3.3
三角函数的积化和差与和差化积
课后导练
基础达标
1.在△ABC中，若,则△ABC是（
）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
解析：由题意,知sinAcosA=sinBcosB,
∴sin2A=sin2B.∴sin2A-sin2B=0.
用和差化积公式得2cos(A+B)sin(A-B)=0,cos(A+B)=0或sin(A-B)=0,A+B=或A=B.故选D.
答案：D
2.已知sin(α+β)sin(β-α)=m,则cos2α-cos2β等于…（
）
A.-m
B.m
C.-4m
D.4m
解析：cos2α-cos2β=(cosα-cosβ)(cosα+cosβ)
=-2sinsin·2coscos=sin(α+β)sin(β-α)=m.
答案：B
3.若tanθ=,tan(θ-φ)=,则tan(φ-2θ)的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：tan(φ-2θ)=-tan［θ-(φ-θ)］=.
答案：B
4.α、β为锐角，sinα=x,cosβ=y,cos(α+β)=-3[]5,则y与x的函数关系式为（
）
A.y=x(
B.y=x(0C.y=x(0D.y=x(0解析：cosβ=cos［（α+β）-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=x,
∵x>0,∴x>.∴∴应选A.
答案：A
5.α、β为锐角，且α+β=,则cos2α+cos2β的取值范围是（
）
A.［，］
B.［，）
C.［，］
D.［，）
解析：cos2α+cos2β=
=1+(cos2α+cos2β)=1+cos(α+β)cos(α-β)=1-cos(α-β),
∵α,β∈(0,),α+β=,
∴α-β∈（-,）.
∴cos(α-β)∈(,1］.
∴cos2α+cos2β∈［,）.
答案：D
6.在直角坐标系中，已知两点A（cos80°,sin80°）,B(cos20°,sin20°),则|AB|的值是_________.
解析：|AB|2=（cos80°-cos20°）2+(sin80°-sin20°)2=2-2(cos80°cos20°+sin20°sin80°)
=2-2cos60°=2-2×=1.
答案：1
7.若在［0，］内有两个不同的实数值，满足等式cos2x+sin2x=k+1,则k的范围是________.
解析：cos2x+sin2x=2(cos2x+sin2x)
=2sin(2x+),
∵x∈［0,］,
∴2x+∈［,］.
∴2sin(+2x)∈［-1,2］.
∴k+1∈［-1,2］.
∴k∈［-2,1］.答案：［-2,1］
8.设sin(-x)=,x∈(0,),则=______________.
解析：cos2x=sin(-2x)=2sin(-x)·cos(-x)=2××.
cos(+x)=cos［-(-x)］=sin(-x)=,
∴.
答案：
综合运用
9.化简:.
解:原式=
=cot4α.
10.在△ABC中,求证:sin2A+sin2B-sin2C=2sinAsinB·cosC.
证明:左边=-sin2C
=1-(cos2A+cos2B)-1+cos2C
=cos2C-cos(A+B)·cos(A-B)
=cos2C+cosC·cos(A-B)
=cosC［cosC+cos(A-B)］
=cosC［cos(A-B)-cos(A+B)］
=2cosC·sinA·sinB=右边.
11.已知α,β均为锐角，且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=.
证明：利用sin(α+2β)=1,证α+2β=.
∵
平方相加，9sin4α+sin22α=1,
∴sin2α=.
∴sinα=(α为锐角).
∴sin(α+2β)=sinαcos２β+cosαsin2β=3sin3α+cosα·sin2α=3sinα=1.
∵0<α<,0<β<,
∴0<α+2β<.
∴α+2β=.
拓展探究
12.在△ABC中，sinA+cosA=,AC=2,AB=3,求tanA的值和△ABC的面积.
解：∵sinA+cosA=cos(A-45°)=,
∴cos(A-45°)=
.
又0°∴A-45°=60°,A=105°.
∴tanA=tan(45°+60°)=.
sinA=sin105°=sin(45°+60°)
=sin45°·cos60°+cos45°sin60°=,
∴S△ABC=AC·ABsinA=×2×3×
=().3.3
三角函数的积化和差与和差化积
自我小测
1．化简的结果为( )
A．tan
α
B．tan
2α
C．cot
α
D．cot
2α
2．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝( )
A．－
B．－
C．
D．
3．化简cos＋cos＋cos的结果为( )
A．sin
B．sin C．－
D．－cos
4．sin
α＋sin
β＝(cos
β－cos
α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( )
A．－
B．－
C．
D．
5．已知α－β＝，且cos
α－cos
β＝，则cos(α＋β)等于( )
A．
B．
C．
D．
6．函数y＝coscos的最大值是__________．
7．cos
72°－cos
36°的值为__________．
8．若cos2α－cos2β＝m，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________．
9．求证：2sin2θsin2φ＋2cos2θcos2φ＝1＋cos
2θcos
2φ．
10．已知△ABC的三个内角A，B，C满足(1)A＋C＝2B；(2)＋＝－，求cos的值．
参考答案
1．答案：B
2．答案：C
3．答案：C
4．答案：D
5．答案：C
6．答案：
7．解析：cos
72°－cos
36°＝－2sin
54°sin
18°＝＝＝－．
答案：－
8．解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝－
(cos
2α－cos
2β)
＝－
[(2cos2α－1)－(2cos2β－1)]＝cos2β－cos2α＝－m．
答案：－m
9．证明：左边＝2··＋2··＝(1－cos
2θ－cos
2φ＋cos
2θcos
2φ)＋
(1＋cos
2θ＋cos
2φ＋cos
2θcos
2φ)＝
(2＋2cos
2θcos
2φ)＝1＋cos
2θcos
2φ＝右边．
所以原式成立．
10．解：由题设条件知B＝60°，A＋C＝120°，
因为＝－，所以＋＝－．
所以cos
A＋cos
C＝－2cos
Acos
C．
利用和差化积及积化和差公式得，
2coscos＝－
[cos(A＋C)＋cos(A－C)]，
所以cos＝－，
化简得4cos2＋2cos－3＝0，
又＝0，
因为2cos＋3≠0，所以cos＝．3.3 三角函数的积化和差与和差化积
知识点一：积化和差
1．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于
A．－m
B．m
C．－
D.
2．sin20°cos70°＋sin10°sin50°的值为
A.
B.
C.
D.
3．在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是
A．[－1,1]
B．[－，]
C．[－，]
D．[－，]
4．计算sin105°cos75°的值是
A.
B.
C．－
D．－
5．函数y＝sin(x＋)sin(x＋)的最小正周期T＝__________.
知识点二：和差化积
6．将cos2x－sin2y化为积的形式，结果是
A．－sin(x＋y)sin(x－y)
B．cos(x＋y)cos(x－y)
C．sin(x＋y)cos(x－y)
D．－cos(x＋y)sin(x－y)
7．函数y＝cos2(x－)＋sin2(x＋)－1是
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
8．化简sin(θ＋)＋sin(θ＋)的结果是__________．
9．把cosx＋cos2x＋cos3x＋cos4x化成积的形式．
10．把下列各式化为积的形式：
(1)sin122°＋sin36°；
(2)sin75°－sin15°；
(3)cos75°－cos23°.
能力点一：利用积化和差、和差化积公式进行求值、化简、证明
11．有下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ；②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsinθ；③sin3θ－sin5θ＝－cos4θcosθ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcosθ；⑤sinxsiny＝[cos(x－y)－cos(x＋y)]．
其中正确等式的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
12．函数f(x)＝asinx＋acos(x－)(x∈R)的最大值是，则实数a等于
A.
B．－
C.
D．－
13．化简cos＋cos＋cos所得结果为
A．sin
B.sin
C．－
D．－cos
14．函数y＝的最小正周期是__________．
15．求证：sinαsin(60°＋α)sin(60°－α)＝sin3α.
能力点二：公式的综合应用
16.在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则△ABC是
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．不等边三角形
D．直角三角形
17．如果向量a＝(cosα＋sinα，2
009)，b＝(cosα－sinα，1)，且a∥b，那么＋tan2α＋1的值是__________．
18．已知△ABC的三个内角A、B、C满足：(1)A＋C＝2B；(2)＋＝－，求cos的值．
19．已知sin(＋2α)sin(－2α)＝，α∈(，)，求：2sin2α＋tanα－cotα－1的值．
20．已知△ABC的面积为3，且满足0≤·≤6，设〈，〉＝θ.
(1)求θ的取值范围；
(2)求函数f(θ)＝2sin2(＋θ)－cos2θ的最大值与最小值．
答案与解析
1．A sin(α＋β)sin(α－β)＝－(cos2α－cos2β)
＝－[(2cos2α－1)－(2cos2β－1)]＝－(cos2α－cos2β)＝－m.
2．A 原式＝[sin90°＋sin(－50°)]＋(－cos60°＋cos40°)
＝－sin50°＋cos40°－
＝.
3．C cosAsinC＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)，
∵－1≤sin(A－C)≤1，
∴cosAsinC∈[－，]．
4．B
5．π
6．B
7．C y＝＋－1
＝[cos(2x－)－cos(2x＋)]＝－sin2x·sin(－)＝sin2x，
∴函数是周期为π的奇函数．
8．－sinθ
9．解：原式
＝(cosx＋cos4x)＋(cos2x＋cos3x)
＝2cosxcosx＋2cosxcos
＝2cosx(cosx＋cos)
＝4cosx·cosx·cos.
10．解：(1)sin122°＋sin36°＝2sin·cos＝2sin79°·cos43°；
(2)sin75°－sin15°＝2cos·sin＝2cos45°·sin30°＝；
(3)cos75°－cos23°
＝－2sinsin
＝－2sin49°·sin26°.
能力提升
11．B 根据和差化积公式与积化和差公式，只有⑤正确．
12．A f(x)＝asinx＋asin[－(x－)]＝a[sinx＋sin(－x＋)]＝2asincos(x－)＝acos(x－)，
∴a＝，a＝.
13．C 原式＝
＝
＝＝－.
14.
＝
＝
＝＝tan(2x＋)，
∴y＝tan(2x＋)，T＝.
15．证明：左边＝sinα·(－)(cos120°－cos2α)
＝sinα＋sinαcos2α
＝sinα＋[sin3α＋sin(－α)]
＝sinα＋sin3α－sinα
＝sin3α.
∴左边＝右边，原等式成立．
16．B 在△ABC中，
∵sinBsinC＝cos2，
∴sinBsinC＝，
即2sinBsinC＝1－cos(B＋C)．
∴cos(B－C)＝1.
∴B－C＝0，即B＝C.
17．2
010 ∵a∥b，
∴cosα＋sinα－2
009(cosα－sinα)＝0，
即＝2
009.
又＋tan2α＋1＝＋＋1
＝＋1
＝＋1
＝＋1＝2
009＋1
＝2
010.
18．解：由题设条件知B＝60°，A＋C＝120°，
∵＝－2，
∴＋＝－2.
∴cosA＋cosC＝－2cosAcosC.
利用和差化积及积化和差公式得
2coscos＝－[cos(A＋C)＋cos(A－C)]，
∴cos＝－(－＋2cos2－1)，
化简得4cos2＋2cos－3＝0，
又(2cos－)(2cos＋3)＝0，
∵2cos＋3≠0，
∴cos＝.
19．解：由已知，得
－(cos－cos4α)＝，
∴cos4α＝.
∵α∈(，)，
∴4α∈(π，2π)．
∴4α＝.
∴2α＝.
∴2sin2α＋tanα－cotα－1
＝2sin2α＋－－1
＝1－cos2α＋－1
＝－cos2α－
＝－cos－
＝＋＝.
拓展探究
20．解：(1)设△ABC的角A、B、C所对应的边的边长分别为a、b、c.
则S△ABC＝bcsinθ＝3.
∴bc＝.①
由已知：0≤·≤6，
得0≤bccosθ≤6，②
将①代入②得0≤≤6，
即0≤cotθ≤1，又θ为△ABC的内角，
∴θ∈[，]．
(2)f(θ)＝1－cos(＋2θ)－cos2θ
＝1－2cos(2θ＋)cos
＝1－cos(2θ＋)，
由(1)知≤θ≤，
∴≤2θ≤π.
∴≤2θ＋≤.
∴－1≤cos(2θ＋)≤－.
∴－≤cos(2θ＋)≤－.
∴当θ＝时，ymax＝1＋，
当θ＝时，ymin＝1＋.3.3
三角函数的积化和差与和差化积
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列等式错误的是（
）
A.sin（A+B）+sin（A-B）=2sinAcosB
B.sin（A+B）-sin（A-B）=2cosAsinB
C.cos（A+B）+cos（A-B）=2cosAcosB
D.cos（A+B）-cos（A-B）=2sinAcosB
提示：由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A、B、C正确.
答案:D
2.sin20°cos70°+sin10°sin50°的值为(
)
A.
B.
C.
D.
解析：sin20°cos70°+sin10°sin50°
=（sin90°-sin50°)（cos60°-cos40°)
=sin50°-+cos40°=.
答案:A
3.函数ｙ=sin（x+）-sinｘ(x∈［0，π］)的值域是（
）
A.［-2，2］
B.［，］
C.［，1］
D.［，］
解析：由和差化积公式可得y=cos(x+)，再由x∈［0，π］，可得≤x+≤，y∈［,］.
答案:B
4.2sin55°cos35°=_________________；
sin75°-sin15°=___________________.
解析：2sin55°cos35°=sin（55°+35°)+sin（55°-35°)=1+sin20°,
sin75°-sin15°=2cos
=2cos45°sin30°=.
答案:1+sin20°
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.有下列关系式：①sin5θ+sin3θ=2sin8θcos2θ；
②cos3θ-cos5θ=-2sin4θsinθ；③sin3θ-sin5θ=cos4θcosθ；
④sin5θ+cos3θ=2sin4θcosθ；⑤sinxsiny=［cos（x-y）-cos（x+y）］.
其中正确等式的个数是（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①②③④均不正确，⑤正确.
答案:B
2.若cos（α+β）cos（α-β）=，则cos2α-sin2β等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析：cos（α+β)cos（α-β)=（cos2α+cos2β)
=［（2cos2α-1)+（1-2sin2β)］
=cos2α-sin2β，∴cos2α-sin2β=.
答案:C
3.化简：的结果为(
)
A.tan
B.tan2x
C.tanx
D.-tanx
解析：原式==-tanx.
答案:D
4.函数y=sin（x-）cosx的最小值是_____________.
解析：y=sin（x)cosx
=［sin（2x)+sin（)］
=［sin（2x)］
=sin（2x)-，
当sin（2x)=-1时，y取得最小值.
答案:
5.化简：.
解：原式=
=csc5Asin3A.
6.求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.
解：原式=+sin20°cos50°
=1（cos40°-cos100°)+［sin70°+sin（-30°)］
=1·（-2)sin70°sin（-30°)+sin70°-
=1sin70°+sin70°-=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.(2006山东济南统考，2)（sin75°-sin15°）（cos15°+cos75°）的值是（
）
A.
B.
C.
D.1
提示：利用和差化积公式；还可利用诱导公式及二倍角余弦公式等.
答案:B
2.如果，那么等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：.
答案:B
3.直角三角形中两锐角为A和B，则sinAsinB（
）
A.有最大值和最小值0
B.有最大值但无最小值
C.既无最大值也无最小值
D.有最大值1但无最小值
解析：因为A+B=，sinAsinB=［cos（A-B)-cos（A+B)］=cos（A-B).
又＜A-B＜，而0＜cos（A-B)≤1，
故sinAsinB有最大值无最小值.
答案:B
4.化简cos+cos+cos所得结果为（
）
A.sin
B.sin
C.
D.
解析：原式=
=.
答案:C
5.已知α-β=且cosα-cosβ=，则cos（α+β）等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由cosα-cosβ=，得
-2sin
·sin
=，
即sin
=，
∴cos（α+β)=1-2sin2
=1-2×（)2=.
答案:C
6.cos20°+cos60°+cos100°+cos140°的值为_________________.
解析：cos20°+cos60°+cos100°+cos140°
=cos20°++2cos120°cos20°
=cos20°+-cos20°=.
答案:
7.若cos2α-cos2β=m，则sin（α+β）·sin（α-β）=________________.
解析：sin（α+β)·sin（α-β)=［cos2α-cos2β］
=［（2cos2α-1)-（2cos2β-1)］=cos2β-cos2α=-m.
答案:-m
8.若x为锐角三角形的内角，则函数y=sin(x+)+sinx的值域为______________.
解析：y=2sin(x+)cos=sin(x+)，
由条件知＜x+＜，
所以＜sin(x+)≤1.
所以y∈(,］.
答案:(,］
9.已知cosα=cosβ·cosA，求证：tan2=tan·tan.
证法一：欲证tan2
=tan·tan，
只需证
cosA=
cosAcosβ=cosα.故原式成立.
证法二：∵tan
·tan
=
，∴原式成立.
10.化简:cos2α+cos2（α+β）-2cos
α
cos
β
cos（α+β）-sin2β.
解：原式=cos2α+cos（α+β)［cos（α+β)-2cosαcosβ］-sin2β
=cos2α+cos（α+β)（-cosαcosβ-sinαsinβ)-sin2β
=-cos（α+β)cos（α-β)-
=（cos2α+cos2β)
（cos2α+cos2β)=0.三角函数的积化和差与和差化积
1．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝( )
A．
B．
C．
D．
2．直角三角形的两个锐角分别为A和B，则sin
Asin
B( )
A．有最大值和最小值0
B．有最大值，但无最小值
C．既无最大值，也无最小值
D．有最大值1，但无最小值
3．化简的结果为( )
A．
B．
C．
D．
4．已知α－β＝，且cos
α－cos
β＝，则cos(α＋β)等于( )
A．
B．
C．
D．
5．如果，那么等于( )
A．
B．
C．
D．
6．cos
20°＋cos
60°＋cos
100°＋cos
140°的值为________．
7．若cos2α－cos2β＝m，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.
8．若x为锐角三角形的内角，则函数y＝＋sin
x的值域为________．
9．求的值．
10．已知△ABC的三个内角A，B，C满足A＋C＝2B，，求的值．
参考答案
1．解析：cos(α＋β)cos(α－β)＝
(cos
2α＋cos
2β)
＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β，
∵cos(α＋β)cos(α－β)＝，
∴cos2α－sin2β＝.
答案：C
2．解析：因为A＋B＝，sin
Asin
B＝[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝cos(A－B)，
又＜A－B＜，则0＜cos(A－B)≤1，
故0＜cos(A－B)≤，即sin
Asin
B有最大值，无最小值．
答案：B
3．解析：
＝
＝.
答案：C
4．解析：由cos
α－cos
β＝得
，又α－β＝，
∴，
∴cos(α＋β)＝1－2
＝1－2×＝.
答案：C
5．解析：
＝.
答案：B
6．解析：cos
20°＋cos
60°＋cos
100°＋cos
140°
＝cos
20°＋＋2cos
120°cos
20°
＝cos
20°＋－cos
20°＝.
答案：
7．解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝(cos
2α－cos
2β)＝[(2cos2α－1)－(2cos2β－1)]＝cos2β－cos2α＝－m.
答案：－m
8．解析：y＝＋sin
x＝2
＝，
由已知得，所以＜≤1.
所以y∈.
答案：
9．解：
＝
＝
＝8cos
10°sin
20°sin
40°＝4(sin
30°＋sin
10°)sin
40°
＝2sin
40°＋4sin
40°sin
10°
＝2sin
40°－2(cos
50°－cos
30°)＝.
10．解：由题设条件知B＝60°，A＋C＝120°，∴，∴.
将上式化简为cos
A＋cos
C＝cos
Acos
C，
则＝[cos(A＋C)＋cos(A－C)]．
将＝cos
60°＝，cos(A＋C)＝cos
120°＝代入上式，得＝－cos(A－C)．
将cos(A－C)＝2－1代入上式并整理，得，
即.
∵＋3≠0，
∴.∴.