．(0，a)
[答案]　B
[解析]　f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝－a>0得02．给出下列结论：
(1)单调增函数的导函数也是单调增函数；
(2)单调减函数的导函数也是单调减函数；
(3)单调函数的导函数也是单调函数；
(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．
其中正确的结论个数是导学号
96660564
(　　)
A．0　　
B．2　　
C．3　　
D．4
[答案]　A
[解析]　举反例的方法：如函数y＝x是单调增函数，但其导函数y′＝1不具有单调性，排除(1)(3)，如函数y＝－x是单调减函数，但其导函数y′＝－1不具有单调性，排除(2)，再如函数y＝x2，其导函数y′＝2x是单调的，但原函数不具有单调性，排除(4)．
3．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为导学号
96660565
(　　)
[答案]　D
[解析]　函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上单调增，则导函数y＝f′(x)在区间(－∞，0)上函数值为正，排除A、C，原函数y＝f(x)在区间(0，＋∞)上先增再减，最后再增，其导函数y＝f′(x)在区间(0，＋∞)上函数值先正、再负、再正，排除B，故选D.
4．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，在区间(0,2)内单调递减，则a的值为导学号
96660566
(　　)
A．1
B．2
C．－6
D．－12
[答案]　C
[解析]　f′(x)＝6x2＋2ax，令6x2＋2ax<0，
当a>0时，解得－当a<0时，解得0由题意，－＝2，∴a＝－6.
二、填空题
5．三次函数f(x)＝ax3＋x在(－∞，＋∞)内是增函数，则a的取值范围是________．
导学号
96660567
[答案]　a>0
[解析]　f(x)＝3ax2＋1，由条件知3ax2＋1≥0在R上恒成立，且a≠0，∴，解得a>0.
6．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．
导学号
96660568
[答案]　[3，＋∞)
[解析]　y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax≤0在区间(0,2)内恒成立，
即a≥x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数f(x)的递增区间．
导学号
96660569
[解析]　f′(x)＝3x2＋a.
∵(－5,5)是函数y＝f(x)的单调递减区间，则－5、5是方程3x2＋a＝0的根，
∴a＝－75.此时f′(x)＝3x2－75.
令f′(x)>0，则3x2－75>0.解得x>5或x<－5.
∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．
8．求函数f(x)＝x＋(b>0)的单调区间．导学号
96660570
[解析]　函数的定义域为{x|x≠0}
f′(x)＝1－＝(x－)(x＋)，
令f′(x)≥0，得x≥或x≤－.
∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，
令f′(x)≤0，得－≤x≤，且x≠0.
∴函数f(x)的单调减区间是[－，0)和(0，]．
9．(2016·山东文，20)设f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R．
(Ⅰ)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(Ⅱ)已知f(x)在x＝1处取得极大值．求实数a的取值范围．
[解析]　(1)由f′(x)＝lnx－2ax＋2a，
可得g(x)＝lnx－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)．
则g′(x)＝－2a＝．
当a≤0时，
x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；
当a>0时，
x∈(0，)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，
x∈(，＋∞)时，函数g(x)单调递减．
所以当a≤0时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)；
当a>0时，g(x)的单调增区间为(0，)，单调减区间为(，＋∞)．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f′(1)＝0．
①当a≤0时，f′(x)单调递增，
所以当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
②当01，由(Ⅰ)知f′(x)在(0，)内单调递增，
可得当x∈(0,1)时，f′(x)<0，x∈(1，)时，f′(x)>0．
所以f(x)在(0,1)内单调递减，在(1，)内单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
③当a＝时，＝1，f′(x)在(0,1)内单调递增，
在(1，＋∞)内单调递减，
所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意．
④当a>时，0<<1，
当x∈(，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)在x＝1处取得极大值，合题意．
综上可知，实数a的取值范围为a>．第一章　1.2　第1课时
一、选择题
1．下列命题中是“p∧q”形式的命题是导学号
96660062
(　　)
A．28是5的倍数或是7的倍数
B．2是方程x2－4＝0的根又是方程x－2＝0的根
C．函数y＝ax(a>1)是增函数
D．函数y＝lnx是减函数
[答案]　B
[解析]　选项A是由“或”联结构成的新命题，是“p∨q”形式的命题；选项B可写成“2是方程x2－4＝0的根且是方程x－2＝0的根”，是由逻辑联结词“且”联结构成的新命题，故选项B是“p∧q”形式的命题；选项C，D不是由逻辑联结词联结形成的新命题，故不是“p∧q”形式的命题．
2．下列说法与x2＋y2＝0含义相同的是导学号
96660063
(　　)
A．x＝0且y＝0　　　
B．x＝0或y＝0
C．x≠0且y≠0
D．x≠0或y≠0
[答案]　A
[解析]　因两个非负数的和等于0，故每个加数都为0，即x2＝0且y2＝0，所以x＝0且y＝0.
3．下列命题是真命题的是导学号
96660064
(　　)
A．5>2且7>8
B．3>4或3<4
C．7－1≥7
D．方程x2－3x＋4＝0有实根
[答案]　B
[解析]　虽然p:3>4假，但q:3<4真，所以p∨q为真命题．
4．有下列命题：①2012年10月1日是国庆节，又是国际音乐日；②10的倍数一定是5的倍数；③2是偶数或3不是质数；④方程x2＝1的解是x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有导学号
96660065
(　　)
A．1个　
B．2个　
C．3个　
D．4个
[答案]　C
[解析]　①属p∧q型，用“且”．②是简单命题，无联结词．③属p∨q型，用“或”．④属p∨q型，用“或”．故选C.
5．下列为假命题的是导学号
96660066
(　　)
A．3是7或9的约数
B．两非零向量平行，其所在直线平行或重合
C．菱形的对角线相等且互相垂直
D．若x2＋y2＝0，则x＝0且y＝0
[答案]　C
[解析]　菱形的对角线互相垂直但不一定相等．
6．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是导学号
96660067
(　　)
A．(0，－3)　　　　　
B．(1,2)
C．(1，－1)
D．(－1,1)
[答案]　C
[解析]　由，得，
∴P(1，－1)，故选C.
二、填空题
7．若p:2是8的约数，q:2是12的约数．则“p∨q”为________；“p∧q”为________．(填具体的语句内容)．
导学号
96660068
[答案]　2是8的约数，或者是12的约数　2既是8的约数，又是12的约数
8．用“p∨q”、“p∧q”填空．
导学号
96660069
命题“a2＋1≥1”是________形式．
[答案]　“p∨q”
[解析]　a2＋1≥1即为a2＋1>1或a2＋1＝1.
三、解答题
9．下列语句是命题吗？如果是命题，请指出命题的构成形式：导学号
96660070
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或内切圆；
(3)正弦函数y＝sinx(x∈R)是奇函数并且是周期函数．
[解析]　(1)是p∧q形式命题．其中p:向量有大小，q:向量有方向．
(2)是p∨q形式命题．其中p:矩形有外接圆，q:矩形有内切圆．
(3)是p∧q形式命题．其中p:正弦函数y＝sinx(x∈R)是奇函数，q:正弦函数y＝sinx(x∈R)是周期函数.
一、选择题
1．下列命题，其中假命题的个数为导学号
96660071
(　　)
①5>4或4<5；
②9≥3；
③命题“若a>b，则a＋c>b＋c”．
A．0　　
B．1　　
C．2　　
D．3
[答案]　A
[解析]　①②③都是真命题，故选A.
2．下列命题中既是p∧q的命题，又是真命题的是导学号
96660072
(　　)
A．10或15是5的倍数
B．方程x2－3x－4＝0的两根和是1
C．方程x2＋1＝0没有实数根
D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
[答案]　D
[解析]　有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形既是p∧q的命题，又是真命题．
3．对于函数①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x－2)．判断如下两个命题的真假：
命题甲：f(x＋2)是偶函数；
命题乙：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．
能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是导学号
96660073
(　　)
A．①②
B．①③
C．②
D．③
[答案]　C
[解析]　f(x)＝|x＋2|，则f(x＋2)＝|x＋4|不是偶函数，排除选项A、B；f(x)＝cos(x－2)在(－∞，2)上不具有单调性，排除D，故选C.
4．命题p：函数y＝loga(ax＋2a)(a>0且a≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q：如果函数y＝f(x)的图象关于(3,0)对称，那么函数y＝f(x－3)的图象关于原点对称，则有
导学号
96660074
(　　)
A．“p且q”为真
B．“p或q”为假
C．p真q假
D．p假q真
[答案]　C
[解析]　对于命题p：当x＝－1时，y＝logaa＝1，故命题p为真；对于命题q：将函数y＝f(x)的图象向右平移3个单位，得到函数y＝f(x－3)的图象，故函数y＝f(x－3)的图象关于点(6,0)对称，∴命题q为假，故选C.
二、填空题
5．命题p：x2＋2x－3>0，命题q：(x－2)(x－3)<0.若p且q为真，则x的取值范围是____________．导学号
96660075
[答案]　(2,3)
[解析]　由(x＋3)(x－1)>0，得x>1或x<－3，
∴p真：x>1或x<－3.
由(x－2)(x－3)<0，得2若p且q为真，
则，
∴26．设有两个命题：导学号
96660076
①关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R；
②函数f(x)＝logmx是减函数．
如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数m的取值范围是________．
[答案]　m＝0或m≥1
[解析]　①是真命题则m≥0，②是真命题则
0三、解答题
7．命题p：二次函数y＝(－)x2＋(－)x＋(－)的图象与x轴相交，命题q：二次函数y＝－x2＋x－1的图象与x轴相交，判断由p、q组成的新命题p∧q的真假．
导学号
96660077
[解析]　p：二次函数y＝(－)x2＋(－)x＋(－)的图象与x轴相交，易知图象过(1,0)，故p为真．
q：二次函数y＝－x2＋x－1的图象与x轴相交，而Δ＝－3<0，故q为假，所以p∧q为假命题．
8．已知a>0，设命题p:函数y＝ax在R上单调递增；命题q:不等式ax2－ax＋1>0对 x∈R恒成立．若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．导学号
96660078
[解析]　∵y＝ax在R上单调递增，∴p:a>1；
又不等式ax2－ax＋1>0对 x∈R恒成立，
∴Δ<0且a>0，即a2－4a<0，∴0∴q:0而命题p∧q为假，p∨q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假．
(1)若p真，q假，则a≥4；
(2)若p假，q真，则0所以a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．
9．已知命题p：函数y＝lg(ax2－ax＋1)的定义域为R，导学号
96660079
命题q：函数y＝xa2－2a－3在x∈(0，＋∞)上是减函数，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
[解析]　命题p：函数y＝lg(ax2－ax＋1)的定义域为R，即ax2－ax＋1>0对一切实数x恒成立，其充要条件为a＝0或，
∴0≤a<4.
命题q：函数y＝xa2－2a－3在x∈(0，＋∞)上是减函数，得a2－2a－3<0，所以－1由题意知，命题p、q有且只有一个是真命题，当p为真，q为假时，，∴3≤a<4.
当p为假，q为真时， －1综上可得，实数a的取值范围是－11．(2016·天津文，5)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)
A．充要条件　　　　　　
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　C
[解析]　由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件．
2．设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的导学号
96660122
(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD，当四边形ABCD中，AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上可知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．
3．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的导学号
96660123
(　　)
A．充分必要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件
[答案]　A
[解析]　由正弦定理，得a≤b 2RsinA≤2RsinB(R为△ABC外接圆的半径) sinA≤sinB，故选A.
4．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是导学号
96660124
(　　)
A．x<0
B．x≥0
C．x∈{－1,3,5}
D．x≤－或x≥3
[答案]　C
[解析]　x＝－1、3、5时，2x2－5x－3≥0成立，而2x2－5x－3≥0成立，x不一定等于－1、3、5.
5．“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的导学号
96660125
(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　本题考查不等式的性质及充分条件、必要条件的概念．
如a＝1，c＝3，b＝2，d＝1时，a＋c>b＋d，
但ab＋d”
“a>b且c>d”，
由不等式的性质可知，a>b且c>d，则a＋c>b＋d，
∴“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件．
6．(2015·重庆文，2)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的导学号
96660126
(　　)
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　由“x＝1”显然能推出“x2－2x＋1＝0”，故条件是充分的；又由“x2－2x＋1＝0”可得(x－1)2＝0 x＝1，所以条件也是必要的；故选A.
二、填空题
7．用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”填空：导学号
96660127
(1)“m≠3”是“|m|≠3”的________；
(2)“四边形ABCD为平行四边形”是“AB∥CD”的________；
(3)“a>b，c>d”是“a－c>b－d”的________．
[答案]　(1)必要不充分条件
(2)充分不必要条件
(3)既不充分也不必要条件
8．若x∈R，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值恒为正的充要条件是________________，恒为负的充要条件是______________．导学号
96660128
[答案]　a>0且b2－4ac<0　a<0且b2－4ac<0
三、解答题
9．下列各题中，p是q的什么条件？导学号
96660129
(1)p：x＝1；q：x－1＝；
(2)p：－1≤x≤5；q：x≥－1且x≤5；
(3)p：三角形是等边三角形；q：三角形是等腰三角形．
[解析]　(1)充分不必要条件
当x＝1时，x－1＝成立；
当x－1＝时，x＝1或x＝2.
(2)充要条件
∵－1≤x≤5 x≥－1且x≤5.
(3)充分不必要条件
∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形.
一、选择题
1．命题p：(x－1)(y－2)＝0；命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，则命题p是命题q的
导学号
96660130
(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　B
[解析]　命题p：(x－1)(y－2)＝0 x＝1或y＝2.
命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0 x＝1且y＝2.
由q p成立，而由pq成立．
2．(2016·山东文，6)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　根据已知，如果直线a，b相交，则平面α，β一定存在公共点，故其一定相交；反之，如果平面a，β相交，分别位于这两个平面内的直线未必相交，故为充分不必要条件，选A．
若二次函数y＝ax2＋bx＋c过原点，则c＝0，故选A.
3．命题p：不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R，命题q：0导学号
96660132(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　B
[解析]　当a＝0时，不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R；当，即00的解集为R.
综上所述，不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R时，0≤a<1，故选B.
4．(2015·陕西文，6)“sin
α＝cos
α”是“cos
2α＝0”的导学号
96660133(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　cos
2α＝0 cos2α－sin2
α＝0 (cos
α－sin
α)(cos
α＋sin
α)＝0，所以sin
α＝cos
α或sin
α＝－cos
α，故答案选A.
二、填空题
5．已知数列{an}，那么“对任意的n∈N＋，点Pn(n，an)，都在直线y＝2x＋1上”是“{an}为等差数列”的____________条件．导学号
96660134
[答案]　充分不必要
[解析]　点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，即an＝2n＋1，∴{an}为等差数列，但是{an}是等差数列却不一定
就是an＝2n＋1.
6．直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直的充要条件是________．导学号
96660135
[答案]　m＝－2或3
[解析]　l1⊥l2 2(m＋1)(m－3)＋(m－3)·2＝0 m2－m－6＝0 m＝－2或3.
三、解答题
7．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？导学号
96660136
(1)p：x>1，q：x2>1；
(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形．
[解析]　(1)由x>1 x2>1，所以p q.
∵x2>1，∴x>1或x<－1，
∴qp，∴p是q的充分不必要条件．
(2)△ABC有两个角相等，则△ABC是等腰三角形，不一定是正三角形，所以pq；若△ABC是正三角形，则三个角均相等，即任意两个角都相等，所以q p，故p是q的必要不充分条件．
8．求证：关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1>0对于一切实数都成立的必要条件是0导学号
96660137
[证明]　要使ax2－ax＋1>0对任意实数x都成立，需考虑两种情况：
①当a＝0时，原不等式化为1>0，恒成立，符合题意；
②当a>0时，需Δ＝a2－4a<0，即0综上所述0≤a<4.
显然00对任意实数x都成立的必要条件．
9．已知p：q：1－m≤x≤1＋m，m>0，若 p是 q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．导学号
96660138
[解析]　由p得x∈[－2,10]，
由q得x∈[1－m,1＋m]．
∵ p是 q的必要不充分条件，
∴p q且pp，
∴[－2,10]?[1－m,1＋m]．
∴∴m≥9.第三章　3.2　第2课时
一、选择题
1．函数f(x)＝的导数是导学号
96660523
(　　)
A.　　　
B.
C.
D.
[答案]　C
[解析]　f′(x)＝＝
.
2．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为导学号
96660524
(　　)
A．ab
B．－a(a－b)
C．0
D．a－b
[答案]　D
[解析]　∵y＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab
∴y′＝2x－(a＋b)，y′|x＝a＝2a－a－b＝a－b.
3．函数y＝的导数是导学号
96660525
(　　)
A．－
B．－sinx
C．－
D．－
[答案]　C
[解析]　y′＝′＝
＝.
4．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是导学号
96660526
(　　)
A.　　
B.　　
C.　　
D.
[答案]　D
[解析]　f′(x)＝3ax2＋6x，∵f′(－1)＝3a－6，
∴3a－6＝4，∴a＝.
5．函数y＝(2＋x3)2的导数为导学号
96660527
(　　)
A．6x5＋12x2
B．4＋2x3
C．2(2＋x3)2
D．2(2＋x3)·3x
[答案]　A
[解析]　∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，
∴y′＝6x5＋12x2.
6．f(x)＝ax3＋x2＋3，若f′(1)＝5，则a的值为导学号
96660528
(　　)
A．－1
B．2
C．－2
D．1
[答案]　D
[解析]　∵f′(x)＝3ax2＋2x，f′(1)＝3a＋2＝5，
∴a＝1.
二、填空题
7．(2016·天津文，10)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
[答案]　3
[解析]　由题意得f′(x)＝(2x＋3)ex，则得f′(0)＝3．
8．曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为______________．导学号
96660530
[答案]　4x－y－3＝0
[解析]　y′＝3lnx＋4，故y′|x＝1＝4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝4(x－1)，化为一般式方程为4x－y－3＝0.
三、解答题
9．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点A(0,1)和B(1，0)，在区间(0,1)内求实数a，使得函数f(x)的图象在x＝a处的切线平行于直线AB.
导学号
96660531
[解析]　直线AB的斜率kAB＝－1，
f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(a)＝－1(0即3a2－2a－1＝－1，解得a＝.
一、选择题
1．若物体的运动方程是s(t)＝tsint，则物体在t＝2时的瞬时速度为导学号
96660532
(　　)
A．cos2＋2sin2
B．2sin2－cos2
C．sin2＋2cos2
D．2cos2－sin2
[答案]　C
[解析]　∵s′(t)＝t′·sint＋t(sint)′＝sint＋tcost，
∴s′(2)＝sin2＋2cos2.
2．下列函数在点x＝0处没有切线的是导学号
96660533
(　　)
A．y＝3x2＋cosx
B．y＝xsinx
C．y＝＋2x
D．y＝
[答案]　C
[解析]　∵函数y＝＋2x在x＝0处不可导，
∴函数y＝＋2x在点x＝0处没有切线．
3．若函数f(x)＝exsinx，则此函数的图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为
导学号
96660534
(　　)
A.
B．0
C．钝角
D．锐角
[答案]　C
[解析]　因为f′(x)＝exsinx＋excosx，所以f′(4)＝e4sin4＋e4cos4＝e4(sin4＋cos4)．因为π<4<，所以sin4＋cos4<0，所以f′(4)<0.所以函数f(x)的图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为钝角．
4．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(1，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则
导学号
96660535
(　　)
A．a＝1，b＝2
B．a＝－1，b＝2
C．a＝1，b＝－2
D．a＝－1，b＝－2
[答案]　B
[解析]　∵y′＝2x＋a，∴曲线在点(1，b)处的切线斜率k＝2＋a，
∴2＋a＝1，∴a＝－1.
∴曲线y＝x2－x＋b，∴1－b＋1＝0，∴b＝2.
二、填空题
5．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为________．
导学号
96660536
[答案]　
[解析]　∵y′|x＝1＝3x2|x＝1＝3，
∴切线为y＝3x－2，如右图所示．
A(，0)，B(2,4)，
∴S△＝(2－)×4＝.
6．(2016·全国卷Ⅲ文，16)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是__________________．
[答案]　y＝2x
[解析]　当x>0时，－x<0，则f(－x)＝ex－1＋x．又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝＋x，所以当x>0时，
f′(x)＝ex－1＋1，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x．
三、解答题
7．已知函数y＝x3－3x2＋2x－9在x＝x0处的导数为11，求x0的值．导学号
96660538
[解析]　∵y′＝(x3－3x2＋2x－9)′＝3x2－6x＋2，
∴y′|x＝x0＝3x－6x0＋2.
由题知3x－6x0＋2＝11，
∴3x－6x0－9＝0，x－2x0－3＝0，
∴x0＝－1或x0＝3.
8．求下列函数的导数．导学号
96660539
(1)y＝tanx；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
[解析]　(1)∵y＝tanx＝，
∴y′＝()′＝
＝＝.
(2)∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)
＝(x2＋3x＋2)(x＋3)
＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝3x2＋12x＋11.
9．曲线y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，求实数a的值．导学号
96660540
[解析]　∵y′＝(1－ax)2＋x[(1－ax)2]′
＝(1－ax)2＋x(1－2ax＋a2x2)′
＝(1－ax)2＋x(－2a＋2a2x)，
∴y′|x＝2＝(1－2a)2＋2(－2a＋4a2)＝5，
即3a2－2a－1＝0.∵a>0，∴a＝1.第三章　3.1　第1课时
一、选择题
1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx满足导学号
96660439
(　　)
A．Δx＜0　　　　　　
B．Δx＞0
C．Δx＝0
D．Δx≠0
[答案]　D
[解析]　自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0.
2．函数在某一点的导数是导学号
96660440
(　　)
A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
[答案]　C
[解析]　由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．
3．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为导学号
96660441
(　　)
A．4＋4t0
B．0
C．8t0＋4
D．4t0＋4t
[答案]　C
[解析]　Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，
＝4Δt＋4＋8t0，
＝
(4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.
4．函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝导学号
96660442
(　　)
A．f(x0＋Δx)
B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx
D．f(x0＋Δx)－f(x0)
[答案]　D
[解析]　当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，因变量y的改变量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
5．函数y＝3x2在x＝1处的导数为导学号
96660443
(　　)
A．2
B．3
C．6
D．12
[答案]　C
[解析]　f′(1)＝
＝
＝6.
6．若函数y＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于
导学号
96660444
(　　)
A．4
B．4x
C．4＋2Δx
D．4＋2(Δx)2
[答案]　C
[解析]　＝＝4＋2Δx.
二、填空题
7．函数f(x)＝8x－6在区间[m，n]上的平均变化率为________．导学号
96660445
[答案]　8
[解析]　＝＝8.
8．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于____．导学号
96660446
[答案]　2
[解析]　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)＋4－a－4＝aΔx，
＝a，
∴
＝a，∴f′(1)＝a＝2.
三、解答题
9．若函数f(x)在x＝a处的导数为A，导学号
96660447
求
的值．
[解析]　∵
＝A，
∴
＝A(用－Δx替换Δx)．
∴
＝·
＝[
＋
]
＝[A＋
](当Δx→0时，－Δx→0)＝(A＋A)＝A.
一、选择题
1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a、b为常数)，则导学号
96660448
(　　)
A．f′(x)＝a
B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a
D．f′(x0)＝b
[答案]　C
[解析]　＝＝a＋bΔx，
f′(x0)＝li
＝a.
2．如果函数f(x)＝在点x＝x0处的瞬时变化率是，那么x0的值是导学号
96660449
(　　)
A.　　
B.　　
C．1　　
D．3
[答案]　A
[解析]　＝＝＝，所以f′(x0)＝
＝＝，所以x0＝.
3．设f(x)在x＝2处有导数，则
等于导学号
96660450
(　　)
A．2f′(2)
B.f′(2)
C．f′(2)
D．4f′(2)
[答案]　C
[解析]　f′(2)＝
＝
，所以
＝
＝(
＋
)
＝(f′(2)＋f′(2))＝f′(2)．
4．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中，平均变化率最大的是导学号
96660451
(　　)
A．④　　
B．③　　
C．②　　
D．①
[答案]　B
[解析]　①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.
二、填空题
5．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________．导学号
96660452
[答案]　π
[解析]　∵Δy＝π×23－π×13＝，
∴V′＝＝＝π.
6．f(x0)＝0，f′(x0)＝4，则
＝________.导学号
96660453
[答案]　8
[解析]　
＝2
＝2f′(x0)＝8.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率：
导学号
96660454
(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．
[解析]　(1)函数f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为
＝＝2，
g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为
＝＝－2.
(2)函数f(x)在区间[0,5]上的平均变化率为
＝＝2，
g(x)在区间[0,5]上的平均变化率为
＝＝－2.
8．求函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，那么在哪一点附近的平均变化率最大？导学号
96660455
[解析]　在x＝1附近的平均变化率为：
k1＝＝＝2＋Δx.
在x＝2附近的平均变化率为：
k2＝＝＝4＋Δx.
在x＝3附近的平均变化率为k3＝＝＝6＋Δx.
若Δx＝，则k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，
k3＝6＋＝.
由于k19．用导数的定义求函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数．导学号
96660456
[解析]　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝－＝
＝
∴＝，
∴li
＝li
＝＝－，
∴y′|x＝1＝f′(1)＝－.第二章　2.1　第2课时
一、选择题
1．(2015·广东文，8)已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝
导学号
96660251
(　　)
A．2
B．3
C．4
D．9
[答案]　B
[解析]　由题意得：m2＝25－42＝9，因为m＞0，所以m＝3，故选B.
2．椭圆＋＝1和＋＝k(k>0)具有导学号
96660252
(　　)
A．相同的长轴
B．相同的焦点
C．相同的顶点
D．相同的离心率
[答案]　D
[解析]　椭圆＋＝1和＋＝k(k>0)中，不妨设a>b，椭圆＋＝1的离心率e1＝，椭圆＋＝1(k>0)的离心率e2＝＝.
3．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是导学号
96660253
(　　)
A.
B.
C.
D．－
[答案]　C
[解析]　椭圆方程可简化为＋＝1，由题意知m>0，∴<，
∴a＝＝，
∴椭圆的长轴长2a＝.
4．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为导学号
96660254
(　　)
A.　
B.　
C.　
D．
[答案]　B
[解析]　∵2x2＋3y2＝m(m>0) ＋＝1，
∴c2＝－＝.
∴e2＝.故选B.
5．焦点在x轴上，长、短半轴之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为导学号
96660255
(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
[答案]　A
[解析]　由题意得c＝2，a＋b＝10，∴b2＝(10－a)2＝a2－c2＝a2－20，
解得a2＝36，b2＝16，故椭圆方程为＋＝1.
6．(2016·全国Ⅰ卷文，5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A．
B．
C．
D．
[答案]　B
[解析]　通性通法　不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，解得b2＝3c2，又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，所以e＝(e＝－舍去)，故选B．
光速解法　不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，所以＝×2b，所以e＝＝，故选B．
二、填空题
7．经过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点且垂直于椭圆长轴所截得的弦长为________．
导学号
96660257
[答案]　
[解析]　∵垂直于椭圆长轴的弦所在直线为x＝±c，
由，得y2＝，∴|y|＝，故弦长为.
8．椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________.导学号
96660258
[答案]　或3
[解析]　当0当m>4时，e＝＝，∴m＝.
三、解答题
9．(2016·北京文，19(Ⅰ))已知椭圆C：＋＝1过A(2,0)，B(0,1)两点．求椭圆C的方程及离心率；
[解析]　由题意得，a＝2，b＝1．
所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
又c＝＝，所以离心率e＝＝．
∴椭圆的方程为＋x2＝1.
一、选择题
1．中心在原点、焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是导学号
96660260
(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
[答案]　A
[解析]　∵2a＝18，∴a＝9，由题意得2c＝×2a＝×18＝6，
∴c＝3，∴a2＝81，b2＝a2－c2＝81－9＝72，故椭圆方程为＋＝1.
2．若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是导学号
96660261
(　　)
A.
B.
C.
D.
[答案]　D
[解析]　由题意得a＝2b，a2＝4b2＝4(a2－c2)，
∴＝.
3．若椭圆两焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆方程是导学号
96660262
(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
[答案]　C
[解析]　由题意得c＝4，∵P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积为12，∴×2c×b＝12，即bc＝12，
∴b＝3，a＝5，故椭圆方程为＋＝1.
4．(2014·全国大纲文)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为导学号
96660263
(　　)
A.＋＝1
B.＋y2＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
[答案]　A
[解析]　e＝＝，又△AF1B的周长比为4，
∴4a＝4，∴a＝，∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2.
故C的方程为＋＝1.
二、填空题
5．(2015·浙江文，15)椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．导学号
96660264
[答案]　
[解析]　设F(c,0)关于直线y＝x的对称点为Q(m，n)，则有解得m＝，n＝，所以Q(，)在椭圆上，即有＋＝1，解得a2＝2c2，所以离心率e＝＝.
6．已知与椭圆＋＝1有相同的离心率且长轴长与＋＝1的长轴长相同的椭圆的标准方程为____________．导学号
96660265
[答案]　＋＝1或＋＝1
[解析]　由题意知，所求椭圆的长轴长2a＝4，离心率e＝，∴＝，c＝，从而b2＝a2－c2＝6.
故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
三、解答题
7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：导学号
96660266
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[解析]　(1)设椭圆的方程为
＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
由已知得2a＝10，a＝5.e＝＝，∴c＝4.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意可设椭圆方程为
＋＝1(a>b>0)．
如图所示，△
A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
8．已知斜率为2的直线l被椭圆＋＝1截得的弦长为，求直线l的方程．
导学号
96660267
[解析]　设直线l的方程为y＝2x＋m，与椭圆交于A、B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，
消去y并整理得14x2＋12mx＋3(m2－2)＝0，
所以x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2－2)，
由弦长公式得|AB|＝·
＝·＝，
解得m＝±，所以直线l的方程为y＝2x±.
9．在直线l：x－y＋9＝0上任取一点P，过点P以椭圆＋＝1的焦点为焦点作椭圆．
导学号
96660268
(1)P点在何处时，所求椭圆的长轴最短？
(2)求长轴最短时的椭圆方程．
[解析]　|PF1|＋|PF2|＝2a.要使椭圆长轴最短，就是P到F1，F2两点的距离之和最小，因而问题转化为在直线l上求一点P，使|PF1|＋|PF2|为最小．
(1)如图，连接PF1，PF2，F1(－3,0)，F2(3,0)，作点F2关于直线l：y＝x＋9的对称点F2′，则F2′(－9,12)，那么F1F2′与直线l的交点即为所求的点P.
易知F1F2′的方程为2x＋y＋6＝0.
与直线y＝x＋9联立，得P(－5,4)．
(2)由(1)知2a＝6，a＝3，∴b2＝a2－c2＝36，
此时，椭圆的方程为＋＝1.第三章　3.3　第3课时
一、选择题
1．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为导学号
96660612
(　　)
A．()3π
B．()3π
C．()3π
D.()3π
[答案]　A
[解析]　设圆柱的底面半径为r，高为h，
体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3(00，∴r＝是其唯一的极值点．当r＝时，V取得最大值，最大值为()3π.
2．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为导学号
96660613
(　　)
A．2πr2
B．πr2
C．4πr
D.πr2
[答案]　A
[解析]　设内接圆柱的高为h，底面半径为x，则由组合体的知识得h2＋(2x)2＝(2r)2，又圆柱的侧面积S＝2πx·h，
∴S2＝16π2(r2x2－x4)，(S2)′＝16π2(2r2x－4x3)，由(S2)′＝0，得x＝r(x＝0舍去)，∴Smax＝2πr2，故选A.
3．已知某生产厂家的年利润为y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为导学号
96660614
(　　)
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
[答案]　C
[解析]　y′＝－x2＋81，令y′＝0，
解得x1＝9，x2＝－9(舍去)．
当00；
当x>9时，y′<0，
∴y＝－x3＋81x－234在(0,9)内单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，
∴在x＝9处取极大值，也是最大值．
4．设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为
导学号
96660615
(　　)
A.
B.
C.
D．2
[答案]　C
[解析]　设底面边长为x，侧棱长为l，则
V＝x2·sin60°·l，∴l＝，
∴S表＝2S底＋3S侧＝x2·sin60°＋3·x·l
＝x2＋，
S′表＝x－＝0，∴x3＝4V，即x＝.
又当x∈(0，)时y′<0，x∈(，V)时，y′>0，∴当x＝时，表面积最小．
二、填空题
5．有一条长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为________m2.
导学号
96660616
[答案]　16
[解析]　设矩形场地的长为xm，
则宽为＝(8－x)m，
其面积S＝x(8－x)＝8x－x2，S′＝8－2x，
令S′＝0得x＝4，
∴当x＝4时，S取极大值，这个极大值就是最大值，
故当矩形场地的长为4m，宽为4m时，
面积取最大值16m2.
6．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M、m，则M－m＝________.导学号
96660617
[答案]　32
[解析]　f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，
由f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝24，f(2)＝－8，
可知M＝24，m＝－8，故
M－m＝32.
三、解答题
7．某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．导学号
96660618
(1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改选．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入)
[解析]　(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，
则有f(t)＝(－t2＋5t)－t
＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，
所以当t＝2时，f(t)取得最大值4，
即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，
由此获得收益是g(x)(百万元)
则g(x)＝(－x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，
所以g′(x)＝－x2＋4.
令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.
又当0≤x<2时，g′(x)>0；当2所以当x＝2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司获得的收益最大.
一、选择题
1．某公司生产一种产品，固定成本为20
000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系式R(x)＝，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是导学号
96660619
(　　)
A．150　
B．200　
C．250　
D．300
[答案]　D
[解析]　∵总利润P(x)＝
由P′(x)＝0，得x＝300，故选D.
2．把长为12
cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是导学号
96660620
(　　)
A.cm2
B．4
cm2
C．3cm2
D．2cm2
[答案]　D
[解析]　设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝x2＋(4－x)2＝x2－2x＋4.令S′＝x－2＝0则x＝2，所以Smin＝2.
3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．导学号
96660621
(　　)
A．105　
B．110　
C．115　
D．120
[答案]　C
[解析]　利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6
000，
S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大．
4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8
300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)
导学号
96660622
(　　)
A．30元
B．60元
C．28
000元
D．23
000元
[答案]　D
[解析]　毛利润为(P－20)Q，
即f(P)＝(P－20)(8
300－170P－P2)，
f′(P)＝－3P2－300P＋11
700
＝－3(P＋130)(P－30)．
令f′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍去)．
又P∈[20，＋∞)，故f(P)极大值＝f(P)max，
故当P＝30时，毛利润最大，
∴f(P)max＝f(30)＝23
000(元)．
二、填空题
5.如图所示，某工厂需要围建一个面积为512
m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．
导学号
96660623
[答案]　32
m,16
m
[解析]　要求材料最省就是要求新
砌的墙壁总长度最短，如下图所示，设场地宽为x
m，则长为m，因此新墙壁总长度L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.
令L′＝0，得x＝±16.∵x>0，∴x＝16.
当x＝16时，L极小值＝Lmin＝64，
∴堆料场的长为＝32m.
6．将边长为1
m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是____________．导学号
96660624
[答案]　
[解析]　设剪成的小正三角形的边长为x，
则S＝＝·(0S′(x)＝·
＝·，
令S′(x)＝0,0当x∈(0，)时，S′(x)<0，S(x)递减；当x∈(，1)时，
S′(x)>0，S(x)递增，故当x＝时，S取最小值是.
三、解答题
7．如图所示，做成一个断面为等腰梯形的水槽，则斜角θ为多大时，水槽的流量最大？
导学号
96660625
　
[解析]　设横截面面积为S，过D作CD⊥AB于C，
则S＝(AB＋ED)·CD，
AB＝a＋2acosθ，CD＝asinθ，
S＝(a＋a＋2acosθ)·asinθ＝a2sinθ(1＋cosθ)(0<θ<)．
又S′(θ)＝a2(2cos2θ＋cosθ－1)，
令S′(θ)＝0，即a2(2cos2θ＋cosθ－1)＝0，
得cosθ＝，或cos＝－1.
因为0<θ<，故cosθ≠－1，
则cosθ＝，此时θ＝.
而0<θ<，S′(θ)>0；<θ<时，S′(θ)<0.
故当θ＝时，横截面的面积最大，此时，水槽的流量最大．
8．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距a
m，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x
m的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．导学号
96660626
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当a＝640时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
[解析]　(1)设需要新建b个桥墩，则(b＋1)x＝a，
即b＝－1.因此，y＝f(x)＝256b＋(b＋1)(2＋)x
＝256(－1)＋(2＋)x
＝＋a＋2a－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝＋ax－＝(x－512)
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值．
此时，b＝－1＝－1＝9.
即需新建9个桥墩才能使y最小．第一章　1.2　第2课时
一、选择题
1．设命题p： x∈R，x2＋1>0，则 p为导学号
96660091
(　　)
A． x0∈R，x＋1>0
B． x0∈R，x＋1≤0
C． x0∈R，x＋1<0
D． x∈R，x2＋1≤0
[答案]　B
[解析]　全称命题的否定是存在性命题，故选B.
2．由下列各组命题构成的复合命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“ p”为真的一组为导学号
96660092
(　　)
A．p:∈Q，q: ?A
B．p:π<3，q:5>3
C．p:a∈{a，b}，q:{a}?{a，b}
D．p:Q?R，q:N＝Z
[答案]　B
[解析]　若 p为真，则p为假，又p∨q为真，p∧q为假，所以q真．故选B.
3．已知全集S＝R，A S，B S，若命题p:∈(A∪B)，则命题“ p”是导学号
96660093
(　　)
A. A
B.∈ SB
C. (A∪B)
D.∈( SA)∩( SB)
[答案]　D
[解析]　因为p:∈(A∪B)，所以 p: (A∪B)，即∈ S(A∪B)，所以∈( SA)∩( SB)．故选D.
4．若命题“( p)∨( q)”是假命题，则下列各结论中，正确的是导学号
96660094
(　　)
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧q”是假命题；
③命题“p∨q”是真命题；
④命题“p∨q”是假命题．
A．①③　
B．②④　
C．②③　
D．①④
[答案]　A
[解析]　( p)∨( q)为假，故( p)与( q)均为假，所以p、q均为真，所以①③正确．
5．(2015·湖北文，3)命题“ x0∈(0，＋∞)，ln
x0＝x0－1”的否定是导学号
96660095
(　　)
A． x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1
B． x (0，＋∞)，ln
x＝x－1
C． x0∈(0，＋∞)，ln
x0≠x0－1
D． x0 (0，＋∞)，ln
x0＝x0－1
[答案]　A
[解析]　由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为 x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1，故应选A.
6．已知命题p： x∈R,2x<3x；命题q： x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是导学号
96660096
(　　)
A．p∧q
B．( p)∧q
C．p∧( q)
D．( p)∧( q)
[答案]　B
[解析]　当x＝0时，有2x＝3x，故命题p是假命题；
∴ p为真命题．
如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，∴命题q是真命题，故选B.
二、填空题
7．“三个数a、b、c不全为0”的否定是________．导学号
96660097
[答案]　三个数a、b、c全都为0
[解析]　“不全为”的否定是“全都为”．
8．已知p(x):x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．导学号
96660098
[答案]　[3,8)
[解析]　∵p(1)是假命题，p(2)是真命题，
∴，解得3≤m<8.
三、解答题
9．已知命题p：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数；q：方程2x2－2x＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题，并指出其真假．导学号
96660099
[解析]　“p或q”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数或不相等．
“p且q”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数且不相等．
“非p”的形式：方程2x2－2x＋3＝0无实根．
∵Δ＝24－24＝0，
∴方程有相等的实根，故p真，q假．
∴“p或q”真，“p且q”假，“非p”假.
一、选择题
1．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是导学号
966600100
(　　)
A．p为真
B． q为假
C．p∧q为假
D．p∨q为真
[答案]　C
[解析]　本题考查命题真假的判断．p为假命题，q为假命题．所以p∧q为假命题．
对“p∧q”真假判定：全真为真，一假则假．
2．(2014·重庆文)已知命题
p：对任意x∈R，总有|x|≥0；
q：x＝1是方程
x＋2＝0的根．
则下列命题为真命题的是导学号
966600101(　　)
A．p∧( q)
B．( p)∧q
C．( p)∧( q)
D．p∧q
[答案]　A
[解析]　由题意知，命题p是真命题，命题q是假命题，故 p是假命题， q是真命题，故p∧( q)是真命题，故选A.
3．设a、b、c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是导学号
966600102
(　　)
A．p∨q
B．p∧q
C．( p)∧( q)
D．p∨( q)
[答案]　A
[解析]　取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，
∴a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，
∴p是假命题．
∵a，b，c是非零向量，
a∥b知，a＝xb，由b∥c知b＝yc，
∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题．
∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，
( p)∧( q)，p∨( q)都是假命题．
4．(2016·浙江理)命题“ x∈R， n∈N
使得n≥x2”的否定形式是(　　)
A． x∈R， n∈N
使得nB． x∈R， n∈N
使得nC． x∈R， n∈N
使得nD． x∈R， n∈N
使得n[答案]　D
[解析]　根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D．
二、填空题
5．命题“奇数的平方不是偶数”是________形式．导学号
966600104
[答案]　“ p”
6．已知命题p：不等式x2＋x＋1≤0的解集为R，命题q：不等式≤0的解集为{x|1导学号
966600105
[答案]　p∨q， p
[解析]　∵ x∈R，x2＋x＋1>0，
∴命题p为假， p为真．
∵≤0，∴，解得1∴命题q为真，p∨q为真，p∧q为假， q为假．
三、解答题
7．分别指出由下列各组命题构成的新命题“p∨q”、“p∧q”、“ p”的真假
导学号
966600106
(1)p：梯形有一组对边平行，
q：梯形有一组对边相等；
(2)p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R，
q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为 .
[解析]　(1)p真、q假，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“ p”为假．
(2)不等式x2－2x＋1>0的解集为{x|x≠1}，∴p假；
不等式x2－2x＋2≤1，即x2－2x＋1≤0的解集为{x|x＝1}，∴q假．
故“p∨q”为假，“p∧q”为假，“ p”为真．
8．对于下述命题p，写出“ p”形式的命题，并判断“p”与“ p”的真假：
导学号
966600107
(1)p:91∈(A∩B)(其中A＝{x|x是质数}，B＝{x|x是正奇数})；
(2)p:有一个素数是偶数；
(3)p:任意正整数都是质数或合数；
(4)p:三角形有且仅有一个外接圆．
[解析]　(1) p:91 A或91 B；
p真， p假．
(2) p:每一个素数都不是偶数；
p真， p假．
(3) p:存在一个正整数不是质数也不是合数；
p假， p真．
(4) p:存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆；
p真， p假．
9．若“ x∈[0，]，sinx＋cosx导学号
966600108
[解析]　令f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)，x∈[0，]，
可知f(x)在[0，]上为增函数，在(，]上为减函数．
∵f(0)＝，f()＝2，f()＝1，∴1≤f(x)≤2.
∵“ x∈[0，]，sinx＋cosx∴m≤f(x)min＝1.
故实数m的取值范围是(－∞，1]．第一章　1.1　第2课时
一、选择题
1．下列语句不是全称命题的是导学号
96660036
(　　)
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高二·一班绝大多数同学是团员
D．每一个向量都有大小
[答案]　C
[解析]　“高二·一班绝大多数同学是团员”是存在性命题．
2．下列命题为存在性命题的是导学号
96660037
(　　)
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
[答案]　D
[解析]　A、B、C为全称命题．
3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是导学号
96660038
(　　)
A．每一个二次函数的图象都是开口向上
B．存在一条直线与两个相交平面都垂直
C．存在一个实数x，使x2－3x＋6<0
D．对任意c≤0，若a≤b＋c，则a≤b
[答案]　D
[解析]　选项A中的命题是全称命题，且为假命题；选项B、C中的命题是存在性命题；选项D中的命题是全称命题，且为真命题．
4．若a、b∈R，且a2＋b2≠0，则①a、b全为0；②a、b不全为0；③a、b全不为0；④a、b至少有一个不为0.其中真命题的个数为导学号
96660039
(　　)
A．0　　
B．1　　
C．2　　
D．3
[答案]　C
[解析]　a、b全为零时，a2＋b2＝0，故①不正确；当a＝0，b≠0或a≠0，b＝0时，a2＋b2≠0，故③不正确；②④正确，故选C.
5．既是存在性命题，又是真命题的是导学号
96660040
(　　)
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个x∈R，使x2≤0
C．两个无理数的和是无理数
D．存在一个负数x，使>2
[答案]　B
[解析]　x＝0时，满足x2≤0.
6．下列命题：
①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x使x2＋2x＋1＝0成立．
其中是全称命题的有导学号
96660041
(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
[答案]　B
[解析]　②③含有全称量词“任意”．
二、填空题
7．给出下列4个命题：
导学号
96660042
①a⊥b a·b＝0；
②矩形都不是梯形；
③ x，y∈R，x2＋y2≤1；
④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是____________．
[答案]　①②④
[解析]　根据全称命题的表示形式可知，①②④是全称命题．
8．下列语句：
导学号
96660043
①|x－1|<2；
②存在实数a使方程x2－ax＋1＝0成立；
③等腰梯形的对角线相等．
其中是全称命题且为真命题的是________．
[答案]　③
[解析]　命题“等腰梯形的对角线相等”是全称命题且为真命题．
三、解答题
9．判断下列命题是不是全称命题或存在性命题，并判断真假．导学号
96660044
(1) x∈R，x－2≤0；
(2)矩形的对角线垂直平分；
(3)凡三角形两边之和大于第三边；
(4)有些质数是奇数．
[解析]　(1)存在性命题．x＝2时，x－2＝0成立．所以，存在性命题“ x∈R，x－2≤0”是真命题；
(2)全称命题．邻边不相等的矩形的对角线不垂直．所以，全称命题“矩形的对角线垂直平分”是假命题；
(3)全称命题．三角形中，两边之和大于第三边．所以，全称命题“凡三角形两边之和大于第三边”是真命题．
(4)存在性命题.3是质数，3也是奇数．所以，存在性命题“有些质数是奇数”是真命题．
一、选择题
1．在下列存在性命题中假命题的个数是导学号
96660045
(　　)
①有的实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有的菱形是正方形．
A．0
B．1
C．2
D．3
[答案]　A
[解析]　因为三个命题都是真命题，所以假命题的个数为0.
2．下列命题为假命题的是导学号
96660046
(　　)
A．有理数是实数
B．偶数都能被2整除
C． x0∈R，x－3＝0
D． x∈R，x2＋2x>0
[答案]　D
[解析]　x＝－1时，x2＋2x＝1－2＝－1<0，所以为假命题.
3．下列命题是假命题的是导学号
96660047
(　　)
A． x∈R,3x>0
B． x∈N，x≥1
C． x∈Z，x<1
D． x∈Q， Q
[答案]　B
[解析]　当x＝0时，0∈N，但0<1，故“ x∈N，x≥1”为假命题．
4．对命题“一次函数f(x)＝ax＋b是单调函数”改写错误的是导学号
96660048
(　　)
A．所有的一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
B．任意一个一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
C．任意一次函数f(x)＝ax＋b，f(x)是单调函数
D．有的一次函数f(x)不是单调函数
[答案]　D
[解析]　由全称命题的表示形式知，选项D错误．
二、填空题
5．给定下列命题：
导学号
96660049
①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②若a>b，则a－c>b－c；
③对角线相等的四边形是矩形．
其中真命题的序号是________．
[答案]　①②
[解析]　当k>0时，方程x2＋2x－k＝0中，Δ＝4＋4k>0，故方程有实根；
由不等式的性质得，若a>b，则a－c>b－c成立；
对角线相等的平行四边形是矩形．
6．若“ x∈R,2x＝m”是真命题，则实数m的取值范围是______________．
导学号
96660050
[答案]　(0，＋∞)
[解析]　∵2x∈(0，＋∞)，∴m∈(0，＋∞)，
故实数m的取值范围是(0，＋∞)．
三、解答题
7．用量词符号“ ”、“ ”表达下列命题：
导学号
96660051
(1)所有的有理数x都使得x2＋x＋1是有理数；
(2)一定有实数α、β，使得sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；
(3)一定有整数x、y，使得3x－2y＝10；
(4)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有一个解．
[解析]　(1) x∈Q，都能使得x2＋x＋1是有理数；
(2) α、β∈R，使得sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；
(3) x、y∈Z，使得3x－2y＝10；
(4) a∈R， b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解．
8．设集合S＝{三角形}，p(x)：“内角和为180°”．试用不同的表述写出全称命题“ x∈S，p(x)”．
导学号
96660052
[解析]　对所有的三角形x，x的内角和为180°；
对一切三角形x，x的内角和为180°；
每一个三角形x的内角和为180°；
任一个三角形x的内角和为180°；
凡是三角形，它的内角和为180°.
9．(1)若对 x∈R，使sinx>a成立，求实数a的取值范围；导学号
96660053
(2)若 x∈R，使sinx>a成立，求实数a的取值范围．
[解析]　(1) x∈R，－1≤sinx≤1，
要使sinx>a对一切x∈R成立，则a<－1，
所以实数a的取值范围是(－∞，－1)．
(2)若 x∈R，使sinx>a成立，则a<1即可，所以实数a的取值范围是(－∞，1)．第二章　2.1　第1课时
一、选择题
1．已知F1、F2为两定点，|F1F2|＝4，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝4，则动点M的轨迹是导学号
96660223
(　　)
A．椭圆　　
B．直线　　
C．圆　　　
D．线段
[答案]　D
[解析]　∵|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，
∴动点M的轨迹是线段F1F2.
2．椭圆的两个焦点分别为F1(－8,0)、F2(8,0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为导学号
96660224
(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
[答案]　C
[解析]　由c＝8，a＝10，所以b＝6.故标准方程为＋＝1.所以选C.
3．两个焦点的坐标分别为(－2,0)、(2,0)，并且经过P的椭圆的标准方程是
导学号
96660225
(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
[答案]　A
[解析]　设F1(－2,0)，F2(2,0)，
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得，
|PF1|＋|PF2|＝＋
＝2＝2a，
∴a＝，
又c＝2，∴b2＝6，椭圆的方程为＋＝1.
4．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k的值为导学号
96660226
(　　)
A．－1
B．1
C.
D．－
[答案]　B
[解析]　椭圆方程5x2＋ky2＝5可化为：x2＋＝1，
又∵焦点是(0,2)，∴a2＝，b2＝1，c2＝－1＝4，
∴k＝1.
5．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是
导学号
96660227
(　　)
A．－9B．8C．16D．m>8
[答案]　B
[解析]　由题意得，解得86．(2015·浙江文，7)如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是导学号
96660228
(　　)
A．直线
B．抛物线
C．椭圆
D．双曲线的一支
[答案]　C
[解析]　由题可知，当P点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60°角的平面截圆锥，所得图形为椭圆．故选C.
二、填空题
7．设椭圆＋＝1过点(－2，)，那么焦距等于________．导学号
96660229
[答案]　4
[解析]　∵椭圆＋＝1过点(－2，)，
∴m2＝16，∴c2＝16－4＝12,2c＝4.
8．坐标轴为对称轴，并且经过A(0,2)、B(，)两点的椭圆的标准方程为__________________．导学号
96660230
[答案]　x2＋＝1
[解析]　设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
由题意，得，
解得.
故所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
三、解答题
9．求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程．
导学号
96660231
[解析]　由9x2＋5y2＝45，得＋＝1.
其焦点F1(0,2)、F2(0，－2)．
设所求椭圆方程为＋＝1.
又∵点M(2，)在椭圆上，
∴＋＝1①
又a2－b2＝4②
解①②得a2＝12，b2＝8.
故所求椭圆方程为＋＝1.
一、选择题
1．已知椭圆x2＋my2＝1的焦距为，则m的值为导学号
96660232
(　　)
A．4
B.
C．4或
D．4或
[答案]　D
[解析]　由题意得1－＝，或－1＝，∴m＝4或.
2．AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB的面积最大值是导学号
96660233
(　　)
A．b2
B．bc
C．ab
D．ac
[答案]　B
[解析]　∵S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝|OF|·|yA－yB|，
当A、B为短轴两个端点时，|yA－yB|最大，最大值为2b.∴△ABF面积的最大值为bc.
3．已知椭圆的方程为＋＝1，焦点在x轴上，其焦距为导学号
96660234
(　　)
A．2
B．2
C．2
D．2
[答案]　A
[解析]　因为焦点在x轴上，所以a2＝8，b2＝m2，因此c＝，焦距2c＝2.
4．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的导学号
96660235
(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　C
[解析]　本小题主要考查椭圆的基本概念和充要条件的概念．
方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆
>>0 m>n>0.故选C.
二、填空题
5．已知点P是椭圆＋＝1上一点，以点P及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．导学号
96660236
[答案]　(，1)或(，－1)或(－，1)或(－，－1)
[解析]　设P点的纵坐标为yp，则S△PF1F2＝×|F1F2|×|yp|＝1，由c2＝a2－b2得c2＝5－4＝1，所以c＝1，所以×2×|yp|＝1，所以|yp|＝±1，代入椭圆方程求得横坐标．
6．椭圆＋＝1的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的______________倍．导学号
96660237
[答案]　7
[解析]　如图所示，
PF1的中点M在y轴上，O为F1F2的中点，
∴OM∥PF2，∴PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，
|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
∴|PF1|＝4－＝＝7|PF2|.
三、解答题
7．求经过两点P1(，)、P2(0，－)的椭圆的标准方程．导学号
96660238
[解析]　设椭圆的方程为：
Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
由题意得，解得.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
8．已知F1、F2是两定点，且|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，求动点M的轨迹方程．导学号
96660239
[解析]　因为|F1F2|＝8且动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10>8＝|F1F2|，
由椭圆定义知，动点M的轨迹是以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆．
∴a＝5，c＝4，从而b2＝a2－c2＝9.
其方程为＋＝1或＋＝1.
9．已知椭圆的焦点在x轴上，且焦距为4，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．导学号
96660240
(1)求椭圆的方程；
(2)若△PF1F2的面积为2，求P点坐标．
[解析]　(1)由题意知，2c＝4，c＝2.
且|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8，
即2a＝8，所以a＝4.
所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
又椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设P点坐标为(x0，y0)，
依题意知，|F1F2|·|y0|＝2，
所以|y0|＝，y0＝±，
代入椭圆方程＋＝1，得
x0＝±2，所以P点坐标为(2，)或(2，－)或(－2，)或(－2，－)．第二章　2.3　第1课时
一、选择题
1．平面内到定点F的距离等于到定直线l的距离的点的轨迹是导学号
96660344
(　　)
A．抛物线　　　　　　
B．直线
C．抛物线或直线
D．不存在
[答案]　C
[解析]　当F∈l上时，是直线，当F l上时，是抛物线．
2．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点(－2,3)的抛物线方程是
导学号
96660345
(　　)
A．y2＝x
B．x2＝y
C．y2＝－x或x2＝－y
D．y2＝－x或x2＝y
[答案]　D
[解析]　∵点(－2,3)在第二象限，
∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，
∴9＝4p，p＝，4＝6p′，p′＝.
3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为导学号
96660346
(　　)
A.
B．－
C．8
D．－8
[答案]　B
[解析]　∵y＝ax2，∴x2＝y，其准线方程为y＝2，
∴a<0,2＝，∴a＝－.
4．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝
导学号
96660347
(　　)
A．4　　
B．2　　
C．1　　
D．8
[答案]　C
[解析]　如图，
F(，0)，过A作AA′⊥准线l，
∴|AF|＝|AA′|，∴x0＝x0＋，∴x0＝1.
5．抛物线y2＝8px(p>0)，F为焦点，则p表示导学号
96660348
(　　)
A．F到准线的距离
B．F到准线距离的
C．F到准线距离的
D．F到y轴的距离
[答案]　B
[解析]　设y2＝2mx(m>0)，则m表示焦点到准线的距离，又2m＝8p，∴p＝.
6．抛物线y＝x2(a≠0)的焦点坐标为导学号
96660349
(　　)
A．a>0时为(0，a)，a<0时为(0，－a)
B．a>0时为(0，)，a<0时为(0，－)
C．(0，a)
D．(，0)
[答案]　C
[解析]　a>0时，x2＝4ay的焦点为(0，a)；a<0时，x2＝4ay的焦点为(0，a)，这时焦点在y轴负半轴上．故不论a为何值，x2＝4ay的焦点总为(0，a)，故选C.
二、填空题
7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是______________．导学号
96660350
[答案]　y2＝8x
[解析]　由题意可设抛物线方程为y2＝2ax，
∵点P(2,4)在抛物线上，∴42＝4a，∴a＝4.
即所求抛物线的方程为y2＝8x.
8．在抛物线y2＝12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是______________．
导学号
96660351
[答案]　(6，±6)
[解析]　抛物线的焦点为F(3,0)，准线x＝－3，抛物线上的点P，满足|PF|＝9，设P(x0，y0)，
则|PF|＝x0＋＝x0＋3＝9，∴x0＝6，∴y0＝±6.
三、解答题
9．已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：导学号
96660352
(1)y2＝6x；
(2)2y2＋5x＝0；
(3)x＝ay2(a≠0)．
[解析]　(1)∵2p＝6，∴p＝3.
又∵开口向右，∴焦点坐标是(，0)，
准线方程为x＝－.
(2)将2y2＋5x＝0变形为y2＝－x.
∴2p＝，p＝，开口向左．
∴焦点为(－，0)，准线方程为x＝.
(3)∵原抛物线方程为y2＝x，∴2p＝.
当a>0时，＝，抛物线开口向右，焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－；
当a<0时，＝－，抛物线开口向左，焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－.故当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－.
一、选择题
1．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为导学号
96660353
(　　)
A．x2＋y2＋2x＝0
B．x2＋y2＋x＝0
C．x2＋y2－x＝0
D．x2＋y2－2x＝0
[答案]　D
[解析]　∵抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)．
∴圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
2．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线导学号
96660354
(　　)
A．有且仅有一条
B．有且仅有两条
C．有无穷多条
D．不存在
[答案]　B
[解析]　当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意．
因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，
设直线方程为y＝k(x－1)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∴x1＋x2＝＝5，∴k2＝，即k＝±.
因而这样的直线有且仅有两条．
3．抛物线y2＝8x上一点P到x轴距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为
导学号
96660355
(　　)
A．20
B．8
C．22
D．24
[答案]　A
[解析]　设P(x0,12)，则x0＝18，
∴|PF|＝x0＋＝20.
4．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是导学号
96660356
(　　)
A.
B.
C.
D．3
[答案]　A
[解析]　设(x0，y0)为抛物线y＝－x2上任意一点，
∴y0＝－x，
∴d＝＝，
∴dmin＝＝.
二、填空题
5．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________.
导学号
96660357
[答案]　2
[解析]　抛物线的准线方程为：x＝－，圆心坐标为(3,0)，半径为4，由题意知3＋＝4，∴p＝2.
6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝________.导学号
96660358
[答案]　8
[解析]　由抛物线定义，得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
三、解答题
7．已知抛物线过点(1，－2)，求抛物线的标准方程．导学号
96660359
[解析]　∵点(1，－2)在第四象限，
∴设抛物线的标准方程为：
y2＝2px(p>0)或x2＝－2p′y(p′>0)，
又点(1，－2)在抛物线上，
∴4＝2p，p＝2，或1＝4p′，p′＝，
故所求抛物线方程为：y2＝4x或x2＝－y.
8．求证：以抛物线y2＝2px过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切．
导学号
96660360
[证明]　如图，设抛物线过焦点的弦为AB，过A、B分别作AC、BD垂直于l，垂足为C、D，取AB中点M，作MH⊥l于H.
由抛物线定义，知|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.
∴|AB|＝|AC|＋|BD|.
又ACDB是梯形，MH是其中位线，
∴|MH|＝(|AC|＋|BD|)＝|AB|.
∴|MH|是圆M的半径，从而命题得证．
9．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，求＋的值．
导学号
96660361
[解析]　已知焦点F，
设AB方程为y＝k，与y2＝2px联立，
得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，且x1＋x2＝，x1x2＝.
∴＋＝＋
＝
＝＝(为定值)．第三章　3.3　第2课时
一、选择题
1．下列结论中，正确的是导学号
96660583
(　　)
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值
C．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极小值
D．如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，f(x0)是极大值
[答案]　B
[解析]　导数为零的点不一定是极值点，“左正右负”有极大值，“左负右正”有极小值．故A，C，D项错．
2．函数y＝1＋3x－x3有导学号
96660584
(　　)
A．极小值－1，极大值1
B．极小值－2，极大值3
C．极小值－2，极大值2
D．极小值－1，极大值3
[答案]　D
[解析]　由y＝1＋3x－x3，得y′＝－3x2＋3.
令y′＝0，即－3x2＋3＝0，∴x＝±1.
∴当x＝1时，有y极大＝1＋3－1＝3；
当x＝－1时，有y极小＝1－3＋1＝－1.
3．函数y＝x3＋1的极大值是导学号
96660585
(　　)
A．1
B．0
C．2
D．不存在
[答案]　D
[解析]　∵y′＝3x2≥0在R上恒成立，∴函数y＝x3＋1在R上是单调增函数，∴函数y＝x3＋1无极值．
4．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是
导学号
96660586
(　　)
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极大值为0，极小值为－
D．极大值为－，极小值为0
[答案]　A
[解析]　由题意，得f(1)＝0，∴p＋q＝1①
f′(1)＝3－2p－q＝0，∴2p＋q＝3②
由①②得p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x，
f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，f＝，f(1)＝0.
5．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是导学号
96660587
(　　)
A．必有f′(x0)＝0
B．f′(x0)不存在
C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在
D．f′(x0)存在但可能不为0
[答案]　C
[解析]　如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．
6．函数y＝2－x2－x3的极值情况是导学号
96660588
(　　)
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值也无极小值
D．既有极大值也有极小值
[答案]　D
[解析]　∵y′＝－3x2－2x＝－x(3x＋2)，
当x>0或x<－时，y′<0，当－0，
∴当x＝－时取得极小值，当x＝0时取得极大值．
二、填空题
7．函数f(x)＝x3－3x2＋7的极大值是________．导学号
96660589
[答案]　7
[解析]　f′(x)＝3x2－6x，由f′(x)＝0得，x＝0或x＝2，在x＝0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，
∴f(0)＝7为函数的极大值．
8．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)、(2,0)，如下图所示，则下列说法中不正确的是________．导学号
96660590
①当x＝时函数取得极小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时函数取得极小值；
④当x＝1时函数取得极大值．
[答案]　①
[解析]　从图象可以看出，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数取得极大值，只有①说法不正确．
三、解答题
9．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．导学号
96660591
(1)求a、b的值；
(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)[解析]　(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.
因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，则有f′(1)＝0，f′(2)＝0.
即，解得.
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
当x∈(0,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2,3)时，f′(x)>0.
所以当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，
又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.
则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c，
因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)所以9＋8c9，
因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
一、选择题
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为导学号
96660592
(　　)
A．1个　
B．2个　
C．3个　
D．4个
[答案]　A
[解析]　由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．
2．函数f(x)＝x＋的极值情况是导学号
96660593
(　　)
A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值
B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值
C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2
D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，取极小值为2
[答案]　D
[解析]　f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝±1，
函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调增，在(－1,0)和(0,1)上单调减，
∴当x＝－1时，取得极大值－2，
当x＝1时，取得极小值2.
3．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值，最小值分别是导学号
96660594
(　　)
A．1，－1
B．1，－17
C．3，－17
D．9，－19
[答案]　C
[解析]　f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
令f′(x)＝0得，x1＝－1或x2＝1(舍去)，
f(－3)＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝3，
∴f(x)在区间[－3,0]上的最大值为3，最小值为－17.
4．(2016·四川文，6)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)
A．－4
B．－2
C．4
D．2
[答案]　D
[解析]　由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以a＝2．
二、填空题
5．(2015·陕西文，15)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为_______________．
导学号
96660596
[答案]　y＝－
[解析]　y＝f(x)＝xex f′(x)＝(1＋x)ex，令f′(x)＝0 x＝－1，此时f(－1)＝－，
函数y＝xex在其极值点处的切线方程为y＝－.
6．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax＋b在x＝2处取得极值9，则a＋2b＝________.
导学号
96660597
[答案]　－24
[解析]　f′(x)＝3ax2＋6x－6a，
∵f(x)在x＝2处取得极值9，
∴，即.
解得.∴a＋2b＝－24.
三、解答题
7．求函数f(x)＝x2e－x的极值．导学号
96660598
[解析]　函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，
y′<0；当x∈(0,2)时，y′>0，
∴函数在x＝0处取极小值，f(0)＝0；
在x＝2处取极大值，f(2)＝4e－2.
8．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1，导学号
96660599
(1)试求常数a、b、c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．
[解析]　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
因为x＝±1是函数f(x)的极值点，
所以x＝±1是方程f′(x)＝0，
即3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系，得
又f(1)＝－1，
所以a＋b＋c＝－1③.
由①，②，③解得
a＝，b＝0，c＝－.
(2)f(x)＝x3－x，
所以f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；
当－1所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
在(－1,1)上是减函数．
所以当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，
当x＝1时，函数取得极小植f(1)＝－1.
9．已知函数f(x)＝kx3－3x2＋1(k≥0)．导学号
96660600
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的极小值大于0，求k的取值范围．
[解析]　(1)当k＝0时，f(x)＝－3x2＋1，
令f′(x)＝－6x＝0，得x＝0.
所以f(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．
当k>0时，f′(x)＝3kx2－6x＝3kx(x－)，
令f′(x)>0，得x>或x<0，
令f′(x)<0，得0所以f(x)在(－∞，0)，(，＋∞)上为增函数，在(0，)上为减函数．
综上：k＝0时，f(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数；k>0时，f(x)在(－∞，0)，(，＋∞)上为增函数，在(0，)上为减函数．
(2)当k＝0时，函数f(x)不存在极小值．
当k>0时，由(1)知x＝是f(x)的极小值点．
故f()＝－＋1>0，
即k2>4，又k>0，所以k>2，
即k的取值范围是(2，＋∞)．选修1－1、1－2综合能力检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·全国卷Ⅰ文，2)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(　　)
A．－3　　　
B．－2　　　
C．2　　　
D．3
[答案]　A
[解析]　(1＋2i)(a＋i)＝(a－2)＋(2a＋1)i，由已知条件，得a－2＝2a＋1，解得a＝－3．故选A．
2．命题“存在x∈Z，x2＋2x＋m≤0”的否定是导学号
966601199(　　)
A．存在x∈Z，x2＋2x＋m>0
B．不存在x∈Z，x2＋2x＋m>0
C．任意x∈Z，x2＋2x＋m>0
D．任意x∈Z，x2＋2x＋m≥0
[答案]　C
[解析]　将“存在”改为“任意”，将“≤”改为“>”即可，故选C.
3．双曲线－＝1的渐近线方程为导学号
966601200
(　　)
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
[答案]　B
[解析]　∵a2＝4，b2＝5，∴a＝2，b＝，
故双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x＝±x.
4．以双曲线－y2＝1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程为导学号
966601201
(　　)
A．y2＝4x
B．y2＝－4x
C．y2＝8x
D．y2＝－8x
[答案]　D
[解析]　∵双曲线的左焦点为(－2,0)，故抛物线方程为y2＝－8x.
5．已知p： {0}，q：{1}∈{1,2}，由它们构成的新命题“p∧q”、“p∨q”、“ p”中，真命题有导学号
966601202
(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[答案]　B
[解析]　p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，p∨q是真命题， p是假命题，故选B.
6．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是导学号
966601203
(　　)
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
[答案]　B
[解析]　命题“若p则q”的否命题为“若 p，则 q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.
7．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的导学号
966601204
(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　B
[解析]　由ln(x＋1)<0，得0∴－1故“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件．
8．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程导学号
966601205
(　　)
A.－＝1
A.－＝1
A.－＝1
A.－＝1
[答案]　A
[解析]　根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．
∵－＝1的焦距为10，∴c＝5＝.①
又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在渐近线上，
∴＝1，即a＝2b.②
由①②解得a＝2，b＝，故选A.
9．用支付宝在淘宝网购物有以下几步：①买家选好商品，点击购买按钮，并付款到支付宝；②淘宝网站收到买家的收货确认信息，将支付宝里的货款付给卖家；③买家收到货物，检验无问题，在网上确认收货；④买家登录淘宝网挑选商品；⑤卖家收到购买信息，通过物流公司发货给买家．它们正确的顺序依次为导学号
966601206
(　　)
A．④①⑤③②
B．④①③②⑤
C．④③②①⑤
D．⑤④①③②
[答案]　A
[解析]　根据支付宝在淘宝网购物的具体流程，可得第一步：买家登录淘宝网挑选商品；第二步：买家选好商品，点击购买按钮，并付款到支付宝；第三步：卖家收到购买信息，通过物流公司发货给买家；第四步：买家收到货物，检验无问题，在网上确认收货；第五步：淘宝网站收到买家的收货确认信息，将支付宝里的货款付给卖家．
10．如图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是导学号
966601207
(　　)
A．③④
B．①②
C．②③
D．②④
[答案]　A
[解析]　当导数大于零时，对应函数图象单调递增；当导数小于零时，对应函数图象单调递减，据此通过图象单调性判断可知③④明显不正确．
11．设函数f(x)＝＋lnx，则导学号
966601208
(　　)
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
[答案]　D
[解析]　∵f(x)＝＋lnx(x>0)，
∴f′(x)＝－＋.
由f′(x)＝0解得x＝2.
当x∈(0,2)时，
f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，
f′(x)>0，f(x)为增函数．
∴x＝2为f(x)的极小值点．
12．已知圆x2＋y2＝r2(r>0)的面积为S＝πr2，由此推理椭圆＋＝1(a>b>0)的面积最有可能是导学号
966601209
(　　)
A．πa2
B．πb2
C．πab
D．π(ab)2
[答案]　C
[解析]　r2类比ab，应选C.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．若复数z＝对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是________．
导学号
966601210
[答案]　(－，)
[解析]　z＝＝
＝，
由题意得，
∴－14．cos＝，coscos＝，coscoscos＝，….根据以上等式，可猜想出的一般结论是________________________________．导学号
966601211
[答案]　cos·cos·…·cos＝(n∈N
)
[解析]　由前三个等式左边角的分母为2n＋1，分子分别为π，2π，…，nπ，右边为，可猜想一般结论：
cos·cos·…·cos＝(n∈N
)
15．为加强素质教育，使学生各方面全面发展，某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计，结果如下：导学号
966601212
体育课不及格
体育课及格
合计
文化课及格
57
221
278
文化课不及格
16
43
59
合计
73
264
337
在探究体育课成绩与文化课成绩是否有关时，根据以上数据可以得到χ2为________．(精确到0.001)
[答案]　1.255
[解析]　χ2＝≈1.255.
16．(2016·全国卷Ⅲ文，8)执行下面的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝________．
[答案]　4
[解析]　第一次循环，a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；
第二次循环，a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；
第三次循环，a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；
第四次循环，a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4，此时s＝20>16，退出循环，输出的n＝4．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知复数z1＝(a2－a)＋3ai，
导学号
966601214
z2＝－2－a2i，问：当a为何实数时
(1)z＝z1－z2为虚数；
(2)z＝z1＋z2在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上；
(3)z1>z2.
[解析]　(1)z＝z1－z2＝(a2－a＋2)＋(3a＋a2)i，
因为z为虚数，所以3a＋a2≠0，
所以a≠0且a≠－3.
(2)z＝z1＋z2＝(a2－a－2)＋(3a－a2)i，
依题意：，
所以，所以a＝－1.
(3)因为z1>z2，所以，
解得，所以a＝0.
18．(本题满分12分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x＋1所得弦长为，求抛物线的方程．导学号
966601215
[解析]　依题意，设抛物线方程为y2＝2px，
将y＝2x＋1代入得4x2－2(p－2)x＋1＝0，
由根与系数的关系得，
∴弦长为·
＝·＝·＝.
∴p＝6或p＝－2.
∴所求的抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.
19．(本题满分12分)已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．导学号
966601216
[解析]　设q：在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0，则 p：在[－1,1]上的所有实数x，都有f(x)≤0成立．又由二次函数的图象(如图)特征可知：
即
∴Q＝{p|≥或p≤－3}．
∴ RQ＝{p|－3故p的取值范围是－320．(本题满分12分)(2016·四川文，20)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(，)在椭圆E上．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|．
[解析]　(Ⅰ)由已知，a＝2b．
又椭圆＋＝1(a>b>0)过点P(，)，故＋＝1，
解得b2＝1．
所以椭圆E的方程是＋y2＝1．
(Ⅱ)设直线l的方程为y＝x＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组得x2＋2mx＋2m2－2＝0，①
方程①的判别式为Δ＝4(2－m2)，由Δ>0，即2－m2>0，解得－由①得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2，
所以M点的坐标为(－m，)，直线OM的方程为y＝－x，
由方程组得C(－，)，D(，－)或C(，－)，D(－，)．
所以|MC|·|MD|＝(－m＋)·(＋m)＝(2－m2)．
又|MA|·|MB|＝|AB|2＝[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]＝[(x1＋x2)2－4x1x2]＝[4m2－4(2m2－2)]＝(2－m2)，所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|．
21．(本题满分12分)十一黄金周，记者通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：
导学号
966601218
单位：名
性别与对景区的服务是否满意
男
女
合计
满意
50
30
80
不满意
10
20
30
合计
60
50
110
(1)从这50名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的女游客各有多少名？
(2)从(1)中的5名女游客样本中随机选取两名进行深度访谈，求选到满意与不满意的女游客各1名的概率．
(3)根据以上列联表，问有多大把握认为“游客对景区的服务是否满意与性别有关”．
[解析]　(1)根据分层抽样可得：样本中满意的女游客为×30＝3(名)，样本中不满意的女游客为×20＝2(名)．
(2)记样本中对景区的服务满意的3名女游客分别为a1，a2，a3，对景区的服务不满意的2名女游客分别为b1，b2，从5名女游客中随机选取两名，共有10个基本事件，分别为：
(a1，a2)、(a1，a3)、(a1，b1)、(a1，b2)、(a2，a3)、(a2，b1)、(a2，b2)、(a3，b1)、(a3，b2)、(b1，b2)，其中事件A：选到满意与不满意的女游客各一名，包含了6个基本事件，分别为：(a1，b1)、(a1，b2)、(a2，b1)、(a2，b2)、(a3，b1)、(a3，b2)．
所以所求概率P(A)＝＝.
(3)根据题目中列联表得
χ2＝≈7.486>6.635，
有99%的把握认为，该景区游客对景区的服务是否满意与性别有关．
22．(本题满分14分)已知a为实数，
f(x)＝(x2－4)(x－a)．
导学号
966601219
(1)求导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值；
(3)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a的取值范围．
[解析]　(1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0得a＝，
此时有f(x)＝(x2－4)(x－)，
f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0得x＝或x＝－1.
又f()＝－，
f(－1)＝，
f(－2)＝0,
f(2)＝0，
所以f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－.
(3)f′(x)＝3x2－2ax－4的图象为开口向上且过点(0，－4)的抛物线，由条件得f′(－2)≥0,
f′(2)≥0，
即，∴－2≤a≤2.
所以a的取值范围为[－2,2]．第二章　2.3　第2课时
一、选择题
1．P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p≠0)上任一点，则P到焦点的距离是导学号
96660372
(　　)
A．|x0－|　　　　
B．|x0＋|
C．|x0－p|
D．|x0＋p|
[答案]　B
[解析]　利用P到焦点的距离等于到准线的距离，当p>0时，p到准线的距离为d＝x0＋；当p<0时，p到准线的距离为d＝－－x0＝|＋x0|.
2．若抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，且|AB|＝4，则抛物线的焦点到直线AB的距离为导学号
96660373
(　　)
A．1　　
B．2　　
C．3　　
D．5
[答案]　A
[解析]　由题意知AB垂直于x轴，且|AB|＝4，可设A点纵坐标为2，代入抛物线方程得其横坐标为2，即直线AB为x＝2，且焦点坐标为(1,0)，则焦点到直线AB的距离为1.
3．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为导学号
96660374
(　　)
A．x2＝－28y
B．y2＝28x
C．y2＝－28x
D．x2＝28y
[答案]　B
[解析]　由题意，知抛物线的标准方程为：y2＝2px(p>0)，又准线方程为x＝－7，∴p＝14.
4．抛物线y2＝－4px(p>0)的焦点为F，准线为l，则p表示导学号
96660375
(　　)
A．F到l的距离
B．F到y轴的距离
C．F点的横坐标
D．F到l的距离的
[答案]　B
[解析]　设y2＝－2p′x(p′>0)，p′表示焦点到准线的距离，又2p′＝4p，p＝，故p表示焦点到y轴的距离．
5．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60
cm，灯深为40
cm，则光源到反射镜顶点的距离是导学号
96660376
(　　)
A．11.25
cm
B．5.625
cm
C．20
cm
D．10
cm
[答案]　B
[解析]　建立如图所示的平面直角坐标系，
∵灯口直径|AB|＝60，灯深|OC|＝40，
∴点A的坐标为(40,30)．
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则900＝2p×40，
解得p＝＝，
∴焦点F与抛物线顶点，即光源与反射镜顶点的距离为＝5.625(cm)．
6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5，2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为导学号
96660377
(　　)
A．y2＝－2x
B．y2＝－4x
C．y2＝2x
D．y2＝－4x或y2＝－36x
[答案]　B
[解析]　由题意，设抛物线的标准方程为：
y2＝－2px(p>0)，
由题意，得＋5＝6，∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝－4x.
二、填空题
7．抛物线y2＝2px(p>0)上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是________．导学号
96660378
[答案]　1或9
[解析]　设抛物线上一点M坐标为(x0，y0)
由题意，得y0＝6，x0＋＝10，
又y＝2px0，解得x0＝1或9.
8．抛物线y2＝16x上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是________．导学号
96660379
[答案]　(2，±4)
[解析]　设抛物线y2＝16x上的点P(x，y)
由题意，得(x＋4)2＝x2＋y2＝x2＋16x，
∴x＝2，∴y＝±4.
三、解答题
9．已知抛物线的方程为x2＝ay，求它的焦点坐标和准线方程．导学号
96660380
[解析]　(1)当a>0时，∵2p＝a，∴p＝.
∴焦点坐标为F(0，)，准线方程为y＝－.
(2)当a<0时，x2＝－(－a)y.∵2p＝－a，
∴p＝－.
∴焦点坐标为F(0，－(－))，即F(0，)，准线方程为y＝－.
综上所述，抛物线的焦点坐标为F(0，)，准线方程为y＝－.
一、选择题
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为
导学号
96660381
(　　)
A.
B．1
C．2
D．4
[答案]　C
[解析]　本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系．
抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，由题意知，3＋＝4，p＝2.
2．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝
导学号
96660382
(　　)
A．2或－2
B．－1
C．2
D．3
[答案]　C
[解析]　由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
则＝4，即k＝2.
3．与y轴相切并和圆x2＋y2－10x＝0外切的动圆圆心的轨迹为导学号
96660383
(　　)
A．圆
B．抛物线和一条射线
C．椭圆
D．抛物线
[答案]　B
[解析]　如图所示，
设动圆圆心坐标为(x，y)，由题意得
y＝0(x<0)或y2＝20x(x≠0)．
4．已知P为抛物线y2＝4x上一动点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4,5)，则|PA|＋d的最小值为导学号
96660384
(　　)
A．4
B.
C.－1
D.－1
[答案]　D
[解析]　因为A在抛物线的外部，所以，当点P、A、F共线时，|PA|＋|PF|最小，此时|PA|＋d也最小，|PA|＋d＝|PA|＋(|PF|－1)＝|AF|－1＝－1＝－1.
二、填空题
5．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若弦AB的长为4，则焦点到AB的距离为________．导学号
96660385
[答案]　2
[解析]　由题意，设A点坐标为(x,2)，则x＝3，
又焦点F(1,0)，∴焦点到AB的距离为2.
6．已知F为抛物线y2＝2ax(a>0)的焦点，点P是抛物线上任一点，O为坐标原点，以下四个命题：导学号
96660386
(1)△FOP为正三角形；
(2)△FOP为等腰直角三角形；
(3)△FOP为直角三角形；
(4)△FOP为等腰三角形．
其中一定不正确的命题序号是________．
[答案]　(1)(2)
[解析]　∵抛物线上的点到焦点的距离最小时，恰好为抛物线顶点，∴(1)错误．
若△FOP为等腰直角三角形，则点P的横、纵坐标相等都为，这显然不可能，故(2)错误．
三、解答题
7．过抛物线y2＝－4x的焦点，作倾斜角为120°的直线，交抛物线于A、B两点，求△OAB的面积．导学号
96660387
[解析]　由y2＝－4x得p＝2，焦点(－1,0)，
直线AB方程为y＝－(x＋1)．
由，
消去y得x2＋x＋1＝0，易求得|AB|＝.
又原点到直线AB的距离d＝
∴S△AOB＝××＝.
8．已知抛物线y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线满足下列条件：导学号
96660388
(1)只有一个公共点；
(2)有两个公共点；
(3)没有公共点．
[解析]　由题意得直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，
由，
消去x得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0①，
当k＝0时，由方程①得y＝1，把y＝1代入y2＝4x，得x＝，此时，直线l与抛物线只有一个公共点(，1)．
当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．
(1)当Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝，此时方程①只有一解，方程组只有一个解，直线l与抛物线只有一个公共点．
(2)当Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－1(3)当Δ<0，即2k2＋k－1>0，解得k>或k<－1，
此时，直线l与抛物线没有公共点．
综上所述，当k＝0或k＝－1或k＝时，直线l与抛物线只有一个公共点；
当－1当k<－1或k>时，直线l与抛物线没有公共点．
9．已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．导学号
96660389
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作直线交抛物线C于A、B两点．若直线AO、BO分别交直线l：y＝x－2于M、N两点，求|MN|的最小值．
[解析]　(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)得＝1，
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1
由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
从而|x1－x2|＝4.
由
解得点M的横坐标xM＝＝＝.
同理点N的横坐标xN＝.
所以|MN|＝|xM－xN|＝|－|
＝8||
＝
令4k－3＝t，t≠0，则k＝.
当t>0时，|MN|＝2>2.
当t<0时，|MN|＝2≥.
综上所述，当t＝－，即k＝－时，|MN|的最小值是.第一章基本知能检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列语句中，不表示命题的一个是导学号
96660189
(　　)
A．3>8　　　　　　　
B．0是自然数
C．杭州是省会城市
D．他去哪儿
[答案]　D
[解析]　选项D不涉及真假．
2．(2015·安徽文，3)设p：x<3，q：－196660190
(　　)
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　C
[解析]　∵p：x<3，q：－13．命题“π≥3.14”使用的逻辑联结词的情况是导学号
96660191
(　　)
A．没有使用逻辑联结词
B．使用了逻辑联结词“且”
C．使用了逻辑联结词“或”
D．使用了逻辑联结词“非”
[答案]　C
[解析]　“π≥3.14”的意思为：
“π>3.14或π＝3.14”．故选C.
4．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题导学号
96660192
(　　)
A．是真命题
B．是假命题
C．不一定是真命题
D．不一定是假命题
[答案]　A
[解析]　一个命题的逆命题与否命题真假相同．
5．下列四个命题中的真命题是导学号
96660193(　　)
A． x∈R，x2＋3<0
B． x∈N，x2>1
C． x∈Z，使x5<1
D． x∈Q，x2＝3
[答案]　C
[解析]　本题考查命题的真假性判定．依题意，对于A，注意到x2＋3>0，因此选项A是假命题；对于B，注意到02＝0<1，因此选项B是假命题；对于C，注意到(－1)5＝－1<1，因此选项C是真命题；对于D，注意到使得x2＝3的x＝± Q，因此选项D是假命题，故选C.
6．设a∈R，则“a＝4”是“直线l1：ax＋2y－3＝0与直线l2：2x＋y－a＝0平行”的
导学号
96660194(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　C
[解析]　当a＝0时，易知两直线不平行，若a≠0，两直线平行满足＝≠ a＝4，故a＝4是两直线平行的充要条件．
7．设命题p：函数y＝cos的最小正周期为2π；命题q：函数y＝2x＋是偶函数，则下列判断正确的是导学号
96660195
(　　)
A．p为真
B． q为真
C．p∧q为真
D．p∨q为真
[答案]　D
[解析]　本题考查三角函数的最小正周期、函数的奇偶性的判断及复合命题真假性的判断等知识．由题y＝cos的最小正周期为T＝＝4π，故p为假，f(x)＝2x＋的定义域为R，且f(－x)＝2－x＋＝2x＋，故其为偶函数，即q为真，故p∨q为真，故选D.
8．下列判断不正确的是导学号
96660196
(　　)
A．命题“若p则q”与“若 q则 p”互为逆否命题
B．“am2C．“矩形的两条对角线相等”的否定为假
D．命题“ ?{1,2}或4∈{1,2}”为真
[答案]　B
[解析]　由am2例如：m＝0时，故选B.
9．如果命题“ (p∨q)”为假命题，则导学号
96660197
(　　)
A．p、q均为真命题
B．p、q均为假命题
C．p、q中至少有一个真命题
D．p、q中至多有一个真命题
[答案]　C
[解析]　“ (p∨q)”为假，则“p∨q”为真，故p、q中至少有一个为真．
10．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则 p是 q的导学号
96660198
(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　 p：－1≤x≤1， q：－2≤x≤1，
p q，而 q p.
11．(2016·浙江文，6)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　当b<0时，
f(x)在[－，＋∞)上单调递增，
在(－∞，－]上单调递减，∴f(x)min＝f(－)＝－，
即f(x)∈[－，＋∞)，又－∈[－，＋∞)，
∴当f(x)＝－时，
f(f(x))min＝f(－)＝－，
故f(x)与f(f(x))有相等的最小值－；
另一方面，取b＝0，f(x)＝x2与f(f(x))＝x4有相等的最小值0，故选A．
12．下列判断中正确的是导学号
96660200
(　　)
A．命题“若a＋b＝1，则a2＋b2>”是真命题
B．“＋＝4”的必要不充分条件是“a＝b＝”
C．命题“若a＋＝2，则a＝1”的逆否命题是“若a＝1，则a＋≠2”
D．命题“ a∈R，a2＋1≥2a”的否定是“ a∈R，a2＋1<2a”
[答案]　D
[解析]　若a＝b＝，满足a＋b＝1，但a2＋b2＝，故A不正确；“＋＝4”的充分不必要条件是“a＝b＝”，故B不正确；命题“若a＋＝2，则a＝1”的逆否命题是“若a≠1，则a＋≠2”，故C不正确；由全称命题的否定可知D正确，故选D.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．命题“如果ab不为零，则a、b都不为零”的逆否命题是________．
导学号
96660201
[答案]　如果a、b至少有一个为零，则ab为零
[解析]　将原命题的结论和条件进行“换位”及“换质”，即得其逆命题．
14．函数f(x)＝x2－mx＋m的图象关于直线x＝1对称的充要条件是____________．
导学号
96660202
[答案]　m＝2
[解析]　函数f(x)＝x2－mx＋m的对称轴为x＝＝1，解得m＝2.
15．设集合A＝{x|－2－a0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则a的取值范围是__________________．导学号
96660203
[答案]　(1,2]
[解析]　若p为真命题，则－2－a<11.
若q为真命题，则－2－a<22.
依题意，得( p)∧q真，或p∧( q)真，
即或，所以116．已知：①命题“如果xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；导学号
96660204
②命题“所有模相等的向量相等”的否定；
③命题“如果m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
④命题“如果A∩B＝A，则A?B”的逆否命题．
其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．
[答案]　①②③
[解析]　①逆命题：若x、y互为倒数，则xy＝1，是真命题．
②的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题．
如，a＝(1,1)，b＝(－1,1)，有|a|＝|b|＝，但a≠b.
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0”是真命题．这是因为当m<0时Δ＝(－2)2－4m＝4－4m>0恒成立，故方程有根，所以其逆否命题也是真命题．
④若A∩B＝A，则A B.故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．导学号
96660205
[解析]　逆命题：若x＝2且y＝－1，则＋(y＋1)2＝0；真命题．
否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1；真命题．
逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0；真命题．
18．(本题满分12分)指出下列命题的构成形式，并判定下列命题的真假：
导学号
96660206
(1)不等式|x＋2|≤0没有实数解；
(2)－1是偶数或奇数；
(3)属于集合Q，也属于集合R.
[解析]　(1)此命题为“非p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解．因为x＝－2是该不等式的一个解，所以p是真命题，即非p为假命题．所以原命题为假命题．
(2)此命题为“p或q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数．因为p为假命题，q为真命题，所以“p或q”为真命题，故原命题为真命题．
(3)此命题为“p且q”的形式，其中p：属于Q，q：属于R.因为p为假命题，q为真命题，所以p且q为假命题，故原命题为假命题．
19．(本题满分12分)已知命题p?{x|1－c0}，命题q?(x－3)2<16，且p是q的充分不必要条件．求c的取值范围．导学号
96660207
[解析]　命题p对应的集合A＝{x|1－c0}，由(x－3)2<16可解得命题q对应的集合B＝{x|－1解得：020．(本题满分12分)指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种)
导学号
96660208
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；
(3)p：a>2，q：a>5；
(4)p：a[解析]　(1)在△ABC中，∠A>∠B BC>AC.所以p是q的充要条件．
(2)a＝3 (a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0a＝3.所以p是q的充分而不必要条件．
(3)a>2a>5，但a>5 a>2，所以p是q的必要而不充分条件．
(4)a21．(本题满分12分)已知p：函数f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R；q：a≥1.如果命题“p∨q为真，p∧q为假”，求实数a的取值范围．导学号
96660209
[解析]　由p真可知，解得a>2，
由p∨q为真，p∧q为假知，p和q中一个为真、一个为假．
若p真q假时a不存在，若p假q真时1≤a≤2.
综上，实数a的取值范围是1≤a≤2.
22．(本题满分14分)已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围．导学号
96660210
[解析]　函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减 0曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同两点等价于(2a－3)2－4>0.即a<或a>.
(1)p正确，q不正确．
则a∈(0,1)∩，即a∈.
(2)p不正确，q正确．
则a∈(1，＋∞)∩，
即a∈.
综上所述，a的取值范围为∪.第二章　2.2　第1课时
一、选择题
1．已知点F1(0，－13)、F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为导学号
96660284
(　　)
A．y＝0
B．y＝0(|x|≥13)
C．x＝0(|y|≥13)
D．以上都不对
[答案]　C
[解析]　∵||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，
∴点P的轨迹是分别以F1、F2为端点的两条射线．
2．已知定点A、B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为
导学号
96660285
(　　)
A.　　
B.　　
C.　　
D.5
[答案]　C
[解析]　点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当P与双曲线右支顶点M重合时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝，故选C.
3．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是导学号
96660286
(　　)
A．－1B．k>0
C．k≥0
D．k>1或k<－1
[答案]　A
[解析]　由题意得(1＋k)(1－k)>0，
∴(k－1)(k＋1)<0，∴－14．双曲线－＝1的焦距是导学号
96660287
(　　)
A．4
B．2
C．8
D．与m有关
[答案]　C
[解析]　∵a2＝m2＋12，b2＝4－m2，c2＝a2＋b2＝16，
∴c＝4，∴焦距2c＝8.
5．已知双曲线方程为－＝1，那么它的焦距为导学号
96660288
(　　)
A．10
B．5
C.
D．2
[答案]　A
[解析]　∵a2＝20，b2＝5，c2＝25，c＝5，
∴焦距2c＝10.
6．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，那么k的值为导学号
96660289
(　　)
A．1
B．－1
C.
D．－
[答案]　B
[解析]　方程8kx2－ky2＝8可化为：－＝1，
又它的一个焦点为(0,3)，
∴a2＝－，b2＝－，c2＝－＝9，∴k＝－1.
二、填空题
7．过双曲线－＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M、N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为________．导学号
96660290
[答案]　8
[解析]　|MF2|＋|NF2|－|MN|＝(MF2－MF1)＋(|NF2|－|NF1|)＝2a＋2a＝4a＝8.
8．设一圆过双曲线－＝1一个焦点和双曲线与x轴的一个交点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．导学号
96660291
[答案]　
[解析]　设圆心为P(x0，y0)，则|x0|＝＝4，代入－＝1，得y＝，所以|OP|＝＝.
三、解答题
9．已知双曲线过P1(－2，)和P2(，4)两点，求双曲线的标准方程．导学号
96660292
[解析]　设所求双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
∵P1和P2两点在双曲线上，
∴，解得.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
一、选择题
1．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是导学号
96660293
(　　)
A．16
B．18
C．21
D．26
[答案]　D
[解析]　∵|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，
∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，
∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，
∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.
2．已知双曲线－＝1上一点P到焦点F1的距离为8，则P到焦点F2的距离为
导学号
96660294
(　　)
A．2
B．2或14
C．14
D．16
[答案]　B
[解析]　如图，设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，
由已知得a＝3，b＝4，c＝5，
∵双曲线右顶点到左焦点F1的距离为a＋c＝8，
∴点P在双曲线右顶点时，|PF2|＝c－a＝5－3＝2，
当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝2a＝6，
∴|PF2|＝|PF1|＋6＝8＋6＝14.
3．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为
导学号
96660295
(　　)
A．双曲线的一支
B．圆
C．抛物线
D．双曲线
[答案]　A
[解析]　设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，
由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，
∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．
4．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是导学号
96660296
(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－y2＝1
D．x2－＝1
[答案]　C
[解析]　∵c＝，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，
∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.
双曲线方程为－y2＝1.
二、填空题
5．过双曲线－＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________．导学号
96660297
[答案]　
[解析]　∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7，
∴c＝，弦所在直线方程为x＝，
由，得y2＝，∴|y|＝，弦长为.
6．如果椭圆＋＝1与双曲线－＝1的焦点相同，那么a＝________.
导学号
96660298
[答案]　1
[解析]　由题意得a>0，且4－a2＝a＋2，∴a＝1.
三、解答题
7．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．导学号
96660299
[解析]　椭圆＋＝1的焦点为(0，±3)，
由题意，设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)，
又点A(x0,4)在椭圆＋＝1上，∴x＝15，
又点A在双曲线－＝1上，∴－＝1，
又a2＋b2＝c2＝9，∴a2＝4，b2＝5，
所求的双曲线方程为：－＝1.
8．设双曲线－＝1，F1、F2是其两个焦点，点M在双曲线上．导学号
96660300
(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；
(2)若∠F1MF2＝60°时，△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝120°时，△F1MF2的面积又是多少？
[解析]　结合双曲线的定义，注意三角形面积公式的应用．
(1)由双曲线的方程知a＝2，b＝3，c＝，
设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1>r2)
如图所示．
由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4.
两边平方得r＋r－2r1r2＝16，
因为∠F1MF2＝90°，
所以r＋r＝|F1F2|2＝(2c)2＝52，
所以r1·r2＝18，
所以S△F1MF2＝r1r2＝9.
(2)若∠F1MF2＝60°，在△F1MF2中，
由余弦定理得|F1F2|2＝r＋r－2r1r2cos60°
所以|F1F2|2＝(r1－r2)2＋r1r2，解得r1r2＝36，
所以S△F1MF2＝r1r2sin60°＝9.
同理，当∠F1MF2＝120°，S△F1MF2＝3.
9．一动圆与圆
(x＋3)2＋y2＝1外切，又与圆
(x－3)2＋y2＝9内切，求动圆圆心的轨迹方程．导学号
96660301
[解析]　如图，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，圆M与圆O1外切于点A，与圆O2内切于点B，则
|MO1|＝|MA|＋1，　　①
|MO2|＝|MB|－3.　　②
①－②，得|MO1|－|MO2|＝4.
由双曲线定义知，M点轨迹是以O1(－3,0)，O2(3,0)为焦点，2a＝4的双曲线的右支．
其中，b2＝32－22＝5，
∴所求轨迹方程为－＝1(x≥2)．第二章　2.2　第2课时
一、选择题
1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)、(4,0)，则双曲线方程为
导学号
96660313
(　　)
A.－＝1　　　
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
[答案]　A
[解析]　∵e＝＝2，由c＝4得a＝2.
所以b2＝c2－a2＝12.因为焦点在x轴上，所以双曲线方程为－＝1.
2．(2015·安徽文，6)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是导学号
96660314
(　　)
A．x2－＝1
B.－y2＝1
C．x2－＝1
D.－y2＝1
[答案]　A
[解析]　由双曲线的渐近线的公式可得选项A的渐近线方程为y＝±2x，故选A.
3．(2015·天津文，5)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为导学号
96660315
(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－y2＝1
D．x2－＝1
[答案]　D
[解析]　由双曲线的渐近线bx－ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切得＝，由c＝＝2，解得a＝1，b＝，故选D.
4．如果双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为导学号
96660316
(　　)
A.　　
B．2　　
C.　　
D.2
[答案]　A
[解析]　∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，又两渐近线互相垂直，∴a＝b，c＝＝a，∴e＝＝.
5．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于导学号
96660317
(　　)
A．2
B．2
C．4
D．4
[答案]　C
[解析]　双曲线的一条渐近线方程为－＝0，即bx－ay＝0，焦点(c,0)到渐近线的距离为＝＝，∴b＝，又＝2，c2＝a2＋b2，∴c＝2，故双曲线的焦距为2c＝4.
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为导学号
96660318
(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
[答案]　A
[解析]　双曲线的渐近线方程为y＝±x，由题意得＝2.又双曲线的一个焦点在直线y＝2x＋10上，
∴－2c＋10＝0，∴c＝5.
由，得.
故双曲线方程为－＝1.
二、填空题
7．(2015·新课标Ⅱ文，15)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．导学号
96660319
[答案]　－y2＝1
[解析]　根据双曲线渐近线方程为y＝±x，可设双曲线的方程－y2＝m，把(4，)代入－y2＝m得m＝1.所以双曲线的方程为－y2＝1.
8．双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．导学号
96660320
[答案]　9
[解析]　由已知得a＝4，b＝，∴c＝，又e＝，∴＝，∴m＝9.
三、解答题
9．求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程．
导学号
96660321
[解析]　∵双曲线的一条渐近线方程为3x＋4y＝0，
∴设双曲线的方程为－＝λ，
由题意知λ>0，∴16λ＋9λ＝16，∴λ＝.
∴所求的双曲线方程为－＝1.
一、选择题
1．双曲线－＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于导学号
96660322
(　　)
A.
B．3
C．4
D．2
[答案]　C
[解析]　∵焦点坐标为(±5,0)，
渐近线方程为y＝±x，
∴一个焦点(5,0)到渐近线y＝x的距离为4.
2．若实数k满足096660323
(　　)
A．实半轴长相等
B．虚半轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
[答案]　D
[解析]　∵0在－＝1中，a2＝16，b2＝5－k；
在－＝1中，a2＝16－k，b2＝5，由c2＝a2＋b2知两双曲线的焦距相等，故选D.
3．方程x2＋(k－1)y2＝k＋1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是
导学号
96660324
(　　)
A．k<－1
B．k>1
C．－1D．k<－1或k>1
[答案]　C
[解析]　方程x2＋(k－1)y2＝k＋1，
可化为＋＝1，∵双曲线的焦点在x轴上，
∴k＋1>0且<0，∴－14．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝导学号
96660325
(　　)
A．－12
B．－2
C．0
D．4
[答案]　C
[解析]　本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质．
由题意得b2＝2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，
又点P(，y0)在双曲线上，∴y＝1，
∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)
＝－1＋y＝0，故选C.
二、填空题
5．(2015·山东文，15)过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．导学号
96660326
[答案]　2＋
[解析]　双曲线－＝1的右焦点为(c,0)．不妨设所作直线与双曲线的渐近线y＝x平行，其方程为y＝(x－c)，代入－＝1求得点P的横坐标为x＝，由＝2a，得()2－4＋1＝0，解之得＝2＋，＝2－(舍去，因为离心率＞1)，故双曲线的离心率为2＋.
6．(2016·北京文，12)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________．
[答案]　1　2
[解析]　由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知＝2，由c＝，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1．
三、解答题
7．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
导学号
96660328
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证MF1⊥MF2；
(3)求△F1MF2的面积．
[解析]　(1)因为e＝，所以双曲线为等轴双曲线，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6，所以双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)易知F1(－2，0)、F2(2，0)，
所以kMF1＝，kMF2＝，
所以kMF1·kMF2＝＝－，
因为点(3，m)在双曲线上，
所以9－m2＝6，所以，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，所以MF1⊥MF2.
(3)在△F1MF2中，底|F1F2|＝4，
F1F2上的高h＝|m|＝，
所以S△F1MF2＝|F1F2|·|m|＝6.
8．双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线离心率e的取值范围．
导学号
96660329
[解析]　直线l的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a>1，得点(1,0)到直线l的距离d1＝，点(－1,0)到直线l的距离
d2＝
.
∴s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.
∵e＝，∴5≥2e2，∴25(e2－1)≥4e4，
即4e4－25e2＋25≤0，
∴≤e2≤5(e>1)．∴≤e≤.
9．斜率为2的直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为，求l的方程．
导学号
96660330
[解析]　设直线l的方程为y＝2x＋m，
由，
得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(
)
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，
由根与系数的关系，得
x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．
∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2
＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]＝5[m2－4×(m2＋2)]．
∵|AB|＝，∴m2－6(m2＋2)＝6.
∴m2＝15，m＝±.
由(
)式得Δ＝24m2－240，
把m＝±代入上式，得Δ>0，
∴m的值为±，
∴所求l的方程为y＝2x±.
[点评]　弦长公式：斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|
＝
＝|y1－y2|＝.第三章基本知能检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一质点的运动方程为s＝20＋gt2(g＝9.8m/s2)，则t＝3
s时的瞬时速度为
导学号
96660648
(　　)
A．20m/s　　　　　　
B．29.4m/s
C．49.4m/s
D．64.1m/s
[答案]　B
[解析]　v＝s′(t)＝gt.
∴当t＝3时，v＝3g＝29.4.
2．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足导学号
96660649
(　　)
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)－g(x)为常数函数
C．f(x)＝g(x)＝0
D．f(x)＋g(x)为常数函数
[答案]　B
[解析]　令F(x)＝f(x)－g(x)，
F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝0，
∴函数F(x)为常数函数，
故f(x)－g(x)为常数函数．
3．已知f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)等于导学号
96660650
(　　)
A．－2　　
B．2　　
C．1　　
D．－4
[答案]　D
[解析]　∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴令x＝1得f′(1)＝2＋2f′(1)，
∴f′(1)＝－2，
∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.
4．函数y＝的导数是导学号
96660651
(　　)
A.
B.
C.
D.
[答案]　B
[解析]　y′＝＝，
故选B.
另解：y＝x－，∴y′＝1＋＝.
5．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b等于导学号
96660652
(　　)
A．1
B．－1＋ln2
C．ln2
D．1＋ln2
[答案]　B
[解析]　设切点坐标为(x0，y0)，
∵y＝lnx(x>0)，∴y′＝，∴＝，
∴x0＝2，y0＝ln2.∴b＝－1＋ln2.
6．函数y＝1＋3x－x3有导学号
96660653
(　　)
A．极小值－1，极大值1
B．极小值－2，极大值3
C．极小值－2，极大值2
D．极小值－1，极大值3
[答案]　D
[解析]　∵y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)，令y′＝0得x＝1或x＝－1，
当x<－1时，y′<0，当－10，
当x>1时，y′<0，
∴当x＝－1时，函数取极小值－1，
当x＝1时，函数取极大值3，故选D.
7．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是
导学号
96660654
(　　)
A．(0,1)
B．(－∞，1)
C．(0，＋∞)
D．(0，)
[答案]　D
[解析]　∵f′(x)＝3x2－6b，显然b≤0时，f′(x)≥0，f(x)无极值．
当b>0时f′(x)＝3(x－b)(x＋b)
显然f(x)在x＝b时取得极小值，∴0∴08．函数y＝f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为导学号
96660655
(　　)
A．－e　
B．1－e　
C．－1　
D．0
[答案]　C
[解析]　y′＝－1，令y′＝0，得x＝1.
列表如下：
x
(0,1)
1
(1，e)
e
y′
＋
0
－
y
单调递增
极大值－1
单调递减
1－e
y最大值＝f(1)＝－1.
9．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)
导学号
96660656
(　　)
A．在(－∞，0)上为减函数
B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在x＝2处取极大值
[答案]　C
[解析]　当x<0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)上是增函数，故A错；当x<0时，f′(x)>0，当04时，f′(x)<0，f(x)在(4，＋∞)上是减函数，C正确．
10．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝，在区间[1,2]上都是减函数，则a
的取值范围是导学号
96660657
(　　)
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1)
D．(0,1]
[答案]　D
[解析]　f(x)＝－x2＋2ax，对称轴为x＝a，当a≤1时，f(x)在[1,2]上为减函数，由g′(x)＝<0，得a>0.故011．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是导学号
96660658
(　　)
A．12，－15
B．5，－15
C．5，－4
D．－4，－15
[答案]　B
[解析]　y′＝6x2－6x－12＝6(x2－x－2)
＝6(x－2)(x＋1)，
令y′＝0，得x＝－1或x＝2，
∵x∈[0,3]，∴x＝－1舍去．
又f(0)＝5,
f(2)＝－15,
f(3)＝－4.
函数在[0,3]上的最大值为5，最小值为－15，故选B.
12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x－1有极大值和极小值，则a的取值范围是
导学号
96660659
(　　)
A．－1B．－3C．a<－3或a>6
D．a<－1或a>2
[答案]　C
[解析]　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，令f′(x)＝0，
即3x2＋2ax＋a＋6＝0，
由题意，得Δ＝4a2－12(a＋6)＝4(a2－3a－18)＝4(a－6)(a＋3)>0，
∴a>6或a<－3，故选C.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2015·新课标Ⅰ文，14)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图像在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.导学号
96660660
[答案]　1
[解析]　因为f(x)＝ax3＋x＋1，所以f(1)＝a＋2，
f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝3a＋1，所以在点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，
又因为过点(2,7)，所以7－(a＋2)＝(3a＋1)×1，
5－a＝3a＋1,4a＝4，a＝1.
故本题正确答案为1.
14．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是________．导学号
96660661
[答案]　y＝x3－6x2＋9x
[解析]　三次函数过原点，可设f(x)＝x3＋bx2＋cx，则f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由题设有解得b＝－6，c＝9.∴f(x)＝x3－6x2＋9x，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．当x＝1时，函数f(x)取得极大值4，当x＝3时，函数取得极小值0，满足条件．
15．当x∈[－1,2]时，x3－x2－x导学号
96660662
[答案]　(2，＋∞)
[解析]　记f(x)＝x3－x2－x，∴f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0得x＝－或x＝1.
又f(－)＝，
f(2)＝2，f(－1)＝－1，f(1)＝－1，
∴当x∈[－1,2]时，f(x)max＝2，∴m>2.
16．当直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)．导学号
96660663
[答案]　d
[解析]　截面如图所示，设抗弯强度系数为k，强度为ω，则ω＝kbh2，
又h2＝d2－b2，
∴ω＝kb(d2－b2)＝－kb3＋kd2b，
ω′＝－3kb2＋kd2，
令ω′＝0，得b2＝，
∴b＝d或b＝－d(舍去)．∴h＝＝d.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．导学号
96660664
(1)求a、b的值．
(2)讨论函数f(x)的单调性．
[解析]　(1)对f(x)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，
即，解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得
f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)
＝3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；
令f′(x)<0，解得－1所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；
当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；
当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．
18．(本题满分12分)求函数y＝x4－2x2＋2在[－3,3]上的最大值和最小值．
导学号
96660665
[解析]　y′＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)，
令y′＝0得x＝－1，x＝0，x＝1，
f(－1)＝1,
f(0)＝2,
f(1)＝1,
f(－3)＝65，
f(3)＝65，
∴函数y＝x4－2x2＋2在[－3,3]上的最大值为65，最小值为1.
19．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2.求f(x)的单调区间和极大值．导学号
96660666
[解析]　由奇函数的定义，应有f(－x)＝－f(x)，x∈R，即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝0，
∴f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c，
由条件f(1)＝－2为f(x)的极值，
则有f′(1)＝0，故，解得a＝1，c＝－3，
因此，f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
令f′(x)<0，得－1∴函数f(x)在(－1,1)上是减函数．
所以f(x)在x＝－1处取得极大值，
极大值为f(－1)＝2.
20．(本题满分12分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中396660667
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
[解析]　(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2(3从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．
令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
42
?
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
21．(本题满分12分)若函数f(x)＝lnx－ax2－2x存在单调递减区间，求实数a的取值范围．导学号
96660668
[解析]　f′(x)＝－ax－2＝－.
因为函数f(x)存在单调递减区间，
所以f′(x)≤0有解．
又因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
所以ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上有解．
(1)当a>0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线，
ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上恒有解；
(2)当a<0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线，而ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上恒有解，
则，解得－1(3)当a＝0时，显然符合题意．
综上所述，a的取值范围为(－1，＋∞)．
22．(本题满分14分)(2016·全国卷Ⅱ文，20)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．
(Ⅰ)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1,
f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)当x∈(1，＋∞)时，
f(x)>0，求a的取值范围．
[解析]　(Ⅰ)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当a＝4时，
f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，
f′(x)＝lnx＋－3,
f′(1)＝－2,
f(1)＝0．
曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0．
(Ⅱ)当x∈(1，＋∞)时，
f(x)>0等价于lnx－>0．
设g(x)＝lnx－，则
g′(x)＝－＝，g(1)＝0．
(ⅰ)当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)>0；
(ⅱ)当a>2时，令g′(x)＝0得
x1＝a－1－，x2＝a－1＋．
由x2>1和x1x2＝1得x1<1，故当x∈(1，x2)时，
g′(x)<0，g(x)在(1，x2)上单调递减，
此时g(x)综上，a的取值范围是(－∞，2]．第三章　3.1　第2课时
一、选择题
1．曲线y＝x2在x＝0处的导学号
96660466
(　　)
A．切线斜率为1　　
B．切线方程为y＝2x
C．没有切线
D．切线方程为y＝0
[答案]　D
[解析]　k＝y′＝
＝Δx＝0，所以k＝0，又y＝x2在x＝0处的切线过点(0,0)，所以切线方程为y＝0.
2．已知曲线y＝x3过点(2,8)的切线方程为12x－ay－16＝0则实数a的值是
导学号
96660467
(　　)
A．－1　　
B．1　　
C．－2　　
D．2
[答案]　B
[解析]　点(2,8)在切线12x－ay－16＝0上，故24－8a－16＝0，∴a＝1.
3．如果曲线y＝x3＋x－10的一条切线与直线y＝4x＋3平行，那么曲线与切线相切的切点坐标为导学号
96660468
(　　)
A．(1，－8)
B．(－1，－12)
C．(1，－8)或(－1，－12)
D．(1，－12)或(－1，－8)
[答案]　C
[解析]　设切点坐标为P(x0，y0)，
则y0＝x＋x0－10的切线斜率为k＝
＝
＝[(3x＋1)＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x＋1＝4，所以x0＝±1，当x0＝1时，y0＝－8，当x0＝－1时，y0＝－12，所以切点坐标为(1，－8)或(－1，－12)．
4．曲线y＝x3－2在点(－1，－)处切线的倾斜角为导学号
96660469
(　　)
A．30°
B．45°
C．135°
D．－45°
[答案]　B
[解析]　k＝y′|x＝－1
＝
＝[1－Δx＋(Δx)2]＝1，
所以切线的倾斜角为45°.
5．下列点中，在曲线y＝x2上，且在此点处的切线倾斜角为的是导学号
96660470
(　　)
A．(0,0)
B．(2,4)
C．(，)
D．(，)
[答案]　D
[解析]　k＝
＝
＝
(2x＋Δx)＝2x，
∵倾斜角为，∴斜率为1.
∴2x＝1，x＝，故选D.
6．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标为导学号
96660471
(　　)
A．(1,0)
B．(2,8)
C．(1,0)或(－1，－4)
D．(2,8)或(－1，－4)
[答案]　C
[解析]　根据导数的定义可求得f′(x)＝3x2＋1，由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4，设P0(x0，y0)，故f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，这时P0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)，选C.
二、填空题
7．曲线y＝2x2＋1在点P(－1,3)处的切线方程为____________．导学号
96660472
[答案]　y＝－4x－1
[解析]　Δy＝2(Δx－1)2＋1－2(－1)2－1＝2Δx2－4Δx，＝2Δx－4，
＝
(2Δx－4)＝－4，
由导数几何意义知，曲线y＝2x2＋1在点(－1,3)处的切线的斜率为－4，切线方程为y＝－4x－1.
8．已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1、k2、k3之间的大小关系为________．(请用>连接)
导学号
96660473
[答案]　k1>k3>k2
[解析]　由导数的几何意义可知k1，k2分别为曲线在A，B处切线的斜率，
而k3＝f(2)－f(1)＝为直线AB的斜率，
由图象易知k1>k3>k2.
三、解答题
9．求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线的方程．导学号
96660474
[解析]　由于点(－2，－1)恰好在曲线f(x)＝上，所以曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝在点(－2，－1)处的导数．
而f′(－2)＝
＝
＝
＝－，故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.
一、选择题
1．曲线y＝x3＋2在点(1，)处切线的倾斜角为导学号
96660475
(　　)
A．30°　
B．45°　
C．135°　
D．60°
[答案]　B
[解析]　Δy＝(1＋Δx)3－×(1)3＝Δx－Δx2＋Δx3，＝1－Δx＋Δx2，
＝
(1－Δx＋Δx2)＝1，
∴曲线y＝x3＋2在点处切线的斜率是1，倾斜角为45°.
2．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是导学号
96660476
(　　)
A．－4
B．0
C．4
D．不存在
[答案]　B
[解析]　Δy＝－2Δx2，＝－2Δx，
＝
(－2Δx)＝0，由导数的几何意义可知，函数y＝－在点处的切线斜率为0.
3．函数y＝－在点(，－2)处的切线方程是导学号
96660477
(　　)
A．y＝4x
B．y＝4x－4
C．y＝4(x＋1)
D．y＝2x＋4
[答案]　B
[解析]　∵Δy＝，＝，
＝4，
∴切线的斜率为4.则切线方程为：y＋2＝4(x－)，即y＝4x－4.
4．曲线y＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时，P点坐标是导学号
96660478
(　　)
A．(－2，－8)
B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8)
D.
[答案]　B
[解析]　由导数的定义可求y＝x3在点P(x0，x)处的斜率为3x＝3，∴x0＝±1，故选B.
二、填空题
5．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于________．导学号
96660479
[答案]　6
[解析]　∵y＝2x3，
∴y′＝
＝
＝2
＝2
(Δx2＋3xΔx＋3x2)＝6x2.
∴y′|x＝1＝6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.
6．下列三个命题：
导学号
96660480
①若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线；
②若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在；
③若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率不存在．
其中正确的命题是________．(填上你认为正确的命题序号)
[答案]　③
[解析]　寻找垂直于x轴的切线即可．
三、解答题
7．已知曲线y＝，求：导学号
96660481
(1)曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)曲线过点Q(1,0)的切线方程；
(3)满足斜率为－的曲线的切线方程．
[解析]　(1)∵点P(1,1)在曲线上，∴点P为切点，
∵y′＝
＝
＝
＝－，
所求切线方程的斜率是k1＝－1，
∴曲线在点P(1,1)的切线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2.
(2)显然Q(1,0)不在曲线上，则设过该点的切线的切点为A(a，)，该切线的斜率是k2＝－，则切线方程是y－＝－(x－a)．①
将点Q(1,0)代入方程①，得0－＝－(1－a)，
解得a＝，故切线方程为y＝－4x＋4.
(3)设切点为B(b，)，则切线的斜率为k3＝－＝－，解得b＝±，
∴B(，)或B(－，－)．
∴所求的切线方程是y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，
即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.
8．已知曲线y＝x2－1在x＝x0点处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0点处的切线互相平行，求x0的值．导学号
96660482
[解析]　对于曲线y＝x2－1在x＝x0处，
y′|x＝x0＝
＝
＝
(2x0＋Δx)＝2x0.
对于曲线y＝1－x3在x＝x0处，
y′|x＝x0＝
＝
＝[－3x－3x0·Δx－(Δx)2]＝－3x，
又y＝1－x3与y＝x2－1在x＝x0点处的切线互相平行，∴2x0＝－3x，解得x0＝0或x0＝－.
9．设点P是曲线f(x)＝x3－x＋2上的任意一点，k是曲线在点P处的切线的斜率．
导学号
96660483
(1)求k的取值范围；
(2)求当k取最小值时的切线方程．
[解析]　(1)设P(x0，x－x0＋2)，则k
＝
＝
＝[3x－＋3x0Δx＋(Δx)2]
＝3x－≥－.
即k的取值范围为[－，＋∞)．
(2)由(1)知kmin＝－，此时x0＝0，
即P(0,2)，
∴此时曲线在点P处的切线方程为
y＝－x＋2.第一章　1.1　第1课时
一、选择题
1．下列语句是命题的是导学号
96660009
(　　)
A．|x＋a|　　　　
　
B．0∈Z
C．集合与简易逻辑
D．真子集
[答案]　B
[解析]　0∈Z是真命题，故选B.
2．下列语句：①12>5；②3是12的约数；③0.5是整数；④这是一棵大树；⑤x2＋3<2.其中不是命题的有导学号
96660010
(　　)
A．①③⑤
B．①②③④
C．②③④
D．④
[答案]　D
[解析]　由命题定义知①②③⑤是命题．
3．下列语句中命题的个数为导学号
96660011
(　　)
①平行四边形不是梯形；
②是无理数；
③方程9x2－1＝0的解是x＝±；
④请进．
A．1　　
B．2　　
C．3　　
D．4
[答案]　C
[解析]　①②③是命题．
4．下列三个命题：①方程x2－x＋2＝0的判别式小于零；②矩形的对角线互相垂直且平分；③2是质数．其中是真命题的是导学号
96660012
(　　)
A．①②
B．②③
C．①③
D．①
[答案]　C
[解析]　矩形的对角线互相平分，但不一定垂直．
5．下列说法正确的是导学号
96660013
(　　)
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“当a>1时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
[答案]　D
[解析]　由Δ＝16－4a≥0，知a≤4，故D正确．
6．设a、b、c是任意非零平面向量，且两两不共线，则
①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|≤|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中真命题为导学号
96660014
(　　)
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
[答案]　D
[解析]　①向量的数量积不满足结合律；③(b·c)a－(c·a)b与c互相垂直．所以②④正确．
二、填空题
7．有下列三个命题：
导学号
96660015
①若x·y＝0，则x、y中至少有一个为0；
②全等三角形面积相等；
③若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实数解．
其中真命题是________(填上所有正确命题的序号)．
[答案]　①②③
[解析]　①②③都是真命题．
8．关于平面向量a、b、c，有下列三个命题：导学号
96660016
①若a·b＝a·c，则b＝c；
②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；
③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.
其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
[答案]　②
[解析]　对于①，向量在等式两边不能相消，也可举反例：当a⊥b且a⊥c，a·b＝a·c＝0，但此时b＝c不一定成立；
对于②，在＝，得k＝－3；
对于③，根据平行四边形法则，画图可知a与a＋b的夹角为30°，而不是60°.
三、解答题
9．判断下列语句是否是命题，若不是，说明理由；若是，判断命题的真假．
导学号
96660017
(1)奇数的平方仍是奇数；
(2)两对角线垂直的四边形是菱形；
(3)所有的质数都是奇数；
(4)5x>4x.
[解析]　(1)是命题，而且是真命题；
(2)是假命题，如四边形ABCD，若AB＝AD≠BC＝CD时，对角线AC也垂直于对角线BD.
(3)是假命题，因为2是质数，但不是奇数．
(4)不是命题，因为x是未知数，不能判断不等式的真假.
一、选择题
1．下列语句：①奇函数图象关于原点对称；②x>2；③△ABC的面积；④高三全体学生．其中不是命题的是导学号
96660018
(　　)
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
[答案]　D
[解析]　只有①中的语句能判断真假，②③④中的语句不能判断真假，故选D.
2．下列语句中，命题的个数是导学号
96660019
(　　)
①{0}∈N；②他长得高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案]　B
[解析]　①④是命题，②③不是命题，故选B.
3．下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集．真命题的个数为导学号
96660020
(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案]　B
[解析]　③④是真命题，①②是假命题，故选B.
4．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中正确的是导学号
96660021
(　　)
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若|a·b|＝|a·c|，则b＝c
[答案]　B
[解析]　λa＝0，则λ＝0或a＝0，故选B.
二、填空题
5．给出下列四个命题：
导学号
96660022
①梯形的对角线相等；
②对任意实数x，均有x＋2>x；
③不存在实数x，使x2＋x＋1<0；
④有些三角形不是等腰三角形．
其中所有真命题的序号为________．
[答案]　②③④
[解析]　①是假命题，②③④是真命题．
6．下列语句：①是无限循环小数；②当x＝4时，2x>0；③难道菱形的对角线不互相平分吗？④请坐！其中不是命题的是________．
导学号
96660023
[答案]　④
[解析]　①②③是命题，④不是命题．
三、解答题
7．判断下列语句是否是命题，并说明理由．导学号
96660024
(1)求证：是无理数；
(2)x2＋4x＋4≥0；
(3)你是高一的学生吗？
(4)并非所有的人都喜欢苹果．
[解析]　(1)祈使句，不是命题．
(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，它包括x2＋4x＋4>0，或x2＋4x＋4＝0，对于x∈R.可以判断真假，它是命题．
(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．
(4)是命题，人群中有的人喜欢苹果，也存在着不喜欢苹果的人．
8．判断下列命题的真假．导学号
96660025
(1)形如a＋b的数是无理数；
(2)正项等差数列的公差大于零；
(3)能被2整除的数一定能被4整除．
[解析]　(1)假命题，反例：若a为有理数，b＝0，则a＋b为有理数．
(2)假命题，反例：若此等差数列为递减数列，如数列20,17,14,11,8,5,2，它的公差为－3.
(3)假命题，反例：数2,6能被2整除，但不能被4整除．
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．导学号
96660026
(1)当ac>bc时，a>b；
(2)已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
(3)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根．
[解析]　(1)若ac>bc，则a>b，假命题．
(2)已知x、y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，且x＝2，假命题．
(3)若m>，则mx2－x＋1＝0无实根，真命题．选修1－1综合能力检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“ x∈R，x2＋x＋3>0”的否定是导学号
96660669
(　　)
A． x∈R，x2＋x＋3≤0
B． x∈R，x2＋x＋3<0
C． x∈R，x2＋x＋3≤0
D． x∈R，x2＋x＋3<0
[答案]　C
[解析]　将“ ”改为“ ”，将“x2＋x＋3>0”改为“x2＋x＋3≤0”即可．
2．(2016·四川卷文，5)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q:
实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　若x>1且y>1，则有x＋y>2成立，所以p q；反之由x＋y>2不能得到x>1且y>1．所以p是q的充分不必要条件．
[解析]　命题p：x∈A∪B，即x∈A或x∈B，其否定为：x A且x B，故选C.
3．抛物线y2＝4x的焦点坐标为导学号
96660671
(　　)
A．(1,0)　　　　　　
B．(0,1)
C．(0，－1)
D．(－1,0)
[答案]　A
[解析]　抛物线y2＝4x的焦点在x轴的正半轴上，又2p＝4，∴p＝2，∴焦点坐标为(，0)，即(1,0)．
4．函数f(x)＝lnx－ax(a>0)的单调递增区间为导学号
96660672
(　　)
A．(，＋∞)
B．(0，)
C．(0，＋∞)
D．(0，a)
[答案]　B
[解析]　f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝－a>0，得05．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是导学号
96660673
(　　)
A．0>f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．f′(xA)>f′(xB)>0
[答案]　B
[解析]　f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，
故f′(xA)6．下列说法错误的是导学号
96660674
(　　)
A．如果命题“ p”与命题“p∨q”都是真命题，那么命题q一定是真命题
B．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”
C．若命题p： x0∈R，x＋2x0－3<0，则 p： x∈R，x2＋2x－3≥0
D．“sinθ＝”是“θ＝30°”的充分不必要条件
[答案]　D
[解析]　sinθ＝θ＝30°，反之θ＝30° sinθ＝，
故“sinθ＝”是“θ＝30°”的必要不充分条件．
7．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点为直线3x－4y＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是导学号
96660675
(　　)
A．x2－y2＝8
B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8
D．y2－x2＝4
[答案]　A
[解析]　由双曲线的实轴在x轴上知其焦点在x轴上，直线3x－4y＋12＝0与x轴的交点坐标为(－4,0)，故双曲线的一个焦点为(－4,0)，即c＝4.由c2＝2a2，得a2＝8，所以双曲线方程为x2－y2＝8.
8．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于导学号
96660676
(　　)
A．2　　
B．3　　
C．4　　
D．5
[答案]　D
[解析]　∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，又f(x)在x＝－3时取得极值，
∴f′(－3)＝30－6a＝0，则a＝5.
9．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是导学号
96660677
(　　)
A．[1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(0,1)∪(1,5)
D．[1,5)∪(5，＋∞)
[答案]　D
[解析]　直线y＝kx＋1过定点(0,1)，由题意，点(0,1)在椭圆上或在椭圆内部，∴m≥1.
又方程＋＝1表示椭圆，∴m≠5，故m≥1且m≠5.
10．某公司生产某种产品，固定成本为20
000元，每生产一件产品，成本增加100元，已知总收益R(x)(元)与年产量x(件)的关系是R(x)＝，则总利润最大时，每年生产的产品件数是导学号
96660678
(　　)
A．100　
B．150　
C．200　
D．300
[答案]　D
[解析]　由题意，知总成本为C(x)＝20
000＋100x，
∴总利润为P(x)＝R(x)－C(x)
＝，
P′(x)＝，
令P′(x)＝0，得x＝300，
易知当x＝300时，总利润最大．
11．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作正△MF1F2.若双曲线恰好平分该三角形的另两边，则双曲线的离心率为导学号
96660679
(　　)
A．1＋
B．4＋2
C．2－2
D．2＋2
[答案]　A
[解析]　如图，设N为MF2的中点，N在双曲线上．
∴|NF1|－|NF2|＝2a.
又|F1N|＝c，|NF2|＝c，∴c－c＝2a，
∴e＝＝＝＋1.
12．下列四图都是同一坐标中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是导学号
96660680
(　　)
A．①②
B．③④
C．①③
D．①④
[答案]　B
[解析]　二次函数为导函数，③中x<0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)内应递增，故③为假，同理，知④也为假．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是____________．
导学号
96660681
[答案]　m＝4或0
[解析]　直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切 圆心(1,1)到直线x＋y＋m＝0的距离等于 ＝ |m＋2|＝2 m＝－4或0.
14．已知p：x2－x≥6，q：|x－2|≤3，且p∧q与 q同时为假命题，则实数x的取值范围为____________．导学号
96660682
[答案]　－1≤x<3
[解析]　p：由x2－x－6≥0，得x≤－2或x≥3.
q：由|x－2|≤3，得－1≤x≤5，
∵ q为假命题，∴q为真命题．
又∵p∧q为假，∴p为假命题．
又p假：－2故所求实数x的取值范围是－1≤x<3.
15．△ABC的三边a、b、c，已知a>c>b，且成等差数列，若A(－1,0)、B(1,0)，则动点C的轨迹方程为____________________．导学号
96660683
[答案]　＋＝1(y≠0，且x<0)
[解析]　由题意得a＋b＝2c＝4，根据椭圆的定义可知，其轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆，因为a>c>b，所以是椭圆的一部分．
16．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于____________．
导学号
96660684
[答案]　
[解析]　由图可知f(1)＝0，f(2)＝0，
∴，解得.
∴f(x)＝x3－3x2＋2x，∴f′(x)＝3x2－6x＋2.
由图可知x1、x2为f(x)的极值点，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝.
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
导学号
96660685
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．
[解析]　(1)y′＝2x＋1，直线l1的方程为y＝3x－3.设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.
因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－.所以直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程组，得.
所以直线l1和l2的交点坐标为(，－)．l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，(－，0)，所以，所求三角形的面积S＝××＝.
18．已知命题p：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：f(x)＝x3－2mx2＋(4m－3)x－m在(－∞，＋∞)上单调递增．若( p)∧q为真，求m的取值范围．
导学号
96660686
[解析]　p真时，m>2.
q真时，f′(x)＝4x2－4mx＋4m－3≥0在R上恒成立．
Δ＝16m2－16(4m－3)≤0，∴1≤m≤3.
∵( p)∧q为真，∴p假，q真．
∴，即1≤m≤2.
∴所求m的取值范围为[1,2]．
19．(本题满分12分)设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点．导学号
96660687
(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；
(2)求证：·是一个定值．
[解析]　(1)∵F(1,0)，∴直线l的方程为y＝x－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，x1x2＝1.
∴|AB|＝
＝·
＝·＝8.
(2)设直线l的方程为x＝ky＋1，
由得y2－4ky－4＝0.
∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，
＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．
∵·＝x1x2＋y1y2
＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2
＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.
∴·是一个定值．
20．(本题满分12分)已知x∈R，求证：cosx≥1－x2.
导学号
96660688
[证明]　令F(x)＝cosx－1＋x2，
则F′(x)＝－sinx＋x，
当x≥0时令g(x)＝F′(x)＝－sinx＋x，
则g′(x)＝1－cosx≥0恒成立，
∴g(x)≥g′(x)＝0.即F′(x)≥0，
∴F(x)在[0，＋∞)上是增函数，
又F(0)＝0，即x∈[0，＋∞)时，恒有F(x)≥0，
即cosx≥1－.
又F(－x)＝cos(－x)－1＋
＝cosx－1＋＝F(x)，
∴F(x)是R上的偶函数，∴当x<0时，恒有F(x)≥0，
即cosx≥1－，
综上所述，对一切x∈R，都有cosx≥1－.
21．(本题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．导学号
96660689
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
[解析]　(1)由题意，得，解得
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
由，
消去y得3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
Δ＝96－8m2>0，∴－2∴x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.
∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴＋＝1，∴m2＝，∴m＝±.
22．(本题满分14分)(2015·新课标Ⅱ文，21)已知函数f(x)＝ln
x＋a(1－x)．
导学号
96660690
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
[解析]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a，若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)单调递增；若a>0，则当x∈时f′(x)>0，当x∈时f′(x)<0，所以f(x)在单调递增，在单调递减．
(2)由(1)知a≤0时f(x)在(0，＋∞)无最大值．当a>0时f(x)在x＝取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－ln
a＋a－1.因此f>2a－2 ln
a＋a－1<0，令g(a)＝ln
a＋a－1.则g(a)在(0，＋∞)是增函数，且g(1)＝0，于是，当01时，g(a)>0.因此a的取值范围是(0,1)．第三章　3.2　第1课时
一、选择题
1．抛物线y＝x2在点(2,1)处的切线方程是导学号
96660494
(　　)
A．x－y－1＝0　　　　
B．x＋y－3＝0
C．x－y＋1＝0
D．x＋y－1＝0
[答案]　A
[解析]　∵y′＝x，y′|x＝2＝×2＝1，
∴抛物线y＝x2在点(2,1)处的切线斜率为1，
方程为x－y－1＝0.
2．若y＝lnx，则其图象在x＝2处的切线斜率是导学号
96660495
(　　)
A．1　　
B．0　　
C．2　　
D．
[答案]　D
[解析]　∵y′＝，∴y′|x＝2＝，故图象在x＝2处的切线斜率为.
3．若y＝sinx，则y′|x＝＝导学号
96660496
(　　)
A.
B．－
C.
D．－
[答案]　A
[解析]　y′＝cosx，y′|x＝＝cos＝.
4．下列说法正确的是导学号
96660497
(　　)
A．若函数f′(x)＝1，则f(x)表达式一定为f(x)＝x
B．函数f(x)＝x2图象上任意一点的切线的斜率均大于零
C．函数f(x)＝图象上存在切线斜率为零的点
D．函数f(x)定义域为R，且f′(x)＝0，则函数f(x)为偶函数
[答案]　D
[解析]　若f′(x)＝1，则f(x)＝x＋C(C是常数)，故A错．因为f(x)＝x2的导数f′(x)＝2x，故B错．函数f(x)＝的导数f′(x)＝－，故切线斜率不可能为0，故C错．因为函数f(x)的导数f′(x)＝0，故f(x)＝C(C为常数)，且定义域是R，故f(x)＝C是偶函数，D正确．
5．若y＝cos，则y′＝导学号
96660498
(　　)
A．－
B．－
C．0
D.
[答案]　C
[解析]　常数函数的导数为0.
6．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为导学号
96660499
(　　)
A．(，2)
B．(，2)或(－，－2)
C．(－，－2)
D．(，－2)
[答案]　B
[解析]　设点P的坐标为(x0，y0)，
∵y′＝－，∴－＝4，∴x＝，∴x0＝±.
∴点P的坐标为(，2)或(－，－2)．
二、填空题
7．(2015·新课标Ⅱ文，16)已知曲线y＝x＋ln
x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.导学号
96660500
[答案]　8
[解析]　由y′＝1＋可得曲线y＝x＋ln
x在点(1,1)处的切线斜率为2，故切线方程为y＝2x－1，与y＝ax2＋(a＋2)x＋1联立得ax2＋ax＋2＝0，显然a≠0，所以由Δ＝a2－8a＝0 a＝8.
8．函数f(x)＝，则f′(x)＝________.导学号
96660501
[答案]　x－
[解析]　∵f(x)＝＝x，∴f′(x)＝x－.
三、解答题
9．求曲线y＝lnx在x＝e2处的切线方程．导学号
96660502
[解析]　∵y＝lnx，y′＝，
∴y′|x＝e2＝，∴在(e2,2)处的切线方程为y－2＝(x－e2)，即x－e2y＋e2＝0.
一、选择题
1．已知f(x)＝x3，则f(x)的斜率为1的切线有导学号
96660503
(　　)
A．1条
B．2条
C．3条
D．不能确定
[答案]　B
[解析]　设切点为(x0，x)，由(x3)′＝3x2得在(x0，x)处的切线斜率为3x，由3x＝1得x0＝±，故切点为或，所以有2条．
2．正弦函数y＝sinx上切线斜率等于的点为导学号
96660504
(　　)
A．(，)
B．(－，－)或(，)
C．(2kπ＋，)(k∈Z)
D．(2kπ－，－)或(2kπ＋，)(k∈Z)
[答案]　D
[解析]　由(sinx)′＝cosx＝得x＝2kπ－或x＝2kπ＋(k∈Z)．
所以切点坐标为(2kπ－，－)或(2kπ＋，)(k∈Z)．
3．给出下列函数
(1)y＝(sinx)′＋(cosx)′；　(2)y＝(sinx)′＋cosx；
(3)y＝sinx＋(cosx)′；　　
(4)y＝(sinx)′·(cosx)′.
其中值域不是[－，]的函数有多少个导学号
96660505
(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案]　C
[解析]　(1)y＝(sinx)′＋(cosx)′
＝cosx－sinx∈[－，]．
(2)y＝(sinx)′＋cosx＝2cosx∈[－2,2]．
(3)y＝sinx＋(cosx)′＝sinx－sinx＝0.
(4)y＝(sinx)′·(cosx)′＝cosx·(－sinx)
＝－sin2x∈.
4．(2016·山东文，10)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)
A．y＝sinx
B．y＝lnx
C．y＝ex
D．y＝x3
[答案]　A
[解析]　设两切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．选项A中，y′＝cosx，cosx1cosx2＝－1，当x1＝0，x2＝π时满足，故选项A中的函数具有T性质；选项B、C、D中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不可能为－1，故选A．
二、填空题
5．已知f(x)＝x3，f′(x0)＝6，则x0＝________.导学号
96660507
[答案]　±
[解析]　∵f(x)＝x3，∴f′(x)＝3x2，∴f′(x0)＝3x＝6，
∴x＝2，∴x0＝±.
6．已知P、Q为抛物线x2＝2y上两点，点P、Q的横坐标分别为4、－2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．导学号
96660508
[答案]　－4
[解析]　因为y＝x2，所以y′＝x，
易知P(4,8)，Q(－2,2)，
所以在P、Q两点处切线的斜率的值分别为4和－2.
所以这两条切线的方程为l1：4x－y－8＝0，l2：2x＋y＋2＝0.
将这两个方程联立成方程组求得y＝－4.
三、解答题
7．求曲线y＝sinx在点A(，)的切线方程．导学号
96660509
[解析]　∵y＝sinx，∴y′＝cosx，
∴y′|x＝＝cos＝，∴k＝.
∴切线方程为y－＝(x－)，
化简得6x－12y＋6－π＝0.
8．求抛物线y＝x2过点(4，)的切线方程．导学号
96660510
[解析]　∵点不在抛物线y＝x2上，
∴设切点为(x0，y0)，
由题意，得切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝x0，
切线方程为y－＝x0(x－4)，
又点(x0，y0)在切线上，∴y0－＝x0(x0－4)，
又点(x0，y0)又在抛物线y＝x2上，∴y0＝x，
∴x－＝x－2x0，解得x0＝1或7，
∴切点为或，
所求的切线方程为：2x－4y－1＝0或14x－4y－49＝0.
9．设点P是y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最短距离．导学号
96660511
[解析]　根据题意得，平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图，即求在曲线y＝ex上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．
令P(x0，y0)，∵y′＝(ex)′＝ex，
∴由题意得ex0＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最短距离为.第一章　1.3　第2课时
一、选择题
1．(2015·山东文，5)设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是导学号
96660148
(　　)
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
[答案]　D
[解析]　一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论都加以否定，并且加以互换位置，故选D.
2．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是导学号
96660149
(　　)
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．能被6整除的整数，一定不能被3整除
[答案]　B
[解析]　9能被3整除，但不能被6整除，排除A；9不能被6整除，但能被3整除，排除C；12能被6整除，也能被3整除，排除D.或根据一个命题的等价命题是其逆否命题判断．
3．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是导学号
96660150
(　　)
A．原命题、否命题　　
B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题
D．逆命题、否命题
[答案]　D
[解析]　∵原命题为真，逆命题为假，
∴逆否命题为真，否命题为假．
4．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的导学号
96660151
(　　)
A．逆命题
B．否命题
C．逆否命题
D．无关命题
[答案]　A
[解析]　由原命题与逆命题的关系知，选A.
5．命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是导学号
96660152
(　　)
A．若α≠，则tanα≠1
B．若α＝，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠
D．若tanα≠1，则α＝
[答案]　C
[解析]　本题主要考查命题的四种形式．
由题意知：写逆否命题将原命题的题设结论否定再交换．关键点是原命题与逆否命题关系．
6．如果命题“若p，则q”的逆命题是真命题，则下列命题一定为真命题的是
导学号
96660153
(　　)
A．若p，则q
B．若 p，则 q
C．若 q，则 p
D．以上都不对
[答案]　B
[解析]　因为命题，“若q，则p”为真，所以“若 p，则 q”为真．
二、填空题
7．命题“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题是________________．导学号
96660154
[答案]　若x>－3，则x2＋x－6≤0
8．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________；逆否命题是____________________．导学号
96660155
[答案]　逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；
否命题：若x≠3，或y≠5，则x＋y≠8；
逆否命题：若x＋y≠8，则x≠3，或y≠5.
三、解答题
9．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
导学号
96660156
(1)若x2－5x－14＝0，则x＝7或x＝－2；
(2)已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.
[解析]　(1)逆命题：若x＝7或x＝－2，则x2－5x－14＝0.真．
否命题：若x2－5x－14≠0，则x≠7且x≠－2.真．
逆否命题：若x≠7且x≠－2，则x2－5x－14≠0.真．
(2)“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件p，“a＋c＝b＋d”是结论q，所以逆命题是“已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”，假．
否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”，假．
逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d”，真.
一、选择题
1．原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，那么原命题与其逆命题的真假情况是导学号
96660157
(　　)
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题真，逆命题真
D．原命题假，逆命题假
[答案]　A
[解析]　命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”是真命题，其逆命题“若a、b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”是假命题，故应选A.
2．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是导学号
96660158
(　　)
A．4　　
B．3　　
C．2　　
D．0
[答案]　C
[解析]　当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形为真，故逆否命题为真，
逆命题：△ABC为等腰三角形，则AB＝AC为假，
故否命题为假．
3．命题“若x＝3，则x2－9x＋18＝0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为导学号
96660159
(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
[答案]　C
[解析]　命题“若x＝3，则x2－9x＋18＝0”为真，故逆否命题为真，逆命题为假，故否命题为假．
4．原命题为“若96660160
(　　)
A．真，真，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
[答案]　A
[解析]　二、填空题
5．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．导学号
96660161
[答案]　假
[解析]　假如：正方形ABCD的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面．
6．设有两个命题：导学号
96660162
(1)关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R；
(2)函数f(x)＝logmx是减函数．
如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是________．
[答案]　m≥1或m＝0
[解析]　命题p：关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R，m≥0；
命题q：函数f(x)＝logmx是减函数，0p假：m<0；q假：m≥1或m≤0.
p真q假：m≥1或m＝0；
p假q真：无解．
综上所述，m的取值范围是：m≥1或m＝0.
三、解答题
7．证明：对任意非正数c，若有a≤b＋c成立，则a≤b.
导学号
96660163
[解析]　若a>b，由c≤0知b≥b＋c，
∴a>b＋c.
∴原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题，
即对任意c≤0，若有a≤b＋c成立，
则a≤b.
8．命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．
导学号
96660164
[证明]　证法一：是真命题．
∵m>0，∴Δ＝1＋4m>0.
∴方程x2＋x－m＝0有实根，故原命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”是真命题．
又因原命题与它的逆否命题等价．
∴命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题也是真命题．
证法二：是真命题．
原命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“如果x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．
∵x2＋x－m＝0无实根，∴Δ＝1＋4m<0，m<－≤0，故原命题的逆否命题为真命题．
9．已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若 q为真，则 p必为真，求实数m的取值范围．导学号
96660165
[解析]　由题意可知， q p，等价于p q.
设A＝{x||1－|≤2}，
B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m>0}．
p q等价于A B.
又|1－|≤2 －2≤x≤10，
x2－2x＋1－m2≤0(m>0) (x－1)2≤m2(m>0)，
1－m≤x≤1＋m，
∴ m≥9.
故m的取值范围是[9，＋∞)．第二章基本知能检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列曲线中离心率为的是导学号
96660408
(　　)
A.－＝1　　
　
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
[答案]　B
[解析]　双曲线－＝1的离心率e＝＝.
2．平面上有两个定点A、B及动点P，命题甲：“|PA|－|PB|是定值”，命题乙“点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线”，则甲是乙的导学号
96660409
(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　B
[解析]　当|PA|－|PB|＝|AB|时，点P的轨迹是一条射线，故甲乙，而乙 甲，故选B.
3．设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为导学号
96660410
(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
[答案]　B
[解析]　∵抛物线焦点为(2,0)，∴＝2，又＝，∴m＝4，n＝.
4．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为导学号
96660411
(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
[答案]　A
[解析]　根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．
∵－＝1的焦距为10，∴c＝5＝.　　①
又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在渐近线上，
∴＝1，即a＝2b.　　　②
由①②解得a＝2，b＝，故选A.
5．若θ是任意实数，则方程x2＋y2sinθ＝4表示的曲线不可能是导学号
96660412
(　　)
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
[答案]　C
[解析]　sinθ可以等于1，这时曲线表示圆，sinθ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sinθ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．
6．(2015·湖北文，9)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m＞0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则导学号
96661221
(　　)
A．对任意的a、b，e1＜e2
B．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2
C．对任意的a、b，e1＞e2
D．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2
[答案]　B
[解析]　不妨设双曲线C1的焦点在x轴上，即其方程为：－＝1，则双曲线C2的方程为：－＝1，所以e1＝＝，e2＝＝，当a>b时，－＝＝>0，所以>，所以2>2，所以e2>e1；当a7．已知抛物线x2＝4y的焦点F和点A(－1,8)，点P为抛物线上一点，则|PA|＋|PF|的最小值为导学号
96660414导学号
96660413
(　　)
A．16　　
B．6　　
C．12　　
D．9
[答案]　D
[解析]　如图，
过点A作准线的垂线，B为垂足，与抛物线交于一点P，则点P为所求的点，|PA|＋|PF|的最小值为|AB|的长度．
8．(2015·重庆文，9)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1、A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B、C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为导学号
96660414
(　　)
A．±
B．±
C．±1
D．±
[答案]　C
[解析]　由已知得右焦点F(c,0)(其中c2＝a2＋b2，c>0)，A1(－a,0)，A2(a,0)；B(c，－)，C(c，)；从而A1B―→＝(c＋a，－)，＝(c－a，)，又因为A1B⊥A2C，所以A1B―→·A2C―→＝0，即(c－a)·(c＋a)＋(－)·()＝0；化简得到＝1 ＝±1，即双曲线的渐进线的斜率为±1；故选C.
9．设双曲线－＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为导学号
96660415
(　　)
A.
B．5
C.
D.
[答案]　D
[解析]　双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，由方程组消去y，得x2－x＋1＝0有唯一解，所以Δ＝2－4＝0，所以＝2，∴e＝＝＝＝，故选D.
10．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦的方程是导学号
96660416
(　　)
A．x－4y－3＝0
B．x＋4y＋3＝0
C．4x＋y－3＝0
D．4x＋y＋3＝0
[答案]　C
[解析]　设弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2)，
则y＝8x1，y＝8x2，
两式相减得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，
又y1＋y2＝－2，∴＝－4，
∴弦所在直线的斜率为－4，
又过点(1，－1)，∴所求直线方程为4x＋y－3＝0.
11．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点导学号
96660417
(　　)
A．(4,0)
B．(2,0)
C．(0,2)
D．(0，－2)
[答案]　B
[解析]　∵直线x＋2＝0恰好为抛物线y2＝8x的准线，由抛物线定义知，动圆必过抛物线焦点(2,0)．
12．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是导学号
96660418
(　　)
A．[，]
B．[，]
C．[，1]
D．[，1]
[答案]　B
[解析]　利用直线PA2斜率的取值范围确定点P变化范围的边界点，再利用斜率公式计算直线PA1斜率的边界值．
由题意可得A1(－2,0)，A2(2,0)，当PA2的斜率为－2时，直线PA2的方程为y＝－2(x－2)，代入椭圆方程，消去y化简得19x2－64x＋52＝0，解得x＝2或x＝.由点P在椭圆上得点P(，)，此时直线PA1的斜率k＝.同理，当直线PA2的斜率为－1时，直线PA2方程为y＝－(x－2)，代入椭圆方程，消去y化简得7x2－16x＋4＝0，解得x＝2或x＝.由点P在椭圆上得点P(，)，此时直线PA1的斜率k＝.数形结合可知，直线PA1斜率的取值范围是[，]．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为________．导学号
96660419
[答案]　
[解析]　∵AB＝2c＝4，∴c＝2.
又AC＋CB＝5＋3＝8＝2a，∴a＝4.
即椭圆的离心率为＝.
14．(2016·山东文，14)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
[答案]　2
[解析]　如图，不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，则AB的中点为F1，故|DF1|＝，
|DF2|＝，根据双曲线的定义知2a＝1，又2c＝2，所以该双曲线的离心率为＝2．
15．抛物线形拱桥的跨度是20m，拱高是4m，每隔4m用一支柱支撑，其中最长支柱的长是________．导学号
96660421
[答案]　3.84
m
[解析]　如图，建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线方程为：x2＝－2py(p>0)
点A(10，－4)在抛物线上，
∴100＝8p，p＝，∴x2＝－25y，
其中最长一根长柱与抛物线的交点为B(x0，y0)，
由题意知x0＝2，∴y0＝－，
∴最长的支柱长为4－＝＝3.84(m)．
16．以下四个关于圆锥曲线的命题：导学号
96660422
①设A、B为两个定点，k为非零常数，||－||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若＝(＋)，则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点．
其中正确命题的序号是________．
[答案]　③④
[解析]　双曲线的定义是：平面上与两个定点A，B的距离的差的绝对值为常数2a，且0<2a<|AB|，那么点P的轨迹为双曲线，故①错；
由＝(＋)得点P为弦AB的中点，其轨迹为圆，故②错；
设2x2－5x＋2＝0的两根为x1，x2，则由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝1，由此可知两根互为倒数，且均为正，故③正确；
－＝1的焦点坐标为(±，0)，＋y2＝1的焦点坐标为(±，0)，故④正确．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．导学号
96660423
[解析]　如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，A(x1，y1)、B(x2，y2)，设A、B到准线的距离分别为dA、dB，
由抛物线的定义知，
|AF|＝dA＝x1＋，
|BF|＝dB＝x2＋，
于是|AB|＝x1＋x2＋p＝p，
x1＋x2＝p.
当x1＝x2时，|AB|＝2p故直线AB与Ox不垂直．
设直线AB的方程为y＝k(x－)．
由，
得k2x2－p(k2＋2)x＋k2p2＝0，
x1＋x2＝，即＝p，
解得k＝±2，
∴直线AB的方程为y＝2(x－)或y＝－2(x－)．
18．(本题满分12分)若已知椭圆＋＝1与双曲线x2－＝1有相同的焦点，又椭圆与双曲线交于点P，求椭圆及双曲线的方程．导学号
96660424
[解析]　由椭圆与双曲线有相同的焦点得
10－m＝1＋b，即m＝9－b，
①
由点P在椭圆、双曲线上，得
y2＝m，
②
y2＝，
③
解由①、②、③组成的方程组得m＝1，b＝8，
∴椭圆方程为＋y2＝1，双曲线方程为x2－＝1.
19．(本题满分12分)已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
导学号
96660425
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
[解析]　(1)联立，得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为直线与椭圆有公共点．
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，
由韦达定理，得x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)．
所以|AB|＝
＝
＝
＝
＝，
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
20．(本题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点；又抛物线与双曲线的一个交点为M，求抛物线和双曲线的方程．
[解析]　∵抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，与双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个交点为M，∴设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
将点M坐标代入得p＝2，
∴y2＝4x，其准线为x＝－1，
∵抛物线的准线过双曲线的一个焦点，
∴双曲线的焦点为(±1,0)且点M在双曲线上，∴a2＝，b2＝，
则双曲线的方程为4x2－＝1．
21．(本题满分12分)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．导学号
96660427
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
[解析]　(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，
其离心率为，故＝，解得a＝4.
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)解法一：设A，B两点的坐标分别为(xA，xB)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O、A、B三点共线且点A、B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝.
将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，
所以x＝.
又由＝2，得x＝4x，即＝，
解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
22．(本题满分14分)(2015·陕西文，20)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.
导学号
96660428
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P、Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
[解析]　(1)由题意知＝，b＝1由a2＝b2＋c2，解得a＝，得椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，化简得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，由已知Δ＞0,
从而直线AP与AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋.化简得，kAP＋kAQ＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.