3.2 均值不等式
1．若a>b>0，则下列不等式成立的是( )
A．a>b>>
B．a>>>b
C．a>>b>
D．a>>>b
2．函数y＝x(1－3x)(0A.
B.
C.
D.
3．已知x、y∈R＋，且x＋4y＝1，则x·y的最大值为__________．
4．求证：24m＋≥24(m>0)．
答案：1．B
2．B ∵0∴y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)≤·()2＝，
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时取等号．
3. 因为x，y∈R＋，且x＋4y＝1，
所以xy＝x·4y≤()2＝，
当且仅当x＝4y＝时取等号．
所以x·y的最大值为.
4．证明：∵m>0，由基本不等式，
得24m＋≥2＝2＝24，
当且仅当24m＝，即m＝时取等号．
课堂巩固
1．已知实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是( )
A．18
B．6
C．2
D．2
2．某工厂产品第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( )
A．x＝
B．x≤
C．x>
D．x≥
3．已知x、y都是正数，
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．
4．正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是__________．
5．已知x>2，求y＝x＋的最小值．
6．已知a>0，b>0，
求证：(a＋)(b＋)≥4.
答案：1．B ∵a＋b＝2，∴3a＋3b≥2＝2＝6，当且仅当a＝b＝1时取等号．
2．B 设平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，即(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
又(1＋a)(1＋b)≤()2，
∴1＋x≤，即x≤.
3.(1)2 (2) (1)x＋y≥2＝2；
(2)xy≤()2＝.
4．[9，＋∞) ∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，解得≥3，即ab≥9.
5．解：∵x>2，∴x－2>0.
y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4.
6．证明：因为a>0，b>0，由基本不等式，可知
a＋≥2，当且仅当a＝，即a＝1时取等号；
b＋≥2，当且仅当b＝，即b＝1时取等号．
因为上述两个不等式的两边均为正数，由不等式的性质，得(a＋)(b＋)≥4.
1．已知x、y>0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
1．答案：C 原式＝x＋＋y＋＝3＋＋≥3＋2＝5.
2．(天津高考，理6)设a>0，b>0.若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8
B．4
C．1
D.
2．答案：B 是3a与3b的等比中项 3a·3b＝3 3a＋b＝3 a＋b＝1，∵a>0，b>0，∴≤＝ ab≤.∴＋＝＝≥＝4.
3．点P(x，y)是直线x＋3y－2＝0上的动点，则代数式3x＋27y有( )
A．最大值8
B．最小值8
C．最小值6
D．最大值6
3．答案：C ∵点P(x，y)在直线x＋3y－2＝0上，
∴x＋3y＝2.
∴3x＋27y＝3x＋33y≥2＝2＝2＝6.
∴代数式3x＋27y有最小值6.
4．若直线ax＋by＋1＝0(a，b>0)过圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为( )
A．8
B．12
C．16
D．20
4．答案：C ∵圆心坐标为(－4，－1)，
∴－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1.
∴＋＝＋＝8＋＋
≥8＋2＝16.
(当且仅当即时“＝”成立)
5．设点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________．
5．答案：－2 由题意可知m>0，n>0，m＋n＝1，
∴log2m＋log2n＝log2mn≤log2()2
＝log2＝－2，
当且仅当m＝n＝时取“＝”．
6．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是________．
6．答案：3－2 ∵x>0，∴3x＋≥2＝2(当且仅当x＝时，等号成立)．
∴－(3x＋)≤－2.∴3－3x－≤3－2，即函数y＝3－3x－的最大值是3－2.
7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________千米处．
7．答案：5 由已知得y1＝，y2＝0.8x(x为仓库与车站的距离)，费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8，
当且仅当0.8x＝，即x＝5时“＝”成立．
8.求f(x)＝2＋log2x＋的最值(08．答案：解：∵0∴(－log2x)＋(－)≥2·＝2.
∴f(x)＝2－[(－log2x)＋(－)]≤2－2，
当且仅当－log2x＝－，
即log2x＝－时，等号成立．
∴f(x)max＝2－2，不存在最小值．
9．求函数f(x)＝(x>0)的最大值，及此时x的值．
9．答案：解：f(x)＝1－(2x＋)．
因为x>0，所以2x＋≥2，
即－(2x＋)≤－2.
因此f(x)≤1－2，
当且仅当2x＝，即x2＝时，式中等号成立．由于x>0，因此x＝时，式中等号成立．
因此f(x)max＝1－2，此时x＝.
10．某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x元(50≤x≤80)时，每天销售的件数为p＝，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？
10．答案：解法一：利润＝销售件数×(销售价格－进货价格)．如何把目标函数整理成能使用基本不等式的形式是正确解题的关键．
由题意，知利润
S＝(x－50)·
＝(x－50)·
＝.
∵x－50≥0，∴(x－50)＋≥20.
∴S≤＝2
500，当且仅当(x－50)＝，即x＝60或x＝40(不合题意，舍去)时取等号．
解法二：在基本不等式≥中，若a、b的形式比较复杂，也可采用换元法求最值．由题意知利润S＝(x－50)·.
令x－50＝t，x＝t＋50(t≥0)，
则S＝＝
＝≤＝2
500，
当且仅当t＝，即t＝10时取等号，此时x＝60.
答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多．3.2
均值不等式
课后训练
1．若－4＜x＜1，则( )．
A．有最小值1
B．有最大值1
C．有最小值－1
D．有最大值－1
2．已知a＞b＞0，全集I＝R，，，P＝{x|b＜x≤}，则( )．
A．P＝M∩
B．P＝∩N
C．P＝M∩N
D．P＝M∪N
3．若0＜a＜b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是( )．
A．
B．a2＋b2
C．2ab
D．a
4．设a＞0，b＞0.若是3a与3b的等比中项，则的最小值为( )．
A．8
B．4
C．1
D．
5．设x＞y＞z，且恒成立，则n的最大值是( )．
A．2
B．3
C．4
D．5
6．在区间上，函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)与在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在区间上的最大值是______．
7．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则的最小值为______．
8．a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，求证：.
证明：证法一：∵abc＝1，且a，b，c为互不相等的正数，
求下列各式的最值：
(1)已知x＞y＞0，且xy＝1，求的最小值及此时x，y的值；
(2)设a，b∈R，且a＋b＝5，求2a＋2b的最小值．
参考答案
1.
答案：D
解析：，∵－4＜x＜1，
∴x－1＜0，－(x－1)＞0.
∴，
当且仅当x－1＝即x＝0时等号成立，即x＝0时，f(x)有最大值－1.
2.
答案：A
解析：∵，
∴
＝＝P.
3.
答案：B
解析：∵0＜a＜b且a＋b＝1，∴，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＞(a＋b)2－2·2＝.
∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2＞0，∴a2＋b2＞2ab.
∴a2＋b2最大．(本题也可取特殊值进行检验)
4.
答案：B
解析：因为3a·3b＝3，所以a＋b＝1，
＝，
当且仅当，即a＝b＝时，等号成立，即最小值为4.
5.
答案：C
解析：原不等式可变形为n≤(x－z)
，此不等式恒成立的条件是n不大于右边的最小值．令a＝x－y，b＝y－z，则a＞0，b＞0，且x－z＝a＋b.
∴(x－z)＝(a＋b)·＝2＋≥4.∴n≤4.
6.
答案：4
解析：首先＝x＋＋1≥3，当x＝1时取等号，即当x＝1时取最小值3，所以f(x)的对称轴是x＝1，所以b＝－2，再把(1，3)代入即得c＝4，所以f(x)＝x2－2x＋4，易得在上的最大值是4.
7.
答案：8
解析：∵函数y＝loga(x＋3)－1的图象过定点(－2，－1)，
∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.≥4＋4＝8.
当且仅当即时，等号成立．
8.
∴＝bc＋ac＋ab＝＞＝，
∴.
证法二：∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，
∴.
∴.
证法三：∵a＞0，b＞0，c＞0，a，b，c互不相等，且abc＝1，
∴，①
同理，②
，③
①＋②＋③得.
9.
解：(1)∵x＞y＞0，∴x－y＞0，
∵xy＝1(定值)，
∴.
解方程组得
∴当，时，取得最小值.
(2)因为a，b∈R，故2a，2b∈(0，＋∞)，
则.
当且仅当a＝b＝时，取等号．
所以a＝b＝时，2a＋2b取得最小值为.3.2
均值不等式
自我小测
1．函数f(x)＝x＋＋3在(－∞，－2]上( )
A．无最大值，有最小值7
B．无最大值，有最小值－1
C．有最大值7，有最小值－1
D．有最大值－1，无最小值
2．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8
B．4
C．1
D．
3．点P(x，y)是直线x＋3y－2＝0上的动点，则代数式3x＋27y有( )
A．最大值8
B．最小值8
C．最小值6
D．最大值6
4．若a，b，c＞0，且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为( )
A．－1
B．＋1
C．2＋2
D．2－2
5．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0．则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )
A．0
B．
C．2
D．
6．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v千米/时的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400千米，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于eq
\b\lc\(\rc\)()2千米，那么这批物资全部到达
7．设a≥0，b≥0，且a2＋＝1，则a的最大值为________．
8．已知直线x＋y＝1经过第一象限内的点P，则a＋4b的最小值是________．
9．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．
(1)若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？
(2)若使每个同学游4次，每人最少应交多少元钱？
10．用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图所示)，设容器高为h米，盖子边长为a米．
(1)求a关于h的解析式；
(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？并求出V的最大值．(求解本题时，不计容器厚度)
参考答案
1．解析：∵x≤－2，∴f(x)＝x＋＋3＝－＋3≤－2＋3＝－1，当且仅当－x＝－，即x＝－2时，等号成立．
∴f(x)有最大值－1，无最小值，故选D．
答案：D
2．解析：是3a与3b的等比中项3a·3b＝33a＋b＝3a＋b＝1．∵a>0，b>0，∴≤＝ab≤．∴＋＝＝≥＝4．当且仅当a＝b＝时，等号成立．
答案：B
3．解析：∵点P(x，y)在直线x＋3y－2＝0上，∴x＋3y＝2．
∴3x＋27y＝3x＋33y≥2＝2＝2＝6．当且仅当x＝3y，即x＝1，y＝时，等号成立．
∴代数式3x＋27y有最小值6．
答案：C
4．解析：因为a，b，c＞0，且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，
所以a2＋ab＋ac＋bc＝4－2，所以4－2＝a2＋ab＋ac＋bc＝(4a2＋4ab＋4ac＋2bc＋2bc)≤(4a2＋4ab＋4ac＋2bc＋b2＋c2)．
当且仅当b＝c时，等号成立．
所以(2－2)2≤(2a＋b＋c)2，则2a＋b＋c≥2－2．
答案：D
5．解析：由x2－3xy＋4y2－z＝0得x2＋4y2－3xy＝z，＝－3≥－3＝－3＝1，当且仅当x2＝4y2即x＝2y时，有最小值1，将x＝2y代入原式得z＝2y2，所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y，当y＝1时有最大值2．故选C．
答案：C
6．解析：从第一辆车出发到最后一辆车到达目的地共需要的时间y＝＋＝＋≥2＝10．当且仅当v＝80时，等号成立．
答案：10
7．解析：由a2＋＝1，知2a2＋b2＝2，即2a2＋(1＋b2)＝3．因为2a2＋(1＋b2)≥2，所以a≤＝．当且仅当2a2＝1＋b2，即a＝，b＝时，等号成立．
答案：
8．答案：9
9．解：(1)设每批去x名同学，共需去批，
总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用×40．
∴y＝240x＋×40(0＜x≤48，x∈Z)．
∴y＝240eq
\b\lc\(\rc\)()≥240×2＝3
840，
当且仅当x＝，即x＝8时，等号成立．
故每人最少应交＝80(元)．
2)设每批去x名同学，共需去批，
总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用×40．
∴y＝240x＋×40(0＜x≤48，x∈Z)．
∴y＝240eq
\b\lc\(\rc\)()≥240×2≈2
715，
当且仅当x＝，即x≈5．66时，等号成立．
但0＜x≤48，x∈Z，
当x1＝5时，y1＝240×eq
\b\lc\(\rc\)()＝2
736；
当x2＝6时y2＝240×eq
\b\lc\(\rc\)()＝2
720．
∵y1＞y2，∴当x＝6时，y有最小值，即ymin＝2
720．
故每人最少应交≈56．67(元)．
10．解：(1)设h′是正四棱锥的斜高，由题设，得消去h′，
解得a＝(a＞0)．
(2)由V＝a2h＝(h＞0)，得V＝．而h＋≥2＝2．
所以V≤，当且仅当h＝，即h＝1时，等号成立．
故当h＝1米时，V有最大值，V的最大值为立方米．3.2
均值不等式
自主广场
我夯基
我达标
1.x、y同号，当取最小值时，一定有(
)
A.x=y=1
B.x=y=-1
C.x=y或x=-y
D.x=y
思路解析：因为x、y同号，所以与都是正数,取最值时=,再由x、y同号,知x=y.
答案：D
2.下列函数中，最小值为4的是(
)
A.f（x）=x+
B.f（x）=2×
C.f（x）=3x+4×3-x
D.f（x）=lgx+logx10
思路解析：逐个排除.其中A,D选项不能保证两项为正,排除;而B选项不能取得等号,f(x)=2×≥4,要取等号,必须,即x2+4=1,这是不可能的.
答案：C
3.设x,y为正数,则(x+y)(+)的最小值为(
)
A.6
B.9
C.12
D.15
思路解析：x，y为正数，(x+y)(+)≥1+4++≥9，选B.
答案:B
4.在区间［，2］上，函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R）与g（x）=在同一点取得相同的最小值，那么f（x）在区间［，2］上的最大值是(
)
A.
B.4
C.8
D.
思路解析：g（x）==x++1≥3,当x=1时取等号,即当x=1时取最小值3,所以f（x）的对称轴是x=1.所以b=-2.再把(1,3)代入即得c=4.所以f(x)=x2-2x+4,易得在［，2］上的最大值是f(2)=4-4+4=4.
答案：B
5.(1)函数f（x）=x+（x＞5）的最小值为____________.
(2)函数y=（0＜x＜10）的最大值为_____________.
(3)已知2x+3y=12，且x、y均为正数，那么xy的最大值为____________.
思路解析：(1)由于x＞5,所以x-5＞0,f(x)=x-5++5≥2(x-5)·+5=7,当x-5=,即x=6时取最值;(2)=5,当x=10-x,即x=5时取最值;(3)首先根据条件凑出定值,把xy进行变化:xy=(2x)(3y)≤=6.
答案：(1)7
(2)5
(3)6
6.已知a、b、c为不全相等的正数，求证：lg+lg＞lga+lgb+lgc.
思路分析：根据对数的性质,首先把对数符号去掉,得＞abc,然后,再利用均值不等式及其变形进行证明,由于式子比较复杂可以采用分析法书写证明过程.
证明：要证原不等式成立，只需证lg（）＞lgabc.
又∵y=lgx是增函数，
∴只需证＞abc.
又已知a、b、c为不全相等的正数，所以由基本不等式，知上述三个不等式不能同时取到等号，
∴＞abc成立.
∴原不等式成立.
7.已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，求证：（-1）（-1）（-1）≥8.
思路分析：首先根据条件a+b+c=1，把其中分子上的1全部换成a+b+c之后,每个括号中的项分别使用均值不等式,然后相乘即可.
证明：∵，
又∵a＞0，b＞0，c＞0，∴，
即.
同理,可得.
由于上面三个不等式的右边都是正数，相乘即得（-1）（-1）（-1）≥8.
8.如图3-2-1所示,平面直角坐标系中，在y轴正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B，试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求一点C，使∠ACB取得最大值.
图3-2-1
思路分析：本题是一个含有识图以及与三角函数有关的综合题,首先根据图形建立∠ACB某一三角函数的一个解析式,根据解析式和均值不等式求最值即可.
解：设点A坐标为（0，a），点B坐标为（0，b），0＜b＜a，点C坐标为（x，0）（x＞0），
∠ACB=α，∠OCB=β，则∠OCA=α+β（0＜α＜），
∴tanα=tan［（α+β）-β］=.
当且仅当x=，即x=（x＞0）时等号成立.因此当x=
时，tanα取得最大值，∠ACB取得最大值.
我综合
我发展
9.已知不等式(x+y)()≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为(
)
A.2
B.4
C.6
D.8
思路解析：不等式(x+y)()≥9对任意正实数x，y恒成立，则1+a+≥a++1≥9，∴≥2或≤-4(舍去).所以正实数a的最小值为4.
答案：B
10.若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=,则2a+b+c的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
思路解析：若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=,
所以a2+ab+ac+bc=，
=a2+ab+ac+bc=(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)
≤(4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2).
所以()2≤(2a+b+c)2，
则(2a+b+c)≥.
答案：D
11.设tanx=3tany(0≤y＜x＜),则u=x-y的最大值是(
)
A.
B.
C.
D.
思路解析：这是一个和三角函数有关的最值问题,首先要根据三角函数和与差的公式,写出x-y的一个函数关系式:tan(x-y)=
≤,而0≤y＜x＜,
所以0＜x-y＜.
所以0＜tan(x-y)≤.
所以x-y的最大值为.
答案:A
12.均值不等式≥（a，b都是正实数，当且仅当a=b时等号成立）可以推广到n个正实数的情况，即对于n个正实数a1，a2，a3，…,an有
(当且仅当a1=a2=a3=…=an时,取等号).
同理,当a,b都是正实数时,(a+b)(+)≥=4,可以推广出这样的结论:对于n个正实数a1，a2，a3，…,an,有(a1+a2+a3)()≥;(a1+a2+a3+a4)()
≥;(a1+a2+a3+…+an)(
)≥;
如果对于n个同号实数a1，a2，a3，…,an(同正或者同负),那么,根据上述结论,(a1+a2+a3+…+an)(+…+)的取值范围是_______________.
思路解析：根据所给结论及类比的方法,可得
(a1+a2+a3)(
)≥.
同理,(a1+a2+a3+a4)(
)≥16,
(a1+a2+a3+…+an)(
+…+)≥n2.
当实数a1，a2，a3，…,an都是负数时,
(a1+a2+a3+…+an)(+…+)≥n2.
答案:9
16
n2
［n2,+∞）
13.已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为_____________.
思路解析：设直线l为=1(a＞0,b＞0)，则有=1.得1=，即ab≥8.于是，△OAB面积为S=ab≥4.
答案:4
14.某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次.某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，
（1）若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？
（2）若使每个同学游4次，每人最少应交多少元钱？
思路分析：把实际问题抽象（转化）成数学问题（比较代数式的大小）也就是建立数学模型是解应用题的关键，而恰当地设出未知数往往是把实际问题抽象（转化）成数学问题的第一步.
解：（1）设每批去x名同学，共需去批，
总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用×40.
∴y=240x+×40（0＜x≤48，x∈Z）.
∴y=240（x+）≥240×2x×=3
840，
当且仅当x=，即x=8时取等号.
故每人最少应交=80（元）.
（2）设每批去x名同学，共需去批，
总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用×40.
∴y=240x+×40（0＜x≤48，x∈Z）.
∴y=240（x+）≥240×2x×=1
9202，
当且仅当x=，即x=5.66时取等号.
但0＜x≤48，x∈Z，
当x1=5时，y1=240×（5+）=2
736；
当x2=6时，y2=240×（6+）≈2
720.
∵y1＞y2，
∴当x=6时，y有最小值，即ymin≈2
720.
故每人最少应交≈56.67元.
15.用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图3-2-2),设容器高为h米，盖子边长为a米，
图3-2-2
(1)求a关于h的解析式；
(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值.(求解本题时，不计容器厚度)
解：(1)设h′是正四棱锥的斜高，由题设,得
消去h′,
解得a=(a＞0).
(2)由V=a2h=(h＞0),
得V=.而h+=2.
所以V≤，当且仅当h=,即h=1时取等号.
故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为立方米.3.2
均值不等式
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.对于任意实数a、b，下列不等式一定成立的是(
)
A.a+b≥
B.≥
C.a2+b2≥2ab
D.≥2
解析：均值不等式要考虑正负情况，这里如果a、b不能保证是正值A、B、D都不一定成立，只有C对任意实数恒成立．也可以采用特殊值代入检验进行排除．
答案：C
2.已知点P(x,y)在直线x+3y-2=0上，那么代数式3x+27y的最小值是_____________.
解析：根据条件可知x+3y=2,而3x+27y=3x+33y≥=6,当且仅当3x=33y时取等号.
答案：6
3.函数f（x）=x++3在（-∞，-2］上(
)
A.无最大值，有最小值7
B.无最大值，有最小值-1
C.有最大值7，有最小值-1
D.有最大值-1，无最小值
解析：∵x≤-2，∴f（x）=x++3=-［（-x）+（）］+3≤+3=-1，当且仅当-x=，即x=-2时取等号.
∴f（x）有最大值-1，无最小值，故选D.
此外，该题也可利用函数f（x）=x++3在（-∞，-2］上的单调性求解.
答案：D
4.若x＞3,那么当x=_____________时,y=取最小值_____________.
解析：y=x+=x-3++3≥+3=5,当且仅当x-3=即x=4时,y取最小值5.
答案：4
5
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知a、b∈R，且a2+b2=4，那么ab(
)
A.最大值为2，最小值为-2
B.最大值为2，但无最小值
C.最小值为2，但无最大值
D.最大值为2，最小值为0
解析：这里没有限制a、b的正负,则由a2+b2≥2|ab|即|ab|≤2,所以,-2≤ab≤2,可知最大值为2，最小值为-2.
答案：A
2.设f（x）=（）x，a、b∈R+，A=f（），G=f（），H=f（），K=f（），则A、G、H、K的大小关系是(
)
A.H≤G≤A≤K
B.A≤K≤H≤G
C.A≤K≤G≤H
D.K≤A≤G≤H
解析：首先由已知条件可知f（x）在定义域内是单调递减函数,然后只需取特殊值a=1,b=2代入判断的大小即可.
答案：D
3.已知x=（a＞2），y=（b＜0），则x、y之间的大小关系是(
)
A.x＞y
B.x＜y
C.x=y
D.不能确定
解析：x=（a-2）++2≥+2=4（当且仅当a=3时，取“=”），y==4.
∴x＞y.
答案：A
4.三个同学对问题“关于x的不等式x2+25＋|x3-5x2|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.
甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”
乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值.”
丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象.”
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是______________.
解析：由x2+25+|x3-5x2|≥ax,1≤x≤12a≤x++|x2-5x|，而x+≤=10，等号当且仅当x=5∈［1,12］时成立；且|x2-5x|≥0，等号当且仅当x=5∈［1，12］时成立；所以，a≤［x++|x2-5x|］min=10，等号当且仅当x=5∈［1,12］时成立；故a∈(-∞,10］.
答案：a∈(-∞,10］
5.已知x、y∈R+，且=1，求x+y的最小值.
解:∵x＞0，y＞0，=1，
∴x+y=（）（x+y）=+10=6+10=16，
当且仅当，又=1即时等号成立.
6.已知a＞0,b＞0,且a+2b=10,求y=的最大值.
解法一:由于a＞0,b＞0,且a+2b=10,则有
y=≤
.
当且仅当a+2=2b+3=时,即a=,b=时,等号成立.
所以y=的最大值为.
解法二:由于a＞0,b＞0,且a+2b=10,?则有
y2=(a+2)+(2b+3)+≤15+［(a+2)+(2b+3)］=30.
当且仅当a+2=2b+3=时,即a=,b=时,等号成立.
又y＞0,所以,y≤.
所以y=的最大值为.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列求最值过程中正确的是(
)
A.若0＜x＜π，则y=sinx+.所以y的最小值是2
B.若0＜x＜π，则y=sinx+.所以y的最小值是
C.若x＞0，则y=2+x+≥2+=6.所以y的最小值是6
D.若0＜x＜1，则y=x（4-x）≤［］2=4.所以y的最大值为4
解析：A、B、D中等号都取不到.A中需满足sinx=，即sinx=（0，1］；B中由得sinx=（0，1］；D中由x=4-x得x=2（0，1）.
答案：C
2.函数y=(x＞-1)的图象的最低点的坐标是(
)
A.（1，2）
B.（1，-2）
C.（1，1）
D.（0，2）
解析：求图象的最低点的坐标，即求函数取最小值时的x,y的值.
∵x＞-1,∴x+1＞0
则y==(x+1)+≥=2
∴当且仅当x+1=，即x=0或x=-2(舍去)时等式成立.
当x=0时，y=2.
即当x=0时,y取最小值2.
答案：D
3.某学生在期中考试中数学、英语两门一好一差，为了在后半学期的月考及期末两次考试中提高英语成绩，他决定重点复习英语，结果两次考试英语成绩每次提高了10%，但数学成绩每次却下降了10%，这时恰好两门都得m分，这个学生这两门的期末总成绩比期中是(
)
A.提高了
B.降低了
C.未提未降
D.是否提高与m的值有关
解析：设期中数学成绩为x分，英语为y分，依题意x（1-10%）2=m，y（1+10%）2=m，∴x+y=m（）.∵＞2×＞2，∴x+y＞2m.
答案：B
4.设x、y为正数,
则(x+y)()的最小值为(
)
A.6
B.9
C.12
D.15
解析：x，y为正数，(x+y)()≥1+4+≥9，当且仅当即y=2x时，原式最小值为9.
答案：B
5.函数y=（0＜x＜10）的最大值为______________.
解析：∵0＜x＜10,∴10-x＞0,所以,y=·=5,当且仅当x=10-x即x=5时等号成立.
答案：5
6.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是_____________.
解析：令=t(t＞0),由ab=a+b+3≥2+3,得t2≥2t+3,又t＞0,所以,可得t≥3即≥3,所以ab≥9.
答案：ab≥9
7.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v千米/时的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400千米，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于（）2千米，那么这批物资全部到达灾区，最少需要_____________小时.
解析：从第一辆车出发到最后一辆车到达目的地共需要时间为y==10.
答案：10
8.求函数y=的最值.
解:1）当x＞0时，y=13+x+≥13+=25，
当且仅当x=即x=6时取等号.所以当x=6时，ymin=25.
2）当x＜0时，-x＞0，＞0,(-x)+()≥=12.
∴y=13-［(-x)+()］≤13-12=1.
当且仅当-x=，即x=-6时取等号，所以当x=-6时，ymax=13-12=1.
9.已知a＞b＞0，求的最小值.
解:由a＞b＞0，知a-b＞0，则b(a-b)=()2≤()2=，
∴a2+≥=16，上式中两个“≥”号中的等号当且仅当b=a-b和a2=时成立，即a=，b=时，［］min=16.
10.如右图，树顶A离地面a
m，树上另一点B离地面b
m.在离地面c
m的C处看此树，离此树多远时视角最大
解:过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D.设∠BCD=α，∠ACB=β，CD=x.在△BCD中，tanα=.
在△ACD中，tan（α+β）=，
则tanβ=,
∵在(0，)内正切函数是增函数.
∴当且仅当x=，即x=时，视角最大.
