3.1
不等关系与不等式
课后训练
1．已知a，b分别对应数轴上的A，B两点，且A在原点右侧，B在原点左侧，则下列不等式成立的是( )．
A．a－b≤0
B．a＋b＜0
C．|a|＞|b|
D．a－b＞0
2．已知，，，那么下列各式正确的是( )．
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜a＜c
D．c＜a＜b
3．如图，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y(万元)与销售量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，若该公司赢利，则销售量x应满足( )．
A．x＞a
B．x＜a
C．x≥a
D．0≤x＜a
4．x＝(a＋3)(a－5)与y＝(a＋2)(a－4)的大小关系为( )．
A．x＞y
B．x＝y
C．x＜y
D．不能确定
5．已知－1＜a＜1，则与1－a的大小关系为______．
6．某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A容器与B容器的容积相等．若前一个量用a表示，后一个量用b表示，则上述事实可表示为：______；______；______.
7．______(选填“＞”、“＜”、“≤”或“≥”)．
8．已知a，b均为正数，n∈N＋，比较(a＋b)(an＋bn)与2(an＋1＋bn＋1)的大小．
实数x，y，z满足x2－2x＋y＝z－1，且x＋y2＋1＝0，试比较x，y，z的大小．
参考答案
1.
答案：D
解析：由题意知，a＞0，b＜0.
2.
答案：A
解析：，，.∴a＜b＜c.
3.
答案：A
解析：该公司赢利时，销售收入应大于销售成本，即f(x)＞g(x)．
4.
答案：C
解析：x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－15＋8＝－7＜0，∴x＜y.
5.
答案：
解析：.∵－1＜a＜1，∴a＋1＞0，a2≥0，∴－(1－a)≥0，即≥1－a.
6.
答案：a＜b a＞b a＝b
7.
答案：＞
解析：＝＞0，
∴＞.
8.
解：(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)
＝an＋1＋abn＋anb＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1
＝abn＋anb－an＋1－bn＋1
＝a(bn－an)＋b(an－bn)
＝(a－b)(bn－an)，
∵a，b为正数，n∈N＋且n≥1，
∴①当a＞b＞0时，a－b＞0，bn＜an.
∴(a－b)(bn－an)＜0.
②当b＞a＞0时，a－b＜0，bn＞an.
∴(a－b)(bn－an)＜0.
③当a＝b＞0时，a－b＝0.所以(a－b)(bn－an)＝0.
综上所述，(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)≤0.
即(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．
9.
解：∵x2－2x＋y＝z－1，
∴z－y＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
∴z≥y.
又x＋y2＋1＝0，∴y2＝－(x＋1)≥0，∴x≤－1，
且.
当时，，
∴y＞x；
当时，y≥0，x≤－1，
∴y＞x.
综上知，z≥y＞x.3.1.2
不等式的性质
自我小测
1．如果a，b，c满足c
A．ab>ac
B．c(b－a)>0
C．cb2D．ac(a－c)<0
2．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )
A．<
B．a2＞b2
C．>
D．a|c|＞b|c|
3．已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是( )
A．
<
B．<
C．
<
D．<
4．已知函数f(x)(0≤x≤1)的图象为一段圆弧(如图)，若0＜x1＜x2＜1，则( )
A．<
B．＝
C．>
D．≤
5．若a＞0，b＞0，则不等式－b＜＜a等价于( )
A．－＜x＜0或0＜x＜
B．－＜x＜
C．x＜－或x＞
D．x＜－或x＞
6．给出下列命题：
①若xy>1，则
>．
其中正确命题的序号是________．
7．已知不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a；④0＜b＜a；⑤b＜a且ab＞0；⑥a＜b且ab＜0．其中能使<成立的是________．(填序号)
8．若a＞b，且>，求证：a＞0且b＜0．
9．设m∈R，a＞b＞1，f(x)＝，试比较f(a)与f(b)的大小．
10．甲、乙两人同时从寝室出发到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步．如果两人步行速度、跑步速度均相同，问甲、乙两人谁先到达教室？
参考答案
1．解析：∵c0，c<0．
∴b可能为0，也可能不为0．
∴cb2答案：C
2．解析：取a＝1，b＝0，排除选项A；取a＝0，b＝－1，排除选项B；取c＝0，排除选项D；显然＞0，对不等式a＞b的两边同时乘以，得>．故选C．
答案：C
3．答案：A
4．解析：可在函数的图象上取点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，则线段OA，OB的斜率是kOA＝，kOB＝．由图象可以看出kOA＞kOB，即>．故选C．
答案：C
5．解析：－b<x＜－或x＞．
答案：D
6．解析：对于①，当a＝0时，a2x＝a2y，故命题①错误．
对于②，由幂函数y＝x2n＋1(n∈N＋)是增函数这一性质可知：当x对于③，由x＞y＞1，得0＜＜＜1，而函数y＝logax当0>＝－1＝>，故命题③也正确．
答案：②③
7．解析：因为<＜0b－a与ab异号，然后再逐个进行验证，可知①②④⑤⑥都能使＜．
答案：①②④⑤⑥
8．证明：a＞0且b＜0．
9．解：f(a)－f(b)＝－＝．
∵a＞b＞1，∴b－a＜0，a－1＞0，b－1＞0．
∴＜0．
∴当m＞0时，＜0，∴f(a)＜f(b)；
当m＜0时，＞0，∴f(a)＞f(b)；
当m＝0时，＝0，∴f(a)＝f(b)．
10．分析：先根据条件，表示出甲、乙两人到达教室的时间表达式，然后作差比较他们所用时间的多少，所用时间少的先到达教室．
解：设总路程为s，步行速度为v1，跑步速度为v2，显然v1＜v2，甲到教室所用的时间为t1，乙到教室所用时间为t2，则t1＝＋＝，(v1＋v2)＝s．
∴t2＝．
∴t1－t2＝＝．
∵v1＜v2，∴v1－v2≠0．∴(v1－v2)2＞0．
∴＞0．
∴t1＞t2．∴乙先到教室．3.1.1
不等关系与不等式
课后训练
1．若，，，则( )．
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c
2．如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中正确的是( )．
A．
B．－a＜b
C．a2＜b2
D．|a|＞|b|
3．已知a＜b，则下列不等式正确的是( )．
A．
B．a2＞b2
C．2－a＞2－b
D．2a＞2b
4．设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列结论中正确的是( )．
A．a＋c＞b＋d
B．a－c＞b－d
C．ac＞bd
D．
5．如图，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销量之间的函数关系．
(1)当销量x满足________时，该公司赢利；(2)当销量x满足________时，该公司亏损( )．
①x＞a；②x＜a；③x≥a；④0≤x＜a.
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
6．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系为________．
7．如果[x]表示不超过x的最大整数，a＝[－3.1]，b＝[m]，c＝[7.1]，且a≤b≤c，那么实数m的取值范围是________．
8．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，且a1≠a3，则a2______b2(选填“＞”“＜”“≥”或“≤”)．
9．若a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，试比较a，b，c三个实数的大小．
10．船在流水中航行，在甲地和乙地之间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？
参考答案
1.
答案：C 易知a，b，c都是正数，＝log89＞1，所以b＞a；＝log2532＞1，所以a＞c.所以b＞a＞c.
2.
答案：A 如果a＜0，b＞0，那么，，
∴，故选A.
3.
答案：C
4.
答案：A 可以取值代入检验，也可以作差进行比较，由条件易知a＋c－(b＋d)＝(a－b)＋(c－d)＞0，故选项A正确．
5.
答案：C 当销售收入f(x)大于销售成本g(x)时，该公司赢利；当销售收入f(x)小于销售成本g(x)时，该公司亏损．故选C.
6.
答案：f(x)＞g(x) f(x)－g(x)＝3x2－x＋1－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，所以f(x)＞g(x)．
7.
答案：－4≤m＜8 根据定义，可知a＝－4，c＝7，所以－4≤b≤7，再根据定义知，m最小值为－4，最大值也不能达到8，因此m的取值范围是－4≤m＜8.
8.
答案：＜ 设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，
则a3＝a1q2，b3＝b1＋2d＝a1＋2d.
∵a3＝b3，∴a1q2＝a1＋2d，即2d＝a1(q2－1)．
∴d＝a1(q2－1)．
∵a1≠a3＝a1q2，∴q2≠1.∴q≠±1.
∵a2－b2＝a1q－(a1＋d)
＝a1q－a1－a1(q2－1)
＝－a1(q－1)2＜0，
∴a2＜b2.
9.
答案：解：b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0.
所以b≥c.
由题意可得方程组
解得b＝2a2－4a＋5，c＝a2＋1.
所以c－a＝a2＋1－a＝(a－)2＋＞0，
所以c＞a.
故b≥c＞a.
10.
答案：解：不相等．理由如下：设甲地到乙地的距离为s，船在静水中的速度为v，水流速度为v′(v＞v′＞0)，则船在流水中在甲地和乙地之间来回行驶一次的时间，∴平均速度，
∴.
∴.
因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度小于船在静水中的速度．3.1
不等关系与不等式
课后训练
1．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是( )．
A．
B．
C．
D．
2．已知a＞b＞c，则的值是( )．
A．非正数
B．非负数
C．正数
D．负数
3．已知a＜0，－1＜b＜0，下列不等式成立的是( )．
A．a＞ab＞ab2
B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2
D．ab＞ab2＞a
4．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )．
A．aB．bC．aD．b5．已知a＞b，则下列不等式：①a2＞b2；②；③.其中不成立的个数是( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
6．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，则________.(填不等号“＞”或“＜”)
7．给出下列命题：①a＞b ac2＞bc2；②a＞|b| a2＞b2；③a＞b a3＞b3；④|a|＞b a2＞b2.其中正确的命题序号是______．
8．如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2按由小到大顺序排起来为______．
9．已知a＞b＞c，求证：.
10．若二次函数f(x)图象关于y轴对称且1≤f(1)≤2，3≤f(2)≤4，求f(3)的范围．
已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调递减的，α，β，γ∈R，且α＋β＞0，β＋γ＞0，γ＋α＞0，试讨论f(α)＋f(β)＋f(γ)的值与0的大小关系．
参考答案
1.
答案：C
解析：解法一：由，故选C.
解法二：(特值法)令a＝2，b＝1，排除A，D，再令，，排除B，故选C.
2.
答案：C
解析：.∵a＞b＞c，
∴b－a＜0，b－c＞0，c－a＜0.
∴.∴是正数．
3.
答案：D
解析：∵－1＜b＜0，∴04.
答案：D
解析：∵log45＞1，05.
答案：D
6.
答案：＞
解析：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
上式两边同乘以，
得.
又e＜0，∴.
7.
答案：②③
8.
答案：a＜－a2＜a2＜－a
解析：∵a2＋a＜0，∴a2＜－a，∴－a＞0，a＜0，a2＞0，0＞－a2＞a，故a＜－a2＜a2＜－a.
9.
证明：∵a＞b＞c，∴a－c＞a－b＞0，∴.
又∵，∴，∴.
10.
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(x)图象关于y轴对称，∴f(－x)＝f(x)，从而b＝0，
即f(x)＝ax2＋c.∴
∴
∴.
∵1≤f(1)≤2，3≤f(2)≤4，
∴－10≤－5f(1)≤－5，24≤8f(2)≤32，
∴14≤8f(2)－5f(1)≤27，
∴，即≤f(3)≤9.
11.
解：∵α＋β＞0，∴α＞－β.
又∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递减的，
∴f(α)＜f(－β)．
又∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是奇函数，
∴f(α)＜f(－β)f(α)＜－f(β)．①
同理：由β＋γ＞0f(β)＜－f(γ)，②
γ＋α＞0f(γ)＜－f(α)．③
由不等式性质，①②③左右两边分别相加得f(α)＋f(β)＋f(γ)＜－[f(α)＋f(β)＋f(γ)]．
∴2[f(α)＋f(β)＋f(γ)]＜0，即f(α)＋f(β)＋f(γ)＜0.3.1.1
不等关系与不等式
自我小测
1．若a＝，b＝，c＝，则( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c
2．如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中正确的是( )
A．<
B．－a＜b
C．a2＜b2
D．|a|＞|b|
3．已知a＜b，则下列不等式正确的是( )
A．＞
B．a2＞b2
C．2－a＞2－b
D．2a＞2b
4．设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列结论中正确的是( )
A．a＋c＞b＋d
B．a－c＞b－d
C．ac＞bd
D．>
5．如图，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销量之间的函数关系．
(1)当销量x满足________时，该公司赢利；(2)当销量x满足________时，该公司亏损( )
①x＞a；②x＜a；③x≥a；④0≤x＜a．
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
6．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系为________．
7．如果[x]表示不超过x的最大整数，a＝[－3．1]，b＝[m]，c＝[7．1]，且a≤b≤c，那么实数m的取值范围是________．
8．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，且a1≠a3，则a2______b2(选填“＞”“＜”“≥”或“≤”)．
9．若a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，试比较a，b，c三个实数的大小．
10．船在流水中航行，在甲地和乙地之间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？
参考答案
1．解析：易知a，b，c都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a；＝＝log2532＞1，所以a＞c．所以b＞a＞c．
答案：C
2．解析：如果a＜0，b＞0，那么＜0，＞0，
∴＜，故选A．
答案：A
3．答案：C
4．解析：可以取值代入检验，也可以作差进行比较，由条件易知a+c-(b+d)＝(a-b)+(c-d)＞0，故选项A正确．
答案：A
5．解析：当销售收入f(x)大于销售成本g(x)时，该公司赢利；当销售收入f(x)小于销售成本g(x)时，该公司亏损．故选C．
答案：C
6．解析：f(x)－g(x)＝3x2－x＋1－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，所以f(x)＞g(x)．
答案：f(x)＞g(x)
7．解析：根据定义，可知a＝－4，c＝7，所以－4≤b≤7．再根据定义知，m最小值为－4，最大值也不能达到8，因此m的取值范围是－4≤m＜8．
答案：－4≤m＜8
8．解析：设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，
则a3＝a1q2，b3＝b1＋2d＝a1＋2d．
∵a3＝b3，∴a1q2＝a1＋2d，即2d＝a1(q2－1)．
∴d＝a1(q2－1)．
∵a1≠a3＝a1q2，∴q2≠1．∴q≠±1．
∵a2－b2＝a1q－(a1＋d)
＝a1q－a1－a1(q2－1)
＝－a1(q－1)2<0，∴a2答案：＜
9．解：b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0．
所以b≥c．
由题意可得方程组
解得b＝2a2－4a＋5，c＝a2＋1．
所以c－a＝a2＋1－a＝2＋＞0，
所以c＞a．故b≥c＞a．
10．解：不相等．理由如下：设甲地到乙地的距离为s，船在静水中的速度为v，水流速度为v′(v＞v′＞0)，则船在流水中在甲地和乙地之间来回行驶一次的时间t＝＋＝，∴平均速度＝＝，
∴－v＝－v＝－＜0．
∴＜v．
因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度小于船在静水中的速度．3.1.2
不等式的性质
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.设a、b、c是任意实数,且a＞b,则下列结论一定成立的是(
)
A.ac＞bc
B.ac＞bc
C.ac2＞bc2
D.ac2≥bc2
解析：不知道c是正是负,所以相乘后两种结果都可能,而c2≥0,所以只能选择D.
答案：D
2.已知b＜a,d＜c,那么下列结论一定成立的是(
)
A.b-d＜a-c
B.
b-d＞a-c
C.b+d＜a+c
D.bd＜ac
解析：取值逐个进行检验,易知C是正确的,而选项D在a、b、c、d同时为正时成立.
答案：C
3.已知0＜α≤≤β≤,则α-β的取值范围是_______________.
解析：因为≤β≤,所以≤-β≤,又0＜α≤,所以＜α-β≤2π,即α-β的取值范围是(,2π］.
答案：（，2π］
4.已知三个不等式：①ab＞0；②；③bc＞ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成_____________个正确命题.
解析：(1)bc＞ad.
∵,∴.
又ab＞0,∴ab·＞ab·,即bc＞ad.
(2).
∵ab＞0,
∴＞0.又bc＞ad,
∴·bc＞·ad,即.
∴.
(3)ab＞0.
∵,∴＞0,即＞0.
又bc＞ad,∴bc-ad＞0.∴ab＞0.
答案：3
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
解析：本题可利用不等式的乘方开方法则，特别注意成立的条件.
答案：A
2.设不等式x-y＞x，x+y＜y,则下列各式一定成立的是(
)
A.x＞y
B.x＜y
C.x＞0且y＞0
D.x＜0且y＜0
解析：由条件x-y＞x，x+y＜y可得y＜0且?x＜0,所以,无法比较x和y的大小,只有选项D正确.
答案：D
3.若a、b、c∈R,a＞b，则下列不等式成立的是(
)
A.
B.a2＞b2
C.
D.a|c|＞b|c|
解析：取a=1,b=0，排除A.取a=0,b=-1，排除B;取c=0，排除D．故应该选C．显然＞0，对不等式a＞b的两边同时乘以，得成立．
答案：C
4.如果a＞b＞0,则下列各不等式中:
①；②a3＞b3；③lg(a2+1)＞lg(b2+1)；④2a＞2b;⑤sina＞sinb.
一定成立的是____________(请把正确的答案序号全部填写在横线上)
解析：根据作差的方法可判断①是正确的,根据函数的单调性可以判断②③④正确,只有y=sinx在(0,+∞)不具有单调性,所以⑤不正确.
答案：①②③④
5.若a＞b且,求证:a＞0且b＜0.
证明：a＞0且b＜0.
6.若c＞a＞b＞0,求证:.
证明：
.
因为c＞a＞b＞0,所以a-b＞0,c-a＞0,c-b＞0.
所以.所以.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知a+b＞0且b＜0,那么a、b、-a、-b的大小关系是(
)
A.a＞b＞-b＞-a
B.a＞-b＞-a＞b
C.a＞-b＞b＞-a
D.a＞b＞-a＞-b
解析：根据条件可知a＞0,b＜0且a＞|b|,为此可以取值a=2,b=-1代入逐个验证,即可得到答案.
答案：C
2.如果a、b、c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是(
)
A.ab＞ac
B.c（b-a）＞0
C.cb2＜ab2
D.ac（a-c）＜0
解析：∵c＜b＜a且ac＜0，∴a＞0，c＜0.∴b可能为0，也可能不为0.∴cb2＜ab2不一定成立.
答案：C
3.设a=sin15°+cos15°,b=sin16°+cos16°,则下列各式正确的是(
)
A.a＜＜b
B.a＜b＜
C.b＜a＜
D.b＜＜a
解析：a=sin15°+cos15°=sin60°,b=sin16°+cos16°=sin61°,所以a＜b,排除?C、D又a≠b,因为＞ab=sin60°sin61°=sin61°＞b,故B正确.
答案：B
4.已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象为一段圆弧（如右图），若0＜x1＜x2＜1，则（
）
A.
B.
C.
D.
解析：直线的斜率是解题的开窍点.显然，构造点A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2）），则线段OA、OB的斜率是kOA=.由图形可以看出kOA＞kOB，即.
答案：C
5若a＞0，b＞0，则不等式-b＜＜a等价于(
)
A.＜x＜0或0＜x＜
B.＜x＜
C.x＜或x＞
D.x＜或x＞
解析：
x＜或x＞.
答案：D
6.某新区新建有5个住宅小区（A、B、C、D、E），现要铺设连通各小区的自来水管道，如果它们两两之间的线路长如下表：
请问最短的管线长为(
)
A.13
km
B.14
km
C.15
km
D.17
km
解析：因为A?B：5，B?E：2，B?C：3，E?D：4，所以最短的管线总长为5+2+3+4=14.
答案：B
7.4枝牡丹花与5枝月季花的价格之和小于22元，而6枝牡丹花与3枝月季花的价格之和大于24元，则2枝牡丹花和3枝月季花的价格比较结果是(
)
A.2枝牡丹花贵
B.3枝月季花贵
C.相同
D.不确定
解析：设牡丹花和月季花的价格分别为x、y,则4x+5y＜22,6x+3y＞24,而2枝牡丹花和3枝月季花的价格之差为2x-3y，设2x-3y=m(4x+5y)+n(6x+3y)=(4m+6n)x+(5m+3n)y，则4m+6n=2,
5m+3n=-3,所以,m=,?n=,即2x-3y=(4x+5y)+(6x+3y)＞×22+×24=0,所以2x-3y＞0.即2x＞3y,2枝牡丹花贵.
答案：B
8.下列四个不等式:①a＜0＜b;②b＜a＜0;③b＜0＜a;④0＜b＜a;⑤b＜a且ab＞0;⑥a＜b且ab＜0,其中能使成立的是______________.
解析：因为＜0b-a与ab异号,然后再逐个进行验证,可知①②④⑤⑥都满足条件.
答案：①②④⑤⑥
9.设m∈R,a＞b＞1，f(x)=,试比较f(a)与f(b)的大小.
解:f(a)-f(b)=.
∵a＞b＞1,∴b-a＜0,a-1＞0,b-1＞0,
∴＜0.
当m＞0时,＜0,f(a)＜f(b);
当m＜0时,＞0,f(a)＞f(b);
当m=0时,=0,f(a)=f(b).
10.比较与的大小.
解:∵(1+)3-()3=(1+)3+(1-)3-2
=(1++1-)［(1+)2-(1+)(1-)+(1-)2］-2
=2(1+)-2=＞0，
∴(1+)3＞()3.
∴1+＞.3.1.2
不等式的性质
课后训练
1．如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )．
A．ab＞ac
B．c(b－a)＞0
C．cb2＜ab2
D．ac(a－c)＜0
2．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )．
A．
B．a2＞b2
C．
D．a|c|＞b|c|
3．已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是( )．
A．
B．
C．
D．
4．已知函数f(x)(0≤x≤1)的图象为一段圆弧(如图)，若0＜x1＜x2＜1，则( )．
A．
B．
C．
D．
5．若a＞0，b＞0，则不等式－b＜＜a等价于( )．
A．＜x＜0或0＜x＜
B．
C．或
D．或
6．给出下列命题：
①若x＜y，则a2x＜a2y；②若x＜y，则x2n＋1＜y2n＋1(n∈N＋)；③若x＞y＞1，则.
其中正确命题的序号是________．
7．已知不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a；④0＜b＜a；⑤b＜a且ab＞0；⑥a＜b且ab＜0.其中能使成立的是________．
8．若a＞b，且，求证：a＞0且b＜0.
9．设m∈R，a＞b＞1，，试比较f(a)与f(b)的大小．
10．甲、乙两人同时从寝室出发到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步．如果两人步行速度、跑步速度均相同，问甲、乙两人谁先到达教室？
参考答案
1.
答案：C ∵c＜b＜a且ac＜0，∴a＞0，c＜0.
∴b可能为0，也可能不为0.
∴cb2＜ab2不一定成立．
2.
答案：C 取a＝1，b＝0，排除选项A.取a＝0，b＝－1，排除选项B；取c＝0，排除选项D.故选C.显然，对不等式a＞b的两边同时乘以，得.
3.
答案：A
4.
答案：C 可在函数的图象上取点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，则线段OA，OB的斜率是，.由图象可以看出kOA＞kOB，即.故选C.
5.
答案：D －b＜＜a或.
6.
答案：②③ 对于①，当a＝0时，a2x＝a2y，故命题①错误．
对于②，由幂函数y＝x2n＋1(n∈N＋)是增函数这一性质可知：当x＜y时，有x2n＋1＜y2n＋1，故命题②正确．
对于③，由x＞y＞1，得，而函数y＝logax当0＜a＜1时，在(0，＋∞)上单调递减，所以，故命题③也正确．
7.
答案：①②④⑤⑥ 因为＜0b－a与ab异号，然后再逐个进行验证，可知①②④⑤⑥都能使.
8.
答案：证明：a＞0且b＜0.
9.
答案：解：f(a)－f(b)＝.
∵a＞b＞1，∴b－a＜0，a－1＞0，b－1＞0.
∴.
∴当m＞0时，，∴f(a)＜f(b)；
当m＜0时，，∴f(a)＞f(b)；
当m＝0时，，∴f(a)＝f(b)．
10.
答案：分析：先根据条件，表示出甲、乙两人到达教室的时间表达式，然后作差比较他们所用时间的多少，所用时间少的先到达教室．
解：设总路程为s，步行速度为v1，跑步速度为v2，显然v1＜v2，甲到教室所用的时间为t1，乙到教室所用时间为t2，则，
(v1＋v2)＝s.
∴.
∴.
∵v1＜v2，∴v1－v2≠0.∴(v1－v2)2＞0.
∴.
∴t1＞t2.∴乙先到教室．3.1.1
不等关系与不等式
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.下列不等式一定成立的是(
)
A.-3＜-4
B.0≤0
C.3≥4
D.-5≤-6
解析：不等式a≥b的含义是指“或者a＞b，或者a=b”，不等式a≤b的含义是指“或者a＜b，或者a=b”，根据含义可知只有B正确.
答案：B
2.已知，则下列一定成立的是(
)
A.a＞b
B.a＜b
C.＞0
D.＞1
解析：根据实数比较大小的方法,可知＞0一定成立,其他选项可以采用特殊值代入进行排除.
答案:C
3.若x＞1＞y，下列不等式中不成立的是(
)
A.x-1＞1-y
B.x-1＞y-1
C.x-y＞1-y
D.1-x＞y-x
解析：∵x＞1＞y,
∴x+(-1)＞y+(-1)，即B正确；
x+(-y)＞1+(-y)，即C正确；
1+（-x）＞y+(-x)，即D正确.
故选A.
答案：A
4.已知:a＞b,则a3与b3的大小关系是____________.
解析：因为a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
=(a-b)［(a+)+］＞0，
所以,a3＞b3.
答案：a3＞b3
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.若b＜0,a+b＞0,则a-b的值是(
)
A.大于零
B.小于零
C.等于零
D.不能确定
解析:因为b＜0,所以-b＞0,则-2b＞0.又a+b＞0,所以a+b-2b＞0,即a-b＞0.易知只有选项A正确.
答案:A
2.若a＜b＜0，则下列不等式中，不能成立的是(
)
A.
B.
C.
D.|a|＞-b
解析：取a=-3，b=-2，可知B错.再由不等式的性质可推证A、C、D正确.也可以采用作差直接比较大小进行判断.
答案：B
3.若a＞b,则(
)
A.a2＞b2
B.a2≥b2
C.a2≤b2
D.以上都不对
解析:a2-b2=(a+b)(a-b),而a＞b,所以,a-?b＞0,当a+b＞0时,a2-b2＞0,a2＞b2;当a+b=0时,a2=b2;当a+b＜0时,a2＜b2.
答案:D
4.用“＞、＜、≥、≤”符号填空
(1)(2a+1)(a-3)____________(a-6)(2a+7)+45；
(2)a2+b2____________2(a-b-1).
解析:(1)(2a+1)(a-3)-［(a-6)(2a+7)+45］=-6＜0,所以,(2a+1)(a-3)＜(a-6)(2a+7)+45;
(2)a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+（b+1)2≥0,所以,a2+b2≥2(a-b-1).
答案:＜
≥
5.已知:x＞y且y≠0,比较与1的大小.
解:.
因为x＞y,所以x-y＞0.
当y＜0时,,即-1＜0,所以,＜1;
当y＞0时,＞0,即-1＞0,所以,＞1.
6.已知a＞b＞0,比较与的大小.
解:,
因为a＞b＞0,所以a-b＞0,所以.所以,
即.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知a、b分别对应数轴上的A、B两点,且A在B的左侧,则下列关系中一定正确的是(
)
A.a2＞b2
B.
C.a-b≤0
D.以上都不对
解析:根据条件可知a＜b,所以a-b＜0,根据这个结论可知C正确,其他选项可以取特殊值代入检验,也可作差比较得到答案.
答案：C
2.如果a＜0,b＞0，那么下列不等式中正确的是(
)
A.
B.-a＜b
C.a2＜b2
D.|a|＞|b|
解析:如果a＜0,b＞0，那么＜0,＞0，
∴＜，选A.
答案：A
3.若a＞b，下列不等式中一定成立的是(
)
A.
B.＜1
C.＞
D.lg（a-b）＞0
解析：因为a＞b，y=2x是增函数.
答案:C
4.设a、b、c、d∈R,且a＞b,c＞d,则下列结论中正确的是(
)
A.a+c＞b+d
B.a-c＞b-d
C.ac＞bd
D.
解析:可以取值代入检验,也可以作差进行比较,由条件易知a+c-(b+d)=(a-b)+(c-d)＞0,故A正确.
答案:A
5.如下图，y=f（x）反映了某公司的销售收入y万元与销量x之间的函数关系，y=g（x）反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系.（1）当销量x时，该公司赢利；（2）当销量x时，该公司亏损.
①x＞a;②x＜a;③x≥a;④0≤x＜a.
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
解析：当销售收入f（x）大于销售成本g（x）时，公司赢利；当销售收入f（x）小于销售成本g（x）时，公司亏损.故选C.
答案：C
6.如果[x]表示不超过x的最大整数,a=[-3.1],b=[m],c=[7.1]且a≤b≤c,那么实数m的取值范围是_____________.
解析:根据定义,可知a=-4,c=7，所以-4≤b≤7,再根据定义知,m最小为-4,最大值也不能达到8,因此m的取值范围是-4≤m＜8.
答案:-4≤m＜8
7.已知0＜b＜，a＞1，试比较logba与log2ba的大小.
解法一:用商比求解如下：=logb2b.
∵0＜b＜，
∴0＜b＜2b＜1，a＞1.
∴logb2b＜logbb＜1，则＜1.
∴logba＞log2ba.
解法二:用作差比较求解如下：
logba-log2ba=.
∵0＜b＜，
∴lgb＜0，lg2b＜0.
又∵a＞1，lga＞0，lg2＞0，
∴logba-log2ba＞0.∴logba＞log2ba.
8.若a、b、c满足b+c=3a2-4a+6，b-c=a2-4a+4，试比较a、b、c三个实数的大小.
解:b-c=a2-4a+4=(a-2)2≥0.
所以b≥c.
由题意可得方程组
解得b=2a2-4a+5,?c=a2+1.
所以c-a=a2+1-a=(a-)2+＞0,
所以c＞a,故b≥c＞a.
9.已知一个三边分别为15、19、23单位长度的三角形，若把它的三边分别缩短x单位长度，且能构成钝角三角形，试用不等式写出x的不等关系.
解:缩短x单位长度后三边长分别为15-x，19-x，23-x，
则
10.船在流水中航行，在甲地和乙地之间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么
解:设甲地到乙地的距离为s，船在静水中的速度为u，水流速度为v（u＞v＞0），则船在流水中在甲地和乙地之间来回行驶一次的时间t=,平均速度，
∴＜0.
∴u＜u.
因此，船在水流中来回行驶一次的平均速度小于船在静水中的速度.3.1
不等关系与不等式
自主广场
我夯基
我达标
1.已知a＜0,-1＜b＜0,下列不等式成立的是(
)
A.a＞ab＞ab2
B.ab2＞ab＞a
C.ab＞a＞ab2
D.ab＞ab2＞a
思路解析:由于-1＜b＜0,所以0＜b2＜1a＜ab2＜0,且ab＞0,易得ab＞ab2＞a.
本题也可以根据a,b的范围取特殊值来比较,比如令a=-1,b=.
答案:D
2.“a＞0,b＞0”是“ab＞0”的…(
)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
思路解析:由“a＞0,b＞0”可推出“ab＞0”,反之,不一定成立,选A.
答案:A
3.如果loga3＞logb3,且a+b=1,那么(
)
A.0＜a＜b＜1
B.0＜b＜a＜1
C.1＜a＜b
D.1＜b＜a
思路解析:∵a+b=1,a、b∈R,∴0＜a＜1,0＜b＜1.
∵loga3＞logb3,∴.
∴lga＜lgb.∴0＜a＜b＜1.
答案:A
4.若a=,b=,c=,则(
)
A.a＜b＜c
B.c＜b＜a
C.c＜a＜b
D.b＜a＜c
思路解析:易知a,b,c都是正值,==log89＞1,所以b＞a;=log2532＞1,所以a＞c.所以b＞a＞c.
答案:C
5.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系为_____________.
思路解析:f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
显然大于0,所以f(x)＞g(x).
答案:f(x)＞g(x)
6.日常生活中,在一杯糖水中,再加入糖,则这杯糖水变甜了,请根据这一事实提炼出一个不等式.
解:设有糖水b克,其中含糖a克,再加入m克糖,则
原来的糖水的浓度为×100%,加入m克糖后,
糖水的浓度变为×100%.
由事实可知糖水变甜,浓度增大,
故×100%＜×100%,
答:当0＜a＜b,m＞0时,有＜.
7.若a＞b＞0,c＜d＜0,e＜0,求证:.
思路分析:本题可以直接使用不等式的性质进行证明,首先根据c＜d＜0,得-c＞-d＞0,所以a-c＞b-d＞0,再由倒数的性质和e＜0即可得到结论,也可以直接作差进行比较.
证明:
.
8.在等比数列{an}和等差数列{bn}中,a1=b1＞0,a3=b3＞0,且a1≠a3,试比较a2与b2的大小.
思路分析:根据等比与等差的性质,求出a2、b2,再利用作差法比较.
解:设{an}的公比为q,{bn}的公差为d,
则a3=a1q2,b3=b1+2d=a1+2d.
∵a3=b3,∴a1q2=a1+2d,
即2d=a1(q2-1).∵a1≠a3=a1q2,
∴q2≠1.∴q≠±1.
∵a2-b2=a1q-(a1+d)=a1q-a1a1(q2-1)=a1(q-1)2＜0,
∴a2＜b2.
我综合
我发展
9.如果a＜0,b＞0,那么,下列不等式中正确的是(
)
A.
B.
C.a2＜b2
D.|a|＞|b|
思路解析:如果a＜0,b＞0,那么＜0,＞0,∴,选A.其余三个选项可以举反例排除.
答案:A
10.若a、b、c∈R,a＞b,则下列不等式成立的是(
)
A.
B.a2＞b2
C.
D.a|c|＞b|c|
思路解析:应用间接排除法.取a=1,b=-1,排除A.取a=0,b=-1,排除B;取c=0,排除D.故应该选C.显然＞0,对不等式a＞b的两边同时乘以,得成立.
答案:C
11.已知a＞b＞0,试比较与的大小.
思路分析:本题用作差法及作商法都可比较大小.
解法一:作差法:
∴.
解法二:作商法:
∴.
12.如果用记号min{p,q}表示p,q中的较小者,max{p,q}表示p,q中的较大者.设f(x)=min{x2-2x+6,x2+6x+5},g(x)=max{x2-x+2,x},试比较f(x)和g(x)的大小.
思路分析:首先根据两个定义写出f(x)和g(x)的函数表达式,由于其中含有未知量x,可能要对x的范围进行讨论,然后再作差比较大小.
解:由于x2-2x+6-(x2+6x+5)=-8x+1,
由此可知,当x＜时,x2-2x+6＞x2+6x+5.
当x≥时,x2-2x+6≤x2+6x+5.
所以
而x2-x+2-x=x2-2x+2=(x-1)2+1＞0,
所以x2-x+2＞x.
所以g(x)=x2-x+2.
(1)当x＜时,f(x)-g(x)=x2+6x+5-(x2-x+2)=7x+3,
所以当x=时,f(x)=g(x).
当x＜时,f(x)-g(x)＜0,f(x)＜g(x).
当＜x＜时,f(x)-g(x)＞0,f(x)＞g(x).
(2)当x≥时,f(x)-g(x)=x2-2x+6-(x2-x+2)=-x+4,
所以当x=4时,f(x)=g(x).
当x＞4时,f(x)-g(x)＜0,f(x)＜g(x).
当≤x＜4时,f(x)-g(x)＞0,f(x)＞g(x).
13.已知a＞0,b＞0,且m,n∈N+,求证:am+n+bm+n≥ambn+anbm.
思路分析:根据所求证的式子的特点,适合比差,也有利于分解因式,最后讨论因式的符号.
证明:(am+n+bm+n)-(ambn+anbm)=am(an-bn)+bm(bn-an)=(an-bn)(am-bm).
(1)当a＞b＞0时,an＞bn,am＞bm.
所以(an-bn)(am-bm)＞0.
所以am+n+bm+n≥ambn+anbm.
(2)同理可证,当b＞a＞0时,am+n+bm+n≥ambn+anbm.
(3)当a=b时,am+n+bm+n=ambn+anbm.
综上所述,可知原式得证.3．1 不等关系与不等式
1．a≥b可以推出( )
A.≥
B．ac2≥bc2
C.>
D．(ac)2≥(bc)2
2．若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2B．abC.＋>2
D．|a|－|b|＝|a－b|
3．设角α、β满足－<α<β<，则α－β的取值范围为__________．
4．证明：若a>b>0，c
.
答案：1．B ∵c2≥0，a≥b，
∴ac2≥bc2.
2．D 可取特殊值，令a＝－1，b＝－2代入验证知D不正确．
3．－π<α－β<0 在利用不等式的性质时，要注意α<β这个隐含条件．
∵－<α<，－<β<，
∴－π<α－β<π.
又∵α<β，∴α－β<0.
综上，可知－π<α－β<0.
4．证明：
a－c>b－d>0 <.
又∵m<0，∴>.
课堂巩固
1．已知a<0，－1A．a>ab>ab2
B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2
D．ab>ab2>a
2．x＝(a＋3)(a－5)与y＝(a＋2)(a－4)的大小关系为( )
A．x>y
B．x＝y
C．xD．不能确定
3．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系为__________．
4．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac的值的符号为__________．
5．若a>0，b>0，比较＋和a＋b的大小．
6．设x∈R，比较与1－x的大小．
答案：1．D 本题可以根据不等式的性质来解，由于－10，易得答案D.
本题也可以根据a，b的范围取特殊值，比如令a＝－1，b＝－，也容易得到正确答案．
2．C x－y＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，
∴x3.f(x)>g(x) 采用作差法可得：
f(x)－g(x)＝3x2－x＋1－(2x2＋x－1)
＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
显然大于0.
4．正 ∵a＋b＋c＝0，
∴b＝－(a＋c)，
b2＝a2＋c2＋2ac.
∴b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2.
∵a>c，∴(a－c)2>0.
∴b2－4ac>0，即b2－4ac的符号为正．
5．解：＝＝≥＝1，
∵a>0，b>0，∴a＋b>0.
∴＋≥a＋b.
6．解：－(1－x)＝.
(1)当x＝0，即＝0时，＝1－x.
(2)当1＋x<0，即x<－1时，<0，
∴<1－x.
(3)当1＋x>0且x≠0，
即－10时，>0，
∴>1－x.
1．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a
B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a
D．a>b>－a>－b
1．答案：C ∵a＋b>0，b<0，∴a>0，－b>0.
又∵a＋b>0，a>－b且b>－a，
∴a>－b>b>－a.
2．如果a、b、c满足cA．ab>ac
B．c(b－a)>0
C．cb2D．ac(a－c)<0
2．答案：C ∵c0，c<0.
∴b可能为0，也可能不为0.
∴cb23．若a＝，b＝，c＝，则( )
A．aB．cC．cD．b3．答案：C 采用作商法，
易知a，b，c都是正值，＝＝log89>1，
又a＝>0，
∴b>a，＝＝log2532>1.∴a>c.
4．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c，②a＋b＝c＋d，③a＋d4．答案：b>d>c>a 由③可得，d－b∴dc可得结果：b>d>c>a.
5．若a>b>0，c”或“<”)
5．答案：> ∵c－d>0.
又a>b>0，∴a－c>b－d>0.
∴(a－c)2>(b－d)2>0.
同边同乘以，
得<.
又e<0，∴>.
6．给出下列命题：
①若xy>1，则logy>logx.其中正确命题的序号是__________．
6．答案：②③ 对于①，a＝0时，a2x＝a2y，故命题①错．
对于②，由幂函数y＝x2n＋1(n∈N＋)是增函数这一性质可知：当x对于③，由x>y>1，得0<<<1，
而函数y＝logax当0logx＝－1＝logy>logx，命题③也正确．
7．已知a≥1，试比较M＝－和N＝－的大小．
7．答案：解：M－N＝(－)－(－)
＝－
＝，
∵a≥1，∴＋>0，＋>0.
又0∴<，即－<0.
∴M－N<0.故M8．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，且a1≠a3，试比较a2与b2的大小．
8．答案：解：设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，
则a3＝a1q2，b3＝b1＋2d＝a1＋2d.
∵a3＝b3，∴a1q2＝a1＋2d，即2d＝a1(q2－1)．
∴d＝a1(q2－1)．
∵a1≠a3＝a1q2，∴q2≠1.∴q≠±1.
∵a2－b2＝a1q－(a1＋d)
＝a1q－a1－a1(q2－1)
＝－a1(q－1)2<0，
∴a29．(1)比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小；
(2)已知a>0且a≠1，p＝loga(a3＋1)，q＝loga(a2＋1)，比较p与q的大小．
9．答案：解：(1)(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋.
∵(x＋)2≥0，∴(x＋)2＋≥>0.
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0.
∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
(2)p－q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga.
当a>1时，a3＋1>a2＋1，
∴>1.∴loga>0；
当0∴0＜<1.∴loga>0.
总之，p－q>0，∴p>q.
点评：(1)比较两数式的大小，可将其转化为差运算，即用作差比较法，共分为四点：作差→整理→符号→结论．
(2)第(2)题通过分类讨论判断差的符号可以看到，用作差比较法时，判断所作的差的符号常用配方法、分解因式法、分类讨论法．
(3)若都为正数的两个单项式比较大小，也可以采用作商比较法．依据是若a>0，b>0，>1，则a10．某商品计划两次提价，有甲、乙两种方案(p>q>0)如下表，经过两次提价后，哪种方案提价幅度大？
次方案
第一次提价
第二次提价
甲
p%
q%
乙
(p＋q)%
(p＋q)%
10．答案：解：设商品原价为a，按甲、乙方案两次提价后价格分别为N甲、N乙，则N甲＝a(1＋p%)(1＋q%)，
N乙＝a[1＋(p＋q)%][1＋(p＋q)%]
＝a(1＋)2，
N甲－N乙＝a(1＋p%)(1＋q%)－a(1＋)2
＝a[1＋＋＋－1－－]
＝(2pq－p2－q2)＝－(p－q)2<0.
∴按乙方案提价比甲方案提价幅度大．