3.4
不等式的实际应用
自我小测
1．如图所示，P是球O的直径AB上的动点，PA＝x，过P点且与AB垂直的截面面积记为y，则y＝f(x)的大致图象是( )
解析：不妨设球的半径为R(常数)．∵PA＝x，∴OP＝R－x．∴截面圆的半径r＝＝．∴y＝πr2＝2πRx－πx2(0≤x≤R)，故选A．
2．乘某种出租车，行程不足4千米时，车票10.40元，行程不足16千米时，大于或等于4千米的部分，每0.5千米车票0.8元，计程器每0.5千米计一次价．例如当行驶路程x(千米)满足12≤x≤12.5时，按12.5千米计价；当12．5≤x＜13时，按13千米计价．若某人乘车从A到B共付费28元，则从A地到B地行驶的路程m(千米)满足( )
A．10.5≤m＜11
B．11≤m＜11.5
C．14.5≤m＜15
D．15≤m＜15.5
3．一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下关系：y＝－2x2＋220x．
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6
000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产摩托车数量的范围为( )
A．{x|41≤x≤49，x∈N}
B．{x|51≤x≤59，x∈N}
C．{x|61≤x≤69，x∈N}
D．{x|71≤x≤79，x∈N}
4．某品牌彩电为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号彩电降价，有四种降价方案：
方案(1)：先降价a%，再降价b%；
方案(2)：先降价b%，再降价a%；
方案(3)：先降价%，再降价%；
方案(4)：一次性降价(a＋b)%．
其中a>0，b>0，a≠b，上述四种方案中，降价幅度最小的是( )
A．方案(1)
B．方案(2)
C．方案(3)
D．方案(4)
5．用长度分别为2，3，4，5，6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为( )
A．85
cm2
B．6
cm2
C．3
cm2
D．20
cm2
6．某家庭用14.4万元购买了一辆汽车，使用中维修费用逐年上升，第n年维修费用约为0.2万元，每年其他费用为0.9万元．报废损失最小指的是购车费、维修费及其他费用之和的年平均值最小，则这辆车应在______年后报废损失最小．
7．定义域为[－1，1]的函数f(x)＝kx＋2k＋1，其值域既有正数也有负数，则实数k的取值范围是______．
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝______吨．
9．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
消费金额的范围/元
[200，400)
[400，500)
[500，700)
[700，900)
…
获得奖券的金额/元
30
60
100
130
…
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0．2＋30＝110(元)．设购买商品得到的优惠率＝．试问：
(1)若购买一件标价为1
000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
(2)对于标价在[500，800](元)内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？
10．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度含污物体的清洁度的定义为：1－为0.8，要求清洗完后的清洁度是0．99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1≤a≤3)．设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是(x＞a－1)，用y质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中c(0．8＜c＜0．99)是该物体初次清洗后的清洁度．
(1)分别求出方案甲以及c＝0．95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
(2)若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a取不同数值时对最少总用水量的影响．
参考答案
1．答案：A
2．解析：可以根据条件首先判断出m的大致范围，然后代入验证即可．当m＝15时，付费10.40＋(15－4)×2×0.8＝28元．故选D．
答案：D
3．解析：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车．根据题意，得－2x2＋220x＞6
000．
移项整理，得x2－110x＋3
000＜0．因为＝100＞0，所以方程x2－110x＋3
000＝0有两个实数根x1＝50，x2＝60．由二次函数y＝x2－110x＋3
000的图象得不等式的解集为50＜x＜60．
因为x只能取整数值，所以当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在{x|51≤x≤59，x∈N}内时，这家工厂能够获得6
000元以上的收益．
答案：B
4．解析：设原来的价格为1，按四种方案降价后的价格分别为：
方案(1)：(1－a%)(1－b%)，
方案(2)：(1－b%)(1－a%)，
方案(3)：2，
方案(4)：1－(a＋b)%．
很明显(1－a%)(1－b%)＝(1－b%)(1－a%)
<2＝2．
又2－[1－(a＋b)%]＝2>0，
∴按方案(3)降价后的价格最高．
故降价幅度最小的是方案(3)．
答案：C
5．解析：设三角形各边长为x，y，z，且x，y，z∈N＋，则x＋y＋z＝20．由于在周长一定的三角形中，各边长越接近的三角形面积越大，于是当三边长为7
cm，7
cm，6
cm时面积最大，则S＝×6×＝6(cm2)，故选B．
答案：B
6．解析：年平均值＝＝＋0．1n＋1≥3．4，
当且仅当＝0．1n，即n＝12时，年平均值最小，所以12年后报废损失最小．
答案：12
7．解析：由已知可得f(x)＝kx＋2k＋1是单调函数，其值域既有正数也有负数，应有f(－1)·f(1)＜0，且k≠0，即(k＋1)(3k＋1)＜0，且k≠0．所以－1＜k＜－．
答案：
8．解析：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，所以一年的总运费与总存储费用之和为eq
\b\lc\(\rc\)()万元，而·4＋4x≥160，当且仅当＝4x，即x＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
答案：20
9．解：(1)＝33%．
(2)设商品的标价为x元，则500≤x≤800，消费额：400≤0．8x≤640．
由已知，得①
或②
不等式组①无解，
不等式组②的解集为625≤x≤750．
因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时，可得到不少于的优惠率．
10．解：(1)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有＝0．99，解得x＝19．
由c＝0．95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程：＝0．99，解得y＝4a，故z＝4a＋3．即两种方案的用水量分别为19与4a＋3．
因为当1≤a≤3时，x－z＝4(4－a)＞0，即x＞z，故方案乙的用水量较少．
(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似(1)得x＝，y＝a(99－100c)．(
)
于是x＋y＝＋a(99－100c)＝＋100a(1－c)－a－1．
当a为定值时，
x＋y≥2－a－1＝－a＋4－1．
当且仅当＝100a(1－c)时等号成立．
此时c＝1＋(不合题意，舍去)或c＝1－∈(0．8，0．99)．
将c＝1－代入(
)式，得x＝2－1＞a－1，y＝2－a．
故c＝1－时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为(2－1)与(2－a)，最少总用水量是T(a)＝－a＋4－1．
当1≤a≤3时，T(a)是增函数(可以用二次函数的单调性判断)．这说明，随着a的值的增加最少总用水量减少．3.4
不等式的实际应用
自主广场
我夯基
我达标
1.某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：（1）按照使用面积缴纳，每平方米4元；（2）按照建筑面积缴纳，每平方米3元.李明家的使用面积是60平方米.如果他家选择第（2）种方案缴纳的供暖费不多于按第(1)种方案缴纳的供暖费，那么他家的建筑面积最多不超过(
)
A.70平方米
B.80平方米
C.90平方米
D.100平方米
思路解析：根据使用面积应该缴纳的费用为60×4=240元,设建筑面积为x,则根据他所选择的方案,知3x-240≤0,所以x≤80,即建筑面积不超过80平方米.
答案：B
2.张先生买了一部手机，欲使用中国电信“神州行”卡或加入中国联通130网，经调查，收费标准如下表：
网络
月租费
本地话费
长途话费
甲
联通130网
12元
0.36元/分
0.06元/6秒
乙
电信“神州行”
无
0.6元/分
0.07元/6秒
（注：本地话费以分钟为单位计费,长途话费以6秒钟为单位计费）
若张先生每月拨打本地电话的时间是长途电话时间的5倍，且每月通话时间（分钟）在区间（40，50）内，则选择较为省钱的网络为(
)
A.甲
B.乙
C.甲或乙
D.分情况而定
思路解析：设张先生每月拨打长途电话的时长为x分钟,则有40＜5x+x＜50,即＜x＜,使用甲和乙方式应付话费的差为12+0.36×5x+0.06×10x-(0.6×5x+10×0.07x)=12-1.3x＞0.
答案：B
3.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：
全月应纳税所得额
税率
不超过500元的部分
5%
超过500元至2
000元的部分
10%
超过2
000元至5
000元的部分
15%
……
……
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于(
)
A.800-900元
B.900-1
200元
C.1
200-1
500元
D.1
500-2
800元
思路解析：分别以全月工资、薪金所得为900元，1
200元，1
500元，2
800元计算应交纳此项税款额，它们分别为5元，20元，70元，200元.
∵20＜26.78＜70，所以某人当月工资、薪金所得介于1
200-1
500元，选C.
答案：C
4.用两种金属材料做一个矩形框架，按要求长（较长的边）和宽应选用的金属材料价格每1
m分别为3元和5元，且长和宽必须是整数，现预算花费不超过100元，则做成矩形框架围成的最大面积是_______________.
思路解析：设长为x
m,宽为y
m,则根据条件知6x+10y≤100,即3x+5y≤50,且x≥y,再根据x,y都是整数的条件求xy的最大值,而xy=·3x·5y≤()2,并且检验,知当x=8,y=5时,面积xy最大为40
m2.
答案：40
m2
5.某商场预计全年分批购入每台价值为2
000元的电视机共3
600台，每批都购入x台（x∈N+），且每批均需运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管费用总计43
600元，现在全年只有24
000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用 求出结论，并说明理由.
思路分析：根据每批购入x台,建立总费用的函数y=×400+k·（2
000·x）,进行化简后利用均值不等式即可求解.
解：设总费用为y元，保管费用与每批电视机总价值的比例系数为k（k＞0），每批购入x台，则y=×400+k·（2
000·x），
当x=400时，y=43
600，解出k=5%.
∴y=+100x
≥·100x=24
000（元）为所需最低费用.
当且仅当=100x，即x=120时取到等号，因此只需每批购入120台，便可使资金够用.
6.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站…(
)
A.5千米处
B.4千米处
C.3千米处
D.2千米处
思路解析：设仓库到车站的距离为x,y1=,y2=k2x,当x=10时,y1=2,y2=8,
∴k1=20,k2=0.8.
∴y1+y2=+0.8x(x＞0)≥20.8x·=8.
当且仅当0.8x=，即x=5时，(y1+y2)min=8,因此应选A.
答案:A
7.某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
消费金额（元）的范围
［200，400)
［400，500)
［500，700)
［700，900)
……
获得奖券的金额（元）
30
60
100
130
……
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2+30=110（元）.设购买商品得到的优惠率=.试问：
（1）若购买一件标价为1
000元的商品，顾客得到的优惠率是多少
（2）对于标价在［500，800］（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率
解：（1）=33%.
（2）设商品的标价为x元，则500≤x≤800，消费额：400≤0.8x≤640.
由已知,得
①或
②
不等式组①无解，不等式组②的解为625≤x≤750.
因此，当顾客购买标价在［625，750］元内的商品时，可得到不少于的优惠率.
我综合
我发展
8.如图3-4-3所示，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，求可变电阻R2调至何值时，它所消耗的电功率最大，其最大电功率是多少
图3-4-3
思路分析：本题牵涉到物理中的电学知识,首先根据条件建立功率的表达式,利用结论:当x＞0，y＞0且x+y=s（定值）时，x·y有最大值即可得出答案.
解：由电学公式，知电功率P=UI，有
P2=U2I2=，
∵U2（E-U2）≤［］2=（定值），
∴仅当U2=E-U2，即2U2=E时，P2达到最大值.
在E=2U2的两端同除以I（I=I1=I2），
得2R2=r+R2+R1，
即R2=r+R1，此时消耗的电功率最大，其最大的电功率为.
9.某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件，假若定价上涨x成（这里x成，即，0＜x≤10），每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍.
（1）设y=ax，其中a是满足≤a＜1的常数，用a来表示当售货金额最大时的x值；
（2）若y=x，求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围.
思路分析：第(1)题首先把上涨后的销售额用变量x表示,然后根据函数的形式求出最大值,第(2)题实际上就是根据条件解不等式.
解：（1）由题意知某商品定价上涨x成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是p（1+）元、n（1-）件、npz元，因而npz=p（1+）·n（1-），
∴z=（10+x）（10-y）.
在y=ax的条件下，
z={-a［x-］2+100+}.
由于≤a＜1，则0＜≤10.
要使售货金额最大，即使z值最大，此时x=.
（2）由z=（10+x）（10-x）＞1，
解得0＜x＜5.
10.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（千米/时）之间的函数关系为y=(v＞0).
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
解：（1）依题意，
y=,
当且仅当v=,即v=40时,上式等号成立,
所以ymax=≈11.1(千辆/时).
（2）由条件,得＞10,
整理得v2-89v+1
600＜0,
即（v-25）（v-64）＜0,
解得25＜v＜64.
答：当v=40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.
11.某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图3-4-4所示，塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为α,tanα=.试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）.
图3-4-4
思路分析：建立函数，然后求函数的最值.为了建立函数采用建立坐标系，用到角公式比较简单.
解：如图所示，建立平面直角坐标系，
图3-4-5
则A（200，0），B（0，220），C（0，300），
直线l的方程为y=(x-200)tanα,即y=.
设点P的坐标为（x，y），
则P(x,)(x＞200).
由经过两点的直线的斜率公式,得
kPC=,
kPB=.
由直线PC到直线PB的角的公式,得
tan∠BPC=
要使tan∠BPC达到最大，只需x+-288达到最小，
由均值不等式,有
x+-288≥-288,
当且仅当x=时上式取得等号，
故当x=320时,tan∠BPC最大，这时，点P的纵坐标y为y=
=60.
由此实际问题,知0＜∠BPC＜,
所以tan∠BPC最大时，∠BPC最大，
故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大.3.4 不等式的实际应用
1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为( )
A．95元
B．100元
C．105元
D．110元
2．设计用32
m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定厢宽为2
m，则车厢的最大容积是( )
A．(38－3)
m3
B．16
m3
C．4
m3
D．14
m3
3．某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴纳，每平方米4元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．李明家的使用面积是60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超过__________．
4．一段长为l
m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，菜园的最大面积是__________
m2.
答案：1．A 设每个涨价x元，则y＝(x＋10)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4
000，
∴当x＝＝5时，y取得最大值，即涨价5元，每个售价为95元时利润最大．
2．B 设长为b
m，高为a
m，由已知得2b＋2ab＋4a＝32.
∴b＝.∴V＝a·b·2＝2·.
设t＝a＋1，则V＝2(20－2t－)≤2(20－2)＝16.
3．80平方米 根据使用面积应该缴纳的费用为60×4＝240元，设建筑面积为x，则根据他所选择的方案知3x－240≤0，所以x≤80，即建筑面积不超过80平方米．
4. 设墙的对边为x，另一边为，
∴面积S＝x·≤[]2＝，
当且仅当x＝，即x＝时，面积最大．
课堂巩固
1．若a、b、m∈R＋，a
g食盐加入到(b－a)
g水中，所得溶液的盐的质量分数为P1，将(a＋m)
g食盐加入到(b－a)
g水中，所得溶液的盐的质量分数为P2，则( )
A．P1B．P1＝P2
C．P1>P2
D．不确定
2．某品牌彩电为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号彩电降价，有四种降价方案：
方案(1)：先降价a%，再降价b%；
方案(2)：先降价b%，再降价a%；
方案(3)：先降价%，再降价%；
方案(4)：一次性降价(a＋b)%.
其中a>0，b>0，a≠b，上述四种方案中，降价幅度最小的是( )
A．方案(1)
B．方案(2)
C．方案(3)
D．方案(4)
3．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，则正方形的周长应为__________．
4．某公司一年购买某种货物400
吨，每次都购买x吨，运费4万元/次，一年总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________吨．
5．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1
000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
6．如图，某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：米)的矩形，上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米．
(1)求x，y的关系式，并求x的取值范围；
(2)问x，y分别为多少时用料最省？
答案：1．A P1＝＝，P2＝＝，P1－P2＝.
由00，
∴a－b<0，P1－P2<0，即P12．C 设原来价格为1，四种方案降价后分别得新价：
方案(1)：(1－a%)(1－b%)，
方案(2)：(1－b%)(1－a%)，
方案(3)：(1－%)2，
方案(4)：1－(a＋b)%，
很明显(1－a%)(1－b%)＝(1－b%)(1－a%)
<()2＝(1－%)2.
又(1－%)2－[1－(a＋b)%]＝(%)2>0，
∴方案(3)的新价最高．
故降价幅度最小的是方案(3)．
3. 设正方形的周长为x，则圆周长为1－x.
设圆的半径为r，则2πr＝1－x，r＝.
所求面积之和为()2＋π()2＝[(π＋4)x2－8x＋4]＝(x－)2＋，
∴当x＝时，面积之和为最小．
4．20 因为每次都购买x吨，一年购货400吨，所以购货次数为.
总运费与存储费用之和
f(x)＝4x＋4×＝4(x＋)≥4·2＝160(吨)．
f(x)最小时，x＝ x＝20.
5．解：(1)由题意得
y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1
000×(1＋0.6x)(0整理得y＝－60x2＋20x＋200(0(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，
当且仅当
即
解不等式得0答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足06．解：(1)由题意得x·y＋x·＝8(x>0，y>0)，
∵y＝－>0，∴0(2)设框架用料长度为l，
则l＝2x＋2y＋x＝(＋)x＋
≥4＝8＋4，
当且仅当(＋)x＝，x＝8－4，
y＝2，满足0答：当x＝8－4米，y＝2米时，用料最省．
点评：在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；(3)在定义域内，求出函数的最值；(4)正确写出答案．
1．把长为12
cm的铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值为( )
A.
cm2
B．4
cm2
C．3
cm2
D．2
cm2
1．答案：D 设12
cm长的铁丝分成两段为x
cm和(12－x)
cm，
则面积之和S＝×()2×sin60°＋()2·sin60°＝××[x2＋(12－x)2]≥×＝2，
当且仅当x＝12－x，即x＝6时等号成立．
2．张先生买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入中国联通130网，经调查，收费标准如下表：
网络
月租费
本地话费
长途话费
甲
联通130网
10元
0.2元/分
0.03元/6秒
乙
移动“神州行”
无
0.3元/分
0.04元/6秒
(注：本地话费以分钟为单位计费，长途话费以6秒钟为单位计费)
若张先生每月拨打本地电话的时间是长途电话时间的5倍，且每月通话时间(分钟)在区间(40,50)内，则选择较为省钱的网络为( )
A．甲
B．乙
C．甲或乙
D．分情况而定
2．答案：B 设张先生每月拨打长途电话的时长为x分钟，则有40<5x＋x<50，即使用甲和乙方式应付话费的差为
10＋0.2×5x＋0.03×10x－(0.3×5x＋10x×0.04)＝10－0.4x>0.
∴应选择乙方式．
3.某公司一年急需购买某种货物100吨，每次都购买x吨，运费为a万元/次，一年的总存储费为ax万元，要使一年的总运费与总存储费最小，则x＝__________.
3．答案：10 y＝·a＋ax≥2＝20a(万元)，
当且仅当＝ax，即x＝10时，y取最小值．
4．若Rt△ABC的斜边长为1，则它的内切圆半径r的最大值为__________．
4.
答案： 如图，由题知a2＋b2＝1，由基本不等式2ab≤a2＋b2，∴(a＋b)2≤2(a2＋b2)．
∴a＋b≤.根据切线的性质，如图，
∴r＝≤＝.
5．某家庭用14.4万元购买了一辆汽车，使用中维修费用逐年上升，第n年维修费用约为0.2n万元，每年其他费用为0.9万元．报废损失最小指的是购车费、维修费及其他费用之和的年平均值最小，则这辆车应在______年后报废损失最小．
5．答案：12 年平均值＝＝＋0.1n＋1≥3.4，
当且仅当＝0.1n，即n＝12时，年平均值最小，所以12年后报废损失最小．
6．商店经销某商品，年销售量为D件，每件商品库存费用为I元，每批进货为Q件，每次进货所需的费用为S元．现假定商店在卖完该货物时立即进货，使库存量为平均件，问每批进货量Q为多大时，整个费用最省？
6．答案：解：设整个费用为y元，则y含有两部分，一部分是库存费用·I，另一部分是进货费用·S，因此y＝·I＋·S，其中D、I、S均为定值，Q为变量．
∵D、I、S、Q>0，
∴y＝·I＋·S≥2＝.
当且仅当＝，即Q＝时，整个费用y最省．
7．建造一个容积为8
m3、深2
m的无盖长方体水池，如果池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，求这个水池的最低造价．
7．答案：解：设水池的造价为y元，池底的长为x
m，则宽为
m，
根据题意，有y＝4×120＋2(2x＋)·80＝480＋320(x＋)≥480＋320·2＝1
760，
∴当x＝，即x＝2时，ymin＝1
760(元)，
即当且仅当池底的长为2
m时，这个水池的造价最低，最低造价为1
760元．
8．有一批影碟机(VCD)原销售价为800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？
8．答案：解：设该单位需购买x(x∈N＋)台影碟机，甲、乙两商场的购货差价为y，则因为去甲商场购买共花费(800－20x)·x元，据题意800－20x≥440，
∴1≤x≤18.
去乙商场购买共花费600x，
∴y＝
＝
得
故若购买少于10台，去乙商场花费较少；若购买10台，去甲、乙商场花费一样；若多于10台，去甲商场花费少．
9．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24)．
(1)从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？
9.
答案：解：(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨，则y＝400＋60t－120.
令＝x，则x2＝6t，
即y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40，
所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨．
(2)依题意400＋10x2－120x<80，解得4所以每天约有8小时供水紧张．3.4
不等式的实际应用
课后训练
1．张先生买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入中国联通130网，经调查，收费标准如下表：
网络
月租费
本地话费
长途话费
甲
联通130网
12元
0.36元/分
0.06元/6秒
乙
移动“神州行”
无
0.6元/分
0.07元/6秒
(注：本地话费以分钟为单位计费，长途话费以6秒钟为单位计费)
若张先生每月拨打本地电话的时间是长途电话时间的5倍，且每月通话时间(分钟)在区间(40，50)内，则选择较为省钱的网络为( )．
A．甲
B．乙
C．甲或乙
D．分情况而定
2．用32
m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按规定厢宽为2
m，则车厢的最大容积是( )．
A．m3
B．16
m3
C．m3
D．14
m3
3．有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产基地以相同的价格购进粮食，他们各购进粮食三次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10
000千克，乙每次购粮花费10
000元，在三次统计中，购粮的平均价格较低的是( )．
A．甲
B．乙
C．一样低
D．不确定
4．如图所示，足球比赛场地的宽为a米，球门AB的宽为b米，在足球比赛中，甲方边锋带球过人沿直线l(紧贴球场边线)向前推进，该边锋在距乙方底线__________米时起脚射门，可命中角最大．
5．某单位决定投资3
200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，则仓库底面积S的最大允许值是__________平方米．
6．商店经销某商品，年销售量为D件，每件商品库存费用为I元，每批进货量为Q件，每次进货所需的费用为S元．再假定商店在卖完该货物时立即进货，使库存量为平均件，则每批进货量Q为多大时，总费用最省？
7．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为吨(0≤t≤24)．
(1)从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？
8．某商场预计全年分批购入每台价值为2
000元的电视机共3
600台，每批都购入x台(x∈N＋)，且每批均需运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管费用总计43
600元，现在全年只有24
000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？求出结论，并说明理由．
9某地区去年各季度某种农产品的价格如下表：
季度
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
每担售价(单位：元)
202.5
201.5
195.5
200.5
今年某农贸公司计划按去年各季度每担售价的算术平均数m元收购该农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)根据题中的条件写出m的值；
(2)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(3)要使此项税收在税率调整后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
参考答案
1.
答案：B
解析：设张先生每月拨打长途电话的时长为x分钟，则有40＜5x＋x＜50，即，使用甲和乙方式应付话费的差为12＋0.36×5x＋0.06×10x－(0.6×5x＋10x×0.07)＝12－1.3x＞0.
2.
答案：B
解析：设长为b
m，高为a
m，由已知得2b＋2ab＋4a＝32.
∴.
∴.
设t＝a＋1，
则.
3.
答案：B
解析：设第一、二、三次购粮时粮食价格分别为a，b，c(元/千克)，
则甲三次购粮的平均价格为，
乙三次购粮的平均价格为
，
由于a，b，c互不相同，故，
又，
∴，∴.
故甲三次购粮的平均价格比乙高．
4.
答案：
解析：设球离乙方底线水平距离为DC＝x，
由对称性知，，，记足球对于球门的张角∠ACB＝θ，于是tan∠ACD＝，tan∠BCD＝，tan
θ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝＝≤.
当且仅当，即时，tan
θ最大，
由于正切函数y＝tan
θ是上的增函数，所以此时θ也最大．
即该边锋在距乙方底线米时起脚射门，可命中角最大．
5.
答案：100
解析：设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则有S＝xy.
由题意，得40x＋2×45y＋20xy＝3
200.
由均值不等式，得
＝120＋20xy＝120＋20S，
∴S＋6≤160，即(＋16)(－10)≤0.
∵＋16＞0，∴－10≤0，从而S≤100.
当且仅当x＝15，时，等号成立．
6.
解：设总费用为y元，则y含有两部分，一部分是库存费用·I，另一部分是进货费用·S，因此，其中D，I，S均为定值，Q为变量．∵D，I，S，Q＞0，
∴.
当且仅当，即时，总费用y最省．
7.
解：(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨，则y＝400＋60t－120；
令＝x，则x2＝6t，即y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40，所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，即从供水开始到第6小时，蓄水池水量最少，只有40吨．
(2)依题意400＋10x2－120x＜80，解得4＜x＜8，即4＜＜8，＜t＜，即有－＝8，所以每天约有8小时供水紧张．
8.
解：设总费用为y元，保管费用与每批电视机总价值的比例系数为k(k＞0)，每批购入x台，则y＝×400＋k·(2
000·x)，
当x＝400时，y＝43
600，解出k＝0.05.
∴.
当且仅当＝100x，即x＝120时取到等号．因此只需每批购入120台，便可使资金够用．
9.
解：(1)m＝200.
(2)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)，由题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10)．
(3)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．
依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得x2＋40x－84≤0，
∴－42≤x≤2.又∵0＜x＜10，
∴0＜x≤2，
即x的取值范围是0＜x≤2.3.4
不等式的实际应用
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.一元二次不等式ax2+2x-1有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(
)
A.a＞1
B.a＜1且a≠0
C.a＜-1
D.a＞-1且a≠0
解析：一元二次不等式有两个不等的实数根，其判别式Δ=4+4a＞0，即a＞-1且二次项系数不能为0，即a≠0.
答案：D
2.某企业生产一种产品x(百件)件的成本为(3x-3)万元,销售总收入为(2x2-5)万元,如果要保证该企业不亏本,那么至少生产该产品数为_____________(百件).
解析：要不亏本只需收入不小于成本,即2x2-5-(3x-3)≥0,即2x2-3x-2≥0,解之得x≤或x≥2,而产品件数不能是负数,所以,x的最小值为2.
答案：2
3.已知不等式ax2+bx-2＞0的解集为(1,2),那么实数a=__________,b=__________.
解析：根据不等式解集的特点可知a＜0,且方程ax2+bx-2=0的两个实数根分别为1和2,代入方程或者利用根与系数的关系即可求出a,b的值.
答案：-1
3
4.不等式x2-ax+b＜0的解集为{x|2＜x＜3},则a=__________,b=__________.
解析：根据条件2和3是方程x2-ax+b=0的两个实根,由根与系数的关系可得即a=5,b=6.
答案：5
6
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.关于x的一元二次不等式x2-ax+2a=0有一个正根和一个负根,那么实数a的取值范围是(
)
A.a＜0
B.a＞0
C.a＞1
D.a＜1
解析：令函数f(x)=
x2-ax+2a,则f(x)与x轴的两个交点分别在y轴的两侧,结合二次函数的图象可知,应有f(0)=
2a＜0,即a＜0.
答案：A
2.乘某种出租车，行程不足4千米时，车票10.40元，行程不足16千米时，大于或等于4千米的部分，每0.5千米车票0.8元，计程器每0.5千米计一次价.例如当行驶路程x（千米）满足12≤x≤12.5时，按12.5千米计价；当12.5≤x＜13时，按13千米计价.若某人乘车从A到B共付费28元，则从A地到B地行驶的路程m千米满足(
)
A.10.5≤m＜11
B.11≤m＜11.5
C.14.5≤m＜15
D.15≤m＜15.5
解析：可以根据条件首先判断出m的大致范围,然后代入验证即可.当m=15时，付费10.40+（15-4）×2×0.8元=28元.
答案：D
3.建造一个容积为8
m3,深为2
m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价1
m2分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为______________元.
解析：设池底一边长为x
m,水池的总造价为y元,则依题意得y=4×120+2(2x+2×)×80=480+320(x+)(x＞0).因为x+≥=4,当且仅当x=,即x=2时,取等号.所以,y的最小值为1
760.
答案：1
760
4.已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为___________.
解析：设直线l为=1(a＞0,b＞0)，则有关系=1．对=1应用二元均值不等式，得1=≥，即ab≥8．于是，△OAB面积为S=ab≥4．从而应填4．
答案：4
5.定义域为［-1，1］的函数f(x)=kx+2k+1,其值域既有正数也有负数,则实数k的取值范围是______________.
解析：由已知可得f(x)=kx+2k+1是单调函数,其值域既有正数也有负数,应有f(-1)·?f(1)＜0且k≠0,即(k+1)(3k+1)＜0且k≠0.所以＜k＜-1.
答案：＜k＜-1
6.若函数f(x)=的定义域为R,求实数k的取值范围.
解:函数的定义域为R等价于函数y=kx2-6kx+k+8≥0对于一切x∈R都成立.
(1)k=0时,y=8≥0恒成立;
(2)当k≠0时,
解之得0＜k≤1,所以0≤k≤1.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|＜x＜}，则a-b等于(
)
A.-4
B.14
C.-10
D.10
解析：由ax2+bx+2＞0的解集是{x|＜x＜},知、是方程ax2+bx+2=0的两根，且a＜0,由韦达定理得：∴
∴a-b=-10.
答案：C
2.如图甲所示，P是球O的直径AB上的动点，PA=x，过P点且与AB垂直的截面面积记为y，则y=f（x）的大致图象是图乙中的（
）
图甲
图乙
解析：不妨设球的半径为R（常数）.∵PA=x，∴OP=R-x.
∴截面圆的半径r=.∴y=πr2=2πRx-πx2（0≤x≤R）.
∴选A.
答案：A
3.一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下关系：y=-2x2+220x.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6
000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产摩托车数量为(
)
A.41—49
B.51—59
C.61—69
D.71—79
解析：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意，得-2x2+220x＞6
000.
移项整理，得x2-110x+3
000＜0.因为Δ=100＞0，所以方程x2-110x+3
000=0有两个实数根x1=50，x2=60.由二次函数y=x2-110x+3
000的图象得不等式的解为50＜x＜60.
因为x只能取整数值，所以当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6
000元以上的收益.
答案：B
4.若实数a、b满足a2+b2=1,且c＜a+b恒成立,则实数c的取值范围是_____________.
解析：只需使c小于a+b的最小值,根据条件设a=cosθ,b=sinθ,则a+b=cosθ+sinθ=sin(θ+),所以a+b的最小值为,故只需c＜.
答案：(-∞,)
5.在△ABC中,三边a、b、c的对角分别为A、B、C,若2b=a+c,则角B的取值范围是___________.
解析：因为2b=a+c,所以b=,
所以,cosB=,
所以,0＜B≤.
答案：0＜B≤
6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=_____________吨.
解析：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为·4+4x万元，·4+4x≥160，当=4x，即x=20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.
答案：20
7.某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽油费用为9
000元；汽车的维修费各年为：第一年2
000元，第二年4
000元，第三年6
000元，以每年2
000元的增量递增，问这种汽车最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的平均费用为最少） （计算总维修费可用：×年数）
解:设使用n年平均费用为y万元，则
y=+1≥2+1=3(万元).
当且仅当，即n=10时等号成立.
答：最多使用10年报废最合算.
8.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3
000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金定为3
600元时,能租出多少辆车
(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大 最大月收益是多少
解:(1)当每辆车的月租金定为3
600元时,租出的车辆数为=12,所以这时租出了88辆.
(2)设每辆车的租金定为x元,则租赁公司的月收益为
f(x)=(100-)(x-150)-×50,
整理得f(x)=+162x-21
000=(x-4
050)2+307
050.
所以,当x=4
050时,f(x)最大,最大值为f(4
050)=307
050.
即当每辆车的月租金定为4
050元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为307
050元.
9.某村计划建造一个室内面积为800
m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1
m宽的通道，沿前侧内墙保留3
m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
解:设矩形温室的左侧边长为a
m，后侧边长为?b
m，则
ab=800.
蔬菜的种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b).
所以S≤808-=648(m2).
当a=2b,即a=40(m),b=20(m)时，S最大值=648(m2)
答：当矩形温室的左侧边长为40
m，后侧边长为20
m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648
m2.
10.(2006高考湖南卷,理20)对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度〔含污物体的清洁度定义为:〕为0.8,要求清洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是(x＞a-1),用y质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中c(0.8＜c＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.
(1)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;
(2)若采用方案乙,当a为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少 并讨论a取不同数值时对最少总用水量的影响.
解:(1)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19.
由c=0.95得方案乙初次用水量为3,第二次用水量y满足方程:=0.99,解得y=4a,故z=4a+3.即两种方案的用水量分别为19与4a+3.
因为当1≤a≤3时，x-z=4(4-a)＞0,即x＞z,故方案乙的用水量较少.
(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（1）得x=,y=a(99-100c).（
）
于是x+y=+a(99-100c)=+100a(1-c)-a-1.
当a为定值时,
x+y≥-a-1=w-a+-1.
当且仅当=100a(1-c)时等号成立.
此时c=（不合题意，舍去）或c=∈(0.8,0.99).
将c=代入（
）式得x=-1＞a-1,y=-a.
故c=时总用水量最少,此时第一次与第二次用水量分别为与-a,
最少总用水量是T(a)=-a+-1.
当1≤a≤3时,
T(a)是增函数(可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着a的值的最少总用水量也最少.