数学四年级下西师大版第二单元 乘除法的关系和乘法运算律 同步教案
文档属性
| 名称 | 数学四年级下西师大版第二单元 乘除法的关系和乘法运算律 同步教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 260.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 西师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-10-17 05:54:41 | ||
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文档简介
第二单元
乘除法的关系和乘法运算律
教材分析
本单元教学内容包括乘除法的关系，乘法运算律及简便运算，探索规律和解决问题4部分。这些知识不仅是学习小学数学的重要基础，而且是进一步学习数与代数知识的重要基础。
本单元的教学内容联系生活实际，选择学生熟悉而且感兴趣的素材设计教学内容，让学生体会到数学与生活的密切联系，从而感受数学的价值，产生学习数学的需求，激发学习数学的兴趣。
本单元帮助学生找准新旧知识之间的联系，帮助学生自主建构知识，让学生在学习过程中充分调动自己的认知基础（包括学生的生活经验和已有的知识能力）去理解数学知识。
在教学过程中要重视对学生进行观察、比较、探索、发现、举例验证思想方法的培养。让学生通过自主探索与合作交流的学习方式进行学习。
因此，教师在教学过程中，要注意体现以下四个方面的教学要求：
（1）选取贴近生活，现实性、趣味性强的教学内容。
（2）引导学生利用已有知识经验进行自主建构。
（3）重视对学生的观察、比较、探索、发现、运用能力的培养。
（4）落实自主探索、合作交流的学习方式。
教学目标
1.在具体运算和解决简单实际问题的过程中体会乘与除的互逆关系，乘法各部分间的关系、除法各部分间的关系。
2.经历乘法运算律的探索发现过程，理解运算律，能运用乘法运算律进行一些简便运算。
3.能综合运用所学知识和技能解决简单的实际问题。培养数学应用意识和解决问题的能力。
4.在乘除法的关系和运算律的学习过程中，获得探索发现的成功体验。
重点、难点
重点
1.让学生经历讨论、归纳乘除法的关系及乘除各部分间的关系的过程，在具体情境中理解乘除法的互逆关系和乘除法各部分间的关系。
2.引导学生在解决问题的情境中，对算式的计算、对比发现乘法运算律，理解掌握乘法运算律，并能运用乘法运算律惊醒简算。
3.
初步掌握两个物体运用中速度、时间和路程的数量关系，会用假设的解题策略解决一些实际问题。
4.让学生在经历解决问题的过程中，体验学习从日常生活中收集、提炼和抽象数学信息和数学问题的方法。
难点
1.归纳乘法分配律和应用乘法运算律进行简算。
2.掌握探索规律的一些方法。
教学建议
本单元的教学，教师应创设具体运算与解决简单实际问题的情境，让学生通过看、议、猜、举例验证等实践活动进行学习。为此，教师在教学时应注意以下几点：
1.重视集合具体情境，体会乘除法的关系。在教学乘除法的关系时，首先创设有趣、熟悉的生活情境，再结合具体情境，帮助学生理解乘除法各部分间的关系和乘除法的互逆关系。其次引导学生通过观察、比较及合作交流等方式去自主建构知识，进一步理解乘除法的实际意义，发现乘除法各部分间的关系，体会乘除法的互逆关系。第三，让学生经历由特殊到一般，由具体到抽象的过程，再经历由抽象到具体，由一般到特殊的知识运用过程。
2.重视对学生进行观察、比较、抽象、概括能力的培养。本单元的教学内容，在前面的教学中已有渗透，教学时应避免出现直接为学生讲解这部分知识内容的现象，要充分利用学生的认知基础，抓住时机引导培养学生的学习能力，
3.注重自主探索与合作交流两种学习方式的结合。本学段的学生，已经初步认识了数与运算。因此教学中可以让学生自主探索、独立思考，在教学中为学生提供合作交流的机会。
4.重视数学应用意识的培养。教学中要充分利用教科书中提供的与现实生活联系密切的题材，让学生通过这些内容的学习，感受体验数学在现实生活中的应用价值，切实培养学生的应用意识。
课时安排
本单元用13课时完成教学，其中机动1课时。
课题
课时
乘除法的关系
2
乘法运算及简便运算
4
问题解决
3
整理与复习
2
综合应用及机动
2
总计
13
1
乘除法的关系
教学内容
知识点：乘除法各部分名称和乘除法的互逆关系
教材第9～11页，例1，课堂活动，练习三1，2，3，4。
教学提示
教学例1前，先进行单元主题图的教学。主题图的教学可以借助教学挂图，呈现教科书主题图或多媒体创设情境，声形合一动态地呈现生活情境，展示教科书内容，但重点应及时地引导学生观察、收集数学信息，提出数学问题。让学生感受乘除法与生活的联系。
教学目标
知识与技能：
在计算与解决问题的具体情景中体会乘除法的互逆关系和乘除法各部分间的关系。能运用乘除法的关系进行验算和解决简单的实际问题。
过程与方法：
经历探索发现乘与除互逆关系和乘除法各部分间关系的过程，并有成功探索的体验，培养学生的比较、归纳概括能力。
情感与态度：
能综合运用所学知识和技能解决简单的实际问题。培养数学应用意识和解决问题的能力。
重点、难点
重点
在计算和解决问题的情景中探索乘除法的互逆关系和乘除法各部分间的关系。
难点
在计算和解决问题的情景中探索乘除法的互逆关系和乘除法各部分间的关系。
教学准备
教师准备：投影仪；多媒体课件。
学生准备：练习本；草稿本。
教学过程
（一）复习导入：
教师出示主题图，谈话引入：同学们，你们去过游乐园吗？今天老师和同学们一起到游乐园玩一玩。
请同学们仔细观察游乐园情景图，你都获得了哪些数学信息？
（1）学生说出自己选择的数学信息和数学问题，并列出算式解答。
教师板书算式：12×5×4＝240
12×4＝48
48÷4＝12
48÷12＝4
（2）学生认真观察算式，你有什么发现？
学生1：都是乘除法算式。
学生2：12×4＝48和
48÷4＝12这两个乘除法算式有相同的地方，好像有点关系。
（3）同学们观察得好，你能观察出乘除法各部分间有什么关系吗？今天我们一起来探讨乘除法之间的关系。板书课题：乘除法的关系
设计意图：通过对主题图的学习，让学生感受乘除法与生活的联系。
（二）探究新知：
1．教学例1。
教师：刚才我们从情景图中知道：每棵树上挂了4个灯笼。12棵树上挂了48个灯笼。通过这3个信息列出了3道算式，请同学们仔细观察这3道算式。
12×4＝48
48÷4＝12
48÷12＝4
（1）结合具体情景，让学生说说每个数所表示的意思和每个算式解决的问题。
（2）看一看除法和乘法之间有什么关系？
学生分组讨论，全班交流。
学生1：都说的是同一件事。
学生2：……
教师：同学们观察讨论得很好，找出了这3道算式之间的一些关系，我们继续来研究下面的问题是不是也有这种关系？
设计意图：通过师生交流，共同学习和整理，对乘法和除法之间的关系进行深入的分析，让学生对知识有了充分的认识，然后为接下来的练习做好准备。
2．教学练习三第4题。
出示练习三第4题情景图，学生选择两个信息提出问题并解决。
请在课堂本上写出1道乘法算式和2道除法算式。
教师根据学生的口述板书算式。
65×15＝975
975÷65＝15
975÷15＝65
说说每个算式各部分的名称，再比较上面3个算式，你有什么发现？
（独立思考，小组讨论，做好记录）
各小组汇报结果，教师板书。
因数×因数＝积
一个因数＝积÷另一个因数
被除数÷除数＝商
除数＝被除数÷商
被除数＝商×除数
已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数，用除法。
除法是乘法的逆运算。
教师：议一议，在有余数的除法里，被除数与商，除数，余数之间有什么关系？
学生独立思考后，小组讨论，再汇报。
3.讨论。
0不能做除数你知道这是为什么吗？
（引导学生根据乘、除法之间的关系来说明）
设计意图：通过小组合作学习，经历探索发现乘与除互逆关系和乘除法各部分间关系的过程，培养学生的比较、归纳概括能力。
（三）巩固新知：
1.教材第10页，课堂活动。
师生对口令，然后同桌互对口令。
2.教材第10页，练习三第1题。
学生独立练习，做在课堂本上。
（四）达标反馈
习题：
教材第10页，练习三，第2题
答案：
（1）2460；18000；7；60。
（2）20；9；150；810。
（五）课堂小结
通过今天这节课的学习，你知道了什么，学会了什么？有哪些收获，还有什么不懂的问题？
（六）布置作业
第1课时：
教材第10页，练习三，第3题。
答案：10608；14；32；7503；11；4。
板书设计
乘除法的关系
12×4＝48
48÷4＝12
48÷12＝4因数×因数＝积
一个因数＝积÷另一个因数
被除数÷除数＝商除数＝被除数÷商
被除数＝商×除数已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数，用除法。除法是乘法的逆运算。0不能作为除数。
教学反思
用讨论、合作，运用多种形式概括乘、除法的意义。让学生通过亲身实践感受到除法与乘法有一定的联系，从而真正理解乘除法之间的关系。在写乘除法关系的算式中各部分的名称是学生原有的知识，复习的同时可以指出被乘数和乘数又能称为因数这个新的内容。因为刚才根据每道乘法算式都能写出相对应的两道除法算式，所以接下去组织学生以小组的形式讨论提出的三个问题，学生们通过合作学习举例后发现，不是所有的乘法算式都能写出两个除法算式的。如：3×0＝0只能写成0÷3＝0，不能写成0÷0＝3。由此得出一个重要的结论：“除数不能为0”。第二个问题学生们在大量的举例后对乘、除法的意义有了理解。在理解的基础上他们以文字、图形、字母多种形式解释了乘、除法的意义。
教学资料包
资料链接
中国数学家——刘徽
刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位。他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。
在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献。他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法。在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果。刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作。
《海岛算经》一书中，
刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目。
刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。
刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
2
有余数的除法关系
教学内容
知识点：有余数的除法
教材第10～11页，议一议，练习三5，6，7，8，思考题。
教学提示
本课时是在学生学习了整除的含义和有余数的除法基础上，进一步归纳总结除法中有余数的情况，被除数、除数、商、余数之间的数量关系。本课时要着重培养学生的合作学习能力和归纳能力的培养。
教学目标
知识与技能：
在区别“除不尽”与“整除”的过程中，培养学生归纳、概括的能力。
过程与方法：
经历从除法中整理出“有余数”的过程，并从实例中发现各部分之间的关系。
情感与态度：
在合作学习中，感受到互相帮助的学习乐趣，养成良好的学习习惯。
重点、难点
重点
归纳被除数、除数、商、余数的数量关系。
难点
归纳被除数、除数、商、余数的数量关系。
教学准备
教师准备：投影仪；多媒体课件。
学生准备：练习本；草稿本。
教学过程
（一）复习导入：
1.口算。（教师板书结果）
6÷2=
39÷2=
15÷12=
250÷50=
26÷13=
25÷7=
160÷1=
0÷9=
设计意图：通过对整除和除不尽的两种情况对比复习，引出本节课所要学习的知识。
（二）探究新知：
1.观察上面的口算题及计算结果，你有什么发现？在小组里议一议。
2.全班按小组汇报交流发现的情况。
（算式都是整数除以整数计算结果有“除尽”和“除不尽”两类，或有“有余数”和“没有余数”两类……教师将学生发现的情况一一板书出来让学生讨论，同时注意引导得出“整除”来）
3.师:题目中有哪些是除不尽的呢
像39÷2=19……1,15÷12=1……3,
25÷7=3……4这些除法算式都有余数。
4.在有余数的除法里，被除数与商、除数、余数之间有什么关系？
师生交流讨论，并将结论进行板书。
设计意图：被除数与商、除数、余数之间有什么关系是本节课的重点，同时也是难点，学生不容易归纳总结，需要教师进行帮助。
（三）巩固新知：
1.教材第11页，练习三第5题。
学生独立尝试，然后集体订正。
2.教材第11页，练习三第6题。
小组讨论交流，提出问题，独立尝试做在练习本上，再集体订正。
问题：一筐可以卖多少元？还剩多少千克？两筐可以卖多少元？还剩多少千克？三筐可以卖多少元？还剩多少千克？
设计意图：在练习过程中引导学生发现问题的本质，从已知条件进行分析，养成解决问题的良好习惯。
（四）达标反馈
习题：
教材第11页，练习三，第7题
答案：
231；289；27；534；5220；8。
（五）课堂小结
通过今天这节课的学习，你知道了什么，学会了什么？有哪些收获，还有什么不懂的问题？
（六）布置作业
第2课时：
1.教材第11页，练习三，第8题，
2.教材第11页，练习三，思考题。
3.填表。
被除数
除数
商
余数
123
6
8
9
3
92
13
1
280
11
5
答案：
1.1820千克。2.4；64。3.20，3；75；7；25。
板书设计
有余数的除法关系
6÷2=3
39÷2=19……1
15÷12=1……3
250÷50=526÷13=2
25÷7=3……4
160÷1=160
0÷9=0没有余数
有余数
被除数÷除数=商……余数被除数=商×除数＋余数
除数=（被除数－余数）÷商
商=（被除数－余数）÷除数
余数=被除数－除数×商
教学反思
学完了有余数的除法关系。教学重点是让学生掌握被除数、除数、商、余数四者的关系。
本课以遵循从儿童的身心特点出发，激发学生的学习兴趣，调动学生的情感投入为基础，实质上就是对以往学习的一种归纳总结，但是却要让学生主动参与，主动建构，主动发现。
教学资料包
资料链接
教学反思怎么写？
第一
对“情景创设”的反思：教完每节课后，对教学情景创设进行回顾总结，考虑所创设的情景是否真的让学生感受到与实际生活联系紧密，是否与上课内容相符，在引入过程中还存在哪些不和谐之处，同时根据这节课的教学体会和从学生中反馈的信息，努力修正下次课的情景创设，并及时改进教案。
第二
对“上课效果”的反思：备课的最终目的是收到好的教学效果。因此，一节课下来，我们应认真从每一位学生的上课表情、课堂作业、回答问题、板演以及我们自己的课堂观察等环节反思本节课的实际效果如何。一定要做到心中有数。效果好就可以积累经验，效果差可以及时找出原因，并在教案的反思一栏中作好详细的记载以便及时修正。
第三
对“教法学法”的反思：上完一节课，静心沉思，摸索出其中的某些教学规律；教法上有哪些创新；组织教学方面有何新招；启迪是否得当；思维训练是否到位等等。及时记下这些得失，并进行必要的归类与取舍，考虑一下再教这部分内容时应该如何做，这样可以做到扬长避短、精益求精，把自己的教学水平提高到一个新的高度。
第四
对“评价体系”的反思：每堂课后认真思考一下本节课的评价内容是否更多地指向有价值的数学任务、数学活动；评价的方式是否多样、是否激起学生的学习兴趣，唤起他们的自尊心和自信心;评价的主题是否面向全体学生、是否因材施教等等。
第五
对“疏漏之处”的反思：俗话说：“人非圣贤，孰能无过”。教学中的疏漏与失误在所难免，如教学内容安排欠妥，教学方法设计不当，教学重点不突出，教学方式单调等等。课后进行这样的反思，及时客观的找出教学过程中的不足与失误，并虚心听取学生的意见，正确的面对这些问题，做好及时查漏补缺工作，我相信这样做，课堂一定会越来越来完美。
3
乘法交换律和乘法结合律
教学内容
知识点：乘法交换律和乘法结合律
教材第12～14页，例1，例2，算一算，课堂活动1，练习四1，2，3，4。
教学提示
本课时主要教学乘法交换律和乘法结合律。学生在学习乘法的初步认识时，就有了对两个因数交换位置积不变的感知。因此教科书利用学生对乘法的已有认识基础，呈现用不同方法解决求一盒鸡蛋总个数的问题情境，并在此基础上，让学生讨论、思考、初步发现乘法交换律的基础上，用自己喜欢的方式表示乘法交换律，进而概括出乘法交换律。
在教学乘法结合律时，教科书通过两种观察角度、两种思路，列出连个算式解决“小区共有多少户”这个问题，让学生发现两组算式的关系，在有了乘法结合律的初步感知后，再算、比3组算式，最终归纳出乘法结合律。
教学目标
知识与技能：
理解并掌握乘法交换律和结合律，初步能用这两个运算律解释计算的理由。
过程与方法：
经历在计算和解决问题的具体情境中探索发现乘法交换律、结合律的过程。
情感与态度：
体验数学与日常生活密切相关，培养学生自主探索数学知识和应用数学知识解决简单实际问题的能力。
重点、难点
重点
在具体情境中探索发现乘法交换律、乘法结合律。
难点
初步能用这两个运算律解释计算的理由。
教学准备
教师准备：投影仪；多媒体课件。
学生准备：练习本；草稿本。
教学过程
（一）探究新知：
1.教学例1
出示教材第12页例1图，学生独立列式解答，然后在小组中互相交流。
板书：9×4＝36（个），4×9＝36（个）。
学生观察板书，思考：这两个算式有什么特点？
板书：9×4＝4×9。
教师：你还能写出几个有这样规律的算式吗？
板书学生举出的算式。
如：15×2＝2×15，8×5＝5×8
……
教师：观察这些算式，你发现了什么？
教师：你能用自己喜欢的方式表示乘法交换律吗？（学生独立思考后交流）
教师：如果用a、b表示两个数，这个规律可怎样表示呢？（a×b=b×a）
设计意图：通过不完全归纳整理，让学生经历由具体到抽象表达的过程，形成良好的数学思维。
2.教学例2。
出示教材第12页例2情境图，口述数学信息和解决的问题。
学生独立思考，列式解答。
然后在小组中交流解题思路和方法。
全班汇报，教师板书。
（8×24）×6
8×（24×6）
＝192×6
＝8×144
＝1152
（户）
＝1152
（户）
学生对这两种算法进行观察、比较，有什么相同点和不同点？
板书：（8×24）×6＝8×（24×6）。
3.出示下面的算式，算一算，比一比。
16×5×2＝
16×（5×2）＝
35×25×4＝
35×（25×4）＝
12×125×8＝
12×（125×8）＝
观察算式，有同样的特点吗？每排的两个算式的结果相等吗？学生独立计算，验证自己的猜想，全班交流。
板书：16×5×2＝16×（5×2）
35×25×4＝35×（25×4）
12×125×8＝12×（125×8）
谁能说出这几组算式的规律？
教师：谁知道这个规律叫什么？
教师板书：乘法结合律。
教师：如果用a、b、c表示3个数，可以怎样表示这个规律？
教师板书：（a×b）×c＝a×（b×c）。
教师：这个规律就叫乘法结合律。
小结：同学们，我们一起总结出了乘法交换律和乘法结合律，下面看同学们会不会用。
设计意图：发挥学生的主动性，让学生在自主探索中发现、理解乘法运算律，培养了学生的探索能力。
（二）巩固新知：
1.教材第13页课堂活动1。
小组内按照要求互相说算式，并判断是乘法交换律还是乘法结合律。
2.教材第14页，练习四第1题。
学生独立完成，全班交流，说出依据。
（三）达标反馈
习题：
1.教材第14页，练习四第2题。
学生独立完成，集体订正。
2.教材第14页，练习四第3题。
学生独立完成，集体订正。
答案：
1.28；25,4；40,25；8,14。
2.（44+56）+28=44+28+56；125×8×11=88×125；30×16=16×30；
4×27×25=27×（4×25）。
设计意图：通过书本上的练习，及时巩固本节课所学知识，让学生将所知识能融会贯通。
（四）课堂小结
今天这节课你都有哪些收获？还有什么问题？
（五）布置作业
第3课时：
1.教材第14页，练习四，第3题。
2.在____中填上适当的数。
（1）37×15=15×____ 128×31=____×128
（2）16×5×34=16×(5×____) 44×5×6×35=(____×____)×(____×____)
3.小学有一幢5层教学楼，每层有12间教室，每间教室有6个窗户。全幢楼共有窗户多少个？
答案：
1.60；70；60；120；200；100；1000；80；90。
2.37；31；34；44，5，6，35。
3.360个。
板书设计
乘法交换律和乘法结合律
9×4＝36（个）
4×9＝36（个）9×4＝4×915×2＝2×15，8×5＝5×8
……a×b=b×a
（8×24）×6
8×（24×6）＝192×6
＝8×144＝1152
（户）
＝1152
（户）（8×24）×6＝8×（24×6）16×5×2＝16×（5×2）
35×25×4＝35×（25×4）12×125×8＝12×（125×8）（a×b）×c＝a×（b×c）
教学反思
教材安排运算教学时，采用了不完全的归纳推理。运算律都是从学生熟悉的实际问题的解答引入，让学生通过观察、比较和分析，找到实际问题不同解决之间的共同特点，初步感受运算规律。然后让学生根据对运算律的出步感知举出更多的例子，进一步分析、比较，发现规律，并先后用符号和字母表示出发现的规律，抽象、概括出运算律。教材有意识地让学生运用已有经验，经历运算律的发现过程，使学生在合作与交流中对运算律的认识由感性逐步发展到理性，合理地建构知识。
本节课我以建构主义学习理论位指导，力求体现“以学生发展为本”的指导思想。基于这种思想，设计课堂教学时，注意了以下几个问题：
1.提供自主探索的机会。
“动手实践、自主探索与合作交流上学习数学的重要方式”。在探索乘法运算律的过程中，教师为学生提供自主探索的时间和空间，使学生经历乘法运算律产生和形成的过程，同时也在学习活动中获得成功的体验，增强了学习数学的信心。
2.关注学生已有的知识经验。
在学习乘法运算律之前，学生对四则运算已有了较多的感性认识，为新知学习奠定了良好的基础。教学中始终处于探索知识的最佳状态，促使学生对原有知识进行更新、深化、突破、超越。
3.引导学生在体验中感悟数学。
教学设计中注意引导学生在数学活动中体验数学，在做数学中感悟数学，实现了运算律的抽象内化与外化运用的认知飞跃，同时也体验到学习数学的乐趣。
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中国数学家——华罗庚
华罗庚（1910.11.12—1985.6.12.），生于江苏太湖，世界著名数学家，中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自安函数论等多方面研究的创始人和开拓者。国际上以华氏命名的数学科研成果就有“华氏定理”、“怀依—华不等式”、“华氏不等式”、“普劳威尔—加当华定理”、“华氏算子”、“华—王方法”等。
1930年，19岁的华罗庚写了一篇《苏家驹之代数的五次方程不成立的理由》，发表在上海《科学》杂志上。清华大学数学系主任熊庆来从文章中看到了作者的数学才华，便问周围的人，“他是哪国留学的 在哪个大学任教 ”当他知道华罗庚原来是一个19岁的小店员时，很受感动，主动把华罗庚请到清华大学。起初，他做图书管理员，在此期间充分利用清华大学丰富的图书资料，如饥似渴地攻读一门又一门数学课程；后转做教学工作，并很快由助教升为讲师。1934年，华罗庚成为中华教育文化基金会研究员。1936年留学英国，在剑桥大学学习，并获得博士学位。在此期间，他连续发表了几篇有重要学术价值的学术论文，对数论有很深的研究，得出了著名的华氏定理，引起了世界数学界的注意。
抗日战争时期（1938年），华罗庚回到祖国，由于他的卓越成就，受聘为西南联合大学教授。华罗庚白天在西南联大任教，晚上在昏暗的油灯下研究。在这样艰苦的环境中，华罗庚写出了20多篇论文和厚厚的一本书《堆垒素数论》。此后他又应邀于1946年赴美国，任普林斯顿数学研究所研究员、普林斯顿大学和伊利诺斯大学教授。
1950年回国后，历任清华大学教授，中国科学院数学研究所、应用数学研究所所长、名誉所长，中国数学学会理事长、名誉理事长，全国数学竞赛委员会主任，美国国家科学院国外院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士，中国科学院物理学数学化学部副主任、副院长、主席团成员，中国科学技术大学数学系主任、副校长，中国科协副主席，国务院学位委员会委员等职。曾任一至六届全国人大常务委员，六届全国政协副主席。
华罗庚教授一生成就辉煌，他在世界级刊物上发表过150多篇论文，写了9本书，其中有许多重要成果至今仍居世界领先水平。主要从事解
析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积
分等领域的研究与教授工作并取得突出成就。40年代，解决了高斯完整三角和的估计这一历史难题，得到了最佳误差阶估计（此结果在数论中有着广泛的应用）。代数方面，证明了历史长久遗留的一维射影几何的基本定理；给出
了体的正规子体一定包含在它的中心之中这个结果的一个简单而直接的证明，被称为嘉
当-布饶尔-华定理。其专著《堆垒素数论》系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德圆法、维诺格拉多夫三角和估计方法及他本人的方法，发表40余年来其主要结果仍居世界领先地位，先后被译为俄、匈、日、德、英文出版，成为20世纪经典数论著作之一。其专著《多个复变典型域上的调和分析》以精密的分析和矩阵技巧，结合群表示论，具体给出了典型域的完整正交系，从而给出了柯西与泊松核的表达式。这项工作在调和分析、复分析、微分方程等研究中有着广泛深入的影响，曾获中国自然科学奖一等奖。倡导应用数学与计算机的研制，曾出版《统筹方法平话》、《优选学》等多部著作并在中国推广应用。与王元教授合作在近代数论方法应用研究方面获重要成果，被称为“华-王方法”。
华罗庚教授的卓越成就，使他成为振兴中国近代数学的带头人和世界著名的第一流大数学家，他的名字与少数经典数学家一起被列入美国芝加哥科技博物馆等著名博物馆中。
4
简便计算（一）
教学内容
知识点：乘法交换律和乘法结合律的应用。
教材第13～15页，例3，试一试，课堂活动2，练习四5，6，7，8，9，10，11，思考题。
教学提示
例3教学乘法交换律与乘法结合律的应用，共安排了2个小题。第1小题是乘法结合律的单独应用，第2小题如果把算式中的125与9交换，则是乘法交换律的单独应用，如果把算式中的8与9交换，则它又是乘法交换律与乘法结合律的综合应用。要让学生感受到根据题目中数据的特点，利用乘法交换律与乘法结合律可以使一些计算简便。
教学目标
知识与技能：
进一步理解并掌握乘法交换律和结合律，并能运用这两个运算律进行简便计算。
过程与方法：
运用乘法运算律解决简单的实际问题。培养学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力。
情感与态度：
学生在老师的引导下，经历克服学习困难的过程，体验数学学习的成就感。
重点、难点
重点
灵活运用乘法交换律和乘法结合律进行简便计算。
难点
使用乘法交换律和乘法结合律进行简便计算。
教学准备
教师准备：投影仪；多媒体课件。
学生准备：练习本；草稿本。
教学过程
（一）复习导入：
1.回忆上节课中所学的乘法交换律和乘法结合律并用自己的语言加以叙述。
2.填空。
a×
＝b×
(a×
)×c＝a×（
×
）
我们学习了乘法运算律，这节课我们一起运用乘法运算律进行简便计算。
设计意图：温故知新，让学生明白学习一种新方法，是为了解决问题，使问题变得更简便。
（二）探究新知：
1.教学例3。
教材第13页，出示例3。
61×25×4
8×9×125
教师：观察每个算式中的因数之间有什么特点？可以运用运算律进行简便计算吗？（学生观察思考，独立计算）
全班汇报，教师板书：
（1）①61×25×4
②61×25×4
③……
＝61×100
＝61×（25×4）
＝6100
＝61×100
＝6100
（2）①8×9×125
②8×9×125
③……
＝72×125
＝9×1000
＝9000
＝9000
小组讨论：每题都有几种算法，你认为哪种算法最简便？为什么？运用乘法交换律和结合律进行简便计算时要注意什么？
全班交流汇报。
教师小结：运用乘法运算律进行简便计算，它的核心就是“凑整”。
往往可以把两个或几个数结合在一起乘起来得到整十、整百……有时还可能需要把一个数分解成两个数，再与另外的数结合相乘得到整十数、整百数……总之使计算变得简单。
设计意图：这里的设计是让学生讨论一题的多种计算方法，你认为哪种比较简便，为什么简便，来获得简便计算的感受，是可取的。
（三）巩固新知：
1.教材第13页，试一试。
先让学生说一说怎样计算简便，并说出依据，再完成在练习本上。
2.教材第13页，课堂活动第2题。
先让学生独立思考后，再在小组中讨论该怎样进行简便计算，最后全班反馈。
要学生认识到同一个计算可以有不同的简便计算方法。
（四）达标反馈
习题：
1.教材第14页，练习四，第5题。
2.教材第15页，练习四，第10题。
3.教材第15页，练习四，第11题。
答案：
1.1440；26000；6600；3000；4000；1530。
2.（1）800；（2）9。
3.（1）一共有多少盆花？5×4×5＝100（盆）；
（2）一共需要多少元？12×100＝1200元。
（五）课堂小结
这节课主要学习了什么知识？你还有什么问题吗？
（六）布置作业
第4课时：
1.教材第14页，练习四第6题。
2.教材第15页，练习四第7题。
3.教材第15页，练习四第8题。
4.教材第15页，练习四第9题。
5.教材第15页，练习四思考题。
答案：1.700米；2.5000个，500个；3.6000支；4.10分；5.4×1963＝7852。
板书设计
简便计算（一）
①61×25×4
②61×25×4
③……
＝61×100
＝61×（25×4）＝6100
＝61×100
＝6100
①8×9×125
②8×9×125
③……
＝72×125
＝9×1000
＝9000
＝9000
教学反思
学生对于乘法交换律掌握较好，然而对于乘法结合律则运用得不太理想。造成的原因及解决办法如下：
第一，学生现在只是能够初步认识，还不明白这两个运算定律的作用和意义。
第二，学生不能正确的分析算式并正确的运用运算定律，如遇到25×16就不知道如何计算，有时会把16分成10×6，有时会写成25×10＋6，针对上述情况还需对学生加强算理、算法的理解，更要在学生的脑海中渗透“凑整”的思想。
第三，对于有些算式，有的学生甚至运用运算定律折腾了一番又回到了原来的算式，不会灵活处理。
综上所述，学生并没有深刻体会到运算定律带来的方便，解决办法可以是多讲多练，多做一些对比性强（能简便与不简便的混合运算）的题目，不断的培养学生的数感，在不断的重复练习过程中，体会应该如何运用运算定律，(以能凑成整十、整百的优先组合为原则)也就是如何做题。等接触的题目类型多了，学生会感悟到原来在计算的过程中运用运算定律可以使运算过程变得简单，这样，学生在计算的时候，自然就会去运用了，而且会十分的感兴趣。
教学资料包
资料链接
中国数学家——陈景润
陈景润（公元1933-1996），数学家，中国科学院院士。1933年5月22日生于福建福州。1953年毕业于厦门大学数学系。由于他对塔里问题的一个结果作了改进，受到华罗庚的重视，1957年进入中国科学院数学研究所并在华罗庚教授指导下从事数论方面的研究。先任实习研究员、助理研究员，再越级提升为研究员，并当选为中国科学院数学物理学部委员兼贵阳民族学院、河南大学、青岛大学、华中工学院、福建师范大学等校教授，国家科委数学学科组成员，《数学季刊》主编等职。
陈景润是世界著名解析数论学家之一，他在50年代即对高斯圆内格点问题、球内格点问题、塔里问题与华林问题的以往结果，作出了重要改进。60年代后，他又对筛法及其有关重要问题，进行广泛深入的研究。
1966年屈居于六平方米小屋的陈景润，借一盏昏暗的煤油灯，伏在床板上，用一支笔，耗去了几麻袋的草稿纸，居然攻克了世界著名数学难题“哥德巴赫猜想”中的(1+2)，创造了距摘取这颗数论皇冠上的明珠(1+1)只是一步之遥的辉煌。他证明了“每个大偶数都是一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，使他在哥德巴赫猜想的研究上居世界领先地位。这一结果国际上誉为“陈氏定理”，受到广泛征引。这项工作还使他与王元、潘承洞在1978年共同获得中国自然科学奖一等奖。其后对上述定理又作了改进，并于1979年初完成论文《算术级数中的最小素数》，将最小素数从原有的80推进到16，受到国际数学界好评。对组合数学与现代经济管理、科学实验、尖端技术、人类生活密切关系等问题也作了研究。他研究哥德巴赫猜想和其他数论问题的成就，至今，仍然在世界上遥遥领先。世界级的数学大师、美国学者阿·威尔(A·Weil)曾这样称赞他：“陈景润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山巅上行走。”
陈景润于1978年和1982年两次收到国际数学家大会请他作45分钟报告的邀请。这是中国人的自豪和骄傲。他所取得的成绩，他所赢得的殊荣，为千千万万的知识分子树起了一面不凋的旗帜，辉映三山五岳，召唤着亿万的青少年奋发向前。
陈景润共发表学术论文70余篇，并有《数学趣味谈》、《组合数学》等著作。
5
乘法分配律
教学内容
知识点：乘法分配律。
教材第16～18页，例4，算一算，课堂活动1，练习五1，2，4，5。
教学提示
例4教学乘法分配律。在素材选用、编写思路、呈现方式上与例1、例2相似，通过生活情境图来呈现信息，提出问题，通过学生用多种方法解决这一问题来展现乘法分配律。
在为学生提供了乘法分配律的感知材料之后，又接着安排了几组算式，要求学生算一算、议一议。目的是让学生通过观察计算这几组数据不同的算式，交流讨论，相互启发，共同发现一般规律，进而抽象概括出乘法分配律。
教学目标
知识与技能：
理解并掌握乘法分配律，并能运用乘法运算律进行简便计算。
过程与方法：
经历在解决数学问题的情境中探索发现乘法分配律的过程。
情感与态度：
在解决数学问题中培养学生一题多解的发散思维能力，通过发现运算律培养探索、概括能力。
重点、难点
重点
探索发现乘法分配律，理解并能运用乘法运算律进行简便计算。
难点
对乘法分配律进行正向和逆向的理解。
教学准备
教师准备：投影仪；多媒体课件。
学生准备：练习本；草稿本。
教学过程
（一）复习导入：
教材第18页，第5题，口算。
15×4=
25×4=
55+45=
26×3=
24×5=
55-45=
20×7=
5×16=
11×8=
70+40=
96÷3=
64÷4=
设计意图：通过口算，提高学生的快速运算能力。
（二）探究新知：
1.
教学教材第16页，例4。
（1）出示问题情境，解决问题。
你从情境图中获取了哪些数学信息？要解决“一共需要多少张门票？”该怎样列式计算？（学生口答信息，然后独立列式计算）
全班汇报解题思路和方法。
教师板书：
（40＋20）×14
40×14＋20×14
＝60×14
＝560＋280
＝840（张）
＝840（张）
设计意图：初步建立感知，让学生体会两种算法之间的联系。
（2）比较两种解法，发现两种解法的相同点和不同点，并举出生活中的类似例子。
（小组讨论，全班交流）
教师板书：
（40＋20）×14＝40×14＋20×14
（3）在计算中比较并发现乘法分配律。
教材第16页，算一算。
（3＋2）×35＝
3×35＋2×35＝
3×（4＋6）＝
3×4＋3×6＝
（13＋12）×4＝
13×4＋12×4＝
比较每组的两个算式有什么关系？每组的两个算式的计算结果相等吗？
学生独立计算验证自己的猜想。
（小组讨论，全班交流）
设计意图：通过学生之间的交流讨论，加深对乘法分配律的直观感知，为接下来的抽象概括做好铺垫。
板书：
（3＋2）×35＝3×35＋2×35
3×（4＋6）＝3×4＋3×6
（13＋12）×4＝13×4＋12×4
教师：谁还能举出符合这个规律的例子？（学生举例）
教师：谁能用自己的话来表达这几组算式所反映的规律？（学生回答）
教师小结：两个数的和与一个数相乘，可以把这两个数分别与这个数相乘，再将两个积相加，这叫乘法分配律。
（4）如果用a，b，c表示3个数，可以用怎样的式子表示乘法分配律呢？
（学生独立写出，然后全班交流）
教师整理并板书：（a＋b）×c＝a×c＋b×c
或a×c＋b×c＝（a＋b）×c
设计意图：通过不完全归纳的学习方式，对乘法分配律进行总结，让学生通过举例子，发现知识之间的联系。
（三）巩固新知：
1.教材第17页，课堂活动1。
先让学生独立算一算，对有困难的也可先在小组中议一议。最后让学生说一说自己是怎么算的？能说明乘法分配律吗？。
2.教材第17页，练习五，第1题。
学生独立做在书上，订正时让学生说说运用的是什么运算律？先做，再议一议，最后与全班同学交流。
（四）达标反馈
习题：
1.教材第17页，练习五，第2题。
2.教材第18页，练习五，第4题。
答案：
1.160平方米；64平方米。
2.4000元。
（五）课堂小结
这节课我们学习了什么？你都有些什么收获？你还有什么问题？
（六）布置作业
第5课时：
1.填一填。
156×6＋156×4＝
×（
＋
）
8×b＋b×12＝（
＋
）×
25×9×4＝（
×
）×
（64－35）×72＝
×
－
×
2.不计算，把得数相等的式子用线连起来。
69×39＋69×61
78×5－28×5
77×（30－18）
（38＋62）×55
38×55＋6）×55
77×30－77×18
（78－28）×5
69×（
39＋61）
3.一个长方形运动场，长95米，宽50米。它的周长是多少？
答案：
1.156,6,4；8,12，b；25,4,9；64,72,35,72。
2.
69×39＋69×61
78×5－28×5
77×（30－18）
（38＋62）×55
38×55＋6）×55
77×30－77×18
（78－28）×5
69×（
39＋61）
3.290米。
板书设计
乘法分配律
（40＋20）×14
40×14＋20×14＝60×14
＝560＋280＝840（张）
＝840（张）（40＋20）×14＝40×14＋20×14（3＋2）×35＝3×35＋2×353×（4＋6）＝3×4＋3×6（13＋12）×4＝13×4＋12×4（a＋b）×c＝a×c＋b×c
或a×c＋b×c＝（a＋b）×c
教学反思
把学生放在主动探索知识规律的主体位置上，让学生能自由地利用自己的知识经验、思维方式去尝试解决问题。在探究这一系列的等式有什么共同点的活动中，学生涌现出的各种说法，说明学生的智力潜能是巨大的。所以让学生多说，谈谈各自不同的看法，说说自己的新发现，教师尽可能少说，为的就是要还给学生自由探索的时间和空间，从而使学生的主动性、自主性和创造性得到充分发挥。
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中国数学家——姜立夫
姜立夫(1890—1978)，谱名培垧，学名蒋佐，字立夫，以字行。麟头村(在凤江乡)人。是我国数学界几何学方面的权威、温州最早的洋博士。
姜立夫晚年照
自幼父母双亡，由兄嫂抚养成长，曾深受姨父黄庆澄的影响。聪颖过人，学习成绩优异，其兄遂送至杭州高等学堂学习。宣统二年(1910)，未毕业，就参加留美学生考试，被录取，次年到北京“游美肄业馆”学习英语，半年后，赴美国入加利福尼亚伯克莱州立大学专攻数学。民国4年(1915)毕业，又转入哈佛大学研究院，8年，获得博士学位，同年回国。9年初，到天津南开大学任教，建立数学系，任系主任。16年休假期间，到厦门大学讲课。23年游学德国。抗日战争期间，随校南下任西南联合大学教授，29年任中国数学会会长，31年任国立中央研究院数学研究所筹备处主任、研究员。解放前夕，被迫随所迁往台湾。同年 月返回大陆，在广州岭南大学创办数率系，任系主任。1952年院系调整后，在中山大学执教终身。
1954年，被选为广东省第一届人民代表，1955年起，历任政协全国委员会第二、三、四届委员。
姜立夫为人谦虚谨慎，光明磊落。留学回国时，乡人尊称为“洋状元”。当时士人出门都坐轿子，他却徒步自提行李；别人恭维他学识渊博，他说：“数学这门学问如一棵大树，我所得不过一张叶子而已。”
在治学上，姜立夫一丝不苟，从不轻易发表著作。早年从事圆的几何研究，写定论文《圆素和球素几何的矩阵理论》。解放后，为了教学需要，主持翻译了优秀的外国教材，如穆斯海里什维利《解析几何教程》、诺尔金《罗巴切夫斯基几何初步》、E·嘉当《利曼几何学、正交标架法》等，分别于1954年、1956年、1964年出版。
姜立夫毕生致力于教育事业，从不计较个人名利。在北洋军阀统治下，南开大学是私立的，教师薪金比别校微薄，而他毫不介意。在长时间中，是该校数学系的唯一台柱，逐年轮流开设各门主要课程，如高等微积分、立体解析几何、投影几何、复变函数论、高等代数、n维空间几何、微分几何、非欧几何以及高等几何等，因之被誉为“一人系”。讲课时只写提纲，不用讲稿，论证严谨，说理透彻。并善于启发提问，逐步引人入胜。教学方法不拘一格，或选读有关文献，在他指导下轮流作报告；或于讲课后使学生按章整理笔记，定期审阅(如微分几何课)。
此外，他还长期从事数学名词的整理与编译、数学文件的搜集与保存等等基础建设，对我国现代数学的教学和科研的发展，产生巨大的影响。
姜立夫与周恩来合照
对后辈的奖掖不遗余力。民国9年7月回乡时，即倡议以姜氏族产全部充作学田，创办爱敬小学。以后经常给该校汇款寄书，勉励、督促族人培育好下一代。他说：“我是用美国退还的部分庚子赔款去留学的，那其实是全国人民辛勤劳动所积累。我应当为全国人民做些好事，把西洋数学搬回来。因为数学是自然科学的基础，中国需要科学，我愿把一生献给它。”在他历年教学中，培养出大批数学人才，有的闻名海外。当代著名数学家苏步青(平阳县人)留学日本时，在国外刊物上发表了数学论文，姜立夫当时不知苏的中国姓名，更不知是同乡，仅知是个中国留学生。读后大为赞赏，并热情向厦门、北京、清华、燕京等大学推荐为教授，毫无门户之见(当时东洋留学生多被西洋留学生所歧视)。
十年动乱期间，姜立夫情绪抑郁，衰老得很快。1978年2月3日病逝于广州，终年88岁。
为了纪念他生前所创的业绩，鼓励更多的青年从事数学的学习与研究，南开大学从1982年起，设立了姜立夫奖学金。
6
简便计算（二）
教学内容
知识点：乘法分配律的应用。
教材第16～18页，例5，课堂活动2，练习五3，6，7，8，9，思考题。
教学提示
例5教学乘法分配律的应用，共安排了2道小题。第1小题是顺向应用乘法分配律，第2小题是逆向应用乘法分配律，目的是让学生明确运算律可以正向应用，也可以逆向应用，要根据具体情况灵活使用。
教学目标
知识与技能：
进一步理解并掌握乘法分配律，并能运用乘法运算律进行简便计算。运用乘法运算律解决简单的实际问题。
过程与方法：
培养学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力。
情感与态度：
通过对乘法分配律的学习和应用，感受到数学在生活中的应用价值，激发学习积极的兴趣。
重点、难点
重点
灵活运用乘法运算律进行简便计算。
难点
正确使用乘法分配律进行正向和逆向的应用。
教学准备
教师准备：投影仪；多媒体课件。
学生准备：练习本；草稿本。
教学过程
（一）复习导入：
1.师：上节课学习了乘法分配律，谁能分别用自己的话和字母表述乘法分配律？
2.填空。
25×6＋75×6＝（□＋□）×□
12×（5＋20）＝12×□＋□×□
3.师：我们这节课一起来学习用乘法分配律进行简便计算。
设计意图：教师通过对乘法分配律的复习与回顾，加深学生对问题的认识，为接下来的学习做好铺垫。
（二）探究新知：
1.出示教材第16页，例5。
用简便方法计算（100＋2）×45，32×27＋32×73。
教师：观察每个算式中的因数有什么特点？可以运用乘法运算律进行简便计算吗？（学生观察思考，独立尝试计算）
学生计算后汇报，教师板书如下：
（1）①（100＋2）×45
②（100＋2）×45
＝102×45
＝100×45＋2×45
＝102×（40＋5）
＝4500＋90
＝102×40＋102×5
＝4590
＝4080＋510
＝4590
（2）①32×27＋32×73
②32×27＋32×73
＝32×（27＋73）
＝864＋2336
＝32×100
＝3200
＝3200
2.小组讨论（小组讨论后，在全班交流）
（1）你认为每个题的哪种算法最简便？为什么？这种简便算法的依据是什么？
（2）运用乘法分配律进行简便计算时，要注意什么？
设计意图：教师在学生讨论交流的基础上，小结运用乘法分配律进行简便计算的方法。
（三）巩固新知：
1.教材第17页，课堂活动2。
学生小组交流讨论，然后再集体汇报。
2.教材第18页，练习五，第6题。
学生独立完成，再集体订正。
（四）达标反馈
习题：
1.教材第17页，练习五，第3题。
2.教材第18页，练习五，第8题。
答案：
1.11000；1150；1700；1000；840；3800。
2.﹥；＝；﹤；＝。
（五）课堂小结
今天的学习你都有些什么收获？你还有什么问题？
（六）布置作业
第6课时：
1.教材第18页，练习五，第7题。
2.教材第18页，练习五，第9题。
3.教材第18页，练习五，思考题。
答案：
1.3060；100000；7200；3800；6700；6237。
2.90元。
3.1000×1000。
板书设计
简便运算（二）
①（100＋2）×45
②（100＋2）×45＝102×45
＝100×45＋2×45＝102×（40＋5）
＝4500＋90＝102×40＋102×5
＝4590＝4080＋510＝4590①32×27＋32×73
②32×27＋32×73＝32×（27＋73）
＝864＋2336＝32×100
＝3200＝3200
教学反思
知识的学习不是简单的传授过程，而是一个动态生成的过程。在设计教案时，要从学生的生活经历、知识背景、学习能力、情感态度等方面解读教材，加强知识与生活、知识与学习者个人之间的联系，努力把“静态的”知识赋予“生命”。因此我们要善于将教材的知识“过程化”，激发学生参与的热情。
教学资料包
说课设计：《运算律》说课稿
（1）教材分析
教材的地位与作用：
苏教版小学数学四年级下册第七单元“运算律”第一课时的内容。乘法分配律涉及到乘法和加法两种运算。教材中实际情境中引出问题，引导学生用不同的方法进行解答，引导学生观察、比较列出两道算式，发现他们的内在联系，再让学生例举同类算式，分析共同点，从中发现乘法分配律，并用字母表示出来，练习中安排了应用乘法分配律进行简便计算，以及把乘法分配律延伸到它的逆应用和类推到两个数的差与一个数相乘，使乘法分配律的概念得到了有效的延伸。
在学生已经学过乘法交换律和乘法结合律的基础上学习的，教学乘法分配律，不仅有利于学生从整体上了解整数范围类的基本运算律，而且有利于他们更灵活地解决计算问题，提高计算能力。
（2）学情分析
四年级学生思维活泼，接受能力强，具有一定的数学知识和技能。学生在第七册学习了加法和乘法的交换律、结合律，以及应用这些运算律进行简便计算，已经初步具备探索和发现运算律并运用运算律进行简便计算的经验，为学习新知识奠定了基础。所以本节课我将引导学生通过交流、观察、操作、归纳等方式自主建构新知识。
（3）教学目标
1）知识与技能目标：
使学生在解决问题的过程中发现并理解乘法分配律，初步体会应用乘法分配律可以使一些计算简便。
2）过程与方法目标：
使学生在发现规律的过程中，发展比较、分析、抽象和概括能力，增强用符号表达数学规律的意识，进一步体会数学与生活的联系。
3）情感与态度目标：
使学生能联系实际，主动参与探索、发现和概括规律的学习活动，感受数学规律的确定性和普遍适用性，获得发现数学规律的愉悦感和成功感，增强学习的兴趣和自信。
（4）重点、难点
重点：充分考虑教材的特点，以及学生的认知规律，我认为理解乘法分配律的意义
难点：引导学生经历探索并发现乘法分配律的过程。
（5）教法、学法
教法：本着以学生为中心，充分发挥学生的自主能力和创新能力，调动学生的积极性的教学理念。本节课我采用了情境教学，动手实践等教学方法
学法：本节课我采用了动手实践、合作交流等学习方法。
（6）说教学过程
一、创设情境，导入教学
谈话：同学们，我们学校有5个同学就要去参加“无锡市少儿书法大赛”了，书法组的张老师准备为他们每人买一套漂亮的服装，我们一起去看看好吗？（课件出示例题情境图）
【设计意图：创设与学生生活相联系的情境，让学生感受生活中的数学问题，激发学生学习的兴趣】
二、
自主探究，合作交流
1.
交流算法，初步感知。
（1）提问：从图中你获得了哪些信息？
再问：买5件上衣和5条裤子，一共要付多少元呢？请同学们在自己的本子上列出算式，再算一算。
（2）组织学生交流自己的解题方法，再分别说说两个算式的意义。根据学生回答，教师利用课件演示，帮助解释。
谈话：两个算式解决的都是同一个问题，它们的计算结果也相等，那你会把这两个算式写成一个等式吗？
（3）谈话：如果老师不这样选择，还可以怎样选择？（买5件短袖衫和5条裤子）
提问：买5件短袖衫和5条裤子，一共要付多少元呢？你能用两种方法解答吗？
根据学生回答，列出算式：32
×
5
+
45
×
5
和
（
32
+
45
）
×
5。
（4）再问：这两个算式有什么关系？可以用什么符号把它们连接起来？
启发：比较这两个等式，它们有什么相同的地方？
【设计意图：引导学生在自主探索的活动中，感悟和发现乘法分配律，变教学生“学会”为指导学生“会学”。先组织学生通过用两种不同的方法解决一些实际问题，在两个不同的算式之间建立起联系，得到了两个等式，并比较这两个等式有什么相同的地方，让学生初步感知乘法分配律。】
2.
深入体验，丰富感知。
引导：现在请每个小组拿出信封中写有算式的纸条，想一想在这几组算式中，哪些可以用等号连起来，哪些不能？
分组汇报、交流。
要求：你能写出一些这样的等式吗？ 学生举例并组织交流。
【设计意图：给学生提供体验感悟的空间，为学生提供符合乘法分配律和不符合乘法分配律的五组算式，引导学生在小组辨析与争论中，进一步形成清晰的表象。在此基础上，让学生自己再写出一些符合乘法分配律的等式，既为概括乘法分配律提供更丰富的素材，又加深了对乘法分配律的认识。】
3.
揭示规律。
（1）提问：像这样的等式，写得完吗？
你能用自己的方式把这些等式中存在的规律表示出来吗？请同学们先在小组里说一说。
（2）反馈时引导学生用不同的方式表达。（学生可能用语言描述，可能用字母表示……）
小结：a加b的和乘c，与a乘c的积加b乘c的积的和是相等的。这就是乘法分配律。[板书：（a
+
b）
×
c
=
a
×
c
+
b
×
c]
你们发现的这个知识规律，叫做乘法分配律。什么叫乘法分配律？请同桌再交流一下。
4.能用字母来表示乘法分配律吗？结合学生回答，教师板书：
?（a＋b）×c=a×c＋b×c
对于乘法分配律，用字母来表示，感觉怎样——（稍等）简洁、明了。这就是数学的美。
【设计意图：让学生积极地动手实践、自主探索及与同伴进行交流，亲历观察、归纳、猜测、验证、推理等探究发现的全过程，
学生不仅发现乘法分配律的知识，而且学习科学探究的方法，数学思维的能力得到了发展。】
（三） 实践运用，巩固内化
1.请运用乘法运算定律，回答下面各题：
??①（32＋25）×4
=
□×4＋□×4
??②（64＋12）×3
=
□×□＋□×□
??③25×（4＋9）=
□×□＋□×□
??④75×64
=
□×□＋□×□
【设计意图：前面三题，学生很快根据乘法分配律正确地填数。由于第④题是开放的，有的把75写成两个加数的和再乘64的形式，也有的将64拆成两个加数的和再乘75的形式等，再运用乘法分配律进行填数。】
2.选择。请用手势表示正确答案的编号。
与
25×（4×8）相等的算式是（
）。
①25×4＋25×8；
②25×4×25×8；
③25×4×8
【设计意图：通过辨析，学生更加清楚乘法分配律的内涵及与乘法结合律的区别。】
3.完成第3、4题，比较两种方法中的哪种方法比较简便，渗透简便计算的思想
4.做第5题，重点提示学生第2题
48×3-45×3可以写成（48-35）×3。
把分配律中的加法类推到减法。
【设计意图：
练习设计层次清楚，重点突出，形式活泼，有效地促进学生知识的内化。这些教学活动使学生经历了知识的形成过程，有利于学生改善学习方式。】
（四）回顾再现，升华新知
今天我们学习了什么知识，我们是怎么来学习的？
【设计意图：在本节课即将结束之时，让学生畅谈学习收获，不但培养了学生的大胆表达自己的情感，而且将所学知识得到及时有效的梳理和巩固。】
四、提纲挈领——说板书
运算律---乘法分配律
（
65
+
45）×
5
=
65
×5+45×
5
（
32
+
45
）×
5=32
×
5
+
45
×
5
（a
+
b）
×
c
=
a
×
c
+
b
×
c
【设计意图：良好的板书就是一个微型的教案，是课堂教学的缩影。本课的板书，简洁明了，展示学生知识形成的过程，抓住教学脉络，有利于学生知识的自我建构。】
7
问题解决（一）
教学内容
知识点：相遇问题。
教材第19～22页，例1，课堂活动1，练习六1，2。
教学提示
教学例1时，要把例1及“试一试”看作一个整体来学习。可以先复习速度、时间和路程之间的数量关系。然后重点理解相向运动的含义，可以借助学生表演，多媒体展示，让学生理解什么是“同时出发”，什么是“相向而行”，什么是“相遇”，以帮助学生进一步弄清题意，使学生直观理解余刚和苗苗在相遇时两人走过的路程的和就是他们两家之间的举例。之后，让学生独立探索解决，再组织学生交流各自的解题策略和具体方法，并引导学生反思自己的思路和解法。
教学目标
知识与技能：
尝试探索运用所学知识解决问题的方法，培养学生的运用意识和解决实际问题的能力。
过程与方法：
在与他人合作、交流的基础上，会进行反思和总结并形成解决具有“相遇”问题特征的数学问题的基本策略，同时体会解决问题策略的多样性。
情感与态度：
在解决问题的过程中，使学生获得问题解决的积极的情感体验。
重点、难点
重点
认识具有“相遇”问题特征的数学问题的基本特征。
难点
学会解决“相遇”问题的基本策略。
教学准备
教师准备：投影仪；多媒体课件。
学生准备：练习本；草稿本。
教学过程
（一）复习导入：
课件出示：余刚每分钟走75米，从家出发走5分钟，可以到达少年宫，余刚家与少年宫相距多少米？
教师:请同学们先仔细阅读题目后，说说你是怎样想的？
学生汇报自己的想法：要求“余刚家与少年宫相距多少米？”就是求余刚行走的路程，路程=速度×时间。
教师：这是一道行程问题，所涉及到的基本数量关系是：路程=速度×时间。
我们研究的是一个人行走在家和少年宫之间的问题，如果是两个人从各自的家同时出发相向而行会出现哪些情况？大家分析一下。
（组织学生讨论）
教师：好，我们今天一起来解决两人相向而行的问题。
设计意图：引导学生复习行程问题中的基本数量关系，为新课学习做好准备。
（二）探究新知：
1.课件出示，教材第19页，例1。
教师:请同学们先看看屏幕，仔细观察，你获得了哪些信息？
（1）理解信息：
两人的速度各是多少？两人行走的时间各是多少？（行走时间相同）为什么？（经过5
分两人正好在少年文化宫相遇）。
两人行走的方向是怎样的？什么是相向而行？请两个同学上台表演一下。
（2）分析问题：
由于两人同时出发相向而行，那么当两人相遇时，他们所走的路程与两人的家相距多少米有什么联系？说说你的想法。如果用线段图表示余刚所走的路程怎么画？苗苗所走的路程怎么画？
（3）独立思考、合作解决：
解题思路1：先算余刚走的路程，再算苗苗走的路程，最后把两人行驶的路程加起来：75×5+60×5。
解题思路2：先算余刚和苗苗每分行一共多少米，再算两人5分行多少米：（75+60）×5。
教师：你喜欢哪一种算法？为什么喜欢？
教师：两人都说到了第二种解法更简便，那么你理解哪种方法就用哪种方法。
如果两种方法都理解，那你喜欢哪种方法就用哪种方法。
（4）变换条件，进一步分析解决问题：
出示教材第19页，试一试。
①教师：现在两车是同时出发的吗？那么甲乙两辆车走的路程与刚才例1中所走的有什么不同？用线段图如何表示呢？
②独立思考、合作学习。
教师：对这个问题，你是怎么想的？怎么解决的？可能出现的解题思路。
解题思路1：先算甲车行驶的路程，再算乙车行的路程，最后把两车行驶的路程加起来：45×3+52×3。
解题思路2：先算甲车和乙车每时行一共多少千米，再算两车3时行多少千米：（45+52）×3。
设计意图：教师在教学中要对学生的画图进行指导，给予学生充分的时间，培养学生独立思考的能力。
（三）巩固新知：
教材第21页，课堂活动1。
教师：根据已知的数学信息，大家可以提出什么问题？
师：如果求王刚和丽丽两家相距多少米？又要怎样求出一共走的路程呢？请认真思考。
（1）独立思考解答。
（2）四人小组交流自己的解决方案。
（3）全班交流。
解题思路1：先算丽丽2分行驶的路程，再算7分两人各自行驶的路程，最后把它们加起来。
可以是200×2+600×7+200×7；也可以是
200×2+（600＋200）×7。
教师：思路一样，解题的算式不同，你喜欢哪种？为什么可以这样列式？
解题思路2：把王刚行驶的也看成和丽丽一共行驶的9分，用总的路程减去王刚少行2分的路程：（600＋200）×9-600×2。
解题思路3：分别算出王刚行驶的路程和丽丽行驶的路程，然后再相加：600×7+200×（2+7）。
教师随学生的讨论、交流把算式板书在黑板上。
教师：这些解决问题的方法中，哪一种是你最能理解的？你最喜欢哪一种？请把它的解题思路和同桌相互说说吧！
（4）加深认识。
教师：解决这样的问题，关键是理解题意，明白两人一共行驶的路程就是他们两家之间的距离。
在思考解题方法时，可以按自己的理解去列式解答。
设计意图：教师指导学生通过独立思考、讨论交流、归纳整理等多种学习方式，使学生掌握扎实的基本数学技能。
（四）达标反馈
习题：
1.教材第22页，练习六，第1题。
2.教材第22页，练习六，第2题。
答案：
1.1075千米。
2.1800米。
（五）课堂小结
教师：通过本节课解决问题的讨论，你有什么体会？
教师：学习数学知识，就应该用来解决现实问题，在思考解决办法的过程中，如果都像这节课一样，开动脑筋，多角度的去思考，你们解决问题的能力会有更大的提高。
（六）布置作业
第7课时：
1.
甲、乙两人行路,甲每分钟走60米,乙每分钟走75米,甲从东镇去西镇,
乙从西镇去东镇,两人同时出发,经过20分钟两人相遇,求东西两镇间的路程有多少米？
2.
快车和慢车分别从A,B两地同时开出,相向而行。经过5小时两车相遇，快车每小时行60千米，慢车每小时行35千米。AB两地相距多少千米？
3.挖一条长165米的隧道，由甲、乙两个工程队从两端同时施工。甲队每天向前挖6米，乙队每天向前挖5米，挖通这条隧道需要多少天？
4.王刚和李红家相距840米。王刚去给李红送书，为节省时间，两人同时从家出发。王刚平均每分走63米，李红平均每分钟走57米。几分钟后两人相遇？
5.小明和小青两家相距1500米，两人同时从自己家出发，相向而行，经过10分钟相遇。小明每分钟走70米，小青每分钟走多少米？
答案：
1.2700米。2.475千米。3.15天。4.7分钟。5.80米。
板书设计
问题解决（一）
75×5+60×5
（75+60）×545×3+52×3
（45+52）×3200×2+600×7+200×7
200×2+（600＋200）×7（600＋200）×9-600×2600×7+200×（2+7）
教学反思
本节课要充分发挥多媒体课件的作用，从学生熟悉的生活巧妙地引入到怎样解决问题中，激发学生主动探究的欲望。激活学生原有的知识与经验，使学生处于主动探索知识的最佳状态。在思考与交流的活动中培养学生根据具体情况选择算法的意识和能力，发展思维的灵活性。
教学资料包
资料链接
中国数学家——徐利治
徐利治，出生于江苏省沙洲县（今张家港市）东莱乡一个普通木匠家庭。10岁时父亲去世，由母亲帮人做衣维持生活。14岁以年级第一名的成绩毕业于小学，考上全部公费的江苏省立洛杜乡村师范学校。他在校期间成绩优异，并博闻广读，自学《查理斯密大代数》，开始钻研数学经典。许多数学名家的传记故事对他后来从事数学研究颇有启示。抗日战争初始，徐泉涌来不及回故乡，与同学结伴向西南逃亡。1938年考入贵州铜仁国立第三中学师范部。他在生活十分艰苦的条件下发奋读书，尤其热爱数学，做了不少难题，1940年毕业后即以高中同等学历考取西南联合大学数学系。报考大学时，徐泉涌将自己的名字改为徐利治。
入大学不久，由于经济原因，徐利治不得不暂时休学，到四川重庆中学教书。一年后返回大学。当时的西南联合大学人才荟萃，徐利治直接受业于华罗庚、许宝騄等著名教授门下，得益匪浅。他悉心钻研数学名著，参加数学讨论班，接触到研究工作前沿，学会独立思考问题。大学期间他就写出4篇专业研究论文在国际数学杂志上发表。1945年毕业时被华罗庚教授举荐，留在西南联合大学任其助教。
1946年，组成西南联合大学的三所大学（北京大学，清华大学，南开大学）分别迁回北京（当时称北平）和天津。徐利治应聘到北京清华大学任助教。在当时的清华大学，一般人要任六七年助教才提为教员，但徐利治只用了不到3年时间便由助教升为教员。在此期间他相继发表了一批有国际影响的论文。1949年北平解放前夕，徐利治获得了英国文化委员会的奖学金，作为当年该奖学金资助中唯一一名数学研究人员，赴英国阿伯丁大学和剑桥大学访问进修各一年。1951年回国后，担任了清华大学数学系副教授，同时兼任北京师范大学数学系副教授。
徐利治
1952年，为了支援东北的文化建设，徐利治同王湘浩、江泽坚等人一起自愿去到长春，在原东北人民大学组建了数学系，徐利治任数学系副主任。他每年至少讲授两门数学专业课，从1954年起还创办函数逼近论讨论班，培养了一批从事该方面研究的专门人才，他本人也在渐近分析与函数逼近论等方面取得一定成果。1956年被提升为正教授。
1956年春徐利治作为中国科学院三人代表团成员参加了莫斯科全苏泛函分析及其应用会议。回国后他在东北人民大学数学系创办计算数学专业，与苏联专家合作开设了全国计算数学的第一个培训班，培养出从事计算数学研究的首批专业人员。1958年东北人民大学更名为吉林大学。80年代初吉林大学计算数学专业成为国内第一批博士授权点，徐利治成为国内首批博士生指导教师，这与他当时奠定的基础是分不开的。
1961年徐利治受聘为美国《数学评论》杂志的特约评论员。此时他已发表了50多篇学术研究论文，出版了两部专著。但几年之后，“文化大革命”开始了，正常的教学和科研陷于瘫痪，徐利治就躲在家里潜心研究学问。1970年他被送到吉林省长岭县插队落户，在繁忙劳作之余仍孜孜不倦地钻研数学，先后在国外发表了数篇有创见性的论文。1975年9月他重返吉林大学执教，很快又倡议办起了非标准分析讨论班，并担任主讲。
从1980年起，徐利治除在吉林大学任职外，还在大连理工大学（原大连工学院）和华中理工大学（原华中工学院）兼职。1981年大连工学院成立应用数学研究所，徐利治担任了首任所长，同时兼任华中工学院数学系主任。是年，在大连工学院和华中工学院两校领导的支持下，他创办了全国性专业杂志《数学研究与评论》，并成为首任主编。也是在这一年，大连工学院和华中工学院两校成为国家教育部批准的硕士授权点。1984年徐利治成为大连理工大学博士生指导教师。
徐利治
1981年8月徐利治赴西德汉堡参加了第九届国际运筹学会议，次年7月又得到西德科技促进会的资助，到波恩参加了国际数学规划会议，并在会上作了中国东北运筹学发展情况的报告。1983年1月他作为中国逼近论代表团团长，去美国参加了在德克萨斯举办的国际逼近论会议。大会单独为他提供经费，并请他作了1小时的全会报告，介绍中国在逼近论方面近年来的发展概况。会后他还应邀到西弗吉尼亚大学、匹兹堡大学和斯坦福大学短期访问，并作学术报告。1985年6月他取得美国国家科学基金的资助。赴美进行科研合作。其间他参加了在加拿大埃德蒙顿举行的国际逼近论会议和在哈里法克斯举行的数值积分高级研究会。1986年夏他又受聘为美国德克萨斯州A&M大学客座教授。1987年初再赴加拿大曼尼托巴大学和里金纳大学访问讲学。
8
问题解决（二）
教学内容
知识点：相遇问题。
教材第20～22页，例2，算一算，课堂活动2，练习六3，4，5。
教学提示
例2是例1的拓展，是利用类似例1的数量关系进行逆运算来解决的简单实际问题。教学时，将例1的条件和问题改成求相遇时间的问题，再将这样的问题转化成例2这样的问题，让学生讨论解答，同时比较这两类问题的区别与联系。
教学目标
知识与技能：
正确运用相遇问题特征的解决策略，解决类似的实际工作问题。
过程与方法：
经历解决数学问题的过程，进一步体会具有相遇问题特征的数学问题在实际工作中的应用，培养学生分析解决问题的能力。
情感与态度：
在解决数学问题的过程中，能感受到解决数学问题的成功体验，激发分析、解决问题的兴趣。
重点、难点
重点
选择解决问题的策略，能用不同的策略解决同一问题。
难点
选择解决问题的策略，能用不同的策略解决同一问题。
教学准备
教师准备：投影仪；多媒体课件。
学生准备：练习本；草稿本。
教学过程
（一）复习导入：
1．（课件出示）：甲、乙两人约定同时从自己家出发去少年文化宫。他们两家相距425米，如果甲每分走45米，乙每分走40米，他们正好在少年文化宫相遇，经过几分两人正好在少年文化宫相遇？
学生独立完成后，再全班交流解题思路。
2.教师：如果我们把本题中两人看成两个工程队，把他们走的速度看成工程队的工作效率，那么两人走的时间相当于工程队的什么？（工作时间）两人走的路程相当于工程队修复的公路。
即可以把本题改为下面的问题。
看看你会解吗？
课件出示改后的问题：甲、乙两队共同修一条路，甲队从A端每天修45米，乙队从B端每天修40米，7月25日起从这段路的A、B两端同时开工，到7月30日（含7月30日）修通这段路，这段路有多少米？
（1）教师：请认真看大屏幕，自己解决这个问题，然后说说你是怎样想的。
（2）说一说（45+40）的和表示什么，乘6的积又表示什么。
如果将这条路的长度当成已知条件，两队每天修路的米数和同时开工的时间不变，问8天能否修完，又该怎样解答？
设计意图：利用例1的学习进行迁移，将知识内化，使学生对新知的学习能更好的进行建构。
（二）探究新知：
1.分析解决问题，课件出示教材第20页，例2。
教师：你从题中获得了哪些信息，弄清了要求哪些问题；
2.分析解决问题：
（1）教师：要求8天能否修完，你有什么办法来回答这个问题？先独立思考后再与同桌伙伴商量你的想法是否正确。
（2）汇报。
（3）教师：除通过比较时间来回答问题外，你还有其他方法吗？
教师：你理解哪种算法？两种算法都求什么？（第一种算法求时间，第二种算法求8天可以修多少米）
（4）改问题，再分析解决。
（课件出示教材第20页，算一算）
修复完这段公路时，甲队比乙队多修了多少米？你能回答吗？
先独立思考，再列出算式。
对可能出现的解题思路作分析。
45×6-40×6或(45-40)×6
你能说一说每个算式的解题思路吗？
你理解了这两种解题思路了吗？喜欢哪一种？为什么？把你的想法与同桌交流。
（5）加深对问题的分析。
教师：解决例2的问题，你是怎样想例2的第2问呢？
所以对一个问题的解决，有时不止用一种方法，在多种解法中，你应该尽量用什么方法解决呢？（用自己理解的、更简便的方法解决）
设计意图：新知的学习是本节课的重点也是难点，通过教师对问题的重新设计和呈现，让学生对知识的学习更有层次。
（三）巩固新知：
教材第21页，课堂活动2。
学生先独立思考解答，再同桌交流。
（四）达标反馈
习题：
1.教材第22页，练习六，第3题。
2.教材第22页，练习六，第5题。
答案：
1.192吨。
2.不能。
（五）课堂小结
今天的学习你都有些什么收获？你还有什么问题？
（六）布置作业
第6课时：
1.教材第22页，练习六五，第4题。
2.甲、乙两货车上午8时同时从A、B两地相对开出，甲车每时行45km，乙车每时行40km，下午13时两车途中相遇。你知道A、B两地相距多远？
答案：
1.3400；1040；480；8000；3672；2400。
2.475。
板书设计
简便运算（二）
（45+40）×6
①510÷（45+40）
②（45+40）×8＝85×6
＝510÷85
＝85×8＝510（米）
＝6(天)
＝680（米）答：这条公路长510米。
答：8天可以修完这条路。45×6-40×6或(45-40)×6
教学反思
这节课是在学生已经掌握了“两人的速度和×时间=两人所走的路程”的基础上展开教学的，并且本节课是利用类似于由这类数量关系推出“两人所走路程的和÷两人的速度和=时间”的数量关系来解决的简单实际问题。但是不管是求所行路程还是求类似于所行时间的问题，虽然事件不同，数量名称不同，但数量之间的关系相同都是行程问题的数量关系。上节课学生掌握的有关知识，可以直接用于本节课的学习。因此，本节课一开始就从学生原有知识入手展开对新知识的研讨，通过旧知识和新知识的转化比较，沟通了新旧知识的内在联系，帮助学生找准新旧知识的相同点和不同点，便于学生能有效地借助原有知识来分析、解答新的问题。在分析解答问题的过程中，还尽可能地让学生发表自己的意见，充分发挥学生学习的主体作用。尊重学生从不同角度、用不同的方法对问题的分析和解答方法的解释，鼓励学生的多向思维，从中培养学生的创新意识。由复习引入中的第一题转变成第二题，老师特意让学生经历转变的过程，既利于拓展学生的思路，激发学生充分的想象，活跃思维，又让学生直观地认识，并沟通了两类问题的关系，使学生能更好地掌握行程问题的数量关系和解决问题的策略。此外，教学中还注重学生的相互讨论，注重用线段图再造“行走”或修路的情景，为学生的分析提供表象支持，这些都是新课程理念在教学中的体现，通过这些教学把新课程的教学目标落到实处。
教学资料包
资料链接
中国数学家——许宝騄
许宝騄幼年随父赴任，曾在天津、杭州等地留居，大部分时间都由父亲聘请家庭教师传授，攻读《四书》、《五经》、历史及古典文学，10岁后就学作文言文，因此他的文学修养很深，用语、写作都很精练、准确。1925年才进中学，在北京汇文中学从高一读起，1928年汇文中学毕业后考入燕京大学理学院。由于中学期间受表姐夫徐传元的影响，对数学颇有兴趣，入大学后了解到清华大学数学系最好，决心转学念数学。1929年入清华大学数学系，仍从一年级读起。当时的老师有熊庆来、孙光远、杨武之等，一起学习的有华罗庚、柯召等人。1933年毕业获理学士学位，经考试录取赴英留学，体检时发现体重太轻不合格，未能成行。于是下决心休养一年。1934年任北京大学数学系助教，担任正在访问北京大学的美国哈佛大学教授奥斯古德的助教，前后共两年，奥斯古德在他后来出版的书中，提到了许宝騄的帮助。奥斯古德是分析方面的专家，在这两年内许宝騄做了大量的分析方面的习题，也开始了一些研究，1935年他发表了两篇论文，其中一篇是与江泽涵合作的，都是分析方面的论文。那时芬布尔和阿蒂肯合写的《标准矩阵论》已出版，许宝騄熟练地掌握了矩阵的工具，尤其精通分块演算的技巧。所以这两年内他在分析和代数两方面都打下了扎实的基础。1936年许宝騄再次考取了赴英留学，派往伦敦大学学院，在统计系学习数理统计，攻读博士学位。1938年许宝騄共发表了3篇论文。当时伦敦大学规定数理统计方向要取得哲学博士的学位，必需寻找一个新的统计量，编制一张统计量的临界值表，而许宝騄因成绩优异，研究工作突出，第一个被破格用统计实习的口试来代替。1938年他获得了哲学博士学位。同年，系主任内曼受聘去美国加州大学伯克利分校，他推荐将许宝騄提升为讲师，接替他在伦敦大学讲课。1939年，许宝騄又发表了两篇论文，1940年又发表了3篇。其中两篇文章是数理统计学科的重要文献，在多元统计分析和内曼－皮尔逊理论中是奠基性的工作，因此他获得了科学博士的学位。
抗日战争爆发后，他决定回国效劳，终于在1940年到昆明，在西南联合大学任教。钟开莱、王寿仁、徐利治等均是他的学生。在1945年秋，他应邀去美国加州大学伯克利分校和哥伦比亚大学任访问教授，各讲一个学期，学生中有安德森，莱曼等人。1946年到北卡罗莱纳大学任教。一年后，他决心回国，谢绝了一些大学的聘任，回到北京大学任教授。1948年他当选为中央研究院院士。回国后不久就发现已患肺结核。他长期带病工作，教学科研一直未断，在矩阵论，概率论和数理统计方面发表了10余篇论文。1955年，他当选为中国科学院学部委员。1963年发现肺部有空洞，他的结核菌已有抗药性时，组织屡次安排他休养，他均谢绝，并且一个人领导3个讨论班（平稳过程、马氏过程、数理统计），带领青年人搞科研。他在60年代中期，对组合数学有浓厚的兴趣，1966年初，与段学复教授联合主持组合数学的讨论班，因“文化大革命”而被迫中断。然而他自己不顾条件如何，始终坚持科研，在1970年12月逝世时，他床边的小茶几上还放着一支钢笔和未完成的手稿。1983年，德国施普林格出版社刊印了《许宝騄全集》
，全集是由钟开莱主编的，共收集了已发表的、未被发表的论文40篇。1980年与1990年秋，北京大学两次举办纪念会，并出版了《许宝騄文集》。
9
问题解决（三）
教学内容
知识点：乘法分配律的实际应用。
教材第20～23页，例3，课堂活动3，练习六6，7，8，9，思考题。
教学提示
例5教学乘法分配律的应用，共安排了2道小题。第1小题是顺向应用乘法分配律，第2小题是逆向应用乘法分配律，目的是让学生明确运算律可以正向应用，也可以逆向应用，要根据具体情况灵活使用。
教学目标
知识与技能：
结合已有的学习经验和生活经验，综合运用所学知识和技能解决较复杂的实际问题。
过程与方法：
经历解决数学问题的过程，学会解决数学问题的一些基本方法。
情感与态度：
在解决数学问题的过程中，能感受到解决数学问题后的成功体验，提高应用数学的意识和解决问题的能力。
重点、难点
重点
学会针对具体问题选择解决问题的策略。
难点
能解决较复杂的数学问题。
教学准备
教师准备：投影仪；多媒体课件。
学生准备：练习本；草稿本。
教学过程
（一）复习导入：
教师：上个星期，我们到电影院看了一部精彩的影片，叫什么名字？
教师：在看电影之前，你们最关心什么？猜一猜，每一场电影放映之前,电影院的经理最关心什么？
生:猜想，电影院的经理最关心卖出了多少张票。
教师：对，我们关心的是电影的内容，经理最关心的是票房收入。
板书：票房收入。
一场电影票房收入的多少与哪些因素有关？
板书：票价，观看人数。
设计意图：对新知教学进行铺垫，让学生理解题目信息，为接下来的学习做好准备。
（二）探究新知：
1.教学教材第20页，例3。
教师：请看这样一个事例。
课件出示：小影院共有甲票座位50个，乙票座位100个。甲票30元/人，乙票10元/人。
教师：你了解了哪些信息？
教师：什么情况会使电影院经理最开心？
教师：如果告诉你本场票房收入为2300元，请估计，电影票全部卖完了吗？（同时打出：本场电影票房收入2300元）说出判断结果的依据？
1500+1000=2500元，但只收入了2300元，说明电影票没有全部卖完。
教师：票房收入2300元，说明有空位，看电影的究竟有多少人呢？
出示：本场观众最少有多少人？
教师：想想：什么情况下，人数最少？结合信息思考。
教师：对，甲票尽量卖完，应有50人。
（板书）按照这样的思路能解决这个问题吗？尝试一下，独立解决。
依照学生的思路，教师板书。
甲票卖完，就有50张，也就是有50人。
乙票卖的张数是：（2300-30×50）÷10=80（张），也就是有80人。
观众最少有：50+80=130（人）。
教师：怎么才能知道我们做得对不对呢？（引导学生验算）
教师：解决这个问题的基本思路是要使观众最少，就尽可能多的卖出贵的票。
教师：回忆解决这个问题的思路，什么情况下观众最少？（尽可能多卖贵的票）在具体解决时，有可能遇到不恰当的情况，要认真分析作出调整。
当然，根据票房收入2300元算出的观众人数最少只是其中的一种可能，不排除有其他人数的可能。
这个，同学们可以在课后研究。
设计意图：将新知学习从课内引导课外，向学生渗透数学知识在生活的广泛应用，让学生对数学有更多的了解。
（三）巩固新知：
1.教材第21页，课堂活动3。
学生小组交流讨论，然后再集体汇报。
2.教材第23页，思考题。
要求小狗跑了多少米，其实就是求两人相遇的时间与小狗的速度相乘。
（四）达标反馈
习题：
1.教材第23页，练习六，第6题。
2.教材第23页，练习六，第7题。
答案：
1.41盒。
2.20棵。
（五）课堂小结
今天的学习你都有些什么收获？你还有什么问题？
（六）布置作业
第6课时：
1.教材第23页，练习六，第8题。
2.教材第23页，练习六，第9题。
3.精装80元/套，简装30元/套，春苗书屋新进了《上下五千年》精装20套，简装30套。王老师为学校图书馆购这种书共花了1540元。他最多买了多少套？
答案：
1.560千米。
2.16元。
3.（1540－30×30）÷80＋30＝38（套）。
板书设计
问题解决（三）
票房收入
票价
观看人数甲票尽量卖完，50人。乙票：（2300-30×50）÷10=80（人）。观众最少有：50+80=130（人）
教学反思
一．放得开、收的快
“行程问题”的教学——反严谨、步步到位的传统教学方式，而采取“大放”策略——全面铺开，让学生自主建构。但是鉴于学生对知识准备的估计不足，还有课堂调节的方式不够完美，可能会导致没有完全收到预期的教学效果，集中体现在“收的快”上。不能超越课堂，无形之中收到预设的教学目标和教学内容的束缚，在课堂上不敢大放手脚，学生还意犹未尽就硬生生的收了回来，从而没能真正的进行“开放教学”。
二．细节处理不到位
课堂教学的一些细节部分讲解不够到位，学生的掌握程度也出现个别的偏差，特别在“速度单位”这一教学环节上，概念呈现过早，导致学生理解不透，影响了以后的知识迁移。
三、教学思维“迁移”不够
说到教学效果，我们不得不关注教学思维的“迁移”，这也完全符合理论联系实践，知识运用于实际的原理。课堂中学到的教学知识是为了更好地运用于实际生活，应该说大部分同学通过一节课的学习，基本上可以运用“行程问题”中的有关理论、有关公式算理解决一些实际问题，但也存在少部分同学还停留在课本当中，停留在课堂之中的现象。这和我们新课程理念是有一定的偏差的。
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中国数学家——王湘浩
1915年5月5日生于河北省安平县。其父王桂山，字仙府，靠耕田和卖药为生，在村里免费行医；时常鼓励王湘浩读书，希望他将来做个教师。叔父早年毕业于天津北洋大学。在父亲和叔父的影响下，1931年王湘浩初中毕业后，考取了北洋工学院附属高中。当时北洋工学院的附属高中实际上是大学预科性质，毕业后可以不经考试升入本科。王湘浩自小喜欢数学，小学和中学数学成绩一直很突出。但是，图画、手工课成绩却很差。读北洋工学院附属高中需要学机械制图，王湘浩很难应付，逐渐失去了读工科的兴趣。1933年高中毕业时，他放弃直接升入北洋工学院本科的机会，考取了北京大学算学系（数学系）。
王湘浩在北京大学数学系学习，如鱼得水，才能得到充分发挥，成绩遥遥领先，受到老师们的称赞。在三四年级时他获得每年240元的最高奖学金。
1937年，王湘浩在北京大学数学系毕业时恰值抗日战争爆发，北京大学南迁。王湘浩先回到河北家乡，继而去西安，最后到长沙投奔由北京大学、清华大学、南开大学三校成立的临时大学。他在江泽涵教授的帮助下，留在临时大学数学系任助教，结束了流亡生活。1938年春，长沙临时大学迁往昆明，改名西南联合大学。王湘浩在该校当了两年助教后，1939年成为江泽涵教授的研究生，专攻拓扑学；1941年毕业，担任西南联合大学讲师。1946年夏，他到美国普林斯顿大学，在著名代数学家E．阿廷指导下攻读学位，1947年夏取
王湘浩和学生们得硕士学位，1949年春又取得博士学位，其博士论文的题目是《关于格伦瓦尔德定理》。1949年6月他启程回国，经香港、天津，8月到北京，被北京大学数学系聘为副教授，1950年晋升教授。他在1952年院系调整时，到东北人民大学（后改名为吉林大学）数学系任系主任。1955年他被选为中国科学院学部委员。1976年吉林大学计算机科学系成立后，王湘浩任该系系主任，后兼任吉林大学副校长。
王湘浩1954年加入中国民主同盟，曾任吉林省民盟副主任委员，长春市民盟主任委员，民盟中央委员和参议委员。并曾任长春市政治协商会议副主席，全国人民代表大会代表。
王湘浩还曾担任中国数学会理事，中国计算机学会副理事长，中国计算机学会人工智能专业委员会主任，全国高校人工智能研究会会长，吉林省及长春市计算机学会理事长，长春市数学会理事长和长春市桥牌协会主席。
王湘浩是中国第一批计算机学科博士导师之一，曾任国务院学位委员会计算机学科评议组组长
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整理与复习（一）
教学内容
知识点：本单元综合整理。
教材第24～27页，整理与复习1，2，3，4，练习七1，2，3，4，9，11，13。
教学提示
在整理与复习的教学中，可以先让学生独立回忆填写整理复习表，再组织学生相互交流比较讨论，再让学生独立修正、完善、整理复习表。让学生从整体上清晰的再认识本单元的知识内容，并加深理解，掌握本单元知识。
教学目标
知识与技能：
通过整理与复习，提高学生综合运用所学知识的能力。
过程与方法：
体验学习整理知识的一种新方式——表格法。
情感与态度：
培养学生归纳、整理所学知识的能力，养成自觉整理所学知识，反思学习过程中的收获与问题的良好习惯。
重点、难点
重点
让学生体验对本单元知识的有序整理，巩固本单元知识。
难点
让学生体验对本单元知识的有序整理，掌握本单元知识。
教学准备
教师准备：投影仪；多媒体课件。
学生准备：练习本；草稿本。
教学过程
（一）复习导入：
教师：同学们，这一段时间我们一起学习了第二单元《乘除法的关系和乘法运算律》。
今天这节课，我们一起来对这部分知识进行整理与复习，进一步巩固所学知识，并弥补我们学习中的一些不足。
（板书课题：整理与复习一）
设计意图：明确学习方向，使学生快速进入到学习状态。
（二）探究新知：
课件出示为学生设计好的表格。
本单元主要内容
最大的收获
最感兴趣的内容
存在的问题
教师：今天，我们将学习一种新的整理方法——表格法。
请同学们看这张表格里有4栏，内容分别是……
提出要求：
（1）认真回忆本单元所学知识，然后根据自己的实际情况填表。
（2）填完以后同学们在四人小组内交流自己整理的内容，看看还有哪些需要补充、修改的地方。
流程：
A.学生独自进行单元整理并填表。
B.组织学生小组合作学习，并对自己的填表进行修改补充。
C.组织学生全班交流。
教师：哪位同学愿意把自己整理的表格展示给大家看看？在展示台上出示学生的作品，组织学生评议。
教师：你认为他对本单元知识的整理是否全面呢？有什么修改意见吗？
注意：乘除法之间的关系，要求写出关系式；乘法运算律，最好能用字母式子来表达。
教师：通过回忆本单元知识，同学们还总结了自己在学习中的收获与问题，你们有这么多的收获，老师真为你们感到高兴。
设计意图：利用表格整理，让学生感受到知识整理的新方法，通过有序的整理，为学生掌握正确的学习方法做好指导。
（三）巩固新知：
1.教材第24页，第1题。
学生独立计算，集体订正。
2.教材第24页，第2题。
学生独立计算，小组交流讨论，然后再集体汇报。
3.教材第24页，第3题。
学生独立计算，集体订正。
4.教材第24页，第4题。
学生独立计算，小组交流讨论，然后再集体汇报。
（四）达标反馈
习题：
1.教材第25页，练习七，第1题。
2.教材第25页，练习七，第2题。
3.教材第2
乘除法的关系和乘法运算律
教材分析
本单元教学内容包括乘除法的关系，乘法运算律及简便运算，探索规律和解决问题4部分。这些知识不仅是学习小学数学的重要基础，而且是进一步学习数与代数知识的重要基础。
本单元的教学内容联系生活实际，选择学生熟悉而且感兴趣的素材设计教学内容，让学生体会到数学与生活的密切联系，从而感受数学的价值，产生学习数学的需求，激发学习数学的兴趣。
本单元帮助学生找准新旧知识之间的联系，帮助学生自主建构知识，让学生在学习过程中充分调动自己的认知基础（包括学生的生活经验和已有的知识能力）去理解数学知识。
在教学过程中要重视对学生进行观察、比较、探索、发现、举例验证思想方法的培养。让学生通过自主探索与合作交流的学习方式进行学习。
因此，教师在教学过程中，要注意体现以下四个方面的教学要求：
（1）选取贴近生活，现实性、趣味性强的教学内容。
（2）引导学生利用已有知识经验进行自主建构。
（3）重视对学生的观察、比较、探索、发现、运用能力的培养。
（4）落实自主探索、合作交流的学习方式。
教学目标
1.在具体运算和解决简单实际问题的过程中体会乘与除的互逆关系，乘法各部分间的关系、除法各部分间的关系。
2.经历乘法运算律的探索发现过程，理解运算律，能运用乘法运算律进行一些简便运算。
3.能综合运用所学知识和技能解决简单的实际问题。培养数学应用意识和解决问题的能力。
4.在乘除法的关系和运算律的学习过程中，获得探索发现的成功体验。
重点、难点
重点
1.让学生经历讨论、归纳乘除法的关系及乘除各部分间的关系的过程，在具体情境中理解乘除法的互逆关系和乘除法各部分间的关系。
2.引导学生在解决问题的情境中，对算式的计算、对比发现乘法运算律，理解掌握乘法运算律，并能运用乘法运算律惊醒简算。
3.
初步掌握两个物体运用中速度、时间和路程的数量关系，会用假设的解题策略解决一些实际问题。
4.让学生在经历解决问题的过程中，体验学习从日常生活中收集、提炼和抽象数学信息和数学问题的方法。
难点
1.归纳乘法分配律和应用乘法运算律进行简算。
2.掌握探索规律的一些方法。
教学建议
本单元的教学，教师应创设具体运算与解决简单实际问题的情境，让学生通过看、议、猜、举例验证等实践活动进行学习。为此，教师在教学时应注意以下几点：
1.重视集合具体情境，体会乘除法的关系。在教学乘除法的关系时，首先创设有趣、熟悉的生活情境，再结合具体情境，帮助学生理解乘除法各部分间的关系和乘除法的互逆关系。其次引导学生通过观察、比较及合作交流等方式去自主建构知识，进一步理解乘除法的实际意义，发现乘除法各部分间的关系，体会乘除法的互逆关系。第三，让学生经历由特殊到一般，由具体到抽象的过程，再经历由抽象到具体，由一般到特殊的知识运用过程。
2.重视对学生进行观察、比较、抽象、概括能力的培养。本单元的教学内容，在前面的教学中已有渗透，教学时应避免出现直接为学生讲解这部分知识内容的现象，要充分利用学生的认知基础，抓住时机引导培养学生的学习能力，
3.注重自主探索与合作交流两种学习方式的结合。本学段的学生，已经初步认识了数与运算。因此教学中可以让学生自主探索、独立思考，在教学中为学生提供合作交流的机会。
4.重视数学应用意识的培养。教学中要充分利用教科书中提供的与现实生活联系密切的题材，让学生通过这些内容的学习，感受体验数学在现实生活中的应用价值，切实培养学生的应用意识。
课时安排
本单元用13课时完成教学，其中机动1课时。
课题
课时
乘除法的关系
2
乘法运算及简便运算
4
问题解决
3
整理与复习
2
综合应用及机动
2
总计
13
1
乘除法的关系
教学内容
知识点：乘除法各部分名称和乘除法的互逆关系
教材第9～11页，例1，课堂活动，练习三1，2，3，4。
教学提示
教学例1前，先进行单元主题图的教学。主题图的教学可以借助教学挂图，呈现教科书主题图或多媒体创设情境，声形合一动态地呈现生活情境，展示教科书内容，但重点应及时地引导学生观察、收集数学信息，提出数学问题。让学生感受乘除法与生活的联系。
教学目标
知识与技能：
在计算与解决问题的具体情景中体会乘除法的互逆关系和乘除法各部分间的关系。能运用乘除法的关系进行验算和解决简单的实际问题。
过程与方法：
经历探索发现乘与除互逆关系和乘除法各部分间关系的过程，并有成功探索的体验，培养学生的比较、归纳概括能力。
情感与态度：
能综合运用所学知识和技能解决简单的实际问题。培养数学应用意识和解决问题的能力。
重点、难点
重点
在计算和解决问题的情景中探索乘除法的互逆关系和乘除法各部分间的关系。
难点
在计算和解决问题的情景中探索乘除法的互逆关系和乘除法各部分间的关系。
教学准备
教师准备：投影仪；多媒体课件。
学生准备：练习本；草稿本。
教学过程
（一）复习导入：
教师出示主题图，谈话引入：同学们，你们去过游乐园吗？今天老师和同学们一起到游乐园玩一玩。
请同学们仔细观察游乐园情景图，你都获得了哪些数学信息？
（1）学生说出自己选择的数学信息和数学问题，并列出算式解答。
教师板书算式：12×5×4＝240
12×4＝48
48÷4＝12
48÷12＝4
（2）学生认真观察算式，你有什么发现？
学生1：都是乘除法算式。
学生2：12×4＝48和
48÷4＝12这两个乘除法算式有相同的地方，好像有点关系。
（3）同学们观察得好，你能观察出乘除法各部分间有什么关系吗？今天我们一起来探讨乘除法之间的关系。板书课题：乘除法的关系
设计意图：通过对主题图的学习，让学生感受乘除法与生活的联系。
（二）探究新知：
1．教学例1。
教师：刚才我们从情景图中知道：每棵树上挂了4个灯笼。12棵树上挂了48个灯笼。通过这3个信息列出了3道算式，请同学们仔细观察这3道算式。
12×4＝48
48÷4＝12
48÷12＝4
（1）结合具体情景，让学生说说每个数所表示的意思和每个算式解决的问题。
（2）看一看除法和乘法之间有什么关系？
学生分组讨论，全班交流。
学生1：都说的是同一件事。
学生2：……
教师：同学们观察讨论得很好，找出了这3道算式之间的一些关系，我们继续来研究下面的问题是不是也有这种关系？
设计意图：通过师生交流，共同学习和整理，对乘法和除法之间的关系进行深入的分析，让学生对知识有了充分的认识，然后为接下来的练习做好准备。
2．教学练习三第4题。
出示练习三第4题情景图，学生选择两个信息提出问题并解决。
请在课堂本上写出1道乘法算式和2道除法算式。
教师根据学生的口述板书算式。
65×15＝975
975÷65＝15
975÷15＝65
说说每个算式各部分的名称，再比较上面3个算式，你有什么发现？
（独立思考，小组讨论，做好记录）
各小组汇报结果，教师板书。
因数×因数＝积
一个因数＝积÷另一个因数
被除数÷除数＝商
除数＝被除数÷商
被除数＝商×除数
已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数，用除法。
除法是乘法的逆运算。
教师：议一议，在有余数的除法里，被除数与商，除数，余数之间有什么关系？
学生独立思考后，小组讨论，再汇报。
3.讨论。
0不能做除数你知道这是为什么吗？
（引导学生根据乘、除法之间的关系来说明）
设计意图：通过小组合作学习，经历探索发现乘与除互逆关系和乘除法各部分间关系的过程，培养学生的比较、归纳概括能力。
（三）巩固新知：
1.教材第10页，课堂活动。
师生对口令，然后同桌互对口令。
2.教材第10页，练习三第1题。
学生独立练习，做在课堂本上。
（四）达标反馈
习题：
教材第10页，练习三，第2题
答案：
（1）2460；18000；7；60。
（2）20；9；150；810。
（五）课堂小结
通过今天这节课的学习，你知道了什么，学会了什么？有哪些收获，还有什么不懂的问题？
（六）布置作业
第1课时：
教材第10页，练习三，第3题。
答案：10608；14；32；7503；11；4。
板书设计
乘除法的关系
12×4＝48
48÷4＝12
48÷12＝4因数×因数＝积
一个因数＝积÷另一个因数
被除数÷除数＝商除数＝被除数÷商
被除数＝商×除数已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数，用除法。除法是乘法的逆运算。0不能作为除数。
教学反思
用讨论、合作，运用多种形式概括乘、除法的意义。让学生通过亲身实践感受到除法与乘法有一定的联系，从而真正理解乘除法之间的关系。在写乘除法关系的算式中各部分的名称是学生原有的知识，复习的同时可以指出被乘数和乘数又能称为因数这个新的内容。因为刚才根据每道乘法算式都能写出相对应的两道除法算式，所以接下去组织学生以小组的形式讨论提出的三个问题，学生们通过合作学习举例后发现，不是所有的乘法算式都能写出两个除法算式的。如：3×0＝0只能写成0÷3＝0，不能写成0÷0＝3。由此得出一个重要的结论：“除数不能为0”。第二个问题学生们在大量的举例后对乘、除法的意义有了理解。在理解的基础上他们以文字、图形、字母多种形式解释了乘、除法的意义。
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中国数学家——刘徽
刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位。他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。
在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献。他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法。在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果。刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作。
《海岛算经》一书中，
刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目。
刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。
刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
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有余数的除法关系
教学内容
知识点：有余数的除法
教材第10～11页，议一议，练习三5，6，7，8，思考题。
教学提示
本课时是在学生学习了整除的含义和有余数的除法基础上，进一步归纳总结除法中有余数的情况，被除数、除数、商、余数之间的数量关系。本课时要着重培养学生的合作学习能力和归纳能力的培养。
教学目标
知识与技能：
在区别“除不尽”与“整除”的过程中，培养学生归纳、概括的能力。
过程与方法：
经历从除法中整理出“有余数”的过程，并从实例中发现各部分之间的关系。
情感与态度：
在合作学习中，感受到互相帮助的学习乐趣，养成良好的学习习惯。
重点、难点
重点
归纳被除数、除数、商、余数的数量关系。
难点
归纳被除数、除数、商、余数的数量关系。
教学准备
教师准备：投影仪；多媒体课件。
学生准备：练习本；草稿本。
教学过程
（一）复习导入：
1.口算。（教师板书结果）
6÷2=
39÷2=
15÷12=
250÷50=
26÷13=
25÷7=
160÷1=
0÷9=
设计意图：通过对整除和除不尽的两种情况对比复习，引出本节课所要学习的知识。
（二）探究新知：
1.观察上面的口算题及计算结果，你有什么发现？在小组里议一议。
2.全班按小组汇报交流发现的情况。
（算式都是整数除以整数计算结果有“除尽”和“除不尽”两类，或有“有余数”和“没有余数”两类……教师将学生发现的情况一一板书出来让学生讨论，同时注意引导得出“整除”来）
3.师:题目中有哪些是除不尽的呢
像39÷2=19……1,15÷12=1……3,
25÷7=3……4这些除法算式都有余数。
4.在有余数的除法里，被除数与商、除数、余数之间有什么关系？
师生交流讨论，并将结论进行板书。
设计意图：被除数与商、除数、余数之间有什么关系是本节课的重点，同时也是难点，学生不容易归纳总结，需要教师进行帮助。
（三）巩固新知：
1.教材第11页，练习三第5题。
学生独立尝试，然后集体订正。
2.教材第11页，练习三第6题。
小组讨论交流，提出问题，独立尝试做在练习本上，再集体订正。
问题：一筐可以卖多少元？还剩多少千克？两筐可以卖多少元？还剩多少千克？三筐可以卖多少元？还剩多少千克？
设计意图：在练习过程中引导学生发现问题的本质，从已知条件进行分析，养成解决问题的良好习惯。
（四）达标反馈
习题：
教材第11页，练习三，第7题
答案：
231；289；27；534；5220；8。
（五）课堂小结
通过今天这节课的学习，你知道了什么，学会了什么？有哪些收获，还有什么不懂的问题？
（六）布置作业
第2课时：
1.教材第11页，练习三，第8题，
2.教材第11页，练习三，思考题。
3.填表。
被除数
除数
商
余数
123
6
8
9
3
92
13
1
280
11
5
答案：
1.1820千克。2.4；64。3.20，3；75；7；25。
板书设计
有余数的除法关系
6÷2=3
39÷2=19……1
15÷12=1……3
250÷50=526÷13=2
25÷7=3……4
160÷1=160
0÷9=0没有余数
有余数
被除数÷除数=商……余数被除数=商×除数＋余数
除数=（被除数－余数）÷商
商=（被除数－余数）÷除数
余数=被除数－除数×商
教学反思
学完了有余数的除法关系。教学重点是让学生掌握被除数、除数、商、余数四者的关系。
本课以遵循从儿童的身心特点出发，激发学生的学习兴趣，调动学生的情感投入为基础，实质上就是对以往学习的一种归纳总结，但是却要让学生主动参与，主动建构，主动发现。
教学资料包
资料链接
教学反思怎么写？
第一
对“情景创设”的反思：教完每节课后，对教学情景创设进行回顾总结，考虑所创设的情景是否真的让学生感受到与实际生活联系紧密，是否与上课内容相符，在引入过程中还存在哪些不和谐之处，同时根据这节课的教学体会和从学生中反馈的信息，努力修正下次课的情景创设，并及时改进教案。
第二
对“上课效果”的反思：备课的最终目的是收到好的教学效果。因此，一节课下来，我们应认真从每一位学生的上课表情、课堂作业、回答问题、板演以及我们自己的课堂观察等环节反思本节课的实际效果如何。一定要做到心中有数。效果好就可以积累经验，效果差可以及时找出原因，并在教案的反思一栏中作好详细的记载以便及时修正。
第三
对“教法学法”的反思：上完一节课，静心沉思，摸索出其中的某些教学规律；教法上有哪些创新；组织教学方面有何新招；启迪是否得当；思维训练是否到位等等。及时记下这些得失，并进行必要的归类与取舍，考虑一下再教这部分内容时应该如何做，这样可以做到扬长避短、精益求精，把自己的教学水平提高到一个新的高度。
第四
对“评价体系”的反思：每堂课后认真思考一下本节课的评价内容是否更多地指向有价值的数学任务、数学活动；评价的方式是否多样、是否激起学生的学习兴趣，唤起他们的自尊心和自信心;评价的主题是否面向全体学生、是否因材施教等等。
第五
对“疏漏之处”的反思：俗话说：“人非圣贤，孰能无过”。教学中的疏漏与失误在所难免，如教学内容安排欠妥，教学方法设计不当，教学重点不突出，教学方式单调等等。课后进行这样的反思，及时客观的找出教学过程中的不足与失误，并虚心听取学生的意见，正确的面对这些问题，做好及时查漏补缺工作，我相信这样做，课堂一定会越来越来完美。
3
乘法交换律和乘法结合律
教学内容
知识点：乘法交换律和乘法结合律
教材第12～14页，例1，例2，算一算，课堂活动1，练习四1，2，3，4。
教学提示
本课时主要教学乘法交换律和乘法结合律。学生在学习乘法的初步认识时，就有了对两个因数交换位置积不变的感知。因此教科书利用学生对乘法的已有认识基础，呈现用不同方法解决求一盒鸡蛋总个数的问题情境，并在此基础上，让学生讨论、思考、初步发现乘法交换律的基础上，用自己喜欢的方式表示乘法交换律，进而概括出乘法交换律。
在教学乘法结合律时，教科书通过两种观察角度、两种思路，列出连个算式解决“小区共有多少户”这个问题，让学生发现两组算式的关系，在有了乘法结合律的初步感知后，再算、比3组算式，最终归纳出乘法结合律。
教学目标
知识与技能：
理解并掌握乘法交换律和结合律，初步能用这两个运算律解释计算的理由。
过程与方法：
经历在计算和解决问题的具体情境中探索发现乘法交换律、结合律的过程。
情感与态度：
体验数学与日常生活密切相关，培养学生自主探索数学知识和应用数学知识解决简单实际问题的能力。
重点、难点
重点
在具体情境中探索发现乘法交换律、乘法结合律。
难点
初步能用这两个运算律解释计算的理由。
教学准备
教师准备：投影仪；多媒体课件。
学生准备：练习本；草稿本。
教学过程
（一）探究新知：
1.教学例1
出示教材第12页例1图，学生独立列式解答，然后在小组中互相交流。
板书：9×4＝36（个），4×9＝36（个）。
学生观察板书，思考：这两个算式有什么特点？
板书：9×4＝4×9。
教师：你还能写出几个有这样规律的算式吗？
板书学生举出的算式。
如：15×2＝2×15，8×5＝5×8
……
教师：观察这些算式，你发现了什么？
教师：你能用自己喜欢的方式表示乘法交换律吗？（学生独立思考后交流）
教师：如果用a、b表示两个数，这个规律可怎样表示呢？（a×b=b×a）
设计意图：通过不完全归纳整理，让学生经历由具体到抽象表达的过程，形成良好的数学思维。
2.教学例2。
出示教材第12页例2情境图，口述数学信息和解决的问题。
学生独立思考，列式解答。
然后在小组中交流解题思路和方法。
全班汇报，教师板书。
（8×24）×6
8×（24×6）
＝192×6
＝8×144
＝1152
（户）
＝1152
（户）
学生对这两种算法进行观察、比较，有什么相同点和不同点？
板书：（8×24）×6＝8×（24×6）。
3.出示下面的算式，算一算，比一比。
16×5×2＝
16×（5×2）＝
35×25×4＝
35×（25×4）＝
12×125×8＝
12×（125×8）＝
观察算式，有同样的特点吗？每排的两个算式的结果相等吗？学生独立计算，验证自己的猜想，全班交流。
板书：16×5×2＝16×（5×2）
35×25×4＝35×（25×4）
12×125×8＝12×（125×8）
谁能说出这几组算式的规律？
教师：谁知道这个规律叫什么？
教师板书：乘法结合律。
教师：如果用a、b、c表示3个数，可以怎样表示这个规律？
教师板书：（a×b）×c＝a×（b×c）。
教师：这个规律就叫乘法结合律。
小结：同学们，我们一起总结出了乘法交换律和乘法结合律，下面看同学们会不会用。
设计意图：发挥学生的主动性，让学生在自主探索中发现、理解乘法运算律，培养了学生的探索能力。
（二）巩固新知：
1.教材第13页课堂活动1。
小组内按照要求互相说算式，并判断是乘法交换律还是乘法结合律。
2.教材第14页，练习四第1题。
学生独立完成，全班交流，说出依据。
（三）达标反馈
习题：
1.教材第14页，练习四第2题。
学生独立完成，集体订正。
2.教材第14页，练习四第3题。
学生独立完成，集体订正。
答案：
1.28；25,4；40,25；8,14。
2.（44+56）+28=44+28+56；125×8×11=88×125；30×16=16×30；
4×27×25=27×（4×25）。
设计意图：通过书本上的练习，及时巩固本节课所学知识，让学生将所知识能融会贯通。
（四）课堂小结
今天这节课你都有哪些收获？还有什么问题？
（五）布置作业
第3课时：
1.教材第14页，练习四，第3题。
2.在____中填上适当的数。
（1）37×15=15×____ 128×31=____×128
（2）16×5×34=16×(5×____) 44×5×6×35=(____×____)×(____×____)
3.小学有一幢5层教学楼，每层有12间教室，每间教室有6个窗户。全幢楼共有窗户多少个？
答案：
1.60；70；60；120；200；100；1000；80；90。
2.37；31；34；44，5，6，35。
3.360个。
板书设计
乘法交换律和乘法结合律
9×4＝36（个）
4×9＝36（个）9×4＝4×915×2＝2×15，8×5＝5×8
……a×b=b×a
（8×24）×6
8×（24×6）＝192×6
＝8×144＝1152
（户）
＝1152
（户）（8×24）×6＝8×（24×6）16×5×2＝16×（5×2）
35×25×4＝35×（25×4）12×125×8＝12×（125×8）（a×b）×c＝a×（b×c）
教学反思
教材安排运算教学时，采用了不完全的归纳推理。运算律都是从学生熟悉的实际问题的解答引入，让学生通过观察、比较和分析，找到实际问题不同解决之间的共同特点，初步感受运算规律。然后让学生根据对运算律的出步感知举出更多的例子，进一步分析、比较，发现规律，并先后用符号和字母表示出发现的规律，抽象、概括出运算律。教材有意识地让学生运用已有经验，经历运算律的发现过程，使学生在合作与交流中对运算律的认识由感性逐步发展到理性，合理地建构知识。
本节课我以建构主义学习理论位指导，力求体现“以学生发展为本”的指导思想。基于这种思想，设计课堂教学时，注意了以下几个问题：
1.提供自主探索的机会。
“动手实践、自主探索与合作交流上学习数学的重要方式”。在探索乘法运算律的过程中，教师为学生提供自主探索的时间和空间，使学生经历乘法运算律产生和形成的过程，同时也在学习活动中获得成功的体验，增强了学习数学的信心。
2.关注学生已有的知识经验。
在学习乘法运算律之前，学生对四则运算已有了较多的感性认识，为新知学习奠定了良好的基础。教学中始终处于探索知识的最佳状态，促使学生对原有知识进行更新、深化、突破、超越。
3.引导学生在体验中感悟数学。
教学设计中注意引导学生在数学活动中体验数学，在做数学中感悟数学，实现了运算律的抽象内化与外化运用的认知飞跃，同时也体验到学习数学的乐趣。
教学资料包
资料链接
中国数学家——华罗庚
华罗庚（1910.11.12—1985.6.12.），生于江苏太湖，世界著名数学家，中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自安函数论等多方面研究的创始人和开拓者。国际上以华氏命名的数学科研成果就有“华氏定理”、“怀依—华不等式”、“华氏不等式”、“普劳威尔—加当华定理”、“华氏算子”、“华—王方法”等。
1930年，19岁的华罗庚写了一篇《苏家驹之代数的五次方程不成立的理由》，发表在上海《科学》杂志上。清华大学数学系主任熊庆来从文章中看到了作者的数学才华，便问周围的人，“他是哪国留学的 在哪个大学任教 ”当他知道华罗庚原来是一个19岁的小店员时，很受感动，主动把华罗庚请到清华大学。起初，他做图书管理员，在此期间充分利用清华大学丰富的图书资料，如饥似渴地攻读一门又一门数学课程；后转做教学工作，并很快由助教升为讲师。1934年，华罗庚成为中华教育文化基金会研究员。1936年留学英国，在剑桥大学学习，并获得博士学位。在此期间，他连续发表了几篇有重要学术价值的学术论文，对数论有很深的研究，得出了著名的华氏定理，引起了世界数学界的注意。
抗日战争时期（1938年），华罗庚回到祖国，由于他的卓越成就，受聘为西南联合大学教授。华罗庚白天在西南联大任教，晚上在昏暗的油灯下研究。在这样艰苦的环境中，华罗庚写出了20多篇论文和厚厚的一本书《堆垒素数论》。此后他又应邀于1946年赴美国，任普林斯顿数学研究所研究员、普林斯顿大学和伊利诺斯大学教授。
1950年回国后，历任清华大学教授，中国科学院数学研究所、应用数学研究所所长、名誉所长，中国数学学会理事长、名誉理事长，全国数学竞赛委员会主任，美国国家科学院国外院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士，中国科学院物理学数学化学部副主任、副院长、主席团成员，中国科学技术大学数学系主任、副校长，中国科协副主席，国务院学位委员会委员等职。曾任一至六届全国人大常务委员，六届全国政协副主席。
华罗庚教授一生成就辉煌，他在世界级刊物上发表过150多篇论文，写了9本书，其中有许多重要成果至今仍居世界领先水平。主要从事解
析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积
分等领域的研究与教授工作并取得突出成就。40年代，解决了高斯完整三角和的估计这一历史难题，得到了最佳误差阶估计（此结果在数论中有着广泛的应用）。代数方面，证明了历史长久遗留的一维射影几何的基本定理；给出
了体的正规子体一定包含在它的中心之中这个结果的一个简单而直接的证明，被称为嘉
当-布饶尔-华定理。其专著《堆垒素数论》系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德圆法、维诺格拉多夫三角和估计方法及他本人的方法，发表40余年来其主要结果仍居世界领先地位，先后被译为俄、匈、日、德、英文出版，成为20世纪经典数论著作之一。其专著《多个复变典型域上的调和分析》以精密的分析和矩阵技巧，结合群表示论，具体给出了典型域的完整正交系，从而给出了柯西与泊松核的表达式。这项工作在调和分析、复分析、微分方程等研究中有着广泛深入的影响，曾获中国自然科学奖一等奖。倡导应用数学与计算机的研制，曾出版《统筹方法平话》、《优选学》等多部著作并在中国推广应用。与王元教授合作在近代数论方法应用研究方面获重要成果，被称为“华-王方法”。
华罗庚教授的卓越成就，使他成为振兴中国近代数学的带头人和世界著名的第一流大数学家，他的名字与少数经典数学家一起被列入美国芝加哥科技博物馆等著名博物馆中。
4
简便计算（一）
教学内容
知识点：乘法交换律和乘法结合律的应用。
教材第13～15页，例3，试一试，课堂活动2，练习四5，6，7，8，9，10，11，思考题。
教学提示
例3教学乘法交换律与乘法结合律的应用，共安排了2个小题。第1小题是乘法结合律的单独应用，第2小题如果把算式中的125与9交换，则是乘法交换律的单独应用，如果把算式中的8与9交换，则它又是乘法交换律与乘法结合律的综合应用。要让学生感受到根据题目中数据的特点，利用乘法交换律与乘法结合律可以使一些计算简便。
教学目标
知识与技能：
进一步理解并掌握乘法交换律和结合律，并能运用这两个运算律进行简便计算。
过程与方法：
运用乘法运算律解决简单的实际问题。培养学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力。
情感与态度：
学生在老师的引导下，经历克服学习困难的过程，体验数学学习的成就感。
重点、难点
重点
灵活运用乘法交换律和乘法结合律进行简便计算。
难点
使用乘法交换律和乘法结合律进行简便计算。
教学准备
教师准备：投影仪；多媒体课件。
学生准备：练习本；草稿本。
教学过程
（一）复习导入：
1.回忆上节课中所学的乘法交换律和乘法结合律并用自己的语言加以叙述。
2.填空。
a×
＝b×
(a×
)×c＝a×（
×
）
我们学习了乘法运算律，这节课我们一起运用乘法运算律进行简便计算。
设计意图：温故知新，让学生明白学习一种新方法，是为了解决问题，使问题变得更简便。
（二）探究新知：
1.教学例3。
教材第13页，出示例3。
61×25×4
8×9×125
教师：观察每个算式中的因数之间有什么特点？可以运用运算律进行简便计算吗？（学生观察思考，独立计算）
全班汇报，教师板书：
（1）①61×25×4
②61×25×4
③……
＝61×100
＝61×（25×4）
＝6100
＝61×100
＝6100
（2）①8×9×125
②8×9×125
③……
＝72×125
＝9×1000
＝9000
＝9000
小组讨论：每题都有几种算法，你认为哪种算法最简便？为什么？运用乘法交换律和结合律进行简便计算时要注意什么？
全班交流汇报。
教师小结：运用乘法运算律进行简便计算，它的核心就是“凑整”。
往往可以把两个或几个数结合在一起乘起来得到整十、整百……有时还可能需要把一个数分解成两个数，再与另外的数结合相乘得到整十数、整百数……总之使计算变得简单。
设计意图：这里的设计是让学生讨论一题的多种计算方法，你认为哪种比较简便，为什么简便，来获得简便计算的感受，是可取的。
（三）巩固新知：
1.教材第13页，试一试。
先让学生说一说怎样计算简便，并说出依据，再完成在练习本上。
2.教材第13页，课堂活动第2题。
先让学生独立思考后，再在小组中讨论该怎样进行简便计算，最后全班反馈。
要学生认识到同一个计算可以有不同的简便计算方法。
（四）达标反馈
习题：
1.教材第14页，练习四，第5题。
2.教材第15页，练习四，第10题。
3.教材第15页，练习四，第11题。
答案：
1.1440；26000；6600；3000；4000；1530。
2.（1）800；（2）9。
3.（1）一共有多少盆花？5×4×5＝100（盆）；
（2）一共需要多少元？12×100＝1200元。
（五）课堂小结
这节课主要学习了什么知识？你还有什么问题吗？
（六）布置作业
第4课时：
1.教材第14页，练习四第6题。
2.教材第15页，练习四第7题。
3.教材第15页，练习四第8题。
4.教材第15页，练习四第9题。
5.教材第15页，练习四思考题。
答案：1.700米；2.5000个，500个；3.6000支；4.10分；5.4×1963＝7852。
板书设计
简便计算（一）
①61×25×4
②61×25×4
③……
＝61×100
＝61×（25×4）＝6100
＝61×100
＝6100
①8×9×125
②8×9×125
③……
＝72×125
＝9×1000
＝9000
＝9000
教学反思
学生对于乘法交换律掌握较好，然而对于乘法结合律则运用得不太理想。造成的原因及解决办法如下：
第一，学生现在只是能够初步认识，还不明白这两个运算定律的作用和意义。
第二，学生不能正确的分析算式并正确的运用运算定律，如遇到25×16就不知道如何计算，有时会把16分成10×6，有时会写成25×10＋6，针对上述情况还需对学生加强算理、算法的理解，更要在学生的脑海中渗透“凑整”的思想。
第三，对于有些算式，有的学生甚至运用运算定律折腾了一番又回到了原来的算式，不会灵活处理。
综上所述，学生并没有深刻体会到运算定律带来的方便，解决办法可以是多讲多练，多做一些对比性强（能简便与不简便的混合运算）的题目，不断的培养学生的数感，在不断的重复练习过程中，体会应该如何运用运算定律，(以能凑成整十、整百的优先组合为原则)也就是如何做题。等接触的题目类型多了，学生会感悟到原来在计算的过程中运用运算定律可以使运算过程变得简单，这样，学生在计算的时候，自然就会去运用了，而且会十分的感兴趣。
教学资料包
资料链接
中国数学家——陈景润
陈景润（公元1933-1996），数学家，中国科学院院士。1933年5月22日生于福建福州。1953年毕业于厦门大学数学系。由于他对塔里问题的一个结果作了改进，受到华罗庚的重视，1957年进入中国科学院数学研究所并在华罗庚教授指导下从事数论方面的研究。先任实习研究员、助理研究员，再越级提升为研究员，并当选为中国科学院数学物理学部委员兼贵阳民族学院、河南大学、青岛大学、华中工学院、福建师范大学等校教授，国家科委数学学科组成员，《数学季刊》主编等职。
陈景润是世界著名解析数论学家之一，他在50年代即对高斯圆内格点问题、球内格点问题、塔里问题与华林问题的以往结果，作出了重要改进。60年代后，他又对筛法及其有关重要问题，进行广泛深入的研究。
1966年屈居于六平方米小屋的陈景润，借一盏昏暗的煤油灯，伏在床板上，用一支笔，耗去了几麻袋的草稿纸，居然攻克了世界著名数学难题“哥德巴赫猜想”中的(1+2)，创造了距摘取这颗数论皇冠上的明珠(1+1)只是一步之遥的辉煌。他证明了“每个大偶数都是一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，使他在哥德巴赫猜想的研究上居世界领先地位。这一结果国际上誉为“陈氏定理”，受到广泛征引。这项工作还使他与王元、潘承洞在1978年共同获得中国自然科学奖一等奖。其后对上述定理又作了改进，并于1979年初完成论文《算术级数中的最小素数》，将最小素数从原有的80推进到16，受到国际数学界好评。对组合数学与现代经济管理、科学实验、尖端技术、人类生活密切关系等问题也作了研究。他研究哥德巴赫猜想和其他数论问题的成就，至今，仍然在世界上遥遥领先。世界级的数学大师、美国学者阿·威尔(A·Weil)曾这样称赞他：“陈景润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山巅上行走。”
陈景润于1978年和1982年两次收到国际数学家大会请他作45分钟报告的邀请。这是中国人的自豪和骄傲。他所取得的成绩，他所赢得的殊荣，为千千万万的知识分子树起了一面不凋的旗帜，辉映三山五岳，召唤着亿万的青少年奋发向前。
陈景润共发表学术论文70余篇，并有《数学趣味谈》、《组合数学》等著作。
5
乘法分配律
教学内容
知识点：乘法分配律。
教材第16～18页，例4，算一算，课堂活动1，练习五1，2，4，5。
教学提示
例4教学乘法分配律。在素材选用、编写思路、呈现方式上与例1、例2相似，通过生活情境图来呈现信息，提出问题，通过学生用多种方法解决这一问题来展现乘法分配律。
在为学生提供了乘法分配律的感知材料之后，又接着安排了几组算式，要求学生算一算、议一议。目的是让学生通过观察计算这几组数据不同的算式，交流讨论，相互启发，共同发现一般规律，进而抽象概括出乘法分配律。
教学目标
知识与技能：
理解并掌握乘法分配律，并能运用乘法运算律进行简便计算。
过程与方法：
经历在解决数学问题的情境中探索发现乘法分配律的过程。
情感与态度：
在解决数学问题中培养学生一题多解的发散思维能力，通过发现运算律培养探索、概括能力。
重点、难点
重点
探索发现乘法分配律，理解并能运用乘法运算律进行简便计算。
难点
对乘法分配律进行正向和逆向的理解。
教学准备
教师准备：投影仪；多媒体课件。
学生准备：练习本；草稿本。
教学过程
（一）复习导入：
教材第18页，第5题，口算。
15×4=
25×4=
55+45=
26×3=
24×5=
55-45=
20×7=
5×16=
11×8=
70+40=
96÷3=
64÷4=
设计意图：通过口算，提高学生的快速运算能力。
（二）探究新知：
1.
教学教材第16页，例4。
（1）出示问题情境，解决问题。
你从情境图中获取了哪些数学信息？要解决“一共需要多少张门票？”该怎样列式计算？（学生口答信息，然后独立列式计算）
全班汇报解题思路和方法。
教师板书：
（40＋20）×14
40×14＋20×14
＝60×14
＝560＋280
＝840（张）
＝840（张）
设计意图：初步建立感知，让学生体会两种算法之间的联系。
（2）比较两种解法，发现两种解法的相同点和不同点，并举出生活中的类似例子。
（小组讨论，全班交流）
教师板书：
（40＋20）×14＝40×14＋20×14
（3）在计算中比较并发现乘法分配律。
教材第16页，算一算。
（3＋2）×35＝
3×35＋2×35＝
3×（4＋6）＝
3×4＋3×6＝
（13＋12）×4＝
13×4＋12×4＝
比较每组的两个算式有什么关系？每组的两个算式的计算结果相等吗？
学生独立计算验证自己的猜想。
（小组讨论，全班交流）
设计意图：通过学生之间的交流讨论，加深对乘法分配律的直观感知，为接下来的抽象概括做好铺垫。
板书：
（3＋2）×35＝3×35＋2×35
3×（4＋6）＝3×4＋3×6
（13＋12）×4＝13×4＋12×4
教师：谁还能举出符合这个规律的例子？（学生举例）
教师：谁能用自己的话来表达这几组算式所反映的规律？（学生回答）
教师小结：两个数的和与一个数相乘，可以把这两个数分别与这个数相乘，再将两个积相加，这叫乘法分配律。
（4）如果用a，b，c表示3个数，可以用怎样的式子表示乘法分配律呢？
（学生独立写出，然后全班交流）
教师整理并板书：（a＋b）×c＝a×c＋b×c
或a×c＋b×c＝（a＋b）×c
设计意图：通过不完全归纳的学习方式，对乘法分配律进行总结，让学生通过举例子，发现知识之间的联系。
（三）巩固新知：
1.教材第17页，课堂活动1。
先让学生独立算一算，对有困难的也可先在小组中议一议。最后让学生说一说自己是怎么算的？能说明乘法分配律吗？。
2.教材第17页，练习五，第1题。
学生独立做在书上，订正时让学生说说运用的是什么运算律？先做，再议一议，最后与全班同学交流。
（四）达标反馈
习题：
1.教材第17页，练习五，第2题。
2.教材第18页，练习五，第4题。
答案：
1.160平方米；64平方米。
2.4000元。
（五）课堂小结
这节课我们学习了什么？你都有些什么收获？你还有什么问题？
（六）布置作业
第5课时：
1.填一填。
156×6＋156×4＝
×（
＋
）
8×b＋b×12＝（
＋
）×
25×9×4＝（
×
）×
（64－35）×72＝
×
－
×
2.不计算，把得数相等的式子用线连起来。
69×39＋69×61
78×5－28×5
77×（30－18）
（38＋62）×55
38×55＋6）×55
77×30－77×18
（78－28）×5
69×（
39＋61）
3.一个长方形运动场，长95米，宽50米。它的周长是多少？
答案：
1.156,6,4；8,12，b；25,4,9；64,72,35,72。
2.
69×39＋69×61
78×5－28×5
77×（30－18）
（38＋62）×55
38×55＋6）×55
77×30－77×18
（78－28）×5
69×（
39＋61）
3.290米。
板书设计
乘法分配律
（40＋20）×14
40×14＋20×14＝60×14
＝560＋280＝840（张）
＝840（张）（40＋20）×14＝40×14＋20×14（3＋2）×35＝3×35＋2×353×（4＋6）＝3×4＋3×6（13＋12）×4＝13×4＋12×4（a＋b）×c＝a×c＋b×c
或a×c＋b×c＝（a＋b）×c
教学反思
把学生放在主动探索知识规律的主体位置上，让学生能自由地利用自己的知识经验、思维方式去尝试解决问题。在探究这一系列的等式有什么共同点的活动中，学生涌现出的各种说法，说明学生的智力潜能是巨大的。所以让学生多说，谈谈各自不同的看法，说说自己的新发现，教师尽可能少说，为的就是要还给学生自由探索的时间和空间，从而使学生的主动性、自主性和创造性得到充分发挥。
教学资料包
资料链接
中国数学家——姜立夫
姜立夫(1890—1978)，谱名培垧，学名蒋佐，字立夫，以字行。麟头村(在凤江乡)人。是我国数学界几何学方面的权威、温州最早的洋博士。
姜立夫晚年照
自幼父母双亡，由兄嫂抚养成长，曾深受姨父黄庆澄的影响。聪颖过人，学习成绩优异，其兄遂送至杭州高等学堂学习。宣统二年(1910)，未毕业，就参加留美学生考试，被录取，次年到北京“游美肄业馆”学习英语，半年后，赴美国入加利福尼亚伯克莱州立大学专攻数学。民国4年(1915)毕业，又转入哈佛大学研究院，8年，获得博士学位，同年回国。9年初，到天津南开大学任教，建立数学系，任系主任。16年休假期间，到厦门大学讲课。23年游学德国。抗日战争期间，随校南下任西南联合大学教授，29年任中国数学会会长，31年任国立中央研究院数学研究所筹备处主任、研究员。解放前夕，被迫随所迁往台湾。同年 月返回大陆，在广州岭南大学创办数率系，任系主任。1952年院系调整后，在中山大学执教终身。
1954年，被选为广东省第一届人民代表，1955年起，历任政协全国委员会第二、三、四届委员。
姜立夫为人谦虚谨慎，光明磊落。留学回国时，乡人尊称为“洋状元”。当时士人出门都坐轿子，他却徒步自提行李；别人恭维他学识渊博，他说：“数学这门学问如一棵大树，我所得不过一张叶子而已。”
在治学上，姜立夫一丝不苟，从不轻易发表著作。早年从事圆的几何研究，写定论文《圆素和球素几何的矩阵理论》。解放后，为了教学需要，主持翻译了优秀的外国教材，如穆斯海里什维利《解析几何教程》、诺尔金《罗巴切夫斯基几何初步》、E·嘉当《利曼几何学、正交标架法》等，分别于1954年、1956年、1964年出版。
姜立夫毕生致力于教育事业，从不计较个人名利。在北洋军阀统治下，南开大学是私立的，教师薪金比别校微薄，而他毫不介意。在长时间中，是该校数学系的唯一台柱，逐年轮流开设各门主要课程，如高等微积分、立体解析几何、投影几何、复变函数论、高等代数、n维空间几何、微分几何、非欧几何以及高等几何等，因之被誉为“一人系”。讲课时只写提纲，不用讲稿，论证严谨，说理透彻。并善于启发提问，逐步引人入胜。教学方法不拘一格，或选读有关文献，在他指导下轮流作报告；或于讲课后使学生按章整理笔记，定期审阅(如微分几何课)。
此外，他还长期从事数学名词的整理与编译、数学文件的搜集与保存等等基础建设，对我国现代数学的教学和科研的发展，产生巨大的影响。
姜立夫与周恩来合照
对后辈的奖掖不遗余力。民国9年7月回乡时，即倡议以姜氏族产全部充作学田，创办爱敬小学。以后经常给该校汇款寄书，勉励、督促族人培育好下一代。他说：“我是用美国退还的部分庚子赔款去留学的，那其实是全国人民辛勤劳动所积累。我应当为全国人民做些好事，把西洋数学搬回来。因为数学是自然科学的基础，中国需要科学，我愿把一生献给它。”在他历年教学中，培养出大批数学人才，有的闻名海外。当代著名数学家苏步青(平阳县人)留学日本时，在国外刊物上发表了数学论文，姜立夫当时不知苏的中国姓名，更不知是同乡，仅知是个中国留学生。读后大为赞赏，并热情向厦门、北京、清华、燕京等大学推荐为教授，毫无门户之见(当时东洋留学生多被西洋留学生所歧视)。
十年动乱期间，姜立夫情绪抑郁，衰老得很快。1978年2月3日病逝于广州，终年88岁。
为了纪念他生前所创的业绩，鼓励更多的青年从事数学的学习与研究，南开大学从1982年起，设立了姜立夫奖学金。
6
简便计算（二）
教学内容
知识点：乘法分配律的应用。
教材第16～18页，例5，课堂活动2，练习五3，6，7，8，9，思考题。
教学提示
例5教学乘法分配律的应用，共安排了2道小题。第1小题是顺向应用乘法分配律，第2小题是逆向应用乘法分配律，目的是让学生明确运算律可以正向应用，也可以逆向应用，要根据具体情况灵活使用。
教学目标
知识与技能：
进一步理解并掌握乘法分配律，并能运用乘法运算律进行简便计算。运用乘法运算律解决简单的实际问题。
过程与方法：
培养学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力。
情感与态度：
通过对乘法分配律的学习和应用，感受到数学在生活中的应用价值，激发学习积极的兴趣。
重点、难点
重点
灵活运用乘法运算律进行简便计算。
难点
正确使用乘法分配律进行正向和逆向的应用。
教学准备
教师准备：投影仪；多媒体课件。
学生准备：练习本；草稿本。
教学过程
（一）复习导入：
1.师：上节课学习了乘法分配律，谁能分别用自己的话和字母表述乘法分配律？
2.填空。
25×6＋75×6＝（□＋□）×□
12×（5＋20）＝12×□＋□×□
3.师：我们这节课一起来学习用乘法分配律进行简便计算。
设计意图：教师通过对乘法分配律的复习与回顾，加深学生对问题的认识，为接下来的学习做好铺垫。
（二）探究新知：
1.出示教材第16页，例5。
用简便方法计算（100＋2）×45，32×27＋32×73。
教师：观察每个算式中的因数有什么特点？可以运用乘法运算律进行简便计算吗？（学生观察思考，独立尝试计算）
学生计算后汇报，教师板书如下：
（1）①（100＋2）×45
②（100＋2）×45
＝102×45
＝100×45＋2×45
＝102×（40＋5）
＝4500＋90
＝102×40＋102×5
＝4590
＝4080＋510
＝4590
（2）①32×27＋32×73
②32×27＋32×73
＝32×（27＋73）
＝864＋2336
＝32×100
＝3200
＝3200
2.小组讨论（小组讨论后，在全班交流）
（1）你认为每个题的哪种算法最简便？为什么？这种简便算法的依据是什么？
（2）运用乘法分配律进行简便计算时，要注意什么？
设计意图：教师在学生讨论交流的基础上，小结运用乘法分配律进行简便计算的方法。
（三）巩固新知：
1.教材第17页，课堂活动2。
学生小组交流讨论，然后再集体汇报。
2.教材第18页，练习五，第6题。
学生独立完成，再集体订正。
（四）达标反馈
习题：
1.教材第17页，练习五，第3题。
2.教材第18页，练习五，第8题。
答案：
1.11000；1150；1700；1000；840；3800。
2.﹥；＝；﹤；＝。
（五）课堂小结
今天的学习你都有些什么收获？你还有什么问题？
（六）布置作业
第6课时：
1.教材第18页，练习五，第7题。
2.教材第18页，练习五，第9题。
3.教材第18页，练习五，思考题。
答案：
1.3060；100000；7200；3800；6700；6237。
2.90元。
3.1000×1000。
板书设计
简便运算（二）
①（100＋2）×45
②（100＋2）×45＝102×45
＝100×45＋2×45＝102×（40＋5）
＝4500＋90＝102×40＋102×5
＝4590＝4080＋510＝4590①32×27＋32×73
②32×27＋32×73＝32×（27＋73）
＝864＋2336＝32×100
＝3200＝3200
教学反思
知识的学习不是简单的传授过程，而是一个动态生成的过程。在设计教案时，要从学生的生活经历、知识背景、学习能力、情感态度等方面解读教材，加强知识与生活、知识与学习者个人之间的联系，努力把“静态的”知识赋予“生命”。因此我们要善于将教材的知识“过程化”，激发学生参与的热情。
教学资料包
说课设计：《运算律》说课稿
（1）教材分析
教材的地位与作用：
苏教版小学数学四年级下册第七单元“运算律”第一课时的内容。乘法分配律涉及到乘法和加法两种运算。教材中实际情境中引出问题，引导学生用不同的方法进行解答，引导学生观察、比较列出两道算式，发现他们的内在联系，再让学生例举同类算式，分析共同点，从中发现乘法分配律，并用字母表示出来，练习中安排了应用乘法分配律进行简便计算，以及把乘法分配律延伸到它的逆应用和类推到两个数的差与一个数相乘，使乘法分配律的概念得到了有效的延伸。
在学生已经学过乘法交换律和乘法结合律的基础上学习的，教学乘法分配律，不仅有利于学生从整体上了解整数范围类的基本运算律，而且有利于他们更灵活地解决计算问题，提高计算能力。
（2）学情分析
四年级学生思维活泼，接受能力强，具有一定的数学知识和技能。学生在第七册学习了加法和乘法的交换律、结合律，以及应用这些运算律进行简便计算，已经初步具备探索和发现运算律并运用运算律进行简便计算的经验，为学习新知识奠定了基础。所以本节课我将引导学生通过交流、观察、操作、归纳等方式自主建构新知识。
（3）教学目标
1）知识与技能目标：
使学生在解决问题的过程中发现并理解乘法分配律，初步体会应用乘法分配律可以使一些计算简便。
2）过程与方法目标：
使学生在发现规律的过程中，发展比较、分析、抽象和概括能力，增强用符号表达数学规律的意识，进一步体会数学与生活的联系。
3）情感与态度目标：
使学生能联系实际，主动参与探索、发现和概括规律的学习活动，感受数学规律的确定性和普遍适用性，获得发现数学规律的愉悦感和成功感，增强学习的兴趣和自信。
（4）重点、难点
重点：充分考虑教材的特点，以及学生的认知规律，我认为理解乘法分配律的意义
难点：引导学生经历探索并发现乘法分配律的过程。
（5）教法、学法
教法：本着以学生为中心，充分发挥学生的自主能力和创新能力，调动学生的积极性的教学理念。本节课我采用了情境教学，动手实践等教学方法
学法：本节课我采用了动手实践、合作交流等学习方法。
（6）说教学过程
一、创设情境，导入教学
谈话：同学们，我们学校有5个同学就要去参加“无锡市少儿书法大赛”了，书法组的张老师准备为他们每人买一套漂亮的服装，我们一起去看看好吗？（课件出示例题情境图）
【设计意图：创设与学生生活相联系的情境，让学生感受生活中的数学问题，激发学生学习的兴趣】
二、
自主探究，合作交流
1.
交流算法，初步感知。
（1）提问：从图中你获得了哪些信息？
再问：买5件上衣和5条裤子，一共要付多少元呢？请同学们在自己的本子上列出算式，再算一算。
（2）组织学生交流自己的解题方法，再分别说说两个算式的意义。根据学生回答，教师利用课件演示，帮助解释。
谈话：两个算式解决的都是同一个问题，它们的计算结果也相等，那你会把这两个算式写成一个等式吗？
（3）谈话：如果老师不这样选择，还可以怎样选择？（买5件短袖衫和5条裤子）
提问：买5件短袖衫和5条裤子，一共要付多少元呢？你能用两种方法解答吗？
根据学生回答，列出算式：32
×
5
+
45
×
5
和
（
32
+
45
）
×
5。
（4）再问：这两个算式有什么关系？可以用什么符号把它们连接起来？
启发：比较这两个等式，它们有什么相同的地方？
【设计意图：引导学生在自主探索的活动中，感悟和发现乘法分配律，变教学生“学会”为指导学生“会学”。先组织学生通过用两种不同的方法解决一些实际问题，在两个不同的算式之间建立起联系，得到了两个等式，并比较这两个等式有什么相同的地方，让学生初步感知乘法分配律。】
2.
深入体验，丰富感知。
引导：现在请每个小组拿出信封中写有算式的纸条，想一想在这几组算式中，哪些可以用等号连起来，哪些不能？
分组汇报、交流。
要求：你能写出一些这样的等式吗？ 学生举例并组织交流。
【设计意图：给学生提供体验感悟的空间，为学生提供符合乘法分配律和不符合乘法分配律的五组算式，引导学生在小组辨析与争论中，进一步形成清晰的表象。在此基础上，让学生自己再写出一些符合乘法分配律的等式，既为概括乘法分配律提供更丰富的素材，又加深了对乘法分配律的认识。】
3.
揭示规律。
（1）提问：像这样的等式，写得完吗？
你能用自己的方式把这些等式中存在的规律表示出来吗？请同学们先在小组里说一说。
（2）反馈时引导学生用不同的方式表达。（学生可能用语言描述，可能用字母表示……）
小结：a加b的和乘c，与a乘c的积加b乘c的积的和是相等的。这就是乘法分配律。[板书：（a
+
b）
×
c
=
a
×
c
+
b
×
c]
你们发现的这个知识规律，叫做乘法分配律。什么叫乘法分配律？请同桌再交流一下。
4.能用字母来表示乘法分配律吗？结合学生回答，教师板书：
?（a＋b）×c=a×c＋b×c
对于乘法分配律，用字母来表示，感觉怎样——（稍等）简洁、明了。这就是数学的美。
【设计意图：让学生积极地动手实践、自主探索及与同伴进行交流，亲历观察、归纳、猜测、验证、推理等探究发现的全过程，
学生不仅发现乘法分配律的知识，而且学习科学探究的方法，数学思维的能力得到了发展。】
（三） 实践运用，巩固内化
1.请运用乘法运算定律，回答下面各题：
??①（32＋25）×4
=
□×4＋□×4
??②（64＋12）×3
=
□×□＋□×□
??③25×（4＋9）=
□×□＋□×□
??④75×64
=
□×□＋□×□
【设计意图：前面三题，学生很快根据乘法分配律正确地填数。由于第④题是开放的，有的把75写成两个加数的和再乘64的形式，也有的将64拆成两个加数的和再乘75的形式等，再运用乘法分配律进行填数。】
2.选择。请用手势表示正确答案的编号。
与
25×（4×8）相等的算式是（
）。
①25×4＋25×8；
②25×4×25×8；
③25×4×8
【设计意图：通过辨析，学生更加清楚乘法分配律的内涵及与乘法结合律的区别。】
3.完成第3、4题，比较两种方法中的哪种方法比较简便，渗透简便计算的思想
4.做第5题，重点提示学生第2题
48×3-45×3可以写成（48-35）×3。
把分配律中的加法类推到减法。
【设计意图：
练习设计层次清楚，重点突出，形式活泼，有效地促进学生知识的内化。这些教学活动使学生经历了知识的形成过程，有利于学生改善学习方式。】
（四）回顾再现，升华新知
今天我们学习了什么知识，我们是怎么来学习的？
【设计意图：在本节课即将结束之时，让学生畅谈学习收获，不但培养了学生的大胆表达自己的情感，而且将所学知识得到及时有效的梳理和巩固。】
四、提纲挈领——说板书
运算律---乘法分配律
（
65
+
45）×
5
=
65
×5+45×
5
（
32
+
45
）×
5=32
×
5
+
45
×
5
（a
+
b）
×
c
=
a
×
c
+
b
×
c
【设计意图：良好的板书就是一个微型的教案，是课堂教学的缩影。本课的板书，简洁明了，展示学生知识形成的过程，抓住教学脉络，有利于学生知识的自我建构。】
7
问题解决（一）
教学内容
知识点：相遇问题。
教材第19～22页，例1，课堂活动1，练习六1，2。
教学提示
教学例1时，要把例1及“试一试”看作一个整体来学习。可以先复习速度、时间和路程之间的数量关系。然后重点理解相向运动的含义，可以借助学生表演，多媒体展示，让学生理解什么是“同时出发”，什么是“相向而行”，什么是“相遇”，以帮助学生进一步弄清题意，使学生直观理解余刚和苗苗在相遇时两人走过的路程的和就是他们两家之间的举例。之后，让学生独立探索解决，再组织学生交流各自的解题策略和具体方法，并引导学生反思自己的思路和解法。
教学目标
知识与技能：
尝试探索运用所学知识解决问题的方法，培养学生的运用意识和解决实际问题的能力。
过程与方法：
在与他人合作、交流的基础上，会进行反思和总结并形成解决具有“相遇”问题特征的数学问题的基本策略，同时体会解决问题策略的多样性。
情感与态度：
在解决问题的过程中，使学生获得问题解决的积极的情感体验。
重点、难点
重点
认识具有“相遇”问题特征的数学问题的基本特征。
难点
学会解决“相遇”问题的基本策略。
教学准备
教师准备：投影仪；多媒体课件。
学生准备：练习本；草稿本。
教学过程
（一）复习导入：
课件出示：余刚每分钟走75米，从家出发走5分钟，可以到达少年宫，余刚家与少年宫相距多少米？
教师:请同学们先仔细阅读题目后，说说你是怎样想的？
学生汇报自己的想法：要求“余刚家与少年宫相距多少米？”就是求余刚行走的路程，路程=速度×时间。
教师：这是一道行程问题，所涉及到的基本数量关系是：路程=速度×时间。
我们研究的是一个人行走在家和少年宫之间的问题，如果是两个人从各自的家同时出发相向而行会出现哪些情况？大家分析一下。
（组织学生讨论）
教师：好，我们今天一起来解决两人相向而行的问题。
设计意图：引导学生复习行程问题中的基本数量关系，为新课学习做好准备。
（二）探究新知：
1.课件出示，教材第19页，例1。
教师:请同学们先看看屏幕，仔细观察，你获得了哪些信息？
（1）理解信息：
两人的速度各是多少？两人行走的时间各是多少？（行走时间相同）为什么？（经过5
分两人正好在少年文化宫相遇）。
两人行走的方向是怎样的？什么是相向而行？请两个同学上台表演一下。
（2）分析问题：
由于两人同时出发相向而行，那么当两人相遇时，他们所走的路程与两人的家相距多少米有什么联系？说说你的想法。如果用线段图表示余刚所走的路程怎么画？苗苗所走的路程怎么画？
（3）独立思考、合作解决：
解题思路1：先算余刚走的路程，再算苗苗走的路程，最后把两人行驶的路程加起来：75×5+60×5。
解题思路2：先算余刚和苗苗每分行一共多少米，再算两人5分行多少米：（75+60）×5。
教师：你喜欢哪一种算法？为什么喜欢？
教师：两人都说到了第二种解法更简便，那么你理解哪种方法就用哪种方法。
如果两种方法都理解，那你喜欢哪种方法就用哪种方法。
（4）变换条件，进一步分析解决问题：
出示教材第19页，试一试。
①教师：现在两车是同时出发的吗？那么甲乙两辆车走的路程与刚才例1中所走的有什么不同？用线段图如何表示呢？
②独立思考、合作学习。
教师：对这个问题，你是怎么想的？怎么解决的？可能出现的解题思路。
解题思路1：先算甲车行驶的路程，再算乙车行的路程，最后把两车行驶的路程加起来：45×3+52×3。
解题思路2：先算甲车和乙车每时行一共多少千米，再算两车3时行多少千米：（45+52）×3。
设计意图：教师在教学中要对学生的画图进行指导，给予学生充分的时间，培养学生独立思考的能力。
（三）巩固新知：
教材第21页，课堂活动1。
教师：根据已知的数学信息，大家可以提出什么问题？
师：如果求王刚和丽丽两家相距多少米？又要怎样求出一共走的路程呢？请认真思考。
（1）独立思考解答。
（2）四人小组交流自己的解决方案。
（3）全班交流。
解题思路1：先算丽丽2分行驶的路程，再算7分两人各自行驶的路程，最后把它们加起来。
可以是200×2+600×7+200×7；也可以是
200×2+（600＋200）×7。
教师：思路一样，解题的算式不同，你喜欢哪种？为什么可以这样列式？
解题思路2：把王刚行驶的也看成和丽丽一共行驶的9分，用总的路程减去王刚少行2分的路程：（600＋200）×9-600×2。
解题思路3：分别算出王刚行驶的路程和丽丽行驶的路程，然后再相加：600×7+200×（2+7）。
教师随学生的讨论、交流把算式板书在黑板上。
教师：这些解决问题的方法中，哪一种是你最能理解的？你最喜欢哪一种？请把它的解题思路和同桌相互说说吧！
（4）加深认识。
教师：解决这样的问题，关键是理解题意，明白两人一共行驶的路程就是他们两家之间的距离。
在思考解题方法时，可以按自己的理解去列式解答。
设计意图：教师指导学生通过独立思考、讨论交流、归纳整理等多种学习方式，使学生掌握扎实的基本数学技能。
（四）达标反馈
习题：
1.教材第22页，练习六，第1题。
2.教材第22页，练习六，第2题。
答案：
1.1075千米。
2.1800米。
（五）课堂小结
教师：通过本节课解决问题的讨论，你有什么体会？
教师：学习数学知识，就应该用来解决现实问题，在思考解决办法的过程中，如果都像这节课一样，开动脑筋，多角度的去思考，你们解决问题的能力会有更大的提高。
（六）布置作业
第7课时：
1.
甲、乙两人行路,甲每分钟走60米,乙每分钟走75米,甲从东镇去西镇,
乙从西镇去东镇,两人同时出发,经过20分钟两人相遇,求东西两镇间的路程有多少米？
2.
快车和慢车分别从A,B两地同时开出,相向而行。经过5小时两车相遇，快车每小时行60千米，慢车每小时行35千米。AB两地相距多少千米？
3.挖一条长165米的隧道，由甲、乙两个工程队从两端同时施工。甲队每天向前挖6米，乙队每天向前挖5米，挖通这条隧道需要多少天？
4.王刚和李红家相距840米。王刚去给李红送书，为节省时间，两人同时从家出发。王刚平均每分走63米，李红平均每分钟走57米。几分钟后两人相遇？
5.小明和小青两家相距1500米，两人同时从自己家出发，相向而行，经过10分钟相遇。小明每分钟走70米，小青每分钟走多少米？
答案：
1.2700米。2.475千米。3.15天。4.7分钟。5.80米。
板书设计
问题解决（一）
75×5+60×5
（75+60）×545×3+52×3
（45+52）×3200×2+600×7+200×7
200×2+（600＋200）×7（600＋200）×9-600×2600×7+200×（2+7）
教学反思
本节课要充分发挥多媒体课件的作用，从学生熟悉的生活巧妙地引入到怎样解决问题中，激发学生主动探究的欲望。激活学生原有的知识与经验，使学生处于主动探索知识的最佳状态。在思考与交流的活动中培养学生根据具体情况选择算法的意识和能力，发展思维的灵活性。
教学资料包
资料链接
中国数学家——徐利治
徐利治，出生于江苏省沙洲县（今张家港市）东莱乡一个普通木匠家庭。10岁时父亲去世，由母亲帮人做衣维持生活。14岁以年级第一名的成绩毕业于小学，考上全部公费的江苏省立洛杜乡村师范学校。他在校期间成绩优异，并博闻广读，自学《查理斯密大代数》，开始钻研数学经典。许多数学名家的传记故事对他后来从事数学研究颇有启示。抗日战争初始，徐泉涌来不及回故乡，与同学结伴向西南逃亡。1938年考入贵州铜仁国立第三中学师范部。他在生活十分艰苦的条件下发奋读书，尤其热爱数学，做了不少难题，1940年毕业后即以高中同等学历考取西南联合大学数学系。报考大学时，徐泉涌将自己的名字改为徐利治。
入大学不久，由于经济原因，徐利治不得不暂时休学，到四川重庆中学教书。一年后返回大学。当时的西南联合大学人才荟萃，徐利治直接受业于华罗庚、许宝騄等著名教授门下，得益匪浅。他悉心钻研数学名著，参加数学讨论班，接触到研究工作前沿，学会独立思考问题。大学期间他就写出4篇专业研究论文在国际数学杂志上发表。1945年毕业时被华罗庚教授举荐，留在西南联合大学任其助教。
1946年，组成西南联合大学的三所大学（北京大学，清华大学，南开大学）分别迁回北京（当时称北平）和天津。徐利治应聘到北京清华大学任助教。在当时的清华大学，一般人要任六七年助教才提为教员，但徐利治只用了不到3年时间便由助教升为教员。在此期间他相继发表了一批有国际影响的论文。1949年北平解放前夕，徐利治获得了英国文化委员会的奖学金，作为当年该奖学金资助中唯一一名数学研究人员，赴英国阿伯丁大学和剑桥大学访问进修各一年。1951年回国后，担任了清华大学数学系副教授，同时兼任北京师范大学数学系副教授。
徐利治
1952年，为了支援东北的文化建设，徐利治同王湘浩、江泽坚等人一起自愿去到长春，在原东北人民大学组建了数学系，徐利治任数学系副主任。他每年至少讲授两门数学专业课，从1954年起还创办函数逼近论讨论班，培养了一批从事该方面研究的专门人才，他本人也在渐近分析与函数逼近论等方面取得一定成果。1956年被提升为正教授。
1956年春徐利治作为中国科学院三人代表团成员参加了莫斯科全苏泛函分析及其应用会议。回国后他在东北人民大学数学系创办计算数学专业，与苏联专家合作开设了全国计算数学的第一个培训班，培养出从事计算数学研究的首批专业人员。1958年东北人民大学更名为吉林大学。80年代初吉林大学计算数学专业成为国内第一批博士授权点，徐利治成为国内首批博士生指导教师，这与他当时奠定的基础是分不开的。
1961年徐利治受聘为美国《数学评论》杂志的特约评论员。此时他已发表了50多篇学术研究论文，出版了两部专著。但几年之后，“文化大革命”开始了，正常的教学和科研陷于瘫痪，徐利治就躲在家里潜心研究学问。1970年他被送到吉林省长岭县插队落户，在繁忙劳作之余仍孜孜不倦地钻研数学，先后在国外发表了数篇有创见性的论文。1975年9月他重返吉林大学执教，很快又倡议办起了非标准分析讨论班，并担任主讲。
从1980年起，徐利治除在吉林大学任职外，还在大连理工大学（原大连工学院）和华中理工大学（原华中工学院）兼职。1981年大连工学院成立应用数学研究所，徐利治担任了首任所长，同时兼任华中工学院数学系主任。是年，在大连工学院和华中工学院两校领导的支持下，他创办了全国性专业杂志《数学研究与评论》，并成为首任主编。也是在这一年，大连工学院和华中工学院两校成为国家教育部批准的硕士授权点。1984年徐利治成为大连理工大学博士生指导教师。
徐利治
1981年8月徐利治赴西德汉堡参加了第九届国际运筹学会议，次年7月又得到西德科技促进会的资助，到波恩参加了国际数学规划会议，并在会上作了中国东北运筹学发展情况的报告。1983年1月他作为中国逼近论代表团团长，去美国参加了在德克萨斯举办的国际逼近论会议。大会单独为他提供经费，并请他作了1小时的全会报告，介绍中国在逼近论方面近年来的发展概况。会后他还应邀到西弗吉尼亚大学、匹兹堡大学和斯坦福大学短期访问，并作学术报告。1985年6月他取得美国国家科学基金的资助。赴美进行科研合作。其间他参加了在加拿大埃德蒙顿举行的国际逼近论会议和在哈里法克斯举行的数值积分高级研究会。1986年夏他又受聘为美国德克萨斯州A&M大学客座教授。1987年初再赴加拿大曼尼托巴大学和里金纳大学访问讲学。
8
问题解决（二）
教学内容
知识点：相遇问题。
教材第20～22页，例2，算一算，课堂活动2，练习六3，4，5。
教学提示
例2是例1的拓展，是利用类似例1的数量关系进行逆运算来解决的简单实际问题。教学时，将例1的条件和问题改成求相遇时间的问题，再将这样的问题转化成例2这样的问题，让学生讨论解答，同时比较这两类问题的区别与联系。
教学目标
知识与技能：
正确运用相遇问题特征的解决策略，解决类似的实际工作问题。
过程与方法：
经历解决数学问题的过程，进一步体会具有相遇问题特征的数学问题在实际工作中的应用，培养学生分析解决问题的能力。
情感与态度：
在解决数学问题的过程中，能感受到解决数学问题的成功体验，激发分析、解决问题的兴趣。
重点、难点
重点
选择解决问题的策略，能用不同的策略解决同一问题。
难点
选择解决问题的策略，能用不同的策略解决同一问题。
教学准备
教师准备：投影仪；多媒体课件。
学生准备：练习本；草稿本。
教学过程
（一）复习导入：
1．（课件出示）：甲、乙两人约定同时从自己家出发去少年文化宫。他们两家相距425米，如果甲每分走45米，乙每分走40米，他们正好在少年文化宫相遇，经过几分两人正好在少年文化宫相遇？
学生独立完成后，再全班交流解题思路。
2.教师：如果我们把本题中两人看成两个工程队，把他们走的速度看成工程队的工作效率，那么两人走的时间相当于工程队的什么？（工作时间）两人走的路程相当于工程队修复的公路。
即可以把本题改为下面的问题。
看看你会解吗？
课件出示改后的问题：甲、乙两队共同修一条路，甲队从A端每天修45米，乙队从B端每天修40米，7月25日起从这段路的A、B两端同时开工，到7月30日（含7月30日）修通这段路，这段路有多少米？
（1）教师：请认真看大屏幕，自己解决这个问题，然后说说你是怎样想的。
（2）说一说（45+40）的和表示什么，乘6的积又表示什么。
如果将这条路的长度当成已知条件，两队每天修路的米数和同时开工的时间不变，问8天能否修完，又该怎样解答？
设计意图：利用例1的学习进行迁移，将知识内化，使学生对新知的学习能更好的进行建构。
（二）探究新知：
1.分析解决问题，课件出示教材第20页，例2。
教师：你从题中获得了哪些信息，弄清了要求哪些问题；
2.分析解决问题：
（1）教师：要求8天能否修完，你有什么办法来回答这个问题？先独立思考后再与同桌伙伴商量你的想法是否正确。
（2）汇报。
（3）教师：除通过比较时间来回答问题外，你还有其他方法吗？
教师：你理解哪种算法？两种算法都求什么？（第一种算法求时间，第二种算法求8天可以修多少米）
（4）改问题，再分析解决。
（课件出示教材第20页，算一算）
修复完这段公路时，甲队比乙队多修了多少米？你能回答吗？
先独立思考，再列出算式。
对可能出现的解题思路作分析。
45×6-40×6或(45-40)×6
你能说一说每个算式的解题思路吗？
你理解了这两种解题思路了吗？喜欢哪一种？为什么？把你的想法与同桌交流。
（5）加深对问题的分析。
教师：解决例2的问题，你是怎样想例2的第2问呢？
所以对一个问题的解决，有时不止用一种方法，在多种解法中，你应该尽量用什么方法解决呢？（用自己理解的、更简便的方法解决）
设计意图：新知的学习是本节课的重点也是难点，通过教师对问题的重新设计和呈现，让学生对知识的学习更有层次。
（三）巩固新知：
教材第21页，课堂活动2。
学生先独立思考解答，再同桌交流。
（四）达标反馈
习题：
1.教材第22页，练习六，第3题。
2.教材第22页，练习六，第5题。
答案：
1.192吨。
2.不能。
（五）课堂小结
今天的学习你都有些什么收获？你还有什么问题？
（六）布置作业
第6课时：
1.教材第22页，练习六五，第4题。
2.甲、乙两货车上午8时同时从A、B两地相对开出，甲车每时行45km，乙车每时行40km，下午13时两车途中相遇。你知道A、B两地相距多远？
答案：
1.3400；1040；480；8000；3672；2400。
2.475。
板书设计
简便运算（二）
（45+40）×6
①510÷（45+40）
②（45+40）×8＝85×6
＝510÷85
＝85×8＝510（米）
＝6(天)
＝680（米）答：这条公路长510米。
答：8天可以修完这条路。45×6-40×6或(45-40)×6
教学反思
这节课是在学生已经掌握了“两人的速度和×时间=两人所走的路程”的基础上展开教学的，并且本节课是利用类似于由这类数量关系推出“两人所走路程的和÷两人的速度和=时间”的数量关系来解决的简单实际问题。但是不管是求所行路程还是求类似于所行时间的问题，虽然事件不同，数量名称不同，但数量之间的关系相同都是行程问题的数量关系。上节课学生掌握的有关知识，可以直接用于本节课的学习。因此，本节课一开始就从学生原有知识入手展开对新知识的研讨，通过旧知识和新知识的转化比较，沟通了新旧知识的内在联系，帮助学生找准新旧知识的相同点和不同点，便于学生能有效地借助原有知识来分析、解答新的问题。在分析解答问题的过程中，还尽可能地让学生发表自己的意见，充分发挥学生学习的主体作用。尊重学生从不同角度、用不同的方法对问题的分析和解答方法的解释，鼓励学生的多向思维，从中培养学生的创新意识。由复习引入中的第一题转变成第二题，老师特意让学生经历转变的过程，既利于拓展学生的思路，激发学生充分的想象，活跃思维，又让学生直观地认识，并沟通了两类问题的关系，使学生能更好地掌握行程问题的数量关系和解决问题的策略。此外，教学中还注重学生的相互讨论，注重用线段图再造“行走”或修路的情景，为学生的分析提供表象支持，这些都是新课程理念在教学中的体现，通过这些教学把新课程的教学目标落到实处。
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中国数学家——许宝騄
许宝騄幼年随父赴任，曾在天津、杭州等地留居，大部分时间都由父亲聘请家庭教师传授，攻读《四书》、《五经》、历史及古典文学，10岁后就学作文言文，因此他的文学修养很深，用语、写作都很精练、准确。1925年才进中学，在北京汇文中学从高一读起，1928年汇文中学毕业后考入燕京大学理学院。由于中学期间受表姐夫徐传元的影响，对数学颇有兴趣，入大学后了解到清华大学数学系最好，决心转学念数学。1929年入清华大学数学系，仍从一年级读起。当时的老师有熊庆来、孙光远、杨武之等，一起学习的有华罗庚、柯召等人。1933年毕业获理学士学位，经考试录取赴英留学，体检时发现体重太轻不合格，未能成行。于是下决心休养一年。1934年任北京大学数学系助教，担任正在访问北京大学的美国哈佛大学教授奥斯古德的助教，前后共两年，奥斯古德在他后来出版的书中，提到了许宝騄的帮助。奥斯古德是分析方面的专家，在这两年内许宝騄做了大量的分析方面的习题，也开始了一些研究，1935年他发表了两篇论文，其中一篇是与江泽涵合作的，都是分析方面的论文。那时芬布尔和阿蒂肯合写的《标准矩阵论》已出版，许宝騄熟练地掌握了矩阵的工具，尤其精通分块演算的技巧。所以这两年内他在分析和代数两方面都打下了扎实的基础。1936年许宝騄再次考取了赴英留学，派往伦敦大学学院，在统计系学习数理统计，攻读博士学位。1938年许宝騄共发表了3篇论文。当时伦敦大学规定数理统计方向要取得哲学博士的学位，必需寻找一个新的统计量，编制一张统计量的临界值表，而许宝騄因成绩优异，研究工作突出，第一个被破格用统计实习的口试来代替。1938年他获得了哲学博士学位。同年，系主任内曼受聘去美国加州大学伯克利分校，他推荐将许宝騄提升为讲师，接替他在伦敦大学讲课。1939年，许宝騄又发表了两篇论文，1940年又发表了3篇。其中两篇文章是数理统计学科的重要文献，在多元统计分析和内曼－皮尔逊理论中是奠基性的工作，因此他获得了科学博士的学位。
抗日战争爆发后，他决定回国效劳，终于在1940年到昆明，在西南联合大学任教。钟开莱、王寿仁、徐利治等均是他的学生。在1945年秋，他应邀去美国加州大学伯克利分校和哥伦比亚大学任访问教授，各讲一个学期，学生中有安德森，莱曼等人。1946年到北卡罗莱纳大学任教。一年后，他决心回国，谢绝了一些大学的聘任，回到北京大学任教授。1948年他当选为中央研究院院士。回国后不久就发现已患肺结核。他长期带病工作，教学科研一直未断，在矩阵论，概率论和数理统计方面发表了10余篇论文。1955年，他当选为中国科学院学部委员。1963年发现肺部有空洞，他的结核菌已有抗药性时，组织屡次安排他休养，他均谢绝，并且一个人领导3个讨论班（平稳过程、马氏过程、数理统计），带领青年人搞科研。他在60年代中期，对组合数学有浓厚的兴趣，1966年初，与段学复教授联合主持组合数学的讨论班，因“文化大革命”而被迫中断。然而他自己不顾条件如何，始终坚持科研，在1970年12月逝世时，他床边的小茶几上还放着一支钢笔和未完成的手稿。1983年，德国施普林格出版社刊印了《许宝騄全集》
，全集是由钟开莱主编的，共收集了已发表的、未被发表的论文40篇。1980年与1990年秋，北京大学两次举办纪念会，并出版了《许宝騄文集》。
9
问题解决（三）
教学内容
知识点：乘法分配律的实际应用。
教材第20～23页，例3，课堂活动3，练习六6，7，8，9，思考题。
教学提示
例5教学乘法分配律的应用，共安排了2道小题。第1小题是顺向应用乘法分配律，第2小题是逆向应用乘法分配律，目的是让学生明确运算律可以正向应用，也可以逆向应用，要根据具体情况灵活使用。
教学目标
知识与技能：
结合已有的学习经验和生活经验，综合运用所学知识和技能解决较复杂的实际问题。
过程与方法：
经历解决数学问题的过程，学会解决数学问题的一些基本方法。
情感与态度：
在解决数学问题的过程中，能感受到解决数学问题后的成功体验，提高应用数学的意识和解决问题的能力。
重点、难点
重点
学会针对具体问题选择解决问题的策略。
难点
能解决较复杂的数学问题。
教学准备
教师准备：投影仪；多媒体课件。
学生准备：练习本；草稿本。
教学过程
（一）复习导入：
教师：上个星期，我们到电影院看了一部精彩的影片，叫什么名字？
教师：在看电影之前，你们最关心什么？猜一猜，每一场电影放映之前,电影院的经理最关心什么？
生:猜想，电影院的经理最关心卖出了多少张票。
教师：对，我们关心的是电影的内容，经理最关心的是票房收入。
板书：票房收入。
一场电影票房收入的多少与哪些因素有关？
板书：票价，观看人数。
设计意图：对新知教学进行铺垫，让学生理解题目信息，为接下来的学习做好准备。
（二）探究新知：
1.教学教材第20页，例3。
教师：请看这样一个事例。
课件出示：小影院共有甲票座位50个，乙票座位100个。甲票30元/人，乙票10元/人。
教师：你了解了哪些信息？
教师：什么情况会使电影院经理最开心？
教师：如果告诉你本场票房收入为2300元，请估计，电影票全部卖完了吗？（同时打出：本场电影票房收入2300元）说出判断结果的依据？
1500+1000=2500元，但只收入了2300元，说明电影票没有全部卖完。
教师：票房收入2300元，说明有空位，看电影的究竟有多少人呢？
出示：本场观众最少有多少人？
教师：想想：什么情况下，人数最少？结合信息思考。
教师：对，甲票尽量卖完，应有50人。
（板书）按照这样的思路能解决这个问题吗？尝试一下，独立解决。
依照学生的思路，教师板书。
甲票卖完，就有50张，也就是有50人。
乙票卖的张数是：（2300-30×50）÷10=80（张），也就是有80人。
观众最少有：50+80=130（人）。
教师：怎么才能知道我们做得对不对呢？（引导学生验算）
教师：解决这个问题的基本思路是要使观众最少，就尽可能多的卖出贵的票。
教师：回忆解决这个问题的思路，什么情况下观众最少？（尽可能多卖贵的票）在具体解决时，有可能遇到不恰当的情况，要认真分析作出调整。
当然，根据票房收入2300元算出的观众人数最少只是其中的一种可能，不排除有其他人数的可能。
这个，同学们可以在课后研究。
设计意图：将新知学习从课内引导课外，向学生渗透数学知识在生活的广泛应用，让学生对数学有更多的了解。
（三）巩固新知：
1.教材第21页，课堂活动3。
学生小组交流讨论，然后再集体汇报。
2.教材第23页，思考题。
要求小狗跑了多少米，其实就是求两人相遇的时间与小狗的速度相乘。
（四）达标反馈
习题：
1.教材第23页，练习六，第6题。
2.教材第23页，练习六，第7题。
答案：
1.41盒。
2.20棵。
（五）课堂小结
今天的学习你都有些什么收获？你还有什么问题？
（六）布置作业
第6课时：
1.教材第23页，练习六，第8题。
2.教材第23页，练习六，第9题。
3.精装80元/套，简装30元/套，春苗书屋新进了《上下五千年》精装20套，简装30套。王老师为学校图书馆购这种书共花了1540元。他最多买了多少套？
答案：
1.560千米。
2.16元。
3.（1540－30×30）÷80＋30＝38（套）。
板书设计
问题解决（三）
票房收入
票价
观看人数甲票尽量卖完，50人。乙票：（2300-30×50）÷10=80（人）。观众最少有：50+80=130（人）
教学反思
一．放得开、收的快
“行程问题”的教学——反严谨、步步到位的传统教学方式，而采取“大放”策略——全面铺开，让学生自主建构。但是鉴于学生对知识准备的估计不足，还有课堂调节的方式不够完美，可能会导致没有完全收到预期的教学效果，集中体现在“收的快”上。不能超越课堂，无形之中收到预设的教学目标和教学内容的束缚，在课堂上不敢大放手脚，学生还意犹未尽就硬生生的收了回来，从而没能真正的进行“开放教学”。
二．细节处理不到位
课堂教学的一些细节部分讲解不够到位，学生的掌握程度也出现个别的偏差，特别在“速度单位”这一教学环节上，概念呈现过早，导致学生理解不透，影响了以后的知识迁移。
三、教学思维“迁移”不够
说到教学效果，我们不得不关注教学思维的“迁移”，这也完全符合理论联系实践，知识运用于实际的原理。课堂中学到的教学知识是为了更好地运用于实际生活，应该说大部分同学通过一节课的学习，基本上可以运用“行程问题”中的有关理论、有关公式算理解决一些实际问题，但也存在少部分同学还停留在课本当中，停留在课堂之中的现象。这和我们新课程理念是有一定的偏差的。
教学资料包
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中国数学家——王湘浩
1915年5月5日生于河北省安平县。其父王桂山，字仙府，靠耕田和卖药为生，在村里免费行医；时常鼓励王湘浩读书，希望他将来做个教师。叔父早年毕业于天津北洋大学。在父亲和叔父的影响下，1931年王湘浩初中毕业后，考取了北洋工学院附属高中。当时北洋工学院的附属高中实际上是大学预科性质，毕业后可以不经考试升入本科。王湘浩自小喜欢数学，小学和中学数学成绩一直很突出。但是，图画、手工课成绩却很差。读北洋工学院附属高中需要学机械制图，王湘浩很难应付，逐渐失去了读工科的兴趣。1933年高中毕业时，他放弃直接升入北洋工学院本科的机会，考取了北京大学算学系（数学系）。
王湘浩在北京大学数学系学习，如鱼得水，才能得到充分发挥，成绩遥遥领先，受到老师们的称赞。在三四年级时他获得每年240元的最高奖学金。
1937年，王湘浩在北京大学数学系毕业时恰值抗日战争爆发，北京大学南迁。王湘浩先回到河北家乡，继而去西安，最后到长沙投奔由北京大学、清华大学、南开大学三校成立的临时大学。他在江泽涵教授的帮助下，留在临时大学数学系任助教，结束了流亡生活。1938年春，长沙临时大学迁往昆明，改名西南联合大学。王湘浩在该校当了两年助教后，1939年成为江泽涵教授的研究生，专攻拓扑学；1941年毕业，担任西南联合大学讲师。1946年夏，他到美国普林斯顿大学，在著名代数学家E．阿廷指导下攻读学位，1947年夏取
王湘浩和学生们得硕士学位，1949年春又取得博士学位，其博士论文的题目是《关于格伦瓦尔德定理》。1949年6月他启程回国，经香港、天津，8月到北京，被北京大学数学系聘为副教授，1950年晋升教授。他在1952年院系调整时，到东北人民大学（后改名为吉林大学）数学系任系主任。1955年他被选为中国科学院学部委员。1976年吉林大学计算机科学系成立后，王湘浩任该系系主任，后兼任吉林大学副校长。
王湘浩1954年加入中国民主同盟，曾任吉林省民盟副主任委员，长春市民盟主任委员，民盟中央委员和参议委员。并曾任长春市政治协商会议副主席，全国人民代表大会代表。
王湘浩还曾担任中国数学会理事，中国计算机学会副理事长，中国计算机学会人工智能专业委员会主任，全国高校人工智能研究会会长，吉林省及长春市计算机学会理事长，长春市数学会理事长和长春市桥牌协会主席。
王湘浩是中国第一批计算机学科博士导师之一，曾任国务院学位委员会计算机学科评议组组长
10
整理与复习（一）
教学内容
知识点：本单元综合整理。
教材第24～27页，整理与复习1，2，3，4，练习七1，2，3，4，9，11，13。
教学提示
在整理与复习的教学中，可以先让学生独立回忆填写整理复习表，再组织学生相互交流比较讨论，再让学生独立修正、完善、整理复习表。让学生从整体上清晰的再认识本单元的知识内容，并加深理解，掌握本单元知识。
教学目标
知识与技能：
通过整理与复习，提高学生综合运用所学知识的能力。
过程与方法：
体验学习整理知识的一种新方式——表格法。
情感与态度：
培养学生归纳、整理所学知识的能力，养成自觉整理所学知识，反思学习过程中的收获与问题的良好习惯。
重点、难点
重点
让学生体验对本单元知识的有序整理，巩固本单元知识。
难点
让学生体验对本单元知识的有序整理，掌握本单元知识。
教学准备
教师准备：投影仪；多媒体课件。
学生准备：练习本；草稿本。
教学过程
（一）复习导入：
教师：同学们，这一段时间我们一起学习了第二单元《乘除法的关系和乘法运算律》。
今天这节课，我们一起来对这部分知识进行整理与复习，进一步巩固所学知识，并弥补我们学习中的一些不足。
（板书课题：整理与复习一）
设计意图：明确学习方向，使学生快速进入到学习状态。
（二）探究新知：
课件出示为学生设计好的表格。
本单元主要内容
最大的收获
最感兴趣的内容
存在的问题
教师：今天，我们将学习一种新的整理方法——表格法。
请同学们看这张表格里有4栏，内容分别是……
提出要求：
（1）认真回忆本单元所学知识，然后根据自己的实际情况填表。
（2）填完以后同学们在四人小组内交流自己整理的内容，看看还有哪些需要补充、修改的地方。
流程：
A.学生独自进行单元整理并填表。
B.组织学生小组合作学习，并对自己的填表进行修改补充。
C.组织学生全班交流。
教师：哪位同学愿意把自己整理的表格展示给大家看看？在展示台上出示学生的作品，组织学生评议。
教师：你认为他对本单元知识的整理是否全面呢？有什么修改意见吗？
注意：乘除法之间的关系，要求写出关系式；乘法运算律，最好能用字母式子来表达。
教师：通过回忆本单元知识，同学们还总结了自己在学习中的收获与问题，你们有这么多的收获，老师真为你们感到高兴。
设计意图：利用表格整理，让学生感受到知识整理的新方法，通过有序的整理，为学生掌握正确的学习方法做好指导。
（三）巩固新知：
1.教材第24页，第1题。
学生独立计算，集体订正。
2.教材第24页，第2题。
学生独立计算，小组交流讨论，然后再集体汇报。
3.教材第24页，第3题。
学生独立计算，集体订正。
4.教材第24页，第4题。
学生独立计算，小组交流讨论，然后再集体汇报。
（四）达标反馈
习题：
1.教材第25页，练习七，第1题。
2.教材第25页，练习七，第2题。
3.教材第2