2.1.1
数
列
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，…中x的值是(
)
A.19
B.20
C.21
D.22
解析：观察题意可得规律：1+1=2,1+2=3,2+3=5,…，8+13=x=21,13+21=34,
∴x=21，故选C.
答案：C
2.将正整数的前5个数排列:①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2.那么可以称为数列的只有(
)
A.①
B.①②
C.①②③
D.①②③④
解析：数列是按“次序”排列着的一列数.学生易把“次序”误认为是“规律”而错选B.
答案：D
3.数列5，7，11，9，13，15，17，19与数列5，7，9，11，13，15，17，19是同一数列吗
答：_______________（填“相同”或“不相同”）.
解析：两个数列中的项都是相同的，如果不注意观察有同学会得出错误答案.因为项相同，但是所对应的项数是不一样的.n=3时，第一个数列对应着11，而第二个数列对应着9.
答案：不相同
4.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（__________）内.
年龄（岁）
30
35
40
45
50
55
60
65
收缩压（水银柱/毫米）
110
115
120
125
130
135
（_______）
145
舒张压（水银柱/毫米）
70
73
75
78
80
83
（_______）
88
解析：从题目所给数据规律可以看到：收缩压是等差数列.舒张压的数据变化也很有规律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了3毫米、2毫米，…，照此规律，60岁时的收缩压和舒张压分别为140、85.
答案：140
85
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知数列，，2，，…，则是该数列的(
)
A.第6项
B.第7项
C.第10项
D.第11项
解析：把写成写成，由题意，可得an=，令=
=3n-1=20n=7.
答案：B
2.以下四个数中，哪个是数列{n(n+1)}中的一项(
)
A.380
B.39
C.32
D.23
解析：n(n+1)是这个数列的通项公式，即an=n(n+1).
∵380=19×20=19×(19+1)，
∴380是该数列中的第19项，或者令n(n+1)=380，得n=19，是个整数，符合题意.
答案：A
3.数列，…的一个通项公式为__________________.
解析：,
=23+=24+,…，第n项为；
而奇数项为正，偶数项为负，故an=(-1)n-1().
答案：an=(-1)n-1()
4.画出函数y=2x,x∈{1,2,3,4,5}的图象，并比较数列2,4,6,8,10的图象.
解：此函数的图象不是直线，由于定义域的限制，函数图象仅有5个孤立的点构成：(1,2)，(2,4),(3,6),(4,8),(5,10)，数列2,4,6,8,10的图象与其是一样的，在数列2,4,6,8,10中，其自变量分别是1,2,3,4,5.图象如下：
5.已知有穷数列：5，7，9，11，…，2n-7.则2n-7(n＞5)是这个数列的第几项
解：我们可以通过通项公式来数项数.可以观察到其通项公式：am=2m+3（m=1，2，…，n+2）.am是这个数列的第m项，由2m+3=2n-7，得m=n-5，故2n-7是数列的第n-5项.
6.求数列,…的通项公式.
解：通过观察与分析，不难写出其三个分数中分母5，15，35，…的一个通项公式10·2n-1-5.故所求数列的通项公式为：an=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，…的一个通项公式为(
)
A.
B.
C.cosπ
D.cosπ
解析：当n=4时，=1≠-1，cos=cos=cos2π=1≠-1，排除A、B；当n=2时，cos=cos=0≠1，排除C.
答案：D
2.已知数列{an}的通项公式为an=n2-8n+15,则3(
)
A.不是数列{an}中的项
B.只是数列{an}中的第2项
C.只是数列{an}中的第6项
D.是数列{an}中的第2项或第6项
解析：令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或n=6.
答案：D
3.一给定函数y=f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1∈(0,1)，由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+1＞an(n∈N
)，则该函数的图象是(
)
解析：分析清楚函数值与自变量的关系，即可判断.由an+1=f(an)，an+1＞an，得f(an)＞an，即f(x)＞x，故选A．
答案：A
4.数列1，1，2，2，3，3，4，4，……的一个通项公式是(
)
A.an=
B.an=
C.an=
D.an=
解析：将1，0，1，0，1，0，…与1，2，3，4，5，6，…数列对应相加得到的数列为2，2，4，4，6，6，…
∴an=；当然我们也可以从选项入手，也可得.
答案：A
5.数列{an}的通项公式为an=，则是此数列的第____________项.
解析：利用常用的变形方法：分母有理化，将通项公式变形，an=，观察可得：n=9.
答案：9
6.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有____________个点.
解析：从（1）—（5）可以发现，第n个图形应有n列点，每列n个点，它们有一个公共点,（1）中有12-(1-1)个点，（2）中有22-(2-1)个点，（3）中有32-(3-1)个点，（4）中有42-(4-1)个点，（5）中有52-(5-1)个点.故第n个图中有n2-(n-1)个点，即n2-n+1个点.
答案：n2-n+1
7.数列11，103，1
005，10
007，…的一个通项公式是_________________________.
解析：观察每一项的数位越来越多，都比前一项多了一个位数，可与10的幂值联系，又末尾是奇数1，3，5，7等等，即11=10+1,103=100+3=102+3,1
005=1
000+5=103+5,10
007=?10
000+7=104+7,则可归纳出通项公式.
答案：an=10n+2n-1
8.已知数列an=(m2-2m)(n3-2n)是递减数列，求实数m的取值范围.
解：∵数列为递减数列，∴an+1＜an.
∴an+1-an=(m2-2m)［(n+1)3-2(n+1)-n3+2n］=(m2-2m)(3n2+3n-1)＜0.
∵n∈N
，
∴3n2+3n-1=3(n+)2-≥5＞0.
∴m2-2m＜0.解得0＜m＜2，
故m∈(0,2).
9.根据数列的前四项，写出数列的一个通项公式.
（1）1，3，5，7，…；
（2）2，5，10，17，…；
（3），….
解：（1）数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减1，所以通项公式为an=2n-1；
（2）如果数列的各项分别减去1，则变为1，4，9，16，6…，所以通项公式为an=n2+1；
（3）数列的前四项的分母是两个连续正整数的积，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式为an=.
10.某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下:首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金b[]n元，然后再将剩余金额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得的奖金额，试求a2、a3，并用k、n和b表示ak（不必证明）.
解：按照题目中的已知条件“然后再将剩余金额除以n发给第2位职工”,将第一个，第二个，第三个，…将职工的奖金所得一一列出，就可以发现这个数列的规律.从而归纳出这个数列的通项公式.
第1位职工的奖金a1=；第2位职工的奖金a2=；
第3位职工的奖金a3=；……第k位职工的奖金ak=.2.1.1
数列
自我小测
1．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式为( )
A．
B．cos
C．cos
π
D．cosπ
2．已知数列，，2，，…，则2是该数列的( )
A．第6项
B．第7项
C．第10项
D．第11项
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3( )
A．不是数列{an}中的项
B．只是数列{an}中的第2项
C．只是数列{an}中的第6项
D．是数列{an}中的第2项或第6项
4．数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是( )
A．
B．5
C．6
D．
5．数列1，－，，－，…的通项公式an是( )
6．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白(______)内．
年龄(岁)
30
35
40
45
50
55
60
65
收缩压(水银柱/毫米)
110
115
120
125
130
135
(____)
145
舒张压(水银柱/毫米)
70
73
75
78
80
83
(____)
88
7．数列2，－4，8，－16，…的一个通项公式为________________．
8．根据数列的前四项，写出数列的一个通项公式．
(1)2，5，10，17，…；
(2)－，，－，，…．
9．已知数列an＝(m2－2m)(n3－2n)是递减数列，求实数m的取值范围．
参考答案
1．解析：当n＝4时，＝＝1≠－1，cos＝cos＝cos
2π＝1≠－1，排除选项A，B；当n＝2时，cos＝cos＝0≠1，排除选项C．故选D．
答案：D
2．解析：把2写成，2写成，由题意，可得an＝．令＝2 ＝ 3n－1＝20 n＝7．
答案：B
3．解析：令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或n＝6．
答案：D
4．解析：a1a2…a30＝log23×log34×…×log3132＝××…×＝log232＝log225＝5．
答案：B
5．解析：(观察法)通项的符号为(－1)n－1，分子都是1，分母为1，3，7，15，…，其通项为2n－1．
所以数列的通项公式为an＝．
(特值法)取n＝1代入选项A，B的通项公式，得项为－1，不合题意，可排除选项A，B．
再取n＝3代入选项C的通项公式，得项为，不合题意，可排除选项C．
答案：D
6．答案：140 85
7．解析：各项的绝对值分别为2＝2＋＝2＋，
4＝4＋＝22＋，
8＝8＋＝23＋，
16＝16＋＝24＋，…，
第n项的绝对值为2n＋；
而奇数项为正，偶数项为负，故
an＝(－1)n－1．
答案：an＝(－1)n－1
8．解：(1)如果数列的各项分别减去1，则变为1，4，9，16，…，所以通项公式为an＝n2＋1；
(2)数列的前四项的分子都是1，分母是两个连续正整数的积，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式为an＝．
9．解：∵数列{an}为递减数列，∴an＋1＜an．
∴an+1－an＝(m2－2m)[(n＋1)3－2(n＋1)－n3＋2n]＝(m2－2m)(3n2＋3n－1)＜0．
∵n∈N+，
∴3n2＋3n－1＝32－≥5＞0．
∴m2－2m＜0，解得0＜m＜2．
故m∈(0，2)．2.1.2
数列的递推公式（选学）
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.判断下列说法哪个是错误的(
)
A.递推公式也是数列的一种表示方法
B.an=an-1(n≥2)是递推公式
C.给出数列的方法只有图象、列表、通项公式
D.an=2an-1(n≥2)是递推公式
解析：通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，另外根据递推公式，并且知道数列的第一项，我们也可以确定数列，它也是给出数列的一种方法.an=an-1与an=2an-1，这两个关系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系，所以都是递推公式.
答案：
C
2.已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an=an-1+an-2(n＞2)给出，则该数列的第5项等于(
)
A.6
B.7
C.8
D.9
解析：∵a1=1，a2=2,an=an-1+an-2，
∴a3=a2+a1=1+2=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.
答案：C
3.一个数列{an}的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加上后一项，请写出构成这个数列的递推公式an=__________________.
解析：这个数列给出的方法是不同的，它是由前后项之间的关系确定的，只需要根据已知条件就可以直接列出关系式，要注意n的取值范围.
答案：2an-1+an+1(n≥2)
4.在数列{an}中，an+1=an+2+an,a1=2,a2=5，则a6的值为_______________.
解析：∵an+1=an+2+an，
∴an+2=an+1-an，
则有a6=a5-a4=(a4-a3)-a4=-a3=-(a2-a1)=a1-a2=2-5=-3.
答案：-3
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知a1=1，an+1=(n∈N
)，依次写出{an}的前5项为__________，归纳出an=_________.
解析：题中已给出{an}的第1项即a1=1，根据递推公式：an+1=，将n=2,3,4,5代入可得这个数列的前5项.
∴a2=,a3=,a4=,a5=．∴an=
答案：1，
an=
2.数列{an}满足a1=1，an=an-1+n(n≥2)，则a5=_____________.
解析：由an=an-1+n(n≥2)，得an-an-1=n，则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5，把各式相加得a5-a1=2+3+4+5=14,
∴a5=14+a1=14+1=15.
答案：15
3.已知a1=2，an+1=2an,写出前5项，并猜想an.
解：将n=2,3,4,5代入an+1=2an，可得：a1=2,a2=22,a3=23,
这样我们就很容易猜出通项公式an=2n.
4.已知数列{an}：1,5,8,9,4，通过公式bn=an·an+1构造一个新的数列{bn}，试写出数列{bn}的前4项.
解：将序号1,2,3,4代入公式bn=an·an+1，可得：b1=a1·a2=1×5=5，b2=a2·a3=5×8=40，b3=a3·a4=8×9=72，b4=a4·a5=9×4=36.所以数列{bn}的前4项为：5,40,72,36.
5.下面是由数字排列的一个数列：7,9,16,25,41,66,107,173，写出其递推公式.
解：通过观察我们可以发现这个数列的一个规律：每一项都等于其前两项的和，7+9=16,9+16=25,16+25=41,25+41=66,…所以递推公式为：a1=7,a2=9,an=an-1+an-2(3≤n≤8).
6.在数列{an}中，a1=1，4an+1-anan+1+2an=9(n∈N)，写出它的前4项并归纳出用n表示an的式子.
解：∵4an+1-anan+1+2an=9(n∈N),
∴an+1(4-an)+2an=9.
∴an+1(4-an)=9-2an.
∴an+1=.
∴a2=
=，
a3=，
a4=.
则求出的这个数列的前4项为：1，，可归纳出通项公式为：an=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.在数列{an}中，an=1，an+1=an2-1(n≥1)，则a1+a2+a3+a4+a5等于(
)
A.-1
B.1
C.0
D.2
解析：由已知an+1=an2-1=(an+1)(an-1)，
∴a2=0,a3=-1，a4=0,a5=-1.
答案：A
2.已知数列{an}中，a1=b（b为任意正数），an+1=（n=1,2,3，…），能使an=b的n的数值可以是(
)
A.14
B.15
C.16
D.17
解析：∵a1=b，an+1=，
∴a2=，a3=，a4=b.
∴{an}为周期为3的数列.由于a1=a4=b，
∴a16=b.
答案：C
3.若数列{an}满足：an+1=且a1=2，a2006等于(
)
A.1
B.2
C.
D.
解析：由an+1=以及a1=2得，a2=，a3=1-2=-1，a4=2，…，由此可见，数列{an}的项是以3为周期重复出现的，故a2006=a3×668+2=a2=，故选D．
答案：D
4.数列{an}的前9项是1,5,7,17,31,65,127,257,511，请写出这个数列所隐含的递推关系式an=_____________.
解析：1+5=6,5+7=12,7+17=24,等等.12与17差个5，24与31差个7，那么下一项是否差个17呢？17+31+17=65正符合，这样可以猜想出这个数列的递推关系式.
答案：a1=1,a2=5,an=an-1+2an-2(n≥3)
5.某网络公司，2005年的市场占有率为A，根据市场分析和预测，该公司自1996年起市场占有率逐年增加，其规律如下图所示：
则该公司2007年的市场占有率为____________；写出其中的递推关系式：____________.
解析：2005年的市场占有率为A，2006年的市场占有率为A+，2007年的市场占有率为A+，发现前一年的占有率与后一年的占有率密切联系，可以得到前后两年的递推关系式.
答案：
递推关系式为：
6.设二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3.试用an表示an+1.
解：根据韦达定理，得α+β=,α·β=，由6α-2αβ+6β=3得6·，又在二次方程中an≠0，故an+1=.
7.已知数列{an}满足a1=1，an+1=αan+β，且a2=3,a4=15，求α,β的值.
解：由a2=αa1+β=α+β=3，得β=3-α.故a3=αa2+β=3α+β=2α+3，
a4=αa3+β=α(2α+3)+3-α=2α2+2α+3=15.化简得α2+α-6=0.
解得α=-3或α=2，代入β=3-α得β=6或β=1.
故代入检验皆成立.
8.平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，用an表示交点的个数，试写出an与an-1的关系式.
解：要想弄清an与an-1的关系，需要先研究n=1,2,3,…,具体的关系.当n=2时，两条直线相交，交点只有1个，当n=3时，三条直线相交，交点有3个，……当n-1条直线相交时，交点个数为an-1，现在来考虑n条直线的情况.任取其中的1条直线，记为l，除l以外的其他n-1条直线的交点个数an-1.又因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他n-1条直线都相交，有n-1个交点，又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的n-1个交点两两不相同，且与平面内其他的an-1个交点也两两不相同.从而平面内n条直线交点的个数是an=an-1+(n-1).
9.某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年产量的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年增长率的一半，设此鱼塘里原来的鱼储存量为a.写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年、第四年的产量，并写出第n年与第(n-1)年（n∈N且n≥2）的产量之间的关系式（不要求证明）.
解：不妨设改进技术后第n年的产量为an，则
a1=a(1+200%)=3a，
a2=a1(1+×200%)=6a，
a3=a2(1+×200%)=9a，
a4=a3(1+×200%)=.
依此，得an=an-1(1+×200%)=an-1［1+()n-2］（n∈N
，n≥2）.
10.为了测试某种金属的热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从100
℃开始第一次量细棒长度，以后每升高50
℃量一次，把依次量得的数据所成的数列{ln}表示成图象，如下图，根据图象完成下列问题：
（1）第5次量得金属棒的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？
（2）求{ln}的通项和金属棒长度l（m）关于温度t（单位：℃）的函数关系式；
（3）在30
℃的温度条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到500
℃，问铺设时两块金属板之间至少要留出多宽的空隙？
解：(1)从图上不难看到第5次量得金属棒长度是?2.005
m，这时温度为(5-1)×50+100=300
℃.
(2)设ln=dn+b，由待定系数法可得通项公式ln=0.001n+2，由题意可得t=50(n-1)+100=50n+50，∴n=，代入通项公式得所求函数关系式为ln=0.000
02t+1.999.
（3）设当t=30
℃时,金属板在某个面上长度为l′
m,当t=500
℃时金属板在该个面的长度为?l″
m,l′=0.000
02×30+1.999,l″=0.000
02×500+1.999,则
l″-l′=0.000
02×(500-30)=0.000
02×470=0.00
94(m)，这就是至少要留的空隙.2.1.2
数列的递推公式（选学）
课后训练
1．数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，则a5为( )．
A．13
B．14
C．15
D．16
2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－1(n≥1)，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5等于( )．
A．－1
B．1
C．0
D．2
3．已知在数列{an}中，a1＝b(b为任意正数)，(n＝1,2,3，…)，能使an＝b的n的数值可以是( )．
A．14
B．15
C．16
D．17
4．若数列{an}满足：an＋1＝1－，且a1＝2，则a2
012等于( )．
A．1
B．2
C．
D．
5．若{an}的前8项的值互异，且an＋8＝an，对于n∈N＋都成立，则下列数列中，可取遍{an}前8项的值的数列为( )．
A．{a2k＋1}
B．{a3k＋1}
C．{a4k＋1}
D．{a6k＋1}
6．已知在数列{an}中，an＝2n＋1.在数列{bn}中，b1＝a1，当n≥2时，bn＝abn－1，则b4＝________，b5＝________.
7．已知a1＝1，(n∈N＋)，依次写出{an}的前5项为________，归纳出an＝________.
8．若数列{an}满足(k为常数)，则称数列{an}为等比和数列，k称为公比和．已知数列{an}是以3为公比和的等比和数列，其中a1＝1，a2＝2，则a2
012＝________.
9．已知a，b为两个正数，且a＞b，设，，当n≥2，n∈N＋时，，.
(1)求证：数列{an}是递减数列，数列{bn}是递增数列；
(2)求证：an＋1－bn＋1＜(an－bn)．
参考答案
1.
答案：C 由an＝an－1＋n(n≥2)，得an－an－1＝n，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，把各式相加得a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15.
2.
答案：A 由已知an＋1＝－1＝(an＋1)(an－1)，
∴a2＝0，a3＝－1，a4＝0，a5＝－1，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1.
3.
答案：C ∵a1＝b，，
∴，，a4＝b.
∴{an}的项是以3为周期重复出现的．由于a1＝a4＝b，
∴a7＝a10＝a13＝a16＝b.故选C.
4.
答案：D 由an＋1＝1－，a1＝2，得，a3＝1－2＝－1，a4＝2，…，由此可见，数列{an}的项是以3为周期重复出现的，故a2
012＝a3×670＋2＝a2＝，故选D.
5.
答案：B ∵k∈N＋，当k＝1,2,3…时，a2k＋1、a4k＋1、a6k＋1均取奇数项，而无偶数项，∴{a2k＋1}、{a4k＋1}、{a6k＋1}不符合．而当k取以上值时，{a3k＋1}可以取遍前8项．实际上，由an＋8＝an，可以知道这个数列是个循环数列，也可称为周期数列，每隔8项，数列的项就重复出现．具体情况如下：在{a3k＋1}中，当k＝1,2,3,4,5,6,7,8时，分别得到：a4，a7，a10，a13，a16，a19，a22，a25，a10＝a2＋8＝a2，a13＝a5＋8＝a5，a16＝a8＋8＝a8，a19＝a3＋2×8＝a3，a22＝a6＋2×8＝a6，a25＝a1＋3×8＝a1，这样，这个数列的项包括了数列{an}中的前8项不同的取值．
6.
答案：31 63 题目中的关系式也是递推关系式，不同的是两个不同的数列中的项的关系，可以逐个推导．
∵an＝2n＋1，bn＝abn－1(n≥2)，
∴b1＝a1＝3，b2＝ab1＝a3＝7，b3＝ab2＝a7＝15，b4＝ab3＝a15＝31，b5＝ab4＝a31＝63.
7.
答案：1，，，， 已知题中已给出{an}的第1项即a1＝1，根据递推公式：，将n＝2,3,4,5依次代入可得这个数列的前5项，∴，，，.∴.
8.
答案：21
006
9.
答案：证明：(1)易知对任意n∈N＋，an＞0，bn＞0.
由a≠b，可知，即a1＞b1.
同理，，即a2＞b2.
可知对任意n∈N＋，an＞bn.
所以an＋1－an＝－an＝＜0，
所以数列{an}是递减数列．
又bn＋1－bn＝，
所以数列{bn}是递增数列．
(2)an＋1－bn＋1＝．
∴an＋1－bn＋1＜(an－bn)．2．1 数列
1．下列说法中，正确的是( )
A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
C．数列{}的第k项为1＋
D．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n}
2．下列说法不正确的是( )
A．数列可以用图象来表示
B．数列的通项公式不唯一
C．数列中的项不能相等
D．数列可以用一群孤立的点表示
3．已知数列{an}的通项公式an＝3n2－25n＋7，则数列{an}的最小项是第__________项．
4．已知函数f(x)＝，设an＝f(n)(n∈N＋)，
(1)求证：an<1；
(2){an}是递增数列还是递减数列？为什么？
答案：1．C 数列与集合不同，不能用集合表示数列，故A错；由数列定义知B错；
数列中的n表示项数，即n∈N＋，
∴n≠0，故D错；
当n＝k时，＝＝1＋，
∴ak＝1＋.∴C正确．
2．C 数列中的项可以相等，如常数列，故C不正确．
3．4 ∵an＝3n2－25n＋7＝3(n－)2－，
又n∈N＋，
∴n＝4时，an最小为－45.
4．解：(1)证明：因为an＝＝1－，
又因为n∈N＋，所以1≥>0，
因此an<1.
(2)因为an＋1－an＝(1－)－(1－)＝，
又因为n＋1>n≥1，
所以an＋1－an>0，即an＋1>an.
因此数列{an}是递增数列．
课堂巩固
1．数列－1,7，－13,19，…的通项公式an为( )
A．2n－1
B．－6n＋5
C．(－1)n6n－5
D．(－1)n(6n－5)
2．已知数列满足a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，则a20等于( )
A．0
B．－
C.
D.
3．(北京高考，理14)已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N＋，则a2
009＝__________，a2
014＝__________.
4．(湖北高考，理15)已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，
an＋1＝若a6＝1，则m所有可能的取值为__________．
5．设各项均为正数的数列{an}满足a1＝2，an＝an＋1an＋2(n∈N＋)．若a2＝，求a3，a4，并猜想a2
008的值(不需证明)．
6．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是项数n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)88是否是数列{an}中的项．
答案：1．D 本题可用观察法求解，也可用直接代入法求解．
2．B 不妨先求出几项，观察数列是否有规律．注意数列的周期性．
a1＝0，a2＝－，a3＝，a4＝0，a5＝－＝a2，a6＝＝a3，…，an＋3＝an，∴a20＝a2＝－.
3．1 0 2
009＝2
012－3＝4×503－3，
故a2
009＝1.
由a2n＝an，知a2
014＝a1
007，
又1
007＝1
008－1＝4×252－1，
故a2
014＝a1
007＝0.
4．4,5,32 由题意，a6＝1 a5＝2或0(舍)，
a5＝2 a4＝4或(舍)，
a4＝4 a3＝8或a3＝1；
若a3＝8 a2＝16或(舍)，
a2＝16 a1＝32或a1＝5；
若a3＝1 a2＝2或0(舍)，
a2＝2 a1＝4或(舍)；
∴a1＝4或5或32，即m＝4或5或32.
5．解：∵a1＝2，a2＝2－2，
∴a3＝a1·a2－＝2·(2－2)－＝24.
由a2＝a3a4，得2－2＝(24)·a4，
∴a4＝2－8.
由此有a1＝2(－2)0，a2＝2(－2)1，a3＝2(－2)2，a4＝2(－2)3，故猜想{an}的通项公式为an＝2(－2)n－1(n∈N＋)．
从而a2
008＝2(－2)2
007.
6．解：(1)设通项公式为an＝An＋B，由a1＝2，a17＝66，得解得
∴an＝4n－2.
(2)令4n－2＝88，得n＝ N＋.
∴88不是数列{an}中的项．
1．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第__________项．( )
A．100
B．12
C．10
D．6
1．答案：C 令＝0.08，即2n2－25n＋50＝0，
解得n＝10或n＝(舍)．
2．下列说法正确的是( )
A．数列可以看作是一个定义域为正整数集N＋的函数
B．数列可以看作是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值
C．数列可以看作是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数
D．数列可以看作是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数值
2．答案：B 由数列的通项an与序号n的对应关系及数列的概念知，B正确．
3．已知数列{an}的通项公式an＝，其中a，b均为正常数，那么an与an＋1的大小关系是( )
A．an>an＋1
B．an
C．an＝an＋1
D．与n的取值无关
3．答案：B an＝＝，当n变大时，an变大，
∴an4.已知数列的通项公式an＝，那么这个数列的第5项是__________．
4.
答案： a5＝＝＝.
5．数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2
009项为__________．
5.
答案： ∵a1＝>，
∴a2＝2a1－1＝<.
∴a3＝2a2＝<.
∴a4＝2a3＝>.
∴a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，….
∴该数列的周期为4.
∴a2
009＝a1＝.
6．黑白两种颜色的正六边形地面砖按下图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖__________块．
6．答案：4n＋2 第1个图案中有6块，第2个图案中有(6＋4)块，第3个图案中有(6＋2×4)块，第4个图案中有(6＋3×4)块，…，依次类推，第n个图案中有白色地面砖[6＋(n－1)×4]块，∴应填4n＋2.
7．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)，，，，…；
(2)－1，，－，，…；
(3)0.9,0.99,0.999,0.999
9，….
7．答案：解：(1)分子依次为3,4,5,6，…，其规律是后续项等于前项加1，又首项为3＝1＋2，故分子的通项为n＋2；分母依次为5,8,11,14，…，其规律是后继项等于前项加3，又首项为5＝3×1＋2，故分母的通项为3n＋2.因此，数列的通项公式为an＝(n∈N＋)．
(2)数列各项的符号规律是(－1)n，若将第1项看作－，先不考虑每一项的符号，则分母为3,5,7,9，…，其通项公式为2n＋1；分子为3,8,15，24，…，其通项公式为(n＋1)2－1.将以上规律统一起来，数列的通项公式为an＝(－1)n(n∈N＋)．
(3)将原数列变形为(1－)，(1－)，(1－)，(1－)，….因此，数列的通项公式为an＝1－(n∈N＋)．
8．已知数列{}，
(1)求这个数列的第10项．
(2)是不是该数列的项？
(3)求证：该数列的各项都在区间(0,1)上．
(4)在区间(，)内是否存在数列的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
8．答案：解：(1)因为f(n)＝＝，
所以f(n)＝.令n＝10，
得a10＝f(10)＝.
(2)令＝，得9n＝300.
由于n不是正整数，
因此，不是该数列的项．
(3)因为an＝＝1－，
而n∈N＋时，0<<1，
所以0<1－<1.
所以0(4)令则<<，于是有
3n＋1<9n－6，且9n－6<6n＋2.
可得所以n＝＝2时，上式成立．故区间(，)上有该数列的项，且只有一项a2＝.
9．设f(x)＝log2x－logx4(0(1)试求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的增减性．
9．答案：解：(1)∵f(x)＝log2x－logx4(0∴f(2an)＝log22an－log2an4＝2n.
∴an－＝2n.∴a－2nan－2＝0.
∴an＝n±.
由0∴an<0.∴an＝n－.
(2)∵＝＝<1，
即<1，由于an<0，
∴an＋1>an.
∴数列{an}是递增数列．
点评：数列与函数、方程等知识联系密切，是近几年高考的热点与重点．本题第(1)问由函数转化为方程，用求根公式得出两解，需要由x的范围及指数函数的性质排除一根，说明在研究与函数有关的问题时，千万不能忽视定义域．第(2)问判断数列{an}的单调性，需要判断an与an＋1的大小．因此可用作差比较法，通过化简后判定差的符号来比较．也可用作商比较法，通过商与1的大小来比较分子与分母的大小，但要注意分母的正负．2.1
数列
课后训练
1．已知数列{an}满足：a1＞0，，则数列{an}是( )．
A．递增数列
B．递减数列
C．摆动数列
D．不确定
2．数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an对所有的正整数n都成立，则a10等于( )．
A．34
B．55
C．89
D．100
3．设(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )．
A．
B．
C．
D．
4．数列{an}中，对任意n∈N＋，有，若a1＝1，则a10＝__________.
5．已知f(1)＝2，(n∈N＋)，则f(4)＝__________.
6．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式an＝__________.
7．定义一种运算“
”，对于正整数n满足以下运算性质：
(1)
8．下图是一个按照某种规则排列出来的三角形数阵：
假设第n行的第二个数为an(n≥2，n∈N＋)．
(1)依次写出第六行的所有6个数字(不必说明理由)；
(2)写出an＋1与an的递推关系式(不必证明)，并求出数列{an}的通项公式an(n≥2，n∈N＋)．
有一则趣题：一牧羊人赶着一群羊通过36个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只剩2只羊，问原来牧羊人赶着多少只羊？
参考答案
1.
答案：B
2.
答案：B
3.
答案：D
解析：，
∴.
4.
答案：
解析：法一：逐一求出；
法二：由，得，
∴，∴，∴.
5.
答案：
解析：，，.
6.
答案：32n－1
解析：a1＝3，a2＝＝32，a3＝＝322，a4＝＝323，a5＝＝324，…，∴an＝32n－1.
7.
1]解：设n
1＝an，则(n＋1)
1＝an＋1，
所以a1＝1，an＋1＝3an，即.
所以，
即n
1＝3n－1(n∈N＋)．
8.
解：(1)仔细观察三角形数阵可以知道第六行的所有数字应该为6，17，25，25，17，6.
(2)仔细观察三角形数阵可以发现，第n行的第2个数字an等于第n－1行第1个数字n－1与第2个数字an－1之和，
即an＝an－1＋(n－1)，
由此可知：an＋1＝an＋n，即an＋1－an＝n.
an－an－1＝n－1，
an－1－an－2＝n－2，
…，
a4－a3＝3，
a3－a2＝2，
将上式相加可得an－a2＝n－1＋n－2＋…＋3＋2＝，
，
∴an的通项公式为(n≥2，n∈N＋)．
9.
解：本题的关键是每道关口的守关人留羊的方法相同，即留下当时羊的一半再退还一只，因而牧羊人剩下当时羊的一半多一只，设过第n关后牧羊人剩下an＋1只羊，则过第n关前的羊数为an只，由分析可建立数列{an}的递推公式：
，即2an＋1＝an＋2(n∈N＋)．
由递推关系可得an＝2(an＋1－1)．
将a36＝2代入上式可得a35＝a34＝…＝a1＝2.
a1即为牧羊人原来赶着的羊的只数——2只．2.1
数列
自主广场
我夯基
我达标
1.如果无穷数列{an}的第n项与n之间的函数关系能用一个公式an=f(n)来表示，则该函数的定义域为(
)
A.Z
B.N
C.N+
D.N+的有限子集{1,2,…,n}
思路解析:任意数列的定义域是N+或N+的有限子集{1,2,…,n}.由于这个数列是无穷数列，从函数观点来看，定义域是N+.
答案:C
2.下列解析式中不是数列1,-1,1,-1,1,…的通项公式的是(
)
A.an=(-1)n
B.an=(-1)n+1
C.an=(-1)n-1
D.an=
思路解析:令n=1，对于an=(-1)n+1，a1=(-1)1+1=1，同样对于an=(-1)n-1，an=1,n为奇数,
-1,n为偶数中均有a1=1，符合题意;而在an=(-1)n中，a1=(-1)1=-1,不符合数列首项.
答案:A
3.设数列,…,则是这个数列的(
)
A.第6项
B.第7项
C.第8项
D.第9项
思路解析:数列通项公式为an=3n-1，令3n-1=25，解得n=7.
答案:B
4.已知数列{an}的首项a1=1，且an=3an-1+1(n≥2)，则a4为(
)
A.13
B.15
C.30
D.40
思路解析:利用递推式可逐个求出a2,a3,a4.
答案:D
5.若数列{an}的通项公式是an=3-2n，则a2n=_____________，=_____________.
思路解析:根据通项公式,可以求出这个数列中的任意一项.
∵an=3-2n，∴a2n=3-22n=3-4n,.
答案:3-4n
6.已知数列{an}中，an=2n+1.数列{bn}中，b1=a1，当n≥2时，bn=，则b4=___________，b5=___________.
思路解析:题目中的关系式也是递推关系式，不同的是两个不同的数列中的项的关系,可以逐个推导.∵an=2n+1,bn=(n≥2),
∴b1=a1=3,b2==a3=7,b3==a7=15,b4==a15=31,b5==a31=63.
答案:31
63
7.a1=1,an+1=an+2n(n∈N+),则这个数列的第5项为______________.
思路解析:∵an+1=an+2n,∴an+1-an=2n.
∴a5=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)
=1+2×1+2×2+2×3+2×4=1+2×(1+2+3+4)=21.
答案:21
8.记凸n-1边形的内角和为an-1(n≥3)，凸n边形的内角和为an，试写出an与an-1的关系式，找到它们之间的递推关系式，并且写出这个数列的通项公式.
思路分析:关键要找到凸n-1边形与凸n边形之间图形的不同，它们之间只是差了个三角形，这样我们可以得到递推关系式，然后根据所得到的递推关系式可以归纳总结出这个数列的通项公式.但是要注意n的范围，n≥3.
解:由凸n-1边形变为凸n边形，增加了一个三角形，故an=an-1+π；当n=3时，a3=π，接着分别得到a4=a3+π=2π，a5=3π，a6=4π，…,可归纳出通项公式an=(n-2)π(n≥3).
我综合
我发展
9.(2006广东高考，14)在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,…堆最底层(第一层)分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)=
____________；f(n)=____________(答案用n表示).
图2-1-2
思路解析:f(1)=1，观察图象可知，f(2)=4,f(3)=10,f(4)=20,下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，…，通项公式是，所以f(5)=f(4)+15=35.利用归纳推理便可得f(n)=.
答案:10
10.若{an}的前8项的值互异，且an+8=an，对于n∈N+都成立，则下列数列中，可取遍{an}前8项的值的数列为(
)
A.{a2k+1}
B.{a3k+1}
C.{a4k+1}
D.{a6k+1}
思路解析:∵k∈N+，当k=1,2,3…时，a2k+1、a4k+1、a6k+1均取奇数项，而无偶数项，∴{a2k+1}、{a4k+1}、{a6k+1}不符.而当k取以上值时，{a3k+1}可以取遍前8项.实际上，由an+8=an，可以知道这个数列是个循环数列，也可称为周期数列，每隔8项，数列的项就重复出现.具体情况如下：在{a3k+1}中，当k=1,2,3,4,5,6,7,8时，分别得到：a4,a7,a10,a13,a16,a19,a22,a25,
a10=a2+8=a2,a13=a5+8=a5,a16=a8+8=a8,a19=a3+2×8=a3,
a22=a6+2×8=a6,a25=a1+3×8=a1,
这样，这个数列的项包括了数列{an}中的前8项不同的取值.
答案:B
11.在m(m≥2)个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj(即前面某数大于后面某数)，则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)n(n-1)…321的逆序数为an，如排列21的逆序数a1=1，排列321的逆序数a2=3.
求a4、a5，并写出an的表达式.
思路分析:排列(n+1)n(n-1)…321的逆序数an的求法：比1大且在1前面的数有n个，比2大且在2前面的数有n-1个，…，比k大且在k前面的数有(n+1)-k个……
所以an=n+(n-1)+…+2+1.
解:由已知,得a4=10,a5=15，an=n+(n-1)+…+2+1=.
12.设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，an+Sn=4
096.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{log2an}的前n项和为Tn,对数列{Tn}，从第几项起Tn＜-509？
思路分析:利用an、Sn的关系，先求出数列的首项，利用an=Sn-Sn-1(n≥2),得出an、an-1的关系式，根据关系式解决通项公式.(2)问主要是解不等式.
解:(1)∵an+Sn=4
096,
∴a1+S1=4
096.
∴a1=2
048.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(4
096-an)-(4
096-an-1)=an-1-an.
∴.∴an=2
048()n-1=212-n.
(2)∵log2an=log2212-n=12-n,
∴Tn=(-n2+23n).由Tn＜-509,解得n＞.而n是正整数,于是n≥46.
∴从第46项起Tn＜-509.
13.某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%.从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化.2001年底绿化面积为a1=,经过n年绿化总面积为an+1.请你想一想，能不能找到an+1与an之间的递推关系式
思路分析:题目的叙述比较冗长，容易使我们望而生畏，但是多读几遍，就能将实际问题抽象为数学问题了.an+1表示经过n年绿化的总面积，根据“到2001年底全县的绿化率已达30%”“2001年底绿化面积为a1=”可以知道此县的沙漠面积为1，则经过n年的沙漠面积为1-an+1.
解:由已知an表示经过n-1年后绿化的总面积，an+1表示经过n年绿化的总面积，且a1=1,则有an+1=an·(1-4%)+(1-an)·16%,即an+1=80%an+16%=.
∴an+1与an之间的递推关系式为an+1=.2.1.2
数列的递推公式（选学）
自我小测
1．数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，则a5为( )
A．13
B．14
C．15
D．16
2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝a－1(n≥1)，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5等于( )
A．－1
B．1
C．0
D．2
3．已知在数列{an}中，a1＝b(b为任意正数)，an＋1＝－(n＝1，2，3，…)，能使an＝b的n的数值可以是( )
A．14
B．15
C．16
D．17
4．若数列{an}满足：an＋1＝1－，且a1＝2，则a2
015等于( )
A．1
B．2
C．
D．
5．已知数列{an}中，a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)，则通项公式为( )
A．3n
B．2n
C．n
D．n
6．已知在数列{an}中，an＝2n＋1．在数列{bn}中，b1＝a1，当n≥2时，bn＝，则b4＝________，b5＝________．
7．已知a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，依次写出{an}的前5项为________，归纳出an＝________．
8．若数列{an}满足＋＝k(k为常数)，则称数列{an}为等比和数列，k称为公比和．已知数列{an}是以3为公比和的等比和数列，其中a1＝1，a2＝2，则a2
012＝________．
9．已知a，b为两个正数，且a>b，设a1＝，b1＝，当n≥2，n∈N＋时，an＝，bn＝．
(1)求证：数列{an}是递减数列，数列{bn}是递增数列；
(2)求证：an＋1－bn＋1<(an－bn)．
10．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋ln，写出该数列的前四项并求数列的通项公式．
参考答案
1．解析：由an＝an－1＋n(n≥2)，得an－an－1＝n，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，把各式相加得a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15．
答案：C
2．解析：由已知an+1＝a－1＝(an＋1)(an－1)，
∴a2＝0，a3＝－1，a4＝0，a5＝－1，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1．
答案：A
3．解析：∵a1＝b，an+1＝－，
∴a2＝－，a3＝－，a4＝b．
∴{an}的项是以3为周期重复出现的．由于a1＝a4＝b，
∴a7＝a10＝a13＝a16＝b．故选C．
答案：C
4．解析：由an+1＝1－，a1＝2，得a2＝1－＝，a3＝1－2＝－1，a4＝2，…，由此可见，数列{an}的项是以3为周期重复出现的，故a2
015＝a3×671+2＝a2＝，故选D．
答案：D
5．答案：B
6．解析：题目中的关系式也是递推关系式，不同的是两个不同的数列中的项的关系，可以逐个推导．
∵an＝2n＋1，bn＝abn－1(n≥2)，
∴b1＝a1＝3，b2＝＝a3＝7，b3＝＝a7＝15，b4＝＝a15＝31，b5＝＝a31＝63．
答案：31 63
7．解析：已知题中已给出{an}的第1项即a1＝1，根据递推公式：an+1＝，将n＝2，3，4，5依次代入可得这个数列的前5项，∴a2＝，a3＝＝，a4＝，a5＝＝．
∴an＝．
答案：1，，，，
8．答案：21
006
9．证明：(1)易知对任意n∈N+，an>0，bn>0．
由a≠b，可知>，即a1>b1．
同理，>，即a2>b2．
可知对任意n∈N+，an>bn．
所以an+1－an＝－an＝<0，
所以数列{an}是递减数列．
又bn+1－bn＝－bn＝(－)>0，
所以数列{bn}是递增数列．
(2)an+1－bn+1＝－<－＝(an－bn)．∴an+1－bn+1＜(an－bn)．
10．解：∵a1＝2，an+1＝an＋ln，
∴a2＝a1＋ln(1＋1)＝2＋ln
2，
a3＝a2＋ln＝2＋ln
2＋ln＝2＋ln
3，
a4＝a3＋ln＝2＋ln
3＋ln＝2＋ln
4．
由an+1＝an＋ln可得：
an+1－an＝ln＝ln，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
＝ln＋ln＋ln＋…＋ln＋ln＋2
＝ln＋2
＝ln
n＋2，
∴该数列的通项公式为an＝ln
n＋2(n∈N＋)．2.1.1
数列
课后训练
1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式为( )．
A．
B．
C．
D．
2．已知数列，，，，…，则是该数列的( )．
A．第6项
B．第7项
C．第10项
D．第11项
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3( )．
A．不是数列{an}中的项
B．只是数列{an}中的第2项
C．只是数列{an}中的第6项
D．是数列{an}中的第2项或第6项
4．数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是( )．
A．
B．5
C．6
D．
5．数列1，，，，…的通项公式an是( )．
A．
B．
C．
D．
6．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白(______)内.
年龄(岁)
30
35
40
45
50
55
60
65
收缩压(水银柱/毫米)
110
115
120
125
130
135
(____)
145
舒张压(水银柱/毫米)
70
73
75
78
80
83
(____)
88
7．数列，，，，…的一个通项公式为________________．
8．根据数列的前四项，写出数列的一个通项公式．
(1)2,5,10,17，…；
(2)，，，，….
9．已知数列an＝(m2－2m)(n3－2n)是递减数列，求实数m的取值范围．
参考答案
1.
答案：D 当n＝4时，，＝cos
2π＝1≠－1，排除选项A，B；当n＝2时，，排除选项C.故选D.
2.
答案：．B 把写成，写成，由题意，可得.令3n－1＝20n＝7.
3.
答案：D 令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或n＝6.
4.
答案：B a1a2…a30＝log23×log34×…×log3132＝＝log232＝log225＝5.
5.
答案：D (观察法)通项的符号为(－1)n－1，分子都是1，分母为1,3,7,15，…，其通项为2n－1.
所以数列的通项公式为.
(特值法)取n＝1代入选项A，B的通项公式，得项为－1，不合题意，可排除选项A，B.
再取n＝3代入选项C的通项公式，得项为，不合题意，可排除选项C.
6.
答案：140 85
7.
答案：an＝(－1)n－1(2n＋) 各项的绝对值分别为
，
，…，
第n项的绝对值为；
而奇数项为正，偶数项为负，故an＝(－1)n－1(2n＋)．
8.
答案：解：(1)如果数列的各项分别减去1，则变为1,4,9,16，…，所以通项公式为an＝n2＋1；
(2)数列的前四项的分子都是1，分母是两个连续正整数的积，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式为.
9.
答案：解：∵数列{an}为递减数列，∴an＋1＜an.
∴an＋1－an＝(m2－2m)[(n＋1)3－2(n＋1)－n3＋2n]＝(m2－2m)(3n2＋3n－1)＜0.
∵n∈N＋，
∴3n2＋3n－1＝3(n＋)2－≥5＞0.
∴m2－2m＜0，解得0＜m＜2.
故m∈(0,2)．2.1
数列
课后训练
1．下列说法不正确的是( )．
A．数列可以用图象来表示
B．数列的通项公式不唯一
C．数列的项不能相等
D．数列可以用一群孤立的点表示
2．下列数中，是数列{n(n＋1)}中的一项的是( )．
A．380
B．39
C．32
D．23
3．设(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )．
A．
B．
C．
D．
4．已知，且数列{an}共有100项，则此数列中的最大项为第__________项．
5．数列{an}的通项公式为它的前8项依次为__________．
6．如图，第n个图形是由n＋2边形“扩展”而来的(n＝1，2，3，…)，则第n－2个图形中共有__________个顶点．
7．根据数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
(1)2，5，8，11；
(2)－1，－1，－1，－1；
(3)1，2，4，8；
(4)4，9，16，25；
(5)－1，，，.
8．(1)已知数列{an}的通项公式为，试判断0.7是不是数列{an}中的一项？若是，是第几项？
(2)已知数列{an}的通项公式为.
求证：am＋4＝am.
对任意函数f(x)，x∈D，可按如图所示，构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1＝f(x0)．
②若x1 D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，将x1反馈回输入端，再输出x2＝f(x1)，并依此规律进行下去．
现定义.
(1)若输入，则由数列发生器产生数列{xn}，写出数列{xn}的所有项；
(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：A
3.
答案：D
解析：，.
∴f(n＋1)－f(n)＝.
4.
答案：45
5.
答案：1，3，，7，，11，，15
6.
答案：n2＋n
7.
解：(1)an＝3n－1；
(2)an＝－1；
(3)an＝2n－1；
(4)an＝(n＋1)2；
(5).
8.
(1)解：令，则3n2＝7，即，此时n无整数解，
故0.7不是这个数列中的项．
(2)证明：因为am＋4＝，
又.所以am＋4＝am.
9.
解：(1)∵函数f(x)的定义域D＝(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
∴数列{xn}只有3项：，，x3＝－1.
(2)令，
即x2－3x＋2＝0，
解得x＝2或x＝1.
故当x0＝2或x0＝1时，，
∴输入的初始数据：x0＝1时，得到常数列xn＝1；
x0＝2时，得到常数列xn＝2.