13.3.1 等腰三角形同步练习（解析版）
文档属性
| 名称 | 13.3.1 等腰三角形同步练习（解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 448.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-10-17 07:35:41 | ||
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文档简介
21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
新人教版八年级数学上册同步练习
13.3等腰三角形
一、单选题
1.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上， 则∠ADO的度数是（ ）
【来源：21cnj*y.co*m】
A、30° B、55° C、65° D、75°
2.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（ ）21*cnjy*com
A、2.5 B、1.5 C、2 D、1
3.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是( )
A、7㎝ B、9㎝ C、12㎝或者9㎝ D、12㎝
4.如图等边△ABC边长为1cm，D、E分别是AB、AC上两点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在A’处，A在△ABC外，则阴影部分图形周长为（ ）
A.1cm B.1.5cm C.2cm D.3cm
5.等腰三角形的一个角是30°，那么它的顶角为（ ）
A、30° B、60° C、120° D、30°或120°
6.如图，等腰△ABC的周长为19，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
A、9 B、10 C、11 D、12
7.如图，在正方形ABCD内部作等边三角形BCE，则∠AEB的度数为（ ）
A、60° B、65° C、70° D、75°
8.如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为何？（ ）2·1·c·n·j·y
A、2 B、3 C、12﹣4 D、6﹣6
二、填空题
9.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为________．
10.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=________．
11.在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD= BC，则△ABC的顶角的度数为________． 21cnjy.com
12.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，若△ABD的周长为12，△ABC的周长为16，则AD的长为________．
2-1-c-n-j-y
13.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是________度．
14.如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1， 第2个等边三角形的边长记为a2， 以此类推．若OA1=1，则a2017=________.
【出处：21教育名师】
三、解答题
15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． 求证：AD=BC．
21教育网
16.如图，已知△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AC，分别交AC，AD，AB于点E，M，F．若∠CAD=20°，求∠MCD的度数．
17.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，过点D作DE∥AB，交BC于E，且DE=BC，连接AC交AC于F，若∠ACB=∠CDE=30°，则图中有几个等腰三角形？请找出来并说明理由．
18.阅读下列材料，解答问题：
定义：线段AD把等腰三角形ABC分成△ABD与△ACD（如图1），如果△ABD与△ACD均为等腰三角形，那么线段AD叫做△ABC的完美分割线.
(1)如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD为△ABC的完美分割线，且BD(2)如图2，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BE为△ABC的角平分线，求证：BE为△ABC完美分割线.
(3)如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB=AC，AD是它的一条完美分割线，将△ABD沿直线AD折叠后，点B落在点B1处，AB1交CD于点E，求证：DB1=EC.
参考答案与试题解析
一、单选题
1、D
解：∵△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到△ODC，
∴∠AOD=30°,OA=OD,
∴∠ADO= (180° 30°)=75°.
故选D. 21·cn·jy·com
2、D
解：如图，∵CD平分∠ACB，BE⊥CD， ∴BC=CE．
又∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE．
∴BD= BE= AE= （AC﹣BC）．
∵AC=5，BC=3，
∴BD= （5﹣3）=1．
故选D． 【来源：21·世纪·教育·网】
3、D
解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；
②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．
∴其周长是12cm．
故选D．
4、D
解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处， 所以AD=A′D，AE=A′E．
则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，
=BC+BD+CE+AD+AE，
=BC+AB+AC，
=3cm．
故选：Dwww-2-1-cnjy-com
5、D
解：①如果30°是顶角，则底角为 （180°﹣30°）=75°； ②如果30°是底角，则顶角为180°﹣30°×2=120°．
故它的顶角是30°或120°．
故选D．【版权所有：21教育】
6、D
解：∵AB=AC，BC=5，AB+AC+BC=19，
∴AC=7，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴BE+CE+BC=12，
即△BEC的周长为12；
故选D. 21教育名师原创作品
7、D
解：∵△BEC是等边三角形，∴∠EBC=60°，EB=BC，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=30°，AB=BE，
∴∠AEB=（180°-∠ABE）÷2=75°；
故选D.
8、D
解：如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∵BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
∴∠A=∠BDE，
∴AC∥DE，
∵四边形DEFG是正方形，GF=6，
∴DE∥GF，
∴AC∥DE∥GF，
∴KH=18× ﹣6× ﹣6=9 ﹣3 ﹣6=6 ﹣6，
∴F点到AC的距离为6 ﹣6．
故选D．
二、填空题
9、2
解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，
∵PC∥OA，
∴∠CPO=∠POD，
又∠AOP=∠BOP=15°，
∴∠CPO=∠BOP=15°，
又∠ECP为△OCP的外角，
∴∠ECP=∠COP+∠CPO=30°，
在直角三角形CEP中，∠ECP=30°，PC=4，
∴PE= PC=2，
则PD=PE=2．
故答案为：2．
10、15°
解：已知正方形ABCD可得∠BAD=90°，AB=AD，又由△ADE是正三角形，可得∴AE=AD，∠DAE=60°，所以△ABE是等腰三角形，∠BAE=90°+60°=150°，即可得∴∠ABE=∠AEB=15°．
故答案为15°.
11、30°或150°或90°
解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD= BC，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD= BC，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD= ×180°=90°，
∴顶角∠BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为：30°或150°或90°．
12、4
解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线.
∴BD=CD．
又∵△ABD的周长为12，
∴AB+BD+AD=12，
即2AB+2BD+2AD=24，
∴AB+AC+BC+2AD=24，
又∵△ABC的周长为16，
∴AB+AC+BC=16，
∴16+2AD=24，
∴AD=4.
13、22.5
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB=∠BCA=45°；
△ACE中，AC=AE，则：
∠ACE=∠AEC= （180°﹣∠CAE）=67.5°；
∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°．
故答案为22.5．21·世纪*教育网
14、22016
解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1 ， ∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3 ， B1A2∥B2A3 ，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2=2，B3A3=2B2A3 ，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
由此可得：AnBn=2n-1B1A2=2n-1 ．
所以a2017=A2017B2017=22017-1=22016
三、解答题
15、证明：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=C=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，
∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠C，
∴AD=BD=BC
16、解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∵∠CAD=20°，
∴∠ACD=70°，
∵EF垂直平分AC，
∴AM=CM，
∴∠ACM=∠CAD=20°，
∴∠MCD=50°
17、解：共有两个等腰三角形，分别是△ACD，△DCF． 理由：∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠B，
在△DCE和△CAB中，
，
∴△DCE≌△CAB，
∴CA=CD，
∴△ACD是等腰三角形，
∵∠B=90°，
∴∠DEC=90°，
∵∠ACB=∠CDE=30°，
∴∠DCE=90°﹣∠CDE=60°，
∴∠DCF=∠DCE﹣∠ACE=30°=∠CDE，
∴DF=CF，
∴△DCF是等腰三角形．
18、（1）36 ；72
解：∵AB=AC，∠BAC=108°，∴∠B= =36°，www.21-cn-jy.com
∵AD为△ABC的完美分割线，BD∴∠ADC= 72°.
故答案为72°.
（2）证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠C=
∵BE为△ABC的角平分线
∴
∴∠ABE=∠A
∴AE=BE∵∠BEC=180 –∠C–∠CBE=72
∴∠BEC=∠C
∴BE=BC
∴△ABE、△BEC均为等腰三角形
∴BE为△ABC的完美分割线．
（3）证明：∵AD是△ABC的一条完美分割线
∴AD=BD，AC=CD
∴∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA
∵∠B+∠BAD+∠ADB=180 ，∠ADB+∠CDA=180
∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠BAD
∴∠CAD=2∠BAD
∵∠BAD=∠B1AD
∴∠CAD=2∠B1AD
∵∠CAD=∠B1AD+∠CAE
∴∠B1AD=∠CAE
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠B=∠B1
∴∠B1=∠C
∵AB=AB1
∴AB1= AC
∴△AB1D≌△ACE
∴DB1=CE .21世纪教育网版权所有
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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新人教版八年级数学上册同步练习
13.3等腰三角形
一、单选题
1.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上， 则∠ADO的度数是（ ）
【来源：21cnj*y.co*m】
A、30° B、55° C、65° D、75°
2.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（ ）21*cnjy*com
A、2.5 B、1.5 C、2 D、1
3.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是( )
A、7㎝ B、9㎝ C、12㎝或者9㎝ D、12㎝
4.如图等边△ABC边长为1cm，D、E分别是AB、AC上两点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在A’处，A在△ABC外，则阴影部分图形周长为（ ）
A.1cm B.1.5cm C.2cm D.3cm
5.等腰三角形的一个角是30°，那么它的顶角为（ ）
A、30° B、60° C、120° D、30°或120°
6.如图，等腰△ABC的周长为19，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
A、9 B、10 C、11 D、12
7.如图，在正方形ABCD内部作等边三角形BCE，则∠AEB的度数为（ ）
A、60° B、65° C、70° D、75°
8.如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为何？（ ）2·1·c·n·j·y
A、2 B、3 C、12﹣4 D、6﹣6
二、填空题
9.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为________．
10.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=________．
11.在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD= BC，则△ABC的顶角的度数为________． 21cnjy.com
12.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，若△ABD的周长为12，△ABC的周长为16，则AD的长为________．
2-1-c-n-j-y
13.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是________度．
14.如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1， 第2个等边三角形的边长记为a2， 以此类推．若OA1=1，则a2017=________.
【出处：21教育名师】
三、解答题
15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． 求证：AD=BC．
21教育网
16.如图，已知△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AC，分别交AC，AD，AB于点E，M，F．若∠CAD=20°，求∠MCD的度数．
17.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，过点D作DE∥AB，交BC于E，且DE=BC，连接AC交AC于F，若∠ACB=∠CDE=30°，则图中有几个等腰三角形？请找出来并说明理由．
18.阅读下列材料，解答问题：
定义：线段AD把等腰三角形ABC分成△ABD与△ACD（如图1），如果△ABD与△ACD均为等腰三角形，那么线段AD叫做△ABC的完美分割线.
(1)如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD为△ABC的完美分割线，且BD
(3)如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB=AC，AD是它的一条完美分割线，将△ABD沿直线AD折叠后，点B落在点B1处，AB1交CD于点E，求证：DB1=EC.
参考答案与试题解析
一、单选题
1、D
解：∵△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到△ODC，
∴∠AOD=30°,OA=OD,
∴∠ADO= (180° 30°)=75°.
故选D. 21·cn·jy·com
2、D
解：如图，∵CD平分∠ACB，BE⊥CD， ∴BC=CE．
又∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE．
∴BD= BE= AE= （AC﹣BC）．
∵AC=5，BC=3，
∴BD= （5﹣3）=1．
故选D． 【来源：21·世纪·教育·网】
3、D
解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；
②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．
∴其周长是12cm．
故选D．
4、D
解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处， 所以AD=A′D，AE=A′E．
则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，
=BC+BD+CE+AD+AE，
=BC+AB+AC，
=3cm．
故选：Dwww-2-1-cnjy-com
5、D
解：①如果30°是顶角，则底角为 （180°﹣30°）=75°； ②如果30°是底角，则顶角为180°﹣30°×2=120°．
故它的顶角是30°或120°．
故选D．【版权所有：21教育】
6、D
解：∵AB=AC，BC=5，AB+AC+BC=19，
∴AC=7，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴BE+CE+BC=12，
即△BEC的周长为12；
故选D. 21教育名师原创作品
7、D
解：∵△BEC是等边三角形，∴∠EBC=60°，EB=BC，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=30°，AB=BE，
∴∠AEB=（180°-∠ABE）÷2=75°；
故选D.
8、D
解：如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∵BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
∴∠A=∠BDE，
∴AC∥DE，
∵四边形DEFG是正方形，GF=6，
∴DE∥GF，
∴AC∥DE∥GF，
∴KH=18× ﹣6× ﹣6=9 ﹣3 ﹣6=6 ﹣6，
∴F点到AC的距离为6 ﹣6．
故选D．
二、填空题
9、2
解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，
∵PC∥OA，
∴∠CPO=∠POD，
又∠AOP=∠BOP=15°，
∴∠CPO=∠BOP=15°，
又∠ECP为△OCP的外角，
∴∠ECP=∠COP+∠CPO=30°，
在直角三角形CEP中，∠ECP=30°，PC=4，
∴PE= PC=2，
则PD=PE=2．
故答案为：2．
10、15°
解：已知正方形ABCD可得∠BAD=90°，AB=AD，又由△ADE是正三角形，可得∴AE=AD，∠DAE=60°，所以△ABE是等腰三角形，∠BAE=90°+60°=150°，即可得∴∠ABE=∠AEB=15°．
故答案为15°.
11、30°或150°或90°
解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD= BC，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD= BC，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD= ×180°=90°，
∴顶角∠BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为：30°或150°或90°．
12、4
解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线.
∴BD=CD．
又∵△ABD的周长为12，
∴AB+BD+AD=12，
即2AB+2BD+2AD=24，
∴AB+AC+BC+2AD=24，
又∵△ABC的周长为16，
∴AB+AC+BC=16，
∴16+2AD=24，
∴AD=4.
13、22.5
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB=∠BCA=45°；
△ACE中，AC=AE，则：
∠ACE=∠AEC= （180°﹣∠CAE）=67.5°；
∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°．
故答案为22.5．21·世纪*教育网
14、22016
解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1 ， ∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3 ， B1A2∥B2A3 ，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2=2，B3A3=2B2A3 ，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
由此可得：AnBn=2n-1B1A2=2n-1 ．
所以a2017=A2017B2017=22017-1=22016
三、解答题
15、证明：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=C=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，
∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠C，
∴AD=BD=BC
16、解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∵∠CAD=20°，
∴∠ACD=70°，
∵EF垂直平分AC，
∴AM=CM，
∴∠ACM=∠CAD=20°，
∴∠MCD=50°
17、解：共有两个等腰三角形，分别是△ACD，△DCF． 理由：∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠B，
在△DCE和△CAB中，
，
∴△DCE≌△CAB，
∴CA=CD，
∴△ACD是等腰三角形，
∵∠B=90°，
∴∠DEC=90°，
∵∠ACB=∠CDE=30°，
∴∠DCE=90°﹣∠CDE=60°，
∴∠DCF=∠DCE﹣∠ACE=30°=∠CDE，
∴DF=CF，
∴△DCF是等腰三角形．
18、（1）36 ；72
解：∵AB=AC，∠BAC=108°，∴∠B= =36°，www.21-cn-jy.com
∵AD为△ABC的完美分割线，BD
故答案为72°.
（2）证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠C=
∵BE为△ABC的角平分线
∴
∴∠ABE=∠A
∴AE=BE∵∠BEC=180 –∠C–∠CBE=72
∴∠BEC=∠C
∴BE=BC
∴△ABE、△BEC均为等腰三角形
∴BE为△ABC的完美分割线．
（3）证明：∵AD是△ABC的一条完美分割线
∴AD=BD，AC=CD
∴∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA
∵∠B+∠BAD+∠ADB=180 ，∠ADB+∠CDA=180
∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠BAD
∴∠CAD=2∠BAD
∵∠BAD=∠B1AD
∴∠CAD=2∠B1AD
∵∠CAD=∠B1AD+∠CAE
∴∠B1AD=∠CAE
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠B=∠B1
∴∠B1=∠C
∵AB=AB1
∴AB1= AC
∴△AB1D≌△ACE
∴DB1=CE .21世纪教育网版权所有
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