3.3 一元二次不等式及其解法
1．不等式x(2－x)>3的解集是( )
A．{x|－1B．{x|－3C．{x|x<－3或x>1}
D．
2．不等式x2＋2x＋4≥0的解集为( )
A．{x|x<－4或x>4}
B．
C．{x|x≠－4}
D．R
3．不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是__________．
4．下面哪些不等式是关于x的一元二次不等式？
(1)x2>0；(2)－x－x2≤5；(3)ax2>2；(4)x3＋5x－6>0；(5)mx2－5x<0；(6)ax2＋bx＋c>0.
答案：1．D 原不等式可化为x2－2x＋3<0.因为方程x2－2x＋3＝0无实数解，函数y＝x2－2x＋3的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点，所以不等式的解集为 .
2．D 方程x2＋2x＋4＝0有两个相同实数解：x1＝x2＝－4.因为函数y＝x2＋2x＋4的图象是开口向上的抛物线，与x轴仅有一个公共点(－4,0)，所以不等式的解集为R.
3．a>2 ax2＋4x＋a>1－2x2对一切x∈R恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋a－1>0对一切x∈R恒成立．
若a＋2＝0，显然不成立．
若a＋2≠0，则
∴a>2.
4．解：(1)是；(2)是；
(3)不是，因a＝0时，不符合定义；
(4)不是，因为x的最高次数为3次，不符合定义；
(5)不是，因为当m＝0时，它为一元一次不等式；
(6)不是，因为a＝0时，不符合一元二次不等式的定义．
课堂巩固
1．函数y＝的定义域是( )
A．{x|x<－4或x>3}
B．{x|－4C．{x|x≤－4或x≥3}
D．{x|－4≤x≤3}
2．(山东高考，文5)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－1,2)
3．不等式x(x－1)(1－2x)>0的解集是__________．
4．已知三个不等式x2－4x＋3<0①，x2－6x＋8<0②，2x2－9x＋m<0③，要使同时满足①和②的所有x都满足③，则实数m的取值范围是__________．
5．m是什么实数时，关于x的一元二次方程mx2－(1－m)x＋m＝0没有实数根？
6．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝log2(x2－x＋)＋；
(3)f(x)＝.
答案：1．C 要使函数有意义，只需x2＋x－12≥0.
方程x2＋x－12＝0的解为x1＝－4，x2＝3.函数y＝x2＋x－12的开口向上且与x轴有两交点(－4,0)，(3,0)．
∴原不等式的解集为{x|x≤－4或x≥3}．
2.B x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0 x2＋x－2<0 －23．{x|x<0或4．m≤9 方法一：由
得2③对于2∴m≤9.
方法二： 2设f(x)＝2x2－9x＋m，
当x∈(2,3)时，f(x)<0恒成立．
由二次函数图象与性质，得即解得m≤9.
5．解：由Δ＝(1－m)2－4m2<0，整理，得3m2＋2m－1>0.
因为方程3m2＋2m－1＝0有两个实数根－1和，
所以m<－1或m>.
所以m的取值范围是{m|m<－1或m>}．
6．解：(1)由函数的解析式有意义，得－3x2＋2x－1≥0.
因为Δ＝22－4×(－3)×(－1)＝－8<0，所以不等式的解集为 ，即函数的定义域为 .
(2)由函数的解析式有意义，
得即
因此x≤－1或x≥1.
所以所求函数的定义域为{x|x≤－1或x≥1}．
(3)由函数的解析式有意义，
得即
因此－41.
故所求函数的定义域为{x|－41}．
1．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－21．答案：C 由已知 y＝f(－x)＝ax2＋x－c，即y＝－x2＋x＋2，其图象为C.
2．不等式≥2的解集为( )
A．[－3，]
B．[－，3]
C．[，1)∪(1,3]
D．[－，1)∪(1,3]
2．答案：D ≥2
∴x∈[－，1)∪(1,3]．
3．不等式2x2＋mx＋n>0的解集是x>3或x<－2，则二次函数y＝2x2＋mx＋n的表达式是( )
A．y＝2x2＋2x＋12
B．y＝2x2－2x＋12
C．y＝2x2＋2x－12
D．y＝2x2－2x－12
3．答案：D 依题意知x＝3或x＝－2是方程2x2＋mx＋n＝0的两个根，
所以
解之，得m＝－2，n＝－12.
故二次函数的表达式为y＝2x2－2x－12.
4．(天津高考，文8)设函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞)
B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1,3)
4．答案：A 由题意知f(1)＝3，则当x≥0时，f(x)＞f(1)＝3，即x2－4x＋6＞3，可解得x＞3或0≤x＜1；当x＜0时，f(x)＞f(1)＝3，即x＋6＞3，解得－3＜x＜0.故原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．故选A.
5.不等式x2＋(a＋b)x＋ab<0(a5．答案：{x|－b又∵a－b.
从而不等式的解集为－b6．函数f(x)＝lg的定义域为__________．
6．答案：10，
即(1－x)(x－4)>0 (x－1)(x－4)<0 17．解下列不等式：
(1)14－4x2≥x；
(2)(2x－1)2－(3x＋2)2>11.
7．答案：解：(1)原不等式化为4x2＋x－14≤0.
因为Δ>0，方程4x2＋x－14＝0的根是x1＝－2，x2＝，
所以不等式的解集为{x|－2≤x≤}．
(2)原不等式化为5x2＋16x＋14<0.
因为Δ<0，方程5x2＋16x＋14＝0无实根，所以不等式的解集为 .
点评：解一元二次不等式的一般步骤是：
(1)化为标准形式；
(2)确定判别式Δ的符号；
(3)结合二次函数的图象得出不等式的解集．
8．若关于x的不等式<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．
8．答案：解法一：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
∴不等式<2同解于4x＋m<2x2－4x＋6，
即2x2－8x＋6－m>0.
要使原不等式对任意实数x恒成立，只要2x2－8x＋6－m>0对任意实数x恒成立．
∴Δ<0，即64－8(6－m)<0.
整理并解得m<－2.
∴实数m的取值范围是(－∞，－2)．
解法二：承接解法一，要使<2对任意实数x恒成立，只要2x2－8x＋6－m>0恒成立即可．
变形为m<2x2－8x＋6.
设h(x)＝2x2－8x＋6，要使m<2x2－8x＋6恒成立，只要m而h(x)＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，
∴h(x)min＝－2.
∴m<－2.
∴实数m的取值范围是m<－2.
点评：本题是关于含参数不等式恒成立的题目，有两种解法．解法一是针对含参数的一元二次不等式的特殊解法．解法二是分离变量法，是通法，通过分离变量，反客为主，使不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．以后做题过程中常用到两个结论：m>f(x)恒成立 m>f(x)max；m9．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满．然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，问桶的容积最大为多少？
9．答案：解：设桶的容积为x升，显然x>0，
依题意，得(x－8)－≤28%·x.
由于x>0，因而原不等式化简为9x2－150x＋400≤0，
即(3x－10)(3x－40)≤0.
因此≤x≤.
所以桶的最大容积为升．3.3
一元二次不等式及其解法
课后训练
1．下列四个不等式：
①－x2＋x＋1≥0；②；③x2＋6x＋10＞0；④2x2－3x＋4＜1.
其中解集为R的是______．
A．①
B．②
C．③
D．④
2．若{x|2＜x＜3}为x2＋ax＋b＜0的解集，则bx2＋ax＋1＞0的解集为( )．
A．{x|x＜2或x＞3}
B．{x|2＜x＜3}
C．
D．
3．已知不等式x2＋px＋q＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式的解集是( )．
A．(1，2)
B．(－∞，－1)∪(1，2)∪(6，＋∞)
C．(－1，1)∪(2，6)
D．(－∞，－1)∪(6，＋∞)
4．不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的图象为图中的( )．
5．设则不等式f(x)＞2的解集为( )．
A．(1，2)∪(3，＋∞)
B．(，＋∞)
C．(1，2)∪(，＋∞)
D．(1，2)
6．函数的定义域为______．
7．设x满足不等式组则点P(x＋2，x－2)在第______象限．
．
8．求函数的定义域．
9．已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数的值域，集合C为不等式(x＋4)≤0的解集，
(1)求A∩B；
(2)要使，求a的取值范围．
参考答案
1.
答案：C
解析：①④显然不可能；②中△＝＞0，解集不是R；③中△＝62－4×10＜0，∴选C.
2.
答案：D
解析：由题意知，2，3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
由韦达定理，得
解得a＝－5，b＝6.
代入所求不等式，得6x2－5x＋1＞0，
即(2x－1)(3x－1)＞0.解得或.
∴不等式的解集为.
3.
答案：B
解析：由题意知，x2＋px＋q＝(x－1)(x－2)，
∴原不等式化为，由穿根法，得
x＜－1或1＜x＜2或x＞6.
4.
答案：C
解析：由题意，－2和1是方程ax2－x－c＝0的两根且a＜0，
∴
解得
∴f(－x)＝－x2＋x＋2，图象过点(－1，0)，(2，0)且开口向下．
5.
答案：C
解析：不等式化为或
解得1＜x＜2或x＞.
6.
答案：[－4，0)∪(0，1)
解析：由已知得
x∈[－4，0)∪(0，1)．
7.
答案：三
解析：原不等式组等价于 x＜－6，
∴x＋2＜－4，x－2＜－8，
∴点P(x＋2，x－2)在第三象限
8.
解：解法一：要使函数有意义，需
①等价于(Ⅰ)或
(Ⅱ)
解不等式组(Ⅰ)得：x＜－2或x＞5，
解不等式组(Ⅱ)得：1≤x＜5，解②式得x≠－2且x≠5，
∴原函数的定义域为{x|x＜－2或x≥1且x≠5}．
解法二：接解法一，分解因式得：
解之，得x＜－2或x≥1且x≠5.
∴原函数的定义域为{x|x＜－2或x≥1且x≠5}．
9.
解：解法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.
当a∈(－∞，－1)时，结合图象知f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3，
∴要使f(x)≥a恒成立，
只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得a≥－3，
∴－3≤a＜－1.①
当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，
解得－2≤a≤1，
∴－1≤a≤1.②
综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.
解法二：由f(x)≥a变形得x2＋2≥a(2x＋1)．③
当2x＋1＝0，即时，③式为x2＋2≥0恒成立，此时a∈R；
当2x＋1＞0，即时，③式为恒成立，其中x∈，
即恒成立，
这样就转化到了求x∈时函数的最小值问题，可得a≤1.
当2x＋1＜0，即－1≤x＜时，③式为恒成立，即恒成立．
其中x∈，这样就转化到了求x∈时函数的最大值问题，可得a≥－3.
综上所述，－3≤a≤1.
解法三：由已知得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即
△＝4a2－4(2－a)≤0，或
解得－3≤a≤1.
10．解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4＞0.
解：(1)当a＝0时，原不等式化为x－2＜0，解集为{x|x＜2}．
(2)当a＜0时，原不等式化为(x－2)＜0，这时两根的大小顺序为，
所以解集为.
(3)当a＞0时，原不等式化为(x－2)＞0.
①当0＜a＜1时，两根的大小顺序为，
所以原不等式的解集为.
②当a＝1时，，
所以原不等式的解集为{x|x∈R且x≠2}．
③当a＞1时，两根的大小顺序为，
解集为.
综上所述，不等式的解集为：a＝0时，{x|x＜2}；
a＝1时，{x|x∈R且x≠2}；
a＜0时，；
0＜a＜1时，；
a＞1时，.
10.
解：(1)由－x2－2x＋8＞0，解得A＝(－4，2)，
又y＝x＋＝(x＋1)＋－1，所以B＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
所以A∩B＝(－4，－3]∪[1，2)．
(2)因为 RA＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)．
由(x＋4)≤0，知a≠0.
①当a＞0时，由(x＋4)≤0，得，不满足；
②当a＜0时，由(x＋4)≥0，得C＝(－∞，－4]∪，欲使，则，
解得或，
又a＜0，所以.
综上所述，
所求a的取值范围是.3.3
一元二次不等式及其解法
自我小测
1．下列不等式中，解集是R的是( )
A．x2＋2x＋1＞0
B．＞0
C．eq
\b\lc\(\rc\)()x＋1＞0
D．－2<
2．已知2a＋1＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是( )
A．{x|x＞5a或x＜－a}
B．{x|x＜5a或x＞－a}
C．{x|－a＜x＜5a}
D．{x|5a＜x＜－a}
3．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，则不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为( )
A．
B．
C．
D．
4．设f(x)＝则不等式f(x)＞2的解集为( )
A．(1，2)∪(3，＋∞)
B．(，＋∞)
C．(1，2)∪(，＋∞)
D．(1，2)
5．关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1小且另一根比1大的充要条件是( )
A．－1＜a＜1
B．a＜－1或a＞1
C．－2＜a＜1
D．a＜－2或a＞1
6．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是________．
7．已知三个不等式①x2－4x＋3<0，②x2－6x＋8<0，③2x2－9x＋m<0，要使同时满足①和②的所有x都满足③，则实数m的取值范围是________．
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为__________．
9．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0．
10．若关于x的不等式<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案
1．解析：因为x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，所以选项A不正确；又＝|x|≥0，所以选项B也不正确；选项D中x≠0；而x＞0，所以x＋1＞1＞0，x∈R，故选C．
答案：C
2．解析：x2－4ax－5a2＞0 (x－5a)(x＋a)＞0．∵a＜－，∴5a＜－a．∴x＞－a或x＜5a．故选B．
答案：B
3．解析：方法一：ax2＋bx＋c＞0的解集为3x2－5x－2＜0－3x2＋5x＋2＞0．设a＝－3k，b＝5k，c＝2k(k＞0)，则cx2＋bx＋a＜02kx2＋5kx－3k＜02x2＋5x－3＜0－3＜x＜，故选A．
方法二：由题意知a＜0，且－＝eq
\b\lc\(\rc\)()＋2，＝eq
\b\lc\(\rc\)()×2，即＝－，＝－，而cx2＋bx＋a＜0 x2＋x＋1＞0－x2－x＋1＞02x2＋5x－3＜0－3＜x＜，故选A．
答案：A
4．解析：当x＜2时，令2ex－1＞2，解得1＜x＜2．当x≥2时，令log3(x2－1)＞2，解得x∈(，＋∞)．故x∈(1，2)∪(，＋∞)．
答案：C
5．解析：令f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，则它是开口向上的二次函数，方程的根即是函数与x轴的交点的横坐标，因此只需f(1)＜0，即1＋a2－1＋a－2＜0，∴－2＜a＜1．
答案：C
6．答案：
7．解析：方法一：由，
解得2③对于2∴m≤9．
方法二：2设f(x)＝2x2－9x＋m．
当x∈(2，3)时，f(x)<0恒成立．
由二次函数的图象与性质，得即解得m≤9．
答案：(－∞，9]
8．解析：∵函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝∴原不等式等价于或
由此可解得x>5或－5故应填(－5，0)∪(5，＋∞)．
答案：(－5，0)∪(5，＋∞)
9．解：(1)当a＝0时，原不等式化为－x＋1＜0，
∴不等式的解集是{x|x＞1}．
(
2)当a≠0时，原不等式可化为a(x－1)·eq
\b\lc\(\rc\)()＜0．
若a＜0，则(x－1)eq
\b\lc\(\rc\)()＞0．
∵＜1，
∴原不等式的解集为；
若a＞0时，原不等式化为(x－1)eq
\b\lc\(\rc\)()＜0．
①当＜1，即a＞1时，不等式的解集为．
②当＝1，即a＝1时，不等式即为(x－1)2＜0，显然不等式的解集为 ．
③当＞1，即0＜a＜1时，不等式的解集为．
综上，原不等式的解集如下：
当a＜0时，解集为；
当a＝0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为；
当a＝1时，解集为；
当a＞1时，解集为．
10．解：解法一：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
∴不等式<2同解于4x＋m<2x2－4x＋6，
即2x2－8x＋6－m>0．
要使原不等式对任意实数x恒成立，只要2x2－8x＋6－m>0对任意实数x恒成立．
∴<0，即64－8(6－m)<0．
整理并解得m<－2．
∴实数m的取值范围是(－∞，－2)．
解法二：要使<2对任意实数x恒成立，只要2x2－8x＋6－m>0恒成立即可．
变形为m<2x2－8x＋6．
设h(x)＝2x2－8x＋6，要使m<2x2－8x＋6恒成立，只要m而h(x)＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，
∴h(x)min＝－2．
∴m<－2．
∴实数m的取值范围是(－∞，－2)．3.3
一元二次不等式及其解法
自主广场
我夯基
我达标
1.不等式6x2+5x＜4的解集是(
)
A.（-∞，）∪（，+∞）
B.（，）
C.（，）
D.（-∞，）∪（，+∞）
思路解析：首先把不等式化成一般形式6x2+5x-4＜0,然后可以采用分解因式的方法得到作为方程的两个根和,即可得出不等式的解集为(,).注意一般写成集合的形式.
答案：B
2.设函数已知f(a)＞1，则a的取值范围是(
)
A.(-∞，-2)∪(，+∞)
B.(，)
C.(-∞，-2)∪(，1)
D.(-2，)∪(1，+∞)
思路解析：由f(x)及f(a)＞1,可得
①或②或
③
解①得a＜-2，解②得＜a＜1，解③得a∈.
∴a的取值范围是(-∞，-2)∪(-，1）,
答案：C
3.关于x的方程x2+（a2-1）x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大的充要条件是(
)
A.-1＜a＜1
B.a＜-1或a＞1
C.-2＜a＜1
D.a＜-2或a＞1
思路解析：令f(x)=x2+（a2-1）x+a-2,则它是开口向上的二次函数,方程的根即是函数与x轴的交点的横坐标,因此只需f(1)＜0,即1+a2-1+a-2＜0-2＜a＜1.
答案：C
4.已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a2，b)，g(x)＞0的解集是(，)，则f(x)·g(x)＞0的解集是.
思路解析：由已知,得b＞a2,∵f(x)，g(x)均为奇函数，∴f(x)＜0的解集是(-b，-a2)，g(x)＜0的解集是(-,-).由f(x)·g(x)＞0,可得
f(x)＞0,g(x)＞0或f(x)＜0,g(x)＜0,即a2＜x＜b,＜x＜或-b＜x＜-a2,-＜x＜-.
∴x∈(a2，)∪(-，-a2).
答案：(a2，)∪(-，-a2)
5.如果{x|2ax2+（2-ab）x-b＞0}{x|x＜-2或x＞3}，其中b＞0，求a、b的取值范围.
思路分析：需先解2ax2+（2-ab）x-b＞0关于x的不等式，变形为（ax+1）（2x-b）＞0，要分解成形如（x-α）（x-β）的形式时，需确定a的符号，故对a进行分类讨论.
解：记A={x|2ax2+（2-ab）x-b＞0}={x|（ax+1）（2x-b）＞0}，记B={x|x＜-2或x＞3}.①若a=0，则A={x|x＞}，不可能有AB；②当a＜0时，由（ax+1）（2x-b）=2a（x+）（x-）＞0，知（x+）（x-）＜0，此不等式的解集是介于与之间的有限区间，故也不可能有AB；③当a＞0时，A={x|x＜或x＞}.∵AB，
∴-≥-2且≤3.∴a≥,0＜b≤6.
6.解关于x的不等式ax2-（a+1）x+1＜0.
思路分析：由于二次项系数含字母,所以应分类讨论,分为a=0或a≠0两种情形分别求解,而在a≠0时,通过分解因式,求出不等式对应的两根后,还要比较两根大小及开口方向,所以综合来讲应分三个层次讨论.
解：（1）当a=0时，原不等式化为-x+1＜0，
∴不等式的解集是{x|x＞1}.
（2）当a≠0时，原不等式可化为a（x-1）（x-）＜0.
若a＜0，则（x-1）（x-）＞0.
∵＜1，
∴原不等式的解集为{x|x＜或x＞1}；
若a＞0时，原不等式化为（x-1）（x-）＜0.
①当＜1，即a＞1时，不等式的解集为{x|＜x＜1}.
②当=1，即a=1时，不等式即为（x-1）2＜0，显然不等式的解集为.
③当＞1，即0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜}.
综合上述，原不等式的解集如下：
当a＜0时，为{x|x＜或x＞1}；
当a=0时，为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，为{x|1＜x＜}；
当a=1时，为；
当a＞1时，为{x|＜x＜1}.
7.解不等式：（1）2x3-x2-15x＞0；
（2）(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0.
思路分析：如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0（或f(x)＜0）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况.
解：（1）原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0,
把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根x1=,x2=0,x3=3顺次标在数轴上.然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如图中阴影部分所示.
图3-3-5
∴原不等式解集为{x|＜x＜0或x＞3}.
（2）原不等式等价于
(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0
∴原不等式解集为{x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2}.
8.已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|α＜x＜β}，其中0＜α＜β，求不等式cx2+bx+a＜0的解集.
思路分析：主要考虑二次方程根与系数的关系,即根据韦达定理求解.
解：由已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|α＜x＜β}，可得a＜0.∴不等式ax2+bx+c＞0可化为x2+＜0，
则=-（α+β）＜0，=αβ＞0，∴c＜0.
从而不等式cx2+bx+a＜0可化为x2+＞0.
∴.
∴cx2+bx+a＜0等价于x2-（）x+＞0.
又0＜,∴cx2+bx+a＜0的解集为{x|x＞或x＜}.
我综合
我发展
9.设则不等式f(x)＞2的解集为(
)
A.（1，2）∪（3，+∞）
B.（，+∞）
C.（1，2）∪（，+∞）
D.（1，2）
思路解析：令2ex-1＞2（x＜2），解得1＜x＜2.令log3(x2-1)＞2（x≥2）,解得x∈（，+∞）.
答案:C
10.若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集是M，则对任意实常数k，总有(
)
A.2∈M，0∈M
B.2M，0M
C.2∈M，0M
D.2M，0∈M.
思路解析：方法一：代入判断法，将x=2,x=0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R；
方法二：(1+k2)x≤k4+4x≤=(k2+1)+-2x≤［(k2+1)+-2］min=.
∵2＜,0＜,∴2∈M,0∈M.
答案：A
11.已知f(x)是定义在［-1，1］上的奇函数，且f(1)=1，若m、n∈［-1，1］，m+n≠0时,.
(1)用定义证明f(x)在［-1，1］上是增函数；
(2)解不等式f(x+)＜f()；
(3)若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈［-1，1］，a∈［-1，1］恒成立，求实数t的取值范围.
思路分析：把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用.
(1)证明：任取x1＜x2，且x1，x2∈［-1，1］，则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=·(x1-x2).
∵-1≤x1＜x2≤1，
∴x1+(-x2)≠0，
由已知＞0，
又x1-x2＜0，
∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x)在［-1，1］上为增函数.
(2)解：∵f(x)在［-1，1］上为增函数，
∴
解得{x|-≤x＜-1，x∈R}.
(3)解：由(1)可知f(x)在［-1，1］上为增函数，且f(1)=1，故对x∈［-1，1］，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t2-2at+1对所有x∈［-1，1］，a∈［-1，1］恒成立，即要t2-2at+1≥1成立，故t2-2at≥0.记g(a)=t2-2at，对a∈［-1，1］，g(a)≥0，只需g(a)在［-1，1］上的最小值大于等于0，g(-1)≥0且g(1)≥0，解得t≤-2或t=0或t≥2.∴t的取值范围是{t|t≤-2或t=0或t≥2}.3.3一元二次不等式及其解法
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.已知2a+1＜0，关于x的不等式x2-4ax-5a2＞0的解集是(
)
A.{x|x＞5a或x＜-a}
B.{x|x＜5a或x＞-a}
C.{x|-a＜x＜5a}
D.{x|5a＜x＜-a}
解析：x2-4ax-5a2＞0（x-5a）（x+a）＞0.∵a＜，∴5a＜-a.∴x＞-a或x＜5a.故选B.
答案：B
2.不等式x2-x-2＜0的解集是___________.
解析：原不等式可以变化为(x+1)(x-2)＜0,可知方程x2-x-2=0的解为-1和2,所以,解集为:{x|-1＜x＜2}.
答案：{x|-1＜x＜2}
3.不等式≤1的解集是___________.
解析：≤1,即-1≤0,≤0.
因为两实数的积与商是同号的,所以上述不等式同解于如下的不等式组:
即所以,原不等式的解集为{x|x＜2或x≥}.
答案：{x|x＜2或x≥}
4.＜0的解集为____________.
解析：根据条件有即0＜x＜1,解集为:{x|0＜x＜1}.
答案：{x|0＜x＜1}
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|＜x＜2}，则不等式cx2+bx+a＜0的解集为(
)
A.{x|-3＜x＜}
B.{x|x＜-3或x＞}
C.{x|-2＜x＜}
D.{x|x＜-2或x＞}
解法一：ax2+bx+c＞0的解集为{x|＜x＜2}3x2-5x-2＜0-3x2+5x+2＞0.设a=-3k，b=5k，c=2k（k＞0），则cx2+bx+a＜02kx2+5kx-3k＜02x2+5x-3＜0-3＜x＜，故选A.
解法二：由题意知a＜0，且=（）+2，=（）×2，即=，=，而cx2+bx+a＜0x2+x+1＞0x2x+1＞02x2+5x-3＜0-3＜x＜，所以应该选A.
答案：A
2.下列不等式中,解集是R的是(
)
A.x2+2x+1＞0
B.＞0
C.()x+1＞0
D.
解析：因为x2+2x+1=(x+1)2≥0,所以A不正确,又=|x|≥0,所以B也不正确,而()x＞0,所以()x+1＞1＞0(x∈R).
答案：C
3.不等式＞0的解集是______________.
解析：＞0（x+1）（x-2）＞0x＜-1或x＞2.
答案：{x|x＜-1或x＞2}
4.解下列不等式
(1)x2-x-2＞0
(2)-2x2+x+3＞0
解:(1)∵Δ＞0，对应方程x2-x-2=0的根分别为-1，2.
∴不等式x2-x-2＞0的解集：{x|x＜-1
或x＞2};
(2)原不等式可以变为2x2-x-3＜0.
∴对应方程2x2-x-3=0的根分别为-1，.
∴原不等式的解集为{x|-1＜x＜}.
5.解关于x的不等式(m+3)x2+2mx+m-2＞0(m∈R).
解:(1)当m+3=0,即m=-3时,原不等式可化为-6x-3-2＞0,即x＜;
(2)当m+3＞0,即m＞-3时,Δ=4m2-4(m+3)(m-2)=4(6-m).
当Δ≥0,即-3＜m≤6时,原不等式的解为:x＜或x＞;
当Δ＜0,即m＞6时,原不等式的解集为R;
(3)当m+3＜0,即m＜-3时,Δ=4(6-m)＞0
所以,解为:
＜x＜.
综上所述,当m＜-3时,不等式的解集为:{x|＜x＜};m=-3时,不等式的解集为{x|x＜};当-3＜m≤6时,不等式的解集为{x|x＜}或x＞.
6.已知a＞1，P：a（x-2）+1＞0，Q：（x-1）2＞a（x-2）+1.试寻求使得P、Q都成立的x的集合.
解:由题意得
若1＜a＜2,则有而a-（2-）=a+-2＞0，所以a＞2-.故x∈{x|x＞2或2-＜x＜a}.
若a=2，则有x∈{x|x＞且x≠2}.
若a＞2，则有
故x∈{x|x＞a或2-＜x＜2}.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.函数f（x）=则不等式xf（x）-x≤2的解集为(
)
A.［-2，2］
B.［-2，-1］∪［1，2］
C.［1，2］
D.［-1，2］
解法一：（排除法）∵x=0时，xf（x）-x=0≤2成立，而B、C中均不含有0，故排除B、C.只需验证x=-2即可，当x=-2时，xf（x）-x=（-2）·（-1）+2=4＞2，∴排除A而选D.
解法二：（直接法）①当x＞1时，xf（x）-x≤2可化为x2-x≤2，即x2-x-2≤0，解得-1≤x≤2.又x＞1，∴1＜x≤2.②当x≤1时，xf（x）-x≤2可化为-2x≤2，∴x≥-1.此时有-1≤x≤1，故适合原不等式的解集为①②两部分的并集，为［-1，2］.
答案：D
2.不等式＞x+1的解集为(
)
A.{x|x＜-3}
B.{x|x＞1}
C.{x|x＜|∪{x|1＜x＜}
D.{x|＜x＜}
解析：原不等式可以化为-(x+1)＞0,即＞0,即(x+)(x)(x-1)＜0,由高次不等式的标根法可得C正确.
答案：C
3.已知集合M={x|x2-3x-28≤0},N={x|x2-x-6＞0}，则M∩N为(
)
A.{x|-4≤x＜-2或3＜x≤7}
B.{x|-4＜x≤-2或3≤x＜7}
C.{x|x≤-2或x＞3}
D.{x|x＜-2或x≥3}
解析：M={x|-4≤x≤7},N={x|x＜-2或?x＞3},再把M、N两个集合对应的范围在数轴上表示出来即可看出答案.
答案：A
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为x=1，图象与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x1∈（2，3），则有(
)
A.a-b-c＞0
B.a+b+c＜0
C.a+c＜b
D.3b＜2c
解析：由题意知另一交点必在（-1，0）之间，且f（-1）＞0，即a-b+c＞0（
）.又知=1，得a=，代入（
）式得b-b+c＞0，即3b＜2c.故选D.
答案：D
5.若x1、x2是方程x2-2kx+1-k2=0的两个实根，则x12+x22的最小值是(
)
A.-2
B.0
C.1
D.2
解析：由题意得
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=4k2-2（1-k2）=6k2-2.由①式得k2≥，
∴6k2-2≥6×-2=1.∴x12+x22的最小值为1.
答案：C
6.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则不等式ax2+bx+c＞0的解集是___________________.
解析：根据所给数表中函数的单调性可以看出?a＞0,且方程ax2+bx+c=0的两个解分别为-2和3.
答案：(-∞,-2)∪(3,+∞)
7.某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第二至第二十层，每层1人，而电梯只允许停?1次，只可使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假定乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走?1层的不满意度为2，所有人的不满意度的和为S，为使S最小，电梯应当停在第_______________层.
解析：设电梯停在第x层（2≤x≤20），则
S=［1+2+…+（x-3）+（x-2）］×1+［1+2+…+（19-x）+（20-x）］×2
=×（20-x）
=.∵x取正整数，∴取x=14即可.
答案：14
8.据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600
km处的热带风暴中心正以20
km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450
km以内的地区都受到影响（见右图）.从现在小时__________后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为__________.
解析：设风暴中心坐标为（a，b），则a=300，所以＜450，
即-150＜b＜150.而=15.
所以经过（-1）小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.
答案：(-1)
15小时
9.已知函数f(x)=（a，b为常数）且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,
x2=4.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设k＞1，解关于x的不等式：
f(x)＜.
解:（1）将x1=3,x2=4分别代入方程-x+12=0得
解得所以f(x)=(x≠2).
（2）不等式即为,可化为＜0,
即(x-2)(x-1)(x-k)＞0.
①当1＜k＜2，解集为x∈(1,k)∪(2+∞).
②当k=2时，不等式为(x-2)2(x-1)＞0解集为x∈(1,2)∪(2,+∞).
③当k＞2时，解集为x∈(1,2)∪(k,+∞).
10.若不等式的解集为（4，b），求实数a、b的值.
解法一：（换元法）设u=（u≥0），则原不等式可化为u＞，
即au2-u+＜0.
∵原不等式的解集为（4，b），∴方程au2-u+=0的两根分别为2、.
由韦达定理知
解得
解法二：（图象法）设y1=，y2=（x≥0），
其图象如上图所示，不等式＞ax+的解是当y1=的图象在y2=ax+（x≥0）的图象上方时相应的x的取值范围.由于不等式的解集为（4，b），故方程=ax+有一个解x=4，将x=4代入得，∴a=，再求方程=的另一个解得x=36，即b=36.
