13.4 课题学习 最短路径问题同步练习（解析版）
文档属性
| 名称 | 13.4 课题学习 最短路径问题同步练习（解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 510.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-10-17 07:40:13 | ||
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文档简介
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新人教版八年级数学上册同步练习
13.4课题学习 最短路径问题
一、单选题
1.如图，直线l外不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ）
21·世纪*教育网
A、转化思想 B、三角形的两边之和大于第三边
C、两点之间，线段最短 D、三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
2.如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）21·cn·jy·com
A、135° B、130° C、125° D、120°
3.已知直线l同旁的两点A、B，在l上求一点P，使PA+PB最小，则求P点的作法正确的为（ ）
A、作A关于l的对称点A′，连接A′B交l与P B、AB的延长线与l交于P
C、作A关于l的对称点A′，连接AA′交l与P D、以上都不对
4.如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A、 B、3 C、4 D、2
5.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
21世纪教育网版权所有
A.6 B.8 C.10 D.12
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边在△ABC外侧作等边三角形ACD，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE，AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的一点．连接PC、PB，若△PBC的周长最小，则最小值为（ ）
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A、22cm B、21cm C、24 cm D、27cm
7.如图，在锐角三角形ABC中，AC=6，△ABC的面积为15，∠BAC的平分线交BC与点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
8.△ABC中，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，且AD= ，E、F、G分别为边BC、CA、AB上的点，则△EFG周长的最小值为（ ）
A. B.2 C.3 D.3
二、填空题
9.如图，△ABC中，AB=16，BC=10，AM平分∠BAC，∠BAM=15°，点D、E分别为AM、AB的动点，则BD+DE的最小值是________．【来源：21·世纪·教育·网】
10.已知矩形ABCD，AB=3，AD=4，点P在AD边上移动，点Q在BC边上移动，且满足PB∥DQ，则AP+PQ+QB的最小值是________．
11.如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线MN为对称轴，P为MN上一点．若使PC+PD的值最小，则这个最小值是线段________的长．
12.如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为________．2·1·c·n·j·y
13.如图，线段AB与线段CD关于直线L对称，点P是直线L上一动点，测得：点D与点A之间的距离为8cm，点B与点D之间的距离为5cm，那么PA+PB的最小值是________．
14.如图，△ABC中，AC=8，AB=10，△ABC的面积为30，AD平分∠BAC，F、E分别为AC、AD上两动点，连接CE、EF，则CE+EF的最小值为________．
三、作图题
15.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点．（保留作图痕迹）
16.作图题：（不写作法，但要保留痕迹）
如图1，已知点C、D和∠AOB，求作一点P，使P到点C、D的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．在图2中直线m上找到一点Q，使它到A、B两点的距离和最小．
17.如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为akm和bkm，且张、李二村庄相距ckm．
水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置．
21教育网
18.如图，P和Q为△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点M，使△PQM的周长最小。
21cnjy.com
参考答案与试题解析
一、单选题
1、D
解：∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，
∴CB=CB′，
又∵AB′交l与C，且两条直线相交只有一个交点，
∴CB′+CA最短，
即CA+CB的值最小，
将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．
故选D．www.21-cn-jy.com
2、D解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值． ∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180°﹣120°=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，
故选：D．2-1-c-n-j-y
3、A
解：作法：①作A关于l的对称点A′，则PA+PB=PA′+PB， ②连接A′B交l与P，
则P就是所求作的点；
根据两点之间，线段最短，可知：此时PA+PB最小；
故选A．【来源：21cnj*y.co*m】
4、D
解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为4，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2．
∴所求最小值为2．
故选：D．【出处：21教育名师】
5、C
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC= 12 BC AD= 12 ×4×AD=16，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+ 12 BC=8+ 12 ×4=8+2=10．
故选C．
【版权所有：21教育】
6、C
解：根据轴对称求最短路径的知识，可得当点P与点E重合的时候PB+PC最小，也即△PBC的周长最小，此时PB=PC= AB= cm，
故△PBC的最小周长=PB+PC+BC=AB+BC=15+9=24cm．
故选C．21教育名师原创作品
7、B
解：如图，作N关于AD的对称点N′，连接MN′，作BN″⊥AC于N″交AD于M′．
∵BM+MN=BM+MN′≤BN″，
∴当M与M′，N与N″重合时，BN″最小，
∵ ×AC×BN″=15，AC=6，
∴BN″=5，
∴BM+MN的最小值为5，
故选B．www-2-1-cnjy-com
8、C
解：在BC上任取一点E，连接AE， 把△ABE沿AB翻折得△ABE′，把△ACE沿AC翻折得△ACE″，
∵∠BAC=60°，
∴∠E′AE″=120°，AE=AE′=AE″，
连接E′E″交AB、AC于G、F．连接GE，EF，
∵GE=E′G，EF=E″F，
∴△GEF的周长=GE+GF+EF=E′G+GF+E″F=E′E″= AE，
∵根据垂线段最短可知AD⊥BC时AD的值最小，
∴当点E与点D重合时，AE最小，
∴△DEF的周长的最小值= × =3．
故选C．
二、填空题
9、8
解：作BF⊥AC于点F，如右图所示， ∵在△ABC中，AB=16，BC=10，AM平分∠BAC，∠BAM=15°，∠BFA=90°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BF，
∴BF=8，
∵AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB的动点，F
∴BD+DE的最小值是BF，
∴BD+DE=8，
故答案为：8．
10、7
解：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC， 又∵PB∥DQ，
∴四边形PDBQ是平行四边形，
∴QB=PD，
∴AP+PQ+QB=AP+PD+PQ=AD+PQ，
当PQ于BC垂直时AD+PQ=AD+AB=7最小．
故答案为：7．
11、AC或BD解：∵四边形ABCD是轴对称图形，直线MN为对称轴， ∴点A与点D关于直线MN对称，
∴连接AC（BD），则线段AC或BD的长即为PC+PD的最小值．
故答案为：AC或BD．
12、3
解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P． ∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，
∵AF=2，AE=1，
∴DF=AE=1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′=AD=3．
∴EP+FP的最小值为3．
故答案为：3．
13、8cm
解：∵线段AB与线段CD关于直线L对称，
∴点B与点D关于直线L对称，
连接AD，交于直线L于点P，则此时PA+PB最小，且PB=PD，
∴PA+PB=PA+PD=AD=8cm．
故答案为：8cm．
14、6
解：作F关于AD的对称点为M，作AB边上的高CP，
∵AD平分∠CAB，△ABC为锐角三角形，
∴M必在AC上，
∵F关于AD的对称点为M，
∴ME=EF，
∴EF+EC=EM+EC，
即EM+EC=MC≥PC（垂线段最短），
∵△ABC的面积是30，AB=10，
∴ 12 ×10×PC=30，
∴PC=6，
即CE+EF的最小值为：6．
故答案为：6．
三、作图题
15、解：作点A关于直线a对称的点C，连接BC交a于点P，则点P就是抽水站的位置．
16、解：如图1，点P即为所求；
如图2，点Q即为所求．
17、解：如图所示：
18、解：如图，作点P关于BC的对称点P′，连接P′Q，交BC于点M，点M是所求的点。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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新人教版八年级数学上册同步练习
13.4课题学习 最短路径问题
一、单选题
1.如图，直线l外不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ）
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A、转化思想 B、三角形的两边之和大于第三边
C、两点之间，线段最短 D、三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
2.如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）21·cn·jy·com
A、135° B、130° C、125° D、120°
3.已知直线l同旁的两点A、B，在l上求一点P，使PA+PB最小，则求P点的作法正确的为（ ）
A、作A关于l的对称点A′，连接A′B交l与P B、AB的延长线与l交于P
C、作A关于l的对称点A′，连接AA′交l与P D、以上都不对
4.如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A、 B、3 C、4 D、2
5.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
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A.6 B.8 C.10 D.12
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边在△ABC外侧作等边三角形ACD，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE，AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的一点．连接PC、PB，若△PBC的周长最小，则最小值为（ ）
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7.如图，在锐角三角形ABC中，AC=6，△ABC的面积为15，∠BAC的平分线交BC与点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
8.△ABC中，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，且AD= ，E、F、G分别为边BC、CA、AB上的点，则△EFG周长的最小值为（ ）
A. B.2 C.3 D.3
二、填空题
9.如图，△ABC中，AB=16，BC=10，AM平分∠BAC，∠BAM=15°，点D、E分别为AM、AB的动点，则BD+DE的最小值是________．【来源：21·世纪·教育·网】
10.已知矩形ABCD，AB=3，AD=4，点P在AD边上移动，点Q在BC边上移动，且满足PB∥DQ，则AP+PQ+QB的最小值是________．
11.如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线MN为对称轴，P为MN上一点．若使PC+PD的值最小，则这个最小值是线段________的长．
12.如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为________．2·1·c·n·j·y
13.如图，线段AB与线段CD关于直线L对称，点P是直线L上一动点，测得：点D与点A之间的距离为8cm，点B与点D之间的距离为5cm，那么PA+PB的最小值是________．
14.如图，△ABC中，AC=8，AB=10，△ABC的面积为30，AD平分∠BAC，F、E分别为AC、AD上两动点，连接CE、EF，则CE+EF的最小值为________．
三、作图题
15.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点．（保留作图痕迹）
16.作图题：（不写作法，但要保留痕迹）
如图1，已知点C、D和∠AOB，求作一点P，使P到点C、D的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．在图2中直线m上找到一点Q，使它到A、B两点的距离和最小．
17.如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为akm和bkm，且张、李二村庄相距ckm．
水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置．
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18.如图，P和Q为△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点M，使△PQM的周长最小。
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参考答案与试题解析
一、单选题
1、D
解：∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，
∴CB=CB′，
又∵AB′交l与C，且两条直线相交只有一个交点，
∴CB′+CA最短，
即CA+CB的值最小，
将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．
故选D．www.21-cn-jy.com
2、D解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值． ∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180°﹣120°=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，
故选：D．2-1-c-n-j-y
3、A
解：作法：①作A关于l的对称点A′，则PA+PB=PA′+PB， ②连接A′B交l与P，
则P就是所求作的点；
根据两点之间，线段最短，可知：此时PA+PB最小；
故选A．【来源：21cnj*y.co*m】
4、D
解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为4，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2．
∴所求最小值为2．
故选：D．【出处：21教育名师】
5、C
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC= 12 BC AD= 12 ×4×AD=16，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+ 12 BC=8+ 12 ×4=8+2=10．
故选C．
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6、C
解：根据轴对称求最短路径的知识，可得当点P与点E重合的时候PB+PC最小，也即△PBC的周长最小，此时PB=PC= AB= cm，
故△PBC的最小周长=PB+PC+BC=AB+BC=15+9=24cm．
故选C．21教育名师原创作品
7、B
解：如图，作N关于AD的对称点N′，连接MN′，作BN″⊥AC于N″交AD于M′．
∵BM+MN=BM+MN′≤BN″，
∴当M与M′，N与N″重合时，BN″最小，
∵ ×AC×BN″=15，AC=6，
∴BN″=5，
∴BM+MN的最小值为5，
故选B．www-2-1-cnjy-com
8、C
解：在BC上任取一点E，连接AE， 把△ABE沿AB翻折得△ABE′，把△ACE沿AC翻折得△ACE″，
∵∠BAC=60°，
∴∠E′AE″=120°，AE=AE′=AE″，
连接E′E″交AB、AC于G、F．连接GE，EF，
∵GE=E′G，EF=E″F，
∴△GEF的周长=GE+GF+EF=E′G+GF+E″F=E′E″= AE，
∵根据垂线段最短可知AD⊥BC时AD的值最小，
∴当点E与点D重合时，AE最小，
∴△DEF的周长的最小值= × =3．
故选C．
二、填空题
9、8
解：作BF⊥AC于点F，如右图所示， ∵在△ABC中，AB=16，BC=10，AM平分∠BAC，∠BAM=15°，∠BFA=90°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BF，
∴BF=8，
∵AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB的动点，F
∴BD+DE的最小值是BF，
∴BD+DE=8，
故答案为：8．
10、7
解：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC， 又∵PB∥DQ，
∴四边形PDBQ是平行四边形，
∴QB=PD，
∴AP+PQ+QB=AP+PD+PQ=AD+PQ，
当PQ于BC垂直时AD+PQ=AD+AB=7最小．
故答案为：7．
11、AC或BD解：∵四边形ABCD是轴对称图形，直线MN为对称轴， ∴点A与点D关于直线MN对称，
∴连接AC（BD），则线段AC或BD的长即为PC+PD的最小值．
故答案为：AC或BD．
12、3
解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P． ∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，
∵AF=2，AE=1，
∴DF=AE=1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′=AD=3．
∴EP+FP的最小值为3．
故答案为：3．
13、8cm
解：∵线段AB与线段CD关于直线L对称，
∴点B与点D关于直线L对称，
连接AD，交于直线L于点P，则此时PA+PB最小，且PB=PD，
∴PA+PB=PA+PD=AD=8cm．
故答案为：8cm．
14、6
解：作F关于AD的对称点为M，作AB边上的高CP，
∵AD平分∠CAB，△ABC为锐角三角形，
∴M必在AC上，
∵F关于AD的对称点为M，
∴ME=EF，
∴EF+EC=EM+EC，
即EM+EC=MC≥PC（垂线段最短），
∵△ABC的面积是30，AB=10，
∴ 12 ×10×PC=30，
∴PC=6，
即CE+EF的最小值为：6．
故答案为：6．
三、作图题
15、解：作点A关于直线a对称的点C，连接BC交a于点P，则点P就是抽水站的位置．
16、解：如图1，点P即为所求；
如图2，点Q即为所求．
17、解：如图所示：
18、解：如图，作点P关于BC的对称点P′，连接P′Q，交BC于点M，点M是所求的点。
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