3.5.2
简单线性规划
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.目标函数z=3x-y，将其看成直线方程时，z的意义是（
）
A.该直线的截距
B.该直线的纵截距
C.该直线纵截距的相反数
D.该直线的横截距
解析：由目标函数z=3x-y，得y=3x-z.令x=0,得y=-z.也就是说,z表示该直线纵截距的相反数,故选C.
答案：C
2.能表示下图阴影部分的二元一次不等式组是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：从图中可看出，阴影部分满足0≤y≤1，-1≤x≤0.因为点（0，0）在2x-y+2=0下方，且（0，0）点坐标代入方程左端有2×0-0+2＞0，因为阴影部分符合2x-y+2＞0.故选C.
答案：C
3.若0≤x≤1，-1≤y≤2，则z=x+4y的最小值为_____________.
解析：如下图所示，当直线z=x+4y过点（0，-1）时，z取最小值，则zmin=0+4×（-1）=-4.
答案：-4
4.设z=2y-x，式中变量x、y满足下列条件，则z的最大值为____________.
解析：在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC中满足z=2y-x的最大值是点C，代入得最大值等于11.
答案：11
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.设E为平面上以三点A（4，1），B（-1，-6），C（-3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x-3y的最大值与最小值分别为（
）
A.14，-18
B.-14，-18
C.18，14
D.18，-14
解析：当动直线z=4x-3y通过点B时，z取最大值，通过点C时，z取最小值.
答案：A
2.完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2
000元，设请木工x人，瓦工y人，请工人数的约束条件是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：工人数x、y必须为正整数，所以可排除B、D，再根据工资预算列线性约束条件，得5x+4y≤200.故选C.
答案：C
3.已知实数x、y满足则x+2y的最大值是_____________.
解析：已知实数x、y满足在坐标系中画出可行域，三个顶点分别是A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)，∴x+2y的最大值是4.
答案：4
4.在线性条件下，z=2x-y的最大值是___________,最小值是___________.
解析：约束条件的可行域,如下图中△ABC的内部加上边界.
当z为常数时，-z表示直线z=2x-y在y轴上的截距.
如下图所示，当点（x，y）位于点C（-1，-1）时，-z取最大值.
∴z有最小值，zmin=2×（-1）-（-1）=-1.
当点（x，y）位于点B（2，-1）时，-z取最小值，
∴z有最大值，zmax=2×2-（-1）=5.
答案：
5,-1.
5.已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3,1）处取得最大值，则a的取值范围为_______________.
解析：变量x，y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.在坐标系中画出可行域，如下图为四边形ABCD，其中A(3，1)，kAD=1,kAB=-1，目标函数z=ax+y（其中a＞0）中的z表示斜率为-a的直线截距的大小，若仅在点(3,1)处取得最大值，则斜率应小于kAB=-1，即-a＜-1，所以a的取值范围为(1，+∞).
答案：(1，+∞)
6.若x,y满足条件求z=x+2y的最大值和最小值.
解：画出可行域，平移直线找最优解.作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如下图?所示.
作直线l：z=x+2y，即y=x+z，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l过点A时,z取得最大值，当l过点B时，z取得最小值.所以,zmax=2+2×8=18,zmin=-2+2×2=2.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z=10x+10y的最大值是（
）
A.80
B.85
C.90
D.95
解析：画出可行域,寻找最优解.故找到（5，4）点，∴z=10x+10y.最大值为10×5+10×4=90.
答案：C
2.在△ABC中，三顶点A（2，4）、B（-1，2）、C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z=x-y的最大值为（
）
A.1
B.-3
C.-1
D.3
解析：先画出△ABC，如下图所示，对z=x-y，可看成y=x-z，求z的最值，相当于找斜率为1的直线经过△ABC区域时纵截距的有关最值.可知，直线经过C、B点，纵截距-z分别取最小值-1及最大值3，从而z分别取最大值1及最小值-3.
答案：A
3.如下图，目标函数z=ax-y的可行域为四边形OACB（含边界），若C（）是该目标函数z=ax-y的最优解，则a的取值范围是（
）
A.（）
B.（）
C.（）
D.（）
解析：因kBC=，kAC=，故a∈（，）.最优解为C点，则目标函数表示的直线的斜率在直线BC与AC的斜率之间.
答案：B
4.已知三点A（x0，y0）、B（1，1）、C（5，2），如果一个线性规划问题的可行域是△ABC的边界及其内部，线性目标函数z=ax+by在点B处取得最小值3，在点C处取得最大值12，则下列关系成立的是（
）
A.3≤x0+2y0≤12
B.x0+2y0≤3或x0+2y0≥12
C.3≤2x0+y0≤12
D.2x0+y0≤3或2x0+y0≥12
解析：由题设，得zmin=a+b=3，zmax=5a+2b=12，联立解得a=2，b=1，则z=2x+y.
又对于可行域内的任意点（x，y），都有3≤?z≤12，故3≤2x0+y0≤12.
答案：C
5.可行域D：与可行域E：对应的点集间的关系是____________.
解析：分别作出可行域D和E，其中两直线x-y+1=0与x+y-4=0交点坐标为（），如下图所示，可知区域D的点全部落在E区域内，且E中有更多的点，故DE.
答案：DE
6.不等式组表示的平面区域的面积为______________.
解析：作出不等式组表示的可行域，如下图所示，可知图形为三角形，可求BC=11，BC边上的高为=，∴S=×11×=.
答案：
7.在满足不等式组的点中，使目标函数k=6x+8y取得最大值的点的坐标是_____________.
解析：首先根据不等式组表示的约束条件画出对应的平面区域,然后由直线k=6x+8y在平面区域内平移可得在点（0，5）处取最大值.
答案：（0，5）
8.已知问（x+1）2+（y+1）2的最大值、最小值各是多少
解：作出不等式组表示的可行域.
由得:A（1，3）;
由得:B（3，4）;
由得:C（2，1）.
z=（x+1）2+（y+1）2表示可行域内的点到点（-1，-1）的距离的平方.以（-1，-1）为圆心，为半径画圆，当圆经过点B时，z最大；当圆经过点C时，z最小.
∴当x=3，y=4时，（x+1）2+（y+1）2=41最大,当x=2，y=1时，（x+1）2+（y+1）2=13最小.
9.学校有线网络同时提供A、B两套校本选修课程.A套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分.全学期20周，网络每周开播两次，每次均为独立内容.学校规定学生每学期收看选修课不超过1
400分钟，研讨时间不得少于1
000分钟.两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？
解：设选择A、B两套课程分别为x、y次，z为学分，则
图示如下：
目标函数:z=5x+4y.
由方程组解得:点A(15,25),B(25,12.5),由于目标函数的斜率与直线AB的斜率相等，因此在图中阴影线段AB上的整数点A（15，25）、C（19，20）、D（23，15）都符合题意，使得学分最高为175分.但学生可根据自己的经验和要求选择一个最佳的点.例如，学生需要最省时就可以选择点A(15，25).
10.海湾战争，美军两支部队从不同驻地到某攻击点会师，实行合围，其运动时间可能需要5至6小时.伊军一旦发现情况后只需20分钟集结就会遁逸.全歼伊军胜算的概率有多少？
解：以x、y分别表示两支部队到达攻击点的时刻，则两支部队能在伊军逃走前会师的条件为|x-y|≤20,x、y∈［0,60］,
即图示如下：
在直角坐标系中画出x、y的可行域，如上图中阴影部分所示，显然两支部队可能在伊军逃走前会师的时间为图中边长等于60的正方形内的点（包括边界），两支部队能在伊军逃走前会师的机会为图中阴影部分，从而可得到所求的概率为P=602-2×.3．5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域
1．不在3x＋2y<6表示的平面区域内的点是( )
A．(0,0)
B．(1,1)
C．(0,2)
D．(2,0)
2．不等式2x－y－6>0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的( )
A．左上方
B．右上方
C．左下方
D．右下方
3．由直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0,2x＋y＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为__________．
4．画出下列不等式所表示的平面区域：
(1)4x－3y≤12；(2)x≥1；
(3)x－2y<0；(4)－2x＋y－3>0.
答案：1．D ∵点(2,0)在直线3x＋2y＝6上，
∴不符合．
2．D 作出直线2x－y－6＝0，取原点(0,0)代入得－6<0，所以原点不在其平面区域内．
3. 先画出直线，然后通过代点法判断三条直线围成的三角形所在的区域．
4．解：如图所示．
课堂巩固
1．已知点(3,1)和点(－4,6)在直线3x－2y＋m＝0的两侧，则( )
A．m<－7或m>24
B．－7C．m＝－7或m＝24
D．－7≤m≤24
2．如右图，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是( )
A.
B.
C.
D.
3．已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于__________，最大值等于__________．
4．已知集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤1}，B＝{(x，y)|(y－x)(x＋y)≤0}，M＝A∩B，则M的面积为__________．
5．画出下列不等式组表示的平面区域：
6．画出下列不等式组所表示的平面区域：
(1)(2)
答案：1．B 把点(3,1)与(－4,6)代入直线方程，则(3×3－2×1＋m)(－12－2×6＋m)<0，
解得－72．A 题图中两直线方程分别为x＋y－1＝0和x－2y＋2＝0.阴影部分在x＋y－1＝0的右上方，x－2y＋2＝0的右下方，所以x＋y－1≥0，x－2y＋2≥0.
3. 画出不等式组表示的平面区域，如图所示，易得A(2,2)，
OA＝2，B(1,3)，OB＝，C(1,1)，OC＝.
故|OP|的最大值为，最小值为.
4．1 由题意，如下图可知，图中阴影部分即为M的平面区域，可求其面积．
S＝×2×1＝1.
5．解：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
6．解：(1)原不等式组表示平面区域的公共部分(阴影部分)如图(1)所示．
(1)
(2)原不等式组表示平面区域的公共部分(阴影部分)如图(2)所示．
(2)
1．下列二元一次不等式组，能表示图中阴影部分的是( )
A.
B.
C.
D.
1．答案：C 边界直线为2x－y＋2＝0与y＝－1，将(0,0)点代入2x－y＋2，得2>0，所以原点在2x－y＋2≥0所表示的平面区域内．阴影部分在y＝－1的上方，所以满足条件的不等式为y≥－1.阴影部分还在y轴的左侧，所以满足条件的不等式为x≤0.
2．不等式组表示的平面区域是一个( )
A．三角形
B．直角三角形
C．梯形
D．矩形
2．答案：C 作出不等式组的平面区域，由图可知平面区域的形状为梯形．
3.在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为( )
A．2
B．1
C.
D.
3．答案：B 设则
由得
作出(v，u)点对应的区域(如图阴影部分)．
所以平面区域B的面积为＝1.
4．满足|x|＋|y|≤4的整点(横、纵坐标为整数)(x，y)的个数是( )
A．16
B．17
C．40
D．41
4．答案：D 当x≥0，y≥0时，不等式|x|＋|y|≤4，即x＋y≤4，由对称性知，满足不等式|x|＋|y|≤4的平面区域是如图所示的正方形及其内部，其整点(横、纵坐标为整数)(x，y)的个数是41.
5.如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|P的最小值为__________．
5.
答案： 作出满足条件的平面区域(如图)，利用圆的性质，由图形知|PQ|min＝2＋－1＝.
6．在平面直角坐标系上，设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点的个数为an(n∈N
)，则a2为__________．
6．答案：12 当n＝2时，不等式组为作图．
则整点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，共12个．
∴a2＝12.
7．不等式|3x＋2y＋k|≤8表示的平面区域必包含(0,0)及(1,1)两点，则实数k的取值范围是__________．
7．答案：[－8,3] ∵|3x＋2y＋k|≤8，
∴－8≤3x＋2y＋k≤8.
又∵(0,0)及(1,1)在不等式所含的区域内，
∴得－8≤k≤3.
8．用不等式组表示以A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形内部(不含边界)的平面区域．
8．答案：解：∵△ABC的三个顶点坐标分别为A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)，
∴直线AB的方程为7x－5y－23＝0，直线BC的方程为4x＋y＋10＝0，直线AC的方程为x＋7y－11＝0.
∵原点O(0,0)在区域内，把x＝0，y＝0代入7x－5y－23得－23<0；把x＝0，y＝0代入4x＋y＋10得10>0；把x＝0，y＝0代入x＋7y－11得－11<0.
∴以A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形内部的平面区域可以用不等式组表示．
9．求不等式组表示的平面区域的面积．
9．答案：解：作出不等式组所表示的可行域如下图．
因此，其区域面积就是△ABC的面积．
显然，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC，B点的坐标为(3，－3)．
由点到直线的距离公式：
|AB|＝＝，
所以S△ABC＝××＝36.
故不等式组表示的平面区域的面积是36.
10．画出不等式组表示的平面区域，并求出不等式组的整数解．
10．答案：解：不等式x－2≤0表示直线x－2＝0上及左侧点的集合；不等式x－y≥0表示直线x－y＝0上及右下方点的集合；不等式y≥x－1表示直线y＝x－1上及左上方点的集合．
故不等式表示的平面区域如图所示．
由图形可得，在阴影部分内的整点为(－2，－2)，(0,0)，(0，－1)，(1,1)，(1,0)，(2,2)，(2,1)，(2,0)，
即不等式组的整数解为3.5.2 简单线性规划
1．设变量x、y满足约束条件则目标函数z＝2x＋y的最小值为( )
A．2
B．3
C．4
D．9
2．给出平面区域如图所示，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取最大值的最优解有无穷多个，则a的值为( )
A.
B.
C．4
D.
3．(浙江高考，文13)若实数x，y满足不等式组则2x＋3y的最小值是________．
4．(北京高考，文11)若实数x，y满足则S＝x＋y的最大值为______．
答案：1．B 作出线性区域如下图所示，z正比于截距，∴z的最小值为过点(1,1)的直线，此时z＝2×1＋1＝3.
2．A 由题意，当l0：ax＋y＝0平移到恰好与AC重合时，取最大值的最优解有无穷多个，
即－a＝kAC＝＝－，∴a＝.
3．4 由图形易知z＝2x＋3y在点A处取最小值．∴zmin＝2×2＋3×0＝4.
4．9 由图可知S＝x＋y在点A(4,5)处取最大值，故Smax＝4＋5＝9.
课堂巩固
1．(海南、宁夏高考，文6)设x，y满足则z＝x＋y( )
A．有最小值2，最大值3
B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最小值，也无最大值
2．给出下列定义：连结平面点集内两点的线段上的点都在该点集内，则这种线段的最大长度就叫做该平面点集的长度．已知平面点集M由不等式组给出，则M的长度是( )
A.
B.
C.
D.
3．由x≥0，y≥0及x＋y≤4所围成的区域面积为__________．
4．设变量x、y满足约束条件则z＝2x＋3y的最大值为__________．
5．设z＝2x＋y，式中变量满足下列条件：
求z的最大值与最小值．
6．某运输公司接受了向地震救灾地区每天送至少180
t支援物资的任务．该公司有8辆载重6
t的A型卡车与4辆载重为10
t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型为320元，B型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A型或B型卡车，所花的成本费分别是多少？
答案：1．B 由图象可知z＝x＋y在点A处取最小值zmin＝2，无最大值．
2．B 不等式组可化为作出不等式组所表示的平面区域，如下图所示．
则M的长度等于|AB|＝＝.
3．8 作出由三个不等式组成的不等式组所表示的平面区域．
由右图可知，可行域的形状为等腰直角三角形，其面积为×4×4＝8.
4．18 作出可行域如下图，若z取最大值，则必过的交点，即过点(3,4)．
∴z的最大值为2×3＋3×4＝18.
5．解：作出满足不等式组的可行域，如下图所示：
令z＝0，作直线l：2x＋y＝0，平移直线l，由上图可知，当l经过点A时，z的值最大；当l经过点B时，z的值最小．
解方程组得顶点A(5,2)．
解方程组得顶点B(1,1)．
此时，顶点A(5,2)与B(1,1)为最优解．
z的最大值为12，z的最小值为3.
6.解：设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆．列表分析数据.
A型车
B型车
限量
车辆数
x
y
10
运物吨数
24x
30y
180
费用
320x
504y
z
由表可知x、y满足的线性条件为
且z＝320x＋504y.
作出线性区域，如图所示，可知当直线z＝320x＋504y过A(7.5,0)时，z最小，但A(7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z＝320x＋504y可知，(8,0)是最优解．这时zmin＝320×8＋504×0＝2
560(元)，即用8辆A型车、0辆B型车，成本费最低．
若只用A型车，成本费为8×320＝2
560(元)，
只用B型车，成本费为×504＝3
024(元)．
1．(安徽高考，文3)不等式组所表示的平面区域的面积等于( )
A.
B.
C.
D.
1．答案：C 平面区域如图，解
得A(1,1)，
易得B(0,4)，C(0，)．|BC|＝4－＝.
∴S△ABC＝××1＝.
2．如上图，目标函数z＝ax－y的可行域为四边形OACB(含边界)，若C(，)是该目标函数z＝ax－y的最优解，则a的取值范围是( )
A．(－，－)
B．(－，－)
C．(，)
D．(－，)
2．答案：B 最优解为C点，则目标函数表示的直线斜率在直线BC与AC的斜率之间．
因kBC＝－，kAC＝－，故a∈(－，－)．
3．在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )
A．－5
B．1
C．2
D．3
3．答案：D 设a>0，平面区域如图：
面积S梯形－S三角形＝2，
即－＝2，得a＝3.
当a＝－5时，不表示任何区域．
4.设变量x、y满足约束条件则z＝x－3y的最小值为__________．
4．答案：－8 作出可行域．
令z＝0，则l0：x－3y＝0，平移l0，在点M(－2,2)处z取到最小，最小值为－8.
5．已知x、y满足则m＝x2＋y2＋2x－2y＋2的最小值是__________．
5．答案：2 将目标函数化为m＝x2＋y2＋2x－2y＋2＝(x＋1)2＋(y－1)2，因此可以看作是动点(x，y)到定点(－1,1)的距离的平方，结合图形(图略)，只需求定点(－1,1)到直线y＝x的距离即可，由点到直线的距离公式得d＝＝，d2＝2.
6．某实验室需购买某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，第一种每袋是35千克，价格为140元；第二种是每袋24千克，价格为120元，在满足需求的条件下，最少要花费__________元．
6．答案：500 设第一种为x袋，第二种为y袋，总的花费为z元，由题意知35x＋24y≥106(x，y均为整数)．
z＝140x＋120y.其中x＝0,1,2,3,4，相应y值和花费如下：x＝0，y＝5，z＝600；x＝1，y＝3，z＝500；x＝2，y＝2，z＝520；x＝3，y＝1，z＝540；x＝4，y＝0，z＝560.易见，最少要花费500元．
7．变量x、y满足设z＝，求z的最大值与最小值．
7．答案：解：由约束条件作出点(x，y)的可行域(如下图)．
∵z＝＝，
∴z的几何意义即是可行域中的点与O(0,0)点连线的斜率．观察图形可知，zmax＝kAO，zmin＝kBO.
又由
解得A(1，)，kAO＝.
由解得B(5,2)，kBO＝.
∴zmax＝，zmin＝.
8．已知x，y满足求S＝7x＋5y的最大值．
8．答案：解：画出可行域为四边形ADOE内部，如下图所示，作直线l0：7x＋5y＝0的平行线l，当l经过A点时，S可取最大值．
由方程组可得A点坐标(，)，然而点A不是整点，不能作为最优解．
因经过点A的目标函数所确定的直线l为
7x＋5y＝34，
令7x＋5y＝34，经验证可得：
在可行域中与此直线l距离最近的整点为B(2,4)，使SB＝7×2＋4×5＝34为最大．
9．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．
某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
9．答案：解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知
目标函数z＝x＋0.5y.问题就是求z的最大值．
作出可行域如图．
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，直线经过可行域上的M点时，平行直线的横截距最大，此时z＝x＋0.5y最大．
解方程组得M(4,6)．
此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
∴当x＝4，y＝6时z取得最大值．
∴投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．3.5.2
简单线性规划
自我小测
1．设x，y满足则z＝x＋y( )
A．有最小值2，最大值3
B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最小值，也无最大值
2．如图，目标函数z＝ax－y的可行域为四边形OACB(含边界)，若Ceq
\b\lc\(\rc\)()是该目标函数z＝ax－y的最优解，则a的取值范围是( )
A．eq
\b\lc\(\rc\)()
B．eq
\b\lc\(\rc\)()
C．eq
\b\lc\(\rc\)()
D．eq
\b\lc\(\rc\)()
3．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是( )
A．80
B．85
C．90
D．95
4．给出下列定义：连接平面点集内两点的线段上的点都在该点集内，则这种线段的最大长度就叫做该平面点集的长度．已知平面点集M由不等式组给出，则M的长度是( )
A．
B．
C．
D．
5．给出平面区域如图所示，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取最大值的最优解有无穷多个，则a的值为( )
A．
B．
C．4
D．
6．在满足不等式组的点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是______．
7．设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝__________．
8．已知实系数方程x2＋ax＋2b＝0的两根在区间(0，1)与区间(1，2)内，则的取值范围是__________．
9．已知x，y满足约束条件求解下列问题：
(1)求目标函数z＝4x－y的最小值；
(2)若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，求＋的最小值．
10．学校有线网络同时提供A，B两套选修课程．A套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分．全学期20周，网络每周开播两次，每次均为独立内容．学校规定学生每学期收看选修课不超过1
400分钟，研讨时间不得少于1
000分钟．两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？
参考答案
1．解析：由图象可知z＝x＋y在点A处取最小值，即zmin＝2，无最大值．
答案：B
2．解析：因为kBC＝－，kAC＝－，最优解为C点，则目标函数表示的直线的斜率在直线BC与AC的斜率之间，故a∈eq
\b\lc\(\rc\)()．故选B．
答案：B
3．解析：画出可行域如图阴影部分所示，寻找最优解．故找到点A(5．5，4．5)，又x，y∈N，所以最优解为(5，4)．∴z＝10x＋10y的最大值为10×5＋10×4＝90．
答案：C
4．解析：不等式组可化为作出不等式组所表示的平面区域，如右图阴影部分所示．
由图，可知A，B(1，2)，则M的长度等于|AB|＝＝．
答案：B
5．解析：由题意，当l0：ax＋y＝0平移到恰好与AC重合时，取最大值的最优解有无穷多个，
即－a＝kAC＝＝－，∴a＝．
答案：A
6．解析：首先根据不等式组表示的约束条件画出对应的平面区域如图阴影部分所示，然后由直线z＝6x＋8y在平面区域内平移可得在点(0，5)处取最大值．
答案：(0，5)
7．解析：画出可行域如图所示．
由可行域知，最优解可能在A(0，2)或C(4，4)处取得．
若在A(0，2)处取得不符合题意；
若在C(4，4)处取得，则4k＋4＝12，解得k＝2，此时符合题意．
答案：2
8．解析：设f(x)＝x2＋ax＋2b，依题意，此函数图象与x轴两交点的横坐标在(0，1)和(1，2)内，其条件为即
在直角坐标系中作出可行域如下图阴影部分所示．
由的几何意义知△ABC内任一点P(a，b)与定点M(1，2)连线的斜率的范围即为所求．
∵kMA＝，kMB＝1，∴＜＜1．
答案：eq
\b\lc\(\rc\)()
9．解：不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分．
(1)zmin＝－2．
(2)当直线ax＋by＝z(a>0，b>0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4，6)时，目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值12，即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，
所以＋＝＝＋≥＋2＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立．
即＋的最小值为．
10．解：设选择A，B两套课程分别为x，y次，z为学分，则
在直角坐标系中作出可行域如图阴影部分所示．
目标函数：z＝5x＋4y．
由方程组解得：点A(15，25)，B(25，12．5)，由于目标函数的斜率与直线AB的斜率相等，因此在图中阴影线段AB上的整数点A(15，25)，C(19，20)，D(23，15)都符合题意，使得学分最高为175分．但学生可根据自己的经验和要求选择一个最佳的点．例如，学生需要最省时就可以选择点A(15，25)．3.5
二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
课后训练
1．已知点P1(0，0)，P2(1，1)，P3，则在3x＋2y－1≥0表示的平面区域内的点是( )．
A．P1，P2
B．P1，P3
C．P2，P3
D．P2
2．如下图，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是( )．
A．
B．
C．
D．
3．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则的最小值为( )．
A．
B．
C．
D．4
4．(大纲全国高考，文4)若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值为( )．
A．17
B．14
C．5
D．3
5．在△ABC中，三顶点分别为A(2，4)，B(－1，2)，C(1，0)，点P(x，y)在△ABC的内部及其边界上运动，则m＝y－x的取值范围为________．
6．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为__________(百万元)．
7．已知点M(a，b)在由不等式组确定的平面区域内，求点N(a＋b，a－b)所在平面区域的面积．
8．给出的平面区域是△ABC内部及边界(如下图所示)，若目标函数z＝ax＋y(a＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值及z的最大值．
预算用2
000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，并希望桌椅的总数尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍．问：桌子和椅子各买多少才合适？
参考答案
1.
答案：C
解析：把各点的坐标逐个代入检验则有P2，P3能使3x＋2y－1≥0成立．
2.
答案：A
解析：题图中两直线方程分别为x＋y－1＝0和x－2y＋2＝0.阴影部分在x＋y－1＝0的右上方，x－2y＋2＝0的右下方，所以x＋y－1≥0，x－2y＋2≥0.
3.
答案：A
解析：点(x，y)所满足的可行域如图中阴影部分所示，根据目标函数所表示的直线的斜率是负值，可知目标函数只有在点A处取得最大值，故实数a，b满足4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，
故，
当且仅当a＝b时取等号．
4.
答案：C
解析：作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线z＝2x＋3y过直线x＝1与x－3y＝－2的交点(1，1)时取得最小值，所以最小值为5.
5.
答案：[－1，3]
解析：在坐标系中画出三角形区域，知当直线m＝y－x通过B(－1，2)时，m取最大值，最大值为3；当直线通过C(1，0)时，m取最小值，最小值为－1.
6.
答案：15
解析：设需要A，B铁矿石分别为x万吨，y万吨，
则
目标函数z＝3x＋6y，作出可行域，如下图，
平行移动，当其过(1，2)时z最小，最小值为15(百万元)．
7.
解：∵点M(a，b)在由确定的平面区域内，
∴设X＝a＋b，Y＝a－b，
则即
∴点N(a＋b，a－b)即点N(X，Y)所在的平面区域为如图所示阴影部分．
易求得其面积.
8.
解：直线z＝ax＋y(a＞0)是斜率为－a，y轴上的截距为z的直线，从上图可以看出，当－a大于直线AC的斜率时，目标函数z＝ax＋y(a＞0)取得最大值的最优解是(1，4)；
当－a小于直线AC的斜率时，目标函数z＝ax＋y(a＞0)取得最大值的最优解是(5，2)；
只有当－a等于直线AC的斜率时，目标函数z＝ax＋y(a＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，线段AC上的所有点都是最优解．
直线AC的斜率为，
所以时，z的最大值为.
9.
解：设桌，椅分别买x，y张，把所给的条件表示成x，y的不等式组，再在直角坐标系内把满足不等式组的P(x，y)所在区域即可行域表示出来，设x＋y＝a，可借助图象求a的最大值．
由题意，得由
解得
∴点A的坐标为.
由解得
∴点B的坐标为.
以上不等式所表示的区域如图所示，即以A，B，O(0，0)为顶点的△AOB边界及其内部．
对△AOB内的点P(x，y)，设x＋y＝a，即y＝－x＋a是斜率为－1，y轴上截距为a的平行直线系．
只有点P与B重合，即取x＝25，时，a取最大值．
∵y∈N，
∴y＝37.
答：买桌子25张，椅子37张时，是最优选择．
PAGE3.5.2
简单线性规划
课后训练
1．设x，y满足则z＝x＋y( )．
A．有最小值2，最大值3
B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最小值，也无最大值
2．如图，目标函数z＝ax－y的可行域为四边形OACB(含边界)，若是该目标函数z＝ax－y的最优解，则a的取值范围是( )．
A．
B．
C．
D．
3．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是( )．
A．80
B．85
C．90
D．95
4．给出下列定义：连接平面点集内两点的线段上的点都在该点集内，则这种线段的最大长度就叫做该平面点集的长度．已知平面点集M由不等式组给出，则M的长度是( )．
A．
B．
C．
D．
5．给出平面区域如图所示，若使目标函数z＝ax＋y(a＞0)取最大值的最优解有无穷多个，则a的值为( )．
A．
B．
C．4
D．
6．在满足不等式组的点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是______．
7．平面上满足约束条件的点(x，y)形成的区域为D，则区域D的面积为______；设区域D关于直线y＝2x－1对称的区域为E，则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为______．
8．已知实系数方程x2＋ax＋2b＝0的两根在区间(0,1)与区间(1,2)内，则的取值范围是__________．
9．已知x，y满足约束条件求解下列问题：
(1)求目标函数z＝4x－y的最小值；
(2)若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，求的最小值．
10．学校有线网络同时提供A，B两套选修课程．A套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分．全学期20周，网络每周开播两次，每次均为独立内容．学校规定学生每学期收看选修课不超过1
400分钟，研讨时间不得少于1
000分钟．两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？
参考答案
1.
答案：B 由图象可知z＝x＋y在点A处取最小值，即zmin＝2，无最大值．
2.
答案：B 因为，，故a∈(，)．最优解为C点，则目标函数表示的直线的斜率在直线BC与AC的斜率之间．故选B.
3.
答案：C 画出可行域如图阴影部分所示，寻找最优解．故找到点A(5.5,4.5)，又x，y∈N，所以最优解为(5,4)．∴z＝10x＋10y的最大值为10×5＋10×4＝90.
4.
答案：B 不等式组可化为作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示．
由图，可知A(，0)，B(1,2)，则M的长度等于.
5.
答案：A 由题意，当l0：ax＋y＝0平移到恰好与AC重合时，取最大值的最优解有无穷多个，
即，∴.
6.
答案：(0,5) 首先根据不等式组表示的约束条件画出对应的平面区域如图阴影部分所示，然后由直线z＝6x＋8y在平面区域内平移可得在点(0,5)处取最大值．
7.
答案：1
8.
答案：(，1) 设f(x)＝x2＋ax＋2b，依题意，此函数图象与x轴两交点的横坐标在(0,1)和(1,2)内，其条件为即
在直角坐标系中作出可行域如下图阴影部分所示．
由的几何意义知△ABC内任一点P(a，b)与定点M(1,2)连线的斜率的范围即为所求．
∵，kMB＝1，
∴.
9.
答案：解：不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分．
(1)zmin＝－2.
(2)当直线ax＋by＝z(a＞0，b＞0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值12，即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，
所以，当且仅当时，等号成立．
即的最小值为.
10.
答案：解：设选择A，B两套课程分别为x，y次，z为学分，则
在直角坐标系中作出可行域如图阴影部分所示．
目标函数：z＝5x＋4y.
由方程组解得：点A(15,25)，B(25,12.5)，由于目标函数的斜率与直线AB的斜率相等，因此在图中阴影线段AB上的整数点A(15,25)，C(19,20)，D(23,15)都符合题意，使得学分最高为175分．但学生可根据自己的经验和要求选择一个最佳的点．例如，学生需要最省时就可以选择点A(15,25)．3.5.1
二元一次不等式（组）所表示的平面区域
自我小测
1．已知点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．a＜－7或a＞24
B．a＝7或a＝24C．－7＜a＜24
D．－24＜a＜7
2．不等式组表示的平面区域为( )
A．正三角形及其内部
B．等腰三角形及其内部
C．在第一象限内的一个无界区域
D．不包含第一象限内的点的一个有界区域
3．不等式组表示的平面区域为D，两点P1(0，－2)，P2(0，0)与D的关系为( )
A．P1D且P2 D
B．P1∈D且P2D
C．P1D且P2∈D
D．P1∈D且P2∈D
4．能表示下图阴影部分的二元一次不等式组的是( )
A．
B．
C．
D．
5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是( )
A．4
B．4
C．2
D．2
6．设a＞0，点集S中的点(x，y)满足条件：①≤x≤2a，②≤y≤2a，③x＋y≥a，④x＋a≥y，⑤y＋a≥x，则S的边界是一个有__________条边的多边形．
7．某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1，b1千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2，b2千克．甲、乙产品每千克可获利润分别为d1，d2元．月初一次性购进原料A，B各c1，c2千克．要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，x，y满足的条件为__________________．
8．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是__________．
9．如右图所示，求△PQR内任一点(x，y)满足的关系式．
10．求不等式|x－2|＋|y－2|≤2所表示的平面区域的面积．
参考答案
1．解析：据题意，得(3×3－2×1＋a)[3×(－4)－2×6＋a]＜0 (a＋7)(a－24)＜0 －7＜a＜24．故选C．
答案：C
2．解析：作出不等式组表示的平面区域，如下图阴影部分所示，观察图象可知选B．
答案：B
3．解析：作出不等式组表示的平面区域D，如图阴影部分所示，可知P1(0，－2)在D内，P2(0，0)不在D内，故选B．也可以直接把点的坐标代入检验，满足不等式的在区域内，否则不在区域内．
答案：B
4．解析：从图中可看出，阴影部分满足0≤y≤1，－1≤x≤0．因为点(0，0)在2x－y＋2＝0的下方，且点(0，0)的坐标代入方程左端有2×0－0＋2＞0，因为阴影部分符合2x－y＋2＞0，故选C．
答案：C
5．解析：由题知平面区域为△ABC(如图所示)，S△ABC＝＝4．
答案：B
6．解析：如图所示，分别画出各不等式表示的区域，并画出公共区域，可得平面六边形，即点S的边界是一个有6条边的多边形．
答案：6
7．解析：设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，x，y满足的条件为
答案：
8．解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC，由得A(1，1)，又B(0，4)，C，
∴S△ABC＝×1＝，设y＝kx＋与3x＋y＝4的交点为D，
则由S△BCD＝S△ABC＝知xD＝，∴yD＝．
∴＝k×＋，k＝．
答案：
9．解：易得直线PQ的方程为x＋2y－5＝0；直线QR的方程为x－6y＋27＝0；直线RP的方程为3x－2y＋1＝0．
注意到△PQR内任一点(x，y)应在直线RP，PQ的上方，而在直线QR的下方，故应有
10．分析：主要是去绝对值，可以运用分类讨论思想依据绝对值的定义去掉绝对值符号，也可以运用化归、转化思想化陌生问题为熟悉问题，化复杂问题为简单问题．
解：解法一：原不等式|x－2|＋|y－2|≤2等价于
作出以上不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，它是边长为2的正方形，其面积为8．
解法二：∵|x－2|＋|y－2|≤2是|x|＋|y|≤2向右、向上各平移2个单位得到的，
∴|x－2|＋|y－2|≤2表示的平面区域的面积等于|x|＋|y|≤2表示的平面区域的面积．由于|x|＋|y|≤2的图象关于x轴、y轴、原点均对称，故求得平面区域(如下图阴影部分所示)的面积为2，故|x|＋|y|≤2的面积为4×2＝8．∴所求面积为8．3.5.1
二元一次不等式（组）所表示的平面区域
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.已知一直线l的方程为ax+by=0（a、b不同时为零），点P1（x0，y0）、P2（2x0，2y0），则（
）
A.点P1、P2分别在l的两侧或在l上
B.点P1、P2均在l的同侧或在l上
C.点P1、P2分别在l的两侧，不可能在l上
D.点P1、P2均在l上
解析：若ax0+by0=0,则2ax0+2by0=0,此时P1和P2都在直线l上,否则,一定有ax0+by0与2ax0+2by0同号，故选B.
答案：B
2.不等式组表示的平面区域是一个（
）
A.三角形
B.直角梯形
C.梯形
D.矩形
解析：（x-y+5）（x+y）≥0
据题意作出不等式组所表示的平面区域如下图所示.故选C.
答案：C
3.不在3x+2y＜6表示的平面区域内的点是（
）
A.（0，0）
B.（1，1）
C.（0，2）
D.（2，0）
解析：可将每一个点代入3x+2y＜6检验，满足不等式的就在3x+2y＜6表示的平面区域内，不满足的，则不在它表示的平面区域内.
答案：D
4.点（-2，t）在直线2x-3y+6=0的上方，则t的取值范围是_____________.
解析：据题意(可以结合图形)得不等式2×（-2）-3t+6＜0t＞.故t的取值范围是（，+∞）.
答案：t∈（，+∞）
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知点（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（
）
A.a＜-7或a＞24
B.a=7或a=24
C.-7＜a＜24
D.-24＜a＜7
解析：据题意得（3×3-2×1+a）［3×（-4）-2×6+a］＜0（a+7）（a-24）＜0-7＜a＜24.故选C.
答案：C
2.（x-2y+1）（x+y-3）＜0表示的平面区域为（
）
解析：原不等式等价于下列不等式组分别画出各不等式所表示的平面区域，观察其图象，知选C.
答案：C
3.不等式组表示的平面区域为（
）
A.正三角形及其内部
B.等腰三角形及其内部
C.在第一象限内的一个无界区域
D.不包含第一象限内的点的一个有界区域
解析：作出不等式组表示的平面区域，如下图所示，观察图象可知选B.
答案：B
4.不等式|3x+2y+k|≤8表示的平面区域必包含点（0,0）和点（1,1）,则实数k的取值范围是_____________.
解析：根据条件,点(0,0)和(1,1)满足不等式,代入即得
解之得-8≤k≤3.
答案：-8≤k≤3
5.已知点P(x,y)满足条件点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于______________,最大值等于______________.
解析：画出不等式组表示的平面区域，如下图所示：
易得A（2，2），OA=,B（1，3），OB=，C（1，1），OC=,故|OP|的最大值为，最小值为.
答案：
.
6.如下图所示，求△PQR内任一点（x，y）满足的关系式.
解析：易得直线PQ的方程为:x+2y-5=0；直线QR的方程为:x-6y+27=0；直线RP的方程为:3x-2y+1=0.
注意到△PQR内任一点（x，y）应在直线RP、PQ的上方，而在QR的下方，故应有
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.不等式组表示的区域为D，两点P1（0，-2）、P2（0，0）与D的关系为（
）
A.P1D且P2D
B.P1∈D且P2D
C.P1D且P2∈D
D.P1∈D且P2∈D
解析：作出不等式组表示的平面区域D，如下图所示，可知P1（0，-2）在D内,P2（0，0）不在D内，故选B.也可以直接把点的坐标代入检验,满足不等式的在区域内,否则不在区?域内.
答案：B
2.在平面直角坐标系中，满足不等式x2-y2＜0的点（x，y）的集合（用阴影表示）是（
）
解析：首先把二元二次不等式化为二元一次不等式组：x2-y2＜0（x+y）（x-y）＜0
答案：D
3.如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为（
）
解析：因为函数图象与x轴有两个不同的交点,所以,有b2-4a2＞0,即|b|＞2|a|.对a、b的符号分情况讨论:①②③④可得C选项正确.
答案：C
4.设a＞0，点集S中的点（x，y）满足下列所有条件：①≤x≤2a，②≤y≤2a，③x+y≥a，④x+a≥y，⑤y+a≥x，则S的边界是一个有__________条边的多边形（
）
A.4
B.5
C.6
D.7
解析：如下图所示，分别画出各不等式表示的区域，并画出公共区域，可得平面六边形，即点S的边界是一个有六条边的多边形.故选C.
答案：C
5.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（
）
A.4
B.4
C.2
D.2
解析：由题知可行域为△ABC(如下图所示),S△ABC==4.
答案：B
6.在直角坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M=，区域N={（x，y）|t≤x≤t+1，0≤y≤1}，区域M和N的公共面积用函数f（t）表示，则f（t）的表达式为（
）
A.
B.-2t2+2t
C.
D.
解析：当t=0或t=1时，f（t）=；当0＜t＜1时，如下图，公共面积为大三角形的面积减去两个小三角形的面积（阴影面积），
即f（t）=1t2（1-t）2=-t2+t+，此式对t=0和t=1也成立.
答案：A
7.某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1、b1千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2、b2千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为d1、d2元。月初一次性购进原料A、B各c1、c2千克。要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z=d1x+d2y最大的数学模型中，约束条件为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z=d1x+d2y最大的数学模型中，约束条件为，选C.
答案：C
8.满足|x|+|y|≤4的整点（x，y）的个数是（
）
A.16
B.17
C.40
D.41
解析：|x|=4时，y=0，有2个；|x|=3时，y=0，±1，有6个；|x|=2时，y=0，±1，±2，有10个；|x|=1时，y=0，±1，±2，±3，有14个；|x|=0时，y=0，±1，±2，±3，±4，有9个，∴共有2+6+10+14+9=41个.
答案：D
9.已知集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y-x）（y+x）≤0}，M=A∩B，则M的面积为____________.
解析：由题意，如下图所示，图中阴影部分即为M的平面区域.可求其面积S=×2×1=1.
答案：1
10.已知实系数方程x2+ax+2b=0的两根在区间（0，1）与区间（1，2）内，求的取值范围.
解：设f（x）=x2+ax+2b，依题意，此函数图象与x轴两交点横坐标在（0，1）和（1，2）内，其条件为
在直角坐标系中作出可行域，如下图所示.
由的几何意义知△ABC内任一点?P（a，b）与定点M（1，2）连线的斜率的范围即为所求.
∵kMA=，kMB=1，
∴＜＜1.3.5
二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
自主广场
我夯基
我达标
1.下列各点中，与点（1，2）位于直线x+y-1=0的同一侧的是(
)
A.（0，0）
B.（-1，1）
C.（-1，3）
D.（2，-3）
思路解析：首先把点（1，2）代入x+y-1=1+2-1=2＞0,然后把选项中的坐标逐个代入检验只有C能使x+y-1＞0.
答案：C
2.下列各点中，位于不等式（x+2y+1）（x-y+4）＜0表示的平面区域内的是(
)
A.（0，0）
B.（-2，0）
C.（-1，0）
D.（2，3）
思路解析：只有满足不等式的点才在不等式所表示的平面区域内,所以只需要把选项中的坐标代入,满足不等式的就是正确答案.
答案：B
3.如果实数x、y满足条件那么2x-y的最大值为(
)
A.2
B.1
C.-2
D.-3
思路解析：作出可行域，可知当直线2x-y=t过点(0，-1)时，t最大.
答案：B
4.已知实数x、y满足则x+2y的最大值是______________.
思路解析：已知实数x、y满足在坐标系中画出可行域如图3-5-11所示，则三个顶点分别是A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)，∴当直线z=x+2y过点C(2,1)时,x+2y有最大值4.
图3-5-11
答案：4
5.用不等式组表示以点（0，0）、（2，0）、（0，-2）为顶点的三角形内部，该不等式组为___________.
思路解析：首先根据三个点的坐标在坐标系内画出相应的三角形,再根据三个点写出三边对应的直线方程,根据直线的位置即可写出对应的不等式组.
答案：
6.甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别是300
t和750
t.A、B、C三地需要该种产品的数量分别为200
t、450
t、400
t，甲运往A、B、C三地每1
t产品的运费分别为6元、3元、5元，乙地运往A、B、C三地每1
t产品的运费分别为5元、9元、6元，为使运费最低，调运方案是______________，最低运费是______________.
思路解析：首先可设甲运往A、B地的数量分别为x
t、y
t，则根据条件可知运往C地(300-x-y)
t,再根据条件,列出不等式组画图即可得到调运方案.
答案：甲地运往B地300
t，乙地运往A地200
t，运往B地150
t，运往C地400
t
5
650元
7.已知-4≤a-b≤-1，-1≤4a-b≤5，求9a-b的取值范围.
思路分析：可以把a,b分别看成横坐标和纵坐标,根据不等式组画出可行域,然后求目标函数9x-y的最大值和最小值.
解：问题转化为在约束条件下，目标函数z=9a-b的取值范围.
其可行域为图3-5-12所示的四边形ABCD及其内部.
图3-5-12
由得点A（0，1）.
当直线9a-b=t通过与可行域的公共点A（0，1）时，使目标函数z=9a-b取得最小值为zmin=9×0-1=-1.
由得点C（3，7）.
当直线9a-b=t通过与可行域的公共点C（3，7）时，使目标函数z=9a-b取得最大值为zmax=9×3-7=20.
∴9a-b的取值范围是［-1，20］.
8.一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润
思路分析：这是一个求最大利润问题,首先根据条件设种两种作物分别为x,y亩,根据条件列出不等式组和目标函数,然后画图,即可得到最大利润.
解：设种x亩水稻，种y亩花生，则由题意,得
其可行域如图3-5-13所示
图3-5-13
而利润P=（3×400-240）x+（5×100-80）y=960x+420y（目标函数）.
联立得交点B（1.5，0.5）.
故当x=1.5，y=0.5时，
Pmax=960×1.5+420×0.5=1
650(元)，
即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大.
我综合
我发展
9.(2006湖北高考，理9)已知平面区域D由以A(1,3),B(5,2),C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D上有无穷多个点(x,y)可使目标函数z=x+my取得最小值，则m等于(
)
A.-2
B.-1
C.1
D.4
思路解析：依题意，令z=0，可得直线x+my=0的斜率为，结合可行域可知当直线x+my=0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数z=x+my取得最小值，而直线AC的斜率为-1，所以m=1.
答案：C
10.(2006重庆高考，理16)已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为_____________.
图3-5-14
思路解析：变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.在坐标系中画出可行域，为如图所示的四边形ABCD，其中A(3，1)，kAD=1,kAB=-1，目标函数z=ax+y（其中a＞0）中的z表示斜率为-a的直线系中的截距的大小，若仅在点(3,1)处取得最大值，则斜率应小于kAB=-1，即-a＜-1，所以a的取值范围为(1，+∞).
答案：(1，+∞)
11.求不等式|x-2|+|y-2|≤2所表示的平面区域的面积.
思路分析：主要是去绝对值,可以运用分类讨论思想依绝对值的定义去掉绝对值符号.也可以运用化归、转化思想化陌生问题为熟悉问题，化复杂问题为简单问题.
解法一：原不等式|x-2|+|y-2|≤2等价于
作出以上不等式组所表示的平面区域,如图3-5-15所示,它是边长为的正方形，其面积为8.
图3-5-15
解法二：∵|x-2|+|y-2|≤2是|x|+|y|≤2由经过向右、向上各平移2个单位而得到的，
∴|x-2|+|y-2|≤2表示的平面区域的面积等于|x|+|y|≤2表示的平面区域的面积，由于|x|+|y|≤2的图象关于x轴、y轴、原点均对称，故求得平面区域如图所示的面积为2，
故|x|+|y|≤2的面积为4×2=8.
∴所求面积为8.
图3-5-16
12.给出的平面区域是△ABC内部及边界（如图3-5-17所示），若目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个,求a的值及z的最大值.
图3-5-17
思路分析：利用图形的特性和规律解决数的问题或将图形信息转换成代数信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形问题转化为数量关系的讨论.
解：直线z=ax+y（a＞0）是斜率为-a，y轴上的截距为z的直线族，从上图可以看出，当-a小于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解是（1，4）；当-A大于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解是（5，2）；
只有当-a等于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，线段AC上的所有点都是最优解.直线AC的斜率为，所以a=时，z的最大值为×1+4=.3.5.1
二元一次不等式（组）所表示的平面区域
课后训练
1．已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是( )．
A．a＜－7或a＞24
B．a＝7或a＝24
C．－7＜a＜24
D．－24＜a＜7
2．不等式组表示的平面区域为( )．
A．正三角形及其内部
B．等腰三角形及其内部
C．在第一象限内的一个无界区域
D．不包含第一象限内的点的一个有界区域
3．不等式组表示的平面区域为D，两点P1(0，－2)，P2(0,0)与D的关系为( )．
A．P1D且P2D
B．P1∈D且P2D
C．P1D且P2∈D
D．P1∈D且P2∈D
4．能表示下图阴影部分的二元一次不等式组的是( )．
A．
B．
C．
D．
5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是( )．
A．
B．4
C．
D．2
6．设a＞0，点集S中的点(x，y)满足条件：①≤x≤2a，②≤y≤2a，③x＋y≥a，④x＋a≥y，⑤y＋a≥x，则S的边界是一个有______条边的多边形．
7．某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1，b1千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2，b2千克．甲、乙产品每千克可获利润分别为d1，d2元．月初一次性购进原料A，B各c1，c2千克．要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，x，y满足的条件为__________________．
8．如下图所示，求△PQR内任一点(x，y)满足的关系式．
9．求不等式|x－2|＋|y－2|≤2所表示的平面区域的面积．
参考答案
1.
答案：C 据题意，得(3×3－2×1＋a)[3×(－4)－2×6＋a]＜0 (a＋7)(a－24)＜0 －7＜a＜24.故选C.
2.
答案：B 作出不等式组表示的平面区域，如下图阴影部分所示，观察图象可知选B.
3.
答案：B 作出不等式组表示的平面区域D，如图阴影部分所示，可知P1(0，－2)在D内，P2(0,0)不在D内，故选B.也可以直接把点的坐标代入检验，满足不等式的在区域内，否则不在区域内．
4.
答案：C 从图中可看出，阴影部分满足0≤y≤1，－1≤x≤0.因为点(0,0)在2x－y＋2＝0的下方，且点(0,0)的坐标代入方程左端有2×0－0＋2＞0，因为阴影部分符合2x－y＋2＞0，故选C.
5.
答案：B 由题知平面区域为△ABC(如图所示)，.
6.
答案：6 如图所示，分别画出各不等式表示的区域，并画出公共区域，可得平面六边形，即点S的边界是一个有6条边的多边形．
7.
答案： 设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，x，y满足的条件为
8.
答案：解：易得直线PQ的方程为x＋2y－5＝0；直线QR的方程为x－6y＋27＝0；直线RP的方程为3x－2y＋1＝0.
注意到△PQR内任一点(x，y)应在直线RP，PQ的上方，而在直线QR的下方，故应有
9.
答案：分析：主要是去绝对值，可以运用分类讨论思想依据绝对值的定义去掉绝对值符号，也可以运用化归、转化思想化陌生问题为熟悉问题，化复杂问题为简单问题．
解：解法一：原不等式|x－2|＋|y－2|≤2等价于
作出以上不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，它是边长为的正方形，其面积为8.
解法二：∵|x－2|＋|y－2|≤2是|x|＋|y|≤2向右、向上各平移2个单位得到的，
∴|x－2|＋|y－2|≤2表示的平面区域的面积等于|x|＋|y|≤2表示的平面区域的面积．由于|x|＋|y|≤2的图象关于x轴、y轴、原点均对称，故求得平面区域(如下图阴影部分所示)的面积为2，
故|x|＋|y|≤2的面积为4×2＝8.
∴所求面积为8.
