2.2
等差数列
课后训练
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于( )．
A．36
B．18
C．72
D．9
2．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )．
A．22
B．21
C．19
D．18
3．(大纲全国高考，理4)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝( )．
A．8
B．7
C．6
D．5
4．等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0，a11＞|a10|，Sn为数列{an}的前n项和，则使Sn＞0的最小值为( )．
A．21
B．20
C．10
D．11
5．(湖南高考，理12)设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝__________.
6．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2，则当n≥2时，na1，nan，Sn的大小关系为__________．
7．已知{an}为等差数列，Sn是{an}的前n项和，S7＝7，S15＝75.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和．
8．数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N＋)．
(1)求证：{an}是等差数列；
(2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和．
在一直线上共插13面小旗，相邻两面之间距离为10m，某人在第一面小旗处，要把小旗全部集中到某一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？
参考答案
1.
答案：A
解析：∵S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列，∴S18＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋…＋(S18－S15)＝＝36.
2.
答案：D
解析：由题意得5(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝36，
由，
∴n＝13，S13＝13a7＝234.
∴a7＝18.
3.
答案：D
解析：∵Sk＋2－Sk＝24，∴ak＋1＋ak＋2＝24，
∴a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝24，
∴2a1＋(2k＋1)d＝24.
又a1＝1，d＝2，∴k＝5.
4.
答案：B
解析：由a10＜0，a11＞0知d＞0，由a11＞|a10|得2a1＋19d＞0，又，∴当n－1≥19，即n≥20时，Sn＞0，∴使Sn＞0的最小值为20.
5.
答案：25
解析：∵a1＝1，a4＝7，∴.
∴.
6.
答案：na1＞Sn＞nan
解析：∵an＝Sn－Sn－1＝－4n＋5为递减数列，
∴a1＞an，∴nan＜Sn＝＜na1.
7.
(1)证明：设数列的公差为d，由题意得，
∵S7＝7，S15＝75，∴解得
∴.
∴，∴数列为等差数列．
(2)解：由(1)知数列的首项为1，公差为，∴其前n项和.
8.
(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]
＝101－2n.
又∵a1＝S1＝100×1－12＝99＝101－2×1，
∴数列{an}的通项公式为an＝101－2n(n∈N＋)．
又an＋1－an＝－2为常数，
∴数列{an}是首项a1＝99，公差d＝－2的等差数列．
(2)解：令an＝101－2n≥0得n≤50.5.
∵n∈N＋，∴n≤50(n∈N＋)．
①当1≤n≤50时，an＞0，此时bn＝|an|＝an，
∴{bn}的前n项和S′n＝100n－n2.
②当n≥51时，an＜0，此时bn＝|an|＝－an，
∵b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)＝－(Sn－S50)＝S50－Sn，
∴数列{bn}的前n项和为S′n＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn＝2×2
500－(100n－n2)＝5
000－100n＋n2.
由①②得数列{bn}的前n项和为
9.
解：设将小旗集中到第x面小旗处，则从第1面小旗到第x面小旗处，共走路程为10(x－1)，然后回到第2面处再到第x面处是20(x－2)，……，从第x面处到第(x＋1)面处往返的路程为20，从第x面处到第(x＋2)面处往返的路程为20×2，…….
总的路程：
S＝10(x－1)＋20(x－2)＋20(x－3)＋…＋20×2＋20×1＋20＋20×2＋…＋20×(13－x)
＝10(x－1)＋20×＋20×
＝10[(x－1)＋(x－2)(x－1)＋(13－x)(14－x)]
＝10(2x2－29x＋183)＝.
由于x∈N＋，∴当x＝7时，Smin＝780
m.
答：应集中到第7面小旗上，最短路程为780
m.2.2
等差数列
课后训练
1．下列数列不是等差数列的是( )．
A．6，6，6，…，6，…
B．－2，－1，0，…，n－3，…
C．5，8，11，…，3n＋2，…
D．0，1，3，…，，…
2．已知{an}为等差数列，a5＝10，a1＋a2＋a3＝3，则a1与d的值分别是( )．
A．a1＝－2，d＝3
B．a1＝2，d＝－3
C．a1＝3，d＝2
D．a1＝3，d＝－2
3．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于( )．
A．14
B．21
C．28
D．35
4．将所有自然数按以下规律排列，那么从2
002到2
004的顺序为( )．
A．→↑
B．↑→
C．↓→
D．→↓
5．若log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差数列，则x的值为( )．
A．7或－3
B．log37
C．log27
D．4
6．已知f(n＋1)＝f(n)－(n∈N＋)，且f(2)＝2，则f(101)＝__________.
7．已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．
8．已知等差数列{an}中，
(1)若am＝p，an＝q(m≠n)，求am＋n；
(2)若且b1＋b2＋b3＝，且b1b2b3＝，求an.
下表给出一个“等差数阵”：
4
7
( )
( )
( )
…
a1j
…
7
12
( )
( )
( )
…
a2j
…
( )
( )
( )
( )
( )
…
a3j
…
( )
( )
( )
( )
( )
…
a4j
…
…
…
…
…
…
…
…
…
ai1
ai2
ai3
ai4
ai5
…
aij
…
…
…
…
…
…
…
…
…
其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．
(1)写出a45的值；
(2)写出aij的计算公式．
参考答案
1.
答案：D
解析：D中相邻两项的差不是同一个常数，不符合等差数列的概念．
2.
答案：A
解析：由题得解得故选A．
3.
答案：C
解析：∵a3＋a4＋a5＝12，∴a4＝4.
∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.
4.
答案：D
解析：将等差数列0，1，2，3，4，…中的项从前往后每四项分为一组，则每组中四个数排列规律相同，由于2
002被4除余数为2，这样从2
002到2
004的顺序与2到4的顺序相同．
5.
答案：C
解析：由已知得2log3(2x－1)＝log32＋log3(2x＋11)，解得2x＝7，∴x＝log27.
6.
答案：
解析：令an＝f(n)，则an＋1－an＝，
∴{an}为等差数列，且a2＝2，
∴an＝a2－(n－2)＝，
∴f(101)＝a101＝－.
7.
解：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则
解得
∴这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.
8.
解：(1)设数列的公差为d，则，am＋n＝am＋nd＝p＋nd＝.
(2)b1b2b3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝1；b1＋b2＋b3＝，d2＝－2.
∴an＝2n－3(d＝2)或an＝5－2n(d＝－2)．
9.
解：(1)a45＝49.
(2)该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，a1j＝4＋3(j－1)；第二行是首项为7，公差为5的等差数列，a2j＝7＋5(j－1)；…；第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，因此aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j.2.2.2 等差数列的前n项和
1．在等差数列{an}中，公差d＝2，S20＝60，则S21等于( )
A．62
B．64
C．84
D．100
2．在等差数列{an}中，若前5项和S5＝20，则a3等于( )
A．4
B．－4
C．2
D．－2
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.
4．等差数列200,199，…，－100的后200项的和等于__________．
答案：1．C ∵S20＝20a1＋×2＝60，
∴a1＝－16.∴a21＝a1＋20d＝24.
∴S21＝S20＋a21＝84.
2．A S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝20，
∴a3＝4.
3．－72 设首项为a1，公差为d.
a12＝－8 a1＋11d＝－8，①
S9＝－9 ＝－9 a1＋a9＝－2 a1＋4d＝－1.②
由①②，解得a1＝3，d＝－1.
故S16＝＝8(2a1＋15d)＝－72.
4．－ 数列倒过来组成公差为，首项为－100的等差数列，从而计算S200即可．
课堂巩固
1．(湖南高考，文3)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )
A．13
B．35
C．49
D．63
2．(海南、宁夏高考，文8理16)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m等于( )
A．38
B．20
C．10
D．9
3．设数列{an}的通项公式为an＝2n－7(n∈N＋)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
4．(辽宁高考，理14)等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝__________.
5．为了参加运动会的5
000
m长跑比赛，李强给自己制定了10天的训练计划：第1天跑5
000
m，以后每天比前一天多跑400
m．李强10天将要跑多少距离？
6．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝－5，S10＝15，求数列{}的前n项和Tn.
答案：1．C S7＝＝＝＝49.
2．C 由am－1＋am＋1－a＝0且am－1＋am＋1＝2am，知a＝2am，∴am＝0或am＝2.
又S2m－1＝×(2m－1)＝(2m－1)·am＝38，知am≠0，∴am＝2.∴S2m－1＝(2m－1)×2＝38.∴m＝10.
3．153 ∵an＝2n－7，∴a1＝－5，a2＝－3，a3＝－1，a4＝1，a5＝3，…，a15＝23.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＋…＋23＝9＋＝153.
4. 设等差数列的首项为a1，公差为d，则由6S5－5S3＝5得6(5a1＋10d)－5(3a1＋3d)＝5，
∴3a1＋9d＝1.∴a4＝a1＋3d＝.
5．解：由题意可知，李强每天跑的距离数构成一个等差数列，把李强第1天跑的距离记为a1＝5
000，则公差d＝400，李强10天跑的距离为该等差数列的前10项和．
因S10＝10a1＋d＝10×5
000＋×400＝68
000，
故李强10天将跑68
000
m.
6．解：设数列{an}的公差为d，首项为a1，
由已知得5a1＋10d＝－5,10a1＋45d＝15，
解得a1＝－3，d＝1.
∴Sn＝(－3)n＋＝n2－n.
∴＝n－.
∵－＝[(n＋1)－]－(n－)＝，
∴{}是等差数列且首项为＝－3，公差为.
∴Tn＝n×(－3)＋·＝n2－n.
1．若数列{an}是等差数列，首项a1>0，a2
003＋a2
004>0，a2
003·a2
004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是( )
A．4
005
B．4
006
C．4
007
D．4
008
1．答案：B ∵a1>0，a2
003＋a2
004>0，a2
003·a2
004<0，
∴a2
003＞0，a2
004＜0，a1＞0，从而d＜0.
又∵a1＋a4
006＝a2
003＋a2
004＞0，故S4
006＞0.
又a1＋a4
007＝a2
004＋a2
004＝2a2
004＜0，
∴S4
007＜0.
2．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A．5
B．4
C．3
D．2
2．答案：C 方法一：解得d＝3.
方法二：由性质得S偶－S奇＝d，即5d＝15，
∴d＝3.
3．(山东潍坊高考模拟训练(五)，理5)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a5＝10，S9＝54，则直线a1x＋a4y＋a2＝0的斜率为( )
A．－2
B.
C．－
D．－
3．答案：D ∵a3＋a5＝2a4＝10，∴a4＝5.
∵S9＝＝9a5＝54，
∴a5＝6.
∴d＝a5－a4＝1，a4＝a1＋3d＝a1＋3＝5.
∴a1＝2.∴k＝－＝－.
4．(天津高考，理5)阅读下面的程序框图，则输出的S等于( )
A.26
B．35
C．40
D．57
4．答案：C 实质是求数列an＝3n－1的前五项和，其公差为3，a1＝2，∴S5＝5a1＋d＝5×2＋10×3＝40.
5．(全国高考卷Ⅱ，理14)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝5a3.则＝__________.
5．答案：9 由a5＝5a3，得＝5，＝＝＝·＝×5＝9.
6．在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，Sn＝155，则n＝__________.
6．答案：10 倒序相加得3(a1＋an)＝93，
∴a1＋an＝31.
∵Sn＝＝155，故n＝10.
7．等差数列{an}中，<－1，且其前n项和Sn有最小值．以下命题：
①公差d＞0；②{an}为递减数列；③S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零；④n＝19时，Sn最小；⑤n＝10时，Sn最小．
正确命题的序号为________．
7．答案：①③⑤ 由<－1，且其前n项和Sn有最小值，可知a10＜0，a11＞0且a11＞|a10|，从而易知①③⑤正确．
8．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，求这两个数列第九项之比的值．
8．答案：错解：由题意，设Sn＝(5n＋3)k，Tn＝(2n＋7)k，则S9＝48k，S8＝43k，T9＝25k，T8＝23k.
∴＝＝＝.
正解一：此题可设为Sn＝n(5n＋3)k，Tn＝n(2n＋7)k，∴＝＝.
正解二：∵a9是a1与a17的等差中项，b9是b1与b17的等差中项，
∴＝＝＝＝＝.
点评：由题意知＝随着项数n的变化而变化，不能设为常数k.这里忽视了项数n的可变性而致错．
从等差数列前n项和公式角度来看，Sn＝na1＋d，即Sn＝An2＋Bn，它不一定是n的一次函数，当A≠0，即d≠0时，Sn是关于n的二次函数形式．错解中，设Sn＝(5n＋3)k，这里将Sn看成关于n的一次函数，显然是错误的．因为已知两个等差数列前n项和的比是关于n的一次因式，说明它们在相比过程中约去了一个共同因式kn，所以，只要还原即符合题意．正解二利用了等差中项性质及前n项和公式，也是很好的解法，要掌握此规律，避免此类题的错解．
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3＝12，S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大？并说明理由．
9．答案：解：(1)根据题意，有
整理，得
解之，得－(2)解法一：由d<0可知，{an}为一个递减数列．
因此，在1≤n≤12中，必存在一个自然数n，使得an≥0，an＋1<0，此时对应的Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．
由于于是a7<0，从而a6>0.
因此S6最大．
解法二：由{an}是递减数列，解关于n的不等式组得
由－∴5.5解法三：利用前n项和公式，得
Sn＝na1＋d＝n(12－2d)＋d＝n2＋(12－d)n
＝[n－(5－)]2－[(5－)]2.
∵d<0，
∴[n－(5－)]2最小时，Sn最大．
由于－∴n＝6时，[n－(5－)]2最小．
因此，S6最大．
10．(江苏高考，17)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a＋a＝a＋a，S7＝7.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项．
10．答案：解：(1)由题意，设等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d，d≠0，
由a＋a＝a＋a知2a1＋5d＝0，①
又因为S7＝7，所以a1＋3d＝1.②
由①②可得a1＝－5，d＝2.
所以数列{an}的通项公式
an＝2n－7，Sn＝＝n2－6n.
(2)因为＝
＝am＋2－6＋为数列{an}中的项，故为整数，又由(1)知，am＋2为奇数，所以am＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.
经检验，符合题意的正整数只有m＝2.2.2.2
等差数列的前N项和
自我小测
1．在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( )
A．160
B．180
C．200
D．220
2．已知某等差数列{an}共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A．5
B．4
C．3
D．2
3．等差数列{an}的公差d＜0，且a＝a，则数列的前n项和Sn取得最大值时的项数n是( )
A．5
B．6
C．5或6
D．6或7
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A．
B．
C．
D．
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N＋)的直线的斜率是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，则S9＝________．
7．若两个等差数列的前n项和之比是(7n＋1)∶(4n＋27)，则它们的第11项之比为________．
8．数列{an}的通项公式an＝，则这个数列的前99项和S99＝__________．
9．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且S4＝－62，S6＝－75，求：
(1)通项an及前n项和Sn；
(2)求|a1|＋|a2|＋…＋|a14|的值．
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0，
(1)求公差d的取值范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
参考答案
1．
解析：(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝(－24)＋78＝54，又a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18，则3(a1＋a20)＝54，∴a1＋a20＝18．则S20＝＝10×18＝180．
答案：B
2．解析：
d＝3．
答案：C
3．解析：由a21＝a211，得(a1＋a11)(a1－a11)＝0．
又∵d＜0，∴a1＋a11＝0，∴a6＝0．∴S5＝S6且最大．
答案：C
4．解析：由等差数列的前n项和公式可得＝＝，可得a1＝2d且d≠0，所以＝＝＝，故选A．
答案：A
5．答案：A
6．解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由题意，得4a1＋d＝14，
－＝30，
联立解得a1＝2，d＝1，
所以S9＝9×2＋×1＝54．
答案：54
7．解析：设等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，
则a11＝，b11＝，
∴＝＝＝＝＝．
答案：4∶3
8．答案：
9．解：(1)设数列{an}的公差为d，由S4＝－62，S6＝－75，得解得
∴an＝3n－23，Sn＝n2－n．
(2)由an＝3n－23≤0，得n≤，∴n＝7．
∴数列{an}的前7项为负数，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a14|＝－(a1＋a2＋…＋a7)＋(a8＋a9＋…＋a14)＝－S7＋S14－S7＝S14－2S7＝147．
10．分析：本题(1)只需利用S12＞0，S13＜0得到不等式组即可解决；本题(2)由d＜0，得a1＞a2＞…＞a12＞a13＞…，可知数列前面的项为正，后面的项为负，加上正数，和变大；加上负数，和变小．因此在1≤n≤12中，若存在自然数n，使an＞0，an＋1＜0，则可判定Sn是最大值．
解：(1)根据题意，得
整理得
解得－＜d＜－3．
∴d的取值范围是．
(2)解法一：∵d＜0，∴a1＞a2＞a3＞a4＞…＞a12＞a13＞…．
而S13＝＝13a7＜0，∴a7＜0．
又S12＝＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0，
∴a6＞0．
∴数列{an}的前6项的和S6最大．
解法二：∵a1＝12－2d，
∴Sn＝n2＋n．
考察二次函数y＝x2＋x．
∵d＜0，－＝－，
∴当x＝－时，y有最大值．
∵－＜d＜－3，∴6＜－＜．
∵n∈N＋，∴当n＝6时，Sn最大，即数列的前6项和最大．2.2.1
等差数列
课后训练
1．已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，则此数列的通项公式为( )．
A．an＝2n－5
B．an＝2n－3
C．an＝2n－1
D．an＝2n＋1
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( )．
A．40
B．42
C．43
D．45
3．一个等差数列的首项为23，公差为整数，且前6项均为正数，第7项起为负数，则公差为( )．
A．－2
B．－3
C．－4
D．－5
4．在数列{an}中，a1＝－2,2an＋1＝2an＋3，则a11等于( )．
A．
B．10
C．13
D．19
5．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝( )．
A．120
B．105
C．90
D．75
6．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.
7．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|等于________．
8．一种游戏软件的租金，第一天6元，第二天12元，以后每天比前一天多3元，那么第n(n≥2)天的租金an＝________(单位：元)．
9．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
(2)2012年伦敦奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
10．已知数列{an}是等差数列，(n∈N＋)．
判断数列cn是否是等差数列，并说明理由．
参考答案
1.
答案：B 由题意，得2(a＋1)＝(a－1)＋(2a＋3)，解得a＝0.所以{an}的前三项为－1,1,3，即a1＝－1，d＝2.故an＝－1＋(n－1)·2＝2n－3.
2.
答案：B 在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，∴d＝3.∴a5＝14.∴a4＋a5＋a6＝3a5＝42.
3.
答案：C 设公差为d，d∈Z，由a6＝23＋5d＞0，且a7＝23＋6d＜0，得－.∵d∈Z，∴d＝－4.
4.
答案：C 由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝，
∴{an}是等差数列，且a1＝－2，，∴a11＝13.
5.
答案：B
6.
答案：1 设其公差为d，∵a1＋a3＋a5＝105，
∴3a3＝105.∴a3＝35.
同理，由a2＋a4＋a6＝99，得a4＝33.
∴d＝a4－a3＝－2.
∴a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.
7.
答案： 设，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0的两根之和为2，方程x2－2x＋n＝0的两根之和也为2，
∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4.∴.
因此，是一个方程的两根，，是另一个方程的两个根．
∴m，n分别为，.
∴|m－n|＝.
8.
答案：3n＋6(n≥2) a1＝6，a2＝12，a3＝15，a4＝18，…，从第二项起，{an}才构成等差数列且公差为3，在这个等差数列中第一项是12，而第n天的租金，是第n－1项，故an＝12＋(n－2)×3＝3n＋6(n≥2)．
9.
答案：解：(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1
896为首项，4为公差的等差数列．这个数列的通项公式为an＝1
896＋4(n－1)＝1
892＋4n(n∈N＋)．
(2)假设an＝2
012，由2
012＝1
892＋4n，得n＝30.
假设an＝2
050，但2
050＝1
892＋4n无正整数解．
所以2012年伦敦奥运会是第30届奥运会，2050年不举行奥运会．
10.
答案：解：是．理由：设{an}的公差为d，则
cn＋1－cn＝
＝－(an＋1－d)2－(an＋1＋d)2
＝－2d2.
∴数列{cn}是以－2d2为公差的等差数列．2.2.2
等差数列的前n项和
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.已知等差数列{an}中，a2=7,a4=15，则前10项的和S10等于(
)
A.100
B.210
C.380
D.400
解析：d==4，a1=3，所以S10=210.
答案：B
2.计算：1+2+3+…+300=____________.
解析：这是一个300项的等差数列的求和，a1=1,an=300,n=300，可利用公式：Sn==45
150.
答案：45
150
3.计算：3+5+8+11+…+299=____________.
解析：数列5，8，11,
…，299是个等差数列，且首项是5，末项是299，公差是3.根据公式：=d，将an=299,a1=5,d=3代入上式，可得：n=99.
所以，5+8+…+299==15
048.
所以3+5+8+11+…+299=15
048+3=15
051.
答案：15
051
4.一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中●表示实圆，○表示空心圆）：●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○……若将此若干个圆依此规律继续下去得到一系列圆，那么在前2
005个圆中有____________个空心圆.
解析：这是因为把空心圆取出来的位置构成数列2，5，9，14，…，于是数列满足an=an-1+n+1,?an=a1+2+3+…+n+n+1=+n=.故在2
005前计算数值n=61时，小于2
005；当n=62时，大于2
005.故应为61个空心圆.
答案：61
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.等差数列{an}中，a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于(
)
A.160
B.180
C.200
D.220
解析：(a1+a2+a3)+(a18+a19+a20)=(-24)+78=54，又a1+a20=a2+a19=a3+a18,则3(a1+a20)=54,∴a1+a20=18，则S20==10×18=180.
答案：B
2.设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若等于，则等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析：由等差数列的求和公式可得,可得a1=2d且d≠0,所以,故选A.
答案：A
3.设公差不为零的等差数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，且S23=9S2,S4=4S2，则数列{an}的通项公式为____________.
解析：设数列{an}的公差为d(d≠0),首项为a1，由已知得：解之得：a1=，d=或a1=d=0（舍）.
∴an=a1+(n-1)d=+(n-1)×=
(2n-1).
答案：an=
(2n-1)
4.设数列{an}的前n项和为Sn=2-2·3n，则通项公式an=____________.
解析：当n=1时,a1=S1=2-2·31=-4.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2-2·3n)-(2-2·3n-1)=-4·3n-1.
此时对n=1时有：a1=-4·31-1=-4，也适合。综上，对n∈N
,an=-4·3n-1.
答案：-4·3n-1
5.一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.
解：由(n-2)·180=100n+×10，
求得n2-17n+72=0,n=8或n=9,
当n=9时,最大内角100+(9-1)×10=180°不合题意，舍去，∴n=8.
6.已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，求证：S6，S12-S6，S18-S12成等差数列.
解：设{an}首项是a1，公差为d.
则S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6
∵S12-S6=a7+a8+a9+a10+a11+a12=
(a1+6d)+(a2+6d)+(a3+6d)+(a4+6d)+(a5+6d)+(a6+6d)=（a1+a2+a3+a4+a5+a6)+36d=S6+36d
S18-S12=a13+a14+a15+a16+a17+a18=
(a7+6d)+(a8+6d)+(a9+6d)+(a10+6d)+(a11+6d)+(a12+6d)=
（a7+a8+a9+a10+a11+a12）+36d=(S12-S6)+36d,
∴S6,S12-S6,S18-S12是以36d为公差的等差数列.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.等差数列{an}中，S10=4S5，则a1∶d等于(
)
A.
B.
C.2
D.4
解析：直接代入等差数列前n项和公式，即可.
10a1+，整理得：10a1=5d可求.
答案：B
2.一个凸n边形各内角的弧度数成等差数列，最小角为，公差为，则n的值为(
)
A.9
B.16
C.9或16
D.与A、B、C均不相同
解析：由题意可得（n-2）π=n·+·n2-25n+144=0
(n-9)(n-16)=0n=9或n=16.
而当n=16时，a16=+(16-1)×=＞π，与凸多边形矛盾.
答案：A
3.设数列{an}是等差数列，且a2=-6，a8=6，Sn是数列{an}的前n项和，则(
)
A.S4＜S5
B.S4=S5
C.S6＜S5
D.S6=S5
解析：方法一：设该等差数列的首项为a1，公差为d，则有
从而有S4=-20,S5=-20,S6=-18.
方法二：由等差数列的性质知a5+a5=a2+a8=-6+6=0，所以a5=0，从而有S4=S5.
答案：B
4.某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共获得捐款1
200元.他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天获得的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行了____________天(
)
A.14
B.15
C.16
D.17
解析：由题意可知，每天获得的捐款数组成一个等差数列，记作{an}，其中a1=10，d=10，由10n+×10=1
200，解得n=15.
答案：B
5.等差数列{an}的公差d＜0，且a12=a112，则数列的前n项和Sn取得最大值时的项数n是(
)
A.5
B.6
C.5或6
D.6或7
解析：由a12=a112，得（a1+a11）（a1-a11）=0.又∵d＜0，∴a1+a11=0，即a6=0.∴S5=S6且最大.
答案：C
6.已知无穷等差数列{an}中，它的前n项和为Sn，且S7＞S6，S7＞S8，则(
)
A.{an}中a7最大
B.{an}中a3或a4最大
C.当n≥8时，an＜0
D.一定有S3=S11
解析：∵S7＞S6，∴S7-S6＞0，即a7＞0.同理，∵S7＞S8,∴a8＜0.∴d＜0，即n≥8时，an＜0.数列是个单调递减数列，最大项是第一项.故选C.
答案：C
7.等差数列{an}的通项公式为an=2n+1，其前n项的和为Sn，则数列{}的前10项的和为(
)
A.120
B.70
C.75
D.100
解析：∵an=2n+1，∴Sn==n(n+2).
∴=n+2，数列{}为等差数列，其首项为3，公差为1，其前10项的和S10′=10×3+×1=75.
答案：C
8.等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.
（Ⅰ）求通项an；（Ⅱ）若Sn=242，求n.
解：（Ⅰ）由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50，得方程组
解得a1=12,d=2.所以an=2n+10.
（Ⅱ）由Sn=na1+d,Sn=242得方程12n+×2=242.
解得n=11或n=-22(舍去).
9.设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且S4=-62,S6=-75，求:
（1）通项an及前n项和Sn；（2）求|a1|+|a2|+…+|a14|的值.
解：（1）设数列的公差为d，由S4=-62,S6=-75,得解得
∴an=3n-23,Sn=.
（2）由an=3n-23≤0n≤，∴n=7.
∴前7项为负.∴|a1|+|a2|+…+|a14|=-(a1+a2+…+a7)+(a8+a9+…+a14)=-S7+S14-S7=S14-2S7=147.
10.如右图，是一人出差从A城出发到B城去，沿途可能经过的城市的示意图，通过两城市所需时间标在两城市之间的连线上(单位：时)，试求此人从A城出发到B城所需时间最少为多少小时
解：设各城市至B城市所需时间的最短时数为S(x)，x为城市记号，则:
S(E1)=12,S(E2)=18，
S(D1)=17+S(E1)=29,
S(O2)=min｛10+S(E1),5+S(E2)｝=22,
S(D2)=9+S(E2)=27,
S(C1)=min｛6+S(D1),13+S(O2)｝=35，
S(C2)=min｛11+S(O1),7+S(D2)｝=33，
S(A)=min｛14+S(C1),15+S(C2)｝=48.
故从A城到B城所需时间最少为48小时，其最短的路线是：A—C2—O2—E1—B.2.2.1
等差数列
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.等差数列的前4项依次是a-1,a+1,2a+3,2b-3,则a、b的值为(
)
A.1,2
B.-1,4
C.0,4
D.2,-2
解析：根据等差数列的定义,由a+1-(a-1)=2a+3-(a+1),可得a=0,又由2a+3-(a+1)=2b-3-(2a+3),可得b=4,所以选C.
答案：C
2.写出数列10,8,6,4,2，…的通项公式an=____________.
解析：8-10=-2=6-8=4-6=2-4，从第二项起，每一项与它的前一项做差的结果都是同一个常数-2，所以是等差数列，将首项a1=10,d=-2直接代入其通项公式an=a1+(n-1)d即可.
答案：an=10+(n-1)×(-2)=12-2n
3.在等差数列{an}中，a5=33，a7=153，则公差为____________.
解析：在等差数列中，a6=a5+d=33+d,a7=a6+d=(a5+d)+d=33+2d=153,则d=60.
答案：d=60
4.等差数列{an}中，a1+a11=a3+(
)=(
)a6.
解析：由等差数列的性质：当m+n=p+q，有am+an=ap+aq.又：1+11=3+9=6+6.
∴a1+a11=a3+a9=2a6.
答案：a9
2
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知等差数列{an}的前三项依次为a-1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为(
)
A.an=2n-5
B.an=2n-3
C.an=2n-1
D.an=2n+1
解析：由题意得2(a+1)=(a-1)+(2a+3)，解得a=0.所以{an}的前三项为-1，1，3，即a1=-1，d=2.故an=-1+(n-1)·2=2n-3.
答案：B
2.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(
)
A.5
B.4
C.3
D.
2
解析：d=3.
答案：C
3.数列1，3，6，9，12，15____________（填“是”或“否”）等差数列.
解析：等差数列是从第二项起，每一项与它的前一项做差，做差的结果都是同一个常数.3-1=2,6-3=3,9-6=3,而2≠3.
答案：不是
4.若数列的通项公式为an=6n+7，请判断这个数列____________（填“是”或“否”）等差数列.
解析：判断数列是否是等差数列的方法是：an-an-1=d(n≥2).根据定义有：
an-an-1=(6n+7)-［6(n-1)+7］=6(常数),符合定义.
答案：是
5.画出等差数列{an}的图象，其中an=n+2.
解析：an=n+2的图象是一群孤立的点，这些点都在直线y=x+2上.因为数列的自变量都取的是整数：n=1,2,3,…
答案：
6.观察下列数列是否是等差数列：
(1)1,2,4,6,8,10,12,…
(2)-3,-2,1,3,5,7,…
(3)3,3,3,3,3,3,…
(4)1,2,4,7,11,16,…
解：(1)该数列的第2项与第一项的差是1，其余的后一
项与前一项的差都是2.不符合等差数列的定义.要求从第2项起后项与前项的差是同一个常数.所以,它不是等差数列.
（2）不是.理由同（1）
（3）是.它符合等差数列的定义.
（4）不是.因为从第2项起后项与前项的差是：1，2，3，4，5，…,是常数，但不是同一常数.所以不是.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.一个等差数列的首项为23，公差为整数，且前6项均为正数，第7项起为负数，则公差为(
)
A.-2
B.-3
C.-4
D.-5
解析：设公差为d，d∈Z，由a6=23+5d＞0且a7=23+6d＜0，得.
∵d∈Z，∴d=-4.
答案：C
2.在正整数100至400之间能被11整除的整数的个数是(
)
A.25
B.26
C.27
D.28
解析：由100≤11k≤400(k∈Z)，得≤k≤.故k=10,11，…，36，共36-10+1=27(个).
答案：C
3.设{an}是首项为50，公差为2的等差数列，{bn}是首项为10，公差为4的等差数列，以ak和bk为两边的矩形内的最大圆的面积记为Sk，如果k≤21，那么Sk等于(
)
A.π(k+24)2
B.π(k+12)2
C.π(2k+3)2
D.π(2k+1)2
解析：据题意得ak=2k+48，bk=4k+6，bk-ak=(4k+6)-(2k+48)=2k-42.
∵k≤21，∴2k-42＜0,∴bk＜ak,
∴矩形内的最大圆是以bk为直径的.因此Sk=π(2k+3)2.
答案：C
4.一种游戏软件的租金，第一天6元，第二天12元，以后每天比前一天多3元，那么第n(n≥2)天的租金（单位:元）an=___________.
解析：a1=6,a2=12,a3=15,a4=18，…，从第二项起，{an}才构成等差数列且公差为3，在这个等差数列中第一项是12，而第n天的租金，是第n-1项，故an=12+(n-2)×3=3n+6(n≥2).
答案：3n+6(n≥2)
5.△ABC中，a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边，如果a,b,c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b=___________.
解析：在△ABC中，∵a,b,c成等差数列，
∴2b=a+c,又由于∠B=30°，
∴S△ABC=acsinB=acsin30°=.
∴ac=6.
由余弦定理：b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB=4b2-2×6-2×6cos30°，整理得b2=4+
=(1+)2,
∵b＞0，∴b=1+.
答案：1+
6.某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为10元，即最初的4千米（不含4千米）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车赶往14千米处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付___________元车费.
解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4
km时，每增加1
km，乘客需要支付1.2元.所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1=11.2，表示4
km处的车费，公差d=1.2.那么，当出租车行至14
km处时，n=14-4+1=11，此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2（元）.
答案：23.2
7.将等差数列2，7，12，17，22，…中的数按顺序抄写在本子上，如下表所示，若每行写12个数，每页共15行，则数2
007应抄在第___________页第___________行第___________个位置上.
2
7
12
17
22
27
…
…
…
…
…
…
…
…
…
解析：依题意得an=2+(n-1)×5=5n-3，令5n-3=2
007得n=402，即2
007为第402个数.而每页共写12×15=180个数，402-2×180=42，所以2
007应抄在第3页，而每行写12个数，42-3×12=6，故应写在第4行第6个数的位置上.
答案：3
4
6
8.（1）求等差数列8,5,2，…的第20项；
（2）-401是不是等差数列-5,-9,-13，…的项？如果是，是第几项？
解：(1）由a1=8,d=5-8=2-5=-3，n=20，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.
（2）由a1=-5,d=-9-(-5)=-4，得数列通项公式为：an=-5-4(n-1).
令-401=-5-4(n-1)成立,解之得n=100，即-401是这个数列的第100项.
则a20=-49；-401是这个数列的第100项.
9.三个数成等差数列，它们的和为21，前两个数的积比第三个数的平方少100，求这三个数.
解：设这三个数分别为a-d,a,a+d，由已知得3a=21，即a=7.
∴三数为7-d,7,7+d.
∴由已知有：7(7-d)+100=(7+d)2.
∴d2+21d-100=0，
解得d=-25或d=4.
∴这三个数为32,7,-18或3,7,11.
10.下面是今年12月份的日历表.
SU
MO
TU
WE
TH
FR
SA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
请观察表中同在任一直线上的一列数，并讨论说明它们有什么共性？
你能用文字表达这个共性吗？你能用递推公式表达这个共性吗？
你能用通项公式表达这个共性吗？
解：每一列数都是后一个数等于前一个数加7，可用递推公式an+1=an+7表示，第一列可写为an=7n-5；第二列为an=7n-4；第三列为an=7n-3；第四列为an=7n-2；第五列为an=7n-1；第六列为an=7n；第七列为an=7n-6.2．2.1 等差数列
1．等差数列的前4项依次是a－1，a＋1,2a＋3，2b－3，则a，b的值为( )
A．1,2
B．－1,4
C．0,4
D．2，－2
2．在等差数列{an}中，a3＋a12＝60，a6＋a7＋a8＝75，则其通项公式为( )
A．an＝10n＋45
B．an＝6n－24
C．an＝10n－45
D．an＝6n＋24
3．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，则tan(A＋C)＝________.
4．若a，x1，x2，x3，b与a，y1，y2，y3，y4，y5，b均为等差数列，则＝__________.
答案：1．C 方法一：依题意可知解得
方法二：由(a＋1)－(a－1)＝2可得d＝2，再利用通项公式可得a，b的值．
方法三：采用特殊值代入法求解．
2．C ∵a6＋a7＋a8＝3a7＝75，∴a7＝25.
又∵a3＋a12＝a7＋a8＝60，
∴a8＝35，d＝a8－a7＝10.
∴an＝a8＋(n－8)d＝35＋10×(n－8)＝10n－45.
3．－ ∵∠A、∠B、∠C成等差数列，
∴2∠B＝∠A＋∠C.
∴∠A＋∠B＋∠C＝3∠B＝180°.
∴∠B＝60°.∴∠A＋∠C＝120°.
∴tan(A＋C)＝tan120°＝－.
4. ∵a，x1，x2，x3，b成等差数列，
∴其公差d1＝.
又∵a，y1，y2，y3，y4，y5，b成等差数列，
∴其公差d2＝.
∴＝＝＝×＝.
课堂巩固
1．已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是( )
A．2
B．3
C．6
D．9
2．(辽宁高考，文3){an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于( )
A．－2
B．－
C.
D．2
3．等差数列的首项为，第10项为开始比1大的项，则公差d的取值范围为( )
A．d＞
B.＜d≤
C．d＜
D.＜d＜
4．(山东高考，文13)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝__________.
5．若lg2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值为__________．
6．已知，，成等差数列，并且a＋c，a－c，a＋c－2b均为正数，求证：lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)也成等差数列．
7．等差数列{an}中，已知a59＝70，a80＝112，求a101.
答案：1．B 由题意，得∴
∴m和n的等差中项是3.
2．B 方法一：a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，∴a1＝1.∴a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0.
∴d＝－.
方法二：∵a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝－a3＋2d＝2d＝－1，∴d＝－.
3．B 依题意
4．13 等差数列{an}中，a3＝7，a5－a2＝6，
∴3d＝6.∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.
5．log25 2lg(2x－1)＝lg2＋lg(2x＋3)，
所以可得(2x－1)2＝2(2x＋3)，
即(2x)2－4·2x－5＝0.
解之，得2x＝5或2x＝－1(舍)．
所以x＝log25.
6．证明：由已知，，成等差数列，
∴＝＋.
∴＝.
∴2ac＝ab＋bc.
∴－2ac＝2ac－2b(a＋c)．
∴－2ac＋a2＋c2＝2ac－2b(a＋c)＋a2＋c2.
∴(a－c)2＝(a＋c)(a＋c－2b)．
又∵a－c，a＋c，a＋c－2b都是正数，
∴2lg(a－c)＝lg(a＋c)＋lg(a＋c－2b)．
∴lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)成等差数列．
7.解法一：设首项为a1，公差为d，则由题意得
解得
∴a101＝a1＋100d＝－46＋100×2＝154.
解法二：设公差为d，则a80＝a59＋(80－59)d＝a59＋21d，
即112＝70＋21d，
∴d＝2.
∴a101＝a80＋(101－80)d＝112＋21×2＝154.
解法三：∵an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，其图象是直线上的点，
∴点(59，a59)，(80，a80)，(101，a101)共线．
∴＝，即＝.
∴a101＝154.
1．在数列{an}中，a1＝－2,2an＋1＝2an＋3，则a11等于( )
A.
B．10
C．13
D．19
1．答案：C 由2an＋1＝2an＋3得an＋1－an＝，
∴{an}是等差数列．a1＝－2，d＝，a11＝13.
2.(安徽高考，文5)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )
A．－1
B．1
C．3
D．7
2．答案：B 设其公差为d，∵a1＋a3＋a5＝105，
∴3a3＝105.∴a3＝35.
同理，由a2＋a4＋a6＝99，得a4＝33.
∴d＝a4－a3＝－2.
∴a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.
3．已知等差数列{an}的公差为d，若c≠0，且c为常数，则数列{can}是( )
A．公差为d的等差数列
B．公差为cd的等差数列
C．不是等差数列
D．不能判断
3．答案：B 因为an＋1－an＝d，所以can＋1－can＝cd.
所以数列{can}是公差为cd的等差数列．
4．设{an}是递增的等差数列，其前三项的和为12，前三项的积为48，则数列{an}的首项为( )
A．1
B．2
C．4
D．6
4．答案：B 方法一：设首项为a，公差为d，
则由题意知：d>0，且
解得a＝2.
方法二：设三数为：a－d，a，a＋d，
依题意有
解得
∴a－d＝2.
5．等差数列{an}单调递增且a3＋a6＋a9＝12，a3·a6·a9＝28，则此数列的通项公式an＝__________.
5．答案：n－2 ∵a3＋a9＝2a6，a6＝4，
∴a3＋a9＝8，a3·a9＝7.
∴a3、a9是一元二次方程x2－8x＋7＝0的两个根．
又∵{an}单调递增，
∴a3＝1，a9＝7，d＝1.
从而an＝a3＋(n－3)d＝1＋(n－3)＝n－2.
6．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|等于________．
6.
答案： 设a1＝，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0中的两根之和为2，方程x2－2x＋n＝0中的两根之和也为2，
∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4.∴d＝.
因此a1＝，a4＝是一个方程的两根，a2＝，a3＝是另一个方程的两个根．
∴m，n分别为，.
∴|m－n|＝.
7．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
(2)2012年伦敦奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
7．答案：解：(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1
896为首项，4为公差的等差数列．这个数列的通项公式为an＝1
896＋4(n－1)＝1
892＋4n(n∈N＋)．
(2)假设an＝2
012，由2
012＝1
892＋4n，得n＝30.
假设an＝2
050,2
050＝1
892＋4n无正整数解，
即所求通项公式为an＝1
892＋4n(n∈N＋),2012年伦敦奥运会是第30届奥运会，2050年不举行奥运会．
8．已知f(x)＝，且方程x＝f(x)有唯一解，且f(x0)＝，f(xn－1)＝xn，n＝1,2,3，….
(1)问数列{}是否是等差数列？
(2)求x2
009的值．
8．答案：解：(1)由f(x)＝x得＝x，即x[1－]＝0.
解得x＝0或x＝－2.
∵方程x＝f(x)有唯一解，
∴－2＝0.∴a＝.∴f(x)＝.
又xn＝f(xn－1)＝，∴＝＋.
∵x1＝f(x0)＝，
∴{}是首项为1
005，公差为的等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)＝1
005＋(n－1)＝，
∴xn＝.
∴x2
009＝＝.
9．如下图，三个正方形的边AB、BC、CD的长组成等差数列，且AD＝21
cm，这三个正方形的面积之和是179
cm2.
(1)求AB、BC、CD的长；
(2)以AB、BC、CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？
9．答案：解：(1)设公差为d(d>0)，BC＝x，
则AB＝x－d，CD＝x＋d.
由题意得
解得或(舍去)．
所以AB＝3(cm)，BC＝7(cm)，CD＝11(cm)．
(2)正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{an}，所以a10＝3＋(10－1)×4＝39.
a＝392＝1
521(cm2)．
所求正方形的面积为1
521
cm2.2.2.2
等差数列的前N项和
课后训练
1．在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( )．
A．160
B．180
C．200
D．220
2．已知某等差数列{an}共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )．
A．5
B．4
C．3
D．2
3．等差数列{an}的公差d＜0，且，则数列的前n项和Sn取得最大值时的项数n是( )．
A．5
B．6
C．5或6
D．6或7
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则等于( )．
A．
B．
C．
D．
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N＋)的直线的斜率是( )．
A．4
B．3
C．2
D．1
6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，则S9＝________.
7．若两个等差数列的前n项和之比是(7n＋1)∶(4n＋27)，则它们的第11项之比为________．
8．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且S4＝－62，S6＝－75，求：
(1)通项an及前n项和Sn；
(2)求|a1|＋|a2|＋…＋|a14|的值．
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0，
(1)求公差d的取值范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
参考答案
1.
答案：B (a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝(－24)＋78＝54，又a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18，则3(a1＋a20)＝54，∴a1＋a20＝18.则S20＝＝10×18＝180.
2.
答案：C d＝3.
3.
答案：C 由，得(a1＋a11)(a1－a11)＝0.
又∵d＜0，∴a1＋a11＝0，∴a6＝0.∴S5＝S6且最大．
4.
答案：A 由等差数列的前n项和公式可得，可得a1＝2d且d≠0，所以，故选A.
5.
答案：A
6.
答案：54 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由题意，得，
，
联立解得a1＝2，d＝1，
所以S9＝9×2＋×1＝54.
7.
答案：4∶3 设等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，
则，，
∴.
8.
答案：解：(1)设数列{an}的公差为d，由S4＝－62，S6＝－75，得解得
∴an＝3n－23，.
(2)由an＝3n－23≤0，得，∴n＝7.
∴数列{an}的前7项为负数，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a14|＝－(a1＋a2＋…＋a7)＋(a8＋a9＋…＋a14)＝－S7＋S14－S7＝S14－2S7＝147.
9.
答案：分析：本题(1)只需利用S12＞0，S13＜0得到不等式组即可解决；本题(2)由d＜0，得a1＞a2＞…＞a12＞a13＞…，可知数列前面的项为正，后面的项为负，加上正数，和变大；加上负数，和变小．因此在1≤n≤12中，若存在自然数n，使an＞0，an＋1＜0，则可判定Sn是最大值．
解：(1)根据题意，得
整理得
解得.∴d的取值范围是.
(2)解法一：∵d＜0，∴a1＞a2＞a3＞a4＞…＞a12＞a13＞…，
而S13＝＝13a7＜0，∴a7＜0.
又S12＝＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0，
∴a6＞0.
∴数列{an}的前6项的和S6最大．
解法二：∵a1＝12－2d，
∴Sn＝n2＋(12－d)n.
考察二次函数y＝x2＋(12－d)x.
∵d＜0，，
∴当时，y有最大值．
∵，∴.
∵n∈N＋，∴当n＝6时，Sn最大，即数列的前6项和最大．2.2
等差数列
自主广场
我夯基
我达标
1.已知数列{an}的通项公式为an=2(n+1)+3,则此数列(
)
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为3的等差数列
C.是公差为5的等差数列
D.不是等差数列
思路解析:已知a1=7,an-an-1=2(n≥2),故这是一个以2为公差的等差数列.也可根据等差数列通项公式an=dn+(a1-d)知d=2.
答案:A
2.在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于(
)
A.40
B.42
C.43
D.45
思路解析:在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,∴d=3.∴a5=14.则a4+a5+a6=3a5=42.
答案:B
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S7=35,则a4等于(
)
A.8
B.7
C.6
D.5
思路解析:S7=7a4=35,∴a4=5.
答案:D
4.已知等差数列{an}中,a2=7,a4=15,则前10项的和S10等于(
)
A.100
B.210
C.380
D.400
思路解析:d==4,a1=3,所以S10=210.
答案:B
5.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(
)
A.130
B.170
C.210
D.260
思路解析:令m=1,则Sm=S1=a1=30,S2m=S2=a1+a2=100,则有a1=30,a2=70,d=40,则a3=110,故S3m=S3=S2+a3=100+110=210.
注:也可以用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列求解.
答案:C
6.在各项均不为零的等差数列{an}中,若an+1-an2+an-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于(
)
A.-2
B.0
C.1
D.2
思路解析:设公差为d,则an+1=an+d,an-1=an-d,由an+1-an2+an-1=0(n≥2),得2an-an2=0,解得an=2(零解舍去),故S2n-1-4n=2×(2n-1)-4n=-2.
答案:A
7.设Sn为等差数列{an}的前n项和,S4=14,S10-S7=30,则S9=___________.
思路解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
由题意,得4a1+=14,
［10a1+］-［7a1+］=30,
联立解得a1=2,d=1,
所以S9=9×2+·1=54.
答案:54
8.若两个等差数列的前n项和之比是(7n+1)∶(4n+27),则它们的第11项之比为_____________.
思路解析:方法一:设数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,
则a11=,b11=,
∴.
方法二:等差数列前n项和是关于n的二次函数,
则可设Sn=(7n+1)·nk,Tn=(4n+27)·nk,
由an=Sn-Sn-1=k(14n-6),得a11=148k,n≥2.
bn=Tn-Tn-1=k(8n+23),得b11=111k.
∴.
答案:
我综合
我发展
9.设数列{an}、{bn}、{cn}满足:bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2(n=1,2,3,…).
求证:{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1(n=1,2,3,…).
证明:必要性:设{an}是公差为d1的等差数列,则
bn+1-bn=(an+1-an+3)-(an-an+2)=(an+1-an)-(an+3-an+2)=d1-d1=0.
∴bn≤bn+1(n=1,2,3,…)成立.
又cn+1-cn=(an+1-an)+2(an+2-an+1)+3(an+3-an+2)=d1+2d1+3d1=6d1(常数)(n=1,2,3,…),
∴数列{cn}为等差数列.
充分性:设数列{cn}是公差为d2的等差数列,且bn≤bn+1(n=1,2,3,…),
∵cn=an+2an+1+3an+2,
①
∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4.
②
①-②,得cn-cn+2=(an-an+2)+2(an+1-an+3)+3(an+2-an+4)=bn+2bn+1+3bn+2.
∵cn-cn+2=(cn-cn+1)+(cn+1-cn+2)=-2d2,
∴bn+2bn+1+3bn+2=-2d2.
③
从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2.
④
④-③,得(bn+1-bn)+2(bn+2-bn+1)+3(bn+3-bn+2)=0.
⑤
∵bn+1-bn≥0,bn+2-bn+1≥0,bn+3-bn+2≥0,
∴由⑤得bn+1-bn=0(n=1,2,3,…).
由此不妨设bn=d3(n=1,2,3,…),则an-an+2=d3(常数).
由此cn=an+2an+1+3an+2=4an+2an+1-3d3.
⑥
从而cn+1=4an+1+2an+2-3d3,
⑦
⑦-⑥,得cn+1-cn=2(an+1-an)-2d3.
因此an+1-an=(cn+1-cn)+d3=d2+d3(常数)(n=1,2,3,…).
∴数列{an}为等差数列.
10.某地区1997年年底沙漠面积为9×105
hm2.地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况,从1998年开始进行了连续5年的观测,并在每年底将观测结果记录如下表:
观测年份
该地区沙漠面积比原有面积增加数/hm2
1998
2
000
1999
4
000
2000
6
001
2001
7
999
2002
10
001
请根据上表所给的信息进行预测.
(1)如果不采取任何措施,到2010年年底,这个地区的沙漠面积将大约变成多少
(2)如果从2003年年初开始,采取植树造林等措施,每年改造8
000
hm2沙漠,但沙漠面积仍按原有速度增加,那么到哪一年年底,这个地区的沙漠面积将小于8×105
hm2
思路分析:从增加数看,数字稳定在2
000附近,所以可认为沙漠面积的增加值构成一个等差数列.求2010年底的沙漠面积可利用数列的通项公式,首项可以选2002年的增加数,当然也可用其他年份的增加数为首项.列出经过n年后的沙漠面积,再根据已知列出不等式.
解:(1)从表中的数据看,该地区每年沙漠面积比原有面积的增加数是一个等差数列,公差约为d=2
000,a2
010=a2
002+8d=10
001+2
000×8≈0.26×105
hm2,
再加上原有的沙化面积9×105
hm2,到2010年年底,该地区的沙漠面积大约变成9.26×105
hm2.
(2)设在2002年的基础上,再经过n年,该地区的沙漠面积将小于8×105
hm2,
由10
001+2
000n-8
000n+9×105＜8×105,得n＞18.3,
即再过19年,到2021年年底,该地区沙漠面积将小于8×105
hm2.2.2.1
等差数列
自我小测
1．已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，2a＋3，则此数列的通项公式为( )
A．an＝2n－5
B．an＝2n－3
C．an＝2n－1
D．an＝2n＋1
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( )
A．40
B．42
C．43
D．45
3．一个等差数列的首项为23，公差为整数，且前6项均为正数，第7项起为负数，则公差为( )
A．－2
B．－3
C．－4
D．－5
4．在数列{an}中，a1＝－2，2an＋1＝2an＋3，则a11等于( )
A．
B．10
C．13
D．19
5．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝( )
A．120
B．105
C．90
D．75
6．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________．
7．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝________．
8．一种游戏软件的租金，第一天6元，第二天12元，以后每天比前一天多3元，那么第n(n≥2)天的租金an＝________(单位：元)．
9．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
(2)请算一下2012年伦敦奥运会是第几届？2050年会举行奥运会吗？
10．已知数列{an}是等差数列，cn＝a－a(n∈N＋)．
判断数列cn是否是等差数列，并说明理由．
参考答案
1．解析：由题意，得2(a＋1)＝(a－1)＋(2a＋3)，解得a＝0．所以{an}的前三项为－1，1，3，即a1＝－1，d＝2．故an＝－1＋(n－1)·2＝2n－3．
答案：B
2．解析：在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，∴d＝3．∴a5＝14．∴a4＋a5＋a6＝3a5＝42．
答案：B
3．解析：设公差为d，d∈Z，由a6＝23＋5d＞0，且a7＝23＋6d＜0，得－答案：C
4．解析：由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝，
∴{an}是等差数列，且a1＝－2，d＝，∴a11＝13．
答案：C
5．答案：B
6．解析：设其公差为d，∵a1＋a3＋a5＝105，
∴3a3＝105．∴a3＝35．
同理，由a2＋a4＋a6＝99，得a4＝33．
∴d＝a4－a3＝－2．
∴a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1．
答案：1
7．解析：设a1＝，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0的两根之和为2，方程x2－2x＋n＝0的两根之和也为2，
∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4．∴d＝．
因此a1＝，a4＝是一个方程的两根，a2＝，a3＝是另一个方程的两个根．
∴m，n分别为，．
∴|m－n|＝．
答案：
8．解析：a1＝6，a2＝12，a3＝15，a4＝18，…，从第二项起，{an}才构成等差数列且公差为3，在这个等差数列中第一项是12，而第n天的租金，是第n－1项，故an＝12＋(n－2)×3＝3n＋6(n≥2)．
答案：3n＋6(n≥2)
9．解：(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1
896为首项，4为公差的等差数列．这个数列的通项公式为an＝1
896＋4(n－1)＝1
892＋4n(n∈N+)．
(2)假设an＝2
012，由2
012＝1
892＋4n，得n＝30．
假设an＝2
050，但2
050＝1
892＋4n无正整数解．
所以2012年伦敦奥运会是第30届奥运会，2050年不举行奥运会．
10．解：是．理由：设{an}的公差为d，则
cn+1－cn＝(a－a)－(a－a)
＝2a－(an+1－d)2－(an+1＋d)2
＝－2d2．
∴数列{cn}是以－2d2为公差的等差数列．
