1．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝
( )．
A．5
B．4
C．－2
D．－1
解析 a·b＝1×2＋(－1)×3＝－1.
答案 D
2．已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，x)，a⊥b，则x＝
( )．
A．－1
B．1
C．－2
D．2
解析 a⊥b a·b＝0 －2＋x＝0 x＝2.
答案 D
3．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为
( )．
A.
B.
C.
D.
解析 a·b＝3＋2＝5，|a|＝，|b|＝，设夹角为θ，
则cos
θ＝＝＝.又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案 B
4．已知A(－3,2)，B(0，－2)，则||＝________.
解析 ∵＝(3，－4)．
∴||＝＝5.
答案 5
5．在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则k的值为________．
解析 ＝－＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)．
∵∠C＝90°，即⊥，
∴2(2－k)＋3×2＝0，k＝5.
答案 5
6．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．
解 ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
∵a，b的夹角α为钝角．
∴即
∴λ<1且λ≠－1，
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．
7．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为
( )．
A.
B.
C.
D.
解析 设a与b的夹角为θ，
则cos
θ＝＝＝，
∴a在b方向上的投影为|a|cos
θ＝×＝.
答案 A
8．以下选项中，不一定是单位向量的有
( )．
①a＝(cos
θ，－sin
θ)；②b＝(，)；③c＝(2x,2－x)；
④d＝(1－x，x)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析 因为|a|＝1，|b|＝1，|c|＝
≥
≠1，
|d|＝＝＝
≥.故选B.
答案 B
9．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A、B、C三点共线，则k＝________.
答案 －
10．已知点A(2,3)，若把向量绕原点O按逆时针旋转90°得到向量，则点B的坐标为________．
解析 设点B的坐标为(x，y)，因为⊥，||＝||，
所以
解得或(舍去)．
故B点的坐标为(－3,2)．
答案 (－3,2)
11．已知向量a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1)求a与b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量a－λb与2a＋b垂直，求λ的值．
解 (1)|a|＝＝5，|b|＝＝.
a·b＝－1×4＋3×2＝2，
∴cos
θ＝＝＝.
(2)a－λb＝(4,3)－(－λ，2λ)＝(4＋λ，3－2λ)．
2a＋b＝(8,6)＋(－1,2)＝(7,8)．
若(a－λb)⊥(2a＋b)，
则7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，
解得λ＝.
12．(创新拓展)已知点A(1,2)和B(4，－1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ACB＝90°，若不能，请说明理由；若能，求出C点的坐标．
解 假设存在点C(0，y)使∠ACB＝90°，则⊥.
∵＝(－1，y－2)，＝(－4，y＋1)，⊥，
∴·＝4＋(y－2)(y＋1)＝0，
∴y2－y＋2＝0.
而在方程y2－y＋2＝0中，Δ<0，
∴方程无实数解，故不存在满足条件的点C.1．化简
的结果是
( )．
A．sin
B．－sin
C．cos
D．－cos
解析 ∵0<<，∴cos
>0.
∴
＝
＝cos
.
答案 C
2．已知＝2，则sin
θcos
θ的值是
( )．
A.
B．±
C.
D．－
解析 由题意得sin
θ＋cos
θ＝2(sin
θ－cos
θ)，
∴(sin
θ＋cos
θ)2＝4(sin
θ－cos
θ)2，
解得sin
θcos
θ＝.
答案 C
3．如果tan
θ＝2，那么1＋sin
θcos
θ的值是
( )．
A.
B.
C.
D.
解析 1＋sin
θcos
θ＝
＝＝＝.
答案 B
4．化简(1－cos
α)＝________.
解析 (1－cos
α)＝(1－cos
α)
＝＝sin
α.
答案 sin
α
5．已知＝1，则α在第________象限．
解析 由＝1 tan
α＝－1<0.
∴α在第二或第四象限．
答案 二或四
6．已知tan
α＝2，计算：
(1)；
(2)sin2α＋sin
αcos
α－2cos2α.
解 (1)＝＝.
(2)sin2α＋sin
αcos
α－2cos2α
＝
＝＝.
7．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是
( )．
A．tan
α＝－
B．cos
α＝－
C．sin
α＝－
D．tan
α＝
解析 由同角三角函数的基本关系式，知tan
α＝，故A、D错误；又α是第二象限角，所以sin
α>0，故C错误．
答案 B
8．若sin
θ＝，cos
θ＝，则m的值为
( )．
A．0
B．8
C．0或8
D．3
解析 由sin2θ＋cos2θ＝1，得＋＝1，解得m＝0或8.
答案 C
9．在△ABC中，sin
A＝，则角A＝________.
解析 由题意知cos
A>0，即A为锐角．
将sin
A＝两边平方得2sin2A＝3cos
A.
∴2cos2A＋3cosA－2＝0，
解得cos
A＝或cos
A＝－2(舍去)，
∴A＝.
答案
10．化简－的结果为________．
解析 －
＝
＝＝＝－2tan2α.
答案 －2tan2α
11．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的两根为sin
θ和cos
θ(θ∈(0，π))，求：
(1)m的值；
(2)＋的值(其中cot
θ＝
)；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解 (1)由根与系数的关系可知，sin
θ＋cos
θ＝①
sin
θ·cos
θ＝m②
将①式平方得1＋2sin
θ·cos
θ＝，所以sin
θ·cos
θ＝，代入②得m＝.
(2)＋＝＋＝＝sin
θ＋cos
θ＝.
(3)因为已求得m＝，所以原方程化为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝.
所以或.
又因为θ∈(0，π)，所以θ＝或.
12．(创新拓展)是否存在一个实数k，使方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦．
解 设这两个锐角为A，B，
∵A＋B＝90°，∴sin
B＝cos
A，
所以sin
A，cos
A为8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个根．
所以
②代入①2，得9k2－8k－20＝0，解得k1＝2，k2＝－，当k＝2时，原方程变为8x2＋12x＋5＝0，
∵Δ<0∴方程无解；将k＝－代入②，得sin
Acos
A＝－<0，
所以A是钝角，与已知直角三角形矛盾．所以不存在满足已知条件的k.1.
在四边形ABCD中，设A＝a，＝b，＝c，则＝
( )．
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
解析 ＝＋＋＝a－b＋c.
答案 A
2．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|等于
( )．
A．1
B.
C.
D.
解析 设＝a，＝b，以OA、OB为邻边作
OACB，则a－b＝.
∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，
∴ OACB中，OA＝1，OB＝2，BA＝2，
由平行四边形的对角线长的平方和等于四边的平方和可得|a＋b|＝||＝.
答案 D
3．当a，b满足下列何种条件时，等式|a＋b|＝|a|－|b|成立
( )．
A．a与b同向
B．a与b反向
C．a与b同向且|a|≤|b|
D．a与b反向且|a|≥|b|
解析 当a与b反向且|a|≥|b|时，
|a＋b|＝|a|－|b|.
答案 D
4．化简下列各式：①－＋；②＋＋－；③－－；④－＋－.结果为零向量的个数是________．
解析 ①－＋＝＋＝0；
②＋＋－＝＋＋＋＝＋＝0；
③－－＝－＝0；
④－＋－＝＋＋＋＝＋＝0.
答案 4
5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________.
解析 －－＋＋
＝(－)－(－)＋＝－＋＝.
答案
6．如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：
(1)；(2)；
(3)＋＋.
解 (1)＝－＝c－a.
(2)＝＋＝－＋＝－a＋d.
(3)＋＋＝＋＋＋＋＋＝0.
7．下列四式中不能化简为的是
( )．
A.＋(＋)
B．(＋)＋(－)
C.－＋
D.＋－
解析 A中，＋＋＝＋＝；
B中，(＋)＋(－)＝0 ＋＋＝；
C中，＋－＝0 ＋＝；
D中，＋－＝－＝＋≠.
答案 D
8．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为
( )．
A．1
B．2
C.
D.
解析 作菱形ABCD，
则|－|＝|－|＝||＝.
答案 D
9．设点O是三角形ABC所在平面上一点，若||＝||＝||，则点O是三角形ABC的________心．
解析 由||＝||＝||可得，O点到三角形各顶点的距离相等．可见满足||＝||＝||的点O是三角形ABC的外心．
答案 外心
10．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.
解析 因为＝，
＝－，＝－，所以－＝－，
＝－＋.所以＝a－b＋c.
答案 a－b＋c
11．如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：
(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.
解 (1)由已知得a＋b＝＋＝，又＝c，∴延长AC到E，
使||＝||.
则a＋b＋c＝，且||＝2.
∴|a＋b＋c|＝2
.
(2)作＝，连接CF，
则＋＝，
而＝－＝a－＝a－b，
∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.
∴|a－b＋c|＝2.
12．(创新拓展)已知|a|＝8，|b|＝15.
(1)求|a－b|的取值范围．
(2)若|a－b|＝17，则表示a，b的有向线段所在的直线所成的角是多少？
解 (1)由向量三角不等式
||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|
得7≤|a－b|≤23，
当a，b同向时，不等式左边取等号
当a，b反向时，不等式右边取等号．
(2)易知|a|2＋|b|2＝82＋152＝172＝|a－b|2，
作＝a，＝b，
则||＝|a－b|＝17，
∴△OAB是直角三角形，
其中∠AOB＝90°.
∴表示a，b的有向线段所在的直线成90°角．综合检测(三)
第三章 三角恒等变换
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·新余高一检测)cos
43°cos
77°＋sin
43°cos
167°的值是( )
A．－
B.
C.
D．－
【解析】 原式＝cos
43°sin
13°－sin
43°cos
13°＝sin(13°－43°)＝sin(－30°)＝－.
【答案】 D
2．已知tan(π－α)＝2，则等于( )
A.
B.
C．－
D．－
【解析】 由tan(π－α)＝2，得tan
α＝－2，
∴＝＝＝－.
【答案】 C
3．(2013·德州高一检测)函数f(x)＝2sin(－x)
cos(＋x)－1是( )
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
【解析】 f(x)＝2sin(－x)cos(＋x)－1
＝2cos[－(－x)]·cos(＋x)－1
＝2cos(＋x)·cos(＋x)－1＝2cos2(＋x)－1
＝cos
2(＋x)＝cos(＋2x)＝－sin
2x.
∴T＝π，且f(x)是奇函数．故选B.
【答案】 B
4．(2013·合肥高一检测)tan(α＋β)＝，tan(α＋)＝，那么tan(β－)＝( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 tan(β－)＝tan[(α＋β)－(α＋)]＝＝＝.
【答案】 C
5．函数f(x)＝sin
x－cos
x(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A．[－π，－]
B．[－，－]
C．[－，0]
D．[－，0]
【解析】 f(x)＝2sin(x－)，x∈[－π，0]，
由2kπ－≤x－≤2kπ＋，得2kπ－≤x≤2kπ＋π
∴递增区间为[－，0]．
【答案】 D
6．(2013·江西高考)若sin
＝，则cos
α＝( )
A．－
B．－
C.
D.
【解析】 cos
α＝1－2sin2＝1－2×2＝1－＝.
【答案】 C
7．(2013·洋浦高一检测)在△ABC中，若sin
C＝2cos
Asin
B，则此三角形必是( )
A．等腰三角形
B．正三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【解析】 △ABC中，sin
C＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝2cos
Asin
B，
∴sin
Acos
B－cos
Asin
B＝0，即sin(A－B)＝0，
∴A＝B.
【答案】 A
8．在锐角△ABC中，设x＝sin
Asin
B，y＝cos
Acos
B，则x，y的大小关系为( )
A．x≤y
B．x＞y
C．x＜y
D．x≥y
【解析】 x－y＝sin
Asin
B－cos
Acos
B＝－cos(A＋B)，因为△ABC是锐角三角形，故＜A＋B＜π，
∴－cos(A＋B)＞0，∴x＞y.
【答案】 B
9．已知sin(－θ)＋cos(－θ)＝，则cos
2θ的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
【解析】 将sin(－θ)＋cos(－θ)＝两边平方得，1＋2sin(－θ)cos(－θ)＝，
即1＋sin(－2θ)＝，cos
2θ＝－.
【答案】 C
10．若cos
α＝－，α是第三象限的角，则＝( )
A．－
B.
C．2
D．－2
【解析】 α是第三象限的角且cos
α＝－，
∴sin
α＝－.
tan＝＝＝－3，
∴＝＝－.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．若cos
α＝，α∈(0，)，则cos(α－)＝________.
【解析】 由题意知sin
α＝，
cos(α－)＝cos
α·cos＋sin
α·sin.
＝·＋·＝.
【答案】
12．tan(－θ)＋tan(＋θ)＋tan(－θ)tan(＋θ)的值是________．
【解析】 ∵tan
＝tan(－θ＋＋θ)
＝＝，
∴＝tan(－θ)＋tan(＋θ)＋tan(－θ)tan(＋θ)．
【答案】
13．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，那么log＝________.
【解析】 由题意有sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝，
sin
αcos
β－cos
αsin
β＝，
两式相加得sin
αcos
β＝，两式相减得cos
αsin
β＝.
则＝5，故log＝2.
【答案】 2
14．(2013·四川高考)设sin
2α＝－sin
α，α∈，则tan
2α的值是________．
【解析】 ∵sin
2α＝－sin
α，∴2sin
αcos
α＝－sin
α.
∵α∈，sin
α≠0，
∴cos
α＝－.
又∵α∈，∴α＝π，
∴tan
2α＝tan
π＝tan＝tan
＝.
【答案】
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)化简：.
【解】 原式＝
＝
＝
＝
＝＝－4.
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f()＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈[0，]，f(4α＋π)＝－，f(4β－π)＝，求cos(α＋β)的值．
【解】 (1)由f()＝得Acos(＋)＝，
即A·cos
＝，∴A＝2.
(2)由(1)知f(x)＝2cos(＋)．
由
得解得
∵α，β∈[0，]，∴cos
α＝＝，
sin
β＝＝.
∴cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝×－×＝－.
17．(本小题满分12分)(2013·辽宁高考)设向量a＝(sin
x，sin
x)，b＝(cos
x，sin
x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
【解】 (1)由|a|2＝(sin
x)2＋sin2
x＝4sin2x，
|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈，从而sin
x＝，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin
x·cos
x＋sin2x
＝sin
2x－cos
2x＋＝sin＋，
当x＝∈时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2sin2(－x)－cos
2x.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)若f(x)＜m＋2在x∈[0，]上恒成立，求实数m的取值范围．
【解】 (1)∵f(x)＝1－cos(－2x)－cos
2x
＝－(sin
2x＋cos
2x)＋1
＝－2sin(2x＋)＋1，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为[kπ－π，kπ＋](k∈Z)．
(2)∵x∈[0，]，
∴≤2x＋≤π，∴≤sin(2x＋)≤1，
∴当sin(2x＋)＝时，f(x)取得最大值为1－，即f(x)max＝1－.
要使f(x)＜m＋2恒成立，需f(x)max＜m＋2，
∴1－＜m＋2，解得m＞－1－，
∴m的取值范围是(－1－，＋∞)．1．下列各组的两个向量共线的是
( )．
A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6)
B．a2＝(1，－2)，b2＝(7,14)
C．a3＝(2,3)，b3＝(3,2)
D．a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4)
解析 对于A，－2×6－4×3≠0，对于B,1×14－7×(－2)≠0，对于C,2×2－3×3≠0，对于D，－3×(－4)－6×2＝0.∴a4与b4共线，其余三组不共线．
答案 D
2．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是
( )．
A．(1,0)
B．(－1,0)
C．(1，－1)
D．(－1,1)
解析 设D(x，y)，
＝(0,2)－(－1,1)＝(1,1)，
＝(x，y)－(2,0)＝(x－2，y)．
∵＋＝0，
∴(1,1)＋(x－2，y)＝(0,0)，
∴∴即D(1，－1)．
答案 C
3．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是
( )．
A．(4,8)
B．(8,4)
C．(－4，－8)
D．(－4,8)
解析 a＝(1，－2)＝－(－4,8)．
即b＝－4a，∴b可能是(－4,8)．
答案 D
4．设a＝(，)，b＝(sin
α，)，且a∥b，则锐角α＝________.
解析 ∵a∥b，∴×－sin
α＝0，得到sin
α＝，而α为锐角，∴α＝45°
.
答案 45°
5．已知向量a＝(x,1)，b＝(1，x)方向相反，则x＝________.
解析 由题意知a与b共线，则x2＝1，
∴x＝±1，
又∵a与b反向，∴x≠1，
∴x＝－1.
答案 －1
6．已知a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则b－c与a共线吗？
解析 b－c＝(5,7)－(2,4)＝(3,3)，
又∵6×3－3×6＝0，
∴b－c与a共线．
答案 共线
7．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与平行且方向相反的向量a可能是
( )．
A．a＝(1，－2)
B．a＝(9,3)
C．a＝(－1,2)
D．a＝(－4，－8)
解析 ∵＝(1,2)，∴a＝(－4，－8)＝－4(1,2)＝－4，∴D正确．
答案 D
8．已知a＝(3,4)，b＝(sin
α，cos
α)，且a∥b，则tan
α＝
( )．
A.
B．－
C.
D．－
解析 由已知得，3cos
α－4sin
α＝0，所以tan
α＝，故选A.
答案 A
9．已知点A(－1,5)，a＝(－1,2)，若＝3a，则B点的坐标是________．
解析 设B(x，y)，则由＝3a得，(x＋1，y－5)＝(－3,6)，解得x＝－4，y＝11，故B点的坐标是(－4,11)．
答案 (－4,11)
10．已知a＝(1,1)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，若u∥v
，则x＝________.
解析 ∵a＝(1,1)，b＝(x,1)，
∴u＝(2x＋1,3)，v＝(2－x,1)．
u∥v (2x＋1)·1－3·(2－x)＝0 x＝1.
答案 1
11．设a＝(6,3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，
求实数a的取值范围．
解 由a∥b得6(x2－2x)－3a×2＝0，
即x2－2x－a＝0.
根据题意，上述方程有实数解，故有Δ＝4＋4a≥0.
即a≥－1.
12．(创新拓展)已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且＝，＝，求证：∥.
证明 设E、F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝，
∴(x1＋1，y1)＝(2,2)，
∴点E的坐标为，
同理点F的坐标为，＝，
又×(－1)－4×＝0，
∴∥.
1．化简(cos47°30′－sin47°30′)(sin
23°cos
8°－sin
67°sin
8°)＝
( )．
A.
B．－
C．1
D．－1
解析 原式＝(cos27°30′＋sin27°30′)(cos27°30′－sin27°30′)(sin
23°cos
8°－cos
23°sin
8°)＝cos
15°sin
15°＝sin
30°＝，故选A.
答案 A
2．若cos
2α＝，则sin4α＋cos4α＝
( )．
A．1
B.
C.
D.
解析 sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－sin22α＝1－(1－cos22α)＝1－＝，故选C.
答案 C
3．如果|cos
θ|＝，π<θ<3π，则sin
＝
( )．
A．－
B.
C．－
D.
解析 ∵π<θ<3π，∴θ是第二象限角．
∵|cos
θ|＝，∴cos
θ＝－.
∵π<<，∴是第三象限角．
由cos
θ＝1－2sin2，得－＝1－2sin2，
∴sin
＝－，故选C.
答案 C
4．sin＋αcos＋β化成和差为
( )．
A.sin(α＋β)＋cos(α－β)
B.cos(α＋β)＋sin(α－β)
C.sin(α＋β)＋sin(α－β)
D.cos(α＋β)＋cos(α－β)
解析 原式＝sin＋α＋＋β＋sin＋α－－β＝sin＋α＋β＋sin(α－β)＝[cos(α＋β)＋sin(α－β)]．
答案 B
5．已知函数f(x)＝(sin
x－cos
x)sin
x，x∈R，则f(x)的最小正周期为________．
解析 f(x)＝sin2x－sin
xcos
x
＝－sin
2x＝－cos
＋.
故函数的最小正周期T＝＝π.
答案 π
6．已知cos
θ＝－，θ∈，求－的值．
解 ∵cos
θ＝－，θ∈，
∴sin
θ＝＝.
法一 ∴－
＝－＝－
＝－＋＝－＝－.
法二 ∴－
＝－＝
＝＝tan
θ＝－.
7．在△ABC中，若sin
C＝2cos
Asin
B，则此三角形必是
( )．
A．等腰三角形
B．正三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
解析 因为sin
C＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B，所以已知方程可化为sin
Acos
B－cos
Asin
B＝0，即sin(A－B)＝0.又－π答案 A
8．若cos
α＝－，α是第三象限的角，则等于
( )．
A．－
B.
C．2
D．－2
解析 ∵α是第三象限角，cos
α＝－，∴sin
α＝－.
∴＝＝
＝·
＝＝＝－.
答案 A
9．化简··＝________.
解析 原式＝··＝·＝·＝＝tan
.
答案 tan
10．如果a＝(cos
α＋sin
α，2
008)，b＝(cos
α－sin
α，1)，且a∥b，那么＋tan
2α＋1的值是________．
解析 由a∥b，得cos
α＋sin
α＝2
008(cos
α－sin
α)，∴＝2
008.
＋tan
2α＝＋＝＝＝＝2
008.
∴＋tan
2α＋1＝2
008＋1＝2
009.
答案 2
009
11．已知函数f(x)＝
sin＋2sin2(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
解 (1)∵f(x)＝sin
2＋1－cos
2
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，∴T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，
∴所求x的集合为.
12．(创新拓展)已知向量m＝(cos
θ，sin
θ)和n＝(－sin
θ，cos
θ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝，求cos的值．
解 m＋n＝(cos
θ－sin
θ＋，cos
θ＋sin
θ)，
|m＋n|＝
＝＝
＝2
.
由已知|m＋n|＝，得cos＝.
又cos＝2cos2－1，
所以cos2＝.
∵π<θ<2π，∴<＋<.
∴cos<0.
∴cos＝－.1．若α＝－3，则角α的终边在
( )．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析 ∵－π<－3<－，∴α是第三象限角．
答案 C
2．将1
920°转化为弧度数为
( )．
A.
B.
C.
D.
解析 1
920°＝1
920×＝.
答案 D
3．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是
( )．
A．－
B．－
C.
D.
解析 －＝－2π－.
∴－与－是终边相同的角，且此时|－|＝是最小的．
答案 A
4．已知扇形的半径是16，圆心角是2弧度，则扇形的弧长是________．
解析 ∵R＝16，α＝2
rad，
∴l＝α·R＝16×2＝32.
答案 32
5．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，
集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________.
解析 如图所示，
∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．
答案 [－4，－π]∪[0，π]
6．判断下列各角所在的象限：
(1)9； (2)－4； (3)－.
解 (1)因为9＝2π＋(9－2π)，而<9－2π<π，所以9为第二象限角．
(2)因为－4＝－2π＋(2π－4)，而<2π－4<π，所以－4为第二象限角．
(3)－＝－200×2π＋，所以－为第一象限角．
7．若α是第四象限角，则π－α是
( )．
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析 ∵α是第四象限角．
∴2kπ－<α<2kπ(k∈Z)，
∴－2kπ<－α<－2kπ＋.
∴－2kπ＋π<π－α<－2kπ＋.
∴π－α是第三象限角．
答案 C
8．已知半径为1的扇形面积为π，则扇形的圆心角为
( )．
A.π
B.π
C.π
D.π
解析 ∵S＝rl，∴＝l，∴l＝，故选C.
答案 C
9．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这扇形圆心角所对的弧长为________．
解析 设半径为R，则R
sin
1＝1，
∴R＝，∴弧长l＝.
答案
10．若α＝kπ＋，k∈Z，则α是第________象限角．
解析 当k为偶数时，α是第一象限角，当k为奇数时，α是第三象限角．
答案 一或三
11．用弧度表示终边落在图中所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
解 以OB为终边的330°角可看成为－30°角，化为弧度为－，而75°＝75×＝，∴终边落在阴影部分内的角的集合为
{θ|2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z}．
12．(创新拓展)如图，已知一长为
dm，宽1
dm
的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．问点A走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积．
解 AA1所对的圆半径是2
dm，圆心角为，A1A2所对圆半径是1dm，圆心角是，A2A3所对的圆半径是
dm，圆心角是，所以走过的路程是3段圆弧之和，即2×＋1×＋×＝π(dm)；3段圆弧所对的扇形的总面积是×2×π＋×＋××＝(dm2)．1．已知A(3,1)，B(2，－1)，则的坐标是
( )．
A．(－2，－1)
B．(2,1)
C．(1,2)
D．(－1，－2)
解析 ＝(3,1)－(2，－1)＝(3－2,1＋1)＝(1,2)．
答案 C
2．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a＋2b的坐标是
( )．
A．(5,3)
B．(4,3)
C．(8,3)
D．(0，－1)
解析 3a＋2b＝3(2,1)＋2(1,0)＝(6,3)＋(2,0)＝(8,3)．
答案 C
3．已知向量a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是
( )．
A．向量a的终点坐标为(－2,3)
B．向量a的起点坐标为(－2,3)
C．向量a与b互为相反向量
D．向量a与b关于原点对称
解析 ∵a＝(－2,3)，b＝(2，－3)．
∴a＋b＝(－2,3)＋(2，－3)＝(0,0)＝0，
∴a＝－b.
答案 C
4．已知＝(2，－1)，＝(－4,1)则＝________.
解析 ＝－
＝(－4,1)－(2，－1)＝(－4－2,1＋1)＝(－6,2)．
答案 (－6,2)
5．已知a＝(－1,1)且a＝xi＋yj，则x＝________，y＝________.
解析 由于a＝xi＋yj＝(x，y)．
∴x＝－1，y＝1.
答案 －1 1
6．已知A(2,0)，a＝(x＋3，x－3y－5)，O为原点，若a＝，求x，y的值．
解 ∵a＝(x＋3，x－3y－5)＝(2,0)，
∴∴
∴x＝－1，y＝－2.
7．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是
( )．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．
答案 C
8．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是( )．
A.
B.
C．(－8,1)
D．(8,1)
解析 ＝－＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1)，
∴＝(－8,1)＝.
答案 A
9．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，则P点的坐标为________．
解析 设P(x，y)，则由＝得，(x－3，y＋2)＝(－8，1)，所以P点的坐标为(－1，－)．
答案
10．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量之间的一个运算为m n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1,2)，p q＝(－4，－3)，则q＝________.
解析 设q＝(x，y)，则由题意可知
解得所以q＝(－2,1)．
答案 (－2,1)
11．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC，BD的交点，＝(3,7)，＝(－2,1)．求的坐标．
解 ＝－＝(－2,1)－(3,7)＝(－5，－6)，
∴＝＝(－5，－6)＝.
12．(创新拓展)已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t·，求：
(1)t为何值时，点P在x轴上？在y轴上？在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值？若不能，请说明理由．
解 设P(x，y)，则由＝＋t·得，
(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)＝(3t＋1,3t＋2)．
(1)当3t＋2＝0，即t＝－时，点P在x轴上；
当3t＋1＝0，即t＝－时，点P在y轴上；
当即－(2)若四边形OABP能成为平行四边形，则＝，
即(1＋3t,2＋3t)＝(3,3)，无解，
故四边形OABP不能成为平行四边形．1．若a·b<0，则a与b的夹角θ的取值范围是
( )．
A.
B.
C.
D.
解析 ∵a·b＝|a||b|cos
θ<0，∴cos
θ<0，又θ∈[0，π]，
∴θ∈.
答案 C
2．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝2，则|a－b|＝
( )．
A．1
B.
C．2
D.或2
解析 |a－b|＝＝
＝＝＝＝2.
答案 C
3．已知|a|＝3，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为
( )．
A.
B.
C.
D.
解析 (3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0 3m·32＋(5m－3)·3×2cos
60°－5×22＝0，解之得m＝.
答案 C
4．已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________.
解析 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2
＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
答案 －7
5．已知|a|＝4，a与b的夹角为30
°，则a在b方向上的投影为________．
解析 a在b方向上的投影为|a|cos
30°＝4×＝2.
答案 2
6．已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b时，求a·b.
解 (1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos
0°＝4×3×1＝12；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos
180°＝4×3×(－1)＝－12.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，
∴a·b＝|a||b|cos
90°＝4×3×0＝0.
7．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b夹角为
( )．
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
解析 ∵a·b＝|a||b|cos
θ，
∴cos
θ＝＝＝－，又θ∈[0°，180°]，
∴θ＝120°.
答案 B
8．若向量a与b的夹角为，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为
( )．
A．2
B．4
C．6
D．12
解析 由题意知a·b＝|a||b|cos
＝|a||b|＝2|a|，(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－2|a|－6×42＝－72，∴|a|＝6.
答案 C
9．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么a·b＝________.
解析 将两已知等式相加得，2a＝－6i＋8j，所以a＝－3i＋4j.同理将两已知等式相减得，b＝5i－12j，而i，j是两个互相垂直的单位向量，所以a·b＝(－3i＋4j)·(5i－12j)＝－3×5＋4×(－12)＝－63.
答案 －63
10．若向量|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝________.
解析 ∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，∴a2－2a·b＋b2＝4，
即|a|2－2a·b＋|b|2＝4，
得1－2a·b＋4＝4，∴2a·b＝1.
于是|a＋b|＝＝＝＝.
答案
11．在△ABC中，AB＝8，BC＝7，∠ABC＝150°，求AC的长．
解 由题意知，与的夹角为30°.又＝＋，
∴||＝|＋|＝
＝
＝，
即AC的长为
.
12．(创新拓展)设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且a与b具有关系|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．
(1)a与b能垂直吗？
(2)若a与b夹角为60°，求k的值．
解 (1)∵|ka＋b|＝|a－kb|，
∴(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
且|a|＝|b|＝1.
即k2＋1＋2ka·b＝3(1＋k2－2ka·b)，
∴a·b＝.∵k2＋1≠0，
∴a·b≠0，即a与b不垂直．
(2)∵a与b夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，
∴a·b＝|a||b|cos
60°＝.
∴＝.∴k＝1.1．计算sin的值为
( )．
A．－
B.
C.
D．－
解析 sin＝－sin
＝－.
答案 D
2．计算sin2(π－α)－cos
(π＋α)cos
(－α)＋1的值是
( )．
A．1
B．2
C．0
D．2sin2α
解析 sin2(π－α)－cos
(π＋α)cos
(－α)＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.
答案 B
3．已知tan
θ＝2，则等于
( )．
A．2
B．－2
C．0
D.
解析 ＝＝＝－2.故选B.
答案 B
4．化简sin
(－α)cos
(π＋α)tan
(2π＋α)＝________.
解析 原式＝(－sin
α)(－cos
α)tan
α
＝sin
αcos
α＝sin2α.
答案 sin2α
5．若sin
(π＋α)＝－，则cos
α＝________.
解析 由sin
(π＋α)＝－，得sin
α＝，
∴cos
α＝±＝±.
答案 ±
6．已知cos
＝，求cos
－sin2的值．
解 ∵cos
＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2
＝1－cos2＝1－2＝，
∴cos
－sin2＝－－＝－.
7．若角α和β的终边关于y轴对称，则下列各式中正确的是
( )．
A．sin
α＝sin
β
B．cos
α＝cos
β
C．tan
α＝tan
β
D．cos
(2π－α)＝cos
β
解析 ∵α和β的终边关于y轴对称，∴不妨取α＝π－β，∴sin
α＝sin
(π－β)＝sin
β.
答案 A
8．计算sin2150°＋sin2135°＋2sin
210°＋cos2225°的值是
( )．
A.
B.
C.
D.
解析 原式＝sin230°＋sin245°－2sin
30°＋cos245°＝＋－1＋＝.
答案 A
9．若tan(5π＋α)＝m，则的值为________．
解析 由tan(5π＋α)＝m，得tan
α＝m.
于是原式＝＝＝.
答案
10．已知cos
＝，则cos
＝________.
解析 ∵－θ＋＋θ＝π，∴－θ＝π－，
∴cos
＝cos＝－cos
＝－.
答案 －
11．已知sin
(α＋π)＝，且sin
αcos
α<0，
求的值．
解 ∵sin
(α＋π)＝，∴sin
α＝－，
又∵sin
αcos
α<0，∴cos
α>0，cos
α＝＝，
∴tan
α＝－.∴原式＝
＝＝－.
12．(创新拓展)是否存在角α和β，当α∈，β∈(0，π)时，等式同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
解 存在α＝，β＝使等式同时成立．理由如下：
由得，
两式平方相加得，
sin2α＋3cos2α＝2，得到sin2α＝，即sin
α＝±.
因为α∈，所以α＝或α＝－.将α＝代入cos
α＝cos
β，得cos
β＝，由于β∈(0，π)，所以β＝.
将α＝－代入sin
α＝sin
β，得sin
β＝－，由于β∈(0，π)，这样的角β不存在．综上可知，存在α＝，β＝使等式同时成立．
1．化简cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝
( )．
A．sin(2α＋β)
B．sin
β
C．cos(2α＋β)
D．cos
β
解析 原式＝cos＝cos
β，故选D.
答案 D
2．计算sin
14°cos
16°＋sin
76°cos
74°的值是
( )．
A.
B.
C．－
D．－
解析 原式＝sin
14°cos
16°＋cos
14°sin
16°＝sin(14°＋16°)＝sin
30°＝，故选B.
答案 B
3．若α＋β＝π，则(1－tan
α)(1－tan
β)的值为
( )．
A.
B．1
C.
D．2
解析 (1－tan
α)(1－tan
β)＝1＋tan
αtan
β－(tan
α＋tan
β)①
∵tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)(1－tan
αtan
β)＝tan
π(1－tan
αtan
β)＝tan
αtan
β－1，∴①式＝2，故选D.
答案 D
4．已知tan
α＝2，tan
β＝3，α、β均为锐角，则α＋β的值是________．
解析 因为tan
(α＋β)＝＝＝－1，又α、β是锐角，0<α＋β<π，所以由tan(α＋β)＝－1得α＋β＝π.
答案
5．如果cos
θ＝－，θ∈，则cos的值是________．
解析 由cos
θ＝－，θ∈知
sin
θ＝－＝－
＝－，
∴cos＝cos
θcos
－sin
θsin
＝(cos
θ－sin
θ)＝×＝－.
答案 －
6．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β，
并用该式计算sin220°＋sin
80°·sin
40°的值．
解 sin(α＋β)sin(α－β)
＝(sin
αcos
β＋cos
αsin
β)(sin
αcos
β－cos
αsin
β)
＝sin2αcos2β－cos2αsin2β
＝sin2α(1－sin2β)－(1－sin2α)sin2β
＝sin2α－sin2αsin2β－sin2β＋sin2αsin2β
＝sin2α－sin2β，
∴等式成立．
于是，sin220°＋sin
80°·sin
40°
＝sin220°＋sin(60°＋20°)sin(60°－20°)
＝sin220°＋sin260°－sin220°
＝sin260°＝.
7．已知0<α<<β<π，又sin
α＝，cos(α＋β)＝－，则sin
β＝
( )．
A．0
B．0或
C.
D．0或－
解析 ∵0<α<<β<π，sin
α＝，cos(α＋β)＝－，∴cos
α＝，sin(α＋β)＝或－.
∴sin
β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)·sin
α＝或0.
∵<β<π，∴sin
β＝.故选C.
答案 C
8．在△ABC中，若sin
Asin
BAcos
B，则△ABC一定为
( )．
A．等边三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
解析 由sin
Asin
BAcos
B cos
Acos
B－sin
Asin
B>0 cos(A＋B)>0 cos
C<0 C是钝角，故选D.
答案 D
9．计算：sin
75°·sin
15°＝________.
解析 sin
75°sin
15°＝cos
15°cos
75°
＝cos(45°－30°)·cos(45°＋30°)
＝(cos
45°cos
30°＋sin
45°sin
30°)(cos
45°cos
30°－
sin
45°sin
30°)
＝(cos
45°cos
30°)2－(sin
45°sin
30°)2
＝2－2＝.
答案
10．已知在锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，则＝________.
解析 ∵sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，
∴
＝2.
答案 2
11.
如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
求tan(α＋β)的值．
解 由条件得cos
α＝，cos
β＝.
∵α、β为锐角，∴sin
α＝
＝，
sin
β＝
＝.
由此tan
α＝＝7，tan
β＝＝.
tan(α＋β)＝＝＝－3.
12．(创新拓展)已知函数f(x)＝2sin
－2cos
x，x∈.
(1)若sin
x＝，求函数f(x)的值；
(2)求函数f(x)的值域．
解 (1)∵sin
x＝，x∈，
∴cos
x＝－，
f(x)＝2－2cos
x＝sin
x－cos
x＝＋.
(2)f(x)＝sin
x－cos
x＝2
＝2sin，∵≤x≤π，
∴≤x－≤，≤sin≤1，
∴函数f(x)的值域为[1,2]．
1．函数y＝3sin的图象的一条对称轴方程是
( )．
A．x＝0
B．x＝
C．x＝－
D．x＝
解析 令sin＝±1，得2x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝π＋(k∈Z)，取k＝1时，x＝.
答案 B
2．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为
( )．
A．T＝6，φ＝
B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝
D．T＝6π，φ＝
解析 将(0,1)点代入f(x)可得sin
φ＝.
∵|φ|<，∴φ＝，T＝＝6.
答案 A
3．下列四个函数中同时具有(1)最小正周期是π；(2)图象关于x＝对称的是
( )．
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
解析 ∵T＝π，∴排除A；又因为图象关于x＝对称．∴当x＝时，y取得最大值(最小值)．代入B、C、D三项验证知D正确．
答案 D
4．先作函数y＝sin
x的图象关于y轴的对称图象，再将所得图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式是________．
解析 作函数y＝sin
x的图象关于y轴的对称图象，其函数解析式为y＝sin
(－x)，再将函数y＝sin
(－x)的图象向左平移个单位，得到函数图象的函数解析式为：
y＝sin
＝sin.
答案 y＝sin
5．先将y＝sin
x的图象向右平移个单位，再变化各点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为
的函数y＝sin(ωx＋φ)(其中ω>0)的图象，则ω＝________，φ＝________.
解析 由已知得到函数解析式为y＝sin且＝，∴ω＝3，φ＝－.
答案 3 －
6．已知f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求出使f(x)取得最大值时x的集合．
解 (1)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得，x∈(k∈Z)．
即f(x)的单调增区间是(k∈Z)；
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得，x∈(k∈Z)，
即f(x)的单调减区间是(k∈Z)．
(2)因为x∈时，所以≤2x＋≤，－≤sin≤1，可见f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，故a＝1.
(3)f(x)取得最大值时，2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，所以，当f(x)取得最大值时x的集合是.
7．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象
( )．
A．关于点对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
解析 ∵f(x)图象周期为π，∴ω＝2.
∴f(x)＝sin，
∴f(x)图象关于点(k∈Z)对称，关于x＝＋(k∈Z)对称．
答案 A
8．已知函数y＝sin的部分图象如图，则
( )．
A．ω＝1，φ＝
B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝－
解析 由图象知＝－＝，
∴T＝π，ω＝2.
且2×＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－(k∈Z)．
又|φ|<，∴φ＝－.
答案 D
9．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在一个周期内当x＝时，有最大值2，当x＝时有最小值－2，则ω＝________.
解析 由题意知T＝2×＝π.∴ω＝＝2.
答案 2
10．关于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)图象关于点对称；
④y＝f(x)图象关于直线＝－对称．
其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．
解析 对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)．
∴x＝π－(k∈Z)，∴x1－x2是的整数倍，∴①错误；
对于②，由f(x)＝4sin可得
f(x)＝4cos＝4cos.
∴②正确；
对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝π－(k∈Z)，
∴是函数y＝f(x)的一个对称中心．
∴③正确；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，
∴x＝＋(k∈Z)．∴④错误．
答案 ②③
11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的递增区间．
解 (1)由图可以得出A＝，
ω＝＝，由·(－2)＋φ＝0得φ＝，
∴f(x)＝sin.
(2)令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，得
16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为[16k－6,16k＋2]，k∈Z.
12．(创新拓展)已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
解 (1)依题意，A＝，T＝4×＝π.
∵T＝＝π，ω>0，∴ω＝2，∴y＝sin(2x＋φ)，
又曲线上的最高点为，
∴sin＝1.
∵－<φ<，∴φ＝.
∴y＝sin.
(2)列出x、y的对应值表：
x
0
π
π
π
π
2x＋
π
π
2π
y
1
0
－
0
1
作图如下：综合检测(二)
第二章 平面向量
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中，正确的是( )
A．若向量|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D．若|a|>|b|，则a>b
【解析】 向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向不一定相同或相反，故A不正确；当b＝0时，a与c不一定平行，故B不正确；尽管两个向量的模有大小之分，但两个向量是不能比较大小的，故D也不正确；由平行向量的定义知选C.
【答案】 C
2．设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b|
B．a－b＝
C．a－b与b垂直
D．a∥b
【解析】 ∵a－b＝(，－)，
∴(a－b)·b＝(，－)·(，)
＝－＝0，∴(a－b)⊥b.
【答案】 C
3．(2012·辽宁高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝( )
A．－1
B．－
C.
D．1
【解析】 a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1 x＝1.
【答案】 D
4．已知＝(2,8)，＝(－7,2)，则＝( )
A．(3,2)
B．(－，－)
C．(－3，－2)
D．(，4)
【解析】 ∵＝－＝(－7,2)－(2,8)＝(－9，－6)，
∴＝(－9，－6)＝(－3，－2)．
【答案】 C
5．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于( )
A．(－1，－2)
B．(1，－2)
C．(－1,2)
D．(1,2)
【解析】 根据力的平衡知f1＋f2＋f3＋f4＝0，
∴f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．
【答案】 D
6．平面向量a与b夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A.
B．2
C．4
D．12
【解析】 |a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos
60°＋4＝12.
∴|a＋2b|＝2.
【答案】 B
7．(2013·乌鲁木齐高一检测)如果向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则a和b的夹角大小为( )
A．30°
B．45°
C．75°
D．135°
【解析】 ∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b
＝1－a·b＝0，∴a·b＝1，
设向量a与b夹角为θ，∴cos
θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，
∴θ＝45°，即a与b的夹角为45°.
【答案】 B
8．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝2a＋3b，d＝ka－b(k∈R)，且c⊥d，那么k的值为( )
A．－6
B．6
C．－
D.
【解析】 ∵c⊥d，∴c·d＝0.
∴c·d＝(2a＋3b)·(ka－b)
＝2ka2－3b2＋(3k－2)a·b＝5k－14＝0，∴k＝.
【答案】 D
9．A，B，C，D为平面上四个互异点，且满足(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
【解析】 ∵(＋－2)·(－)＝(－＋－)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0，∴||＝||，∴△ABC为等腰三角形．
【答案】 B
10．(2012·天津高考)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，则λ＝( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 ·＝(＋)·(＋)＝[＋(1－λ)]·(＋λ)＝－，所以4λ2－4λ＋1＝0.所以λ＝.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．设e1，e2为两个不共线的向量，若a＝e1＋λe2与b＝－(2e1－3e2)共线，则λ等于________．
【解析】 ∵a、b共线，∴由向量共线定理知，存在实数k，
使得a＝kb，即e1＋λe2＝－k(2e1－3e2)＝－2ke1＋3ke2，
又∵e1，e2不共线，∴
解得λ＝－.
【答案】 －
12．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，a＋c＝0，则c在b方向上的投影为__________．
【解析】 a＋c＝(2,3)＋c＝0，∴c＝(－2，－3)，
设c与b夹角为θ，则c在b方向上的投影为|c|·cos
θ＝|c|·＝＝＝－.
【答案】 －
13．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
【解析】 ∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a|·|b|cos
45°＝|b|，
|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，
∴|b|＝3.
【答案】 3
14．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
【解析】 设AB的长为a(a>0)，因为＝＋，＝＋＝－，于是·＝(＋)·＝·－2＋2＝－a2＋a＋1，由已知可得－a2＋a＋1＝1.又a>0，
∴a＝，即AB的长为.
【答案】
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，0<α<β<π.
(1)求|a|的值；
(2)求证：a＋b与a－b互相垂直．
【解】 (1)|a|＝＝1，∴|a|＝1.
(2)∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2.
又∵|a|2＝cos2α＋sin2α＝1，
∴|b|2＝sin2β＋cos2β＝1.
∴(a－b)·(a＋b)＝0，
∴a＋b与a－b互相垂直．
16．(本小题满分12分)已知向量a，b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，
＝3(a－b)，
求证：A，B，D三点共线；
(2)求实数k，使ka＋b与2a＋kb共线．
【解】 (1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝5a＋5b＝5，
因此与共线．
又点B为与的公共点，
所以A、B、D三点共线．
(2)∵ka＋b与2a＋kb共线，
则存在实数λ使ka＋b＝λ(2a＋kb)，
∴∴k＝±.
17．(本小题满分12分)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
求：(1)a·b，|a＋b|；
(2)a与b的夹角的余弦值．
【解】 (1)∵a＝3e1－2e2＝3(1,0)－2(0,1)
＝(3,0)－(0,2)＝(3，－2)，
b＝4e1＋e2＝4(1,0)＋(0,1)＝(4,0)＋(0,1)＝(4,1)．
则a·b＝4×3＋(－2)×1＝10.
∵a＋b＝(7，－1)，
∴|a＋b|＝
＝＝5.
(2)设a与b的夹角为θ，
则cos
θ＝＝
＝
＝.
18．(本小题满分14分)设函数f(x)＝m·n，其中向量m＝(2cos
2x,1)，n＝(1,3)，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[0，]时，求f(x)的最大值．
【解】 (1)∵m＝(2cos
2x,1)，n＝(1,3)，
∴f(x)＝m·n＝2cos
2x＋3，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知，f(x)＝2cos
2x＋3.
∵x∈[0，]，∴2x∈[
0，]，
∴当2x＝0即x＝0时，f(x)max＝5.1．函数y＝－sin
x，x∈的简图是
( )．
解析 由y＝sin
x与y＝－sin
x的图象关于x轴对称可知选D.
答案 D
2．在[0,2π]内，不等式sin
x<－的解集是
( )．
A．(0，π)
B.
C.
D.
解析 画出y＝sin
x，x∈[0,2π]的草图如下：
因为sin
＝，所以sin
＝－，sin
＝－.即在[0,2π]内，满足sin
x＝－的x＝或x＝.可知不等式sin
x<－的解集是.故选C.
答案 C
3．函数f(x)＝xcos是
( )．
A．奇函数
B．非奇非偶函数
C．偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析 ∵f(x)＝xsin
x，定义域为R，
f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin
x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
答案 C
4．若sin
x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是________．
解析 由正弦图象得－1≤sin
x≤1，
∴－1≤2m＋1≤1.∴m∈[－1,0]．
答案 [－1,0]
5．函数y＝sin(ω>0)的最小正周期是，则ω＝________.
解析 ＝，∴ω＝3.
答案 3
6．求函数y＝sin的单调递减区间．
解 由已知函数为y＝－sin，则欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin(2x－)的单调递增区间．
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴函数的单调递减区间为(k∈Z)．
7．y＝1＋sin
x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2交点的个数是
( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析 作出y＝1＋sin
x在[0,2π]上的图象，可知只有一个交点．
答案 B
8．如图所示，函数y＝cos
x|tan
x|(0≤x<且x≠)的图象是
( )．
解析 当0≤x<时，y＝cos
x·|tan
x|＝sin
x；
当y＝cos
x·|tan
x|＝－sin
x；
当πy＝cos
x·|tan
x|＝sin
x，故其图象为C.
答案 C
9．函数y＝sin
x，x∈R的图象向右平移个单位后所得图象对应的函数解析式是________．
∵sin＝－sin＝－cos
x，
∴y＝－cos
x.
答案 y＝－cos
x
10．函数y＝sin
|x|＋sin
x的值域是________．
解析 y＝sin
|x|＋sin
x＝
∴－2≤y≤2.
答案 [－2,2]
11．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值：
(1)y＝3－2sin
x；
(2)y＝sin
.
解 (1)∵－1≤sin
x≤1，
∴当sin
x＝－1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y有最大值5，相应x的集合为.
当sin
x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y有最小值1，相应x的集合为.
(2)令z＝，∵－1≤sin
z≤1，
∴y＝sin
的最大值为1，最小值为－1.
又使y＝sin
z取得最大值的z的集合为{z|z＝2kπ＋，k∈Z}，由＝2kπ＋，得x＝6kπ＋π，
∴使函数y＝sin
取得最大值的x的集合为{x|x＝6kπ＋π，k∈Z}．
同理可得使函数y＝sin
取得最小值的x的集合为{x|x＝6kπ－π，k∈Z}．
12.
(创新拓展)若函数y＝2sin
x的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．
解 观察图可知：图形S1与S2，S3与S4是两个对称图形：有S1＝S2，S3＝S4，因此函数y＝2sin
x的图象与直线y＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形ABCD的面积，
∴|AB|＝2，|CB|＝2π
∴S矩形ABCD＝2×2π＝4π，
∴所求封闭图形的面积为4π.1．下列叙述错误的是
( )．
A．arctan
a表示一个内的角
B．若x＝arcsin
a，则sin
x＝a
C．若tan
＝a，则x＝arctan
2a
D．arcsin
a、arccos
a中的a∈[－1,1]
答案 C
2．若α是三角形的内角，且sin
α＝，则α等于
( )
A．30°
B．30°或150°
C．60°
D．120°或60°
解析 ∵sin
30°＝，sin(180°－30°)＝sin
30°＝，∴α＝30°或150°.
答案 B
3．已知cos
x＝－，π( )．
A.
B.
C.
D.
解析 符合条件cos
x0＝的锐角x0＝，
而cos＝－cos＝－，
∴x＝π＋＝.
答案 A
4．若cos
x＝，x为锐角，则x＝________.
答案 arccos
5．已知sin
α＝，若<α<π，用反正弦符号表示α为________．
解析 满足sin
α＝的锐角为α0＝arcsin
.
∵α∈且sin(π－α0)＝sin
α0＝，
∴α＝π－α0＝π－arcsin
.
答案 π－arcsin
6．已知sin
＝－，且α是第二象限的角，求角α.
解 首先确定所在象限
∵α是第二象限的角，∴是第一或第三象限的角．
∵sin
＝－<0，∴是第三象限的角．
然后在[0,2π]内找到满足条件的，∵sin
＝，
∴在[0,2π]内满足条件的角＝π＋＝.
再找到所有满足条件的角，
∴＝2kπ＋(k∈Z)，∴α＝4kπ＋(k∈Z)．
7．使得等式2cos
＝1成立的x的集合是
( )．
A.
B.
C.
D.
解析 cos
＝>0，为第一象限角或第四象限角．
∴与或－终边相同．
∴＝2kπ±，k∈Z；∴x＝4kπ±π，k∈Z.
答案 C
8．sin的值是
( )．
A.
B.
C．－
D．－
解析 ∵arcsin∈，sin＝，
cos＝
＝，
∴sin＝cos＝.
答案 B
9．若x∈(－π，π)且sin
x＝－，则x＝________.
答案 arcsin或－π＋arcsin
10．已知3tan2x＝1，x是第三象限角，则x的集合为________．
答案
11．(1)已知tan
x＝，x∈，求角x；
(2)已知4cos22x＝1，x∈(0,2π)，求角x.
解 (1)∵x∈，∴3π－x∈(－，0)，
又∵tan(3π－x)＝－tan
x＝－，
∴3π－x＝－，∴x＝3π＋＝π；
(2)∵4cos22x＝1，∴cos
2x＝±，
又∵2x∈(0,4π)，∵2x＝，，，，
2π＋，2π＋，2π＋，2π＋，
∴x＝，，，，，，，.
12．(创新拓展)求直线ax＋by＋c＝0(ab>0)的倾斜角．
解 ∵ab>0，ax＋by＋c＝0.
∴y＝－x－，k＝－.由k＝－<0，
∴直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为钝角π－arctan.1．计算cos
80°cos
20°＋sin
80°·sin
20°的值为
( )．
A.
B.
C.
D．－
答案 C
2．设α∈，若sin
α＝，则cos＝
( )．
A.
B.
C．－
D．－
解析 ∵α∈，sin
α＝，∴cos
α＝.
∴cos＝
＝cos
α＋sin
α＝＋＝.
答案 A
3．若cos(α－β)＝，cos
2α＝，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为
( )．
A.
B.
C.
D.
解析 ∵0<α<β<，
∴－<α－β<0,0<2α<π，
∴由cos(α－β)＝，得sin
(α－β)＝－，
由cos
2α＝，得sin
2α＝.
∴cos(α＋β)＝cos
＝cos
2αcos(α－β)＋sin
2αsin(α－β)
＝×＋3×＝－.
又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
答案 C
4．计算sin
60°＋cos
60°＝________.
解析 原式＝sin
30°sin
60°＋cos
30°cos
60°
＝cos(60°－30°)＝cos
30°＝.
答案
5．已知cos
＝，则cos
α＋sin
α的值为________．
解析 cos＝cos
cos
α＋sin
sin
α
＝cos
α＋sin
α
＝＝，
故cos
α＋sin
α＝.
答案
6．已知sin
α＝－，sin
β＝，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α－β)．
解 因为sin
α＝－，180°<α<270°，
所以cos
α＝－.
因为sin
β＝，90°<β<180°，所以cos
β＝－.
所以cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×
＝－＝.
7．下列式子中正确的个数是
( )．
①cos(α－β)＝cos
α－cos
β；②cos(α－β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β；③cos(－α)＝cos
α；④cos(＋α)＝cos
α.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析 ①②③④都错．
答案 A
8．不满足sin
αsin
β＝－cos
αcos
β的一组α，β值是
( )．
A．α＝，β＝
B．α＝，β＝
C．α＝，β＝
D．α＝，β＝
解析 因为sin
αsin
β＝－cos
αcos
β，所以cos(α－β)＝，经检验C中的α，β不满足，故选C.
答案 C
9．若α为锐角，且cos
α＝，则cos
(－α)＝________.
解析 由α为锐角，且cos
α＝，可得sin
α＝.于是cos＝cos
cos
α＋sin
αsin
＝×＋×＝.
答案
10．已知α，β∈，sin＝－，sin＝，则cos＝________.
解析 ∵α，β∈，
∴α＋β∈，β－∈，
又sin(α＋β)＝－，sin＝，
∴cos(α＋β)＝＝，
cos＝－
＝－.
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×＝－.
答案 －
11．已知α、β为锐角，且cos
α＝，cos(α＋β)＝－，求cos
β的值．
解 ∵0<α，β<，∴0<α＋β<π.
由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝.
又∵cos
α＝，∴sin
α＝.
∴cos
β＝cos
＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝×＋×＝.
12．(创新拓展)已知cos
(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且<α－β<π，<α＋β<2π，求角β的值．
解 由cos
(α－β)＝－，且<α－β<π，
得到sin(α－β)＝，
由cos(α＋β)＝，且<α＋β<2π，
得到sin(α＋β)＝－.
于是cos
2β＝cos
[(α＋β)－(α－β)]＝×(－)＋(－)×＝－1.
由于<α－β<π，所以－π<β－α<－，与<α＋β<2π相加得到，
<2β<.故2β＝π，从而β的值为.
1．函数y＝cos(x∈R)是
( )．
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．无法确定
解析 ∵y＝cos＝－sin
x，∴此函数为奇函数．
答案 A
2．函数y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为
( )．
A.
B.
C．π
D．2π
解析 T＝＝.
答案 B
3．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是
( )．
A．x＝
B．y＝
C．x＝
D．y＝
解析 令2x＋＝kπ＋(k∈Z)得：x＝＋(k∈Z)，令k＝0，则x＝.
答案 C
4．函数y＝tan
x，x∈的值域是________．
解析 ∵y＝tan
x在上单调递增，
∴0≤tan
x≤1，即y∈[0,1]．
答案 [0,1]
5．函数y＝cos
x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
解析 ∵y＝cos
x在[－π，0]上为增函数，
又在[－π，a]上递增，∴[－π，a] [－π，0]，∴a≤0.
又∵a>－π，∴－π答案 (－π，0]
6．若函数y＝tan
x是增函数，且y＝sin
x是减函数，求x的取值范围．
解 y＝tan
x的递增区间是(k∈Z)，
y＝sin
x的减区间是(k∈Z)．
从而满足要求的x的范围是(k∈Z)．
7．函数y＝tan(sin
x)的值域为
( )．
A.
B.
C．[－tan
1，tan
1]
D．以上均不对
解析 ∵－1≤sin
x≤1，∴sin
x∈.
又∵y＝tan
x在上单调递增，
∴tan
(－1)≤y≤tan
1，即y∈[－tan
1，tan
1]．
答案 C
8．下列函数同时满足：①在上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是
( )．
A．y＝tan
x
B．y＝cos
x
C．y＝tan
D．y＝－tan
x
解析 对于A，其周期为π；对于B，在上递减，对于D，在亦递减，不符合条件，只有C符合条件．
答案 C
9．函数y＝的定义域是________．
解析 2cos
x＋1≥0，cos
x≥－，
结合图象知x∈，k∈Z.
答案 ，k∈Z
10．关于三角函数的图象，有下列命题：
①y＝sin
|x|与y＝sin
x的图象关于y轴对称；
②y＝cos(－x)与y＝cos
|x|的图象相同；
③y＝|sin
x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cos
x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．其中正确命题的序号是________．
解析 对②，y＝cos
(－x)＝cos
x，y＝cos
|x|＝cos
x，故其图象相同；对④，y＝cos
(－x)＝cos
x，故其图象关于y轴对称，由作图可知①、③均不正确．
答案 ②④
11．有两个函数f(x)＝asin，g(x)＝bcos
(k>0)，它们的周期之和为，且f＝g，f＝－·g＋1，求k，a，b.
解 由题意知，＋＝，
∴k＝2，∴f(x)＝asin，g(x)＝bcos.
由已知得方程组
即解得
∴k＝2，a＝，b＝－.
12．(创新拓展)求函数y＝tan的定义域、周期、单调区间和对称中心．
解 ①由－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠2kπ＋，k∈Z.
∴函数的定义域为
.
②T＝＝2π，∴函数的周期为2π.
③由kπ－<－解得2kπ－∴函数的单调增区间为，k∈Z.
④由－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z.
∴函数的对称中心是，k∈Z.1．下列等式不正确的是
( )．
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②＋≠0；
③＝＋＋.
A．②③
B．②
C．①
D．③
解析 ①满足向量加法的交换律与结合律，①正确．
＋＝＝0，②不正确．
＋＋＝＋(＋)＝＋
＝＋＝，③正确．
答案 B
2．下列等式不成立的是
( )．
A．a＋0＝a
B．a＋b＝b＋a
C.＋＝2
D.＋＝
解析 显然A、B正确对于D，利用加法三角形法则可知＋＝正确．
答案 C
3．已知四边形ABCD是一菱形，则下列等式中成立的是
( )．
A.＋＝
B.＋＝
C.＋＝
D.＋＝
解析 对于A，＋＝≠；对于B，＋≠；对于C，＋＝＋＝，又＝，
∴＋＝；对于D，＋≠.
答案 C
4．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
解析 ∵菱形ABCD的边长为2，
∴|－＋|＝|＋＋|＝|＋|＝||＝2.
答案 2
5．化简下列各向量：(1)＋＝________.
(2)＋＋＝________.
(3)＋＋＝________.
答案 (1) (2)0 (3)
6．设在平面内给定一个四边形ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，求证：＝.
证明 如图所示，连接AC.在△ABC中，由三角形中位线定理知，
EF＝AC，EF∥AC，同理HG＝AC，HG∥AC.
所以||＝||且和同向，
所以＝.
7．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么
( )．
A.＝
B.＝2
C.＝3
D．2＝
解析 ＋＝2，
∴2＋2＝0.∴＝.
答案 A
8．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向
( )．
A．与向量a方向相同
B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同
D．与向量b方向相反
解析 a∥b且|a|>|b|>0，所以当a、b同向时，a＋b的方向与a相同，当a、b反向时，∵|a|>|b|，∴a＋b的方向仍与a相同．
答案 A
9．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|＋|，则四边形ABCD是________(图形)．
解析 如图所示，＋＝，
＋＝，
又|＋|＝|＋|，
∴||＝，则ABCD是矩形．
答案 矩形
10．已知||＝||＝1，且∠AOB＝60°，则|＋|＝________.
解析 如图所示，＋＝，
|＋|＝||，
在△OAC中，∠AOC＝30°，||＝||＝1，∴||＝.
答案
11．如图所示，在正八边形ABCDEFGH中，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，
(1)试用已知向量表示；
(2)试用已知向量表示.
解 (1)由图可知，
＝－＝－(b＋c＋d＋e)；
(2)由图可知，
＝c＋d＋e＋＝c＋d＋e－＝c＋d＋e－b.
12．(创新拓展)如图，在重300
N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．
解 如图，在 OACB中，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
则在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°
∠OAC＝90°，设向量、分别表示两根绳子的拉力，则表示物体的重力，
且||＝300
N，
∴||＝||cos
30°＝150(N)，
||＝||cos
60°＝150(N)．
∴与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150
N，与铅垂线成60
°角的绳子的拉力是150
N.1．下列角中，终边与330°角终边相同的是
( )．
A．－630°
B．－1
830°
C．30°
D．990°
解析 与330°角终边相同的角α＝330°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝－6时，α＝－1
830°.
即－1
830°角终边与330°角终边相同．
答案 B
2．若角α与β的终边相同，则角α－β的终边
( )．
A．在x轴的正半轴上
B．在x轴的负半轴上
C．在y轴的负半轴上
D．在y轴的正半轴上
解析 由角α与β的终边相同，得
α＝β＋k·360°，k∈Z.
所以α－β＝k·360°，k∈Z.
故α－β的终边在x轴的正半轴上．
答案 A
3．已知角2α的终边在x轴上方，那么α是
( )．
A．第一象限角
B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角
D．第一或第四象限角
解析 ∵角2α的终边在x轴上方，
∴k·360°<2α∴k·180°<α当k为奇数时，α在第三象限．
当k为偶数时，α在第一象限．
答案 C
4．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.
解析 在[0°，360°)内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，
∴β＝k·360°＋60°(k∈Z)．
答案 k·360°＋60°(k∈Z)
5．已知角α＝－3
000°，则与α终边相同的最小的正角是________．
解析 与α角终边相同的角为β＝k·360°－3
000°(k∈Z)．
由题意，令k·360°－3
000°>0°，则k>，故取k＝9，得与α终边相同的最小正角为240°.
答案 240°
6．已知α＝－1
910°.
(1)把角α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限的角；
(2)求出θ的值，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
解 (1)∵－1
910°＝－6×360°＋250°.0≤250°<360°.
∴把α＝－1
910°写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式为α＝－1
910°＝－6×360°＋250°，它是第三象限角．
(2)∵θ与α的终边相同，
令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，
取k＝－1或－2就得到符合－720°≤θ<0°的角：
250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
故θ＝－110°或－470°.
7．若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ，m，n∈Z，则α、β终边的位置关系是
( )．
A．重合
B．关于原点对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
解析 由α＝n·360°＋θ可知α与θ是终边相同的角；由β＝m·360°－θ可知β与－θ是终边相同的角，而θ与－θ两角关于x轴对称，故α与β两角终边关于x轴对称．
答案 C
8．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有
( )．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析 －90°<－75°<0°，180°<225°<270°.
360°＋90°<475°<360°＋180°，－360°<－315°<－270°.
∴这四个命题都是正确的．
答案 D
9．在－720°到720°之间与－1
000°角终边相同的角是________．
解析 与－1
000°角终边相同的角的集合是S＝{α|α＝－1
000°＋k·360°，k∈Z}，分别对k赋予不同的数值便可求出结果．
答案 －640°，－280°，80°，440°
10．与－1
050°角终边相同的最小正角是________．
解析 －1
050°＝－3×360°＋30°，故答案为30°.
答案 30°
11．如图所示，写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°是否是该集合中的角．
解 终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为{x|120°＋k·360°≤x≤250°＋k·360°，k∈Z}．
因为－950°＝130°－3×360°，120°<130°<250°，
所以－950°是该集合中的角．
12．(创新拓展)已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α解 如图所示，集合A中角的终边是30°至90°角的终边或210°至270°角的终边，集合B中角的终边是－45°至45°角的终边，
∴A∩B的角的终边是30°至45°角的终边，
∴A∩B＝{α|k·360°＋30°<α完全正确的是
( )．
A．正弦线PM，正切线A′T′
B．正弦线MP，正切线A′T′
C．正弦线MP，正切线AT
D．正弦线PM，正切线AT
解析 根据单位圆中的三角函数线可知C正确．
答案 C
2．如果MP、OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是
( )．
A．MPB．MP<0C．MP>OM>0
D．OM>MP>0
解析 如图可知，OM>MP>0.
答案 D
3．有三个命题：①与的正弦线相等；②与的正切线相等；③与的余弦线相等．其中真命题的个数为
( )．
A．1
B．2
C．3
D．0
解析 根据三角函数线定义可知，与的正弦线相等，与的正切线相等，与的余弦线相反．
答案 B
4．若sin
θ≥0，则θ的取值范围是________．
解析 sin
θ≥0，如图利用三角函数线可得2kπ≤θ≤2kπ＋π，k∈Z.
答案 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
5．比较大小：sin
1________sin
(填“>”或“<”)．
解析 0<1<<，结合单位圆中的三角函数线知sin
1.
答案 <
6．已知点P(sin
α－cos
α，tan
α)在第一象限，若α∈[0,2π)，求α的取值范围．
解 ∵点P在第一象限内，
∴∴
结合单位圆(如图所示)中三角函数线及0≤α<2π.可知<α<或π<α<.
7．不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是
( )．
A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线
B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条
C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在
D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在
解析 由三角函数线概念及三角函数定义可知D正确．
答案 D
8．设a＝sin
，b＝cos
，c＝tan
，则
( )．
A．aB．aC．bD．b解析 如图，在单位圆O中分别作出角π、π、π的正弦线M1P1，余弦线OM2、正切线AT.由π＝π－π知M1P1＝M2P2，
又<π<，易知AT>M2P2>OM2，
∴cos
π，故b答案 D
9．若单位圆中角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．
解析 角α的终边在y轴上，其正弦线的长度为1.
答案 1
10．若α为锐角，则sin
α＋cos
α与1的大小关系是________．
解析 如图所示，
sin
α＝MP，cos
α＝OM，
在Rt△OMP中，显然有OM＋MP>OP，
即sin
α＋cos
α>1.
答案 sin
α＋cos
α>1
11．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．
(1)sin
θ≥； (2)－≤cos
θ<.
解 (1)图(1)中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即2kπ＋≤θ≤2kπ＋，k∈Z.
(2)图(2)中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即2kπ－π≤θ<2kπ－或2kπ＋<θ≤2kπ＋π，k∈Z.
12．(创新拓展)求证：当α∈时，sin
α<αα.
证明 如图，设角α的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于T，过P作PM⊥OA于M，连接AP，则：
在Rt△POM中，sin
α＝MP；
在Rt△AOT中，tan
α＝AT；
又根据弧度制的定义，有＝α·OP＝α，
易知S△POA即OA·MP<·OA即sin
α<αα.1．如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是
( )．
A．若实数λ1、λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．对空间任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1、λ2∈R
C．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1、λ2∈R
D．对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2有无数对
解析 A正确，B错，这样的a只能与e1、e2在同一平面内，不能是空间任一向量；C错，在平面α内任一向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错，这样的λ1、λ2是唯一的，而不是有无数对．
答案 A
2．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是
( )．
A．e1－e2，e2－e1
B．2e1－e2，e1－e2
C．2e2－3e1,6e1－4e2
D．e1＋e2，e1－e2
解析 选项A、B、C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底．
答案 D
3．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则等于
( )．
A．a＋λb
B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b
D.a＋b
解析 ∵＝＋＝＋λ
＝＋λ(－)＝＋λ－λ，
∴(1＋λ)＝＋λ，
∴＝＋＝a＋b.
答案 D
4．如图所示，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝________.
解析 ＝－＝＋－
＝a＋b－
＝a＋b－×
＝a＋b－(a－b)＝a＋b.
答案 a＋b
5．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.
解析 设＝a，＝b，
则＝a＋b，
＝a＋b，
又∵＝a＋b，
∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
答案
6．判断下列命题的正误，并说明理由．
(1)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a、b、c、d∈R)，则a＝c，b＝d.
(2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出来．
解 (1)错误，当e1与e2共线时，结论不一定成立．
(2)正确，假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ，使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2.
因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线矛盾．
所以e1＋e2与e1－e2不共线，因而它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出来．
7．已知AD为△ABC的中线，则等于
( )．
A.＋
B.－
C.－
D.＋
解析 延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE，BE，则四边形ABEC是平行四边形，则
＝＝(＋)＝＋.
答案 D
8．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝
( )．
A.a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
解析 如图，∠1＝∠2，
∴＝＝，
∴＝＝
＝(b－a)，
∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
答案 B
9．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
解析 设＝a，＝b，
则＝(＋)＝a＋b，
又＝＋
＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ＝a＋b.
根据平面向量基本定理消去λ整理得m＋n＝2.
答案 2
10．已知向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3，问a能否表示成a＝λb＋μc的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由．
解 由a＝λb＋μc得
－e1＋3e2＋2e3＝(4λ－3μ)e1＋(－6λ＋12μ)e2＋(2λ＋11μ)e3，
∴
由①②联立解得，代入③也成立．
∴a能表示成a＝λb＋μc的形式，即a＝－b＋c.
11．如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将、，表示出来．
解 ＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－＝－b－(a－b)
＝－a＋b，＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
12.
(创新拓展)已知△ABC的两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN的延长线上取点P，使NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使MQ＝CM，
证明：P、A、Q三点共线．
证明
设＝a、＝b.由题意可知，
＝＋＝a＋2＝a＋2(－)
＝a＋2(－a)＝a＋b－2a＝b－a；
＝＋＝b＋2＝b＋2(－)
＝b＋2(－b)＝b＋a－2b＝a－b.
显然，＝－，说明，共线．
故P、A、Q三点共线．1．下列量不是向量的是
( )．
A．力
B．速度
C．质量
D．加速度
解析 质量只有大小，没有方向，不是向量．
答案 C
2．下列说法错误的是
( )．
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同
C．只有零向量的模等于0
D．零向量没有方向
解析 零向量的方向是任意的，不能理解为没有方向．
答案 D
3．设O为坐标原点，且||＝1，则动点M的集合是
( )．
A．一条线段
B．一个圆面
C．一个圆
D．一个圆弧
解析 动点M到原点O的距离等于定长1，故动点M的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆．
答案 C
4．若对任意向量b，均有a∥b，则a为________．
解析 0与任意向量平行，故a＝0.
答案 0
5．如图所示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量有________；
(2)若||＝3，则向量的模等于________．
解析 由题意知AB∥EC，且D是EC的中点．与向量相等的向量有，.由于||＝3，所以||＝6.
答案 (1)， (2)6
6．在四边形ABCD中，＝，N，M是AD，BC上的点，且DN＝MB.
求证：＝.
证明 ∵＝，∴||＝||且AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形∴CB＝DA，
∵DN＝MB，∴CM＝NA，
又∵CM∥NA，∴四边形CNAM是平行四边形，∴CN綉MA，
又与方向相同，∴＝.
7．下列命题：
(1)若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；
(2)若向量是单位向量，则向量也是单位向量；
(3)以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．
其中正确的个数为
( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析 由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故(1)不正确；因为||＝||,
所以当是单位向量时，也是单位向量，故(2)正确；由于向量是单位向量，故||＝1，所以点P是以A为圆心的单位圆上的一点．反过来，若点P是以A为圆心的单位圆上的任意一点，则由于||＝1，所以向量是单位向量，故(3)正确．
答案 C
8．下列命题不正确的是
( )．
A．零向量没有方向
B．零向量只与零向量相等
C．零向量的模为0
D．零向量与任何向量共线
解析 零向量是有方向的，它的方向可以是任意的，故选A.
答案 A
9．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________．
解析 因为a＝b a∥b，即①能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即②不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即③能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是①③④.
答案 ①③④
10．给出下列命题：
①||＝||；
②若a与b方向相反，则a∥b；
③若、是共线向量，则A、B、C、D四点共线；
④有向线段是向量，向量就是有向线段；
基中所有真命题的序号是________．
解析 共线向量指方向相同或相反的向量，向量、是共线向量，也可能有AB∥CD，故③是假命题，向量可以用有向线段表示，不能说“有向线段是向量，向量就是有向线段”，比如0不能用有向线段表示，另外，向量有大小、方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素，故④是假命题．
答案 ①②
11．已知直线l：y＝x－，点A，B(x，y)是直线l上的两点．
(1)若为零向量，求x，y的值；
(2)若为单位向量，求x，y的值．
解 (1)当为零向量时，点B到点A重合，此时x＝0，y＝－.
(2)当为单位向量时，||＝1，即A与B两点的距离为1，
所以
＝1，即x2＋2＝1，
将y＝x－代入得，2x2＝1，
所以x＝，y＝0或x＝－，y＝－.
12．(创新拓展)一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30
n
mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40
n
mile有一艘渔船抛锚需救助．试求：
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移．
解 (1)如图由于路程不是向量，与方向无关，所以其总的路程为巡逻艇两次路程的和，即为AB＋BC＝70(n
mile)．
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量，不仅有大小而且有方向，因而大小为||＝＝50(n
mile)，由于sin∠BAC＝，故方向为北偏东53°.1．在△ABC中，若AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，则
( )．
A.＝
B.与共线
C.＝
D.与共线
解析 如图，可知DE∥BC.故与共线．
答案 D
2．在四边形ABCD中，＝－，·＝0，则四边形为
( )．
A．平行四边形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
解析 ∵＝－，即＝，
∴綉，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又·＝0，
∴⊥，
即AC⊥BD，∴ ABCD是菱形．
答案 D
3．若物体在共点力F1＝(lg
2，lg
2)，F2＝(lg
5，lg
2)的作用下产生位移s＝(2lg
5,1)，则共点力对物体所做的功W为
( )．
A．lg
2
B．lg
5
C．1
D．2
解析 W＝(F1＋F2)·s＝(lg
2＋lg
5,2lg
2)·(2lg
5,1)＝(1,2lg
2)·(2lg
5,1)＝2lg
5＋2lg
2＝2，故选D.
答案 D
4．在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0,0)，B(1,1)，则·＝________.
解析 由已知得A(1,0)，C(0,1)，
∴＝(0,1)，＝(－1,1)，
∴·＝1.
答案 1
5．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60
m，若牵绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50
N．则纤夫对船所做的功为________．
解析 所做的功W＝60×50×cos
30°＝1
500
J.
答案 1
500
J
6．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若＝2，求点P的轨迹方程．
解 设P(x，y)，R(x1，y1)，则
＝(1－x1，－y1)，＝(x－1，y)；
由＝2得(1－x1，－y1)＝2(x－1，y)，
即，
代入直线l的方程得y＝2x.
所以，点P的轨迹方程为y＝2x.
7．已知在△ABC中，＝a，＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为
( )．
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等腰直角三角形
解析 ∵a·b＝|a||b|cos
∠BAC<0，∴cos
∠BAC<0，
∴90°<∠BAC<180°，故△ABC是钝角三角形．
答案 A
8．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的
( )．
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
解析 ∵·＝·，
∴·＝0.
∴·＝0.
∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，
∴O为垂心．
答案 D
9．一个重20
N的物体从倾斜角30°，斜面长1
m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．
解析 由力的正交分解知识可知沿斜面下滑的分力大小
|F|＝×20
N＝10
N，
∴W＝|F|·|s|＝10
J.
或由斜面高为
m，W＝|G|·h＝20×
J＝10
J.
答案 10
J
10．已知作用于原点的两个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，现增加一个力F，使这三个力F1，F2，F的合为0，则F＝________.
解析 ∵F1＋F2＋F＝0，∴F＝－F1－F2＝(－3，－4)＋(－2,5)＝(－5,1)．
答案 (－5,1)
11．已知Rt△ABC，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n，
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长(用m、n表示)．
解 以C为坐标原点，以边CB、CA所在的直线分别为x轴、y轴建立坐标系，如图，A(0，m)，B(n,0)．
(1)∵D为AB的中点，∴D，
∴＝，＝
，
∴＝，即CD＝AB.
(2)∵E为CD的中点，
∴E，设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)，
∵A、E、F共线，∴＝λ，
即(x，－m)＝λ，∴
即x＝，即F.∴＝
.
12．(创新拓展)如图所示，用两根分别长5
m和10
m的绳子将100
N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后G点距屋顶的距离恰好为5
m，求A处受力的大小．
解 由已知条件可知AG与铅直方向成45°角，BG与铅直方向成60°角，设A处所受的力为Fa，B处所受的力为Fb，
∴
解得|Fa|＝150－50，故A处受力的大小为(150－50)N.1．计算sin
(－1
380°)的值为
( )．
A．－
B.
C．－
D.
解析 sin(1
380°)＝sin[60°＋(－4)×360°]＝sin
60°＝.
答案 D
2．如果角α的终边过点P(2sin
30°，－2cos
30°)，则cos
α的值等于
( )．
A.
B．－
C．－
D．－
解析 ∵sin
30°＝，cos
30°＝，
∴P点坐标为(1，－)，∴r＝2，cos
α＝＝.
答案 A
3．若α为第二象限角，则－＝
( )．
A．1
B．0
C．2
D．－2
解析 ∵α是第二象限角，∴sin
α>0，cos
α<0，
∴－＝＋＝2.
答案 C
4．计算5sin
90°＋2cos
0°－3sin
270°＋10cos
180°＝________.
解析 原式＝5×1＋2×1－3×(－1)＋10×(－1)＝0.
答案 0
5．如果cos
x＝|cos
x|，那么角x的取值范围是________．
解析 ∵cos
x＝|cos
x|，∴cos
x≥0，
∴2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
答案 {x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}
6．已知角α终边上一点P(－，y)(y>0)，且sin
α＝y，求cos
α和tan
α的值．
解 sin
α＝＝y.
由＝，解得y＝.
∴P，r＝.
∴cos
α＝－，tan
α＝－.
7．已知tan
x>0，且sin
x＋cos
x>0，那么角x是第________象限角
( )．
A．一
B．二
C．三
D．四
解析 ∵tan
x>0，∴x是第一或第三象限角．
又∵sin
x＋cos
x>0，∴x是第一象限角．
答案 A
8．已知角α的终边经过点P(－b,4)且cos
α＝－，则b的值为
( )．
A．3
B．－3
C．±3
D．5
解析 r＝，∴cos
α＝＝－，∴b2＝9，b＝±3.
又cos
α＝－<0，∴－b<0，b>0，∴b＝3.
答案 A
9．已知角α的终边经过点P(3a－9，a＋2)，且cos
α≤0，sin
α>0，则α的取值范围是________．
解析 由得
∴－2答案 (－2,3]
10．下列函数值：①sin
4，②cos
5，③tan
8，其中函数值为正的是________．
解析 ∵π<4<，∴sin
4<0，
∵<5<2π，∴cos
5>0；
∵<8<3π，∴tan
8<0.
答案 ②
11．判断下列各式的符号：
(1)sin
340°·cos
265°；
(2)sin
4·tan.
解 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin
340°<0，cos
265°<0，∴sin
340°·cos
265°>0.
(2)∵π<4<，∴4
rad角是第三象限角．
∵－π＝－6π＋，∴－π
rad角在第一象限内，
∴sin
4<0，tan>0，∴sin
4·tan<0.
12．(创新拓展)已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin
α，cos
α，tan
α的值．
解 当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝＝，
得sin
α＝＝，cos
α＝＝，tan
α＝2；
当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(－1，－2)，由r＝|OQ|＝＝，得sin
α＝＝－，cos
α＝＝－，tan
α＝2.1．下列说法正确的是
( )．
A．2a与a不能相等
B．|2a|>|a|
C．2a∥a
D．|2a|≠1
解析 若a＝0，则A，B不成立，若|a|＝，则D不成立．
答案 C
2．化简4(a－b)－3(a＋b)－b＝
( )．
A．a－2b
B．a
C．a－6b
D．a－8b
解析 4(a－b)－3(a＋b)－b＝(4－3)a－(4＋3＋1)b＝a－8b.
答案 D
3．设a、b为不共线的非零向量，＝2a＋3b，＝－8a－2b，＝－6a－4b
，那么
( )．
A.与同向，且||>||
B.与同向，且||<||
C.与反向，且||>||
D.∥
解析 ∵＝＋＋＝(2a＋3b)＋(－8a－2b)＋(－6a－4b)＝－12a－3b＝(－8a－2b)＝.故选A.
答案 A
4．若|a|＝3，向量b与a反向，且|b|＝2，则a＝________b.
解析 ∵b与a反向，
∴由平面向量基本定理知a＝－b.
答案 －
5．已知＝，＝，则＝________.
解析 ＝＋＝－＋＝－＋＝(－)＝.
答案
6．已知 ABCD中，＝a，＝b，对角线AC，BD交于点O，用a，b表示，.
解 ＝－＝－(a＋b)，
＝＝(－)＝(b－a)．
7．已知点C在线段AB上，且＝，则等于
( )．
A.
B.
C．－
D．－
解析 ＝ ＝.
∴＝＝－，∴＝－.
答案 D
8．已知向量a，b，若＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是
( )．
A．A、B、D
B．A、B、C
C．B、C、D
D．A、C、D
解析 因为＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3，可见A、B、D三点共线；
因为＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＝－4a＋8b，所以A、B、C三点不共线；
因为＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b，可见B、C、D三点不共线；
因为＝－4a＋8b，＝3a＋6b.可见A、C、D三点不共线．故选A.
答案 A
9．已知a≠0，λ∈R，下列叙述正确的序号是________．
①λa∥a；②λa与a方向相同；③是单位向量；④若|λa|>|a|，则λ>1.
解析 ∵a≠0，∴必有λa∥a，是单位向量，故①、③正确；对于②，当λ>0时，λa与a同向，而λ<0时，λa与a反向；对于④，由|λa|>|a| |λ|·|a|>|a| |λ|>1 λ>1或λ<－1，故②、④错误．
答案 ①③
10．若2－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量x＝________.
解析 由2－(b＋c－3x)＋b＝0，得
x－a＋b－c＝0，
∴x＝a－b＋c.
答案 a－b＋c
11．已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值．
解 ∵a与b是共线向量，∴a＝λb，∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，
∴，
∴，∴k＝－2.
12．(创新拓展)在△ABC中，已知＝＝，设＝a，＝b.
求证：＝(b－a)．
证明 ∵＝＝，∴＝＝b，
＝＝(＋)＝(－a－b)
＝－a－b.
∴＝＋＝b－a－b
＝b－a＝(b－a)．综合检测(一)
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共计50分，请把答案填在题中的横线上)
1．在“①160°；②480°；③－960°；④1
530°”这四个角中，属于第二象限角的是( )
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④
【解析】 ∵480°＝360°＋120°，－960°＝－3×360°＋120°，
∴①②③均是第二象限角．
又1
530°＝4×360°＋90°，④不是第二象限角．
【答案】 C
2．点P从(1,0)点出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为( )
A．(，)
B．(－，－)
C．(－，－)
D．(－，)
【解析】 设∠POQ＝θ，则θ＝.
又设Q(x，y)，则x＝cos＝，y＝sin＝.
【答案】 A
3．已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin
α＋cos
α等于( )
A.
B.
C．－
D．－
【解析】 r＝＝－5a.
∴sin
α＝＝，cos
α＝＝－，
∴sin
α＋cos
α＝－＝.
【答案】 A
4．(2013·郑州高一检测)对于函数y＝sin(π－x)，下列说法中正确的是( )
A．函数是最小正周期为π的奇函数
B．函数是最小正周期为π的偶函数
C．函数是最小正周期为2π的奇函数
D．函数是最小正周期为2π的偶函数
【解析】 y＝sin(π－x)＝sin(－x)＝cos
x，故D项正确．
【答案】 D
5．(2012·天津高考)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若φ＝0，则f(x)＝cos
x是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．
【答案】 A
6.
图1
(2013·陕西师大附中高一检测)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图1所示，则( )
A．ω＝2，φ＝
B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝1，φ＝
D．ω＝2，φ＝－
【解析】 由图可知T＝4(π－)＝π.
又T＝，ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)，
代入点(，1)，得sin(π＋φ)＝1，又|φ|＜，
∴φ＝－.
【答案】 D
7．函数y＝2cos(2x－)＋1在区间[－，]上的值域为( )
A．[1－，1＋]
B．[1－，3]
C．[－1,3]
D．[－1,1＋]
【解析】 ∵－≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤cos(2x－)≤1，
∴1－≤2cos(2x－)＋1≤3，故选B.
【答案】 B
8．已知sin(α＋)＝，α∈(－，0)，则tan
α等于( )
A．－2
B．2
C．－
D.
【解析】 由sin(α＋)＝，
得cos
α＝，又α∈(－，0)．
∴sin
α＝－＝－.
故tan
α＝＝－2.
【答案】 A
9．下列函数中，以π为周期且在区间(0，)上为增函数的函数是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
x
C．y＝－tan
x
D．y＝－cos
2x
【解析】 C、D中周期为π，A、B不满足T＝π.
又y＝－tan
x在(0，)为减函数，C错．
y＝－cos
2x在(0，)为增函数．
∴y＝－cos
2x满足条件．
【答案】 D
10．(2013·福建高考)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值可以是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵P在f(x)的图象上，
∴f(0)＝sin
θ＝.
∵θ∈，∴θ＝，
∴f(x)＝sin，
∴g(x)＝sin
.
∵g(0)＝，
∴sin＝.
验证，φ＝π时，
sin＝sin＝sin＝成立．
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．函数f(x)＝sin(2x＋)的最小正周期为________．
【解析】 由题意知，ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋)的最小正周期为T＝＝π.
【答案】 π
12．sin(－120°)cos
1
290°＋cos
(－1
020°)sin
(－1
050°)＝______.
【解析】 原式＝－sin
120°cos
210°＋cos
60°sin
30°
＝－×(－)＋×＝1.
【答案】 1
13．(2013·玉溪高一检测)若θ是△ABC的一个内角，且sin
θcos
θ＝－，则sin
θ－cos
θ的值为________．
【解析】 由sin
θcos
θ＝－＜0知＜θ＜π，∴sin
θ＞0，cos
θ＜0，(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θcos
θ＝1－2×(－)＝.
又sin
θ－cos
θ＞0，∴sin
θ－cos
θ＝.
【答案】
14．设f(x)＝2sin
ωx，(0<ω<1)在闭区间[0，]上的最大值为，则ω的值为__________．
【解析】 ∵0<ω<1，∴T＝，∴＝>.
∴f(x)＝2sin
ωx在[0，]上为增函数．
∴f(x)max＝f()＝2sinω＝.
∴sinω＝，即ω＝，∴ω＝.
【答案】
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知角x的终边过点P(1，)．
(1)求：sin(π－x)－sin(＋x)的值；
(2)写出角x的集合S.
【解】 ∵x的终边过点P(1，)，
∴r＝|OP|＝＝2.
∴sin
x＝，cos
x＝.
(1)原式＝sin
x－cos
x＝.
(2)由sin
x＝，cos
x＝.
若x∈[0,2π]，则x＝，
由终边相同角定义，∴S＝{x|x＝2kπ＋，k∈Z}.
16．(本小题满分12分)(2013·邯郸高一检测)(1)已知cos
α＝－，且α为第三象限角，求sin
α的值；
(2)已知tan
α＝3，计算的值．
【解】 (1)∵cos2α＋sin2α＝1，α为第三象限角，
∴sin
α＝－＝－
＝－.
(2)显然cos
α≠0，
∴＝＝＝＝.
17．(本小题满分12分)已知f(x)＝sin(2x＋)＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间．
(2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin
2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
【解】 (1)T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，知kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)变换情况如下：
18．(本小题满分14分)(2013·徐州高一检测)在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[，]时，求f(x)的值域．
【解】 (1)由最低点为M(，－2)，得A＝2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为，
得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2.
由点M(，－2)在图象上得
2sin(2×＋φ)＝－2，
即sin(＋φ)＝－1，
故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．
又φ∈(0，)，∴φ＝，
故f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)∵x∈[，]，
∴2x＋∈[，]，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1.
故f(x)的值域为[－1,2]． 